Inter 2nd Year

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
x³ – 3x² – 16x + 48 = 0 సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం సున్నా అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x³ – 3x² – 16x + 48 = 0 కు మూలాలు α, β, γ లు
α + β + γ = 3
α + β = 0 (∵ రెండు మూలాల మొత్తం సున్న)
∴ γ = 3
i.e., x – 3 అనేది
x³ – 3x² – 16x + 48 కు కారణాంకం

x² – 16 = 0
⇒ x² = 16
⇒ x = ±4
∴ మూలాలు -4, 4, 3

ప్రశ్న 2.
x³ – px² + qx – r = 0 సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాల మొత్తం సున్న కావటానికి నియమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
మూలాలు α, β, γ లు అనుకుందాం
అప్పుడు α + β + γ = p …….(1)
αβ + βγ + γα = q ……(2)
αβγ = r …….(3)
రెండు మూలాల మొత్తం సున్న కనుక α + β = 0 అనుకోండి.
(1) నుండి γ = p
‘γ’ దత్త సమీకరణానికి మూలం కనుక
γ³ – pγ² + qγ – r = 0
⇒ p³ – p(p²) + q(p) – r = 0
⇒ r = pq
∴ కావలసిన నియమం r = pq

ప్రశ్న 3.
x³ + 3px² + 3qx + r = 0 సమీకరణపు మూలాలు
(i) అంకశ్రేఢిలో వుంటే 2p³ – 3pq + r = 0
(ii) గుణశ్రేఢిలో వుంటే p³r = q³
(iii) హరాత్మక శ్రేఢిలో వుంటే 2q³ = r(3pq – r) అని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం x³ + 3px² + 3qx + r = 0
(i) మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి
a – d, a, a + d అనుకుందాం. అప్పుడు
(a – d) + a + (a + d) = -3p
⇒ 3a = -3p
⇒ a = -p
‘a’ దత్త సమీకరణానికి మూలం, కనుక
a³ + 3pa² + 3qa + r = 0
⇒ (-p)³ + 3p(-p)² + 3q(-p) + r = 0
⇒ -p³ + 3p³ – 3pq + r = 0
⇒ 2p³ – 3pq + r = 0
∴ కావలసిన నియమం 2p³ – 3pq + r = 0

(ii) మూలాలు గుణశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి \(\frac{a}{R}\), a, aR అనుకుందాం.
అపుడు మూలాల లబ్ధం = (\(\frac{a}{R}\)) (a) (aR) = -r
⇒ a³ = -r
⇒ a = \((-r)^{1 / 3}\)
‘a’ దత్త సమీకరణానికి మూలం కనుక
a³ + 3pa² + 3qa + r = 0

∴ కావలసిన నియమం p³r = q³

(iii) దత్త సమీకరణం x³ + 3px² + 3qx + r = 0 …….(1)
x = \(\frac{1}{y}\) వ్రాయగా
\(\left(\frac{1}{y}\right)^3+3 p\left(\frac{1}{y}\right)^2+3 q\left(\frac{1}{y}\right)+r=0\)
⇒ 1 + 3py + 3qy² + ry³ = 0
⇒ ry³ + 3qy² + 3py + 1 = 0 ………(2)
(1) యొక్క మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో వుంటే, (2) యొక్క మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వుంటాయి.
కనుక అవి a – d, a, a + d అనుకుందాం.
(a – d) + a + (a + d) = \(\frac{-3q}{r}\)
⇒ 3a = \(\frac{-3q}{r}\)
⇒ a = \(\frac{-q}{r}\)
‘a’ అనేది (2) కు ఒక మూలం కనుక
ra³ + 3qa² + 3pa + 1 = 0
⇒ \(r\left(\frac{-q}{r}\right)^3+3 q\left(\frac{-q}{r}\right)^2+3 p\left(\frac{-q}{r}\right)+1=0\)
⇒ \(\frac{-q^3}{r^2}+\frac{3 q^3}{r^2}+\frac{3 p q}{r}+1=0\)
⇒ -q³ + 3q³ – 3pqr + r² = 0
⇒ r² – 3pqr + 2q³ = 0
⇒ 2q³ = r(3pq – r)
∴ కావలసిన నియమం 2q³ = r(3pq – r)

ప్రశ్న 4.
x³ – px² + qx – r = 0 సమీకరణ మూలాలు గుణ శ్రేఢిలో ఉండటానికి నియమాన్ని రాబట్టుము.
సాధన:
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో వున్నవి. కనుక అవి \(\frac{a}{R}\), a, aR అనుకోండి.
అపుడు మూలాల లబ్దం = (\(\frac{a}{R}\)) (a) (aR) = r
⇒ a³ = r
⇒ a = \(r^{1 / 3}\)
‘a’ దత్త సమీకరణానికి ఒక మూలం కనుక
a³ – pa² + qa – r = 0

∴ కావలసిన నియమం p³r = q³

II.

ప్రశ్న 1.
9x³ – 15x² + 7x – 1 = 0 సమీకరణపు రెండు మూలాలు సమానమైతే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
2x³ + 3x² – 8x + 3 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం, మరోదానికి రెట్టింపు అయిన, ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
α, β, γ లు 2x³ + 3x² – 8x + 3 = 0 మూలాలు అనుకుందాం.

ప్రశ్న 3.
x³ – 9x² + 14x + 24 = 0 సమీకరణపు రెండు మూలాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉంటే, ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
మూలాలు α, β, γ లు అనుకుందాం.
α + β + γ = 9 …….(1)
αβ + βγ + γα = 14 ……..(2)
αβγ = -24 ………(3)
α : β = 3 : 2 అనుకుందాం.
2α = 3β
⇒ β = \(\frac{2}{3}\)α
(1) నుండి α + \(\frac{2}{3}\)α + γ = 9
γ = 9 – \(\frac{5 \alpha}{3}\) …….(4)
(2) నుండి (α) (\(\frac{2}{3}\)α) + γ(α + β) = 14
⇒ \(\frac{2}{3} \alpha^2+\left(9-\frac{5 \alpha}{3}\right)\left(\alpha+\frac{2}{3} \alpha\right)=14\)
⇒ \(\frac{2}{3} \alpha^2+\left(9-\frac{5}{3} \alpha\right)\left(\frac{5}{3} \alpha\right)=14\)
⇒ 6α² + (27 – 5α) (5α) = 126
⇒ 6α² + 135α – 25α² – 126 = 0
⇒ 19α² – 135α + 126 = 0
⇒ 19α² – 114α – 21α + 126 = 0
⇒ 19α(α – 6) – 21(α – 6) = 0
⇒ (α – 6) (19α – 21) = 0
⇒ α = 6 (లేదా) α = \(\frac{21}{19}\)
సందర్భము (i): α = 6
β = \(\frac{2}{3}\)α
= \(\frac{2}{3}\) × 6 = 4
γ = 9 – \(\frac{5 \alpha}{3}\)
γ = 9 – \(\frac{2}{3}\) × 6
= 9 – 10
= -1
α = 6, β = 4, γ = -1
αβγ = -24

కానీ αβγ ≠ -24
∴ మూలాలు = 6, 4, -1

ప్రశ్న 4.
మూలాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) 8x³ – 36x² – 18x + 81 = 0
సాధన:
మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి a – d, a, a + d అనుకొనుము.

(ii) x³ – 3x² – 6x + 8 = 0
సాధన:
మూలాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నవి కనుక మూలాలు a – d, a, a + d అనుకుందాం.
(a – d) + a + (a + d) = -(-3)= 3
⇒ 3a = 3
⇒ a = 1
(a – d) (a) (a + d) = -8
⇒ a(a² – d²) = -8
⇒ 1(1 – d²) = -8
⇒ d² = 1 + 8 = 9
⇒ d = 3
మూలాలు a – d, a, a + d
= 1 – 3, 1, 1 + 3
= -2, 1, 4

ప్రశ్న 5.
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉన్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) 3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0
సాధన:
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉన్నవి కనుక అవి \(\frac{a}{r}\), a, ar అనుకుందాం.

(ii) 54x³ – 39x² – 26x + 16 = 0
సాధన:
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి \(\frac{a}{r}\), a, ar అనుకుందాం.

ప్రశ్న 6.
మూలాలు హరాత్మకశ్రేఢిలో ఉన్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) 6x³ – 11x² + 6x – 1 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం 6x³ – 11x² + 6x – 1 = 0 ………(1)
y = \(\frac{1}{x}\) వ్రాయగా
\(6\left(\frac{1}{y}\right)^3-11\left(\frac{1}{y}\right)^2+6\left(\frac{1}{y}\right)-1=0\)
⇒ 6 – 11y + 6y² – y³ = 0
⇒ y³ – 6y² + 11y – 6 = 0 ……(2)
(1) యొక్క మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో వుంటే, (2) యొక్క మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వుంటాయి.
(2) యొక్క మూలాలు a – d, a, a + d అనుకుంటే,
(a – d) + a + (a + d) = \(-\frac{(-6)}{1}\) = 6
⇒ 3a = 6
⇒ a = 2
మరియు (a – d) (a) (a + d) = \(-\frac{(-6)}{1}\) = 6
⇒ a(a² – d²) = 6
⇒ 2(2² – d²) = 6
⇒ 4 – d² = 3
⇒ d² = 1
⇒ d = 1
(2) మూలాలు a – d, a, a + d
= 2 – 1, 2, 2 + 1
= 1, 2, 3
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు = 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\)

(ii) 15x³ – 23x² + 9x – 1 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం 15x³ – 23x² + 9x – 1 = 0 …….(1)
x = \(\frac{1}{y}\) వ్రాయగా
\(15\left(\frac{1}{y}\right)^3-23\left(\frac{1}{y}\right)^2+9\left(\frac{1}{y}\right)-1=0\)
⇒ 15 – 23y + 9y² – y³ = 0
⇒ y³ – 9y² + 23y – 15 = 0 ………(2)
(1) యొక్క మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో (H.P.) వుంటే, (2) యొక్క మూలాలు అంకశ్రేఢీలో ఉంటాయి.
కనుక ఆ మూలాలు a – d, a, a + d అనుకుందాం.
అప్పుడు (a – d) + (a) + (a + d) = -(-9) = 9
⇒ 3a = 9
⇒ a = 3
మరియు (a – d) (a) (a + d) = -(-15)
⇒ a(a² – d²) = 15
⇒ 3(3² – d²) = 15
⇒ 9 – d² = 5
⇒ d² = 4
⇒ d = 2
∴ (2) యొక్క మూలాలు a – d, a, a + d
= 3 – 2, 3, 3 + 2
= 1, 3, 5
∴ దత్త సమీకరణానికి = 1, \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 7.
పునరావృత మూలాలున్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36 = 0
సాధన:
f(x) = x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36
f'(x) = 4x³ – 18x² + 26x – 24
ఇప్పుడు f'(3) = 4(3)³ – 18(3)² + 26(3) – 24
= 108 – 162 + 78 – 24
= 0
ఇట్లే f(3) = (3)⁴ – 6(3)³ + 13(3)² – 24(3) + 36
= 81 – 162 + 117 – 72 + 36
= 0
కనుక x – 3; f(x), f'(x) లకు కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు 3 ఆవృత మూలం

కనుక x² + 4 = 0
⇒ x² = -4
⇒ x = ±2i
∴ దత్త సమీకరణానికి 3, 3, 2i, -2i

(ii) 3x⁴ + 16x³ + 24x² – 16 = 0
సాధన:
f(x) = 3x⁴ + 16x³ + 24x² – 16
f'(x) = 12x³ + 48x² + 48x
= 12x(x² + 4x + 4)
= 12x(x + 2)²
f'(-2) = 0
f(-2) = 3(-2)⁴ + 16(-2)³ + 24(-2)² – 16
= 48 – 128 + 96 – 16
= 0
కనుక f(x), f'(x) లకు (x + 2) కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు -2 ఆవృత మూలం

3x² + 4x – 4 = 0
⇒ 3x² + 6x – 2x – 4 = 0
⇒ 3x(x + 2) – 2(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (3x – 2) = 0
⇒ x = -2, x = \(\frac{2}{3}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి -2, -2, -2, \(\frac{2}{3}\)

III.

ప్రశ్న 1.
x⁴+ x³ – 16x² – 4x + 48 = 0 సమీకరణపు రెండు మూలాల లబ్ధం 6 అయితే ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
మూలాలు α, β, γ, δ లు అనుకుందాం.
α + β + γ + δ = -1 …….(1)
αβ + αδ + αγ + βγ + βδ + γδ = -16 …….(2)
αβγ + αβδ + βγδ + αγδ = -(-4) = 4 ……….(3)
αβγδ = 48 …….(4)
∵ రెండు మూలాల లబ్దం = 6 కనుక
αβ = 6 అనుకుందాం.
(4) నుండి 6γδ = 48 ⇒ γδ = 8
(3) నుండి 6γ + 6δ + 8β + 8α = 4
⇒ 6(γ + δ) + 8(α + β) = 4
6(γ + δ) + 6(α + β) = -6 – (1) × 6
2(α + β) = 10
α + β = 5
(1) నుండి γ + δ = -1 – 5 = -6
α + β = 5, αβ = 6
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= (5)² – 4(6)
= 1
α – β = 1
α + β = 5
2α = 6
⇒ α = 3, β = 2
ఇదే విధంగా γ + δ = -6, γδ = 8
(γ – δ)² = (γ + δ)² – 4γδ
= (-6)² – 4(8)
= 36 – 32
= 4
γ – δ = 2
γ + δ = -6
2γ = -4
⇒ γ = -2, δ = -4
∴ దత్త సమీకరణానికి = 3, 2, -2, -4

ప్రశ్న 2.
8x⁴ – 2x³ – 27x² + 6x + 9 = 0 సమీకరణ రెండు మూలాలు ఒకే పరమమూల్యాన్నీ, వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి వుంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం తక్కిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగమైతే, సమీకరణాన్ని సాధించండి. [May ’11, Mar. ’05]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
ax⁴ + 4bx³ + 6cx² + 4dx + c = 0 సమీకరణపు మూలాల్లో రెండు జతలు సమానంగా ఉండటానికి నియమాలను రాబట్టండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం ax⁴ + 4bx³ + 6cx² + 4dx + e = 0
⇒ \(x^4+4 \frac{b}{a} x^3+6 \frac{c}{a} x^2+4 \frac{d}{a} x+\frac{e}{a}=0\)
మూలాలు α, α, β, β లు అనుకుందాం
అపుడు మూలాల మొత్తం 2(α + β) = -4\(\frac{b}{a}\)
⇒ α + β = -2\(\frac{b}{a}\)
αβ = k అనుకుంటే α, β లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0

⇒ ad² = eb² ఇది మరొక నియమము
∴ కావలసిన నియమాలు 3abc = 2b³ + a²d, ad² = eb²

ప్రశ్న 5.
(i) x⁵ – 5x³ + 5x² – 1 = 0 సమీకరణానికి 3 సమాన మూలాలు ఉంటాయని చూపండి. ఆ మూలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁵ – 5x³ + 5x² – 1
f'(x) = 5x⁴ – 15x² + 10x = 5x(x³ – 3x + 2)
f'(1) = 5(1) (1 – 3 + 2) = 0
f(1) = 1 – 5 + 5 – 1 = 0
కనుక f(x), f'(x) లకు (x – 1) కారణాంకం
⇒ f(x) = 0 కు 1 ఆవృత మూలం

∴ x³ + 2x² – 2x – 1 = 0
x = 1 పై సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది.
కనుక f(x) = 0 కు 1 అనేది 3 సార్లు ఆవృత మూలము అవుతుంది.

(ii) x⁵ – 3x⁴ – 5x³ + 27x² – 32x + 12 = 0 సమీకరణం యొక్క పునరావృత మూలాలను కనుక్కోండి
సాధన:
f(x) = x⁵ – 3x⁴ – 5x³ + 27x² – 32x + 12 అనుకోండి.
f'(x) = 5x⁴ – 12x³ – 15x² + 54x – 32
f'(2) = 5(2)⁴ – 12(2)³ – 15(2)² + 54(2) – 32
= 80 – 96 – 60 + 108 – 32
= 188 – 188
= 0
f(2) = 25 – 3(2⁴) – 5(2³) + 27(2²) – 32(2) + 12
= 32 – 48 – 40 + 108 – 64 + 12
= 152 – 152
= 0
కనుక f(x), f'(x) లకు x – 2 కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు 2 ఆవృత మూలం

g(x) = x³ + x² – 5x + 3 అనుకుందాం
g'(x) = 3x² + 2x – 5
g'(1) = 3(1)² + 2 – 5 = 0
g(1) = 1 + 1 – 5 + 3 = 0
కనుక g(x), g'(x) లకు x – 1 కారణాంకం
∴ g(x) = 0 కు 1 ఆవృత మూలం

x + 3 = 0 ⇒ x = -3
∴ మూలాలు = 1, 1, 2, 2, -3

ప్రశ్న 6.
8x³ – 20x² + 6x + 9 = 0 సమీకరణం యొక్క పునరావృత మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 8x³ – 20x² + 6x + 9 అనుకోండి
f'(x) = 24x² – 40x + 6
= 2(12x² – 20x + 3)
= 2[12x² – 18x – 2x + 3]
= 2[6x(2x – 3) – 1(2x – 3)]
= 2(2x – 3) (6x – 1)
f'(x) = 0
⇒ x = \(\frac{3}{2}\), x = \(\frac{1}{6}\)
\(f\left(\frac{3}{2}\right)=8\left(\frac{3}{2}\right)^3-20\left(\frac{3}{2}\right)^2+6\left(\frac{3}{2}\right)+9\)
= 27 – 45 + 9 + 9
= 0
కనుక x – \(\frac{3}{2}\), f(x), f'(x) లకు కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు \(\frac{3}{2}\) పునరావృత మూలం

8x + 4 = 0 ⇒ x = \(-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
∴ f(x) = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{3}{2}, \frac{3}{2},-\frac{1}{2}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(a)

అభ్యాసం – 4(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన మూలాలు గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 1, -1, 3
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 1) (x + 1) (x – 3) = 0
⇒ (x² – 1) (x – 3) = 0
⇒ x³ – 3x² – x + 3 = 0

(ii) 1 ± 2i, 4, 2
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (1 + 2i)] [x – (1 – 2i)] (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ (x – 1 – 2i) (x – 1 + 2i) (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ [(x – 1)² – 4i²] (x² – 6x + 8) = 0
⇒ (x² – 2x + 1 + 4) (x² – 6x + 8) = 0
⇒ (x² – 2x + 5) (x² – 6x + 8) = 0
⇒ x⁴ – 8x³ + 25x² – 46x + 40 = 0

(iii) 2 ± √3, 1 ± 2i
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)] [x – (1 + 2i)] [x – (1 – 2i)] = 0
⇒ [(x – 2) – √3] [(x – 2) + √3] [(x – 1) – 2i] [(x – 1) + 2i] = 0
⇒ [(x – 2)² – 3] [(x – 1)² – (2i)²] = 0
⇒ (x² – 4x + 4 – 3) (x² – 2x + 1 – 4i²) = 0
⇒ (x² – 4x + 1)(x² – 2x + 5) = 0
⇒ x⁴ – 4x³ + x² – 2x³+ 8x² – 2x + 5x² – 20x + 5 = 0
⇒ x⁴ – 6x³ + 14x² – 22x + 5 = 0

(iv) 0, 0, 2, 2, -2, -2
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 0) (x – 2) (x – 2) (x + 2) (x + 2) = 0
⇒ x² (x – 2)² (x + 2)² = 0
⇒ x² (x² – 4)² = 0
⇒ x² (x⁴ + 16 – 8x²) = 0
⇒ x⁶ – 8x⁴ + 16x² = 0

(v) 1 ± √3, 2, 5
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (1 + √3)] [x – (1 – √3)] [(x – 2) (x – 5)] = 0
⇒ [(x – 1)- √3] [(x – 1) + √3] (x² – 7x + 10) = 0
⇒ [(x – 1)² – (√3)²] (x² – 7x + 10) = 0
⇒ (x² – 2x + 1 – 3) (x² – 7x + 10) = 0
⇒ (x² – 2x – 2) (x² – 7x + 10) = 0
⇒ x⁴ – 2x³ – 2x² – 7x³ + 14x² + 14x + 10x² – 20x – 20 = 0
⇒ x⁴ – 9x³ + 22x² – 6x – 20 = 0

(vi) 0, 1, \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{-5}{2}\)
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 1) (x + \(\frac{3}{2}\)) (x + \(\frac{5}{2}\)) = 0
⇒ x(x – 1) (2x + 3) (2x + 5) = 0
⇒ (x² – x) (4x² + 16x + 15) = 0
⇒ 4x⁴ – 4x³ + 16x³ – 16x² + 15x² – 15x = 0
⇒ 4x⁴ + 12x³ – x² – 15x = 0

ప్రశ్న 2.
4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, αβ + βγ + γα విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ లు 4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 మూలాలు
α + β + γ = \(-\frac{a_1}{a_0}=\frac{6}{4}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{a_2}{a_0}=\frac{7}{4}\)

ప్రశ్న 3.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 కు 1, 1, α లు మూలాలైన α విలువను కనుగొనుము. [May ’11]
సాధన:
1, 1, α లు x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 కు మూలాలు కనుక
మూలాల మొత్తం = 1 + 1 + α = \(-\left(-\frac{6}{1}\right)\) = 6
⇒ 2 + α = 6
⇒ α = 6 – 2 = 4

ప్రశ్న 4.
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, α అయితే, α ను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
-1, 2, α లు 2x³ + x² – 7x – 6 = 0 కు మూలాలు
కనుక -1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
α + 1 = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α = -1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-3}{2}\)

ప్రశ్న 5.
x³ – 2x² + ax + 6 = 0 కు మూలాలు 1, -2, 3 అయితే a ను కనుక్కోండి. [Mar. ’04]
సాధన:
x³ – 2x² + ax + 6 = 0 కు 1 మూలం కనుక
(1)³ – 2(1)² + a(1) + 6 = 0
⇒ a + 5 = 0
⇒ a = -5

ప్రశ్న 6.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్ధం 9 అయిన a విలువను కనుగొనుము. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
α, β, γ మూలాల లబ్దం
4x³ + 16x² – 9x – a = 0
αβγ = \(\frac{a}{4}\) = 9
⇒ a = 36

ప్రశ్న 7.
క్రింది సమీకరణాలకు s₁, s₂, s₃, s₄ లను కనుగొనుము.
(i) x⁴ – 16x³ + 86x² – 176x + 105 = 0
(ii) 8x⁴ – 2x³ – 27x² + 6x + 9 = 0
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 కు మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08]
సాధన:
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 కు α, β, 1 లు మూలాలు
α + β + 1 = 2
⇒ α + β = 1
లబ్ధం = αβ = -6
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= 1 + 24
= 25
α – β = 5
α + β = 1
కలుపగా 2α = 6
⇒ α = 3
α + β = 1
⇒ β = 1 – α
= 1 – 3
= -2
∴ α = 3, β = -2

ప్రశ్న 2.
x³ – 2x² + 3x – 4 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, (i) Σα²β² (ii) Σαβ(α + β) లను కనుక్కోండి. [May ’07]
సాధన:
x³ – 2x² + 3x – 4 = 0 మూలాలు α, β, γ కనుక
α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = 3
αβγ = 4
(i) Σα²β² = α²β² + β²γ² + γ²α²
= (αβ + βγ + γα)² – 2αβγ(α + β + γ)
= 9 – 2 (2) (4)
= 9 – 16
= -7

(ii) Σαβ(α + β) = α²β + β²γ + γ²α + αβ² + βγ² + γα²
= (αβ + βγ + γα) (α + β + γ) – 3αβγ
= 2(3) – 3(4)
= 6 – 12
= -6

ప్రశ్న 3.
x³ + px² + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, క్రింది వాటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ + px² + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ లు
కనుక α + β + γ = -p
αβ + βγ + γα = q
αβγ = -r

(i) \(\sum \frac{1}{\alpha^2 \beta^2}\)
సాధన:

(ii) \(\frac{\beta^2+\gamma^2}{\beta \gamma}+\frac{\gamma^2+\alpha^2}{\gamma \alpha}+\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta}\) లేదా \(\Sigma \frac{\beta^2+\gamma^2}{\beta \gamma}\)
సాధన:

(iii) (β + γ – 3α) (γ + α – 3β) (α + β – 3γ)
సాధన:
(β + γ – 3α) (γ + α – 3β) (α + β – 3γ)
= (α + β + γ – 4α) (α + β + γ – 4β) (α + β + γ – 4γ)
= (-p – 4α) (-p – 4β) (-p – 4γ)
= -(p + 4α) (p + 4β) (p + 4γ)
= -[(p³ + 4p² (α + β + γ) + 16p (αβ + βγ + γα) + (64αβy)]
= -(p³ – 4p³ + 16pq – 64r)
= 3p³ – 16pq + 64r

(iv) Σα³β³
సాధన:
Σα³β³ = α³β³ + β³γ³ + γ³α³
(αβ + βγ + γα)² = α²β² + β²γ² + γ²α² + 2αβγ (α + β + γ)
q² = α²β² + β²γ² + γ²α² + 2pr
α²β² + β²γ² + γ²α² = q² – 2pr
∴ α³β³ + β³γ³ + γ³α³ = (α²β² + β²γ² + γ²α²) (αβ + βγ + γα) – αβγ Σα²β
= (q² – 2pr) . q + r[(αβ + βγ + γα) (α + β + γ) – 3αβγ]
= q³ – 2pqr + r(-pq + 3r)
= q³ – 2pqr – pqr + 3r²
= q³ – 3pqr + 3r²

III.

ప్రశ్న 1.
x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β, γ అయితే, α² + β², β² + γ², γ² + α² మూలాలుగా గల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ పద్ధతి:
α, β, γ లు x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు,
∴ α + β + γ = 6, αβ + βγ + γα = 11
y = α² + β² = α² + β² + γ² – γ² అనుకొనుము.
= (α + β + γ)² – 2(αβ + βγ + γα) – x² (∵ α, β, γ లు మూలాలు)
= 36 – 22 – x²
⇒ x² = 14 – y
⇒ x = \(\sqrt{14-y}\) ను x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 లో వ్రాయగా
⇒ (\(\sqrt{14-y}\))³ – 6(\(\sqrt{14-y}\))² + 11(\(\sqrt{14-y}\)) – 6 = 0
⇒ (14-y) \(\sqrt{14-y}\) – 6(14 – y) + 11\(\sqrt{14-y}\) – 6 = 0
⇒ -6(14 – y + 1) = \(\sqrt{14-y}\) [-11 – 14 + y]
⇒ -6(15 – y) = (\(\sqrt{14-y}\)) (y – 25)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
i.e., [-6(15 – y)]² = [\(\sqrt{14-y}\) (y – 25)]²
⇒ 36(225 – 30y + y²) = (14 – y) (y² – 50y + 625)
⇒ 8100 – 1080y + 36y² = 14y² – 700y + 8750 – y³ + 50y² – 625y
⇒ 8100 – 1080y + 36y² = -y³ + 64y² – 1325y + 8750
⇒ y³ – 28y² + 245y – 650 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణం x³ – 28x² + 245x – 650 = 0
2వ పద్ధతి :
α, β, γ లు x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు,
ఇది రెండవ కోవకు చెందిన వ్యుతమ సమీకరణం
∴ x – 1 అనేది x³ – 6x² + 11x – 6 కు ఒక కారణాంకం

∴ x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1) (x² – 5x + 6) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
∴ x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు
α = 1, β = 2, γ = 3
ఇప్పుడు α² + β² = 1² + 2² = 5
β² + γ² = 2² + 3² = 13
γ² + α² = 3² + 1² = 10
α² + β², β² + γ², γ² + α² లు మూలాలుగా గల ఘన సమీకరణం (x – 5) (x – 13) (x – 10) = 0
⇒ x³ – (5 + 13 + 10)x² +(65 + 130 + 50)x – 650 = 0
⇒ x³ – 28x² + 245x – 650 = 0

ప్రశ్న 2.
x³ – 7x + 6 = 0, సమీకరణ మూలాలు α, β, γ అయితే (α – β)², (β – γ)², (γ – α)² మూలాలుగా గల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ పద్ధతి :
x³ – 7x + 6 = 0 …..(1) మూలాలు α, β, γ
కనుక α + β + γ = 0, αβγ = -6
y = (α – β)² = (α + β)² – 4αβ అనుకొనుము.
= (-γ)² – 4(\(\frac{-6}{\gamma}\))
= γ² + \(\frac{24}{\gamma}\)
= x² + \(\frac{24}{x}\)
⇒ xy = x³ + 24
⇒ xy = 7x – 6 + 24 [(1) నుండి]
⇒ x(y – 7) = 18
⇒ x = \(\frac{18}{y-7}\)
x³ – 7x + 6 = 0 లో x = \(\frac{18}{y-7}\) ను వ్రాయగా
\(\left(\frac{18}{y-7}\right)^3-7\left(\frac{18}{y-7}\right)+6=0\)
⇒ (18)³ – 7(18) (y – 7)² + 6(y – 7)³ = 0
⇒ 5832 – 126(y² – 14y + 49) + 6(y³ – 21y² + 147y – 343) = 0
⇒ 972 – 21(y² – 14y + 49) + (y³ – 21y² + 147y – 343) = 0
⇒ y³ – 42y² + 441y – 400 = 0
(α – β)², (β – γ)², (γ – α)² మూలాలుగా గల సమీకరణం x³ – 42x² + 441x – 400 = 0
2వ పద్ధతి :
x³ – 7x + 6 = 0 మూలాలు α, β, γ లు యత్నదోష పద్ధతిన x = 1 సమీకరణాన్ని ధృవీకరిస్తుంది.
x³ – 7x + 6 కు x – 1 ఒక కారణాంకం

∴ x³ – 7x + 6 = (x – 1) (x² + x – 6) = (x – 1) (x + 3) (x – 2)
∵ x³ – 7x + 6 = 0 మూలాలు
α = 1, β = 3, γ = 2
ఇప్పుడు (α – β)² = [1 – (-3)]² = (4)² = 16
(β – γ)² = [-3 – 2)² = 25
(γ – α)² = [2 – 1]² = 1
∴ (α – β)², (β – γ)², (γ – α)² మూలాలుగా గల సమీకరణం (x – 16) (x – 25) (x – 1) = 0
⇒ x³ – (16 + 25 + 1)x² + (400 + 25 + 16)x – 400 = 0
⇒ x³ – 42x² + 441x – 400 = 0

ప్రశ్న 3.
x³ – 3ax + b = 0 యొక్క సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β, γ అయితే, Σ(α – β) (α – γ) = 9a అని నిరూపించండి.
సాధన:
α, β, γ లు x³ – 3ax + b = 0 మూలాలు
α + β + γ = 0, αβ + βγ + γα = -3a, αβγ = -b
Σ(α – β) (α – γ) = Σ[α² – α(β + γ) + βγ
= Σ(α² + α² + βγ)
= 2(α² + β² + γ²) + (βγ + γα + αβ)
= 2(α + β + γ)² – 4(αβ + βγ + γα) + (αβ + βγ + γα)
= 0 – 4(-3a) + (-3a)
= 9a

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(c)

అభ్యాసం – 3(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది అసమీకరణాలను బీజీయ పద్ధతిలో సాధించండి.
(i) 15x² + 4x – 4 ≤ 0
సాధన:
15x² + 4x – 4 ≤ 0
15x² – 6x + 10x – 4 ≤ 0
3x(5x – 2) + 2(5x – 2) ≤ 0
(3x + 2) (5x – 2) ≤ 0
x² గుణకం = 15 > 0,
దత్త సమాసం విలువ x ≤ 0 కనుక
\(\frac{-2}{3}, \frac{2}{5}\) ల మధ్య ఉంటుంది.
i.e., \(\frac{-2}{3} \leq x \leq \frac{2}{5}\)

(ii) x² – 2x + 1 < 0
సాధన:
(x – 1)² < 0
x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువపై అసమీకరణాన్ని ధృవీకరించదు.
కనుక సాధన సమితి = φ లేదా దత్త అసమీకరణానికి సాధన లేదు.

(iii) 2 – 3x – 2x² ≥ 0
సాధన:
-(2x² + 3x – 2) ≥ 0
⇒ -(2x² + 4x – x – 2) ≥ 0
⇒ [2x(x + 2) – 1(x + 2)] ≥ 0
⇒ -(2x – 1) (x + 2) ≥ 0
x² గుణకం = -2 < 0, సమాసం ≥ 0
⇒ x విలువ -2, \(\frac{1}{2}\) ల మధ్య ఉంటుంది.
i.e., -2 ≤ x ≤ \(\frac{1}{2}\)

(iv) x² – 4x – 21 ≥ 0
సాధన:
x² – 4x – 21 ≥ 0
x² – 7x + 3x – 21 ≥ 0
x(x – 7) + 3(x – 7) ≥ 0
(x + 3)(x – 7) ≥ 0
x² గుణకం = 1 > 0, సమాసం ≥ 0
x విలువ -3, 7 ల మధ్య ఉండదు.
i.e., x ∈ (-∞, -3] ∪ [7, ∞)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది అసమీకరణాలను రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో సాధించండి.
(i) x² – 7x + 6 > 0
సాధన:
f(x) = x² – 7x + 6

f(x) > 0 ⇒ y > 0
కనుక సాధన x < 1 మరియు x > 6.

(ii) 4 – x² > 0
సాధన:
f(x) = 4 – x² అనుకొనుము.

f(x) > 0 ⇒ y > 0
సాధన సమితి = {x/-2 < x < 2}

(iii) 15x² + 4x – 4 ≤ 0
సాధన:
f(x) = 15x²2 + 4x – 4 అనుకోండి.

f(x) ≤ 0 ⇒ y ≤ 0
సాధన సమితి = \(\left\{x / \frac{-2}{3} \leq x \leq \frac{2}{5}\right\}\)

(iv) x² – 4x – 21 ≥ 0
సాధన:
f(x) = x² – 4x – 21 అనుకోండి.

f(x) ≥ 0 ⇒ y ≥ 0
సాధన సమితి = {x/x ∈ (-∞, -3] ∪ [7, ∞)}

ప్రశ్న 2.
క్రింది అసమీకరణాలను సాధించండి.
(i) \(\sqrt{3 x-8}\) < -2
సాధన:
దత్త అసమీకరణానికి L.H.S. ధనాత్మకము, R.H.S. ఋణాత్మకము.
కనుక సాధన సమితి = φ లేదా సాధన సమితి వ్యవస్థితం కాదు.

(ii) \(\sqrt{-x^2+6 x-5}\) > 8 – 2x
సాధన:
\(\sqrt{-x^2+6 x-5}\) > 8 – 2x
⇔ -x² + 6x – 5 ≥ 0
మరియు (i) 8 – 2x < 0 లేదా (ii) 8 – 2x ≥ 0
-x² + 6x – 5 = -(x2 – 6x + 5) = -(x – 1) (x – 5)
కాబట్టి -x² + 6x – 5 ≥ 0 ⇔ x ∈ [1, 5]
(i) -x² + 6x – 5 ≥ 0 మరియు 8 – 2x < 0
⇔ x ∈ [1, 5] మరియు x > 4
⇔ x ∈ [4, 5] ……..(1)
(ii) -x² + 6x – 5 ≥ 0 మరియు 8 – 2x ≥ 0
∵ \(\sqrt{\left(-x^2+6 x-5\right)}\) > 8 – 2x
⇔ -x² + 6x – 5 > (8 – 2x)², మరియు 8 – 2x ≥ 0
⇔ -x² + 6x – 5 > 64 + 4×2 – 32x, x ≤ 4
⇔ 5x² – 38x + 69 < 0, x ≤ 4
⇔ 5x² – 15x – 23x + 69 < 0, x ≤ 4
⇔ (5x – 23) (x – 3) < 0, x ≤ 4
⇔ x ∈ (3, \(\frac{23}{5}\)), x ≤ 4
⇔ x ∈ (3, \(\frac{23}{5}\)) ∧ (-∞, 4)
⇔ x ∈ (3, 4) …….(2)
కాబట్టి (1), (2) ల నుండి, దత్త సమీకరణానికి సాధన సమితి
x ∈ (4, 5) ∪ (3, 4)
⇒ x = (3, 5) లేదా 3 < x ≤ 5

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
ax² + 2bx + c = 0, ax² + 2cx + b = 0, (b ≠ c) వర్గ సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, అప్పుడు a + 4b + 4c = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ax² + 2bx + c = 0,
ax² + 2cx + b = 0 లకు α ఉమ్మడి మూలం అనుకుంటే
aα² + 2bα + c = 0 ……(1)
aα² + 2ca + b = 0 …….(2)
(1) – (2) ⇒ 2α(b – c) + c – b = 0
2α(b – c) = b – c
2α = \(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}\) = 1, (∵ b ≠ c)
α = \(\frac{1}{2}\)
α = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా ax² + 2bx + c = 0
\(a\left(\frac{1}{4}\right)+2 b \frac{1}{2}+c=0\)
⇒ a + 4b + 4c = 0
∴ a + 4b + 4c = 0 కావలసిన నియమం.

ప్రశ్న 2.
x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, p కనుక్కోండి.
సాధన:
x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం α అనుకుంటే అప్పుడు
α² – 6α + 5 = 0, α² – 12α + p = 0
⇒ α² – 6α + 5 = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
⇒ α = 1 లేదా 5
α = 1 అయిన α² – 12α + p = 0
⇒ 1 – 12 + p = 0
⇒ p = 11
α = 5 అయిన α² – 12α + p = 0
⇒ 25 – 60 + p = 0
⇒ p = 35
∴ p = 11 లేదా 35

ప్రశ్న 3.
x² – 6x + 5 = 0, x² – 3ax + 35 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, ‘a’ కనుక్కోండి.
సాధన:
x² – 6x + 5 = 0
⇒ (x – 1) (x – 5) = 0
⇒ x = 1, x = 5
Case (i): x = 1 ఉమ్మడి మూలమైన, అది
x² – 3ax + 35 = 0 కు కూడ మూలం అగును.
⇒ (1)² – 3a (1) + 35 = 0
⇒ a = 12
Case (ii): x = 5 ఉమ్మడి మూలమైన
⇒ (5)² – 3a(5) + 35 = 0
⇒ 60 – 15a = 0
⇒ a = 4
∴ a = 12 లేదా a = 4

ప్రశ్న 4.
x² + ax + b = 0, x² + cx + d = 0 లకు ఉమ్మడి మూలము ఉండి, మొదటి సమీకరణానికి సమాన మూలాలుంటే, అపుడు 2(b + d) = ac అని నిరూపించండి.
సాధన:
x² + ax + b = 0, x² + cx + d = 0 లకు మూలం α అనుకొనుము.
x² + ax + b = 0 కు మూలాలు సమానం కనుక α, α లు దీని మూలాలు
α + α = -a ⇒ α = \(\frac{-a}{2}\)
α . α = b ⇒ α² = b
∴ x² + cx + d = 0 కు α మూలం కనుక
⇒ α² + cα + d = 0
⇒ b + c (\(\frac{-a}{2}\)) + d = 0
⇒ 2(b + d) = ac

ప్రశ్న 5.
x వాస్తవసంఖ్య అయినపుడు క్రింది సమాసాల గుర్తులను చర్చించండి.
(i) x² – 5x + 4
సాధన:
x² – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4)
a = 1 > 0
x < 1 లేదా x > 4 అయిన x² – 5x + 4 ధనాత్మకం
1 < x < 4 అయిన x² – 5x + 4 ఋణాత్మకం

(ii) x² – x + 3
సాధన:
∆ = b² – 4ac
= (-1)² – 4 . 1 . 3
= 1 – 12
= -11 < 0
a = 1 > 0, ∆ < 0
⇒ x ∈ R కు x² – x + 3 ధనాత్మకం.

ప్రశ్న 6.
ఏయే x విలువలకు క్రింది సమాసాలు ధనాత్మకం?
(i) x² – 5x + 6 [May ’11]
సాధన:
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
x² – 5x + 6 = 0 మూలాలు 2, 3 లు. అవి వాస్తవాలు.
x < 2 లేదా x > 3 అయిన x² – 5x + 6 ధనాత్మకం.
∵ a = 1 > 0

(ii) 3x² + 4x + 4
సాధన:
ఇచ్చట a = 3, b = 4, c = 4,
∆ = b² – 4ac
= 16 – 48
= -32 < 0
∴ 3x² + 4x + 4 ధనాత్మకం ∀ x ∈ R,
∵ a = 3 > 0 మరియు ∆ < 0
ax² + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటాయి. ∀ x ∈ R అయిన ∆ < 0

(iii) 4x – 5x² + 2
సాధన:
4x – 5x² + 2 = 0 కు మూలాలు \(\frac{-4 \pm \sqrt{16+40}}{-10}\)
i.e., \(\frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}\) అవి వాస్తవాలు.
∴ 4x – 5x² + 2 ధనాత్మకం
\(\frac{2-\sqrt{14}}{5}\) < x < \(\frac{2+\sqrt{14}}{5}\) అయిన a = -5 < 0.

(iv) x² – 5x + 14
సాధన:
ఇచ్చట a = 1, b = -5, c = 14,
∆ = b² – 4ac
= 25 – 56
= -31 < 0
∴ ∆ < 0
∵ a = 1 > 0 మరియు ∆ < 0
∴ x² – 5x + 14 ధనాత్మకం ∀ x ∈ R.

ప్రశ్న 7.
ఏయే x విలువలకు క్రింది సమాసాలు ఋణాత్మకం.
(i) x² – 7x + 10
సాధన:
x² – 7x + 10 = (x – 2) (x – 5)
x² – 7x + 10 = 0 కు మూలాలు 2, 5
a = 1 > 0
∴ 2 < x < 5 అయిన x² – 7x + 10 ఋణాత్మకం

(ii) 15 + 4x – 3x²
సాధన:
15 + 4x – 3x² = 0 కు మూలాలు
\(\frac{-4 \pm \sqrt{16+180}}{-6}=\frac{-5}{3}, 3\)
a = -3 < 0
∴ x < \(\frac{-5}{3}\) లేక x > 3 అయిన 15 + 4x – 3x² ఋణాత్మకం

(iii) 2x² + 5x – 3
సాధన:
2x² + 5x – 3 = 0 మూలాలు
\(\frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{4}=-3, \frac{1}{2}\)
a = 2 > 0
∴ -3 < x < \(\frac{1}{2}\) అయిన 2x² + 5x – 3 ఋణాత్మకం.

(iv) x² – 5x – 6
సాధన:
x² – 5x – 6 = (x – 6) (x + 1)
x² – 5x – 6 = 0 కు మూలాలు -1, 6.
a = 1 > 0
∴ -1 < x < 6 అయిన x² – 5x – 6 ఋణాత్మకం.

ప్రశ్న 8.
క్రింది సమాసాల గుర్తులతో మార్పులను కనుక్కోండి. వాటి అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సూచన : α, β లు ax² + bx + c = 0 కు మూలాలు α < β అయిన
1) -x < α లేదా x > β అయిన ax² + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటుంది.
2) α < x < β అయిన ax² + bx + c, ‘a’ లకు వ్యతిరేక గుర్తులుంటాయి.

(i) x² – 5x + 6
సాధన:
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
1) 2 < x < 3 అయిన x² – 5x + 6 ఋణాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
2) x < 2 (లేదా) x > 3, అయిన x² – 5x + 6 ధనాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
a > 0 కనుక x² – 5x + 6 కనిష్ట విలువ
\(\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4(1)(6)-(-5)^2}{4(1)}\)
= \(\frac{24-25}{4}\)
= \(\frac{-1}{4}\)
కనుక x² – 5x + 6 కు కనిష్ట విలువ \(\frac{-1}{4}\)

(ii) 15 + 4x – 3x²
సాధన:
15 + 4x – 3x² = 15 + 9x – 5x – 3x²
= 3(5 + 3x) – x(5 + 3x)
= (3 – x) (5 + 3x)
1) \(\frac{-5}{3}\) < x < 3 అయిన 15 + 4x – 3x² ధనాత్మకం.
∵ a = -3 < 0
2) x < \(\frac{-5}{3}\) లేదా x > 3, 15 + 4x – 3x² ఋణాత్మకం.
∵ a = -3 < 0
a < 0 కనుక 15+ 4x – 3x² గరిష్ఠ విలువ
\(\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4(-3)(15)-16}{4(-3)}=\frac{49}{3}\)
15 + 4x – 3x² కు గరిష్ఠ విలువ \(\frac{49}{3}\)

ప్రశ్న 9.
R మీద x మారుతున్నప్పుడు క్రింది సమాసాల గరిష్ట లేదా కనిష్ఠ విలువలను కనుక్కోండి.
(i) x² – x + 7
సాధన:
a = 1 > 0
కనిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{28-1}{4}=\frac{27}{4}\)

(ii) 12x – x2 – 32 [May ’06]
సాధన:
a = -1 < 0
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{128-144}{-4}\)
= 4

(iii) 2x + 5 – 3x²
సాధన:
a = -3 < 0
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{(4)(-3)(5)-(2)^2}{4 \times-3}\)
= \(\frac{16}{3}\)

(iv) ax² + bx + a, (a, b ∈ R, a ≠ 0)
సాధన:
a < 0 కు గరిష్ట విలువ, a > 0 కు కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
ఆ విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
ఇచ్చట a = a, b = b, c = a
= \(\frac{4(a)(a)-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{4 a^2-b^2}{4 a}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాల వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
(i) \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) (Mar. ’04)
సాధన:
y = \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) అనుకోండి.
⇒ x²y – xy + y = x² + x + 1
⇒ x²y – xy + y – x² – x – 1 = 0
⇒ x²(y – 1) – x(y + 1) + (y – 1) = 0
x వాస్తవం ⇒ x = b² – 4ac ≥ 0
⇒ (y + 1)² – 4(y – 1)² ≥ 0
⇒ (y + 1)² – (2y – 2)² ≥ 0
⇒ (y + 1 + 2y – 2) (y + 1 – 2y + 2) ≥ 0
⇒(3y – 1) (y + 3) ≥ 0
⇒ (3y – 1) (y – 3) ≥ 0
a = y² గుణకం = -3 < 0 కాని సమాసం ≥ 0
⇒ y విలువ \(\frac{1}{3}\), 3 ల మధ్య ఉంటుంది
∴ \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) వ్యాప్తి [\(\frac{1}{3}\), 3]

(ii) \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\)
సాధన:
y = \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) అనుకోండి.
అప్పుడు 2yx² + 3yx + 6y = x + 2
⇒ 2yx² + (3y – 1)x + (6y – 2) = 0
x వాస్తవాలు ⇒ విచక్షణి ≥ 0
⇒ (3y – 1)² – 4(2y) (6y – 2) ≥ 0
⇒ 9y² + 1 – 6y – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ -39y² + 10y + 12 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y(3y – 1) + 1(3y – 1) ≤ 0
⇒ (3y – 1) (13y + 1) ≤ 0
∴ a = y² గుణకం = 39 > 0, సమాసము ≤ 0
⇒ y విలువ \(\frac{-1}{13}, \frac{1}{3}\) లచే మధ్య ఉంటుంది
∴ కనుక \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) వ్యాప్తి [latex]\frac{-1}{13}, \frac{1}{3}[/latex]

(iii) \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
సాధన:
y = \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
⇒ yx + 3y = x² + x – 2 అనుకోండి.
⇒ x² + (1 – y)x – 3y – 2 = 0
x ∈ R
⇒ (1 – y²) – 4(-3y – 2) ≥ 0
⇒ 1 + y² – 2y + 12y + 8 ≥ 0
⇒ y² + 10y + 9 ≥ 0
⇒ y² + 10y + 9 ≥ 0
⇒ (y + 1) (y + 9) = 0
⇒ y = -1, -9
y² + 10y + 9 ≥ 0
∴ a = y² గుణకం = 1 > 0, సమాసం ≥ 0
y ≤ -9 లేదా y ≥ -1
వ్యాప్తి = (-∞, -9] ∪ (-1, ∞)

(iv) \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
సాధన:
y = \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
⇒ yx² – 3yx + 2y = 2x² – 6x + 5
⇒ (y – 2)x² + (6 – 3y)x + (2y – 5) = 0
x ∈ R
⇒ (6 – 3y)² – 4(y – 2) (2y – 5) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 4(2y² – 9y + 10) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 8y² + 36y – 40 ≥ 0
⇒ y² – 4 ≥ 0
y² – 4 = 0
⇒ y² = 4
⇒ y = ±2
y² – 4 ≥ 0
⇒ y ≤ -2 లేదా y ≥ 2
⇒ y విలువ -2, 2 ల మధ్య ఉండదు.
∵ y² గుణకం > 0, సమాసం ≥ 0
∴ \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\) వ్యాప్తి (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

ప్రశ్న 2.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి. [AP & TS Mar. ’16, Mar. ’11]
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R
⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² + 16 – 32y – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
4y² – 20y + 16 = 0
⇒ y² – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 1)(y – 4) = 0
⇒ y = 1, 4
4y² – 20y + 16 ≥ 0
y ≤ 1 లేదా y ≥ 4
∵ y² గుణకం, సమాసం ≥ 0
⇒ y విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే, \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ 1, \(\frac{-1}{11}\) ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి. [Mar. ’14, ’08, ’02; May ’11, ’07]
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\)
⇒ yx² – 5yx + 9y = x
⇒ yx² + (-5y – 1)x + 9y = 0
x ∈ R
⇒ (-5y – 1)² – 4y(9y) ≥ 0
⇒ 25y² + 1 + 10y – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0 ………(1)
-11y² + 10y + 1 = 0
⇒ -11y² + 11y – y + 1 = 0
⇒ 11y(-y + 1) + 1(-y + 1) = 0
⇒ (-y + 1) (11y + 1) = 0
⇒ y = 1, \(\frac{-1}{11}\)
-11y² + 10y + 1 ≥ 0
∴ y² గుణకం < 0, సమాసం ≥ 0
(1) నుండి \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
⇒ y విలువ 1, \(\frac{-1}{11}\) ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
R లోని ప్రతి x కి \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) (y వాస్తవం)
అప్పుడు yx² – 3yx + 2y = x – p
⇒ yx² + (-3y – 1)x + (2y + p) = 0
∵ x ∈ R
⇒ (-3y – 1)² – 4y(2y + p) ≥ 0
⇒ 9y² + 6y + 1 – 8y² – 4py ≥ 0
⇒ y² + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
∵ y ∈ R, y² + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
మూలాలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు లేదా సమాన వాస్తవాలు
⇒ ∆ ≤ 0
⇒ (6 – 4p)² – 4 ≤ 0
⇒ 4(3 – 2p)² – 4 ≤ 0
⇒ (3 – 2p)² – 1 ≤ 0
⇒ 4p² – 12p + 8 ≤ 0
⇒ p² – 3p + 2 ≤ 0
⇒ (p – 1) (p – 2) ≤ 0
p = 1 లేదా p = 2 అయిన \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) నిర్వచితం కాదు.
∴ 1 < p < 2

ప్రశ్న 5.
c² ≠ ab అయి (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0 సమీకరణం మూలాలు సమానమైతే, అప్పుడు a³ + b³ + c³ = 3abc లేదా a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0
విచక్షణి = 4(a² – bc)² – 4(c² – ab) (b² – ac)
= 4[(a² – bc)² – (c² – ab) (b² – ac)]
= 4(a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc)
= 4(a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc)
= 4a(a³ + b³ + c^c – 3abc)
మూలాలు సమానం కనుక విచక్షణి = 0
4a(a² + b² + c² – 3abc) = 0
a = 0 లేదా a² + b² + c² – 3abc = 0
i.e., a = 0 లేదా a² + b² + c² = 3abc

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(a)

అభ్యాసం -3(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలు కనుక్కోండి.
(i) x² – 7x + 12 = 0
సాధన:

(ii) -x² + x + 2 = 0
సాధన:

(iii) 2x² + 3x + 2 = 0
సాధన:

(iv) √3x² + 10x – 8√3 = 0
సాధన:

(v) 6√5x² – 9x – 3√5 = 0
సాధన:

ప్రశ్న 2.
క్రింద ఇచ్చిన మూలాలు గల వర్గ సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 2, 5
సాధన:
α + β = 2 + 5 = 7, αβ = 2 × 5 = 10
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 7x + 10 = 0

(ii) \(\frac{m}{n}, \frac{-n}{m}\), (m ≠ 0, n ≠ 0)
సాధన:

(iii) \(\frac{p-q}{p+q}, \frac{-(p+q)}{p-q}\), (p ≠ ±q) [Mar. ’06]
సాధన:

(iv) 7 ± 2√5 [Mar. ’11, ’05]
సాధన:
α + β = 7 + 2√5 + 7 – 2√5 = 14
αβ = (7 + 2√5) (7 – 2√5) = 49 – 20 = 29
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 14x + 29 = 0

(v) -3 ± 5i [Mar. ’07]
సాధన:
α + β = -3 + 5i – 3 – 5i = -6
αβ = (-3 + 5i) (-3 – 5i) = 9 + 25 = 34
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² + 6x + 34 = 0

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలను కనుక్కోకుండా, మూలాల స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
(i) 2x² – 8x + 3 = 0
సాధన:
a = 2, b = -8, c = 3
b² – 4ac = 64 – 24 = 40 > 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.

(ii) 9x² – 30x + 25 = 0
సాధన:
a = 9, b = -30, c = 25
b² – 4ac = 900 – 900 = 0
∴ మూలాలు సమాన అకరణీయ సంఖ్యలు.

(iii) x² – 12x + 32 = 0
సాధన:
a = 1, b = -12, c = 32
b² – 4ac = 144 – 128
= 16
= (4)²
= సంపూర్ణ వర్గం
∴ మూలాలు విభిన్న అకరణీయ సంఖ్యలు.

(iv) 2x² – 7x + 10 = 0
సాధన:
a = 2, b = -7, c = 10
b² – 4ac = 49 – 80 = -31 < 0
∴ మూలాలు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, క్రింది సమాసాల విలువలను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
(i) \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
సాధన:
సమీకరణం మూలాలు α, β
ax² + bx + c = 0
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}\)
= \(\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)}\)
= \(\frac{-b}{c}\)

(ii) \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}\) [A.P.&T.S. Mar. ’16, Mar. ’08]
సాధన:

(iii) α⁴β⁷ + α⁷β⁴
సాధన:

(iv) \(\left(\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\beta}{\alpha}\right)^2\), c ≠ 0 అయితే
సాధన:

(v) \(\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^{-2}+\beta^{-2}}\), c ≠ 0 అయితే
సాధన:

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన సమీకరణాలకు సమాన మూలాలు ఉంటే వాటియొక్క ‘m’ విలువలు కనుక్కోండి.
(i) x² – 15 – m(2x – 8) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం x² – 15 – m(2x – 8) = 0
x² – 2mx + 8m – 15 = 0
a = 1, b = -2m, c = 8m – 15
b² – 4ac = (-2m)² – 4(1) (8m – 15)
= 4m² – 32m + 60
= 4(m² – 8m + 15)
= 4(m – 3) (m – 5)
ax² + bx + c = 0 కు సమాన మూలాలు ఉంటే, దాని విచక్షణి = 0.
∴ మూలాల సమానం
b² – 4ac = 0
⇒ 4(m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m – 3 = 0 లేదా m – 5 = 0
⇒ m = 3 లేదా m = 5

(ii) (m + 1)x² + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0 [Mar. ’03]
సాధన:
దత్త సమీకరణం (m + 1)x² + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0
a = m + 1, b = 2(m + 3), c = m + 8
b² – 4ac = [2(m + 3)]² – 4(m + 1) (m + 8)]
= 4(m² + 6m + 9) – 4(m² + 8m + m + 8)
= 4m² + 24m + 36 – 4m² – 36m – 32
= -12m + 4
= -4(3m – 1)
∴ మూలాలు సమానం
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ -4(3m – 1) = 0
⇒ 3m – 1 = 0
⇒ 3m = 1
⇒ m = \(\frac{1}{3}\)

(iii) x² + (m + 3)x + (m + 6) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము x² + (m + 3)x + m + 6 = 0
a = 1, b = m + 3, c = m + 6
∴ మూలాలు సమానం
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ (m + 3)² – 4(1) (m + 6) = 0
⇒ m² + 6m + 9 – 4m – 24 = 0
⇒ m² + 2m – 15 = 0
⇒ m² + 5m – 3m – 15 = 0
⇒ m(m + 5) – 3(m + 5) = 0
⇒ (m + 5) (m – 3) = 0
⇒ m = -5, 3

(iv) (3m + 1)x² + 2(m + 1)x + m = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము (3m + 1)x² + 2(m + 1)x + m = 0
a = 3m + 1, b = 2(m + 1), c = m
b² – 4ac = 4(m + 1)² – 4m(3m + 1)
= 4[(m + 1)² – m(3m + 1)]
= 4(m² + 2m + 1 – 3m² – m)
= 4(-2m² + m + 1)
= -4(2m² – m – 1)
= 4(m – 1) (2m + 1)
మూలాలు సమానము ⇒ విచక్షణి = 0
∴ -4(m – 1) (2m + 1) = 0
m – 1 = 0 లేదా 2m + 1 = 0
m = 1 లేదా m = \(\frac{-1}{2}\)

(v) (2m + 1)x² + 2(m + 3)x + (m + 5) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము (2m + 1)x² + 2(m + 3)x + m + 5 = 0
a = 2m + 1, b = 2(m + 3), c = m + 5
మూలాలు సమానము ⇒ b² – 4ac = 0
⇒ 4(m + 3)² – 4(2m + 1) (m + 5) = 0
⇒ 4(m² + 6m + 9 – 2m² – 10m – m – 5) = 0
⇒ -m² – 5m + 4 = 0
⇒ m² + 5m – 4 = 0
⇒ m = \(\frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2}\)
⇒ m = \(\frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\)

ప్రశ్న 6.
x² + px + q = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, (α – β)², (α + β)² లు మూలాలుగా గల సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
x² + px + q = 0 కు α, β లు మూలాలు కనుక
α + β = -p, αβ = q
(α – β)² + (α + β)² = 2(α² + β²)
= 2[(α + β)² – 2αβ]
= 2[p² – 2q]
(α – β)² (α + β)² = [(α + β)² – 4αβ)](α + β)²
= (p² – 4q) (p²)
∴ కావలసిన సమీకరణం x² – (మూలాల మొత్తం)x + (మూలాల లబ్దం) = 0
x² – 2(p² – 2q)x + p²(p² – 4q) = 0

ప్రశ్న 7.
x² + bx + c = 0, x² + cx + b = 0 (b ≠ c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే అప్పుడు b + c + 1 = 0 అని చూపండి. [Mar. ’05]
సాధన:
ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అయిన
α² + bα + c = 0 ……(1)
α² + cα + b = 0 ………(2)
(1) – (2)
⇒ (b – c)α + c – b = 0
⇒ α = 1
(1) నుండి 1 + b + c = 0

ప్రశ్న 8.
(x – a)(x – b) = h² సమీకరణం మూలాలు ఎల్లప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలైన నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం (x – a) (x – b) = h²
x² – (a + b)x + (ab – h²) = 0
విచక్షణి = (a + b)² – 4(ab – h²)
= (a + b)² – 4ab + 4h²
= (a – b)² + (2h)² > 0
∴ మూలాలు వాస్తవాలు.

ప్రశ్న 9.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం ఒక మూలం మరో మూలానికి n రెట్లు (n ధన పూర్ణసంఖ్య) కావటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 సమీకరణానికి మూలాలు α, nα అనుకుందాం.
అపుడు α + nα = \(-\frac{b}{a}\), α . nα = \(\frac{c}{a}\)
α(1 + n) = \(-\frac{b}{a}\), nα2 = \(\frac{c}{a}\)
α²(1 + n)² = \(\frac{b^2}{a^2}\) ……(1)
α² = \(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{na}}\) ……(2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{c}{n a}(1+n)^2=\frac{b^2}{a^2}\)
nb² = ac(1 + n)²
∴ కావలసిన నియమం nb² = ac(1 + n)²

ప్రశ్న 10.
వరుసగా రెండు ధనాత్మక సరిపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 340 అయ్యేటట్లు, రెండు వరుస సరిసంఖ్యలు కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు వరుస సరి ధనాత్మక సరి పూర్ణ సంఖ్యలు 2λ, 2λ + 2 అనుకుందాం.
వాటి వర్గాల మొత్తం = 340
⇒ (2λ)² + (2λ + 2)² = 340
⇒ λ² + (λ + 1)² = 85
⇒ λ² + λ² + 2λ + 1 – 85 = 0
⇒ 2λ² + 2λ – 84 = 0
⇒ λ² + λ – 42 = 0
⇒ (λ + 7) (λ – 6) = 0
⇒ λ = 6, λ = -7
∴ దత్త సంఖ్యలు ధనాత్మకాలు కనుక λ = 6
2λ = 2(6) = 12
2λ + 2 = 12 + 2 = 14
∴ రెండు వరుస ధనాత్మక సరి పూర్ణాంకాలు 12, 14.

II.

ప్రశ్న 1.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు x₁, x₂ లు c ≠ 0 అయితే (ax₁ + b)^-2 + (ax₂ + b)^-2 సమాసం విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే α² + β², α^-2 + β^-2 మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 3.
2x⁴ + x³ – 11x² + x + 2 = 0
సాధన:
దత్తసమీకరణం 2x⁴ + x³ – 11x² + x + 2 = 0 ను x² చే భాగించగా

ప్రశ్న 4.
\(3^{1+x}+3^{1-x}=10\)
సాధన:
దత్తసమీకరణం 3^1+x + 3^1-x = 10
\(3.3^x+\frac{3}{3^x}=10\)
3x = a అనుకుంటే 3a + \(\frac{3}{a}\) = 10
⇒ 3a² + 3 = 10a
⇒ 3a² – 10a + 3 = 0
⇒ (a – 3) (3a – 1) = 0
⇒ a – 3 = 0 లేదా 3a – 1 = 0
⇒ a = 3 లేదా a = \(\frac{1}{3}\)
Case (i): a = 3 అయిన
3^x = 3¹
⇒ x = 1
Case (ii): a = \(\frac{1}{3}\) అయిన
3^x = 3^-1
⇒ x = -1
∴ మూలాలు 1, -1.

ప్రశ్న 5.
4^x-1 – 3 . 2^x-1 + 2 = 0
సాధన:
దత్తసమీకరణం 4^x-1 – 3. 2^x-1 + 2 = 0
a = 2x – 1 అనుకుంటే a² = (2^x-1)² = 4^x-1
∴ a² – 3a + 2 = 0
(a – 2) (a – 1) = 0
a – 2 = 0 లేదా a – 1 = 0
a = 2 లేదా 1
Case (i): a = 2 అయిన
2^x-1 = 2¹
⇒ x – 1 = 1
⇒ x = 2
Case (ii): a = 1 అయిన
2^x-1 = 2⁰
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
∴ మూలాలు 1, 2.

ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x ≠ 3 అయినప్పుడు \(\sqrt{\frac{x}{x-3}}+\sqrt{\frac{x-3}{x}}=\frac{5}{2}\)
సాధన:
a = \(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\) అనుకోండి.
అప్పుడు \(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{a^2+1}{a}=\frac{5}{2}\)
⇒ 2a² + 2 = 5a
⇒ 2a² – 5a + 2 = 0
⇒ (2a – 1) (a – 2) = 0
⇒ 2a – 1 = 0 లేదా a – 2 = 0
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) లేదా 2
Case (i): a = 2 అయిన
\(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\) = 2
⇒ \(\frac{x}{x-3}\) = 4
⇒ x = 4x – 12
⇒ 3x = 12
⇒ x = 4
Case (ii): a = \(\frac{1}{2}\) అయిన
\(\sqrt{\frac{x}{x-3}}=\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{x}{x-3}=\frac{1}{4}\)
⇒ 4x = x – 3
⇒ 3x = -3
⇒ x = -1
∴ మూలాలు -1, 4.

ప్రశ్న 7.
x ≠ 0, x ≠ -1 అయినప్పుడు \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+1}{3 x}}\) = 2
సాధన:
a = \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}\) అనుకుంటే
అప్పుడు a + \(\frac{1}{a}\) = 2
⇒ \(\frac{a^2+1}{a}\) = 2
⇒ a² + 1 = 2a
⇒ a² – 2a + 1 = 0
⇒ (a – 1)² = 0
⇒ a – 1 = 0
⇒ a = 1, 1
∴ \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}\) = 1
⇒ \(\frac{3 x}{x+1}\) = 1
⇒ 3x = x + 1
⇒ 2x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
∴ మూలం \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 8.
x ≠ 0 అయినప్పుడు \(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+5\) = 0
సాధన:
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
⇒ 2a² – 7a + 5 = 0
⇒ (2a – 5) (a – 1) = 0
⇒ 2a – 5 = 0 లేదా a – 1 = 0
⇒ a = \(\frac{5}{2}\) లేదా 1
Case (i): a = \(\frac{5}{2}\) అయిన
\(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{5}{2}\)
⇒ 2x² + 2 = 5x
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
⇒ (2x – 1) (x – 2) = 0
⇒ 2x – 1 = 0 లేదా x – 2 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{2}\) లేదా 2
Case (ii): a = 1 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 1
⇒ x² + 1 = x
⇒ x² – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}\)
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\), \(\frac{1}{2}\), 2

ప్రశ్న 9.
x ≠ 0 అయినప్పుడు \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)\) + 6 = 0
సాధన:
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
అప్పుడు a² = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)
x² + \(\frac{1}{x^2}\) = a² – 2
⇒ a² – 2 – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 5a + 4 = 0
⇒ (a – 1) (a – 4) = 0
⇒ a = 1 లేదా 4
Case (i) a = 1 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 1
⇒ x² + 1 = x
⇒ x² – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\) (∵ i = -1)
Case (ii): a = 4
x + \(\frac{1}{x}\) = 4
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 4
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x² – 4x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\)
⇒ x = 2 ± √3
∴ మూలాలు 2 ± √3, \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\)

ప్రశ్న 10.
మూలాల మొత్తం 7గా, మూలాల వర్గాల మొత్తం 25 గా ఉండే వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వర్గ సమీకరణానికి మూలాలు α, β అనుకొనుము.
α + β = 7, α² + β² = 25
⇒ (α + β)² – 2αβ = 25
⇒ 49 – 25 = 2αβ
⇒ 2αβ = 24
⇒ αβ = 12
∴ కావలసిన సమీకరణం x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 7x + 12 = 0

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(b)

అభ్యాసం – 2(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటికి అన్ని విలువలు కనుక్కోండి.
(i) \((1-i \sqrt{3})^{1 / 3}\)
సాధన:

(ii) \((-i)^{1 / 6}\)
సాధన:

(iii) \((1+i)^{2 / 3}\)
సాధన:

(iv) \((-16)^{1 / 4}\)
సాధన:

(v) \((-32)^{1 / 5}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు, x = cis A, y = cis B, z = cis C అయితే xyz విలువ కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు
⇒ A + B + C = 180° ……(1)
x = cis A, y = cis B, z = cis C
⇒ xyz = cis (A + B + C)
= cos (A + B + C) + i sin (A + B + C)
= cos(180°) + i sin(180°)
= -1 + i(0)
= -1
∴ xyz = -1

ప్రశ్న 3.
(i) x = cis θ అయితే \(\left[x^6+\frac{1}{x^6}\right]\) విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
x = cos θ + i sin θ
⇒ x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶ = cos 6θ + i sin 6θ
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ \(\left[x^6+\frac{1}{x^6}\right]\) = 2 cos 6θ

(ii) 8 యొక్క ఘన మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ = 8 అనుకుందాం.
⇒ x = \((8)^{1 / 3}=\left(2^3 \cdot 1\right)^{1 / 3}\)
⇒ x = \(\left(2^3\right)^{1 / 3}(1)^{1 / 3}=2(1)^{1 / 3}\)
∴ 8 ఘన మూలాలు ω, 2ω, 2ω²

ప్రశ్న 4.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω² అయితే, క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1

(ii) (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
∴ ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0
2 – ω¹⁰ = 2 – ω⁹ . ω
= 2 – (ω³)³ . ω
= 2 – (1)³ ω
= 2 – ω
2 – ω¹¹ = 2 – (ω³)³ . ω²
= 2 – (1)³ ω²
= 2 – ω²
(2 – ω) (2 – ω²) = 4 – 2ω – 2ω² + ω³
= 4 – 2(ω + ω²) + 1
= 4 – 2(-1) + 1
= 4 + 2 + 1
= 7
∴ (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω) (2 – ω²)
= ((2 – ω) (2 – ω²))²
= 7²
= 49

(iii) (x + y + z) (x + yω + zω²) (x + yω²+ zω) = x³ + y³ + z³ – 3xyz.
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω²
∴ 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
ఇప్పుడు (x + yω + zω²) (x + yω² + zω) = x² + xyω² + zxω + xyω + y²ω3 + yzω² + zxω² + yzω⁴ + z²ω³
= x² + y² (1) + z² (1) + xy (ω + ω²) + yz (ω⁴ + ω²) + zx (ω + ω²)
= x² + y² + z² + xy(-1) + yz (ω + ω²) + zx (-1)
= x² + y² + z² – xy – yz – zx ………(1)
L.H.S. = (x + y + z) (x + yω + zω²) (x + yω² + zω)
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
(1) నుండి x³ + y³ + z³ – 3xyz = R.H.S.

ప్రశ్న 5.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు ω, ω² అయిన z² – z + 1 = 0 మూలాలు -ω, -ω² లు అవుతాయని చూపండి.
సాధన:
ω మరియు ω² సంకీర్ణ ఘనమూలాలు కావున
∴ 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = 1
z² – z + 1 = (-ω)² – (-ω) + 1
= ω² + ω + 1
= 0
∴ -ω అనేది z² – z + 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలం
z² – z + 1 = (-ω²)² – (-ω²) + 1
= ω⁴ + ω² + 1
= ω³ . ω + ω² + 1
= ω + ω² + 1
= 0
∴ -ω² అనేది z² – z + 1 = 0 అనే సమీకరణం యొక్క మూలం.

ప్రశ్న 6.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω² లు అయిన, ఈ క్రింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) (a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
∴ 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
ఇప్పుడు (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ …….(1)
(aω + bω²)³ = [ω(a + bω)]³
= ω³ (a + bω)³
= (1) (a + bω)³
= a³ + 3a²bω + 3ab²ω² + b³ω³
= a³ + 3a²bω + 3ab²ω² + b³ …….(2)
(aω² + bω)³ = [ω(aω + b)]³
= ω³(aω + b)³
= (1) (aω + b)³
= a³ω³ + 3a²bω² + 3ab²ω + b³
= a³(1) + 3a²b²ω² + 3ab²ω + b³
∴ (aω² + bω)³ = a³ + 3a²bω² + 3ab²ω + b³ …..(3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా,
(a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³ = 3a³ + 3a²b (1 + ω + ω²) + 3ab² (1 + ω + ω²) + 3b³
= 3(a³ + b³) + 3a²b (0) + 3ab² (0)
= 3(a³ + b³)
∴ (a + b)² + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³ = 3(a³ + b³)

(ii) (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)²
సాధన:
(a + 2b)² = a² + 4ab + 4b² ……..(1)
(aω² + 2bω)² = a²ω⁴ + 4abω³ + 4b²ω²
= a²ω³ω + 4ab (1) + 4b²ω²
= a²ω + 4ab + 4b²ω² ……….(2)
మరియు (a + 2bω²)² = a²ω² + 4abω³ + 4b²ω⁴
= a²ω² + 4ab (1) + 4b² ω³ ω
= a²ω² + 4ab + 4b² (1) ω
∴ (aω + 2bω²)² = a²ω² + 4ab + 4b²ω ……..(3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా
(a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)² = a² (1 + ω + ω²) + 12ab + 4b² (1 + ω + ω²)
= a² (0) + 12ab + 4b² (0)
= 12ab
∴ (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)² = 12ab

(iii) (1 – ω + ω²)³
సాధన:
(1 – ω + ω²)³ = (-ω – ω)³ = (-2ω)³ = -8ω³
= -8(1)
= -8 (∵ 1 + ω + ω² = 0)

(iv) (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
సాధన:
1 – ω⁴ = 1 – (ω³) ω = 1 – (1) ω = 1 – ω
1 – ω⁸ = 1 – (ω³)² ω² = 1 – (1) ω² = 1 – ω²
∴ (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
= (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω) (1 – ω²)
= [(1 – ω) (1 – ω²)]²
= (1 – ω – ω² + ω³)²
= [1 – (ω + ω²) + 1]² [∵ 1 + ω + ω² = 0]
= [1 – (-1) + 1]²
= (3)²
= 9
∴ (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸) = 9

(v) \(\left[\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right]+\frac{\left(a+b \omega+c \omega^2\right)}{\left(b+c \omega+a \omega^2\right)}\)
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0 ……..(1)

(vi) (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0
ఇప్పుడు (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
= (-ω²)³ + (-ω)³ [∵ 1 + ω = -ω²]
= -ω⁶ – ω³ [∵1 + ω² = -ω, ω³ = 1]
= -(1)² – (1)
= -2

(vii) (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
(1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
= [(1 + ω²) – ω]⁵ + [(1 + ω) – ω²]⁵
= (-ω – ω)⁵ + (-ω² – ω²)⁵
= (-2ω)⁵ + (-2ω²)⁵
= (-2)⁵ [ω⁵ + ω¹⁰]
= -32 [ω³ . ω² + (ω³)³ ω]
= -32 [(1) ω² + (1)³ ω]
= -32 [ω + ω²]
= -32 (-1)
= 32
∴ (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵ = 32

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు సాధించండి.
(i) x² – 1 = 0
సాధన:
x⁴ – 1 = 0
x⁴ = 1
= cos 0° + i sin 0°
= cos 2k + i sin 2kr
x = (cos 2kπ + i sin 2kπ)^1/4
= cis \(\frac{k \pi}{2}\), k = 0, 1, 2, 3
= cis 0, cis \(\frac{\pi}{2}\), cis π, cis \(\frac{3 \pi}{2}\)
= cos 0° + i sin 0°, cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin \(\frac{\pi}{2}\), cos π + i sin π, cos \(\frac{3 \pi}{2}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{2}\)
= 1, i, -1, -i
= ±1, ±i

(ii) x⁵ + 1 = 0
సాధన:
x⁵ + 1 = 0
x⁵ = -1 = cos π + i sin π
x⁵ = cos(2k + 1)π + i sin(2k + 1)π, k ∈ z
x = (cos (2k + 1)π + i sin (2k + 1)π)^1/5
x = cis \(\frac{(2 k+1) \pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4

(iii) x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
సాధన:
x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
x⁵(x⁴ – 1) + 1(x⁴ – 1) = 0
(x⁴ – 1)(x⁵ + 1) = 0
x⁴ – 1 = 0
మూలాలు ±1, ±i (పై లెక్క నుండి)
x⁵ + 1 = 0
మూలాలు cis \(\frac{(2 k+1) \pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4 (పై లెక్క నుండి)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు ±1, ±i, cis(2k + 1)\(\frac{\pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4

(iv) x⁴ + 1 = 0
సాధన:
x⁴ + 1 = 0
⇒ x⁴ = -1
⇒ x⁴ = cos π + i sin π
∴ x⁴ = cos (2kπ + π) + i sin (2kπ + π),
∴ x = [cis (2k + 1)π]^1/4
∴ x = cis (2k + 1)\(\frac{\pi}{4}\), k = 0, 1, 2, 3
∴ x = \({cis} \frac{\pi}{4}, {cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right), {cis}\left(\frac{5 \pi}{4}\right), {cis}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\)

ప్రశ్న 2.
x¹² – 1 = 0, x⁴ + x² + 1 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x¹² – 1 = 0
⇒ x¹² = 1
⇒ x¹² = (cos 0 + i sin 0)
⇒ x¹² = (cos 2kπ + i sin 2kπ), k ధన పూర్ణాంకం

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు 15 వ మూలాలు, ఏకకపు 25వ మూలాలలో ఉమ్మడి మూలాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉమ్మడి మూలాల సంఖ్య = {15, 25} ల H.C.F = 5

ప్రశ్న 4.
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω² అయితే, (x – 1)³ + 8 = 0 మూలాలను 1, ω, ω² లలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
(x – 1)³ + 8 = 0
⇒ (x – 1)³ = -8
⇒ (x – 1)³ = (-2)³ (1)³
⇒ (x – 1) = (-2) (1)^1/3
⇒ x – 1 = -2, -2ω, -2ω²
⇒ x = 1 – 2, 1 – 2ω, 1 – 2ω²
⇒ x = -1, 1 – 2ω, 1 – 2ω²

ప్రశ్న 5.
(1 + i)^4/5 యొక్క అన్ని విలువల లబ్దాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
z² + z + 1 = 0 ను ధ్రువపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్య z అయిన, \(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) \(+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)\) = 12 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చినది z² + z + 1 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
ఏకకపు (ఒకటి) n వ మూలాలు 1, α, α², α³, …. α^n-1 లు అయిన,
1^P + α^P + (α²)^P + (α³)^P + ….. + (α^n-P)^P = \(\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{0} ; \mathbf{p} \neq \mathbf{k n} \text { అయితే } \\
\mathbf{n} ; \mathbf{p}=\mathbf{k n} అయితే
\end{array}\right.\), అని చూపండి (p, k ∈ N)
సాధన:
ఏకకపు nవ మూలాలు 1, α, α², ………., α^n-1

ప్రశ్న 2.
x⁷ – 1 = 0 మూలాల యొక్క 99వ ఘాతాల మొత్తం. శూన్యం అని చూపండి. దీని నుంచి x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0 యొక్క మూలాలను రాబట్టండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం x⁷ – 1 = 0
⇒ x⁷ = 1
⇒ x = (1)^1/7
= (cos 0 + i sin 0)^1/7
= \(\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\)
ఏకకపు 7వ మూలాలు 1, α, α², α³, α⁴, α⁵, α⁶

∴ x⁷ – 1 = 0 యొక్క 99వ ఘాతాల మొత్తం శూన్యం.
అప్పుడు x = α అనుకుంటే,
అప్పుడు x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1
= α⁶ + α⁵ + α⁴ + α³ + α² + α + 1
= \(\frac{1\left[1-\alpha^7\right]}{1-\alpha}\)
= \(\frac{1-x^7}{1-x}\)
= \(\frac{0}{1-x}\)
= 0
∴ x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0

ప్రశ్న 3.
‘n’ ధన పూర్ణాంకం అయితే, (P + iQ)^1/n + (P – iQ)^1/n = 2(P² + Q²)^1/2n . \(\cos \left(\frac{1}{n} \tan \frac{Q}{P}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
P + iQ అనుకోండి.

ప్రశ్న 4.
\(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{8 / 3}\) యొక్క విలువ -1 అని చూపండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
(x – 1)ⁿ = xⁿ, (n ధన పూర్ణాంకం) సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణానికి x = 0 ఒక సాధన కాదు కావున \(\left(\frac{x-1}{x}\right)^n\) = 1
⇒ \(\frac{x-1}{x}=(1)^{1 / n}\)
⇒ \(\frac{x-1}{x}\) మూలం 1 కాని ఏకకపు ఘనమూలం
ఏకకపు nవ మూలకము ‘ω’ అనుకొంటే, (ω ≠ 1)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(a)

అభ్యాసం 2(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
n పూర్ణాంకం అయితే (1 + i)²ⁿ + (1 – i)²ⁿ = \(2^{n+1} \cos \frac{n \pi}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
క్రింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) (1 + i√3)³
సాధన:
1 + i√3 = r (cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
r cos θ = 1, r sin θ = √3
r²(1) = 1 + 3 = 4
r = 2

(ii) (1 – i)⁸ [Mar. ’07]
సాధన:

(iii) (1 + i)¹⁶
సాధన:

(iv) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^5-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^5\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αⁿ + βⁿ = \(2^{n+1} \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)\) అని చూపండి. [Mar. ’14, ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 2.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయితే
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos(α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(a + β + γ)
(iii) cos (α + β) + cos (β + γ) + cos (γ + α) = 0 అని రుజువు చేయండి. [May, Mar ’08]
సాధన:
cos α +cos β + cos γ = 0
sin α + sin β + sin γ = 0
∴ (cos α + cos β + cos γ) + i(sin α + sin β + sin γ) = 0
i.e., (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) +(cos γ + i sin γ) = 0
a + b + c = 0 అయితే a³ + b³ + c³ = 3abc
కాబట్టి (cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³ = 3(cos α + i sin α) (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
i.e., cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3γ + i sin 3γ = 3[cos(α + β + γ) + i sin (α + β + γ)] – (1)
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా,
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos(α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(α + β + γ)
(iii) a = cos α + i sin α అయితే \(\frac{1}{a}\) = cos α – i sin α
b = cos β + i sin β అయితే \(\frac{1}{b}\) = cos β – i sin β
c = cos γ + i sin γ అయితే \(\frac{1}{c}\) = cos γ – i sin γ
ఇప్పుడు \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) = (cos α + cos β + cos γ) – i(sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i(0)
= 0
⇒ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
⇒ bc + ca + ab = 0
⇒ [cos(β + γ)+ i sin(β + γ)] + [cos(γ + α) + i sin(γ + α)] + [cos(α + β) + i sin(α + β)] = 0
⇒ [cos(α + β) + cos(β + γ) + cos(γ + α)] + i[sin(α + β) sin(β + γ) + sin(γ + α)] = 0
వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా,
cos(α + β) + cos(β + γ) + cos(γ + α) = 0

ప్రశ్న 3.
n పూర్ణాంకం, z = cis θ, (θ ≠ (2n + 1) π/2) అయితే \(\frac{z^{2 n}-1}{z^{2 n}+1}\) = i tan nθ అని చూపండి.
సాధన:
z = cis θ = cos θ + i sin θ, θ ≠ (2n + 1)π/2

ప్రశ్న 4.
(1 + x)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + …… a_nxⁿ, n ∈ N అయితే
(i) a₀ – a₂ + a₄ – a₆ + ……. = \(2^{n / 2} \cos \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
(ii) a₁ – a₃ + a₅ – a₇ + ….. = \(2^{n / 2} \sin \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
సాధన:
ఇచ్చినది (1 + x)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + …… a_nxⁿ
x = i అయితే

వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగములను పోల్చగా,
(i) a₀ – a₂ + a₄ – a₆ + ……. = \(2^{n / 2} \cos \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
(ii) a₁ – a₃ + a₅ – a₇ + ….. = \(2^{n / 2} \sin \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(d)

అభ్యాసం – 1(డి)

I.

ప్రశ్న 1.
(i) ఆర్లాండ్ తలంలో 7 + 7i, 7 – 7i బిందువులను కలిపే రేఖాఖండపు లంబ సమద్విఖండన రేఖకు సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యలు ఆర్లాండ్ తలంలో A(7, 7); B(7, -7) లను సూచిస్తున్నాయి అనుకుందాం.
AB మధ్యబిందువు O

‘O’ నిరూపకాలు \(\left(\frac{7+7}{2}, \frac{7-7}{2}\right)\) = (7, 0)
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) వాలు = \(\frac{7+7}{7-7}=\frac{14}{0}\) = ∞
\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది.
\(\overline{\mathrm{PQ}} \perp \overline{\mathrm{AB}}\)
\(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) రేఖ X-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది.
\(\overline{\mathrm{PQ}}\) వాలు = 0
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) సమీకరణం y – 0 = 0(x – 7)
y = 0

(ii) ఆర్లాండ్ తలంలో (-9 + 6i), (11 – 4i) బిందువులను కలిపే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(-9 + 6i), (11 – 4i) లు ఆర్లాండ్ తలంలో సూచించే బిందువులు. (-9, 6), B(11, -4).
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) రేఖా సమీకరణం
⇒ y – y₁ = \(\left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)\) (x – x₁)
⇒ y – 6 = \(\left(\frac{-4-6}{11+9}\right)\) (x + 9)
⇒ y – 6 = \(-\frac{1}{2}\)(x + 9)
⇒ 2y – 12 = -x – 9
⇒ x + 2y – 3 = 0

ప్రశ్న 2.
z = x + iy అవుతూ, P బిందువు ఆర్గాండ్ సమతలంలో z ను సూచిస్తుంటే, క్రింది సమీకరణాలను తృప్తిపరచే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
(i) |z – 2 – 3i| = 5
సాధన:
z = x + iy, |z – 2 – 3i| = 5
|z – 2 – 3i| = 5
⇒ \(|x+i \overline{y-2}-3 i|=5\)
⇒ |(x – 2) + (y – 3)| = 5
⇒ \(\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=5\)
⇒ (x – 2)² + (y – 3)² = 25
⇒ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25
∴ P బిందుపథం x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

(ii) 2|z – 2| = |z – 1|
సాధన:
2|z – 2| = |z – 1|
⇒ 2|x + iy – 2| = |x + iy – 1|
⇒ 2(x – 2) + iy| = |(x – 1) + iy|
⇒ \(2 \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
⇒ 4[(x – 2)² + y²] = (x – 1)² + y²
⇒ 4(x² – 4x + 4 + y²) = x² – 2x + 1 + y²
⇒ 4x² + 4y² – 16x + 16 = x² + y² – 2x + 1
∴ P బిందుపథం 3x² + 3y² – 14x + 15 = 0

(iii) Img z² = 4
సాధన:
Img z² = 4
∵ z = x + iy
⇒ z² = (x + iy)² = x² + i²y² + 2ixy = (x² – y²) + i(2xy)
∴ Img (z²) = 2xy = 4
∴ P బిందుపథం xy = 2

(iv) \({Arg}\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=\frac{\pi}{4}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ఆర్లాండ్ సమతలంలో 2 + 2i, -2 – 2i, 2√3 + 2√3i లను సూచించే బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి. (May ’07)
సాధన:
ఇచ్చిన సంకీర్ణ సంఖ్యలు ఆర్గాండ్ తలంలో A(2, 2), B(-2, -2), C(-2√3, 2√3) లను సూచిస్తున్నాయి అనుకుందాం.

AB² = (2 + 2)² + (2 + 2)²
= 16 + 16
= 32
BC² = (-2 + 2√3)² + (-2 – 2√3)²
= 4 + 12 – 8√3 + 4 + 12 + 8√3
= 32
AC² = (-2√3 – 2)² + (2√3 – 2)²
= 12 + 4 + 8√3 +12 +4 – 8√3
= 32
AB² = BC² = AC²
⇒ AB = BC = CA
∴ ∆ABC సమబాహు త్రిభుజంను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
|z – 4| + \(\left|z-\frac{12}{5}\right|\) = 10 సమీకరణం ద్వారా సూచించే దీర్ఘవృత్త యొక్క ఉత్కేంద్రతను కనుక్కోండి.
సాధన:
SP + S’P = 2a
S = (4, 0)
S’ = (\(\frac{12}{5}\), 0)
2a = 10
a = 5
SS’ = 2ae
4 – \(\frac{12}{5}\) = 2 × 5e
\(\frac{8}{5}\) = 10e
e = \(\frac{4}{25}\)

II.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\) ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు z₁, z₂, z₃ సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂, z₃ = x₃ + iy₃ అనుకుందాం.

\(\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\) ఒక వాస్తవ సంఖ్య కనుక దాని సంకీర్ణ భాగం సున్నా కావాలి.
⇒ (y₃ – y₁) (x₂ – x₁) – (x₃ – x₁) (y₂ – y₁) = 0
⇒ (y₃ – y₁) (x₂ – x₁) = (x₃ – x₁) (y₂ – y₁)
\(\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) బిందువులు
z₁, z₂, z₃ లను సూచిస్తున్నాయి.
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AC}}\) వాలు = \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) వాలు
∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 2.
2 + i, 4 + 3i, 2 + 5i, 3i అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ సమతలంలో ఒక చతురస్ర శీర్షాలను తెలుపుతాయని చూపండి.
సాధన:
A(2, 1), B(4, 3), C(2, 5), D(0, 3) లు ఆర్లాండ్ సమతలంలో దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు.

AB² = (2 – 4)² + (1 – 3)² = 4 + 4 = 8
BC² = (4 – 2)² + (3 – 5)² = 4 + 4 = 8
CD² = (2 – 0)² + (5 – 3)² = 4 + 4 = 8
DA² = (0 – 2)² + (3 – 1)² = 4 + 4 = 8
AB² = BC² = CD² = DA²
⇒ AB = BC = CD = DA …..(1)
AC² = (2 – 2)² + (1 – 5)² = 0 + 16 = 16
BD² = (4 – 0)² + (3 – 3)² = 16 + 0 = 16
AC² = BD²
⇒ AC = BD …….(2)
(1), (2) ల నుంచి A, B, C, D లు చతురస్రం శీర్షాలు.

ప్రశ్న 3.
-2 + 7i, \(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\), 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్ఖండ్ తలంలో ఒక సమచతుర్భుజి (రాంబస్) శీర్షాలను సూచిస్తాయని నిరూపించండి. [T.S. Mar ’16, May ’05, Mar. ’05, June ’04]
సాధన:


AC ≠ BD …..(2)
కనుక A, B, C, D లు సమచతుర్భుజి (రాంబస్) శీర్షాలు.

ప్రశ్న 4.
ఆర్గాండ్ తలంలో z₁, z₂, z₃ సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు సరేఖీయాలు కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం pz₁ + qz₂+ rz₃ = 0, p + q + r = 0 లను తృప్తి పరచే అన్ని శూన్యం కాని మూడు వాస్తవ సంఖ్యలు p, q, r లు వ్యవస్థితం అని చూపండి. [Mar. ’07]
సాధన:
pz₁ + qz₂ + rz₃ = 0
⇔ rz₃ = -pz₁ – qz₂
⇔ z₃ = \(\frac{-p z_1-q z_2}{r}\)
∵ r ≠ 0
∵ p + q + r = 0
⇔ r = -p – q
⇔ z₃ = \(-\frac{\left(p z_1+q z_2\right)}{-(p+q)}\)
⇔ z₃ = \(\frac{p z_1+q z_2}{p+q}\)
⇔ z₃, z₁, z₂ లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని q : p నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
⇔ z₁, z₂, z₃ లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 5.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో P, Q బిందువులు z₁, z₂ సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచిస్తున్నాయి. O మూల బిందువు \(z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2=0\) అయినప్పుడు ∠POQ = 90° అని చూపండి. [Mar. ’07]
సాధన:
z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂ అనుకుంటే,
అప్పుడు P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), O(0, 0) లు అవుతాయి.

ప్రశ్న 6.
సంకీర్ణ సంఖ్య z ఆయామం θ, 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\) ని కలిగి, అది |z – 3i| = 3 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిస్తే (cot θ – \(\frac{6}{z}\)) = i అని చూపండి.
సాధన:
z = cos θ + i sin θ అనుకొనుము.
ఇచ్చినది |z – 3i| = 3
⇒ |(cos θ + i sin θ) – 3i| = 3
⇒ |cos θ + i(sin θ – 3)| = 3
⇒ \(\sqrt{\cos ^2 \theta+(\sin \theta-3)^2}\) = 3
⇒ cos²θ + sin²θ – 6 sin θ + 9 = 9
⇒ 1 – 6 sin θ = 0
⇒ 6 sin θ = 1

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(c)

అభ్యాసం 1(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
(i) 1 – i
సాధన:
1 – i = r(cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
ఇరువైపులా వాస్తవ సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
r cos θ = 1
r sin θ = -1
⇒ θ నాల్గవ పాదంలో ఉంది.
వర్గం చేసి కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 1 + 1 = 2
r² = 2
⇒ r = √2
tan θ = -1 ⇒ θ = π/4
∴ 1 – i = \(\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\)

(ii) 1 + i√3 [Mar. ’14]
సాధన:
1 + i√3 = r(cos θ + i sin θ)
r cos θ = 1 …….(1)
r sin θ = √3 ……..(2)
θ మొదటి పాదంలో ఉంది.
వర్గం చేసి (1), (2) లను కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 1 + 3
r² = 4
⇒ r = 2
(2) ను (1) చే భాగించగా
\(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\) = √3
tan θ = √3
⇒ θ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ 1 + i√3 = 2 (cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\))

(iii) -√3 + i
సాధన:
-√3 + i = r(cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
r cos θ = -√3 …..(1)
r sin θ = 1 ……..(2)
⇒ θ రెండో పాదంలో ఉంది.
వర్గం చేసి (1), (2) లను కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1 = 4
r² = 4
⇒ r = 2
(2) ను (1) చే భాగించగా
\(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan θ = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), θ రెండో పాదంలో ఉంది కనుక
θ = 180° – 30° = 150° = \(\frac{5 \pi}{6}\)
∴ -√3 + i = 2(cos \(\frac{5 \pi}{6}\) + i sin \(\frac{5 \pi}{6}\))

(iv) -1 – i√3
సాధన:
-1 – i√3 = r(cos θ + i sin θ)
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
r cos θ = -1, r sin θ = -√3
వర్గం చేసి కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 1 + 3
r² = 4
⇒ r = 2

ప్రశ్న 2.
-2i(3 + i) (2 + 4i) (1 + i) ను సూక్ష్మీకరించి, ఆ సంకీర్ణ సంఖ్య మాపాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
-2i(3 + i) (2 + 4i) (1 + i)
= (-6i – 2i²) (2 + 2i + 4i + 4i²)
= (2 – 6i) (-2 + 6i)
= -4 + 12 – 36i² + 12i
= 32 + 24i
= 8(4 + 3i)
మాపం = |8(4 + 3i)| = \(8 \sqrt{(4)^2+(3)^2}\)
= 8(5)
= 40

ప్రశ్న 3.
(i) z ≠ 0 అయితే Arg z + Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

(ii) z₁ = -1, z₂ = -i అయితే Arg(z₁z₂) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = -1 = cos π + i sin π
⇒ Arg z₁ = π
z₂ = -i = \(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ Arg z₂ = -π/2
Arg(z₁z₂) = Arg z₁ + Arg z₂
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

(iii) z₁ = -1, z₂ = i అయితే \({Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) ను కనుక్కోండి. [T.S. Mar ’16, May ’11]
సాధన:
z₁ = -1 = cos π + i sin π
⇒ Arg z₁ = π
z₂ = i = cos\(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
⇒ Arg z₂ = \(\frac{\pi}{2}\)
\({Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) = Arg z₁ – Arg z₂
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 4.
(i) (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β) = cos θ + i sin θ అయితే θ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ + i sin θ = (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β)
= cos 2α . cos 2β + i sin 2α . cos 2β + i cos 2α sin 2β + i² sin 2α . sin 2β
= (cos 2α . cos 2β – sin 2α . sin 2β) + i(sin 2α cos 2β + cos 2α sin 2β)
= cos 2(α + β) + i . sin 2(α + β)
∴ θ = 2(α + β)

(ii) √3 + i = r (cos θ + i sin θ), అయితే θ విలువను రేడియన్లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
∴ √3 + i = r(cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = √3, r sin θ = 1
⇒ r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1
⇒ r² = 4
⇒ r = 2
∴ cos θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sin θ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\)

(iii) x + iy = cis α . cis β and x² + y² విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x + iy = cis α . cis β
⇒ x + iy = (cos α + i sin α) (cos β + i sin β)
⇒ x + iy = cos(α + β) + i sin(α + β)
వాస్తవ భాగాలను, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చిన
x = cos(α + β), y = sin(α + β)
∴ x² + y² = cos²(α + β) + sin²(α + β) = 1

(iv) \(\frac{z_2}{z_1}\), (z₁ ≠ 0) ఒక శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య అయితే, \(\left|\frac{2 z_1+z_2}{2 z_1-z_2}\right|\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

(v) (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) అయితే a² + b² = 4 అని చూపండి. [A.P Mar ’16]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
(i) z = x + iy, |z| = 1 అయితే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
|z| = 1
\(\sqrt{x^2+y^2}\) = 1
⇒ x² + y² = 1
z బిందుపథం x² + y² = 1

(ii) (z – 1) యొక్క ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) అయితే, z యొక్క బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి. [May ’07]
సాధన:
z – 1 = x + iy – 1 = (x – 1) + iy
(z – 1) ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) కావున
వాస్తవ భాగం శూన్యం
⇒ x – 1 = 0
∴ z బిందుపథం x – 1 = 0

(iii) Arg \(\overline{\mathbf{z}}_1\), Arg z₂ లు వరుసగా \(\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{3}\) అయితే (Arg z₁ + Arg z₂) ను కనుక్కోండి. [A.P Mar ’16]
సాధన:

(iv) z = \(\frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}\) అయితే Arg(z) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూక్ష్మీకరించి, వాటి మాపాన్ని కనుక్కోండి.
(i) \(\frac{(2+4 i)(-1+2 i)}{(-1-i)(3-i)}\)
(ii) \(\frac{(1+i)^3}{(2+i)(1+2 i)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(i) (1 – i) (2 – i) (3 – i)…. (1 – ni) = x – iy, అయితే 2.5.10 …. (1 + n²) = x² + y² అని చూపండి.
సాధన:

(ii) \(\frac{z+1}{z+i}\) యొక్క వాస్తవ భాగం 1 అయితే z యొక్క బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

(iii) |z – 3 + i| = 4 అయితే z బిందుపథాన్ని నిర్ధారించండి. [Mar. ’14; May ’08]
సాధన:
|z – 3 + i| = 4
|x + iy – 3 + i = 4
(x – 3) + (y + 1)| = 4
\(\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}\) = 4
∴ z బిందుపథం (x – 3)² + (y + 1)² = 16
x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 – 16 = 0
x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0

(iv) |z + ai| = |z – ai| అయితే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
|z + ai| = |z – ai|
|x + iy + ai| = |x + iy – ai|
|x + i(y + a)| = |x + i(y – a)|
\(\sqrt{x^2+(y+a)^2}=\sqrt{x^2+(y-a)^2}\)
x² + (y + a)² = x² + (y – a)²
(y + a)² – (y – a)² = 0
i.e., 4ay = 0
⇒ y = 0
z బిందుపథం y = 0

ప్రశ్న 3.
z = x + iy అయి, P బిందువు ఆర్గాండ్ తలంలో z ని సూచిస్తుంటే, క్రింది సమీకరణాలను తృప్తిపరచే, z బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
(i) |2z – 3| = 7
సాధన:
|2z – 3| = 7
z = x + iy
⇒ |2z – 3| = 7
⇒ |2(x + iy) – 3| = 7
⇒ (2x – 3) + 2(iy)| = 7
⇒ \(\sqrt{(2 x-3)^2+4 y^2}\) = 7
P బిందుపథం (2x – 3)² + 4y² = 49
⇒ 4x² + 9 – 12x + 4y² – 49 = 0
⇒ 4x² + 4y² – 12x – 40 = 0
(i.e,) x² + y² – 3x – 10 = 0
∴ z యొక్క బిందుపథం x² + y² – 3x – 10 = 0
ఈ సమీకరణం వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
కేంద్రం = (\(\frac{3}{2}\), 0)
వ్యాసార్ధం = \(\sqrt{\frac{9}{4}-(-10)}\)
= \(\sqrt{\frac{9+40}{4}}\)
= \(\frac{7}{2}\) యూనిట్లు

(ii) z² = 4 Re (z + 2)
సాధన:
z = x + iy, |z|² = 4 Re (z + 2)
⇒ |x + iy|² = 4 Re (x + iy + 2)
⇒ \(\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\) = 4 Re (x + 2 + iy)
⇒ (x² + y²) = 4(x + 2)
⇒ x² + y² – 4x – 8 = 0
ఇదియే P బిందుపథం.
ఈ సమీకరణం వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
కేంద్రం = (2, 0)
వ్యాసార్థం = \(\sqrt{4-(-8)}\) = √12 = 2√3 యూనిట్లు

(iii) |z + i|² – |z – i|² = 2
సాధన:
z = x + iy
|z + i|² – |z – i|² = 2
⇒ |x + iy + i|2 – |x + iy – i|2 = 2
⇒ x + i(y + 1)2 – |x + (y – 1)|2 = 2
⇒ \(\left[\sqrt{x^2+(y+1)^2}\right]^2-\left[\sqrt{x^2+(y-1)^2}\right]^2\) = 2
⇒ x² + (y + 1)² – (x² + (y – 1)²) = 2
⇒ (y + 1)² – (y – 1)² = 2
⇒ 4y = 2
⇒ 2y = 1
P బిందుపథం 2y – 1 = 0
ఈ సమీకరణం X- అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.

(iv) |z + 4i| + |z – 4i| = 10
సాధన:
z = x + iy
∵ |z + 4i| + |z – 4i| = 10
⇒ |x + iy + 4i| + |x + iy – 4i| = 10
⇒ |x + i(y + 4)| + |x + (y – 4)i| = 10
⇒ \(\sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}\) = 10
⇒ \(\sqrt{x^2+(y+4)^2}=10-\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
⇒ x² + (y + 4)² = \(\left[10-\sqrt{x^2+(y-4)^2}\right]^2\)
⇒ x² + (y + 4)² = 100 + x² + (y – 4)² – 20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ (y + 4)² – (y – 4)² – 100 = -20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ 4 (y) (4) – 100 = -20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ 4(4y – 25) = -20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ (4y – 25) = -5\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
మరల వర్గం చేయగా (4y – 25)² = 25[x² + (y – 4)²]
16y² + 625 – 200y = 25x² + 25y² – 200y + 400
25x² + 9y² = 225
∴ P బిందుపథం 25x² + 9y² = 225
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ఈ సమీకరణం దీర్ఘవృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
a² = 9, b² = 25
a² = b² (1 – e²)
⇒ 9 = 25 (1 – e²)
⇒ 1 – e² = \(\frac{9}{25}\)
e² = 1 – \(\frac{9}{25}\) = \(\frac{16}{25}\)
∴ ఉత్కేంద్రత = \(\frac{4}{5}\) మరియు దీర్ఘాక్షం y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.

ప్రశ్న 4.
(i) z₁, z₂ లు రెండు శూన్యేతర సంకీర్ణ సంఖ్యలు మరియు |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| అయితే Arg z₁ – Arg z₂ = 0 అని చూపండి.
సాధన:
z₁ + z₂ = (x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)
|z₁ + z₂| = \(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(y_1+y_2\right)^2}\)
(దత్తాంశం నుండి) |z₁ + z₂| = |z₂| + |z₂|

(ii) z = x + iy ఆర్గాండ్ తలంలో P బిందువు z ని సూచిస్తుంది. \(\left|\frac{\mathbf{z}-\mathbf{a}}{\mathbf{z}+\overline{\mathbf{a}}}\right|\) = 1, వాస్తవ (a) ≠ 0 అయితే P బిందు
పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
z = x + iy, a = α + iβ అనుకుందాం.

(x – α)² + (y – β)² = (x + α)² + (y – β)²
⇒ (x – α)² = (x + α)²
⇒ (x + α)² – (x – α)² = 0
⇒ 4αx = 0
Re(a) ≠ 0 ⇒ α ≠ 0
⇒ x = 0
∴ P బిందుపథం x = 0 i.e., Y-అక్షం.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(b)

అభ్యాసం 1(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను a + ib రూపంలో వ్రాయండి.
(i) (2 – 3i) (3 + 4i)
సాధన:
(2 – 3i) (3+ 4i) = 6 + 8i – 9i – 12i²
= (6 + 12) – i
= 18 – i
= 18 + i(-1)

(ii) (1 + 2i)³
సాధన:
(1 + 2i)³ = 1 + 3(2i) + 3(2i)² + (2i)³
= 1 + 6i + 3(-4) + 8i³
= 1 + 6i – 12 – 8i
= -11 – 2i
= -11 + i(-2)

(iii) \(\frac{a-i b}{a+i b}\)
సాధన:

(iv) \(\frac{4+3 i}{(2+3 i)(4-3 i)}\)
సాధన:
(2 + 3i) (4 – 3i) = 8 – 6i + 12i – 9i² = 17 + 6i

(v) (-√3 + √-2) (2√3 – i)
సాధన:
(-√3 + √-2) (2√3 – i)
= (-√3 + i√2) (2√3 – i)
= -6 + i√3 + i 2√6 + √2
= (-6 + √2) + i(√3 + 2√6)

(vi) -5i (\(\frac{i}{8}\))
సాధన:
-5i (\(\frac{i}{8}\)) = \(\frac{-5 i^2}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\) + i(0)

(vii) (-i) (2i)
సాధన:
(-i) (2i) = -2i²
= (-2) (-1)
= 2
= 2 + i(0)

(viii) i⁹
సాధన:
i⁹ = (i⁸) (i)
= (i²)⁴ i
= (-1)⁴ i
= i
= 0 + i(1)

(ix) i^-19
సాధన:

(x) 3(7 + 7i) + i(7 + 7i)
సాధన:
3(7 + 7i) + i(7 + 7i)
= 21 + 21i + 7i + 7i²
= 21 + 28i + 7(-1)
= 14 + 28i
= 14 + i(28)

(xi) \(\frac{2+5 i}{3-2 i}+\frac{2-5 i}{3+2 i}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలకు సంయుగ్మాలను వ్రాయండి.
(i) 3 + 4i
సాధన:
3 + 4i కు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య 3 – 4i

(ii) (15 + 3i) – (4 – 20i)
సాధన:
(15 + 3i) – (4 – 20i)
= 15 + 3i – 4 + 20i
= 11 + 23i
దాని సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య = 11 – 23i

(iii) (2 + 5i) (-4 + 6i)
సాధన:
(2 + 5i) (-4 + 6i)
= -8 + 12i – 20i + 30i²
= -38 – 8i
దాని సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య = -38 + 8i

(iv) \(\frac{5 \mathbf{i}}{\mathbf{7 + i}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) i² + i⁴ + i⁶ + (2n + 1) + ….. పదాల వరకు
సాధన:
i² + i⁴ = -1 + (-1)² = 0
ఇదే విధంగా i⁶ + i⁸ = (i²)³ + (i²)⁴
= (-1)³ + (-1)⁴
= -1 + 1
= 0
(i.e..) రెండు వరుస పదాల మొత్తం… = 0
∴ చివరి పదం (i²)²ⁿ⁺¹ = (-1)²ⁿ⁺¹ = -1
∴ i² + i⁴ + i⁶ + …..(2n + 1) పదాలు = -1

(ii) i¹⁸ + 3 . i⁷ + i² (1 + i⁴) (-i²⁶)
సాధన:
i¹⁸ = i¹⁶ . i²
= (i⁴)⁴ i²
= 1(-1)
= -1
i⁷ = i⁴ . i² . i = 1(-1) i = -i
i⁴ = 1
(-i)²⁶ = i²⁶
= i²⁴ . i²
= (i⁴)⁶ . i²
= i⁶(-1)
= -1
i¹⁸ – 3i⁷ + i² (1 + i⁴) (-i)²⁶
= 1 – 3(-i)(-1)(1 + 1) (-1)
= -1 + 3i + 2
= 1 + 3i

ప్రశ్న 4.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలకు వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
(i) 7 + 24i
సాధన:
\(\sqrt{7+24 i}\) = ±(a + ib)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
7 + 24i = (a + ib)²
= a² + i²b² + 2iab
= a² – b² + 2iab
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
a² – b² = 7 …….(1)
2ab = 24 ……(2)
(a² + b²)² = (a² – b²)² + 4a²b²
= 49 + 576
= 625
a² + b² = 25 ……(3)
a² – b² = 7 …….(1)
కలుపగా 2a² = 32
⇒ a² = 16
⇒ a = 4
తీసివేయగా 2b² = 18
⇒ b² = 9
⇒ b = 3
\(\sqrt{7+24 i}\) = ±(4 + 3i)

(ii) -8 – 6i
సాధన:
\(\sqrt{-8-6 i}\) = ±(a – ib) అనుకుందాం.
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
-8 – 6i = (a – ib)²
= a² + i²b² – 2iab
= a² – b² – 2iab
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
a² – b² = -8 …..(1)
2ab = +6 …….(2)
(a² + b²)² = (a² – b²)² + 4a²b²
= 64 + 36
= 100
a² + b² = 10 ……(3)
a² – b² = -8 ……(1)
కలుపగా 2a² = 2
⇒ a² = 1
⇒ a = 1
తీసివేస్తే 2b² = 18
⇒ b² = 9
⇒ b = 3
\(\sqrt{-8-6 i}\) = (1 – 3i)
∴ -8 – 6i వర్గమూలం = ±(1 – 3i)

(iii) (3 + 4i) [Mar. ’13]
సాధన:

(iv) (-47 + i . 8√3)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలకు గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
(i) √5 + 3i
(ii) -i
(iii) i^-35
సాధన:
∵ a + ib గుణన విలోమం \(\frac{a-i b}{a^2+b^2}\)
(i) √5 + 3i గుణన విలోమం

(ii) -i గుణన విలోమం = \(\frac{0+i}{1}\) = i
(iii) i^-35

II.

ప్రశ్న 1.
(i) (a + ib)² = x + iy అయితే x² + y² ను కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ x + iy = (a + ib)²
= a² + i²b² + i²ab
= (a² – b²) + i(2ab)
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
x = a² – b², y = 2ab
∴ x² + y² = (a² – b²) + (2ba)²
= a⁴ + b⁴ – 2a²b² + 4a²b²
= a⁴ + b⁴ + 2a²b²
= (a² + b²)²
∴ x² + y² = (a² + b²)²

(ii) x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయితే x² + y² = 4x – 3 అని చూపండి.
సాధన:

(iii) x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\), అయితే 4x² – 1 = 0 అని చూపండి. [A.P. Mar ’16, Mar. ’06]
సాధన:

వాస్తవ భాగాన్ని పోల్చగా x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = 1
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

(iv) u + iv = \(\frac{2+i}{z+3}\), z = x + iy, అయితే u, v లను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(i) z = 3 – 5i అయితే, z³ – 10z² + 58z – 136 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
z = 3 – 5i
z – 3 = -5i
(z – 3)² = (-5i)²
z² – 6z + 9 = -25
z² – 6z + 34 = 0
z³ – 10z² + 58z – 136 = z(z² – 6z + 34) – 4z² + 24z – 136
= z(0) – 4(z² – 6z + 34)
= 0 – 4(0)
= 0
∴ z³ – 10z² + 58z – 136 = 0

(ii) z = 2 – i√7 అయితే, 3z³ – 4z² + z + 88 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
∵ z = 2 – i√7
z – 2 = -i√7
(z – 2)² = (-i√7)²
z² – 4z + 4 = 7
z² – 4z + 11 = 0
3z³ – 4z² + z + 88 = 3z(z² – 4z +11) + 8z² – 32z + 88
= 3z(0) + 8(z² – 4z + 11)
= 0 + 8(0)
= 0

(iii) \(\frac{2-i}{(1-2 i)^2},-\left(\frac{2+11 i}{25}\right)\) లు పరస్పరం సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలని చూపండి.
సాధన:

x + iy, x – iy రూపంలో ఉన్నవి.
∴ అవి పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 3.
(i) (x – iy)^1/3 = a – ib అయితే, \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 4(a² – b²) అని చూపండి.
సాధన:

(ii) \(\left(\frac{a+i b}{a-i b}\right)^2-\left(\frac{a-i b}{a+i b}\right)^2\) ను x + iy రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన:

(iii) \(\frac{(1+i) x-2 i}{3+i}+\frac{(2-3 i) y+i}{3-i}=i\) అయ్యేటట్లు x, y వాస్తవసంఖ్యలు అయితే x, y విలువలను నిర్ధారించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
(i) \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1\) ను తృప్తిపరచే, కనిష్ట ధన పూర్ణాంకం n ను కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ n యొక్క కనిష్ట ధన పూర్ణాంకం విలువ 4.

(ii) \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3-\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3\) = x + iy అయితే x, y విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:

(iii) \(\frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}\) ఒక (a) వాస్తవ సంఖ్య (b) శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య అయినప్పుడు, θ కు వాస్తవ విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:

(iv) \(\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}=i\) అయ్యేటట్లు x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే x, y విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}=i\)
⇒ \(\frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{9-i^2}=i\)
⇒ 3x – xi – 3 + i + 3y – iy – 3 – i = 10i
⇒ (3x + 3y – 6) + i(-x + y) = 0 + 10i
వాస్తవ భాగాలను, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చిన
3x + 3y – 6 = 0
⇒ x + y – 2 = 0 …….(1)
-x + y = 10
⇒ x – y + 10 = 0 …….(2)
(1) + (2) ⇒ 2x + 8 = 0
⇒ x = -4
(1) నుండి -4 + y – 2 = 0
⇒ y = 6
∴ x = -4, y = 6

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(a)

అభ్యాసం 1(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
z₁ = (2, -1), z₂ = (6, 3), and z₁ – z₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ z₁ = (2, -1), z₂ = (6, 3)
z₁ – z₂ = (2 – 6, -1 – 3) = (-4, -4)

ప్రశ్న 2.
z₁ = (3, 5), z₂ = (2, 6) అయితే z₁ . z₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = (3, 5) = 3 + 5i
z₂ = (2, 6) = 2 + 6i
z₁ . z₂ = (3 + 5i) . (2 + 6i)
= 6 + 10 + 18i + 30i² (∵ i² = -1)
= 6 + 28i + 30(-1)
= -24 + 28i
= (-24, 28)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యల సంకలన విలోమాన్ని వ్రాయండి.
(i) (√3, 5)
(ii) (-6, 5) + (10, -4)
(iii) (2, 1) (-4, 6)
సాధన:
(a, b) కు సంకలన విలోమం (-a, -b) కనుక
(i) (√3, 5)
సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంకలన విలోమం (√3, -5)
(ii) (-6, 5) + (10, -4)
= (-6 + 10, 5 + (-4))
= (4, 1)
∴ సంకలన విలోమం (-4, -1)
(iii) (2, 1) . (-4, 6)
= ((2 × -4 – 1 × 6), (1 × -4 + 2 × 6))
= (-8 – 6, -4 + 12)
= (-14, 8)
∴ సంకలన విలోమం (14, -8)

II.

ప్రశ్న 1.
z₁ = (6, 3); z₂ = (2, -1) అయితే z1/z2 ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ z₁ = (6, 3) = 6 + 3i
z₂ = (2, -1) = 2 – i

ప్రశ్న 2.
z = (cos θ, sin θ) అయితే (z – \(\frac{1}{z}\)) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ z = (cos θ, sin θ) = cos θ + i sin θ
\(\frac{1}{z}\) = cos θ – i sin θ
∴ z – \(\frac{1}{z}\) = (cos θ + i sin θ) – (cos θ – i sin θ)
= 2 i sin θ
= 0 + i(2 sin θ)
= (0, 2 sin θ)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణన విలోమాన్ని వ్రాయండి.
(i) (3, 4)
(ii) (sin θ, cos θ)
(iii) (7, 24)
(iv) (-2, 1)
సాధన:
(a, b) సంకీర్ణ సంఖ్యకు గుణన విలోమం = \(\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)\)
(i) (3, 4) కు గుణన విలోమం

(ii) (sin θ, cos θ) కు గుణన విలోమం

(iii) (7, 24) కు గుణన విలోమం

(iv) (-2, 1) కు గుణన విలోమం

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year Zoology Study Material 8th Lesson అనువర్తిత జీవశాస్త్రం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year Zoology Study Material 8th Lesson అనువర్తిత జీవశాస్త్రం

అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఏ కారకాలు కలిస్తే పాడిపరిశ్రమ ఏర్పడుతుంది ?
జవాబు:
పాలిచ్చే జంతువుల ప్రజననం, పోషణ యాజమాన్యం, వాటి పాలు, పాల ఉత్పత్తులను అమ్మకానికి అనువుగా తయారుచేసి లాభానికి అమ్మడాన్ని పాడి పరిశ్రమ అంటారు.
పాల ఉత్పత్తిని, నాణ్యతను పెంచడానికి అవసరమయ్యే కారకాలు:

• వ్యాధి నిరోధక ‘శక్తి కలిగి, అధిక ఉత్పత్తి సామర్థ్యం గల మంచి ప్రజననాలను ఎన్నిక చేయడం.
• ఉత్పత్తి సామర్థ్యం పెంచడానికి సరియైన నివాసం, సరిపడే గాలి, వెలుతురు, తగిన ఉష్ణోగ్రత మొదలైనవి అవసరం.

ప్రశ్న 2.
అంతః ప్రజననం యొక్క ఏవైనా రెండు ప్రయోజనాలను ఉదహరించండి.
జవాబు:

1. అంతః ప్రజననం సమయుగ్మజను పెంచుతుంది. కాబట్టి శుద్ధ ప్రజననాలను సాధించాలంటే అంతః ప్రజననం అవసరం.
2. ఇది మేలు రకపు జన్యువులను సంచితం చేయడానికీ, ఉపయుక్తం కాని జన్యువులను తొలగించడానికి సహాయ పడుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఔట్ – క్రాస్; క్రాస్ – బీడ్ మధ్య భేదం తెలపండి.
జవాబు:
బాహ్య సంపర్కం (ఔట్ క్రాస్): ఇది ఒకే ప్రజననాల మధ్య సంపర్కం చెందించే విధానం కాని 4-6 తరాల వరకు ఆ వంశ వృక్షంలో ఇరువైపులా ఒకే పూర్వీకులు ఉండరాదు.

• కొన్నిసార్లు ఒకే ఒక్క బాహ్య సంపర్కం అంతః ప్రజనన మాంధ్యం నుండి బయటపడటానికి సహాయపడుతుంది.

పర ప్రజననం (బీడ్ క్రాస్): ఈ విధానంలోని ఒక మేలుజాతి మగజీవితో వేరొక మేలుజాతి ఆడజీవిని సంపర్కం చేస్తారు.

• పర ప్రజననం రెండు వేర్వేరు ప్రజననాలతో ఉన్న ఐచ్ఛిక లక్షణాలను కలపడానికి దోహదపడుతుంది.

ప్రశ్న 4.
లేయర్లు, బ్రాయిలర్ పదాలను నిర్వచించండి. [A.P. Mar. ’17, ’15]
జవాబు:
లేయర్లు: కేవలం గుడ్ల ఉత్పత్తి కోసం పెంచే పక్షులను లేయర్లు అంటారు. బ్రాయిలర్లు: మాంసం కోసం మాత్రమే పెంచే పక్షులను బ్రాయిలర్లు అంటారు.

ప్రశ్న 5.
ఎపికల్చర్ అంటే ఏమిటి ? [A.P. & T.S. Mar.’17; T.S. Mar. ’15 Mar. ’14 ]
జవాబు:
తేనె, మైనం ఉత్పత్తి కోసం తేనెతుట్టెల నిర్వహణ ద్వారా తేనెటీగల్ని పెంచడాన్ని ఎపికల్చర్ అంటారు. ఎపికల్చర్ చాలా పురాతన కుటీర పరిశ్రమ.

ప్రశ్న 6.
తేనెటీగ కాలనీలో డ్రోన్, కూలీ ఈగ మధ్య భేదాలను తెలపండి.
జవాబు:
డ్రోన్లు

1. ఇవి వంధ్య పురుష తేనెటీగలు.
2. ఇవి ఫలదీకరణం చెందని అండాల నుంచి మగ అనిషేక జనన పద్ధతిలో అభివృద్ధి చెందినవి.
3. ఇవి చాలా తక్కువ కాలం జీవిస్తాయి.

కూలీ ఈగలు

1. ఇవి వంధ్య స్త్రీ తేనెటీగలు.
2. ఇవి ఫలదీకరణం చెందిన అండాల నుంచి అభివృద్ధి చెందినవి.
3. ఇవి రెండు మూడు నెలలు మాత్రమే జీవిస్తాయి.

ప్రశ్న 7.
ఫిషరీ అనే పదాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
ఫిషరీ (మత్స్య పరిశ్రమ) అంటే మానవ వినియోగం కోసం చేపలు లేదా మానవుడికి ఆహారంగా ఉపయోగపడే ఇతర జలచర జంతువులను పట్టడం, పెంచడం, వివిధ రకాలుగా నిలువ చేయడం, విక్రయించడం.

ప్రశ్న 8.
ఆక్వాకల్చర్, పిసికల్చర్ల మధ్య వ్యత్యాసం తెల్పండి.
జవాబు:
ఆక్వాకల్చర్: ఆక్వాకల్చర్ అంటే కేవలం చేపల పెంపకమే కాకుండా ఇతర జలచరాలను నియంత్రిత పద్ధతులలో పెంచి మెరుగైన ఉత్పత్తిని సాధించడం.
పిసికల్చర్: కేవలం మత్స్యాలను మాత్రమే పెంచడాన్ని పిసికల్చర్ అంటారు.

ప్రశ్న 9.
హైపోపైజేషన్ అనే పదాన్ని నిర్వచించండి. [A.P. Mar. ’16; T.S. Mar. ’15]
జవాబు:
అధిక మొత్తం లేదా కావలసిన మొత్తంలో కార్ట్సిడ్స్ను పొందుటకు చేపలను కృత్రిమ ప్రజననానికి సంసిద్ధత చేయుటను హైపోపైజేషన్ అంటారు.

ప్రశ్న 10.
ఏవైనా రెండు భారత, రెండు విదేశీ కార్ప్ చేపల పేర్లు తెలపండి. [T.S. Mar. ’17]
జవాబు:
భారతదేశ కార్ప్ చేపలు:

1. కట్ల కట్ల (కట్ల)
2. సిరైనస్ మ్రిగాలా (మ్రిగాల్

విదేశీ కార్ప్ చేపలు

1. గ్రాస్ కార్ప్
2. సిల్వర్ కార్ప్

ప్రశ్న 11.
ఏవైనా నాలుగు చేప ఉత్పత్తులను ఉదహరించండి.
జవాబు:

1. సొర, కాడ్ కాలేయ నూనె
2. చేప గ్వానో
3. షాగ్రీన్
4. ఐసిస్ గ్లాస్

ప్రశ్న 12.
ఇన్సులిన్ ఎన్ని అమైనో ఆమ్లాలు, ఎన్ని పాలిపెప్టైడ్ గొలుసులు ఉంటాయి ?
జవాబు:

• ఇన్సులిన్ 51 అమైనో ఆమ్లాలతో నిర్మితమై ఉంది.
• ఇది రెండు పాలిపెప్టైడ్ గొలుసులను కలిగి ఉంటుంది.
  పాలిపెప్టైడ్ గొలుసు A – 21 అమైనో ఆమ్లాలు
  పాలిపెప్టైడ్ గొలుసు B – 30 అమైనో ఆమ్లాలను కలిగి ఉంటాయి.

ప్రశ్న 13.
వ్యాక్సీన్ పదాన్ని నిర్వచించండి. [A.P. Mar. ’16]
జవాబు:
ఒక ప్రత్యేక వ్యాధికి, వ్యాధి నిరోధక శక్తిని పెంచే జీవ సంబంధ తయారీనే వ్యాక్సిన్ అంటారు. వ్యాక్సిన్లో వ్యాధిని కలిగించే సూక్ష్మజీవిని పోలిన కారకం ఉంటుంది. ఈ కారకం బలహీనపరచబడిన లేదా చంపబడిన సూక్ష్మజీవి లేదా సూక్ష్మజీవుల ఉపరితల ప్రోటీన్లు లేదా క్రియారహితంగా చేయబడిన సూక్ష్మజీవుల నుంచి విడుదలయ్యే విష పదార్థాలు.

ప్రశ్న 14.
PCR కు సంబంధించి ఏవైనా రెండు లక్షణాలను తెలపండి.
జవాబు:

1. తక్కువ సాంద్రతలో బ్యాక్టీరియా, వైరస్ల లు ఉన్నప్పటికి PCR ద్వారా బాక్టీరియా, వైరస్ల న్యూక్లికామ్లాలను బహుగుణీకృతం చేయడం ద్వారా గుర్తించవచ్చు.
2. చిన్న DNA తునకను PCR చర్యతో బహుగుణీకృతం చేయడం ద్వారా తక్కువ మొత్తంలో ఉన్న DNA ను కూడా గుర్తించవచ్చు.
3. అనుమానాస్పద సందర్భాలలో HIVని గుర్తించుటకు, క్యాన్సర్ను గుర్తించడానికి PCR ను వాడుతున్నారు.

ప్రశ్న 15.
ADA దేన్ని సూచిస్తుంది ? ADA లోపం వల్ల ఏ వ్యాధి వస్తుంది ?
జవాబు:

• ADA – ఎడినోసిన్ డి ఎమినేజ్
• ADA లోపం వల్ల తీవ్ర సమ్మిళిత వ్యాధి నిరోధక లోపం కలుగుతుంది.

ప్రశ్న 16.
జన్యు పరివర్తిత జంతువు పదాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
తమ జీనోమ్కు అదనంగా అన్య జన్యువును వ్యక్తీకరించడానికి వాటి DNA సవరించబడిన జంతువులను జన్యుపరివర్తిత జన్యువులు అంటారు.

ప్రశ్న 17.
‘గార్డియన్ ఏంజెల్ ఆఫ్ సెల్ జీనోమ్’ అని దేన్ని సాధారణంగా పిలుస్తారు ? [TS. Mar. ’16]
జవాబు:
P⁵³ ని గార్డియన్ ఏంజెల్ ఆఫ్ సెల్సీమ్ అని అంటారు. ఇది కో జన్యువు కణుతుల అభివృద్ధిని, పెరుగుదలను అణచివేస్తాయి. ఇది DNA సమగ్రతను కాపాడుతుంది.

ప్రశ్న 18.
క్యాన్సర్ కణాల ఏవైనా నాలుగు లక్షణాలను తెలపండి.
జవాబు:

• క్యాన్సర్ కణాలు స్పర్శ నిరోధాన్ని కోల్పోతాయి.
• క్యాన్సర్ కణాలు లంగరు ఆధారం అనే ధర్మాన్ని కోల్పోతాయి.
• క్యాన్సర్ కణాలలో అంతరకణ జిగురు ప్రొటీన్లైన్ కడరిన్లతో అతకబడే లక్షణం కనిపిస్తుంది.
• ఈ కణాలు ప్రణాళికాబద్ధ కణమరణానికి గురికావు.

ప్రశ్న 19.
రేడియోగ్రాఫ్లను ఏ విధంగా పొందుతారు ? [Mar. ’14]
జవాబు:
X-కిరణ ఉత్పాదక యంత్రాల ద్వారా ఉత్పత్తి చేసిన X-కిరణ కాంతి పుంజాన్ని దేహంలోని భాగాలపై ప్రసరింపచేస్తారు. దేహ భాగాల గుండా ప్రసరించిన కిరణాలను ఫోటోగ్రఫిక్ ఫిల్మ్ని అభివృద్ధి చేస్తారు. ఈ విధంగా X-కిరణాల ద్వారా అభివృద్ధి పరచిన ఫోటోగ్రాఫ్లను రేడియోగ్రాఫ్లు అంటారు.

ప్రశ్న 20.
టోమోగ్రామ్ అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ప్రతిబింబాల / చిత్రాల ఖచ్చితత్వం కోసం స్కానింగ్ పూర్తయిన తరువాత కంప్యూటర్ ఉత్పత్తి చేసిన చిత్రాలను దేహభాగాల పలుచని కోతల చిత్రాలుగా ఫిల్మ్ కు మార్చవచ్చు. ఈ చిత్రాలను టోమోగ్రామ్ అంటారు.

ప్రశ్న 21.
MRI స్కాన్ హానికరం కాదు నిరూపించండి.
జవాబు:
X-కిరణం లాగా అయనీకరణ రేడియోధార్మికతను ఉపయోగించదు. కాబట్టి ఇది హానిలేని చాలా సురక్షితమైన విధానం.

ప్రశ్న జవాబు:
ఎలక్ట్రోకార్డియోగ్రఫి అంటే ఏమిటి ? ECG లో సాధారణ భాగాలు ఏవి ? [A.P. Mar. ’15]
జవాబు:
ఎలక్ట్రోకార్డియోగ్రఫి – గుండెలో కలిగే విద్యుత్ మార్పులను నమోదు చేయడానికి సాధారణంగా వాడే హానిలేని పద్ధతి. ECG లోసాధారణ భాగాలు:

1. తరంగాలు
2. అంతరాలు
3. భాగం / ఖండం
4. సంక్లిష్టాలు.

ప్రశ్న జవాబు:
దీర్ఘకాల P – R అంతరం దేన్ని సూచిస్తుంది ?
జవాబు:
దీర్ఘకాల P – R అంతరం సిరాకర్ణికా కణుపు నుంచి కర్ణికా జఠరికా కణుపుకు జరిగే ప్రసరణ వహనపు ఆలస్యాన్ని సూచిస్తుంది.
P – R అంతరం బ్రాడీకార్డియా పరిస్థితులలో పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 24.
ప్రాథమిక, ద్వితీయ ప్రతిదేహాల మధ్య భేదాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ప్రాథమిక ప్రతిదేహం

1. ప్రతి జనకానికి వ్యతిరేకంగా ఈ ప్రతిదేహాలు ఏర్పడతాయి.
2. ఇవి అభిరుచి గల కావలసిన ప్రతి జనకాలతో చర్య జరుపుతాయి.

ద్వితీయ ప్రతిదేహం

1. ఇవి బయట నుంచి వచ్చిన ప్రాథమిక ప్రతి దేహాలకు వ్యతిరేకంగా ఏర్పడతాయి.
2. ఇవి ప్రాథమిక ప్రతిదేహాలతో చర్య జరుపుతాయి.

ప్రశ్న 25.
ప్రత్యక్ష, అప్రత్యక్ష ELISA ద్వారా సాంపిల్ లో ఏ పదార్థాలను గుర్తించవచ్చు ?
జవాబు:
ప్రత్యక్ష ELISA ప్రతి జనకాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగపడే ELISA
అప్రత్యక్ష ELISA – ప్రతిదేహాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగపడే ELISA

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
పశు సంపదను మెరుగుపరచడానికి జంతు ప్రజననంలో వాడే వివిధ పద్ధతులు ఏవి ?
జవాబు: జంతువుల్లో అధిక ఉత్పత్తిని సాధించడానికి, ఉత్పత్తుల ఐచ్ఛిక లక్షణాలను అభివృద్ధి చేయడానికి జంతు ప్రజననం అనేది పశు సంవర్థనంలో ముఖ్యమైన అంశం.
జంతు ప్రజననంలో ముఖ్యంగా రెండు పద్ధతులున్నాయి. అవి 1) అంతఃప్రజననం 2) బాహ్య ప్రజననం.
1) అంతః ప్రజననం: వంశానుక్రమంలో బాగా దగ్గర సంబంధం గల జీవుల మధ్య జరిగే సంపర్కాన్ని అంతః ప్రజననం అంటారు.

అంతః ప్రజననం రెండు రకాలు:

1. అతి సన్నిహిత ప్రజననం
2. రేఖా ప్రజననం

i) అతి సన్నిహిత ప్రజననం: మగ జనకజీవి ఆడ సంతతితో, ఆడ జనక జీవి మగ సంతతితో జరిపే సంపర్కాన్ని అతి సన్నిహిత ప్రజననం అంటారు.

ii) రేఖా ప్రజననం: ఐచ్ఛిక లక్షణం కోసం సన్నిహిత సంబంధం గల మధ్య (అతి సన్నిహిత ప్రజననం కాదు) జరిపే వరణాత్మక ప్రజననం రేఖా ప్రజననం అంటారు.

2) బాహ్య ప్రజననం: సంబంధం లేని జంతువుల మధ్య జరిగే ప్రజననాన్ని బాహ్య ప్రజననం అంటారు. ఇది మూడు రకాలు.

1. బాహ్య సంపర్కం
2. పర ప్రజననం
3. అంతర జాతి సంకరణం.

i) బాహ్య సంపర్కం: ఇది ఒకే ప్రజననాల మధ్య సంపర్కం చెందించే విధానం. కాని 4-6 తరాల వరకు ఆ వంశ వృక్షంలో ఇరువైపులా ఒకే పూర్వీకులు ఉండరాదు. ఈ రకమైన సంపర్కాన్ని బాహ్య సంపర్కం అంటారు. వచ్చే సంతతిని బాహ్య సంపర్కులు అంటారు.

ii) పర ప్రజననం: ఈ విధానంలో ఒక మేలుజాతి మగజీవితో వేరొక మేలుజాతి ఆడజీవిని సంపర్కం చేస్తారు. ఈ రకమైన సంపర్కం ద్వారా పుట్టిన సంతతిని పర ప్రజనితాలు అంటారు.

iii) అంతర జాతి సంకరణం ఈ పద్ధతిలో వేరు వేరు దగ్గరి ప్రజాతులకు చెందిన మగ, ఆడజీవుల మధ్య సంపర్కం జరుగుతుంది. దీని సంతతి రెండు జనకుల ఐచ్ఛిక లక్షణాలు కలిగి ఉండి వాటి జనకులకు భిన్నంగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
‘ప్రజననం’ అనే పదాన్ని నిర్వచించండి. జంతు ప్రజననంలో ఉద్దేశ్యాలు ఏమిటి ?
జవాబు:
ప్రజననం: చాలా లక్షణాల్లో అంటే ఆకృతి, పరిమాణం కనిపించడం మొదలైన వాటిలో సామ్యాన్ని కలిగియుండి వంశానుక్రమం వల్ల సంబంధం కలిగియున్న జంతు సమూహాన్ని ప్రజననం అంటారు.
జంతు ప్రజననంలో ఉద్దేశ్యాలు:

1. వ్యాధి నిరోధకత
2. పాలు, మాంసం, ఉన్ని మొదలైన వాటి పరిమాణం, నాణ్యతను పెంచడానికి 3) వేగవంతమైన పెరుగుదల రేటు
3. పాడి పశువుల జన్యు ప్రతిభను పెంచటం ద్వారా ఉత్పాదకత జీవితాన్ని పెంచడం.
4. ముందస్తు పరిపక్వత
5. దాణా / మేతలో మిత వ్యయం.

ప్రశ్న 3.
మానవ సంక్షేమంలో పశు సంవర్ధన పాత్రను వివరించండి.
జవాబు:
పశు సంవర్థనం అనేది పశుగణ ప్రజననం, పెంపకం అనే వ్యవసాయ పద్ధతి. మానవ ఉపయోగం కోసం పెంపుడు జంతువుల పెంపకం, వీటిలో పశువులు (గేదెలు, ఆవులు, ఎద్దులు), పందులు, గొర్రెలు, మేకలు, గుర్రాలు, ఒంటెలు మొదలైనవి మరియు కోళ్ళ పెంపకం, చేపల పెంపకం.

మానవుడు ఎంతోకాలం నుంచి తేనెటీగలు, పట్టుపురుగులు, రొయ్యలు, చేపలు, పక్షులు, పశువులు, పందులు, గొర్రెలు, ఒంటెలు మొదలైన వాటిని తేనె, పట్టు, మాంసం, పాలు, తోలు, ఉన్ని మొదలైన ఉత్పత్తుల కోసం పెంచుతున్నారు.

పశువుల పెంపకం, పాడి పరిశ్రమ, కోళ్ళ పెంపకం, జలసంవర్థనం మొదలైనవి. వాటి ద్వారా అనేక జనులకు ఆహార అవసరాలను తీర్చడంలో, ఉపాధి కల్పించడంలో, రాబడిని ఇవ్వడంలో ముఖ్యపాత్ర పోషిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 4.
MOET లో సహాయపడే వివిధ స్థాయిలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
బహుళ అండోత్సర్గం, పిండ బదిలీ సాంకేతికత (MOET) లో ఈ క్రింది స్థాయిలు ఉంటాయి.

1. పుటికా ఉద్దీపన హార్మోన్ (FSH) లాంటి క్రియాశీలత గల హార్మోన్లను ఆవులకు ఇస్తారు.
2. ఇది పుటికా పరిపక్వతను, అధి అండోత్సర్గాన్ని (super ovulation) ప్రేరేపిస్తుంది (అధి అండోత్సర్గంలో, సాధారణ ఈస్ట్రస్ చక్రంలో ఉత్పత్తి అయ్యే ఒక అండానికి బదులు 6 8 అండాలు ఉత్పత్తి అవుతాయి).
3. ఈ విధంగా బహుళ అండాలు విడుదలైన ఆవును ఉత్తమజాతి ఎద్దుతో సంపర్కం జరిపి గాని, కృత్రిమ శుక్రనివేషణం ద్వారా గాని దాని అండాలను ఫలదీకరణ గావిస్తారు.
4. 8-32 కణాల దశలో ఉన్న పిండాలను శస్త్ర చికిత్స లేని విధానం ద్వారా సేకరించి తాపంలో ఉన్న వేరే ఆవు (అరువు తల్లి – surrogate mother) గర్భాశయంలోకి మారుస్తారు.

ఇప్పుడు జన్యుతల్లి మరొకసారి అధి అండోత్సర్గానికి సిద్ధపడుతుంది. ఈ సాంకేతికత పశువులు, గొర్రెలు, కుందేళ్ళు, బర్రెలు, గుర్రాలు మొదలైన వాటిలో వినియోగంలో ఉంది. తక్కువ కాల వ్యవధిలో మంద పరిమాణం పెంచి ఎక్కువ పాలనిచ్చే ఆడ ప్రజననాలను అధిక నాణ్యత గల మాంసం (కొవ్వు తక్కువగా ఉండేది) ఉత్పత్తి చేసే గిత్తలను ప్రజననం ద్వారా పొందడంలో విజయవంతమయ్యారు.

ప్రశ్న 5.
నియంత్రిత ప్రజనన ప్రయోగాలపై లఘు వ్యాఖ్య రాయండి.
జవాబు:

• నియంత్రిత ప్రజనన ప్రయోగం కృత్రిమ శుక్ర నివేషణం, బహుళ అండోత్సర్గం, పిండ బదిలీ సాంకేతికతని ఉపయోగించి చేయవచ్చు. దీని ద్వారా మనకు కావలసిన ప్రజనన లక్ష్యాన్ని పొందవచ్చు.
• ఈ పద్ధతిలో ముందుగా మేలురకపు ఎద్దుల నుండి శుక్రాన్ని సేకరిస్తారు. ఈ శుక్రాన్ని అప్పటికప్పుడే ఉపయోగించవచ్చు లేదా దాన్ని ఘనీభవించి నిలువచేసి భవిష్యత్తులో ఉపయోగించవచ్చు లేదా రవాణా చేయవచ్చు.
• ఇదే సమయంలో ఆవులకు FSH లాంటి క్రియాశీలత గల హార్మోనులను ఇస్తారు.
• FSH పుటికా పరిపక్వతను, అధి అండోత్సర్గాన్ని ప్రేరేపిస్తుంది.
• ఇప్పుడు ఆవును కృత్రిమ శుక్రనివేషణం ద్వారా దాని అండాలను ఫలదీకరణం గావిస్తారు.
• 8-32 కణాల దశలో ఉన్న, పిండాలను శస్త్ర చికిత్స లేని విధానం ద్వారా సేకరించి పిండం అభివృద్ధి కోసం తాపంలో ఉన్న వేరే ఆవు (అరువు తల్లి) గర్భాశయంలోకి మారుస్తారు.

ఈ పద్ధతి ద్వారా పాడి రైతుకు కావలసిన ఉత్తమంగా, నిరూపించబడిన సైర్లను, ఎద్దులను ఉపయోగించి తన పశు సంపదను జన్యుపరంగా మెరుగుపరచుకొని సుఖరోగాలు రాకుండా నియంత్రించుకోవడానికి దోహదపడుతుంది.

ప్రశ్న 6.
పౌల్ట్రీ యాజమాన్యంలో ముఖ్యమైన అంశాలను వివరించండి.
జవాబు:
పౌల్ట్రీ యాజమాన్యంలో ముఖ్యాంశాలు:
1) వ్యాధిరహిత, అనువైన ప్రజననాలను ఎంచుకోవడం: ఎంపిక చేయబడ్డ ప్రజననాలు వివిధ వాతావరణ పరిస్థితులకు అలవాటు పడాలి. భారతదేశంలో ఉపయోగించే సంకర లేయర్లు BV-300, హైలైన్, పూనా పెరల్స్ మొదలైనవి. హబ్బర్డ్, వెంకాబ్ మొదలైనవి భారతదేశపు వాణిజ్య బ్రాయిలర్ రకాలు.

2) దాణా / మేత యాజమాన్యం (సరియైన మేత, నీరు): ఉత్పత్తులను గరిష్ఠపరిచేందుకు సంతులిత ఆహారం ఇవ్వడం అత్యవసరం. వివిధ దిశల్లో ఉన్న లేయర్లకు బ్రూడర్ / చిక్ మాష్, గ్రోయర్ మాష్, ప్రీలేయర్ మాష్, లేయర్ మాష్లను ఆహారంగా ఇవ్వాలి. అలాగే బ్రాయిలర్లకు ప్రీస్టార్టర్ మాష్, స్టార్టర్ మాష్, ఫినిష్ మాష్లను ఆహారంగా ఇవ్వాలి. వాటరర్ల ద్వారా సురక్షితమైన నీటిని ఎప్పుడూ అందుబాటులో ఉంచాలి.

3) ఆరోగ్యపరమైన జాగ్రత్తలు: వైరల్ వ్యాధులకు వాక్సినేషన్ ఇవ్వాలి. బాక్టీరియల్ వ్యాధులకు యాంటిబయాటిక్స్ ఇచ్చి చికిత్స చేసి కోళ్ళను వ్యాధిరహితంగా ఉంచాలి. కోళ్ళ పరిశ్రమకు సంక్రమించే శిలీంధ్ర వ్యాధులు బ్రూడర్స్, న్యుమోనియా, ఎఫ్లోటాక్సికోసిన్, త్రష్,

ప్రశ్న 7.
ఏవియన్ ‘ఫ్లూ’ గురించి సంక్షిప్తంగా చర్చించండి.
జవాబు:
ఏవియన్ ఫ్లూ: ఇది పక్షులకు సోకే వ్యాధి. ఒక్కొక్కసారి మానవుడికి సోకే అపాయకరమైన వ్యాధి.
వ్యాధికారక జీవి: H₅N₁ అనే “ఏవియన్ ఫ్లూ వైరస్” ద్వారా బర్డ్ ఫ్లూ వస్తుంది. పక్షులకు సోకే వైరస్ మనుషులకు కూడా సోకుతుంది. ఇది ఏకకాలంలో ప్రపంచ వ్యాప్తంగా సోకే అంటువ్యాధి (పాండెమిక్ వ్యాధి).

వ్యాధి సోకే విధానం: ఇది అంటువ్యాధి. ఇన్ఫ్లూయెంజా రకపు వైరస్ సోకిన పక్షులు లాలాజలం, మలపదార్థం ద్వారా 10 రోజుల వరకు ఈ వైరస్ ను విడుదల చేస్తాయి. వీటిని తాకిన ఇతర పక్షులు, మానవులకు ఈ వ్యాధి సోకుతుంది. వ్యాధి సోకిన మానవుడు దగ్గినప్పుడు, తుమ్మినప్పుడు ఏర్పడ్డ ఎయిరోసాల్ పీల్చినా, రోగి లాలాజలం శ్వాస తుంపరలతో కలుషితమైన ఉపరితలాలు తాకినా ఈ వ్యాధి సంక్రమిస్తుంది.

వ్యాధి లక్షణాలు: మానవులలో H₅N₁ ఏవియన్ ఇన్ఫ్లుయెంజా వైరస్ సాధారణ ఫ్లూ లాంటి లక్షణాలు కలిగి ఉంటుంది. దీనితోపాటు దగ్గు (కఫంతో కూడిన లేదా పొడిదగ్గు), డయేరియా, శ్వాస తీసుకోవడంలో ఇబ్బంది, జ్వరం, తలనొప్పి, వ్యాకులత, కండరాల నొప్పి, గొంతునొప్పి మొదలైనవి ఉంటాయి.

నివారణ:
1) సరిగా వండని కోడిమాంసం తినకుండా ఉన్నట్లయితే ఏవియన్ ఫ్లూ బారినపడే ఆపదను తగ్గించవచ్చు. 2) పక్షులతో పనిచేసే మనుష్యులు రక్షణగా ఉండే దుస్తులు, ప్రత్యేకమైన గాలి పీల్చుకునే ముసుగు ధరించాలి. 3) వ్యాధి సోకిన పక్షులను పూర్తిగా పూడ్చి పెట్టి గానీ, తగులబెట్టి గానీ కల్లింగ్ చేయాలి.

ప్రశ్న 8.
రాణీఈగ గురించి సంక్షిప్తంగా చర్చించండి.
జవాబు:

• రాణీఈగ సహనివేశంలో అతిపెద్ద జీవి.
• ఇది తుట్టెకు ఒకటి ఉండి ఫలవంతమైనదిగానూ, ద్వయస్థితిక ఆడజీవిగానూ గుడ్లు పెట్టేదిగానూ ఉంటుంది.
• ఇది 5సం||ల వరకు జీవించి ఉండి, గుడ్లు పెట్టడం అనే ఏకైక విధిని నిర్వర్తిస్తుంది.
• రాణీఈగ శోభన ఉడ్డయనంలో (డ్రోన్ల (పురుష తేనెటీగలు) నుంచి శుక్రకణాలను గ్రహించి వాటిని శుక్రాశయంలో నిల్వ చేసుకొని ఫలవంతమైనవి, ఫలవంతం కానివి అనే రెండు రకాల అండాలను విడుదల చేస్తుంది.
• ఫలవంతమైన అండాలు అన్నీ ఆడ ఈగలుగా అభివృద్ధి చెందుతాయి.
• ఫలవంతమైన అండాల నుండి అభివృద్ధి చెందిన డింభకాలకు, మొదటి నాలుగు రోజులు రాయల్ జెల్లీని ఆహారంగా ఇస్తాయి. ఆ తరువాత ఏదైతే రాణీఈగగా అభివృద్ధి చెందాలో దానికి మాత్రమే రాయల్ జెల్లీని ఆహారంగా ఇస్తాయి.
• మిగతా డింభకాలు తేనెటీగ రొట్టెని (తేనె, పుప్పొడి) ని తీసుకొని కూలీ ఈగలుగా మార్పు చెందుతాయి.
• ఫలదీకరణం చెందని అండాల నుండి డ్రోన్లుగా అభివృద్ధి చెందుతాయి.

ప్రశ్న 9.
తేనెటీగలు ఆర్థికరీత్యా ప్రాముఖ్యమైనవి నిరూపించండి. [A.P. Mar. ’16]
జవాబు:
కీటక ప్రపంచంలో అధిక ఆర్థిక ప్రాముఖ్యత గల తేనెటీగలు, తేనెటీగల్ని పెంచడానికి ఎపికల్చర్ లేదా తేనెటీగల పెంపకం అంటారు.
తేనెటీగల ఆర్థిక ప్రాముఖ్యం: తేనెటీగ ఉత్పత్తులైన తేనె, మైనం, ప్రొపోలిన్, తేనెటీగల విషం అనేక విధాలుగా ఉపయోగిస్తారు.

1. తేనె ఫ్రక్టోస్, గ్లూకోజ్, ఖనిజాలు, విటమిన్లు, నీటికి మంచి వనరు.
2. బీ మైనాన్ని సౌందర్య సాధనాలు, అనేక రకాల పాలిష్ లు, కొవ్వొత్తుల తయారీలో వాడతారు..
3. ప్రొపోలిస్ు కాలిన ఉపరితల గాయాలకు, వాపులకు ఉపయోగిస్తారు.
4. కూలిఈగల కొండెం నుంచి తీసిన విషాన్ని రుమటాయిడ్ కీళ్ళవ్యాధి చికిత్సలో వాడతారు.
5. పరాగ సంపర్కం: పొద్దు తిరుగుడు, బ్రాసికా, ఏపిల్, పియర్ లాంటి మొక్కలలో పరాగ సంపర్కం చేసేవి తేనెటీగలే.

ప్రశ్న 10.
తేనెటీగల పెంపకానికి కావలసిన వివిధ కారకాలు ఏవి ?
జవాబు:
తేనె, మైనం ఉత్పత్తి కోసం తేనెతుట్టెల నిర్వహణ ద్వారా తేనెటీగలను పెంచడాన్ని ఎపికల్చర్ లేదా తేనెటీగల పెంపకం అంటారు.
తేనెటీగల పెంపకం విజయవంతం కావడానికి కావలసిన కారకాలు, అవసరతలు:

1. తేనెటీగల అలవాట్లు, ప్రకృతి మీద అవగాహన
2. తేనెపట్టును ఉంచడానికి అనువైన స్థలాన్ని ఎంపిక చేయడం (ఏపియరీ లేదా బీయార్డ్)
3. తేనెపట్టును ఒక రాణిఈగ, చిన్న కూలి ఈగల గుంపుతో పెంచడం.
4. వివిధ రుతువులలో తేనెపట్టుల యాజమాన్యం.
5. తేనె, బీ మైనాన్ని సంగ్రహించి వాడుకోవడం.

ప్రశ్న 11.
భారత ఆర్థిక వ్యవస్థలో ఫిషరీస్ ప్రత్యేక స్థానాన్ని కలిగి ఉంది. వివరించండి.
జ.
మత్స్య పరిశ్రమకు ఉన్న ఆర్థిక ప్రాముఖ్యత కారణంగా భారత ఆర్థిక వ్యవస్థలో మత్స్య పరిశ్రమ ప్రత్యేక స్థానాన్ని కలిగి ఉంది.

ఆర్థిక ప్రాముఖ్యత:
1) ఆహారంగా: చేప మాంసం సాధారణంగా ప్రోటీన్లకు, విటమిన్లకు, ఖనిజాలకు మూలం మరియు చేపలలో అయోడిన్ సమృద్ధిగా లభిస్తుంది. ట్యూనాలు, ష్రింప్లు, పీతలు తినడానికే కాకుండా, ఎగుమతి విలువలను కలిగి ఉన్నాయి.

2) ఉప ఉత్పత్తులు:

1. సొర, కాడ్ కాలేయనూనెలలో విటమిన్ A, విటమిన్ D పుష్కలంగా లభిస్తాయి.
2. సార్లైన్, సాల్మన్ చేపల నూనెలో ఓమేగా 3 కొవ్వు ఆమ్లాలు విరివిగా లభిస్తాయి. ఇవి కొలెస్ట్రాల్ తగ్గించడం, క్యాన్సర్ కణాల పెరుగుదలను నిరోధించడం వంటి ధర్మాలను కలిగి ఉన్నాయి.
3. చేపగ్వానో – స్క్రాప్ చేపల నుంచి తయారుచేసిన ఎరువు.
4. షాగ్రీన్, ఐసిన్గ్లాస్ – వైనను శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగించే పిల్లి చేపల పదార్థం.
   చేపల పెంపకానికి అనుబంధంగా రొయ్యల పెంపకం, పీతలు, ముత్యపు చిప్పల పెంపకం వల్ల విదేశీ ఎగుమతుల నం మిలియన్ల డాలర్ల విదేశీ మారకాన్ని ఆర్జిస్తున్నాం.

ప్రశ్న 12.
ఇన్సులిన్ నిర్మాణాన్ని సంక్షిప్తంగా వివరించండి. [A.P. Mar. ’15.]
జవాబు:
ఇన్సులిన్ క్లోమగ్రంథిలోని లాంగర్ హాన్స్ పుటికల బీటా కణాల నుంచి ఉత్పత్తి అయ్యే ప్రోటీన్ హార్మోన్.
ఇన్సులిన్ నిర్మాణం:

• ఇది 51 అమైనో ఆమ్లాలతో నిర్మితమై, రెండు పాలిపెప్టైడ్ గొలుసులను కలిగి ఉంటుంది. అవి గొలుసు A మరియు గొలుసు B
• గొలుసు – A 21 అమైనో ఆమ్లాలను, గొలుసు B – 30 అమైనో ఆమ్లాలను కలిగి ఉంటాయి.
• ఈ రెండు గొలుసులు రెండు ద్విసల్ఫైడ్ బంధాలతో కలపబడి ఉంటాయి.
• రెండు ద్వి సల్ఫైడ్ బంధనాలలో ఒకటి A₇ – B₇ ల మధ్య మరియు
• రెండవది A₂₀ – B₁₉, మధ్య ఏర్పడతాయి. వీటికి అదనంగా ‘A’ గొలుసులపై అమైనో ఆమ్లం, 6 మరియు 11ల మధ్య కాకుండా ఒక డై సల్ఫైడ్ బంధనం ఉంటుంది.

మానవులలో (క్షీరదాలు అన్నింటిలో కూడా) ఇన్సులిన్ ఒక ప్రోహార్మోన్ రూపంలో సంశ్లేషించబడుతుంది. ఈ ప్రోహార్మోన్ ‘C’ పెప్టైడ్ గొలుసును అదనంగా కలిగి ఉంటుంది. క్రియాశీలంగా మారే సమయంలో ప్రోహార్మోన్ నుండి ‘C’ పెప్టైడ్ గొలుసు తొలగించబడి A మరియు B గొలుసులతో కలిగిన క్రియాశీల ఇన్సులిన్ మారుతుంది.

ప్రశ్న 13.
వ్యాక్సిన్ను నిర్వచించండి. వివిధ రకాల వ్యాక్సిన్ల గురించి చర్చించండి.
జవాబు:
ఒక ప్రత్యేక వ్యాధికి నిరోధక శక్తిని పెంచే జీవ సంబంధ తయారీనే వ్యాక్సిన్ (టీకా) అంటారు. వ్యాక్సిన్లో వ్యాధిని కలిగించే సూక్ష్మజీవిని పోలిన కారకం ఉంటుంది. ఈ కారకం బలహీనపరచబడిన లేదా చంపబడిన సూక్ష్మజీవి లేదా సూక్ష్మజీవుల ఉపరితల ప్రోటీన్లు లేదా క్రియాశీల రహితంగా చేసిన సూక్ష్మజీవుల విష పదార్థాలు కావచ్చు.
వివిధ రకాల వ్యాక్సిన్లు:
సాంప్రదాయ వ్యాక్సిన్లు:
1) వ్యాధి కారకత క్షీణించిన సంపూర్ణ ప్రాతినిధ్య వ్యాక్సిన్లు: ఇది తక్కువ సామర్థ్యం గల (తీవ్రత తగ్గించిన) సూక్ష్మజీవులను కలిగి ఉంటుంది. చాలా వరకు ఇవి వైరస్ వ్యాధుల నుంచి రక్షణ ఇస్తాయి. ఉదా:’ ఎల్లో జ్వరం, మశూచి, రుబెల్లా, గవదలు, టైఫాయిడ్ లాంటి బ్యాక్టీరియా వ్యాధులు.

2) నిష్క్రియా సంపూర్ణ ప్రాతినిధ్య వ్యాక్సిన్లు: ఇది మృత సూక్ష్మజీవులను (చంపబడక ముందు తీవ్రత గల) కలిగి ఉంటుంది. ఉదా: ఇన్ఫ్లుయెంజా, కలరా, బ్యుబోనిక్ ప్లేగు, పోలియో, హైపటైటిస్ – A, రేబిస్, సాబిన్స్ నోటిపోలియో వ్యాక్సిన్.

3) టాక్సాయిడ్లు: కొన్ని సూక్ష్మజీవుల నిష్క్రియాత్మక బాహ్యవిషాలు. ఉదా: డిప్తీరియా, టిటానస్ వ్యాక్సిన్లు. ఈ వ్యాక్సిన్లు కృత్రిమ ఆర్జిత క్రియాత్మక వ్యాధి నిరోధక శక్తిని ప్రేరేపిస్తాయి. వీటిని వ్యాధి నివారణకు ఉపయోగిస్తారు.

జీవ సాంకేతిక వ్యాక్సిన్లు:
1) పునఃసంయోజక వాహక వ్యాక్సిన్లు: వ్యాధికారక జీవుల ముఖ్యమైన జన్యువులను వ్యాధికారకత తగ్గించబడిన బాక్టీరియా లేదా వైరస్లోకి ప్రవేశపెట్టి వాటిని అతిథేయిలోకి టీకా రూపంలో ప్రవేశపెడతారు.

2) DNA టీకాలు: వ్యాధికారక ప్రతిజనక ప్రోటీన్లను సాంకేతీకరించే DNA ను ప్రత్యక్షంగా స్వీకర్త కండరంలోకి ఇంజెక్ట్ చేస్తారు.
ప్రస్తుతం DNA టీకాలను మలేరియా, AIDS, ఇన్ఫ్లూయెంజా వంటి వాటికి వ్యతిరేకంగా ఉత్పత్తి చేయడానికి ప్రయత్నాలు జరుగుతున్నాయి.

ప్రశ్న 14.
జన్యు చికిత్సలో రకాలను సంక్షిప్తంగా రాయండి.
జవాబు:
జన్యుచికిత్స అంటే జన్యువుల్ని వ్యక్తి యొక్క కణాలు, కణజాలాల్లోకి అనువంశిక వ్యాధుల్ని నయం చేయడానికి ప్రవేశపెట్టడం. మానవులకు రెండు రకాల ప్రాథమిక జన్యు చికిత్సా విధానాలను అనువర్తించవచ్చు. అవి:

1. దేహకణ శ్రేణి
2. బీజకణ శ్రేణి

1) దేహకణ శ్రేణి: ఈ చికిత్సా విధానంలో క్రియాత్మక జన్యువులను రోగి దేహ కణంలోకి ప్రవేశపెడతారు. ఈ విధానం వ్యాధికి గురైన వ్యక్తి దేహ కణాలకు చికిత్స చేసి వ్యాధి దృశ్య రూపాన్ని నయం చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.
ఈ విధమైన జన్యు చికిత్సలో వచ్చిన మార్పులు అనువంశికమైనవి కావు. దేహకణ శ్రేణి చికిత్స రెండు రకాలు. అవి:

1. దేహ బాహ్య జన్యు చికిత్స
2. దేహం లోపల జన్యు చికిత్స

i) దేహబాహ్య జన్యు చికిత్స: ఈ పద్ధతిలో కణాలు దేహం బయట మార్పు చేయబడి తిరిగి దేహంలో ప్రతిస్థాపించబడతాయి.
ii) దేహ లోపల జన్యు చికిత్స: ఈ విధానంలో కణాలు దేహంలో ఉండగానే వాటి జన్యువులను మార్పు చేస్తారు.

2) బీజకణ. శ్రేణి: ఈ చికిత్సా విధానంలో క్రియాత్మక సాధారణ జన్యువులను శుక్రకణాలు లేదా స్త్రీ బీజకణాలలో ప్రవేశపెట్టి వాటి జీనోమ్లతో సమైక్యం చేస్తారు. కాబట్టి ఈ జన్యు మార్పు అనువంశికం చెందగలుగుతుంది. అనేక సాంకేతిక, నైతిక,కారణాల వల్ల బీజకణ శ్రేణి జన్యు చికిత్స శైశవ స్థాయిలోనే ఉండిపోతుంది.

ప్రశ్న 15.
క్యాన్సర్ కణాల ఏవైనా నాలుగు ముఖ్య లక్షణాలను విశదీకరించండి.
జవాబు:
క్యాన్సర్ కణాల ముఖ్య లక్షణాలు:’

• సాధారణ కణాలు పెరుగుతున్నప్పుడు వాటి ప్లాస్మాత్వచం వేరొకదానికి తాకినప్పుడు అది తన విభజనను నిలిపివేస్తుంది. కానీ ఈ ధర్మాన్ని క్యాన్సర్ కణాలు కోల్పోతాయి.
• సాధారణ కణాలు అంతరకణ జిగురును ప్రోటిన్న కెడ్హరిన్ల తో అతకబడతాయి. కాన్సర్ కణాలలో ఈ గుణం లోపిస్తుంది.
• క్యాన్సర్ వ్యాధితో ఉత్పరివర్తనం చెందిన కణాలు ప్రణాళికా బద్ధ కణమరణానికి (apoptosis) కు గురికావు. * క్యాన్సర్ కణాల కణ ఉపరితల ప్రోటీన్ లు అసాధారణ మార్పులకు లోనయి, అసామాన్య ఉపరితల ప్రతిజనకాలను కలిగి ఉంటాయి.
• క్యాన్సర్ కణాలు క్రియాశీలంగా విభజన చెందుతూ పెరగడం వల్ల పోషకాల కోసం సాధారణ కణాలతో పోటీపడి, వాటికి పోషకాలు అందకుండా చేస్తాయి.
• క్యాన్సర్ కణితులు వృద్ధి కారకాలను విడుదల చేయుట ద్వారా కొత్త రక్త నాళాలను వృద్ధి చేసుకుంటాయి.
• సాధారణ కణాలు సంవర్థక పాత్రకు అతికి ఉండి ఒకే కణమందం గల స్తరాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. కాని క్యాన్సర్ కణాలు పోషక పదార్థాలున్నంత వరకు ఒకదానికి ఒకటి తాకినా విభజన జరుపుతూ, సంవర్థక పాత్రకు అతికి ఉండక అనేక కణమందం గల స్తరాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 16.
వివిధ రకాల క్యాన్సర్లను వివరించండి. [T.S. Mar.’17, ’15 Mar. ’14]
జవాబు:
క్యాన్సర్ను కలుగజేసే కణాల ఆవిర్భావాన్ని ఆధారంగా నాలుగు రకాలుగా వర్గీకరించారు. అవి:

1. కార్సినోమా
2. సార్కోమా
3. ల్యుకేమియా
4. లింఫోమా

1) కార్సినోమా: కార్సినోమా అనేది ఉపకళ కణాలతో ఏర్పడే మాలిగ్నెంట్ ట్యూమర్స్. ఈ క్యాన్సర్ కణాలు చర్మం, శ్వాస, జీర్ణ, మూత్ర మరియు జనన వ్యవస్థలలోని ఉపకళా కణాల నుంచి ఏర్పడతాయి లేదా దేహంలోని వివిధ గ్రంథులు. ఉదా: క్షీరగ్రంథులు, నాడీకణజాలం నుంచి ఏర్పడతాయి. వీటి నామకరణం ఆవిర్భవించిన అవయవాలనాధారంగా చేస్తారు. దేహంలో ఏర్పడే క్యాన్సర్లలో 85% కార్సినోమా రకానికి చెందినవే.
ఉదా: ఎడినో కార్సినోమా – ఎడినాయిడ్స్లో క్యాన్సర్. గ్లియోబ్లాస్టోమా (నాడీకణజాలపు క్యాన్సర్) – మెదడులో ట్యూమర్స్ ఏర్పడతాయి.

2) సార్కోమా: సంయోజక కణజాలంలో ఏర్పడే మాలిగ్నెంట్ ట్యూమర్ను సార్కోమా అంటారు. ఈ ట్యూమర్లు మధ్యస్త్వచం నుండి ఏర్పడిన కణజాలం నుంచిగాని, మధ్యస్త్వచం నుంచి ఏర్పడిన అవయవాల నుంచిగాని ఏర్పడతాయి.
ఉదా: ఆస్టియో సార్కోమా (ఎముక), కాండ్రోసార్కోమా (మృదులాస్థి), ఆంజియోసార్కోమా (రక్తనాళాలలో).

3) ల్యుకేమియా: శోషరస గ్రంథులలో ఏర్పడే మాలిగ్నెంట్ ట్యూమర్స్. ఇవి ఎక్కువగా రక్త కణాలను ప్రభావితం చేసేవి. ముఖ్యంగా మజ్జాలో ఏర్పడే తెల్ల రక్తకణాలను ప్రభావితం చేస్తాయి. వీటిని ద్రవరూప ట్యూమర్స్ అని కూడా అంటారు. ఉదా: క్రానిక్ మైలియోసైటిక్ ల్యుకేమియా, దీర్ఘతర T కణ ల్యుకేమియా (acute T-cell leukemia)

4) లింఫోమా: ప్లీహం, శోషరస నాడులలో ఉండే తెల్ల రక్తకణాలతో ఏర్పడే మాలిగ్నెంట్స్ ట్యూమర్లు, దేహంలో ఏర్పడే ట్యూమర్లలో లింఫోమాలు 4% ఉంటాయి.
ఉదా: బుర్కెట్ లింఫోమా (Burkett Lymphoma).

ప్రశ్న 17.
MRI ఉపయోగించే విధానాన్ని రాయండి. [A.P. Mar. ’17]
జవాబు:
MRI అయనీకరణ రేడియో ధార్మికతను ఉపయోగించదు. అందువల్ల ఇది హానిలేని చెడు ప్రభావాలు కనిపించని వైద్య చిత్రీకరణ పద్ధతి. ఇది వైద్యులకు నిర్మాణాత్మక అవలక్షణాలను లేదా వ్యాధికారక పరిస్థితులను నిర్ధారణ చేయడానికి సహాయపడుతుంది.

MRI స్కానింగ్ విధానం:
1) MRI స్కానింగ్ యంత్రం అనేది ఒక పెద్ద వృత్తాకార అయస్కాంత గొట్టం. రోగిని కదిలే పరుపుపై ఉంచి దాన్ని అయస్కాంత గొట్టంలోకి పంపిస్తారు.

2) మానవ దేహం ప్రధానంగా నీటి అణువులతో ఏర్పడి ఉంటుంది. నీటి అణువులో రెండు హైడ్రోజన్ కేంద్రకాలు / ప్రోటాన్లు ఉంటాయి.

3) MRI లోని అయస్కాంతం బలమైన అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని కలుగజేస్తుంది. ఇది దేహ నీటిలోని ప్రోటాన్లను అయస్కాంత క్షేత్ర దిశకు సమాంతరంగా అమరేటట్లు చేస్తుంది.

4) రెండవ రేడియో తరంగ దైర్ఘ్యపు విద్యుత్ అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని, కొద్దిసేపు దేహంలోకి పంపుతారు. ఈ రేడియో తరంగాల నుంచి కొంత శక్తిని దేహ నీటి అణువులోని ప్రోటాన్లు గ్రహిస్తాయి.

5) రెండవ రేడియో పౌనఃపున్యం ఉద్గార క్షేత్రాన్ని ఆపివేయగానే ప్రోటాన్లు గ్రహించిన శక్తిని MRI స్కానర్ గుర్తించగలిగే రేడియో పౌనఃపున్యం రూపంలో విడుదల చేస్తాయి.

6) వివిధ రకాల కణజాలాలు వివిధ ‘క్వాంటాల’ శక్తిని ఉద్గారిస్తాయి. వివిధ తరంగ దైర్ఘ్యాల రూపంలో అసాధారణ కణజాలాలైన కణితులు మొదలైన వాటిని గుర్తించవచ్చు. ఎందుకంటే వివిధ రకాల కణజాలాలలోని ప్రోటాన్లు వివిధ రేట్లలో సమతాస్థితికి తిరిగి వస్తాయి.

7) తక్కువ నీరుగల కణజాలాలైన అస్థి మొదలైనవి MRI చిత్రాలలో వేరే విధంగా కనిపిస్తాయి. దాని వల్ల ‘వివిధ కణజాలాల’ .చిత్రాల మధ్య నీటి స్థాయిలను బట్టి వ్యత్యాసం ఉంటుంది.

8) ఒకే కణజాలంలో సహితం ‘సాధారణ ఆరోగ్యకర కణాలు’, ‘వ్యాధికారక కణాలు’ వేర్వేరు శక్తి తరంగ దైర్ఘ్యాలను ఉద్గారిస్తాయి. కాబట్టి వివిధ రకాల కణాలు వివిధ ప్రతిబింబాలు / చిత్రాలను ఏర్పరుస్తాయి.

9) వెలువడిన రేడియో తరంగదైర్ఘ్య సమాచారం కంప్యూటర్ ద్వారా విధానీకరింపబడి ఒక ప్రతిబింబాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఉత్పత్తి చేసిన ప్రతిబింబం వివరాలు స్పష్టంగా ఉండి దేహ నిర్మాణాల్లో స్వల్ప మార్పులను కూడా గుర్తించగలుగుతుంది.

ప్రశ్న 18.
ECG లో వివిధ తరంగాలు, అంతరాలను గూర్చి సంక్షిప్తంగా రాయండి.
జవాబు:
ECG అంటే ఎలక్ట్రోకార్డియోగ్రామ్ లేదా ఎలక్ట్రోకార్డియోగ్రాఫ్ అని అర్థం. ఎలక్ట్రో కార్డియోగ్రాఫ్ గుండెలో కలిగే విద్యుత్ మార్పులను నమోదు చేయడానికి సాధారణంగా వాడే హానిలేని పద్ధతి. ECG హార్థిక వలయంలో జరిగి విద్యుత్ వలయాలకు సంబంధించిన వరుస తరంగాలను చూపిస్తుంది.
ఒక సాధారణ ECG వీటిని కలిగి ఉంటుంది.

1. తరంగాలు
2. అంతరాలు
3. భాగం
4. సంక్లిష్టాలు.

i) తరంగాలు: సాధారణ ECG లో నమోదు అయ్యే తరంగాలు వరుసగా P, Q, R, S, T. ఒక సాధారణ హృదయ స్పందన వల్ల ఏర్పడే ECG లో ఒక P తరంగం, ఒక QRS సంక్లిష్టం, ఒక T తరంగం ఉంటాయి.

P తరంగం: ఇది కర్ణికా విధృవణాన్ని లేదా కర్ణికా సంకోచాన్ని సూచిస్తుంది. కర్ణిక గుండా కదిలే ప్రేరణను P తరంగం చూపిస్తుంది. P తరంగం కాలవ్యవధి 0.1 సెకను.
“QRS” సంక్లిష్టం: ఇది జఠరికా సంకోచాన్ని సూచిస్తుంది. Q తరంగం ఒక చిన్న ఋణ తరంగం, R తరంగం ఒక పెద్ద ధన తరంగం, S తరంగం ఋణ తరంగం. QRS తరంగం కాలవ్యవధి 0.08 నుంచి 0.1 సెకన్లు.
T తరంగం: ఇది జఠరికా పునఃధృవణాన్ని తెలియజేస్తుంది. దీని కాలవ్యవధి 0.2 సెకన్లు.

ii) అంతరాలు:
P – R అంతరం: P తరంగం ప్రారంభానికి, Q తరంగం ప్రారంభానికి మధ్య అంతరం. P – R అంతరం సాధారణంగా 0.12 – 0.2 సెకన్లు ఉంటుంది.

Q-T అంతరం: Qతరంగం ప్రారంభానికి, T-తరంగం అంతానికి మధ్య ఉంటుంది. ఇది జఠరికా కండరాల విద్యుత్ క్రియాశీలతను తెలియజేస్తుంది. దీని అవధి 0.4 సెకన్లు.

R-R అంతరం: ఒక హార్దిక వలయ కాలవ్యవధిని తెలియజేస్తుంది. ఇది 0.8 సెకనులలో ముగుస్తుంది.

iii) భాగం/ఖండాలు: S – T ఖండం S తరంగం అంతానికి T తరంగ ప్రారంభానికి మధ్య ఉంటుంది. ఇది విద్యుత్ శూన్య ఓల్టేజ్ కాలం.

ప్రశ్న 19. అప్రత్యక్ష ELISA విధానాన్ని సంక్షిప్తంగా చర్చించండి. [T.S. Mar. ’16]
జవాబు:
ఎంజైమ్ లింక్డ్ ఇమ్యూనో సార్జెంట్ అస్సెకు ELISA పొట్టిరూపం.

అప్రత్యక్ష ELISA: దీన్ని ఇచ్చిన మచ్చుకలో ఉన్న ప్రతిదేహాలను గుర్తించడానికి వాడతారు. పరీక్ష జరిపే వ్యక్తి రక్తాన్ని సేకరించి స్కందనం జరిగే వరకు ఉంచుతారు. ప్రాథమిక ప్రతిదేహాలను కలిగిన పారదర్శక సీరంను పొందడానికి ఘనీభవించిన రక్తాన్ని సెంట్రిఫ్యూజ్ చేస్తారు.
చేయు విధానం:

1. ప్రతిజనకాన్ని తీసుకొని ELISA ఫలకపు గుంతలో అధిశోషణ గావిస్తారు.
2. రోగి యాంటి సీరము ప్రతిజనకాన్ని పూసిన ELISA ఫలకపు గుంతలో తీసుకోవాలి.
3. దానిని ప్రతిజనకాలు, ప్రతిదేహాలు చర్య జరుపుటకు కొంత సమయం వదిలిపెట్టాలి.
4. రోగి యాంటిసీరమ్ ప్రతిదేహాలు గుంత ఉపరితలంపై అధిశోషింపబడిన ప్రతిజనకాలకు బంధించబడతాయి.
5. తరువాత ELISA గుంతను కడగాలి. దీనిద్వారా బంధింపబడిన ప్రతిదేహాలు తొలగించబడతాయి.
6. ఎంజైమ్ అనుసంధానిత యాంటి హ్యూమస్ సీరమ్ గ్లోబ్యూలిన్లు కలుపుతారు. ఇవి అప్పటికే ప్రతిజనకాలకు అతకబడిన ప్రాథమిక ప్రతిదేహాలకు అతుక్కొంటాయి. మరల కడగగా బంధింపబడిన ఎంజైమ్ అనుసంధానిత యాంటి హ్యూమస్ సీరమ్ గ్లోబ్యూలిన్లు తొలగించబడతాయి.
7. ఎంజైమ్ అథస్థ పదార్థాన్ని కలపగా చర్య జరిపి రంగులో మార్పును చూపిస్తుంది. దీన్ని స్పెక్ట్రోఫోటోమీటరు ద్వారా కొలవవచ్చు.

ఒకవేళ సీరమ్ సాపిల్లో యాంటి HIV ప్రతిదేహాలు లేకపోయినట్లయితే ప్రతిజనకాలకు ప్రాథమిక ప్రతిదేహాలు అతుక్కోవు. కాబట్టి ఎంజైమ్ అనుసంధానిత ద్వితీయ ప్రతిదేహాలు కూడా ప్రాథమిక ప్రతిదేహాలకు అతుక్కోవు. అక్కడ ఏవిధమైన ఎన్లైమాటిక్ చర్య ఉండదు. రంగులో మార్పు ఉండదు కాబట్టి, పరీక్ష ఫలితాన్ని నెగిటివ్ గా పరిగణిస్తారు.

ELISA సాధారణంగా HIV లాంటి రోగ నిర్ధారణకు ఉపయోగించే ప్రాథమిక పరీక్ష.

ప్రశ్న 20.
EEG మీద లఘు వ్యాఖ్య వ్రాయండి.
జవాబు:
ఎలక్ట్రో ఎన్సెఫలో గ్రఫీ (EEG): తల చర్మం మీద కొన్ని ఎలక్ట్రోడ్లను ఉంచి EEG యంత్రం సహాయంతో మెదడు విద్యుత్ క్రియాశీలతను నమోదు చేసే పద్ధతిని ఎలక్ట్రో ఎన్సెఫలోగ్రఫీ అంటారు.

EEG తరంగాలు: EEG నమోదు చేసిన తరంగాలు వీటిని కలిగి ఉంటాయి.
i) సాధారణ ఆరోగ్యకరంగా ఉన్న మానవులలో ఏకరీతి (Synchronized) తరంగాలు సహజంగా ఉంటాయి.

ii) కొన్ని న్యూరోలాజికల్ పరిస్థితులలో తరంగాలు అసమరీతి (desynchronized) చెందుతాయి. (క్రమ పద్ధతి లేని తరంగ తీరు). ఈ తరంగ తీరుని (α) ఆల్ఫా, (β) బీటా, (θ) థీటా, (δ) డెల్టా తరంగ రీతులుగా స్థూలంగా వర్గీకరించవచ్చు. మస్తిష్క వల్కలంలోని వివిధ భాగాలలో జరిగే క్రియాశీలత తీవ్రతను బట్టి తరంగాల స్వభావం ఉంటుంది.
ఆల్ఫా (α) తరంగాలు: ఇవి లయబద్ధంగా ఉంటే సెకనుకు 8-13 వలయాలను కలిగి ఉంటాయి. ఈ రకమైన తరంగాల తీరు మత్తుగా / నిద్రావస్థలో కళ్ళు మూసుకొని ఉన్న వ్యక్తులలో కనిపిస్తుంది.

బీటా (β) తరంగాలు: ఈ తరంగాలు ఎక్కువ పౌనఃపున్యంతో సెకనుకు 13-40 వలయాలను కలిగి ఉంటాయి. వాటి కంపన పరిమితి తక్కువ. ఇవి మానసికంగా బాగా క్రియాశీలంగాను, ఒత్తిడితో ఉన్న మనుష్యులలో ఈ ‘అసమరీతి చెందిన తరంగాలు’ నమోదు అవుతాయి.

డెల్టా (δ) తరంగాలు: వీటి పౌనఃపున్యం చాలా తక్కువ (సెకనుకు 3 వలయాల కంటే తక్కువ) అయినప్పటికీ అవి ఎక్కువ కంపన పరిమితిని కలిగి ఉంటాయి. పూర్వ బాల్యదశలో మెలకువగా ఉన్న స్థితిలో ఇవి సాధారణం. పెద్దవాళ్ళలో ఇవి గాఢ నిద్రలో సంభవిస్తాయి. మెదడులో కణితులు, మూర్ఛ, మానసిక వ్యాకులత మొదలైనవి ఉన్నప్పుడు ఈ తరంగాలు మేల్కొని ఉన్న పెద్దవాళ్ళలో కూడా కలుగుతాయి.

ఢీటా (θ) తరంగాలు: వీటి పౌనఃపున్యం సెకనుకు 4 నుంచి 7 వలయాలు ఉంటుంది. ఈ తరంగాలు 5 సంవత్సరాల కంటే తక్కువ పిల్లల్లో సాధారణంగా ఉంటాయి. అవి పెద్దవాళ్ళలో కూడా భావ ప్రధాన ఉద్విగ్నతల్లో (ఒత్తిడి) నమోదవుతాయి.

ఉపయోగాలు:

• నాడీసంబంధ అధ్యయనాల్లో EEG ప్రధాన డయాగ్నోస్టిక్ అనువర్తనం.
• మూర్ఛని నిర్ధారణ చేయడంలో EEG ఉపయోగపడుతుంది.
• EEG కోమా, మెదడు మరణం నిర్థారణలో కూడా ఉపయోగపడుతుంది.
• నిద్రలేమిని విశ్లేషించుటలో EEG సహాయపడుతుంది.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బాహ్య ప్రజననాన్ని సవివరంగా రాయండి.
జవాబు:
బాహ్య ప్రజననం: సంబంధం లేని జంతువుల మధ్య జరిగే ప్రజననాన్ని బాహ్యప్రజననం అంటారు. ఇది భిన్న ప్రజననాల మధ్య సంపర్కం. బాహ్య ప్రజననం మూడు రకాలు. 1. బాహ్య సంపర్కం, 2. పర ప్రజననం, 3. అంగ జాతి సంకరణం.

1. బాహ్య సంపర్కం (Out crossing): ఇది ఒకే ప్రజననాల మధ్య సంపర్కం చెందించే విధానం. కాని 4-6 తరాల వరకు ఆ వంశ వృక్షంలో ఇరువైపులా ఒకే పూర్వీకులు ఉండరాదు. ఈ రకమైన సంపర్కం ద్వారా వచ్చే సంతతిని బాహ్య సంపర్కులు అంటారు. తక్కువ పెరుగుదల రేటు (బీఫ్ పశువులలో), తక్కువ సగటు పాల ఉత్పత్తి కలిగిన జంతువులలో ఇది ఉత్తమమైన ప్రజనన విధానం. కొన్నిసార్లు ఒకేఒక్క బాహ్య సంపర్కం అంతఃప్రజనన మాంధ్యం నుంచి బయటపడటానికి సహాయపడుతుంది.

2. పర ప్రజననం (Cross-breeding): ఈ విధానంలో ఒక మేలు జాతి మగజీవితో వేరొక మేలు జాతి ఆడజీవిని సంపర్కం చేస్తారు. ఈ రకమైన సంపర్కం ద్వారా పుట్టిన సంతతిని పర ప్రజనితాలు అంటారు. పర ప్రజననం రెండు వేర్వేరు ప్రజననాలలో ఉన్న ఐచ్ఛిక లక్షణాలను కలవడానికి దోహదపడుతుంది. ఈ సంతానం వాణిజ్య ఉత్పత్తికే కాకుండా అంతః ప్రజననానికి, వరణం ద్వారా ఉన్న జాతుల కంటే మేలైన స్థిర ప్రజననాలను (stable breeds) అభివృద్ధి చేయడానికి ఉపయోగపడతాయి. ఉదాహరణకు పంజాబ్లో బికనీర్ యూస్ (Bikaneer ewes), మరీనో రామ్స్ (Marino rams) ను సంపర్కం చేసి హిసార్డోల్ (Hisardale అనే కొత్త ప్రజనన గొర్రెను అభివృద్ధి చేసారు.

3. అంతర జాతి సంకరణం (Interspecific hybridisation): ఈ పద్ధతిలో వేరువేరు దగ్గరి ప్రజాతులకు చెందిన మగ, ఆడజీవుల మధ్య సంపర్కం జరుగుతుంది. దీని సంతతి రెండు జనకుల ఐచ్ఛిక లక్షణాలు కలిగి ఉండి వాటి జనకులకు భిన్నంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు ఒక మగ గాడిద (jack/ass) ను ఒక ఆడ గుర్రం (mare) తో సంపర్కం జరపగా వంధ్య మ్యూల్ (mule) జన్మిస్తుంది. అలాగే మగ గుర్రాన్ని (stallion) ఆడ గాడిద (jennet) తో సంపర్కం చేయగా వంధ్య హిన్ని (Hinny) పుడుతుంది. మ్యూల్ చాలా ఆర్థిక విలువలు కలిగి ఉంది.

ప్రశ్న 2.
ECG నుంచి క్లినికల్ అనుమతులను సవివరంగా వివరించండి.
జవాబు:
ECG అంటే ఎలక్ట్రో కార్డియోగ్రామ్ లేదా ఎలక్ట్రో కార్డియోగ్రాఫ్ అని అర్థం. ఎలక్ట్రో కార్డియోగ్రాఫ్ గుండెలో కలిగే విద్యుత్ మార్పులను నమోదు చేయడానికి సాధారణంగా వాడే హానిలేని పద్ధతి. ECG హార్థిక వలయంలో జరిగి విద్యుత్ వలయాలకు సంబంధించిన వరుస తరంగాలను చూపిస్తుంది.
ఒక సాధారణ ECG వీటిని కలిగి ఉంటుంది.

1. తరంగాలు
2. అంతరాలు
3. భాగం
4. సంక్షిప్తాలు.

i) తరంగాలు: సాధారణ ECG లో నమోదు అయ్యే తరంగాలు వరుసగా P, Q, R, S, T. ఒక సాధారణ హృదయ స్పందన వల్ల ఏర్పడే ECG లో ఒక P తరంగం, ఒక QRS సంక్లిష్టం, ఒక T తరంగం ఉంటాయి.

P తరంగం: ఇది కర్ణికా విదృవణాన్ని లేదా కర్ణికా సంకోచాన్ని సూచిస్తుంది. కర్ణిక గుండా కదిలే ప్రేరణ P తరంగం చూపిస్తుంది. P తరంగం కాలవ్యవధి 0.1 సెకను.
“QRS” సంక్లిష్టం: ఇది జఠరికా సంకోచాన్ని సూచిస్తుంది. Q తరంగం ఒక చిన్న ఋణ తరంగం, R తరంగం ఒక పెద్ద ధన తరంగం, S తరంగం ఋణ తరంగం. QRS తరంగం కాలవ్యవధి 0.08 నుంచి 0.1 సెకన్లు.

T తరంగం: ఇది జఠరికా పునఃదృవణాన్ని తెలియజేస్తుంది. దీని కాలవ్యవధి 0.2 సెకన్లు.

ii) అంతరాలు:
P – R అంతరం: P తరంగం ప్రారంభానికి, Q తరంగం ప్రారంభానికి మధ్య అంతరం. P – R అంతరం సాధారణంగా 0.12 – 0.2 సెకన్లు ఉంటుంది.
Q-T అంతరం: Q తరంగం ప్రారంభానికి, T-తరంగం అంతరానికి మధ్య ఉంటుంది. ఇది జఠరికా కండరాల విద్యుత్ క్రియాశీలతను తెలియజేస్తుంది. దీని అవధి 0.4 సెకన్లు.
R- R అంతరం: ఒక హార్థిక వలయ కాలవ్యవధిని తెలియజేస్తుంది. ఇది 0.8 సెకనులలో ముగుస్తుంది.

iii) భాగం మండాలు: S – T ఖండం S తరంగం అంతానికి T-తరంగ ప్రారంభానికి మధ్య ఉంటుంది. ఇది సమవిద్యుత్ శూన్య ఓల్టేజ్ కాలం.

ECG క్లినికల్ అనుమతులు:
1) పెరిగిన P తరంగం, పెద్దదైన/పెరిగిన కర్ణికను సూచిస్తుంది.

2) QRS సంక్లిష్టంలో కాలావధి, డోలన పరిమితి, స్వరూపంలో కలిగే వైవిధ్యాలు బండిల్ శాఖా అవరోధం అవ్యవస్థతను తెలియజేస్తుంది. (బండిల్ ఆఫీస్ శాఖలు ద్వారా జరిగే ప్రసరణ వహనంలో అవరోధాలు).

3) P-R అంతరం కాలావధి పెరిగినట్లయితే సిరాకర్ణికా కణపు (లయారంభకం) నుంచి కర్ణికా జఠరికా కణపు (A-V node) కు జరిగే ప్రసరణ వహనపు ఆలస్యాన్ని సూచిస్తుంది. బ్రాడీకార్డియాలో (హృదయస్పందన రేటు తక్కువగా ఉండటం) P-R అంతరం ఎక్కువగా టాకీకార్డియా (హృదయస్పందన రేటు వేగంగా ఉండటం) లో P-R అంతరం తక్కువగా ఉండటం జరుగుతుంది.

4) Q-T అంతరం ఎక్కువసేపు ఉన్నట్లయితే ‘మయోకార్డియల్ ఇన్ఫార్గాన్’ (గుండెపోటు)ను, హైపోథైరాయిడిజమ్ న్ను సూచిస్తుంది. Q-T అంతరం తక్కువగా ఉంటే ‘హైపర్ కాల్సీమియా’ (రక్తంలో కాల్షియం అయానులు అధికంగా ఉండటం) ను సూచిస్తుంది.

5) S-T ఖండం పెరిగినట్లయితే ‘మయోకార్డియల్ ఇన్ఫారన్ (గుండెపోటు)ను సూచిస్తుంది.

6) ఎత్తైన T – తరంగం ‘హైపర్ కాలీమియా’ (రక్తంలో అధిక పొటాషియం)ను చిన్న చదునైన లేదా తిరగబడిన T-తరంగం హైపోకాలీమియా (రక్తంలో తక్కువ పొటాషియం)ను సూచిస్తుంది.