Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలు అవునో, కాదో నిర్ణయించండి.

(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
సాధన.
(x + 1)² = 2(x – 3),
[: (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0
⇒ x² + 0. x + 7 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0, b= 0, రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(ii) x² – 2x = – 2(3 – x)
సాధన.
x² – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = – 6 + 2x
⇒ x² – 2x + 6 – 2x = 0.
⇒ x² – 4x + 6 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
సాధన.
(x – 2) (x + 1) = (x – 1)(x + 3)
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x – 2 – x² – 2x + 3
⇒ – 3x + 1 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
సాధన.
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
సాధన.
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
సాధన.
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
[:: (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ x² + 3x + 1 – x² + 4x – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
సాధన.
(x + 2)³ = 2x (x² – 1)
[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)]
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 – 2x³ + 2x = 0
⇒ – x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
దీని పరిమాణం 3. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
సాధన.
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6×2 + 12x – 8
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 6x² – 12x + 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు వర్గ సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము యొక్క వైశాల్యము 528 చ.మీ. దీని పొడవు, వెడల్పు యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒక మీటరు ఎక్కువ. అయిన దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుటకు అవసరమైన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన
‘పొడవు = 2x + 1.
లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 528 చ.మీ.
పొడవు × వెడల్పు = 528.
(2x + 1) (x) = 528
2x² + x = 528
2x² + x – 528 = 0
∴ పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో సాధ్యమైన విలువ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు అవుతుంది. వెడల్పు సహాయంతో పొడవును కనుగొనవచ్చును.

(ii) రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము 306. అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము/రాయుము.
సాధన.
రెండు వరుస ధన పూర్ణసంఖ్యలు x, x + 1 అనుకొందాం.
లెక్క ప్రకారం రెండు వరుస ధనసంఖ్యల లబ్దం = 306
x(x + 1) = 306
x² + x = 306
∴ x² + x – 306 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ చిన్న సంఖ్య అవుతుంది. దాని నుండి రెండవ సంఖ్యను కనుగొనవచ్చును..

(iii) రోహన్ తల్లి, రోహన్ కంటే 26 సం||లు పెద్దది. 3సం||లు తరువాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం 360. అయిన రోహన్ యొక్క ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గసమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొంటే

లెక్క ప్రకారం 3 సం||ల తర్వాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం = 360
(x + 3) (x + 29) = 360
= x ²+ 29x + 3x + 87 = 360
= x² + 32x + 87-360 = 0
= x² + 32x – 273 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ రోహన్ యొక్క వయస్సు అవుతుంది.

(iv) 480 కి.మీ. దూరమును ఒక రైలు ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణిస్తుంది. ఒకవేళ ఇదే రైలు ఇప్పటి వేగం కంటే 8కి.మీ తక్కువ వేగముతో ప్రయాణిస్తే గమ్యం చేరుటకు పట్టే కాలం 3 గం||లు పెరుగుతుంది. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుటకు కావలసిన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగం = x కి.మీ. | గం|| అనుకొంటే
480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x}\) గం||.
రైలు వేగం 8 కి.మీ. | గం|| తగ్గిన తర్వాత రైలు వేగం = (x – 8) కి.మీ. గం||.
రైలు 480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x-8}\) గం॥..
లెక్క ప్రకారం \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}+3\)
∴ \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}\) = 3
\(\left[\frac{x(480)-(x-8)(480)}{x(x-8)}\right]\)
⇒ 3840 = 3(x² – 8x)
⇒ 3x² – 24x = 3840
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0.
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి రైలు యొక్క వేగము అవుతుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల వ్యవస్థను సాధించండి. (పేజీ నెం. 79)
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
(ii) x + y = 2; 2x + 2y = 4
(iii) 2x – y = 4; 4x – 2y = 6
సాధన.
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
x – 2y = 0
– 2y = – x
2y = x
y = \(\frac{x}{2}\)

3x + 4y = 20
4y = 20 – 3x
y = \(\frac{20-3 x}{4}\)

∴ సాధన ఇచ్చిన సమీకరణాల సాధన జత ఖండనరేఖలు.
(x, y) = (4, 2)
x = 4, y = 2.

(ii) x + y = 2;
2x + 2y = 4
సాధన.
x + y = 2
y = 2 – x

2x + 2y = 4
2y = 4 – 2x
⇒ y = \(\frac{4-2 x}{2}\)

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

(iii) 2x – y = 4
4x – 2y = 6
సాధన.
2x – y = 4
– y = 4 – 2x
y = 2x – 4

4x – 2y = 6
– 2y = 6 – 4x
⇒ 2y = 4x – 6
⇒ y = \(\frac{4 x-6}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
x + 2y – 4 = 0 మరియు 2x + 4y – 12 = 0 సమీకరణాలను గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించండి. వ్యాఖ్యానించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
x + 2y – 4 = 0 ……………….(1)
2x + 4y – 12 = 0 …………….. (2)
x + 2y – 4 = 0
2x + 4y – 12 = 0
2y = 4 – x
y = \(\frac{4-x}{2}\)

2x + 4y – 12 = 0
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

పై గ్రాఫ్ నుండి, ఈ రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలని తెలుస్తుంది. అనగా సమాంతరాలు, ఖండన బిందువులు లేవు, ఉమ్మడి సాధన లేదు.

ప్రశ్న 3.
కింది సమీకరణాల జతలకు ఏకైక సాధన, అనంత సాధనలా లేక సాధనలు లేవో సరిచూడండి. వాటిని గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
(i) 2x + 3y = 1
3x – y = 7

(ii) x + 2y = 6
2x + 4y = 12

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
(i) 2x + 3y = 1, 3x – y = 7
2x + 3y = 1 ⇒ 2x + 3y – 1 = 0 ………. (1)
3x – y = 7 ⇒ 3x – y – 7 = 0 ………. (2)
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 1
a₂ = 3, b₂ = – 1, c₂ = – 7
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\),

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{-1}\) = – 3

\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది. వీటి రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలు అవుతాయి. 2x + 3y = 1

2x + 3y = 1
3y = 1 – 2x
y = \(\frac{1-2 x}{3}\)

3x – y = 7
– y = 7 – 3x
y = 3x – 7

(ii) x + 2y = 6
* 2x + 4y = 12
సాధన.
x + 2y – 6 = 0 … ……. (1)
a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = – 6
2x + 4y – 12 = 0 ………. (2)
a₂ = 2, b₂ = 4, c₂ = – 12

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. వీటికి అనంత సాధనలు సమకరణాల జత పర సాధనలు ఉంటాయి, మరియు వీటి గ్రాఫ్ ఏకీభవించే రేఖలు.
x + 2y = 6
2y = 6 – x
y = \(\frac{6-x}{2}\)

2x + 4y = 12
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

సాధన రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18
సాధన.
3x+2y – 6 = 0
⇒ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 6

6x+4y – 18 = 0
⇒ a₂ = 6, b₂ = 4, c₂ = 18

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\).
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు అవుతాయి. కావున వీటికి a b2 C2 సాధన ఉండదు. వీటి రేఖాచిత్రం సమాంతర రేఖలు
3x + 2y = 6
2y = 6 – 3x
y = \(\frac{6-3 x}{2}\)

6x + 4y = 18
4y = 18 – 6x
y = \(\frac{18-6 x}{4}\)

ప్రయత్నించండి:
ఈ కింది ప్రశ్నలకు సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 75, 76)

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలలో ఏది రేఖీయ సమీకరణం కాదు ?
a) 5 + 4x = y + 3
b) x + 2y = y – x
c) 3 – x = y² + 4
d) x + y = 0
సాధన.
c) 3 – x = y² + 4

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిలో ఏది ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణము ?
a) 2x + 1 = y – 3
b) 2t – 1 = 2t + 5
c) 2x – 1 = x²
d) x² – x + 1 = 0
సాధన.
b) 2t – 1 = 2t + 5

ప్రశ్న 3.
క్రింది సంఖ్యలలో ఏది 2(x + 3) = 18 అనే సమీకరణానికి సాధన ?
a) 5
b) 6
c) 13
d) 21
సాధన.
b) 6

ప్రశ్న 4.
2x – (4 – x) = 5 – x అనే సమీకరణాన్ని తృప్తిపరచే x విలువ
a) 4.5
b) 3
c) 2.25
d) 0.5
సాధన.
c) 2.25

ప్రశ్న 5.
x – 4y = 5 అనే సమీకరణానికి
a) సాధనలేదు
b) ఒకే ఒక సాధన
c) రెండు సాధనలు
d) అనంతమైన సాధనలు
సాధన.
d) అనంతమైన సాధనలు

ప్రశ్న 6.
ఎమ్.కె. నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యా ట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1300 లకు కొనెను. ప్రతీ బ్యాటు మరియు ప్రతీ బంతి వెలను మీరు కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
బ్యాటు మరియు బంతి యొక్క కచ్చితమైన వెలను కనుగొనలేము.

ప్రశ్న 7.
కింది సమీకరణాల జతకు ‘p’ యొక్క ఏ విలువకు ఏకైక సాధన ఉంటుందో కనుగొనండి. 2x + py = – 5 మరియు 3x + 3y = – 6 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x + py = – 5
⇒ 2x + py + 5 = 0

3x + 3y = – 6
⇒ 3x + 3y + 6 = 0

రేఖీయ సమీకరణాలకు ఏకైక సాధన ఉంటే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావాలి.
∴ p యొక్క విలువ 2 తప్ప మిగిలిన అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలకు ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
2x – ky + 3 = 0, 4x + 6y – 5 = 0 సమీకరణాల జతకు, ఓ యొక్క ఏ విలువకు అవి సమాంతర రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x – ky + 3 = 0
4x + 6y – 5 = 0 లు సమాంతర రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
∴ \(\frac{2}{4}=\frac{-k}{6}\)

⇒ – 4k = 12

∴ k = \(\frac{12}{-4}\) = – 3
k = – 3 కి ఇచ్చిన రేఖలు సమాంతరాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 9.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు, 3x + 4y + 2 = 0 మరియు 9x + 12y + k= 0 రేఖా సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
3x + 4y + 2 = 0
9x + 12y + k = 0
రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{2}{k}\)

k = 6.

k = 6 కి ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 10.
‘p’ యొక్క ఏ ధనవిలువలకు కింది సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటాయో కనుగొనండి. px + 3y – (p- 3) = 0 12x + py – p = 0 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
px + 3y – (p – 3) = 0
12x + py – p = 0
సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటే ఇవి పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. కావున \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

∴ \(\frac{p}{12}=\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)

∴ \(\frac{\mathrm{p}}{12}=\frac{3}{\mathrm{p}}\)

⇒ p² = 36
⇒ p = √36 = 6
∴ p = 6

(లేదా)

\(\frac{p}{12}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
p² = 12(p – 3)
p² – 12p + 36 = 0
p² = 12p – 36
(p – 6)² = 0
p – 6 = 0
∴ p = 6.

(లేదా)

\(\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
(p – 3) = 3p
p² – 3p = 3p
p² – 6p = 0
p (p – 6) = 0
p = 0 లేదా p = 6
p ధనవిలువ కావాలి.
∴ p = 6.
p = 6 అయినప్పుడు ఇచ్చిన రేఖలకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ కింద రెండు సందర్భాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
(i) 1 కిలో బంగాళదుంపలు మరియు 2 కిలోల టమాటాల. మొత్తము వెల ₹ 30. రెండు రోజుల తరువాత, 2 కిలోల బంగాళదుంపలు మరియు 4 కిలోల టమాటాల మొత్తము వెల ₹ 66.
(ii) ఎమ్.కె.నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యాట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3,900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1,300 లకు కొనెను.
పై ప్రతీ సందర్భంలో అవ్యక్తరాశులను గుర్తించండి. ప్రతీ సందర్భంలో రెండు చరరాశులు ఉండటాన్ని మనం గమనించవచ్చును. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవ్యక్త రాశులు
(i) కిలో బంగాళదుంపల వెల మరియు కిలో టమాటాల వెల. .
(ii) ఒక బ్యాట్ వెల మరియు ఒక బంతి వెల.

ప్రశ్న 2.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుందా ? ఎందుకు అవుతుంది (లేదా) ఎందుకు కాదు ? కారణాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడు సంగత జత అవుతుంది.
పరస్పరాధారిత జత సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. కావున సంగత జత అవుతుంది.
ఎందుకనగా \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద యిచ్చిన ప్రతీ జత సమీకరణాలను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వా రా సాధించండి. (పేజీ నెం. 88)

1) 3x – 5y = – 1
x – y = – 1
సాధన.
3x – 5y = – 1 ………… (1)
x-y=-1 ……….. (2)
(2) ⇒ – y = – x – 1
⇒ y = x + 1
y = x + 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x – 5(x + 1) = – 1
3x – 5x – 5 = – 1
– 2x = – 1 + 5
– 2x = 4
⇒ 2x = – 4
⇒ x = \(\frac{-4}{2}\) = – 2
x = – 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
– 2 – y = – 1.
– y = – 1 + 2
⇒ – y = 1
⇒ y = – 1
∴ సాధన x = – 2, y = – 12

సరిచూడటం :
x = – 2, y = – 1 లను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(- 2) – 5 (- 1) = – 1
– 6 + 5 = – 1
-1 = – 1.

ప్రశ్న 2.
x + 2y = – 1
2x – 3y = 12
సాధన.
x + 2y = – 1 ………….(1)
2x – 3y = 12 …………….(2)
(1) ⇒ x = – 1 – 2y ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2 (- 1 – 2y) – 3y = 12
– 2 – 4y – 3y = 12
– 7y = 12 + 2
⇒ – 7y = 14
⇒ 7y = – 14
∴ y = \(\frac{-14}{7}\) = – 2
y = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
x + 2 (- 2) = – 1
x – 4 = – 1
⇒ x = – 1 + 4 = 1
∴ సాధన x = 3, y = – 2.

సరిచూడటం :
x = 3, y = – 2ను (2)లో రాయగా.
2(3) – 3(- 2) = 12
6 + 6 = 12
⇒ 12 = 12 .

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 9; 3x + 4y = 5
సాధన.
2x + 3y = 9 …………….(1)
3x + 4y = 5 …………… (2)
(1) ⇒ 3y = 9 – 2x
y = \(\frac{9-2 x}{3}\) ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x + 4(\(\frac{9-2 x}{3}\)) = 5

3x + \(\frac{36-8 x}{3}\) = 5

\(\frac{9 x+36-8 x}{3}\) = 5

x + 36 = 15 ⇒ x = 15
x = – 21
x = – 21 ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2(- 21) + 3y = 9
42 + 3y = 9
⇒ 3y = 9 + 42
⇒ 3y = 51
⇒ y = \(\frac{51}{3}\) = 17
సాధన x = – 21, y = 17

సరిచూడటం :
x = – 21, y = 17 లను (2) లో రాయగా
3(- 21) + 4(17) = 5
– 63 + 68 = 5.

ప్రశ్న 4.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6;
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5
సాధన.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………..(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 1 ………….(2)
(1) ⇒ x = 6 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(6 – \(\frac{6}{y}\)) – \(\frac{8}{y}\) = 5
18 – \(\frac{18}{y}\) – \(\frac{8}{y}\) = 5
\(\frac{-26}{y}\) = 5 – 18
⇒ \(\frac{-26}{y}\) = – 13
⇒ \(\frac{26}{y}\) = 13
⇒ 13 y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{13}\) = 2
y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
3x – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 3x – 4 = 5
⇒ 3x = 5 + 4 = 9
⇒ x = 3, y = 2.

(లేదా)

x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………….(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5 ………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – x
\(\frac{1}{y}=\frac{6-x}{6}\)ని (2) లో రాయగా,
3x – 8(\(\frac{6-x}{6}\)) = 5
3x – (\(\frac{48-8 x}{6}\)) = 5
\(\frac{18 x-48+8 x}{6}\) = 5
26x – 48 = 30
26x = 30 + 48 = 78
x = \(\frac{78}{26}\) = 3
x = 3ను (1) లో రాయగా,
3 + \(\frac{6}{y}\) = 6
⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – 3 = 3
3y = 6
⇒ y = \(\frac{6}{3}\) = 2
∴ సాధన. x = 3, y = 2

సరిచూడటం :
x = 3, y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 9 – 4 = 5
5 = 5.

ప్రశ్న 5.
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
సాధన.
0.2x + 0.3y = 1.3 ……………..(1)
0.4x + 0.5 y = 2.3 …………….(2)
(1) × 10 = 2x + 3y = 13
(2) × 10 = 4x + 5y = 23
(3) ⇒ 3y = 13 – 2x
y = \(\frac{13-2 x}{3}\) ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4x + 5 (\(\frac{13-2 x}{3}\)) = 23
4x + \(\frac{65-10 x}{3}\) = 23
\(\frac{12 x+65-10 x}{3}\) = 23
2x + 65 = 69
⇒ 2x = 69 – 65 = 4
⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
x = 2 ను (4) లో ప్రతిక్షేపించగా.
4(2) + 5y = 23
⇒ 8 + 5y = 23
⇒ 5y = 15
⇒ y = \(\frac{15}{5}\) = 3
∴ సాధన. x = 2, y = 3.

సరిచూడటం : x = 2, y = 3ను (1) లో రాయం
0.2 (2) + 0.3 (3) = 1.3
0.4 + 0.9 = 1.3
1.3 = 1.3

ప్రశ్న 6.
√2x + √3y = 0;
√3x – √8y = 0
సాధన.
√2x + √3y = 0 ………… (1)
√3x – √8y = 0 ………… (2)
(1) ⇒ √3y = – √2x
y = \(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√3x – √8(\(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\)) = 0
√3x – \(\frac{\sqrt{16} x}{\sqrt{3}}\) = 0
√3x – \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) = 0 కావున
x = 0 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, √2(0) + √3y = 0
√3y = 0 ⇒ y = 0
సాధన. x = 0, y = 0

సూచన :
ax + by + c₁ = 0
ax + by + c₂ = 0,
c₁ = c₂ = 0 అయితే
x = 0, y = 0 సాధన అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
క్రింది ప్రతీజత రేఖీయ సమీకరణాలను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. (పేజీ నెం. 89)

1. 8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4 .
సాధన.
8x + 5y = 9 ……….. (1)
3x + 2y = 4 ……….. (2)

x = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
8(- 2) + 5y = 9
– 16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = \(\frac{25}{5}\) = 5
సాధన x = – 2, y = 5.

సరిచూడటం :
x = – 2, y = 5ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా.
3(- 2) + 2(5) = 4
– 6 + 10 = 4
4 = 4

2. 2x + 3y = 8; 4x + 6y =7
సాధన.
2x + 3y = 8 ⇒ 2x + 3y – 8 = 0
4x + 6y – 7 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
3x + 4y = 25; 5x – 6y = – 9
సాధన.
3x + 4y = 25 ………… (1)
5x – 6y = – 9 ………… (2)

x = 3ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 4y = 25
9 + 4y = 25
4y = 25 – 9 = 16
y = \(\frac{16}{4}\) = 4
∴ సాధన. x = 3, y = 4.
సరిచూడటం :
x = 3, y = 4ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
5(3) – 6(4) = – 9
15 – 24 = – 9
– 9 = – 9

ప్రశ్న 8.
ఒక పోటీ పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) ఈ సమస్యను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిలో సాధించండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు 3x – y = 40 …………… (1)
4x – 2y = 50 …………….. (2)

∴ x = \(\frac{30}{2}\) = 15
x = 15 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(15) – y = 40
45 – y = 40
⇒ – y = 40 – 45 = – 5
⇒ y = 5
∴ సాధన x = 15, y = 5.
పరీక్షలోని మొత్తం ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20

ప్రశ్న 9.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల . క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92) ఈ సమస్యను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు
x – 7y + 42 = 0 ………….(1)
x – 3y – 6 = 0 …………(2)
(1) ⇒ x = 7y – 42
⇒ x = 7y – 42 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
7y – 42 – 3y = 6
4y = 6 + 42
⇒ 4y = 48
⇒ y = \(\frac{48}{4}\) = 12
y = 12 ను (1) లో రా యగా,
x – 7 (12) = – 42,
x – 84 = – 42
x = – 42 + 84
⇒ x = 42
సాధన x = 42, y = 12.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు = 42 సంవత్సరాలు
ఆమె కూతురి వయస్సు = 12 సంవత్సరాలు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు జతను సాధించండి.
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b
(a + b) (x + y) = a² + b²
సాధన.
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b² …………..(1)
(a + b) (x + y) = a² + b² ………………(2)
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a² + b²
(1) – (2);

[(a – b) – (a + b)] x = – 2b (a + b).
(a – b – a – b) x = – 2b (a + b)
– 2b x = – 2b (a + b)
x = \(\frac{-2 b}{-2 b}\) (a + b)
x = a + b
x = a + bని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(a + b)(a + b) + (a + b) y = a² + b²
a² + 2ab + b² + (a + b) y = a² + b²
(a + b) y = a² + b² – a² – 2ab – b²
(a + b) y = – 2ab
y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)
సాధన.
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)

సరిచూడటం:
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)ని (1)లో ప్రతిక్షేపించగా.
(a – b)(a + b) + (a + b)\(\frac{-2 a b}{a+b}\) = a² – 2ab – b²
a² – b² – 2ab = a² – 2ab – b²
a² – 2ab – b² = a² – 2ab – b².

ఉదాహరణలు.

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలా, సమాంతర రేఖలా లేదా ఏకీభవించే రేఖలా సరిచూడండి. ఆ సమీకరణాలు సంగతము అయిన వాటి సాధనను కనుగొనుము.
2x + y -5 = 0, 3x – 2y – 4 = 0 (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
2x + y -5 = 0 ……….. (1)
3x – 2y – 4 = 0 ………..(2),
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 5
a₂ = 3, b₂ = – 2, c₂ = – 4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున అవి ఖండన రేఖలు. అనగా సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత.

2x + y – 5 = 0
y = 5 – 2x

3x – 2y -4 = 0
– 2y = 4 – 3x
⇒ 2y = 3x – 4
y = \(\frac{3 x-4}{2}\)

ఇచ్చిన రేఖలు ఖండన రేఖలు సాధన (x, y) = (2, 1)
x = 2, y = 1

ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాల జత సంగత జత అవునో, కాదో సరిచూడండి.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 3y = 4 గ్రాఫ్ గీయడం ద్వారా మీ జవాబును సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 81)
సాధన.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 8y = 4
3x + 4y = 2 ⇒ 3x + 4y – 2 = 0 …………… (1)
6x + 8y = 4 ⇒ 6x + 8y – 4 = 0 ……………(2)
⇒ a₁ = 3, b₁ = 4, c₁ = – 2;
a₂ = 6, b₂ = 8, c₂ = – 4

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున అవి ఏకీభవించే రేఖలు. కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగతం అవుతూ పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత అవుతుంది.

3x + 4y = 2
⇒ 4y = 2 – 3x
⇒ y = \(\frac{2-3 x}{4}\)

6x + 8y – 4
⇒ 8y = 4 – 6x
⇒ y = \(\frac{4-6 x}{8}\)

∴ ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 3.
4x – 6y = 15 మరియు 2x – 3y = 5 సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలేమో సరిచూడండి. ఇంకా వాటికి గ్రాఫ్ గీయండి. (పేజీ నెం. 82)
సాధన.
4x – 6y = 15
⇒ 4x – 6y – 15 = 0 …………….(1)
2x – 3y = 5
⇒ 2x – 3y – 5 = 0 …………… (2)
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{4}{2}\) = 2;

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-6}{-3}\) = 2;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-15}{-5}\) = 3

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇది అసంగత సమీకరణాలు. వీటికి సాధన లేదు మరియు వీటి రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) సమాంతర రేఖలు.
4x – 6y = 15
6y = 15 – 4x
6y = 4x – 15
y = \(\frac{4 x-15}{6}\)

2x – 3y = 5
-3y = 5 – 2x
3y = 2x – 5
y = \(\frac{2 x-5}{3}\)

ప్రశ్న 4.
ఒక తోటలో కొన్ని తుమ్మెదలు మరియు పువ్వులు కలవు. ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినపుడు ఒక తుమ్మెద ,  మిగిలిపోతుంది. ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది. అయిన పువ్వులెన్ని ? తుమ్మెదలెన్ని? (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
తుమ్మెదల సంఖ్య = x,
పువ్వుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలిన, ఒక తుమ్మెద మిగిలిపోతుంది
∴ x = y + 1
⇒ x – y – 1 = 0 …………….(1)
ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే, ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది,
కావున x = 2(y – 1)
⇒ x = 2y – 2
⇒ x – 2y + 2 = 0 …………..(2)
x – y – 1 = 0
– y = 1 – x
y = x – 1

x – 2y + 2 = 0
– 2y = – x – 2
2y = x + 2
y = \(\frac{x+2}{2}\)

సాధన (x, y) = (4, 3)
x = 4, y = 3
తుమ్మెదల సంఖ్య – 4
పువ్వుల సంఖ్య – 3

ప్రశ్న 5.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము చుట్టుకొలత 32 మీ. దాని పొడవును 2 మీ పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించగా దాని వైశాల్యములో ఏ మార్పూ లేక యథాతథంగా ఉండును. అయిన ఆ స్థలము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 84)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము పొడవు = 1 మీ.
వెడల్పు = b మీ. అనుకొందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = l × b = lb చ||మీ.
చుట్టుకొలత = 2 (l + b) = 32
⇒ l + b = 16
∴ l + b – 16 = 0 …………… (1)
పొడవును 2 మీ. పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించినపుడు , కొత్త పొడవు = 1 + 2 మీ., కొత్త వెడల్పు = b – 1 మీ
కొత్త వైశాల్యం = (l + 2) (b – 1) చ||మీ.
= lb – 1 + 2b – 2
వైశాల్యములో మార్పులేదు కాబట్టి,
lb – 1 + 2b – 2 = lb
⇒ lb – 1 + 2b – 2 – lb = 0
⇒ – l + 2b – 2 = 0
∴ l – 2b + 2 = 0 ………… (2)

l + b – 16 = 0
b = 16 – l

l – 2b + 2 = 0
– 2b = – l – 2
2b = l + 2
b = \(\frac{l+2}{2}\)

సాధన (l, b) = (10, 6)
l = 10, b = 6
పొడవు = 10 మీ
వెడల్పు = 6 మీ.

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించుము. (పేజీ నెం. 87)
2x – y = 5
3x + 2y = 11
సాధన.
2x – y = 5 ……………..(1)
3x + 2y = 11 ……………. (2)
(1)వ సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాయవచ్చును
y = 2x – 5 (సోపానము 1)
దీనిని (2)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3x + 2(2x – 5) = 11 (సోపానము 2)
3x + 4x – 10 = 11
7x = 11 + 10 = 21
x = 21/7 = 3. (సోపానము 3)
x = 3ని సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(3) – y = 5 (సోపానము 4)
y = 6 – 5 = 1
x, y ల విలువలు (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 2(1) = 9 + 2 = 11
కాబట్టి, కావలసిన సాధన x = 3 మరియు y = 1.
ఇచ్చిన, రెండు సమీకరణాలను x = 3 మరియు y = 1 సంతృప్తి పరుస్తాయి (సోపానము 5)

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. 3x + 2y = 11 . 2x + 3y = 4 (పేజీ నెం. 88)
సాధన.
3x + 2y = 11 ……… (1)
2x + 3y = 4 ……… (2) (సోపానము 1)
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి చరరాశి ‘y’ని తొలగించాలనుకొనుము. రెండు సమీకరణాలలో ‘y’ గుణకాలు వరుసగా 2 మరియు 3. వాటి క.సా.గు. 6. కావున సమీకరణము (1) ని 3 చే, సమీకరణము (2) ని 2 చే గుణించాలి.

x = 5 విలువను సమీకరణం (1) లో వ్రాయగా,
3(5) + 2y = 11
2y = 11 – 15 = – 4 (సోపానము. 5)
కావున కావలసిన సాధన x = 5, y = – 2.

ప్రశ్న 8.
రుబీనా బ్యాంకు నుండి ₹ 2000 తీసుకొనదలచినది. ఆమె క్యాషియర్‌ను ఆ మొత్తానికి ₹ 50 మరియు ₹ 100 నోట్లు మాత్రమే ఇవ్వమని కోరినది. మొత్తము ఆమెకు 25 నోట్లు వచ్చిన, ఆమెకు ఎన్ని ₹ 50 నోట్లు, ఎన్ని ₹ 100 నోట్లు వచ్చినవో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 89)
సాధన.
ఆమెకు వచ్చిన ₹ 50 నోట్ల సంఖ్యను x అని, ₹ 100
నోట్ల సంఖ్యను y అని అనుకొనుము.
అపుడు, x + y = 25 ………. (1) మరియు
50x + 100y = 2000 …….. (2)
వీనిని ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో సాధించిన;
(1) వ సమీకరణము నుండి x = 25 – y
(2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,
50 (25 – y) + 100y = 2000
1250 – 50y + 100y = 2000
50y = 2000 – 1250 = 750
y = \(\frac{750}{50}\) = 15
x = 25 – 15 = 10
కావున, రుబీనా పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100 నోట్లను తీసుకొన్నది.
శ్వేత చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా దీనిని సాధించినది.
సమీకరణాలలో, గుణకాలు వరుసగా 1 మరియు 50 కావున,

ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణాన్ని తీసివేయగా,

y = \(\frac{-750}{-50}\) = 15

(1)వ సమీకరణంలో y విలువను ప్రతిక్షేపించగా
x + 15 = 25
⇒ x = 25 – 15 = 10
కావున ఆమె పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100. నోట్లను తీసుకొన్నది.

ప్రశ్న 9.
ఒక పోటీ, పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. కాని ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
సరియైన సమాధానముల సంఖ్య x;
తప్పు సమాధానముల సంఖ్య y అనుకొనుము.
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు.
అపుడు అతనికి వచ్చిన మార్కులు 40.
3x – y = 40 …………. (1)
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి.
4x – 2y = 50………… (2)
ప్రతిక్షేపణ పద్దతి :
(1)వ సమీకరణము నుండి, y = 3x – 40
(2)వ సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4x – 2 (3x – 40) = 50
4x – 6x + 80 = 50
– 2x = 50 – 80 = – 30
⇒ x = \(\frac{-30}{-2}\) = 15
x విలువను (1)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3(15) – y = 40
45 -y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
కావున పరీక్ష పత్రములోని మొత్తము ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20.

ప్రశ్న 10.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు x సంవత్సరములు;
ఆమె కూతురి వయస్సు y సంవత్సరములు అనుకొనుము.
7 సంవత్సరముల క్రితం, మేరి వయస్సు (x – 7) సం||. ఆమె కూతురి వయస్సు (y – 7) సం||
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 ……………. (1)
3 సంవత్సరముల తరువాత, మేరి వయస్సు x + 3 మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు y + 3
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y – 6 = 0 ………………..(2)

చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి :

x పదానికి ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణం (1) నుండి సమీకరణం (2) ను తీసివేయగా

y = \(\frac{-48}{-4}\)
ఈ, y విలువను (2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
x – 3 (12) – 6 = 0
x = 36 + 6 = 42
కావున మేరి ప్రస్తుత వయస్సు 42 సంవత్సరములు మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు 12 సంవత్సరములు.

ప్రశ్న 11.
ఒక ప్రచురణ కర్త, క్రొత్త పాఠ్యపుస్తకాన్ని సిద్ధం చేశాడు. వాటి స్థిర ధర (పునర్విమర్శ, ముద్రణ, టైపింగ్ ఖర్చులు మొదలైనవి) ఒక్కొక్క పుస్తకానికి ₹ 31.25. ఇవి కాక అదనంగా అతడు ఒక పుస్తకము ముద్రణకై ₹ 320000 ఖర్చు చేసెను. ఆ పుస్తకము టోకు ధర పుస్తకానికి ₹ 48.75 (ప్రచురణ కర్తకు వచ్చు సొమ్ము) ఆ ప్రచురణ కర్త ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలంటే సమతుల్య స్థానం చేరవలెనంటే ఎన్ని పుస్తకాలను అమ్మాలి ? (పేజీ నెం. 92)
వస్తువు ఉత్పాదకతకు అయిన ఖర్చు, వాటి అమ్మకాల ద్వారా వచ్చిన రాబడి సమానంగా ఉండే స్థానాన్ని సమతుల్యతా స్థానము అంటారు.
సాధన.
ప్రచురణ కర్త సమతుల్యతా స్థానం చేరాలంటే ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలి.
ముద్రణ అయి అమ్మకమయిన పుస్తకాల సంఖ్య x, సమతుల్యతా స్థానము y అనుకొనుము.
అపుడు ఆ ప్రచురణ కర్తకు పుస్తకముద్రణ ఖర్చు, రాబడిల సమీకరణాలు ,
ముద్రణ సమీకరణం y = 320000 + 31.25x ………… (1)
రాబడి సమీకరణం y = 43.75x ……….. (2)
రెండవ సమీకరణము నుండి y విలువను ఒకటవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
43.75x = 3,20,000 + 31.25x
12.5x = 3,20,000
x = \(\frac{3,20,000}{12.5}\) = 25,600
25,600 పుస్తకాలను ముద్రించి అమ్మిన అతడు సమతుల్యతా స్థానము చేరును.

ప్రశ్న 12.
క్రింది సమీకరణాల జతను సాధించండి. (పేజీ నెం. 93)
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలు కావు. మనకు ఇచ్చిన సమీకరణాలు
2(\(\frac{1}{x}\)) + 3(\(\frac{1}{y}\)) = 13 …………..(1)

5(\(\frac{1}{x}\)) – 4(\(\frac{1}{y}\)) = – 2 …………. (2)
మనం \(\frac{1}{x}\) = p మరియు \(\frac{1}{y}\) = q ప్రతిక్షేపించగా

క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏర్పడుతుంది
2p + 3q = 13 ………..(3)
5p – 4q = – 2 ……….. (4)
q గుణకాలు 3, 4 మరియు వాటి క.సా.గు 12 చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సమీకరణం

q’ పదములకు వేరువేరు గుర్తులున్నాయి. కావున ఆ సమీకరణాలను కలుపగా
p = \(\frac{46}{23}\) = 2
p విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(2) + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
కాని, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 13.
కవిత తన ఇంటిలో మరి రెండు గదులను నిర్మించాలనుకొంది. ఆమె గృహనిర్మాణ కూలీల గురించి ఆరా తీయగా 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలిసింది. కాని ఆమెకు తన ఇంటిలోని గదుల నిర్మాణ పని 10 రోజులలోనే పూర్తికావాలి. 8మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలుసుకొంది. పురుషుడు లేదా స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయాలంటే ఎంత కాలం పడుతుందో ? కనుక్కోండి.(పేజీ నెం. 94)
సాధన.
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
పురుషుడు ఒక్కడే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{x}\) రోజులు అవుతుంది..
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకొనిన
స్త్రీ ఒక్కరే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{y}\) అవుతుంది.
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.
అనగా 8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{10}\) ……… (1)
8 మంది పురుషులు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని 8 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{8}{x}\)
అదే విధంగా 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో 12 చేయగలిగిన పని 12 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{12}{y}\)
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన మొత్తము పని = \(\frac{8}{x}\) + \(\frac{12}{y}\) ……….. (2)
(1), (2) సమీకరణాల నుండి,
\(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)=\frac{1}{10}\)

10 \(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)\) = 1

⇒ \(\frac{80}{x}+\frac{120}{y}\) = 1 ………. (3)
అలాగే, 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\frac{1}{14}\)

⇒ 14 \(\left(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\right)\) = 1
⇒ \(\left(\frac{84}{x}+\frac{112}{y}\right)\) = 1 …………. (4)
(3), (4) సమీకరణాలను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలేనా?
వాటి సాధన మనం ఎలా కనుగొంటాము? \(\frac{1}{x}\) = u మరియు \(\frac{1}{y}\) = 1
ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా వాటిని మనం రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చవచ్చును.
(3) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
80u + 120v = 1 ……….. (5)
(4) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
84u + 112v = 1 ……….. (6)
80 మరియు 84 ల క.సా.గు. 1680. చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా,
సమీకరణం (3) × 21;
(21 × 80)u + (21 × 120)v = 21
సమీకరణం (4) × 20;
(20 × 84)u + (20 × 112)v = 20

u కు ఒకే గుర్తు కావున తీసివేయగా v = \(\frac{1}{280}\)
సమీకరణం (5) లో ప్రతిక్షేపించగా
80u + 120 x \(\frac{1}{280}\) = 1
80u = 1 – \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{7-3}{7}=\frac{4}{7}\)
u = \(\frac{4}{7}\) × \(\frac{1}{80}\)
= \(\frac{1}{140}\)
కావున పురుషుడొక్కడే ఆ పనిని 140 రోజులలో, స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని 280 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.

ప్రశ్న 14.
ఒక వ్యక్తి 370 కి.మీ. దూరాన్ని కొంత దూరం రైలులో, కొంతదూరం కారులో ప్రయాణించాడు. అతను 250కి.మీ దూరాన్ని రైలులో, మిగిలిన దూరాన్ని కారులో ప్రయాణించగా అతనికి 4 గంటలు పట్టినది. అదే అతను 130 కి.మీ దూరం రైలులో, మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణిస్తే అతనికి 18 నిమిషాల కాలం ఎక్కువ పట్టేది. రైలు మరియు కారుల వేగాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 96)
సాధన.
రైలు వేగం x కి.మీ/గం., కారు వేగం 5 కి.మీ/గం. అనుకొనుము.

అని మనకు తెలుసు.
1వ సందర్భంలో, రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) గం.
కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{140}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = రైలు ప్రయాణానికి పట్టినకాలం + కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\)
కాని మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం 4 గంటలు కావున
\(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\) = 4

⇒ \(\frac{125}{x}+\frac{60}{y}\) = 2
మరల 130 కి.మీ దూరం రైలులో మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణించినపుడు 130 కి.మీ రైలు

ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{130}{x}\) గం.
240 కి.మీ (370 – 130) కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{240}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y} \)
కాని ప్రయాణానికి పట్టిన మొత్తం. కాలం 4 గంటల 18 నిమిషాలు 4\(\frac{18}{60}\) = 4\(\frac{3}{10}\) గం.
అనగా, \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y}=\frac{43}{10}\) …………..(2)
(1) (2) సమీకరణాలలో \(\frac{1}{x}\) = a మరియు \(\frac{1}{y}\) = b ప్రతిక్షేపించగా
125a + 60b = 2 ……………(3)
130a+ 240b = 7 …………. (4)
60, 240 ల క.సా.గు. 240. చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిని ఉపయోగించగా,

a = \(\frac{1}{100}\) ను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
(125 × \(\frac{1}{100}\)) + 60b = 2
60b = 2 – \(\frac{5}{4}\)
= \(\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}\)

b = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{60}\) = \(\frac{1}{80}\)
కావున a = \(\frac{1}{100}\) మరియు b = \(\frac{1}{80}\)
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{100}\) మరియు \(\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\)
x = 100 కి.మీ/గం. మరియు y = 80 కి.మీ/గం కావున రైలు వేగం 100 కి.మీ/గం. మరియు కారు వేగం 80 కి.మీ/గం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి :
(i) \(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2;
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4
సాధన.
1వ పద్ధతి :
\(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 …………….. (1);
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4……………….. (2)

x = 2a ని (2) లో రాయగా,
\(\frac{2 a}{a}-\frac{y}{b}\) = 4
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 4 – 2
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 2 =
⇒ – y = 2b
∴ y = – 2b
సాధన x= 2a, y = – 2b.

2వ పద్ధతి :
(1) ⇒ \(\frac{y}{b}\) = 2 – \(\frac{2 x}{a}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{x}{a}\) – (2 – \(\frac{2 x}{a}\))
⇒ \(\frac{x}{a}\) – 2 + \(\frac{2 x}{a}\) – 4
⇒ \(\frac{3 x}{a}\) = 4 + 2 = 6
⇒ x = 6 × \(\frac{a}{3}\) = 2a
x = 2a ను (2) లో రాయగా,
\(\frac{2 a}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) = 4
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 4
2 = 2
⇒ – y = 2b
y = – 2b
సాధన x = 2a, y = – 2b

3వ పద్ధతి :
\(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 …………….. (1)

\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4 …………….. (2)

(1) ⇒ \(\frac{2 b x+a y}{a b}\) = 2
⇒ 2bx + ay = 2ab ………… (3)
(2) ⇒ \(\frac{b x-a y}{a b}\) = 4
⇒ bx – ay = 4ab …………..(4)

x = 2a ని (3) లో రా3యగా,
2b (2a) + ay = 2ab
⇒ 4ab + ay = 2ab
⇒ ay = 2ab – 4ab = – 2ab
y = \(\frac{-2 \mathrm{ab}}{\mathrm{a}}\) = – 2b
సాధన x = 2a, y = 2b

సరిచూచుట :
x = 2a, y = – 2b ని (2) లో రాయగా
\(\frac{-2 \not a}{\not a}\) – (- \(\frac{-2 \not b}{\not b}\)) = 4
⇒ 2 + 2
⇒ 4= 4 = 4.

(ii) \(\frac{x+1}{2}+\frac{y-1}{3}\) = 8

\(\frac{x-1}{3}+\frac{y+1}{2}\) = 9
సాధన.
\(\frac{x+1}{2}+\frac{y-1}{3}\) = 8 ……………..(1)

\(\frac{x-1}{3}+\frac{y+1}{2}\) = 9 ……………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{3(x+1)+2(y-1)}{6}\) = 8
3x + 3 + 2y – 2 = 48
3x + 2y = 48 – 10
3x + 2y = 47 …………… (4)
(2) ⇒ \(\frac{2(x-1)+3(y+1)}{6}\) = 9
2x – 2 + 3y + 3 = 54
2x + 3y = 54 – 15
2x + 3y = 53 …………… (4)

x = 7 ను (3) లో రాయగా,
3 (7) + 2y = 47
⇒ 2y = 47 – 21
⇒ 2y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{2}\) = 13
సాధన x = 7, y = 13.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
\(\frac{7+1}{2}+\frac{13-1}{3}\) = 8
\(\frac{8}{2}+\frac{12}{3}\) = 8
⇒ 4 + 4 = 8
⇒ 8 = 8.

(iii) \(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5;
\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) = 6
సాధన.
1వ పద్ధతి
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5 ……………(1)

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) = 6 …………….(2)

(1) ⇒ \(\frac{3 x+7 y}{21}\) = 5
⇒ 3x + 7y = 105 …………….. (3)
\(\frac{9 x-2 y}{18}\) = 6
9x – 2y = 108 ………….. (4)

y = 9 ని (4) లో రాయగా
9x – 2(9) = 108
9x – 18 = 108
9x = 108 + 18 = 126
x = \(\frac{120}{9}\) = 14
సాధన x = 14, y = 9

2వ పద్దతి :
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5 …………..(1)

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) …………… (2)

x = 14 ని (1) లో రాయగా

\(\frac{14}{7}+\frac{y}{3}\) = 5

⇒ 2 + \(\frac{y}{3}\) = 5
⇒ \(\frac{y}{3}\) = 5 – 2 = 3
⇒ y = 9 .
సాధన x = 14, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
\(\frac{14}{7}+\frac{9}{3}\) = 5
2 + 3 = 5
5 = 5

(iv) √3x – √2y = √3; √5x + √3y =√3
సాధన.
√3x – √2y = √3 …………. (1) .
√5x + √3y = √3 ……….. (2)
1వ పద్ధతి :
(1) ⇒ – √2y = √3 – √3x
√2y = √3x – √3
y = \(\frac{\sqrt{3} x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,

√5x + √3(\(\frac{\sqrt{3} x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)) = √3

√5x + \(\frac{3 x-3}{\sqrt{2}}\) = √3

\(\frac{\sqrt{10} x+3 x-3}{\sqrt{2}}\) = √3

x(√10 + 3) – 3 = √6
x(3 + √10) = 3 + √6
x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\)
x విలువను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√5 (\(\)) + √3y = √3

\(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\) + √3y = √3

√3y = √3 – \(\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{30}}{3+\sqrt{10}}\)

2వ పద్ధతి:
√3x – √2y = √3 …………(1)
√5x + √3y = √3 ……….. (2)

x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\)

√10y + 3y = 3 – √15
y(3 + √10) = 3 – √15
⇒ y = \(\frac{3-\sqrt{15}}{3+\sqrt{10}}\)
∴ సాధన. x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\) , y = \(\frac{3-\sqrt{15}}{3+\sqrt{10}}\).

(v) \(\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}\) = a + b; ax – by = 2ab
సాధన.
\(\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}\) = a +b; …………….(1)
ax – by = 2ab …….. (2)
(1) ⇒ \(\frac{a^{2} x-b^{2} y}{a b}\) = a + b
a²x – b²y = ab (a + b)
a²x – b²y = a²b + ab² ……….. (3)
(2) × b = abx – b²y = 2ab² …………… (4)

x = \(\frac{a^{2} b-a b^{2}}{a^{2}-a b}\)
⇒ x = \(\frac{a b(a-b)}{a(a-b)}\)
⇒ x = b
x = b ని (2) లో రాయగా
ab – by = 2ab
– by = 2ab – ab = ab
⇒ by = – ab
⇒ y = \(\frac{-a b}{b}\) = – a
⇒ y = – a

సరిచూడటం:
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
a(b) – b (- a) = 2ab
⇒ ab + ab = 2ab
⇒ 2ab = 2ab.

(vi) 2^x + 3^y = 17; 2^{x + 2} – 3^{y + 1} = 5
సాధన.
2^x + 3^y = 17 …………. (1)
2^{x + 2} – 3^{y + 1} = 5 ………… (2)
(2) ⇒ 2^x × 2² – 3^y × 3 = 5
(∵ a^{m + n} = a^m × aⁿ)
4 × 2^x – 3 × 3^y = 5 ………. (3)
(1) మరియు (3)లలో 2^x = p, 3^y = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ p+ q = 17 ………. (4)
(3) ⇒ 4p- 3q = 5 ………. (5)
(4) ⇒ q= 17 – pని (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4p – 3 (17 – p) = 5
4p -51 + 3p = 5
7p = 5 + 51 = 56
⇒ p = \(\frac{56}{7}\) = 8
p = 8ని (4) లో రాయగా,
8 + q = 17
⇒ q = 17 – 8 = 9
p = 8, q = 9
కాని, 2^x = p = 8
2^x = 2³
⇒ x = 3,
3^y = q = 9
3^y = 3²
⇒ y = 2
సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూడటం :
x, y విలువలు (1) లో రాయగా,
2³ + 3² = 17
⇒ 8 + 9 = 17
⇒ 17 = 17

ప్రశ్న 2.
ఒక ప్రయోగంలో జంతువులకు నిర్దేశించిన ఆహారాన్ని ఇవ్వాలి. ప్రతీ జంతువుకు మిగిలిన వాటితోపాటు 20 గ్రాముల ప్రోటీన్లు, 6 గ్రాముల క్రొవ్వు ఇవ్వాలి. ఆ ప్రయోగశాల పరిశీలకులు A, B అనే రెండు రకాల ఆహార మిశ్రమాలను కొన్నారు. మిశ్రమం Aలో 10% ప్రోటీన్లు మరియు 6% క్రొవ్వువున్నాయి. మిశ్రమం Bలో 20% ప్రోటీన్లు, 2% క్రొవ్వు ఉన్నాయి. అయిన వారు ప్రతీ మిశ్రమానికి ఎన్ని గ్రాములు ఉపయోగించాలి ?
సాధన.
జంతువులకు ఇవ్వవలసిన ఆహారంలో 20 గ్రాముల ప్రోటీన్లు ఉండుట కొరకు A మిశ్రమాన్ని x గ్రాములు, Bమిశ్రమాన్ని 5 గ్రాములు ఉపయోగించాలి అనుకుందాం.
లెక్క ప్రకారం ఆహారంలోని ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.
అనగా A మిశ్రమంలోని ప్రోటీన్లు + B మిశ్రమంలోని ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.
\(x \times \frac{10}{100}+y \times \frac{20}{100}\) = 20

\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}\) = 20
⇒ x + 2y = 200 ……… (1)
ఆహారంలోని కొవ్వు = 6 గ్రాములు.
అనగా A మిశ్రమంలోని కొవ్వు + B మిశ్రమంలోని కొవ్వు = 6 గ్రాములు

3x + y = 300 ………. (2)
(2) ⇒ y = 30 – 3x ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
x + 2 (300 – 3x) = 200
x + 600 – 6x = 200
5x = 200 – 600 = – 400 .
5x = 400
⇒ x = \(\frac{400}{5}\) = 80
⇒ x = 80
x = 80 ని (2) లో రాయగా,
3 (80) + y = 300
⇒ 240 + y = 300
⇒ y = 300 – 240 = 60
∴ సాధన x = 80, y = 60..
∴ A మిశ్రమాన్ని 80 గ్రాములు, B మిశ్రమాన్ని 60 గ్రాములు ఉపయోగించాలి.

సరిచూసుకోవడం :
A మిశ్రమం 80 గ్రా. గల ప్రోటీన్లు (10%) = 80 × \(\frac{10}{100}\) = 8 గ్రా.

A మిశ్రమం 60 గ్రా. గల ప్రోటీన్లు (20%) = 60 × \(\frac{20}{100}\) = 12 గ్రా
మొత్తం ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల జతలను, రేఖీయ సమీకరణాల ‘ జతలుగా మార్చడం ద్వారా వాటికి సాధన కనుగొనండి.

(i) \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1
సాధన.
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2 ……………(1)
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1 …………….(2)
(1) మరియు (2) లలో \(\frac{1}{x-1}\) = p \(\frac{`1}{y-2}\) = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ 5p + q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 6p – 3q = 1 ………….. (4)
(3) ⇒ q = 2 – 5p ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6p – 3 (2 – 5p) = 1
6p – 6 + 15p = 1
21p = 1 + 6 = 7
⇒ p = \(\frac{7}{21}\) = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\) ని (4) లో రాయగా,
6 (\(\frac{1}{3}\)) – 3q = 1
– 3q = 1 – 2 = – 1
⇒ 3q = 1
⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\), q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{x-1}\) = p = \(\frac{1}{3}\)
x – 1 = 3 ⇒ x = 3 + 1 = 4 1
\(\frac{1}{y-2}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
y – 2 = 3 ⇒ y = 3 + 2 = 5
∴ సాధన x = 4, y = 5.

సరిచూచుట :
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
x = 4, y = 5 విలువలను రాయగా,
\(\frac{5}{4-1}+\frac{1}{5-2}\) = 2
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\)
\(\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\) = 2
⇒ \(\frac{6}{3}\) = 2
⇒ 2 = 2

(ii) \(\frac{x+y}{x y}\) = 2;
\(\frac{x-y}{x y}\) = 6
సాధన.
\(\frac{x+y}{x y}\) = 2 ………….(1)
\(\frac{x-y}{x y}\) = 6 …………(2)

(1) ⇒ \(\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}\) = 2

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2

(2) ⇒ \(\frac{x}{x y}-\frac{y}{x y}\) = 6

\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\) = 6 ……………(4)

\(\frac{1}{x}\) = q, \(\frac{1}{y}\) = p అనుకుంటే,
(3) ⇒ p + q = 2 ………….. (5)
(4) ⇒ p – q = 6 ………….. (6)
p + q = 2
p – q = 6
(5) + (6) ⇒ 2p = 8
⇒ p = \(\frac{8}{2}\) = 4
p = 4 ను (5) లో రా యగా,
4 + q = 2
⇒ q = 2 – 4 = – 2
p = 4, q = – 2
కానీ, \(\frac{1}{y}\) = p = 4

y = \(\frac{1}{4}\)

⇒ q = – 2 ⇒ x = – \(\frac{1}{2}\)
∴ సాధన x = – \(\frac{1}{2}\) , y = \(\frac{1}{4}\)

సరిచూచుట :
\(\frac{x+y}{x y}\) = 2

x, y విలువలను రాయగా, \(\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{-1}{2} \times \frac{1}{4}}\) = 2

(iii) \(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2

\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1
సాధన.
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ………….(1)

\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1 ………….(2)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = p, \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p + 3q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 4p – 9q = – 1 …………. (4)

p = \(\frac{1}{2}\) ను (3) లో రాయగా,
2(\(\frac{1}{2}\)) + 3q = 2
3q = 2 -1 = 1
⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ √x = 2
⇒ x = 4
\(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
⇒ √y = 3
⇒ y = 9
∴ సాధన x = 4, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా, \(\frac{2}{\sqrt{4}}+\frac{3}{\sqrt{9}}\) = 2
⇒ \(\frac{2}{2}+\frac{3}{3}\) = 2
⇒ 1 + 1 = 2
⇒ 2 = 2

(iv) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
సాధన.
6x + 3y = 6xy ……….. (1)
2x + 4y = 5x………… (2)
(1) ⇒ \(\frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}\) = 6 (∵ ఇరువైపులా xy తో భాగించగా)
\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}\) = 6 ………..(3)

(2) ⇒ \(\frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}\) = 5
\(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}\) = 5 …………….(4)

\(\frac{1}{y}\) = P, \(\frac{1}{x}\) = q అనుకుందాం.
(3) ⇒ 6p + 3q = 6 …………. (5)
⇒ 2p + 4q = 5 ………….. (6)

p = \(\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
p = \(\frac{1}{2}\) ను (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6(\(\frac{1}{2}\)) + 3q = 6
3q = 6 – 3
q = \(\frac{3}{3}\) = 1
కానీ \(\frac{1}{y}\) = p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ y = 2
\(\frac{1}{x}\) = q = 1
⇒ x = 1
∴ సాధన x = 1, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
6 (1) + 3 (2) = 6 (1) (2)
6 + 6 = 12
12 = 12

(v) \(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = – 1
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = – 1 …………… (1)
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 …………. (2)

\(\frac{1}{x+y}\) = p, \(\frac{1}{x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 5p – 2q = – 1 …………. (3)
(2) ⇒ 15p + 7q = 10 ………. (4)

p = \(\frac{1}{5}\) ను (3) లో రాయగా,
5(\(\frac{4}{4}\)) – 2q = – 1
1 – 2q = -1
– 2q = – 1 – 1
2q = 2
q = \(\frac{2}{2}\) = 1
p = \(\frac{1}{5}\), q = 1

కానీ, \(\frac{1}{x+y}\) = P = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x + y = 5 ………… (5)
\(\frac{1}{x-y}\) = q = 1
⇒ x – y = 1 …… (6)
(5) మరియు (6) లను సాధించగా,

x = 3ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
\(\frac{15}{3+2}+\frac{7}{3-2}\) = 10
\(\frac{15}{5}+\frac{7}{1}\) = 10
3 + 7 = 10
10 = 10

(vi) \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13 …………… (1)

\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 …………… (2)

\(\frac{1}{x}\) = p, \(\frac{1}{y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p+ 3q = 13 ………….(3)
(2) ⇒ 5p – 4q = – 2 ………..(4)

p = 2 ను (3) లో రాయగా,
2(2) + 3q = 13
4 + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
⇒ q = \(\frac{9}{3}\) = 3
p = 2, q = 3
కానీ, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)
∴సాధన x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{1}{3}\)

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{2}{\frac{1}{2}}+\frac{3}{\frac{1}{3}}\) = 13
⇒ 2 × \(\frac{2}{1}\) + 3 × \(\frac{3}{1}\) = 13
⇒ 4 + 9 = 13
⇒ 13 = 13

(vii) \(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2
సాధన.
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4 ………. (1)

\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2 ………….. (2)

\(\frac{1}{x+y}\) = p, \(\frac{1}{x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 10p + 2q = 4 ………….. (3)
(2) ⇒ 15p – 5q = – 2…………… (4)

p = \(\frac{1}{5}\) ను (3) లో రాయగా,
10(\(\frac{1}{5}\)) + 2q = 4
2 + 2q = 4
⇒ 2q = 4 – 2
⇒ 2q = 2
q = \(\frac{2}{2}\) = 1, p = \(\frac{1}{5}\), q = 1
కానీ, \(\frac{1}{x+y}\) = p = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x + y = 5 …………….. (5)
\(\frac{1}{x+y}\) = q = 1
⇒ x – y = 1 …………….. (6)
(5), (6) లను సాధించగా,

x = 3 ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
⇒ y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన, x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{10}{3+2}+\frac{2}{3-2}\) = 4

⇒ \(\frac{10}{5}+\frac{2}{1}\) = 4
2 + 2 = 4
4 = 4

(viii) \(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\)
సాధన.
\(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\) …………….(1)

\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\) ………. (2)
(2) ⇒ \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}\right]=\frac{-1}{8}\)

⇒ \(\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-2}{8}\)

⇒ \(\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-1}{4}\) ………………(3)
(1) & (3) లలో \(\frac{1}{3 x+y}\) = p, \(\frac{1}{3 x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ p + q = \(\frac{3}{4}\) …………. (4)
(3) ⇒ p – q = \(\frac{1}{4}\) ……….. (5)
(4) + (5) ⇒

p = \(\frac{1}{4}\) ను (4) లో రాయగా,
\(\frac{1}{4}\) + q = \(\frac{3}{4}\)

q = \(\frac{3}{4}\) – \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

p = \(\frac{1}{4}\), q = \(\frac{1}{2}\)

కానీ, \(\frac{1}{3 x+y}\) = p = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 3x + y = 4 …………(6)

\(\frac{1}{3 x-y}\) = q = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 3x – y = 2 ……. (7)
(6), (7) లను సాధించగా.

x = 1 ని (6) లో రా యగా,
3 (1) + y = 4 ⇒ y = 4 – 3 = 1
సాధన x = 1, y = 1.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{1}{3(1)+1}+\frac{1}{3(1)-1}=\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమస్యలకు సమీకరణాల జతలను వ్రాసి వాటికి సాధన కనుగొనండి.
(i) ఒక పడవ నీటిలో ప్రవాహమునకు అభిముఖముగా 30 కి.మీ దూరమును మరియు ప్రవాహపువాలులో 44 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించుటకు 10 గంటలు పట్టును. అదే పడవకు 40 కి.మీ అభిముఖముగా, 55 కి.మీ. ప్రవాహపు వాలులో ప్రయాణించుటకు 13 గంటలు కాలము పట్టును. అయిన ప్రవాహవేగమును, నిలకడ నీటిలో పడవ వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ./గం.
ప్రవాహ వేగము = y కి.మీ./ గం. అనుకొనుము
ప్రవాహ అభిముఖంగా పడవ వేగం = (x – y) కి.మీ./గం.
ప్రవాహవాలు (ప్రవాహ దిశలో) గా పడవవేగం = (x + y) కి.మీ./గం. దూరం

సందర్భం -1:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{30}{x-y}\) గం.
ప్రవాహవాలుగా 44 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే 44 కాలం = \(\frac{44}{x+y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 10 గం.

\(\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y}\) = 10 …… (1)

సందర్భం – 2:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 40 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{40}{x-y}\) గం
ప్రవాహ వాలులో 55 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{55}{x+y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 13 గం.

\(\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y}\) = 13 ……….. (2)
\(\frac{1}{x-y}\) = p మరియు \(\frac{1}{x+y}\) = q అనుకొంటే
(1) ⇒ 30p + 44q = 10 ………… (3)
(2) ⇒ 40p + 55q = 13 ………… (4)
30, 40 ల క.సా.గు = 120,

q = \(\frac{1}{11}\)
q = \(\frac{1}{11}\) ని (3) లో రాయగా
30p + 44 (\(\frac{1}{11}\)) = 10
30p + 4 = 10
30p = 10 – 4 = 6
⇒ p = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
కానీ, \(\frac{1}{x-y}\) = p = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x – y = 5 ……………..(5)
\(\frac{1}{x+y}\) = q = \(\frac{1}{11}\)
⇒ x + y =11 ……………….(6)

x = 8ని (6) లో రాయగా,
8 + y = 11
y = 11 – 8 = 3
∴ సాధన x = 8, y = 3.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = 8 కి. మీ./గం,
ప్రవాహ వేగము = 3 కి. మీ./గం.

సరిచూచుట :
అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలము = \(\frac{30}{8-3}=\frac{30}{5}\) = 6 గం.
ప్రవాహవాలుగా 40 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{40}{8+2}=\frac{40}{10}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 6 + 4 = 10 గం.

(ii) రహీమ్ తన యింటికి పోవుటకు 600 కి.మీ దూరములో, కొంత దూరము రైలులో మరియు కొంత దూరము కారులో ప్రయాణించును. 120 కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణమునకు అతనికి 8 గంటలు పట్టును. అదే 200కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణము చేసిన అతనికి 20 నిమిషాల కాలము ఎక్కువ పట్టును. అయిన కారు మరియు రైలుల వేగములను కనుగొనండి. సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం.
కారు వేగము = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.

సందర్భం – 1:
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{120}{x}\) గం
600 – 120 = 480 కి.మీ. ‘కారు ప్రయాణానికి
పట్టిన కాలం = \(\frac{480}{y}\) గం
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 8 గం.
\(\frac{120}{x}+\frac{480}{y}\) = 8 …………….. (1)

సందర్భం – 2:
200 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{200}{x}\) గం.
600 – 200 = 400 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{400}{y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 8 గం. + 20 ని.
\(\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=8 \frac{20}{60}\) గం. = \(\frac{25}{3}\) గం.
∴ \(\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=\frac{25}{3}\) …………….(2)
\(\frac{1}{x}\) = p, \(\frac{1}{y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 120p + 480q = 8 ………………… (3)
(2) ⇒ 200p + 400q = \(\frac{25}{3}\) ……………. (4)

q = \(\frac{1}{80}\) = ని (3) లో రాయగా,
120p + 480(\(\frac{1}{80}\)) = 8
⇒ 120p = 8 – 6 = 2
⇒ p = \(\frac{2}{120}\)
⇒ p = \(\frac{1}{60}\)
∴ p = \(\frac{1}{60}\), q = \(\frac{1}{80}\)
కానీ, \(\frac{1}{x}\) = p = \(\frac{1}{60}\)
⇒ x = 60
\(\frac{1}{y}\) = q = \(\frac{1}{80}\)
⇒ y = 80
∴ సాధన x = 60, y = 80.
రైలు వేగం = 60 కి.మీ./గం.
కారు వేగం = 80 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{120}{60}\) = 2 గం.
480 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{480}{80}\) = 6 గం.

మొత్తం ప్రయాణకాలం = 2 + 6 = 8 గం.

(iii) ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5గురు పురుషులు ఒక కుట్టుపనిని 4 రోజులలో చేయగా, ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6గురు పురుషులు దానిని 3 రోజులలో చేసెదరు. స్త్రీ ఒక్కరే లేదా పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకుందాం.
స్త్రీ ఒక్కరే 1 రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{x}\)
పురుషుడు ఒక్కడే 1 రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{y}\)

సందర్భం -1:
ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఆ పనిని 4 రోజులలో చేయుదురు.
కావున, ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = \(\frac{1}{4}\)

∴ \(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\)
[∵ ఇద్దరు స్త్రీలు ఒకరోజులో చేయు పని = 2 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{2}{x}\)
5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = 5 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{y}\)]

∴ \(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\) = 1 ……………. (1)

సందర్భం – 2:
ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఆ పనిని 3 రోజులలో చేసెదరు.
∴ ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఒక రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\)

⇒ \(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\) = 1 ………… (2)

p = \(\frac{1}{x}\), q = \(\frac{1}{y}\) అనుకుంటే,

(1) ⇒ 8p + 20q = 1 ………….. (3)
(2) ⇒ 9p + 18q = 1 ………….. (4)

q = \(\frac{1}{36}\) ను (4) లో రాయగా,
9p + 18(\(\frac{1}{36}\)) = 1
⇒ 9p + \(\frac{1}{2}\) = 1
⇒ 9p = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ p = \(\frac{1}{18}\)
⇒ p = \(\frac{1}{18}\), q = \(\frac{1}{36}\)
కానీ \(\frac{1}{x}\) = p = \(\frac{1}{18}\)
⇒ x = 18
\(\frac{1}{y}\) = q = \(\frac{1}{36}\)
⇒ y = 36
‘స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 18 రోజులు
‘పురుషుడు ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 36 రోజులు.

సరిచూచుట :
x = 18, y = 36 ని (2) లో రాయగా,
\(\frac{9}{18}+\frac{18}{36}\) = 1
⇒ \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1
⇒ \(\frac{2}{2}\) = 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.2

క్రింది సమస్యలలో ప్రతి సందర్భంలో రేఖీయ సమీకరణాల జతను వ్రాసి దానికి సాధన కనుగొనండి.

ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి 9 : 7 మరియు వాటి ఖర్చుల నిష్పత్తి 4 : 3. వారు ప్రతీ ఒక్కరూ నెలకు ₹ 2000 సొమ్ము ఆదాచేసిన, వారి నెలవారీ ఆదాయాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇద్దరు వ్యక్తుల ఆదాయాల నిష్పత్తి = 9 : 7.
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = ₹ 9x
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = ₹ 7x అనుకొనుము
వారి ఖర్చుల నిష్పత్తి = 4 : 3
మొదటి వ్యక్తి ఖర్చు = ₹ 4y
రెండవ వ్యక్తి ఖర్చు = ₹ 3y అనుకుందాము.
ప్రతీ ఒక్కరూ నెలకు ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము = ₹ 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము
9x – 4y = 2000 ……… (1)
రెండవ వ్యక్తి ఆదా చేస్తున్న సొమ్ము
7x – 3y = .2000 ………. (2)
1వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

∴ x = 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 9x = 9 × 2000 = ₹ 18000
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = 7x = 7 × 2000 = ₹ 14000.

రెండవ పద్ధతి (ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి) :
(1) ⇒ – 4y = 2000 – 9x
4y = 9x – 2000
y = \(\frac{9 x-2000}{4}\) ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.

7x – 3(\(\frac{9 x-2000}{4}\)) = 2000
\(\frac{28 x-27 x+6000}{4}\) = 2000

x + 6000 = 8000
x = 8000 – 6000 = 2000
మొదటి వ్యక్తి ఆదాయం = 9x = 9 × 2000 = ₹ 18000
రెండవ వ్యక్తి ఆదాయం = 7x = 7 × 2000 = ₹ 14000
సరిచూసుకోవడం :
ఆదాయాల నిష్పత్తి = 18000 : 14000 = 9 : 7
ఖర్చుల నిష్పత్తి = 18000 – 2000 : 14000 – 2000
16000 : 12000 = 4 : 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్య మరియు దానిలోని స్థానాలను, తారుమారు చేయగా వచ్చిన సంఖ్యల మొత్తము 66. ఆ సంఖ్యలోని రెండు అంకెల భేదము 2 అయిన ఆ సంఖ్యను కనుగొనుము. అటువంటి సంఖ్యలు ఎన్ని ఉంటాయి ?
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.
రెండంకెల సంఖ్య = 10x + y
అంకెలను తారుమారు చేయగా
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = y
పదుల స్థానంలోని అంకె = x
రెండంకెల సంఖ్య = 10y + x
లెక్క ప్రకారం, ఒక రెండంకెల సంఖ్య మరియు దానిలోని స్థానాలను మార్పు చేయగా వచ్చిన సంఖ్యల మొత్తం
∴ (10x + y) + (10y +x) = 66.
⇒ 11x + 11y = 66
x + y = 6 ……….. (1)
అలాగే ఆ సంఖ్యలోని రెండంకెల భేదము
x – y = 2 ……… (2) లేదా
y – x = 2 ……….. (3)
(1) & (2) ల నుండి

x = \(\frac{8}{2}\) = 4
x = 4 ను (1) లో రాయగా
4 + y = 6
y = 6 – 4 = 2
సాధన x = 4, y = 2
కావలసిన సంఖ్య = 42

(1) & (3) ల నుండి .

y = \(\frac{8}{2}\) = 4

y = 4 ను (1) లో రాయగా
x + 4 = 6
x = 6 – 4 = 2
సాధన y = 2, y = 4
కావలసిన సంఖ్య = 24
∴ ఇచ్చిన షరతులను పాటించేటట్లు 24 మరియు 42 అనే రెండు సంఖ్యలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3.
రెండు సంపూరక కోణాలలో పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ. అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
పెద్ద కోణము = x;
చిన్న కోణము = y అనుకుందాము.
పై రెండు కోణాలు .సంపూరకాలు.
x + y = 180° ……. (1)
పెద్ద కోణము, చిన్న కోణము కన్నా 18° ఎక్కువ.
x = y + 18° ……. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
y + 18° + y = 180°
2y = 180° – 18° = 162°
y = \(\frac{162}{2}\) = 81°
y = 81°ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా, x = 81° + 18° = 99°
సాధన x = 99°, y = 81°
∴ పెద్ద కోణము = 99°; చిన్న కోణము = 81°

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = \(\frac{198}{2}\) = 99°
x = 99 ను (1) లో రాయగా,
99 + y = 180° ⇒ y = 180 – 99 = 81°
సాధన x = 99, y = 81
∴ పెద్ద కోణము = 999; చిన్న కోణము = 81°
సరి చూసుకోవడం :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 99° + 81° = 180° (సంపూరకాలు)
99° = 81° + 18°.

ప్రశ్న 4.
హైదరాబాద్ లో టాక్సీ ఛార్జీలు రెండు అంశాలుగా ఉంటాయి. మొదటిది స్థిర ఛార్జీ కాగా, రెండవది దూరాన్ని బట్టి నిర్ణయించే ఛార్జీ. 10కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తము ఛార్జి ₹ 220. అలాగే 16 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తము ఛార్జి ₹ 310. అయిన
(i) స్థిర ఛార్జీ విలువ మరియు ఒక కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీల విలువ ఎంత ?
(ii) ఒక వ్యక్తి 25 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించిన అతను ఛార్జీల నిమిత్తం చెల్లించవలసిన మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
(i) స్థిర ఛార్జీ = ₹ x అనుకొందాం.
కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹ y అనుకొందాం.
10 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తం ఛార్టీ = ₹ 220
x + 10y = 220 ………….. (1)
15 కి.మీ. దూరం ప్రయాణం చేసినపుడు అయిన మొత్తం ఛార్టీ = ₹ 310
x + 15y = 310 …… (2)

y = \(\frac{90}{5}\) = 18
y = 18ని (1) లో రాయగా,
x + 10 (18) = 220
⇒ x + 180 = 220
x = 220 – 180 = ₹ 40
సాధన x = ₹ 40, y = ₹ 18 ,
∴ స్థిర ఛార్జీ = ₹ 40
కిలో మీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹18.

2వ పద్ధతి (ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి) :
(1) ⇒ x = 220 – 10y ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
220 – 10y + 15y = 310
5y = 310 – 220
5y = 90
y = \(\frac{90}{5}\) = 18
y = 18 ని (1) లో రా యగా,
x + 10 (18) = 220
x + 180 = 220
x = 220 – 180 = ₹ 40
∴ సాధన x = ₹ 40, y = ₹ 18.
∴ స్థిరఛార్టీ = ₹ 40
కిలోమీటరుకు అయ్యే ఛార్జీ = ₹ 18.
సరిచూసుకోవడం :
10 కి.మీ.లకు అయ్యే ఛార్జీ = స్థిర ఛార్జీ + 10 కి.మీ. ఛార్జీ –
40 + 10 × 18 = 40 + 180 = ₹ 220

(ii) 40 + 25 × 18 = 40 + 450 = 490.

ప్రశ్న 5.
ఒక భిన్నంలో లవ, హారాలకు 1 కలిపిన అది \(\frac{4}{5}\) అవుతుంది. అలాగే లవ, హారాల నుండి 5 తీసివేసిన ఆ భిన్నము 1/2 అవుతుంది. అయిన ఆ భిన్నాన్ని కనుగొనండి..
సాధన.
లవం = x, హారం = y అనుకుందాము.
∴ భిన్నము = \(\frac{x}{y}\)
లవ, హారాలకు 1 కలిపిన ఆ భిన్నం \(\frac{4}{5}\) అవుతుంది.
\(\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}\) (అడ్డగుణకారము చేయగా)
5x + 5 = 4y + 4
5x – 4y = 4 – 5
5x – 4y = – 1 ……… (1)
లవ, హారాల నుండి 5 తీసివేసిన 1/2 అవుతుంది.
\(\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}\)
∴ 2x – 10 = y – 5,
2x – y = – 5 + 10
2x – y = 5 ………. (2)
(2) ⇒ – y = 5 – 2x ,
y = 2x – 5 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
5x – 4 (2x – 5) = – 1
5x – 8x + 20 = – 1
– 3x = – 1 – 20 = – 21
3x = 21 ⇒ x = \(\frac{21}{3}\) = 7
x = 7 ను (2) లో రాయగా,
2(7) – y = 5 = 14 – y = 5
⇒ y = 5 – 14 = – 9
⇒ y = 9
సాధన, x = 7, y = 9
∴ భిన్నము = \(\frac{7}{9}\)

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

3x = 21
⇒ x = \(\frac{21}{3}\) = 7
x = 7 ను (2) లో రాయగా,
2 (7) – y = 5
– y = 5 – 14 = – 9
⇒ y = 9
సాధన x = 7, y = 9
భిన్నము = \(\frac{7}{9}\)
సరిచూచుట :
\(\frac{7+1}{9+1}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)

ప్రశ్న 6.
ఒక రహదారిపై గల A, B అనే ప్రదేశాలు 100 కి.మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. A నుండి ఒక కారు, B నుండి ఒక కారు ఒకే సమయంలో వేరు వేరు వేగాలతో ప్రయాణిస్తున్నాయి. ఆ రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేసిన అవి 5 గంటల తరువాత కలుస్తాయి. అలాకాక అవి ఒకదానివైపు ఒకటి ప్రయాణం చేసిన 1 గంట తరువాత కలుస్తాయి. అయిన ఆ రెండు కార్ల వేగాలను కనుగొనండి. D
సాధన.
A నుండి బయలుదేరిన కారు వేగం = x కి.మీ./గం.
B నుండి బయలుదేరిన కారు వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
రెండు కార్లు. ఒకే దిశలో ప్రయాణం చేసిన అవి 5 గంటల తర్వాత కలుస్తాయి. (x > y)

5 గంటలలో 4 నుండి బయలుదేరిన కారు ప్రయాణించిన దూరం = 5x కి.మీ.
5 గంటలలో B నుండి బయలుదేరిన కారు ప్రయాణించిన దూరం = 5y కి.మీ.
∴ 5x = 100 + 5y
5x – 5y = 100
5 (x – y) = 100 x – y = 20 ………… (1)
రెండు కార్లు ఒకదానివైపు ఒకటి ప్రయాణంచిన అవి 1 గంట తరువాత కలుస్తాయి

A నుండి బయలుదేరిన కారు 1 గంటలో ప్రయాణించిన దూరం = x కి.మీ.
B నుండి బయలుదేరిన కారు 1 గంటలో ప్రయాణించిన దూరం = y కి.మీ.

∴ x + y = 100 …….. (2)

x = \(\frac{120}{2}\) = 60
x = 60ని (2) లో రాయగా,
60 + y = 100
⇒ y = 100 – 60 = 40
సాధన x = 60, y = 40
∴ కార్లవేగం 60 కి.మీ./గం., 40 కి.మీ./గం.

రెండవ పద్దతి :
A కారు వేగం = 7 కి.మీ./ గం.
B కారు వేగం = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
(i) రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణించిన
సాపేక్ష వేగం V = x – y కి.మీ/గం.
దూరం (d) = 100 కి.మీ.
రెండు కార్లు ఒకే దిశలో ప్రయాణించిన 5 గం. తరువాత కలుస్తాయి.
∴ కాలం (t) = 5 గం.
కాలం × వేగం = దూరం
5 × (x – y) = 100
x – y = 5
x – y = \(\frac{100}{5}\) = 20
∴ x – y = 20. ……….. (1)

(ii) రెండు కార్లు ఎదురెదురు దిశలో ప్రయాణించిన సాపేక్షవేగం V = x + y కి.మీ./గం.
దూరం d = 100 కి.మీ.,
కాలము t = 1 గం|| (∵ 1 గంట తరువాత రెండు కార్లు కలుస్తాయి)
1 (x + y) = 100
x + y = 100 ………. (2)
(2) ⇒ y = 100 – x ని (1) లో రాయగా,
x – (100 – x) = 20
x – 100 + x = 20
2x = 20 + 100 = 120
x = \(\frac{120}{2}\) = 60
x = 60 ని (2) లో రాయగా,
60 + y = 100
⇒ y = 100 – 60 = 40
సాధన x = 60, y = 40
∴ A కారు వేగం X = 60 కి.మీ./గం.
B కారు వేగం y = 40 కి.మీ./గం.

ప్రశ్న 7.
రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు. పెద్ద కోణము కొలత, చిన్న కోణము రెట్టింపు కన్నా 3° తక్కువ అయిన ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
పెద్ద కోణం = x, చిన్న కోణం = y అనుకుందాం.
∴ రెండు కోణాలు పూరకాలు
∴ x + y = 90° ………. (1)
పెద్ద కోణం, చిన్న కోణం రెట్టింపు కన్నా 3° తక్కువ.
x = 2y – 3° …………. (2)
(2) ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
(2y – 3) + y = 90°
3y – 3 = 90°
3y = 90 + 3 = 93°
⇒ y = \(\frac{93}{3}\) = 31°
y = 31°ని (2) లో రాయగా,
x = 2 (31) – 3
⇒ x = 62 – 3 = 59°
సాధన x = 59°, y = 31°
పెద్ద కోణము = 59°, చిన్న కోణము = 31°
సరిచూచుట :
59° + 31° = 90° (పూరక కోణాలు)
2 × 31 – 3 = 61 – 3 = 59°.

ప్రశ్న 8.
ఒక బీజగణిత పాఠ్యపుస్తకంలో మొత్తము 1382 పేజీలు వున్నాయి. దీనిని రెండు భాగాలు చేసిన రెండవ భాగములో, మొదటి భాగము – కన్నా 64 పేజీలు ఎక్కువ వున్నాయి. అయిన ప్రతీ భాగములోని పేజీల సంఖ్యను కనుగొనండి.
సాధన.
మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = x అనుకుందాం.
రెండవ భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = y అనుకుందాం.
పుస్తకంలోని మొత్తం పేజీలు 1382 కలవు.
∴ x + y = 1382 …………. (1)
రెండవ భాగంలో, మొదటి భాగము కన్నా 64 పేజీలు ఎక్కువ ఉన్నాయి.
y= x + 64 …….. (2)
(2) ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
x + (x + 64) = 1382
2x + 64 = 1382
2x = 1382 – 64
2x = 1318
⇒ x = \(\frac{1318}{2}\) = 659
x = 659 ను (2) లో రాయగా,
y = 659 + 64 = 723
సాధన x = 659, y = 723
మొదటి భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 659
రెండవ భాగంలోని పేజీల సంఖ్య = 723
సరిచూచుట :
659 + 723 = 1382
723 – 64 = 659.

ప్రశ్న 9.
ఒక రసాయనాలు అమ్మే దుకాణదారుని వద్ద రెండు రకాల హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్ల ద్రావణాలున్నాయి. ఒకటి 50% ద్రావణము మరియు రెండవది 80% ద్రావణము. 100మి.లీ. 68% ద్రావణం కావాలన్న ఆ రెండు ద్రావణాలను ఎంత పరిమాణంలో తీసుకోవాలి ?
సాధన.
100 మి.లీ. 68% ద్రావణం కోసం తీసుకోవాల్సిన 50% హైడ్రోక్లోరికామ్లం = x మి.లీ..
80% హైడ్రోక్లోరికామ్లం = y మి.లీ. అనుకొందాం.
కావలసిన ద్రావణం పరిమాణం = 100 మి.లీ.
∴ x + y = 100 ……… (1) మరియు
x మి.లీ.లో 50% + y మి.లీ. 80%. = 100 మి.లీ.లో 68%

⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{4 y}{5}\) = 68

⇒ \(\frac{5 x+8 y}{10}\) = 68
⇒ 5x + 8y = 680 …………….. (2)
(1) ⇒ y = 100 – x ను (2) లో రా యగా,
5x + 8 (100 – x) = 680
5x + 800 – 8x = 680
– 3x = 680 – 800
– 3x = – 120
3x = 120
x = \(\frac{120}{3}\) = 40
x = 40 ని (1) లో రా యగా,
40 + y = 100
y = 100 – 40 = 60
సాధన x = 40, y = 60. 100 మి.లీ.
68% ద్రావణం కోసం 50% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం 40 మి.లీ. 68% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం 60 మి.లీ. తీసుకోవాలి.

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగింపు పద్ధతి) :

x = \(\frac{120}{3}\) = 40
x = 40ని (1) లో రాయగా,
40 + y = 100
⇒ y = 100 – 40 = 60
సాధన x = 40, y = 60.
100 మి.లీ. 68% ద్రావణం తయారుచేయుటకు 40 మి.లీ. 50% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణం, 60మి.లీ. 80% హైడ్రోక్లోరికామ్ల ద్రావణంలను కలపాలి.
సరిచూచుట :
40 మి.లీ. హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 40 × \(\frac{50}{100}\)
= 20 మి.లీ.
60 మి.లీ. హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 60 × \(\frac{80}{100}\) = 48
100 మి.లీ.లలో మొత్తం హైడ్రోక్లోరికామ్లం = 20 + 48 = 68 = 68%.

ప్రశ్న 10.
నీ వద్ద దాచుకొనుటకు ₹ 12000 సొమ్ము కలదనుకొనుము. దానిలో కొంత మొత్తాన్ని 10% వడ్డీరేటుకు మిగిలినది 15% వడ్డీరేటు వచ్చునట్లు పొదుపు చేయాలి. అయితే మొత్తము మీద పొదుపు 12% వడ్డీరేటు రావాలంటే ఏ వడ్డీరేటున ఎంత సొమ్ము దాచుకోవాలి ?
సాధన.
10% వడ్డీరేటున పొదుపు చేసినది = ₹ x
15% వడ్డీరేటున పొదుపు చేసినది = ₹ y అనుకొనుము.
పొదుపు చేసిన మొత్తము సొమ్ము = ₹ 12000 = x + y = 12000 …….. (1) మరియు
₹ x పై 10% వడ్డీ + ₹ y పై 15% వడ్డీ = 12000 పై 12% వడ్డీ
⇒ \(\frac{10}{100}\) x + \(\frac{15}{100}\) y = \(\frac{12}{100}\) × 12000

⇒ \(\frac{x}{10}+\frac{3 y}{20}\) = 1440

\(\frac{2 x+3 y}{20}\) = 1440
2x + 3y = 28800 ………. (2)
(1) ⇒ y = 12000 – x ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2x + 3 (12000 – x) = 28800
2x + 36000 – 3x = 28800
⇒ – x = 28800 – 36000
⇒ – x = – 7200
⇒ x = 7200
x = 7200 ను (1) లో రా యగా 7200 + y = 12000
⇒ y = 12000 – 7200
⇒ y = 4800
సాధన x = 7200, y = 4800 – ₹ 12000 పై 12% వడ్డీరేటు రావాలంటే 10% వడ్డీరేటుకు ₹ 7200, 15% వడ్డీరేటుపై ₹ 4800 పొదుపు చేయాలి.

2వ పద్ధతి (చరరాశి తొలగించు పద్ధతి) :

x = 7200 ను (1) లో రాయగా
7200 + y = 12000
y = 12000 – 7200 = 4800
సాధన x = 7200, y = 4800.
₹ 12000 పై 12% వడ్డీరేటు వచ్చుటకు 10% వడ్డీరేటుపై ₹ 7200, 15% వడ్డీరేటుపై ₹ 4800 లు పొదుపు చేయాలి.

సరిచూచుట :
₹ 7200 పై 1 సం||కి 10% వడ్డీరేటున అవు వడ్డీ = \(\frac{7200 \times 1 \times 10}{100}\) = 720
₹ 4800 పై 1 సం||కి 15% వడ్డీరేటున అవు వడ్డీ = \(\frac{4800 \times 15}{100}\)= 720
మొత్తం వడ్డీ ₹ 720 + ₹ 720 = ₹ 1440
₹ 12000 పై 12% వడ్డీ = 12000 × \(\frac{12}{100}\) = 1440

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.1

ప్రశ్న 1.
గ్రాఫీలు గీయకుండా, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\), \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) నిష్పత్తులను పోల్చి, కింద ఇచ్చిన రేఖా సమీకరణాల జతలు ఖండన రేఖలో, సమాంతర రేఖలో లేదా ఏకీభవించే రేఖలో కనుగొనుము.
a) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
సాధన.
5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
a₁ = 5, b₁ = – 4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = – 9
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}\); \(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}\); \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున ఖండన రేఖలు.

b) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0 a b1 1 విపతులను
సాధన.
9x + 3y + 12 = 0 , 18x + 6y + 24 = 0
a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) కావున ఏకీభవించే రేఖలు

c) 6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0
సాధన.
6x – 3y + 10 = 0; 2x-y + 9 = 0
a₁ = 6, b₁ = – 3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = – 1, c₂ = 9
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{2}\) = 3;

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-1}\) = 3;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{10}{9}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున సమాంతర రేఖలు.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణాల జతలు సంగత సమీకరణాలో అసంగత సమీకరణాలో సరిచూడుము. వాటిని రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో (గ్రాఫ్ పద్ధతిలో) సాధించుము
a) 3x + 2y = 8
2x – 3y = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలు 3x + 2y = 8 మరియు 2x – 3y = 1
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{-3}\);

కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ (x, y) = (2, 1)

b) 2x – 3y = 8
4x – 6y = 9
సాధన.
2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0
4x – 6y = 9 ⇒ 4 – 6y – 9 = 0 .
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\);;

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు a, 2x – 3y = 8
-3y = 8 – 2x
3y = 2x – 8
y = \(\frac{2 x-8}{3}\)
4x – 6y = 9
-6y = 9 – 4x
6y = 4x – 9
y = \(\frac{4 x-9}{6}\).

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతరరేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

c) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
9x – 10y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాలు \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7 మరియు 9x – 10y = 12
ఇప్పుడు, \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
⇒ \(\frac{9 x+10 y}{6}\) = 7
⇒ 9x + 10y = 42
9x – 10y = 12
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{9}{9}=\frac{1}{1}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{10}{-10}=\frac{1}{-1}\); మరియు

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\), కావున సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు.

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు. కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ (x, y) = (3.1, 1.4)

d) 5x + 3y = 11
– 10x + 6y = – 22
సాధన.
5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0
-10x + 6y = – 22⇒ – 10x + 6y + 22 = 0
a₁ = 5, b₁ = – 3, c₁ = – 11
a₂ = – 10, b₂ = 6, c₂ = 22
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{-10}=\frac{-1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}\);

∴ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
5x – 3y = 11
– 3y – 11 = 5x
y = \(\frac{5 x-11}{3}\)

– 10x + 6y = – 22
6y = 10x – 22
y = \(\frac{10 x-22}{6}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

e) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
సాధన.
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8 ⇒ \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0
2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0
a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = – 8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = – 12

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు
సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
ఇరువైపులా 3తో గుణించగా
6y = 24 – 4x
y = \(\frac{24-4 x}{6}\)

2x + 3y = 12
3y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{3}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖ పై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

f) x + y = 5
2x + 2y = 10
సాధన.
x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0.
2x + 2y – 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂= 2, b₂ = 2, c₂ = – 10
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2}\);

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు మరియు పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు.
x + y = 5
y = 5 – x

2x + 2y = 10
2y = 10 – 2x
y = \(\frac{10-2 x}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకణాల జత ‘ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి. రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

g) x – y = 8.
3x – 3y = 16
సాధన.
x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0
3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y = 16
a₁ = 1, b₁ = – 1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}\); మరియు

∴ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు.
x – y = 8
y = x – 8

3x – 3y = 16
– 3y = 16 – 3x
y = \(\frac{3 x-16}{3}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

h) 2x + y – 6 = 0
4x-2y – 4 = 0
సాధన.
2x + y – 6 = 0;
4x – 2y – 4 = 0
a= 2, b = 1, c = – 6 ;
a = 4, b = – 2, c = – 4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}\);

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\), కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలు
2x + y – 6 = 0
y = 6 – 2x

4x – 2y – 4 = 0
– 2y = 4 – 4x
y = \(\frac{4 x-4}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలు, కావున ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
(x, y) = (2, 2)
సాధన : x = 2, y = 2

i) 2x – 2y – 2 = 0
4x – 4y -5 = 0
సాధన.
2x – 2y – 2 = 0
4x – 4y – 5 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\);

∴ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు.
2x – 2y – 2 = 0
– 2y = 2 – 2x
2y = 2x – 2
y = \(\frac{2 x-2}{2}\)

4x – 4y – 5 = 0 L
– 4y = 5 – 4x
y = \(\frac{4 x-5}{4}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
నేహ కొన్ని ప్యాంటులను మరియు స్కర్టులను కొనడానికి దుకాణమునకు వెళ్ళినది. ఆమె మిత్రురాలు ప్యాంటులు ఎన్ని, స్కర్టులు ఎన్ని కొన్నావని అడుగగా ఆమె ఇలా జవాబిచ్చింది. “నేను కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య, ప్యాంట్ల సంఖ్య రెట్టింపు కన్నా రెండు తక్కువ. అలాగే స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్యకు మూడు రెట్లు కన్నా నాలుగు తక్కువ”. నేహ ఎన్ని ప్యాంటులు, ఎన్ని స్కర్టులు కొన్నదో తెలుసుకోవడంలో ఆమె మిత్రురాలికి సహాయం చేయండి. –
సాధన.
నేహ కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
స్కర్టుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
నేహ కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్య రెట్టింపు కన్నా రెండు తక్కువ.
y = 2x – 2 …………(1)
మరియు నేహ కొన్న స్కర్టుల సంఖ్య ప్యాంట్ల సంఖ్యకు మూడురెట్ల కన్నా నాలుగు తక్కువ.
y = 3x – 4 ………….(2)
y = 3x – 4

(x, y) = (2, 2)
∴ నేహ కొన్న ప్యాంట్ల సంఖ్య = 2
స్కర్టుల సంఖ్య = 2.

ప్రశ్న 4.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత) 4. పదవతరగతి చదివే 10 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్నారు. దానిలో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ అయిన ఆ క్విజ్ లో పాల్గొన్న బాలికల సంఖ్యను, బాలుర సంఖ్యను కనుగొనండి.
సాధన.
బాలికల సంఖ్య = x
బాలుర సంఖ్య = y అనుకుందాం.
గణిత క్విజ్ లో పాల్గొన్న విద్యార్థులు = 10
x + y = 10 …………. (1)
గణిత క్విజ్ లో బాలికల సంఖ్య బాలుర సంఖ్య కన్నా 4 ఎక్కువ,
∴ x = y + 4
x – y = 4 …………. (2)

x + y = 10
y = 10 – x

x – y = 4
– y = 4 – x
y = x – 4

(x, y) = (7, 3)
∴ బాలికల సంఖ్య = 7
బాలుర సంఖ్య = 3.

ప్రశ్న 5.
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తము వెల ₹ 50. అలాగే 7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తము వెల (అవే రకం) ₹ 46 అయిన ప్రతీ పెన్సిల్ మరియు కలముల వెల కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక పెన్సిళ్ళు ₹ x, కలము వెల = ₹y అనుకుందాము.
5 పెన్సిళ్ళు మరియు 7 కలముల మొత్తం వెల ₹ 50
5 x + 7y = 50 ………….. (1)
7 పెన్సిళ్ళు మరియు 5 కలముల మొత్తం వెల ₹ 46
7x + 5y = 46 …………… (2)
5x + 7y = 50
7y = 50 – 5x
y = \(\frac{50-5 x}{7}\)

7x + 5y = 46
5y = 46 -7x
y = \(\frac{46-7 x}{5}\)

(x, y) = (3, 5)
ఒక పెన్సిల్ వెల = ₹ 3
ఒక కలము వెల = ₹ 5.

ప్రశ్న 6.
వెడల్పు కన్నా పొడవు 4 మీ. ఎక్కువ కలిగిన ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టుకొలతలో సగము 36మీ. అయిన ఆ తోట కొలతలు కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 1 మీ., వెడల్పు = b మీ. అనుకుందాం
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు కన్నా పొడవు 4 మీ. ఎక్కువ.
l = b + 4 ⇒ l – b = 4 ………… (1)
దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టుకొలతలో సగము 36 మీ
\(\frac{2(l+b)}{2}\) ⇒ l + b = 36 ………… (2)
l – b = 4
– b = 4 – l
b = l – 4

l + b = 36
b = 36 – l

(l ,b) = (20, 16)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 20 మీ
వెడల్పు = 16 మీ

ప్రశ్న 7.
2x + 3y – 8 = 0 ఒక రేఖీయ సమీకరణము. దీనితో జ్యా మితీయంగా ఖండనరేఖలను ఏర్పరిచేటట్లు వేరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి. అదేవిధంగా సమాంతర రేఖలు అయ్యేటట్లు, ఏకీభవించే రేఖలు. అయ్యేటట్లు మరి రెండు సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన.
i) 2x + 3y – 8 = 0 కు ఖండనరేఖ అయ్యేటట్లుండే వేరొక రేఖీయ సమీకరణం 5x + 4y – 14 = 0.
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) అయ్యేటట్లు ఉండే రేఖీయ సమీకరణాలు ఖండన రేఖలు అవుతాయి.)

ii) 2x + 3y – 8 = 0కు సమాంతరంగా ఉండే మరో రెండు సమీకరణాలు
i) 4x + 6y – 10 = 0 ii) 6x + 9y – 15 = 0
(గమనిక : \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.)

iii) 2x + 3y – 8 = 0 తో ఏకీభవించే రేఖీయ సమీకరణాలు 4x + 6y – 16 = 0, 6x + 9y – 24 = 0
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవిస్తాయి. (లేదా)
L₁, L₂ రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అయితే రేఖీయ సమీకరణాలు L₂ = KL₁ KE R అయ్యేటట్లుంటాయి.
L₂ = 2x + 3y – 8 = 0 తో ఏకీభవించే రేఖీయ సమీకరణాలు L₂ = K (2x + 3y — 8) = 0, K యొక్క వివిధ విలువలకు వివిధ రేఖీయ సమీకరణాలు వస్తాయి.
K = 2 = L₂ = 4x + 6y – 16 = 0
K = 3 = L₂ = 6x + 9y – 24 = 0

ప్రశ్న 8.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రానికి పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా, వైశాల్యము 80 చదరపు యూనిట్లు తగ్గును. పొడవును 10 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించగా, వైశాల్యము 50 చదరపు యూనిట్లు పెరుగును. అయిన ఆ దీర్ఘ చతురస్రము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = l యూనిట్లు
వెడల్పు = b యూనిట్లు అనుకుందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = lb చ.యూ.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించిన కొత్త పొడవు = l – 5 యూసట్లు
వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా కొత్త వెడల్పు = b + 2 యూనిట్లు
వైశాల్యం = (l – 5) (b + 2) చ|| మీ.
పొడవు 5 యూనిట్లు తగ్గించి, వెడల్పు 2 యూనిట్లు పెంచగా వైశాల్యము 80 చ||యూ|| తగ్గును.
∴ (l – 5) (b + 2) = lb – 80.
lb + 2l – 5b – 10 = lb – 80.
lb + 2l – 5b – 10 – lb + 80 = 0
2l – 5b + 70 = 0 . ………….. (1)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు 10 యూనిట్లు పెంచిన కొత్త పొడవు = (l + 10) యూనిట్లు
వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించిన కొత్త వెడల్పు = b – 5 యూనిట్లు
వైశాల్యము = (l – 10) (b – 5) చ|| యూనిట్లు
పొడవు 10 యూనిట్లు పెంచి, వెడల్పు 5 యూనిట్లు తగ్గించగా వైశాల్యం 500 చదరపు యూనిట్లు
(l + 10) (b – 5) = lb + 50
lb – 5l + 10b – 50 = lb + 50
lb – 5l + 10b – 50 – lb – 50 = 0
– 5l + 10b – 100 = 0
5l – 10b + 100 = 0 …………… (2)
2l – 5 b + 70 = 0
– 5 b = – 2l – 70
5 b = 2l + 70
b = \(\frac{2 l+70}{5}\)

5l – 10 b + 100 = 0
– 10 b = – 5l – 100
10 b = 5l + 100
b = \(\frac{5 l+100}{10}\)

(l, b) = (40, 30)
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = 40 మీ.
వెడల్పు = 30 మీ

ప్రశ్న 9.
10వ తరగతిలో ముగ్గురేసి విద్యార్థులు ఒక బెంచిపై కూర్చొనగా, ఒక విద్యార్థికి కూర్చునేందుకు స్థలము ఉండదు. అలాగని ఒక్కొక్క బెంచిపై నలుగురేసి విద్యార్థులు కూర్చొన్నచో, ఒక బెంచి ఖాళీగా మిగిలిపోవును. అయిన ఆ తరగతిలోని విద్యార్థులెందరు ? బెంచీలెన్ని ? కనుగొనుము.
సాధన.
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = x, బెంచీల సంఖ్య = y అనుకుందాం.
ముగ్గురేసి విద్యార్థులు ఒక బెంచి పై కూర్చొనగా ఒక విద్యార్థి కూర్చునేందుకు స్థలము ఉండదు.
x – 1 = 3y ⇒ x – 3y – 1 = 0 …………. (1)
ఒక్కొక్క బెంచి పై నలుగురేసి విద్యార్థులు కూర్చొన్నచో, ఒక బెంచి ఖాళీగా మిగిలిపోవును.
x = 4 (y – 1) ⇒ x = 4y – 4 ⇒ x – 4y + 4 = 0 ……… (2)
x – 3y – 1 = 0 ⇒ – 3y = 1 – x
⇒ y = \(\frac{x-1}{3}\)

x – 4y + 4 = 0 ⇒ – 4y = – x – 4
⇒ y = \(\frac{x+4}{4}\)

∴ ( x, y) = (16, 5)
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 16
బెంచీల సంఖ్య = 5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాలలో ఏవి బహుపదులు ? ఏవికావు ? కారణాలు తెల్పండి. (పేజీ నెం. 48)
(i) 2x³
(ii) \(\frac{1}{x-1}\)
(iii) 4z² + \(\frac{1}{7}\)
(iv) m² – √2m + 2
(v) p^-2 + 1
సాధన.
(i), (iii), (iv) లు బహుపదులు
(ii), (v) లు కావు.
కారణం బహుపదుల చరరాశుల ఘాతాంకాలు రుణేతర
పూర్ణ సంఖ్యలు కాని రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కావు.

ప్రశ్న 2.
(i) p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(1), p(2), p(3), p(0), p(- 1), p(- 2), p(- 3) విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6
p(1) = (1)² – 5(1) – 6 = 1 – 5 – 6
p(1) = – 10
p(2) = (2)² – 5(2) – 6.= 4 – 10 – 6
p(2) = – 12
p(3) = 3² – 5(3) – 6 = 9 – 15 – 6
p(3) = – 12
p(0) = 0² – 5(0) – 6
p(0) = – 6
p(- 1) = (- 1)² – 5(- 1) – 6 = 1 + 5 – 6
p(- 1) = 0
p(- 2) = (- 2)² – 5(- 2) – 6 = 4 + 10 – 6
p(- 2) = 8
p(- 3) = (- 3)² – 5(- 3) – 6 = 9 + 15 – 6
p(- 3) = 18.

(ii) p(m) = m² – 3m +1 అయిన p(1) మరియు p(- 1) విలువలు కనుగొనండి:
సాధన.
p(m) = m² – 3m + 1
p(1) = (1)² – 3(1) + 1
= 1 – 3 + 1
p(1) = – 1
p(- 1) = (- 1)² – 3(- 1) +1
= 1 + 3 + 1
p(- 1) = 5

ప్రశ్న 3.
(i) p(x) = x² – 4x + 3 అయిన p(0), p(1), p(2), p(3) విలువలు కనుగొనండి. p(x) యొక్క శూన్యాలు ఏవో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 50)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 3
p(0) = (0)² – 4(0) + 3
p(0) = 3
p(1) = (1)² – 4(1) + 3
= 1 – 4 + 3
p(1) = 0
p(2) = (2)² – 4(2) + 3
= 4 – 8 + 3
= 7 – 8
p(2) = – 1
p(3) = (3)² – 4(3) +.3
= 9 – 12 + 3
= 12 – 12
p(3) = 0
∴ p(1) = 0, p(3) = 0 కావున p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు 3.

(ii) x² – 9 అనే బహుపదికి – 3 మరియు 3 శూన్యాలు 1. అవుతాయో కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – 9
p(- 3) = (- 3)² – 9 = 9 – 9 = 0
p(3) = 3 – 9 = 9 – 9 = 0
p(- 3) = 0 మరియు p(3) = 0
∴ p(x) కు -3 మరియు 3లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా మూడు త్రిపరిమాణ, వర్గ బహుపదులను, రెండు రేఖీయ బహుపదులను విభిన్న పదాలతో రాయండి. (పేజీ నెం. 48)
సాధన.
(i) వర్గ బహుపదులు :
p(x) = x² – 5x + 6
f(x) = 5x – 10
g(x) = 7x²

(ii) ఘన బహుపదులు .
p(x) = 4x³ + 2x² + 7x + 4
f(x) = x³ + 9x – 15
g(x) = 5x³ + 9x² + 11

(iii) రేఖీయ బహుపదులు
p(x) = 5x – 20
g(x) = 4x

ప్రశ్న 2.
x చరరాశిలో గల వర్గ బహుపది, త్రిపరిమాణ బహుపదుల సాధారణ రూపాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
వర్గ బహుపది p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
(లేదా)
వర్గ బహుపది p(x) = a₀x² + a₁x + a₂ a₀ ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ a₀ ≠ 0

ప్రశ్న 3.
n పరిమాణం . కలిగిన ఒక బహుపది q(2)ను రాయండి. ఇందులో చరరాశీ గుణకాలుగా b₀ ………. b_n తీసుకుంటే, వాటికి ఏ నిబంధనలు వర్తిస్తాయో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
b₀, b₁ ………… b_n లు గుణకాలుగా గల, n వ పరిమాణ బహుపది q(2) యొక్క సాధారణ రూపం.
q(z) = b₀zⁿ + b₁z^{n – 1} + b₂z^{n – 2}
+ ………. + b_{n – 1}z + b_n.
ఇక్కడ b₀ ≠ 0 మరియు b₁, b₂, b₃, ……… b_n లు వాస్తవ సంఖ్యలు.
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0)³ – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – = 7
p(- 2) = (- 2)³ – 1 = – 8 – 1 = – 9

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(- 2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0.
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6 = 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) y = 2x + 5,
(ii) y = 2x – 5,
(iii) y = 2x అను బహుపదులకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ఈ రేఖలు x- అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు కనుగొనండి. వీటి x – నిరూపకాలు బహుపదుల శూన్య విలువలేనా ? (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(i) y = 2x + 5

a) y = 2x + 5 సూచించే సరళరేఖ x – అక్షాన్ని (- 2.5, 0) వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x + 5 యొక్క శూన్య విలువ 2x + 5 = 0 2x = – 5
శూన్య విలువ x = – 5/2 = – 2.5
c) y = 2x + 5 ను సూచించే సరళరేఖ
x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

ii) y = 2x – 5

a) y = 2x – 5 గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (2.5, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x – 5 శూన్య విలువ
2x – 5 = 0
2x = 5
శూన్య విలువ x = 5/2 = 2.5
c) y = 2x – 5 ను సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

(iii) y = 2x

a) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x శూన్య విలువ 2x = 0
∴ శూన్య విలువ x = 0
c) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని X – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

Note : y = ax + b గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు \(-\frac{b}{a}\) x – నిరూపకమే y = ax + b యొక్క శూన్య విలువ అవుతుంది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
i) y = x² – x – 6, ii) y = 6 – x – x² లకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ప్రతి సందర్భంలోనూ బహుపది శూన్యాలను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 53)
సాధన.
i) y = x² – x – 6

y = x² – x – 6

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 2, 0) మరియు (3, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.

2) p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = x² – x – 6 = 0
⇒ x² – 3x + 2x – 6 = 0
⇒ x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 3 లేదా x = – 2
p(x) శూన్య విలువలు 3 మరియు – 2.

3) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (3, 0) మరియు (- 2, 0) లలోని X – నిరూపకాలు 3 మరియు – 2 లు x² – x – 6 యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ii) y = 6 – x – x²

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = 6 – x – x² లో – 1 < 0 (a < 0).
2) y = 6 – x – x² పరావలయం క్రింది వైపు వివృతంగా (తెరచుకొని) ఉంది.
3) y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (2, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.
y = 6 – x – x² యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = – x² – x + 6 = 0
⇒ – x² – 3x + 2x + 6 = 0
⇒ – x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0.
⇒ (x + 3) (2 -x) = 0
⇒ x + 3 = 0 లేదా 2 – x = 0
⇒ x = – 3 లేదా x = 2
∴ p(x) శూన్య విలువలు -3 మరియు 2

4) p(x) = y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (- 3, 0) మరియు (2, 0) లలోని x – నిరూపకాలు’ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు శూన్యాలు కలిగిన ఏవేని మూడు బహుపదులను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) = ax² + bx + c రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac > 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a ≠ 0).
i) a = 1, b = 5, c = 6 అయిన
b² – 4ac = (5)² – 4(1) (6) = 25 – 24 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² + 5x + 6.

ii) a = 1, b = 0, c = – 8 అయిన
b² – 4ac = 0 – 4(1) (-8) = 32 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 8.

iii) a = 1, b = – 3, c = 0 అయిన
b² – 4ac = (-3) – 4(1) (0) = 9 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 3x.

2వ పద్ధతి :
బహుపది p(x)కి రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలు (α, β) ఉంటే p(x) = (x – α) (x – β)గా రాయవచ్చును.

i) p(x) = [x – (-2)] [x – (-3)]
= (x + 2) (x + 3)
∴ p(x) = x² + 5x + 6.

ii) p(x) = (x – 272) (x + 2/2 )
= x² – (2/2)²
∴ p(x) = x² – 8.

iii) p(x) = (x – 0) (x – 3)
∴ p(x) = x² – 3x.

ప్రశ్న 3.
ఒకే ఒక శూన్యం కలిగిన ఒక బహుపదిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac = 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a #0).
a = 1, b = – 4, c = 4 అయిన
b² – 4ac = (- 4)² – 4(1)(4)
= 16 – 16 = 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 4x + 4.

2వ పద్దతి :
వర్గ బహుపది ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలము.
p(x) = (x – 2)²
= x² – 4x + 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్యము వుంటే దానిని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 4 ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే b² – 4ac.= 0 కావాలి.
(- 4)² – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0.
(లేదా)
p(x) = x² – 4x + 4 యొక్క గ్రాఫ్ గీచి గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుందని చూపి సరిచూడగలను. .
(లేదా)
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే
p(x) = (x – α)², α ∈ R అయ్యేట్లు రాయగలగాలి.
p(x) = x² – 4x + 4
= x² – 2.x. 2 + (2)²
p(x) = (x – 2)²
p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలిగాను కాబట్టి
p(x) ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
వాస్తవసంఖ్య ‘x’ కలిగి వుండి శూన్యం లేని బహుపదులను ఏవైనా మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.
i) a = 1, b = 2, c = 3 అయిన
b² – 4ac = 4 – 12 = – 8 < 0
∴ p(x) = x² + 2x + 3.

ii) a = 2, b = 0, c = 7 అయిన
b² – 4ac = 0 – 56 = – 56 < 0
∴ p(x) = 2x² + 7.

iii) a = – 3, b = 5, c = -4
b² – 4ac = 25 – 48 = – 23 < 0.
∴ p(x) = – 3x² + 5x – 4.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే దిగువ ఘన బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 57)
(i) – x³.
(ii) x² – x³.
(iii) x³ – 5x² + 6x
సాధన.
(i) – x³
p(x) = – x³ = 0 అయిన x = 0
p(x) = – x³ యొక్క శూన్య విలువ ‘0’.

(ii) x² – x³
p(x) = x² – x³
p(x) = x² – x³ = 0 అయిన
x² (1 – x) = 0
x² = 0 లేదా 1 – x = 0
x = 0 లేదా 1 = x
p(x) = x² – x³ యొక్క శూన్య విలువలు ‘1’ మరియు ‘0’.

(iii) x³ – 5x² + 6x
p(x) = x³ – 5x² + 6x = 0 అయిన
⇒ x(x² – 5x + 6) = 0
⇒ x = 0 లేదా x² – 5x + 6 = 0 ………….. (1)
(1) ⇒ x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 (x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 3 లేదా x = 2
p(x) = x³ – 5x² + 6x యొక్క శూన్య విలువలు ‘0’, ‘2’, ‘3’.
Note :
బహుపది p(x) లో స్థిరపదం లేకపోతే p(x) కు సున్న ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపదుల యొక్క శూన్యాలను కనుగొనండి. ఇదేవిధంగా శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్ధమును కనుగొని, బహుపది పదాల గుణకాలకు మధ్యన గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
(i) p(x) = x² – x – 6
(ii) p(x) = x² – 4x + 3
(iii) p(x) = x² – 4
(iv) p(x) = x² + 2x + 1
సాధన.
i) p(x) = x² – x – 6

p(x) = 0 అయిన x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
x (x – 3) (x + 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = 3 లేదా x = – 2
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = – 2.
అం శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + (- 2) = 1
= \(\frac{-(-1)}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (3) (- 2) = – 6 =

(ii) p(x) = x² – 4x + 3

p(x) = 0 అయిన x² – 4x + 3 = 0
x² – 3x – x + 3 = 0
x(x – 3) – 1 (x – 3) = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 1 = 0
x = 3 లేదా x = 1
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = 1.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + 1 = 4
= \(\frac{-(-4)}{1}\)
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = 3 (1) = 3

(iii) p(x) = x² – 4
p(x) = 0 అయిన x² – 4 = 0.
x² = 4 = x = + 2
శూన్య విలువలు α = 2, β = – 2.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 2 + (- 2) = 0
= \(\frac{0}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్ధం αβ = (2) (- 2) = – 4
= \(-\frac{4}{1}\) =

(iv) p(x) = x² + 2x + 10
p(x) = 0 అయితే,
x² + 2x + 1 = 0.
x² + 2.x. 1 + 1 = 0
(x + 1) ²= 0 శూన్య విలువలు సమానం
∴ x + 1 = 0
x = – 1
α = – 1 మరియు β = – 1 శూన్య విలువల మొత్తం α + β = (- 1) + (- 1)
= – 2 = \(-\frac{2}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (- 1) (- 1) = 1
= \(\frac{1}{1}\) =

ప్రశ్న 2.
α, β మరియు γ అనేవి ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలైతే తగిన విలువలు కనుగొని పట్టికలో పూరించండి. (పేజీ నెం. 66)

సాధన.
α + β + γ =

αβ + βγ + γα =

αβγ =

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
– 2 మరియు \(\frac{1}{3}\) శూన్యాలు కలిగిన వర్గ బహుపదిని కలిగిన కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α = – 2, β = \(\frac{1}{3}\)
α + β = – 2 + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{-6+1}{3}\) = – \(\frac{5}{3}\)
αβ = (- 2) (\(\frac{1}{3}\)) = – \(\frac{2{3}\)
వర్గ బహుపది p(x) = k[x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – (\(-\frac{5}{3}\)) x + (\(-\frac{2}{3}\))]
= k \(\left[\frac{3 x^{2}+5 x-2}{3}\right]\)
k = 3 అయిన p(x) = 3x² + 5x – 2.

ప్రశ్న 2.
శూన్యాల మొత్తం \(-\frac{3}{2}\) మరియు లబ్ధం – 1 కలిగిన వర్గ బహుపదిని తెలపండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α + β = \(-\frac{3}{2}\), αβ = – 1
వర్గ బహుపది = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – (\(-\frac{3}{2}\))x + (- 1)]
= k \(\left[\frac{2 x^{2}+3 x-2}{2}\right]\)
k = 2 అయిన p(x) = 2x² + 3x – 2.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటములలో ఇవ్వబడిన రేఖాచిత్రాలను గమనించండి. ప్రతి రేఖాచిత్రం y = p(x) నందు p(x) అనేది ఒక బహుపది. ప్రతి సందర్భములోనూ X వ్యాప్తితో కూడిన బహుపది p(x)నకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 58)

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)
సాధన.
పైన చూపిన పటాలలో x వ్యాప్తితో కూడిన రేఖాచిత్రాలు
(i) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను ఒక బిందువు వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 1.
(ii) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 2.
(iii) శూన్యాల సంఖ్య 3.
(iv) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(v) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(vi) శూన్యాల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదులకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి మరియు వాటి విలువలను తెలపండి.
(i) p(x) = 2x + 1
(ii) q(y) = y² -1
(iii) r(z) = 73 (పేజీ నెం. 59)
సాధన.
బహుపదుల రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే మనం శూన్యాలను కనుగొందాము.
(i) p(x) = 2x + 1 అనేది ఒక రేఖీయ బహుపది కావున దీనికి ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
p(x) = 0 తీసుకోండి. అంటే, 2x + 1 = 0
కావున x = \(-\frac{1}{2}\) అగును.
ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యం \(-\frac{1}{2}\).

(ii) q(y) = y² – 1 అనేది ఒక వర్గబహుపది.
కావున దీనికి గరిష్ఠంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.
q(y) = 0 అనుకోండి
⇒ y² – 1 = 0
⇒ (y + 1) (y – 1) = 0
⇒ y = – 1 లేదా y = 1
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు – 1 మరియు 1 అయినవి.

(iii) r(7) = z³ అనేది ఒక ఘన బహుపది కావున
దీనికి గరిష్ఠంగా మూడు శూన్యాలుంటాయి. r(z) = 0 అనుకొనండి.
⇒ z = 0
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యము ‘సున్న’ అయినది.

ప్రశ్న 3.
x² + 7x + 10 అనే వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
సాధన.
మనకు x² + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) అగును.
కావున, x² + 7x + 10 యొక్క విలువ శూన్యం కావాలంటే x + 2 = 0 లేదా x + 5 = 0 కావాలి
అంటే x = – 2 లేదా x = – 5 అగును.
కావున x² + 7x + 10 యొక్క శూన్యాలు – 2 మరియు – 5 అగును.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = – 2 + (- 5) = (7) =
శూన్యాల లబ్ధము = – 2 × (- 5) = 10
=

ప్రశ్న 4.
x² – 3 అనే బహుపది యొక్క శూన్యాలు కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
a² – b² = (a – b) (a + b) అనే సర్వసమీకరణం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
దీనినుపయోగించి x² – 3 = (x – √3 ) (x + √3 ) అని వ్రాయవచ్చు.
కావున x² – 3 యొక్క శూన్యాలు x = √3 లేదా x = – √3.
ఈ విధంగా, x² – 3 యొక్క శూన్యాలు √3 మరియు – √3 అవుతాయి.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = √3 + (- √3) = 0
=
శూన్యాల లబ్ధము = (√3) × (- √3) = – 3
=

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దము వరుసగా – 3 మరియు 2 అయిన ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
α మరియు β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపదిని ax² + bx + c అనుకోండి. α + β = – 3 = \(-\frac{b}{a}\) మరియు αβ = 2 = \(\frac{c}{a}\)
మనము a = 1 తీసుకుంటే b = 3 మరియు c = 2 అగును.
కావున ఇచ్చిన నియమానికి లోబడి ఏర్పడే వర్గ బహుపది x² + 3x + 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు వరుసగా 2 మరియు 3 అయినచో ఆ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గబహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి. ఇచ్చట α = 2, β = \(-\frac{1}{3}\).
శూన్యాల మొత్తం = (α + β) = 2 + (\(-\frac{1}{3}\)) = \(\frac{5}{3}\)
శూన్యాల లబ్ధం = (αβ) = 2(\(-\frac{1}{3}\)) = \(-\frac{2}{3}\)
కావున, వర్గ బహుపది ax² + bx + c ని k[x² – (α + β) x + αβ], k ఒక స్థిరపదముగా వ్రాస్తే = k [x² – \(\frac{5}{3}\) x – \(\frac{2}{3}\)] అగును.
వాస్తవ సంఖ్య ‘k’ కు వివిధ విలువలను ఇవ్వవచ్చును. k = 3 అయినచో వర్గ బహుపది 3x² – 5x – 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు 3, – 1 మరియు – \(\frac{1}{3}\) అగునని చూపండి. బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఇచ్చిన ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 ని – ax³ + bx² + cx + d తో సరిపోల్చిన a = 3, b = – 5, c = – 11, d = – 3 అగును. దీని నుండి
p(3) = (3 × 3³) – (5 × 3²) – (11 × 3) – 3
= 81 – 45 – 33 – 3 = 0
p(- 1) = 3 × (- 1)³ – 5 × (- 1)² – 11 × (- 1) – 3
= – 3 – 5 + 11 – 3 = 0.
p(- \(\frac{1}{3}\)) = 3 × (- \(\frac{1}{3}\))³ – 5 × (- \(\frac{1}{3}\))² – 11 × – \(\frac{1}{3}\) – 3
= – \(\frac{1}{9}\) – \(\frac{5}{9}\) + \(\frac{11}{3}\) – 3
= – \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 0 అగును.
కావున 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు, 3, – 1 మరియు – \(\frac{1}{3}\) అని చూపడమైనది..
ఇప్పుడు α = 3, β = – 1 మరియు γ = – \(\frac{1}{3}\) తీసుకొంటే
α + β + γ = 3 + (- 1) + (- \(\frac{1}{3}\)) = 2 – \(\frac{1}{3}\)
αβ + βγ + γα = 3 × (- 1) + (- 1) × (- \(\frac{1}{3}\)) + (- \(\frac{1}{3}\)) × 3
= – 3 + \(\frac{1}{3}\) – 1
= \(-\frac{11}{3}\) = \(\frac{c}{a}\)
αβγ = 3 × (- 1) × (- \(\frac{1}{3}\))

ప్రశ్న 8.
2x² + 3x + 1 ను x + 2 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
భాగహారంలో శేషము. సున్న వచ్చిననూ లేదా శేషము యొక్క పరిమాణము, విభాజకము యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ అయినప్పుడు భాగహారము పూర్తయినట్లుగా భావిస్తామని గుర్తించండి. ఇచ్చట, భాగహారములో ఆ ‘భాగఫలము 2x – 1 మరియు శేషము 3 అయినది. ఇదే ‘విధంగా భాగహార నియమాన్ని సరిచూస్తే
(2x – 1) (x + 2) + 3 = 2x² + 3x – 2 + 3
= 2x² + 3x + 1
అంటే 2x² + 3x + 1 = (x + 2) (2x – 1) + 3
కావున, విభాజ్యము = విభాజకము × భాగఫలము + శేషము అయినది.

ప్రశ్న 9.
3x³ + x² + 2x + 5 ను 1 + 2x + x² చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
మొదటగా మనం విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పదాల పరిమాణాల కనుగుణంగా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చుకొని బహుపదులను ప్రామాణిక రూపంలో రాసుకోవాలి. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో విభాజ్యము ప్రామాణిక రూపంలోనే వుంది. విభాజకాన్ని కూడా ప్రామాణిక రూపం x² + 2x + 1 గా రాయవచ్చును.

సోపానం 1: భాగఫలంలో మొదటి పదాన్ని పొందడానికి, విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదాన్ని, (అనగా 3x³) విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) తో భాగించాలి. ఇది 3x అవుతుంది. ఈ క్రమంలో భాగహారం కొనసాగిస్తే శేషం – 5x² – x + 5 వస్తుంది.

సోపానం 2:
ఇప్పుడు, భాగఫలములో రెండవ పదాన్ని పొందడానికి, కొత్త విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా 5x²)ను విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) చే భాగిస్తే – 5 వస్తుంది. ఈ క్రమంలో తిరిగి భాగహారము – 5x² – x + 5 తో కొనసాగించాలి.

సోపానం 3 :
మిగిలిన శేషము 9x + 10. దీని యొక్క పరిమాణము తిరిగి విభాజకము x² + 2x + 1 యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ. అందుచే నియమము ప్రకారం భాగహారాన్ని కొనసాగించలేము. అందుచే భాగఫలము 3x – 5 మరియు శేషము 9x + 10 అయినది.
ఇలాగే (x² + 2x + 1) x (3x – 5) + (9x + 10)
= (3x³ + 6x² + 3x – 5x² – 10x – 5 + 9x + 10)
= 3x³ + x² + 2x + 5
అంటే విభాజ్యం = విభాజకం X భాగఫలం + శేషం అయినది.

ప్రశ్న 10.
3x² – x³ – 3x + 5 ను x – 1 – x² చే భాగించి, భాగహార నియమాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 69)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు ప్రామాణిక. రూపంలో లేవని గుర్తించండి. భాగహారం ప్రారంభించడానికి ముందుగా విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పరిమాణాల ప్రకారం అవరోహణ క్రమంలో రాయాలి.
కావున, విభాజ్యం = – x³ + 3x² + 3x + 5 మరియు విభాజకం = – x² + x – 1 అగును.
భాగహార ప్రక్రియలో శేషం యొక్క పరిమాణం విభాజకం (- x² + x – 1) యొక్క పరిమాణం కన్నా తక్కువ అయినందున భాగహారం ఆపివేస్తాం. ”
అందుచే, భాగఫలం = x – 2, శేషం = 3.
ఇప్పుడు,
విభాజ్యం = విభాజకం × భాగఫలం + శేషం
= (- x² + x – 1) (x – 2) + 3
= – x³ + x² – x + 2x² – 2x + 2 + 3
= – x³ + 3x² – 3x + 5
ఈ విధంగా, భాగహార నియమం సరిచూడడమైనది.

ప్రశ్న 11.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 అను బహుపదికి √2 మరియు – √2 లు రెండు శూన్యాలైన మిగిలిన అన్ని శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 70)
సాధన.
√2 మరియు – √2 అనేవి ఇవ్వబడిన బహుపదికి రెండు శూన్యాలు కావున, ఈ బహుపదిని (x – √2) (x + √2) = x² – 2 చే భాగించవచ్చు.

భాగఫలంలో మొదటి పదము = \(\frac{2 x^{4}}{x^{2}}\) = 2x²

భాగఫలంలో రెండవ పదము = \(\frac{-3 x^{3}}{x^{2}}\) = – 3x

భాగఫలంలో మూడవ పదము = \(\frac{x^{2}}{x^{2}}\) = 1

కావున, 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 = (x – 2) (2x² – 3x + 1)
ఇప్పుడు 2x² – 3x + 1 లో మధ్య పదము – 3x ను విభజించి కారణాంకాలుగా రాస్తే (2x – 1) (x – 1) వచ్చును. కావున మిగిలిన రెండు శూన్యాలు x = \(\frac{1}{2}\), మరియు x = 1 అగును. ఈ విధంగా ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు √2, – √2, 1 మరియు \(\frac{1}{2}\) అవుతాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది ఘన బహుపదులకు ప్రక్కన ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు ఆయా బహుపదులకు శూన్యాలు అగునో, లేదో సరిచూడండి ఇదే విధంగా బహుపదుల పదాల గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2 ; (\(\frac{1}{2}\), 1, – 2)
(ii) x³ + 4x² + 5x – 2 ; (1, 1, 1)
సాధన.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2, (\(\frac{1}{2}\), 1, – 2)
p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
p(\(\frac{1}{2}\)) = 2(\(\frac{1}{2}\))³ + (\(\frac{1}{2}\))² – 5(\(\frac{1}{2}\)) + 2
= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+\frac{2}{1}\)
= \(\frac{1+1-10+8}{4}\)
p(\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{0}{4}\) = 0 …………… (1)
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2 –
= 2 + 1 – 5 + 2
p(1) = 0 ……………… (2)
(లేదా)
p(x) లో గుణకాల మొత్తం 2 + 1 – 5 + 2 = 0
∴ p(1) = 0 ………… (2)
p(- 2) = 2(- 2)³+ (- 2)² – 5(- 2) + 2
= 2(- 8) + 4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0
p(- 2) = 0 ………………(3)
(1), (2) & (3) ల నుండి P(\(\frac{1}{2}\)) = 0
p(1) = 0
p(- 2) = 0
∴ p(x) కు \(\frac{1}{2}\), 1, – 2లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
α = \(\frac{1}{2}\), β = 1,γ = – 2 అనుకొందాం.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ = \(\frac{1}{2}\) + 1 + (- 2)
= \(\frac{3}{2}\) – 2
= \(-\frac{1}{2}\)
=
రెండేసి శూన్య విలువల లబ్ధాల మొత్తం (αβ + βγ + γα) = (\(\frac{1}{2}\)) (1) + (1) (- 2) + (- 2) (\(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 3
= \(\frac{1-6}{2}=\frac{-5}{2}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβγ = \(\frac{1}{2}\) × 1 × (- 2)
= – 1 =

(ii) x³ + 4x² + 5x – 2, (1, 1, 1)
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2
p(1) = (1)³ + 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 + 4 + 5 – 2
p(1) = 8
p(1) ≠ 0
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.
(లేదా)
గుణకాల మొత్తం = 0 అయితే 1 ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.
p(x) యొక్క గుణకాల మొత్తం 1 + 4 + 5 – 2 = 8
గుణకాల మొత్తం 8 ≠ 0.
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.

2వ పద్ధతి :
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 యొక్క శూన్య విలువలు α = β = γ = 1 అయితే p(x) = (x – 1)³ కావాలి.
(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 ≠ (x – 1)³
∴ కాబట్టి 1, 1, 1లు p(x) యొక్క శూన్య విలువలు కావు.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము, రెండేసి శూన్యాల లబ్దాల మొత్తము మరియు శూన్యాల లబ్దము వరుసగా 2, – 7 మరియు – 14 అయిన ఆ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఘన బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు α, β, γ అనుకొనుము α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = – 7
αβγ = – 14
p(x) = k[x³ – (α + β + γ) x³ + (αβ + βγ + γα) x – αβγ]
= k[x³ – 2x² + (- 7) x – (- 14)]
= k[x³ – 2x² – 7x + 14]
k = 1 అయిన p(x) = x³ – 2x² – 7x + 14.

ప్రశ్న 3.
x³ – 3x² + x + 1 అను బహుపది శూన్యాలు a – b, a, a + b లు అయిన a, b విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x³ – 3x² + x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు α = a – b, β = a, γ = a + b –
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ =
a – b + a + a + b = \(\frac{-(-3)}{1}\)
3a = 3
a = \(\frac{3}{3}\) = 1
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ =
(a – b) (a) (a + b) = \(\frac{-1}{1}\)
కాని a = 1
∴ (1 – b) (1) (1 + b) = – 1
1 – b² = – 1
-b² = – 1 – 1 = – 2
b² = 2
b = ± √2
∴ a = 1, b = ± √2.

ప్రశ్న 4.
x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్యాలు 2 ± √3 అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్య విలువలు 2 + √3 మరియు 2 – √3 . కాబట్టి
2 + √3 మరియు 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది.
α = 2 + √3 , β = 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది.
α + β = 2 + √3 + 2 – √3 = 4
αβ = 22 – (13)2 = 4 – 3 = 1.6
f(x) = k[x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1]
k = 1 ⇒ f(x) = x² – 4x + 1,
p(x) కు కారణాంకము

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x²

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{-2 x^{3}}{x^{2}}\) = – 2x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{-35 x^{2}}{x^{2}}\) = x

బహుపదులు భాగహార అల్గారిథమ్ నుండి ,
p(x) = x⁴ + 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) + 0
p(x) = 0 అయిన
(x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) = 0
(x² – 4x + 1) = 0 లేదా x² – 2x – 35 = 0.
x² – 4x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3.
x² – 2x – 35 యొక్క శూన్య విలువలు
x² – 2x – 35 = 0
⇒ x² – 7x + 5x – 35 = 0
x(x – 7) + 5 (x – 7) = 0
(x – 7) (x + 5) = 0
x – 7 = 0 లేదా x + 5 = 0.
x = 7 లేదా x = – 5
∴ p (x) యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3, 7 మరియు – 5.

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 అనే బహుపదిని x² – 2x + k అనే మరొక బహుపదిచే భాగించగా వచ్చు శేషం x + a అయిన ‘k’ మరియు ‘a’ విలువలు కనుగొనండి.
సాదన.
p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
g(x) = x² – 2x + k మరియు
r(x) = x + a

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}\) = – 4x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}\) = – (24 + k)
శేషం r(x) = x + a
∴ (- 23 + 2k) x + (10 + 24k + k²) = x + a
x గుణకాలను పోల్చగా ,
– 23 + 2k = 1
2k = 24
∴ k = 12
స్థిర పదాలను పోల్చగా

2వ పద్ధతి :
(10 + 24k + k²)
p(x) = x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 లెక్క ప్రకారం
r(x) = x + 10
g(x) = x² – 2x + k
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
p(x) – r(x) కు g(x) కారణాంకము అవుతుంది.
కాబట్టి p(x) – r(x) ను g(x) తో భాగిస్తే శేషము ‘0’ అవుతుంది.
కాని p(x) – r(x) a = (x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10) – (x + a)
= x⁴ – 6x³ – 16x² + 24x + (10 – a)

= [[24 + 4k) – (48 + 2k)] x + [(10 – a) + (24k + k)]
= (- 24 + 2k) x + (10 – a + 24k + k²) = 0 కావాలంటే
-24 + 2k = 0 మరియు 10 – a + 24k + k² = 0 కావాలి
∴ 2k = 24 మరియు 10 – a + 24(12) + (12) = 0
k= 12 మరియు 10 – a + 288 + 144 = 0
442 – a = 0
∴ a = 442.
∴ k = 12 మరియు a = 442.

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x
భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}\) = – 4x
భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}\) = – (24+ k)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో p(x) బహుపదిని g(x) బహుపదిచే భాగించి భాగఫలాన్ని, శేషాన్ని కనుగొనండి.
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
సాధన.
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}\) = – 3
భాగఫలం q(x) = x – 3
శేషం r (x) = 7x – 9

2వ పద్ధతి :
p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3,
g(x) = x² – 2 = x² + 0x – 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}\) = – 3
భాగఫలం q(x) = x – 3
శేషము r(x) = 7x – 9

(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,
g(x) = x² + 1 – x
సాధారణ రూపంలో p(x) = x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5
అవరోహణ క్రమంలో g(x) = x² – x + 1

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం =\(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}\) = – 3

భాగఫలం q(x) = x² + x – 3
శేషం r (x) = 8.

(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
సాధారణ రూపంలో
p(x) = x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6
సాధారణ రూపంలో g(x) = – x² + 0x + 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{-x^{2}}\) = – x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{2 x^{2}}{-x^{2}}\) = – 2

భాగఫలం q(x) = – x² – 2;
శేషం r (x) = – 5x + 10.

ప్రశ్న 2.
కింది బహుపదులలో రెండవ బహుపదిని, మొదటి బహుపదిచే భాగించి ప్రతి సందర్భంలో మొదటి బహుపది కారణాంకం అగునో, కాదో సరిచూడండి.
(i) t³ – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
సాధన.
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t- 12

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{2 t^{4}}{t^{2}}\) = 2t²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{3 \mathrm{t}^{3}}{\mathrm{t}^{2}}\) = 3t

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{4 \mathrm{t}^{2}}{\mathrm{t}^{2}}\) = 4

శేషం r (x) = 0
∴ t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 కు కారణాంకము అవుతుంది.

(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{3 x^{4}}{x^{2}}\) = 3 x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}\) = – 4 x

బాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{2 x^{2}}{x^{2}}\) = 2
శేషం r (x) = 0
∴ x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 కారణాంకము అవుతుంది.

(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{5}}{x^{3}}\) = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-x^{3}}{x^{3}}\) = – 1
శేషం r (x) = 2
∴ x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 కు కారణాంకము కాదు.

ప్రశ్న 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 అను బహుపదికి రెండు శూన్యాలను \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
అయిన మిగిలిన రెండు
p(x) = \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లు రెండు శూన్య విలువలు కావున (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) (x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))
= x² – \(\frac{5}{3}\) p(x) కు ఒక కారణాంకం అవుతుంది.

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{3 x^{4}}{x^{2}}\) = 3x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{6 x^{3}}{x^{2}}\) = 6x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{3 x^{2}}{x^{2}}\) = 3

భాగహార అల్ గారిథమ్ ప్రకారం
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
= (x² – \(\frac{5}{3}\)) (3x² + 6x + 3) + 0
= (x² – \(\frac{5}{3}\)) (3x² + 6x + 3)
p(x) = 0 అయిన
(x² – \(\frac{5}{3}\)) (3x² + 6x + 3) = 0
x² – \(\frac{5}{3}\) = 0 లేదా 3x² + 6x + 3 = 0
x² = \(\frac{5}{3}\) లేదా 3(x² + 2x + 1) = 0
x = ± \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లేదా 3(x + 1)² = 0
(x + 1)² = 0
x + 1 = 0
∴ x = – 1
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు \(\sqrt{\frac{5}{3}}\), – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – 1.

2వ పద్గతి:
p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లు p(x) యొక్క రెండు శూన్య విలువలు.
(x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) (x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) = x² – \(\frac{5}{3}\)
= \(\frac{3 x^{2}-5}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\) (3x² – 5), p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది. కాబట్టి p(x) కు 3x – 5 కారణాంకము

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{3 x^{4}}{3 x^{2}}\) = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{6 x^{3}}{3 x^{2}}\) = 2x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}\) = 1

భాగహార అల్గారిథమ్ ప్రకారం p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
= (3x² – 5) (x² + 2x + 1) + 0
∴ p(x) = (3x² – 5) (x² + 2x + 1)
p(x) = 0 అయిన (3x² – 5) (x² + 2x + 1) = 0
3x² – 5 = 0 లేదా x² + 2x + 1 = 0
3x² = 5 లేదా (x + 1)² = 0
x² = , లేదా x + 1 = 0
x = ±\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లేదా x = – 1
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు \(\sqrt{\frac{5}{3}}\), – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – 1.

ప్రశ్న 4.
x³ – 3x² + x + 2 అను బహుపదిని g(x) అనే బహుపదిచే భాగిస్తే భాగఫలము x – 2 మరియు శేషము – 2x + 4 అయిన g(x) ను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x³ – 3x² + x + 2
g(x) = ?
q(x) = x – 2
r(x) = – 2x + 4
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
x³ – 3x² + x + 2 – (- 2x + 4) = g(x) (x – 2)
x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)
x³ – 3x² + 3x – 2 = g(x) (x – 2)

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{3}}{x}\) = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-x^{2}}{x}\) = – x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{x}{x}\) = 1
∴ g(x) = x = x + 1.

ప్రశ్న 5.
భాగహార నియమము మరియు దిగువ ఇవ్వబడిన నియమాలను తృప్తిపరిచే విధంగా p(x), g(x), q{x) మరియు r(x) బహుపదులకు తగిన ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
(i) p(x) పరిమాణము = q(x) పరిమాణము
(ii) q(x) పరిమాణము = r(x) పరిమాణము
(iii) r(x) పరిమాణము = 0
సాధన.
(i) p(x) పరిమాణం = q(x) పరిమాణం భాగహార అల్గారిథమ్
p(x) = g(x) q(x) + r(x)
ఉదా – 1: p(x) పరిమాణం = q(x) పరిమాణం కావాలంటే g(x) యొక్క పరిమాణం శూన్యం కావాలి అనగా g(x) స్థిర బహుపది.
3x³ – 15x² + 9x + 12
= 3(x³ – 5x² + 3x + 4) + 0
p(x) = 3x³ – 15x² + 9x + 12
g(x) = 3
q(x) = x³ – 5x² + 3x + 4
r(x) = 0

ఉదా – 2 : 15x² + 8x + 10
= 5 (3x² + \(\frac{8}{5}\) x + 2) + 0
p(x) = 15x² + 8x + 10
g(x) = 5
q(x) = 3x² + \(\frac{8}{5}\) x + 2
r(x) = 0

(ii) q(x) పరిమాణం = r(x) పరిమాణం భాగహార అల్ గారిథమ్ p(x) = g(x) q(x) + r(x) లెక్క ప్రకారం
q(x) పరిమాణం = r(x) పరిమాణం
r(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణము అని మనకు తెలుసు.
∴ q(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణం కావాలి

ఉదా -1 : p(x) = (x² + 5x + 6) (x + 3) + x – 4
= x³ + 5x² + 6x + 3x² + 15x + 18 + x – 4
p(x) = x³ + 8x + 22x + 14
g(x) = x² + 5x + 6
q(x) = x + 3
r(x) = x – 4

ఉదా – 2: p(x) = (3x³ – 4x + 5) (x² – 2) + x² + 2x + 5
= 3x⁵ – 4x³ + 5x² – 6x³ + 8x – 10 + x² + 2x + 5
p(x) = 3x⁵ – 10x³ + 6x² + 10x – 5
g(x) = 3x³ – 4x + 5
q(x) = x² – 2
r(x) = x² + 2x + 5

(iii) r(x) పరిమాణం = 0
r(x) పరిమాణం = 0 అనగా f(x) స్థిర బహుపది అవుతుంది.
ఉదా – 1: r(x) = 5
g(x) = x + 5
q(x) = x + 5x + 7
భాగహార అల్ గారిథమ్
p(x) = g(x) . q(x) + r(x) .
= (x + 5) (x² + 5x + 7) + 5
p(x) = x³ + 5x² + 7x + 5x² + 25x + 35 + 5
p(x) = x³ + 10x² + 32x + 40.

ఉదా – 2:
r(x) = 8
g(x) = x – 3
q(x) = x + 3
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) = (x – 3) (x + 3) +8
p(x) = x² – 9 + 8
p(x) = x² – 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 1.
కింది వర్గ బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొని బహుపది గుణకాలకు; శూన్యాలకు గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² -3-7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
సాధన.
(i) x² – 2x – 8
p(x) = x² – 2x – 8 = 0 అయిన

⇒ x² – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 2
p(x) శున్య విలువలు α = 4, β = – 2
శూన్య విలువల మొత్తం
(α + β) = 4 + (-2) = 2 = -(\(\frac{-2}{1}\))
=
శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = (4) (- 2) = – 8 = (\(-\frac{8}{1}\))
=

(ii) 4s² – 4s + 10
p(s) = 4s² – 4s + 1 = 0 అయిన
⇒ 4s² – 2s – 2s + 1 = 0
⇒ 2s(2s – 1) – 1 (2s – 1) = 0
⇒ (2s – 1) (2s – 1) = 0
⇒ 2s – 1 = 0 లేదా 2s – 1 = 0
⇒ 2s = 1 లేదా 2s = 1
⇒ s = \(\frac{1}{2}\) లేదా s = \(\frac{1}{2}\)

శూన్య విలువలు α = \(\frac{1}{2}\), β = \(\frac{1}{2}\)
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1 = \(\frac{-(-4)}{4}\)

=

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\) =

(iii) 6x² – 3 – 7x
p(x) = 6x² – 7x – 3 = 0 అయిన

⇒ 6x² + 2x – 9x – 3 = 0
⇒ 2x(3x + 1) – 3 (3x + 1) = 0
⇒ (3x + 1) (2x – 3) = 0
⇒ 3x + 1 = 0 లేదా 2x – 3 = 0
⇒ x = \(-\frac{1}{3}\), లేదా x = \(\frac{3}{2}\),
శూన్య విలువలు α = \(-\frac{1}{3}\), β = \(\frac{3}{2}\),
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{-1}{3}+\frac{3}{2}\)
\(\frac{-2+9}{6}=\frac{7}{6}=\frac{-(-7)}{6}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = \(-\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{-3}{6}\)
=

(iv) 4u² + 8u
p(u) = 4u² + 8u = 0 అయిన
4u (u + 2) = 0
4u = 0 లేదా u + 2 = 0
u = 0 లేదా u = – 2
శూన్య విలువలు α = 0 మరియు β = -2
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = 0 + (- 2) = – 2 = – \(\frac{8}{4}\)
=

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = 0 (- 2) = 0 = \(\frac{0}{4}\)
=

(v) t² – 15
p(t) = t² – 15 = 0 అయిన
⇒ t² = 15 = t = ± \(\sqrt{15}\)
శూన్య విలువలు α = \(\sqrt{15}\) మరియు β = – \(\sqrt{15}\)
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = \(\sqrt{15}\) + (-\(\sqrt{15}\)) = 0
= \(\frac{0}{1}\) =

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = \(\sqrt{15}\) × (-\(\sqrt{15}\)) = – 15
= \(\frac{-15}{1}\) =

(vi) 3x² – x – 4
p(x) = 3x² – x – 4 = 0 అయిన

⇒ 3x² – 4x + 3x – 4 = 0
⇒ x(3x – 4) + 1 (3x – 4) = 0
⇒ (3x – 4) (x + 1) = 0
⇒ 3x – 4 = 0 లేదా x + 1 = 0
⇒ 3x = 4 లేదా x = – 1
⇒ x = \(\frac{4}{3}\) లేదా x = – 1
శూన్య విలువలు α = \(\frac{4}{3}\) మరియు β = – 1
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{4}{3}\) + (- 1) = \(\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}\)
= \(\frac{-(-1)}{3}\)
=

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = \(\frac{4}{3}\) (- 1) = – \(\frac{4}{3}\)
=

ప్రశ్న 2.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దాలు వరుసగా ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా వర్గ బహుపదులను కనుగొనండి.
(i) \(\frac{1}{4}\), – 1
(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) –\(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
(vi) 4, 1
సాధన.
(i) శూన్య విలువలు α, β అనుకొనుము.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = \(\frac{1}{4}\)
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = – 1
α, β లు శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
కావలసిన వర్గ బహుపది p(x) = k [x² – (\(\frac{1}{4}\)) x + (- 1)]
= k [x² – \(\frac{x}{4}\) – 1]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]\)
k = 4 అయిన p(x) = 4 \(\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]\)
p(x) = 4x² – x – 4

(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
α + β = √2; αβ = \(\frac{1}{3}\)
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – √2x + \(\frac{1}{3}\)]
= k \(\left[\frac{3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1}{3} \underline{1}\right]\)
∴ k = 3 అయిన p(x) = 3x^{2</sup – 3√2x + 1}

(iii) 0, √5
α + β = 0, αβ = √5
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 0x + √5]
= k [x² + √5]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² + √5.

(iv) 1, 1
α + β = 1, αβ = 1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – x + 1]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – x + 1.

(v) – \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
α + β = – \(\frac{1}{4}\); αβ = \(\frac{1}{4}\)
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – (- \(\frac{1}{4}\)) x + \(\frac{1}{4}\)]
= k [x² + \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}+x+1}{4}\right]\)
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x² + x + 1.

(vi) 4, 1
α + β = 4; αβ = 1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1].
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – 4x + 1

Note:
పై సమస్యలలో k యొక్క వివిధ విలువలకి వివిధ బహుపదులు వస్తాయి.

ప్రశ్న 3.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β లు దిగువ ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా బహుపదులను కనుగొనండి.

(i) 2, -1
(ii) √3, – √3
(iii) \(\frac{1}{4}\), – 1
(iv) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\)
సాధన.
(i) 2, – 1
α = 2 మరియు β = – 1
α + β = 2 + (- 1) = 1
α . β = 2(- 1) = – 2
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – x + (- 2)]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – x – 2.

(ii) √3, – √3
α = √3 మరియు β = – √3
α + β = √3 + (- √3) = 0
αβ = (√3) (- √3) = – 3
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ)
= k [x² – 0x – 3]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – 3.

(iii) \(\frac{1}{4}\), – 1
α = \(\frac{1}{4}\) మరియు β = – 1
α + β = \(\frac{1}{4}\) + (- 1)
= \(\frac{1-4}{4}=\frac{-3}{4}\)
α. β = (\(\frac{1}{4}\)) (- 1) = – \(\frac{1}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k[x² – \(-\frac{3}{4}\) x + (- \(\frac{1}{4}\))]
= \(\left[\frac{4 x^{2}+3 x-1}{4}\right]\)
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x² + 3x – 1.

(iv) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\)
α = \(\frac{1}{2}\), β = \(\frac{3}{2}\)
α + β = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
αβ = (\(\frac{1}{2}\)) (\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 2x + \(\frac{3}{4}\)]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}-8 x+3}{4}\right]\)
k = 4 అయిన p(x) = 4x² – 8x + 3.

ప్రశ్న 4.
ఒక ఘన బహుపది x³ + 3x² – x – 3 యొక్క శూన్యాలు 1, – 1 మరియు – 3 అగునని సరిచూడండి. ఇదే విధంగా బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x³ + 3x² – x – 3
p(1) = (1)³ + 3(1)² – (1) – 3
= 1 + 3 – 1 – 3
= 4 – 4
p(1) = 0 …………………(1)
p(- 1) = (- 1)³ + 3(- 1)² – (- 1) – 3
= – 1 + 3 + 1 – 3
= – 4 + 4
p(- 1) = 0 ……………..(2)
p(- 3) = (- 3)³ + 3 (- 3)² – (- 3) – 3
= – 27 + 27 + 3 – 3
= -30 + 30
p(-3) = 0 …………… (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
p(1) = 0
p(- 1) = 0
p(- 3) = 0
కావున p(x) కు 1, – 1, – 3 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β + γ = 1 + (- 1) + (- 3)
= – 3
= \(\frac{-3}{1}\)
=

రెండేసి శూన్య విలువల లబ్దాల మొత్తం :
αβ + βγ + αγ = (1) (- 1) + (- 1) (- 3) + (1) (- 3)
= – 1 + 3 – 3
= – 1
= \(\frac{-1}{1}\)
=
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ = (1) (-1) (-3)
= 3
= -(\(\frac{-3}{1}\))
=

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.2

ప్రశ్న 1.
కొన్ని p(x) బహుపదుల సంబంధిత y = p(x) యొక్క పటాలు దిగువ ఇవ్వబడినవి. p(x) యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను పటాలు పరిశీలించి తెలపండి.

(i)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 0 (లేదా) శూన్య విలువలు లేవు.

(ii)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 1

(iii)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3

(iv)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 2

(v)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 4

(vi)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదుల శూన్యాలను కనుగొనండి. AS,
(i) p(x) = 3x
(ii) p(x) = x² + 5x + 6
(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
(iv) p(x) = x² – 16
సాధన.
i) p(x) = 3x
p(x) = 0 అయిన 3x = 0
⇒ x = 0
∴ p(x) శూన్య విలువ = 0.

(ii) p(x) = x² + 5x + 6

p(x) = 0 అయిన x² + 5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2 (x + 3) = 0
(x + 3) (x + 2) = 0
x + 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = – 3 లేదా x = – 2
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు : – 3 మరియు -2.

(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
p(x) = 0 అయిన (x + 2) (x + 3) = 0
(x + 2) = 0 లేదా (x + 3) = 0
x = – 2 లేదా x = – 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు – 2.

(iv) p(x) = x⁴ – 16
p(x) = 0 అయిన x⁴ – 16 = 0
⇒ (x²)² – 4² = 0
⇒ (x²) – 4) (x²) + 4) = 0
⇒ x ² – 4 = 0 లేదా x² + 4 = 0
⇒ x² = 4 లేదా x² = – 4
⇒ x = √4 లేదా ± \(\sqrt{-4}\)
⇒ x = ± 2 లేదా ± \(\sqrt{-4}\)
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 2, -2 మరియు ± \(\sqrt{-4}\).

ప్రశ్న 3.
క్రింది బహుపదులకు తగిన రేఖాచిత్రాలను గీచి, శూన్యాలను కనుగొనండి. ఫలితాలను సమర్థించండి.
(i) p(x) = x² – x – 12
(ii) p(x) = x² – 6x + 9
(iii) p(x) = x² – 4x + 5
(iv) p(x) = x² + 3x – 4
(v) p(x) = x – 1
సాధన.
(i) y = p(x) = x² – x – 12

p(x) = x² – x – 12 పరావలయం x – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – x – 12 యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు 4.
p(x) = x² – x – 12 = 0 = x² – 4x + 3x – 12 = 0
⇒ x (x – 4) + 3 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 3) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 3 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 3
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 4 మరియు – 3. గ్రాఫ్ ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

(ii) v = p(x) = x- – 6x + 9

p(x) = x² – 6x + 9 పరావలయం X – అక్షాన్ని (3, 0) అనే ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తున్నది (స్పర్శిస్తున్నది). కాబట్టి p(x) = x² – 6x + 9 కు ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – 6x + 9 యొక్క శూన్య విలువ 3.
p(x) = x² – 6x + 9 = 0
⇒ x² – 3x – 3x + 9 = 0
⇒ x{x – 3) – 3(x – 3) = 0 –
∴ (x – 3) (x – 3) = 0
⇒ x – 3 = 0 (or) x – 3 = 0
⇒ x = 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువ 3. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువ, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువతో ఏకీభవిస్తున్నది.

(iii) y = p(x) = x² – 4x + 5

p(x) = x² – 4x + 5 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించడం లేదు. అనగా p(x) = x² – 4x + 5 కు వాస్తవ శూన్య విలువలు లేవు.

(iv) y = p(x) = x² + 3x – 4

1) p(x) = x² + 3x – 4 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 4, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 4 మరియు 1.

2) p(x) = x² + 3x – 4 — 0 చడు.
⇒ x² – x + 4x – 4 = 0
⇒ x(x – 1) + 4 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x + 4) = 0
⇒ x – 1 = 0 లేదా x + 4 = 0.
⇒ x = 1 లేదా x = – 4
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు – 4.
∴ గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

(v) y = p(x) = x² – 1

(i) P(x) = x² – 1 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 1, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) = x² – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1.

(ii) p(x) = x² – 1 = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = √1 = ± 1
p(x) = x² – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో
ఏకీభవిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 4.
p(x) = 4x² + 3x – 1 అనే బహుపదికి \(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 అనేవి శూన్యాలు ఏవిధంగా అగునో తెలపండి.
సాధన.
p(x) = 4x² + 3x – 12
p(\(\frac{1}{4}\)) = 4(\(\frac{1}{4}\))² + 3(\(\frac{1}{4}\)) – 1
= \(4 \times \frac{1}{16}+\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{4}{4}\) – 1
= 1 – 1 = 0
p(\(\frac{1}{4}\)) = 0
అలాగే p(-1) = 4(- 1)² + 3(- 1) – 1
= 4 – 3 -1
= 4 – 4
p(- 1) = 0
∴ P(\(\frac{1}{4}\)) = 0 మరియు p(- 1) = 0 అవుతున్నది.
కాబట్టి p(x) కు \(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.1

ప్రశ్న 1.
a) p(x) = 5x⁷ – 6x⁵ + 7x – 6 అయిన కింది వానిని కనుగొనండి.
(i) X యొక్క గుణకం
(ii) p(x) యొక్క పరిమాణము
(iii) స్థిరపదము
సాధన.
(i) x⁵ గుణకము = – 6
(ii) p(x) పరిమాణము = 7
(iii) స్థిరపదము = – 6

(b) మూడు వేర్వేరు బహుపదులను వ్రాసి, ప్రతి దానికి మూడు ప్రశ్నల చొప్పున రూపొందించండి.
సాధన.
బహుపది 1) p(x) = x + 5
ప్రశ్నలు :
1) పై బహుపది పరిమాణం ఎంత ?
2) పై బహుపదికి గల గరిష్ట శూన్యాలెన్ని ?
3) పై బహుపది శూన్య విలువ ఎంత ?

బహుపది 2) p(x) = x² – 5x + 6 .
ప్రశ్నలు :
1) పై బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
2) పై బహుపది యొక్క శూన్యాల లబ్ధం ఎంత ?
3) పై బహుపది యొక్క రేఖాచిత్రం X – అక్షాన్ని ఎన్ని బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది ?

బహుపది 3) p(x). = ax^p – bx² + cx + d
ప్రశ్నలు :
1) పై బహుపది ఘన బహుపది కావలెనన్న ‘P’ విలువ ఎంత కావలెను ?
2) పై బహుపది శూన్యాల లబ్దం ఎంత ?
3) పై బహుపది ఘన బహుపది కావలెనన్న ‘a’ గురించి నీవేమి చెప్పగలవు ?

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సత్యం ? ఏవి అసత్యం ? కారణాలను తెల్పండి.
(i) √2x² – 3x + 1 అనే బహుపది పరిమాణం √2.
సాధన.
అసత్యం
కారణం :
√2 x² – 3x + 1 యొక్క పరిమాణము 2.
√2 , x² యొక్క గుణకం అవుతుందే కాని పరిమాణం కాదు.

(ii) p(x) = 3x³ – 4x² + 5x + 7 అనే బహుపదిలో x² యొక్క గుణకం 2.
సాధన.
అసత్యం .
కారణం :
p(x) లో x² గుణకము = – 4

(iii) స్థిరపదం యొక్క పరిమాణం సున్న.
సాధన.
సత్యం .
కారణం :
స్థిరపదంలో చరరాశి ఉండదు.
ఉదా : p(x) = 8 = 8x⁰ గా రాయవచ్చు.

(iv) \(\frac{1}{x^{2}-5 x+6}\) అనేది ఒక వర్గ బహుపది.
సాధన.
అసత్యం .
కారణం :
వర్గ బహుపది ax² + bx + c రూపంలో ఉండాలి. వర్గ బహుపదిలో చరరాశి ఘాతాంకాలు రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు. కానీ \(\frac{1}{x^{2}-5 x+6}\) లో చరరాశి ఘాతాంకాలు రుణపూర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి. కాబట్టి \(\frac{1}{x^{2}-5 x+6}\) అసలు బహుపదియే కాదు.

(v) ఒక బహుపది పరిమాణము దానిలోని పదాల సంఖ్య కన్నా ఒకటి ఎక్కువ.
సాధన.
అసత్యం .
బహుపది పరిమాణం సాధారణ రూపంలోని పదాల కన్నా ఒకటి తక్కువ.
ఉదా : 3x² – 5x + 7 లో పదాల సంఖ్య = 3 పరిమాణము = 2.

ప్రశ్న 3.
p(t) = t³ – 1 అయిన p(1), p(- 1), p(0), p(2) మరియు p(- 2) విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
p(t) = t³ – 1
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0) – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – 1 = 7
p(- 2) = (- 2) – 1 = – 8 – 1 = – 9.

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(-2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0.
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6
= 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6
= 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.