Inter 1st Year

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b)

I.

Question 1.
క్రింది లబ్దాలు సాధ్యమైనప్పుడల్లా కనుక్కోండి.
సూచన: (1 × 3) by (3 × 1) = 1 × 1

Solution:


మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య, రెండవ మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానం కాదు. అందువల్ల మాత్రికా లబ్ధము నిర్వచితము కాదు.

మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య 1 ≠ రెండవ మాత్రికలో అడ్డు వరుసల సంఖ్య 2 కనుక మాత్రిక లబ్ధం నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే AB, BA లు నిర్వచితమా? అయితే లబ్ద మాత్రికలు కనుక్కోండి. A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయమవుతాయా?
Solution:

AB ≠ BA
∴ A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయము కావు.

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{0} & \mathbf{i} \\
\mathbf{i} & \mathbf{0}
\end{array}\right]\) అయితే
(i) A² = B² = C² = -I [Mar. ’08]
(ii) AB = -BA = -C, (i² = -1) అని చూపండి.
(I అనేది రెండో తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) అయితే, AB ని కనుక్కోండి. BA ని నిర్వచితమైతే కనుక్కోండి.
Solution:

మాత్రిక B లో నిలువు వరుసల సంఖ్య A లో అడ్డు వరుసల సంఖ్య. అందువల్ల BA నిర్వచితం కాదు.

Question 7.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\), A² = O అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’05]
Solution:
A² = O
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
4-4 & 8+4 k \\
-2-k & -4+k^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ 8 + 4k = 0
⇒ 4k = -8
⇒ k = -2

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\), అయితే A⁴ ని కనుక్కోండి.
సూచన : A వికర్ణ మాత్రిక.
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -1 & -3
\end{array}\right]\), అయితే A³ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A³ – 3A² – A – 3I విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 4.
I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\), E = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే (aI + bE)³ = a³I + 3a²bЕ అని చూపండి. [(AP) Mar. ’15, May ’05]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

III.

Question 1.
A = diag [a₁, a₂, a₃), n ≥ 1 ఒక పూర్ణాంకం అయితే Aⁿ = \(\left[a_1^n, a_2^n, a_3^n\right]\) అని చూపండి.
Solution:

n = k + 1 కి ఇది నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం ద్వారా ప్రతి n ∈ N కు P(n) నిజమవుతుంది.

Question 2.
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\) అయితే \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\
\cos \theta \sin \theta & \sin ^2 \theta
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \phi & \cos \phi \sin \phi \\
\cos \phi \sin \phi & \sin ^2 \phi
\end{array}\right]\) = 0 అని చూపండి. [May ’11; Mar. ’04]
Solution:
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\) + φ

Question 3.
n ధన పూర్ణాంకం, A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) అయితే Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
Solution:
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం ఋజువు చేద్దాం.


∴ n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం n యొక్క అన్ని పూర్ణాంకాలకు నిజం.

Question 4.
A, B లు ఒకే తరగతి చతురస్ర మాత్రికలైతే AB = 0, BA ≠ 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
Solution:

Question 5.
ఒక సహాయనిధికి చెందిన రూ.30,000 లను రెండు రకాల బాండ్లలో మదుపు చేయాలి. మొదటి రకం బాందు సంవత్సరానికి 5% వడ్డీని, రెండవ రకం బాండు సంవత్సరానికి 7% వడ్డీని ఇస్తాయి. మాత్రికల గుణకాన్ని ఉపయోగించి ఈ మొత్తాన్ని ఏవిధంగా విభజిస్తే వడ్డీ (a) రూ.1800 (b) రూ.2000 వస్తుంది.
Solution:
మొదటి బాండును ‘x’ అనుకొనుము.
రెండవ బాండును 30,000 – x అనుకొనుము.
వడ్డీ శాతం 0.05 మరియు 0.07 అనుకొనుము.
(a) [x, 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [1800]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = 1800
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 1800
5x + 21,0000 – 7x = 1,80,000
-2x = 1,80,000 – 2,10,000 = -30,000
x = 15,000
∴ మొదటి బాండ్ = 15,000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 15,000 = 15,000

(b) [x 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [2000]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = [2000]
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 2000
5x + 2,10,000 – 7x = 2,00,000
-2x = 2,00,000 – 2,10,000
-2x = -10,000
x = 5,000
∴ మొదటి బాండ్ = 5000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 5000 = 25,000

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
రేఖ 4x – 3y = 12 కు నిరూపకాక్షాల మీద అంతరఖండాల వర్గాల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము
\(\frac{4 x}{12}-\frac{3 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}\) = 1
a = 3, b = – 4
వర్గాల మొత్తము = a² + b²
= 9 + 16 = 25

ప్రశ్న 2.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మధ్య గల భాగాన్ని (2p, 2q) సమద్విఖండన చేస్తే ఆ రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో AB సమీకరణము

A నిరూపకాలు (a, 0), B నిరూపకాలు (0, b)
M మధ్య బిందువు AB
M నిరూపకాలు \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) = (2p, 2q)
\(\frac{a}{2}\) = 2p, \(\frac{b}{2}\) = 2q
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AB సమీకరణము
\(\frac{x}{4 p}+\frac{y}{4 q}\) = 1
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 4

ప్రశ్న 3.
ax + by + c = 0 (abc ≠ 0), lx + my + n = 0 సమీకరణం ఒకే రేఖను సూచిస్తే, r = \(\frac{l}{a}=\frac{n}{c}\) అయినప్పుడు r విలువను m, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax + by + c = 0,
lx + my + n = 0 లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి.
∴ \(\frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}\) = r
\(\frac{m}{b}\) = r

ప్రశ్న 4.
రేఖ y = – \(\sqrt{3}\) x + 3, X – అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో చేసే కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము y = – \(\sqrt{3}\)x + 3
దత్తరేఖ X – అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో చేసిన కోణము α అనుకుందాం.
tan α = – \(\sqrt{3}\) = tan \(\frac{2\pi}{3}\)
α = \(\frac{2\pi}{3}\)

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖ నిరూపకాక్షాల మీద చేసే అంతరఖండాలు a, ‘b అయితే మూల బిందువు నుంచి ఆ రేఖకు లంబ దూరమైన p విలువను a, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము

p = మూలబిందువు నుండి లంబంగా

II.

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాటిలో మూల బిందువు నుంచి సరళరేఖ దూరాన్ని p సూచిస్తుంది. మూల బిందువు నుంచి సరళరేఖకు గీసిన ఒక అభిలంబ కిరణం X – అక్షం ధన దిశతో అపసవ్య దిశలో 0 కోణాన్ని చేస్తుంది. క్రింద ఇచ్చిన p, α విలువలు గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) p = 5, α = 60°
ii) p = 6, α = 150°
iii) p = 1, α = \(\frac{7\pi}{4}\)
iv) p = 4, α = 90°
v) p = 0, α = 0
vi) p = 2\(\sqrt{2}\), α = \(\frac{5\pi}{4}\)
సాధన:
అభిలంబ రూపంలో రేఖ సమీకరణం
x cos α + y sin α = p
i) p = 5, α = 60°
cos α= cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin α = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము x . \(\frac{1}{2}\) + y . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5
⇒ x + \(\sqrt{3}\) y = 10

ii) p = 6, α = 150°
cos α = cos 150° = cos (180° – 30°)
= -cos 30° = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin α = sin 150°
= sin (180° -30°)
= sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(x \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+y \cdot \frac{1}{2}\) = 6
– \(\sqrt{3}\) x + y = 12
లేదా \(\sqrt{3}\) x – y + 12 = 0

iii) p = 1, α = \(\frac{7\pi}{4}\)
cos α= cos 315° = cos (360° – 45°)
= cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin α = sin 315° = sin (360° – 45°)
= – sin 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
x . \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) – y . \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 1
x – y = \(\sqrt{2}\)
x – y – \(\sqrt{2}\) = 0

iv) p = 4, α = 90°
cos α = cos 90° = 0, sin α = sin 90° = 1
సరళరేఖ సమీకరణము x. 0 + y . 1 = 4
y = 4

v) p = 0, α = 0
cos α = cos 0 = 1, sin α = sin 0 = 0
సరళరేఖ సమీకరణము x. 1 + y . 0 = 0
x = 0

vi) p = 2\(\sqrt{2}\), α = \(\frac{5\pi}{4}\)
cos α = cos 225° = cos (180° + 45°)
= -cos 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin α = sin 225° = sin (180° + 45°)
= -sin 45° = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(x\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2 \sqrt{2}\)
-x – y = 4
లేదా x + y + 4 = 0

ప్రశ్న 2.
కింది సమస్యలలో ఇచ్చిన వాలుతో, ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖల సమీకరణాలు సౌష్ఠవ రూపంలో కనుక్కోండి.
i) \(\sqrt{3}\) (2, 3)
ii) –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\), (-2, 0)
iii) -1, (1, 1)
సాధన:
i) సౌష్ఠవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-x_1}{\cos \alpha}=\frac{y-y_1}{\sin \alpha}\) = r
(x₁, y₁) = (2, \(\sqrt{3}\))
m = tan α = \(\sqrt{3}\) ⇒ α = 60°
cos α = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin α = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
సౌష్టవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-2}{\cos \frac{\pi}{3}}=\frac{y-3}{\sin \frac{\pi}{3}}\)

ii) (x, y) = (-2, 0)
tan α = – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ α = 180° – 30° = 150°
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x+2}{\cos 150^{\circ}}=\frac{y}{\sin 150^{\circ}}\)

iii) tan α = -1, α = 180° – 45° = 135°
(x₁, y₁) = (1, 1)
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-1}{\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)}=\frac{y-1}{\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలను
a) వాలు – అంతరఖండ రూపం
b) అంతరఖండ రూపం
c) అభిలంబ రూపంలోకి మార్చండి.
i) 3x + 4y = 5
ii) 4x – 3y + 12 = 0
iii) \(\sqrt{3}\) x + y = 4
iv) x + y + 2 = 0
v) x + y – 2 = 0
vi) \(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
సాధన:
i) 3x + 4y = 5
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
4y = -3x + 5
y = \(\left(-\frac{3}{4}\right) x+\left(\frac{5}{4}\right)\)
అంతరఖండ రూపము :
3x + 4y = 5
\(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{5}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{5}{3}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{4}\right)}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
3x + 4y = 5
\(\sqrt{9+16}\) = 5 తో భాగించగా
\(\frac{3}{5}\) x + \(\frac{4}{5}\) y = 1
cos α = \(\frac{3}{5}\), sin α = \(\frac{4}{5}\) ⇒ tan α = \(\frac{4}{3}\)
x cos α + y sin α = 1

ii) 4x – 3y + 12 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
3y = 4x + 12
y = \(\left(\frac{4}{3}\right)\) x + 4
అంతరఖండ రూపము :
4x – 3y + 12 = 0
-4x + 3y = 12
\(\frac{-4 x}{12}+\frac{3 y}{12}\) = 1
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{4}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
4x – 3y + 12 = 0
-4x + 3y = 12
\(\sqrt{16+9}\) = 5 తో భాగించగా
\(\left(\frac{-4}{5}\right) x+\left(\frac{3}{5}\right) y=\frac{12}{5}\)
cos α = –\(\frac{4}{5}\), sin α = \(\frac{3}{5}\) ⇒ tan α = –\(\frac{3}{4}\)
x cos α + y sin α = \(\frac{12}{5}\)

iii) \(\sqrt{3}\) x + y = 4
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
\(\sqrt{3}\) x + y = 4
y = –\(\sqrt{3}\) x + 4
అంతరఖండ రూపము :

iv) x + y + 2 = 0 [Mar. ’12]
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
x + y + 2 = 0
y = -x – 2
= (-1)x + (-2)
అంతరఖండ రూపము:
x + y + 2 = 0
-x – y = 2
\(\frac{x}{(-2)}+\frac{y}{(-2)}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
x + y + 2 = 0
-x – y = 2
\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) తో భాగించగా
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) x+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) y=\sqrt{2}\)
\(x \cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+y \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)=\sqrt{2}\)

v) x + y – 2 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము :
x + y – 2 = 0
y = -x + 2
అంతరఖండ రూపము:
x + y – 2 = 0
x + y = 2
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1
అభిలంబ రూపము :
x + y – 2 = 0
x + y = 2
\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) తో భాగించగా
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . x + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . y = \(\sqrt{2}\)
x cos \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) + y sin \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = \(\sqrt{2}\)

vi) \(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
వాలు – అంతరఖండ రూపము:
\(\sqrt{3}\) x + y + 10 = 0
y = –\(\sqrt{3}\) x – 10
అంతరఖండ రూపము :

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖ x tan α + y sec α = 1 (0 ≤ α ≤ \(\frac{\pi}{2}\)) నిరూపకాక్షాల మీద చేసే అంతర ఖండాల లబ్దము sin α అయితే C. కనుక్కోండి.
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము x tan α + y sec α = 1
\(\frac{x}{\cot \alpha}+\frac{y}{\cos \alpha}\) = 1
a = cot α, b = cos α
ab = sin α అని ఇవ్వబడింది.
cot α . cos α = sin α
\(\frac{\cos ^2 \alpha}{\sin \alpha}\) = sin α ⇒ cos² α = sin² α
tan² α = 1 = tan α = +1
α = 45°

ప్రశ్న 5.
ఒక చల (variable) సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే అంతరఖండాల విలోమాల మొత్తం స్థిరం అయితే ఆ రేఖ ఒక స్థిర బిందువు గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 6.
సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే అంతరఖండాలు a, b. మూల బిందువును స్థిరంగా ఉంచి అక్షాలకు ఒక దత్త కోణం గుండా తిప్పినప్పుడు ఆ రేఖ L నూతన అక్షాలతో చేసే అంతరఖండాలు p, q అయితే \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో తొలి వ్యవస్థలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) – 1 = 0
మూల బిందువు నుండి లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\) …………… (1)
రెండవ వ్యవస్థలో అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) – 1 = 0
మూల బిందువు నుండి లంబ దూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}}\) ……………… (2)

ప్రశ్న 7.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 సమీకరణాన్ని a > 0, b > 0 అయినప్పుడు అభిలంబ రూపంలోకి రూపాంతరం చేయండి. ఆ రేఖకు మూల బిందువు నుండి లంబదూరం p అయితే \(\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
bx + ay = ab
\(\sqrt{a^2+b^2}\) తో భాగించగా

III.

ప్రశ్న 1.
ఒక సరళరేఖ A(-2, 1) నుంచి పోతూ X – అక్షం ధన దిశలో 30° కోణం చేస్తుంది. ఆ సరళరేఖపై A నుంచి 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ మీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
(x₁ + r cos α, y₁ + r sin α)
α = 30° ⇒ cos α = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin α = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
(x₁, y₁) = (-2, 1) ⇒ x₁ = -2, y₁ = 1
r = 4 గా తీసుకుంటే P నిరూపకాలు
(-2 + 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1 + 4 . \(\frac{1}{2}\)) = (-2 + 2\(\sqrt{3}\), 3)
r = – 4 గా తీసుకుంటే P నిరూపకాలు
(-2 – 4 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1 – 4 . \(\frac{1}{2}\)) = (-2 – 2\(\sqrt{3}\), -1)

ప్రశ్న 2.
3x – 4y – 1 = 0 రేఖపై ఉంటూ, బిందువు (3, 2) నుంచి 5 యూనిట్లు దూరంలో ఉన్న బిందువులను కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
సౌష్ఠవ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-3}{\cos \alpha}=\frac{y-2}{\sin \alpha}\) = r
P నిరూపకాలు
(3 + r cos α, 2 + r sin α) = (3 + 5 cos α, 2 + 5 sin α)
P బిందువు 3x – 4y – 1 – 0 రేఖపై ఉంది.
3(3+ 5 cos α) – 4(2 + 5 sin α) − 1 = 0
9 + 15 cos α – 8 – 20 sin α – 1 = 0
15 cos α – 20 sin α = 0
15 cos α = + 20 sin α
tan α = + \(\frac{3}{4}\)
సందర్భం i) : cos α = +\(\frac{4}{5}\), sin α = \(\frac{3}{5}\)
సందర్భం ii) : cos α = –\(\frac{4}{5}\), sin α = –\(\frac{3}{5}\)

సందర్భం i) : P నిరూపకాలు
(3 + 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 + 5 . \(\frac{3}{5}\)) = 17, 5)
సందర్భం ii): P నిరూపకాలు
(3 – 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 – 5 . \(\frac{3}{5}\)) = (-1, -1)

ప్రశ్న 3.
X- అక్షం ధన దిశలో అపసవ్య దిశలో 7/3 కోణం చేసే ఒక సరళరేఖ Y- అక్షం మీద ధన అంతరఖండం చేస్తోంది. ఆ సరళరేఖ మూలబిందువు నుంచి 4 దూరంలో ఉంటే, ఆ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
α = 7/3, p = 4 అని ఇవ్వబడింది.
m = tan α = tan 60° = \(\sqrt{5}\)
వాలు – అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
y = \(\sqrt{3}\) x + c
\(\sqrt{3}\) x – y + c = 0
మూల బిందువు నుండి పోయే ధృవము = 4
\(\frac{|0-0+c|}{\sqrt{3+1}}\) = 4
|c| = 4 × 2 = 8
c = +8
c > 0
∴ c = 8
సరళరేఖ సమీకరణము \(\sqrt{3}\) x – y + 8 = 0

ప్రశ్న 4.
A (2, 1) బిందువు గుండాపోయేటట్లు గీసిన ఒక సరళరేఖ x + y = 9 రేఖను ఖండించే బిందువు A నుంచి 3\(\sqrt{2}\) దూరంలో ఉంటే, ఆ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
L – రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో α కోణం చేస్తుందను కుందాము.
ఈ రేఖమీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
= (x₁ + r cos α₁, y₁ + r sin α)
= (2 + 3\(\sqrt{2}\) cos α 1 + 3\(\sqrt{2}\) sin α)
ఈ బిందువు x + y = 9 రేఖ మీద ఉంది.
2 + 3\(\sqrt{2}\) cos α + 1 + 3\(\sqrt{2}\) sin α = 9
3\(\sqrt{2}\) (cos α + sin α) = 6
cos α + sin α = \(\frac{6}{3 \sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\).
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) . cos α + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) sin α = 1
cos α . cos 45° + sin α . sin 45° = 1
cos (α – 45°) = cos 0°
α – 45° = 0 ⇒ α = 45° = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 5.
రుణ వాలుగల ఒక సరళరేఖ L, బిందువు, (8, 2) గుండా పోతూ, ధన నిరూపకాక్షాలను P, Q ల వద్ద ఖండిస్తోంది. O మూల బిందువు, ఓ చలిస్తూ ఉంటే OP + OQ కు కనిష్ఠ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
సరళరేఖ వాలు – m అనుకొనుము.
సరళరేఖ సమీకరణం y – 2 = -m (x – 8)
mx + y – (2 + 8m) = 0
mx + y = 2 + 8m


∴ కనిష్ఠ విలువ = 18

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(e)

I.

Question 1.
క్రింది మాత్రికల అనుబంధ మాత్రికను విలోమ మాత్రికను కనుక్కోండి.
(i) A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
4 & 6
\end{array}\right]\) [Mar. ’02]
Solution:

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) [Mar. ’13]
Solution:

(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) [Mar. ’05]
Solution:

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) [Mar ’08]
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
a+i b & c+i d \\
-c+i d & a-i b
\end{array}\right]\), a² + b² + c² + d² = 1 అయితే, A విలోమం కనుక్కోండి.
Solution:
Det A = (a + ib) (a – ib) – (c + id) (-c + id)
= a² – i²b² – (-c² + i²d²)
= a² + b² + c² + d²
= 1 (∵ i² = -1)

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
0 & -1 & 4 \\
-2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే, (A’)^-1 కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & -2 \\
2 & 1 & -2 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right|\) అయితే adj A = 3A’ అని చూపి A^-1 కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
abc ≠ 0, అయితే \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{b} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{c}
\end{array}\right]\) కు విలోమం కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\), B = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{b}+c & c-a & \mathbf{b}-\mathbf{a} \\
\mathbf{c}-\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} \\
\mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{a}-c & \mathbf{a}+\mathbf{b}
\end{array}\right]\) అయితే ABA^-1 ఒక వికర్ణ మాత్రిక అని చూపండి.
Solution:
A^-1 ను కనుక్కొందాం

Question 2.
3A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
-2 & 2 & -1
\end{array}\right]\) అయితే A^-1 = A’ అని చూపండి. [Mar. ’14]
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A^-1 = A³ అని చూపండి.
Solution:

∴ A⁴ = I
det A = 3(1) – 3(-2) + 4(-2) = 1
∵ A ≠ 0 ⇒ A^-1 వ్యవస్థితం
∵ A⁴ = I
A^-1 చే గుణించగా
A⁴ (A^-1) = I (A^-1)
⇒ A³ (A A^-1) = A^-1
⇒ A³ (I) = A^-1
∴ A^-1 = A³

Question 4.
AB = I గానీ, BA = I గానీ అయితే A విలోమనీయ మాత్రిక అనీ B = A^-1 అని నిరూపించండి.
Solution:
AB = I
⇒ |AB| = |I| = |A| |B| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A ఒక సాధారణ మాత్రిక
మరియు BA = I
⇒ |BA| = |I|
⇒ |B| |A| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A ఒక సాధారణ మాత్రిక
AB = I లేదా BA = I అయితే A విలోమనీయం
∴ A^-1 వ్యవస్థితం
AB = I
⇒ A^-1AB = A^-1I
⇒ IB = A^-1
⇒ B = A^-1
∴ B = A^-1

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(a)

I.

Question 1.
ఈ క్రిందివాటిని ఒకే మాత్రికగా వ్రాయండి.
(i) [2 1 3] + [0 0 0]
(ii) \(\left[\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 9 & 0 \\
1 & 8 & -2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 2 \\
7 & 1 & 4
\end{array}\right]\)
(iv) \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
1 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -5
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{array}\right]\), A + B = X అయితే x₁, x₂, x₃, x₄ ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
A + B = X కనుక

∴ x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 7, x₄ = -3

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5 \\
0 & -2 & 2 \\
1 & 2 & -3
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A + B + C ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), X = A + B అయితే, మాత్రిక X ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
\(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\) అయితే x, y, z, a విలువలను కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:
\(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\)
∴ x – 3 = 5
⇒ x = 3 + 5 = 8
2y – 8 = 2
⇒ 2y = 8 + 2 = 10
⇒ y = 5
z + 2 = -2
⇒ z = -2 – 2 = -4
a – 4 = 6
⇒ a = 4 + 6 = 10

II.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే x, y, z, a ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
\(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
∴ x – 1 = 1
⇒ x = 1 + 1 = 2
5 – y = 3
⇒ y = 5 – 3 = 2
z – 1 = 4
⇒ z = 4 + 1 = 5
a – 5 = 0
⇒ a = 5

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -5 \\
2 & -1 & 5 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) అయితే జాడ A కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:
జాడ A = ప్రధాన వికర్ణ మూలకాల మొత్తం
= 1 – 1 + 1
= 1

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & -6
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]\) అయితే B – A, 4A – 5B లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\) అయితే 3B – 2A ను కనుక్కోండి.
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(a)

అభ్యాసం – 10 (ఎ)

1.  కింది ప్రమేయాలకు ఎదురుగా సూచించిన x, Δx విలువలకు Δy, yలను కనుక్కోండి.

i) y = x² + 3x + 6, x = 10, Δx = 0.01 (T.S Mar. ’15, ’14, ’11, ’05)
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(10.01) – f(10)
= [(10.01)² + 3(10.01) + 6] – [10² + 3(10) + 6]
= 100.2001 + 30.03 + 6 – 100 – 30 – 6
= 0.2001 + 0.03
= 0.2301
y = x² + 3x + 6
dy = (2x + 3) dx
= (2.10 + 3) (0.01) = 0.23

ii) y = e^x + x, x = 5, Δx = 0.02
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(5 + 0.02) – f(5)
= f(5.02) – f(5)
= e^5.02 – e⁵ – 5
= e^5.02 – e⁵ + 0.02
= e⁵ (e^0.02 – 1) + 0.02
dy = f'(x) Δx = (e^x + 1) Δx
= (e⁵ + 1)(0.02)

iii) y = 5x² + 6x + 6, x = 2, Δx = 0.001
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= f(2 + 0.001) – f(2)
= f(2.001) – f(2)
= 5(2.001)² + 6(2.001) + 6(5(2)² + 6(2) + 6)
= 20.0200 + 12.0060 + 6 – 20 – 12 – 6
= 0.026005
dy = f'(x) Δx = (10x + 6) Δx
= (26) (0.001) = 0.0260.

iv) y = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8, Δx = 0.02
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1000
f(x + Δx) = \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) = \(\frac{1}{10+0.02}\) = \(\frac{1}{10.02}\) = 0.0998
Δy = f(x + Δx) – f(x)
Δy = f(x + Δx – f(x))
= \(\frac{1}{x+\Delta x+2}\) – \(\frac{1}{x+2}\) = \(\frac{1}{10.02}\) – \(\frac{1}{10}\)
= 0.0998 003992 – 0.1000
= -0.0001996
dy = f'(x)Δx = \(\frac{-1}{(x+2)^2}\)Δx
= \(\frac{-1}{100}\)(0.002) = -0.0002

v) y = cos x, x = 60°, Δx = 1°
సాధన:
Δy = f(x + Δx) – f(x)
= cos (x + Δx) – cos x
= cos (60° + 1°) – cos 60°
= cos 61° – cos 60°
= 0.4848 – \(\frac{1}{2}\)
= 0.4848 – 0.5
= -0.0152
dy = f'(x) Δx
= -sin x Δx
= -sin 60°(1°) = \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.0174)
= -(0.8660) (0.0174) = – 0.0151.

II.

1. కింది వాటికి ఉజ్జాయింపు విలువలు కనుక్కోండి.

i) \(\sqrt{82}\)
సాధన:
82 = 81 + 1 = 81(1 + \(\frac{1}{81}\))
∴ x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x). Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) . Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{81}}\) . 1
= \(\frac{1}{18}\) = 0.0555
Δy = f(x + δx) – f(x) ≈ dy
f(x + δx) f(x) ≈ f(x) + dy
= \(\sqrt{81}\) + 0.0555
= 9 + 0.0555
i.e., \(\sqrt{82}\) = 9.0555 = 9.056

ii)
\(\sqrt[3]{65}\)
సాధన:
x = 64, Δx = 1, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)

iii)
\(\sqrt{25.001}\)
సాధన:
x = 25
Δx = 0.001
f(x) = \(\sqrt{x}\)
dy = f'(x) Δx
= \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)Δx = \(\frac{1}{2 \sqrt{25}}\)(0.001) = \(\frac{0.001}{10}\)
= 0.0001

f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt{25}\) + 0.0001
\(\sqrt{25}\) 5.0001

iv) \(\sqrt[3]{7.8}\)
సాధన:
x = 8, Δx = -0.2, f(x) = \(\sqrt[3]{x}\)
dy = f'(x). Δx
= \(\frac{1}{3} x^{-2 / 3}\) . Δx = \(\frac{1}{3 x^{2 / 3}}\) . Δx
dy = \(\frac{1}{3(8)^{2 / 3}}\) (-0.2)
= –\(\frac{0.2}{3 \times 4}\) = –\(\frac{0.2}{12}\) = -0.0166
f(x + δx) – (x) \(\simeq\) dy
f(x + δx) \(\simeq\) f(x) + dy
= \(\sqrt[3]{8}\) – 0.0166
= 2 – 0.01 66
∴ \(\sqrt[3]{7.8}\) = 1.9834

v) sin (62°)
సాధన:
x = 60°, Δx = 2°, f(x) = sin x
dy = f(x) Δx
= cosx Δx
= cos 60° Δx
= \(\frac{1}{2}\left(2^{\circ}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\)(0.0174) = 0.0174
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) sin 60° + 0.01 74
\(\cong\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 0.0174
\(\cong\) 0.8660 + 0.01 74
\(\cong\) 0.8834

vi) cos (60° 5′)
సాధన:
x = 60°, Δx = 5′
= \(\frac{5}{60}\) × \(\frac{\pi}{180}\) = \(\frac{\pi}{2160}\)
= 0.00143
f(x) = cos x
dy = f'(x)Δx = -sin x Δx
= -sin 60° (0.001453)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)(0.001453)
= – 0.8660 (0.001453)
= -0.001258
f(x + Δx) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) cos x + dy
\(\cong\) cos 60° + 0.001258
\(\cong\) 0.5 – 0.001258
\(\cong\) 0.4987.

vii) \(\sqrt[4]{17}\)
సాధన:
x = 16, Δx = 1
f(x) = \(\sqrt[4]{x}\) = \(x^{\frac{1}{4}}\)

f(x + Δx) f(x) \(\cong\) f(x) + dy
\(\cong\) \(\sqrt[4]{x}\) + 0.0312
\(\cong\) 2 + 0.0312
\(\cong\) 2.0312

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్ర భుజంలో పెరుగుదల 4% అయితే ఆ చతురస్రపు వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రం భుజం పొడవు x, వైశాల్యం A = x² అనుకుంటే
ఇచ్చినది \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 4
A = x²
ΔA = 2x Δx
\(\frac{\Delta A}{A}\) × 100 = \(\frac{2 x \Delta x}{x^2}\) × 100
= \(\frac{2 \Delta x}{x}\) × 100
= 2(4)
= 8.

ప్రశ్న 3.
ఒక గోళ వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ.గా కొలిచారు. తరవాత ఈ వ్యాసార్థం కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉన్నట్లుగా గమనించారు. గోళ ఉపరితల వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
r = 14, Δr = 0.02
s = 4πr²
Δs = 4π 2r Δr
Δs = 8π (14) (0.02)
= 2.24π
= 2.24 (3.14)
= 7.0336.

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళ వ్యాసం 40 సెం.మీ.గా కొలిచారు. దీనిని కొలవడంలో 0.02 సెం.మీ. దోషం ఉంటే గోళపు ఘనపరిమాణం, ఉపరితల వైశాల్యాలలో ఉజ్జాయింపు దోషాలను కనుక్కోండి. సాధన. గోళపు ఘనపరిమాణం అనుకొనుము.
సాధన:
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం v అనుకుంటే
v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\) = \(\frac{4 \pi}{3}\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^3\)
= \(\frac{4 \pi}{3} \frac{d^3}{8}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{d}^3}{6}\)
Δv = \(\frac{\pi}{6}\)3d² Δd
= \(\frac{\pi}{2}\)(40)²(0.02)
= π(1600)(0.01)
= 16π.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యం 5 అనుకుంటే
s = \(4 \pi\left[\frac{\mathrm{d}}{2}\right]^2\)
s = \(4 \pi \frac{d^2}{4}\)
s = πd²
Δs = π2d Δd
= π2(40) (0.02)
= 1.6π

ప్రశ్న 5.
గురుత్వ స్థిరాంకం g, లోలకం పొడవు l, డోలనావర్తన కాలం t ల మధ్య సంబంధం t = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\). lను గణించడంలో దోష శాతం 1 అయితే tలో ఉజ్జాయింపు దోష శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
T = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
log t = log (2π) + \(\frac{1}{2}\){(log (l) – log g)

∴ g లో దోషము = -0.02% (లేదా)
g లో దోష శాతము = -0.02

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(e)

అభ్యాసం – 3 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
(1, \(\sqrt{3}\) ) (2, 0), (0, 0) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
O(0, 0), A (1, \(\sqrt{3}\)), B (2, 0) లు ∆ ABC శీర్షాలు

ప్రశ్న 2.
x + y + 10 = 0, x – y − 2 = 0, 2x + y +7 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 …………….. (1)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0 ………………… (2)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0 ……………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా B నిరూపకాలు (-4, -6)
(1), (3) లను సాధించగా A నిరూపకాలు (17, 27)
BC సమీకరణము x – y – 2 = 0
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
AD సమీకరణము x + y + k = 0
AD రేఖ A (17, −27) గుండా పోతుంది.
17 – 27 + k = 0 ⇒ k = 10
∴ AB సమీకరణము x + y + 10 = 0 ……………. (1)
AC సమీకరణము 2x + y – 7 = 0
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
DE సమీకరణము x – 2y = k
BE సమీకరణము B (-4, -6)
-4 + 12k = k ⇒ k = 8
BE సమీకరణము x – 2y = 8

3y = -18 ⇒ y = -6
x + y + 10 = 0 ⇒ x – 6 + 10 = 0
x = 6 – 10 = -4
∆ ABC యొక్క లంబకేంద్రం (-4, – 6)

ప్రశ్న 3.
4x – 7y + 10 = 0, x + y = 5, 7x + 4y = 15 భుజాలుగా గల త్రిభుజ లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము 4x – 7y + 10 = 0 ……………. (1)
BC సమీకరణము x + y = 5 ………………… (2)
AC సమీకరణము 7x + 4y – 15 = 0 ………………. (3)
AB, AC లు లంబంగా ఉన్నాయి. ∠A = 90°
∴ ABC లంబకోణ త్రిభుజం
లంబకోణ శీర్షం A లంబకేంద్రం
(1), (3) లను సాధించగా

లంబకేంద్రం O (1, 2)

ప్రశ్న 4.
x = 1, y = 1, x + y = 1 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1

AB, BC లు లంబాలు
∴ ABC ఒక లంకోణ త్రిభుజము ∠B = 90°
AC మధ్య బిందువు, AC పరికేంద్రము
A నిరూపకాలు (1, 0), C నిరూపకాలు (0, 1).
పరికేంద్రము \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 5.
x = 1, y = 1, x + y = 1 లు భుజాలుగా గల త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము X = 1
BC సమీకరణము y = 1
AC సమీకరణము x + y = 1
సాధించగా A(1, 0), B (1, 1), C (0, 1) లు శీర్షాలు

ప్రశ్న 6.
(1, 0),(–1, 2), (3, 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 0), B (-1, 2), C (3, 2) లు ∆ ABC త్రిభుజ శీర్షాలు

S (x, y) ∆ ABC యొక్క పరికేంద్రం
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x – 1)² + y² = (x + 1)² + (y – 2)²
x² – 2x + 1 + y² = x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4
4x – 4y = -4 ⇒ x – y = -1 ………………. (1)
SB SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3) + (y – 2)²
x² + 2x + 1 = x² – 6x + 9
8x = 8 ⇒ x = 1
(1) నుండి 1 – y = -1
y = 2
∴ పరికేంద్రము (1, 2)

ప్రశ్న 7.
kx + y + 9 = 0, 3x – y = 4 సరళరేఖల మధ్యకోణం 45° అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
kx + y + 9 = 0
3x – y + 4 = 0
cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{|3 k-1|}{\sqrt{k^2+1} \sqrt{9+1}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|3 k-1|}{\sqrt{10} \sqrt{k^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
5k² + 5 = (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1
4k² – 6k – 4 = 0
2k² – 3k – 2 = 0
(k – 2) (2k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1/2

ప్రశ్న 8.
మూల బిందువు గుండాను 2x + y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 సరళ రేఖల ఖండన బిందువు గుండాను పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణము L₁ = 2x – y + 5 = 0
AC సమీకరణము L₂ = x + y + 1 = 0
A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + KL₂ = 0
(2x – y + 5) +k (x + y + 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 0 (0, 0) ల గుండా పోతుంది.
5 + k = 0 ⇒ k = -5
(1) నుండి ప్రతిక్షేపించగా OA సమీకరణం
(2x + y + 5) − 5(x + y + 1) = 0
2x – y + 5 – 5x – 5y – 5 = 0
-3x – 6y = 0 ⇒ x + 2y = 0

ప్రశ్న 9.
3x + 4y,= 7 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ, x – 2y – 3 = x + 3y – 6 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = x – 2y – 3 = 0 మరియు
L₂ = x + 3y – 6 = 0
ఖండన బిందువు గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(x – 2y – 3) + k(x + 3y – 6) = 0
(1 + k)x + (-2 + 3k)y + (-3 – 6k) = 0
ఈ రేఖ 3x + 4y = 7 కు సమాంతరం.
a₁b₂ = a₂b₁
3(−2 + 3k) = (1 + k) 4
– 6 + 9k = 4 + 4k
⇒ 5k = 10 ⇒ k = 2 +
కావలసిన రేఖ సమీకరణం 3x + 4y – 15 = 0

ప్రశ్న 10.
2x + 3y = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ x + 3y – 1 = 0, x − 2y + 4 = 0 రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + 3y – 1 = 0
AC సమీకరణము X -2y + 4 = 0

A గుండా పోయే ఏదేని రేఖ సమీకరణము
(x + 3y – 1) + k(x – 2y + 4) = 0
(1 + k)x + (3 – 2k)y + (4k – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ రేఖ 2x + 3y = 0 కు లంబము
a₁a₂ + b₁b₂ = 0
2(1 + k) + 3(3 – 2k) = 0
2 + 2k + 9 – 6k = 0
4k = 11 ⇒ k = \(\frac{11}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే AD సమీకరణము
\(\left(1+\frac{11}{4}\right)\) x + \(\left(3-\frac{11}{2}\right)\) y + (11 – 1) = 0
\(\frac{15}{4}\) x – \(\frac{5}{2}\) y + 10 = 0
15x – 10y + 40 = 0
3x – 2y + 8 = 0

ప్రశ్న 11.
నిరూపకాక్షాలతో శూన్యేతర సమాన అంతర ఖండాలు చేస్తూ, 2x – 5y + 1 = 0, x – 3y – 4 = 0 సరళరేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
L₁ = 2x – 5y + 1 = 0
L₂ = x – 3y – 4 = 0
ఈ రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోతే
ఏదేని రేఖ సమీకరణము
L₁ + kL₂ = 0
(2x – 5y + 1) + k(x – 3y – 4) = 0
(2 + k)x – (5+ 3k)y + (1 – 4k) = 0 …………….. (1)
అంతర ఖండాలు సమానం
2 + k – 5 – 3k
4k = -7
⇒ k = -7/4
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా కావలసిన రేఖ సమీకరణము
\(\left(2-\frac{7}{4}\right)\) x – \(\left(5-\frac{21}{4}\right)\) y + (1 + 7) = 0
\(\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)y + 8 = 0
⇒ x + y + 32 = 0

ప్రశ్న 12.
3x + 2y + 4 = 0, 2x + 5y − 1 = 0, రేఖల ఖండన బిందువు నుంచి 7x + 24y – 15 0 సరళరేఖకు గల లంబదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 2y + 4 = 0
2x + 5y – 1 = 0

P నిరూపకాలు (-2, 1)
రేఖ సమీకరణము 7x + 24y – 15 = 0
లంబ దూరము
= \(\left|\frac{-14+24-15}{\sqrt{49+576}}\right|=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 13.
3x + 4y – 8 = 0 సరళరేఖల నుంచి (2, 3), (-4, a) బిందువుల దూరాలు సమానమయితే ‘a’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము 3x + 4y – 8 – 0
P (2, 3), Q (-4, a) లు దత్త బిందువులు.
PP’, QQ’ లు P, ల నుండి లంబం

PP’ = QQ’
\(\frac{|3.2+4.3-8|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|3 \cdot(-4)+4 a-8|}{\sqrt{9+16}}\)
10 = |4a – 20|
4a – 20 = ±10 ⇒ 4a = 20 ± 10 = 30 లేదా 10
a = \(\frac{30}{4}\) లేదా \(\frac{10}{4}\)
i.e., a = \(\frac{15}{2}\) లేదా 5/2

ప్రశ్న 14.
x + y = 0, 2x + y + 5 = 0, x – y = 2 భుజాలుగా గల త్రిభుజ పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y = 0 ………………. (1)
BC సమీకరణము 2x + y + 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణము x – y = 2 ……………. (3)

(1), (2) లను సాధిస్తే, B నిరూపకాలు (-5, 5)
(2), (3) లను సాధిస్తే, A నిరూపకాలు (-1,-3)
(1), (3) సాధిస్తే A నిరూపకాలు (1, -1)
S(x, y) పరికేంద్రం అనుకుందాం.
SA = SB = SC
SA = SB ⇒ SA² = SB²
(x + 5)² + (y − 5)² = (x + 1)² + (y + 3)²
x² + 10x + 25 + y² – 10y + 25
= x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
8x – 16y = -40
x – 2y = -5 ………………. (1)
SB = SC ⇒ SB² = SC²
(x + 1)² + (y + 3)² = (x – 1)² + (y + 1)²
x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9
x² – 2x + 1 + y² + 2y + 1
4x + 4y = -8
x + y = -2 …………… (2)
(2) – (1) 3y = 3 ⇒ y = 1
x + 1 = -2 ⇒ x = -3
పరికేంద్ము S(-3, 1)

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1, \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 రేఖల మధ్య కోణం θ అయితే a > b అయినప్పుడు sin θ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab
AC సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = 1 ⇒ bx + ay = ab

II.

ప్రశ్న 1.
(−10, 4) బిందువు గుండా పోతూ x – 2y = 10 రేఖతో θ కోణాన్ని tan θ = 2 అయ్యేటట్లు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి:
సాధన:
QR సమీకరణము x – 2y = 10

PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ రేఖ P(-10, 4) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – 4 = m(x + 10) У
= mx + 10m …………….. (1)
i.e., mxy + (10m + 4) = 0
tan θ = 2 ⇒ cos θ = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{|m+2|}{\sqrt{1+4} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (m + 2)²
= m² + 4m + 4
4m + 3 = 0
m = –\(\frac{3}{4}\)

సందర్భం (i) : m² = 0
⇒ ఒక మూలము ∞
PR ఊర్ధ్వ రేఖ
∴ PR సమీకరణము x + 10 = 0

సందర్భం (ii) : m = –\(\frac{3}{4}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
PQ సమీకరణము –\(\frac{3}{4}\) x – y + \(\left(-\frac{30}{4}+4\right)\) = 0
\(\frac{-3 x-4 y-14}{4}\) = 0
⇒ 3x + 4y + 14 = 0

ప్రశ్న 2.
(1, 2) బిందువు గుండా పోతూ \(\sqrt{3}\) x + y + 2 = సరళరేఖతో 60° కోణాన్ని చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
QR సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x + y + 2 = 0

PQ, PR లు P(1, 2) గుండా పోతూ QR తో 60° కోణం చేస్తున్నాయి.
PQ వాలు m అనుకుందాం.
PQ వాలు у – 2 = m(x − 1)
= mx – m
mx – y + (2 – m) = 0 ………………. (1)
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
cos 60° = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{\sqrt{3+1} \sqrt{m^2+1}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|\sqrt{3} m-1|}{2 \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
m² + 1 = (\(\sqrt{3}\)m – 1)²
= 3m² + 1 – 2\(\sqrt{3}\) m
2m² – 2\(\sqrt{3}\) m = 0
2m(m – \(\sqrt{3}\)) = 0
m = 0 లేదా \(\sqrt{3}\)
సందర్భం (i) : m = 0
PQ సమీకరణము -y + 2 = 0 లేదా y – 2 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\sqrt{3}\)
PQ సమీకరణము \(\sqrt{3}\)x – y + (2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం భూమి x + y – 2 = 0, ఎదుటి శీర్షం (2, −1) అయితే మిగిలిన భుజాల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABC సమబాహు త్రిభుజము
∴ ∠B = ∠C = 60°

BC సమీకరణము x + y – 2 = 0
AB రేఖ A(2, -1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు = m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y + 1 = m(x – 2)
= mx – 2m
mx – y – (2m + 1) = 0 ………………. (1)
cos 60° = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{|m-1|}{\sqrt{1+1} \sqrt{m^2+1}}\)
వర్గీకరించి, అడ్డగుణకారము చేయగా,
m² + 1 = 2 (m − 1)² = 2 (m² – 2m + 1)
= 2m² – 4m + 2
m² – 4m + 1 = 0
m = \(\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}\) = \(\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\) = 2 ± \(\sqrt{3}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
AB సమీకరణము y + 1 = (2 + \(\sqrt{3}\)) (x – 2)
AC సమీకరణము y + 1 = (2\(\sqrt{3}\)) (x – 2)

ప్రశ్న 4.
కింద సూచించిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం లంబకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’15, ’12, ’07, ’04]
i) (-2, -1), (6, -1), (2, 5)
ii) (5,-2), (-1, 2), (1, 4)
సాధన:
i) A(-2, -1), B(6, -1), C(2, 5) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు

AD కి BC లు లంబంగా ఉంది.
AD వాలు = \(\frac{2}{3}\)
AD సమీకరణము
y + 1 = \(\frac{2}{3}\) (x + 2)
2x – 3y + 1 = 0 ………………. (1)
AC వాలు = \(\frac{5+1}{2+2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
BE కి AC లు లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{2}{3}\) (x – 6)
2x + 3y – 9 = 0 ………………… (2)

ii) (5,-2), (1, 2), (1, 4)
A(5,-2), B(-1, 2), C(1, 4) ∆ ABC లు త్రిభుజ శీర్షాలు
BC వాలు = \(\frac{2-4}{-1-1}=\frac{-2}{-2}\) = 1
AD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.

AD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -1
AD సమీకరణము y + 2 = -(x – 5)
= -x + 5
x + y – 3 = 0 ………………. (1)
BE రేఖ AC’కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{2}{3}\)
BE సమీకరణము y – 2 = 1 (x + 1)
3y – 6 = 2x + 2
2x – 3y + 8 = 0 ………………… (2)
(1), (2) ల నుండి అడ్డగుణకార సూత్రం ప్రకారం

ప్రశ్న 5.
కింద ఇచ్చిన శీర్షాలు గల త్రిభుజం పరికేంద్రం కనుక్కోండి.
i) (-2, 3) (2, -1), (4, 0) [Mar. ’11]
ii) (1, 3), (0, -2), (-3, 1) [May ’06]
సాధన:
i) A(-2, 3), B(2, −1), C(4, 0) ∆ ABC లు శీర్షాలు
BC మధ్య బిందువు D

D నిరూపకాలు \(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+0}{2}\right)\)
= \(\left(3, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{-1-0}{2-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\)
SD రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
SD వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = -2
SD సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = -2(x – 3)
2y + 1 = -4(x – 3)
= – 4x + 12
4x + 2y – 11 = 0 ………………. (1)
AC కి మధ్య బిందువు E
E నిరూపకాలు \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right)=\left(1, \frac{3}{2}\right)\)
AC వాలు = \(\frac{3-0}{-2-4}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
SE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
SE వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = 2
SE సమీకరణము y – \(\frac{3}{2}\) = 2(x – 1)
2y – 3 = 4(x – 1)
= 4x – 4
4x – 2y – 1 = 0 ……………….. (2)
4x + 2y – 11 = 0 …………….. (1)
(1), (2) ల నుండి ⇒ 8x – 12 = 0
8x = 12
x = \(\frac{12}{8}\) = \(\frac{3}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2y = 11 – 4x = 11 – 4 . \(\frac{3}{2}\) = 11 – 6 = 5
y = \(\frac{5}{2}\)
∴ S నిరూపకాలు \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

ii) (1, 3), (0, −2) మరియు (−3, 1)

లో ∆ ABC,
A = (1, 3), B = (0,-2), C = (-3, 1)
D మధ్య బిందువు BC
D = \(\left(\frac{0-3}{2}, \frac{-2+1}{2}\right)=\left(\frac{-3}{2}, \frac{-1}{2}\right)\)
BC వాలు = \(\frac{1+2}{-3-0}\) = -1
SD రేఖ BC కి లంబం.
SD వాలు = 1
SD సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = 1(x + \(\frac{3}{2}\))
⇒ 2y + 1 = 2x + 3
⇒2x – 2y + 2 = 0
⇒x – y + 1 = 0
CA కి మధ్య బిందువు E
⇒ E = \(\left(\frac{-3+1}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (-1, 2)
CA వాలు = \(\frac{1-3}{-3-1}=\frac{1}{2}\)
SE రేఖ CA కి లంబం.
SE వాలు = -2
SE సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 1)
⇒ y – 2 = 2x – 2
⇒ 2x + y = 0 ……………… (2)
(1), (2) లను సాధించగా

ప్రశ్న 6.
P(2, 2), Q (6, – 1), R(7, 3) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజానిక \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగతం అయితే (1, -1) గుండా పోతూ \(\overleftrightarrow{\mathrm{P S}}\) మధ్యగత రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
P(2, 2), Q(6, -1), R(7, 3) లు ∆ABC శీర్షాలు
S మధ్య బిందువు QR
S నిరూపకాలు \(\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)=\left(\frac{13}{2}, 1\right)\)
PS వాలు = \(\frac{1-2}{\frac{13}{2}-2}=-\frac{1}{\left(\frac{9}{2}\right)}=-\frac{2}{9}\)
AB కి సమాంతరంగా మరియు A(1, -1) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము y + 1 = – \(\frac{2}{9}\) (x – 1)
9y + 9 = -2x + 2
2x + 9y + 7 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x + 2y = 0, 4x + 3y – 5 = 0, 3x + y = 0 రేఖలతో ఏర్పడిన త్రిభుజానికి లంబకేంద్రం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB సమీకరణం x + 2y = 0 ……………… (1)
BC సమీకరణం 4x + 3y – 5 = 0 ……………… (2)
AC సమీకరణం 3x + y = 0 ………………. (3)
(1), (2) లను సాధిస్తే A నిరూపకాలు (0,0)

4x – 8 = 0 ⇒ 4x = 8, x = 2
B నిరూపకాలు (2, -1)
BC సమీకరణము 4x + 3y – 5 = 0
AB రేఖ BC కి లంబంగా ఉంది.
ఇది (0, 0) గుండా పోతుంది.
AB సమీకరణము 3x – 4y = 0 ……………… (1)
BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
∴ BE సమీకరణము x – 3y = k
BE రేఖ B (2, -1) గుండా పోతుంది.
2 + 3 = k ⇒ k = 5
BE సమీకరణము x – 3y – 5 = 0 ……………….. (2)

x = -4, y = -3
∴ లంబకేంద్రం 0 (- 4, – 3)

ప్రశ్న 2.
x + y + 2 = 0, 5x-y-2= 0, x – 2y + 5 = 0 భుజాలుగా గల త్రిభుజానికి పరికేంద్రం కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
దత్త రేఖలు x + y + 2 = 0 ……………… (1)
5x – y – 2 = 0 ……………. (2)
x – 2y + 5 = 0 …………….. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు A = (0, -2)
(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (1, 3)
(1), (3) ల ఖండన బిందువు C = (-3, 1)
S = (α, β) ∆ ABC త్రిభుజానికి పరికేంద్రం.
SA = SB = SC
⇒ SA² = SB² = SC²
⇒ (α – 0)² + (β + 2)² = (α – 1)² + (β – 3)²
= (α + 3)² + (β – 1)²

(a) = (b) ⇒ α² + β² + 4β + 4 = α² + β² – 2α – 6β + 10
⇒ 2α + 10β – 6 = 0
⇒ α + 5β – 3 = 0 …………….. (4)
(a) = (c) α² + β² + 4β + 4 = α² + β² + 6α – 2β + 10
⇒ 6α – 6β + 6 = 0
⇒ α – β + 1 = 0 ……………… (5)
(4), (5) ల నుండి

ప్రశ్న 3.
(1, 1) గుండాపోతూ, (-2, 3) నుంచి 3 యూనిట్ల దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
AB వాలు ‘m’ అనుకుందాం.
AB సమీకరణము y – 1 = m(x – 1)
mx – m
mx – y + (1 – m) = 0. ……………… (1)
(−2, 3) నుండి AB కి లంబదూరము = 3
\(\frac{|-2 m-3+1-m|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 3
వర్గీకరించి అడ్డగుణకారము చేయగా
(3m + 2)² = 9(m² + 1)
9m² + 4 + 12m = 9m² + 9
12m = 5 ⇒ m = \(\frac{5}{12}\)
m² గుణకం = 0 ⇒ m = ∞

i) m = ∞
AB ఊర్ధ్వ రేఖ
AB సమీకరణము x = a
AB రేఖ A(1, 1) గుండా పోతుంది.
∴ a = 1
AB సమీకరణము x = 1

ii) m = \(\frac{5}{12}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
AB సమీకరణము \(\frac{5}{12}\) x – y + [1 – \(\frac{5}{12}\)] = 0
\(\frac{5}{12}\) x – y + \(\frac{7}{12}\) = 0
5x – 12y + 7 = 0

ప్రశ్న 4.
x sec α + y cosec α = a, x cos α y sin α = a cos 2α మూలబిందువు నుంచి లంబదూరాలు p, q అయితే 4p² + q² = a² అని చూపండి. [May ’13]
సాధన:
AB సమీకరణము x sec α + y cosec α = a,
\(\frac{x}{\cos \alpha}+\frac{y}{\sin \alpha}\) = a
x sin α + y cos α = a sin α cos α
x sin α + y cos α – a sin α cos α = 0
p = 0 ల నుండి AB మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-a \sin \alpha \cos \alpha|}{\sqrt{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}}\)
= a sin α. cos α = a . \(\frac{\sin 2 \alpha}{2}\)
2p = a sin 2α ………………. (1)
CD సమీకరణము x cos α – y sin α = a cos 2α
x cos α – y sin α – a cos 2α = 0
q = 0 నుండి CD మీదకు లంబదూరము
\(\frac{|0+0-a \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}}\) = a cos 2α ……………… (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించగా
4p² + q² = a² sin² 2α + a² cos² 2α
= a² (sin2 2α + cos2 2α)
= a².1
= a²

ప్రశ్న 5.
4x + 5y = 0, 7x + 2y = 0 లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఆసన్న భుజాలు 11x + 7y = 9 దాని ఒక వికర్ణం అయితే మిగిలిన రెండు భుజాలు, మరో వికర్ణం సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\overleftrightarrow{O A}\), \(\overleftrightarrow{O B}\) లు సమాంతర చతుర్భుజ ఆసన్న భుజాలు
OA, OB ల సమీకరణాలు
4x + 5y = 0 ……………….. (1)
7x + 2y = 0 ………………. (2)
\(\overleftrightarrow{A B}\) 11x + 7y – 9 = 0 ………………… (3)

(1), (2) లను సాధించగా O = (0, 0)
(1), (3) లను సాధించగా

AB మధ్యబిందువు P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). OP వాలు 1.
x = y
BC రేఖ BA కు సమాంతరము
BC సమీకరణము 4x + 5y = k
BC రేఖ B\(\left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
\(4\left(-\frac{2}{5}+51 \frac{7}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
BC సమీకరణము 4x + 5y = 9
AC రేఖ OB సమాంతరము
AC సమీకరణము 7x + 2y = k
AC రేఖ A\(\left(\frac{5}{3}-\frac{4}{3}\right)\) గుండా పోతుంది.
7\(\left(\frac{5}{3}\right)\) + 2\(\left(-\frac{4}{3}\right)\) = k
k = \(\frac{35-8}{3}=\frac{27}{3}\) = 9
AC సమీకరణము 7x + 2y = 9.

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన భుజాలు గల త్రిభుజం అంతరకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
i) x + 1 = 0, 3x – 4y = 5, 5x + 12y = 27
ii) x + y – 7 = 0, x – y + 1 = 0, x – 3y + 5 = 0
సాధన:
i)

∆ ABC
AC సమీకరణము
x + 1 = 0 …………….. (1)
AB సమీకరణము
3x – 4y – 5 = 0 …………….. (2)
BC సమీకరణము
5x + 12y – 27 = 0 ………………. (3)
(1) నుండి x = -1
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా ⇒ 3 (-1) – 4y – 5 = 0
4y = – 8
y = -2
(1), (2) ల ఖండన బిందువు
A = (-1,-2)
(2), (3) లను సాధించగా

(2), (3) ల ఖండన బిందువు B = (3, 1)
(1) నుండి x = -1
(3) లో ప్రతిక్షేపించగా
-5 + 12y – 27 = 0
12y = 32
y = \(\frac{32}{12}\) = \(\frac{8}{3}\)
(3), (1) ల ఖండన బిందువు

∴ అంతర కేంద్రము = \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ii)

∆ ABC,
AC సమీకరణము x + y – 7 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము’ x – y + 1 = 0 ……………….. (2)
BC సమీకరణము x – 3y + 5 = 0 ……………… (3)
(1), (2), (3) లను సాధిస్తే
శీర్షాలు A (3, 4) B (1, 2), C (4, 3)

ప్రశ్న 7.
ax + by + c = 0, lx + my + n = 0, px + qy + r = 0 రేఖలతో ఒక త్రిభుజం ఏర్పడింది. అది సమకోణ త్రిభుజం కాకపోతే,
\(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\) -సమీకరణం సూచించే సరళరేఖ ఆ త్రిభుజం లంబకేంద్రం గుండా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త త్రిభుజము

ax + by + c = 0 ………………. (1)
lx + my + n = 0 ………………. (2)
px + qy + r = 0 ………………. (3)
(1), (2) ల ఖండన బిందువు గుండా పోతే రేఖ సమీకరణం.
ax + by + c + k (lx + my + n) = 0
(a + kl) x + (b + km)y + (c + nk) = 0
ఇది (3) కి లంబం కనుక
p(a + kl) + q(b + km) = 0
⇒ k = –\(\frac{\mathrm{ap}+\mathrm{bq}}{l p+\mathrm{m} q}\)
(4) లో ప్రతిక్షేపించగా
(ap + bq + c) – \(\left(\frac{a p+b q}{l p+m q}\right)\) (lx + my + n) = 0
∴ \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+n}{l p+m q}\)
కావలసిన రేఖ AD సమీకరణము
ఈ ఉన్నతి A గుండాపోతుంది.
∴ ఈ రేఖ. \(\frac{a x+b y+c}{a p+b q}=\frac{l x+m y+y}{l p+m q}\)
త్రిభుజ లంబకేంద్రం గుండాపోతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక త్రిభుజం భుజాలు \(\overleftrightarrow{B C}, \overleftrightarrow{C A}, \overleftrightarrow{A B}\) కార్టీసియన్ సమీకరణాలు క్రమంగా u_r = a_rx + b_ry + c_r = 0, r = 1, 2, 3. A గుండాపోతూ \(\overleftrightarrow{B C}\) ని సమద్విఖండన చేసే సరళరేఖ సమీకరణం \(\frac{u_3}{a_3 b_1-a_1 b_3}=\frac{u_2}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
u₂ = 0, u₃ = 0 ల ఖండన బిందువు A.
∴ A గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
u₂ + λu₃ = 0⇒ (a₂x + b₂y + c₂) + λ(a₃x + b₃y + C₃) = 0 ………………. (1)
⇒ (a₂ + λa₃)x + (b₂ + λb₃) y + (c₂ + λc₃) = 0
ఈ రేఖ a₁x + b₁y + c₁ = 0 కి సమానం.
\(-\frac{\left(a_2+\lambda a_3\right)}{\left(b_2+\lambda b_3\right)}=-\frac{a_1}{b_1}\)
⇒ (a₂ + λa₃) b₁ = (b₂ + λb₃) a₁
⇒ a₂b₁ +λa₃b₁ = a₁b₂ + λa₁ b₃
⇒ λ (a₃b₁ − a₁b₃) = – (a₂b₁ – a₁b₂)
⇒ λ = – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{a_3 b_1-a_1 b_3}\)
λ విలువను (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన సమీకరణము
(a₂x + b₂y + c₂) – \(\frac{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}\) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) (a₂x + b₂y + c₂) – (a₂b₁ – a₁b₂) (a₃x + b₃y + c₃) = 0
⇒ (a₃b₁ − a₁b₃) u₂ – (a₂b₁ – a₁b₂) u₃ = 0
⇒ (a₃b₁ – a₁b₃) u₂ = (a₂b₁ – a₁b₂) u₃
⇒ \(\frac{u_3}{\left(a_3 b_1-a_1 b_3\right)}=\frac{u_2}{\left(a_2 b_1-a_1 b_2\right)}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(a)

I.

Question 1.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}
x+2, x>1 \\
2,-1 \leq x \leq 1 \\
x-1,-3<x<-1 \end{array}\right.\) గా నిర్వచిస్తే, కింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) f(3)
(ii) f(0)
(iii) f(-1.5)
(iv) f(2) + f(-2)
(v) f(-5)
Solution:
(i) f(3)
x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(3) = 3 + 2 = 5

(ii) f(0)
-1 ≤ x ≤ 1, f(x) = 2
∴ f(0) = 2

(iii) f(-1.5)
-3 < x < -1, f(x) = x – 1
∴ f(-1.5) = -1.5 – 1 = 2.5

(iv) f(2) + f(-2)
x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(2) = 2 + 2 = 4
-3 < x < -1, f(x) = x – 1
∴ f(-2) = -2 – 1 = -3
∴ f(2) + f(-2) = 4 + (-3) = 1

(v) f(-5)
f ప్రదేశం {x/x ∈ (-3, ∞)} కనుక f(-5) నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
f: R – (0) → R ను f(x) = \(x^3-\frac{1}{x^3}\) గా నిర్వచిస్తే, f(x) + f(\(\frac{1}{x}\)) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
f: R → R ను f(x) = \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\), గా నిర్వచిస్తే, f(tan θ) = cos 2θ అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
f : R – {±1} → R f(x) = \(\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|\) గా నిర్వచిస్తే, \(f\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) = 2 f(x) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
A = {-2, -1, 0, 1, 2), అయితే f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం f(x) = x² + x + 1 గా నిర్వచిస్తే, B కనుక్కోండి.
Solution:
A = {-2, -1, 0, 1, 2}
f: A → B, f(x) = x² + x + 1
f : A → B సంగ్రస్త ప్రమేయం కనుక
f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
f(1) = 1² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
∴ B = f(A) = {3, 1, 7}

Question 6.
A = {1, 2, 3, 4}, అయితే f : A → R ను f(x) = \(\frac{x^2-x+1}{x+1}\) గా నిర్వచిస్తే f వ్యాప్తి కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
f(x + y) = f(xy) ∀ x, y అయితే f స్థిరప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:
f(x + y) = f(xy), x, y ∈ R
x = y = 0 అనుకొంటే
⇒ f(0) = f(0) …….(1)
అప్పుడు x = 1, y = 0
⇒ f(1) = f(0) …….(2)
Let x = 1, y = 1
f(2) = f(1) …….(3)
(1) ,(2), (3) నుండి
f(0) = f(1) = f(2)
⇒ f(0) = f(2)
⇒ f(3) = f(0)
⇒ f(4) = f (0)
.
.
.
f(n) = f(0)
∴ f అనునది స్థిర ప్రమేయము.

II.

Question 1.
A = {x/-1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x², g(x) = x³, గా నిర్వచిస్తే, కింది ప్రమేయాలలో ఏవి సంగ్రస్తాలు?
(i) f : A → A
(ii) g : A → A
Solution:
(i) f : A → A
∵ A = {x/-1 ≤ x ≤ 1], f(x) = x²
⇒ f(x) అనేది A నుంచి A కు ప్రమేయం
(i.e.,) f : A → A
y ∈ A అనుకొందాం.
f(x) = y అయ్యేటట్లుగా x² = y అవుతుంది.
⇒ x = √y
y = -1 అయితే x = √-1 ∉ A
కనుక f : A → A సంగ్రస్త ప్రమేయం కాదు.

(ii) g : A → A
∵ A = {x/-1 ≤ x ≤ 1], g(x) = x³
⇒ g : A → A
y ∈ A అనుకొందాం.
అప్పుడు g(x) = y
⇒ x³ = y
⇒ x = \(y^{1 / 3}\) ∈ A
y = -1 అయితే x = -1 ∈ A
y = 0 అయితే x = 0 ∈ A
y = 1 అయితే x = 1 ∈ A
∴ g : A → A సంగ్రస్త ప్రమేయం.

Question 2.
కింది వాటిలో ఏవి సంగ్రస్తం, అన్వేకం, ద్విగుణం అవుతాయో నిర్ణయించండి.
(i) f : R → R ను f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\) గా నిర్వచించాం. [Mar. ’15]
Solution:

(ii) f : R → (0, ∞) ను f(x) = 2^x గా నిర్వచించాం.
Solution:

(iii) f : (0, ∞) → R ను f(x) = log_ex గా నిర్వచించాం.
Solution:

(iv) f : [0, ∞) → [0, ∞) ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ [0, ∞) (i.e.,) f ప్రదేశం .
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = x₂ [∵ x₁, x₂ ≥ 0]
∴ f(x) = x², f : {0, ∞) → {0, ∞) అన్వేకం
y ∈ (0, ∞), (సహ ప్రదేశం) కు
y = x²
⇒ x = √y, [∵y ≥ 0]
అప్పుడు f(x) = x²
= (√y)²
= y
∴ f : (0, ∞) → (0, ∞) సంగ్రస్తం
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం

(v) f : R → [0, ∞) ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ R.
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = ±x₂, [∵ x₁, x₂ ∈ R]
f అన్వేకం కాదు.
y ∈ [0, ∞)
y = x²
⇒ x = √y, y ∈ [0, ∞)
అప్పుడు f(x) = x²
= (√y)²
= y
∴ f : R → (0, ∞) సంగ్రస్తం కనుక f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

(vi) f : R → R ను f(x) = x² గా నిర్వచించాం.
Solution:
x₁, x₂ ∈ R, (f ప్రదేశం)
∴ f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\mathrm{x}_1^2=\mathrm{x}_2^2\)
⇒ x₁ = ±x₂, [∵ x₁, x₂ ∈ R]
∴ f(x) అన్వేకం కాదు.
(-∞, 0) సహప్రదేశంలో ఉన్న మూలకానికి పూర్వబింబం లేదు. కనుక f సంగ్రస్తం కాదు.
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

Question 3.
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}. ఇది A = {1, 2, 3, 4} నుంచి B = {1, 3, 5, 7} ప్రమేయం అవుతుందా? g(x) = ax + b గా నిర్వచిస్తే, a, b విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 3, 5, 7}
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
కనుక g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 5, g(4) = 7
A లో ప్రతీ a ∈ A కి అనురూపంగా (a, b) ∈ g అయ్యేటట్లు B లో ఒకే ఒక్క b వ్యవస్థితం అవుతుంది.
కనుక g : A → B ప్రమేయం అవుతుంది.
ఇప్పుడు g(x) = ax + b,
g(1) = a(1) + b = 1
⇒ a + b = 1 ……(1)
g(2) = a(2) + b
⇒ 2a + b = 3 …….(2)
(1), (2) ను సాధించగా a = 2, b = -1.

Question 4.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{3^x+3^{-x}}{2}\) గా నిర్వచిస్తే, f(x + y) + f(x – y) = 2 f(x) f(y) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\) గా నిర్వచిస్తే f(1 – x) = 1 – f(x) అని చూపండి. f(1/4) + 2f(1/2) + f(3/4) విలువ రాబట్టండి.
Solution:
f : R → R, f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\)
ఇప్పుడు f(1 – x) = \(\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}\)

Question 6.
f : (-1, 1) → (0, 2) ను f(x) = ax + b గా నిర్వచించిన ప్రమేయం సంగ్రస్తమయితే a, b విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
f : {-1, 1} → {0, 2}, f(x) = ax + b సంగ్రస్తం కనుక
f(-1) = 0, f(1) = 2 (or) f(-1) = 2, f(1) = 0
సందర్భం (i) f(-1) = 0, f(1) = 2
∴ a(-1) + b = 0 ⇒ a + b = 0 ……..(1)
a(1) + b = 2 ⇒ a + b = 2 ………(2)
(1), (2) ల నుండి a = 1, b = 1
సందర్భం (ii) f(-1) = 2, f(1) = 0
a(-1) + b = 2 ⇒ -a + b = 2 ……..(3)
a(1) + b = 0 ⇒ a + b = 0 ………(4)
(3), (4) ల నుండి a = -1, b = 1
∴ a = ±1, b = 1

Question 7.
f(x) = cos(log x) అయితే \(f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot f\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]\) = 0 అని చూపండి.
Solution:
f(x) = cos (log x)
\(f\left(\frac{1}{x}\right)=\cos \left(\log \left(\frac{1}{x}\right)\right)\)
= cos (log 1 – log x)
= cos (-log x)
= cos (log x)
ఇదే విధంగా
f(\(\frac{1}{y}\)) = cos (log y)
f(\(\frac{x}{y}\)) = cos log (\(\frac{x}{y}\))
= cos (log x – log y)
f(xy) = cos log(xy)
= cos (log x + log y)
f(\(\frac{x}{y}\)) + f(xy) = cos (log x – log y) + cos (log x + log y)
= 2 cos (log x) cos (log y)
∴ cos (A – B) + cos (A + B) = 2 cos A . cos B
LHS = \(f\left(\frac{1}{x}\right) \cdot f\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x}{y}\right)+f(x y)\right]\)
= cos (log x) cos (log y) – \(\frac{1}{2}\) [2 cos (log x) cos (log y)]
= 0

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(a)

అభ్యాసం – 3 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
x + y = 0, x – y = 0 రేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
సాధన:
x + y = 0 రేఖ వాలు – \(\frac{a}{b}\) = -1
x – y = 0 రేఖ వాలు = 1

ప్రశ్న 2.
(2, -3), (0, -3) బిందువులు ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణము
(y – y₁) (x₁ – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y + 3) (2 – 0) = (x – 2) (-3 + 3)
2(y + 3) = 0
= y + 3 = 0

ప్రశ్న 3.
(1, 2), (1, -2) బిందువులు ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణం
(y – y₁) (x₁ − x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 2) (1 – 1) = (x – 1) (2 + 2)
0 = 4(x – 1)
x – 1 = 0.

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖ y = \(\sqrt{3}\)x – 4 Y – అక్షంతో చేసే కోణం, కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణము y = \(\sqrt{3}\)x – 4
వాలు = m = \(\sqrt{3}\) = tan \(\frac{\pi}{3}\)
X- అక్షంతో చేసే కోణం = \(\frac{\pi}{3}\)
Y- అక్షంతో చేసే కోణం = \(\frac{\pi}{2}\) – \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{6}\)

ప్రశ్న 5.
Y- అక్షంలో X = 1 రేఖకు ప్రతిబింబం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము x = 1
Y-అక్షం దృష్ట్యా X = -1 యొక్క ప్రతిబింబము
i.e., x + 1 = 0

ప్రశ్న 6.
ab = 0 అయినప్పుడు (a, 0), (h, k), (0, b) బిందువులు సరేఖీయాలు కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(a, 0), B(h, k), C(0, b) లు సరేఖీయాలు.
⇒ AB వాలు = AC వాలు
\(\frac{k-0}{h-a}=\frac{-b}{a}\)
ak = – bh + ab
bh + ak = ab
\(\frac{h}{a}+\frac{k}{b}\) = 1

ప్రశ్న 7.
X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ
i) X- అక్షానికి ఎగువన 3 యూనిట్ల దూరంలో
ii) X- అక్షానికి దిగువన 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న సరళరేఖల సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన:
i)

AB సమీకరణము y = 3

ii)

AB సమీకరణము y = -4
y + 4 = 0

ప్రశ్న 8.
Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ
i) Y- అక్షానికి కుడివైపున 2 యూనిట్ల దూరంలో
ii) Y- అక్షానికి ఎడమవైపున 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న సరళరేఖల సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన:
i)

కావలసిన AB సమీకరణము X = 2 లేదా X – 2 = 0

ii)

కావలసిన AB సమీకరణము
x = -5
x + 5 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన బిందు యుగ్మాల ద్వారా పోయే సరళరేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
i) (-3, 8) (10, 5)
ii) (3, 4) (7, -6)
iii) (8, 1), (-1, 7)
iv) (-p, q) (q, -p) (pq ≠ 0)
సాధన:
i) వాలు = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{8-5}{-3-10}=\frac{-3}{13}\)
ii) వాలు = \(\frac{4+6}{3-7}=\frac{10}{-4}=\frac{-5}{2}\)
iii) వాలు = \(\frac{1-7}{8+1}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)
iv) వాలు = \(\frac{q+p}{-p-q}=\frac{(p+q)}{-(p+q)}=-1\)

ప్రశ్న 2.
(2, 5), (x, 3) బిందువులగుండా పోయే సరళరేఖ వాలు 2 అయితే X విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
వాలు = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{5-3}{2-x}\) = 2
2 = 2(2 – x) ⇒ 1 = 12 – x
x = 2 – 1 = 1

ప్రశ్న 3.
(3, y), (2, 7) బిందువులను కలిపే రేఖ (−1, 4), (0, 6) బిందువులను కలిపే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే y విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
A(3, y), B(2, 7), P (-1, 4), Q(0, 6) లు దత్త బిందువులు.
m₁ = AB వాలు = \(\frac{y-7}{3-2}\) = y – 7
m₂ = PQ వాలు = \(\frac{4-6}{-1-0}=\frac{-2}{-1}\) = 2

AB, PQ లు సమాంతరాలు.
m₁ = m₂ ⇒ y – 7 = 2
y = 2 + 7 = 9

ప్రశ్న 4.
(6, 3), (- 4, 5) బిందువుల గుండా పోయే రేఖకు
(i) సమాంతరంగా
(ii) లంబంగా ఉన్న సరళరేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
సాధన:
(6, 3), B(-4, 5) లు దత్త బిందువులు.
m = AB వాలు = \(\frac{3-5}{6+4}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}\)

PQ కు సమాంతరం AB
PQ వాలు = m = –\(\frac{1}{5}\)
RS కు లంబంగా AB
RS వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = 5

ప్రశ్న 5.
ధన X-అక్షంతో ధనదిశలో క్రింద ఇచ్చిన కోణాలు చేస్తూ, దత్త బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
i) \(\frac{\pi}{4}\), (0,0)
ii) \(\frac{\pi}{3}\), (1, 2)
ili) 135°, (3, -2)
iv) 150°, (-2, -1)
సాధన:
i) m = వాలు = tan 45° = 1
రేఖా సమీకరణము y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 1(x – 0)
i.e., y = x
లేదా x – y = 0

ii) m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)
రేఖా సమీకరణము
y – 2 = \(\sqrt{3}\)(x – 1)
= \(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}\)x – y +(2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

iii) m = tan 135° tan (180° – 45°)
– tan 45° = -1 .
రేఖా సమీకరణము y + 2 = 1 (x + 3)
= – x + 3
i.e., x + y – 1 = 0

iv) m = tan 150 ° = tan (180° – 30)
= -tan 30° = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
రేఖా సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (x + 2)
\(\sqrt{3}\)y + \(\sqrt{3}\) = -x – 2
x + \(\sqrt{3}\)y + (2 + \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువు గుండాపోతూ నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : PP’ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో 45° కోణం చేస్తుంది.
m = tan 45° = 1
PP’ రేఖ (0, 0) గుండా పోతుంది.
PP’ సమీకరణము y – 0 = 1(x – 0)
y = x

సందర్భం ii) : QQ’ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో 135° కోణం చేస్తుంది.
m = tan 135° =tan (180° – 45°) = -tan 45°
QQ’ సమీకరణము y – 0 = -1(x – 0)
y = -x

ప్రశ్న 7.
సరళరేఖ ధన X- అక్షం ధన దిశతో చేసే కోణం, దాని Y-అంతర ఖండం క్రింద ఇచ్చాం. ఆ సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
i) 60°, 3
ii) 150°, 2
iii) 45°, -2
iv) tan^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\), 3
సాధన:
i) రేఖ సమీకరణము y = mx + c
m = tan 60° = \(\sqrt{3}\), c = 3
రేఖ సమీకరణము y = \(\sqrt{3}\)x + 3
\(\sqrt{3}\)x – y + 3 = 0

ii) m = tan 150° = tan (180° – 30°)
= – tan 30° = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\), c = 2
రేఖ సమీకరణము y = −x + 2
\(\sqrt{3}\)y = -x + 2\(\sqrt{3}\)
x + \(\sqrt{3}\)y – 2\(\sqrt{3}\) = 0

iii) m = tan 45° = 1
c = -2
రేఖ సమీకరణము
y = x – 2
x – y – 2 = 0

iv) θ = tan^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\) ⇒ m = tan θ = \(\frac{2}{3}\), c = 3
రేఖా సమీకరణము y = \(\frac{2}{3}\)x + 3
3y = 2x + 9
2x – 3y + 9 = 0

ప్రశ్న 8.
(- 4, 5) బిందువుగుండా పోతూ నిరూపకాక్షాలలో సమాన శూన్యేతర అంతరఖండాలు చేసే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15; May ’13]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశము ప్రకారము a = b
రేఖా సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
⇒ x + y = a
ఈ రేఖ P(- 4, 5) గుండా పోతుంది.
– 4 + 5 = a ⇒ a = 1
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
x + y = 1
లేదా x + y – 1 = 0

ప్రశ్న 9.
(-2, 4) బిందువు గుండా పోతూ శూన్యేతర అంతర ఖండాల మొత్తము సున్న అయ్యే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశము ప్రకారం a + b = 0 ⇒ b = -a
రేఖ సమీకరణము \(\frac{x}{a}-\frac{y}{a}\) = 1
⇒ x – y = a
ఈ రేఖ P(−2, 4) గుండా పోతుంది.
∴ -2 – 4 = a ⇒ a = -6
కావలసిన రేఖ సమీకరణము x – y = -6
x − y + 6 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
(3, – 4) బిందువు గుండా పోతూ X, Y- అంతరఖండాలు 2:3 నిష్పత్తిలో గల సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశం ప్రకారం \(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\) ⇒ b = \(\frac{3 a}{2}\)
రేఖ సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{2 y}{3 a}\) = 1
3x + 2y = 3a
ఈ రేఖ P(3, – 4) గుండా పోతుంది.
9 – 8 = 3a ⇒ 3a = 1
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 3x + y = 1
3x + 2y – 1 = 0

ప్రశ్న 2.
(4, -3) బిందువు గుండా పోతూ (1, 1), (2, 3) బిందువుల ద్వారా పోయే సరళరేఖకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(1, 1); B(2, 3) లు దత్త బిందువులు.
m = AB వాలు = \(\frac{1-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}\) = 2

PQ రేఖ AB కి లంబంగా ఉంది.
PQ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{2}\)
PQ రేఖ (4, -3) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – y₁ = m(x – x₁)
y + 3 = –\(\frac{1}{2}\) (x – 4)
2y + 6 = -x + 4
x + 2y + 2 = 0

ప్రశ్న 3.
కింది బిందువులు సరేఖీయాలని చూపి కలిగి ఉండే L సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
i) (-5, 1), (5, 5), (10, 7)
ii) (1, 3), (-2, -6), (2, 6)
iii) (a, b + c), (b, c + a), (c, a + b)
సాధన:
i) A(-5, 1), B(5, 5), C(10, 7) లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – y₁) (x, – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 1) (-5 – 5) = (x + 5) (1 – 5)
-10y + 10 = -4x – 20
4x – 10y + 30 = 0
లేదా 2x – 5y + 15 = 0
C (10, 7)
2x – 5y + 15 = 2.10 – 5.7 + 15
= 20 – 35 + 15 = 0
A,B,C లు సరేఖీయాలు.
దత్త బిందువుల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణం
2x – 5y + 15 = 0

ii) A(1, 3), B(-2, -6), C(2, 6)
AB సమీకరణం
(y – 3)(1 + 2) = (x – 1) (3 + 6)
3(y – 3) = 9(x – 1)
y – 3 = 3x – 3
3x – y = 0
C(2, 6)
3x – y = 3.2 – 6 = 6 – 6 = 0
∴ దత్త బిందువులు A, B, C లు సరేఖీయాలు,
A,B,C ల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
3x – y = 0

iii) A(a, b + c), B(b, c + a), C(c, a + b)
AB సమీకరణము
(y – (b + c)) (a – b) = (x – a) (b + c – c – a)
(y – b – c) (a – b) = -(a – b) (x − a)
y – b – c = -x + a
లేదా x + y – (a + b + c) = 0
C(c, a + b)
c + a + b – a – b – c = 0
బిందువు AB మీద ఉంది.
A, B, C లు సరేఖీయాలు.
ఈ రేఖ సమీకరణము x + y = a + b + c

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజానికి A(10, 4), B(-4, 9), C(-2, -1) లు శీర్షాలు.
i) \(\overleftrightarrow{A B}\)
ii) A ద్వారా పోయే మధ్యగత రేఖ
iii) B ద్వారా పోయే ఉన్నతి
iv) భుజం \(\overleftrightarrow{A B}\) కి లంబ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) A(10, 4), B(-4, 9)లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – 4) (10 + 4) = (x – 10) (4 – 9)
14y – 56 = -5x + 50
5x + 14y – 106 = 0

ii) D బిందువు BC మధ్య బిందువు
D నిరూపకాలు \(\left(\frac{-4-2}{2}, \frac{9-1}{2}\right)\)
= (-3, 4)

A (10, 4) మూడవ శీర్షంలో AD సమీకరణం
(y – 4) (10 + 3) = (x + 3) (4 −4)
13(y – 4) = 0 ⇒ y – 4 = 0 (లేదా) y = 4

iii)

BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = \(\frac{-1}{m}=\frac{-12}{5}\)
BE రేఖ B(-4, 9) గుండా పోతుంది.
BE సమీకరణం ఉన్నతి
y – 9 = \(\frac{-12}{5}\) (x + 4)
5y – 45 = -12x – 48
12x + 5y + 3 = 0

iv) మధ్య బిందువు AB

PQ రేఖ AB కి లంబంగా ఉంది.
PQ వాలు = \(\frac{-1}{m}=\frac{14}{5}\)
AB లంబ సమద్విఖండన రేఖ సమీకరణము
У – \(\frac{13}{2}\) = \(\frac{14}{5}\) (x – 3)
5y – \(\frac{65}{2}\) = 14x – 42
14x – 5y + \(\left(\frac{65}{2}-42\right)\) = 0
14x – 5y – \(\frac{19}{2}\) = 0
28x – 10y – 19 = 0

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e)

అభ్యాసం – 10 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
సరళరేఖపై చలించే ఒక కణం t సమయంలో చలించే దూరం’ s = -4t² + 2t. t = 2 సెకన్లు, t = 8 సెకన్లల మధ్య సరాసరి వేగాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4t² + 2t
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -8t + 2
వేగం t = 2 వద్ద V = \(\left(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\right)_{\mathrm{t}=2}\)
v = -16 + 2 = -14 యూనిట్లు/సెకను
వేగం t = 8 వద్ద v = \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=8}\)
v = -64 + 2 = -62
సరాసరి వేగం = \(\frac{-62-14}{2}\) = -38 యూనిట్లు/సెకను

ప్రశ్న 2.
y = x⁴ అయితే x = 2, x = 4 ల మధ్య y లో సరాసరి మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x⁴ ⇒ \(\frac{d y}{d t}\) = 4x³
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=2}\) = 32
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=4}\) = 256
సరాసరి మార్పురేటు = \(\frac{256+32}{2}\) = 144.

ప్రశ్న 3.
సరళరేఖలో చలించే కణం కాలం t, దూరం S ల మధ్య సంబంధం s = t³ + 2t + 3. t = 4 సెకన్ల వద్ద ఆ కణ వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ + 2t + 3
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² + 2 , వేగం v = \([latex]\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\)[/latex] = 3ť² + 2
వేగం t వద్ద = 4
⇒ \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=4}\) = 48 + 2 = 50 యూనిట్లు/సెకను
v = 3t² + 2
\(\frac{d v}{d t}\) = 6t ⇒ a = \(\left(\frac{d v}{d t}\right)_{t=4}\) = 24 యూనిట్లు/సికన్’

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం, కాలం దూరాల మధ్య సంబంధం s = t³ – 9t² + 24t – 18. దీని వేగం ఎప్పుడు ఎక్కడ నున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ – 9t² + 24t – 18 కనుక
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² – 18t + 24
v = 0 ⇒ 3 (t² – 6t + 8) = 0
∴ (t – 2) (t – 4) = 0
∴ t = 2 or 4
వేగము 2 మరియు 4 సెకన్ల తర్వాత సున్నా..
సందర్భం (i) :
t = 2
s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 8 – 36 + 48 – 18 = 56 -54 = 2
సందర్భం (ii) :
t = 4; s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 64 – 144 + 96 – 18
= 160 – 162 = -2
కణం ‘O’ కు ఇరువైపులా 2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం t కాలంలో పొందిన స్థానభ్రంశం 5 ను s = 45t + 11t² – t³ గా ఇస్తే, ఆ కణం నిశ్చల స్థితికి రావడానికి పట్టే కాలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = 45t + 11t² – t³
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 45 + 22t – 3t²
కణం నిశ్చలంగా ఉంటే
⇒ v = 0 = 45 + 22t- 3t² = 0
⇒ 3t² – 22t – 45 = 0
⇒ 3t² – 27t + 5t – 45 = 0
⇒ (3t + 5) (t – 9) = 0 ∴ t = 9 లేదా t = –\(\frac{5}{3}\)
∴ t = 9
∴ కణం 9 సెకన్ల తర్వాత నిశ్చలంగా ఉంటుంది.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 8 సెం.మీ./సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 12 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుందో కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15, ’14)
సాధన:
ఘనం యొక్క అంచు ‘a’ మరియు ఘన పరిమాణం v అనుకొనుము.
v = a³ —- (1)
ఇచ్చినవి \(\frac{d v}{d t}\) = 8 సెం.మీ.³/సెకను
a = 12 cm
ఉపరితల వైశాల్యం S = 6a²

ప్రశ్న 2.
నిలకడగా ఉన్న నీటిలో రాయిని వదిలితే వృత్తాకార అలలు ఏర్పడతాయి. ఈ అలలు 5 సెం.మీ./సెకను చొప్పున కదులుతున్నాయి. వృత్త వ్యాసార్ధం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు అలల వైశాల్యం పెరిగే రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాకార అలలు యొక్క వ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోండి.
వృత్త వైశాల్యం A = πr²
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{d r}{d t}\)
ఇచ్చినది r = 8, \(\frac{d r}{d t}\) = 5
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π(8)(5)
= 80π సెం.మీ²/సెకను

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం పెరిగే రేటు 0.7 సెం.మీ/సెకను, అయితే దీని చుట్టు కొలతలో మార్పు రేటు ఎంత ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = 0.7 సెం.మీ/సెకను
చుట్టుకొలత C = 2πr
\(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\)
= 2π (0.7) = 1.4π సెం.మీ/సెకను.

ప్రశ్న 4.
ఒక బెల్తూన్న గ్యాస్తో నింపుతుంటే అది గోళరూపంలో ఉంటుంది. దీనిని సెకనుకు 900 ఘన సెంటీమీటర్లతో గ్యాసు నింపుతున్నారు. గోళ వ్యాసార్ధం 15 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు వ్యాసార్ధంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d v}{d t}\) = 900 సెం.మీ./సెకను
r = 15 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)

ప్రశ్న 5.
గాలి బుడగ వ్యాసార్ధంలో మార్పురేటు \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను, గాలి బుడగ వ్యాసార్ధం 1 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు దీని ఘన పరిమాణం ఏ రేటులో పెరుగుతుంది ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను
వ్యాసార్ధం r = 1 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = \(4 \pi r^2 \frac{d r}{d t}\)
= 4π(1)²\(\frac{1}{2}\)
= 2π సెం.మీ./సెకన్.

ప్రశ్న 6.
ఒక వస్తువును 980 మీ./సెకను వేగంతో పైకి విసిరామనుకొందాం. దీని స్థానం s = -4.9 t² + 980 t గా ఉంటుంది. వస్తువు చేరిన గరిష్ట ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4.9 t² + 980 t
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -9.8 t + 980
v = -9.8 t + 980
గరిష్ఠ ఎత్తు, v = 0
-9.8 t + 980 = 0
980 = 9.8t
\(\frac{980}{9.8}\) = t
100 = t
s = -4.9(100)² + 980(100)
s = -49000 + 98000
s = 49000 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t^(3/2) వృద్ధి చెందుతుంది. t = 4 గంటలకు బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g అనుకొందాం.
అప్పుడు g(t) = t^3/2
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు
g'(t) = \(\frac{3}{2} t^{1 / 2}\)
ఇచ్చినది t = 4 గం.
g'(t) = \(\frac{3}{2}\) (4 × 60 × 60)^1/2
= \(\frac{3}{2}\)(2 × 60) = 180

ప్రశ్న 8.
పొడవు 8 మీ., వెడల్పు 4 మీ., ఎత్తు 3 మీ. గల దీర్ఘ చతుస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఉందనుకొందాం. దీనిని 0.4 మీ. 3/సెకను చొప్పున నీటితో నింపుతున్నారను కొందాం. నీటిమట్టం 2.5 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం ఎత్తులో మార్పురేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి పొడవు l = 8 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి వెడల్పు b = 4 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఎత్తు h = 3 మీ.
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 0.4 మీ./సెకన్
v = lbh
= 8(4)(3) = 96
v = lbh
⇒ log v = log l + log b + log h
\(\frac{1}{v} \frac{d v}{d t}\) = \(\frac{1}{h} \frac{d h}{d t}\)
\(\frac{0.4}{96}\) = \(\frac{1}{2.5} \frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\)
\(\frac{1}{96}\) = \(\frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\) at h = 2.5

గమనిక: Text book Ans. \(\frac{1}{80}\) will get when h = 3.

ప్రశ్న 9.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు పాత్ర ఎత్తు 8 మీ., పై వ్యాసార్ధం 6 మీ. దీనిలో 2 మీ. / నిమిషానికి చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు నీటి మట్టం 4 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
(May 2013)
సాధన:
h = 8m = OC
r = 6m = AB
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 2 మీ.³/ని.
Δ OAB మరియు OCD

సరూప త్రిభుజాలు
\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\)
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{8}\)
r = h\(\frac{3}{4}\)
శంకువు ఘన పరిమాణం v = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును C(x) యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000. ఆ వస్తువును 17 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు m అనుకొందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dx}}\)
Hence
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000)
= (0.007) (3x²) – (0.003) (2x) + 15
(M)_{x = 17} =
x = 17 వద్ద ఉపాంత ఖర్చు
(M)_{x = 17} = (0.007) 867 – (0.003)’ (34) + 15
= 6.069 – 0.102 + 15
= 20.967.

ప్రశ్న 11.
x సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 13x² + 26x + 15. x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{d R}{d x}\)
ఇక్కడ R(x) = 13x² + 26x + 15
∴ m = 26x + 26
x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
(M)_{x = 7} = 26(7) + 26
= 208.

ప్రశ్న 12.
y = 2x² పై P అనే బిందువు కదులుతుంది. P యొక్క x నిరూపకం మార్పురేటు సెకనుకు 4 యూనిట్లు బిందువు (2, 8) వద్ద P యొక్క y ని నిరూపకం పెరిగే రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 2x² కనుక
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x. \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
x = 2, అయినప్పుడు \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = 4. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\)
= 4(2).4 = 32
y నిరూపకము 32 యూనిట్లు/సెకను రేటుకు పెరుగుతుంది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(d)

I.

Question 1.
కింది మాత్రికల నిర్ధారకాలు కనుక్కోండి.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = ad – bc
= 2(-5) – 1(1)
= -10 – 1
= -11

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 4(2) – (-6)(5)
= 8 + 30
= 38

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = -i² – 0
= 1 – 0
= 1

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + 1(1 – 0)
= 1 + 1
= 2

(v) \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 1(-6 – 28) – 4(12 + 12) + 2(14 – 3)
= -34 – 96 + 22
= -108

(vi) \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 2(-3 – 2) + 1(4 – 1) + 4(8 + 3)
= -10 + 3 + 44
= 37

(vii) \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 0,
∵ R₁ మరియు R₃ ల అనురూప మూలకాలు సమాన నిష్పత్తిలో ఉన్నవి.

(viii) \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{h} & \mathbf{g} \\
\mathbf{h} & \mathbf{b} & \mathbf{f} \\
\mathbf{g} & \mathbf{f} & \mathbf{c}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = a(bc – f²) – h(ch – fg) + g(hf – bg)
= abc – af² – ch² + fgh + fgh – bg²
= abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

(ix) \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \boldsymbol{b} & \mathbf{c} \\
\mathbf{b} & \mathbf{c} & \mathbf{a} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{b}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= abc – a³ – b³ + abc + abc – c³
= 3abc – a³ – b³ – c³

(x) \(\left[\begin{array}{ccc}
\mathbf{1}^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 9 \\
4 & 9 & 16 \\
9 & 16 & 25
\end{array}\right|\)
= 1(225 – 256) – 4(100 – 144) + 9(64 – 81)
= -31 + 176 – 153
= -184 + 176
= -8

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right]\) అయి, det A = 45 అయితే x విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’07, ’03]
Solution:
det A = 45
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right|\) = 45
⇒ 3x + 24 = 45
⇒ 3x – 45 + 24 = 0
⇒ 3x – 21 = 0
⇒ x = 7

II.

Question 1.
\(\left|\begin{array}{lll}
b c & b+c & 1 \\
c a & c+a & 1 \\
a b & a+b & 1
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & c+a & a+b \\
a+b & b+c & c+a \\
a & b & c
\end{array}\right|\) = a³ + b³ + c³ – 3abc అని చూపండి. [May ’13, ’07; Mar. ’08]
Solution:

= (a + b + c) [(-ac + b²) – (-c² + ab) + (-bc + a²))
= (a + b + c) (-ac + b² + c² – ab – bc + a²)
= (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= a³ + b³ + c³ – 3abc

Question 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{y}+\mathbf{z} & \mathbf{x} & \mathbf{x} \\
\mathbf{y} & \mathbf{z}+\mathbf{x} & \mathbf{y} \\
\mathbf{z} & \mathbf{z} & \mathbf{x}+\mathbf{y}
\end{array}\right|\) = 4xyz అని చూపండి.
Solution:
L.H.S. = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{y}+\mathbf{z} & \mathbf{x} & \mathbf{x} \\
\mathbf{y} & \mathbf{z}+\mathbf{x} & \mathbf{y} \\
\mathbf{z} & \mathbf{z} & \mathbf{x}+\mathbf{y}
\end{array}\right|\)
= (y + z) [(z + x) (x + y) – yz] – x[y(x + y) – yz] + x[yz – z(z + x)]
= (y + z) (zx + yz + x² + xy – yz) – x(xy + y² – yz) + x(yz – z² – zx)
= (y + z) (zx + x² + xy) – x(xy + y² – yz) + x(yz – z² – zx)
= xyz + x²y + xy² + xz² + x²z + xyz – x²y – xy² + xyz + xyz – xz² – x²z
= 4xyz

Question 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0, \(\left|\begin{array}{lll}
a & a^2 & 1 \\
b & b^2 & 1 \\
c & c^2 & 1
\end{array}\right|\) ≠ 0 అయితే abc = -1 అని చూపండి.
సూచన: ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఏదైనా ఒక అడ్డు వరుస (లేదా నిలువు వరుస) లోని ప్రతీ మూలకం రెండు సంఖ్యల మొత్తంగా ఉంటే, ఆ మాత్రిక నిర్ధారకాన్ని రెండు మాత్రికల నిర్ధారకాలు మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు.
Solution:

∴ 1 + abc = 0
⇒ abc = -1

Question 5.
నిర్ధారకాన్ని విస్తరించండి.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & b c \\
b & b^2 & c a \\
c & c^2 & a b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\)
Solution:

(ii) \(\begin{array}{ccc}
a x & b y & c z \\
x^2 & y^2 & z^2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}=\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
x & y & z \\
y z & z x & x y
\end{array}\right|\)
Solution:

(iii) \(\begin{array}{lll}
1 & b c & b+c \\
1 & c a & c+a \\
1 & a b & a+b
\end{array}=\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 6.
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
a_1^2+b_1+c_1 & a_1 a_2+b_2+c_2 & a_1 a_3+b_3+c_3 \\
b_1 b_2+c_1 & b_2^2+c_2 & b_2 b_3+c_3 \\
c_3 c_1 & c_3 c_2 & c_3^2
\end{array}\right|\) మరియు Δ₂ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_2 & c_2 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\), అయితే \(\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\) విలువ కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \alpha & 1
\end{array}\right|\), Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\), Δ₁ = Δ₂ అయితే cos²α + cos²β + cos²γ = 1 అని చూపండి.
Solution:
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \alpha & 1
\end{array}\right|\)
= 1(1 – cos²γ) – cos α (cos α – cos β cos γ) + cos β (cos α cos γ – cos β)
= 1 – cos²γ – cos²α + cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ – cos²β
= 1 – cos²γ – cos²α – cos²β + 2 cos α cos β cos γ
Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\)
= 0(0 – cos²γ) – cos α (0 – cos γ cos β) + cos β (cos α cos γ – 0)
= cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
= 2 cos α cos β cos γ
ఇచ్చినది Δ₁ = Δ₂
1 – cos²γ – cos²α – cos²β + 2 cos α cos β cos γ = 2 cos α cos β cos γ
1 – cos²α – cos²β – cos²γ = 0
1 = cos²α + cos²β + cos²γ

III.

Question 1.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{2 c} & \mathbf{a} & \mathbf{b} \\
\mathbf{c} & \mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{2 a} & \mathbf{b} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{a}+\mathbf{2 b}
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)³ అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \\
\mathbf{b} & \mathbf{c} & \mathbf{a} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{b}
\end{array}\right|^2\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 b c-a^2 & c^2 & b^2 \\
c^2 & 2 a c-b^2 & a^2 \\
b^2 & a^2 & 2 a b-c^2
\end{array}\right|\) = (a³ + b³ + c³ – 3abc)² అని చూపండి. [Mar. ’01]
Solution:

Question 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = (a – 1)³ అని చూపండి. [Mar. ’13, ’07]
Solution:

= (a – 1)² [0(6 – 3) – 0[3(a + 1) – 3) + 1(a + 1 – 2)]
= (a – 1)² (a – 1)
= (a – 1)³
= R.H.S.

Question 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2 \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|\) = abc (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి. [May ’06]
Solution:

= abc (a – b) (b – c) [0(c² – c(b + c) – 0(c² – c(a + b) + 1(b + c – a – b)]
= abc (a – b) (b – c) (c – a)

Question 5.
\(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & \mathbf{a}+\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} \\
\mathbf{a}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{b} & \mathbf{b}+\mathbf{c} \\
\mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 4(a + b) (b + c) (c + a) అని చూపండి.
Solution:

= 0 [∵ R₁ = R₃]
∴ (a + b), Δ కు కారణరాశి.
ఇదేవిధంగా b + c, c + a లు కూడా Δ కు కారణరాశులు.
∴ Δ అనునది a, b, c లలో 3వ పరిమాణం.
Δ = k(a + b) (b + c) (c + a), k శూన్యేతర సంఖ్య.
a = 1, b = 1, c = 1 అయిన
\(\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & 2 \\
2 & -2 & 2 \\
2 & 2 & -2
\end{array}\right|\) = k(1 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
⇒ -2(4 – 4) – 2(-4 – 4) + 2(4 + 4) = 8k
⇒ 16 + 16 = 8k
⇒ k = 4
∴ Δ = 4(a + b) (b + c) (c + a)
∴ \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & \mathbf{a}+\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} \\
\mathbf{a}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{b} & \mathbf{b}+\mathbf{c} \\
\mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 4(a + b) (b + c) (c + a).

Question 6.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}-\mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a} \\
\mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} \\
\mathbf{c}-\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 7.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2-b c \\
1 & b & b^2-c a \\
1 & c & c^2-a b
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 8.
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{x} & \mathbf{a} & \mathbf{a} \\
\mathbf{a} & \mathbf{x} & \mathbf{a} \\
\mathbf{a} & \mathbf{a} & \mathbf{x}
\end{array}\right|\) = (x + 2a) (x – a)² అని చూపండి.
Solution:

= (x + 2a) [1(x – a)² – a(0(x – a) – 0)] + a[0 – 0(x – a)]
= (x + 2a) (x – a)²
= R.H.S.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a)

I. గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతీ n ∈ N కు కిందివాటిని రుజువు చేయండి.

Question 1.
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Solution:
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
S(n) = 1² + 2² + 3² + ….. + n²
S(1) = \(\frac{(1)(2)(3)}{6}\) = 1
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.
i.e., 1² + 2² + 3² + ….. + k² = \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\) అని చూపాలి.
(S(k) = 1² + 2² + 3² + ….. + k²)
S(k + 1) = 1² + 2² + 3² + ……. + (k)² + (k + 1)² = S(k) + (k + 1)²


∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుండి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + 2² + 3² + ……. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) [Mar. ’13; May ’06]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం = (n + 1)(n + 2)
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి మొత్తం S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = 2 . 3 = \(\frac{(1)(1+6+11)}{3}\) = 6
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = 2 . 3 + 3 . 4 + …….. + (k + 1) (k + 2) = \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
i.e., S(k + 1) = (k + 1) \(\left[\frac{(k+1)^2+6(k+1)+11}{3}\right]\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. + (k + 1)
(k + 2) + (k + 2) (k + 3) = S(k) + (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\) + (k + 2) (k + 3)

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …… + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\), ∀ n ∈ N

Question 3.
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
Solution:
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.3}=\frac{1}{1(2+1)}=\frac{1}{1.3}\)
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 \mathrm{k}-1)(2 \mathrm{k}+1)}\) = \(\frac{k}{2 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\), ∀ n ∈ N

Question 4.
4³ + 8³ + 12³ + ……. n పదాల వరకు = 16n² (n + 1)².
Solution:
4, 8, 12, … లు A.P. లో ఉన్నవి.
n వ పదం (4n)
4³ + 8³ + 12³ + ……. + (4n)³ = 16n² (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 4³ = 16(1²) (1 + 1)² = 16(4) = 64 =4³
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొనుము.
i.e., S(k) = 4³ + 8³ + (12)³ + …… + (4k)³ = 16k² (k + 1)²
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = 16(k + 1)² (k + 2)² అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4k)³ + [4(k + 1)]³
= S(k) + [4(k + 1)]³
= 16k² (k + 1)² + 4³ (k + 1)³
= 16(k + 1)² [k² + 4(k + 1))
= 16(k + 1)² [k² + 4k + 4]
= 16(k + 1)² (k + 2)²
= 16(k + 1)² (\(\overline{k+1}\) + 1)²
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4n)³ = 16n² (n + 1)².

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + …..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d].
Solution:
a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = a = \(\frac{1}{2}\) [2a + (1 – 1)d] = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (k – 1)d] = \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d]
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\left(\frac{k+1}{2}\right)\) [2a + kd] అని చూపాలి.
S(k + 1) = a + (a + d) + (a + 2d) + …… + [a + (k – 1)d] + (a + kd)
= S(k) + (a + kd)
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d] + (a + kd)
= \(\frac{k[2 a+(k-1) d]+2(a+k d)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [2ak + k(k – 1)d + 2a + 2kd]
= \(\frac{1}{2}\) [2a(k + 1) + k(k – 1 + 2)d]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (2a + kd).
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]

Question 6.
a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1. [Mar. ’11]
Solution:
a + ar + a . r² + ……… + a . r^n-1 = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + ar + ar² + …….. + a. r^k-1 = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}\) అని చూపాలి.
ఇప్పుడు S(k + 1) = a + ar + ar² + …… + a r^k-1 + ar^k
= S(k) + a . r^k

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ……+ (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\)
Solution:
2 + 7 + 12 + ……. + (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి వైపుమొత్తాన్ని S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 2 = \(\frac{1(5 \times 1-1)}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
S(k+1) = \(\frac{(k+1)(5 k+4)}{2}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) + (5k + 2)
= S(k) + (5k + 2)
= \(\frac{k(5 k-1)}{2}\) + (5k + 2)
= \(\frac{5 k^2-k+2(5 k+2)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [5k² + 9k + 4]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (5k + 4)
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) [5(k + 1) – 1]
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 2 + 7 + 12 + …… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొనుము.
S(1) = 1 + 3 = 4 = (1 + 1)² = 4
n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = K కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.

= (k + 1)² + 2k + 3
= k² + 2k + 1 + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
= (k + 1 + 1)²
n = k + 1 కు నిజం.
n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.

Question 9.
(2n + 7) < (n + 3)²
Solution:
(2n + 7) < (n + 3)² అనే ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
n = 1
9 < 16
n = 1 కు నిజం
n = k కు నిజం అనుకొందాం.
(2k + 7) < (k + 3)²
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
2(k + 1) + 7 = 2k + 7 + 2 < (k + 3)² + 2
< k² + 6k + 9 + 2 + 2k + 5 – 2k – 5
< (k + 4)² – (2k + 5)
< (k + 4)² < (k + 1 + 3)²
n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం అవుతుంది.

Question 10.
1² + 2² + ….. + n² > \(\frac{n^3}{3}\)
Solution:
1² + 2² + …… + n² > \(\frac{n^3}{3}\) అనే ప్రవచనాన్ని P(n) అనుకొందాం.
n = 1 అయితే
1 > \(\frac{1}{3}\)
n = 1 కు p(n) నిజం అనుకొండి.
1² + 2² + ….. + k² > \(\frac{k^3}{3}\)
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
1² + 2² + 3²…… + k² + (k + 1)² > \(\frac{k^3}{3}\) + (k + 1)²

n = k + 1 కు నిజం.
గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.

Question 11.
4ⁿ – 3n – 1 ను 9 భాగిస్తుంది.
Solution:
4ⁿ – 3n – 1 ని 9 భాగిస్తుంది. అనే ప్రవచనాన్ని p(n) అనుకుందాం.
4¹ – 3(1) – 1 = 0
కాబట్టి n = 1 కి దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 4^k – 3k – 1, 9 చే భాగించబడుతుంది.
4^k – 3k – 1 = 9t, t ∈ N ……(1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4^k+1 – 3(k + 1) – 1 ని 9 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి,
4^k = 9t + 3k + 1
∴ S(k + 1) = 4 . 4^k – 3(k + 1) – 1
= 4(9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4(9t) + 9k
= 9[4t + k]
S(k + 1) ని 9 భాగిస్తుంది.
4t + k పూర్ణాంకం కనుక
∴ 4^k+1 – 3(k+1) – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) 4ⁿ – 3n – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.

Question 12.
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది. [May ’12, ’08]
Solution:
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
3 . 5²⁽¹⁾⁺¹ + 2³⁽¹⁾⁺¹
= 3 . 5³ + 2⁴
= 3(125) + 16
= 375 + 16
= 391
= 17(23) ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు దత్తప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 ను 17 భాగిస్తుంది అనుకోండి.
3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t, t ∈ N …….(1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది అని చూపాలి.
(1) నుంచి, 3. 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t
∴ 3 . 5^2k+1 = 17t – 2^3k+1
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1
= 3.5^2k+1 . 5² + 2^3k+1 . 2³
= 25 [3 . 5^2k+1] + 8 . 2^3k+1
= 25 [17t – 2^3k+1] + 8 . 2^3k+1
= 17 (25t) + 17 . 2^3k+1
= 17 [25t + 2^3k+1]
ఇచ్చట 25t + 2^3k+1 పూర్ణాంకం.
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 3. 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది.

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5+…. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) [(T.S) Mar. ’15, ’08]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = (n) (n + 1) (n + 2)
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ (n)(n+1)(n+2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1.2.3 = \(\frac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\) = 1.2.3
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …… + k(k+1) (k+2) = \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + …… + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= S(k) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3) (\(\frac{k}{4}\) + 1)
= \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1.2.3 +2.3.4. + 3.4.5+…..+ (n)(n + 1)(n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+\ldots\) ………(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{24}\) [2n² + 9n + 13]. [Mar. ’14, ’07, ’05]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం

Question 15.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\) [Mar. ’12]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం
(1² + 2² + 3² + ……+ n²)
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +…….. + (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1² = \(\frac{1(1+1)^2(1+2)}{12}\) = 1 = 1²
కాబట్టి n = 1 కు ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + ……. + k²) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)^2(k+3)}{12}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + 3² + ….. + k²) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]
= S(k) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]


∴ n = k + 1 కు ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N, p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ………. (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(c)

I.

Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) [Mar. ’14]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) ∈ R
⇔ (x² – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ (x + 1)(x – 1)(x + 3) ≠ 0
⇔ x ≠ -1, 1, -3
∴ f ప్రదేశం = R – {-1, 1, -3}

(ii) f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) ∈ R
⇔ (x – 1) (x – 2) (x – 3) ≠ 0
⇔ x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
∴ f ప్రదేశం = R – {1, 2, 3)

(iii) f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\) ∈ R
⇔ log(2 – x) ≠ 0, 2 – x>0
⇔ (2 – x) ≠ 1, 2 > x
⇔ x ≠ 1, x < 2 x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, 2)
లేదా x ∈ (-∞, 2) – {1}
∴ f ప్రదేశం = {(-∞, 2) – {1}}.

(iv) f(x) = |x – 3|
Solution:
f(x) = |x – 3| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం = R

(v) f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\) ∈ R
⇔ 4x – x² ≥ 0
⇔ x(4 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [0, 4]
∴ f ప్రదేశం = [0, 4]

(vi) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) [May ’05]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ∈ R
⇔ 1 – x² > 0
⇔ (1 + x) (1 – x) > 0
⇔ x ∈ (-1, 1)
∴ f ప్రదేశం = {x/x ∈ (-1, 1)}

(vii) f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\) ∈ R
⇔ 3x ∈ R, ∀ x ∈ R, x + 1 ≠ 0
⇔ x ∈ R, x ≠ -1
∴ f ప్రదేశం = R – {-1}.

(viii) f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) ∈ R
⇔ x² – 25 ≥ 0
⇔ (x + 5) (x – 5) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, ∞)
⇔ x ∈ R – (-5, 5)
∴ f ప్రదేశం = R – (-5, 5).

(ix) f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\) ∈ R
⇔ x – [x] ≥ 0
⇔ x ≥ [x]
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R.

(x) f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ [x] ≥ x
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం z. (z పూర్ణాంకాల సమితి)

Question 2.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) log |4 – x²|
Solution:
y = f(x) = log |4 – x²| అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ 4 – x² ≠ 0
⇔ x ≠ ±2
y = log |4 – x²|
⇒ |4 – x²| = e^y
∵ e^y > 0 ∀ y ∈ R
∴ f వ్యాప్తి R.

(ii) \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం Z.
f వ్యాప్తి {0}

(iii) \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
x ∈ R, [x] పూర్ణాంకం
sin π[x] = 0, ∀ x ∈ R
∴ f వ్యాప్తి {0}

(iv) \(\frac{x^2-4}{x-2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\frac{x^2-4}{x-2}\) ∈ R అనుకోండి.
⇔ У = \(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)
⇔ x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం R – {2}
అప్పుడు y = x + 2
∵ x ≠ 2, y ≠ 4
f వ్యాప్తి R – {4}

(v) \(\sqrt{9+x^2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{9+x^2}\) ∈ R అనుకోండి.
f ప్రదేశం R
x = 0 అయిన f(0) = √9 = 3
∀ x ∈ R – {0}, f(x) > 3
∴ f వ్యాప్తి [3, ∞).

Question 3.
f, g వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలను f(x) = 2x – 1, g(x) = x² గా నిర్వచిస్తే, కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) (3f – 2g) (x)
(ii) (fg) (x)
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
(iv) (f + g + 2) (x) లను కనుక్కోండి.
Solution:
(i) (3f – 2g) (x)
f(x) = 2x – 1, g(x) = x²
(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2 g(x)
= 3(2x – 1) – 2x²
= -2x² + 6x – 3
(ii) (fg) (x)
= f(x) . g(x)
= (2x – 1) (x²)
= 2x³ – x²
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
\(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x^2}\)
(iv) (f + g + 2) (x)
= f(x) + g(x) + 2
= (2x – 1) + x² + 2
= x² + 2x + 1
= (x + 1)²

Question 4.
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}, అయితే, కింది వాటిని కనుక్కోండి. [May ’08]
(i) 2f
(ii) 2 + f
(iii) f²
(iv) √f
Solution:
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}
(i) 2f = {(1, 2(2)), (2, 2(-3), (3, 2(-1))}
= {(1, 4), (2, -6), (3, -2)}
(ii) 2 + f = {(1, 2 + 2), (2, 2 + (-3)), (3, 2 + (-1)}
= {(1, 4), (2, -1), (3, 1)}
(iii) f² = {(1, 2²), (2, (-3)²), (3, (-1)²)}
= {(1, 4), (2, 9), (3, 1)}
(iv) √f = {(1, √2)}
∵ √-3, √-1 లు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.

II.

Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలకు ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\) ∈ R
⇔ x² – 3x + 2 ≥ 0
⇔ (x – 1) (x – 2) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, 1] [2, ∞]
∴ f ప్రదేశం R – (1, 2)

(ii) f(x) = log(x² – 4x + 3) [May ’11; Mar. ’08]
Solution:
f(x) = log(x² – 4x + 3) ∈ R
⇔ x² – 4x + 3 > 0
⇔ (x – 1) (x – 3) > 0
⇔ x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
∴ f ప్రదేశం R – [1, 3]

(iii) f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 2 + x ≥ 0, 2 – x ≥ 0, x ≠ 0
⇔ x² ≥ -2, x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ x ∈ [-2, 2] – {0}
∴ f ప్రదేశం [-2, 2] – {0}

(iv) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, 4 – x ≠ 1 and x – 2 ≠ 0
⇔ x < 4, x ≠ 3, x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం (-∞, 4) – {2, 3}

(v) f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\) ∈ R
సందర్భం (i) 4 – x2 ≥ 0 మరియు [x] + 2 > 0
(లేదా)
సందర్భం (ii) 4 – x² ≤ 0, [x] + 2 < 0
సందర్భం (i) 4 – x² ≥ 0, [x] + 2 > 0
⇔ (2 – x) (2 + x) ≥ 0, [x] > -2
⇔ x ∈ [-2, 2], x ∈ [-1, ∞]
⇔ x ∈ [-1, 2] ……(1)
సందర్భం (ii) 4 – x² ≤ 0 మరియు [x] + 2 < 0
⇔ (2 + x) (2 – x) ≤ 0, [x] < -2
⇔ x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞]
⇔ x ∈ (-∞, -2) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ f ప్రదేశం (-∞, -2) ∪ [-1, 2].

(vi) f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\) ∈ R
అప్పుడు log_0.3(x – x²) ≥ 0
⇒ x – x² ≤ (0.3)⁰
⇒ x – x² ≤ 1
⇒ -x² + x – 1 ≤ 0
(లేదా) x² – x + 1 ≥ 0
∀ x ∈ R కు ఇది సత్యం ……..(1)
మరియు x – x² ≥ 0
⇒ x² – x ≤ 0
⇒ x(x – 1) ≤ 0
⇒ x ∈ (0, 1) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
f ప్రదేశం R ∩ (0, 1) = (0, 1)
∴ f ప్రదేశం (0, 1)

(vii) f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\) ∈ R
⇔ x + |x| ≠ 0
⇔ x ∈ (0, ∞)
∵ |x| = x, అయినప్పుడు x ≥ 0
|x| = -x, అయినప్పుడు x < 0
∴ f ప్రదేశం (0, ∞).

Question 2.
R – {0} పై వాస్తవ మూల్య ప్రమేయం f(x) = \(\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+1\) సరి ప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:


∵ f(-x) = f(x)
⇒ f(x), R – {0} మీద సరి ప్రమేయం

Question 3.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∵ [x] పూర్ణాంకం కనుక tan π[x], sin π[x] లు ∀ x ∈ R కు సున్నాలు అవుతాయి.
∴ f ప్రదేశం R
వ్యాప్తి = {0}.

(ii) f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) ∈ R
⇔ 2 – 3x ≠ 0
⇔ x ≠ \(\frac{2}{3}\)
∴ f ప్రదేశం R – {\(\frac{2}{3}\)}
y = f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x}{2-3 x}\)
⇒ 2y – 3xy = x
⇒ 2y = x(1 + 3y)
∴ x = \(\frac{2 y}{1+3 y}\)
∵ x ∈ R – [latex]\frac{2}{3}[/latex]
1 + 3y ≠ 0
⇒ y ≠ \(\frac{-1}{3}\)
∴ f వ్యాప్తి R – {\(\frac{-1}{3}\)}

(iii) f(x) = |x| + |1 + x|
Solution:
f(x) = |x| + |1 + x| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
∵ |x| = x, x ≥ 0 అయినప్పుడు
= -x, x < 0 అయినప్పుడు
|1 + x| = 1 + x, x ≥ -1 అయినప్పుడు
= -(1 + x), x < -1 అయినప్పుడు
x = 0, f(0) = |0| + |1 + 0| = 1
x = 1, f(1) = |1| + |1 + 1| = 1 + 2 = 3
x = 2, f(2) = |2| + |1 + 2| = 2 + 3 = 5
x = -2, f(-2) = |-2| + |1 + (-2)| = |2 + 1| = 3
x = -1, f(-1) = |-1| + |1 + (-1)| = 1 + 0 = 1
∴ f వ్యాప్తి [1, ∞].