Inter 1st Year

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
XOY తలంలో బిందువు (-2, 3) నుంచి దూరం 5గా గల బిందువు పథ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువును A = (-2, 3) అని, బిందుపథం మీది బిందువును P(x, y) అని అనుకొందాం.
బిందువు P, బిందుపథం మీద ఉండటానికి తృప్తిపరచాల్సిన జ్యామితీయ నియమం
AP = 5 ………….. (1)
ఈ నియమాన్ని బీజీయంగా వ్యక్తీకరిస్తే
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\) = 5
అంటే, x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25
అంటే, x² + y² + 4x – 6y – 12 = 0 ……………….. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x₁, y₁) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను కొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² + 4x₁ – 6y₁ – 12 = 0
ఇప్పుడు A, Qల మధ్యదూరం
AQ = \(\sqrt{\left(x_1+2\right)^2+\left(y_1-3\right)^2}\)
అందువల్ల AQ² = x₁² + 4x₁ + 4 + y₁² – 6y₁ + 9
= (x₁² + y₁² + 4x₁ + 6y₁ – 12) + 25
= 25 ((3) ను ఉపయోగిస్తే)
కాబట్టి AQ = 5
అంటే బిందువు Q(x₁, y₁) జ్యామితీయ నియమం (1) ని తృప్తిపరుస్తుందని అర్థం.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x² + y² + 4x – 6y – 12 = 0.

ప్రశ్న 2.
బిందువు A(3, 0) నుంచి P బిందువు దూరం, B(-3, 0) బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి రెట్టింపు అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిందుపథం మీద P(x, y) ఒక బిందువనుకొందాం.
అప్పుడు P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం.
PA = 2PB
అంటే PA² = 4PB²
అంటే (x – 3)² + y² = 4[(x + 3)² + y²]
అంటే x² – 6x + 9 + y² = 4[x² + 6x + 9 + y²]
అంటే 3x² + 3y² + 30x + 27 = 0
అంటే x² + y² + 10x + 9 = 0 ………………. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x₁, y₁) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను
కొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² + 10x₁ + 9 = 0
ఇప్పుడు QA² = (x₁ – 3)² + y₁² + y₁²
= x₁² – 6x₁ + 9 + y₁²
= 4x₁² + 24x₁ + 36 + 4y₁²– 3x₁² – 30x₁ – 27 – 3y₁²
= 4(x₁² + 6x₁ + 9 + y₁²) – 3(x₁² + 10x₁ + 9 + y₁²)
= 4(x₁² + 6x₁ + 9 + y₁²) ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x₁ + 3)² + y₁²]
= 4 QB²
అందువల్ల QA = 2QB. అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1) ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x² + y² + 10x + 9
= 0.

ప్రశ్న 3.
(4, 0), (0, 4) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథం కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (4, 0), B = (0, 4) అనుకుందాం.
PA, PB లు లంబంగా ఉండేటట్లు P(x, y) ని తీసుకొందాం.
అప్పుడు PA² + PB² = AB² …………… (1)
P, A, B లు సరేఖీయాలు కావు.
(x – 4)² + y² + x² + (y – 4)² = 16 + 16,
P ≠ A, P ≠ B
లేదా x² + y² – 4x – 4y = 0,
(x, y) ≠ (4, 0), (x, y) ≠ (0, 4) ……….. (2)
Q(x₁, y₁) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందని, Q బిందువు A, B లకు భిన్నమైందని అనుకొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² – 4x₁ – 4y₁ = 0,
(x₁, y₁) ≠ (4, 0), (x₁, y₁) ≠ (0, 4) …………. (3)
ఇప్పుడు QA² + QB²
= (x₁ – 4)² + y₁² + x₁² + (y₁ – 4)²
= x₁² – 8x₁ + 16 + y₁² + x₁² + y₁² – 8y₁ + 16
= 2(x₁² + y₁² – 4x₁ – 4y₁) + 32
= 32 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= AB²
అందువల్ల QA² + QB² = AB², Q ≠ A, Q ≠ B.
అంటే Q(x₁, y) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల (2) కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం. ఇది A, Bలు మినహా, \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని వ్యాసంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
A(5, −4), B (7, 6) బిందువుల నుంచి P బిందువు దూరాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకొందాం.
P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{3}\)
అంటే 3AP = 2PB
అంటే AP² = 4PB²
అంటే 9[(x – 5)² + (y + 4)²] = 4[(x – 7)² + (y – 6)²]
అంటే 9[x² + 25 – 10x + y² + 16 + 8y] = 4[x² + 49 – 14x + y² + 36 – 12y]
అంటే 5x² + 5y² – 34x + 120y + 29 = 0
Q(x₁, y₁) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు 5₁x + 5y₁ – 34x₁ + 120y₁ + 29 = 0
ఇప్పుడు
9AQ2 = 9[x₁² + 25 − 10x₁ + y₁² + 16 + 8y₁]
= 5x₁² + 5y₁² − 34x₁ + 120y₁ + 29 + 4x₁² + 4y₁² – 56x₁ – 48y₁ + 340]
= 4[x₁² + y₁² – 14x₁ – 12y₁ +49 + 36] ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x₁ – 7)² + (y₁ – 6)²]
= 4QB²
అందువల్ల 3AQ = 2QB.
అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణము
5(x² + y²) – 34x + 120y + 29 = 0.

ప్రశ్న 5.
A(2, 3), B(-3, 4) లు దత్త బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 8.5 ఉండేటట్లుగా P బిందుపథ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకుందాం.
Pని తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం
∆PAB వైశాల్యం = 8.5 ………………. (1)
అంటే
\(\frac{1}{2}\) |x(3 – 4) + 2(4 – y) – 3 (y – 3)| = 8.5
అంటే |-x + 8 – 2y – 3y + 9| = 17
అంటే |-x – 5y + 17| = 17
అంటే -x − 5y + 17 = 17 లేదా
-x – 5y + 17 = -17
అంటే x + 5y = 0 లేదా x + 5y = 34
అందువల్ల (x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
అంటే x² + 10xy + 25y² – 34x – 170y = 0 …………. (2)
Q(x₁, y₁) బిందువు (2)ని తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు x₁ + 5y₁ = 0 లేదా
x₁ + 5y₁ = 34 ……………. (3)
ఇప్పుడు ∆QAB వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|(x₁ (3 – 4) + 2(4 – y₁) – 3(y₁ – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |-x₁ + 8 – 2y₁ – 3y₁ + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |-x₁ – 5y₁ + 17|
= \(\frac{17}{2}\) = 8.5 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
(x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
x² + 10xy + 25y² – 34x – 170y = 0

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -3}{\text { Lt }}\frac{1}{x+2}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) అనుకొందాం.
h(x) = x + 2 ∀ x ∈ R గా వాస్త్రే

ప్రశ్న 2.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x-2}{x^3-8}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{x-2}{x^3-8}\) x ≠ 2 గా వాస్త్రే
f(x) = \(\frac{x-2}{x^3-8}\) = \(\frac{1}{x^2+2 x+4}\)
h(x) = x² + 2x + 4
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) = 2² + 2.2 + 4
= 4 + 4 + 4
= 12
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{1}{\mathrm{~h}(\mathrm{x})}=\frac{1}{12}\)

ప్రశ్న 3.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) (2x + 1) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) (2x + 1)
= \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (2x + 1)
= (1 + 2) (1 + 2) = 3.3 = 9

ప్రశ్న 4.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x² . sin \(\frac{1}{x}\) ను గణించండి.
సాధన:
x ≠ 0, కు -1 ≤ sin \(\frac{1}{x}\) ≤ 1 అని తెలుసు
∴ – x² ≤ x² . sin \(\frac{1}{x}\) ≤ x²
కాని \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) (- x²) = 0 = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x²
సిద్ధాంతాన్ని అనుసరించి \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x² . sin \(\frac{1}{x}\) = 0 అని లభ్యం.

ప్రశ్న 5.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2-5}{4 x+10}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
f: R → R ను f(x) = x² – 5, అనీ
g: R→ R ను g(x) = 4x + 10

ప్రశ్న 6.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-6 x^2+9 x}{x^2-9}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
F(x) = x³ – 6x² + 9x
= x(x – 3)² = (x – 3)
f(x) ఇక్కడ f(x) = x(x – 3)
G(x) = x² – 9= (x – 3) (x + 3)
= (x – 3) g(x) ఇక్కడ g(x) = x + 3
అందువల్ల \(\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{(x-3) f(x)}{(x-3) g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}\)
g(3) = 6 ≠ 0.
ఇప్పుడు \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\left[\frac{F}{G}\right](x)=\frac{f(a)}{f(x)}\) నుంచి
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-6 x^2+9 x}{x^2-9}\) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{F(x)}{G(x)}\)
= \(\frac{f(3)}{g(3)}=\frac{3(3-3)}{3+3}=\frac{0}{6}\) = 0

ప్రశ్న 7.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-3 x^2}{x^2-5 x+6}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
F(x) = x³ – 3x² = x³(x – 3) = (x – 3)
f(x), f(x) = x² అనీ
G(x)= x² – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)
= (x – 3) g(x), g(x) = x − 2
g(3) = 3 – 2 = 1 ≠ 0.
అందువల్ల, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\left[\frac{F}{G}\right](x)=\frac{f(a)}{g(a)}\) నుంచి
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-3 x^2}{x^2-5 x+6}\) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac{3^2}{3-2}\) = 9

ప్రశ్న 8.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0+}{\text { Lt }}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) = 1, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0-}{\text { Lt }}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) = -1 (x ≠ 0) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
f : R → R, ద్వారా నిర్వచితమనుకోండి. అప్పుడు \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\) f(x) = 5 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) అని చూపండి.
సాధన:
(-2, 2) లో \(\sqrt{x^2-4}\) నిర్వచితం కాదు.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2+}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0,
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) =0
కాబట్టి \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0 = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0

ప్రశ్న 11.
f(x) =
, అయితే \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) లను కనుక్కోండి.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) f(x) వ్యవస్థితము ?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\tan x}{x}\) = 1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\left\{\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right\}\) ను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
0 |x| < 1 అయితే

ప్రశ్న 14.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\left[\frac{e^x-1}{\sqrt{1+x}-1}\right]\) ను గణించండి. [T.S Mar. 15]
సాధన:
0 < |x| < 1, అయితే

ప్రశ్న 15.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x-3}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}}\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{a^x-1}{b^x-1}\) (a > 0, b > 0, b ≠ 1) ను గణించండి. [A.P.Mar. ’15, ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\sin a x}{\sin b x}\), b ≠ 0, a ≠ b గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{e^{3 x}-1}{x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{e^x-\sin x-1}{x}\) ను గణించండి. [Mar. ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\frac{\log _e x}{x-1}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x – 1 అనుకోండి. ఇప్పుడు x → 1 అయినప్పుడు y → 0 అవుతుంది.

ప్రశ్న 21.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{x^2}\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
E > 0, కు అనుగుణంగా α = \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) > 0 తీసుకోండి.
అప్పుడు x > α ⇒ x > \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) ⇒ x² > \(\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow \frac{1}{x^2}\) < ε
⇒ \(\left|\frac{1}{x^2}-0\right|\) < ε
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{x^2}\) = 0

ప్రశ్న 22.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^x = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన k > 0 కు, అయినప్పుడు α = log k అనుకొందాం.
అప్పుడు x > α ⇒ e^x > e^α = k
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^x = ∞

ప్రశ్న 23.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2+2 x-1}{x^2-4 x+4}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{x^2-4 x+4}{x^2+2 x-1}=\frac{(x-2)^2}{x^2+2 x-1}\) వ్రాయండి.
2 విసర్జిత సామిష్యంలో f(x) > 0.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = 0
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{1}{f(x)}\) = ∞
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2+2 x-1}{x^2-4 x+4}\) = ∞

ప్రశ్న 24.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{3 x^5-1}{4 x^2+1}\) ను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.

సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{x^2-\sin x}{x^2-2}\) ను గణించండి.
సాధన:
-1 ≤ sinx ≤1 ⇒ -1 ≤ -sinx ≤ 1 లభ్యం
అందువల్ల x² – 1 ≤ x² – sinx ≤ x² + 1
x → ∞, కనుక x² – 2 > 0

ప్రశ్న 27.
f(x) = [x] (x ∈ R) ప్రమేయం పూర్ణాంకాలు కాని అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
సందర్భం i) : a ∈ z move f(a) = (a) = a

ప్రశ్న 28.
f : R → R, f(x + y) = f(x) + f(y), x, y ∈ R అయ్యేటట్లుంది. R లోని ఒక బిందువు వద్ద అవిచ్ఛిన్నమైతే అది R పై అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
x_o ∈ R వద్ద f అవిచ్ఛిన్నం అనుకోండి.

∴ f ప్రమేయము x = a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.
X ∈ R అవిచ్ఛిన్నం కనుక R మీద f అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 29.
1, 2 బిందువుల వద్ద క్రింది ప్రమేయం అవిచ్ఛిన్నతను పరిశీలించండి.

సాధన:


x = 2 వద్ద f అవిచ్ఛిన్నం కాదు.

ప్రశ్న 30.
f ప్రమేయాన్ని R మీద f(x) = cos x², X ∈ R అని నిర్వచిస్తే f అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయమని చూపండి.
సాధన:
h : R → R ను h(x) = x²
g : R → Rను g(x) = cos x అని నిర్వచిద్దాం.
ప్రతీ x ∈ R కి,
(goh)(x) = g(h(x)) = g(x²)
= cos x² = f(x)
g, h లు వాటి ప్రదేశాల్లో అవిచ్ఛిన్నం కనక,
A, B, ⊆ R,
f : A → R, A మీద అవిచ్ఛిన్నం
g : B → R, B మీద అవిచ్ఛిన్నం
f(A) ⊆ B అయితే వాటి ప్రమేయం సంయుక్త ప్రమేయం
gof : A → R, A మీద అవిచ్ఛిన్నం, R మీద అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయం.

ప్రశ్న 31.
ప్రమేయం f ను R మీద f(x) = -1 + 2x + |x||, x ∈ R అని నిర్వచిస్తే f అవిచ్ఛిన్నమని చూపండి.
సాధన:
g : R → R ను
g(x) = 1 + 2x + |x|, x ∈ R,
h : R → Rను h(x) = |x|, x ∈ R గా నిర్వచిద్దాం.
అప్పుడు
(hog) (x) = h(g(x)) = h(1 + 2x + |x|)
= |1 + 2x + |x|| = f(x).

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం. ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1³ = \(\frac{1^2(1+1)^2}{4}\) = 1 = 1³
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\) అని చూపాలి.
అంటే
S(k + 1) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³
= S(k) + (k + 1)³
= \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\) + (k + 1)³
= (k + 1)² \(\left[\frac{k^2}{4}+(k+1)\right]\)
= \(\frac{(k+1)^2\left(k^2+4 k+4\right)}{4}\)
= \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 2.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
∀ n ∈ N అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1² = \(\frac{1(2-1)(2+1)}{3}\) = 1
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం. (i.e.,)
S(k) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² = \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}\) అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² + (2k + 1)²
= S(k) + (2k + 1)²
= \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\) + (2k + 1)²

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి ∀ n ∈ N కు p (n) నిజం.
i.e., \(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 3.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 2 + 3.2 + 4.2² + ………. (n పదాల వరకు)= n. 2ⁿ, ∀ n ∈ N నిరూపించండి. [May 07]
సాధన:
2 + 3.2 +4.2² + … + (n + 1). 2^n-1 = n . 2ⁿ
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 2 = (1). 2¹
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 3.2 + 4.2² + …. + (k + 1). 2^k-1 = k. 2^k
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = (k + 1) . 2^k+1 అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 3.2 + 4.2² + ….. + (k + 1)2^k+1 +(k + 2) . 2^k
= S(k) + (k + 2). 2^k
= k. 2^k + (k + 2) 2^k
= (k + k + 2) 2^k
= 2(k + 1). 2^k = 2^k+1 (k + 1)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e..) సూత్రం
2 + 3.2 + 4.2² + … + (n + 1)2^n-1
= n.2ⁿ ∀ n ∈ N.

ప్రశ్న 4.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + ………… (n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{3 n+1}\) ∀ n ∈ N అని చూపండి. [May. 11; Mar ’05]
సాధన:
1, 4, 7, …… లు A.P. లో ఉన్నాయి..
nవ పదం 1 + (n – 1) 3 = 3n – 2
4, 7, 10, … లు A.P. లో ఉన్నవి. n వ పదం
= 4+ (n – 1)3 = 3n+ 1
∴ దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = \(\)
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+\ldots . .+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.4}=\frac{1}{3(1)+1}=\frac{1}{4}\)
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు p (n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e) S(k) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) = \(\frac{k}{3 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{k+1}{3 k+4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) + \(\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}\)

ప్రశ్న 5.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n≥ 5, అని చూపండి.
సాధన:
(2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N అనేది P(n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 5 అని గమనిద్దాం.
(2.5 – 3) ≤ 2^{5 – 2} అనేది స్పష్టం. కాబట్టి n = 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
so (2K – 3) ≤ 2^{k – 2}, k ≥ 5.
n = k + 1, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
so, k ≥ 5 [2(k + 1)-3] ≤ 2^{(k + 1)-2} అని చూపాలి.
[2(k + 1) − 3] = (2k – 3) + 2 అని గమనించవచ్చు.
≤ 2^{k – 2} + 2, (అనుగమన ఊహ నుంచి)
≤ 2^{k – 2} + 2^{k – 2}, for k ≥ 5
= 2.2^{k – 2}
= 2^{(k + 1)-2}
∴ n = k + 1, k ≥ 5 కు P(n) ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ≥ 5, n ∈ N విలువలన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N.

ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x > -1 అయితే గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతి n ≥ 2 కు (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ > 1 + nx అనేది ప్రవచనం P (n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 2 అని గమనిద్దాం.
ఇంకా x ≠ 0, x > -1 ⇒ 1 + x > 0.
(1 + x)² = 1 + 2x + x² > 1 + 2x కాబట్టి n = 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
అంటే, (1 + x)^k > 1 + k x, k ≥ 2.
n = k + 1 దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
అంటే (1 + x)^{k + 1} > + (k + 1)x చూపాలి.
(1 + x)^{k + 1} = (1 + x)^k. (1 + x) అని గమనించవచ్చు.
> (1 + kx) . (1 + x), (అనుగమన ఊహ నుంచి)
> (1 + kx). (1 + x),
= 1 + (k + 1)x + kx²
> 1 + (k + 1)x, (kx² > 0 కాబట్టి)
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి
n ≥ 2, n ∈ N విలువ లన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N, y ≥ 2, x > – 1, x ≠ 0.

ప్రశ్న 7.
x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు, x ≠ y అయితే, n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుందని చూపండి. [ June ’04]
సాధన:
“xⁿ – yⁿ ను (x – y) భాగిస్తుంది.” అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ – y¹ = x − y ని (X – y) భాగిస్తుంది. కాబట్టి
∴ n = 1 కు ప్రవచనం నిజం. ·
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^k – y^k ను – y భాగిస్తుంది.
∴ x^k – y^k = (x – y) p అయ్యేటట్లు పూర్ణాంకం
p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.’
అంటే x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^k – y^k m (x – y)p కనుక
x^k = y^k + (x + y)p
∴ x^{k + 1} = y^k . x + (x – y)px
⇒ x^{k + 1} – y^{k + 1} = y^k . x + (x – y)p x – y^{k + 1}
= ( x – y)px + y^k (x – y)
= (x – y) [px + y^k]
(ఇక్కడ px + y^k పూర్ణాంకం)
∴x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం..
: గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, n అన్ని ధన పూర్ణాంకాలకు p(n) నిజం. అంటే, ∀ n ∈ Nకు
(i. e.,) xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక బేసి సహజ సంఖ్య, x, y లు సహజ సంఖ్యలు అయితే x^m + y^m ను x + y భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
m ఒక బేసి సంఖ్య కాబట్టి m = 2n + 1 అయ్యేటట్లు ఒక రుణేతర పూర్ణాంకం n ఉంటుంది.
“x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను x + y భాగిస్తుంది. అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ + y¹ = x + y ని x + y భాగిస్తుంది.
కాబట్టి దత్త ప్రవచనం n = 0 కు నిజం.
x²⁽¹⁾⁺¹ + y²⁽¹⁾⁺¹ = x³ + y³; = (x + y) (x² – xy + y²)
కాబట్టి x³ + y³) ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 అయితే, దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^{2k + 1} + y^{2k + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p, అయ్యేటట్లు ఒక
పూర్ణాంకం p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
అంటే x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p కనుక
x^{2k + 1} = (x + y)p – y^{2k + 1}
x^{2k + 1} . x² = (x + y)p x² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} = (x + y)px² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} = (x + y)p . (x²) – y^{2k + 1} . x² + y^{2k + 3}
= (x + y) p . x² – y^{2k + 1} (x² – y²)
= (x + y)px² – y^{2k + 1} . (x + y)(x – y)
= (x + y)[px² – y^{2k + 1} (x – y)]
ఇక్కడ [p x² – y^{2k + 1} (x – y)] ఒక పూర్ణంకం
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంకాలకు ప్రవచనం p(n) నిజం.
అంటే n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంక విలువలకు x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
(i.e..) m ఒక బేసి సహజ సంఖ్య అయితే, x^m + y^m ను (x + y) భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు 49ⁿ + 16n – 1 ని 54 భాగిస్తుందని చూపండి. [May 05]
సాధన:
“49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.” అనే ప్రవచనాన్ని
p(n) అనుకుందాం.
49¹ + 16 (1) – 1 – 64 ను 64 భాగిస్తుంది.
కాబట్టి n = 1 దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కుp(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e..) 49^k + 16k – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
(49^k + 16k – 1) = 64t, t ∈ N ………….. (1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
49^k + 16k – 1 = 64t
∴ 49^k = 64t – 16k + 1
∴ 49^k . 49 = (64t – 16k + 1). 49
∴ 49^{k + 1} + 16 (k + 1) – 1
= (64t – 16k + 1) 49 + 16 (k + 1) − 1
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 = 64 (49t – 12k + 1)
ఇక్కడ (49t – 12k + 1) పూర్ణాంకం.
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
∴ nk + 1 p(n) నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి n ∈ N, అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) ∀ n ∈ N, 49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ప్రతి n ∈ N కు, 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.
సాధన:
“2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.”
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
2.4^{(2.1 + 1)} + 3^{(3.1 + 1)} = 2.4³ + 3⁴
= 2(64) + 81
= 209 = 11 × 19 ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 కు p(n) నిజం.
n = k కి p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది.
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} = (11)t, t పూర్ణాంకం. ……………… (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k+ 1)} = 11t
∴ 2.4^{(2k + 1)} = 11t – 3^{(3k + 1)}
∴ 2.4^{(2k + 1)} . 4² = (11t – 3^{(3k + 1)}) . 4²
2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} = (11t – 3^{(3k+ 1)}) 16 + 3^{(3k + 4)}
= (11t) (16) + 3^{(3k + 1)}[27 – 16]
= 11[16t + 3^3k+1]
ఇక్కడ 16t + 3^{(3k + 1)} పూర్ణాంకం.
∴ 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు p(n) నిజం.
∴గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది. ∀n ∈ N.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 7 సమతలం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 7 సమతలం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు నుంచి తలానికి లంబపాదం A(2, 3, -5) అయితే ఆ తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
0 (0, 0, 0), A (2, 3, -5) లు దత్త బిందువులు.
OA యొక్క D.R.లు 2, 3, -5
OA సమతలానికి లంబంగా ఉంది. ఇది A (2, 3, -5) గుండా పోతుంది.
సమతల సమీకరణం
2(x -2) + 3(y – 3) – 5 (z – 5) = 0
2x – 4 + 3y – 9 – 5z – 25 = 0
2x + 3y – 5z – 38 = 0

ప్రశ్న 2.
(0, -1, -1) (4, 5, 1), (3, 9, 4) బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(0, -1, -1), B(4, 5, 1), ((3, 9, 4) లు దత్త బిందువులు.
పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 0) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0 ………………. (1)
B(4, 5, 1), C(3, 9, 4) ల గుండా పోతుంది.
4a + 6b + 2c = 0 …………….. (2)
3a + 10b + 5c = 0 ……………… (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, ABC తల సమీకరణము
5x – 7 (y + 1) + 11 (z + 1) = 0
5x – 7y – 7 + 11z + 11 = 0
5x – 7y + 11z + 4 = 0

ప్రశ్న 3.
ZX- తలానికి సమాంతరంగా ఉండి (0, 4, 4) బిందువు. గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
ZX తల సమీకరణము y = 0
సమాంతర సమతల సమీకరణము y = k
ఈ తలం P(0, 4, 4) = 4 = k గుండా పోతుంది.
కావలసిన సమతల సమీకరణము y = 4.

ప్రశ్న 4.
(α, β, γ) బిందువు గుండా పోతూ ax + by + cz = 0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాబట్టండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము ax + by + cz = 0
సమాంతర సమతల సమీకరణము ax + by + cz = K
ఈ తలం P(α, β, γ) గుండా పోతుంది.
aα + bβ + cγ = K
∴ కావలసిన సమతల సమీకరణము
ax + by + cz = aα + bβ + cγ
i.e., a(x – α) + b(y – β) + c(z – γ) = 0.

ప్రశ్న 5.
2x – y + z = 6, x + 2y + 2z = 75 సూచించే తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15, ’11]
సాధన:
సమతలాల సమీకరణము
2x – y + z = 6; x + y + 2z = 7
సమతలాల మధ్యకోణము θ అయితే
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|2.1+(-1) \cdot 1+1.2|}{\sqrt{4+1+1} \sqrt{1+1+4}}\)
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{\pi}{3}\)
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 6.
(2, 0, 1), (3, -3, 4) బిందువుల గుండాపోతూ, x – 2y + 2 = 6 తలానికి లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(2, 0, 1) గుండా పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 2) + by + c(z – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ తలం B(3, -3, 4) గుండా పోతుంది.
a – 3b + 3c = 0 …………………. (2)
(1)వ తలము x – 2y + 2 = 6 కు లంబముగా ఉంది.
a – 2b + c = 0 ……………… (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, కావలసిన సమతల సమీకరణము
3(x – 2)+ 2y +1 (z – 1) = 0
3x – 6 + 2y + z – 1 = 0
3x + 2y + z – 7 = 0
3x + 2y + z = 7

ప్రశ్న 7.
సమతల సమీకరణం x + 2y – 2z – 9 = 0 అని అభిలంబ రూపానికి కుదించి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లను మూల బిందువు నుంచి సమతలానికి దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణం x + 2y – 2z – 9 = 0
స్థిర రాశిని కుడివైపు రాస్తే,
x + 2y – 2z = 9 ……………… (1)
(1) లో x, y, z ల గుణకాల వర్గాల మొత్తానికి వర్గమూలం
\(\sqrt{1^2+2^2+2^2}\) = ±3
p = ±\(\left(\frac{-9}{\pm 3}\right)\) = 3
(1) ని ± 3 తో భాగిస్తే
± \(\frac{1}{3}\)x ± \(\frac{2}{3}\)y ± \(\frac{2}{3}\)z = ±3
కుడివైపు స్థిరరాశి గుర్తు ధనాత్మకం అయ్యేలా సమీకరణం అభిలంబ రూపంలో తలం సమీకరణం గుర్తు ఎంచుకొంటే,
\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{2}{3}\)y – \(\frac{2}{3}\)z = 3 …………………. (2)
(2) నుంచి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లు (\(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), –\(\frac{2}{3}\))
మూలబిందువు నుంచి తలానికి లంబదూరం = 3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 8.
ఒక సమతలం X, Y, Z – అక్షాలపై చేసే అంతర ఖండాలు వరుసగా 2,3,4 అయితే, a, b, c లు వరుసగా X, Y, Z – అంతర ఖండాలుగా గల సమతల సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) అని చూపండి.
సాధన:
సమతల సమీకరణం
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}\) = 1 నుంచి
లేదా 6x + 4y + 3z = 12

ప్రశ్న 9.
x – 3y + 2z = 9 సమతలం గల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
x – 3y + 2z = 9 ను 9 తో భాగిస్తే
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{-3}+\frac{9}{9 / 2}\) = 1
దీనిని \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 తో పోలిస్తే,
X-అంతరఖండం = a = 9,
Y-అంతరఖండం = b = -3,
Z-అంతరఖండం = c = \(\frac{9}{2}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(d)

అభ్యాసం – 9 (డి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\) అయితే y” కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
y = ae^nx + be^-nx అయితే y” = n²y అని చూపండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
y = ae^nx + be^-nx
y₁ = na e^nx – nb e^-nx
y₂ = n² . ae^nx + n² be^-nx
y” = n² (ae^nx + b.e^-nx) = n^nxy

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాలు ల రెండో పరిమాణం అవకలజాలను కనుకోండి .
i) cos³ x
సాధన:
y = cos³ x = \(\frac{1}{4}\) [cos 3x + 3 cos x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [-3 sin 3x – 3 sin x]
y” = \(\frac{1}{4}\) (-9 cos 3x – 3 cos x)
= –\(\frac{1}{4}\) (3 cos x + 9 cos 3x)
= –\(\frac{3}{4}\) (cos x + 3 cos 3x)

ii) sin⁴ x
సాధన:
y = sin⁴x = (sin²x)² = \(\frac{(1-\cos 2 x)^2}{2}\)
= \(\frac{1}{4}\) [1 – 2 cos 2x + cos² 2x)
= \(\frac{1}{4}\) [1 – 2 cos 2x + \(\frac{1+\cos 4 x}{2}\)]
= \(\frac{1}{8}\) 2 – 4 cos 2x + 1 + cos 4x]
= \(\frac{1}{8}\) (3 – 4 cos 2x + cos 4x)
y’ = \(\frac{1}{8}\) (8 sin 2x – 4 sin 4x)
y” = \(\frac{1}{8}\) (16 cos 2x – 16 cos 4x)
= 2 (cos 2x – cos 4x)

iii) log (4x² – 9)
సాధన:
y = log (4x² – 9)
= log (2x – 3) (2x + 3)
= log (2x – 3)+ log (2x + 3)

iv) e^-2x sin³ x
సాధన:
y = e^-2x . sin³x
y’ = e^-2x (3 sin² x. cos x) + sin³ x (e^-2x) (-2)
= e^-2x [3 sin² x. cos x – 2 sin³x)
\(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{~y}}{\mathrm{dx}^{2}}\) = e^-2x (3 sin² x (- sin x) + 3 cos x (2 sin x) cos x 6 sin² x cos x) – 2. e^-2x [3 sin² x. cos x – 2 sin³ x]
= e^-2x [6 sin x – cos²x – 6 sin² x . cos x – 3 sin³ x – 6 sin² x. cos x + 4 sin³ x)
= e^-2x [sin³ x – 12 sin²x.cos x + 6 sin x.cos²x)

v) e^x sin x cos 2x
సాధన:
y = e^x sin x cos 2x = \(\frac{e^x}{2}\) (2 cos 2x sin x)
= \(\frac{e^x}{2}\) (sin 3x – sin x)
y’ = \(\frac{1}{2}\) [e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)
y” = \(\frac{1}{2}\) [e^x (- 9 sin 3x + sin x) + e^x
(3 cos 3x – cos x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)]
= \(\frac{e^x}{2}\) [-9 sin 3x + sin x + 3 cos 3x – cos x + 3 cos 3x cos x + sin 3x – sin x]
= \(\frac{e^x}{2}\) [6 cos 3x – 8 sin 3x – 2 cos x]
= e^x [3 cos 3x – 4 sin 3x – cos x]

vi) Tan^-1\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\)
సాధన:
y = Tan^-1\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\)
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = tan^-1\(\left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan \theta}\right)\)
= tan^-1\(\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right)=\frac{\pi}{4}+\theta\)
∴ f(x) = \(\frac{\pi}{4}\) + tan^-1 (x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f'(x) = 0 + \(\frac{1}{1+x^2}\)
f” (x) = (-1) (1 + x²)^-2(2x)
∴ f”(x) = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)

vii) tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
సాధన:
f(x) = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\); x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,
f(x)= tan^-1\(\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right)\)
= tan^-1 (tan 3θ) = 3θ
∴ f(x) = 3 tan^-1 (x)
f'(x) = 3 \(\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=\frac{3}{1+x^2}\)
x దృష్ట్యా మరల’ అవకలనం చేయగా,
f”(x) = (3) (-1) (1 + x²)^-2 (2x)
⇒ f”(x) = \(\frac{-6 x}{\left(1+x^2\right)^2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.

i) y = ax^{n + 1} + bx^-n అయితే x²y” = n(n + 1) y.
సాధన:
y = ax^{n + 1} + bx^-n
y₁ = (n + 1). axⁿ – n bx^-n-1
y₂ = n(n + 1). ax^n-1 + n(n + 1) bx^-n-2
∴ x²y₂ = n(n + 1) ax^{n + 1} + n(n + 1) bx^-n
= n(n + 1) (ax^{n + 1} + bx^-n) = n(n + 1) y
∴ x²y” = n(n + 1) y

ii) y = a cos x + (b + 2x) sin x, అయితే y” + y = 4 cos x
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = y’ a(-sin x) + (b + 2x) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x) + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (b + 2x)
= – a sin x + (b + 2x) cos x + sin x. 2
\(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{~y}}{\mathrm{dx}^{2}}\) = y” = – a cos x + (b + 2x) (- sin x) + cos x (2) + 2 cos x
L.H.S.= y” + y = -a cos x + (b + 2x) (- sin x) + 2 cos x + 2 cos x + a cos x + (b + 2x) sin x = 4 cos x

iii) y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x అయితే y” – 6y’ + 9y = 54 x + 18
సాధన:
y’ = 6 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (x + 1) + (a + bx) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (e^3x) + e^3x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (a + bx)
= 6(1) + (a + bx) 3e^3x + e^3x . b
y” = 0 + 3 (a + bx) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) e^3x + 3e^3x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (a + bx) + b \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) 3e^3x
= 3(a + bx) 3e^3x + 3e^3x(b) + b. 3e^3x
= 9(a + bx) e^3x + 6b e^3x
ఇప్పుడు L.H.S.
= y” – 6y’ + 9y = 9(a + bx) e^3x + 6be^3x – 6[6 + 3(a + bx)e^3x + be^3x] + 9 [6(x + 1) + (a + bx) e^3x]
= 9(a + bx) e^3x + 6b e^3x – 36 – 18(a + bx) e^3x – 6be^3x + 54x + 54 + 9(a + bx) e^3x
= 54x + 18

iv) ay⁴ = (x + b)⁵ అయితే 5y y” = (y’)²
సాధన:
ay⁴ = (x + b)⁵; y⁴ = \(\frac{(x+b)^5}{a}\)

v) y = a cos (sin x) + b sin (sin x) అయితే y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0
సాధన:
y = a cos (sin x) + b sin (sin x) ………………. (1)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
У₁ = a sin (sin x) cos x + b cos (sin x). cos x
= [-a sin (sin x) + b cos (sin x)] cos x ……………. (2)
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
y₂ = – sin x [-a sin (sin x) + b cos (sin x)] + cos x[-a cos (sin x) cos x-b sin (sin x) cos x]
= – sin x . \(\frac{y_1}{\cos x}\) cos² x.y
⇒ y₂ + (tan x) y₁ + y cos² x = 0

III.

ప్రశ్న 1.

i) y = 128 sin³x cos⁴ x అయితే y” ని కనుక్కొండి .
సాధన:
f(x) = 128 sin³ x cos⁴ x
= 16 (2 sin x cos x)³ cos x
= 16 (sin³ 2x) cos x
∵ sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x
⇒ sin³ x = \(\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}\)
= 16 \(\left[\frac{3 \sin 2 x-\sin 6 x}{4}\right]\) cos x
= 4 (3 sin 2x cos x – sin 6x cos x]
= 6 (2 sin 2x cos x) – 2(2 sin 6x cos x)
6 (sin 3x + sin x) – 2 (sin 7x + sin 5x)
= 6 sin 3x + 6 sin x-2 sin 7x – 2 sin 5x
f'(x) = 6 (3) cos 3x + 6 cos x – 2 (cos 7x) 7 – 2 cos 5x (5)
∴ f'(x) = 18 cos 3x + 6 cos x – 14 cos 7x – 10 cos 5x
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
f”(x) 18 (-sin 3x) 3 + 6 (- sin x) – 14(-sin 7x) 7 – 10(- sin 5x) 5
∴ f”(x) = -54 sin 3x – 6 sin x + 98 sin 7x + 50 sin 5x

ii) y = sin 2x sin 3x sin 4x అయితే y” ని కనుక్కొండి.
సాధన:
f(x) = sin 2x sin 3x sin 4x
= \(\frac{1}{2}\) [2 sin 2x sin 4x] sin 3x
= \(\frac{1}{2}\) [cos (2x) – cos 6x] sin 3x
= \(\frac{1}{4}\) [2 sin 3x cos 2x – 2 sin 3x cos 6x]
= \(\frac{1}{4}\) [(sin 5x + sin x) – (sin 9x – sin 3x)]
= \(\frac{1}{4}\) [sin 5x + sin x + sin 3x – sin 9x]
∴ f(x) = \(\frac{1}{4}\) [sin x + sin 3x + sin 5x – sin 9x]
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f'(x) = \(\frac{1}{4}\) [cos x + cos 3x (3) + cos 5x (5) – (cos 9x) (9)]
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f”(x) = [- sin x – 9 sin 3x – 25 sin 5x + 81 sin 9x]

iii) ax² + 2hxy + by² = 1 అయితే \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{h^2-a b}{(h x+b y)^3}\) అని చూపండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² = 1
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
a. 2x + 2h \(\left(x \cdot \frac{d y}{d x}+y\right)\) + b . 2y \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
2ax + 2hx. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) + 2hy + 2by . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
2(hx + by) . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -2(ax + hy)

iv) y = ae^-bx cos(cx + d), అయితే y” + 2by’ + (b² + c²) y = 0 అని చూపండి.
సాధన:
y = ae^-bx cos(cx + d) కనుక …………… (1)
y₁ = a[e^-bx {- sin (cx + d)} . c. + cos (cx + d) e^-bx (-b)}
= – a. e^-bx [c sin (cx + d) + b cos (cx + d)]
= – ac.e^-bx sin (cx + d) – by
y₁ + by = -ac. e^-bx sin (cx + d) …………… (2)
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
y₂ + by₁ = – ac(-b) e^-bx sin (cx + d) – ac e^-bx cos (cx + d) (+ c)
= abce^-bx sin (cx + d) – ac² e^-bx cos (cx + d)
= -b (y₁+ by) – c²y [(1), (2) నుండి]
⇒ y₂ + by₁ + by₁ + b²y + c²y = 0
⇒ y₂ + 2by₁ + (b² + c²) y = 0

v) y = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (a cos nx + b sin nx) అయితే y” + ky’+ \(\left(n^2+\frac{k^2}{4}\right)\) y = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం y = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (a cos nx + b sin nx) ……………. (1)
∴ y₁ = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (-n. a sin nx+n. b cos nx) + (a cos nx + b sin nx). \(e^{\frac{-k}{2} x}\left(-\frac{k}{2}\right)\)
= –\(\frac{k}{2}\) . y . e^-kx/2 (a sin nx + b cos nx)
∴ y₁ + \(\frac{k}{2}\) y = -ne^-kx/2 (a sin nx + b cos nx) …………… (2)
X దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(e)

అభ్యాసం – 8 (ఇ)

I.

f(x) = ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, R పై అవిచ్ఛిన్నమా ? [May ‘ 11]
సాధన:

f ప్రమేయము x = 1 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.
f ప్రమేయము R మీద అవిచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 2.
f(x) = ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, 0 పై అవిచ్ఛిన్నామా ? [May ’12]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\sin 2 x}{x} \) = 2
f(0) = 1
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) f(x) ≠ f(0)
f వద్ద అవిచ్ఛిన్నము కాదు.

ప్రశ్న 3.
f(x) = [cos (x¹⁰ + 1)]^1/3, x ∈ R ప్రమేయమని చూపండి.
సాధన:
ప్రతి X ∈ R కు cos x అవిచ్ఛిన్నము.
∴ ప్రతి X ∈ R దత్త ప్రమేయము అవిచ్ఛిన్నము.

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయానికి 2 వద్ద అవిచ్ఛిన్నతను పరిశీలించండి.

సాధన:

f(x) ప్రమేయము 2 వద్ద విచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 2.

ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం బిందువు 3 వద్ద అవిచ్ఛిన్నమేమో చూడండి. [A.P Mar. ’15, 14, ’13]
సాధన:

∴ f(x) ప్రమేయము x = 3 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 3.
f(x) = \(\frac{\mathrm{x}-|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) (x ≠ 0) ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, R – {0} పై అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : a > 0 |a| = a

x = 0, ప్రమేయము f(a) నిర్వచించలేము
f(x) ప్రమేయము ‘0’ వద్ద విచ్ఛిన్నం
∴ f(x) ప్రమేయము R – {0} వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 4.
ప్రమేయం f, f(x) = తో నిర్వచితమైతే f అవిచ్ఛిన్నతను చర్చించండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : x = 1


f(x) ప్రమేయము x = -2 వద్ద విచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 5.
ప్రమేయము f, R పై
తో నిర్వచితమైన అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయమైతే k విలువలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) 2 = 2
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) (k²x – k) = k² – k
f(x). ప్రమేయము X = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x)
2 = k² – k
k² – k – 2 = 0
(k – 2) (k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1

ప్రశ్న 6.
‘sin x’, ‘cos X’ ప్రమేయాలు R పై అవిచ్ఛిన్నమని చూపండి.
సాధన:
i) a ∈ R అనుకొందాం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) sin x = sin a = f(a)
∴ f ప్రమేయము a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ii) a ∈ R అనుకొందాం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) cos x = cos a = f(a)
cos x = cos a = f(a)
∴ f ప్రమేయము a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

III.

ప్రశ్న 1.

ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం 0, 1, 2 బిందువుల వద్ద అవిచ్ఛిన్నమో చూడండి.
సాధన:
i) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow x}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) 4 – x² = 4 – 0 = 4 = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము X = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

ii) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x – 5) – 1 – 5 = -4 = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 1 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

iii) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) 3x + 4 = 3.2 + 4
= 6 + 4 = 10 = f(2)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 2 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 2.

అయ్యేటట్లు నిర్వచితమైన ప్రమేయం R అవిచ్ఛిన్నం అయ్యే వాస్తవ స్థిరసంఖ్య a, b ను కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) (x² + a) = 0 + a = a
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) sin x = 0
f(x) ప్రమేయము R మీద అవిచ్ఛిన్నం.
కనుక LHS = RHS ⇒ a = 0
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\) -3 = -3
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\) (bx + 3) = 3b + 3
f(x) ప్రమేయము మీద అవిచ్ఛిన్నం.
LHS = RHS
3b + 3 = -3
3b = 6 b = -2

ప్రశ్న 3.
a, b లు వాస్తవ స్థిరాంకాలు అయితే ప్రమేయం

0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2(b+a)}{2} \frac{(b-a)}{2}\) = \(\frac{\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2}{2}\)
f(0) = \(\frac{b^2-a^2}{2}\) కనుక \(\) f(x) = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(b)

అభ్యాసం – 6(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
(3, 4, 0), (4, 4, 4) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ సంఖ్యలు రాయండి.
సాధన:
A(3, 4, 0), B(4, 4, 4) లో దత్త బిందువులు
AB యొక్క d.rs x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
4 – 3, 4 – 4, 4 – 0 i.e., 1, 0, 4

ప్రశ్న 2.
ఒక రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (-6, 2, 3) అయితే, దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ D.R లు – 6, 2, 3
\(\sqrt{36+4+9}\) = 7 తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కోసైన్లు – \(\frac{6}{7}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 3.
(1, 1, 2) (\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), 0) దిక్ కొసైన్లుగా గల రేఖల మధ్య కోణానికి కొసైన్లు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ = l₁l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₃
= \(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\) . 0
= \(\frac{\hat{i}+1}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{4}{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

ప్రశ్న 4.
(1, 1, 2) (\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), 0) దిక్ సంఖ్యలుగా గల రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_i^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{1 \cdot \sqrt{3}+1(-\sqrt{3})+2 \cdot 0}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{3+3}}=\frac{0}{6}\) = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 5.
\(\left(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\right)\), \(\left(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}\right)\) దిక్ కొసైన్లుగా గల రేఖల పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
రెండు రేఖలు లంబంగా ఉంటే
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
= \(\frac{12}{13}\) . \(\frac{4}{13}\) – \(\frac{3}{13}\) . \(\frac{12}{13}\) – \(\frac{4}{13}\) . \(\frac{3}{13}\)
= \(\frac{48-36-12}{169}\) = 0
∴ దత్త రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 6.
O మూలబిందువు, P(2, 3, 4), Q(1, k, 1) బిందువులు \(\overline{\mathrm{OP}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{OQ}}\) అయ్యేట్లుంటే, k విలువ ఎంత ?
సాధన:
OP యొక్క d.r లు 2, 3, 4
OQ యొక్క d.r లు 1, k, 1
OP, OQ లు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
2 + 3k + 4 = 0
3k = – 6
k = -2.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (3, 4, 0) అయితే దాని దిక్ కొసైన్లు, ఇంకా ఆ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ నిష్పత్తి దిక్ సంఖ్యలు (3, 4, 0)
\(\sqrt{9+16+0}\) = 5తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right)\)
α, β, γ లు ఈ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు అయితే,
cos α = \(\frac{3}{5}\) cos β = \(\frac{4}{5}\) cos γ = 0
α = cos^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\), β = cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\), γ = \(\frac{\pi}{2}\)
రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణం
cos^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\), cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\), \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 2.
(1, -1, 2) (3, 4, -2) బిందువులను కలిపేరేఖ (0, 3, 2), (3, 5, 6)లను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(1, -1, 2) B(3, 4, -2) C(0, 3, 2)
D(3, 5, 6) లు దత్త బిందువులు
AB యొక్క d.r లు 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2 i. e., 2, 5, -4
CD యొక్క d.r లు 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 i.e., 3, 2, 4
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2.3 + 5.2 – 4.4
= 6 + 10 – 16 = 0
AB, CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 3.
A = (3, 4, 5), B = (4,6, 3) C = (-1, 2, 4), D(1, 0, 5) బిందువులైతే \(\overline{\mathrm{D C}}\), \(\overline{\mathrm{A B}}\) రేఖా ఖండాల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 4, 5), B(4, 6, 3), C(-1, 2, 4), D (1, 0, 5)లు దత్త బిందువులు ఎంత ?
AB యొక్క d.r లు 4 – 3, 6 – 4, 3 – 5 i.e., 1, 2, -2
CD యొక్క d.r లు 1 + 1, 0 – 2, 5 – 4 i.e., 2, – 2, 1
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{1.2+2(-2)+(-2) \cdot 1}{\sqrt{1+4+4} \sqrt{4+4}}\)
= \(\frac{4}{9}\) ⇒ θ = cos^-1\(\left(\frac{4}{9}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(1, −1, 2), (2, 1, −1) దిక్ సంఖ్యలుగా గల రేఖలకు లంబంగా ఉండే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కొండి.
సాధన:
కావలసిన రేఖ D.C లు l, m, n అనుకుంటే
(1, -1, 2), (2, 1, −1) యొక్క d.rs గల రేఖలకు లంబంగా ఉంది.
l – m + 2n = 0
2l + m – n = 0

రేఖ యొక్క d.rs -1, 5, 3
\(\sqrt{1+25+9}=\sqrt{35}\) తో భాగించగా
D.C రేఖ యొక్క దిక్కా సైన్లు
\(-\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}\)

ప్రశ్న 5.
(2, 3, 4), (1, -2, 3), (3, 8, -11) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(2, 3, 4), B(1, 2, 3), C(3, 8, -11) లు దత్త బిందువులు

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 6.
(4, 7, 8), (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలని చూపండి.
సాధన:
A(4, 7, 8), B(2, 3, 4), C(-1, -2, 1) మరియు D (1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు.

∴ AB = CD మరియు BC = DA
∴ A, B, C, D సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు.

III.

ప్రశ్న 1.
l + m + n = 0, 2mn + 3nl – 5lm = 0 సమీకరణాలను తృప్తి పరిచే దిక్ కొసైన్లు గల రేఖలు ఒక దానికొకటి లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [Mar. ’12]
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం l + m + n = 0. …………… (1)
2mn + 3nl – 5lm = 0 …………….. (2)
(1) నుండి, l = -(m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
2mn – 3n(m + n) + 5m(m + n) = 0
2mn – 3mn – 3n² + 5m² + 5mn = 0
5m² + 4mn – 3n² = 0
\(\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2}=-\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{m_1 m_2}{-3}=\frac{n_1 n_2}{5}\) ……………..
(1) నుండి n = -(l + m)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
– 2m (l + m) – 3l (l + m) – 5lm = 0
-2lm – 2m² – 3l² – 3lm – 5lm = 0
3l² + 10lm + 2m² = 0
\(\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{l_1 l_2}{2}=\frac{m_1 m_2}{3}\) …………… (2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{l_1 l_2}{2}=\frac{m_1 m_2}{3}=\frac{n_1 n_2}{-5}\) = 1
l₁l₂ = 2k, m₁m₂ = 3k, n₁n₂ = -5k
∴ l₁l₂ + m₁m₂+ n₁n₂ = 2k + 3k – 5k = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు రేఖల దిక్ కొసైన్లు l + m + n = 0, l² + m² – n² = 0. సమీకరణాలను తృప్తిపరిస్తే వాటి మధ్య కోణాన్ని కుసుకోండి. [Mar. ’13, ’07; May ’11, ’07; June ’04]
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం l + m + n = 0 …………….. (1)
l² + m² – n² = 0 ……………. (2)
(1) నుండి l = − (m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(m + n)² + m² – n² = 0
m² + n² + 2mn + m² – n² = 0
2m² + 2mn = 0
2m (m + n) = 0
∴ m = 0 లేదా m + n = 0

సందర్భము (i) : m = 0, (1) లో ప్రతిక్షేపించగా l + n = 0
l = -n ⇒ \(\frac{l}{1}=\frac{n}{-1}\)
l₁ రేఖ D.R లు (1, 0, – 1)
సందర్భము (ii) : m + n = 0 ⇒ m = -n ⇒ \(\frac{m}{1}=\frac{n}{-1}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా l = 0
l₂ యొక్క DR లు (0, 1 – 1)
ఈ రేఖల మధ్య కోణం 9 అయితే
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}\)
θ = \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 3.
ఒక కిరణం, సమఘనం యొక్క నాలుగు కర్ణాలతో α, β, γ కోణాలు చేస్తే, cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ విలువ ఎంత ? [Mar. ’05; May ’05]
సాధన:
ఘనము యొక్క భుజము పొడవు ఘనము ఒక శీర్షాన్ని మూల , \(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}\) భుజాలను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం. \(\overline{\mathrm{OP}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{BF}}\) లు కర్ణాలు. వీటి దిక్ సంఖ్యలు వరుసగా (a, a, a), (a, a, a), (-a, a, a), (a, -a, a).

దత్తరేఖ దిక్ కొసైనులు (l, m, n) మరియు ఈ రేఖ ఘనము యొక్క కర్ణాలతో α, β, γ మరియు & కోణాలు చేస్తుంది అనుకుందాం.
cos α = \(\frac{|\mathrm{a} \times l+\mathrm{a} \times \mathrm{m}+\mathrm{a} \times \mathrm{n}|}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2}}=\frac{|l+\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
ఇదే విధంగా cos β = \(\frac{|l+\mathrm{m}-\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
cos γ = \(\frac{|-l+\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\) మరియు
cos δ = \(\frac{|l-\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ
\(\frac{1}{3}\) {|l + m + n|² + |l + m – n|² + |-l + m + n|² + |l – m + n|²}
\(\frac{1}{2}\) [(l + m + n)² + (l + m – n)² + (-l + m + n)² + (l – m + n)²]
\(\frac{1}{2}\) [4(l² + m² + n²)] = \(\frac{4}{3}\) (∵ l² + m² + n² = 1)

ప్రశ్న 4.
(l₁, m₁, n₁), (l₂, m₂, n₂) లు రెండు ఖండించుకొనే రేఖల దిక్ కొసైన్లయితే, వాటి మధ్య కోణ సమద్విఖండన రేఖల దిక్ కొసైన్లు l₁ ± l₂, m₁ ± m₂, n₁ ± n₂ లకు అనుపాతంలో ఉంటాయని చూపండి.

సాధన:
OA, OB లు దత్త రేఖలు
A, B లు O నుండి యూనిట్ దూరంలో గల బిందువు
A నిరూపకాలు (l₁, m₁, n₁)
B నిరూపకాలు (l₂, m₂, n₂)
AB మధ్య బిందువు P
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{l_1+l_2}{2}, \frac{m_1+m_2}{2}, \frac{n_1+n_2}{2}\right)\)
∴ OP రేఖ ∠AOB కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
OP యొక్క D.R లు l₁ + l₂, m₁ + m₂, n₁ + n₂
OB’ = OB = 1 అయ్యే విధంగా B బిందువు OB మీద వుంది.
B’ నిరూపకాలు (-l₂, -m₂, -n₂)
AB’ మధ్య బిందువు Q
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{l_1-l_2}{2}, \frac{m_1-m_2}{2}, \frac{n_1-n_2}{2}\right)\)
OQ రేఖ ∠AOB
OQ యొక్క D.Rs l₁ – l₂, m₁ – m₂, n₁ – n₂.

ప్రశ్న 5.
A (-1, 2, -3), B (4, 0, -6), C(0, 4, -1) బిందువులు, ∠BAC కోసమద్విఖండన రేఖల దిక్ కొసైన్లు (25, 8, 5), (-11, 20, 23)లకు అనుపాతంలో ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
A (-1, 2, -3), B (5,0, -6), C (0, 4, -1) లు దత్త బిందువులు
AB యొక్క D.R లు 5 +, 0 – 2, -6 + 3 i.e., 6, -2, -3
AB యొక్క D.R లు \(\frac{6}{7}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{-3}{7}\)
AC యొక్క D.R లు 0 +, 4 – 2, -1 + 3 i.e 1, 2, 2
AC యొక్క D. R లు \(\frac{1}{3}\), \(\frac{-2}{3}\), \(\frac{2}{3}\)
ఒక కోణ సమద్విఖండన రేఖD. R లు
= \(\left(\frac{\frac{6}{7}+\frac{1}{3}}{2}, \frac{\frac{-2}{7}+\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{18+7}{42}, \frac{-6+14}{42}, \frac{-9+14}{42}\right)\)
= \(\left(\frac{25}{42}, \frac{8}{42}, \frac{5}{42}\right)\)
ఒక కోణ సమద్విఖండన రేఖలు (25, 8, 5)
రెండవ కోణ సమద్విఖండన రేఖ). R లు

రెండవ సమద్విఖండన రేఖ D.R లు (-11, 20, 23)

ప్రశ్న 6.
(6, 10, 10), (1, 0, -5), (6, -10, 0) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలైతే, త్రిభుజం భుజాల దిక్ సంఖ్యలను కనుక్కోండి. ఇది లంబకోణ త్రిభుజమా, సమద్విబాహు త్రిభుజమా నిర్ధారించండి.
సాధన:
A (6, 10, 10), B (1, 0, -5), C (6, -10, 0) లు
∆ABC త్రిభుజ శీర్షాలు
AB యొక్క D.R లు 5, 10, 15 i.e., 1, 2, 3
BC యొక్క D.Rలు -5, 10, -5 i.e., 1, -2, 1
AC యొక్క D.R లు 0, 20, 10, i.e., 0, 2, 1
cos ∠ABC = \(\frac{|1.1+2(-2)+3.1|}{\sqrt{1+4+9} \sqrt{1+4+1}}\) = 0
⇒ ∠B = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ దత్త త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు వరసగా A (1, 4, 2), B (-2, 1, 2), C (2, 3,-4). అయితే A, B, C లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]

సాధన:
A (1, 4, 2), B (–2, 1, 2), C (2, 3, –4) లు OABC
యొక్క త్రిభుజ శీర్షాలు,
AB యొక్క D.R లు 3, 3, 0 i.e., 1, 1, 0
BC యొక్క D.R లు -4, -2, 6 i.e., 2, 1, -3
AC యొక్క D.R లు -1, 1, 6.

ప్రశ్న 8.
3l + m + 5n = 0, 6mn – 2nl + 5lm = 0 సమీకరణాలతో సూచించబడే దిక్ కొసైన్లు గల రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి. [T.S Mar’ 15; May ’12, ’06]
సాధన:
దత్తాంశం 3l + m + 5 = 0 …………….. (1)
6mn – 2nl + 5lm ……………… (2)
(1) నుండి, m = – (3l + 5n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
-6n(3l + 5n) – 2nl – 5l (3l + 5n) = 0
-18ln – 30n² – 2nl – 15l² – 25ln = 0
-15l² – 45ln – 30n² = 0
l² + 3ln + 2n² = 0
(l + 2n) (l + n) = 0
l + 2n = 0 లేదా l + n = 0

సందర్భం (i) : l₁ + n₁ = 0 ⇒ n₁ = -l₁;
⇒ \(\frac{l_1}{1}=\frac{n_1}{-1}\)
కానీ m₁ – (3l₁ + 5n₁) = (-3n₁ + 5n₁) = -2n₁
∴ \(\frac{m_1}{+2}=\frac{n_1}{-1}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{-1}\)
l₁ యొక్క D.R లు (1, 2, -1)

సందర్భం (ii) : l₂ + 2n₂ = 0
l₂ = −2n₂ ⇒ \(\frac{l_2}{-2}=\frac{n_2}{1}\)
m₂ = (3l₂ + 5n₂) = -(-6n₂ + 5n₂) = n₂
\(\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{1}\)
∴ \(\frac{l_2}{-2}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{1}\)
l₂ యొక్క D.R లు (-2, 1, 1)
l₁, l₂ రేఖల మధ్య కోణం ‘θ’ అనుకుందాం.
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|1(-2)+2.1+(-1) .1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}}\)
= \(\frac{1}{6}\) ⇒ θ = cos^-1 (1/6)

ప్రశ్న 9.
రెండు ఆసన్న స్థానాలలో ఒక చలరేఖ దిక్ కొసైన్లు (l, m, n), (2 + δl, m + δm, n + δn), ఈ రెండు స్థానాల మధ్య గల స్వల్ప కోణం δθ, (δθ)² = (δl)² + (δm)² + (δn)² తృప్తిపరుస్తుందని చూపండి.
సాధన:
(l, m, n), (l + δl, m + δn, n + δn) లు దిక్ కొసైన్లు
l² + m² + n² = 1 ……………… (1)
(l + δl)² + (m + δm)² + (n + δn)²
(2) − (1) ⇒ (l + δl )² + (m + δm)² + (n + δn)² (l² + m² + n²) = 0
2(l . δl + m . δm + n . δ)
= −((δl)² + (δm)² + (δn)²) ……………….. (3)
cos θ . δθ = l (l + δl)+ m (m + δm) + n (n + δn)
= (l² + m² + n²) + (l . δl + m . δm + n . δn)
= 1 – \(\frac{1}{2}\) [(δl)² + (δm)² + (δn)²]
(δl)² + (δm)² + (δr² = 1 = 2 (1 cos θ . δθ)
δθ చిన్నది కనుక sin \(\frac{\delta}{2}=\frac{\delta \theta}{2}\)
∴ 4 sin² θ \(\frac{\delta \theta}{2}=\left(\frac{\delta \theta}{2}\right)^2\) = (δθ)²
∴ (δθ)² = (δl)² – (δm)² + (δn)²

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a)

అభ్యాసం – 9 (ఎ)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
సాధన:
y = \(\sqrt{x}\) + \(2 x^{\frac{3}{4}}\) + \(3 x^{\frac{5}{6}}\) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2} \cdot x^{-1 / 2}\) + 2. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/4 + 3. \(\frac{3}{2}\) . x^-1/6]

ii) \(\sqrt{2 x-3}\) + \(\sqrt{7-3 x}\) (T.S Mar. ’15)
సాధన:

iii) (x² – 3) (4x³ + 1)
సాధన:
y = (x² – 3) (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) – (4x³ + 1)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 3) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(4x³ + 1) + (4x³ + 1)\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(x² – 3)
= (x² – 3) (12x²) + (4x³ + 1) (2x)
= 12x⁴ – 36x² + 8x⁴ + 2x
= 20x⁴ – 36x² + 2x

iv) (\(\sqrt{x}\) – 3x) (x + \(\frac{1}{x}\))
సాధన:

v) (\(\sqrt{x}\) + 1)(x² – 4x + 2)(x > 0)
సాధన:
y = (\(\sqrt{x}\) + 1) (x² – 4x + 2) (x > 0)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

vi) (ax + b)ⁿ (cx + d)^m.
సాధన:

vii) 5 sin x + e^x log.x
సాధన:
y = 5 sin x + e^x. log x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5 cos x + e^x. \(\frac{d}{d x}(\log x)\) + log x \(\frac{d}{d x}\left(e^x\right)\)
= 5 cos x + e^x . \(\frac{1}{x}\) + (log x) (e^x)

viii) 5^x + log x + x³ e^x
సాధన:
y = 5x + log x + x³ e^x
\(\frac{d y}{d x}\) = 5^x . log 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³.e^x + e^x.3x²
= 5^x.l0g 5 + \(\frac{1}{x}\) + x³ e^x + 3x² e^x

ix) e^x + sin x cos x
సాధన:
y = e^x + sin x. cos x
\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{d}{d x}\)(e^x) + \(\frac{d}{d x}\)(sin x. cos x)
= e^x + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cos x) + cos x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x)
= e^x – sin² x + cos² x
= e^x + cos 2x

x)
\(\frac{\mathbf{p} x^2+\mathbf{q} x+\mathbf{r}}{\mathbf{a x}+\mathbf{b}}\)(|a| + |b| ≠ 0)
సాధన:

xi) log₇ (log x) (x > 0)
సాధన:
y = log₇ (log x) (x > 0)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{\log _7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\)
= \(\frac{1}{x(\log x)\left(\log _e^7\right)}\) = \(\frac{\log _7{ }^e}{x \log _e x}\)

xii)
\(\frac{1}{a x^2+b x+c}\) (|a| + |b| + |c| ≠ 0)
సాధన:

xiii) e^2x log (3x + 4) (x > \(\frac{-4}{3}\)) (May ’13)
సాధన:
y = e^2x. log (3x + 4) (x > –\(\frac{4}{3}\))
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

xiv) (4 + x²) e^2x
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = (4 + x²) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(e^2x) + e^2x\(\frac{d}{d x}\)(4 + x²)
= (4 + x²). 2e^2x + e^2x (0 + 2x)
= 2e^2x (4 + x² + x]
= 2e^2x (x² + x + 4)

xv) \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0] (May 12)
సాధన:
y = \(\frac{a x+b}{c x+d}\) [|c| + |d| ≠ 0]
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

xvi) a^x. e^x2
సాధన:
y = a^x. e^x2
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
f(x) = 1 + x + x² + …. + x^1oo, అయితే f'(1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 1 + 2x + 3x²……… + 100 x⁹⁹
f'(1) = 1 + 2 + 3 …….. + 100
= \(\frac{100 \times 101}{2}\) = 5050 (Σx = \(\frac{x(x+1)}{2}\))

ప్రశ్న 3.
f(x) = 2x² + 3x – 5 అయితే f'(0) + 3f'(-1) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
f'(x) = 4x + 3
f'(0) = 0 + 3 = 3
f'(-1) = – 4 + 3 = -1
f(0) + 3f'(-1) 3 + 3(-1) = 3 – 3 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
అవకలజం ప్రాథమిక సూత్రం నుంచి కింది ప్రమేయాలు అవకలజాలను కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)

i) x³
సాధన:

ii) x² + 4
సాధన:
f(x) = x² + 4
f(x + h) – f(x) = ((x + h)⁴ + 4) – (x⁴ + 4)
= ((x + h)⁴ + 4 – x⁴ – 4
= x⁴ + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴ – x⁴

iii) ax² + bx + c
సాధన:
f(x) = ax² + bx + c
f(x + h) = a(x + h)² + b(x + h) + c
= a(x² + 2hx + h²) + b(x + h) + c
= ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c
f(x + h) – f(x) = ax² + 2ahx + ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c
= h[2ax + ah + b]

iv) \(\sqrt{x+1}\)
సాధన:

v) sin 2x (May ’13)
సాధన:
f(x) = sin 2x = f(x + h) – f(x)
= sin 2(x + h) – sin 2x
= 2cos \(\frac{2 x+2 h+2 x}{2}\) . sin \(\frac{2 x+2 h-2 x}{2}\)
= 2. cos (2x + h). sin h

vi) cos ax (Mar. ’13, ’11)
సాధన:

vii) tan 2x
సాధన:

viii) cot x
సాధన:
f(x) = cot x
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x

ix) sec 3x
సాధన:
f(x) = sec 3x
f(x + h) − f(x) = sec 3(x + h) – sec 3x

x) x sin x
సాధన:
f(x) = x sin x.
f(x + h) – f(x) = (x + h) sin (x + h) – x sin x
= x (sin (x + h) – sin x) + h. sin (x + h)
= x[2 cos\(\frac{x+h+x}{2}\).sin \(\frac{x+h-x}{2}\)) + h. sin(x + h)

xi) cos² x
సాధన:
f(x) = cos² x
f(x + h) f(x) = cos² (x + h) – cos² x
= -(cos² x – cos² (x + h))
= -sin (x + h + x) sin (x + h – x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) \(\frac{1-x \sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}\) (x > 0)
సాధన:

ii) xⁿ. n^x. log (nx) (x > 0, n ∈ N)
సాధన:

iii) ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x
సాధన:
y = ax²ⁿ. log x + bxⁿ e^-x

iv) (\(\frac{1}{x}\) – x)³. e^x
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ప్రమేయం f(x) = |x| + |x – 1], x ∈ R, 0, 1ల వద్ద తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవకలనీయం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = │x| + |x – 1| ∀ x ∈ R
f(x) = x + x − 1 = 2x − 1, x ≥ 1
= x – (x − 1) = x – x + 1, = 1, 0 < x < 1
= -x – (x – 1) = -x – x + 1 = 1 – 2x, x ≤ 0
∴ f(x) = 2x – 1, x ≥ 1
= 1, 0 < x < 1 = 1 – 2x, x ≤ 0 x > 1, అయితే f(x)= 2x – 1 = x² లో బహుపది
f(x) అన్ని x > 1 లకు అవకలనీయము.
0 < x < 1, అయితే f(x) = 1
∴ f(x), 0 < x < 1 కు అవకలనీయము.
x < 1, అయితే f(x) = 1 – 2x = x లో బహుపది
∴ f(x) అన్ని x < 1 వద్ద అవకలనీయము
సందర్భం i) : x = 0

∴ f'(0) వ్యవస్థితం కాదు.
f(x) అవకలనీయము కాదు x = 0 వద్ద
సందర్భం ii) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద అవకలనీయము కాదు.
∴ f(x), 0, 1 వద్ద తప్ప x వాస్తవ విలువలన్నింటి వద్ద అవకలనీయము

ప్రశ్న 4.
క్రింది ప్రమేయం 1, 3 ల వద్ద అవకలనీయమేమో చూపండి.

సాధన:
సందర్భం i) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద x = 1 అవకలనీయం కాదు
సందర్భం ii) : x = 3

f(x) వద్ద x = 3 అవకలనీయం కాదు

ప్రశ్న 5.
క్రింది ప్రమేయం 2 వద్ద అవకలనీయమా ? సరి చూడండి.

సాధన:


f'(2-) ≠ f'(2⁺) ; f(x) ప్రమేయం x = 2 వద్ద ఆవకలనీయం కాదు.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(b)

I.

Question 1.
\(2 \bar{i}+3 \bar{j}+\bar{k}\) బిందువు గుండా పోతూ, \(4 \bar{i}-2 \bar{j}+3 \bar{k}\) సదిశకు సమాంతరంగా ఉండే రేఖ సదిశా సమీకరణం కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15, ’07; May ’07]
Solution:

Question 2.
OABC సమాంతర చతుర్భుజంలో, \(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O C}}=\overline{\mathbf{C}}\) అయితే, BC రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [(T.S) Mar ’15]
Solution:
OABC సమాంతర చతుర్భుజం

Question 3.
A, B, C బిందువులు ఒక త్రిభుజ శీర్షాలు. వాటి స్థాన సదిశలు క్రమంగా \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) అయితే, A గుండా పోయే మధ్యగత రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
Solution:

Question 4.
\(2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}},-4 \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) బిందువులను కలిపే రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’11; May ’08]
Solution:

Question 5.
\(\overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}},-5 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}},-3 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}\) బిందువుల గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 6.
(0, 0, 0), (0, 5, 0), (2, 0, 1) బిందువుల గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలు అయితే, \(2 \overline{\mathbf{a}}+3 \overline{\mathbf{b}}-\overline{\mathbf{c}}\), \(3 \bar{a}+4 \bar{b}-2 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖ, \(\overline{\mathbf{a}}-2 \overline{\mathbf{b}}+3 \overline{\mathbf{c}}\), \(\bar{a}-6 \bar{b}+6 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
ABCD సమలంబ చతుర్భుజం (trapezium) లో AB, CD లు సమాంతర భుజాలు. AB, CD ల మధ్య బిందువులు, కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలని సదిశా పద్ధతిని వాడి నిరూపించండి.
Solution:
ABCD సమలంబ చతుర్భుజం.
AB, CD లు సమాంతరములు.




(4), (5) ల నుండి,
\(\overline{\mathrm{PM}}=\lambda(\overline{\mathrm{NP}})\)
M, P, N లు సరేఖీయాలు.
కనుక సమాంతర భుజాల మధ్యబిందువులు, కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలు.

Question 3.
ABCD చతుర్భుజంలో, ఒక జత ఎదుటి భుజాల మధ్య బిందువులూ, దాని కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలైతే, ఆ చతుర్భుజం సమలంబ చతుర్భుజం అవుతుందని సదిశా పద్ధతుల ద్వారా నిరూపించండి.
Solution:

III.

Question 1.
\(2 \bar{i}+4 \bar{j}+2 \bar{k}, 2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k}\) బిందువుల గుండా పోతూ, సదిశ \(3 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) కు సమాంతరంగా ఉండే తలం సదిశా సమీకరణం కనుక్కుని, \(\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\), \(4 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\) బిందువులను కలిపే రేఖను ఈ తలం ఖండించే బిందువును కూడ కనుక్కోండి. [Mar. ’12]
Solution:

Question 2.
\(4 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, 3 \overline{\mathbf{i}}+7 \overline{\mathbf{j}}-10 \bar{k}, 2 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-7 \overline{\mathbf{k}}\), బిందువుల ద్వారా పోయే తలం సదిశాసమీకరణం కనుక్కొని, \(\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}-3 \overline{\mathbf{k}}\) బిందువు, ఈ తలంలో ఉంటుందని చూపండి. [Mar. ’13]
Solution:


(1), (2), (3) ను ధృవీకరిస్తున్నాయి.
D బిందువు, A, B, C తలంలో ఉంటుంది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a)

అభ్యాసం – 6 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ x, y, z అక్షాల ధనదిశలతో వరుసగా 90°, 60°, 30° కోణాలు చేస్తుంది. దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
l, m, n లు రేఖ దిక్ కొసైనులు అనుకుందాం.
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
n = cos γ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
రేఖ దిక్ కొసైనులు \(\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ X, Y, Z-అక్షాల ధన దిశలలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే, sin² α + sin² β + sin² γ విలువ ఎంత ?
సాధన:
cos² α + cos² β + cos² γ = 1 కావున
1 – sin² α + 1 – sin² β + 1 – sin² γ = 1
sin² α + sin² β + sin² γ = 3 – 1 = 2.

ప్రశ్న 3.
అంతరాళంలో P(\(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)) ఒక బిందువైతే, \(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
OP ల దిక్ సంఖ్యలు \(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)
a² + b² + c²
= 3 + 1 + 12 = 16
⇒ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = 4 తో భాగించగా
\(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైనులు
\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2 \sqrt{3}}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(-4, 1, 7), (2, -3, 2) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(-4, 1, 7) లు B(2, -3, 2) లు దత్త బిందువు
PQ యొక్క d.rs లు x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
2 + 4, – 3 – 1, 2 – 7 ie., 6, -4, -5
తో భాగించగా \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{37+10+25}=\sqrt{77}\)
AB యొక్క D.C లు \(\left(\frac{6}{\sqrt{77}}, \frac{4}{\sqrt{77}}, \frac{-5}{\sqrt{77}}\right)\)

II.

ప్రశ్న 1.
(3, 5, -4), (-1, 1, 2),(-5, -5, -2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం భుజాల దిక్ కొసైన్లు రాయండి.
సాధన:
A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2), C(-5, -5, -2) లు ∆ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు.

d.rs యొక్క ABలు -1 -3, 1 – 5, 2 + 4 = -4, -4, 6
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
AB యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{6}{2 \sqrt{17}}\)
i.e., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}\)
BC యొక్క D.R లు -5 +1, -5 -1, -2 −2
i.e., -4, -6, -4
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
BC యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-6}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}\)
ie., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}\)
CA యొక్క d.rs లు 3 + 5, 5 + 5, – 4 + 2
= 8, 10, -2
తో భాగించగా \(\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}\)
CA యొక్క D.C లు \(\frac{8}{2 \sqrt{42}}, \frac{10}{2 \sqrt{42}}, \frac{-2}{2 \sqrt{42}}\)
i.e., \(\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}\)

ప్రశ్న 2.
P, Q, R, S లు వరుసగా (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{\mathrm{P Q}}, \overleftrightarrow{\mathrm{R S}}\) సమాంతరంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P(2, 3, 4), Q(4, 7, 8), R(-1, -2, 1) S(1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు
PQ యొక్క d.r లు 4 – 2, 7 – 3, 8 – 4 i.e., 2, 4, 4
RS యొక్క d.r లు 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 i.e., 2, 4, 4
d.r యొక్క PQ లు RS లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి.
∴ PQ, RS లు సమాంతరాలు.

III.

ప్రశ్న 1.
l – 5m + 3n = 0, 7l² + 5m² – 3n² = 0 సమీకరణాలను తృప్తిపరచేటట్లుగా, రెండు సరళ రేఖల దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం l – 5m + 3n = 0
⇒ l = 5m – 3n ……………….. (1)
7l² + 5m² – 3n² = 0 ………………. (2)
(2)లో ! విలువ ప్రతిక్షేపించగా
7(5m – 3n)² + 5m² – 3n² = 0
7(25m² + 9n² – 30 mn) + 5m² – 3n² = 0
175 m² + 63n² – 210 mn + 5m² – 3n² = 0
180 m² – 210 mn + 60 n² = 0
30 తో భాగించగా
6m² – 7mn + 2n² = 0
(3m – 2n) (2m – n) = 0
3m = 2n లేదా 2m = n

సందర్భం (i) : 3m₁ = 2n₁ ⇒ \(\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మరియు m₁ = \(\frac{2}{3}\) n₁
(1) నుండి l₁ = 5m₁ – 3n₁ = 5 \(\frac{10}{3}\) n₁ – 3n₁
= \(\frac{10 n_1-9 n_1}{3}=\frac{n_1}{3}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మొదటి రేఖ d.r లు (1, 2, 3)
\(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) తో భాగించగా
మొదటి రేఖ d.c లు \(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)\)

సందర్భము (ii) : 2m₂ = n₂
(1) నుండి l₂ – 5m₂ + 3n₂ = 0
l₂ – 5m₂ + 6m₂ = 0
-l₂ = m₂
∴ \(\frac{l_2}{-1}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{2}\)
రెండవ రేఖ d.r లు -1, 1, 2
\(\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\) తో భాగించగా
రెండవ రేఖ d.c లు \(\left(\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b)

అభ్యాసం – 5 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
A(-2, 3, 4), B(1, 2, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
AB ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తి
AB = – y₁ : y₂ = -3 : 2

ప్రశ్న 2.
A (1, 1, 1), B (-2, 4, 1) బిందువులు రెండు శీర్షాలుగా, మూలబిందువు కేంద్రాభాసంగాగల త్రిభుజం ABC కి, శీర్షం ‘C’ నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
A(1, 1, 1), B(-2, 4, 1) లు (x, y, z) బిందువు ∆ABC
యొక్క శీర్షాలు
Gబిందువు ∆ABC కేంద్రాభాసం
G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{1-2+x}{3}, \frac{1+4+y}{3}, \frac{1+1+z}{3}\right)\) = (0, 0, 0)
\(\frac{x-1}{3}\) = 0, \(\frac{y+5}{3}\) = 0, \(\frac{z+2}{3}\) = 0
x – 1 = 0, y + 5 = 0, z + 2 = 0
x = 1
y = -5
z = -2
∴ నిరూపకాలు (1, -5, -2)

ప్రశ్న 3.
(3, 2, -1), (4, 1, 1), (6, 2,5) లు మూడు శీర్షాలుగా, (4, 2, 2) కేంద్రాభాసంగా గల చతుర్ముఖి నాలుగో శీర్షాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. 15, ’14; May’13, ’11, ’05 ]
సాధన:
A(3, 2, -1), B(4,1, 1), C(6, 2, 5), D(x, y, z) లు చతుర్భుజ శీర్షాలు
కేంద్రాభాసం G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3+4+6+x}{4}, \frac{2+1+2+y}{4}, \frac{-1+1+5+z}{4}\right)\)
= \(\left(\frac{13+x}{4}, \frac{5+y}{4}, \frac{5+z}{4}\right)\) = (4, 2, 2)
\(\frac{13+x}{4}\) = 4
13 + x = 16
x = 16 – 13 = 3

\(\frac{5+y}{4}\) = 2
5 + y = 8
y = 8 – 5 = 3

\(\frac{5+z}{4}\) = 2
5 + z = 8
z = 8 – 5 = 3
D నిరూపకాలు (3, 3, 3)

ప్రశ్న 4.
A = (6, 3, -4), B = (-2, −1, 2) లను కలిపే రేఖా ఖండం \(\overline{\mathrm{A B}}\) మధ్యబిందువుకూ, (3, -1, 2) బిందువుకూ మధ్య గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(6, 3, – 4) B(-2, -1, 2) లు దత్త బిందువులు.
AB మధ్య బిందువు Q.
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{6-2}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)
= (2, 1, -1)
P నిరూపకాలు (3, -1, 2)
PQ = \(\sqrt{(3-2)^2+(-1-1)^2+(2+1)^2}\)
= \(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (5, 4, 2), (6, 2, −1), (8, −2, −7) సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(5, 4, 2), B(6, 2, −1) c(8, -2, -7) లు దత్త బిందువులు.

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 2.
A(3, 2, 4), B(5, 4, – 6), C(9, 8, −10) ∞ సరేఖీయాలు అని చూపి, B, \(\overline{\mathrm{A C}}\) ని విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, – 4), B(5, 4, -6) మరియు C(9, 8, -10) లు దత్త బిందువులు

AB + BC = 2\(\sqrt{3}\) + 4\(\sqrt{3}\) = 6\(\sqrt{3}\) = CA
A, B, C లు సరేఖీయాలు
AC ని B విభజించే నిష్పత్తి = AB : BC
= 2\(\sqrt{3}\) : 4\(\sqrt{3}\)
= 1 : 2

III.

ప్రశ్న 1.
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6), C(3, 5, 4), D(5, 8, 5) దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) రేఖలు ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6) C (3, 5, 4) మరియు D(5, 8, 5) లు దత్త బిందువులు
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}, \frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}, \frac{6 \lambda+12}{\lambda+1}\right]\) ………………… (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{5 \mu+3}{\mu+1}, \frac{8 \mu+5}{\mu+1}, \frac{5 \mu+4}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
దత్తరేఖలు ఖండించుకొంటే ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవించవలెను.
\(\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}\) = \(\frac{5 \mu+3}{\mu+1}\)
(2λ + 4) (μ + 1) = (5μ + 3) (λ + 1) ·
2λμ + 2λ + 4μ + 4 = 5λμ + 5μ + λ + 3
3λμ + λ + μ – 1 = 0
λ(3μ + 1) = -(μ – 1)
λ = – \(\frac{(\mu-1)}{3 \mu+1}\)
\(\frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}\) = \(\frac{8 \mu+5}{\mu+1}\)
(4λ + 8) (μ + 1) = (8μ + 5) (λ + 1)
4λμ + 4λ + 8μ + 8 = 8λμ + 8μ + 5λ + 5
4λμ + λ – 3 = 0
(4μ + 1) λ = 3
–\(\frac{(4 \mu+1)(\mu-1)}{3 \mu+1}\) = 3
4μ² – 4μ + μ – 1 = -9μ – 3
4μ² + 6μ + 2 = 0
2μ² + 3μ + 1 = 0
(2μ + 1) (μ + 1) = 0
μ = –\(\frac{1}{2}\) లేదా – 1
μ = -1 అసాధ్యం
μ = – \(\frac{1}{2}\)

ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవిస్తున్నాయి కనుక దత్త రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
A = (7, -6, 1), B = (17, -18,-3), C = (1, 4, -5), D = (3, -4, 11) లు దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) ఖండన బిందువు కనుక్కోండి.

సాధన:
A(7, -6, 1), B(17, -18, -3), C(1, 4, -5) మరియు D(3, – 4,11) లు దత్త బిందువులు.
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}, \frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}, \frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}\right]\) ………………. (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{3 \lambda+1}{\mu+1}, \frac{-4 \mu+4}{\mu+1}, \frac{11 \mu-5}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
\(\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}\) = \(\frac{3 \mu+1}{\mu+1}\)
(17λ + 7) (μ + 1) = (3μ + 1) (λ + 1)
17λμ + 17λ + 7λ + 7 = 3λμ + 3λ + 2λ + 1
14λμ + 16λ +4μ + 6 = 0.
\(\frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}=\frac{-4 \mu+4}{\mu+1}\) ; \(\frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}=\frac{11 \mu-5}{\mu+1}\)
– 18λμ – 6μ – 18λ – 6
= -4λμ + 4λ – 4μ + 4
14λμ +22λ + 2μ + 10 = 0
14λμ +16λ +4μ + 6 = 0 ………………. (1)
14λμ + 22λ + 2μ + 10 = 0 …………….. (2)
తీసివేయగా -6λ + 2μ – 4 = 0
2μ = 6λ + 4
μ = 3λ +2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
14λ (3λ + 2) + 16λ + 4(3λ + 2) + 6 = 0.
42λ² + 28λ + 16λ + 12λ + 8 + 6 = 0
42λ² +56λ + 14 = 0
3λ² +4λ + 1 = 0
(λ + 1) (3λ + 1) = 0
λ = -1 లేదా λ = – \(\frac{1}{3}\)
λ = -1 అసాధ్యం
λ = – \(\frac{1}{3}\)

∴ ఈ రెండు బిందువులు ఒకటే
AB, CD రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.
ఖండన బిందువు (2, 0, 3)

ప్రశ్న 3.
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2), C(-9, 6, -3) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు, ∠BAC యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{A D}}\), \(\overline{\mathrm{B C}}\) ని D వద్ద ఖండిస్తుంది. D యొక్క నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2) C(-9, 6, -3) లు ∆ABC శీర్షాలు

AB రేఖ ∠DAC కోణ సమద్విఖండన రేఖ
‘D’ బిందువు BC ని 3 : 13 నిష్పత్తిలో విభజిస్తున్నాయి.
P నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3(-9)+13.5}{3+13}, \frac{3.6+13.3}{3+13}, \frac{3(-3)+13.2}{3+13}\right)\)
= \(\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)\)

ప్రశ్న 4.
O(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) Dox సరేఖీయాలని చూపండి. ప్రతిబిందువూ మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే రేఖను ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
0(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) లు దత్త బిందువులు

∴ O, A, B లు సరేఖీయాలు.

AB ని ‘O’ విభజించే నిష్పత్తి
= OA: OB
= \(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = 1 : 1
OB ని A విభజించే నిష్పత్తి
= OA: AB = \(\sqrt{22}\) : 2 \(\sqrt{22}\) = -1 : 2
OA ని B విభజించే నిష్పత్తి
= -AB : BO = − 2\(\sqrt{22}\): \(\sqrt{22}\) – 2\(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = -2 : 1.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(g)

అభ్యాసం – 10 (జి)

I.

1. అవకలజాన్ని ఉపయోగించకుండా

i) f(x) = 3x + 7 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం సాధన.
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
3x₁ < 3x₂
ఇరువైపుల 7 కూడగా
3x₁ + 7 < 3x₂ + 7
⇒ f(x₁) < f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ R
ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ii) f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం
సాధన:
f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\)
Let x₁, x₂ ∈ R
అయితే
x₁ < x₂
⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}\) > \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)
⇒ f(x₁) > f(x₂) .
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

iii) f(x) = e^3x ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.
సాధన:
f(x) = e^3x
x₁, x₂ ∈ R అయితే x₁ < x₂
W.k.t a > b
అయితే e^a > e^b
⇒ e^3x < e^3x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
R పై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం.

iv) f(x) = 5 – 7x ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = 5 – 7x
x₁ x₂ ∈R
అయిన x₁ < x₂
⇒ 7x₁ < 7x₂
-7x₁ > -7x₂
ఇరువైపులా 5 కూడగా
5 – 7x₁ > 5 – 7x₂
f(x₁) > f(x₂)
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ∀x₁ x₂ ∈ R.
R పై f(x) శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 2.
f(x) = sin x, x E R ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin x
Since 0 < x < π
Consider 0 < x f(0) < f(x)
sin 0 < sin x
0 < sin x —— (1)
Consider x < π
f(x) < f(π)
sin x < sin π 0 > sin x —— (2)
(1) (2) నుంచి f(x) శుద్ధ ఆరోహణం లేదా శుద్ధ అవరోహణం కాదు.

II.

1. కింద ప్రమేయాలు శుద్ధ ఆరోహణం, శుద్ధ అవరోహణం అయ్యే అంతరాలను కనుక్కోండి.

i) x² + 2x – 5
సాధన:
Let f(x) = x² + 2x – 5
f(x) = 2x + 2
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ 2x + 2< 0 ⇒ x + 1 > 0
x > -1
x ∈ (-1, ∞) వద్ద f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 2 < 0
⇒ x + 1 < 0
⇒ x < -1
x ∈ (-∞, −1) వద్ద f(x) అవరోహణం.

ii) 6 – 9x – x².
సాధన:
f(x) = 6 – 9x – x²
f'(x) = -9 -2x
f(x) ఆరోహణం అయితే f'(x) > 0
⇒ -9 – 2x > 0
⇒ 2x + 9 < 0
x < \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{-9}{2}\right)\) అయితే f(x) ఆరోహణం
f(x) అవరోహణం అయితే f'(x) < 0
⇒ 2x + 9 > 0
⇒ x > \(\frac{-9}{2}\)
x ∈ \(\left(\frac{-9}{2}, \infty\right)\) అయితే f(x) అవరోహణం

iii) (x + 1)³ (x – 1)³.
సాధన:
Let f(x) = (x + 1)³ (x + 1)³
= (x² – 1)³
= x⁶ – 1 – 3x⁴ + 3x²
f'(x) = 6x⁵ – 12x³ + 6x
= 6(x⁵ – 2x³ + x)
= 6x(x⁴ – 2x² + 1)
= 6x(x² – 1)²
f'(x) ≤ 0
⇒ 6x(x² – 1) ≤ 0
f(x) అవరోహణ అయితే (-∞, -1) ∪ (1, 0)
f'(x) > 0
f(x) అవరోహణ అయితే (0, 1) ∪ (1, ∞)

iv) x³(x – 2)²
సాధన:
f'(x) = x³. 2(x – 2) + (x – 2)². 3x²
= x²(x – 2) (2x + 3(x – 2))
= x² (x – 2) (2x + 3x – 6)
= x² (x – 2) (5x – 6) ∀ x ∈ R, x² ≥ 0
ఆరోహణ అయితే f'(x) > 0.
x²(x – 2) (5x – 6) > 0
x ∈ \(\left(-\infty, \frac{6}{5}\right)\) ∪ (2, ∞)
అవరోహణ అయితే f'(x) < 0
x²(x – 2) (5x – 6) < 0
x ∈ \(\left(\frac{6}{5}, 2\right)\)

v) f(x) = x e^x
సాధన:
f(x) = x . e^x + e^x. 1 = e^x (x + 1)
e^x, x వాస్తవ
f(x) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > -1
f(x) ఆరోహణం అయితే x > -1
f'(x) < 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < – 1
f(x) అవరోహణము అయితే x < – 1

vi) f(x) = \(\sqrt{25-4 x^2}\)
సాధన:
f(x) వాస్తవము కావలెనంటే 25 – 4x² ≥ 0
-(4x² – 25) ≥ 0
-(2x + 5) (2x – 5) ≥ 0
∴ x విలువ \(-\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{2}\) మధ్య ఉంటుంది.

f(x) ప్రమేయము (\(-\frac{5}{2}\), 0) లో అవరోహణము
f(x) అవరోహణము అయితే f'(x) < 0
⇒ \(-\frac{4 x}{\sqrt{25-4 x^2}}\) < 0
∴ x > 0
f(x) ప్రమేయము (0, \(\frac{5}{2}\)) లో అవరోహణం.

vii) f(x) = ln (lnx); x > 1
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}\)
f(x) లో ఆరోహణమయితే f'(x) > 0
\(\frac{1}{x \cdot \ln } x\) > 0
⇒x. ln x > 0
In x వాస్తవం అయితే x > 0 కావలెను
∴ ln x < 0 = ln 1 i.e., x > 1
f(x) ప్రమేయము x > 1 ie., (1, ∞) అయిన ఆరోహణం
f(x) ప్రమేయము f'(x) < 0 అయితే అవరోహణం
⇒ In x > 0 ln
i.e., x < 1
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో అయితే అవరోహణం

viii) f(x) = x³ – 3x² – 6x + 12
సాధన:
f'(x) = 3x² + 6x – 6
= 3(x² + 2x – 2)
= 3[(x + 1)² – 3]
= 3( x + 1 + \(\sqrt{3}\)) ( x + 1 – \(\sqrt{3}\))
f'(x) = 3(x+ (\(\sqrt{3}\) + 1))(x + (1 − \(\sqrt{3}\)))
f'(x) ≤ 0 ⇒ 1 + \(\sqrt{3}\) < x < \(\sqrt{3}\) + 1
f(x), (1 + \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1) లో
f'(x) > 0 ⇒ x అవరోహణము
1 – \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) – 1 ల మధ్య ఉండును.
i.e., x < 1 – \(\sqrt{3}\) మరియు x > \(\sqrt{3}\) – 1
f(x), x < 1 – \(\sqrt{3}\), x > \(\sqrt{3}\) – 1 లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 2.
(0, π/2) అంతరంపై f(x) = cos²x శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = cos²x
⇒ f'(x) = 2 cos x(-sin x)
= -2 sin x cos X
= -sin 2x
∴ 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 0 < 2x < π
‘sin x’ is +ve మధ్య 0 + π
∴ f'(x) = -ve.
∴ f'(x) < 0
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 3.
[1, ∞) అంతరం పై x + \(\frac{1}{x}\) ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}\) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\)
Since x ∈ [1, ∞) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\) > 0
∴ f(x) > 0
∴ f(x) ఆరోహణం.

ప్రశ్న 4.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln (1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము > 0 అయితే ఆరోహణము
∴ f(x) > f(0)

g(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – ln = 0 – 0 = 0
∴ x – ln (1 + x) > 0
x > ln (1 + x) —– (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x}\)(1 + x) < x

III.

ప్రశ్న 1.
ప్రతి x > 0 కి \(\frac{x}{1+x}\) < ln(1 + x) < x ∀ అని చూపండి.
సాధన:

f(x) ప్రమేయము x > 0 లో ఆరోహణము
f(x) > f(0)
f(0) = tan^-1 0 – 0 = 0 కనుక
i.e., f(x) > 0
⇒ tan^-1x – \(\frac{x}{1+x^2}\) > 0
⇒ tan^-1x > \(\frac{x}{1+x^2}\) —- (1)
g(x) = 1 – tan^-1x అనుకుందాం
g'(x) = 1 – \(\frac{1}{1+x^2}\) = \(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) = \(\frac{x^2}{1+x^2}\) > 0
g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
i.e., g(x) > g(0)
g(0) = 0 – tan^-1 = 0 – 0 = 0
∴ x – tan^-1 x > 0
⇒ x > tan^-1 x —— (2)
(1), (2) ల నుండి
x > 0 అయితే \(\frac{x}{1+x^2}\) < tan^-1 x < x

ప్రశ్న 2.
ప్రతి x ∈\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కి tan x > x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = tan x – x అనుకుందాం
f'(x) = sec² x – 1 > 0, ∀x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\),
∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము
i.e., f(x) > f(0)
f(0) = tan 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴ tan x – x > 0
⇒ ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు tan x > x

ప్రశ్న 3.
x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) అయితే, \(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x అని చూడండి
సాధన:
f(x) = x – sinx అనుకుందాం.
f'(x) = 1 – cos x > 0 ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ f(x) ప్రమేయము ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ఆరోహణము.
⇒ f(x) > f(0)
f(0) = 0 – sin 0 = 0 – 0 = 0
∴ x – sin x > 0
⇒ x > sin x
g(x) = sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) అనుకుందాం.
g'(x) = cos x – \(\frac{2}{\pi}\) > 0 ప్రతి x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) కు ప్రమేయము.
g(x) ప్రమేయము \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) లో ఆరోహణ ప్రమేయము.
g(x) > g(0)
g(0) = sin 0 – 0 = 0 – 0 = 0
∴sin x – \(\frac{2 x}{\pi}\) > 0
⇒ 1 – sin x > \(\frac{2 x}{\pi}\) —- (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{2 x}{\pi}\) < sin x < x ∀ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x ∈(0, 1) అయితే 2x < ln \(\left[\frac{(1+x)}{1-x}\right]\) < 2x \(\left[1+\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2-2+2 x^2}{1-x^2}\)
= \(\frac{2 x^2}{1-x^2}\) > 0 ∀ x ∈ (0, 1)
f(x) ప్రమేయము (0, 1) లో ఆరోహణము
i.e., x > 0 ⇒ f(x) > f(0)
f(0) = ln 1 – 0 = 0 – 0 = 0

g(x) ప్రమేయము x > 0 కు ఆరోహణము
g(x) > g(0)
g(0) = 0 ln 1 = 0 – 0 = 0

(1), (2) ల నుండి
2x < ln \(\frac{(1+x)}{1-x}\) < 2x \(\left(1+\frac{\mathrm{x}^2}{2\left(1-\mathrm{x}^2\right)}\right)\) x ∈ (0, 1)

ప్రశ్న 5.
y = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3 x}{2}\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12 ప్రమేయానికి ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు పెరుగుతాయి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము У = \(\frac{x^3}{6}\) – \(\frac{3}{2} x^2\) + \(\frac{11 x}{2}\) + 12

వాలు ఆరోహణము
⇒ m > 0
x – 3 > 0
x > -3
వాలు (3, ∝) లో ఆరోహణము

ప్రశ్న 6.
(0, ∝) అంతరంలో ln\(\frac{(1+x)}{x}\), \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) ప్రమేయాలు అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
i)

∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ii)
f(x) = \(\frac{x}{(1+x) \ln (1+x)}\) అనుకుందాం


∴ f(x) ప్రమేయము x ∈ (0, ∝) లో అవరోహణ ప్రమేయము

ప్రశ్న 7.
f(x) = x³ – 3x² + 4 ∀ x ∈ R అంతరంలో శుద్ధ అవరోహణం అవుతుందో కనుక్కోండి
సాధన:
f(x) = x³ – 3x² + 4
f'(x) = 3x² – 6x
f(x) is increasing if f'(x) > 0
3x² – 6x > 0
3x(x – 2) > 0
(x – 0) (x – 2) > 0
f(x) is increasing if x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, ∞)
f(x) is decreasing if f'(x) < 0
(x – 0) (x – 2) < 0
x ∈ (0, 2)

ప్రశ్న 8.
f(x) = sin⁴x + cos⁴x ∀ x ∈ \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో చూపండి.
సాధన:
f(x) = sin⁴x + cos⁴x
f(x) = (sin²x)² + (cos²x)²
= (sin²x + cos²x)² – 2sin²x cos²x
= 1 – \(\frac{1}{2}\) sin² 2x
f'(x) = \(\frac{-1}{2}\) sin 2x. cos 2x(2)
= -2 sin 2x . cos 2x
= -sin 4x
Let 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)
∴ f(x) విలువ తగ్గుతుంది f'(x) < 0
−sinx < 0 sinx > 0
∴ x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\)
f(x) విలువ పెరుగుతుంది f'(x) > 0
– sinx > 0
sinx < 0
x ∈ \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\)