Mahesh

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i)

కింది సమఘాత సమీకరణ వ్యవస్థలను సాధించండి.

Question 1.
12x + 3y – z = 0, x – y – 2z = 0, 3x + y + 3z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
నిర్ధారకం \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= 2(-3 + 2) – 3(3 + 6) – 1(1 + 3)
= -2 – 27 – 4
= -33 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 2.
3x + y – 2z = 0, x + y + z = 0, x – 2y + z = 0
సూచన: గుణక మాత్రిక నిర్ధారకం సున్న కాకపోతే దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right|\) = 3(1 + 2) – 1(1 – 1) – 2(-2 – 1)
= 9 + 6
= 15 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 3.
x + y – 2z = 0, 2x + y – 3z = 0, 5x + 4y – 9z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\) = A అనుకొనుము.
|A| = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5)
= 3 + 3 – 6
= 0
∴ A కోటి = 2, ఉప మాత్రిక, \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక, మాత్రిక 3 కనుక.
దత్త వ్యవస్థకు తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – 2R₁, R₃ → R₃ – 3R₁ చేస్తే,
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1
\end{array}\right]\)
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – 2z = 0
-y + z = 0
z = k అనుకొంటే, y = k, x = k
∴ x = y = z = k, k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Question 4.
x + y – z = 0, x – 2y + z = 0, 3x + 6y – 5z = 0.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – 3R₁
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
⇒ det A = 0 [∵ R₂ = -R₃]
కోటి (A) = 2, ఉపమాత్రిక \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -3
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక
కనుక. [∵ ρ(A) = 2]
కాబట్టి దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – z = 0
3y – 2z = 0
z = k అయిన, y = \(\frac{2 k}{3}\), x = \(\frac{k}{3}\)
∴ x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 k}{3}\), z = k
k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(b)

అభ్యాసం – 8 (బి)

Iలో ప్రమేయాలు 1, 2, 3 లకు, II లో 1, 2 ప్రమేయాలకు వాటికెదురుగా ఇచ్చిన బిందువులు a ల వద్ద కుడి, ఎడమ అవధులను కనుక్కోండి. తద్వారా ఇ ల వద్ద అవధులు ఉన్నాయేమో చూడండి. ప్రమేయాలకు వాటికెదురుగా.

I.

ప్రశ్న 1.
f(x) = ; a = 1
సాధన:

ప్రశ్న 2.
f(x) = ; a = 3
సాధన:

ప్రశ్న 3.
f(x) = ; a = 2.
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
f(x) =
సాధన:

ప్రశ్న 2.
f(x) =
సాధన:

ప్రశ్న 3.

అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
అని చూపండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
x → 0 + ⇒ x > 0 |x| = x

ప్రశ్న 5.
లను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
అని చూపండి.
సాధన:

III.

ప్రశ్న 1.
f(x) =
ఈ ప్రమేయానికి \(\stackrel{L \dagger}{x \rightarrow 0}\) f(x) కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ LHS ≠ RHS
అవధి వ్యవస్థితం కాదు.

ప్రశ్న 2.


సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(a)

అభ్యాసం – 8 (ఎ)

I. క్రింది అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow a
\end{gathered}\frac{x^2-a^2}{x-a}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\) (x² + 2x + 3)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\) (x² + 2x + 3) = 1² + 2 . 1 + 3
= 1 + 2 + 3 = 6

ప్రశ్న 3.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{x^2-3 x+2}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{x^2-3 x+2}\)
= \(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{0-0+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 4.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{3}
\end{gathered}\frac{1}{x+1}\)
సాధన.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{3}
\end{gathered}\frac{1}{x+1}\)
= \(\frac{1}{3+1}\)
= \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 5.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\)
= \(\frac{2.1+1}{3.1^2-4.1+5}\)
= \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 6.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{x^2+2}{x^2-2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 2
\end{gathered}\left(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2+4}\right]\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2+4}\right]\)
= \(\frac{0-1}{0+4}\) = –\(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 9.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x^3/2 (x > 0)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x^3/2 (x > 0) = 0^3/2 = 0

ప్రశ్న 10.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) (\(\sqrt{x}\) + x^5/2) (x > 0)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) (\(\sqrt{x}\) + x^5/2)
= \(\sqrt{0}\) + 0^5/2 = 0 + 0 = 0

ప్రశ్న 11.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x² cos \(\frac{2}{x}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x² . \(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) cos \(\frac{2}{x}\) = 0 . k
|k| ≤ 1 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^2-9}{x^3-6 x^2+9 x+1}\)
సాధన:
\(\frac{9-9}{27-6(9)+27+1}=\frac{0}{54-54+1}=\frac{0}{1}\)
= 0

ప్రశ్న 13.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2-x}-\frac{1}{x^3-3 x^2+2 x}\right]\)
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^2-8 x+15}{x^2-9}\)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
f(x) = –\(\sqrt{25-x^2}\) అయితే
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 7 సమతలం Exercise 7(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 7 సమతలం Exercise 7(a)

అభ్యాసం – 7 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు నుంచి తలానికి గీసిన లంబపాదం (1, 3, -5) అయితే, ఆ తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
OP రేఖ గమన తలానికి లంబంగా ఉంది. OP యొక్క
D.R లు 1, 3, -5
సమతలము P(1, 3, 5) గుండా పోతుంది. సమతల సమీకరణము
– 1 (x – 1) + 3(y -3) – 5(z + 5) = 0
x – 1 + 3y – 9 – 5z – 25 = 0
x + 3y – 5z – 35 = 0

ప్రశ్న 2.
తలం సమీకరణం x + 2y – 3z – 6 = 0 ని అభిలంబ రూపానికి కుదించండి. [Mar. ’14]
సాధన:
సమతల సమీకరణము x + 2y – 3z-6=0
i.e., x + 2y – 3z = 6
\(\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}\) = \(\sqrt{1+4+9}\)
= \(\sqrt{14}\) తో భాగించగా
అభిలంబ రూపంలో సమతల సమీకరణము
x+y+ z=
\(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\) x + \(\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) \) y + \(\left(\frac{-3}{\sqrt{14}}\right)\) z = \(\frac{6}{\sqrt{14}}\)

ప్రశ్న 3.
X, Y, Z – అంతర ఖండాలు 1, 2, 4 గా కలిగిన సమతలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
దత్తాంశం a = 1, b = 2, c = 4.
అంతరఖండ రూపంలో సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}\) = 1
4తో గుణించగా, 4x + 2 y + z = 4

ప్రశ్న 4.
నిరూపకాక్షాలపై 4x + 3y + 2z + 2 = 0 తలం చేసే అంతర ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
సమతల నిరూపకము 4x + 3y – 2z + 2 = 0
– 4x – 3y + 2z = 2
\(-\frac{4 x}{2}-\frac{3 y}{2}+\frac{2 z}{2}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{1}{2}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{2}{3}\right)}+\frac{z}{1}\) = 1
x – అంతరఖండము = \(\frac{-1}{2}\)
y – అంతరఖండము = \(\frac{-2}{3}\)
z – అంతరఖండము = 1.

ప్రశ్న 5.
x + 2y + 2z – 4 = 0 తలానికి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి. [Mar ’13; May ’12]
సాధన:
సమతల సమీకరణం x + 2y + 2z– 4 = 0
అభిలంబరేఖకు DR లు (1, 2, 2)
\(\sqrt{1+4+4}\) = 3 తో, భాగించగా,
అభిలంబరేఖ D.c. లు \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ప్రశ్న 6.
(−2, 1, 3) గుండాపోతూ, (3, -5, 4) అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలుగా గలిగిన తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ D.r. లు (3, -5, 4) మరియు
తలము (-2, 1, 3) గుండా పోతుంది. ‘
సమతల సమీకరణము
3(x + 2) – 5(y – 1) + 4(z – 3) = 0
3x + 6 – 5y + 5 + 4z – 12 = 0.
3x – 5y + 4z – 1 = 0

ప్రశ్న 7.
4x – 4y + 2z + 5 = 0 సమీకరణాన్ని అంతర ఖండ రూపంలోకి మార్చండి. [May ’12]
సాధన:
సమతల సమీకరణము 4x – 4y + 2z + 5 = 0
– 4x + 4y – 22 = 5
–\(\frac{4x}{5}\) + \(\frac{4y}{5}\) – \(\frac{2z}{5}\) = 1
అంతరఖండ రూపము \(\frac{x}{\left(\frac{-5}{4}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{4}\right)}+\frac{z}{\left(-\frac{5}{2}\right)}\) = 1
x – అంతర ఖండము = –\(\frac{5}{4}\)
y – అంతర ఖండము = \(\frac{5}{4}\)
z – అంతర ఖండము = –\(\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 8.
x + 2y + 2z – 5 = 0, 3x + 3y + 2z – 8 = 0 తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
సమతలాల సమీకరణాలు x + y + 2z – 5 = 0
3x + 3y + 2z – 8 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
(1, 1,1 ) గుండాపోతూ, x + 2y + 3z – 7=0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాయండి. [May ’11]
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము x + y + 3z – 7 = 0.
సమాంతర తలం సమీకరణము x + 2 + 3z = k.
ఈ తలం P (1, 1, 1) గుండా పోతూ,
1 + 2 + 3 = k ⇒ k = 6
కావలసిన సమతల సమీకరణము x + 2 y + 3z = 6

ప్రశ్న 2.
(2, 3, 4) బిందువు గుండా పోతూ, X- అక్షానికి లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
సమతలం X అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది.
∴ X – అక్షం సమతలానికి అభిలంబరేఖ
X – అక్షం d.c. లు 1, 0, 0
కావలసిన సమతల సమీకరణము x = k
ఈ తలము P(2, 3, 4) గుండా పోతుంది.
∴ 22 = k
కావలసిన సమతల సమీకరణము x = 2.

ప్రశ్న 3.
2x + 3y + 7 = 0, XY – తలానికి లంబంగా ఉండే + + 7 తలాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము 2x + 3y + 7 = 0
xy తలం సమీకరణము z = 0
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2.0 + 3.0 + 0.1
= 0 + 0 + 0 = 0
2x + 3y + 7 = 0 తలము XY-తలానికి లంబంగా ఉంది.

ప్రశ్న 4.
x – 2y + kz = 0, 2x + 5y – z = 0 తలాలు పరస్పరం లంబంగా ఉండేటట్లు k విలువ కనుక్కోండి. ఈ తలాలకు లంబంగా ఉంటూ, (1, -1, -1) బిందువు గుండా పోయే తలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త తలాల సమీకరణాలు x – 2 y + kz = 0
మరియు 2x + 5y – z = 0
ఈ తలాలు లంబంగా ఉన్నాయి.
1.2 – 2.5 + k (-1) = 0
2 – 10 = k ⇒ k = -8
సమతల సమీకరణాలు x – 2y – 8z = 0 ……………. (1)
2x + 5y – z. = 0 ………………… (2)
ఈ తలం (1, −1, −1) గుండాపోతూ సమతల సమీకరణాన్ని
a(x + 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0 ……………… (3) గా వ్రాయగలము.
ఈ తలం (1), (2) తలాలకు లంబం
a – 2b – 8c = 0
2a + 5b – c = 0

(3) లో ప్రతిక్షేపించగా, కావలసిన సమతల సమీకరణము
42(x – 1) – 15(y + 1) + 9(z + 1) = 0
42x – 42 – 15y – 15 + 9z + 9 = 0
42x – 15y + 92 – 48 = 0.

ప్రశ్న 5.
(-1, 6, 2) గుండాపోతూ (1, 2, 3), (−2, 3, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A(1, 2, 3), B(-2, 3, 4) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండానికి లంబంగా ఉంది.
AB యొక్క d.r. లు 1 + 2, 2 – 3, 3 – 4
i.e., 3, -1, – 1

AB రేఖ అభిలంబరేఖ సమతలము P(-1, 6, 2) గుండా పోతుంది.
కావలసిన సమతల సమీకరణము
3(x + 1) – 1(y – 6) – 1 (z – 2) = 0
3x + 3 y + 6 – z + 2 = 0
3x = y – z + 11 = 0

ప్రశ్న 6.
(2, 0, 6), (–6, 2, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటూ, దానిని సమద్విఖండన చేసే తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A (2, 0, 6), B(-6, 2, 4) లు దత్త బిందువులు.
AB కి మధ్యబిందువు ‘0’

0 నిరూపకాలు \(\left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right)\) = (-2, 1, 5)
సమతలము AB కి లంబంగా ఉంది.
సమతల అభిలంబరేఖ d.r.లు
2 + 6, 0 – 2, 6 – 4.
8, -2, 2
సమతల సమీకరణము
+8 (x + 2) – 2(y – 1) + 2 (2 – 5) = 0
8x + 16 – 2y + 2 + 2z – 10 = 0
8x – 2y + 2z + 8 = 0

ప్రశ్న 7.
(0, 0, – 4) బిందువు గుండా పోతూ (1, −2, 2); (-3, 1, -2) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉండే ‘తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A(1, -2, 2), B (-3, 1, -2) లు దత్తబిందువులు.
AB యొక్క d.r.లు 1 + 3, -2 – 1, 2 + 2 i. e., 4, -3, 4
AB సమతలానికి లంబంగా ఉంటే P(0, 0, -4) సమతల సమీకరణము
4(x – 0) – 3 (y – 0) + 4(z + 4) = 0
4x – 3y + 4z + 16 = 0

ప్రశ్న 8.
(4, 4, 0) గుండా పోతూ, 2x + y + 2x + 3 = 0, 3x + 3y + 2z – 8 = 0 తలాలకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(4; 4, 0) గుండా పోయే సమతల సమీకరణం
a(x – 4) + b(y – 4) + c(z – 0) = 0 ……………. (1)
ఈ తలం 2x + y + 2z – 3 = 0
3x + 3y + 2z – 8 = 0 లకు లంబంగా ఉంది.
∴ 2a + b + c = 0 ………………….(2)
3a + 3b + 2c = 0 …………………. (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, సమతల సమీకరణము
-4 (x – 4) + 2(y – 4) + 3(z – 0) = 0
-4x + 16 + 2y – 8 + 3z = 0
-4x + 2y + 3z + 8 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
(2, 2, -1), (3, 4, 2), (7, 0, 6) బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(2, 2, -1), B (3, 4, 2), C(7, 0, 6) లు దత్త బిందువులు.
A(2, 2, -1) గుండాపోవు సమతల సమీకరణము
a(x – 2) + b(y – 2) + c(z + 1) = 0 ……….. (1)
ఈ సమతలం B(3, 4, 2) మరియు C(7, 0, 6) ల గుండా పోతుంది.
a(3 – 2) + b(4 – 2) + c(2 + 1) = 0
a + 2b + 3c = 0 ……………. (2)
a(7 – 2) + b(0 – 2) + c(6 + 1) = 0
5a – 2b + 7c = 0 ……………. (3)
(2) మరియు (3) ల నుండి

(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, సమతల సమీకరణము
5(x – 2) + 2(y – 2) – 3(z + 1) = 0
5x – 10 + 2y – 4 – 3z – 3 = 0
5x + 2y – 3z – 17 = 0
5x + 2y – 3z = 17

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, 1, 0), (2, 1, -1), (1, 1, 1), (3, 3, 0) సతలీయాలని చూపండి. (మూడు బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కొని నాలుగో బిందువు ఆ తలంపై ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(0, -1, 0) గుండా పోవు సమతల సమీకరణము
ax + b(y + 1) + cz = 0 ………………… (1)
ఈ తలము B(2, 1, – 1), C(1, 1, 1) ల గుండా పోతుంది.
2a + 2b c = 0 ……………….. (2)
a + 2b + c = 0 ……………… (3)
(2) – (3) ⇒ a – 2c = 0 ⇒ a = 2c ⇒ \(\frac{a}{2}=\frac{c}{1}\)
(2) + (3) ⇒ 3a + 4b = 0 ⇒ 3a = -4b
⇒ \(\frac{a}{4}=\frac{b}{-3}\)
∴ \(\frac{a}{4}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, ABC తల సమీకరణము
4x – 3(y + 1) + 2 (z – 0) = 0
4x – 3y + 2z – 3 = 0
4x – 3y + 2z – 3 = 4.3 – 3.3.+0.3
= 12 – 9 – 3 = 0
సతలీయాలు A, B, C, D బిందువులు.

ప్రశ్న 3.
(6, – 4, 3), (0, 4, -3) బిందువుల గుండాపోతూ నిరూపకాక్షాలపై అంతర ఖండాల మొత్తం సున్నా అయ్యే తలాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు అంతర ఖండాలు అనుకొనుము.
సమతల సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
a + b + c = 0
c = – (a + b)
ఈ తలం P (6, – 4, 3), Q(0, 4, – 3)ల గుండా పోతుంది.

a = \(\frac{6}{2}\) = 3
\(\frac{4}{b}-\frac{3}{c}\) = 1 ⇒ 4c – 3b= bc
c = -a – b = -3 – b
4(-3 – b) – 3b = b(-3 – b)
-12 – 4b – 3b = -3b – b²
b² – 4b – 12 = 0
(b – 6) (b + 2) = 0 ⇒ b = 6, -2

సందర్భం i) : b = 6
c = -3 – b = -3 – 6 = -9
సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{9}\) = 1
6x + 3y – 2z = 18

సందర్భం ii): b = -2
c = -3 – b = -3 + 2 = − 1
సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{-1}\) = 1

ప్రశ్న 4.
ఒక తలం నిరూపకాక్షాలను A, B, C బిందువులలో ఖండిస్తుంది. ∆ABC కేంద్రాభాసం (a, b, c) అయితే, తలం సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3 అని చూపండి.
సాధన:
α, β, γ లు ABC ల సమతలం నిరూపకాక్షాలను చేసే, అంతరఖండాలు అనుకుందాం. అంతరఖండ సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}\) = 1 …………… (1)

A, B, C ల నిరూపకాలు
A(α, 0, 0), B(0, β, 0), C (0, 0, γ)
∆ABC యొక్క కేంద్రాభాసము G
G నిరూపకలు \(\left(\frac{\alpha}{3}, \frac{\beta}{3}, \frac{\gamma}{3}\right)\) = (a, b, c)
\(\frac{\alpha}{3}\) = a, \(\frac{\beta}{3}\) = b, \(\frac{\gamma}{3}\) = c
α = 3a, β = 3b, γ = 3c
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, ABC తల సమీకరణము
\(\frac{x}{3 a}+\frac{y}{3 b}+\frac{z}{3 c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3

ప్రశ్న 5.
(1, 1, 1), (1, -1, 1), (- 7, -3, -5) బిందువుల గుండాపోయే తలం Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(1, 1, 1) గుండా పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 1) + b(y − 1 ) + c(z – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ తలం B(1, – 1, 1), C (- 7, – 3, – 5) ల గుండా పోతుంది.
0 – 2b + 0 = 0 = b = 0
zx-తలం సమీకరణము y = 0
0.x + 1. y + 0. z = 0
a. 0 + 0. 1 + c.0 = 0
కావలసిన తలం zx – తలానికి లంబంగా ఉంది.
కనుక Y – అక్షానికి లంబంగా ఉంది.

ప్రశ్న 6.
ax + by + r = 0, by + cz + p = 0, cz + ax + q = 0 సమీకరణాలు వరుసగా XY, YZ, ZX – తలాలకు లంబంగా ఉండే తలాలను సూచిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము
ax + by + c = 0
అభిలంబరేఖ d.r.లు (a, b, c)
XYZ తలం సమీకరణము z = 0
అభిలంబరేఖ d.r.లు (0, 0, 1)
a.0 + b.0 + 0.1 = 0
∴ ax + by + r = 0 తలం xy- తలానికి లంబంగా ఉంది.
ఇదేవిధంగా by + cz + p = 0
yz – తలానికి మరియు cz + ax + q = 0
zx – తలానికి లంబంగా ఉన్నాయని చూపవచ్చును.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(g)

క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థలు సంగతమో, కాదో పరీక్షించండి. సంగతమైతే పూర్తిగా సాధించండి.

Question 1.
x + y + z = 4
2x + 5y – 2z = 3
x + 7y – 7z = 5
Solutions:

ρ(A) = 2, ρ(AD) = 3
ρ(A) ≠ ρ(AD)
∴ దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ అసంగతం.
సాధన లేదు.

Question 2.
x + y + z = 6
x – y + z = 2
2x – y + 3z = 9 [Mar. ’11]
Solution:

Question 3.
x + y + z = 1
2x + y + z = 2
x + 2y + 2z = 1 [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

ρ(A) = 2 = ρ(AB) < 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతం. అనేక సాధనాలు ఉంటాయి.
సాధన సమితి [(x, y, z) 1x = 1, y + z = 0].

Question 4.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Solution:


∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగీతం ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = 1, y = 3, z = 5.

Question 5.
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + 4z = 1
Solution:

∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతం.
ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = -7, y = 22, z = -9.

Question 6.
x – 3y – 8z = -10
3x + y – 4z = 0
2x + 5y + 6z = 13
Solution:
సర్వ మాత్రిక


ρ(A) = ρ(AB) = 2 < 3
∴ దత్త వ్యవస్థ సంగతము అనేక సాధనాలు ఉంటాయి.
x + y = 2, y + 2z = 3
z = k అయిన y = 3 – 2z = 3 – 2k
x = 2 – y
= 2 – (3 – 2k)
= 2 – 3 + 2k
= 2k – 1
∴ సాధన x = -1 + 2k, y = 3 – 2k, z = k, ‘k’ ఒక సంఖ్య.

Question 7.
2x + 3y + z = 9
x + 2y + 3z = 6
3x + y + 2z = 8
Solution:


ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతము ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = \(\frac{35}{18}\), y = \(\frac{29}{18}\), z = \(\frac{5}{18}\)

Question 8.
x + y + 4z = 6
3x + 2y – 2z = 9
5x + y + 2z = 13
Solution:


ρ(A) = ρ(AB) = 3
∴ దత్త వ్యవస్థ సంగతము ఏకైక సాధనం ఉంటుంది.
∴ సాధన x = 2, y = 2, z = \(\frac{1}{2}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(b)

I.

Question 1.
f(x) = e^x, g(x) = log_ex అయితే fog = gof అని చూపండి. f^-1, g^-1 లు కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\) అయితే (fog) (y) = y అని చూపండి.
Solution:
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\)
ఇప్పుడు (fog) (y) = f(g(y))

∴ (fog) (y) = y

Question 3.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 2x² + 3, g(x) = 3x – 2 గా నిర్వచిస్తే
(i) (fog)(x)
(ii) (gof) (x)
(iii) fof (0)
(iv) go(fof) (3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R
f(x) = 2x² + 3; g(x) = 3x – 2
(i) (fog) (x) = f(g(x))
= f(3x – 2), [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2(3x – 2)² + 3, [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 2(9x² – 12x + 4) + 3
= 18x² – 24x + 8 + 3
= 18x² – 24x + 11
(ii) (gof) (x) = g(f(x))
= g(2x² + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 3(2x² + 3) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2
= 6x² + 9 – 2
= 6x² + 7
(iii) (fof) (0) = f(f(0))
= f(2(0) + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= f(3)
= 2(3)² + 3
= 18 + 3
= 21
(iv) go(fof) (3) = go(f (f(3)))
= go(f(2 × 3² + 3)), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= go(f(21))
= g(f(21))
= g(2 × 21² + 3)
= g(885)
= 3(885) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2653

Question 4.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 3x – 1, g(x) = x² + 1 లుగా నిర్వచిస్తే
(i) (fof) (x² + 1)
(ii) fog (2)
(iii) gof (2a – 3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g: R → R
f(x) = 3x – 1; g(x) = x² + 1
(i) (fof) (x² + 1) = f(f(x² + 1))
f[3(x² + 1) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= f(3x² + 2)
= 3(3x² + 2) – 1
= 9x² + 5
(ii) (fog) (2) [Mar. ’13; May ’13]
= f(g(2))
= f(2² + 1), [∵ g(x) = x² + 1]
= f(5)
= 3(5) – 1, [∵ f(x) = 3x – 1]
= 14
(iii) (gof) (2a – 3)
= g(f(2a – 3))
= g[3(2a – 3) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= g(6a – 10)
= (6a – 10)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 36a² – 120a + 100 + 1
= 36a² – 120a + 101

Question 5.
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x అయితే x ∈ (0, ∞) కు (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x, ∀ x ∈ (0, ∞)
(gof) (x) = g(f(x))

Question 6.
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R అయితే (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R
(gof) (x) = g(f(x))
= g(2x – 1), [∵ f(x) = 2x – 1]
= \(\frac{(2 x-1)+1}{2}\), [∵ g(x) = \(\frac{x+1}{1}\)]
= x
∴ (gof) (x) = x

Question 7.
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x ∀ x ∈ R, అయితే ((fo(goh)) (x)) ను కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x, ∀ x ∈ R
[fo(goh) (x)] = [fog(h(x))]
= fog(2x), [∵ h(x) = 2x]
= f[g(2x)]
= f((2x)²), [∵ g(x) = x²]
= f(4x²), [∵ f(x) = 2]
= 2
∴ [fo(goh) (x)] = 2

Question 8.
కింది ప్రమేయాల విలోమాలు కనుక్కోండి.
(i) a, b ∈ R, f : R → R ని f(x) = ax + b (a ≠ 0) గా నిర్వచిస్తే. [Mar. ’13]
Solution:
a, b ∈ R, f : R → R మరియు
f(x) = ax + b, a ≠ 0
y = f(x) = ax + b అనుకోండి
⇒ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = ax + b
⇒ x = \(\frac{y-b}{a}\) ……(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = \(\frac{y-b}{a}\)
⇒ f^-1(x) = \(\frac{x-b}{a}\)

(ii) f : R → (0, ∞) ని f(x) = 5^x గా నిర్వచిస్తే. [(A.P) Mar. ’15, ’11]
Solution:
f : R → (0, ∞), f(x) = 5^x
y = f(x) = 5^x అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = 5^x
⇒ log5(y) = x ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₂(x) అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = log₂(x)
⇒ x = 2^y ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₅(x)

(iii) f : (0, ∞) → R ని f(x) = log₂x గా నిర్వచిస్తే.
Solution:
f : (0, ∞) → R, f(x) = log₂(x)
y = f(x) = log₂(x) అనుకోండి.
y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …….(i)
y = log₂x
⇒ x = 2^y ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = 2^y
⇒ f^-1(x) = 2^x

Question 9.
f(x) = 1 + x + x² + …….. |x| < 1 అయితే f^-1(x) = \(\frac{x-1}{x}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 10.
f : [1, ∞) → [1, ∞), f(x) = 2^x(x-1) గా నిర్వచిస్తే f-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2^x(x-1)
f(x) = y
⇒ x = f^-1(x)

II.

Question 1.
f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\)‚ x ≠ ±1, అయితే (fof^-1)(x) = x అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} అయితే f : A → B, g : B → C లను f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (y, γ)} లుగా నిర్వచిస్తే, f, g లు ద్విగుణ ప్రమేయాలు అని, (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి.
Solution:
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ},
f : A → B, f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
⇒ f(1) = α, f(2) = γ, f(3) = β
∵ A లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు B లో విభిన్న f-ప్రతిబింబాలున్నవి. కనుక f : A → B అన్వేక ప్రమేయం
f వ్యాప్తి = {α, γ, β} = B (సహప్రదేశం)
కనుక f : A → B సంగ్రస్తం
∴ f : A → B ద్విగుణ ప్రమేయం
B = {α, β, γ}, C = {p, q, r), g : B→ C
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
⇒ g(α) = q, g(β) = r, g(γ) = p
∴ B లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు C లో విభిన్న మూలకాలు g-ప్రతిబింబంగా ఉన్నది.
కనుక g : B → C అన్వేక ప్రమేయం.
g వ్యాప్తి g = g(B) = {p, q, r} = C
కనుక g : B → C సంగ్రస్తం
∴ g : B → C ద్విగుణ ప్రమేయం
ఇప్పుడు f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
∴ gof = {(1, q), (2, p), (3, r)}
∴ (gof)^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)} ……..(1)
g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}
f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)}
f^-1og^-1 = {(q, 1), (r, 3), (p, 2)} ……..(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ (gof)^-1 = f^-1og^-1

Question 3.
f : R → R, g : R → R, f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1 గా నిర్వచిస్తే
(i) (gof^-1)(2), (ii) (gof)(x – 1) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08; May ’06]
Solution:
f : R → R, g : R → R and f(x) = 3x – 2
f ద్విగుణ ప్రమేయం ⇒ విలోమం వ్యవస్థితం
y = f(x) = 3x – 2 అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) ……..(i)
y = 3x – 2
⇒ x = \(\frac{y+2}{3}\) ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి

(ii) (gof) (x – 1)
Solution:
(gof) (x – 1) = g(f(x – 1))
= g(3(x – 1) – 2), [∵ f(x) = 3x – 2]
= g(3x – 5)
= (3x – 5)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 9x² – 30x + 26
∴ (gof) (x – 1) = 9x² – 30x + 26.

Question 4.
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}, g-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)} అయితే (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}
∴ f^-1 = {(a, 1), (c, 2), (d, 4), (b, 3)}
g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
∴ g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)}
(gof) = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}
∴ (gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} …….(1)
f^-1og^-1 = {(2, 1), (4, 3), (1, 2), (3, 4)} ………(2)
(1), (2) ల నుండి (gof)^-1 = f^-1og^-1.

Question 5.
f : R → R, g: R → R లను f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5 అయితే (fog)^-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R, f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5
ఇప్పుడు (fog) (x) = f(g(x))
= f(x³ + 5) [∵ g(x) = x³ + 5]
= 2(x³ + 5) – 3, [∵ f(x) = 2x – 3]
f(x) = 2x³ + 7
∴ (fog) (x) = 2x³ + 7
y = (fog) (x) = 2x³ + 7
y = fog(x) = 2x³ + 7
⇒ x = (fog)^-1 (y) ……..(1)
⇒ y = 2x³ + 7
⇒ \(\frac{y-7}{2}\) = x³
⇒ x = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
(fog)^-1 (y) = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(fog)^-1(x) = \(\left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Question 6.
f(x) = x², g(x) = 2^x అయితే (fog) (x) = (gof) (x) సమీకరణం సాధించండి.
Solution:

Question 7.
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1) అయితే, (fofofof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1)
(i) (fofof) (x) = (fof) [f(x)]

(ii) (fofofof) (x)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(f)

I. కింది ఇచ్చిన ప్రతి మాత్రికకూ కోటి కనుక్కోండి.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 0
= 0
| 1 | = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|\)
= 1 – 0
= 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 3.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 0
= 0
|1| = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 4.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 1
= -1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 5.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
Solution:
\(\left|\begin{array}{cc}
1 & -4 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 3 + 8
= 11 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
Solution:
\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 6 \\
4 & 3
\end{array}\right|\)
= 6 – 24
= -18 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

II.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
= 1(1 – 0) – 0(0 – 0) + 0(0 – 0)
= 1 – 0 + 0
= 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 0) – 2(8 + 1) + 0(0 + 3)
= 6 – 18
= -12 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 3.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 4) – 2(4 – 3) + 0(8 – 9)
= 2 – 2 + 0
= 0
∴ ρ(A) ≠ 3, ρ(A) < 3
ఉపమాత్రిక నిర్ధారకం \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 3 – 4
= -1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 4.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) [Mar. ’08]
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
det A = 0, ρ(A) ≠ 3.
ప్రతి 2 × 2 ఉపమాత్రిక det సున్న
∴ ρ(A) ≠ 2
|1| = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 5.
\(\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\)
Solution:
ఉపమాత్రిక B నిర్ధారకం = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
-2 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(8 – 3) – 2(6 + 2)
= 5 – 16
= -11 ≠ 0
మాత్రిక కోటి = 3

Question 6.
\(\left[\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
ఉపమాత్రిక A నిర్ధారకం = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= -1(12 – 4) + 1(4 – 0)
= -8 + 4
= -4 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b)

I.

Question 1.
క్రింది లబ్దాలు సాధ్యమైనప్పుడల్లా కనుక్కోండి.
సూచన: (1 × 3) by (3 × 1) = 1 × 1

Solution:


మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య, రెండవ మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానం కాదు. అందువల్ల మాత్రికా లబ్ధము నిర్వచితము కాదు.

మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య 1 ≠ రెండవ మాత్రికలో అడ్డు వరుసల సంఖ్య 2 కనుక మాత్రిక లబ్ధం నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే AB, BA లు నిర్వచితమా? అయితే లబ్ద మాత్రికలు కనుక్కోండి. A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయమవుతాయా?
Solution:

AB ≠ BA
∴ A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయము కావు.

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{0} & \mathbf{i} \\
\mathbf{i} & \mathbf{0}
\end{array}\right]\) అయితే
(i) A² = B² = C² = -I [Mar. ’08]
(ii) AB = -BA = -C, (i² = -1) అని చూపండి.
(I అనేది రెండో తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) అయితే, AB ని కనుక్కోండి. BA ని నిర్వచితమైతే కనుక్కోండి.
Solution:

మాత్రిక B లో నిలువు వరుసల సంఖ్య A లో అడ్డు వరుసల సంఖ్య. అందువల్ల BA నిర్వచితం కాదు.

Question 7.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\), A² = O అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’05]
Solution:
A² = O
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
4-4 & 8+4 k \\
-2-k & -4+k^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ 8 + 4k = 0
⇒ 4k = -8
⇒ k = -2

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\), అయితే A⁴ ని కనుక్కోండి.
సూచన : A వికర్ణ మాత్రిక.
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -1 & -3
\end{array}\right]\), అయితే A³ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A³ – 3A² – A – 3I విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 4.
I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\), E = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే (aI + bE)³ = a³I + 3a²bЕ అని చూపండి. [(AP) Mar. ’15, May ’05]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

III.

Question 1.
A = diag [a₁, a₂, a₃), n ≥ 1 ఒక పూర్ణాంకం అయితే Aⁿ = \(\left[a_1^n, a_2^n, a_3^n\right]\) అని చూపండి.
Solution:

n = k + 1 కి ఇది నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం ద్వారా ప్రతి n ∈ N కు P(n) నిజమవుతుంది.

Question 2.
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\) అయితే \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\
\cos \theta \sin \theta & \sin ^2 \theta
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \phi & \cos \phi \sin \phi \\
\cos \phi \sin \phi & \sin ^2 \phi
\end{array}\right]\) = 0 అని చూపండి. [May ’11; Mar. ’04]
Solution:
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\) + φ

Question 3.
n ధన పూర్ణాంకం, A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) అయితే Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
Solution:
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం ఋజువు చేద్దాం.


∴ n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం n యొక్క అన్ని పూర్ణాంకాలకు నిజం.

Question 4.
A, B లు ఒకే తరగతి చతురస్ర మాత్రికలైతే AB = 0, BA ≠ 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
Solution:

Question 5.
ఒక సహాయనిధికి చెందిన రూ.30,000 లను రెండు రకాల బాండ్లలో మదుపు చేయాలి. మొదటి రకం బాందు సంవత్సరానికి 5% వడ్డీని, రెండవ రకం బాండు సంవత్సరానికి 7% వడ్డీని ఇస్తాయి. మాత్రికల గుణకాన్ని ఉపయోగించి ఈ మొత్తాన్ని ఏవిధంగా విభజిస్తే వడ్డీ (a) రూ.1800 (b) రూ.2000 వస్తుంది.
Solution:
మొదటి బాండును ‘x’ అనుకొనుము.
రెండవ బాండును 30,000 – x అనుకొనుము.
వడ్డీ శాతం 0.05 మరియు 0.07 అనుకొనుము.
(a) [x, 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [1800]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = 1800
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 1800
5x + 21,0000 – 7x = 1,80,000
-2x = 1,80,000 – 2,10,000 = -30,000
x = 15,000
∴ మొదటి బాండ్ = 15,000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 15,000 = 15,000

(b) [x 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [2000]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = [2000]
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 2000
5x + 2,10,000 – 7x = 2,00,000
-2x = 2,00,000 – 2,10,000
-2x = -10,000
x = 5,000
∴ మొదటి బాండ్ = 5000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 5000 = 25,000

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
రేఖ 4x – 3y = 12 కు నిరూపకాక్షాల మీద అంతరఖండాల వర్గాల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము
\(\frac{4 x}{12}-\frac{3 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}\) = 1
a = 3, b = – 4
వర్గాల మొత్తము = a² + b²
= 9 + 16 = 25

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మధ్య గల భాగాన్ని (2p, 2q) సమద్విఖండన చేస్తే ఆ రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో AB సమీకరణము

A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
M మధ్య బిందువు AB
M నిరూపకాలు \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) = (2p, 2q)
\(\frac{a}{2}\) = 2p, \(\frac{b}{2}\) = 2q
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AB సమీకరణము
\(\frac{x}{4 p}+\frac{y}{4 q}\) = 1
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 4

ప్రశ్న 3.
ax + by + c = 0 (abc ≠ 0), lx + my + n = 0 సమీకరణం ఒకే రేఖను సూచిస్తే, r = \(\frac{l}{a}=\frac{n}{c}\) అయినప్పుడు r విలువను m, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax + by + c = 0,
lx + my + n = 0 లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి.
∴ \(\frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}\) = r
\(\frac{m}{b}\) = r

ప్రశ్న 4.
రేఖ y = – \(\sqrt{3}\) x + 3, X – అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో చేసే కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము y = – \(\sqrt{3}\)x + 3
దత్తరేఖ X – అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో చేసిన కోణము α అనుకుందాం.
tan α = – \(\sqrt{3}\) = tan \(\frac{2\pi}{3}\)
α = \(\frac{2\pi}{3}\)

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మీద చేసే అంతరఖండాలు a, ‘b అయితే మూల బిందువు నుంచి ఆ రేఖకు లంబ దూరమైన p విలువను a, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము

p = మూలబిందువు నుండి లంబంగా

II.

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాటిలో మూల బిందువు నుంచి సరళరేఖ దూరాన్ని p సూచిస్తుంది. మూల బిందువు నుంచి సరళరేఖకు గీసిన ఒక అభిలంబ కిరణం X – అక్షం ధన దిశతో అపసవ్య దిశలో 0 కోణాన్ని చేస్తుంది. క్రింద ఇచ్చిన p, α విలువలు గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) p = 5, α = 60°
ii) p = 6, α = 150°
iii) p = 1, α = \(\frac{7\pi}{4}\)
iv) p = 4, α = 90°
v) p = 0, α = 0
vi) p = 2\(\sqrt{2}\), α = \(\frac{5\pi}{4}\)
సాధన:
అభిలంబ రూపంలో రేఖ సమీకరణం
x cos α + y sin α = p
i) p = 5, α = 60°
cos α= cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin α = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము x . \(\frac{1}{2}\) + y . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5
⇒ x + \(\sqrt{3}\) y = 10

ii) p = 6, α = 150°
cos α = cos 150° = cos (180° – 30°)
= -cos 30° = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin α = sin 150°
= sin (180° -30°)
= sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(x \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+y \cdot \frac{1}{2}\) = 6
– \(\sqrt{3}\) x + y = 12
లేదా \(\sqrt{3}\) x – y + 12 = 0

iii) p = 1, α = \(\frac{7\pi}{4}\)
cos α= cos 315° = cos (360° – 45°)
= cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin α = sin 315° = sin (360° – 45°)
= – sin 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
x . \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) – y . \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 1
x – y = \(\sqrt{2}\)
x – y – \(\sqrt{2}\) = 0

iv) p = 4, α = 90°
cos α = cos 90° = 0, sin α = sin 90° = 1
సరళరేఖ సమీకరణము x. 0 + y . 1 = 4
y = 4

v) p = 0, α = 0
cos α = cos 0 = 1, sin α = sin 0 = 0
సరళరేఖ సమీకరణము x. 1 + y . 0 = 0
x = 0

vi) p = 2\(\sqrt{2}\), α = \(\frac{5\pi}{4}\)
cos α = cos 225° = cos (180° + 45°)
= -cos 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin α = sin 225° = sin (180° + 45°)
= -sin 45° = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(x\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2 \sqrt{2}\)
-x – y = 4
లేదా x + y + 4 = 0

ప్రశ్న 2.
కింది సమస్యలలో ఇచ్చిన వాలుతో, ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖల సమీకరణాలు సౌష్ఠవ రూపంలో కనుక్కోండి.
i) \(\sqrt{3}\) (2, 3)
ii) –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\), (-2, 0)
iii) -1, (1, 1)
సాధన:
i) సౌష్ఠవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-x_1}{\cos \alpha}=\frac{y-y_1}{\sin \alpha}\) = r
(x₁, y₁) = (2, \(\sqrt{3}\))
m = tan α = \(\sqrt{3}\) ⇒ α = 60°
cos α = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin α = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
సౌష్టవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-2}{\cos \frac{\pi}{3}}=\frac{y-3}{\sin \frac{\pi}{3}}\)

ii) (x, y) = (-2, 0)
tan α = – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ α = 180° – 30° = 150°
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x+2}{\cos 150^{\circ}}=\frac{y}{\sin 150^{\circ}}\)

iii) tan α = -1, α = 180° – 45° = 135°
(x₁, y₁) = (1, 1)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-1}{\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)}=\frac{y-1}{\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలను
a) వాలు – అంతరఖండ రూపం
b) అంతరఖండ రూపం
c) అభిలంబ రూపంలోకి మార్చండి.
i) 3x + 4y = 5
ii) 4x – 3y + 12 = 0
iii) \(\sqrt{3}\) x + y = 4
iv) x + y + 2 = 0
v) x + y – 2 = 0
vi) \(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
సాధన:
i) 3x + 4y = 5
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
4y = -3x + 5
y = \(\left(-\frac{3}{4}\right) x+\left(\frac{5}{4}\right)\)
అంతరఖండ రూపము :
3x + 4y = 5
\(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{5}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{5}{3}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{4}\right)}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
3x + 4y = 5
\(\sqrt{9+16}\) = 5 తో భాగించగా
\(\frac{3}{5}\) x + \(\frac{4}{5}\) y = 1
cos α = \(\frac{3}{5}\), sin α = \(\frac{4}{5}\) ⇒ tan α = \(\frac{4}{3}\)
x cos α + y sin α = 1

ii) 4x – 3y + 12 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
3y = 4x + 12
y = \(\left(\frac{4}{3}\right)\) x + 4
అంతరఖండ రూపము :
4x – 3y + 12 = 0
-4x + 3y = 12
\(\frac{-4 x}{12}+\frac{3 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{4}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
4x – 3y + 12 = 0
-4x + 3y = 12
\(\sqrt{16+9}\) = 5 తో భాగించగా
\(\left(\frac{-4}{5}\right) x+\left(\frac{3}{5}\right) y=\frac{12}{5}\)
cos α = –\(\frac{4}{5}\), sin α = \(\frac{3}{5}\) ⇒ tan α = –\(\frac{3}{4}\)
x cos α + y sin α = \(\frac{12}{5}\)

iii) \(\sqrt{3}\) x + y = 4
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
\(\sqrt{3}\) x + y = 4
y = –\(\sqrt{3}\) x + 4
అంతరఖండ రూపము :

iv) x + y + 2 = 0 [Mar. ’12]
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
x + y + 2 = 0
y = -x – 2
= (-1)x + (-2)
అంతరఖండ రూపము:
x + y + 2 = 0
-x – y = 2
\(\frac{x}{(-2)}+\frac{y}{(-2)}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
x + y + 2 = 0
-x – y = 2
\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) తో భాగించగా
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) x+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) y=\sqrt{2}\)
\(x \cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+y \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)=\sqrt{2}\)

v) x + y – 2 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
x + y – 2 = 0
y = -x + 2
అంతరఖండ రూపము:
x + y – 2 = 0
x + y = 2
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
x + y – 2 = 0
x + y = 2
\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) తో భాగించగా
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . x + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . y = \(\sqrt{2}\)
x cos \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) + y sin \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = \(\sqrt{2}\)

vi) \(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
\(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
y = –\(\sqrt{3}\) x – 10
అంతరఖండ రూపము :

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖ x tan α + y sec α = 1 (0 ≤ α ≤ \(\frac{\pi}{2}\)) నిరూపకాక్షాల మీద చేసే అంతర ఖండాల లబ్దము sin α అయితే C. కనుక్కోండి.
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము x tan α + y sec α = 1
\(\frac{x}{\cot \alpha}+\frac{y}{\cos \alpha}\) = 1
a = cot α, b = cos α
ab = sin α అని ఇవ్వబడింది.
cot α . cos α = sin α
\(\frac{\cos ^2 \alpha}{\sin \alpha}\) = sin α ⇒ cos² α = sin² α
tan² α = 1 = tan α = +1
α = 45°

ప్రశ్న 5.
ఒక చల (variable) సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే అంతరఖండాల విలోమాల మొత్తం స్థిరం అయితే ఆ రేఖ ఒక స్థిర బిందువు గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 6.
సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే అంతరఖండాలు a, b. మూల బిందువును స్థిరంగా ఉంచి అక్షాలకు ఒక దత్త కోణం గుండా తిప్పినప్పుడు ఆ రేఖ L నూతన అక్షాలతో చేసే అంతరఖండాలు p, q అయితే \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో తొలి వ్యవస్థలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) – 1 = 0
మూల బిందువు నుండి లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\) …………… (1)
రెండవ వ్యవస్థలో అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) – 1 = 0
మూల బిందువు నుండి లంబ దూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}}\) ……………… (2)

ప్రశ్న 7.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 సమీకరణాన్ని a > 0, b > 0 అయినప్పుడు అభిలంబ రూపంలోకి రూపాంతరం చేయండి. ఆ రేఖకు మూల బిందువు నుండి లంబదూరం p అయితే \(\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
bx + ay = ab
\(\sqrt{a^2+b^2}\) తో భాగించగా

III.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ A(-2, 1) నుంచి పోతూ X – అక్షం ధన దిశలో 30° కోణం చేస్తుంది. ఆ సరళరేఖపై A నుంచి 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ మీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
(x₁ + r cos α, y₁ + r sin α)
α = 30° ⇒ cos α = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin α = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
(x₁, y₁) = (-2, 1) ⇒ x₁ = -2, y₁ = 1
r = 4 గా తీసుకుంటే P నిరూపకాలు
(-2 + 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1 + 4 . \(\frac{1}{2}\)) = (-2 + 2\(\sqrt{3}\), 3)
r = – 4 గా తీసుకుంటే P నిరూపకాలు
(-2 – 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1 – 4 . \(\frac{1}{2}\)) = (-2 – 2\(\sqrt{3}\), -1)

ప్రశ్న 2.
3x – 4y – 1 = 0 రేఖపై ఉంటూ, బిందువు (3, 2) నుంచి 5 యూనిట్లు దూరంలో ఉన్న బిందువులను కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
సౌష్ఠవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-3}{\cos \alpha}=\frac{y-2}{\sin \alpha}\) = r
P నిరూపకాలు
(3 + r cos α, 2 + r sin α) = (3 + 5 cos α, 2 + 5 sin α)
P బిందువు 3x – 4y – 1 – 0 రేఖపై ఉంది.
3(3+ 5 cos α) – 4(2 + 5 sin α) − 1 = 0
9 + 15 cos α – 8 – 20 sin α – 1 = 0
15 cos α – 20 sin α = 0
15 cos α = + 20 sin α
tan α = + \(\frac{3}{4}\)
సందర్భం i) : cos α = +\(\frac{4}{5}\), sin α = \(\frac{3}{5}\)
సందర్భం ii) : cos α = –\(\frac{4}{5}\), sin α = –\(\frac{3}{5}\)

సందర్భం i) : P నిరూపకాలు
(3 + 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 + 5 . \(\frac{3}{5}\)) = 17, 5)
సందర్భం ii): P నిరూపకాలు
(3 – 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 – 5 . \(\frac{3}{5}\)) = (-1, -1)

ప్రశ్న 3.
X- అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో 7/3 కోణం చేసే ఒక సరళరేఖ Y- అక్షం మీద ధన అంతరఖండం చేస్తోంది. ఆ సరళరేఖ మూలబిందువు నుంచి 4 దూరంలో ఉంటే, ఆ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
α = 7/3, p = 4 అని ఇవ్వబడింది.
m = tan α = tan 60° = \(\sqrt{5}\)
వాలు – అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
y = \(\sqrt{3}\) x + c
\(\sqrt{3}\) x – y + c = 0
మూల బిందువు నుండి పోయే ధృవము = 4
\(\frac{|0-0+c|}{\sqrt{3+1}}\) = 4
|c| = 4 × 2 = 8
c = +8
c > 0
∴ c = 8
సరళరేఖ సమీకరణము \(\sqrt{3}\) x – y + 8 = 0

ప్రశ్న 4.
A (2, 1) బిందువు గుండాపోయేటట్లు గీసిన ఒక సరళరేఖ x + y = 9 రేఖను ఖండించే బిందువు A నుంచి 3\(\sqrt{2}\) దూరంలో ఉంటే, ఆ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
L – రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో α కోణం చేస్తుందను కుందాము.
ఈ రేఖమీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
= (x₁ + r cos α₁, y₁ + r sin α)
= (2 + 3\(\sqrt{2}\) cos α 1 + 3\(\sqrt{2}\) sin α)
ఈ బిందువు x + y = 9 రేఖ మీద ఉంది.
2 + 3\(\sqrt{2}\) cos α + 1 + 3\(\sqrt{2}\) sin α = 9
3\(\sqrt{2}\) (cos α + sin α) = 6
cos α + sin α = \(\frac{6}{3 \sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . cos α + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) sin α = 1
cos α . cos 45° + sin α . sin 45° = 1
cos (α – 45°) = cos 0°
α – 45° = 0 ⇒ α = 45° = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 5.
రుణ వాలుగల ఒక సరళరేఖ L, బిందువు, (8, 2) గుండా పోతూ, ధన నిరూపకాక్షాలను P, Q ల వద్ద ఖండిస్తోంది. O మూల బిందువు, ఓ చలిస్తూ ఉంటే OP + OQ కు కనిష్ఠ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
సరళరేఖ వాలు – m అనుకొనుము.
సరళరేఖ సమీకరణం y – 2 = -m (x – 8)
mx + y – (2 + 8m) = 0
mx + y = 2 + 8m


∴ కనిష్ఠ విలువ = 18

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(e)

I.

Question 1.
క్రింది మాత్రికల అనుబంధ మాత్రికను విలోమ మాత్రికను కనుక్కోండి.
(i) A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
4 & 6
\end{array}\right]\) [Mar. ’02]
Solution:

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) [Mar. ’13]
Solution:

(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) [Mar. ’05]
Solution:

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) [Mar ’08]
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
a+i b & c+i d \\
-c+i d & a-i b
\end{array}\right]\), a² + b² + c² + d² = 1 అయితే, A విలోమం కనుక్కోండి.
Solution:
Det A = (a + ib) (a – ib) – (c + id) (-c + id)
= a² – i²b² – (-c² + i²d²)
= a² + b² + c² + d²
= 1 (∵ i² = -1)

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
0 & -1 & 4 \\
-2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే, (A’)^-1 కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & -2 \\
2 & 1 & -2 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right|\) అయితే adj A = 3A’ అని చూపి A^-1 కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
abc ≠ 0, అయితే \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{b} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{c}
\end{array}\right]\) కు విలోమం కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\), B = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{b}+c & c-a & \mathbf{b}-\mathbf{a} \\
\mathbf{c}-\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} \\
\mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{a}-c & \mathbf{a}+\mathbf{b}
\end{array}\right]\) అయితే ABA^-1 ఒక వికర్ణ మాత్రిక అని చూపండి.
Solution:
A^-1 ను కనుక్కొందాం

Question 2.
3A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
-2 & 2 & -1
\end{array}\right]\) అయితే A^-1 = A’ అని చూపండి. [Mar. ’14]
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A^-1 = A³ అని చూపండి.
Solution:

∴ A⁴ = I
det A = 3(1) – 3(-2) + 4(-2) = 1
∵ A ≠ 0 ⇒ A^-1 వ్యవస్థితం
∵ A⁴ = I
A^-1 చే గుణించగా
A⁴ (A^-1) = I (A^-1)
⇒ A³ (A A^-1) = A^-1
⇒ A³ (I) = A^-1
∴ A^-1 = A³

Question 4.
AB = I గానీ, BA = I గానీ అయితే A విలోమనీయ మాత్రిక అనీ B = A^-1 అని నిరూపించండి.
Solution:
AB = I
⇒ |AB| = |I| = |A| |B| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A ఒక సాధారణ మాత్రిక
మరియు BA = I
⇒ |BA| = |I|
⇒ |B| |A| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A ఒక సాధారణ మాత్రిక
AB = I లేదా BA = I అయితే A విలోమనీయం
∴ A^-1 వ్యవస్థితం
AB = I
⇒ A^-1AB = A^-1I
⇒ IB = A^-1
⇒ B = A^-1
∴ B = A^-1

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(a)

I.

Question 1.
ఈ క్రిందివాటిని ఒకే మాత్రికగా వ్రాయండి.
(i) [2 1 3] + [0 0 0]
(ii) \(\left[\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 9 & 0 \\
1 & 8 & -2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 2 \\
7 & 1 & 4
\end{array}\right]\)
(iv) \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
1 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -5
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{array}\right]\), A + B = X అయితే x₁, x₂, x₃, x₄ ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
A + B = X కనుక

∴ x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 7, x₄ = -3

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5 \\
0 & -2 & 2 \\
1 & 2 & -3
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A + B + C ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), X = A + B అయితే, మాత్రిక X ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
\(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\) అయితే x, y, z, a విలువలను కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:
\(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\)
∴ x – 3 = 5
⇒ x = 3 + 5 = 8
2y – 8 = 2
⇒ 2y = 8 + 2 = 10
⇒ y = 5
z + 2 = -2
⇒ z = -2 – 2 = -4
a – 4 = 6
⇒ a = 4 + 6 = 10

II.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే x, y, z, a ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
∴ x – 1 = 1
⇒ x = 1 + 1 = 2
5 – y = 3
⇒ y = 5 – 3 = 2
z – 1 = 4
⇒ z = 4 + 1 = 5
a – 5 = 0
⇒ a = 5

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -5 \\
2 & -1 & 5 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే జాడ A కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:
జాడ A = ప్రధాన వికర్ణ మూలకాల మొత్తం
= 1 – 1 + 1
= 1

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & -6
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]\) అయితే B – A, 4A – 5B లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\) అయితే 3B – 2A ను కనుక్కోండి.
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e)

అభ్యాసం – 3 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
(1, \(\sqrt{3}\) ) (2, 0), (0, 0) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
O(0, 0), A (1, \(\sqrt{3}\)), B (2, 0) లు ∆ ABC శీర్షాలు

ప్రశ్న 2.
x + y + 10 = 0, x – y − 2 = 0, 2x + y +7 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 …………….. (1)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0 ………………… (2)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0 ……………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా B నిరూపకాలు (-4, -6)
(1), (3) లను సాధించగా A నిరూపకాలు (17, 27)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
AD సమీకరణము x + y + k = 0
AD రేఖ A (17, −27) గుండా పోతుంది.
17 – 27 + k = 0 ⇒ k = 10
∴ AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 ……………. (1)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
DE సమీకరణము x – 2y = k
BE సమీకరణము B (-4, -6)
-4 + 12k = k ⇒ k = 8
BE సమీకరణము x – 2y = 8

3y = -18 ⇒ y = -6
x + y + 10 = 0 ⇒ x – 6 + 10 = 0
x = 6 – 10 = -4
∆ ABC యొక్క లంబకేంద్రం (-4, – 6)

ప్రశ్న 3.
4x – 7y + 10 = 0, x + y = 5, 7x + 4y = 15 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము 4x – 7y + 10 = 0 ……………. (1)
BC సమీకరణము x + y = 5 ………………… (2)
AC సమీకరణము 7x + 4y – 15 = 0 ………………. (3)
AB, AC లు లంబంగా ఉన్నాయి. ∠A = 90°
∴ ABC లంబకోణ త్రిభుజం
లంబకోణ శీర్షం A లంబకేంద్రం
(1), (3) లను సాధించగా

లంబకేంద్రం O (1, 2)

ప్రశ్న 4.
x = 1, y = 1, x + y = 1 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1

AB, BC లు లంబాలు
∴ ABC ఒక లంకోణ త్రిభుజము ∠B = 90°
AC మధ్య బిందువు, AC పరికేంద్రము
A నిరూపకాలు (1, 0), C నిరూపకాలు (0, 1).
పరికేంద్రము \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 5.
x = 1, y = 1, x + y = 1 లు భుజాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము X = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1
సాధించగా A(1, 0), B (1, 1), C (0, 1) లు శీర్షాలు

ప్రశ్న 6.
(1, 0),(–1, 2), (3, 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 0), B (-1, 2), C (3, 2) లు ∆ ABC త్రిభుజ శీర్షాలు

S (x, y) ∆ ABC యొక్క పరికేంద్రం
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x – 1)² + y² = (x + 1)² + (y – 2)²
x² – 2x + 1 + y² = x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4
4x – 4y = -4 ⇒ x – y = -1 ………………. (1)
SB SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3) + (y – 2)²
x² + 2x + 1 = x² – 6x + 9
8x = 8 ⇒ x = 1
(1) నుండి 1 – y = -1
y = 2
∴ పరికేంద్రము (1, 2)

ప్రశ్న 7.
kx + y + 9 = 0, 3x – y = 4 సరళరేఖల మధ్యకోణం 45° అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
kx + y + 9 = 0
3x – y + 4 = 0
cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{|3 k-1|}{\sqrt{k^2+1} \sqrt{9+1}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|3 k-1|}{\sqrt{10} \sqrt{k^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
5k² + 5 = (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1
4k² – 6k – 4 = 0
2k² – 3k – 2 = 0
(k – 2) (2k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1/2

ప్రశ్న 8.
మూల బిందువు గుండాను 2x + y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 సరళ రేఖల ఖండన బిందువు గుండాను పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణము L₁ = 2x – y + 5 = 0
AC సమీకరణము L₂ = x + y + 1 = 0
A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + KL₂ = 0
(2x – y + 5) +k (x + y + 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 0 (0, 0) ల గుండా పోతుంది.
5 + k = 0 ⇒ k = -5
(1) నుండి ప్రతిక్షేపించగా OA సమీకరణం
(2x + y + 5) − 5(x + y + 1) = 0
2x – y + 5 – 5x – 5y – 5 = 0
-3x – 6y = 0 ⇒ x + 2y = 0

ప్రశ్న 9.
3x + 4y,= 7 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ, x – 2y – 3 = x + 3y – 6 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = x – 2y – 3 = 0 మరియు
L₂ = x + 3y – 6 = 0
ఖండన బిందువు గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(x – 2y – 3) + k(x + 3y – 6) = 0
(1 + k)x + (-2 + 3k)y + (-3 – 6k) = 0
ఈ రేఖ 3x + 4y = 7 కు సమాంతరం.
a₁b₂ = a₂b₁
3(−2 + 3k) = (1 + k) 4
– 6 + 9k = 4 + 4k
⇒ 5k = 10 ⇒ k = 2 +
కావలసిన రేఖ సమీకరణం 3x + 4y – 15 = 0

ప్రశ్న 10.
2x + 3y = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ x + 3y – 1 = 0, x − 2y + 4 = 0 రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + 3y – 1 = 0
AC సమీకరణము X -2y + 4 = 0

A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
(x + 3y – 1) + k(x – 2y + 4) = 0
(1 + k)x + (3 – 2k)y + (4k – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 2x + 3y = 0 కు లంబము
a₁a₂ + b₁b₂ = 0
2(1 + k) + 3(3 – 2k) = 0
2 + 2k + 9 – 6k = 0
4k = 11 ⇒ k = \(\frac{11}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AD సమీకరణము
\(\left(1+\frac{11}{4}\right)\) x + \(\left(3-\frac{11}{2}\right)\) y + (11 – 1) = 0
\(\frac{15}{4}\) x – \(\frac{5}{2}\) y + 10 = 0
15x – 10y + 40 = 0
3x – 2y + 8 = 0

ప్రశ్న 11.
నిరూపకాక్షాలతో శూన్యేతర సమాన అంతర ఖండాలు చేస్తూ, 2x – 5y + 1 = 0, x – 3y – 4 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = 2x – 5y + 1 = 0
L₂ = x – 3y – 4 = 0
ఈ రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోతే
ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(2x – 5y + 1) + k(x – 3y – 4) = 0
(2 + k)x – (5+ 3k)y + (1 – 4k) = 0 …………….. (1)
అంతర ఖండాలు సమానం
2 + k – 5 – 3k
4k = -7
⇒ k = -7/4
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా కావలసిన రేఖ సమీకరణము
\(\left(2-\frac{7}{4}\right)\) x – \(\left(5-\frac{21}{4}\right)\) y + (1 + 7) = 0
\(\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)y + 8 = 0
⇒ x + y + 32 = 0

ప్రశ్న 12.
3x + 2y + 4 = 0, 2x + 5y − 1 = 0, రేఖల ఖండన బిందువు నుంచి 7x + 24y – 15 0 సరళరేఖకు గల లంబదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 2y + 4 = 0
2x + 5y – 1 = 0

P నిరూపకాలు (-2, 1)
రేఖ సమీకరణము 7x + 24y – 15 = 0
లంబ దూరము
= \(\left|\frac{-14+24-15}{\sqrt{49+576}}\right|=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 13.
3x + 4y – 8 = 0 సరళరేఖల నుంచి (2, 3), (-4, a) బిందువుల దూరాలు సమానమయితే ‘a’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము 3x + 4y – 8 – 0
P (2, 3), Q (-4, a) లు దత్త బిందువులు.
PP’, QQ’ లు P, ల నుండి లంబం

PP’ = QQ’
\(\frac{|3.2+4.3-8|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|3 \cdot(-4)+4 a-8|}{\sqrt{9+16}}\)
10 = |4a – 20|
4a – 20 = ±10 ⇒ 4a = 20 ± 10 = 30 లేదా 10
a = \(\frac{30}{4}\) లేదా \(\frac{10}{4}\)
i.e., a = \(\frac{15}{2}\) లేదా 5/2

ప్రశ్న 14.
x + y = 0, 2x + y + 5 = 0, x – y = 2 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y = 0 ………………. (1)
BC సమీకరణము 2x + y + 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణము x – y = 2 ……………. (3)

(1), (2) లను సాధిస్తే, B నిరూపకాలు (-5, 5)
(2), (3) లను సాధిస్తే, A నిరూపకాలు (-1,-3)
(1), (3) సాధిస్తే A నిరూపకాలు (1, -1)
S(x, y) పరికేంద్రం అనుకుందాం.
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x + 5)² + (y − 5)² = (x + 1)² + (y + 3)²
x² + 10x + 25 + y² – 10y + 25
= x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
8x – 16y = -40
x – 2y = -5 ………………. (1)
SB = SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y + 3)² = (x – 1)² + (y + 1)²
x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
x² – 2x + 1 + y² + 2y + 1
4x + 4y = -8
x + y = -2 …………… (2)
(2) – (1) 3y = 3 ⇒ y = 1
x + 1 = -2 ⇒ x = -3
పరికేంద్ము S(-3, 1)

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1, \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 రేఖల మధ్య కోణం θ అయితే a > b అయినప్పుడు sin θ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab
AC సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab

II.

ప్రశ్న 1.
(−10, 4) బిందువు గుండా పోతూ x – 2y = 10 రేఖతో θ కోణాన్ని tan θ = 2 అయ్యేటట్లు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి:
సాధన:
QR సమీకరణము x – 2y = 10

PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ రేఖ P(-10, 4) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – 4 = m(x + 10) У
= mx + 10m …………….. (1)
i.e., mxy + (10m + 4) = 0
tan θ = 2 ⇒ cos θ = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{|m+2|}{\sqrt{1+4} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (m + 2)²
= m² + 4m + 4
4m + 3 = 0
m = –\(\frac{3}{4}\)

సందర్భం (i) : m² = 0
⇒ ఒక మూలము ∞
PR ఊర్ధ్వ రేఖ
∴ PR సమీకరణము x + 10 = 0

సందర్భం (ii) : m = –\(\frac{3}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
PQ సమీకరణము –\(\frac{3}{4}\) x – y + \(\left(-\frac{30}{4}+4\right)\) = 0
\(\frac{-3 x-4 y-14}{4}\) = 0
⇒ 3x + 4y + 14 = 0

ప్రశ్న 2.
(1, 2) బిందువు గుండా పోతూ \(\sqrt{3}\) x + y + 2 = సరళరేఖతో 60° కోణాన్ని చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
QR సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x + y + 2 = 0

PQ, PR లు P(1, 2) గుండా పోతూ QR తో 60° కోణం చేస్తున్నాయి.
PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ వాలు у – 2 = m(x − 1)
= mx – m
mx – y + (2 – m) = 0 ………………. (1)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
cos 60° = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{\sqrt{3+1} \sqrt{m^2+1}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{2 \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (\(\sqrt{3}\)m – 1)²
= 3m² + 1 – 2\(\sqrt{3}\) m
2m² – 2\(\sqrt{3}\) m = 0
2m(m – \(\sqrt{3}\)) = 0
m = 0 లేదా \(\sqrt{3}\)
సందర్భం (i) : m = 0
PQ సమీకరణము -y + 2 = 0 లేదా y – 2 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\sqrt{3}\)
PQ సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x – y + (2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం భూమి x + y – 2 = 0, ఎదుటి శీర్షం (2, −1) అయితే మిగిలిన భుజాల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABC సమబాహు త్రిభుజము
∴ ∠B = ∠C = 60°

BC సమీకరణము x + y – 2 = 0
AB రేఖ A(2, -1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు = m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y + 1 = m(x – 2)
= mx – 2m
mx – y – (2m + 1) = 0 ………………. (1)
cos 60° = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|m-1|}{\sqrt{1+1} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా,
m² + 1 = 2 (m − 1)² = 2 (m² – 2m + 1)
= 2m² – 4m + 2
m² – 4m + 1 = 0
m = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}\) = \(\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\) = 2 ± \(\sqrt{3}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
AB సమీకరణము y + 1 = (2 + \(\sqrt{3}\)) (x – 2)
AC సమీకరణము y + 1 = (2\(\sqrt{3}\)) (x – 2)

ప్రశ్న 4.
కింద సూచించిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం లంబకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’15, ’12, ’07, ’04]
i) (-2, -1), (6, -1), (2, 5)
ii) (5,-2), (-1, 2), (1, 4)
సాధన:
i) A(-2, -1), B(6, -1), C(2, 5) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు

AD కి BC లు లంబంగా ఉంది.
AD వాలు = \(\frac{2}{3}\)
AD సమీకరణము
y + 1 = \(\frac{2}{3}\) (x + 2)
2x – 3y + 1 = 0 ………………. (1)
AC వాలు = \(\frac{5+1}{2+2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
BE కి AC లు లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{2}{3}\) (x – 6)
2x + 3y – 9 = 0 ………………… (2)

ii) (5,-2), (1, 2), (1, 4)
A(5,-2), B(-1, 2), C(1, 4) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు
BC వాలు = \(\frac{2-4}{-1-1}=\frac{-2}{-2}\) = 1
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.

AD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -1
AD సమీకరణము y + 2 = -(x – 5)
= -x + 5
x + y – 3 = 0 ………………. (1)
BE రేఖ AC’కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము y – 2 = 1 (x + 1)
3y – 6 = 2x + 2
2x – 3y + 8 = 0 ………………… (2)
(1), (2) ల నుండి అడ్డగుణకార సూత్రం ప్రకారం

ప్రశ్న 5.
కింద ఇచ్చిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
i) (-2, 3) (2, -1), (4, 0) [Mar. ’11]
ii) (1, 3), (0, -2), (-3, 1) [May ’06]
సాధన:
i) A(-2, 3), B(2, −1), C(4, 0) ∆ ABC లు శీర్షాలు
BC మధ్య బిందువు D

D నిరూపకాలు \(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+0}{2}\right)\)
= \(\left(3, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{-1-0}{2-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\)
SD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
SD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -2
SD సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = -2(x – 3)
2y + 1 = -4(x – 3)
= – 4x + 12
4x + 2y – 11 = 0 ………………. (1)
AC కి మధ్య బిందువు E
E నిరూపకాలు \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right)=\left(1, \frac{3}{2}\right)\)
AC వాలు = \(\frac{3-0}{-2-4}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
SE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
SE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = 2
SE సమీకరణము y – \(\frac{3}{2}\) = 2(x – 1)
2y – 3 = 4(x – 1)
= 4x – 4
4x – 2y – 1 = 0 ……………….. (2)
4x + 2y – 11 = 0 …………….. (1)
(1), (2) ల నుండి ⇒ 8x – 12 = 0
8x = 12
x = \(\frac{12}{8}\) = \(\frac{3}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2y = 11 – 4x = 11 – 4 . \(\frac{3}{2}\) = 11 – 6 = 5
y = \(\frac{5}{2}\)
∴ S నిరూపకాలు \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

ii) (1, 3), (0, −2) మరియు (−3, 1)

లో ∆ ABC,
A = (1, 3), B = (0,-2), C = (-3, 1)
D మధ్య బిందువు BC
D = \(\left(\frac{0-3}{2}, \frac{-2+1}{2}\right)=\left(\frac{-3}{2}, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{1+2}{-3-0}\) = -1
SD రేఖ BC కి లంబం.
SD వాలు = 1
SD సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = 1(x + \(\frac{3}{2}\))
⇒ 2y + 1 = 2x + 3
⇒2x – 2y + 2 = 0
⇒x – y + 1 = 0
CA కి మధ్య బిందువు E
⇒ E = \(\left(\frac{-3+1}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (-1, 2)
CA వాలు = \(\frac{1-3}{-3-1}=\frac{1}{2}\)
SE రేఖ CA కి లంబం.
SE వాలు = -2
SE సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 1)
⇒ y – 2 = 2x – 2
⇒ 2x + y = 0 ……………… (2)
(1), (2) లను సాధించగా

ప్రశ్న 6.
P(2, 2), Q (6, – 1), R(7, 3) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజానిక \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగతం అయితే (1, -1) గుండా పోతూ \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగత రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
P(2, 2), Q(6, -1), R(7, 3) లు ∆ABC శీర్షాలు
S మధ్య బిందువు QR
S నిరూపకాలు \(\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac{13}{2}, 1\right)\)
PS వాలు = \(\frac{1-2}{\frac{13}{2}-2}=-\frac{1}{\left(\frac{9}{2}\right)}=-\frac{2}{9}\)
AB కి సమాంతరంగా మరియు A(1, -1) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము y + 1 = – \(\frac{2}{9}\) (x – 1)
9y + 9 = -2x + 2
2x + 9y + 7 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x + 2y = 0, 4x + 3y – 5 = 0, 3x + y = 0 రేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజానికి లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణం x + 2y = 0 ……………… (1)
BC సమీకరణం 4x + 3y – 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణం 3x + y = 0 ………………. (3)
(1), (2) లను సాధిస్తే A నిరూపకాలు (0,0)

4x – 8 = 0 ⇒ 4x = 8, x = 2
B నిరూపకాలు (2, -1)
BC సమీకరణము 4x + 3y – 5 = 0
AB రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
ఇది (0, 0) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము 3x – 4y = 0 ……………… (1)
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
∴ BE సమీకరణము x – 3y = k
BE రేఖ B (2, -1) గుండా పోతుంది.
2 + 3 = k ⇒ k = 5
BE సమీకరణము x – 3y – 5 = 0 ……………….. (2)

x = -4, y = -3
∴ లంబకేంద్రం 0 (- 4, – 3)

ప్రశ్న 2.
x + y + 2 = 0, 5x-y-2= 0, x – 2y + 5 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజానికి పరికేంద్రం కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
దత్త రేఖలు x + y + 2 = 0 ……………… (1)
5x – y – 2 = 0 ……………. (2)
x – 2y + 5 = 0 …………….. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు A = (0, -2)
(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (1, 3)
(1), (3) ల ఖండన బిందువు C = (-3, 1)
S = (α, β) ∆ ABC త్రిభుజానికి పరికేంద్రం.
SA = SB = SC
⇒ SA² = SB² = SC²
⇒ (α – 0)² + (β + 2)² = (α – 1)² + (β – 3)²
= (α + 3)² + (β – 1)²

(a) = (b) ⇒ α² + β² + 4β + 4 = α² + β² – 2α – 6β + 10
⇒ 2α + 10β – 6 = 0
⇒ α + 5β – 3 = 0 …………….. (4)
(a) = (c) α² + β² + 4β + 4 = α² + β² + 6α – 2β + 10
⇒ 6α – 6β + 6 = 0
⇒ α – β + 1 = 0 ……………… (5)
(4), (5) ల నుండి

ప్రశ్న 3.
(1, 1) గుండాపోతూ, (-2, 3) నుంచి 3 యూనిట్ల దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు ‘m’ అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y – 1 = m(x – 1)
mx – m
mx – y + (1 – m) = 0. ……………… (1)
(−2, 3) నుండి AB కి లంబదూరము = 3
\(\frac{|-2 m-3+1-m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
(3m + 2)² = 9(m² + 1)
9m² + 4 + 12m = 9m² + 9
12m = 5 ⇒ m = \(\frac{5}{12}\)
m² గుణకం = 0 ⇒ m = ∞

i) m = ∞
AB ఊర్ధ్వ రేఖ
AB సమీకరణము x = a
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
∴ a = 1
AB సమీకరణము x = 1

ii) m = \(\frac{5}{12}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
AB సమీకరణము \(\frac{5}{12}\) x – y + [1 – \(\frac{5}{12}\)] = 0
\(\frac{5}{12}\) x – y + \(\frac{7}{12}\) = 0
5x – 12y + 7 = 0

ప్రశ్న 4.
x sec α + y cosec α = a, x cos α y sin α = a cos 2α మూలబిందువు నుంచి లంబదూరాలు p, q అయితే 4p² + q² = a² అని చూపండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x sec α + y cosec α = a,
\(\frac{x}{\cos \alpha}+\frac{y}{\sin \alpha}\) = a
x sin α + y cos α = a sin α cos α
x sin α + y cos α – a sin α cos α = 0
p = 0 ల నుండి AB మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-a \sin \alpha \cos \alpha|}{\sqrt{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}}\)
= a sin α. cos α = a . \(\frac{\sin 2 \alpha}{2}\)
2p = a sin 2α ………………. (1)
CD సమీకరణము x cos α – y sin α = a cos 2α
x cos α – y sin α – a cos 2α = 0
q = 0 నుండి CD మీదకు లంబదూరము
\(\frac{|0+0-a \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}}\) = a cos 2α ……………… (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించగా
4p² + q² = a² sin² 2α + a² cos² 2α
= a² (sin2 2α + cos2 2α)
= a².1
= a²

ప్రశ్న 5.
4x + 5y = 0, 7x + 2y = 0 లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఆసన్న భుజాలు 11x + 7y = 9 దాని ఒక వికర్ణం అయితే మిగిలిన రెండు భుజాలు, మరో వికర్ణం సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\overleftrightarrow{O A}\), \(\overleftrightarrow{O B}\) లు సమాంతర చతుర్భుజ ఆసన్న భుజాలు
OA, OB ల సమీకరణాలు
4x + 5y = 0 ……………….. (1)
7x + 2y = 0 ………………. (2)
\(\overleftrightarrow{A B}\) 11x + 7y – 9 = 0 ………………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా O = (0, 0)
(1), (3) లను సాధించగా

AB మధ్యబిందువు P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). OP వాలు 1.
x = y
BC రేఖ BA కు సమాంతరము
BC సమీకరణము 4x + 5y = k
BC రేఖ B\(\left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
\(4\left(-\frac{2}{5}+51 \frac{7}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
BC సమీకరణము 4x + 5y = 9
AC రేఖ OB సమాంతరము
AC సమీకరణము 7x + 2y = k
AC రేఖ A\(\left(\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
7\(\left(\frac{5}{3}\right)\) + 2\(\left(-\frac{4}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
AC సమీకరణము 7x + 2y = 9.

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన భుజాలు గల త్రిభుజం అంతరకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
i) x + 1 = 0, 3x – 4y = 5, 5x + 12y = 27
ii) x + y – 7 = 0, x – y + 1 = 0, x – 3y + 5 = 0
సాధన:
i)

∆ ABC
AC సమీకరణము
x + 1 = 0 …………….. (1)
AB సమీకరణము
3x – 4y – 5 = 0 …………….. (2)
BC సమీకరణము
5x + 12y – 27 = 0 ………………. (3)
(1) నుండి x = -1
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా ⇒ 3 (-1) – 4y – 5 = 0
4y = – 8
y = -2
(1), (2) ల ఖండన బిందువు
A = (-1,-2)
(2), (3) లను సాధించగా

(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (3, 1)
(1) నుండి x = -1
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా
-5 + 12y – 27 = 0
12y = 32
y = \(\frac{32}{12}\) = \(\frac{8}{3}\)
(3), (1) ల ఖండన బిందువు

∴ అంతర కేంద్రము = \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ii)

∆ ABC,
AC సమీకరణము x + y – 7 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము’ x – y + 1 = 0 ……………….. (2)
BC సమీకరణము x – 3y + 5 = 0 ……………… (3)
(1), (2), (3) లను సాధిస్తే
శీర్షాలు A (3, 4) B (1, 2), C (4, 3)

ప్రశ్న 7.
ax + by + c = 0, lx + my + n = 0, px + qy + r = 0 రేఖలతో ఒక త్రిభుజం ఏర్పడింది. అది సమకోణ త్రిభుజం కాకపోతే,
\(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\) -సమీకరణం సూచించే సరళరేఖ ఆ త్రిభుజం లంబకేంద్రం గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త త్రిభుజము

ax + by + c = 0 ………………. (1)
lx + my + n = 0 ………………. (2)
px + qy + r = 0 ………………. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు గుండా పోతే రేఖ సమీకరణం.
ax + by + c + k (lx + my + n) = 0
(a + kl) x + (b + km)y + (c + nk) = 0
ఇది (3) కి లంబం కనుక
p(a + kl) + q(b + km) = 0
⇒ k = –\(\frac{\mathrm{ap}+\mathrm{bq}}{l p+\mathrm{m} q}\)
(4) లో ప్రతిక్షేపించగా
(ap + bq + c) – \(\left(\frac{a p+b q}{l p+m q}\right)\) (lx + my + n) = 0
∴ \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\)
కావలసిన రేఖ AD సమీకరణము
ఈ ఉన్నతి A గుండాపోతుంది.
∴ ఈ రేఖ. \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+y}{l p+m q}\)
త్రిభుజ లంబకేంద్రం గుండాపోతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక త్రిభుజం భుజాలు \(\overleftrightarrow{B C}, \overleftrightarrow{C A}, \overleftrightarrow{A B}\) కార్టీసియన్ సమీకరణాలు క్రమంగా u_r = a_rx + b_ry + c_r = 0, r = 1, 2, 3. A గుండాపోతూ \(\overleftrightarrow{B C}\) ని సమద్విఖండన చేసే సరళరేఖ సమీకరణం \(\frac{u_3}{a_3 b_1-a_1 b_3}=\frac{u_2}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
u₂ = 0, u₃ = 0 ల ఖండన బిందువు A.
∴ A గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
u₂ + λu₃ = 0⇒ (a₂x + b₂y + c₂) + λ(a₃x + b₃y + C₃) = 0 ………………. (1)
⇒ (a₂ + λa₃)x + (b₂ + λb₃) y + (c₂ + λc₃) = 0
ఈ రేఖ a₁x + b₁y + c₁ = 0 కి సమానం.
\(-\frac{\left(a_2+\lambda a_3\right)}{\left(b_2+\lambda b_3\right)}=-\frac{a_1}{b_1}\)
⇒ (a₂ + λa₃) b₁ = (b₂ + λb₃) a₁
⇒ a₂b₁ +λa₃b₁ = a₁b₂ + λa₁ b₃
⇒ λ (a₃b₁ − a₁b₃) = – (a₂b₁ – a₁b₂)
⇒ λ = – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{a_3 b_1-a_1 b_3}\)
λ విలువను (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన సమీకరణము
(a₂x + b₂y + c₂) – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}\) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) (a₂x + b₂y + c₂) – (a₂b₁ – a₁b₂) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ − a₁b₃) u₂ – (a₂b₁ – a₁b₂) u₃ = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) u₂ = (a₂b₁ – a₁b₂) u₃
⇒ \(\frac{u_3}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}=\frac{u_2}{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}\)