Mahesh

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం Exercise 2(a)

అభ్యాసం – 2 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
అక్షాల సమాంతరపరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును (4, −5) కు మారిస్తే కొత్త అక్షాల దృష్ట్యా క్రింది బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
i) (0, 3),
ii) (−2, 4)
iii) (4, -5)
సాధన:
i) కొత్త మూలబిందువు = (4, -5); h = 4, k = -5
పాత నిరూపకాలు (0, 3)
నిరూపకాక్షాలకు 8 కోణం భ్రమణం చేయవలెను.
tan 2θ = \(\frac{2 h}{a-b}\) ; x = 0, y = 3
x’ = x – h= 0 – 4 = -4
y’ = y – k = 3 + 5 = 8
నూతన నిరూపకాలు (-4, 8)

ii) పాత నిరూపకాలు (-2, 4)
x = -2, y = 4
x’ = x – h = -2 -4 = -6
y’ = y – k = 4 + 5 = 9
నూతన నిరూపకాలు (-6, 9)

iii) పాత నిరూపకాలు (4, -5)
x = 4, y = -5
x’ =x-h=4 – 4 = 0
y’ = y – k = -5 + 5 = 0
నూతన నిరూపకాలు (0, 0)

ప్రశ్న 2.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తనద్వారా మూలబిందువు (2, 3) కు మారింది. P బిందువు నిరూపకాలు క్రింది విధంగా మారితే, మూల వ్యవస్థలో P నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
i) (4, 5)
ii) (4, -3),
iii) (0, 0)
సాధన:
i) నూతన నిరూపకాలు (4, 5)
x’ = 4, y’ = 5
x = x + h = 4 + 2= 6
y = y’ + k = 5 + 3 = 8
పాత నిరూపకాలు (6, 8)

ii) నూతన నిరూపకాలు (-4, 3)
x’ = -4, y’ = 3
x = x’ + h = 4 + 2 = -2
y = y’ + k = 3 + 3 = 6
పాత నిరూపకాలు (−2, 6)

iii) నూతన నిరూపకాలు (0, 0)
x’ = 0, y’ = 0
x = x’ + h = 0 + 2 = 2
y = y’ + k = 0 + 3 = 3
పాత నిరూపకాలు (2, 3)

ప్రశ్న 3.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా బిందువు (3, 0)ను (2, −3) కు మార్చడానికి మూలబిందువును ఏబిందువుకు మార్చాలో తెలపండి.
సాధన:
(x, y) = (3, 0)
(x’, y’) = (2, −3)
మూల బిందువు (h, k) కు మార్చవలెను
h = x – x’ = 3 – 2 = 1
k = y – y = 0 + 3 = 3
∴ (h, k) = (1, 3)

ప్రశ్న 4.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును (−1, 2) కు మారిస్తే క్రింది సమీకరణల రూపాంతరాలను కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0
ii) 2x² + y² – 4x + 4y = 0
సాధన:
i) దత్త సమీకరణము
x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0
మూల బిందువు (−1, 2) కు మార్చవలెను
h = -1, k = 2
పరివర్తన సమీకరణాలు
x = x’ + h, y = y + k
i.e., x = x’ – 1, y = y + 2
రూపాంతర సమీకరణము (x’ – 1)² + (y + 2)²
+ 2(x’ – 1) – 4(y’ + 2) + 1 = 0
(x’)² + 1 − 2x’ + (y’)² + 4 + 4y’ + 2x’ – 2 – 4y’ – 8 + 1 = 0
(x’)² + (y’)² − 4 = 0

ii) పాత సమీకరణము 2x² + y² – 4x + 4y = 0
నూతన సమీకరణము 2 (x’ – 1)² + (y + 2)² -4(x’ – 1) + 4(y + 2) = 0
2[(x’)² + 1 – 2x’] + (y’)² + 4 + 4y’ – 4x’ + 4 + 4y’ + 8 = 0
2(x’)² + 2 – 4x’ + (y’) ² + 4 + 4y’ – 4x + 4 + 4y’ + 8 = 0
2(x’)² + (y’)² = 8x’ + 8y + 18 = 0

ప్రశ్న 5.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును ఏ బిందువుకు మార్చిందీ, తద్వారా రూపాంతరం చెందిన సమీకరణము క్రింద ఇవ్వడమైంది. మూలసమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
i) (3, – 4); x² + y² = 4
ii) (-1, 2); x² + 2 y² + 16 = 0.
సాధన:
i) మూల బిందువును = (3, -4) = (h, k) కు మార్చవలెను
x’ = x -h,
= x – 3
y’ = y-k
= y + 4
మూల సమీకరణము (x’)² + (y’)² = 4
(x – 3)² + (y + 4) ² = 4
x² – 6x + 9 + y² + 8y + 16
∴ x² + y² – 6x + 8y + 21 = 0

ii) మూల బిందువు = (h, k) = (-1, 2) కు మార్చవలెను.
x’ = x – h,
= x + 1
y’ = y – k
= y – 2
= 4
x’² + 2y’² + 16 = 0 యొక్క మూల సమీకరణము
(x + 1)² + 2(y – 2)² + 16 = 0
x² + 2x + 1 + 2y² – 8y + 8 + 16 = 0
x² + 2y² + 2x – 8y + 25 = 0

ప్రశ్న 6.
4x² + 9y² – 8x + 36y + 4 = 0 సమీకరణంలో మొదటి తరగతి పదాలు లోపింపచేయడానికి మూల బిందువును ఏ బిందువుకు మార్చాలో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
4x² + 9y² – 8x + 36y + 4 = 0
a = 4
b = 9
g = – 4
f = 18
– \(\frac{g}{a}=\frac{4}{4}\) = 1, –\(\frac{f}{b}=-\frac{18}{9}\) = -2
మూల బిందువు (1, 2) కు పరివర్తన చేయవలెను.

ప్రశ్న 7.
30° కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, క్రింది బిందువుల కొత్త నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
i) (0, 5)
ii) (−2, 4)
iii) (0, 0)
సాధన:
i) θ = 30° అని యివ్వబడింది. పాత నిరూపకాలు (0, 5)
x = 0, y = 5
x’ = x. cos θ + y. sin θ
= 0. cos 30° + 5. sin 30° = \(\frac{5}{2}\)
y’ = -x sin θ + y cos θ
=-0. sin 30° + 5 cos 30° = \(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\)
పరివర్తన నిరూపకాలు \(\left(\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)\)

ii) పాత నిరూపకాలు (-2, 4)
x = -2, y = 4
x’ = x cos θ + y sin θ
= (-2). cos 30° + 4. sin 30°
= -2 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 4 . \(\frac{1}{2}\) = –\(\sqrt{3}\) + 2
y’ = – x sin θ + y cos θ
= (− 2). sin 30° + 4. cos 30°
= -2 . \(\frac{1}{2}\) + 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 1 + 2\(\sqrt{3}\)
∴ పరివర్తన నిరూపకాలు (-\(\sqrt{3}\) + 2, 1+ 2\(\sqrt{3}\))

iii) (x, y) = (0, 0) మరియు θ = 30° అని యివ్వబడింది.
x = (0, y) ⇒ x = x. cos 30° – y sin 30°
= 0 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) – 0 . \(\frac{1}{2}\) = 0
y = x. sin 30° + y.cos 30°
= 0 . \(\frac{1}{2}\) + 0 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
పరివర్తన నిరూపకాలు (0, 0)

ప్రశ్న 8.
60° కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, మూల బిందువుల కొత్త నిరూపకాలను ఇవ్వడమైంది.
i) (3, 4),
ii) (-7, 2)
iii) (2, 0) మూల వ్యవస్థలో ఈ బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) θ = 60° అని యివ్వబడింది.
నూతన నిరూపకాలు (3, 4)
x’ = 3, y’ = 4
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= 3. cos 60° – 4. sin 60°
= 3 . \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{3-4 \sqrt{3}}{2}\)

y = x’ sin θ + y’ cos θ
= 3 sin 60° + 4. cos 60°
= \(\text { 3. } \frac{\sqrt{3}}{2}+4 \cdot \frac{1}{2}=\frac{4+3 \sqrt{3}}{2}\)
P తొలి నిరూపకాలు \(\left(\frac{3-4 \sqrt{3}}{2}, \frac{4+3 \sqrt{3}}{2}\right)\)

ii) నూతన నిరూపకాలు (−7, 2)
x’ = 7, y’ = 2
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= (-7) cos 60° – 2. sin 60°
= -7 . \(\frac{1}{2}-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-7-2 \sqrt{3}}{2}\)
y = x’ sin θ + y’. cos θ
= -7. sin 60° + 2. cos 60°
= -7 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}+2 \cdot \frac{1}{2}=\frac{2-7 \sqrt{3}}{2}\)
Q తొలి నిరూపకాలు \(\left(\frac{-7-2 \sqrt{3}}{2}, \frac{2-7 \sqrt{3}}{2}\right)\)

iii) నూతన నిరూపకాలు (2, 0)
x’ = 2, y’ = 0
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= 2. cos 60° – 0. sin 60°
= 2 . \(\frac{1}{2}\) – 0 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 1 – 0 = 1
y = x’ sin θ + y’ cos θ
= 2. sin 60° + 0. cos 60°
= 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 0 . \(\frac{1}{2}\) = \(\sqrt{3}\)
Q తొలి నిరూపకాలు (1, \(\sqrt{3}\))

ప్రశ్న 9.
x² + 4xy + y² – 2x + 2y – 60 xy పదం లోపింపచేయడానికి అక్షాలను ఏ కోణంలో భ్రమణ పరివర్తన చేయాలో కనుక్కోండి. [June ’04]
సాధన:
x² + 4xy + y² – 2x + 2y – 6 = 0
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 తో
పోల్చగా a = 1, h = 2, b = 1, g = 1, f = 1, c = -6
నిరూపకాక్షాలకు ‘θ’ కోణం భ్రమణం చేస్తే

II.

ప్రశ్న 1.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూల బిందువును (2, 3) కు మార్చినప్పుడు, ఒక వక్రం రూపాంతరం చెందిన సమీకరణము x² + 3xy – 2y² + 17x – 7y – 11 = 0 అయితే వక్రం యొక్క మూల సమీకరణము కనుక్కోండి. [May ’11]
సాధన:
పరివర్తన సమీకరణాలు
x = x + h, y = y + k
x’ = x – h = x – 2, y’ = y – 3
పరివర్తిత సమీకరణము
x² + 3xy – 2y² + 17x – 7y – 11 = 0
తొలి సమీకరణము
(x – 2)² + 3(x – 2) (y – 3) – 2(y – 3)² + 17(x – 2) – 7(y – 3) – 11 = 0
x² – 4x + 4 + 3xy – 9x – 6y + 18 – 2y² + 12y – 18 + 17x – 34 – 7y + 21 − 11 = 0
x² + 3xy – 2y² + 4x – y – 20 = 0
ఇది కావలసిన మూల సమీకరణము

ప్రశ్న 2.
45°కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, రూపాంతరం చెందిన వక్రం సమీకరణము 17x² – 16xy + 17y = 225. వక్రం మూల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15; May ’12]
సాధన:
భ్రమణ కోణము = θ = 45
x’ = x cos θ + y sin θ = x cos 45 + y sin 45
= \(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)
y’ = -x sin θ + y cos θ = − -x sin 45 + y cos 45
= \(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\)
17x² – 16xy + 17y² = 225 యొక్క తొలి సమీకరణము

17x² + 17y² + 34xy – 16y² + 16x² + 17x² + 17y² – 34xy = 450
50x² + 18y² = 450
తొలి సమీకరణము
25x² + 9y² = 225

ప్రశ్న 3.
అక్షాలను a కోణంతో భ్రమణం చేసినప్పుడు, x cos α. + y sin α = p యొక్క రూపాంతర సమీకరణము కనుక్కోండి. [Mar. ’14, May ’07]
సాధన:
దత్త సమీకరణము x cos α + y sin α = p
∵ నిరూపకాక్షాలను కోణం భ్రమణం చేసాయి.
x = x’ cos α – y’ sin α
y = x’ sin α + y’ cos α
దత్త సమీకరణము పరివర్తిత రూపము
(x’ cos α – y’ sin α) cos α + (x’ sin a + y’ cos α) sin α = p
⇒ x’ (cos² α + sin² α) = p ⇒ x’ = p
దత్త సమీకరణము పరివర్తిత రూపం x = p

ప్రశ్న 4.
\(\frac{\pi}{6}\) కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, x² + 2\(\sqrt{3}\)xy – y² = 2a² యొక్క సమీకరణము కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15, ’12, ’07, ’04; May ’13, ’12]
సాధన:
θ = \(\frac{\pi}{6}\), x = X cos α + Y sin α
x = X cos \(\frac{\pi}{6}\) – Y sin \(\frac{\pi}{6}\)
= \(X \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-Y \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3} X-Y}{2}\)
y = X sin α + Y cos α = X. sin \(\frac{\pi}{6}\) + Y cos \(\frac{\pi}{6}\)
= \(X \cdot \frac{1}{2}+Y . \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{X+\sqrt{3} Y}{2}\)
రూపాంతర సమీకరణము

⇒ \(\frac{3 x^2-2 \sqrt{3} X Y+Y^2}{4}\) + \(\frac{2 \sqrt{3}\left[\sqrt{3} X^2-X Y+3 X Y-\sqrt{3} Y^2\right]}{4}\) – \(\frac{X^2+3 Y^2+2 \sqrt{3} X Y}{4}\) = 2a²
⇒ 3X² – 2\(\sqrt{3}\) XY + Y² + 2\(\sqrt{3}\) [\(\sqrt{3}\)X² + 2XY – \(\sqrt{3}\)Y²] – (x² + 3Y² + 2\(\sqrt{3}\)XY) = 8a²
⇒ 3x² – 2\(\sqrt{3}\)XY + Y² + 6X² + 4\(\sqrt{3}\)XY – 6Y² – X² – 3Y² – 2\(\sqrt{3}\) XY = 8a²
⇒ 8x² – 8y² = 8a² ⇒ X² – Y² = a²

ప్రశ్న 5.
\(\frac{\pi}{4}\) కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు, 3x² + 10xy + 3y² = 9 యొక్క రూపాంతర
సమీకరణము కనుక్కోండి. [May ’11]
సాధన:
దత్త సమీకరణము
3x² + 10xy + 3y² – 9 = 0 ……………… (1)
భ్రమణ కోణము θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(X, Y) లు (x, y) యొక్క నూతన నిరూపకాలు అనుకొనుము.
x = X cos θ – Y sin θ
= X cos \(\frac{\pi}{4}\) – y sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\)
y = X sin θ + Y cos θ = X sin \(\frac{\pi}{4}\) + Y cos \(\frac{\pi}{4}\) = 2 \(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\)
(1) యొక్క రూపాంతర సమీకరణము
\(3\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2+10\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)+3\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2-9=0\)
⇒ 3 \(\frac{\left(X^2-2 X Y+Y^2\right)}{2}\) + 10 \(\frac{\left(X^2-Y^2\right)}{2}\) + 3 \(\frac{\left(X^2+2 X Y+Y^2\right)}{2}\) – 9 = 0
⇒ 3x² – 6XY + 3y² + 10X² – 10Y² + 3X² + 6XY + 3Y² – 18 = 0
16X² – 4Y² – 18 = 0
∴ 8X² – 2Y² = 9
∴ 8X² – 2Y² = 9

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 1 బిందుపథం Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 1 బిందుపథం Exercise 1(a)

అభ్యాసం – 1(ఎ)

I

ప్రశ్న 1.
బిందువు A (4, – 3) నుంచి దూరం 5 గాగల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (4, -3) దత్త బిందువు P(x, y) బిందుపథం మీది బిందువు

దత్త నియమము AP = 5
AP² = 25
(x – 4)² + (y + 3)² = 25
x² – 8x + 16 + y² + 6y + 9 − 25 = 0
P యొక్క బిందుపథ సమీకరణము
x² + y² – 8x + 6y = 0

ప్రశ్న 2.
A (-3, 2), B (0, 4) బిందువుల నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (- 3, 2), B (0, 4) లు దత్త బిందువులు
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు

దత్త నియమము PA = PB
PA² = PB²
(x + 3)² + (y – 2)² = (x – 0)² + (y – 4)²
x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 = x² + y² – 8y + 16
6x + 4y = 3 బిందుపథం మీది సమీకరణము.

ప్రశ్న 3.
మూల బిందువు నుంచి P దూరం, A (1, 2) బిందువు నుంచి P దూరానికి రెట్టింపు అయితే బిందువు P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’12]
సాధన:
O (0, 0), A (1, 2) లు దత్త బిందువులు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.

దత్త నియమము OP = 2AP
OP² = 4 AP²
x² + y² = 4 [(x – 1)² + (y – 2)²]
= 4 (x² – 2x + 1 + y² – 4y+ 4)
x² + y² = 4x² + 4y² – 8x – 16 y + 20
P యొక్క బిందుపథ సమీకరణము
3x² + 3y² – 8x – 16y + 20 = 0

ప్రశ్న 4.
నిరూపకాక్షాల నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు
PM, PN లు P నుండి X, Y – అక్షాల మీదకు గీయబడిన లంబములు.

దత్తాంశం PM = PN ⇒ PM² = PN²
y² = x²
P బిందుపథము x² – y² = 0

ప్రశ్న 5.
A (2, 0) బిందువుకు Y – అక్షానికి సమాన దూరంలో ఉండే. బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (2, 0) దత్త బిందువు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు

Y – అక్షానికి లంబంగా PN ను గీయండి.
దత్త నియమము PA = PN
PA² = PN²
(x – 2)² + (y – 0) ² = x²
x² − 4x + 4 + y² = x²
P బిందుపథము y² – 4x + 4 = 0

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి వర్గం, P- బిందువు Y– నిరూపకానికి నాలుగురెట్లుంటే బిందువు P – పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. 05; June 04]

సాధన:
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము OP² = 4y ⇒ x² + y² = 4y
P బిందుపథ సమీకరణము x² + y² – 4y = 0.

ప్రశ్న 7.
A = (a, 0), B = (-a, 0), 0 < |a|< |c|. PA² + PB² = 2c² అయ్యేటట్లు బిందువు P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు.
A = (a, 0)
B = (-a, 0)
దత్త నియమము
PA² + PB² = 2c²
(x − a)² + (y − 0)² + (x + a)² + (y − 0)² = 2c²
x² – 2ax + a² + y² + x² + 2ax + a² + y² = 2c²
2x² + 2y² = 2c² – 2a²
∴ x² + y² = c² – a² బిందుపథ సమీకరణము.

II.

ప్రశ్న 1.
(2, 3), (−1, 5) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం, P వద్ద లంబకోణం చేస్తే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13; May ’12; Mar. ’05; June ’04]
సాధన:
A(2, 3), B (−1, 5) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.

దత్త నియమము ∠APB = 90°
AP² + PB² = AB²
(x − 2)² + (y − 3)² + (x + 1)² + (y − 5)² = (2 + 1)² + (3 − 5)²
= x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 + x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25 = 9 + 4
2x² + 2y² – 2x – 16y + 26 = 0
P యొక్క బిందుపథం x² + y² – x – 8y + 13 = 0
(x, y) ≠ (2, 3) మరియు (x, y) ≠ (-1, 5)

ప్రశ్న 2.
(0, 6), (6, 0) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(0, 6), B (6, 0) లు కర్ణపు కోణాలు.
P (x, y) మూడవ శీర్షము
∴ దత్త నియమము ∠ APB = 90°

AP² + PB² = AB²
(x – 0)² + (y – 6)² + (x – 6)² + (y – 0)² = (0 – 6)² + (6 – 0)²
x² + y² -12y + 36 + x² – 12x + 36 + y² = 36 + 36
2x² + 2y² – 12x – 12y = 0
P బిందుపథము x² + y² – 6x – 6y = 0
(x, y) ≠ (0, 6) మరియు (x, y) ≠ (6, 0)

ప్రశ్న 3.
(−5, 0), (5, 0) బిందువుల నుంచి దూరాల భేదం 8గా గల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’11, ’06; Mar. ’04]
సాధన:
A(5, 0), B(-5, 0) లు దత్త బిందువులు.

P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము |PA – PB| = 8
PA – PB = 8 …………………… (1)
PA² – PB² = [(x – 5)² + (y – 0)²] – [(x + 5)² + (y – o)²]
= x² – 10x + 25+ y² – x² – 10x – 25 – y²
= – 20x
(PA + PB) (PA – PB) = – 20x
(PA + PB) 8 = – 20x
PA + PB = –\(\frac{5}{2}\) x ………………. (2)
(1), (2) లను కూడగా
2PA = –\(\frac{5x}{2}\) + 8 = \(\frac{-5x+16}{2}\)
4PA = – 5x + 16
16PA² = (-5x + 16)²
16 [(x – 5)² + y²] = (- 5x + 16)²
16 [x² – 10x + 25+ y²] = [-5x + 16]²
16x² + 16y² – 160x + 400 = 25x² + 256 – 160 x
9x² – 16y² = 144
144 తో భాగించగా, P బిందుపథం
\(\frac{9 x^2}{144}\) – \(\frac{16 y^2}{144}\) = 1
కనుక \(\frac{x^2}{16}\) – \(\frac{y^2}{9}\) = 1

ప్రశ్న 4.
A = (4, 0), B = (-4, 0), |PA – PB|= 4x P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13; May ’07]
సాధన:
A = (4, 0), B = (- 4, 0) లు దత్త బిందువులు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము |PA – PB | = 4 ……………… (1)
PA² – PB² = [(x – 4)² + (y – 0)²] – [(x + 4)² + y²]
= x² – 8x + 16 + y² – x² – 8x – 16 – y²
= – 16x

(PA + PB) (PA – PB) = -16x
(PA + PB) 4 = -16x
PA + PB = – 4x ……………. (2)
(1), (2) లను కూడగా.
2PA = 4 – 4x
PA = 2 – 2x
PA² = (2 – 2x)²
(x – 4)² + (y – 0)² = (2 – 2x)²
x² – 8x + 16 + y² = 4 + 4x² – 8x
3x² – y² = 12
12 తో భాగించగా P యొక్క బిందుపథం \(\frac{3 x^2}{12}-\frac{y^2}{12}\) = 12
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}\) = 1

ప్రశ్న 5.
(0, 2), (0, – 2) బిందువుల నుంచి దూరాల మొత్తం 6గా గల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (0, 2), B (0, 2) లు దత్త బిందువులు.

P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
దత్త నియమము PA + PB = 6 …………….. (1)
PA² – PB² = [(x – 0)²+(y – 2)²] – [(x – 0)² + (y + 2)²]
= x²+ y² – 4y + 4 – x² – y² – 4y – 4 = -8y
(PA + PB) (PA – PB) = – 8y
6 (PA – PB) = – 8y
PA – PB = – \(\frac{8 y}{6}\)
PA – PB = – \(\frac{4 y}{3}\) ………………. (2)
(1), (2) లను కూడగా 2PA = 6 – \(\frac{4 y}{3}\)
PA = 3 – \(\frac{2 y}{3}\)
PA² = (3 – \(\frac{2 y}{3}\))²
x² + (y – 2)² = (3 – \(\frac{2 y}{3}\))²
x² + y² – 4y + 4 = 9 + \(\frac{4 y^2}{9}\) – 4y
9x² + 9y² + 36 = 81 + 4y²
9x² + 5y² = 45
45 తో భాగించగా
P యొక్క బిందుపథము \(\frac{9 x^2}{45}+\frac{5 y^2}{45}\) = 1
\(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}\) = 1

ప్రశ్న 6.
A = (2, 3), B = (2,-3), PA + PB = 8 అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
A (2, 3), B (2, -3) లు దత్త బిందువులు.

P(x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము PA + PB = 8 ……………. (1)
PA² – PB² = [(x – 2)² + (y – 3)²] – [(x – 2)² + (y + 3)²]
= (x – 2)² + (y – 3)² – (x – 2)² – ( y + 3)²
= (y – 3)² – (y + 3)² = – 12y
(PA + PB) (PA – PB) = – 12y
8 (PA – PB) = -12y
PA – PB = \(\frac{-12 y}{8}\)
PA – PB = \(\frac{-3 y}{2}\) ……………… (2)
(1), (2) లను కూడగా
2PA = 8 – \(\frac{3 y}{2}\) = \(\frac{16-3 y}{2}\)
4PA = 16 – 3y
16PA² = (16 – 3y)²
16 [(x – 2)² + (y – 3)²] = (16 – 3y)²
16(x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9) = (16 – 3y)²
16x² + 16y²– 64x – 96y + 208 = 256 + 9y² – 96y
16x² + 7y² – 64x – 48 = 0
P బిందుపథము 16x² + 7y² – 64x – 48 = 0

ప్రశ్న 7.
A(5, 3), B (3, −2) లు రెండు స్థిర బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 9గా ఉండేటట్లు P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.  [T.S. Mar. ’15, ’06]
సాధన:
A(5, 3), B(3, -2) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.

దత్త నియమము ∆PAB = 9
\(\frac{1}{2}\) |5 (-2 – y) + 3 (y − 3) + x (3 + 2)| = 9
|-10 – 5y + 3y – 9 + 5x| = 18
5x – 2y – 19 = ±18
5x – 2y – 19 = 18 లేదా 5x – 2y – 19 = -18
5x – 2y – 37 = 0 లేదా 5x – 2y – 1 = 0
P యొక్క బిందుపథము (5x – 2y – 37) (5x – 2y – 1) = 0

ప్రశ్న 8.
A(1, 1), B (−2, 3) బిందువులతో 2 వైశాల్యం గా గల త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 1), B(-2, 3) లు దత్త బిందువులు

P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము ∆PAB = 2
\(\frac{1}{2}\) |1 (3) 2 (y – 1) + x (1 – 3)| = 2
|13 – y – 2y + 2 – 2x| = 4
-2x – 3y + 5 = ±4
-2x – 3y + 5 = 45 లేదా – 2x – 3y + 5 = -4
2x + 3y-10 లేదా 2x + 3y – 9 = 0
P బిందుపథము (2x + 3y – 1) (2x + 3y – 9) = 0

ప్రశ్న 9.
(2, 3), (2, – 3) బిందువుల నుంచి P దూరం 2:3 నిష్పత్తిలో ఉంటే, బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
A = (2, 3), B = (2, – 3) లు దత్త బిందువులు.
దత్త నియమము
PA : PB = 2:3
⇒ 3PA = 2PB
⇒ 9PA² = 4PB²
⇒ 9 [(x – 2)² + (y – 3)²] = 4 [(x – 2)² + (y + 3)²]
⇒ 9[x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9] = 4 [x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9]
∴ 5x² + 5y² – 20 x – 78 y + 65 = 0 బిందుపథ సమీకరణము.

ప్రశ్న 10.
A (1, 2), B (2, -3), C (-2, 3) లు మూడు బిందువులు. PA² + PB² = 2PC² అయ్యేటట్లు P చరిస్తుంది. P బిందుపథ సమీకరణం 7x + 7y + 4 = 0 అని చూపండి. [May ’07]
సాధన:
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
A = (1, 2), B(2, -3), C=(-2, 3) లు దత్త బిందువులు
దత్త నియమము
PA² + PB² = 2 PC²
⇒ (x – 1)² + (y – 2)² + (x – 2)² + (y + 3)² = 2 [(x + 2)² + (y – 3)²].
⇒ 2x² + 2y² – 6x + 2y + 18 = 2x² + 2y² + 8x – 12y + 26
⇒ 14x – 14y + 8 = 0
∴ 7x – 7y + 4 = 0 బిందుపథ సమీకరణం.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(c)

I.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right]\) అయితే (AB’)’ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
5 & 0 \\
-1 & 4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 3 & 1 \\
4 & 0 & 2
\end{array}\right]\) అయితే 2A + B’, 3B’ – A లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\) అయితే A + A’, A . A’ లను కనుక్కోండి. [May ’07]
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\)

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
3 & x & 7
\end{array}\right]\) ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక అయితే x విలువ ఎంత? [Mar. ’03]
సూచన : ‘A’ ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక ⇒ A^T = A
Solution:
A సౌష్టవ మాత్రిక
⇒ A^T = A
\(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & x \\
3 & 6 & 7
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
3 & x & 7
\end{array}\right]\)
∴ x = 6

Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\
-2 & 0 & -2 \\
-1 & x & 0
\end{array}\right]\) ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక అయితే x విలువ ఎంత? [May ’13]
సూచన: ‘A’ ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక ⇒ A^T = -A
Solution:
A ఒక వక్ర సౌష్టవ మాత్రిక
⇒ A^T = -A

∴ x = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక అవుతుందా, వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక అవుతుందా?
Solution:

∴ A ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక.

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) అయితే AA’ = A’A = I అని చూపండి. [Mar. ’07]
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3 \\
2 & 4 & 0 \\
3 & -1 & -5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 5 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\) అయితే 3A – 4B’ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
7 & -2 \\
-1 & 2 \\
5 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & -1 \\
4 & 2 \\
-1 & 0
\end{array}\right]\) అయితే AB’ మరియు BA’ లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A ఒక చతురస్ర మాత్రిక అయితే AA’ సౌష్ఠవ మాత్రిక అని చూపండి. [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
A చతురస్ర మాత్రిక
(AA’)’ = (A’)’ A’ = A . A’
∵ (AA’)’ = AA’
⇒ AA’ ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(a)

అభ్యాసం – 4 (a)

I.

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన ప్రతీ సరళరేఖాయుగ్మపు మధ్య లఘు కోణాన్ని కనుక్కోండి.
i) x² – 7xy + 12y² = 0
ii) y² – xy – 6x² = 0
iii) (x cos α- y sin α)² = (x² + y²) sin² α
iv) x² + 2xy cot α – y² = 0
సాధన:
i) x² – 7xy + 12y² = 0
a = 1, b = 12, h = –\(\frac{7}{2}\)
tan θ = \(\frac{2 \sqrt{h^2-a b}}{a+b}\)
= \(\frac{2 \sqrt{\frac{49}{4}-12}}{1+12}=\frac{2 \sqrt{\frac{1}{4}}}{13}=\frac{\sqrt{1}}{13}\)
tan θ = \(\frac{1}{13}\) ⇒ θ = tan^-1 \(\left(\frac{1}{13}\right)\)

ii) y² – xy – 6x² = 0
a = – 6, b = 1, h = –\(\frac{1}{2}\)

iii) (x cos α- y sin α)² = (x² + y²) sin² α
x² cos² α + y² sin² α – 2xy cos α sin α = x² sin² α + y² sin²α
.. x² (cos² α – sin² α) – 2xy cos α sin α = 0
x² . cos 2α – xy sin 2α = 0
a = cos 2α, b = 0, 2h = – sin 2α
cos θ = \(\frac{|\cos 2 \alpha+0|}{\sqrt{(\cos 2 \alpha-0)^2+\sin ^2 2 \alpha}}\)
= cos 2α
∴ θ = 2α

iv) x² + 2xy cot α – y² = 0
a + b = 1 – 1 = 0
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింద సరళరేఖాయుగ్మాల జతలు ఇవ్వడమైంది. వాటిలో ప్రతీ జతకి ఒకే కోణీయ సమద్విఖండన రేఖాయుగ్మం ఉంటుందని చూపండి. (అంటే ప్రతి జతలోను ఒకే రేఖా యుగ్మంలోని రేఖలు రెండో రేఖాయుగ్మంలోని రేఖలతో సమాన నిమ్నత కలిగి ఉంటాయి.)
i) 2x² + 6xy + y² = 0,
4x² + 18xy + y² = 0.
ii) a²x² + 2h(a + b) xy + b²y² = 0,
ax² + 2hxy + by² = 0; a + b ≠ 0.
iii) ax² + 2hxy + by² + 2(x² + y²) = 0; (λ ∈ R),
ax² + 2hxy + by² = 0.

సాధన:
i) OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
2x² + 6xy + y² = 0
కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
3(x² – y²) = (2 – 1) xy
3(x² – y²) = xy ……………….. (1)
OP, OQ ల ఉమ్మడి సమీకరణము
4x² + 18xy + y² = 0
కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణం
9(x² – y²) = (4 − 1) xy
9(x² – y²) = 3xy
3(x² – y²) = xy ……………….. (2)
(1), (2) ఒక్కటే కనుక
∴ OA, OB లు OP, OQ లు సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.

ii) OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
a²x² + 2h(a + b) xy + b²y² = 0
కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
h (a + b) (x² – y²) = (a² – b²) xy
h (a + b) (x² – y²) = (a + b)(a – b) xy
i.e., h(x² – y²) = (a – b) xy ……………. (1)
OP, OQ ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
h (x² – y²) = (a – b) xy ………………. (2)
(1), (2) ఒకటే
∴ OA, OB లు OP, OQ లు సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.

iii) OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² + 2 (x² + y²) = 0
(a + λ) x² + 2hxy + (b + 2λ) y² = 0
OA, OB ల కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
h (x² – y²) = (a + λ – b – λ)xy
= (a – b) xy ……………… (1)
OP, OQ ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
OP, OQ ల సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
h(x² – y²) = (a – b) xy ……………… (2)
(1), (2) ఒకటే కనుక
∴ OA, OB లు OP, OQ లు సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
6x² + 2hxy + y² = 0 తో సూచించే సరళరేఖల వాలులు 1 : 2 నిష్పత్తిలో ఉంటే h విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల ఉమ్మడి సమీకరణము
6x² + 2hxy + y² = 0
వాటి విడివిడి సమీకరణాలు
y = m₁x మరియు y = m₂x అనుకొనుము.
∴ m₁ + m₂ = \(\frac{-2 h}{6}=-\frac{h}{3}\) , m₁m₂ = \(\frac{1}{6}\)
దత్తాంశం \(\) ⇒ m₂ = 2m₁
3m₁ = –\(\frac{h}{3}\) ; 2m₁² = \(\frac{1}{6}\)
m₁ = –\(\frac{h}{9}\) ; m₁² = \(\frac{1}{12}\)
\(\left(-\frac{\mathrm{h}}{9}\right)^2=\frac{1}{12}\)
\(\frac{h^2}{81}=\frac{1}{12}\)
h² = \(\frac{81}{12}=\frac{27}{4}\)
h = ± \(\sqrt{\frac{27}{4}}=\pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}\)

ప్రశ్న 3.
ax² + 2hxy + by² = 0 ఒక రేఖాయుగ్మింలోని రేఖలలో ఒక దాని వాలు రెండో దాని వాలుకు రెట్టింపయితే 8h² = 9ab అని చూపండి
సాధన:
దత్త రేఖలు ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
y = m₁x మరియు y = m₂x లు వాటి విడి విడి సమీకరణాలు అనుకొందాం.
∴ m₁ + m₂ = –\(\frac{2 h}{b}\), m₁m₂ = \(\frac{a}{b}\)
m₂ = 2m₁ కనుక
∴ 3m₁ = –\(\frac{2 h}{b}\) ; 2m₁² = \(\frac{a}{b}\)
m₁ = – \(\frac{2 h}{3}\) ; m₁² = \(\frac{a}{2b}\)
∴ \(\left(-\frac{2 h}{3 b}\right)^2=\frac{a}{2 b}\)
\(\frac{4 h^2}{9 b^2}=\frac{a}{2 b}\)
8h² = 9ab.

ప్రశ్న 4.
మూలబిందువు గుండా పోతూ 3x – y – 1 = 0 అనే సరళరేఖతో 30° కోణం చేసే సరళరేఖాయుగ్మం సమీకరణం 13x² + 12xy – 3y = 0 అని చూపండి.

సాధన:
AB సమీకరణము 3x – y – 1 = 0
OA, OB లు AB తో 30° కోణం చేస్తూ మూలబిందువు గుండా పోతుంది.
OA వాలు m అనుకొందాం.
∴ OA సమీకరణము
y – 0 = m (x − 0) = mx లేదా mx – y = 0
cos ∠OAB = \(\frac{|3 m+1|}{\sqrt{9+1} \sqrt{m^2+1}}\)
cos ∠OAB = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{|3 m+1|}{\sqrt{10} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డ గుణకారము చేయగా,
\(\frac{3\left(m^2+1\right)}{4}=\frac{(3 m+1)^2}{10}\)
15(m² + 1) = 2 (3m + 1)²
15m² + 15 = 2 (9m² + 6m + 1)
= 18m² + 12m + 2
3m² + 12m – 13 = 0
m₁, m₂ లు మూలాలనుకుందాం.
m₁ + m₂ = -4, m₁ m₂ = \(\frac{-13}{3}\)
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
(m₁x – y) (m₁x – y) = 0
m₁m₁ x² – (m₁ + m₂) xy + y² = 0
\(\frac{-13}{3}\) x² + 4xy + y² = 0
-13x² + 12 xy + 3y² = 0 (లేదా)
13x² – 12xy – 3y² = 0

ప్రశ్న 5.
మూలబిందువు గుండాపోతూ x + y + 5 = 0 సరళరేఖతో లఘుకోణం α చేసే సరళరేఖాయుగ్మం సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణము x + y + 5 = 0
AB వాలు = -1
OA, OB లు కావలసిన రేఖలు
OA సమీకరణము y = mx ⇒ mx – y = 0
cos α = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
= \(\frac{|m-1|}{\sqrt{2} \sqrt{m^2+1}}\)
2(m² + 1) cos² α = (m – 1)²
2(m² + 1) = \(\frac{(m-1)^2}{\cos ^2 \alpha}\) = (m – 1)² sec² α.
2m² + 2 = m² sec² α – 2m sec² α + sec² α.
m² (sec² α – 2) – 2m sec² α + (sec² α – 2) = 0
m₁ + m₁ = \(\frac{2 \sec ^2 \alpha}{\sec ^2 \alpha-2}\), m₁m₂ = 1
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
(y – m₁x) (y – m₂x) = 0
y² – (m₁ + m₂) xy + m₁m₂ x² = 0
y² + \(\frac{2 \sec ^2 \alpha}{\sec ^2 \alpha-2}\) . xy + x² = 0
m₁ + m₂ = \(\frac{2 \sec ^2 \alpha}{\sec ^2 \alpha-2}=\frac{2}{1-2 \cos ^2 \alpha}\)
= \(\frac{-2}{2 \cos ^2 \alpha-1}=\frac{-2}{\cos 2 \alpha}\)
= 2 sec 2 α
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
x² + 2xy sec 2α + y² = 0

ప్రశ్న 6.
(x + 2a)² – 3y² = 0, x = లు సూచించే రేఖలు ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
(x + 2a)² – 3y² = 0
(x + 2a)² – (\(\sqrt{3}\)y)² = 0
(x + 2a + \(\sqrt{3}\) y) (x + 2a – \(\sqrt{3}\)y) = 0

∴ ∆OAB సమబాహు త్రిభుజం.

ప్రశ్న 7.
(ax + by)² = c(bx – ay)², c > 0 తో సూచించే సరళరేఖల మధ్యకోణాల సమద్విఖండన రేఖలు ax+ by + k= 0 సరళరేఖకు సమాంతరంగాను, లంబంగాను ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల ఉమ్మడి సమీకరణాలు,
(ax + by)² = c (bx – ay)²
a²x² + b²y² + 2ab xy = c (b²x² + a²y² – 2abxy)
= c b²x² +ca²y² – 2cabxy
(a² – cb²)x² + 2ab (1 + c²) xy + (b² – ca²)y² = 0
కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
h (x – y²) = (a – h) xy
ab (1 + c) (x² – y²)
= (a² – cb² – b² + ca²) (x² – y²) = 0
= (a² – b²)(1 + c) xy.
i.e., ab (x² – y²) – (a² – b²) xy = 0
(ax + by) (bx – ay) = abx² – a²xy + b²xy – aby²
= ab (x² – y²) – (a² – b²) xy
∴ కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
(ax + by) (bx – ay) = 0
సమద్విఖండన రేఖలు ax + by = 0 మరియు bx – ay = 0
ax + by = 0 కు సుమాంతరం ax + by + k = 0
bx – ay = 0 కు సుమాంతరం ax + by + k = 0.

ప్రశ్న 8.
2x² – 5xy + 3y² = 0 అనే సమీకరణం ఒక సమాంతర చతుర్భుజపు రెండు పక్క భుజాలను సూచిస్తుంది. దీని వికర్ణాలలో ఒకదాని సమీకరణం x + y + 2 = 0 అయితే, ఆ సమాంతర చతుర్భుజపు శీర్షాలు, రెండో వికర్ణం సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
2x² – 5xy + 3y² = 0 …………… (1)
AB సమీకరణము x + y + 2 = 0
y = (x + 2)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2x² + 5x (x + 2) + 3(x + 2)² = 0
2x² + 5x² + 10x + 3(x² + 4x + 4) = 0
7x² + 10x + 3x² + 12x + 12 = 0
10x² + 22x + 12 = 0
5x² + 11x + 6 = 0
(x + 1) (5x + 6) = 0
x + 1 = 0 లేదా 5x + 6 = 0
x = – 1 లేదా 5x = – 6
x = –\(\frac{6}{4}\)
y = (x + 2)
x = -1 ⇒ y = -(-1 + 2) = -1
⇒ A నిరూపకాలు (−1, -1)
x = –\(\frac{6}{5}\) ⇒ y = -(-\(\frac{6}{5}\) + 2) = –\(\frac{4}{5}\)
⇒ B నిరూపకాలు \(\left(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}\right)\)
కర్ణాలు AB, OC లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి.
AB, OC ల మధ్యబిందువు
C నిరూపకాలు (x, y) అనుకుందాము.
OC మధ్యబిందువు = AB మధ్య బిందువు
\(\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)=\left(\frac{-1-\frac{6}{5}}{2}, \frac{-1-\frac{4}{5}}{2}\right)\)
∴ x = -1 – \(\frac{6}{5}\) = –\(\frac{11}{5}\) ;
y = -1 – \(\frac{4}{5}\) = –\(\frac{9}{5}\)
C నిరూపకాలు \(\left(-\frac{11}{5},-\frac{9}{5}\right)\)
∴ శీర్షాలు O(0, 0), A (-1, -1)
C\(\left(-\frac{11}{5},-\frac{9}{5}\right)\) , B\(\left(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}\right)\)
OC సమీకరణము y – 0 = \(\frac{\frac{-9}{5}}{\frac{-11}{5}}(x-0)\)
y = \(\frac{9}{11}\) ⇒ 11y = 9x
లేదా 9x – 11y = 0

ప్రశ్న 9.
కింది రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం కేంద్రభాసం, వైశాల్యం కనుక్కోండి.
i) 2y² – xy – 6x² = 0, x + y + 4 = 0
ii) 3x² – 4xy + y² = 0, 2x – y = 6

సాధన:
i) OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
2y² – xy – 6x² = 0 …………….. (1)
AB సమీకరణము x + y + 4 = 0
y = -(x + 4) ……………… (2)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(x + 4)² + x (x + 4) – 6x² = 0
2(x² + 8x + 16) + x² + 4x – 6x² = 0
2x² + 16x + 32 + x² + 4x – 6x² = 0
-3x² + 20x + 32 = 0
3x² – 20x – 32 = 0
(3x + 4) (x – 8) = 0
3x + 4 = 0 లేదా x – 8 = 0
3x = -4 లేదా x = 8
x = –\(\frac{4}{3}\) లేదా 8

సందర్భం (i) : x = –\(\frac{4}{3}\)
y = – (x + 4)
= -(\(\frac{-4}{3}\) + 4) = –\(\frac{8}{3}\)
A నిరూపకాలు \(\left(-\frac{4}{3},-\frac{8}{3}\right)\)

సందర్భం (ii) : x = 8
y = – (x + 4) = – (8 + 4) = -12
B నిరూపకాలు (8, – 12)
∆AOB కేంద్ర భాసము G అనుకుందాం.
G నిరూపకాలు

ii) OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము,
3x² – 4xy + y² = 0 ……………. (1)
AB సమీకరణము 2x – y = 6
y = 2x – 6 ……………… (2)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
3x² – 4x (2x – 6) + (2x – 6)² = 0
3x² – 8x² + 24x + 4x² + 36 – 24x = 0
-x² + 36 = 0
x² – 36 = 0
(x + 6) (x – 6) = 0
x + 6 = 0 లేదా x – 6 = 0
x = 6 లేదా 6
y = 2x – 6
x = 6y ⇒ y = 12 – 6 = 6
A నిరూపకాలు (6, 6)
x = -6y ⇒ u = -12 – 6 = -18
B నిరూపకాలు (-6, 18)
G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{0+6-6}{3}, \frac{0+6-18}{3}\right)\) = (0, -4)
∆ OAB = \(\frac{1}{2}\)|x₁y₂ – x₂y₁|
= \(\frac{1}{2}\)|(6 (-18) – (-6) . 6|
= \(\frac{1}{2}\) |-108 + 36
= \(\frac{1}{2}\) . 72 = 36 చ. యూనిట్లు

ప్రశ్న 10.
(2, -1) బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటూ 6x² – 13xy – 5y² = 0 సూచించే రేఖాయుగ్మానికి
i) లంబంగా ఉండే రేఖాయుగ్మపు సమీకరణం,
ii) సమాంతరంగా ఉండే రేఖాయుగ్మపు సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
OA, OB ల సమీకరణము 6x² – 13xy – 5y² = 0
i) (x₁, y₁) గుండా పోతూ
ax² + 2hxy + by² = 0 కు లంబంగా ఉండే రేఖా సమీకరణము
b (x – x₁)² – 2h (x – x₁) (y – y₁) + a (y – y₁)² = 0
లంబరేఖల సమీకరణము
-5(x – 2)² + 13(x – 2) (y + 1) + 6(y + 1)² = 0
-5(x² – 4x + 4) + 13 (xy + x – 2y – 2) + 6 (y² + 2y + 1) = 0
-5x² + 20x – 20 + 13xy + 13x – 26y – 26 + 6y² + 12y + 6 = 0
-5x² + 13xy + 6y²+ 33x – 14y – 40 = 0
లేదా 5x² – 13xy – 6y² – 33x + 14y + 40 = 0

ii) (x₁, y₁) గుండాపోతూ ax² + 2hxy + by² = 0
సమాంతరంగా ఉండే రేఖల సమీకరణము
a (x – x₁)² + 2h (x – x₁) (y – y₁) + b(y – y₁)² = 0
సమాంతర రేఖల సమీకరణము
6 (x − 2)² – 13 (x − 2) (y + 1) − 5 (y + 1)² = 0
6 (x² – 4x + 4) – 13 (xy + x – 2y – 2) – 5 (y² + 2y + 1) = 0
6x² – 24x + 24 – 13xy – 13x + 26y + 26 – 5y² – 10y – 5 = 0
6x² – 13xy – 5y² – 37x + 16y + 45 = 0.

ప్రశ్న 11.
3x – 4y + 7 = 0, 12x + 5y – 2 = 0 సరళరేఖల మధ్య లఘుకోణ సమద్విఖండన రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y + 7 = 0 ……………… (1)
12x + 5y – 2 = 0 ……………….. (2)
(1) & (2) రేఖల కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
\(\frac{3 x-4 y+7}{\sqrt{3^2+4^2}} \pm \frac{12 x+5 y-2}{\sqrt{12^2+5^2}}\) = 0
⇒ \(\frac{3 x-4 y+7}{5} \pm \frac{12 x+5 y-2}{13}\) = 0
13 (3x – 4y + 7) ± 5 (12x + 5y – 2) = 0
(39x – 52y + 91) ± (60x + 25y -10) = 0
(i) 39x – 52y + 91 + 60x + 25y – 10 = 0
99x – 27y + 81 = 0 ……………… (3)
లేదా 11x – 3y + 9 = 0

(ii) (39x – 52y + 51) – (60x + 25y – 10) = 0
39x – 52y + 51 – 60x – 25y + 10 = 0
– 21x – 77y + 61 = 0
21x + 77y – 61 = 0 …………….. (4)
(1), (4) రేఖల మధ్య కోణము ‘0’ అయితే
tan θ = + \(\left|\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}\right|=\left|\frac{231+84}{63-308}\right|\)
= \(\frac{315}{225}\) > 1
∴ (4) గురు కోణ సమద్విఖండన రేఖ (3) సూచించే రెండవది లఘుకోణ సమద్విఖండన రేఖ.
∴ 11x – 3y + 9 = 0 రేఖ లఘుకోణ సమద్విఖండన రేఖ.

ప్రశ్న 12.
x + y – 5 = 0, x – 7y + 7 = 0 అనే సరళరేఖల మధ్య అధిక (గురు) కోణ సమద్విఖండన రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
x + y – 5 = 0 …………….. (1)
x – 7y + 7 = 0 ………………… (2)
(1), (2) మధ్యకోణ సమద్విఖండన రేఖలు
\(\frac{x+y-5}{\sqrt{1+1}} \pm \frac{x-7 y+7}{\sqrt{1+49}}\) = 0
⇒ \(\frac{x+y-5}{\sqrt{2}} \pm \frac{x-7 y+7}{5 \sqrt{2}}\) = 0
⇒ (5x + 5y – 25) ± (x – 7y + 7) = 0
i) 5x + 5y – 25 + x – 7y + 7 = 0
6x – 2y – 18 = 0
3x – y – 9 = 0 ………………. (3)

ii) (5x + 5y – 25) – (x – 7y + 7) = 0
4x + 12y – 32 = 0
x + 3y – 8 = 0 ………………. (4)
(1), (4) రేఖల మధ్య కోణము ‘θ’ అయితే
tan θ = \(\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}=\frac{3-1}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) < 1
∴ (4) లఘుకోణ సమద్విఖండన రేఖ గురుకోణ సమద్విఖండన రేఖ సమీకరణము 3x – y – 9 = 0.

III.

ప్రశ్న 1.
(lx + my)² – 3(mx – ly)² = 0, lx + my + n = 0 అనే సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం \(\frac{n^2}{\sqrt{3}\left(l^2+m^2\right)}\) వైశాల్యం గల సమబాహు త్రిభుజం అని నిరూపించండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
(lx + my)² – 3(mx – ly)² = 0
l²x² + m²y² + 21mxy – 3m²x² – 3l² y² + 6 lmxy = 0
(l² – 3m²) x² + 8lmxy + lm² − 3l²) y² = 0
cos ∠AOB = \(\frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4 n^2}}\)
= \(\frac{\left|l^2-\mathrm{m}^2+\mathrm{m}^2-3 l^2\right|}{\sqrt{\left(l^2-3 \mathrm{~m}^2-\mathrm{m}^2+3 l\right)^2+a l^2 \mathrm{~m}^2}}\)
= \(\frac{2\left|l^2+m^2\right|}{4 \sqrt{\left(l^2-m^2\right)^2+4 l^2 m^2}}=\frac{2\left|l^2+m^2\right|}{4\left(l^2+m^2\right)}=\frac{1}{2}\)
= cos 60°
∠AOB = 60°
OA, OB ల సమద్విఖండన రేఖ ఉమ్మడి సమీకరణము
h (x² – y²) = (a – b) xy
4 lm (x² – y²) = (x² – 3m² – m² + 3l² xy)
4 lm (x² − y²) = 4(l² – m²)
lmx² – (l² – m²)xy – lmy² = 0
(lx – my) (mx – ly) = 0
lx + my = 0 మరియు mx – ly = 0
∴ సమద్విఖండన రేఖ mx – ly = 0 కు లంబంగా ఉంటే
lx + my + n = 0.
OAB సమద్విబాహు త్రిభుజం ∠AOB = 60°
OAB సమబాహు త్రిభుజం
P = P నుండి AB మీదకు లంబదూరం
= \(\frac{|n|}{\sqrt{l^2+m^2}}\)
ΔΟΑΒ = \(\frac{\mathrm{p}^2}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{n}^2}{\sqrt{3}\left(l^2+\mathrm{m}^2\right)}\) చ. యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
3x² + 48xy + 23y² = 0, 3x – 2y + 13 = 0 అనే సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం \(\frac{13}{\sqrt{3}}\) చ.యూ. వైశాల్యంగా గల సమబాహు త్రిభుజం అని నిరూపించండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 48xy + 23y² = 0 …………………. (1)
AB సమీకరణం 3x – 2y + 13 = 0 …………….. (2)
(1) ని
(9x² – 12xy + 4y²) – 3(4x² + 12xy + 9y²) = 0
ఈ విధంగా రాయగలము.
i.e., (3x – 2y)² – 3(2x + 3y)² = 0
⇒ [(3x – 2y) + \(\sqrt{3}\) (2x + 3y)] [(3x – 2y) – \(\sqrt{3}\) (2x + 3y)] = 0
⇒ [(3 + 2\(\sqrt{3}\))x + (3\(\sqrt{3}\) – 2)y] [(3 – 2\(\sqrt{3}\))x – (3\(\sqrt{3}\) + 2)y] = 0
OA సమీకరణము
(3 + 2 \(\sqrt{3}\))x − (3\(\sqrt{3}\) – 2)y = 0 ……………….. (1)
OB సమీకరణము
(3 – 2\(\sqrt{3}\))x – (3\(\sqrt{3}\) + 2)y = 0 ……………….. (2)

∴ OAB సమబాహు త్రిభుజము

ప్రశ్న 3.
ax² + 2hxy + by² = 0 సూచించే రేఖాయుగ్మపు మధ్యకోణాల సమద్విఖండన రేఖాయుగ్మం మధ్య కోణాలను సమద్విఖండన చేసే రేఖాయుగ్మం సమీకరణం (a – b) (x² – y²) + 4hxy = 0 అని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
h (x² – y²) = (a – b) xy ………………. (1)
hx² – hy² – (a – b) xy = 0
∴ A = h, B = – h; 2H = – (a – b)
(1) యొక్క సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణము
H(x² – y²) = (A – B) xy
– \(\frac{(a-b)}{2}\) (x² – y²) = 2hxy
– (a – b) (x² – y²) = 4hxy
లేదా (a – b) (x² – y²) + 4hxy = 0
∴ ax² + 2hyx + by² = 0 ల సమద్విఖండన రేఖల ‘సమీకరణము
(a – b) (x² – y²) + 4hxy = 0.

ప్రశ్న 4.
ax² + 2hxy + by² = 0 సూచించే సరళరేఖలలో ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మధ్య కోణాన్ని సమద్విఖండన చేస్తే (a + b)² = 4h² అని నిరూపించండి. [June ’04]
సాధన:
నిరూపకాక్షాల కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు
y = ±x.
సందర్భం (i) :
y = x రేఖ ax² + 2hxy + by² = 0 యొక్క ఒక కోణం సమద్విఖండన రేఖ
x² (a + 2h + b) = 0
a + 2h + b = 0 ………………. (1)

సందర్భం (ii) : y = -x రేఖ
ax² + 2hxy + by² = 0 యొక్క ఒక కోణం సమద్విఖండన రేఖ
x² (a – 2h + b) = 0
a – 2h + b = 0 ………………. (2)
(1), (2) లను గుణించగా
(a + b + 2h). (a + b – 2h) = 0
(a + b)² – 4h²
(a + b)² = 4h²

ప్రశ్న 5.
ax² + 2hxy + by² = 0, lx + my = 1 అనే సరళరేఖలలో ఏర్పడే త్రిభుజం కేంద్రాభాసం (α, β) అయితే \(\frac{\alpha}{\mathrm{b} \boldsymbol{l}-\mathrm{hm}}=\frac{\beta}{\mathrm{am}-\mathrm{hl}}=\frac{2}{3\left(\mathrm{~b} \boldsymbol{l}^2-2 \mathrm{~h} \boldsymbol{l} \mathrm{m}+\mathrm{am}{ }^2\right)}\) అని నిరూపించండి.

సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0 …………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1
my = 1 – lx
y = \(\frac{1-l x}{m}\) …………… (2)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
ax² + 2hx\(\frac{(1-l x)}{m}\) + b\(\frac{(1-l x)^2}{m^2}\) = 0
am²x² + 2hmx (1 – lx) + b (1 + l²x² – 2lx) = 0
am²x² + 2hmx – 2hlmx² + b + b²x² – 2blx = 0
(am² – 2hlm + bl²) x² – 2(bl – hm) x + b = 0
అనుకుందాం.
A నిరూపకాలు (x₁, y₁), మరియు B నిరూపకాలు (x₂, y₂)
x₁ + x₂ = \(\frac{2(\mathrm{~b} l-\mathrm{hm})}{\mathrm{a} \mathrm{m}^2-2 \mathrm{~h} l \mathrm{~m}+\mathrm{b} l^2}\) ……………. (3)
A, B లు lx + my = 1 మధ్యబిందువులు.
lx₁ + my₁ = 1
lx₂ + my₂ = 1
l (x₁ + x₂) + m(y₁ + y₂) = 2
m(y₁ + y₂) = 2 – l(x₁ + x₂)

త్రిభుజ శీర్షాల నిరూపకాలు
O (0, 0), A (x₁, y₁), B(x₂, y₂)
G నిరూపకాలు అనుకుందాం.

ప్రశ్న 6.
\(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}\) = 1, ax² + 2hxy + by² = 0 సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం లంబకేంద్రానికి, మూలబిందువుకు గల మధ్య దూరం (α² + β²)^1/2 \(\left|\frac{(a+b) \alpha \beta}{a \alpha^2-2 h \alpha \beta+b \beta^2}\right|\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² = 0 సూచించే రేఖలు
l₁x + m₁y = 0 ………………. (1)
l₂x + m₂y = 0 ………………… (2)
అనుకొందాం.
∴ (l₁x + m₁y) (l₂x + m₂y) = ax² + 2hxy +by²
ఇరువైపులా పోల్చగా
l₁l₂ = a, m₁m₂ = b, l₁m₂ + l₂ m₁ = 2h
దత్త రేఖ lx + my = 1 ………………….. (3)
(1) & (2) ల ఖండన బిందువులు
(1) & (3) ల ఖండన బిందువు A అనుకొందాం.



⇒y (l₁α – m₂β) – αβl₁l₂ = m₂(xl₁α – m₁β) + m₁αβ)
⇒ (l₁α – m₁β) (m₂x – l₂y) = m₁m₂αβ + l₁l₂αβ

ప్రశ్న 7.
ఒక రేఖాయుగ్మంలో px + qy + r = 0 అనేది ఒక సరళరేఖ. ఆ రేఖాయుగ్మపు మధ్యకోణాల సమద్విఖండన రేఖలో ఒకటి lx + my + n = 0 అయితే, ఆ రేఖాయుగ్మంలో రెండో సరళరేఖ సమీకరణం (px + qy + r) (l² + m²) – 2(lp + mq) (lx + my + n) = 0 అని నిరూపించండి.
సాధన:
lx + my + n = 0.కోణ సమద్విఖండన రేఖ (α, β) మీద బిందువు
lα + mβ + n = 0 ……………… (1)
రెండవ రేఖ, దత్త రేఖల ఖండన బిందువు, కోణ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోతూ p + λq = 0
దాని సమీకరణము
(px + qy + r) + 2(lx + my + n) = 0
px + py + r = 0
(α, β) కోణ సమద్విఖండన రేఖ మీది బిందువులు. దాని నుండి (2), (3) రేఖల లంబ దూరాలు సమానం.
\(\frac{(p \alpha+q \beta+r)+\lambda(l \alpha+m \beta+n)}{\sqrt{\left[(p+l \lambda)^2+(q+m \lambda)^2\right]}}=\pm \frac{p \alpha+q \beta+r}{\sqrt{p^2+q^2}}\)
(1) లో lα + mβ + n = 0 pα+ qβ + r కొట్టివేసి ఇరువైపుల వర్గీకరించగా
(p + lλ)² + (q + mλ)² = p² + q² లేదా
2λ (pl + qm) + λ² (l² + m²) = 0
.. λ = – 2 \(\frac{\mathrm{p} l+\mathrm{qm}}{l^2+\mathrm{m}^2}\)
λ. విలువ (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
(px + qy + r) + \(\left(\frac{-2 p l+q m}{l^2+m^2}\right)\) lx + my + n = 0
⇒ (px + qy + r) (l² + m²) – 2(pl + qm) (lx + my + n ) = 0