Inter 2nd Year

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year History Study Material 5th Lesson సంచారజాతి సామ్రాజ్యాలు మంగోలులు, చంఘీస్ ఖాన్ Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year History Study Material 5th Lesson సంచారజాతి సామ్రాజ్యాలు మంగోలులు, చంఘీస్ ఖాన్

వ్యాసరూప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
మంగోలులను తెలుసుకొనుటకు గల ఆధారాలేవి?
జవాబు:
సంచారజాతుల, తెగల చరిత్రను, వారి జీవన విధానాన్ని తెలుసుకోవడానికి అనేక ఆధారాలు, వృత్తాంతాలు (క్రానికల్స్), యాత్రారచనలు (ట్రావెలోగ్స్), గ్రంథాలు, పత్రాలు, పోర్ట్రెయిట్స్ రూపంలో ఉన్నాయి. కొంతమంది మంగోలులను గూర్చీ యాత్రాకథనాలు రాయగా కొంతమంది మంగోలులు ఆస్థాన పండితులుగా స్థిరపడ్డారు. వారు బౌద్ధ, క్రైస్తవ, కన్ఫూషియస్, తుర్కీ, ముస్లిం మతాలకు చెందినవారు. వీరిలో కొంతమంది మంగోలులను స్తుతిస్తూ, నివాళులర్పిస్తూ రచనలు చేసారు.

మంగోలులపై విస్తృత పరిశోధనలు చేసి, రచనలు చేసినవారు రష్యా పరిశోధకులైన యాత్రికులు, సైనికులు, వ్యాపారులు, పురాతత్వవేత్తలు క్రీ.శ. 18, 19 శతాబ్దాలకు చెందినవారు. క్రీ.శ 20వ శతాబ్దపు తొలినాళ్ళలో రష్యాకు చెందిన బోరిస్ ఎకోప్లెని౫డి మిరోవ్, వాసిలి వ్లాడిమిరోవిచ్ బోరోల్డ్ మంగోలులు భాష, సమాజం, సంస్కృతులపై చక్కని రచనలు చేసారు.

మంగోలుల చరిత్రను తెలిపే ఆధారాలు చైనా, మంగోలు, పారశీక, అరబ్బీ, ఇటలీ, లాటిన్, ఫ్రెంచి, రష్యా వంటి అనేక భాషలలో విభిన్న సమాచారంతో లభిస్తున్నాయి. ఉదాహరణకు చంఘీస్ ఖాన్ను గురించి రాసిన మంగోలుల రహస్య చరిత్ర మంగోలు, చైనా భాషలలో ఉంది. మార్కోపోలో రాసిన మంగోలుల ఆస్థానానికి యాత్రలు (ట్రావెల్స్ టు ది మంగోల్ కోర్ట్) ఇటలీ, లాటిన్ భాషలలో భిన్నంగా ఉంది. అదే విధంగా ఇగోర్ డి రాచెవిట్జ్ రచన మంగోలుల రహస్య చరిత్ర, గెర్హార్డ్ డూ ఫర్ మంగోలు, తుర్కీ పదకోశంపై చేసిన రచనలు పారశీక భాషను కలిగి క్లిష్టంగా ఉన్నాయి. ఇంకా ఐబన్ బటూటా రచనలలో కూడా ఎన్నో విషయాలు తెలుస్తున్నాయి.

రోమ్కు చెందిన పోప్లతో మంగోలు రాజులు సత్సంబంధాలు నెరపారు. పోట్లు ఎన్నో రాయబారాలు నడిపారు. పోప్ ఇన్నోసెంట్ (IV)కు గ్రేటాన్ గుయుగ్ రాసిన లేఖ వంటివి అనేక వివరాలను తెలియజేస్తున్నాయి. ఇ.ఎ. నాలిసబ్బుడ్జ రచించిన ‘ద మాక్స్ ఆఫ్ కుబ్లయే ఖాన్’ అతని పరిపాలనా కాలాన్ని గురించి మనకు తెలియజేస్తోంది. రషీద్ అల్దన్ రచించిన కంపెండియమ్ ఆఫ్ క్రానికల్స్, గ్రెగర్ ఆఫ్ అకాన్ హిస్టరీ ఆఫ్ ది నేషన్ ఆఫ్ ఆర్చర్స్, ద క్రానికల్స్ ఆఫ్ నొవ్ రోడ్, జువైనా-ద హిస్టరీ ఆప్ ద వరల్డ్ కాంకరర్స్ వంటి చారిత్రక విషయాలను తెలియజేస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
సంచార జాతి సామ్రాజ్య స్థాపనకు దారితీసిన భౌగోళిక పరిస్థితులను తెలపండి.
జవాబు:
క్రీ.శ. 13, 14 శతాబ్దాలలో మంగోలులు చంఘీస్ ఖాన్ నాయకత్వంలో అనేక ఐరోపా, ఆసియా ప్రాంతాలతో మధ్య ఆసియాలో బలమైన సామ్రాజ్యాన్ని నిర్మించుకున్నారు. మంగోలు సంచార తెగలు నిబద్దతతో కూడిన సాంఘిక, ఆర్థిక జీవితాన్ని, వినమ్రతతో కూడిన గుణగణాలు కలిగి ఉండేవారని ఒక అభిప్రాయం. అయితే ఈ తెగల వారు చారిత్రకంగా వచ్చే పరిణామాలను, మార్పులను అంగీకరించరు. వీరి సాంప్రదాయాలకు అనుగుణంగా రాజకీయ, సాంఘిక, ఆర్థిక పద్ధతులను పాటిస్తూ తమ అధికారానికి మూలహేతువైన శక్తివంతమైన సైనికవ్యవస్థలకు ప్రాధాన్యత నిచ్చేవారు.

మంగోలులు భిన్న సమూహాలకు చెందినవారు. వారు భాషాపరంగా టాటార్లు, ఖిటాన్, మంచూ, తుర్కీ తెగలకు దగ్గరగా ఉంటారు. వారిలో కొందరు గ్రామీణ జీవితాన్ని గడపగా కొందరు వేటగాళ్ళుగా జీవించారు. గ్రామీణులు గుర్రాలు, గొర్రెలు, ఎద్దులు, మేకలు, ఒంటెలు వంటి జంతువులను పెంచేవారు. వారు మధ్య ఆసియాలోని స్టెప్పీలలో ముఖ్యంగా ఆధునిక మంగోలియా రాజ్యంలో సంచార జీవితం గడిపారు. ఈ ప్రాంతం అల్బాయ్ పర్వతాలతో, గోబిఎడారి, ఆనాన్, తెలంగా నదులు, అనేక ప్రవాహాలతో అందంగా, అద్భుతంగా ఉండేది. ఆటవికులు గ్రామీణులకు ఉత్తర ప్రాంతమైన సైబీరియా అటవీ ప్రాంతంలో ఉండేవారు. గ్రామీణుల కంటే వారు కొంత వినమ్రతతో జంతు చర్మాలు అమ్మి తన జీవితాన్ని గడిపేవారు. ఈ రెండు తరగతుల వారు నివశించే ప్రాంతంలో శీతోష్ణస్థితి పూర్తి భిన్నంగా ఉండేది.

ఈ రెండు సమూహాలు ప్రజలు ఆర్థికంగా స్థిరజీవితాన్ని నిలుపుకోలేక పోవడంతో ఆ ప్రాంతంలో పట్టణాభివృద్ధి జరగలేదు. మంగోలులు గుడారాలలో నివసిస్తూ వేసవి, శీతాకాలాల పచ్చికబయళ్ళలో పరస్పరం మారుతూ సంచరించేవారు. చంఘీస్ ఖాన్ నాయకత్వంలోని మంగోలు, తుర్కీ తెగల సమాఖ్య క్రీ.శ. 5వ శతాబ్దానికి చెందిన | అట్టెలా రాజ్యంతో సమానంగా ఉండేది. అయితే అట్టెలా కూటమి వలె కాక, చంఘీస్ ఖాన్ రాజకీయ వ్యవస్థ శక్తివంతమై ఎక్కువ కాలం కొనసాగే స్వభావం కలది. ఇది బలమైన సైనిక బలాలు కలిగిన చైనా, ఇరాన్, తూర్పు ఐరోపాలను ఎదుర్కొనే శక్తి కలది. మంగోలులు క్లిష్టమైన వ్యవసాయ, ఆర్థికవ్యవస్థలు, పట్టణ స్థిరత్వం, స్వల్ప సామాజిక వ్యవస్థలు కలిగిన పరిపాలన చేసారు. అది వారి సహజ సామాజిక జీవితానికి పూర్తిగా భిన్నమైంది.

సహజంగా పశువులను పెంచుతూ, వాటి గడ్డికోసం పచ్చిక మైదానాలలో సంచరిస్తూ స్థిరజీవితం లేని సంచార జాతులు వారి మనుగడకు ఆధారమయిన పశువులపైనే ఆధారపడేవారు. ఇటీవల కాలంలో ఆధునిక చారిత్రక పరిశోధకులు చంఘీస్ ఖాన్ కాలం నాటికి వాతావరణంలోని మార్పుల వలన గడ్డి సరిగా పెరగక మంగోలులు ఆందోళనకు గురయ్యారని భావించారు. ఇలాంటి పరిస్థితులలో మంగోలులు నాయకుడైన చంఘీన్ ఖాన్ మంగోలు జాతి ప్రజలను, ఇతర తెగలను కలిపి బలమైన సమాఖ్య రాజ్యాన్ని మధ్య ఆసియాలోని స్టెప్పీలనే పచ్చికబయళ్ళ ప్రాంతంలో నిర్మించాడు. ఇది అంతటితో ఆగక ఆసియా, ఐరోపా ఖండాలలోని అనేక దేశాలను ఆక్రమించి ఖండాంతర విశాలమైన సామ్రాజ్య స్థాపనకు దారితీసింది. ప్రపంచంలోనే అత్యంత పెద్దదైన రాజ్యాన్ని సంచారజాతి తెగలు స్థాపించడం, ఊహకందని, నమ్మలేని విషయంగా పరిశోధకులు భావించారు.

ప్రశ్న 3.
చంఘీస్ ఖాన్ జీవిత విశేషాలు, విజయాలను వివరించండి.
జవాబు:
చంఘీస్ ఖాన్ క్రీ.శ. 1162 ప్రాంతంలో ఆనాన్ నదికి సమీపంలోని నేటి మంగోలియాలోని ఉత్తర ప్రాంతంలో జన్మించాడు. అతనిని తెముజిన్ అని పిలిచేవారు. అతని తండ్రి ఎసుగి బోర్జిగిద్ తెగకు చెందిన కియాట్ సమూహానికి నాయకుడు. తెముజిన్ చిన్న వయసులో అతని తండ్రి చంపబడ్డాడు. అతని తల్లి ఓలన్ – ఇకే అటువంటి కష్టకాలంలో తెముజిన్తో పాటు అతని సోదరులను, సవతితల్లి బిడ్డలను పెంచి పెద్ద చేసింది. తరువాత దశాబ్ద కాలమంతా చాలా సమస్యలను ఎదుర్కొన్నాడు. తెముజిన్ పట్టుబడి బానిసగా చేయబడ్డాడు. వివాహానంతరం అతని భార్య బోల్టే అపహరించబడగా తెముజిన్ యుద్ధం చేసి ఆమెను పొందాడు. ఈ స్థితిలో బోఘుర్చు, జముఖ అనే కుటుంబ సోదరుడిని స్నేహితులుగా చేసుకున్నాడు. తండ్రి వంక వారితో సంబంధాలు పునరుద్ధరించుకున్నాడు.

క్రీ.శ 1180 – 90 మధ్య కాలంలో తెముజిన్ అంగాన్తో మైత్రి నడుపుతూ తన బద్ధశత్రువులైన జముఖా వంటి వారిని ఓడించాడు. క్రీ.శ. 1203లో తండ్రిని పొట్టన పెట్టుకున్న టాటారులనే తెగ వారిని, కెరెయిట్స్న అంగన్ను ఓడించాడు. క్రీ.శ 1206లో నైమాన్ ప్రజలపై విజయం, శక్తివంతుడైన జముఖాను లొంగదీయడంతో తెముజిన్ శక్తిమంతుడైన నాయకుడిగా గుర్తింపు పొందాడు. ‘చంఘీఖాన్’ అంటే ‘సముద్రాధిపతి’ లేక ‘ప్రపంచరాజు’ అని మంగోలుల సభచే పిలువబడి తెముజిన్ మంగోలుల గొప్ప నాయకుడు అని ప్రకటింపబడ్డాడు.

చైనాను ఆక్రమించడానికి తన సైన్యాన్ని పునర్వ్యవస్థీకరించి, క్రమశిక్షణ గల సైన్యంగా తీర్చిదిద్దాడు. మంగోలు సైన్యాన్ని మూడు భాగాలుగా చేసాడు. టిబెట్ తెగకు చెందిన హిృహ్సియా ప్రజలను 1209 నాటికి, 1215 నాటికి పెకింగ్ను ఓడించాడు. ఈ విజయాల తర్వాత క్రీ.శ. 1216లో చంఘీస్ ఖాన్ తిరిగి మంగోలియా చేరుకున్నాడు.

క్రీ.శ 1218లో మంగోలులు ఖారాభిటాను ఓడించిన తర్వాత మంగోల్ సరిహద్దులు పశ్చిమోత్తర చైనా, అమూదరియా, ట్రాన్సాక్సియానా, ఖ్వారజం వరకు విస్తరించాయి. ఖ్వారజం పాలకుడు సుల్తాన్ మహమ్మద్ మంగోలు రాయబారులను వధించి చంఘీస్ ఖాన్ ఆగ్రహాన్ని చవిచూసాడు. క్రీ.శ 1219-21 మధ్య కాలంలోని దండయాత్రలలో బట్రార్, బుఖారా, సామరఖండ్, బాల్క్, హీరట్లు లొంగిపోయాయి. వ్యతిరేకించిన పట్టణాలు నేలమట్టమయ్యాయి. నిషాపూర్ వద్ద మంగోల్ రాజును చంపినందుకు ప్రతీకారంగా ఆ పట్టణ ఆక్రమణ సమయంలో యావత్తు పట్టణాన్ని దున్నిపారేసి పిల్లలు, కుక్కలు సైతం లేని స్మశాన వాటికగా ఆ ప్రాంతాన్ని మార్చివేసాడు.

చంఘీస్ ఖాన్ దండయాత్రల వలన అనేక నగరాల విధ్వంసం, లెక్కలేనంత మంది ప్రజల మరణం సంభవించాయి. క్రీ.శ. 1220లో నిషాపూర్లో 17 లక్షల మందిని, క్రీ.శ. 1222లో హీరట్ వద్ద 16 లక్షల మందిని, క్రీ.శ. 1258లో | బాగ్దాద్ వద్ద 8 లక్షల మందిని చంపారని మధ్యయుగ చరిత్రకారులు కొందరు లెక్కలు వేసారు. అయితే పారశీక వృత్తాంతాలు ఇల్కానిడ్ ఇరాన్ను గురించి రాస్తూ చంఘీస్ ఖాన్ వధించిన లేక చంపిన వారి వివరాలను అతిశయోక్తిగా పేర్కొన్నాయని కొందరు చరిత్రకారుల భావన.

మంగోల్ సైన్యాలు సుల్తాన్ మొహమ్మద్ కోసం వెళుతూ అజర్బైజాన్లోకి ప్రవేశించి, క్రిమియా వద్ద రష్యా సైన్యాలను ఓడించి కాస్పియన్ సముద్రాన్ని చుట్టుముట్టాయి. మరో విభాగం సుల్తాన్ కుమారుడు జలాలుద్దీన్ ను వెంటాడుతూ ఆఫ్ఘనిస్తాన్, సింధ్ ప్రాంతాల్లోకి చొచ్చుకువెళ్ళాయి. సింధూనది వద్ద చంఘీస్ ఖాన్ ఉత్తర భారతదేశం, అస్సాంల ద్వారా మంగోలియాకు వెళ్ళడం మంచిదని భావించాడు. కానీ ఆ ప్రాంత భయంకర ఉష్ణతాపం, దుశ్శకునాలను గురించి జ్యోతిష్కుడు చెప్పిన మాటలతో మనసు మార్చుకున్నాడు. అయితే అప్పటికే యుద్ధాలతోను, ఎక్కువ కాలం సైనిక స్థావరాలలో గడపటం వలన చంఘీస్ ఖాన్ ఆరోగ్యం మెరుగుపడక క్రీ.శ 1227లో మరణించాడు.

ఘనత: చంఘీస్ ఖాన్ సైనిక విజయాలు అపూర్వమైనవి. అతడు స్టెప్పీ ప్రాంతాల సైన్యాలను తన శక్తి సామర్థ్యాలతో, తెలివితేటలతో ఆధునీకరించటం వలన అవి శక్తివంతమైనాయి. అతడు మంగోలుల, తురుష్కుల గుర్రపుస్వారీ నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచి, సైన్యంలో పరుగు తీవ్రతను పెంచాడు. భయంకరమైన చలి, తీవ్రమైన వేడిని సైతం లెక్కచేయకుండా శత్రువులను వెంటాడి, వధించి విజయాలు సాధించడం, ప్రాంతాలు జయించడం వంటి యుద్ధకాంక్షను మంగోలులో రగిలించాడు.

మంగోలులను ఐక్యపరచి, ఆదివాసీ, సంచార తెగల నిరంతర అంతర్యుద్ధాల నుండి వారికి విముక్తి ప్రసాదించి, చైనా దోపిడీ నుండి కాపాడి, వారిని అభివృద్ధి పథంలో నడిపిన ఒక నాయకుడిగా చంఘీస్ ఖాన్ నిలచిపోయాడు. నేటికీ మంగోలులకు చంఘీస్ ఖాన్ ప్రేరణ కలిగిస్తూ జాతీయనాయకుడిగా ఆ దేశ ప్రజలచే గౌరవింపబడుతున్నాడు. తన విజయాలతో ప్రపంచ చరిత్రలో తనకంటూ ఒక ప్రత్యేక స్థానాన్ని సంపాదించుకున్న విజేతగా నిలిచిపోయాడు.

ప్రశ్న 4.
స్టెప్పీ సమాఖ్యల ప్రాధాన్యతను తెలపండి.
జవాబు:
మంగోలు – తుర్కీ ప్రజలకు చెందిన మధ్య ఆసియాలోని కొన్ని గొప్ప స్టెప్పీ సమాఖ్యలు ఏమనగా: క్రీ.పూ. 200 సంవత్సరాలకు చెందిన తురుష్కుల సియుంగు, క్రీ.శ. 400 సంవత్సరాలకు చెందిన మంగోలుల జువాన్, క్రీ.శ. 400 సంవత్సరాలకు చెందిన మంగోలుల ఎప్తలైట్ హూణులు, క్రీ.శ. 550 సంవత్సరాలకు చెందిన తురుష్కుల టుచు, క్రీ.శ. 740 సం॥లకు చెందిన తురుష్కుల ఇఝారులు, క్రీ.శ. 940 సంవత్సరాలకు చెందిన మంగోలుల ఖిటాన్లు. వారి ఆక్రమణలు ఒకే ప్రాంతానికి పరిమితం కాక సమంగా లేక వారి ఆంతరంగిక వ్యవస్థ క్లిష్టంగా ఉండేది. సంచార జనాభాపై వారి ప్రభావం ఉండేది. వీరి ప్రభావ తీవ్రత చైనా తదితర దేశాలలో వేరు వేరుగా ఉంది.

క్రీ.శ 13వ శతాబ్దపు తొలిదశకాలలో మంగోలుల నాయకుడైన చంఘీస్ ఖాన్ మంగోలు జాతి ప్రజలను ఇతర తెగల ప్రజలను కలిపి బలమైన సమాఖ్య రాజ్యాన్ని మధ్య ఆసియాలోని స్టెప్పీలనే పచ్చికబయళ్ళ ప్రాంతంలో నిర్మించాడు. ఇతడు తన అధికారాన్ని చైనా, ట్రాన్సాక్సియానా, ఆఫ్ఘనిస్తాన్, తూర్పు ఇరాన్, రష్యా స్టెప్పీలకు వ్యాపింపజేసాడు. తరువాత అతడు అనేక చైనా ప్రాంతాలను, ఐరోపాలోని అనేక ప్రాంతాలను జయించాడు. క్రీ.శ 1220లో ప్రముఖ బుఖారా పట్టణాన్ని వశపరచుకున్నాడు. అతని అనుచరులు మరింత ముందుకు సాగి బలమైన సామ్రాజ్యాన్ని నిర్మించారు. ఉదా: చంఘీస్ ఖాన్ ఒక మనువడు మాంగ్ కే (క్రీ.శ. 1251 60) ఫ్రెంచ్ రాజును బెదిరించి కొన్ని ప్రాంతాలు ఆక్రమించుకోగా, మరో మనువడు బాటు, మాస్కో వరకు రష్యా ప్రాంతాలు ఆక్రమించి పోలండ్, హంగరీ, వియన్నా రాజ్యాలను క్రీ.శ 1236-41 మధ్య దాడులలో వశపరచుకున్నాడు.

మంగోలులు భిన్న సమూహాలకు చెందినవారు. వారు భాషాపరంగా టాటార్లు, ఖిటాన్, మంచూ, తుర్కీ తెగలకు దగ్గరగా ఉంటారు. వారిలో కొందరు గ్రామీణ జీవితాన్ని గడపగా కొందరు వేటగాళ్ళుగా జీవించారు. గ్రామీణులు గుర్రాలు, ఎద్దులు, మేకలు, ఒంటెలు వంటి జంతువులను పెంచేవారు. వారు మధ్య ఆసియాలోని స్టెప్పీలలో ముఖ్యంగా ఆధునిక మంగోలియా రాజ్యంలో సంచార జీవితం గడిపారు. ఈ ప్రాంతం అల్బాయ్ పర్వతాలతో, గోబి ఎడారి, ఆనాన్, శిలంగా నదులు. అనేక ప్రవాహాలతో అందంగా, అద్భుతంగా ఉండేది. వేట లేక ఆటవికులు గ్రామీణులకు ఉత్తర ప్రాంతమైన సైబీరియా అటవీ ప్రాంతంలో ఉండేవారు. గ్రామీణుల కంటే వారు కొంత వినమ్రతతో జంతు చర్మాలు అమ్మి తన జీవితాన్ని గడిపారు. ఈ రెండు తరగతుల వారు నివసించే ప్రాంతంలో శీతోష్ణస్థితి పూర్తి భిన్నంగా ఉండేది.

ఈ రెండు సమూహాలు ప్రజలు ఆర్థికంగా స్థిరజీవితాన్ని నిలుపుకోలేకపోవడంతో ఆ ప్రాంతంలో పట్టణాభివృద్ధి జరగలేదు. మంగోలులు గుడారాలలో నివసిస్తూ వేసవి, శీతాకాలాల పచ్చికబయళ్ళలో పరస్పరం మారుతూ సంచరించేవారు. చంఘీస్ ఖాన్ నాయకత్వంలోని మంగోలు, తుర్కీ తెగల సమాఖ్య క్రీ.శ 5వ శతాబ్దానికి చెందిన ‘అట్టెలా’ రాజ్యంతో సమంగా ఉండేది. అయితే అట్టెలా కూటమి వలే కాక, చంఘీసన్ రాజకీయ వ్యవస్థ శక్తివంతమై ఎక్కువ కాలం కొనసాగే స్వభావం కలది. ఇది బలమైన సైనిక బలాలు కలిగిన చైనా, ఇరాన్, తూర్పు ఐరోపాలను ఎదుర్కొనే శక్తి కలిగి ఉండేది.

చంఘీస్ ఖాన్ మరణాంతం మంగోలు సామ్రాజ్యంలోని సంచార, భిన్న వర్గాల మధ్యగల వైషమ్యాలు సరళమవుతూ వచ్చాయి. ఉదాహరణకు 1230లో మంగోలుల ఉత్తర చైనాకు చెందిన చిన్ రాజవంశంపై విజయవంతంగా దండయాత్ర చేయగా, మంగోలు నాయకత్వంలోని ఒక వర్గం రైతులను వధించి, వారి భూములను పచ్చికబయళ్ళుగా మార్చమని ఒత్తిడి చేసింది. తరువాత కాలంలో ఘజన్ ఖాన్ వంటివారు దీనిని వ్యతిరేకించారు. ఇది వారిలో ఉండే సంప్రదాయ రీతి అయిన గడ్డి భూముల పట్ల వారి ప్రాధాన్యతను తెలియజేస్తుంది. చంఘీస్ ఖాన్ తన తదనంతరం తన మొదటి కుమారుడు జోచికి రష్యా స్టెప్పీలను, రెండవ కుమారుడు చగతాయ్కి ట్రాన్సాక్సియానా స్టెప్పీలను, సామీరు పర్వత ఉత్తర భూములను, మూడవ కుమారుడు ఒగొడికి కారకోరమ్ పర్వత ప్రాంతాలని, చివరి కుమారుడు టోలుయ్కి తన పూర్వీకుల మంగోలియా ప్రాంతాలను ఇచ్చాడు.

మంగోలులు క్లిష్టమైన వ్యవసాయం, ఆర్థికవ్యవస్థలు, పట్టణ స్థిరత్వం, స్వల్పసామాజిక వ్యవస్థలు కలిగిన పరిపాలన చేసారు. అది వారి సహజ సామాజిక జీవితానికి పూర్తిగా భిన్నమైంది.

ఎటువంటి సంచారజాతి సామ్రాజ్యాన్ని పరిశీలించినా మంగోలుల వలె చెల్లా చెదురైన వివిధ జాతులు, తెగలు, సమూహాలు చైతన్యవంతులై, ఏకమై ఒక గొప్ప సామ్రాజ్యాన్ని నిర్మించుకోవడం ఊహకందనిది, నమ్మలేనిది.

ప్రశ్న 5.
మంగోలుల చరిత్రలో ఘజన్ ఖాన్ స్థానం ఎట్టిది?
జవాబు:
ఘజన్ 1271లో ఇల్-ఖానిడ్ పాలకుడైన ఆర్గున్, తల్లి ఖుత్లుక్ ఖాతున్లకు జన్మించాడు. ఘజన్ చిన్నతనంలో బాప్టిజం ఇచ్చి క్రైస్తవుడిగా పెంచబడ్డాడు. యవ్వనావస్థలో చైనా బౌద్ధ సన్యాసి వద్ద విద్యనభ్యసించాడు. అతని ద్వారా బౌద్ధాన్ని ఆకళింపు చేసుకున్నాడు. ఘజన్ ఖాన్ ను పాశ్చాత్యులు ‘కాసనస్’ అని పిలిచేవారు. ఇలా నిడ్ పాలకులు చంఘీస్ ఖాన్ చిన్న కుమారుడు ‘లొలుయి’ సంతతికి చెందినవారు. ఇతను ఇల్-ఖానిడ్ ఆనిడ్ వంశంలో 7వ పాలకుడు. ఈ ప్రాంతం నేటి ఆధునిక ఇరాన్ ప్రాంతం. 11 ఏళ్ళ వయసుకే వైస్రాయిగా ‘ఖొరాసాన్’ పాలకుడయ్యాడు.

క్రీ.శ 1291లో ఘజన్ తండ్రి ఆర్గున్ చనిపోయే సమయానికి ఘజన్ ఖాన్ ‘నవజ్’ అనే కులీనుడి తిరుగుబాటు, ఛాగాయ్ మంగోలులు, తుర్కీ మంగోలులను ఎదుర్కొనవలసి వచ్చింది. 1295 ప్రాంతాలలో ఘజన్ ఒత్తిడి మేరకు ‘నవ్రజ్’ లొంగిపోయి, ఘజన్ దళ నాయకుడిగా మారాడు. ‘నవ్రజ్’ సహాయంతో కుట్రలను ఛేదించాడు. ‘నవ్రజ్’ ప్రఖ్యాతి చెందిన ముస్లిం అమీర్. నమ్రాజ్ వంటి వారి మద్దతు ఉంటుందని క్రీ.శ 1295లో ఇస్లాంను స్వీకరించాడు. తన పేరును మహమూద్ ఘజన్ గా మార్చుకున్నాడు. ఘజన్ ఇస్లాంను స్వీకరించినప్పటికీ వ్యక్తిగత జీవితంలో ప్రాచీన మంగోల్ సంప్రదాయాలు పాటించేవాడు.

పరమత సహనం: ఘజన్ ఖాన్ ఇస్లాం మతాన్ని స్వీకరించినప్పటికి, పరమత సహనాన్ని ప్రదర్శించాడు. తన చిన్నతనంలో క్రైస్తవుడిగా పెంచబడ్డాడు. యవ్వనంలో బౌద్ధమత గురువు ప్రభావంతో బౌద్ధం వైపు ఆకర్షితుడయ్యాడు. 1295లో రాజకీయ అవసరాల నిమిత్తం ఇస్లాంను స్వీకరించాడు. తన రాజ్యంలోని క్రైస్తవులను జిజియా పన్ను నుంచి మినహాయించాడు. అయితే ఈ పరమత సహనం ‘నవ్రజ్’ వంటి నాయకులు సహించలేకపోయారు. ఎన్నో బౌద్ధరామాలను శాశ్వతంగా ధ్వంసం చేసారు. చివరకు టిబెట్ వెళ్ళదలుచుకున్న బౌద్ధులందరికీ అనుమతినిచ్చాడు. ‘నవ్రజ్’ అతని అనుచరుల ఆగడాలు మితిమీరి పోతుండుటచే ఘజన్ ఖాన్ అతనిని అణచివేసాడు.

తమ చిరకాల శత్రువులైన ఈజిప్ట్ మామ్లుక్ తో యుద్ధం చేయడానికి 1299లో క్రైస్తవులను ఆహ్వానించి వారితో కలిసి యుద్ధానికి వెళ్ళాడు. ఈ యుద్ధంలో మామ్లుక్లలు ఓడించబడ్డారు. తరువాత కాలంలో తుర్క్ మంగోల్ ఛాగ్తాయ్లాతో యుద్ధం చేసాడు. ఈ విధంగా ఎక్కువ కాలం యుద్ధరంగంలోనే గడిపాడు.

సంస్కరణలు: ఘజనాఖాన్ ఇలా నిడ్ సామ్రాజ్యంలో అనేక సంస్కరణలు చేపట్టాడు. తన ప్రాంతంలోని రైతుల సంక్షేమానికి కృషి చేసినట్లు తెలుస్తుంది. ఇతడు మంగోలు తురుష్క సంచార సైన్యాధికారులకు క్రింది సందేశాన్నిచ్చాడు. ఈ సందేశాన్ని అతని వజీర్ రషీదుద్దీన్ తయారుచేసాడని కొందరి అభిప్రాయం.

“నేను పారశీక కర్షకుల వైపు లేను. వారిని నిర్మూలించాలనే తలంపు ఉంటే ఆ పనిని నాకంటే శక్తివంతంగా చేసేవారు మరొకరు లేరు. అయితే మీరు తిండిగింజలను, ఆహారపదార్థాలను పొందాలనుకుంటే మీ పట్ల కఠినంగా వ్యవహరిస్తాను …… వినమ్రతగా ఉన్న కర్షకులను శత్రువులుగా ఉన్న కర్షకుల నుండి వేరుచేసి గౌరవించాలి” అని సందేశమిచ్చాడు.

మిలటరీ సంస్కరణలు: సైన్యంలో ఎన్నో కొత్త దళాలను ఏర్పాటు చేసాడు. మంగోలు రాజ్యంలోని సామాన్యులు ఎందరో తమ పిల్లలను బానిసలుగా అమ్ముతుంటే, వారిని విడిపించి తన మంత్రులలో ఒకడైన బోలాడ్ నేతృత్వంలో వారందరినీ ఒక సైనిక యూనిట్గా ఏర్పరచాడు.

ఆర్థిక సంస్కరణలు: కాగితం కరెన్సీ ప్రవేశాన్ని వ్యతిరేకించిన ఘజన్ ఖాన్ తన రాజ్యం అంతా ఒకేరకమైన నాణేలు ప్రవేశపెట్టాడు. వాటిని గజనీ దినార్స్ అన్నారు. మార్కెట్ వ్యవస్థను క్రమబద్దీకరించాడు.

నిర్మాణాలు, ఘనత: ఘజన్ ఖాన్ ఉన్నత సాంస్కృత విలువలు కలిగినవాడు. ఇతడు అనేక భాషలు మాట్లాడగలడు, కళాపోషణారాధకుడు. చిత్రలేఖనం, రసాయనశాస్త్రం, వ్యవసాయం పట్ల ఎంతో మక్కువగా ఉండేవాడు. తన ప్రజల సంక్షేమం కోసం హాస్టల్స్, హాస్పటల్స్, విద్యాలయాలు, తపాల వ్యవస్థలు ఏర్పాటు చేసాడు. ‘రషీద్-అల్-దీన్’ అనే చరిత్రకారుడుని తన వంశ చరిత్ర రాయమని ఘజన్ కోరాడు. ఇతడు తన సామ్రాజ్యంలో మంగోలియన్ యాసాకోడ్ను అమలుచేసాడు.

ఒక యూరప్ చరిత్రకారుడి ప్రకారం 14వ శతాబ్దంలో ఎందరో యూరోపియన్లు తమ పిల్లలకు మంగోల్ పాలకుల పేర్లు పెట్టుకోవడం గొప్పగా భావించేవారు. ‘గజన్’ పేరును ఎక్కువమంది పెట్టుకునేవారు. ఇంతటి ఘనత వహించి ఘజన్ ఖాన్ క్రీ.శ 1304లో 33 సంవత్సరాల వయసులోనే మరణించాడు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సంచారజాతి సామ్రాజ్యాలు.
జవాబు:
సంచార అంటే ‘దేశ దిమ్మర’, ‘అనాగరిక జాతులు’ అని వ్యవహరించేవారు. మధ్య ఆసియాకు చెందిన మంగోలులు, అరేబియా ద్వీపకల్పంలోని బెడౌన్లు, గౌలులు, హూణులు ఇలాంటివారే. కొన్ని సంచారజాతులు కుటుంబవ్యవస్థను కలిగి ఉండగా, కొన్ని జాతులకు కుటుంబ జీవితం ఉండేది కాదు. వీరి రాజకీయ వ్యవస్థ వెనుకబడి ఉండేది. సామ్రాజ్యం అంటే మిశ్రమ సాంఘిక, ఆర్థిక భావాలతో కూడిన నిర్మాణం. క్రీ.శ 13, 14 శతాబ్దాలలో మంగోలులు చంఘీస్ ఖాన్ నాయకత్వంలో ఐరోపా, ఆసియా ప్రాంతాలతో మధ్య ఆసియాలో బలమైన సామ్రాజ్యాన్ని నిర్మించుకున్నారు. మంగోలు సంచార తెగలు నిబద్ధతతో కూడిన సాంఘిక, ఆర్థిక జీవితాన్ని కలిగి ఉండేవారు. ఈ తెగల వారు చారిత్రకంగా వచ్చే పరిణామాలను అంగీకరించరు. వారి సాంప్రదాయాల కనుగుణంగా రాజకీయ, సాంఘిక, ఆర్థిక పద్ధతులు పాటిస్తూ, తమ అధికారానికి మూలహేతువైన, శక్తివంతమైన సైనిక వ్యవస్థకు ప్రాధాన్యత ఇచ్చేవారు.

ప్రశ్న 2.
రష్యా పండితులు.
జవాబు:
మంగోలులపై విస్తృత రచనలు చేసినవారు రష్యా పరిశోధకులైన యాత్రికులు, సైనికులు, వ్యాపారులు, పురాతత్వవేత్తలు క్రీ.శ 18, 19 శతాబ్దాలకు చెందినవారు. 19వ శతాబ్దంలోని చరిత్రకారుడైన N.M కరంజినే టాటర్ల వలన రష్యా వెనుకబడిందని భావించాడు. మరోవైపు మరో చరిత్రకారుడు S.M సొలెవేవ్ మంగోలుల ఆక్రమణ ప్రభావం చాలా స్వల్పకాలికమైన, దీర్ఘకాలక ప్రభావం ఏమీలేదని పేర్కొన్నాడు. వివి. బోర్తోల్డ్, ప్రొఫెసర్ జార్జ్ వెర్నార్డ్స్క వంటివారు కూడా మంగోలుల రష్యా ఆక్రమణ వాటి ప్రభావాలని అంచనా వేసారు.

క్రీ.శ. 20వ శతాబ్దపు తొలినాళ్ళలో రష్యాకు చెందిన బోరిస్ ఎకోఫ్లెవిచ్ వ్లాడిమిర్టోవ్, మంగోలుల భాష, సమాజం, సంస్కృతులపై చక్కని రచనలు చేసారు.

ప్రశ్న 3.
మంగోలుల దండయాత్రలు.
జవాబు:
క్రీ.శ 13వ శతాబ్దంలో మంగోలులు నాయకుడు చంఘీస్ ఖాన్ తన జాతి ప్రజలను, ఇతర తెగలను కలిపి గొప్ప సైన్యాన్ని నిర్మించాడు. ఇతడు తన అధికారాన్ని చైనా, ట్రాన్సాక్సియనా, ఆఫ్ఘనిస్తాన్, తూర్పు ఇరాన్, రష్యా స్టెప్పీలకు వ్యాపింపచేసాడు. క్రీ.శ 1220లో ప్రముఖ బుఖారా పట్టణాన్ని ఆక్రమించాడు. తరువాత కాలంలో చంఘీస్ ఖాన్ మనుమడు మాంగ్ కే ఫ్రెంచ్జును బెదిరించి కొన్ని ప్రాంతాలు ఆక్రమించుకున్నాడు. మరో మనుమడు బాటు, మాస్కో వరకు రష్యా ప్రాంతాలు ఆక్రమించారు. పోలండ్, హంగరీ, వియన్నా రాజ్యాలను వశపరచుకున్నారు.

మంగోలు దండయాత్రల మూలంగా ఎన్నో పట్టణాలు ధ్వంసం చేయబడ్డాయి. వ్యవసాయ భూములు నిరుపయోగమయ్యాయి. లక్షల మంది చంపబడ్డారు. వర్తక, వ్యాపార, హస్తకళలు మూగబోయాయి. ఎంతోమంది నిరాశ్రయులయ్యారు, బానిసలయ్యారు. మంగోలుల దండయాత్రల ధాటికి చైనా, తూర్పు ఐరోపా, మధ్య ఆసియాలోని ఎన్నో దేశాలు భయోత్పాతాన్ని పొందాయి.

ప్రశ్న 4.
మంగోలు రాజవంశం.
జవాబు:
అనేక మంది స్త్రీలకు భర్త అయిన చంఘీస్ ఖాన్కు అనేక మంది పిల్లలు జన్మించారు. తన మొదటి భార్య బోర్టెకు జన్మించిన నలుగురు కుమారులు మంగోలు వంశవృక్షమయ్యారు. వారి జోచి, చగతాయ్, ఒగొడి, టోలుయిలు. మొదటి కుమారుడు జోచి, కుమారులు లేకపోయినా శక్తివంతంగా పాలించాడు. గుయుక్ మరణానంతరం ఒగొడి వంశస్థులకు మద్దతు ఇవ్వకుండా జోచి కుమారుడు బాటు టొలుయ వైపు మొగ్గు చూపి, మొంగ్కె, కుబ్లట్లకు తెర తెరిచాడు. దీని వలన మంగోలు వంశంలో అంతర్గత పోరు తప్పలేదు.

ప్రశ్న 5.
మంగోలులు చేసిన వినాశనం.
జవాబు:
చంఘీస్ ఖాన్ దండయాత్రల గురించి తయారైన నివేదికలన్నీ అనేక నగరాలను, పట్టణాలను ఆక్రమించి ధ్వంసం చేసినందున, అంతులేనంతమంది ప్రజలు మరణించారని అంగీకరిస్తున్నాయి. క్రీ.శ 1220లో నిషాపూర్ను పట్టుకున్నప్పుడు 17,47,000 మంది ప్రజలు ఊచకోతకు గురికాగా, క్రీ.శ 1222లో హీరట్ వద్ద 16 లక్షల మందిని, క్రీ.శ 1258లో బాగ్దాద్ వద్ద 8 లక్షల మంది చంపబడగా అదే నిష్పత్తిలో చిన్న చిన్న పట్టణాలు నష్టపోయాయి. నాసా వద్ద 70,000 మంది, బాయ్ ఖ్ జిల్లాలో 70,000 మంది, కుహిస్థాన్ ప్రాంతంలోని టున్ వద్ద 12 వేల మందిని ఉరితీసారు. ఇలా నిడ్లో 13 లక్షలమంది చనిపోయారని పారశీక జువైనీ పేర్కొన్నాడు. అయితే పారశీక వృత్తాంతాలు అతిశయోక్తులతో నిండాయని కొందరు చరిత్రకారులు అంచనా. వీరి దండయాత్రల వలన వ్యవసాయ భూములు నిరుపయోగమయి, వర్తక వ్యాపార హస్తకళలు మూగబోయాయి. ఎంతోమంది నిరాశ్రయులయ్యారు. ఇంకెంతో మంది బానిసలయ్యారు. ఇలా ఎన్నో నగరాలు శాశ్వత విధ్వంసానికి గురైనాయి.

ప్రశ్న 6.
యాసా.
జవాబు:
డేవిడ్ అయలాన్ ప్రకారం ‘యాసా’ అనే న్యాయస్మృతిని చంఘీస్ ఖాన్ క్రీ.శ. 1206వ సంవత్సరంలో జారీ చేసాడు. ఈ పదం ‘యాసఖ్’ అని రాయబడింది. దీని అర్థం ‘న్యాయం’, ‘ఆదేశం’, ‘ఆజ్ఞ’. మరికొన్ని వివరాలను బట్టి యాసఖ్ పరిపాలనా నిబంధనలైన వేటాడే పద్ధతి, సైన్యం, పోస్టల్ వ్యవస్థలను గురించి తెలిపే పద్ధతి. క్రీ.శ. 13 వ శతాబ్దపు మధ్య కాలానికి మంగోలులు దీనిని పోలిన ‘యాసా’ అనే పదాన్ని ‘సాధారణ న్యాయస్మృతి’ అనే అర్థంతో వాడారు.

మంగోలులు తమ ఉనికిని కాపాడుకొని, ప్రత్యేకతను చాటుకొనుటకు వారు యాసాను తమ నాయకుడిచ్చిన పవిత్ర స్మృతిగా ఉపయోగించారు. యాసా అనేది మంగోలు తెగల ఆచార, సంప్రదాయాల సంకలనం. మంగోలులు దీనిని చంఘీస్ ఖాన్ న్యాయస్మృతి అని ప్రజలపై రుద్దారు. ఇది మంగోలుల్లో ఆత్మవిశ్వాసాన్ని పెంచి, తమ సంచారజాతి చిహ్నాన్ని గుర్తించి, ఈ న్యాయస్మృతిని ఓటమి పాలైన వారిపై రుద్దేటట్లు చేసింది.

ప్రశ్న 7.
చైనా గొప్ప ప్రాకార నిర్మాణానికి కారణాలు.
జవాబు:
తన మొత్తం చరిత్రలో అనేక సంచార జాతుల దాడులు, రాజ్యాల ఆక్రమణల వలన చైనా ఎంతో నష్టపోయింది. అందువలన చైనా పాలకులు క్రీ.పూ. 8వ శతాబ్దం నుండీ తమ ప్రజల రక్షణార్థం అనేక కోటలు, ప్రాకారాలు నిర్మించుకున్నారు. తరువాత క్రీ.పూ 3వ శతాబ్దం నుండి ఈ కోటల నిర్మాణాలు అందరి రక్షణ నిర్మాణాలుగా కలిసిపోయి ఈనాడు ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి గాంచిన చైనా గొప్ప ప్రాకారంగా పిలువబడుతోంది. ఉత్తర చైనాలోని వ్యవసాయ సమాజాలపై జరిగే సంచార జాతుల దాడుల వలన కలిగే భయం, కలత చెందటం వంటి వాటి నుండి ప్రజలకు రక్షణ కల్గించేదిగా ఈ నిర్మాణం చక్కని తార్కాణంగా కన్పిస్తుంది. ఈ ప్రాకారాన్ని చిన్ వంశానికి చెందిన షి హ్యాంగ్ అనే రాజు క్రీ.పూ. 221 నుండి 207 వరకు నిర్మించి పాలించాడు.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year History Study Material 4th Lesson భూఖండ మధ్య ప్రాంత ఇస్లామ్ సామ్రాజ్యం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year History Study Material 4th Lesson భూఖండ మధ్య ప్రాంత ఇస్లామ్ సామ్రాజ్యం

వ్యాసరూప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
మహ్మద్ ప్రవక్త జీవిత విశేషాలు గూర్చి సంక్షిప్తంగా తెలియజేయుము. ఆయన ఏమి బోధించెను ?
జవాబు:
అరేబియాలోని ఎడారి ప్రాంతంలో గల మక్కా నగరంలో క్రీ.శ. 570లో ఖురేషి జాతికి చెందిన హాష్మయిట్ కుటుంబంలో మహ్మద్ జన్మించాడు. బాల్యంలోనే తల్లిదండ్రులను కోల్పోయాడు. అనాథ అయిన మహమ్మదు అతని మేనమామ అబూతాలిబ్ పెంచాడు. మామతోపాటు వర్తక వ్యాపారాలలో పాల్గొని మంచి సామర్థ్యం సంపాదించాడు. దక్షిణ అరేబియా, సిరియా వంటి అనేక ప్రాంతాలలో వర్తక బిడారులతో, విస్తృతంగా పర్యటించాడు.

ఖదీజా అనే బాగా డబ్బున్న వితంతువు వద్ద ప్రతినిధిగా చేరి కొద్ది కాలంలోనే ఆమె అభిమానాన్ని, ప్రేమను చూరగొని ఆమెను వివాహమాడాడు. మహమ్మద్ నిరంతరం ఆలోచనా నిమగ్నుడై ఉండేవాడు. మక్కా సమీపంలో ధ్యానం చేసేవాడు. జీవిత సత్యాలకై అన్వేషించాడు. మహ్మద్కు తన 40వ ఏట నిజమార్గం లభించింది. మహ్మద్ తనకు కలిగిన సత్యానుభూతితో ప్రవక్తగా మారాడు. తాను దేవుని దూతనని (రసూల్) భావించాడు. మహ్మద్కు కలిగిన దైవానుభూతితో ‘అల్లా’ ఒక్కడే దేవుడని తాను అల్లా యొక్క ప్రవక్తను అని విశ్వసించాడు. అట్లాగే బోధించాడు. ఇటువంటి విశ్వాసులందరినీ ఒక జనసామాన్యంగా తయారు చేసాడు.

మక్కా ఒక వ్యాపారకేంద్రంగానే కాక పవిత్రమైన దేశంగా మారింది. మక్కాలోని ‘కబ్బా’ అనే ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారం రాయి ముసల్మానులకు పవిత్ర స్థలమయింది. ఇస్లాం అనగా దేవుని వలన శాంతిని పొందుట.

ఇస్లాం మత లక్షణాలు: దైవం యొక్క ఏకత్వాన్ని, ఆధిక్యతను అంగీకరిస్తూ ఆయనకు సేవలు చేయడం ద్వారా శాంతిని సాధించవచ్చు. అల్లా అనే ఒకే ఒక దేవుడున్నాడని, ఆయన సర్వాధికుడని ఇస్లాం చెబుతుంది. ప్రపంచంలోని ముసల్మానులందరూ సమానులే. వారు సోదర సమానులు. ఏకేశ్వరోపాసన ఇస్లాంలో కనిపిస్తుంది. విగ్రహారాధన లేదు. ఇస్లాంలో పూజారులు లేరు. వారి ఆరాధనలో సులభమైన పద్ధతులు కలవు. ప్రతిరోజు ప్రార్థన, ప్రతి ముసల్మాను తన మతవిధిగా దేవుని పేరుతో పేదలకు దానధర్మాలు చేయుట, దొంగతనాలు చేయకుండుట వంటి నియమాలు అనుసరించాలి. మహ్మద్ చెప్పిన సర్వసమానత్వం కులీనులకు కంటగింపుగా మారింది. ఆ వర్గం మహ్మద్ను అనేక ఇబ్బందులకు గురి చేసింది. ప్రాణాపాయం నుండి తప్పించుకొనుటకు క్రీ.శ.622లో మహ్మద్ మక్కాను వదిలి మదీనాకు ప్రవాసం పోయాడు. ఈ ప్రవాసాన్ని ‘హిజరా’ పేరుతో ముసల్మానుల కేలండర్ ప్రథమ సంవత్సరంగా గుర్తించారు. క్రీ.శ. 632లో మహ్మద్ మరణించే నాటికి అరేబియా అంతా ఒక్కటై గొప్ప మత సమైక్యతను సాధించింది. మహమ్మదీయులు తమ మత ప్రచారం, వ్యాప్తి పట్ల తీవ్రమైన ఉత్సాహం, ఉద్రేకం కలిగి ఉండేవారు.

మహ్మద్ ప్రవక్త బోధనలు: ఈ నూతన మత సారాంశం వారి పవిత్ర గ్రంథమైన ఖురాన్తో కనుగొనవచ్చు. అరబిక్ భాషలో ఖురాన్ అనగా కంఠస్తం చేయడం. మహ్మద్ విగ్రహారాధనను ఖండించాడు. అల్లాను విశ్వసించే భక్తులు సహోదరులు వలె జీవించాలి. దేవుని దృష్టిలో అందరూ సమానులే. ‘లా ఇలాహ ఇల్ అల్లా మహమ్మద్ ఉర్
రసూల్ అల్లా (అల్లా తప్ప మరో దేవుడు లేడు) మహ్మద్ అతని ప్రవక్త, ఇది వారి ప్రార్థనాగీతం, దీని పునఃచరణనే కల్మా అంటారు. మహ్మద్ యొక్క స్వంత తెగ ఖురేషీకి చెందినవారు మక్కాలో నివసించి కాబాపై అధికారం చలాయించారు. ప్రతి ముసల్మాను రోజుకు ఐదుసార్లు ప్రార్థన చేయాలి. దీనినే నమాజ్ అంటారు. శుక్రవారం మధ్యాహ్నం తప్పనిసరిగా మసీదులో ప్రార్ధన చేయాలి.

ఇస్లాం మతానికి పవిత్రమైన రంజాన్ నెలలో సూర్యోదయం నుంచి సూర్యాస్తమయం వరకు ఉపవాసం ఉండి ఎటువంటి ఆహారం తీసుకోరాదు. ప్రతి ముసల్మాను తన మత విధిగా, దేవునికి కానుకగా పేదలకు దానం చేయాలి. ఈ పవిత్రమైన చర్యను ‘జకాత్’ అంటారు. ప్రతి మహమ్మదీయుడు తన జీవితకాలంలో ఒక పర్యాయమైన మక్కాలోని పవిత్ర స్థలాన్ని సందర్శించాలి. ఈ తీర్థయాత్రనే ‘హజీ’ అంటారు. ఇవి కాక మరికొన్ని నియమాలను, ఆచారాలను ముసల్మానులు ఆచరించాలి. అణకువ, దాతృత్వం, నిజాయితీ, మహిళల పట్ల, తల్లిదండ్రుల పట్ల గౌరవం, బానిసలపై కారుణ్యం, జంతువులపై దయ, మధ్యపానం, జూదంలకు దూరంగా ఉండటం వంటి సద్గుణాలకు ప్రాధాన్యత ఇవ్వబడింది.

ఇస్లాం మతం హేతువాదానికి ప్రాధాన్యత ఇచ్చింది. మంత్రతంత్రాలు, అర్థం కాని ఆధ్యాత్మిక సూత్రాలు ఇందులో లేవు. అందరూ సమానులే అన్న సిద్దాంతం ఇస్లాం ఉదారవాదానికి ప్రతీక. మహమ్మదీయులలో విశ్వమానవ సౌభ్రాతృత్వం, దేవునికి మనిషికి మధ్య గల ప్రీతిపాత్రమైన సంబంధం వంటి అనేక లక్షణాలు ఇస్లాం మతాన్ని ప్రపంచ మతాలలో ఒక గొప్ప మానవతామతంగా తీర్చిదిద్దాయి.

ప్రశ్న 2.
ఇస్లాం వారసత్వం గురించి వివరింపుము.
జవాబు:
రోమన్ సామ్రాజ్యం వలె విస్తరణలోను, వివిధ రకాలైన ప్రజలతో కూడుకొని అరబ్ లేదా ఇస్లాం సామ్రాజ్యం కూడా ప్రసిద్ధిగాంచింది. స్పెయిన్, ఉత్తర ఆఫ్రికా, మధ్యప్రాచ్యం, దక్షిణ ఆసియా ప్రాంతాలకు చెందిన ప్రజలు అరబ్ సామ్రాజ్యంలో అంతర్భాగం. ప్రాజ్ఞులైన ఎందరో ఈ రాజ్యాన్ని పాలించారు. వారిలో హరున్-అల్-రషీద్, ఆయన కుమారుడు మామున్లు మిక్కిలి ఖ్యాతి గాంచారు. హరున్-అల్-రషీద్ పాండిత్యం, కళలు, సాహిత్యం, విజ్ఞానం, వర్తక వ్యాపారులను ప్రోత్సహించాడు.

విద్య: అరబ్బుల ఇస్లాం సామ్రాజ్యంలో గర్వించదగిన బాగ్దాద్, కైరో, డమాస్కస్, కార్గోవా, సెవిలె, బార్సిలోనా వంటి చోట్ల గొప్ప విద్యాకేంద్రాలుండేవి. వీరు ప్రాచీన గ్రీకు మహాకావ్యాలు హైందవుల గణిత గ్రంథాలను తర్జుమా చేసారు. మహమ్మదీయులు ‘మదర్సాలు’ అనే విద్యాకేంద్రాలు స్థాపించారు. మదర్సాలు మసీదులకు అనుబంధ కేంద్రాలుగా అభివృద్ధి చెందాయి. భారతీయులు ఖగోళ, గణిత శాస్త్రాలలో చేసిన కృషి అరబ్బులనెంతో ఆకర్షించింది. అరబ్బుల ద్వారా ఈ జ్ఞానం యూరపు అందింది. డా. ఇబిన్సినా (980-1037) యొక్క వైద్యగ్రంథాలు అరబ్ దేశాలలో విస్తృతంగా అధ్యయనం చేయబడింది. అవిసెన్నా రచించిన “అలనూన్, ఫిల్ టిబ్” అనే వైద్య గ్రంథంలో 760 రకాల మందులు గురించి పేర్కొన్నారు. ఈ వైద్య గ్రంథం యూరప్లో పాఠ్యగ్రంథంగా చేయబడింది.

అరబ్బులు సంఖ్యామానాన్ని భారతీయుల వద్ద నేర్చుకున్నారు. వారి ద్వారా యూరప్ కు చేరింది. గణితశాస్త్రంలో అరబ్బులు మరిన్ని పరిశోధనలు చేసారు. కళ్ళ జబ్బులు, అంటురోగాల వ్యాప్తికి మందులు కనిపెట్టారు. బస్రాకు చెందిన ‘అల్హసన్’ అనే శాస్త్రజ్ఞుడు దృష్టికి సంబంధించిన మూలగ్రంథాన్ని రచించాడు. ఇది తదుపరి లాటిన్లోకి అనువదించబడి ‘ఆప్లికేథెసారస్’గా ప్రసిద్ధిచెందింది.

ఉత్పత్తులు: అరబ్బులు పేపర్ తయరీ, బ్లాక్ ముద్రణ విధానాలు చైనా వారి నుండి గ్రహించారు. వీరి ద్వారా ఐరోపా వారు గ్రహించారు. అనేక రసాయన సమ్మేళనాలను కనుగొన్నారు. నత్రికామ్లం, సల్ఫ్యూరిక్ఆమ్లం, సిల్వర్ నైట్రేట్ మొదలైన రసాయనాలు తయారుచేసారు. ‘మస్లిన్’ వస్త్రం తయారీ రంగంలో ప్రసిద్ధిగాంచారు. పారసీక తివాచీలు, చర్మకారుల తయారీలు జగత్ప్రసిద్ధి చెందాయి. ఆయుధాలను అందంగా తీర్చిదిద్దడంలో వీరిది అందెవేసిన చేయి. బాకులు, కటారులు మణిఖచితమైన అందాన్ని సంతరించుకున్నాయి.

ప్రయాణాలు, విదేశీ వ్యాపారం: అరబ్బులు అలవాటుపడిన బాటసారులుగా గుర్తింపు పొందారు. వారు వస్తు, విశేషాలతో చైనా, భారతదేశాలకు బిడారులుగా వెళ్ళేవారు. భూ, సముద్ర మార్గాల ద్వారా సుదూర ప్రాంతాలకు దీర్ఘప్రయాణాలు చేసేవారు. అల్బేరూని, ఐఇబన్ బతూత, అల్ ఇద్రిసి వంటి ప్రయాణీకులు ఇట్టివారే. నావికాబలంలోను, సముద్రయానంలోను, నూతన ప్రదేశాల అన్వేషణలో అరబ్బులు అగ్రగణ్యులు. ఈ సముద్రప్రయాణాలు వర్తక, వ్యాపారాలకు ప్రోత్సాహాన్నిచ్చాయి. ఇండియా, చైనా, తీర ఆఫ్రికాతో విస్తృత వాణిజ్య సంబంధాలు పెరిగాయి. అరబ్బులు తమ ప్రత్యేక ఉత్పత్తులను విదేశీ విపణులలో అమ్మేవారు. రగ్గులు, తివాచీలు, పరిమళ వస్తువులు, మల్లుసెల్లాలు, గాజుగుడ్డలు, పండ్ల పానీయాలు మొదలైన వాటికి గిరాకీ. బాగ్దాద్ సిరిసంపదలతో తులతూగుతూ గొప్ప ఖ్యాతినార్జించింది.

కళలు, వాస్తు నిర్మాణాలు: అరబ్బులు గొప్ప భవన నిర్మాతలు. అరబ్బుల కళలు ఇరాన్, బైజాంటిన్ సామ్రాజ్యాలచే ప్రభావితం చెందాయి. నిర్మాణంలో వీరిది ప్రత్యేకశైలి. వీరి వాస్తుశిల్పికళా ప్రక్రియలు మసీదులలోనే కాక పుస్తక భాండాగారాలలో, వైద్యశాలల్లో ప్రస్ఫుటంగా కనిపిస్తాయి. నాటి ప్రసిద్ధిగాంచిన నిర్మాణాలలో అల్ హమ్ర్బా (స్పెయిన్లోని గ్రనడా వద్ద), అల్కాజర్ (సెవిల్ వద్ద), గొప్పమసీదు (బాగ్దాద్)లో కలవు. డోమ్, ఆర్చి, మినారట్ల నిర్మాణ ప్రక్రియ వారి వాస్తు శైలికి నిదర్శనం. ఖురాన్ మానవులను, జంతువులను సూచించే బొమ్మలను నిషేధించినందున మహమ్మదీయ కళాకారులు రాజభవనాలు, మసీదు లోపల, వెలుపల గోడలపై చెక్కుడు పనితనాన్ని చూపారు. రాజభవనాల చుట్టూ అందమైన తోటలు, ఎగజిమ్మే నీటి ఊటలు నిర్మించుకున్నారు. సుందరంగా తీర్చిదిద్దినట్లుగా రాయడాన్ని వారు ఒక కళగా అభ్యసించారు. దీనిని కాలిగ్రఫి అన్నారు.

సాహిత్యం, చరిత్ర: అరబ్బుల సాహితీ సేవ వర్ణనాతీతం. అలబారి ‘అన్నాల్స్ ఆఫ్ ది అపోస్టల్స్ మరియు రాజులు’ అనే గ్రంథాన్ని రచించాడు. ఉమర్ ఖయ్యమ్ రాసిన రుబాయత్, ఫిరదౌసీ – షానామా, అరేబియన్ రాత్రులు అనే వేయిన్కొక్క కథలు నాటి సాహితీసంస్కృతికి అద్దం పడతాయి. అరేబియన్ రాత్రులు ప్రపంచంలోని అనేక భాషలలోకి అనువాదమైంది. ఇంకా లుల్డూరీ రచించిన అన్సాబ్ అల్ అష్రఫ్, తబారీ రచించిన తారిఖ్-అల్-రసూల్, వాల్ ములుక్ గొప్ప గ్రంథాలుగా ఖ్యాతిగాంచాయి. అల్బెరూనీ రచన ‘తహకీక్ మలీల్ – హింద్’ లో ఇస్లాంకు అతీతంగా ఇతర సంస్కృతి యొక్క విలువను ప్రస్తుతించే ప్రయత్నం చేయబడింది.

ఆర్థిక రీతి: వ్యవసాయ భూములు రాజ్యాధీనం. భూమి శిస్తు రాజ్యాదాయంలో అధిక భాగం. భూమిశిస్తు (ఖరజ్) పంటలో 1/2 నుండి 1/5 వరకు ఉండేది. మహమ్మదీయ రైతులు ఆధీనంలో గల భూమిపై 1/10వ వంతు పన్ను వసూలు చేసారు. అన్యమతస్థులపై పన్నుల భారం విపరీతంగా ఉండేవి. రకరకాల పంటలు పండించేవారు. యూరపు వాటి ఎగుమతులు కూడా జరిగేవి. మధ్యధరా, హిందూ మహాసముద్రాల మధ్య ఎన్నో వ్యాపార కేంద్రాలు అభివృద్ధి చెందాయి. చైనా, ఇండియా, యూరప్ల మధ్య జరిగే నౌకా మార్గ వ్యాపారం అరబ్బు, ఇరానియన్ వర్తకుల హస్తగతమై ఉండేది. ఆనాటి వాణిజ్యం ప్రధానంగా రెండు మార్గాల గుండా సాగేది.

1) ఎర్ర సముద్రం, పర్షియన్ అఖాతం మీదుగా, 2) ఇరానియన్ వర్తకుల ఆధ్వర్యంలో సిల్క్ రూట్ గుండా చైనాకు ప్రయాణం చేసేవారు. ఈ వ్యాపారంలో బంగారు, వెండి నాణేలు చలామణీలో కొనసాగాయి. సుడాన్ నుండి బంగారం, మధ్య ఆసియా నుండి వెండి లభించేవి. అరువు పత్రాలు సక్ (ఆధునిక కాలపు చెక్కు) వంటివి వర్తకులు, బ్యాంకర్లు ద్రవ్య మార్పిడికి వాడేవారు.

ఈ విధంగా మధ్యయుగ చరిత్రలో అరబ్బులు ప్రముఖ స్థానాన్ని ఆక్రమించారు. వీరి ద్వారా ఐరోపా వారు భారతీయుల పరిజ్ఞానాన్ని, గ్రీసువారి మహాకావ్యాలను గురించి తెలుసుకున్నారు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఖలీఫా
జవాబు:
క్రీ.శ 632లో మహమ్మద్ మరణాంతరం అరేబియాలోని ప్రముఖులు అబూబాకర్ అనే మహమ్మద్ ప్రవక్త స్నేహితుడిని అతని వారసునిగా గుర్తించారు. అతన్ని ఖలీఫా లేదా కాలిఫ్ అని పిలిచేవారు. ఖలీఫా అనే అరబిక్ పదానికి వారసుడు అనే అర్థం ఉంది. అబూబాకర్ తర్వాత ‘ఉమర్’ ఖలీఫా అయ్యాడు. ఖలీఫా అంటే యావత్ ముస్లిం ప్రపంచానికి రాజకీయ, మతపరంగా మహ్మద్ ప్రవక్తకు వారసుడుగా గుర్తింపబడిన వ్యక్తి. అతనికి మత, రాజకీయ అధికారాలు ఉండేవి. మొదటి నలుగురు ఖలీఫాల తర్వాత ఖలీఫా పదవి వంశపారంపర్యమైంది. ‘ఉమయ్యద్లు, ”అబ్బాసిడ్లు,’ ‘ఆట్టోమన్లు’ సుదీర్ఘకాలం ఖలీఫాలుగా ఉన్నారు. ఒక శతాబ్దకాలంలో ఖలీఫాలు ఇరాన్, సిరియా, ఈజిప్ట్, మధ్య ఆసియా, ఉత్తర ఆఫ్రికా, స్పెయిన్ ప్రాంతాలలో అతి విశాలమైన సామ్రాజ్యాన్ని స్థాపించారు. మతప్రచారం పట్ల వారికున్న ఉత్సాహం, భాగ్యవంతమైన ప్రదేశాలనాక్రమించుకోవాలనే కోరిక వారి అద్భుత విజయాలకు కారణమయింది. సుదీర్ఘకాలం కొనసాగిన ఖలీఫా వ్యవస్థను మొదట ప్రపంచ యుద్ధం తర్వాత ఆధునిక టర్కీ జాతిపిత అయిన ముస్తాఫా కమాల్పాషా 1923లో రద్దు చేసాడు.

ప్రశ్న 2.
క్రూసేడులు.
జవాబు:
క్రీ.శ. 638లో జెరూసలేంను అరబ్బులు ఆక్రమించారు. అయినప్పటకీ క్రైస్తవ యాత్రికులు ఏసుక్రీస్తు జీవితానికి సంబంధించిన పవిత్ర స్థలాలు చూడటానికి అనుమతించబడ్డారు. క్రీ.శ.11వ శతాబ్ది మధ్యకాలానికి పరిస్థితులు మారిపోయాయి. ఐరోపా క్రైస్తవులు, అరబ్బులు మధ్య పరంపరాగత ఘర్షణలు తలెత్తాయి.

సెలుక్ తురుష్కులు మధ్య ప్రాచ్యంలో మత దురహంకారంతో క్రైస్తవ యాత్రికులను బాదించసాగారు. వీరి దుర్మార్గాలను విని చలించిపోయిన ‘పోప్ రెండవ అర్బన్’ క్రైస్తవ రాజ్యాలన్నీ కలిసి తురుష్కులను ఎదుర్కోవాలని ప్రబోధించాడు. పవిత్రభూమిని (పాలస్తీనా) విముక్తి చేయాలని ఆదేశించాడు. ఇది కాస్తా రెండు శతాబ్దాల పాటు రెండు ఏకేశ్వరోపాసన మతాల మధ్య భీకర యుద్ధాలకు, ఎంతో రక్తపాతానికి దారి తీసింది.

విశేష క్రైస్తవ ప్రజానీకం పవిత్రయుద్ధానికి సిద్ధమయ్యారు. కులీనులు, వర్తకులు, సైన్యాధికారులు, నేరస్థులు, భూస్వాములు, జులాయిలు, సాహసికులు ఇలా ఎందరో యుద్ధంలో చేశారు. ఫ్రాన్స్, ఇటలీ సైన్యాలు 1099 నాటికి జెరూసలేంను ఆక్రమించుకోవడం జరిగింది. క్రీ.శ 1187 నాటికి సలాదిన్ చక్రవర్తి తిరిగి జెరూసలేంను ఆక్రమించుకున్నాడు. క్రైస్తవ, మహమ్మదీయుల మధ్య నాలుగు ప్రధాన యుద్ధాలు జరిగాయి. కానీ రెండు శతాబ్దాల పోరాటం తరువాత కూడా జెరూసలేం తురుష్కుల చేతిలో ఉండిపోయింది. అంతటా ఇస్లాం వ్యాపించింది. క్రైస్తవుల సంస్కృతి, యుద్ధ పద్ధతులకన్నా ముస్లింల నాగరికత బలమైనదని నిరూపితమయింది. క్రూసేడులలో పాల్గొనుట వలన ప్రభువులు, భూస్వాములు మరణించడంకాని, దరిద్రులవడం కాని జరిగి భూస్వామ్య వ్యవస్థ క్షీణించింది. ఐరోపాలో పోప్ ఆధిక్యత తగ్గింది. క్రూసేడులు మతం వల్ల ఉత్తేజితమై, వర్తక వ్యాపార అభివృద్ధితో పారిశ్రామిక ప్రగతితో, సాంస్కృతిక పునరుజ్జీవనంతో ముగిసాయి.

ప్రశ్న 3.
మధ్య ఇస్లాం ప్రాంతాలు ఆర్థిక రీతి.
జవాబు:
వ్యవసాయ భూములు రాజ్యాధీనం. భూమిశిస్తు రాజ్యాదాయంలో అధికభాగం. భూమిశిస్తు(ఖరజ్) పంటలో 1/2 నుండి 1/5 వరకు ఉండేది. మహమ్మదీయ రైతు ఆధీనంలో గల భూమిపై ఆదాయంలో 1/10వ వంతు వసూలు చేస్తే అన్యమతస్థులపై పన్నుభారం విపరీతంగా ఉండేది. పాలకులు కేటాయించిన భూములను ‘ఇక్తా’లు అనేవారు.
నైలునది లోయలో రాజ్యం ఆధీనంలో గల సాగునీటి వనరులు ఉండేవి. ప్రత్తి, నారింజ, అరటి వంటి అనేక రకాలు పండించబడేవి. యూరప్కు ఎగుమతులు కూడా జరిగేవి. నాడు కూఫా, బస్రా, కైరో, బాగ్దాద్, డమాస్కస్లు ప్రసిద్ధి చెందిన నగరాలు.

మధ్యదరా, హిందూ మహా సముద్రాల మద్య ఎన్నో వ్యాపార కేంద్రాలు అభివృద్ధి చెందాయి. చైనా, ఇండియా, యూరప్ మధ్య జరిగే నౌకా వ్యాపారం అరబ్బు, ఇరానియన్ వర్తకుల హస్తగతమై ఉండేది. ఆనాటి వాణిజ్యం రెండు ప్రధాన మార్గాల గుండా జరిగేది. 1) ఎర్ర సముద్రం పర్షియన్ అఖాతం మీదుగా 2) ఇరానియన్ వర్తకుల ఆధిపత్యంలోని సిల్క్ రూట్ గుండా సమర్ఖండ్ల మీదుగా చైనాకు ప్రయాణం చేసేవారు. ఈ వ్యాపార అల్లిక మార్గంలో ట్రాన్స్ ఆక్సియానా ఒక ప్రముఖ గొలుసు లేదా వలయం. నాటి వ్యాపారంలో బంగారు, వెండి నాణేలు చలామణిలో కొనసాగాయి. సుడాన్ నుండి బంగారం, మధ్య ఆసియాలోని జరఫన్య నుండి వెండి లభించేది. అరువు పత్రాలు, చెట్లు వాటి వర్తకులు, బ్యాంకర్లు ద్రవ్యమార్పిడికి ఉపయోగించారు.

ప్రశ్న 4.
ఇస్లాం మత కట్టడాలు.
జవాబు:
అరబ్బులు గొప్ప భవన నిర్మాతలు. అరబ్బుల కళలు ఇరాన్, బైజాంటియన్ సామ్రాజ్యాలచే ప్రభావితం చెందాయి. వారు ప్రత్యేకమైన నిర్మాణశైలి కలిగి ఉన్నారు. వారి వాస్తు శిల్పకళా ప్రక్రియలు మసీదులలోనే కాక పుస్తక భాండాగారాలలో, వైద్యశాలల్లో, విద్యాసంస్థలలో ప్రస్ఫుటంగా కనిపిస్తాయి. పరిపాలకుల ఆదరణలో ఎన్నో గొప్ప భవనాలు రూపు దిద్దుకున్నాయి. నాటి ప్రసిద్ధ కట్టడాలలో ‘అల్హమ్రా భవనం (స్పెయిన్లోని గ్రనడా వద్ద), అల్కాజర్ (సెవిలె వద్ద) గొప్పమసీదు (బాగ్దాద్) కలవు. డోమ్, ఆర్చి, మినారట్ల ప్రక్రియ వారి వాస్తుశైలికి నిదర్శనం.

ఖురాన్ మానవులను, జంతువులను సూచించే బొమ్మలను నిషేధించినందున మహమ్మదీయ కళాకారులు రాజభవనాల, మసీదుల లోపలి, బయటి గోడలపై చెక్కుడు పనితనాన్ని చూపారు. మసీదు, రాజభవనాల చుట్టూ అందమైన తోటలు, ఎగజిమ్మే నీటి ఊటలు నిర్మించారు. వారి రాజభవనాలలో రోమన్, ససానియన్ కళావిశేషాల్ని మేళవించారు. వాటిలో మితిమీరిన అలంకరణ కన్పిస్తుంది. అబ్బాసిడ్లు సమర్రాలో నిర్మించిన సామ్రాజ్య నగరం తోటలతో, ప్రవహించే నీటి ఊటలతో బహుసుందరంగా ఉండేది.

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఇస్లాం కాలెండర్.
జవాబు:
ఇస్లాం కాలెండరే హిజరీ కాలెండర్ అంటారు. క్రీ.శ. 622లో హిజరా యుగం ప్రారంభమయింది. ఈ యుగంలో AH (Anno Hegirae(లాటిన్) In the year of the Hijra)తో గుర్తించబడుతోంది. మహమ్మద్ క్రీ.శ. 622లో మక్కా నుండి మదీనాకు ప్రవాసం పోవడాన్ని ‘హిజరా’ గా గుర్తించారు. ఇస్లాం కాలెండర్, చాంద్రమానాన్ని అనుసరించి ఉంటుంది. 12 నెలలు 354 రోజులు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
ఫాతిమా.
జవాబు:
ఫాతిమా మహమ్మద్ ప్రవక్తకు, ఖదీజాకు జన్మించిన కుమార్తె. క్రీ.శ 604లో జన్మించింది. ఫాతిమాను ‘ఆలీ’ వివాహమాడాడు. మహ్మద్ ప్రవక్త (తండ్రి)తో ఎంతో సన్నిహితంగా ఉంటూ, తండ్రి కష్టకాలంలో తోడుగా ఉంది. భర్తను పిల్లలను ఎంతో ప్రేమగా చూసుకొనేది. మహ్మద్ ప్రవక్తకు వారసులు ఫాతిమా ద్వారానే వ్యాపించారు. ఈ విధంగా యావత్ ముస్లిం ప్రపంచంలో ‘ఫాతిమా’ ఒక ఆదర్శమహిళగా గుర్తింపు పొందింది.

ప్రశ్న 3.
ఖురాన్.
జవాబు:
మహ్మద్ ప్రవక్త స్థాపించిన నూతన మత సారాంశం ‘ఖురాన్’ అనే మత గ్రంథంలో కనుగొనవచ్చు. అరబిక్ భాషలో ఖురాన్ అనగా కంఠస్తం చేయడం. ఇస్లాం మత సిద్ధాంతాలకు మూలాధారం ఖురాన్.

అరబిక్ భాషలోని ఖురాన్ 114 అధ్యాయాలు (సురలు)గా విభజింపబడింది. అరబ్బు సంప్రదాయాన్ని బట్టి మహ్మద్ ప్రవక్తకు భగవంతుడు తెలియజేసిన సందేశాల సంపుటియే ఖురాన్. ప్రస్తుతం లభిస్తున్న ఖురాన్లలో అత్యంత ప్రాచీనమైనది. 9వ శతాబ్దానికి చెందినది. ప్రపంచంలోని మేటి గ్రంథాలలో ఒకటిగా ఖురాన్ గుర్తింపు పొందింది.

ప్రశ్న 4.
వైద్య సూత్రాలు.
జవాబు:
వైద్య శాస్త్రంలో అరబ్బుల ప్రగతి గణనీయమైనది. అవిసెన్నా రచించిన ‘అలనూన్ఫెల్ టిబ్’ అన వైద్యగ్రంథంలో 760 రకాల మందుల గురించి పేర్కొన్నారు. లంకణం పరమౌషధమని, కొన్ని వ్యాధులు ఉపవాసం చేయుట ద్వారా తగ్గిపోతాయని ఈ గ్రంథం పేర్కొంది.

ప్రశ్న 5.
షహనామ.
జవాబు:
షానామ అనే దీర్ఘ చారిత్రక కావ్యాన్ని గొప్ప పారశీక కవి ఫిరదౌసి రచించాడు. దాదాపు 60,000 పద్యాలతో ఉన్న ఈ కావ్యంలో ప్రాచీన పర్షియాను పాలించిన రాజుల యొక్క చరిత్ర వివరించబడింది. క్రీ.శ. 977లో ప్రారంభించిన ఈ కావ్యం క్రీ.శ. 1010 సంవత్సరంలో పూర్తయింది. సాహిత్య చరిత్రలోని అత్యుత్తమ కావ్యాలలో ఒకటిగా ఫిరదౌసి
నిలిచింది.

ప్రశ్న 6.
మదర్సాలు.
జవాబు:
మదర్సా అనే అరబిక్ పదానికి విద్యాసంస్థ అని అర్థం. మహమ్మదీయులు మదర్సాలు అనే విద్యా కేంద్రాలుగా స్థాపించారు. మదర్సాలు మసీదులకు అనుబంధ కేంద్రాలుగా వృద్ధి పొందాయి. బాగ్దాద్ లో గల ‘ముస్తాన్ సిరియా’ మదర్సా 1233లో నెలకొల్పబడింది. అలెగ్జాండ్రియా, సిరియా, మెసపిటోమియాలోని మదర్సాలలో గ్రీకుతత్త్వ శాస్త్రం, గణితం, వైద్యశాస్త్రం బోధింపబడేది. అనువాదం అనేది మదర్సాలలోని ముఖ్య ప్రక్రియలు ఒకటి. అనేక భారతీయ ఖగోళ, గణిత, వైద్య గ్రంథాలు ఇలా అనువాదం చేయబడ్డాయి.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year History Study Material 3rd Lesson ఖండాతర ఖ్యాతినార్జించిన రోమను సామ్రాజ్యం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year History Study Material 3rd Lesson ఖండాతర ఖ్యాతినార్జించిన రోమను సామ్రాజ్యం

వ్యాసరూప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
మానవాళికి రోమనులు అందజేసిన వారసత్వం గూర్చి చర్చింపుము.
జవాబు:
రోమ్ సామ్రాజ్య వైభవ కాలంలో వారు ఈజిప్ట్, బాబిలోనియా, గ్రీస్, పశ్చిమ ఐరోపా, ఉత్తర ఆఫ్రికా భూభాగాలను పరిపాలించారు. ప్రాక్ దేశాల నాగరికత, సంస్కృతులకు రోమనులు వారసులయ్యారు. ఆ నాగరికతలను అనుసరించడమే కాక రోమన్లు కూడా ఎన్నో నూతన విషయాలను, భావాలను కల్పనలను ప్రపంచ సంస్కృతికి ప్రసాదించారు.
రోమన్లు మతము, తత్వశాస్త్రము, కళలు, భవననిర్మాణం, విజ్ఞానం, పాండిత్యం వంటి అనేక భావాలను గ్రీకుల నుండి గ్రహించారు. కేంద్ర, ప్రాదేశిక ప్రభుత్వపాలన, న్యాయసూత్రాలు, పన్నుల విధింపు సూత్రాలు, పౌరహక్కులు, వైద్య, ఆరోగ్య, మురుగు పారుదల విధానాలు, ప్రజోపయోగ పనులు, రహదారులు, నీటి ఊటలు, రంగస్థల వేదికలు, స్నానవాటికలు, వంతెనలు వంటి అనేక పనులు చేపట్టారు. రోమన్ ఇంజనీరింగ్ పరిజ్ఞానానికి వారి రహదారులు, నీటి సరఫరా పద్ధతులు నిదర్శనాలు.

న్యాయ సూత్రాలు : రోమన్ న్యాయశాసనాలు, పాలనా సిద్ధాంతాలు వారు ప్రపంచ నాగరికతకు చేసిన సేవలలో అత్యంత ప్రముఖమైనవి, శ్లాఘనీయమైనవి. వారి న్యాయశాసనాలు నేటి ప్రపంచంలోని దాదాపు అన్ని నాగరిక రాజ్యాలపై సంపూర్ణ ప్రభావాన్ని చూపాయి. 12 ఫలకాలపై రాసిన న్యాయసూత్రాలతో రోమన్ న్యాయశాస్త్రం ఆరంభమైనదని చెప్పవచ్చు. క్రీ.పూ. 150 నాటి ఈ 12 ఫలకాలు కంచుతో చేయబడి వ్యాపారకూడలి ప్రాంతాలలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.

న్యాయాధీశులు ఇచ్చిన తీర్పులు రాయబడని చట్టాలై చిరస్థాయిని పొందాయి. ఘనమైన జస్టీనియన్ చక్రవర్తి ఈ న్యాయసూత్రాలను క్రోడీకరించుటతో వీటిని జస్టీనియన్ కోడ్ అన్నారు. రోమన్ న్యాయశాసనాలు సహజమైనవి. దయాగుణం కలవి. ప్రపంచంలోని అనేక రాజ్యాలు రోమన్ న్యాయసూత్రాలను ఆధారం చేసుకుని కొన్ని మార్పులతో, చేర్పులతో తమ న్యాయ సిద్ధాంతాలను రూపొందించుకున్నాయి. రోమన్ న్యాయశాసనం నిందితునికి తన వ్యాజ్యాన్ని నిరూపించుకునే అవకాశం ఇస్తుంది. నేరనిరూపణ జరిగే వరకు నిందితుడిని శిక్షించకూడదు. మరొక గొప్ప అంశమేమిటంటే పౌరులు ఎంత గొప్పవారైనా, బీదవారైనా చట్టం ముందు అందరూ సమానులే.

మతం : ప్రాచీన రోమనులు దేవతలను, ఆత్మలను ఆరాధించారు. జూపిటర్, జునో, మార్స్, నెప్ట్యూన్, వీనస్లు వీరి దైవాలు. రోమన్లు అతీత శక్తులను విశ్వసించారు. దేవతలనారాధించడం వ్యక్తిగత విషయంగా కాక సామూహిక విధిగా రోమనులు భావించారు. జూదాతత్వం, క్రైస్తవమత బోధనలు నాడు ప్రచారంలో ఉన్నాయి.

తత్వశాస్త్రం : గ్రీకు తత్వశాస్త్రంలోగల స్థాయిసిజమ్, ఎకి క్యూరియానిజమ్ రెండూ రోమన్లను ప్రభావితపరచాయి. రోమన్ చింతనాపరులు స్థాయిక్ తత్వాన్ని ప్రచారం చేసారు. స్థాయిన్ తత్వవేత్తలలో ‘పనేషియస్’, ‘సేనేకా’ మరియు చక్రవర్తి ‘మార్కస్ అరీలియస్’ ప్రముఖులు. మార్కస్ అరీలియస్ తన భావాలను ‘మెడిటేషన్స్’ అనే గ్రంథంలో తన భావాలను వ్యక్తం చేసాడు. తాను చక్రవర్తి అయి ఉండి కూడా భోగభాగ్యాలకు దూరంగా నిరాడంబరంగా బ్రతికాడు.

సాహిత్యం : రోమన్ లు జిజ్ఞాసాపరులు. అలంకార, వ్యాకరణ, తర్క, ఖగోళ, గణిత, వైద్యశాస్త్రాలలో అధ్యయనం జరిగేది. అగస్టస్ కాలంలో లాటిన్ సాహిత్యం మహోన్నత శిఖరాలనందుకుంది. ఈ లాటిన్ యూరప్లోని అనేక | భాషలకు మూలధారంగా నిలచింది.

శాస్త్రవిజ్ఞానం : వైద్య విషయాలను గూర్చి ‘గాలన్’ కొన్ని పరిశోధనలు చేయడమే కాక, ‘వైద్య విజ్ఞాన సర్వస్వాన్ని’ రచించాడు. రోమన్ సామ్రాజ్యంలో ‘గాలన్’ గొప్ప వైద్యుడు. మానవ శరీర అవయవాలు, రక్తప్రసరణపై 500 పైగా గ్రంథాలు రచించాడు. ప్లిని ‘నేచురల్ హిస్టరీ’ రచించాడు. ఇది ఒక శాస్త్ర విజ్ఞానాల సర్వస్వం. రోమన్లు కాలెండర్ను అభివృద్ధి చేసారు. ఎన్నో నెలల పేర్లు రోమన్ చక్రవర్తులవే. జూలియస్ సీజర్ పేరున జూలై, ఆగస్టస్ పేరున ఆగస్ట్ నెలలు పిలువబడ్డాయి. సెప్టెంబర్, అక్టోబర్ లు లాటిన్ భాషలో తొమ్మిది, పది అని అర్థం. జాలియస్ కేలండర్ను సొసిజెనెస్ అనే అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు తయారు చేసాడు.

ఈ విధంగా రోమన్ వాఙ్మయం, న్యాయశాస్త్రం, పాలనావిధానం, కళలు కూడా వారి మేథాశక్తికి, సంస్కృతికి చిహ్నాలుగా మిగిలిపోయాయి. రోమన్ న్యాయశాస్త్రం అనేక నాగరిక దేశాలకు ఒక నమూనాగా నిలిచిపోయింది. విశాల సామ్రాజ్య నిర్మాణంలో, అసంఖ్యాక జన సమూహాల్ని ఒక బలీయమైన జాతిగా తీర్చిదిద్దడంలో రోమన్లు గొప్ప పాత్రను పోషించారు.

ప్రశ్న 2.
రోమన్ సాంఘిక, ఆర్థిక వ్యవస్థల ప్రాథమిక లక్షణాలు పేర్కొనుము.
జవాబు:
సాంఘిక వ్యవస్థ : రోమ్ సాంఘిక వ్యవస్థలో ప్రముఖ వర్గాలున్నాయి. వారిని పేట్రిసియన్స్, ప్లీబియన్స్ అని పిలిచేవారు. పేట్రిసియన్స్ రాజకీయ, సాంఘిక, ఆర్థిక హక్కులను కలిగి ఉండేవారు. రోమన్ రాజ్యవ్యవస్థలో సెనేట్ ముఖ్యమైన సభ. సెనేట్ అధికారాలన్నీ భూస్వాములు, ఐశ్వర్యవంతులైన పేట్రీసియన్లు చలాయించగా, ప్లీబియన్స్ పిలవబడే పనివాళ్ళు, చిన్నరైతులు, వృత్తికళాకారులు, చిన్న చిన్న వరక్తకులు, సైనికులు మొదలైన వారికి హక్కులు తక్కువ. కానీ వారు చెల్లించవలసిన పన్నులు ఎక్కువగా ఉండేవి. కాగా రోమన్ న్యాయశాసనాలు ప్లేబియన్లు, పేట్రిసియన్లకు సమానంగా వర్తింపజేయబడ్డాయి.

రోమన్ సాంఘిక జీవనంలో ఉమ్మడి కుటుంబాలకు బదులు ఏకీకృత చిన్న కుటుంబాల సంఖ్య గణనీయంగా పెరిగింది. పెండ్లి అయిన అమ్మాయికి తను పుట్టి పెరిగిన కుటుంబంలో ఆస్తిహక్కు కలదు. వివాహిత స్త్రీకి చట్టబద్ధమైన స్వేచ్ఛ ఉంది. విడాకులు పొందడం అంత కష్టమేమీ కాదు. పెద్దలు కుదిర్చిన వివాహాలు కూడా జరిగేవి. భార్యను హింసించడం సామాన్య విషయంగా మారింది. సమాజంలో బిషప్పులు మతగురువులు. మతగురువులు సమాజంలో చాలా శక్తివంతమైన వారుగా ఉండేవారు. పిల్లలపై తల్లిదండ్రులకు చట్టబద్ధ అధికారాలుండేవి.

రోమన్ సమాజంలో బానిసత్వం ఒక పాతుకుపోయిన సాంఘిక దురాచారం. పై తరగతికి చెందిన రోమన్లు బానిసలను పైశాచికంగా చూసేవారు. వారి సాంఘిక వ్యవస్థలో మూడు వర్గాలు కలవు. సెనేటర్లు, మధ్య తరగతి మరియు దిగువ తరగతి గ్రామీణ శ్రామిక శక్తి దిగువ తరగతిగా ఏర్పడింది. నైట్స్ లేదా అశ్వదళాధిపతులు సాంప్రదాయకంగా శక్తిమంతులు. ధనిక వర్గానికి చెందినవారు. వారిలో చాలా మంది భూస్వాములు కలరు. సైనికులు, సైన్యాధికారులు, భూయజమానులలో చాలా మంది అక్షరాస్యులు. నాటి సమాజంలో సాంస్కృతిక వైవిధ్యం కన్పిస్తుంది. భిన్న మతాచారాలు, విభిన్న భాషలు, వివిధ రకాల వేషధారణ, అనేకరకాల ఆహారపుటలవాట్లు ఆ ప్రజలలో ఉండేవి. అరమిక్, కాప్టిక్, సెల్టిక్, లాటిన్ వంటి వివిధ భాషలు మాట్లాడేవారు. ప్రజలలో అధికులు లాటిన్ భాష మాట్లాడేవారు.

ఆర్థిక వ్యవస్థ : రోమన్ సామ్రాజ్యంలో ఆర్థికంగా మౌలికరంగానికి చెందిన హార్బర్లు, లోహఖనిజాలు, క్వారీలు, ఇటుకల, పరిశ్రమ, నూనె పరిశ్రమలు గణనీయమైనవి. గోధుమ, ద్రాక్ష సారాయి, ఆలివ్ననెల వ్యాపారం ముమ్మరంగా జరిగేది. ద్రవ పదార్థాలు ‘ఆప్ఫోరె’ అనే కంటైనర్లలో రవాణా చేయబడినవి. ఆసియా మైనర్ (టర్కీ), సిరియా, పాలస్తీనా వంటి ప్రదేశాల నుండి ద్రాక్షసారాయి, ఆలివ్ నూనెలు ఎగుమతి అయ్యేవి. కంపానియా నుండి ఉత్తమశ్రేణి సారాయి లభించేది. సిసిరీ, బైజాసియాని ప్రాంతాల నుండి గోధుమలు రోమ్ నగరానికి ఎగుమతి చేయబడేవి.

రోమన్ సామ్రాజ్యంలో విశిష్టమైన సారవంతమైన ప్రాంతాలు ఎన్నో కలవు. ‘గలీలీ’ సాంద్ర వ్యవసాయానికి పేరుగాంచింది. అత్యాధునిక హైడ్రాలిక్ గని త్రవ్వకాల సాంకేతికతను చేపట్టి స్పానిష్ బంగారు, వెండి గనులు ప్రఖ్యాతి చెందాయి. రోమన్లు వాణిజ్య బ్యాంకింగ్ రంగంలో గణనీయమైన విజయాలు సాధించారు. వీరు విస్తృతంగా ద్రవ్య వినియోగం చేసేవారు. నాటి గ్రామీణ ఋణ గ్రస్తత కూడా విస్తృతమైనది. సామ్రాజ్యంలోని పెద్ద భూస్వాములు మార్కెట్లపై అదుపు సాధించడానికి పోటీపడేవారు. ‘డెమేరియస్’ అనే వెండి నాణెంను 41/2 గ్రాముల శుద్ధమైన వెండితో తయారు చేసారు. రోమన్లు బ్రహ్మాండమైన నిర్మాణాలు చేసారు. ఆనాటి ఇంజనీర్లు నిర్మించిన పెద్ద అక్విడెట్లు మూడు ఖండాలలో నీటి పారుదలను మెరుగుపరచాయి.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1. 12 ఫలకాలపై రాసిన న్యాయసూత్రాలు.
జవాబు:
రోమన్ న్యాయశాసనాలు, పాలనా సిద్ధాంతాలు వారు ప్రపంచ నాగరికతకు చేసిన సేవలలో అత్యంత ప్రముఖమైనవి. శ్లాఘనీయమైనవి, వారి న్యాయశాసనాలు నేటి ప్రపంచంలోని దాదాపు అన్ని నాగరిక రాజ్యాలపై సంపూర్ణ ప్రభావాన్ని చూపాయి. 12 ఫలకాలపై వ్రాసిన న్యాయసూత్రాలతో రోమను న్యాయశాస్త్రం ఆరంభమైనదని చెప్పవచ్చు. క్రీ.పూ. 150 నాటి ఈ 12 ఫలకాలు కంచుతో చేయబడి వ్యాపారకూడలి ప్రాంతాలలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.

ప్రశ్న 2.
రోమన్ సామ్రాజ్య చరిత్రకు లభించు చారిత్రక ఆధారాలు.
జవాబు:
ఖండాంతరాలలో ఖ్యాతినార్జించిన ప్రాచీన రోమన్ సామ్రాజ్య చరిత్రకు విస్తారంగా ఆధారాలు లభించాయి. లిఖిత ఆధారాలు : లివీ రచించిన ‘అన్నాల్స్’ (రోమ్ చరిత్ర); వర్జిల్ రచించిన ఏనియడ్; లుక్రేషియస్ ప్రకృతి రహస్యం; ఓవిడ్ హెరాస్, ప్లిని – నేచురల్ హిస్టరీ; టాసిటస్ – ఏనల్స్ + హిస్టరీ; చక్రవర్తి మార్కస్ అరలియస్ – మెడిటేషన్స్; జస్టీనియన్ చక్రవర్తి సంకలనం చేసిన న్యాయస్మృతి జస్టీనియన్ కోడ్, ఇవన్నీ ఆనాటి సాంఘిక, ఆర్థిక, రాజకీయ, న్యాయ, తాత్త్విక పరిస్థితులను మనకు తెలియజేస్తున్నాయి.

కట్టడాలు: రోమన్ ఇంజనీరింగ్ వైభవానికి చిహ్నాలుగా అనేక కట్టడాలు రోమ్, కార్తేజ్ ఆంటియోస్ అలెగ్జాండ్రియా, కాన్స్టాంట్్నపుల్ ఇంకా అనేక చోట్ల లభించాయి. ఎత్తైన స్తంభాలు, ఆర్చ్ లు గుమ్మటాలు, అక్విడక్ట్లు, కలోసియాలు, ప్రజాస్నాన వాటికలు ఎన్నో నాటి సాంకేతిక వైభవాన్ని చాటుతున్నాయి.

త్రవ్యకాలు: వెసూవియస్ అగ్నిపరత్వం దగ్గరలో ఉన్న పాంపేయీ నగరాన్ని క్రీ. శ. మొదటి శతాబ్దిలో హఠాత్తుగా బద్దలయిన పర్వతం లావా క్రింద నగరం పూడిపోయింది. దాదాపు 10 మీటర్లు మందం లావా క్రింద పూడుకపోయిన నగరాన్ని త్రవ్వకాలలో వెలికితీసారు. ఈ త్రవ్వకాలలో వీధులు, నివాసగృహాలు, ఫోరమ్, ఆంఫిధియేటర్, స్నానాగారాలు, దేవాలయాలు బయటపడ్డాయి.

శాసనాలు, నాణేలు : ఆగస్టస్ చక్రవర్తి వేయించిన శాసనం, ‘డెమిరియస్’ అనే 41/2 గ్రా వెండి నాణెం నాటి పరిస్థితులను తెలుపుతున్నాయి. ఇంకా అసంఖ్యాకంగా విగ్రహాలు, వర్గచిత్రాలు నాటి వైభవాన్ని చాటి చెబుతున్నాయి.

ప్రశ్న 3.
జూలియస్ సీజర్.
జవాబు:
విశ్వవిఖ్యాత విజేత జూలియస్ సీజర్. ఒక సంపన్న కుటుంబంలో క్రీ.పూ. 102 సంవత్సరంలో రోమ్లో జన్మించాడు. ఆంటోనియస్ వద్ద విద్యనభ్యసించాడు. అసాధారణ శౌర్యపరాక్రమాలు, విజ్ఞత ప్రదర్శించాడు. ఒక న్యాయాధికారిగా, మత పెద్దగా, స్పెయిన్కు గవర్నర్ గా బహుముఖ కార్యాలను నిర్వహించాడు. త్రిమూర్తులుగా పేరు గాంచిన సాంపే, సీజర్, కానన్లలో సీజర్ అగ్రగణ్యుడు. వాస్తవానికి సీజర్ ఒక నియంతగా పిలవబడినా గణతంత్ర సాంప్రదాయాలకు విలువనిచ్చాడు. ఈజిప్టు రాణి క్లియోపాత్రా అందానికి బానిసై ఆమె ద్వారా ఒక కుమానికి తండ్రి అయ్యాడు. క్రీ.పూ. 46లో రోమ్ నగరానికి తిరిగి వచ్చి నియంతగా ప్రకటించుకున్నాడు. ఈజిప్ట్ రోమన్ సామ్రాజ్యానికి మిత్రరాజ్యమయింది.

స్పెయిన్, ఈజిప్టులలో చెలరేగిన తిరుగుబాట్లను, అణచివేసిన తర్వాత రోమన్ సామ్రాజ్యంలో అనేక సంస్కరణలను ఆవిష్కరించాడు. వ్యవసాయాభివృద్ధి పన్నుల తగ్గింపు, అవినీతిమయమైన నిరంకుశ అధికారుల తొలగింపు, గాల్, సిసిలీ, ప్రజలకు పౌరహక్కులు ప్రసాదించుట, ప్రభుత్వ భూముల పంపిణీ, ప్రజా పనుల కొనసాగింపు, నాణేల వ్యవస్థను మెరుగుపరచుట, జూలియన్ కేలండర్ను పరిచయం చేయడం వంటి అనేక పనులు చేపట్టాడు. న్యాయస్మృతులు పరిచయం, గ్రంథాలయ నిర్మాణం వంటి పెక్కు పనులు ప్రారంభించాడు. కానీ పూర్తి చేయలేకపోయాడు. ‘బ్రూటస్’ వంటి శత్రువులు ఏకమై సీజర్ను క్రీ.పూ.44లో హత్య చేసారు.

ప్రశ్న 4.
రోమన్ ల పట్టణీకరణ.
జవాబు:
రోమన్ సామ్రాజ్యంలోని పరిస్థితులు పట్టణీకరణను ప్రోత్సహించాయి. చక్రవర్తులు కూడా అనేక ప్రజోపయోగ పనులను చేపట్టి పేదవారికి ఉపాధి కల్పించారు. ఈ కాలంలో అనేక రహదారులు, భవనాలు, వంతెనలు, ప్రదర్శనశాలలు, నీటి ఊటలు నిర్మించబడ్డాయి. వీటి నిర్మాణం కోసం ఎంతోమంది శ్రామికులు అవసరమయ్యేవారు. అలా శ్రామికులుగా, బానిసలుగా వచ్చిన వారితో నగర విస్తీర్ణం పెరుగుతూపోయాయి.

కార్తేజ్, అలెగ్జాండ్రియా, ఆంటియోక్ వంటి ప్రసిద్ధ నగరాలు మధ్యథరా తీరప్రాంతంలో చూడగలం. రోమన్ సామ్రాజ్య సిరిసంపదలు ఇలా అనేక నగరాలలో చూడవచ్చు. విన్టోనిస్సా ప్రజాస్నాననాటిక నిర్మాణం రోమన్ నాగరికత ప్రత్యేక లక్షణం. పట్టణ ప్రజానీకం ఉన్నతశ్రేణి వినోదాన్ని అనుభవించింది. పెద్ద పెద్ద ప్రదర్శనలు తరచుగా ఏర్పాటు చేయబడేవి. విన్డోనిస్సా వద్ద నిర్మించబడిన ఏంపిధియేటర్ సైనిక విన్యాసాలకు, గొప్ప ప్రదర్శనలకు నిలయం. క్రీ.శ. 79లో నిర్మించబడిన పెద్ద ప్రదర్శనశాల కలోసియమ్లో 50,000 మంది వీక్షకులు కూర్చునే సౌకర్యం కలది. ఈ కలేసియామేలలో ‘గ్లాడియేటర్స్’ క్రూరమృగాలతో పోరాడేవారు. ‘సోంపెల్లి’, ‘ఆరంజ్’, ‘టారోమినిమమ్’ వంటి ప్రదర్శనశాలలు ఇట్టివే. ప్రజలను ప్రజా సమస్యల నుండి దూరంగా ఉంచడానికి రోమన్ ప్రభువులకు ఈ ప్రదర్శనశాలలో నిత్యం జరిగే ‘హింసాత్మక కార్యక్రమాలు కొంత వరకు తోడ్పడ్డాయి.

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
పేపిరస్.
జవాబు:
పేపిరస్ అనేది పేపిరస్ చెట్టు నుండి తయారు చేయబడిన పల్చని కాగితంలాంటిది. దీనిని విషయాలను రచించడానికి ఉపయోగించేవారు. పేపిరస్ ను పత్రాలను ఒక కట్టగా చుట్టేవారు. పేపిరస్ ను వ్రాతకోసం తొలిసారిగా ఈజిప్టు ప్రజలు వాడారు. పేపిరస్ చౌకగా తయారై తొందరగా చినగకుండా ఎక్కువ కాలం మన్నుతుంది. రోమన్లు సాహిత్యంగాని, లేఖలుగాని మరి ఇతర డాక్యుమెంట్లు గాని పేపిరస్ను వాడేవారు.

ప్రశ్న 2.
రిపబ్లిక్.
జవాబు:
పేట్రీషియన్లు తమ ప్రభుత్వ వ్యవస్థను ‘ప్రజా ఆశయం’ లాటిన్ భాషలో ‘రిపబ్లికా’ అనేవాళ్ళు. దాని నుండి రిపబ్లిక్ అనే మాట పుట్టింది. రిపబ్లిక్ అంటే ఒక నిర్ణీత కాలానికి ఎన్నుకోబడిన వాళ్ళచేత పరిపాలింపబడే రాజ్యం. రోమ్లో పాలన ఎన్నిక మీద ఆధారపడింది. ప్రతి సంవత్సరమూ ప్రజా సభచేత ఇద్దరు పేట్రీషియన్లు కాన్సళ్ళుగా ఎన్నుకోబడేవారు. వీరు కోర్టు తీర్పులు చెప్పడం, సైన్యానికి నాయకత్వం వహించేవారు. ఏడాది ముగిసాక వీరిలో అత్యున్నతులు సెనేట్ సభ్యులు అయ్యేవారు. సెట్కు విశేష అధికారాలుండేవి. అన్ని విషయాలు సెనేట్ లో చర్చించి అమలుచేయబడేవి.

ప్రశ్న 3.
బానిసల ఉత్పత్తి.
జవాబు:
రోమ్ చేసిన యుద్ధాల్లో చిక్కిన లక్షల కొలది ఖైదీలు బానిసలుగా మార్చబడేవారు. సకాలంలో పన్నులు కట్టని ప్లేబియన్లను కూడా బానిసలుగా మార్చడం ఉండేది. రోమ్ ఆక్రమించుకున్న ప్రాంతాలలో వందల కొద్దీ బానిస మార్కెట్లు ఉండేవి. రోజుకు 10,000 మంది బానిసలు దాక విక్రయించబడేవారు. రోమన్ బానిస యజమానులు, బానిసలను మనుషులుగా గుర్తించలేదు.

బానిసల పట్ల దయాదాక్షిణ్యాలు లేక గొడ్డుచాకిరీ చేయించేవారు. బానిసలలో బలిష్టులను గ్లాడియేటర్లుగా తీర్చిదిద్దేవారు. బానిసలను కఠినాతి కఠినంగా హింసించేవారు. దారుణ చిత్రహింసలు పెట్టేవాళ్ళు. బానిసలను రోమ్ దోచుకున్నంతగా ప్రపంచంలో మరే దేశం దోచుకోలేదు. ఎక్కడా అంతమంది బానిసలు లేరు.

ప్రశ్న 4.
కలోసియమ్.
జవాబు:
రోమన్ పాలకుల విధానాలతో, గత్యంతరం లేని సోమరితనంతో, దానధర్మాలతో పాడుచేయబడిన రోమన్ పేదప్రజలకు పనిచేయాలని ఉండేది కాదు. పని చేయడం బానిసల వంతుగా బానిసల యజమానులు కూడా భావించేవారు. వీరు చక్రవర్తి నుండి ఉచిత ఆహారాన్ని, వినోదాన్ని డిమాండ్ చేసేవారు.

రోమన్ బానిస యజమానులకు, పేదవారికి వినోదార్థం గ్లాడియేటర్ల, పోరాటాల కోసం క్రీ.శ. మొదటి శతాబ్ది ఉత్తరార్థంలో రోమ్లో ‘కొలీసియం’ అనే బ్రహ్మాండమైన ఆంఫిథియేటర్ నిర్మించబడింది. ఈ కొలీసియంలో 50,000 మంది వరకు ప్రేక్షకులు కూర్చొనవచ్చు. ఈ కలోసియంలో గ్లాడియేటర్లు క్రూరమృగాలతోను, తమలో తాము పోరాడేవారు.

ప్రశ్న 5.
అగస్టస్.
జవాబు:
అగస్టస్ పేరు మార్చుకున్న జూలియస్ సీజర్ వారసుడు ఆక్టివియన్ రిపబ్లికన్ను అంతం చేసాడు. రోమ్ చరిత్రలో అగస్టస్ కాలం స్వర్ణయుగంగా బాసిల్లింది. శాంతి సౌభాగ్యాలకు ప్రతీకగా నిలిచింది. క్లిష్టపరిస్థితులలో పేదవారికి ఆగస్టస్ ఉచితంగా ఆహార పదార్థాలిచ్చి సంతోషపరచాడు. అనేక ప్రజాపనులను చేపట్టి పేదవారికి ఉపాధి కల్పించాడు. ఈ కాలంలో అనేక రహదారులు, వంతెనలు, భవనాలు, ప్రదర్శనశాలలు, నీటి ఊటలు నిర్మించబడ్డాయి. కలోసియమ్ వీటన్నింటిలో ప్రసిద్ధమైన కట్టడం 50,000 మంది ఒకేసారి కూర్చోగల ప్రదర్శనశాల. అగస్ట్ కాలంలో రోమ్ వాణిజ్యకేంద్రంగా ఉండేది. భారత, చైనాలతో సహా అనేక దేశాలతో సంబంధం కలిగిఉండేది.

ప్రశ్న 6.
కాన్స్టాంటైన్ చక్రవర్తి.
జవాబు:
డియోక్లిటియన్ పాలన అనంతరం అధికారం కోసం కాన్స్టాంటిన్ అనే సేనానాయకుడు ఎన్నో కుట్రలు, అరాచకాలు చేసి అధికారంలోకి వచ్చాడు. సింహాసనాన్ని కాంక్షిస్తున్నాడనే అనుమానంతో కన్నకొడుకును కూడా వధించాడు. ప్రజలను బానిసలను అధిక పన్నులతో తీవ్రంగా వేధించాడు.

తన అధికారాన్ని బలపరచుకోవడానికి కన్స్టంటైన్ క్రైస్తవ చర్చిని వినియోగించుకున్నాడు. చర్చికి డబ్బులు, భూములు, విలువైన వస్తువులు ధారాళంగా ఇచ్చాడు. బాస్ఫరస్ జలసంధి తీరంలో బైజాంటియమ్ అనే గ్రీకు వలస ఉన్నచోట కాన్స్టంటెన్ ఒక నగరాన్ని నిర్మించాడు. దీనినే కాన్స్టాంట్్నపిల్ అన్నారు. కాన్స్టంటిస్ ఎన్ని క్రూరకర్మలు చేసినా క్రైస్తవులు అతడిని పవిత్ర పురుషుడిగా ప్రకటించారు.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year History Study Material 2nd Lesson ప్రపంచ ప్రాచీన నాగరికత – మెసపిటోమియా – వ్రాత విధానం – నగర జీవనం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year History Study Material 2nd Lesson ప్రపంచ ప్రాచీన నాగరికత – మెసపిటోమియా – వ్రాత విధానం – నగర జీవనం

వ్యాసరూప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న1.
మెసపిటోమియా నాగరికత ప్రధాన లక్షణాలు రాయండి.
జవాబు:
నాగరికత అనగా మానవ సమాజంలో వచ్చిన మేధాసంపత్తి, సాంస్కృతిక, నిత్యజీవన విధానంలో వచ్చిన అభివృద్ధి. అతి ప్రాచీన ప్రపంచ నాగరికతలలో మెసపిటోమియా నాగరికత మొదటిది. హరప్పా, ఈజిప్ట్, చైనా నాగరికతలు కూడా దాదాపుగా వీటి సమకాలీన నాగరికతలు. మెసపిటోమియా, ఈజిప్ట్ నాగరికతలు అక్కాచెల్లెళ్ళుగా ప్రసిద్ధికెక్కాయి. గ్రీకు భాషలోని ‘మెసోస్’, ‘పోటమస్’ అనే పదాల కలయికతో మెసపిటోమియా ఏర్పడింది. ఈ పదాలకు ‘రెండు నదుల మధ్య ప్రదేశం’ అని అర్థం. మెసపిటోమియా యూఫ్రిటిస్, టైగ్రిస్ అనే రెండు నదుల మధ్య ప్రదేశంలో ఉంది. ప్రస్తుతం ‘ఇరాక్’ అని పిలువబడుతున్న దేశమే మెసపిటోమియా నాగరికత కేంద్రం.

భౌగోళిక పరిస్థితులు: మెసపిటోమియాలో భిన్న భౌగోళిక పరిస్థితులుండేవి. పచ్చని మైదానాలు, ఎత్తు పల్లాలుగా ఉండే భూమి, జలపాతాలు, సెలయేర్లు, పూదోటలు, చక్కని వర్షపాతంతో, పంటలతో ఆహ్లాదకరంగా ఉండేది. వ్యవసాయం, పశుపోషణ ప్రజలకు ప్రధానాధారాలు. మెసపిటోమియా దక్షిణ దిక్కున ఎడారి ప్రాంతం ఉండేది. ఈ ప్రాంతానికి ఉత్తరాన ఉన్న పర్వత శ్రేణులలో యూఫ్రిటిస్, టైగ్రిస్ నదులు జన్మించాయి. ఈ నదుల ప్రవాహం వలన సారవంతమైన మట్టితో ఆ పరిసర ప్రాంతాలు సారవంతమైన వ్యవసాయ మైదానాలుగా మారాయి.

రాజకీయ పరిస్థితులు: ‘గిల్గిమిష్’ అనే రాజు గురించి రెండు టేబ్లెట్స్ ద్వారా వివరించబడింది. గిల్గి మిష్ “ఉర్క్’ అనే నగర రాజ్య పాలకుడు. ఎంతోమంది ప్రజలకు సహాయపడిన నాయకుడు, గొప్ప స్నేహశీలి. తన ప్రియమిత్రుని మరణంతో విచారానికిలోనై, ప్రపంచంలో సుఖ, దు:ఖాలకు మరణానికి కారణాలు తెలుసుకోవాలని దేశ సంచారం చేసాడు. ఇతడు నగర నిర్మాణంలో ప్రసిద్ధిచెందాడు.

మెసపిటోమియా నగరాలు: 1930లో పురావస్తు శాఖ చేపట్టిన పరిశోధనలలో మెసపిటోమియాలోని అనేక ప్రాచీన నగరాలు బయల్పడ్డాయి.

‘ఉర్’ పట్టణం: ఈ పట్టణంలో వీధులు అతి సన్నగా ఉండేవి. కొన్ని ప్రాంతాలలో బండ్లు తిరగడానికి సాధ్యమయ్యేది. ఈ పట్టణ నిర్మాణానికి సరైన ప్రణాళిక (టౌన్ ప్లానింగ్) లేదని తెలుస్తుంది.

బాబిలోనియా నగరం: ప్రపంచ నాగరికతలలో ప్రముఖ పట్టణం బాబిలోనియా. ఇది 850 హెక్టార్ల విస్తీర్ణం కలిగి ఉండేది. ఈ పట్టణంలో గొప్ప రాజభవనాలు, దేవాలయాలు ఉండేవి. ఈ పట్టణాన్ని క్రీ.పూ 333లో అలెగ్జాండర్ ఆక్రమించినప్పటికీ గొప్ప నగరంగా పేరొందింది.

అబూసలాభిక్ పట్టణం: క్రీ.పూ. 2500 నాటి ఈ పట్టణం పది హెక్టార్ల విస్తీర్ణం కలిగి ఉంది. ఈ పట్టణ తవ్వకాలలో చేప ఎముకలు, పంది ఎముకలు లభించాయి.

ఉరుక్ పట్టణం: క్రీ.పూ 3000 సంవత్సరానికి చెందిన ఈ నగరం దేవాలయాల నగరంగా పేరొందింది. ఇది దాదాపు 250 హెక్టార్ల విస్తీర్ణంలో ఉంది.

ఆర్థిక పరిస్థితులు: మెసపీటోమియా నాగరికత ప్రపంచంలో వ్యవసాయ ప్రక్రియను ప్రారంభించిన నాగరికత. యూఫ్రటిస్, టైగ్రిస్ నదుల వలన వ్యవసాయం విస్తృతంగా సాగింది. గోధుమ, బార్లీ, వేరుశనగ పంటలు విస్తారంగా పండేవి. ప్రజలు గొర్రెలు, మేకలను విస్తృతంగా పోషించేవారు. ఖర్జూరం, తాటికాయలు వేసవిలో సమృద్ధిగా లభించేవి.

మెసపిటోమియా ప్రజలు టర్కీ, ఇరాన్ దేశాల వారితో ఎక్కువగా విదేశీ వ్యాపారాలు ఉండేవి. ఆహార పదార్థాలు, వస్త్రాలను టర్కీ, ఇరాన్లకు ఎగుమతి చేసి వారి నుండి కలప, రాగి, వెండి, బంగారం, సముద్రగవ్వలు, విలువైన రాతి ఆభరణాలు దిగుమతి చేసుకునేవారు. ఎగుమతి, దిగుమతులకు మెసపిటోమియాలోని సహజసిద్ధమైన నదీ మార్గాలు వారికెంతగానో ఉపయోగపడ్డాయి. నాడు ‘మేరీ పట్టణం’ ప్రముఖ నౌకా రవాణా పట్టణంగా వెలుగొందింది.

సాంఘిక పరిస్థితులు: మెసపిటోమియా నాగరికత నగర జీవనానికి ప్రసిద్ధిగాంచింది. అనేక నగరరాజ్యాలు ఏర్పడ్డాయి. వాటి చుట్టూ చిన్న చిన్న గ్రామాలు విస్తరించి ఉండేవి. ఉర్ అబూసలాభిక్, ఉరుక్ ఇటువంటి నగరాలే, బాబిలోనియా నాటికే ప్రసిద్ధి చెందిన మహానగరం.

నాటి సమాజంలో ధనవంతులు, సాధారణ ప్రజల మధ్య వ్యత్యాసం స్పష్టంగా ఉండేది. ధనవంతులు మరింత ధనవంతులు కాగా సామాన్యులు తమ జీవన విధానాన్ని మెరుగుపరుచుకోవడానికి నిరంతరం కృషి చేసేవారు.

మెసపిటోమియా నాగరికత నాటి కుటుంబాలు చిన్నవిగా ఉండేవి. తండ్రి కుటుంబానికి పెద్ద. వివాహసమయంలో కానుకలు ఇచ్చి పుచ్చుకోవడం ఉండేవి. తండ్రి ఆస్తికి కుమారుడు మాత్రమే హక్కుదారులు. కుమారైలకు బహుమతులు ఇచ్చేవారు.

మెసపిటోమియా నాగరికతలో ప్రజలు స్థానిక దేవతలను పూజించడానికి నిర్మించుకున్న దేవాలయాలను జిగూరత్లను నిర్మించుకున్నారు. వీటిని స్వర్గానికి, భూమికి మధ్య వారధిగా భావించేవారు. ప్రజలకు మూఢనమ్మకాలు ఎక్కువని తెలుస్తుంది.

శాస్త్ర – సాంకేతిక అభివృద్ధి:
వ్రాత విధానం అభివృద్ధి: ప్రపంచ చరిత్రలో మొదటిసారిగా అక్షరాలు రాసే విధానం, జరిగిన సంఘటనలు, లెక్కలు మొదలైన వాటిని రాయడం ప్రారంభించినవారు మెసపిటోమియా ప్రజలు. సుమారు ఐదువేల సంవత్సరాలకు మనుపు రాత విధానాన్ని ప్రారంభించారు. మొదట్లో ఎక్కువగా చిత్రాలు కనిపించేవి. కాలక్రమంలో పదాలు, అర్థాలకు తగిన చిహ్నాలు అభివృద్ధి చెందాయి. ఈ పద్ధతిని ‘క్యూనిఫారమ్’ అంటారు. వీటిని మట్టిబిళ్ళలు సున్నపుముద్ద బిళ్ళలపై రాయించుట, చిత్రించుట ప్రారంభించారు. వీటిని ‘టేబ్లెట్స్’ అంటారు. వీటి వలన అనేక వివరాలు చరిత్రకారులు గ్రహించగలిగారు.

మెసపిటోమియా ప్రజలు ప్రపంచానికి అందించిన గొప్పకానుకలలో గణితశాస్త్ర అభివృద్ధి, కాలనిర్ణయ శాస్త్రం ప్రధానమైనవి. సంఖ్యాశాస్త్రంలో 6 మరియు 10 గుణకాలకు ప్రాధాన్యం ఉండేది. గుణకాలు, విభజనలు, స్క్వేర్, స్క్వేర్రూటు వంటివి మట్టిబిళ్ళలలో లభించాయి. మెసపిటోమియా వాసులు సంవత్సరానికి 12 నెలలు, నెలకు 30 రోజులు, వారానికి 7 రోజులు, గంటకు 60 నిముషాలు అనే కాల నిర్ణయ విభజనను కనుగొన్నారు. ఈ విధానం ఐరోపా, మధ్య ఆసియా దేశాలకు వ్యాపించింది. ఈ విధంగా నగర జీవనానికి, శాస్త్రీయ అభివృద్ధికి మెసపిటోమియా నాగరికత నాంది పలికింది.

ప్రశ్న 2.
వ్రాత విధానంలో మెసపిటోమియా నాగరికత పాత్ర తెలుపుము.
జవాబు:
ప్రాచీన సమాజంలోని ప్రజలు వివిధ శబ్దాలను తమ భావాలను వ్యక్తపరుచుకోవడానికి ఉపయోగించారు. వ్రాత పద్ధతి అనగా ‘ప్రజలు మాట్లాడే పదాలకు కంటికి కనబడే చిహ్నాలు’. ప్రపంచ చరిత్రలో మొదటిసారిగా అక్షరాలు రాసే విధానం, జరిగిన సంఘటనలు, లెక్కలు మొదలైన వాటిని రాయడం ప్రారంభించినవారు. మెసపిటోమియా ప్రజలు. సుమారు ఐదు వేల సంవత్సరాలకు మునుపు మెసపిటోమియా ప్రజలు తమ భావాలు, వివరాలు, లెక్కలు వంటి వివరాలను భద్రపరచుకోవడానికి వ్రాత విధానాన్ని ప్రారంభించారు. మొదట ఈ లిపిలో ఎక్కువగా చిత్రాలు కనిపించేవి. ఆ కాలం నాటి పంటలు, వాటిపై ప్రభుత్వం విధించే పన్నుల వివరాలు ఈ చిత్రాల ద్వారా వివరించబడ్డాయి. కాలక్రమంలో వ్రాత విధానం ప్రాధాన్యత పెరిగి కొన్ని పదాలు వాటి అర్థానికి తగిన చిహ్నాలు అభివృద్ధి చెందాయి. ఈ పద్దతిని ‘క్యూనిఫారమ్’ అంటారు.

వేల సంవత్సరాల క్రితం మెసపిటోమియా వాసులు ప్రతిరోజు జరిపే లావాదేవీలు, వ్యాపారం, నక్షత్ర పరిశోధనలు, సాహిత్యం మొదలైన వాటిని మట్టిబిళ్ళలపై వ్రాయించుట, చిత్రించుట ప్రారంభించారు. వీటిని టేబ్లెట్స్ అంటారు. క్రీ.పూ 3200 కాలంలో మొదటిసారి మట్టిబిళ్ళపై వ్రాత ప్రారంభమయింది. ఈ బిళ్ళలు మట్టితోను, రాళ్ళతోను తయారుచేయబడ్డాయి. వాటి మీద చిహ్నాలు, అంకెలు ఎక్కువగా కనపడేవి. దక్షిణ మెసపిటోమియా ప్రాంతంలోని ‘ఉరుక్’ నగరంలో ఇటువంటి ‘మట్టిబిళ్ళలు’ లభించాయి. సమాజం అభివృద్ధి చెందే కొద్దీ మానవ వ్యవహారాలను రాసి భద్రపరుచుకోవలసిన అవసరం పెరుగుట వలన వ్రాత విధానం ప్రాధాన్యత పెరుగుతూ వచ్చింది. మెసపిటోమియా నాగరికత నగర జీవితానికి సంబంధించినందు వలన ప్రజల మధ్య అనేక రకాలైన వ్యవహారాలు, వృత్తులు, వస్తువిక్రయాలు జరిగి వాటిని వ్రాతపూర్వకంగా భద్రపరచుకోవలసిన అవసరం ఏర్పడింది.

మట్టిబిళ్ళలు – టేబ్లెట్స్: మెసపిటోమియా వాసులు సున్నపు ముద్దతో తయారుచేసిన బిళ్ళలను ఉపయోగించారు. అరచేతిలో సరిపడే సున్నపు ముద్దబిళ్ళ తడిగా ఉన్నప్పుడు దాని ఉపరితలాన్ని నునుపుగా తయారుచేసి దానిపై పదునుగా ఉండే సూదిలాంటి పరికరంతో వివరాలు చెక్కేవారు. తడిగా ఉన్నప్పుడు రాసిన ఈ పలకలను ఎండబెడితే అవి చెరగని ముద్రలతో బిళ్ళలుగా తయారయ్యేవి. అనేక వ్యవహారాలు వ్యాపార లావాదేవీలు ఇటువంటి బిళ్ళలపై చెక్కుట వలన వేల సంఖ్యలో బిళ్ళలు లభించాయి. వీటి ద్వారా చరిత్రకారులు అనేక విషయాలు తెలుసుకోగలిగారు.

క్యూనీఫారమ్: క్రీ.పూ. 2600 నాటికి మెసపిటోమియాలో రాత విధానం ‘క్యూనిఫారం’గా రూపొందింది. వారు వాడిన భాష సుమేరియన్ల అనేక రకాలైన పత్రాలు, నిఘంటువుల తయారీకి ఉపయోగపడింది. రాజపత్రాలు, భూముల, బదలాయింపు, స్థానిక సంప్రదాయాలు మొదలైనవి క్యూనిఫారమ్లో ఉపయోగించబడ్డాయి.

క్రీ.పూ. 2400 నాటికి సుమేరియా లిపికి బదులు అక్కాడియన్ లిపి వాడుకలోకి వచ్చింది. క్రీ.శ మొదటి శతాబ్ది వరకు మెసపిటోమియా ప్రజలు ఉపయోగించింది అక్కాడియన్ లిపి మాత్రమే. సుమారు రెండువేల సంవత్సరాలు ఈ అక్కాడియన్ లిపి వాడుకలో ఉంది.

ప్రశ్న 3.
మెసపిటోమియా నగర జీవన విధానాన్ని గురించి రాయండి.
జవాబు:
మెసపిటోమియా నాగరికత నగరజీవితానికి ప్రసిద్ధిగాంచింది. అనేక నగరరాజ్యాలు ఏర్పడ్డాయి. వాటి చుట్టూ చిన్న చిన్న గ్రామాలు విస్తరించి ఉండేవి. పట్టణ ప్రజలు నగరరాజ్యాల పరిధిలో జీవించారు. సాధారణ నగరాలు 20వేల జనాభాతో ఉంటే అంతకంటే పెద్ద నగరాలలో జనాభా 50 వేల వరకు ఉండేది. బాబిలోనియా నాడు అతి పెద్ద నగరం. ఆ నగరంలో జనాభా లక్షమందికి పైన ఉండేవారు.

1930లో పురావస్తుశాఖ చేపట్టిన పరిశోధనలలో మెసపిటోమియాలోని అతి ప్రాచీన నగరాలు బయటపడ్డాయి. అందులో ‘ఉర్’ పట్టణం ఒకటి. ఈ పట్టణ నిర్మాణంలోని లక్షణాలను పరిశీలిస్తే వీధులు అతి సన్నగా ఉండుట వలన కొన్ని ప్రాంతాలకు మాత్రమే బండ్లు తిరగడానికి సాధ్యమయ్యేది. పట్టణ ప్రాంతంలో ఆహార ధాన్యాలు, కట్టెలు చేరవేయుటకు కంచరగాడిదలు ఉపయోగించేవారు. పట్టణ నిర్మాణానికి సరి అయిన ప్రణాళిక లేదు. మెసపిటోమియా నగర నిర్మాణంలో మూఢవిశ్వాసాలు ఎక్కువ. ‘ఉర్’ నగర శ్మశానవాటికలో రాజులు, సామాన్యుల సమాధులు లభించాయి.

ప్రపంచ నాగరికతలలో ప్రముఖ పట్టణం బాబిలోనియా. ఇది 850 హెక్టార్ల విస్తీర్ణం కలిగి ఉండేది. దీని చుట్టూ మూడు రక్షణ గోడలు ఉండేవి. ఈ పట్టణంలో గొప్ప రాజభవనాలు, దేవాలయాలు ఉండేవి. ఈ పట్టణాన్ని క్రీ.పూ. 593లో ఆర్కిమేడియన్లు, క్రీ.పూ. 333లో అలెగ్జాండర్ ఆక్రమించాడు. నాటికే ఇది గొప్ప నగరంగా పేరుగాంచింది.

మెసపిటోమియా నాగరికతలో లభించిన మరొక ప్రముఖ పట్టణం ‘అబూసలాభిక్’ క్రీ.పూ. 2500 నాటి ఈ పట్టణం పది హెక్టార్ల విస్తీర్ణం కలిగి ఉండేది. ఈ పట్టణంలో చేపల ఎముకలు, పందుల ఎముకలు లభించాయి. కాబట్టి నాడు ఈ ప్రాంతంలో పందిని కూడా ఆహారంగా స్వీకరించినట్లు తెలుస్తుంది.

మెసపిటోమియా నాగరికతకు చెందిన మరో ప్రముఖ నగరం ఉరుక్. క్రీ.పూ. 3000 సంవత్సరాలకు చెందిన ఈ నగరం దేవాలయాల నగరంగా గుర్తింపు పొందింది. ఇది 250 హెక్టార్ల విస్తరించి ఉండేది. ఈ నగరం హరప్పా నాగరికతలోని మొహంజోదారో పట్టణం కంటే రెండు రెట్లు పెద్దది. క్రీ.పూ. 2800 ప్రాంతాలలో చుట్టు ప్రక్కల గ్రామాల నుండి వచ్చిన ప్రజలతో ఈ నగర విస్తీర్ణం 400 హెక్టార్లుకు పెరిగింది. ఈ నగరంలో అనేక దేవాలయాలు ఉండేవి. వీటి నిర్మాణానికి యుద్ధ ఖైదీలను, స్థానిక ప్రజలను ఉపయోగించేవారు. వీరికి రాజు ఉపాధి కల్పించేవాడు. దేవాలయ నిర్మాణానికి రోజుకు 4500 మంది కూలీలను ఐదు సంవత్సరాల వరకు పనిచేయించారు. నాటి శిల్పులు కూడా నైపుణ్యం కలిగి ఉండేవారు. కుమ్మరి చక్రం ద్వారా అనేక కుటీర పరిశ్రమలు వృద్ధి చెంది, కుండల తయారీ పెద్ద ఎత్తున చేపట్టబడింది.

రవాణా రంగం: పట్టణ నాగరికత అభివృద్ధిలో ప్రధాన అంశం రవాణా సౌకర్యం. అతి చౌకగా రవాణా చేయుటకు నదుల, సముద్ర రవాణా అతి ముఖ్యమైనవి. మెసపిటోమియా ప్రజలు నదుల ద్వారా పడవలలో ఆహార ధాన్యాలు రవాణా చేసుకునేవారు. ప్రాచీన మెసపిటోమియాలోని సహజసిద్ధ నదీమార్గాల ద్వారా వస్తురవాణా జరిగేది. |జమరిలియిన్ రాజు కాలంలో మేరీ పట్టణం ప్రముఖ నౌకా రవాణా కేంద్రం.

సమాజం: మెసపిటోమియా నాగరికత నాటి సమాజంలో ధనవంతులు, సాధారణ ప్రజల మధ్య వ్యత్యాసం స్పష్టంగా ఉండేది. ధనవంతులు మరింత ధనవంతులు కాగా, సామాన్యులు తమ జీవనాన్ని మెరుగుపరుచుకోవడానికి నిరంతరం కృషి చేసేవారు. ధనవంతులు, దేశంలోని అధికశాతం ధనాన్ని, బంగారం, ఆభరణాలు, కలపవస్తువులు, సంగీత పరికరాలు అనుభవించేవారు. ఉర్ నగరం రాజుల సమాధులలో విలువైన ఆభరణాలు లభించాయి.

కుటుంబ జీవనం: నాడు కుటుంబాలు చిన్నవిగా ఉండేవి. తండ్రి కుటుంబానికి పెద్ద. వివాహ సంబంధం విషయంలో వధువు, వరుని కుటుంబాల పెద్దలు ఒక ప్రకటన ద్వారా సమ్మతిని తెలిపేవారు. ఇరువర్గాలు బహుమతులు ఇచ్చి పుచ్చుకునేవారు. తండ్రి సంపాందించిన ఆస్తికి కుమారులు మాత్రమే హక్కుదారులు. కుమార్తెలకు కొంత మొత్తం బహుమతి రూపంలో లభించేది తప్ప, ఆస్తిలో హక్కు ఉండేది కాదు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
మెసపిటోమియా భౌగోళిక పరిస్థితులు తెలుపుము.
జవాబు:
మెసపిటోమియా భౌగోళిక పరిస్థితులలో ఎంతో వైవిధ్యముండేది. పచ్చని మైదానాలతో, ఎత్తు పల్లాలుగా ఉండే భూమి, కొండల నుండి జాలువారే జలపాతాలు, సెలయేర్లు, అందమైన పూదోటలు, వర్షపాతం తద్వారా పండే పంటలు, ప్రజల అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉండే నీటి వనరులు వంటి అంశాలతో ఆహ్లాదకర వాతావరణం ఉండేది.
మెసపిటోమియాకు దక్షిణాన ఎడారి ప్రాంతం ఉండేది. ఈ ప్రాంతానికి ఉత్తరాన ఉన్న పర్వత శ్రేణులలో యూఫ్రిటిస్, టైగ్రిస్ నదులు జన్మించాయి. ఆ నదులు ప్రవాహం వలన సారవంతమైన మట్టితో ఆ పరిసర ప్రాంతాలు సారవంతమైన వ్యవసాయ మైదానాలుగా మారాయి. క్రీ.పూ. 7000 6000 సంవత్సరాల మధ్య కాలంలో ఇక్కడ వ్యవసాయం ఆరంభమయిందని చరిత్రకారులు అంచనా. ఇక్కడి ప్రజలు వందలు, వేల సంఖ్యలో గొర్రెలను పెంచుతూ ఉత్తర మెసపిటోమియా పచ్చికబైళ్ళని ఉపయోగించుకుంటూ ప్రజలు జీవించారు.

ప్రశ్న 2.
బాబిలోనియా నగర ప్రాధాన్యత ఏమిటి ?
జవాబు:
ప్రపంచ నాగరికతలలో ప్రముఖ పట్టణం బాబిలోనియా. ఇది 850 హెక్టార్ల విస్తీర్ణం కలిగి ఉండేది. దీని చుట్టూ మూడు రక్షణ గోడలు ఉండేవి. ఈ పట్టణంలో గొప్ప రాజభవనములు, దేవాలయములు ఉండేవి. ఆనాటి దేవాలయాన్ని ‘జిగూరత్’ అంటారు. ఈ జిగూరత్లు మెట్లు కలిగిన ఎత్తు నిర్మాణాలు. ఈ పట్టణాన్ని క్రీ.పూ. 593లో ఆర్కిమేడియన్లు ఆక్రమించారు. ఆ తరువాత కాలంలో క్రీ.పూ. 333లో అలెగ్జాండర్ ఆక్రమించారు. అప్పటికే బాబిలోనియా గొప్ప నగరంగా ప్రసిద్ధిగాంచింది.

ప్రశ్న 3.
మట్టిబిళ్ళలను టేబ్లేట్స్ అని ఎందుకంటారు ?
జవాబు:
వేల సంవత్సరాల క్రితం మొసపిటోమియా వాసులు ప్రతిరోజు జరిపే లావాదేవీలు, వ్యాపారం, నక్షత్ర పరిశోధనలు, సాహిత్యం మొదలైనవి మట్టిబిళ్ళలపై వ్రాయించుట, చిత్రించుట ప్రారంభించారు. అరచేతిలో సరిపోయే విధంగా ఈ |బిళ్ళలను మట్టితోను, రాతితోను, సున్నపు ముద్దలతోను తయారుచేసేవారు. అరచేతిలో సరిపడే సున్నపు ముద్ద బిళ్ళ తడిగా ఉన్నప్పుడు దాని ఉపరితలాన్ని నునుపుగా చేసి దానిపై పదునుగా ఉండే సూదిలాంటి పరికరంతో వివరాలు చెక్కేవారు. తడిగా ఉన్న వీటిని ఎండబెడితే అవి చెరగని బిళ్ళలుగా మారేవి. అనేక వ్యవహారాలు, వ్యాపార లావాదేవీలు ఈ బిళ్ళలపై చెక్కుట వలన వేలాదిగా టేబ్లెట్స్ లభిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 4. మెసపిటోమియా సామాజిక పరిస్థితులు రాయండి.
జవాబు:
మెసపిటోమియా నాగరికత నాటి సమాజంలో ధనవంతులు, సాధారణ ప్రజల మధ్య వ్యత్యాసం స్పష్టంగా ఉండేది. ధనవంతులు మరింత ధనవంతులు కాగా, సామాన్యులు తమ జీవనాన్ని మెరుగుపరుచుకోవడానికి నిరంతరం కృషి చేసేవారు. ధనవంతులు దేశంలోని అధికశాతం ధనాన్ని, బంగారం, ఆభరణాలు, కలపవస్తువులు, సంగీత | పరికరాలు అనుభవించేవారు. ‘ఉర్’ నగర రాజుల సమాధులలో విలువైన ఆభరణాలు లభించాయి.

మెసపిటోమియా నాగరికతలో కుటుంబాలు చిన్నవిగా ఉండేవి. తండ్రి కుటుంబానికి పెద్ద. వివాహ సమయంలో ఇరువర్గాలు బహుమతులు ఇచ్చి పుచ్చుకునేవారు. తండ్రి ఆస్తికి కుమారుడు మాత్రమే హక్కుదారులు, కుమార్తెలకు కొంత మొత్తం బహుమతి రూపంలో లభించేది తప్ప వారికి ఆస్తి హక్కు లేదు. నాటి ప్రజలు వ్యవసాయం, పశుపోషణ చేసేవారు. టర్కీ, ఇరాన్ వంటి దేశాలతో విదేశీ వ్యాపారం జరిగేది.

ప్రశ్న 5.
మెసపిటోమియా వ్రాత విధానం గురించి తెలుపుము.
జవాబు:
ప్రాచీన సమాజంలోని ప్రజలు వివిధ శబ్దాలను తమ భావాలను వ్యక్తపరుచుకోవడానికి ఉపయోగించారు. వ్రాత పద్ధతి అనగా ‘ప్రజలు మాట్లాడే పదాలకు కంటికి కనబడే చిహ్నాలు’. ప్రపంచ చరిత్రలో మొదటిసారిగా అక్షరాలు రాసే విధానం, జరిగిన సంఘటనలు, లెక్కలు మొదలైనవి రాయడం ప్రారంభించినవారు మెసపిటోమియా ప్రజలు.
సుమారు ఐదువేల సంవత్సరాలకు మునుపు మెసపిటోమియా ప్రజలు తమ భావాలు, వివరాలు, లెక్కలు వంటి వివరాలను భద్రపరుచుకోవడానికి వ్రాత విధానాన్ని ప్రారంభించారు. మొదట ఈ లిపిలో ఎక్కువగా చిత్రాలు కనిపించాయి. ఆ కాలం నాటి పంటలు, వాటిపై ప్రభుత్వం విధించే పన్నుల వివరాలు ఈ చిత్రాల ద్వారా వివరించబడ్డాయి. కాలక్రమంలో వ్రాత విధానం ప్రాధాన్యత పెరిగి కొన్ని పదాలు, వాటి అర్థానికి తగిన చిహ్నాలు అభివృద్ధి చెందాయి. ఈ పద్ధతిని క్యూనిఫారమ్ అంటారు. క్రీ.పూ. 3200 కాలంలో మొదటిసారి మట్టిబిళ్ళపై వ్రాత ప్రారంభమైనట్లు చరిత్రకారులు నిర్ధారించారు.

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
క్యూనిఫారమ్.
జవాబు:
క్రీ.పూ. 3500 – 3200 సంవత్సరాల నాడే ప్రపంచ చరిత్రలో తొలిసారిగా అక్షరాలు రాసే విధానం ప్రారంభించినవారు మెసపిటోమియా ప్రజలు. వారు ప్రారంభించిన వ్రాత విధానంలో తొలినాళ్ళలో ఎక్కువగా చిత్రాలు కనిపించేవి. కాలక్రమంలో పదాలకు వాటి అర్థానికి తగిన చిహ్నాలు అభివృద్ధి చెందాయి. ఈ పద్ధతిని క్యూనిఫారం
అంటారు.

ప్రశ్న 2.
అక్కాడియన్ నాగరికత
జవాబు:
మెసపిటోమియా నాగరికత కాలక్రమంలో సమర్ ‘అక్కడ్’ ప్రాంతాలకు విస్తరించింది. తరువాత అక్కాడియన్ రాజ్యంగా రూపొందింది. అక్కాడియన్ రాజ్యం మెసపిటోమియాను చాలాకాలం పరిపాలించారు. ఈ నాగరికత సెమెటిక్ సుమేరియన్ భాషల వారిని ఒక పాలన క్రిందకు తెచ్చారు. క్రీ.పూ. 2400 నాటికి ఈ భాష అక్కాడియన్ భాషగా పిలవబడింది. ఈ కాలానికి ఈ నాగరికత ఉచ్ఛస్థితిలో ఉంది.

ప్రశ్న 3.
మేరీ భవనం.
జవాబు:
పురావస్తు త్రవ్వకాలలో లభించిన మరొక గొప్ప నిర్మాణం ‘మేరీ భవనం’. ఈ భవనం క్రీ.పూ. 1810-1760 మధ్య కాలంలో పరిపాలించిన జీమరిలియన్ నివాస భవనం. ఈ భవనం ఎంతో విలాసవంతమైనది, విశాలమైనది. ఇందులోని విశాలమైన హాలులో దేశ, విదేశీ అతిధులతో చర్చలు జరిగేవి. ఈ రాజభవనం అందమైన అలంకరణలతో సమారు రెండు నుండి నాలుగు హెక్టార్లలో విస్తరించి ఉండేది. ఇందులో 260 గదులుండేవని తెలుస్తోంది.

ప్రశ్న 4.
ఉరుక్ నగరం.
జవాబు:
మెసపిటోమియా నాగరికతకు చెందిన మరో ప్రముఖ నగరం. ‘ఉరుక్’. క్రీ.పూ. 3000 సంవత్సరానికి చెందిన ఈ నగరం దేవాలయాల నగరంగా గుర్తింపు పొందింది. ఇది 250 హెక్టార్లు విస్తరించి ఉండేది. ఈ నగరం హరప్పా నాగరికతలోని మొహంజోదారో పట్టణం కంటే రెండు రెట్లు పెద్దది. క్రీ.పూ 2800 మధ్య కాలంలో అనేక గ్రామాల నుండి ప్రజలు వచ్చి ఉరుక్ నగరాన్ని విస్తరించారు. దీనిలో నగర విస్తీర్ణం 400 హెక్టార్లకు పెరిగింది. ఈ నగరంలో అనేక దేవాలయాలు ఉండేవి. వీటి నిర్మాణానికి యుద్ధ ఖైదీలను, స్థానికులను వాడుకునేవారు.

ప్రశ్న 5.
గణితశాస్త్ర పరిస్థితులు.
జవాబు:
మెసపిటోమియా ప్రజలు గణితశాస్త్రంలో అనేక కొత్త విషయాలను కనుగొన్నారు. వారి సంఖ్యాశాస్త్రంలో మరియు 10 గుణకాలకు ప్రాధాన్యత ఉండేది. మొదటి క్రమంలో 10 సంఖ్య వరకు ప్రాధాన్యత ఉండేది. తరువాత 6తో కూడిన గుణకాలు ఉపయోగించి 60 నుండి 600 వరకు లెక్కించేవారు. బహుశా 60 అనే సంఖ్య అనేక సంఖ్యలతో విభజనకు అనుకూలంగా ఉండేది. క్రీ.పూ. 1800 సంవత్సరం నాటి మట్టిబిళ్ళలు మెసపిటోమియా గణితశాస్త్ర పరిశోధనకు నిదర్శనం. గుణకాలు, విభజనలు, స్క్వేర్, స్క్వేర్టు విధానాలు ఈ బిళ్ళలలో కనిపిస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
యూఫ్రిటిస్, టైగ్రిస్ నదులు.
జవాబు:
మెసపిటోమియా యూఫ్రిటస్, టైగ్రిస్ నదుల మధ్య విలసిల్లిన నాగరికత. తూర్పు టర్కీలోని టారస్ పర్వతాలలో పుట్టి సిరియా మీదుగా ఇరాక్లో ప్రవేశిస్తాయి. తమ ఉపనదులతో కలిపి మెసపిటోమియా (నేటి ఇరాక్)లో సారవంతమైన మట్టిగల మైదాన ప్రాంతాలను ఏర్పరచాయి. దీనితో ఈ ప్రాంతం వ్యవసాయయోగ్య మైదానాలుగా మారాయి. ఈ విధంగా ప్రవహించి ఈ నదులు పర్షియన్ గల్ఫ్ లో కలుస్తాయి.

ప్రశ్న 7.
కాల నిర్ణయ విధానం.
జవాబు:
మెసపిటోమియా వాసులు సంవత్సరానికి 12 నెలలు, నెలకు 30 రోజులు, వారానికి 7 రోజులు, గంటకు 60 నిమిషాలు అనే కాల నిర్ణయ విభజన విధానాన్ని కనుగొన్నారు. ఈ కాల నిర్ణయ విధానం అలెగ్జాండర్ అనంతర కాలం నుండి ఎక్కువగా వాడుకలోకి వచ్చి రోమన్ సామ్రాజ్యానికి, అటు మహమ్మదీయ రాజ్యాలకు, మధ్య ఐరోపా దేశాలకు వ్యాపించింది.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year History Study Material 1st Lesson తొలికాలపు మానవ చరిత్ర Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year History Study Material 1st Lesson తొలికాలపు మానవ చరిత్ర

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1. హోమినాయిడ్స్కు హోమోనిడ్స్కు గల భేదాలు తెలపండి.
జవాబు:
2.4 మిలియన్ సంవత్సరాల క్రితం ప్రైమేట్స్లో ఒక భాగమైన హోమినాయిడ్స్ ఉద్భవించినట్లు తెలుస్తుంది. హోమోనిడ్స్, హోమినాయిడ్స్ నుండి ఆవిర్భవించడం వలన కొన్ని సారూప్యాలు కనిపించినా, కొన్ని భేదాలు కూడా ఉన్నాయి.
హోమినాయిడ్స్

1. చిన్న మెదడు.
2. నాలుగు కాళ్ళపై నడిచే జీవి అయితే ముందరి కాళ్ళు సులువుగా ఉండేవి.
3. చేతులు అంత సులువుగా ఉండేవి కావు.

హోమోనిడ్స్

1. పెద్ద మెదడు
2. నిలువుగా నిలబడి, రెండు కాళ్ళపై నడిచే వ్యక్తి.
3. చేతులు ఉపయోగించి పనిచేస్తూ భిన్నంగా ఉండేవారు.

ప్రశ్న 2.
ఆదిమ మానవుని ఆహారపు అలవాట్లు.
జవాబు:
ఆదిమానవుడు ఆహారాన్ని వివిధ రకాలుగా సంపాదించుకున్నాడు. ఉదా: ఆహార సేకరణ, ఆహారాన్ని పోగు చేసుకోవడం, వేట, చేపలు పట్టడం.

ఆహార సేకరణ: ఆహార సేకరణలో విత్తనాలు, బెర్రీలు, పండ్లు, నట్స్ ట్యూబర్స్ మొదలగునవి. మనకు ఎముక అవశేషాలు బాగా లభించినా, మొక్కల అవశేషాలు తక్కువగానే లభించాయి.

ఆహారాన్ని పోగుచేయడం: తొలినాటి హోమోనిడ్లు సహజంగా చనిపోయిన జంతువుల మాంసం లేక ఇతర జంతువులు, పక్షులు మొదలయినవి చంపి తినగా మిగిలిన మాంసం, ఎముకలు పోగుచేసుకున్నారు.

వేట: వేట అనే ప్రక్రియ దాదాపు ఐదు లక్షల సంవత్సరాల నాటిదని తెలుస్తుంది. ఒక పథకం ప్రకారం వేటాడి పెద్ద పెద్ద జంతువులను చంపడం యొక్క ఆధారాలు ఇంగ్లాండ్ లోని బాక్స్ గ్రేవ్, జర్మనీలోని షోనినిజెన్ ప్రాంతాలలో లభించాయి.
చేపలు పట్టుట: ఇది చాలా ముఖ్య ఆహారము. చేపలు, మనుషుల ఎముకలు వివిధ ప్రాంతాలలో లభించాయి.

ప్రశ్న 3.
ప్రాచీన మానవులు తయారుచేసిన పనిముట్లను తెలపండి.
జవాబు:
సుమారు 4 లక్షల సంవత్సరాల నుంచి లక్షా పాతికవేల సంవత్సరాల క్రితం వరకు ప్రాచీన మానవులు వాడిన వేలాది పనిముట్లు లభించాయి. ఉదాహరణకు కెన్యాలో వేలాది చేతి గొడ్డళ్ళు, ప్లేక్ పనిముట్లు లభించాయి. ఈ పనిముట్లను ఆహార సేకరణ, వినియోగం కొరకు ఉపయోగించేవారు.

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఆస్ట్రలోపిథికస్.
జవాబు:
ఆస్ట్రలోపిథికస్ అనే పదము లాటిన్ మరియు గ్రీకు పదాలనుండి వచ్చింది. లాటిన్ పదం ‘ఆస్ట్రిల్’ అనగా దక్షిణ మరియు గ్రీకు పదమైన పిథకస్ అనగా ‘ఏప్’ అని ‘ఆస్ట్రలోపిథకస్’ అనగా ‘దక్షిణప్రాంత ఏప్’ అని అర్థం. ఆస్ట్రలోపిథికస్ రెండు కాళ్ళ మీద నడవటం వలన చేతులతో పిల్లలను కని, బరువులు మోయడానికి వీలుపడింది. కాళ్ళ శక్తి పొదుపు కావడంతో అది పరిగెత్తడానికి కాలక్రమేణా ఉపయోగపడింది.

ప్రశ్న 2.
హోమో సేపియన్స్.
జవాబు:
జర్మనీలోని హెడెల్బర్గీ పట్టణంలో హోమో అవశేషాలు దొరకటం వలన అతనిని హోమో హెడెల్ బర్గెన్సిస్ అని నియాండర్ లోయలో దొరికిన అవశేషాల వలన అతని హోమోసెపియన్ నియాండర్తలనినీస్ అని పిలిచారు. హోమో సేపియన్లకు పెద్ద మెదడు, చిన్న దవడ, చిన్న పళ్ళు ఉంటాయి. మెదడు పరిమాణం పెరిగే కొద్దీ జ్ఞాపకశక్తి,
తెలివితేటలు పెరిగాయి. హోమోసేపియన్ల తొలి ఆధారాలు ఆఫ్రికాలో లభించాయి.

ప్రశ్న 3.
ఆహార సేకరణ.
జవాబు:
ప్రాచీన మానవుడు తనకు లభించిన వాటిని ఆహారం కోసం సేకరించుకొనేవాడు. ఆహారసేకరణలో విత్తనాలు, బెర్రీలు, పండ్లు, నట్స్, ట్యూబర్స్ మొదలైనవి. పరిశోధనలో ఎముకల అవశేషాలు బాగా లభించాయి. మొక్కల అవశేషాలు తక్కువగా లభించాయి. ఇప్పటివరకు పురావస్తు శాస్త్రవేత్తలు మానవుని తొలినాటి కార్బొనైజ్ డ్ విత్తనాల ఆధారాలు తక్కువగానే కనుగొన్నారు.

ప్రశ్న 4.
నియాండర్తల్ మనిషి.
జవాబు:
నియాండర్తల్ మానవుడు నేటి ఆధునిక మానవజాతియైన హోమో సేపియన్లకు సన్నిహితుడు. జర్మనీలోని నియాండర్ లోయలో ఇతనికి సంబంధించిన అవశేషాలు లభించడం వలన ‘నియాండర్తల్ మనిషి’ అని పిలిచారు. ఇతని శాస్త్రీయ నామం ‘హోమో నియాండర్తలనిస్’ విశాలమైన దవడ, వెడల్పాటి ముక్కు, హోమో సేపియన్లకున్నంత పెద్ద మెదడు ఉండేది.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు

ప్రశ్న 1.
ఒక పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణ S, దీనితో అనుబంధమయ్యే యాద్టచ్చిక చలరాశిని X అనుకుందాం. P(x) క్రింది పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడింది.

ప్రశ్న 2.
ఒక యూదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా ఎఖాజనం క్రింద ఇవ్వడమైనది.

k విలువను, X డొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\sum_{i=1}^5 P\left(X=x_i\right)=1\)

ప్రశ్న 3.
P(X = K) = \(\frac{(k+1) c}{2^k}\), (k = 0, 1, 2, 3,..) సంభాప్యతా విఖాజనంతో x యాద్లచ్చిక చలరాశి అయితే, c ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
P(X=-2)=P(X=-1)=P(X=2)=P(X=1)=\(\frac{1}{6}\), P(X=0)=\(\frac{1}{3}\) ను తృప్తిపరిచేటట్ల X యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంకమధ్యమం, వస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
రెండు పాచికలను యాద్చ్చికంగా ణొర్లంచారు. రండింటి పై కనణడే సంఖ్యల మొత్తానికి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని కనుక్కోండి. యాద్చ్ళిక చలరాశి అంక మధ్ళమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు పాచికలను దొర్లించనప్పుడు శాంపల్ ఆవరణ S నందు 6 × 6 = 36 శాంపుల్ బిందువులు ఉంటాయి. అవి :
S = {(1,1),(1,2) …………….. (1,6),(2,1),(2,2) ………….. (2,6) …………… (6,6)}
రెండు పాచికలపై కనబడే సంఖ్యల మొత్తాన్ని X తో సూచిద్దాం. అప్పుడు X వ్యాప్తి ={2,3,4, ……………… 12} X కు సంభావ్యతా విభాజనాన్ని ఈ క్రింద ఇవ్వడమైనది.

ప్రశ్న 6.
8 నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగరవేశారు. కనీసం 6 బొమ్మలు పడటానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
బొమ్మ రావటానికి సంభావ్యత =\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమాధ్లమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి, P(X ≥1) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్విపద విభాజనానికి అంకమధ్యమం = np = 4

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1. 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమ చేతి వాటం టండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చట n=10
p=0.1
q=1-p=1-0.1=0.9
10 మందిలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్త
\(P(X=1)={ }^{10} C_1(0.1)^1(0.9)^{10-1}\)
= 10 × 0.1 × (0.9)⁹
= 1 × (0.9)⁹
= (0.9)⁹

ప్రశ్న 9.
450 పేజీల ఉన్న ఒక పె్తకంలో 400 ముద్రణ లోపాలు ఉన్నాయి. ఒక పేజీలోని డోషాల సంఖ్ల పాయిజాన్ న్యాయాన్న్ అసుసరిస్తుందనుకొని, 5 పేజీల యాదృచ్ఛిక శాంపుల్, ముద్రణ దోషాలను ఏమీ కలిగి ఉండని సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఈ పుస్తకంలోని ఒక పేజీకి. గం సగటు దోషాల సంఖ్య

ప్రశ్న 10.
రక్తంలోని ఎర్కణాల లోటును, రక్రం నమూనాను మైక్రోస్కోస్తో పరీక్షించి నిర్ధాఠిస్తారు. ఆరోగ్రాంతకడికి ఒక నిర్డిష్ట పరిమాణ నమానాలో సగటున 20 ఎక్ర కణాలు ఉంటాయనుకుందాం. పాయిజాన్ విఖాజనాన్ని ఉపమోగించి, అరోగ్యవంతుడి నుంచి తీసుకున్న ఒక రక్త నమూనాలో 15 కంటే తక్కువ ఎగ్ర కణాలను కలిగి ఉండే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట λ =20
ఒక ఆరోగ్యవంతుడ నుంచి తీసుకున్న నమూనాలో r ఎ(ర్ర
కణాలు ఉండగల సంభావ్యత P (X=r).

ప్రశ్న 11.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X=1)=P(X=2) ను తృృప్తిపరుగ్తుంది. P(X = 5) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత

ప్రశ్న 1
రెండు పాచికలను ఒకే తడవ దార్లంచినప్ణుడు ఆ పాచికల ముఖాలపై ఒకే సంఖ్ల రావడానికి గల సంఖావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు పాచికల ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటనను ‘E’ అనుకొందాం.
‘E’ జరగడానికి దోహదం చేసే సందర్భాల సంఖ్య = 6 శాంపిల్ ఆవరణంలోని మొత్తం లఘు ఘటనల సంఖ్య

ప్రశ్న 2.
1 నుంచి 20 వరకు గల 20 సంఖ్లల నుంచి ఒక సంఖ్యను ఎన్నుకొన్నాం. ఆ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపుల్ ఆవరణ S లో 20 మూలకాలున్నాయి. ఎన్నుకన్న సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే ఘటన E అనుకోండి. అప్పుడు

ప్రశ్న 3.
ఒక సంచిలో 4 ఎర్రని, 5 నల్లని, 6 నీలం రంగును కలిగిన ఐంతులున్నాయి. యాదృచ్చింగా ఏకకాలంలో ఎన్నుకొన్న రెండు బంతులలో ఒకట ఎర్రది అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు బంతులను ఒకసారి తీసినపుడు ఒకటి నల్ల బంతి, ఒకటి ఎర్రబంతి వచ్చే ఫుటన ‘E’ మరియు ‘S’ అనేది శాంపుల్ ఆవరణం. నంచిలోని వెుత్తం బంతుల నంఖ్ = 4+5+6 = 15

ప్రశ్న 4.
పది పాచికలను ఒకే తడవ దొర్లించినప్పుడు అందుల ఏ పాచికా 1 చూపకపోవడానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఏ పాచిక 1 చూపని ఘటనను A అనుకొందాం.

ప్రశ్న 5.
{1,2,3, ………… 100} నుంచి ఒక సంఖ్య x ను యాదృచ్ఛికంగా తీయడంజరిగింది. \(\left(x+\frac{100}{x}\right)\)> 29 అయ్యే సంఖావ్యత ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 100.
{1,2,3, ………….. 100} లో నుంచి ఎన్నుకొన్న సంఖ్య x
అనేది \({x}+\frac{100}{\mathrm{x}}\) > 29 ని ధ్రువపరిచే ఘటనను A అనుకొందాం.
అప్పుడు x+ \(\frac{100}{\mathrm{x}}\) >29
⇔ x² -29 x+100 > 0
⇔ (x-4)(x-25) > 0
⇔ x < 4 లేదా x > 25
⇔ x ∈ {1,2,3,26,27, ………………….. 100} = A (అనుకొందాం)
∴ A అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య 78
∴ కావలసిన సంభావ్యత = P(A) = \(\frac{78}{100}\) = 0.78

ప్రశ్న 6.
ఒక చదరంగం బల్లపై రెండు చతురస్రాలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. వాటికి ఉమ్మడి భుం ఉండటానికి గల సంభావ్యత \(\frac{1}{18}\) అని చూపండి.
సాధన:
మొదటి చతురస్సాన్ని 64 విధాలుగా, రెండోదాన్ని 63 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి రెండు చతురస్సాలను ఎన్నుకొనే విధాలు 64× 63
ఈ చతురస్రాలు ఒక ఉమ్మడి భుజాన్ని కలిగిఉండే ఘటన E అనుకొందాం.
ఇప్పుడు E అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యను కనుక్కొందాం. మొదటగా ఎగ్నుకొన్న చతురస్రం మూలనున్న నాలుగు చతురస్సాల్లో ఒకటి అయితే రెండో చతురస్సాన్ని (ఉమ్మడి భుజం ఉండేటట్లు) రెండు రకాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుకొన్న చతురస్సం చదరంగం ఐల్ల భుజం వెంబడి గల (మూలల వద్ద ఉన్నవాటిని మినహాయిస్తే) 24 చదరాల్లో ఒకటి అయితే, రెండో చతురప్రాన్ని 3 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుక్న్న చతురక్సం మిగిలిన 36 చతురస్సాల్లో ఒకటి అయితే రెండోదాన్ని 4 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్
(4 × 2)+(24 × 3)+(36 × 4)=224
∴ కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{224}{64 \times 63}=\frac{1}{18}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక నిష్బాక్షక నాణేన్ని 200 సార్లు ఎగరవేశారు. జేసి సంఖ్యలో (అన్నిసార్ల) ణొమ్మహడే సంఖావ్యత కనుక్కోండి.
సాధన:
మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 2²⁰⁰
బేసి సంఖ్యలో దొమ్మపడే ఘటనను E అనుకొందాం.
E కి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఒక గుండ్రని ణల్ల చుట్టా కూర్చన్న 20 మంది వ్యక్తలలో A, Bలు ఉన్నారు. A, Bల మధ్య ఎవరైనా ఆరుగురు వ్యక్తులండే సంఖావ్యత కనుక్రోండి.
సాధన:
గుండ్రటి బల్లచుట్టూ ఏ ఆసనం పైనెనా ‘A’ కూర్చోవచ్చు. అప్పుడు Bకి అందుబాటులో ఉన్న ఆసనాల సంఖ్ 19. కాని A, Bల మధ్య ఆరుగురు వ్యక్తులు ఉండాలంటే Bకి గల అవకాశాలు రెండే.
∴ కావలసిన సంభావ్యత \(\frac{2}{19}\).

ప్రశ్న 9.
30 వరస హార్ణాంకాల నుంచి రెండింటిని యాదృచ్కంగా ఎన్నకకొన్నారు. వాటి మొత్తం జేసససంఖ్య అజ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
30 సంఖ్యల నుంచి 2 సంఖ్యలను ఎన్నుకొనే విధాలు ³⁰C₂. ఈ 30 సంఖ్లల్లో 15 సంఖ్యలు జేసి కాగా 15 సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలు. ఎన్నుకొన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తం బేసిసంఖ్య కావాలంటే అందులో ఒకటి సరిసంఖ్య మరాకటి దేసిపంఖ్య కావాలి. కాబట్టి అనుకూల ఫలిజాల సంఖ్య = ¹⁵C₁ x ¹⁵C₁
∴ కావలసిన సంభావ్యత

ప్రశ్న 10.
పుట్టిన పిల్లలు 1,00,000 మందిలో 20 సంవత్సరాల వయస్సు వచ్చే వరకు జీవించేవారి సంఖ్య 77,181. ఇప్పుడు పుట్టిన ఐిడ్డ 20 సంవత్సరాల వరకు జీవించగల సంఖావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ m=77,181
n=1,00,000
కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{m}{n} = \frac{77,181}{1,00,000}\)
= 0.77181

ప్రశ్న 11.
సంఖావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂ ఏవైనా రెండు ఘటనలు, P సంభావ్యతా ప్రమేయం అయితే

ప్రశ్న 12.
రెండు పాణికలతో మొత్తం స్కోరు 7 దొర్లించే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చిన (పయోగం శాంపిల్ ఆవరణం
S={(1,1),(1,2), ……………… (1,6),
(2,1),(2,2), …………….. ,(2,6),
..
..
..
..
(6,1,(6,2), …………….. ,(6,6)}
ఏదైనా ఒక మూలకంలోని మొదటి నిరూపకం మొదటి పాచికపై స్కోరును, రెండో నిరూపకం రెండో పాచికపై స్కరును సూచిస్తాయి. Sలో మొత్తం 36 మూలకాలున్నాయి. S లోని మూలకాలన్నీ సమసంభవాలు.
మొత్తం స్కోరు 7 పొందే ఘటనను E అనుకోండి. అప్పుడు
E={(1,6),(2,5),(3,400),(4,3),(5,2), (6,1)}, E లో మొత్తం 6 మూలకాలున్నాయి.
∴ P(E) = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 13.
మాడు నాణేలను ఎగరవేసినప్పండు రెండు ణొరుసులు, ఒక జొమ్ము పొందే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
మూడు నాణేలను ఎగరవేసే ప్రయోగం శాంపిల్ ఆవరణం S = {H H H, H H T, H T H, H T T, T H H, T H T, T T H,TT T}
n(S)=, 8
రెండు బొరుసులు, ఒక దొమ్మ పడే ఘటనను E అనుకోండి.
అప్పుడు E = {H TT, T H T, TT H}
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
∴ P(E) \(\frac{3}{8}\)

ప్రశ్న 14.
200 పేజీలు గల ఒక పుస్తకంలో నుంచి ఒక పేజీని యాదృచ్చికంగా తెరిచారు. పేజీ సంఖ్య సంపూర్ద వర్గమయ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
పై సమస్యలోని ప్రయోగపు శాంపిల్ ఆవరణం
S = {1,2,3, ………………… , n(S) = 200
తెరిచిన పేజీపై సంఖ్య సంపూర్ణ వర్గమయ్యే ఘటన E అనుకోండి. అప్పుడు
E = {1,4,9, ………………….. 196}, n(E)=14
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{14}{200}=\frac{7}{100}=0.07\)

ప్రశ్న 15.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసు గాని, ఇన్పేటి గాని అహ్యే సంఖావ్యత ఎంత? గమనిక : పేక ముక్కల కట్ట అంటే 52 కార్కులు ఉన్న పేక ముక్కల కట్ట అని అర్థం. అందులో 26 ఎర్రనివి, 26 నల్లనివి. ఈ 52 కార్డును నాలుగు సెట్లుగా విభజిస్తూ వీటిని ఆఠీను, కళావరు, డైమండ్, స్పేడ్ (ఇస్పేటు) అనే పేర్లతో పిలుస్తారు. ప్రతి సెట్లోనూ 13 కార్డులుంటాయి. అవి A, 2,3,4,5,6,7,8,9,10, K, Q, J
( A= ఆసు, K= రాజు, Q= రాణి, J = జాకీ)
సాధన:
తీసిన ముక్క ఇస్పేటు అయ్యే ఘటన E₁, ఆసు అయ్యే ఘటన E₂ అనుకోండి. E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు కావని గమనించండి. P(E₁ ∪ E₂) ని కనుక్కోవాలి.

ప్రశ్న 16.
A, B లు రెండు ఘటనలైతే
(i) P(A∩B^c)=P(A) – P(A∩B),
(ii) A, B లలో ఒక్కటి మాత్రమే జరిగే సంభావ్యత P(A)+P(B) – 2P(A∩B) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
A, B ఫటనలల P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఉన్నాయనుకోండ.
i) A జరగకపోవడానికి
ii) A కానీ, B కానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) A జరగకపోమే ఘటన A^c; A కానీ, B కానీ జరగకపోయే ఘటన P(A∪B)^c , అని మనకు తెలుసు.
∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – 0.5 = 0.5

ii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
కాబట్టి P(A∪B) = 0.5 + 0.4 – 0.3
= 0.6
∴ P[(A∪B)^c ] = 1 P(A∪B)
= 1 – 0.6 = 0.4

ప్రశ్న 18.
A, B, C లు మాడు ఘటనలైతే, P(A∪B∪C) P(A) + P(B) + P(C)  – P(A∩B) – P(B∩C) – p(C∩A) + P(A∩B∩C) అని చూపండి.
సాధన:
B∪C = D అని వ్రాస్తే P(A∪B∪C) = P(A∪D)
P(A∪D) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

ప్రశ్న 19.
సంభావ్యతకం గుణాన సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : P(A)>0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాద్చిక (పయోగపు ఘటనలు అయితే,
P(A∩B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)
ఉపపత్తి : యాద్యచ్చక (పయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొందాం.
P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు. అప్పుడు షరతు సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి,
\(P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
∴ P(B∩A) = P(A).P(B|A)
P(B) > 0 కాబట్టి పై సమీకరణంలో A, B లను తారుమారు (వినియమం) చేస్తాం.
P(A∩B)=P(B∩A)=P(B).P(A|B)

ప్రశ్న 20.
ఒక పాచిక ఆ యుగ్మాన్ని దార్లించారు. పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 6 అయినప్పుడు వాటిలో ఏదో ఒకట 2ను చూపే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
రెండు పాచికలను దొర్లంచినప్పుడు, ఏదైనా ఒక పాచికపై 2 వచ్చే ఘటన ‘A’, పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 6 అయ్యే ఘటన ‘B’ అనుకొందాం.
A = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}
n(A) = 11
P(A) = \(\frac{11}{36}\)
B = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2)(5,1)}
n(B)=5
P(B)= \(\frac{5}{36}\)
A∩B = {(2,4),(4,2)}

ప్రశ్న 21.
ఒక పెట్టెలో 4 పనిచేయని, 6 పనిచేసే బల్టలి ఉన్నాయి. దీని నుంచి తీసిన బల్బాను తిరి భర్తీచేయని రీతిలో రెండు ఐల్బులను తీశారు. తీసిన రెండు బల్బులు పనిచేసే ఐల్కాలు అమ్యే సంభావ్యతను కనుక్రోండి.
సాధన:
పది బంతులలో 6 బంతులు ఎర్రటివి కాబట్టి ముందుగా తీసిన బంతి ఎర్రటిదయ్యే సంభావ్యత ‘A’ రెండోసారి తీస్తే ఎర్రటిదయ్యే సంభావ్యత ‘B’, మరియు ‘S’ అనేది శాంపిల్ల ఆవరణం అనుకొందాం.

ప్రశ్న 22.
ఒక తరగతిలో పన్నెండుమంది బాలురు, నలుగురు బాలికలున్నారు. ఒకరి తరువాత ఒకరిని వరుసగా ముగ్గురు పిల్లలను ఎన్నుకొంటే, ఆ ముగ్గురూ బాలురు ఆయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
iవ ప్రయత్నంలో బాలుడిని ఎన్నుకొనే ఘటన E_i  అనుకొందాం.
అప్పుడు కనుక్కోవలసిన సంభావ్యత
(i = 1,2,3) P(E₁∩E₂∩E₃) లబ్ద సిద్ధాంతం నుంచి,
P(E₁∩E₂∩E₃) = P(E₁) P(E₂/E₁) P(E₃/E₁∩E₂)
\(=\frac{12}{16} \times \frac{11}{15} \times \frac{10}{14}=\frac{11}{28}\)

ప్రశ్న 23.
75 % సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు, B 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకోండి. అప్పుడు

ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే ఘటన E అనుకొండాం. ఇది రెండు విధాలుగా జరగవచ్చు.
i) A నిజం, B అబద్ధం చెబుతాడు.
ii) A అబద్ధం, B నిజం చెబుతాడు.

ప్రశ్న 24.
కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, Bలకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\). వారిద్దరూ స్వతంత్గా సమస్యను సాధించడానికి (పయత్నిస్తే, ఆ సమస్ల సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, Bలతో సమస్య సాధించబడే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ లు అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం
\(\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_1\right)=\frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_2\right)=\frac{1}{4}\)
ఈ రెండు ఘటనలు, స్వతంత్త ఘటనలని గమనిద్దాం.
కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత

ప్రశ్న 25.
A, B లు ఒక్కొక్కరు ఒక నాణేన్ని 50 సార్లు ఏకకాలంలో ఎగరవేస్తారు. ఇద్దరికీ ఒకే ఎగరవేతలో దొరుసు పడక పోవటానికి సంభావ్యతను కనుక్రోండి.
సాధన:
A, B లు ఇద్దరికి ఒక ఎగరవేతలో దొరుసు పడకపోతే ఫటనను E తీసుకొందాం.
ప్రతి ఎగరవేతలో నాలుగు రకాల అవకాశాలున్నాయి.
i) A కి H రావడం, B కి H రావడం
ii) A కి T రావడం, B కి H రావడం
iii) A కి H రావడం, B కి T రావడం
iv) A కి T రావడం, B కి T రావడం
ఇక్కడ 50 యత్నలు.
కాబట్టి మొత్తం అవకాశాల సంఖ్య 4⁵⁰. పైన పేర్కొన్న నాలుగు సందర్భాల్లో, (i), (ii), (iii) లు మా(తమే ఘటన E కు అనుకూల సందర్భాలు. E కి (iv) అనుకూలం కాదు.
∴ \(\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{3^{50}}{4^{50}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{50}\)

ప్రశ్న 26.
ఒక యాద్చ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలైతే A^c,B^c లూ రెండూ స్వతంత్ర ఘటలని చూపండి.
సాధన:
A; B స్వతంత్ర ఘటనలు కాబట్టి

ప్రశ్న 27.
ఒక సంచిలో 10 ఒకే మాదిరి బంతులున్నాయి. వీటిలో 4 నీలం రంగువి, 6 ఎర్ర రంగువి. ఒకదాని తరువాత ఒకటి మూడు బంతులను యాధృచ్ఛికంగా ఆ సంచి నుంచి తీస్తే ఆ మూడూ ఎర్రటి బంతులు అయ్యే సంభావ్యతను కనుకొందాం.
సాధన:
మొదట తీసినపుడు అది ఎర్రటి బంతి అడ్యేసంభావ్యత \(\frac{6}{10}\),
రెండోసారి తీసినపుడు ఎర్ర బంతి అమ్యే సంభావ్యత \(\frac{5}{9}\)
మూడోసారి తీసినపుడు ఎర్ర బంతి అమ్యే సంభావ్యత \(\frac{4}{8}\)
కాబట్టి గుణన సిద్ధాంతం నుంచి, కావలసిన సంభావ్యత
\( =\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}=\frac{1}{6}\).

ప్రశ్న 28.
ఒక పాత్రలో 7 ఎర్రని, 3 నల్లని బంతులున్నాయి. తీసన ఐంతిని తిరిగి పాత్రలో పెట్టకంండా, రెండు బంతులను తీశారు. ముందుగా తీసన బంతి ఎర్రదని తెలిస్తే, రెండోబంతి ఎర్రనిదయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మొదట తీసిన బంతి ఎర్రనిదడ్యే ఘటన R₁ రెండో బంతి ఎళ్రనిదమ్యే ఘటన R₂ అనుకాందాం.

ప్రశ్న 29.
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలా
P(A)=0.2, P(B)=0.5
(i) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(ii) \(\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\right)\)
(iii)P(A∩B)
(iv) P(A∪B) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది P(A) = 0.2, P(B) = 0.5
మరియు A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 30.
సంచి B₁ లో 4 తెల్లటి, 2 నల్లటి బంతులున్నాయి. సంచి B₂ లో 3 తెల్లటి, 4 నల్లటి బంతులున్నాయి. ఒక సంచిని యాధృచ్ఛికంగా ఎంచుకొని, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాధృచ్ఛికంగా తీస్తే, అది తెల్లటి బంతి అయ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
B₁, B₂ సంచులను ఎంచుకొనే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొందాం.

ప్రశ్న 31.
బేయీ సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : ఒక యాధృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, ……………………. E_n లు n పరస్పర వివరిత, పూర్ణ ఘటనలు: P(E_i )≠ 0,


ప్రశ్న 32.
మూడు పెట్టెలు B_{1 ,} B₂, B₃ లలోని ఐంతులు క్రింద వివరించిన రంగులలో ఉన్నాయి.

ఒక పాచికను దొర్లించారు. పాచిక పై ముఖంపై 1 లేదా 2 వస్తే B₁ ను ఎన్నుకొంటారు ; 3 లేదా 4 వస్తే B₂ ను ఎన్నుకొంటారు ; 5 లేదా 6 వస్తే B₃ ను ఎన్నుకొంటారు. ఈ విధంగా ఒక పెట్టెను ఎన్నుకొన్నాక, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. అలా ఎన్నుకొన్న బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె B₂ నుంచి వచ్చే సంభావ్త ఎంత ?
సాధన:
పెట్టె B_i ను ఎన్నుకొనే సంభావ్యత P(E_i)(i=1,2,3) అనుకొందాం. అప్పుడు
\(P\left(E_i\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ; i=1,2,3\)
పెట్టె B_i ఎర్రనిదయ్యే సంభావ్యత P(R / E_i) అనుకొంటే

ప్రశ్న 33.
ఒక పార్రలో w తెల్లని b నల్లని బంతులున్నాయి. Q, R అనే ఇద్దరు ఆటగాళ్ళు పాత్ర నుంచి ఒకరి తరువాత ఒకరు, తీసిన బంతిని తిరిగి ఫర్తీ చేస్తూ, బంతులను తోస్తున్నారు. తెల్లటి బంతి ఎవరు ముందుగా తీస్తే వారు గెలిచినట్లు. Q ఆటను వైదలుపెడితే, Q గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
తెల్లటి బంతిని తీసే ఘటన W తో, నల్లని బంతిని తీసే ఘటనను B తో సూచించామనుకోండి. అప్పుడు

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు

ప్రశ్న 1.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు డుధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం.

ప్రశ్న 2.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని గణించండి.
సాధన:
దత్తబిందువులను పరిమాణం పరంగా ఆరోహణక్రమంలో (వాయగా 4, 6, 7, 10, 12, 12, 13, 16
∴ మధ్యగతం = \(\frac{10+12}{2} = 11\)
పరమ మూల్ల విలువలు
|11-4|, |11-6|, |11-7|, |11-10|, |11-12|, |11-12|, |11-13|, |11-16|
= 7, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{8}\) (7+5+4+1+1+1+2+5)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25

ప్రశ్న 3.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 4.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన దత్తాంశానికి మద్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 6.
క్రింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 7.
క్రింది దత్తాయాానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 8.
క్రింది దత్తాంశానికి విస్తృతి, (ప్రామాణిక విచలనాలను కనుగొనుము 5,12,3,18,6,8,2,10
సాధన:

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి విస్తృతి మరియు (ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 10.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విాజనానికి విస్తృతి ప్రామాణిక విచలనాన్ని గణించండి.

సాధన:
ఉహత్మక మధ్యమం A = 65 అనుకొనుము
అపుడు  \(y_i=\frac{x_i-65}{10}\)

ప్రశ్న 11.
ఒక తరగతికి చెందిన రెండు విభాగాలు A, B లలోని విద్యార్థులు, 100 మార్కులకు పెట్టిన ఒక పరీక్షలో క్రింది ఫలితాలను సాధించారు. వీరిలో ఏ విభాగంలోని విద్యార్థులు, వారి ఫలితాలలో ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగి ఉన్నారో కనుగొనుము.

సాధన:
విభాగం – A విద్యార్ధుల మార్కుల విభాజన విస్తృతి σ²₁ = 81
⇒ ప్రామాణిక విచలనం σ₁ =8
విభాగం – B విద్యార్థుల మార్కుల విభాజన విస్తృతి σ²₂ = 81
⇒ σ₂ = 9
రెండు విభాగాలలోని విద్యార్థుల సగటు మార్కులు ఒకటి (అంటి 45) కావున అధిక ప్రామాణిక విచలనం కలిగిన విభాగం ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
∴ విభాగం B వారి పనితనం అధిక విచలనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 12.
ఒక సర్వేలో రాబట్టిన రెండు నమూనాల రఫ్రిజిరేటర్లు A, B ల మన్నిక కాలం ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. మీరు ఏ నమూనా రిఫ్రిజిరేటరును కొనవచ్చని సూచిస్తారు.

సాధన:
నమూనా A, నమూనా B రి్రిజిరేటర్ల మన్నిక కాలాలు మధ్యమం, విస్తృలిలను కనుక్కొవడానికి పట్టికను నిర్మిద్దాం.

నమూనా B విచలనాంకం నమూనా A విచలనాంకం కంటే తక్కువగా ఉన్నది.
నమూనా B కొనవచ్చునని సూచిస్తాం.

ప్రశ్న 13.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, (క్ంిది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:
ఉహత్మక మధ్యమం A = 35

ప్రశ్న 14.
ఈ క్రింది పట్టిక, ఒక కర్మాగారంలో పనివాళ్ళ రోజు వారీ జీతాలను తెలుపుతుంది.ఈ పనివాళ్ళ జీతాల ప్రామాణిక విచలనాన్ని, విచలనాంకంను గణనం చేయండి.

సాధన:
తరగతి అంతరాల మధ్యబిందువులు సంఖ్యాపరంగా పెద్దవి కనుక ఈ సమస్యను సోపాన విచలన పద్ధతినుపయోగించి సాధిస్తాము.
ఇక్కడ h=50
ఊహత్మక మధ్యమం A=300
అపుడు \( y_i=\frac{x_i-300}{50}\)

ప్రశ్న 15.
ఒకే రకం పంర్రమకు చెందిన .రండు సంస్థల A, Bలలోని పనివారికి ఇచ్చిన జీతాలను విశ్లేషణ చేసినప్పుడు ఈ క్రింది పట్టికలోని వివరాలు తెలిసాయి.

i) A లేదా B లో ఏ సంస్థ, ఆ పరిశ్రమలోని జీతాలలో ఎక్కువ విచరణ కలిగి ఉంది ?
ii) ఏ సంస్థ ఎక్కువ జీతం బిల్లును కలిగి ఉంది ?
సాధన:
i) ఇచ్చిన σ²_A= 81 ⇒ σ_A= 9
σ²_B = 100 ⇒ σ_B= 10
\(\bar{x}_A\) = 186 మరియు \(\bar{x}_B\) = 175
సంస్థ A జీతాల విభాజనపు విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_A}{x_A} \times 100=\frac{9}{186} \times 100=4.84\)
సంస్థ B జీతాల విభాజనపు విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_{\mathrm{B}}}{\mathrm{x}_{\mathrm{B}}} \times 100=\frac{10}{175} \times 100=5.71\)
∴ సంస్థ B కి విచలనాంకం, సంస్థ A విచలనాంకం పెద్దది కనుక, వ్యక్తిగత జీతాలకి సంబంధించి, సంస్థ B ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగినదని చెప్పగలం.

ii) సంస్థ A లోని పనివారికి చెల్లించిన మొత్తం జీతాలు= 500 ×186 = 93,000
సంస్థ B లోని పనివారికి చెల్లించిన మొత్తం జీతాలు =600 ×175 = 1,05,000
∴ సంస్థ B కి ఎక్కువ జీతం బిల్లు కలదని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 16.
20 పరిశీలనల విస్తృతి 5. (పతి పరిశీలసను 2 చే గుణించినప్పుడు వచ్చే పరిశీలనల విస్తృ)తిని కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తపరిశీలనలను x₁, x₂,……………….. x₂₀ వాటి మధ్యమం \(\overline{\bar{x}}\) అనుకొనుము.
దత్తాంశం నుంచి n=20 మరియు విస్తృతతి = 5

∴ ఫలితంగా వచ్బే పరిశీలన విస్త్లృతి = \(\frac{1}{20}\) × 400 = 20 = 2² × 5

ప్రశ్న 17.
పరిశీలన x₁, x₂ ……………………….. x_n లలో (ప్రతిదాన్ని k కి పెంచితే లేదా కలిపితే (k ఒక ధనాత్మక లేదా రుణాత్మక సంఖ్య), వచ్చే పరిశీలనల విస్తృతి ఏమి మారదని చూపండి.
సాధన:
x₁, x₂ ……………………….. x_n ల మధ్యమం x అనుకొందాం.
అప్పుడు వాటి నిస్తృతి \(\sigma_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \)
ప్రతి పరిశీలనకు ఒక స్థిరరాశి k కలిపితే, వచ్చే కొత్త పరిశీలనలు y_i = x_i + k ………………. (1)

ప్రశ్న 18.
10 ఇన్నింగులలో A, Bఅనే ఇద్దరు క్రికెట్ అటగాళ్ళు స్కోరులు ఈ క్రింద ఇవ్వడమైనది. వీరిలో ఎక్కువ పరుగులు సాధించిన ఆటగాడో, ఎవరు ఎక్కువ నిలకడగల అటగాడో కనుగానుము.

సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 1.
\(\frac{5 x+1}{(x+2)(x-1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\frac{2 x+3}{5(x+2)(2 x+1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\frac{13 x+43}{2 x^2+17 x+30}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^2+5 x+7}{(x-3)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2+13 x+15}{(2 x+3)(x+3)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలు మొత్తంగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\frac{x-1}{(x+1)(x-2)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\frac{2 x^2+1}{x^3-1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\frac{x^3+x^2+1}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\frac{x^4+24 x^2+28}{\left(x^2+1\right)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\frac{x+3}{(1-x)^2\left(1+x^2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\frac{3 x}{(x-2)(x+1)}\) ను x ఘాతకేణణిగా విస్తరించ గలిగే అంతరాన్ని తెలుపుతూ x⁴ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\) ను x ఘాతకేణణిగా విస్తరించ గలిగే  ప్రదేశాన్ని తెలుపుతూ, xⁿ గుణకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 1.
(2 a+3b)⁶ మొక్క విస్తరణను (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(3 x-4 y)⁷ విస్తరణలో 5వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(2 a+5 b)⁸ విస్తరణలో చివరి నుంచి 4వ పదం కనుక్హోండ.
సాధన:
దత్త విస్తరణలో 9 పదాలుంటాయి. కనుక చివరినుంచి 4వ పదం మొదటినుంచి లెక్కిస్తే 6వ పదం అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
క్రింది విస్తరణలో మధ్యపదం కనుక్రోండి.
(i) (3 a-5 b)⁶ (ii) (2 x+3 y)⁷
సాధన:
(i) ఇక్కడ n = 6 (సరిసంఖ్య)

(ii) ఇక్కడ n = 7 (బేసిసంఖ్య)

ప్రశ్న 5.
n ఒక ధన హూ్్ణాంకం అయితే
(i) C₀ + C₁ + C₂ +………………… + C_n = 2ⁿ

(ii) n సరిపూర్ణాంకం అయితే
(a) C₀ + C₂ + C₄ +………………… + C_n = 2^n-1
b) n బేసి హూర్ణాంకం అయితే C₀ + C₂ + C₄ +………………… + C_n-1 = 2^n-1

(iii)
(a) n సరిహ్ణాంకం అయితే C₁ + C₃ + C₅ +………………… + C_n-1 = 2^n-1
(b) n బేసి పూర్ణాంకం అయితే C₁ + C₃ + C₅ +………………… + C_n = 2^n-1
సాధన:

ప్రశ్న 6.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే C₀ + 3.C₃ + 5.C₂ +………………… +(2n +1) . C_n = (2n + 2) = 2^n-1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
x= \(\frac{2}{3}\) అయినప్పుడు (1 – 5x)¹² విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గిష్ఠపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ n=12 మరియు X=-5x

ప్రశ్న 8.
\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\), n=17 అయనప్పు (3 x-5 y)ⁿ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్రపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\) మరియు n=17

ప్రశ్న 9.
కింది పదాల విస్తరణలో గరిష్య ద్విపద గుణకం (గుణకాలు) కనుక్కోండి.
(i) (1+x)¹⁹
(ii) (1+x)²⁴
సాధన:
(i) n=19 బేసి పూర్ణాంకం కనుక గరిష్ట గుణకాలు

(ii) n=24 సరి పూర్ణాంకం కనుక (1+x)²⁴ లో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం
\(={ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)} \text { (i.e.) }{ }^{24} C_{12}\)

ప్రశ్న 10.
(1+x)²² విస్తరణలో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం ²²C_r అయితే ¹³C_r విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
n = 22 సరీసంఖ్య. కనుక ఒకే గరిష్ఠ గుణకం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 11.
\(\left(\frac{4}{x^3}+\frac{x^2}{2}\right)^{14}\) విస్తరణలో 7వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\left(x^{-2 / 3}-\frac{3}{x^2}\right)^8\) విస్తరణలో చివరి నుండి 3వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\left(2 x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}\) విస్తరణలో x⁹, x¹⁰ ల గుణకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{2 x^{-2}}\right)^{10}\) విస్తరణలో x పై ఆధారపడని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\left(a x^2+\frac{1}{b x}\right)^{11}\) విస్తరణలో x¹⁰ గుణకం \(\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{11}\) విస్తరణలో x^-10 గుణకం సమానమైతే; a, b ల మధ్య సంబంధం కనుక్కోండి. (ఇక్కడ a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\left(x^2-\frac{1}{2 x}\right)^{20}\) విస్తరణలో T_k మధ్యపదం అయితే  T_k+3
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1+x)¹⁸ విస్తరణలో (2 r+4),(r-2) పదాల గుణకాలు సమానం అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
‘n’ ధన హార్ణాంకం అయితే 2. C₀ + 7.C₁ + 12.C₂ +………………… +(5n +2) C_n = (5n + 4) = 2^n-1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
(i) \(C_0+3 \cdot c_1+3^2 \cdot C_2+\ldots \ldots+3^n \cdot C_n=4^n\)
(ii) \(\frac{C_1}{C_0}+2 \cdot \frac{C_2}{C_1}+3 \cdot \frac{C_3}{C_2}+\ldots . .+n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}=\frac{n(n+1)}{2}\) అని నిరాపించండి.
సాధన:


ప్రశ్న 20.
n = 0,1,2,3, …………………… 0

సాధన:

ప్రశ్న 21.
3.C₀ + 7.C²₁ + 11.C²₂ +………………… + (4n +2) C²_n = (2n + 3) = ²ⁿC_n ఆనిచూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
i) x= \(\frac{11}{8}\) యయనపుడ (2+3x)¹⁰ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ii) x=8, y=3 అయినపుడు (3 x-4 y)¹⁴ విస్తరణలో సంఖ్యా పరంగా గరిష్డ పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
n ఒక ధన హార్ణాంకం అయితే 6²ⁿ-35 n-1 ను 1225 నిశ్ళేషంగా భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
n ఒక ధన హూర్ణాంకం అయితే \((7+4 \sqrt{3})^n\) సంఖ్యకు హార్ణాంక భాగం, భిన్న భాగాలు వరుసగా I, F అయితే
(i) I ఒక బేసి హార్ణాంకం
(ii) (I+F) (1 – F) = 1 అని చూపండ
సాధన:

ప్రశ్న 25.
(3+2 x+x²)⁶ విస్తరణలో x⁶ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
n ధన పూర్ణాంకం అయిన \(C_0+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}+\ldots \ldots +\frac{C_n}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
n ఒక ధన హార్ణాంకం మరియు x ఏదేని శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయిన,\(c_0+c_1 \frac{x}{2}+c_2 \cdot \frac{x^2}{3}+ C_3 \cdot \frac{x^3}{4}+\ldots . .+C_n \cdot \frac{x^n}{n+1}=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.

సాధన:

ప్రశ్న 29.
క్రింది పదాలకు ద్విపద విస్తరణలు వ్యవస్థితం చేసే x ల సమితి E కనుక్కోండి.
(i) (3-4 x)^(3/4)
(ii) (2+5 x)^-1/2
(iii) (7-4 x)^-5
(iv) (4+9 x)^(-2/3)
(v) (a+b x)^r
సాధన:

ప్రశ్న 30.
క్రింద సూచించిన పదాలను కనుక్కోండి.
(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం

(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
సాధన:

(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
సాధన:

(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
సాధన:

(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం
సాధన:

ప్రశ్న 31.
క్రింది విస్తరణలో మొదటి పదాలు వ్రాయండి.
(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
(ii) (3 + 4x)^-2/3
(iii) (4 –  5x)^-1/2

(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
సాధన:

(ii) (3 + 4x)^-2/3

సాధన:

(iii) (4 –  5x)^-1/2

సాధన:

ప్రశ్న 32.
క్రింది ద్విపద విస్తరణలో సాధారణ పదం కనుక్కోండి.
(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
(iii) (1 – 4x)^-3
(iv) ( 2- 3x)^-2/3

(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
సాధన:

(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
సాధన:

(iii) (1 – 4x)^-3
సాధన:

(iv) ( 2- 3x)^-2/3
సాధన:

ప్రశ్న 33.
\(\frac{1+3 x}{(1-4 x)^4}\) విస్తరణలో x¹² గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
(1 – 3x)^-2/5 విస్తరణలో x⁶ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(1+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2.5}{3.6}\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2.5 .8}{3.6 .9}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:

ప్రశ్న 36.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(\frac{3.5}{5.10}+\frac{3.5 .7}{5.10 .15}+\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:

ప్రశ్న 37.
\(x=\frac{1}{5}+\frac{1.3}{5 \cdot 10}+\frac{1 \cdot 3.5}{5 \cdot 10.15}+\ldots \ldots \infty\) అయితే  3x² + 6x విలువ కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 38.
(i) \(\frac{1}{\sqrt[3]{999}}\)
(ii) (627)^1/4 మొక్క ఉజ్ణాయింప విలువలా దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
x³ ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{(4-7 x)^{1 / 2}}{(3+5 x)^3}\) ఉజ్ణాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
\(\sqrt[6]{63}\) మొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 41.
x³ ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{\left(1+\frac{3 x}{2}\right)^{-4}(8+9 x)^{1 / 3}}{(1+2 x)^2}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
x⁴ ఆపై  x ఘాతాలను వదిలివేసేంతగా |x| చిన్నదయితే \(\sqrt[4]{x^2+81}-\sqrt[4]{x^2+16}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
x, y లు ధన వాస్తవ సంఖ్యలు. yతో పోలిస్తే విలావ చాలా చిన్నదయతే, \(\left(\frac{y}{y+x}\right)^{3 / 4}-\left(\frac{y}{y+x}\right)^{4 / 5}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 44.
\(5 \sqrt{5} \text { ను } \frac{4}{5}\) యొక్క ఆరోహణ ఘాతాలలో విస్తరించి ప్రాయండి.
సాధన:

 

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 1.
ⁿP₄  = 1680 అయిన n విలువ ఎంత ?
సాధన:
ⁿp₄  = 1680
= n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 8 x 7 x 6 x 5
∴ n = 8

ప్రశ్న 2.
¹²P_r  = 1320 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹²P_r  = 1320
= 10 x 132 = 10 x 11 x 12
= 12 x 11 x 10 = ¹²P₃
∴ r = 3.

ప్రశ్న 3.
⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ : ⁿP₅ = 3:2 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
⁵⁶P_(r+6) : ⁵⁴P_(r+3) = 30800 : 1 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
9 గణితశాస్త్ర పరీక్షాపత్రాలను, వాటిలో (శేష్ఠమయినది (the best), హీనమైనది (the worst)
(i) కలిసి ఉండేట్లుగా
(ii) వేరు వేరుగా ఉండేట్లు ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
(i) ఈ రెండు రకాలైన పేపర్లను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే మనకి మొత్తం 9-2+1=7+1=8 పేపర్లు ఉన్నాయి. వీటిని 8! విధాలుగా అమర్చవచ్చు, ఆ రెండు పేపర్లను 2! విధాలుగా వాటిలో వాటిని అమర్చవచ్చు. కనుక కావలసిన అమరికల సంఖ్య (ఆ రెండు పేపర్లు కలిసి ఉండేట్లుగా) 8! 2!.

ii) మొత్తం 9 పేపర్లను అమర్చే విధానాలు 9!.వీటిలో శేేష్రమైనది, హీనమైనది కలిసి ఉండేట్లుగా అమర్చే విధానాలు 8! 2!. కనుక, రెండు గణితశాస్త్ర పేపర్లు వేరు వేరుగా ఉండేట్లుగా అమర్చే విధానాలు
9! – 8! 2! (9-2)=8 ! × 7

ప్రశ్న 6.
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలను ఒక వరసలో అమర్చగలిగే విధానాలెన్ని ? వాటిలో ఎన్నిటిలో
(i) బాలికలందరూ కలిసి ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కన రాకుండా ఉంటారు.
(iii) బాలారం, బాలికలా ఒకరిశరువాత ఒకరంగా ఉంటారా.
సాధన:
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలు కలిపి మొత్తం 12 మంది వ్యక్తులున్నారు. కనుక వీరిని ఒక వరసలో అమర్చ గలిగే విధానాలు 12 !

(i) ఆరుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, అప్పుడు ఆరుగురు బాలురు + ఒక బాలికల యూనిట్ ఉంటాయి. వాటిని ఒక వరసలో 7! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు, ఆరుగురు బాలికలను వారిలో వారిని 6! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక ఆరుగురు బాలికలు కలిసి ఉండేలా అమర్చగలిగే విధానాలు.
=7 ! × 6 !

(ii) ముందుగా ఆరుగురు బాలురను ఒక వరసలో 6 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. అప్పుడు బాలుర మధ్యలో మొదట, చివర మొత్తం.

7 ఖాళీలుంటాయి (పైన ఖాళీలను x తో సూచించాం).
ఈ 7 ఖాళీలలో ఆరుగురు బాలికలను అమర్చే విధానాలు ⁷P₆ కనుక ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కన రాకుండా అమర్చే విధానాలు. 6! ×⁷P₆ =7.6 !. 6 !

(iii) వరస బాలుడు లేదా బాలికతో మొదలు కావచ్చు అంటే అవి 2 విధాలు ఉదాహరణకు బాలుడితో మొదలయిందను కొందాం. అప్పుడు బాలురు, బాలికలు ఏకాంతంగా రావాలంటే బాలురను బేసిసంఖ్య గల స్థానాల్లో బాలికలను సరిసంఖ్య గల స్థానాల్లో అమర్చాలి. కనుక ఆరుగురు బాలురను సరి సంఖ్యగల 6 స్థానాలలో అమర్చే విధానాలు = 6!
ఆరుగురు బాలికలను బేసి సంఖ్య గల 6 స్థానాలలో అమర్చే విధానాలు =6 !
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య =2 ×6! × 6!

ప్రశ్న 7.
MIRACLE పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి 4 ఆక్షరాల పదాలు ఎన్ని తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని పదాలు
(i) అచ్చుతో మొదలవుతాయి ?
(ii) అచ్చుతో మొదలయి, అచ్చులో అంతమవుతాయి ?
(iii) హల్లుతో అంతమవుతాయి.
సాధన:
MIRACLE పదంలో 7 అక్షరాలున్నాయి. కనుక వీటిని ఉపయోగించి ఏర్పరిచే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్ర
⁷P₄ = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
ఇప్పుడు నాలుగు ఖాళీ స్థానాలు తీసుకుందాం.

(i) మొదటి స్థానాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 3 అచ్చులలో {I, A,E} ఏదో ఒకదానితో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపే విధానాల సంఖ్య
=⁶P₃  =6 × 5 × 4 = 120
కనుక అచ్చుతో మొదలయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
=3 × 120 = 360

(ii) ముందుగా మొదటి, చివరి స్థానాలను అచ్చులతో { I, A,E) నింపే విధానాల సంఖ్య ³P₂ 2= 3 × 2 = 6
మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 5 అక్షరాలలో నింపే విదానాల సంఖ్య ⁵P₂ = 5 × 4 = 20 కనుక అచ్చుతో మొదలయ్యి అచ్చుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాలు = 6 × 20=120

(iii) చివరి స్థానాన్ని 4 హల్లులలో ఒక దానితో నింపే విధానాలు = ⁴P₁ =4
మిగిలిన 3 స్థానాలు విగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపే విధానాల సంఖ్య =  ⁶P₃=6 × 5 × 4=120
కనుక హల్లుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 4 × 120 = 480

ప్రశ్న 8.
PICTURE అనే పదంలోని అక్షాలన్నింటినీ ఉపహాగించి ఏర్పరిచే ప్రస్తారాలలో ఎన్నిటిలో
(i) అచ్చులన్నీ కలిసి ఉంటాయి
(ii) ఏ రండు అచ్చులు పక్క పక్కన లేకుండా ఉంటాయి?
(iii) అచ్చులు, హల్లులు సాపేక్ష స్థానాలు మారకుండా ఉంటాయి.
సాధన:
పదంలో 3 అచ్చులు (I, U, E), 4 హల్లులు (P, C, T, R) ఉన్నాయి.

(i) 3 అచ్చును ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, 4 హల్లులు + 1 యూనిట్ అచ్చులు మొత్తం 5 అవుతాయి. ఈ ఐదింటిని 5 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు 3 అచ్చులను వాటిలో వాటిని 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం, ఈ రెండు పనులను 5 ! × 3 ! విధాలుగా చేయవచ్చు. కనుక మూడు అచ్చులు కอిసి వుండే ప్రస్తారాల సంఖ్య
= 5! × 3 ! = 120 × 6 = 720

(ii) ముందుగా 4 హల్లులను.ఒక వరసలో 4 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు హల్లుల మధ్యలో మూడు, మొదట, చివర మొత్తం 5 ఖాళీ స్థానాలు ఉంటాయి వీటిని x తో సూచిందాం

ఈ 5 ఖాళీలలో 3 అచ్చులను ⁵P₃ విధాలుగా అమర్చవచ్చు
కనుక ఏ రెండు అచ్చులు పక్క పక్కన రాకుండా అమర్చే
విధానాలు
= 4! × ⁵P₃
=24 × 5 × 4 × 3 = 1440

(iii) మూడు హల్లలను వాటి సాపేక్ష స్థానాలలో 3 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. అదే విధంగా 4 అచ్చులను వాటి సాపేక్ష స్థానాలలో 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.

కనుక కావలసిన ప్రస్తారాలు సంఖ్య 3!  4! = 144

ప్రశ్న 9.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, (పునరావృతం లేకండా) ఆ (క్రమంలో దాని మొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
I  N  O P R S
నిఘంటువులో ముందుగా I తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. ఆతరువాత N తో మొదలయ్యేవి, O తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి. వీటి తరువాత P తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి. వీటిలోనే మనకు కాలసిన పదం PRISON ఉంది. కనుక వీటి నిఘంటువు క్రమాన్ని గమనిస్తే వీటిలో ముందుగా PI తో మొదలయ్యే, పదాలు తదుపరి PN తో, ఆ తరువాత PR తో మొదలయ్యేవి వస్తాయి. ఈ విధంగా PRISON అనే పదం వచ్చేంత వరకు లెక్కించాలి.

ముందుగా I తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్యను గణించ డానికి I ని మొదటి స్థానంలో ఉంచి మిగిలిన 5 అక్షరాలను రకరకాలుగా అమర్చాలి. ఈ రకమైన అమరికలు 5! ఉంటాయి. అంటే I మొదటి అక్షరంగా గల పదాల సంఖ్య 5! అన్నమాట, ఈ విధంగా PRISON అనే పదం వచ్చే వరకు కింది విధంగా గణిస్తాం.

కనుక PRISON అనే పదం కోటి
= 3 x 5! +3 x 4 + 2 x 2! +1+1
= 360 + 72 + 4 + 1 + 1 = 438

ప్రశ్న 10.
2,3,5,6,8 అంకెలనుపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్లలు తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని
(i) 2
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 5
(v) 25
సాధన:
2, 3, 5, 6, 8 అనే.5 అంకెలనుపయోగించి తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్లలు ⁵P₄ = 120.

(i) 2తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 2తో భాగించబడటానికి దాని చివర (ఒకట్ల) స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. అంటే ఈ స్థానాన్ని 2 లేదా 6 లేదా 8 తో నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను.

మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక =3 x ⁴P₃ = 3 x 24=72

(ii) 3 తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 3 తో భాగించబడటానికి ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడాలి. మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 24 కనుక వీటి నుంచి 4 అంకెలను ఆ అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడే విధంగా 2 రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు,
(i) 2,5,6,8
(ii) 2,3,5,8

పైన చెప్పిన రెండు సందర్భాలలో ప్రతిసారి 4 అంకెలతో తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 4 ! (ఇవి అన్నీ 3 తో భాగించబడతాయి). కనుక 3 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
2 × (4!)=2 × 24 = 48

(iii) 4 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 4 తో భాగించ బడాలంటే చివరి రెండు స్థానాల్లో అంటే పదులు, ఒకట్ల స్థానాల్లో ఉన్న రెండంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి.
కనుక ఈ రెండు స్థానాలను 28,32,36,52,56 అనే సంఖ్యలతో నింపాలి.

అంటీ 5 విధాలుగా ఈ రెండు స్థానాలు నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను 3 అంకెలతో ³P₂ విధాలుగా సంఖ్.
= 5 × ³P₂=30.

(iv) 5 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 5 తో భాగించ బడాలంటే చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో 5 ఉండాలి. (‘0’ కూడా ఉండవచ్చు కాని దత్త అంకెలలో ‘0’ లేదు). కనుక ఒకట్ల స్థానంలో5ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 5 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్ల ⁴P₃ =24.

(v) 25 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 25 తో భాగించ బడాలంటే చివరి రెండు స్థానాలను 25 మాత్రమే నింపాలి (50 లేదా 00తో కూడా నింపవచ్చు కాని .దత్త అంకెలలో ‘ 0 ‘ లేదు) అంటే ఈ స్థానాలు ఒక విధంగా మాత్రమే నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 3 అంకెలతో ³P₂ విధాలుగా నింపవచ్చు.

ప్రశ్న 11.
1, 3,5,7,9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
1,3,5,7,9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్ల సంఖ్  ⁵P₄ = 120.
ఇప్పుడు ఈ 120 సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి. ముందుగా మనం ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో  ⁴P₃  విధాలుగా నింపవచ్చు.

అంటే పైన చెప్పివ 120 నాలుగంకెల సంఖ్యలలో ⁴P₃ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 1 వస్తుంది. ఇదేవిధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం.
= ⁴P₃ x 1 + ⁴P₃ x 3 + ⁴P₃  x 5
= ⁴P₃ x 7 + ⁴P₃ x 9
= ⁴P₃ (1+3+5+7+9)
= ⁴P₃  (25)
ఇదే విధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా పైన చెప్పిన అంకెలు మాత్రమే వస్తాయి. కనుక పదుల స్థానంలోని అంకెలు మొత్తం కూడా ⁴P₃ x 25 కాని ఇది పదుల స్థానంలోని మొత్తం కనుక దాని విలువ ⁴P₃ x 25 x 10. ఇలాగే వందల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ ⁴P₃ x 25 x 100  కనుక 1,3,5,7,9 అంకెలనుపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్ల మొత్తం.

ప్రశ్న 12.
1,2,5,7,8,9 అంకెలలో ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్యలా సంఖ్యలు ఎన్ని?
సాధన:
1, 2, 5, 7, 8,9 అంకెలతో ఏర్పడే నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు ⁴P₂ = 360 ఇప్వుడు మొదటి స్థినాన్ని 9తో, చివరిస్థానాన్ని 2 తో నింపే విధానాల సంఖ్య 1.⁴P₂ = 12.

ప్రశ్న 13.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 7 మూలకాలున్న సమితి B క గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య కనుక్కొండి.
సాధన:
A లోని మొదటి మూలకానికి ప్రతిబింబాన్ని B లోని 7 మూలకాలలో ఏదో ఒక మూలకంగా అంటే 7 విధాలుగా నిర్వచించవచ్చు.A లోని రెండవ మూలకానికి, (ప్రతిబింభాన్ని B లోని మిగిలిన 6 మూలకాలలో ఏదో ఒక మూల కంగా అంటే 6 విధాలుగా మాత్రమే నిర్వచించ గలం.
ఇలా చేసుకుంటూ పోతే A నుంచి B కి గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్ల = ⁷P₅
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2,520
గమనిక : సమితి A లోని m మూలకాలు, సమితి B లోని n మూలకాలుంటే A నుంచి B కి నిర్వచించగల అన్వేక (ప్రమేయాల సంఖ్య
= ⁿP_m m ≤ n అయితే
0, m ≤ n అయితే

ప్రశ్న 14.
ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమా దానికి సంబంధించిన కవరులోకి ఏోకుండా ఉండేలా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా ఆమర్చవచ్చు.
సాధన:
కావలసిన అమరికల సంఖ్య \( = 4 !\left(\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}\right)\)
= 12 – 4 + 1 = 9

ప్రశ్న 15.
MIXTURE పదంలోని అక్షరాలతో, పునరావృతాన్ని అనుమతించినపడు, ఏర్పరచగల 5 ఆక్షరాల పదాలలో అచ్చుతో మొదలయ్యే పదాలెన్ని?
సాధన:
MIXTURE పదంలో 7 అక్షరాలున్నవి. అందు 3 అచ్చులు (I, U, E), 4హల్లలలు (M, X,T, R)

కనుక మొదటి స్థానాన్ని ఒక అచ్చుతో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 4 స్థానాలలో ఒక్కొస్థానాన్ని 7 విధాలుగా నింపవచ్చు. (పునరావృతాన్ని అనుమతించాం కనుక)
∴  అచ్చుతో మొదలయ్యే 5 అక్షరాల పదాలు
= 3 × 7 × 7 × 7 × 7=3 × 7⁴

ప్రశ్న 16.
(a) m మూలకాలాన్న ఒక సమితి A నుండి n మాలకాలున్న సమితి B అన్ని (ప్రమేయాలు నిర్వచించవచ్చు ?
సాధన:
A = {a_1,a_2,………….. a_m}
B = {b_1,b_2,………….. b_m}
గా తీసుకొందాం. ముందుగా a₁ ప్రతిబింబానికి B లో ఒక మూలకం ఎంచుకోవాలి. దీనిని మనం n విధాలుగా ఎంచుకోవాలి. ఈ విధంగా A లో ఉన్న m మూలకాలలో ప్రతి మూలకం యొక్క (పతిబింబాన్ని n విధాలుగా నిర్వబించ వచ్చు. ఒక ప్రమేయాన్ని నిర్వచించినపుడు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ మూలకాలకు ఒకే (పతిబింబం ఉండవచ్చు. కనుక A లోని m మూలకాల ప్రతిబింబాలను
n × n × …………….. x n (m సార్లు) = n^m
విధాలుగా నిర్వచించవచ్చు. కనుక A నుండి B కి గల ప్రమేయాల సంఖ్య n^m

(b) n మూలకాలున్న ఒక సమితి A నుంచి 2 మాలకాలున్న సమితి B కు ఎన్ని సంగ్రస్త ప్రమేయాలు నిర్వచించ వచ్చు ?
సాధన:
A = {a_1,a_2,………….. a_n} గా తీసుకొందాం. పై సమస్య ప్రకారం A నుండి B కి గల [ప్రమేయాల సంఖ్య 2ⁿ ఒక ప్రమేయం సంగ్రస్తం కావాలంటే B లోని రెండు మాలకాల x, y లు ప్రమేయం వ్యాప్తిలో ఉండాలి.కనుక (ప్రమేయం సంగ్రస్తం కాకుండా ఉండాలంటే హ్యాప్తిలో x (లేదా y) మాత్రమే ఉండేలా A లోని అన్ని మూలకాల (ప్రతిబింబాలు x (లేదా y) అ ్లేటటట్లు నిర్వచించాలి. ఈ విధమైన ప్రమేయాలు రెండు మాత్రమే ఉంటాయి. కనుక A నుండి B కి నిర్వచించగల 2ⁿ (ప్రేయాల్లో 2 ప్రమేయాలు సంగ్రస్తం కావు. అంటే A సుంచి B కి గల సంగ్రస్త ప్రమేయాల సంఖ్య 2ⁿ– 2.

ప్రశ్న 17.
ప్రావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1, 2, 3, 4, 5, 6 అంకెలలో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్లల సంఖ్యను కనుక్రోండి.
సాధన:
పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 4 స్థానాలను ఇచ్చిన 6 అంకెలతో నింపే విధానాలు
= 6 × 6 × 6 × 6=6⁴=1,296

ప్రశ్న 18.
పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1,2,3,4,5,6 అంకెలతో ఏర్పరిచే 4 అంకెల సంఖ్యలలో ఎన్ని
(i) 2 (ii) 3 తో ఖాగించబడతాయి?
సాధన:
(i) 2 తో భాగించణడే సంఖ్లలు 4 ఖాళీస్థానాలు తీసుకొందాం. ఒక సంఖ్య 2 తో భాగించ బడాలంటే

ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. కనుక ముందుగా ఒకట్ల స్థానాన్ని ఒక సరిసంఖ్య (2 లేదా 4 లేదా 6) తో ‘3’ విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని ఇచ్చిన 6 అంకెలలో దేనితోనైనా 6 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
= 3 × 6³=3 × 216 = 648

(ii) 3తో భాగించణడే సంఖ్యలు
మొదటి 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని 6 విధాలుగా, అంటే మొత్తం 6³ విధాలుగా నింపవచ్చు.

ఈ విధంగా మొదటి. మూడు స్థానాలు నింపాక ఒకట్ల స్థానం నింపడానికి 6 వరుస పూర్ణాంకాలున్నాయి. వీటితో ఒకట్ల స్థానాన్ని నింపితే 6 వరుస ధన సంఖ్యలు వస్తాయి. ప్రతి 3 వరుస ధనపూర్ణాంకాల్లో ఖచ్చితంగా ఒక సంఖ్య 3తో భాగింపబడుతుందని మనకు తెలుసు. కనుక పైన చెప్పిన 6 వరుస ధన పూర్ణాంకాల్లో ఖచ్చితంగా 2 మాత్రమే 3 తో భాగించబడతాయి. అంటే ఒకట్ల స్ధానాన్ని 2 విధాలుగా మాత్రమే నింపవచ్చు కనుక 3 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య.
= 6³ × 2 = 216 × 2 = 432

ప్రశ్న 19.
ఫునరావృతాన్ని అనుమతించినపుడు EXPLAIN పదం లోని అక్షరాలతో మొదట, చివర అచ్చులు ఉండేటట్లు 5 అక్షరాల పదాలు ఎన్ని ఏర్చరచవచ్చు ?
సాధన:
EXPLAIN పదములో 7 అక్షరాలున్నవి అందులో 3 అచ్చులు (A,E,I) లు ఉన్నాయి. కనుక మొదటి, చివరి స్థానాలలోను అచ్చులతో ఒక్కోదాన్ని 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన మూడు స్థానాలలో ఒక్కోదాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 7 అక్షరాలలో ఏదో ఒక అక్షరంతో 7 విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక మొదటి, చివిరి అచ్చులు ఉండే 5 అక్షరాల పదాల సంఖ్య.
=3 × 7 ×7 ×7 × 3
=9 × 343=3,087

ప్రశ్న 20.
SINGING పదంలోని అక్షరాలను
(i) Iతో మొదలయి, Iతో అంతమయ్యేలా
(ii) రెండు Gలుకలిసి ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
(iii) అచ్చులు, హల్లులు సాపేక్ష స్థానాలు మారకుండా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన.
SINGING పదంలో 2I లు, 2G లు, 2Nలు, ఒక S మొత్తం 7 అక్షాాలున్నవి.

(i) ముందుగా మొదటి,చివరి స్థానాలను రెండు Iలతో

నింపితే ఇంకా 5 స్థానాలు, 5 అక్షరాలు ఉంటాయి. కనుక వీటిని అమర్చే విధానాలు \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) (రెండు N లు)
రెండు G లు ఉన్నాయి. కనుక I లు రెండూ ఒకే రకంగా ఉన్నందువల్ల వాటిలో వాటిని ఒక రకంగా మాత్రమే మార్చగలం.
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{5 !}{2 ! ~ 2 !}\) = 30

(ii) రెండు ‘G’ లను.ఒక యూనిట్ గా భావిస్తే, విగిలిన 5 అక్షరాలు + 1 యూనిట్= 6 వీటిలో 2I లు, 2N లు ఉన్నాయి. కనుక
ఈ 6 అక్షరాలను అమర్చే విధానాలు \(\frac{6 !}{2 ! 2 !}=\frac{720}{2 \times 2}=180\)
ఇప్పుడు ఒక యూనిట్ లో ఉన్న G లను వాటిలో
కనుక రెండు G లు కలసి ఉండే పదాల సంఖ్ల = 180

(iii) SINGING పదంలో రెండు అచ్చులు (1,1). 5 హల్లులు (రెండు nలు, రెండు Gలు ఒక S) ఉన్నాయి. రెండు అచ్చులను వాటిలో వాటిని అమర్జే విధానాలు \(=\frac{2 !}{2 !}\) 1.5 హల్లులను వాటిలో వాటిని అమర్చే విధానాలు \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) = 30
C V C C V C C (ఇక్కడ V ఒక అచ్చుని, C ఒక హల్లుని
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = 130 x 30=30

ప్రశ్న 21.
a⁴, b³, c⁵ పదంలోని అక్షరాలను విస్తరించి రాసి వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే (ప్రస్తారాల సంఖ్లను కనుక్రోండి.
సాధన:
a⁴, b³, c⁵ విస్తరించి రాస్తే
aaaa bbb ccccc
దీనిలో 12 అక్షరాలున్నాయి. వాటిలో 4 ‘a’ లు, 3 ‘b’ లు, 5 ‘c’ లు. కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే (ప్రస్తారాల సంఖ్య
\(\frac{12 !}{4 ! 3 ! 5 !}\)

ప్రశ్న 22.
1,1,2,2,3 అనే అంకెలతో ఏర్పర్గగ 5 అంకెల సంఖ్లెన్ని ? వీటిలో సరిసంఖ్యలన్ని ?
సాధన:
1, 1, 2, 2, 3 అనే 5 అంకెలలో రెండు ‘1’ లు, రెండు ‘2’ లు ఉన్నాయి. కనుక వీటి నుంచి ఏర్పరచగల 5 అంకెల
సంఖ్య = \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) = 30
ఇప్పుడు సరి సంఖ్యలు కనుక్కోవడానికి ఒకట్ల స్థానాన్ని 2 తో నింపుదాం.
మిగిలిన 4 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో (1,1,2,3) నింపే విధానాలు \(\frac{4 !}{2 !}=12\)
కనుక దత్త అంకెలతో ఏర్పరచగల 5 అంకెల సరి సంఖ్యల సంఖ్య =12

ప్రశ్న 23.
మూడు వేర్వేరు పుస్తకాలకు ఒక్రోదానికి నాలుగు ప్రతులున్నాయి. ఈ 12 పస్తకాలను ఒక అరలో ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
దత్తాంశం (ప్రకారం, ఇచ్చిన 12 పుస్తకాలలో 4 పుస్తకాలు ఒక రకంగా, 4 పుస్తకాలు రెండో రకంగా, 4 పుస్తకాలు మూడో రకంగా ఉన్నాయి. కనుక సిద్ధాంతం 5.5 .2 (ప్రకారం ఈ 12 పుస్తకాలను ఒక అరలో అమర్చే విధానాలు.
\(\frac{12 !}{4 ! 4 ! 4 !}\)

ప్రశ్న 24.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తపదం EAMCET లోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రడుం ACEEMT నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలజ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటిి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5 !}{2 !}\) విధాలుగా (2E’ లు ఉన్నవి కనుక) అమర్చవచ్చు. ఈ విధంగా చేసుకొంటూ EAMCET పదం వచ్చే వరకూ కింది విధంగా గణిస్తాం.

ప్రశ్న 25.
ఎనిమిదిమంది పురుషును, నలుగురు స్త్రీలను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ? వీటిలో ఎన్ని (ప్తస్తారాలలో
(i) స్త్రీలంతా ఒకేచోట ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన రాకుండా ఉంటారు.
సాధన:
మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య = 12 (ఎనిమిదిమంది పురుషులు + నలుగురు స్త్రీలు
కనుక వీరిని వృత్లాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలా = (11)!

(i) నలుగురు స్త్రీలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, ఎనిమిది మంది పురుషులు ఎనిమిది యూనిట్లు అనుకుంటే ఈ తామ్మిది యూనిట్లను వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు= 8!
ఇప్పుడు నలుగురు స్త్రీలను వారిలో వారిని 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ స్త్రీలంతా ఒకచోట ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సoఖ్య = 8! × 4!

(ii) ముందుగా ఎనిమిది మంది పురుషులను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు =(8-1)! = 7! వీరిలో ప్రతి ఇద్దరు పురుషుల మధ్య

ఒక్కో ఖాళీ చొప్పున మొత్తం 8 ఖాళీలు ఉంటాయి. (ఈ ఖాళీలను పైన పటంలో x అనే గుర్తుతో సూచించాం) ఇప్పుడు ఈ 8 ఖాళీలలో నలుగురు స్త్రీలను అమర్చే విధానాలు= ⁸P₄ కనుక ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేని వృత్తాకార ప్రస్తారాల సoఖ్య 7! × ⁸P₄.

ప్రశ్న 26.
అయిదురుగురు భారతీయులను, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను ఒక వృత్తాకార ఐల్ల చుట్టా
(i) భారతీయులంతా ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా
(ii) ఏ ఇద్దరు రష్యా దేశస్థులు పక్క పక్కన లేకుండా
(iii) ఒక దేతానికి చెందిన వారందరూ ఒకేచోట ఉండేలా ఎన్నిరకాలుగా అమర్చవచ్చు) ?
సాధన:
(i) అయిదుగురు భారీీయలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు, ముగ్గరు రష్యా దేశస్థులు. 1 యూనిట్ భారతీయులు అంటే 8 మంది వ్యక్తులుంటారు. వీరిని ఒక వృత్తారార బల్లచుట్టూ అమర్చే విధానాలు
= (8-1)! = 7 !
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక కావలసిన వృత్తాకార [ప్రస్తారాల సంఖ్య =7! × 5 !

(ii) ముందుగా ముగ్గరు రష్యా దేశస్థులను ఒక పక్కుగా ఉంచి, మిగిలిన 9 మంది వ్యక్తులను (అయిదుగురు భారతీయులు + నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు) ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు =(9-1)!=8 ! ఇప్పుడు, ఈ 9 మంది వ్యక్తుల మధ్యలో ఖాళీలు 9 ఉంటాయి.
ఈ 9 ఖాళీలలో ముగ్నురు రష్లా దేశస్థులను అమర్చే విధానాలు ⁹P₃
కనుక కావలసిన వృత్తాకార (ప్రస్తారాల సంఖ్య 8! × ⁹P₃

(iii) అయిదుగురు భారతీయులను ఒక యూనిట్, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను రెండ్ర యూనిట్గానూ ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను మూడో యూనిట్గాను భావిస్తే 3 యూనిట్లు అవుతాయి. ఈ మూడు యూనిట్లతో వచ్చే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్ =(3-1) !=2 !
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని అమర్చే విధానాలు 5!. ఇదే విధంగా నలుగురు అమెరికా దేశస్కులను 4! విధాలుగానూ, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను 3! విధాలుగానూ అమర్చవచ్చు, కనుక కావలసిన విధానాలు
=2! × 5! × 4! × 3!

ప్రశ్న 27.
విభిన్నమైన రంగుల హూసలతో ఏర్పరచగల పూసల గొలుసుల సంఖ్యను కనుక్రోండి.
సాధన:
n అసరూప వస్తువులతో ఏర్పరచగల వేలాడే రకం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}(n-1)\) ! అని మనకు తెలుసు.
కనుక ఇచ్చిన 7 పూసలతో ఏర్పరచగల దండల సంఖ్య
\(\frac{1}{2}(n-7) !=\frac{1}{2}(6 !)=360\)

ప్రశ్న 28.
7 విభిన్నమైన ఎర్ర గులాబీలు, 4 విభిన్నమైన పసుపు రంగు గులాబీలతో 3 రెండు పసుపు రంగు గులాబీలు పక్క పక్కన రాకుండా ఎన్ని రకాలుగా దండలు తయారు చేయవచ్చు?
సాధన:
ముందుగా 7 విభిన్నమైన ఎర్రగులాబీలతో ఏర్పరచగల వృత్తాకార (ప్తస్తారాల సంఖ్య =(7-1)!=6!
ఈ 7 ఎర్రగులాబీల మధ్యలో ఉన్న 7 ఖాళీలలో 4 పసుఫు రంగుగులాబీలను ⁷P₄ విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక మొత్తం వృత్తాకార (ప్రస్తారాల సంఖ్య = 6 ! × ⁷P₄
కాని పువ్వుల దండలు వేలాడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల కోవలోకి వస్తాయి. కనుక కావలసిన (ప్రస్తారాల సంఖ్య
\(=\frac{1}{2}\left(6 ! \times{ }^7 P_4\right)\)

ప్రశ్న 29.
ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ 14మంది వ్యక్తులు కూర్చొని ఉన్నారు. వారిలో ఇద్దరు వ్యక్తలను (ప్కక్క పక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన. మనకు ఇచ్చిన 14 మంది వ్యక్తులు వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ a₁  a₂ …………………… a₁₄ క్రమంలో పటంలోలాగా కూర్చొని ఉన్నారనుకొందాం.
ఈ 14 మంది వ్యక్తుల నుంచి ఇద్దరిని ఎంచుకొనే విధానాలు = ¹⁴C₂ =91.

ఈ విధానాలలో ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్క పక్కనే ఉండే విధానాలు a_1, a₂, a₂, a₃, ……………….. a_13,a₁₄, a₁₄, a₁₅ అంటే 14 విధానాలు కనుక ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్కపక్కన లేని విధానాలు =91-14 = 77

ప్రశ్న 30.
ఎనిమిది మంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు, ముగ్నురు బాలికలు ఉండేలా ఎన్ని కమిటీలా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
ఇచ్చిన ఎనిమిది మంది బాలుర నుంచి నలుగురు బాలురను ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య = ⁸C₄
ఇంకా అయిదుగురు బాలికల నుంచి ముగ్గురు బాలికలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁵C₃
కనుక, ప్రాఠామిక సూత్రం ప్రకారం నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలను ఎంచుకొనే విధానాలు.
= ⁸C₄ × ⁵C₃ = 70 × 10 = 700

ప్రశ్న 31.
విభిన్నమైన 7 ఇంగ్లీష, 6 తెలుగు, 5 హిందీ పుస్తకాల నుంచి 4 ఇంగ్లీష, 3 తెలుగు, 2 హిందీ పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు ఎన్ని?
సాధన:
ముందుగా 7 ఇంగ్లీషు పుస్తకాల నుంచి 4 పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁷C₄
6 తెలుగు పుస్తకాల నుంచి 3 తెలుగు పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁶C₃
5 హిందీ పుస్తకాల నుంచి 2 హిందీ పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁵C₂
కనుక, కావలసిన విధానాలు
= ⁷C₄ x ⁶C₃ x ⁵C₂

ప్రశ్న 32.
ఆరుగురు బాలురు, నలుగురు బాలికలనుంచి కనీసం ఒక బాలిక ఉండేలా నలుగురు సభ్యలున్న కమిటీలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్బు ?
సాధన:
ఏ నిబంధనా లేకుండా మొత్తం 10 మంది వ్యక్తుల (ఆరుగురు బాలురు + నలుగురు బాలికలు) నుంచి నలుగురు సభ్యులున్న కమిటీని ఎంచుకొనే విధాలు ¹⁰C₄ వీటిలో అసలు బాలికలు లేకుండా బాలురు మాత్రమే ఉండేటట్లు కమిటీ ఎంచుకొనే విధాలు ⁶C₄ కనుక కనీసం ఒక బాలికైనా ఉండే కమిటీల సంఖ్య
= ¹⁰C₄  – ⁶C₄= 210 – 15 = 195.

ప్రశ్న 33.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, అరుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్లు నుంచి కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఒక వికెట్ కీపరు ఉండేలా 11 మంది ఆటగాళ్ళతో క్రికట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఉండాలంటే టీమును కింద చూపిన విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

కనుక కోరిన విధంగా క్రికెట్ టిముని ఎంచుకొనె విధానాలు =315+210+35=560.

ప్రశ్న 34.
‘m’ సమాంతర రేఖలా మరాక ‘n’ సమాంతరరేఖలను (మొదటి రేఖలకు సమాంతరంగా లేని) ఖండిస్తే ఎన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలేర్పడతాయి ?
సాధన:
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడాలంటే మొదటి m సరళరీఖల నుంచి 2 సరళరేఖలు ఎంచుకోవాలి. ఈ విధానాలు ^mC₂ రెండో సమితిలోని n సరళ రేఖల నుంచి 2 సరళరేఖలు ఎంచుకోవాలి. ఈ విధానాల సంఖ్య ⁿC₂ కనుక, దత్త సరళరేఖలు ఖండించుకోవడం వల్ల ఏర్పడే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య = ^mC₂ x ⁿC₂

ప్రశ్న 35.
ఒక తలంలో m బిందువులున్నాయి. వాటిలో p బిందువులు సరేఖీయాలు,మిగిలిన బిందువులలో 3 మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాకపోతే, ఈ బిందువులను రేఖాఖండాల ద్వారా కలిపితే వచ్చే విఖిన్న
(i) రేఖా ఖండాలెన్ని?
(ii) త్రిభజాలెన్ని ?
సాధన.
(i) ఇచ్చిన m బిందువుల నుంచి రెండు బిందువులను ఎంచుకొని కలిపితే ఒక రేఖాఖండం వస్తుంది. కనుక ^mC₂ రేఖాఖండాలు రావాలి. కాని m బిందువులలో p బిందువులు సరేఖీలయాలు కనుక ఈ బిందువులను వాటిలో వాటిని రెండు బిందువుల చాప్పున కలిపితే ^pC₂ రేఖాఖండాలు రావడానికి బదులుగా 1 రేఖాఖండం మాత్రమే వస్తుంది. కనుక దత్త m బిందువులను కలపడం ద్వారా వచ్చే విభిన్న రేఖాఖండాల సంఖ్య = ^mC₂ – ^pC₂ +1

(ii) ఇచ్చిన m బిందువులను 3 బిందువుల చొప్పున కలిపితే తిిభుజాలు ఏర్పడతాయి. కనుక ^mC₃ తిిభుజాలు రావాలి.కాని ఈ m బిందువులలో P బిందువులు సరేఖీయాలు కనుక ఈ p బిందువుల నుంచి 3 బిందువుల చాప్పున ఎంచుకొని కలిపితే ^pC₃ (తిభుజాలు దావడానికి బదులుగా ఒక రేఖాఖండం వస్తుంది. (అంటే ఒక్క (యిభుజం కూడా రాదు.) కనుక ఇచ్చిన m బిందువులను కలపడం ద్వారా ఏర్పడే తి่భుజాల సంఖ్య = ^mC₃ – ^pC₃ 

ప్రశ్న 36.
ఒక ఉపాధ్యాయుడు పదిమంది విద్యార్థులను పార్కుకు తీసుకువెళ్ళాలి. ఒక్కొక్కసారి ముగ్నురు విద్యార్థుల చొప్పున తీసుకు వెళ్ళగలరు. కాని ఏ ముగ్గురు విద్యార్థుల బృందాన్నైనా ఒక్కసారి మాత్రమే తీసుకాని వెళ్ళాలి ?
(i) ప్రతీ విద్యార్థికి ఎన్ని సార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉoది?
(ii) ఉపాధ్యాయుడు ఎన్నిసార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉoది ?
సాధన:
(i) పదిమంది విద్యార్థులలో x ఒకరు అనుకొందాం. పార్కుకు x వెళ్ళే (పతిసారి ఇంకా ఇరువురు విద్యార్థులను మిగిలిన తొమ్మిది మంది విద్యార్థుల నుంచి ఎంచుకోవాలి. ఈ పనిని ⁹C₂ విధాలుగా చేయవచ్చు.అంటే
x పార్కుకు ⁹C₂ = 36 సార్లు వెళతాడు.

(ii) పదిమంది విద్యార్థుల నుంచి ముగ్గురు విద్యార్థును ఎంపిక చేసిన ప్రతిసారి ఉపాధ్లాయుడు పార్కుకు వెళ్తాడు. కనుక ఉపాధ్యాయుడు ¹⁰C₃ =120 సార్లు పార్కుకు వెళతాడు.

ప్రశ్న 37.
ఒక రెండంతస్తుల బస్సుకు కింది అంతస్తులో 8 సీట్లు, పై అంతస్తులో 10 సీట్లు ఉన్నాయి. ఈ బస్సులో (ప్రయాణించవలసిన 18 ప్రయాకులల్లో ముగ్గురు పిల్లలు పై అంతస్తులో మాత్రమే వెళ్ళాలి. ఇంకా నలుగురు వృద్దులు పైఅంతస్తుకు వెళ్ళలేరు అని ఇస్తే వారిని ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
ముగ్గురు పల్లలు పై అంతస్థులోనూ, నలుగురు వృద్ధులు కింది అంతస్తులోనూ ప్రయాణిస్తారనుకాంటే మిగిలిన ప్రయాణీకులు 11 మంది ప్రయాణీకులలో 7 కింది అంతస్తులో, 7 మంది పై అంతస్తులో ప్రయాణించాలి. కనుక 11 మంది 7 ఎంచుకొనే విదానాలు
¹¹C₇ కింది అంతస్తులోని 8 సీట్లలో 8! విధాలు గానూ, పై అంతస్థులోని 10 సీట్లలో (10)! విధాలుగానూ అమర్చవచ్చు. కనుక
మొత్తం విధానాల సంఖ్య = ¹¹C₇ × 10! × 8!

ప్రశ్న 38.
(i) \({ }^{10} C_3+{ }^{10} C_6={ }^{11} C_4\)
(ii) \({ }^{25} C_4+\sum_{r=0}^4{ }^{(29-r)} C_3={ }^{30} C_4\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
(i) \({ }^{12} \mathrm{C}_{s+1}={ }^{12} \mathrm{C}_{2 \mathrm{~s}-5^{\prime}}\) అయితే s కనుక్కోండి.
(ii)\({ }^n C_{21}={ }^n C_{27} \text {, అయితే }{ }^{50} C_n\) విలువ కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 40.
ఒకే రకమైన 5 కలాలు, ఒకేరకమైన 6 పెన్సిళ్ళు, ఒకే రకమైన 7 రబ్బర్లు ఉన్నాయి. వాటి నుంచి ఎన్ని వస్తువులనైనా (కనీసం ఒకటి) ఎంచుకొనే విధానాలు సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య
= (5+1) (6+1) (7+1) -1 = 335

ప్రశ్న 41.
1080 సంఖ్యకు (1 సంఖ్యతో సహా) ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన.
1080=2³ × 3³ × 5¹ (ప్రధాన అంకెల లబ్దం)
= (3+1) (3+1) (1+1)
= 4 × 4 × 2 = 32

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 1.
2,3,6 లు మూలాలుగా గల 3 వ తరగతి ఏక బహంపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణ
(x-2)(x-3)(x-6) = 0
⇒ x³-11 x²+36 x-36=0

ప్రశ్న 2.
3x³-10x²+7 x+10=0 ఘన సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంబంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
3x³-10x²+7x + 10 = 0 ……………. (1)
(1) ను ax³+bx²+c x+d=0 తో పోల్చగా

ప్రశ్న 3.
x⁴-2x³+4x²+6 x-21=0 ద్వివర్గ సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంణంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x⁴-2x³+4x²+6 x-21=0
ax⁴+b x³+cx²+dx+e=0  తో పోల్చగా
a=1, b=-2, c=4, d=6, e=-21

ప్రశ్న 4.
x⁴+a x³+b x²+c x+d=0 సమీకరణం మొక్క మూలాలు 1, 2, 3, 4 బయితే a, b, c, d విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణ మూలాలు 1, 2, 3, 4
కనుక  x⁴+a x³+b x²+c x+d
≡ (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)=0
≡ x⁴-10x³+35x²– 50x+24=0
ఇరువైపుల పదాల గుణకాలను పోల్చగా
a=-10, b=35, c=-50, d=24

ప్రశ్న 5.
సమీకరణం x³-p x²+q x-r=0 మూలాలు a,b,c ల అయి, r ≠ 0 అయితే, అప్పుడు \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) ను p, q, r లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు
x³-p x²+q x-r=0 కు మూలాలు
a+b+c=p, a b+b c+c a=q, a b c=r

ప్రశ్న 6.
x³-p x²+q x-r=0 సమీకరణ యొక్క మాలాల వర్గాల మొత్తాన్ని, ఘనాల మెత్తాన్ని p q r  లలో కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
x³+p₁ x²+p₂ x+p₃=0 సమీకరణం యొక్క మూలాల వర్గాలు మూలాలాగా ఉండే ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
x³+px²+qx+r =0 మాలాలు α, β, γ లు అయితే కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) ∑ a²
(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
(iii) ∑ a³
(iv) ∑ β² γ²
(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )

(i) ∑ a²
సాధన:
α² + β² +  γ²
=(α+β+γ)² -2(αβ + βγ+ γ α)
p² – 2q

(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
సాధన:
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{-q}{r}\)

(iii) ∑ α³
సాధన:
∑ α³ 
= (α+ β + γ) (a² + β² + γ² – αβ + βγ +γα)+3αβγ
= (- p)(p² -2q – q) – 3r
= – p(p²– 3q) – 3r
∴ ∑ α³ = – p³ + 3pq – 3r = 3pq – p³– 3r

(iv) ∑ β² γ²
సాధన:

(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )
సాధన:
α + β + γ = – p
⇒ α + β = – p – γ మరియు β + γ = – p – α
= γ + α = – p – β
∴ (α + β) (β + γ) (γ + α)
= ( – p – γ)( – p – α) ( – p – β)
=-p³-p² (α + β + γ) – p (αβ+βγ+γα)-αβγ
= -p³ + p³-pq + r = r – pq

ప్రశ్న 9.
x³+ax²+b x+c=0 మూలాలు α,β,γ లు అయితే ను కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు దత్త సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుక
α + β + γ = – α, αβ + βγ + γα = b, αβγ = c

ప్రశ్న 10.
α,β,γ లు x³+p²+q x+r=0 మూలాలు అయితన,  లు మూలాలుగా గల ఏక ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
x³-3x²-16 x+48=0 ను సాధించండి.
సాధన:
f(x)=x³-3 x²-16 x+48 అనుకోండి
యత్న – దోష పద్ధతిన f(3)=0
కనుక f(x)=0 కు 3 మూలం
f(x) ను (x-3) చే భాగించగా

ప్రశ్న 12.
x⁴-16 x³+86x²-176 x+105=0 యึక్క మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ g(x) & =(x-3)(x²-12 x+35)
=(x-3)(x-5)(x-7)
∴ f(x) & =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు 1,3,5,7

ప్రశ్న 13.
x³-7x²+36=0 సమీకరణం మొక్క ఒక మాలం మరో దానికి రెట్టింప అయితే, సమీంరాాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x³-7x²+36=0 కు మూలాలు α, β, γ లు అనుకోండి.
β =2α అనుకుందాం
అయిన α + β + γ = 7
⇒ 3α + γ  =7 ………….. (1)

ప్రశ్న 14.
x³-6x²+3 x+10=0 సమీకరాానికి ఒక మూలం 2 అయితే, మిగిలిన మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x)=x³-6x²+3 x+10 అనుకానుము.
f(x)=0 కు 2 మూలం కనుక f(x) ను (x-2) చే భాగించగా

x³-6x²+3 x+10 = (x – 2)(x² – 4x – 5)
(x-2) (x+ 1) (x-5)

ప్రశ్న 15.
4x³+20x²-23 x+6=0 సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు సమానమైతే, సమీకరణం యొక్క మాలాలన్నింటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు  4x³+20x²-23 x+6=0  కు మూలాలు. రెండు మూలాలు సమానం కనుక α = β అనుకోండి.

పరిశీలనవల్ల
α = \(\frac{1}{2}\) దత్త సమీకరణానికి మూలం
(2) ⇒ γ = – 6
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-6\)

ప్రశ్న 16.
x⁴– 2x³+4x³+6 x-21=0 సమీకరణం మొక్కరెండు మూలాల మొత్తం సున్న అయితే, సమీకరణ మొక్క మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు దత్త సమీకరణ మూలాలు,
రెండు మూలాల మొత్తం సున్నీ కనుక
α + β = 0 అనుకొనుము.

ప్రశ్న 17.
4x³-24x²+23x+18=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అంకశేఢిలో ఉంటీ, సమీంరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
a – d, a, a + d లు దత్త సమీకరణ మూలాలు అనుకోండి మూలాల మొత్తం
a – d + a + a + d = \(\frac{24}{4}\)
3a = 6
a = 2

ప్రశ్న 18.
x³-7x²+14x-8=0, సమీకరణం మూలాలు గుణరీశేధిలో ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{a}{r}\), a, అనుకుందాం. అప్పుడు

ప్రశ్న 19.
x⁴-5x³+5x³+5 x-6=0 సమీకరణం మొక్క రెండు మూలాల లబ్దం 3 అయితే ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు మూలాలు అనుకుంటే.
వాటి లబ్దం αβγδ =-6
αβ=3 ( రెండు మూలాల లబ్దం 3)
∴ αβγδ = -6
γδ = – 2
α +β = p, γ, δ + q అనుకోండి
αβ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x²-(α +β) x + αβ =0
x²-p x+3=0
γ ,δ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x² – (γ + δ)x + γδ = 0
x² – qx – 2 = 0
x⁴ – 5x³ + 5x² + 5x – 6
= (x²-px-t- 3)(x²– qx – 2)
= x⁴ – (p + q) x³ + (1 + pq) x² +(2p-3q)x-6
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
p+q=5, 2p-3 q=5
∴ 2 p-3 q=5
3 p+3 q=15
5 p=20 ⇒ p=4
∴ q = 1
x² -4x+3=0 ⇒ (x-3)(x-1)=0
⇒ x=1,3
x²-x-2=0 ⇒ (x-2)(x+1)=0
⇒ x = -1,2
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,2,1,3

ప్రశ్న 20.
x⁴+4x³-2x²-12x+9=0 సమీకరణానికి రంండు జతల సమాన మూలాలు ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

x² + 2x+p = 0 = x²+2x – 3 = 0
⇒ (x-1-3) (x – 1) = 0
⇒ x = – 3,1
దత్త సమీకరణం మూలాలు -3, – 3, 1 ,1

ప్రశ్న 21.
p³ – 4 p q+8 r=0 అయితేనే x⁴+px³+q x² + rx+s=0 మొక్క రెండు మాలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సమానమని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సకానమని అనుకుందాం. α β γ δ అయ్యేటట్లు సమీకరణం మూలాలను α + β = γ + δ అనుకుందాం.

ప్రశ్న 22.
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}, 2+i, 2-i\) లను మాలాలుగా గల 4వ తరగతి ఏక ఱహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
2+i, 2 – i లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x²-4 x+5=0
కావలసిన సమీకరణం
(x²-8 x+13)(x²-4 x+5)=0
∴ x⁴-12x³+50x²-92 x+65=0

ప్రశ్న 23.
6x⁴-13 x³-35 x²-x+3=0 సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం. \(2+\sqrt{3}\) అయితే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
x⁴-6 x³+7x²-2 x+1=0 సమీకరణం మొక్క మూలాల వ్యతిరేక గుర్తులతో మాలాలు గల నాలుగో తరగతి ణహబపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡  x⁴-6x³+7x²-2 x+1=0
కావలసిన సమీకరణం f(-x)=0
i.e., (-x)⁴-6(-x)³+7(-x)²-2(-x)+1=0
∴ x⁴+6x³+7x²+2x+1=0

ప్రశ్న 25.
6x⁴-7x³+8x²-7x+2=0 సమీకరణం మొక్క మాలాలకు 3 రెట్లున్న మాలాలు గల నాలుగో తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 6x⁴-7x³+8x²-7 x+2=0

ప్రశ్న 26.
\(x^3+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{16}+\frac{1}{72}\) = 0 సమీకరణ మూలాలకు m రెట్లున్న మూలాలు గల మూడో తరగతి సమీకరణాన్ని రూపొందించి, m = 12 సందర్భానికి సమీకరణాన్ని రాణట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
x⁵+4 x³-x²+11=0 సమీకరణ మూలాలు -3 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మూలాలుగా కలిగిన 5వ తరగతి ణహంపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f ≡ x⁵+4 x³-x²+11=0
కావలసిన సమీకరణం f(x+3)=0

ప్రశ్న 28.
4x⁴+32x³+83x²+76 x+21=0 మూలాలు 2 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మాలాలుగా గల 4 వ తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 4x⁴+32x³+83x²+76 x+21=0
కావలసిన సమీకరణం f(x-2)=0

ప్రశ్న 29.
x⁴+3x³-6 x²+2 x-4=0 సమీకరణ మాలాల వ్వత్కమ్మాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
x³-x³+8 x-6=0 మాలాల వర్గాలు మాలాలుగా గల ఐహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
2x³+5x²+5 x+2=0 ఒకటో కోవకు చెందిన వ్కత్రమ సమీకరణమని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x³+5x²+5 x+2=0
P₀ =2, P₁ =5, P₂ =5, P₃ =2
ఇచ్చట P₀ = P₃, P₁ = P₂
∴ 2x³+5x²+5 x+2=0 సమీకరణం ఒకటో కోవకు చెందిన వ్యుత్రమ సమీకరణం.

ప్రశ్న 32.
సాధించండి : 4x³-13x²-13 x+4=0
సాధన:
4x³-13x²-13x+4=0
ఒకటో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్యుత్కమమ సమీకరణం కనుక -1 దీనికి ఒక మూలం

4x²-17 x+4=0 4x²-16 x-x+4=0
4x(x-4)-1(x-4)=0
(x-4)(4 x-1)=0
x=4 (లేదా) \(\frac{1}{4}\)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,4, \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 33.
సాధించండి :
6x⁴-35x³+62x²-35 x+6=0
సాధన:
6x⁴-35x³+62x²-35 x+6=0

ప్రశ్న 34.
సాధించండ: :
x⁵-5x⁴+9x³-9x²+5 x-1=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x⁵-5x⁴+9x³-9x²+5 x-1=0 రండో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్రుత్రమ సమీకరణం

ప్రశ్న 35.
సాధించండి :
6x⁶-25x⁵+31x⁴-31x²+25 x-6=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
6x⁶-25x⁵+3 x⁴-31x²+25 x-6=0 ఇది రెండవ కోవకు చెందిన సరి పరిమాణ వ్యుత్కమ సమీకరణం
∴ x² -1 అనేది