Mahesh

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూల బిందువును (2, 3) కు మారిస్తే బిందువు p నిరూపకాలు (4, −3) గా మారాయి. మూల వ్యవస్థలో (original system) బిందువు P నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (2, 3) + h = 2, k = 3
(x, y) = (4, − 3) ⇒ x = 4, y = -3
x = x + h = 4 + 2 = 6, y = y + k
= -3 + 3 = 0
తొలి నిరూపకాలు (6, 0)

ప్రశ్న 2.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, h² ≠ ab సమీకరణంలో మొదటి తరగతి పదాలు లోపింప చేయడానికి, మూల బిందువును అక్షాలు సమాంతర ‘పరివర్తన ద్వారా ఏ బిందువుకు మార్చాలో కనుక్కోండి.
సాధన:
సమాంతర అక్ష పరివర్తనలో మూల బిందువును (α, β) కు
మార్చితే X = x’ + α
y = y’ + β
దత్త సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
a(x’ + α)² + 2h(x’ + α) (y’ + β) + b(y’ + β² + 2g(x’ + α) + 2f(y’ + β) + c = 0
ఇచ్చిన దాని ప్రకారం
ax’² + 2hx’y’ + by’² + 2x’ (aα + hβ + g) + 2y (hα + bβ + f) + aα² + 2hαβ + bβ² + 2gα + 2fβ + c = 0 ……………… (1)
(1) లో మొదటి తరగతి పదాలు లుప్తం కావలెను.
aα + hβ + g = 0 మరియు hα + bβ + f = 0
ఈ సమీకరణాలను α, β ల కొరకు సాధించగా
α = \(\frac{h f-b g}{a b-h^2}\) , β = \(\frac{g h-a f}{a b-h^2}\)
మూల బిందువును మార్చవలసిన బిందువు
\(\left(\frac{h f-b g}{a b-h^2}, \frac{g h-a f}{a b-h^2}\right)\)

ప్రశ్న 3.
ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0. సమీకరణంలో మొదటి తరగతి పదాలను లోపింప చేయడానికి మూల బిందువును అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా ఏ బిందువుకు మార్చాలో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణంలో xy పదముతో సమస్య 2 లో h = 0 రాస్తే
\(\left(\frac{-g}{a}, \frac{-f}{b}\right)\) అనేది కావలసిన బిందువు.

ప్రశ్న 4.
135° కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు P బిందువు (4, -3) గా మారితే మూల వ్యవస్థ దృష్ట్యా P నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ (x, y) = (4, -3); θ = 135°
(x, y) కు P యొక్క నిరూపకాలు
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= 4 cos 135° – (-3) sin 135°
= \(4\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)+3\left(\frac{+1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
y = x’ sin θ + y’ cos θ
= 4 sin 135° + (-3) cos 135°
= \(4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-3\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
తొలి వ్యవస్థలో P నిరూపకాలు \(\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)\)

ప్రశ్న 5.
a ≠ b అయితే ax² + 2hxy + by² = 0 సమీకరణంలో xy పదం లోపింపచేయడానికి, అక్షాలను భ్రమణ పరివర్తన చేయవలసిన కోణం \(\frac{1}{2}\) Tan^-1 \(\left(\frac{2 h}{a-b}\right)\) అని, a = b అయితే ఈ కోణం \(\frac{\pi}{4}\) అని చూపండి. [Mar. ’13; May ’06]
సాధన:
అక్షాలను θ కోణం భ్రమణం చేస్తే
x =x’ cos θ – y’ sin θ
y = x’ sin θ + y cos θ
దత్త సమీకరణము నూతన రూపము
a(x’ cos θ – y’ sin θ)² +2h(x’ cos θ – y’ sin θ) (x’ sin θ+ y’ cos θ) + b(x’ sin θ + y cos θ)² = 0
x y పదము తొలగించడానికి దాని గుణకము సున్నా చేయుము.
కాబట్టి (b – a) sin θ cos θ + h(cos² θ – sin² θ) = 0
h cos 2θ = \(\frac{a-b}{2}\) sin 2θ
tan 2θ = \(\frac{2h}{a-b}\) , ఐతే a ≠ b
∴ θ = \(\frac{1}{2}\) Tan^-1 \(\left(\frac{2 h}{a-b}\right)\) ఐతే a ≠ b మరియు
θ = \(\frac{\pi}{4}\), ఐతే a = b

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువును బిందువు (-2, – 3) కు మార్చి అక్షాలను 45° కోణంతో పరిభ్రమణం చేసినప్పుడు 2x² + 4xy – 5y² + 20x – 22y – 14 = 0 యొక్క రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (-2, -3), అనుకొంటే h = -2, k = -3
θ = 45°
(x, y) యొక్క నూతన నిరూపకాలు (x, y) అనుకొనుము.
x = x’ cos θ – y’ sin θ + h
= -2 + x’ cos 45° – y’ sin 45°
= -2 + \(\frac{x^{\prime}-y^{\prime}}{\sqrt{2}}\)
y = x’ sin θ + y’ cos θ + k
= x’ sin 45° + y’ cos 45° – 3 = – 3 + \(\frac{x^{\prime}+y^{\prime}}{\sqrt{2}}\)
పరివర్తిత సమీకరణము

– \(\frac{5}{2}\) (x’ – y’)² – 45 + 15 \(\sqrt{2}\) (x’ + y’) + 10 \(\sqrt{2}\) (x’ – y’) – 40 – 11\(\sqrt{2}\) (x’ + y’) + 66 – 14 = 0
x’² + y’² = 2xy + 2x’² – 2y’² – \(\frac{5}{2}\) (x’² + y’² + 2x’y’) – 1 = 0
\(\frac{1}{2}\)x’² – \(\frac{7}{2}\) y’² – 7x’y’ – 1 = 0
x’² – 7y’² – 14x’y’ – 2 = 0
రూపాంతర సమీకరణము (డాస్లు వదిలి వేయుము)
x² – 7y² – 14xy – 2 = 0

ప్రశ్న 7.
సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును (−2, 3) బిందువుకు మార్చినప్పుడు కొత్త అక్షాల దృష్ట్యా (1, 2) బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (-2, 3) సమాంతర పరివర్తన ద్వారా
(x, y) = (1, 2) ను (x’, y’) కి మార్చామని అనుకొనుము.
(x’, y’) = (x – h, y -k) = (1 – (-2), 2 -3) = (3, -1)

ప్రశ్న 8.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూల బిందువును (3, 4) కు మార్చినప్పుడు 2x² + 4xy + 5y² = 0 యొక్క రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (3, 14)
f(x, y) 0, f(x’ + h, y + k) = 0 ప్రకారం దత్త
సమీకరణంలో
x = x’ + 3, y = y’ + 4 లను ప్రతిక్షేపిస్తే
2(x’ + 3)2 + 4(x’ + 3) (y’ + 4) + 5(y’ + 4)² = 0
2x’² + 4x’y’ + 5y’² + 28x’ + 52y’ + 146 = 0
ఈ సమీకరణాన్ని (“గుర్తును తొలగించి)
2x² + 4xy + 5y² + 28x + 52y + 146 = 0.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -3}{\text { Lt }}\frac{1}{x+2}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) అనుకొందాం.
h(x) = x + 2 ∀ x ∈ R గా వాస్త్రే

ప్రశ్న 2.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x-2}{x^3-8}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{x-2}{x^3-8}\) x ≠ 2 గా వాస్త్రే
f(x) = \(\frac{x-2}{x^3-8}\) = \(\frac{1}{x^2+2 x+4}\)
h(x) = x² + 2x + 4
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) = 2² + 2.2 + 4
= 4 + 4 + 4
= 12
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{1}{\mathrm{~h}(\mathrm{x})}=\frac{1}{12}\)

ప్రశ్న 3.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) (2x + 1) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) (2x + 1)
= \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (2x + 1)
= (1 + 2) (1 + 2) = 3.3 = 9

ప్రశ్న 4.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x² . sin \(\frac{1}{x}\) ను గణించండి.
సాధన:
x ≠ 0, కు -1 ≤ sin \(\frac{1}{x}\) ≤ 1 అని తెలుసు
∴ – x² ≤ x² . sin \(\frac{1}{x}\) ≤ x²
కాని \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) (- x²) = 0 = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x²
సిద్ధాంతాన్ని అనుసరించి \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x² . sin \(\frac{1}{x}\) = 0 అని లభ్యం.

ప్రశ్న 5.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2-5}{4 x+10}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
f: R → R ను f(x) = x² – 5, అనీ
g: R→ R ను g(x) = 4x + 10

ప్రశ్న 6.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-6 x^2+9 x}{x^2-9}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
F(x) = x³ – 6x² + 9x
= x(x – 3)² = (x – 3)
f(x) ఇక్కడ f(x) = x(x – 3)
G(x) = x² – 9= (x – 3) (x + 3)
= (x – 3) g(x) ఇక్కడ g(x) = x + 3
అందువల్ల \(\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{(x-3) f(x)}{(x-3) g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}\)
g(3) = 6 ≠ 0.
ఇప్పుడు \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\left[\frac{F}{G}\right](x)=\frac{f(a)}{f(x)}\) నుంచి
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-6 x^2+9 x}{x^2-9}\) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{F(x)}{G(x)}\)
= \(\frac{f(3)}{g(3)}=\frac{3(3-3)}{3+3}=\frac{0}{6}\) = 0

ప్రశ్న 7.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-3 x^2}{x^2-5 x+6}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
F(x) = x³ – 3x² = x³(x – 3) = (x – 3)
f(x), f(x) = x² అనీ
G(x)= x² – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)
= (x – 3) g(x), g(x) = x − 2
g(3) = 3 – 2 = 1 ≠ 0.
అందువల్ల, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\left[\frac{F}{G}\right](x)=\frac{f(a)}{g(a)}\) నుంచి
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-3 x^2}{x^2-5 x+6}\) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac{3^2}{3-2}\) = 9

ప్రశ్న 8.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0+}{\text { Lt }}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) = 1, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0-}{\text { Lt }}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) = -1 (x ≠ 0) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
f : R → R, ద్వారా నిర్వచితమనుకోండి. అప్పుడు \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\) f(x) = 5 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) అని చూపండి.
సాధన:
(-2, 2) లో \(\sqrt{x^2-4}\) నిర్వచితం కాదు.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2+}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0,
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) =0
కాబట్టి \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0 = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0

ప్రశ్న 11.
f(x) =
, అయితే \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) లను కనుక్కోండి.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) f(x) వ్యవస్థితము ?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\tan x}{x}\) = 1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\left\{\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right\}\) ను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
0 |x| < 1 అయితే

ప్రశ్న 14.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\left[\frac{e^x-1}{\sqrt{1+x}-1}\right]\) ను గణించండి. [T.S Mar. 15]
సాధన:
0 < |x| < 1, అయితే

ప్రశ్న 15.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x-3}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}}\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{a^x-1}{b^x-1}\) (a > 0, b > 0, b ≠ 1) ను గణించండి. [A.P.Mar. ’15, ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\sin a x}{\sin b x}\), b ≠ 0, a ≠ b గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{e^{3 x}-1}{x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{e^x-\sin x-1}{x}\) ను గణించండి. [Mar. ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\frac{\log _e x}{x-1}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x – 1 అనుకోండి. ఇప్పుడు x → 1 అయినప్పుడు y → 0 అవుతుంది.

ప్రశ్న 21.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{x^2}\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
E > 0, కు అనుగుణంగా α = \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) > 0 తీసుకోండి.
అప్పుడు x > α ⇒ x > \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) ⇒ x² > \(\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow \frac{1}{x^2}\) < ε
⇒ \(\left|\frac{1}{x^2}-0\right|\) < ε
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{x^2}\) = 0

ప్రశ్న 22.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^x = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన k > 0 కు, అయినప్పుడు α = log k అనుకొందాం.
అప్పుడు x > α ⇒ e^x > e^α = k
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^x = ∞

ప్రశ్న 23.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2+2 x-1}{x^2-4 x+4}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{x^2-4 x+4}{x^2+2 x-1}=\frac{(x-2)^2}{x^2+2 x-1}\) వ్రాయండి.
2 విసర్జిత సామిష్యంలో f(x) > 0.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = 0
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{1}{f(x)}\) = ∞
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2+2 x-1}{x^2-4 x+4}\) = ∞

ప్రశ్న 24.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{3 x^5-1}{4 x^2+1}\) ను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.

సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{x^2-\sin x}{x^2-2}\) ను గణించండి.
సాధన:
-1 ≤ sinx ≤1 ⇒ -1 ≤ -sinx ≤ 1 లభ్యం
అందువల్ల x² – 1 ≤ x² – sinx ≤ x² + 1
x → ∞, కనుక x² – 2 > 0

ప్రశ్న 27.
f(x) = [x] (x ∈ R) ప్రమేయం పూర్ణాంకాలు కాని అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
సందర్భం i) : a ∈ z move f(a) = (a) = a

ప్రశ్న 28.
f : R → R, f(x + y) = f(x) + f(y), x, y ∈ R అయ్యేటట్లుంది. R లోని ఒక బిందువు వద్ద అవిచ్ఛిన్నమైతే అది R పై అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
x_o ∈ R వద్ద f అవిచ్ఛిన్నం అనుకోండి.

∴ f ప్రమేయము x = a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.
X ∈ R అవిచ్ఛిన్నం కనుక R మీద f అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 29.
1, 2 బిందువుల వద్ద క్రింది ప్రమేయం అవిచ్ఛిన్నతను పరిశీలించండి.

సాధన:


x = 2 వద్ద f అవిచ్ఛిన్నం కాదు.

ప్రశ్న 30.
f ప్రమేయాన్ని R మీద f(x) = cos x², X ∈ R అని నిర్వచిస్తే f అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయమని చూపండి.
సాధన:
h : R → R ను h(x) = x²
g : R → Rను g(x) = cos x అని నిర్వచిద్దాం.
ప్రతీ x ∈ R కి,
(goh)(x) = g(h(x)) = g(x²)
= cos x² = f(x)
g, h లు వాటి ప్రదేశాల్లో అవిచ్ఛిన్నం కనక,
A, B, ⊆ R,
f : A → R, A మీద అవిచ్ఛిన్నం
g : B → R, B మీద అవిచ్ఛిన్నం
f(A) ⊆ B అయితే వాటి ప్రమేయం సంయుక్త ప్రమేయం
gof : A → R, A మీద అవిచ్ఛిన్నం, R మీద అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయం.

ప్రశ్న 31.
ప్రమేయం f ను R మీద f(x) = -1 + 2x + |x||, x ∈ R అని నిర్వచిస్తే f అవిచ్ఛిన్నమని చూపండి.
సాధన:
g : R → R ను
g(x) = 1 + 2x + |x|, x ∈ R,
h : R → Rను h(x) = |x|, x ∈ R గా నిర్వచిద్దాం.
అప్పుడు
(hog) (x) = h(g(x)) = h(1 + 2x + |x|)
= |1 + 2x + |x|| = f(x).

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం. ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1³ = \(\frac{1^2(1+1)^2}{4}\) = 1 = 1³
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\) అని చూపాలి.
అంటే
S(k + 1) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³
= S(k) + (k + 1)³
= \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\) + (k + 1)³
= (k + 1)² \(\left[\frac{k^2}{4}+(k+1)\right]\)
= \(\frac{(k+1)^2\left(k^2+4 k+4\right)}{4}\)
= \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 2.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
∀ n ∈ N అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1² = \(\frac{1(2-1)(2+1)}{3}\) = 1
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం. (i.e.,)
S(k) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² = \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}\) అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² + (2k + 1)²
= S(k) + (2k + 1)²
= \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\) + (2k + 1)²

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి ∀ n ∈ N కు p (n) నిజం.
i.e., \(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 3.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 2 + 3.2 + 4.2² + ………. (n పదాల వరకు)= n. 2ⁿ, ∀ n ∈ N నిరూపించండి. [May 07]
సాధన:
2 + 3.2 +4.2² + … + (n + 1). 2^n-1 = n . 2ⁿ
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 2 = (1). 2¹
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 3.2 + 4.2² + …. + (k + 1). 2^k-1 = k. 2^k
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = (k + 1) . 2^k+1 అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 3.2 + 4.2² + ….. + (k + 1)2^k+1 +(k + 2) . 2^k
= S(k) + (k + 2). 2^k
= k. 2^k + (k + 2) 2^k
= (k + k + 2) 2^k
= 2(k + 1). 2^k = 2^k+1 (k + 1)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e..) సూత్రం
2 + 3.2 + 4.2² + … + (n + 1)2^n-1
= n.2ⁿ ∀ n ∈ N.

ప్రశ్న 4.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + ………… (n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{3 n+1}\) ∀ n ∈ N అని చూపండి. [May. 11; Mar ’05]
సాధన:
1, 4, 7, …… లు A.P. లో ఉన్నాయి..
nవ పదం 1 + (n – 1) 3 = 3n – 2
4, 7, 10, … లు A.P. లో ఉన్నవి. n వ పదం
= 4+ (n – 1)3 = 3n+ 1
∴ దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = \(\)
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+\ldots . .+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.4}=\frac{1}{3(1)+1}=\frac{1}{4}\)
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు p (n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e) S(k) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) = \(\frac{k}{3 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{k+1}{3 k+4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) + \(\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}\)

ప్రశ్న 5.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n≥ 5, అని చూపండి.
సాధన:
(2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N అనేది P(n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 5 అని గమనిద్దాం.
(2.5 – 3) ≤ 2^{5 – 2} అనేది స్పష్టం. కాబట్టి n = 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
so (2K – 3) ≤ 2^{k – 2}, k ≥ 5.
n = k + 1, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
so, k ≥ 5 [2(k + 1)-3] ≤ 2^{(k + 1)-2} అని చూపాలి.
[2(k + 1) − 3] = (2k – 3) + 2 అని గమనించవచ్చు.
≤ 2^{k – 2} + 2, (అనుగమన ఊహ నుంచి)
≤ 2^{k – 2} + 2^{k – 2}, for k ≥ 5
= 2.2^{k – 2}
= 2^{(k + 1)-2}
∴ n = k + 1, k ≥ 5 కు P(n) ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ≥ 5, n ∈ N విలువలన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N.

ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x > -1 అయితే గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతి n ≥ 2 కు (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ > 1 + nx అనేది ప్రవచనం P (n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 2 అని గమనిద్దాం.
ఇంకా x ≠ 0, x > -1 ⇒ 1 + x > 0.
(1 + x)² = 1 + 2x + x² > 1 + 2x కాబట్టి n = 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
అంటే, (1 + x)^k > 1 + k x, k ≥ 2.
n = k + 1 దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
అంటే (1 + x)^{k + 1} > + (k + 1)x చూపాలి.
(1 + x)^{k + 1} = (1 + x)^k. (1 + x) అని గమనించవచ్చు.
> (1 + kx) . (1 + x), (అనుగమన ఊహ నుంచి)
> (1 + kx). (1 + x),
= 1 + (k + 1)x + kx²
> 1 + (k + 1)x, (kx² > 0 కాబట్టి)
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి
n ≥ 2, n ∈ N విలువ లన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N, y ≥ 2, x > – 1, x ≠ 0.

ప్రశ్న 7.
x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు, x ≠ y అయితే, n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుందని చూపండి. [ June ’04]
సాధన:
“xⁿ – yⁿ ను (x – y) భాగిస్తుంది.” అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ – y¹ = x − y ని (X – y) భాగిస్తుంది. కాబట్టి
∴ n = 1 కు ప్రవచనం నిజం. ·
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^k – y^k ను – y భాగిస్తుంది.
∴ x^k – y^k = (x – y) p అయ్యేటట్లు పూర్ణాంకం
p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.’
అంటే x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^k – y^k m (x – y)p కనుక
x^k = y^k + (x + y)p
∴ x^{k + 1} = y^k . x + (x – y)px
⇒ x^{k + 1} – y^{k + 1} = y^k . x + (x – y)p x – y^{k + 1}
= ( x – y)px + y^k (x – y)
= (x – y) [px + y^k]
(ఇక్కడ px + y^k పూర్ణాంకం)
∴x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం..
: గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, n అన్ని ధన పూర్ణాంకాలకు p(n) నిజం. అంటే, ∀ n ∈ Nకు
(i. e.,) xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక బేసి సహజ సంఖ్య, x, y లు సహజ సంఖ్యలు అయితే x^m + y^m ను x + y భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
m ఒక బేసి సంఖ్య కాబట్టి m = 2n + 1 అయ్యేటట్లు ఒక రుణేతర పూర్ణాంకం n ఉంటుంది.
“x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను x + y భాగిస్తుంది. అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ + y¹ = x + y ని x + y భాగిస్తుంది.
కాబట్టి దత్త ప్రవచనం n = 0 కు నిజం.
x²⁽¹⁾⁺¹ + y²⁽¹⁾⁺¹ = x³ + y³; = (x + y) (x² – xy + y²)
కాబట్టి x³ + y³) ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 అయితే, దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^{2k + 1} + y^{2k + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p, అయ్యేటట్లు ఒక
పూర్ణాంకం p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
అంటే x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p కనుక
x^{2k + 1} = (x + y)p – y^{2k + 1}
x^{2k + 1} . x² = (x + y)p x² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} = (x + y)px² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} = (x + y)p . (x²) – y^{2k + 1} . x² + y^{2k + 3}
= (x + y) p . x² – y^{2k + 1} (x² – y²)
= (x + y)px² – y^{2k + 1} . (x + y)(x – y)
= (x + y)[px² – y^{2k + 1} (x – y)]
ఇక్కడ [p x² – y^{2k + 1} (x – y)] ఒక పూర్ణంకం
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంకాలకు ప్రవచనం p(n) నిజం.
అంటే n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంక విలువలకు x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
(i.e..) m ఒక బేసి సహజ సంఖ్య అయితే, x^m + y^m ను (x + y) భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు 49ⁿ + 16n – 1 ని 54 భాగిస్తుందని చూపండి. [May 05]
సాధన:
“49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.” అనే ప్రవచనాన్ని
p(n) అనుకుందాం.
49¹ + 16 (1) – 1 – 64 ను 64 భాగిస్తుంది.
కాబట్టి n = 1 దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కుp(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e..) 49^k + 16k – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
(49^k + 16k – 1) = 64t, t ∈ N ………….. (1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
49^k + 16k – 1 = 64t
∴ 49^k = 64t – 16k + 1
∴ 49^k . 49 = (64t – 16k + 1). 49
∴ 49^{k + 1} + 16 (k + 1) – 1
= (64t – 16k + 1) 49 + 16 (k + 1) − 1
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 = 64 (49t – 12k + 1)
ఇక్కడ (49t – 12k + 1) పూర్ణాంకం.
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
∴ nk + 1 p(n) నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి n ∈ N, అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) ∀ n ∈ N, 49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ప్రతి n ∈ N కు, 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.
సాధన:
“2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.”
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
2.4^{(2.1 + 1)} + 3^{(3.1 + 1)} = 2.4³ + 3⁴
= 2(64) + 81
= 209 = 11 × 19 ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 కు p(n) నిజం.
n = k కి p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది.
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} = (11)t, t పూర్ణాంకం. ……………… (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k+ 1)} = 11t
∴ 2.4^{(2k + 1)} = 11t – 3^{(3k + 1)}
∴ 2.4^{(2k + 1)} . 4² = (11t – 3^{(3k + 1)}) . 4²
2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} = (11t – 3^{(3k+ 1)}) 16 + 3^{(3k + 4)}
= (11t) (16) + 3^{(3k + 1)}[27 – 16]
= 11[16t + 3^3k+1]
ఇక్కడ 16t + 3^{(3k + 1)} పూర్ణాంకం.
∴ 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు p(n) నిజం.
∴గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది. ∀n ∈ N.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 7 సమతలం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 7 సమతలం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు నుంచి తలానికి లంబపాదం A(2, 3, -5) అయితే ఆ తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
0 (0, 0, 0), A (2, 3, -5) లు దత్త బిందువులు.
OA యొక్క D.R.లు 2, 3, -5
OA సమతలానికి లంబంగా ఉంది. ఇది A (2, 3, -5) గుండా పోతుంది.
సమతల సమీకరణం
2(x -2) + 3(y – 3) – 5 (z – 5) = 0
2x – 4 + 3y – 9 – 5z – 25 = 0
2x + 3y – 5z – 38 = 0

ప్రశ్న 2.
(0, -1, -1) (4, 5, 1), (3, 9, 4) బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(0, -1, -1), B(4, 5, 1), ((3, 9, 4) లు దత్త బిందువులు.
పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 0) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0 ………………. (1)
B(4, 5, 1), C(3, 9, 4) ల గుండా పోతుంది.
4a + 6b + 2c = 0 …………….. (2)
3a + 10b + 5c = 0 ……………… (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, ABC తల సమీకరణము
5x – 7 (y + 1) + 11 (z + 1) = 0
5x – 7y – 7 + 11z + 11 = 0
5x – 7y + 11z + 4 = 0

ప్రశ్న 3.
ZX- తలానికి సమాంతరంగా ఉండి (0, 4, 4) బిందువు. గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
ZX తల సమీకరణము y = 0
సమాంతర సమతల సమీకరణము y = k
ఈ తలం P(0, 4, 4) = 4 = k గుండా పోతుంది.
కావలసిన సమతల సమీకరణము y = 4.

ప్రశ్న 4.
(α, β, γ) బిందువు గుండా పోతూ ax + by + cz = 0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాబట్టండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము ax + by + cz = 0
సమాంతర సమతల సమీకరణము ax + by + cz = K
ఈ తలం P(α, β, γ) గుండా పోతుంది.
aα + bβ + cγ = K
∴ కావలసిన సమతల సమీకరణము
ax + by + cz = aα + bβ + cγ
i.e., a(x – α) + b(y – β) + c(z – γ) = 0.

ప్రశ్న 5.
2x – y + z = 6, x + 2y + 2z = 75 సూచించే తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15, ’11]
సాధన:
సమతలాల సమీకరణము
2x – y + z = 6; x + y + 2z = 7
సమతలాల మధ్యకోణము θ అయితే
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|2.1+(-1) \cdot 1+1.2|}{\sqrt{4+1+1} \sqrt{1+1+4}}\)
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{\pi}{3}\)
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 6.
(2, 0, 1), (3, -3, 4) బిందువుల గుండాపోతూ, x – 2y + 2 = 6 తలానికి లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(2, 0, 1) గుండా పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 2) + by + c(z – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ తలం B(3, -3, 4) గుండా పోతుంది.
a – 3b + 3c = 0 …………………. (2)
(1)వ తలము x – 2y + 2 = 6 కు లంబముగా ఉంది.
a – 2b + c = 0 ……………… (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, కావలసిన సమతల సమీకరణము
3(x – 2)+ 2y +1 (z – 1) = 0
3x – 6 + 2y + z – 1 = 0
3x + 2y + z – 7 = 0
3x + 2y + z = 7

ప్రశ్న 7.
సమతల సమీకరణం x + 2y – 2z – 9 = 0 అని అభిలంబ రూపానికి కుదించి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లను మూల బిందువు నుంచి సమతలానికి దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణం x + 2y – 2z – 9 = 0
స్థిర రాశిని కుడివైపు రాస్తే,
x + 2y – 2z = 9 ……………… (1)
(1) లో x, y, z ల గుణకాల వర్గాల మొత్తానికి వర్గమూలం
\(\sqrt{1^2+2^2+2^2}\) = ±3
p = ±\(\left(\frac{-9}{\pm 3}\right)\) = 3
(1) ని ± 3 తో భాగిస్తే
± \(\frac{1}{3}\)x ± \(\frac{2}{3}\)y ± \(\frac{2}{3}\)z = ±3
కుడివైపు స్థిరరాశి గుర్తు ధనాత్మకం అయ్యేలా సమీకరణం అభిలంబ రూపంలో తలం సమీకరణం గుర్తు ఎంచుకొంటే,
\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{2}{3}\)y – \(\frac{2}{3}\)z = 3 …………………. (2)
(2) నుంచి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లు (\(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), –\(\frac{2}{3}\))
మూలబిందువు నుంచి తలానికి లంబదూరం = 3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 8.
ఒక సమతలం X, Y, Z – అక్షాలపై చేసే అంతర ఖండాలు వరుసగా 2,3,4 అయితే, a, b, c లు వరుసగా X, Y, Z – అంతర ఖండాలుగా గల సమతల సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) అని చూపండి.
సాధన:
సమతల సమీకరణం
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}\) = 1 నుంచి
లేదా 6x + 4y + 3z = 12

ప్రశ్న 9.
x – 3y + 2z = 9 సమతలం గల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
x – 3y + 2z = 9 ను 9 తో భాగిస్తే
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{-3}+\frac{9}{9 / 2}\) = 1
దీనిని \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 తో పోలిస్తే,
X-అంతరఖండం = a = 9,
Y-అంతరఖండం = b = -3,
Z-అంతరఖండం = c = \(\frac{9}{2}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(d)

అభ్యాసం – 9 (డి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\) అయితే y” కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
y = ae^nx + be^-nx అయితే y” = n²y అని చూపండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
y = ae^nx + be^-nx
y₁ = na e^nx – nb e^-nx
y₂ = n² . ae^nx + n² be^-nx
y” = n² (ae^nx + b.e^-nx) = n^nxy

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాలు ల రెండో పరిమాణం అవకలజాలను కనుకోండి .
i) cos³ x
సాధన:
y = cos³ x = \(\frac{1}{4}\) [cos 3x + 3 cos x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [-3 sin 3x – 3 sin x]
y” = \(\frac{1}{4}\) (-9 cos 3x – 3 cos x)
= –\(\frac{1}{4}\) (3 cos x + 9 cos 3x)
= –\(\frac{3}{4}\) (cos x + 3 cos 3x)

ii) sin⁴ x
సాధన:
y = sin⁴x = (sin²x)² = \(\frac{(1-\cos 2 x)^2}{2}\)
= \(\frac{1}{4}\) [1 – 2 cos 2x + cos² 2x)
= \(\frac{1}{4}\) [1 – 2 cos 2x + \(\frac{1+\cos 4 x}{2}\)]
= \(\frac{1}{8}\) 2 – 4 cos 2x + 1 + cos 4x]
= \(\frac{1}{8}\) (3 – 4 cos 2x + cos 4x)
y’ = \(\frac{1}{8}\) (8 sin 2x – 4 sin 4x)
y” = \(\frac{1}{8}\) (16 cos 2x – 16 cos 4x)
= 2 (cos 2x – cos 4x)

iii) log (4x² – 9)
సాధన:
y = log (4x² – 9)
= log (2x – 3) (2x + 3)
= log (2x – 3)+ log (2x + 3)

iv) e^-2x sin³ x
సాధన:
y = e^-2x . sin³x
y’ = e^-2x (3 sin² x. cos x) + sin³ x (e^-2x) (-2)
= e^-2x [3 sin² x. cos x – 2 sin³x)
\(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{~y}}{\mathrm{dx}^{2}}\) = e^-2x (3 sin² x (- sin x) + 3 cos x (2 sin x) cos x 6 sin² x cos x) – 2. e^-2x [3 sin² x. cos x – 2 sin³ x]
= e^-2x [6 sin x – cos²x – 6 sin² x . cos x – 3 sin³ x – 6 sin² x. cos x + 4 sin³ x)
= e^-2x [sin³ x – 12 sin²x.cos x + 6 sin x.cos²x)

v) e^x sin x cos 2x
సాధన:
y = e^x sin x cos 2x = \(\frac{e^x}{2}\) (2 cos 2x sin x)
= \(\frac{e^x}{2}\) (sin 3x – sin x)
y’ = \(\frac{1}{2}\) [e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)
y” = \(\frac{1}{2}\) [e^x (- 9 sin 3x + sin x) + e^x
(3 cos 3x – cos x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)]
= \(\frac{e^x}{2}\) [-9 sin 3x + sin x + 3 cos 3x – cos x + 3 cos 3x cos x + sin 3x – sin x]
= \(\frac{e^x}{2}\) [6 cos 3x – 8 sin 3x – 2 cos x]
= e^x [3 cos 3x – 4 sin 3x – cos x]

vi) Tan^-1\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\)
సాధన:
y = Tan^-1\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\)
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = tan^-1\(\left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan \theta}\right)\)
= tan^-1\(\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right)=\frac{\pi}{4}+\theta\)
∴ f(x) = \(\frac{\pi}{4}\) + tan^-1 (x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f'(x) = 0 + \(\frac{1}{1+x^2}\)
f” (x) = (-1) (1 + x²)^-2(2x)
∴ f”(x) = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)

vii) tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
సాధన:
f(x) = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\); x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,
f(x)= tan^-1\(\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right)\)
= tan^-1 (tan 3θ) = 3θ
∴ f(x) = 3 tan^-1 (x)
f'(x) = 3 \(\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=\frac{3}{1+x^2}\)
x దృష్ట్యా మరల’ అవకలనం చేయగా,
f”(x) = (3) (-1) (1 + x²)^-2 (2x)
⇒ f”(x) = \(\frac{-6 x}{\left(1+x^2\right)^2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.

i) y = ax^{n + 1} + bx^-n అయితే x²y” = n(n + 1) y.
సాధన:
y = ax^{n + 1} + bx^-n
y₁ = (n + 1). axⁿ – n bx^-n-1
y₂ = n(n + 1). ax^n-1 + n(n + 1) bx^-n-2
∴ x²y₂ = n(n + 1) ax^{n + 1} + n(n + 1) bx^-n
= n(n + 1) (ax^{n + 1} + bx^-n) = n(n + 1) y
∴ x²y” = n(n + 1) y

ii) y = a cos x + (b + 2x) sin x, అయితే y” + y = 4 cos x
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = y’ a(-sin x) + (b + 2x) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x) + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (b + 2x)
= – a sin x + (b + 2x) cos x + sin x. 2
\(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{~y}}{\mathrm{dx}^{2}}\) = y” = – a cos x + (b + 2x) (- sin x) + cos x (2) + 2 cos x
L.H.S.= y” + y = -a cos x + (b + 2x) (- sin x) + 2 cos x + 2 cos x + a cos x + (b + 2x) sin x = 4 cos x

iii) y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x అయితే y” – 6y’ + 9y = 54 x + 18
సాధన:
y’ = 6 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (x + 1) + (a + bx) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (e^3x) + e^3x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (a + bx)
= 6(1) + (a + bx) 3e^3x + e^3x . b
y” = 0 + 3 (a + bx) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) e^3x + 3e^3x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (a + bx) + b \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) 3e^3x
= 3(a + bx) 3e^3x + 3e^3x(b) + b. 3e^3x
= 9(a + bx) e^3x + 6b e^3x
ఇప్పుడు L.H.S.
= y” – 6y’ + 9y = 9(a + bx) e^3x + 6be^3x – 6[6 + 3(a + bx)e^3x + be^3x] + 9 [6(x + 1) + (a + bx) e^3x]
= 9(a + bx) e^3x + 6b e^3x – 36 – 18(a + bx) e^3x – 6be^3x + 54x + 54 + 9(a + bx) e^3x
= 54x + 18

iv) ay⁴ = (x + b)⁵ అయితే 5y y” = (y’)²
సాధన:
ay⁴ = (x + b)⁵; y⁴ = \(\frac{(x+b)^5}{a}\)

v) y = a cos (sin x) + b sin (sin x) అయితే y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0
సాధన:
y = a cos (sin x) + b sin (sin x) ………………. (1)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
У₁ = a sin (sin x) cos x + b cos (sin x). cos x
= [-a sin (sin x) + b cos (sin x)] cos x ……………. (2)
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
y₂ = – sin x [-a sin (sin x) + b cos (sin x)] + cos x[-a cos (sin x) cos x-b sin (sin x) cos x]
= – sin x . \(\frac{y_1}{\cos x}\) cos² x.y
⇒ y₂ + (tan x) y₁ + y cos² x = 0

III.

ప్రశ్న 1.

i) y = 128 sin³x cos⁴ x అయితే y” ని కనుక్కొండి .
సాధన:
f(x) = 128 sin³ x cos⁴ x
= 16 (2 sin x cos x)³ cos x
= 16 (sin³ 2x) cos x
∵ sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x
⇒ sin³ x = \(\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}\)
= 16 \(\left[\frac{3 \sin 2 x-\sin 6 x}{4}\right]\) cos x
= 4 (3 sin 2x cos x – sin 6x cos x]
= 6 (2 sin 2x cos x) – 2(2 sin 6x cos x)
6 (sin 3x + sin x) – 2 (sin 7x + sin 5x)
= 6 sin 3x + 6 sin x-2 sin 7x – 2 sin 5x
f'(x) = 6 (3) cos 3x + 6 cos x – 2 (cos 7x) 7 – 2 cos 5x (5)
∴ f'(x) = 18 cos 3x + 6 cos x – 14 cos 7x – 10 cos 5x
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
f”(x) 18 (-sin 3x) 3 + 6 (- sin x) – 14(-sin 7x) 7 – 10(- sin 5x) 5
∴ f”(x) = -54 sin 3x – 6 sin x + 98 sin 7x + 50 sin 5x

ii) y = sin 2x sin 3x sin 4x అయితే y” ని కనుక్కొండి.
సాధన:
f(x) = sin 2x sin 3x sin 4x
= \(\frac{1}{2}\) [2 sin 2x sin 4x] sin 3x
= \(\frac{1}{2}\) [cos (2x) – cos 6x] sin 3x
= \(\frac{1}{4}\) [2 sin 3x cos 2x – 2 sin 3x cos 6x]
= \(\frac{1}{4}\) [(sin 5x + sin x) – (sin 9x – sin 3x)]
= \(\frac{1}{4}\) [sin 5x + sin x + sin 3x – sin 9x]
∴ f(x) = \(\frac{1}{4}\) [sin x + sin 3x + sin 5x – sin 9x]
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f'(x) = \(\frac{1}{4}\) [cos x + cos 3x (3) + cos 5x (5) – (cos 9x) (9)]
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f”(x) = [- sin x – 9 sin 3x – 25 sin 5x + 81 sin 9x]

iii) ax² + 2hxy + by² = 1 అయితే \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{h^2-a b}{(h x+b y)^3}\) అని చూపండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² = 1
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
a. 2x + 2h \(\left(x \cdot \frac{d y}{d x}+y\right)\) + b . 2y \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
2ax + 2hx. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) + 2hy + 2by . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
2(hx + by) . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -2(ax + hy)

iv) y = ae^-bx cos(cx + d), అయితే y” + 2by’ + (b² + c²) y = 0 అని చూపండి.
సాధన:
y = ae^-bx cos(cx + d) కనుక …………… (1)
y₁ = a[e^-bx {- sin (cx + d)} . c. + cos (cx + d) e^-bx (-b)}
= – a. e^-bx [c sin (cx + d) + b cos (cx + d)]
= – ac.e^-bx sin (cx + d) – by
y₁ + by = -ac. e^-bx sin (cx + d) …………… (2)
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
y₂ + by₁ = – ac(-b) e^-bx sin (cx + d) – ac e^-bx cos (cx + d) (+ c)
= abce^-bx sin (cx + d) – ac² e^-bx cos (cx + d)
= -b (y₁+ by) – c²y [(1), (2) నుండి]
⇒ y₂ + by₁ + by₁ + b²y + c²y = 0
⇒ y₂ + 2by₁ + (b² + c²) y = 0

v) y = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (a cos nx + b sin nx) అయితే y” + ky’+ \(\left(n^2+\frac{k^2}{4}\right)\) y = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం y = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (a cos nx + b sin nx) ……………. (1)
∴ y₁ = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (-n. a sin nx+n. b cos nx) + (a cos nx + b sin nx). \(e^{\frac{-k}{2} x}\left(-\frac{k}{2}\right)\)
= –\(\frac{k}{2}\) . y . e^-kx/2 (a sin nx + b cos nx)
∴ y₁ + \(\frac{k}{2}\) y = -ne^-kx/2 (a sin nx + b cos nx) …………… (2)
X దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(e)

అభ్యాసం – 8 (ఇ)

I.

f(x) = ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, R పై అవిచ్ఛిన్నమా ? [May ‘ 11]
సాధన:

f ప్రమేయము x = 1 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.
f ప్రమేయము R మీద అవిచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 2.
f(x) = ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, 0 పై అవిచ్ఛిన్నామా ? [May ’12]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\sin 2 x}{x} \) = 2
f(0) = 1
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) f(x) ≠ f(0)
f వద్ద అవిచ్ఛిన్నము కాదు.

ప్రశ్న 3.
f(x) = [cos (x¹⁰ + 1)]^1/3, x ∈ R ప్రమేయమని చూపండి.
సాధన:
ప్రతి X ∈ R కు cos x అవిచ్ఛిన్నము.
∴ ప్రతి X ∈ R దత్త ప్రమేయము అవిచ్ఛిన్నము.

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయానికి 2 వద్ద అవిచ్ఛిన్నతను పరిశీలించండి.

సాధన:

f(x) ప్రమేయము 2 వద్ద విచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 2.

ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం బిందువు 3 వద్ద అవిచ్ఛిన్నమేమో చూడండి. [A.P Mar. ’15, 14, ’13]
సాధన:

∴ f(x) ప్రమేయము x = 3 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 3.
f(x) = \(\frac{\mathrm{x}-|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) (x ≠ 0) ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, R – {0} పై అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : a > 0 |a| = a

x = 0, ప్రమేయము f(a) నిర్వచించలేము
f(x) ప్రమేయము ‘0’ వద్ద విచ్ఛిన్నం
∴ f(x) ప్రమేయము R – {0} వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 4.
ప్రమేయం f, f(x) = తో నిర్వచితమైతే f అవిచ్ఛిన్నతను చర్చించండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : x = 1


f(x) ప్రమేయము x = -2 వద్ద విచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 5.
ప్రమేయము f, R పై
తో నిర్వచితమైన అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయమైతే k విలువలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) 2 = 2
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) (k²x – k) = k² – k
f(x). ప్రమేయము X = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x)
2 = k² – k
k² – k – 2 = 0
(k – 2) (k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1

ప్రశ్న 6.
‘sin x’, ‘cos X’ ప్రమేయాలు R పై అవిచ్ఛిన్నమని చూపండి.
సాధన:
i) a ∈ R అనుకొందాం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) sin x = sin a = f(a)
∴ f ప్రమేయము a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ii) a ∈ R అనుకొందాం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) cos x = cos a = f(a)
cos x = cos a = f(a)
∴ f ప్రమేయము a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

III.

ప్రశ్న 1.

ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం 0, 1, 2 బిందువుల వద్ద అవిచ్ఛిన్నమో చూడండి.
సాధన:
i) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow x}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) 4 – x² = 4 – 0 = 4 = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము X = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

ii) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x – 5) – 1 – 5 = -4 = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 1 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

iii) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) 3x + 4 = 3.2 + 4
= 6 + 4 = 10 = f(2)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 2 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 2.

అయ్యేటట్లు నిర్వచితమైన ప్రమేయం R అవిచ్ఛిన్నం అయ్యే వాస్తవ స్థిరసంఖ్య a, b ను కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) (x² + a) = 0 + a = a
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) sin x = 0
f(x) ప్రమేయము R మీద అవిచ్ఛిన్నం.
కనుక LHS = RHS ⇒ a = 0
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\) -3 = -3
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\) (bx + 3) = 3b + 3
f(x) ప్రమేయము మీద అవిచ్ఛిన్నం.
LHS = RHS
3b + 3 = -3
3b = 6 b = -2

ప్రశ్న 3.
a, b లు వాస్తవ స్థిరాంకాలు అయితే ప్రమేయం

0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2(b+a)}{2} \frac{(b-a)}{2}\) = \(\frac{\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2}{2}\)
f(0) = \(\frac{b^2-a^2}{2}\) కనుక \(\) f(x) = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(b)

అభ్యాసం – 6(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
(3, 4, 0), (4, 4, 4) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ సంఖ్యలు రాయండి.
సాధన:
A(3, 4, 0), B(4, 4, 4) లో దత్త బిందువులు
AB యొక్క d.rs x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
4 – 3, 4 – 4, 4 – 0 i.e., 1, 0, 4

ప్రశ్న 2.
ఒక రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (-6, 2, 3) అయితే, దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ D.R లు – 6, 2, 3
\(\sqrt{36+4+9}\) = 7 తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కోసైన్లు – \(\frac{6}{7}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 3.
(1, 1, 2) (\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), 0) దిక్ కొసైన్లుగా గల రేఖల మధ్య కోణానికి కొసైన్లు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ = l₁l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₃
= \(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\) . 0
= \(\frac{\hat{i}+1}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{4}{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

ప్రశ్న 4.
(1, 1, 2) (\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), 0) దిక్ సంఖ్యలుగా గల రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_i^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{1 \cdot \sqrt{3}+1(-\sqrt{3})+2 \cdot 0}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{3+3}}=\frac{0}{6}\) = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 5.
\(\left(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\right)\), \(\left(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}\right)\) దిక్ కొసైన్లుగా గల రేఖల పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
రెండు రేఖలు లంబంగా ఉంటే
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
= \(\frac{12}{13}\) . \(\frac{4}{13}\) – \(\frac{3}{13}\) . \(\frac{12}{13}\) – \(\frac{4}{13}\) . \(\frac{3}{13}\)
= \(\frac{48-36-12}{169}\) = 0
∴ దత్త రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 6.
O మూలబిందువు, P(2, 3, 4), Q(1, k, 1) బిందువులు \(\overline{\mathrm{OP}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{OQ}}\) అయ్యేట్లుంటే, k విలువ ఎంత ?
సాధన:
OP యొక్క d.r లు 2, 3, 4
OQ యొక్క d.r లు 1, k, 1
OP, OQ లు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
2 + 3k + 4 = 0
3k = – 6
k = -2.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (3, 4, 0) అయితే దాని దిక్ కొసైన్లు, ఇంకా ఆ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ నిష్పత్తి దిక్ సంఖ్యలు (3, 4, 0)
\(\sqrt{9+16+0}\) = 5తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right)\)
α, β, γ లు ఈ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు అయితే,
cos α = \(\frac{3}{5}\) cos β = \(\frac{4}{5}\) cos γ = 0
α = cos^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\), β = cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\), γ = \(\frac{\pi}{2}\)
రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణం
cos^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\), cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\), \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 2.
(1, -1, 2) (3, 4, -2) బిందువులను కలిపేరేఖ (0, 3, 2), (3, 5, 6)లను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(1, -1, 2) B(3, 4, -2) C(0, 3, 2)
D(3, 5, 6) లు దత్త బిందువులు
AB యొక్క d.r లు 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2 i. e., 2, 5, -4
CD యొక్క d.r లు 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 i.e., 3, 2, 4
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2.3 + 5.2 – 4.4
= 6 + 10 – 16 = 0
AB, CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 3.
A = (3, 4, 5), B = (4,6, 3) C = (-1, 2, 4), D(1, 0, 5) బిందువులైతే \(\overline{\mathrm{D C}}\), \(\overline{\mathrm{A B}}\) రేఖా ఖండాల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 4, 5), B(4, 6, 3), C(-1, 2, 4), D (1, 0, 5)లు దత్త బిందువులు ఎంత ?
AB యొక్క d.r లు 4 – 3, 6 – 4, 3 – 5 i.e., 1, 2, -2
CD యొక్క d.r లు 1 + 1, 0 – 2, 5 – 4 i.e., 2, – 2, 1
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{1.2+2(-2)+(-2) \cdot 1}{\sqrt{1+4+4} \sqrt{4+4}}\)
= \(\frac{4}{9}\) ⇒ θ = cos^-1\(\left(\frac{4}{9}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(1, −1, 2), (2, 1, −1) దిక్ సంఖ్యలుగా గల రేఖలకు లంబంగా ఉండే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కొండి.
సాధన:
కావలసిన రేఖ D.C లు l, m, n అనుకుంటే
(1, -1, 2), (2, 1, −1) యొక్క d.rs గల రేఖలకు లంబంగా ఉంది.
l – m + 2n = 0
2l + m – n = 0

రేఖ యొక్క d.rs -1, 5, 3
\(\sqrt{1+25+9}=\sqrt{35}\) తో భాగించగా
D.C రేఖ యొక్క దిక్కా సైన్లు
\(-\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}\)

ప్రశ్న 5.
(2, 3, 4), (1, -2, 3), (3, 8, -11) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(2, 3, 4), B(1, 2, 3), C(3, 8, -11) లు దత్త బిందువులు

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 6.
(4, 7, 8), (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలని చూపండి.
సాధన:
A(4, 7, 8), B(2, 3, 4), C(-1, -2, 1) మరియు D (1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు.

∴ AB = CD మరియు BC = DA
∴ A, B, C, D సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు.

III.

ప్రశ్న 1.
l + m + n = 0, 2mn + 3nl – 5lm = 0 సమీకరణాలను తృప్తి పరిచే దిక్ కొసైన్లు గల రేఖలు ఒక దానికొకటి లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [Mar. ’12]
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం l + m + n = 0. …………… (1)
2mn + 3nl – 5lm = 0 …………….. (2)
(1) నుండి, l = -(m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
2mn – 3n(m + n) + 5m(m + n) = 0
2mn – 3mn – 3n² + 5m² + 5mn = 0
5m² + 4mn – 3n² = 0
\(\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2}=-\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{m_1 m_2}{-3}=\frac{n_1 n_2}{5}\) ……………..
(1) నుండి n = -(l + m)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
– 2m (l + m) – 3l (l + m) – 5lm = 0
-2lm – 2m² – 3l² – 3lm – 5lm = 0
3l² + 10lm + 2m² = 0
\(\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{l_1 l_2}{2}=\frac{m_1 m_2}{3}\) …………… (2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{l_1 l_2}{2}=\frac{m_1 m_2}{3}=\frac{n_1 n_2}{-5}\) = 1
l₁l₂ = 2k, m₁m₂ = 3k, n₁n₂ = -5k
∴ l₁l₂ + m₁m₂+ n₁n₂ = 2k + 3k – 5k = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు రేఖల దిక్ కొసైన్లు l + m + n = 0, l² + m² – n² = 0. సమీకరణాలను తృప్తిపరిస్తే వాటి మధ్య కోణాన్ని కుసుకోండి. [Mar. ’13, ’07; May ’11, ’07; June ’04]
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం l + m + n = 0 …………….. (1)
l² + m² – n² = 0 ……………. (2)
(1) నుండి l = − (m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(m + n)² + m² – n² = 0
m² + n² + 2mn + m² – n² = 0
2m² + 2mn = 0
2m (m + n) = 0
∴ m = 0 లేదా m + n = 0

సందర్భము (i) : m = 0, (1) లో ప్రతిక్షేపించగా l + n = 0
l = -n ⇒ \(\frac{l}{1}=\frac{n}{-1}\)
l₁ రేఖ D.R లు (1, 0, – 1)
సందర్భము (ii) : m + n = 0 ⇒ m = -n ⇒ \(\frac{m}{1}=\frac{n}{-1}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా l = 0
l₂ యొక్క DR లు (0, 1 – 1)
ఈ రేఖల మధ్య కోణం 9 అయితే
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}\)
θ = \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 3.
ఒక కిరణం, సమఘనం యొక్క నాలుగు కర్ణాలతో α, β, γ కోణాలు చేస్తే, cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ విలువ ఎంత ? [Mar. ’05; May ’05]
సాధన:
ఘనము యొక్క భుజము పొడవు ఘనము ఒక శీర్షాన్ని మూల , \(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}\) భుజాలను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం. \(\overline{\mathrm{OP}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{BF}}\) లు కర్ణాలు. వీటి దిక్ సంఖ్యలు వరుసగా (a, a, a), (a, a, a), (-a, a, a), (a, -a, a).

దత్తరేఖ దిక్ కొసైనులు (l, m, n) మరియు ఈ రేఖ ఘనము యొక్క కర్ణాలతో α, β, γ మరియు & కోణాలు చేస్తుంది అనుకుందాం.
cos α = \(\frac{|\mathrm{a} \times l+\mathrm{a} \times \mathrm{m}+\mathrm{a} \times \mathrm{n}|}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2}}=\frac{|l+\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
ఇదే విధంగా cos β = \(\frac{|l+\mathrm{m}-\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
cos γ = \(\frac{|-l+\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\) మరియు
cos δ = \(\frac{|l-\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ
\(\frac{1}{3}\) {|l + m + n|² + |l + m – n|² + |-l + m + n|² + |l – m + n|²}
\(\frac{1}{2}\) [(l + m + n)² + (l + m – n)² + (-l + m + n)² + (l – m + n)²]
\(\frac{1}{2}\) [4(l² + m² + n²)] = \(\frac{4}{3}\) (∵ l² + m² + n² = 1)

ప్రశ్న 4.
(l₁, m₁, n₁), (l₂, m₂, n₂) లు రెండు ఖండించుకొనే రేఖల దిక్ కొసైన్లయితే, వాటి మధ్య కోణ సమద్విఖండన రేఖల దిక్ కొసైన్లు l₁ ± l₂, m₁ ± m₂, n₁ ± n₂ లకు అనుపాతంలో ఉంటాయని చూపండి.

సాధన:
OA, OB లు దత్త రేఖలు
A, B లు O నుండి యూనిట్ దూరంలో గల బిందువు
A నిరూపకాలు (l₁, m₁, n₁)
B నిరూపకాలు (l₂, m₂, n₂)
AB మధ్య బిందువు P
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{l_1+l_2}{2}, \frac{m_1+m_2}{2}, \frac{n_1+n_2}{2}\right)\)
∴ OP రేఖ ∠AOB కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
OP యొక్క D.R లు l₁ + l₂, m₁ + m₂, n₁ + n₂
OB’ = OB = 1 అయ్యే విధంగా B బిందువు OB మీద వుంది.
B’ నిరూపకాలు (-l₂, -m₂, -n₂)
AB’ మధ్య బిందువు Q
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{l_1-l_2}{2}, \frac{m_1-m_2}{2}, \frac{n_1-n_2}{2}\right)\)
OQ రేఖ ∠AOB
OQ యొక్క D.Rs l₁ – l₂, m₁ – m₂, n₁ – n₂.

ప్రశ్న 5.
A (-1, 2, -3), B (4, 0, -6), C(0, 4, -1) బిందువులు, ∠BAC కోసమద్విఖండన రేఖల దిక్ కొసైన్లు (25, 8, 5), (-11, 20, 23)లకు అనుపాతంలో ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
A (-1, 2, -3), B (5,0, -6), C (0, 4, -1) లు దత్త బిందువులు
AB యొక్క D.R లు 5 +, 0 – 2, -6 + 3 i.e., 6, -2, -3
AB యొక్క D.R లు \(\frac{6}{7}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{-3}{7}\)
AC యొక్క D.R లు 0 +, 4 – 2, -1 + 3 i.e 1, 2, 2
AC యొక్క D. R లు \(\frac{1}{3}\), \(\frac{-2}{3}\), \(\frac{2}{3}\)
ఒక కోణ సమద్విఖండన రేఖD. R లు
= \(\left(\frac{\frac{6}{7}+\frac{1}{3}}{2}, \frac{\frac{-2}{7}+\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{18+7}{42}, \frac{-6+14}{42}, \frac{-9+14}{42}\right)\)
= \(\left(\frac{25}{42}, \frac{8}{42}, \frac{5}{42}\right)\)
ఒక కోణ సమద్విఖండన రేఖలు (25, 8, 5)
రెండవ కోణ సమద్విఖండన రేఖ). R లు

రెండవ సమద్విఖండన రేఖ D.R లు (-11, 20, 23)

ప్రశ్న 6.
(6, 10, 10), (1, 0, -5), (6, -10, 0) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలైతే, త్రిభుజం భుజాల దిక్ సంఖ్యలను కనుక్కోండి. ఇది లంబకోణ త్రిభుజమా, సమద్విబాహు త్రిభుజమా నిర్ధారించండి.
సాధన:
A (6, 10, 10), B (1, 0, -5), C (6, -10, 0) లు
∆ABC త్రిభుజ శీర్షాలు
AB యొక్క D.R లు 5, 10, 15 i.e., 1, 2, 3
BC యొక్క D.Rలు -5, 10, -5 i.e., 1, -2, 1
AC యొక్క D.R లు 0, 20, 10, i.e., 0, 2, 1
cos ∠ABC = \(\frac{|1.1+2(-2)+3.1|}{\sqrt{1+4+9} \sqrt{1+4+1}}\) = 0
⇒ ∠B = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ దత్త త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు వరసగా A (1, 4, 2), B (-2, 1, 2), C (2, 3,-4). అయితే A, B, C లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]

సాధన:
A (1, 4, 2), B (–2, 1, 2), C (2, 3, –4) లు OABC
యొక్క త్రిభుజ శీర్షాలు,
AB యొక్క D.R లు 3, 3, 0 i.e., 1, 1, 0
BC యొక్క D.R లు -4, -2, 6 i.e., 2, 1, -3
AC యొక్క D.R లు -1, 1, 6.

ప్రశ్న 8.
3l + m + 5n = 0, 6mn – 2nl + 5lm = 0 సమీకరణాలతో సూచించబడే దిక్ కొసైన్లు గల రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి. [T.S Mar’ 15; May ’12, ’06]
సాధన:
దత్తాంశం 3l + m + 5 = 0 …………….. (1)
6mn – 2nl + 5lm ……………… (2)
(1) నుండి, m = – (3l + 5n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
-6n(3l + 5n) – 2nl – 5l (3l + 5n) = 0
-18ln – 30n² – 2nl – 15l² – 25ln = 0
-15l² – 45ln – 30n² = 0
l² + 3ln + 2n² = 0
(l + 2n) (l + n) = 0
l + 2n = 0 లేదా l + n = 0

సందర్భం (i) : l₁ + n₁ = 0 ⇒ n₁ = -l₁;
⇒ \(\frac{l_1}{1}=\frac{n_1}{-1}\)
కానీ m₁ – (3l₁ + 5n₁) = (-3n₁ + 5n₁) = -2n₁
∴ \(\frac{m_1}{+2}=\frac{n_1}{-1}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{-1}\)
l₁ యొక్క D.R లు (1, 2, -1)

సందర్భం (ii) : l₂ + 2n₂ = 0
l₂ = −2n₂ ⇒ \(\frac{l_2}{-2}=\frac{n_2}{1}\)
m₂ = (3l₂ + 5n₂) = -(-6n₂ + 5n₂) = n₂
\(\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{1}\)
∴ \(\frac{l_2}{-2}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{1}\)
l₂ యొక్క D.R లు (-2, 1, 1)
l₁, l₂ రేఖల మధ్య కోణం ‘θ’ అనుకుందాం.
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|1(-2)+2.1+(-1) .1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}}\)
= \(\frac{1}{6}\) ⇒ θ = cos^-1 (1/6)

ప్రశ్న 9.
రెండు ఆసన్న స్థానాలలో ఒక చలరేఖ దిక్ కొసైన్లు (l, m, n), (2 + δl, m + δm, n + δn), ఈ రెండు స్థానాల మధ్య గల స్వల్ప కోణం δθ, (δθ)² = (δl)² + (δm)² + (δn)² తృప్తిపరుస్తుందని చూపండి.
సాధన:
(l, m, n), (l + δl, m + δn, n + δn) లు దిక్ కొసైన్లు
l² + m² + n² = 1 ……………… (1)
(l + δl)² + (m + δm)² + (n + δn)²
(2) − (1) ⇒ (l + δl )² + (m + δm)² + (n + δn)² (l² + m² + n²) = 0
2(l . δl + m . δm + n . δ)
= −((δl)² + (δm)² + (δn)²) ……………….. (3)
cos θ . δθ = l (l + δl)+ m (m + δm) + n (n + δn)
= (l² + m² + n²) + (l . δl + m . δm + n . δn)
= 1 – \(\frac{1}{2}\) [(δl)² + (δm)² + (δn)²]
(δl)² + (δm)² + (δr² = 1 = 2 (1 cos θ . δθ)
δθ చిన్నది కనుక sin \(\frac{\delta}{2}=\frac{\delta \theta}{2}\)
∴ 4 sin² θ \(\frac{\delta \theta}{2}=\left(\frac{\delta \theta}{2}\right)^2\) = (δθ)²
∴ (δθ)² = (δl)² – (δm)² + (δn)²

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(b)

I.

Question 1.
\(2 \bar{i}+3 \bar{j}+\bar{k}\) బిందువు గుండా పోతూ, \(4 \bar{i}-2 \bar{j}+3 \bar{k}\) సదిశకు సమాంతరంగా ఉండే రేఖ సదిశా సమీకరణం కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15, ’07; May ’07]
Solution:

Question 2.
OABC సమాంతర చతుర్భుజంలో, \(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O C}}=\overline{\mathbf{C}}\) అయితే, BC రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [(T.S) Mar ’15]
Solution:
OABC సమాంతర చతుర్భుజం

Question 3.
A, B, C బిందువులు ఒక త్రిభుజ శీర్షాలు. వాటి స్థాన సదిశలు క్రమంగా \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) అయితే, A గుండా పోయే మధ్యగత రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
Solution:

Question 4.
\(2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}},-4 \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) బిందువులను కలిపే రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’11; May ’08]
Solution:

Question 5.
\(\overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}},-5 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}},-3 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}\) బిందువుల గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 6.
(0, 0, 0), (0, 5, 0), (2, 0, 1) బిందువుల గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలు అయితే, \(2 \overline{\mathbf{a}}+3 \overline{\mathbf{b}}-\overline{\mathbf{c}}\), \(3 \bar{a}+4 \bar{b}-2 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖ, \(\overline{\mathbf{a}}-2 \overline{\mathbf{b}}+3 \overline{\mathbf{c}}\), \(\bar{a}-6 \bar{b}+6 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
ABCD సమలంబ చతుర్భుజం (trapezium) లో AB, CD లు సమాంతర భుజాలు. AB, CD ల మధ్య బిందువులు, కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలని సదిశా పద్ధతిని వాడి నిరూపించండి.
Solution:
ABCD సమలంబ చతుర్భుజం.
AB, CD లు సమాంతరములు.




(4), (5) ల నుండి,
\(\overline{\mathrm{PM}}=\lambda(\overline{\mathrm{NP}})\)
M, P, N లు సరేఖీయాలు.
కనుక సమాంతర భుజాల మధ్యబిందువులు, కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలు.

Question 3.
ABCD చతుర్భుజంలో, ఒక జత ఎదుటి భుజాల మధ్య బిందువులూ, దాని కర్ణాల ఖండన బిందువు సరేఖీయాలైతే, ఆ చతుర్భుజం సమలంబ చతుర్భుజం అవుతుందని సదిశా పద్ధతుల ద్వారా నిరూపించండి.
Solution:

III.

Question 1.
\(2 \bar{i}+4 \bar{j}+2 \bar{k}, 2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k}\) బిందువుల గుండా పోతూ, సదిశ \(3 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) కు సమాంతరంగా ఉండే తలం సదిశా సమీకరణం కనుక్కుని, \(\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\), \(4 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\) బిందువులను కలిపే రేఖను ఈ తలం ఖండించే బిందువును కూడ కనుక్కోండి. [Mar. ’12]
Solution:

Question 2.
\(4 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, 3 \overline{\mathbf{i}}+7 \overline{\mathbf{j}}-10 \bar{k}, 2 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-7 \overline{\mathbf{k}}\), బిందువుల ద్వారా పోయే తలం సదిశాసమీకరణం కనుక్కొని, \(\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}-3 \overline{\mathbf{k}}\) బిందువు, ఈ తలంలో ఉంటుందని చూపండి. [Mar. ’13]
Solution:


(1), (2), (3) ను ధృవీకరిస్తున్నాయి.
D బిందువు, A, B, C తలంలో ఉంటుంది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(a)

అభ్యాసం – 6 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ x, y, z అక్షాల ధనదిశలతో వరుసగా 90°, 60°, 30° కోణాలు చేస్తుంది. దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
l, m, n లు రేఖ దిక్ కొసైనులు అనుకుందాం.
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
n = cos γ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
రేఖ దిక్ కొసైనులు \(\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ X, Y, Z-అక్షాల ధన దిశలలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే, sin² α + sin² β + sin² γ విలువ ఎంత ?
సాధన:
cos² α + cos² β + cos² γ = 1 కావున
1 – sin² α + 1 – sin² β + 1 – sin² γ = 1
sin² α + sin² β + sin² γ = 3 – 1 = 2.

ప్రశ్న 3.
అంతరాళంలో P(\(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)) ఒక బిందువైతే, \(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
OP ల దిక్ సంఖ్యలు \(\sqrt{3}\), 1, 2\(\sqrt{3}\)
a² + b² + c²
= 3 + 1 + 12 = 16
⇒ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = 4 తో భాగించగా
\(\overrightarrow{O P}\) దిక్ కొసైనులు
\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2 \sqrt{3}}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(-4, 1, 7), (2, -3, 2) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(-4, 1, 7) లు B(2, -3, 2) లు దత్త బిందువు
PQ యొక్క d.rs లు x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
2 + 4, – 3 – 1, 2 – 7 ie., 6, -4, -5
తో భాగించగా \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{37+10+25}=\sqrt{77}\)
AB యొక్క D.C లు \(\left(\frac{6}{\sqrt{77}}, \frac{4}{\sqrt{77}}, \frac{-5}{\sqrt{77}}\right)\)

II.

ప్రశ్న 1.
(3, 5, -4), (-1, 1, 2),(-5, -5, -2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం భుజాల దిక్ కొసైన్లు రాయండి.
సాధన:
A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2), C(-5, -5, -2) లు ∆ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు.

d.rs యొక్క ABలు -1 -3, 1 – 5, 2 + 4 = -4, -4, 6
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
AB యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{6}{2 \sqrt{17}}\)
i.e., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}\)
BC యొక్క D.R లు -5 +1, -5 -1, -2 −2
i.e., -4, -6, -4
తో భాగించగా \(\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68}=2 \sqrt{17}\)
BC యొక్క D.C లు \(\frac{-4}{2 \sqrt{17}}, \frac{-6}{2 \sqrt{17}}, \frac{-4}{2 \sqrt{17}}\)
ie., \(\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}\)
CA యొక్క d.rs లు 3 + 5, 5 + 5, – 4 + 2
= 8, 10, -2
తో భాగించగా \(\sqrt{64+100+4}=\sqrt{168}=2 \sqrt{42}\)
CA యొక్క D.C లు \(\frac{8}{2 \sqrt{42}}, \frac{10}{2 \sqrt{42}}, \frac{-2}{2 \sqrt{42}}\)
i.e., \(\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}\)

ప్రశ్న 2.
P, Q, R, S లు వరుసగా (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{\mathrm{P Q}}, \overleftrightarrow{\mathrm{R S}}\) సమాంతరంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P(2, 3, 4), Q(4, 7, 8), R(-1, -2, 1) S(1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు
PQ యొక్క d.r లు 4 – 2, 7 – 3, 8 – 4 i.e., 2, 4, 4
RS యొక్క d.r లు 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 i.e., 2, 4, 4
d.r యొక్క PQ లు RS లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి.
∴ PQ, RS లు సమాంతరాలు.

III.

ప్రశ్న 1.
l – 5m + 3n = 0, 7l² + 5m² – 3n² = 0 సమీకరణాలను తృప్తిపరచేటట్లుగా, రెండు సరళ రేఖల దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం l – 5m + 3n = 0
⇒ l = 5m – 3n ……………….. (1)
7l² + 5m² – 3n² = 0 ………………. (2)
(2)లో ! విలువ ప్రతిక్షేపించగా
7(5m – 3n)² + 5m² – 3n² = 0
7(25m² + 9n² – 30 mn) + 5m² – 3n² = 0
175 m² + 63n² – 210 mn + 5m² – 3n² = 0
180 m² – 210 mn + 60 n² = 0
30 తో భాగించగా
6m² – 7mn + 2n² = 0
(3m – 2n) (2m – n) = 0
3m = 2n లేదా 2m = n

సందర్భం (i) : 3m₁ = 2n₁ ⇒ \(\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మరియు m₁ = \(\frac{2}{3}\) n₁
(1) నుండి l₁ = 5m₁ – 3n₁ = 5 \(\frac{10}{3}\) n₁ – 3n₁
= \(\frac{10 n_1-9 n_1}{3}=\frac{n_1}{3}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{3}\)
మొదటి రేఖ d.r లు (1, 2, 3)
\(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) తో భాగించగా
మొదటి రేఖ d.c లు \(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)\)

సందర్భము (ii) : 2m₂ = n₂
(1) నుండి l₂ – 5m₂ + 3n₂ = 0
l₂ – 5m₂ + 6m₂ = 0
-l₂ = m₂
∴ \(\frac{l_2}{-1}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{2}\)
రెండవ రేఖ d.r లు -1, 1, 2
\(\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\) తో భాగించగా
రెండవ రేఖ d.c లు \(\left(\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b)

అభ్యాసం – 5 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
A(-2, 3, 4), B(1, 2, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
AB ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తి
AB = – y₁ : y₂ = -3 : 2

ప్రశ్న 2.
A (1, 1, 1), B (-2, 4, 1) బిందువులు రెండు శీర్షాలుగా, మూలబిందువు కేంద్రాభాసంగాగల త్రిభుజం ABC కి, శీర్షం ‘C’ నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
A(1, 1, 1), B(-2, 4, 1) లు (x, y, z) బిందువు ∆ABC
యొక్క శీర్షాలు
Gబిందువు ∆ABC కేంద్రాభాసం
G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{1-2+x}{3}, \frac{1+4+y}{3}, \frac{1+1+z}{3}\right)\) = (0, 0, 0)
\(\frac{x-1}{3}\) = 0, \(\frac{y+5}{3}\) = 0, \(\frac{z+2}{3}\) = 0
x – 1 = 0, y + 5 = 0, z + 2 = 0
x = 1
y = -5
z = -2
∴ నిరూపకాలు (1, -5, -2)

ప్రశ్న 3.
(3, 2, -1), (4, 1, 1), (6, 2,5) లు మూడు శీర్షాలుగా, (4, 2, 2) కేంద్రాభాసంగా గల చతుర్ముఖి నాలుగో శీర్షాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. 15, ’14; May’13, ’11, ’05 ]
సాధన:
A(3, 2, -1), B(4,1, 1), C(6, 2, 5), D(x, y, z) లు చతుర్భుజ శీర్షాలు
కేంద్రాభాసం G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3+4+6+x}{4}, \frac{2+1+2+y}{4}, \frac{-1+1+5+z}{4}\right)\)
= \(\left(\frac{13+x}{4}, \frac{5+y}{4}, \frac{5+z}{4}\right)\) = (4, 2, 2)
\(\frac{13+x}{4}\) = 4
13 + x = 16
x = 16 – 13 = 3

\(\frac{5+y}{4}\) = 2
5 + y = 8
y = 8 – 5 = 3

\(\frac{5+z}{4}\) = 2
5 + z = 8
z = 8 – 5 = 3
D నిరూపకాలు (3, 3, 3)

ప్రశ్న 4.
A = (6, 3, -4), B = (-2, −1, 2) లను కలిపే రేఖా ఖండం \(\overline{\mathrm{A B}}\) మధ్యబిందువుకూ, (3, -1, 2) బిందువుకూ మధ్య గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(6, 3, – 4) B(-2, -1, 2) లు దత్త బిందువులు.
AB మధ్య బిందువు Q.
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{6-2}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)
= (2, 1, -1)
P నిరూపకాలు (3, -1, 2)
PQ = \(\sqrt{(3-2)^2+(-1-1)^2+(2+1)^2}\)
= \(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (5, 4, 2), (6, 2, −1), (8, −2, −7) సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(5, 4, 2), B(6, 2, −1) c(8, -2, -7) లు దత్త బిందువులు.

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 2.
A(3, 2, 4), B(5, 4, – 6), C(9, 8, −10) ∞ సరేఖీయాలు అని చూపి, B, \(\overline{\mathrm{A C}}\) ని విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, – 4), B(5, 4, -6) మరియు C(9, 8, -10) లు దత్త బిందువులు

AB + BC = 2\(\sqrt{3}\) + 4\(\sqrt{3}\) = 6\(\sqrt{3}\) = CA
A, B, C లు సరేఖీయాలు
AC ని B విభజించే నిష్పత్తి = AB : BC
= 2\(\sqrt{3}\) : 4\(\sqrt{3}\)
= 1 : 2

III.

ప్రశ్న 1.
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6), C(3, 5, 4), D(5, 8, 5) దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) రేఖలు ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6) C (3, 5, 4) మరియు D(5, 8, 5) లు దత్త బిందువులు
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}, \frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}, \frac{6 \lambda+12}{\lambda+1}\right]\) ………………… (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{5 \mu+3}{\mu+1}, \frac{8 \mu+5}{\mu+1}, \frac{5 \mu+4}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
దత్తరేఖలు ఖండించుకొంటే ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవించవలెను.
\(\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}\) = \(\frac{5 \mu+3}{\mu+1}\)
(2λ + 4) (μ + 1) = (5μ + 3) (λ + 1) ·
2λμ + 2λ + 4μ + 4 = 5λμ + 5μ + λ + 3
3λμ + λ + μ – 1 = 0
λ(3μ + 1) = -(μ – 1)
λ = – \(\frac{(\mu-1)}{3 \mu+1}\)
\(\frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}\) = \(\frac{8 \mu+5}{\mu+1}\)
(4λ + 8) (μ + 1) = (8μ + 5) (λ + 1)
4λμ + 4λ + 8μ + 8 = 8λμ + 8μ + 5λ + 5
4λμ + λ – 3 = 0
(4μ + 1) λ = 3
–\(\frac{(4 \mu+1)(\mu-1)}{3 \mu+1}\) = 3
4μ² – 4μ + μ – 1 = -9μ – 3
4μ² + 6μ + 2 = 0
2μ² + 3μ + 1 = 0
(2μ + 1) (μ + 1) = 0
μ = –\(\frac{1}{2}\) లేదా – 1
μ = -1 అసాధ్యం
μ = – \(\frac{1}{2}\)

ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవిస్తున్నాయి కనుక దత్త రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
A = (7, -6, 1), B = (17, -18,-3), C = (1, 4, -5), D = (3, -4, 11) లు దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) ఖండన బిందువు కనుక్కోండి.

సాధన:
A(7, -6, 1), B(17, -18, -3), C(1, 4, -5) మరియు D(3, – 4,11) లు దత్త బిందువులు.
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}, \frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}, \frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}\right]\) ………………. (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{3 \lambda+1}{\mu+1}, \frac{-4 \mu+4}{\mu+1}, \frac{11 \mu-5}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
\(\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}\) = \(\frac{3 \mu+1}{\mu+1}\)
(17λ + 7) (μ + 1) = (3μ + 1) (λ + 1)
17λμ + 17λ + 7λ + 7 = 3λμ + 3λ + 2λ + 1
14λμ + 16λ +4μ + 6 = 0.
\(\frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}=\frac{-4 \mu+4}{\mu+1}\) ; \(\frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}=\frac{11 \mu-5}{\mu+1}\)
– 18λμ – 6μ – 18λ – 6
= -4λμ + 4λ – 4μ + 4
14λμ +22λ + 2μ + 10 = 0
14λμ +16λ +4μ + 6 = 0 ………………. (1)
14λμ + 22λ + 2μ + 10 = 0 …………….. (2)
తీసివేయగా -6λ + 2μ – 4 = 0
2μ = 6λ + 4
μ = 3λ +2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
14λ (3λ + 2) + 16λ + 4(3λ + 2) + 6 = 0.
42λ² + 28λ + 16λ + 12λ + 8 + 6 = 0
42λ² +56λ + 14 = 0
3λ² +4λ + 1 = 0
(λ + 1) (3λ + 1) = 0
λ = -1 లేదా λ = – \(\frac{1}{3}\)
λ = -1 అసాధ్యం
λ = – \(\frac{1}{3}\)

∴ ఈ రెండు బిందువులు ఒకటే
AB, CD రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.
ఖండన బిందువు (2, 0, 3)

ప్రశ్న 3.
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2), C(-9, 6, -3) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు, ∠BAC యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{A D}}\), \(\overline{\mathrm{B C}}\) ని D వద్ద ఖండిస్తుంది. D యొక్క నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2) C(-9, 6, -3) లు ∆ABC శీర్షాలు

AB రేఖ ∠DAC కోణ సమద్విఖండన రేఖ
‘D’ బిందువు BC ని 3 : 13 నిష్పత్తిలో విభజిస్తున్నాయి.
P నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3(-9)+13.5}{3+13}, \frac{3.6+13.3}{3+13}, \frac{3(-3)+13.2}{3+13}\right)\)
= \(\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)\)

ప్రశ్న 4.
O(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) Dox సరేఖీయాలని చూపండి. ప్రతిబిందువూ మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే రేఖను ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
0(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) లు దత్త బిందువులు

∴ O, A, B లు సరేఖీయాలు.

AB ని ‘O’ విభజించే నిష్పత్తి
= OA: OB
= \(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = 1 : 1
OB ని A విభజించే నిష్పత్తి
= OA: AB = \(\sqrt{22}\) : 2 \(\sqrt{22}\) = -1 : 2
OA ని B విభజించే నిష్పత్తి
= -AB : BO = − 2\(\sqrt{22}\): \(\sqrt{22}\) – 2\(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = -2 : 1.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(a)

I.

Question 1.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో BC, CD ల మధ్య బిందువులు వరుసగా L, M అయితే
(i) \(\overline{\mathrm{AL}}\), \(\overline{\mathrm{AM}}\) లను \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\) లలో కనుక్కోండి.
(ii) \(\overline{\mathbf{A M}}=\lambda \overline{\mathrm{AD}}-\overline{\mathrm{LM}}\) అయితే λ విలువ కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
∆ABC లో AB, BC, CA ల మధ్య బిందువులు వరుసగా P, Q, R. ‘D’ ఏదైనా బిందువు అయితే,
(i) \(\overline{\mathrm{DA}}+\overline{\mathrm{DB}}+\overline{\mathrm{DC}}\) ను \(\overline{\mathbf{D P}}, \overline{\mathbf{D Q}}, \overline{\mathbf{D R}}\) లలో వ్యక్తపరచండి.
(ii) \(\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{QB}}+\overline{\mathrm{RC}}=\bar{\alpha}\) అయితే \(\bar{\alpha}\) ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
\(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}\) అనుకోండి. \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}\) దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
సదిశలు \(-\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{4} \overline{\mathbf{j}}+\lambda \overline{\mathbf{k}}, \mu \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{8} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{6} \overline{\mathbf{k}}\) సరేఖీయాలైతే, λ, µ లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14; May ’12]
Solution:

Question 5.
పంచభుజి ABCDE లో \(\overline{\mathbf{A B}}, \overline{\mathbf{A E}}, \overline{\mathbf{B C}}, \overline{\mathbf{D C}}, \overline{\mathbf{E D}}\), \(\overline{\mathbf{A C}}\) ల మొత్తం λ \(\overline{\mathbf{A C}}\) అయితే, λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 6.
A, B, C బిందువుల స్దాన దిశలు వరుసగా \(-\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\), \(-4 \overline{\mathbf{i}}+2 \bar{j}+2 \overline{\mathbf{k}}, 6 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-13 \overline{\mathbf{k}}\) అవుతూ \(\overline{\mathbf{A B}}=\lambda \overline{\mathrm{AC}}\) అయితే λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
‘O’ మూలబిందువు.

Question 7.
\(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{A B}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{B C}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{C D}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\), అయితే \(\overline{O D}\) సదిశను కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 8.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{5} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{m} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{n} \overline{\mathbf{k}}\) లు సరేఖీయ సదిశలైతే m, n లను కనుక్కోండి. [(T.S), Mar ’15; May ’11]
Solution:

Question 9.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2 i}+\mathbf{4} \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{2 \overline { \mathbf { k } }}\) అయితే \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}\) సదిశకు అభిముఖ దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15 ’12, ’04; May ’12]
Solution:

Question 10.
\(3 \bar{i}+5 \bar{j}+2 \bar{k}, 2 \bar{i}-3 \bar{j}-5 \bar{k},-5 \bar{i}-2 \bar{j}+3 \bar{k}\) సదిశలతో ఏర్పడే త్రిభుజం, సమబాహు త్రిభుజం అవుతుందా?
Solution:
∆ABC భుజాలు
\(\overline{\mathrm{AB}}=3 \overline{\mathrm{i}}+5 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)

Question 11.
\(3 \bar{i}-6 \bar{j}+2 \bar{k}\) సదిశ నిరూపక అక్షాలతో ధనాత్మక దిశలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే cos α, cos β, cos γ లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 12.
(1, -3, 2), (3, -5, 1) ల గుండా పోయే సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలను కనుక్కోండి.
Solution:
నిరూపకాక్షాలతో యూనిట్ సదిశలు వరసగా \(\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}\).
ఇచ్చిన బిందువు A(1, -3, 2) మరియు B(3, -5, 1) మూల బిందువు ‘O’ అనుకొనుము.

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}=\alpha \overline{\mathbf{d}}, \overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{d}}=\beta \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{d}}=\mathbf{0}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే, ఈ కింది నాలుగు బిందువులు సతలీయాలని చూపండి. [May ’12]
(i) \(-\bar{a}+4 \bar{b}-3 \bar{c}, 3 \bar{a}+2 \bar{b}-5 \bar{c}\), \(-3 \bar{a}+8 \bar{b}-5 \bar{c},-3 \bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

ఏదేని ఒక సదిశను మిగిలిన రెండు సదిశల రేఖీయ సంయోగంగా వ్రాస్తే,

A, B, C, D లు సతలీయాలు.
∴ దత్త బిందువులు సతలీయాలు.

(ii) \(6 \bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}, 2 \bar{a}-\bar{b}+3 \bar{c},-\bar{a}+2 \bar{b}-4 \bar{c}\), \(-12 \bar{a}-\bar{b}-3 \bar{c}\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

Question 3.
\(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{j}}, \overline{\mathbf{k}}\) ధన నిరూపకాక్షాల వెంబడి యూనిట్ సదిశలైతే, \(\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}},-\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, 3 \overline{\mathbf{i}}+9 \overline{\mathbf{j}}+4 \overline{\mathbf{k}}\), \(-4 \bar{i}+4 \bar{j}+4 \bar{k}\) అనే నాలుగు బిందువులు సతలీయాలని చూపండి. [Mar. ’14]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

Question 4.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే ఈ కింద ఇచ్చిన స్థాన సదిశల బిందువుల సరేఖీయత పరీక్షించండి.
(i) \(\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}, 2 \bar{a}+3 \bar{b}-4 \bar{c},-7 \bar{b}+10 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C లు దత్త బిందువులు.

(ii) \(3 \bar{a}-4 \bar{b}+3 \bar{c},-4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}\), \(4 \bar{a}-7 \bar{b}+6 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్తబిందువులు

(iii) \(2 \bar{a}+5 \bar{b}-4 \bar{c}, \bar{a}+4 \bar{b}-3 \bar{c}, 4 \bar{a}+7 \bar{b}-6 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్త బిందువులు.

III.

Question 1.
కార్టీసియన్ తలంలో మూలబిందువు O. ఒక వ్యక్తి O నుంచి ఈశాన్య (NORTH-EAST) దిశలో 3 యూనిట్లు నడచి P అనే బిందువును చేరుకున్నాడు. అక్కడనుంచి వాయవ్య (NORTH-WEST) దిశకు సమాంతరంగా 4 యూనిట్లు నడిచి, Q అనే బిందువును చేరుకున్నాడు. OQ సదిశను \(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{j}}\) లలో కనుక్కోండి. (ఇక్కడ ∠XOP = 45°).
Solution:
‘O’ మూలబిందువు
∠ХОР = 45°

Question 2.
O, A, B, X, Y బిందువులు \(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O B}}=\overline{\mathbf{b}}\), \(\overline{\mathbf{O X}}=3 \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O Y}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{b}}\) అయ్యేటట్లు ఉంటే \(\overline{\mathrm{BX}}\), \(\overline{\mathrm{AY}}\) సదిశలను \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లలో రాయండి. ఇంకా P అనే బిందువు AY ను 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తే \(\overline{\mathbf{B P}}\) ని \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లలో రాయండి.
Solution:
\(\overline{O A}=\bar{a}, \overline{O B}=\bar{b}, \overline{O X}=3 \bar{a}, \overline{O Y}=3 \bar{b}\)

Question 3.
∆OAB లో AB మధ్యబిందువు E, OF = 2FA అయ్యేలా OA మీద F ఒక బిందువు. OE, BF ల ఖండన బిందువు C అయితే OC : CE, BC : CF నిష్పత్తులను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
PQ రేఖాఖండాన్ని E బిందువు 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది. PQ రేఖపై లేని బిందువు R. QF : FR = 2 : 1 అయ్యేటట్లు QR మీద F ఒక బిందువు అయితే PR కు EF సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(d)

అభ్యాసం – 8 (డి)

I. క్రింది అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{x^2-6 x+9}\)
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{x^2-6 x+9}\)
= \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{(x-3)^2}\)
= \(\frac{9+9+2}{0}\)
= ∞

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1-}\frac{1+5 x^3}{1-x^2}\)
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1-}\frac{1+5 x^3}{1-x^2}\)
= \(\frac{1+5(1)^3}{1-1^2}=\frac{1+5}{1-1}\)
= \(\frac{6}{0}\)
= ∞

ప్రశ్న 3.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{3 x^2+4 x+5}{2 x^3+3 x-7}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-x+7}{x+3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^-x2
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^-x2
= \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{e^{x^2}}\)
= \(\frac{1}{\infty}\) = 0 (కనుక e > 1)

ప్రశ్న 6.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{\sqrt{x^2+6}}{2 x^2-1}\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{8|x|+3 x}{3|x|-2 x}\)
సాధన:
x → ∞ ⇒ x > 0 ∴ |x| = x

ప్రశ్న 2.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{x^2+5 x+2}{2 x^2-5 x+1}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\frac{2 x^2-x+3}{x^2-2 x+5}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{x \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{11 x^3-3 x+4}{13 x^3-5 x^2-7}\) [Mar. ’14]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\underset{x \rightarrow 2}{\text { Lt }}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\frac{5 x^3+4}{\sqrt{2 x^4+1}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) [May, ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) [Mar, ’11]
సాధన:

III.

ప్రశ్న 1.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\left(\frac{2 x+3}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{2+\sin x}{x^2+3}\)
సాధన:

∴ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

ప్రశ్న 3.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{2+\cos ^2 x}{x+2007}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}\)
సాధన:
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}\)
-1 ≤ – cos 3x ≤ 1

⇒ \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) f(x) = 6

ప్రశ్న 5.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{\cos x+\sin ^2 x}{x+1}\)
సాధన: