Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు which are most likely to be asked in the exam.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు
సాధించిన సమస్యలు
ప్రశ్న 1.
x = 10, Δx = 0.1 అయినప్పుడు y = f(x) = x2 + x ప్రమేయానికి dy, Δy విలువలు కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
y = f(x) లోని మార్పు Δy = f(x + Δx) − f(x).
కనక x = 10, Δx = 0.1 లకు ఈ మార్పు
Δy = f(10.1) – f(10)
= {(10.1)2 + 10.1} – {102 + 10} = 2.11.
dy = f(x) Δx కనక x = 10, Δx 0.1 లకు
dy = {(2)(10) + 1} 0.1 = 2.1 (∵ \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2x + 1).
ప్రశ్న 2.
x = 60°, Δx = 1° అయినప్పుడు y = cos x ప్రమేయానికి Δy, dy విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 60°, Δx = 1° లకు Δy, dy లు వరసగా
Δу = cos (60° + 1) – cos (60°) ….. (1)
dy = -sin(60°) (10) ………. (2)
Cos (60°) = 0.5,
Cos (61°) = 0.4848,
Sin (60°) = 0.8660,
1° = 0.0174 రేడియన్లు.
కాబట్టి Δy = -0.0152
dy = -0.0150.
ప్రశ్న 3.
ఒక చతురస్రపు భుజం 3 సెం.మీ. నుంచి 3.01 సెం.మీ. లకు పెరిగింది. ఆ చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రపు భుజం x, వైశాల్యం A అనుకొందాం. అప్పుడు
A = x2. …….. (1)
A అనేది x లో ప్రమేయం అనేది స్పష్టం. చతురస్రపు భుజం 3 సెం.మీ. నుంచి 3.01 సెం.మీ.లకు పెరిగింది. కనక x = 3, Δx = 0.01 గా తీసుకొందాం. చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యం
ΔΑ ≈ \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}} \Delta \mathrm{x}\) …. (2)
సమీకరణం (1) ని అనుసరించి, (2)ను ΔA = 2xΔx గా రాయవచ్చు. కాబట్టి చతురస్రపు భుజం 3 నుంచి 3.01కు పెరిగినట్లయితే ఆ చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యం
ΔA ≈ 2(3)(0.01) = 0.06 సెం.మీ2.
ప్రశ్న 4.
ఒక గోళం వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. నుంచి 7.02 సెం.మీ. లకు పెరిగినట్లయితే, దీని ఘన పరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదలను కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ వ్యాసార్ధం r, దీని ఘన పరిమాణం V అనుకొందాం.
అప్పుడు, V = \(\frac{4 \pi r^2}{3}\) ………. (1)
ఇక్కడ V అనేది r లో ప్రమేయం. గోళ వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. నుంచి 7.02 సెం.మీ. కు పెరిగింది కనక r = 7 సెం.మీ., Δr = 0.02 సెం.మీ. గా తీసుకొందాం. ఇప్పుడు గోళ ఘనపరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదలను కనుక్కోవాలి.
∴ ΔV ≈ \(\frac{d V}{d r} \Delta r\) = 4πr2 Δr.
కాబట్టి, గోళ ఘనపరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల
\(\frac{4(22)(7)(7)(0.02)}{7}\) = 12.32 సెం.మీ.3.
ప్రశ్న 5.
n, k లు స్థిర సంఖ్యలు అయి y = f(x) = k xn అయితే y లో ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల) x లోని సాపేక్ష దోషానికి (పెరుగుదల) రెట్లు అని
చూపండి.
సాధన:
A సంఖ్య B సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉంటూ B కి సమానం కానట్లయితే A ను B కి ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అంటారు.
= n (x లో సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల)).
కాబట్టి y = kxn లోని ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల) x లోని సాపేక్ష దోషానికి (పెరుగుదల) గా రెట్లు.
ప్రశ్న 6.
ఒక చతురస్రపు భుజం పెరుగుదల 2% అయితే దీని వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రపు భుజం x, వైశాల్యం A అనుకోండి. అప్పుడు A = x2. వైశాల్యం A లో ఉజ్జాయింపు దోష శాతం
= \(\left(\frac{\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{dx}}}{\mathrm{A}}\right)\) × 100 × Δx (f = A తో A సంఖ్య B
సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉంటూ Bకి సమానం కొనట్లయితే A ను Bకి ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అంటారు.
\(\frac{\Delta y}{y}\) × 100 ≈ \(\left[\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right]\) × 100 × Δx
= \(\frac{100(2 x) \Delta x}{x^2}\) = \(\frac{200 \Delta x}{x}\) = 2(2) = 4
(∵ దత్తాంశం నుంచి \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 2 )
ప్రశ్న 7.
ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత 44 సెం.మీ. గా కొలిచారు. దీనిలో దోషం 0.01 సెం.మీ. అయితే దీని వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు, సాపేక్ష దోషాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త వ్యాసార్ధం, చుట్టు కొలత, వైశాల్యాలను వరసగా r, p, A అనుకొందాం.
p = 44 సెం.మీ., Δp = 0.01 గా ఇవ్వడమైంది. ΔA, \(\frac{\Delta \mathrm{A}}{\mathrm{A}}\)ల ఉజ్జాయింపు విలువలను కనుక్కోవాలి. A = πr2 అనేది ” లో ప్రమేయం. p, Δp విలువలు తెలుసు. కనక A = πr2 ను A = f(p) రూపంలో రాయాలి. 2πr = p సంబంధాన్ని ఉపయోగించి A = f(p) అని రాయవచ్చు.
∴ A = π\(\left(\frac{p}{2 \pi}\right)^2\) = \(\)
కాబట్టి A లో ఉజ్జాయింపు దోషం
A = \(\frac{d A}{d p} \Delta p\) = \(\frac{2 p}{4 \pi} \Delta p\) = \(\frac{\mathrm{p}}{2 \pi} \Delta \mathrm{p}\)
p = 44 సెం.మీ., Δp = 0.01 అయినప్పుడు A లో ఉజ్జాయింపు దోషం = \(\frac{44}{2 \pi}\)(0.01) = 0.07 సెం.మీ.2
A లో ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం
ప్రశ్న 8.
\(\sqrt[3]{999}\) ఉజ్జాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 1000, Δx = -1 గా తీసుకొని
f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) Δx ….. (1)
ఇక్కడ x = 1000
f(x) = \(\sqrt[3]{x}\), అయినప్పుడు f(1000) ను తేలికగా గణించగలం. కాబట్టి y = f(x) = \(\sqrt[3]{x}\) …. (2)
సమీకరణం (1)
f(x + Δx) = f(x) ≈ f(x) + \(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \Delta x\)
f(1000 – 1)
≈ f(1000) + \(\frac{1}{3(1000)^{2 / 3}}\) (−1) = 9.9967.
ప్రశ్న 9.
కింది వక్రాలకు ఇచ్చిన బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
i) y = 5x2; (-1, 5) వద్ద
ii) y = \(\frac{1}{x-1} ;\left(3, \frac{1}{2}\right)\) వద్ద
iii) x = a secθ, y = a tanθ; θ = \(\frac{\pi}{6}\) వద్ద
iv) \(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 ; (a, b) వద్ద
సాధన:
i) y = 5x2 అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = 10x.
∴ దత్త బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{(-1,5)}\) = -10.
ii) y = \(\frac{1}{x-1}\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-1}{(x-1)^2}\)
∴ దత్త బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
iii) x = a sec θ, y = tan θ అయితే
θ = \(\frac{\pi}{6}\) అయిన బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}\) = cosec \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2
iv) \(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2
ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
ప్రశ్న 10.
y = 5x4 వక్రానికి (1,5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 5x4 నుంచి \(\frac{d y}{d x}\) = 20x3 వస్తుంది.
వక్రానికి (1, 5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,5)}\) = 20(1)3 = 20
∴ (1, 5) బిందువు వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు \(\frac{-1}{20} .\)
∴ (1, 5) బిందువు వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖ సమీకరణాలు వరసగా
= y – 5 = 20(x – 1), y – 5 = \(\frac{-1}{20}\)(x – 1) లేదా
= y – 20x – 15, 20y = 101 – x అవుతాయి.
ప్రశ్న 11.
y4 = ax3 వక్రానికి (a, a) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y4 = ax3 ను ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
4y3y1 = 3ax2 లేదా
У1 = \(\frac{3 a x^2}{4 y^3}\)
∴ (a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = y1(a, a) \(\frac{3 a \cdot a^2}{4 a^3}\) = \(\frac{3}{4}\)
(a, a) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు = \(\frac{-4}{3}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y – a = \(\frac{3}{4}\)(x – a)
అంటే 4y = 3x + a
అభిలంబరేఖ సమీకరణం y − a = \(\frac{-4}{3}\)(x – a)
అంటే 3y + 4x = 7a అవుతుంది
ప్రశ్న 12.
y = 3x2 – x3 వక్రం x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం y = 3x2 – x3 = 0 లో, x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు కోసం y = 0 ను ప్రతిక్షేపిస్తే,
3x2 – x3 = 0 లేదా x2 (3 – x) = 0 వస్తుంది.
అంటే x = 0, x = 3.
అంటే వక్రం X-అక్షాన్ని O(0, 0), A(3, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
\(\frac{d y}{d x}\) = 6x – 3x2 → O(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(0,0)}\) = 0
∴ O(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం y – 0 = 0(x – 0)
లేదా y = 0 అవుతుంది.
అంటే (0, 0) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ X-అక్షం అన్నమాట.
ఇప్పుడు A(3, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(3,0)}\)
= 6(3) – 3(3)2 = -9
∴(3, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – 0 = -9 (x – 3) అంటే y + 9x = 27 అవుతుంది
ప్రశ్న 13.
y = sin x వక్రానికి ఏ బిందువు వద్ద క్షితిజ స్పర్శరేఖలు ఉంటాయో కనుక్కోండి.
సాధన:
y = sin x నుంచి \(\frac{d y}{d x}\) = cos x.
స్పర్శరేఖ క్షితిజరేఖ అయితే స్పర్శరేఖ వాలు సున్న.
cos x = 0
అంటే x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\); n ∈ Z.
కాబట్టి దత్త వక్రానికి క్షితిజ స్పర్శరేఖ ఉండే బిందువులు (xo, yo)
⇔ xo = (2n + 1). \(\frac{\pi}{2}\),
yo = (-1)n n ∈ Z
ప్రశ్న 14.
y = f(x) = x1/3 వక్రానికి X = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉందేమో పరిశీలించండి.
సాధన:
గమనిక : \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) = ∞ నుంచి, వక్రానికి x నిరూపకం 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ
ఉంటుంది.
ప్రశ్న 15.
y = f(x) = x2/3 వక్రానికి x = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉందేమో పరిశీలించండి.
సాధన:
h ≠ 0 అయితే, \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) = \(\frac{h^{2 / 3}}{h}\) = \(\frac{1}{h^{1 / 3}}\)
h → 0 అయ్యేటప్పుడు \(\frac{1}{h^{1 / 3}}\) కు ఎడమచేతి అవధి – ∞. కాని కుడిచేతి అవధి ∞. అంటే \({ }_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}^{1 / 3}}\) వ్యవస్థితం కాదు.
∴ గమనిక 
నుంచి f(x) = x2/3 వక్రానికి x = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉండదు. ఈ వక్రం రేఖాచిత్రంలో చూడుము.
ప్రశ్న 16.
x = c sec θ, y = c tan θ సూచించే వక్రానికి ఏదైనా బిందువు θ వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం y sin θ = x – c cos θ అని చూపండి.
సాధన:
ఏదైనా బిందువు θ వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ వాలు
(అంటే sec θ, c tan θ వద్ద)
∴ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – c tan θ = cosec θ (x – c sec θ).
అంటే y sin θ = x – c cos θ
ప్రశ్న 17.
xy = c (c ≠ 0) అనే వక్రానికి ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ అక్షాలతో కలిసి ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తోంది. ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఒక స్థిరరాశి అని చూపండి.
సాధన:
ముందుగా c ≠ 0 అని గమనించండి. ఎందుకంటే xy = 0 అయితే దత్త సమీకరణం నిరూపకాక్షాలను సూచిస్తుంది. ఇది దత్తాంశానికి విరుద్ధం.
xy = c వక్రంపై P(x1, y1) ఒక బిందువు అనుకొందాం. అప్పుడు x1 ≠ 0, y1 ≠ 0
y = \(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}}\) ⇒ y’ = \(-\frac{c}{x^2}\)
∴ (x1, y1) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
ఈ స్పర్శరేఖతోనూ, నిరూపకాక్షాలతోనూ ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)(2x1) \(\left(\frac{2 c}{x_1}\right)\) = 2c = ఒక స్థిరరాశి.
ప్రశ్న 18.
\(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 (a ≠ 0, b ≠ 0) అనే వక్రంపై (a, b) బిందువువద్ద స్పర్శరేఖ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 2 అని చూపండి.
సాధన:
(a, b) బిందువు వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – b = \(\frac{-b}{a}\)(x – a)
అంటే ay – ab = -bx + ab
లేదా bx + aY = 2ab. లేదా \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 2
ప్రశ్న 19.
y2 = 4ax వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరమని చూపండి.
సాధన:
y2 = 4ax ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
2yy’ = 4a ⇒ y’ = \(\frac{2 a}{y}\)
అంటే yy’ = 2a’.
MG నుంచి వక్రంపై ఏ బిందువు (x, y) వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం |yy’| = |2a| స్థిరం.
ప్రశ్న 20.
y = ax (a > 0) వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపస్పర్శ ఖండం స్థిరమని చూపండి.
సాధన:
y = ax ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే y’ = ax log a
∴ వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం
= |\(\left|\frac{y}{y^{\prime}}\right|\)| = |\(\frac{a^x}{a^3 \log a}\)| = \(\frac{1}{\log a}\) = స్థిరరాశి.
ప్రశ్న 21.
by2 = (x + a)3, (b ≠ 0) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం వర్గం, ఆ బిందువు వద్ద ఉపలంబ ఖండంతో అనుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
by2 = (x + a) ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
2by y’ = 3 (x + a)2
∴ వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉపలంబ ఖండం
ప్రశ్న 22.
y = a1 – k xk వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరమైతే k విలువ ఎంత ?
సాధన:
y = a1 – k xk ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
y’ = ka1 – k xk – 1
వక్రంపై ఏదైనా బిందువు P(x, y) వద్ద ఉపలంబ ఖండం
= |y y’| = |yka1-k xk-1|
= |ka1-kxka1-kxk-1 | = ka2-2k x2k – 1
ఈ విలువ స్థిరం కావాలంటే 2k – 1 = 0 కావాలి.
అంటే k = \(\frac{1}{2}\)
ప్రశ్న 23.
xy = 2, x2 + 4y = 0 వక్రాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. (May ’13, ’11)
సాధన:
xy = 2, x2 + 4y = 0 వక్రాల ఖండన బిందువులను కనుక్కొందాం.
y = \(\frac{-x^2}{4}\) ను xy = 2లో రాస్తే
x3 = -8 అంటే x = -2,
x = -2 ⇒ y = \(\frac{-x^2}{4}\) = -1
∴ వక్రాల ఖండన బిందువు P(-2, -1)
ఇప్పుడు xy = 2, y’ = \(\frac{-2}{x^2}\)
x2 + 4y = 0 ⇒ y’ = \(\frac{-x}{2}\)
xy = 2 వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
ప్రశ్న 24.
2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి Y-అక్షానికి మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
Y-అక్షం సమీకరణం x = 0
వక్రం 2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\), x = 0 లకు ఖండన బిందువు P(0, \(\frac{1}{2}\))
2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ X-అక్షంతో చేసే కోణం \(\psi\) అయితే
Y-అక్షానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ, 2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి మధ్యకోణం φ అయితే
∴ దత్త వక్రానికి, Y-అక్షానికి మధ్యకోణం tan-1 4.
ప్రశ్న 25.
ax2 + by2 = 1 a1x2 + b1y2 = 1 వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకోవడానికి నియమం \(\frac{1}{a}\) – \(\frac{1}{b}\) = \(\frac{1}{a_1}\) – \(\frac{1}{b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
ax2 + by2 = 1
a1x2 + b1y2 = 1 వక్రాల ఖండన బిందువు P(x1, y1) అయితే
వీటి నుంచి అడ్డగుణకాల పద్ధతిన
\(\frac{\mathrm{x}_1^2}{\mathrm{~b}_1-\mathrm{b}}\) = \(\frac{y_1^2}{a_1-a}\) = \(\frac{1}{a b_1-a_1 b}\) ……….. (1)
ax2 + by2 = 1 ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-a x}{b y}\)
కాబట్టి ax2 + by2 = 1 వక్రానికి ‘P(x1, y1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు m1 అయితే, m1 = \(\frac{-a x_1}{b y y_1}\)
ఇదే విధంగా \(a_1 x^2+b_1 y^2\) = 1 వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు m2 అయితే, m2 = \(\frac{-a_1 x_1}{b_1 y_1}\). వక్రాలు లంబంగా ఖండించు కొంటాయని కాబట్టి, m1m2 = -1
అంటే \(\frac{a a_1 x_1^2}{b b_1 y_1^2}\) = -1 లేదా \(\frac{x_1^2}{y_1^2}\) = \(\frac{-b b_1}{a a_1}\) …. (2)
ఇప్పుడు (1), (2) ల నుంచి వక్రాలు లంబంగా ఖండించు కోవడానికి నియమం
\(\frac{b_1-b}{a-a_1}\) = \(\frac{-b b_1}{a a_1}\) లేదా (b – a)a1b1 = (b1 – a1) ab
లేదా \(\frac{1}{a}\) – \(\frac{1}{b}\) = \(\frac{1}{a_1}\) – \(\frac{1}{b_1}\)
ప్రశ్న 26.
y2 = 4(x + 1), y2 = 36(9 – x) వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి (Mar.’11; May ’06, ’05)
సాధన:
y2 = 4(x + 1), y = 36 (9 – x) వక్రాలను ఖండన బిందువుల కోసం సాధిస్తే
4(x + 1) = 36 (9 – x)
అంటే 10x = 80 లేదా x = 8
y2 = 4(x + 1) ⇒ y2 = 4(9) = 36
⇒ y = ±6
∴ రెండు వక్రాలు ఖండన బిందువులు P(8, 6), Q(8, -6)
⇒ వక్రాలు P వద్ద లంబంగా ఖండించుకొంటాయి. ఇదేవిధంగా, వక్రాలు Q వద్ద కూడా లంబంగా ఖండించు కొంటాయని చూపవచ్చు.
ప్రశ్న 27.
t = 2, t = 4 ల మధ్య s = f(t) = 2t2 + 3 సరాసరి మార్పురేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t = 2, t = 4 ల మధ్య x సరాసరి రేటు
\(\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\) = \(\frac{35-11}{4-2}\) = 12.
ప్రశ్న 28.
వృత్త వ్యాసార్థం r = 5 సెం.మీ. అయినప్పుడు వ్యాసార్థం దృష్ట్యా వృత్త వైశాల్యంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
r వ్యాసార్థంగా ఉండే వృత్తంపై వైశాల్యం A అనుకొందాం.
అప్పుడు A = πr2, ఇప్పుడు A లోని మార్పు రేటు r దృష్ట్యా \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dr}}\) = 2πr. r = 5 సెం.మీ. వద్ద వైశాల్యంలో మార్పురేటు \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dr}}\) = 10π అవుతుంది.
కాబట్టి వృత్తవైశాల్యంలోని మార్పురేటు 10π సెం.మీ.2/సెకను.
ప్రశ్న 29.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 9 సెం.మీ3 /సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 10 సెంటీమీటర్లు ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుంది (Ma. 2013)
సాధన:
ఘనం అంచు x సెం.మీ., దీని ఘనపరిమాణం V, ఉపరితల వైశాల్యం S అనుకొందాం. అప్పుడు V = x3, S = 6x2.
ఘనపు పరిమాణంలో పెరుగుదల రేటు 9 సెం. మీ.3‘/సెకను.
కాబట్టి \(\frac{d v}{d t}\) = 9 సెం.మీ.3 /సెకను.
V ని t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{d V}{d t}\) = 3x2 \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) ⇒ 9 = 3x2\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) వస్తుంది.
అంటే \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{3}{x^2}\)
S ను t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}\) = 12x × \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
= 12x × \(\frac{3}{x^2}\) = \(\frac{36}{x}\)
కాబట్టి x = 10 సెం.మీ. వద్ద
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{36}{10}\) = 3.6 సెం.మీ.2/సెకను అవుతుంది.
ప్రశ్న 30.
ఒక సరళరేఖపై చలిస్తున్న కణం, t సెకన్లలో ఒక స్థిర బిందువు నుంచి చలించిన దూరం 5 (సెం.మీ.) మరియు S = f(t) : = 8t + t3 అయితే,
(i) t = 2 సెకన్ల వద్ద కణవేగాన్ని
(ii) ఆ కణం తొలి వేగాన్ని
(iii) t = 2సెకన్ల వద్ద త్వరణాన్ని కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
దూరం s, కాలం t ల మధ్య సంబంధం
s = f(t) = 8t + t3 —– (1)
∴ వేగం v = 8 + 3t2 —- (2)
త్వరణం a = \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) = 6t —– (3)
i) t = 2 సెకన్ల వద్ద వేగం 8 + 3 (4) = 20 సెం.మీ/సెకను.
ii) తొలి వేగం (t = 0) 8 సెం.మీ./సెకను.
iii) t = 2 సెకన్ల వద్ద త్వరణం 6(2) = 12 సెం.మీ/సెకను2
ప్రశ్న 31.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు ఎత్తు 12 సెం.మీ., ఉపరితల వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ. దీనిని 12 సెం.మీ./ సెకను చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు, నీటి మట్టం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద నీటిమట్టం ఎత్తు OC అనుకోండి.
త్రిభుజాలు OAB, OCD లు సరూప త్రిభుజాలు. కాబట్టి
\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\) OC = h, CD = r అనుకొందాం.
దత్తాంశం నుంచి AB = 6 సెం.మీ., OA = 12 సెం.మీ.
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{12}\) అంటే r = \(\frac{h}{12}\) …. (1)
శంకువు ఘనపరిమాణం V అనుకొంటే,
V = \(\frac{\pi r^2 h}{3}\) ……. (2)
సమీకరణం (1) నుంచి, V = \(\frac{\pi \mathrm{h}^3}{12}\) …. (3)
సమీకరణం (3) ను t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
కాబట్టి నీటిమట్టం ఎత్తు 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు నీటిమట్టం ఎత్తు పెరిగే రేటు \(\frac{3}{4 \pi}\) సెం.మీ./సెకను
ప్రశ్న 32.
సరళరేఖపై s = f(t) = 4t3 – 3t2 + 5t – 1 సంబంధాన్ని పాటిస్తూ ఒక కణం చలిస్తుంది. ఇక్కడ దూరం S ని మీటర్లలో, కాలం tని సెకన్లలో కొలిచాం. ఆ కణం వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి. త్వరణం ఎప్పుడు సున్నా అవుతుంది ? (T.S Mar. ’15, ’13)
సాధన:
f(t) = 4t3 – 3t2 + 5t – 1 కనుక t సెకను వద్ద
ఆ కణం వేగం
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 12t2 – 6t + 5
త్వరణం a = \(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~s}}{\mathrm{dt}^2}\) = 24t – 6
24t – 6 = 0 అయితే త్వరణం సున్న అవుతుంది.
అంటే t = \(\frac{1}{4}\)
t = \(\frac{1}{4}\) సెకన్ల వద్ద త్వరణం సున్న అవుతుంది.
ప్రశ్న 33.
t సెకన్ల వద్ద రక్తంలో ఒక మందు ఉండే పరిమాణం (mg లలో) q = 3(0.4)t. t = 2 సెకన్ల వద్ద q తక్షణ మార్పు రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ q = 3(0.4)t. కాబట్టి t సెకన్ల వద్ద
\(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}\) = 3 (0.4)t loge (0.4), q లో తక్షణ మార్పురేటు.
t = 2 సెకన్ల వద్ద q లో తక్షణ మార్పురేటు
\(\left(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}\right)_{t=2}\) = 3(0.4)2 loge (0.4) mg /సెకను
ప్రశ్న 34.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t3 వృద్ధి చెందుతుందను కుందాం. ఏ సమయానికి బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు 300 బాక్టీరియా / సెకను ఉంటుంది ?
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g(t) అనుకుందాం. అప్పుడు
g(t) = t3 …. (1)
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు g'(t) = 3t2 …. (2)
300 = 3t2 (g'(t) = 300 అని తెలుసు కాబట్టి)
t = 10 సెకన్లు
కాబట్టి t= 10 సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు 300 బాక్టీరియా/సెకను ఉంటుంది.
ప్రశ్న 35.
ఒక వస్తువును x యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అనుగుణంగా అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) = 0.005 x3 – 0.02x2 + 30x + 500. ఆ వస్తువును 3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి. (మొత్తం ఖర్చు మార్పురేటు ఉపాంత ఖర్చు).
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు M అనుకుందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dC}}{\mathrm{dx}}\)
కాబట్టి
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.005x3 – 0.02x2 + 30x + 500)
= 0.005(3x2) – 0.02(2x) + 30
x = 3 వద్ద
(M)x = 3 = 0.05 (27) – 0.02(6) + 30
= 30.015
కాబట్టి 3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చు రూ.30.02.
ప్రశ్న 36.
ఒక ఉత్పత్తిని x యూనిట్లు అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 3x2 + 36x + 5 అని ఇస్తే, x = 5 అయినప్పుడు ఉపాంత ఆదాయం (మొత్తం ఆదాయంలో మార్పుకేటు) కురుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dx}}\) (మొత్తం ఆదాయం R(x))
ఇక్కడ R(x) = 3x2 + 36x + 5
∴ m = 6x + 36
x = 5 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
[m = \(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dx}}\)]x=5 = 30 + 36 = 66
కాబట్టి ప్రశ్నలో కోరిన ఉపాంత ఆదాయం 66.
ప్రశ్న 37.
y = f(x) = x2 + 4 ప్రమేయానికి [-3, 3] అంతరంలో రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
ఇక్కడ f(x) = x2 + 4. ఇంకా f ప్రమేయం [–3, 3] పై అవిచ్ఛిన్నం, ఎందుకంటే x2 + 4 బహుపది.
f(3) = f(-3) = 13 (-3, 3) లో f అవకలనీయం.
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం f'(c) = 0 అయ్యేటట్లు c ∈ (-3, 3) ఉంటుంది. x = 0 కు f'(x) = 2x = 0
c = 0 ∈ (-3, 3). కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.
ప్రశ్న 38.
f(x) = x(x + 3)e-x/2 ప్రమేయానికి [-3, 0] అంతరంలో రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.
సాధన:
ఇక్కడ f(-3) = 0, f(0) = 0 దత్త ప్రమేయం f, [- 3, 0]
పై అవిచ్చిన్నమనీ, (- 3, 0) పై అవకలనీయమని గమనించండి. ఇంకా
f'(x) = \(\frac{\left(-x^2+x+6\right)}{2} e^{\frac{-x}{2}}\)
f'(x) = 0 ⇔ −x2 + x + 6 = 0 ⇔ x = -2 లేదా x = 3. ఈ రెండు విలువలలో x = -2 బిందువు వివృతాంతరం (−3, 0) లో ఉంది. కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.
ప్రశ్న 39.
f(x) = (x-1) (x – 2) (x – 3). అంతరం (1, 3)లో f‘(c) = 0 అయ్యేటట్లుగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ‘C’ లు ఉన్నాయని చూపండి.
సాధన:
[1, 3] పై f అవిచ్ఛిన్నమనీ, (1, 3) పై f అవకలనీయమనీ f(1) = f(3) = 0 అని గమనించండి.
f(x) = (x − 1) (x − 2) + (x – 1) (x – 3)+ (x – 2)(x − 3)
= 3x2 – 12x + 11.
f'(x) = 0 కు మూలాలు \(\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}\)
= 2±\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అవుతాయి.
ఈ రెండు విలువలూ వివృతాంతరం (1, 3) లో అవకలజపు విలువ సున్న అయ్యేటట్లుగా ఉన్నాయి.
ప్రశ్న 40.
y = x2 వక్రంపై (0, 0), (1, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
జ్యా వాలు \(\frac{1-0}{1-0}\) = 1
అవకలజం \(\frac{d y}{d x}\) = 2x
2x = 1 అయ్యేటట్లు x విలువ కావాలి.
అంటే x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\) విలువ వివృతాంతం (0,1) లో ఉంది. (లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం). దీనికి అనుగుణంగా వక్రంపై
బిందువు (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\))
ప్రశ్న 41.
y = f(x) రేఖాచిత్రం ఉపయోగించకుండా f(x)= 8x + 2 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
x1 < x2 అవుతూ x1, x2 ∈ R అనుకొందాం. అప్పుడు 8x1 < 8x2 ఈ సమీకరణానికి ఇరువైపులా 2 కలపగా, 8x1 + 2 < 8x2 + 2 వస్తుంది. అంటే f(x1) < f(x2). కాబట్టి,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ∀ x1, x2 ∈ R. కావున f ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.
ప్రశ్న 42.
f(x) = ex ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం అని చూపండి. (రేఖాచిత్రం వాడకుండా).
సాధన:
x1, x2 ∈ R, x1 < x2 అనుకుందాం. a > b అయితే ea > eb అని తెలుసు.
∴ x1 < x2 ⇒ \(e^{x_1}\) < \(e^{x_2}\)
అంటే f(x1) < f(x2).
కాబట్టి f ప్రమేయం పై శుద్ధ ఆరోహణం.
ప్రశ్న 43.
f(x) = -x + 2 ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
x1, x2 ∈ R, x1 < x2 అనుకొందాం.
అప్పుడు
x1 < x2 ⇒ -x1 > -x2
⇒ -x1 + 2 > −x2 + 2
⇒ f(x1) > f(x2)
∴ f(x) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం.
ప్రశ్న 44.
f(x) = x2 − 3x + 8 ∀ x ∈ R ప్రమేయం ఏ అంతరంలో ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x2 – 3x + 8. దీనిని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే f(x) = 2x – 3. x = 3/2 వద్ద f'(x) = 0. కనుక x = 3/2 సందిగ్ధ బిందువు.
(-∞, 3/2 లో f(x) < 0 కనక \(\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)\) అంతరంపై f(x) శుద్ధ అవరోహణం. ఇంకా \(\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\) అంతరంపై f'(x) > 0 కనక \(\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\) అంతరంపై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం
ప్రశ్న 45.
f(x) = |x|ప్రమేయం (-∞, 0) అంతరంపై శుద్ధ అవరోహణమనీ, (0, ∞) అంతరంపై శుబ్ధ ఆరోహణమనీ చూపండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = |x| అంటే
కాబట్టి c > 0 అయితే f‘(c) : 1, c < 0 అయితే f'(c) = -1, f(0) వ్యవస్థితం కాదు. (0, ∞) అంతరం పై f(c) > 0 కనక (0, ) అంతరం పై f(x)శుద్ధ ఆరోహణం. (−∞, 0) అంతరం పై f‘(c) < 0 కనక (−∞, 0)అంతరంపై శుద్ధ అవరోహణం.
ప్రశ్న 46.
f(x) = x3 + 5x2 – 8x + 1 ∀ x ∈ R ప్రమేయం ఏ అంతరాలలో శుద్ధ ఆరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x3 + 5x2 – 8x + 1.
ప్రశ్న 47.
f(x) = x,sup>x (x > 0) ప్రమేయం ఏ అంతరాలపై శుద్ధ ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రమేయం f(x) = xx. దీనికి రెండు వైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే log (f(x)) = x log x. దీనిని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{1}{f(x)}\)f'(x) = 1 + log x,
∴ f'(x) = xx (1 + log x),
f'(x) = 0 ⇒ xx (1 + log x) = 0 … (1)
⇒ 1 + log x = 0
⇒ x = 1/e
x < 1/e అయితే log x < log (1/e) (ఆధారం e > 1).
అంటే log x < −1
అంటే 1 + log x < 0 ⇒ xx (1 + log x) < 0.
అంటే f'(x) < 0
x > 1/e అయితే log x > log (1/e) అంటే
log x > – 1.
⇒ 1 + log (x) > 0
⇒ xx (1 + log (x)) > 0
⇒ f'(x) > 0
కనక (0, 1/e) అంతరంలో f శుద్ధ అవరోహణం, (1/e, ∞) అంతరంలో f శుద్ధ ఆరోహణం.
ప్రశ్న 48.
f(x) = \(\frac{2}{(x-1)}\) + 18x ∀ x ∈ R\ {0} ప్రమేయం ఏ అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = \(\frac{2}{(x-1)}\) + 18x. దీనిని x దృష్టా అవకలనం చేస్తే
f'(x) = \(\frac{-1}{(x-1)^2}\). 2 + 1. f'(x) = 0
⇒ \(\frac{2}{(x-1)^2}\) = 18 ⇒ (x – 1)2 = 1/9
∴ x – 1 = 1/3 లేదా x – 1 = -(1/3) అయితే
f'(x) = 0.
అంటే x = 4/3 లేదా x = 2/3.
f(x) అవకలజాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
\(\frac{18}{(x-1)^2}\). (x − 2/3) (x − 4/3)
ప్రశ్న 49.
[0, 2π] అంతరంపై f(x) = sin x – అనుకొందాం. ఏ అంతరాలపై f(x) శుద్ధ ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = sin x cos x.
∴ f(x) = cos x + sin x, దీనిని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
∴ f'(x) = \(\sqrt{2}\) sin(x + π/4)
0 < x < 3π/4 అనుకొందాం.
అప్పుడు π/4 < x + π/4 < π. ∴ sin (x + π/4) > 0. అంటే f'(x) > 0.
ఇదే విధంగా (3π/4, 7π/4) పై f'(x) < 0 అనీ
(7π/4, 2π) పై f'(x) < 0 అనీ చూపవచ్చు.
ప్రశ్న 50.
0 ≤ x ≤ π/2 అయితే x ≥ 2 sin x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x – sin x అనుకొందాం.
f'(x) = 1 – cos x ≥ 0 ∀ x (∵ -1 ≤ cos x ≤ 1)
∴ f ఆరోహణ ప్రమేయం.
∴ x ≥ 0
⇒ f(x) ≥ f(0)
⇒ x – sin x ≥ 0 [∵ f(0) = 0]
⇒ x ≥ sin x ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
ప్రశ్న 51.
f : R → R ప్రమేయాన్ని f(x) = 4x2 – 4x + 11 గా నిర్వచిస్తే, ప్రమేయం f పరమ కనిష్ఠ విలువ, పరమ కనిష్ఠ బిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ప్రమేయానికి f(c) పరమ కనిష్ఠ విలువ కావడానికి f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ R అయ్యేటట్లు C ∈ R ఉంటుందా అని చూడాలి.
f(x) = 4x2 – 4x + 11 ను పరిగణిద్దాం.
f(x) = (2x – 1)2 + 10 ≥ 10 ∀ x ∈ R ….. (1)
ఇప్పుడు f(1/2) = 10 …. (2)
f(x) ≥ f(1/2) ∀ x ∈ R
కాబట్టి f(1/2) = 10, f(x) పరమ కనిష్ఠ విలువ, x = 1/2 పరమ కనిష్ఠ బిందువు.
ప్రశ్న 52.
f: [-2, 2] → R ప్రమేయాన్ని f(x) = |x|గా నిర్వచిస్తే, ఆ ప్రమేయం పరమ గరిష్ఠ విలువ, పరమ గరిష్ఠ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
అని తెలుసు. [−2, 2] పై f యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని అనుసరించి. f(x) ≤ f(2), f(x) ≤ f(−2) ∀ x ∈ [-2, 2] అన్నది స్పష్టం.
∴ f(2) = f(−2) = 2, f(x) ప్రమేయానికి పరమ గరిష్ఠ విలువ, −2, 2 లు ప్రమేయం fకు పరమ గరిష్ఠ బిందువులు.
ప్రశ్న 53.
f : R → R ప్రమేయాన్ని f(x) = x2 గా నిర్వచిస్తే దీని పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలు (వ్యవస్థితం అయితే) కనుక్కోండి.
సాధన:
వాస్తవ సంఖ్య వర్గం ధనాత్మకం కనుక
f(x) ≥ f(0) ∀ x ∈ R … (1)
ఇంకా f(0) = 0
∴ f(x) ≥ f(0) = 0 ∀ x ∈ R ……. (2)
కాబట్టి పరమ కనిష్ఠ విలువ 0. x = 0 పరమ కనిష్ఠ బిందువు. x0 ∈ R (xo > 0 )వద్ద f(x) పరమ గరిష్ఠం అనుకొందాం. అప్పుడు మనం అనుకొన్న దాని ప్రకారం
f(x0) ≥ f(x) ∀ x ∈ R ….. (3)
x1 = x0 + 1గా తీసుకోండి. అప్పుడు x1 ∈ R, xo < x1
∴ \(x_0^2<x_1^2\)
కాబట్టి f(x0) < (fx1).
f(x1) > f(x0) అయ్యేటట్లు f(x1) విలువ ఉంది. ఇది (3) కు విరుద్ధం. కాబట్టి f(x) కు పరమ గరిష్ఠం R లో ఉండదు.
ప్రశ్న 54.
f(x) = 3x4 – 4x3 + 1, ∀ x ∈ R కు స్థిర బిందువులు కనుక్కోండి. ఈ బిందువులలో ఏవి ప్రమేయం fకు స్థానిక గరిష్టం లేదా స్థానిక కనిష్ఠం అవుతాయో తెలపండి.
సాధన:
f(x) = 3x4 – 4x3 + 1, f ప్రదేశం R. f అని అవకలనం చేస్తే,
f'(x) = 12x2(x – 1) …… (1)
f'(x) = 0 అంటే 12x2 (x – 1) = 0 మూలాలు విరామ బిందువులు. కాబట్టి x = 0, x = 1 లు విరామ బిందువులు. ఇప్పుడు x = 1 స్థానిక అంత్య బిందువు అవుతుందో లేదో పరిశీలిద్దాం.
f(0.9) = 12(0.9)2 (0.9 – 1) ⇒ f'(0.9) రుణాత్మకం,
f(1.1) = 12(1.1)2 (1.1 – 1) ⇒ f'(1.1) ధనాత్మకం,
f(x) ప్రమేయం 1 యొక్క ఒక సామీప్యంలో నిర్వచితం. అంటే δ = 0.2 తో (0.8, 1.2) అంతరం 1– యొక్క సామీప్యం.
కాబట్టి x = c వద్ద f(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారితే f కుఁ కనిష్ఠ బిందువు నుంచి x = 1 వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం. కాబట్టి x = 1 స్థానిక అంత్య బిందువు.
ఇప్పుడు మనం x = 0 అంత్య బిందువు అవుతుందో, లేదో పరిశీలిద్దాం. (-0.2, 0.2) అంతరంలో f(x) ప్రమేయం నిర్వచితం.
f'(-0.1) = 12(-0.1)2(-0.1 – 1)
⇒ f(-0.1) రుణాత్మకం,
f(- 0.1) = 12(0.1)2 (0.1 – 1) ⇒ f(0.1) రుణాత్మకం,
x = 0 వద్ద f(x) గుర్తు మారడం లేదు. కాబట్టి x = 0 దగ్గర f కు స్థానిక గరిష్ఠం, స్థానిక కనిష్ఠాలు ఉండవు. కాబట్టి x = 0 బిందువు f కు స్థానిక అంత్య బిందువు కాదు.
ప్రశ్న 55.
f(x) = x3 – 6x2 + 12x – 8 ∀ x ∈ R ప్రమేయానికి స్థానిక కనిష్ఠ, స్థానిక గరిష్ఠ బిందువులు (ఉన్నట్లయితే) కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x3 – 6x2 + 12x – 8, ప్రదేశం R.
ప్రమేయాన్ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
f(x) = 3x2 − 12x + 12 వస్తుంది.
అంటే f(x) = 3(x – 2)2.
f'(x) కు 2 మూలం కనుక
δ = 0.2 గా తీసుకొందాం. (1.8, 2.2) అంతరం 2 యొక్క 0.2- సామీప్యం అవుతుంది. ఇప్పుడు
f'(1.9) = 3(1.9 – 2)2 ⇒ f(1.9) ధనాత్మకం.
f'(2.1) = 3(2.1 – 2)2 ⇒ f'(2.1) ధనాత్మకం.
కాబట్టి x = 2 వద్ద f(x) గుర్తు మారలేదు.
కాబట్టి x = c వద్ద f(x) గుర్తు మారనట్లయితే f కు x = c స్థానిక గరిష్ట బిందువు కానీ, స్థానిక కనిష్ట బిందువు కానీ కాదు. x = 2, f కు స్థానిక గరిష్ట బిందువూ కాదు. స్థానిక కనిష్ట బిందువూ కాదు.
ప్రశ్న 56.
f(x) = sin 2x ∀ x ∈ [0, 2π] ప్రమేయానికి స్థానిక కనిష్ఠ, స్థానిక గరిష్ఠ బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = sin 2x, f ప్రదేశం [0, 2π].
f'(x) = 2cos 2x … (1)
[0, 2π] అంతరంలో ఉండే 2 cos 2x = 0 విరామ బిందువులు \(\frac{\pi}{4}\), 3π/4
x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తిస్తే,
కాబట్టి f(x) గుర్తు x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద ధనాత్మకం నుంచి ఋణాత్మకానికి మారింది.
కాబట్టి x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద f స్థానిక గరిష్ఠం. ఇప్పుడు x = 3π/4 వద్ద మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తిద్దాం.
కాబట్టి x = 3π/4 వద్ద f'(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది. కాబట్టి x = 3π/4 వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం ఉంది.
ప్రశ్న 57.
f(x) = x3 − 9x2 – 48x + 6 ∀ x ∈ R ప్రమేయం స్థానిక అంత్య బిందువులను కనుక్కోండి. దీని అంత్య విలువలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం
f(x) = x3 – 9x2 – 48x + 6 …….. (1)
ప్రమేయపు ప్రదేశం R (1) ని X దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే, f(x) = 3x2 – 18x – 48 = 3(x – 8) (x + 2)…. (2)
కాబట్టి f కు – 2, 8 విరామ బిందువులు (2)ను × దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f”(x) = 6(x – 3) ….. (3) వస్తుంది.
x1 = – 2, x2 = 8 అనుకొందాం. ఈ బిందువుల వద్ద రెండో అవకలజపు గుర్తులు తెలుసుకోవడానికి వీటి వద్ద f”(x) విలువలు కనుక్కోవాలి. x = – 2 వద్ద f”(-2) = – 30 దీని గుర్తు రుణాత్మకం.
కాబట్టి x = -2 బిందువు f కు స్థానిక గరిష్ఠ బిందువు, స్థానిక గరిష్ఠ విలువ f(-2) = 58
ఇప్పుడు x2 = 8 బిందువు వద్ద f”(8) = 30. కాబట్టి x2 = 8 వద్ద f”(x) ధనాత్మకం. కాబట్టి x2 = 8 బిందువు f కు స్థానిక కనిష్ట బిందువు, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
f(8) = – 442.
ప్రశ్న 58.
f(x) = x6 ∀ x ∈ R అన్ని స్థానిక అంత్య బిందువులను కనుక్కోండి. దీని అంత్య విలువలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x6 …. (1)
(1) ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f(x) = 6x5 …… (2)
(2) ను మళ్ళీ x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f”(x) = 30x4 …. (3)
x = 0 మాత్రమే f కు విరామ బిందువు (ఎందుకంటే x = 0 వద్ద మాత్రమే f'(x) = 0)
ఇప్పుడు f'(0) = 0. రెండో అవకలజం పరీక్షననుసరించి స్థానిక అంత్య బిందువు పరంగా x = 0 గురించి నిర్ణయించలేం.
కాబట్టి మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తితం చేద్దాం. f ప్రదేశం R కనుక (-0.2, 0.2) లో f నిర్వచితం, ఇది 0 సామీప్యం. ఇప్పుడు
f(-0.1) = 6(-0.1)5 < 0, f(0.1) = 6(0.1) 5 > 0.
∴ x = 0 వద్ద f(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది.
కాబట్టి ప్రమేయం fకు x = 0 స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ f(0) = 0.
ప్రశ్న 59.
f(x) = cos 4x ∀ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) కి స్థానిక అంత్య బిందువులు, స్థానిక అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ f(x) = cos 4x …… (1)
దీని ప్రదేశం (0, \(\frac{\pi}{2}\))
∴ f'(x) = -4 sin 4x …. (2)
f”(x) = -16 cos 4x …. (3)
= (0, \(\frac{\pi}{2}\)) అంతరంలో ఉండే f(x) విరామ బిందువులు
f'(x) = 0 కి మూలాలు.
f'(x) = 0 – 4 sin 4x = 0
⇒ x = 0, π/4, π/2, 3π/4, π….
f ప్రదేశంలో ఉండే బిందువు x = π/4 మాత్రమే. కాబట్టి x = π/4 బిందువు f కు విరామ బిందువు. ఇప్పుడు
f'(π/4) = -16 cos(π)
= 16 > 0.
∴ f కు స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు
x = π/4 స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
f(π/4) = -1.
ప్రశ్న 60.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 15 గా ఉంటూ వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్టం అయ్యే సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక సంఖ్య x అనుకొందాం. మరో సంఖ్య15 – x. రెండు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం S అనుకొంటే
S = x’ + (15 – x)2 —– (1)
వస్తుంది.
ఇక్కడ కనిష్ఠం చేయవలసిన రాశి S, X లో ప్రమేయం.
(1) ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dx}}\) = 2x + 2(15 – x) (-1)
= 4x – 30 —— (2)
(2) ను మళ్ళీ x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
ప్రశ్న 61.
దీర్ఘ చతురస్రపు చుట్టుకొలత 20 స్థిరంగా ఉంటూ ఏర్పడే దీర్ఘ చతురస్రాల వైశాల్యాలలో గరిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘ చతురస్రం పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా x, y అనుకొందాం. దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత 20.
అంటే 2(x + y) = 20.
అంటే x + y = 10 …. (1)
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యాన్ని A అనుకొందాం. అప్పుడు
A = x y ………. (2)
దీనిని గరిష్టం చేయాలి. సమీకరణం (1) ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
y = 10 – x ….. (3)
సమీకరణం (2), (3) లనుంచి
A = x (10 – x)
అంటే A = 10x – x2 ……….. (4)
సమీకరణం (4) ను దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d A}{d x}\) = 10 – 2x ….. (5)
10 – 2x = 0 మూలం A కు విరామ బిందువు
∴ A విరామ బిందువు x = 5.
(5) ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~A}}{\mathrm{dx}^2}\) = -2 వస్తుంది
అంటే ఇది రుణాత్మకం. కాబట్టి రెండో అవకలజ పరీక్షను అనుసరించి x = 5 వద్ద A గరిష్ఠం, కాబట్టి y = 10 – 5 = 5, గరిష్ఠ వైశాల్యం A = 5(5) = 25.
ప్రశ్న 62.
(4, 0) నుంచి y2 = x వక్రంపై కనిష్ఠ దూరంలో ఉన్న బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
y2 = x పై P(x, y) బిందువు, A(4, 0) అనుకొందాం. PA కనిష్ఠం అయ్యేటట్లు P ని కనుక్కోవాలి
PA = D అనుకొందాం. కనిష్ఠం చేయవలసిన రాశి D.
D = \(\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}\) ….. (1)
P(x, y) వక్రంపై బిందువు, కనుక
y2 = x ….. (2)
సమీకరణం (1),(2)ల నుంచి
D = \(\sqrt{\left((x-4)^2+x\right)}\)
D = \(\sqrt{\left(x^2-7 x+16\right)}\) …. (3)
సమీకరణం (3)ను దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{2 x-7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-7 x+16}}\) . \(\)
ఇప్పుడు \(\frac{d D}{d x}\) = 0 అయితే x = 7/2. కాబట్టి, Dకి 7/2 విరామ బిందువు. మొదటి అవకలజ పరీక్ష అనువర్తితంతో x = 7/2
కనిష్ఠం అవుతుందో కాదో సరి చూద్దాం.
ఇది ధనాత్మకం.
గుర్తు x = 7/2 వద్ద రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది. కాబట్టి x = 7/2 వద్ద D కనిష్ఠం. x = 7/2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా వచ్చే సమీకరణం y2 = 7/2.
A(4,0) కు కనిష్ఠ దూరంలో ఉండే బిందువులు.
ప్రశ్న 63.
ఇచ్చిన శంకువులో అంతర్లిఖించబడే లంబ వృత్తాకార స్థూపం (right circular cylinder) యొక్క వక్రతల ఉపరితల వైశాల్యం గరిష్టం అయితే
సాధన:
శంకువు ఆధార వృత్త కేంద్రం ౦, దీని ఎత్తు h, దీని ఆధార వృత్త వ్యాసార్థం r అనుకొందాం.
అప్పుడు AO = h, OC = r.
శంకువులో అంతర్లిఖించబడిన స్థూప వ్యాసార్థం x(OE),
దీని ఎత్తు U అనుకొందాం. అంటే,
అంటే RO = QE = PD = u.
ఇప్పుడు AOC, QEC త్రిభుజాలు సరూప త్రిభుజాలు. కాబట్టి
స్థూపం వక్రతల ఉపరితల వైశాల్యం S అనుకొందాం. అప్పుడు
S = 2 π xu
సమీకరణం (1) ప్రకారం,
S = 2 πh (r – x – x2)/r
శంకువు యొక్క r, h లు స్థిరరాశులు. కాబట్టి S అనేది x లో మాత్రమే ప్రమేయం. ఇప్పుడు
కాబట్టి గరిష్ఠంగా అంతర్లింభింపబడే స్థూపం వ్యాసార్థం, శంకువు వ్యాసార్థంలో సగం.
ప్రశ్న 64.
ఒక కంపెనీ రోజుకు x వస్తువులు అమ్మగా వచ్చే లాభ ప్రమేయం P(x) = (150 – x)x – 1600. కంపెనీ గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి ఆ కంపెనీ ఎన్ని వస్తువులను తయారు (ఉత్పత్తి) చేయాలో కనుక్కోండి. గరిష్ఠ లాభాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త లాభ ప్రమేయం
P(x) = (150 – x)x – 1600 …. (1)
P(x) యొక్క గరిష్ఠ లేదా కనిష్టాలకు \(\frac{\mathrm{dP}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = 0
∴ (150 − x) (1) + x (-1) = 0
అంటే x = 75.
లాభ ప్రమేయం P(X) గరిష్ఠం కావడానికి x = 75
∴ కంపెనీ గరిష్ఠ లాభాన్ని పొందడానికి అది రోజుకు 75 వస్తువులను తయారు చేయాలి.
కంపెనీ గరిష్ఠ లాభం P(75) = 4025.
ప్రశ్న 65.
ఒక వర్తకుడు ఒక వస్తువును (5 – x/100) చొప్పున X వస్తువులు అమ్మగలడు. x వస్తువులు కొన్న ఖరీదు రూ. (x/5 + 500). వర్తకుడు గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి అతడు అమ్మవలసిన వస్తువులు ఎన్నో కనుక్కోండి.
సాధన:
x వస్తువులు అమ్మిన ధర S(x), కొన్న ఖరీదు C(x) అనుకొందాం. అప్పుడు
S(x) = {వస్తువు యొక్క అమ్మిన ధర}. x
S(x) = (5 – x/100) x = 5x – x2/100,
C(x) = x/5 + 500
లాభ ప్రమేయం P(x) అనుకొంటే,
P(x) = S(x) – C(x).
అంటే P(x) = (5x – x2/100) – (x/5 + 500)
= (24x/5) – (x2/100) – 500 —— (1)
P(x) గరిష్ఠ, కనిష్ఠాలకు \(\frac{\mathrm{dP}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = 0.
అంటే 24/5 – x/50 = 0.
∴ P(x) విరామ బిందువు x = 240. x యొక్క అన్ని విలువలకు
\(\left[\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx} \mathrm{x}^2}\right]\) = –\(\frac{1}{50}\)
కాబట్టి వర్తకుడు గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి అమ్మవలసిన వస్తువుల సంఖ్య 240.
ప్రశ్న 66.
[-2, 2]పై f ప్రమేయాన్ని f(x) = x2 గా నిర్వచిస్తే యొక్క పరమ అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
[−2, 2] పై దత్త ప్రమేయం f(x) = x2 అవిచ్ఛిన్నం. ఈ ప్రమేయానికి x = 0 ఒకే ఒక స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు, కనిష్ఠ విలువ 0 అని చూపవచ్చు. కాబట్టి f(-2), f(0), f(2) అంటే 4, 0, 4 లలో గరిష్ఠ విలువ f కి పరమ గరిష్ఠ విలువ అవుతుంది.
కాబట్టి f పరమ గరిష్ఠ విలువ 4. ఇదే విధంగా 4, 0, 4 లలో కనిష్ఠ విలువ f కి పరమ కనిష్ఠ విలువ అవుతుంది. కాబట్టి 0, f పరమ కనిష్ఠ విలువ.
ప్రశ్న 67.
[0, 1] అంతరంపై x40 – x20 ప్రమేయానికి పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x40 – x20 ∀ x ∈ [0, 1] …. (1)
అనుకొంటే [0, 1] అంతరంపై f అవిచ్ఛిన్నం, అంతరం [0, 1] సంవృతాంతరం.
(1) నుంచి
f'(x) = 40 x39 – 20x19
= 20x19 (2x20 – 1).
కాబట్టి x = 0 లేదా x = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\) ‘వద్ద
f'(x) = 0.
కాబట్టి f విరామ బిందువులు 0, \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\)
0, f ప్రదేశం చివరి బిందువు. కాబట్టి x = 0 వద్ద f కు స్థానిక అంత్య విలువలు వ్యవస్థితం కావు. ఇప్పుడు
f”(x) = 40(39) x38 – 20(19)x18
= 20x18 (78x20 – 19)
కాబట్టి x = (1/2)(1/20) వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
కాబట్టి f(0), f(1), f\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\right)\) లలో అతిపెద్దది f పరమ గరిష్ఠం అవుతుంది.
= a (x – y) అయితే
(May ’11; Mar. ’05)
