Inter 2nd Year

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(d)

అభ్యాసం – 4(డి)

I.

ప్రశ్న 1.
x³ + 2x² – 4x + 1 = 0 సమీకరణపు మూలాలకు 3 రెట్లున్న మూలాలు గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x³ + 2x² – 4x + 1 = 0 అనుకొనుము.
∴ కావలసిన సమీకరణం f(\(\frac{x}{3}\)) = 0
\(\left(\frac{x}{3}\right)^3+2\left(\frac{x}{3}\right)^2-\frac{4 x}{3}+1=0\)
\(\frac{x^3}{27}+\frac{2}{9} x^2-\frac{4}{3} x+1=0\)
27 గుణించగా
కావలసిన సమీకరణం x³ + 6x² – 36x + 27 = 0

ప్రశ్న 2.
x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 2x² + 4x + 3 = 0 సమీకరణపు మూలాలకు 2 రెట్లున్న మూలాలు గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 2x² + 4x + 3 = 0
f(\(\frac{x}{2}\)) = 0 సమీకరణం కావలసిన లక్షణాలలో ఉంటుంది.
కావలసిన సమీకరణం f(\(\frac{x}{3}\)) = 0
⇒ \(\left(\frac{x}{2}\right)^5-2\left(\frac{x}{2}\right)^4+3\left(\frac{x}{2}\right)^3-2\left(\frac{x}{2}\right)^2+4\left(\frac{x}{2}\right)\) + 3 = 0
⇒ \(\frac{x^5}{32}-2 \cdot \frac{x^4}{16}+3 \cdot \frac{x^3}{8}-2 \cdot \frac{x^2}{4}+4 \cdot \frac{x}{2}+3=0\)
32 చే గుణించగా
కావలసిన సమీకరణం x⁵ – 4x⁴ + 12x³ – 16x² + 64x + 96 = 0

ప్రశ్న 3.
x⁴ + 5x³ + 11x + 3 = 0 సమీకరణ మూలాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగిన సంఖ్యలు మూలాలుగా గల రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁴ + 5x³ + 11x + 3 = 0
-α₁, -α₂, -α₃, -α₄ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(-x) = 0
⇒ (-x)⁴ + 5(-x)³ + 11(-x) + 3 = 0
⇒ x⁴ – 5x³ – 11x + 3 = 0

ప్రశ్న 4.
x⁷ + 3x⁵ + x³ – x² + 7x + 2 = 0 సమీకరణం మూలాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగిన సంఖ్యలు మూలాలుగా గల రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁷ + 3x⁵ + x³ – x² + 7x + 2 = 0
-α₁, -α₂, …….., -α₇ లు మూలాలుగల
సమీకరణం f(-x) = 0
⇒ (-x)⁷ + 3(-x)⁵ + (-x)³ – (-x)² + 7(-x) + 2 = 0
⇒ -x⁷ – 3x⁵ – x³ – x² – 7x + 2 = 0
⇒ x⁷ + 3x⁵ + x³ + x² + 7x – 2 = 0

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 3x³ + 7x² + 5x – 2 = 0 సమీకరణ మూలాల వ్యుత్కమాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁴ – 3x³ + 7x² + 5x – 2 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(\(\frac{1}{x}\)) = 0
⇒ \(\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^3}+\frac{7}{x^2}+\frac{5}{x}-2=0\)
x⁴ చే గుణించగా
⇒ 1 – 3x + 7x² + 5x³ – 2x⁴ = 0
⇒ 2x⁴ – 5x³ – 7x² + 3x – 1 = 0

ప్రశ్న 6.
x⁵ + 11x⁴ + x³ + 4x² – 13x + 6 = 0 సమీకరణం మూలాల వ్యుత్కమాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁵ + 11x⁴ + x³ + 4x² – 13x + 6 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(\(\frac{1}{x}\)) = 0
\(\frac{1}{x^5}+\frac{11}{x^4}+\frac{1}{x^3}+\frac{4}{x^2}-\frac{13}{x}+6=0\)
x⁵ చే గుణించగా
⇒ 1 + 11x + x² + 4x³ – 13x⁴ + 6x⁵ = 0
⇒ 6x⁵ – 13x⁴ + 4x³ + x² + 11x + 1 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
x⁴ + x³ + 2x² + x + 1 = 0 సమీకరణ మూలాల వర్గాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁴ + x³ + 2x² + x + 1 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(√x) = 0
⇒ x² + x√x + 2x + √x + 1 = 0
⇒ √x(x + 1) = -(x² + 2x + 1)
వర్గం చేయగా
⇒ x(x + 1)² = (x² + 2x + 1)²
⇒ x(x² + 2x + 1) = x⁴ + 4x² + 1 + 4x³ + 4x + 2x²
⇒ x³ + 2x² + x = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
⇒ x⁴ + 3x³ + 4x² + 3x + 1 = 0

ప్రశ్న 2.
x³ + 3x² – 7x + 6 = 0 సమీకరణ మూలాల వర్గాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x³ + 3x² – 7x + 6 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(√x) = 0
⇒ x√x + 3x – 7√x + 6 = 0
⇒ √x(x – 7) = -(3x + 6)
వర్గం చేయగా
⇒ x(x – 7)² = (3x + 6)²
⇒ x(x² – 14x + 49) = 9x² + 36 + 36x
⇒ x³ – 14x² + 49x – 9x² – 36x – 36 = 0
⇒ x³ – 23x² + 13x – 36 = 0

ప్రశ్న 3.
x³ + 3x² + 2 = 0 సమీకరణ మూలాల ఘనాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం x³ + 3x² + 2 = 0
y = x³ అయిన x = \(y^{1 / 3}\) అవుతుంది
∴ y + 3\(y^{2 / 3}\) + 2 = 0
3y\(y^{2 / 3}\) = -(y + 2)
ఘనం చేయగా
27y² = -(y + 2)³ = -(y³ + 6y² + 12y + 8)
∴ y³ + 6y² + 27y² + 12y + 8 = 0
⇒ y³ + 33y² + 12y + 8 = 0
కావలసిన సమీకరణం x³ + 33x² + 12x + 8 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
-2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 సమీకరణ మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)⁴ – 5(x + 2)³ + 7(x + 2)² – 17(x + 2) + 11 = 0

కావలసిన సమీకరణం x⁴ + 3x³ + x² – 17x – 19 = 0

ప్రశ్న 2.
-3 తో మార్పు చెందిన x⁵ – 4x⁴ + 3x² – 4x + 6 = 0 సమీకరణ మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁵ – 4x⁴ + 3x² – 4x + 6 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(x + 3) = 0
(x + 3)⁵ – 4(x + 3)³ + 3(x + 3)² – 4(x + 3) + 6 = 0

∴ కావలసిన సమీకరణం x⁵ + 11x⁴ + 42x³ + 57x² – 13x – 60 = 0

ప్రశ్న 3.
2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – x³ – 10x² + 4x + 24 = 0 సమీకరణ మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = x⁴ – x³ – 10x² + 4x + 24 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(x – 2) = 0
(x – 2)⁴ – (x – 2)³ – 10(x – 2)² + 4(x – 2) + 24 = 0

∴ కావలసిన సమీకరణం x⁴ – 9x³ + 20x² = 0

ప్రశ్న 4.
4తో మార్పు చెందిన 3x⁵ – 5x³ + 7 = 0 సమీకరణ మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహువది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం f(x) = 3x⁵ – 5x³ + 7 = 0
కావలసిన సమీకరణం f(x – 4) = 0
3(x – 4)⁵ – 5(x – 4)³ + 7 = 0

∴ కావలసిన సమీకరణం 3x⁵ – 60x⁴ + 475x³ – 1860x² + 3600x – 2745 = 0

ప్రశ్న 5.
x యొక్క రెండో అత్యధిక ఘాత గుణకం సున్నా అయ్యే విధంగా కింది సమీకరణాలను పరివర్తన చేసి రూపాంతర సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
(i) x³ – 6x² + 10x – 3 = 0
సాధన:
x యొక్క రెండో అత్యధిక ఘాత గుణకం లుప్తం అయ్యే విధంగా సమీకరణ మూలాలను \(\frac{-a_1}{n \cdot a_0}=\frac{-(-6)}{(3)(1)}\) = 2 తో మూలాల విలువలను పరివర్తనము చేయాలి.
అంటే f(x + 2) = 0 ను కనుక్కోవాలి.

∴ కావలసిన సమీకరణము x³ – 2x + 1 = 0

(ii) x⁴ + 4x³ + 2x² – 4x – 2 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం x⁴ + 4x³ + 2x² – 4x – 2 = 0
మూలాలను h = \(-\frac{a_1}{n a_0}=\frac{-4}{4}\) = -1 తో మార్పు చెందించాలి.

∴ కావలసిన సమీకరణం x⁴ – 4x² + 1 = 0

(iii) x³ – 6x² + 4x – 7 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం x³ – 6x² + 4x – 7 = 0
మూలాలను h = \(-\frac{a_1}{n a_0}=\frac{6}{3}\) = 2 తో మార్పు చెందించాలి.

∴ కావలసిన సమీకరణం x³ – 8x – 15 = 0

(iv) x³ + 6x² + 4x + 4 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం x³ + 6x² + 4x + 4 = 0
రెండవ పదాన్ని లోపింపచేయటానికి మూలాలను h = \(-\frac{a_1}{n a_0}=-\frac{6}{3}\) = -2 కు మార్పు చెందించాలి.

∴ కావలసిన సమీకరణం x³ – 8x + 12 = 0

ప్రశ్న 6.
x యొక్క మూడో అత్యధిక ఘాత గుణకం సున్నా అయ్యే విధంగా కింది సమీకరణాలను పరివర్తన చేయండి.
(i) x⁴ + 2x³ – 12x² + 2x – 1 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
f(x) = x⁴ + 2x³ – 12x² + 2x – 1 = 0
x యొక్క మూడో అత్యధిక ఘాత గుణకం సున్నా కావాలి.
అంటే, దత్త సమీకరణ, మూలాలను h కు మార్పు చెందించాలి.
ఇచ్చట h అనేది \(f^{(4-3+1)}(h)\) = 0 ⇒ \(f^{(2)} \text { (h) }\) = 0 నుండి వస్తుంది.
f'(x) = 4x³ + 6x² – 24x + 2
f”(x) = 12x² + 12x – 24
f”(h) = 0
⇒ 12h² + 12h – 24 = 0
⇒ h² + h – 2 = 0
⇒(h + 2) (h – 1) = 0
⇒ h = -2 (లేదా) 1
సందర్భము (i):

∴ కావలసిన సమీకరణం x⁴ – 6x³ + 42x – 53 = 0
సందర్భము (ii):

కావలసిన సమీకరణము x⁴ + 6x³ – 12x – 8 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణాలు x⁴ – 6x³ + 42x – 53 = 0 (లేదా) x⁴ + 6x³ – 12x – 8 = 0

(ii) x³ + 2x² + x + 1 = 0
సాధన:
f(x) = x³ + 2x² + x + 1 అనుకోండి.
x యొక్క మూడో అత్యధిక గుణకం సున్నా కావాలి అంటే, దత్త సమీకరణ మూలాలను ‘h’ తో మార్పు చెందించాలి.
ఇచ్చట h అనేది f'(h) = 0 నుండి వస్తుంది.
f'(x) = 3x² + 4x + 1
f'(h) = 0
⇒ 3h² + 4h + 1 = 0
⇒ (3h + 1) (h + 1) = 0
⇒ h = -1, \(-\frac{1}{3}\)
సందర్భము (i):

∴ కావలసిన సమీకరణం x³ – x² + 1 = 0
సందర్భము (ii):

∴ కావలసిన సమీకరణం x³ + x² + \(\frac{23}{27}\) = 0
⇒ 27x³ + 27x² + 23 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణాలు x³ – x² + 1 = 0 (లేదా) 27x³ + 27x² + 23 = 0

ప్రశ్న 7.
కింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం ఒకటో కోవకు చెందిన సరిఘాత వ్యుత్కమ సమీకరణం
x² చే భాగించగా x² – 10x + 26 – \(\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2}\) = 0
\([latex]\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2}\)[/latex] …….(1)
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
\(x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2-2\) = a² – 2
(1) లో వ్రాయగా a² – 2 – 10a + 26 = 0
⇒ a² – 10a + 24 = 0
⇒ (a – 4) (a – 6) = 0
⇒ a = 4 (లేదా) 6
సందర్భము (i): a = 4
x + \(\frac{1}{x}\) = 4
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x² – 4x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\)
⇒ x = 2 ± √3
సందర్భము (ii): a = 6 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 6
⇒ x² + 1 = 6x
⇒ x² – 6x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2}=\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}\)
⇒ x = 3 ± 2√2
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 3 ± 2√2, 2 ± √3

(ii) 2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0 [A.P. Mar ’16, Mar. ’08, ’07]
సాధన:
f(x) = 2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0
ఒకటవ కోవకు చెందిన బేసి తరగతి వ్యుత్కమ సమీకరణం
∴ -1 మూలం

f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా
2x⁴ – x³ – 11x² – x + 2 = 0
x² చే భాగించగా
2x² – x – 11 – \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\) = 0
\(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-11=0\) ………(1)
a = x + \(\frac{1}{x}\) అయిన x² + \(\frac{1}{x^2}\) = a² – 2
(1) లో వ్రాయగా
2(a² – 2) – a – 11 = 0
⇒ 2a² – 4 – a – 11 = 0
⇒ 2a² – a – 15 = 0
⇒ (a – 3) (2a + 5) = 0
⇒ a = 3 లేదా \(\frac{-5}{2}\)
సందర్భము (i): a = 3 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ x² – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
సందర్భము (ii): a = \(\frac{-5}{2}\) అయిన
\(x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}=-\frac{5}{2}\)
⇒ 2x² + 2 = -5x
⇒ 2x² + 5x + 2 = 0
⇒ (2x + 1) (x + 2) = 0
⇒ x = \(\frac{-1}{2}\), -2
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -1, \(\frac{-1}{2}\), -2, \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(c)

అభ్యాసం – 4(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది మూలాలు గల బహుపది సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 2 + 3i, 2 – 3i, 1 + i, 1 – i
సాధన:
కావలసిన సమీకరణం [x – (2 + 3i)] [x – (2 – 3i)] [x – (1 + i)] [x – (1 – i)] = 0
⇒ [(x – 2) – 3i)] [(x – 2) + 3i] [(x – 1) – i] [(x – 1) + i] = 0
⇒ [(x – 2)² – 9i²] [(x – 1)² – i²] = 0
⇒ (x² – 4x + 4 + 9) (x² – 2x + 1 + 1) = 0
⇒ (x² – 4x + 13) (x² – 2x + 2) = 0
⇒ x⁴ – 4x³ + 13x² – 2x³ + 8x² – 26x + 2x² – 8x + 26 = 0
⇒ x⁴ – 6x³ + 23x² – 34x + 26 = 0

(ii) 3, 2, 1 + i, 1 – i
సాధన:
కావలసిన సమీకరణం (x – 3) (x – 2) [x – (1 + i)] [x – (1 – i)] = 0
⇒ (x² – 5x + 6) [(x – 1) – i] [(x – 1) + i) = 0
⇒ (x² – 5x + 6) [(x – 1)² – i²] = 0
⇒ (x² – 5x + 6) (x² – 2x + 1 + 1) = 0
⇒ (x² – 5x + 6) (x² – 2x + 2) = 0
⇒ x⁴ – 5x³ + 6x² – 2x³ + 10x² – 12x + 2x² – 10x + 12 = 0
⇒ x⁴ – 7x³ + 18x² – 22x + 12 = 0

(iii) 1 + i, 1 – i, -1 + i, -1 – i
సాధన:
కావలసిన సమీకరణం [x – (1 + i)] [x – (1 – i)] [x – (-1 + i)] [x – (-1 – i)] = 0
⇒ [(x – 1) – i] [(x – 1) + i] [(x + 1) – i] [(x + 1) + i) = 0
⇒ [(x – 1)² – i²] [(x + 1)² – i²] = 0
⇒ (x² – 2x + 1 + 1) (x² + 2x + 1 + 1) = 0
⇒ (x² – 2x + 2) (x² + 2x + 2) = 0
⇒ x⁴ – 2x³ + 2x² + 2x³ – 4x² + 4x + 2x² – 4x + 4 = 0
⇒ x⁴ + 4 = 0

(iv) 1 + i, 1 – i, 1 + i, 1 – i
సాధన:
కావలసిన సమీకరణం [x – (1 + i)] [x – (1 – i)]
⇒ [x – (1 + i)] [x – (1 – i)] = 0
⇒ [(x – 1) – i]² [(x – 1) + i]² = 0
⇒ [(x – 1)² – i²] = 0
⇒ (x² – 2x + 1 + 1)² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 4x³ + 4x² – 8x = 0
⇒ x⁴ – 4x³ + 8x² – 8x + 4 = 0

ప్రశ్న 2.
కింది మూలాలు గల అకరణీయ గుణకాలు గల బహుపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
(i) 4√3, 5 + 2i
సాధన:
బహుపది సమీకరణ గుణకాలు అకరణీయ సంఖ్యలైన, దాని మూలాలు సంయుగ్మ కరణులు మరియు సంయుగ్మసంకీర్ణ సంఖ్యలు.
α = 4√3 అయిన β = -4√3 మరియు γ = 5 + 2i అయిన δ = 5 – 2i
α, β, γ, δ లు మూలాలు
α + β = 0, αβ = -48
γ + δ = 10, γδ = 25 + 4 = 29
కావలసిన సమీకరణం [x² – (α + β)x + αβ] [x² – (γ + δ)x + γδ] = 0
⇒ (x² – 48) (x² – 10x + 29) = 0
⇒ x⁴ – 10x³ + 29x² – 48x² + 480x – 1932 = 0
⇒ x⁴ – 10x³ – 19x² + 480x – 1932 = 0

(ii) 1 + 5i, 5 – i
సాధన:
బహుపది సమీకరణ గుణకాలు అకరణీయ సంఖ్యలైన, దాని మూలాలు సంయుగ్మ కరణులు మరియు సంయుగ్మసంకీర్ణ సంఖ్యలు.
α = 1 + 5i అయిన β = 1 – 5i
మరియు γ = 5 + i అయిన δ = 5 – i లు మూలాలు.
α + β = 2, αβ = 26
γ + δ = 10, γδ = 26
కావలసిన సమీకరణం [x² – (α + β)x + αβ] [x² – (γ + δ)x + γδ] = 0
⇒ (x² – 2x + 26) (x² – 10x + 26) = 0
⇒ x⁴ – 12x³ + 72x² – 312x + 676 = 0

(iii) i – √5
సాధన:
బహుపది సమీకరణ గుణకాలు అకరణీయ సంఖ్యలైన, దాని మూలాలు సంయుగ్మ కరణులు మరియు సంయుగ్మసంకీర్ణ సంఖ్యలు.
α = i – √5, β = i + √5, γ = -i – √5, δ = -i + √5 లు మూలాలు
α + β = 2i, αβ = -6
γ + δ = -2i, γδ = -6
కావలసిన సమీకరణం [x² – (α + β)x + αβ] [x² – (γ + δ)x + γδ] = 0
⇒ (x² – 2ix – 6) (x² + 2ix – 6) = 0
⇒ [(x² – 6) – 2ix] [(x² – 6) + 2ix] = 0
⇒ (x² – 6)² + 4x² = 0
⇒ x⁴ + 36 – 12x² + 4×2 = 0
⇒ x⁴ – 8x² + 36 = 0

(iv) -√3 + i√2
సాధన:
α = -√3 + i√2, β = -√3 – i√2, γ = √3 – i√2, δ = √3 + i√2 లు మూలాలు
α + β = -2√3
αβ = (-√3)² – (i√2)²
= 3 – i² (2)
= 5
γ + δ = 2√3, γδ = 5
కావలసిన సమీకరణము [x² – (α + β)x + αβ] [x² – (γ + δ)x + γδ] = 0
⇒ (x² + 2√3x + 5) (x² – 2√3x + 5) = 0
⇒ (x² + 5)² – (2√3x)² = 0
⇒ x⁴ + 25 + 10x² – 12x² = 0
⇒ x⁴ – 2x² + 25 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
x⁴ + 2x³ – 5x² + 6x + 2 = సమీకరణపు ఒక మూలం 1 + i అయిన, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
1 + i ఒక మూలం ⇒ 1 – i ఇంకొక మూలం అవుతుంది.
1 ± i మూలాలుగా గల సమీకరణం
x² – 2x + 2 = 0
∴ x² – 2x + 2 ఒక కారణాంకము
x⁴ + 2x³ – 5x² + 6x + 2 = 0

x = -2 ± √3
∴ మూలాలు 1 ± i, -2 ± √3

ప్రశ్న 2.
3x³ – 4x² + x + 88 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం 2 – √-7 అయిన, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
2 – √-7 ⇒ 2 – √7i ఒక మూలం
⇒2 + √7i ఇంకొక మూలం
2 ± √7i మూలాలుగా గల సమీకరణం x² – 4x + 11 = 0
∴ x² – 4x + 11 దత్త సమీకరణానికి ఒక కారణాంకము

3x + 8 = 0
⇒ x = \(\frac{-8}{3}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 2 ± √7i, \(\frac{-8}{3}\)

ప్రశ్న 3.
x⁴ – 4x² + 8x + 35 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం 2 + i√3 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
2 + i√3 ఒక మూలం ⇒ 2 – i√3 ఇంకొక మూలం
2 ± i√3 మూలాలుగాగల సమీకరణం x² – 4x + 7 = 0
∴ x² – 4x + 7 దత్త సమీకరణానికి ఒక మూలం
x⁴ – 4x² + 8x + 35

∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 2 ± i√3, -2 ± i

ప్రశ్న 4.
x⁴ – 6x³ + 11x² – 10x + 2 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం 2 + √3 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
2 + √3 ఒక మూలం ⇒ 2 – √3 ఇంకొక మూలం.
2 ± √3 మూలాలుగాగల సమీకరణం x² – 4x + 1 = 0
∴ x² – 4x + 1 ఒక కారణాంకము
x⁴ – 6x³ + 11x² – 10x + 2 = 0

∴ దత్త సమీకరణానికి 2 ± √3, 1 ± i

ప్రశ్న 5.
x⁴ + 2x² – 16x + 77 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం -2 + √-7 అయితే, సమీకరణాన్ని పూర్తిగా సాధించండి.
సాధన:
-2 – √-7 (i.e.) -2 + i√7 ఒక మూలం.
⇒ -2 – i√7 ఇంకొక మూలం -2 + i√7
-2 ± i√7 మూలాలుగా గల సమీకరణం x² + 4x + 11 = 0
∴ x² + 4x + 11 ఒక కారణాంకము
x⁴ + 2x² – 16x + 77 = 0

∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -2 ± i√7, 2 ± √3i

ప్రశ్న 6.
x⁴ + 2x³ – 16x² – 22x + 7 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం 2 – √3 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
2 – √3 ఒక మూలం ⇒ 2 + √3 ఇంకొక మూలం
2 ± √3 లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం
x² – (2 + √3 + 2 – √3)x + (2 + √3) (2 – √3) = 0
⇒ x² – 4x + 1 = 0

∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 2 ± √3, -3 ± √2

ప్రశ్న 7.
3x⁵ – 4x⁴ – 42x³ + 56x² + 27x – 36 = 0 సమీకరణానికి ఒక మూలం √2 + √5 అయితే, సమీక రణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
√2 + √5 ఒక మూలం
⇒ √2 – √5, -√2 + √5, -√2 – √5 లు కూడా దత్తసమీకరణానికి మూలాలు.
√2 ± √5 మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం
x² – (√2 + √5 + √2 – √5)x + (√2 + √5) (√2 – √5) = 0
⇒ x² – 2√2x – 3 = 0
-√2 ± √5 లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం
x² – (-√2 + √5 – √2 – √5)x + (-√2 + √5)(-√2 – √5) = 0
⇒ x² + 2√2x – 3 = 0
±√2±√5 లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
(x² + 2√2x – 3) (x² – 2√2x – 3) = 0
⇒ (x² – 3)² – (2√2x)² = 0
⇒ x⁴ – 6x² + 9 – 8×2 = 0
⇒ x⁴ – 14x² + 9 = 0
3x⁵ – 4x⁴ – 42x³ + 56x² + 27x – 36 = 0
⇒ 3x(x⁴ – 14x² + 9) – 4(x⁴ – 14x² + 9) = 0
⇒ (x⁴ – 14x² + 9) (3x – 4) = 0
⇒ x = ±√2 ± √5 లేదా \(\frac{4}{3}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు ±√2 ± √5, \(\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న 8.
x⁴ – 9x³ + 27x² – 29x + 6 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం 2 – √3 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
2 – √3 ఒక మూలం ⇒ 2 + √3 ఇంకొక మూలం.
2 ± √3 లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x² – 4x + 1 = 0
∴ x² – 4x + 1 ఒక కారణాంకము

x² – 5x + 6 = 0
⇒ (x – 2) (x – 3) = 0
⇒ x = 2, 3
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 2 ± √3, 2, 3

ప్రశ్న 9.
a, b, c…. k, m, a’, b’, c’….k’ లు అన్నీ వాస్తవ సంఖ్యలైనపుడు \(\frac{a^2}{x-a^{\prime}}+\frac{b^2}{x-b^{\prime}}+\frac{c^2}{x-c^{\prime}}\) +…..+ \(\frac{k^2}{x-k^{\prime}}\) = m సమీకరణం వాస్తవేతర మూలాన్ని కలిగి ఉండదని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణానికి α + iβ ఒక మూలం అనుకోండి.
β ≠ 0 అనుకుందాం.
అపుడు α – iβ కూడా దత్త సమీకరణానికి మూలం అవుతుంది.
దత్త సమీకరణంలో α + iβ వ్రాయగా

= 0
⇒ β = 0
ఇది అనుకొన్నదానికి విరుద్ధం.
∴ దత్త సమీకరణానికి వాస్తవేతర మూలాలు ఉండవు.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
x³ – 3x² – 16x + 48 = 0 సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం సున్నా అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x³ – 3x² – 16x + 48 = 0 కు మూలాలు α, β, γ లు
α + β + γ = 3
α + β = 0 (∵ రెండు మూలాల మొత్తం సున్న)
∴ γ = 3
i.e., x – 3 అనేది
x³ – 3x² – 16x + 48 కు కారణాంకం

x² – 16 = 0
⇒ x² = 16
⇒ x = ±4
∴ మూలాలు -4, 4, 3

ప్రశ్న 2.
x³ – px² + qx – r = 0 సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాల మొత్తం సున్న కావటానికి నియమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
మూలాలు α, β, γ లు అనుకుందాం
అప్పుడు α + β + γ = p …….(1)
αβ + βγ + γα = q ……(2)
αβγ = r …….(3)
రెండు మూలాల మొత్తం సున్న కనుక α + β = 0 అనుకోండి.
(1) నుండి γ = p
‘γ’ దత్త సమీకరణానికి మూలం కనుక
γ³ – pγ² + qγ – r = 0
⇒ p³ – p(p²) + q(p) – r = 0
⇒ r = pq
∴ కావలసిన నియమం r = pq

ప్రశ్న 3.
x³ + 3px² + 3qx + r = 0 సమీకరణపు మూలాలు
(i) అంకశ్రేఢిలో వుంటే 2p³ – 3pq + r = 0
(ii) గుణశ్రేఢిలో వుంటే p³r = q³
(iii) హరాత్మక శ్రేఢిలో వుంటే 2q³ = r(3pq – r) అని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం x³ + 3px² + 3qx + r = 0
(i) మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి
a – d, a, a + d అనుకుందాం. అప్పుడు
(a – d) + a + (a + d) = -3p
⇒ 3a = -3p
⇒ a = -p
‘a’ దత్త సమీకరణానికి మూలం, కనుక
a³ + 3pa² + 3qa + r = 0
⇒ (-p)³ + 3p(-p)² + 3q(-p) + r = 0
⇒ -p³ + 3p³ – 3pq + r = 0
⇒ 2p³ – 3pq + r = 0
∴ కావలసిన నియమం 2p³ – 3pq + r = 0

(ii) మూలాలు గుణశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి \(\frac{a}{R}\), a, aR అనుకుందాం.
అపుడు మూలాల లబ్ధం = (\(\frac{a}{R}\)) (a) (aR) = -r
⇒ a³ = -r
⇒ a = \((-r)^{1 / 3}\)
‘a’ దత్త సమీకరణానికి మూలం కనుక
a³ + 3pa² + 3qa + r = 0

∴ కావలసిన నియమం p³r = q³

(iii) దత్త సమీకరణం x³ + 3px² + 3qx + r = 0 …….(1)
x = \(\frac{1}{y}\) వ్రాయగా
\(\left(\frac{1}{y}\right)^3+3 p\left(\frac{1}{y}\right)^2+3 q\left(\frac{1}{y}\right)+r=0\)
⇒ 1 + 3py + 3qy² + ry³ = 0
⇒ ry³ + 3qy² + 3py + 1 = 0 ………(2)
(1) యొక్క మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో వుంటే, (2) యొక్క మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వుంటాయి.
కనుక అవి a – d, a, a + d అనుకుందాం.
(a – d) + a + (a + d) = \(\frac{-3q}{r}\)
⇒ 3a = \(\frac{-3q}{r}\)
⇒ a = \(\frac{-q}{r}\)
‘a’ అనేది (2) కు ఒక మూలం కనుక
ra³ + 3qa² + 3pa + 1 = 0
⇒ \(r\left(\frac{-q}{r}\right)^3+3 q\left(\frac{-q}{r}\right)^2+3 p\left(\frac{-q}{r}\right)+1=0\)
⇒ \(\frac{-q^3}{r^2}+\frac{3 q^3}{r^2}+\frac{3 p q}{r}+1=0\)
⇒ -q³ + 3q³ – 3pqr + r² = 0
⇒ r² – 3pqr + 2q³ = 0
⇒ 2q³ = r(3pq – r)
∴ కావలసిన నియమం 2q³ = r(3pq – r)

ప్రశ్న 4.
x³ – px² + qx – r = 0 సమీకరణ మూలాలు గుణ శ్రేఢిలో ఉండటానికి నియమాన్ని రాబట్టుము.
సాధన:
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో వున్నవి. కనుక అవి \(\frac{a}{R}\), a, aR అనుకోండి.
అపుడు మూలాల లబ్దం = (\(\frac{a}{R}\)) (a) (aR) = r
⇒ a³ = r
⇒ a = \(r^{1 / 3}\)
‘a’ దత్త సమీకరణానికి ఒక మూలం కనుక
a³ – pa² + qa – r = 0

∴ కావలసిన నియమం p³r = q³

II.

ప్రశ్న 1.
9x³ – 15x² + 7x – 1 = 0 సమీకరణపు రెండు మూలాలు సమానమైతే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
2x³ + 3x² – 8x + 3 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం, మరోదానికి రెట్టింపు అయిన, ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
α, β, γ లు 2x³ + 3x² – 8x + 3 = 0 మూలాలు అనుకుందాం.

ప్రశ్న 3.
x³ – 9x² + 14x + 24 = 0 సమీకరణపు రెండు మూలాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉంటే, ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
మూలాలు α, β, γ లు అనుకుందాం.
α + β + γ = 9 …….(1)
αβ + βγ + γα = 14 ……..(2)
αβγ = -24 ………(3)
α : β = 3 : 2 అనుకుందాం.
2α = 3β
⇒ β = \(\frac{2}{3}\)α
(1) నుండి α + \(\frac{2}{3}\)α + γ = 9
γ = 9 – \(\frac{5 \alpha}{3}\) …….(4)
(2) నుండి (α) (\(\frac{2}{3}\)α) + γ(α + β) = 14
⇒ \(\frac{2}{3} \alpha^2+\left(9-\frac{5 \alpha}{3}\right)\left(\alpha+\frac{2}{3} \alpha\right)=14\)
⇒ \(\frac{2}{3} \alpha^2+\left(9-\frac{5}{3} \alpha\right)\left(\frac{5}{3} \alpha\right)=14\)
⇒ 6α² + (27 – 5α) (5α) = 126
⇒ 6α² + 135α – 25α² – 126 = 0
⇒ 19α² – 135α + 126 = 0
⇒ 19α² – 114α – 21α + 126 = 0
⇒ 19α(α – 6) – 21(α – 6) = 0
⇒ (α – 6) (19α – 21) = 0
⇒ α = 6 (లేదా) α = \(\frac{21}{19}\)
సందర్భము (i): α = 6
β = \(\frac{2}{3}\)α
= \(\frac{2}{3}\) × 6 = 4
γ = 9 – \(\frac{5 \alpha}{3}\)
γ = 9 – \(\frac{2}{3}\) × 6
= 9 – 10
= -1
α = 6, β = 4, γ = -1
αβγ = -24

కానీ αβγ ≠ -24
∴ మూలాలు = 6, 4, -1

ప్రశ్న 4.
మూలాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) 8x³ – 36x² – 18x + 81 = 0
సాధన:
మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి a – d, a, a + d అనుకొనుము.

(ii) x³ – 3x² – 6x + 8 = 0
సాధన:
మూలాలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నవి కనుక మూలాలు a – d, a, a + d అనుకుందాం.
(a – d) + a + (a + d) = -(-3)= 3
⇒ 3a = 3
⇒ a = 1
(a – d) (a) (a + d) = -8
⇒ a(a² – d²) = -8
⇒ 1(1 – d²) = -8
⇒ d² = 1 + 8 = 9
⇒ d = 3
మూలాలు a – d, a, a + d
= 1 – 3, 1, 1 + 3
= -2, 1, 4

ప్రశ్న 5.
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉన్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) 3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0
సాధన:
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉన్నవి కనుక అవి \(\frac{a}{r}\), a, ar అనుకుందాం.

(ii) 54x³ – 39x² – 26x + 16 = 0
సాధన:
మూలాలు గుణశ్రేఢిలో వున్నవి కనుక అవి \(\frac{a}{r}\), a, ar అనుకుందాం.

ప్రశ్న 6.
మూలాలు హరాత్మకశ్రేఢిలో ఉన్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) 6x³ – 11x² + 6x – 1 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం 6x³ – 11x² + 6x – 1 = 0 ………(1)
y = \(\frac{1}{x}\) వ్రాయగా
\(6\left(\frac{1}{y}\right)^3-11\left(\frac{1}{y}\right)^2+6\left(\frac{1}{y}\right)-1=0\)
⇒ 6 – 11y + 6y² – y³ = 0
⇒ y³ – 6y² + 11y – 6 = 0 ……(2)
(1) యొక్క మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో వుంటే, (2) యొక్క మూలాలు అంకశ్రేఢిలో వుంటాయి.
(2) యొక్క మూలాలు a – d, a, a + d అనుకుంటే,
(a – d) + a + (a + d) = \(-\frac{(-6)}{1}\) = 6
⇒ 3a = 6
⇒ a = 2
మరియు (a – d) (a) (a + d) = \(-\frac{(-6)}{1}\) = 6
⇒ a(a² – d²) = 6
⇒ 2(2² – d²) = 6
⇒ 4 – d² = 3
⇒ d² = 1
⇒ d = 1
(2) మూలాలు a – d, a, a + d
= 2 – 1, 2, 2 + 1
= 1, 2, 3
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు = 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\)

(ii) 15x³ – 23x² + 9x – 1 = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం 15x³ – 23x² + 9x – 1 = 0 …….(1)
x = \(\frac{1}{y}\) వ్రాయగా
\(15\left(\frac{1}{y}\right)^3-23\left(\frac{1}{y}\right)^2+9\left(\frac{1}{y}\right)-1=0\)
⇒ 15 – 23y + 9y² – y³ = 0
⇒ y³ – 9y² + 23y – 15 = 0 ………(2)
(1) యొక్క మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో (H.P.) వుంటే, (2) యొక్క మూలాలు అంకశ్రేఢీలో ఉంటాయి.
కనుక ఆ మూలాలు a – d, a, a + d అనుకుందాం.
అప్పుడు (a – d) + (a) + (a + d) = -(-9) = 9
⇒ 3a = 9
⇒ a = 3
మరియు (a – d) (a) (a + d) = -(-15)
⇒ a(a² – d²) = 15
⇒ 3(3² – d²) = 15
⇒ 9 – d² = 5
⇒ d² = 4
⇒ d = 2
∴ (2) యొక్క మూలాలు a – d, a, a + d
= 3 – 2, 3, 3 + 2
= 1, 3, 5
∴ దత్త సమీకరణానికి = 1, \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 7.
పునరావృత మూలాలున్న క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.
(i) x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36 = 0
సాధన:
f(x) = x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36
f'(x) = 4x³ – 18x² + 26x – 24
ఇప్పుడు f'(3) = 4(3)³ – 18(3)² + 26(3) – 24
= 108 – 162 + 78 – 24
= 0
ఇట్లే f(3) = (3)⁴ – 6(3)³ + 13(3)² – 24(3) + 36
= 81 – 162 + 117 – 72 + 36
= 0
కనుక x – 3; f(x), f'(x) లకు కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు 3 ఆవృత మూలం

కనుక x² + 4 = 0
⇒ x² = -4
⇒ x = ±2i
∴ దత్త సమీకరణానికి 3, 3, 2i, -2i

(ii) 3x⁴ + 16x³ + 24x² – 16 = 0
సాధన:
f(x) = 3x⁴ + 16x³ + 24x² – 16
f'(x) = 12x³ + 48x² + 48x
= 12x(x² + 4x + 4)
= 12x(x + 2)²
f'(-2) = 0
f(-2) = 3(-2)⁴ + 16(-2)³ + 24(-2)² – 16
= 48 – 128 + 96 – 16
= 0
కనుక f(x), f'(x) లకు (x + 2) కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు -2 ఆవృత మూలం

3x² + 4x – 4 = 0
⇒ 3x² + 6x – 2x – 4 = 0
⇒ 3x(x + 2) – 2(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (3x – 2) = 0
⇒ x = -2, x = \(\frac{2}{3}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి -2, -2, -2, \(\frac{2}{3}\)

III.

ప్రశ్న 1.
x⁴+ x³ – 16x² – 4x + 48 = 0 సమీకరణపు రెండు మూలాల లబ్ధం 6 అయితే ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
మూలాలు α, β, γ, δ లు అనుకుందాం.
α + β + γ + δ = -1 …….(1)
αβ + αδ + αγ + βγ + βδ + γδ = -16 …….(2)
αβγ + αβδ + βγδ + αγδ = -(-4) = 4 ……….(3)
αβγδ = 48 …….(4)
∵ రెండు మూలాల లబ్దం = 6 కనుక
αβ = 6 అనుకుందాం.
(4) నుండి 6γδ = 48 ⇒ γδ = 8
(3) నుండి 6γ + 6δ + 8β + 8α = 4
⇒ 6(γ + δ) + 8(α + β) = 4
6(γ + δ) + 6(α + β) = -6 – (1) × 6
2(α + β) = 10
α + β = 5
(1) నుండి γ + δ = -1 – 5 = -6
α + β = 5, αβ = 6
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= (5)² – 4(6)
= 1
α – β = 1
α + β = 5
2α = 6
⇒ α = 3, β = 2
ఇదే విధంగా γ + δ = -6, γδ = 8
(γ – δ)² = (γ + δ)² – 4γδ
= (-6)² – 4(8)
= 36 – 32
= 4
γ – δ = 2
γ + δ = -6
2γ = -4
⇒ γ = -2, δ = -4
∴ దత్త సమీకరణానికి = 3, 2, -2, -4

ప్రశ్న 2.
8x⁴ – 2x³ – 27x² + 6x + 9 = 0 సమీకరణ రెండు మూలాలు ఒకే పరమమూల్యాన్నీ, వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి వుంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 సమీకరణపు ఒక మూలం తక్కిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగమైతే, సమీకరణాన్ని సాధించండి. [May ’11, Mar. ’05]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
ax⁴ + 4bx³ + 6cx² + 4dx + c = 0 సమీకరణపు మూలాల్లో రెండు జతలు సమానంగా ఉండటానికి నియమాలను రాబట్టండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం ax⁴ + 4bx³ + 6cx² + 4dx + e = 0
⇒ \(x^4+4 \frac{b}{a} x^3+6 \frac{c}{a} x^2+4 \frac{d}{a} x+\frac{e}{a}=0\)
మూలాలు α, α, β, β లు అనుకుందాం
అపుడు మూలాల మొత్తం 2(α + β) = -4\(\frac{b}{a}\)
⇒ α + β = -2\(\frac{b}{a}\)
αβ = k అనుకుంటే α, β లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0

⇒ ad² = eb² ఇది మరొక నియమము
∴ కావలసిన నియమాలు 3abc = 2b³ + a²d, ad² = eb²

ప్రశ్న 5.
(i) x⁵ – 5x³ + 5x² – 1 = 0 సమీకరణానికి 3 సమాన మూలాలు ఉంటాయని చూపండి. ఆ మూలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁵ – 5x³ + 5x² – 1
f'(x) = 5x⁴ – 15x² + 10x = 5x(x³ – 3x + 2)
f'(1) = 5(1) (1 – 3 + 2) = 0
f(1) = 1 – 5 + 5 – 1 = 0
కనుక f(x), f'(x) లకు (x – 1) కారణాంకం
⇒ f(x) = 0 కు 1 ఆవృత మూలం

∴ x³ + 2x² – 2x – 1 = 0
x = 1 పై సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది.
కనుక f(x) = 0 కు 1 అనేది 3 సార్లు ఆవృత మూలము అవుతుంది.

(ii) x⁵ – 3x⁴ – 5x³ + 27x² – 32x + 12 = 0 సమీకరణం యొక్క పునరావృత మూలాలను కనుక్కోండి
సాధన:
f(x) = x⁵ – 3x⁴ – 5x³ + 27x² – 32x + 12 అనుకోండి.
f'(x) = 5x⁴ – 12x³ – 15x² + 54x – 32
f'(2) = 5(2)⁴ – 12(2)³ – 15(2)² + 54(2) – 32
= 80 – 96 – 60 + 108 – 32
= 188 – 188
= 0
f(2) = 25 – 3(2⁴) – 5(2³) + 27(2²) – 32(2) + 12
= 32 – 48 – 40 + 108 – 64 + 12
= 152 – 152
= 0
కనుక f(x), f'(x) లకు x – 2 కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు 2 ఆవృత మూలం

g(x) = x³ + x² – 5x + 3 అనుకుందాం
g'(x) = 3x² + 2x – 5
g'(1) = 3(1)² + 2 – 5 = 0
g(1) = 1 + 1 – 5 + 3 = 0
కనుక g(x), g'(x) లకు x – 1 కారణాంకం
∴ g(x) = 0 కు 1 ఆవృత మూలం

x + 3 = 0 ⇒ x = -3
∴ మూలాలు = 1, 1, 2, 2, -3

ప్రశ్న 6.
8x³ – 20x² + 6x + 9 = 0 సమీకరణం యొక్క పునరావృత మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 8x³ – 20x² + 6x + 9 అనుకోండి
f'(x) = 24x² – 40x + 6
= 2(12x² – 20x + 3)
= 2[12x² – 18x – 2x + 3]
= 2[6x(2x – 3) – 1(2x – 3)]
= 2(2x – 3) (6x – 1)
f'(x) = 0
⇒ x = \(\frac{3}{2}\), x = \(\frac{1}{6}\)
\(f\left(\frac{3}{2}\right)=8\left(\frac{3}{2}\right)^3-20\left(\frac{3}{2}\right)^2+6\left(\frac{3}{2}\right)+9\)
= 27 – 45 + 9 + 9
= 0
కనుక x – \(\frac{3}{2}\), f(x), f'(x) లకు కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు \(\frac{3}{2}\) పునరావృత మూలం

8x + 4 = 0 ⇒ x = \(-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
∴ f(x) = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{3}{2}, \frac{3}{2},-\frac{1}{2}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(a)

అభ్యాసం – 4(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన మూలాలు గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 1, -1, 3
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 1) (x + 1) (x – 3) = 0
⇒ (x² – 1) (x – 3) = 0
⇒ x³ – 3x² – x + 3 = 0

(ii) 1 ± 2i, 4, 2
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (1 + 2i)] [x – (1 – 2i)] (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ (x – 1 – 2i) (x – 1 + 2i) (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ [(x – 1)² – 4i²] (x² – 6x + 8) = 0
⇒ (x² – 2x + 1 + 4) (x² – 6x + 8) = 0
⇒ (x² – 2x + 5) (x² – 6x + 8) = 0
⇒ x⁴ – 8x³ + 25x² – 46x + 40 = 0

(iii) 2 ± √3, 1 ± 2i
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)] [x – (1 + 2i)] [x – (1 – 2i)] = 0
⇒ [(x – 2) – √3] [(x – 2) + √3] [(x – 1) – 2i] [(x – 1) + 2i] = 0
⇒ [(x – 2)² – 3] [(x – 1)² – (2i)²] = 0
⇒ (x² – 4x + 4 – 3) (x² – 2x + 1 – 4i²) = 0
⇒ (x² – 4x + 1)(x² – 2x + 5) = 0
⇒ x⁴ – 4x³ + x² – 2x³+ 8x² – 2x + 5x² – 20x + 5 = 0
⇒ x⁴ – 6x³ + 14x² – 22x + 5 = 0

(iv) 0, 0, 2, 2, -2, -2
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 0) (x – 2) (x – 2) (x + 2) (x + 2) = 0
⇒ x² (x – 2)² (x + 2)² = 0
⇒ x² (x² – 4)² = 0
⇒ x² (x⁴ + 16 – 8x²) = 0
⇒ x⁶ – 8x⁴ + 16x² = 0

(v) 1 ± √3, 2, 5
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (1 + √3)] [x – (1 – √3)] [(x – 2) (x – 5)] = 0
⇒ [(x – 1)- √3] [(x – 1) + √3] (x² – 7x + 10) = 0
⇒ [(x – 1)² – (√3)²] (x² – 7x + 10) = 0
⇒ (x² – 2x + 1 – 3) (x² – 7x + 10) = 0
⇒ (x² – 2x – 2) (x² – 7x + 10) = 0
⇒ x⁴ – 2x³ – 2x² – 7x³ + 14x² + 14x + 10x² – 20x – 20 = 0
⇒ x⁴ – 9x³ + 22x² – 6x – 20 = 0

(vi) 0, 1, \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{-5}{2}\)
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 1) (x + \(\frac{3}{2}\)) (x + \(\frac{5}{2}\)) = 0
⇒ x(x – 1) (2x + 3) (2x + 5) = 0
⇒ (x² – x) (4x² + 16x + 15) = 0
⇒ 4x⁴ – 4x³ + 16x³ – 16x² + 15x² – 15x = 0
⇒ 4x⁴ + 12x³ – x² – 15x = 0

ప్రశ్న 2.
4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, αβ + βγ + γα విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ లు 4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 మూలాలు
α + β + γ = \(-\frac{a_1}{a_0}=\frac{6}{4}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{a_2}{a_0}=\frac{7}{4}\)

ప్రశ్న 3.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 కు 1, 1, α లు మూలాలైన α విలువను కనుగొనుము. [May ’11]
సాధన:
1, 1, α లు x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 కు మూలాలు కనుక
మూలాల మొత్తం = 1 + 1 + α = \(-\left(-\frac{6}{1}\right)\) = 6
⇒ 2 + α = 6
⇒ α = 6 – 2 = 4

ప్రశ్న 4.
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, α అయితే, α ను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
-1, 2, α లు 2x³ + x² – 7x – 6 = 0 కు మూలాలు
కనుక -1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
α + 1 = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α = -1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-3}{2}\)

ప్రశ్న 5.
x³ – 2x² + ax + 6 = 0 కు మూలాలు 1, -2, 3 అయితే a ను కనుక్కోండి. [Mar. ’04]
సాధన:
x³ – 2x² + ax + 6 = 0 కు 1 మూలం కనుక
(1)³ – 2(1)² + a(1) + 6 = 0
⇒ a + 5 = 0
⇒ a = -5

ప్రశ్న 6.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్ధం 9 అయిన a విలువను కనుగొనుము. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
α, β, γ మూలాల లబ్దం
4x³ + 16x² – 9x – a = 0
αβγ = \(\frac{a}{4}\) = 9
⇒ a = 36

ప్రశ్న 7.
క్రింది సమీకరణాలకు s₁, s₂, s₃, s₄ లను కనుగొనుము.
(i) x⁴ – 16x³ + 86x² – 176x + 105 = 0
(ii) 8x⁴ – 2x³ – 27x² + 6x + 9 = 0
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 కు మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08]
సాధన:
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 కు α, β, 1 లు మూలాలు
α + β + 1 = 2
⇒ α + β = 1
లబ్ధం = αβ = -6
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= 1 + 24
= 25
α – β = 5
α + β = 1
కలుపగా 2α = 6
⇒ α = 3
α + β = 1
⇒ β = 1 – α
= 1 – 3
= -2
∴ α = 3, β = -2

ప్రశ్న 2.
x³ – 2x² + 3x – 4 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, (i) Σα²β² (ii) Σαβ(α + β) లను కనుక్కోండి. [May ’07]
సాధన:
x³ – 2x² + 3x – 4 = 0 మూలాలు α, β, γ కనుక
α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = 3
αβγ = 4
(i) Σα²β² = α²β² + β²γ² + γ²α²
= (αβ + βγ + γα)² – 2αβγ(α + β + γ)
= 9 – 2 (2) (4)
= 9 – 16
= -7

(ii) Σαβ(α + β) = α²β + β²γ + γ²α + αβ² + βγ² + γα²
= (αβ + βγ + γα) (α + β + γ) – 3αβγ
= 2(3) – 3(4)
= 6 – 12
= -6

ప్రశ్న 3.
x³ + px² + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, క్రింది వాటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ + px² + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ లు
కనుక α + β + γ = -p
αβ + βγ + γα = q
αβγ = -r

(i) \(\sum \frac{1}{\alpha^2 \beta^2}\)
సాధన:

(ii) \(\frac{\beta^2+\gamma^2}{\beta \gamma}+\frac{\gamma^2+\alpha^2}{\gamma \alpha}+\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta}\) లేదా \(\Sigma \frac{\beta^2+\gamma^2}{\beta \gamma}\)
సాధన:

(iii) (β + γ – 3α) (γ + α – 3β) (α + β – 3γ)
సాధన:
(β + γ – 3α) (γ + α – 3β) (α + β – 3γ)
= (α + β + γ – 4α) (α + β + γ – 4β) (α + β + γ – 4γ)
= (-p – 4α) (-p – 4β) (-p – 4γ)
= -(p + 4α) (p + 4β) (p + 4γ)
= -[(p³ + 4p² (α + β + γ) + 16p (αβ + βγ + γα) + (64αβy)]
= -(p³ – 4p³ + 16pq – 64r)
= 3p³ – 16pq + 64r

(iv) Σα³β³
సాధన:
Σα³β³ = α³β³ + β³γ³ + γ³α³
(αβ + βγ + γα)² = α²β² + β²γ² + γ²α² + 2αβγ (α + β + γ)
q² = α²β² + β²γ² + γ²α² + 2pr
α²β² + β²γ² + γ²α² = q² – 2pr
∴ α³β³ + β³γ³ + γ³α³ = (α²β² + β²γ² + γ²α²) (αβ + βγ + γα) – αβγ Σα²β
= (q² – 2pr) . q + r[(αβ + βγ + γα) (α + β + γ) – 3αβγ]
= q³ – 2pqr + r(-pq + 3r)
= q³ – 2pqr – pqr + 3r²
= q³ – 3pqr + 3r²

III.

ప్రశ్న 1.
x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β, γ అయితే, α² + β², β² + γ², γ² + α² మూలాలుగా గల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ పద్ధతి:
α, β, γ లు x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు,
∴ α + β + γ = 6, αβ + βγ + γα = 11
y = α² + β² = α² + β² + γ² – γ² అనుకొనుము.
= (α + β + γ)² – 2(αβ + βγ + γα) – x² (∵ α, β, γ లు మూలాలు)
= 36 – 22 – x²
⇒ x² = 14 – y
⇒ x = \(\sqrt{14-y}\) ను x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 లో వ్రాయగా
⇒ (\(\sqrt{14-y}\))³ – 6(\(\sqrt{14-y}\))² + 11(\(\sqrt{14-y}\)) – 6 = 0
⇒ (14-y) \(\sqrt{14-y}\) – 6(14 – y) + 11\(\sqrt{14-y}\) – 6 = 0
⇒ -6(14 – y + 1) = \(\sqrt{14-y}\) [-11 – 14 + y]
⇒ -6(15 – y) = (\(\sqrt{14-y}\)) (y – 25)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
i.e., [-6(15 – y)]² = [\(\sqrt{14-y}\) (y – 25)]²
⇒ 36(225 – 30y + y²) = (14 – y) (y² – 50y + 625)
⇒ 8100 – 1080y + 36y² = 14y² – 700y + 8750 – y³ + 50y² – 625y
⇒ 8100 – 1080y + 36y² = -y³ + 64y² – 1325y + 8750
⇒ y³ – 28y² + 245y – 650 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణం x³ – 28x² + 245x – 650 = 0
2వ పద్ధతి :
α, β, γ లు x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు,
ఇది రెండవ కోవకు చెందిన వ్యుతమ సమీకరణం
∴ x – 1 అనేది x³ – 6x² + 11x – 6 కు ఒక కారణాంకం

∴ x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1) (x² – 5x + 6) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
∴ x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు
α = 1, β = 2, γ = 3
ఇప్పుడు α² + β² = 1² + 2² = 5
β² + γ² = 2² + 3² = 13
γ² + α² = 3² + 1² = 10
α² + β², β² + γ², γ² + α² లు మూలాలుగా గల ఘన సమీకరణం (x – 5) (x – 13) (x – 10) = 0
⇒ x³ – (5 + 13 + 10)x² +(65 + 130 + 50)x – 650 = 0
⇒ x³ – 28x² + 245x – 650 = 0

ప్రశ్న 2.
x³ – 7x + 6 = 0, సమీకరణ మూలాలు α, β, γ అయితే (α – β)², (β – γ)², (γ – α)² మూలాలుగా గల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ పద్ధతి :
x³ – 7x + 6 = 0 …..(1) మూలాలు α, β, γ
కనుక α + β + γ = 0, αβγ = -6
y = (α – β)² = (α + β)² – 4αβ అనుకొనుము.
= (-γ)² – 4(\(\frac{-6}{\gamma}\))
= γ² + \(\frac{24}{\gamma}\)
= x² + \(\frac{24}{x}\)
⇒ xy = x³ + 24
⇒ xy = 7x – 6 + 24 [(1) నుండి]
⇒ x(y – 7) = 18
⇒ x = \(\frac{18}{y-7}\)
x³ – 7x + 6 = 0 లో x = \(\frac{18}{y-7}\) ను వ్రాయగా
\(\left(\frac{18}{y-7}\right)^3-7\left(\frac{18}{y-7}\right)+6=0\)
⇒ (18)³ – 7(18) (y – 7)² + 6(y – 7)³ = 0
⇒ 5832 – 126(y² – 14y + 49) + 6(y³ – 21y² + 147y – 343) = 0
⇒ 972 – 21(y² – 14y + 49) + (y³ – 21y² + 147y – 343) = 0
⇒ y³ – 42y² + 441y – 400 = 0
(α – β)², (β – γ)², (γ – α)² మూలాలుగా గల సమీకరణం x³ – 42x² + 441x – 400 = 0
2వ పద్ధతి :
x³ – 7x + 6 = 0 మూలాలు α, β, γ లు యత్నదోష పద్ధతిన x = 1 సమీకరణాన్ని ధృవీకరిస్తుంది.
x³ – 7x + 6 కు x – 1 ఒక కారణాంకం

∴ x³ – 7x + 6 = (x – 1) (x² + x – 6) = (x – 1) (x + 3) (x – 2)
∵ x³ – 7x + 6 = 0 మూలాలు
α = 1, β = 3, γ = 2
ఇప్పుడు (α – β)² = [1 – (-3)]² = (4)² = 16
(β – γ)² = [-3 – 2)² = 25
(γ – α)² = [2 – 1]² = 1
∴ (α – β)², (β – γ)², (γ – α)² మూలాలుగా గల సమీకరణం (x – 16) (x – 25) (x – 1) = 0
⇒ x³ – (16 + 25 + 1)x² + (400 + 25 + 16)x – 400 = 0
⇒ x³ – 42x² + 441x – 400 = 0

ప్రశ్న 3.
x³ – 3ax + b = 0 యొక్క సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β, γ అయితే, Σ(α – β) (α – γ) = 9a అని నిరూపించండి.
సాధన:
α, β, γ లు x³ – 3ax + b = 0 మూలాలు
α + β + γ = 0, αβ + βγ + γα = -3a, αβγ = -b
Σ(α – β) (α – γ) = Σ[α² – α(β + γ) + βγ
= Σ(α² + α² + βγ)
= 2(α² + β² + γ²) + (βγ + γα + αβ)
= 2(α + β + γ)² – 4(αβ + βγ + γα) + (αβ + βγ + γα)
= 0 – 4(-3a) + (-3a)
= 9a

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(c)

అభ్యాసం – 3(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది అసమీకరణాలను బీజీయ పద్ధతిలో సాధించండి.
(i) 15x² + 4x – 4 ≤ 0
సాధన:
15x² + 4x – 4 ≤ 0
15x² – 6x + 10x – 4 ≤ 0
3x(5x – 2) + 2(5x – 2) ≤ 0
(3x + 2) (5x – 2) ≤ 0
x² గుణకం = 15 > 0,
దత్త సమాసం విలువ x ≤ 0 కనుక
\(\frac{-2}{3}, \frac{2}{5}\) ల మధ్య ఉంటుంది.
i.e., \(\frac{-2}{3} \leq x \leq \frac{2}{5}\)

(ii) x² – 2x + 1 < 0
సాధన:
(x – 1)² < 0
x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువపై అసమీకరణాన్ని ధృవీకరించదు.
కనుక సాధన సమితి = φ లేదా దత్త అసమీకరణానికి సాధన లేదు.

(iii) 2 – 3x – 2x² ≥ 0
సాధన:
-(2x² + 3x – 2) ≥ 0
⇒ -(2x² + 4x – x – 2) ≥ 0
⇒ [2x(x + 2) – 1(x + 2)] ≥ 0
⇒ -(2x – 1) (x + 2) ≥ 0
x² గుణకం = -2 < 0, సమాసం ≥ 0
⇒ x విలువ -2, \(\frac{1}{2}\) ల మధ్య ఉంటుంది.
i.e., -2 ≤ x ≤ \(\frac{1}{2}\)

(iv) x² – 4x – 21 ≥ 0
సాధన:
x² – 4x – 21 ≥ 0
x² – 7x + 3x – 21 ≥ 0
x(x – 7) + 3(x – 7) ≥ 0
(x + 3)(x – 7) ≥ 0
x² గుణకం = 1 > 0, సమాసం ≥ 0
x విలువ -3, 7 ల మధ్య ఉండదు.
i.e., x ∈ (-∞, -3] ∪ [7, ∞)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది అసమీకరణాలను రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో సాధించండి.
(i) x² – 7x + 6 > 0
సాధన:
f(x) = x² – 7x + 6

f(x) > 0 ⇒ y > 0
కనుక సాధన x < 1 మరియు x > 6.

(ii) 4 – x² > 0
సాధన:
f(x) = 4 – x² అనుకొనుము.

f(x) > 0 ⇒ y > 0
సాధన సమితి = {x/-2 < x < 2}

(iii) 15x² + 4x – 4 ≤ 0
సాధన:
f(x) = 15x²2 + 4x – 4 అనుకోండి.

f(x) ≤ 0 ⇒ y ≤ 0
సాధన సమితి = \(\left\{x / \frac{-2}{3} \leq x \leq \frac{2}{5}\right\}\)

(iv) x² – 4x – 21 ≥ 0
సాధన:
f(x) = x² – 4x – 21 అనుకోండి.

f(x) ≥ 0 ⇒ y ≥ 0
సాధన సమితి = {x/x ∈ (-∞, -3] ∪ [7, ∞)}

ప్రశ్న 2.
క్రింది అసమీకరణాలను సాధించండి.
(i) \(\sqrt{3 x-8}\) < -2
సాధన:
దత్త అసమీకరణానికి L.H.S. ధనాత్మకము, R.H.S. ఋణాత్మకము.
కనుక సాధన సమితి = φ లేదా సాధన సమితి వ్యవస్థితం కాదు.

(ii) \(\sqrt{-x^2+6 x-5}\) > 8 – 2x
సాధన:
\(\sqrt{-x^2+6 x-5}\) > 8 – 2x
⇔ -x² + 6x – 5 ≥ 0
మరియు (i) 8 – 2x < 0 లేదా (ii) 8 – 2x ≥ 0
-x² + 6x – 5 = -(x2 – 6x + 5) = -(x – 1) (x – 5)
కాబట్టి -x² + 6x – 5 ≥ 0 ⇔ x ∈ [1, 5]
(i) -x² + 6x – 5 ≥ 0 మరియు 8 – 2x < 0
⇔ x ∈ [1, 5] మరియు x > 4
⇔ x ∈ [4, 5] ……..(1)
(ii) -x² + 6x – 5 ≥ 0 మరియు 8 – 2x ≥ 0
∵ \(\sqrt{\left(-x^2+6 x-5\right)}\) > 8 – 2x
⇔ -x² + 6x – 5 > (8 – 2x)², మరియు 8 – 2x ≥ 0
⇔ -x² + 6x – 5 > 64 + 4×2 – 32x, x ≤ 4
⇔ 5x² – 38x + 69 < 0, x ≤ 4
⇔ 5x² – 15x – 23x + 69 < 0, x ≤ 4
⇔ (5x – 23) (x – 3) < 0, x ≤ 4
⇔ x ∈ (3, \(\frac{23}{5}\)), x ≤ 4
⇔ x ∈ (3, \(\frac{23}{5}\)) ∧ (-∞, 4)
⇔ x ∈ (3, 4) …….(2)
కాబట్టి (1), (2) ల నుండి, దత్త సమీకరణానికి సాధన సమితి
x ∈ (4, 5) ∪ (3, 4)
⇒ x = (3, 5) లేదా 3 < x ≤ 5

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
ax² + 2bx + c = 0, ax² + 2cx + b = 0, (b ≠ c) వర్గ సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, అప్పుడు a + 4b + 4c = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ax² + 2bx + c = 0,
ax² + 2cx + b = 0 లకు α ఉమ్మడి మూలం అనుకుంటే
aα² + 2bα + c = 0 ……(1)
aα² + 2ca + b = 0 …….(2)
(1) – (2) ⇒ 2α(b – c) + c – b = 0
2α(b – c) = b – c
2α = \(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}\) = 1, (∵ b ≠ c)
α = \(\frac{1}{2}\)
α = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా ax² + 2bx + c = 0
\(a\left(\frac{1}{4}\right)+2 b \frac{1}{2}+c=0\)
⇒ a + 4b + 4c = 0
∴ a + 4b + 4c = 0 కావలసిన నియమం.

ప్రశ్న 2.
x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, p కనుక్కోండి.
సాధన:
x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం α అనుకుంటే అప్పుడు
α² – 6α + 5 = 0, α² – 12α + p = 0
⇒ α² – 6α + 5 = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
⇒ α = 1 లేదా 5
α = 1 అయిన α² – 12α + p = 0
⇒ 1 – 12 + p = 0
⇒ p = 11
α = 5 అయిన α² – 12α + p = 0
⇒ 25 – 60 + p = 0
⇒ p = 35
∴ p = 11 లేదా 35

ప్రశ్న 3.
x² – 6x + 5 = 0, x² – 3ax + 35 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, ‘a’ కనుక్కోండి.
సాధన:
x² – 6x + 5 = 0
⇒ (x – 1) (x – 5) = 0
⇒ x = 1, x = 5
Case (i): x = 1 ఉమ్మడి మూలమైన, అది
x² – 3ax + 35 = 0 కు కూడ మూలం అగును.
⇒ (1)² – 3a (1) + 35 = 0
⇒ a = 12
Case (ii): x = 5 ఉమ్మడి మూలమైన
⇒ (5)² – 3a(5) + 35 = 0
⇒ 60 – 15a = 0
⇒ a = 4
∴ a = 12 లేదా a = 4

ప్రశ్న 4.
x² + ax + b = 0, x² + cx + d = 0 లకు ఉమ్మడి మూలము ఉండి, మొదటి సమీకరణానికి సమాన మూలాలుంటే, అపుడు 2(b + d) = ac అని నిరూపించండి.
సాధన:
x² + ax + b = 0, x² + cx + d = 0 లకు మూలం α అనుకొనుము.
x² + ax + b = 0 కు మూలాలు సమానం కనుక α, α లు దీని మూలాలు
α + α = -a ⇒ α = \(\frac{-a}{2}\)
α . α = b ⇒ α² = b
∴ x² + cx + d = 0 కు α మూలం కనుక
⇒ α² + cα + d = 0
⇒ b + c (\(\frac{-a}{2}\)) + d = 0
⇒ 2(b + d) = ac

ప్రశ్న 5.
x వాస్తవసంఖ్య అయినపుడు క్రింది సమాసాల గుర్తులను చర్చించండి.
(i) x² – 5x + 4
సాధన:
x² – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4)
a = 1 > 0
x < 1 లేదా x > 4 అయిన x² – 5x + 4 ధనాత్మకం
1 < x < 4 అయిన x² – 5x + 4 ఋణాత్మకం

(ii) x² – x + 3
సాధన:
∆ = b² – 4ac
= (-1)² – 4 . 1 . 3
= 1 – 12
= -11 < 0
a = 1 > 0, ∆ < 0
⇒ x ∈ R కు x² – x + 3 ధనాత్మకం.

ప్రశ్న 6.
ఏయే x విలువలకు క్రింది సమాసాలు ధనాత్మకం?
(i) x² – 5x + 6 [May ’11]
సాధన:
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
x² – 5x + 6 = 0 మూలాలు 2, 3 లు. అవి వాస్తవాలు.
x < 2 లేదా x > 3 అయిన x² – 5x + 6 ధనాత్మకం.
∵ a = 1 > 0

(ii) 3x² + 4x + 4
సాధన:
ఇచ్చట a = 3, b = 4, c = 4,
∆ = b² – 4ac
= 16 – 48
= -32 < 0
∴ 3x² + 4x + 4 ధనాత్మకం ∀ x ∈ R,
∵ a = 3 > 0 మరియు ∆ < 0
ax² + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటాయి. ∀ x ∈ R అయిన ∆ < 0

(iii) 4x – 5x² + 2
సాధన:
4x – 5x² + 2 = 0 కు మూలాలు \(\frac{-4 \pm \sqrt{16+40}}{-10}\)
i.e., \(\frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}\) అవి వాస్తవాలు.
∴ 4x – 5x² + 2 ధనాత్మకం
\(\frac{2-\sqrt{14}}{5}\) < x < \(\frac{2+\sqrt{14}}{5}\) అయిన a = -5 < 0.

(iv) x² – 5x + 14
సాధన:
ఇచ్చట a = 1, b = -5, c = 14,
∆ = b² – 4ac
= 25 – 56
= -31 < 0
∴ ∆ < 0
∵ a = 1 > 0 మరియు ∆ < 0
∴ x² – 5x + 14 ధనాత్మకం ∀ x ∈ R.

ప్రశ్న 7.
ఏయే x విలువలకు క్రింది సమాసాలు ఋణాత్మకం.
(i) x² – 7x + 10
సాధన:
x² – 7x + 10 = (x – 2) (x – 5)
x² – 7x + 10 = 0 కు మూలాలు 2, 5
a = 1 > 0
∴ 2 < x < 5 అయిన x² – 7x + 10 ఋణాత్మకం

(ii) 15 + 4x – 3x²
సాధన:
15 + 4x – 3x² = 0 కు మూలాలు
\(\frac{-4 \pm \sqrt{16+180}}{-6}=\frac{-5}{3}, 3\)
a = -3 < 0
∴ x < \(\frac{-5}{3}\) లేక x > 3 అయిన 15 + 4x – 3x² ఋణాత్మకం

(iii) 2x² + 5x – 3
సాధన:
2x² + 5x – 3 = 0 మూలాలు
\(\frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{4}=-3, \frac{1}{2}\)
a = 2 > 0
∴ -3 < x < \(\frac{1}{2}\) అయిన 2x² + 5x – 3 ఋణాత్మకం.

(iv) x² – 5x – 6
సాధన:
x² – 5x – 6 = (x – 6) (x + 1)
x² – 5x – 6 = 0 కు మూలాలు -1, 6.
a = 1 > 0
∴ -1 < x < 6 అయిన x² – 5x – 6 ఋణాత్మకం.

ప్రశ్న 8.
క్రింది సమాసాల గుర్తులతో మార్పులను కనుక్కోండి. వాటి అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సూచన : α, β లు ax² + bx + c = 0 కు మూలాలు α < β అయిన
1) -x < α లేదా x > β అయిన ax² + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటుంది.
2) α < x < β అయిన ax² + bx + c, ‘a’ లకు వ్యతిరేక గుర్తులుంటాయి.

(i) x² – 5x + 6
సాధన:
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
1) 2 < x < 3 అయిన x² – 5x + 6 ఋణాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
2) x < 2 (లేదా) x > 3, అయిన x² – 5x + 6 ధనాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
a > 0 కనుక x² – 5x + 6 కనిష్ట విలువ
\(\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4(1)(6)-(-5)^2}{4(1)}\)
= \(\frac{24-25}{4}\)
= \(\frac{-1}{4}\)
కనుక x² – 5x + 6 కు కనిష్ట విలువ \(\frac{-1}{4}\)

(ii) 15 + 4x – 3x²
సాధన:
15 + 4x – 3x² = 15 + 9x – 5x – 3x²
= 3(5 + 3x) – x(5 + 3x)
= (3 – x) (5 + 3x)
1) \(\frac{-5}{3}\) < x < 3 అయిన 15 + 4x – 3x² ధనాత్మకం.
∵ a = -3 < 0
2) x < \(\frac{-5}{3}\) లేదా x > 3, 15 + 4x – 3x² ఋణాత్మకం.
∵ a = -3 < 0
a < 0 కనుక 15+ 4x – 3x² గరిష్ఠ విలువ
\(\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4(-3)(15)-16}{4(-3)}=\frac{49}{3}\)
15 + 4x – 3x² కు గరిష్ఠ విలువ \(\frac{49}{3}\)

ప్రశ్న 9.
R మీద x మారుతున్నప్పుడు క్రింది సమాసాల గరిష్ట లేదా కనిష్ఠ విలువలను కనుక్కోండి.
(i) x² – x + 7
సాధన:
a = 1 > 0
కనిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{28-1}{4}=\frac{27}{4}\)

(ii) 12x – x2 – 32 [May ’06]
సాధన:
a = -1 < 0
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{128-144}{-4}\)
= 4

(iii) 2x + 5 – 3x²
సాధన:
a = -3 < 0
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{(4)(-3)(5)-(2)^2}{4 \times-3}\)
= \(\frac{16}{3}\)

(iv) ax² + bx + a, (a, b ∈ R, a ≠ 0)
సాధన:
a < 0 కు గరిష్ట విలువ, a > 0 కు కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
ఆ విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
ఇచ్చట a = a, b = b, c = a
= \(\frac{4(a)(a)-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{4 a^2-b^2}{4 a}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాల వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
(i) \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) (Mar. ’04)
సాధన:
y = \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) అనుకోండి.
⇒ x²y – xy + y = x² + x + 1
⇒ x²y – xy + y – x² – x – 1 = 0
⇒ x²(y – 1) – x(y + 1) + (y – 1) = 0
x వాస్తవం ⇒ x = b² – 4ac ≥ 0
⇒ (y + 1)² – 4(y – 1)² ≥ 0
⇒ (y + 1)² – (2y – 2)² ≥ 0
⇒ (y + 1 + 2y – 2) (y + 1 – 2y + 2) ≥ 0
⇒(3y – 1) (y + 3) ≥ 0
⇒ (3y – 1) (y – 3) ≥ 0
a = y² గుణకం = -3 < 0 కాని సమాసం ≥ 0
⇒ y విలువ \(\frac{1}{3}\), 3 ల మధ్య ఉంటుంది
∴ \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) వ్యాప్తి [\(\frac{1}{3}\), 3]

(ii) \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\)
సాధన:
y = \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) అనుకోండి.
అప్పుడు 2yx² + 3yx + 6y = x + 2
⇒ 2yx² + (3y – 1)x + (6y – 2) = 0
x వాస్తవాలు ⇒ విచక్షణి ≥ 0
⇒ (3y – 1)² – 4(2y) (6y – 2) ≥ 0
⇒ 9y² + 1 – 6y – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ -39y² + 10y + 12 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y(3y – 1) + 1(3y – 1) ≤ 0
⇒ (3y – 1) (13y + 1) ≤ 0
∴ a = y² గుణకం = 39 > 0, సమాసము ≤ 0
⇒ y విలువ \(\frac{-1}{13}, \frac{1}{3}\) లచే మధ్య ఉంటుంది
∴ కనుక \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) వ్యాప్తి [latex]\frac{-1}{13}, \frac{1}{3}[/latex]

(iii) \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
సాధన:
y = \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
⇒ yx + 3y = x² + x – 2 అనుకోండి.
⇒ x² + (1 – y)x – 3y – 2 = 0
x ∈ R
⇒ (1 – y²) – 4(-3y – 2) ≥ 0
⇒ 1 + y² – 2y + 12y + 8 ≥ 0
⇒ y² + 10y + 9 ≥ 0
⇒ y² + 10y + 9 ≥ 0
⇒ (y + 1) (y + 9) = 0
⇒ y = -1, -9
y² + 10y + 9 ≥ 0
∴ a = y² గుణకం = 1 > 0, సమాసం ≥ 0
y ≤ -9 లేదా y ≥ -1
వ్యాప్తి = (-∞, -9] ∪ (-1, ∞)

(iv) \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
సాధన:
y = \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
⇒ yx² – 3yx + 2y = 2x² – 6x + 5
⇒ (y – 2)x² + (6 – 3y)x + (2y – 5) = 0
x ∈ R
⇒ (6 – 3y)² – 4(y – 2) (2y – 5) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 4(2y² – 9y + 10) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 8y² + 36y – 40 ≥ 0
⇒ y² – 4 ≥ 0
y² – 4 = 0
⇒ y² = 4
⇒ y = ±2
y² – 4 ≥ 0
⇒ y ≤ -2 లేదా y ≥ 2
⇒ y విలువ -2, 2 ల మధ్య ఉండదు.
∵ y² గుణకం > 0, సమాసం ≥ 0
∴ \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\) వ్యాప్తి (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

ప్రశ్న 2.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి. [AP & TS Mar. ’16, Mar. ’11]
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R
⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² + 16 – 32y – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
4y² – 20y + 16 = 0
⇒ y² – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 1)(y – 4) = 0
⇒ y = 1, 4
4y² – 20y + 16 ≥ 0
y ≤ 1 లేదా y ≥ 4
∵ y² గుణకం, సమాసం ≥ 0
⇒ y విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే, \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ 1, \(\frac{-1}{11}\) ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి. [Mar. ’14, ’08, ’02; May ’11, ’07]
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\)
⇒ yx² – 5yx + 9y = x
⇒ yx² + (-5y – 1)x + 9y = 0
x ∈ R
⇒ (-5y – 1)² – 4y(9y) ≥ 0
⇒ 25y² + 1 + 10y – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0 ………(1)
-11y² + 10y + 1 = 0
⇒ -11y² + 11y – y + 1 = 0
⇒ 11y(-y + 1) + 1(-y + 1) = 0
⇒ (-y + 1) (11y + 1) = 0
⇒ y = 1, \(\frac{-1}{11}\)
-11y² + 10y + 1 ≥ 0
∴ y² గుణకం < 0, సమాసం ≥ 0
(1) నుండి \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
⇒ y విలువ 1, \(\frac{-1}{11}\) ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
R లోని ప్రతి x కి \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) (y వాస్తవం)
అప్పుడు yx² – 3yx + 2y = x – p
⇒ yx² + (-3y – 1)x + (2y + p) = 0
∵ x ∈ R
⇒ (-3y – 1)² – 4y(2y + p) ≥ 0
⇒ 9y² + 6y + 1 – 8y² – 4py ≥ 0
⇒ y² + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
∵ y ∈ R, y² + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
మూలాలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు లేదా సమాన వాస్తవాలు
⇒ ∆ ≤ 0
⇒ (6 – 4p)² – 4 ≤ 0
⇒ 4(3 – 2p)² – 4 ≤ 0
⇒ (3 – 2p)² – 1 ≤ 0
⇒ 4p² – 12p + 8 ≤ 0
⇒ p² – 3p + 2 ≤ 0
⇒ (p – 1) (p – 2) ≤ 0
p = 1 లేదా p = 2 అయిన \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) నిర్వచితం కాదు.
∴ 1 < p < 2

ప్రశ్న 5.
c² ≠ ab అయి (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0 సమీకరణం మూలాలు సమానమైతే, అప్పుడు a³ + b³ + c³ = 3abc లేదా a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0
విచక్షణి = 4(a² – bc)² – 4(c² – ab) (b² – ac)
= 4[(a² – bc)² – (c² – ab) (b² – ac)]
= 4(a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc)
= 4(a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc)
= 4a(a³ + b³ + c^c – 3abc)
మూలాలు సమానం కనుక విచక్షణి = 0
4a(a² + b² + c² – 3abc) = 0
a = 0 లేదా a² + b² + c² – 3abc = 0
i.e., a = 0 లేదా a² + b² + c² = 3abc

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(a)

అభ్యాసం -3(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలు కనుక్కోండి.
(i) x² – 7x + 12 = 0
సాధన:

(ii) -x² + x + 2 = 0
సాధన:

(iii) 2x² + 3x + 2 = 0
సాధన:

(iv) √3x² + 10x – 8√3 = 0
సాధన:

(v) 6√5x² – 9x – 3√5 = 0
సాధన:

ప్రశ్న 2.
క్రింద ఇచ్చిన మూలాలు గల వర్గ సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 2, 5
సాధన:
α + β = 2 + 5 = 7, αβ = 2 × 5 = 10
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 7x + 10 = 0

(ii) \(\frac{m}{n}, \frac{-n}{m}\), (m ≠ 0, n ≠ 0)
సాధన:

(iii) \(\frac{p-q}{p+q}, \frac{-(p+q)}{p-q}\), (p ≠ ±q) [Mar. ’06]
సాధన:

(iv) 7 ± 2√5 [Mar. ’11, ’05]
సాధన:
α + β = 7 + 2√5 + 7 – 2√5 = 14
αβ = (7 + 2√5) (7 – 2√5) = 49 – 20 = 29
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 14x + 29 = 0

(v) -3 ± 5i [Mar. ’07]
సాధన:
α + β = -3 + 5i – 3 – 5i = -6
αβ = (-3 + 5i) (-3 – 5i) = 9 + 25 = 34
కావలసిన వర్గ సమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² + 6x + 34 = 0

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలను కనుక్కోకుండా, మూలాల స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
(i) 2x² – 8x + 3 = 0
సాధన:
a = 2, b = -8, c = 3
b² – 4ac = 64 – 24 = 40 > 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.

(ii) 9x² – 30x + 25 = 0
సాధన:
a = 9, b = -30, c = 25
b² – 4ac = 900 – 900 = 0
∴ మూలాలు సమాన అకరణీయ సంఖ్యలు.

(iii) x² – 12x + 32 = 0
సాధన:
a = 1, b = -12, c = 32
b² – 4ac = 144 – 128
= 16
= (4)²
= సంపూర్ణ వర్గం
∴ మూలాలు విభిన్న అకరణీయ సంఖ్యలు.

(iv) 2x² – 7x + 10 = 0
సాధన:
a = 2, b = -7, c = 10
b² – 4ac = 49 – 80 = -31 < 0
∴ మూలాలు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, క్రింది సమాసాల విలువలను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
(i) \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
సాధన:
సమీకరణం మూలాలు α, β
ax² + bx + c = 0
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}\)
= \(\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)}\)
= \(\frac{-b}{c}\)

(ii) \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}\) [A.P.&T.S. Mar. ’16, Mar. ’08]
సాధన:

(iii) α⁴β⁷ + α⁷β⁴
సాధన:

(iv) \(\left(\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\beta}{\alpha}\right)^2\), c ≠ 0 అయితే
సాధన:

(v) \(\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^{-2}+\beta^{-2}}\), c ≠ 0 అయితే
సాధన:

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన సమీకరణాలకు సమాన మూలాలు ఉంటే వాటియొక్క ‘m’ విలువలు కనుక్కోండి.
(i) x² – 15 – m(2x – 8) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణం x² – 15 – m(2x – 8) = 0
x² – 2mx + 8m – 15 = 0
a = 1, b = -2m, c = 8m – 15
b² – 4ac = (-2m)² – 4(1) (8m – 15)
= 4m² – 32m + 60
= 4(m² – 8m + 15)
= 4(m – 3) (m – 5)
ax² + bx + c = 0 కు సమాన మూలాలు ఉంటే, దాని విచక్షణి = 0.
∴ మూలాల సమానం
b² – 4ac = 0
⇒ 4(m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m – 3 = 0 లేదా m – 5 = 0
⇒ m = 3 లేదా m = 5

(ii) (m + 1)x² + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0 [Mar. ’03]
సాధన:
దత్త సమీకరణం (m + 1)x² + 2(m + 3)x + (m + 8) = 0
a = m + 1, b = 2(m + 3), c = m + 8
b² – 4ac = [2(m + 3)]² – 4(m + 1) (m + 8)]
= 4(m² + 6m + 9) – 4(m² + 8m + m + 8)
= 4m² + 24m + 36 – 4m² – 36m – 32
= -12m + 4
= -4(3m – 1)
∴ మూలాలు సమానం
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ -4(3m – 1) = 0
⇒ 3m – 1 = 0
⇒ 3m = 1
⇒ m = \(\frac{1}{3}\)

(iii) x² + (m + 3)x + (m + 6) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము x² + (m + 3)x + m + 6 = 0
a = 1, b = m + 3, c = m + 6
∴ మూలాలు సమానం
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ (m + 3)² – 4(1) (m + 6) = 0
⇒ m² + 6m + 9 – 4m – 24 = 0
⇒ m² + 2m – 15 = 0
⇒ m² + 5m – 3m – 15 = 0
⇒ m(m + 5) – 3(m + 5) = 0
⇒ (m + 5) (m – 3) = 0
⇒ m = -5, 3

(iv) (3m + 1)x² + 2(m + 1)x + m = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము (3m + 1)x² + 2(m + 1)x + m = 0
a = 3m + 1, b = 2(m + 1), c = m
b² – 4ac = 4(m + 1)² – 4m(3m + 1)
= 4[(m + 1)² – m(3m + 1)]
= 4(m² + 2m + 1 – 3m² – m)
= 4(-2m² + m + 1)
= -4(2m² – m – 1)
= 4(m – 1) (2m + 1)
మూలాలు సమానము ⇒ విచక్షణి = 0
∴ -4(m – 1) (2m + 1) = 0
m – 1 = 0 లేదా 2m + 1 = 0
m = 1 లేదా m = \(\frac{-1}{2}\)

(v) (2m + 1)x² + 2(m + 3)x + (m + 5) = 0
సాధన:
దత్త సమీకరణము (2m + 1)x² + 2(m + 3)x + m + 5 = 0
a = 2m + 1, b = 2(m + 3), c = m + 5
మూలాలు సమానము ⇒ b² – 4ac = 0
⇒ 4(m + 3)² – 4(2m + 1) (m + 5) = 0
⇒ 4(m² + 6m + 9 – 2m² – 10m – m – 5) = 0
⇒ -m² – 5m + 4 = 0
⇒ m² + 5m – 4 = 0
⇒ m = \(\frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2}\)
⇒ m = \(\frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\)

ప్రశ్న 6.
x² + px + q = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, (α – β)², (α + β)² లు మూలాలుగా గల సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
x² + px + q = 0 కు α, β లు మూలాలు కనుక
α + β = -p, αβ = q
(α – β)² + (α + β)² = 2(α² + β²)
= 2[(α + β)² – 2αβ]
= 2[p² – 2q]
(α – β)² (α + β)² = [(α + β)² – 4αβ)](α + β)²
= (p² – 4q) (p²)
∴ కావలసిన సమీకరణం x² – (మూలాల మొత్తం)x + (మూలాల లబ్దం) = 0
x² – 2(p² – 2q)x + p²(p² – 4q) = 0

ప్రశ్న 7.
x² + bx + c = 0, x² + cx + b = 0 (b ≠ c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే అప్పుడు b + c + 1 = 0 అని చూపండి. [Mar. ’05]
సాధన:
ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అయిన
α² + bα + c = 0 ……(1)
α² + cα + b = 0 ………(2)
(1) – (2)
⇒ (b – c)α + c – b = 0
⇒ α = 1
(1) నుండి 1 + b + c = 0

ప్రశ్న 8.
(x – a)(x – b) = h² సమీకరణం మూలాలు ఎల్లప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలైన నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం (x – a) (x – b) = h²
x² – (a + b)x + (ab – h²) = 0
విచక్షణి = (a + b)² – 4(ab – h²)
= (a + b)² – 4ab + 4h²
= (a – b)² + (2h)² > 0
∴ మూలాలు వాస్తవాలు.

ప్రశ్న 9.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం ఒక మూలం మరో మూలానికి n రెట్లు (n ధన పూర్ణసంఖ్య) కావటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 సమీకరణానికి మూలాలు α, nα అనుకుందాం.
అపుడు α + nα = \(-\frac{b}{a}\), α . nα = \(\frac{c}{a}\)
α(1 + n) = \(-\frac{b}{a}\), nα2 = \(\frac{c}{a}\)
α²(1 + n)² = \(\frac{b^2}{a^2}\) ……(1)
α² = \(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{na}}\) ……(2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{c}{n a}(1+n)^2=\frac{b^2}{a^2}\)
nb² = ac(1 + n)²
∴ కావలసిన నియమం nb² = ac(1 + n)²

ప్రశ్న 10.
వరుసగా రెండు ధనాత్మక సరిపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 340 అయ్యేటట్లు, రెండు వరుస సరిసంఖ్యలు కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు వరుస సరి ధనాత్మక సరి పూర్ణ సంఖ్యలు 2λ, 2λ + 2 అనుకుందాం.
వాటి వర్గాల మొత్తం = 340
⇒ (2λ)² + (2λ + 2)² = 340
⇒ λ² + (λ + 1)² = 85
⇒ λ² + λ² + 2λ + 1 – 85 = 0
⇒ 2λ² + 2λ – 84 = 0
⇒ λ² + λ – 42 = 0
⇒ (λ + 7) (λ – 6) = 0
⇒ λ = 6, λ = -7
∴ దత్త సంఖ్యలు ధనాత్మకాలు కనుక λ = 6
2λ = 2(6) = 12
2λ + 2 = 12 + 2 = 14
∴ రెండు వరుస ధనాత్మక సరి పూర్ణాంకాలు 12, 14.

II.

ప్రశ్న 1.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు x₁, x₂ లు c ≠ 0 అయితే (ax₁ + b)^-2 + (ax₂ + b)^-2 సమాసం విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే α² + β², α^-2 + β^-2 మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న 3.
2x⁴ + x³ – 11x² + x + 2 = 0
సాధన:
దత్తసమీకరణం 2x⁴ + x³ – 11x² + x + 2 = 0 ను x² చే భాగించగా

ప్రశ్న 4.
\(3^{1+x}+3^{1-x}=10\)
సాధన:
దత్తసమీకరణం 3^1+x + 3^1-x = 10
\(3.3^x+\frac{3}{3^x}=10\)
3x = a అనుకుంటే 3a + \(\frac{3}{a}\) = 10
⇒ 3a² + 3 = 10a
⇒ 3a² – 10a + 3 = 0
⇒ (a – 3) (3a – 1) = 0
⇒ a – 3 = 0 లేదా 3a – 1 = 0
⇒ a = 3 లేదా a = \(\frac{1}{3}\)
Case (i): a = 3 అయిన
3^x = 3¹
⇒ x = 1
Case (ii): a = \(\frac{1}{3}\) అయిన
3^x = 3^-1
⇒ x = -1
∴ మూలాలు 1, -1.

ప్రశ్న 5.
4^x-1 – 3 . 2^x-1 + 2 = 0
సాధన:
దత్తసమీకరణం 4^x-1 – 3. 2^x-1 + 2 = 0
a = 2x – 1 అనుకుంటే a² = (2^x-1)² = 4^x-1
∴ a² – 3a + 2 = 0
(a – 2) (a – 1) = 0
a – 2 = 0 లేదా a – 1 = 0
a = 2 లేదా 1
Case (i): a = 2 అయిన
2^x-1 = 2¹
⇒ x – 1 = 1
⇒ x = 2
Case (ii): a = 1 అయిన
2^x-1 = 2⁰
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
∴ మూలాలు 1, 2.

ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x ≠ 3 అయినప్పుడు \(\sqrt{\frac{x}{x-3}}+\sqrt{\frac{x-3}{x}}=\frac{5}{2}\)
సాధన:
a = \(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\) అనుకోండి.
అప్పుడు \(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{a^2+1}{a}=\frac{5}{2}\)
⇒ 2a² + 2 = 5a
⇒ 2a² – 5a + 2 = 0
⇒ (2a – 1) (a – 2) = 0
⇒ 2a – 1 = 0 లేదా a – 2 = 0
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) లేదా 2
Case (i): a = 2 అయిన
\(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\) = 2
⇒ \(\frac{x}{x-3}\) = 4
⇒ x = 4x – 12
⇒ 3x = 12
⇒ x = 4
Case (ii): a = \(\frac{1}{2}\) అయిన
\(\sqrt{\frac{x}{x-3}}=\frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{x}{x-3}=\frac{1}{4}\)
⇒ 4x = x – 3
⇒ 3x = -3
⇒ x = -1
∴ మూలాలు -1, 4.

ప్రశ్న 7.
x ≠ 0, x ≠ -1 అయినప్పుడు \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+1}{3 x}}\) = 2
సాధన:
a = \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}\) అనుకుంటే
అప్పుడు a + \(\frac{1}{a}\) = 2
⇒ \(\frac{a^2+1}{a}\) = 2
⇒ a² + 1 = 2a
⇒ a² – 2a + 1 = 0
⇒ (a – 1)² = 0
⇒ a – 1 = 0
⇒ a = 1, 1
∴ \(\sqrt{\frac{3 x}{x+1}}\) = 1
⇒ \(\frac{3 x}{x+1}\) = 1
⇒ 3x = x + 1
⇒ 2x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
∴ మూలం \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 8.
x ≠ 0 అయినప్పుడు \(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+5\) = 0
సాధన:
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
⇒ 2a² – 7a + 5 = 0
⇒ (2a – 5) (a – 1) = 0
⇒ 2a – 5 = 0 లేదా a – 1 = 0
⇒ a = \(\frac{5}{2}\) లేదా 1
Case (i): a = \(\frac{5}{2}\) అయిన
\(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{5}{2}\)
⇒ 2x² + 2 = 5x
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
⇒ (2x – 1) (x – 2) = 0
⇒ 2x – 1 = 0 లేదా x – 2 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{2}\) లేదా 2
Case (ii): a = 1 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 1
⇒ x² + 1 = x
⇒ x² – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}\)
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\), \(\frac{1}{2}\), 2

ప్రశ్న 9.
x ≠ 0 అయినప్పుడు \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)\) + 6 = 0
సాధన:
a = x + \(\frac{1}{x}\) అనుకుంటే
అప్పుడు a² = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)
x² + \(\frac{1}{x^2}\) = a² – 2
⇒ a² – 2 – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 5a + 4 = 0
⇒ (a – 1) (a – 4) = 0
⇒ a = 1 లేదా 4
Case (i) a = 1 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 1
⇒ x² + 1 = x
⇒ x² – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\) (∵ i = -1)
Case (ii): a = 4
x + \(\frac{1}{x}\) = 4
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = 4
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x² – 4x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\)
⇒ x = 2 ± √3
∴ మూలాలు 2 ± √3, \(\frac{1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\)

ప్రశ్న 10.
మూలాల మొత్తం 7గా, మూలాల వర్గాల మొత్తం 25 గా ఉండే వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వర్గ సమీకరణానికి మూలాలు α, β అనుకొనుము.
α + β = 7, α² + β² = 25
⇒ (α + β)² – 2αβ = 25
⇒ 49 – 25 = 2αβ
⇒ 2αβ = 24
⇒ αβ = 12
∴ కావలసిన సమీకరణం x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 7x + 12 = 0

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(b)

అభ్యాసం – 2(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటికి అన్ని విలువలు కనుక్కోండి.
(i) \((1-i \sqrt{3})^{1 / 3}\)
సాధన:

(ii) \((-i)^{1 / 6}\)
సాధన:

(iii) \((1+i)^{2 / 3}\)
సాధన:

(iv) \((-16)^{1 / 4}\)
సాధన:

(v) \((-32)^{1 / 5}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు, x = cis A, y = cis B, z = cis C అయితే xyz విలువ కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు
⇒ A + B + C = 180° ……(1)
x = cis A, y = cis B, z = cis C
⇒ xyz = cis (A + B + C)
= cos (A + B + C) + i sin (A + B + C)
= cos(180°) + i sin(180°)
= -1 + i(0)
= -1
∴ xyz = -1

ప్రశ్న 3.
(i) x = cis θ అయితే \(\left[x^6+\frac{1}{x^6}\right]\) విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
x = cos θ + i sin θ
⇒ x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶ = cos 6θ + i sin 6θ
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ \(\left[x^6+\frac{1}{x^6}\right]\) = 2 cos 6θ

(ii) 8 యొక్క ఘన మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ = 8 అనుకుందాం.
⇒ x = \((8)^{1 / 3}=\left(2^3 \cdot 1\right)^{1 / 3}\)
⇒ x = \(\left(2^3\right)^{1 / 3}(1)^{1 / 3}=2(1)^{1 / 3}\)
∴ 8 ఘన మూలాలు ω, 2ω, 2ω²

ప్రశ్న 4.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω² అయితే, క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1

(ii) (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
∴ ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0
2 – ω¹⁰ = 2 – ω⁹ . ω
= 2 – (ω³)³ . ω
= 2 – (1)³ ω
= 2 – ω
2 – ω¹¹ = 2 – (ω³)³ . ω²
= 2 – (1)³ ω²
= 2 – ω²
(2 – ω) (2 – ω²) = 4 – 2ω – 2ω² + ω³
= 4 – 2(ω + ω²) + 1
= 4 – 2(-1) + 1
= 4 + 2 + 1
= 7
∴ (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω) (2 – ω²)
= ((2 – ω) (2 – ω²))²
= 7²
= 49

(iii) (x + y + z) (x + yω + zω²) (x + yω²+ zω) = x³ + y³ + z³ – 3xyz.
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω²
∴ 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
ఇప్పుడు (x + yω + zω²) (x + yω² + zω) = x² + xyω² + zxω + xyω + y²ω3 + yzω² + zxω² + yzω⁴ + z²ω³
= x² + y² (1) + z² (1) + xy (ω + ω²) + yz (ω⁴ + ω²) + zx (ω + ω²)
= x² + y² + z² + xy(-1) + yz (ω + ω²) + zx (-1)
= x² + y² + z² – xy – yz – zx ………(1)
L.H.S. = (x + y + z) (x + yω + zω²) (x + yω² + zω)
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
(1) నుండి x³ + y³ + z³ – 3xyz = R.H.S.

ప్రశ్న 5.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు ω, ω² అయిన z² – z + 1 = 0 మూలాలు -ω, -ω² లు అవుతాయని చూపండి.
సాధన:
ω మరియు ω² సంకీర్ణ ఘనమూలాలు కావున
∴ 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = 1
z² – z + 1 = (-ω)² – (-ω) + 1
= ω² + ω + 1
= 0
∴ -ω అనేది z² – z + 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలం
z² – z + 1 = (-ω²)² – (-ω²) + 1
= ω⁴ + ω² + 1
= ω³ . ω + ω² + 1
= ω + ω² + 1
= 0
∴ -ω² అనేది z² – z + 1 = 0 అనే సమీకరణం యొక్క మూలం.

ప్రశ్న 6.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω² లు అయిన, ఈ క్రింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) (a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
∴ 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
ఇప్పుడు (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ …….(1)
(aω + bω²)³ = [ω(a + bω)]³
= ω³ (a + bω)³
= (1) (a + bω)³
= a³ + 3a²bω + 3ab²ω² + b³ω³
= a³ + 3a²bω + 3ab²ω² + b³ …….(2)
(aω² + bω)³ = [ω(aω + b)]³
= ω³(aω + b)³
= (1) (aω + b)³
= a³ω³ + 3a²bω² + 3ab²ω + b³
= a³(1) + 3a²b²ω² + 3ab²ω + b³
∴ (aω² + bω)³ = a³ + 3a²bω² + 3ab²ω + b³ …..(3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా,
(a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³ = 3a³ + 3a²b (1 + ω + ω²) + 3ab² (1 + ω + ω²) + 3b³
= 3(a³ + b³) + 3a²b (0) + 3ab² (0)
= 3(a³ + b³)
∴ (a + b)² + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³ = 3(a³ + b³)

(ii) (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)²
సాధన:
(a + 2b)² = a² + 4ab + 4b² ……..(1)
(aω² + 2bω)² = a²ω⁴ + 4abω³ + 4b²ω²
= a²ω³ω + 4ab (1) + 4b²ω²
= a²ω + 4ab + 4b²ω² ……….(2)
మరియు (a + 2bω²)² = a²ω² + 4abω³ + 4b²ω⁴
= a²ω² + 4ab (1) + 4b² ω³ ω
= a²ω² + 4ab + 4b² (1) ω
∴ (aω + 2bω²)² = a²ω² + 4ab + 4b²ω ……..(3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా
(a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)² = a² (1 + ω + ω²) + 12ab + 4b² (1 + ω + ω²)
= a² (0) + 12ab + 4b² (0)
= 12ab
∴ (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)² = 12ab

(iii) (1 – ω + ω²)³
సాధన:
(1 – ω + ω²)³ = (-ω – ω)³ = (-2ω)³ = -8ω³
= -8(1)
= -8 (∵ 1 + ω + ω² = 0)

(iv) (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
సాధన:
1 – ω⁴ = 1 – (ω³) ω = 1 – (1) ω = 1 – ω
1 – ω⁸ = 1 – (ω³)² ω² = 1 – (1) ω² = 1 – ω²
∴ (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
= (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω) (1 – ω²)
= [(1 – ω) (1 – ω²)]²
= (1 – ω – ω² + ω³)²
= [1 – (ω + ω²) + 1]² [∵ 1 + ω + ω² = 0]
= [1 – (-1) + 1]²
= (3)²
= 9
∴ (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸) = 9

(v) \(\left[\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right]+\frac{\left(a+b \omega+c \omega^2\right)}{\left(b+c \omega+a \omega^2\right)}\)
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0 ……..(1)

(vi) (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0
ఇప్పుడు (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
= (-ω²)³ + (-ω)³ [∵ 1 + ω = -ω²]
= -ω⁶ – ω³ [∵1 + ω² = -ω, ω³ = 1]
= -(1)² – (1)
= -2

(vii) (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
సాధన:
∵ ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
(1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
= [(1 + ω²) – ω]⁵ + [(1 + ω) – ω²]⁵
= (-ω – ω)⁵ + (-ω² – ω²)⁵
= (-2ω)⁵ + (-2ω²)⁵
= (-2)⁵ [ω⁵ + ω¹⁰]
= -32 [ω³ . ω² + (ω³)³ ω]
= -32 [(1) ω² + (1)³ ω]
= -32 [ω + ω²]
= -32 (-1)
= 32
∴ (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵ = 32

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు సాధించండి.
(i) x² – 1 = 0
సాధన:
x⁴ – 1 = 0
x⁴ = 1
= cos 0° + i sin 0°
= cos 2k + i sin 2kr
x = (cos 2kπ + i sin 2kπ)^1/4
= cis \(\frac{k \pi}{2}\), k = 0, 1, 2, 3
= cis 0, cis \(\frac{\pi}{2}\), cis π, cis \(\frac{3 \pi}{2}\)
= cos 0° + i sin 0°, cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin \(\frac{\pi}{2}\), cos π + i sin π, cos \(\frac{3 \pi}{2}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{2}\)
= 1, i, -1, -i
= ±1, ±i

(ii) x⁵ + 1 = 0
సాధన:
x⁵ + 1 = 0
x⁵ = -1 = cos π + i sin π
x⁵ = cos(2k + 1)π + i sin(2k + 1)π, k ∈ z
x = (cos (2k + 1)π + i sin (2k + 1)π)^1/5
x = cis \(\frac{(2 k+1) \pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4

(iii) x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
సాధన:
x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
x⁵(x⁴ – 1) + 1(x⁴ – 1) = 0
(x⁴ – 1)(x⁵ + 1) = 0
x⁴ – 1 = 0
మూలాలు ±1, ±i (పై లెక్క నుండి)
x⁵ + 1 = 0
మూలాలు cis \(\frac{(2 k+1) \pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4 (పై లెక్క నుండి)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు ±1, ±i, cis(2k + 1)\(\frac{\pi}{5}\), k = 0, 1, 2, 3, 4

(iv) x⁴ + 1 = 0
సాధన:
x⁴ + 1 = 0
⇒ x⁴ = -1
⇒ x⁴ = cos π + i sin π
∴ x⁴ = cos (2kπ + π) + i sin (2kπ + π),
∴ x = [cis (2k + 1)π]^1/4
∴ x = cis (2k + 1)\(\frac{\pi}{4}\), k = 0, 1, 2, 3
∴ x = \({cis} \frac{\pi}{4}, {cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right), {cis}\left(\frac{5 \pi}{4}\right), {cis}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\)

ప్రశ్న 2.
x¹² – 1 = 0, x⁴ + x² + 1 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x¹² – 1 = 0
⇒ x¹² = 1
⇒ x¹² = (cos 0 + i sin 0)
⇒ x¹² = (cos 2kπ + i sin 2kπ), k ధన పూర్ణాంకం

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు 15 వ మూలాలు, ఏకకపు 25వ మూలాలలో ఉమ్మడి మూలాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉమ్మడి మూలాల సంఖ్య = {15, 25} ల H.C.F = 5

ప్రశ్న 4.
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω² అయితే, (x – 1)³ + 8 = 0 మూలాలను 1, ω, ω² లలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
(x – 1)³ + 8 = 0
⇒ (x – 1)³ = -8
⇒ (x – 1)³ = (-2)³ (1)³
⇒ (x – 1) = (-2) (1)^1/3
⇒ x – 1 = -2, -2ω, -2ω²
⇒ x = 1 – 2, 1 – 2ω, 1 – 2ω²
⇒ x = -1, 1 – 2ω, 1 – 2ω²

ప్రశ్న 5.
(1 + i)^4/5 యొక్క అన్ని విలువల లబ్దాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
z² + z + 1 = 0 ను ధ్రువపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్య z అయిన, \(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) \(+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)\) = 12 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చినది z² + z + 1 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
ఏకకపు (ఒకటి) n వ మూలాలు 1, α, α², α³, …. α^n-1 లు అయిన,
1^P + α^P + (α²)^P + (α³)^P + ….. + (α^n-P)^P = \(\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{0} ; \mathbf{p} \neq \mathbf{k n} \text { అయితే } \\
\mathbf{n} ; \mathbf{p}=\mathbf{k n} అయితే
\end{array}\right.\), అని చూపండి (p, k ∈ N)
సాధన:
ఏకకపు nవ మూలాలు 1, α, α², ………., α^n-1

ప్రశ్న 2.
x⁷ – 1 = 0 మూలాల యొక్క 99వ ఘాతాల మొత్తం. శూన్యం అని చూపండి. దీని నుంచి x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0 యొక్క మూలాలను రాబట్టండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం x⁷ – 1 = 0
⇒ x⁷ = 1
⇒ x = (1)^1/7
= (cos 0 + i sin 0)^1/7
= \(\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\)
ఏకకపు 7వ మూలాలు 1, α, α², α³, α⁴, α⁵, α⁶

∴ x⁷ – 1 = 0 యొక్క 99వ ఘాతాల మొత్తం శూన్యం.
అప్పుడు x = α అనుకుంటే,
అప్పుడు x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1
= α⁶ + α⁵ + α⁴ + α³ + α² + α + 1
= \(\frac{1\left[1-\alpha^7\right]}{1-\alpha}\)
= \(\frac{1-x^7}{1-x}\)
= \(\frac{0}{1-x}\)
= 0
∴ x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0

ప్రశ్న 3.
‘n’ ధన పూర్ణాంకం అయితే, (P + iQ)^1/n + (P – iQ)^1/n = 2(P² + Q²)^1/2n . \(\cos \left(\frac{1}{n} \tan \frac{Q}{P}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
P + iQ అనుకోండి.

ప్రశ్న 4.
\(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{8 / 3}\) యొక్క విలువ -1 అని చూపండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
(x – 1)ⁿ = xⁿ, (n ధన పూర్ణాంకం) సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణానికి x = 0 ఒక సాధన కాదు కావున \(\left(\frac{x-1}{x}\right)^n\) = 1
⇒ \(\frac{x-1}{x}=(1)^{1 / n}\)
⇒ \(\frac{x-1}{x}\) మూలం 1 కాని ఏకకపు ఘనమూలం
ఏకకపు nవ మూలకము ‘ω’ అనుకొంటే, (ω ≠ 1)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(a)

అభ్యాసం 2(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
n పూర్ణాంకం అయితే (1 + i)²ⁿ + (1 – i)²ⁿ = \(2^{n+1} \cos \frac{n \pi}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
క్రింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) (1 + i√3)³
సాధన:
1 + i√3 = r (cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
r cos θ = 1, r sin θ = √3
r²(1) = 1 + 3 = 4
r = 2

(ii) (1 – i)⁸ [Mar. ’07]
సాధన:

(iii) (1 + i)¹⁶
సాధన:

(iv) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^5-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^5\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αⁿ + βⁿ = \(2^{n+1} \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)\) అని చూపండి. [Mar. ’14, ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 2.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయితే
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos(α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(a + β + γ)
(iii) cos (α + β) + cos (β + γ) + cos (γ + α) = 0 అని రుజువు చేయండి. [May, Mar ’08]
సాధన:
cos α +cos β + cos γ = 0
sin α + sin β + sin γ = 0
∴ (cos α + cos β + cos γ) + i(sin α + sin β + sin γ) = 0
i.e., (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) +(cos γ + i sin γ) = 0
a + b + c = 0 అయితే a³ + b³ + c³ = 3abc
కాబట్టి (cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³ = 3(cos α + i sin α) (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
i.e., cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3γ + i sin 3γ = 3[cos(α + β + γ) + i sin (α + β + γ)] – (1)
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా,
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos(α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(α + β + γ)
(iii) a = cos α + i sin α అయితే \(\frac{1}{a}\) = cos α – i sin α
b = cos β + i sin β అయితే \(\frac{1}{b}\) = cos β – i sin β
c = cos γ + i sin γ అయితే \(\frac{1}{c}\) = cos γ – i sin γ
ఇప్పుడు \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) = (cos α + cos β + cos γ) – i(sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i(0)
= 0
⇒ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
⇒ bc + ca + ab = 0
⇒ [cos(β + γ)+ i sin(β + γ)] + [cos(γ + α) + i sin(γ + α)] + [cos(α + β) + i sin(α + β)] = 0
⇒ [cos(α + β) + cos(β + γ) + cos(γ + α)] + i[sin(α + β) sin(β + γ) + sin(γ + α)] = 0
వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా,
cos(α + β) + cos(β + γ) + cos(γ + α) = 0

ప్రశ్న 3.
n పూర్ణాంకం, z = cis θ, (θ ≠ (2n + 1) π/2) అయితే \(\frac{z^{2 n}-1}{z^{2 n}+1}\) = i tan nθ అని చూపండి.
సాధన:
z = cis θ = cos θ + i sin θ, θ ≠ (2n + 1)π/2

ప్రశ్న 4.
(1 + x)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + …… a_nxⁿ, n ∈ N అయితే
(i) a₀ – a₂ + a₄ – a₆ + ……. = \(2^{n / 2} \cos \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
(ii) a₁ – a₃ + a₅ – a₇ + ….. = \(2^{n / 2} \sin \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
సాధన:
ఇచ్చినది (1 + x)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + …… a_nxⁿ
x = i అయితే

వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగములను పోల్చగా,
(i) a₀ – a₂ + a₄ – a₆ + ……. = \(2^{n / 2} \cos \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
(ii) a₁ – a₃ + a₅ – a₇ + ….. = \(2^{n / 2} \sin \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(d)

అభ్యాసం – 1(డి)

I.

ప్రశ్న 1.
(i) ఆర్లాండ్ తలంలో 7 + 7i, 7 – 7i బిందువులను కలిపే రేఖాఖండపు లంబ సమద్విఖండన రేఖకు సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యలు ఆర్లాండ్ తలంలో A(7, 7); B(7, -7) లను సూచిస్తున్నాయి అనుకుందాం.
AB మధ్యబిందువు O

‘O’ నిరూపకాలు \(\left(\frac{7+7}{2}, \frac{7-7}{2}\right)\) = (7, 0)
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) వాలు = \(\frac{7+7}{7-7}=\frac{14}{0}\) = ∞
\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది.
\(\overline{\mathrm{PQ}} \perp \overline{\mathrm{AB}}\)
\(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) రేఖ X-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది.
\(\overline{\mathrm{PQ}}\) వాలు = 0
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) సమీకరణం y – 0 = 0(x – 7)
y = 0

(ii) ఆర్లాండ్ తలంలో (-9 + 6i), (11 – 4i) బిందువులను కలిపే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(-9 + 6i), (11 – 4i) లు ఆర్లాండ్ తలంలో సూచించే బిందువులు. (-9, 6), B(11, -4).
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) రేఖా సమీకరణం
⇒ y – y₁ = \(\left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)\) (x – x₁)
⇒ y – 6 = \(\left(\frac{-4-6}{11+9}\right)\) (x + 9)
⇒ y – 6 = \(-\frac{1}{2}\)(x + 9)
⇒ 2y – 12 = -x – 9
⇒ x + 2y – 3 = 0

ప్రశ్న 2.
z = x + iy అవుతూ, P బిందువు ఆర్గాండ్ సమతలంలో z ను సూచిస్తుంటే, క్రింది సమీకరణాలను తృప్తిపరచే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
(i) |z – 2 – 3i| = 5
సాధన:
z = x + iy, |z – 2 – 3i| = 5
|z – 2 – 3i| = 5
⇒ \(|x+i \overline{y-2}-3 i|=5\)
⇒ |(x – 2) + (y – 3)| = 5
⇒ \(\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=5\)
⇒ (x – 2)² + (y – 3)² = 25
⇒ x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25
∴ P బిందుపథం x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

(ii) 2|z – 2| = |z – 1|
సాధన:
2|z – 2| = |z – 1|
⇒ 2|x + iy – 2| = |x + iy – 1|
⇒ 2(x – 2) + iy| = |(x – 1) + iy|
⇒ \(2 \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
⇒ 4[(x – 2)² + y²] = (x – 1)² + y²
⇒ 4(x² – 4x + 4 + y²) = x² – 2x + 1 + y²
⇒ 4x² + 4y² – 16x + 16 = x² + y² – 2x + 1
∴ P బిందుపథం 3x² + 3y² – 14x + 15 = 0

(iii) Img z² = 4
సాధన:
Img z² = 4
∵ z = x + iy
⇒ z² = (x + iy)² = x² + i²y² + 2ixy = (x² – y²) + i(2xy)
∴ Img (z²) = 2xy = 4
∴ P బిందుపథం xy = 2

(iv) \({Arg}\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=\frac{\pi}{4}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ఆర్లాండ్ సమతలంలో 2 + 2i, -2 – 2i, 2√3 + 2√3i లను సూచించే బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి. (May ’07)
సాధన:
ఇచ్చిన సంకీర్ణ సంఖ్యలు ఆర్గాండ్ తలంలో A(2, 2), B(-2, -2), C(-2√3, 2√3) లను సూచిస్తున్నాయి అనుకుందాం.

AB² = (2 + 2)² + (2 + 2)²
= 16 + 16
= 32
BC² = (-2 + 2√3)² + (-2 – 2√3)²
= 4 + 12 – 8√3 + 4 + 12 + 8√3
= 32
AC² = (-2√3 – 2)² + (2√3 – 2)²
= 12 + 4 + 8√3 +12 +4 – 8√3
= 32
AB² = BC² = AC²
⇒ AB = BC = CA
∴ ∆ABC సమబాహు త్రిభుజంను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
|z – 4| + \(\left|z-\frac{12}{5}\right|\) = 10 సమీకరణం ద్వారా సూచించే దీర్ఘవృత్త యొక్క ఉత్కేంద్రతను కనుక్కోండి.
సాధన:
SP + S’P = 2a
S = (4, 0)
S’ = (\(\frac{12}{5}\), 0)
2a = 10
a = 5
SS’ = 2ae
4 – \(\frac{12}{5}\) = 2 × 5e
\(\frac{8}{5}\) = 10e
e = \(\frac{4}{25}\)

II.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\) ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు z₁, z₂, z₃ సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂, z₃ = x₃ + iy₃ అనుకుందాం.

\(\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\) ఒక వాస్తవ సంఖ్య కనుక దాని సంకీర్ణ భాగం సున్నా కావాలి.
⇒ (y₃ – y₁) (x₂ – x₁) – (x₃ – x₁) (y₂ – y₁) = 0
⇒ (y₃ – y₁) (x₂ – x₁) = (x₃ – x₁) (y₂ – y₁)
\(\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) బిందువులు
z₁, z₂, z₃ లను సూచిస్తున్నాయి.
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AC}}\) వాలు = \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) వాలు
∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 2.
2 + i, 4 + 3i, 2 + 5i, 3i అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ సమతలంలో ఒక చతురస్ర శీర్షాలను తెలుపుతాయని చూపండి.
సాధన:
A(2, 1), B(4, 3), C(2, 5), D(0, 3) లు ఆర్లాండ్ సమతలంలో దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు.

AB² = (2 – 4)² + (1 – 3)² = 4 + 4 = 8
BC² = (4 – 2)² + (3 – 5)² = 4 + 4 = 8
CD² = (2 – 0)² + (5 – 3)² = 4 + 4 = 8
DA² = (0 – 2)² + (3 – 1)² = 4 + 4 = 8
AB² = BC² = CD² = DA²
⇒ AB = BC = CD = DA …..(1)
AC² = (2 – 2)² + (1 – 5)² = 0 + 16 = 16
BD² = (4 – 0)² + (3 – 3)² = 16 + 0 = 16
AC² = BD²
⇒ AC = BD …….(2)
(1), (2) ల నుంచి A, B, C, D లు చతురస్రం శీర్షాలు.

ప్రశ్న 3.
-2 + 7i, \(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\), 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్ఖండ్ తలంలో ఒక సమచతుర్భుజి (రాంబస్) శీర్షాలను సూచిస్తాయని నిరూపించండి. [T.S. Mar ’16, May ’05, Mar. ’05, June ’04]
సాధన:


AC ≠ BD …..(2)
కనుక A, B, C, D లు సమచతుర్భుజి (రాంబస్) శీర్షాలు.

ప్రశ్న 4.
ఆర్గాండ్ తలంలో z₁, z₂, z₃ సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు సరేఖీయాలు కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం pz₁ + qz₂+ rz₃ = 0, p + q + r = 0 లను తృప్తి పరచే అన్ని శూన్యం కాని మూడు వాస్తవ సంఖ్యలు p, q, r లు వ్యవస్థితం అని చూపండి. [Mar. ’07]
సాధన:
pz₁ + qz₂ + rz₃ = 0
⇔ rz₃ = -pz₁ – qz₂
⇔ z₃ = \(\frac{-p z_1-q z_2}{r}\)
∵ r ≠ 0
∵ p + q + r = 0
⇔ r = -p – q
⇔ z₃ = \(-\frac{\left(p z_1+q z_2\right)}{-(p+q)}\)
⇔ z₃ = \(\frac{p z_1+q z_2}{p+q}\)
⇔ z₃, z₁, z₂ లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని q : p నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
⇔ z₁, z₂, z₃ లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 5.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో P, Q బిందువులు z₁, z₂ సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచిస్తున్నాయి. O మూల బిందువు \(z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2=0\) అయినప్పుడు ∠POQ = 90° అని చూపండి. [Mar. ’07]
సాధన:
z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂ అనుకుంటే,
అప్పుడు P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), O(0, 0) లు అవుతాయి.

ప్రశ్న 6.
సంకీర్ణ సంఖ్య z ఆయామం θ, 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\) ని కలిగి, అది |z – 3i| = 3 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిస్తే (cot θ – \(\frac{6}{z}\)) = i అని చూపండి.
సాధన:
z = cos θ + i sin θ అనుకొనుము.
ఇచ్చినది |z – 3i| = 3
⇒ |(cos θ + i sin θ) – 3i| = 3
⇒ |cos θ + i(sin θ – 3)| = 3
⇒ \(\sqrt{\cos ^2 \theta+(\sin \theta-3)^2}\) = 3
⇒ cos²θ + sin²θ – 6 sin θ + 9 = 9
⇒ 1 – 6 sin θ = 0
⇒ 6 sin θ = 1

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(c)

అభ్యాసం 1(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
(i) 1 – i
సాధన:
1 – i = r(cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
ఇరువైపులా వాస్తవ సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
r cos θ = 1
r sin θ = -1
⇒ θ నాల్గవ పాదంలో ఉంది.
వర్గం చేసి కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 1 + 1 = 2
r² = 2
⇒ r = √2
tan θ = -1 ⇒ θ = π/4
∴ 1 – i = \(\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\)

(ii) 1 + i√3 [Mar. ’14]
సాధన:
1 + i√3 = r(cos θ + i sin θ)
r cos θ = 1 …….(1)
r sin θ = √3 ……..(2)
θ మొదటి పాదంలో ఉంది.
వర్గం చేసి (1), (2) లను కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 1 + 3
r² = 4
⇒ r = 2
(2) ను (1) చే భాగించగా
\(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\) = √3
tan θ = √3
⇒ θ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ 1 + i√3 = 2 (cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\))

(iii) -√3 + i
సాధన:
-√3 + i = r(cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
r cos θ = -√3 …..(1)
r sin θ = 1 ……..(2)
⇒ θ రెండో పాదంలో ఉంది.
వర్గం చేసి (1), (2) లను కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1 = 4
r² = 4
⇒ r = 2
(2) ను (1) చే భాగించగా
\(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan θ = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), θ రెండో పాదంలో ఉంది కనుక
θ = 180° – 30° = 150° = \(\frac{5 \pi}{6}\)
∴ -√3 + i = 2(cos \(\frac{5 \pi}{6}\) + i sin \(\frac{5 \pi}{6}\))

(iv) -1 – i√3
సాధన:
-1 – i√3 = r(cos θ + i sin θ)
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
r cos θ = -1, r sin θ = -√3
వర్గం చేసి కలుపగా
r²(cos²θ + sin²θ) = 1 + 3
r² = 4
⇒ r = 2

ప్రశ్న 2.
-2i(3 + i) (2 + 4i) (1 + i) ను సూక్ష్మీకరించి, ఆ సంకీర్ణ సంఖ్య మాపాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
-2i(3 + i) (2 + 4i) (1 + i)
= (-6i – 2i²) (2 + 2i + 4i + 4i²)
= (2 – 6i) (-2 + 6i)
= -4 + 12 – 36i² + 12i
= 32 + 24i
= 8(4 + 3i)
మాపం = |8(4 + 3i)| = \(8 \sqrt{(4)^2+(3)^2}\)
= 8(5)
= 40

ప్రశ్న 3.
(i) z ≠ 0 అయితే Arg z + Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

(ii) z₁ = -1, z₂ = -i అయితే Arg(z₁z₂) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = -1 = cos π + i sin π
⇒ Arg z₁ = π
z₂ = -i = \(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ Arg z₂ = -π/2
Arg(z₁z₂) = Arg z₁ + Arg z₂
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

(iii) z₁ = -1, z₂ = i అయితే \({Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) ను కనుక్కోండి. [T.S. Mar ’16, May ’11]
సాధన:
z₁ = -1 = cos π + i sin π
⇒ Arg z₁ = π
z₂ = i = cos\(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
⇒ Arg z₂ = \(\frac{\pi}{2}\)
\({Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) = Arg z₁ – Arg z₂
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 4.
(i) (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β) = cos θ + i sin θ అయితే θ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ + i sin θ = (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β)
= cos 2α . cos 2β + i sin 2α . cos 2β + i cos 2α sin 2β + i² sin 2α . sin 2β
= (cos 2α . cos 2β – sin 2α . sin 2β) + i(sin 2α cos 2β + cos 2α sin 2β)
= cos 2(α + β) + i . sin 2(α + β)
∴ θ = 2(α + β)

(ii) √3 + i = r (cos θ + i sin θ), అయితే θ విలువను రేడియన్లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
∴ √3 + i = r(cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = √3, r sin θ = 1
⇒ r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1
⇒ r² = 4
⇒ r = 2
∴ cos θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sin θ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\)

(iii) x + iy = cis α . cis β and x² + y² విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x + iy = cis α . cis β
⇒ x + iy = (cos α + i sin α) (cos β + i sin β)
⇒ x + iy = cos(α + β) + i sin(α + β)
వాస్తవ భాగాలను, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చిన
x = cos(α + β), y = sin(α + β)
∴ x² + y² = cos²(α + β) + sin²(α + β) = 1

(iv) \(\frac{z_2}{z_1}\), (z₁ ≠ 0) ఒక శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య అయితే, \(\left|\frac{2 z_1+z_2}{2 z_1-z_2}\right|\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

(v) (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) అయితే a² + b² = 4 అని చూపండి. [A.P Mar ’16]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
(i) z = x + iy, |z| = 1 అయితే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
|z| = 1
\(\sqrt{x^2+y^2}\) = 1
⇒ x² + y² = 1
z బిందుపథం x² + y² = 1

(ii) (z – 1) యొక్క ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) అయితే, z యొక్క బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి. [May ’07]
సాధన:
z – 1 = x + iy – 1 = (x – 1) + iy
(z – 1) ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) కావున
వాస్తవ భాగం శూన్యం
⇒ x – 1 = 0
∴ z బిందుపథం x – 1 = 0

(iii) Arg \(\overline{\mathbf{z}}_1\), Arg z₂ లు వరుసగా \(\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{3}\) అయితే (Arg z₁ + Arg z₂) ను కనుక్కోండి. [A.P Mar ’16]
సాధన:

(iv) z = \(\frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}\) అయితే Arg(z) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూక్ష్మీకరించి, వాటి మాపాన్ని కనుక్కోండి.
(i) \(\frac{(2+4 i)(-1+2 i)}{(-1-i)(3-i)}\)
(ii) \(\frac{(1+i)^3}{(2+i)(1+2 i)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(i) (1 – i) (2 – i) (3 – i)…. (1 – ni) = x – iy, అయితే 2.5.10 …. (1 + n²) = x² + y² అని చూపండి.
సాధన:

(ii) \(\frac{z+1}{z+i}\) యొక్క వాస్తవ భాగం 1 అయితే z యొక్క బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

(iii) |z – 3 + i| = 4 అయితే z బిందుపథాన్ని నిర్ధారించండి. [Mar. ’14; May ’08]
సాధన:
|z – 3 + i| = 4
|x + iy – 3 + i = 4
(x – 3) + (y + 1)| = 4
\(\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}\) = 4
∴ z బిందుపథం (x – 3)² + (y + 1)² = 16
x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 – 16 = 0
x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0

(iv) |z + ai| = |z – ai| అయితే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
|z + ai| = |z – ai|
|x + iy + ai| = |x + iy – ai|
|x + i(y + a)| = |x + i(y – a)|
\(\sqrt{x^2+(y+a)^2}=\sqrt{x^2+(y-a)^2}\)
x² + (y + a)² = x² + (y – a)²
(y + a)² – (y – a)² = 0
i.e., 4ay = 0
⇒ y = 0
z బిందుపథం y = 0

ప్రశ్న 3.
z = x + iy అయి, P బిందువు ఆర్గాండ్ తలంలో z ని సూచిస్తుంటే, క్రింది సమీకరణాలను తృప్తిపరచే, z బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
(i) |2z – 3| = 7
సాధన:
|2z – 3| = 7
z = x + iy
⇒ |2z – 3| = 7
⇒ |2(x + iy) – 3| = 7
⇒ (2x – 3) + 2(iy)| = 7
⇒ \(\sqrt{(2 x-3)^2+4 y^2}\) = 7
P బిందుపథం (2x – 3)² + 4y² = 49
⇒ 4x² + 9 – 12x + 4y² – 49 = 0
⇒ 4x² + 4y² – 12x – 40 = 0
(i.e,) x² + y² – 3x – 10 = 0
∴ z యొక్క బిందుపథం x² + y² – 3x – 10 = 0
ఈ సమీకరణం వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
కేంద్రం = (\(\frac{3}{2}\), 0)
వ్యాసార్ధం = \(\sqrt{\frac{9}{4}-(-10)}\)
= \(\sqrt{\frac{9+40}{4}}\)
= \(\frac{7}{2}\) యూనిట్లు

(ii) z² = 4 Re (z + 2)
సాధన:
z = x + iy, |z|² = 4 Re (z + 2)
⇒ |x + iy|² = 4 Re (x + iy + 2)
⇒ \(\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\) = 4 Re (x + 2 + iy)
⇒ (x² + y²) = 4(x + 2)
⇒ x² + y² – 4x – 8 = 0
ఇదియే P బిందుపథం.
ఈ సమీకరణం వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
కేంద్రం = (2, 0)
వ్యాసార్థం = \(\sqrt{4-(-8)}\) = √12 = 2√3 యూనిట్లు

(iii) |z + i|² – |z – i|² = 2
సాధన:
z = x + iy
|z + i|² – |z – i|² = 2
⇒ |x + iy + i|2 – |x + iy – i|2 = 2
⇒ x + i(y + 1)2 – |x + (y – 1)|2 = 2
⇒ \(\left[\sqrt{x^2+(y+1)^2}\right]^2-\left[\sqrt{x^2+(y-1)^2}\right]^2\) = 2
⇒ x² + (y + 1)² – (x² + (y – 1)²) = 2
⇒ (y + 1)² – (y – 1)² = 2
⇒ 4y = 2
⇒ 2y = 1
P బిందుపథం 2y – 1 = 0
ఈ సమీకరణం X- అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.

(iv) |z + 4i| + |z – 4i| = 10
సాధన:
z = x + iy
∵ |z + 4i| + |z – 4i| = 10
⇒ |x + iy + 4i| + |x + iy – 4i| = 10
⇒ |x + i(y + 4)| + |x + (y – 4)i| = 10
⇒ \(\sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}\) = 10
⇒ \(\sqrt{x^2+(y+4)^2}=10-\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
⇒ x² + (y + 4)² = \(\left[10-\sqrt{x^2+(y-4)^2}\right]^2\)
⇒ x² + (y + 4)² = 100 + x² + (y – 4)² – 20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ (y + 4)² – (y – 4)² – 100 = -20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ 4 (y) (4) – 100 = -20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ 4(4y – 25) = -20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
⇒ (4y – 25) = -5\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
మరల వర్గం చేయగా (4y – 25)² = 25[x² + (y – 4)²]
16y² + 625 – 200y = 25x² + 25y² – 200y + 400
25x² + 9y² = 225
∴ P బిందుపథం 25x² + 9y² = 225
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ఈ సమీకరణం దీర్ఘవృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
a² = 9, b² = 25
a² = b² (1 – e²)
⇒ 9 = 25 (1 – e²)
⇒ 1 – e² = \(\frac{9}{25}\)
e² = 1 – \(\frac{9}{25}\) = \(\frac{16}{25}\)
∴ ఉత్కేంద్రత = \(\frac{4}{5}\) మరియు దీర్ఘాక్షం y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.

ప్రశ్న 4.
(i) z₁, z₂ లు రెండు శూన్యేతర సంకీర్ణ సంఖ్యలు మరియు |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| అయితే Arg z₁ – Arg z₂ = 0 అని చూపండి.
సాధన:
z₁ + z₂ = (x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)
|z₁ + z₂| = \(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(y_1+y_2\right)^2}\)
(దత్తాంశం నుండి) |z₁ + z₂| = |z₂| + |z₂|

(ii) z = x + iy ఆర్గాండ్ తలంలో P బిందువు z ని సూచిస్తుంది. \(\left|\frac{\mathbf{z}-\mathbf{a}}{\mathbf{z}+\overline{\mathbf{a}}}\right|\) = 1, వాస్తవ (a) ≠ 0 అయితే P బిందు
పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
z = x + iy, a = α + iβ అనుకుందాం.

(x – α)² + (y – β)² = (x + α)² + (y – β)²
⇒ (x – α)² = (x + α)²
⇒ (x + α)² – (x – α)² = 0
⇒ 4αx = 0
Re(a) ≠ 0 ⇒ α ≠ 0
⇒ x = 0
∴ P బిందుపథం x = 0 i.e., Y-అక్షం.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు Exercise 1(b)

అభ్యాసం 1(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను a + ib రూపంలో వ్రాయండి.
(i) (2 – 3i) (3 + 4i)
సాధన:
(2 – 3i) (3+ 4i) = 6 + 8i – 9i – 12i²
= (6 + 12) – i
= 18 – i
= 18 + i(-1)

(ii) (1 + 2i)³
సాధన:
(1 + 2i)³ = 1 + 3(2i) + 3(2i)² + (2i)³
= 1 + 6i + 3(-4) + 8i³
= 1 + 6i – 12 – 8i
= -11 – 2i
= -11 + i(-2)

(iii) \(\frac{a-i b}{a+i b}\)
సాధన:

(iv) \(\frac{4+3 i}{(2+3 i)(4-3 i)}\)
సాధన:
(2 + 3i) (4 – 3i) = 8 – 6i + 12i – 9i² = 17 + 6i

(v) (-√3 + √-2) (2√3 – i)
సాధన:
(-√3 + √-2) (2√3 – i)
= (-√3 + i√2) (2√3 – i)
= -6 + i√3 + i 2√6 + √2
= (-6 + √2) + i(√3 + 2√6)

(vi) -5i (\(\frac{i}{8}\))
సాధన:
-5i (\(\frac{i}{8}\)) = \(\frac{-5 i^2}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\) + i(0)

(vii) (-i) (2i)
సాధన:
(-i) (2i) = -2i²
= (-2) (-1)
= 2
= 2 + i(0)

(viii) i⁹
సాధన:
i⁹ = (i⁸) (i)
= (i²)⁴ i
= (-1)⁴ i
= i
= 0 + i(1)

(ix) i^-19
సాధన:

(x) 3(7 + 7i) + i(7 + 7i)
సాధన:
3(7 + 7i) + i(7 + 7i)
= 21 + 21i + 7i + 7i²
= 21 + 28i + 7(-1)
= 14 + 28i
= 14 + i(28)

(xi) \(\frac{2+5 i}{3-2 i}+\frac{2-5 i}{3+2 i}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలకు సంయుగ్మాలను వ్రాయండి.
(i) 3 + 4i
సాధన:
3 + 4i కు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య 3 – 4i

(ii) (15 + 3i) – (4 – 20i)
సాధన:
(15 + 3i) – (4 – 20i)
= 15 + 3i – 4 + 20i
= 11 + 23i
దాని సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య = 11 – 23i

(iii) (2 + 5i) (-4 + 6i)
సాధన:
(2 + 5i) (-4 + 6i)
= -8 + 12i – 20i + 30i²
= -38 – 8i
దాని సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య = -38 + 8i

(iv) \(\frac{5 \mathbf{i}}{\mathbf{7 + i}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) i² + i⁴ + i⁶ + (2n + 1) + ….. పదాల వరకు
సాధన:
i² + i⁴ = -1 + (-1)² = 0
ఇదే విధంగా i⁶ + i⁸ = (i²)³ + (i²)⁴
= (-1)³ + (-1)⁴
= -1 + 1
= 0
(i.e..) రెండు వరుస పదాల మొత్తం… = 0
∴ చివరి పదం (i²)²ⁿ⁺¹ = (-1)²ⁿ⁺¹ = -1
∴ i² + i⁴ + i⁶ + …..(2n + 1) పదాలు = -1

(ii) i¹⁸ + 3 . i⁷ + i² (1 + i⁴) (-i²⁶)
సాధన:
i¹⁸ = i¹⁶ . i²
= (i⁴)⁴ i²
= 1(-1)
= -1
i⁷ = i⁴ . i² . i = 1(-1) i = -i
i⁴ = 1
(-i)²⁶ = i²⁶
= i²⁴ . i²
= (i⁴)⁶ . i²
= i⁶(-1)
= -1
i¹⁸ – 3i⁷ + i² (1 + i⁴) (-i)²⁶
= 1 – 3(-i)(-1)(1 + 1) (-1)
= -1 + 3i + 2
= 1 + 3i

ప్రశ్న 4.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలకు వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
(i) 7 + 24i
సాధన:
\(\sqrt{7+24 i}\) = ±(a + ib)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
7 + 24i = (a + ib)²
= a² + i²b² + 2iab
= a² – b² + 2iab
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
a² – b² = 7 …….(1)
2ab = 24 ……(2)
(a² + b²)² = (a² – b²)² + 4a²b²
= 49 + 576
= 625
a² + b² = 25 ……(3)
a² – b² = 7 …….(1)
కలుపగా 2a² = 32
⇒ a² = 16
⇒ a = 4
తీసివేయగా 2b² = 18
⇒ b² = 9
⇒ b = 3
\(\sqrt{7+24 i}\) = ±(4 + 3i)

(ii) -8 – 6i
సాధన:
\(\sqrt{-8-6 i}\) = ±(a – ib) అనుకుందాం.
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
-8 – 6i = (a – ib)²
= a² + i²b² – 2iab
= a² – b² – 2iab
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
a² – b² = -8 …..(1)
2ab = +6 …….(2)
(a² + b²)² = (a² – b²)² + 4a²b²
= 64 + 36
= 100
a² + b² = 10 ……(3)
a² – b² = -8 ……(1)
కలుపగా 2a² = 2
⇒ a² = 1
⇒ a = 1
తీసివేస్తే 2b² = 18
⇒ b² = 9
⇒ b = 3
\(\sqrt{-8-6 i}\) = (1 – 3i)
∴ -8 – 6i వర్గమూలం = ±(1 – 3i)

(iii) (3 + 4i) [Mar. ’13]
సాధన:

(iv) (-47 + i . 8√3)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
క్రింది సంకీర్ణ సంఖ్యలకు గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
(i) √5 + 3i
(ii) -i
(iii) i^-35
సాధన:
∵ a + ib గుణన విలోమం \(\frac{a-i b}{a^2+b^2}\)
(i) √5 + 3i గుణన విలోమం

(ii) -i గుణన విలోమం = \(\frac{0+i}{1}\) = i
(iii) i^-35

II.

ప్రశ్న 1.
(i) (a + ib)² = x + iy అయితే x² + y² ను కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ x + iy = (a + ib)²
= a² + i²b² + i²ab
= (a² – b²) + i(2ab)
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
x = a² – b², y = 2ab
∴ x² + y² = (a² – b²) + (2ba)²
= a⁴ + b⁴ – 2a²b² + 4a²b²
= a⁴ + b⁴ + 2a²b²
= (a² + b²)²
∴ x² + y² = (a² + b²)²

(ii) x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయితే x² + y² = 4x – 3 అని చూపండి.
సాధన:

(iii) x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\), అయితే 4x² – 1 = 0 అని చూపండి. [A.P. Mar ’16, Mar. ’06]
సాధన:

వాస్తవ భాగాన్ని పోల్చగా x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = 1
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

(iv) u + iv = \(\frac{2+i}{z+3}\), z = x + iy, అయితే u, v లను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(i) z = 3 – 5i అయితే, z³ – 10z² + 58z – 136 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
z = 3 – 5i
z – 3 = -5i
(z – 3)² = (-5i)²
z² – 6z + 9 = -25
z² – 6z + 34 = 0
z³ – 10z² + 58z – 136 = z(z² – 6z + 34) – 4z² + 24z – 136
= z(0) – 4(z² – 6z + 34)
= 0 – 4(0)
= 0
∴ z³ – 10z² + 58z – 136 = 0

(ii) z = 2 – i√7 అయితే, 3z³ – 4z² + z + 88 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
∵ z = 2 – i√7
z – 2 = -i√7
(z – 2)² = (-i√7)²
z² – 4z + 4 = 7
z² – 4z + 11 = 0
3z³ – 4z² + z + 88 = 3z(z² – 4z +11) + 8z² – 32z + 88
= 3z(0) + 8(z² – 4z + 11)
= 0 + 8(0)
= 0

(iii) \(\frac{2-i}{(1-2 i)^2},-\left(\frac{2+11 i}{25}\right)\) లు పరస్పరం సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలని చూపండి.
సాధన:

x + iy, x – iy రూపంలో ఉన్నవి.
∴ అవి పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 3.
(i) (x – iy)^1/3 = a – ib అయితే, \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 4(a² – b²) అని చూపండి.
సాధన:

(ii) \(\left(\frac{a+i b}{a-i b}\right)^2-\left(\frac{a-i b}{a+i b}\right)^2\) ను x + iy రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన:

(iii) \(\frac{(1+i) x-2 i}{3+i}+\frac{(2-3 i) y+i}{3-i}=i\) అయ్యేటట్లు x, y వాస్తవసంఖ్యలు అయితే x, y విలువలను నిర్ధారించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
(i) \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1\) ను తృప్తిపరచే, కనిష్ట ధన పూర్ణాంకం n ను కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ n యొక్క కనిష్ట ధన పూర్ణాంకం విలువ 4.

(ii) \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3-\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3\) = x + iy అయితే x, y విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:

(iii) \(\frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}\) ఒక (a) వాస్తవ సంఖ్య (b) శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య అయినప్పుడు, θ కు వాస్తవ విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:

(iv) \(\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}=i\) అయ్యేటట్లు x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే x, y విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}=i\)
⇒ \(\frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{9-i^2}=i\)
⇒ 3x – xi – 3 + i + 3y – iy – 3 – i = 10i
⇒ (3x + 3y – 6) + i(-x + y) = 0 + 10i
వాస్తవ భాగాలను, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చిన
3x + 3y – 6 = 0
⇒ x + y – 2 = 0 …….(1)
-x + y = 10
⇒ x – y + 10 = 0 …….(2)
(1) + (2) ⇒ 2x + 8 = 0
⇒ x = -4
(1) నుండి -4 + y – 2 = 0
⇒ y = 6
∴ x = -4, y = 6