Inter 2nd Year

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 1st Lesson తరంగాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 1st Lesson తరంగాలు

→ పదార్థము వాస్తవంగా కదలకుండా అలజడులను (శక్తులను) ప్రసారం చేసే వానిని తరంగాలు అంటారు.

→ యానకం కణాల కంపనాల ద్వారా శక్తి ప్రసారము జరిగే ప్రక్రియను తరంగ చలనం అంటారు.

→ తరంగం ప్రసార దిశకు యానకం కణాలు లంబంగా కంపిస్తే, వాటిని తిర్యక్ తరంగాలు అంటారు.

→ తరంగం ప్రసార దిశకు యానకం కణాలు సమాంతరంగా కంపిస్తే, వాటిని అనుదైర్ఘ్య తరంగాలు అంటారు.

→ కుడివైపు చలించు, పురోగామి తరంగ సమీకరణం y = a (sin ot – kx). ఇక్కడ x = స్థానభ్రంశం, ω = కోణీయ స్థానభ్రంశం, t = కాలం, k = తరంగ స్థిరాంకము.

→ తరంగాల అధ్యారోపణ నియమము : “రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ తరంగాలు ఒకే దిశలో చలిస్తూ కలిస్తే, వాని ఫలిత స్థానభ్రంశం మొత్తం తరంగాల విడివిడి స్థానభ్రంశాల బీజీయ మొత్తంనకు సమానం.

→ తరంగాల అధ్యారోపణ సూత్రం, వ్యతికరణం, వివర్తనం, స్థిర తరంగాలు మరియు విస్పందనాలను వివరిస్తుంది.

→ యానకం చివర నుండి పురోగామి తరంగాలు పరావర్తనం చెందుతాయి. పరావర్తనం ఒక దృఢమైన సరిహద్దు వద్ద జరిగితే, పతన మరియు పరావర్తన తరంగాల మధ్య దశాభేదం 7 కు సమానం. తెరిచిన సరిహద్దు వద్ద పరావర్తన జరిగితే, పతన మరియు పరావర్తన తరంగాలు ఒకే దిశలో ఉంటాయి.

→ ఒకే కంపన పరిమితి మరియు పౌనఃపున్యం ఉన్న పతన మరియు పరావర్తన తరంగాలు పొడవుగల తీగవెంట వ్యతిరేక దిశలలో కలిస్తే, ఫలితంగా స్థిర తరంగం ఏర్పడును.

→ కంపిస్తున్న తీగ పౌనఃపున్యం v = \(\frac{\mathrm{P}}{2 l} \sqrt{\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{m}}}\)

→ శూన్య కంపన పరిమితి స్థానాలను అస్పందనాలు అంటారు.

→ గరిష్ఠ కంపన పరిమితి స్థానాలను ప్రస్పందనాలు అంటారు.

→ వ్యవస్థలో సాధ్యమయ్యే తక్కువ సహజ పౌనఃపున్యంను ప్రాథమిక రీతి లేక మొదటి అనుస్వరం అంటారు.

→ బాహ్య పౌనఃపున్యం, సహజ పౌనఃపున్యంనకు దగ్గరగా ఉంటే అనునాదం ఏర్పడుతుంది.

→ T తన్యత, రేఖీయ సాంద్రత ఉన్న తంత్రి వేగం υ = \(\sqrt{\frac{\mathrm{T}}{\mu}}\)

→ B ఆయత గుణకం, p సాంద్రత ఉన్న ప్రవాహిలో ధ్వని వేగం, υ = \(\sqrt{\frac{B}{\rho}}\)

→ లోహ కడ్డీలో అనుదైర్ఘ్య తరంగాల వేగం, υ = \(\sqrt{\frac{Y}{\rho}}\)

→ రెండు వరుస అస్పందనాలు లేక ప్రస్పందనాల మధ్య దూరం కు సమానం.

→ రెండువైపులా దృఢంగా బిగించిన L పొడవుగల సాగదీసిన తీగ పౌనఃపున్యాలు v = \(\frac{\mathrm{nv}}{2 \mathrm{~L}}\), n = 1,2, 3, ……….

→ ఒకవైపు మూసి మరియొక వైపు తెరిచి ఉన్న L పొడవుగల గొట్టం పౌనఃపున్యాలు, v = \(\frac{\mathrm{nv}}{2 \mathrm{~L}}\) n = 1,2, 3, ……….

→ ఒక వస్తువును కంపింపచేసి, స్వేచ్ఛగా వదిలితే, అది చేసే కంపనాలను “సహజ కంపనాలు” అంటారు.

→ ఒక వస్తువు బాహ్య ఆవర్తన బల కంపనాల ప్రభావంతో కంపిస్తే, ఆ కంపనాలను బలాత్కృత కంపనాలు అంటారు.

→ సమీప పౌనఃపున్యాలు గల రెండు హరాత్మక ధ్వని తరంగాలు ఒకే దిశలో వ్యతికరణం చెంది, క్రమ ఆవర్తన కాలంలో ధ్వని వృద్ధి మరియు క్షీణత ఉన్న ధ్వనిని వింటాము. ఈ దృగ్విషయంను విస్పందనాలు అంటారు.

→ ధ్వని జనకం మరియు పరిశీలకుల మధ్య సాపేక్ష చలనం ఉంటే, పరిశీలకుడు వినే దృశ్య పౌనఃపున్యంలోని మార్పును డాప్లర్ ప్రభావం అంటారు.

→ యానకంలో ధ్వని వేగం, v = υλ ఇక్కడ v = \(\frac{1}{T}\)

→ తరంగ వేగం, υ = \(\frac{\omega}{\mathbf{k}}\)

→ తరంగ ప్రసార స్థిరాంకము, K = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\)

→ కోణీయ వేగం ω = \(\frac{2 \pi}{\mathrm{T}}\) = 2πυ

→ ధన X-అక్షం దిశలో పురోగామి తరంగ సమీకరణం y = a.sin (ωt – kx). రుణ x అక్షం దిశలో y = a sin(ωt +kx)

→ అధ్యారోపణ సూత్రం నుండి ఫలిత తరంగం y = y₁ + y₂

→ స్థిర తరంగ సమీకరణం y = 2a sin kx cos ωt లేక y = 2a cos kx sin ωt.

→ సాగదీసిన తంత్రి లేక తీగలో

• తిర్యక్ కంపనాల వేగం υ = \(\sqrt{\frac{\mathrm{T}}{\mu}}\)
• ప్రాథమిక పౌనఃపున్య కంపనము, υ₀ = \(\frac{1}{2 l} \sqrt{\frac{\mathrm{T}}{\mu}}\)
• అనుస్వరాల పౌనఃపున్యం, υ_p = \(\frac{\mathrm{P}}{2 l} \sqrt{\frac{\mathrm{T}}{\mu}}\) ఇక్కడ P అనుస్వరాల సంఖ్యను తెల్పుతుంది.

→ వేర్వేరు యానకంలలో న్యూటన్స్ ధ్వనివేగ సమీకరణము

• ఘన పదార్థంలో υ_s = \(\sqrt{\frac{Y}{\rho}}\)
• ద్రవ పదార్థంలో υ_l = \(\sqrt{\frac{K}{\rho}}\)
• వాయువులలో υ_g = \(\sqrt{\frac{\mathrm{P}}{\rho}}\)

→ వాయువులలో లాప్లాస్ ధ్వని వేగం ఫార్ములా
Y = ఘనపదార్థం యంగ్ గుణకం υ_g = \(\sqrt{\frac{\gamma \mathbf{P}}{\rho}}\)
k = ద్రవాల ఆయుత గుణకం మరియు P = వాయు పీడనం.

→ మూసిన గొట్టంలో

• ప్రాథమిక పౌనఃపున్యం వద్ద గొట్టం పొడవు l = \(\frac{\lambda}{4}\) ⇒ λ = 4l
• ప్రాథమిక పౌనఃపున్య కంపనము, v = \(\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{4 l}\)
• మూసిన గొట్టంలో బేసి అనుస్వరాలను సపోర్టు చేయును. అనుస్వరాల పౌనఃపున్యాల నిష్పత్తి 1:3:5: ….. etc

→ తెరిచిన గొట్టంలో

• ప్రాథమిక పౌనఃపున్యం వద్ద గొట్టం పొడవు, l = \(\frac{\lambda}{2}\) ⇒ λ = 2l
• ప్రాథమిక పౌనఃపున్యం కంపనం, v₀ = \(\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{2 l}\)
• తెరిచిన గొట్టం సహజ సంఖ్యల అనుస్వరాలను సపోర్టు చేస్తుంది. అనుస్వరాల పౌనఃపున్యాల నిష్పత్తి 1:2:3: ……….. etc

→ విస్పందనాల పౌనఃపున్యం ΔV = v₁ – v₂

→ డాప్లర్ ప్రభావ సాధారణ సమీకరణం, v’ = \(\left[\frac{v \pm v_0}{v \pm v_s}\right]\)v

→ యానకం ధ్వని వేగం (v) ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, దృశ్య పౌనఃపున్యం
v’ = \(\left[\frac{v \pm v_0 \pm v_m}{v \pm v_s \pm v_m}\right]\)v సంజ్ఞ సంప్రదాయం పాటిస్తుంది.

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 5th Lesson మొక్కలలో శ్వాసక్రియ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 5th Lesson మొక్కలలో శ్వాసక్రియ

→ మనం ‘ఆహారం’ అని పిలిచే స్థూల అణువులు ఆక్సీకరణం చెందినప్పుడు ‘జీవ’ చర్యలకు కావలసిన శక్తి లభిస్తుంది.

→ హరిత మొక్కలు, సయనోబాక్టీరియమ్లు మాత్రమే తమ స్వంత ఆహారాన్ని తయారు చేసుకుంటాయి.

→ కణంలో ఆక్సీకరణ జరిగినప్పుడు ఆహారంలో ఉండే శక్తి అంతా ఒకేసారి విడుదలకాదు. ఎన్ఎమ్ల నియంత్రణలో

→ జరిగే చర్యల వల్ల శక్తి అంచెలంచెలుగా విడుదలై ATP రూపంలో నిల్వచేయబడుతుంది.

→ కణ ఆక్సీకరణలో తోడ్పడే పదార్థాలను శ్వాసక్రియాధస్థ పదార్థాలు అంటారు.

→ ATP ని కణశక్తి నగదు అంటారు.

→ శ్వాసక్రియ 2 రకాలు

• వాయుసహిత,
• అవాయు శ్వాసక్రియ.

→ వాయుసహిత శ్వాసక్రియ 2 సమక్షంలో 4 దశలుగా జరుగుతుంది.

→ గ్లూకోస్ విచ్ఛిన్నం చెంది 2 PAలుగా మారే క్రమాన్ని గ్లైకాలిసిస్ లేదా EMP పథం అంటారు.

→ పైరువిక్ ఆమ్లం పూర్తిగా ఆక్సీకరణం చెంది, హైడ్రోజన్ ను తొలగించి, 300, అణువులను ఏర్పరుస్తుంది.

→ పైరువిక్ ఆమ్లం ఆక్సీకరణ డీకార్టాక్సిలేషన్ చెంది పైరువిక్ డీహైడ్రోజినేజ్ సమక్షంలో కోఎన్జైమ్ – ఎ తో సంగ్రహణం చెంది అసిటైల్ కో. ఎన్జైమ్ A ఏర్పడుతుంది.

→ అసిటైల్ కో ఎన్జైమ్ A సంపూర్ణ ఆక్సీకరణం చెందిన శక్తిని NADPH + H⁺ రూపంలో క్రెబ్స్ వలయం ద్వారా విడుదల చేస్తుంది.

→ NADPH + H⁺, FADH₂ లు ఆక్సీకరణం చెంది విడుదలైన ఎలక్ట్రాన్లు, ETS ద్వారా 1/2 O₂ ను చేరి 1నీటి అణువును ఏర్పరుస్తాయి.

→ ATP సంశ్లేషణను పీటర్ మిట్చెల్ కెమీఆస్మాటిక్ సిద్ధాంతం ద్వారా వివరించవచ్చు.

→ 1 గ్లూకోస్ ఆక్సీకరణం చెంది 36 ATPలు ఏర్పడతాయి.

→ శ్వాసక్రియలో విచ్ఛిన్నక్రియ, నిర్మాణక్రియలు రెండూ కనిపిస్తాయి. కావున దానిని ఆంఫీభోలిక్పథం అంటారు.

→ శ్వాసక్రియలో అదస్థ పదార్థం ఆక్సీకరణం చెందినప్పుడు విడుదల అయిన CO₂, అణువుల సంఖ్యకు, గ్రహించబడిన O₂ అణువులకు మధ్య ఉన్న నిష్పత్తిని శ్వాసక్రియ కోషంట్ అంటారు.

→ కార్బోహైడ్రోట్ల శ్వాసక్రియ కోషంట్ – 1

→ కొవ్వుల శ్వాసక్రియ కోషంట్ – 1కన్నా తక్కువ (0.7)

→ ప్రొటీనుల శ్వాసక్రియ కోషంట్ – 1 కన్నా తక్కువ (0.9)

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 4th Lesson ఉన్నత మొక్కలలో కిరణజన్యసంయోగక్రియ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 4th Lesson ఉన్నత మొక్కలలో కిరణజన్యసంయోగక్రియ

→ ఆకు పచ్చని మొక్కలు కిరణజన్యసంయోగక్రియ అనే భౌతిక రసాయనిక చర్య ద్వారా కాంతిశక్తిని వాడుకుని కార్బోహైడ్రేట్లను సంశ్లేషణకు ఉపయోగించుకుంటాయి.

→ ఇది భూమి మీద ఉన్న సకల జీవులకు మూలాధారమైన ఆహారం తయారీకి, వాతావరణంలోని ప్రాణవాయువు విడుదలకు ఈ ప్రక్రియ దోహదపడుతుంది.

→ మోల్స్ అర్థ పత్రప్రయోగం ద్వారా, కిరణజన్యసంయోగక్రియకు CO₂, అవసరమని నిరూపించారు.

→ పచ్చని మొక్కలు పెరగడంలోగాలి ఆవశ్యకతను నిరూపించడానికి 1970లో జోసెఫ్ ప్రీస్ట్రీ ప్రయోగాలు చేసారు. జాన్ ఇంజన్ హౌజ్ ఒక నీటిమొక్కతో ప్రయోగాలు జరిపి, కేవలం మొక్కల ఆకుపచ్చని భాగాలే ఆక్సిజన్ ను విడుదలచేస్తాయని నిరూపించారు.

→ జూలియస్ వాన్ సాక్స్ మొడ్లల్లోని ఆకుపచ్చని భాగాలు గ్లూకోజ్ను తయారు చేస్తాయని అది పిండిపదార్థ రూపంలో నిల్వచేయబడుతుందని గుర్తించారు.

→ కిరణజన్యసంయోగక్రియలో నీటినుండి O₂ విడుదల అవుతుంది.

→ మొక్కల ఆకుపచ్చని భాగాలైన పత్రాలలోనే కాక, ఇతర ఆకుపచ్చని భాగాలలో కిరణజన్యసంయోగక్రియ జరుగుతుంది.

→ త్వచవ్యవస్థ కాంతిశక్తిని శోషించి ATP, NADPH లుగా ఏర్పడటానికి దోహదంచేస్తాయి.

→ ఆవర్ణికలో ఉన్న ఎన్జైమ్ చర్యలతో మొక్కలోకి CO₂, స్థాపించబడి, చక్కెర తయారుచేయబడి, అది పిదప పిండిపదార్థంగా మారుతుంది.

→ పత్రంలో కనిపించే రంగు ఒక వర్ణద్రవ్యం వల్ల గాక నాలుగు భిన్నమైన వర్ణద్రవ్యాల వలన కలుగుతుంది. అవి పత్రహరితం -ఎ, పత్రహరితం-బి, జాంథోఫిల్ మరియు కెరోటినాయిడ్లు.

→ వివిధ తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద కిరణజన్యసంయోగక్రియా రేటు తెలిపే చిత్రాన్ని చర్యవర్ణపటం అంటారు.

→ వివిధ వర్ణద్రవ్యాల కాంతిశోషణ సామర్థ్యాన్ని తెలిపే పటాన్ని శోషణ వర్ణపటము అంటారు.

→ కిరణజన్యసంయోగక్రియకు కావలసిన ముఖ్య వర్ణద్రవ్యం- పత్రహరితం

→ పత్రహరితం బి కెరోటినాయిడ్ లు జాంథోఫిల్ లును అదనపు వర్ణద్రవ్యాలు అంటారు.

→ చక్రియ కాంతి ఫాస్ఫారిలేషన్లో PS-I మాత్రమే పాల్గోంటుంది.

→ అచక్రియ కాంతి ఫాస్ఫారిలేషన్లో లో PS-I \ PS-II రెండూ పాల్గొంటాయి.

→ నీటి అణువు కాంతి సమక్షంలో నిన్నం చెంది 2Ht, 2e, 10, ఏర్పడతాయి.

→ థైలకాయిడ్ త్వచాలకిరువైపులా ప్రోటాన్ ప్రవణత ఏర్పటం వల్ల ATP సంశ్లేషణ జరుగుతుంది.

→ చక్కెర పదార్థాల తయారీకి దారితీసే ప్రక్రియలు జరగటంలో ATP – NADPH లు ఉపయోగపడతాయి. ఈ దశను జీవ సంశ్లేణ దశ అంటారు.

→ CO2 స్ధాపన లో మొదటి ఉత్పాదితము PGA (3C) అయిన, ఆ మొక్కలను C₃, మొక్కలు అంటారు. OAA (4C) అయినవాటిని C₄, మొక్కలు అంటారు.

→ క్యాన్ వలయము 3 దశలలో జరుగును.
a) కార్బాక్సిలేషన్
b) క్షయకరణ దశ
c) పునరుద్ధరణ దశ.

→ ప్రతి CO₂ అణుప్రస్థాపనకు 3ATP లు, 2NADPH లు అవసరము.

→ C₂, మొక్కలలో క్రాంజ్ అంతర్నిర్మాణం కనిపిస్తుంది. ఇవి అధిక ఉష్ణోగ్రతలను తట్టుకుంటాయి. అధికకాంతి తీవ్రతలకు ప్రతిస్పందిస్తాయి. వీటిలో కాంతి శ్వాసక్రియ జరగదు. ఎక్కువ ఉత్పత్తి జరుగుతుంది.

→ C₃, C₄, పథాలకు ప్రత్యామ్నాయంగా క్రాస్సులేసియస్ ఆమ్ల జీవక్రియా ద్వారా CO₂ స్థాపన జరుగుతుంది. ఉదా : కాక్టై (కాస్సులేసి)

→ కాంతి సమక్షంలో ఆకు పచ్చని కణజాలం O₂ ను గ్రహించి CO₂ ను విడుదల చేసే ప్రక్రియను కాంతిశ్వాస క్రియ అంటారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 3rd Lesson ఎన్జైమ్లు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 3rd Lesson ఎన్జైమ్లు

→ అన్ని ఎన్జైమ్లు దాదాపుగా ప్రొటీనులే. కొన్ని కేంద్రకామ్లాలు ఎన్జైమ్లుగా పనిచేస్తాయి. వీటిని రైబోజైమ్లు అంటారు. 23 ‘S’ rRNA.

→ అధస్థ పదార్థము ‘S’ ఎన్జైమ్ నొక్కు లేదా సంచులుగా ఉండే క్రియాశీల స్థానానికి బంధితమై ES సంక్లిష్టం ఏర్పడుతుంది. ఈ బంధం విచ్చిన్నమై ఉత్పాదితం ‘P’ మరియు మార్పులేని ఎన్జైమ్ విడుదల అవుతాయి.

→ ES సంక్లిష్టం ఏర్పడే విధానాన్ని ఇమిల్ఫిషర్ ప్రతిపాదించిన తాళం – కప్ప, తాళం చెవి పరికల్పన, ఆ తరువాత డానియల్ ఇ-కోషాండ్ ప్రతిపాదించిన ‘ఇండ్యూస్డ్ ఫిట్ పరికల్పనలు వివరిస్తాయి.

→ ఎన్జైమ్లు ఒక నిరిష్ట ఉష్ణోగ్రత, pH ల వద్ద పనిచేస్తాయి. వాటిని యుక్తతమ ఉష్ణోగ్రత, యుక్తతమ pH అంటారు.

→ రసాయనం బందితం కావడంతోనే ఎన్జైమ్ క్రియాశీలత ఆగిపోయే విధానాన్ని నిరోధకత అంటారు. ఆ రసాయనాన్ని నిరోధకం అంటారు.

→ నిరోధకం తన అణునిర్మాణంలో అధస్థ పదార్థాన్ని దగ్గరగా పోలి ఉండి, ఎన్జైమ్ క్రియాశీలతను నిరోధిస్తే దానిని పోటీపడే నిరోధకము అంటారు.

→ నిరోధకం అధస్థపదార్థంతో నిర్మాణాత్మక పోలికను కలిగి ఉండక, క్రియాశీల స్థానం దగ్గర కాకుండా వేరేస్థానం వద్ద ఎన్జైమ్ నిరోధక సంక్లిష్టాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. దీనిని పోటీపడని నిరోదకము అంటారు.

→ ఎన్జైమ్లను ఆరు విభాగాలుగా వర్గీకరించారు. అవి :

• ఆక్సిడోరిడక్టేజ్లు
• ట్రాన్స్ ఫరేజ్లు
• హైడ్రోలేజ్లు
• లయేజ్లు
• ఐసోమరేజ్లు
• లైగేజ్లు

→ గ్లూకోజ్ – 6 – ఫాస్ట్రోట్రాన్స్ఫరేజ్ కు ఎన్జైమ్ సంఖ్య 2.7.1.2. దీనిలో మొదటి సంఖ్య ఎన్జైమ్ విభాగమును, రెండో సంఖ్య ఎన్జైమ్ ఉపవిభాగమును, మూడో సంఖ్య ఉప-ఉప విభాగమును, నాలుగో సంఖ్య ఎన్జైమ్ వరుస సంఖ్యను తెలియచేస్తుంది.

→ ఎన్జైమ్లోని ప్రొటీను భాగాన్ని అవోఎన్జైమ్ అని, ప్రొటీను కాని భాగమును సహకారము అని అంటారు.

→ అపోఎన్జైమ్కు వదులుగా బందితమైన సేంద్రియ సహకారకాలను సహ ఎన్జైమ్లు అంటారు.

→ అపో ఎన్జైమ్కు గట్టిగా బందితమైన ఉన్న సేంద్రియ పదార్థాలను ప్రాస్థటిక్ సమూహాలు అంటారు.

→ వివిధ రకాల ఎన్జైమ్లు పాల్గోనే ఉత్ప్రేరక చర్యల్లో సహ ఎన్జైమ్ల అవశ్యక రసాయన అనుఘటకాలు విటమిన్లుగా ఉంటాయి.
ఉదా : NAD, NADP లు రెండు నియాసిన్లను కలిగి ఉంటాయి.

→ కార్టాక్సి పెద్డడేజ్కి జింక్ ఒక సహకారకంగా పనిచేస్తుంది.

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 2nd Lesson ఖనిజ పోషణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 2nd Lesson ఖనిజ పోషణ

→ అన్ని జీవులకు పెరుగుదల, వృద్ధికి కార్టోహైడ్రేట్లు, ప్రొటీన్లు, కొవ్వులు వంటి స్థూల అణువులు, నీరు, వివిధ ఖనిజాలు ఎంతో అవసరము.

→ మొక్కలను నిర్దిష్ట మూలకాల ద్రావణంలో పెంచే సాంకేతిక పద్ధతిని హైడ్రోపోనిక్స్ అంటారు.

→ C, H, O, N, P, K, Ca, Mg మరియు Sలు స్థూల మూలకాలు.

→ Fe, Mn, In, MO, Cu, Cl, B మరియు Ni లు సూక్ష్మ మూలకాలు.

→ C, H, O లను నిర్మాణాత్మక మూలకాలు అంటారు.

→ మొక్కలలో శక్తి సంబంధ రసాయన పదార్థాలలో భాగంగా ఉన్న ఆవశ్యక మూలకాలు Mg, ఫాస్పరస్.

→ నికెల్, యూరియేజ్ అను ఎన్జైమ్కు ఉత్ప్రేరకము. ఇది నత్రజని జీవక్రియలో పాల్గొంటుంది.

→ ఆవశ్యక మూలకం గాఢత తక్కువైనపుడు మొక్క పెరుగుదల ఆగిపోయినట్లయితే ఆ గాఢతను సందిగ్ధ గాఢ అంటారు.

→ నత్రజని, పొటాషియమ్, మెగ్నీషియమ్ లోప లక్షణాలు వృద్ధ పత్రాలలో గోచరిస్తాయి.

→ సల్ఫర్, కాల్షియంల లోప లక్షణాలు మొదట లేత పత్రాలలో కనిపిస్తాయి.

→ పత్రాలు పత్రహరితాన్ని కోల్పోయి, పసుపు వర్ణంలోకి మారుటను నిర్హరితం అంటారు.

→ Ca, Mg, Cu మరియు K లోపం వల్ల కణజాలాలు చనిపోవడం జరుగును.

→ నికెల్ లోపం వల్ల పెకాన్ లో మౌస్ ఇయర్ వ్యాధి కలుగును.

→ అయాన్లు నిష్క్రియా లేక సక్రియా పద్ధతి ద్వారా శోషించబడతాయి.

→ ఖనిజ మూలకాలు బాష్పోత్సేకకర్షణ వల్ల దారువులో ఊర్ధ్వముఖంగా వహనం చెందుతున్న నీటి ద్వారా స్థానాంతరణ చెందుతాయి.

→ మొక్కల పెరుగుదలకు, అభివృద్ధికీ ‘కావలసిన అత్యధిక పోషకాలు శైథిల్యమైన (విచ్ఛిన్నం చెందిన) శిలల నుంచి ఏర్పడిన మృత్తిక ద్వారా వేర్లకు అందించబడతాయి.

→ నత్రజని సజీవులలో అత్యధికంగా ఉన్న మూలకము.

→ నత్రజని క్షయకరణం చెందించే నైట్రోజినేజ్ ఎన్జైమ్ ప్రత్యేకంగా కేంద్రకపూర్వ జీవులలోనే ఉంటుంది. వాటిని N2 స్థాపక జీవులు అంటారు.

→ నైట్రోజినేజ్ ఎన్జైమ్ MO – Fe ప్రొటీను. ఇది వాతావరణ నైట్రోజన్ ను అమ్మోనియాగా మారుస్తుంది.

→ నైట్రోజినేజ్ ఎన్జైమ్లను రక్షించడానికి లెగ్ హీమోగ్లోబిన్ అను ఆక్సిజన్ సమ్మారకం ఉంటుంది.

→ అమైడ్లు (ఆస్పర్జిన్, గ్లూటమిన్) లు మొక్కలలో ఎక్కువగా లభిస్తాయి. ఇవి ఎక్కువగా నత్రజనిని కలిగి ఉంటాయి. కనుక అవి మొక్కల దారునాళాల ద్వారా ఇతర భాగాలకు రవాణా చెందుతాయి).

Students can go through AP Inter 2nd Year Botany Notes 1st Lesson మొక్కలలో రవాణా will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Botany Notes 1st Lesson మొక్కలలో రవాణా

→ మొక్కలలో ఒక నిమిషంలో జరిగే పెరుగుదలను ఒక మిల్లీమీటర్ లోని పదిలక్షల వంతును నమోదు చేయగలిగే అంత సూక్ష్మగాహ్యంగా ఉన్న క్రెస్కోగ్రాఫ్ను సర్.జె.సి.బోస్ రూపొందించారు.

→ బోస్ పరిశోధనా సంస్థ కోల్కత్తాలో ఉన్నది.

→ ఎక్కువ దూరాల మధ్య జరిగే రవాణా నాళికావ్యవస్థ ద్వారా జరుగుతుంది. దీనిని స్థానాంతరణ అంటారు. నేలలో నాటుకొని ఉన్న మొక్కలలో దారువు ద్వారా జరిగే రవాణా తప్పనిసరిగా ఒకే దిశలో అనగా వేరు నుంచి కాండంలోకి జరుగుతుంది.

→ సేంద్రియ, ఖనిజ పోషకాలు అన్ని దిశలలో రవాణా చెందుతాయి.

→ వాయువులు లేదా ద్రవాలు అధిక గాఢత గల ప్రదేశం నుండి అల్ప గాఢత గల ప్రదేశంలోనికి చలించుటను అంటారు.

→ త్వచ ప్రొటీన్ల సహాయంతో విసరణ జరగాలంటే అంతకు ముందే గాఢత ప్రవణత ఏర్పడి ఉండాలి. దీనిని సులభతర విసరణ అంటారు.

→ పదార్థాలను గాఢతా ప్రవణతకు వ్యతిరేక దిశలో ప్రవహింపచేయడానికి శక్తిని వినియోగించే విధానమే సక్రియా రవాణా.

→ మొక్క జీవక్రియలన్నింటిలో నీరు ప్రధానంగా పాల్గొంటుంది. అన్ని జీవరాశులకు నీరు ముఖ్యంగా కావలసిన పదార్థం.

→ పూర్తి స్థాయికి పెరిగిన మొక్కజొన్న 1 రోజులో దాదాపు 3 లీటర్ల నీటిని పీల్చుకుంటుంది. కాగా ఆవమొక్క 5 గంటలలో తను బరువుకు సమానమైన నీటిని గ్రహిస్తుంది.

→ నీటిశక్మము = ద్రావిత శక్మము + పీడన శక్మము.

→ స్వచ్ఛమైననీటి నీటిశర్మ విలువ = 0

→ ద్రావిత శక్మం ఎల్లప్పుడూ ఋణాత్మకము.

→ పీడన శక్మం ధనాత్మకం కాని మొక్కలలో ఋణాత్మకము.

→ అర్థ పారగమ్య త్వచం ద్వారా నీరు అల్ప గాఢత గల ప్రదేశం నుంచి అధిక గాఢత గల ప్రదేశంలోకి రవాణా అగుటను ద్రవాభిసరణ అంటారు.

→ ద్రవాభిసరణను థిసిల్ గరాటు ప్రయోగం లేదా పొటాటో ఆస్మాస్కోప్ ప్రయోగము ద్వారా వివరించవచ్చు.

→ కణాల నుంచి నీరు బయటకు వెళ్ళిపోయినప్పుడు కణత్వచం కణ కవచం నుండి విడిపోయి కణద్రవ్య సంకోచం జరుగుతుంది.

→ సాధారణ జీవకణాలు అధిక గాఢత గల ద్రావణంలో ఉంచినప్పుడు శుథం చెందుతాయి. అలాంటి కణాలలో పీడనశక్మం ‘0’ అవుతుంది. కావున నీటిశక్మం, ద్రావితశక్మం సమానం అవుతాయి.

→ కొల్లాయిడ్ల వంటి ఘన పదార్థాలు నీటిని అధిశోషించుకొని విస్తారంగా ఘనపరిమాణంలో వృధ్ధి చెందే ప్రక్రియను నిపానం అంటారు. ఉదా : విత్తనాలు పొడిగా ఉన్న కొమ్మలు నీటిని పీల్చుకునే విధానము.

→ ప్రొటీన్లకు అధిక నివాన సామర్థ్యము, కార్బోహైడ్రేటులకు తక్కువ నిపాన సామర్థ్యం ఉంటాయి. అందువల్ల ప్రొటీన్లు ఎక్కువగా గల బఠాణీ గింజలు, పిండి పదార్థము ఎక్కువగా ఉన్న గోధుమగింజల కంటే ఎక్కువగా ఉబ్బుతాయి.

→ స్థూల ప్రవాహంలో పదార్థాలు రెండు బిందువుల మధ్య ఉన్న పీడన వ్యత్యాసాల వల్ల ఒక చోటు నుంచి మరొక చోటుకు స్థూలంగా చలిస్తాయి.

→ మూలకేశంలోకి ప్రవేశించిన నీరు దిగువన ఉన్న వేరు పొరలకు అపోప్లాస్ట్ పథం లేదా సింప్లాస్ట్ పథం ద్వారా చేరుతుంది.

→ శిలీంధ్రం, వేరు వ్యవస్థతో కలిసి ఏర్పడిన సహజీవన సాంగత్యాన్ని శిలీంధ్ర మూలము (మైకోరైజా) అంటారు.

→ నీరు నీటి బిందువుల రూపంలో బయటకు పోవుటను బిందుస్రావం అంటారు.

→ సిక్వియా సిమ్ పర్విరెన్స్ వంటి చాలా ఎత్తయిన వృక్షాలలో ఎక్కువ భాగము నీటి స్థానాంతరణకు వేరు పీడనం సరిపోదు.

→ సంసంజన – అసంజన, బాష్పోత్సేక కర్షణ నమూనాను డిక్సన్ ప్రతిపాదించారు.

→ పత్ర రంధ్రాలు పగలు తెరుచుకుని, రాత్రి మూసుకుంటే, ఫొటోయాక్టివ్ రకం అంటారు.

→ రసయుత మొక్కలలో (ఉదా : కాక్టస్లు, బయోఫిల్లమ్) పత్రరంధ్రాలు పగలు మూసుకుని రాత్రులందు తెరుచుకుంటాయి. వీటిని స్కోటోయాక్టివ్ రకం అంటారు.

→ పత్రరంధ్రాలు తెరుచుకునే మూసుకునే యాంత్రికాన్ని వివరించడానికి లెవిట్, K’ పంపు సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించారు.

→ A B A (అబ్సిసిక్ ఆమ్లము) అనే సహజ బాష్పోత్సేక నిరోధకము నీటికొరత సందర్భాలలో పత్రరంధ్రం మూసుకునేటట్లు చేస్తుంది.

→ బాష్పోత్సేకం వల్ల మొక్కలకు అనేక ఉపయోగాలు ఉన్నాయి. అందువల్ల దీనిని “అవశ్యకమైన అనర్థం” గా అభివర్ణిస్తారు.

→ పీడన ప్రవాహం లేదా సమూహ ప్రవాహ సిద్ధాంతంను ముంచ్ ప్రతిపాదించారు.

→ సర్. జె.సి. బోస్
జననము : నవంబర్ 30, 1858
మరణము : నవంబర్ 23, 1937
దేశము : ఇండియన్
మొక్కలకు కూడ ప్రాణము ఉంటుందని వాటికి భావవ్యక్తీకరణ ఉంటుందని శాస్త్ర ప్రపంచానికి తెలియచేసిన వ్యక్తి సర్. జగదీష్ చంద్రబోస్. ఆయన సూక్ష్మతరంగ ధైర్ఘ్యవిద్యుత్ అయస్కాంత తరంగాల ను ఉత్పత్తి చేసి రేడియోతరంగాలను గుర్తించే ‘కొహెరర్’ అనుపరికరం రూపకల్పన చేసారు. ఆయన క్రెస్కోగ్రాఫ్ అనే అత్యంత అధునాతన పరి కరాన్ని రూపొందించారు. ఇది మొక్కలలో ఒక నిమిషంలో జరిగే పెరుదల ను ఒక మిల్లిమీటర్లోని పదిలక్షలవంతు వరకు నమోదు చేయకలిగే అంతసూక్ష్మ గ్రాహ్యంగా ఉంటుంది. బ్రిటిష్ ప్రభుత్వం ఆయనను ‘నైట్ హుడ్'(Knight Hood)గా అభివర్ణిస్తూ, అతని పేరుకు ముందు “సర్” అను బిరుదు నిచ్చినది.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 1 వృత్తం Exercise 1(d)

అభ్యాసం – 1 (డి)

I.

ప్రశ్న 1.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి (0, 0) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
P నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు వృత్త కోణము θ

1 = \(\frac{\sqrt{g^2+f^2-c}}{\sqrt{0+0+0+0}+c}\)
g² + f² – c = c
g² + f² = 2c
ఇది కావలసిన నియమము

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S₁ = 0
i.e., xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0 వృత్త సమీకరణము
S = x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
x. 0 + y. 5 – \(\frac{5}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా
10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² = 9 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y ² = 9
వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) స్పర్శ జ్యా సమీకరణం S₁ = 0
(i.e.,) x(1) + y(1) – 9 = 0
(i.e.,) x + y – 9 = 0

ప్రశ్న 4.
x² + y² = 7 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 2) ధ్రువ రేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² = 7 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 2) ధ్రువరేఖ S₁= 0
(i.e.,) x(1) + y(2) – 7 = 0
⇒ x + 2y – 7 = 0

ప్రశ్న 5.
2x² + 2y² = 11 వృత్తం దృష్ట్యా (3, -1) ధ్రువ రేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x² + 2y² = 11
⇒ x² + y² = \(\frac{11}{2}\) వృత్తం దృష్ట్యా (3, −1)
ధృవరేఖ S₁ = 0
x(3) + (-1) y = \(\frac{11}{2}\)
6x – 2y – 11 = 0.

ప్రశ్న 6.
x² + y² – 10x – 10y + 25 = 0 దృష్ట్యా (1, 2) యొక్క ధ్రువరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y²-10x-10y + 25 = 0
దృవరేఖ సమీకరణము S₁ = 0
P(1, 2) యొక్క దృవరేఖ
x.1 + y(-2) – 5(x + 1) – 5(y – 2) + 25 = 0
x – 2y – 5x – 5 – 5y + 10 + 25 = 0
-4x – 7y + 30 = 0
4x + 7y – 30 = 0

ప్రశ్న 7.
c ≠ 0 అయితే x² + y² = r² వృత్తోం దృష్ట్యా ax + by + c = 0, యొక్క ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ధ్రువం (x₁, y₁) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ xx₁ + yy₁ – r² = 0 ……………. (1)
ధ్రువరేఖ ax + by + c = 0 ………………. (2)
(1) మరియు (2) నుండి \(\frac{x_1}{a}=\frac{y_1}{b}=\frac{-r^2}{c}\)
⇒ x₁ = \(\frac{-a r^2}{c}\), y₁ = \(\frac{-b r^2}{c}\)
∴ ధ్రువం \(\left(\frac{-a r^2}{c}, \frac{-b r^2}{c}\right)\), (c ≠ 0)

ప్రశ్న 8.
x²+ y² – 6x – 8y + 5 = 0 వృత్తానికి 3x + 4y – 45 = 0 ధ్రువ రేఖ అయితే దీని ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
ధ్రువం p (x₁, y₁) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ సమీకరణం S₁ = 0
⇒ xx₁ + yy₁ – 3(x + x₁) – 4(y + y₁) + 5 = 0
⇒ x(x₁ – 3) + y(y₁ – 4) – 3x₁ -4y₁ + 5 = 0 ……………. (1)
కాని రేఖ 3x + 4y – 45 = 0 ……………. (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{x_1-3}{3}=\frac{y_1-4}{4}=\frac{-3 x_1-4 y_1+5}{-45}\) = k అనుకుందాం
⇒ x₁ = 3k + 3, y₁ = 4k + 4
-3x₁ – 4y₁ + 5 = -45k
⇒ -3(3k + 3) – 4(4k + 4) + 5 = -45k
⇒ 20k – 20 = 0 ⇒ k = 1
⇒ \(\frac{x_1-3}{3}=\frac{y_1-4}{4}\)
∴x₁ = 3(1) + 3 = 6, y₁ = 4(1) + 4 = 8
∴ ధ్రువం = (6, 8).

ప్రశ్న 9.
x²+ y² – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తానికి x – 2y + 22=0 ఒక ధ్రువరేఖ అయితే దీని ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ధ్రువం p (x₁, y₁) అనుకుందాం.
ధ్రువరేఖ సమీకరణం S₁ = 0
xx₁ + yy₁ – \(\frac{5}{2}\) (x + x₁) + 4 (y + y₁) + 6 = 0
(లేదా) x(x₁ – \(\frac{5}{2}\)) + y (y₁ + 4) – \(\frac{5}{2}\)
x₁ + 4y₁ + 60 = 0 ………… (i)
x – 2y + 22 = 0 …………..(ii)
(i), (ii) లు ఒకే రేఖలను సూచిస్తున్న
\(\frac{x_1-\frac{5}{2}}{1}=\frac{y_1+4}{-2}=\frac{\frac{-5}{2} x_1+4 y_1+6}{22}\) = k
x₁ – \(\frac{5}{2}\) = k ⇒ x₁ = k + \(\frac{5}{2}\)
– \(\frac{5}{2}\) x₁ + 4y₁ + 6 = 22k
y₁ = -2k – 4,
–\(\frac{5}{2}\) (k + \(\frac{5}{2}\)) + 4 (-2k – 4) + 6 = 22k ;
–\(\frac{5k}{2}\) – \(\frac{25}{4}\) – 8k – 16 + 6 = 22k
–\(\frac{65}{4}\) = 30k + \(\frac{5k}{2}\) = \(\frac{65k}{2}\)
k = –\(\frac{5}{2}\) ; x₁ = –\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{5}{2}\) = 2
y₁ = -3
∴ ధ్రువము (2, – 3)

ప్రశ్న 10.
x²+ y² – 2x + 2y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (-6, 1), (2, 3) లు సంయుగ్మ బిందువులని చూపండి.
సాధన:
S = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) లు సంయుగ్మాలైన S₁₂ = 0
కనుక ఇచ్చట వృత్త సమీకరణం
x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0
బిందువులు P (-6, 1), Q (2, 3)
ఇప్పుడు S₁₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f(y₁ + y₂) + c
= (-6) (2) + (1) (3) + (-1) (-6 + 2) + 1(1 + 3) + 1
= -12 + 3 + 4 + 4 + 1 = 12 + 12 = 0
∵ S₁₂ = 0
⇒ వృత్తం దృష్ట్యా దత్త బిందువులు సంయుగ్మ బిందువులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 3x – 5y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2), (3, −5) లు సంయుగ్మ బిందువులని చూపండి.
సాధన:
దత్త బిందువులు సంయుగ్మాలైన S₁₂ = 0 కావలయును.
అంటే S₁₂ = (4) (3) + (2) (-5) – \(\frac{3}{2}\) (4 + 3) – \(\frac{5}{2}\) (2 – 5) + 1
S₁₂ = 12 – 10 – \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{15}{2}\) + 1
S₁₂ = 3 – 3 = 0
∴ దత్త బిందువులు వృత్తం దృష్ట్యా సంయుగ్మాలు.

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా kx + 3y – 1 = 0, 2x + y + 5 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దృవము (x₁, y₁) దృవరేఖ సమీకరణము
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) – 2(y + y₁) – 4 = 0
x(x₁ – 1) + y(y₁ – 2) – x₁ – 2y₁ – 4 = 0 ……………… (i)
2x + y + 5 = 0 (i) తో పోల్చగా

x₁ = -1, y₁ = 1 ద్రువము (−1, 1)
kx + 3y – 1 = 0 దృవరేఖ అయితే (-1, 1) ను తృప్తిపరచవలెను.
k(-1) + 3(1) – 1 = 0
-k + 2 = 0
k = 2

ప్రశ్న 13.
x² + y² – 2x – 2y – 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా x + y – 5 = 0, 2x + ky – 8 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
If l₁x + m₁y + n₁ = 0; l₂x + m₂y + n₂ = 0, S = 0 దృష్ట్యా సంయుగ్మ రేఖలయితే
r²(l₁l₂ + m₁m₂) = (l₁g + m₁f – n₁) (l₂g + m₂f – n₂)
l₁ = 1, m₁ = 1, n₁ = -5
l₂ = 2, m₂ = k, n₂ =-8
g = -1, f = -1, r² = 3
∴ 3(1.2 + k) = (-1 – 1 + 5) (-2 – k + 8)
6k = 18 – 6 = 12
⇒ k = 2

ప్రశ్న 14.
x² + y² = 35 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 3), (2, k) ∞ సంయుగ్మాలయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’17 T.S. Mar. ’16]
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x² + y² = 35 యొక్క దృవరేఖ P(1, 3)
x. 1 + y. 3 = 35
x + 3y = 35
P(1, 3), Q(2, k) లు సంయుగ్మ బిందువులయితే
P యొక్క దృవరేఖ Q గుండా పోతుంది.
2 + 3k = 35
3k = 33
k = 11

ప్రశ్న 15.
x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2), (k, -3) లు సంయుగ్మాలయితే k విలువ ఎంత ? [A.P. Mar. ’17]
సాధన:
వృత్త సమీకరణం x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0 యొక్క దృవరేఖ (4, 2)
x.4 + y.2 – \(\frac{5}{2}\)(x + 4) + 4 (y + 2) + 6 = 0
8x + 4y – 5x – 20 + 8y + 16 + 12 = 0
3x + 12y + 8 = 0
P(4, 2), Q(k, -3) లు సంయుగ్మాలు.
P యొక్క దృవరేఖ Q గుండా పోతుంది.
∴ 3k – 36 + 8 = 0
3k = 28 ⇒ k = \(\frac{28}{3}\)

II.

ప్రశ్న 1.
(3, 2) బిందువు నుంచి x²+y²-6x+4y-2=0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్య రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x² + y² – 6x + 4y – 2 = 0
r = \(\sqrt{9+4+2}\) = \(\sqrt{15}\)
S₁₁ = 9 + 4 – 18 + 8 – 2 = 1

P వద్ద స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము cos^-1\(\left(\frac{7}{8}\right)\)

ప్రశ్న 2.
(1, 3) బిందువు నుంచి x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శ రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0
r = \(\sqrt{1+4+11}\) = 4
S₁₁ = 1 + 9 – 2 + 12 – 11 = 9

స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము cos^-1\(\left(\frac{7}{25}\right)\)

ప్రశ్న 3.
(0, 0) బిందువు నుంచి x² + y² – 14x + 2y + 25 = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² – 14x + 2y + 25 = 0
కేంద్రం C = (7, -1),
వ్యాసార్థం (r) = \(\sqrt{49+1-25}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
S₁₁ = 0 + 0 – 0 + 0 + 25 = 25
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము ‘θ’ అయిన
tan (θ/2) = \(\frac{r}{\sqrt{s_{11}}}=\frac{5}{\sqrt{25}}\) = 1
∴ \(\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము θ = 90°

ప్రశ్న 4.
ఏదైనా బిందువు P నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం a అయ్యేటట్లు ఉండే P బిందు పథం కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
r = వ్యాసార్థము = a
P (x₁, y₁) బిందు పథము మీది బిందువు
S₁₁ = x² + y² – a²

ప్రశ్న 5.
ఏదైనా బిందువు P నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండేటటువంటి P బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
r = a
P(x₁, y₁) బిందు పథం మీది బిందువు
S₁₁ = x₁² + y₁² – a²
tan θ = \(\frac{r}{\sqrt{s_{11}}}=\frac{a}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}}\)
ఇచ్చిన 2θ = \(\frac{\pi}{2}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{4}\) = 1
∴ \(\frac{d}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-a^2}}\) = 1
వర్గీకరించి, అడ్డ గుణకారం చేయగా
a² = x² + y² – a²
x₁² + y₁² = 2a²
P (x, y ) బిందు పథము x² + y² = 2a²

ప్రశ్న 6.
x² + y² – 4x – 4y – 4= 0 వృత్తానికి (1,3) ధ్రువ రేఖ వాలు, వృత్తకేంద్రం నుంచి, ఈ ధ్రువ రేఖకు గల లంబ దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 4x – 4y – 4 = 0
వృత్తానికి (1,3) ధ్రువరేఖ S₁ =0
(i.e.,) x(1) + y(3) – 2(x + 1) – 2(y + 3) – 4 = 0
⇒ -x + y – 12 = 0
⇒ x + y + 12 = 0
∴ ధ్రువరేఖ వాలు = \(\frac{-(1)}{1}\) = 1
వృత్త కేంద్రం C =(2, 2) నుండి ధ్రువరేఖ x – y + 12 = 0
కు లంబదూరం
= \(\left|\frac{2-2+12}{\sqrt{1+1}}\right|=\frac{12}{\sqrt{2}}\)
= 6 \(\sqrt{2}\)యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (1, 1) ధ్రువ రేఖ సమీకరణం ax + by + c = 0 అయి a, b, c ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1 అయితే a² + b² + c విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 2x + y + 1 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (1,1)
ధ్రువరేఖ S₁ = 0.
(i.e.,) x(1) + y(1) – (x + 1) + (y + 1) + 1 = 0
⇒ 2y + 1 = 0 ………………. (1)
కాని ధ్రువరేఖా సమీకరణం ax + by + c = 0 ……………… (2)
(1), (2) లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి కనుక
\(\frac{a}{0}=\frac{b}{2}=\frac{c}{1}\)
⇒a = : 0, b = 2, c = 1
(a, b, c ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 1)
∴ a² + b² + c² = 0 + 4 + 1 = 5

III.

ప్రశ్న 1.
x + 4y – 14=0 రేఖ x² + y² – 2x + 3y – 5=0 వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 2x + 3y – 5 = 0
P(x, y) యొక్క ధృవరేఖ

xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) + \(\frac{3}{2}\) (y + y₁) – 5 = 0
2xx₁ + 2yy₁ – 2x – 2x₁ + 3y+ 3y₁ – 10 = 0
2(x₁ – 1)x + (2y₁ + 3) y -(2x₁ – 3y₁ + 10) = 0 ……………… (1)
QR సమీకరణము 5x + 4y – 14 = 0 …………….. (2)
(1) మరియు (2) పోల్చగా
\(\frac{2\left(x_1-1\right)}{1}=\frac{2 y_1+3}{4}=\frac{2 x_1-3 y_1+10}{14}\)
2(x₁ – 1) = \(\frac{2 y_1+3}{4}\)
8x₁ – 8 = 2y₁ + 3
8x₁ – 2y₁ = 11 ………………. (1)
2(x₁ – 1) = \(\frac{2 x_1-3 y_1+10}{14}\)
28x₁ – 28 = 2x₁ – 3y₁ + 10
26x₁ + 3y₁ = 38 ……………….. (2)

ప్రశ్న 2.
x² + y² = b² వృత్తం దృష్ట్యా x² + y² = a² వృత్తంపై ఉండే బిందువుల ధృవరేఖలు x² + y² = c² వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే a,b,c లు గుణశ్రేఢిలో ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:

P(x₁, y₁) బిందువు మీది బిందువు x² + y² = a²
∴ x₁² + y₁² = a² ……………. (1)
x²+ y²= b² దృష్ట్యా P యొక్క ధ్రువరేఖ
xx₁ + yy₁ = b²
ఈ రేఖ x² + y² = c² వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
\(\frac{\left|0+0-\mathrm{b}^2\right|}{\sqrt{\mathrm{x}_1^2+\mathrm{y}_1^2}}\) = c ⇒ \(\frac{b^2}{a}\) = c
అడ్డ గుణకారం చేయగా b2 = ac
∴ a, b, c లు G. P. లో ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 3.
P (3, 5) నుంచి x² + y² = 16 వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు గీశాం. ఈ స్పర్శరేఖలు, దత్త వృత్తం దృష్ట్యా P యొక్క స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = 16

P (3, 5) యొక్క ధృవరేఖ 3x + 5y = 16
PL = P యొక్క లంబకోణము
= \(\frac{|9+25-16|}{\sqrt{9+25}}=\frac{18}{\sqrt{34}}\)
కేంద్రం = C (0, 0)
P = c మీదకు లంబదూరము

ప్రశ్న 4.
4x²+ y² – 4x – 4y – 8 = 0, x² + y² – 2x + 6y – 2 = 0 వృత్తాలకు ఒక బిందువు దృష్ట్యా ఏర్పడే ధ్రువ రేఖలు లంబంగా ఉంటే, ఆ చర బిందువు యొక్క బిందు వధ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x, y) బిందు పథము మీది బిందువు
వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² – 4x – 4y – 8 = 0 ……………… (1)
x² + y² – 2x + 6y – 2 = 0 ………………. (2)
(1) దృష్ట్యా P యొక్క ధృవరేఖ
xx₁ + yy₁ – 2(x + x₁) – 2 (y + y₁) – 8 = 0
x(x₁ – 2) + y (y₁ – 2) – (2x₁ + 2y₁ + 8) = 0(3)
(2) వ వృత్తం దృష్ట్యా P యొక్క ధృవరేఖ సమీకరణాలు
xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) – 3 (y + y₁) – 2 = 0
xx₁ + yy₁ – x – x₁ + 3y + 3y₁ – 2 = 0
x(x₁ – 1) + y (y₁ + 3) – (x₁ + 3y₁ + 2) = 0
(3), (4) లు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
(x₁ – 2) (x₁ – 1) + (y₁ – 2) (y₁ + 3) = 0
x₁² – 3x₁ +2 + y₁² + y₁ – 6 = 0
x₁² + y₁² – 3x₁ + y₁ – 4 = 0 x² + y² – 3×1 + Y1
p(x₁, y₁) బిందు పథము x² + y² – 3x + y – 4 = 0

ప్రశ్న 5.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూల బిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూల బిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x₁, y₁)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\)
QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y₁ = –\(\frac{x_1}{y_1}\) (x – x₁)
yy₁ – y₁²1 = – xx₁ + x₁².
xx₁ + yy₁ = x₁² + y₁²
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 …………. (1)
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 …………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా OQ, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x² + y² + (2gx + 2fy)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(e)

అభ్యాసం – 8(ఇ)

క్రింది అవకలన సమీకరణాలను ఏకఘాతీయ సమీకరణ రూపంలో రాసి I.F. లను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
x \(\frac{d x}{d y}\) – y = 2x² sec² 2x
సాధన:
x \(\frac{d x}{d y}\) – y = 2x² sec² 2x
\(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{x} \cdot y\) = 2x. sec² 2x
x లో రేఖీయ సమీకరణము
I.F. = \(\int_e-\frac{1}{x} \log x\) = e^{-log x} = e^{log 1/x} = \(\frac{1}{x}\)

ప్రశ్న 2.
y \(\frac{d x}{d y}\) – x = 2y³
సాధన:
y \(\frac{d x}{d y}\) – x = 2y³
\(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{y} \cdot x\) = 2y²
I.F. = \(e^{\int-\frac{1}{y}} d y\) = e^{-log y} = \(e^{\log \frac{1}{y}}\) = \(\frac{1}{y}\)

II. క్రింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + y tan x = cos³ x (May ’11)
సాధన:
I.F. = \(e^{\int \tan x d x}\) = e^{log sec x} = sec x
y. sec x = \(\int \sec x \cdot \cos ^3 x d x\)
= \(\int \cos ^2 x d x\)
= \(\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) d x\)
= \(\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin 2 x}{2}\right)\) + c
సాధన 2y = x cos x + sin x. cos² x + c. cos x

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + y sec x = tan x
సాధన:

సాధన
y(sec x + tan x) = sec x + tan x – x + c

ప్రశ్న 3.
\(\frac{d y}{d x}\) – y tan x = e^x sec x.
సాధన:
I.F. = \(e^{-\int \tan x d x}\) = e^{log cos x} = cos x
y. cos x = ∫e^x. sec x. cos x dx = ∫ e^x dx
= e^x + c

ప్రశ్న 4.
x. \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = log x.
సాధన:
I.F. = \(e^{\int \frac{2}{x} d x}\) = e^{2 log x} = e^{log x}2 = x²
= ∫x log x dx
= ∫log x. \(\left(\frac{x^2}{2}\right)\) – \(\frac{1}{2} \int x^2 \cdot \frac{1}{x} d x\)
= \(\frac{x^2}{2}\) log x – \(\frac{x^2}{4}\) + c

ప్రశ్న 5.
(1 + x²)\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) + y = \(e^{\tan ^{-1} x}\). (May ’07) (A.P. Mar. ’16)
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{1}{1+x^2}\).y = \(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\)

ప్రశ్న 6.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{2 y}{x}\) = 2x²
సాధన:
I.F. = \(e^{\int \frac{2}{x} d x}\) = e^{2 log x} = \(e^{\log x^2}\) = x²
y. x² = ∫2x⁴ dx = \(\frac{2 x^5}{5}\) + c

ప్రశ్న 7.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{4 x}{1+x^2} y\) = \(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y = (1 + x)e^x
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{3 x^2}{1+x^3}\)y = \(\frac{1+x^2}{1+x^3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) – y = -2e^-x.
సాధన:
I.F = \(e^{\int-d x}\) = e^-x
y. e^-x = -2∫e^2xdx = e^-2x + c
y = e^-x + c. e^x

ప్రశ్న 11.
(1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan^-1x.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\frac{d y}{d x}\) + y tan x = sin x. [T.S. Mar. 16]
సాధన:
I.F. e^{∫tan x dx} = e^{log sec x} = sec x
y. sec x = ∫sin x. sec x dx = ∫tan x dx
= log sec x + c

III. ఈ క్రింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
cos x. \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = sec² x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + tan x. y = sec³ x
I.F. = e^{∫tan x dx} = e^{log sec x} = sec x
y. sec x = ∫sec⁴x dx = ∫(1 + tan² x) sec² x dx
= tan x + \(\frac{\tan ^3 x}{3}\) + c

ప్రశ్న 2.
sec x. dy = (y + sin x) dx.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
x log x. \(\frac{d y}{d x}\) + y = 2 log x
సాధన:

ప్రశ్న 4.
(x + y + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1 (Mar. 05)
సాధన:
\(\frac{d x}{d y}\) = x + y + 1
\(\frac{d x}{d y}\) – x = y + 1
I.F. = e^∫-dy = e^-y
x. e^-y = ∫e^-y (y + 1) dy
= -(y + 1). e^-y + ∫e^-y. dy
= -(y + 1) e^-y – e^-y
= -(y + 2) e^-y + c
x = -(y + 2) + c. e^y

ప్రశ్న 5.
x(x – 1)\(\frac{d y}{d x}\) – y = x³(x – 1)³
సాధన:

ప్రశ్న 6.
(x + 2y³)\(\frac{d y}{d x}\) = y
సాధన:

ప్రశ్న 7.
(1 – x²)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = x\(\sqrt{1-x^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
x(x – 1)\(\frac{d y}{d x}\) – (x – 2)y = x³(2x – 1)
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) – \(\frac{x-2}{x(x-1)} y\) = \(\frac{x^3(2 x-1)}{x(x-1)}\)
I.F. = \(e^{\int \frac{2-x}{x(x-1)}} d x\)
\(\frac{2-x}{x(x-1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x-1}\)
2 – x = A(x – 1) + B.x
x = 0 ⇒ 2 = -A ⇒ A = -2
x = 1 ⇒ 1 – B ⇒ B = 1

ప్రశ్న 9.
\(\frac{d y}{d x}\)(x²y³ + xy) = 1 (Mar. ’11)
సాధన:
\(\frac{d x}{d y}\) =xy + x²y³
ఇది బెర్నౌలీ సమీకరణము
x^-2. \(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{x} \cdot y\) = y³
z = \(-\frac{1}{x}\) అనుకొంటే \(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dy}}\) = \(\frac{1}{x^2} \frac{d x}{d y}\)

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) + x sin 2y = x³ cos² y
సాధన:

ప్రశ్న 11.
y² + (x – \(\frac{1}{y}\))\(\frac{d y}{d x}\) = 0
సాధన:

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు Exercise 8(d)

అభ్యాసం – 8(డి)

I. క్రింది అవకలన సమీకరణములను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(-\frac{(12 x+5 y-9)}{5 x+2 y-4}\)
సాధన:
b = -5, a = 5 ⇒ b = -a
(5x + 2y – 4)dy = (12x + 5y – 9) dx
(5x + 2y – 4)dy + (12x + 5y – 9) dx = 0
5 (x dy + y dx) + 2y dy – 4 dy + 12 x dx – 9 dx = 0
సమాకలనముచేయగా 5xy + y² – 4y + 6x² – 9x = c

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{-3 x-2 y+5}{2 x+3 y+5}\)
సాధన:
b = -2, a = 2 ⇒ b = -a
(2x + 3y + 5) dy = (- 3x – 2y + 5) dx
2x dy + 3y dy + 5 dy = -3x dx – 2y dx + 5 dx
2(x dy + y dx) + 3y dy + 3x dx + 5 dy – 5 dx = 0
సమాకలనము చేయగా
2xy + \(\frac{3}{2} y^2\) + \(\frac{3}{2} x^2\) + 5y – 5x = c
4xy + 3y² + 3x² – 10x + 10y = 2c = c’
సాధన
4xy + 3(x² + y²) – 10(x – y) = c

ప్రశ్న 3.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-3 x-2 y+5}{2 x+3 y-5}\)
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-(3 x-2 y+5)}{2 x+3 y-5}\)
ఇక్కడ b = -2, a’ = 2
∵ b = -a’
(2x + 3y – 5) dy = -(3x – 2y + 5) dx
⇒2(x dy + y dx) + (3y – 5) dy + (3x – 5) dx = 0
⇒ 2d (xy) + (3y – 5) dy + (3x – 5) dx = 0
ఒక్కొక్కదాన్ని సమాకలనము చేయగా
2 \(\int\)d (xy) + \(\int\) (3y – 5) dy + \(\int\) (3x – 5) dx = 0
⇒2xy + 3.\(\frac{y^2}{2}\) – 5y + 3\(\frac{x^2}{2}\) – 5x = \(\frac{c}{2}\)
(లేదా) 3x² + 4xy + 3y² – 10x – 10y = c
కావలసిన సాధన

ప్రశ్న 4.
2(x – 3y + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 4x – 2y + 1
సాధన:
(2x – 6y + 2) dy = (4x – 2y + 1) dx
(2x – 6y + 2) dy – (4x – 2y + 1) dx = 0
2 (x dy + y dx) – 6y dy + 2 dy – 4x dx – dx = 0
సమాకలనము చేయగా, సాధన
2xy – 3y² – 2x² + 2y – x = c

ప్రశ్న 5.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x-y+2}{x+y-1}\)
సాధన:
b = -1, a’ – 1 ⇒ b = – a’
(x + y – 1) dy = (x – y + 2) dx
(x + y – 1) dy = (x − y + 2) dx = 0
(x dy + y dx) + y dy – dy – x dx – 2 dx = 0
సమాకలనము చేయగా
xy + \(\frac{y^2}{2}\) – \(\frac{x^2}{2}\) – y – 2x = c
2xy + y² – x² – 2y – 4x = 2c = c’

ప్రశ్న 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x-y+1}{x+2 y-3}\)
సాధన:
b = -1, a’ = 1 ⇒ b = -a’
(x + 2y – 3) dy = (2x – y + 1) dx
(x + 2y – 3) dy – (2x – y + 1) dx = 0
(x dy + y dx) + 2y dy – 3 dy – 2x dx – dx = 0
సమాకలనము చేయగా
xy + y² – x² – 3y – x = c

II. కింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
(2x + 2y + 3) \(\frac{d y}{d x}\) = x + y + 1
సాధన:

9 తో గుణించగా
6v + log (3v + 4) = 9x + 9c
6(x + y) + log[3(x + y) + 4] = 9x + c
i.e. log (3x + 3y + 4) = 6y – 3x + c

ప్రశ్న 2.
\(\frac{d \mathbf{y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{4 x+6 y+5}{3 y+2 x+4}\)
సాధన:
\(\frac{d \mathbf{y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{4 x+6 y+5}{2 x+3 y+4}\)
v = 2x + 3y

64 తో గుణించగా
8v + 9 log (8v + 23) = 64x + 64c
8 (2x + 3y) – 64x + 9 log (16x + 24y + 23) = c’
8 తో భాగించగా
2x + 3y – 8x + \(\frac{9}{8}\) log (16x + 24y+23) = c”
3y – 6x + \(\frac{9}{8}\) log (16x + 24y + 23) = c”
3 తో భాగించగా సాధన
y – 2x + \(\frac{3}{8}\) log (16x + 24y + 23) = k

ప్రశ్న 3.
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
సాధన:

2v + log (v – 1) = 3x + c
2v – 3x + log (v – 1) = c
2(2x + y) – 3x + log (2x + y – 1) = c
4x+2y-3x + log (2x + y – 1) = c
సాధన x + 2y + log (2x + y – 1) = c

ప్రశ్న 4.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 y+x+1}{2 x+4 y+3}\)
సాధన:

8 తో గుణించగా
4v + log (4v + 5) = 8x + 8c
4(x + 2y) – 8x + log [4(x + 2y) + 5] = c’
సాధన
4x + 8y – 8x + log (4x + 8y + 5) = c’
8y – 4x + log (4x + 8y + 5) = c’

ప్రశ్న 5.
(x + y – 1) dy = (x + y + 1) dx
సాధన:

v – log v = 2x + c
x + y – log (x + y) = 2x – c
(x – y) + log (x + y) = c అనేది కావలసిన సాధన

III. కింది అవకలన సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{3 y-7 x+7}{3 x-7 y-3}\) (T.S. Mar. ’16)
సాధన:
x = x + h, y = y + k అనుకుంటే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d x}\)


⇒ 14 ln x – ln c
= 3ln (v – 1) – 3ln (v + 1) – 7ln (v + 1) – 7ln (v – 1).
14ln x – ln c = 10 ln (v + 1) – 4 ln (v – 1)
ln (v + 1)⁵ + ln (v – 1)² + ln x⁷ = ln c
(v + 1)⁵. (v – 1)². x⁷ = c
\(\left(\frac{y}{x}+1\right)^5\left(\frac{y}{x}-1\right)^2\) . x⁷ = c
(y – x)² (y + x)⁵ = c
[y – (x – 1)]² (y + x – 1)⁵ = c
సాధన [y – x + 1]² (y + x – 1)⁵ = c.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{6 x+5 y-7}{2 x+18 y-14}\)
సాధన:
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = \(\frac{6 x+5 y-7}{2 x+18 y-14}\)
x = X + h, y = Y + k


14 = A – \(\frac{7}{3}\) ⇒ A = 6
V = \(-\frac{1}{2}\) ⇒ 2 – 9 = B\(\left(-\frac{3}{2}-2\right)\)
-7 = \(-\frac{7}{2} B\) ⇒ B = 2
\(\int\left(\frac{6}{3 V-2}+\frac{2}{2 V+1}\right) d V\) = \(-3 \int \frac{d x}{x}\)
2 log(3V – 2) + log (2V + 1) = -3 log X + log c
log (3V – 2)².(2V + 1) + log X³ = log c
log X³(3V – 2) (2V + 1) = log c
X³(3v – 2)² (2V + 1) = c

ప్రశ్న 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{10 x+8 y-12}{7 x+5 y-9}\) = 0
సాధన:

h, k విలువలను 10h + 8k – 12 = 0
7h + 5k – 9 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం


5V + 7 = A(V + 2) + B (V + 1)
V = -1 ⇒ 2 = A(-1 + 2) = A ⇒ A = 2
V = -2 = -3 = B(-2 + 1) = -B, B = 3
\(\int\left(\frac{2}{(V+1)}+\frac{3}{(V+2)}\right) d V\) = \(-5 \int \frac{d X}{X}\)
2 log(V + 1) + 3 log (V + 2) = -5 log x + c
c = 2log(V + 1) + 3 log(V + 2) + 5 log X
= log (V + 1)². (V + 2)³. X⁵
log \(\left(\frac{Y}{X}+1\right)^2\) . \(\left(\frac{Y}{X}+2\right)^3\). X⁵
= log \(\frac{(Y+X)^2}{X^2} \frac{(Y+2 X)^3}{X^3}\) . X⁵
⇒ (Y + X)² . (Y + 2X)³ = e^c = c¹
(Y + 1 – X – 2)² (Y + 1 – 2x – 4)³ = c
సాధన: (x + y – 1)² (2x + y – 3)³ = c.

ప్రశ్న 4.
(x – y – 2) dx + (x – 2y – 3) dy = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-x+y+2}{x-2 y-3}\)
x = X + h, y = Y + k
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-(X+h)+(Y+k)+2}{(X+h)-2(Y+k)-3}\)
= \(\frac{-X-h+(-h+2 k+2)}{(X-2 Y)+(h-2 k-3)}\)
h, k విలువలు – h + k − 2 = 0
h – 2k – 3 = 0 అయ్యేవిధంగా ఎన్నుకొందాం.




కావలసిన సాధన

ప్రశ్న 5.
(x – y) dy = (x + y + 1) dx
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+y+1}{x-y}\)
x = X +h, y = Y + k ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{X+h+Y+k+1}{(X+h)-(Y+k)}\)
= \(\frac{(X+Y)+(h+k+1)}{(X-Y)+(h-k)}\)
h, k విలువ లను h + k + 1 = 0
h – k = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం
సాధించగా h = \(-\frac{1}{2}\), k = \(-\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{d y}{d X}\) = \(\frac{X+Y}{X-Y}\)

tan^-1 V – \(\frac{1}{2}\)log (1 + v²) = log x + log c
2 tan^-1 V = log (1 + V²) + 2 log x + 2 log c = log c²x² (1 + v²)

ప్రశ్న 6.
(2x + 3y – 8) dx = (x + y – 3) dy
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+3 y-8}{x+y-3}\)
x = X + h, y = Y + k ⇒ \(\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{~d} X}\) = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{2(X+h)+3(Y+k)-8}{(X+h)+(Y+k)-3}\)
= \(\frac{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k-8)}{(X+Y)+(h+k-3)}\)
h, k విలువ లను 2h + 3k – 8 = 0
h + k – 3 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం


(1 + V) = A(2 – 2V) + B అనుకొందాం
V గుణకాలు సమానం చేయగా
1 = – 2A ⇒ A = -1/2
స్థిర పదాలు సమానం చేయగా
1 = 2A + B
= -1 + B
B = 2


ఇక్కడ, X = x – 1, Y = y – 2

ప్రశ్న 7.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+2 y+3}{2 x+3 y+4}\)
సాధన:
x = X + h, y = Y + k అయితే \(\frac{d \mathrm{Y}}{\mathrm{dX}}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{(X+h)+2(Y+k)+3}{2(X+h)+3(Y+k)+4}\)
= \(\frac{(X+2 Y)+(h+2 k+3)}{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k+4)}\)
h, k విలువలకు h + 2k + 3 = 0
2h + 3k + 4 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం.

\(\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{dX}}\) = \(\frac{X+2 Y}{2 X+3 Y}\)
ఇది సమఘాత సమీకరణము

ప్రశ్న 8.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+9 y-20}{6 x+2 y-10}\)
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+9 y-20}{6 x+2 y-10}\)
x = X + h, y = Y + k ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{\mathrm{dY}}{\mathrm{dX}}\) = \(\frac{2(X+h)+9(Y+k)-20}{6(X+h)+2(Y+k)-10}\)
= \(\frac{(2 X+9 Y)+(2 h+9 k-20)}{(6 X+2 Y)+(6 h+2 k-10)}\)
h, k విలువలను 2h + 6k – 20 = 0
6h + 2k – 10 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం

ఇది సమఘాత సమీకరణము
y = VX ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = V + X. \(\frac{d V}{d X}\)


సాధన (X + 2Y) = (Y – 2X)²
ఇక్కడ X = x – 1, Y = y – 2
c(x – 1 + 2y – 4) = (y – 2 – 2x + 2)²
c(x + 2y – 5) = (y – 2x)²
= (2x – y)²

Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Inter 2nd Year Study Material Textbook Solutions Guide PDF Free Download, Sakshi Education Intermediate 2nd Study Material in English Medium and Telugu Medium are part of AP Intermediate Study Material. The curriculum has been designed in such a way, to help them learn the different subjects and concepts in an interesting and easy manner. These AP Intermediate 2nd Year Textbook Solutions will prove to be useful study tools during exam preparation.

The AP Inter 2nd Year Syllabus has also been created to address the most important learning needs of the students. That being said, BIEAP Inter 2nd Year students can actually succeed in academics by making use of AP Inter 2nd Year Study Material Pdf. As such, they can also make use of AP Intermediate 2nd Year Previous Year Question Papers, which will further enable them to understand the actual exam paper in a clear manner.

AP Intermediate 2nd Year Study Material Pdf Download | Sr Inter 2nd Year Textbook Solutions

Here is AP Intermediate 2nd Year Study Material to help students prepare and ace the AP Intermediate 2nd year exams.

AP Inter 2nd Year Study Material Pdf

• Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions
• Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions
• AP Inter 2nd Year Physics Study Material
• AP Inter 2nd Year Chemistry Study Material
• AP Inter 2nd Year Botany Study Material
• AP Inter 2nd Year Zoology Study Material
• AP Inter 2nd Year Telugu Study Material
• AP Inter 2nd Year English Study Material
• AP Inter 2nd Year Sanskrit Study Material
• AP Inter 2nd Year Hindi Study Material
• AP Inter 2nd Year Civics Study Material
• AP Inter 2nd Year Commerce Study Material
• AP Inter 2nd Year Accountancy Study Material
• AP Inter 2nd Year Economics Study Material
• AP Inter 2nd Year History Study Material

AP Inter 2nd Year Important Questions

• Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions
• Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions
• AP Inter 2nd Year Physics Important Questions
• AP Inter 2nd Year Chemistry Important Questions
• AP Inter 2nd Year Botany Important Questions
• AP Inter 2nd Year Zoology Important Questions
• AP Inter 2nd Year Civics Important Questions
• AP Inter 2nd Year Commerce Important Questions
• AP Inter 2nd Year Accountancy Important Questions
• AP Inter 2nd Year Economics Important Questions

AP Inter 2nd Year Notes

• Inter 2nd Year Maths 2A Formulas
• Inter 2nd Year Maths 2B Formulas
• AP Inter 2nd Year Physics Notes
• AP Inter 2nd Year Chemistry Notes
• AP Inter 2nd Year Botany Notes
• AP Inter 2nd Year Zoology Notes
• AP Inter 2nd Year Civics Notes
• AP Inter 2nd Year Commerce Notes
• AP Inter 2nd Year Accountancy Notes
• AP Inter 2nd Year Economics Notes
• AP Inter 2nd Year History Notes

We hope that these Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Inter 2nd Year Study Material Textbook Solutions Guide PDF Free Download in English Medium and Telugu Medium helps the student to come out successful with flying colors in this examination. This Sr Inter 2nd Year Study Material will help students to gain the right knowledge to tackle any type of questions that can be asked during the exams.

Students can go through Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Inter 2nd Year Zoology Notes Pdf Download in English Medium and Telugu Medium to understand and remember the concepts easily. Besides, with our AP Sr Inter 2nd Year Zoology Notes students can have a complete revision of the subject effectively while focusing on the important chapters and topics.

Students can also go through AP Inter 2nd Year Zoology Study Material and AP Inter 2nd Year Zoology Important Questions for exam preparation.

AP Intermediate 2nd Year Zoology Notes

AP Inter 2nd Year Zoology Notes in English Medium

• Chapter 1 Human Anatomy and Physiology – I
  • Chapter 1(a) Digestion and Absorption Notes
  • Chapter 1(b) Breathing and Exchange of Gases Notes
• Chapter 2 Human Anatomy and Physiology – II
  • Chapter 2(a) Body Fluids and Circulation Notes
  • Chapter 2(b) Excretory Products and their Elimination Notes
• Chapter 3 Human Anatomy and Physiology – III
  • Chapter 3(a) Musculo-Skeletal System Notes
  • Chapter 3(b) Neural Control and Coordination Notes
• Chapter 4 Human Anatomy and Physiology – IV
  • Chapter 4(a) Endocrine System and Chemical Coordination Notes
  • Chapter 4(b) Immune System Notes
• Chapter 5 Human Reproduction
  • Chapter 5(a) Human Reproductive System Notes
  • Chapter 5(b) Reproductive Health Notes
• Chapter 6 Genetics Notes
• Chapter 7 Organic Evolution Notes
• Chapter 8 Applied Biology Notes

AP Inter 2nd Year Zoology Notes in Telugu Medium

• Chapter 1 మానవ శరీర నిర్మాణశాస్త్రం మరియు శరీరధర్మశాస్త్రం – 1
  • Chapter 1(a) జీర్ణక్రియ, శోషణం Notes
  • Chapter 1(b) శ్వాసించడం, వాయువుల వినిమయం Notes
• Chapter 2 మానవ శరీర నిర్మాణశాస్త్రం మరియు శరీరధర్మశాస్త్రం – II
  • Chapter 2(a) శరీరద్రవాలు, ప్రసరణ Notes
  • Chapter 2(b) విసర్జక పదార్థాలు, వాటి విసర్జన Notes
• Chapter 3 మానవ శరీర నిర్మాణశాస్త్రం మరియు శరీరధర్మశాస్త్రం – III
  • Chapter 3(a) కండర – అస్థిపంజర వ్యవస్థ Notes
  • Chapter 3(b) నాడీ నియంత్రణ, సమన్వయం Notes
• Chapter 4 మానవ శరీర నిర్మాణశాస్త్రం మరియు శరీరధర్మశాస్త్రం – IV
  • Chapter 4(a) అంతస్రావక వ్యవస్థ, రసాయన సమన్వయం Notes
  • Chapter 4(b) రోగనిరోధక వ్యవస్థ Notes
• Chapter 5 మానవ ప్రత్యుత్పత్తి
  • Chapter 5(a) మానవ ప్రత్యుత్పత్తి వ్యవస్థ Notes
  • Chapter 5(b) ప్రత్యుత్పత్తి సంబంధ ఆరోగ్యం జన్యుశాస్త్రం Notes
• Chapter 6 జన్యు శాస్త్రం Notes
• Chapter 7 జీవ పరిణామం Notes
• Chapter 8 అనువర్తిత జీవశాస్త్రం Notes

These TS AP Intermediate 2nd Year Zoology Notes provide an extra edge and help students to boost their self-confidence before appearing for their final examinations. These Inter 2nd Year Zoology Notes will enable students to study smartly and get a clear idea about each and every concept discussed in their syllabus.

TS AP Intermediate 2nd Year Zoology Important Questions Chapter Wise 2022: Here we have created a list of Telangana & Andhra Pradesh BIEAP TS AP Intermediate Sr Inter 2nd Year Zoology Important Questions Chapter Wise with Answers 2022-2023 Pdf Download just for you. Those who are preparing for Inter exams should practice the Intermediate 2nd Year Zoology Important Questions Pdf and do so will clear their doubts instantly. These Senior Inter Zoology Important Questions with Answers enhance your conceptual knowledge and prepares you to solve different types of questions in the exam.

Students must practice these AP Inter 2nd Year Zoology Important Questions Pdf to boost their preparation for the exam paper. These AP Intermediate 2nd Year Zoology Important Questions with Answers are prepared as per the latest exam pattern. Each of these chapters contains a set of solved questions and additional questions for practice.

Students can also read AP Inter 2nd Year Zoology Study Material for exam preparation. Students can also go through AP Inter 2nd Year Zoology Notes to understand and remember the concepts easily.

AP Intermediate 2nd Year Zoology Important Questions with Answers Chapter Wise 2022

Intermediate 2nd Year Zoology Important Questions Chapter Wise 2022

• Chapter 1 Human Anatomy and Physiology – I
  • Chapter 1(a) Digestion and Absorption Important Questions
  • Chapter 1(b) Breathing and Exchange of Gases Important Questions
• Chapter 2 Human Anatomy and Physiology – II
  • Chapter 2(a) Body Fluids and Circulation Important Questions
  • Chapter 2(b) Excretory Products and their Elimination Important Questions
• Chapter 3 Human Anatomy and Physiology – III
  • Chapter 3(a) Musculo-Skeletal System Important Questions
  • Chapter 3(b) Neural Control and Coordination Important Questions
• Chapter 4 Human Anatomy and Physiology – IV
  • Chapter 4(a) Endocrine System and Chemical Coordination Important Questions
  • Chapter 4(b) Immune System Important Questions
• Chapter 5 Human Reproduction
  • Chapter 5(a) Human Reproductive System Important Questions
  • Chapter 5(b) Reproductive Health Important Questions
• Chapter 6 Genetics Important Questions
• Chapter 7 Organic Evolution Important Questions
• Chapter 8 Applied Biology Important Questions

We are providing well-organized Zoology Important Questions Inter 2nd Year that will help students in their exam preparation. These Zoology Inter 2nd Year Important Questions are designed by subject experts. So Students should utilise the Intermediate 2nd Year Zoology Important Questions with Answers 2022 to pass their board exams with flying colours.

The questions given in the Inter Second Year Zoology Important Questions are designed and laid out chronologically and as per the syllabus. Students can expect that these TS AP Intermediate Inter 2nd Year Zoology Important Questions Chapter Wise Pdf 2022-2023 might be covered in the final exam paper.