Srinivas

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

→ రెనె డెకార్టి (1596 – 1650)

• గణిత శాస్త్రవేత్త ఆ రెనె డెకార్టె 31-3-1596వ తేదీన ఫ్రాన్లోని లాహై నగరంలో ఒక ఆ సామాన్య కుటుంబంలో జన్మించాడు. ఆధునిక గణితానికి, తత్వ శాస్త్రానికి పితామహునిగా పేరొందాడు.
• విశ్వసనీయమైన జ్ఞానాన్నిచ్చే నూతన పద్దతి కోసం అన్వేషణ, విశ్వ పునర్నిర్మాణానికి కృషి చేశాడు. గణిత పద్దతులను అధ్యయనం చేసి, వాటి నుంచి పరిశుద్ధమైన జ్ఞానాన్ని అన్ని క్షేత్రాలలో రూపొందించే పద్ధతిగా “విశ్వగణితాన్ని” ఆవిష్కరించేందుకు కొన్ని సార్వత్రిక నియమాల అన్వేషణ రెనె డెకార్ట్ సాగించాడు. 1596-1650
• తలంలోని బిందువులను వాస్తవ సంఖ్యా క్రమయుగ్మాలతో అనుసంధానం చేయడం వల్ల రేఖాగణితానికి, బీజగణితానికి మధ్య అంతరం పోయి రెండింటిని కలిపి ఒకటిగానే అధ్యయనం చేయడం సాధ్యమైనది.
• రేఖాగణిత, బీజగణితాలను ఏకం చేసే ప్రయత్నంలో నిరూపక రేఖాగణితం లేదా వైశ్లేషిక జ్యామితి అనే గణిత శాఖకు మూల పురుషుడయ్యాడు. ఇతని గౌరవార్థం ఈ శాఖకు కార్టీజియన్ రేఖాగణితం అని పేరు పెట్టారు.
• తత్వశాస్త్రం, జ్యామెట్రీ, డయాప్టిక్స్ అనే మూడు అంశాల వ్యాస సంపుటిగా “దిస్ కో ఆన్ మెథడ్” అనే ప్రసిద్ధ గ్రంథాన్ని రచించాడు. వర్గమూలానికి మొదటిసారిగా ‘ √ ‘ గుర్తును ఉపయోగించాడు.
• డెకార్టెతత్వ శాస్త్రానికి, వైశ్లేషిక రేఖా గణితానికి ప్రజాదరణ పెరగడంతో హాలెండ్ రాజు డెకార్టెను ఆహ్వానించి యువరాణి క్రిష్టినాకు బోధకునిగా నియమించాడు. ఆమె దినచర్య కారణంగా ఉదయం 5 గం||లకే చలిలో డెకార్టెరాజ ప్రాసాదానికి వెళ్ళవలసి వచ్చేది. ఆ వాతావరణం పడక న్యుమోనియా వ్యాధికి గురై 54 ఏళ్ళ వయస్సులో 11-2-1650వ తేదీన మరణించాడు.
• “సత్యాన్వేషణ కోసం మనం జీవితంలో ఒకసారి అన్నింటిని శంకించవలసి వస్తుంది”.. అంకు – రెనె డెకార్టి

→ ఒకే తలంలో గల క్షితిజ సమాంతర మరియు క్షితిజ లంబరేఖలు ఆ తలాన్ని నాలుగు భాగాలుగా విభజిస్తాయి. క్షితిజ సమాంతరరేఖను X – అక్షం అని, క్షితిజ లంబరేఖను Y – అక్షం అని, ఈ రెండు రేఖల ఖండన బిందువును మూలబిందువు అని అంటారు.

→ X, Y అక్షాలతో ఏర్పడిన నాలుగు భాగాలను వరుసగా 1వ పాదం (Q₁), 2వ పాదం (Q₂), 3వ పాదం (Q₃), 4వ పాదం (Q₄)లుగా పిలుస్తారు. ఈ తలాన్ని ‘కార్టిజియన్ తలం’ (రెనెడెకార్ట్ పేరుతో) లేదా నిరూపక | x < 0, y < 0 1 x > 0, y < 0. తలం లేదా XY తలం అని అంటారు.

→ నిరూపక తలంలోని రెండు బిందువుల మధ్య దూరం :
(i) నిరూపక అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖ పైగల రెండు బిందువుల మధ్య దూరం :
(a) X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ పై గల బిందువులలో y – నిరూపకాలు సమానంగా ఉంటాయి.
A(x₁, y₁) B (x₂, y₂) లు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై గల బిందువులు అవుతాయి.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁| అనగా వాని X – నిరూపకాల మధ్య వ్యత్యాసమునకు సమానము.

(b) ఇదే విధంగా A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) లు Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ పై బిందువులు అవుతాయి. ఆ
A, B ల మధ్య దూరం = |y₂ – Y₁| అనగా Y నిరూపకాల మధ్య తేడాకు సమానము.

(ii) నిరూపక తలంలోని ఏవేని రెండు బిందువుల మధ్య దూరం :

A(x₁, y₁) B (x₂, y₂) లు నిరూపక తలంలో రెండు బిందువులు అనుకొందాం.
OP = x₁ OQ = x₂ అలాగే QB = y₂, QR = y₁
∴ PQ = AR = x₂ – x₁ ……………(1)
ఇదే విధంగా, BR = y₂ – y₁ …………….(2)
∆ARB ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
AB² = AR² + RB² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
AB² = (x² – x₁)² + (y² – y₁)²
∴ AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
∴ A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం.
AB = d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

Note:
(i) a) మూలబిందువు (0, 0) నుండి A (x₁, y₁) బిందువుకు గల దూరం \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\) అవుతుంది.
b) A (x₁, 0), B (0, y₁) లు X, Y – అక్షాలపై గల బిందువులు. A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)

(ii) A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలైతే
AB + BC = AC లేదా AC + CB = AB లేదా AB + AC = BC అవుతుంది.

(iii) A, B, C లు త్రిభుజ శీర్షాలైతే .
AB = BC = AC అయితే ∆ABC సమబాహు త్రిభుజాన్ని, AB, BC, ACలలో ‘ఏ రెండు భుజాలు , సమానమైన సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని, AB² + BC² = AC² లేదా AB² + AC² = BC² లేదా AC² + CB² = AB² అయితే లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

(iv) A, B, C, D బిందువులు చతుర్భుజ శీర్షాలైతే
(a) ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు మరియు కర్ణాలు కూడా సమానాలు అయితే ABCD దీర్ఘ చతురస్రం అవుతుంది. AB = CD, BC = AD మరియు AC = BD.
(b) నాలుగు భుజాలు సమానము మరియు కర్ణాలు సమానం అయితే ABCD చతురస్రం అవుతుంది. AB = BC = CD = AD మరియు AC = BD
(c) ఎదురెదురు భుజాలు సమానమైన సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది. AB = CD, BC = AD.
(d) ఎదురెదురు భుజాలు సమానమై, కర్ణాలు సమానం కాకపోతే అది దీర్ఘ చతురస్రం కానటువంటి సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది. AB = CD, BC = AD మరియు AC ≠ BD.
(e) నాలుగు భుజాలు సమానం అయితే రాంబస్ అవుతుంది. AB = BC = CD = AD. f) నాలుగు భుజాలు సమానం అయి కర్ణాలు సమానం కాకపోతే అది చతురస్రం కానటువంటి రాంబస్ అవుతుంది. (ఇక్కడ AB అనగా భుజం AB పొడవు అని అర్థం)

→ విభజన సూత్రం :
(i) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) రేఖపై A, B ల మధ్య P అనే బిందువు AB రేఖాఖండాన్ని P బిందువు అంతరంగా AP : PB నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అంటారు.
AP = m₁, PB = m₂, గా తీసుకొంటే A, B లను Pm₁: m₂, నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అంటాము.

(ii) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) రేఖపై A, B బిందువుల మధ్య కాకుండా P బిందువు ఉంటే AB రేఖాఖండాన్ని P బిందువు బాహ్యంగా
AP : BP నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అంటారు.

(iii) A (x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువులను అంతరంగా విభజించే. బిందువు P యొక్క నిరూపకాలను కనుగొందాము.

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ఏవేని రెండు బిందువులు. P(x, y) అనేది AB ని అంతరంగా m₁ : m₂
నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం. \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}\)
∆PAQ ~ ∆BPC (కో.కో.కో. నియమం) .
∴ \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BC}}\) ……..(1)
ప్రక్క పటం నుండి , AQ = RS = OS – OR = x – x₁
PC = ST = OT – OS = x₂ – x
PQ = PS – QS = y – y₁
BC = BT – CT =y₂ – y₁
పై విలువలు (1)లో రాయగా

ఇదే విధంగా \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\) తీసుకొంటే y = \(\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\) కాబట్టి A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని m₁ : m₂డి నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు
p(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

Note:

• AB రేఖను P బిందువు k : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తున్నట్లయితే అప్పుడు P బిందువు నిరూపకాలు \(\left(\frac{\mathrm{kx}_{2}+\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{k}+1}, \frac{\mathrm{ky}_{2}+\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{k}+1}\right)\)
• \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) పై A, B బిందువులకు బాహ్యంగా P ఉంటే అప్పుడు m) ను -m,గా తీసుకొంటాము అలాంటి సందర్భంలో P నిరూపకాలు \(\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)\)
• \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) పై A : B బిందువుకు P మధ్య బిందువు అయితే m, = m) అయి విభజన నిష్పత్తి 1 : 1 అవుతుంది. అప్పుడు P యొక్క నిరూపకాలు \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

→ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము. : త్రిభుజం యొక్క మధ్యగత రేఖల మిళిత బిందువును ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అంటాము. త్రిభుజ శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజం మధ్య బిందువును కలిపే రేఖాఖండము మధ్యగతం అవుతుందని, మధ్యగతరేఖను గురుత్వ కేంద్రం 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందని మనకు తెలుసు. A(x¹, y¹), B(x², y²), C(x³, y³) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు.. AD, BE, CF లు ∆ABC యొక్క మధ్యగతరేఖలు, 6 గురుత్వ కేంద్రం అనుకొందాం.

AD మధ్యగతరేఖ భూమి BC, మధ్య బిందువు AD గుండా పోతుంది.

∴ D = BC మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{2}\right)\)
AD మధ్యగతరేఖను గురుత్వ కేంద్రం G, 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
G(x, y) అనుకొంటే A(x₁, y₁), D = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{2}\right)\)

గురుత్వ కేంద్రాన్ని ‘కేంద్రాభాసం గరిమనాభి’ అని కూడా అంటారు.

→ ఒక రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు : ఒక రేఖాఖండమును మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులు అంటారు.

AB రేఖాఖండం యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P, Q లు అయితే AP = PQ = QB అవుతుంది. . AB రేఖాఖండాన్ని P బిందువు AP : PB = 2 : 1 నిష్పత్తిలోను, Q బిందువు AQ : QB = 2 : 1 నిష్పత్తిలోను విభజిస్తుంది.

→ త్రిభుజ వైశాల్యము : ఏదేని త్రిభుజం ABC యొక్క శీర్షాలు A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C (x₃, y₃) అనుకొందాం.

A, B మరియు C ల నుండి X – అక్షంపైకి AP, BQ మరియు CR అనే లంబరేఖలు గీయాలి. ఇప్పుడు.
BQ = y₂, PQ = OP – 0Q = x₁ – x₂
AP =y₁, PR = OR – OP = x₃ -x₁
CR = y₃, QR = OR – 0Q = x₃ – x₂
పటం నుండి ∆ABC వైశాల్యం = ట్రెపీజియం ABOP వైశాల్యం + ట్రెపీజియం APRC వైశాల్యం – ట్రెపీజియం BQRC వైశాల్యం. ట్రెపీజియం వైశాల్యం A = \(\frac{1}{2}\)(a + b) h లు సమాంతర భుజాలు, a, b లు సమాంతర భుజాలు, h వాని మధ్య దూరం.

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)(BQ + AP) PQ + \(\frac{1}{2}\)(AP + CR) PR – \(\frac{1}{2}\)(BQ + CR) QR
= \(\frac{1}{2}\)(y₂ + y₁) (x₁ – x₂) + (y₁ + y₃) (x₃ – x₁) – (y₂ + y₃) (x₃ – x₂)
= \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂|

∴ (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యము
= \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂|

గమనిక :
(i) A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C (x₃, y₃), D (x₄, y₄) లు చతుర్భుజ శీర్షాలైతే ఆ చతుర్భుజ వైశాల్యము :

ABCD చతుర్భుజాన్ని కర్ణం సహాయంతో రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించి త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చతుర్భుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము.
రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించుటకు ఏ కర్ణాన్నైనా (AC లేదా BD) తీసుకొనవచ్చును.

చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యం = ∆ABC వైశాల్యం + ∆ACD వైశాల్యం
(లేదా)
= ∆ABD వైశాల్యం + ∆BDC వైశాల్యం

(ii) a) బిందువుల సరేఖీయత వైశాల్యము : A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C (x₃, y₃)లు సరేఖీయాలైతే ఆ మూడు బిందువుల ఒకే రేఖపై ఉండటం వలన త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచలేవు. కావున ∆ABC వైశాల్యము సున్నా అవుతుంది. మూడు బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్న అయితే ఆ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి.
A, B, C లు సరేఖీయాలు ⇔∆ABC వైశాల్యము సున్న.
b) నాలుగు బిందువులు A, B, C, D లు సరేఖీయాలైతే చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యము సున్నా అవుతుంది.

(iii) త్రిభుజ వైశాల్యము – హెరాన్ సూత్రం : a, b, c లు భుజాలుగాగల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనుటకు “హెరాన్” అనే గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త ఒక సూత్రాన్ని కనుగొన్నాడు. ఆ సూత్రం త్రిభుజ వైశాల్యం A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ S = \(\frac{a+b+c}{2}\)

సరళరేఖ వాలు : రెండు చరరాసులు x, y లలో ఏకఘాత సమీకరణం యొక్క సాధనలు ఒక సరళరేఖను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ సరళరేఖ X – అక్షం యొక్క ధన దిశలో (అపసవ్య దిశ) చేసే కోణాన్ని ఆ సరళరేఖ యొక్క ఏటవాలు తనం అని, ఆ కోణం యొక్క Tan విలువను ఆ సరళరేఖ వాలు అని అంటారు.

ax + by + c = 0 సరళరేఖ X – అక్షం అపసవ్య దిశలో చేసే కోణం θ అయిన ‘θ’ ను ax + by + c = 0 రేఖ యొక్క వాలుతనం అని, tan θ విలునను ax + by + c = 0 రేఖ వాలు అని అంటారు. .
ఒక రేఖపై నున్న బిందువుల నిరూపకాలలో Y నిరూపకాల భేదం మరియు X నిరూపకాల భేదంకు గల నిష్పత్తి వాలు (tan θ) కు సమానం అవుతుంది.

→ రెండు బిందువులను కలిపే రేఖవాలు : A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క వాలు m = tanθ = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

గమనిక :

• X – అక్షము మరియు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ యొక్క వాలు సున్న.
  Y- అక్షము మరియు Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ యొక్క వాలు నిర్వచింపబడదు.
• వాలు అధారంగా సరేఖీయత :
  A, B, C లు ఏవేని మూడు బిందువులై AB వాలు = BC వాలు = AC వాలు అయిన A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి.

→ A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే

• A, B, C బిందువులతో ఏర్పడే ఏ రెండు రేఖాఖండాలైనా మూడవ రేఖాఖండానికి సమానం.
  AB + BC = AC లేదా AB + AC = BC లేదా AC + BC = AB
• A, B, C లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న.
• AB వాలు = BC వాలు = AC వాలు.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు

→ జార్జి కాంటర్: 1845 -1918:

• జార్జికాంటర్ మార్చి 3, 1845న రష్యాలో జన్మించి, పదకొండేళ్ళ వయస్సులో తండ్రితో పాటు జర్మనీకి వలస వెళ్ళాడు.
• కాంటర్ ఆధునిక గణితం అనేక శాఖలుగా అభివృద్ధి చెందడానికి ఆధారమైన సమితి వాదాన్ని ప్రతిపాదించి, అభివృద్ధిపరచి ఆధునిక గణిత భాషకు ఆద్యుడైనాడు. కాంటర్ సమితివాద శక్తి గణిత శాఖలన్నింటిని ఏకీకృతం చేయడంలో ప్రధానపాత్ర వహిస్తోంది.
• “ఊహించగల, సంభవించగల ఆలోచనల రూపమే సమితి” అన్న కాంటర్ భావనను ఆనాటి సాంప్రదాయవాదులు ఒక నూతన గణితానికి ఆరంభంగా అంగీకరించలేక పోయారు. అదసలు గణితమే కాదన్నారు. కాంటర్ ప్రతిపాదనలు, ఆలోచనలు కొత్తవిగాను, వింతగాను భావించిన సహచరులు నిరుత్సాహపరచడం, అగౌరవపరచడం చేసేవారు.
• కోవలోనే తన గురువు క్రోనేకర్ కూడా ఉండటంతో సున్నితమనస్కుడైన కాంటర్ తట్టుకోలేకపోయాడు. తన సిద్ధాంతాలపట్ల సమకాలీన గణిత ప్రపంచంలో ఏర్పడిన వైరుధ్యాల ఒత్తిడికి నిలవలేక మానసిక ఆరోగ్యం కోల్పోయి, చివరకు జనవరి 6, 1918లో మరణించాడు. “కాంటర్ మనకోసం గణిత ప్రపంచంలో ఓ స్వర్గం సృష్టించి, అనుభవించ లేక పిచ్చివాడయ్యా డు”. – డేవిడ్ హిలిబర్ట్

→ సమితి’: సునిర్వచిత వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అంటారు.
సునిర్వచితం అనగా : 1. సమితిలోని వస్తువులన్నీ ఒకే విధమైన సామాన్య పోలిక లేదా ధర్మం కలిగి ఉండాలి. మరియు 2. ఏదైనా ఒక వస్తువు సమితికి చెందినది, లేనిదీ నిర్ధారించేటట్లు ఉండాలి.

→ సమితులను ఆంగ్ల భాషలోని పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తారు.
ఉదా : A అనేది 6 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్యల సమితి. A = {1, 2, 3, 4, 5}

→ సమితికి చెందిన వస్తువులను ఆ సమితి యొక్క మూలకాలు అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 3, 4, 5} అయిన 1, 2, 3, 4, 5 అనేవి సమితి A యొక్క మూలకాలు.

→ ఒక మూలకము ఒక సమితికి చెందినది అని తెలుపుటకు 6 (belonging to) గుర్తుని ఉపయోగిస్తారు.
B = {2, 4, 6, 8} అయిన 2 ∈ B, 4 ∈ B, 6 ∈ B, 8 ∈ B,
10 ∉ B అనగా B అనే సమితికి 10 చెందదు అని అర్థం.

→ సమితులను సూచించే /రాసే పద్ధతులు : సమితులను సాధారణంగా

• రోస్టర్ రూపం (జాబితా రూపం),
• సమితి నిర్మాణ రూపం (లాక్షణిక రూపం) మరియు
• వెన్ చిత్రాల రూపంలో సూచిస్తారు.

→ రోస్టర్ రూపం : సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వరుసగా కామా (,) లతో వేరు చేస్తూ జాబితాగా రాసి ఫ్లవర్ బ్రాకెట్ { } ల మధ్యలో రాసే పద్ధతి.

→ రోస్టర్ రూపంలో మూలకాలను ఏ క్రమంలోనైనా రాయవచ్చును మరియు ఒకే మూలకాన్ని మళ్ళీ మళ్ళీ రాయకూడదు.
ఉదా : A అనే సమితి SCHOOL లోని అక్షరాలతో ఏర్పడే సమితి.

• A = {S, C, H, O, L} లేదా
• A = {C, H, L, O, S} లేదా
• A = {L, 0, H, C, S} …… గా రాయవచ్చు.
• A = {S, C, H, 0, 0, L} గా రాయకూడదు.

→ సమితి నిర్మాణ రూపం : సమితికి చెందిన మూలకాల సామాన్య లక్షణం లేదా ధర్మాలను తెలియజేస్తూ రాసే పద్ధతిని ‘సమితి నిర్మాణ రూపం అంటారు. సమితిలోని మూలకాన్ని x గా సూచిస్తూ, .x ప్రక్కన / గాని, : గాని ఉంచి ఆ సమితికి చెందిన మూలకాల యొక్క లక్షణాలు లేదా ధర్మాలను గాని రాస్తాము. మొత్తాన్ని ఫ్లవర్ బ్రాకెట్లలో { } ఉంచుతాము. ఉదా : సమితి P 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యల సమితి.
P= {x/ X అనేది 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య } లేదా
P = {x : X అనేది 13 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య }

→ సమితుల రకాలు :
శూన్య సమితి : ఎలాంటి మూలకాలు లేనటువంటి సమితిని శూన్యసమితి అంటారు. శూన్యసమితిని (phi) లేదా { } తో సూచిస్తారు.
ఉదా : A = {x : X అనేది 1 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}
B = {x: X అనేది సంవత్సరంలో 35 రోజులు గల నెల}
C = {x : x = 3, X ఒక అకరణీయ సంఖ్య }
సూచన : Φ, {Φ} మరియు {0} లు వేర్వేరు సమితులు. {Φ}, {0} అనేవి శూన్య సమితులు కావు. ఎందుకనగా {Φ} లో ‘Φ’ అనే మూలకము, { 0 } లో ‘0’ అనే మూలకము ఉన్నాయి.

→ పరిమిత సమితి : పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగిన సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు. అంటే పరిమిత సమితిలోని మూలకాలను లెక్కించగలమన్న మాట.

ఉదా : A = {తరగతిలోని విద్యార్థులు}
B = {a, b, c, d, e, ………., x, y, z}
C = {x : X అనేది 10 కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్య }

→ అపరిమిత సమితి : మూలకాల సంఖ్య అపరిమితంగా గల సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు.

ఉదా : E = {x: X ఒక సరిసంఖ్య }
G = {x : X అనేది 5 యొక్క గుణిజము}
గమనిక : ఒక సమితి పరిమిత సమితి కాకపోతే అపరిమిత సమితి అవుతుంది.

→ కార్డినల్ సంఖ్య : పరిమిత సమితిలోని మూలకాల సంఖ్యను ఆ సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 4, 8, 16} అయిన
A యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య = 5 A సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను n(A) గా సూచిస్తాము.

గమనిక :

• శూన్య సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య సున్న (n (Φ) = 0).
• అపరిమిత సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయించలేము.

→ ఉపసమితి, ఉన్నత సమితి : A సమితిలోనున్న ప్రతి మూలకము సమితి B లో . ఉంటే A సమితిని B యొక్క ఉపసమితి అని, B ని A యొక్క ఉన్నత సమితి అని అంటారు. దీనిని A ⊆ B గా రాస్తాము. A ⊆ B ని B ⊆ A గా కూడా రాయవచ్చును. ఉపసమితిని క్రింది విధంగా కూడా నిర్వచించవచ్చును.

A, B లు రెండు సమితులు. a ∈ A అయిన A ⊆ B ⇒ a ∈ B. a, A కి మూలకం అయి A, B కి ఉపసమితి అయితే a అనేది B కి కూడా మూలకం అవుతుంది.

ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
2 ∈ A, 2 ∈ B
4 ∈ A, 4 ∈ B
6 ∈ A, 6 ∈ B సమితి Aలోని మూలకాలన్నీ సమితి B లో కలవు. కావున A ⊂ B.

→ క్రమ ఉపసమితి (శుద్ధ ఉపసమితి) : A ⊆ B అయి A ≠ B అయితే ‘A’ ని Bకి క్రమ ఉపసమితి లేదా శుద్ధ ఉపసమితి అంటారు. దీనిని A ⊂ B గా సూచిస్తారు. A; B కి క్రమ ఉపసమితి కావాలంటే A లోని అన్ని మూలకాలు B లో ఉంటూ A లో లేనటువంటి కనీసం ఒక మూలకం B లో ఉండాలి.

ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {2, 4, 6, 8} A లోని మూలకాలన్నీ B లో కలవు మరియు Aలో లేని 8 అనే మూలకం B లో కలదు. కావున A సమితి B కి క్రమ ఉపసమితి అవుతుంది.
A ⊂ B. Ac B అయిన n(A) < n(B).

సూచన :

• శూన్యసమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి.
• ప్రతి సమితి దానికదే ఉపసమితి.
• n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ అవుతుంది.
• n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే క్రమ ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ – 1 అవుతుంది.

→ విశ్వసమితి (సార్వత్రిక సమితి) : ఒక పరిశీలనలోకి తీసుకొన్న సతులన్నింటిని ఉపసమితులుగా కలిగిన సమితిని విశ్వసమితి లేదా సార్వత్రిక సమితి అంటారు. విశ్వసమితిని ∪ లేదా μ తో సూచిస్తారు.

ఉదా – 1: A = {8వ తరగతి విద్యార్థులు}
B = {9వ తరగతి విద్యార్థులు}
C = {10వ తరగతి విద్యార్థులు}
D = {పాఠశాలలోని విద్యార్థులు} అనుకొనుము.

A ⊂ D, B ⊂ D మరియు C ⊂ D. Dని విశ్వసమితి అంటారు.
ఉదా – 2: A = {2, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5, 7, 9} అయితే విశ్వసమితి μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} అవుతుంది.

→ సమసమితులు : A మరియు Bలలో ఒకే మూలకాలున్నట్లయితే A, B లను సమసమితులు అంటారు. A, B లు సమసమితులైతే, సమితి A లో గల మూలకాలన్నీ సమితి B లో, సమితి B లోని మూలకాలన్నీ సమితి A లో ఉంటాయి. A ⊂ B మరియు B ⊂ A ↔ A = B
A, B లు సమసమితులైతే n(A) = n(B).

ఉదా : A = {x: x అనేది 11 లోపు సరి సహజసంఖ్య}
B = {x : x అనేది 12 కన్నా తక్కువైన 2 యొక్క గుణిజం}.
A మరియు B సమితులు ఒకే మూలకాలు 2, 4, 6, 8, 10 లను కలిగి ఉంటాయి. A = B మరియు n(A) = n(B).
సూచన : n(A) = n(B) అయితే A, B లు సమసమితులు కాకపోవచ్చును.

→ వెన్ చిత్రాలు : సమితిని సంవృత వక్రంగా సూచిస్తూ, సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వక్రం లోపలి బిందువులుగా చూపిస్తాము. వీటిని “జాన్వెన్” అనే ఆంగ్ల గణితశాస్త్రవేత్త మొదటిసారిగా ఉపయోగించాడు. స్విట్జర్లాండ్ కు చెందిన లెనార్డు ఆయిలర్ కూడా వీటిని ఉపయోగించాడు. కావున వీనిని వెన్-ఆయిలర్ చిత్రాలు అని కూడా అంటారు.
సమితులను సూచించడానికి మనం ఏ సరళ సంవృత పటాన్నైనా ఉపయోగించవచ్చును. సాధారణంగా వెన్ చిత్రాలుగా దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు, త్రిభుజాలు, సంవృతవక్రాలు, వృత్తాలు, దీర్ఘవృత్తాలను ఉపయోగిస్తాము. విశ్వసమితి (μ) ను సాధారణంగా దీర్ఘచతురస్రంగా సూచిస్తాము.
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5} అయితే సమితి Aని వెన్ చిత్రంగా ప్రక్క విధంగా సూచిస్తాము.

(ii) A ⊂ B ని వెన్ చిత్రంగా చూపడం :

→ సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు : సమితుల సమ్మేళనం, ఛేదనం, భేదాలను సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు అంటారు.

→ సమితుల సమ్మేళనం : A సమితిలోని మూలకాలతోపాటు ‘B సమితిలోని మూలకాలు చేర్చి వ్రాయగా వచ్చే నూతన సమితిని A, B ల సమ్మేళనం అంటారు. దీనిని A ∪ B తో సూచిస్తూ A యూనియన్ B అని చదువుతారు. అనగా A లో కాని లేక B లో కాని లేక రెండింటిలోకాని ఉన్న మూలకాలన్నింటిని కలిగిన సమితి A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}
A మరియు B సమితుల సమ్మేళనాన్ని వెన్ చిత్రంగా క్రింది విధంగా చూపిస్తాము.

షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం A ∪ B ని సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

సూచన :

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ Φ = Φ ∪ A = A
• A ∪ μ = μ ∪ A = μ
• ACB అయితే A ∪ B = B
• A ⊂ A ∪ B మరియు B ⊂ A ∪ B

→ సమితుల ఛేదనం : A సమితి మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలతో ఏర్పడే నూతన సమితిని A, B ల ఛేదనం అంటారు. దీనిని A ∩ B తో సూచిస్తూ, A ఇంటర్ సెక్షన్ B గా చదువుతారు. అనగా A ∩ B అనే సమితి A మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది.
A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}

A మరియు B సమితుల ఛేదన వెన్ చిత్రం :

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A ∩ B ని సూచిస్తుంది.
BAB ఉదా : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∩ B = {3, 5, 7}. . .

సూచన :

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ Φ = Φ ∩ A = 0
• A ∩ u = A
• A ⊂ B అయితే A ∩ B = A.
• A ∩ BCA మరియు A ∩ B ⊂ B

→ వియుక్త సమితులు : A, B సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేకుంటే A, B సమితులను వియుక్త సమితులు అంటారు.
A, B లు వియుక్త సమితులైతే A ∩ B = d.
వియుక్త సమితుల వెన్ చిత్రం :

ఉదా : A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} A, B లలో కనీసం ఒక ఉమ్మడి మూలకం కూడా
∴ A, B లు వియుక్త సమితులు.

→ సమితుల భేదం : సమితి A కు మాత్రం చెంది, సమితి B కి చెందకుండా ఉండే మూలకాలతో ఏర్పడే సమితిని A, Bల భేదం అంటారు. అనగా A – B లోని మూలకాలు A లో మాత్రమే ఉంటాయి. కాని B లో ఉండవు.
A – B = {x: x ∈ A మరియు x ∉ B}

A, B ల భేదం – వెన్ చిత్రం :

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A – B ని సూచిస్తుంది.

B, A ల భేదం – వెన్ చిత్రం

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం B – A ని సూచిస్తుంది.

సూచన :

• A – B ≠ B – A
• A – Φ = A
• Φ – A = Φ
• A ⊂ B.అయితే A – B = Φ
• A, B లు వియుక్త సమితులైతే A – B = A మరియు B – A = B.
• A – B; B – A మరియు A ∩ B లు వియుక్త సమితులు అవుతాయి.

కావున
(a) (A – B) ∩ (B – A) = Φ
(b) (A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ
(c) (B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ

→ n(A), n(B), n(A ∪ B), n (A ∩ B) ల మధ్యగల సంబంధము :

• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
• A, B లు వియుక్త సమితులైతే n(A ∩ B) = 0 అవుతుంది.
  ∴ n (A ∪ B) = n (A) + n(B).

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు

→ యూక్లిడ్ (క్రీ.పూ. 330 – 275):

• యూక్లిడ్ అలెగ్జాండ్రియా రాజు విశ్వవిద్యాలయంలో గణిత బోధకుడిగా పనిచేశాడు. యూక్లిడ్ ను “ఫాదర్ ఆఫ్ జామెట్రీగా” పిలుస్తారు.
• ఇతను అందుబాటులోని గణితాంశాలన్నింటిని సేకరించి, నిర్వచనాలు, స్వీకృతాలు, సిద్ధాంతాలుగా వర్గీకరించి చరిత్ర ప్రసిద్ధి పొందిన గ్రంథం “ఎలిమెంట్స్”ను రచించాడు. ప్రపంచంలో బైబిల్ తర్వాత అత్యధికంగా అమ్ముడు పోయిన గ్రంథం ఇదే.
• యూక్లిడ్ అల్గారిథమ్, సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు, ఒకటి కన్నా పెద్దదైన ఏ పూర్ణ సంఖ్యనైనా ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా ఏకైకం రాయవచ్చు.
• కరణీయ సంఖ్యలు మొదలగునవి ఎలిమెంట్స్ గ్రంథంలోనివే. ఈ నాటికీ పాఠశాలల్లో గణితంగా బోధిస్తున్న దానిలో అధిక భాగం “ఎలిమెంట్స్” ను అనుసరించేవే. యూక్లిడ్ , క్రీ.పూ. 330 – 275

→ వస్తువులను లెక్కించుటకు (count చేయుటకు) అవసరమయ్యే సంఖ్యలను ‘సహజ సంఖ్యలు’ అంటారు. ఈ సంఖ్యా సమితిని N తో సూచిస్తారు. N = {1, 2, 3, ………}

→ గణిత అవసరాలను తీర్చుటకు సహజ సంఖ్య సమితి పూర్తి స్థాయిలో సరిపోవుటలేదనే విషయాన్ని గ్రహించుట ద్వారా “0” (సున్న) ను సహజ సంఖ్యా సమితికి చేర్చుట వల్ల నూతనంగా ఏర్పడే సంఖ్యా సమితిని పూర్ణాంకాలు అంటాం. దీనిని ‘W’ తో సూచిస్తాం. . పూర్ణాంకాలు W = {0, 1, 2, 3, ………….} గణితశాస్త్రానికి “0” సున్నాను పరిచయం చేసినది మన భారతీయులే.

→ సున్నా కంటే తక్కువ విలువ కలిగినవి ఋణపూర్ణాంకాలు. పూర్ణాంకాల సమితి (W) కు ఋణ పూర్ణాంకాలు చేర్చుట ద్వారా ఏర్పడిన సంఖ్యాసమితిని “పూర్ణ సంఖ్యలు” అంటాం. ‘Z’ తో సూచిస్తాం.
Z = {……… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …………}

→ పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు,” అంతమయ్యే దశాంశాలు, అంతంకాకపోయినా ఆవర్తనమయ్యే దశాంశాలు అన్నింటిని అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితిని Q తో సూచిస్తాం. ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితి పైన చెప్పిన అన్ని సంఖ్యాసమితులు (N, W, Z) కంటే కూడా పెద్ద సంఖ్యా సమితి. ఈ అకరణీయ సంఖ్యలను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయగలుగుతాము. p, q లనేవి ‘Z’ కు చెంది ఉంటాయి. q ≠ 0 అవ్వాలి.
Q = {\(\frac{p}{q}\), q ≠ 0; p, q ∈ Z} * అంతములేని, ఆవర్తనముకాని (దశాంశ రూపంలో గల) సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటాం. వీటిని Q’ లేదా S తో సూచిస్తాం. ఉదా : √2, √3, √5, √7 ,………………..

→ కరణీయ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వ్రాయగా ఏర్పడే సంఖ్యాసమితిని వాస్తవసంఖ్యలు అంటాం. దీనిని R తో సూచిస్తాం. R = Q ∪ Q’

→ ప్రధాన సంఖ్యలు : 1 మరియు అదే సంఖ్య మాత్రమే కారణాంకాలుగా గల 1 కన్నా పెద్దవైన సహజసంఖ్యలు. ఉదా : 2, 3, 5, 7, ………….

→ ప్రధాన సంఖ్య నిర్ధారణ పరీక్ష : p ఒక సంఖ్య మరియు n² > p అయ్యేటట్లు ఉండే కనిష్ఠ సంఖ్య n అయిన n కన్నా చిన్నది లేదా “సమానమైన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను p భాగింపబడకపోతే p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. ఉదా : 1: 319

• 18² > 319. 18 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17లలో ఏ సంఖ్యతోను 319 భాగింపబడదు. కావున 319 ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. ఉదా : 2 : 253
• 16² > 253. 16 కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలలో ఒకటైన 11 తో 253 భాగింపబడుతుంది.
  ∴ 253 ప్రధానసంఖ్య కాదు.

→ సంయుక్త సంఖ్యలు : 1 మరియు అదే సంఖ్యతోపాటు ఇతర సంఖ్యలతో కూడా భాగింపబడే సహజ సంఖ్యలు.
ఉదా : 4, 6, 9, …………

→ యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయము : a = bq + r,0 ≤ r < b అయ్యే విధంగా a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా q మరియు r లు ఏకైక పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవస్థితం అవుతాయి. అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము : ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయవచ్చును మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్ధము ఏకైకము.

(i) గ.సా. కా లేదా గ.సా.భా : ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాల యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం వాని యొక్క గ.సా.5 అగును.
ఉదా : 60, 168 సంఖ్యలను కారణాంకాల లబ్దంగా వ్రాయగా
60 = 22 × 3 × 5; 168 = 22 × 3 × 7
60, 168 ల యందుగల సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 3
వాని యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3¹
∴ 60, 168 ల గ.సా. కా = వాని సామాన్య కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

(ii) క.సా.గు : ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క ప్రతీ ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం వాని క.సా.గు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం) అగును.
ఉదా : 60, 168 సంఖ్యలను వాని కారణాంకాల లబ్దంగా వ్రాయగా
60 = 2² × 3 × 5; 168 = 2² × 3 × 7
60, 168 గల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5, 7,
వాని యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3¹, 5¹, 7¹
∴ 60, 168 ల క.సా.గు వాని గరిష్ఠ (ప్రతి కారణాంకం యొక్క ఘాతాల లబ్దం = 2² × 3 × 5 × 7 = 840.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో సున్న (0) ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంలో 2 మరియు 5 ఆ ఉంటాయి. దీని విపర్యయము కూడా నిజము.
ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 ఉంటుంది.

ఉదా :

• 510 = 2 × 5 × 3 × 17;
• 620 = 2² × 5 × 31;
• 45 = 3² × 5;
• 455 = 5 × 7 × 13

→ x అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య మరియు దీని దశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము అయినప్పుడు x ను p, q లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు అయివున్న \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్యక్తపరచవచ్చు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం 20 5m అవుతుంది. ఇందులో n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు. దీని విపర్యయము కూడా నిజము. విపర్యయము : ‘n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధరూపం 215m కలిగినటువంటి అకరణీయ సంఖ్య x = \(\frac{p}{q}\) అయిన X యొక్క దశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశం అవుతుంది. (p, q లు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు)

→ x ఒక అకరణీయ సంఖ్య, p, q లు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు అయి x = \(\frac{p}{q}\) అంతమవు దశాంశము అయితే q = 2ⁿg^m రూపంలో ఉంటుంది. ఈ దశాంశము n, m లలో పెద్దదైన సంఖ్యకు సమానమైన అంకెల వద్ద అంతం అవుతుంది.

ఉదా : \(\frac{13}{40}=\frac{13}{2^{3} \times 5}\) ; n = 3, m = 1 మరియు n > m.
\(\frac{13}{40}\) మూడు దశాంశాల తర్వాత అంతం అవుతుంది. ..
\(\frac{13}{40}\) = 0.325

→ n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దము 2ⁿg^m రూపంలో లేకుంటే అకరణీయ సంఖ్య x = \(\frac{p}{q}\) యొక్క దశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని.ఆవర్తన దశాంశము అవుతుంది.

→ p అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే, a ను p నిశ్శేషంగా
భాగిస్తుంది. సంవర్గమానాలు : a మరియు N లు ధన పూర్ణసంఖ్యలై a > 1, N > 0 అవుతూ a^x = N అయిన దీనిని సంవర్గమాన రూపంలో log_a N = x అని వ్రాస్తాము. ఇచ్చట a, N ∈ R

గమనిక : ధన పూర్ణసంఖ్యలకు మాత్రమే సంవర్గమానాలు నిర్వచించబడ్డాయి.

• log_a 1 = 0 (ఏ ఆధారానికైనా 1 యొక్క సంవర్గమానం ‘0’.)
• log_a = 1

→ ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానాలు విభిన్న భూములకు (ఆధారాలకు) వేర్వేరుగా ఉంటాయి.
ఉదా :

• 64 = 8² యొక్క సంవర్గమాన రూపం log₈ 64 = 2
• 64 = 4³ యొక్క సంవర్గమాన రూపం log₄ 64 = 3
• 64 = 2⁶ యొక్క సంవర్గమాన రూపం log₂ 64 = 6

→ సంవర్గమాన న్యాయాలు : లబ్ధ సూత్రం

• log_a xy = log_ax + log_ay భాగఫల సూత్రం
• log_a \(\frac{x}{y}\) = log_ax – log_ay

→ ఘాత సూత్రాలు :

• log_a x^m = m log_a x,
• log_aⁿ n x = \(\frac{1}{n}\) log_a x;
• log_aⁿ n x^m = \(\frac{m}{n}\) log_a x
• a log_a x = x

→ ఆధార మార్పిడి సూత్రాలు :

• log_ax = log_bx. log_ab;
• log_ax = \(\frac{1}{\log _{x} a}\)

→ సంఖ్యల సంవర్గమానాలు పూర్ణాంక, దశాంశ భాగాలను కలిగి ఉంటాయి. పూర్ణాంక భాగాన్ని లాక్షణిక అని, దశాంశ భాగాన్ని మాంటిస్సా అని అంటారు.
ఒక అంకె సంఖ్య సంవర్గమానాల లాక్షణిక సున్న.
రెండు అంకెల సంఖ్య సంవర్గమానాల లాక్షణిక 1.
– మూడు అంకెల సంఖ్య సంవర్గమానాల లాక్షణిక 2.

→ ఒక సంఖ్యలో n అంకెలుంటే ఆ సంఖ్య యొక్క లాక్షణికలో (n- 1) అంకెలుంటాయి. విపర్యయంగా, ఒక సంవర్గమాన లాక్షణిక n అయిన, ఆ సంఖ్యలో (n + 1) అంకెలుంటాయి.

ఉదా : ఒక తేనెటీగల గుంపు రెండు పువ్వులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు ఒక తేనెటీగ మిగులుతుంది. అదే గుంపు మూడు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు రెండు తేనెటీగలు మిగులుతాయి. అదే గుంపు నాలుగు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు 3 మిగులుతాయి. అదే గుంపు ఐదు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు మరి మిగలవు. ఆ గుంపులో గరిష్టంగా 50 వరకు తేనెటీగలు కలిగి ఉండవచ్చు. అయిన వాటి ఖచ్చిత సంఖ్య కనుగొనుము.

→ సాధన. ఈ గుంపులో గల తేనెటీగలు = x అనుకుందాం
రెండు పూవులపై సమానంగా వాలిన 1 మిగులును

• కావున x = 2a + 1 గా వ్రాయవచ్చును. ……………………….(1)
• మూడు పూవులపై సమానంగా వాలిన 2 తేనెటీగలు మిగులును. కావున x = 3b + 2 ………………(2)
• నాలుగు పూవులపై సమానంగా వాలిన 3 తేనెటీగలు మిగులును. కావున x = 4c + 3.0 ……………….(3)
• ఐదు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలిన మరి మిగలవు. కావున x = 5d + 0 ……………..(4)

మరియు x ≤ 50 (ఎందుకనగా అవి గరిష్ఠంగా 50)
x అనునది 5 గుణజం అని 4వ సమీకరణం నుండి అర్థమగును కావున x యొక్క సాధ్య విలువలు = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 మరియు 45. మొదటి సమీకరణం నుండి x బేసి సంఖ్య అని అర్థమగును. కావున ఇపుడు ‘x’ యొక్క సాధ్య విలువలు = 5, 15, 25, 35, 45 (పై వాటి నుండి సరిసంఖ్యలు తొలగించాం). సమీకరణ (2) ప్రకారం 3చే భాగిస్తే శేషం 2 రావాలి.

కావున ఇపుడు ‘x’ యొక్క సాధ్య విలువలు = (5, 35). సమీకరణ (3) ప్రకారం 4చే భాగిస్తే శేషం 3 రావాలి. కావున 5, 35 లలో 35 మాత్రమే 4 చే భాగించినపుడు 3 శేషాన్ని ఇవ్వగలుగుతుంది.
∴ ఆ గుంపులో 35 తేనెటీగలు కలవని అర్థమవుచున్నది.

సరిచూచుట :

• 35 తేనెటీగలు 5 పూవుల పై వాలిన \(\frac{35}{5}\) = 7 (శేషం – 0)
• 35 తేనెటీగలు 4 పూవుల పై వాలిన \(\frac{35}{4}\) = 8 (శేషం – 3)
• 35 తేనెటీగలు 3 పూవులపై వాలిన \(\frac{35}{3}\) =11 (శేషం – 2)
• 35 తేనెటీగలు 2 పూవులపై వాలిన \(\frac{35}{2}\) =17 (శేషం – 1)

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం

→ ఒక సంఖ్య ‘a’ మరొక సంఖ్య ‘b’ను భాగించడం అంటే నిశ్శేషంగా భాగించుట అని అర్థం. దీనినే b, a చే భాగింపబడును అంటారు.

→ అంకెల స్థాన విలువ 12,34,56,789

→ సంఖ్యలను విస్తరణ రూపంలో వ్రాయుట :
3456 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1
= 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10°

→ 10 యొక్క భాజనీయతా నియమం : ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానమందు అంకె ‘0’ అయినచో అది ’10’ చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ 5 యొక్క భాజనీయతా నియమం : ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానమందు అంకె 0, 5 అయినచో ఆ సంఖ్య ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ 2 యొక్క భాజనీయతా నియమం : ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానమందు గల అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయినచో అది ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం, 3 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య ‘3’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం, 9 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య ‘9’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ 2 మరియు 3చే భాగింపబడే అన్ని సంఖ్యలు ‘6’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి రెండంకెలు 4చే భాగింపబడిన ఆ సంఖ్య 4చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ఒక సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు 8చే భాగింపబడిన ఆ సంఖ్య ‘8’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ఒక సంఖ్య 7చే నిశ్శేషంగా భాగించబడవలెనన్న, (2a + 3b + c) 7తో భాగింపబడవలెను. –
(ఇక్కడ a = వందల స్థానంలోని అంకె, b = పదుల స్థానంలోని అంకె, C = ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె)

→ ఒక సంఖ్యలోని సరి స్థానములలోని అంకెల మొత్తం మరియు బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తముల భేదం 11 యొక్క గుణిజం లేక ‘0’ అయిన ఆ సంఖ్య ’11’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ప్రతి పాలిండ్రోమ్ సంఖ్య ’11’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము) to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము)

→ దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా l, b, h లు అయిన

దీర్ఘఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2h (l + b)
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2(lb + bh + lh)

→ ‘a’ భుజంగా గల సమఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4a²

సమఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6a²

→ దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు = l × b × h = lbh
సమఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = (s)³ = a³ (a = సమఘనం యొక్క భుజం)

→ 1 cm³ = 1 మిల్లీ లీటరు
1 లీటరు = 1000 ఘ. సెం.మీ.
1 మీ ³ = 1000000 ఘ. సెం.మీ. = 1000 లీటర్లు = 1 కిలోలీటరు

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట

→త్రిరిపరిమాణ వస్తువుల ఆకారములు సమాన మాపము గల చుక్కల కాగితముపై గీయు విధానము.

→ త్రిపరిమాణ వస్తువులను పై నుండి, ప్రక్క నుండి, ఎదుటి నుండి చూసినపుడు కనబడు వివిధ ఆకారములు.

→ బహుముఖి : సమతలములు కలిగిన వస్తువులు.

→ పట్టకము : బహుముఖి నందు సమాంతరముగా ఎదురెదురుగా గల రెండు తలములు సర్వసమానముగాను, మిగిలిన తలములు దీర్ఘచతురస్రములు (సమాంతర చతుర్భుజము)గా కలిగిన వస్తువులను పట్టకము అంటారు.

→ పిరమిడ్ : బహుముఖి నందు అడుగు భాగము యొక్క తలము బహుభుజిగాను, మిగిలిన ప్రక్కతలములు త్రిభుజములుగా కలిగిన వస్తువులను పిరమిడ్ అంటారు.

→ త్రిపరిమాణ వస్తువులు తయారుచేయుటకు ద్విమితీయ వల రూపములు ఉపయోగించుట.

→ బహుముఖిల కోసం ఆయిలర్ సూత్రము E + 2 = F + V

→ త్రిపరిమాణ వస్తువుల యొక్క తలములు, అంచులు, శీర్షములు : మనం నివసించే గది యొక్క గోడలు, కిటికీలు, తలుపులు, గది యొక్క పై భాగము, అడుగు తలము, మూలలు మొదలైనవి మరియు మన చుట్టూ గల వస్తువులు టేబుల్స్,
బాలు మొ||నవి గమనించండి. వాటి యొక్క తలములు సమతలములు. వాటి తలములు అంచుల వద్ద కలియుచున్నవి. రెండు లేక అంతకంటే ఎక్కువ అంచులు మూలల వద్ద కలియుచున్నవి. ఈ మూలను శీర్షము అంటారు. ఒక సమఘనము లేదా పిరమిడ్ ను గమనించండి.

→ ప్లేటోనిక్ వస్తువుల వలరూపాలు :

బహుముఖి పేరు	బహుభుజి తలాలు	వలరూపము
చతుర్ముఖీయం	4 త్రిభుజాలు
అష్టముఖీయం	8 త్రిభుజాలు
షష్టిముఖీయం	6 చతురస్రాలు
ఇరవై ముఖాలు కలది	20 త్రిభుజాలు
ద్వాదశముఖీయం	6 పంచభుజిలు

→ బహుముఖి యొక్క అంచులు, తలములు, శీర్షముల సంఖ్య
ప్రక్క పటంలో బహుముఖి యొక్క అంచులు, తలములు, శీర్షములను లెక్కించెదము.

తలముల సంఖ్య – 5
అంచుల సంఖ్య – 9
శీర్షముల సంఖ్య – 6

→ కింది పట్టికను గమనించండి.

పై పట్టిక యొక్క చివరి రెండు నిలువు వరుసలు పరిశీలిస్తే అన్ని బహుముఖిలకు మనము F + V = E + 2 అని గమనించగలము.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 12th Lesson కారణాంక విభజన to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 12th Lesson కారణాంక విభజన

→ ఒక సంఖ్యను ప్రధానసంఖ్యల లబ్ధంగా వ్యక్తపరిచే పద్ధతిని “ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి” అంటారు.

→ ఇచ్చిన సమాసమును దాని కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయటాన్ని కారణాంక విభజన అందురు.

→ సూక్ష్మీకరణ సాధ్యం కాని కారణాంకమును అవిభాజ్య కారణాంకం అంటారు.

→ (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² – b²

→ (x + a) (x + b) = x² + x(a + b) + ab

→ గోల్డ్ బాక్ ఊహ : ప్రతి బేసిసంఖ్య, ప్రధానసంఖ్యగానో లేదా కొన్ని ప్రధాన సంఖ్య మరియు వర్గ సంఖ్యకు రెట్టింపు సంఖ్యల మొత్తంగానే ఉంటుంది.
ఉదా : 21 (ఒక బేసి సంఖ్య); 21 = 19 + 2 (లేదా) 21 = 13 + 2(4) (లేదా) 21 = 3 + 2(9) గా వ్రాయవచ్చు

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు

→ ఒక ఏకపదిలోని చరరాశుల ఘాతాంకాల మొత్తాన్ని ఆ ఏకపది పరిమాణం అంటారు.

→ ఒక బీజీయ సమాసంలోని వివిధ పదాల పరిమాణాల్లో గరిష్ఠ పరిమాణాన్ని ఆ బీజీయ సమాస పరిమాణం అంటారు.

→ రెండు ఏకపదుల లబ్ధం ఒక ఏకపది అవుతుంది.

→ ఒక బహుపదిని ఏకపదిచే గుణించాలంటే బహుపదిలోని అన్ని పదాలను ఆ ఏకపదిచే గుణించాలి.

→ సర్వసమానం అనునది ఒక సమానత. సమీకరణంలోని సమానత్వం, చరరాశిలోని అన్ని విలువలకు సత్యమైనపుడు సర్వసమానత్వం అవుతుంది. ఇంకోవైపు సమీకరణం కొన్ని విలువలకే సత్యం అయితే సర్వసమానత్వంలో అన్ని విలువలకు సత్యం అవుతాయి.

→ కొన్ని సర్వసమీకరణాలు

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)2² = a² – 2ab + b²
• (a + b) (a – b) = a² – b²
• (x + a) (x + b) = x² + x(a + b) + ab .
• (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
• (a + b)² – (a – b)² = 4ab

గమనిక :

• రెండు ధనసంఖ్యల లబ్ధము ధనసంఖ్య
• రెండు ఋణ సంఖ్యల లబ్ధము ధనసంఖ్య
• ఒక ధన మరియు ఒక ఋణ సంఖ్యల లబ్దము ఋణసంఖ్య

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు

→ ఒక రాశిలోని మార్పు వేరొక రాశిలోని పెరుగుదల / తగ్గుదల మార్పును కలిగి ఉంటే అవి అనుపాతంలో ఉన్నవని అంటారు.

→ x మరియు y అనే రెండు రాశులు అనులోమానుపాతంలోనున్న ఆ రెండు రాశులు ఒకే నిష్పత్తిలో మార్పుచెందును. అనగా \(\frac{x}{y}\) = k లేదా x = ky. దానిని మనం \(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\) లేదా x₁, y₂ = x₂y₁ గా వ్రాయవచ్చును. ( ఇక్కడ x₁, x₂, విలువలకు అనుగుణంగా వచ్చిన విలువలు వరుసగా y₁, y₂].

→ రెండు రాశులు x మరియు yలు విలోమానుపాతంలో వుంటే వాటి మధ్య xy = k (k స్థిరాంకము) వంటి సంబంధము ఏర్పడుతుంది. x₁ , x₂, విలువలకు అనుగుణంగా వచ్చిన విలువలు వరుసగా y₁, y₂ అయిన x₁y₁ = x₂y₂(=k), లేదా
\(\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}\)

→ ఒక రాశి పెరుగుదల (తగ్గుదల) రెండవరాశి తగ్గుదల (పెరుగుదల) ఒకే అనుపాతంలో వుంటే ఆ రెండు రాశులు విలోమానుపాతంలో వుంటాయి. అపుడు మొదటి రాశి నిష్పత్తి (x₁ : x₂) రెండవ రాశి నిష్పత్తి (y₁ : y₂) యొక్క విలోమ నిష్పత్తికి సమానంగా వుంటుంది. ఇక్కడ రెండు నిష్పత్తులు సమానం కావున ఈ విలోమ మార్పునే మనం విలోమానుపాతం అంటాము.

→ కొన్నిసార్లు ఒక రాశిలోని మార్పు, రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ రాశులలో మార్పుకు కారణమవుతుంది. ఆ మార్పులు అనుపాతంలో వుంటే దానినే మనం మిశ్రమానుపాతం అంటాము. అప్పుడు మొదటి రాశి నిష్పత్తిని మిగిలిన రెండు రాశుల బహుళ నిష్పత్తికి సమానం చేస్తాము.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు

→ త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\)bh

→ చతుర్భుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × కర్ణం పొడవు × కర్ణంపై గీయబడిన లంబాల పొడవుల మొత్తం
= \(\frac{1}{2}\)h(h₁ + h₂)

→ సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం × సమాంతర భుజాల పొడవుల మొత్తం
= \(\frac{1}{2}\)h(a + b).

→ సమచతుర్భుజం (రాంబస్) వైశాల్యం = కర్ణముల పొడవుల లబ్ధంలో సగం
= \(\frac{1}{2}\)d₁d₂

→ వృత్తం దాని కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం 360°.
వృత్త వైశాల్యం = πr² (r – వృత్త వ్యాసార్ధం)

→ π విలువ = \(\frac{22}{7}\) (సుమారుగా 3.14)
వృత్త పరిధి = 2πr (r – వృత్త వ్యాసార్ధం)

→ కంకణాకార స్థల వైశాల్యం = π (R² – r²) లేదాπ(R + r) (R – r)
ఇందులో R – బాహ్య వృత్త వ్యాసార్ధం,
I – అంతర వృత్త వ్యాసార్ధం.

→ కంకణాకార స్థల వెడల్పు, w = R – r
సెక్టారు వైశాల్యం, A = \(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr²
ఇందులో x° = సెక్టారు కోణం,
r = వృత్త వ్యాసార్ధం
(లేదా)
A = \(\frac{{lr}}{2}\)(l – సెక్టారు చాపం పొడవు, r – వృత్త వ్యాసార్ధం)

→ సెక్టారు చాపం పొడవు = \(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\) × 2πr
x° = సెక్టారు కోణం, r = వృత్త వ్యాసార్ధం.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 2nd Lesson Forests to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 2nd Lesson Forests

→ The world has several climatic zones.

→ Geographers defined the climatic region based on temperature and precipitation.

→ The tropical climatic region with dense forests are called “Selvas”.

→ Sahara desert is the biggest desert in the world.

→ The Tundra region stretch between the Arctic and Polar regions.

→ Large area covered with trees or shrubs in natural habitation in a particular place is called forest.

→ Forests are the places for survival for the tribals and variety of flora and fauna.

→ Forests are divided into five types based on climate, rainfall and types of soils.

→ According to the National Forest Policy -1952, forest should cover 33% of surface of total area.

→ Madhya Pradesh has the largest forest covei in the country

→ Haryana has the lowest forest cover in the country.

→ As per Indian State Forests Report 2019 Andhra Pradesh has a forest cover area of 37,392 sq kms, which amounts fo 22.94% of the total geographical area

→ In A.P, YSR Kadapa has highest forest area and Krishna has lowest forest area.

→ Deforestation is the cutting of trees in a large area, or the destruction of forest by people

→ Social forestry is a concept taken up for conservation of forests and afforestation in barren ‘ and deforested lands, forthe purpose of helping environment, social and rural development

Climatic Regions : Climatic region refers to a continuous geographic area in which similar climate characteristics are observed. Climatic region based on temperature and precipitation.

Concept of Forest : Large area covered with trees or shrubs in natural habitation in a particular place is called forest.

Types of Forests : Forests are divided into five types based on climate, rainfall and types of soils.

Uses of forests : Forests are useful for so many ways. We depend on forestsfor our survival, from the air we breathe to the wood we use. Forests are useful to us for Consumptive use, Marketing, & Balancing ecosystem, etc.

Issues and reasons for deforestation : Cutting of trees in a large area is called deforestation.
Reasons : 1) Industrial purpose
2) Construction of roads and dams etc.

Social forestry and conservation of forests : Social forestry is the management and protection of forests and afforestation of barren and deforested lands with fhe purpose of helping environmental social and rural development.

Conservation of forest is the practice of planting more trees and maintaining the forested areas for the sustaina-bility for future generations.

1. Flora : The plants of a particular region.

2. Fauna : The animals of a particular region.

3. Dense forest : The trees that grow close together.

4. Climate : The weather conditions prevailing in an area over a long period.

5. Transpiration : The exhalation of water vapour through the stomato.

6. Sundarbans : The dominant mangrove species in West Bengal.

7. Coniferous trees : Shrubs having needle shaped leaves.

8. Urbanisation : Population shift from rural to urban areas.

9. Aboriginal : Inhabiting in a land from the earliest times.

10. Global warming : Rapid increase in Earth’s average surface temperature.

11. Soil Erosion : Gradual removal of top layers of the earth.

1.

2.

3.