Srinivas

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు

→ యూక్లిడ్ (క్రీ.పూ. 330 – 275):

• యూక్లిడ్ అలెగ్జాండ్రియా రాజు విశ్వవిద్యాలయంలో గణిత బోధకుడిగా పనిచేశాడు. యూక్లిడ్ ను “ఫాదర్ ఆఫ్ జామెట్రీగా” పిలుస్తారు.
• ఇతను అందుబాటులోని గణితాంశాలన్నింటిని సేకరించి, నిర్వచనాలు, స్వీకృతాలు, సిద్ధాంతాలుగా వర్గీకరించి చరిత్ర ప్రసిద్ధి పొందిన గ్రంథం “ఎలిమెంట్స్”ను రచించాడు. ప్రపంచంలో బైబిల్ తర్వాత అత్యధికంగా అమ్ముడు పోయిన గ్రంథం ఇదే.
• యూక్లిడ్ అల్గారిథమ్, సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు, ఒకటి కన్నా పెద్దదైన ఏ పూర్ణ సంఖ్యనైనా ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా ఏకైకం రాయవచ్చు.
• కరణీయ సంఖ్యలు మొదలగునవి ఎలిమెంట్స్ గ్రంథంలోనివే. ఈ నాటికీ పాఠశాలల్లో గణితంగా బోధిస్తున్న దానిలో అధిక భాగం “ఎలిమెంట్స్” ను అనుసరించేవే. యూక్లిడ్ , క్రీ.పూ. 330 – 275

→ వస్తువులను లెక్కించుటకు (count చేయుటకు) అవసరమయ్యే సంఖ్యలను ‘సహజ సంఖ్యలు’ అంటారు. ఈ సంఖ్యా సమితిని N తో సూచిస్తారు. N = {1, 2, 3, ………}

→ గణిత అవసరాలను తీర్చుటకు సహజ సంఖ్య సమితి పూర్తి స్థాయిలో సరిపోవుటలేదనే విషయాన్ని గ్రహించుట ద్వారా “0” (సున్న) ను సహజ సంఖ్యా సమితికి చేర్చుట వల్ల నూతనంగా ఏర్పడే సంఖ్యా సమితిని పూర్ణాంకాలు అంటాం. దీనిని ‘W’ తో సూచిస్తాం. . పూర్ణాంకాలు W = {0, 1, 2, 3, ………….} గణితశాస్త్రానికి “0” సున్నాను పరిచయం చేసినది మన భారతీయులే.

→ సున్నా కంటే తక్కువ విలువ కలిగినవి ఋణపూర్ణాంకాలు. పూర్ణాంకాల సమితి (W) కు ఋణ పూర్ణాంకాలు చేర్చుట ద్వారా ఏర్పడిన సంఖ్యాసమితిని “పూర్ణ సంఖ్యలు” అంటాం. ‘Z’ తో సూచిస్తాం.
Z = {……… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …………}

→ పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు,” అంతమయ్యే దశాంశాలు, అంతంకాకపోయినా ఆవర్తనమయ్యే దశాంశాలు అన్నింటిని అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితిని Q తో సూచిస్తాం. ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితి పైన చెప్పిన అన్ని సంఖ్యాసమితులు (N, W, Z) కంటే కూడా పెద్ద సంఖ్యా సమితి. ఈ అకరణీయ సంఖ్యలను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయగలుగుతాము. p, q లనేవి ‘Z’ కు చెంది ఉంటాయి. q ≠ 0 అవ్వాలి.
Q = {\(\frac{p}{q}\), q ≠ 0; p, q ∈ Z} * అంతములేని, ఆవర్తనముకాని (దశాంశ రూపంలో గల) సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటాం. వీటిని Q’ లేదా S తో సూచిస్తాం. ఉదా : √2, √3, √5, √7 ,………………..

→ కరణీయ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వ్రాయగా ఏర్పడే సంఖ్యాసమితిని వాస్తవసంఖ్యలు అంటాం. దీనిని R తో సూచిస్తాం. R = Q ∪ Q’

→ ప్రధాన సంఖ్యలు : 1 మరియు అదే సంఖ్య మాత్రమే కారణాంకాలుగా గల 1 కన్నా పెద్దవైన సహజసంఖ్యలు. ఉదా : 2, 3, 5, 7, ………….

→ ప్రధాన సంఖ్య నిర్ధారణ పరీక్ష : p ఒక సంఖ్య మరియు n² > p అయ్యేటట్లు ఉండే కనిష్ఠ సంఖ్య n అయిన n కన్నా చిన్నది లేదా “సమానమైన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను p భాగింపబడకపోతే p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. ఉదా : 1: 319

• 18² > 319. 18 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17లలో ఏ సంఖ్యతోను 319 భాగింపబడదు. కావున 319 ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. ఉదా : 2 : 253
• 16² > 253. 16 కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలలో ఒకటైన 11 తో 253 భాగింపబడుతుంది.
  ∴ 253 ప్రధానసంఖ్య కాదు.

→ సంయుక్త సంఖ్యలు : 1 మరియు అదే సంఖ్యతోపాటు ఇతర సంఖ్యలతో కూడా భాగింపబడే సహజ సంఖ్యలు.
ఉదా : 4, 6, 9, …………

→ యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయము : a = bq + r,0 ≤ r < b అయ్యే విధంగా a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా q మరియు r లు ఏకైక పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవస్థితం అవుతాయి. అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము : ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయవచ్చును మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్ధము ఏకైకము.

(i) గ.సా. కా లేదా గ.సా.భా : ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాల యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం వాని యొక్క గ.సా.5 అగును.
ఉదా : 60, 168 సంఖ్యలను కారణాంకాల లబ్దంగా వ్రాయగా
60 = 22 × 3 × 5; 168 = 22 × 3 × 7
60, 168 ల యందుగల సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 3
వాని యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3¹
∴ 60, 168 ల గ.సా. కా = వాని సామాన్య కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

(ii) క.సా.గు : ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క ప్రతీ ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం వాని క.సా.గు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం) అగును.
ఉదా : 60, 168 సంఖ్యలను వాని కారణాంకాల లబ్దంగా వ్రాయగా
60 = 2² × 3 × 5; 168 = 2² × 3 × 7
60, 168 గల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5, 7,
వాని యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3¹, 5¹, 7¹
∴ 60, 168 ల క.సా.గు వాని గరిష్ఠ (ప్రతి కారణాంకం యొక్క ఘాతాల లబ్దం = 2² × 3 × 5 × 7 = 840.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో సున్న (0) ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంలో 2 మరియు 5 ఆ ఉంటాయి. దీని విపర్యయము కూడా నిజము.
ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 ఉంటుంది.

ఉదా :

• 510 = 2 × 5 × 3 × 17;
• 620 = 2² × 5 × 31;
• 45 = 3² × 5;
• 455 = 5 × 7 × 13

→ x అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య మరియు దీని దశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము అయినప్పుడు x ను p, q లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు అయివున్న \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్యక్తపరచవచ్చు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం 20 5m అవుతుంది. ఇందులో n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు. దీని విపర్యయము కూడా నిజము. విపర్యయము : ‘n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధరూపం 215m కలిగినటువంటి అకరణీయ సంఖ్య x = \(\frac{p}{q}\) అయిన X యొక్క దశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశం అవుతుంది. (p, q లు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు)

→ x ఒక అకరణీయ సంఖ్య, p, q లు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు అయి x = \(\frac{p}{q}\) అంతమవు దశాంశము అయితే q = 2ⁿg^m రూపంలో ఉంటుంది. ఈ దశాంశము n, m లలో పెద్దదైన సంఖ్యకు సమానమైన అంకెల వద్ద అంతం అవుతుంది.

ఉదా : \(\frac{13}{40}=\frac{13}{2^{3} \times 5}\) ; n = 3, m = 1 మరియు n > m.
\(\frac{13}{40}\) మూడు దశాంశాల తర్వాత అంతం అవుతుంది. ..
\(\frac{13}{40}\) = 0.325

→ n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దము 2ⁿg^m రూపంలో లేకుంటే అకరణీయ సంఖ్య x = \(\frac{p}{q}\) యొక్క దశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని.ఆవర్తన దశాంశము అవుతుంది.

→ p అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే, a ను p నిశ్శేషంగా
భాగిస్తుంది. సంవర్గమానాలు : a మరియు N లు ధన పూర్ణసంఖ్యలై a > 1, N > 0 అవుతూ a^x = N అయిన దీనిని సంవర్గమాన రూపంలో log_a N = x అని వ్రాస్తాము. ఇచ్చట a, N ∈ R

గమనిక : ధన పూర్ణసంఖ్యలకు మాత్రమే సంవర్గమానాలు నిర్వచించబడ్డాయి.

• log_a 1 = 0 (ఏ ఆధారానికైనా 1 యొక్క సంవర్గమానం ‘0’.)
• log_a = 1

→ ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానాలు విభిన్న భూములకు (ఆధారాలకు) వేర్వేరుగా ఉంటాయి.
ఉదా :

• 64 = 8² యొక్క సంవర్గమాన రూపం log₈ 64 = 2
• 64 = 4³ యొక్క సంవర్గమాన రూపం log₄ 64 = 3
• 64 = 2⁶ యొక్క సంవర్గమాన రూపం log₂ 64 = 6

→ సంవర్గమాన న్యాయాలు : లబ్ధ సూత్రం

• log_a xy = log_ax + log_ay భాగఫల సూత్రం
• log_a \(\frac{x}{y}\) = log_ax – log_ay

→ ఘాత సూత్రాలు :

• log_a x^m = m log_a x,
• log_aⁿ n x = \(\frac{1}{n}\) log_a x;
• log_aⁿ n x^m = \(\frac{m}{n}\) log_a x
• a log_a x = x

→ ఆధార మార్పిడి సూత్రాలు :

• log_ax = log_bx. log_ab;
• log_ax = \(\frac{1}{\log _{x} a}\)

→ సంఖ్యల సంవర్గమానాలు పూర్ణాంక, దశాంశ భాగాలను కలిగి ఉంటాయి. పూర్ణాంక భాగాన్ని లాక్షణిక అని, దశాంశ భాగాన్ని మాంటిస్సా అని అంటారు.
ఒక అంకె సంఖ్య సంవర్గమానాల లాక్షణిక సున్న.
రెండు అంకెల సంఖ్య సంవర్గమానాల లాక్షణిక 1.
– మూడు అంకెల సంఖ్య సంవర్గమానాల లాక్షణిక 2.

→ ఒక సంఖ్యలో n అంకెలుంటే ఆ సంఖ్య యొక్క లాక్షణికలో (n- 1) అంకెలుంటాయి. విపర్యయంగా, ఒక సంవర్గమాన లాక్షణిక n అయిన, ఆ సంఖ్యలో (n + 1) అంకెలుంటాయి.

ఉదా : ఒక తేనెటీగల గుంపు రెండు పువ్వులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు ఒక తేనెటీగ మిగులుతుంది. అదే గుంపు మూడు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు రెండు తేనెటీగలు మిగులుతాయి. అదే గుంపు నాలుగు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు 3 మిగులుతాయి. అదే గుంపు ఐదు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినపుడు మరి మిగలవు. ఆ గుంపులో గరిష్టంగా 50 వరకు తేనెటీగలు కలిగి ఉండవచ్చు. అయిన వాటి ఖచ్చిత సంఖ్య కనుగొనుము.

→ సాధన. ఈ గుంపులో గల తేనెటీగలు = x అనుకుందాం
రెండు పూవులపై సమానంగా వాలిన 1 మిగులును

• కావున x = 2a + 1 గా వ్రాయవచ్చును. ……………………….(1)
• మూడు పూవులపై సమానంగా వాలిన 2 తేనెటీగలు మిగులును. కావున x = 3b + 2 ………………(2)
• నాలుగు పూవులపై సమానంగా వాలిన 3 తేనెటీగలు మిగులును. కావున x = 4c + 3.0 ……………….(3)
• ఐదు పూవులపై సమాన సంఖ్యలో వాలిన మరి మిగలవు. కావున x = 5d + 0 ……………..(4)

మరియు x ≤ 50 (ఎందుకనగా అవి గరిష్ఠంగా 50)
x అనునది 5 గుణజం అని 4వ సమీకరణం నుండి అర్థమగును కావున x యొక్క సాధ్య విలువలు = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 మరియు 45. మొదటి సమీకరణం నుండి x బేసి సంఖ్య అని అర్థమగును. కావున ఇపుడు ‘x’ యొక్క సాధ్య విలువలు = 5, 15, 25, 35, 45 (పై వాటి నుండి సరిసంఖ్యలు తొలగించాం). సమీకరణ (2) ప్రకారం 3చే భాగిస్తే శేషం 2 రావాలి.

కావున ఇపుడు ‘x’ యొక్క సాధ్య విలువలు = (5, 35). సమీకరణ (3) ప్రకారం 4చే భాగిస్తే శేషం 3 రావాలి. కావున 5, 35 లలో 35 మాత్రమే 4 చే భాగించినపుడు 3 శేషాన్ని ఇవ్వగలుగుతుంది.
∴ ఆ గుంపులో 35 తేనెటీగలు కలవని అర్థమవుచున్నది.

సరిచూచుట :

• 35 తేనెటీగలు 5 పూవుల పై వాలిన \(\frac{35}{5}\) = 7 (శేషం – 0)
• 35 తేనెటీగలు 4 పూవుల పై వాలిన \(\frac{35}{4}\) = 8 (శేషం – 3)
• 35 తేనెటీగలు 3 పూవులపై వాలిన \(\frac{35}{3}\) =11 (శేషం – 2)
• 35 తేనెటీగలు 2 పూవులపై వాలిన \(\frac{35}{2}\) =17 (శేషం – 1)

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 15th Lesson సంఖ్యలతో ఆడుకుందాం

→ ఒక సంఖ్య ‘a’ మరొక సంఖ్య ‘b’ను భాగించడం అంటే నిశ్శేషంగా భాగించుట అని అర్థం. దీనినే b, a చే భాగింపబడును అంటారు.

→ అంకెల స్థాన విలువ 12,34,56,789

→ సంఖ్యలను విస్తరణ రూపంలో వ్రాయుట :
3456 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1
= 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10°

→ 10 యొక్క భాజనీయతా నియమం : ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానమందు అంకె ‘0’ అయినచో అది ’10’ చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ 5 యొక్క భాజనీయతా నియమం : ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానమందు అంకె 0, 5 అయినచో ఆ సంఖ్య ‘5’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ 2 యొక్క భాజనీయతా నియమం : ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానమందు గల అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయినచో అది ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం, 3 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య ‘3’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం, 9 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య ‘9’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ 2 మరియు 3చే భాగింపబడే అన్ని సంఖ్యలు ‘6’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి రెండంకెలు 4చే భాగింపబడిన ఆ సంఖ్య 4చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ఒక సంఖ్యలోని చివరి మూడంకెలు 8చే భాగింపబడిన ఆ సంఖ్య ‘8’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ఒక సంఖ్య 7చే నిశ్శేషంగా భాగించబడవలెనన్న, (2a + 3b + c) 7తో భాగింపబడవలెను. –
(ఇక్కడ a = వందల స్థానంలోని అంకె, b = పదుల స్థానంలోని అంకె, C = ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె)

→ ఒక సంఖ్యలోని సరి స్థానములలోని అంకెల మొత్తం మరియు బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తముల భేదం 11 యొక్క గుణిజం లేక ‘0’ అయిన ఆ సంఖ్య ’11’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

→ ప్రతి పాలిండ్రోమ్ సంఖ్య ’11’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము) to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 14th Lesson ఉపరితల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణం (ఘనము-దీర్ఘఘనము)

→ దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా l, b, h లు అయిన

దీర్ఘఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2h (l + b)
దీర్ఘఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2(lb + bh + lh)

→ ‘a’ భుజంగా గల సమఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4a²

సమఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6a²

→ దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు = l × b × h = lbh
సమఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = (s)³ = a³ (a = సమఘనం యొక్క భుజం)

→ 1 cm³ = 1 మిల్లీ లీటరు
1 లీటరు = 1000 ఘ. సెం.మీ.
1 మీ ³ = 1000000 ఘ. సెం.మీ. = 1000 లీటర్లు = 1 కిలోలీటరు

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట

→త్రిరిపరిమాణ వస్తువుల ఆకారములు సమాన మాపము గల చుక్కల కాగితముపై గీయు విధానము.

→ త్రిపరిమాణ వస్తువులను పై నుండి, ప్రక్క నుండి, ఎదుటి నుండి చూసినపుడు కనబడు వివిధ ఆకారములు.

→ బహుముఖి : సమతలములు కలిగిన వస్తువులు.

→ పట్టకము : బహుముఖి నందు సమాంతరముగా ఎదురెదురుగా గల రెండు తలములు సర్వసమానముగాను, మిగిలిన తలములు దీర్ఘచతురస్రములు (సమాంతర చతుర్భుజము)గా కలిగిన వస్తువులను పట్టకము అంటారు.

→ పిరమిడ్ : బహుముఖి నందు అడుగు భాగము యొక్క తలము బహుభుజిగాను, మిగిలిన ప్రక్కతలములు త్రిభుజములుగా కలిగిన వస్తువులను పిరమిడ్ అంటారు.

→ త్రిపరిమాణ వస్తువులు తయారుచేయుటకు ద్విమితీయ వల రూపములు ఉపయోగించుట.

→ బహుముఖిల కోసం ఆయిలర్ సూత్రము E + 2 = F + V

→ త్రిపరిమాణ వస్తువుల యొక్క తలములు, అంచులు, శీర్షములు : మనం నివసించే గది యొక్క గోడలు, కిటికీలు, తలుపులు, గది యొక్క పై భాగము, అడుగు తలము, మూలలు మొదలైనవి మరియు మన చుట్టూ గల వస్తువులు టేబుల్స్,
బాలు మొ||నవి గమనించండి. వాటి యొక్క తలములు సమతలములు. వాటి తలములు అంచుల వద్ద కలియుచున్నవి. రెండు లేక అంతకంటే ఎక్కువ అంచులు మూలల వద్ద కలియుచున్నవి. ఈ మూలను శీర్షము అంటారు. ఒక సమఘనము లేదా పిరమిడ్ ను గమనించండి.

→ ప్లేటోనిక్ వస్తువుల వలరూపాలు :

బహుముఖి పేరు	బహుభుజి తలాలు	వలరూపము
చతుర్ముఖీయం	4 త్రిభుజాలు
అష్టముఖీయం	8 త్రిభుజాలు
షష్టిముఖీయం	6 చతురస్రాలు
ఇరవై ముఖాలు కలది	20 త్రిభుజాలు
ద్వాదశముఖీయం	6 పంచభుజిలు

→ బహుముఖి యొక్క అంచులు, తలములు, శీర్షముల సంఖ్య
ప్రక్క పటంలో బహుముఖి యొక్క అంచులు, తలములు, శీర్షములను లెక్కించెదము.

తలముల సంఖ్య – 5
అంచుల సంఖ్య – 9
శీర్షముల సంఖ్య – 6

→ కింది పట్టికను గమనించండి.

పై పట్టిక యొక్క చివరి రెండు నిలువు వరుసలు పరిశీలిస్తే అన్ని బహుముఖిలకు మనము F + V = E + 2 అని గమనించగలము.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 12th Lesson కారణాంక విభజన to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 12th Lesson కారణాంక విభజన

→ ఒక సంఖ్యను ప్రధానసంఖ్యల లబ్ధంగా వ్యక్తపరిచే పద్ధతిని “ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి” అంటారు.

→ ఇచ్చిన సమాసమును దాని కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయటాన్ని కారణాంక విభజన అందురు.

→ సూక్ష్మీకరణ సాధ్యం కాని కారణాంకమును అవిభాజ్య కారణాంకం అంటారు.

→ (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² – b²

→ (x + a) (x + b) = x² + x(a + b) + ab

→ గోల్డ్ బాక్ ఊహ : ప్రతి బేసిసంఖ్య, ప్రధానసంఖ్యగానో లేదా కొన్ని ప్రధాన సంఖ్య మరియు వర్గ సంఖ్యకు రెట్టింపు సంఖ్యల మొత్తంగానే ఉంటుంది.
ఉదా : 21 (ఒక బేసి సంఖ్య); 21 = 19 + 2 (లేదా) 21 = 13 + 2(4) (లేదా) 21 = 3 + 2(9) గా వ్రాయవచ్చు

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు

→ ఒక ఏకపదిలోని చరరాశుల ఘాతాంకాల మొత్తాన్ని ఆ ఏకపది పరిమాణం అంటారు.

→ ఒక బీజీయ సమాసంలోని వివిధ పదాల పరిమాణాల్లో గరిష్ఠ పరిమాణాన్ని ఆ బీజీయ సమాస పరిమాణం అంటారు.

→ రెండు ఏకపదుల లబ్ధం ఒక ఏకపది అవుతుంది.

→ ఒక బహుపదిని ఏకపదిచే గుణించాలంటే బహుపదిలోని అన్ని పదాలను ఆ ఏకపదిచే గుణించాలి.

→ సర్వసమానం అనునది ఒక సమానత. సమీకరణంలోని సమానత్వం, చరరాశిలోని అన్ని విలువలకు సత్యమైనపుడు సర్వసమానత్వం అవుతుంది. ఇంకోవైపు సమీకరణం కొన్ని విలువలకే సత్యం అయితే సర్వసమానత్వంలో అన్ని విలువలకు సత్యం అవుతాయి.

→ కొన్ని సర్వసమీకరణాలు

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)2² = a² – 2ab + b²
• (a + b) (a – b) = a² – b²
• (x + a) (x + b) = x² + x(a + b) + ab .
• (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
• (a + b)² – (a – b)² = 4ab

గమనిక :

• రెండు ధనసంఖ్యల లబ్ధము ధనసంఖ్య
• రెండు ఋణ సంఖ్యల లబ్ధము ధనసంఖ్య
• ఒక ధన మరియు ఒక ఋణ సంఖ్యల లబ్దము ఋణసంఖ్య

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 10th Lesson అనులోమ మరియు విలోమ అనుపాతములు

→ ఒక రాశిలోని మార్పు వేరొక రాశిలోని పెరుగుదల / తగ్గుదల మార్పును కలిగి ఉంటే అవి అనుపాతంలో ఉన్నవని అంటారు.

→ x మరియు y అనే రెండు రాశులు అనులోమానుపాతంలోనున్న ఆ రెండు రాశులు ఒకే నిష్పత్తిలో మార్పుచెందును. అనగా \(\frac{x}{y}\) = k లేదా x = ky. దానిని మనం \(\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}\) లేదా x₁, y₂ = x₂y₁ గా వ్రాయవచ్చును. ( ఇక్కడ x₁, x₂, విలువలకు అనుగుణంగా వచ్చిన విలువలు వరుసగా y₁, y₂].

→ రెండు రాశులు x మరియు yలు విలోమానుపాతంలో వుంటే వాటి మధ్య xy = k (k స్థిరాంకము) వంటి సంబంధము ఏర్పడుతుంది. x₁ , x₂, విలువలకు అనుగుణంగా వచ్చిన విలువలు వరుసగా y₁, y₂ అయిన x₁y₁ = x₂y₂(=k), లేదా
\(\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}\)

→ ఒక రాశి పెరుగుదల (తగ్గుదల) రెండవరాశి తగ్గుదల (పెరుగుదల) ఒకే అనుపాతంలో వుంటే ఆ రెండు రాశులు విలోమానుపాతంలో వుంటాయి. అపుడు మొదటి రాశి నిష్పత్తి (x₁ : x₂) రెండవ రాశి నిష్పత్తి (y₁ : y₂) యొక్క విలోమ నిష్పత్తికి సమానంగా వుంటుంది. ఇక్కడ రెండు నిష్పత్తులు సమానం కావున ఈ విలోమ మార్పునే మనం విలోమానుపాతం అంటాము.

→ కొన్నిసార్లు ఒక రాశిలోని మార్పు, రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ రాశులలో మార్పుకు కారణమవుతుంది. ఆ మార్పులు అనుపాతంలో వుంటే దానినే మనం మిశ్రమానుపాతం అంటాము. అప్పుడు మొదటి రాశి నిష్పత్తిని మిగిలిన రెండు రాశుల బహుళ నిష్పత్తికి సమానం చేస్తాము.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు

→ త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\)bh

→ చతుర్భుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × కర్ణం పొడవు × కర్ణంపై గీయబడిన లంబాల పొడవుల మొత్తం
= \(\frac{1}{2}\)h(h₁ + h₂)

→ సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం × సమాంతర భుజాల పొడవుల మొత్తం
= \(\frac{1}{2}\)h(a + b).

→ సమచతుర్భుజం (రాంబస్) వైశాల్యం = కర్ణముల పొడవుల లబ్ధంలో సగం
= \(\frac{1}{2}\)d₁d₂

→ వృత్తం దాని కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం 360°.
వృత్త వైశాల్యం = πr² (r – వృత్త వ్యాసార్ధం)

→ π విలువ = \(\frac{22}{7}\) (సుమారుగా 3.14)
వృత్త పరిధి = 2πr (r – వృత్త వ్యాసార్ధం)

→ కంకణాకార స్థల వైశాల్యం = π (R² – r²) లేదాπ(R + r) (R – r)
ఇందులో R – బాహ్య వృత్త వ్యాసార్ధం,
I – అంతర వృత్త వ్యాసార్ధం.

→ కంకణాకార స్థల వెడల్పు, w = R – r
సెక్టారు వైశాల్యం, A = \(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr²
ఇందులో x° = సెక్టారు కోణం,
r = వృత్త వ్యాసార్ధం
(లేదా)
A = \(\frac{{lr}}{2}\)(l – సెక్టారు చాపం పొడవు, r – వృత్త వ్యాసార్ధం)

→ సెక్టారు చాపం పొడవు = \(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\) × 2πr
x° = సెక్టారు కోణం, r = వృత్త వ్యాసార్ధం.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 2nd Lesson Forests to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 2nd Lesson Forests

→ The world has several climatic zones.

→ Geographers defined the climatic region based on temperature and precipitation.

→ The tropical climatic region with dense forests are called “Selvas”.

→ Sahara desert is the biggest desert in the world.

→ The Tundra region stretch between the Arctic and Polar regions.

→ Large area covered with trees or shrubs in natural habitation in a particular place is called forest.

→ Forests are the places for survival for the tribals and variety of flora and fauna.

→ Forests are divided into five types based on climate, rainfall and types of soils.

→ According to the National Forest Policy -1952, forest should cover 33% of surface of total area.

→ Madhya Pradesh has the largest forest covei in the country

→ Haryana has the lowest forest cover in the country.

→ As per Indian State Forests Report 2019 Andhra Pradesh has a forest cover area of 37,392 sq kms, which amounts fo 22.94% of the total geographical area

→ In A.P, YSR Kadapa has highest forest area and Krishna has lowest forest area.

→ Deforestation is the cutting of trees in a large area, or the destruction of forest by people

→ Social forestry is a concept taken up for conservation of forests and afforestation in barren ‘ and deforested lands, forthe purpose of helping environment, social and rural development

Climatic Regions : Climatic region refers to a continuous geographic area in which similar climate characteristics are observed. Climatic region based on temperature and precipitation.

Concept of Forest : Large area covered with trees or shrubs in natural habitation in a particular place is called forest.

Types of Forests : Forests are divided into five types based on climate, rainfall and types of soils.

Uses of forests : Forests are useful for so many ways. We depend on forestsfor our survival, from the air we breathe to the wood we use. Forests are useful to us for Consumptive use, Marketing, & Balancing ecosystem, etc.

Issues and reasons for deforestation : Cutting of trees in a large area is called deforestation.
Reasons : 1) Industrial purpose
2) Construction of roads and dams etc.

Social forestry and conservation of forests : Social forestry is the management and protection of forests and afforestation of barren and deforested lands with fhe purpose of helping environmental social and rural development.

Conservation of forest is the practice of planting more trees and maintaining the forested areas for the sustaina-bility for future generations.

1. Flora : The plants of a particular region.

2. Fauna : The animals of a particular region.

3. Dense forest : The trees that grow close together.

4. Climate : The weather conditions prevailing in an area over a long period.

5. Transpiration : The exhalation of water vapour through the stomato.

6. Sundarbans : The dominant mangrove species in West Bengal.

7. Coniferous trees : Shrubs having needle shaped leaves.

8. Urbanisation : Population shift from rural to urban areas.

9. Aboriginal : Inhabiting in a land from the earliest times.

10. Global warming : Rapid increase in Earth’s average surface temperature.

11. Soil Erosion : Gradual removal of top layers of the earth.

1.

2.

3.

Students can go through AP Board 7th Class Maths Notes 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Maths Notes 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం

→ a : b మరియు c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd.

→ a, b లు రెండు రాశులు అయిన, a పెరుగుతున్నపుడు b కూడా పెరుగుతూ లేదా a తగ్గుతున్నపుడు b కూడా తగ్గుతూ ఉంటే అప్పుడు a, b లు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నాయి అని అంటాం.

→ a, b లు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే \(\frac{a}{b}\) = k అవుతుంది. ఇక్కడ k ని అనుపాత స్థిరాంకం అంటారు.

→ a, b లు రెండు రాశులు అయిన, ‘a’ పెరుగుతున్నపుడు ‘b’ తగ్గుతుంటే లేదా ‘a’ తగ్గుతూ ఉన్నపుడు ‘b’ పెరుగుతూ ఉంటే a, b లు విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయి అని అంటాం.

→ a, b లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే a × b = k అవుతుంది. ఇక్కడ k ని అనుపాత స్థిరాంకం అంటారు.

→ కొన్నిసార్లు ఒక రాశిలో మార్పు రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రాశులలో మార్పులపై ఆధారపడి ఉంటుంది. దీనినే మిశ్రమానుపాతం అంటాము.

→ 1% = 1/100 = 0.01 = 1: 100

→ లాభం = అమ్మిన వెల – కొన్న వెల

→ నష్టం = కొన్న వెల – అమ్మిన వెల

→ రాయితీ ఎల్లప్పుడూ ప్రకటన వెలపై లెక్కిస్తారు.

→ రాయితీ = ప్రకటన వెల – అమ్మిన వేల

→ సాధారణ వడ్డీ = \(\frac{\mathrm{P} \times \mathrm{T} \times \mathrm{R}}{100}\)

→ నిష్పత్తి : ఒకే రకమైన రెండు రాశులను భాగహారం ద్వారా పోల్చడాన్ని నిష్పత్తి అంటాం. a మరియు b రాశుల నిష్పత్తిని \(\frac{a}{b}\) లేదా a : b గా సూచిస్తాము.
ఈ రాశుల నిష్పత్తిని కనుగొనడానికి ఆ రాశులు ఎల్లప్పుడూ ఒకే ప్రమాణాలలో ఉండాలి.
& a : b లో ‘a’ ని పూర్వపదం అని, ‘b’ ని పరపదం అని అంటాము

→ అనుపాతం : రెండు నిష్పత్తుల సమానత్వాన్ని అనుపాతం అంటాము.

• a : b మరియు C : d సమానమైతే వాటిని a : b = c : d లేదా a : b :: c: d గా రాస్తాము.
• a : b = c : d అయితే a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి అని, a, d లను అంత్యములు అని, b, c లను మధ్యమములు అని అంటాం.
• a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉంటే ad = bc అనగా
  అంత్యముల లబ్ధం = మధ్యమముల లబ్ధం

→ బహుళ నిష్పత్తి : a : bమరియు c : d లు ఏవేని రెండు నిష్పత్తులైన వీని బహుళ నిష్పత్తి a × c: b × d అవుతుంది. (అనగా పూర్వపదాల లబ్ధం : పరపదాల లబ్ధం)
ఉదా : 2 : 3 మరియు 5 : 2 ల బహుళ నిష్పత్తి
= 2 × 5 : 3 × 2 = 10 : 6

→ అనులోమానుపాతం : రెండు రాశులలో ఒక రాశి పెరిగినపుడు, రెండవ రాశి కూడా అదే అనుపాతంలో పెరిగినా లేదా ఒక రాశి తగ్గినపుడు రెండవ రాశి కూడా అదే అనుపాతంలో తగ్గితే, అప్పుడు ఆ రెండు రాశులు అనులోమానుపాతంలో కలవు అంటారు.
x మరియు y అనే రాశులు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే x ∝ y తో సూచిస్తాము. మరియు x = ky ఇక్కడ kను అనుపాత స్థిరాంకం అంటారు.
x ∝ y అయితే x = ky.
∴ \(\frac{x}{y}\) = k
అనగా X మరియు y ల నిష్పత్తి ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది.
ఉదా : పనివాళ్ళ సంఖ్య (x) మరియు వారికి చెల్లించేందుకు అవసరమైన వేతనం (y) అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

→ విలోమానుపాతం : రెండు రాశులలో ఒక రాశి పెరిగినపుడు, రెండవరాశి అదే అనుపాతంలో తగ్గితే లేదా ఒక రాశి తగ్గినపుడు రెండవ రాశి అదే అనుపాతంలో పెరిగితే. అపుడు ఆ రెండు రాశులు విలోమానుపాతంలో ఉన్నాయని అంటాం.
x, y లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x ∝\(\frac{1}{y}\) గా రాస్తాము మరియు x = k. \(\frac{1}{y}\)
ఇక్కడ k ను అనుపాత స్థిరాంకం అంటారు.
x \(\frac{1}{y}\) అయితే x = k. \(\frac{1}{y}\) మరియు x . y = k అవుతుంది.
ఉదా : పనివాళ్ళ సంఖ్య (x) మరియు వారు ఒక పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజుల సంఖ్య (y) విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

→ మిశ్రమానుపాతం : ఒక రాశిలోని మార్పు, ఏవైనా మరొక రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ రాశులలో మార్పులపై ఏదో – ఒక అనుపాతంలో ఆధారపడి ఉంటుంది. దీనినే మిశ్రమానుపాతం అంటారు. మిశ్రమానుపాతం క్రింది విధంగా ఉండవచ్చును.

• ఒక రాశి మిగిలిన రెండు రాశులతో అనులోమానుపాతం కలిగి ఉండవచ్చు.
• ఒక రాశి మిగిలిన రెండు రాశులతో విలోమానుపాతం కలిగి ఉండవచ్చు.
• ఒక రాశి మిగిలిన రెండు రాశులలో ఒకదానితో అనులోమానుపాతం, మరొక దానితో విలోమానుపాతం కలిగి ఉండవచ్చు.

పై వానిలో

• వ సందర్భంలో మొదటి రాశుల నిష్పత్తికి, మిగిలిన రాశుల నిష్పత్తుల యొక్క బహుళ నిష్పత్తికి సమానం చేస్తాము.
• వ సందర్భంలో మొదటి రాశుల నిష్పత్తికి, మిగిలిన రాశుల విలోమ నిష్పత్తుల యొక్క బహుళ నిష్పత్తికి సమానం చేస్తాము.
• సందర్భంలో మొదటి రాశుల నిష్పత్తికి, మిగిలిన రాశులలో అనులోమానుపాతంలో గల రాశుల యొక్క నిష్పత్తికి మరియు విలోమానుపాతంలో గల రాశుల యొక్క విలోమ నిష్పత్తుల యొక్క బహుళ నిష్పత్తికి సమానము.

→ శాతాలు : శాతం అనగా వంద (100)కి అని అర్థం.
శాతాన్ని ‘%’ అనే గుర్తుతో సూచిస్తాము.
5% అనగా నూటికి 5 అని అర్థము.
5% = 5 × \(\frac{1}{100}=\frac{5}{100}\) = 5 : 100
శాతాలను వ్యాపారం, ప్రభుత్వ పాలన, విద్యావిషయాలు, వైద్యరంగం, మొదలగు వానిలో ఉపయోగిస్తారు.

→ లాభం లేదా నష్టం :

• ఒక వస్తువును ఎంత ఖరీదుకు కొంటామో దానిని కొన్న వెల అని అంటాము. సూక్ష్మంగా కొ.వె. అని రాస్తాము.
• ఒక వస్తువును ఎంత ఖరీదుకు అమ్ముతామో దానిని అమ్మిన వెల అని అంటాము. సూక్ష్మంగా అ.వె. అని రాస్తాము.
• అమ్మిన వెల , కొన్న వెల కంటే ఎక్కువగా ఉంటే లాభం వస్తుంది.
  లాభం = అమ్మిన వెల – కొన్న వెల
  అమ్మిన వెల = కొన్న వెల + లాభం
• కొన్న వెల, అమ్మిన వెల కంటే ఎక్కువగా ఉంటే నష్టం వస్తుంది.
  నష్టం = కొన్న వెల – అమ్మిన వెల
  కొన్న వెల = అమ్మిన వెల + నష్టం

→ రాయితీ (ముదరా) : కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలలో వ్యాపారులు తమ వద్ద గల సరుకులను వానిపై గల వెల కన్నా తగ్గించి అమ్ముతారు. ఇలా తగ్గించడాన్ని రాయితీ లేదా (ముదరా) అంటారు. వస్తువుపై చూపించే ధరను “ప్రకటన వెల” అంటారు.
రాయితీని సాధారణంగా ప్రకటన వెలపై లెక్కించి శాతంగా ప్రకటిస్తుంటారు. రాయితీ = ప్రకటన వెల – అమ్మిన వెల .

→ సాధారణ వడ్డీ : తీసుకొన్న అప్పు మీద అదనంగా చెల్లించే సొమ్మును వడ్డీ అంటారు. తీసుకున్న అప్పును అసలు (P) అంటారు. వడ్డీని సాధారణంగా వంద (100) కు పరిమిత కాలానికి చెల్లిస్తారు.
ఇలా వందకు చెల్లించే సొమ్మును వడ్డీ రేటు (R) అని, పరిమిత కాలాన్ని కాలం (T) అని సూచిస్తాము. వడ్డీని I తో సూచిస్తాము.
సాధారణ వడ్డీ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
T కాలం తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం = అసలు + వడ్డీ = P + I
= P + \(\frac{\text { PTR }}{100}\) = P\(\left(1+\frac{\mathrm{TR}}{100}\right)\)
సాధారణంగా వడ్డీ శాతాన్ని సంవత్సరానికి తెలుపుతారు.