Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
పరిమిత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు, అనంత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు ఇమ్ము. (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
పరిమిత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25
(ii) 50, 47, 44, 41, ………., 11
(iii) 5, 41, 4, 3, ………., \(\frac{1}{2}\)
అనంత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25, ………….
(ii) 50, 47, 44, 41, ……………..
ti) 5, 41, 4, 3, ………..

ప్రశ్న2.
ఏదైనా ఒక అంకశ్రేణిని తీసుకొనుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10, 13, 16, 19, 22, ………, 52.

ప్రశ్న 3.
జాబితాలోని ప్రతి పదమునకు ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను కలుపుము. ఫలిత సంఖ్యలను జాబితా రూపంలో రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 + 2, 13 + 2, 16 + 2, 19 + 2, 22 + 2, …… 52 + 2
జాబితారూపం : 12, 15, 18, 21, 24, ….., 54.

ప్రశ్న 4.
అదే విధంగా అంకశ్రేణిలో ప్రతి పదము నుంచి ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసివేసి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 – 4, 13 – 4, 16 – 4, 19 – 4, 22 – 4, ………., 52 – 4
జాబితారూపం :
6, 9, 12, 15, 18, ……. 48.

ప్రశ్న 5.
అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే గుణించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. మరియు అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే భాగించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
a) 10 × 5, 13 × 5, 16 × 5, 19 × 5, 22 × 5, …………, 52 × 5
జాబితారూపం :
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260

b) \(\frac{10}{4}\), \(\frac{13}{4}\), \(\frac{16}{4}\), \(\frac{19}{4}\), \(\frac{22}{4}\), ……………… \(\frac{52}{4}\)
జాబితారూపం :
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13.

ప్రశ్న 6.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేఢులు అవుతాయేమో పరిశీలించుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలు :
12, 15, 18, 21, 24 ………, 54 అంకశ్రేఢి
6, 9, 12, 15, 18 ………., 48 అంకశ్రేఢి
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260 అంకశ్రేఢి
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13-అంకశ్రేణి
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేడులే.

ప్రశ్న 7.
చివరగా నీ అభిప్రాయం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలిపినా, తీసివేసినా, గుణించినా, భాగించినా వచ్చే సంఖ్యలు కూడా అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి. (భాగహారంలో స్థిర సంఖ్యగా సున్నాను తీసుకోకూడదు.)

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(i) క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 128)
(a) 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15, ……
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా మొదటి పదం 2కు 1 కలిపితే 2వ పదం 3 వస్తుంది. కాని రెండవ పదంకు 2 కలిపితే 3వ పదం 5 వస్తుంది. ఇక్కడ రెండు సందర్భాలలోను కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(b) 2, 5, 7, 10, 12, 15, ………….
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా
మొదటి పదం 2కు 3 కలపడం వలన 2వ పదం 5, అలాగే 2వ పదానికి 2 కలపడం వలన 3వ పదం 7 వస్తున్నది. కాని 3వ పదం 7కు 3 కలపడం వలన 4వ పదం 10 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను
కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(c) – 1, – 3, – 5, – 1, …………..
సాధన.
అంకశ్రేణి. ఎందుకనగా ..
మొదటి పదం – 1కు – 2 కలిపిన 2వ పదం -3, – 2వ పదం – 3కు – 2 కలిపిన 3వ పదం – 5, 3వ పదం .- 5కి – 2 కలిపిన 4వ పదం – 7 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను ఒకే స్థిరసంఖ్య – 2 ను
కలుపుతున్నాము.

(ii) ఏవైనా మూడు అంకశ్రేఢులను రాయుము. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
(i) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ………….
(ii) 4, 1, -2, -5, -8, ………….
(iii) 5, 15, 25, 35, 45, …………

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

(a) ఒక పాఠశాలలో ప్రార్థనా సమయంలో వరుసగా నిలబడిన విద్యార్థుల ఎత్తులు (సెం.మీ.లలో) 147, 148, 149, ……. 157. (పేజీ నెం. 129)
(b) ఒక పట్టణములో జనవరి మాసంలో ఒక వారంలో నమోదైన కనిష్ట ఉష్ణోగ్రతల ఆరోహణ క్రమము – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
(c) ₹ 1000 ల అప్పు 5% సొమ్మును ప్రతీ నెల చెల్లిస్తున్న, ప్రతి నెల చివర ఇంకనూ చెల్లించవలసిన సొమ్ము ₹ 950, ₹ 900, ₹ 850, ₹ 800, …, ₹ 50.
(d) ఒక పాఠశాలలో 1 నుంచి 12వ తరగతి వరకూ ప్రతి తరగతిలో అత్యధిక మార్కులు సాధించిన వారికి ఇచ్చే బహుమతుల విలువ వరుసగా ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350, ……₹ 750
(e) 10 నెలలలో ప్రతి నెలలో ₹ 50 లు చొప్పున పొదుపు చేసిన ప్రతినెల చివరలో ఉండే మొత్తం సొమ్ము వరుసగా ₹ 50, ₹ 100, ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300,
₹ 350, ₹ 400, ₹ 450, ₹ 500.

ప్రశ్న 1.
పైన పేర్కొనబడిన ప్రతి జాబితా ఏవిధంగా అంకశ్రేణి అవుతుందో ఆలోచించుము. మీ మిత్రునితో చర్చించుము.(పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) 147 , 148, 149, …….., 157
సామాన్యభేదం
d = 148 – 147 = 149 – 148 = …… = 1
జాబితాలోని ప్రతిపదం దాని ముందున్న పదానికి 1 కలపడం వలన వస్తుంది. కావున అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

(b) – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
సామాన్య భేదం d = – 3.0 – (-3.1)
= – 2.9 – (- 3.0) = …….. = 0.1
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(c) 950, 900, 850, 800, ……, 50
సామాన్యభేదం d = 900 – 950
= 850 – 900 = ….. = – 50
సామాన్య భేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(d) 200, 250, 300, 350, . . . . ., 750
సామాన్యభేదం d = 250 – 200
= 300 – 250 = …. = 50
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(e) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500
సామాన్యభేదం d = 100 – 50
= 150 – 100 = …… = 50,
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
పైన ఇవ్వబడిన ప్రతి జాబితాకు సామాన్యభేదంను కనుగొనుము. సామాన్యభేదం ఎప్పుడు ధనాత్మకమో ఆలోచించుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) సామాన్యభేదం d = 148 – 147 = 1
(b) సామాన్యభేదం d = – 3.0 – (- 3.1) = – 3.0 + 3.1= 0.1
(c) సామాన్యభేదం d = 900 – 950 = – 50
(d) సామాన్యభేదం d = 250 – 200 = 50
(e) సామాన్యభేదం d = 100 – 50 = 50
అంకశ్రేణిలోని పదాలు ఆరోహణక్రమంలో ఉంటే సామాన్యభేధం ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 3.
సామాన్యభేదం ఒక చిన్న ధనాత్మక విలువ వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాదన.
2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, ………, 3.

ప్రశ్న 4.
సామాన్యభేదం ఒక పెద్ద ధనాత్మక విలువగా వుండేటట్లు ఒక
అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
2, 1002, 2002, 3002, 4002, ……..

ప్రశ్న 5.
సామాన్య భేదం ఋణాత్మకంగా వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన. 20, 16, 12, 8, 4, 0, ……….

కృత్యము:

(i) అగ్గిపుల్లల సహాయంతో క్రింది ఆకారాలను ఏర్పరచుము. :(పేజీ నెం. 129)

సాధన.

(ii) ప్రతి ఆకారానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను వరుసగా రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
అగ్గిపుల్లల సంఖ్య 3, 5, 7, 9.

(iii) జాబితాలో రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య గల భేదం ఒకే విధంగా (స్థిరంగా) ఉందా ? (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్యగల భేదం ఒకే విధంగా 2కు సమానంగా ఉంది.

(iv) ఈ సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ?
సాధన.
అవును, అంకశ్రేణి అవుతుంది. . (పేజీ నెం. 130)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి అంకశ్రేణిలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)

(i) 16, 11, 6, ………., 23 పదాలు.
సాధన.
a = 16, d = a₂ – a₁ = 11 – 16 = – 5, n = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
23 పదాల మొత్తం S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(16) + (23 – 1)(- 5)]
= \(\frac{23}{2}\) [32 – 110]
= \(\frac{23 \times(-78)}{2}\) = – 23 × 39 = – 897

(ii) – 0.5, – 1.0, – 1.5, ………….., 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 0.5, d = a₂ – a₁ = (- 1.0) – (- 0.5) = – 0.5, n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 0.5) + (10 – 1)(- 0.5)]
= \(\frac{10}{2}\) [- 1.0 + 9(- 0.5)]
= 5[- 1.0 – 4.5]
= 5[- 5.5] = – 27.5
S₁₀ = – 27.5

(iii) -1, \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{2}\), ……. 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 1, d = a₂ – a₁
= \(\frac{1}{4}\) – (- 1) = 1 + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{4}\)
n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 1) + (10 – 1)(\(\frac{5}{4}\))]
= 5[- 2 + 9 × \(\frac{5}{4}\)]
= 5[- 2 + \(\frac{45}{4}\)]
= 5 \(\left[\frac{-8+45}{4}\right]\)
S₁₀ = \(\frac{5 \times 37}{4}=\frac{185}{4}\) = 46.25.

ఇవి చేయండి:
క్రింది వానిలో గుణశ్రేడులు కానివేవో కొనుగొనుము.

ప్రశ్న 1.
6, 12, 24, 48, …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{12}{6}\) = 2;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{24}{12}\) = 2;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{48}{24}\) = 2
ప్రతి సందర్భంలోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 2
కావున గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
1, 4, 9, 16, …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{1}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{9}{4}\) = 2;
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{16}{9}\) = 2 ………….
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) సమానంకాదు. కావున గుణశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 3.
1, – 1, 1, – 1, ………………….
సాధన.
అన్ని పదాలు ‘శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-1}{1}\) = – 1;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{-1}\) = – 1,

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-1}{1}\) = – 1
అన్ని సందర్భాలు \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 1
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
– 4, – 20, – 100, – 500, ………..
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-20}{-4}\) = 5;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-100}{-20}\) = 5;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-500}{-100}\) = 5
అన్ని సందర్భా లలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 5.
కావున ఇది గుణ శ్రేణి అవుతుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి జాబితా ఎందుకు గుణశ్రేఢి అవుతుందో వివరించుము. (పేజీ నెం. 149)
1వ జాబితా : 1, 4, 16, 64, 256, ……….
సాధన.
1, 4, 16, 64, 256, …………….
ఇప్పుడు \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}\) = 4
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

2వ జాబితా : 550, 605, 665.5, …………….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{605}{550}=\frac{11}{10}\)
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{665.5}{60.5}=\frac{6655}{6050}=\frac{11}{10}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{11}{10}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

3వ జాబితా : 256, 128, 64, 32, …………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{128}{256}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{64}{128}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{1}{2}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

4వ జాబితా : 18, 16.2, 14.58, 13.122, ……..
సాధన.
18, 16.2, 14.58, 13.122, ………..
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16.2}{18}=\frac{162}{180}=\frac{9}{10}\) = 0.9
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{14.58}{16.2}=\frac{1458}{1620}\) = 0.9
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{13.122}{14.58}=\frac{13122}{14580}\) = 0.9
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 0.9 (సమానము).
కావున ఇది గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక గుణశ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలేమిటి ? (పేజీ నెం. 149)
సాధన.
ఒక గుణ శ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలు: అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
1) మొదటి పదము
2) సామాన్య నిష్పత్తి
3) శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
అంకశ్రేణి \(\frac{1}{4}\), \(\frac{-1}{4}\), \(\frac{-3}{4}\), \(\frac{-5}{4}\), ……, లో మొదటి పదం a ను, సామాన్య భేదం d లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{4}\)
సామాన్య భేదం d = \(\frac{-1}{4}\) – \(\frac{4}{4}\)
= \(\frac{-1-1}{4}\)
= \(\frac{-2}{4}\) = \(\frac{-1}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే తరువాత వచ్చే రెండు పదాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
(i) 4, 10, 16, 22, . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 10 – 4 = 6
d = a₃ – a₂ = 16 – 10 = 6
d = a₄ – a₃ = 22 – 16 = 6
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి. జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : 22 + 6 = 28 మరియు 28 + 6 = 34.

(ii) 1, – 1, – 3, – 5, . . . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = – 1 – 1 = – 2
d = a₃ – a₂ = – 3 – (- 1)
= – 3 + 1 = – 2
d = a₄ – a₃ = – 5 – (- 3)
= – 5 + 3 = – 2
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : – 5 + (- 2) = – 7 మరియు – 7 + (- 2) = – 9.

(iii) – 2, 2, – 2, 2, – 2, …….
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2 – (- 2) = 2 + 2 = 4
d = a₃ – a₂ = – 2 – 2 = – 4
ఇక్కడ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ కావున అంకశ్రేణి కాదు.

(iv) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 1 – 1 = 0
d = a₃ – a₂ = 1 – 1 = 0
d = a₄ – a₃ = 2 – 1 = 1
ఇచ్చట, a₂ – a₁ = a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₂
అనగా ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(v) x, 2x, 3x, 4x ………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2x – x = x
d = a₃ – a₂ = 3x – 2x = x
d = a₄ – a₃ = 4x – 3x = x
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానం.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత 2 పదాలు : 4x + x = 5x మరియు 5x + x = 6x.

ప్రశ్న 3.
5, 1, – 3, – 7 . . . అంకశ్రేణిలో. 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
5, 1, -3, -7. . . .
a = 5, d = a₂ – a₁ = 1 – 5 = – 4 మరియు n = 10.
n వ పదం a_n = a + (n – 1) d
a₁₀ = 5 + (10 – 1) (- 4)
= 5 – 36 = – 31
∴ అంకశ్రేణిలో 10వ పదము = -31.

ప్రశ్న 6.
21, 18, 15, ……. అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము ‘- 81’ అవుతుంది ? ఏదైనా ఒక పదము ‘0’ అవుతుందా ? నీ సమాధానమునకు కారణాలిమ్ము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 21, 18, 15, ……
a = 21, d = a₂ – a₁ = 18 – 21 = – 3 మరియు a_n = – 81.
n వ పదం a_n = a + ( n – 1) d
– 81 = 21 + (n – 1) (- 3)
– 81 = 21 – 3n + 3
– 81 = 24 – 31
– 81-24 = – 3n
– 105 = – 3n
\(\frac{105}{3}\) = 35
∴. n = 35.
అనగా పై అంకశ్రేణిలో 35వ పదము – 81 అవుతుంది.
తరువాత ఒక పదం 0 అవుతుందా అనగా a_n = 0.
అయ్యే విధంగా n ∈ N అయ్యేటట్లు nను కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) 4 = 0
21 + (n – 1) (- 3) = 0
21 – 3n + 3 = 0
24 = 3n
n = \(\frac{24}{3}\) = 8
n = 8 మరియు 8 ∈ N అనగా అంకశ్రేణిలో 8వ పదము సున్నా అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
3వ పదము 5; 7వ పదము 9గా వుండునట్లు ఒక అంకశ్రేణిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
లెక్క ప్రకారం,
a₃ = a + 2d = 5 ……. (1)
a₇ = a + 6d = 9……… (2)
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) ల నుంచి,
(2) – (1)

d = 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(1) = 5
⇒ a = 5 – 2 = 3
∴ a = 3, 4 = 1.
∴ కావలసిన అంకశ్రేణి : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ………..

ప్రశ్న 8.
5, 11, 17, 23, . . . జాబితాలో 301 ఉంటుందో లేదో కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
ఇచ్చిన జాబితా
5, 11, 17, 23, . . . .
a₂ – a₁= 11 – 5 = 6,
a₃ – a₂ = 17 – 11 = 6,
a₄ – a₃ = 23 – 17 = 6
……………………….
అన్ని సందర్భాలలో a_{k + 1} – a_k సమానము.
∴ ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
ఈ అంకశ్రేణిలో a = 5, d = 6 మరియు ఈ జాబితాలో nవ పదం a_n = 301 అనుకొందాం.
అప్పుడు, a_n = a + (n – 1) d = 301
= 5 + (n – 1) 6 = 301
= 5 + 6n – 6 = 301
6n – 1 = 301
6n = 301 + 1 = 302
n = \(\frac{302}{6}=\frac{151}{3}\)
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య అవుతుంది.
కాని \(\frac{151}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు. కావున 301 ఇచ్చిన జాబితాలో ఉండదు.

ప్రశ్న 9.
3 చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ? (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యల జాబితా : 12, 15, 18, 21, …………., 99
ఇది ఒక అంకశ్రేణి, ఇక్కడ a = 12, d = 3 మరియు a_n = 99.
a_n = a + (n – 1) d = 99
= 12 + (n – 1) 3 = 99
= 12 + 3n – 3 = 99
3n + 9 = 99
3n = 99 – 9 = 90
n = \(\frac{90}{3}\) = 30
∴ 3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు 30 కలవు.

ప్రశ్న 10.
10, 7, 4, . . ., – 62 అంకశ్రేణిలో చివరి నుంచి 11వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 10, 7, 4, …….., – 62 లో చివరి
నుంచి 11వ పదమును కనుగొనవలెనన్న ముందుగా ఈ శ్రేణిలో ఎన్ని పదాలున్నాయో కనుగొనవలెను.
∴ a = 10, d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
a_n = – 62
a_n = a + (n – 1) d = – 62.
= 10 + (n – 1) (- 3) = – 62
10 – 3n + 3 = – 62
– 3n = – 62 – 13 = – 75
3n = 75
⇒ n = \(\frac{175}{3}\) = 25
∴ n = 25.
అనగా ఇవ్వబడిన శ్రేణిలో 25 పదాలుంటాయి. (25 – 11) + 1 = 14 + 1 = 15
కావున చివరి నుండి 11వ పదం మొదటి నుండి 15వ పదం అవుతుంది.
∴ a₁₅ = 10 + (15 – 1) (- 3)
= 10 + (14) (-3)
= 10 – 42 = – 32
∴ చివరి నుండి 11వ పదం = – 32.

ప్రశ్న 11.
₹ 1000 లకు సంవత్సరానికి 8% బారు వడ్డీ ప్రకారము ప్రతి సంవత్సరానికి అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. ఈ వడ్డీల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే 30వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
(లేదా)
రూ. 1,000 లను 8% బారువడ్డీ చొప్పున ప్రతి సంవత్స రానికి అయ్యే వడ్డీని లెక్కగట్టుము. 1వ, 2వ మరియు 3వ సంవత్సరాలకు అయిన వడ్డీలు అంకశ్రేణిని సూచిస్తాయా? అయితే 30 సంవత్సరాలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం వడ్డీ ఎంత ?
సాధన.
అసలు = ₹ 1000, R = 8%
బారువడ్డీ I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
∴ 1వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 1}{100}\) = ₹ 80

2వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 2}{100}\)= ₹ 160

3వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 3}{100}\) = ₹ 240

4వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 4}{100}\) = ₹ 320
………………………………………………..
………………………………………………..

∴ 1వ, 2వ, 3వ, 4వ సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీల విలువలు వరుసగా 80, 160, 240, 320, ………….
పై జాబితాలో ఏ రెండు వరుస పదాల భేదము (80) స్థిరము.
కావున ఇది ఒక అంకశ్రేణి అవుతుంది. 30 సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీని 230 అవుతుంది.
∴ a₃₀ = a + (30 – 1) d
= 80 + 29 × 80
= 80 + 2320
a₃₀ = 2400
30 సం||ముల చివర అయ్యే వడ్డీ = ₹ 2400.
(లేదా)
∴ 30 సంవత్సరాలలో చెల్లించు మొత్తం వడ్డీ = S₃₀ = \(\frac{n}{2}\) (a + 1)
= \(\frac{30}{2}\) (80 + 2400)
= 15 × 2840 = రూ. 37200.

ప్రశ్న 12.
ఒక పూలపాదులో మొదటి వరుసలో 23 గులాబీ చెట్లు, రెండవ వరుసలో 21, మూడవ వరుసలో 19 ….. ఉన్నాయి. చివరి వరుసలో 5 చెట్లు ఉన్న ఎన్ని వరుసలలో గులాబీ చెట్లు కలవు ? (పేజీ నెం. 139)
సాధన.
1వ, 2వ, 3వ, ……. వరుసలలో గల గులాబీ చెట్లు 23, 21, 19, ………, 5
ఏ రెండు వరుస పదాల భేదమైనా 2. కావున అంకశ్రేణి.
∴ పూలపాదులలోని వరుసల సంఖ్య n అయిన a = 23, d = 21 – 23 = – 2 మరియు a_n = 5
a_n = a + (n – 1) d = 5
= 23 + (n – 1) (- 2) = 5
= 23 – 2n + 2 = 5
= 25 – 2n = 5
= – 2n = 5 – 25 = – 20
∴ 2n = 20
n = \(\frac{20}{2}\) = 10
∴ n = 10
∴ పూలపాదులోని వరుసల సంఖ్య = 10.

ప్రశ్న 13.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి పదం 10 మరియు మొదటి 14 పదాల మొత్తము 1050 అయిన 20వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇక్కడ a = 10, S₁₄ = 1050, n = 14
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₄ = \(\frac{10}{2}\) [2(10) + (14 – 1) d] = 1050
7 [20 + 13d] = 1050
140 + 91d = 1050
91d = 1050 – 140 = 910
d = \(\frac{910}{91}\) = 10
∴ 20 వ పదం a₂₀ = 10 + (20 – 1) 10
[a_n = a + (n – 1) d].
= 10 + 190
a₂₀ = 200.

ప్రశ్న 14.
24, 21, 18, . .. అంకశ్రేణిలో ఎన్ని పదాల మొత్తం 78 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇచ్చట a = 24, d = a₂ – a₁
= 21 – 24 = – 3,
S_n = 78, n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [48 + (n – 1) ( – 3)] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [ 48 – 3n + 3] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [51 – 3n] = 78
51n – 3n² = 78 X 2 = 156
– 3n² + 51n – 156 = 0
– 3 [n² – 17n + 52] = 0
n² – 17n + 52 = 0
n² – 4n – 13n + 52 = 0
n (n – 4) – 13 (n – 4) = 0
(n – 4) (n – 13) = 0
∴ n – 4 = 0 లేదా n – 13 = 0
⇒ n = 4 లేదా 13 n యొక్క రెండు విలువలు సహజసంఖ్యలే కావున రెండు విలువలు తీసుకొనవచ్చును. అనగా పదాల సంఖ్య 4 లేదా 13.

ప్రశ్న 15.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యలు
(ii) మొదటి nధనపూర్ణ సంఖ్యలు (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….. 1000 , ఇవి A.P లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1; n = 1000 మరియు l = 1000 (∵ l చివరి పదము)
S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
S₁₀₀₀ = \(\frac{1000}{2}\) (1 + 1000)
= 500 × 1001
S₁₀₀₀ = 500500
మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం = 500500.

(ii) మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా – 1, 2, 3, 4, 5, …….., n . ఇవి A.P. లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = n, 1 = n
S_n = 2 [a + l]
∴ S_n = 2 [1 + n]
S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
∴ మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న 16.
a_n = 3+ 2n ను 1వ పదంగా కలిగిన శ్రేణి యొక్క మొదటి 24 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
a_n = 3 + 2n,
a₁ = 3 + 2 × 1 = 5
a₂ = 3 + 2 × 2 = 7
a₃, = 3 + 2 × 3 = 9
…………………………..
……………………………
……………………………
సంఖ్యల జాబితా = 5, 7, 9, 11, ………….. ఈ జాబితా A.P. లో కలదు.
ఇచ్చట a = 5, d = a₂ – a₁ = 7 – 5 = 2, n = 24
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₂₄ = \(\frac{24}{2}\) [2(5) + (24 – 1) (2) |
= 12 [10 + 46]
S₂₄ = 12 × 56 = 672
ఇచ్చిన శ్రేణిలో 24 పదాల మొత్తం S₂₄4 = 672.

ప్రశ్న 17.
ఒక టెలివిజన్ తయారీ కంపెనీ 3వ సం||ములో 600 టెలివిజన్లను, 7వ సం||ము 700 టెలివిజన్ సెట్లను తయారు చేసింది. ఇది తయారీ చేసే టెలివిజన్ల సంఖ్య ప్రతీ సం||ము స్థిరంగా పెరుగుతూ ఉంటే
(i) 1వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(ii) 10వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(iii) మొదటి 7 సంవత్సరాలలో అది తయారు చేసిన మొత్తం సెట్ల సంఖ్యను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 145)
సాధన.
(i) ప్రతి సంవత్సరము తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య ఒక స్థిర విలువతో పెరుగుతూ వుంటే 1వ, 2వ, 3వ, …., సం||లలో తయారయ్యే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేఢిని ఏర్పరుస్తుంది.
n వ సం||లో తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యను a_n అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం,a₃ = 600 మరియు a₇ = 700
⇒ a + 2d = 600 ………. (1)
a + 6d = 700 ……… (2)

d = 25 ను (1) లో రాయగా
a + 2(25) = 600
a + 50 = 600
a = 600 – 50 = 550
∴ మొదటి సంవత్సరంలో తయారైన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 550.

(ii) a₁₀ = a + 9d
= 550 + 9 × 25
= 550 + 225 = 775
∴ 10వ సం||లో తయారుచేసిన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 775.

(iii) S₇ = \(\frac{7}{2}\) [12 × 550 + (7 – 1) × 25]
= \(\frac{7}{2}\) [1100 + 150]
= \(\frac{7}{2}\) [1250] = 4375
అనగా మొదటి 7 సం||లలో తయారైన మొత్తం టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 4375.

ప్రశ్న 18.
మొదటి పదము a = 3, సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. పేజీ నెం. 150)
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యనిష్పత్తి r = 2
∴ రెండవ పదము = ar = 3 × 2 = 6
మూడవ పదము = 6 × 2 = 12
………………………………..
………………………………..
………………………………..
గుణశ్రేఢి: 3, 6, 12, 24, ………….

ప్రశ్న 19.
a = 256, r = \(\frac{-1}{2}\) అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపము = a, ar, ar², ar³, …………..
= 256, 256(\(\frac{-1}{2}\)), 257(\(\frac{-1}{2}\))², 256(\(\frac{-1}{2}\))³
= 256, – 128, 64, – 32, …….

ప్రశ్న 20.
గుణశ్రేణి 25, – 5, 1, 3 యొక్క సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-5}{25}=\frac{-1}{5}\)
గుణశ్రేఢి : 3, 6, 12, 24, ………

ప్రశ్న 21.
క్రింది జాబితాలో ఏవి గుణశ్రేణిలు అవుతాయి.
(i) 3, 6, 12, ……….
(ii) 64, – 32, 16, …………..
(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
సాధన.
(i) 3, 6, 12, ……….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{6}{3}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{12}{6}\) = 2
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = 2.

(ii) 645, – 32, 16, …………
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-32}{64}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{-32}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-1}{2}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{-1}{2}\)

(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{64}}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{32}}\) = 4
ఇచ్చట \(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని ఏర్పరచదు.

ప్రశ్న 22.
\(\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{4}\), \(\frac{5}{8}\) …………. గుణశ్రేణి యొక్క 20వ పదమును మరియు n వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
ఇచ్చట a = \(\frac{5}{2}\), r = \(\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{2}\)
గుణశ్రేణిలో n వ పదం a_n = ar^{n – 1}
a₂₀ = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{19}=\frac{5}{2} \times \frac{1}{2^{19}}=\frac{5}{2^{20}}\)
మరియు n వ పదం
a_n = ar^{n – 1}
= \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{5}{2^{\mathrm{n}}}\)

ప్రశ్న 23.
2,272, 4, ….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 128 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
a = 2, r = \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2
లెక్క ప్రకారము n వ పదము = 128
a_n = ar^{n – 1} = 128
(√2)^{n – 1} = \(\frac{128}{4}\) = 64
⇒ 2^{\(\frac{n-1}{2}\)} = 2⁶ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానం.
∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6
n – 1 = 12 ⇒ n = 12 + 1 = 13
అనగా 13వ పదము 128 అవుతుంది.

ప్రశ్న 24.
ఒక గుణ శ్రేణిలో 3వ పదము 24 మరియు 6వ పదము 192 అయిన 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
గుణశ్రేణిలో 3వ పదం a₃ = ar² = 24 …….(1)
6వ పదం a₆ = ar⁵ = 192 ……(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{a r^{5}}{a r^{2}}=\frac{192}{24}\)
⇒ r³ = 8 = 2³
⇒ r = 2
r విలువను (1) లో రాయగా,
a (2)² = 24
⇒ 4a = 24
⇒ a = 4 = 6
∴ 10వ పదం a₁₀ = ar⁹ = 6(2)⁹
= 6 × 512 = 3072.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
121, 117, 113, ……….., అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము మొదటి ఋణపదము అవుతుంది?
[సూచన : a_n < 0 అయ్యే విధంగా n విలువ కనుగొనుము]
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 121, 117, 113,
a = 121, d = a₂ – a₁ = 117 – 121 = – 4
a_n మొదటి రుణపదం అనుకొంటే a_n < 0 అయ్యేటట్లు కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n ను కనుగొనాలి.
a_n < 0 = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (in – 1) (- 4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 125 < 4n
⇒ \(\frac{125}{4}\) < n
31.25 < n అయ్యేటట్లుంటే కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n = 32 అవుతుంది. కావున 32వ పదము.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణిలో మొదటి రుణపదం అవుతుంది.

సరిచూచుకోవడం :
a₃₁ = a + 30d
= 121 + 30 (- 4)
= 121 – 120 = 1
a₃₂ = a + 31d
= 121 + 31 (- 4)
= 121 – 124 = – 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ, 7వ పదాల మొత్తము 6 . మరియు వాని లబ్ధము 8 అయిన మొదటి 16 పదాల మొత్తము కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ పదం, 7వ పదముల మొత్తం = 6
a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ 2 (a + 4d) = 3
⇒ a + 4d = 3
∴ a = 3 – 4d ………… (1)
మరియు వాని లబ్దం = 8
a₃ . a₇ = 8
⇒ (a + 2d) (a.+ 6d) = 9
⇒ (3 – 4d + 2d) (3 – 4d + 6d) = 8 (1) నుండి)
⇒ (3 – 2d) (3 + 2d) = 8
⇒ 9 – 4d² = 8
⇒ 4d² = 8 – 9 = 1
⇒ 4d² = 1
⇒ d² = \(\frac{1}{4}\)
d = \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm \frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 4(\(\frac{1}{2}\)) = 3 . 2 = 1
a = 1, d = \(\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + {n – d]
S_n = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= 8 [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{19}{2}[/latex]
S₁₆ = 76
d = – \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = – \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 . 4(- \(\frac{1}{2}\)) = 3 + 2 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\) n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (\(\frac{-1}{2}\))]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
S₁₆ = 20
S₁₆ = 76, 20
16 పదాల మొత్తం S₁₆ = 76, 20.

రెండవ పద్ధతి :
ఒక A.P. లో 3వ పదం = a + 2d = x;
7వ పదం = a + 6d = y
లెక్క ప్రకారం,
x + y = 6 ………. (1);
x + y = 8 ……….. (2)
(2) ⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ని (1) లో రాయగా, x + \(\frac{8}{x}\) = 6 –
⇒ x² + 8 = 6x
⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ x² – 4x – 2x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0
x = 4 లేదా x = 2
x = 4 అయిన
(1) నుండి
4 + y = 6 ⇒ y = 2

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 4 లో రాయగా,
a + 2(- \(\frac{1}{2}\)) = 4
⇒ a – 1 = 4
⇒ a = 4 + 1 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\), n = 16

x = 2 అయిన
(1) నుండి 2 + y = 6 ⇒ y = 6 – 2 = 4

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 2 లో రాయగా
a + 2(\(\frac{1}{2}\)) = 2
⇒ a + 1 = 2
⇒ a = 2 – 1 = 1
a = 1, d = \(-\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (- 1)]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{20-15}{2}[/latex]
= 8 × \(\frac{5}{2}\)
= 4 × 5 = 20
S₁₆ = 20
∴ 16 పదాల మొత్తం 20 లేదా 76.

ప్రశ్న 3.
ఒక నిచ్చెనకు 25 మెట్లు కలవు. మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుంచి పైకి ఏకరీతిగా తగ్గుతూవుంచి, క్రింది నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 45 సెం.మీ. మరియు పై నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 25 సెం.మీ. ఈ రెండింటి మధ్య దూరం 21/2 మీ. అయిన అన్ని మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు ఎంత? [సూచన : మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) +1]

సాధన.
నిచ్చెన యొక్క రెండు వరుస మెట్ల మధ్య దూరం = 25 సెం.మీ.
క్రింది నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁ = 45 సెం.మీ.
పై నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁₁ = 25 సెం.మీ.
నిచ్చెన మొదటి మెట్టుకు, చివరి మెట్టుకు మధ్య దూరం = 2\(\frac{1}{2}\) మీ. = 250 సెం.మీ.
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= \(\frac{16}{2}\) [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 \(\left[\frac{4+15}{2}\right]\)
= 4 × 19 = 76
S₁₆ = 76
∴. నిచ్చెన యొక్క మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 10 + 1 = 11
మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుండి పైకి ఏకరీతిన తగ్గుతూ ఉంది.
కావున మెట్ల పొడవుల జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది. మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు = A.P లోని 11 పదాల మొత్తం
S_n = \(\frac{11}{2}\) [45 + 25]
= \(\frac{11}{2}\) × 70
= 385 సెం.మీ.
S₁₁ = 3.85 మీ.

ప్రశ్న 4.
కొన్ని ఇండ్లు ఒక వరుసలో కలవు. దీనికి 1 నుంచి 49 వరకూ సంఖ్యలను కేటాయించటం జరిగింది. ఏదైనా ఒక ఇంటికి కేటాయించిన సంఖ్య X అనుకుంటే ; ఈ ఇంటికి ముందు – (Preceeding) ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము, తరువాత ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము సమానం అయ్యే విధంగా ఆ ఇంటి సంఖ్య X వ్యవస్థితమని చూపండి. మరియు x విలువను
కనుగొనుము. (సూచన : S_{x – 1} = S₄₉ – S_x]
సాధన.
మొదటి పద్ధతి : –
ఇంటి సంఖ్య x గల ఇళ్ళు దానికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్య మొత్తం, తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యలు సమానం అయ్యే విధంగా ఉంది అనుకొందాం.

⇒ \(\frac{x-1}{2}\) [1 + (x – 1)] = \(\frac{49-x}{2}\) [(x + 1) + 49]
[∵ (x + 1), (x + 2), …. , 49 వరకు గల పదాల సంఖ్య = 49 – x]
⇒ \(\left(\frac{x-1}{2}\right)[x]=\left(\frac{49-x}{2}\right)[x+50]\)

⇒ \(\frac{x^{2}-x}{2}=\frac{49 x+2450-x^{2}-50 x}{2}\)

⇒ x² – x = – x² – x + 2450
⇒ x² – x + x² + x = 2450
⇒ 2x² = 2450
⇒ x² = \(\frac{2450}{2}\) = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజసంఖ్య అవుతున్నది. కావున ఇచ్చిన నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థితము మరియు x = 35.

రెండవ పద్దతి :
x ఇంటి సంఖ్యల ఇళ్ళు దాని ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం తరువాత గల ఇళ్ళ సంఖ్యల మొత్తం సమానం అయ్యేటట్లు కలదు అనుకుందాం.
ఇండ్ల సంఖ్య S₄₉ = {1 + 2 + 3 + ……………. } S₁ + {(x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) + ………….. + 49} S₂
S₁ + x + S₂ = S₄₉ ……….. (1)
S₁ = x సంఖ్య ఇంటికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
S₂ = x సంఖ్య ఇంటికి తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
లెక్క ప్రకారం, S₁ = S₂ ……….. (2) మరియు
S₁ = 1 + 2 + 3 + ……… + x – 1
= \(\frac{x-1}{2}\)[1 + (x – 1)]
= ……………..(3)
S₄₉ = 1 + 2 + 3 + …… + 49
= \(\frac{49}{2}\) [1 + 49]
= \(\frac{49}{2}\) × 50
S₄₉ = 1225
∴ S₁ + x + S₂ = S₄₉ = 1225 [∵ S₁ = S₂]
2S₁ + x = 1225
2(\(\frac{x(x-1)}{2}\)) + x = 1225 [(3) నుండి)
x² – x + x = 1225
x² = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజ సంఖ్య కావున నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థతము.

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటములో చూపిన విధంగా ఒక ఫుట్ బాల్ గ్రౌండ్ లో 16 మెట్లు కల ఒక మెట్ల సోపానము . కలదు. దీనిలో ప్రతి మెట్టు పొడవు 50 మీ. మరియు వెడల్పు \(\frac{1}{2}\) మీ. మొదటి మెట్టు భూమి నుంచి \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో మరియు ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో ఉన్న ఆ మెట్ల సోపానాన్ని నిర్మించ డానికి కావలసిన కాంక్రీట్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
[సూచన : మొదటి సోపానము నిర్మించుటకు కావల్సిన కాంక్రీటు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 మీ.]

సాధన.
ప్రతి మెట్టు పొడవు l = 50 మీ.
వెడల్పు b = \(\frac{1}{2}\) మీ.
ఎత్తు h = మొదటి మెట్టు \(\frac{1}{4}\) మీ. తరువాతి ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. పెరుగును.
l = 50.మీ., b = \(\frac{1}{2}\) మీ.

దిమ్మె ఘనపరిమాణం V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + ………. + V₁₅
= 25 × \(\frac{1}{4}\) + 25 × \(\frac{2}{4}\) + 25 × \(\frac{3}{4}\) + 25 × \(\frac{4}{4}\) …………… + 25 × \(\frac{15}{4}\)
= \(\frac{25}{4}\) [1 + 2 + 3 + 4 ………. + 15] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) (a+ a_n)]
= \(\frac{25}{4}\) × [ \(\frac{15}{2}\) (1 + 15)]
= \(\frac{25}{4}\) × \(\frac{15}{2}\) x× 16
= 25 × 15 × 2
V = 750 ఘ.మీ.

V= 750 ఘ.మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక పనిని పూర్తి చేయుటకు 150 మంది కూలీలను నియమించారు. అయితే రెండవ రోజు వారిలో నలుగురు పనిలోకి రావటం మానుకున్నారు. మూడవ రోజు, మరి నలుగురు మానుకున్నారు. ప్రతిరోజూ ఈ విధంగా జరగటం వల్ల ఆ పని పూర్తి కావడానికి అనుకున్న రోజుల కంటే 8 రోజులు ఎక్కువ అవసరం పట్టింది. అయిన ఆ పని పూర్తి కావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు ఎన్ని ? .. [సూచన : ప్రారంభంలో పని పూర్తి కావడానికి అవసరమయ్యే రోజుల సంఖ్యను ‘x’ అనుకొంటే
150x = \(\frac{x+8}{2}\) [2 × 150 + (x + 8 = 1) (- 4)]
సాధన.
ప్రారంభంలోని 150 మంది కూలీలతో పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన రోజుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ ఆ పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన మనుష్యుల సంఖ్య = 150x
రెండవ రోజు నుండి ప్రతిరోజు 4గురు చొప్పున పని మానివేస్తుంటే ప్రతి రోజు పనిచేసే మనుష్యుల జాబితా 150, 146, 142, 138, ……., (x + 8) పదాలు .
(లెక్క ప్రకారం పని పూర్తికావడానికి అనుకొన్న రోజులు కన్నా 8 రోజులు ఎక్కువ)
పనిచేసిన మొత్తం మనుష్యులు S_x+8
a = 150, d = a₂ – a₁ = 146 – 150 = – 4,
n = x +8
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S_{x + 8} = \(\frac{x+8}{2}\) [2(150) + (x + 8 – 1) (- 4)]
= \(\frac{x+8}{2}\) [300 – 4x – 28]
= \(\frac{x+8}{2}\) [272 – 4x]
= \(\frac{x+8}{2}\) × 2 (136 – 2x)
= (x + 8) (136 – 2x)
= 136x – 2x² + 1088 – 16x
∴ S_{x + 8} = – 2x² + 120x + 1088
ఈ విలువ పని పూర్తికావడానికి కావలసిన మనుష్యులకు సమానం.
∴ 150x = S_{x + 8}
150x = – 2x² + 120x + 1088
2x² + 150x – 120x – 1088 = 0
2x² + 30x – 1088 = 0
2 [x² + 15x – 544] = 0
x² + 15x – 544 = 0
x² – 17x + 32x – 544 = 0
x (x – 17) + 32 (x – 17) = 0
(x – 17) (x + 32) = 0
x – 17 = 0 లేదా x + 32 = 0
x = 17 లేదా x = – 32
రోజుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 17.
∴ పని పూర్తికావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు x + 8 = 17 + 8 = 25.

ప్రశ్న 7.
ఒక యంత్రము వెల రూ. 5,00,600/-. మొదటి సంవత్సరము దీని వెలలో తగ్గుదల 15%, రెండవ సంవత్సరము 13\(\frac{1}{2}\)% మూడవ సం||ము ,12%….. ఈ విధానము కొనసాగించబడిన 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల ఎంత ? ఇవ్వబడిన శాతాలన్నీ ప్రారంభ వెల పైననే పేర్కొనడం జరిగింది.
[సూచన : మొత్తం తగ్గుదల = 15 + 13\(\frac{1}{2}\) + 12 + ……. + 10 పదాలు S_n = \(\frac{10}{2}\) [30 – 13.5] = 82.5 %
∴ 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల = 100 – 82.5 = 17.5 (అనగా 5,00,000 లో 17.5%)]
సాధన.
మొదటి పద్దతి : మొదట యంత్రం వెల = ₹ 5,00,000
యంత్రం యొక్క వెల తగ్గుదల ప్రారంభవెలపై ఇవ్వడం జరిగింది.

యంత్రం యొక్క ప్రారంభవెలలో 10 సం||ల తరువాత మొత్తం తగ్గుదల
15 + 13 \(\frac{1}{2}\) + 12 + …. 10 పదాలు.
a = 15, d = a₂ – a₁ = – 1\(\frac{1}{2}\)
= – \(\frac{3}{2}\), n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(15) + 9 (\(\frac{-3}{2}\))]
= 5[30 – \(\frac{27}{2}\)] = 5 [30 – 13.5]
= 5 [ 16.5] = 82.5 %
10 సం||ల తరువాత యంత్రం ధర ప్రారంభ ధరలో 100 – 82.5 = 17.5%
∴ 10 సం||ల తరువాత’ యంత్రం ధర = 500000 × \(\frac{17.5}{100}\) = ₹ 87500.

2వ పద్దతి :
యంత్రం ప్రారంభ ధర = ₹ 5,00,000

10సంవత్సరాల తరువాత యంత్రంలో మొత్తం తగ్గుదల 75000 + 67500 + 60000 + ….. + 10 పదాలు
ఇది A.P. లో కలదు.
∴ a = 75000, d = – 7500, n = 10
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(75000) + (10 – 1) (- 7500)]
= 5[150000 – 9 × 7500]
= 5[150000 – 67500]
= 5[82500] = 412500
∴ 10 సంవత్సరాల తరువాత యంత్రము వెల = 500000 – 412500 = ₹ 87500.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.5

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి గుణిశ్రేణికి సామాన్యనిష్పత్తిని, nవ పదమును కనుగొనుము.
(i) 3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సాధన.
3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= 3 × (\(\frac{1}{2}\))^{n – 1}

(ii) 2, – 6, 18, – 54
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{2}\) = – 3
nవ పదం , a_n = a r^{n – 1}
= 2 × (- 3)^{n – 1.}

(iii) – 1, – 3, – 9, – 27, ………..
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3}{-1}\) = 3
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= (- 1) × 3^{n – 1} = – 3^{n – 1}

(iv) 5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సాధన.
5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{5}\)
1 వ పదం a_n = a r^{n – 1} = 5 × (\(\frac{2}{5}\))^{n – 1}

ప్రశ్న 2.
5, 25, 125, ….. అనే గుణశ్రేణి యొక్క 10వ, 1వ పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
5, 25, 125, …………….
a = 5, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{25}{5}\) = 5
10 వ పదం a₁₀ = a . r⁹ = 5 × 5⁹ = 5¹⁰
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1} = 5 × (5)^{n – 1}
= 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ

ప్రశ్న 3.
క్రింది గుణశ్రేణిలలో పేర్కొన్న పదాలను కనుగొనుము.
(i) a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\) అయిన a₇ = ?
సాధన.
a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\)
ar₇ = ar⁶ – 9 × (\(\frac{1}{3}\) )⁶
= 3² × \(\frac{1}{3^{6}}\)
= \(\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\)

(ii) a₁ = – 12; r = \(\frac{1}{3}\); అయిన a₆ = ?
సాధన.
a₁ = 12; r = \(\frac{1}{3}\)
a₆ = ar⁵ = – 12(\(\frac{1}{3}\))⁵
= \(\frac{-12}{3^{5}}=\frac{-4}{3^{4}}=\frac{4}{81}\)

ప్రశ్న 4.
(i) 2, 8, 32, …….. గుణ శ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 512 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేఢ 2, 8, 32, ……….. 512
a = 2; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{2}\) = 4, a_n = 512
a_n = a . r^{n – 1} = 512
⇒ 2 × (4)^{n – 1} = 512

⇒ 2 × (2²)^{n – 1} = 2⁹
⇒ 2 × 2^{2(n – 1)}= 2⁹
⇒ 2^{2n – 1} = 2⁹
2n – 1 = 9
2n = 9 + 1 = 10 ,
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
2, 8, 32, ….. శ్రేణిలో 5వ పదం 512 అవుతుంది.

(ii) √3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 729 అవుతుంది?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి √3, 3, 3√3, …….. 729
a = 3; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = √3
a_n = 729

a_n = a r^{n – 1} = 729
⇒ 3 × (√3)^{n – 1}= 729
⇒ (√3)ⁿ = 729
⇒ 3^n/2 = 3⁶
⇒ \(\frac{n}{2}\) = 6
⇒ n = 12
√3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో 12వ పదం 729 అవుతుంది.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 2187 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), …………, \(\frac{1}{2187}\)
a = \(\frac{1}{3}\), r = \(\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}\),
a_n = \(\frac{1}{2187}\)
a_n = a . r^{n – 1} = \(\frac{1}{2187}\)
⇒ \(\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{2187}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{7}\)
n = 7

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో 7వ పదం \(\frac{1}{2187}\) అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 8వ పదము 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన 12వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
1వ పద్దతి :
ఒక గుణ శ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 ………. (1)
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 ను (1) లో రాయగా,
a(2)⁷ = 192
a × 128 = 192
⇒ a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
∴ 12వ పదం a₁₂ = a r¹¹
= \(\frac{3}{2}\) × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰

2వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 .
∴ 12వ పదం a₁₂ = ar¹¹ = ar⁷ × r⁴
= 192 × 2⁴
= 3 × 64 × 2⁴
= 3 × 2⁶ × 2⁴
= 3 × 2¹⁰

3వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
a₉ = 192 × 2 = 3 × 20 × 2 = 3 × 27
a₁₀ = 3 × 2⁷ × 2 = 3 × 2⁸
a₁₁ = 3 × 2⁸ × 2 = 3 × 2⁹
a₁₂ = 3 × 2⁹ × 2 = 3 × 2¹⁰

ప్రశ్న 6.
ఒక గుణశ్రేణిలో నాల్గవ పదము \(\frac{2}{3}\) మరియు 7వ పదము \(\frac{16}{81}\) అయిన ఆ శ్రేణిని కనుగొనుము.
సాధన.
గుణ శ్రేణిలో నాల్గవ పదము a₄ = ar³ = \(\frac{2}{3}\) ………… (1)
7వ పదము a₇ = ar⁶ = \(\frac{16}{81}\) …………..(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{ar}^{6}}{\mathrm{ar}^{3}}=\frac{\frac{16}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{16}{81} \times \frac{3}{2}=\frac{8}{27}\) = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)

⇒ r³ = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
∴ r = \(\frac{2}{3}\) or
r = \(\frac{2}{3}\) ని (1) లో రాయగా,
a\(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
a × \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ a = \(\frac{2}{3} \times \frac{27}{8}=\frac{9}{4}1\)
∴ ఆ గుణశ్రేఢ a, ar, ar², ar³, ………….
\(\frac{9}{4}\), \(\frac{9}{4} \times \frac{2}{3}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\), ………….
= \(\frac{9}{4}\), \(\frac{3}{2}\), 1, \(\frac{2}{3}\), ………….

ప్రశ్న 7.
162, 54, 18, …… గుణశ్రేణి మరియు \(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\) …… గుణ శ్రేఢుల 1వ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన 1వ గుణశ్రేణి 162, 54, 18, ……,
a = 162, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\)
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1}
= 162 . (\(\frac{1}{3}\))^{n – 1}
= \(\frac{162}{3^{n-1}}\)
2వ గుణశ్రేణి
\(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\), …………………..
మొదటిపదం a = \(\frac{2}{81}\), r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}\)
= \(\frac{\frac{2}{27}}{\frac{2}{81}}=\frac{2}{27} \times \frac{81}{2}\) = 3

n వ పదం a_n = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1} = \(\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు గుణశ్రేఢుల n వ పదాలు సమానము.
\(\frac{162}{3^{n-1}}=\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
2 × 3^{n – 1} × 3^{n – 1} = 162 × 81 (అడ్డగుణకారము చేయగా)
3^{2n – 2} = \(\frac{162 \times 81}{2}\) = 81 × 81
3^{2n – 2} = 3⁴ × 3⁴ = 3⁸
3^{2n – 2} = 3⁸
∴ 2n – 2 = 8
2n = 8 + 2 = 10
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితాలలో ఏవి గుణశ్రేఢులను ఏర్పరుస్తాయి ?
(i) షర్మిల యొక్క మొదటి సం||ము జీతము 5,00,000/- ఆ తరువాత ప్రతి సం||ము ముందున్న సం||ము యొక్క జీతములో 10% పెరుగుతుంది.
సాధన.
షర్మిల మొదటి సం||ము జీతము = ₹ 5,00,000
2వ సం||ము జీతము = 5,00,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 5,50,000
3వ సం||ము జీతము = 5,50,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 6,05,000
ప్రతి సంవత్సరం షర్మిల జీతం జాబితా 5,00,000, 5,50,000, 6,05,000 ……………….
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{5,50,000}{5,00,000}=\frac{11}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{11}{10}\)
కావున షర్మిల యొక్క జీతంతో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణశ్రేణి అవుతుంది.

(ii) 30 మెట్లు వున్న ఒక మెట్ల వంతెనలో అన్నింటి కంటే క్రింద ఉన్న మెట్టు నిర్మాణానికి 100 ఇటుకలు అవసరం. ఆ పై ప్రతి పై మెట్టు నిర్మాణానికి దాని క్రింద మెట్టు నిర్మాణానికి కావలసిన వాని ఇటుకల కంటే 2 చొప్పున తక్కువ ఇటుకలు అవసరమైన ప్రతి మెట్టు. నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్యల జాబితా. .
సాధన.
కింది మెట్టు నుండి మెట్ల నిర్మాణానికి అవసరమైన సంఖ్యల జాబితా . 100, 98, 96, 94, ………….. 30 పదాలు
ఇక్కడ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}\);

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున పై సంఖ్యల జాబితా గుణశ్రేఢి కాదు.

(iii) 24 సెం.మీ భుజం పొడవు గల ఒక సమబాహు త్రిభుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల రెండవ త్రిభుజము, దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల మూడవ త్రిభుజమేర్పడును. ఈ విధానాన్ని అనంతంగా కొనసాగిస్తే మొదటి, రెండవ, మూడవ … త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు.

సాధన.
త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మధ్య బిందువులు కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజంలో సగం ఉంటుంది.

త్రిభుజ చుట్టుకొలతల జాబితా 72, 36, 18, 9,
ఇందులో, \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}\)

………………
………………
………………
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{a}_{4}}{\mathrm{a}_{3}}=\ldots .=\frac{1}{2}\)
కావున త్రిభుజాల చుట్టుకొలత జాబితా గుణ శ్రేణిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
గుణశ్రేణి యొక్క మొదటి పదము a, సామాన్యనిష్పత్తి r లు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. అయిన మొదటి మూడు పదాలను రాయుము.
(i) a = 4; r= 3.
సాధన. a = 4; r = 3
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = ar = 4 × 3 = 12
మూడవ పదం a₂₃ = ar² = 4 (3)²
= 4 × 9 = 36

(ii) a = √5; r = \(\frac{1}{5}\)
సాధన.
a = √5 ; r = \(\frac{1}{5}\)
మొదటి పదం a₁ = a = √5
రెండవ పదం a₂ = ar = √5 × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
మూడవ పదం a₃ = ar² = √5 × (\(\frac{1}{5}\))²
= √5 × \(\frac{1}{25}\) = \(\frac{1}{5 \sqrt{5}}\).

(iii) a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
సాధన.
a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
మొదటి పదం a₁ = a = 81
రెండవ పదం a₂ = ar = 81 (- \(\frac{1}{3}\)) = – 27
మూడవ పదం a₃ = ar² = 81 × (- \(\frac{1}{3}\))²
= 81 (\(\frac{1}{9}\)) = 9

(iv) a = \(\frac{1}{67}\); r = 2.
సాధన.
a = \(\frac{1}{64}\); r = 2
a₁ = a = \(\frac{1}{64}\)
a₂ = ar = \(\frac{1}{64}\) x 2 = 1
a₃ = ar² = \(\frac{1}{64}\) × 2² _ 1 _1
= \(\frac{1}{64}\) × 4 = 16.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిలో ఏవి గుణశ్రేఢులు ? గుణశ్రేఢి అయితే తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను రాయుము.
(i) 4, 8, 16, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{4}\) = 2 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{8}\) = 2
∴ r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2
కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు
[∵ 16 × 2 = 32
32 × 2 = 64
64 × 2 = 128]

(ii) \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{12}\), ……………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{-1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{-1}{6} \times \frac{3}{1}-\frac{-1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు, \(-\frac{1}{24}\), \(\frac{1}{48}\), \(-\frac{1}{96}\)
[∵ \(\frac{1}{12} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{24}\)

\(\frac{1}{48} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=-\frac{1}{96}\)].

(iii) 5, 55, 555, ……………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{55}{5}\) = 11 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{555}{55}=\frac{111}{11}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)కావున గుణశ్రేణి కాదు.

(iv) – 2, – 6, – 18, ……
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{-2}\) = 3 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-18}{-6}\) = 3

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 3
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
a₄ = a .r³ = (- 2) × 3³ = – 2 × 27 = – 54
a₅ = a .r⁴ = (- 2) × 3⁴ = – 2 × 81 = – 162
a₆ = a .r⁵ = (- 2) × 3⁵ = – 2 × 243 = – 486
తరువాత మూడు పదాలు : – 54, – 162, – 486.

(v) \(\frac{1}{42}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\), …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \times \frac{2}{1}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున ఇది గుణశ్రేణి కాదు.

(vi) 3, – 3², 3³, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3^{2}}{3}\) = – 3; \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3^{3}}{-3^{2}}\) = – 3
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = – 3కావున ఇది గుణ శ్రేణి.
తరువాత వచ్చు మూడు పదాలు . – 3⁴, 3⁵, – 3⁶
[∵ 3³ × – 3 = -3⁴
(- 3)⁴ × (- 3) = 3⁵
3⁵ × (- 3) = – 3⁶].

(vii) x, 1, \(\frac{1}{x}\),…………….. (x ≠ 0)
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{\Gamma}}=\frac{1}{x}\); \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\dot{a}_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{x}\)కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
తరువాత మూడు పదాలు \(\frac{1}{x^{2}}\), \(\frac{1}{x^{3}}\), \(\frac{1}{x^{4}}\)
[∵ \(\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}\)
\(\frac{1}{x^{2}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{3}}\)
\(\frac{1}{x^{3}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{4}}\)]

(viii) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 2, \(\frac{8}{\sqrt{2}}\), …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = – 2√2

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{8}{\sqrt{2}}}{-2}=\frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{2}=\frac{-4}{\sqrt{2}}\) = 2√2

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2√2 కావున ఇది గుణశ్రేణి.
తరువాత మూడు పదాలు : – 16, 32√2 , – 128
[4√2 × (- 2√2) = -16
(- 16) × (- 2√2) = 32√2
32√2 × (- 2√2) = – 128].

(ix) 0.4, 0.04, 0.004, ……….
సాధన.
0.4, 0.04, 0.004) …. (లేదా) \(\frac{4}{10}\), \(\frac{4}{100}\), \(\frac{4}{1000}\)………
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{0.04}{0.4}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{0.004}{0.04}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{4}{100}}{\frac{4}{10}}\) = \(\frac{4}{100} \times \frac{10^{*}}{4}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{4}{1000}}{\frac{4}{100}}\) = \(\frac{4}{1000} \times \frac{100}{4}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)
∴ తరువాత మూడు పదాలు . – 0.0004, 0.00004, 0.000004.

ప్రశ్న 4.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో మూడు వరుస పదాలైన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో వరుస పదాలు
\(\frac{x+2}{x}=\frac{x+6}{x+2}\)
(x + 2)² = x(x + 6)
x² + 4x + 4 = x² + 6x
x² + 4x – x² – 6x = 4
– 2x = – 4
2x = 4
x = \(\frac{4}{2}\) = 2.

సరిచూచుట :
x, x + 2, x + 6
2, 4, 8లు G.P. లో కలవు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది అంకశ్రేఢులలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తాలను ‘ కనుగొనుము.
(i) 2, 1, 12, ……… 10 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 2, 7, 12, …….. 10 పదాలు.
a = 2; d = a₂ – a₁ = 7 – 2 = 5; n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245
∴ S₁₀ = 245.

(ii) – 37, – 33, – 29, ………….., 12 పదాలు
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : – 37, – 33, – 29, …………, 12 పదాలు .
a = – 37; d = a₂ – a₁
= (- 33) – (- 37)
= – 33 + 37 = 4, n = 12
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [2 × (- 37) + (12 – 1)4]
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[- 74 + 44] = 6 (- 30) = – 180
∴ S₁₂ = – 180.

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………… 100 పదాలు.
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : 0.6, 1.7, 2.8, ….. 100 పదాలు.
a = 0.6, d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\) [2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50 [1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
∴ S₁₀₀ = 5505.

(iv) \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P: \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
a = \(\frac{1}{15}\);
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\)
= \(\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}\)
n = 11
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₁ = \(\frac{11}{2}\) [2 × \(\frac{1}{15}\) + (11 – 1) × \(\frac{1}{60}\)]

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{4+5}{30}\right]\)

= \(\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}=\frac{33}{20}\)
∴ S₁₁ = \(\frac{33}{20}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ……….. + 84
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 7, 10\(\frac{1}{2}\), 14, ………. 84
∴ a = 7; d = a₂ – a₁ = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = 3\(\frac{1}{2}\)
d = 7\(\frac{1}{2}\); a_n = 84
a_n = a + (n – 1) d = 84
= 7 + (n – 1)(\(\frac{7}{2}\)) = 84
⇒ (n – 1) × \(\frac{7}{2}\) = 84 – 7
⇒ (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 77
⇒ n – 1 = 77 × \(\frac{7}{2}\)
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 22 + 1 = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [7 + 84]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\) = 1046 \(\frac{1}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046\(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

S_n = [2a + (n – 1)d]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(7) + (23 – 1) \(\frac{7}{2}\)]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [14 + 22 × \(\frac{7}{2}\)]
= \(\frac{23}{2}\) [14 + 77]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046 \(\frac{1}{2}\).

(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 34, 32, 30, ………, 10
a = 34; d = a₂ – a₁ = 32 – 34 = – 2,
a_n = 10
a_n = a + (n – 1) d = 10 :
⇒ 34 + (n – 1) (- 2) = 10
⇒ 34 – 2n + 2 = 10
⇒ – 2n = 10 – 36 = – 26
⇒ 2n = 26
n = \(\frac{26}{2}\) = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [34 +10] = \(\frac{13}{2}\) × 44
∴ S₁₃ = 286.

(లేదా)

S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)]
= \(\frac{13}{2}\) [2(34) + (13 – 1) (- 2)]
= \(\frac{13}{2}\) [68 – 24)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
∴ S₁₃ = 286.

(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ……….. + (- 230)
సాధన.
ఇచ్చిన A.P:
(5) + (- 8) + (- 11) + ………….. + (- 230)
a = – 5,
d = a₂ – a₁ = (- 8) – (- 5). = – 8 + 5 = – 3,
a_n = – 230
a_n = a + (n – 1) d = – 230
(- 5) + (n – 1) × (- 3) = – 230
– 5 – 3n + 3 = – 230
– 3n = – 230 + 2
– 3n = – 228
⇒ 3n = 228
n = \(\frac{228}{3}\) = 76
S_n = \(\frac{n}{2}\) [(- 5) + (- 230)]
∴ S₁ = 35 × (- 235) = – 8930
(లేదా)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\) [2(- 5) + 75(- 3)]
= 38 [- 10 – 225]
= 38 × (- 235)
∴ S₇₆ = – 8930.

ప్రశ్న 3.
ఒక అంకశ్రేణిలో
(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 అయిన n మరియు S_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 5; d = 3; a_n = 50
a_n = a + (n – 1) 4 = 50
⇒ 5+ (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 – 2 = 48
⇒ n = \(\frac{48}{3}\) = 16.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [5 + 50] = 8 × 55
∴ S₁₆ = 440.

(ii) a = 7, a₁₃ = 35 అయిన d ని మరియు S₁₃ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 7, a_n = 35
a₁₃ = a + 12d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}\) = \(\frac{7}{3}\)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
∴ S₁₃ = 273.

(iii) a₁₂ = 37, d = 3 అయిన a ను మరియు S₁₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₂ = 37, d = 3
a₁₂ = a + 11d = 37
a + 11 (3) = 37
a + 33 = 37 ⇒ a = 37 – 33 = 4
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n ]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37] = 6 × 41 = 246
∴ S₁₂ = 246.

(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 అయిన d మరియు a₁₀ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₃ = 15, S₁₀ = 125
a₃ = a + 2d = 15 …………. (1)
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d] = 125
= 2a + 9d = \(\frac{125}{2}\)
2a + 9d = 25 ……………….(2)

d = -1 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a₁₀ = a + 9d = 17 + 9 (- 1)
= 17 – 9 = 8
∴ d = – 1 మరియు a₁₀ = 8.

(v) a = 2, d = 8, S_n = 90 అయిన n మరియు a_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 2; d = 8, S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 90
\(\frac{n}{2}\) [2(2) + (n – 1) 8] = 90
n [4 + 8n – 8] = 90 × 2 = 180
8n² – 4n – 180 = 0
4[2n² – n -45] = 0
2n² – n – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0 (∵ 2 × – 45 = – 90)
2n [n – 5] + 9 [n – 5] = 0
(n – 5) (2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 లేదా 2n + 9 = 0
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజసంఖ్య.
∴ n – 5 = 0 ⇒ n = 5
∴ a₅, = a + 4d = 2 + 4(8)
= 2 + 32 = 34
∴ n = 5 మరియు a₅ = 34.

(లేదా)

S₅ = \(\frac{5}{2}\) [2 + a₅] = 90 [∵ S_n = (a + a_n)]
= 2 + a₅ = 90 × \(\frac{2}{5}\) = 36
a₅ = 36 – 2 = 34 .

(vi) a_n = 4, d = 2, S_n = – 14, అయిన n మరియు a లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 4, d = 2, S_n = – 14
a_n = a + (n – 1) d = 4
= a + (n – 1) (2) = 4.
∴ a + 2n = 4 + 2 = 6
a = 6 – 2n, ………… (1)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = – 14
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) (2)] = – 14
\(\frac{n}{2}\) × 2[a + n – 1) = – 14
n [6 – 2n + n – 1] = – 14 [(1) నుండి]
n [5 – n] = – 14
5n – n² = – 14
n² – 5n = 14
⇒ n² – 5n – 14 = 0
n² – 7n + 2n – 14 = 0 (∵ 1 × (- 14) = – 14)
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య.
∴ n – 7 = 0
n = 7
n = 7 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a = 6 – 2 (7) = 6 – 14 = – 8
∴ n = 7, a = – 8.

(vii) l = 28, S = 144 మరియు పదాల సంఖ్య 9 అయిన a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
l = a_n = 28, S = 144 మరియు n = 9.
[∵ A.P. లో చివరి పదాన్ని l తో సూచిస్తారు]
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144
a + 28 = 144 × 2
a + 28 = 32
a = 32 – 28 = 4
∴ a = 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి, చివరి పదాలు వరుసగా 17 మరియు 350. సామాన్య భేదం 9 అయిన శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యను, పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి పదం a = 17
చివరి పదం a_n = 350
సామాన్యభేదం d = 9
a_n = a + (n – 1) 4 = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
17 + 9n – 9 = 350
9n + 8 = 350
9n = 350 – 8 = 342
n = \(\frac{342}{9}\) = 38
∴ n = 38.
ఇప్పుడు S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₃₈ = \(\frac{38}{2}\) [17 + 350] = 19 × 367
S₃₈= 6973
∴ పదాల సంఖ్య n = 38
38 పదాల మొత్తం S₃₈ = 6973.

ప్రశ్న 5.
ఒక అంకశ్రేణిలో 2వ, 3వ పదాలు వరుసగా 14 మరియు 18 అయిన 51 పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలో
2వ పదం a₂ = a + 4 = 14 ………… (1)
3వ పదం a₃ = a + 2d = 18 …………..(2)
పదాల సంఖ్య = 51
d = a₂ – a₁ = 18 – 14 = 4
d ను (1) లో రాయగా
a + 4 = 14 = a = 14 – 4 = 10
a = 10, d = 4, n = 51 అయిన
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) × 4) |
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\) × (20 + 200)
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 × 110 = 5610
∴ 51 పదాల మొత్తం S_n = 5610.

ప్రశ్న 6.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి 7 పదాల మొత్తము 49 మరియు 17 పదాల మొత్తము 289 అయిన మొదటి n పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
S₇ = 49 మరియు S₁₇ = 289
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1)d] = 49 .
= \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
2a + 6d = 49 × \(\frac{2}{7}\) = 14
∴ 2a + 6d = 14 ………. (1)
అలాగే S₁₇ = \(\frac{17}{2}\) [2a + 16d] = 289
2a + 16d = 289 × \(\frac{2}{27}\) = 34
∴ 2a + 16d = 34 ………. (2)

d = 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2a + 6(2) = 14
2a = 14 – 12 = 2
∴ a = \(\frac{2}{2}\) = 1
a = 1, d = 2 అయిన S_n
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2 (1) + (n – 1) 2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × 2n
S_n = n²
[Shortcut:-
S_n = 49 = 7²
S_n = 289 = 17²
S_n = n²
∴ మొదటి n పదాల మొత్తం S_n = n².

ప్రశ్న 7.
a_n క్రింది విధంగా నిర్వచించబడితే a₁, a₂, ………., a_n, అంకశ్రేణి అవుతుందని చూపండి. మరియు మొదటి 15 పదాల మొతమును కనుగొనండి.
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
(i) a_n = 3 + 4n
a₁ = 3 + 4(1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 3 + 12 = 15
a₄ = 3 + 4 (4) = 3 + 16 = 19
…………………………………………………………..
………………………………………………………….
a₁, a₂, a₃, …………… = 7, 11, 15, 19, ……………
d = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
d = a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
d = a₄ – a₃ = 19 – 15 = 4
అన్ని సందర్భాలలోను , సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a_n అంకశ్రేణి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 7, d = 4, n = 15
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2x 7 + (15 – 1) 4]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]]
= \(\frac{15}{2}\) (14 + 14 × 4]
= \(\frac{15}{2}\) [70]
= 15 × 35 = 525
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 525.

(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
a₁ = 9 – 5 × 1= 9 – 5 = 4
a₂ = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = – 1
a₃ = 9 – 5 × 3 = 9 – 15 = – 6
a₄ = 9 – 5 × 4 = 9-20 = – 11
………………………………..
a₁, a₂, a₃, a₄ ………….. = 4, – 1, – 6, – 11, ……………
d = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = – 5
d = a₃ – a₂ = – 6 – (- 1) = – 6 + 1 = – 5
d = a₄ – a₃ = – 11 -(- 6) = – 11 + 6 = – 5
………………………………………………..
………………………………………………..
అన్ని సందర్భాలలోను d సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, …………… a_n అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 4, d = – 5, n = 15
S₁₅ = 15 [2(4) + (15 – 1) (- 5)]
= 15 [8 + 14 (- 5)]
= \(\frac{15}{2}\) × – 62 = 15 × – 31 = – 465
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 465.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి n పదాల మొత్తము 4n – na అయిన మొదటి పదం ఎంత ? (S, విలువే మొదటి పదము అవుతుందని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి) మొదటి రెండు పదాల మొత్తం ఎంత ? రెండవ పదము ఎంత ? అదేవిధంగా 8వ పదమును, 10వ పదమును మరియు nవ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి : 2
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం S_n = 4n – na
మొదటిపదం a₁ = S₁ = 4 (1) – (1)² = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4 (2) – (2)²
= 8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
మొదటి మూడు పదాల మొత్తం S₃ = 4 x (3) – (3)²
= 12 – 9 = 3
మూడవ పదం a₃ = S₃ – S₂ = 3 – 4 = – 1
మొదటి తొమ్మిది పదాల మొత్తం S₉ = 4(9) – 9²
= 36 – 81 = – 45
మొదటి పది పదాల మొత్తం S₁₀ = 4(10) – 10²
= 40 – 100 = – 60
పదవ పదము = a₁₀ = S₁₀ – S₉
= – 60 – (- 45)
= – 60 + 45 = – 15
(n – 1) పదాల మొత్తం S_{n – 1}
= 4 (n – 1) – (n – 1)²
= 4n – 4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n -1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
∴ n వ పదం a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5) ..
= 4n -n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n.

రెండవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
మొదటి పదం a₁ = S₁ = 4(1) – (1)2²
= 4 – 1 = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – (2)²
=8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
∴ మూడవపదం a₃ = a₂ + d = 1 + (- 2) = – 1
పదవపదం a₁₀ = a + 9d = 3 + 9 (- 2)
= 3 – 18 = – 15
n వ పదము a_n = a + (n- 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
a_n = 5 – 2n

మూడవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణిలో S_n = 4n – n²
nవ పదం a_n = S_n – S_{n – 1} అవుతుంది.
S_{n – 1} = 4 (n – 1) – (n – 1)
= 4n -4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n – 1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n
∴ మొదటి పదం a₁ = 5 – 2(1) = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – 2²
= 8 – 4 = 4
a₂ = 5 – 2(2) = 5 – 4 = 1
a₃ = 5 – 2(3) = 5 – 6 = – 1
a_n = 5 – 2(10) = 5 – 20 = – 15
nవ పదం a_n = 5 – 2n.

ప్రశ్న 9.
6చే భాగించబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 6, 12, 18, 24, …….. 40 పదాలు .
ఈ జాబితా అంకశ్రేణిలో కలదు.
a = 6, d = a₂ – a₁ = 12 – 6 = 6, n = 40
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 – 1) (6)]
= 20 [12 + 39 × 6]
= 20 [12 + 234] = 20 × 246
S₄₀ = 4920.
6చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల, మొత్తం S₄₀ = 4920.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాఠశాలలో విద్యావిషయక సంబంధిత విషయాలలో అత్యున్నత ప్రతిభ కనపరిచిన వారికి మొత్తం 700 రూపాయలకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ దాని ముందున్న దానికి ₹ 20 తక్కువ అయిన ప్రతి బహుమతి విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
బహుమతులను a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, ………………. అనుకొనుము.
ప్రతి బహుమతి దాని ముందున్న బహుమతికన్నా ₹ 20 తక్కువ.
కావున, a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a₇ లు Sn A.P. లో ఉంటాయి.
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = – 20
(∵ a₁ కన్నా a₂, 20 తక్కువగా ఉంటుంది.)
లెక్క ప్రకారం బహుమతుల మొత్తం S₇ = 700 .
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) (- 20)] = 700
[2a + 6 (- 20)] = 700 × \(\frac{2}{7}\)
2a – 120 = 200
2a = 200 + 120 = 320
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
∴ బహుమతుల విలువ a = a₁ = 160
a₂ = 160 – 20 = 140
a₃ = 140 – 20 = 120
a₄ = 120 – 20 = 100
a₅ = 100 – 20 = 80
a₆ = 80 – 20 = 60
a₇ = 60-20 = 40.

ప్రశ్న 11.
ఒక పాఠశాల ఆవరణలో పర్యావరణ పరిరక్షణకు విద్యార్థులు చెట్లు నాటాలని భావించారు. ప్రతి సెక్షను విద్యార్థులు వారు చదువుతున్న తరగతి సంఖ్యకు సమానమైన చెట్లను అనగా 1వ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 1 చెట్టును, రెండవ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 2 చెట్లను నాటాలని ఈ విధంగా 12వ తరగతి వరకూ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు. అయితే ప్రతి తరగతిలో మూడు సెక్షన్లు ఉన్న మొత్తం నాటిన చెట్లు ఎన్ని?
సాధన.

మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటే చెట్ల సంఖ్య జాబితా 3, 6, 9, 12, ………….. 33, 36.
ఇది A.P లో కలదు.
12 తరగతులలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 3 + 6, + 9 +:12 + …. + 36
a = 3, 4 = 6 – 3 = 3, n = 12
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a +1]].
= 6 × 39.
S₁₂ = 234
∴ ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 234.

రెండవ పద్ధతి :
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన చెట్ల సంఖ్య జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………… 11. 12 ఇది A.P లో కలదు.
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 1 + 2 + 3 + ………….. + 11 + 12
a = 1, d = 1, n = 12 S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [1 + 12]
= 6 × 13 = 78 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]]
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78
ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78 × 3 = 234.

ప్రశ్న 12.
అర్ధ వృత్తాలచే ఒక సర్పిలాకారము తయారుచేయబడింది. పటంలో చూపిన విధంగా అర్ధవృత్తాల కేంద్రాలు A వద్ద ప్రారంభించబడి A, Bల మధ్య మారుతూ వున్నాయి. అనగా మొదటి అర్ధవృత్త కేంద్రము A, రెండవ అర్ధవృత్త కేంద్రము B, మూడవ అర్ధవృత్త కేంద్రము A …… మరియు అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0.5 సెం.మీ., 1.0 సెం.మీ, 1.5 సెం.మీ, 20 సెం.మీ, … ఈ విధంగా మొత్తం 18 అర్ధవృత్తాలు వున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు ఎంత ? (x = 4) (సూచన : వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄ . . . మరియు వీని కేంద్రాలు వరుసగా A, B, A, B……..]

సాధన.
వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄, ……. మరియు వీటి కేంద్రాలు A, B, A, B
అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0, 5 సెం.మీ., 1 సెం.మీ., 1, 5 సెం.మీ., 2 సెం.మీ…
l₁ = π(0.5) = 0.5π (∵ అర్ధవృత్త చాపం పొడవు l = πr)
l₂ = π(1) = π
l₃ = π(1.5) = 1.5π
l₄ = π(2) = 2π
……………………
…………………………
l₁, l₂, l₃, l₄, ……. లు A.P. లో కలవు.
13 అర్ధవృత్తాలు గల సర్పిలం మొత్తం పొడవు l₁, l₂, l₃, l₄, …………..l₁₃
0.5π + π + 1.5π + ……….. + 13 పదాలు ……… (1)
a = 0.5π, d = 0.57 మరియు n = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [2(0.5π) + ( 13 – 1) (0.5π)]
= \(\frac{13}{2}\) [π + 6π] = 13 × 7π
= \(\frac{13}{2}\) × 7 × \(\frac{22}{7}\) = 13 × 11
S₁₃ = 143 సెం.మీ.
∴ 13 అర్ధవృత్తాలున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు = 143 సెం.మీ.

(లేదా)
(1) ⇒ π (0.5 + 1 + 1.5 + 2 + ……… + 13 పదాలు )
S₁₃ = π [\(\frac{13}{2}\) (2 (0.5) + (13 – 1) (0.5)]
= π [\(\frac{13}{2}\) (1 + 6)]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{13}{2}\) × 7 = 11 × 13
S₁₃ = 143 సెం.మీ.

ప్రశ్న 13.
200 చెక్క మొద్దులను క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చారు. అన్నింటి కంటే క్రింద వున్న వరుసలో 20 చెక్క మొద్దులను, దానిపై 19 మొద్దులను, దాని పైన 18 మొద్దులను ….. అమర్చిన మొత్తం 200 మొద్దులను అమర్చుటకు ఎన్ని వరుసలు కావాలి ? అన్నింటికంటే పైన వున్న వరుసలో ఎన్ని చెక్క మొద్దులు కలవు ?

సాధన.
క్రింది నుండి ప్రతి వరుసలోను గల చెక్క మొద్దుల సంఖ్య జాబితా 20, 19, 18, 17, ……. ఇది A. P. లో కలదు.
a = 20, d = a₂ – a₁ = 19 – 20 = -1
మొత్తం చెక్క మొద్దుల సంఖ్య S_n = 200
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 200
\(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n – 1) (- 1)] = 200
\(\frac{n}{2}\) [40 – n+1] = 200
\(\frac{n}{2}\) [41 – n] = 200
41n – n² = 400
⇒41n – n² – 400 = 0
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0 ( 1 × 400 = 400)

⇒ n (n – 25) – 16 (n – 25) = 0.
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
∴ n – 25 = 0 లేదా n – 16 = 0
n = 25 లేదా n = 16
n = 25 అసాధ్యము. కావున n = 16
(20, 19, 18, ……. జాబితాలో 25వ పదం రుణసంఖ్య అవుతుంది.)
అనగా ’20, 19, 18, …… శ్రేణిలో 16 పదాలుంటాయి. కావున 200 మొద్దులను అమర్చుటకు 16 వరుసలు కావాలి.
పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = a₁₆ = a + 15d = 20 + 15(- 1) = 20 – 15 = 5
∴ పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = 5. – A.P. 10వ తరగతి జీ గణితశాస్త్రం

ప్రశ్న 14.
బంతి మరియు బకెట్ ఆటలో, ప్రారంభంలో ఒక బకెట్ దానికి 5మీ. దూరంలో ఒక బంతి ఉంచబడినవి. మొత్తం 10 బంతులలో మిగిలిన బంతులు ఒకదానికొకటి 3మీ. దూరంలో పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చబడినవి. ఆటలో పాల్గొనే వ్యక్తి మొదట బకెట్ వద్ద నుంచి బయలుదేరి మొదటి బంతివద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వెనుకకు వచ్చి ‘బకెట్లో వేయాలి. తరువాత తిరిగి బకెట్ నుంచి బయలుదేరి రెండవ బంతి వద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వచ్చి బకెట్లో వేయాలి. ఈ విధంగా అన్ని బంతులను బకెట్లో వేయవలెనన్న ఆ వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన మొత్తం దూరం ఎంత ? (సూచన : మొదటి, రెండవ బంతులను తీసుకొని రావడానికి ఆట ఆడే వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన దూరము వరుసగా 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

సాధన.

ప్రతి బంతి తీసుకురావడానికి వ్యక్తి ప్రయాణించిన దూరాల జాబితా 10, 16, 22, 28, …………….. 10 పదాలు.
ఇది A.P. లో కలదు.
a = 10; 4 = 16 – 10 = 6, n = 10.
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం 10 + 16 + 22 + 28 + ……….. + 10 పదాలు.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 10 + (10 – 1) × 6] = 5[20 + 54] = 5 × 74
S₁₀ = 370
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం = 370 మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
మొదటి పదము a, సామాన్య భేదము d, nవ పదము a, అయిన క్రింది పట్టికను పూరింపుము. – AS,, AS,,

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది వానిని కనుగొనుము.
(i) 10, 7, 4, …… అంకశ్రేణిలో 30వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = 10, 7, 4, …………….
a₁ = 10;
d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
n= 30
a_n = a + (n – 1)
a₃₀ = 10 + (30 – 1) (- 3)
= 10 + 29 (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ a₃₀ = – 77.

(ii) – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, ………….. అంకశ్రేణిలో 11వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, …………..
a = – 3; d = a₂ – a₁ = 3 – 3)
= \(-\frac{1}{2}\) + 3 = 2\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
∴ a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = – 3 + (11 – 1) (\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 10(\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 25 = 22
∴ a₁₁ = 22.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) a₁ = 2; a₃ = 26, అయిన a₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = 2
a₃ = 26
a_n = a + (n – 1) d
a₃ = 2 + (3 – 1) 4
= 2d= 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a₂ = a + d = 2 + 12 = 14.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం a₁ = 2, a₃ = 26
∴ 2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
a₂ – 2 = 26 – a₂
∴ a₂ + a₂ = 26 + 2
2a₂ = 28
∴ a₂ = \(\frac{28}{2}\) = 14.

మూడవ పద్ధతి :
a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\)
2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
∴ a₂ = \(\frac{2+26}{2}\) = \(\frac{28}{2}\) = 14.

(ii) a₂ = 13; a₄ = 3 అయిన a₁, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ = a + d = 13 …….. (1)
a₄ = a + 3d = 3 …….. (2)
(1), (2) సమీకరణములు సాధించగా,

⇒ d = \(-\frac{10}{2}\) = – 5
a₁ = a₂ – d = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18
a₃ = a₂ + d = 13 + (- 5) = 8
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃, a₄ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము a₂ = 13, a₄ = 3
∴ a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు
∴ 13 – a₁ = a₃ – 13 ……. (1) మరియు
a₃ – 13 = 3 – a₃ ……….. (2)
(2) ⇒ 2a₃ = 16
a₃ = \(\frac{16}{2}\) = 8
a₃ = 8 ని (1) లో రాయగా,
13 – a₁ = 8 – 13
– a₁ = – 5 – 13 = – 18
∴ a₁ = 18
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

మూడవ పద్ధతి :
a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు.
∴ 13, a₃, 3 లు A.P. లో మూడు వరుస పదాలు.
∴ a₃ = \(\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}\) = 8
[a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\))
∴ సామాన్య భేదం d = a₃ – a₂ = 8 – 13 = – 5
∴ a₁ = a₂ – d = 13 – (- 5) = 13 + 5 = 18.
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

(iii) a₁ = 5, a₄ = 91/2 అయిన a₂, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁ = a = 5.
a_n = a + (n – 1) d
a₄ = 5 + 3d = 9\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5 = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
∴ d = \(\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}\)
∴ a₂ = a + d
= 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
a₃ = a₂ + d
= \(\frac{13}{2}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{16}{2}\) = 8

(iv) a₁ = – 4; a₆ = 6, అయిన a₂, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము. .
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = – 4
a₆ = a + 5d = 6
(- 4) + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4

రెండవ పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో nవ పదం a_n, mవ పదం a_m అయిన సామాన్యభేదం
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}\)
a₁ = – 4, a₆ = 6, n = 1; m = 6
d = \(\frac{6-(-4)}{6-1}=\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = a₁ + d = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4.

(v) a₂ = 38; a₆ = – 22, అయిన a₁, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₂ = a + d = 38 ……………. (1)
a₆ = a + 5d = -22 …………… (2)
(2) – (1)

∴ a₁ = a₂ – d = 38 – (- 15) = 38 + 15 = 53
a₃ = a₂ + 4 = 38 + (-15) = 23
a₄ = 23 + (- 15) = 8
a₅ = 8 + (- 15) = – 7.

ప్రశ్న 4.
3, 8, 13, 18, … అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 78 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి : 3, 8, 13, 18, ……. 78 –
a = 3; d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
a_n = 78
a_n = a + (n – 1) 4 = 78 .
⇒ 3 + (n – 1) (5) = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n – 2 = 78
⇒ 5n = 78 + 2 = 80
⇒ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
∴ 16 వ పదము 78 అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
(i) 7, 13, 19, . . . , 205
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P : 7, 13, 19, …………, 205
a = 7; d = a₂ – a₁ = 13 – 7 = 6,
a_n = 205
a_n = a + (n – 1) d = 205
7 + (n – 1) 6 = 205
7 + 6n – 6 = 205
6n + 1 = 205
6n = 205 – 1 = 204
⇒ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
ఇచ్చిన A.P లో 34 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి:
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 7, a_n = 1, a_m = 205 అనుకొనుము.
d = 13 – 7 = 6
6 = \(\frac{205-7}{n-1}\)
⇒ n – 1 = \(\frac{198}{6}\) = 33
∴ n = 33 + 1 = 34.

(ii) 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ………, – 47
సాధన. మొదటి పద్ధతి : –
ఇచ్చిన A.P: 18, 15\(\frac{1}{2}\), 1.3 ………….. – 47
a = 18, d = a₂ – a₁
= 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= – 2\(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{5}{2}\)
a_n = – 47
a_n = a + (n – 1) d = – 47
= 18 + (n – 1) × (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47
(n – 1) (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47 – 18 = – 65
\(\frac{-5 n+5}{2}\) = – 65
– 5n + 5 = – 130
– 5n = – 130 – 5 = – 135
5n = 135
⇒ n = \(\frac{135}{5}\) = 27
ఇచ్చిన A.P లో 27 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి :
a_m = 18, d = 35; a_n = – 47
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-47-18}{n-1}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-65}{n-1}\)

⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{65}{n-1}\)
n – 1 = 65 × \(\frac{2}{5}\)
∴ n = 26 + 1 = 27.

ప్రశ్న 6.
11, 8, 5, 2… అంకశ్రేణిలో ‘- 150’ ఒక పదంగా ఉంటుందో లేదో పరిశీలించుము కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 11, 8, 5, 2, …… లో n వ పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు, a = 11, d = a₂ – a₁ = 8 – 11 = – 3 మరియు a_n = – 150
a_n = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1)X (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 – 14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
⇒ n = \(\frac{164}{3}\) ………… (2)
అంకశ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య.
కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు.
కావున 11, 8, 5, 2, ……. అంకశ్రేణిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంకశ్రేణిలో 11వ పదము 38 మరియు 16వ పదము 78 అయిన 31వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₁ = 38 మరియు a₁₆ = 73, a₃₁ = ?
::. a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = a + 10d = 38 …………. (1)
a₁₆ = a + 15d = 73 ,
(2) – (1)

d = 7 ను (1) లో రా యగా,
a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = – 32
31వ పదం a₃₁ = a + 30d
= – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178
∴ 31వ పదం a_n = 178.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ, 9వ పదాలు వరుసగా 4, – 8 అయిన ఎన్నవ పదము ” (సున్న) అవుతుంది ?
సాధన.
ఒక A.P లో 3వ పదం
a₃ = a + 2d = 4 ……….(1)
9వ పదం a₉ = a + 8d = – 8 …………(2)
(2) – (1) ⇒

⇒ d = \(\frac{12}{6}\) = – 2
⇒ d = – 2 …………. (3)
∴ 4వ పదం a₄ = a₃ + d = 4 + (- 2) = 2
a₅ = a₄ + d = 2 + (- 2) = 0
∴ 5వ పదం సున్న (0) అవుతుంది.

(లేదా)

(3) ⇒ d = – 2 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
a_n = 0 అయ్యేటట్లు n విలువ కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (- 2) = 0
8 – 2n + 2 = 0
10 = 2n
⇒ \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5
కావున 5వ పదం ‘0’ (సున్న) అవుతుంది.

ప్రశ్న 9.
ఒక అంకశ్రేణిలో 17వ పదము 10వ పదం కంటే 7 ఎక్కువ. అయిన సామాన్య భేదం ఎంత ?
సాధన.
ఒక A.P లో 17వ పదం a₁₇ = a + 16d
10వ పదం a₁₀ = a + 9d
లెక్క ప్రకారం, a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = (a + 9d) + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
⇒ d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ సామాన్యభేదం d = 1. .

ప్రశ్న 10.
రెండు అంకశ్రేఢుల సామాన్య భేదం సమానము. వాని 100వ పదాల మధ్య భేదం 100 అయిన వాని 1000వ పదాల మధ్య భేదమెంత ?
సాధన.
మొదటి అంకశ్రేణి మొదటి పదం = a
రెండవ అంకశ్రేణి మొదటి పదం = b
రెండు శ్రేఢుల యొక్క సామాన్యభేదం = d అనుకొనుము.
మొదటిశ్రేఢి 100వ పదం a₁₀₀ = a + 99d
రెండవశ్రేణి 100వ పదం b₁₀₀ = b + 99d
లెక్కప్రకారం, a₁₀₀ – b₁₀₀ = 100
(a + 99d) – (b + 99d) = 100
a – b = 100 ………….. (1)
ఇప్పుడు,
మొదటిశ్రేఢి 1000వ పదం a₁₀₀₀ = a + 999d
రెండవశ్రేణి’ 1000వ పదం b₁₀₀₀₀ = b + 999d
a₁₀₀₀ – b₁₀₀₀ = (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 ((1) నుండి)
∴ 1000వ పదాల మధ్య తేడా 100.

ప్రశ్న 11.
7 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని కలవు?
సాధన.
మొదటి పద్దతి’:
7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యల జాబితా 105, 112, 119, 126, …………., 994 ఈ జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది.
a = 105; d = a₂ – a₁ = 112 – 105 = 7;
a_n = 994
∴ a_n = a + (n – 1) d = 994
= 105 + (n – 1) 7 = 994
105 + 7n – 7 = 994
7n + 98 = 994
7n = 994 – 98 = 896
n = \(\frac{896}{7}\) = 128
∴ 7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యలు 128 కలవు.

రెండవ పద్దతి :
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 105, a_n = 994, d = 7, m = 1
7 = \(\frac{994-105}{n-1}=\frac{896}{n-1}\)
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 +1 = 128.

ప్రశ్న 12.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల జాబితా 12, 16, 20, ……… 248.
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 12, d = a₂ – a₁ = 16 – 12 = 4,
a_n = 248
a_n = a + (n – 1) d = 248 .
= 12 + (n- 1) 4 = 248
= 12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 – 8 = 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
∴ 10 మరియు 250 ల మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 60.

ప్రశ్న 13.
63, 65, 67, …. మరియు 3, 10, 17, ….. అంకశ్రేఢుల nవ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి A.P = 63, 65, 67, ……………..
a = 63, d = a₂ – a₁ = 65 – 63 = 2
∴ nవ పదం a_n = a + (n-1) d
= 63 + (n – 1) 2
= 63 + 2n – 2
nవ పదం a_n = 2n + 61 ………….. (1)
రెండవ A.P. = 3, 10, 17, ……………….
a = 3, d = a₂ – a₁ = 10 – 3 = 7
nవ పదం a_n = 3 + (n -1 ) 7
= 3 + 7n – 7
nవ పదం a_n = 7n – 4 ………… (2)
కాని లెక్క ప్రకారం రెండు అంకశ్రేఢుల పదాలు సమానము.
∴ 7n – 4 = 2n + 61
7n – 2n = 61 + 4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13
∴ n = 13.

ప్రశ్న 14.
3వ పదము 167; 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువగా గల ఒక అంకశ్రేఢిని కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 3వ పదం a₃ = a + 2d = 16 ….. (1)
5వ పదం a₅ = a + 4d
7వ పదం a₇ = a + 6d
లెక్క ప్రకారం 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువ.
a + 6d = (a + 4d) + 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12 ⇒ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d = 6 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 – 12 = 4
a = 4 మరియు d = 6
∴ అంకశ్రేణి 4, 10, 16, 22, …………….

ప్రశ్న 15.
3, 8, 13, ….., 253 అంకశ్రేణి యొక్క చివరి నుంచి 20వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ………., 253
ఇక్కడ a = 3, d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
⇒a_n = 253
⇒ a_n = a + (n – 1) 4 = 253.
⇒ 3 + (n- 1) 5 = 253
⇒ 3 + 5n – 5 = 253
⇒ 5n = 253 + 2 = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
ఇచ్చిన A.P లో 51 పదాలు కలవు.
∴ చివరి నుండి 20వ పదం, మొదటి నుండి (51 – 20) + 1 = 32వ పదం అవుతుంది.
∴ 32వ పదం a₃₂ = 3 + (32 – 1) (5)
= 3 + 31 (5)
a₃₂ = 3 + 155 = 158
చివరి నుండి 20వ పదం = 158

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ….., 253
ఇక్కడ d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5
ఇచ్చిన శ్రేణిని త్రిప్పి రాయగా వచ్చే 20వ పదమే ఇచ్చిన శ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదం అవుతుంది. 253, 248, 243, ………., 13, 8, 3
ఈ శ్రేణిలో a = 253, d = a₂ – a₁
= 248 – 253 = – 5
a_n = 3
a_n = a + (n – 1) d = 3
253 + (n – 1) (- 5) = 3
253 – 5n + 5 = 3
258 – 5n = 3
– 5n = 3 – 258 = – 255
5n = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
∴ 20వ పదం a₂₀ = 253 + (20 – 1) (- 5)
= 253 – 95
a_n = 158
∴ 3, 8, 13, …………. 253 అంకశ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదము = 158.

ప్రశ్న 16.
ఒక అంకశ్రేణిలో 4వ మరియు 8వ పదాల మొత్తము 24 మరియు 6వ, 10వ పదాల మొత్తము 44 అయిన మొదటి మూడు పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 4వ పదం = a + 3d
8వ పదం = a + 7d
లెక్క ప్రకారం 4వ, 8వ పదాల ,మొత్తం = 24
(a + 3d) + (a + 7d) = 24
= 2a + 10d = 24
2 (a + 5d) = 24
a + 5d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a + 5d = 12 ………….. (1)
ఇలాగే, 6వ పదం = a + 5d
10వ పదం = a + 9d
6వ మరియు 10వ పదాల మొత్తం 44
(a + 5d) + (a + 9d) = 44
2a + 140 = 44
2 (a + 7d) = 44
a + 7d = \(\frac{44}{2}\) = 22
a + 7d = 22 ………… (2)
(2) – (1)

d = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ d = 2
d = 5ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 5(5) = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
∴ కావలసిన అంకశ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలు
మొదటి పదం a₁ = a = – 13
రెండవ పదం a₂ = – 13 + 5 = – 8
మూడవ పదం a₃ = 3 – 8 + 5 = – 3

ప్రశ్న 17.
సుబ్బారావు 1995వ సం||లో నెలకు ₹ 5000 జీతంతో ఉద్యోగంలో చేరాడు. అతని జీతము సం||మునకు ₹ 200 పెరిగిన అతని జీతము ఏ సం||ములో ₹ 7000 అవుతుంది ?
సాధన.

జీతం యొక్క జాబితా
5000, 5200, 5400, 5600, ………….
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 5000, d = a₂ – a₁ = 5200 – 5000 = 200
a_n = 7000
a_n = a + (n – 1) 4 = 7000
= 5000 + (n – 1) 200 = 7000
= 5000 + 200 n – 200 = 7000
200 n = 7000 – 4800 = 2200
∴ n = \(\frac{2200}{200}\) = 11.
జాబితాలో 7000 11వ పదం అవుతుంది.
అనగా ,సుబ్బారావు ఉద్యోగంలో చేరినప్పటి నుండి 11వ సం||లో అతని జీతం ₹ 7000 అవుతుంది. (1995ను కూడా కలుపుకోవాలి)
∴ 2005 వ సం||లో సుబ్బారావు జీతం ₹ 7000 అవుతుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏ సంఘటనలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి అవుతుంది ? ఎందుకు ?
(i) ఒక టాక్సీకి మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 20 చొప్పున తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 8 చొప్పున చెల్లించవలసి ఉన్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
(ఇచ్చిన సమస్య స్పష్టంగా లేదు. టాక్సీ అద్దె గంటలకు ఇవ్వబడినది. కాని చెల్లించాల్సిన సొమ్మును కిలో మీటరుకు ఇవ్వడం జరిగినది).
సరైన సమస్య : ఒక టాక్సీ మొదటి కిలోమీటరు ప్రయాణానికి ₹ 20 లు చొప్పున తరువాత ప్రతి కిలోమీటరుకు ₹8 లు చొప్పున చెల్లించవలసి వున్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

సంఖ్యల జాబితా : 20, 28, 36, 44, 52, 60

సామాన్యభేదము

ప్రతి సందర్భంలోను సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.

(ii) ఒక వాక్యూమ్ పంపు సిలిండరులో ఉండే గాలి నుంచి 1/4 వంతు తీసివేయును. అయిన ప్రతిసారీ సిలెండరులో మిగిలి వుండే గాలి పరిమాణము.
సాధన.
సిలెండరులో గల గాలి పరిమాణము = 1 అనుకొందాం.

సంఖ్యల జాబితా 1, \(\frac{3}{4}\), \(\frac{9}{16}\), \(\frac{27}{64}\), …………..

సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{3-4}{4}=-\frac{1}{4}\)

= a₃ – a₂ = \(\frac{9}{16}\) – \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{9-12}{16}=\frac{-3}{16}\)
అన్ని సందర్భాలలో సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(iii) ఒక బావిని తవ్వడానికి మొదట మీటరుకు ₹ 150 వంతున ఆపై ప్రతి మీటరుకు ₹ 50 వంతున చెల్లించాలి. అయిన ప్రతి మీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

సంఖ్యల జాబితా 150, 200, 250, 300, 350,

సామాన్యభేదం

అన్ని సందర్భాలలోను సామాన్య భేదం సమానము. కావున ఈ సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది.

(iv) ఒక బ్యాంకులో ₹ 10000 లను సంవత్సరానికి 8 శాతం చక్రవడ్డీ ప్రకారం పొదుపు చేసిన ప్రతి సంవత్సరము చివరలో ఖాతాలో ఉండే సొమ్ము.
సాధన.
ప్రారంభంలో ఖాతాలో గల సొమ్ము (P) = ₹10,000 వడ్డీరేటు (R) = 8%.

సంఖ్యల జాబితా 10,000, 10,800, 11,664, 12597.12, …………….
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 10,800 – 10,000 = 800
a₃ – a₂ = 11,664 – 10,800 = 864
a₄ – a₃ = 12,597.12 – 11,664 = 933.12
అన్ని సందర్భాలలోనూ సామాన్య భేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 2.
అంకశ్రేఢుల యొక్క మొదటి పదము a మరియు సామాన్యభేదం d. విలువలు క్రింద ఇవ్వబడినవి. అయిన శ్రేణిలోని మొదటి నాలుగు పదాలను కనుగొనుము.
(i) a = 10, d = 10
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = 10
రెండవ పదం a₂ = 10 + 10 = 20
మూడవ పదం a₃ = 20 + 10 = 30
నాల్గవ పదం a₄ = 30 + 10 = 40

(ii) a = – 2, d = 0
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 2
రెండవ పదం a₂ = – 2 + 0 = – 2
మూడవ పదం a₃ = – 2 + 0 = – 2
నాల్గవ పదం a₄ = – 2 + 0 = – 2

(iii) a = 4, d = – 3
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = 4 + (- 3) = 1
మూడవ పదం a₃ = 1 + (- 3) = – 2
నాల్గవ పదం a₄ = – 2 + (- 3) = – 5

(iv) a = – 1, d = 1/2
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 1
రెండవ పదం a₂ = – 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(-\frac{1}{2}\)
మూడవ పదం a₃ = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
నాల్గవ పదం a₄ = 0 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

(v) a = – 1.25, d = – 0.25
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 1.25
రెండవ పదం a₂ = – 1.25 + (- 0.25) = – 1.50
మూడవ పదం a₃ = (- 1.50) + (- 0.25) = – 1.75
నాల్గవ పదం a₄ = (- 1.75) + (- 0.25) = – 2.00 = – 2

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులకు మొదటి పదమును, సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
(i) 3, 1, -1, -3, . . .
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
[∵ d = a_k+1 – a_k]

(ii) – 5, – 1, 3, 7,…
సాధన.
మొదటి పదం a = – 5
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₁ = (- 1) – (- 5)
= – 1 + 5 = 4.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), …………
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{3}\)
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁
= \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ………….
సాధన.
మొదటి పదం a = 0.6
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁
= 1.7 – 0.6 = 1.1.

ప్రశ్న 4.
క్రింది జాబితాలలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయిన సామాన్య భేదం dను, తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను కనుగొనుము.
(i) 2, 4, 8, 16, ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …………………..
సాధన.
a₂ – a₁ = \(\frac{5}{2}\) – 2
= \(\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\)

a₃ – a₂ = 3 – \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)

a₄ – a₃ = \(\frac{7}{2}\) – 3
= \(\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)
…………………………………………………………………………………
సామాన్యభేదం ప్రతి సందర్భంలోను సమానం. కావున ఈ జాబితా, అంకశ్రేడి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = \(\frac{1}{2}\)
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
\(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = 4

4 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}\)

\(\frac{9}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, ………….
సాధన.
a₂ – a₁ = (- 3.2) – (- 1.2) = – 3.2 + 1.2 = – 2
a₃ – a₂ = (- 5.2) – (- 3.2) = – 5.2 + 3.2 = -2
a₄ – a₃ = (- 7.2) – (- 5.2) = – 7.2 + 5.2 = – 2
సామాన్యభేదం అన్ని సందర్భాలలో సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్య భేదం d = – 2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 7.2 + (- 2) = – 9.2
(- 9.2) + (- 2) = – 11.2
– 11.2 + (-2) = – 13.2.

(iv) – 10, – 6, – 2, 2, …………..
సాధన.
a₂ – a₁ = – 6 – (- 10) = – 6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = – 2 -(- 6) = – 2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
2 + 4 = 6
6 + 4 = 10
10 + 4 = 14.

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2
a₃ – a₂ = 3 + 2√2 – (3 + √2)
= 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2
a₄ – a₃ = 3 + 2√2 – (3 – 2√2)
= 3 + 3√2 – 3 – 2√2 = √2
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది. సామాన్యభేదం
d = √2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 3 + 3√2 + √2 = 3 + 4√2
3 + 4√2 + √2 = 3 + 5√2
3 + 5√2 +√2 = 3 + 6√2.

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………………
సాధన.
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P) ని సూచించదు.

(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = – 4 – 0 = – 4
a₃ – a₂ = – 8 – (- 4) = – 8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = – 12 – (- 8) = – 12 + 8 = – 4
………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k, సమానము,
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = – 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 12 + (- 4) = – 16
– 16 + (- 4) = – 20
– 20 + (- 4) = – 24.

(viii) \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………
సాధన.
a₂ – a₁ = \(-\frac{1}{2}\) – (\(-\frac{1}{2}\)) = 0
a₃ – a₂ = 0
a₄ – a₃ = 0
……………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_k+1 – a_k, సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 0
∴ తరువాత వచ్చే మూడు మాసాలు \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………

(ix) 1, 3, 9, 27, ……………..
సాధన.
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k, సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) కాదు.

(x) a, 2a, 3a, 4a, ……………….
సాధన.
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a-2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
……………………………………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది. సామాన్యభేదం d = a
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు 5a, 6a, 7a.

(xi) a, a², a³, a⁴ ………..
సాధన.
a₂ – a₁ = a² – a = a (a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a² (a – 1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³ (a – 1)
……………………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణిని (A.P.) కాదు.

(xii) √2, √8, √18, √32, ……………….
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ – a₁ = √8 – √2 = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = √18 – √8 = 3√2 – 2√2 = √2
[∵ √8 = √4 × √2 = 2√2
√18 = √9 × √2 = 3√2
√32 = √16 × √2 = 4√2]
a₄ – a₃ = √32 – √18 = 4√2 – 3√2 = √2
………………………………………………………
∵ ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము. కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
∴ తరువాత మూడు పదాలు √32 + √2 = 4√2
= 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) = √50
√50 + √2 = 5√2 + √2
= 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\) = √72
√72 + √2 = 6√2 + √2
= 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) = √98.

రెండవ పద్ధతి :
ఇచ్చిన జాబితా √2, √8, √18, √32, …………….
= √2, 2√2, 3√2, 4√2 …………….
√8 = \(\sqrt{4 \times 2}\) = 2√2
√18 = \(\sqrt{9 \times 2}\) = 3√2
√32 = \(\sqrt{16 \times 2}\) = 4√2
∴ a₂ – a₁ = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = 3√2 – 2√2 = √2
a₄ – a₃ = 4√2 – 3√2 = √2
అన్ని సందర్భాలలోను a_{k + 1} – a_k సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
తరువాత మూడు పదాలు 4√2 + √2 = 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) =√50
5√2 + √2 = 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\)2 = √72
6√2 + √2 = 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) =√98 .

(xiii) √3, √6, √9, √12, ………….
సాధన.
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(3√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = √3(2 – 3√3)
అన్ని సందర్భాలలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) కాదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలో, కాదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 102)
(i) x² – 6x – 4 = 0
సాధన.
x² – 6x – 4 = 0
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(ii) x³ – 6x² + 2x – 1 = 0
సాధన.
x² – 6x² + 2x – 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా దీని పరిమాణము 3.

(iii) 7x = 2x²
సాధన.
7x = 2x² అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(iv) x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
సాధన.
x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
⇒ \(\) = 2
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా పరిమాణము 4.

v) (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
సాధన. (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా
ఇరువైపులా x- గుణకము

(vi) 3y² = 192.
సాధన.
3y² = 192
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
1 మరియు \(\frac{3}{2}\) లు 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0
x = 1 ⇒ 2(1)² – 5(1) + 3 = 0.
2 – 5 + 3 = 0
5 – 5 = 0
0 = 0.
x = \(\frac{3}{2}\) ⇒ 2 (\(\frac{3}{2}\))² – 5 (\(\frac{3}{2}\)) + 3 = 0
⇒ 2(\(\frac{9}{4}\)) – \(\frac{15}{2}\) + 3 = 0
⇒ \(\frac{9-15+6}{2}\) = 0
⇒ \(\frac{0}{2}\) = 0
⇒ 0 = 0
∴ x = 1 మరియు x = \(\frac{3}{2}\) వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున మూలాలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా క్రింది వర్గ సమీకరణాలను సాధించుము. (పేజీ నెం. 113)
(i) x² – 10x + 9 = 0
సాధన.
x² – 10x + 9 = 0.
x² – 10x = – 9
x² – 2.x.5 = – 9
x² – 2.x.5 + 5² = – 9 + 5²
(ఇరువైపులా 5² కలుపగా)
(x – 5)² = – 9 + 25
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
(x – 5)² = 16
∴ x – 5 = √16 = ± 4
x – 5 = 4 లేదా x – 5 = – 4
x = 4 + 5 = 9 లేదా x = – 4 + 5 = 1
x = 9 లేదా 1.

(ii) x² – 5x + 5 = 0
సాధన.
x² – 5x + 5 = 0
x² – 5x = – 5
x² – 2.x.\(\frac{5}{2}\) + (\(\frac{5}{2}\))² = – 5 + (\(\frac{5}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{5}{2}\))² ను కలుపగా)

(iii) x² + 7x – 630
సాధన.
x² + 7x – 6 = 0
x² + 7x = 6
x² + 2. \(\frac{1}{2}\).x.7 = 6
x² + 2.x.\(\frac{7}{2}\) + (\(\frac{7}{2}\))² = 6 + (\(\frac{7}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{7}{2}\))² ను కలుపగా,

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటకు పై మూడు పద్ధతులలో నీవు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తావు ? (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
సందర్భాన్ని బట్టి వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఇచ్చిన మూడు పద్ధతులలో ఏదో ఒక దానిని ఎన్నుకొంటాను.
సందర్భం -1:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 లోని మధ్య పదంలోని x గుణకం b ని p + q = b మరియు p × q = a × c గా రాయగలిగినప్పుడు కారణాంక పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 2:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 కచ్చిత వర్గంగా రాయగల సందర్భంలో వర్గం పూర్తి చేయు పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 3:
పై రెండు సందర్భాలు సాధ్యం కానప్పుడు లేదా ఎలాంటి వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించే సందర్భంలోనైనా వర్గ సూత్ర పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణిని కనుగొనటం వల్ల కలిగే లాభం ఏమిటో వివరించండి. దీని విలువ ఎందుకు ముఖ్యమైనది ? (పేజీ నెం. 122)
సాధన.ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణి (D = b² – 4ac) ని కనుగొనటం వలన ఆ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు వాస్తవాలా, కాదా నిర్ణయించగలము. అలాగే మూలాలు వాస్తవాలైతే సమానాలా, విభిన్నాలా అని తెలుసుకొనగలము.

ఈ విచక్షణి విలువ ఆధారంగా ఇచ్చిన సమస్యల సాధన సందర్భంలో వాస్తవ మూలాలు లేనిచో సమస్యకు వాస్తవ సాధనలు లేవని నిర్ణయిస్తాము.
విచక్షణి D = b² – 4ac విలువపై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఆధారపడి ఉంటాయి. కావున దీని విలువ వర్గ సమీకరణ సాధనలో చాలా ముఖ్యమైనది.

ప్రశ్న 2.
మూడు వేరువేరు .వర్గ సమీకరణాలను తయారు చేయుము. అందులో ఒకటి రెండు వేరువేరు వాస్తవ మూలాలను, మరియొకటి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను, ఇంకొకటి వాస్తవ మూలాలను కలిగిలేని విధంగా ఉండాలి. (పేజీ నెం. 122)
సాధన.
(1) x² + 2x – 3 = 0,
b² – 4ac = 2² – 4.1. (- 3)
= 4 + 12 = 16 > 0 .

(2) x² + 2x + 1 = 0 .
b² – 4ac = 2² – 4 (1) (1) = 4 – 4 = 0

(3) x² + 2x + 3 = 0
b² – 4ac = 2² – 4 (3) (1)
= 4 – 12 = – 8 < 0
(1) మూలాలు వాస్తవాలు, విభిన్నాలు.
(2) మూలాలు వాస్తవాలు, సమానాలు.
(3) మూలాలు సంకీర్ణాలు.

ఉదాహరణలు :

ప్రశ్న 1.
రాణి వద్ద ఒక చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు గలదు పటంలో చూపిన విధంగా దీని నాలుగు మూలం నుంచి 9 సెం.మీ. భుజంగల చతురస్రాలను తొలగించి మిగిలిన భాగంతో ఒక మూతలేని పెట్టెను తయారుచేసింది ఇలా తయారైన పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 ఘ. సెం.మీ. అయిన మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం పొడవును కనుగొనగలమా ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు భుజం పొడవు x సెం.మీ. అనుకొనిన తయారుచేయబడిన పెట్టె యొక కొలతలు 9 సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ.
పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 సెం.మీ
కనుక 9 (x – 18) (x – 18) = 144
(x – 18)² = 16
x² – 36x + 308 = 0

అనగా పై సమీకరణమును తృప్తిపరచే ‘x’ విలువే మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు సమీకరణాలను రాయుము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 103)
(i) రాజు మరియు రాజేందర్ ఇద్దరి వద్ద కలిపి 45 గోళీలు కలవు. అయితే ఇద్దరూ చెరి 5 గోళీలను పోగొట్టుకున్నారు. ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దము 124 అయిన ఇద్దరి వద్ద మొదట వున్న గోళీల సంఖ్యను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును కనుగొనుము/ రాయుము.
(ii) ఒక లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క కర్ణము 25 సెం.మీ. మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల భేదము 5 సెం.మీ. అని ఇవ్వబడింది. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
1) రాజు వద్ద గల గోళీల సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన రాజేందర్ వద్ద గల గోళీల సంఖ్య = 45 – x
5 గోళీలను పొగొట్టుకున్న తరువాత రాజు వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = x – 5
అదే విధంగా రాజేందర్ వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = (45 – x) – 5 = 40 – x
∴ ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దం = 124
(x – 5) (40 – x) = 124
40x – x² – 200 + 5x = 124
– x² + 45x – 200 – 124 = 0
– x² + 45x – 324 = 0
∴ x² – 45x + 324 = 0 (∵’ ఇరువైపులా ‘- 1’ చే గుణించగా)
అనగా x² – 45x + 324 = 0 సమీకరణాన్ని గోళీల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
కావలసిన గణిత సమీకరణం x² – 45x + 324 = 0

(ii) చిన్న భుజము యొక్క పొడవును x సెం.మీ. అనుకొనిన పెద్ద భుజం పొడవు = (x + 5) సెం.మీ.
ఇవ్వబడిన కర్ణము యొక్క పొడవు = 25 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజములో (భుజము)² + (భుజము)² = (కర్ణము)²
x² + (x + 5)² = (25)²
x² + x² + 10x + 25 = 625
2x² + 10x – 600 = 0 .
2(x² + 5x – 300) = 0
∴ x² + 5x – 300 = 0 పై సమీకరణంను సాధించుట ద్వారా పొందే x విలువ ఆధారంగా లంబకోణ త్రిభుజంలోని మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను గణించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
క్రిందివి వర్గ సమీకరణాలేమో పరిశీలించండి.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
(iii) x(2x + 3) = x2+1 0
(iv) (x + 2)³ = x³ – 4 (పేజీ నెం. 104)
సాధన.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(x² – 4x + 4) + 1 = 2x – 3.
[∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
x² – 4x + 5 = 2x – 3
x² – 6x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2) .
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
x² + x + 8 = x² – 4
x² + x + 8 – x² + 4 = 0
∴ x + 12 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iii) x (2x + 3) = x² + 1
2x² + 3x = x² + 1
2x² + 3x – x² – 1 = 0
x² + 3x – 1 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది. ఒక వర్గ సమీకరణం.

(iv) (x + 2)³ = x³ – 4.
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – 4
x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 4 = 0
∴ 6x² + 12x + 12 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

ప్రశ్న 4.
కారణాంక పద్దతిని 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0

2x² – 2x – 3x + 3 = 0
2x (x – 1) – 3(x – 1) = 0
(x – 1) (2x – 3) = 0
x – 1 = 0
x = 1
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac{3}{2}\)

ఇచ్చిన వర్గ ‘సమీకరణం యొక్క మూలాలు = 1 మరియు \(\frac{3}{2}\).

ప్రశ్న 5.
x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\) వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ \(\frac{3 x^{2}-1}{3 x}=\frac{1}{6}\) (అడ్డ గుణకారం చేయగా)

⇒ 6(3x² – 1) = 1 × 3x
⇒ 18x² – 3x – 6 = 0
⇒ 3(6x² – x – 2) = 0
∴ 6x² – x – 2 = 0
⇒ 6x² – 4x + 3x – 2 = 0
⇒ 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
⇒ (3x – 2) (2x + 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)
2x + 1 = 0. . . – –
2x = – 1
x = \(-\frac{1}{2}\)
∴ 6x² – x – 2 = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{2}{3}\) మరియు \(-\frac{1}{2}\).

ప్రశ్న 6.
శీర్షిక 5,1 లో చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 108)
చర్చించిన సమస్య :
కస్పా పురపాలక పాఠశాల క్రీడల కమిటీ పాఠశాల ఆవరణలో 29మీ. × 16మీ. కొలతలతో ఒక ఖో-ఖో కోర్టును నిర్మించాలని భావించింది. ఇందుకుగాను వారికి 558 చ.మీ. వైశాల్యం గల ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం అందుబాటులో ఉంది. అందువల్ల వారు ఖో-ఖో కోర్టు చుట్టూ ప్రేక్షకుల కొరకు కొంత ఖాళీ స్థలమును కూడా వదలాలని భావించారు. అయితే వదిలే ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కోర్టు చుట్టూ ఒకే విధంగా వుండేటట్లు వదిలితే దాని వెడల్పు ఎంత వుండాలి ?
సాధన.
శీర్షికలో 5.1 చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన అది 2x² + 45x – 47 = 0 ను తృప్తిపరిచే ఒక విలువ. కారణాంక పద్ధతిని ఈ సమీకరణంనకు అనువర్తింపచేసిన
2x² – 2x + 47x – 47 = 0
2x (x – 1) + 47 (x – 1) = 0
i.e., (x – 1) (2x + 47) = 0
అనగా x = 1 మరియు x = \(-\frac{47}{2}\), లు 2x² – 2x + 47x – 47 = 0 యొక్క మూలాలు.
అయితే x అనేది ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కనుక దీని విలువ ఋణాత్మకం కాజాలదు.
∴ ఖాళీ స్థలం యొక్క వెడల్పు = x = 1 మీ.

ప్రశ్న 7.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా వర్గ సమీకరణమును – సాధించే పద్ధతి ద్వారా 5x² – 6x – 2 = 0 ను సాధించుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణము 5x² – 6x – 2 = 0
⇒ x² – \(\frac{6}{5}\)x – \(\frac{2}{5}\) = 0 (ఇరువైపులా 5 చే భాగించగా)
⇒ x² – 2.\(\frac{1}{2}\) x.\(\frac{6}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
(ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా)
x² – 2.\(\frac{3}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{2}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))²
(x – \(\frac{3}{2}\) )² = \(\frac{2}{5}+\frac{9}{25}\)
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
x – \(\frac{3}{5}\) = \(\pm \sqrt{\frac{19}{25}}=\frac{\pm \sqrt{19}}{5}\)

∴ x = \(\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{19}}{5}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

ప్రశ్న 8.
4x² + 3x + 5 = 0 ను వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.(పేజీ నెం. 112)
సాధన.
4x² + 3x + 5 = 0 (ఇరువైపులా 4 చే భాగించగా)

ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడు ఋణాత్మకం కాదు. కావున x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువ పై సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచదు. కనుక ఇచ్చిన సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ప్రశ్న 9.
అభ్యాసము 5.1 లోని 2(i) వ ప్రశ్నను పై సూత్రమును 1 ఉపయోగించి సాధించుము. (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం యొక్క వెడల్పు ‘x’ మీ.
అనుకొనిన దాని పొడవు = (2x + 1) మీ.
లెక్క ప్రకారం దాని వైశాల్యము 528 చ.మీ.
∴ x(2x + 1) = 528
2x² + x – 528 = 0.
ఇది ax² + bx + c = 0రూపంలో కలదు.
ఇచ్చట a = 2, b = 1, c = – 528.
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4(2)(-528)}}{2.2}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{1+4224}}{4}=\frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)

x = \(\frac{-1 \pm 65}{4}\)

∴ x = \(\frac{-1+65}{4}=\frac{64}{4}\) = 16

x = \(\frac{-1-65}{4}=\frac{-66}{4}=\frac{-33}{2}\)

దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క కొలతలు రుణాత్మకం కాదు.
కావున వెడల్పు x = 16 మరియు
పొడవు = 2x + 1
= 2(16) + 1 = 32 + 1 = 33 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 16 × 33 = 528 చ.మీ.

ప్రశ్న 10.
రెండు వరుసధన బేసిసంఖ్యల మొత్తము 290 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
మొదటి బేసి సంఖ్య = ‘x’ అనుకొనిన
రెండవ బేసి సంఖ్య (x + 2)
రెండు వరుస ధన బేసి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 290.
∴ x² + (x + 2)² = 290
x² + x² + 4x + 4 = 290
2x² + 4x + 4 – 290 = 0
2x² + 4x – 286 = 0
2(x² + 2x – 143) = 0
∴ x² + 2x – 143 = 0 (∵ 2 ≠ 0)
వర్గ సూత్రం ప్రకారం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-143)}}{2(1)}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{4+572}}{2}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2}=\frac{-2 \pm 24}{2}\)

∴ x = \(\frac{-2+24}{2}\) లేదా x = \(\frac{-2-24}{2}\)

x = \(\frac{22}{2}\) = 11 లేదా x = \(-\frac{26}{2}\) = – 13
కాని x ఒక ధన బేసి సంఖ్య. ∴ x = 11
రెండవ బేసి సంఖ్య = x + 2 = 11 + 2 = 13

సరిచూసుకోవడం :
112 + 132 = 121 + 169 = 290.

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు తయారుచేయ బడుతుంది. దీని వెడల్పు, పొడవు కంటే 3 మీ. తక్కువ. దీని వైశాల్యము, దీని వెడల్పుకు సమానమైన భూమి మరియు 12 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 4 చ.మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. అనుకొనిన
వెడల్పు పొడవు కన్నా 3 మీ . తక్కువ.
వెడల్పు = (x – 3) మీ.”
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = x(x – 3) చ.యూ.
త్రిభుజ భూమి = x – 3; త్రిభుజ ఎత్తు = 12 మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × (x – 3) × 12 = 6 (x – 3)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం త్రిభుజ ∴వైశాల్యము కన్నా 4 యూనిట్లు ఎక్కువ.
∴ x(x – 3) = 6 (x – 3) + 4
x² – 3x = 6x – 18 + 4
x² – 3x – 6x + 18 – 4 = 0
x – 9x + 14 = 0
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot(1)(14)}}{2 \cdot(1)}\)

= \(\frac{9 \pm \sqrt{81-56}}{2}\)

x = \(\frac{9 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{9 \pm 5}{2}\)

x = \(\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా x = \(\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
పొడవు x = 7 మీ. అయిన వెడల్పు = x – 3 = 7 – 3 = 4 మీ.
పొడవు x = 2 మీ. అయిన వెడల్పు x – 3 = 2 – 3 = – 1 మీ.
ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి
∴. దీర్ఘ చతురస్ర కొలతలు పొడవు = 7 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 7 × 4 = 28 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 12 = 24 చ.మీ.

ప్రశ్న 12.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలకు మూలాలు వుంటే వానిని సూత్రము ద్వారా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
(i) x² + 4x + 5 = 0
(ii) 2x² – 2√2x + 1 = 0
సాధన.
(i) x² + 4x + 5 = 0,
-ఇక్కడ a = 1, b = 4, c = 5
b² – 4ac = (4)² – 4(1)(5)
= 16 – 20 = – 4 < 0
b² – 4ac < 0 కావున వాస్తవ మూలాలు లేవు.

(ii) 2x² – 2√2 x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = 2/2 , c = 1.
b² – 4ac = (-2√2)² – 4.2.1 .
= 8 – 8 = 0
b² – 4ac = 0 కావున మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)}\)

= \(\frac{2 \sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 13.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.

(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2.
సాధన.
(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = 3
∴ x² + 1 = 3x
x² – 3x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 3, c = 1
b² – 4ac = (- 3)² – 4(1) (1)
= 9 -4 = 5 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.

మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2

⇒ \(\frac{(x-2)-x}{x(x-2)}\) = 3

⇒ \(\frac{x-2-x}{x^{2}-2 x}\) = 3

⇒ \(\frac{-2}{x^{2}-2 x}\) = 3
⇒ 3(x² – 2x) = – 2
3x² – 6x + 2 = 0
ఇక్కడ a = 3, b = – 6, c = 2.
b² – 4ac = (- 6)² – 4(3) (2)
= 36 – 24 = 12 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.
x = \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}\)
[∵ \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2 \sqrt{3}\)]

= \(\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{6}\)

= \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}\)

∴ మూలాలు = \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) మరియి \(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\).

ప్రశ్న 14.
నిశ్చల నీటిలో ఒక మోటారు బోటు యొక్క వేగము గంటకు 18 కి.మీ. నీటి ప్రవాహమునకు ఎదురుగా 24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలము, తిరిగి బయలుదేరిన స్థానమునకు వచ్చుటకు పట్టే కాలం కంటే 1 గంట ఎక్కువ. అయిన నీటి వేగమెంత ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
నిశ్చల నీటిలో బోటు వేగము = 18 కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహ వేగము = x కి. మీ./గం. అనుకొందాం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా బోటు వేగం = (18 – x) కి.మీ./గం.
తిరుగు ప్రయాణంలో (ప్రవాహ దిశలో) బోటు వేగం = (18 + x) కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా 24 కి.మీ. పోవుటకు పట్టే కాలం =
తిరుగు ప్రయాణానికి (ప్రవాహ దిశలో) పట్టే కాలం = \(\)
లెక్క ప్రకారం
\(\frac{24}{18-x}=\frac{24}{18+x}+1\)

⇒ \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}\) = 1

\(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}\) = 1

24 × 18 + 24x – 24 × 18 + 24x = (18 – x) (18 + x)
48x = 18² – x²
∴ x² + 48x – 324 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 48, c = – 324
b² – 4ac = 48² – 4(1)(- 324)
= 2304 + 1296 = 3600
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2(1)}\)

= \(\frac{-48 \pm 60}{2}\)

మూలాలు x = \(\frac{-48+60}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

x = \(\frac{-48-60}{2}=\frac{-108}{2}\) = – 54
ప్రవాహ వేగం ఋణాత్మకం కాదు కావున x = 6.
∴ నీటి ప్రవాహము యొక్క వేగము = 6 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 15.
2x² – 4x + 3 = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొని తద్వారా మూలాల స్వభావమును చర్చించుము. (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
2x²న – 4x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 4, c = 3. విచక్షణి b² – 4ac = (- 4)² – (4 × 2 × 3) .
= 16.- 24 = – 8 < 0.
ఇచ్చిన సమీకరణం వాస్తవ మూలాలను కలిగి వుండదు.

ప్రశ్న 16.
18 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తాకార పార్కు సరిహద్దు మీద ఒక స్తంభమును ఏర్పాటు చేయాలని అనుకున్నారు. పార్కు యొక్క సరిహద్దు మీద ఎదురెదురుగా అనగా ఒక వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువుల వద్ద ఏర్పాటు చేయబడిన A మరియు B అనే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభము వరకూ గల దూరాల భేదము 7 మీ. వుండునట్లు స్తంభమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? ఒకవేళ చేయగలిగితే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ? (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
క్రింది పటంలో A మరియు B లు రెండు గేట్లు మరియు ఏర్పాటు చేయవలసిన స్తంభము P అనుకొందాము.

B గేటు నుండి P కి గల దూరం = x మీ అనుకుందాం.
BP = x మీ.
AP = (x + 7) మీ.
[∵ AP, BPల మధ్య భేదము 7 మీ.]
AB = 13 మీ.
(లెక్క ప్రకారం AB వ్యాసం = 13 మీ.)
∆ ABP లో ∠P = 90°. [∵ అర్థ వృత్తంలోని కోణము]
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము –
AP² + BP² = AB²
(x + 7)² + x²2 = 13²
x² + 14x + 49 + x² = 169
2x² + 14x + 49 + x² – 169 = 0
2x² + 141 – 120 = 0
2(x² +7x – 60) = 0
x² + 7x – 60 = 0 ను తృప్తి పరిచే x విలువ B గేటు నుండి P కు గల దూరం అవుతుంది.
కావున x² + 7x – 60 = 0 కు వాస్తవ మూలాలు. ఉన్నప్పుడే స్తంభం ఏర్పాటు చేయగలము.
∴ విచక్షణి b² – 4ac = 7² – 4 (1) (- 60)
= 49 + 240
= 289 > 0.
వర్గ సమీకరణంకు రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. కాబట్టి స్తంభాన్ని ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా ఏర్పాటు చేయగలము.
వర్గ సూత్రం నుంచి x =\(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2(1)}=\frac{-7 \pm 17}{2}\)

∴ x = \(\frac{-7+17}{2}=\frac{10}{2}\) = 5 లేదా

x = \(\frac{-7-17}{2}=\frac{-24}{2}\) = – 12

దూరము రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 5.
∴ B నుంచి స్తంభమునకు దూరం x = 5 మీ.
A నుంచి P స్తంభమునకు దూరం. x + 7 = 5 + 7 = 12 మీ.

ప్రశ్న 17.
3x² – 2x + \(\frac{1}{3}\) = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొనుము. తద్వారా మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలైతే వానిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చట a = 3, b = – 2 మరియు c = \(\frac{1}{3}\)
విచక్షణి b² – 4ac = (- 2)² – 4 × 3 × \(\frac{1}{3}\)
= 4 – 4 = 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణంకు రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటాయి.
అవి \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)

⇒ \(\frac{2}{6}\), \(\frac{2}{6}\)

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\).

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక తలంలో కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడినవి. ప్రతి బిందువు మిగిలిన అన్ని బిందువులతో రేఖండాలచే కలుపబడింది. ఈ విధంగా చేయటం వల్ల మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు ఏర్పడితే మొత్తం బిందువులు ఎన్ని ? (గమనిక: సమస్యలో ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడ్డాయి. అని ఇవ్వాలి.)
సాధన.
ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని n బిందువులలో ప్రతి బిందువును మిగిలిన అన్ని బిందువులతో కలుపగా ఏర్పడే రేఖాఖండాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
కాని లెక్క ప్రకారం రేఖా ఖండాల సంఖ్య = 10

\(\frac{1}{2}\) n(n – 1) = 10
n(n – 1) = 20
n² – n – 20 = 0
n² – 5n + 4n – 20 = 0
n(n – 5) + 4(n – 5) = 0
(n – 5) (n + 4) = 0
n – 5 = 0 లేదా n + 4 = 0
n = 5 లేదా n = – 4
బిందువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు కావున n = 5
∴ బిందువుల సంఖ్య n = 5
సరిచూచుట :

A, B, C, D, E లు ఏ మూడు సరేఖీయాలు కొని 5 బిందువులు వీటితో ఏర్పడే రేఖాఖండాలు AB, BC, CD, DE, EA, AC, AD, BE, BD, CE మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు కలవు.

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్యలో అంకెల లబ్ధం &. ఈ సంఖ్యకు – . 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య ఒక్కటే. అయిన మొదటి సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం అంకెల లబ్ధం = 8
∴ xy = 8
⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ………… (1)
మరియు సంఖ్యకు 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య = ఆ సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య
(10y + x) + 18 = 10x + y
10y + x + 18 – 10x – y = 0
9y – 9x + 18 = 0
9(y – x + 2) = 0
∴ y – x + 2 = 0 లో (1)ని ప్రతిక్షేపించగా

\(\frac{8}{x}\) – x + 2 = 0

\(\frac{8-x^{2}+2 x}{x}\) = 0
8 – x² + 2x = 0
⇒ x² – 2x – 8 = 0
x² – 4x + 2x – 8 = 0
x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
(x – 4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0
x = 4
x + 2 = 0
x = – 2
సంఖ్యలోని అంకె రుణాత్మకం కాదు. ఒకట్ల స్థానం x = 4 –
పదుల స్థానం y = \(\frac{8}{4}\) = 2 (∵ (1) నుండి)
∴ కావలసిన సంఖ్య = 24.

సరిచూచుట :
24 + 18 = 42 .

ప్రశ్న 3.
8 మీ. పొడవు వున్న తీగను రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించారు. ప్రతి ముక్కను తిరిగి ఒక చతురస్రాకారంగా వంచారు. ఇలా ఏర్పడిన రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 2 చ.మీ. కావలెనన్న ప్రతి ముక్క పొడవు ఎంత వుండాలి ?
[x + y = 8, \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{y}{4}\right)^{2}\) = 2
⇒ \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2]
సాధన.

మొదటి ముక్క పొడవు = x మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు = y మీ. అనుకొనుము.
x + y = 8
y = 8 – x ……… (1)
ప్రతి ముక్కను ఒక చతురస్రంగా వంచిన మొదటి ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = x మీ
భుజము = \(\frac{x}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))² చ.మీ.
రెండవ ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = y మీ.
భుజము = \(\frac{y}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))² = \(\frac{(8-x)^{2}}{4}\) (∵ (1) నుండి)
కాని లెక్క ప్రకారం వైశాల్యం మొత్తం = 2 చ.మీ.
\(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2

\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{(8-x)^{2}}{16}\) = 2

\(\frac{x^{2}+64-16 x+x^{2}}{16}\) = 2
2x² – 16x + 64 = 32
2x² – 16x + 64 – 32 = 0
2x² – 16x + 32 = 0
2(x² – 8x + 16) = 0
x² – 8x + 16 = 0
x² – 2. x . 4 + 4² = 0.
(x – 4)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
x – 4 = 0
x = 4
∴ మొదటి ముక్క పొడవు x = 4 మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు y = 8 – 4 = 4 మీ. [∵ (1) నుండి]

సరిచూచుట :
చతురస్ర భుజాలు 1 మీ. మరియు 1 మీ. వైశాల్యా ల మొత్తం 1² + 1² = 1 + 1 = 2 చ.మీ.

ప్రశ్న 4.
వినయ్ మరియు ప్రవీళ్లు కలసి ఒక ఇంటికి రంగులు వేసే పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ప్రవీణ్ కంటే 5 రోజులు ముందుగా పూర్తి చేయగలడు. అయిన వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజులలో పూర్తి చేయగలడు ?
సాధన.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = (x – 5) రోజులు.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{x-5}\)
వినయ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
లెక్క ప్రకారం ప్రవీణ్ మరియు వినయ్ లు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\)

∴ x² – 5x = 6(2x – 5)
x² – 5x = 12x – 30
x² – 5x – 12x + 30 = 0
x² – 17x + 30 = 0

x² – 15x – 2x + 30 = 0
x(x – 15) – 2(x – 15) = 0
(x – 15) (x – 2) = 0.
x – 15 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 15 లేదా x = 2
x = 15 అయిన x – 5 = 10
x = 2 ⇒ x – 5 = – 3
రోజుల సంఖ్య ఋణాత్మకం కాదు. కావున x ≠ 2.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం x – 5 = 10 రోజులు

సరిచూచుట :
వినయ్ మరియు ప్రవీలు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)
∴ ఇద్దరూ కలసి ఆ పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేస్తారు.

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మొత్తం : అని చూపుము.
సాధన.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β అనుకొందాం.
వర్గ సూత్రం నుంచి
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాలు α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

మూలాల మొత్తం

మూలాల మొత్తం α + β = \(-\frac{b}{a}\)
∴ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల మొత్తం = \(-\frac{b}{a}\).

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూల చూపుము.
సాధన.
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 మూలాలు
α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాల లబ్దం

మూలాల లబ్ధం αβ = \(\frac{c}{a}\)
∴ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల లబ్ధం = \(\frac{c}{a}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక భిన్నములో హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ. ఆ భిన్నము మరియు దాని వుత్రమాల మొత్తము 2\(\frac{16}{21}\) అయిన ఆ భిన్నమును కనుగొనుము.
సాధన.
లవము = x అనుకొనిన
హారము = 2x + 1 (∵ హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ)
భిన్నము = \(\frac{x}{2 x+1}\)
భిన్నము యొక్క వ్యుత్తమము = \(\frac{2 x+1}{x}\)
లెక్క ప్రకారం భిన్నము మరియు దాని వ్యుత్ర్కమాల మొత్తం = 2\(\frac{16}{21}\) = \(\frac{58}{21}\)

58 (2x² + x) = 21 (5x² + 4x + 1) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
116x² + 58 x = 105x² + 84x + 21
116x² + 58 x – 105x² – 84x – 21 = 0
11x² – 26x – 21 = 0 …………… (1)
a = 11, b = – 26, c = -21
b² – 4ac = (- 26)² – 4 (11) (- 21)
= 676 + 924 = 1600
∴ వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-26) \pm \sqrt{1600}}{2(11)}=\frac{26 \pm 40}{22}\)

x = \(\frac{26+40}{22}=\frac{66}{22}=3\) లేదా

x = \(\frac{26-40}{22}=\frac{-14}{22}=\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున
∴ x = 3.
లవము x = 3
హారము 2x + 1 = 7
కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

సరిచూచుట :
భిన్నము. + వ్యుత్రమం = \(\frac{3}{7}+\frac{7}{3}=\frac{9+49}{21}=\frac{58}{21}=2 \frac{16}{21}\)

(లేదా)

(1) ⇒ 11x² – 26x – 21 = 0

11x² – 33x + 7x – 21 = 0
11x (x – 3) + 7 (x – 3) = 0
(x – 3) (11x + 7) = 0
11 x (- 21) = – 231

3 × 7 × 11 = 231
x – 3 = 0
x = 3
11x + 7 = 0
11x = – 7
x = \(\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు మళ్ళీ భిన్నాలు కాదు. కావున
x = 3
లవము x = 3
హారము 2x + 1 =7
∴ కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 8.
29.4 మీ. ఎత్తుగల భవనం పైభాగం నుంచి 24.5 మీ/ – సేక. శాలి వేగుతో ఒక బంతి పైవైపుకు విసిరి వేయబడింది. ‘1 సెకనుల తరువాత భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t – 4.9 t² అయితే ఆ బంతి భూమిని ఎన్ని సెకనుల తరువాత . తాకుతుంది ?
సాధన.

తొలివేగం ‘U’ = 24.5
భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t- 4.9 t²
బంతి భూమట్టాన్ని, ‘t’ సెకనులలో చేరింది. అనగా భూమట్టం నుండి ఎత్తు H = 0
కనుక 29.4 + 24.5t – 4.9t² = 0 = H
⇒ 4.9 t² – 24.5t – 29.4 = 0
⇒ 4.9 [t² – 5t – 6] = 0
∴ t² – 5t – 6 = 0
⇒ t² – 6t + 1 – 6 = 0
⇒ t(t – 6) + 1(t – 6) = 0
(t- 6) (t + 1) = 0
⇒ t – 6 = 0
∴ t = 6
లేదా t + 1 = 0 ⇒ t = – 1 కాని ‘t’ ఋణాత్మకం కాదు.
కనుక t = 6
∴ బంతి భూమిని తాకిన కాలము = t = 6 సెకనులు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ వాస్తవ మూలాలు ఉంటే కనుగొనుము.

(i) 2x² – 3x + 5 = 0
సాధన.
2x² – 3x + 5 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 3, c = 5
విచక్షణి b² – 4ac = (- 3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40
= – 31 < 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు, వాస్తవ సంఖ్యలు కావు, సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి.

(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
సాధన.
3x² – 4√3 x + 4 = 0 .
a = 3, b = – 4/3, c = 4
విచక్షణి b² – 4ac = (- 4√3)² – 4(3) (4) = 48 – 48 = 0
కావున ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు. –
∴ మూలాలు x = \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)
x = \(\frac{-(-4 \sqrt{3})}{2(3)}=\frac{4 \sqrt{3}}{6}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
మూలాలు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) మరియు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
సాధన.
2x² – 6x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 6, c = 3
విచక్షణి b² – 4ac = (- 6)² – 4(2) (3)
= 36 -24 = 12 > 0.
కావున మూలాలు రెండు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
∴ వర్గ సూత్రం నుండి
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{4}\)

= \(\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{4}=\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలలో రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటే k విలువను కనుగొనుము.
(i) 2x² + kx + 3 = 0 –
సాధన.
2x² + kx + 3 = 0 వర్గ సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటే
విచక్షణి b² – 4ac = 0
a = 2, b = k, c = 3
b² – 4ac = (k)² – 4(2) (3) = 0
k² – 24 = 0
k² = 24
k = \(\sqrt{24}\) = ± 2√6
\(\sqrt{24}=\sqrt{4 \times 6}=\sqrt{2} \times \sqrt{6}\) = ± 2√6.

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
సాధన.
kx (x – 2) + 6 = 0
kx² – 2kx + 6 = 0
ఇక్కడ a = k, b = – 2k, c = 6
వర్గ సమీకరణం రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటే
విచక్షణి b² – 4ac = 0
(- 2k)² – 4(k) (6) = 0
4k² – 24k = 0
4k(k – 6) = 0
4k = 0
⇒ k = 0
k – 6 = 0 =
⇒ k = 6.
k = 0 అయితే kx(x – 2) + 6 = 0 వర్గ – సమీకరణాన్ని సూచించదు. కావున k ≠ 0.
∴ k = 6.

ప్రశ్న 3.
మామిడి పండ్లను నిల్వచేయుటకు 800 చ.మీ. వైశాల్యం వుంటూ, పొడవు వెడల్పు కంటే రెండు రెట్లు ఉండే విధంగా ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వెడల్పు = x మీ.
వెడల్పు = 21 మీ. అనుకొనుము.
(∵ లెక్క ప్రకారం పొడవు వెడల్పుకు 2 రెట్లు)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వైశాల్యం = 800 చ.మీ.
2x . x = 800
2x² = 800
x² = 400 ………… (1)
x = 400 = ± 20.
x విలువ వాస్తవ సంఖ్య అవుతున్నది. కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం ఏర్పాటు చేయగలము.
మరియు వెడల్పు × రుణాత్మకం కాదు. కావున
వెడల్పు x = 20 మీ.
∴ పొడవు 2x = 40 మీ.
(లేదా)
(1) ⇒ x² = 400
⇒ x² – 400 = 0
ఇది వర్గ సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. మరియు దీనిని తృప్తిపరిచే X విలువ దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థల వెడల్పు అవుతుంది.
a = 1, b = 0, c = – 400
విచక్షణి b² – 4ac = (0)² – 4(1) (- 400) = 1600-> 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలాన్ని ఏర్పాటు చేయవచ్చును. వర్గ సూత్రం నుంచి మూలాలు
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{(0) \pm \sqrt{1600}}{2(1)}=\frac{\pm 40}{2}\)

x = \(\frac{40}{2}\) = 20 లేదా x = \(\frac{-40}{2}\) = – 20

వెడల్పు రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 20
పొడవు x = 20 మీ.
వెడల్పు 2x = 40 మీ.

ప్రశ్న 4.
ఇద్దరి మిత్రుల వయస్సుల మొత్తం 20 సం||లు. నాలుగు సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్దం 48. ఇది సాధ్యమేనా ? ఒకవేళ సాధ్యమైతే వారి వయస్సులను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇద్దరి మిత్రులలో : మొదటి వ్యక్తి వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం .4 సం||ల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్ధం = 48
(x – 4) (16 – x) = 480
16x – x² – 64 + 4x = 48
x² – 20x + 112 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ మొదటి వ్యక్తి వయస్సు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 20, c = 112
విచక్షణి b – 4ac = (- 20) – 4(1) (112).
= 400 – 448 = – 48 < 0
కావున ఈ వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు కాదు. అందువలన ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా వారి వయస్సులు ఉండుట అసాధ్యము.

ప్రశ్న 5.
చుట్టుకొలత 80మీ., వైశాల్యము 400 చ.మీ ఉండునట్లు ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కును తయారు చేయగలమా? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. ; వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు చుట్టుకొలత = 80 మీ.
∴ 2(x +.y) = 80
⇒ x + y = 40
y= 40 – x ………… (1)
మరియు వైశాల్యము = 400 చ.మీ.
∴ x. y = 400 లో (1) ని ప్రతిక్షేపించగా
x(40 -x) = 400
40x – x² = 400 –
– x² + 40x – 400 = 0
⇒ x² – 40x + 400 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 40, c = 400
విచక్షణి b² – 4ac = (- 40)² – 4(1) (400)
= 1600 – 1600= 0
మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
∴ x = \(\frac{-b}{2 a}=\frac{-(-40)}{2(1)}=\frac{40}{2}\)
∴ పొడవు x = 20 మీ.
∴ వెడల్పు y = 40 – 20 = 20 మీ. ((1) నుండి)
∴ పార్కు చతురస్రాకారంలో ఉంటుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలు వుండే వానిని వర్గంను పూర్తి చేయుట ద్వారా కనుగొనుము.

(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
\(\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{x}{2}-\frac{4}{2}=\frac{0}{2}\) (ఇరువైపులా (1) కలుపగా)
x² + \(\frac{x}{2}\) – 2 = 0
x² + \(\frac{x}{2}\) = 2
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\) = 2
[∵ \(\frac{x}{2}\) = 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\)]
x² + 2.x.\(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{4}\))² = 2 + (\(\frac{1}{4}\))²
(x + \(\frac{1}{4}\))² = 2 + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{32+1}{16}\)
(x + \(\frac{1}{4}\))² = \(\frac{33}{16}\)
⇒ x + \(\frac{1}{4}\) = \(\sqrt{\frac{33}{16}}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}\)
మూలాలు x = – \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
లేదా x = – \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా x = \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x+ 3 = 0
x² + \(\frac{4 \sqrt{3} x}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{0}{4}\)
(ఇరువైపులా 4 తో భాగించగా)
x² + √3x = – \(\frac{3}{4}\)
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).√3x = – \(\frac{3}{4}\)
x² + 2.x.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) కలుపగా

\(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 0

∴ x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2వ పద్దతి :
4x² + 4 √3x + 3 = 0
(2x)² + 2 . 2x . √3 + (√3)² = 0
a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ (2x + √3)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
2x + √3 = 0
2x = – √3
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
ఇరువైపులా 5 తో భాగించగా
x² – \(\frac{7}{5}\) x – \(\frac{6}{5}\) = 0
x² – \(\frac{7}{5}\) x = \(\frac{6}{5}\)
x² – 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{7}{5}\)x = \(\frac{6}{5}\)
x² – 2.x.\(\frac{7}{10}\) + (\(\frac{7}{10}\))² = \(\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా (\(\frac{7}{10}\))² కలుపగా

∴ మూలాలు 2 లేదా – \(\frac{3}{5}\)

(iv) x² + 5 = 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
x² + 6x = -5
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).6x = – 5
∴ ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా
x² + 2.x.3 + 3² = – 5 + 3²
(x + 3)² = 4
x + 3 = √4 = ± 2
x + 3 = 2
x + 3 = – 2
x = 2 – 3
x = -1
x = – 2 – 3
x = – 5
మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 2.
సూత్రమును ఉపయోగించి 1వ ప్రశ్నలోని సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
2x² + x – 4 = 0,
a = 2, b = 1, c = – 4
b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (- 4)
= 1 + 32 = 33
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\)
∴ x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) మరియు \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x + 3 = 0
a = a, b = 4√3, c = 3
b² – 4ac = (4√3)² – 4 (4) (3)
= 48 – 48 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానాలు. వర్గ సూత్రం నుండి ,
x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\), మరియు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\).

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
a = 5, b = – 7, c = – 6
b² – 4ac = (- 7)² – 4 (5) (- 6)
= 49 + 120 = 169
వర్గ సూత్రం

∴ మూలాలు 2 మరియు \(-\frac{3}{5}\)

(iv) x² + 5 = – 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
a = 1; b = 6; c = 5
b² – 4ac = (6)² – 4 (1) (5)
= 36 – 20 = 16
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-6 \pm 4}{2}\)

∴ x = \(\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}\) = – 1 లేదా
x = \(\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}\) = – 5
∴ మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
సాధన.
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
\frac{x^{2}-1}{x}\(\) = 3
x² – 1 = 3x
x² – 3x – 1 = 0
a = 1, b = – 3, c = –
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 1)
= 9 + 4 = 13
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ – 4, 7
సాధన.

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x + 4) (x – 7) = – 30
– x² – 7x + 4x – 28 = – 30
x² – 3x – 28 + 30 = 0
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = – 3, c = 2
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (2)
= 9 – 8 = 1
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3 \pm 1}{2}\)

∴ x = \(\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 లేదా \(\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\) = 1

∴ మూలాలు 2 మరియు 1.
గమనిక :
సమీకరణం (1) ని కారణాంక. విభజన పద్దతితో కూడా సాధించవచ్చును.

x² = 2
x² – 3x + 2 = 0
x² – 2x – x + 2 = 0
x(x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x – 2 = 0
x = 2
x – 1 = 0.
x = 1
x = 2 లేదా 1.

ప్రశ్న 4.
3 సం||ల క్రితము రహమాన్ వయస్సు యొక్క వ్యుత్రమము, 5 సం||ల తరువాత అతని వయస్సు యొక్క వ్యుత్తమముల మొత్తము , అయిన అతని – – ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం \(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x – 3) (x + 5) = 3 (2x + 2)
x² + 5x – 3x – 15 = 6x + 6
x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 4, c = – 21
b² – 4ac = (- 4)² – 4 (1) (- 21)
= 16 + 84 = 100
వర్గ సూత్రం .. .
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)}\)

= \(\frac{4 \pm 10}{2}\)

x = \(\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా

x = \(\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}\) = – 3.

వయస్సు రుణాత్మకం కాదు.
∴ x = 7. అనగా రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = 7 సం||.

సరిచూచుట :
3 సం|| క్రితం రహమాన్ వయస్సు = 7 – 3 = 4 ప్యమం
వ్యుత్కమం = \(\frac{1}{4}\)
5 సం|| తర్వాత రహమాన్ వయస్సు = 7 + 5 = 12
ద్యుతమం = \(\frac{1}{12}\)
వృత్కమాల మొత్తం = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{12}\)
= \(\frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 5.
మౌళికకు గణితములో మరియు ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కుల మొత్తము 30. ఆమెకు ఒకవేళ గణితంలో 2 మార్కులు ఎక్కువగా, ఇంగ్లీషులో 3 మార్కులు తక్కువగా వచ్చి వుంటే ఆ’ రెండింటి యొక్క లబ్ధము 210 అయివుండేది. అయిన ఆమెకు రెండు సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కులను కనుగొనుము.
సాధన.
మౌళికకు గణితంలో వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనిన
ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కులు = 30 – x (∵ గణితం మరియు ఇంగ్లీషులలో వచ్చిన మార్కుల మొత్తం 30)
ఒకవేళ గణితంలో రెండు మార్కులు ఎక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = x + 2 .
ఇంగ్లీషులో మూడు మార్కులు తక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = (30 – x) – 3 = 27 – x.
లెక్క ప్రకారం పై రెండు మార్కుల లబ్దం = 210
∴ (x + 2) (27 – x) = 210
27 x – x² + 54 – 2x = 210
– x² + 25x + 54 – 210 = 0
– x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0
(∵ – 1 తో ఇరువైపులా గుణించగా)
ఇక్కడ a = 1, b = – 25, c = 156
b² – 4ac = (- 25)² – 4 (1) (156)
= 625 – 624 = 1
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-25) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{25 \pm 1}{2}\)

x = \(\frac{25+1}{2}=\frac{26}{2}\) లేదా x = \(\frac{25-1}{2}=\frac{24}{2}\) = 12
x = 13 అయిన గణితంలో మార్కులు = 13
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 13 = 17

సరిచూచుట :
(13 + 2) (17 – 3) = 15 × 14 = 210
x = 12 అయిన
గణితంలో మార్కులు = 12
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 12 = 18

సరిచూచుట (12 + 2) (18 – 3)
= 14 × 15 = 210

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కర్ణము దాని వెడల్పు కంటే 60 మీ. ఎక్కువ. మరియు పొడవు, వెడల్పు కంటే 30 మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము. ‘
కర్ణము = (x + 60) మీ.
పొడవు = (x + 30) మీ. అవుతాయి.
∆ ABC లంబకోణ త్రిభుజము

∴ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రక రం
AB² + BC² = AC²
(x + 30)² + x² = (x + 60)²
x² + 60x + 900 + x² = x² + 120x + 3600
2x² + 60x + 900 – x² – 120x – 3600 = 0
x² – 60x – 2700 = 0 ఇక్కడ a = 1, b = – 60, c = – 2700
b² – 4ac = (- 60)² – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 = 14400
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-60) \pm \sqrt{14400}}{2(1)}=\frac{60 \pm 120}{2}\)

∴ x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\) = 90 లేదా

x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\) = – 30

దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు ఋణాత్మకం కాదు.
కావున x = 90.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు x = 90 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (x + 30) = 120 మీ.
కర్ణం (x + 60) = 150 మీ.

సరిచూచుట :
AB² + BC² = (120)² + (90)²
= 14400 + 8100
= 22500 = AC^2.

ప్రశ్న 7.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180. చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము, పెద్దదానికి 8 రెట్లు అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x
చిన్న సంఖ్య = y అనుకొందాం.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180.
x² – y² = 180 …………. (1)
మరియు చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము పెద్ద సంఖ్యకు 8 రెట్లు
y² = 8x ……….. (2)
(2) ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 8, c = – 180
b² – 4ac = (- 8)² – 4 (1) (- 180)
= 64 + 720 = 784
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)}=\frac{8 \pm 28}{2}\)

x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) =18 లేదా x = \(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
x = 18 అయిన
y² = 8 x 18 = 144
y = \(\sqrt(144)\) = ± 12
y = 12 లేదా – 12
x = – 10 అయిన
y² = 8 (- 10) = – 80
కాని ఇది అసాధ్యము (వర్గం రుణాత్మకం కాదు)
పెద్ద సంఖ్య 18
చిన్న సంఖ్య 12 లేదా – 12

సరిచూచుట :
18, 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – 12² = 324 – 144 = 180
18, – 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – (-12)² = 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 8.
ఒక రైలు 360 కి.మీ. దూరమును ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణించును. దీని వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగిన అదే దూరమును ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలము 1 గంట తగ్గును. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం. అనుకొందాం.
రైలు ప్రయాణించే దూరం = 360 కి.మీ. –
దూరం 360 రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం =
రైలు వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగినప్పుడు రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ./గం.
360 ఇప్పుడు రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{x+5}\) గం.
లెక్క ప్రకారం \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}\) = 1

360 \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)\) = 1

360 \(\left(\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right)\) = 1

x² + 5x = 360×5
x² + 5x = 1800
∴ x² + 5x – 1800 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 5, c = – 1800
b² – 4ac = 5² – 4 (1) (- 1800)
= 25 + 7200 = 7225
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2(1)}=\frac{-5 \pm 85}{2}\)

∴ x = \(\frac{-5+85}{2}=\frac{80}{2}\)= 40 లేదా

x = \(\frac{-5-85}{2}=\frac{-90}{2}\) = 45
రైలు వేగం రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 40
∴ రైలు వేగం = 40 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
40 కి.మీ/గం. వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{40}\) = 9 గం.
(40 + 5) = 45 కి.మీ/గం.
వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{45}\) = 8 గం.

ప్రశ్న 9.
రెండు కుళాయిలు కలిసి ఒక నీళ్ల ట్యాంకును 9\(\frac{3}{8}\) గం||లలో నింపును. ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ఒక్కటే, తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నింపే సమయమునకు 10 గం|| తక్కువ సమయంలో నింపును. అయితే ఒక్కొక్క కుళాయి విడివిడిగా ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = x గం|| అనుకొంటే
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\)
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ట్యాంకు నింపేందుకు పట్టే కాలం = (x – 10) గం||
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x-10}\)
రెండు కుళాయిలు కలిసి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-10}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు కుళాయిలు కలిసి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = 9\(\frac{3}{8}\) గం. = \(\frac{75}{8}\) గం.
రెండు కుళాయిలు కలసి 1 ‘గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{\frac{75}{8}}=\frac{8}{75}\)
కావున \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}\)

\(\frac{2 x-10}{x(x-10)}=\frac{8}{75}\)
అడ్డగుణకారం చేయగా
8x (x – 10) = 75 (2x – 10)
8x² – 80x = 150x – 750
8x² – 80x – 150 x + 750 = 0
8x² – 230x + 750 = 0
ఇక్కడ a = 8, b = – 230, c = 750
b² – 4ac = (- 230)² – 4 (8) (750)
= 52900 – 24000 = 28900
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-230) \pm \sqrt{28900}}{2(8)}\)

28900 = 289 × 100
= 17 × 17 × 10 × 10
= (17 × 10)²
= (170)²
= \(\frac{230 \pm 170}{16}\)
x = \(\frac{230+170}{16}=\frac{400}{16}\) = 25 లేదా
x = \(\frac{230-170}{16}=\frac{60}{16}=3 \frac{3}{4}\)
x = 25 అయిన x – 10 = 25 – 10 = 15
∴ తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 25 గం.
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 15 గం.
x = 3\(\frac{3}{4}\)
x – 10 = 3\(\frac{3}{4}\) – 10
ఇది రుణాత్మకం. ఇది అసాధ్యము.

సరిచూచుట :
రెండు కుళాయిలు కలిసి తొట్టిని 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{25}+\frac{1}{15}=\frac{3+5}{75}=\frac{8}{75}\)
రెండు కుళాయిలు ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{75}{8}\) గం. = \(\frac{3}{8}\) గం.

ప్రశ్న 10.
మైసూరు, బెంగళూరు మధ్య 132 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఒక ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలు కంటే 1 గంట సమయము తక్కువ తీసుకొంటుంది. (మధ్యలో ఆగే సమయాలను లెక్కలోకి తీసుకోలేదు) ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగము, ప్యాసింజర్ రైలు వేగం కంటే 11కి.మీ/గ్రంట ఎక్కువ అయిన రెండు రైళ్ల వేగాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ప్యాసింజర్ రైలు సగటు వేగం = x కి.మీ/గం.
అనుకొంటే ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగం = (x + 11) కి.మీ./గం.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య దూరం = 132 కి.మీ.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య ప్రయాణానికి ప్యాసింజర్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x}\) గం.
132 ఎక్స్ ప్రెస్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x+11}\) గం.
లెక్క ప్రకారం ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలుకన్నా 1 గం. సమయం తక్కువ తీసుకుంటుంది.
\(\frac{132}{x+11}=\frac{132}{x}-1\)

\(\frac{132}{x+11}-\frac{132}{x}\) = – 1

\(\frac{132 x-132(x+11)}{x(x+11)}\) = – 1

132x – 132x – 1452 = -x (x + 11)
– 1452 = – x² – 11 x
– x² + 11 x – 1452 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 11, c = – 1452
∴ b² – 4ac = (11)² – 4 (1) (- 1452)
= 121 – 5808 = 5929
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)}\)

x = \(\frac{-11 \pm 77}{2}\)

5929 = 11 × 11 × 7 × 7
= (11 × 7)² = (77)²
∴ x = \(\frac{-11+77}{2}=\frac{66}{2}\) = 33 లేదా

x = \(\frac{-11-77}{2}=\frac{-88}{2}\) = – 44

రైలు వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 33.
∴ ప్యాసింజర్ రైలు వేగం x = 33 కి.మీ./గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు వేగం = (x + 11)
= 33 + 11 = 44 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
ప్యాసింజర్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{33}\) = 4 గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{44}\) = 3 గం.

ప్రశ్న 11.
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 468 చ.మీ వాని చుట్టుకొలతల భేదము 24 మీ. అయిన ఆ రెండు చతురస్రాల భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు చతురస్రాల యొక్క భుజాలు వరుసగా x మీ., y మీ అనుకొందాం.
వైశాల్యం = y²
చుట్టుకొలత = 4y
వైశాల్యం = x²
చుట్టుకొలత = 4x
లెక్క ప్రకారం,
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాలు మొత్తం = 468 చ.మీ.
x² + y² = 468 ……….. (1)
మరియు వాటి చుట్టుకొలతల భేదం = 24 మీ.
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = \(\frac{24}{4}\) = 6.
x – 6 = y ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² + (x – 6)² = 468
x² + x² – 12x + 36 = 468
2x² – 12x + 36 – 468 = 0
2x² – 12x – 432 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 12, c = – 432
b² – 4ac = (- 12)² – 4 (2) (-432)
= 144 + 3456 = 3600
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-12) \pm \sqrt{3600}}{2(2)}\)

x = \(\frac{12 \pm 60}{4}\)

x = \(\frac{12+60}{4}=\frac{72}{4}\) లేదా

x = \(\frac{12-60}{4}=\frac{-48}{4}\)
చతురస్ర భుజం కొలత ఋణాత్మకం కాదు. కావున x = 18 ,
18 – 6 = y
y = 12
రెండు చతురస్రాల భుజాలు 18 మీ. మరియు 12మీ.

సరిచూచుట :
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల భేదం = 18² – 12²
= 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 12.
‘n’ భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}\) n (n – 3). అయితే 65 కర్ణాలు గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ఎంత ? 50 కర్ణాలు గల బహుభుజి వ్యవస్థితమౌతుందా ?
సాధన.
n భుజాలు గల బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 3)
లెక్క ప్రకారం బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య = 65
∴ \(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 65
n² – 3n = 130
n² – 3n – 130 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము.
a = 1, b = – 3, c = – 130
∴ b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (-130)
= 9 + 520 = 529
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{529}}{2(1)}=\frac{3 \pm 23}{2}\)

n = \(\frac{3+23}{2}=\frac{26}{2}\) = 13

n = \(\frac{3-23}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
భుజాల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు. కావున
∴ n = 13
∴ కర్ణాల సంఖ్య 65 గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య n = 13

(ii) కర్ణాల సంఖ్య 50 అయితే
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
n (n – 3) = 100
n² – 31 – 100 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము ……….. (1)
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{409}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{409}}{2}\)
409 ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య కాదు. అనగా దీని వర్గమూలం పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున n విలువ పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

2వ పద్ధతి :
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
∴ n² – 3n = 100
n² – 3n – 100 = 0
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409

b² – 4ac > 0 మరియు ఖచ్ఛిత వర్గ సంఖ్య కాదు. కావున వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలై కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి. అంటే n విలువ కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కాని బహుభుజి భుజాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు 3 కన్నా పెద్దదైన సహజ సంఖ్య. కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
కారణాంక పద్ధతిన క్రింది వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x² – 3x – 10 = 0
సాధన.
x² – 3x – 10 = 0

x² – 5x + 2x – 10 = 0
x (x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
x – 5 = 0
x = 5
x + 2 = 0
x = – 2.
∴ మూలాలు 5 మరియు – 2.

(ii) 2x²2 + x – 6 = 0
సాధన.
2x² + x – 6 = 0

2x² – 3x + 4x – 6 = 0
x (2x – 3) + 2(2x – 3) = 0
(2x – 3) (x + 2) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x + 2 = 0
x = – 2
∴ మూలాలు , మరియు – 2.

(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
సాధన.
√2 x² + 7x + 5√2 = 0

√2 x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2 x + 5) + √2 (√2 x + 5) = 0
(√2 x + 5) (x + √2) = 0
√2x + 5 = 0
√2x = – 5
x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)

x + √2 = 0
x = – √2
∴ మూలాలు \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), మరియు – √2.

(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
సాధన.
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0

\(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
∴ 16x² – 4x + 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0.
(4x – 1)(4x – 1) = 0
4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

∴ మూలాలు \(\frac{1}{4}\), మరియు \(\frac{1}{4}\)

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
సాధన.
100x² – 20x + 1 = 0

100x² – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
(10x – 1) (10x – 1) = 0
(10x – 1)² = 0
10x – 1 = 0
10x = 1
x = \(\frac{1}{10}\) ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానం.
∴ మూలాలు \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\).

(vi) x(x + 4) = 12
సాధన.
x(x + 4) = 12

x² + 4x = 12
x² + 4x – 12 = 0
x² – 2x + 6x – 12 = 0
x(x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x – 2) (x + 6) = 0
x – 2 = 0
x = 2

x + 6 = 0
x = – 6
∴ మూలాలు 2 మరియు – 6.

(vii) 3x² – 5x + 2 = 0
సాధన.
3×2 – 5x + 2 = 0

3x² – 2x – 3x + 2 = 0
x (3x – 2) – 1(3x – 2) = 0
(3x – 2) (x – 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)

x – 1 = 0
x = 1
∴ మూలాలు \(\frac{2}{3}\), మరియు 1.

(viii) x – \(\frac{3}{x}\) = 2
సాధన.
x – \(\frac{3}{x}\) = 2

\(\frac{x^{2}-3}{x}\) = 2
x² – 3 = 2x
x² – 2x – 3 = 0
x² – 3x + x – 3 = 0 –
x (x – 3) + 1(5 – 3) = 0.
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0
x = 3
x + 1 = 0
x = – 1
∴ మూలాలు 3 మరియు – 1.

(ix) 3(x – 4)² – 5(x – 4) = 12
సాధన.
3(x – 4)² – 5(x – 4) = 12
x – 4 = t అనుకొంటే

3t² – 5t = 12.
3t² – 5t – 12 = 0
3t² – 9t + 4t – 12 = 0.
3t (t – 3) + 4(t – 3) = 0
(t – 3) (3t + 4) = 0
t – 3 = 0
t = 3
3t + 4 = 0
3 t = – 4
3 t = \(\frac{-4}{3}\)
కాని x – 4 = t
x – 4 = 3
x = 3 + 4 = 7
x – 4 = \(\frac{-4}{3}\)
x = \(\frac{-4}{3}\) + 4
x = \(\frac{-4+12}{3}\)
x = \(\frac{8}{3}\)
∴ మూలాలు 7 మరియు \(\frac{8}{3}\).

ప్రశ్న 2.
మొత్తము 27, లబ్ధము 182 అయ్యే విధంగా రెండు సంఖ్యలను – కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = 27 – x
(∵ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 27)
లెక్క ప్రకారం రెండు సంఖ్యల లబ్దం = 182

x(27 – x) = 182
27x – x² = 182
– x² + 27x – 182 = 0
x² – 27x + 182 = 0
x² – 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
(x – 13) (x – 14) = 0
x – 13 = 0
x = 13
x – 14 = 0
x = 14
ఒక సంఖ్య x = 13 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 13 = 14
ఒక సంఖ్య x = 14 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 14 = 13
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 13, 14

సరిచూసుకోవడం :
13 × 14 = 182

ప్రశ్న 3.
రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 613 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = x + 1
(∵ రెండు సంఖ్యలు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యలు)
రెండు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 613
x² + (x + 1)² = 613

x² + x² + 2x + 1 = 613
2x² +2x + 1 – 613 = 0
2x² + 2x – 612 = 0
2(x² + x – 306) = 0
x² + x – 306 = 0
x² – 17x + 18x – 306 = 0
x(x – 17) + 18(x – 17) = 0
(x – 17) (x + 18) = 0
x – 17 = 0
x = 17
x + 18 = 0
x = – 18
∴ x = – 18 ధనపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
∴ x = 17 ధనపూర్ణ సంఖ్య
మొదటి సంఖ్య x = 17 .
రెండవ సంఖ్య = x + 1 = 17 + 1 = 18

సరిచూసుకోవడం :
17² + 18² = 289 + 324 = 613.

ప్రశ్న 4.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు దాని భూమి కంటే 7 సెం.మీ. తక్కువ. కర్ణము పొడవు 13 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భూమి = x సెం.మీ. . అనుకొనుము.
ఎత్తు = (x – 7) సెం.మీ.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం భుజము 2 + భుజము 2 = కర్ణము?
x² + (x – 7)² = 132
x² + x² – 14x + 49 = 169
2x² – 14x + 49 – 169 = 0
2x² – 14x – 120 = 0
2(x² – 7x – 60) = 0
x² – 7x – 60 = 0

x² – 12x + 5x – 60 = 0
(x – 12) + 5(x – 12) = 0
(x – 12) (x + 5) = 0
x – 12 = 0
x = 12
x + 5 = 0
x = – 5 త్రిభుజ భుజం కొలత రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 12 భూమి = 12 సెం.మీ.
ఎత్తు = x – 7 = 12 – 7 = 5 సెం.మీ.

సరిచూచుట :
భూమి 2 + ఎత్తు = 122 + 52
= 144 + 25 = 169
= (13)² = కర్ణం².

ప్రశ్న 5.
ఒక కుటీర పరిశ్రమలో ప్రతిరోజు ఒక నియమిత సంఖ్యలో వస్తువులను తయారు చేస్తారు. ఒక రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు (రూపాయిలలో) ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే -3 ఎక్కువ. ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు ₹ 90 అయిన ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల సంఖ్య మరియు ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = x అనుకొందాం.
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2x + 3
(∵ ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే 3 ఎక్కువ).
ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు = ₹ 90
x(2x + 3) = 90
2x² + 3x = 90

2x² + 3x – 90 = 0.
2x² – 12x + 15x – 90 = 0
2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
(x – 6) (2x + 15) = 0
2x + 15 = 0
2x = – 15
x = \(\frac{-15}{2}\)
x – 6 = 0
x = 6
వస్తువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = 6
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2 × (6) + 3 = 12 + 3 = ₹ 15

సరిచూచుకోవడం :
మొత్తం ఖరీదు 6 × 15 = 90

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము యొక్క చుట్టుకొలత 28 మీ. మరియు దాని వైశాల్యం 40 చ.మీ. అయిన దీర్ఘచతురస్రము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = x మీ.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత = 28 మీ.
2 (x + y) = 28
⇒ x + y = \(\frac{28}{2}\) = 14
⇒ y = 14 – x …………. (1)
మరియు దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 40 చ.మీ.
x . y = 40 ………… (2)
(1) & (2) ల నుండి
x (14 – x) = 40
14x – x² = 40
– x² + 14x – 40 = 0
x² – 14x + 40 = 0
x² – 10x – 4x + 40 = 0
x(x – 10) – 4(x – 10) = 0
(x – 10) (x – 4) = 0
x – 10 = 0
x = 10
x – 4 = 0
x = 4
పొడవు x = 10 మీ. అయితే ఈ వెడల్పు 14 – x = 14 -10 = 4 మీ.
పొడవు 4 మీ. అయితే వెడల్పు 14 – 4 = 10 మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు 10 మరియు 4.

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భూమి, దాని ఎత్తు కంటే 4 సెం.మీ. ఎక్కువ. ఈ త్రిభుజ వైశాల్యము 48 చ.సెం.మీ. అయిన దాని భూమిని, ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
త్రిభుజము యొక్క ఎత్తు = x సెం.మీ. అనుకొనిన
భూమి = (x + 4) సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము = 48 చ.సెం.మీ.
\(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x + 4) x = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x² + 4x) = 48

x² + 4x = 96
x² + 4x-96 = 0
x² – 8x + 12x – 96 = 0
x(x – 8) + 12(x – 8) = 0
(x – 8) (x + 12) = 0
x – 8 = 0
x = 8
x + 12 = 0
x= – 12
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 8.
∴ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు x = 8 సెం.మీ.

సరిచూచుకోవడం :
భూమి x + 4 = 8 + 4 = 12 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 12 = 48 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
రెండు రైళ్లు ఒక స్టేషన్ నుంచి ఒకే సమయంలో ఒకటి పడమరకు, మరియొకటి ఉత్తరం వైపుకు బయలుదేరును. మొదటి రైలు, రెండవ రైలు కంటే 5 కి.మీ./గంట ఎక్కువ వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. అవి బయలుదేరిన రెండు గంటల తరువాత ఒకదానికొకటి 50 కి.మీ. దూరంలో వున్న ఒక్కొక్క రైలు సగటు వేగం ఎంత ?
సాధన.
రెండవ రైలు వేగం = x కి.మీ./గం. అనుకొనిన ,
మొదటి రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ/గం.
రెండు రైళ్ళు B వద్ద బయలుదేరాయి అనుకొంటే
దూరం = కాలం × వేగం
2 గంటలలో మొదటి రైలు ప్రయాణించిన దూరం BC = 2(x + 5) = 2x + 10
రెండవ రైలు ప్రయాణించిన దూరం BA = 2x

ABC లంబకోణ త్రిభుజము AB² + BC² = AC (∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం) ,
(2x)² + (2x + 10)² = 50²
4x² + (2x)² + 2.2x. 10 + 10² = 2500
4x² + 4x² + 40x + 100 = 2500
8x² + 40x + 100 – 2500 = 0
8x² + 40x – 2400 = 0
8(x² + 5x – 300) = 0
x² + 5x – 300 = 0

x² – 15x + 20x – 300 = 0
x(x – 15) + 20(x – 15) = 0
(x – 15) (x + 20) = 0
x – 15 = 0
x = 15
x + 20 = 0
x = – 20
వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 15.
∴ రెండవ రైలు వేగం x = 15 కి.మీ/గం.
మొదటి రైలు వేగం x + 5 = 15 + 5 = 20 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 9.
60 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో ప్రతి అబ్బాయి, అమ్మాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును, ప్రతి అమ్మాయి అబ్బాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును చందాగా ఇచ్చారు. మొత్తం వసూలైన సొమ్ము ₹ 1600 అయిన తరగతిలో ఎంత మంది అబ్బాయిలు గలరు ?
సాధన.
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య = x
అనుకొనిన అమ్మాయిల సంఖ్య = 60 – x
(∵ తరగతిలో విద్యార్థులు 60 మంది)
తరగతిలోని ప్రతి అబ్బాయి చెల్లించే చందా = x (60 – x)
అబ్బాయిల చందా = x (60 – x) = 60x – x²
తరగతిలోని ప్రతి అమ్మాయి చెల్లించే చందా = x
అమ్మా యిల చందా = (60 – x)x = 60x – x²
మొత్తం వసూలైన సొమ్ము = ₹ 1600.
అబ్బాయిల చందా + అమ్మాయిల చందా= 1600.
60x – x² + 60x – x² = 1600
120x – 2x² = 1600

– 2x² + 120x – 1600 = 0
– 2(x² – 60x + 800) = 0
∴ x² – 60x + 800 = 0
x² – 20x – 40x + 800 = 0
x(x – 20) – 40 (x – 20) = 0
(x – 20) (x – 40) = 0
x – 20 = 0
x = 20.
x – 40 = 0
x = 40
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య x = 20 లేదా 40.
తరగతిలోని అమ్మాయిల సంఖ్య x = 40 లేదా 20.

ప్రశ్న 10.
గంటకు 3 కి.మీ వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ఒక నదిలో ఒక మోటారు బోటు 24 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించి తిరిగి బయలుదేరిన స్థానానికి రావడానికి పట్టిన కాలం 6 గంటలైన బోటు స్థిరవేగంతో ప్రయాణించినదని భావించి దాని వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నది ప్రవాహ వేగం = 3 కి.మీ./గం.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ/గం. అనుకొనుము.
ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం = (x + 3) కి.మీ/గం||
24 కి.మీ ప్రయాణించుటకు పటుకాలం = దూరం/వేగం = 24/x + 3 గం.
ప్రవాహ దిశకు ఎదురుగా పడవ వేగం = (x – 3) కి.మీ/గం.
24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలం = \(\frac{24}{x-3}\) కి.మీ/గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలము = 6గం.
∴ \(\frac{24}{x+3}+\frac{24}{x-3}\) = 6

\(\frac{24(x-3)+24(x+3)}{(x+3)(x-3)}\) = 6

\(\frac{24 x-72+24 x+72}{x^{2}-9}\) = 6

\(\frac{48 x}{x^{2}-9}\) = 48x

6(x² – 9) = 48x
6x² – 54 = 48x
6x² – 48x – 54 = 0

6x² – 54x + 6x – 54 = 0
6x (x – 9) + 6(x – 9) = 0
(x – 9) (6x + 6) = 0
x – 9 = 0
6x + 6 = 0
6x = – 6
x = \(\frac{-6}{6}\)
x = – 1
పడవ వేగం రుణాత్మకం కాదు, కావున x = 9.
∴ నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం x = 9 కి.మీ./గం.

సరిచూసుకోవడం :
ప్రవాహ దిశలో ప్రయాణ కాలం = \(\frac{24}{9+3}=\frac{24}{12}\) = 2 గం.
= \(\frac{24}{9-3}=\frac{24}{6}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 2 + 4 = 6 గం.