Inter 1st Year

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 9 అతిపరావలయ ప్రమేయాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 9 అతిపరావలయ ప్రమేయాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ప్రతి x ∈ R sinh (3x) = 3 sinh x + 4sinh³ x అని నిరూపించండి.
సాధన:
LHS = sinh (3x)
= sinh (2x + x)
= sinh (2x) . cosh (x) + cosh (2x) . sinh (x)
= (2 sinh x cosh x) cosh x + (1 + 2 sinh² x) sinh x
= 2 sinh x (cosh² x) + (1 + 2 sinh² x) sinh x
= 2 sinh x (1 + sinh² x) + (1 + 2 sinh² x) sinh x
∵ cosh² x – sinh² x = 1
= 3 sinh x + 4 sinh³ x
∵ sinh (3x) = 3 sinh x + 4 sinh³ x

ప్రశ్న 2.
ప్రతి x ∈ R కు tanh 3x = \(\frac{3 \tanh x+\tanh ^3 x}{1+3 \tanh ^2 x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
cosh x = \(\frac{5}{2}\) అయితే,
i) cosh (2x)
ii) sinh (2x) లువలు కనుక్కోండి (May ’11, ’06)
సాధన:
i) cosh (2x) = 2 cosh² (x) – 1
= 2\(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 1 = \(\frac{25}{2}\) – 1 = \(\frac{23}{2}\)

ii) sinh² (2x) = cosh² (2x) – 1
= \(\left(\frac{23}{2}\right)^2\) – 1 = \(\frac{529-4}{4}\) = \(\frac{525}{4}\)
∴ sinh (2x) = ± \(\sqrt{\frac{525}{4}}\) = ± \(\frac{5 \sqrt{21}}{2}\)

ప్రశ్న 4.
cosh x = sec θ అయితే tanh² \(\frac{x}{2}\) = tan² \(\frac{\theta}{2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
tan²\(\frac{x}{2}\) =
\(\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\) = \(\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}\) = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) = tan^-1 \(\frac{\theta}{2}\)

ప్రశ్న 5.
θ ∈ \(\left(-\frac{p}{4}, \frac{p}{4}\right)\), x = log_e\(\left(\cot \left(\frac{p}{4}+q\right)\right)\)
అయినప్పుడు
(i) cosh x = sec 2θ,
(ii) sinh x = tan 2θ అని నిరూపించండి.
సాధన:

i) cosh (x) = \(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

∴ cosh x = sec 2θ

ii) sinh x = \(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2}\)

∴ sinh x = tan 2θ

ప్రశ్న 6.
sinh x = 5 soma x = log_e (5 + \(\sqrt{26}\)) అని చూపండి.
సాధన:
∴ sinh (x) = 5
⇒ x = sinh^-1 (5)

ప్రశ్న 7.
tanh^-1 \(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{1}{2} \log _e 3\) అని చూపండి. (Mar. ’15, ’08, 05; May ’07, ’05)
సాధన:
∵ tanh^-1(x) = \(\frac{1}{2}\)log_e \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\), ∀ x ∈ (-1, 1)
∵ tanh^-1(x) \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)log_e\(\left(\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\)log_e (3)

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
x² + xy + y² = 0 సమీకరణం రెండు సరళరేఖలను సూచిస్తుందా ?
సాధన:
a = 1, b = 1,
h = \(\frac{1}{2}\)
⇒ h² = \(\frac{1}{4}\), ab = 1
h² = ab < 0 i.e., h² < ab.
∴ దత్త రేఖా సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచించదు.

ప్రశ్న 2.
x² – 3y² = 0, x = 2 సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x² – 3y² = 0
(x + \(\sqrt{3}\)y) (x – \(\sqrt{3}\)y) = 0
x + \(\sqrt{3}\)y = 0 మరియు x – \(\sqrt{3}\)y = 0
i.e., y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) x, y = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) x రేఖలు x – అక్షంతో 30° కోణం చేస్తే సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.
∴ ∠OAB – ∠OBA = 60°
∴ ఈ త్రిభుజము సమబాహు త్రిభుజం.

ప్రశ్న 3.
12x² – 20xy + 7y² = 0, 2x – 3y + 4 = 0 సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం కేంద్రభాసాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
12x² – 20xy + 7y² = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము 2x + 3y + 4 = 0
2x = 3y – 4
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
3(3y – 4)² – 10y (3y – 4) + 7y² = 0
3(9y² + 16 − 24y) – 30y² + 40y + 7y² = 0
27y² + 48 − 72y – 30y² + 40y + 7y² = 0
4y² – 32y + 48 = 0
y² – 8y +12 = 0
(y – 2) (y – 6) = 0 ⇒ y = 2 లేదా 6
x = \(\frac{3 y-4}{2}\)
y = 2 ⇒ x = \(\frac{6-4}{2}\) = 1
y = 6 ⇒ x = \(\frac{18-4}{2}\) = 7
∴ శీర్షాలు 0 (0, 0), A (1, 2), B( 7, 6)
OAB కేంద్రభాసము
\(\left(\frac{0+1+7}{3}, \frac{0+2+6}{3}\right)=\left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x² – 4xy + y² = 0, x + y = 3 లతో సూచించబడే సరళరేఖలు ఒక సమబాహుత్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
L = x + y – 3 = 0 సరళరేఖ వాలు -1. అందువల్ల ఈ సరళరేఖ X- అక్షం ఋణ దిశలో 45° కోణం చేస్తుంది. కనుక Lతో 60° కోణం చేసే సరళరేఖ కూడా ఊర్ధ్వ రేఖ కాదు.

\(\sqrt{3}\) = tan 60° = \(\left|\frac{m+1}{1-m}\right|\) m విలువ
(m + 1)² = 3(m – 1) ను తృప్తిపరుస్తుంది. (లేదా)
m² – 4m + 1 = 0 ……………… (1)
‘m’ వాలు కలిగి మూలబిందువు గుండా పోతూ రేఖా సమీకరణం
y = mx …………….. (2)
(1), (2) ల నుండి m ను తొలగించగా మూలబిందువు గుండాపోతూ Lతో 60° కోణం చేసే రేఖాయుగ్మం సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.
ఈ రేఖా యుగ్మం ఉమ్మడి సమీకరణము
\(\left(\frac{y}{x}\right)^2-4\left(\frac{y}{x}\right)\) + 1 = 0 (i. e., ) x² – 4xy + y² = 0
ఇది దత్త రేఖాయుగ్మంతో సమానము.
దత్త రేఖాత్రయము సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 5.
ax² + 2hxy + by² = 0 అనే రేఖాయుగ్మం నుంచి (α, β) అనే బిందువుకు లంబ దూరాల లబ్ధం \(\frac{\left|a \alpha^2+2 h \alpha \beta+b \beta^2\right|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\) అని నిరూపించండి. [May ’11, ’07; Mar. ’07, ’04]
సాధన:
ax² + 2hxy + by² = (l₁x + m₁y) (l₂x + m₂y)
అనుకొందాం.
సూచించే రేఖా విడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
L₁ : l₁x + m₁y = 0 మరియు L₂ : l₂x + m₂y = 0
l₁l₂ = a; m₁m₂ = b మరియు
l₁m₂ + l₂m₁ = 2h
d₁ = (α, β) నుండి L₁ కు లంబదూరము
L₁ = \(\frac{\left|l_1 \alpha+\mathrm{m}_1 \beta\right|}{\sqrt{l_1^2+\mathrm{m}_1^2}}\)
d₂ = (α, β) నుండి L₂ కు లంబదూరము
= \(\frac{\left|l_2 \alpha+\mathrm{m}_2 \beta\right|}{\sqrt{l_2^2+\mathrm{m}_2^2}}\)
లంబ దూరాల లబ్ధము
= \(\frac{\left|\left(l_1 \alpha+\mathrm{m}_1 \beta\right)\left(l_2 \alpha+\mathrm{m}_2 \beta\right)\right|}{\sqrt{\left(l_1^2+\mathrm{m}_1^2\right)\left(l_2^2+\mathrm{m}_2^2\right)}}\)
= \(\frac{\left|a \alpha^2+2 h \alpha \beta+b \beta^2\right|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\)

ప్రశ్న 6.
ax² + 2hxy + by² = 0 ఒక సరళరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందనుకోండి. అప్పుడు
i) (x₀, y₀) బిందువు గుండా పోతూ దత్త సరళరేఖలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం
a(x – x₀)² + 2h(x – x₀) (y – y₀) + b(y – y₀)² = 0 అనీ,
ii) (x₀, y₀) బిందువు గుండా పోతూ దత్త సరళరేఖలకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం
b(x − x₀)² – 2h(x – x₀) (y – y₀) + a(y – y₀)² = 0 అని నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² = (l₁x + m₁y) (l₂x + m₂y). ఈ సమీకరణము సూచించే రేఖలు విడిగా L₁, L₂ అనుకోండి.
l₁x + m₁y = 0 మరియు l₂x + m₂y = 0
l₁l₂ = a, m₁m₂ = b మరియు
l₁m₂ + l₂m₁ = 2h

(i) (x₀, y₀) గుండా పోతూ L₁, L₂ రేఖలకు సమాంతరంగా
ఉండే రేఖలు వరుసగా
l₁x + m₁y = l₁x₀ + m₁y₀ (లేదా)
l₁(x – x₀) + m₁(y – y₀) = 0 మరియు
l₂(x – x₀) + m₂(y – y₀) = 0.
∴ఉమ్మడి సమీకరణము
[l₁(x – x₀) + m₁(y – y₁)] [l₂(x – x₀) + m₂(y − y₀)] = 0
(లేదా) a(x – x₀)² + 2h(x – x₀) (y − y₀) + b(y – y₀)² = 0

(ii) (x₀, y₀) గుండా పోతూ L₁, L₂ లకు లంబంగా ఉండే
రేఖా యుగ్మం
m₁x – l₁y = m₁x₀ – l₁y₀ (లేదా)
m₁(x – x₀) – l₁(y – y₀) = 0 మరియు
m₂(x – x₀) – l₂(y – y₀) = 0
ఉమ్మడి సమీకరణము
[m₁(x – x₀) – l₁(y – y₀)] [m₂(x – x₀) – l₂(y – y₀)] = 0
(i.e.,) b(x – x₀)² – 2h(x – x₀) (y – y₀) + a(y – y₀)² = 0
[గమనిక : మూలబిందువు గుండా పోతూ
ax² + 2hxy + by² = 0 కు లంబంగా ఉండే రేఖా యుగ్మం సమీకరణం bx² – 2hxy + ay² = 0],

ప్రశ్న 7.
ax² + 2hxy + by² = 0 అనే రేఖాయుగ్మంతోనూ, lx + my + n = 0 అనే సరళరేఖతోను, నిర్దిష్టమయ్యే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\left|\frac{n^2 \sqrt{h^2-a b}}{a m^2-2 h l m+b l^2}\right|\) అని నిరూపించండి. [Mar. ’13]
సాధన:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{OA}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}\) లు సూచించే రేఖాయుగ్మం సమీకరణం
ax² + 2hxy + by² = 0 (బొమ్మను చూడండి.) \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖ lx + my + n = 0 అనుకుందాం.
ax² + 2hxy + by² ≡ (l₁x + m₁y) (l₂x + m₂y) అనుకుందాం.
\(\overleftrightarrow{\mathrm{OA}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}\) ల సమీకరణాలు వరుసగా
l₁x + m₁y = 0 and l₂x + m₂y = 0 అనుకొందాం.

A = (x₁, y₁) మరియు B = (x₂, y₂)
∴ l₁x₁ + m₁y₁ = 0, lx₁ + my₁ + n = 0.
అడ్డ గుణకార సూత్రం ప్రకారం

ప్రశ్న 8.
7x – y + 3 = 0 మరియు x + y – 3 = 0 లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలోని సమాన భుజాలను సూచిస్తాయి. ఆ త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం (1, 0) గుండా పోతే, దాని సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
7x – y + 3 = 0, x + y − 3 = 0 రేఖలు A అనే బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయనుకొందాం. A వద్ద ఉన్న కోణాల యొక్క సమద్విఖండన రేఖలకు (A గుండా కాకుండా) లంబంగా గీసిన సరళరేఖలు, ఇచ్చిన సరళరేఖలతో సమద్విబాహు త్రిభుజాలను నిర్మిస్తాయి. (ఇచ్చిన సరళరేఖల మీద సమాన భుజాలుండే విధంగా)
(∆ABF ≅ ∆AFC, ∆ADG ≅ ∆AGE)
వీటిలో ఏ భుజాలు (1, 0) గుండా పోతాయో, అలాంటి మూడవ భుజాల సమీకరణాలను కనుక్కొంటాం.
7x – y + 3 = 0, x + y – 3 = 0 ల మధ్య ఉన్న
కోణాల సమద్విఖండన రేఖా సమీకరణాలు

అంటే 7x – y + 3 = ± 5(x + y – 3).
అంటే x – 3y + 9 = 0, 3x + y – 3 = 0.
ఈ సమద్విఖండన రేఖలకు లంబంగా ఉంటూ (1, 0) గుండా పోయే సరళరేఖలే కావలసిన మూడవ భుజాలు.

x – 3y + 9 = 0 లంబంగా ఉంటూ F(1, 0) గుండా పోయే భుజం 3x + y – 3 = 0. రెండవది (x – 1) – 3(y – 0) = 0 అంటే x – 3y – 1 = 0.
3x + y − 3 = 0, x – 3y – 1 = 0 లు కావలసిన సమీకరణాలు [పటంలో ∆ABC, ∆ADE లు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు. వాటిలో \(\overline{\mathrm{BC}}\), \(\overline{\mathrm{DE}}\)లు మూడవ భుజాలు].

ప్రశ్న 9.
2x² + 5xy + 2y² – 5x – 7y + 3 = 0 3° సూచించే సరళరేఖల మధ్య లఘుకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 2, b = 2, h = \(\frac{5}{2}\)
cos θ = \(\frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}=\frac{|2+2|}{\sqrt{(2-2)^2+4 \cdot \frac{25}{4}}}=\frac{4}{5}\)
θ = cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\)

ప్రశ్న 10.
మూలబిందువు గుండా పోతూ 2x² + 3xy – 2y² – 5x + 5y – 3 = 0 తో సూచించే సరళరేఖలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణము
2x² + 3xy – 2y² – 5x + 5y – 3 = 0
మూలబిందువు గుండా పోతూ సమాంతర రేఖల సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0; 2x² + 3xy – 2y² = 0

ప్రశ్న 11.
మూలబిందువు గుండా పోతూ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 తో సూచించే సరళరేఖలకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
మూలబిందువు గుండా పోయే సమూహ రేఖల సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
మూలబిందువు గుండా పోతూ లంబంగా ఉండే రేఖల
సమీకరణము
bx² – 2hxy + ay² = 0

ప్రశ్న 12.
x² + xy – 2y² + 4x – y + k = 0 రెండు సరళరేఖలను సూచిస్తే, k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 1, b = – 2, c = k; f = –\(\frac{1}{2}\), g = 2, h = \(\frac{1}{2}\)
నియమము abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0
2k + 2(-\(\frac{1}{2}\)) . 2 \(\frac{1}{2}\) – 1 . \(\frac{1}{4}\) + 2 . \(\frac{4}{a}\) – k \(\frac{1}{4}\) = 0
-8k – 4 – 1 + 8 – k = 0
9k = 27 ⇒ k = 3

ప్రశ్న 13.
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 అనే సమీకరణం ఒక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
a = 2 ; f = \(\frac{7}{2}\)
b = -6 ; g = 0
c = -2 ; h = \(\frac{1}{2}\)
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 2(-6) (-2) + 2. \(\frac{7}{2}\) 0 \(\frac{1}{2}\) – 2 \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\) + 6 . 0 + 2 . \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
= 24 – \(\frac{49}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
h² – ab = \(\frac{1}{4}\) + 12 > 0,
g² – ac = 0 + 4 = 4 > 0
f² – bc = \(\frac{49}{4}\) – 12 = \(\frac{1}{4}\) > 0
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 14.
2x² + 3xy – 2y² – x + 3y – 1 = 0 సమీకరణం రెండు లంబరేఖలను సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
a = 2 ; f = \(\frac{3}{2}\)
b = -2 ; g = –\(\frac{1}{2}\)
c = -1 ; h = \(\frac{3}{2}\)
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 2(-2) (-1) + 2 . \(\frac{3}{2}\) (-\(\frac{1}{2}\)) . \(\frac{3}{2}\) – 2 . \(\frac{9}{4}\) + 2 . \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1.9}{4}\)
= 4. – \(\frac{9}{4}\) – 2 . \(\frac{9}{4}\) + \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{9}{4}\)
= \(\frac{9}{2}\) – \(\frac{9}{2}\) = 0
h² – ab = \(\frac{9}{4}\) + 4 = \(\frac{25}{4}\) > 0
g² – ac = \(\frac{1}{4}\) + 2 > 0
f² – bc = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0
a + b = 2 – 2 = 0
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 15.
2x² – 13xy – 7y² + x + 23y – 6 = 0 సమీకరణం ఒక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించి వాటి మధ్యకోణాన్ని, వాటి ఖండన బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట a = 2 ; f = \(\frac{23}{2}\)
b = -7 ; g = \(\frac{1}{2}\)
c = – 6 ; h = –\(\frac{13}{2}\)
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 2(-7) (-6) + 2 . \(\frac{23}{2}\) . \(\frac{1}{2}\) (-\(\frac{13}{2}\)) – 2 \(\frac{529}{4}\) + 7 . \(\frac{1}{4}\) + 6 . \(\frac{169}{4}\)
= \(\frac{1}{4}\) (336 – 299 – 1058 + 7 + 1014)
= \(\frac{1}{4}\) (1357 – 1357) = 0
h² – ab = \(\frac{169}{4}\) + 14 > 0,
g² – ac = \(\frac{1}{4}\) + 12 > 0,
f² – bc = \(\frac{529}{4}\) – 42 > 0
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 16.
λ యొక్క ఏ విలువకు λx² – 10xy + 12y² + 5x – 16y – 3 = 0 అనే సమీకరణం ఒక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది ?
సాధన:
ఇచ్చట a = λ ; f = -8
b = 12 ; g = \(\frac{5}{2}\)
c = -3 ; h = -5
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0
– 36λ + 2(-8) \(\frac{5}{2}\) (-5) -λ.64 – 12 . \(\frac{25}{4}\) + 3.25 = 0
-36λ + 200 – 64λ – 75 + 75 = 0
100λ = 200 ⇒ λ = 2 ⇒ a = 2
h² – ab = 25 – 24 = 1 > 0
f² – bc = 64 + 36 = 100 > 0
g² – ac = \(\frac{25}{4}\) + 6 = \(\frac{49}{4}\) > 0
∴ λ = 2 విలువలకు దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 17.
6x² – 5xy – 6y² = 0, 6x² – 5xy – 6y² + x + 5y – 1 = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక చతురస్రం ఏర్పడుతుందని నిరూపించండి.
సాధన:
H ≡ 6x² – 5xy – 6y² = (3x + 2y) (2x – 3y)
మరియు S ≡ 6x² – 5xy – 6y² + x + 5y – 1.
=(3x + 2y – 1) (2x – 3y + 1)
అందువల్ల H = 0, S = 0 లు లంబ రేఖా యుగ్మాలను సూచిస్తాయి. ఇంకా H = 0 సూచించే రేఖలు = 0. సూచించే రేఖలకు సమాంతరం. అందువల్ల నాలుగు దత్త రేఖలతో దీర్ఘచతురస్రం ఏర్పడుతుంది.
ఎదుటి భుజాల మధ్య దూరము 3x + 2y = 0 మరియు 3x + 2y – 1 = 0 \(\left(=\frac{1}{\sqrt{13}}\right)\) ఇది రెండవ జత ఎదుటి 3x + 2y – 1 = 0 భుజము కూడ 2x – 3y = 0 మరియు 2x – 3y + 1 = 0 లకు సమానము. కనుక దీర్ఘచతురస్రము, చతురస్రము కూడా

ప్రశ్న 18.
8x² – 24xy + 18y² – 6x + y – 5 = 0 అనే సమీకరణం రెండు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుందని నిరూపించి వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ 8x² – 24xy + 18y² – 6x + 9y – 5
= 2(2x – 3y)² – 3(2x – 3y) – 5
= [2(2x – 3y) – 5] [(2x – 3y) + 1]
= (4x – 6y – 5) (2x – 3y + 1) = 0
దత్త రేఖలు 4x – 6y – 5 = 0, 2x – 3y + 1 = 0
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-6}{-3}\) = 2
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)
∴ దత్త సమీకరణము సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుంది.
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరము
= \(2 \sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\) = \(2 \sqrt{\frac{9+40}{8(8+18)}}\)
= \(\frac{2.7}{2 \sqrt{52}}=\frac{7}{\sqrt{52}}\)

ప్రశ్న 19.
ax² + 2hxy + by² = 0, ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక సమచతుర్భుజం ఏర్పడితే (a – b) fg + h(f² – g²) = 0 అని నిరూపించండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² = 0
AC, BC ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
ఖండన బిందువు C = \(\left(\frac{h f-b g}{a b-h^2}, \frac{g h-a f}{a b-h^2}\right)\)
వికర్ణం సమీకరణము y = \(\frac{g h-a f}{h f-b g}\) . x
y(hf – bg) = x(gh – af)
(gh – af) x – (hf – bg) y = 0

A, B లు రెండు రేఖా యుగ్మాల మీది బిందువులు
AB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
2gx + 2fy + c = 0
OACB సమచతుర్భుజం
OC, AB లు లంబంగా ఉన్నాయి.
2g(gh – af) – 2f(hf – bg) = 0
hg² – afg – hf² + bfg = 0
(a – b) fg + h(f² – g²) = 0

ప్రశ్న 20.
ax² + 2hxy + by² = 0 తో సూచించే సరళరేఖలు ఒక సమాంతర చతుర్భుజ రెండు భుజాలు, ఆ సమాంతర చతుర్భుజం ఒక వికర్ణం సమీకరణం px + qy = 1 అయితే, రెండవ వికర్ణం సమీకరణం y(bp – hq) = x(aq – hp) అని నిరూపించండి.
సాధన:
OACB సమాంతర చతుర్భుజం \(\overleftrightarrow{\mathrm{OA}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}\) ల సమీకరణము
H ≡ ax² + 2hxy + by² = 0. మిగిలిన రెండు భుజాలు \(\overleftrightarrow{\mathrm{AC}}, \overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) లు వరుసగా \(\overleftrightarrow{\mathrm{OB}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OA}}\) కి సమాంతరాలు కనుక
S ≡ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0.
వికర్ణం \(\overleftrightarrow{A B}\) సమీకరణము.
(18 సమస్య నుండి) 2gx + 2fy + c = 0 దీని సమీకరణము
px + qy = 1 (లేదా) -pcx – qcy + c = 0
c ≠ 0

∴ 2g = – pc, 2f = – qc ………………. (1)
శీర్షం C నిరూపకాలు = \(\left(\frac{h f-b g}{a b-h^2}, \frac{g h-a f}{a b-h^2}\right)\)
∴ వికర్ణం \(\overleftrightarrow{O C}\) సమీకరణము
(gh – af) x = (hf – bg)y
i.e., c(-ph + aq) x = c(-hq + bp)y (1) వలన
(లేదా) (aq – hp) x = (bp – hq) y (కనుక c ≠ 0)

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 3 సరళరేఖ which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 3 సరళరేఖ

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
బిందువు (2, 3) గుండా పోతూ నిరూపకాక్షాలతో చేసే శూన్యేతర అంతరఖండాల మొత్తము సున్న అయ్యే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. 12]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
b = -a అని ఇవ్వబడింది.
రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1 ⇒ x – y = a
ఈ రేఖ (2, 3) గుండా పోతుంది.
2 -3 = a ⇒ a = -1
రేఖ సమీకరణము
x – y = – 1 లేదా x – y + 1 = 0

ప్రశ్న 2.
(at₁², 2at₁), (at₂², 2at₂) బిందువుల ద్వారా పోయే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
దత్త బిందువుల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
(x – x₁) (y₁ – y₂) = (y – y₁) (x₁ – x₂)
(x – at₁) (2at₁ – 2at₂)
= (y – 2at₁) (at₁² – at₂²)
(x – at₁²) . 2a(t₁ – t₂) = (y – 2at₁=) a. (t₁² – t₂²)
2x -2at₁² = y(t₁ + t₂) – 2at₁² – 2at₁t₁
2x – (t₁ + t₂)y + 2at₁t₂ = 0

ప్రశ్న 3.
A (- 1, 3) బిందువు గుండా పోతూ B(2, – 5), C(4, 6) బిందువులగుండా పోయే సరళరేఖకు i) సమాంతరంగా, ii) లంబంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [May 11]
సాధన:
BC వాలు = \(\frac{-5-6}{2-4}=\frac{-11}{-2}=\frac{11}{2}\)

i) కావలసిన రేఖ BC కి సమాంతరము మరియు A(-1, 3)
గుండా పోతుంది.
సమాంతర రేఖ సమీకరణము
y – 3 = \(\frac{11}{2}\) (x + 1)
2y-6= = 11x + 11
11x – 2y + 17= 0

ii) దత్త రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
ఈ రేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{2}{11}\)
ఈ రేఖ A (-1, 3) గుండా పోతుంది. కావలసిన రేఖ సమీకరణము
y – 3 = –\(\frac{2}{11}\) (x + 1)
11y – 33 = -2x – 2
2x + 11y – 31 = 0

ప్రశ్న 4.
(1, 11), (2, 15), (-3, -5) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి. ఈ బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(1, 11), B(2, 15), C (-3, -5) లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – y₁) (x₁ – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 11) (1 – 2) = (x – 1) (11 – 15)
– (y – 11) = – 4 (x – 1)
– y + 11 = – 4x + 4
4x – y + 7 = 0
C నిరూపకాలు (-3, -5)
4x – y + 7 = 4(−3) + 5 + 7
-12 + 12 = 0
C బిందువు AB మీద ఉంది.
A, B, C లు సరేఖీయాలు,
ఈ బిందువుల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
4x – y + 7 = 0

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖ A(1, 2) గుండా పోతూ X- అక్షం ధన దిశతో అపసవ్య దిశలో tan^-1\(\frac{4}{3}\) కోణం చేస్తుంది. ఆ సరళరేఖపై A నుంచి 5 యూనిట్ల దూరంలోగల బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన:

దత్తాంశం α = tan^-1\(\frac{4}{3}\) ⇒ tan α = \(\frac{4}{3}\)

cos α = \(\frac{3}{5}\)
sin α = \(\frac{4}{5}\)
(x₁, y₁) = (1, -2) = x₁ = 1, y₁ = -2
సందర్భం : i) r = 5
x = x₁ + r cos α = 1 – 5. \(\frac{3}{5}\) = 1 + 3 = 4
y = y₁ + r sin α = – 2 + 5. \(\frac{4}{5}\) = -2 + 4 = 2
B నిరూపకాలు (4, 2)

సందర్భం : ii) r = -5
x = x₁ + r cos α = 1 – 5. \(\frac{3}{5}\) = 1 – 3 = -2
y = y₁ + r sin α = -2 – 5 . \(\frac{4}{5}\) = -2 – 4 = -6
C నిరూపకాలు (- 2, – 6)

ప్రశ్న 6.
రేఖ y = \(\sqrt{3}\)x కు సమాంతరంగా ఉంటూ Q(2, 3) గుండా పోయే ఒక సరళరేఖ, 2x + 4y – 27 = 0 రేఖను P వద్ద ఖండిస్తుంది. PQ దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ రేఖ y = \(\sqrt{3}\)xకు సమాంతరము.
tan α = \(\sqrt{3}\) = tan 60°
α = 60°
Q(2, 3) దత్త బిందువు.

ఏదేని బిందువు P నిరూపకాలు
(x₁ +r cos α, y₁ + r sin α)
(2 + r cos 60°, 3 + r sin 60°)
P (2 + \(\frac{r}{2}\), 3 + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) r)
P బిందువు 2x + 4y – 27 = 0 రేఖ మీద ఉంది.
2 \(\left(2+\frac{r}{2}\right)\) + 4 \(\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2} r\right)\) – 27 = 0
4 + r + 12 + 2\(\sqrt{3}\)r – 27 = 0
r(2\(\sqrt{3}\) + 1) = 27 – 6 = 11
r = \(\frac{11}{2 \sqrt{3}+1} \cdot \frac{2 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{3}-1}\)
= \(\frac{11(2 \sqrt{3}-1)}{11}\)
PQ = |r| = 2\(\sqrt{3}\) – 1

ప్రశ్న 7.
3x + 4y + 12 = 0 సమీకరణాన్ని
i) వాలు – అంతరఖండ రూపం
ii) అంతరఖండ రూపం
iii) అభిలంబరూపంలోకి మార్చండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 3x + 4y + 12 = 0
i) వాలు – అంతరఖండ రూపము :
4y = -3x – 12
y = \(\left(-\frac{3}{4}\right)\)x + (-3)
వాలు = –\(\frac{3}{4}\), y – అంతరఖండము = – 3.

ii) అంతరఖండ రూపము :
-3x – 4y = 12
–\(\frac{3 x}{12}-\frac{4 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{(-4)}+\frac{y}{(-3)}\) = 1
x – అంతరఖండము = – 4, y – అంతరఖండము = -3

iii) అభిలంబ రూపము :
-3x – 4y = 12
\(\sqrt{9+16}\) = 5 తో భాగించగా
\(\left(-\frac{3}{5}\right) x+\left(-\frac{4}{5}\right) y=\frac{12}{5}\)
cos α = \(\frac{-3}{5}\), sin α = – \(\frac{4}{5}\) అనుకుంటే
p = \(\frac{12}{5}\)
x cos α + y sin α = p
α మూడవ పాదంలో కోణం అనుకొంటే
α = л + tan^-1 \(\left(\frac{4}{3}\right)\)

ప్రశ్న 8.
x = 0, y = 0, 3x + 4y = a (a > 0) సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజవైశాల్యం 6 అయితే, a విలువ కనుక్కోండి. [May ’11]
సాధన:
రేఖ సమీకరణము 3x + 4y = a
\(\frac{3 x}{a}+\frac{4 y}{a}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{a}{3}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{a}{4}\right)}\) = 1
OA = x – అంతరఖండము = \(\frac{a}{3}\),
OB = y – అంతరఖండము = \(\frac{a}{4}\)
∆ OAB = \(\frac{1}{2}\) |OA . OB|
= \(\frac{1}{2}\left|\frac{a}{3} \cdot \frac{a}{4}\right|=\frac{a^2}{24}\)
\(\frac{a^2}{2 a}\) = 6 ⇒ a² = 144
a = ± 12
a > 0 కనుక
∴ a = 12

ప్రశ్న 9.
2x – 3y + k = 0, 3x – 4y – 13 = 0, 8x – 11y – 33 = 0 రేఖలు అనుషక్తాలయితే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
L₁, L₂, L₃ లు దత్తరేఖల సమీకరణాలు
2x – 3y + k = 0 ……………….. (1)
3x – 4y – 13 = 0 ………………. (2)
8x – 11y – 33 = 0 ………………… (3)
(2), (3) లను సాధించగా

x = 11, y = 5
(2), (3) ల ఖండన బిందువు (11, 5)
దత్త రేఖలు L., L2, L, అనుషక్తాలు.
∴ L₁ చాపం (11, 5) బిందువు మీద ఉంది.
∴ 2(11) – 3(5) + k = 0
k = -7

ప్రశ్న 10.
ax + by + c = 0, bx + cy + a = 0, cx + ay + b = 0 సరళరేఖలు అనుశక్తాలయితే a³ + b³ + c³ = 3abc అని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
ax + by + c = 0 …………….. (1)
bx + cy + a = 0 ……………. (2)
cx + ay + b = 0 …………… (3)
(1), (2) లను సాధించగా ఖండన బిందువు

P బిందువు cx + y + b = 0 మీద ఉంది.
c\(\left(\frac{a b-c^2}{c a-b^2}\right)\) + a\(\left(\frac{b c-a^2}{c a-b^2}\right)\) + b = 0
c(ab – c²) + a (bc – a²) + b(ca – b²) = 0
abc – c³ + abc – a³ + abc – b³ = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc.

ప్రశ్న 11.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1, \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 సరళరేఖల ఖందన బిందువు గుండా పోయే ఒక చల సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B లలో ఖండిస్తోంది. \(\overline{\mathrm{A B}}\) మధ్య బిందువు బిందుపథ సమీకరణం 2(a + b) xy = ab(x + y) అని చూపండి.
సాధన:
దత్తరేఖల సమీకరణాలు
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
మరియు \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1
సాధించగా ఖండన బిందువు
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{a b}{a+b}, \frac{a b}{a+b}\right)\)
Q (x_o, y_o) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
⇔ x – అంతరఖండం 2x_o, y – అంతరఖండం 2y_o గల
⇔ P బిందువు \(\frac{x}{2 x_0}+\frac{y}{2 y_0}\) = 1 రేఖ మీద ఉంది.
.i.e., \(\frac{a b}{a+b}\left(\frac{1}{2 x_0}+\frac{1}{2 y_0}\right)\) = 1
⇒ \(\frac{a b}{a+b} \cdot \frac{x_0+y_0}{2 x_0 y_0}\) = 0
ab(x_o + y_o) = 2(a + b) x_o y_o
Q(x_o, y_o) బిందువు వక్రం మీద ఉంది.
2(a + b)xy = ab(x + y)
AB మధ్య బిందుపథము 2(a + b)xy = ab(x + y)

ప్రశ్న 12.
a, b, c లు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే ax + by + c = 0 సమీకరణం ఒక అనుషక్త రేఖల కుటుంబాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి. అనుషక్త బిందువును కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు AP. లో ఉన్నాయి.
2b = a + c
a – 2b + c = 0
a.1 + b(-2) + c = 0.
ax + by + c = 0 కి లంబరేఖలు (1, -2) స్థిర బిందువు గుండా పోతున్నాయి.
∴ a, b, c లు పరామితులైతే, ax + by + c = 0 సూచించే రేఖలు అనుషక్తాలు.
∴ అనుషక్త బిందువు (1, 2).

ప్రశ్న 13.
4x – y + 7 = 0, kx – 5y – 9 = 0 సరళరేఖల మధ్యకోణం 45° అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
2(4k + 5)² = 17(k² + 25)
2(16k² + 40k + 25) = 17k² + 425
32k² + 80k + 50 = 17k² + 425
15k² + 80k – 375 = 0
3k² + 16k – 75 = 0
(k – 3) (3k + 25) = 0
k = 3 లేదా -25/3

ప్రశ్న 14.
(x_o, y_o) బిందువు గుండా పోతూ ax + by + c = 0 సరళరేఖకు (i) సమాంతరంగా ii) లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణముax + by + c = 0
i) సమాంతర రేఖ సమీకరణము ax + by = k …………….. (1)
ఈ రేఖ P(x_o, y_o) గుండా పోతుంది.
ax_o + by_o = k ……………… (2)
(1) నుండి (2) తీసివేయగా కావలసిన రేఖ సమీకరణము
a(x – x_o) + b(y – y_o) = 0

ii) లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
bx – ay = k
ఈ రేఖ P(x_o, y_o) గుండా పోతుంది.
⇒ bx_o – ay_o = k
తీసివేయగా, కావలసిన రేఖ సమీకరణము
b(x – x_o) – a(y – y_o) = 0

ప్రశ్న 15.
5x – 2y = 7 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ 2x + 3y = 1, 3x + 4y = 6 రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖలు L₁ = 2x + 3y – 1 = 0
L₂ = 3x + 4y – 6 = 0
L₁ = 0, L₂ = 0 ల ఖండన బిందువు గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂
(2x + 3y – 1) + k(3x + 4y – 6) = 0
(2 + 3k)x + (3 + 4k)y – (1 + 6k) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 5x – 2y = 7 కు లంబము. ……………….. (2)
a₁a₂ + b₁b₂ = 0
5(2 + 3k) – 2(3 + 4k) = 0
10 + 15k – 6 – 8k = 0
7k = – 4 ⇒ k = – 4/7
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన రేఖ సమీకరణము
(2 – \(\frac{12}{7}\))x + (3 – \(\frac{16}{7}\))x – (1 – \(\frac{24}{7}\)) = 0
\(\frac{2}{7}\)x + \(\frac{5}{7}\)y + \(\frac{17}{7}\) = 0
⇒ 2x + 5y + 17 = 0

ప్రశ్న 16.
(3, – 4), (a, B) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని రేఖ 2x – 3y – 5 = 0 లంబ సమద్విఖండన చేస్తే α + β విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
(α, β) అనేది
2x – 3y – 5 = 0 రేఖ దృష్ట్యా (3, -4) ప్రతిబింబం (α, β).
\(\frac{\alpha-3}{2}=\frac{\beta+4}{-3}=\frac{-2(6+12-5)}{4+9}\) = -2
α – 3 = – 4 ⇒ a = -1
β + 4 = 6 ⇒ β = 2
α + β = 1 + 2 = 1

ప్రశ్న 17.
ax + by + p = 0, ax + by + q = 0, cx + dy + r = 0, cx + dy + s = 0 అనే నాలుగు సరళరేఖలు ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరిస్తే ఆ విధంగా ఏర్పడే సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం \(\left|\frac{(p-q)(r-s)}{b c-a d}\right|\) అని చూపండి.
సాధన:
L₁, L₂, L₃, L₄ లు రేఖల సమీకరణాలు
L₁ ≡ ax + by + p = 0;
L₂ ≡ ax + by + q = 0
L₃ ≡ cx + dy + r = 0.
L₄ ≡ cx + dy + s = 0
L₁, L₂ లు సమాంతరాలు. L₃, L₄ లు సమాంతరాలు.

ప్రశ్న 18.
ఒక లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క కర్ణం చివరి బిందువులు (1, 3), (−4, 1). ఆ త్రిభుజం యొక్క లంబ భుజాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 3), B = (-4, 1) అని \(\overline{A B}\) కర్ణంగా కలిగిన లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని ABC అని అనుకుంటే,
\(\stackrel{\leftrightarrow}{A C}, \stackrel{\leftrightarrow}{B C}\) ల సమీకరణాలను కనుక్కోవాలి.
\(\overleftrightarrow{A B}\) యొక్క వాలు’ = \(\frac{1-3}{-4-1}=\frac{2}{5}\) కాబట్టి \(\overleftrightarrow{A C}, \stackrel{\leftrightarrow}{B C}\) లు ఊర్ద్వ రేఖలు కావు.
\(\overleftrightarrow{A C}\) యొక్క వాలును m అనుకొంటే,

⇒ \(\frac{5 m-2}{5+2 m}\) ± 1
⇒ m = \(\frac{7}{3}\) లేదా \(\frac{-3}{7}\)
\(\overleftrightarrow{A C}\) వాలును \(\frac{7}{3}\) అనుకొంటే, \(\overleftrightarrow{B C}\) వాలు
\(\frac{-3}{7}\) అవుతుంది.
\(\overleftrightarrow{A C}\), \(\overleftrightarrow{B C}\) సమీకరణాలు వరసగా
y – 3 = \(\frac{7}{3}\) (x – 1), y – 1 = –\(\frac{3}{7}\) (x + 4).
ఇవి వరసగా 7x – 3y + 2 = 0, 3x + 7y + 5 = 0 అవుతాయి.
AB గుండా \(\overleftrightarrow{B C}\), \(\overleftrightarrow{A C}\) లకు సమాంతరంగా గీసిన సరళరేఖలు D వద్ద ఖండించుకొంటే, ∆ABD కూడా \(\overline{\mathrm{AB}}\) కర్ణంగా గల లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం అవుతుంది.
\(\overleftrightarrow{A D}\), \(\overleftrightarrow{B D}\) ల సమీకరణాలు వరసగా
3(x – 1) + 7(y – 3) = 0, 7(x + 4) – 3(y – 1) = 0 లు
అంటే 3x + 7y − 24 = 0, 7x – 3y + 31 = 0.
∴ కావలసిన లంబభుజాల సమీకరణాలు
7x – 3y + 2 = 0, 3x + 7y + 5 = 0
లేదా 3x + 7y – 24 = 0, 7x – 3y + 31 = 0.
గమనిక : ADBC ఒక చతురస్రమవుతుంది.

ప్రశ్న 19.
ఒక సరళరేఖ 5x + y + 4 = 0, 3x + 4y – 4 = 0 అనే సరళరేఖల మధ్య చేసే అంతర ఖండం యొక్క మధ్య బిందువు (1, 5) అయితే, ఆ సరళ రేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన సరళరేఖ 3x + 4y – 4 = 0 ను A వద్ద 5x y + 4 = 0 ను B వద్ద ఖండిస్తుందనుకొందాం. అప్పుడు ఇచ్చిన
సరళరేఖల మధ్య ఉన్న అంతర ఖండం \(\overleftrightarrow{A B}\) అవుతుంది.
\(\overleftrightarrow{A B}\) మధ్య బిందువును C అనుకొంటే C = (1, 5) అవుతుంది.
5x – y + 4 = 0 ను y = 5x + 4 గా రాయవచ్చు. కాబట్టి \(\overleftrightarrow{B X}\) మీద ఏదైనా బిందువును (t, 5t + 4), (t వాస్తవ సంఖ్యగా) రాయవచ్చు.
కాబట్టి ఏదో ఒక t విలువకు B = (t, 5t + 4) అవుతుంది.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క మధ్య బిందువు (1, 5) కాబట్టి,
A = [2 – t, 10 – (5t + 4)]
= [2 -t, 6 – 5t] అవుతుంది.
A బిందువు 3x + 4y – 4 = 0 మీద ఉండటం వల్ల,
3(2 – t) + 4(6 – 5t) – 4 = 0 అవుతుంది.
⇒ -23t + 26
⇒ t = \(\frac{26}{23}\)

\(\overleftrightarrow{A B}\) సమీకరణం y – 5 = latex]\frac{107}{3}[/latex] (x – 1).
⇒ 3y – 15 = 107x – 107
⇒ 107x – 3y – 92 = 0

ప్రశ్న 20.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క అంతర కేంద్రం మూల బిందువు వద్ద ఉంది. ఒక భుజం x + y – 2 = 0 మీద ఉంటే ఈ భుజానికెదురుగా నున్న శీర్షాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
సమబాహు త్రిభుజాన్ని ABC అని, x + y + 2 = 0 మీద
\(\overline{\mathrm{BC}}\) భుజం ఉందనుకొందాం.
ABC త్రిభుజం యొక్క అంతర కేంద్రం మూల బిందువు O కాబట్టి, ∠BAC యొక్క సమద్విఖండన రేఖను \(\overleftrightarrow{A D}\) అనుకొంటే, \(\overleftrightarrow{A D}\) అనేది \(\overleftrightarrow{B C}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది. ∆ABC సమబాహు త్రిభుజం అవడం వల్ల O, కేంద్రభాసం కూడా అవుతుంది. కాబట్టి AO: OD = 2 : 1. కేంద్రభాసం, అంతర కేంద్రం, పరికేంద్రం, లంబకేంద్రాలు ఏకీభవిస్తాయి]
D = (h, k) అనుకొందాం. నుంచి \(\overleftrightarrow{B C}\) మీదకు గల లంబపాదం D, కాబట్టి

\(\frac{h-0}{1}=\frac{k-0}{1}=\frac{-(-2)}{2}\) = 1
∴ h = 1, k = 1
D = (1, 1).
A = (x₁, y₁) అనుకొంటే, (0,0) = \(\left(\frac{2+x_1}{3}, \frac{2+y_1}{3}\right)\)
∴ x₁ = -2, y₁ = -2.
కావలసిన శీర్షం A = (-2, -2).

ప్రశ్న 21.
(−5, -7), (13, 2), (−5, 6) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం లంబకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(-5, -7), B(13,2), (5, 6) లు త్రిభుజ శీర్షాలు.
A నుండి BC కి లంబం AD
B నుండి AC కి లంబము BE.

\(\overleftrightarrow{A D}\) సమీకరణము
9x – 2y = 45 + 14 = -31 ……………….. (1)
\(\overleftrightarrow{A C}\) సమీకరణము x = -5 ఇది ఊర్ధ్వరేఖ
\(\overleftrightarrow{B E}\) సమీకరణము y = 2. ……………….. (2)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు (−3, 2).
ఇది ∆ ABC లంబకేంద్రము

ప్రశ్న 22.
7x + y – 10 = 0, x – 2y + 5 = 0, x + y + 2 = 0 లు ఒక త్రిభుజం సమీకరణాలైతే త్రిభుజం లంబకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
∆ ABC దత్త త్రిభుజము
x – 2y + 5 = 0 ……………. (1)
7x + y – 10 = 0 ………………. (2)
x + y + 2 = 0 ……………… (3)

\(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{B C}\), A, B ల నుండి భుజాల మీదకు గీయబడి ఉన్నాయి.
(1), (3) లను సాధిస్తే A నిరూపకాలు = (-3, 1).
\(\overleftrightarrow{A D}\) ⊥ \(\overleftrightarrow{B C}\) కనుక \(\overleftrightarrow{A D}\) సమీకరణము
x – 7y = -3 – 7 = -10 …………….. (4)
(1), (2) లను సాధించగా B నిరూపకాలు = (1, 3).
\(\overleftrightarrow{B E}\) ⊥ \(\overleftrightarrow{A C}\) కనుక \(\overleftrightarrow{B E}\) సమీకరణము
x – y = 1 – 3 = -2 ………………. (5)
(4), (5) ల ఖండన బిందువు \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{4}{3}\right)\)
∆ ABC లంబకేంద్రం.

ప్రశ్న 23.
(1, 3), (–3, 5), (5, -1) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
త్రిభుజ శీర్షాలు
A(1, 3), B(-3, 5), (5, -1),
\(\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CA}}\) ల మధ్య బిందువు D(1, 2), E(3, 1).
\(\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CA}}\) ల లంబ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువు S అనుకొనుము.

(1), (2) లను సాధిస్తే 5 – (-8, -10) ∆ ABC యొక్క పరికేంద్రం.

ప్రశ్న 24.
3x – y – 5 = 0, x + 2y – 4 = 0, 5x + 3y + 1 = 0 లు భుజాలుగా గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి. [May ’11, ’05; Mar. ’06]
సాధన:
∆ ABC భుజాలు BC, CA, AD ల సమీకరణాలు వరుసగా
3x – y – 5 = 0, x + 2y – 4 = 0 మరియు 5x + 3y + 1 = 0
రెండేసి సమీకరణాలను తీసుకుని A(-2, 3), B(1, -2), C(2, 1).
\(\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CA}}\) ల మధ్య బిందువుల నిరూపకాలు వరుసగా
D = \(\left(\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\right)\), E = (0, 2).

\(\overline{\mathrm{BC}}\) లంబ సమద్విఖండన రేఖ \(\stackrel{\leftrightarrow}{S D}\) సమీకరణము x + 3y = 0, \(\overline{\mathrm{AC}}\) లంబ సమద్విఖండన రేఖ 2x + y + 2 = 0 రేఖ సమీకరణము.
ఈ రెండు సమీకరణాలను సాధిస్తే, S\(\left(\frac{-6}{7}, \frac{2}{7}\right)\)
ఇది ∆ ABC పరికేంద్రము

ప్రశ్న 25.
y = \(\sqrt{3}\)x, y = –\(\sqrt{3}\)x, y = 3 సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:

y = \(\sqrt{3}\)x, y = –\(\sqrt{3}\)x రేఖలు X – అక్షంలో వరుసగా 60°, 120° కోణాలు చేస్తున్నాయి.
y = 3 క్షితిజ సమాంతర రేఖ.
ఈ రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం పరావలయం
O(0, 0), A(\(\sqrt{3}\), 3), D(-\(\sqrt{3}\), 3) లు సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు.
∴ అంతర కేంద్రము \(\left(\frac{0+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}, \frac{0+3+3}{3}\right)\)
= (0, 2).

ప్రశ్న 26.
ఒక సరళరేఖ మూల బిందువు నుంచి 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉండి, మూల బిందువు నుంచి ఆ రేఖకు గీసిన అభిలంబ కిరణం x- అక్షం ధన దిశతో 135° కోణం చేస్తే, అ సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సరళ రేఖ సమీకరణం x cos αx + y sin α = p
p = 4, α = 135°
అంటే \(x\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)+y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) = 4
లేదా x – y + 4\(\sqrt{2}\) = 0

ప్రశ్న 27.
x + y + 1 = 0 సమీకరణాన్ని అభిలంబ రూపంలోకి మార్చండి. సాధన. x + y + 1 = 0
సాధన:
x + y + 1 = 0
⇔ \(\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) x+\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
⇔ x cos \(\frac{5 \pi}{4}\) + y sin \(\frac{5 \pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
అందువల్ల దత్త సరళరేఖ సమీకరణానికి అభిలంబ రూపం
x cos \(\frac{5 \pi}{4}\) + y sin \(\frac{5 \pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అని, మూలబిందువు నుంచి ఆ రేఖ దూరం \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అని స్పష్టం.

ప్రశ్న 28.
2x + y + 4 y – 3x = 7 రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖల మధ్యకోణం = cos^-1 \(\frac{-6+1}{\sqrt{5 \times 10}}\)
= cos^-1\(\left[\frac{5}{\sqrt{2}}\right]\)
= cos^-1 \(\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 29.
(-1, 3) నుంచి 5x – y – 18 = 0 సరళరేఖ మీదికి లంబపాదం కనుక్కోండి.
సాధన:
(-1, 3) నుంచి 5x – y – 18 = 0 రేఖ మీదికి లంబపాదం (h, k)
⇒ \(\frac{h-(-1)}{5}=\frac{k-3}{-1}=-\frac{(-5-3-18)}{5^2+1^2}\) = 1
⇒ h + 1 = 5, k – 3 = -1
⇒ (h, k) = (4, 2)

ప్రశ్న 30.
3x + 4y – 3 = 0, 6x + 8y – 1 = 0 సమాంతర రేఖల మధ్యదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సరళరేఖల సమీకరణాలను 6x + 8y – 6 = 0,
6x + 8y – 1 = 0
ఇప్పుడు \(\frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) నుంచి ఈ సమాంతర రేఖల
మధ్యదూరం = \(\frac{-6+1}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 31.
\(\sqrt{3}\)x + y + 1 = 0, x + 1 = 0 రేఖల మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\sqrt{3}\)x + y + 1 = 0 సరళరేఖవాలు – \(\sqrt{3}\) కావడంతో అది x-అక్షంతో 60° కోణం చేస్తుంది. అందువల్ల ఆరేఖ y-అక్షంతో 30° కోణం చేస్తుంది. కాని x + 1 = 0 సమీకరణం ఒక ఊర్ద్వ రేఖను సూచిస్తుంది. కాబట్టి దత్తరేఖల మధ్యకోణం = 30°.

ప్రశ్న 32.
x + y + 1 = 0, 2x – y + 5 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండాను (5, -2) బిందువు గుండాను. పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(5, -2) బిందువు 2x – y + 5 = 0 రేఖ మీద లేదు. కాబట్టి ఈ రేఖ నుంచి విభిన్నంగా ఉంటూ, దత్త రేఖల ఖండన బిందువు గుండాపోయే ఏదైనా రేఖ సమీకరణం
(x + y + 1) + λ (2x − y + 5) = 0 రూపంలో ఉంటుంది.
ఈ రేఖ (5, −2) బిందువు గుండా పోవాలంటే 4 + λ (17) = 0.
లేదా λ = – \(\frac{4}{17}\) కావాలి. అందువల్ల కావలసిన రేఖ సమీకరణం
17(x + y + 1) -4
(2x – y + 5) = 0
అంటే 9x + 21y – 3 = 0
లేదా 3x + 7y − 1 = 0

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 3 మాత్రికలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 3 మాత్రికలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
7 & 8 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
2 & -4 & -1
\end{array}\right]\) అయితే A + B కనుక్కోండి.
సాధన:
A + B = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
7 & 8 & 5
\end{array}\right]\) + \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
2 & -4 & -1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 3 & 0 \\
9 & 4 & 4
\end{array}\right]\)

ప్రశ్న 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & y-5 \\
2 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1+a
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1-x & 2 & -y \\
2 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\)
అయితే x, y, z, a విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
మాత్రికల సమానత్వం ప్రకారం
x – 1 = 1 – x ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
y – 5 = -y ⇒ 2y = 5 ⇒ y = \(\frac{5}{2}\)
z = 2 ⇒ z = 2
1 + a = 1 ⇒ a = 1 – 1 ⇒ a = 0

ప్రశ్న 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -\frac{1}{2} \\
0 & -1 & 2 \\
-\frac{1}{2} & 2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే మాత్రికA జాడ కనుక్కోండి. [Mar. ’04]
సాధన:
1, −1, 1 లు ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలు.
జాడ (A) = 1 + (-1) + 1 = 1

ప్రశ్న 4.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & -5 \\
-2 & 3
\end{array}\right]\) అయితే -5A కనుక్కోండి.
సాధన:
– 5A = -5\(\left[\begin{array}{cc}
4 & -5 \\
-2 & 3
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
-20 & 25 \\
10 & -15
\end{array}\right]\)

ప్రశ్న 5.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
\mathrm{i} & 0 & 1 \\
0 & -i & 2 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) అయితే Aకు సంకలన విలోమం కనుక్కోండి.
సాధన:
A కు సంకలన విలోమము -A = (-1)A
∴ A కు సంకలన విలోమము – (-1) \(\left[\begin{array}{ccc}
\mathrm{i} & 0 & 1 \\
0 & -\mathrm{i} & 2 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ccc}
-\mathrm{i} & 0 & -1 \\
0 & \mathrm{i} & -2 \\
1 & -1 & -5
\end{array}\right]\)

ప్రశ్న 6.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 1 \\
6 & -1 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3
\end{array}\right]\) అయితే A + B – X = 0 అయ్యేటట్లుగా X మాత్రికను కనుక్కోండి. మాత్రిక X తరగతి ఎంత ?
సాధన:
A + B = X = 0
⇒ X = A + B
= \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 1 \\
6 & -1 & 5
\end{array}\right]\) + \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
∴ X = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 5 & 0 \\
6 & -2 & 8
\end{array}\right]\)
∴ X మాత్రిక తరగతి 2 × 3.

ప్రశ్న 7.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 3
\end{array}\right]\) అయితే A – 3, 4B – 3A లను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
7 & 2
\end{array}\right]\), 2X + A = B అయితే మాత్రిక ‘X’ ను కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15, ’13]
సాధన:
2X + A = B ⇒ 2X = B – A
= \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
7 & 2
\end{array}\right]\) – \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 6 \\
4 & -2
\end{array}\right]\)
X = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}
2 & 6 \\
4 & -2
\end{array}\right]\)
∴ X = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)

ప్రశ్న 9.
I, II అనే రెండు కర్మాగారాలు, జెల్, బాల్, ఇంక్ అనే మూడు రకాల పెన్నులను తయారు చేస్తాయి. సెప్టెంబరు, అక్టోబరు నెలల్లో ఈ రెండు కర్మాగారాల అమ్మకాల విలువ కింది మాత్రికలలో ఇచ్చాం.
సెప్టెంబర్ నెల అమ్మకాలు (రూపాయలలో)

i) రెండు కర్మాగారాలకు సెప్టెంబర్, అక్టోబర్ లో మూడు రకాల పెన్నుల అమ్మకాల విలువ విడి విడిగా కనుక్కోండి.
ii) అక్టోబర్ లో తగ్గిన అమ్మకాల విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
i) రెండు కర్మాగారాల సెప్టెంబర్, అక్టోబర్ నెలల అమ్మకాల మొత్తం విలువ
జెల్ బాల్ ఇంక్

ii) అక్టోబర్ నెలలో తగ్గిన అమ్మకాలు

ప్రశ్న 10.
ఒక 3 × 2 మాత్రిక మూలకాలు a_ij = \(\frac{1}{2}\) |i – 3j| గా నిర్వచిస్తే, ఆ మాత్రికను నిర్మించండి. [T.S. Mar. ’15]
సాధన:
సాధారణంగా 3 × 2 మాత్రికను
A = \(\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right]\) గా సూచిస్తాం.
ఇప్పుడు a^ij = \(\frac{1}{2}\) |i – 3j| i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2
a₁₁ = \(\frac{1}{2}\) |1 – (3 × 1)| = 1
a₁₂ = \(\frac{1}{2}\) |1 – (3 × 2)| = \(\frac{5}{2}\)
a₂₁ = \(\frac{1}{2}\) |2 – (3 × 1)| = \(\frac{1}{2}\)
a₂₂ = \(\frac{1}{2}\) |2 – (3 × 2)| = 2
a₃₁ = \(\frac{1}{2}\) |3 – (3 × 1)| = 0
a₃₂ = \(\frac{1}{2}\) |3 – (3 × 2)| = \(\frac{3}{2}\)
∴ A = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & \frac{5}{2} \\
\frac{1}{2} & 2 \\
0 & \frac{3}{2}
\end{array}\right]\)

ప్రశ్న 11.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-1 & 0 \\
2 & -1
\end{array}\right]\) అయితే AB, BA లను కనుక్కోండి.
సాధన:
మాత్రిక A లో నిలువు వరుసల సంఖ్య, మాత్రిక Bలో అడ్డు
వరుసల సంఖ్య = 3
కనుక AB నిర్వచితం
AB = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-1 & 0 \\
2 & -1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
5 & -5 \\
7 & -8
\end{array}\right]\)
B మాత్రికలో నిలువ వరుసల సంఖ్య ≠ A మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్య
∴ BA నిర్వచితం కాదు.

ప్రశ్న 12.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
2 & 3 & -1 \\
-3 & 1 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\) లు వినిమయ న్యాయాన్ని పాటిస్తాయేమో పరిశీలించండి.
సాధన:
A, B లు రెండు 3వ తరగతి చతురస్ర మాత్రికలు.
కనుక AB, BA లు నిర్వచితం.

కనుక మాత్రిక గుణకారం వినిమయ ధర్మాన్ని పాటించదు.

ప్రశ్న 13.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
\mathrm{0} & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\) అయితే A² = −I, (i = – 1) అని చూపండి.
సాధన:
A² = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
\mathrm{0} & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
\mathrm{0} & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
i^2 & 0 \\
0 & i^2
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
= (-1) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) = -I

ప్రశ్న 14.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\) అయితే n యొక్క అన్ని ధనపూర్ణ విలువలకూ Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:
దత్త ప్రవచనాన్ని S(n) అనుకోండి.

∴ S(k + 1) నిజం
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం, n ∈ N కు S(n) నిజం.
∴ Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array}\right]\) ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 15.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A² – 4A – 5I = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & -5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
-1 & 5
\end{array}\right]\) అయితే A + B’ కనుక్కోండి.
3. A + B’
సాధన:
A + B’ = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & -5
\end{array}\right]\) + \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 5
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 5 & -1 \\
5 & 7 & 0
\end{array}\right]\)

ప్రశ్న 17.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే AA’ కనుక్కోండి. మాత్రికల గుణకారం దృష్ట్యా A, A’ లు వినిమయ ధర్మాన్ని పాటిస్తాయా ?
సాధన:

∵ AA’ ≠ A’A
A, A’ లు మాత్రికల గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయ ధర్మాన్ని పాటించవు.

ప్రశ్న 18.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -2 \\
-4 & 0 & 8 \\
2 & -8 & x
\end{array}\right]\) ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక అయితే ‘x’ విలువ ఎంత ?
సాధన:
A ఒక వక్ర సౌష్టవ మాత్రిక అయిన, దాని ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలు అన్నీ సున్నాలే. కనుక x = 0.

ప్రశ్న 19.
A ఒక n వ తరగతి చతురస్ర మాత్రిక అయితే Aను ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక, ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రికల మొత్తంగా ఏకైకంగా రాయవచ్చని నిరూపించండి.
సాధన:
A + A’ ఒక సౌష్టవ మాత్రిక
A – A’ ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక
∴ A = \(\frac{1}{2}\) (A + A) + \(\frac{1}{2}\) (A – A’)
B ఒక సౌష్ఠవ మాత్రిక, C ఒక వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక అయితే,
ఏకైకత నిరూపించడం కోసం A = B + C అనుకుందాం
అపుడు A’ = (B + C)’ = B’ + C’
= B + (C) = B – C
కనుక B = \(\frac{1}{2}\)(A + A’)
C = \(\frac{1}{2}\) (A – A’) అవుతాయి.

ప్రశ్న 20.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి. [‘Mar, ’05]
సాధన:

ప్రశ్న 21.
నిర్ధారకాన్ని విస్తరించకుండా
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{b}+\mathrm{c} & \mathrm{c}+\mathrm{a} & \mathrm{a}+\mathrm{b} \\
\mathrm{c}+\mathrm{a} & \mathrm{a}+\mathrm{b} & \mathrm{b}+\mathrm{c} \\
\mathrm{a}+\mathrm{b} & \mathrm{b}+\mathrm{c} & \mathrm{c}+\mathrm{a}
\end{array}\right|\) = 2\(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{b} & \mathrm{c} & \mathrm{a} \\
\mathrm{c} & \dot{\mathrm{a}} & \mathrm{b}
\end{array}\right|\)
అని చూపండి. [(A.P) Mar. ’15]
సాధన:

2\(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{b} & \mathrm{c} & \mathrm{a} \\
\mathrm{c} & \dot{\mathrm{a}} & \mathrm{b}
\end{array}\right|\) = R.H.S.

ప్రశ్న 22.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a) (ab + bc + ca) అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\)
R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – R₁
= \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
0 & b^2-a^2 & b^2-a^3 \\
0 & c^2-a^2 & c^3-a^3
\end{array}\right|\)

= -(a – b)(b – c)(c – a) [(c² + ca + a²) – (b + c + a) (c + a)]
= -(a – b)(b – c)(c – a) [c² + ca + a² – b(c + a) – (c + a)²]
= -(a – b) (b – c) (c – a) [c² + ca + a² – bc – ab – c² – 2ca – a²]
= -(a – b)(b – c)(c – a)[-ab – bc – ca]
= (a – b) (b – c) (c – a) (ab + bc + ca)
∴ \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a) (ab + bc + ca)

ప్రశ్న 23.
ω అనేది 1 యొక్క సంకీర్ణ ఘన మూలం అయితే \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి. [Mar. ’14, ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 24.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a-b-c & 2 a & 2 a \\
2 b & b-c-a & 2 b \\
2 c & 2 c & c-a-b
\end{array}\right|\) = (a + b + c)³ అని చూపండి. [May ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 25.
ఒక 3వ తరగతి వక్ర సౌష్ఠవ మాత్రిక నిర్ధారకం ఎప్పుడూ సున్నా అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\
x-4 & 2 x-9 & 3 x-16 \\
x-8 & 2 x-27 & 3 x-64
\end{array}\right|\) = 0 అయితే x విలువ కనుక్కోండి. [(T.S) Mar. 15, ’06]
సాధన:

⇒ (x – 2) (30 – 24) – (2x – 3) (10 – 6) + (3x – 4) (4 – 3) = 0
⇒ 6x – 12 – 8x + 12 + 3x – 4 = 0
x – 4 = 0
∴ x = 4

ప్రశ్న 27.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & -5
\end{array}\right]\) అయితే అను A, విలోమ మాత్రికను కనుక్కోండి.
సాధన:
|A| = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & -5
\end{array}\right]\) = -5 – 6 = -11 ≠ 0 .
A విలోమనీయం.

ప్రశ్న 28.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 3 \\
1 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 4
\end{array}\right]\) మాత్రికకు అనుబంధ మాత్రిక, విలోమ మాత్రికలను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 29.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right]\) కు విలోమ మాత్రికను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
det A = 1(4 – 3) – 2(6 – 3) + 1(3 – 2)
= 1 – 6 + 1 = -4
A లోని మూలకాల సహగుణావయాలు
A₁₁ =+ (4 – 3) = 1, A₁₂ = -(6 – 3) = -3,
A₁₃ = +(3 – 2) = 1, A₂₁ = -(4 – 1)= -3,
A₂₂ = +(2 – 1) = 1, A₂₃ = -(1 – 2) = 1,
A₃₁ = +(6 – 2) = 4, A₃₂ = -(3 – 3) = 0,
A₃₃ = + (2 – 6) = -4

ప్రశ్న 30.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే కోటి Aను ప్రాథమిక పరిక్రి యలను ఉపయోగించి కనుక్కోండి.
సాధన:

చివరి మాత్రిక అసాధారణం ; \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) అనే సాధారణ
ఉపమాత్రిక ఉంది.
కాబట్టి కోటి 2
∴ కోట (A) = 2.

ప్రశ్న 31.
A = \(\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\) అయితే కోటిని ప్రాథమిక పరిక్రియలను ఉపయోగించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 32.
a) మాత్రిక కోటి ఉపయోగించి క్రింది సమీకరణాలు సంగతమేమో పరీక్షించండి.
2xy + 3z = 8,
-x + 2y + z = 4,
3x + y – 4z = 0 సంగతమైతే సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:
సర్వ మాత్రిక

కోటి (A) = కోటి [AD] = 3
∴ కనుక దత్త వ్యవస్థ సంగతం.
ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
(F) నుంచి తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థను వ్రాస్తే
-x + 2y + z = 4
3y + 5z = 16
-38z = -76
∴ z = 2, y = 2, x = 2.

ప్రశ్న 33.
క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థ సంగతమని చూపి, పూర్తిగా సాధించండి.
x + y + z = 3,
2x + 2y – z = 3,
x + y – z = 1.
సాధన:
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & -1 \\
1 & 1 & -1
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) మరియు D = \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
3 \\
1
\end{array}\right]\)
దత్త సమీకరణ వ్యవస్థకు మాత్రికా సమీకరణం
AX = D
సర్వ మాత్రిక

పై మాత్రికలో ప్రతి 3వ తరగతి చతురస్ర ఉపమాత్రికా అసాధారణం. కాబట్టి కోటి [A] ≠ 3, కోటి [AD] ≠ 3
\(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -3
\end{array}\right]\) అనే సాధారణ మాత్రిక A కు, [AD] కు కూడా
ఉపమాత్రిక అవుతుంది.
కాబట్టి కోటి (A) = కోటి [AD] = 2
∴ దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ సంగతం. అనంత సాధనాలు ఉంటాయి.
(F) నుంచి తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థను వ్రాస్తే,
z + y + z = 3
-3z = -3 ⇒ z = 1
x + y = 2
∴ సాధన సమితి x = k, y = 2 – k, z = 1, k ∈ R.

ప్రశ్న 34.
క్రింది సమకాలిక సమీకరణాలను క్రేమర్ నియమం ఉపయోగించి సాధించండి.
3x + 4y + 5z = 18,
2x – y + 8z = 13,
5x – 2y + 7z = 20
సాధన:
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 5 \\
2 & -1 & 8 \\
5 & -2 & 7
\end{array}\right]\) ; X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\), D = \(\left[\begin{array}{l}
18 \\
13 \\
20
\end{array}\right]\)
i.e., AX = D

క్రేమర్ నియమం ఉపయోగించి
x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{408}{136}\) = 3,
y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{136}{136}\) = 1,
z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{136}{136}\) = 1
∴ దత్త సమీకరణ సాధన x = 3, y = z = 1.

ప్రశ్న 35.
3x + 4y + 5z = 18; 2x – y + 8z = 13x అయితే 5x − 2y + 7z = 20 లను మాత్రికా విలోమ పద్ధతిని సాధించండి. [(A.P) Mar. ’15, ’13, ’08]
సాధన:
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 5 \\
2 & -1 & 8 \\
5 & -2 & 7
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l}
18 \\
13 \\
20
\end{array}\right]\)
దత్త సమీకరణాల మాత్రికా రూపం AX = B
మాత్రికా విలోమ పద్ధతిని సాధన X = A^-1 B
det A = 3(-7 + 16) – 4(14 – 40) + 5(-4 + 5)
= 27 + 104 + 5
= 136
A లోని మూలకాల సహ గుణావయాలు
A₁₁ = +(-7 + 16) = 9,
A₁₂ = -(-14 – 40) = 26,
A₁₃ = +(-4 + 5) = 1,
A₂₁ = -(28 + 10) = -38,
A₂₂ = +(21 – 25) = -4,
A₂₃ = -(-6 – 20) = 26,
A₃₁ = +(32 + 5) = 37,
A₃₂ = -(24 – 10) = -14,
A₃₃ = (-3 – 8) =-11.

= \(\frac{1}{136}\left[\begin{array}{l}
408 \\
136 \\
136
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
3 \\
1 \\
1
\end{array}\right]\)
∴ సాధన x = 3, y = 1, z = 1.

ప్రశ్న 36.
క్రింది సమీకరణాలను గౌస్ జోర్డాన్ పద్ధతిని సాధించండి.
3x + 4y + 5z = 18,
2xy + 8z = 13,
5x-2y + 7z = 20.
సాధన:
సర్వ మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{cccc}
3 & 4 & 5 & 18 \\
2 & -1 & 8 & 13 \\
5 & -2 & 7 & 20
\end{array}\right]\)
R₁ → R₁ – R₂ చేస్తే

R₃ → R₃ + (-680) చేస్తే
~\(\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 127 & 130 \\
0 & 1 & -26 & -25 \\
0 & 0 & 1 . & 1
\end{array}\right]\)
R₁ → R₁ – 127R₃, R₂ → R₂ + 26R₃ చేస్తే
~\(\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
కాబట్టి సాధన 5x = 3, y = 1, z = 1.

ప్రశ్న 37.
కింది సమీకరణ వ్యవస్థను గౌస్ జోర్డాన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సాధించండి.
x + y + z = 3,
2x + 2y – z = 3,
x + y – z = 1.
సాధన:
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & -1 \\
1 & 1 & -1
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\), D = \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
3 \\
1
\end{array}\right]\) అనుకోండి.
దత్త సమీకరణాల మాత్రికా సమీకరణం AX = D.
సర్వ మాత్రిక

దత్త వ్యవస్థకు తుల్య వ్యవస్థ వ్రాస్తే
x + y + z = 3, -3z = -3
కాబట్ట z = 1, x + y = 2
∴ సాధన సమితి
x = k, y = 2 – k, z = 1, k ∈ R.

ప్రశ్న 38.
గౌస్ – జోర్డాన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి కింది సమీకరణ వ్యవస్థకు సాధన లేదని చూపండి.
2x + 4y – z = 0,
x + 2y + 2z = 5,
3x + 6y – 7z = 2.
సాధన:


కాబట్టి దత్త సమీకరణ వ్యవస్థకు తుల్య వ్యవస్థను వ్రాస్తే
x + 2y + 2z = 5, z 5, z = 2
0(x) + 0(y) + 0(z) = −1
వీటిలో చివరి సమీకరణం x, y, Zఏ విలువలకూ ధ్రువపడదు. కాబట్టి దత్త సమీకరణ వ్యవస్థకు సాధన లేదు.

ప్రశ్న 39.
కింది సమీకరణాలకు తృణప్రాయం కాని సాధనలుంటే కనుక్కోండి.
2x + 5y + 6z = 0, x – 3y – 8z = 0, 3x + y – 4z = 0
సాధన:

det A = 0 ∵ R₃ = R₂
ఉపమాత్రిక \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -3 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) సాధారణం కనుక కోటి (A) = 2
దత్త వ్యవస్థకు తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
దత్త వ్యవస్థ x – 3y – 8z = 0
y + 2z = 0 అవుతుంది.
z = k అనుకుంటే
⇒ x = 2k, y = -2k, z = k, k ∈ R, k ≠ 0
అయితే తృణప్రాయం కాని సాధనలు వస్తాయి.

ప్రశ్న 40.
క్రింది సమఘాత ఏకఘాత సమీకరణ వ్యవస్థకు తృణ ప్రాయం’ కాని సాధన ఉందేమో కనుక్కోండి.
x – y + z = 0,
x + 2y – z = 0,
2x + y + 3z = 0
సాధన:
గుణక మాత్రిక \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
నిర్ధారకము 9 ≠ 0 కాబట్టి
దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 41.
సిద్ధాంతము : మాత్రికా గుణకారం సాహచర్య న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. (i.e.,) A, B, C లు మూడు మాత్రికలయితే (AB)C = A(BC) అవుతుంది. [June 01: Instant 93; 0ct. 83]
సాధన:
ఉపపత్తి : A = = (a_ij)_m×n
B = (b_ik)_n×p
C = (c_kl)_p×q అనుకోండి.


(AB) C = A (BC)

ప్రశ్న 42.
సిద్ధాంతము : మాత్రికల గుణకారం విభాగ న్యాయాలను పాటిస్తుంది. (i.e.,) A, B, C లు మూడు మాత్రికలైతే
i) A(B+ C) = AB + AC, [Oct. ’99, Instant ’98]
ii) (B + C)A = BA + CA
సాధన:

∴ A(B + C) = AB + AC
ఇదే విధంగా (B+ C)A = BA + CA.

ప్రశ్న 43.
సిద్ధాంతం: A ఏదేని మాత్రిక అయితే (A^T)^T = A అని చూపండి. [Nov. ’80]
సాధన:
A = (a_ij)_m×n అనుకోండి.
A^T = (a’_ji)_n×m, ఇచ్చట a’_ji = a_ij
(A^T)^T = (a”_ji)_m×n, ఇచ్చట a”_ij = a_ji
a”_ij = a’_ji = a_ij
∴ (A^T)^T = A.

ప్రశ్న 44.
సిద్ధాంతము: A, B లు రెండూ ఒకే తరగతి మాత్రికలు అయితే (A + B)^T = A^T + B^T. [July ’01]
సాధన:
ఉపపత్తి : A = (a_ij)_m×n, B = (b_ij)_m×n అనుకోండి.
A + B = (c_ij)_m×n, ఇచ్చట c_ij = a_ij + b_ij
(A + B)^T = (c’_ji)_n×m ఇచ్చట c’_ji = c_ij
A^T = (a’_ji)_n×m, ఇచ్చట a’_ji = a_ij
B^T = (b’_ji)_n×m, ఇచ్చట b’_kj = b_jk
A^T + B^T = (d_ji)_n×m, ఇచ్చట d_ji = a’_ji + b’_ji
c’_ji = c_ij = a_ij + b_ij = a’_ji + b’_ji = d_ji
∴ (A + B)^T = A^T + B^T.

ప్రశ్న 45.
సిద్ధాంతము: (AB)^T = B^TA^T. [July ’01; Mar. ’95, Nov. ’80]
సాధన:
ఉపపత్తి : A = (a_ij)_m×n, B = (b_jk)_n×p
AB = (c_ik)_m×p, ఇచ్చట c_ik = \(\sum_{j=1}^n a_{i j} b_{j k}\)
(AB)^T = (c’_ki)_p×m, ఇచ్చట c’_ki = c_ik
A^T = (a’_ji)_m×n, ఇచ్చట a’_ji = a_ij
B^T = (b’_kj)_p×n, ఇచ్చట b’_kj = b_jk
B^T. A^T = (d_ki)_p×m ఇచ్చట d_ki = \(\sum_{j=1}^n b_{k j}^{\prime} a_{j i}^{\prime}\)
c’_ki = c_ik = \(\sum_{j=1}^n a_{i j} b_{j k}=\sum_{j=1}^n b_{k j}^{\prime} a_{j i}^{\prime} d_{k i}\)
∴ (AB)^T = B^TA^T

ప్రశ్న 46.
సిద్ధాంతము : A, B లు రెండూ విలోమనీయ మాత్రికలు అయితే (AB)^-1 = B^-1A^-1 అనిచూపండి.
సాధన:
ఉపపత్తి : A విలోమనీయ మాత్రిక
⇒ A^-1 వ్యవస్థితము AA^-1 = A^-1A = I
B విలోమనీయ మాత్రిక ⇒ B^-1 వ్యవస్థితం
BB^-1 = B^-1B = I
ఇప్పుడు (AB) (B^-1A^-1) = A(BB^-1) A^-1
= AIA^-1 = AA^-1 = I
(B^-1A^-1) (AB) = B^-1 (A^-1A)B = B^-1IB
= B^-1B = I
∴ (AB) (B^-1A^-1) = (B^-1A^-1) (AB) = I
∴ AB విలోమనీయాం మరియు (AB)^-1 = B^-1A^-1.

ప్రశ్న 47.
సిద్ధాంతము : A విలోమనీయ మాత్రిక అయిన A^T కూడ విలోమనీయ మాత్రికలు అయిన (A^T)^-1 = (A ^-1)^T. [Nov. ’98]
సాధన:
ఉపపత్తి : A విలోమనీయ మాత్రిక ⇒ A^-1 వ్యవస్థితం మరియు
AA^-1 = A^-1A = I
(AA^-1)^T= (A^-1A)^T = I^T
⇒ (A^-1) A^T = A^T. (A^-1)^T = I
⇒ నిర్వచనం నుండి (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

ప్రశ్న 48.
సిద్ధాంతము : A సాధారణ మాత్రిక మరియు విలోమనీయం A¹ = \(\frac{{Adj} \mathrm{A}}{{det} \mathrm{A}}\) అనిచూపండి.
[May ’13, ’07, ’06; Mar. ’07, ’02; Apr. ’99, ’94]
సాధన:

ప్రశ్న 49.
ఒక పుస్తకాల షాపులో 10 డజన్ల రసాయనశాస్త్రం పుస్తకాలు, 8 డజన్ల భౌతికశాస్త్రం పుస్తకాలు, 10 డజన్ల అర్థశాస్త్రం పుస్తకాలు ఉన్నాయి. ప్రతి పుస్తకం అమ్మకపు ధర వరసగా రూ. 80, రూ.60, రూ. 40 అయితే మాత్రికల బీజగణితం ఉపయోగించి, పుస్తకాల షాపులోని పుస్తకాల మొత్తం విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
పుస్తకాల సంఖ్య
రసాయనశాస్త్రం భౌతికశాస్త్రం అర్థశాస్త్రం
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
10 \times 12 & 8 \times 12 & 10 \times 12 \\
=120 & =96 & =120
\end{array}\right]\)
అమ్మకపు విలువ (రూపాయలలో)

షాపులోని పుస్తకాల మొత్తం విలువ
AB = \(\left[\begin{array}{lcc}
120 & 96^* & 120
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
80 \\
60 \\
40
\end{array}\right]\)
= [120 x 80 + 96 × 60 + 120 × 40]
= [9600 + 5760 + 4800]
= [20160] (రూపాయలలో).

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(c)

అభ్యాసం – 9 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) sin^-1 (3x – 4x³) (May ’11)
సాధన:
x = sin θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = sin^-1 (3 sin θ – 4 sin³ θ)
= sin^-1 (sin 3θ)
= 3θ = 3 sin^-1 x.
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

ii) cos^-1 (4x³ – 3x) (Mar. ’14)
సాధన:
x = cos θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = cos^-1 (4 cos³ θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

iii) sin^-1 \(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) (T.S Mar. ’15)
సాధన:
x = tan θ ⇒ y
= sin^-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) = sin^-1 (sin 2θ)
= 2θ = 2 tan^-1 x; \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{1+x^2}\)

iv) tan^-1 \(\left(\frac{a-x}{1+a x}\right)\)
సాధన:
a = tan α, x = tan θ
y = tan^-1 \(\left(\frac{\tan \alpha-\tan \theta}{1+\tan \alpha \tan \theta}\right)\)
= tan^-1(tan (α – θ)) = α – θ
= tan^-1 a – tan^-1 x;
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0 – \(\frac{1}{1+x^2}\) = –\(\frac{1}{1+x^2}\)

v) tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
సాధన:

సందర్భము :1.
y = tan^-1\(\left(\tan \frac{x}{2}\right)\) 0 < x < π
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2}\)

సందర్భము : 2.
y = tan^-1 \(\left(-\tan \frac{x}{2}\right)\)0 – π < x < 0
= \(-\frac{x}{2}\)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{1}{2}\)
= \(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{1}{2}\), 0 < x < π అయితే
= –\(\frac{1}{2}\), -π < x < 0 అయితే

vi) sin[cos (x²)]
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos [cos (x²)] + \(\frac{d}{d x}\)[cos (x²)]
= cos [cos (x²)]. [- sin (x²)] \(\frac{d}{d x}\left(x^2\right)\)
= cos [cos (x²)] [- sin (x²)]. 2x
= -2x. sin (x²). cos [cos (x²)]

vii) sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\) \(\left(0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) (Mar. 13)
సాధన:
x = cos θ అనుకొందాం
2x² – 1 = 2 cos² θ – 1 = cos 2θ
y = sec^-1\(\left(\frac{1}{\cos 2 \theta}\right)\) = sec^-1 (sec 2θ) = 2θ
= 2 cos^-1 x
\(\frac{d y}{d x}\) = 2\(\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) = \(\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}\)

viii) sin [tan^-1 (e^-x)]
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos [tan^-1 (e^-x)]. [tan^-1 (e^-x)]¹
= cos (tan^-1 (e^-x)] – \(\frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^2}\)(e^-x)¹
= \(\frac{-e^{-x}}{1+e^{-2 x}}\) . cos [tan^-1 (e^-x)]

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటికి g(x) దృష్ట్యా f(x) ను అవకలనం చేయండి.

i) f(x) = e^x, g(x) = \(\sqrt{x}\)
సాధన:
y = e^x, z = \(\sqrt{x}\) అనుకుందాం.

ii) f(x) = e^{sin x}, g(x) = sin x
సాధన:
y = e^{sin x}, g(x) = sin x
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{sin x} . cos x, \(\frac{d z}{d x}\) = cos x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dz}}\) = \(\frac{\left(\frac{d y}{d x}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)}\) = \(\frac{e^{\sin x} \cdot \cos x}{\cos x}\) = e^{sin x}

iii) f(x) = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), g(x) = sin^-1 \(\left[\frac{2 x}{1+x^2}\right]\)
సాధన:
y = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) మరియు z = sin^-1 అనుకుందాం.
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,

ప్రశ్న 3.
y = e^{a sin-1x} అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\text { ay }}{\sqrt{1-x^2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
y = e^{a sin-1 x}
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{a sin-1x} x(a sin^-1 x)¹
= e^{a sin-1x}. a \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) = \(\frac{\text { ay }}{\sqrt{1-x^2}}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) tan^-1 \(\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right)\)
సాధన:
x = a tan θ ప్రతిక్షేపించగా,

ii) tan^-1 (sec x + tan x)
సాధన:
y = sec x + tan x

iii)
tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,

iv) (log x)^{tan x}
సాధన:
log y = log (log x)^{tan x}
= (tan x). log (log x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

v) (x^x)^x
సాధన:
f(x) = x^x
log y = log x^x = x. log x
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}\) = \(x^2 \cdot\left(\frac{\log }{x} x\right)\) + (log x) \(\frac{d}{d x}\)(x²)
= x². \(\frac{1}{x}\) + 2x. log x
= x + 2x log x = x (1 + 2 log x)
= x (log e + log x²)
= x. log (e)x²
\(\frac{d y}{d x}\) = y. x. log (ex²)
= \(x^{x^2}\) .x. log (ex²)
= \(x^{x^2+1}\) + 1 log (ex²)

vi) 20^{log (tan x)}
సాధన:
f(x) = 20^{log (tan x)}
log y = log (20)^{log (tan x)}
= log (tan x) log 20
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

vii) x^x + \(e^{e^x}\)
సాధన:

viii) x. log x. log (log x)
సాధన:
f(x) = x. log x. \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(log. (log x)) + log (log x) log x. 1 + x. log (log x)\(\frac{1}{x}\)
= x log x. \(\frac{1}{\log x}\) . \(\frac{1}{x}\) + log x. log (log x) + log (log x)
= 1 + log (log x) (1 + log x) = 1 + log (log x) + log x log (log x)
= log e + log (log x) + log x. log (log x)
= log (e log x) + log x. log (log x)

ix) \(e^{-a x^2}\) sin (x log x)
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(e^{-a x^2}\) sin (x log x)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\mathrm{e}^{-a x^2}\) . \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin (x log x)) + sin (x log x) \(\frac{d}{d x}\left(e^{-a x^2}\right)\)
= \(e^{-a x^2}\) cos (x log x). (x.\(\frac{1}{x}\) + log x) + sin (x log x) \(\mathrm{e}^{-a x^2}\) (-2ax)
= \(e^{-a x^2}\) (cos (x log x) (1 + log x) -2 ax.sin (x log x))
= \(e^{-a x^2}\) (cos (x log x) (log ex)-2 ax. sin (x log x))

x) sin^-1 \(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right)\) (2^x = tan θ ప్రతిక్షేపించండి)
సాధన:

2^x. log 2. \(\frac{d x}{d \theta}\) = sec² θ
= 1 + tan² θ = 1 + (2^x)²
= 1 + 4^x
\(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dx}}\) = 2^x – log 2(1 + 4^x)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d \theta}\) . \(\frac{d \theta}{d x}\) = 2 . 2^x . log 2/(1 + 4^x)
= 2^{x + 1} . log 2/(1 + 4^x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
i) x = 3 cos t – 2 cos³ t,
y = 3 sin t – 2 sin³t
సాధన:
\(\frac{d x}{d t}\) = – 3 sin t – 2(3 cos² t) (- sin t)
= -3 sin t + 6 cos²t – sin t
= 3 sin t (2 cos² t – 1)
= 3 sin t. cos 2t
y = 3 sin t – 2 sin³ t
\(\frac{d y}{d t}\) = 3 cost – 2 (3 sin² t) – cos t
= 3 cost (1 – 2 sin² t) = 3 cost. cos 2t

ii) x = \(\frac{3 a t}{1+t^3}\), y = \(\frac{3 a t^2}{1+t^3}\)
సాధన:

iii) x = a (cos t + t sin t), y = a (sin t− t cost)
సాధన:
\(\frac{d x}{d t}\) = a(- sin t + t cos t + sin t) = at cos t
y = a (sin t – t cos t)
\(\frac{d y}{d t}\) = a (cos t – cos t + t sin t)

iv) x = a\(\left[\frac{1-t^2}{1+t^2}\right]\), y = \(\frac{2 b t}{1+t^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిని g(x) దృష్ట్యా f(x) ను అవకలనం చేయండి.

i) f(x) = log_a x, g(x) = a^x
సాధన:
y = f(x) = \(\log _a^x\) = \(\frac{\log x}{\log _e^a}\)
y = \(\log _a x\) = \(\frac{\log x}{\log _{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{x \log _e^a}\)

ii) f(x) = sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\), g(x) = \(\sqrt{1-x^2}\)
సాధన:

iii) f(x) = tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\), g(x) = tan^-1 x
సాధన:

ప్రశ్న 4.
క్రింది సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచితమైన అంతర్లీన ప్రమేయాలు y ల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) x⁴ + y⁴ – a² xy = 0
సాధన:
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
4x³ + 4y³. \(\frac{d y}{d x}\) – (x . \(\frac{d y}{d x}\) + y . 1) = 0
4x³ + 4y³ . \(\frac{d y}{d x}\) – a² x \(\frac{d y}{d x}\) – a² y = 0
(4y³ – a²x)\(\frac{d y}{d x}\) = a²y – 4x³ \(\frac{d y}{d x}\) = \([\frac{a^2 y-4 x^3}{4 y^3-a^2 x}/latex]

ii) y = xy May ’04
సాధన:
log y = log x^y = y log x
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

iii) y^x = x^{sin y}
సాధన:
ఇరువైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే,
log y^x = log x^{sin y} ⇒ x. log y = (sin y) log x
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 5.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.

i) = a (x – y) అయితే
(May ’11; Mar. ’05)
సాధన:

ii)

(A.P. Mar. 15)
సాధన:

iii) x^{log y} = log x, అయితే

సాధన:
x^{log y} = log x, log x^{log y} = log log x
(log y) (log x) = log (log x).
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

iv)

సాధన:
y = x tan θ

v)

సాధన:
x^y = y^x ⇒ log x^y = log y^x
y log x = x log y
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
y. [latex]\frac{1}{x}\) log x. \(\frac{d y}{d x}\) = x. \(\frac{1}{y}\) . \(\frac{d y}{d x}\) + log y

vi) x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(-\sqrt[3]{y / x}\)
సాధన:
x^2/3 + y^2/3 = a^2/3
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

ప్రశ్న 6.
క్రింద పేర్కొన్న ప్రమేయాలకు \(\frac{d y}{d x}\) లను కనుక్కోండి.

i) y = \(\frac{(1-2 x)^{2 / 3}(1+3 x)^{-3 / 4}}{(1-6 x)^{5 / 6}(1+7 x)^{-6 / 7}}\)
సాధన:

ii) y = \(\frac{x^4 \cdot \sqrt[3]{x^2+4}}{\sqrt{4 x^2-7}}\)
సాధన:

iii) y = \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
సాధన:
log y = log \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
= log (a – x)² + log (b – x)³ – log (c – 2x)³
= 2 log (a – x) + 3 log (b – x) – 3 log (c – 2x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

iv) y = \(\frac{x^3 \cdot \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\)
సాధన:
log y = log \(\frac{x^3(2+3 x)^{1 / 2}}{(2+x)(1-x)}\)
= log x³ + log (2 + 3x)^1/2 – log (2 + x) – log (1 – x)
= 3 log x + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

v) y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^2+4\right)}{3 x^2+4 x+5}}\)
సాధన:

III

1. కింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) (sin x)^{log x} + x^{sin x} (T.S Mar. ’15, ’13)
సాధన:
y₁ = (sin x)^{log x}, y₂ = x^{sin x} y = y₁ + y₂
y₁ = (sin x)^{log x}
log y₁ = log {(sin x)^{log x}} = log x. log (sin x)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ii) (x^x)^x
సాధన:

iii) (sin x)^x + x^{sin x}
సాధన:
y₁ = (sin x)^x, y₂ = x^{sin x} అనుకుంటే
y = y₁ + y₂ అవుతుంది
log y₁ = log (sin x)^x = x. log sin x
\(\frac{1}{y_1} \cdot \frac{d y_1}{d x}\) = x. \(\frac{1}{\sin x}\). cos x + log (sin x)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = y₁ (x cot x + log sin x)
= (sin x)^x (x cot x + log (sin x))
y₂ = x^{sin x} ⇒ log y₂ = log. x^{sin x} = (sin x) log x
\(\frac{1}{y_2} \cdot \frac{d y_2}{d x}\) = sin x. \(\frac{1}{x}\) + (log x) cos x
\(\frac{\mathrm{dy}_2}{\mathrm{dx}}\) = y₂ (\(\frac{\sin x}{x}\) + cos x. (log x))
y = y₁ + y₂
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\mathrm{dy}_1}{\mathrm{dx}}\) + \(\frac{\mathrm{dy}_2}{\mathrm{dx}}\)
= (sin x)^x (x cot x + log (sin x)) + x^{sin x}(\(\frac{\sin x}{x}\) + cos x. (log x))

iv) x^x + (cot x)^x
సాధన:
y₁ = x_x మరియు y₂ = (cot x)^x అనుకుందాం.
log y₁ = log x^x = x – log x

ప్రశ్న 2.
క్రిందివాటిని నిరూపించండి.

i) x^y + y^x = a^b, అయితే
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\left(\frac{y x^{y-1}+y^x \log y}{x^y \log x+x y^{x-1}}\right)\)
సాధన:
y₁ = x^y మరియు y₂ = y^x ⇒ y₁ + y₂ = a^b
log y₁ = log x^y = y log x

ii) f(x) = sin ^-1 \(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-\beta}}\), g(x) = tan^-1 \(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-x}}\), అయితే f'(x) = g'(x) (β< x < α) (Mar. ’06)
సాధన:

iii) f(x) = (a² – b²)^-1/2. cos^-1 \(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\), a > b > 0 మరియు 0 < x < π ; అయితే f'(x) = (a + b cos x)^-1
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) ను క్రింద చూపిన రెండు పద్ధతులలో అవకలనం చేయండి.
i) లబ్ధ సూత్రం ప్రకారం
ii) బహుపదిని సూక్ష్మీకరించి తర్వాత
iii) సంవర్గమాన అవకలనాన్ని అనుసరించి పై అన్ని పద్ధతులు ఒకే జవాబును ఇస్తున్నాయా ?
సాధన:
లబ్ధ సూత్రం ప్రకారం :
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
\(\frac{d y}{d x}\) = (x² – 5x + 8) \(\frac{d}{d x}\)(x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9)\(\frac{d}{d x}\) (x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8) (3x² + 7) + (x³ + 7x + 9)(2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11 —- (1)

ii) బహుపదిని సూక్ష్మీకరించి :
సాధన:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= x⁵ +7x³ + 9x² – 5x⁴ – 35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
= x⁵ – 5x⁴ + 15x³ – 26 x² + 11x + 72
\(\frac{d y}{d x}\) = 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52 x + 11 ——— (2)

iii) సంవర్గమాన అవకలనమును అనుసరించి : y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
సాధన:
log y = log (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)

= (2x – 5) (x³ + 7x + 9) + (x² – 5x + 8) (3x² + 7)
= 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45 + 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11 —— (3)
(1), (2), (3) ల నుండి అవి ఒకే జవాబును ఇస్తున్నాయి అని గ్రహించగలము.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson గురుత్వాకర్షణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson గురుత్వాకర్షణ

→ ఒక వస్తువు మార్గము నిర్ణీత కాలము పిదప పునరావృతమైనచో ఆ చలనము ఆవర్తన చలనము.

→ వస్తువు తన మార్గములో గల ఒక స్థిర బిందువునకు అటు ఇటు చలనములో ఉన్న, దానిని హరాత్మక చలనం అందురు.

→ వస్తువునకు గల త్వరణము, మార్గములో గల స్థిర బిందువు నుండి గల స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, స్థిరబిందువుకు అభిముఖంగా ఉంటే ఆ చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు.

→ వస్తువు ఒకసారి ముందు, వెనుకలకు ప్రయాణించిన ఒక డోలనము అగును.

→ గరిష్ట స్థానభ్రంశంను కంపన పరిమితి అంటారు.

→ సెకనుకు జరిగే డోలనాల సంఖ్యను పౌనఃపున్యం అంటారు.

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో వేగం స్థానభ్రంశాన్ని బట్టి మారుతుంది. దానికి సమీకరణం V = ω\(\sqrt{A^2-y^2}\). మాధ్యమిక స్థానంవద్ద వేగం గరిష్ఠంగానూ, చరమస్థానం వద్ద శూన్యంగానూ ఉంటుంది. V_{గరిష్టం} = Aω.

→ కణం త్వరణం కూడ స్థానభ్రంశాన్ని బట్టి మారుతుంది. దానికి సమీకరణం a = -ω²y. త్వరణం మాధ్యమిక స్థానం వద్ద శూన్యంగానూ, చరమస్థానం వద్ద గరిష్ఠంగాను ఉంటుంది. a_{గరిష్టం} = Aω²

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం వేగం, త్వరణం కాలంతో కూడా ఆవర్తకంగా మార్పు చెందుతాయి. v = Aω cos ωt, a = Aω²sin ωt వాటి మార్పును సూచిస్తాయి.

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం తత్కాల స్థానం, గమనదిశా పరంగా దాని కంపన స్థితిని “దశ” అంటారు. దీనిని నిర్దేశ వృత్తంపై కోణీయ స్థానభ్రంశం ‘9 ‘ రూపంలో తెలియచేయవచ్చు. 6 = (at ± Φ₀) ఇక్కడ Φ₀ తొలి దశ (t = 0 ఉన్నప్పుడు దశ) దీనిని “ముహూర్త దశ” (Epoch) అంటారు.

→ లఘులోలకం చిన్న చిన్న డోలన పరిమితులలో కంపించేటపుడు సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉంటుంది. దాని డోలనావర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)

→ భారగ్రస్థ స్ప్రింగ్ చేసే నిలువు కంపనాలు కూడా సరళహరాత్మక డోలనాలే. స్ప్రింగ్ కొనకు వేలాడదీసిన వస్తువు ద్రవ్యరాశి ‘m’ అయితే డోలనావర్తన కాలం T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం గతిశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\)mω²(A² – y²).

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం స్థితిశక్తి P.E = \(\frac{1}{2}\)mω²y²

→ సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తున్న కణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\)mω²A²

→ A కంపన పరిమితి, బ కోణీయ పౌనఃపున్యంతో సరళహరాత్మక చలనం
y = A sin (ωt ± θ₀) (లేదా) y = A cos (ωt ± θ₀)

→ సరళహరాత్మక చలనంలో కణం యొక్క వేగం మరియు త్వరణం
v(t) = -ωA sin (ωt + Φ)
a(t) = -ω²Acos (ωt + Φ) = -ω²x(t)

→ అవరుద్ధ డోలనం ఖచ్ఛితంగా సరళ హరాత్మకం కాదు.

→ శూన్య అవరుద్ధం ఉన్న సందర్భంలో అనునాదం వద్ద స.హ.చ. యొక్క కంపన పరిమితి అనంతం.

→ బలాత్కృత డోలనాలలో కణం యొక్క హరాత్మక చలనం దశ, చోదకబలం యొక్క దశ వేరు వేరుగా ఉంటుంది.

→ డోలకం యొక్క సహజ పౌనఃపున్యానికి, చోదకబలం యొక్క పౌనఃపున్యం దగ్గరగా ఉంటే దానిని అనునాదం

→ ఒక పూర్తి డోలనానికి పట్టుకాలాన్ని ఆవర్తన కాలం అంటారు. T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\)

→ స.హ.చ లో ఉన్న కణం యొక్క వేగం మరియు త్వరణాలు
v = Aω cos ωt మరియు a = Aω² sin ωt.

→ ఆల్బర్ట్ ఐన్ స్టీన్ (1879-1955)
జర్మనీలోని ఉల్మ్ అనే ప్రదేశంలో (1879లో జన్మించిన ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టీన్ న్ను ప్రపంచములోని అత్యంత విశిష్ట భౌతిక శాస్త్రజ్ఞుల్లో ఒకడిగా నభూతో నభవిష్యతి అన్నట్లుగా పరిగణిస్తారు. 1905వ సంవత్సరములో భౌతిక శాస్త్రానికి ఐన్స్టీన్ చేసిన బృహత్తర కృషికి గుర్తింపుగా, 2005 సంవత్సరా నికి భౌతికశాస్త్రపు అంతర్జాతీయ గా ప్రకటించారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ

→ ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు మూడు.

• గురుత్వాకర్షణ బలం,
• విద్యుదయస్కాంత బలం,
• కేంద్రక బలాలు.

→ న్యూటన్ విశ్వ గురుత్వ సిద్ధాంతము : విశ్వములో ప్రతి వస్తువు మరియొక వస్తువుని (ప్రతి కణం మరియొక కణాన్ని) ఆకర్షిస్తుంది. ఈ బలం వాటి ద్రవ్యరాశుల లబ్దమునకు అనులోమానుపాతంలోను, వాటి కేంద్రాల మధ్యదూరం యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలోను ఉంటుంది.

→ కణాల మధ్య స్పర్శలేకున్నా వాటి మధ్య ఆకర్షణ బలానికి కారణం గురుత్వ క్షేత్రమని వివరించబడినది.

→ శూన్యంలో గురుత్వ క్షేత్రం కాంతి వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది.

→ చీకటి రంధ్రాలు అనేవి అత్యధిక సాంద్రత గల వస్తువులు. వీటి గురుత్వాకర్షణ వలన కాంతి కూడా ఈ పరిధి నుండి దాటి బయటకు రాలేవు.

→ న్యూటన్ మొదటి నియమం లేదా జఢత్వ నియమాన్ని పాటించే నిర్దేశ చట్రాన్ని జఢత్వ నిర్దేశ చట్రం అంటారు. 7 త్వరణంతో పయనించే చట్రాన్ని అజఢత్వ చట్రం అని అంటారు.

→ గురుత్వ, జఢత్వ ద్రవ్యరాశులు సమానం.

→ జఢత్వ, అజఢత్వ నిర్దేశ చట్రాల సమానత్వాన్ని తుల్యతా నియమం అంటారు.

→ భూమి ఉపరితలం నుండి ఎత్తుతో గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు g_h = g(1 – \(\frac{2 h}{R}\))

→ భూమి ఉపరితలం నుండి లోతుతో గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు g_d = g(1 – \(\frac{d}{R}\))

→ అక్షాంశంతో గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు g_Φ = g – Rω²cos²Φ

→ భూమి ఆకారం వల్ల గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు వస్తుంది.

→ స్థానిక పరిస్థితుల వల్ల కూడా g విలువలో మార్పు వస్తుంది.

→ ప్రక్షిప్తము గావింపబడిన వస్తువు ఎంత వేగంతో తన కక్ష్యలో పరిభ్రమణం చేస్తుందో దాన్ని కక్ష్యవేగం అంటారు.
V₀ = \(\sqrt{g R}=\sqrt{\frac{G M}{R}}\) = 7.92 kms^-1

→ భూమి యొక్క ఆకర్షణ బలాన్ని అధిగమించి అంతరాళంలోనికి పోవుటకు వస్తువుని ఎంత కనీస వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేయాలో ఆ వేగాన్ని పలాయన వేగం అంటారు.
V_e = \(\sqrt{2 g R}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}\) = 11.2 kms^-1

→ పలాయన వేగం V = √2 × కక్ష్యా వేగం (v₀).

→ భూస్థావర ఉపగ్రహాలు భూమికి సుమారు 36,000 కి.మీ. ఎత్తున నిర్ణీత కక్ష్యలలో ఉంటాయి.

→ కక్ష్యల నియమం: అన్ని గ్రహాలు, సూర్యుడు ఏదో ఒక నాభి వద్ద ఉన్నప్పుడు దాని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతుంటాయి.

→ వైశాల్యాల నియమం : సూర్యుని నుంచి గ్రహానికి గీచిన వ్యాసార్థ సదిశ సమాన కాల వ్యవధుల్లో సమాన వైశాల్యాలు చిమ్ముతుంది.

→ ఆవర్తన కాలాల నియమం : ఒక గ్రహం కక్ష్యావర్తన కాలవర్గం ఆ గ్రహం దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్య అర్థగురు అక్షం ఘనానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
T² ∝ R³

→ గురుత్వ స్థితిజశక్తి (V) = \(\frac{-G m_1 m_2}{r}\)

→ ధ్రువీయ ఉపగ్రహాల ఆవర్తన కాలం 100 నిముషాలు.

→ ధ్రువీయ కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు అల్ప ఉన్నతాంశ ఉపగ్రహాలు. ఈ ఉపగ్రహాలు భూధ్రువాల చుట్టూ ఉత్తర-దక్షిణ దిశలో పరిభ్రమిస్తాయి.

→ జోహాన్నెస్ కెప్లర్ (1571-1630):
జోహాన్నెస్ కెప్లర్ జర్మనీకి చెందిన శాస్త్రవేత్త. ప్రప్రథమంగా ఒక కాంతి కిరణం దూరదర్శనిలోకి ప్రవేశించిన తరవాత ఏమవుతుందో అభివర్ణించడం ద్వారా జ్యామితీయ దృశాశాస్త్రానికి వైద్యునిగా కెప్లర్ పేరు పొందాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

→ వస్తువు ఏ ధర్మం వల్ల తనలో కలిగిన మార్పులను ప్రతిఘటిస్తుందో మరియు దానిపై ప్రయోగించిన రూపాంతరం చెందించే బలాలను తీసివేయగానే తన తొలి స్థానాన్ని పొందుతుందో ఆ ధర్మాన్నే స్థితిస్థాపకత అంటారు.

→ వస్తువులో ప్రమాణ వైశాల్యంపై ఏర్పడిన పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

→ వస్తువు యొక్క ప్రమాణ పరిమాణంలో ఏర్పడే మార్పునే వికృతి అంటారు.

→ ఎంత గరిష్ఠ ప్రతిబలం లోపున ఒక వస్తువు రూపం మార్చే బలాలను తొలగించిన పిమ్మట పూర్తిగా తన తొలి స్థితిని పొందుతుందో, ఆ ప్రతిబలం విలువని స్థితిస్థాపక అవధి అంటారు.

→ హుక్ నియమం : అనుపాతక అవధి లోపల, వస్తువులోని ప్రతిబలం దానిలో ఏర్పడిన వికృతికి అనులోమాను పాతంలో ఉంటుంది.

→ ఒక తీగ పొడవులో కలిగే మార్పుకి, దాని తొలి పొడవుకి మధ్య గల నిష్పత్తినే అనుదైర్ఘ్య లేదా రేఖీయ వికృతి అంటారు.
రేఖీయ వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{L}}\)

→ రెండు పొరల మధ్య, సాపేక్ష స్థానభ్రంశం మరియు ఆ రెండు పొరల మధ్య గల దూరం నిష్పత్తిని విరూపణ వికృతి (θ) అంటారు.

→ ప్రమాణ తొలి ఘనపరిమాణంలో కలిగే మార్పుని ఆయత లేదా స్థూల వికృతి అంటారు.
ఆయత వికృతి = \(\frac{\Delta v}{V}\)

→ అనుపాతక అవధి లోపల, అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలానికి, అనుదైర్ఘ్య వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తినే స్థితిస్థాపక యంగ్ గుణకం (Y) అంటారు.
Y = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{Ae}}\)

→ అనుపాతక అవధి లోపల, విరూపణ ప్రతిబలానికి, విరూపణ వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తినే స్థితిస్థాపక దృఢతా గుణకం (G) అంటారు.
G = \(\frac{F}{A \theta}\)

→ అనుపాతక అవధి లోపల, స్థూల ప్రతిబలానికి, స్థూల వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తినే స్థితిస్థాపక ఆయత గుణకం (B) అంటారు.
B = \(\frac{-\mathrm{PV}}{\Delta \mathrm{V}}\)

→ కొంతసేపు ఒక వస్తువు అవిచ్ఛిన్నంగా స్థితిస్థాపక వికృతికి లోనయితే అది తన స్థితిస్థాపక ధర్మాన్ని కోల్పోయినట్లు అనిపిస్తుంది. కాని కొంతసేపు విశ్రాంతి పొందిన పిమ్మట తన యథాస్థితిని పొందుతుంది. ఈ ప్రవర్తనని స్థితిస్థాపక అలసట అంటారు.

→ పార్శ్వ సంకోచ వికృతికి, అనుదైర్ఘ్య వ్యాకోచ వికృతికి గల నిష్పత్తిని ఆ వస్తువు తయారయిన పదార్థం యొక్క పాయిజాన్ నిష్పత్తి అంటారు.

→ విమోటన వికృతి 2 × అనుదైర్ఘ్య వికృతి.

→ ఆయత వికృతి = 3 × అనుదైర్ఘ్య వికృతి.

→ ప్రతిబలం – వికృతి రేఖీయ భాగంలో మాత్రమే హుక్ నియమం వర్తిస్తుంది.

→ యంగ్ గుణకం, విమోటన గుణకం కేవలం ఘనపదార్థాలకు మాత్రమే వర్తిస్తాయి. ఆయత గుణకం ఘన, ద్రవ, వాయు పదార్థాలకు వర్తిస్తుంది.

→ మిశ్రమ లోహాలు, ఎలాస్టోమర్లు కంటే లోహాలకు యంగ్ గుణక విలువలు అధికంగా ఉంటాయి.

→ అమ్మ లోహాలకు ఉదాహరణ రాగి, అల్యూమినియమ్, సీసం, బంగారం. పెళుసు లోహాలకు ఉదాహరణ గాజు, సిరామిక్.

→ వస్తువులో విరూపణ వల్ల నిల్వయున్న శక్తిని వికృతి శక్తి అంటారు.

→ ప్రతిబలం సదిశరాశి కాదు.

→ రాబర్ట్ హుక్ (1635 – 1703 A.D.)
ఇంగ్లండ్లోని రైట్ (Wright) ద్వీపం, ఫ్రెష్ వాటర్ (Freshwater) లో 18 జూలై 1635వ సంవత్సరంలో రాబర్ట్ హుక్ జన్మించాడు. 17వ శతాబ్దానికి చెందిన ఆంగ్ల శాస్త్రవేత్తల్లో హుక్ విశిష్టమైన బహుముఖ ప్రజ్ఞాశాలి.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు

→ ప్రవాహిలోని వేరువేరు పొరల మధ్య సాపేక్ష వేగాన్ని నిరోధించే ధర్మాన్ని స్నిగ్ధత అంటారు.

→ ప్రవాహంలో ఏదైనా బిందువు వద్ద వేగం కాలంతో మార్పు చెందకుండా ఉంటే దానిని ధారారేఖా ప్రవాహం అంటారు.

→ ధారారేఖా ప్రవాహంలో కణవేగం ఒక ప్రత్యేక వేగం, సందిగ్ధవేగం V_e కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

→ ధారారేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే స్తరీయ ప్రవాహం అంటారు.

→ ఒక వస్తువును ద్రవంలో ముంచిన దానిపై పనిచేసే పీడనంలో తేడా ఉండటంవల్ల వస్తువుపై పైదిశలో అభిబలం ఏర్పడుతుంది. దీనినే ఉత్ల్పవన బలం అంటారు. ఉత్ల్పవన బలం మునిగిన వస్తువు చేసే స్థానభ్రష్ట ద్రవం బరువుకు సమానం. వస్తువు యొక్క కొంత ఘనపరిమాణం మాత్రమే ద్రవంలో మునిగితే వస్తువు సాంద్రతకు, ద్రవ సాంద్రతకు గల నిష్పత్తికి సమానం.

→ చలనంలో ఉండే ద్రవాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రాన్ని ప్రవాహి గతిశాస్త్రం అంటారు. ద్రవాల ప్రవాహం రెండు రకాలు

• ధారారేఖ ప్రవాహం,
• సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం.

→ ప్రవాహి ప్రవాహం

• స్థిర (నిలకడ) లేదా అస్థిర (నిలకడలేని),
• భ్రమణం లేదా అభ్రమణం,
• సంపీడ్యమాన లేదా అసంపీడ్యమాన,
• స్నిగ్ధత లేదా అస్నిగ్ధత ప్రవాహంలా ఉండవచ్చు.

→ ధారారేఖకు ఒక బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ ఆ బిందువు వద్ద ప్రవాహి వేగ దిశను సూచిస్తుంది. దీనినే ధారారేఖా ప్రవాహం అంటారు. ప్రవాహి వేగం ఎక్కువవున్న చోట ధారా ప్రవాహరేఖల సాంద్రత ఎక్కువ. ప్రవాహ రేఖల సమూహాన్ని ప్రవాహ నాళిక అంటారు.

→ ద్రవంలో ఏ బిందువు వద్ద అయినా వేగం కాలంతో పాటు మారుతుంటే దానిని సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం అంటారు.

→ ఏ వేగం వద్ద ధారారేఖా ప్రవాహం సంక్షుబ్ధ ప్రవాహంగా మారుతుందో ఆ వేగాన్ని సందిగ్ధ వేగం అంటారు.

→ ఒక గొట్టంలో ప్రవహించే ధారారేఖా ప్రవాహంలో ఒక బిందువు వద్ద ప్రవాహ వేగం, మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం లబ్దం స్థిరం. Av = స్థిరం. దీనినే సాంతత్వ సమీకరణం అంటారు.

→ ప్రవాహి ప్రవాహాన్ని బెర్నూలి సిద్ధాంతం ద్వారా అర్థంచేసుకోవచ్చు. దీని ప్రకారం స్థిరవేగంతో ప్రవహిస్తున్న స్నిగ్ధతలేని, అసంపీడ్య ప్రవాహి పీడన గతిజ, స్థితిజ శక్తుల మొత్తం ఆ గమన పథంలో అన్ని బిందువుల వద్ద సమానం.
P + ρgh + \(\frac{1}{2}\)ρv² = స్థిరరాశి.

→ ద్రవాల పొరల మధ్య ఉన్న ఘర్షణ బలాన్ని స్నిగ్ధతా బలం అంటారు. ఈ బలం ప్రవాహి వేగాన్ని కుదిస్తుంది. ప్రవాహి రెండు పొరల మధ్య సాపేక్ష వేగాన్ని తగ్గించే ధర్మాన్నే స్నిగ్ధత అంటారు.

→ స్నిగ్ధతా బలం F కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

• పొర వైశాల్యం,
• వేగ ప్రవణత

F ∝ -A\(\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\)
F = -ηA\(\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)\)
η స్నిగ్ధతా గుణకం, ప్రవాహి దిశకు లంబంగా పొరల మధ్య ఏకాంక వేగ ప్రవణత ఉన్నప్పుడు ఏకాంక వైశాల్యం గల పొరల మీద పనిచేసే స్నిగ్ధతా బల పరిమాణమే ఆ ద్రవం యొక్క స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

→ స్టోక్ ఫార్ములా : ప్రవాహిలో క్రిందికి పడుతున్న నునుపైన గోళాకారపు వస్తువుపై పనిచేసే నిరోధక బలంను క్రింది విధంగా రాయవచ్చు.
F = 6πηrv
η స్నిగ్ధతా గుణకం, ” గోళాకారపు వస్తువు వ్యాసార్థం, v ప్రవాహిలో వస్తువు వేగం.

→ ఏకాంక వైశాల్యంపై చర్య జరిపే అభిలంబ బలాన్ని సగటు పీడనం (P_av = F/A) అంటారు.

→ ఒక పదార్థ సాంద్రత, 4°C వద్ద నీటి సాంద్రతకు గల నిష్పత్తిని, ఆ పదార్థ సాపేక్ష సాంద్రత అంటారు.

→ పాస్కల్నయమం : విరామ స్థితిలో ఉన్న ఒక ప్రవాహిలో ఒకే ఎత్తులో ఉన్న అన్ని బిందువుల వద్ద, పీడనం ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది.

→ ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం : ఏదైనా ఒక ప్రవాహిలో ఒక వస్తువు పూర్తిగానో, పాక్షికంగానో మునిగి ఉన్నప్పుడు ఆ వస్తువు భారంలో కలిగే నష్టం అది తొలగించిన ప్రవాహి భారానికి సమానం.

→ అసంపీడ్య ప్రవాహి యొక్క ప్రవాహ వడిని కొలిచే సాధనమే వెంటురి-మీటర్.

→ ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ ద్రవాల స్నిగ్ధత తగ్గుతూ ఉంటుంది. అదే వాయువుల విషయంలో స్నిగ్ధత పెరుగుతుంది.

→ రెనాల్డు సంఖ్య R_e < 1000, ధారా రేఖా ప్రవాహం
R_e < 2000, సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం
1000 < R_e < 2000, నిలకడ రహిత ప్రవాహం

→ ద్రవ ఉమ్మడి తలం యొక్క ఏకాంక వైశాల్యానికి గల తలశక్తి, తలతన్యత (S) కు సమానం.

→ నీరు, గాజుల మధ్య ఉండే స్పర్శకోణం, లఘుకోణం (θ < 90°), కాబట్టి కేశనాళికలోకి ఎగబాకిన నీరు పుటాకారంగా ఉంటుంది.

→ ఒక ద్రవం, దాని చుట్టూ ఉండే తలానికి మధ్యగల ఉమ్మడి తలంపై ఏకాంకపొడవుకు పనిచేసే బలాన్ని తలతన్యత అంటారు.

→ ఆర్కిమెడిస్ (287 – 212 B.C.)
ఆర్కిమెడిస్ ఒక గ్రీకు తత్వవేత్త, గణితవేత్త, శాస్త్రవేత్త మరియు ఒక ఇంజనీరు. అతడు వడిసెల (cata- pult) ను ఆవిష్కరించాడు. మోయ లేని అధిక బరువులను తరలించ డానికి కష్ఠీలు, తులాదండాలతో ఒక వ్యవస్థను రూపొందించాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు

→ ఒక వస్తువు వేడిమిని లేక చల్లదనాన్ని ఉష్ణోగ్రత సాపేక్షంగా సూచిస్తారు.

→ ఉష్ణోగ్రత అనేది ఒక వస్తువు లేదా వ్యవస్థ యొక్క స్థూల ధర్మం. ఇది అదిశరాశి.

→ ఉష్ణోగ్రతా భేదం వలన రెండు వ్యవస్థల మధ్య వినిమయం జరిగే శక్తి రూపంగా ఉష్ణాన్ని నిర్వచించవచ్చు. ఉష్ణోగ్రతను కొలిచే పరికరాన్ని, ఉష్ణమాపకం (థర్మామీటర్) అంటారు.

→ సెల్సియస్, ఫారెన్ హీట్, రైమర్ మరియు కెల్విన్ స్కేలుల మధ్య సంబంధం, \(\frac{C-0}{100}=\frac{F-32}{180}=\frac{R-0}{80}=\frac{k-273}{100}\)

→ ఘన పదార్థాలలో స్ఫటిక జాలక రూపంలో పరమాణువులు క్రమబద్ధంగా అమరిఉండును.

→ అంతర పరమాణువుల మధ్య ఆకర్షణ బలం, వాని మధ్య దూరంపై ఆధారపడును.

→ ఉష్ణోగ్రత పెరిగిన, పరమాణువుల కంపనాల, కంపన పరిమితులు పెరుగును.

→ ఘన పదార్థంను వేడిచేస్తే దాని పొడవు, వైశాల్యం మరియు ఘనపరిమాణంలు పెరుగుతాయి.

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ పొడవులో పెరుగుదలను దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_l = \(\frac{\Delta l}{l \times \Delta \mathrm{T}}\)/°C

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ పొడవులో పెరుగుదలను దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_A = \(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a} \times \Delta \mathrm{t}}\)/°C

→ ఒక ఘన పదార్థం ఉష్ణోగ్రతలో ప్రమాణ పెరుగుదలకు, దాని ప్రమాణ ఘన పరిమాణంలో పెరుగుదలను ఘన పరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం అంటారు.
α_A = \(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{v} \times \Delta \mathrm{t}}\)/°C

→ α_l = α_A = α_v = 1: 2 : 3 (లేక) \(\frac{\alpha_l}{1}: \frac{\alpha_A}{2}: \frac{\alpha_v}{3}\)

→ ఒక పదార్థం శోషణం చేసుకున్న ఉష్ణరాశి ΔQ కు, పదార్థ ఉష్ణోగ్రతలోని తేడాకుగల నిష్పత్తిని, ఉష్ణధారణ సామర్థ్యం అంటారు. S = \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

→ ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుటకు, శోషణం లేక విసర్జించిన ఉష్ణంను, విశిష్టోష్ణం అంటారు.
S = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}} \frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

→ ఒక మోల్ పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుటకు, శోషణం లేక విసర్జించిన ఉష్ణంను మోలార్ విశిష్టోష్ణం అంటారు.
C = \(\frac{s}{\mu}=\frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}\)

→ పునర్ ఘనీభవన దృగ్విషయాన్ని పునర్ఘనీభవనం (Regelation) అంటారు.

→ ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులేకుండ, ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థ స్థితి మార్పులో శోషణం (లేక) విసర్జించిన ఉష్ణరాశిని గుప్తోష్ణం అంటారు.

→ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థము ఘన స్థితినుండి ద్రవ స్థితికి మార్పులో గ్రహించిన ఉష్ణరాశిని, ఘనీభవన గుప్తోష్ణం (L_f) అంటారు.

→ ఒకే ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి పదార్థము ద్రవస్థితినుండి ఆవిరిస్థితి మార్పులో గ్రహించిన ఉష్ణరాశిని, ఆవిరి గుప్తోష్ణం (L_v) అంటారు.

→ పదార్థంలో హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ప్రదేశంనకు ఉష్ణ ప్రసారం మూడు రీతులలో జరుగును. అవి వహనం, సంవనం, మరియు వికిరణం.

→ పదార్థంలో ఉష్ణ వహనం, అణువుల మధ్య అభిఘాతాల వల్ల జరిగే శక్తి వినిమయం రూపంలో సాధ్యమవుతుంది. స్థూలంగా పదార్థం నిశ్చలంగానే ఉన్నా, అందులోని అణువులు తమ మాథ్యమిక స్థానాల పరంగా కంపించడంవల్ల అభిఘాతాలు జరుగుతాయి.

→ పదార్థం నుండి పదార్థంనకు ఉష్ణవహన సామర్థ్యం మారును. దీనిని ఉష్ణ వహన గుణకం అనే రాశితో కొలుస్తారు.

→ ప్రవాహి స్థూలంగా చలనంలో ఉన్నప్పుడు జరిగే శక్తి వినిమయంను సంవహనం అంటారు.

→ సంవహనం రెండు రకాలు

• సహజ సంవహనం
• బలాత్కృత సంవహనం.

→ గురుత్వంవల్ల, సాంద్రతలలో తేడావల్ల ప్రవాహి చలనంను సహజ సంవహనం అంటారు.

→ వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రతలలో తేడ వల్ల, ప్రవాహి బలవంతంగా చలిస్తే, దానిని బలాత్కృత సంవహనం అంటారు.

→ ఉష్ణ వికిరణానికి పదార్థయానకం అవసరంలేదు.

→ ప్రతి వస్తువూ పరమ శూన్యం కన్నా హెచ్చు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఉష్ణ వికిరణాన్ని వెలువరిస్తూ, పరిసరాలతో ఉష్ణ వినిమయం చేసుకుంటుంది. దీనినే ప్రీవోస్ట్ సిద్ధాంతం అంటారు.

→ వస్తు ఏకాంక తల వైశాల్యం నుండి వెలువడే వికిరణ శక్తి అభివాహాన్ని, దాని ఉద్గార సామర్థ్యం అంటారు. దీని ప్రమాణం Jm²s^-1 లేక Wm^-2 మితి ఫార్ములా [MT^-3].

→ నిర్దిష్ట సమయంలో, శోషణ అభివాహ శక్తికి, అదేకాలంలో వస్తువుపై పతనమయిన మొత్తం అభివాహంనకు గల నిష్పత్తిని శోషణ సామర్థ్యం ‘a’ అంటారు. ‘a’ ఒకటి కన్నా ఎక్కువ ఉండదు. అన్ని తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద కృష్ణ వస్తు శోషణ సామర్థ్యం 1.

→ నియమిత ఉష్ణోగ్రతా తరంగదైర్ఘ్యాల వద్ద ఉద్గార, శోషణ సామర్థ్యాల నిష్పత్తి అన్ని వస్తువులకు స్థిరంగా అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి సమానం. దీనినే కిర్కాఫ్ నియమము అంటారు. ఉత్తమ శోషకాలు, ఉత్తమ ఉద్గారులు.

→ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రత నాల్గవ ఘాతానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
P = σAT⁴. P ఉద్గార సామర్థ్యం, σ స్టిఫాన్స్ స్థిరాంకం మరియు σ = 5.67 × 10^-8W/m²k⁴
వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యం, P = e_λσAT⁴
ఇచ్చట e_λ వస్తువు ఉద్గారత.

→ న్యూటన్ శీతలీకరణ సూత్రము : వస్తువుకు, పరిసరములకు మధ్య స్వల్ప ఉష్ణోగ్రతా భేదం ఉన్నప్పుడు ఆ వస్తువు ఉష్ణాన్ని కోల్పోయే రేటు వస్తువుకూ, దాని పరిసరములకు మధ్యగల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును. దీనినే న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము అంటారు.
\(\frac{-\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = α(T – T₀)

→ రూడాల్ఫ్ క్లాసియస్ (1822-1888)
పోలాండ్లో జన్మించిన రూడాల్ఫ్ క్లాసియస్ ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమ ఆవిష్కర్తగా గుర్తింపు పొందాడు. వాయువుల అణుచలన సిద్ధాంతం మీద కూడా కృషిచేసి, అణు పరిమాణం, వడి, స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాలకు విశ్వసనీయ మైన మదింపులను ఇచ్చాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం

→ రెండు వ్యవస్థలు (A,B) వేర్వేరుగా, మూడో వ్యవస్థతో సమతాస్థితిలో ఉంటే, రెండు వ్యవస్థలు (A, B) లు సమతా స్థితిలో ఉంటాయి. దీనినే ఉష్ణగతికశాస్త్ర శూన్యంక నియమం అంటారు.

→ ఉష్ణగతిక శూన్యంక నియమము ఉష్ణోగ్రతా భావనను ఇస్తుంది.

→ ఒక ప్రక్రియను సూటి ప్రక్రియలో ఏఏ దశల గుండా ప్రయాణం చేసిందో అదే దశల గుండా వెనుకకు తీసుకురాగల్గితే ఆ ప్రక్రియను ఉత్కృమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.

→ వ్యతిరేఖ దిశలో వెనుకకు మరలించి తీసుకురాలేని ప్రక్రియను అనుత్కమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.

→ ఉష్ణంకు, యాంత్రిక శక్తికి మధ్యగల సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసేది ఉష్ణగతికశాస్త్రం.

→ వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఉష్ణగతిక శాస్త్రాన్ని అన్వయించాలి.

→ ఒకవస్తువు యొక్క ఉష్ణస్థితిని తెలియజేయునది ఉష్ణోగ్రత. అది వస్తువు సాపేక్షంగా వేడిగా ఉందో, చల్లగా ఉందో తెలియజేస్తుంది.

→ ఉష్ణగతిక శూన్యాంక నియమము గణిత రూపం f (P, V, T) = 0.

→ ఉష్ణోగ్రతా భేదం వల్ల ఒక వవ్యస్థకు దాని పరిసరాలకు మధ్యశక్తి వినిమయం జరిగితే, ఆ శక్తిని ఉష్ణం అంటారు.

→ ప్రమాణ ఉష్ణరాశిని ఉత్పత్తి చేయటంలో జరిగిన యాంత్రిక పనిని, యాంత్రిక తుల్యాంకం అంటారు.
J = \(\frac{W}{Q}\) C.C.S వ్యవస్థలో J విలువ 4.2 × 10⁷ ఎర్గ్/కెలరీ
S.I. వ్యవస్థలో J ఒకటికీ సమానం.

→ ఒక వ్యవస్థకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి dQ దాని అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు dU మరియు చేసిన పని dw ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియమము ప్రకారం, dQ = dU + dw.

→ శక్తి నిత్యత్వ నియమ మరొక రూపమే ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియము.

→ అర్ధస్థితిక ప్రక్రియ అనేది అతి నెమ్మదిగా జరిగే ప్రక్రియ. ఈ ప్రక్రియలో ప్రతీ మాధ్యమిక స్థితి వద్ద వ్యవస్థ పరిసరాలతో ఉష్ణ మరియు యాంత్రిక సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ చక్రీయ ప్రక్రియలో పీడనం, ఘనపరిమాణం మరియు ఉష్ణోగ్రతలలో మార్పులు పొందే వేరు వేరు దశల తరువాత ఒక వ్యవస్థ తిరిగి మరల తొలి స్థితిని పొందుతుంది.

→ సమభాలిక ప్రక్రియలో పీడనం స్థిరం. సమఘన పరిమాణ ప్రక్రియలో ఘనపరిమాణం స్థిరం.

→ కార్నో యంత్రం (ఉష్ణాశయం) ఉష్ణోగ్రత, T₁, మరియు (శీతలాశయం) ఉష్ణోగ్రత T₂, ల మధ్య పనిచేయు ఒక ద్విగత యంత్రం. కార్నో యంత్రం దక్షత η = 1 – \(\frac{T_2}{T_1}\)

→ C_p విలువ C_v, కన్నా ఎల్లప్పుడు ఎక్కువ
∴ C_p – C_v = R మరియు \(\frac{C_p}{C_v}\) = γ
ఏక పరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{5}{3}\)
ద్విపరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{7}{5}\)
త్రి పరమాణుక వాయువుకు γ = \(\frac{4}{3}\)

→ సమఉష్ణోగ్రత మార్పు : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయువు పీడనం, ఘన పరిమాణంలో మార్పులు ఉష్ణ వినిమయంతో పాటు జరిగితే వాటిని సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ అంటారు.
PV = స్థిరాంకం

→ ఆదర్శవాయు సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = RT log_e\(\frac{V_2}{V_1}\) (లేక) W = 2.303 RT log_e\(\left|\frac{v_2}{v_1}\right|\)

→ స్థిరోషక మార్పు : ఒక విముక్త వ్యవస్థలో ఉష్ణ వినిమయం లేకుండా ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులను తెచ్చే పీడన ఘనపరిమాణాలలో మార్పులను, స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ అంటారు.

→ స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో P₁V₁^γ = P₂V₂^γ, T₁V₁^γ-1 = T₂V₂^1-γ, T₁P₁ = T₂P₂^1-γ

→ స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = \(\frac{\mu \mathrm{R}}{\gamma-1}\)(T₁ – T₂)

→ క్లాసియస్ ఉష్ణోగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము : బాహ్య ప్రమేయం లేకుండా ఉష్ణాన్ని ఒక వస్తువు నుండి హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత గల ఇంకొక వస్తువునకు సరఫరా చేయటం ఎటువంటి స్వయంపోషక యంత్రానికైనా అసాధ్యం.

→ కెల్విన్ ఫ్లాంక్ ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము: “ఒక వస్తువు నుండి గ్రహించిన ఉష్ణశక్తి మొత్తాన్ని యాంత్రిక శక్తిగా మార్చే చక్రీయ ఉష్ణయంత్రాన్ని నిర్మించడం అసాధ్యం”.

→ ద్రవీభవన గుప్తోష్టం (L) : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, 1kg ద్రవ్యరాశి గల పదార్థాన్ని ఘనస్థితి నుంచి పూర్తిగా ద్రవ్యస్థితికి మార్చడానికి అవసరమైన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్థ ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటారు. L = \(\frac{Q}{M}\)

→ ‘L’ ప్రమాణం: జౌల్/ కి.గ్రా
L మితి ఫార్ములా = \(\frac{Q}{M}\) = L²T^-2

→ మంచుద్రవీభవన గుప్తోష్టం L_ice = 80 cal/gm = 0.335 × 10⁶ J kg^-1
ఆవిరి గుప్తోష్ణం L_{ఆవిరి} = 540 cal/gm = 2.26 × 10⁶ kg^-1

→ లార్డ్ కెల్విన్ (1824-1907)
ఐర్లాండ్ లో జన్మించిన లార్డ్ కెల్విన్ 19వ శతాబ్దంలోని బ్రిటిష్ శాస్త్ర వేత్తలందరిలో ప్రథముడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం

→ ఒక అణువు రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య సరళరేఖలో చలిస్తుంది. రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య అణువు ప్రయాణం చేసిన దూరంను స్వేచ్ఛాపథ మధ్యమం అంటారు.

→ స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు యొక్క ఘనపరిమాణం, దాని పీడనంనకు విలోమానుపాతంలో ఉండును.
V ∝ \(\frac{1}{p}\) (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద)

→ చార్లెస్ నియమాలు :

• స్థిర పీడనం వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
• స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయు పీడనం, దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

→ ఆదర్శ వాయువుల మిశ్రమం మొత్తం పీడనం, ఆ మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగజేసే పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానం. దీనినే డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం అంటారు.

→ వాయు అణువుల సగటు వేగ వర్గాల మొత్తం యొక్క వర్గమూలంను సగటువర్గ మధ్యమ మూలవడి (rms) అంటారు.
V_rms = \(\sqrt{\frac{3 K_B T}{m}}\)

→ జాన్ డాల్టన్ (1766-1844):
ఇతను ఇంగ్లీష్ రసాయన శాస్త్రజ్ఞుడు. వివిధ రకాల పరమాణువులు సంయోగం చెందినప్పుడు, అవి నిర్దుష్ట సరళ నియమాలను పాటిస్తాయి. డాల్టన్ పరమాణు సిద్ధాంతం, ఈ సూత్రాలను సరళమైన పంథాలో వివరించింది. ధత్వంకు సిద్ధాంతాన్ని ఆయన ఇచ్చాడు.