Class 10

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 9 Tangents and Secants to a Circle to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 9 Tangents and Secants to a Circle

→ The locus of points which are joined by a curve and are equidistant from a fixed point is called a circle. The fixed point here is called the centre of the circle.
(or)
A simple closed curve consisting of all points in a plane which are equidistant from a fixed point is called a circle. The fixed point is its centre and the fixed distance is its radius.

→ The path followed by a circular object is a straight line.

→ The line segment joining any two points on a circle is called a ‘chord’. The longest of all chords of a circle passes through the centre and is called a diameter.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) is a chord and \(\overline{\mathrm{PQ}}\) is a diameter.
\(\overline{\mathrm{OP}}\) is the radius of the circle,
diameter = 2 × radius d = 2r
r = \(\frac{d}{2}\)

→ There are three different possibilities for a given line and a circle.

Case (i): The line PQ and the circle have no point in common (or) they do not touch each other.
Case (ii): The line PQ and the circle have two common points (or)
The line PQ intersects the circle at two distinct points A and B. Here the line PQ is a “secant” of the circle.
Case (iii): The line PQ touches the circle at an unique point A (or) there is one and only one point common to both the line and circle.
Here \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}}\) is called a tangent to the circle at ‘A’.

→ The word tangent is derived from the Latin word “TANGERE” which means “to touch” and was introduced by Danish mathematician“Thomas Fineke” in 1583.

→ There is only one tangent to the circle at one point.

→ The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.

The radius OP is perpendicular to \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) at P.
i.e, OP ⊥ AB.

→ Construction of a tangent to a circle:
Draw a circle with centre ‘O’.
Take a point ‘P’ on it. Join OP.
Draw a perpendicular line to OP through ‘P’.

Let it be \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{XY}}\)
XY is the required tangent to the given circle passing through P.

→ Let ‘O’ be the centre of the given circle and \(\overline{\mathrm{AP}}\) is a tangent through A where OA is the radius, then the length of the tangent AP = \(\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OA}^{2}}\).

→ Two tangents can be drawn to a circle from an external point.

→ Let ‘O’ be the centre of the circle and P is an exterior point. There are exactly two tangents to the circle through P.
\(\overline{\mathrm{PA}}\) and \(\overline{\mathrm{PB}}\) are the tangents.

Here the lengths of the two tangents drawn from the external points are equal.
\(\overline{\mathrm{PA}}\) = \(\overline{\mathrm{PB}}\)

→ Construction of tangents to a circle from an external point:
Step – 1: Draw a circle with centre ‘O’ and with given radius.
Step – 2: Mark a point ‘P’ in the exterior of the circle and join ‘OP’.
Step – 3: Draw the perpendicular bisector \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{XY}}\) to \(\overline{\mathrm{OP}}\), intersecting at M.
Step – 4: Taking M as centre, MP or OM as radius, draw a circle which intersects the given circle at A and B.

Step – 5: Join PA and PB. PA and PB are the required tangents.

→ Consider a circle with centre ‘O’. PA and PB are the tangents from an exterior point ‘P’. Then, the centre of the circle lies on the bisector of the angle between two tangents drawn from the exterior point P.
∠OPA = ∠OPB

→ Consider two concentric circles with centre ‘O’. Let the chord \(\overline{\mathrm{AB}}\) of the larger/ bigger circle just touches the smaller circle, then it is bisected at the point of contact with the smaller circle.
In the figure, \(\overline{\mathrm{AB}}\) is the chord of bigger circle touching the smaller circle at P then AP = PB.

→ If AP and AQ are two tangents to a circle with centre ‘O’, then ∠PAQ = 2∠OPQ = 2∠OQP.

→ If a circle touches the sides of a quadrilateral ABCD at points P, Q, R and S then AB + CD = BC + DA.
i.e., sum of the opposite sides are equal.

→ The region enclosed by a secant/chord and an arc is called a ‘segment of the circle’.

Case (i): If the arc is a minor arc then the segment is a minor segment.
Case (ii): If the arc is a semi arc then the segment is a semi circle.
Case (iii): If the arc is a major arc then the segment is a major segment.

→ Area of a segment between the chord AB and whose arc makes an angle ‘x’ at the centre = \(\frac{x}{360}\) × πr²

i.e., Area of the segment APB = (Area of the corresponding sector OAPB) – (Area of the corresponding triangle OAB).

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 3 Polynomials to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 3 Polynomials

→ Polynomial: An algebraic expression in which the variables involved have only non-negative integer power is called a polynomial.
Ex: 2x + 5, 3x² + 5x + 6, -5y, x³, etc.

→ Polynomials are constructed using constants and variables.

→ Coefficients operate on variables, which can be raised to various powers of non negative integer exponents.
, etc. are not polynomials.

→ General form of a polynomial having n^th degree is p(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 …….. + a_n-1x + a_n where a₀, a₁, a₂,…… a_n-1, a_n are real coefficients and a₀ ≠ 0.

→ Degree of a polynomial:
The exponent of the highest degree term in a polynomial is known as its degree.
In other words, the highest power of x in a polynomial f(x) is called the degree of a polynomial f(x).
Example:
i) f(x) = 5x + \(\frac{1}{3}\) is a polynomial in the variable x of degree 1.
ii) g(y) = 3y² – \(\frac{5}{2}\)y + 7 is a polynomial in the variable y of degree 2.

→ Zero polynomial: A polynomial of degree zero is called zero polynomial that are having only constants.
Ex: f(x) = 8, f(x) = –\(\frac{5}{2}\)

→ Linear polynomial: A polynomial of degree one is called linear polynomial.
Ex: f(x) = 3x + 5, g(y) = 7y – 1, p(z) = 5z – 3.
More generally, any linear polynomial in variable x with real coefficients is of the form f(x) = ax + b, where a and b are real numbers and a ≠ 0.
Note: A linear polynomial may be a monomial or a binomial because linear polynomial f(x) = \(\frac{7}{5}\)x – \(\frac{5}{2}\) is a binomial, whereas the linear polynomial g(x) = \(\frac{2}{5}\) x is a monomial.

→ Quadratic polynomial: A polynomial of degree two is called quadratic polynomial.
Ex: f(x) = 5x², f(x) = 7x² – 5x, f(x) = 8x² + 6x + 5.
More generally, any quadratic polynomial in variable x with real coefficients is of the form f(x) = ax² + bx + c, where a, b and c are real numbers and a ≠ 0.
Note: A quadratic polynomial may be a monomial or a binomial or a trinomial.
Ex: f(x) = \(\frac{1}{5}\)x² is a monomial, g(x) = 3x² – 5 is a binomial and
h(x) = 3x² – 2x + 5 is a trinomial.

→ Cubic polynomial: A polynomial of degree three is called cubic polynomial.
Ex: f(x) = 8x³, f(x) = 9x³ + 5x²
f(y) = 11y³ – 9y² + 7y,
f(z) = 13z³ – 12z² + 11z + 5.

→ Polynomial of degree ‘n’ in standard form: A polynomial in one variable x of degree n is an expression of the form f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …….. + a₁x + a₀ where a₀, a₁, a₂,…… a_n, a_n are constants and a_n ≠ 0.
In particular, if a₀ = a₁ = a₂ = …… = a_n = 0 (all the constants are zero; we get the constants zero), we get the zero polynomial which is not defined.

→ Value of a polynomial at a given point: If p(x) is a polynomial in x and α is a real number. Then the value obtained by putting x = a in p(x) is called the value of p(x) at x = α.
Ex : Let p(x) = 5x² – 4x + 2, then its value at x = 2 is given by
p(2) = 5(2)² – 4(2) + 2 = 5(4) – 8 + 2 = 20 – 8 + 2 = 14 Thus, the value of p(x) at x = 2 is 14.

→ Graph of a polynomial: In algebraic or in set theory language, the graph of a polynomial f(x) is the collection (or set) of all points (x, y) where y = f(x).
i) Graph of a linear polynomial ax + b is a straight line.
ii) The graph of a quadratic polynomial (ax² + bx + c) is U – shaped, called parabola.

→ If a > 0 in ax² + bx + c, the shape of parabola is opening upwards ‘∪’.

→ If a < 0 in ax² + bx + c, the shape of parabola is opening downwards ‘∩’

→ Relationship between the zeroes and the coefficient of a polynomial:

Note: Formation of a cubic polynomial : Let α, β, and γ be the zeroes of the polynomial.
∴ Required cubic polynomial = (x – α) (x – β) (x – γ).

→ How to make a quadratic polynomial with the given zeroes : Let the zeroes of a quadratic polynomial be α and β.
∴ x = α, x = β
Then, obviously the quadratic polynomial is (x – α) (x – β) i.e., x² – (α + β)x 4- ap.
i.e., x² – (sum of the zeroes) x + product of the zeroes.

→ Division Algorithm : If p(x) and g(x) are any two polynomials with g(x) ≠ 0, then we can find polynomials q(x) and r(x) such that, p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
i.e., Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
where, r(x) = 0 or degree of r(x) < degree of g(x). This result is known as the division algorithm for polynomials.

→ Some useful relations:
α² + β² = (α + β)² – 2αp
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
α² – β² = (α + β) (α – β) = (α + β)\(\sqrt{(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta}\)
α³ + β³ = (α + β)³ – 3αβ(α + β)
α³ – β³ = (α – β)³ + 3αβ(α – β)

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 8 Similar Triangles to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 8 Similar Triangles

→ The geometrical figures which have the same shape but are not necessarily of the same size are called similar figures.

→ The heights and distances of distant objects can be found using the principles of similar figures.

→ Two polygons with same number of sides are said to be similar if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are in proportion.

→ A polygon in which all sides and all its angles are equal is called a regular polygon. Eg.:

→ The ratio of the corresponding sides is referred to as scale factor or representative factor.

→ All squares are similar.

→ All circles are similar.

→ All equilateral triangles are similar.

→ Two congruent figures are similar but two similar figures need not be congruent.

→ A square ABCD and a rectangle PQRS are of equal corresponding angles, but their corre¬sponding sides are not in proportion.

∴ The square ABCD and the rectangle PQRS are not similar.

→ The corresponding sides of a square ABCD and a rhombus PQRS are equal but their corresponding angles are not equal. So they are not similar.

→ If a line is drawn parallel to one side of a triangle intersecting the other two sides at two distinct points then the other two sides are divided in the same ratio.

In △ABC; DE // BC then \(\frac{AD}{DB}\) = \(\frac{AE}{EC}\).
This is called Basic proportionality theorem (or) Thale’s theorem.

→ If a line divides any two sides of a triangle in the same ratio, then the line must be parallel to the third side.

In △ABC, a line ‘l’ intersecting AB in D and AC in E
such that \(\frac{AD}{DB}\) = \(\frac{AE}{EC}\) then l // BC.
This is converse of Thale’s theorem.

→ Two triangles are similar, if
i) their corresponding angles are equal.
ii) their corresponding sides are in the same ratio.

→ If in two triangles, corresponding angles are equal, then their corresponding sides are in the same ratio or proportional and hence the two triangles are similar.

In △ABC, △DEF
∠A = ∠D
∠B = ∠E
∠C = ∠F
⇒ \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{AE}{DF}\)
∴ △ABC ~ △DEF (A.A.A)

→ If in two triangles, sides of one triangle are proportional to the sides of other triangle, then their corresponding angles are equal and hence the two triangles are similar.

In △ABC, △DEF
if \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{AE}{DF}\)
⇒ ∠A = ∠D
∠B = ∠E
∠C = ∠F
Hence, △ABC ~ △DEF (S.S.S)

→ If two angles of a triangle are equal to two corresponding angles of another triangle then the two triangles are similar.

In △ABC, △DEF
if ∠A = ∠D
∠B = ∠E
⇒ ∠C = ∠F (By Angle Sum property)
∴ △ABC ~ △DEF (A.A)

→ If one angle of a triangle is equal to one angle of other triangle and the sides including these angles are proportional, then the two triangles are similar.

In △ABC, △DEF if ∠A = ∠D, and
\(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{AC}{DF}\)
⇒ △ABC ~ △DEF (S.A.S)

→ The ratio of areas of two similar triangles is equal to the ratio corresponding sides.

→ If a perpendicular is drawn from the vertex, containing the right angle of a right angled – triangle to the hypotenuse, then the triangles on each side of perpendicular are similar to one another and to the original triangle. Also the square of the perpendicular is equal to the product of the lengths of the two parts of the hypotenuse.
In △ABC, ∠B = 90°
BD ⊥ AC

Then △ADB ~ △BDC ~ △ABC and
BD² = AD . DC

→ Pythagoras theorem: In a right angled triangle, the square of hypotenuse is equal to the sum of the squares of other two sides.

In △ABC; ∠A = 90°
AB² + AC² = BC²

→ In a triangle, if square of one side is equal to sum of squares of the other two sides, then the angle opposite to the first side is right angle.

In △ABC, if
AC² = AB² + BC² then ∠B = 90°
This is converse of Pythagoras theorem.

→ Baudhayan Theorem (about 800 BC):
The diagonal of a rectangle produces itself the same area as produced by its both sides (i.e., length and breadth).
In rectangle ABCD,

area produced by the diagonal AC = AC • AC
= AC²
area produced by the length = AB • BA = AB
area produced by the breadth = BC • CB = BC²
Hence, AC² = AB² + BC².

→ A sentence which is either true or false but not both is called a simple statement.

→ A statement formed by combining two or more simple statements is called a compound statement.

→ A compound statement of the form “If …… then ……” is called a Conditional or Implication.

→ A statement obtained by modifying the given statement by ‘NOT’ is called its negation.

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 2 Sets to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 2 Sets

→ Set theory is comparatively a new concept in mathematics.

→ This theory was developed by George Cantor.

→ A well defined collection of objects or ideas is known as “set”.

→ Well defined means that:
i) All the objects in the set should have a common feature or property.
ii) It should be possible to decide whether any given object belongs to the set or not.
Example or comparision of well defined and not well defined collections:

→ Some more examples of well defined collections:
i) Vowels of English alphabets, namely a, e, i, o, u.
ii) Odd natural numbers less than 11, namely 1, 3, 5, 7, 9.
iii) The roots of the equation x² – 3x + 2 = 0, i.e., 1 and 2.

→ Objects, elements and members of a set are synonymous words.

→ Sets are usually denoted by the capital letters like A, B, C, X, Y, Z, etc.

→ An object belonging to a set is known as a member/element/individual of the set.

→ The elements of a set are represented by small case letters,
i.e., a, b, c, , x, y, z, etc.

→ If ‘b’ is an element of a set A, then we say that ‘b’ belongs to A.

→ The word ‘belongs to’ is denoted by the Greek symbol ‘∈’.

→ Thus, in a notation form, ‘b’ belongs to A is written as b ∈ A and ‘c’ does not belong to ‘A’ is written as c ∉ A.

→ Representation of sets: Sets are generally represented by the following two methods.
i) Roster (or) Tabular form
ii) Rule method (or) Set builder form.

→ Roster (or) Tabular form: In this form, all elements of the set are written, separated by commas, within curly brackets.
Example:
i) The set of all natural numbers less than 5 is represented as N = {l,2,3,4}
ii) The set of all letters in the word “JANUARY” is represented as B = {A, J, N, R, U, Y}
Note:
a) In a set notation, order is not important.
b) The elements of a set are generally not repeated in a particular set.

→ Set builder form (or) Rule method: In this method, a set is described by using a representative and stating the property (or) properties which the elements of the set satisfy, through the representative.
Example:
i) Set of all natural numbers less than 5.
A = {x : x ∈ N, x < 5}
ii) Set of vowels of the English alphabet.
V = {x : x is a vowel in the English alphabet)
Note: It may be observed that we describe the set by using a symbol (x or y or z etc.) for elements of the set.

→ Types of set:

→ Empty set (or) Null set (or) Void set: A set, which does not contain any element is called an empty set (or) a null set (or) a void set.

→ Empty set is denoted by ∅ (or) { }

Example :
A = (x : x is a natural number smaller than 1}
B = {x : x² – 2 = 0 and x is a rational number}
C = (x : x is a man living on the moon}
Note: ∅ and { 0 } are two different sets. {0} is a set containing the single element ‘0’ while { } is a null set.

→ Singleton set: A set consisting of a single element is called a singleton set.
Examples:
{ 0 }, {- 7} are singleton sets.

→ Finite set: A set which is possible to count the number of elements of that set is called finite set.
Example – 1 : The set {3, 4, 5, 6} is a finite set, because it contains a definite number of elements i.e., only 4 elements.
Example – 2 : The set of days in a week is a finite set.

Example – 3 : An empty set, which does not contain any element (no element) is also a finite set.

→ Infinite set: A set whose elements cannot be listed, that type of set is called infinite set.

Example : i) B = {x : x is an even number}
ii) J = {x : x is a multiple of 7}
iii) The set of all points in a plane. s|s A set is infinite if it is not finite.

→ Equal sets: Two sets are said to be equal, if they have exactly the same elements.
For example: The set A and B are having same elements i.e., watch, ring, flower are said to be equal sets.

→ Cardinal number: The number of elements in a set is called the cardinal number of the set.
Example: Consider the finite set A = {1, 2, 4}
Number of elements in set ‘A’ is 3.
It is represented by n(A) = 3

→ Universal set: A set which consists of all the sets under consideration (or) discussion is called the universal set. (or) A set containing all objects or elements and of which all other sets or subsets.
It is usually denoted by ∪ (or) μ.

The universal set is usually represented by rectangles.
Example:
i) The set of real numbers is universal set for number theory.
Here ‘R’ is a universal set.
ii) If we want to study various groups of people of our state, universal set is the set of all people in Andhra Pradesh.

→ Subset: If every element of first set (A) is also an element of second set (B), then first set (A) is said to be a subset of second set (B).

→ It is represented as A ⊂ B.
Example :
Set A = {2, 4, 6, 8} is a subset of .
Set B = {1,2, 3, 4,5, 6, 7, 8}

→ Empty set is a subset of every set.

→ Every set is a subset of itself.

→ Consider ‘A’ and ‘B’ are two sets, if A ⊂ B and B ⊂ A ⇔ A = B.

→ A set doesn’t change if one or more elements of the set are repeated.

→ If A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

→ Venn Diagrams: Venn-Euler diagram or simply Venn diagram is a way of representing the relationships between sets.

→ These diagrams consist of rectangles and closed curves usually circles.
Example: Consider that U = {1, 2, 3, ……, 10} is
the universal set of which, A = {2, 4, 6, 8, 10} is a subset.
Then the Venn diagram is as:

→ Basic operations on sets: In sets, we define the operations of union, intersection and difference of sets.

→ Union of sets: The union of two or more sets is the set of all those elements which are either individual (or) both in common.

→ In symbolic form, union of two sets A and B is written as A ∪ B and usually read as “A union B”.

→ Set builder form of A ∪ B is A ∪ B = (x : x ∈ A or x ∈ B}

→ The union of the sets can be represented by a Venn diagram as shown (shaded portion).

→ It is evident from the definition that A ⊆ A ∪ B; B ⊆ A ∪ B.

→ Roster form of union of sets : Let A = {a, e, i, o, u} and B = (a, i, u} then A ∪ B = {a, e, i, o, u} ∪ { a, i, u} = {a, e, i, o, u}

→ Intersection of sets: The intersection of two sets A and B is the set of all those elements which belong to both A and B.

→ We denote intersection by A ∩ B.

→ We read A ∩ B as “A intersection B”.

→ Symbolically, we write A ∩ B = (x : x ∈ A and x ∈ B}

→ The intersection of A and B can be illustrated in the Venn diagram as shown in the shaded portion in the adjacent figure.

→ The intersection of A and B can be illustrated in the Roster form:
If A = {5, 6, 7, 8} and B = {7, 8, 9, 10} then A ∩ B = {7, 8}

→ Disjoint set: Consider A and B are two finite sets and if there are no common element in both A and B. Such set is known as disjoint set (or A ∩ B = ∅).
(or)
Two sets (finite) are said to be disjoint sets if they have no common elements. That is if the intersection of two sets is a null set they are disjoint sets.

→ The disjoint sets can be represented by means of the Venn diagrams as shown in the adjacent figure.

→ Difference of sets: The difference of sets A and B is the set of elements which belong to ‘A’ but do not belong to ‘B’.

→ We denote the difference of A and B by A – B or simply “A minus B”.

→ Set builder form of A – B is (x : x ∈ A and ∉ B}

→ Venn-diagram of A – B is

→ Venn-diagram of B – A is

→ A – B ≠ B – A

→ Fundamental theorem on sets:
If A and B are any two sets then n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) where
n (A ∪ B) = number of elements in the set (A ∪ B), also called cardinal number of A ∪ B
n (A) = number of elements in the set A also called cardinal number of A
n (B) = number of elements in the set B also called cardinal number of B

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 7 Coordinate Geometry to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 7 Coordinate Geometry

→ The branch of mathematics which deals with points in a coordinate plane is called Coordinate/Analytical geometry.

→ There is a definite one-one correspondence between the position of a point in a plane and a pair of numbers called coordinates.

→ In a Cartesian plane, the position of a point P is determined by two coordinates x and y, where x is the distance of P from Y – axis and y is the distance of P from X – axis. So we denote it by P (x, y).

→ Signs of coordinates in different quadrants:

→ The point of intersection of the axes is called the- origin represented by (0, 0).

→ Any point lying on X – axis is denoted by (x, 0) as its y-coordinate is zero.

→ A point on Y – axis is denoted by (0, y) as its x-coordinate is zero.

→ Distance between any two points P(x₁, y₁) and Q(x₂, y₂) is given by
PQ = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

→ Distance between any two points P(x₁, 0) and Q(x₂, 0) on the X – axis is | x₂ – x₁ |.
Distance between any two points P(0, y₁) and Q(0, y₂) on the Y – axis is | y₂ – y₁ |

→ The coordinates of the point P which divides the line joining of two points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) internally in the ratio m₁ : m₂ is

→ The midpoint of a line joining any two points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is

→ If the ratio in which ‘P’ divides two points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is k : 1, then

→ The point of concurrence of medians of a triangle is called its centroid.

→ Centroid divides each median in the ratio 2 : 1.

→ If (x₁, y₁), (x₂, y₂) and (x₃, y₃) are the vertices of a triangle, then its centroid is

→ The points P, Q on a line segment \(\overline{\mathrm{AB}}\) are said to be the points of trisection, if P and Q divides \(\overline{\mathrm{AB}}\) into three equal points i.e., AP = PQ = QB.

→ If P, Q are points of trisection of \(\overline{\mathrm{AB}}\), then P divides AB in the ratio 1 : 2 and Q divides AB in the ratio 2 : 1.

→ Area of a triangle AOB formed by the points origin O(0, 0), a point on X – axis A (x, 0) and another point on Y – axis B(0, y) is \(\frac{1}{2}\)xy.

→ If (x₁, y₁), (x₂, y₂) and (x₃, y₃) are the vertices of a triangle, then its area is

→ If three points are collinear, then the area of the triangle formed by these points is zero.

→ Let A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) and C (x₃, y₃) are the vertices of a triangle △ABC, then AB = c; BC = a and AC = b and

S = \(\frac{a+b+c}{2}\)(semi-perimeter)
Then area of △ABC = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)
This is called Heron’s formula.

→ Let ax + by + c = 0 represents a straight line; then any pair of coordinates (x₁, y₁) satisfying the linear equation ax + by + c = 0 is called its solution, i.e., if (x₁, y₁) is a solution of ax + by + c = 0 then ax₁ + by₁ + c = 0.

→ The inclination or angle made by a straight line with positive X-axis is called the slope of the straight line. Slope of a line joining any two points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

→ If ‘θ’ is the angle made by a line with X-axis, then slope m = tan θ.

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 1 Real Numbers to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 1 Real Numbers

→ “God made the integers. All else is the work of man” …… Leopold Kronecker

→ Euclid’s division lemma: Given positive integers a, b there exists unique pair of integers q and r satisfying
a = bq + r; 0 ≤ r < b
This result was first published / recorded in book VII of Euclid’s “The Elements”.

→ Euclid’s division algorithm is a technique to compute the Highest Common Factor (H.C.F) of two given numbers.
E.g: HCF of 80 and 130
130 = 80 × 1 + 50 80 = 50 × 1 + 30
50 = 30 × 1 + 20 30 = 20 × 1 + 10
20 = 10 × 2 + 0 and H.C.F = 10

→ Euclid’s division algorithm can also be extended to all integers.

→ Numbers which can be expressed in the form p/q, where q ≠ 0 and ‘p and q’ are integers are called rational numbers; represented by Q.
Q = { \(\frac{p}{q}\) ; q ≠ 0; p, q ∈ Z} .

→ Every rational number can be expressed either as a terminating decimal or as a non-terminating recurring decimal.

→ Numbers which can’t be expressed in p/q form are called irrational numbers represented by S. You may notice that the first letter of surds is ‘S’.
Eg: √2, √3, √5, …….. etc,

→ The combined set of rationals and irrationals is called the set of Real numbers; represented by R.
R = Q ∪ S.

→ Diagramatic representation of the number system:

where N = the set of natural numbers; W = the set of whole numbers;
Z = the set of integers; Q = the set of rational numbers;
S = the set of irrational numbers ; R = the set of real numbers.

→ Fundamental Theorem of Arithmetic: Every composite number can be expressed as a product of primes uniquely, (i.e.,) if x is a composite number, then
x = \(p_{1}^{l} \cdot p_{2}^{m} \cdot p_{3}^{n}\) …… where p₁, p₂, p₃, ….. are prime numbers and l, m, n, …… are natural numbers.
Eg: 420 = 2 × 210 = 2 × 2 × 105 = 2 × 2 × 3 × 35 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7
i. e. 420 = 2² × 3¹ × 5¹ × 7¹ and the factorisation on the R.H.S is unique.
Note: R.H.S is called exponential form of 420.

→  To find the H.C.F. of two or more numbers:
Step (i): Express given numbers in their exponential form.
Step (ii): Take the common bases.
Step (iii): Assign the respective smallest exponent from their exponential forms.
Step (iv): Take the product of the above.
Eg: H.C.E of 60 and 75 is
Step (i) 60 = 2² × 3 × 5 ; 75 = 3 × 5²
Step (ii) 3^O × 5^O [taking common bases]
Step (iii) 3¹ × 5¹ [∵ smallest exponent among 3¹ and 3¹ is 1]
Step (iv) 3 × 5 = 15 [smallest exponent among 5¹ and 5² is 1]
∴ H.C.F = 15
(i.e.) The highest common factor of the given set of numbers is the product of the com¬mon bases with the respective least exponents.

→ To find the L.C.M. of two or more numbers:
Step – 1: Express the given numbers in their exponential forms.
Step – 2: Take every base.
Step – 3: Assign the respective greatest exponent to each base.
Step – 4: Take the product of the above.
Eg: L.C.M. of 60 and 75 is
Step – 1: 60 = 2² × 3 × 5 ; 75 = 3 × 5²
Step – 2: 2^O × 3^O × 5^O
Step – 3: 2² × 3¹ × 5²
Step – 4: 4 × 3 × 25 = 300
L.C.M = 300

→ We may notice that the product of any two numbers N₁ and N₂ is equal to the product of their L.C.M. (L) and H.C.F. (H).
i.e., N₁ . N₂ = L.H

→ Let x = p/q be a rational number. If the numerator p is divided by the denominator q, we get the decimal form of x. The decimal form of x may or may not be terminating, i.e., every rational number can be expressed either as a terminating decimal or a non-terminating decimal. This gives us the following theorems.
Theorem – 1: Let ‘x’ be a rational number when expressed in decimal form, terminates, then x can be expressed in the form p/q where p, q are co-primes and the prime factorization of q is of the form 2ⁿ × 5^m, where n and m are non-negative integers.
Theorem – 2: Let x = p/q be a rational number, where q is of the form 2ⁿ × 5^m then x has a decimal expansion that terminates.
Theorem – 3: Let x = p/q be a rational number, where p, q are co-primes and the prime factorization of q is not of the form 2ⁿ . 5^m (n, m ∈ Z⁺) then x has a decimal expansion which is non-terminating recurring decimal.
Theorem – 4: Let ‘p’ be a prime number. If p divides a² then p divides a, where ‘a’ is a positive integer.

→ If a is a non-zero rational number and b is any irrational number, then (a + b), (a – b), a/b and ab are all irrational numbers.

→ Properties of Real Numbers:
If a, b and c are any three real numbers we may notice that

• a + b is also a real number – closure property w.r.t. addition
  a.b is also a real number – closure property w.r.t. multiplication
• a + b = b + a – commutative property w.r.t. addition
  a . b = b . a – commutative property w.r.t. multiplication
• (a + b) + c = a + (b + c) – associative law w.r.t.
  addition (a.b).c = a.(b.c) – associative law w.r.t. multiplication
• a + 0 = 0 + a = a, where ‘0’ is the additive identity,
  a × 1 = 1 × a = a, where 1 is the multiplicative identity,
• a + (-a) = (-a) + a = 0 where (a) and (-a) are additive inverse of each other.
  a × \(\frac{1}{a}\) = \(\frac{1}{a}\) × a = 1 where a and \(\frac{1}{a}\) are multiplicative inverse of each other.

→ If aⁿ = x, where a and x are positive integers and a ≠ 1, then we define log_ax = n read as logarithm of x to the base a is equal to n.
Eg.: 2⁴ = 16 ⇒ log₂16 = 4

→  log_ax + log_ay = log_axy

→ log_aa = 1

→ log_ax – log_ay = log_a\(\frac{x}{y}\)

→ log_a1 = 0

→ log_ax^m = m log_ax

→ In general, the bases in the logarithms are 10 (or) e, where e’ is approximated to 2.718.

→ If p is a prime number and p divides a² then p divides ‘a’ also.

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 6 Progressions to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 6 Progressions

→ The array of numbers following some rule is called a number pattern.
E.g.: 4, 6, 4, 6, 4, 6,…….

→ There is a relationship between the numbers of a pattern.

→ Each number in a pattern is called a term.

→ The series or list of numbers formed by adding or subtracting a fixed number to / from the preceding terms is called an Arithmetic Progression, simply A.P.
E.g.: 3, 5, 7,9, 11, ……

→ In the above list, each term is obtained by adding ‘2’ to the preceding term except the first term.

→ Also, we find that the difference between any two successive terms is the same throughout the series. This is called “common difference”.

→ The general form of an A.P. is
a, a + d, a + 2d, a + 3d,………, a + (n – 1) d.
Where‘a’is the first term, d is common difference.
Here d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = …….. = a_n – a_n-1

→ If the number of terms of an A.P. is finite, then it is a finite A.P.
E.g.: 10, 8, 6, 4, 2.

→ If the number of terms of an A.P. is infinite, then it is an infinite A.P.
E.g.: 4, 8, 12, 16, …….

→ If d > 0, then a_n > a_n-1 and if d < 0, then a_n < a_n-1

→ The general term or nth term of an A.P is a_n = a + (n – 1) d.
E.g.: The 10th term of 10, 6, 2, -2, ……. is
Here a = 10 ; d = a₂ – a₁ = 6 – 10 = -4
∴ a₁₀ = a + (n – 1) d = 10 + (10 – 1) × -4 = 10 – 40 + 4 = -26

→ Sum of first n-terms of an A.P. is S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] where a is the first term and l is the last term.
E.g.: 1 + 2 + 3 + …… + 80 = \(\frac{80}{2}\)(1 + 80) = 40 × 81 = 3240.

→ Sum of the first n-terms of an A.P. is given by, S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
Also, a_n = S_n – S_n-1.

→ In a series of numbers, if every number is obtained by multiplying the preceding number by a fixed number except for the first term, such arrangement is called geometric progression or G.P.
E.g.: 4, 8, 16, 32, 64,……
Here, starting from the second term, each term is obtained by multiplying the preceding term by 2.
The first term may be denoted by ‘a’, then we also see that
We call it “common ratio”, denoted by ‘r’

→ The general form of a G.P. is
a, ar, ar², ar³, ……. ar^n-1
i.e., a₁ = a, a₂ = ar, a₃ = ar², a_n = ar^n-1.

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 5 Quadratic Equations to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 5 Quadratic Equations

→ The general form of a linear equation in one variable is ax + b = c.

→ Any equation of the form p(x) = 0 where p(x) is a polynomial of degree 2, is a quadratic equation.

→ If p(x) = 0 whose degree is 2 is written in descending order of their degrees, then we say that the quadratic equation is written in the standard form.

→ The standard form of a quadratic equation is ax² + bx + c = 0 where a ≠ 0. We can write it as y = ax² + bx + c.

→ There are various occasions in which we make use of Q.E. in our day-to-day life.
Eg : The height of a rocket is defined by a Q.E.

→ Let ax² + bx + c = 0 be a quadratic equation. A real number α is called a root of the Q.E. if aα² + bα + c = 0. And x = α is called a solution of the Q.E.
(i.e.) the real value of x for which the Q.E ax² + bx + c = 0 is satisfied is called its solution.

→ Zeroes of the Q.E. ax² + bx + c = 0 and the roots of the Q.E. ax² + bx + c = 0 are the same.

→ To factorise a Q.E. ax² + bx + c = 0, we find p, q ∈ R such that p + q = b and pq = ac. This process is called Factorising a Q.E. by splitting its middle term.
Eg : 12x² + 13x + 3 = 0
here a = 12; b = 13; c = 3
a.c = 12 × 3 = 36 = 4 × 9 and
b = 4 + 9 here p = 9 and q = 4
Now 12x² + 13x + 3 = 0
⇒ 12x² + 9x + 4x + 3 = 0
⇒ 3x(4x + 3) + 1 (4x + 3) = 0
⇒ (4x + 3) (3x + 1) = 0
Here 4x + 3 = 0 or 3x + 1 = 0
⇒ 4x = -3 or 3x = -1
⇒ x = \(\frac{-3}{4}\) or \(\frac{-1}{3}\)
\(\frac{-3}{4}\) and \(\frac{-1}{3}\) are called the roots of the Q.E. 12x² + 13x + 3 = 0 and x = \(\frac{-3}{4}\) or \(\frac{-1}{3}\) is the solution of the Q.E. 12x² + 13x + 3 = 0.

→ In the above example, (4x + 3) and (3x +1) are called the linear factors of the Q.E. 12x² + 13x + 3 = 0.

→ We can factorise a Q.E. by adjusting its left side so that it becomes a perfect square.
Eg: x² + 6x + 8 = 0
⇒ x² + 2.x.3 + 8 = 0
⇒ x² + 2.x.3 = -8
The L.H.S. is of the form a² + 2ab
∴ By adding b² it becomes a perfect square
∴ x² + 2.x.3 + 3² = -8 + 3²
⇒ (x + 3)² = -8 + 9
⇒ (x + 3)² = 1
⇒ x + 3 = ± 1 Now we take x + 3 = 1 or x + 3 = -l
⇒ x = -2 or x = -4

→ Adjusting a Q.E. of the form ax² + bx + c = 0 so that it becomes a perfect square.
Step – 1 : ax² + bx + c = 0 ⇒ ax² + bx = -c ⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x = \(\frac{-c}{a}\)
Step – 2 :

Step – 3 :

Step – 4 : Solve the above.
E.g: 5x² – 6x + 2 = 0

→ Let ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) be a Q.E., then b² – 4ac is called the Discriminant of the Q.E.

→ If b² – 4ac > 0, then the roots of the Q.E. ax² + bx + c = 0 are given by
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\). This is called quadratic formula to find the roots.

The nature of the roots of a Q.E. can be determined either by its discriminant or its graph.
Q.E.: y = ax² + bx + c.

Students can go through AP SSC 10th Class Maths Notes Chapter 4 Pair of Linear Equations in Two Variables to understand and remember the concepts easily.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Notes Chapter 4 Pair of Linear Equations in Two Variables

→ An equation of the form ax + by + c = 0 where a, b, c are real numbers and where at least one of a or b is not zero (i.e, a² + b² ≠ 0) is called a linear equation in two variables x and y.

→ A pair of equations in the same two variables forms a pair of linear equations. The system of pair of equations in general a₁x + b₁y + c₁ = 0 ; a₂x + b₂y+ c₂ = 0
where a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ ∈ R such that a₁² + b₁² ≠ 0 and a₂² + b₂² ≠ 0

→ A pair of linear equations in two variables can be represented and solved by
a) Graphical method
b) Model method
c) Algebraic methods
i) Substitution method
ii) Elimination method
iii) Cross-multiplication method.

→ Graphical method: The two linear equations in two variables are represented by two straight lines on a graph sheet.
a) If they intersect at a point, then the point gives the unique solution of the two equations. In this case the two equations are consistent.
b) If the lines coincide, then there are infinitely many solutions. Each point on the line represents a solution. In this case, we say that the pair of equations is dependent or consistent.
c) If the two lines are parallel to one another, then the pair of equations has no solution. In this case we say that the pair of equations is inconsistent. Substitution method : In this method, we make one of the variables x or y as the subject from the first equatiori. We substitute this value in the second equation and get the value of the variable involved, then by substituting this value in any of the equations we get the value of second variable.
Eg : 2x + 4y = 16 …….. (1)
3x – 8y = – 18 …….. (2)
From equation (1); 2x + 4y = 16 ⇒ 2x = 16 – 4y ⇒ x = \(\frac{16-4y}{2}\)
Substituting x = \(\frac{16-4y}{2}\) in the second equation
\(3\left(\frac{16-4 y}{2}\right)\) – 8y = -18
48 – 12y – 16y = – 18 × 2
-28y = -36 – 48
y = \(\frac{-84}{-28}\) = 3
Substituting y = 3 in (1), 2x + 4y = 16
2x + 4(3) = 16
2x = 16 – 12
x = 2

→ Elimination method: In this method we first try to eliminate one of the two variables and by reducing the system to equation in one variable. We then solve for the variable.
The following steps may be adopted:
Step – 1: Multiply both the equations by some suitable non-zero constants to make the co-efficients of one variable (either x or y) numerically equal.
Step – 2: Add or subtract one equation from other so that one variable gets eliminated. If we get an equation in one variable, proceed to step 3.
If in step – 2, we obtain a true statement involving no variable, then the original pair of equations has infinitely many solutions.
If in step – 2, we obtain a false statement involving no variable, then the original pair of equations has no solutions, i.e., it is inconsistent.
Step – 3: Solve the equation in one variable (x or y) so obtained to get its value.

→ Cross-multiplication method: Let the pair of equations be a₁x + b₁y + c₁ = 0 ; a₂x + b₂y+ c₂ = 0

→ In every case, the obtained solutions should always be verified with the original equations.
Let a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y+ c₂ = 0, form a pair of linear equations. Then the following situations can arise,
Case – (i): \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) ≠ \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) – pair of linear equations is consistent.
Case – (ii): \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) – pair of linear equations is inconsistent.
Case – (iii): \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) = \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) – pair of linear equations is dependent and consistent.

→ There are several situations which can be mathematically represented by two equa¬tions that are not linear to start with. But we alter them so that they are reduced to a pair of linear equations.

→ The pair of values of the variables x and y for which the pair of equations is satisfied is called the solution pair.

AP State Board Syllabus AP SSC 10th Class Telugu Important Questions Chapter 4 వెన్నెల

AP State Syllabus SSC 10th Class Telugu Important Questions 4th Lesson వెన్నెల

10th Class Telugu 4th Lesson వెన్నెల 2 Marks Important Questions and Answers

ఈ క్రింది ప్రశ్నలకు నాలుగైదు వాక్యాల్లో సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 1.
రాత్రి అనే ఆలోచన రానీక చీకటి అనే పేరు విననీక ‘వెన్నెల’ ను వర్ణించిన కవిని గురించి తెల్పండి. (March 2017)
(లేదా)
చంద్రోదయాన్ని అత్యంత మనోహరంగా వర్ణించిన “వెన్నెల” పాఠ్యభాగ ‘కవి పరిచయం’ వ్రాయండి. (March 2019)
జవాబు:
వెన్నెల పాఠ్యభాగం ఎఱ్ఱన గారు రచించారు. ఆయన తల్లి పేరు పోతమాంబిక, తండ్రి పేరు సూరనార్యుడు. ఆయన 14వ శతాబ్దం ప్రథమార్ధంలో జీవించారు. ఎఱ్ఱన గురువుగారి పేరు శంకరస్వామి. ఎఱ్ఱనకు ప్రబంధ పరమేశ్వరుడు, శంభుదాసుడు అనే బిరుదులు కలవు.

ప్రశ్న 2.
ఎఱ్ఱన రచనల గురించి వ్రాయండి.
జవాబు:
ఎఱ్ఱన ఆంధ్రమహాభారతంలోని అరణ్యపర్వశేషం రచించాడు. హరివంశం, నృసింహపురాణం, రామాయణం మొ||నవి రచించాడు.

ఆంధ్రమహాభారతంలోని అరణ్య పర్వశేషాన్ని రాజరాజ నరేంద్రునికి అంకితమిచ్చాడు. హరివంశం, రామాయణాలను ప్రోలయవేమారెడ్డికి అంకితమిచ్చాడు. నృసింహపురాణమును అహోబిల నృసింహస్వామికి అంకితమిచ్చాడు.

ప్రశ్న 3.
ఎఱ్ఱన రచనా వైశిష్ట్యాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఎఱ్ఱన రచనలలో వర్ణనలు అధికంగా కనిపిస్తాయి. ఆయన రచించిన నృసింహపురాణంలో ‘అష్టాదశ (18) వర్ణనలు’ ఉన్నాయి. తరువాతి కాలంలో వర్ణనాత్మక కావ్యాలు రావడానికి ఎఱ్ఱన వర్ణనలే కారణం. అందుచేతనే ఎఱ్ఱనను ‘ప్రబంధ పరమేశ్వరుడు’ అని సాహితీలోకం గౌరవించింది.

ఎఱ్ఱన నృసింహపురాణం యొక్క ప్రభావం బమ్మెర పోతన భాగవతంపై ఎక్కువగా కనిపిస్తుంది. పోతన భాగవతంలోని ప్రహ్లాద చరిత్రలో ఎఱ్ఱన ప్రభావం స్పష్టంగా కనిపిస్తుందని పరిశోధకులు నిరూపించారు.

ప్రశ్న 4.
‘కాటుక గ్రుక్కినట్టి కరవటంబున జగదండ ఖండమమెరె’ ఈ మాటలు కవి ఏ సందర్భంలో పేర్కొన్నాడో వివరించండి. ఈ పోలికను విశ్లేషించండి.
జవాబు:
సంధ్యా సమయం తర్వాత విశ్వమంతా చీకటి వ్యాపించిందని చెబుతున్న సందర్భంలో కవి ఈ మాటలను పేర్కొన్నాడు.

చీకటిలో భూమి, ఆకాశం, దిక్కులూ అన్నీ కలిసి పోయాయి. అప్పుడు బ్రహ్మాండ ఖండం కాటుక నింపిన పెద్ద భరిణెలా ఉందన్నాడు. బ్రహ్మాండంలో 14 లోకాలుంటాయి. పై లోకాలు 7. క్రింది లోకాలు 7. మధ్యలోనిది భూలోకం. చీకటి కేవలం భూగోళానికి మాత్రమే ఏర్పడింది. అందుకే పైన, క్రింద సమానమైన మూతలు గల భరిణెతో భూగోళాన్ని పోల్చాడు. దీనిద్వారా ఎఱ్ఱనగారి పరిశీలనా దృష్టి, లోకజ్ఞానం వ్యక్తమౌతున్నాయి.

ప్రశ్న 5.
ఈ పాఠంలో కవి వెన్నెలను వర్ణించడానికి ఏయే అంశాలను ఎన్నుకొన్నాడు?
జవాబు:
ఆకాశమనే చెట్టు దిక్కులనే కొమ్మలతో, వెలుగులీనే నక్షత్రాలనే పూలతో ప్రకాశిస్తోందన్నాడు. అప్పుడే ఉదయిస్తున్న చంద్రుడు తన కిరణములనే చేతులతో ఆ ఆకాశపు చెట్టుకున్న నక్షత్రాలనే పూలను కోయడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాడని పేర్కొన్నాడు. ఈ పద్యంలో వెన్నెలను వర్ణించడానికి చెట్టు, కొమ్మలు, పూలు, బాల్యచేష్టలు అనే అంశాలను కవి ఎన్నుకొన్నాడు.

‘వెన్నెల వెల్లి ….’ అనే పద్యంలో వెన్నెల ప్రవాహాన్ని పాలసముద్రంతో పోల్చాడు. చంద్రుడిని ఆదిశేషువుతో పోల్చాడు. చంద్రునిలోని మచ్చను శ్రీమహావిష్ణువుతో పోల్చాడు.

ఈ పద్యంలో తెల్లని వెన్నెలను తెల్లటి పాలసముద్రం ఎన్నుకొని పోల్చాడు. అలాగే తెల్లని చందమామను పోల్చడానికి నల్లటి మచ్చను పోల్చడానికి నల్లని విష్ణువును ఎన్నుకొన్నాడు.

ప్రశ్న 6.
పతిభక్తికి ఆదర్శం పద్మిని అని ఎలా చెప్పగలవు?
జవాబు:
మహా తేజస్సంపన్నుడైన సూర్యుని చూసిన కంటితో అల్పమైన తేజస్సు గల ఇతరులను చూడడానికి మనస్సు అంగీకరించదు. అందుకే కదిలెడి తుమ్మెదలనెడు కనుగ్రుడ్లు గల గొప్పదైన పద్మము అనెడు తన కంటిని వెంటనే మూసుకొన్నది.

ఎంతటి మహా పతివ్రతయైన పరపురుషుని కనీసం చూడనైనా చూస్తుంది. కానీ, పద్మిని మాత్రం కనీసం పరపురుషుని చూడడానికి కూడా అంగీకరించలేదు. అందుకే పద్మిని పతిభక్తికి ఆదర్శం. సూర్యోదయంకాగానే కమలాలు వికసిస్తాయి. సూర్యాస్తమయం కాగానే పద్మాలు ముడుచుకొంటాయి. ఇది లోక సహజం.

ప్రశ్న 7.
బాలచంద్రుడెలా ఉన్నాడు?
జవాబు:
పిల్లలకు ప్రాకడం సహజ లక్షణం. ఎక్కడైనా మెరుస్తున్నవి కనిపిస్తే, అవి లాగడం కూడా సహజమే.

అలాగే ఆకాశంలోని చంద్రుడు కూడా ఉన్నాడు. ఆకాశమే పెద్ద చెట్టులాగ ఉంది. దిక్కులు దానికి కొమ్మలులా ఉన్నాయి. నక్షత్రాలు కొమ్మల చివర పువ్వులులా ఉన్నాయి. అప్పుడే ఉదయించిన బాలచంద్రుడు తన పొడవైన కరములతో ఆ నక్షత్రాలనే పువ్వులు కోయడానికి ప్రయత్నిస్తున్నట్లున్నాడు.

ప్రశ్న 8.
వెన్నెలెలా ఉంది?
జవాబు:
వెన్నెల పాలసముద్రంలాగా తెల్లగా ఉంది. అది విజృంభించి దిక్కులన్నీ ముంచుతోంది. రజనీకరబింబం ఆదిశేషువులాగా తెల్లగా ఉంది. చంద్రునిలోని నల్లని మచ్చ ఆదిశేషునిపై పవ్వళించిన శ్రీమహావిష్ణువులా ఉంది.

పాలసముద్రంలో శ్రీమహావిష్ణువు ఆదిశేషునిపై పవ్వళిస్తాడు. ఈ సందర్భాన్ని వెన్నెలతో సమన్వయం చేస్తూ ఎఱ్ఱనగారు అద్భుతమైన కల్పన చేశారు.

ప్రశ్న 9.
పడమటి దిక్కును ఎఱ్ఱని తెరతో పోల్చడం సరైనదేనా? ఎందుకు?
జవాబు:
సాయం సమయంలో సూర్యుడు అస్తమిస్తాడు. సూర్యాస్తమయం సమయంలో సూర్యుడు పడమటి దిక్కుకు వెడతాడు. అప్పుడు సూర్యబింబం చాలా ఎర్రగా ఉంటుంది. అప్పుడు సూర్యుని కాంతి కిరణాలు కూడా ఎరుపురంగులో ఉంటాయి. ఆ సూర్యకాంతికి పడమటి దిక్కంతా ఎర్రగా అవుతుంది. .

సాధారణంగా తెరలు తెలుపురంగులో ఉంటాయి. ఆయా సన్నివేశాలకు తగినట్లు తెరపైకి కాంతిని ప్రసరింపచేస్తూ, రంగులు మార్చడం నాటకాలలో సహజం. ఇక్కడ కూడా నాట్యం చేసే నిశాసతికి తగినట్లుగా పడమటి దిక్కు అనే తెర ఎరుపురంగులో ఉంది అనడం’ అద్భుతమైన ఊహ.

ప్రశ్న 10.
లోకంలో చీకటి అలుముకున్న సందర్భాన్ని కవి ఎలా వర్ణించాడు?
జవాబు:
కవి ఎట్టా ప్రెగ్గడ ‘వెన్నెల’ పాఠంలో చీకటి యొక్క వ్యాప్తిని ఇలా వర్ణించాడు. సంధ్యాకాలం తరువాత చీకట్లు లోకమంతా వ్యాపించాయి. ఆ చీకటిలో భూమి, ఆకాశం, దిక్కులు అన్నీ ఒకటిగా కలిసిపోయాయి. అప్పుడు బ్రహ్మాండ ఖండము, కాటుక నింపిన పెద్ద బరిణె ఏమో అన్నట్లు ఉంది. అంటే అధికమైన చీకట్ల రాశీ వల్ల, దిక్కులు, భూమి, ఆకాశం ఒకదానిలో ఒకటి కలిసి పోయాయి. విశ్వము బాగా కాటుక నింపిన బరిణె ఏమో అన్నట్లు నల్లగా కనిపించిందని కవి వర్ణించాడు.

10th Class Telugu 4th Lesson వెన్నెల 4 Marks Important Questions and Answers

ఈ క్రింది ప్రశ్నలకు 10 లేక 12 వాక్యాల్లో జవాబులు రాయండి.

ప్రశ్న 1.
రాత్రి అనే ఆలోచన రానీయక, చీకటి అనే పేరును విననీయక ఆనంద తరంగంలా విస్తరించిన వెన్నెల విజృంభణను మీ సొంతమాటల్లో రాయండి.
జవాబు:
చంద్రుడు ఉదయించాడు. వెన్నెల ప్రవాహం పాలసముద్రంలా పొంగి ఆకాశాన్ని ముంచెత్తింది. చంద్రబింబం ఆ పాలసముద్రంలో గుండ్రంగా చుట్టుకొన్న ఆదిశేషుడి శయ్యలా, చంద్రుడిలోని మచ్చ ఆ శయ్య మధ్యన ఉన్న విష్ణువులా కనబడింది.

ఆ వెన్నెలలో కలువల రేకులు విచ్చుకున్నాయి. కలువ పూలలో తేనెలు పొంగి కెరటాలుగా విజృంభించాయి. తుమ్మెదలకు విందు చేస్తూ పూల పరిమళాలు బయలుదేరాయి.

చంద్రకాంత శిలల వానలతో, చకోరాల రెక్కల స్పర్శలతో, స్త్రీల చిరునవ్వుల కాంతులతో అతిశయించి, దిక్కులన్నింటినీ ముంచెత్తి వెన్నెల సముద్రంలా వ్యాపించింది. ఆ వెన్నెల అనే సముద్రపు నీటి నుండి చంద్రుడు ఆవిర్భవించాడు.

ఆ విధంగా అందంగా, గంభీరంగా, నిండుగా చంద్రుని వెన్నెల వ్యాపించింది.

అది రాత్రి అనే ఆలోచనను రానీయలేదు. చీకటి అనే పేరు విననీయలేదు. అవ్యక్తం అనే అనుమానాన్ని కలిగించలేదు. ఆ వెన్నెల కళ్ళకు అమృతపు జల్లులా, శరీరానికి మంచి గంధంలా, మనసుకు ఆనంద తరంగంలా విజృంభించింది.

ప్రశ్న 2.
పద్యభావాలను ఆధారంగా చేసుకొని పాఠ్యభాగ సారాంశాన్ని ఇరవై వాక్యాలకు కుదించి రాయండి.
జవాబు:

1. సాటిలేని కాంతి గల సూర్యుని చూచినట్లుగా అల్ప తేజస్సు కలవానిని చూడలేనని సాయంసంధ్యలో కమలం కళ్లు (రేకులు) మూసుకొన్నది.
2. నక్షత్రాలనే పూలతో అలంకరింపబడిన ఆకాశమనే వేదికపై నాట్యం చేయడానికి రాత్రి అనే స్త్రీకి ఏర్పరచిన ఎఱ్ఱని పరదా వలె పడమటి దిక్కు శోభించింది.
3. ఇంతలో ఆకాశం, భూమి, దిక్కులు ఒక్కటి చేస్తూ చీకటి, ప్రపంచాన్ని కాటుక భరిణిగా మార్చింది.
4. అంతలో తూర్పున చంద్రుడు ఉదయించాడు. అప్పుడు చంద్రబింబం చీకటి అనే పిశాచపు బాధా నివారణకు ముల్లోకాలనెడు స్త్రీ ధరించిన ఎఱ్ఱని బొట్టువలె ఉంది.
5. రాత్రి అనెడు స్త్రీ తూర్పు దిక్కుకు ఇచ్చిన ఎఱ్ఱని గురువింద పూసల దండవలే శశిబింబం ఉంది.
6. ఐరావతం మూపురంపై ఉన్న ఎఱ్ఱని అలంకారంలా, ఇంద్రసభలోని మాణిక్యదీపంలా నెలవంక గోచరించింది.
7. తెల్లకలువ అనురాగ రసంతో నింపిన మాత్రవలె కన్పించింది.
8. స్త్రీలకు ఉత్సాహం పెంచే ఔషధపు ముద్దలా మెరిసింది.
9. అలా అలా చంద్రుడు పెరుగుతూ ఉన్నాడు.
10. ఆకాశమనే వృక్షానికి గల దిక్కులనే కొమ్మలలోని నక్షత్రాలనే పూలు కోయడానికి తన కరములతో ఉత్సాహంగా ఆకాశంలో పాకుతున్నాడు.
11. వెన్నెలనే పాల సముద్రంతో దిశలు, ఆకాశం ముంచుతున్న నెలవంక శేషపాన్పులా కనువిందు చేసింది.
12. చంద్రునిలోని మచ్చ విష్ణువువలె కన్పించింది.
13. ఆ పండు వెన్నెలలో కలువలు బాగా వికసించి, వెన్నెలకు పరవశిస్తూ కొంట్రొత్త సువాసనలు వెదజల్లుతూ నేత్రపర్వం చేస్తున్నాయి.
14. వెన్నెల అనే సముద్రం చంద్రకాంత శిలలను తడుపుతూ, చక్రవాకపక్షుల రెక్కల వేగం పెంచుతూ, విరబూసిన కలువలను ఆకర్షిస్తూ, అనేక విధాల అందగించింది.
15. అందంతో రాత్రి అనే ఆలోచన రానివ్వక వెన్నెల చూచేవారి కళ్లకు అమృతాభిషేకం చేస్తోంది.
16. వెన్నెల తన గంభీరతతో చీకటి అనే పేరు విననివ్వక శరీరానికి గంధపు వర్షం అవుతోంది.
17. ధీరమైన వెన్నెలను చూస్తే పరమాత్మ కూడా గుర్తుకు రాడు.
18. ఎందుకంటే వెన్నెలను చూస్తుంటే అంతరాత్మకు బ్రహ్మానందం కలుగుతుంది.
19. ఈ విధంగా కళ్లకు, శరీరానికి, ఆత్మకు ఆనందకారకమైంది వెన్నెల.
20. ఈ వర్ణన ఎఱ్ఱన కవిత్వంలో కలికితురాయి.

ప్రశ్న 3.
సాయం సంధ్యా సమయంలో ఆకాశం ఎలా ఉందని కవి వర్ణించాడు? అది ఎంతవరకు సమంజసం?
జవాబు:
సూర్యుడు అస్తమించేటపుడు ప్రకృతిని పరిశీలిస్తే మొదట జరిగేది కమలాలు ముడుచుకొంటాయి. అస్తమించే సూర్యునికాంతి వన్నె తగ్గుతుంది. ఆ కాంతిలో వెచ్చదనం తగ్గుతుంది. అందుకే కమలాలు ముడుచుకొంటాయి.

ప్రకృతి సహజమైన దీనిని కవిగారు భార్యాభర్తల సంబంధంతో పోల్చారు. మహా తేజోవంతుడైన సూర్యుని చూసిన కంటితో అల్పతేజస్కులను చూడడానికి అంగీకరించదన్నట్లు పద్మిని తన కమలపు కంటిని మూసుకొన్నది అని చక్కగా వర్ణించారు.

సూర్యుడు పూర్తిగా పడమటి దిక్కుకు చేరి క్రిందకు అస్తమిస్తుంటే పడమటి దిక్కు ఎర్రబారుతుంది. పడమటి దిక్కు ఒక ఎర్రని తెరలా కవిగారు ఊహించారు. ఆ తేర వద్ద నటించడానికి రాత్రి అనే స్త్రీకి ఆకాశమనే వేదిక అలంకరించబడింది. కాలపురుషుడే సూత్రధారి, దిక్పాలకులే ప్రేక్షకులు.

అంటే సూర్యాస్తమయంతో ఒక అంకం ముగిసిపోయింది. క్రొత్త అంకానికి తెరలేచింది. ఇది ఒక అత్యద్భుతమైన నాటక రంగంగా కవి కల్పించాడు. సూర్యుడి అస్తమయంతో ఒక పెద్ద వెలుగు ఆకాశమనే రంగస్థలం నుండి ఖాళీ చేసి వెళ్ళిపోయింది.

రంగస్థలంపై ఎవరైనా కళాకారుడు ఉండాలి తప్ప, వేదిక ఖాళీగా ఉండకూడదు. వెలుగు ఖాళీ చేస్తే ఆ ప్రదేశాన్ని చీకటి ఆక్రమించడం సహజం.

క్రమేణా చీకటి దట్టంగా అలుముకొంది. ఆకాశం, నేల, దిక్కులు అన్నీ చీకటితో నిండిపోయాయి. బ్రహ్మాండంలో , భాగమైన భూగోళం ఒక కాటుక నిండిన భరిణెలా ఉందని ఎఱ్ఱనగారు ఊహించారు.

కవిగారి ఊహ చాలా సమంజసంగా ఉంది.

ప్రశ్న 4.
వెన్నెల వ్యాపించిన విధానాన్ని విశ్లేషించండి.
జవాబు:
వెన్నెల వ్యాపించిన విధానాన్ని ఎఱ్ఱనగారు చక్కగా వర్ణించారు. చంద్రుని ఒక చిన్నబాలుడుగా వర్ణించాడు. చిన్న పిల్లలకు చెట్లెక్కడం సరదా. పూలు, పళ్ళు కోయాలని చేతులు చాపడం సహజం. అది బాల్య చాపల్యం.

ఇక్కడ చంద్రుడు కూడా పుట్టి కొద్దికాలమే అయింది. అందుచే ఆకాశమనే చెట్టు పైకి ప్రాకాడు. దిక్కులనే కొమ్మలకు పూసిన నక్షత్రాలనే చుక్కలను కోయడానికి తన కరములు చాపాడు అని ఎర్రనగారు వర్ణించారు.

చీకటి పడగానే నక్షత్రాలు ఆకాశంలో రావడం సహజం. ఆ తరువాత చంద్రకిరణాలు ఆకాశంలోకి వ్యాపిస్తాయి. చంద్రకిరణాలు వ్యాపించే కొద్దీ వెన్నెల కాంతి పెరుగుతూ ఉంటుంది. వెన్నెల కాంతి పెరుగుతుంటే నక్షత్రాల కాంతి మసకబారుతూ ఉంటుంది. ఇది సహజం. దీనినే ఎర్రనగారు తన ఊహాబలంతో చాలా చక్కగా వర్ణించారు.

తరువాత పద్యంలో వెన్నెలను పాల సముద్రంతో పోల్చారు. చంద్రుడిని ఆదిశేషువుతో పోల్చారు. చంద్రుడిలోని నల్లని మచ్చను శ్రీమహావిష్ణువుతో పోల్చారు.

నిజానికి చంద్రుడి వలన వెన్నెల వ్యాపించింది. అది చంద్రుడిని మించిపోతుంది. చంద్రుడు ఆకాశంలో మాత్రమే కనిపిస్తాడు. వెన్నెల ప్రపపంచమంతా నిండిపోతుంది. దేనికైనా ఆవలి ఒడ్డు, ఈవలి ఒడ్డు ఉంటుంది. కాని అనంతమైనది సముద్రం. సముద్రంలో ఎటుచూసినా నీరే కనిపిస్తుంది. పాలసముద్రంలో ఎటుచూసినా తెల్లదనమే కనిపిస్తుంది. అలాగే ప్రపంచమంతా తెల్లటి వెన్నెలతో నిండిపోయింది.

పాలసముద్రంలో ఆదిశేషుడులా చంద్రుడు కనిపించాడు. ఆదిశేషువు తెలుపు. చంద్రుడు తెలుపే. కాని, చంద్రునిలో నల్లటి మచ్చను కూడా కవి వదలలేదు. అదే మహాకవుల లక్షణం. ఆ మచ్చను శ్రీమహావిష్ణువుతో పోల్చి తన చతురత నిరూపించారు ఎఱ్ఱనగారు.

ప్రశ్న 5.
వెన్నెల పాఠ్యాంశం ఆధారంగా ఎఱ్ఱన రచనా శైలిని విశ్లేషించండి.
జవాబు:
ఎఱ్ఱన వర్ణనలకు గీటురాయి వంటిది వెన్నెల పాఠం. సూర్యాస్తమయం జరిగినపుడు పద్మాలు ముడుచుకోవడం ప్రకృతిలో సాధారణమైన విషయం. కాని, అసమానమైన సూర్యుని చూసిన కంటితో ఇతరులను చూడడానికి అంగీకరించని పద్మిని తన పద్మమనే కంటిని మూసుకొన్నదని చక్కటి వర్ణన చేశాడు. పద్మాన్ని పద్మినీ జాతి స్త్రీతో పోల్చాడు. భార్యాభర్తల సంబంధాన్ని చక్కగా వర్ణించాడు.

‘సురుచిర తారకాకుసుమ శోభి’ అనే పద్యంలో సంధ్యాసమయంలో ఎఱ్ఱబడిన పడమటి దిక్కును పెద్ద తెరతో పోల్చాడు. ఆకాశాన్ని వేదికగా ఊహించాడు. నక్షత్రాలను పుష్పాలుగా ఊహించాడు. కాలమును సూత్రధారిగా భావించాడు. దిక్పాలకులను ప్రేక్షకులను చేశాడు. రాత్రిని నాట్యకత్తెగా మార్చాడు. ఈ పద్యంలో కూడా ఎఱ్ఱన వర్ణనాత్మక శైలిని ప్రదర్శించాడు.

‘దట్టమైన చీకటిని కాటుక భరిణెతో పోల్చి తన పరిశీలనాదృష్టిని ప్రదర్శించాడు.

అప్పుడే ఉదయిస్తున్న చంద్రుడు తన కరములతో ఆకాశమనే వృక్షమునకు గల దిక్కులనే కొమ్మలకు ప్రాకుతూ నక్షత్రాలనే పూలను కోయడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాడని వెన్నెల రావడాన్ని చక్కగా వర్ణించాడు.

ఇదే విధంగా ప్రతి పద్యంలోనూ ఎఱ్ఱనగారు తన ప్రత్యేకతను నిరూపించుకొన్నారు.

ప్రశ్న 6.
సూర్యాస్తమయానికి, చంద్రోదయానికి మధ్య కాలాన్ని కవి ఎలా వర్ణించాడు?
జవాబు:
“పద్మిని, తన ప్రియుడయిన గొప్ప తేజస్సు కల సూర్యుడిని చూసిన తన కళ్ళతో, అల్ప కాంతికల పరపురుషులను చూడడం తగదన్నట్లుగా, కదలుతున్న తుమ్మెద అనే నల్లగ్రుడ్డు కల పద్మం వంటి తన కన్నును మూసుకుందని” కవి వర్ణించాడు. అంటే సూర్యాస్తమయం కాగానే పద్మాలు ముడుచుకున్నాయని పద్మాలలో తుమ్మెదలు చిక్కుకున్నాయని భావం. పద్మాలు ముడుచుకోవడం, అవి తమ పతి భక్తిని ప్రదర్శించడానికా అన్నట్లు ఉందని కవి వర్ణించాడు.

1. రాత్రి అనే స్త్రీ చేయబోయే నాట్యానికి, రంగస్థలం మీద కట్టిన ఎఱ్ఱరంగు తోపు తెరవలె, పడమటి దిక్కున ఆకాశంలో సంధ్యారాగం కనబడింది.
2. చుక్కలతో కూడిన ఆకాశం, పువ్వులతో అలంకరించిన నాట్య రంగస్థలం వలె కన్పడింది.
3. రాత్రి అనే స్త్రీ ‘నర్తకి’ వలె ఉంది.
4. కాలము అనేది నాటక సూత్రధారుడు వలె ఉంది. అంటే సంధ్యాకాలమయ్యింది. పడమటి దిక్కున ఆకాశం ఎఱుపురంగులో కనబడుతోంది. ఆకాశంలో నక్షత్రాలు ఉదయించాయి. రాత్రి వస్తోంది. రాత్రి తన చీకటిని అంతా వ్యాపింప చేస్తుందని కవి తెలిపాడు.

ప్రశ్న 7.
చంద్రోదయానికి ముందు ప్రకృతి ఎలా ఉందో వివరించండి.
జవాబు:
1) చంద్రుడు, దిక్కులు అనే కొమ్మలను, తన పొడవైన కిరణాలు అనే చేతులతో పట్టుకొని, పైకి లేచి, ఆకాశము అనే చెట్టు యొక్క నక్షత్రాలు అనే పువ్వులను కోయడం కోసమేమో అన్నట్టు ఆకాశంలోకి పాకాడు. అంటే చంద్రుడి , కాంతి, ఆకాశం అంతా వ్యాపించిందని భావము.

2) వెన్నెల ప్రవాహం పాలసముద్రంలా పొంగి అన్ని దిక్కులనూ, ఆకాశాన్ని ముంచెత్తింది. అప్పుడు చంద్రబింబం, ఆ పాలసముద్రంలో గుండ్రంగా చుట్టుకొన్న ఆదిశేషుడి శయ్యను ఏర్పాటు చేసినట్లు ఉంది. చంద్రుడిలోని నల్లని మచ్చ ఆదిశేషువు శయ్యపై మధ్యలో ఉన్న విష్ణుమూర్తివలె కనబడింది.

అంటే చంద్రుడి వెన్నెల పాలసముద్రంలా కనబడింది. చంద్రబింబం, పాలసముద్రంలో విష్ణుమూర్తి నిద్రించే శేషుని పానుపు వలె కనిపించింది. చంద్రుడిలోని నల్లని మచ్చ, ఆదిశేషువుపై నిద్రించిన నీలవర్ణుడైన విష్ణువువలె కన్పించిందన్న మాట.

ప్రశ్న 8.
కవి వెన్నెలను ఏయే అంశాల ఆధారంగా వర్ణించాడు?
జవాబు:
కవి ఎట్టి ప్రెగ్గడ, వెన్నెలను వర్ణించడానికి క్రింది వస్తువులను ఎన్నుకొన్నాడు.

1. వెన్నెల పాలసముద్రంలా తెల్లగా వ్యాపించిందన్నాడు.
2. నిండు వెన్నెలలో కలువ పువ్వురేకులు విచ్చుకున్నాయని చెప్పాడు.
3. వెన్నెలకు చంద్రకాంత శిలలు కరిగి, జడివానలు కురిశాయన్నాడు.
4. చకోరపక్షులు, తమ రెక్కలతో వెన్నలను స్పృశించాయన్నాడు.
5. వెన్నెల, స్త్రీల అందమైన చిఱునవ్వుల కాంతి వలే ఉందన్నాడు.
6. వెన్నెల, సముద్రజలంలా వ్యాపించిందన్నాడు.
7. చూసే వారి కళ్ళకు వెన్నెల, అమృతపు జల్లులా, శరీరానికి పూసిన మంచిగంధపు పూతలా ఉందన్నాడు.
8. వెన్నెల చూసే వారి మనస్సులకు ఆనంద తరంగము వలె ఉందన్నాడు.

ప్రశ్న 9.
వెన్నెల వ్యాపించినపుడు ప్రకృతిలో కలిగిన మార్పులేమి?
జవాబు:
చంద్రోదయము :

1. చంద్రుడు ఉదయించాడు. వెన్నెల ప్రవాహం, పాలసముద్రంలా పొంగి ఆకాశాన్ని ముంచెత్తింది.
2. చంద్రబింబం, ఆ పాలసముద్రములో గుండ్రంగా చుట్టుకొన్న ఆదిశేషుడి పానుపులా, చంద్రుడిలోని మచ్చ, ఆ శయ్యపై ఉన్న విష్ణువులా కనబడింది.
3. ఆ వెన్నెలలో కలువటేకులు విచ్చుకున్నాయి. కలువపూలలో తేనెలు పొంగి, కెరటాలుగా విజృంభించాయి. తుమ్మెదలకు విందు చేస్తూ పూల పరిమళాలు వ్యాపించాయి.
4. చంద్రకాంత శిలలు కరిగిన జడివానలతో, చకోరాల టెక్కల స్పర్శలతో, స్త్రీల చిఱునవ్వుల కాంతులతో అతిశయించి, దిక్కులన్నింటిలో ముంచెత్తి, వెన్నెల సముద్రంలా వ్యాపించింది. ఈ విధంగా అందంగా, గంభీరంగా, నిండుగా చంద్రుని వెన్నెల వ్యాపించింది.

ప్రశ్న 10.
చంద్రోదయానికి ముందు, తరువాత జరిగిన మార్పులను వివరించండి.
జవాబు:
చంద్రోదయానికి ముందు మార్పులు :

1. సూర్యుడు అస్తమించాడు.
2. పద్మములు ముడచుకున్నాయి.
3. తుమ్మెదలు ఆ పద్మాలలో చిక్కుపడ్డాయి.
4. పడమటి దిక్కున సంధ్యారాగం కనబడింది.
5. ఆకాశంలో నక్షత్రాలు ఉదయించాయి.
6. చీకటి బాగా పెరిగి, దిక్కులూ, భూమ్యాకాశాలు దానిలో కలిసి పోయాయి.
7. విశ్వం, కాటుక నింపిన బరిణెయా అన్నట్లు కనబడింది.

చంద్రోదయము తరువాత జరిగిన మార్పులు :

1. చంద్రుడు ఉదయించగానే, వెన్నెల ప్రవాహం పాలసముద్రం వలె పొంగి ఆకాశాన్ని ముంచెత్తింది.
2. చంద్రబింబం, ఆ పాలసముద్రంలో చుట్టచుట్టుకొన్న ఆదిశేషువు శయ్యవలె కనిపించింది.
3. చంద్రుడిలోని మచ్చ, ఆ శయ్య మధ్యన ఉన్న విష్ణువువలె కనబడింది.
4. వెన్నెలలో కలువరేకులు విచ్చుకున్నాయి. కలువలలో తేనెలు ఉప్పొంగాయి.
5. పువ్వుల పరిమళాలు వ్యాపించాయి. 6) చంద్రకాంత శిలలు కరిగి జడివానలు కురిశాయి.
6. చకోరాల లెక్కల స్పర్శలతో, స్త్రీల చిరునవ్వుల కాంతులతో అతిశయించి, వెన్నెల దిక్కులన్నింటినీ ముంచెత్తి, సముద్రంలా వ్యాపించింది.

10th Class Telugu 4th Lesson వెన్నెల Important Questions and Answers

ప్రశ్న 1.
నీకు నచ్చిన ప్రకృతి దృశ్యాన్ని వర్ణిస్తూ ఒక కవిత రాయండి.
జవాబు:
చంద్రోదయము
1) “చెరువులో నీరు గాలికి తిరుగుచుండె
కలువపుష్పాలు వికసించి కనులు తెరిచె
పూల గంధాల మధుపాలు మురియుచుండె
చంద్రకాంతులు వ్యాపించే జగము నిండ”

2) దివిని చుక్కల పూవులు తేజరిల్లె
రాత్రి సతికట్టె నల్లని రంగు చీర
చంద్రుని రాకకు జగమంత సంతసించె
విశ్వమంతకు వెన్నెల విందు చేసె

ప్రశ్న 2.
మీ పాఠం (వెన్నెల) ఆధారంగా ఎఱ్ఱన రచనా శైలిని వివరిస్తూ మీ తండ్రిగారికి లేఖ రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 3.
వెన్నెలను వర్ణిస్తూ కవిత వ్రాయండి.
జవాబు:
“వెన్నెలా ! కన్నెపిల్లల చిన్నారి ముద్దుల చెల్లెలా !
వెన్నెలా ! ప్రేమికుల మనసుల మల్లెచెండులా
వెన్నెలా ! చంద్రుని చిరునవ్వుల పన్నీరులా
వెన్నెలా ! పసిపాపల ముద్దుల బోసి నవ్వులా
వెన్నెలా ! కన్నతల్లుల కమనీయ రాగవెల్లిలా
వెన్నెలా ! మా చిన్నారి పొన్నారి చెల్లెలా
వెన్నెలా ! కలువల చుట్టపు చూపులా
వెన్నెలా ఉన్నావు, చల్లావు చంద్రికలు
నయనారవిందాల నయగార మధురిమలు”

ప్రశ్న 4.
వర్ణన ఎలా ఉంటుందో తెలిసింది కదా! ఉషోదయ కాలం నుండి రాత్రి నిండుపున్నమి వెన్నెల వచ్చే వరకు రోజంతా ఆకాశంలో జరిగే మార్పుల్ని గురించి వర్ణిస్తూ రాయండి.
జవాబు:
ఉషోదయ కాలంలో ఆకాశంలో వేగుచుక్క కనిపిస్తుంది. అక్కడక్కడ చుక్కలు కనబడతాయి. క్రమంగా తూర్పు దిక్కున సూర్యబింబం ఎఱ్ఱని పెద్ద బంతిలా కనబడుతుంది. తెల్లవారేక సూర్యోదయం తూర్పుదిశలో జరుగుతుంది.

ఎండ ఎక్కిన కొద్దీ సూర్యకిరణాలు కరకరలాడుతాయి. మధ్యాహ్నం వేళ సూర్యుడు నడినెత్తిమీదికి వస్తాడు. క్రమంగా సూర్యుడు పడమటి దిశకు జారుతాడు. అక్షాశంలో పడమటి దిశలో పేదరాశి పెద్దమ్మ కుంకుమ ఆరబోసుకున్నట్లు ఆకాశం ఎరుపెక్కుతుంది. సూర్యబింబం ఎరుపు ఎక్కుతుంది.

సాయంత్రం 7 గంటలకు ఆకాశంలోని నక్షత్రాలు ఉదయిస్తాయి. చంద్రబింబం ఎఱుపుగా కనబడుతుంది. చంద్రోదయం కాగానే చల్లదనం ప్రాణాలకు హాయిని ఇస్తుంది. మేఘాల కదలికలో చంద్రబింబం ప్రయాణిస్తున్నట్లు ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
ఎఱ్ఱన రచించిన వెన్నెల పాఠంలోని వర్ణనలు నీకెందుకు నచ్చిందో వివరిస్తూ నీ మిత్రునికి లేఖ వ్రాయి.
జవాబు:

10th Class Telugu 4th Lesson వెన్నెల 1 Mark Bits

1. దేవతలు దివి నుండి భువికి దిగి వచ్చారు – గీత గీసిన పదానికి అర్థం గుర్తించండి. (June 2017).
A) సముద్రం
B) పాతాళం
C) ఆకాశం
D) చీకటి
జవాబు:
C) ఆకాశం

2. నెమలి ఎగిరి వచ్చి పామును పట్టి చంపింది – గీత గీసిన పదాలకు నానార్థ పదాన్ని గుర్తించండి. (June 2017)
A) వనం
B) ఫలం
C) కులం
D) కుండలి
జవాబు:
D) కుండలి

3. వెన్నెల అన్ని దెసలకు వ్యాపించింది – గీత గీసిన పదానికి ప్రకృతి పదాన్ని గుర్తించండి. (June 2017)
A) దిశ
B) దేశం
C) దివాణం
D) దిక్కు
జవాబు:
A) దిశ

4. ‘UUU’ గుర్తులు గల గణమేది ? (June 2017)
A) య గణం
B) ర గణం
C) మ గణం
D) త గణం
జవాబు:
C) మ గణం

5. రజనీకర బింబమును చూస్తే పిల్లలు ఆనందిస్తారు – (గీత గీసిన పదమునకు అర్థమును గుర్తించుము.) (March 2017)
A) సూర్యబింబము
B) చంద్రబింబము
C) ప్రతిబింబము
D) ఆకాశం
జవాబు:
B) చంద్రబింబము

6. విద్యార్థులు చదువు పట్ల శ్రద్ధాసక్తులు కల్గియుండాలి – (గీత గీసిన పదము ఏ సమాసమో గుర్తించుము. ) (March 2017)
A) కర్మధారయం
B) బహుబ్లిహి
C) తత్పురుషం
D) ద్వంద్వము
జవాబు:
D) ద్వంద్వము

7. ఉత్పలమాల పద్యంలో యతిస్థానం గుర్తించండి. (March 2017)
A) 14వ అక్షరం
B) 10వ అక్షరం
C) 13వ అక్షరం
D) 11వ అక్షరం
జవాబు:
B) 10వ అక్షరం

8. దెసలను కొమ్మ లొయ్య నతిదీర్ఘములైన కరంబులన్ బ్రియం – ఏ పద్యపాదమో గుర్తించండి. (March 2017)
A) ఉత్పలమాల
B) శార్దూలం
C) చంపకమాల
D) మత్తేభం
జవాబు:
C) చంపకమాల

9. భూరుహములు జీవులకు ప్రాణవాయువును ఇస్తున్నాయి – గీత గీసిన పదానికి సరియైన అర్థాన్ని గుర్తించండి. (June 2018)
A) నదులు
B) సముద్రాలు
C) చెట్లు
D) పర్వతాలు
జవాబు:
C) చెట్లు

10. కష్టాలు మిక్కుటమైనందున, రైతులు ప్రభుత్వ సహాయం కొరకు ఎదురుచూస్తున్నారు – గీత గీసిన పదానికి పర్యాయపదాలను గుర్తించండి. (June 2018)
A) అధికం, సమానం
B) క్షామం, మితం
C) ఎక్కువ, అధికం
D) తక్కువ, పరిమితం
జవాబు:
C) ఎక్కువ, అధికం

11. దినకరుడు రాగానే లోకమంతా చైతన్యమౌతుంది. అందుకే సూర్యుడు మనకు ప్రత్యక్ష దైవం – గీత గీసిన పదాలకు పర్యాయపదాన్ని గుర్తించండి. (June 2018)
A) స్నేహితుడు
B) చంద్రుడు
C) ధనికుడు
D) ఇనుడు
జవాబు:
D) ఇనుడు

12. ప్రతి పాదంలో ఒక సూర్యగణం + రెండు ఇంద్రగణములు + రెండు సూర్యగణములు క్రమముగా ఉండే పద్యము పేరు గుర్తించండి. (June 2018)
A) కందం
B) సీసము
C) తేటగీతి
D) ఆటవెలది
జవాబు:
C) తేటగీతి

13. వెన్నెల పిండారబోసినట్లుండటం శరత్కాలపు లక్షణం – గీత గీసిన పదానికి పర్యాయపదాలను గుర్తించండి. (March 2018)
A) కౌముది, జ్యోత్స్న
B) చీకటి, తమస్సు
C) కోరిక, కాంక్ష
D) నిశి, నుసి
జవాబు:
A) కౌముది, జ్యోత్స్న

14. ఎటువంటి పరిస్థితిలోనైన ధర్మం వీడరాదు. (వికృతి గుర్తించండి) (S.N. I – 2018-19)
A) దమ్మం
B) దరమం
C) దరుమం
D) దరువుం
జవాబు:
A) దమ్మం

15. మానవునిచే ప్రకృతి ఒడి పాఠశాలగా చేసుకోబడింది. (కర్తరి వాక్యం గుర్తించండి.) (June 2017)
A) మానవుడు ప్రకృతి ఒడిని పాఠశాలగా చేసుకున్నాడు.
B) మానవుడు ప్రకృతి ఒడిని పాఠశాలగా చేసుకోలేదు.
C) మానవునిచే ప్రకృతి,పాఠశాలగా చేసుకోబడింది.
D) మానవుడు ప్రకృతిలో పాఠశాల నిర్మించాడు.
జవాబు:
A) మానవుడు ప్రకృతి ఒడిని పాఠశాలగా చేసుకున్నాడు.

16. చంద్రుడిలోని మచ్చ విష్ణువులాగ కనిపిస్తూ అలరింపబడుతున్నది – కర్తరి వాక్యం గుర్తించండి. (June 2018)
A) చంద్రుడిలోని మచ్చ విష్ణువులాగా కనిపిస్తూ అలరిస్తున్నది.
B) చంద్రుడిలోని మచ్చ విష్ణువులాగ అలరించడం లేదు.
C) చంద్రుడిలోని మచ్చ శివునిలాగ కనిపిస్తోంది.
D) చంద్రుడిలోని మచ్చ విష్ణువనే భ్రాంతి కలిగిస్తోంది.
జవాబు:
A) చంద్రుడిలోని మచ్చ విష్ణువులాగా కనిపిస్తూ అలరిస్తున్నది.

17. వెన్నెల రాత్రిని పగలుగా మారుస్తున్నది – వ్యతిరేకార్థక వాక్యాన్ని గుర్తించండి. (June 2018)
A) చీకటి రాత్రిని పగలుగా మారుస్తున్నది.
B) వెన్నెల రాత్రిని పగలుగా మార్చడం లేదు.
C) వెన్నెల పగలును రాత్రిగా మారుస్తున్నది.
D) వెన్నెల రాత్రిని రాత్రిగానే ఉంచుతుంది.
జవాబు:
B) వెన్నెల రాత్రిని పగలుగా మార్చడం లేదు.

18. వెన్నెల కాలంలో రాత్రింబవళ్లు వెలుగుంటుంది. (ఇది ఏ రకమైన వాక్యమో గుర్తించండి) (S.N. I – 2018-19)
A) చేదగ్ధక వాక్యం
B) సంక్లిష్ట వాక్యం
C) సంయుక్త వాక్యం
D) నిషేధార్థక వాక్యం
జవాబు:
C) సంయుక్త వాక్యం

19. వానలు వస్తే పంటలు పండుతాయి. (ఇది ఏ రకమైన వాక్యమో గుర్తించండి) (S.I. I – 2018 -19)
A) సంయుక్తం
B) చేదర్థకం
C) సామర్థ్యార్థకం
D) విధ్యర్థకం
జవాబు:
B) చేదర్థకం

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Solutions 14th Lesson Statistics InText Questions

AP State Board Syllabus AP SSC 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 Statistics InText Questions and Answers.

10th Class Maths 14th Lesson Statistics InText Questions and Answers

Think & Discuss

(Page No. 327)

Question 1.
The mean value can be calculated from both ungrouped and grouped data. Which one do you think is more accurate? Why?
Answer:
Mean calculated from ungrouped data is more accurate than, mean calculated from the grouped data. Since its calculation takes all the observations in the data into consideration.

Question 2.
When it is more convenient to use grouped data for analysis?
Answer:
Grouped data is convenient when the values f_i and x_i are low.

(Page No. 331)

Question 3.
Is the result obtained by all the three methods the same?
Answer:
Yes. Mean obtained by all the three methods are equal.

Question 4.
If x_i and f_i are sufficiently small, then which method is an appropriate choice?
Answer:
Direct method.

Question 5.
If x_i and f_i are numerically large numbers, then which methods are appropriate to use?
Answer:
Assumed – Mean method and Step – Deviation method.

Do these

(Page No. 334)

Question 1.
Find the mode of the following data.
a) 5, 6, 9, 10, 6, 12, 3, 6, 11, 10, 4, 6, 7.
Answer:
Mode = 6 (most repeated value of the data).

b) 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3.
Answer:
Mode = 3,7.

c) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6.
Answer:
Mode = 2, 3, 4, 5, 6.

Question 2.
Is the mode always at the centre of the data?
Answer:
No. Mode may not beat the centre always.

Question 3.
Does the mode change, if another observation is added to the data in Example? Comment.
Answer:
In the example the observations are 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6.
Here mode = 2.
If we add ‘2’ then mode doesn’t change.
It we add ‘3’ then the mode will be ‘2’ and ‘3’.
Even if we add other then 3 the mode will not be changed.
So we cannot decide whether the mode changes or not. It depends on the situation.

Question 4.
If the maximum value of an observation in the data in Example 4 is changed to 8, would the mode of the data be affected? Comment.
Answer:
If the maximum value is altered to 8, the mode remains the same. Mode doesn’t consider the values but consider their frequencies only.

Think & Discuss

(Page No. 336)

Question 1.
It depends upon the demand of the situation whether we are interested in finding the average marks obtained by the students or the marks obtained by most of the students.
a) What do we find in the first situation?
Answer:
We find A.M.

b) What do we find in the second situation?
Answer:
We find the mode.

Question 2.
Can mode be calculated for grouped data with unequal class sizes?
Answer:
Yes. Mode can be calculated for grouped data with unequal class sizes.

AP State Syllabus SSC 10th Class Maths Solutions 13th Lesson Probability InText Questions

AP State Board Syllabus AP SSC 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 Probability InText Questions and Answers.

10th Class Maths 13th Lesson Probability InText Questions and Answers

Do This

(Page No. 307)

Outcomes of which of the following experiments are equally likely ?
Question 1.
Getting a digit 1, 2, 3, 4, 5 or 6 when a die is rolled.
Answer:
Equally likely.

Question 2.
Picking a different colour ball from a bag of 5 red balls, 4 blue balls and 1 black ball.
Note: Picking two different colour balls …………..
i.e., picking a red or blue or black ball from a …………
Answer:
Not equally likely.

Question 3.
Winning in a game of carrom.
Answer:
Equally likely.

Question 4.
Units place of a two digit number selected may be 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 or 9.
Answer:
Equally likely.

Question 5.
Picking a different colour ball from a bag of 10 red balls, 10 blue balls and 10 black balls.
Answer:
Equally likely.

Question 6.
a) Raining on a particular day of July.
Answer:
Not equally likely.

b) Are the outcomes of every experiment equally likely?
Answer:
Outcomes of all experiments need not necessarily be equally likely.

c) Give examples of 5 experiments that have equally likely outcomes and five more examples that do not have equally likely outcomes.
Answer:
Equally likely events:

1. Getting an even or odd number when a die is rolled.
2. Getting tail or head when a coin is tossed.
3. Getting an even or odd number when a card is drawn at random from a pack of cards numbered from 1 to 10.
4. Drawing a green or black ball from a bag containing 8 green balls and 8 black balls.
5. Selecting a boy or girl from a class of 20 boys and 20 girls.
6. Drawing a red or black card from a deck of cards.

Events which are not equally likely:

1. Getting a prime or composite number when a die is thrown.
2. Getting an even or odd number when a card is drawn at random from a pack of cards numbered from 1 to 5.
3. Getting a number which is a multiple of 3 or not a multiple of 3 from numbers 1, 2, …… 10.
4. Getting a number less than 5 or greater than 5.
5. Drawing a white ball or green ball from a bag containing 5 green balls and 8 white balls.

Question 7.
Think of 5 situations with equally likely events and find the sample space.    (Page No. 309)
Answer:
a) Tossing a coin: Getting a tail or head when a coin is tossed.
Sample space = {T, H}.
b) Getting an even or odd number when a die is rolled.
Sample space = (1, 2, 3, 4, 5, 6}.
c) Winning a game of shuttle.
Sample space = (win, loss}.
d) Picking a black or blue ball from a bag containing 3 blue balls and 3 blackballs = {blue, black}.
e) Drawing a blue coloured card or black coloured card from a deck of cards = {black, red}.

Question 8.
i) Is getting a head complementary to getting a tail? Give reasons.   (Page No. 311)
Answer:
Number of outcomes favourable to head = 1
Probability of getting a head = \(\frac{1}{2}\) [P(E)]
Number of outcomes not favourable to head = 1
Probability of not getting a head = \(\frac{1}{2}\) [P(\(\overline{\mathrm{E}}\))]
Now P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1
∴ Getting a head is complementary to getting a tail.

ii) In case of a die is getting a 1 comple-mentary to events getting 2, 3, 4, 5, 6? Give reasons for your answer.
Answer:
Yes. Complementary events.
∵ Probability of getting 1 = \(\frac{1}{6}\) [P(E)]
Probability of getting 2, 3, 4, 5, 6 = P(E) = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{5}{6}\)
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{6}{6}\) = 1

iii) Write of five new pair of events that are complementary.
Answer:

1. When a dice is thrown, getting an even number is complementary to getting an odd number.
2. Drawing a red card from a deck of cards is complementary to getting a black card.
3. Getting an even number is complementary to getting an odd number from numbers 1, 2, ….. 8.
4. Getting a Sunday is complementary to getting any day other than Sunday in a week.
5. Winning a running race is complementary to loosing it.

Try This

Question 1.
A child has a dice whose six faces show the letters A, B, C, D, E and F. The dice is thrown once. What is the probability of getting (i) A? (ii) D?     (Page No. 312)
Answer:
Total number of outcomes (A, B, C, D, E and F) = 6.
i) Number of favourable outcomes to A = 1
Probability of getting A =
P(A) = \(\frac{\text { No.of favourable outcomesto } \mathrm{A}}{\text { No.of all possible outcomes }}\) = \(\frac{1}{6}\)

ii) No. of outcomes favourable to D = 1
Probability of getting D
= \(\frac{\text { No.of outcomes favourble to } \mathrm{D}}{\text { All possible outcomes }}\) = \(\frac{1}{6}\)

Question 2.
Which of the following cannot be the probability of an event?     (Page No. 312)
(a) 2.3
(b) -1.5
(c) 15%
(d) 0.7
Answer:
a) 2.3 – Not possible
b) -1.5 – Not possible
c) 15% – May be the probability
d) 0.7 – May be the probability

Question 3.
You have a single deck of well shuffled cards. Then, what is the probability that the card drawn will be a queen?     (Page No. 313)
Answer:
Number of all possible outcomes = 4 × 13 = 1 × 52 = 52
Number of outcomes favourable to Queen = 4 [♥ Q, ♦ Q, ♠ Q, ♣ Q]
∴ Probability P(E) = \(\frac{\text { No. of favourable outcomes }}{\text { Total no. of outcomes }}\)
= \(\frac{4}{52}\) = \(\frac{1}{13}\)

Question 4.
What is the probability that it is a face card?     (Page No. 314)
Answer:
Face cards are J, Q, K.
∴ Number of outcomes favourable to face card = 4 × 3 = 12
No. of all possible outcomes = 52
P(E) = \(\frac{\text { No. of favourable outcomes }}{\text { Total no. of outcomes }}\)
= \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\)

Question 5.
What is the probability that it is a spade?       (Page No. 314)
Answer:
Number of spade cards = 13
Total number of cards = 52
Probability
= \(\frac{\text { Number of outcomes favourable to spades }}{\text { Number of all outcomes }}\)
= \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)

Question 6.
What is the probability that is the face card of spades?       (Page No. 314)
Answer:
Number of outcomes favourable to face cards of spades = (K, Q, J) = 3
Number of all outcomes = 52
P(E) = \(\frac{3}{52}\)

Question 7.
What is the probability it is not a face card?       (Page No. 314)
Answer:
Probability of a face card = \(\frac{12}{52}\) from (1)
∴ Probability that the card is not a face card

(or)
Number of favourable outcomes = 4 × 10 = 40
Number of all outcomes = 52
∴ Probability
= \(\frac{\text { No. of favourable outcomes }}{\text { Total no. of outcomes }}\)
= \(\frac{40}{52}\) = \(\frac{10}{13}\)

Think & Discuss

(Page No. 312)

Question 1.
Why is tossing a coin considered to be a fair way of deciding which team should get the ball at the beginning of any game?
Answer:
Probability of getting a head is \(\frac{1}{2}\) and of a tail is \(\frac{1}{2}\) are equal.
Hence tossing a coin is a fair way.

Question 2.
Can \(\frac{7}{2}\) be the probability of an event? Explain.
Answer:
\(\frac{7}{2}\) can’t be the probability of any event.
Since probability of any event should lie between 0 and 1.

Question 3.
Which of the following arguments are correct and which are not correct? Give reasons.
i) If two coins are tossed simultaneously, there are three possible outcomes – two heads, two tails or one of each. Therefore, for each of these outcomes, the probability is \(\frac{1}{3}\).
Answer:
False.
Reason:
All possible outcomes are 4
HH, HT, TH, TT
Thus, probability of two heads = \(\frac{1}{4}\)
Probability of two tails = \(\frac{1}{4}\)
Probability of one each = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\).

ii) If a dice is thrown, there are two possible outcomes – an odd number or an even number. Therefore, the probability of getting an odd number is \(\frac{1}{2}\).
Answer:
True.
Reason:
All possible outcomes = (1, 2, 3, 4, 5, 6) = 6
Outcomes favourable to an odd number (1, 3, 5) = 3
Outcomes favourable to an even number = (2, 4, 6) = 3
∴ Probability (odd number)
= \(\frac{\text { No. of favourable outcomes }}{\text { Total no. of outcomes }}\)
= \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\).