Inter 1st Year

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 7 సమతలం Exercise 7(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 7 సమతలం Exercise 7(a)

అభ్యాసం – 7 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు నుంచి తలానికి గీసిన లంబపాదం (1, 3, -5) అయితే, ఆ తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
OP రేఖ గమన తలానికి లంబంగా ఉంది. OP యొక్క
D.R లు 1, 3, -5
సమతలము P(1, 3, 5) గుండా పోతుంది. సమతల సమీకరణము
– 1 (x – 1) + 3(y -3) – 5(z + 5) = 0
x – 1 + 3y – 9 – 5z – 25 = 0
x + 3y – 5z – 35 = 0

ప్రశ్న 2.
తలం సమీకరణం x + 2y – 3z – 6 = 0 ని అభిలంబ రూపానికి కుదించండి. [Mar. ’14]
సాధన:
సమతల సమీకరణము x + 2y – 3z-6=0
i.e., x + 2y – 3z = 6
\(\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}\) = \(\sqrt{1+4+9}\)
= \(\sqrt{14}\) తో భాగించగా
అభిలంబ రూపంలో సమతల సమీకరణము
x+y+ z=
\(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\) x + \(\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) \) y + \(\left(\frac{-3}{\sqrt{14}}\right)\) z = \(\frac{6}{\sqrt{14}}\)

ప్రశ్న 3.
X, Y, Z – అంతర ఖండాలు 1, 2, 4 గా కలిగిన సమతలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
దత్తాంశం a = 1, b = 2, c = 4.
అంతరఖండ రూపంలో సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}\) = 1
4తో గుణించగా, 4x + 2 y + z = 4

ప్రశ్న 4.
నిరూపకాక్షాలపై 4x + 3y + 2z + 2 = 0 తలం చేసే అంతర ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
సమతల నిరూపకము 4x + 3y – 2z + 2 = 0
– 4x – 3y + 2z = 2
\(-\frac{4 x}{2}-\frac{3 y}{2}+\frac{2 z}{2}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{1}{2}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{2}{3}\right)}+\frac{z}{1}\) = 1
x – అంతరఖండము = \(\frac{-1}{2}\)
y – అంతరఖండము = \(\frac{-2}{3}\)
z – అంతరఖండము = 1.

ప్రశ్న 5.
x + 2y + 2z – 4 = 0 తలానికి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి. [Mar ’13; May ’12]
సాధన:
సమతల సమీకరణం x + 2y + 2z– 4 = 0
అభిలంబరేఖకు DR లు (1, 2, 2)
\(\sqrt{1+4+4}\) = 3 తో, భాగించగా,
అభిలంబరేఖ D.c. లు \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ప్రశ్న 6.
(−2, 1, 3) గుండాపోతూ, (3, -5, 4) అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలుగా గలిగిన తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ D.r. లు (3, -5, 4) మరియు
తలము (-2, 1, 3) గుండా పోతుంది. ‘
సమతల సమీకరణము
3(x + 2) – 5(y – 1) + 4(z – 3) = 0
3x + 6 – 5y + 5 + 4z – 12 = 0.
3x – 5y + 4z – 1 = 0

ప్రశ్న 7.
4x – 4y + 2z + 5 = 0 సమీకరణాన్ని అంతర ఖండ రూపంలోకి మార్చండి. [May ’12]
సాధన:
సమతల సమీకరణము 4x – 4y + 2z + 5 = 0
– 4x + 4y – 22 = 5
–\(\frac{4x}{5}\) + \(\frac{4y}{5}\) – \(\frac{2z}{5}\) = 1
అంతరఖండ రూపము \(\frac{x}{\left(\frac{-5}{4}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{4}\right)}+\frac{z}{\left(-\frac{5}{2}\right)}\) = 1
x – అంతర ఖండము = –\(\frac{5}{4}\)
y – అంతర ఖండము = \(\frac{5}{4}\)
z – అంతర ఖండము = –\(\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 8.
x + 2y + 2z – 5 = 0, 3x + 3y + 2z – 8 = 0 తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
సమతలాల సమీకరణాలు x + y + 2z – 5 = 0
3x + 3y + 2z – 8 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
(1, 1,1 ) గుండాపోతూ, x + 2y + 3z – 7=0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాయండి. [May ’11]
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము x + y + 3z – 7 = 0.
సమాంతర తలం సమీకరణము x + 2 + 3z = k.
ఈ తలం P (1, 1, 1) గుండా పోతూ,
1 + 2 + 3 = k ⇒ k = 6
కావలసిన సమతల సమీకరణము x + 2 y + 3z = 6

ప్రశ్న 2.
(2, 3, 4) బిందువు గుండా పోతూ, X- అక్షానికి లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
సమతలం X అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది.
∴ X – అక్షం సమతలానికి అభిలంబరేఖ
X – అక్షం d.c. లు 1, 0, 0
కావలసిన సమతల సమీకరణము x = k
ఈ తలము P(2, 3, 4) గుండా పోతుంది.
∴ 22 = k
కావలసిన సమతల సమీకరణము x = 2.

ప్రశ్న 3.
2x + 3y + 7 = 0, XY – తలానికి లంబంగా ఉండే + + 7 తలాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము 2x + 3y + 7 = 0
xy తలం సమీకరణము z = 0
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2.0 + 3.0 + 0.1
= 0 + 0 + 0 = 0
2x + 3y + 7 = 0 తలము XY-తలానికి లంబంగా ఉంది.

ప్రశ్న 4.
x – 2y + kz = 0, 2x + 5y – z = 0 తలాలు పరస్పరం లంబంగా ఉండేటట్లు k విలువ కనుక్కోండి. ఈ తలాలకు లంబంగా ఉంటూ, (1, -1, -1) బిందువు గుండా పోయే తలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త తలాల సమీకరణాలు x – 2 y + kz = 0
మరియు 2x + 5y – z = 0
ఈ తలాలు లంబంగా ఉన్నాయి.
1.2 – 2.5 + k (-1) = 0
2 – 10 = k ⇒ k = -8
సమతల సమీకరణాలు x – 2y – 8z = 0 ……………. (1)
2x + 5y – z. = 0 ………………… (2)
ఈ తలం (1, −1, −1) గుండాపోతూ సమతల సమీకరణాన్ని
a(x + 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0 ……………… (3) గా వ్రాయగలము.
ఈ తలం (1), (2) తలాలకు లంబం
a – 2b – 8c = 0
2a + 5b – c = 0

(3) లో ప్రతిక్షేపించగా, కావలసిన సమతల సమీకరణము
42(x – 1) – 15(y + 1) + 9(z + 1) = 0
42x – 42 – 15y – 15 + 9z + 9 = 0
42x – 15y + 92 – 48 = 0.

ప్రశ్న 5.
(-1, 6, 2) గుండాపోతూ (1, 2, 3), (−2, 3, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A(1, 2, 3), B(-2, 3, 4) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండానికి లంబంగా ఉంది.
AB యొక్క d.r. లు 1 + 2, 2 – 3, 3 – 4
i.e., 3, -1, – 1

AB రేఖ అభిలంబరేఖ సమతలము P(-1, 6, 2) గుండా పోతుంది.
కావలసిన సమతల సమీకరణము
3(x + 1) – 1(y – 6) – 1 (z – 2) = 0
3x + 3 y + 6 – z + 2 = 0
3x = y – z + 11 = 0

ప్రశ్న 6.
(2, 0, 6), (–6, 2, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటూ, దానిని సమద్విఖండన చేసే తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A (2, 0, 6), B(-6, 2, 4) లు దత్త బిందువులు.
AB కి మధ్యబిందువు ‘0’

0 నిరూపకాలు \(\left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right)\) = (-2, 1, 5)
సమతలము AB కి లంబంగా ఉంది.
సమతల అభిలంబరేఖ d.r.లు
2 + 6, 0 – 2, 6 – 4.
8, -2, 2
సమతల సమీకరణము
+8 (x + 2) – 2(y – 1) + 2 (2 – 5) = 0
8x + 16 – 2y + 2 + 2z – 10 = 0
8x – 2y + 2z + 8 = 0

ప్రశ్న 7.
(0, 0, – 4) బిందువు గుండా పోతూ (1, −2, 2); (-3, 1, -2) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉండే ‘తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A(1, -2, 2), B (-3, 1, -2) లు దత్తబిందువులు.
AB యొక్క d.r.లు 1 + 3, -2 – 1, 2 + 2 i. e., 4, -3, 4
AB సమతలానికి లంబంగా ఉంటే P(0, 0, -4) సమతల సమీకరణము
4(x – 0) – 3 (y – 0) + 4(z + 4) = 0
4x – 3y + 4z + 16 = 0

ప్రశ్న 8.
(4, 4, 0) గుండా పోతూ, 2x + y + 2x + 3 = 0, 3x + 3y + 2z – 8 = 0 తలాలకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(4; 4, 0) గుండా పోయే సమతల సమీకరణం
a(x – 4) + b(y – 4) + c(z – 0) = 0 ……………. (1)
ఈ తలం 2x + y + 2z – 3 = 0
3x + 3y + 2z – 8 = 0 లకు లంబంగా ఉంది.
∴ 2a + b + c = 0 ………………….(2)
3a + 3b + 2c = 0 …………………. (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, సమతల సమీకరణము
-4 (x – 4) + 2(y – 4) + 3(z – 0) = 0
-4x + 16 + 2y – 8 + 3z = 0
-4x + 2y + 3z + 8 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
(2, 2, -1), (3, 4, 2), (7, 0, 6) బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(2, 2, -1), B (3, 4, 2), C(7, 0, 6) లు దత్త బిందువులు.
A(2, 2, -1) గుండాపోవు సమతల సమీకరణము
a(x – 2) + b(y – 2) + c(z + 1) = 0 ……….. (1)
ఈ సమతలం B(3, 4, 2) మరియు C(7, 0, 6) ల గుండా పోతుంది.
a(3 – 2) + b(4 – 2) + c(2 + 1) = 0
a + 2b + 3c = 0 ……………. (2)
a(7 – 2) + b(0 – 2) + c(6 + 1) = 0
5a – 2b + 7c = 0 ……………. (3)
(2) మరియు (3) ల నుండి

(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, సమతల సమీకరణము
5(x – 2) + 2(y – 2) – 3(z + 1) = 0
5x – 10 + 2y – 4 – 3z – 3 = 0
5x + 2y – 3z – 17 = 0
5x + 2y – 3z = 17

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, 1, 0), (2, 1, -1), (1, 1, 1), (3, 3, 0) సతలీయాలని చూపండి. (మూడు బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కొని నాలుగో బిందువు ఆ తలంపై ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(0, -1, 0) గుండా పోవు సమతల సమీకరణము
ax + b(y + 1) + cz = 0 ………………… (1)
ఈ తలము B(2, 1, – 1), C(1, 1, 1) ల గుండా పోతుంది.
2a + 2b c = 0 ……………….. (2)
a + 2b + c = 0 ……………… (3)
(2) – (3) ⇒ a – 2c = 0 ⇒ a = 2c ⇒ \(\frac{a}{2}=\frac{c}{1}\)
(2) + (3) ⇒ 3a + 4b = 0 ⇒ 3a = -4b
⇒ \(\frac{a}{4}=\frac{b}{-3}\)
∴ \(\frac{a}{4}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, ABC తల సమీకరణము
4x – 3(y + 1) + 2 (z – 0) = 0
4x – 3y + 2z – 3 = 0
4x – 3y + 2z – 3 = 4.3 – 3.3.+0.3
= 12 – 9 – 3 = 0
సతలీయాలు A, B, C, D బిందువులు.

ప్రశ్న 3.
(6, – 4, 3), (0, 4, -3) బిందువుల గుండాపోతూ నిరూపకాక్షాలపై అంతర ఖండాల మొత్తం సున్నా అయ్యే తలాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు అంతర ఖండాలు అనుకొనుము.
సమతల సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
a + b + c = 0
c = – (a + b)
ఈ తలం P (6, – 4, 3), Q(0, 4, – 3)ల గుండా పోతుంది.

a = \(\frac{6}{2}\) = 3
\(\frac{4}{b}-\frac{3}{c}\) = 1 ⇒ 4c – 3b= bc
c = -a – b = -3 – b
4(-3 – b) – 3b = b(-3 – b)
-12 – 4b – 3b = -3b – b²
b² – 4b – 12 = 0
(b – 6) (b + 2) = 0 ⇒ b = 6, -2

సందర్భం i) : b = 6
c = -3 – b = -3 – 6 = -9
సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{9}\) = 1
6x + 3y – 2z = 18

సందర్భం ii): b = -2
c = -3 – b = -3 + 2 = − 1
సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{-1}\) = 1

ప్రశ్న 4.
ఒక తలం నిరూపకాక్షాలను A, B, C బిందువులలో ఖండిస్తుంది. ∆ABC కేంద్రాభాసం (a, b, c) అయితే, తలం సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3 అని చూపండి.
సాధన:
α, β, γ లు ABC ల సమతలం నిరూపకాక్షాలను చేసే, అంతరఖండాలు అనుకుందాం. అంతరఖండ సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}\) = 1 …………… (1)

A, B, C ల నిరూపకాలు
A(α, 0, 0), B(0, β, 0), C (0, 0, γ)
∆ABC యొక్క కేంద్రాభాసము G
G నిరూపకలు \(\left(\frac{\alpha}{3}, \frac{\beta}{3}, \frac{\gamma}{3}\right)\) = (a, b, c)
\(\frac{\alpha}{3}\) = a, \(\frac{\beta}{3}\) = b, \(\frac{\gamma}{3}\) = c
α = 3a, β = 3b, γ = 3c
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, ABC తల సమీకరణము
\(\frac{x}{3 a}+\frac{y}{3 b}+\frac{z}{3 c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3

ప్రశ్న 5.
(1, 1, 1), (1, -1, 1), (- 7, -3, -5) బిందువుల గుండాపోయే తలం Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(1, 1, 1) గుండా పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 1) + b(y − 1 ) + c(z – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ తలం B(1, – 1, 1), C (- 7, – 3, – 5) ల గుండా పోతుంది.
0 – 2b + 0 = 0 = b = 0
zx-తలం సమీకరణము y = 0
0.x + 1. y + 0. z = 0
a. 0 + 0. 1 + c.0 = 0
కావలసిన తలం zx – తలానికి లంబంగా ఉంది.
కనుక Y – అక్షానికి లంబంగా ఉంది.

ప్రశ్న 6.
ax + by + r = 0, by + cz + p = 0, cz + ax + q = 0 సమీకరణాలు వరుసగా XY, YZ, ZX – తలాలకు లంబంగా ఉండే తలాలను సూచిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము
ax + by + c = 0
అభిలంబరేఖ d.r.లు (a, b, c)
XYZ తలం సమీకరణము z = 0
అభిలంబరేఖ d.r.లు (0, 0, 1)
a.0 + b.0 + 0.1 = 0
∴ ax + by + r = 0 తలం xy- తలానికి లంబంగా ఉంది.
ఇదేవిధంగా by + cz + p = 0
yz – తలానికి మరియు cz + ax + q = 0
zx – తలానికి లంబంగా ఉన్నాయని చూపవచ్చును.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(g)

క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థలు సంగతమో, కాదో పరీక్షించండి. సంగతమైతే పూర్తిగా సాధించండి.

Question 1.
x + y + z = 4
2x + 5y – 2z = 3
x + 7y – 7z = 5
Solutions:

ρ(A) = 2, ρ(AD) = 3
ρ(A) ≠ ρ(AD)
∴ దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ అసంగతం.
సాధన లేదు.

Question 2.
x + y + z = 6
x – y + z = 2
2x – y + 3z = 9 [Mar. ’11]
Solution:

Question 3.
x + y + z = 1
2x + y + z = 2
x + 2y + 2z = 1 [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

ρ(A) = 2 = ρ(AB) < 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతం. అనేక సాధనాలు ఉంటాయి.
సాధన సమితి [(x, y, z) 1x = 1, y + z = 0].

Question 4.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Solution:


∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగీతం ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = 1, y = 3, z = 5.

Question 5.
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + 4z = 1
Solution:

∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతం.
ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = -7, y = 22, z = -9.

Question 6.
x – 3y – 8z = -10
3x + y – 4z = 0
2x + 5y + 6z = 13
Solution:
సర్వ మాత్రిక


ρ(A) = ρ(AB) = 2 < 3
∴ దత్త వ్యవస్థ సంగతము అనేక సాధనాలు ఉంటాయి.
x + y = 2, y + 2z = 3
z = k అయిన y = 3 – 2z = 3 – 2k
x = 2 – y
= 2 – (3 – 2k)
= 2 – 3 + 2k
= 2k – 1
∴ సాధన x = -1 + 2k, y = 3 – 2k, z = k, ‘k’ ఒక సంఖ్య.

Question 7.
2x + 3y + z = 9
x + 2y + 3z = 6
3x + y + 2z = 8
Solution:


ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతము ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = \(\frac{35}{18}\), y = \(\frac{29}{18}\), z = \(\frac{5}{18}\)

Question 8.
x + y + 4z = 6
3x + 2y – 2z = 9
5x + y + 2z = 13
Solution:


ρ(A) = ρ(AB) = 3
∴ దత్త వ్యవస్థ సంగతము ఏకైక సాధనం ఉంటుంది.
∴ సాధన x = 2, y = 2, z = \(\frac{1}{2}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(b)

I.

Question 1.
f(x) = e^x, g(x) = log_ex అయితే fog = gof అని చూపండి. f^-1, g^-1 లు కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\) అయితే (fog) (y) = y అని చూపండి.
Solution:
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\)
ఇప్పుడు (fog) (y) = f(g(y))

∴ (fog) (y) = y

Question 3.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 2x² + 3, g(x) = 3x – 2 గా నిర్వచిస్తే
(i) (fog)(x)
(ii) (gof) (x)
(iii) fof (0)
(iv) go(fof) (3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R
f(x) = 2x² + 3; g(x) = 3x – 2
(i) (fog) (x) = f(g(x))
= f(3x – 2), [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2(3x – 2)² + 3, [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 2(9x² – 12x + 4) + 3
= 18x² – 24x + 8 + 3
= 18x² – 24x + 11
(ii) (gof) (x) = g(f(x))
= g(2x² + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 3(2x² + 3) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2
= 6x² + 9 – 2
= 6x² + 7
(iii) (fof) (0) = f(f(0))
= f(2(0) + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= f(3)
= 2(3)² + 3
= 18 + 3
= 21
(iv) go(fof) (3) = go(f (f(3)))
= go(f(2 × 3² + 3)), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= go(f(21))
= g(f(21))
= g(2 × 21² + 3)
= g(885)
= 3(885) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2653

Question 4.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 3x – 1, g(x) = x² + 1 లుగా నిర్వచిస్తే
(i) (fof) (x² + 1)
(ii) fog (2)
(iii) gof (2a – 3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g: R → R
f(x) = 3x – 1; g(x) = x² + 1
(i) (fof) (x² + 1) = f(f(x² + 1))
f[3(x² + 1) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= f(3x² + 2)
= 3(3x² + 2) – 1
= 9x² + 5
(ii) (fog) (2) [Mar. ’13; May ’13]
= f(g(2))
= f(2² + 1), [∵ g(x) = x² + 1]
= f(5)
= 3(5) – 1, [∵ f(x) = 3x – 1]
= 14
(iii) (gof) (2a – 3)
= g(f(2a – 3))
= g[3(2a – 3) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= g(6a – 10)
= (6a – 10)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 36a² – 120a + 100 + 1
= 36a² – 120a + 101

Question 5.
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x అయితే x ∈ (0, ∞) కు (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x, ∀ x ∈ (0, ∞)
(gof) (x) = g(f(x))

Question 6.
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R అయితే (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R
(gof) (x) = g(f(x))
= g(2x – 1), [∵ f(x) = 2x – 1]
= \(\frac{(2 x-1)+1}{2}\), [∵ g(x) = \(\frac{x+1}{1}\)]
= x
∴ (gof) (x) = x

Question 7.
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x ∀ x ∈ R, అయితే ((fo(goh)) (x)) ను కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x, ∀ x ∈ R
[fo(goh) (x)] = [fog(h(x))]
= fog(2x), [∵ h(x) = 2x]
= f[g(2x)]
= f((2x)²), [∵ g(x) = x²]
= f(4x²), [∵ f(x) = 2]
= 2
∴ [fo(goh) (x)] = 2

Question 8.
కింది ప్రమేయాల విలోమాలు కనుక్కోండి.
(i) a, b ∈ R, f : R → R ని f(x) = ax + b (a ≠ 0) గా నిర్వచిస్తే. [Mar. ’13]
Solution:
a, b ∈ R, f : R → R మరియు
f(x) = ax + b, a ≠ 0
y = f(x) = ax + b అనుకోండి
⇒ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = ax + b
⇒ x = \(\frac{y-b}{a}\) ……(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = \(\frac{y-b}{a}\)
⇒ f^-1(x) = \(\frac{x-b}{a}\)

(ii) f : R → (0, ∞) ని f(x) = 5^x గా నిర్వచిస్తే. [(A.P) Mar. ’15, ’11]
Solution:
f : R → (0, ∞), f(x) = 5^x
y = f(x) = 5^x అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = 5^x
⇒ log5(y) = x ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₂(x) అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = log₂(x)
⇒ x = 2^y ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₅(x)

(iii) f : (0, ∞) → R ని f(x) = log₂x గా నిర్వచిస్తే.
Solution:
f : (0, ∞) → R, f(x) = log₂(x)
y = f(x) = log₂(x) అనుకోండి.
y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …….(i)
y = log₂x
⇒ x = 2^y ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = 2^y
⇒ f^-1(x) = 2^x

Question 9.
f(x) = 1 + x + x² + …….. |x| < 1 అయితే f^-1(x) = \(\frac{x-1}{x}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 10.
f : [1, ∞) → [1, ∞), f(x) = 2^x(x-1) గా నిర్వచిస్తే f-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2^x(x-1)
f(x) = y
⇒ x = f^-1(x)

II.

Question 1.
f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\)‚ x ≠ ±1, అయితే (fof^-1)(x) = x అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} అయితే f : A → B, g : B → C లను f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (y, γ)} లుగా నిర్వచిస్తే, f, g లు ద్విగుణ ప్రమేయాలు అని, (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి.
Solution:
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ},
f : A → B, f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
⇒ f(1) = α, f(2) = γ, f(3) = β
∵ A లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు B లో విభిన్న f-ప్రతిబింబాలున్నవి. కనుక f : A → B అన్వేక ప్రమేయం
f వ్యాప్తి = {α, γ, β} = B (సహప్రదేశం)
కనుక f : A → B సంగ్రస్తం
∴ f : A → B ద్విగుణ ప్రమేయం
B = {α, β, γ}, C = {p, q, r), g : B→ C
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
⇒ g(α) = q, g(β) = r, g(γ) = p
∴ B లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు C లో విభిన్న మూలకాలు g-ప్రతిబింబంగా ఉన్నది.
కనుక g : B → C అన్వేక ప్రమేయం.
g వ్యాప్తి g = g(B) = {p, q, r} = C
కనుక g : B → C సంగ్రస్తం
∴ g : B → C ద్విగుణ ప్రమేయం
ఇప్పుడు f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
∴ gof = {(1, q), (2, p), (3, r)}
∴ (gof)^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)} ……..(1)
g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}
f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)}
f^-1og^-1 = {(q, 1), (r, 3), (p, 2)} ……..(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ (gof)^-1 = f^-1og^-1

Question 3.
f : R → R, g : R → R, f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1 గా నిర్వచిస్తే
(i) (gof^-1)(2), (ii) (gof)(x – 1) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08; May ’06]
Solution:
f : R → R, g : R → R and f(x) = 3x – 2
f ద్విగుణ ప్రమేయం ⇒ విలోమం వ్యవస్థితం
y = f(x) = 3x – 2 అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) ……..(i)
y = 3x – 2
⇒ x = \(\frac{y+2}{3}\) ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి

(ii) (gof) (x – 1)
Solution:
(gof) (x – 1) = g(f(x – 1))
= g(3(x – 1) – 2), [∵ f(x) = 3x – 2]
= g(3x – 5)
= (3x – 5)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 9x² – 30x + 26
∴ (gof) (x – 1) = 9x² – 30x + 26.

Question 4.
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}, g-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)} అయితే (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}
∴ f^-1 = {(a, 1), (c, 2), (d, 4), (b, 3)}
g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
∴ g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)}
(gof) = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}
∴ (gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} …….(1)
f^-1og^-1 = {(2, 1), (4, 3), (1, 2), (3, 4)} ………(2)
(1), (2) ల నుండి (gof)^-1 = f^-1og^-1.

Question 5.
f : R → R, g: R → R లను f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5 అయితే (fog)^-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R, f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5
ఇప్పుడు (fog) (x) = f(g(x))
= f(x³ + 5) [∵ g(x) = x³ + 5]
= 2(x³ + 5) – 3, [∵ f(x) = 2x – 3]
f(x) = 2x³ + 7
∴ (fog) (x) = 2x³ + 7
y = (fog) (x) = 2x³ + 7
y = fog(x) = 2x³ + 7
⇒ x = (fog)^-1 (y) ……..(1)
⇒ y = 2x³ + 7
⇒ \(\frac{y-7}{2}\) = x³
⇒ x = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
(fog)^-1 (y) = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(fog)^-1(x) = \(\left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Question 6.
f(x) = x², g(x) = 2^x అయితే (fog) (x) = (gof) (x) సమీకరణం సాధించండి.
Solution:

Question 7.
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1) అయితే, (fofofof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1)
(i) (fofof) (x) = (fof) [f(x)]

(ii) (fofofof) (x)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f)

అభ్యాసం – 10 (ఎఫ్)

I.

1. క్రింది ప్రమేయాలకు రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.

i) x² – 1; [–1, 1] పై [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం, కనుక
f(-1) = f(1) = 0 మరియు
[-1, 1] లో f అవకలనీయం
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1) అయ్యేటట్లు f'(c) = 0.
f(x) = 2x = 0
∴ = f'(c) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ii) sin x – sin 2x; [0, π] పై
సాధన:
f(x) = sin x – sin x
f ప్రమేయం [0, π] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(0) = f(π) = 0 మరియు
లో f అవకలనీయం [0, π]
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈(0, π)
f'(c) = 0
f'(x) = cos x – 2 cos 2x
f'(c) = 0 ⇒ cosc – 2 cos 2c = 0
⇒ cos c – 2(2cos²c – 1) = 0
⇒ cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
∴ c = cos^-1 \(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log (x² + 2) – log 3, [-1, 1] పై [A.P Mar. 15]
సాధన:
f(x) = log (x + 2) – log 3
f ప్రమేయంపై [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(1) = 0 మరియు f[-1, 1] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1)
∴ f'(c) = 0
f'(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\)(2x)
f'(c) = \(\frac{2 c}{c^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1).

ప్రశ్న 2.
f(x) = x² + bx² + ax ప్రమేయానికి [1, 3] పై రోల్ సిద్ధాంతం ధ్రువపడుతుంది. c = 2t + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అయితే a, b ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి f(x) = x³ + bx² + ax
f'(x) = 3x² + 2bx + a
∴ f'(x) = 0 ⇔ 3c² + 2bc + a = 0

ప్రశ్న 3.
x² – 3x + k = 0 సమీకరణానికి [0, 1] లో రెండు విభిన్న మూలాలు ఉండేటట్లుగా, k అనే వాస్తవ సంఖ్య ఉండదని చూపండి.
సాధన:
f(0) = f(c)
0 – 0 + k = 1 – 3 + k
0 = -2
ఇది సాధ్యపడదు, కనుక X అనే వాస్తవ సంఖ్య.

ప్రశ్న 4.
y = (x – 3)² వక్రంపై (3, 0), (4, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 0) and (4, 1)
జ్యావాలు = \(\frac{1-0}{4-3}\) = 1
y = (x – 3)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 3)
⇒ వాలు = 2(x – 3)
1 = 2(x – 3)
\(\frac{1}{2}\) = x – 3
x = \(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{7}{2}\)
y = (x – 3)² = (\(\frac{7}{2}\) – 3) = \(\frac{1}{4}\)
వక్రంపై బిందువు (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{1}{4}\))

ప్రశ్న 5.
y = x³ వక్రంపై (1, 1), (3, 27) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యా, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (1, 1) and (3, 27)
జ్యా వాలు = \(\frac{27-1}{3-1}\) = 13
y = x³

ప్రశ్న 6.
క్రింది సందర్భాలలో f‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ఉండే ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) f(x) = x² – 3x – 1, a = \(\frac{-11}{7}\), b = \(\frac{13}{7}\)
సాధన:

ii) f(x) = e^x; a = 0, b = 1
సాధన:
f(b) = f(1) = e’ = e
f(a) = f(0) = e° = 1
Given f(x) = e^x
f'(x) = e^x
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
e^c = \(\frac{e-1}{1-0}\) a^x = N
e^c = e – 1 ⇔ \(\log _a^N\) = x
⇒ \(\log _{\mathrm{e}}^{(\mathrm{e}-1)}\) = c

ప్రశ్న 7.
(x² – 1) (x – 2) ప్రమేయానికి [−1, 2] పై రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. అంతరంలో ఏ బిందువు వద్ద అవకలజం సున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = (x² – 1) (x – 2) = x³ – 2x² – x + 2
f ప్రమేయం [−1, 2] లో అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(2) = 0 మరియు f
[−1, 2] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ∃ C ∈ (−1, 2)
f'(c) = 0
f'(x) = 3x² – 4x – 1
f'(c) = 0
3c² – 4c – 1 = 0
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}\)
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}\)
c = \(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\)

ప్రశ్న 8.
కింది ప్రమేయాలకు వాటి పక్క సూచించిన సంవృతాంతరాలపై లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం సరిచూడండి. ప్రతి సందర్భంలో, సిద్ధాంతంలో ఉన్న విధంగా బిందువు ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) x² – 1 on [2, 3]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [2, 3] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = x² – 1
f'(x) = 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం
C ∈(2, 3)
f'(c) = \(\frac{f(3)-f(2)}{3-2}\)
2c = \(\frac{8-3}{1}\)
2c = 5
c = \(\frac{5}{2}\)
c = \(\frac{5}{2}\) ∈ (2, 3)

ii) sin x – sin 2x, పై [0, π]
సాధన:
f(x) = sin x – sin 2x
f ప్రమేయం [0, π] లో అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
f(x) = sin x – sin 2x
f(x) = cos x – 2 cos 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈ (0, π)
f(c) = \(\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0}\)
cosc – 2 cos 2c = 0
cosc – 2(2cos² – 1) = 0
cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
c = cos^-1\(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log x on [1, 2].
సాధన:
f(x) = log x
f ప్రమేయం [1, 2] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = log x
f(x) = \(\frac{1}{x}\)
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ సిద్ధాంతం ప్రకారం
c ∈(1, 2) such that
f'(c) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = log 2
c = \(\frac{1}{\log _e^2}\) = \(\log _2^e \text {. }\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(f)

I. కింది ఇచ్చిన ప్రతి మాత్రికకూ కోటి కనుక్కోండి.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 0
= 0
| 1 | = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|\)
= 1 – 0
= 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 3.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 0
= 0
|1| = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 4.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 1
= -1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 5.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
Solution:
\(\left|\begin{array}{cc}
1 & -4 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 3 + 8
= 11 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
Solution:
\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 6 \\
4 & 3
\end{array}\right|\)
= 6 – 24
= -18 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

II.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
= 1(1 – 0) – 0(0 – 0) + 0(0 – 0)
= 1 – 0 + 0
= 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 0) – 2(8 + 1) + 0(0 + 3)
= 6 – 18
= -12 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 3.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 4) – 2(4 – 3) + 0(8 – 9)
= 2 – 2 + 0
= 0
∴ ρ(A) ≠ 3, ρ(A) < 3
ఉపమాత్రిక నిర్ధారకం \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 3 – 4
= -1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 4.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) [Mar. ’08]
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
det A = 0, ρ(A) ≠ 3.
ప్రతి 2 × 2 ఉపమాత్రిక det సున్న
∴ ρ(A) ≠ 2
|1| = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 5.
\(\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\)
Solution:
ఉపమాత్రిక B నిర్ధారకం = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
-2 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(8 – 3) – 2(6 + 2)
= 5 – 16
= -11 ≠ 0
మాత్రిక కోటి = 3

Question 6.
\(\left[\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
ఉపమాత్రిక A నిర్ధారకం = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= -1(12 – 4) + 1(4 – 0)
= -8 + 4
= -4 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b)

I.

Question 1.
క్రింది లబ్దాలు సాధ్యమైనప్పుడల్లా కనుక్కోండి.
సూచన: (1 × 3) by (3 × 1) = 1 × 1

Solution:


మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య, రెండవ మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానం కాదు. అందువల్ల మాత్రికా లబ్ధము నిర్వచితము కాదు.

మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య 1 ≠ రెండవ మాత్రికలో అడ్డు వరుసల సంఖ్య 2 కనుక మాత్రిక లబ్ధం నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే AB, BA లు నిర్వచితమా? అయితే లబ్ద మాత్రికలు కనుక్కోండి. A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయమవుతాయా?
Solution:

AB ≠ BA
∴ A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయము కావు.

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{0} & \mathbf{i} \\
\mathbf{i} & \mathbf{0}
\end{array}\right]\) అయితే
(i) A² = B² = C² = -I [Mar. ’08]
(ii) AB = -BA = -C, (i² = -1) అని చూపండి.
(I అనేది రెండో తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) అయితే, AB ని కనుక్కోండి. BA ని నిర్వచితమైతే కనుక్కోండి.
Solution:

మాత్రిక B లో నిలువు వరుసల సంఖ్య A లో అడ్డు వరుసల సంఖ్య. అందువల్ల BA నిర్వచితం కాదు.

Question 7.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\), A² = O అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’05]
Solution:
A² = O
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
4-4 & 8+4 k \\
-2-k & -4+k^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ 8 + 4k = 0
⇒ 4k = -8
⇒ k = -2

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\), అయితే A⁴ ని కనుక్కోండి.
సూచన : A వికర్ణ మాత్రిక.
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -1 & -3
\end{array}\right]\), అయితే A³ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A³ – 3A² – A – 3I విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 4.
I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\), E = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే (aI + bE)³ = a³I + 3a²bЕ అని చూపండి. [(AP) Mar. ’15, May ’05]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

III.

Question 1.
A = diag [a₁, a₂, a₃), n ≥ 1 ఒక పూర్ణాంకం అయితే Aⁿ = \(\left[a_1^n, a_2^n, a_3^n\right]\) అని చూపండి.
Solution:

n = k + 1 కి ఇది నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం ద్వారా ప్రతి n ∈ N కు P(n) నిజమవుతుంది.

Question 2.
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\) అయితే \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\
\cos \theta \sin \theta & \sin ^2 \theta
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \phi & \cos \phi \sin \phi \\
\cos \phi \sin \phi & \sin ^2 \phi
\end{array}\right]\) = 0 అని చూపండి. [May ’11; Mar. ’04]
Solution:
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\) + φ

Question 3.
n ధన పూర్ణాంకం, A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) అయితే Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
Solution:
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం ఋజువు చేద్దాం.


∴ n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం n యొక్క అన్ని పూర్ణాంకాలకు నిజం.

Question 4.
A, B లు ఒకే తరగతి చతురస్ర మాత్రికలైతే AB = 0, BA ≠ 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
Solution:

Question 5.
ఒక సహాయనిధికి చెందిన రూ.30,000 లను రెండు రకాల బాండ్లలో మదుపు చేయాలి. మొదటి రకం బాందు సంవత్సరానికి 5% వడ్డీని, రెండవ రకం బాండు సంవత్సరానికి 7% వడ్డీని ఇస్తాయి. మాత్రికల గుణకాన్ని ఉపయోగించి ఈ మొత్తాన్ని ఏవిధంగా విభజిస్తే వడ్డీ (a) రూ.1800 (b) రూ.2000 వస్తుంది.
Solution:
మొదటి బాండును ‘x’ అనుకొనుము.
రెండవ బాండును 30,000 – x అనుకొనుము.
వడ్డీ శాతం 0.05 మరియు 0.07 అనుకొనుము.
(a) [x, 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [1800]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = 1800
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 1800
5x + 21,0000 – 7x = 1,80,000
-2x = 1,80,000 – 2,10,000 = -30,000
x = 15,000
∴ మొదటి బాండ్ = 15,000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 15,000 = 15,000

(b) [x 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [2000]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = [2000]
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 2000
5x + 2,10,000 – 7x = 2,00,000
-2x = 2,00,000 – 2,10,000
-2x = -10,000
x = 5,000
∴ మొదటి బాండ్ = 5000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 5000 = 25,000

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
రేఖ 4x – 3y = 12 కు నిరూపకాక్షాల మీద అంతరఖండాల వర్గాల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము
\(\frac{4 x}{12}-\frac{3 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}\) = 1
a = 3, b = – 4
వర్గాల మొత్తము = a² + b²
= 9 + 16 = 25

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మధ్య గల భాగాన్ని (2p, 2q) సమద్విఖండన చేస్తే ఆ రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో AB సమీకరణము

A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
M మధ్య బిందువు AB
M నిరూపకాలు \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) = (2p, 2q)
\(\frac{a}{2}\) = 2p, \(\frac{b}{2}\) = 2q
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AB సమీకరణము
\(\frac{x}{4 p}+\frac{y}{4 q}\) = 1
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 4

ప్రశ్న 3.
ax + by + c = 0 (abc ≠ 0), lx + my + n = 0 సమీకరణం ఒకే రేఖను సూచిస్తే, r = \(\frac{l}{a}=\frac{n}{c}\) అయినప్పుడు r విలువను m, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax + by + c = 0,
lx + my + n = 0 లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి.
∴ \(\frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}\) = r
\(\frac{m}{b}\) = r

ప్రశ్న 4.
రేఖ y = – \(\sqrt{3}\) x + 3, X – అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో చేసే కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము y = – \(\sqrt{3}\)x + 3
దత్తరేఖ X – అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో చేసిన కోణము α అనుకుందాం.
tan α = – \(\sqrt{3}\) = tan \(\frac{2\pi}{3}\)
α = \(\frac{2\pi}{3}\)

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మీద చేసే అంతరఖండాలు a, ‘b అయితే మూల బిందువు నుంచి ఆ రేఖకు లంబ దూరమైన p విలువను a, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము

p = మూలబిందువు నుండి లంబంగా

II.

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాటిలో మూల బిందువు నుంచి సరళరేఖ దూరాన్ని p సూచిస్తుంది. మూల బిందువు నుంచి సరళరేఖకు గీసిన ఒక అభిలంబ కిరణం X – అక్షం ధన దిశతో అపసవ్య దిశలో 0 కోణాన్ని చేస్తుంది. క్రింద ఇచ్చిన p, α విలువలు గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) p = 5, α = 60°
ii) p = 6, α = 150°
iii) p = 1, α = \(\frac{7\pi}{4}\)
iv) p = 4, α = 90°
v) p = 0, α = 0
vi) p = 2\(\sqrt{2}\), α = \(\frac{5\pi}{4}\)
సాధన:
అభిలంబ రూపంలో రేఖ సమీకరణం
x cos α + y sin α = p
i) p = 5, α = 60°
cos α= cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin α = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము x . \(\frac{1}{2}\) + y . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5
⇒ x + \(\sqrt{3}\) y = 10

ii) p = 6, α = 150°
cos α = cos 150° = cos (180° – 30°)
= -cos 30° = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin α = sin 150°
= sin (180° -30°)
= sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(x \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+y \cdot \frac{1}{2}\) = 6
– \(\sqrt{3}\) x + y = 12
లేదా \(\sqrt{3}\) x – y + 12 = 0

iii) p = 1, α = \(\frac{7\pi}{4}\)
cos α= cos 315° = cos (360° – 45°)
= cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin α = sin 315° = sin (360° – 45°)
= – sin 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
x . \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) – y . \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 1
x – y = \(\sqrt{2}\)
x – y – \(\sqrt{2}\) = 0

iv) p = 4, α = 90°
cos α = cos 90° = 0, sin α = sin 90° = 1
సరళరేఖ సమీకరణము x. 0 + y . 1 = 4
y = 4

v) p = 0, α = 0
cos α = cos 0 = 1, sin α = sin 0 = 0
సరళరేఖ సమీకరణము x. 1 + y . 0 = 0
x = 0

vi) p = 2\(\sqrt{2}\), α = \(\frac{5\pi}{4}\)
cos α = cos 225° = cos (180° + 45°)
= -cos 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin α = sin 225° = sin (180° + 45°)
= -sin 45° = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(x\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2 \sqrt{2}\)
-x – y = 4
లేదా x + y + 4 = 0

ప్రశ్న 2.
కింది సమస్యలలో ఇచ్చిన వాలుతో, ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖల సమీకరణాలు సౌష్ఠవ రూపంలో కనుక్కోండి.
i) \(\sqrt{3}\) (2, 3)
ii) –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\), (-2, 0)
iii) -1, (1, 1)
సాధన:
i) సౌష్ఠవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-x_1}{\cos \alpha}=\frac{y-y_1}{\sin \alpha}\) = r
(x₁, y₁) = (2, \(\sqrt{3}\))
m = tan α = \(\sqrt{3}\) ⇒ α = 60°
cos α = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin α = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
సౌష్టవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-2}{\cos \frac{\pi}{3}}=\frac{y-3}{\sin \frac{\pi}{3}}\)

ii) (x, y) = (-2, 0)
tan α = – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ α = 180° – 30° = 150°
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x+2}{\cos 150^{\circ}}=\frac{y}{\sin 150^{\circ}}\)

iii) tan α = -1, α = 180° – 45° = 135°
(x₁, y₁) = (1, 1)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-1}{\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)}=\frac{y-1}{\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలను
a) వాలు – అంతరఖండ రూపం
b) అంతరఖండ రూపం
c) అభిలంబ రూపంలోకి మార్చండి.
i) 3x + 4y = 5
ii) 4x – 3y + 12 = 0
iii) \(\sqrt{3}\) x + y = 4
iv) x + y + 2 = 0
v) x + y – 2 = 0
vi) \(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
సాధన:
i) 3x + 4y = 5
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
4y = -3x + 5
y = \(\left(-\frac{3}{4}\right) x+\left(\frac{5}{4}\right)\)
అంతరఖండ రూపము :
3x + 4y = 5
\(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{5}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{5}{3}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{4}\right)}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
3x + 4y = 5
\(\sqrt{9+16}\) = 5 తో భాగించగా
\(\frac{3}{5}\) x + \(\frac{4}{5}\) y = 1
cos α = \(\frac{3}{5}\), sin α = \(\frac{4}{5}\) ⇒ tan α = \(\frac{4}{3}\)
x cos α + y sin α = 1

ii) 4x – 3y + 12 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
3y = 4x + 12
y = \(\left(\frac{4}{3}\right)\) x + 4
అంతరఖండ రూపము :
4x – 3y + 12 = 0
-4x + 3y = 12
\(\frac{-4 x}{12}+\frac{3 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{4}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
4x – 3y + 12 = 0
-4x + 3y = 12
\(\sqrt{16+9}\) = 5 తో భాగించగా
\(\left(\frac{-4}{5}\right) x+\left(\frac{3}{5}\right) y=\frac{12}{5}\)
cos α = –\(\frac{4}{5}\), sin α = \(\frac{3}{5}\) ⇒ tan α = –\(\frac{3}{4}\)
x cos α + y sin α = \(\frac{12}{5}\)

iii) \(\sqrt{3}\) x + y = 4
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
\(\sqrt{3}\) x + y = 4
y = –\(\sqrt{3}\) x + 4
అంతరఖండ రూపము :

iv) x + y + 2 = 0 [Mar. ’12]
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
x + y + 2 = 0
y = -x – 2
= (-1)x + (-2)
అంతరఖండ రూపము:
x + y + 2 = 0
-x – y = 2
\(\frac{x}{(-2)}+\frac{y}{(-2)}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
x + y + 2 = 0
-x – y = 2
\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) తో భాగించగా
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) x+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) y=\sqrt{2}\)
\(x \cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+y \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)=\sqrt{2}\)

v) x + y – 2 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
x + y – 2 = 0
y = -x + 2
అంతరఖండ రూపము:
x + y – 2 = 0
x + y = 2
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
x + y – 2 = 0
x + y = 2
\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) తో భాగించగా
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . x + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . y = \(\sqrt{2}\)
x cos \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) + y sin \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = \(\sqrt{2}\)

vi) \(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
\(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
y = –\(\sqrt{3}\) x – 10
అంతరఖండ రూపము :

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖ x tan α + y sec α = 1 (0 ≤ α ≤ \(\frac{\pi}{2}\)) నిరూపకాక్షాల మీద చేసే అంతర ఖండాల లబ్దము sin α అయితే C. కనుక్కోండి.
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము x tan α + y sec α = 1
\(\frac{x}{\cot \alpha}+\frac{y}{\cos \alpha}\) = 1
a = cot α, b = cos α
ab = sin α అని ఇవ్వబడింది.
cot α . cos α = sin α
\(\frac{\cos ^2 \alpha}{\sin \alpha}\) = sin α ⇒ cos² α = sin² α
tan² α = 1 = tan α = +1
α = 45°

ప్రశ్న 5.
ఒక చల (variable) సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే అంతరఖండాల విలోమాల మొత్తం స్థిరం అయితే ఆ రేఖ ఒక స్థిర బిందువు గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 6.
సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే అంతరఖండాలు a, b. మూల బిందువును స్థిరంగా ఉంచి అక్షాలకు ఒక దత్త కోణం గుండా తిప్పినప్పుడు ఆ రేఖ L నూతన అక్షాలతో చేసే అంతరఖండాలు p, q అయితే \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో తొలి వ్యవస్థలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) – 1 = 0
మూల బిందువు నుండి లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\) …………… (1)
రెండవ వ్యవస్థలో అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) – 1 = 0
మూల బిందువు నుండి లంబ దూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}}\) ……………… (2)

ప్రశ్న 7.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 సమీకరణాన్ని a > 0, b > 0 అయినప్పుడు అభిలంబ రూపంలోకి రూపాంతరం చేయండి. ఆ రేఖకు మూల బిందువు నుండి లంబదూరం p అయితే \(\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
bx + ay = ab
\(\sqrt{a^2+b^2}\) తో భాగించగా

III.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ A(-2, 1) నుంచి పోతూ X – అక్షం ధన దిశలో 30° కోణం చేస్తుంది. ఆ సరళరేఖపై A నుంచి 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ మీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
(x₁ + r cos α, y₁ + r sin α)
α = 30° ⇒ cos α = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin α = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
(x₁, y₁) = (-2, 1) ⇒ x₁ = -2, y₁ = 1
r = 4 గా తీసుకుంటే P నిరూపకాలు
(-2 + 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1 + 4 . \(\frac{1}{2}\)) = (-2 + 2\(\sqrt{3}\), 3)
r = – 4 గా తీసుకుంటే P నిరూపకాలు
(-2 – 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1 – 4 . \(\frac{1}{2}\)) = (-2 – 2\(\sqrt{3}\), -1)

ప్రశ్న 2.
3x – 4y – 1 = 0 రేఖపై ఉంటూ, బిందువు (3, 2) నుంచి 5 యూనిట్లు దూరంలో ఉన్న బిందువులను కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
సౌష్ఠవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-3}{\cos \alpha}=\frac{y-2}{\sin \alpha}\) = r
P నిరూపకాలు
(3 + r cos α, 2 + r sin α) = (3 + 5 cos α, 2 + 5 sin α)
P బిందువు 3x – 4y – 1 – 0 రేఖపై ఉంది.
3(3+ 5 cos α) – 4(2 + 5 sin α) − 1 = 0
9 + 15 cos α – 8 – 20 sin α – 1 = 0
15 cos α – 20 sin α = 0
15 cos α = + 20 sin α
tan α = + \(\frac{3}{4}\)
సందర్భం i) : cos α = +\(\frac{4}{5}\), sin α = \(\frac{3}{5}\)
సందర్భం ii) : cos α = –\(\frac{4}{5}\), sin α = –\(\frac{3}{5}\)

సందర్భం i) : P నిరూపకాలు
(3 + 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 + 5 . \(\frac{3}{5}\)) = 17, 5)
సందర్భం ii): P నిరూపకాలు
(3 – 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 – 5 . \(\frac{3}{5}\)) = (-1, -1)

ప్రశ్న 3.
X- అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో 7/3 కోణం చేసే ఒక సరళరేఖ Y- అక్షం మీద ధన అంతరఖండం చేస్తోంది. ఆ సరళరేఖ మూలబిందువు నుంచి 4 దూరంలో ఉంటే, ఆ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
α = 7/3, p = 4 అని ఇవ్వబడింది.
m = tan α = tan 60° = \(\sqrt{5}\)
వాలు – అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
y = \(\sqrt{3}\) x + c
\(\sqrt{3}\) x – y + c = 0
మూల బిందువు నుండి పోయే ధృవము = 4
\(\frac{|0-0+c|}{\sqrt{3+1}}\) = 4
|c| = 4 × 2 = 8
c = +8
c > 0
∴ c = 8
సరళరేఖ సమీకరణము \(\sqrt{3}\) x – y + 8 = 0

ప్రశ్న 4.
A (2, 1) బిందువు గుండాపోయేటట్లు గీసిన ఒక సరళరేఖ x + y = 9 రేఖను ఖండించే బిందువు A నుంచి 3\(\sqrt{2}\) దూరంలో ఉంటే, ఆ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
L – రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో α కోణం చేస్తుందను కుందాము.
ఈ రేఖమీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
= (x₁ + r cos α₁, y₁ + r sin α)
= (2 + 3\(\sqrt{2}\) cos α 1 + 3\(\sqrt{2}\) sin α)
ఈ బిందువు x + y = 9 రేఖ మీద ఉంది.
2 + 3\(\sqrt{2}\) cos α + 1 + 3\(\sqrt{2}\) sin α = 9
3\(\sqrt{2}\) (cos α + sin α) = 6
cos α + sin α = \(\frac{6}{3 \sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . cos α + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) sin α = 1
cos α . cos 45° + sin α . sin 45° = 1
cos (α – 45°) = cos 0°
α – 45° = 0 ⇒ α = 45° = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 5.
రుణ వాలుగల ఒక సరళరేఖ L, బిందువు, (8, 2) గుండా పోతూ, ధన నిరూపకాక్షాలను P, Q ల వద్ద ఖండిస్తోంది. O మూల బిందువు, ఓ చలిస్తూ ఉంటే OP + OQ కు కనిష్ఠ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
సరళరేఖ వాలు – m అనుకొనుము.
సరళరేఖ సమీకరణం y – 2 = -m (x – 8)
mx + y – (2 + 8m) = 0
mx + y = 2 + 8m


∴ కనిష్ఠ విలువ = 18

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(e)

I.

Question 1.
క్రింది మాత్రికల అనుబంధ మాత్రికను విలోమ మాత్రికను కనుక్కోండి.
(i) A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
4 & 6
\end{array}\right]\) [Mar. ’02]
Solution:

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) [Mar. ’13]
Solution:

(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) [Mar. ’05]
Solution:

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) [Mar ’08]
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
a+i b & c+i d \\
-c+i d & a-i b
\end{array}\right]\), a² + b² + c² + d² = 1 అయితే, A విలోమం కనుక్కోండి.
Solution:
Det A = (a + ib) (a – ib) – (c + id) (-c + id)
= a² – i²b² – (-c² + i²d²)
= a² + b² + c² + d²
= 1 (∵ i² = -1)

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
0 & -1 & 4 \\
-2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే, (A’)^-1 కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & -2 \\
2 & 1 & -2 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right|\) అయితే adj A = 3A’ అని చూపి A^-1 కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
abc ≠ 0, అయితే \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{b} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{c}
\end{array}\right]\) కు విలోమం కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\), B = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{b}+c & c-a & \mathbf{b}-\mathbf{a} \\
\mathbf{c}-\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} \\
\mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{a}-c & \mathbf{a}+\mathbf{b}
\end{array}\right]\) అయితే ABA^-1 ఒక వికర్ణ మాత్రిక అని చూపండి.
Solution:
A^-1 ను కనుక్కొందాం

Question 2.
3A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
-2 & 2 & -1
\end{array}\right]\) అయితే A^-1 = A’ అని చూపండి. [Mar. ’14]
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A^-1 = A³ అని చూపండి.
Solution:

∴ A⁴ = I
det A = 3(1) – 3(-2) + 4(-2) = 1
∵ A ≠ 0 ⇒ A^-1 వ్యవస్థితం
∵ A⁴ = I
A^-1 చే గుణించగా
A⁴ (A^-1) = I (A^-1)
⇒ A³ (A A^-1) = A^-1
⇒ A³ (I) = A^-1
∴ A^-1 = A³

Question 4.
AB = I గానీ, BA = I గానీ అయితే A విలోమనీయ మాత్రిక అనీ B = A^-1 అని నిరూపించండి.
Solution:
AB = I
⇒ |AB| = |I| = |A| |B| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A ఒక సాధారణ మాత్రిక
మరియు BA = I
⇒ |BA| = |I|
⇒ |B| |A| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A ఒక సాధారణ మాత్రిక
AB = I లేదా BA = I అయితే A విలోమనీయం
∴ A^-1 వ్యవస్థితం
AB = I
⇒ A^-1AB = A^-1I
⇒ IB = A^-1
⇒ B = A^-1
∴ B = A^-1

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(a)

I.

Question 1.
ఈ క్రిందివాటిని ఒకే మాత్రికగా వ్రాయండి.
(i) [2 1 3] + [0 0 0]
(ii) \(\left[\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 9 & 0 \\
1 & 8 & -2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 2 \\
7 & 1 & 4
\end{array}\right]\)
(iv) \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
1 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -5
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{array}\right]\), A + B = X అయితే x₁, x₂, x₃, x₄ ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
A + B = X కనుక

∴ x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 7, x₄ = -3

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5 \\
0 & -2 & 2 \\
1 & 2 & -3
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A + B + C ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), X = A + B అయితే, మాత్రిక X ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
\(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\) అయితే x, y, z, a విలువలను కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:
\(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\)
∴ x – 3 = 5
⇒ x = 3 + 5 = 8
2y – 8 = 2
⇒ 2y = 8 + 2 = 10
⇒ y = 5
z + 2 = -2
⇒ z = -2 – 2 = -4
a – 4 = 6
⇒ a = 4 + 6 = 10

II.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే x, y, z, a ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
∴ x – 1 = 1
⇒ x = 1 + 1 = 2
5 – y = 3
⇒ y = 5 – 3 = 2
z – 1 = 4
⇒ z = 4 + 1 = 5
a – 5 = 0
⇒ a = 5

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -5 \\
2 & -1 & 5 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే జాడ A కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:
జాడ A = ప్రధాన వికర్ణ మూలకాల మొత్తం
= 1 – 1 + 1
= 1

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & -6
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]\) అయితే B – A, 4A – 5B లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\) అయితే 3B – 2A ను కనుక్కోండి.
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a)

అభ్యాసం – 10 (ఎ)

1.  కింది ప్రమేయాలకు ఎదురుగా సూచించిన x, Δx విలువలకు Δy, yలను కనుక్కోండి.

i) y = x² + 3x + 6, x = 10, Δx = 0.01 (T.S Mar. ’15, ’14, ’11, ’05)
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(10.01) – f(10)
= [(10.01)² + 3(10.01) + 6] – [10² + 3(10) + 6]
= 100.2001 + 30.03 + 6 – 100 – 30 – 6
= 0.2001 + 0.03
= 0.2301
y = x² + 3x + 6
dy = (2x + 3) dx
= (2.10 + 3) (0.01) = 0.23

ii) y = e^x + x, x = 5, Δx = 0.02
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(5 + 0.02) – f(5)
= f(5.02) – f(5)
= e^5.02 – e⁵ – 5
= e^5.02 – e⁵ + 0.02
= e⁵ (e^0.02 – 1) + 0.02
dy = f'(x) Δx = (e^x + 1) Δx
= (e⁵ + 1)(0.02)

iii) y = 5x² + 6x + 6, x = 2, Δx = 0.001
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(2 + 0.001) – f(2)
= f(2.001) – f(2)
= 5(2.001)² + 6(2.001) + 6(5(2)² + 6(2) + 6)
= 20.0200 + 12.0060 + 6 – 20 – 12 – 6
= 0.026005
dy = f'(x) Δx = (10x + 6) Δx
= (26) (0.001) = 0.0260.

iv) y = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8, Δx = 0.02
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1000
f(x + Δx) = \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) = \(\frac{1}{10+0.02}\) = \(\frac{1}{10.02}\) = 0.0998
Δy = f(x + Δx) – f(x)
Δy = f(x + Δx – f(x))
= \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) – \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10.02}\) – \(\frac{1}{10}\)
= 0.0998 003992 – 0.1000
= -0.0001996
dy = f'(x)Δx = \(\frac{-1}{(x+2)^2}\)Δx
= \(\frac{-1}{100}\)(0.002) = -0.0002

v) y = cos x, x = 60°, Δx = 1°
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= cos (x + Δx) – cos x
= cos (60° + 1°) – cos 60°
= cos 61° – cos 60°
= 0.4848 – \(\frac{1}{2}\)
= 0.4848 – 0.5
= -0.0152
dy = f'(x) Δx
= -sin x Δx
= -sin 60°(1°) = \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.0174)
= -(0.8660) (0.0174) = – 0.0151.

II.

1. కింది వాటికి ఉజ్జాయింపు విలువలు కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{82}\)
సాధన:
82 = 81 + 1 = 81(1 + \(\frac{1}{81}\))
∴ x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x). Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) . Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{81}}\) . 1
= \(\frac{1}{18}\) = 0.0555
Δy = f(x + δx) – f(x) ≈ dy
f(x + δx) f(x) ≈ f(x) + dy
= \(\sqrt{81}\) + 0.0555
= 9 + 0.0555
i.e., \(\sqrt{82}\) = 9.0555 = 9.056

ii)
\(\sqrt[3]{65}\)
సాధన:
x = 64, Δx = 1, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)

iii)
\(\sqrt{25.001}\)
సాధన:
x = 25
Δx = 0.001
f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x) Δx
= \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{25}}\)(0.001) = \(\frac{0.001}{10}\)
= 0.0001

f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt{25}\) + 0.0001
\(\sqrt{25}\) 5.0001

iv) \(\sqrt[3]{7.8}\)
సాధన:
x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)
dy = f'(x). Δx
= \(\frac{1}{3} x^{-2 / 3}\) . Δx = \(\frac{1}{3 x^{2 / 3}}\) . Δx
dy = \(\frac{1}{3(8)^{2 / 3}}\) (-0.2)
= –\(\frac{0.2}{3 \times 4}\) = –\(\frac{0.2}{12}\) = -0.0166
f(x + δx) – (x) \(\simeq\) dy
f(x + δx) \(\simeq\) f(x) + dy
= \(\sqrt[3]{8}\) – 0.0166
= 2 – 0.01 66
∴ \(\sqrt[3]{7.8}\) = 1.9834

v) sin (62°)
సాధన:
x = 60°, Δx = 2°, f(x) = sin x
dy = f(x) Δx
= cosx Δx
= cos 60° Δx
= \(\frac{1}{2}\left(2^{\circ}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\)(0.0174) = 0.0174
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) sin 60° + 0.01 74
\(\cong\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 0.0174
\(\cong\) 0.8660 + 0.01 74
\(\cong\) 0.8834

vi) cos (60° 5′)
సాధన:
x = 60°, Δx = 5′
= \(\frac{5}{60}\) × \(\frac{\pi}{180}\) = \(\frac{\pi}{2160}\)
= 0.00143
f(x) = cos x
dy = f'(x)Δx = -sin x Δx
= -sin 60° (0.001453)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.001453)
= – 0.8660 (0.001453)
= -0.001258
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) cos x + dy
\(\cong\) cos 60° + 0.001258
\(\cong\) 0.5 – 0.001258
\(\cong\) 0.4987.

vii) \(\sqrt[4]{17}\)
సాధన:
x = 16, Δx = 1
f(x) = \(\sqrt[4]{x}\) = \(x^{\frac{1}{4}}\)

f(x + Δx) f(x) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt[4]{x}\) + 0.0312
\(\cong\) 2 + 0.0312
\(\cong\) 2.0312

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్ర భుజంలో పెరుగుదల 4% అయితే ఆ చతురస్రపు వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రం భుజం పొడవు x, వైశాల్యం A = x² అనుకుంటే
ఇచ్చినది \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 4
A = x²
ΔA = 2x Δx
\(\frac{\Delta A}{A}\) × 100 = \(\frac{2 x \Delta x}{x^2}\) × 100
= \(\frac{2 \Delta x}{x}\) × 100
= 2(4)
= 8.

ప్రశ్న 3.
ఒక గోళ వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ.గా కొలిచారు. తరవాత ఈ వ్యాసార్థం కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉన్నట్లుగా గమనించారు. గోళ ఉపరితల వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
r = 14, Δr = 0.02
s = 4πr²
Δs = 4π 2r Δr
Δs = 8π (14) (0.02)
= 2.24π
= 2.24 (3.14)
= 7.0336.

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళ వ్యాసం 40 సెం.మీ.గా కొలిచారు. దీనిని కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉంటే గోళపు ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యాలలో ఉజ్జాయింపు దోషాలను కనుక్కోండి. సాధన. గోళపు ఘనపరిమాణం అనుకొనుము.
సాధన:
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం v అనుకుంటే
v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\) = \(\frac{4 \pi}{3}\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^3\)
= \(\frac{4 \pi}{3} \frac{d^3}{8}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{d}^3}{6}\)
Δv = \(\frac{\pi}{6}\)3d² Δd
= \(\frac{\pi}{2}\)(40)²(0.02)
= π(1600)(0.01)
= 16π.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
s = \(4 \pi\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^2\)
s = \(4 \pi \frac{d^2}{4}\)
s = πd²
Δs = π2d Δd
= π2(40) (0.02)
= 1.6π

ప్రశ్న 5.
గురుత్వ స్థిరాంకం g, లోలకం పొడవు l, డోలనావర్తన కాలం t ల మధ్య సంబంధం t = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\). lను గణించడంలో దోష శాతం 1 అయితే tలో ఉజ్జాయింపు దోష శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
T = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
log t = log (2π) + \(\frac{1}{2}\){(log (l) – log g)

∴ g లో దోషము = -0.02% (లేదా)
g లో దోష శాతము = -0.02

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e)

అభ్యాసం – 3 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
(1, \(\sqrt{3}\) ) (2, 0), (0, 0) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
O(0, 0), A (1, \(\sqrt{3}\)), B (2, 0) లు ∆ ABC శీర్షాలు

ప్రశ్న 2.
x + y + 10 = 0, x – y − 2 = 0, 2x + y +7 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 …………….. (1)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0 ………………… (2)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0 ……………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా B నిరూపకాలు (-4, -6)
(1), (3) లను సాధించగా A నిరూపకాలు (17, 27)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
AD సమీకరణము x + y + k = 0
AD రేఖ A (17, −27) గుండా పోతుంది.
17 – 27 + k = 0 ⇒ k = 10
∴ AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 ……………. (1)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
DE సమీకరణము x – 2y = k
BE సమీకరణము B (-4, -6)
-4 + 12k = k ⇒ k = 8
BE సమీకరణము x – 2y = 8

3y = -18 ⇒ y = -6
x + y + 10 = 0 ⇒ x – 6 + 10 = 0
x = 6 – 10 = -4
∆ ABC యొక్క లంబకేంద్రం (-4, – 6)

ప్రశ్న 3.
4x – 7y + 10 = 0, x + y = 5, 7x + 4y = 15 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము 4x – 7y + 10 = 0 ……………. (1)
BC సమీకరణము x + y = 5 ………………… (2)
AC సమీకరణము 7x + 4y – 15 = 0 ………………. (3)
AB, AC లు లంబంగా ఉన్నాయి. ∠A = 90°
∴ ABC లంబకోణ త్రిభుజం
లంబకోణ శీర్షం A లంబకేంద్రం
(1), (3) లను సాధించగా

లంబకేంద్రం O (1, 2)

ప్రశ్న 4.
x = 1, y = 1, x + y = 1 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1

AB, BC లు లంబాలు
∴ ABC ఒక లంకోణ త్రిభుజము ∠B = 90°
AC మధ్య బిందువు, AC పరికేంద్రము
A నిరూపకాలు (1, 0), C నిరూపకాలు (0, 1).
పరికేంద్రము \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 5.
x = 1, y = 1, x + y = 1 లు భుజాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము X = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1
సాధించగా A(1, 0), B (1, 1), C (0, 1) లు శీర్షాలు

ప్రశ్న 6.
(1, 0),(–1, 2), (3, 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 0), B (-1, 2), C (3, 2) లు ∆ ABC త్రిభుజ శీర్షాలు

S (x, y) ∆ ABC యొక్క పరికేంద్రం
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x – 1)² + y² = (x + 1)² + (y – 2)²
x² – 2x + 1 + y² = x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4
4x – 4y = -4 ⇒ x – y = -1 ………………. (1)
SB SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3) + (y – 2)²
x² + 2x + 1 = x² – 6x + 9
8x = 8 ⇒ x = 1
(1) నుండి 1 – y = -1
y = 2
∴ పరికేంద్రము (1, 2)

ప్రశ్న 7.
kx + y + 9 = 0, 3x – y = 4 సరళరేఖల మధ్యకోణం 45° అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
kx + y + 9 = 0
3x – y + 4 = 0
cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{|3 k-1|}{\sqrt{k^2+1} \sqrt{9+1}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|3 k-1|}{\sqrt{10} \sqrt{k^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
5k² + 5 = (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1
4k² – 6k – 4 = 0
2k² – 3k – 2 = 0
(k – 2) (2k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1/2

ప్రశ్న 8.
మూల బిందువు గుండాను 2x + y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 సరళ రేఖల ఖండన బిందువు గుండాను పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణము L₁ = 2x – y + 5 = 0
AC సమీకరణము L₂ = x + y + 1 = 0
A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + KL₂ = 0
(2x – y + 5) +k (x + y + 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 0 (0, 0) ల గుండా పోతుంది.
5 + k = 0 ⇒ k = -5
(1) నుండి ప్రతిక్షేపించగా OA సమీకరణం
(2x + y + 5) − 5(x + y + 1) = 0
2x – y + 5 – 5x – 5y – 5 = 0
-3x – 6y = 0 ⇒ x + 2y = 0

ప్రశ్న 9.
3x + 4y,= 7 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ, x – 2y – 3 = x + 3y – 6 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = x – 2y – 3 = 0 మరియు
L₂ = x + 3y – 6 = 0
ఖండన బిందువు గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(x – 2y – 3) + k(x + 3y – 6) = 0
(1 + k)x + (-2 + 3k)y + (-3 – 6k) = 0
ఈ రేఖ 3x + 4y = 7 కు సమాంతరం.
a₁b₂ = a₂b₁
3(−2 + 3k) = (1 + k) 4
– 6 + 9k = 4 + 4k
⇒ 5k = 10 ⇒ k = 2 +
కావలసిన రేఖ సమీకరణం 3x + 4y – 15 = 0

ప్రశ్న 10.
2x + 3y = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ x + 3y – 1 = 0, x − 2y + 4 = 0 రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + 3y – 1 = 0
AC సమీకరణము X -2y + 4 = 0

A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
(x + 3y – 1) + k(x – 2y + 4) = 0
(1 + k)x + (3 – 2k)y + (4k – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 2x + 3y = 0 కు లంబము
a₁a₂ + b₁b₂ = 0
2(1 + k) + 3(3 – 2k) = 0
2 + 2k + 9 – 6k = 0
4k = 11 ⇒ k = \(\frac{11}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AD సమీకరణము
\(\left(1+\frac{11}{4}\right)\) x + \(\left(3-\frac{11}{2}\right)\) y + (11 – 1) = 0
\(\frac{15}{4}\) x – \(\frac{5}{2}\) y + 10 = 0
15x – 10y + 40 = 0
3x – 2y + 8 = 0

ప్రశ్న 11.
నిరూపకాక్షాలతో శూన్యేతర సమాన అంతర ఖండాలు చేస్తూ, 2x – 5y + 1 = 0, x – 3y – 4 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = 2x – 5y + 1 = 0
L₂ = x – 3y – 4 = 0
ఈ రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోతే
ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(2x – 5y + 1) + k(x – 3y – 4) = 0
(2 + k)x – (5+ 3k)y + (1 – 4k) = 0 …………….. (1)
అంతర ఖండాలు సమానం
2 + k – 5 – 3k
4k = -7
⇒ k = -7/4
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా కావలసిన రేఖ సమీకరణము
\(\left(2-\frac{7}{4}\right)\) x – \(\left(5-\frac{21}{4}\right)\) y + (1 + 7) = 0
\(\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)y + 8 = 0
⇒ x + y + 32 = 0

ప్రశ్న 12.
3x + 2y + 4 = 0, 2x + 5y − 1 = 0, రేఖల ఖండన బిందువు నుంచి 7x + 24y – 15 0 సరళరేఖకు గల లంబదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 2y + 4 = 0
2x + 5y – 1 = 0

P నిరూపకాలు (-2, 1)
రేఖ సమీకరణము 7x + 24y – 15 = 0
లంబ దూరము
= \(\left|\frac{-14+24-15}{\sqrt{49+576}}\right|=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 13.
3x + 4y – 8 = 0 సరళరేఖల నుంచి (2, 3), (-4, a) బిందువుల దూరాలు సమానమయితే ‘a’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము 3x + 4y – 8 – 0
P (2, 3), Q (-4, a) లు దత్త బిందువులు.
PP’, QQ’ లు P, ల నుండి లంబం

PP’ = QQ’
\(\frac{|3.2+4.3-8|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|3 \cdot(-4)+4 a-8|}{\sqrt{9+16}}\)
10 = |4a – 20|
4a – 20 = ±10 ⇒ 4a = 20 ± 10 = 30 లేదా 10
a = \(\frac{30}{4}\) లేదా \(\frac{10}{4}\)
i.e., a = \(\frac{15}{2}\) లేదా 5/2

ప్రశ్న 14.
x + y = 0, 2x + y + 5 = 0, x – y = 2 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y = 0 ………………. (1)
BC సమీకరణము 2x + y + 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణము x – y = 2 ……………. (3)

(1), (2) లను సాధిస్తే, B నిరూపకాలు (-5, 5)
(2), (3) లను సాధిస్తే, A నిరూపకాలు (-1,-3)
(1), (3) సాధిస్తే A నిరూపకాలు (1, -1)
S(x, y) పరికేంద్రం అనుకుందాం.
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x + 5)² + (y − 5)² = (x + 1)² + (y + 3)²
x² + 10x + 25 + y² – 10y + 25
= x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
8x – 16y = -40
x – 2y = -5 ………………. (1)
SB = SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y + 3)² = (x – 1)² + (y + 1)²
x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
x² – 2x + 1 + y² + 2y + 1
4x + 4y = -8
x + y = -2 …………… (2)
(2) – (1) 3y = 3 ⇒ y = 1
x + 1 = -2 ⇒ x = -3
పరికేంద్ము S(-3, 1)

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1, \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 రేఖల మధ్య కోణం θ అయితే a > b అయినప్పుడు sin θ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab
AC సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab

II.

ప్రశ్న 1.
(−10, 4) బిందువు గుండా పోతూ x – 2y = 10 రేఖతో θ కోణాన్ని tan θ = 2 అయ్యేటట్లు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి:
సాధన:
QR సమీకరణము x – 2y = 10

PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ రేఖ P(-10, 4) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – 4 = m(x + 10) У
= mx + 10m …………….. (1)
i.e., mxy + (10m + 4) = 0
tan θ = 2 ⇒ cos θ = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{|m+2|}{\sqrt{1+4} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (m + 2)²
= m² + 4m + 4
4m + 3 = 0
m = –\(\frac{3}{4}\)

సందర్భం (i) : m² = 0
⇒ ఒక మూలము ∞
PR ఊర్ధ్వ రేఖ
∴ PR సమీకరణము x + 10 = 0

సందర్భం (ii) : m = –\(\frac{3}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
PQ సమీకరణము –\(\frac{3}{4}\) x – y + \(\left(-\frac{30}{4}+4\right)\) = 0
\(\frac{-3 x-4 y-14}{4}\) = 0
⇒ 3x + 4y + 14 = 0

ప్రశ్న 2.
(1, 2) బిందువు గుండా పోతూ \(\sqrt{3}\) x + y + 2 = సరళరేఖతో 60° కోణాన్ని చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
QR సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x + y + 2 = 0

PQ, PR లు P(1, 2) గుండా పోతూ QR తో 60° కోణం చేస్తున్నాయి.
PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ వాలు у – 2 = m(x − 1)
= mx – m
mx – y + (2 – m) = 0 ………………. (1)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
cos 60° = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{\sqrt{3+1} \sqrt{m^2+1}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{2 \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (\(\sqrt{3}\)m – 1)²
= 3m² + 1 – 2\(\sqrt{3}\) m
2m² – 2\(\sqrt{3}\) m = 0
2m(m – \(\sqrt{3}\)) = 0
m = 0 లేదా \(\sqrt{3}\)
సందర్భం (i) : m = 0
PQ సమీకరణము -y + 2 = 0 లేదా y – 2 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\sqrt{3}\)
PQ సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x – y + (2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం భూమి x + y – 2 = 0, ఎదుటి శీర్షం (2, −1) అయితే మిగిలిన భుజాల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABC సమబాహు త్రిభుజము
∴ ∠B = ∠C = 60°

BC సమీకరణము x + y – 2 = 0
AB రేఖ A(2, -1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు = m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y + 1 = m(x – 2)
= mx – 2m
mx – y – (2m + 1) = 0 ………………. (1)
cos 60° = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|m-1|}{\sqrt{1+1} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా,
m² + 1 = 2 (m − 1)² = 2 (m² – 2m + 1)
= 2m² – 4m + 2
m² – 4m + 1 = 0
m = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}\) = \(\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\) = 2 ± \(\sqrt{3}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
AB సమీకరణము y + 1 = (2 + \(\sqrt{3}\)) (x – 2)
AC సమీకరణము y + 1 = (2\(\sqrt{3}\)) (x – 2)

ప్రశ్న 4.
కింద సూచించిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం లంబకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’15, ’12, ’07, ’04]
i) (-2, -1), (6, -1), (2, 5)
ii) (5,-2), (-1, 2), (1, 4)
సాధన:
i) A(-2, -1), B(6, -1), C(2, 5) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు

AD కి BC లు లంబంగా ఉంది.
AD వాలు = \(\frac{2}{3}\)
AD సమీకరణము
y + 1 = \(\frac{2}{3}\) (x + 2)
2x – 3y + 1 = 0 ………………. (1)
AC వాలు = \(\frac{5+1}{2+2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
BE కి AC లు లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{2}{3}\) (x – 6)
2x + 3y – 9 = 0 ………………… (2)

ii) (5,-2), (1, 2), (1, 4)
A(5,-2), B(-1, 2), C(1, 4) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు
BC వాలు = \(\frac{2-4}{-1-1}=\frac{-2}{-2}\) = 1
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.

AD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -1
AD సమీకరణము y + 2 = -(x – 5)
= -x + 5
x + y – 3 = 0 ………………. (1)
BE రేఖ AC’కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము y – 2 = 1 (x + 1)
3y – 6 = 2x + 2
2x – 3y + 8 = 0 ………………… (2)
(1), (2) ల నుండి అడ్డగుణకార సూత్రం ప్రకారం

ప్రశ్న 5.
కింద ఇచ్చిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
i) (-2, 3) (2, -1), (4, 0) [Mar. ’11]
ii) (1, 3), (0, -2), (-3, 1) [May ’06]
సాధన:
i) A(-2, 3), B(2, −1), C(4, 0) ∆ ABC లు శీర్షాలు
BC మధ్య బిందువు D

D నిరూపకాలు \(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+0}{2}\right)\)
= \(\left(3, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{-1-0}{2-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\)
SD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
SD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -2
SD సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = -2(x – 3)
2y + 1 = -4(x – 3)
= – 4x + 12
4x + 2y – 11 = 0 ………………. (1)
AC కి మధ్య బిందువు E
E నిరూపకాలు \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right)=\left(1, \frac{3}{2}\right)\)
AC వాలు = \(\frac{3-0}{-2-4}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
SE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
SE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = 2
SE సమీకరణము y – \(\frac{3}{2}\) = 2(x – 1)
2y – 3 = 4(x – 1)
= 4x – 4
4x – 2y – 1 = 0 ……………….. (2)
4x + 2y – 11 = 0 …………….. (1)
(1), (2) ల నుండి ⇒ 8x – 12 = 0
8x = 12
x = \(\frac{12}{8}\) = \(\frac{3}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2y = 11 – 4x = 11 – 4 . \(\frac{3}{2}\) = 11 – 6 = 5
y = \(\frac{5}{2}\)
∴ S నిరూపకాలు \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

ii) (1, 3), (0, −2) మరియు (−3, 1)

లో ∆ ABC,
A = (1, 3), B = (0,-2), C = (-3, 1)
D మధ్య బిందువు BC
D = \(\left(\frac{0-3}{2}, \frac{-2+1}{2}\right)=\left(\frac{-3}{2}, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{1+2}{-3-0}\) = -1
SD రేఖ BC కి లంబం.
SD వాలు = 1
SD సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = 1(x + \(\frac{3}{2}\))
⇒ 2y + 1 = 2x + 3
⇒2x – 2y + 2 = 0
⇒x – y + 1 = 0
CA కి మధ్య బిందువు E
⇒ E = \(\left(\frac{-3+1}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (-1, 2)
CA వాలు = \(\frac{1-3}{-3-1}=\frac{1}{2}\)
SE రేఖ CA కి లంబం.
SE వాలు = -2
SE సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 1)
⇒ y – 2 = 2x – 2
⇒ 2x + y = 0 ……………… (2)
(1), (2) లను సాధించగా

ప్రశ్న 6.
P(2, 2), Q (6, – 1), R(7, 3) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజానిక \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగతం అయితే (1, -1) గుండా పోతూ \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగత రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
P(2, 2), Q(6, -1), R(7, 3) లు ∆ABC శీర్షాలు
S మధ్య బిందువు QR
S నిరూపకాలు \(\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac{13}{2}, 1\right)\)
PS వాలు = \(\frac{1-2}{\frac{13}{2}-2}=-\frac{1}{\left(\frac{9}{2}\right)}=-\frac{2}{9}\)
AB కి సమాంతరంగా మరియు A(1, -1) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము y + 1 = – \(\frac{2}{9}\) (x – 1)
9y + 9 = -2x + 2
2x + 9y + 7 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x + 2y = 0, 4x + 3y – 5 = 0, 3x + y = 0 రేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజానికి లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణం x + 2y = 0 ……………… (1)
BC సమీకరణం 4x + 3y – 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణం 3x + y = 0 ………………. (3)
(1), (2) లను సాధిస్తే A నిరూపకాలు (0,0)

4x – 8 = 0 ⇒ 4x = 8, x = 2
B నిరూపకాలు (2, -1)
BC సమీకరణము 4x + 3y – 5 = 0
AB రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
ఇది (0, 0) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము 3x – 4y = 0 ……………… (1)
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
∴ BE సమీకరణము x – 3y = k
BE రేఖ B (2, -1) గుండా పోతుంది.
2 + 3 = k ⇒ k = 5
BE సమీకరణము x – 3y – 5 = 0 ……………….. (2)

x = -4, y = -3
∴ లంబకేంద్రం 0 (- 4, – 3)

ప్రశ్న 2.
x + y + 2 = 0, 5x-y-2= 0, x – 2y + 5 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజానికి పరికేంద్రం కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
దత్త రేఖలు x + y + 2 = 0 ……………… (1)
5x – y – 2 = 0 ……………. (2)
x – 2y + 5 = 0 …………….. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు A = (0, -2)
(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (1, 3)
(1), (3) ల ఖండన బిందువు C = (-3, 1)
S = (α, β) ∆ ABC త్రిభుజానికి పరికేంద్రం.
SA = SB = SC
⇒ SA² = SB² = SC²
⇒ (α – 0)² + (β + 2)² = (α – 1)² + (β – 3)²
= (α + 3)² + (β – 1)²

(a) = (b) ⇒ α² + β² + 4β + 4 = α² + β² – 2α – 6β + 10
⇒ 2α + 10β – 6 = 0
⇒ α + 5β – 3 = 0 …………….. (4)
(a) = (c) α² + β² + 4β + 4 = α² + β² + 6α – 2β + 10
⇒ 6α – 6β + 6 = 0
⇒ α – β + 1 = 0 ……………… (5)
(4), (5) ల నుండి

ప్రశ్న 3.
(1, 1) గుండాపోతూ, (-2, 3) నుంచి 3 యూనిట్ల దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు ‘m’ అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y – 1 = m(x – 1)
mx – m
mx – y + (1 – m) = 0. ……………… (1)
(−2, 3) నుండి AB కి లంబదూరము = 3
\(\frac{|-2 m-3+1-m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
(3m + 2)² = 9(m² + 1)
9m² + 4 + 12m = 9m² + 9
12m = 5 ⇒ m = \(\frac{5}{12}\)
m² గుణకం = 0 ⇒ m = ∞

i) m = ∞
AB ఊర్ధ్వ రేఖ
AB సమీకరణము x = a
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
∴ a = 1
AB సమీకరణము x = 1

ii) m = \(\frac{5}{12}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
AB సమీకరణము \(\frac{5}{12}\) x – y + [1 – \(\frac{5}{12}\)] = 0
\(\frac{5}{12}\) x – y + \(\frac{7}{12}\) = 0
5x – 12y + 7 = 0

ప్రశ్న 4.
x sec α + y cosec α = a, x cos α y sin α = a cos 2α మూలబిందువు నుంచి లంబదూరాలు p, q అయితే 4p² + q² = a² అని చూపండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x sec α + y cosec α = a,
\(\frac{x}{\cos \alpha}+\frac{y}{\sin \alpha}\) = a
x sin α + y cos α = a sin α cos α
x sin α + y cos α – a sin α cos α = 0
p = 0 ల నుండి AB మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-a \sin \alpha \cos \alpha|}{\sqrt{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}}\)
= a sin α. cos α = a . \(\frac{\sin 2 \alpha}{2}\)
2p = a sin 2α ………………. (1)
CD సమీకరణము x cos α – y sin α = a cos 2α
x cos α – y sin α – a cos 2α = 0
q = 0 నుండి CD మీదకు లంబదూరము
\(\frac{|0+0-a \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}}\) = a cos 2α ……………… (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించగా
4p² + q² = a² sin² 2α + a² cos² 2α
= a² (sin2 2α + cos2 2α)
= a².1
= a²

ప్రశ్న 5.
4x + 5y = 0, 7x + 2y = 0 లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఆసన్న భుజాలు 11x + 7y = 9 దాని ఒక వికర్ణం అయితే మిగిలిన రెండు భుజాలు, మరో వికర్ణం సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\overleftrightarrow{O A}\), \(\overleftrightarrow{O B}\) లు సమాంతర చతుర్భుజ ఆసన్న భుజాలు
OA, OB ల సమీకరణాలు
4x + 5y = 0 ……………….. (1)
7x + 2y = 0 ………………. (2)
\(\overleftrightarrow{A B}\) 11x + 7y – 9 = 0 ………………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా O = (0, 0)
(1), (3) లను సాధించగా

AB మధ్యబిందువు P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). OP వాలు 1.
x = y
BC రేఖ BA కు సమాంతరము
BC సమీకరణము 4x + 5y = k
BC రేఖ B\(\left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
\(4\left(-\frac{2}{5}+51 \frac{7}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
BC సమీకరణము 4x + 5y = 9
AC రేఖ OB సమాంతరము
AC సమీకరణము 7x + 2y = k
AC రేఖ A\(\left(\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
7\(\left(\frac{5}{3}\right)\) + 2\(\left(-\frac{4}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
AC సమీకరణము 7x + 2y = 9.

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన భుజాలు గల త్రిభుజం అంతరకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
i) x + 1 = 0, 3x – 4y = 5, 5x + 12y = 27
ii) x + y – 7 = 0, x – y + 1 = 0, x – 3y + 5 = 0
సాధన:
i)

∆ ABC
AC సమీకరణము
x + 1 = 0 …………….. (1)
AB సమీకరణము
3x – 4y – 5 = 0 …………….. (2)
BC సమీకరణము
5x + 12y – 27 = 0 ………………. (3)
(1) నుండి x = -1
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా ⇒ 3 (-1) – 4y – 5 = 0
4y = – 8
y = -2
(1), (2) ల ఖండన బిందువు
A = (-1,-2)
(2), (3) లను సాధించగా

(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (3, 1)
(1) నుండి x = -1
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా
-5 + 12y – 27 = 0
12y = 32
y = \(\frac{32}{12}\) = \(\frac{8}{3}\)
(3), (1) ల ఖండన బిందువు

∴ అంతర కేంద్రము = \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ii)

∆ ABC,
AC సమీకరణము x + y – 7 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము’ x – y + 1 = 0 ……………….. (2)
BC సమీకరణము x – 3y + 5 = 0 ……………… (3)
(1), (2), (3) లను సాధిస్తే
శీర్షాలు A (3, 4) B (1, 2), C (4, 3)

ప్రశ్న 7.
ax + by + c = 0, lx + my + n = 0, px + qy + r = 0 రేఖలతో ఒక త్రిభుజం ఏర్పడింది. అది సమకోణ త్రిభుజం కాకపోతే,
\(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\) -సమీకరణం సూచించే సరళరేఖ ఆ త్రిభుజం లంబకేంద్రం గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త త్రిభుజము

ax + by + c = 0 ………………. (1)
lx + my + n = 0 ………………. (2)
px + qy + r = 0 ………………. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు గుండా పోతే రేఖ సమీకరణం.
ax + by + c + k (lx + my + n) = 0
(a + kl) x + (b + km)y + (c + nk) = 0
ఇది (3) కి లంబం కనుక
p(a + kl) + q(b + km) = 0
⇒ k = –\(\frac{\mathrm{ap}+\mathrm{bq}}{l p+\mathrm{m} q}\)
(4) లో ప్రతిక్షేపించగా
(ap + bq + c) – \(\left(\frac{a p+b q}{l p+m q}\right)\) (lx + my + n) = 0
∴ \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\)
కావలసిన రేఖ AD సమీకరణము
ఈ ఉన్నతి A గుండాపోతుంది.
∴ ఈ రేఖ. \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+y}{l p+m q}\)
త్రిభుజ లంబకేంద్రం గుండాపోతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక త్రిభుజం భుజాలు \(\overleftrightarrow{B C}, \overleftrightarrow{C A}, \overleftrightarrow{A B}\) కార్టీసియన్ సమీకరణాలు క్రమంగా u_r = a_rx + b_ry + c_r = 0, r = 1, 2, 3. A గుండాపోతూ \(\overleftrightarrow{B C}\) ని సమద్విఖండన చేసే సరళరేఖ సమీకరణం \(\frac{u_3}{a_3 b_1-a_1 b_3}=\frac{u_2}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
u₂ = 0, u₃ = 0 ల ఖండన బిందువు A.
∴ A గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
u₂ + λu₃ = 0⇒ (a₂x + b₂y + c₂) + λ(a₃x + b₃y + C₃) = 0 ………………. (1)
⇒ (a₂ + λa₃)x + (b₂ + λb₃) y + (c₂ + λc₃) = 0
ఈ రేఖ a₁x + b₁y + c₁ = 0 కి సమానం.
\(-\frac{\left(a_2+\lambda a_3\right)}{\left(b_2+\lambda b_3\right)}=-\frac{a_1}{b_1}\)
⇒ (a₂ + λa₃) b₁ = (b₂ + λb₃) a₁
⇒ a₂b₁ +λa₃b₁ = a₁b₂ + λa₁ b₃
⇒ λ (a₃b₁ − a₁b₃) = – (a₂b₁ – a₁b₂)
⇒ λ = – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{a_3 b_1-a_1 b_3}\)
λ విలువను (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన సమీకరణము
(a₂x + b₂y + c₂) – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}\) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) (a₂x + b₂y + c₂) – (a₂b₁ – a₁b₂) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ − a₁b₃) u₂ – (a₂b₁ – a₁b₂) u₃ = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) u₂ = (a₂b₁ – a₁b₂) u₃
⇒ \(\frac{u_3}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}=\frac{u_2}{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(a)

I.

Question 1.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}
x+2, x>1 \\
2,-1 \leq x \leq 1 \\
x-1,-3<x<-1 \end{array}\right.\) గా నిర్వచిస్తే, కింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) f(3)
(ii) f(0)
(iii) f(-1.5)
(iv) f(2) + f(-2)
(v) f(-5)
Solution:
(i) f(3)
x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(3) = 3 + 2 = 5

(ii) f(0)
-1 ≤ x ≤ 1, f(x) = 2
∴ f(0) = 2

(iii) f(-1.5)
-3 < x < -1, f(x) = x – 1
∴ f(-1.5) = -1.5 – 1 = 2.5

(iv) f(2) + f(-2)
x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(2) = 2 + 2 = 4
-3 < x < -1, f(x) = x – 1
∴ f(-2) = -2 – 1 = -3
∴ f(2) + f(-2) = 4 + (-3) = 1

(v) f(-5)
f ప్రదేశం {x/x ∈ (-3, ∞)} కనుక f(-5) నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
f: R – (0) → R ను f(x) = \(x^3-\frac{1}{x^3}\) గా నిర్వచిస్తే, f(x) + f(\(\frac{1}{x}\)) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
f: R → R ను f(x) = \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\), గా నిర్వచిస్తే, f(tan θ) = cos 2θ అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
f : R – {±1} → R f(x) = \(\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|\) గా నిర్వచిస్తే, \(f\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) = 2 f(x) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
A = {-2, -1, 0, 1, 2), అయితే f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం f(x) = x² + x + 1 గా నిర్వచిస్తే, B కనుక్కోండి.
Solution:
A = {-2, -1, 0, 1, 2}
f: A → B, f(x) = x² + x + 1
f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం కనుక
f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
f(1) = 1² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
∴ B = f(A) = {3, 1, 7}

Question 6.
A = {1, 2, 3, 4}, అయితే f : A → R ను f(x) = \(\frac{x^2-x+1}{x+1}\) గా నిర్వచిస్తే f వ్యాప్తి కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
f(x + y) = f(xy) ∀ x, y అయితే f స్థిరప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:
f(x + y) = f(xy), x, y ∈ R
x = y = 0 అనుకొంటే
⇒ f(0) = f(0) …….(1)
అప్పుడు x = 1, y = 0
⇒ f(1) = f(0) …….(2)
Let x = 1, y = 1
f(2) = f(1) …….(3)
(1) ,(2), (3) నుండి
f(0) = f(1) = f(2)
⇒ f(0) = f(2)
⇒ f(3) = f(0)
⇒ f(4) = f (0)
.
.
.
f(n) = f(0)
∴ f అనునది స్థిర ప్రమేయము.

II.

Question 1.
A = {x/-1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x², g(x) = x³, గా నిర్వచిస్తే, కింది ప్రమేయాలలో ఏవి సంగ్రస్తాలు?
(i) f : A → A
(ii) g : A → A
Solution:
(i) f : A → A
∵ A = {x/-1 ≤ x ≤ 1], f(x) = x²
⇒ f(x) అనేది A నుంచి A కు ప్రమేయం
(i.e.,) f : A → A
y ∈ A అనుకొందాం.
f(x) = y అయ్యేటట్లుగా x² = y అవుతుంది.
⇒ x = √y
y = -1 అయితే x = √-1 ∉ A
కనుక f : A → A సంగ్రస్త ప్రమేయం కాదు.

(ii) g : A → A
∵ A = {x/-1 ≤ x ≤ 1], g(x) = x³
⇒ g : A → A
y ∈ A అనుకొందాం.
అప్పుడు g(x) = y
⇒ x³ = y
⇒ x = \(y^{1 / 3}\) ∈ A
y = -1 అయితే x = -1 ∈ A
y = 0 అయితే x = 0 ∈ A
y = 1 అయితే x = 1 ∈ A
∴ g : A → A సంగ్రస్త ప్రమేయం.

Question 2.
కింది వాటిలో ఏవి సంగ్రస్తం, అన్వేకం, ద్విగుణం అవుతాయో నిర్ణయించండి.
(i) f : R → R ను f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\) గా నిర్వచించాం. [Mar. ’15]
Solution:

(ii) f : R → (0, ∞) ను f(x) = 2^x గా నిర్వచించాం.
Solution:

(iii) f : (0, ∞) → R ను f(x) = log_ex గా నిర్వచించాం.
Solution:

(iv) f : [0, ∞) → [0, ∞) ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ [0, ∞) (i.e.,) f ప్రదేశం .
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = x₂ [∵ x₁, x₂ ≥ 0]
∴ f(x) = x², f : {0, ∞) → {0, ∞) అన్వేకం
y ∈ (0, ∞), (సహ ప్రదేశం) కు
y = x²
⇒ x = √y, [∵y ≥ 0]
అప్పుడు f(x) = x²
= (√y)²
= y
∴ f : (0, ∞) → (0, ∞) సంగ్రస్తం
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం

(v) f : R → [0, ∞) ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ R.
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = ±x₂, [∵ x₁, x₂ ∈ R]
f అన్వేకం కాదు.
y ∈ [0, ∞)
y = x²
⇒ x = √y, y ∈ [0, ∞)
అప్పుడు f(x) = x²
= (√y)²
= y
∴ f : R → (0, ∞) సంగ్రస్తం కనుక f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

(vi) f : R → R ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ R, (f ప్రదేశం)
∴ f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = ±x₂, [∵ x₁, x₂ ∈ R]
∴ f(x) అన్వేకం కాదు.
(-∞, 0) సహప్రదేశంలో ఉన్న మూలకానికి పూర్వబింబం లేదు. కనుక f సంగ్రస్తం కాదు.
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

Question 3.
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}. ఇది A = {1, 2, 3, 4} నుంచి B = {1, 3, 5, 7} ప్రమేయం అవుతుందా? g(x) = ax + b గా నిర్వచిస్తే, a, b విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 3, 5, 7}
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
కనుక g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 5, g(4) = 7
A లో ప్రతీ a ∈ A కి అనురూపంగా (a, b) ∈ g అయ్యేటట్లు B లో ఒకే ఒక్క b వ్యవస్థితం అవుతుంది.
కనుక g : A → B ప్రమేయం అవుతుంది.
ఇప్పుడు g(x) = ax + b,
g(1) = a(1) + b = 1
⇒ a + b = 1 ……(1)
g(2) = a(2) + b
⇒ 2a + b = 3 …….(2)
(1), (2) ను సాధించగా a = 2, b = -1.

Question 4.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{3^x+3^{-x}}{2}\) గా నిర్వచిస్తే, f(x + y) + f(x – y) = 2 f(x) f(y) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\) గా నిర్వచిస్తే f(1 – x) = 1 – f(x) అని చూపండి. f(1/4) + 2f(1/2) + f(3/4) విలువ రాబట్టండి.
Solution:
f : R → R, f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\)
ఇప్పుడు f(1 – x) = \(\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}\)

Question 6.
f : (-1, 1) → (0, 2) ను f(x) = ax + b గా నిర్వచించిన ప్రమేయం సంగ్రస్తమయితే a, b విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
f : {-1, 1} → {0, 2}, f(x) = ax + b సంగ్రస్తం కనుక
f(-1) = 0, f(1) = 2 (or) f(-1) = 2, f(1) = 0
సందర్భం (i) f(-1) = 0, f(1) = 2
∴ a(-1) + b = 0 ⇒ a + b = 0 ……..(1)
a(1) + b = 2 ⇒ a + b = 2 ………(2)
(1), (2) ల నుండి a = 1, b = 1
సందర్భం (ii) f(-1) = 2, f(1) = 0
a(-1) + b = 2 ⇒ -a + b = 2 ……..(3)
a(1) + b = 0 ⇒ a + b = 0 ………(4)
(3), (4) ల నుండి a = -1, b = 1
∴ a = ±1, b = 1

Question 7.
f(x) = cos(log x) అయితే \(f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot f\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]\) = 0 అని చూపండి.
Solution:
f(x) = cos (log x)
\(f\left(\frac{1}{x}\right)=\cos \left(\log \left(\frac{1}{x}\right)\right)\)
= cos (log 1 – log x)
= cos (-log x)
= cos (log x)
ఇదే విధంగా
f(\(\frac{1}{y}\)) = cos (log y)
f(\(\frac{x}{y}\)) = cos log (\(\frac{x}{y}\))
= cos (log x – log y)
f(xy) = cos log(xy)
= cos (log x + log y)
f(\(\frac{x}{y}\)) + f(xy) = cos (log x – log y) + cos (log x + log y)
= 2 cos (log x) cos (log y)
∴ cos (A – B) + cos (A + B) = 2 cos A . cos B
LHS = \(f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot f\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]\)
= cos (log x) cos (log y) – \(\frac{1}{2}\) [2 cos (log x) cos (log y)]
= 0