Srinivas

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 14th Lesson సంభావ్యత to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 14th Lesson సంభావ్యత

→ మన నిత్యజీవితంలో సంభవించు సంఘటలను మాపనము చేయుటకు ఉపయోగపడు అధ్యాయము “సంభావ్యత”.

→ నిత్యజీవితంలో మనం ఏదైన ఒక విషయం జరిగే అవకాశాలను వ్యక్తీకరించుటకు, అధిక సంభవం, అసంభవం, ‘అల్ప సంభవం వంటి పదాలను ఉపయోగిస్తాము.

→ కొన్ని ప్రయోగాలతో పర్యవసానాలన్నీ ముందే తెలిసినప్పటికీ, ప్రయోగం చేసే సమయంలో ఏ పర్యవసానం ఏర్పడుతుందో ముందుగానే ఊహించలేము. అటువంటి ప్రయోగాలను “యాదృచ్చిక ప్రయోగాలు” అంటాము.
ఉదా : నాణేన్ని ఎగురవేయుట, పాచికను దొర్లించుట, పేక ముక్కల కట్ట నుండి ఒక కార్డును తీయుట.

→ ఒకసారి నాణేన్ని ఎగురవేసిన లేదా పాచికను దొర్లించిన దానిని యత్నం (Trial) (లేక) యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం అని అంటారు.

→ ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ప్రతి పర్యవసానాన్ని ఘటన (event) అని అంటారు.

→ అవకాశాలను మాపనం చేయుటకు ముందు వాటిని కింది విధంగా శ్రేణీకరిస్తాము.

• నిశ్చితం (కచ్చితం) : ఏదైనా విషయం తప్పకుండా జరిగే అవకాశం.
• అధిక సంభవం : ఏదైనా విషయం జరిగే అవకాశం చాలా ఎక్కువ.
• సమ సంభవం : కొన్ని విషయాలు జరిగేటందుకు సమాన అవకాశాలు ఉండుట.
• అల్ప సంభవం : ఏదైనా విషయం జరిగే అవకాశం చాలా తక్కువ.
• అసంభవం : ఏదైనా విషయం జరిగే అవకాశం శూన్యము.

→ ఘటన యొక్క సంభావ్యత

→ కచ్చితమైన ఘటన సంభావ్యత = 1

→ అసంభవం అయిన ఘటన సంభావ్యత = 0

→ ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత ‘0’ మరియు ‘1’ ల మధ్య ఉండును. (0 మరియు 1 కలిపి).

ఉదాహరణ – 1:
రెండు నాణాలను (ఒకే విధంగా ఉండే) ఒకేసారి పైకి ఎగురవేసిన
(a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు
(b) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
(c) రెండూ బొమ్మలు వచ్చే సంభావ్యత
(d) కనిష్ఠంగా ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
(e) బొమ్మ పడని సంభావ్యత మరియు
(f) ఒకే ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
జవాబు :
a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు

b) మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 4 .

c) రెండూ బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య

d) కనీసం ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత = \(\frac{3}{4}\)
(కనీసం ఒక బొమ్మ అనగా ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు).

e) బొమ్మలేని పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)

f) ఒకే ఒక్క బొమ్మ ఉండే పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

ఉదాహరణ – 2:
ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు
(a) దాని పైముఖంపై వచ్చే ప్రతి అంకె యొక్క సంభావ్యతను ‘పట్టికలో రాయండి.
(b) అన్ని సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన.
a) పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఆరు పర్యవసానాల్లో 4 అంకె ఒకసారి రావడానికి సాధ్యము కావు. సంభావ్యత 1/6.

b) అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)
= \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\) = 1

ఉదాహరణ -3:
ఒక స్పిన్నర్ (గుండ్రంగా తిప్పేందుకు వీలైన చక్రం) 1000 సార్లు తిప్పడం జరిగింది. ప్రతిసారి తిప్పినప్పుడు పాచిక ఆగే ప్రదేశం యొక్క రంగు పట్టికలో రాసినప్పుడు, వాటి పౌనఃపున్యం కింది విధంగా ఉంది.

a) స్పిన్నర్ నుండి సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఎన్ని ? అవి ఏవి ?
b) ప్రతి రంగు పర్యవసానంగా వచ్చే సంభావ్యత కనుగొనండి. .
c) పట్టిక నుండి, ప్రతి రంగు యొక్క పౌనఃపున్యానికి, మొత్తం పౌనఃపున్యానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
జవాబు :
a) స్పిన్నర్ చూసినప్పుడు 5 సెక్టర్లు ఒకే వైశాల్యం గల ప్రదేశాలుగా ఉన్నాయి. ఇవన్నియూ 5 వేరు వేరు రంగులలో కలవు. అవి ఎరుపు, నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చ ఇవన్నియూ సమసంభవం కల్గిన పర్యవసానాలు. మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 5.
b) ప్రతి ఘటన యొక్క సంభావ్యత,


ఇదే విధంగా P (నారింజ), P (వంగపండు), P (పసుపు) మరియు P (ఆకుపచ్చ) మరియు \(\frac{1}{5}\) లేదా 0.2.

c) పట్టిక నుండి 1000 సార్లు స్పిన్నర్ తిప్పినపుడు 185 సార్లు ఎరుపుకు అనుకూలంగా ఉంది. ప్రయోగాలలో ఎరుపు రంగు పౌనఃపున్యం

ఈ విధంగా మిగిలిన రంగులకి కూడా ఈ విధమైన నిష్పత్తులను రాసిన నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చలకు వరుసగా 0. 195, 0.210, 0.206 మరియు 0.204 వచ్చింది.
(b), (C) లను పరిశీలించిన (C) లో కనుగొన్న నిష్పత్తులన్నీ (b) లోని ఆయారంగుల సంభావ్యతలకు దగ్గరగా ఉన్నాయి. అంటే మనం కనుగొన్న సంభావ్యత, ప్రయోగం తర్వాత కనుగొన్న నిష్పత్తులకు దాదాపు సమానంగా ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ – 4:
ఒక సినిమా థియేటర్ కి విచ్చేసిన ప్రేక్షకుల సంఖ్య వయసుల వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. బంపర్ బహుమతి గెలుచుకోవడానికి ప్రతి ప్రేక్షకుడికి టికెట్టుతోపాటు ఒక నెంబరు ఈయబడింది. నెంబర్లలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక నెంబరును తీసినప్పుడు, కింద నీయబడిన ఘటనలకు సంభావ్యత కనుగొనండి.

మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505.
జవాబు :
a) వయసు 10 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న ప్రేక్షకుడి సంభావ్యత 10 గాని అంతకంటే తక్కువ వయసు ఉన్న ప్రేక్షకులు
= 24 + 35 + 5 + 3 = 67
మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505
P (క్షకుని వయసు < 10 సంవత్సరాలు) = \(\frac{67}{505}\)

b) వయసు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకుల సంభావ్యత వయస్సు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకులు = 53 + 35 + 5 = 93
P (స్త్రీ ప్రేక్షకుల వయసు ≤ 16 సంవత్సరాలు) = \(\frac{93}{505}\)

c) వయసు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకుల సంభావ్యత వయస్సు 17 గాని. అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకులు = 121 + 51 + 18 = 190
P (పురుష ప్రేక్షకుల వయసు ≥ 17 సంవత్సరాలు) = \(\frac{190}{505}=\frac{38}{101}\)

d) వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన,
ప్రేక్షకుల సంభావ్యత = 51 + 43 + 18+ 13 = 125 .
P (ప్రేక్షకుల వయసు > 40 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{125}{505}=\frac{25}{101}\)

e) పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకుల సంభావ్యత . పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకులు
= 5+ 35 + 53 + 97 + 43 + 13 = 246
P (పురుషుడు కాని ప్రేక్షకుల సంఖ్య) = \(\frac{246}{505}\)

ఉదాహరణ – 5:
మూడు ఏకకేంద్ర. వృత్తాకారాలతో (వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 3 సెం.మీ, 2 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ.) తయారుచేయబడిన ఒక డార్ట్ బోర్డు A, B మరియు C అనే ప్రాంతాలుగా విభజింపబడింది (పటం చూడండి). మొనతేలిన ఒక బల్లెం (dart) ను బోర్డుపైకి విసిరిన అది ప్రాంతం A లో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? A అనేది (బయట కంకణాకార ప్రాంతం).

జవాబు :
A ప్రాంతంలో తగిలే ఘటన యొక్క సంభావ్యత.
మొత్తం వృత్తాకార ప్రాంత వైశాల్యం (వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ.తో) = π (3)²
కంకణ ప్రాంతం (A) వైశాల్యం = π (3)² – π (2)²
బల్లెం కంకణ ప్రాంతం (A) లో తగిలే సంభావ్యత P(A)

వృత్త వైశాల్యం = πr²
కంకణ వైశాల్యం = πR² – πr²
అని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు

→ జ్యా మితీయ నిర్మాణంలో మనము ముఖ్యముగా రెండు పరికరాలను వినియోగిస్తాము. అవి :

• కొలతలు లేని కొలబద్ద
• వృత్తలేఖిని.

→ (i) దత్త రేఖాఖండానికి లంబసమద్విఖండన రేఖ గీయుట.
(ii) దత్తకోణానికి సమద్విఖండన రేఖ గీయుట.
(iii)మూల. బిందువు వద్ద, దత్త కిరణంపై 60° కోణం హేతుబద్ధంగా నిరూపించుట.

→ భూమి, భూకోణం మరియు మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తం ఇచ్చినపుడు త్రిభుజంను నిర్మించవచ్చును.

→ భూమి, భూకోణం మరియు రెండు భుజాల మధ్య భేదం ఇచ్చిన త్రిభుజంను నిర్మించవచ్చును.

→ త్రిభుజ చుట్టుకొలత మరియు రెండు భూకోణాలు ఇచ్చినపుడు త్రిభుజంను నిర్మించవచ్చును. , దత్త జ్యా, దత్త కోణాన్ని కలిగివుండే వృత్తఖండాన్ని నిర్మించవచ్చును.

ఉదాహరణ – 1:
AB అనే దత్తరేఖా ఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీచి, నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా సమర్థించుము.
జవాబు :
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్త రేఖాఖండం AB ను గీయండి.
సోపానం – 2 : కేంద్రాలుగా కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో రేఖాఖండానికి ఇరువైపులా రెండు చాపములు ఒకదానికొకటి ఖండించుకునేటట్లు గీయాలి.
సోపానం – 3 : ‘B’ కేంద్రముగా, అదే వ్యాసార్ధంతో మరి రెండు చాపములను మొదటి చాపములు ఖండించునట్లు గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఖండన బిందువులకు P మరియు Q అని పేర్లు పెట్టి P, QQ లను కలపాలి.
సోపానం – 5 : AB యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ” అనే నిర్మాణాన్ని నీవు ఏ విధంగా సమర్థించగలవు ?

POQ రేఖ AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
పై నిర్మాణ క్రమము నుండి AB రేఖకు, “PQ ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ” అవుతుంది అని కారణాలతో ఎలా భావించగలవు ?
నిర్మాణం యొక్క పటంను గీచి, A ను P, Qలతోనూ, B ను P మరియు Qలతోనూ కలపాలి.
త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాల ఆధారంగా మనం ఈ ప్రవచనాన్ని నిరూపిస్తాం.

ఉపపత్తి :

కావున PO అంటే POQ రేఖ AB రేఖాఖండానికి లంబసమద్విఖండన రేఖ అయినది. నిరూపించబడినది.

ఉదాహరణ -2:
దత్తకోణం ∠ABC కి సమద్విఖండన రేఖను గీయండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1 : దత్తకోణం ∠ABC ని తీసుకొనుము.

సోపానం – 2 : B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో BA, BC కిరణాలను

D, E ల మధ్య ఖండించునట్లు పటంలో చూపినట్లు చాపం గీయండి.

సోపానం – 3 : E మరియు D లు కేంద్రములుగా సమాన వ్యాసార్థంతో ఆ రెండు చాపములు F వద్ద ఖండించునట్లు గీయండి.

సోపానం – 4 : BF కిరణంను గీయండి. ఇదే ∠ABC కి కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.

పై నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా నిరూపించిన విధం పరిశీలిద్దాం. D, F మరియు E, F లను కలపండి. త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాలను బట్టి కింది విధంగా నిరూపిద్దాం

ఉపపత్తి :

కావున BF అనేది ∠ABC యొక్క సమద్విఖండన రేఖ అయినది. నిరూపించబడినది.

ఉదాహరణ -3:
తొలి బిందువు A నుండి AB కిరణం గీచి, ∠BAC = 60° అగునట్లు AC కిరణాన్ని గీయండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: AB కిరణాన్ని గీచి కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా AB ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయండి.

సోపానం – 2 : D కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని E వద్ద ఖండించునట్లు మరొక చాపాన్ని గీయాలి. (పటంలో చూపిన విధంగా)

సోపానం – 3 : E గుండా పోతున్నట్లుగా AC కిరణాన్ని గీస్తే మనకు కావలసిన కోణం ∠BAC = 60° వస్తుంది.

మనం చేసిన నిర్మాణంను నిరూపించాలంటే పటంలో D, E ని కలపాలి. నిరూపణను దిగువ విధంగా చేయవచ్చు.

ఉపపత్తి :

ఉదాహరణ -4:
BC = 5 సెం.మీ., AB + AC = 8 సెం.మీ. మరియు ∠ABC = 60° కొలతలలో AABC నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :

సోపానం – 1: ∆ABC చిత్తు పటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి. (AB + AC = 8 సెం.మీ. కొలతను ఎందుకు గుర్తించలేకపోయారు ?) . మరి త్రిభుజ మూడవ శీర్షం Aను నిర్మాణంలో ఎలా గుర్తిస్తారు ?
విశ్లేషణ : AB + AC = 8 సెం.మీ. కావున BA ను D వరకు పొడిగిస్తే
BD = 8 సెం.మీ. అవుతుంది.
∴ BD = BA + AD = 8 సెం.మీ.
కాని AB + AC = 8 సెం.మీ. (దత్తాంశం)
∵ AD = AC

BD పైన Aను గుర్తించడానికి మీరు ఏమి చేస్తారు ?
A బిందువు C మరియు D లకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. కావున, \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన BD ను ఖండించే బిందువు A అవుతుంది.

సోపానం – 2 : BC = 5 సెం.మీ. (త్రిభుజం భూమి) రేఖాఖండం గీచి B వద్ద 2∠CBX = 60°కోణం నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : B కేంద్రంగా 8 సెం.మీ. (AB + AC = 8 సెం.మీ.) BXను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : CD ని కలిపి CD కు లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BD ని A.వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 5 : AC లను కలిపితే మనకు కావల్సిన ABC త్రిభుజం వస్తుంది. మనం ఇప్పుడు నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : A బిందువు CD యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంది.
∵ AC = AD కావున
AB + AC = AB + AD = BD = 8 సెం.మీ.
అందుచే AABC మనకు కావల్సిన త్రిభుజం అయింది.

ఉదాహరణ -5:
BC = 4.2 సెం.మీ., ∠B = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC యొక్క చిత్తుపటం గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలను గుర్తించాలి. (AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు ?)
విశ్లేషణ : AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కావున AB > AC అగును.

AD = AC అగునట్లు AB పై D అని బిందువును గుర్తించాలి.
ఇప్పుడు BD = AB – AC = 1.6 సెం.మీ.
అందుచే C, D ని కలిపి దానికి లంబసమద్విఖండన చేస్తే మూడవ శీర్షం A ను BD పై గుర్తించవచ్చును.
అవసరమైతే BD ని పొడిగించాలి. A, C ని కలిపితే .
కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : భు.కో.భు. త్రిభుజ నియమం అనుసరించి , BC = 4.2 సెం.మీ., ∠B = 30° మరియు BD = 1.6 సెం.మీ. (i.e AB – AC) ∆BCD ని నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : CP యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BDX రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 4 : A, C లను కలిపితే AABC వస్తుంది.

ఉదాహరణ – 6:
BC = 5 సెం.మీ., ∠B = 45° మరియు AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :

సోపానం – 1: ∆ABC యొక్క చిత్తుపటాన్ని గీచి ఇచ్చిన కొలతలు గుర్తించాలి.
AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తించగలరో విశ్లేషణ చేయండి.

విశ్లేషణ : AB < AC కావున AC – AB = 1.8 సెం.మీ. ను BD గా
తీసుకోవాలంటే, AD = AC అయినట్లు AC పై D బిందువును గుర్తించండి.
ఇప్పుడు BD = AC – AB = 1.8 అగును. (∵ BD = AD – AB మరియు AD = AC)
C, D ని కలిపి CD కి లంబసమద్విఖండన రేఖను గీస్తే దానిపై A ను గుర్తించవచ్చు.

సోపానం – 2 : BC = 5 సెంమీ. రేఖాఖండం గీచి, ∠CBX = 45° కోణం నిర్మించాలి. B కేంద్రంగా 1.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో (BD = AC – AB) ఒక చాపం గీయగా అది BX రేఖను BC కి ఎదురుగా పొడిగిస్తే దానిని D వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 3: D, C ని కలిపి దానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఇది BX రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది. AC ని కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC వస్తుంది.
ఇప్పుడు మనం పై నిర్మాణంను తార్కికంగా నిరూపిద్దాం.

విశ్లేషణ : ∆ABC లో భూమి BC R, ∠B కోణాన్ని నిర్మించాం.
DC యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై A బిందువు ఉన్నది కావున

∴ AD = AC అగును.
అంటే, AB + BD = AC
కావున BD = AC – AB అయినది.
= 1.8 సెం.మీ.
ఇదే మనకు కావలసిన త్రిభుజం AABC అవుతుంది.

ఉదాహరణ -7:
∆ABC లో. ∠B = 609, ∠C = 45° మరియు .. AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. అయిన త్రిభుజం నిర్మించండి.
సాధన:
నిర్మాణ సోపానాలు :

సోపానం – 1: ∆ABC త్రిభుజం యొక్క చిత్తుపటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి. (త్రిభుజ చుట్టుకొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు ?)
విశ్లేషణ : త్రిభుజం చుట్టుకొలత AB + BC + CA కు సమానమయ్యే
రేఖాఖండం XY గీయాలి. ∠B కు సమానంగా 4YXL నూ, ∠C కు సమానం అయ్యేటట్లు ∠XYM ను నిర్మించి,
వాటిని సమద్విఖండన చేయాలి. ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖలు A వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకోండి. AX యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ XY ను B వద్ద,
AY యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ C వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB, AC లను కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : XY = 11 సెం.మీ. (ఎందుకంటే XY = AB + BC + CA) రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.

సోపానం – 3 : ∠YXL = 60° మరియు ∠XYM = 45° కోణాలను నిర్మించి, వాటికి సమద్విఖండన రేఖలు గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువుకు A అని పేరు పెట్టాలి.

సోపానం – 5 : AX మరియు AY లకు లంబసమద్విఖండన L రేఖలను గీస్తే అవి XY ను వరుసగా B మరియు C ల వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB మరియు AC లను కలపాలి. మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది. ఈ నిర్మాణంను మనం కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : AX యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ పై B ఉంటుంది.
∴ XB = AB మరియు అదేవిధంగా CY = AC.
దీని నుండి AB + BC + CA = XB + BC + CY = XY తిరిగి ∠BAX = ∠AXB (∴ ∆AXB లో XB = AB) మరియు ∠ABC = ∠BAX + ∠AXB (AABC యొక్క బాహ్యకోణం)

= 2∠AXB.: ∠YXL = 60° ఇదే విధంగా
∠ACB = ∠XYM = 45° అగును.
∴ ∠B = 60° మరియు ∠B = 45° అయినది.

ఉదాహరణ -8:
7 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త జ్యా పై 60° కోణములను కలిగి ఉండే వృత్త ఖండాన్ని నిర్మించుము.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు:
సోపానం – 1: ఒక వృత్తాన్ని, 60° కలిగి ఉండే వృత్తఖండం యొక్క – (అధిక వృత్తఖండం గీయాలి. ఎందుకు ?) చిత్తు పటం గీయాలి. కేంద్రం లేకుండా వృత్తాన్ని గీయగలవా ?

విశ్లేషణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం తీసుకోండి.
AB అనేది దత్త వృత్త జ్యా మరియు C = 60° కోణం గల ACB వృత్తఖండం మనం నిర్మించవలసినది.
AXB వృత్తచాపం వృత్తంపై C వద్ద చేసిన కోణం 60° అనుకోండి.
ACB = 60° కావున ∠AOB = 60° × 2 = 120° (ఎలా?)
∆DAB లో OA = OB (సమాన వ్యాసార్ధాలు) కావున
∴∠OAB = ∠OBA = \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 300
అందుచే మన ∆DAB గీయగలం. అప్పుడు వృత్తానికి OA = OB వ్యాసార్ధం అవుతుంది.

సోపానం – 2 :: AB = 7 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి.

సోపానం – 3 : ∠BAX = 30° మరియు ∠YBA = 30° ఉండేటట్లు AX, BY కిరణాలను గీయగా అవి 0 వద్ద ఖండించుకుంటాయి. (సూచన : వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి 60° కోణం నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేస్తే 30° కోణం వస్తుంది.)

సోపానం – 4 : 0 కేంద్రంగా OA = OB = r వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయాలి.

సోపానం – 5 : అధిక వృత్త చాపంపై ‘C’ బిందువు గుర్తించాలి. A, C మరియు B, C లను కలిపితే ∠ACB = 60° వస్తుంది.

ఈ వృత్తఖండం మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అవుతుంది. పై నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం . ఉపపత్తి : OA = OB (వృత్త వ్యాసార్థం)
∠OAB + ∠OBA = 30° + 30° = 60°
∴ ∠AOB = 180° – 60° = 120°
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\)చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం 120°.
∴ ∠ACB = 120° = 60°

కావున ACB మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అగును.

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 12th Lesson వృత్తాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 12th Lesson వృత్తాలు

→ ఒక తలంలో ఒక స్థిర బిందువు నుండి స్థిర దూరంలో గల అదే తలానికి చెందిన బిందువుల సముదాయాన్ని వృత్తం అంటారు. ఈ స్థిర బిందువును వృత్త కేంద్రం అని, స్థిర దూరాన్ని వృత్తవ్యాసార్ధం అని అంటారు.

→ ఒక వృత్తంపై ఏదేని రెండు బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండాన్ని జ్యా అంటారు.

→ వ్యాసము జ్యాలన్నింటిలోకి పొడవైనది మరియు వృత్త కేంద్రం గుండా కూడా పోయే డ్యాను నృత్త వ్యాసము అంటరు.

→ ఒకే వ్యాసార్ధం (సమాన వ్యాసార్ధాలు) గల వృత్తాలను సర్వసమాన వృత్తాలు అంటారు.

→ ఒకే కేంద్రం కలిగి విభిన్న వ్యాసార్ధాలు గల వృత్తాలను ఏక కేంద్ర వృత్తాలు అంటారు.

→ వ్యాసము, వృత్తాన్ని రెండు అర్ధ వృత్తాలుగా విభజిస్తుంది.

→ వృత్తముపై గల ఏ రెండు బిందువుల మధ్యనైనా గల వృత్త భాగాన్ని చాపము అంటారు.

→ ఒక జ్యా మరియు చాపరేఖల మధ్య ఆవరింపబడిన ప్రాంతాన్ని వృత్తఖండము అంటారు. చాపరేఖ అల్ప చాపమైతే అల్ప వృత్తఖండమని, అధిక చాపమైతే అధిక వృత్తఖండమని అంటారు.

→ ఒక చాపరేఖ మరియు దాని చివరి బిందువులను కేంద్రానికి కలిపే వ్యాసార్ధాల మధ్య ఆవరింపబడిన ప్రాంతాన్ని సెక్టర్ (జ్యాంతరము) అంటారు.

→ సమాన పొడవులు గల జ్యాలు కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాలు సమానం.

→ ఒకే వృత్తఖండంలోని కోణాలు సమానం. అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణం అవుతుంది. , రెండు జ్యాలు వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాలు సమానమైన, ఆ జ్యాలు సమానం.

→ వృత్త కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీచిన లంబం, జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది. దీని విపర్యయం కూడా సత్యమే.

→ సరేఖీయాలు కాని మూడు బిందువులు గుండా పోయే ఒకే ఒక వృత్తం ఉంటుంది.

→ త్రిభుజ శీర్షాల గుండా పోయే వృత్తాన్ని త్రిభుజ పరివృత్తం అంటారు.

→ సమాన పొడవులు గల జ్యాలు వృత్త కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి. విపర్యయంగా వృత్త కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాలు పొడవులు సమానం.

→ ఒక చాపము, వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచే కోణం, అదే చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు.

→ ఒక చాపము మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణం 90° అయిన, ఆ చాపం అర్ధవృత్తం అవుతుంది.

→ రెండు బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండం, ఆ రేఖా ఖండానికి ఒకే వైపున గల రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఏర్పరచే కోణాలు సమానం అయిన, ఆ నాలుగు బిందువులు ఒకే వృత్తంపై ఉంటాయి.

→ ఒక చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదుటి జతల కోణాల మొత్తం 180°.

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 11th Lesson వైశాల్యాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 11th Lesson వైశాల్యాలు

→ ఒక సమతలములో ఒక సరళ సంవృత పటంచే ఆక్రమించబడిన భాగాన్ని లేక ఆవరించబడిన దానిని సమతల ప్రదేశమంటారు.

→ ఈ సమతల ప్రదేశము యొక్క కొలత లేదా పరిమాణాన్ని ఆ ప్రదేశపు వైశాల్యము అంటాము.

→ ఒక ప్రమాణ పొడవు భుజం గల చతురస్ర వైశాల్యంను ప్రమాణ వైశాల్యము అంటారు.

→ వైశాల్యము అనునది ఒక ధన వాస్తవ సంఖ్య.

→ వైశాల్యమును చదరపు యూనిట్లలో కొలుస్తారు. , రెండు సర్వసమాన పటాలు ఒకే వైశాల్యం కలిగి ఉంటాయి. అయితే దీని విపర్యయం ఎల్లప్పుడూ సత్యం కాదు.

→ X అనే సమతల ప్రదేశము రెండు అధ్యారోహణం కాని రెండు సమతల ప్రదేశాలు P మరియు Qలుగా విభజింపబడితే (X) పటం వైశాల్యము = (P) పటం వైశాల్యము + (Q) పటం వైశాల్యము అవుతుంది.

→ ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య పటాలంటే, వాటికి ఒక ఉమ్మడి భుజం భూమి మరియు భుజానికి ఎదుగుగా గల శీర్షాలు అన్నియూ భూమికి సమాంతరంగా గీచిన రేఖపై ఉంటాయి.

→ ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యగల రెండు సమాంతర చతుర్భుజాల వైశా సమానము.

→ సమాంతర చతుర్భుజ చతుర్భుజాల వైశాల్యము దాని భూమి మరియు దాని పైకి గీయబడిన లంబం (ఎత్తు) ల లబ్దానికి సమానము.

→ ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) మరియు సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉంటాయి.

→ ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఒక త్రిభుజము, ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఉంటే త్రిభుజ వైశాల్యం, సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యంలో సగం ఉంటుంది.

→ ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యగల రెండు త్రిభుజ వైశాల్యాలు సమానం.

→ ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) కలిగిన రెండు త్రిభుజ వైశాల్యాలు సమానం అయిన అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉంటాయి.

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

→ దీర్ఘఘనము మరియు సమఘనమును క్రమ పట్టకములు అని అంటారు.


→ ప్రక్కతలాలు సమాంతర చతుర్భుజాలుగా గల ఘనాలను పట్టకములు అంటారు.

→ ప్రక్కతలాలు త్రిభుజాలుగా గల ఘనాలను పిరమిడ్లు అంటారు.

→ ఘనము మరియు దీర్ఘఘనములు కూడా పట్టకాలే.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

→ దత్తాంశము : ఒక ప్రత్యేక ఉపయోగార్థం సంఖ్యాత్మక రూపంలో, వివరణాత్మక రూపంలో పట్టికలుగా, గ్రాపుల రూపంలో సేకరించిన విషయాలు లేక సంఖ్యాత్మక వివరాలను “దత్తాంశము” అంటారు.

→ సేకరించిన సమాచారాన్ని అర్థవంతంగా చేయు గణితశాఖను సాంఖ్యకశాస్త్రం అంటారు.

→ దత్తాంశములోని రాశులను మూలము నుండి నేరుగా సేకరించినచో దానిని “ప్రాథమిక దత్తాంశము” (Primary data) అంటారు.

→ ముందుగానే సేకరింపబడి ఉన్న దత్తాంశం లేక దత్తాంశముల నుండి సేకరించు దత్తాంశమును “గౌణ దత్తాంశము” (Secondary data) అంటారు.

→ రాశులన్నింటిని విడివిడిగా ప్రకటించు దత్తాంశమును “ముడి దత్తాంశము” (Raw data) అంటారు.

→ ముడి దత్తాంశము నుండి కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ విలువలు గల రాశులను సులభముగా గుర్తించవచ్చును.

→ గరిష్ఠ, కనిష్ఠ రాశుల భేదమును ఇచ్చిన దత్తాంశము యొక్క వ్యాప్తి అంటారు.

→ దత్తాంశములోని అన్ని విభిన్న రాశులను పౌనఃపున్యములతో సూచించు పట్టికను అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక లేక రాశుల భారత్వ పట్టిక అంటారు.

→ ఎక్కువ రాశులు గల దత్తాంశమును పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపుట వలన దత్తాంశము మొత్తమును ఒకేసారి వీక్షించగలుగుట, దత్తాంశ వ్యాప్తిని గుర్తించుట, ఏయే రాశులు ఎక్కువ సార్లు పునరావృతం అవుతున్నవి గుర్తించుటకు మరియు దత్తాంశాన్ని విశ్లేషణ చేస్తే సులభంగా వ్యాఖ్యానించవచ్చు.

→ ఒక దత్తాంశములో ఏ రాశి చుట్టూ మిగిలిన రాశులన్నీ కేంద్రీకృతమై ఉంటాయో ఆ రాశిని “కేంద్ర స్థానపు కొలత” అంటారు. , కేంద్ర స్థానపు కొలతలు : అంకగణిత మధ్యమము (సరాసరి / సగటు), మధ్యగతం, బాహుళకము.

→ రాశుల మొత్తమును రాశుల సంఖ్యచే భాగించగా వచ్చే ఫలితమును దత్తాంశము యొక్క అంకగణిత మధ్యమము అంటారు.

→ అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు అంకగణిత మధ్యమం x̄ = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\)

→ విచలన పద్ధతిలో అంకగణిత మధ్యమము = A + \(\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{n}}\). ఇచ్చట A ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమము, Σf పౌనఃపున్యముల మొత్తం మరియు Σfd విచలనముల మొత్తం.

→ ఆరోహణ లేక అవరోహణ క్రమములో రాయబడిన దత్తాంశములోని మధ్యమరాశిని మధ్యగతము అంటారు.

→ దత్తాంశములోని రాశుల సంఖ్య ‘n’ బేసి సంఖ్య అయిన \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\)వ రాశి విలువ మధ్యగతము అవుతుంది.

→ దత్తాంశములోని రాశుల సంఖ్య ‘n సరి సంఖ్య అయిన \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)\) వ మరియు (\(\frac{\mathrm{n}}{2}\) + 1) వ రాశుల సరాసరి మధ్యగతము అవుతుంది.

→ మధ్యగతము దత్తాంశమును, రెండు సమ భాగములుగా విభజిస్తుంది. అంటే దత్తాంశంలోని సగం రాశుల విలువలు మధ్యగతం కన్నా ఎక్కువ, మిగిలిన సగం రాశుల విలువలు దత్తాంశం కన్నా తక్కువ ఉంటాయి.

→ ఒక దత్తాంశములో మిగిలిన రాశుల కన్నా ఎక్కువసార్లు పునరావృతం అగు రాశిని అనగా ఎక్కువ పౌనఃపున్యం గల రాశిని ఆ దత్తాంశమునకు బాహుళకము అంటారు.

Students can go through AP Board 8th Class Biology Notes 5th Lesson కౌమార దశ to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Biology Notes 5th Lesson కౌమార దశ

→ కౌమార దశ 13-19 సం||ల మధ్య పిల్లలలో వచ్చే అతి ముఖ్యమైన దశ.

→ ఈ దశలో శారీరక, మానసిక, ఎదుగుదల వేగంగా జరుగుతుంది.

→ ఈ దశలో మగ, ఆడపిల్లలో లైంగిక అవయవాలు బాహ్య, అంతర నిర్మాణాలలో అభివృద్ధి జరుగుతుంది.

→ హర్మోనులు L.H.; F.S.H. లైంగిక అవయవాలను ఉద్దీపన చెందించి ద్వితీయ లైంగిక లక్షణాలను అభివృద్ధి చేస్తాయి.

→ ఈ దశ చివరలో పిల్లలు ఎత్తు పెరగటం ఆగిపోతుంది.

→ అంతఃస్రావీ గ్రంథులు హర్మోనులను ఉత్పత్తి చేస్తాయి. ఇవి పెరుగుదలను అనుసంధానపరుస్తాయి. అవి:

1. పీయూష గ్రంథి – మెదడులో ఉంటుంది.
2. ఖైరాయిడ్ గ్రంథి – గొంతు దగ్గర
3. ముష్కాలు – సోటల్ సంచులు
4. స్త్రీ బీజకోశాలు – గర్భాశయానికి ఇరువైపులా
5. అడ్రినల్ గ్రంధి – మూత్రపిండాల పైన
6. క్లోమంలో లాంగర్‌హాన్స్ పుటికలు – క్లోమం

→ స్త్రీలలో 10-12 సం||ల నుండి (రజస్వల అయిన దగ్గర నుండి) ఋతుచక్రం ప్రారంభమవుతుంది. ఇది 40-50 సం||ల వరకు జరిగి ఆగిపోతుంది. ఈ దశను మోనోపాజ్ అంటారు.

→ కౌమార దశలో మంచి పోషకాహారం తీసుకోవాలి. ఇది ఆరోగ్యకరమైన శారీరక, మానసిక ఎదుగుదలకు అవసరం.

→ చట్టపరమైన వివాహ వయస్సు

• పురుషులకు – 21 సం||లు
• స్త్రీలకు – 18 సం||లు

→ బాల్య వివాహం ఒక సామాజిక దురాచారం.

→ కొమార దశలో ఉద్వేగాలకు లోనయ్యే అవకాశం ఉంటుంది. కాబట్టి స్వీయ క్రమశిక్షణ (Introspection) అలవర్చుకుని భావోద్వేగాలను అదుపులో పెట్టుకోవాలి.

→ కౌమార దశలో ఉన్న వారి సందేహాలను శాస్త్రీయంగా నివృత్తి చేయడం ప్రతి ఒక్కరి బాధ్యత.

→ ఈ దశలో వ్యక్తిగత పరిశుభ్రతకు అధిక ప్రాధాన్యం ఇవ్వాలి.

→ మంచి వ్యాయామం, ఆటలాడటం వల్ల మంచి నిద్ర, మానసిక ఉల్లాసం కలుగుతుంది.

→ దీనివల్ల ‘మానసిక ఒత్తిడి కూడా తగ్గుతుంది.

→ పాఠశాలలో జరిగే కామార విద్య కార్యక్రమాలలో ప్రతి విద్యార్థి చురుకుగా పాల్గొనాలి.

→ కౌమార దశ : 13-19 సం॥ల మధ్య హార్మోనుల ప్రభావం వల్ల పిల్లల్లో (టీనేజర్లలో) వచ్చే లైంగిక, శారీరక, మానసిక, భావోద్వేగాలు అభివృద్ధి చెందే దశ.

→ టీనేజ్ : 13-19 సంవత్సరాల మధ్య వయస్సును టీనేజ్ అంటారు.

→ ఆడమ్స్ యాపిల్ : గొంతు (స్వరపేటిక) దగ్గర ముందుకు పొడుచుకు వచ్చిన థైరాయిడ్ మృదులాస్థి ఎముకను ఆడమ్స్ యాపిల్ అంటారు.

→ పరిపక్వత : వయస్సుకు అవసరమైనంత పెరుగుదల, ఆలోచనా పరిధి అభివృద్ధి చెందే దశకు రావటం.

→ స్వేదగ్రంథులు : చర్మంలో ఉండి, స్వేదం (చెమట)ను ఉత్పత్తి చేసే గ్రంథులు (ఇవి విసర్జక వ్యవస్థలో అంతర్భాగం).

→ సబేసియస్ గ్రంథులు : ‘తైలం’ను తయారుచేస్తూ చర్మం పై భాగాన్ని చెమ్మగా ఉంచటానికి ఉపయోగపడే గ్రంథులు.

→ ద్వితీయ లైంగిక లక్షణాలు: టీనేజ్ లో హార్మోనుల ప్రభావం వల్ల శారీరకంగా అభివృద్ధి చెందే లైంగిక లక్షణాలు (గడ్డం, మీసాలు, ఆడవారిలో సున్నితత్వం మొదలగునవి)

→ ఋతుచక్రం : ఆడపిల్లలలో కౌమార దశ ప్రవేశించిన దగ్గర నుంచి ప్రతి 28-30 రోజులకొకసారి వచ్చే క్లిష్టమైన సున్నితమైన శారీరక ప్రక్రియ.

→ రజస్వల : ఆడపిల్లల్లో కౌమార దశ ప్రారంభంలో వచ్చే మొట్టమొదటి ఋతుచక్రాన్ని ‘రజస్వల’ అంటారు. 10-12 ఏళ్ళ మధ్య ఆరంభమవుతుంది.

→ మోనోపాజ్ : స్త్రీలలో రజస్వల అయిన దగ్గర నుంచి ఆరంభమైన ఋతుచక్రం. 45-50 సం॥ మధ్యలో ఆగిపోతుంది. దీనినే మోనోపాజ్ అంటారు.

→ గర్భం దాల్చటం : స్త్రీలలో వున్న గర్భాశయానికి ఇరువైపులా ఉన్న ఫాలోపియన్ నాళాలలో అండం శుక్రకణంతో కలసి సంయుక్త బీజం ఏర్పడి, అది పిండంగా మారటాన్ని గర్భం దాల్చడం అంటారు. (ఈ పిండం గర్భాశయ గోడలకు అంటుకుని అభివృద్ధి చెందుతుంది.)

→ అంతః ప్రావ గ్రంథులు : మన శరీరంలో వివిధ భాగాలలో వుండి హార్మోనులను ఉత్పత్తి చేసి రక్తంలోకి విడుదల చేసే గ్రంథులు. ఉదా : వీయూష గ్రంథి. అధివృక్క గ్రంథి. వీటికి నాళాలు ఉండవు. కాబట్టి వీటిని వినాళ గ్రంథులు అని కూడా అంటారు.

→ హార్మోములు : అంతఃస్రావ గ్రంధులు ఉత్పత్తి చేసే రసాయన పదార్థాలను హార్మోనులు అంటారు. ఇవి మానసిక, శారీరక, లైంగిక లక్షణాల అభివృద్ధిలో కీలకపాత్ర పోషిస్తాయి.

→ టెప్లాస్టిరాన్ : ఇది పురుష లైంగిక హార్మోను. దీనిని ముష్కాలు విడుదల చేస్తాయి. ఇది పురుషులలో ద్వితీయ లైంగిక లక్షణాలను అభివృద్ధి చేస్తుంది.

→ ఈస్ట్రోజన్ : ఇది స్త్రీలలో లైంగిక హార్మోను. ఇది అండాశయ పుటిక ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఇది స్త్రీలలో ద్వితీయ లైంగిక లక్షణాలను అభివృద్ధి చేస్తుంది.

Students can go through AP Board 8th Class Biology Notes 4th Lesson జంతువులలో ప్రత్యుత్పత్తి to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Biology Notes 4th Lesson జంతువులలో ప్రత్యుత్పత్తి

→ ఒక జీవి నుండి (అది మొక్క గానీ, జంతువు గానీ, ఏకకణజీవి గానీ) అవే పోలికలున్న మరొక జీవి పుట్టడాన్ని ప్రత్యుత్పత్తి అంటారు.

→ ఇది జీవన క్రియలలో అతి ముఖ్యమైనది. ఆ మొక్కలు ఆలైంగిక, లైంగిక పద్ధతులలో ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుతాయి.

→ జంతువులలో ఎక్కువగా లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి జరుగుతుంది.

→ సంయోగ బీజాలు ఏర్పడకుండా కొత్త జీవిని ఏర్పరిచే పద్ధతిని ‘అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి’ అంటారు.

→ స్త్రీ, పురుష బీజ కణాల కలయిక వల్ల సంయుక్త బీజం ఏర్పడే దానిని ‘లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి’ అంటారు.

→ హైడ్రాలో ‘కోరకాలు’ (మొగ్గలు) నుండి కొత్త హైడ్రాలు పుట్టుకొస్తాయి. దీనిని ‘కోరకీభవనము’ అంటారు.

→ తల్లి కణం రెండు పిల్ల కణాలను ఏర్పరచి అంతర్థానమయ్యే పద్ధతిని ‘ద్విధా విచ్ఛిత్తి’ అంటారు.
ఉదా : అమీబా, యుగ్లీనా, పేరమీషియం.

→ స్త్రీ, పురుష బీజకణాలు కలసి సంయుక్త బీజం ఏర్పరచటాన్ని ‘ఫలదీకరణ’ అంటారు.

→ ఇది స్త్రీ జీవిలోనే జరుగుతుంది. దీనిని అంతర ఫలదీకరణ అంటారు.

→ ఫలదీకరణ, స్త్రీ జీవి బయట అంటే గాలిలో, నీటిలో, నేలమీద జరిగితే దానిని ‘బాహ్య ఫలదీకరణ’ అంటారు.

→ మానవునిలో స్త్రీ, పురుష ప్రత్యుత్పత్తి వ్యవస్థలు వేరు వేరు జీవులలో ఉంటాయి.

→ దీనిని ‘లైంగిక ద్విరూపకత’ అంటారు.

→ పురుష ప్రత్యుత్పత్తి వ్యవస్థలో ఒక జత ముష్కాలు, ఒక జత శుక్రవాహికలు ఉంటాయి.

→ స్త్రీ ప్రత్యుత్పత్తి వ్యవస్థలో ఒక జత స్త్రీ బీజ కోశాలు (అండాశయాలు), గర్భాశయం, ఫాలోపియన్ నాళాలు ఉంటాయి.

→ సంయుక్త బీజం అభివృద్ధి చెంది పిండంగా ఏర్పడుతుంది. పూర్తిగా ఎదిగిన పిండాన్ని ‘భ్రూణం’ అంటారు.

→ తల్లిదండ్రులలో లేని లక్షణాలు, పిండ దశలో ఉండి, తరువాత వంశ పారంపర్య లక్షణాలు పొందుటను ‘రూపవిక్రియ’ అంటారు. ఉదా : 1) టాడ్ పోల్ లార్వా 2) సీతాకోక చిలుక

→ ఒకే జీవిలో స్త్రీ, పురుష ప్రత్యుత్పత్తి వ్యవస్థలు రెండూ ఉంటే వాటిని ‘ఉభయ లైంగిక జీవులు’ అంటారు.
ఉదా : వానపాము, జలగ మొ||నవి.

→ ఒక కణం లేదా కణజాలం నుండే పూర్తి జీవిని అభివృద్ధి చేసే పద్ధతిని ‘క్లోనింగ్’ అంటారు.

→ ఇయాన్ విల్మట్ మొదటిసారిగా ‘క్లోనింగ్’ ద్వారా ఫినా డార్సెట్ గొర్రె పొదుగు కణంనకు స్కాటిష్ ఆడ గొలై కేంద్రకం తీసి ఫలదీకరలు చెందించి దాన్ని, ఒక స్కాటిష్ ఆడ గొర్రెలో ‘పిండ ప్రతిష్టాపన’ చేశాడు. తద్వారా ‘జాలీ’ అనే గొర్రెపిల్ల అచ్చు తల్లిపోలికలతో పుట్టింది. (అంటే రెండు ఆడగొర్రెల కణాలతో ఒక కొత్తజీవి సృష్టి క్లోనింగ్ ద్వారా జరిగిందన్నమాట.)

→ బాహ్య ఫలదీకరణ : జీవి శరీరం బయట జరిగే ఫలదీకరణను బాహ్య ఫలదీకరణ అంటారు.

→ సంతతి : ప్రౌఢజీవులు ప్రత్యుత్పత్తి ద్వారా జన్మనిచ్చు పిల్లజీవుల తరాన్ని ‘సంతతి’ అంటారు.

→ అంతరఫలదీకరణ : జీవి శరీరం లోపల (స్త్రీ జీవి) జరిగే ఫలదీకరణను అంతరఫలదీకరణ అంటారు.

→ ముష్కాలు : పురుష జీవిలో ఉండే ప్రత్యుత్పత్తి (జననాంగాలు) అంగాలు. ఇవి పురుష బీజకణాలను ఉత్పత్తి చేస్తాయి.

→ శుక్రకణాలు : పురుష బీజ కణాలను శుక్రకణాలు అంటారు.

→ అండం : స్త్రీ బీజకణాన్ని ‘అండం’ అంటారు. దీనిని అండకోశంలో ఉన్న ‘పుటికలు’ (follicles) ఉత్పత్తి చేస్తాయి.

→ రూపవిక్రియ : తల్లిదండ్రులలో లేని లక్షణాలు పిండదశలో ఉండి, తరువాత మరలా వంశపారంపర్య లక్షణాలను పొందుటను ‘రూపవిక్రియ’ అంటారు. ఉదా : “టాడ్ పోల్” లార్వా, సీతాకోక చిలుక.

→ పిండం : శుక్రకణం మరియు అండాల కలయిక వల్ల ఫలదీకరణ జరిగి సంయుక్తబీజం ఏర్పడుతుంది. అభివృద్ధి చెందుతున్న సంయుక్త బీజాన్ని ‘పిండం’ అంటారు.

→ భ్రూణం : అభివృద్ధి చెందిన పిండంను భూలం అంటారు. ఇది గర్భాశయ గోడలకు అంటుకుని అభినంది చెంది బిడ్డగా ఎదుగుతుంది. దీనిలో కణ వైవిధ్యం ప్రారంభమై బాహ్య మధ్య అంతర త్వదాల నుండి అవయవ వ్యవస్థలు అభివృద్ధి చెందుతాయి.

→ గర్భధారణ : స్త్రీ బీజకణం, పురుష నజ కణంతో ఫలదీకరణ జరిగి సంయుక్తబీజం ఏర్పడుతుంది. తద్వారా స్త్రీ జీవి గర్భాధారణ చేసిందని అంటారు. గర్భావధి కాలం తరువాత తల్లి బిడ్డకు జన్మనిస్తుంది.

→ ద్విధావిచ్ఛిత్తి : ఒక కణం, రెండు పిల్ల కణాలను ఏర్పరచటాన్ని ద్విధా విచ్ఛిత్తి అంటారు.

→ గర్భాశయం : స్త్రీ జీవులలో ఉండే ఒక కండరయుత సంచి వంటి నిర్మాణం. దీనిలోనే బిడ్డ రూపుదాల్చి ఎదుగుతుంది. ఇది పొత్తికడుపు భాగంలో ఉంటుంది. 2 నుండి 3 అం॥ వెడల్పు, 4-6 అం॥ పొడవు ఉండే అతి చిన్న సంచి వంటి నిర్మాణం.

→ ఆందోత్పాదకాలు : గుడ్లు పెట్టే జీవులను అండోత్పాదక జీవులు అంటారు.

→ శిశోత్పాదక జీవులు : పిల్లల్ని కని, పెంచే జీవులను శిశోత్పాదక జీవులని అంటారు. ఉభయ లైంగిక జీవి : ఒకే జీవిలో స్త్రీ పురుష ప్రత్యుత్పత్తి వ్యవస్థలను కలిగి ఉన్న జీవిని ఉభయలైంగిక జీవి’ అంటారు. ఉదా: వానపాము.

Students can go through AP Board 8th Class Biology Notes 3rd Lesson సూక్ష్మజీవుల ప్రపంచం 2 to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Biology Notes 3rd Lesson సూక్ష్మజీవుల ప్రపంచం 2

→ సూక్ష్మజీవులలో ఎక్కువ ఉపయోగకరమైనవి. కొన్ని మాత్రం అపాయకరం.

→ ఇంటిని, ఇంటి పరిసరాలను, పరిశ్రమలను పర్యావరణాన్ని ఇవి శుద్ధి చేస్తాయి.

→ భూమిలో కర్బన సంబంధ వ్యర్థాలను కుళ్ళింపచేసి, ఉపయోగకరమైన పోషకాలుగా మార్చి నేలను సారవంతం చేస్తాయి.

→ కొన్ని మాత్రం మొక్కలలో, జంతువులలో, మానవులలో వ్యాధులు కలుగచేస్తాయి.

→ పాశ్చరైజేషన్ ద్వారా పాలను శుద్ధిచేసి ఎక్కువ కాలం నిల్వచేయవచ్చు.

→ రైజోబియం అనే బాక్టీరియా లెగ్యూమినేసి (చిక్కుడు జాతి) మొక్కల వేర్లపై వున్న బొడిపెలలో వుండి నత్రజని స్థాపన చేసి మొక్కలకు పోషకాలను అందిస్తుంది.

→ కిణ్వనం : ఆక్సిజన్ లేకుండా శ్వాసక్రియ జరిగితే దానిని ‘కిణ్వనం’ అంటారు.

→ వాహకం : సూక్ష్మజీవుల రవాణాకు ఉపయోగపడే జీవి.

→ సహజీవనం : ఇచ్చి పుచ్చుకునే విధంగా జీవులు రెండు మూడు కలసి ఒక దానిపై ఒకటి ఆధారపడి జీవించటం. ఉదా : (1) విప్ప చెట్టుపై పెరిగే చిన్న మొక్కలు (2) మొసలి పొలుసులను, దంతాలను శుభ్రపరిచే పక్షి.

→ పాశ్చరైజేషన్ : వేడి చేసి సూక్షజీవులను చంపే పద్దతి.

→ సూక్ష్మ జీవశాస్త్రం : సూక్ష్మజీవుల నిర్మాణం ప్రవర్తన, ఫలితాల గురించి చర్చించే శాస్త్రం.

→ మశూచి : ఇది వైరస్ వల్ల వచ్చే వ్యాధి. సాధారణంగా దీనిని అమ్మ తల్లి, తట్టు అని పిలుస్తారు. (Small pox, Chicken pox)

→ వాక్సిన్ : సూక్షజీవుల వల్ల వచ్చే వ్యాధులు రాకుండా ముందుగానే ఇచ్చే సూది మందు లేదా నోటి చుక్కలు.

→ వ్యాధికారకం : వ్యాధిని కలుగచేసే సూక్ష్మక్రిమి.

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 8th Lesson చతుర్భుజాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 8th Lesson చతుర్భుజాలు

→ సమతలంలో నాలుగు రేఖలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటమును “చతుర్భుజము” అంటాము. –

→ ABCD చతుర్భుజంలో నాలుగు భుజాలు AB, BC, CD మరియు DA.

→ ABCD చతుర్భుజంలో A, B, C మరియు D అనేవి నాలుగు శీర్షాలు; ZA, B, C మరియు 4D అనేవి శీర్షాల వద్ద ఏర్పడిన 4 కోణాలు.

→ ఒక చతుర్భుజంలో ఎదుటి శీర్షాలను కలిపితే ఏర్పడు రేఖాఖండాలను కర్ణాలు అంటారు.

→ చతుర్భుజంలో నాలుగు కోణాల మొత్తం 360° లేదా 4 లంబకోణాలు.

→ రెండు జతల ఎదుటి భుజాలు సమాంతరాలుగా గల చతుర్భుజమును “సమాంతర చతుర్భుజం” అంటారు.

→ ఒక జత ఎదుటి భుజాలు సమాంతరంగా గల చతుర్భుజమును “సమలంబ చతుర్భుజము” లేక “ట్రెపీజియం” అంటారు.

→ ఆసన్న భుజాలు సమానముగా గల చతుర్భుజమును “సమచతుర్భుజము లేక రాంబస్” అంటారు.

→ ఒక సమాంతర చతుర్భుజపు అన్ని కోణాలు లంబకోణాలైన ఆ చతుర్భుజమును “దీర్ఘచతురస్రం” అంటారు.

→ ఒక సమాంతర చతుర్భుజములో ఆసన్న భుజాలు సమానం మరియు ‘ప్రతీ కోణము 90° అయిన దానిని “చతురస్రము” అంటారు.

→ ఒక చతుర్భుజములో రెండు జతల ఆసన్న భుజాలు మాత్రమే సమానంగా ఉంటే ఆ చతుర్భుజంను “గాలిపటం” అంటారు.

→ సమాంతర చతుర్భుజంలో

• ఎదుటి భుజాలు మరియు ఎదుటి కోణాలు సమానము.
• కర్ణాలు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకొనును.
• ఎదుటి కోణాలు సమానము.
• సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.

→ రాంబ లో కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా వుంటాయి.

→ దీర్ఘచతురస్రంలో కర్ణాల పొడవులు సమానం మరియు ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటాయి.

→ చతురస్రంలో కర్ణాల పొడవులు సమానము మరియు అవి ఒకదానికొకటి లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

→ ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ గీయబడిన రేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగానూ, మరియు దానిలో సగము ఉంటుంది.

→ ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము యొక్క మధ్య బిందువు నుండి వేరొక భుజానికి సమాంతరంగా గీయబడిన రేఖ, మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది.

→ మూడు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సమాంతరరేఖలను ఒక తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడు అంతరఖండాలు సమానము.

Students can go through AP Board 8th Class Biology Notes 3rd Lesson సూక్ష్మజీవుల ప్రపంచం 1 to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Biology Notes 3rd Lesson సూక్ష్మజీవుల ప్రపంచం 1

→ మన పరిసరాలలో, మన కంటికి కనబడకుండా వుండే జీవులను “సూక్ష్మజీవులు” అంటారు.

→ సూక్ష్మజీవులను బాక్టీరియా, ప్రోటోజోవా, శిలీంధ్రాలు, శైవలాలు మరియు సూక్ష్మ ఆర్రోపోడ్స్ అనే 5 సమూహాలుగా వర్గీకరించారు. మొ|| 4 సమూహాలుగా వర్గీకరించారు.

→ ‘బాక్టీరియా’ను మొదట ఎనిమాలిక్యూల్’ అనేవారు.

→ ఆంథోనివాన్ ల్యూవెన్‌హాక్ 1674లో తన సూక్ష్మదర్శిని సాయంతో సూక్ష్మజీవులను కనిపెట్టాడు.

→ వాతావరణంలోని సగం ఆక్సిజన్ ను సూక్ష్మ శైవలాలు తయారు చేస్తున్నాయి.

→ ఒక ఎకరం మృత్తికలో అరటన్ను వరకు శిలీంధ్రాలు, బాక్టీరియా వుంటాయి.

→ వైరస్లు సజీవ ప్రపంచానికి, నిర్జీవ ప్రపంచానికి వారధులు. ఎందుకంటే అవి కణం లోపల సజీవులుగా కణం బయట నిర్జీవులుగా వుంటాయి.

→ ఇతర జీవులపై ఆధారపడి జీవించే సూక్ష్మజీవులను క్రిములను ‘పరాన్న జీవులు’ అంటారు.

→ సూక్ష్మజీవులు : కంటికి కనపడని అతి చిన్న జీవులు. (వీటిని సూక్ష్మదర్శినితో చూడవచ్చు.)

→ సూక్ష్మదర్శిని : కంటికి కనిపించని అతి చిన్న సూక్ష్మజీవులను చూడడానికి వాడే సాధనం. (దీనిలో కటకాలు వుంటాయి. అవి సూక్ష్మజీవిని కొన్ని వందల రెట్లు పెద్దదిగా చేసి చూడటంలో సహాయపడతాయి.

→ సూక్ష్మ జీవశాస్త్రం : కంటికి కనిపించని బాక్టీరియా, ఆల్గే, శిలీంధ్రాలు, వైరల గురించి చెప్పే శాస్త్రం.

→ బాక్టీరియా : గాలి, నీరు, నేల, సజీవులలో వుండే సూక్ష్మజీవులు.

→ శైవలాలు : వీటిని ‘ఆల్గే’ అని కూడా అంటారు. ఇవి నిల్వ ఉన్న నీటిలో ఆకుపచ్చని తెట్టులా పైన కనిపిస్తాయి.

→ శిలీంధ్రాలు : బూజు, (ఆహారంపై) పుట్టగొడుగులు, నాచు లాంటి అతి చిన్న జీవులు. ప్రోటోజోన్
సూక్ష్మజీవులలో ముఖ్యమైన వర్గం ప్రోటోజోవా. ఈ వర్గంలో నేల నీటిలో వుండే సూక్ష్మజీవులను వర్గీకరించారు.

→ సూక్ష్మ ఆరోపోద్దు : నేల సారాన్ని పెంచే సూక్ష్మజీవులు. ఇవి మన శరీరం పైన కూడా వుంటాయి.

→ వైరస్ : సజీవులకు, నిర్జీవులకు మధ్య వారధిగా వున్న జీవులు. ఇవి ప్రత్యేకమైనవి. “ఇవి కణం లోపల సజీవంగా కణం బయట నిర్జీవంగా వుంటాయి.”

→ పరాన్నజీవులు : ఇతర జీవులపై ఆవాసం కోసం ఆహారం కోసం ఆధారపడే సూక్ష్మజీవులను ‘పరాన్న జీవులు’ అంటారు.

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 7th Lesson త్రిభుజాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 7th Lesson త్రిభుజాలు

→ ఒకే ఆకారము, ఒకే పరిమాణము గల పటములను సర్వసమాన పటములు అంటారు.

→ ఒకే ఆకారము గల పటములను సరూప పటములు అంటారు.

→ రెండు రేఖాఖండముల పొడవులు సమానమైన అవి సర్వసమానములు.

→ ఒక భుజము కొలతగాని లేదా కర్ణములు సమానముగా గల చతురస్రములు సర్వసమాన చతురస్రములు అవుతాయి.

→ ఒక త్రిభుజ భుజాలు, కోణాలు వరుసగా వేరొక త్రిభుజ సదృశ్య భుజాలు, కోణాలకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజములు.

→ “సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భాగాలు” అను దానిని క్లుప్తముగా ‘CPCT” అని రాస్తాము.

→ ఒక త్రిభుజములోని రెండు భుజములు, వాటి మధ్య కోణము వరుసగా వేరొక త్రిభుజంలోని రెండు భుజములు, వాటి మధ్య కోణమునకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానములు. దీనిని “భు. కో. భు.” నియమము అంటారు.

→ ఒక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజము వరుసగా వేరొక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజమునకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు. దీనిని “కో. భు.కో.” నియమము అంటారు.

→ రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు మరియు ఒక జత సదృశ భుజాలు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు అగును. దీనిని “కో.కో.భు.” నియమము అంటారు.

→ ఒక త్రిభుజము యొక్క మూడు వరుస భుజాలు వేరొక త్రిభుజంలోని సదృశ భుజాలకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు. దీనిని “భు.భు.భు.” నియమము అంటారు.

→ రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో, ఒక త్రిభుజంలోని కర్ణం, భుజం వరుసగా వేరొక త్రిభుజంలోని కర్ణము, సదృశ భుజానికి సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు. దీనిని “లం.క.భు.” నియమము అంటారు.

→ ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానము. , ఒక త్రిభుజంలో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలు సమానము.

→ ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు అసమానంగా ఉన్న పొడవైన భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణము పెద్దది.

→ ఏ త్రిభుజంలోనైనా పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం పొడవైనది.

→ ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తం మూడవ భుజం పొడవు కన్నా ఎక్కువ.

→ ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల భేదం మూడవ భుజం పొడవు కన్నా తక్కువ.