Inter 1st Year

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a)

అభ్యాసం – 9 (ఎ)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
సాధన:
y = \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2} \cdot x^{-1 / 2}\) + 2. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/4 + 3. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/6]

ii) \(\sqrt{2 x-3}\) + \(\sqrt{7-3 x}\) (T.S Mar. ’15)
సాధన:

iii) (x² – 3) (4x³ + 1)
సాధన:
y = (x² – 3) (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) – (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(4x³ + 1) + (4x³ + 1)\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(x² – 3)
= (x² – 3) (12x²) + (4x³ + 1) (2x)
= 12x⁴ – 36x² + 8x⁴ + 2x
= 20x⁴ – 36x² + 2x

iv) (\(\sqrt{x}\) – 3x) (x + \(\frac{1}{x}\))
సాధన:

v) (\(\sqrt{x}\) + 1)(x² – 4x + 2)(x > 0)
సాధన:
y = (\(\sqrt{x}\) + 1) (x² – 4x + 2) (x > 0)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

vi) (ax + b)ⁿ (cx + d)^m.
సాధన:

vii) 5 sin x + e^x log.x
సాధన:
y = 5 sin x + e^x. log x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5 cos x + e^x. \(\frac{d}{d x}(\log x)\) + log x \(\frac{d}{d x}\left(e^x\right)\)
= 5 cos x + e^x . \(\frac{1}{x}\) + (log x) (e^x)

viii) 5^x + log x + x³ e^x
సాధన:
y = 5x + log x + x³ e^x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5^x . log 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³.e^x + e^x.3x²
= 5^x.l0g 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³ e^x + 3x² e^x

ix) e^x + sin x cos x
సాధన:
y = e^x + sin x. cos x
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{d}{d x}\)(e^x) + \(\frac{d}{d x}\)(sin x. cos x)
= e^x + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cos x) + cos x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x)
= e^x – sin² x + cos² x
= e^x + cos 2x

x)
\(\frac{\mathbf{p} x^2+\mathbf{q} x+\mathbf{r}}{\mathbf{a x}+\mathbf{b}}\)(|a| + |b| ≠ 0)
సాధన:

xi) log₇ (log x) (x > 0)
సాధన:
y = log₇ (log x) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{\log _7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\)
= \(\frac{1}{x(\log x)\left(\log _e^7\right)}\) = \(\frac{\log _7{ }^e}{x \log _e x}\)

xii)
\(\frac{1}{a x^2+b x+c}\) (|a| + |b| + |c| ≠ 0)
సాధన:

xiii) e^2x log (3x + 4) (x > \(\frac{-4}{3}\)) (May ’13)
సాధన:
y = e^2x. log (3x + 4) (x > –\(\frac{4}{3}\))
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

xiv) (4 + x²) e^2x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = (4 + x²) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(e^2x) + e^2x\(\frac{d}{d x}\)(4 + x²)
= (4 + x²). 2e^2x + e^2x (0 + 2x)
= 2e^2x (4 + x² + x]
= 2e^2x (x² + x + 4)

xv) \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0] (May 12)
సాధన:
y = \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0]
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

xvi) a^x. e^x2
సాధన:
y = a^x. e^x2
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
f(x) = 1 + x + x² + …. + x^1oo, అయితే f'(1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 1 + 2x + 3x²……… + 100 x⁹⁹
f'(1) = 1 + 2 + 3 …….. + 100
= \(\frac{100 \times 101}{2}\) = 5050 (Σx = \(\frac{x(x+1)}{2}\))

ప్రశ్న 3.
f(x) = 2x² + 3x – 5 అయితే f'(0) + 3f'(-1) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
f'(x) = 4x + 3
f'(0) = 0 + 3 = 3
f'(-1) = – 4 + 3 = -1
f(0) + 3f'(-1) 3 + 3(-1) = 3 – 3 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
అవకలజం ప్రాథమిక సూత్రం నుంచి కింది ప్రమేయాలు అవకలజాలను కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)

i) x³
సాధన:

ii) x² + 4
సాధన:
f(x) = x² + 4
f(x + h) – f(x) = ((x + h)⁴ + 4) – (x⁴ + 4)
= ((x + h)⁴ + 4 – x⁴ – 4
= x⁴ + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴ – x⁴

iii) ax² + bx + c
సాధన:
f(x) = ax² + bx + c
f(x + h) = a(x + h)² + b(x + h) + c
= a(x² + 2hx + h²) + b(x + h) + c
= ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c
f(x + h) – f(x) = ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c
= h[2ax + ah + b]

iv) \(\sqrt{x+1}\)
సాధన:

v) sin 2x (May ’13)
సాధన:
f(x) = sin 2x = f(x + h) – f(x)
= sin 2(x + h) – sin 2x
= 2cos \(\frac{2 x+2 h+2 x}{2}\) . sin \(\frac{2 x+2 h-2 x}{2}\)
= 2. cos (2x + h). sin h

vi) cos ax (Mar. ’13, ’11)
సాధన:

vii) tan 2x
సాధన:

viii) cot x
సాధన:
f(x) = cot x
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x

ix) sec 3x
సాధన:
f(x) = sec 3x
f(x + h) − f(x) = sec 3(x + h) – sec 3x

x) x sin x
సాధన:
f(x) = x sin x.
f(x + h) – f(x) = (x + h) sin (x + h) – x sin x
= x (sin (x + h) – sin x) + h. sin (x + h)
= x[2 cos\(\frac{x+h+x}{2}\).sin \(\frac{x+h-x}{2}\)) + h. sin(x + h)

xi) cos² x
సాధన:
f(x) = cos² x
f(x + h) f(x) = cos² (x + h) – cos² x
= -(cos² x – cos² (x + h))
= -sin (x + h + x) sin (x + h – x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\frac{1-x \sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}\) (x > 0)
సాధన:

ii) xⁿ. n^x. log (nx) (x > 0, n ∈ N)
సాధన:

iii) ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x
సాధన:
y = ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x

iv) (\(\frac{1}{x}\) – x)³. e^x
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ప్రమేయం f(x) = |x| + |x – 1], x ∈ R, 0, 1ల వద్ద తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవకలనీయం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = │x| + |x – 1| ∀ x ∈ R
f(x) = x + x − 1 = 2x − 1, x ≥ 1
= x – (x − 1) = x – x + 1, = 1, 0 < x < 1
= -x – (x – 1) = -x – x + 1 = 1 – 2x, x ≤ 0
∴ f(x) = 2x – 1, x ≥ 1
= 1, 0 < x < 1 = 1 – 2x, x ≤ 0 x > 1, అయితే f(x)= 2x – 1 = x² లో బహుపది
f(x) అన్ని x > 1 లకు అవకలనీయము.
0 < x < 1, అయితే f(x) = 1
∴ f(x), 0 < x < 1 కు అవకలనీయము.
x < 1, అయితే f(x) = 1 – 2x = x లో బహుపది
∴ f(x) అన్ని x < 1 వద్ద అవకలనీయము
సందర్భం i) : x = 0

∴ f'(0) వ్యవస్థితం కాదు.
f(x) అవకలనీయము కాదు x = 0 వద్ద
సందర్భం ii) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద అవకలనీయము కాదు.
∴ f(x), 0, 1 వద్ద తప్ప x వాస్తవ విలువలన్నింటి వద్ద అవకలనీయము

ప్రశ్న 4.
క్రింది ప్రమేయం 1, 3 ల వద్ద అవకలనీయమేమో చూపండి.

సాధన:
సందర్భం i) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద x = 1 అవకలనీయం కాదు
సందర్భం ii) : x = 3

f(x) వద్ద x = 3 అవకలనీయం కాదు

ప్రశ్న 5.
క్రింది ప్రమేయం 2 వద్ద అవకలనీయమా ? సరి చూడండి.

సాధన:


f'(2-) ≠ f'(2⁺) ; f(x) ప్రమేయం x = 2 వద్ద ఆవకలనీయం కాదు.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(b)

I.

Question 1.
\(2 \bar{i}+3 \bar{j}+\bar{k}\) బిందువు గుండా పోతూ, \(4 \bar{i}-2 \bar{j}+3 \bar{k}\) సదిశకు సమాంతరంగా ఉండే రేఖ సదిశా సమీకరణం కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15, ’07; May ’07]
Solution:

Question 2.
OABC సమాంతర చతుర్భుజంలో, \(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O C}}=\overline{\mathbf{C}}\) అయితే, BC రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [(T.S) Mar ’15]
Solution:
OABC సమాంతర చతుర్భుజం

Question 3.
A, B, C బిందువులు ఒక త్రిభుజ శీర్షాలు. వాటి స్థాన సదిశలు క్రమంగా \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) అయితే, A గుండా పోయే మధ్యగత రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
Solution:

Question 4.
\(2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}},-4 \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) బిందువులను కలిపే రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’11; May ’08]
Solution:

Question 5.
\(\overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}},-5 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}},-3 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}\) బిందువుల గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 6.
(0, 0, 0), (0, 5, 0), (2, 0, 1) బిందువుల గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలు అయితే, \(2 \overline{\mathbf{a}}+3 \overline{\mathbf{b}}-\overline{\mathbf{c}}\), \(3 \bar{a}+4 \bar{b}-2 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖ, \(\overline{\mathbf{a}}-2 \overline{\mathbf{b}}+3 \overline{\mathbf{c}}\), \(\bar{a}-6 \bar{b}+6 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
ABCD సమలంబ చతుర్భుజం (trapezium) లో AB, CD లు సమాంతర భుజాలు. AB, CD ల మధ్య బిందువులు, కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలని సదిశా పద్ధతిని వాడి నిరూపించండి.
Solution:
ABCD సమలంబ చతుర్భుజం.
AB, CD లు సమాంతరములు.




(4), (5) ల నుండి,
\(\overline{\mathrm{PM}}=\lambda(\overline{\mathrm{NP}})\)
M, P, N లు సరేఖీయాలు.
కనుక సమాంతర భుజాల మధ్యబిందువులు, కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలు.

Question 3.
ABCD చతుర్భుజంలో, ఒక జత ఎదుటి భుజాల మధ్య బిందువులూ, దాని కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలైతే, ఆ చతుర్భుజం సమలంబ చతుర్భుజం అవుతుందని సదిశా పద్ధతుల ద్వారా నిరూపించండి.
Solution:

III.

Question 1.
\(2 \bar{i}+4 \bar{j}+2 \bar{k}, 2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k}\) బిందువుల గుండా పోతూ, సదిశ \(3 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) కు సమాంతరంగా ఉండే తలం సదిశా సమీకరణం కనుక్కుని, \(\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\), \(4 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\) బిందువులను కలిపే రేఖను ఈ తలం ఖండించే బిందువును కూడ కనుక్కోండి. [Mar. ’12]
Solution:

Question 2.
\(4 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, 3 \overline{\mathbf{i}}+7 \overline{\mathbf{j}}-10 \bar{k}, 2 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-7 \overline{\mathbf{k}}\), బిందువుల ద్వారా పోయే తలం సదిశాసమీకరణం కనుక్కొని, \(\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}-3 \overline{\mathbf{k}}\) బిందువు, ఈ తలంలో ఉంటుందని చూపండి. [Mar. ’13]
Solution:


(1), (2), (3) ను ధృవీకరిస్తున్నాయి.
D బిందువు, A, B, C తలంలో ఉంటుంది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a)

అభ్యాసం – 6 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ x, y, z అక్షాల ధనదిశలతో వరుసగా 90°, 60°, 30° కోణాలు చేస్తుంది. దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
l, m, n లు రేఖ దిక్ కొసైనులు అనుకుందాం.
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
n = cos γ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
రేఖ దిక్ కొసైనులు \(\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ X, Y, Z-అక్షాల ధన దిశలలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే, sin² α + sin² β + sin² γ విలువ ఎంత ?
సాధన:
cos² α + cos² β + cos² γ = 1 కావున
1 – sin² α + 1 – sin² β + 1 – sin² γ = 1
sin² α + sin² β + sin² γ = 3 – 1 = 2.

ప్రశ్న 3.
అంతరాళంలో P(\(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)) ఒక బిందువైతే, \(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
OP ల దిక్ సంఖ్యలు \(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)
a² + b² + c²
= 3 + 1 + 12 = 16
⇒ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = 4 తో భాగించగా
\(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైనులు
\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2 \sqrt{3}}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(-4, 1, 7), (2, -3, 2) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(-4, 1, 7) లు B(2, -3, 2) లు దత్త బిందువు
PQ యొక్క d.rs లు x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
2 + 4, – 3 – 1, 2 – 7 ie., 6, -4, -5
తో భాగించగా \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{37+10+25}=\sqrt{77}\)
AB యొక్క D.C లు \(\left(\frac{6}{\sqrt{77}}, \frac{4}{\sqrt{77}}, \frac{-5}{\sqrt{77}}\right)\)

II.

ప్రశ్న 1.
(3, 5, -4), (-1, 1, 2),(-5, -5, -2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం భుజాల దిక్ కొసైన్లు రాయండి.
సాధన:
A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2), C(-5, -5, -2) లు ∆ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు.

d.rs యొక్క ABలు -1 -3, 1 – 5, 2 + 4 = -4, -4, 6
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
AB యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{6}{2 \sqrt{17}}\)
i.e., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}\)
BC యొక్క D.R లు -5 +1, -5 -1, -2 −2
i.e., -4, -6, -4
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
BC యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-6}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}\)
ie., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}\)
CA యొక్క d.rs లు 3 + 5, 5 + 5, – 4 + 2
= 8, 10, -2
తో భాగించగా \(\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}\)
CA యొక్క D.C లు \(\frac{8}{2 \sqrt{42}}, \frac{10}{2 \sqrt{42}}, \frac{-2}{2 \sqrt{42}}\)
i.e., \(\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}\)

ప్రశ్న 2.
P, Q, R, S లు వరుసగా (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{\mathrm{P Q}}, \overleftrightarrow{\mathrm{R S}}\) సమాంతరంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P(2, 3, 4), Q(4, 7, 8), R(-1, -2, 1) S(1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు
PQ యొక్క d.r లు 4 – 2, 7 – 3, 8 – 4 i.e., 2, 4, 4
RS యొక్క d.r లు 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 i.e., 2, 4, 4
d.r యొక్క PQ లు RS లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి.
∴ PQ, RS లు సమాంతరాలు.

III.

ప్రశ్న 1.
l – 5m + 3n = 0, 7l² + 5m² – 3n² = 0 సమీకరణాలను తృప్తిపరచేటట్లుగా, రెండు సరళ రేఖల దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం l – 5m + 3n = 0
⇒ l = 5m – 3n ……………….. (1)
7l² + 5m² – 3n² = 0 ………………. (2)
(2)లో ! విలువ ప్రతిక్షేపించగా
7(5m – 3n)² + 5m² – 3n² = 0
7(25m² + 9n² – 30 mn) + 5m² – 3n² = 0
175 m² + 63n² – 210 mn + 5m² – 3n² = 0
180 m² – 210 mn + 60 n² = 0
30 తో భాగించగా
6m² – 7mn + 2n² = 0
(3m – 2n) (2m – n) = 0
3m = 2n లేదా 2m = n

సందర్భం (i) : 3m₁ = 2n₁ ⇒ \(\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మరియు m₁ = \(\frac{2}{3}\) n₁
(1) నుండి l₁ = 5m₁ – 3n₁ = 5 \(\frac{10}{3}\) n₁ – 3n₁
= \(\frac{10 n_1-9 n_1}{3}=\frac{n_1}{3}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మొదటి రేఖ d.r లు (1, 2, 3)
\(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) తో భాగించగా
మొదటి రేఖ d.c లు \(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)\)

సందర్భము (ii) : 2m₂ = n₂
(1) నుండి l₂ – 5m₂ + 3n₂ = 0
l₂ – 5m₂ + 6m₂ = 0
-l₂ = m₂
∴ \(\frac{l_2}{-1}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{2}\)
రెండవ రేఖ d.r లు -1, 1, 2
\(\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\) తో భాగించగా
రెండవ రేఖ d.c లు \(\left(\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b)

అభ్యాసం – 5 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
A(-2, 3, 4), B(1, 2, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
AB ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తి
AB = – y₁ : y₂ = -3 : 2

ప్రశ్న 2.
A (1, 1, 1), B (-2, 4, 1) బిందువులు రెండు శీర్షాలుగా, మూలబిందువు కేంద్రాభాసంగాగల త్రిభుజం ABC కి, శీర్షం ‘C’ నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
A(1, 1, 1), B(-2, 4, 1) లు (x, y, z) బిందువు ∆ABC
యొక్క శీర్షాలు
Gబిందువు ∆ABC కేంద్రాభాసం
G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{1-2+x}{3}, \frac{1+4+y}{3}, \frac{1+1+z}{3}\right)\) = (0, 0, 0)
\(\frac{x-1}{3}\) = 0, \(\frac{y+5}{3}\) = 0, \(\frac{z+2}{3}\) = 0
x – 1 = 0, y + 5 = 0, z + 2 = 0
x = 1
y = -5
z = -2
∴ నిరూపకాలు (1, -5, -2)

ప్రశ్న 3.
(3, 2, -1), (4, 1, 1), (6, 2,5) లు మూడు శీర్షాలుగా, (4, 2, 2) కేంద్రాభాసంగా గల చతుర్ముఖి నాలుగో శీర్షాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. 15, ’14; May’13, ’11, ’05 ]
సాధన:
A(3, 2, -1), B(4,1, 1), C(6, 2, 5), D(x, y, z) లు చతుర్భుజ శీర్షాలు
కేంద్రాభాసం G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3+4+6+x}{4}, \frac{2+1+2+y}{4}, \frac{-1+1+5+z}{4}\right)\)
= \(\left(\frac{13+x}{4}, \frac{5+y}{4}, \frac{5+z}{4}\right)\) = (4, 2, 2)
\(\frac{13+x}{4}\) = 4
13 + x = 16
x = 16 – 13 = 3

\(\frac{5+y}{4}\) = 2
5 + y = 8
y = 8 – 5 = 3

\(\frac{5+z}{4}\) = 2
5 + z = 8
z = 8 – 5 = 3
D నిరూపకాలు (3, 3, 3)

ప్రశ్న 4.
A = (6, 3, -4), B = (-2, −1, 2) లను కలిపే రేఖా ఖండం \(\overline{\mathrm{A B}}\) మధ్యబిందువుకూ, (3, -1, 2) బిందువుకూ మధ్య గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(6, 3, – 4) B(-2, -1, 2) లు దత్త బిందువులు.
AB మధ్య బిందువు Q.
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{6-2}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)
= (2, 1, -1)
P నిరూపకాలు (3, -1, 2)
PQ = \(\sqrt{(3-2)^2+(-1-1)^2+(2+1)^2}\)
= \(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (5, 4, 2), (6, 2, −1), (8, −2, −7) సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(5, 4, 2), B(6, 2, −1) c(8, -2, -7) లు దత్త బిందువులు.

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 2.
A(3, 2, 4), B(5, 4, – 6), C(9, 8, −10) ∞ సరేఖీయాలు అని చూపి, B, \(\overline{\mathrm{A C}}\) ని విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, – 4), B(5, 4, -6) మరియు C(9, 8, -10) లు దత్త బిందువులు

AB + BC = 2\(\sqrt{3}\) + 4\(\sqrt{3}\) = 6\(\sqrt{3}\) = CA
A, B, C లు సరేఖీయాలు
AC ని B విభజించే నిష్పత్తి = AB : BC
= 2\(\sqrt{3}\) : 4\(\sqrt{3}\)
= 1 : 2

III.

ప్రశ్న 1.
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6), C(3, 5, 4), D(5, 8, 5) దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) రేఖలు ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6) C (3, 5, 4) మరియు D(5, 8, 5) లు దత్త బిందువులు
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}, \frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}, \frac{6 \lambda+12}{\lambda+1}\right]\) ………………… (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{5 \mu+3}{\mu+1}, \frac{8 \mu+5}{\mu+1}, \frac{5 \mu+4}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
దత్తరేఖలు ఖండించుకొంటే ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవించవలెను.
\(\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}\) = \(\frac{5 \mu+3}{\mu+1}\)
(2λ + 4) (μ + 1) = (5μ + 3) (λ + 1) ·
2λμ + 2λ + 4μ + 4 = 5λμ + 5μ + λ + 3
3λμ + λ + μ – 1 = 0
λ(3μ + 1) = -(μ – 1)
λ = – \(\frac{(\mu-1)}{3 \mu+1}\)
\(\frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}\) = \(\frac{8 \mu+5}{\mu+1}\)
(4λ + 8) (μ + 1) = (8μ + 5) (λ + 1)
4λμ + 4λ + 8μ + 8 = 8λμ + 8μ + 5λ + 5
4λμ + λ – 3 = 0
(4μ + 1) λ = 3
–\(\frac{(4 \mu+1)(\mu-1)}{3 \mu+1}\) = 3
4μ² – 4μ + μ – 1 = -9μ – 3
4μ² + 6μ + 2 = 0
2μ² + 3μ + 1 = 0
(2μ + 1) (μ + 1) = 0
μ = –\(\frac{1}{2}\) లేదా – 1
μ = -1 అసాధ్యం
μ = – \(\frac{1}{2}\)

ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవిస్తున్నాయి కనుక దత్త రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
A = (7, -6, 1), B = (17, -18,-3), C = (1, 4, -5), D = (3, -4, 11) లు దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) ఖండన బిందువు కనుక్కోండి.

సాధన:
A(7, -6, 1), B(17, -18, -3), C(1, 4, -5) మరియు D(3, – 4,11) లు దత్త బిందువులు.
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}, \frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}, \frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}\right]\) ………………. (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{3 \lambda+1}{\mu+1}, \frac{-4 \mu+4}{\mu+1}, \frac{11 \mu-5}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
\(\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}\) = \(\frac{3 \mu+1}{\mu+1}\)
(17λ + 7) (μ + 1) = (3μ + 1) (λ + 1)
17λμ + 17λ + 7λ + 7 = 3λμ + 3λ + 2λ + 1
14λμ + 16λ +4μ + 6 = 0.
\(\frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}=\frac{-4 \mu+4}{\mu+1}\) ; \(\frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}=\frac{11 \mu-5}{\mu+1}\)
– 18λμ – 6μ – 18λ – 6
= -4λμ + 4λ – 4μ + 4
14λμ +22λ + 2μ + 10 = 0
14λμ +16λ +4μ + 6 = 0 ………………. (1)
14λμ + 22λ + 2μ + 10 = 0 …………….. (2)
తీసివేయగా -6λ + 2μ – 4 = 0
2μ = 6λ + 4
μ = 3λ +2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
14λ (3λ + 2) + 16λ + 4(3λ + 2) + 6 = 0.
42λ² + 28λ + 16λ + 12λ + 8 + 6 = 0
42λ² +56λ + 14 = 0
3λ² +4λ + 1 = 0
(λ + 1) (3λ + 1) = 0
λ = -1 లేదా λ = – \(\frac{1}{3}\)
λ = -1 అసాధ్యం
λ = – \(\frac{1}{3}\)

∴ ఈ రెండు బిందువులు ఒకటే
AB, CD రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.
ఖండన బిందువు (2, 0, 3)

ప్రశ్న 3.
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2), C(-9, 6, -3) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు, ∠BAC యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{A D}}\), \(\overline{\mathrm{B C}}\) ని D వద్ద ఖండిస్తుంది. D యొక్క నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2) C(-9, 6, -3) లు ∆ABC శీర్షాలు

AB రేఖ ∠DAC కోణ సమద్విఖండన రేఖ
‘D’ బిందువు BC ని 3 : 13 నిష్పత్తిలో విభజిస్తున్నాయి.
P నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3(-9)+13.5}{3+13}, \frac{3.6+13.3}{3+13}, \frac{3(-3)+13.2}{3+13}\right)\)
= \(\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)\)

ప్రశ్న 4.
O(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) Dox సరేఖీయాలని చూపండి. ప్రతిబిందువూ మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే రేఖను ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
0(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) లు దత్త బిందువులు

∴ O, A, B లు సరేఖీయాలు.

AB ని ‘O’ విభజించే నిష్పత్తి
= OA: OB
= \(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = 1 : 1
OB ని A విభజించే నిష్పత్తి
= OA: AB = \(\sqrt{22}\) : 2 \(\sqrt{22}\) = -1 : 2
OA ని B విభజించే నిష్పత్తి
= -AB : BO = − 2\(\sqrt{22}\): \(\sqrt{22}\) – 2\(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = -2 : 1.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g)

అభ్యాసం – 10 (జి)

I.

1. అవకలజాన్ని ఉపయోగించకుండా

i) f(x) = 3x + 7 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం సాధన.
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
3x₁ < 3x₂
ఇరువైపుల 7 కూడగా
3x₁ + 7 < 3x₂ + 7
⇒ f(x₁) < f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ R
ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ii) f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం
సాధన:
f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\)
Let x₁, x₂ ∈ R
అయితే
x₁ < x₂
⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}\) > \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)
⇒ f(x₁) > f(x₂) .
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

iii) f(x) = e^3x ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.
సాధన:
f(x) = e^3x
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
W.k.t a > b
అయితే e^a > e^b
⇒ e^3x < e^3x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
R పై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం.

iv) f(x) = 5 – 7x ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = 5 – 7x
x₁ x₂ ∈R
అయిన x₁ < x₂
⇒ 7x₁ < 7x₂
-7x₁ > -7x₂
ఇరువైపులా 5 కూడగా
5 – 7x₁ > 5 – 7x₂
f(x₁) > f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ∀x₁ x₂ ∈ R.
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 2.
f(x) = sin x, x E R ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin x
Since 0 < x < π
Consider 0 < x f(0) < f(x)
sin 0 < sin x
0 < sin x —— (1)
Consider x < π
f(x) < f(π)
sin x < sin π 0 > sin x —— (2)
(1) (2) నుంచి f(x) శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదు.

II.

1. కింద ప్రమేయాలు శుద్ధ ఆరోహణం, శుద్ధ అవరోహణం అయ్యే అంతరాలను కనుక్కోండి.

i) x² + 2x – 5
సాధన:
Let f(x) = x² + 2x – 5
f(x) = 2x + 2
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ 2x + 2< 0 ⇒ x + 1 > 0
x > -1
x ∈ (-1, ∞) వద్ద f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 2 < 0
⇒ x + 1 < 0
⇒ x < -1
x ∈ (-∞, −1) వద్ద f(x) అవరోహణం.

ii) 6 – 9x – x².
సాధన:
f(x) = 6 – 9x – x²
f'(x) = -9 -2x
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ -9 – 2x > 0
⇒ 2x + 9 < 0
x < \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{-9}{2}\right)\) అయితే f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 9 > 0
⇒ x > \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(\frac{-9}{2}, \infty\right)\) అయితే f(x) అవరోహణం

iii) (x + 1)³ (x – 1)³.
సాధన:
Let f(x) = (x + 1)³ (x + 1)³
= (x² – 1)³
= x⁶ – 1 – 3x⁴ + 3x²
f'(x) = 6x⁵ – 12x³ + 6x
= 6(x⁵ – 2x³ + x)
= 6x(x⁴ – 2x² + 1)
= 6x(x² – 1)²
f'(x) ≤ 0
⇒ 6x(x² – 1) ≤ 0
f(x) అవరోహణ అయితే (-∞, -1) ∪ (1, 0)
f'(x) > 0
f(x) అవరోహణ అయితే (0, 1) ∪ (1, ∞)

iv) x³(x – 2)²
సాధన:
f'(x) = x³. 2(x – 2) + (x – 2)². 3x²
= x²(x – 2) (2x + 3(x – 2))
= x² (x – 2) (2x + 3x – 6)
= x² (x – 2) (5x – 6) ∀ x ∈ R, x² ≥ 0
ఆరోహణ అయితే f'(x) > 0.
x²(x – 2) (5x – 6) > 0
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{6}{5}\right)\) ∪ (2, ∞)
అవరోహణ అయితే f'(x) < 0
x²(x – 2) (5x – 6) < 0
x ∈ \(\left(\frac{6}{5}, 2\right)\)

v) f(x) = x e^x
సాధన:
f(x) = x . e^x + e^x. 1 = e^x (x + 1)
e^x, x వాస్తవ
f(x) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > -1
f(x) ఆరోహణం అయితే x > -1
f'(x) < 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < – 1
f(x) అవరోహణము అయితే x < – 1

vi) f(x) = \(\sqrt{25-4 x^2}\)
సాధన:
f(x) వాస్తవము కావలెనంటే 25 – 4x² ≥ 0
-(4x² – 25) ≥ 0
-(2x + 5) (2x – 5) ≥ 0
∴ x విలువ \(-\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{2}\) మధ్య ఉంటుంది.

f(x) ప్రమేయము (\(-\frac{5}{2}\), 0) లో అవరోహణము
f(x) అవరోహణము అయితే f'(x) < 0
⇒ \(-\frac{4 x}{\sqrt{25-4 x^2}}\) < 0
∴ x > 0
f(x) ప్రమేయము (0, \(\frac{5}{2}\)) లో అవరోహణం.

vii) f(x) = ln (lnx); x > 1
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}\)
f(x) లో ఆరోహణమయితే f'(x) > 0
\(\frac{1}{x \cdot \ln } x\) > 0
⇒x. ln x > 0
In x వాస్తవం అయితే x > 0 కావలెను
∴ ln x < 0 = ln 1 i.e., x > 1
f(x) ప్రమేయము x > 1 ie., (1, ∞) అయిన ఆరోహణం
f(x) ప్రమేయము f'(x) < 0 అయితే అవరోహణం
⇒ In x > 0 ln
i.e., x < 1
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో అయితే అవరోహణం

viii) f(x) = x³ – 3x² – 6x + 12
సాధన:
f'(x) = 3x² + 6x – 6
= 3(x² + 2x – 2)
= 3[(x + 1)² – 3]
= 3( x + 1 + \(\sqrt{3}\)) ( x + 1 – \(\sqrt{3}\))
f'(x) = 3(x+ (\(\sqrt{3}\) + 1))(x + (1 − \(\sqrt{3}\)))
f'(x) ≤ 0 ⇒ 1 + \(\sqrt{3}\) < x < \(\sqrt{3}\) + 1
f(x), (1 + \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1) లో
f'(x) > 0 ⇒ x అవరోహణము
1 – \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1 ల మధ్య ఉండును.
i.e., x < 1 – \(\sqrt{3}\) మరియు x > \(\sqrt{3}\) – 1
f(x), x < 1 – \(\sqrt{3}\), x > \(\sqrt{3}\) – 1 లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 2.
(0, π/2) అంతరంపై f(x) = cos²x శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = cos²x
⇒ f'(x) = 2 cos x(-sin x)
= -2 sin x cos X
= -sin 2x
∴ 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 0 < 2x < π
‘sin x’ is +ve మధ్య 0 + π
∴ f'(x) = -ve.
∴ f'(x) < 0
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 3.
[1, ∞) అంతరం పై x + \(\frac{1}{x}\) ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}\) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\)
Since x ∈ [1, ∞) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\) > 0
∴ f(x) > 0
∴ f(x) ఆరోహణం.

ప్రశ్న 4.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln (1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము > 0 అయితే ఆరోహణము
∴ f(x) > f(0)

g(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – ln = 0 – 0 = 0
∴ x – ln (1 + x) > 0
x > ln (1 + x) —– (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x}\)(1 + x) < x

III.

ప్రశ్న 1.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln(1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
f(x) > f(0)
f(0) = tan^-1 0 – 0 = 0 కనుక
i.e., f(x) > 0
⇒ tan^-1x – \(\frac{x}{1+x^2}\) > 0
⇒ tan^-1x > \(\frac{x}{1+x^2}\) —- (1)
g(x) = 1 – tan^-1x అనుకుందాం
g'(x) = 1 – \(\frac{1}{1+x^2}\) = \(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) = \(\frac{x^2}{1+x^2}\) > 0
g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – tan^-1 = 0 – 0 = 0
∴ x – tan^-1 x > 0
⇒ x > tan^-1 x —— (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x^2}\) < tan^-1 x < x

ప్రశ్న 2.
ప్రతి x ∈\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కి tan x > x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = tan x – x అనుకుందాం
f'(x) = sec² x – 1 > 0, ∀x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\),
∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము
i.e., f(x) > f(0)
f(0) = tan 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴ tan x – x > 0
⇒ ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు tan x > x

ప్రశ్న 3.
x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) అయితే, \(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x అని చూడండి
సాధన:
f(x) = x – sinx అనుకుందాం.
f'(x) = 1 – cos x > 0 ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ f(x) ప్రమేయము ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము.
⇒ f(x) > f(0)
f(0) = 0 – sin 0 = 0 – 0 = 0
∴ x – sin x > 0
⇒ x > sin x
g(x) = sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) అనుకుందాం.
g'(x) = cos x – \(\frac{2}{\pi}\) > 0 ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ప్రమేయము.
g(x) ప్రమేయము \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) లో ఆరోహణ ప్రమేయము.
g(x) > g(0)
g(0) = sin 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) > 0
⇒ 1 – sin x > \(\frac{2 x}{\pi}\) —- (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x ∈(0, 1) అయితే 2x < ln \(\left[\frac{(1+x)}{1-x}\right]\) < 2x \(\left[1+\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2-2+2 x^2}{1-x^2}\)
= \(\frac{2 x^2}{1-x^2}\) > 0 ∀ x ∈ (0, 1)
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో ఆరోహణము
i.e., x > 0 ⇒ f(x) > f(0)
f(0) = ln 1 – 0 = 0 – 0 = 0

g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
g(x) > g(0)
g(0) = 0 ln 1 = 0 – 0 = 0

(1), (2) ల నుండి
2x < ln \(\frac{(1+x)}{1-x}\) < 2x \(\left(1+\frac{\mathrm{x}^2}{2\left(1-\mathrm{x}^2\right)}\right)\) x ∈ (0, 1)

ప్రశ్న 5.
y = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3 x}{2}\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12 ప్రమేయానికి ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు పెరుగుతాయి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము У = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3}{2} x^2\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12

వాలు ఆరోహణము
⇒ m > 0
x – 3 > 0
x > -3
వాలు (3, ∝) లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 6.
(0, ∝) అంతరంలో ln\(\frac{(1+x)}{x}\), \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) ప్రమేయాలు అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
i)

∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ii)
f(x) = \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) అనుకుందాం


∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ప్రశ్న 7.
f(x) = x³ – 3x² + 4 ∀ x ∈ R అంతరంలో శుద్ధ అవరోహణం అవుతుందో కనుక్కోండి
సాధన:
f(x) = x³ – 3x² + 4
f'(x) = 3x² – 6x
f(x) is increasing if f'(x) > 0
3x² – 6x > 0
3x(x – 2) > 0
(x – 0) (x – 2) > 0
f(x) is increasing if x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
f(x) is decreasing if f'(x) < 0
(x – 0) (x – 2) < 0
x ∈ (0, 2)

ప్రశ్న 8.
f(x) = sin⁴x + cos⁴x ∀ x ∈ \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin⁴x + cos⁴x
f(x) = (sin²x)² + (cos²x)²
= (sin²x + cos²x)² – 2sin²x cos²x
= 1 – \(\frac{1}{2}\) sin² 2x
f'(x) = \(\frac{-1}{2}\) sin 2x. cos 2x(2)
= -2 sin 2x . cos 2x
= -sin 4x
Let 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది f'(x) < 0
−sinx < 0 sinx > 0
∴ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\)
f(x) విలువ పెరుగుతుంది f'(x) > 0
– sinx > 0
sinx < 0
x ∈ \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(a)

I.

Question 1.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో BC, CD ల మధ్య బిందువులు వరుసగా L, M అయితే
(i) \(\overline{\mathrm{AL}}\), \(\overline{\mathrm{AM}}\) లను \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\) లలో కనుక్కోండి.
(ii) \(\overline{\mathbf{A M}}=\lambda \overline{\mathrm{AD}}-\overline{\mathrm{LM}}\) అయితే λ విలువ కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
∆ABC లో AB, BC, CA ల మధ్య బిందువులు వరుసగా P, Q, R. ‘D’ ఏదైనా బిందువు అయితే,
(i) \(\overline{\mathrm{DA}}+\overline{\mathrm{DB}}+\overline{\mathrm{DC}}\) ను \(\overline{\mathbf{D P}}, \overline{\mathbf{D Q}}, \overline{\mathbf{D R}}\) లలో వ్యక్తపరచండి.
(ii) \(\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{QB}}+\overline{\mathrm{RC}}=\bar{\alpha}\) అయితే \(\bar{\alpha}\) ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
\(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}\) అనుకోండి. \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}\) దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
సదిశలు \(-\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{4} \overline{\mathbf{j}}+\lambda \overline{\mathbf{k}}, \mu \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{8} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{6} \overline{\mathbf{k}}\) సరేఖీయాలైతే, λ, µ లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14; May ’12]
Solution:

Question 5.
పంచభుజి ABCDE లో \(\overline{\mathbf{A B}}, \overline{\mathbf{A E}}, \overline{\mathbf{B C}}, \overline{\mathbf{D C}}, \overline{\mathbf{E D}}\), \(\overline{\mathbf{A C}}\) ల మొత్తం λ \(\overline{\mathbf{A C}}\) అయితే, λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 6.
A, B, C బిందువుల స్దాన దిశలు వరుసగా \(-\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\), \(-4 \overline{\mathbf{i}}+2 \bar{j}+2 \overline{\mathbf{k}}, 6 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-13 \overline{\mathbf{k}}\) అవుతూ \(\overline{\mathbf{A B}}=\lambda \overline{\mathrm{AC}}\) అయితే λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
‘O’ మూలబిందువు.

Question 7.
\(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{A B}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{B C}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{C D}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\), అయితే \(\overline{O D}\) సదిశను కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 8.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{5} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{m} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{n} \overline{\mathbf{k}}\) లు సరేఖీయ సదిశలైతే m, n లను కనుక్కోండి. [(T.S), Mar ’15; May ’11]
Solution:

Question 9.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2 i}+\mathbf{4} \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{2 \overline { \mathbf { k } }}\) అయితే \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}\) సదిశకు అభిముఖ దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15 ’12, ’04; May ’12]
Solution:

Question 10.
\(3 \bar{i}+5 \bar{j}+2 \bar{k}, 2 \bar{i}-3 \bar{j}-5 \bar{k},-5 \bar{i}-2 \bar{j}+3 \bar{k}\) సదిశలతో ఏర్పడే త్రిభుజం, సమబాహు త్రిభుజం అవుతుందా?
Solution:
∆ABC భుజాలు
\(\overline{\mathrm{AB}}=3 \overline{\mathrm{i}}+5 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)

Question 11.
\(3 \bar{i}-6 \bar{j}+2 \bar{k}\) సదిశ నిరూపక అక్షాలతో ధనాత్మక దిశలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే cos α, cos β, cos γ లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 12.
(1, -3, 2), (3, -5, 1) ల గుండా పోయే సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలను కనుక్కోండి.
Solution:
నిరూపకాక్షాలతో యూనిట్ సదిశలు వరసగా \(\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}\).
ఇచ్చిన బిందువు A(1, -3, 2) మరియు B(3, -5, 1) మూల బిందువు ‘O’ అనుకొనుము.

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}=\alpha \overline{\mathbf{d}}, \overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{d}}=\beta \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{d}}=\mathbf{0}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే, ఈ కింది నాలుగు బిందువులు సతలీయాలని చూపండి. [May ’12]
(i) \(-\bar{a}+4 \bar{b}-3 \bar{c}, 3 \bar{a}+2 \bar{b}-5 \bar{c}\), \(-3 \bar{a}+8 \bar{b}-5 \bar{c},-3 \bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

ఏదేని ఒక సదిశను మిగిలిన రెండు సదిశల రేఖీయ సంయోగంగా వ్రాస్తే,

A, B, C, D లు సతలీయాలు.
∴ దత్త బిందువులు సతలీయాలు.

(ii) \(6 \bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}, 2 \bar{a}-\bar{b}+3 \bar{c},-\bar{a}+2 \bar{b}-4 \bar{c}\), \(-12 \bar{a}-\bar{b}-3 \bar{c}\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

Question 3.
\(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{j}}, \overline{\mathbf{k}}\) ధన నిరూపకాక్షాల వెంబడి యూనిట్ సదిశలైతే, \(\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}},-\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, 3 \overline{\mathbf{i}}+9 \overline{\mathbf{j}}+4 \overline{\mathbf{k}}\), \(-4 \bar{i}+4 \bar{j}+4 \bar{k}\) అనే నాలుగు బిందువులు సతలీయాలని చూపండి. [Mar. ’14]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

Question 4.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే ఈ కింద ఇచ్చిన స్థాన సదిశల బిందువుల సరేఖీయత పరీక్షించండి.
(i) \(\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}, 2 \bar{a}+3 \bar{b}-4 \bar{c},-7 \bar{b}+10 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C లు దత్త బిందువులు.

(ii) \(3 \bar{a}-4 \bar{b}+3 \bar{c},-4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}\), \(4 \bar{a}-7 \bar{b}+6 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్తబిందువులు

(iii) \(2 \bar{a}+5 \bar{b}-4 \bar{c}, \bar{a}+4 \bar{b}-3 \bar{c}, 4 \bar{a}+7 \bar{b}-6 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్త బిందువులు.

III.

Question 1.
కార్టీసియన్ తలంలో మూలబిందువు O. ఒక వ్యక్తి O నుంచి ఈశాన్య (NORTH-EAST) దిశలో 3 యూనిట్లు నడచి P అనే బిందువును చేరుకున్నాడు. అక్కడనుంచి వాయవ్య (NORTH-WEST) దిశకు సమాంతరంగా 4 యూనిట్లు నడిచి, Q అనే బిందువును చేరుకున్నాడు. OQ సదిశను \(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{j}}\) లలో కనుక్కోండి. (ఇక్కడ ∠XOP = 45°).
Solution:
‘O’ మూలబిందువు
∠ХОР = 45°

Question 2.
O, A, B, X, Y బిందువులు \(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O B}}=\overline{\mathbf{b}}\), \(\overline{\mathbf{O X}}=3 \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O Y}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{b}}\) అయ్యేటట్లు ఉంటే \(\overline{\mathrm{BX}}\), \(\overline{\mathrm{AY}}\) సదిశలను \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లలో రాయండి. ఇంకా P అనే బిందువు AY ను 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తే \(\overline{\mathbf{B P}}\) ని \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లలో రాయండి.
Solution:
\(\overline{O A}=\bar{a}, \overline{O B}=\bar{b}, \overline{O X}=3 \bar{a}, \overline{O Y}=3 \bar{b}\)

Question 3.
∆OAB లో AB మధ్యబిందువు E, OF = 2FA అయ్యేలా OA మీద F ఒక బిందువు. OE, BF ల ఖండన బిందువు C అయితే OC : CE, BC : CF నిష్పత్తులను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
PQ రేఖాఖండాన్ని E బిందువు 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది. PQ రేఖపై లేని బిందువు R. QF : FR = 2 : 1 అయ్యేటట్లు QR మీద F ఒక బిందువు అయితే PR కు EF సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(d)

అభ్యాసం – 8 (డి)

I. క్రింది అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{x^2-6 x+9}\)
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{x^2-6 x+9}\)
= \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{(x-3)^2}\)
= \(\frac{9+9+2}{0}\)
= ∞

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1-}\frac{1+5 x^3}{1-x^2}\)
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1-}\frac{1+5 x^3}{1-x^2}\)
= \(\frac{1+5(1)^3}{1-1^2}=\frac{1+5}{1-1}\)
= \(\frac{6}{0}\)
= ∞

ప్రశ్న 3.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{3 x^2+4 x+5}{2 x^3+3 x-7}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-x+7}{x+3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^-x2
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^-x2
= \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{e^{x^2}}\)
= \(\frac{1}{\infty}\) = 0 (కనుక e > 1)

ప్రశ్న 6.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{\sqrt{x^2+6}}{2 x^2-1}\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{8|x|+3 x}{3|x|-2 x}\)
సాధన:
x → ∞ ⇒ x > 0 ∴ |x| = x

ప్రశ్న 2.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{x^2+5 x+2}{2 x^2-5 x+1}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\frac{2 x^2-x+3}{x^2-2 x+5}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{x \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{11 x^3-3 x+4}{13 x^3-5 x^2-7}\) [Mar. ’14]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\underset{x \rightarrow 2}{\text { Lt }}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\frac{5 x^3+4}{\sqrt{2 x^4+1}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) [May, ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) [Mar, ’11]
సాధన:

III.

ప్రశ్న 1.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\left(\frac{2 x+3}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{2+\sin x}{x^2+3}\)
సాధన:

∴ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

ప్రశ్న 3.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{2+\cos ^2 x}{x+2007}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}\)
సాధన:
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}\)
-1 ≤ – cos 3x ≤ 1

⇒ \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) f(x) = 6

ప్రశ్న 5.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{\cos x+\sin ^2 x}{x+1}\)
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(c)

అభ్యాసం – 8 (సి)

I. క్రింద అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.

సాధన:

ప్రశ్న 2.

సాధన:
y = x – \(\frac{\pi}{2}\) అయితే x → \(\frac{\pi}{2}\) అయినప్పుడు y → 0 అవుతాయి

ప్రశ్న 3.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sin a x}{x \cos x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1}\frac{\sin (x-1)}{\left(x^2-1\right)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sin (a+b x)-\sin (a-b x)}{x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\frac{\tan (x-a)}{x^2-a^2}\) (a ≠ 0) [T.S. Mar. ’15]
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\frac{\tan (x-a)}{x^2-a^2}\)
x = a + h అనుకొందాం x → a అయినప్పుడు h → 0 అవుతాయి.

ప్రశ్న 7.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{7 x}-1}{x}\) [May. ’13]
సాధన:
x → 0 కావున
7x → 0

ప్రశ్న 8.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{3+x}-e^3}{x}\)
సాధన:
e³ \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}\)
= e³(1) = e³

ప్రశ్న 9.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^x-e^3}{x-3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{\sin x}-1}{x}\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1}\frac{(2 x-1)(\sqrt{x}-1)}{\left(2 x^2+x-3\right)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\left[\frac{x \sin a-a \sin x}{x-a}\right]\) [Mar. ’11]
సాధన:


= sin a – a cos a . 1 = sin a – a cos a

ప్రశ్న 3.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\left[\frac{\cos a x-\cos b x}{x^2}\right]\) [May ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 2}\frac{\left(2 x^2-7 x-4\right)}{(2 x-1)(\sqrt{x}-2)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\log _e(1+5 x)}{x}\)
సాధన:
x → 0 కావున
5x → 0

ప్రశ్న 6.

సాధన:
L.H. నియమం ప్రకారం

III.

ప్రశ్న 1.

సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\left[\frac{3^x-1}{\sqrt{1+x}-1}\right]\)
సాధన:

= \(\frac{\log 3}{\frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{1}{2}}}\) = (2 . log 3)

ప్రశ్న 3.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\left[\frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}\right]\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\frac{\sin (x-a) \tan ^2(x-a)}{\left(x^2-a^2\right)^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 2 m x}{\sin ^2 n x}\) (m, n ∈ Z)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sec x-1}{x^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos m x}{1-\cos n x}\), (n ≠ 0)
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{x\left(e^x-1\right)}{1-\cos x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 11.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\log \left(1+x^3\right)}{\sin ^3 x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{x \tan 2 x-2 x \tan x}{(1-\cos 2 x)^2}\)
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i)

కింది సమఘాత సమీకరణ వ్యవస్థలను సాధించండి.

Question 1.
12x + 3y – z = 0, x – y – 2z = 0, 3x + y + 3z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
నిర్ధారకం \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= 2(-3 + 2) – 3(3 + 6) – 1(1 + 3)
= -2 – 27 – 4
= -33 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 2.
3x + y – 2z = 0, x + y + z = 0, x – 2y + z = 0
సూచన: గుణక మాత్రిక నిర్ధారకం సున్న కాకపోతే దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right|\) = 3(1 + 2) – 1(1 – 1) – 2(-2 – 1)
= 9 + 6
= 15 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 3.
x + y – 2z = 0, 2x + y – 3z = 0, 5x + 4y – 9z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\) = A అనుకొనుము.
|A| = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5)
= 3 + 3 – 6
= 0
∴ A కోటి = 2, ఉప మాత్రిక, \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక, మాత్రిక 3 కనుక.
దత్త వ్యవస్థకు తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – 2R₁, R₃ → R₃ – 3R₁ చేస్తే,
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1
\end{array}\right]\)
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – 2z = 0
-y + z = 0
z = k అనుకొంటే, y = k, x = k
∴ x = y = z = k, k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Question 4.
x + y – z = 0, x – 2y + z = 0, 3x + 6y – 5z = 0.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – 3R₁
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
⇒ det A = 0 [∵ R₂ = -R₃]
కోటి (A) = 2, ఉపమాత్రిక \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -3
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక
కనుక. [∵ ρ(A) = 2]
కాబట్టి దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – z = 0
3y – 2z = 0
z = k అయిన, y = \(\frac{2 k}{3}\), x = \(\frac{k}{3}\)
∴ x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 k}{3}\), z = k
k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(h) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(h)

అభ్యాసం 10 (హెచ్)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు వాటి ప్రక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై స్థానిక అంత్యబిందువులు, స్థానిక అంత్య విలువలు (ఉంటే) కనుక్కోండి.

i) f(x) = x², ∀ x ∈ R.
సాధన:
f(x) = x²
f(x) = 2x = f”(x) = 2
గరిష్టం, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
2x = 0
x = 0
ఇప్పుడు f”(x) = 2 > 0
∴ f(x) వద్ద x = 0 కనిష్ట విలువ ఉంది.
స్థానిక కనిష్ట బిందువు x’ = 0
స్థానిక కనిష్ట విలువ = 0.

ii) f(x) = sin x, [0, π)
సాధన:
ఇచ్చినది f(x) = sinx
⇒ f'(x) = cosx
⇒ f”(x) = – sin x
గరిష్ట లేక కనిష్ట విలువలు
f'(x) = 0
cos x = 0
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\), \(\frac{5 \pi}{2}\), \(\frac{7 \pi}{2}\)

i) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = \(-\sin \frac{\pi}{2}\) = -1 < 0
f(x) = sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = \(\frac{\pi}{2}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ x = 1

ii) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\)
= – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1 > 0
f(x) = sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = \(\frac{3 \pi}{2}\)
స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = -1

iii) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\)
= -sin \(\frac{5 \pi}{2}\) = -1 < 0
f(x) = sin \(\frac{5 \pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = \(\frac{5 \pi}{2}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ x = 1

iv) \(f^{\prime \prime}\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -sin \(\frac{7 \pi}{2}\) = 1 > 0
f(x) = sin \(\frac{7 \pi}{2}\) = 1
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు x = \(\frac{7 \pi}{2}\)
స్థానిక కనిష్ట విలువ x = -1

ii) f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
సాధన:
f'(x) = 3x² – 12x + 9 ⇒ f”(x) = 6x – 12
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ 3x² – 12x + 9 = 0
⇒ x² – 4x + 3 = 0
⇒(x – 1) (x – 3) = 0.
⇒ x = 1 లేదా 3
ఇప్పుడు f”(1) = 6(1) – 12 = -6 < 0
∴ f(x), x = 1 వద్ద గరిష్టము
గరిష్ఠ విలువ f(1)= 1³ – 6 (1)² + 9(1) + 15
= 1 – 6 + 9 + 15 = 19
f”(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0
∴ f(x), x = 35 g వద్ద కనిష్టము
కనిష్ఠ విలువ = f(3) = 3³ – 6.3² + 9.3 + 15
= 27 – 54 + 27 + 15
= 15

iv) f(x) = \(x \sqrt{(1-x)}\) ∀ x = (0, 1)
సాధన:

గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0

v) f(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\) ∀ x ∈ R
సాధన:

∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ \(\frac{-2 x}{\left(x^2+2\right)^2}\) = 0 ⇒ x = 0
f”(0) = \(\frac{2(0-2)}{(0+2)^3}\) = \(\frac{-4}{8}\) = \(\frac{-1}{2}\) < 0
∴ f(x), x = 0 వద్ద గరిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(0) = \(\frac{1}{0+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

vi) f(x) = x³ – 3x ∀ x ∈R
సాధన:
f'(x) = 3x² – 3 మరియు f'(x) = 6x
∴గరిష్ఠ, కనిష్ట విలువలకు f'(x) = 0
⇒ 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0
⇒ x = ±1
ఇప్పుడు f”(1) = 6(1) = 6 > 0
∴ f(x), x = 1 ల వద్ద కనిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(1) = 1³ – 3 (1) = -2
f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0
∴ f(x) కు x = 1 వద్ద గరిష్ఠం
గరిష్ఠ విలువ = f(-1) = (-1)³ – 3(-1)
= -1 + 3 = 2

vii) f(x) = (x – 1)(x + 2)² ∀ x ∈ R
సాధన:
f'(x) = (x – 1) (x + 2)²
f(x) = (x – 1)2(x + 2) + (x + 2)²
= 2(x – 1) (x + 2) + (x + 2)²
f”(x) = 2(x – 1) + 2(x + 2) + 2(x + 2)
= 2(x – 1 + x + 2 + x + 2)
= 2(3x + 3) = 6(x + 1)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
2(x – 1)(x + 2) + (x + 2)² = o
(x + 2) [2(x – 1) + (x + 2)] = 0
⇒ (x + 2) (3x) = 0
⇒ x = 0, x = -2
ఇప్పుడు f”(0) = 6(0 + 1) = 6 > 0
∴ f(x), x = -2 వద్ద కనిష్ఠము
కనిష్ఠ విలువ f(0) = (0 – 1)(0 + 2)² = -4
f”(-2) = 6(-2 + 1) = -6 < 0
∴ f(x), x = -2 వద్ద గరిష్ఠము
గరిష్ఠ విలువ f(-2) = (-2 – 1)(-2 + 2)² = 0

viii) f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\) ∀ x ∈ R
సాధన:
f'(x) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{x^2}\) మరియు f”(x) = \(\frac{4}{x^3}\)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}\) = 0 ⇒ x² – 4 = 0 ⇒ x = ±2
f”(2) = \(\frac{4}{2^3}\) = \(\frac{1}{2}\) > 0 (x > 0 కనుక)
∴ f(x), x = 2 వద్ద కనిష్ఠ విలువ ఉంది
కనిష్ఠ విలువ = f(2) = \(\frac{2}{2}\) + \(\frac{2}{2}\) = 1 + 1 = 2

ix) f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ R
సాధన:
f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² = (1 – x)³ (x + 1)²
f'(x) = (1 – x)³ 2(x + 1) + 3(1 – x)² (-1) (x + 1)
= (1 – x²) (x + 1) {2(1 – x) – 3(x + 1)}
= (1 – x)²(x + 1){2 – 2x – 3x – 3} = 0
= (1 – x)²(x + 1)(-1 – 5x)
f’'(x) = (1 – x)²(x + 1)(-5) + (1 – x)²(-1 – 5x) + (x + 1)(-1 – 5x) 2(1 – x)(-1)
= -5 (1 – x)² (x + 1) — (1 + 5x) (1 – x)² + (x + 1)(1 + 5x)2(1 – x)
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0
(1 – x)² (x + 1) (-1 – 5x) = 0
⇒ x = ±1 లేదా -1/5
f’'(1) = 0 – 0 + 0 ⇒ x = 0
f”(1 + 1)²(-1) = 0 – (1 – 5) + 0 = 16 > 0
∴ f(x), x = -1 వద్ద కనిష్ఠం
కనిష్ఠ విలువ f(-1) = (1 + 1)³(-1 + 1)² = o
f”\(\left(-\frac{1}{5}\right)\) < 0
⇒ f(x), x = \(-\frac{1}{5}\) వద్ద గరిష్టము
గరిష్ఠ విలువ f\(\left(-\frac{1}{5}\right)\) = \(\frac{3456}{3125}\)

x) f(x) = x² e^3x x ∈R
సాధన:
f'(x) = x² e^3x . 3 + e^3x. 2x
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
3x² e^3x + 2e^3x.x = 0
x² e^3x (3x + 2) = 0
x = 0, x = \(\frac{-2}{3}\) మరియు e^3x = 0
ఇప్పుడు f”(x) = 3(x² e^3x. 3 + e^3x 2x) + e^3x 2 + 2x e^3x f”(x)
= 9x²e^3x + 6x e^3x + 2 e^3x + 6xe^3x
= 9x²e^3x + 12xe^3x + 2e^3x
f”(0) = 2 > 0
∴ స్థానిక కనిష్ట బిందువు = 0
స్థానిక కనిష్ట విలువ = 0
\(f^{\prime \prime}\left(\frac{-2}{3}\right)\) = \(\frac{-2}{e^2}\) < 0
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు = \(\frac{-2}{3}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ = \(\frac{4}{9 e^2}\)

II. క్రింది ప్రమేయాలకు వాటి ప్రక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై గరిష్ఠత్వ, పరమ కనిష్ఠం చూపండి.

i) f(x) = e^x
సాధన:
f'(x) = e^x మరియు f”(x) = e^x
∴ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు f'(x) = 0 ⇒ e^x = 0 ⇒ e^x = 0
⇒ x నిర్వచితం కాదు
దత్త ప్రమేయానికి గరిష్ఠ, కనిష్టాలు లేవు.

ii) f(x) = log x (0, ∝)
సాధన:
f'(x) = \(\frac{1}{x}\) మరియు f”(x) = \(-\frac{1}{x^2}\)
f'(x) = 0 = x నిర్వచితం కాదు
⇒ f(x) కు గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు లేవు

iii) f(x) = x³ + x² + x + 1
సాధన:
f(x) = 3x² + 2x + 1 = 0 కు వాస్తవ విలువలు లేవు.
⇒ f(x) కు గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు లేవు.

II. క్రింది ప్రమేయాలకు పక్కనే సూచించిన ప్రదేశాలపై పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలను (ఉంటే) కనుక్కోండి.

i) f(x) = x³ ; [-2, 2]
సాధన:
f'(x) = 3x² > 0 కనుక f ఆరోహణము f”(x) = 6x
కనిష్ఠ విలువ f(-2) = (-2)³ = 8
గరిష్ఠ విలువ f(2) = 2³ = 8

ii) f(x) = (x – 1)² + 3 ; [-3, 1]
సాధన:
x = 1 వద్ద కనిష్ఠము
కనిష్ఠ విలువ = f(1) = 0 + 3 = 3
(-3, 1) లో f ఆరోహణము రిష్ట విలువ
f(-3) = (-3, -1)² + 3 = 16 + 3 = 19
f(1) = 0 + 3 = 3
గరిష్ఠ విలువ = 19
కనిష్ఠ విలువ = 3

iii) f(x) = 2|x| on [-1, 6]
సాధన:
f'(x) = \(\frac{2|x|}{x}\)
గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలు f'(x) = 0
\(\frac{2|x|}{x}\) = 0 ⇒ x = 0
f(0) = 0
f(-1) = 2(-1) = 2
f(6) = 2(6) = 12
కనిష్ఠ విలువ = 0
గరిష్ఠ విలువ = 12

iv) f(x) = sin x + cos x ; [0, π]
సాధన:
f(x) = cos x – sin x ప్రతి x ∈ (0, π) కు వ్యవస్థితం
f'(x) = 0 ⇒ cos x – sin x = 0 కనుక
⇒ tan x = 1
⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\) ∈(0,π)
f(0) = sin 0 + cos 0 = 1 కనుక
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin \(\frac{\pi}{4}\) + cos \(\frac{\pi}{4}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
∴ కనిష్ట విలువ -1
గరిష్ఠ విలువ \(\sqrt{2}\)

v) f(x) = x + sin 2x ; [0, 2π]
సాధన:
f(x) = x + sin 2x
f'(x) = 1 + 2 cos 2x
f'(x) = 0 ⇒ 2 cos 2x + 1 = 0
⇒ cos 2x = \(-\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ 2x = \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (0, 2π)
f(0) = 0 + sin 2(0) = 0
f\(\left(\frac{\pi}{3}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\) + sin 2. \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{3}\) + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
f(2π) 2π + sin 2. 2л = 2л + 0 = 2π
కనిష్ట విలువ = 0
గరిష్ఠ విలువ = 2π

ప్రశ్న 2.
మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x³ – 12x ప్రమేయానికి R పై స్థానిక అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x³ – 12x
f(x) = 3x² – 12
f”(x) = 6x
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x = ± 2
f”(2) = 12 > 0
స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = 2
స్థానిక గరిష్ట విలువ = -16
f”(-2) = -12 < 0
స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = -1
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 16

ప్రశ్న 3.
మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x² – 6x + 8 ∀ x ∈ Rకు స్థానిక అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x² – 6x + 8
f'(x) = 2x – 6 ⇒ f”(x) = 2
గరిష్ట, కనిష్ట విలువకు f(x) = 0.
2x – 6 = 0
x = 3
f”(3) = 2 > 0
x = 3
∴ స్థానిక గరిష్ట బిందువు x = 3
స్థానిక కనిష్ట విలువ = -1

ప్రశ్న 4.
రెండో అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72 ∀ x ∈ Rకు స్థానిక అంత్య విలవులు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x³ – 9x³ – 48x + 72.
f'(x) = 3x² – 18x – 48
= 3(x – 8) (x + 2)
విరామ బిందువులు – 2 & 8
f”(x) = 6x – 18 = 6(x – 3)
At x = 8, f”(8) = 30 > 0.
∴ (8) = (8)³ – 9(8)² – 48(8) + 72
= 512 – 576 – 384 + 72
= -376
At x = -2, f”(-2) = -30 < 0
f(-2) = (-2)³ – 9(-2)² – 48(-2) + 72
= -8 – 36 + 96 + 72
= 124
స్థానిక కనిష్ట బిందువు = -376
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 124

ప్రశ్న 5.
రెండో అవకలజ పరీక్షను ఉపయోగించి
f(x) = -x³ + 12x⁵ – 5 ∀ x ∈ R కు స్థానిక అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = -x³ + 12x² – 5
⇒ f(x) = -3x² + 24x
= -3x(x – 8)
విరామ బిందువులు 0, 8
f”(x) = -6x + 24
At x = 0, f”(0) = 24 > 0.
f(0) = -5
At x = 8, f”(8) = -24 < 0
f(8) = 8³ + 12(8)² – 5
= -512 + 768 – 5
= 251
స్థానిక కనిష్ట విలువ = -5
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 251

ప్రశ్న 6.
\(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = -sin 2x – x కు స్థానిక గరిష్ట, స్థానిక కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = -sin 2x – x
f'(x) = -2cos 2x – 1
f”(x) = 4 sin 2x

స్థానిక కనిష్ట విలువ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) – \(\frac{\pi}{3}\)
స్థానిక గరిష్ట విలువ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 7.
[0, 5] పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2 కు స్థానిక గరిష్ట, స్థానిక కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2
f(x) = 6x² – 6x – 36
f”(x) = 12x – 6
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f'(x) = 0
6x² – 6x – 36 = 0
x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x(x + 3) + 2(x – 3) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = 3, -2
f”(3) = 30 > 0
x = 3 వద్ద f(x)కు గరిష్ట/కనిష్ట విలువ
f(3) = 2(3)³ – 3(3)² – 36(3) + 2
= 54 – 27 – 108 + 2
= -79
స్థానిక గరిష్ట విలువ = – 79
0 ≤ x ≤ 5
∴ f(0) = 0 – 0 – 0 + 2
= 2
∴ స్థానిక గరిష్ట విలువ = 2.

ప్రశ్న 8.
[-2, \(\frac{9}{2}\)] పై నిర్వచితమైన ప్రమేయం f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\) అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\)
f'(x) = 4 – x
f”(x) = -1
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ f'(x) = 0
4 – x = 0
x = 4
f”'(4) = −1 <0
x = 4 వద్ద కు గరిష్ట విలువ
f(4) = 16 – \(\frac{16}{2}\) = 8.
∵ -2 ≤ x ≤ \(\frac{9}{2}\)
∴ f(-2) = -8 – \(\frac{4}{2}\)
= -8 – 2 = -10
∴ స్థానిక కనిష్ట విలువ = -10
స్థానిక గరిష్ట విలువ = 8

ప్రశ్న 9.
ఒక కంపెనీ లాభప్రమేయం P(x) = -41 + 72x – 18x² అయితే కంపెనీ గరిష్ట లాభాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన;
P(x) = -41 + 72x – 18x²
\(\frac{d p(x)}{d x}\) = 72 – 36x
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ
72 – 36x = 0
x = 2
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = -36′ < 0
∴ x = 2 వద్ద f(x) కు గరిష్ట లాభం
గరిష్ట లాభం P(2) = -41 + 72(2) – 18(4)
= 31

ప్రశ్న 10.
ఒక కంపెనీ ఒక వస్తువును x యూనిట్లను అమ్మితే వచ్చే P(x) = -x² + 9x² – 15x – 13 (x యూనిట్లు వెలలో) ఆ కంపెనీ 6000 వస్తువులను తయారు (ఉత్పత్తి) చేసే సామర్థ్యం ఉంటే గరిష్ట లాభాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x) = -x³ + 9x² – 15x – 13
\(\frac{\mathrm{dp}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = -3x² + 18x – 15
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు \(\frac{d p}{d x}\) = 0
-3x² + 18x – 15 = 0
x² – 6x + 5 = 0
x² – 5x – x + 5 = 0
x(x – 5) – 1(x – 5) = 0
(x – 1) (x – 5) = 0
x = 1, 5
P(1) = -1 + 9 – 15 – 13 = -10
P(5) = -125 + 225 – 75 – 13 = 12
∴ గరిష్ట లాభం = 12.

III.

ప్రశ్న 1.
ఒక కంపెనీ రోజుకు X సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మితే వచ్చే లాభ ప్రమేయం P(x) = (150 – x) x – 1000. అది గరిష్ట లాభాన్ని పొందడానికి కంపెనీ ఆ వస్తువును ఎన్ని తయారు (ఉత్పత్తి) చేయాలి. గరిష్ట లాభాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
లాభ ప్రమేయం
P(x) = (150 – x) x – 1000.
గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ \(\frac{d p}{d x}\) = 0
(150 – x(1) – x (-1) = 0
150 – 2x = 0
x = 75
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = -2 < 0
∴ x = 75 వద్ద గరిష్ట లాభం
గరిష్ట లాభాన్ని పొందటానికి కంపెనీ 75 వస్తువులు అమ్మాలి.
గరిష్ట లాభం P(75) = 4625.

ప్రశ్న 2.
f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 ∀ x ∈ R [-8, 2] పరమ గరిష్టం, పరమ కనిష్టాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8.
f'(x) = 24x² + 162x – 42 = 0
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు f(x) = 0
24x² + 162x – 42 = 0
4x² + 27x – 7 = 0
4x² + 28x – x – 7 = 0
4x(x + 7) – 1(x + 7) = 0
(x + 7) (4x – 1) = 0
x = – 7 లేదా \(\frac{1}{4}\)
f(-8) = 8(-8)³ + 81(-8)² – 42(-8) – 8
= -8(512) + 81(64) + 336 – 8
= – 4096 + 5184 + 336 – 8
= 5520 – 4104 = 1416
f(2) = 8(2)³ + 81(2)² – 42(2) – 8
= 64 + 324 – 84 – 8
= 296

పరమ గరిష్ట విలువ = 1416
పరమ కనిష్ట విలువ = \(\frac{-213}{16}\)

ప్రశ్న 3.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 16గా ఉంటూ వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్టంగా ఉండే సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన:
x, yలు రెండు సంఖ్యలు అనుకోండి.
x + y = 16
⇒ у = 16 – x
f(x) = x² + y² = x² + (16 – x)²
= x² + 256 + x² – 32x
f'(x) = 4x – 32
కనిష్ట, గరిష్ట విలువలు f'(x) = 0
⇒ 4x – 32 = 0
4x = 32
x = 8
f”(x) = 4 > 0
∴ x = 8 వద్ద f(x) కనిష్ఠం
y = 16 – x = 16 – 8 = 9
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 8, 8.

ప్రశ్న 4.
x + y = 60, xy³ మహిష్ఠం అయ్యేటట్లుగా రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలు x, y లను కనుక్కోండి ధనాత్మక సంఖ్యలు x, y లను కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
x + y = 60 ⇒ y = 60 – x – (1)
p = xy³ = x(60 – x)³.
= -3(60 – x)²(-1) + (60 – x)³
=-3x (60 – x)² + (60 – x)³
= (60 – x)² – 3x + 60 – x]
= (60 – x)² (60 – 4x) = 4(60 – x)² (15 – x)
\(\frac{d^2 p}{d x^2}\) = 4[(60 – x)² (-1) + (15 – x) 2(60 – x) (-1)].
= 4(60 – x) [-60 + x – 30 + 2x]
= 4(60 – x) (3x – 90)
= 12 (60 – x) (x – 30)
గరిష్ట, కనిష్ట విలువలు \(\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}\) = 0
⇒ 4(60 – x)² (15 – x) = 0
⇒ 4(60 – x)² (15 – x) = 0
⇒ x = 60 లేదా x = 15 ; x అనేది 60 అవ్వదు.
∴ x = 15 ⇒ y = 60 – 15 = 45
\(\left(\frac{d^2 p}{d x^2}\right)_{x=15}\) = 12(60 – 15) (15 – 3x) < 0
⇒ p గరిష్టము
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 15, 45.

ప్రశ్న 5.
30 సెం.మీ × 80 సెం.మీ కొలతలుగా ఉండే ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు రేకు ముక్క నాలుగు మూలల నుంచి x భుజంగా ఉండే చతురస్రాకార ముక్కలను కత్తిరించి మిగిలిన రేకులు మడిచి మూతలేని పెట్టెను తయారుచేశారు. ఆ పెట్టె ఘనపరిమాణం గరిష్టం అయితే x విలువ కనుక్కోండి ? (Mar. ’14)
సాధన:
పెట్టె యొక్క పొడవు = 80 – 2x = l
పెట్టె యొక్క వెడల్పు = 30 – 2x = b

పెట్టె ఎత్తు = x = h
ఘన పరిమాణము = lbh= (80 – 2x) (30 – 2x). x
= x (2400 – 220 x + 4x²)
f(x) = 4x³ – 220x² + 2400x
f”(x) = 12x² – 440x + 2400
= 4[3x² – 110 x + 600]
f’ (x) = 0 = 3x² – 110x + 600 = 0
x = \(\frac{110 \pm \sqrt{12100-7200}}{6}\)
= \(\frac{110 \pm 70}{6}\) = \(\frac{180}{6}\) లేదా \(\frac{40}{6}\) = \(\frac{30}{3}\) లేదా \(\frac{20}{3}\)
x = 30, b = 30 – 2x = 30 – 2 (30) = -30 < 0 అయితే
⇒ x ≠ 30
∴ x = \(\frac{20}{3}\)
f”(x) = 24x – 440
x = \(\frac{20}{3}\), అయితే f”(x) = 24. \(\frac{20}{3}\) – 440
= 160 – 440
= -280 < 0
f(x) విలువ x = \(\frac{20}{3}\) వద్ద గరిష్టము
x = \(\frac{20}{3}\) సెం. మీ వద్ద పెట్టె ఘనపరిమాణము గరిష్టము

ప్రశ్న 6.
దీర్ఘచతురస్రంపై అర్థవృత్తం ఉన్న ఆకారంలో ఉన్న కిటికీ చుట్టుకొలత 20 అడుగులు ఉండేటట్లు తయారుచేసే కిటికీలన్నింటికీ వైశాల్యాలలో గరిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కోరుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు = 2x అనుకొనుము. మరియు వెడల్పు = y అనుకుంటే అర్ధవృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = x అవుతుంది.

చుట్టుకొలత = 2x + 2y + π. x = 20
2y = 20 – 2x – πx
y = 10 – x – \(\frac{\pi}{2} \cdot x\)
వైశాల్యం = 2xy + \(\frac{\pi}{2} \cdot x^2\)
= 2x \(\left(10-x-\frac{\pi x}{2}\right)\) + \(\frac{\pi}{2} x^2\)
= 20x – 2x² – πx² + \(\frac{\pi}{2} \mathrm{x}^2\)
f(x) = 20x − 2x² – \(\frac{\pi}{2} x^2\)
f'(x) = 0 ⇒ 20x – 2x² – \(\frac{\pi}{2} x^2\)
f'(x) = 0 ⇒ 20 – 4x – πx = 0
(π + 4) x = 20
x = \(\frac{20}{\pi+4}\)
f”(x) = -4 – π < 0
f(x) ను గరిష్ఠం అనుకుంటే x = \(\frac{20}{\pi+4}\)

ప్రశ్న 7.
వ్యాసార్ధం గల గోళంలో అంతర్లిఖిత స్థూపాలలో (లంబవృత్త) వక్రతల వైశాల్యం గరిష్ఠమయ్యే స్థూపం ఎత్తు \(\sqrt{2}\)r అని చూపండి. (May ’11 ’13; Mar. ’13, ’08, ’04; June ’04)
సాధన:
స్థూపం వ్యాసార్ధము r, ఎత్తు h, అనుకొందాం.

ప్రశ్న 8.
l పొడవు ఉండే తీగను రెండు ముక్కలు చేసి ఒక ముక్కను చతురస్రాకారంగాను, రెండో ముక్కను వృత్తాకారంగాను వంచగా ఏర్పడిన వైశాల్యాల మొత్తం అల్పిష్ఠం కావాలంటే ఆ ముక్కల పొడవు ఎంత ?
సాధన:
చతురస్రం భుజము X, వృత్త వ్యాసార్ధం r, అనుకొందాం.

4x + 2πr = l అని ఇవ్వబడింది.
4x = l – 2πr
x = \(\frac{l-2 \pi \mathrm{r}}{4}\)
వైశాల్యాల మొత్తం = x² + πr²


ఇచ్చిన తీగ \(\frac{\pi l}{\pi+4}\) మరియు \(\frac{4 l}{\pi+4}\) ముక్కలుగా విడగొడితే వైశాల్యాల మొత్తము కనిష్ఠము.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(b)

అభ్యాసం – 8 (బి)

Iలో ప్రమేయాలు 1, 2, 3 లకు, II లో 1, 2 ప్రమేయాలకు వాటికెదురుగా ఇచ్చిన బిందువులు a ల వద్ద కుడి, ఎడమ అవధులను కనుక్కోండి. తద్వారా ఇ ల వద్ద అవధులు ఉన్నాయేమో చూడండి. ప్రమేయాలకు వాటికెదురుగా.

I.

ప్రశ్న 1.
f(x) = ; a = 1
సాధన:

ప్రశ్న 2.
f(x) = ; a = 3
సాధన:

ప్రశ్న 3.
f(x) = ; a = 2.
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
f(x) =
సాధన:

ప్రశ్న 2.
f(x) =
సాధన:

ప్రశ్న 3.

అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
అని చూపండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
x → 0 + ⇒ x > 0 |x| = x

ప్రశ్న 5.
లను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
అని చూపండి.
సాధన:

III.

ప్రశ్న 1.
f(x) =
ఈ ప్రమేయానికి \(\stackrel{L \dagger}{x \rightarrow 0}\) f(x) కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ LHS ≠ RHS
అవధి వ్యవస్థితం కాదు.

ప్రశ్న 2.


సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(a)

అభ్యాసం – 8 (ఎ)

I. క్రింది అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow a
\end{gathered}\frac{x^2-a^2}{x-a}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\) (x² + 2x + 3)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\) (x² + 2x + 3) = 1² + 2 . 1 + 3
= 1 + 2 + 3 = 6

ప్రశ్న 3.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{x^2-3 x+2}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{x^2-3 x+2}\)
= \(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{0-0+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 4.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{3}
\end{gathered}\frac{1}{x+1}\)
సాధన.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{3}
\end{gathered}\frac{1}{x+1}\)
= \(\frac{1}{3+1}\)
= \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 5.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\)
= \(\frac{2.1+1}{3.1^2-4.1+5}\)
= \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 6.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{x^2+2}{x^2-2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 2
\end{gathered}\left(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2+4}\right]\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2+4}\right]\)
= \(\frac{0-1}{0+4}\) = –\(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 9.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x^3/2 (x > 0)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x^3/2 (x > 0) = 0^3/2 = 0

ప్రశ్న 10.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) (\(\sqrt{x}\) + x^5/2) (x > 0)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) (\(\sqrt{x}\) + x^5/2)
= \(\sqrt{0}\) + 0^5/2 = 0 + 0 = 0

ప్రశ్న 11.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x² cos \(\frac{2}{x}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x² . \(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) cos \(\frac{2}{x}\) = 0 . k
|k| ≤ 1 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^2-9}{x^3-6 x^2+9 x+1}\)
సాధన:
\(\frac{9-9}{27-6(9)+27+1}=\frac{0}{54-54+1}=\frac{0}{1}\)
= 0

ప్రశ్న 13.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2-x}-\frac{1}{x^3-3 x^2+2 x}\right]\)
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^2-8 x+15}{x^2-9}\)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
f(x) = –\(\sqrt{25-x^2}\) అయితే
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన: