Inter 2nd Year

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 5 అతిపరావలయం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 5 అతిపరావలయం

ప్రశ్న 1.
క్రింది అతిపరావలయాలకు కేంద్రం, ఉత్కేంద్రత, నాభులు, నియతరేఖలు నాఖిలంబం పొడవు కనుక్కోండి.
(i) 4 x²-9 y²-8 x-32=0
(ii) 4(y+3)² -9(x-2)²=1
సాధన:
(i) 4 x²-9 y²-8 x-32=0 అతిపరావలయం సమీకరణ

ప్రశ్న 2.
ఒక అతిపరావలయం, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్రేంద్రతలు వరుసగా e, e₁ అయతే \(\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e_1^2}\)=1 అనిజాపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3
(i) అతిపరావలయం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) , lx+my+n=0 స్పర్శశేఖ అయితే, a²l²-b² m²=n² అని చూపండి.
(ii) అతిపరావలయం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\)=15 lx+my=1 అఖిలంబరేఖ అయితే \(\frac{a^2}{l^2}-\frac{b^2}{m^2}=\left(a^2+b^2\right)^2\) అని చూపండి.
సాధన:
(i) స్పర్శ రేఖ సమీకరణం
l x+m y+n=0 ———– (1)
P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 4.
x²– 4y²=12 అతిపరావలయానికి y=x-7 రేఖకు (i) సమాంతరంగాను (ii) లంబంగాను టంటే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణము 3x² -4y²=12
a² =4, b² =3

(i) y=x-7 కు సమాంతర స్పర్శరేఖ
m= స్పర్యరేఖ వాలు = 1
సమాంతర స్పర్శరేఖల సమీకరణము
y=m x ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y=x ± \(\sqrt{4-3}\)=x±1

(ii) స్పర్యరేఖ y-x=7 కు లంబంగా ఉంటే
m = స్పర్ళరేఖ వాలు = -1
లంబ స్పర్యరేఖ సమీకరణము
y=(-1) x ± \(\sqrt{4(-1)^2-3}=-x \pm 1\)
x+y=± 1

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\)=1 అతిపరావలయానికి రెండు లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు x²+y²=a²-b² పై ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
పరస్పర లంబంగా ఉన్న అతిపరావలయాల స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు P(x₁, y₁)
అతిపరాపలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
స్శర్శరేఖ సమీకరణాన్ని
\(y=m x \pm \sqrt{a^2 m^2-b^2} \) తీసుకొనవచ్చు.
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక వృత్తం xy = 1 అనే లంబ అతిపరావలయాన్ని (x_r, y_r), r=1,2,3,4 అనే బిందువులలో ఖండిస్తుంది. x₁ x₂ x₃ x₄=y₁ y₂ y₃ y₄=1 అని చూపండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణాన్ని x²+y²=a² అనుకొందాం.
t ≠ 0 అయినప్పుడు \(\left(t, \frac{1}{t}\right)\), xy=1 మీద ఉంటుంది.
వృత్త, అతిపరావలయాల ఖండన బిందువుల నిరూపకాలు t^2+\frac{1}{t^2}=a^2 ను సంతృప్తిపరుస్తాయి.
అప్పుడు \(\mathrm{t}^4-\mathrm{a}^2 \mathrm{t}^2+1=0\)
⇒ t⁴+0 . t³-a² t²+0 . t+1=0
ఈ సమీకరణానికి మాలాలను t₁, t₂, t₃, t₄ అనుకొంటే t₁ t₂ t₃ t₄=1 అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఒక లంబ అతిపరావలయం మీద ఉండే నాలుగు బిందువులలో ఏ రెండింటినైనా కలుపగా వచ్చిన జ్యా, మిగిలిన రెండింటిని కలుపగా వచ్చిన జ్యాకు లంబంగా ఉంటూ, ఈ బిందువులను, అతిపరావలయ కేంద్రానికి కలుపగా వచ్చిన సరళరీఖలు, అ అతిపరావలయ అనంత స్రర్శరేఖలలో ఏదైనా ఒకదానితో α,β, γ, δ నిమ్నతలు కలిగి ఉంటే tan α, tan β, tan γ, tan δ =1 అని చూపండి.
సాధన:
లంబ అతిపరావలయం సవీకరణ x²-y²=a² అనుకొందాం. మూలబిందువు దృష్ట్ర X, Y అక్షాలను సవ్య దిశలో \(\frac{\pi}{4}\) కోణంతో జ్రమణం చేయగా x²-y²=a² క వచ్చే రూపాంతరం సమీకరణ రూపం x y=c² \(\left(t_r \neq 0\right),\left(c t_r, \frac{c}{t_r}\right)\), r=1,2,3,4 వక్రం మీద నాలుగు బిందువులు అనుకుందాం.

\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{OA}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{OB}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{OC}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{OA}}{ }\) లు రెండవ అనంత స్పర్శరేఖ అయిన
y-అక్షం ధనదిశతో చేసే కోణాలను α,β, γ, δ అనుకొంటే, వాటి వాలులు వరుసగా cot α, cot β, cot γ, cot δ లవుతాయి. అప్వాడు కూడా tan α, tan β, tan γ, tan δ=(cot α cot β cot γ cot δ)^-1=1 అవుతుంది.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు

ప్రశ్న 1.
\(\int_1^2 x^5\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\int_0^a \sin\) x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\int_1^4 x \sqrt{x^2-1}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\) dx విలువను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\int_0^{16} \frac{x^{1 / 4}}{1+x^{1 / 2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x|\)ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^n x d x=\int_0^{\pi / 2} \cos ^n x\)dx అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(f(x)=\frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x}\) dx  అనుకోండి.

ప్రశ్న 10.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x+\cos x} d x=\frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
\(\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\int_{-a}^a\left(x^2+\sqrt{a^2-x^2}\right)\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x}\) dx కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\int_0^{\pi / 2} x \sin x\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
అవది వెుత్తం నిశ్చిత నమాకలనిని కనుక్కొనే పద్ధతినుపయోగించి \(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\left[\frac{n-i}{n+i}\right]\) కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
అవధి మొత్తంగా నిశిళిత సమాకలనిని కనుక్కొనే పద్ధతి నుపయోగించి
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^k+4^k+6^k+\ldots \ldots+(2 n)^k}{n^{k+1}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\) కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
f: R → R అవిచ్ఛిన్న ఆవర్తన ప్రమేయం. దీనికి T ఒక ఆవర్తనం అయితే ప్రతి ధన హృా్ణాంకం n కి \(\int_0^{n T} f(x) d x=n \int_0^T f(x)\) dx అని చూపండి.
సాధన:

∴  x =m + 1 కు ఫలితము నిజము.
గణితాను గమన సిద్ధాంతం ప్రకారం ధన పూర్ణాంక విలువలన్నింటికి ఫలితము నిజము.

ప్రశ్న 19.
(i) \( \int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \)dx
(ii) \(\int_0^{\pi / 2} \sin ^7 x \)dx
(iii) \(\int_0^{\pi / 2} \cos ^8 x \) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\(\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\)
సాధన:
x= a sinθ dx= acosθ . dθ అనుకుంటే
θ = 0=,x = 0,x= a=θ = π/2

ప్రశ్న 21.
కింది నిశ్చిత సమాకలనులను గణించండి.

సాధన:

ప్రశ్న 22.
\(\int_0^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4\)xdx కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
\(\int_0^\pi x \sin ^7 x \cos ^6\)x dx కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
\(\int_{-a}^a x^2\left(a^2-x^2\right)^{3/2}\) dx కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\int_0^1 x^{3 / 2} \sqrt{1-x}\) dx కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
[0,2 π] ల f(x)=sin x వక్రం క్రింది వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.
[0,2 π] అంతరంలో f(x)=cos x వక్రం క్రింది వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 29.
y=x² పరావలయంతోను, x- అక్షం, x=-1, x = 2 రేఖలతో పరిబద్ధపైన ప్రదేశం వైలాల్యం కనుక్సోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
y=0 రేఖ, y=x²-4 x+3 పరావలయాల మధ్య అంతర్లిఖితమైన ప్రదేశ వైశాలృం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
y = sin x, y=cos x వక్రాల రెండు వరుస ఖండన బిందువుల మధ్య పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్లం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 32.
y=sin x, y=cos x, x – అక్షంతో పరిబద్ధమైన ఒక వక్రీయరేఖీయ త్రిభజం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 33.
సమాకలన ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఆధారం b, ఉన్నతి a గల లంబకోణ త్రిభాజం వైశాల్యం గణించండి.
సాధన:

O A B లంబకోణ (తిభుజములు ∠B=90°
‘O’ ను మూల బిందువుగాను, OB ని X – అక్షంగా తీసు కుందాం.
O B=b మరియ A B=h, అయితే A నిరూపకాలు (b, h)
OA సథీకరణం y=\(\frac{h}{b}\) x

ప్రశ్న 34.
y²-1=2 x, x=0 వక్రాల మధ్య వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
y=3 x, y=6x – x² వక్రాలతో ఆవృతమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

y=3 x రేఖ పరావలయాన్ని ఖండిస్తుంది.
y=6 x-x²
3 x=6 x-x²
x²-3 x=0
x(x-3)=0
x=0 text లేదా 3
కావలసిన వైశాల్యము= \(\int_0^3\left(6 x-x^2-3 x\right)\) dx

ప్రశ్న 36.
y=x²-5 x, y=4-2 x లతో ఆవృతమైన వైశాల్లం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 37.
y=x², y=\(\sqrt{x}\), x ≥ 0 వక్రాలతో పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 38.
y²=4 a x, x²=4 b y(a>0, b>0) వక్రాల మధ్య పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year History Study Material 1st Lesson తొలికాలపు మానవ చరిత్ర Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year History Study Material 1st Lesson తొలికాలపు మానవ చరిత్ర

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1. హోమినాయిడ్స్కు హోమోనిడ్స్కు గల భేదాలు తెలపండి.
జవాబు:
2.4 మిలియన్ సంవత్సరాల క్రితం ప్రైమేట్స్లో ఒక భాగమైన హోమినాయిడ్స్ ఉద్భవించినట్లు తెలుస్తుంది. హోమోనిడ్స్, హోమినాయిడ్స్ నుండి ఆవిర్భవించడం వలన కొన్ని సారూప్యాలు కనిపించినా, కొన్ని భేదాలు కూడా ఉన్నాయి.
హోమినాయిడ్స్

1. చిన్న మెదడు.
2. నాలుగు కాళ్ళపై నడిచే జీవి అయితే ముందరి కాళ్ళు సులువుగా ఉండేవి.
3. చేతులు అంత సులువుగా ఉండేవి కావు.

హోమోనిడ్స్

1. పెద్ద మెదడు
2. నిలువుగా నిలబడి, రెండు కాళ్ళపై నడిచే వ్యక్తి.
3. చేతులు ఉపయోగించి పనిచేస్తూ భిన్నంగా ఉండేవారు.

ప్రశ్న 2.
ఆదిమ మానవుని ఆహారపు అలవాట్లు.
జవాబు:
ఆదిమానవుడు ఆహారాన్ని వివిధ రకాలుగా సంపాదించుకున్నాడు. ఉదా: ఆహార సేకరణ, ఆహారాన్ని పోగు చేసుకోవడం, వేట, చేపలు పట్టడం.

ఆహార సేకరణ: ఆహార సేకరణలో విత్తనాలు, బెర్రీలు, పండ్లు, నట్స్ ట్యూబర్స్ మొదలగునవి. మనకు ఎముక అవశేషాలు బాగా లభించినా, మొక్కల అవశేషాలు తక్కువగానే లభించాయి.

ఆహారాన్ని పోగుచేయడం: తొలినాటి హోమోనిడ్లు సహజంగా చనిపోయిన జంతువుల మాంసం లేక ఇతర జంతువులు, పక్షులు మొదలయినవి చంపి తినగా మిగిలిన మాంసం, ఎముకలు పోగుచేసుకున్నారు.

వేట: వేట అనే ప్రక్రియ దాదాపు ఐదు లక్షల సంవత్సరాల నాటిదని తెలుస్తుంది. ఒక పథకం ప్రకారం వేటాడి పెద్ద పెద్ద జంతువులను చంపడం యొక్క ఆధారాలు ఇంగ్లాండ్ లోని బాక్స్ గ్రేవ్, జర్మనీలోని షోనినిజెన్ ప్రాంతాలలో లభించాయి.
చేపలు పట్టుట: ఇది చాలా ముఖ్య ఆహారము. చేపలు, మనుషుల ఎముకలు వివిధ ప్రాంతాలలో లభించాయి.

ప్రశ్న 3.
ప్రాచీన మానవులు తయారుచేసిన పనిముట్లను తెలపండి.
జవాబు:
సుమారు 4 లక్షల సంవత్సరాల నుంచి లక్షా పాతికవేల సంవత్సరాల క్రితం వరకు ప్రాచీన మానవులు వాడిన వేలాది పనిముట్లు లభించాయి. ఉదాహరణకు కెన్యాలో వేలాది చేతి గొడ్డళ్ళు, ప్లేక్ పనిముట్లు లభించాయి. ఈ పనిముట్లను ఆహార సేకరణ, వినియోగం కొరకు ఉపయోగించేవారు.

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఆస్ట్రలోపిథికస్.
జవాబు:
ఆస్ట్రలోపిథికస్ అనే పదము లాటిన్ మరియు గ్రీకు పదాలనుండి వచ్చింది. లాటిన్ పదం ‘ఆస్ట్రిల్’ అనగా దక్షిణ మరియు గ్రీకు పదమైన పిథకస్ అనగా ‘ఏప్’ అని ‘ఆస్ట్రలోపిథకస్’ అనగా ‘దక్షిణప్రాంత ఏప్’ అని అర్థం. ఆస్ట్రలోపిథికస్ రెండు కాళ్ళ మీద నడవటం వలన చేతులతో పిల్లలను కని, బరువులు మోయడానికి వీలుపడింది. కాళ్ళ శక్తి పొదుపు కావడంతో అది పరిగెత్తడానికి కాలక్రమేణా ఉపయోగపడింది.

ప్రశ్న 2.
హోమో సేపియన్స్.
జవాబు:
జర్మనీలోని హెడెల్బర్గీ పట్టణంలో హోమో అవశేషాలు దొరకటం వలన అతనిని హోమో హెడెల్ బర్గెన్సిస్ అని నియాండర్ లోయలో దొరికిన అవశేషాల వలన అతని హోమోసెపియన్ నియాండర్తలనినీస్ అని పిలిచారు. హోమో సేపియన్లకు పెద్ద మెదడు, చిన్న దవడ, చిన్న పళ్ళు ఉంటాయి. మెదడు పరిమాణం పెరిగే కొద్దీ జ్ఞాపకశక్తి,
తెలివితేటలు పెరిగాయి. హోమోసేపియన్ల తొలి ఆధారాలు ఆఫ్రికాలో లభించాయి.

ప్రశ్న 3.
ఆహార సేకరణ.
జవాబు:
ప్రాచీన మానవుడు తనకు లభించిన వాటిని ఆహారం కోసం సేకరించుకొనేవాడు. ఆహారసేకరణలో విత్తనాలు, బెర్రీలు, పండ్లు, నట్స్, ట్యూబర్స్ మొదలైనవి. పరిశోధనలో ఎముకల అవశేషాలు బాగా లభించాయి. మొక్కల అవశేషాలు తక్కువగా లభించాయి. ఇప్పటివరకు పురావస్తు శాస్త్రవేత్తలు మానవుని తొలినాటి కార్బొనైజ్ డ్ విత్తనాల ఆధారాలు తక్కువగానే కనుగొన్నారు.

ప్రశ్న 4.
నియాండర్తల్ మనిషి.
జవాబు:
నియాండర్తల్ మానవుడు నేటి ఆధునిక మానవజాతియైన హోమో సేపియన్లకు సన్నిహితుడు. జర్మనీలోని నియాండర్ లోయలో ఇతనికి సంబంధించిన అవశేషాలు లభించడం వలన ‘నియాండర్తల్ మనిషి’ అని పిలిచారు. ఇతని శాస్త్రీయ నామం ‘హోమో నియాండర్తలనిస్’ విశాలమైన దవడ, వెడల్పాటి ముక్కు, హోమో సేపియన్లకున్నంత పెద్ద మెదడు ఉండేది.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 8 అవకలన సమీకరణాలు

ప్రశ్న 1.
అవకలన సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}=-p^2 y\) పరిమాణం తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీంకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) బహపద లో తరగతి \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) గరిష్ట పరిమాణము 2 పరిమాణువు.

ప్రశ్న 2.
\(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-e^x=4\) పరిమాణా, తరగతి కనుక్కోంది?
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) మరియు \(\frac{d^3 y}{d x^2}\) లలో ఐహుపది సమీకరణ
\(\frac{\mathrm{d}^3 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^3}\) మొక్క ఘాతము. తరగత 2.
\(\frac{\mathrm{d}^3 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^3}\) గరిష్ట పరిమాణము అవకలనము సమీకరణ పరిమాణం 3.

ప్రశ్న 3.
\(x^{\frac{1}{2}}\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+x \frac{d y}{d x}+y=0\) పరిమాణం 2 తరగతి 1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right)^{\frac{6}{5}}=6y\) పరిమాణం, తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
c యావ్చ్చిక స్థిర సంఖ్య యయతే y=c(x-c)² అనుగుణముగా ఉన్న అవకలన సమీకరణం పరిమాణము కనుక్కోండి.
సాధన:
y=c(x-c)² దత్త అవకలన సమీకరణము
\(\frac{d y}{d x}=2 c(x-c)\)
∴ అకలన సమీకరణ తరగతి

ప్రశ్న 6.
A, B, C ల యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్యలు అయితే y=Ae^x+Be^3x+Ce^5x  అనుగుణంగా గల అవకలన సమీకరణ పరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన:
\(y, \frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2},\frac{d^3 y}{d x^3}\) ల నుండి A,B,C లసు తొలగిస్తే దత్త సమీకరణములు
గరిష్ఠ తరగతి \(=\frac{d^3 y}{d x^3}\)
అవకలన సమీకరణ పరిమాణము = 3

ప్రశ్న 7.
ఒక యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్య అయితే  y = cx – 2c² , అనుగుణముగా వచ్చే అవకలన సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన.
y = cx – 2c² ………………….. (1)
x దృష్ట్రా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d y}{d x}=c\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన అవకలన సమీకరణము
\(y=x \cdot\left(\frac{d y}{d x}\right)-2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\)

ప్రశ్న 8.
A, B లు యాదృచ్ఛిక స్థిరసంఖ్య అయితే y =A cos 3 x+B sin 3 x  అనుగుణంగా ఉన్న అవకలన సమీకరణాన్ని ఏర్పరచండి.
సాధన:
y=A cos 3 x+B sin 3 x అని ఇవ్వబడింది.
x దృష్ట్రా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = – 3A sin 3x + 3B cos 3x
x దృష్టాల అవకలనం చేయగా
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\)  =-9 A cos 3 x-9 B sin 3 x
=-9(A cos 3 x+B sin 3 x)
=-9 y
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) +9y=0

ప్రశ్న 9.
a, b లు యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్యలు అయితే r వ్యాసార్ధం గల వృత్తాలకు కటలంబం (x – a²) + (y – b)² = r² అనుగుణంగా ఉన్న అవకలన సమీకరణాన్ని ఏర్పరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
మాల బిందువు గుండా ఏోతూ కేంద్రాలు Y- ఇక్షంపై మీద గల వృత్తాల కుటుంబానికి అనుగుణంగా అవకలన సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
మూల బిందువు గుండా టోవు Y-అక్షము మీద కావలసిన సమీకరణం.
x²+y²+2hy=0
h పరిమాణం
x దృష్ట్లా అవకలనం చేయగా

ప్రశ్న 11.
కింది అవకలన సమీకరణాలను f(x) d x+g(y) d y=0 రూపంలో ఏ్రాయండి

సాధన:
(i)

(ii) \(y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^2+\frac{d y}{d x}\right)\)
సాధన:

(iii) \(\frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^2 e^{-y}\)
సాధన:

(iv) \(\frac{d y}{d x}+x^2=x^2 \cdot e^{3 y}\)
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(x+y \frac{dy}{dx}=0\) సాధారణ సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం \(x+y \cdot \frac{dy}{dx}\) =0
x d x+y cdot d y=0
సమీకరణము చేయగా
\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=c\) లేదా x²+y²=2c=c’

ప్రశ్న13.
\(\frac{d y}{d x}=e^{x+y}\) సాధారణ సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(y^2-x \frac{d y}{d x}=a\left(y+\frac{d y}{d x}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2+2 y}{x-1}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+\cos y}\) సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
(sin y +  y cos y)dy = x(2 logx + 1) dx రాయవచ్చును.
∫ sin y dy + ∫ y cos y dy
=∫ 2x log x dx +∫ x dx
∫ sin y dy + y sin y – ∫ sin y dy
= x² log x – ∫ x².\(\frac{1}{\bar{x}}\)dx + ∫ x dx + c
y sin y = x² log x + c

ప్రశ్న 17.
x=3 అయినప్పుడు y=1 అవుతూ, 3 బిందువు (x, y) వద్దనైనా వాలు \(\frac{y}{x^2}\pi\) ఉన్న వక్రం సమీకరణాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన:
ఏ బిందువు = \(\frac{dy}{dx}\)
అని ఇవ్వబడింది \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^2}\)

ప్రశ్న 18.
y(1+x) d x+x(1+y) d y=0 ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
\(\frac{d y}{dx}\) = sin (x+y)+cos (x+y) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\((x-y)^2 \cdot \frac{d y}{d x}=a^2\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
\(\sqrt{1+x^2} \sqrt{1+y^2}\) dx+xy d y=0  ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
\(\frac{d y}{dx}=\frac{x-2 y+1}{2 x-4 y}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{y-x}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}+1=e^{x+y}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
\(\frac{dy}{dx}\) = (3 x+y+4)² ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\frac{dy}{dx}\) -x tan (y-x)=1 ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
f(x, y)=1+e^x/y ప్రమేయం x, y లలో సమఘాతం పమేయం అనిచూపండి.
సాధన:
f(k x, x y)=1+e^kx/ky = 1+e^x/y =f(x, y) f(x, y) తరగతి =0.

ప్రశ్న 28.
f(x, y) =x \(\sqrt{x^2+y^2}-y^2\) ప్రమేయం x, y లలో సమఘాతీయ ప్రమేయం అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 29.
f(x, y)=x-y log y+y log x ప్రమేయం x,y లలో సమఘాతీయ ప్రమేయం అని చూపండి.
సాధన:
f(kx, ky) = kx – ky. log ky + ky log (kx)
= k(x- y log (ky) + y log kx)
= k(x – y log k – y log y + y log k + ylogx)
= k[x  –  y log y + y log x]
=k.f (xy)
f(x, y) తరగతి 1.

ప్రశ్న 30.
\(\left(1+e^{x / y}\right) d x+e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0\) ను \(\frac{d x}{d y}=F\left(\frac{x}{y}\right)\) రూపంలో రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
\(\left(x \sqrt{x^2+y^2}-y^2\right)\) dx + xy dy = 0 \(\frac{d y}{d x}=F\left(\frac{y}{x}\right)\) రూపంలో రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 32.
\(\left(x \sqrt{x^2+y^2}-y^2\right)\) dx + xy dy = 0 \(\frac{d y}{d x}=F\left(\frac{y}{x}\right)\) రూపంలో రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 33.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2-2 x y}{x^2-x y}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
(x²+y²) d x=2xy dy ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాన్ని
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2xy}\) గా రాయగలరు

ప్రశ్న 35.
xy²dy – (x³ +y³)dx = 0 సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 36.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x^2}\) …….. 1 సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 37.
x sec \(\left(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}\right)\) (dx+x dy) =y cosec \(\left(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}\right)\) ((x dy – y dx)
సాధన:

ప్రశ్న 38.
\(\left(1, \frac{\pi}{4}\right)\) బిందువు గుండా హోయే  x sin² \(\frac{y}{x}\) dx = y dx – xdy అవకలన సమీంకరణ సాధనను కనుక్కోండి.
సాధన.
దత్త సమీకరణాన్ని
\(\left(x \sin ^2 \frac{y}{x}-y\right) d x=-x dy\)

ప్రశ్న 39.
(x³ – 3xy²) dx + (3x²y – y³) dy = 0
సాధన:

ప్రశ్న 40.
క్రింది అవకలన సమీకరణాలలో ప్రథమ పరిమాణం ఏకఘాత సమీకరణాల రూపంలో రాయండి.
x log x \(\frac{dy}{dx}\) +y=2 log x
సాధన:

ప్రశ్న 41.
\(\left(x+2 y^3\right) \frac{dy}{dx}=y\)
సాధన:

ప్రశ్న 42.
క్రింద రెండో అవకలన సమీకరణాలను ఏకఘాతం సమీకరణ రూపంలో (I.F) కనుక్కోండి.
(cos x) \(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) +y sin x =tanx.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
\(\left(2 x-10 y^3\right) \frac{d y}{d x}+y=0\)
సాధన:

ప్రశ్న 44.
\(\left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+2 x y-4 x^2=0\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 45.
\(\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+y e^x=e^{(1-x) e^x}\)
సాధన:
దత్త సమీకరణాన్ని
\(\frac{d y}{d x}+\left(x . e^x\right) \cdot y=x \cdot e^{(1-x) e^x} \pi\) గా వ్రాయవచ్చును.

ప్రశ్న 46.
sin² x \(\frac{dy}{dx}+y=cotx \) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 47.
x=3 అయినపుడు y=9 అహ్యే \(x(x-2) \frac{d y}{d x}-2(x-1) y=x^3(x-2)\) అనే అవకలన సమీకరణం ప్రత్యేక సాధనము కనుక్టోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము

ప్రశ్న 48.
(1 +y²)dx=(tan^-1y – x)dy ను సాధించండి.
సాధన:

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 12th Lesson C, H, O లు ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 12th Lesson C,H,O లు ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు

→ హైడ్రోకార్టన్లలో హైడ్రోజన్ స్థానంలో – OH సమూహ మార్పిడి వలన ఆల్కహాల్లు, ఫీనాల్లు ఏర్పడును.

→ హైడ్రోకార్టన్లో హైడ్రోజన్ స్థానంలో ఆల్కాక్సీ (లేదా) ఎరైలాక్సీ సమూహాల మార్పిడి వలన ఈథర్లు ఏర్పడతాయి.

→ ఆల్కహాల్లు మరియు ఫీనాల్లలో – OH సమూహాల సంఖ్యను ఆధారంగా మోనోహైడ్రిక్, డైహైడ్రిక్ (లేదా) పాలీ హైడ్రిక్ ఆల్కహాల్గా వర్గీకరించారు.

→ C_sp³ – OH బంధం గల సమ్మేళనాలను 1°, 2° మరియు 3° -ఆల్కహాల్లు, ఎల్లైలిక్, బెంజైలిక్ ఆల్కహాల్లు అంటారు.

→ C_sp² – OH బంధం గల సమ్మేళనాలను వినైలిక్ ఆల్కహాల్లు అంటారు.

→ బంధింపబడిన ఆల్కైల్ సమూహం ఆధారంగా ఈథర్లను సౌష్ఠవ, అసౌష్ఠవ ఈథర్ లుగా వర్గీకరించారు.

→ ఆల్కహాల్లను ఆమ్ల ఉత్ప్రేరణ ఆర్ద్రీకరణ, హైడ్రోబోరేషన్, ఆక్సీకరణం, కార్గోనైల్ సమ్మేళనాల క్షయకరణం, గ్రిగా నార్డ్ కారకం నుండి పొందవచ్చు.

→ ఆల్కహాలు మరియు ఫీనాలు సమాన అణుభారం ఉన్న హైడ్రోకార్టన్లు, ఈథర్లకంటే బాష్పీభవన స్థానాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

→ ఫీనాల్లను హేలో ఎరీన్లు, డై ఎజోనియం లవణాలు, క్యుమీన్ నుండి తయారుచేయవచ్చు.

→ ఫినాక్సైడ్ అయాన్ రెజోనెన్స్ స్థిరీకరణ వలన ఫీనాల్లు ఆల్కహాల్ కంటే ఎక్కువ ఆమ్లస్వభావం కలిగి ఉంటాయి.

→ కోలె చర్య : ఫీనాల్ NaOH తో చర్యజరిపి తరువాత CO₂ తో ఆమ్లయానకంతో చర్యజరిపి సాలిసిలిక్, ఆమ్లం ఏర్పరచును.

→ రీమర్ – టీమన్ చర్య : ఫీనాల్ క్లోరోఫారంతో క్షారసమక్షంలో చర్యజరిపి సాలిసిలాల్డిహైడ్ను ఏర్పరచును.

→ ఈథర్లను ఆల్కహాల్ నిర్జలీకరణ, విలియంసన్ సంశ్లేషణ ద్వారా తయారుచేస్తారు.

→ విలియంసన్ సంశ్లేషణ : ఆలెల్ హాలైడ్లను సోడియం ఆల్కాక్సైడ్ తో చర్యజరిపి ఈథర్లను ఏర్పరచును.

→ α- హైడ్రోజన్ కలిగి ఉన్న కార్బాక్సిలిక్ ఆమ్లాలు క్లోరిన్ లేదా బ్రోమిన్లు తక్కువ పరిమాణం ఎర్ర ఫాస్ఫరస్ సమక్షంలో చర్య జరిపి α- హాలోకార్బాక్సిలిక్ ఆమ్లాలు ఏర్పరచును. దీనినే హెల్ – వోల్ హర్డ్ – జెలెన్స్కీ (HvZ) చర్య అంటారు.

→ గాటర్మన్ – కోచ్ చర్య ద్వారా : బెంజీన్, దాని ఉత్పన్నాలను అనార్థ అల్యూమినియమ్ క్లోరైడ్ లేదా క్యూప్రస్ క్లోరైడ్ సమక్షంలో కార్టన్ మోనాక్సైడ్, హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్తో చర్చ జరిపి బెంజాల్డిహైడ్, ప్రతిక్షేపిత బెంజాల్డిహైడ్లుగా మార్చవచ్చు.

→ ఆల్డీహైడ్లు, కీటోన్లు న్యూక్లిమోఫిలిక్ సంకలన చర్యలు జరుపుతాయి.

→ టాలెన్స్ కారకం : అపుడే తయారు చేసిన అమ్మోనికల్ సిల్వర్నైట్రేట్ ద్రావణాన్ని టాలెన్స్ కారకం అంటారు. ఆల్టీహైడ్ను టాలెన్స్ కారకంతో వేడిచేస్తే పరీక్షనాళిక గోడలపై మెరిసే వెండిపొర ఏర్పడుతుంది.

→ ఫెహిలింగ్ కారకం ఫెహిలింగ్ A + ఫెహిలింగ్ B కారకాలు
ఫెహిలింగ్ – A CuSO జల ద్రావణం
ఫెహిలింగ్ B – సోడియం పొటాషియం టార్టరేట్ (రోచల్లీ లవణం)
ఎసిటాల్టీహైడ్ ఫెహిలింగ్ కారకంతో చర్య జరిపి ఎర్రటి జేగురు అవక్షేపం ఏర్పరచును

→ మిశ్రమ ఆల్డాల్ సంఘననం : ఆల్జాల్ సంఘనన చర్యలో రెండు వేరువేరు ఆల్డిహైడ్లు లేదా కీటోన్లు పాల్గొంటే ఆ చర్యను మిశ్రమ ఆర్డాల్ సంఘననం అంటారు. రెండు అణువుల్లోను – హైడ్రోజన్లు ఉంటే నాలుగు ఉత్పన్నాల మిశ్రమం ఏర్పడుతుంది. ఉదాహరణకు ఇథనాల్, ప్రొపనాల్ల మిశ్రమ ఆల్దాల్ సంఘననంలో ఏర్పడే ఉత్పన్నాలను చూడండి.

→ కెనిజారో చర్య : α -హైడ్రోజన్లు లేని ఆల్డిహైడ్లను బలమైన గాఢ క్షారంతో వేడిచేస్తే స్వయం ఆక్సీకరణం, ne క్షయకరణం (disproportionation) చర్యలకు అవి లోనవుతాయి. ఈ చర్యలో ఒక అల్డిహైడ్ అణువు ఆల్కహాల్గా క్షయకరణం చెందితే ఇంకొక అణువు ఆక్సీకరణం చెంది కార్టాక్సిలిక్ ఆమ్ల లవణాన్ని ఇస్తుంది.

→ డీకార్బాక్సిలీకరణం : కార్టాక్సిలిక్ ఆమ్లాల సోడియమ్ లవణాలను సోడాలైమ్ (3:1 నిష్పత్తిలో NaOH & CaO) తో వేడిచేస్తే కార్బన్ డయాక్సైడ్ను విలోపనం చేసి హైడ్రోకార్టాన్లను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ చర్యను డీకారక్సిలీకరణం అంటారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 13th Lesson నైట్రోజన్లో ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 13th Lesson నైట్రోజన్లో ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు

→ ఎమీన్లు అమోనియా ఉత్పన్నాలు. ఇవి అమోనియాలో ఒకటి లేదా రెండు హైడ్రోజన్లు ఆల్కైల్ సమూహాలతో మార్పిడి వల్ల ఏర్పడతాయి.

→ అమోనియాలో ఒక హైడ్రోజన్ పరమాణువు ఆల్కైల్ సమూహలతో మార్పిడి చెందితే 1° ఎమీన్లు ఏర్పడతాయి. రెండు హైడ్రోజన్లు మార్పిడి ద్వారా 2° ఎమీన్లు ఏర్పడతాయి. మూడు హైడ్రోజన్లు మార్పిడి ద్వారా 3° – ఎమీన్ లు ఏర్పడతాయి.

→ ఎమీన్ ను నైట్రోసమ్మేళనాల క్షయకరణ చర్య, ఎమైడ్ల క్షయకరణం, గేబ్రియల్ థాలిమైడ్ చర్య, హాఫ్మన్ బ్రోమమైడ్ చర్య ద్వారా పొందవచ్చు.

→ అమోనియా కన్నా ఆల్మైల్ ఎమీన్లు బలమైన క్షారాలు (+ I ప్రభావం వలన)

→ ఎలిఫాటిక్ (లేదా) ఏరోమాటిక్ 1° – ఎమైన్లు క్లోరోఫాం మరియు KOH (ఆల్కహాల్) తో చర్య జరిపి ఐసో సయనైడ్లను ఏర్పరచును. (కార్ల్టల్ ఎమీన్ చర్చ)

→ ఎరోమాటిక్ ఎమీన్లు నైట్రస్ ఆమ్లంతో 0–5°C వద్ద చర్చ జరిపి డయజోనియం లవణాలను ఏర్పరచును (డయజోటీకరణ)

→ బెంజీన్ సల్ఫోనైల్ క్లోరైడ్ను హిన్స్బర్గ్ కారకం అంటారు. ఇది 10, 20, 3° – ఎమీన్లను వేరుచేయుటకు ఉపయోగపడును.

→ డయజోనియం లవణాలు Cu(I) అయాన్ సమక్షంలో హేలోబెంజీన్, సయనో బెంజీన్లను ఏర్పరచుటను సాండ్ మేయర్ చర్య అంటారు.

→ డయజోనియం లవణాలు హేలోజన్ ఆమ్ల సమక్షంలో చర్య జరిపి హాలో బెంజీన్ న్ను ఏర్పరచుటను గాటర్మన్ చర్య అంటారు.

→ బెంజీన్ డయజోనియం క్లోరైడ్ ఫినాల్తో చర్య జరిపి P- హైడ్రాక్సీ ఎజోబెంజీన్ ను ఏర్పరచును. ఈ రకమైన చర్యలను యుగళీకరణ చర్యలు అంటారు.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 1 వృత్తం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 1 వృత్తం

ప్రశ్న 1.
(1,4) కేంద్రంగా, 5 వ్యాసార్ధంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ (h,k) = (1,4), r = 5 కాబట్టి,
Darodo (x-h)²+(y-k)²
= (x-1)²+(y-4)² = 5² అంటే,
x²+ y²-2x-8y-8=0.

ప్రశ్న 2.
x²+ y²+2x – 4y – 4 = 0 సూచించే వృత్త కేంద్రాన్న వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ 2 g=2,2 f=-4, c=-4
∴ g = 1, f = -2,
కాబట్టి వృత్త కేంద్రం = (−g, −f) = (−1, 2)
వ్యాసార్ధాలను \(=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{1+4-(-4)}=3\)

ప్రశ్న 3.
3x²+3y²-6 x+4y – 4 = 0 సూచించే వృత్త  కేంద్రం, వ్యాసార్ధాలను కనుక్రోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 3 x²+3y² – 6 x + 4y – 4 = 0
3 తో బించగా

ప్రశ్న 4.
వృత్త కేంద్రం(-1, 2)గా ఉంటూ (5, 6) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C = (−1, 2) వృత్త కేంద్రం అనుకొందాం.

P(5,6) వృత్తము మీది బిందువు కనుక CP = r
CP² = r ² ⇒ r² =(-1-5)² + (2-0)²
= 36 +16=52
వృత్త సమీకరణము (x + 1)² + (y – 2)² = 52
x² + 2x + 1 + y² = 4y + 4 – 52 – 0
x² + y² + 2x – 4y – 47 = 0

ప్రశ్న 5.
(2,3) బిందువు ద్వారా పోతూ x + y + 8x +  12y + 15 = 0 వృత్తంలో ఏక కేంద్రంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్తం దత్త వృత్తానికి ఏక కేంద్రము
x² + y² + 8x + 12y + 15 = 0
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 8x + 12y + c’ = 0

P(2, 3) గుండా వృత్తం పోతుంది.
∴ 4+9+16 +36 + c = 0
c’ = – 65
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 8x + 12y – 65 = 0

ప్రశ్న 6.
(x² + 4x + (y – 3)² = 0 వృత్తంపై ఉన్న బిందువు A(0, 3) నుంచి వృత్తానికి AB అనే జ్యాను గీసి M వరకు AM = 2AB అయ్యేటట్లు పొడిగించబడింది. M బిందువు బిందు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
M = (x’, y’) అనుకొందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం AM = 2AB అని ఇవ్వబడినది.

AB + BM = 2AB + AB BM = AB
AM మధ్య బిందువు B

M ( X’ , Y’) బిందు పథము x²+y²+8x-6 y+9=0 ఇది ఒక వృత్తము.

ప్రశ్న 7.
x²+y²+ax+by-12=0 వృత కేంద్రం (2,3) అయితే a, b విలువలను, వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము

ప్రశ్న 8.
x²+y² – 4 x+6 y+a=0 సూచించే వృత్త వ్యాసార్ధం 4 అయితే a విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
X² + y²– 4x + 6y +a = 0
2g= – 4, 2f = 6,c = a
g =  – 2, f = 3, c = a
వ్యాసార్ధం = 4 ⇒ \(\sqrt{g^2+f^2-c}=4\)
\(\sqrt{4+9-a}=4\)
13 – a = 16
a = 13 – 16 = – 3

ప్రశ్న 9.
(4,1),(6,5) బిందువుల గుండా పోతూ 4 x+y-16=0 రేఖపై కేంద్రం ఉండే వృత్త సమీకరణమును కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x²+y²+2gx+2fy+c=0
ఈ వృత్తం A(4,1) గుండా పోతుంది.
16+1+8 g+2f+c=0
8g+2f+c=-17
వృత్తం B(6,5) గుండా పోతుంది.
36+25+12 g+10 f+c=0
12g+10 f+c=-61
కేంద్రం (-g,-f), 4 x+y-16=0 రేఖమీద ఉంది
-4 g-f-16=0
4 g+f+16=0

(3) నుండి 4g – 4=-16
4 g=-12 ⇒ g=-3
(1) నుండి 8(-3)+2(-4)+c=-17
c=-17+24+8=15
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x²+y²-6x-8y+15=0

ప్రశ్న 10.
g, f, c వాస్తవ సంఖ్యలి అయి (x_1,y₁) బిందువు x²+y²+2g x+2 f y+c=0 ను తృప్తిపరిచినట్లంితే ఈ సమీకరణం వృత్తాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
రెండవ తరగతి సాధారణ సమీకరణంతో పోల్చగా x² గుణఃమము =y² గుణకము మరియు xy గుణకం =0 దత్త సమీకాణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
g²+f²-c ≥ 0
(x_1,y₁) దత్త సమీకరణం మీది బిందువు
x²+y²+2gx+2 f y+c=0,
x₁²+y₁² +2gx₁+2fy₁+c=0
g²+f²-c=g²+f²+x₁²+y₁²
+2g x₁+2fy₁=0
= (x₁ + g)² + (y₁ + f)²≥ 0
g, f, c వాస్తవాలు
∴ దత్త సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 11.
(1,2),(4,5)లు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁-y₁) = (1,2) మరియు (x₂-y₂) =(4,5)
వృత్త సమీకరణము
(x-1)(x-4)+(y-2)(y-5)=0
x²-5x+4+y²-7 y+10=0
x²+y²-5 x-7 y+14=0

ప్రశ్న 12.
x²+y²-8 x-8 y+27=0 వృత్తం ఒక వ్యాసప ఒక కొన (2,3) అయేతే దీని మరో కొన కనుక్రోండి.
సాధన:
A=(2,3) C వృత్త కేంద్రం అనుకుందాం.
x²+y²-8 x-8y+27=0

ప్రశ్న 13.
ax+by+c=0 (abc ≠ 0) రేఖ అక్షాలతో ఏర్పిిచే త్రిభుజపు పరి:కృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a x+b y+c=0 రేఖ A మరియు B ల వద్ద నిరూపకాక్షాలను ఖందడి్తుఁడి.
O, A, B నిరూపకాలు 0: (0,0)

\(A\left(-\frac{c}{a}, 0\right) \quad B\left(0,-\frac{c}{b}\right)\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x²+y²+2gx+ fy+c=0
ఈ వృత్తం 0(0,0) గుండా పోతుంది
c=0

a b(x²+y²)+c(b x+ay)=0
ఇది OAB పరివృత్త సమీకరణము.

ప్రశ్న 14.
L₁=x+y+1=0, L₂=3 x+y-5=0, L₃=2 x+y-5=0 రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుపు శీర్షాల గుండా పోమే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.:
L₁, L₂ ; L₂, L₃ మరియు L₃, L₁ రేఖలు A, B, C ల వద్ద ఖండించుకోంటున్నాయి. ఇది O, A, B పరివృత్త సమీకరణము క్రింది సమీకరణము గల వక్రాన్ని తీసుకొందాం.
k(x+y+1)(3 x+y-5)+l(3 x+y-5)
(2 x+y-5)+m(2 x+y-5)(x+y+1)=0 …………… (1)
ఈ సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
x² గుణకము = y² గుణకము
3k + 6l+ 2m k +l+ m
2k+5l+m=0 ………….. (2)
xy గుణకము =0 ………….. (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే. కావలసిన వృత్త సమీకరణము
5(x+y+ 1)(3x+y-5)-1(3x+y-5)
(2x+y-5)-5(2x+y-5)(x+y+1)=0
(i.e. x² +y²– 30x – 10y+25 =0
Note : త్రిభుజ శీర్షాలు కనుగొని సమస్యను సాధించవచ్చు.

ప్రశ్న 15.
(0,0),(2,0),(0,2)ల బిందువుల గుండా ఏోయే వృత్త కేంద్రాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన.
కావలసిన వృత సమీకరణము
x²+y²+2g x+2fy+c=0
ఈ వృత్తం 0(0,0) c=0 గుండా పోతుంది.
ఈ వృత్తం A(2,0) గుండా పోతుంది.
4+4g=0 ⇒ g =-1
ఈ వృత్తం B(0,2) గుండా పోతుంది.
4+4f=0 ⇒ f=-1
వృత్త కేంద్రం (-g,-f)=(1,1)

ప్రశ్న 16.
x²+y²=1 వృత్తం షొక్కపరామితీయ సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరరణము x²+y²=1
కేంద్రం (0,0), వ్యాసార్ధం =r=1

x²+y²=1 పరామితీయ నిరాపకాలు
X = 1 . cos θ = cos θ
y=1. sinθ=sinθ. θ≤θ≤2π
గమనిక : వృత్తం మీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
(cosθ , sinθ)

ప్రశ్న 17.
x²+y²+6 x+8 y-96=0 వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన.
వృత్త కేంద్రం (-3,-4)
వ్యాసార్ధము =\(\sqrt{9+16+96}=\sqrt{121}=11\)
పరామితీయ సమీకరణాలు
x = h + rcosθ = -3 + 11 cosθ
y=k+r sinθ = -4+11 sin θ
(0 ≤ θ ≤ 2π)

ప్రశ్న 18.
x²+ y²-4x-6y+ 11 = 0  వృత్తం దృష్ట్యా (2,4) బిందువు యొక్క స్థితిని తెలపండి.
సాధన.
(x₁, y₁) = (2, 4) మరియు
5 ≡ x²+ y²-4x-6y+ 11
S₁₁= 4+16-8-24 +11
= 31- 32 – 1 <0
∴ (2, 4) బిందువు S = 0 లోపల ఉంటుంది.

ప్రశ్న 19.
బిందువు (1, 3) నుంచి x² + y² – 2x + 4y 11 =0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుక్కోండి..
సాధన.
(x₁, y₁) = (1, 3) మరియు
S = x² + y²-2x+4y-11 = 0
స్పర్శరేఖ పొడవు \(=\sqrt{S_{11}}\)
\(=\sqrt{1+9-2+12-11}=\sqrt{9}=3\)

ప్రశ్న 20.
P బిందువు నుంచి x² + y²-2x+4y-20 = 0, x² + y²-2x-8y + 1 = 0 వృత్తాలకు గీసిన స్పర్శ రేఖల పొడవుల నిష్పత్తి 2:1 అయ్యేటట్లు P చలిస్తుంటే, P బిందు పథ సమకరణము x² + y² – 2x – 12y + 8 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(X₁, y₁) బిందుపథము మీది బిందువులు \(\overline{\mathrm{PT}_1}, \overline{\mathrm{PT}_2}\) నుండి

ప్రశ్న 21.
S ≡ x²+y²+2gx+2fy+c=0 వృత్తాన్ని సూచిస్తే L=lx+my+n=0 సరళేేఖ
(i) s=0 వృత్తాన్ని స్పృశించడానికి నియమము
\(\left(g^2+f^2-c\right)=\frac{(g l+m f-n)^2}{\left(l^2+m^2\right)}\)
(ii) s = 0 వృత్తాన్ని రెండు బిందువులో ఖండించడానికి నియమము
\(g^2+f^2-c>\frac{(g l+m f-n)^2}{\left.l^2+m^2\right)}\)
(iii) s = 0 వృత్తాన్ని స్పృశించకుండా ఖండించకుండా నిహమం ఉండటానికి
\(g^2+f^2-c<\frac{(g l+m f-n)^2}{\left(l^2+m^2\right)}\)
సాధన:
s = 0 సూచించే వృత్త కేంద్రం ఁ అని వ్యాసార్ధం అని అనుకొందాం.
ఇప్పుడు c = (−g, –f), r = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\)

(i) s = 0 వృత్తాన్ని దత్త రేఖ స్పృశించడానికి నియమము.

(ii) ఇలాగే దత్త రేఖ lx + my + n = 0 వృత్తం s = 0 రెండో బిందువుతో ఖండించడానికి నియమం
\(\left(\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}\right)>\frac{(\mathrm{g} l+\mathrm{mf}-\mathrm{n})^2}{l^2+\mathrm{m}^2}\)

(iii) lx + my + n = 0 రేఖ s = 0 వృత్తాన్ని స్పృశించకుండా, ఖండించకుండా ఉండటానికి నియమము
\(\left(\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}\right)>\frac{(\mathrm{g} l+\mathrm{mf}-\mathrm{n})^2}{l^2+\mathrm{m}^2}\)

ప్రశ్న 22.
x’ + y + Bx – 4y – 16 = 0 వృత్తం పై 3x − y + 4 = 0 రేఖ ఏర్పరచే జ్యా పొడవును కనుక్కోండి.
సాధన. వృత్త కేంద్రం C= ( 4, 2)
వ్యాసార్ధం r = \(\sqrt{16+4+16}\) = 6

ప్రశ్న 23.
x²+y²-4 x+6 y-12=0 వృత్తానికి x+2 y-8=0 రేఖకు సమాంతరంగా రేఖకు సమాంతరంగా ఉఁడే స్పర్శరేఖ (లు) కనుకోండి.
సాధన:
g = -2, f  = 3, c = -12

ప్రశ్న 24.
S ≡ x²+y²+2gx+2fy+c=0 వృత్తం
(i) g² = C అయితే X అక్షాన్ని స్పృశిస్తుంది.
(ii) f² = C అయితే Y అక్షాన్ని స్పృతిస్తుంది అని చూపండి.
సాధన:
g²-c>0 అయితే x²+y²+2gx+2fy+c=0
s=0 వృత్తం X – అక్షంపై చేసే అంతరం \(2 \sqrt{g^2-c}\)
ఈ వృత్తం X- అక్షాన్ని స్పృతిస్తే \(2 \sqrt{g^2-c}=0 \mathrm{~g}^2=\mathrm{c}\)
ఇదే విధంగా (ii) నిరూపించవచ్చు.

ప్రశ్న 25.
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తానికి (− 1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁ y₁) = (− 1, 1) మరియు
S ≡ x² + y²– 6x + 4y – 12 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x (−1) + y . 1 – 3(x 1) + 2(y + 1) 12 = 0
− x + y – 3x + 3 + 2y + 2 – 12 = 0
– 4x + 3y – 7 = 0
(లేదా) 4x – 3y + 7 = 0

ప్రశ్న 26.
(3,-1) బిందువు వద్ద x²+y²-2 x+4y=0 వృత్తానికి స్రర్శరేఖ సమీకరణం కనుక్రొని ఇదే వృత్తానికి దీనికి సమాంతరంగా ఉండే స్ర్శరేఖ సమీకరణం కూడా కనుక్రోండి.
సాధన:
ఇక్కడ (x₁, y₁)=(3,-1)
S ≡ x²+y²-2 x+4 y=0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము (3,-1) వద్ద
x.3 + y (-1)- (x + 3) + 2(y- 1) = 0
3x – y – x – 3 + 2y – 2 = 0
2x + y – 5 = 0
స్పర్శరేఖ వాలు =m=-2, వృత్తానికి g=-1, f=2, c=0
r = \(\sqrt{1+4-0}=\sqrt{5}\)
స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y+f =m(x+g)±\(\pm r \sqrt{1+m^2}\)
y+2 =-2(x-1)\(\pm \sqrt{5} \sqrt{1+4}\)
y+2 =-2x+2 ± 5
2x + y= ± 5
స్పర్శరరీఖలు
2 x+y+5=0 మరియు 2 x+y-5=0
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము
2 x+y-5=0

ప్రశ్న 27.
x²+y²-6 x+4 y-12=0$ వృత్తానికి 4 x-3 y+7=0స్పర్శ రేఖ అయితే దీని స్పర్ళ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన.
(x₁, y₁) స్పర్శ బిందువు అనుకాందాం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x(x₁ + g) + y(y₁ + f) + (gx₁ + fy₁ + c) = 0
x(x₁ – 3) + y (y₁ + 2) + (-3x₁ + 2y₁ -12) = 0 ………………….(1)
దత్త రేఖ సమీకరణము
4 x-3 y+7=0 ………………….(2)
(1) మరియు (2) సమీకరణాలను సరిపోల్చగా


సమీ|| (3) నుండి -3+4 y₁=1 ⇒ 4 y₁=4y₁=1 స్పర్య బిందువు (-1,1)

ప్రశ్న 28.
2 x-3 y+1=0 సరళ రీఖని (1,1) వద్ద స్ప్లశించే \(\sqrt{13}\) యానిట్ల వ్యాసార్ధంతో గల వృత్తాల సమీకరణాలు కనుక్రోండి.
సాధన.
వృత్త కేంద్రాలు (1,1) గుండా పోతూ 2 x-3 y+1=0 రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ మీద ఉంటాయి.

కేంద్రాలు కలిగిన రేఖ
3 x+2 y+k=0
ఈ రేఖ (1,1) గుండా పోతుంది.
3+2+k=0 ⇒ k=-5
AB సమీకరణాలు 3x+2 y-5=0
ఈ కేంద్రాలు (1,1) నుంచి \(\sqrt{13}\)యానిట్ల దూరంలో ఉంటూ 3 x+2 y-5=0 రేఖపై ఉంటాయి. కాబట్టి ఈ కేంద్రాలు

(i.e.) (1-2,1+3) మరియు (1+2,1 – 3) (-1,4) మరియు (3,-2)

సందర్భం (i) :
కేంద్రం (-1,4), r=\(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x + 1)² + (y-4)² = 13
x²+2x+1+y²-8y+16-13=0
X² + y² + 2x – 8y + 4 = 0

సందర్భం (ii) :
కేంద్రం (3,-2), r=\(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x-3)² + (y + 2)² = 13
x²-6x + 9 + y² + 4y + 4-13 = 0
x² + y²-6x + 4y = 0

ప్రశ్న 29.
29 x + y – 6x + 4y + 12 = 0 వృత్తాన్ని 5x + 12y – 4 = 0 రేఖ స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 6x + 4y + – 12 = 0
కేంద్రము (3, −2), r = \(\sqrt{9+4-12}=1\)
దత్తరేఖ వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే కేంద్రం నుండి
లంబదూరము = వ్యాసార్ధము
d= నుండి లంబదూరము (3, -2)
\(=\frac{|5(3)+12(-2)-4|}{\sqrt{25+144}}\)
\(=\frac{13}{13}=1\)= వృత్తంయొక్క వ్యాసార్థం
∴ 5x + 12y – 4 = 0 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
x + y – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తంపై ఉన్న 30°, 60° ల బిందువులను కలిపే జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0
θ₂ – θ₁  బిందువులను కలిపే జ్యా సమీకరణము

ప్రశ్న 31.
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0 పై బిందువు 30° వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము
x² + y²+4x+6y-39 = 0
g = 2, f = 3, r = \(\begin{aligned}
& =\sqrt{4+9+39} \\
& =\sqrt{52}=2 \sqrt{13}
\end{aligned}\)
θ =30°
స్పర్శరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 32.
x₁ y₁ ≠ 0 అయి, x² + y² = a² వృత్తం పై ఉన్న బిందువు P(x₁, y₁,) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము ײ + y² = a²
P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
xx₁ + yy₁ = a² …………………….. (1)

ఈ స్పర్శరేఖ X – అక్షాన్ని A వద్ద, Y- అక్షాన్ని B వద్ద ఖండిస్తుంది.
అంతరఖండ రూపంలోనికి మార్చగా

ప్రశ్న 33.
x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0 వృత్తానికి (3,2) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. ఇంకా ఈ అభిలంబరేఖ వృత్తాన్ని ఖండించే మరో బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము
x²+y²+4x+6y+11=O
g = -2, f = – 3, c = 11
వ్యాసార్ధము \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-11}=\sqrt{2}\)
అఖిలంబరేఖ సమీకరణము
(x-x₁) (y₁+f)-(y-y₁) (x₁+g) = 0
A (3, 2) వద్ద అభిలంబరేఖ
(x-3) (2-3)-(y-2) (3-2)=0
-x+3y+2=0
x+y-5=0
A వద్ద అభిలంబరేఖ వృత్తాన్ని B వద్ద ఖండిస్తే C, AB మధ్య బిందువు
కేం(దం =C(-g,-f)=(2,3)
B(x, y) అయితే
C సిరూపకాలు

ప్రశ్న 34.
x²+y²-22 x-4 y+25=0 వృత్తానికి (3,-4) వద్ద గీసిన అభిలంబరేఖ, అక్షాలతో ఏర్పడే త్ిభజ వైశాల్యాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన.
2 g=-22, 2 f=-4, అక్షం
g =-11, f=-2
x₁ = 3, y₁ = -4
(3, -4) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
(x-x₁)(y₁ + f)-(y-y₁)(x₁ +g) =0
(x-3) (-4-2)–(y + 4)(3-11) = 0
– 6x + 18 + 8y + 32 = 0
6x-8y-50 = 0
3x-4y-25 = 0 ………………. (1)
3x-4y=25
\(\frac{3 x}{25}+\frac{4 y}{25}=1\)

ప్రశ్న 35.
S = x2+ y2+ 2gx + 2fy + c = 0 lx + my + n =0 రేఖ అఫిలంబ రేఖ కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమము gl + mf = n అని చూపండి.
సాధన.
lx + y + n = 0 రేఖ వృత్తానికి అభిలంబరేఖ
S = x² + y²+2gx + 2fy + c = 0
⇒ కేం(దం (-g, -f)
lx + my + n = 0 మీద ఉంటుంది.
l(-g)+m(-f) + n = 0
gl + fm = n

ప్రశ్న 36.
S = x²+ y²+2gx + 2fy + c = 0 బాహ్య బిందువు (g, f) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన.
P(x₁, y₁) నుండి 5 = 0 కు గీయబడిన స్పర్శరేఖ
మధ్యశ్లోకోణము 8 అయితే tan \(\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{r}{\sqrt{s_1}}\)
వృత్త సమీకరణము

Note : ఇక్కడ C<0

ప్రశ్న 37.
x² +y² =a² వృత్తానికి P గుండా గీసిన స్చర్రరీణలుల X – అక్షం గుండా  θ₁ ,θ₂ కోణాలు చేస్తున్నాయి. cot θ₁+ cot θ₂=k అయ్యే P బిండు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² +y² =a²
స్పర్శరేఖ వాలు m అయితే P(x₁, y₁) గుండా పోమే స్వర్శరేఖ సమీకరణము

P(x₁, y₁) బిందు పథము 2xy = kiya )
విపర్యంగా P(x₁ ,y₁) 2xy = k(y² – a²) నియమాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది.
cot θ₁ + cot θ₂ = k అని చూపవచ్చును.
P బిందు పథము 2xy = k(y² – a²)

ప్రశ్న 38.
x² + y² – 5x + 4y-2 = 0 వృత్తం దృష్ట్వా (2, 5) కు స్పర్శ జ్యా సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
S₁ = 0 స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
P(2, 5) యొక్క స్పర్శరేఖ
x. 2 + y.5 – \(\frac{5}{2}\)(x + 2) + 2 (y + 5) – 20
4x+10y-5x-10+4y+ 20-40
-x+14y+60
(లేదా)x-14y-6 = 0

ప్రశ్న 39.
x² + y² = a² వృత్తం దృష్ట్యా P బిందువు స్పర్శ జ్యా వృత్తాన్ని A,B ల వద్ద ఖండిస్తూ \(\text { AÔB }\) = 90° అయ్యే P బిందువులు x² + y² = a² వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² ……………… (1)
P(x₁, y₁) బిందు పథం మీది బిందువు
P స్పర్శ జ్యా సమీకరణము xx₁ + yy₁ =a²
\(\frac{x_1+y y_1}{a^2}=1\) ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము

ప్రశ్న 40.
x² + y² + 6x+8y-96=0 వృత్తం దృష్ట్రా P(2, 3) బిందువుకు ధృవరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁)=(2, 3) ⇒ x₁ 2, y₁ = 3
వృత్త సమీకరణము
x² + y²+6x+8y-96 = 0
ధృవ రేఖ సమీకరణము S₁ = 0
(2, 3) యొక్క ద్యృ రేఖ x. 2 + y. 3 + 3(x+2) +4(y+3)-960
2x + 3y + 3x + 6 + 4y + 12 -96 = 0
5x + 7y-78 = 0

ప్రశ్న 41.
x² + y²-4x+6y 120 వృత్తం దృష్ట్రా x + y + 2 = 0 రేఖకు ధృవాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
lx+my+ n = 0 ను x + y + 2 = 0 పోల్చగా
l = 1, m = 1, n = 2
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x² + y²4x+6y-12 = 0

ప్రశ్న 42.
x²+y²=a² వృత్తం స్ర్శరేఖలు (x+a)²+y² =2 a² దృష్టాల ధృవరేఖలు అయితే వీటి ధృవాలు y² +4 a x=0 పై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన.
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²=a² …………….. (1)
మరియు (x+a)²+y²=2a²…………….. (2)
(2) వృత్తం దృష్ట్ల (1) వృత్తం మొక్క స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) ధృవం అనుకొందాం.
(2) వృత్తం దృష్ట్రా P యొక్క ధృవరేఖ సమీకరణము
xx₁+yy₁ +a(x+x₁) – a²=0
x(x₁ +a) + yy₁ + (ax₁ – a²) = 0
ఈ రేఖలకి స్పర్శరేఖ (1)

ప్రశ్న 43.
x²+y²-24=0 వృత్తం దృష్ట్లా (4,-2),(3,-6) సంయుగ్ళ పిందువులు అని చూపండి.
సాధన.
(x₁, y₁)=(4,-2) మరియు (x₂, y₂)=(3,-6) మరియు
S ≡ x² +y² 2-24=0
(X₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులు S=0 దృష్ట్లా సంయుగ్ళ
బిందువులయిత్  S₁₂=0
x₁ x₂ + Y₁ Y₂ – 24 = 0
12 = + (-2)(-6)-24
= 12 + 12-24 = 0
∴ దత్త బిందువులు దత్త వృత్తం దృష్ట్రా సంఝుగ్ర బిందువులు

ప్రశ్న 45.
x²+ y² + 4x + 6y + 12 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా 2x + 3y + 11 = 0, 2x – 2y – 1 = 0 రేఖలు సంయుగ్మ రేఖలు అని చూపండి.
సాధన:
l₁ = 2, m₁ = 3, n₁ = 11
l₂ = 2, m₂ =2, n₂ = -1
మరియు g =2, f = 3, c = 12
r =\(\sqrt{9+4-12}\)=1

(2.2 +3.3-11) (2.2-2.3 +11)
=2(-1)=-2
L.H.S. = R.H.S.
సంయుగ్మ రేఖల నియమము తృప్తి పడింది.
∴ దత్తరేఖలు సంయుగ్మరేఖలు

ప్రశ్న 46.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు అయిన P(x₁, y₁) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు, వీటి స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{r\left(S_{11}\right)^{3 / 2}}{S_{11}+r^2}\) (r వృత్త వ్యాసార్ధం) అని చూపండి.
సాధన:
S = 0 కు P నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA, PB. AB స్పర్శ జ్యా

ప్రశ్న 47.
వృత్తం x²+y²-2 x-10 y+1=0, x-2 y+ 7 =0 రేఖపై ఏర్పరచే జ్యా మర్య బిందువును కనుక్రోండి.
సాధన:

AB జ్యా మధ్య బిందువు P(x₁, y₁)
జ్యా సమీకరణము S₁=S₁₁
xx₁+yy₁-1(x+x₁) – 5(y+y₁)+1
= x +y -2x₁ – 10y₁+1

ప్రశ్న 48.
lx + my + n = 0 రేఖపై ఉన్న బిందువుల నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి గీసిన స్పర్శజ్యాల మధ్య బిందువుల బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P = (x₁,y₁) బిందు పథము P మీది బిందువు
x² + y² = a²
జ్యా సమీకరణము
lx+my+ n = 0 ………………… (1)
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
(x₁ y₁) మధ్య బిందువుగా గల జ్యాసమీకరణము
S₁ = S₁₁
xx₁ + yy₁ = x₁ ²+ y₁ ²
xx₁ + yy₁ – (x₁ ²+ y₁ ²) = 0 ………………… (2)

ప్రశ్న 49.
x²+y²– 14 x+6 y+33=0, x²+y²+30 x-2 y+1=0 eకు నాలుగు ఉమ్మడ స్ర్య రేఖలి ఉంటాయని చూపి వీటికి సరూప అంతర కేంద్రం సరూప బాహ్య కేంద్రాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²-14 x+6 y+33=0
మరియు x²+y²+30 x-2 y+1=0
కేంధ్రాలు A(7,-3), B(-15,1)

\(=\left(\frac{6}{4}, \frac{1-9}{4}\right)=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)
బాహ్య స్వరూప కేంద్రం S, A B ని బాహ్యంగా 1: 3 నిష్తత్తిలో విభజిస్తుంది.
S నిరూపకాలు

ప్రశ్న 50.
x²+y² -8 x-6 y+21=0
x²+y²-2y-15=0 వృత్లాలకు రెండే రెండు ఉమ్మడి స్రర్శరేఖలుంటాయని చూపండి. ఇంకా వీటి ఖండన బిందువలను కనుక్రోండి.
సాధన:
C₁, C₂ లు కేంద్రాలు మరియు r₁, r₂ లు వ్యాసార్ధాలు వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²– 8x- 6y+21 =0
k+y²-2y-15 =0
మరియు
C₁(4,3), & C₂(0,1)

ప్రశ్న 51.
x²+y²-4 x-6 y-12=0 ,x²+y²+6 x+18 y+26=0 వృత్తాల స్పృశించుకుంటాయని చావండి. ఇంకా స్ర్శ బిందువును, స్రాశబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్రర్శరేళను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²-4x-6y-12 =0
మరియు x²+y²+6x+18y+26 =0
కేంధ్రాలు C₁(2; 3), C₂(-3, -9)

ప్రశ్న 52.
x²+y²-4 x-6 y-12=0, 5(x²+y²)-8 x-14 y-32=0 వృత్తాల స్పృశించుకుంటాయని చూప స్పర్శ పిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్లాల సమీకరణాలు
x²+y²-4 x-6 y-12=0

ప్రశ్న 53.
బిందువు (10,4) నుంచి x²+y²=25 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శ రేఖా యుగ్మ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁)=(10,4)
వృత్త సమీకరణము x²+y²-25=0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణాలు S₁= S.S₁₁
(10x + 4y-25)²
= (100 + 16-25)(x² +y²– 25)
100x₂+ 16y₂+625+80xy – 500x – 200y
= 91x² + 91y² – 2275
9x² + 80xy – 75y² – 500x – 200y + 2900=0

ప్రశ్న 54.
x² + y² − 2x – 6y + 6 = 0, x² + y² = 1 వృత్తాలకు గల అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+ y² – 2x – 6y + 6 = 0
మరియు x² + y² = 1
కేంద్రాలు A(1,3), B(0,0),
r₁= \(\sqrt{1+9-6}\) = 2
r₂=1
బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 2 1 నిష్పత్తిలో
విభజిస్తుంది.
S నిరూపకాలు
\(\left(\frac{2.0-1.1}{2-1}, \frac{2.0-1.3}{2-1}\right)=(-1,-3)\)
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
(x² + y² – 1) (1 + 9 – 1) = (x + 3y + 1)²
దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(y – 1) (4y + 3x − 5) = 0,
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 1 = 0 మరియు 3x + 4y – 5 = 0
అంతర్ స్వరూప కేంద్రం S‘, AB ని అంతరంగా 21 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు

దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(x + 1)(4x – 3y – 5) = 0
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
x + 1 = 0 మరియు 4x – 3y 5 = 0.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 1.
\(\frac{4+2 i}{1-2 i}+\frac{3+4 i}{2+3 i}\) ను a + ib, a, b ∈ R రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\frac{a+i b}{a-i b}\) సంకీర్ణ సంఖ్య వాస్తవ, కల్పిత భాగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(1-i)³(1+i) ను a+ib రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
(1-i)³(1+i)=(1-i)²(1-i)(1+i)
=(1+i²-2i) (1²-i²)
=(1-1-2i)(1+1)
=0-4 i=0+i(-4)

ప్రశ్న 4.
7 + 24 i యొక్క గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
Z ≠ 2i \(\left(\frac{z-4}{z-2 i}\right)\) వాస్తవ భాగం సున్న అయ్యే z బిందుపథాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:

కాబట్టి z ≠ 2i అయి, \(\cdot\left(\frac{z-4}{z-2 i}\right)\) కు వాస్తవ భాగం =0 ⇔ (x, y) ≠ (0,2) మరియు (x-2)²+(y-1)²=5. కనుక దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యను సూచించే దత్త బిందువు బిందు పథం (2,1) కేంద్రం \(\sqrt{5}\) వ్యాసార్థంతో (0,2) బిందువు మినహా ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 6.
x, y వాస్తవ సంఖ్యలవుతూ, 4 x+i(3 x-y)= 3 – 6i అయితే, x, y విలువలను కనుక్రోండి.
సాధన:
∴ 4 x+i(3 x-y)=3-6i
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోలిస్తే,
4 x=3,3 x-y=-6
⇒ x=3/4

ప్రశ్న 7.
z=2-3 is, అయితే, z²-4 z+13=0 అని చూపండి.
సాధన:
∴ z=2-3i
z – 2 = – 3i
(z – 2)² = (- 3i)²
= z² –  4z + 4 = 9i²
z² – 4z + 4 = 9(-1)
z² – 4z + 13 = 0

ప్రశ్న 8.
(3 + 4i) (2 – 3i) కి సంకీర్ణ యుగ్మాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(3+4 i)(2-3i)=6+8i-9i-12i²
=6-i-12(-1)=18-i
దాని సంకీర్ణ సంయుగ్మం 18 +i

ప్రశ్న 9.
\(z_1=\frac{2+11 i}{25}, z_2=\frac{-2+i}{(1-2 i)^2}\) లు పరస్పరం సంయుగ్మాలని చూపండి.

ఈ సంకీర్ణ సంఖ్య \(\frac{2+11 \mathrm{i}}{25}\) కు సంయుగ్మం, కాబట్టి దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యలు z₁, z₂ లు రెండూ పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ల సంఖ్యలు. (-5 + 12i) కి వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 10.
(-5 + 12i) కి వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
\(z=-\sqrt{7}+i \sqrt{21}\) కు ద్రువరూపం
సాధన:

ప్రశ్న 12.
(-1 -i) ను (ప్రధాన ఆయామం విలువతో ధ్రువ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
-1-i=r(cos θ+i sin θ) అనుకోండి.
-1 =r cos θ
-1 =r sin θ
tan θ =1 ………………. (1)

ప్రశ్న 13.
\(\left(\frac{z-2}{z-6 i}\right)\) ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) అయితే, బిందుపథం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
సంకీర్ణ తలంలోని ఏ వృత్త సమీకరణమైనా, \(\mathbf{z} \overline{\mathbf{z}}+\mathbf{b} \overline{\mathbf{z}}+\overline{\mathbf{b}} \mathbf{z}+\mathbf{c}=\mathbf{0}\) (b∈C, C∈R) రూపంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
కార్టిషియన్ రూపంలో వృత్త సమీకరణం
x²+y²+2 gx+2 fy+c=0,
(g, f ∈ R) గా తీసుకొందాం. ………………. (1)
ఈ సమీకరణాన్ని సంకీర్ణ రూపంలో [వాయడానికి,(x,y) = z అనుకొందాం.

ప్రశ్న 15.
z²+ \(\bar{z}^2\) =2 ను తృప్తిపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్య z లు, ఒక అతిపరావలయంగా ఏర్పడతాయని చూపండి.
సాధన:
\(z^2+\bar{z}^2\) =2 సమీకరణంలో z = x + iy (వరాస్తే, ఇచ్చిన సంకీర్ణ సంఖ్యకు కార్టిషియన్ రూపం వస్తుంది.
∴ (x+i y)²+(x-i y)²=2
i.e., x²-y²+2 ixy+x²-y² 2 ixy = 2
i.e., x²-y²=1 .
ఈ సమీకరణం ఒక అతిపరావలయంను సూచిస్తుంది.
\(\mathrm{z}^2+(\overline{\mathrm{z}})^2\) = 2 ని తృప్తిపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్యలన్నీ
x²-y²=1 అనే అతిపరావలయంగా ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 16.
ఆర్గాండ్ పటంలో 1+3 i, 4-3 i, 5 – 5i సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులా సరేఖియాలని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన మూడు సంకీర్ణ సంఖ్యలని ఆర్గాండ్ పటంలో వరుసగా P, Q, R లతో సూచిద్దాం.
P=(1,3) ; Q=(4,-3) ; R=(5,-5)
P, Q లను కలిపే రేఖ వాలు = \(\frac{3+3}{1-4}=\frac{6}{-3}=-2\)
Q, R లను కలిపే రేఖ వాలు = \( \frac{-3+5}{4-5}=\frac{2}{-1}=-2\)
PQ వాలు, QR వాలుకు సమానం కనుక P, Q, R బిందువులు సరేఖియాలు.

ప్రశ్న 17.
ఆర్గాండ్ తలంలో (-4+3 i),(2-3 i) లను సూచించే బిందువులను కలిపే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ఐిందువులను
A=-4+3 i=(-4,3),
B=2-3 i=(2,-3) గా తీసుకుందాం,
సరళరేఖ \(\stackrel{\leftrightarrow}{AB}\) సమీకరణం
y-3= \(\frac{3+3}{-4-2}(x+4)\)
i.e., x+y+1=0

ప్రశ్న 18.
ఆర్గాండ్ తలంలో z=x+1 y ఒక బిందువును సూచిస్తుంది. |z|=2 అయ్యేటట్లు z బిందుపథాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన:
|z|=2
z= x+iy  అనుకొందాం.
|x+iy|=2
⇔ \(\sqrt{x^2+y^2}\) =2 ⇔ x²+y²=4
x²+y²=4 సమీకరణం, కేంద్రం (0,0) గా 2 యానిట్లు
వ్యాసార్థంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ |z|=2 కు బిందుపథం x² +y² =4 అనే వృత్తం.

ప్రశ్న 19.
ఆర్గాండ్ తలంలో p బిందువు, సంకీర్ణసంఖ్ల z ను సూచిస్తుంది. z అయామం \(\frac{\pi}{4}\) అయితే P బిందకపథాన్ని నర్ణయించండ.
సాధన:
z=x+i y అనుకొందాం.
z కు ఆయామం \(\frac{\pi}{4}\)
i.e., \(\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{y}{x}=\tan \frac{\pi}{4}=1\)
x=y
∴P  బిందుపథం x = y

ప్రశ్న 20.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో P బిందువు సంకీర్ణ సంఖ్య z=x+i y ను సూచించినప్పండు \(\frac{z-i}{z-1}\) శుద్ధకల్పిత సంఖ్య అయీతే, P బిందుపథాన్ని కననుక్రోండి.
సాధన:
z=1 అయితే \(\frac{z-i}{z-1}\) నిర్వచితం కాదు.

ప్రశ్న 21.
(కింది ఉదహరించిన C యెకక్క ఉపసమితులను, జ్యామితీయంగా వివరించండి.
(i) { z∈C| | z – 1+ i| = 1}
(ii) { z∈C | | z+i| ≤ 3}
సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 1.
R మీద ∫ 2x⁷ dx ను కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 2.
I ⊂ R {nπ: n ∈ Z} మీద ∫ cot ² x dx, ను గణించండి.
సాధన:
∫cot ² x d x ∫ =(cosec² x-1) dx
=cosec² x dx-∫d x
= – cot x – x+C

ప్రశ్న 3.
x∈R \(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right) d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫(1-x)(4-3 x)(3+2 x) dx, x ∈ R న కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\int\left(x+\frac{1}{x}\right)^3\) గణించండి
సాధన:

ప్రశ్న 6.
R మీద \(\int \sqrt{1+\sin 2 x} \) dx విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
x>0 అయితే \(int \frac{2 x^3-3 x+5}{2 x^2} dx\) ను గణించండి. ఫలితాన్ని అవకిలనం చేసి సరిచూడండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
R మీద \(\int \frac{x^5}{1+x^{12}} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
R మీద cos³x  sin xdx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
I=(0,∞) మీద \(\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x+\frac{1}{x}\right)} d x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
I = (0,1) మీద \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\mathbf{x} \in \mathbf{I} \subset \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{(\mathbf{2 n}+\mathbf{1}) \pi}{2}: \mathbf{n} \in \mathbf{z}\right\}\) అయితే \(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 13.
R మీద sin² xdx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
a,b∈R,a²+b² ≠0 అయితే ∫ \(\frac{1}{a \sin x+b \cos x} dx\) ను గణించండి.
సాధన:
a=r cos θ, b=r sin θ అయ్యేటట్లు రండు వాస్తవ సంఖ్యలు r, θ లను కనుక్కోండి

ప్రశ్న 15.
(-5,∞) మీద ∫ \(\frac{x^2}{\sqrt{x+5}} dx\)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
∫ \(\frac{x}{\sqrt{1-x}} dx\) x∈I (o,1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(-4, ∞) మీద  ∫ \(\frac{d x}{(x+5) \sqrt{x+4}}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
\(I=\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\) మీద ∫ \(\frac{d x}{\sqrt{4-9 x^2}}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
x ∈ I = (-a,a)  ∫ \(\frac{1}{a^2-x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
R మీద \(\int \frac{1}{1+4 x^2} dx\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
(-2,2) మీద ∫ \(\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
R మీద \(\sqrt{4 x^2+9} dx \) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\left[\frac{5}{3}, \infty\right) \text { మీద } \int \sqrt{9 x^2-25} \mathrm{dx}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
\(\frac{-4}{5}, \frac{4}{5}\) మీద ∫ \(\sqrt{16-25 x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
(-1,1) మీద ∫ x sin^-1 x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
∫ x² cosx dx ను గణణించండ.
సాధన:
u(x)=x², v(x)=\sin x అనుకొండి.
v’(x)=cos x
u(x) v’(x)=x² cos x
విభాగ సమాకలన సూరతం నుంచ
∫ x².cos x d x=x² sin x-∫ sin x(x²)’ d x
= x² sin x-2 ∫ x sin x d x+c₁
ఇంకోసారి విభాగ సమాకలన సూత్రాన్ని
∫ x sin x dx, కు అనువర్తనం చేస్తే
∫ x. sin x dx =  – x cos x  – ∫ (-cos x) dx
= – x cos x + sin x+ c₂
x²cos  = x² sinx – 2(sinx – x cosx)+c
= x² sin x -2 sin x+2x cos x+c
= (x²– 2) sinx+ 2x cos x+c
విభాగ సమాకలన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, కొన్ని సమాకల నులను గణించేటప్పుడు, రెండు లేదా మూడుసార్లు సూత్రాన్ని ఉపయోగించిన తరువాత దత్తసమాకలనగుర్తు తేడాతో రావచ్చు, ఇచ్చిన సమాకలనాన్ని గణించడానికి ఇదిఎంతగానో ఉపసంఖ్య.

ప్రశ్న 27.
R మీద ∫ e^x sin x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.
a,b,c  లు వాస్తవ సంఖ్లు b ≠ 0 అయితే R మీద ∫ e^ax cos (b x+c) dx ను గణించండి.
సాధన:
A=∫ e^ax cos (b x+c) d x అనుకొందాం
విభాగ సమాకలన సూత్రం నుండి

ప్రశ్న 29.
(-1,1) మీద ∫tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
x ∈ I ⊂ R\{2nπ : n∈ Z} మీద \(\int e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
I ⊂ R\(-1,1) మీద
dx ను గణించండి.

సాధన:

ప్రశ్న 32.
m వాస్తవ సంఖ్య అయితే (-1,1) మీద \(\int x^2 \frac{\exp \left(m \sin ^{-1} x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\) dx ను కనుక్కోండి.
ఇక్కడ, {y}=e², Y ∈ R
సాధన:

ప్రశ్న 33.
ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
∫ \(\frac{d x}{5-2 x^2+4 x}\) ను కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 35.
∫ \(\frac{d x}{x^2+x+1}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 36.
∫ \(\frac{d x}{\sqrt{x^2+2 x+10}}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 37.
∫ \(\frac{d x}{\sqrt{1+x-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 38.
∫ \(\sqrt{3+8 x-3 x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
∫ \(\frac{x+1}{x^2+3 x+12}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
∫ (3x -2) \(\sqrt{2 x^2-x+1}\) ను గణించండి.
సాధన:
(3 x-2)=A(4 x-1)+B అనుకుందాము
గుణకాలను సమానం చేయగా 3=4A
A=\(\frac{3}{4}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా – 2 = – A + B
B=-2+A=-2+\(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 41.
∫ \(\frac{2 x+5}{\sqrt{x^2-2 x+10}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
∫ \(\frac{d x}{5+4 \cos x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
∫ \(\frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 44.
∫ \(\frac{d x}{d+e \tan x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 45.
∫ \(\frac{\sin x}{d \cos x e \sin x}\) dx ∫ \(\frac{\cos x}{d \cos x+e \sin x}\)dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 46.
∫ \(\frac{\cos x+3 \sin x+7}{\cos x+\sin x+1}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 47.
∫ \(\frac{x^3-2 x+3}{x^2+x-2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 48.
∫ \(\frac{d x}{x^2-81}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 49.
∫ \(\frac{2 x^2-5 x+1}{x^2\left(x^2-1\right)}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 50.
∫ \(\frac{3 x-5}{x\left(x^2+2 x+4\right)}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 51.
∫ \(\frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 52.
∫ x³ e^5x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 53.
∫ sin⁴ x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 54.
∫ tan⁶ x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 55.
∫ sec ⁶ x dx ను గణించండి.
సాధన:

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 16th Lesson సంసర్గ వ్యవస్థలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 16th Lesson సంసర్గ వ్యవస్థలు

→ ఒక చోటునుండి మరొకచోటుకు సమాచారాన్ని (లేదా) సందేశాన్ని బదిలీ చేసే (లేదా) గ్రహించే ప్రక్రియను సంసర్గం అంటారు.

→ మాధ్యమం ద్వారా ప్రసారం అవుతున్న సంకేతం సత్వాన్ని కొలవడాన్ని క్షీణనం (Attenuation) అంటారు.

→ ఒక రూపంలోని శక్తిని మరో రూపంలోకి మార్చే సాధనాన్ని శక్తి రూపాంతరణి అంటారు.

→ ఒక పరికరం పనిచేసే పౌనఃపున్యాల వ్యాప్తిని పట్టీ వెడల్పు అంటారు.

→ సందేశ సంకేతాన్ని ఛానల్ ద్వారా ప్రసారానికి, తదనంతరం సంగ్రహణానికి యోగ్యమైనదిగా మార్చే ప్రక్రియను ప్రసారిణి చేస్తోంది.

→ పరారుణ వికిరణం భూవాతావరణంలో బంధితమవుతుంది. అందువల్ల భూమి వేడిగా ఉంటుంది. దీనినే హరితగృహప్రభావం అంటారు.

→ తక్కువ పౌనఃపున్యాలు గల ఆడియో సంకేతాలను, అధిక పౌనఃపున్యాలు గల వాహక తరంగంతో కలిపే ప్రక్రియను మాడ్యులేషన్ అంటారు..

→ మాడ్యులేషన్ తరంగం నుండి సమాచారాన్ని తిరిగి పొందడాన్ని డీమాడ్యులేషన్ అంటారు.

→ భూమి చుట్టూ ఉండే వాయు పొరను ఐనో ఆవరణం అంటారు.

→ రేడియో తరంగాలు ప్రసార స్టేషన్ నుండి గ్రాహక స్టేషన్కు నేరుగా భూమి ద్వారా ప్రయాణించే తరంగాలను భూతరంగాలు అంటారు.

→ ఐనో ఆవరణం నుండి పరావర్తనం చెందిన తరంగాలు ప్రసార స్టేషన్ నుండి గ్రాహక స్టేషన్కు చేరతాయి. వీటిని ఆకాశ తరంగాలు అంటారు.

→ ‘దూరం నుండి వస్తువు యొక్క పరిమాణం, రంగు, స్వభావం మరియు ప్రాంతం సమాచారాన్ని తెలుసుకునే పద్ధతిని రిమోట్ సెన్సింగ్ అంటారు.

→ హెర్ట్జ్ ఆంటెన్నా పొడవు (l) = \(\frac{\lambda}{2}=\frac{c}{2 v}\)

→ మార్కోని ఆంటెన్నా యొక్క పొడవు (l) = \(\frac{\lambda}{4}=\frac{c}{4 v}\)

→ d_T = \(\sqrt{2 R h_T}=\sqrt{2 R h_R}\)

→ కంపన పరిమితి మాడ్యులేషన్ మాడ్యులేషన్ సూచిక (m_a)

→ కంపన పరిమితి మాడ్యులేషన్ పట్టీ వెడల్పు = 2 × మాడ్యులేషన్ సంకేతం పౌనఃపున్యం

→ పౌనఃపున్య మాడ్యులేషన్లో మాడ్యులేషన్ సూచిక (m_f)

→ పౌనఃపున్య మాడ్యులేషన్ కంపన పరిమితి = 2n × మాడ్యులేషన్ సంకేతం పౌనఃపున్యం

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 15th Lesson అర్ధవాహక ఎలక్ట్రానిక్స్, పదార్థాలు, పరికారాలు, సరళవలయాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 15th Lesson అర్ధవాహక ఎలక్ట్రానిక్స్, పదార్థాలు, పరికారాలు, సరళవలయాలు

→ ఒక ఆర్టిటాల్కు సంబంధించిన అతిదగ్గరగా ఉన్న అన్ని శక్తిస్థాయిల సమూహాన్ని శక్తి పట్టీ అంటారు.

→ ఒక పదార్థంలో సంయోజక ఎలక్ట్రాన్ల తో పూర్తిగా (లేదా) పాక్షికంగా నింపబడి ఉన్న పట్టీని సంయోజక పట్టీ అంటారు.

→ ఒక పదార్థంలో పూర్తిగా ఖాళీగా ఉండే పట్టీని వాహక పట్టీ అంటారు.

→ సంయోజక పట్టీ మరియు వాహక పట్టీ మధ్య అంతరం : అది ఏమంటే వాహక పట్టీ యొక్క నిన్న శక్తి నుంచి సంయోజక పట్టీ అధికశక్తుల మధ్యగల భేదం అని అర్థం. దీనినే నిషిద్ధ శక్తి అంతరం అంటారు.

→ వాహకాలలో సంయోజకపట్టీ, వహన పట్టీతో అతిపాతం చెంది ఉంటుంది.

→ సంయోజక పట్టీ, వహన పట్టీల మధ్య శక్తి అంతరం 5 eV లు, అంతకంటే ఎక్కువ ఉన్నట్లయితే వాటిని బంధకాలు అంటారు.

→ నిషిద్ధ శక్తి అంతరం 1 eV ఉన్న వాటిని అర్థవాహకాలు అంటారు.

→ సంయోజనీయ బంధంలో ఎలక్ట్రాన్ ఖాళీ చేసిన ప్రాంతాన్ని రంధ్రం అంటారు. దీనికి ధనాత్మక ఆవేశం ఉంటుంది. విద్యుత్ క్షేత్రంలో రంధ్రం, ఎలక్ట్రాన్కు వ్యతిరేకంగా ప్రయాణిస్తుంది. రంధ్రాలు సంయోజక పట్టీలో ఉంటాయి. రంధ్రాలు విద్యుత్ క్షేత్ర దిశలో ప్రయాణిస్తాయి. ఎలక్ట్రాన్లు విద్యుత్ క్షేత్రానికి వ్యతిరేకంగా ప్రయాణిస్తాయి.

→ స్వభావజ అర్థవాహకాలలో రంధ్రాల సాంద్రత (n_p) లకు వహన ఎలక్ట్రాన్ల ల సాంద్రత n_e కు సమానం.

→ అర్థవాహకం మాలిన్యీకరణం చెందిన దానిని అస్వభావజ అర్థవాహకం అంటారు. దీని ద్వారా వాహకత్వం పెరుగుతుంది.

→ అస్వభావజ అర్ధవాహకాలు రెండు రకాలు

• n రకం అర్ధవాహకం
• p – రకం అర్ధవాహకం.

→ ఒక పరిశుద్ధమైన చతుస్సంయోజక అర్ధవాహకానికి పంచసంయోజక మాలిన్యాన్ని కలిపితే n అస్వభావజ అర్ధవాహకం ఏర్పడుతుంది. పంచసంయోజక మాలిన్యాలు

• ఫాస్ఫరస్
• ఆర్సెనిక్
• ఆంటిమోని.

→ పంచసంయోజక మాలిన్యం వహన ఎలక్ట్రాన్లను ఇస్తుంది. వీటిశక్తిస్థాయిలు వహన పట్టీకి దగ్గరలో ఉంటాయి. ఈ శక్తి స్థాయిలను దాత శక్తి స్థాయిలు అంటారు. పంచసంయోజక మాలిన్యాన్ని దాత మాలిన్యం అంటారు.

→ n -రకం అస్వభావజ అర్థవాహకంలో వహన ఎలక్ట్రాన్ల సాంద్రత (n) రంధ్రాల సాంద్రతకు (n) చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

→ త్రి సంయోజక మాలిన్యాన్ని పరిశుద్ధ సిలికాన్కు (లేదా) జెర్మేనియమ్కు కలిపితే వచ్చే దానిని p – రకం అస్వభావజ అర్థవాహకం అంటారు. త్రిసంయోజక మాలిన్యాలు బోరాన్, అల్యూమినియం, ఇండియమ్ మరియు గ్వాలియం.

→ త్రిసంయోజక మాలిన్యం రంధ్రాలను ఏర్పరుస్తుంది. వీటి శక్తిస్థాయి సంయోజక పట్టీకి పైన దగ్గరగా ఉంటాయి. ఈ శక్తి స్థాయిలను గ్రహీత స్థాయిలు అంటారు. త్రిసంయోజక మాలిన్యాన్ని గ్రహీత మాలిన్యం అంటారు.

→ p – రకం అర్థవాహకాలలో రంధ్రాలు అధిక సంఖ్యాక ఆవేశవాహకాలు మరియు ఎలక్ట్రాన్లు అల్పసంఖ్యాక ఆవేశవాహకాలు.

→ p – n సంధి దగ్గర ప్రాంతాన్ని లేమిపొర అంటారు. దీనిలో రంధ్రాలు మరియు వాహక ఎలక్ట్రానులు ఉండవు. దీని వెడల్పు 1 μm.

→ p – n సంధి వద్ద ఏర్పడిన పొటెన్షియల్ భేదాన్ని అవరోధ పొటెన్షియల్ అని అంటారు.

→ డయోడ్ పురో బయాస్ లో ఉన్నప్పుడు, లేమిపొర వెడల్పు అవరోధ పొటెన్షియల్ ఎత్తు మరియు నిరోధకం తగ్గుతుంది. అధిక సంఖ్యాక ఆవేశాల వల్ల విసరణ విద్యుత్ ప్రవహిస్తుంది. ఈ విద్యుత్ మిల్లీ ఆంపియర్లో ఉంటుంది.

→ డయోడ్ తిరోబయాస్లో ఉన్నప్పుడు లేమిపొర, అవరోధ పొటెన్షియల్ ఎత్తు మరియు నిరోధకం పెరుగుతుంది. అల్పసంఖ్యాక ఆవేశాల ప్రవాహం వలన డ్రిఫ్ట్ విద్యుత్ ప్రవహిస్తుంది. ఈ విద్యుత్తు సిలికాన్ లో nA లో జెర్మేనియంలో mA లో ఉంటుంది.

→ ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని ఏకముఖ విద్యుత్ ప్రవాహంగా మార్చే ప్రక్రియనే ఏకధిక్కరణం అంటారు. అర్ధతరంగ ఏకధిక్కరణి దక్షత 40.6 %

→ పూర్ణతరంగ ఏకధిక్కరణిలో ఏకముఖ విద్యుత్ రెండు అర్థచక్రాలలోను ప్రవహిస్తుంది. పూర్ణతరంగ ఏకధిక్కరణి దక్షత 81.2%.

→ తిరోబయాస్లో గల p – n సంధిలో ఏ పొటెన్షియల్ వద్ద విచ్ఛేదనం జరుగుతుందో ఆ వోల్టేజిని విచ్ఛేదన వోల్టేజి (లేదా) జీనర్ వోల్టేజి అంటారు.

→ డయోడ్లలో రెండు రకాల విచ్ఛేదనాలు జరుగుతాయి. అవలాంచి విచ్ఛేదనం, జీనర్ విచ్ఛేదనం.

→ జీనర్ డయోడ్, p n డయోడ్ మాదిరిగానే పురోబయాస్లో విద్యుత్ ప్రవహింపచేస్తుంది. మరియు తిరోబయాస్లో అనువర్తిత బాహ్యవోల్టేజి జీనర్ విచ్ఛేదన వోల్టేజికి మించినప్పుడు కూడా విద్యుత్ ప్రసరణ జరుగుతుంది. జీనర్ డయోడ్ను వోల్టేజి నియంత్రిణిగా వాడతారు.

→ ట్రాన్సిస్టర్లో మూడు భాగాలుంటాయి. (i) ఉద్గారకం (E) (ii) ఆధారం (B) (iii) సేకరణి (C)
ఉద్గారకాన్ని అత్యధికంగా మాదీకరణం చేస్తారు.
ఆధారాన్ని అతి స్వల్పంగా మాదీకరణం చేస్తారు.
సేకరణిని ఒక మోస్తరుగా మాదీకరణం చేస్తారు.

→ ట్రాన్సిస్టర్లు రెండు రకాలు

• p-n-p ట్రాన్సిస్టరు
• n-p-n ట్రాన్సిస్టరు.

ట్రాన్సిస్టర్ విన్యాసాలు మూడు రకాలు అవి

• ఉమ్మడి ఆధార విన్యాసం
• ఉమ్మడి ఉద్గార విన్యాసం
• ఉమ్మడి సేకరణి విన్యాసం

→ ట్రాన్సిస్టరు మాములుగా పనిచేయడానికి ఉద్గార-ఆధారాల మధ్య సంధి పురో బయాస్ లోను, సేకరణి సంధి తిరోబయాస్లోలో కలపాలి.

→ ట్రాన్సిస్టర్ మరియు డయోడ్లో విద్యుత్ ప్రవాహం రంధ్రాలు మరియు ఎలక్ట్రాన్ల వల్ల జరిగితే, బాహ్య వలయంలో మాత్రం ఎలక్ట్రాన్ల వల్లనే జరుగుతుంది.

→ ఉమ్మడి ఉద్గార ప్రవాహ వర్ధక గుణకం (B) ను సేకరణి విద్యుత్ మార్పుకు, ఆధార విద్యుత్ లోని మార్పులకు గల నిష్పత్తి
ఇది 20 నుండి 100 మధ్య ఉంటుంది.
ట్రాన్సిస్టర్ను వర్ధకంగా ఉపయోగిస్తారు.

→ వివిధ రకాలైన ద్వారాలు ఏమిటంటే

• AND ద్వారం
• OR ద్వారం
• NOT ద్వారం
• NOR ద్వారం మరియు
• NAND ద్వారాలు.

→ రెండు నివేశన టెర్మినల్లు High (1) లో ఉన్నప్పుడే నిర్గమనంలో High (1) వచ్చే లాజిక్ వలయాన్ని AND ద్వారం అంటారు.

→ ఒకటి (లేదా) రెండు నివేశన టెర్మినల్లు high (1) లో ఉన్నట్లయితే నిర్గమనంలో high (1) వచ్చే లాజిక్ వలయాన్ని OR ద్వారం అంటారు.

→ నిర్గమనంలో వచ్చే విలువ నివేశన విలువకు విరుద్ధంగా వచ్చే లాజిక్ వలయాన్ని NOT ద్వారం అంటారు.

→ OR ద్వారం నిర్గమనంలో NOT ద్వారాన్ని కలిపితే NOR ద్వారం లభిస్తుంది. NOR ద్వారం NOT ద్వారం.

→ నిర్ణీతమైన అభిలక్షణాలు కలిగిన ఎలక్ట్రానిక్ వలయాన్ని లాజిక్ ద్వారం అంటారు.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఉత్కేంద్రత \(\frac{3}{2}\), ఒక నాభి (1, -3), అనురూప నియతరేఖ y = 2 గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి, 5(1, -3) నియతరేఖ సమీకరణం y – 2 – 0

P(x₁, y₁) అతి పరావలయం మీది ఏదేని బిందువు SP కలుపు నియతరేఖ మీదకు PM అనే లంబాన్ని గీయండి.
S.P.= e. PM ⇒ SP² = e². PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 3)² = \(\frac{9}{4}\left|\frac{\left(y_1-2\right)}{\sqrt{1+0}}\right|^2\)
x₁² + 1 – 2x₁ + y₁² + 9 + 6y₁ = \(\frac{9}{4}\) (y₁ – 2)²
4x₁² + 4y₁² – 8x₁ + 24y₁ + 40 = (y₁² + 4 – 4y₁) – 9y₁² – 36y₁ +36
4x₁² – 5y₁² – 8x₁ + 60y₁ + 4 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క బిందుపథము
4x² – 5y² – 8x + 60y + 4 = 0
ఇది కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణము.

ప్రశ్న 2.
3x – 4y = 12, 3x + 4y = 12 సరళరేఖలు అతి పరావలయం S = 0 పై ఖండించుకొంటే, S = 0 ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y = 12
3x + 4y = 12
ఖండన బిందువు P(4, 0)
P అతిపరావలయం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 మీద బిందువు
\(\frac{16}{a^2}\) = 1
a² = 16.
ఉత్కేంద్రత కనుగొనడానికి దత్తాంశం సరిపోదు.

ప్రశ్న 3.
నాభులు (±5, 0), తిర్యక్ అక్షం పొడవు 8గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
నాభులు S (±5, 0) ∴ ae = 5
తిర్యగాక్షము పొడవు = 2a = 8 a = 4
e = \(\frac{5}{4}\)
b² = a² (e² – 1) = 16 \(\left(\frac{25}{16}-1\right)\) = 9
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
9x² – 16y² = 144

ప్రశ్న 4.
(1,–1) బిందువు గుండా పోతూ x + 2y + 3 = 0, 3x + 4y + 5 = 0 లు అనంత స్పర్శరేఖలుగా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణము
(x + 2y + 3) (3x + 4y + 5) = 0
∴ అతిపరావలయ సమీకరణము
(x + 2y + 3) (3x + 4y + 5) + k = 0 గా తీసుకొనవలెను.
అతిపరావలయం P(1, 1) గుండా పోతుంది.
(1 – 2 + 3) (3 – 4 + 5) + k = 0
8 + k = 0 ⇒ k = -8
అతిపరావలయ సమీకరణము
(x + 2y + 3) (3x + 4y + 5) – 8 = 0
3x² + 6xy + 9x + 4xy + 8y² + 12y + 5x + 10y + 15 – 8 = 0
3x² + 10xy + 8y² + 14x + 22y + 7 = 0

ప్రశ్న 5.
x² – 4y² = 5 అతిపరావలయానికి 3x – 4y + k = 0 స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’17]
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం x² – 4y² = 5
\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{\left(\frac{5}{4}\right)}\) = 1
a² = 5, b² = \(\frac{5}{4}\)
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x – 4y + k = 0
4y = 3x + k
у = \(\frac{3}{4}\)x + \(\frac{k}{4}\)
m = \(\frac{3}{4}\) ; c = \(\frac{k}{4}\)
స్పర్శరేఖ నియమము c² = a²m² – b²
\(\frac{k^2}{16}\) = 5. \(\frac{9}{16}\) – \(\frac{5}{4}\)
k² = 45 – 20 = 25
k = ± 5

ప్రశ్న 6.
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1 పై ఏ బిందువునుంచైనా అనంత స్పర్శ రేఖలకు గల లంబదూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
a² = 16, b³ = 9
అనంత స్పర్శరేఖల మీద అతిపరావలయం మీది ఏదేని బిందువు నుండి లంబదూరాల లబ్దము
= \(\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}=\frac{16 \times 9}{16+9}=\frac{144}{25}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత \(\frac{5}{4}\) అయితే దాని సంయుగ్య అతిపరావలయ ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’17 A.P. Mar. ’16 (Mar, ’13)]
సాధన:
అతిపరావలయ, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు
e, e₁ అయితే \(\frac{1}{\mathrm{e}^2}+\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1
e = \(\frac{5}{4}\) అని ఇవ్వబడింది.
= \(\frac{16}{25}+\frac{1}{e_1^2}\) = 1
\(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1 – \(\frac{16}{25}\) = \(\frac{9}{25}\)
e₁² = \(\frac{25}{9}\) ⇒ e₁ = \(\frac{5}{3}\)

ప్రశ్న 8.
3x = ± 5yలు అనంత స్పర్శరేఖలుగా కలిగి, శీర్షాలు (±5, 0) గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణం 3x = ± 5y
3x – 5y = 0, 3x + 5y = 0
అనంత స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణం
(3x – 5y) (3x + 5y) = 0
9x² – 25y² = 0
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x² – 25y² = k
అతిపరావలయం శీర్షం (5, 0) గుండా పోతుంది.
9(5)² – 0 = k ⇒ k = 225
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x² – 25y² = 225

ప్రశ్న 9.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి θ = \(\frac{\pi}{3 }\) వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం
3x² – 4y² = 12

ప్రశ్న 10.
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 30° గా గల అతి పరావలయ ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము
= 2θ = 30°
θ = 15°
tan θ = tan 15° = \(\frac{b}{a}\)
e² = \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = 1 + tan² 15°

II.

ప్రశ్న 1.
కింది అతిపరావలయాలకు ఉత్కేంద్రత, నాభులు, నియత రేఖా సమీకరణాలు, కేంద్రం, నాభి లంబం పొడవు కనుక్కోండి.
i) 16y² – 9x² = 144
సాధన:
అతిపరావలయం సమీకరణం
16y² – 9x² = 144
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}\) = 1
a² = 16, b² = 9
కేంద్రం C(0, 0)
b²e² = a² + b² = 16 + 9
= 25 ⇒ be = 5
నాభులు 5(0, ± ae) = (0, ± 5)
ఉత్యేంద్రత \(\frac{b e}{b}=\frac{5}{3}\)
నియతరేఖల సమీకరణాలు y = ± b/e
= ±3 . \(\frac{5}{3}\)
5y = ± 9
నాభిలంబం పొడవు = 2 . \(\frac{a^2}{b}\)
= 2 . \(\frac{16}{3}\) = \(\frac{32}{3}\)

ii) x² – 4y² = 4 [A.P. Mar. ’16 (May ’11)]
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}\) = 1
a² = 4, b² = 1
కేంద్రం c(0, 0)
a²e² = a² + b² = 4 + 1 = 5
ae = \(\sqrt{5}\)
నాభులు (±ae, 0) = (±\(\sqrt{5}\), 0)
ఉత్కేంద్రత = \(\frac{a e}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
నియతరేఖల సమీకరణాలు x = ±\(\frac{a}{e}\) = ± 2 . \(\frac{a}{e}\)
⇒ \(\sqrt{5}\)x = ±4
⇒ \(\sqrt{5}\)x ± 4 = 0
నాభిలంబ పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2.1}{2}\) = 1

iii) 5x² – 4y² + 20x + 8y = 4
సాధన:
5(x² + 4x + 4) – 4 (y² – 2y + 1) = 4 + 20 – 4
5(x + 2)² – 4(y – 1)² = 20
\(\frac{(x+2)^2}{4}-\frac{(y-1)^2}{5}\) = 1
a² = 4, b² = 5 ⇒ a < b
కేంద్రం C(-2, +1)
a²e² = a² + b² = 4 + 5 = 9
ae = 3
ఉత్కేంద్రత = \(\frac{a \mathrm{e}}{\mathrm{a}}=\frac{3}{2}\)
నాభులు (h ± ae, k) = (-2 ± 3, 1)
= (−5, 1) మరియు (1, 1)
నియతరేఖల సమీకరణము x – h = ± \(\frac{a \mathrm{e}}{\mathrm{a}}\)
x + 2 = ± 2 . \(\frac{2}{3}\)
3x + 6 = ±4
3x + 10 = 0 (లేదా) 3x + 2 = 0
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2.5}{2}\) = 5

iv) 9x² – 16y² + 72x – 32y – 16 = 0
సాధన:
అతిపరావలయం సమీకరణము
9x² – 16y² + 72x – 32y – 16 = 0
⇒ 9(x² + 8x) – 16(y² + 2y) = 16
⇒ 9(x² + 8x + 16) – 16 (y² + 2y + 1) = 16 + 144 – 16
⇒ 9(x + 4)² – 16(y + 1)² = 144.
⇒ \(\frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}\) = 1
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1 తో పోల్చగా
a² = 16, b² = 9, h = -4, k = -1
కేంద్రం (h, k) = (-4, -1)
e = \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
= \(\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\)
నాభులు = (h ± ae, k) = (-4 ± 4 . \(\frac{5}{4}\), 1)
= (-4 ± 5, -1)
= (1, -1), (-9, -1)
నియతరేఖల సమీకరణాలు
x + 4 = ± 4 . \(\frac{4}{5}\)
= ± \(\frac{16}{5}\)
5x + 20 = ±16
నియతరేఖల సమీకరణాలు 5x + 4 = 0
5x + 36 = 0
నాభి లంబము పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}\)
= \(\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}\)

ప్రశ్న 2.
ఉత్కేంద్రత 2, నాభులు (4,2), (8, 2) గా గల అతిపరా వలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభులు (4, 2), (8, 2),
కేంద్రం C నాభుల మధ్య బిందువు
∴ కేంద్రం \(\left(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\) = (6, 2)
ae = 6 – 4 = 2
e = 2 ⇒ a = \(\frac{\mathrm{ae}}{\mathrm{e}}=\frac{2}{2}\) = 1
b² = a² (e² – 1) = 1(4 – 1) = 3
అతిపరావలయ సమీకరణం
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}\) = 1
3 తో గుణించగా,
3(x – 6)² – (y – 2)² = 3
⇒ 3(x² – 12x + 36) – (y² – 4y + 4) = 3
⇒ 3x² – 36x + 108 – y² + 4y – 4 – 3 = 0
3x² – y² – 36x + 4y + 101 = 0

ప్రశ్న 3.
తిర్యక్ అక్షం పొడవు 6గా కలిగి కేంద్రం, నాభులను కలిపే రేఖాఖండానికి శీర్షం మధ్యబిందువుగా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
CA – AS అని ఇవ్వబడింది.

a = ae – a
2a = ae ⇒ e = 2
తిర్యక్ అక్షం పొడవు = 2a = 6 ⇒ a = 3
b² = a²(e² – 1) = 9(4 – 1) = 27
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}\) = 1
3x² – y² = 27

ప్రశ్న 4.
x + 2y = 0 కు (i) సమాంతరంగా (ii) లంబంగా ఉంటూ అతిపరావలయం x² – 4y² = 4 ను స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. [May ’06]
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం x² – 4y² = 4
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}\) = 1
a² = 4, b² = 1
i) స్పర్శరేఖ x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
m = –\(\frac{1}{2}\)
c² = a²m² – b²
= 4 . \(\frac{1}{4}\) – 1 = 1 – 1 = 0
c = 0
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = mx + c
= –\(\frac{1}{2}\)x
2y = -x
x + 2y = 0
దీనికి సమాంతర స్పర్శరేఖలు లేవు

ii) స్పర్శరేఖ x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉంటే
స్పర్శరేఖ వాలు = m = \(\frac{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = 2
c² = a²m² – b² = 4. 4 – 1 = 15
c = ± \(\sqrt{15}\)
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x ± \(\sqrt{15}\)

ప్రశ్న 5.
2x² – 3y² = 6 అతిపరావలయానికి (-2, 1) గుండా పోయే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం 2x² – 3y² = 6
\(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}\) = 1
‘స్పర్శరేఖ వాలు ‘m’ అనుకొనుము.
స్పర్శరేఖ P(-2, 1) గుండా పోతుంది
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – 1 = m(x + 2) = mx + 2m
y = mx + (2m + 1) …………………….. (1)
స్పర్శరేఖ నియమం c² = a²m² – b²
(2m + 1)² = 3m² – 2
4m² + 4m + 1 = 3m² – 2
m² + 4m + 3 = 0
(m + 1) (m + 3) = 0
m = -1 (లేదా) – 3

సందర్భం: (i) : m = -1
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = -x – 1
x + y + 1 = 0
సందర్భం : (ii) : m = – 3
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = – 3x – 5
3x + y + 5 = 0

ప్రశ్న 6.
అతిపరావలయంపై ఏదైనా బిందువు నుంచి దాని అనంత స్పర్శరేఖలకు గల లంబదూరాల లబ్దం స్థిరం అని చూపండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
అతి పరావలయం పైగలఏదైనా బిందువు
P(a sec θ, b tan θ)

III.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయం స్పర్శరేఖలు, అతిపరా వలయం తిర్యక్ అక్షంతో θ₁, θ₂ కోణాలు చేస్తున్నాయి. tan θ₁ + tan θ₂ = k అయితే ఆ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు 2xy = k(x² – a²) వక్రంపై ఉంటుందని చూపుము.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
అతిపరావలయానికి స్పర్శరేఖను
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\) గా తీసుకొనవచ్చు.
స్పర్శరేఖల ఖండనబిందువు P(x₁, y₁) అయితే
y₁ = mx₁ ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y₁ – mx₁ = ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
ఇరువైపులా వర్గీకరించగా
(y₁ – mx₁)² = a²m² – b².
y₁² + m²x₁² – 2m x₁y₁ – a²m² + b²
m² (x₁² – a²) – 2mx₁y₁ + (y₁² + b²) = 0
ఇది m లో వర్గ సమీకరణము.
m₁, m₂ లు మూలాలు అనుకుందాం.
m₁ + m₂ = \(\frac{2 x_1 y_1}{x_1^2-a^2}\)
tan θ₁ + tan θ₂ = \(\frac{2 x_1 y_1}{x_1^2-a^2}\)
i.e., k = \(\frac{2 x_1 y_1}{x_1^2-a^2}\) (లేదా)
2x₁y₁ = k(x₁² – a²)
బిందువు P(x₁, y₁) 2xy = k(x² – a²) వక్రము మీద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 యొక్క ఏదైనా స్పర్శరేఖపై నాభుల లంబపాదాలు అనుబంద (సహాయక) వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1

(±ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీదికి గీయబడిన
లంబం సమీకరణము
У = –\(\frac{1}{m}\) (x ± ae)
x + my = ±ae ……………… (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కూడగా,
(y – mx)² + (x + my)² = a²m² – b² + a²e²
⇒ y² + m²x² – 2mxy + x² + m²y² + 2mxy = a²m² – a²(e² – 1) + a²e²
⇒ (x² + y²) (1 + m²) = a²m² – a²e² + a² + a²e²
= a² (1 + m²)
x² + y² = a² ఇది సహాయక వృత్తము.
నాభుల నుండి స్పర్శరేఖ మీదకు గీయబడిన లంబపాదాలు సహాయక వృత్తం మీద ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3.
\(\frac{x^2}{9-c}+\frac{y^2}{5-c}\) = 1 సమీకరణం
i) c < 5 అయితే దీర్ఘవృత్తం (‘c’ ఏదైనా వాస్తవ స్థిరాంకం)
ii) 5 < C < 9 అయితే అతిపరావలయం (‘c’ ఏదైనా వాస్తవ స్థిరాంకం) iii) (i) లో గల ప్రతి దీర్ఘవృత్తం (ii) లో ప్రతి అతిపరా వలయం నాభులు (±2, 0) ‘c’ పై ఆధారపడవని చూపండి. సాధన: i) దత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{9-c}+\frac{y^2}{5-c}\) = 1 ఈ సమీకరణం దీర్ఘవృత్తాన్ని 9 – c > 0 గా సూచిస్తే
5 – c > 0
∴ c < 9, c < 5
⇒ c < 5

ii) దత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{9-c}+\frac{y^2}{5-c}\) = 1
ఈ సమీకరణం అతిపరావలయాన్ని సూచిస్తే
9 – c > 0 మరియు 5 – c < 0
9 > c, 5 < c i.e., 5 < c < 9

iii) రెండు సందర్భాలలోను
సందర్భం (i) : a² = 9 – c, b² = 5 – c
a² – b² = ( 9 – c) – (5 – c)
= 9 – c – 5 + c = 4
a²e² = 4 ⇒ ae = 2
నాభులు (± ae, 0) = (±2,0)
సందర్భం (ii) : a² = 9 – c, b² = c – 5
a² + b² = 9 – c + c – 5 = 4
a²e² = 4 ⇒ ae = 2
నాభులు (±ae, 0) = (±2, 0)

ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయ అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 2 tan^-1 \(\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)\) లేదా 2 sec^-1 (e) అని చూపండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు

అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 2θ అయితే.
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = అనంత స్పర్శరేఖ వాలు
θ = tan^-1 \(\left(\frac{b}{a}\right)\)
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2θ = 2tan^-1 \(\left(\frac{b}{a}\right)\)
sec² θ = 1 + tan² θ = 1 + \(\)
= \(\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{a^2 e^2}{a^2}\) = e²
sec θ = e ⇒ θ = sec^-1e
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము
= 2tan^-1 \(\left(\frac{b}{a}\right)\) లేదా 2 sec^-1 (e)