Inter 1st Year

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(a)

అభ్యాసం – 3 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
x + y = 0, x – y = 0 రేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
సాధన:
x + y = 0 రేఖ వాలు – \(\frac{a}{b}\) = -1
x – y = 0 రేఖ వాలు = 1

ప్రశ్న 2.
(2, -3), (0, -3) బిందువులు ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణము
(y – y₁) (x₁ – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y + 3) (2 – 0) = (x – 2) (-3 + 3)
2(y + 3) = 0
= y + 3 = 0

ప్రశ్న 3.
(1, 2), (1, -2) బిందువులు ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణం
(y – y₁) (x₁ − x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 2) (1 – 1) = (x – 1) (2 + 2)
0 = 4(x – 1)
x – 1 = 0.

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖ y = \(\sqrt{3}\)x – 4 Y – అక్షంతో చేసే కోణం, కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ సమీకరణము y = \(\sqrt{3}\)x – 4
వాలు = m = \(\sqrt{3}\) = tan \(\frac{\pi}{3}\)
X- అక్షంతో చేసే కోణం = \(\frac{\pi}{3}\)
Y- అక్షంతో చేసే కోణం = \(\frac{\pi}{2}\) – \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{6}\)

ప్రశ్న 5.
Y- అక్షంలో X = 1 రేఖకు ప్రతిబింబం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ సమీకరణము x = 1
Y-అక్షం దృష్ట్యా X = -1 యొక్క ప్రతిబింబము
i.e., x + 1 = 0

ప్రశ్న 6.
ab = 0 అయినప్పుడు (a, 0), (h, k), (0, b) బిందువులు సరేఖీయాలు కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(a, 0), B(h, k), C(0, b) లు సరేఖీయాలు.
⇒ AB వాలు = AC వాలు
\(\frac{k-0}{h-a}=\frac{-b}{a}\)
ak = – bh + ab
bh + ak = ab
\(\frac{h}{a}+\frac{k}{b}\) = 1

ప్రశ్న 7.
X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ
i) X- అక్షానికి ఎగువన 3 యూనిట్ల దూరంలో
ii) X- అక్షానికి దిగువన 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న సరళరేఖల సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన:
i)

AB సమీకరణము y = 3

ii)

AB సమీకరణము y = -4
y + 4 = 0

ప్రశ్న 8.
Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ
i) Y- అక్షానికి కుడివైపున 2 యూనిట్ల దూరంలో
ii) Y- అక్షానికి ఎడమవైపున 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉన్న సరళరేఖల సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన:
i)

కావలసిన AB సమీకరణము X = 2 లేదా X – 2 = 0

ii)

కావలసిన AB సమీకరణము
x = -5
x + 5 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన బిందు యుగ్మాల ద్వారా పోయే సరళరేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
i) (-3, 8) (10, 5)
ii) (3, 4) (7, -6)
iii) (8, 1), (-1, 7)
iv) (-p, q) (q, -p) (pq ≠ 0)
సాధన:
i) వాలు = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{8-5}{-3-10}=\frac{-3}{13}\)
ii) వాలు = \(\frac{4+6}{3-7}=\frac{10}{-4}=\frac{-5}{2}\)
iii) వాలు = \(\frac{1-7}{8+1}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)
iv) వాలు = \(\frac{q+p}{-p-q}=\frac{(p+q)}{-(p+q)}=-1\)

ప్రశ్న 2.
(2, 5), (x, 3) బిందువులగుండా పోయే సరళరేఖ వాలు 2 అయితే X విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
వాలు = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{5-3}{2-x}\) = 2
2 = 2(2 – x) ⇒ 1 = 12 – x
x = 2 – 1 = 1

ప్రశ్న 3.
(3, y), (2, 7) బిందువులను కలిపే రేఖ (−1, 4), (0, 6) బిందువులను కలిపే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే y విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
A(3, y), B(2, 7), P (-1, 4), Q(0, 6) లు దత్త బిందువులు.
m₁ = AB వాలు = \(\frac{y-7}{3-2}\) = y – 7
m₂ = PQ వాలు = \(\frac{4-6}{-1-0}=\frac{-2}{-1}\) = 2

AB, PQ లు సమాంతరాలు.
m₁ = m₂ ⇒ y – 7 = 2
y = 2 + 7 = 9

ప్రశ్న 4.
(6, 3), (- 4, 5) బిందువుల గుండా పోయే రేఖకు
(i) సమాంతరంగా
(ii) లంబంగా ఉన్న సరళరేఖల వాలులు కనుక్కోండి.
సాధన:
(6, 3), B(-4, 5) లు దత్త బిందువులు.
m = AB వాలు = \(\frac{3-5}{6+4}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}\)

PQ కు సమాంతరం AB
PQ వాలు = m = –\(\frac{1}{5}\)
RS కు లంబంగా AB
RS వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = 5

ప్రశ్న 5.
ధన X-అక్షంతో ధనదిశలో క్రింద ఇచ్చిన కోణాలు చేస్తూ, దత్త బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
i) \(\frac{\pi}{4}\), (0,0)
ii) \(\frac{\pi}{3}\), (1, 2)
ili) 135°, (3, -2)
iv) 150°, (-2, -1)
సాధన:
i) m = వాలు = tan 45° = 1
రేఖా సమీకరణము y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 1(x – 0)
i.e., y = x
లేదా x – y = 0

ii) m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)
రేఖా సమీకరణము
y – 2 = \(\sqrt{3}\)(x – 1)
= \(\sqrt{3}\)x – \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}\)x – y +(2 – \(\sqrt{3}\)) = 0

iii) m = tan 135° tan (180° – 45°)
– tan 45° = -1 .
రేఖా సమీకరణము y + 2 = 1 (x + 3)
= – x + 3
i.e., x + y – 1 = 0

iv) m = tan 150 ° = tan (180° – 30)
= -tan 30° = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
రేఖా సమీకరణము
y + 1 = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (x + 2)
\(\sqrt{3}\)y + \(\sqrt{3}\) = -x – 2
x + \(\sqrt{3}\)y + (2 + \(\sqrt{3}\)) = 0

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువు గుండాపోతూ నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేసే సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : PP’ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో 45° కోణం చేస్తుంది.
m = tan 45° = 1
PP’ రేఖ (0, 0) గుండా పోతుంది.
PP’ సమీకరణము y – 0 = 1(x – 0)
y = x

సందర్భం ii) : QQ’ రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో 135° కోణం చేస్తుంది.
m = tan 135° =tan (180° – 45°) = -tan 45°
QQ’ సమీకరణము y – 0 = -1(x – 0)
y = -x

ప్రశ్న 7.
సరళరేఖ ధన X- అక్షం ధన దిశతో చేసే కోణం, దాని Y-అంతర ఖండం క్రింద ఇచ్చాం. ఆ సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
i) 60°, 3
ii) 150°, 2
iii) 45°, -2
iv) tan^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\), 3
సాధన:
i) రేఖ సమీకరణము y = mx + c
m = tan 60° = \(\sqrt{3}\), c = 3
రేఖ సమీకరణము y = \(\sqrt{3}\)x + 3
\(\sqrt{3}\)x – y + 3 = 0

ii) m = tan 150° = tan (180° – 30°)
= – tan 30° = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\), c = 2
రేఖ సమీకరణము y = −x + 2
\(\sqrt{3}\)y = -x + 2\(\sqrt{3}\)
x + \(\sqrt{3}\)y – 2\(\sqrt{3}\) = 0

iii) m = tan 45° = 1
c = -2
రేఖ సమీకరణము
y = x – 2
x – y – 2 = 0

iv) θ = tan^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\) ⇒ m = tan θ = \(\frac{2}{3}\), c = 3
రేఖా సమీకరణము y = \(\frac{2}{3}\)x + 3
3y = 2x + 9
2x – 3y + 9 = 0

ప్రశ్న 8.
(- 4, 5) బిందువుగుండా పోతూ నిరూపకాక్షాలలో సమాన శూన్యేతర అంతరఖండాలు చేసే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15; May ’13]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో సరళరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశము ప్రకారము a = b
రేఖా సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
⇒ x + y = a
ఈ రేఖ P(- 4, 5) గుండా పోతుంది.
– 4 + 5 = a ⇒ a = 1
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
x + y = 1
లేదా x + y – 1 = 0

ప్రశ్న 9.
(-2, 4) బిందువు గుండా పోతూ శూన్యేతర అంతర ఖండాల మొత్తము సున్న అయ్యే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశము ప్రకారం a + b = 0 ⇒ b = -a
రేఖ సమీకరణము \(\frac{x}{a}-\frac{y}{a}\) = 1
⇒ x – y = a
ఈ రేఖ P(−2, 4) గుండా పోతుంది.
∴ -2 – 4 = a ⇒ a = -6
కావలసిన రేఖ సమీకరణము x – y = -6
x − y + 6 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
(3, – 4) బిందువు గుండా పోతూ X, Y- అంతరఖండాలు 2:3 నిష్పత్తిలో గల సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
దత్తాంశం ప్రకారం \(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\) ⇒ b = \(\frac{3 a}{2}\)
రేఖ సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{2 y}{3 a}\) = 1
3x + 2y = 3a
ఈ రేఖ P(3, – 4) గుండా పోతుంది.
9 – 8 = 3a ⇒ 3a = 1
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 3x + y = 1
3x + 2y – 1 = 0

ప్రశ్న 2.
(4, -3) బిందువు గుండా పోతూ (1, 1), (2, 3) బిందువుల ద్వారా పోయే సరళరేఖకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(1, 1); B(2, 3) లు దత్త బిందువులు.
m = AB వాలు = \(\frac{1-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}\) = 2

PQ రేఖ AB కి లంబంగా ఉంది.
PQ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{2}\)
PQ రేఖ (4, -3) గుండా పోతుంది.
PQ సమీకరణము y – y₁ = m(x – x₁)
y + 3 = –\(\frac{1}{2}\) (x – 4)
2y + 6 = -x + 4
x + 2y + 2 = 0

ప్రశ్న 3.
కింది బిందువులు సరేఖీయాలని చూపి కలిగి ఉండే L సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
i) (-5, 1), (5, 5), (10, 7)
ii) (1, 3), (-2, -6), (2, 6)
iii) (a, b + c), (b, c + a), (c, a + b)
సాధన:
i) A(-5, 1), B(5, 5), C(10, 7) లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – y₁) (x, – x₂) = (x – x₁) (y₁ – y₂)
(y – 1) (-5 – 5) = (x + 5) (1 – 5)
-10y + 10 = -4x – 20
4x – 10y + 30 = 0
లేదా 2x – 5y + 15 = 0
C (10, 7)
2x – 5y + 15 = 2.10 – 5.7 + 15
= 20 – 35 + 15 = 0
A,B,C లు సరేఖీయాలు.
దత్త బిందువుల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణం
2x – 5y + 15 = 0

ii) A(1, 3), B(-2, -6), C(2, 6)
AB సమీకరణం
(y – 3)(1 + 2) = (x – 1) (3 + 6)
3(y – 3) = 9(x – 1)
y – 3 = 3x – 3
3x – y = 0
C(2, 6)
3x – y = 3.2 – 6 = 6 – 6 = 0
∴ దత్త బిందువులు A, B, C లు సరేఖీయాలు,
A,B,C ల గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
3x – y = 0

iii) A(a, b + c), B(b, c + a), C(c, a + b)
AB సమీకరణము
(y – (b + c)) (a – b) = (x – a) (b + c – c – a)
(y – b – c) (a – b) = -(a – b) (x − a)
y – b – c = -x + a
లేదా x + y – (a + b + c) = 0
C(c, a + b)
c + a + b – a – b – c = 0
బిందువు AB మీద ఉంది.
A, B, C లు సరేఖీయాలు.
ఈ రేఖ సమీకరణము x + y = a + b + c

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజానికి A(10, 4), B(-4, 9), C(-2, -1) లు శీర్షాలు.
i) \(\overleftrightarrow{A B}\)
ii) A ద్వారా పోయే మధ్యగత రేఖ
iii) B ద్వారా పోయే ఉన్నతి
iv) భుజం \(\overleftrightarrow{A B}\) కి లంబ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) A(10, 4), B(-4, 9)లు దత్త బిందువులు.
AB సమీకరణము
(y – 4) (10 + 4) = (x – 10) (4 – 9)
14y – 56 = -5x + 50
5x + 14y – 106 = 0

ii) D బిందువు BC మధ్య బిందువు
D నిరూపకాలు \(\left(\frac{-4-2}{2}, \frac{9-1}{2}\right)\)
= (-3, 4)

A (10, 4) మూడవ శీర్షంలో AD సమీకరణం
(y – 4) (10 + 3) = (x + 3) (4 −4)
13(y – 4) = 0 ⇒ y – 4 = 0 (లేదా) y = 4

iii)

BE రేఖ AC కి లంబంగా ఉంది.
BE వాలు = \(\frac{-1}{m}=\frac{-12}{5}\)
BE రేఖ B(-4, 9) గుండా పోతుంది.
BE సమీకరణం ఉన్నతి
y – 9 = \(\frac{-12}{5}\) (x + 4)
5y – 45 = -12x – 48
12x + 5y + 3 = 0

iv) మధ్య బిందువు AB

PQ రేఖ AB కి లంబంగా ఉంది.
PQ వాలు = \(\frac{-1}{m}=\frac{14}{5}\)
AB లంబ సమద్విఖండన రేఖ సమీకరణము
У – \(\frac{13}{2}\) = \(\frac{14}{5}\) (x – 3)
5y – \(\frac{65}{2}\) = 14x – 42
14x – 5y + \(\left(\frac{65}{2}-42\right)\) = 0
14x – 5y – \(\frac{19}{2}\) = 0
28x – 10y – 19 = 0

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(e)

అభ్యాసం – 10 (ఇ)

I.

ప్రశ్న 1.
సరళరేఖపై చలించే ఒక కణం t సమయంలో చలించే దూరం’ s = -4t² + 2t. t = 2 సెకన్లు, t = 8 సెకన్లల మధ్య సరాసరి వేగాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4t² + 2t
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -8t + 2
వేగం t = 2 వద్ద V = \(\left(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\right)_{\mathrm{t}=2}\)
v = -16 + 2 = -14 యూనిట్లు/సెకను
వేగం t = 8 వద్ద v = \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=8}\)
v = -64 + 2 = -62
సరాసరి వేగం = \(\frac{-62-14}{2}\) = -38 యూనిట్లు/సెకను

ప్రశ్న 2.
y = x⁴ అయితే x = 2, x = 4 ల మధ్య y లో సరాసరి మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x⁴ ⇒ \(\frac{d y}{d t}\) = 4x³
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=2}\) = 32
\(\left(\frac{d y}{d t}\right)_{x=4}\) = 256
సరాసరి మార్పురేటు = \(\frac{256+32}{2}\) = 144.

ప్రశ్న 3.
సరళరేఖలో చలించే కణం కాలం t, దూరం S ల మధ్య సంబంధం s = t³ + 2t + 3. t = 4 సెకన్ల వద్ద ఆ కణ వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ + 2t + 3
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² + 2 , వేగం v = \([latex]\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\)[/latex] = 3ť² + 2
వేగం t వద్ద = 4
⇒ \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=4}\) = 48 + 2 = 50 యూనిట్లు/సెకను
v = 3t² + 2
\(\frac{d v}{d t}\) = 6t ⇒ a = \(\left(\frac{d v}{d t}\right)_{t=4}\) = 24 యూనిట్లు/సికన్’

ప్రశ్న 4.
సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం, కాలం దూరాల మధ్య సంబంధం s = t³ – 9t² + 24t – 18. దీని వేగం ఎప్పుడు ఎక్కడ నున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
s = t³ – 9t² + 24t – 18 కనుక
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 3t² – 18t + 24
v = 0 ⇒ 3 (t² – 6t + 8) = 0
∴ (t – 2) (t – 4) = 0
∴ t = 2 or 4
వేగము 2 మరియు 4 సెకన్ల తర్వాత సున్నా..
సందర్భం (i) :
t = 2
s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 8 – 36 + 48 – 18 = 56 -54 = 2
సందర్భం (ii) :
t = 4; s = t³ – 9t² + 24t – 18
= 64 – 144 + 96 – 18
= 160 – 162 = -2
కణం ‘O’ కు ఇరువైపులా 2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
ఒక సరళరేఖలో చలిస్తున్న కణం t కాలంలో పొందిన స్థానభ్రంశం 5 ను s = 45t + 11t² – t³ గా ఇస్తే, ఆ కణం నిశ్చల స్థితికి రావడానికి పట్టే కాలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
s = 45t + 11t² – t³
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 45 + 22t – 3t²
కణం నిశ్చలంగా ఉంటే
⇒ v = 0 = 45 + 22t- 3t² = 0
⇒ 3t² – 22t – 45 = 0
⇒ 3t² – 27t + 5t – 45 = 0
⇒ (3t + 5) (t – 9) = 0 ∴ t = 9 లేదా t = –\(\frac{5}{3}\)
∴ t = 9
∴ కణం 9 సెకన్ల తర్వాత నిశ్చలంగా ఉంటుంది.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 8 సెం.మీ./సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 12 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుందో కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15, ’14)
సాధన:
ఘనం యొక్క అంచు ‘a’ మరియు ఘన పరిమాణం v అనుకొనుము.
v = a³ —- (1)
ఇచ్చినవి \(\frac{d v}{d t}\) = 8 సెం.మీ.³/సెకను
a = 12 cm
ఉపరితల వైశాల్యం S = 6a²

ప్రశ్న 2.
నిలకడగా ఉన్న నీటిలో రాయిని వదిలితే వృత్తాకార అలలు ఏర్పడతాయి. ఈ అలలు 5 సెం.మీ./సెకను చొప్పున కదులుతున్నాయి. వృత్త వ్యాసార్ధం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు అలల వైశాల్యం పెరిగే రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాకార అలలు యొక్క వ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోండి.
వృత్త వైశాల్యం A = πr²
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{d r}{d t}\)
ఇచ్చినది r = 8, \(\frac{d r}{d t}\) = 5
\(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dt}}\) = 2π(8)(5)
= 80π సెం.మీ²/సెకను

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం పెరిగే రేటు 0.7 సెం.మీ/సెకను, అయితే దీని చుట్టు కొలతలో మార్పు రేటు ఎంత ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = 0.7 సెం.మీ/సెకను
చుట్టుకొలత C = 2πr
\(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dt}}\) = 2π\(\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\)
= 2π (0.7) = 1.4π సెం.మీ/సెకను.

ప్రశ్న 4.
ఒక బెల్తూన్న గ్యాస్తో నింపుతుంటే అది గోళరూపంలో ఉంటుంది. దీనిని సెకనుకు 900 ఘన సెంటీమీటర్లతో గ్యాసు నింపుతున్నారు. గోళ వ్యాసార్ధం 15 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు వ్యాసార్ధంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d v}{d t}\) = 900 సెం.మీ./సెకను
r = 15 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)

ప్రశ్న 5.
గాలి బుడగ వ్యాసార్ధంలో మార్పురేటు \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను, గాలి బుడగ వ్యాసార్ధం 1 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు దీని ఘన పరిమాణం ఏ రేటులో పెరుగుతుంది ?
సాధన:
\(\frac{d r}{d t}\) = \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ./సెకను
వ్యాసార్ధం r = 1 సెం.మీ.
గోళము యొక్క ఘన పరిమాణం v = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = \(4 \pi r^2 \frac{d r}{d t}\)
= 4π(1)²\(\frac{1}{2}\)
= 2π సెం.మీ./సెకన్.

ప్రశ్న 6.
ఒక వస్తువును 980 మీ./సెకను వేగంతో పైకి విసిరామనుకొందాం. దీని స్థానం s = -4.9 t² + 980 t గా ఉంటుంది. వస్తువు చేరిన గరిష్ట ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:
s = -4.9 t² + 980 t
\(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = -9.8 t + 980
v = -9.8 t + 980
గరిష్ఠ ఎత్తు, v = 0
-9.8 t + 980 = 0
980 = 9.8t
\(\frac{980}{9.8}\) = t
100 = t
s = -4.9(100)² + 980(100)
s = -49000 + 98000
s = 49000 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t^(3/2) వృద్ధి చెందుతుంది. t = 4 గంటలకు బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g అనుకొందాం.
అప్పుడు g(t) = t^3/2
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు
g'(t) = \(\frac{3}{2} t^{1 / 2}\)
ఇచ్చినది t = 4 గం.
g'(t) = \(\frac{3}{2}\) (4 × 60 × 60)^1/2
= \(\frac{3}{2}\)(2 × 60) = 180

ప్రశ్న 8.
పొడవు 8 మీ., వెడల్పు 4 మీ., ఎత్తు 3 మీ. గల దీర్ఘ చతుస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఉందనుకొందాం. దీనిని 0.4 మీ. 3/సెకను చొప్పున నీటితో నింపుతున్నారను కొందాం. నీటిమట్టం 2.5 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం ఎత్తులో మార్పురేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి పొడవు l = 8 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి వెడల్పు b = 4 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకారపు చేపల తొట్టి ఎత్తు h = 3 మీ.
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 0.4 మీ./సెకన్
v = lbh
= 8(4)(3) = 96
v = lbh
⇒ log v = log l + log b + log h
\(\frac{1}{v} \frac{d v}{d t}\) = \(\frac{1}{h} \frac{d h}{d t}\)
\(\frac{0.4}{96}\) = \(\frac{1}{2.5} \frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\)
\(\frac{1}{96}\) = \(\frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{dt}}\) at h = 2.5

గమనిక: Text book Ans. \(\frac{1}{80}\) will get when h = 3.

ప్రశ్న 9.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు పాత్ర ఎత్తు 8 మీ., పై వ్యాసార్ధం 6 మీ. దీనిలో 2 మీ. / నిమిషానికి చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు నీటి మట్టం 4 మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
(May 2013)
సాధన:
h = 8m = OC
r = 6m = AB
\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 2 మీ.³/ని.
Δ OAB మరియు OCD

సరూప త్రిభుజాలు
\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\)
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{8}\)
r = h\(\frac{3}{4}\)
శంకువు ఘన పరిమాణం v = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును C(x) యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000. ఆ వస్తువును 17 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు m అనుకొందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dc}}{\mathrm{dx}}\)
Hence
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000)
= (0.007) (3x²) – (0.003) (2x) + 15
(M)_{x = 17} =
x = 17 వద్ద ఉపాంత ఖర్చు
(M)_{x = 17} = (0.007) 867 – (0.003)’ (34) + 15
= 6.069 – 0.102 + 15
= 20.967.

ప్రశ్న 11.
x సంఖ్యలో ఒక వస్తువును అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 13x² + 26x + 15. x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{d R}{d x}\)
ఇక్కడ R(x) = 13x² + 26x + 15
∴ m = 26x + 26
x = 7 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
(M)_{x = 7} = 26(7) + 26
= 208.

ప్రశ్న 12.
y = 2x² పై P అనే బిందువు కదులుతుంది. P యొక్క x నిరూపకం మార్పురేటు సెకనుకు 4 యూనిట్లు బిందువు (2, 8) వద్ద P యొక్క y ని నిరూపకం పెరిగే రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 2x² కనుక
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x. \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
x = 2, అయినప్పుడు \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = 4. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\)
= 4(2).4 = 32
y నిరూపకము 32 యూనిట్లు/సెకను రేటుకు పెరుగుతుంది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(d)

I.

Question 1.
కింది మాత్రికల నిర్ధారకాలు కనుక్కోండి.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = ad – bc
= 2(-5) – 1(1)
= -10 – 1
= -11

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 4(2) – (-6)(5)
= 8 + 30
= 38

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = -i² – 0
= 1 – 0
= 1

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + 1(1 – 0)
= 1 + 1
= 2

(v) \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 1(-6 – 28) – 4(12 + 12) + 2(14 – 3)
= -34 – 96 + 22
= -108

(vi) \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 2(-3 – 2) + 1(4 – 1) + 4(8 + 3)
= -10 + 3 + 44
= 37

(vii) \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = 0,
∵ R₁ మరియు R₃ ల అనురూప మూలకాలు సమాన నిష్పత్తిలో ఉన్నవి.

(viii) \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{h} & \mathbf{g} \\
\mathbf{h} & \mathbf{b} & \mathbf{f} \\
\mathbf{g} & \mathbf{f} & \mathbf{c}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = a(bc – f²) – h(ch – fg) + g(hf – bg)
= abc – af² – ch² + fgh + fgh – bg²
= abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

(ix) \(\left[\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \boldsymbol{b} & \mathbf{c} \\
\mathbf{b} & \mathbf{c} & \mathbf{a} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{b}
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= abc – a³ – b³ + abc + abc – c³
= 3abc – a³ – b³ – c³

(x) \(\left[\begin{array}{ccc}
\mathbf{1}^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]\)
Solution:
det A = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 9 \\
4 & 9 & 16 \\
9 & 16 & 25
\end{array}\right|\)
= 1(225 – 256) – 4(100 – 144) + 9(64 – 81)
= -31 + 176 – 153
= -184 + 176
= -8

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right]\) అయి, det A = 45 అయితే x విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’07, ’03]
Solution:
det A = 45
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right|\) = 45
⇒ 3x + 24 = 45
⇒ 3x – 45 + 24 = 0
⇒ 3x – 21 = 0
⇒ x = 7

II.

Question 1.
\(\left|\begin{array}{lll}
b c & b+c & 1 \\
c a & c+a & 1 \\
a b & a+b & 1
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & c+a & a+b \\
a+b & b+c & c+a \\
a & b & c
\end{array}\right|\) = a³ + b³ + c³ – 3abc అని చూపండి. [May ’13, ’07; Mar. ’08]
Solution:

= (a + b + c) [(-ac + b²) – (-c² + ab) + (-bc + a²))
= (a + b + c) (-ac + b² + c² – ab – bc + a²)
= (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= a³ + b³ + c³ – 3abc

Question 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{y}+\mathbf{z} & \mathbf{x} & \mathbf{x} \\
\mathbf{y} & \mathbf{z}+\mathbf{x} & \mathbf{y} \\
\mathbf{z} & \mathbf{z} & \mathbf{x}+\mathbf{y}
\end{array}\right|\) = 4xyz అని చూపండి.
Solution:
L.H.S. = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{y}+\mathbf{z} & \mathbf{x} & \mathbf{x} \\
\mathbf{y} & \mathbf{z}+\mathbf{x} & \mathbf{y} \\
\mathbf{z} & \mathbf{z} & \mathbf{x}+\mathbf{y}
\end{array}\right|\)
= (y + z) [(z + x) (x + y) – yz] – x[y(x + y) – yz] + x[yz – z(z + x)]
= (y + z) (zx + yz + x² + xy – yz) – x(xy + y² – yz) + x(yz – z² – zx)
= (y + z) (zx + x² + xy) – x(xy + y² – yz) + x(yz – z² – zx)
= xyz + x²y + xy² + xz² + x²z + xyz – x²y – xy² + xyz + xyz – xz² – x²z
= 4xyz

Question 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0, \(\left|\begin{array}{lll}
a & a^2 & 1 \\
b & b^2 & 1 \\
c & c^2 & 1
\end{array}\right|\) ≠ 0 అయితే abc = -1 అని చూపండి.
సూచన: ఒక చతురస్ర మాత్రికలో ఏదైనా ఒక అడ్డు వరుస (లేదా నిలువు వరుస) లోని ప్రతీ మూలకం రెండు సంఖ్యల మొత్తంగా ఉంటే, ఆ మాత్రిక నిర్ధారకాన్ని రెండు మాత్రికల నిర్ధారకాలు మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు.
Solution:

∴ 1 + abc = 0
⇒ abc = -1

Question 5.
నిర్ధారకాన్ని విస్తరించండి.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & b c \\
b & b^2 & c a \\
c & c^2 & a b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\)
Solution:

(ii) \(\begin{array}{ccc}
a x & b y & c z \\
x^2 & y^2 & z^2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}=\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
x & y & z \\
y z & z x & x y
\end{array}\right|\)
Solution:

(iii) \(\begin{array}{lll}
1 & b c & b+c \\
1 & c a & c+a \\
1 & a b & a+b
\end{array}=\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 6.
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
a_1^2+b_1+c_1 & a_1 a_2+b_2+c_2 & a_1 a_3+b_3+c_3 \\
b_1 b_2+c_1 & b_2^2+c_2 & b_2 b_3+c_3 \\
c_3 c_1 & c_3 c_2 & c_3^2
\end{array}\right|\) మరియు Δ₂ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_2 & c_2 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\), అయితే \(\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\) విలువ కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \alpha & 1
\end{array}\right|\), Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\), Δ₁ = Δ₂ అయితే cos²α + cos²β + cos²γ = 1 అని చూపండి.
Solution:
Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \alpha & 1
\end{array}\right|\)
= 1(1 – cos²γ) – cos α (cos α – cos β cos γ) + cos β (cos α cos γ – cos β)
= 1 – cos²γ – cos²α + cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ – cos²β
= 1 – cos²γ – cos²α – cos²β + 2 cos α cos β cos γ
Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\)
= 0(0 – cos²γ) – cos α (0 – cos γ cos β) + cos β (cos α cos γ – 0)
= cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
= 2 cos α cos β cos γ
ఇచ్చినది Δ₁ = Δ₂
1 – cos²γ – cos²α – cos²β + 2 cos α cos β cos γ = 2 cos α cos β cos γ
1 – cos²α – cos²β – cos²γ = 0
1 = cos²α + cos²β + cos²γ

III.

Question 1.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{2 c} & \mathbf{a} & \mathbf{b} \\
\mathbf{c} & \mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{2 a} & \mathbf{b} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{a}+\mathbf{2 b}
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)³ అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \\
\mathbf{b} & \mathbf{c} & \mathbf{a} \\
\mathbf{c} & \mathbf{a} & \mathbf{b}
\end{array}\right|^2\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 b c-a^2 & c^2 & b^2 \\
c^2 & 2 a c-b^2 & a^2 \\
b^2 & a^2 & 2 a b-c^2
\end{array}\right|\) = (a³ + b³ + c³ – 3abc)² అని చూపండి. [Mar. ’01]
Solution:

Question 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = (a – 1)³ అని చూపండి. [Mar. ’13, ’07]
Solution:

= (a – 1)² [0(6 – 3) – 0[3(a + 1) – 3) + 1(a + 1 – 2)]
= (a – 1)² (a – 1)
= (a – 1)³
= R.H.S.

Question 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2 \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|\) = abc (a – b) (b – c) (c – a) అని చూపండి. [May ’06]
Solution:

= abc (a – b) (b – c) [0(c² – c(b + c) – 0(c² – c(a + b) + 1(b + c – a – b)]
= abc (a – b) (b – c) (c – a)

Question 5.
\(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & \mathbf{a}+\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} \\
\mathbf{a}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{b} & \mathbf{b}+\mathbf{c} \\
\mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 4(a + b) (b + c) (c + a) అని చూపండి.
Solution:

= 0 [∵ R₁ = R₃]
∴ (a + b), Δ కు కారణరాశి.
ఇదేవిధంగా b + c, c + a లు కూడా Δ కు కారణరాశులు.
∴ Δ అనునది a, b, c లలో 3వ పరిమాణం.
Δ = k(a + b) (b + c) (c + a), k శూన్యేతర సంఖ్య.
a = 1, b = 1, c = 1 అయిన
\(\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & 2 \\
2 & -2 & 2 \\
2 & 2 & -2
\end{array}\right|\) = k(1 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
⇒ -2(4 – 4) – 2(-4 – 4) + 2(4 + 4) = 8k
⇒ 16 + 16 = 8k
⇒ k = 4
∴ Δ = 4(a + b) (b + c) (c + a)
∴ \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & \mathbf{a}+\mathbf{b} & \mathbf{c}+\mathbf{a} \\
\mathbf{a}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{b} & \mathbf{b}+\mathbf{c} \\
\mathbf{c}+\mathbf{a} & \mathbf{c}+\mathbf{b} & -2 \mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 4(a + b) (b + c) (c + a).

Question 6.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}-\mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a} \\
\mathbf{b}-\mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} \\
\mathbf{c}-\mathbf{a} & \mathbf{a}-\mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c}
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 7.
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2-b c \\
1 & b & b^2-c a \\
1 & c & c^2-a b
\end{array}\right|\) = 0 అని చూపండి.
Solution:

Question 8.
\(\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{x} & \mathbf{a} & \mathbf{a} \\
\mathbf{a} & \mathbf{x} & \mathbf{a} \\
\mathbf{a} & \mathbf{a} & \mathbf{x}
\end{array}\right|\) = (x + 2a) (x – a)² అని చూపండి.
Solution:

= (x + 2a) [1(x – a)² – a(0(x – a) – 0)] + a[0 – 0(x – a)]
= (x + 2a) (x – a)²
= R.H.S.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 2 గణితానుగమనం Exercise 2(a)

I. గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతీ n ∈ N కు కిందివాటిని రుజువు చేయండి.

Question 1.
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Solution:
1² + 2² + 3² + ….. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
S(n) = 1² + 2² + 3² + ….. + n²
S(1) = \(\frac{(1)(2)(3)}{6}\) = 1
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.
i.e., 1² + 2² + 3² + ….. + k² = \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\) అని చూపాలి.
(S(k) = 1² + 2² + 3² + ….. + k²)
S(k + 1) = 1² + 2² + 3² + ……. + (k)² + (k + 1)² = S(k) + (k + 1)²


∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుండి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + 2² + 3² + ……. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) [Mar. ’13; May ’06]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం = (n + 1)(n + 2)
2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి మొత్తం S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = 2 . 3 = \(\frac{(1)(1+6+11)}{3}\) = 6
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = 2 . 3 + 3 . 4 + …….. + (k + 1) (k + 2) = \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
i.e., S(k + 1) = (k + 1) \(\left[\frac{(k+1)^2+6(k+1)+11}{3}\right]\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …….. + (k + 1)
(k + 2) + (k + 2) (k + 3) = S(k) + (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\) + (k + 2) (k + 3)

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …… + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\), ∀ n ∈ N

Question 3.
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
Solution:
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.3}=\frac{1}{1(2+1)}=\frac{1}{1.3}\)
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
i.e., S(k) = \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 \mathrm{k}-1)(2 \mathrm{k}+1)}\) = \(\frac{k}{2 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
i.e., \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}\), ∀ n ∈ N

Question 4.
4³ + 8³ + 12³ + ……. n పదాల వరకు = 16n² (n + 1)².
Solution:
4, 8, 12, … లు A.P. లో ఉన్నవి.
n వ పదం (4n)
4³ + 8³ + 12³ + ……. + (4n)³ = 16n² (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 4³ = 16(1²) (1 + 1)² = 16(4) = 64 =4³
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొనుము.
i.e., S(k) = 4³ + 8³ + (12)³ + …… + (4k)³ = 16k² (k + 1)²
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = 16(k + 1)² (k + 2)² అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4k)³ + [4(k + 1)]³
= S(k) + [4(k + 1)]³
= 16k² (k + 1)² + 4³ (k + 1)³
= 16(k + 1)² [k² + 4(k + 1))
= 16(k + 1)² [k² + 4k + 4]
= 16(k + 1)² (k + 2)²
= 16(k + 1)² (\(\overline{k+1}\) + 1)²
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 4³ + 8³ + 12³ + …… + (4n)³ = 16n² (n + 1)².

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + …..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d].
Solution:
a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకొనుము.
S(1) = a = \(\frac{1}{2}\) [2a + (1 – 1)d] = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (k – 1)d] = \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d]
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\left(\frac{k+1}{2}\right)\) [2a + kd] అని చూపాలి.
S(k + 1) = a + (a + d) + (a + 2d) + …… + [a + (k – 1)d] + (a + kd)
= S(k) + (a + kd)
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1)d] + (a + kd)
= \(\frac{k[2 a+(k-1) d]+2(a+k d)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [2ak + k(k – 1)d + 2a + 2kd]
= \(\frac{1}{2}\) [2a(k + 1) + k(k – 1 + 2)d]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (2a + kd).
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [a + (n – 1)d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]

Question 6.
a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1. [Mar. ’11]
Solution:
a + ar + a . r² + ……… + a . r^n-1 = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) తో సూచిద్దాం.
S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకొనుము.
(i.e.,) S(k) = a + ar + ar² + …….. + a. r^k-1 = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}\) అని చూపాలి.
ఇప్పుడు S(k + 1) = a + ar + ar² + …… + a r^k-1 + ar^k
= S(k) + a . r^k

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) a + ar + ar² + …….. (n పదాల వరకు) = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ……+ (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\)
Solution:
2 + 7 + 12 + ……. + (5n – 3) = \(\frac{\mathrm{n}(5 n-1)}{2}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతి వైపుమొత్తాన్ని S(n) అనుకొనుము.
S(1) = 2 = \(\frac{1(5 \times 1-1)}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
S(k+1) = \(\frac{(k+1)(5 k+4)}{2}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 7 + 12 + …… + (5k – 3) + (5k + 2)
= S(k) + (5k + 2)
= \(\frac{k(5 k-1)}{2}\) + (5k + 2)
= \(\frac{5 k^2-k+2(5 k+2)}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) [5k² + 9k + 4]
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) (5k + 4)
= \(\frac{1}{2}\) (k + 1) [5(k + 1) – 1]
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 2 + 7 + 12 + …… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² [(A.P) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకొనుము.
S(1) = 1 + 3 = 4 = (1 + 1)² = 4
n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = K కు దత్త సూత్రం నిజం అనుకొనుము.

= (k + 1)² + 2k + 3
= k² + 2k + 1 + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
= (k + 1 + 1)²
n = k + 1 కు నిజం.
n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.

Question 9.
(2n + 7) < (n + 3)²
Solution:
(2n + 7) < (n + 3)² అనే ప్రవచనం p(n) అనుకొందాం.
n = 1
9 < 16
n = 1 కు నిజం
n = k కు నిజం అనుకొందాం.
(2k + 7) < (k + 3)²
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
2(k + 1) + 7 = 2k + 7 + 2 < (k + 3)² + 2
< k² + 6k + 9 + 2 + 2k + 5 – 2k – 5
< (k + 4)² – (2k + 5)
< (k + 4)² < (k + 1 + 3)²
n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం అవుతుంది.

Question 10.
1² + 2² + ….. + n² > \(\frac{n^3}{3}\)
Solution:
1² + 2² + …… + n² > \(\frac{n^3}{3}\) అనే ప్రవచనాన్ని P(n) అనుకొందాం.
n = 1 అయితే
1 > \(\frac{1}{3}\)
n = 1 కు p(n) నిజం అనుకొండి.
1² + 2² + ….. + k² > \(\frac{k^3}{3}\)
n = k + 1 కు నిజం అని చూపాలి.
1² + 2² + 3²…… + k² + (k + 1)² > \(\frac{k^3}{3}\) + (k + 1)²

n = k + 1 కు నిజం.
గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.

Question 11.
4ⁿ – 3n – 1 ను 9 భాగిస్తుంది.
Solution:
4ⁿ – 3n – 1 ని 9 భాగిస్తుంది. అనే ప్రవచనాన్ని p(n) అనుకుందాం.
4¹ – 3(1) – 1 = 0
కాబట్టి n = 1 కి దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 4^k – 3k – 1, 9 చే భాగించబడుతుంది.
4^k – 3k – 1 = 9t, t ∈ N ……(1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = 4^k+1 – 3(k + 1) – 1 ని 9 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి,
4^k = 9t + 3k + 1
∴ S(k + 1) = 4 . 4^k – 3(k + 1) – 1
= 4(9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4(9t) + 9k
= 9[4t + k]
S(k + 1) ని 9 భాగిస్తుంది.
4t + k పూర్ణాంకం కనుక
∴ 4^k+1 – 3(k+1) – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) 4ⁿ – 3n – 1, 9 చే భాగింపబడుతుంది.

Question 12.
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది. [May ’12, ’08]
Solution:
3 . 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
3 . 5²⁽¹⁾⁺¹ + 2³⁽¹⁾⁺¹
= 3 . 5³ + 2⁴
= 3(125) + 16
= 375 + 16
= 391
= 17(23) ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు దత్తప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 ను 17 భాగిస్తుంది అనుకోండి.
3 . 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t, t ∈ N …….(1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది అని చూపాలి.
(1) నుంచి, 3. 5^2k+1 + 2^3k+1 = 17t
∴ 3 . 5^2k+1 = 17t – 2^3k+1
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1
= 3.5^2k+1 . 5² + 2^3k+1 . 2³
= 25 [3 . 5^2k+1] + 8 . 2^3k+1
= 25 [17t – 2^3k+1] + 8 . 2^3k+1
= 17 (25t) + 17 . 2^3k+1
= 17 [25t + 2^3k+1]
ఇచ్చట 25t + 2^3k+1 పూర్ణాంకం.
∴ 3 . 5^2(k+1)+1 + 2^3(k+1)+1 ను 17 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 3. 5²ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ను 17 భాగిస్తుంది.

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5+…. (n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) [(T.S) Mar. ’15, ’08]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = (n) (n + 1) (n + 2)
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ (n)(n+1)(n+2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\) అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1.2.3 = \(\frac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\) = 1.2.3
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …… + k(k+1) (k+2) = \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + …… + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= S(k) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)
= \(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3) (\(\frac{k}{4}\) + 1)
= \(\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N అన్ని విలువలకు గణితానుగమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
(i.e.,) 1.2.3 +2.3.4. + 3.4.5+…..+ (n)(n + 1)(n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}+\ldots\) ………(n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{24}\) [2n² + 9n + 13]. [Mar. ’14, ’07, ’05]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం

Question 15.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……..(n పదాల వరకు) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\) [Mar. ’12]
Solution:
దత్త శ్రేఢిలో n వ పదం
(1² + 2² + 3² + ……+ n²)
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +…….. + (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1² = \(\frac{1(1+1)^2(1+2)}{12}\) = 1 = 1²
కాబట్టి n = 1 కు ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + ……. + k²) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(k+2)^2(k+3)}{12}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = 1² + (1² + 2²) + …… + (1² + 2² + 3² + ….. + k²) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]
= S(k) + [1² + 2² + …… + k² + (k + 1)²]


∴ n = k + 1 కు ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N, p(n) నిజం.
(i.e.,) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ………. (1² + 2² + ….. + n²) = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(c)

I.

Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) [Mar. ’14]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\) ∈ R
⇔ (x² – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ (x + 1)(x – 1)(x + 3) ≠ 0
⇔ x ≠ -1, 1, -3
∴ f ప్రదేశం = R – {-1, 1, -3}

(ii) f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) ∈ R
⇔ (x – 1) (x – 2) (x – 3) ≠ 0
⇔ x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
∴ f ప్రదేశం = R – {1, 2, 3)

(iii) f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\) ∈ R
⇔ log(2 – x) ≠ 0, 2 – x>0
⇔ (2 – x) ≠ 1, 2 > x
⇔ x ≠ 1, x < 2 x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, 2)
లేదా x ∈ (-∞, 2) – {1}
∴ f ప్రదేశం = {(-∞, 2) – {1}}.

(iv) f(x) = |x – 3|
Solution:
f(x) = |x – 3| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం = R

(v) f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\) ∈ R
⇔ 4x – x² ≥ 0
⇔ x(4 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [0, 4]
∴ f ప్రదేశం = [0, 4]

(vi) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) [May ’05]
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ∈ R
⇔ 1 – x² > 0
⇔ (1 + x) (1 – x) > 0
⇔ x ∈ (-1, 1)
∴ f ప్రదేశం = {x/x ∈ (-1, 1)}

(vii) f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\) ∈ R
⇔ 3x ∈ R, ∀ x ∈ R, x + 1 ≠ 0
⇔ x ∈ R, x ≠ -1
∴ f ప్రదేశం = R – {-1}.

(viii) f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) ∈ R
⇔ x² – 25 ≥ 0
⇔ (x + 5) (x – 5) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, ∞)
⇔ x ∈ R – (-5, 5)
∴ f ప్రదేశం = R – (-5, 5).

(ix) f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x-[x]}\) ∈ R
⇔ x – [x] ≥ 0
⇔ x ≥ [x]
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R.

(x) f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ [x] ≥ x
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం z. (z పూర్ణాంకాల సమితి)

Question 2.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) log |4 – x²|
Solution:
y = f(x) = log |4 – x²| అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ 4 – x² ≠ 0
⇔ x ≠ ±2
y = log |4 – x²|
⇒ |4 – x²| = e^y
∵ e^y > 0 ∀ y ∈ R
∴ f వ్యాప్తి R.

(ii) \(\sqrt{[x]-x}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{[x]-x}\) అనుకోండి.
f(x) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ Z
∴ f ప్రదేశం Z.
f వ్యాప్తి {0}

(iii) \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
x ∈ R, [x] పూర్ణాంకం
sin π[x] = 0, ∀ x ∈ R
∴ f వ్యాప్తి {0}

(iv) \(\frac{x^2-4}{x-2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\frac{x^2-4}{x-2}\) ∈ R అనుకోండి.
⇔ У = \(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\)
⇔ x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం R – {2}
అప్పుడు y = x + 2
∵ x ≠ 2, y ≠ 4
f వ్యాప్తి R – {4}

(v) \(\sqrt{9+x^2}\)
Solution:
y = f(x) = \(\sqrt{9+x^2}\) ∈ R అనుకోండి.
f ప్రదేశం R
x = 0 అయిన f(0) = √9 = 3
∀ x ∈ R – {0}, f(x) > 3
∴ f వ్యాప్తి [3, ∞).

Question 3.
f, g వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలను f(x) = 2x – 1, g(x) = x² గా నిర్వచిస్తే, కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) (3f – 2g) (x)
(ii) (fg) (x)
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
(iv) (f + g + 2) (x) లను కనుక్కోండి.
Solution:
(i) (3f – 2g) (x)
f(x) = 2x – 1, g(x) = x²
(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2 g(x)
= 3(2x – 1) – 2x²
= -2x² + 6x – 3
(ii) (fg) (x)
= f(x) . g(x)
= (2x – 1) (x²)
= 2x³ – x²
(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)
\(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x^2}\)
(iv) (f + g + 2) (x)
= f(x) + g(x) + 2
= (2x – 1) + x² + 2
= x² + 2x + 1
= (x + 1)²

Question 4.
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}, అయితే, కింది వాటిని కనుక్కోండి. [May ’08]
(i) 2f
(ii) 2 + f
(iii) f²
(iv) √f
Solution:
f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}
(i) 2f = {(1, 2(2)), (2, 2(-3), (3, 2(-1))}
= {(1, 4), (2, -6), (3, -2)}
(ii) 2 + f = {(1, 2 + 2), (2, 2 + (-3)), (3, 2 + (-1)}
= {(1, 4), (2, -1), (3, 1)}
(iii) f² = {(1, 2²), (2, (-3)²), (3, (-1)²)}
= {(1, 4), (2, 9), (3, 1)}
(iv) √f = {(1, √2)}
∵ √-3, √-1 లు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.

II.

Question 1.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలకు ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\) ∈ R
⇔ x² – 3x + 2 ≥ 0
⇔ (x – 1) (x – 2) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, 1] [2, ∞]
∴ f ప్రదేశం R – (1, 2)

(ii) f(x) = log(x² – 4x + 3) [May ’11; Mar. ’08]
Solution:
f(x) = log(x² – 4x + 3) ∈ R
⇔ x² – 4x + 3 > 0
⇔ (x – 1) (x – 3) > 0
⇔ x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
∴ f ప్రదేశం R – [1, 3]

(iii) f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 2 + x ≥ 0, 2 – x ≥ 0, x ≠ 0
⇔ x² ≥ -2, x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ 0
⇔ x ∈ [-2, 2] – {0}
∴ f ప్రదేశం [-2, 2] – {0}

(iv) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)} \log _{(4-x)} 10}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, 4 – x ≠ 1 and x – 2 ≠ 0
⇔ x < 4, x ≠ 3, x ≠ 2
∴ f ప్రదేశం (-∞, 4) – {2, 3}

(v) f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\) ∈ R
సందర్భం (i) 4 – x2 ≥ 0 మరియు [x] + 2 > 0
(లేదా)
సందర్భం (ii) 4 – x² ≤ 0, [x] + 2 < 0
సందర్భం (i) 4 – x² ≥ 0, [x] + 2 > 0
⇔ (2 – x) (2 + x) ≥ 0, [x] > -2
⇔ x ∈ [-2, 2], x ∈ [-1, ∞]
⇔ x ∈ [-1, 2] ……(1)
సందర్భం (ii) 4 – x² ≤ 0 మరియు [x] + 2 < 0
⇔ (2 + x) (2 – x) ≤ 0, [x] < -2
⇔ x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞]
⇔ x ∈ (-∞, -2) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ f ప్రదేశం (-∞, -2) ∪ [-1, 2].

(vi) f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\)
Solution:
f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\) ∈ R
అప్పుడు log_0.3(x – x²) ≥ 0
⇒ x – x² ≤ (0.3)⁰
⇒ x – x² ≤ 1
⇒ -x² + x – 1 ≤ 0
(లేదా) x² – x + 1 ≥ 0
∀ x ∈ R కు ఇది సత్యం ……..(1)
మరియు x – x² ≥ 0
⇒ x² – x ≤ 0
⇒ x(x – 1) ≤ 0
⇒ x ∈ (0, 1) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
f ప్రదేశం R ∩ (0, 1) = (0, 1)
∴ f ప్రదేశం (0, 1)

(vii) f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x+|x|}\) ∈ R
⇔ x + |x| ≠ 0
⇔ x ∈ (0, ∞)
∵ |x| = x, అయినప్పుడు x ≥ 0
|x| = -x, అయినప్పుడు x < 0
∴ f ప్రదేశం (0, ∞).

Question 2.
R – {0} పై వాస్తవ మూల్య ప్రమేయం f(x) = \(\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+1\) సరి ప్రమేయం అని చూపండి.
Solution:


∵ f(-x) = f(x)
⇒ f(x), R – {0} మీద సరి ప్రమేయం

Question 3.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
(i) f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∵ [x] పూర్ణాంకం కనుక tan π[x], sin π[x] లు ∀ x ∈ R కు సున్నాలు అవుతాయి.
∴ f ప్రదేశం R
వ్యాప్తి = {0}.

(ii) f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
Solution:
f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) ∈ R
⇔ 2 – 3x ≠ 0
⇔ x ≠ \(\frac{2}{3}\)
∴ f ప్రదేశం R – {\(\frac{2}{3}\)}
y = f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x}{2-3 x}\)
⇒ 2y – 3xy = x
⇒ 2y = x(1 + 3y)
∴ x = \(\frac{2 y}{1+3 y}\)
∵ x ∈ R – [latex]\frac{2}{3}[/latex]
1 + 3y ≠ 0
⇒ y ≠ \(\frac{-1}{3}\)
∴ f వ్యాప్తి R – {\(\frac{-1}{3}\)}

(iii) f(x) = |x| + |1 + x|
Solution:
f(x) = |x| + |1 + x| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R
∵ |x| = x, x ≥ 0 అయినప్పుడు
= -x, x < 0 అయినప్పుడు
|1 + x| = 1 + x, x ≥ -1 అయినప్పుడు
= -(1 + x), x < -1 అయినప్పుడు
x = 0, f(0) = |0| + |1 + 0| = 1
x = 1, f(1) = |1| + |1 + 1| = 1 + 2 = 3
x = 2, f(2) = |2| + |1 + 2| = 2 + 3 = 5
x = -2, f(-2) = |-2| + |1 + (-2)| = |2 + 1| = 3
x = -1, f(-1) = |-1| + |1 + (-1)| = 1 + 0 = 1
∴ f వ్యాప్తి [1, ∞].

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
P (3, −2, 4) బిందువుకు మూలబిందువు నుంచి దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OP = \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
= \(\sqrt{9+4+16}\)
= \(\sqrt{29}\) యూనిట్లు

ప్రశ్న 2.
(3, 4, -2), (1,0,7) బిందువుల మధ్యదూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
PQ = \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}\)
= \(\sqrt{(3-1)^2+(4-0)^2+(-2-7)^2}\)
= \(\sqrt{4+16+81}\)
= \(\sqrt{101}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
(5, -1, 7), (x, 5,1)ల మధ్యదూరం 9 యూనిట్లు అయితే X ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(5, -1, 7), Q(x, 5, 1) లు దత్త బిందువులు
PQ = 9
PQ = \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2+\left(z_1-z_2\right)^2}\) = 9
\(\sqrt{(5-x)^2+(-1-5)^2+(7-1)^2}\) = 9
(5 – x)² + 36 + 36 = 81
(5 – x)² = 81 – 72 = 9
5 – x = ±3
5 – x = 3 లేదా 5 – x = -3
x = 5 – 3 లేదా x = 5 + 3
= 2 లేదా 8

ప్రశ్న 2.
(2, 3, 5), (−1, 5, -1), (4, -3, 2) బిందువులు సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A (2, 3, 5), B (-1, 5, -1), C (4, -3, 2) లు దత్త
బిందువుల
AB² = (2 + 1)² + (3 – 5)² + (5 + 1)²
= 9 + 4 + 36
= 49
BC² = (-1 – 4² + (5 + 3)² + (-1 – 2)²
= 25 + 64 + 9
= 98
CA² = (4 – 2)² + (-3 – 3)² + (2 – 5)²
= 4 + 36 + 9
= 49
AB² = CA²
⇒ AB² + CA² = 49 + 49 = 98 = BC²
ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

ప్రశ్న 3.
(1, 2 ,3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) బిందువులు ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) మరియు C (3, 1, 2) లు దత్త బిందువులు
AB² = (1 – 2)² + (2 – 3)² + (3 – 1)²
= 1 + 1 +4
= 6
BC² = (2 – 3)² + (3 – 1)² + (1 – 2)²
= 1 + 4 + 1
= 6
CA² = (3 – 1)² + (1 – 2)² + (2 – 3)²
= 4 + 1 + 1
= 6
AB² = BC² = CA²
⇒ AB = BC = CA
ABC సమబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 4.
A = (-2, 2, 3), B = (13, -3, 13)∞r Bow Dowser. 3PA = 2PB అయ్యేటట్లు చలించే బిందువు P యొక్క నిరూపకాలు
x² + y² + z² + 28x – 12y + 10z – 247 = 0 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(-2, 2, 3) మరియు B(13, -3, 13) లు దత్త బిందువులు P(x,y,z) బిందువు బిందుపథం మీది దత్త నియమము
3PA = 2PB ⇒ 9 PA² 4PB²
9[(x + 2)² + (y – 2)² + (z – 3)²]
= 4 [(x – 13)² + (y + 3)² + (z – 13)²]
⇒ 9(x² + 4x +4 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9)
= 4(x² – 26x + 169 + y² + 6y + 9 + z² – 26z + 169)
= 9x² + 9y² + 9z² + 36x – 36y – 54z + 153
= 4x² + 4y² + 4z² – 104x + 24y – 104z + 1388
5x² + 5y² +5z² + 140x – 60y + 50z – 1235 = 0
5 తో భాగించగా P బిందు పధము x² + y² + z² + 28x – 12y + 10z – 247 = 0

ప్రశ్న 5.
(1, 2, 3) (7, 0, 1), (-2, 3, 4) లు సరేఖీయాలు అని చూపండి. [Mar. ’13]
సాధన:
A (1, 2, 3), B(7, 0, 1) C(-2, 3, 4) లు దత్త బిందువులు
AB = \(\sqrt{(1-7)^2+(2-0)^2+(3-1)^2}\)
= \(\sqrt{36+4+4}=\sqrt{44}\)
= \(2 \sqrt{11}\)
BC = \(\sqrt{(7+2)^2+(0-3)^2+(1-4)^2}\)
= \(\sqrt{81+9+9}=\sqrt{99}\)
= \(3 \sqrt{11}\)
CA = \(\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2+(4-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}\)
AB + AC = \(2 \sqrt{11}\) + \(\sqrt{11}\) = \(2 \sqrt{11}\) = BC
A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 6.
(0, 4, 1), (2, 3, 1), (4, 5, 0), (2, 6, 2) లు వరసగా A, B, C, D బిందువులని సూచిస్తే ABCD ఒక చతురస్రం అని చూపండి.
సాధన:
A(0, 4, 1), B(2, 3, -1) C(4, 5, 0), D(2, 6, 2) లు దత్త బిందువులు
AB² = (0 − 2)² + (4 – 3)² + (1 + 1)²
= 4 + 1 + 4
= 9
BC² = (2 – 4)² + (3 – 5)² + (-1 + 0)²
= 4 + 4 + 1
= 9
CD² = (4 – 2)² + (5 – 6)² + (0 − 2)²
= 4 + 1 + 4
= 9
DA² = (2 – 0)² + (6 – 4)² + (2 – 1)²
= 4 + 4 + 1
= 9
AB² = BC² = CD² = DA²
⇒ AB = BC = CD = DA
AC² = (0 – 4)² + (4 – 5)² + (1 – 0)²
= 16 + 1 + 1
= 18
BD² = (2 – 2)² + (3 – 6)² + (-1 – 2)²
= 9 + 9
= 18
AC² = BD² → AC = BD
AB² + BC² = 9 + 9 = 18 = AC²
⇒ ∠ABC 90°
A, B, C, D లు చతురస్ర శీర్షాలు

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(h) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(h)

I. కింది సమీకరణ వ్యవస్థలను
(i) గుణక మాత్రిక సాధారణమైనపుడు క్రేమర్ నియమంతోనూ, మాత్రికా విలోమ పద్ధతిలోనూ సాధించండి.
(ii) గౌన్ – జోర్డాన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సాధించండి. ఇంకా వ్యవస్థకు ఏకైక సాధన ఉందా, అనంత సాధనలు ఉన్నాయా, సాధన లేదా అనేది తెలపండి. సాధన ఉంటే సాధించండి.

Question 1.
5x – 6y + 4z = 15
7x + 4y – 3z = 19
2x + y + 6z = 46
సూచన : x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}\), y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}\), z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}\)
Solution:

Question 2.
x + y + z = 1
2x + 2y + 3z = 6
x + 4y + 9z = 3
Solution:

Question 3.
x – y + 3z = 5
4x + 2y – z = 0
-x + 3y + z = 5 [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

Question 4.
2x + 6y + 11 = 0
6x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
Solution:
∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 6 & 0 \\
6 & 20 & -6 \\
0 & 6 & -18
\end{array}\right|\)
= 2(-360 + 36) – 6(-108 – 0)
= -648 + 648
= 0
∵ ∆ = 0 కనుక.
క్రేమర్ నియమంతోను, మాత్రిక విలోమ పద్ధతిని సాధించలేము.
(ii) గౌస్ – జోర్డాన్ పద్ధతి :

ρ(A) = 2, ρ(AB) = 3
ρ(A) ≠ ρ(AB)
∴ దత్త వ్యవస్థ అసంగతం. సాధన లేదు.

Question 5.
2x – y + 3z = 9
x + y + z = 6
x – y + z = 2 [Mar. ’14, ’05, ’02; May ’13]
Solution:

Question 6.
2x – y + 8z = 13
3x + 4y + 5z = 18
5x – 2y + 7z = 20 [Mar. ’04, ’03, ’01]
Solution:

Question 7.
2x – y + 3z = 8
-x + 2y + z = 4
3x + y – 4z = 0
Solution:

Question 8.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(c)

అభ్యాసం – 10 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = b sin \(\frac{x}{a}\) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = b. sin \(\frac{x}{a}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = b.cos \(\frac{x}{a} \cdot \frac{1}{a}\) = \(\frac{b}{a}\). cos \(\frac{x}{a}\)

ప్రశ్న 2.
xy = a² అనే వక్రానికి ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపలంబ ఖండం ఆ బిందువు y నిరూపకం ఘనానికి అనుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము xy = a²
y = \(\frac{a^2}{x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-a^2}{x^2}\)
ఉపలంబ రేఖ పొడవు’= |y₁, .f'(x₁)|

= \(\frac{y_1^3}{a^2}\) ∝ \(y_1^3\) = y నిరూపకం యొక్క ఘనము.

ప్రశ్న 3.
y = be^x/a అనే వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉప స్పర్శఖండం స్థిరమనీ, ఉపలంబ ఖండం \(\frac{y^2}{a}\) అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = be^x/a
y = a(1 – cos t)

II.

ప్రశ్న 1.
x y^k = a^{k + 1} వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద నైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరం కావాలంటే k విలువ కనుక్కోండి ?
సాధన:
వక్రం సమీకరణము x.y^k = a^{k + 1}
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

ఉపలంబ రేఖ పొడవు x, y నిరూపకాల మీద ఆధారపడి మరియు \(\frac{y_1^{k+2}}{k \cdot a^{k+1}}\) విలువ x₁, y₁ ల మీద ఆధారపడి లేదు.
⇒ k + 2 = 0 ⇒ k = – 2

ప్రశ్న 2.
x = a (t + sin t), y = a (1 – cos t) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు t వద్ద స్పర్శరేఖ పొడవు, “అభిలంబరేఖ పొడవు, ఉపస్పర్శ ఖండం, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి. (June ’04)
సాధన:
వక్రం సమీకరణం x = a (t + sin t),
y = a (1 – cost)

ప్రశ్న 3.
y = \(\frac{a}{2}\) (e^x/a + e^-x/a) వక్రానికి ఏదైనా బిందువు వద్ద అఖిలంబ రేఖ పొడవు, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి. (Mar. ’13)
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{a}{2}\)(e^x/a + e^-x/a)
= a. cosh \(\left(\frac{x}{a}\right)\)

ప్రశ్న 4.
x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cos t) వక్రంపై ఏ బిందువు t వద్ద ఉపస్పర్శ రేఖ, ఉపలంబ ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణాలు x = a(cos t + t sin t)

ఉపస్పర్శరేఖ పొడవు = |\(\frac{y_1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)| = |\(\frac{a(\sin t-t \cos t)}{\tan t}\)|
= |a cot t (sin t – t cos t)|
ఉపలంభరేఖ పొడవు = |y₁. f'(x₁)|
= |a(sin t – t cos t) tan t|
= |a tan t(sin t – t cos t)|

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 3 సరళరేఖ Exercise 3(d)

అభ్యాసం – 3 (డి)

I. కింది సరళరేఖల మధ్య లఘుకోణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
y = 4 – 2x, y = 3x + 7
సాధన:
y = 4 – 2x ⇒ 2x + y − 4 = 0
3x – y + 7 = 0

ప్రశ్న 2.
3x + 5y = 7, 2x – y + 4 = 0
సాధన:
cos θ = \(\frac{|6-5|}{\sqrt{9+25} \sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{170}}\)
⇒ θ = cos^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{170}}\right)\)

ప్రశ్న 3.
y = –\(\sqrt{3}\)x + 5, y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)x – \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
సాధన:
m₁ = –\(\sqrt{3}\), m₂ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
m₁m₂ = (-\(\sqrt{3}\)) /\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = -1
θ = \(\frac{\pi}{2}\) రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 4.
ax + by = a + b, a(x − y) + b(x + y) = 2b
సాధన:
ax + by = a + b, (a + b) x + ( a + b) y = 2b

కింది సరళరేఖల మీదికి ఎదురుగా ఇచ్చిన బిందువు నుంచి లంబదూరాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 5.
5x – 2y + 4 = 0, (−2, −3)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{\left|a x_1+b y_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
= \(\frac{|5(-2)-2(-3)+4|}{\sqrt{25+4}}=\frac{|-10+10|}{\sqrt{29}}\) = 0

ప్రశ్న 6.
3x – 4y + 10 = 0, (3, 4)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{|3.3-4.4+10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 7.
x – 3y – 4 = 0, (0, 0)
సాధన:
లంబ దూరము
= \(\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+9}}=\frac{4}{\sqrt{10}}\)

కింది సమాంతర రేఖల మధ్యదూరాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 8.
3x – 4y = 12, 3x – 4y = 7
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y – 12 = 0.
3x – 4y – 7 = 0
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరము
= \(\frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-12+7|}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}\) = 1

ప్రశ్న 9.
5x – 3y – 4 = 0, 10x – 6y – 9 = 0 [Mar. ’12]
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
10x – 6y – 8 – 0
10x – 6y – 9 = 0 గా తీసుకొనవచ్చు.
సమాంతర రేఖల మధ్యదూరం
= \(\frac{|-8+9|}{\sqrt{100+36}}=\frac{1}{2 \sqrt{34}}\)

ప్రశ్న 10.
2x + 3y + 7 = 0 రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటూ (5, 4) బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 2x + 3y + 7 = 0
కావలసిన రేఖ ఈ రేఖకు సమాంతరము.
సమాంతర రేఖ సమీకరణము 2x + 3y = k
ఈ రేఖ p (5, 4) గుండా పోతుంది.
10 + 12 = k ⇒ k = 22
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 2x + 3y = 22
2x + 3y – 22 = 0

ప్రశ్న 11.
5x – 3y + 1 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ (4, 3) బిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 5x – 3y + 1 = 0
ఈ రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
3x + 5y + k = 0
ఈ రేఖ P (4, -3) గుండా పోతుంది.
– 12 – 15 + k = 0 ⇒ k = 3
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
3x + 5y + 3 = 0

ప్రశ్న 12.
6x – 10y + 3 = 0, kx – 5y + 8 = 0 సరళరేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
6x – 10y + 3 = 0
kx – 5y + 8 = 0
ఈ రేఖలు సమాంతరాలు.
a₁b₂ = a₂b₁
-30 = -10 k
k = 3

ప్రశ్న 13.
3x + 7y – 1 = 0, 7x – py + 3 = 0 సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే p విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
3x + 7y – 1 = 0
7x – py + 3 = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
3.7 + 7(- p) = 0
7p = 21 = p = 3

ప్రశ్న 14.
y – 3kx + 4 = 0, (2k – 1)x – (8k – 1)y – 6 = 0 సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
-3kx + y + 4 =0
(2k – 1)x – (8k – 1)y – 6 = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
-3k(2k – 1) – 1(8k – 1) = 0
– 6k² + 3k – 8k + 1 = 0
6k² + 5k – 1 = 0
(k + 1) (6k – 1) = 0
k = -1 లేదా 1/6

ప్రశ్న 15.
ఒక చతురస్రం ఒక శీర్షం (-4, 5), దాని వికర్ణం 7x y + 8 = 0 అయితే రెండో వికర్ణం సమీకరణం కనుక్కోండి.

సాధన:
ABCD చతురస్ర వికర్ణం AC సమీకరణము
7x – y + 8 = 0
రెండో వికర్ణం BD AC కి లంబంగా ఉంది.
BD సమీకరణాన్ని X + 7y + k = 0 గా తీసుకొనవచ్చు.
BDD (- 4, 5) గుండా పోతుంది.
– 4 + 35 + k= 0 ⇒ k = 4 – 35 = -31
BD సమీకరణము x + 7y – 31 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువు (1, 3) గుండా పోతూ (3, -5), (−6, 1) బిందువులను కలిపే రేఖకు i) సమాంతరంగా ii) లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
A (3, -5), B(-6, 1) లు దత్త బిందువులు.
AB వాలు = \(\frac{-5-1}{3+6}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)

i) కావలసిన రేఖ AB కి సమాంతరంగా ఉంటూ (1, 3) గుండా పోతుంది.
కావలసిన రేఖ సమీకరణము
y – 3 = \(\frac{-2}{3}\)(x – 1)
3y – 9 = -2x + 2
2x + 3y – 11 = 0

ii) AE రేఖ AD కి లంబంగా ఉంది.
AE సమీకరణము 3x – 2 y + k = 0
A (1, 3) గుండా పోతుంది.
3 – 6 + k = 0 ⇒ k = 6 – 3 = 3
AE సమీకరణము 3x – 2 y + 3 = 0.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1 రేఖ X – అక్షాన్ని P వద్ద కలుస్తుంది. P గుండా పోతూ, ఈ రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

PQ సమీకరణము \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 1
X – అక్షం సమీకరణము y = 0
\(\frac{x}{a}\) = 1 ⇒ x = a
P నిరూపకాలు (a, 0)
PR రేఖ PQ కి లంబంగా ఉంది.
PR సమీకరణము = \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = k
PR రేఖ P(a, 0) గుండా పోతుంది.
\(\frac{a}{b}\) + 0 = k ⇒ k = a/b
PR. సమీకరణము \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\) = \(\frac{a}{b}\)

ప్రశ్న 3.
3x + 4y + 6 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉంటూ X – అక్షం మీద – 4 అంతర ఖండం చేసే రేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x + 4y + 6 = 0
లంబంగా ఉండే రేఖ సమీకరణము
4x – 3y = k
\(\frac{4 x}{k}-\frac{3 y}{k}\) = 1
\(\frac{x}{\left(\frac{k}{4}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{k}{3}\right)}\) = 1
X- అంతరఖండం = \(\frac{k}{4}\) – 4 ⇒ k = -16
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 4x – 3y = -16
⇒ 4x – 3y + 16 = 0

ప్రశ్న 4.
XY-తలంలో ఒక చతురస్రానికి A (-1, 1), B (5, 3) లు ఎదురెదురు శీర్షాలు అయితే ఆ చతురస్రం మరొక వికర్ణం (A, B ల గుండా పోని) సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A (-1, 1), B (5, 3) లు చతురస్రంలో ఎదుటి శీర్షాలు.
AB వాలు = \(\frac{1-3}{-1-5}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}\)

రెండవ వికర్ణము AB కి లంబము.
CD వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = -3
‘O’ వికర్ణాల ఖండన బిందువు O
O నిరూపకాలు \(\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (2, 2)
CD రేఖ O (2, 2) గుండా పోతుంది.
CD సమీకరణము y – 2 = -3 (x – 2)
= -3x + 6
3x + y – 8 = 0

ప్రశ్న 5.
(4, 1) నుంచి 3x 4y + 12 = 0 సరళరేఖకు గీసిన లంబపాదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ సమీకరణము 3x – 4y + 12 = 0
(x₁, y₁) నుండి ఈ రేఖ మీదకు లంబపాదం (x₂, y₂) అయితే
ax + by + c = 0, అప్పుడు

ప్రశ్న 6.
(3, 0) నుంచి 5x + 12y 41 = 0 సరళరేఖకు గీసిన లంబపాదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 5x + 12y – 41 = 0
(x₂, y₂) నుండి (x₁, y₁) లంబపాదము (x₂, y₂) అయితే
ax + by + c = 0,

ప్రశ్న 7.
A, B బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం లంబసమద్వి ఖండన రేఖ x – 3y – 5 – 0. బిందువు A నిరూపకాలు (−1, −3) అయితే B నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

PQ రేఖ AB కి లంబ సమద్విఖండన రేఖ అయితే
PQ దృష్ట్యా A యొక్క ప్రతిబింబము PQ సమీకరణము x – 3y – 5 = 0

A నిరూపకాలు (-1, -3)
ax + by + c = 0 (x₁, y₁) ప్రతిబింబము (x₂, y₂) అయితే

ప్రశ్న 8.
సరళరేఖ 3x + 4y – 1 = 0 లో బిందువు (1, 2) ప్రతిబింబాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x + 4y – 1 = 0
(x₁, y₁) దృష్ట్యా ప్రతిబింబము (x₂, y₂) అయితే

ప్రశ్న 9.
(6, -2) నుండి రేఖ 4x + 3y = 12 కు దూరం, బిందువు (3, 4) నుంచి రేఖ 4x 3y = 12కు దూరంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

AB సమీకరణము 4x + 3y 12 = 0
PQ = P నుండి లంబపాదము
P = \(\frac{|24-6-12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{6}{5}\)
CD సమీకరణము 4x – 3y – 12 = 0
RS = R నుండి లంబదూరము
R = \(\frac{|12-12-12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{12}{5}\)
∴ PQ = \(\frac{1}{2}\) RS

ప్రశ్న 10.
స్థిర బిందువు (a, b) గుండాపోయే చల సరళరేఖలకు మూల బిందువు నుంచి లంబపాదాల బిందు పధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

AB రేఖ వాలు m అనుకుందాం.
AB సమీకరణము у – b = m (x – a)
= mx – ma
mx – y + (b – ma) = 0 ………………….. (1)
మూల బిందువు గుండా పోయే AB కి లంబం K నిరూపకాలు (x, y) అనుకుందాం.
AB సమీకరణము x + my = 0 ………………… (2)

m = -x/y
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
–\(\frac{x^2}{y}\) – y + b + \(\frac{x}{y}\) . a = 0
– x² – y² + by + ax = 0
లేదా x² + y² – ax – by = 0
K బిందు పధము x² + y² – ax – by = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x – 7y – 22 = 0, 3x + 4y + 9 = 0, 7x + y – 54 = 0 రేఖలు ఒక సమద్విబాహు సమకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు x – 7y – 22 = 0 ……………… (1)
3x + 4y + 9 = 0 ………………… (2)
7x + y – 54 = 0 …………………. (3)

(1), (2) రేఖల మధ్యకోణం ‘A’ అనుకుందాం.

B = 45°
(1), (2) రేఖల మధ్యకోణం ‘A’ అనుకుందాం.
(3), (1) రేఖల మధ్యకోణం ‘C’ అనుకుందాం.
cos C = \(\frac{7-7}{\sqrt{1+49} \sqrt{49+1}}\) = 0 = cos 90°
C = 90°
∠A = ∠B = 45°
∠C = 90°
∴ దత్త రేఖలు లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
(-3, 2) బిందువు గుండా పోతూ 3x + y + 4 = 0 రేఖలో 45° కోణాన్ని చేసే రేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువు
P(x₁, y₁) = (-3, 2)
దత్త రేఖ 3x – y + 4 = 0 ……………….. (1)
వాలు = m = – \(\frac{a}{b}\) = 3

tan 45° = \(\frac{m-3}{1+3 m}\)
\(\left|\frac{m-3}{1+3 m}\right|\) = 1 ⇒ \(\frac{m-3}{1+3 m}\) = 1
m – 3 = 1 + 3m
2m = -4 లేదా 3 m = −2
\(\frac{m-3}{1+3 m}\) = -1 ⇒ m – 3 = -1 – 3m
4m = 2 ⇒ m = 1/2
సందర్భం (i) : m = -2
PQ సమీకరణము
y – 2 = -2(x + 3)
= -2x – 6
2x + y + 4 = 0
సందర్భం (ii) : m = \(\frac{1}{2}\)
PR సమీకరణము
y − 2 = \(\frac{1}{2}\) (x + 3)
2y – 4 = x + 3
x – 2y + 7 = 0

ప్రశ్న 3.
x + y – 4 = 0, 2x+y-6= 0, 5x + 3y – 15 = 0 రేఖలు భుజాలుగా గల త్రిభుజం కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము x + y – 4 = 0
BC సమీకరణము 2x + y – 6 = 0
AC సమీకరణము 5x + 3y – 15 = 0

ప్రశ్న 4.
మూల బిందువు x + y = 4, x+5y = 26, 15x – 27y = 424 రేఖల మీదకి గీసిన లంబపాదాలు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు
x + y – 4 = 0 ………………. (1)
x + 5y – 26 = 0 ……………… (2)
15x – 27y – 424 = 0 ……………… (3)
(x₁, y₁) నుండి (1) మీదకు లంబపాదము (x₂, y₂)
(x₁, y₁) = (0, 0) నుండి (1)
⇒ \(\frac{x_2-0}{1}=\frac{y_2-0}{1}=\frac{-(0+0-4)}{1+1}=\frac{4}{2}\) = 2
⇒ x₂ – 0 = 2, y₂ – 0 = 2
⇒ x₂ = 2, y₂ = 2
∴ P = (2, 2)
(x₁, y₁) నుండి (2) కు లంబపాదము (x₃, y₃)
= (0, 0) నుండి (2).
\(\frac{x_3-0}{1}=\frac{y_3-0}{5}=\frac{-(0+0-26)}{1+25}=\frac{26}{26}\) = 1
x₃ = 1, y₃ = 5 ⇒ Q = (1, 5)
(x₁, y₁) నుండి (3) కు లంబపాదము.
R(x₄, y₄) = (0, 0) నుండి (3)

R = (x₄, y₄) = (\(\frac{1060}{159}\), -12)
P,Q రేఖ సమీకరణము
\(\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-2}{5-2}\) ⇒ 3x + y – 8 = 0 ………… (4)
(4) లో (x₄, y₄) ను ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ (\(\frac{1060}{159}\)) – 12 – 8
= 20 – 20 = 0
∴ మూల బిందువు నుండి లంబ దత్త రేఖలకు గీసిన లంబపాదాలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 5.
3x + 2y + 4 = 0, 2x+5y=15 ఖండన బిందువు గుండా పోతూ (2, -1) నుంచి 2 యూనిట్లు దూరంలో గల సరళరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
L₁ = 3x + 2y + 4 = 0, L₂ = 2x + 5y – 1 = 0
రేఖల ఖండన బిందువు గుండా పోయే రేఖ సమీకరణము
L₁ + 2λ₂ = 0
(3x + 2y +4)+ 2 λ (2x + 5y – 1) = 0
(3 + 2λ) x + (2 + 5λ) y + (4 – λ) = 0 …………… (1)
(2,−1) నుండి (1) కు లంబదూరము = 2
\(\frac{|(3+2 \lambda) 2+(2+5 \lambda)(-1)+(4-\lambda)|}{\sqrt{(3+2 \lambda)^2+(2+5 \lambda)^2}}\) = 2
⇒ \(\frac{|-2 \lambda+8|}{\sqrt{(3+2 \lambda)^2+(2+5 \lambda)^2}}\) = 2
⇒ (−λ + 4)² = 9 + 4λ² + 12λ + 4
⇒ 28λ² + 40λ – 3 = 0
⇒ 28λ² – 2λ + 42λ – 3 = 0
⇒ (2λ + 3) (14λ – 1) = 0
⇒ λ = \(\frac{1}{14}\), λ = –\(\frac{3}{2}\)
λ = \(\frac{1}{14}\) అయితే
కావలసిన రేఖ సమీకరణము 4x + 3y + 5 = 0
λ = –\(\frac{3}{2}\) అయితే
⇒ y – 1 = 0 కావలసిన రేఖ సమీకరణము.

ప్రశ్న 6.
ఒక చతురస్రం ప్రతి భుజం పొడవు 4 యూనిట్లు. ఆ చతురస్ర కేంద్రం(3, 7). దాని ఒక వికర్ణం రేఖ y = x కు సమాంతరంగా ఉంటే, దాని శీర్షాల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ABCD చతురస్రం వికర్ణాల ఖండన బిందువు దాని కేంద్రం. అవుతుంది. దాని నిరూపకాలు P(3, 7)

P నుండి AB కి లంబము AB
AB మధ్య బిందువు M.
∴ AM = MB = PM
వికర్ణం y = x కు సమాంతరం కనుక భుజాల నిరూపకాలకు సమానం.
M(3, 5) ⇒ A(1, 5), B(5, 5), C(5, 9), D(1, 9)

ప్రశ్న 7.
ab > 0 అయినప్పుడు ax + by + c = 0 అనే నాలుగు సరళరేఖలతో ఆవృతమైన సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
AB సమీకరణము ax + by + c = 0 …………….. (1)
CD సమీకరణము ax + by – c = 0 ……………… (2)
BC సమీకరణము ax – by + c = 0 …………….. (3)
AD సమీకరణము ax – by – c = 0 ……………… (4)

(1), (3) లను సాధిస్తే B నిరూపకాలు \(\left(-\frac{c}{a}, 0\right)\)
(1), (4) సాధిస్తే A నిరూపకాలు \(\left(0,-\frac{c}{b}\right)\)
(2), (3) సాధిస్తే నిరూపకాలు \(\left(0, \frac{c}{b}\right)\)
(2), (4) లను సాధిస్తే D నిరూపకాలు \(\left(\frac{c}{a}, 0\right)\)
ABCD సమ చతుర్భుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |Σx₁ (y₂ – y₄) |
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 0) – \(\frac{c}{a}\left(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\right)\) + 0 (0 – 0) + \(\frac{-c}{a}\left(\frac{c}{b}+\frac{-c}{b}\right)\) |
= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4 c^2}{a b}=\frac{2 c^2}{a b}\) చ॥ యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
3x + 4y + 5 = 0, 3x + 4y – 2 = 0, 2x + 3y + 1 = 0, 2x + 3y – 7 = 0 సరళరేఖలు భుజాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త భుజాలు
3x + 4y + 5 = 0 ……………… (1)
3x + 4y – 2 = 0 ………………… (2)
2x + 3y + 1 = 0 …………………. (3)
2x + 3y – 7 = 0 ……………….. (4)

ప్రశ్న 9.
2x + 3y + 4 = 0, 3x + 4y – 5 5 = 0 లతో సూచించిన రెండు రుజు మార్గంలో ఉండే దారులు కూడలి వద్ద ఒక వ్యక్తి నిలబడ్డాడు. అక్కడి నుంచి 6x – 7y + 8 = 0 తో సూచించిన దారికి కనిష్ఠ సమయంలో చేరాలని అనుకున్నాడు. కూడలి నుంచి ఏదారి వెంబడి నడిస్తే కనిష్ఠ సమయంలో 6x – 7y + 8 = 0 నిర్దేశించే దారిని చేరుతాదో ఆ దారిని సూచించే సరళరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
2x + 3y + 4 = 0
3x + 4y – 5 = 0

ఇచ్చిన సరళరేఖ 6x – 7y + 8 = 0
సరళరేఖ సమీకరణం 7x + 6y + k = 0 …………. (1)
Eq(1) pass high \(\)
7\(\left(\frac{-1}{17}\right)\) + 6\(\left(\frac{22}{17}\right)\) + k = 0
-7 + 132 + 17k = 0
17k = -125
k = \(\frac{-125}{17}\)
From (1) 7x + 6y – \(\frac{125}{17}\) = 0
119x + 102y – 125 = 0

ప్రశ్న 10.
ఒక కాంతి కిరణం (1,2) బిందువు గుండాపోతూ X – అక్షాన్ని A బిందువు వద్ద తాకి అక్కడ నుంచి పరావర్తనం. చెందిన కిరణం (5,3) బిందువుగుండా పోతే A నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(1, 2) బిందువు గుండాపోయే సమీకరణం యొక్క వాలు ‘m’ అనుకోండి.
y – 2 = m(x – 1)
\(\frac{y-2}{x-1}\) = m

(5,3) బిందువు గుండా
పోయే సమీకరణం వాలు – m అనుకోండి
y – 3 = -m(x – 5)
\(\frac{y-3}{5-x}\) = m
\(\frac{y-2}{x-1}=\frac{y-3}{5-x}\)
A నిరూపకము X అక్షంపై ఉన్నది కనుక y = 0.
\(\frac{-2}{x-1}=\frac{-3}{5-x}\)
10 – 2x = 3x – 3
13 = 5x
x = \(\frac{13}{5}\)
∴ A = \(\left(\frac{13}{5}, 0\right)\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(b)

అభ్యాసం – 10 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = 3x⁴ – 4x వక్రానికి x = 4 వద్ద బిందువు స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = 3x⁴ – 4x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 12x³ – 4
x = 4 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = 12 (4)³ – 4
= 12 × 64 – 4
= 768 – 4
= 764

ప్రశ్న 2.
y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 వక్రానికి x = 10 బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = \(\frac{x-1}{x-2}\)
= \(\frac{x-2+1}{x-2}\)
= 1 + \(\frac{1}{x-2}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0 + \(\frac{(-1)}{(x-2)^2}\) = –\(\frac{1}{(x-2)^2}\)
x = 10 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{1}{(10-2)^2}\)
= –\(\frac{1}{64}\)

ప్రశ్న 3.
y = y³ – x + 1, వక్రానికి x నిరూపకం 2 అయ్యే. బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – x + 1
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 1
x = 2 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
3(2)² – 1 = 3 × 4 – 1

ప్రశ్న 4.
y = x³ – 3x + 2 వక్రానికి x నిరూపకం 3 అయ్యే బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – 3x + 2
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 3
x = 3 స్పర్శరేఖ వాలు = 3(3)² – 3
= 27 – 3 = 24

ప్రశ్న 5.
x = a cos³ θ, y = a sin³ θ వక్రానికి θ = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = a cos³ θ
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{d} \theta}\) = a(3 cos² θ) (-sin θ)
= -3a cos² θ. sin θ
y = a sin³ θ
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} \theta}\) = a (3 sin² θ) cos θ
= 3a sin² θ cos θ

θ = \(\frac{\pi}{4}\), స్పర్శరేఖ వాలు
= -tan \(\frac{\pi}{4}\) = -1
అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = 1

ప్రశ్న 6.
x = 1 – a sin θ, y = b cos² θ వక్రానికి θ = \(\frac{\pi}{2}\) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 1 – a sin θ
\(\frac{d x}{d \theta}\) = – cos θ
y = b cos² θ
\(\frac{d y}{d \theta}\) = b(2 cos θ) (-sin θ) = -2b cos θ sin θ

అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{a}{2 b \sin \theta}\)
θ = \(\frac{\pi}{2}\) వద్ద, అభిలంబరేఖ వాలు = \(\frac{-a}{2 b \sin \frac{\pi}{2}}\)
= \(\frac{-a}{2 b .1}\)
= \(\frac{-a}{2 b}\)

ప్రశ్న 7.
y = x³ – 3x³ – 9x + 7వక్రం పై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖలు X-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటాయో కనుక్కోండి
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ – 3x² – 9x + 7
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 6x – 9
స్పర్శరేఖ X – అక్షానికి సమాంతరం
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 లేదా -1
y = x³ – 3x² – 9x + 7
x = 3y ⇒ 27 – 27 – 27 + 7 = -20
x = -1 ⇒ y = -1 – 3 + 9 + 7 = 12
కావలసిన బిందువులు (3, -20), (-1, 12).

ప్రశ్న 8.
y = (x – 2)² వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ (2, 0), (4, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = (x – 2)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 2)
కలిపే జ్యా వాలు A(2, 0), B(4, 4)
= \(\frac{4-0}{4-2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
స్పర్శరేఖ ఈ జ్యాకి సమాంతరము
2(x – 2) = 2
x – 2 = 1
x = 3
y = (x – 2)² = (3 – 2)² = 1
కావలసిన బిందువు P(3, 1).

ప్రశ్న 9.
y = x³ – 11x + 5 వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద y = x – 11 స్పర్శరేఖ అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = x³ – 11x + 5
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 11
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = x – 11
స్పర్శరేఖ వాలు = 3x² – 11 = 1
3x² = 12
x² = 4
x = ±2
x = 2 ⇒ y = 2 – 11 = -9
వక్రం మీది బిందువు P.(2, -9).

ప్రశ్న 10.
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) వక్రానికి వాలు ‘0’ అయ్యే ‘ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{-1}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\{2(x-1)\}\)
= \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
⇒ \(\frac{-2(x \cdot-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x = 1 వద్ద,
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) = \(\frac{1}{1-2+3}\) = \(\frac{1}{2}\)
P నిరూపకాలు (1, \(\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
కావలసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణము
У – \(\frac{1}{2}\) = 0(x – 1)
2y – 1 = 0

II.

1. కింది వక్రాలకు, ఎదురుగా సూచించిన బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.

i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5; (0, 5).
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ – 18x² + 26x – 10
x = 0 వద్ద,
స్పర్శరేఖ వాలు = 0 − 0 + 0 – 10 = -10
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y − 5 = – 10(x – 0)
= -10x
10x + y – 5 = 0
అభిలంబ రేఖ వాలు = –\(\frac{1}{m}\) = \(\frac{1}{10}\)
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y − 5 = \(\frac{1}{10}\)(x – 0)
10y – 50 = x ⇒ x – 10y + 50 = 0

ii) y = x³; (1, 1).
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-1}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\{2(x-1)\}\) = \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు =
⇒ \(\frac{-2(x-1)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}\) = 0
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
x = 1 వద్ద
y = \(\frac{1}{x^2-2 x+3}\) = \(\frac{1}{1-2+3}\) = \(\frac{1}{2}\)
P నిరూపకాలు(1, \(\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ వాలు = 0
కావలసిన స్పర్శ రేఖ సమీకరణ
y – \(\frac{1}{2}\) = 0(x – 1)
2y – 1 = 0

iii) y = x²; (0, 0).
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x²
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2x
P(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = 2 – 0 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 0 = 0(x – 0)
y = 0
అభిలంబరేఖ స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = k.
అభిలంబరేఖ (0,0) గుండా పోతూ ⇒ k = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము×= 0.

iv) x = cost, y = sint ; t = \(\frac{\pi}{4}\).
సాధన:

v) y = x² – 4x + 2; (4, 2).
సాధన:
వక్రం సమీకరణ y = x² – 4x + 2
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 4
P(4, 2) వద్ద, స్పర్శరేఖ వాలు = 2.4 – 4
= 8 – 4 = 4
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – 2 = 4(x – 4)
= 4x – 16
4x – y – 14 = 0
అభిలంబరేఖ వాలు = – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{4}\)
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – 2 = –\(\frac{1}{4}\) (x – 4)
4y – 8 = -x + 4
x + 4y – 12 = 0

vi) y = \(\frac{1}{1+x^2}\); (0, 1).
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)
(0, 1) వద్ద, x = 0, స్పర్శరేఖ వాలు = 0
P(0, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 1 = 0(x – 0)
y = 1
అభిలంబరేఖ స్పర్శరేఖకు లంబం.
అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = k.
అభిలంబరేఖ P(0, 1) గుండా పోతూ ⇒ 0 = k
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము x = 0.

ప్రశ్న 2.
xy = 10 వక్రానికి (2, 5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం xy = 10.
y = \(\frac{10}{x}\) ; \(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{10}{x^2}\)
P(2, 5), f'(x₁) = –\(\frac{10}{4}\) = –\(\frac{5}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y − y₁ = f(x₁) (x – x₁)
y – 5 = –\(\frac{5}{2}\)(x – 2)
2y – 10 = -5x + 10
5x + 2y – 20 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = \(-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y – 5 = \(\frac{2}{5}\)(x – 2)
5y – 25 = 2x – 4
i.e., 2x − 5y + 21 = 0

ప్రశ్న 3.
y = x³ + 4x² వక్రానికి (-1, 3) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x³ + 4x²
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 8x
P(-1, 3) వద్ద,
స్పర్శరేఖ వాలు = 3(-1)² + 8(-1)
= 3 – 8 = -5
స్పర్శరేఖ సమీకరణము P(-1, 3)
y – y₁ = f'(x₁) (x – x₁)
y – 3 = -5(x + 1) = -5x − 5
5x + y + 2 = 0
P వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = –\(\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\) (x – x₁)
y – 3 = \(\frac{1}{5}\)(x + 1)
5y – 15 = x + 1
x – 5y + 16 = 0

ప్రశ్న 4.
x² – 2xy + 4y = 0 వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు –\(\frac{3}{2}\) అయితే, ఆ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం. సమీకరణము
x² – 2xy + 4y = 0
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
2x – 2x.\(\frac{d y}{d x}\) – 2y + 4. \(\frac{d y}{d x}\) = 0
2(x – y) = 2(x – 2)\(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2(x-y)}{2(x-2)}\) = \(\frac{x-y}{x-2}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{3}{2}\)
∴ \(\frac{x-y}{x-2}\) = \(-\frac{3}{2}\)
2x – 2y = -3x + 6
5x – 2y = 6
2y = 5x – 6 —— (2)
P(x, y) బిందువు (1) మీద ఉంది.
x² – x(5x – 6) + 2(5x – 6) = 0
x² – 5x² + 6x + 10x – 12 = 0
-4x² + 16x – 12 = 0
-4(x² – 4x + 3) = 0
x² – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) = 0
x – 1 = 0 లేదా x – 3 = 0
∴ x = 1 లేదా x = 3
సందర్భం (i) : x = 1
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
1 – 2y + 4y = 0
2y = -1 ⇒ y = \(-\frac{1}{2}\)
కావలసిన బిందువు P(1, \(-\frac{1}{2}\))
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y + \(\frac{1}{2}\) = –\(\frac{3}{2}\)(x – 1)
\(\frac{2 y+1}{2}\) = \(\frac{-3(x-1)}{2}\)
2y + 1 = -3x + 3
3x + 2y – 2 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 1)
\(\frac{2 y+1}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 1)
6y + 3 = 4x – 4
4x – 6y – 7 = 0
సందర్భ౦ (ii) : x = 3
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 9 – 6y + 4y = 0
2y = 9⇒ y = \(\frac{9}{2}\)
∴ కావలసిన బిందువు (3, \(\frac{9}{2}\))
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – \(\frac{9}{2}\) = –\(\frac{3}{2}\)(x – 3)
\(\frac{2 y-9}{2}\) = \(\frac{-3(x-3)}{2}\)
2y – 9 = -3x + 9
3x + 2y – 18 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y – \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{2}{3}\)(x – 3)
\(\frac{2 y-9}{2}\) = \(\frac{2(x-3)}{3}\)
6y – 27 = 4x – 12
i.e., 4x – 6y + 15 = 0

ప్రశ్న 5.
y = x log x వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు \(\frac{3}{2}\) అయితే, ఆ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = x log x
\(\frac{d y}{d x}\) = x . \(\frac{1}{x}\) + log x. 1 = 1 + log x.
1 + log x = \(\frac{3}{2}\)
log_e x = \(\frac{1}{2}\) ⇒ x = e^1/2 = \(\sqrt{\mathrm{e}}\)
∴ y = \(\sqrt{\mathrm{e}}\) . log \(\sqrt{\mathrm{e}}\) = \(\frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\)
కావలసిన బిందువు P(\(\sqrt{\mathrm{e}}, \frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\))

ప్రశ్న 6.
y = 2e^-x/3 వక్రం Y− అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు వద్ద ఆ వక్రానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణాలు y = 2e^-x/3
Y- అక్షం సమీకరణము x = 0.
y = 2.e° = 2.1 = 2
కావలసిన బిందువు P(0, 2)
\(\frac{d y}{d x}\) = 2\(\left(-\frac{1}{3}\right)\). e^-x/3
ఇప్పుడు x = 0 వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(-\frac{2}{3} \cdot \mathrm{e}^0\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – y₁ = f'(x₁)(x – x₁)
y – 2 = –\(\frac{2}{3}\)(x – 0)
3y – 6 = -2x
2x + 3y – 6 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణం
y – y₁ = \(-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y – 2 = \(\frac{3}{2}\)(x – 0)
2y – 4 = 3x; 3x – 2y + 4 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
\(\sqrt{\mathbf{x}}\) + \(\sqrt{\mathbf{y}}\) = \(\sqrt{\mathbf{a}}\) వక్రం పై బిందువు వద్ద స్పర్శ రేఖ సమీకరణం \(y y_1^{-1 / 2}\) + \(x x_1^{-1 / 2}\) = a^1/2 అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\) = \(\sqrt{a}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
\(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) + \(\frac{1}{2 \sqrt{y}}\).\(\frac{d y}{d x}\) = 0

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖవాలు = \(-\frac{\left(y_1\right)^{1 / 2}}{\left(x_1\right)^{1 / 2}}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము

(P వక్రం మీది బిందువు)
P వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(y \cdot y_1{ }^{-1 / 2}\) + \(x \cdot x_1^{-1 / 2}\) = a^1/2

ప్రశ్న 2.
x² – y² = 2 వక్రంపై ఏ బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు 2కు సమానమవుతోంది ?
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణము x² – y² = 2 ….. (1)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2x – 2y.\(\frac{d y}{d x}\) = 0
స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{d y}{d x}\) = 2
∴ 2x – 4y = 0; x = 2y
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, 4y² – y² = 2
3y² = 2
y² = \(\frac{2}{3}\) ⇒ y = ± \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
x = 2y = ±2\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
∴ కావలసిన బిందువు P(\(2 \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\)) మరియు Q(\(-2 \sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\))

ప్రశ్న 3.
x² + y² = 2, 3x² + y² = 4x వక్రాలకు (1, 1) బిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
మొదటి వక్రం సమీకరణము x² + y² = 2
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
2y\(\frac{d y}{d x}\) = -2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{2 x}{2 y}\) = \(-\frac{x}{y}\)
P (1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{-1}{1}\) = -1
రెండవ వక్రం సమీకరణము 3x² + y² = 4x
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
6x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4 – 6x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{4-6 x}{2 y}\) = \(\frac{2-3 x}{y}\)
P (1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{2-3}{1}\)
= \(-\frac{1}{1}\) = -1
రెండవ వక్రం సమీకరణము P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలులు (1, 1) బిందువు గుండా పోతున్నాయి
∴ దత్త వక్రాలకు P (1, 1) వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
x³ + y³ = 3axy వక్రంపై (x₁, y₁) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం (\(x_1^2\) – ay₁)x + (\(y_1^2\) – ax₁) y = ax₁ y₁ అని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము x³ + y³
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
3x² + 3y².\(\frac{d y}{d x}\) = 3a(x.\(\frac{d y}{d x}\) + y)
x² + y²\(\frac{d y}{d x}\) = a(x.\(\frac{d y}{d x}\) + y)
= ax.\(\frac{d y}{d x}\) + ay
(y² – ax)\(\frac{d y}{d x}\) = ay – x²
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{a y-x^2}{y^2-a x}\) = \(-\frac{\left(x^2-a y\right)}{\left(y^2-a x\right)}\)
P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{\left(x_1^2-a y_1\right)}{\left(y_1^2-a x_1\right)}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x₁, y₁)

ప్రశ్న 5.
y (1 – x) = x వక్రం పై P (2, −2) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలపై సమాన పొడవు గల అంతర ఖండాలు చేస్తుందని, ఆ బిందువు వద్ద అభిలంబరేఖ మూల బిందువు ద్వారా పోతుందని చూపండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y (1 – x) = x
y = \(\frac{x}{1-x}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(1-x) \cdot 1-x(-1)}{(1-x)^2}\)
= \(\frac{1-x+x}{(1-x)^2}\) = \(\frac{1}{(1-x)^2}\)
P(2, -2) వద్ద, f'(x₁) = \(\frac{1}{(1-2)^2}\) = 1 = m
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y + 2 = 1(x – 2) = x – 2 ; x – y = 4
\(\frac{x}{4}\) – \(\frac{y}{4}\) = 1 ⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{(-4)}\) = 1
∴ a = 4, b = -4
∴ స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాల మీద సమానమైన గుర్తులు గల ఇతర ఖండాలు అభిలంబ రేఖా సమీకరణము.
y – y₁ = \(\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}\)(x – x₁)
y + 2 = -(x – 2) = -x + 2
x + y = 0
సమీకరణంలో స్థిరపదం లేదు.
∴ P(2, -2) వద్ద అభిలంబరేఖ మూల బిందువు గుండా పోతుంది.

ప్రశ్న 6.
x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B బిందువులలో ఖండిస్తే, AB పొడవు స్థిరమని చూపండి. (Mar. ’14, ’13, ’08, ’07, ’05) (T.S Mar. ’15)

సాధన:
వక్రం సమీకరణం x^2/3 + y^2/3 = a^2/3
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 7.
x^myⁿ = a^m+n (mn ≠ 0) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు P వద్ద స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలను A, B బిందువులలో ఖండిస్తే, AP : PB స్థిరమని చూపండి.

సాధన:
వక్రం సమీకరణం xⁿ. yⁿ = a^m+n
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{m y_1}{n x_1}\)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము


A నిరూపకాలు \(\left[\frac{m+n}{m}, x_1, 0\right]\) మరియు
B నిరూపకాలు \(\left[0, \frac{m+n}{n}, y_1\right]\)
P బిందువు AB ని k : l నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

∴P బిందువు AB ని n : m నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
i.e., AP : PB = n : m = స్థిరము.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(c)

అభ్యాసం 4 (సి)

I.

ప్రశ్న 1.
x² + y² = 1, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల సమీకరణన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వక్రాలు x² + y ² = 1 ………………. (1)
x + y = 1 ………………. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం

x² + y² = (x + y)²
= x² + y² + 2xy
i.e., 2xy = 0 ⇒ xy = 0

ప్రశ్న 2.
y² = x, x + y = 1 ల ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణం y² = x ……………. (1)
AB సమీకరణం x + y = 1 ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
y² = x(x + y) = x²+ xy
x² + xy – y² = 0
a + b = 1 – 1 = 0
OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి.
∴ ∠AOB

II.

ప్రశ్న 1.
x – y – \(\sqrt{2}\) = 0 అనే సరళరేఖల x² – xy + y² + 3x + 3y + 2 = 0 అనే వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే సరళరేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [A.P Mar. ’15, ’12; May. ’12]
సాధన:

వక్రం సమీకరణం
x² – xy + y² + 3x + 3y – 2 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము x – y – \(\sqrt{2}\) = 0
x – y = \(\sqrt{2}\)
\(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\) = 1 ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
x² – xy + y² + 3x.1 + 3y.1 – 2.1² = 0
x² – xy + y² + 3(x + y) \(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\) – 2 \(\frac{(x-y)^2}{2}\) = 0
x² – xy + y² + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (x² – y²) – (x² – 2xy + y²) = 0
x² – xy + y² + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) x² – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) y² – x² + 2xy – y² = 0
\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)x² + xy – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y² = 0
a + b = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) = 0
∴ OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
x + 2y = k అనే రేఖ 2x² – 2xy + 3y² + 2x – y – 1 = 0 అనేక వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటే, k విలువలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
దత్త వక్రం సమీకరణం
S ≡ 2x² + 2xy + 3y² + 2x – y – 1 = 0 ……………….. (1)
AB సమీకరణము x + 2y = k

(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం
2x² – 2xy + 3y² + 2x.1 – y.1 – 1² = 0
2x² – 2xy + 3y² + 2x \(\frac{(x+2 y)}{k}\) – y \(\frac{(x+2 y)}{k}\) – \(\frac{(x+2 y)^2}{k^2}\) = 0
k² తో గుణించగా
2k²x² – 2k²xy + 3k²y² + 2kx (x + 2y) – ky (x + 2y) – (x + 2y)² = 0
2k²x² – 2k²xy + 3k²y² + 2kx² + 4kxy – kxy – 2ky² – x² – 4xy – 4y² = 0
(2k² + 2k – 1) x² + (- 2k² + 3k – 4) xy + (3k² – 2k – 4) y² = 0
OA, OB లు లంబంగా ఉన్నాయి కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం 0.
2k² + 2k – 1 + 3k² – 2k – 4 = 0
5k² = 5 ⇒ k² = 1
∴ k = ±1

ప్రశ్న 3.
3x – y + 1 = 0 అనే రేఖ x² + 2xy + y² + 2x + 2y – 5 = 0 అనే వక్రాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖల మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13, ’07; May ’11; June ’04]
సాధన:

వక్రం సమీకరణం
x² + 2xy + y² + 2x + 2y – 5 = 0 ……………… (1)
AB సమీకరణము 3x – y + 1 = 0
y – 3x = 1 ……………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాత పరిస్తే OA, OB ల
ఉమ్మడి సమీకరణం
x² + 2xy + y² + 2x.1 + 2y.1 – 5.1² = 0
x² + 2xy + y² + 2x (y – 3x) + 2y (y – 3x) − 5 (y – 3x)² = 0
x² + 2xy + y² + 2xy – 6x² + 2y² – 6xy – 5(y² + 9x² – 6xy) = 0
-5x² – 2xy + 3y² – 5y² – 45x² + 30 xy = 0
-50x²+ 28xy – 2y² = 0
i.e, 25x² – 14xy + y² = 0
OA, OB ల మధ్య కోణము θ అనుకొందాం.

III.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తం x² + y² = a² కు lx + my = 1 అనేది ఒక జ్యా. ఈ జ్యా మూలబిందువు వద్ద లంబకోణం చేయడానికి నియమాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:

వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² ……………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1 ……………….. (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OBల ఉమ్మడి సమీకరణం
x² + y² = a² . 1²
x² + y² = a² (lx + my)²
= a²(l²x² + m²y² + 2lmxy)
= a²l²x² + a²m²y² + 2a²lmxy
i.e., a²l²x² + 2a² lmxy + a² m²y² – x² – y² = 0
(a²l² – 1) x² + 2a² lmxy + (a²m² – 1) y² = 0
OA, OB లు లంబాలు కనుక
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
a² l² – 1 + a²m² – 1 = 0
a²(l² + m²) = 2
ఇది కావలసిన నియమము.

ప్రశ్న 2.
lx + my = 1 అనే రేఖ x² + y² = a² అనే వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు ఏకీభవించడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:

వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² …………….. (1)
AB సమీకరణము lx + my = 1 ………………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణం.
x² + y² = a² . 1²
= a² (lx + my) ²
= a²(l²x² + m²y² + 2lmxy)
i.e., x² + y² · a²l²x² + a² m²y² + 2a²lmxy
(a²l² – 1) x² + 2a²lmxy + (a²m² – 1) y² = 0
OA, OB లు వక్రీభవిస్తున్నాయి.
⇒ h² = ab
a⁴ l²m² = (a² l² – 1)(a²m² – 1)
a⁴ l²m² = a⁴ l²m² – a² l² – a² m² + 1
∴ a² l² – a²m² + 1 = 0
a² (l² + m²) = 1
ఇది కావలసిన నియమము.

ప్రశ్న 3.
6x − y + 8 = 0 అనే రేఖ 3x² + 4xy – 4y² – 11x + 2y + 6 = 0 అనే సరళరేఖాయుగ్మాన్ని ఖండించే బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపితే వచ్చే రేఖలు నిరూపకాక్షాలతో సమానకోణాలు చేస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖాయుగ్మం
3x² + 4xy – 4y² – 11 x + 2y + 6 = 0 ……………… (1)
దత్త రేఖ సమీకరణము
6x – y + 8 = 0 ⇒ \(\frac{6 x-y}{-8}\) = 1
⇒ \(\frac{y-6 x}{8}\) = 1
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా
3x² + 4xy – 4y² – (11x – 2y) \(\left(\frac{y-6 x}{8}\right)\) + 6 \(\left(\frac{y-6 x}{8}\right)^2\) = 0
= 64 [3x² + 4xy – 4y²] – 8[11xy – 66x² – 2y² + 12xy] + 6[y² + 36x² – 12xy] = 0
936x² + 256 xy – 256 xy – 234y² = 0
∴ 468 x² – 117 y² = 0
⇒ 4x² – y² = 0
ఖండన బిందువులను మూలబిందువుకు కలిపే రేఖాయుగ్మ సమీకరణం
(3) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖల సమీకరణాలు
h(x² – y²) – (a – b) xy = 0
0 (x² – y ) – (4 – 1) xy = 0
⇒ xy = 0
x = 0 లేదా y
= 0 [నిరూపకాక్షాల సమీకరణాలు]
∴ దత్త రేఖల నిరూపకాక్షాల సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 లు సూచించే సరళ రేఖల మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0
2x² + xy – 6y² = 2x² + 4xy – 3xy – 6y²
= 2x (x + 2y) – 3y (x + 2y)
= (2x – 3y) (x + 2y)
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0 = (2x – 3y + c₁) (x + 2y + c₂)
x గుణకాలు సమానం చేస్తే c₁ + 2 = 0
y గుణకాలు సమానం చేస్తే 2c₁ – 3c₂ = 7
సాధించగా c₁ = 2, c₂ = -1
సరళరేఖల సమీకరణాలు 2x – 3y + 2 = 0, x + 2y – 1 = 0

ప్రశ్న 2.
2x² + 3xy – 2y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం ఒక లంబరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించండి.
సాధన:
a = 2, f = 1/2
b = -2 , g = 3/2
c = 1, h = 3/2
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 2(-2)(1) + 2.\(\frac{1}{2}\) . \(\frac{31}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) – 2 . \(\frac{1}{4}\) + 2 . \(\frac{9}{4}\) – 1 \(\frac{9}{4}\)
= -4 + \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{18}{4}\) – \(\frac{9}{4}\)
= -4 + \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{9}{2}\) – \(\frac{9}{4}\)
= 0
h² – ab = \(\frac{9}{4}\) + 4 = \(\frac{25}{4}\) > 0,
g² – ac = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0,
f² – bc = \(\frac{1}{4}\) + 2 = \(\frac{9}{4}\) > 0
a + b = 2 – 2 = 0 దత్తరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

II.

ప్రశ్న 1.
3x² + 7xy + 2y² + 5x + 5y + 2 సమీకరణం ఒక సరళరేఖాయుగ్నాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించి, ఆ సరళరేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి
సాధన:
3x² + 7xy +2y² + 5x + 5y + 2 = 0
పోల్చగా a= 3 ; 2f = 5 ⇒ f = \(\frac{5}{2}\)
b = 2 ; 2g = 5 ⇒ g = \(\frac{5}{2}\)
c = 2 ; 2h = 7 ⇒ h = \(\frac{7}{2}\)
∆ = abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 3(2) (2) + 2 . \(\frac{5}{2}\) . \(\frac{5}{2}\) . \(\frac{7}{2}\)– 3 . \(\frac{25}{4}\) – 2 . \(\frac{25}{4}\) – 2 . \(\frac{49}{4}\)
= \(\frac{1}{2}\) (48 + 175 – 75 – 50 – 98)
= \(\frac{1}{2}\) (223 – 223) = 0
h² – ab = \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\) – 2.6 = \(\frac{49}{4}\) – 12 = \(\frac{1}{4}\) > 0
f² – bc = \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 2.2 = \(\frac{25}{4}\) – 4 = \(\frac{9}{4}\) > 0
g² – ac = \(\left(\frac{5}{2}\right)^2\) – 3.2 = \(\frac{25}{4}\) – 6 = \(\frac{1}{4}\) > 0
∴ దత్త సమీకరణము రేఖాయుగ్మాన్ని సూచించే ఖండన బిందువు

ప్రశ్న 2.
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0 సమీకరణం ఒక సరళరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే K విలువ కనుక్కోండి. K యొక్క ఆ విలువకు ఆ సరళరేఖల ఖండన బిందువును, వాటి మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0
a = 2. ; 2f = 1 ⇒ f = \(\frac{1}{2}\)
b = -6 ; 2g = 3 ⇒ g = \(\frac{3}{2}\)
c = 1 ; 2h = k ⇒ h = \(\frac{k}{2}\)
దత్త సమీకరణము రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే
abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0
-12 + 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) . (+\(\frac{k}{2}\)) – 2 . \(\frac{1}{4}\) + 6 . \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{k^2}{4}\) = 0
-48 + 3k – 2 + 54 – k² = 0
-k² + 3k + 4 = 0 ⇒ k² – 3k – 4 = 0
(k – 4) (k + 1) = 0
k = 4 లేదా. – 1.
సందర్భం i) : k = -1
ఖండన బిందువు

ప్రశ్న 3.
x² – y² – x + 3y – 2 0 సమీకరణం రెండు లంబరేఖలను సూచిస్తుందని నిరూపించి, వాటి సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
పోల్చగా a = 1 ; f = \(\frac{3}{2}\)
b = -1 ; g = –\(\frac{1}{2}\)
c = -2 ; h = 0
abc + 2fgh – af² – bg² – ch²
= 1 (-1) (-2) + 0 – 1 . \(\frac{9}{4}\) + 1 . \(\frac{1}{4}\) + 0
= +2 – \(\frac{9}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = 0
h² – ab = 0 – 1 (-1) = 1 > 0,
f² – bc = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0
g² – ac = \(\frac{1}{4}\) + 2 = \(\frac{9}{4}\) > 0
a + b = 1 – 1 = 0
దత్త సమీకరణము లంబరేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
x² – y² – x + 3y – 2 = (x + y + c₁) (x – y + c₂)
x గుణకాలు సమానం చేయగా,
⇒ c₁ + c₂ = -1
y గుణకాలు సమానం చేయగా,
⇒ -c₁ + c₂ = 3
కూడగా 2c₂ = 2 ⇒ c₂ = 1
c₁ + c₂ = 1 ⇒ c₁ + 1 = -1
c₁ = -2
రేఖల సమీకరణాలు x + y – 2 = 0 మరియు x – y + 1 = 0

ప్రశ్న 4.
x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0 సూచించే రేఖాయుగ్మం 5x + 2y – 8 = 0 అనే సరళరేఖ అనుషక్తాలవుతాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0
a = 1 ; f = 22
b = -35 ; g = -2
c = – 12 ; h = 1

P బిందువు 5x + 2y – 8 = 0 రేఖ మీద ఉంది.
∴ దత్త రేఖలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇచ్చిన సమాంతర రేఖాయుగ్మాల మధ్య దూరాలను కనుక్కోండి.
i) 9x² – 6xy + y² + 18x – 6y + 8 = 0
సాధన:
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)
= \(2 \sqrt{\frac{9^2-9.8}{9(9+1)}}=2 \sqrt{\frac{9}{9.10}}\)
= \(\sqrt{\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{2}{5}}\)

ii) x² + 2\(\sqrt{3}\)xy + 3y² – 3x – 3\(\sqrt{3}\)y – 4 = 0
సాధన:
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)
= \(2 \sqrt{\frac{\frac{9}{4}+4}{1(1+3)}}=2 \sqrt{\frac{25}{4.4}}=\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 6.
3x² + 8xy – 3y² = 0, 3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y – 1 = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక చతురస్రం ఏర్పడుతుందని నిరూపించండి.

సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 8xy – 3y²
(x + 3y) (3x – y) = 0
3x – y = 0, x + 3y = 0
OA సమీకరణము 3x – y = 0 ……………….. (1)
OB సమీకరణము x + 3y = 0 ………………. (2)
CA, CB ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y + 1 = 0
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y + 1 = (3x – y + c₁)(x + 3y + c₂)
x గుణకాలను సమానం చేయగా c₁ + 3c₂ = 2
y గుణకాలను సమానం చేయగా 3c₁ + c₂ = – 4

BC సమీకరణం 3x – y – 1 = 0 ……………… (3)
AC సమీకరణం x + 3y + 1 = 0 ……………… (4)
OA, BC లు సమీకరణాలు స్థిరపదాలలో మాత్రమే చేధిస్తున్నా
⇒ OA, BC లు సమాంతరాలు
OB, CA లు సమీకరణాలు స్థిరపదాలలో మాత్రమే చేధిస్తున్నా
⇒ OB, AC లు సమాంతరాలు
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము.
a + b = 3 – 3 = 0, OACB దీర్ఘచతురస్రం.
OA = 0నుండి AC మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OB = 0 నుండి BC మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{9+1}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OA = OB మరియు OACB దీర్ఘచతురస్రం
OACB చతురస్రం.

III.

ప్రశ్న 1.
(2, 1) బిందువు నుంచి 12x² + 25xy + 12y² 10x + 11y + 2 = 0 సూచించే సరళరేఖలకు ఉన్న లంబ. దూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.

సాధన:
AB, AC ల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2 = 0
12x² + 25xy + 12y²
= 12x² + 16xy + 9xy + 12y² = 0
= 4x (3x+4y) + 3y (3x+4y)
= (3x + 4y) (4x + 3y)
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2
= (3x + 4y + c₁) (4x + 3y + c₂)
x గుణకాలను సమానం చేయగా,
4c₁ +3c₂ = 10 ……………. (1)
y గుణకాలను సమానం చేయగా,
3c₁ + 4c₂ = 11 ……………… (2)
i.e., 4c₁ + 3c₂ – 10 = 0
3c₁ + 4c₂ – 11 = 0

AB సమీకరణం 3x + 4y + 1 = 0
AC సమీకరణం 4x + 3y + 2 = 0
PQ = P నుండి AB మీదకు లంబదూరము
AB = \(\frac{6+4+1}{\sqrt{9+16}}=\frac{11}{5}\)
PR = P నుండి AC మీదకు లంబదూరము
AC = \(\frac{|8+3+2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{13}{5}\)
లంబదూరాల లబ్దము
= PQ × PR = \(\frac{11}{5}\) × \(\frac{13}{5}\) = \(\frac{143}{25}\)

ప్రశ్న 2.
y² – 4y + 3 = 0, x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0 అనే సరళరేఖాయుగ్మాలతో ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడుతుందని నిరూపించి, దాని భుజాల పొడవులను కనుక్కోండి.

సాధన:
మొదటి రేఖాయుగ్మం సమీకరణం y² – 4y + 3 = 0
(y – 1) (y – 3) = 0
y – 1 = 0 లేదా y – 3 = 0
AB సమీకరణం y – 1 = 0 …………… (1)
CD సమీకరణం y – 3 = 0 ……………. (2)
AB, CDల సమీకరణాలలో స్థిరపదంలో మాత్రమే తేడా ఉంది.
∴ AB, CD లు సమాంతరాలు.
రెండవ రేఖా యుగ్మం సమీకరణం
x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0
(x + 2y)² + 5(x + 2y ) + 4 = 0
(x + 2y)² + 4 (x + 2y) + (x + 2y) + 4 = 0
(x + 2y)(x + 2y + 4) + 1 (x + 2y + 4) = 0
(x + 2y + 1) (x + 2y + 4) = 0
x + 2 y + 1 = 0, x + 2 y + 4 = 0
AD సమీకరణం x + 2y + 1 = 0 ……………… (3)
BC సమీకరణం x + 2 y + 4 = 0 …………….. (4)
AD, BC లు సమాంతరాలు.
(1); (3) లను సాధించగా x + 2 + 1 = 0
x = -3
A నిరూపకాలు (-3, 1)
x = 3
(2), (3) లను సాధించగా x + 6 + 1 = = 0
x = -7
D నిరూపకాలు (-7, 3)
(1), (4) లను సాధించగా x + 2 + 4 = 0
x = – 6
B నిరూపకాలు (−6, 1)
AB = \(\sqrt{(-3+6)^2+(1-1)^2}\)
= \(\sqrt{9+0}\)
= 3
AD = \(\sqrt{(-3+7)^2+(1-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\)
= \(\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\)
సమాంతర చతుర్భుజ భుజాల పొడవులు 3, \(2 \sqrt{5}\).

ప్రశ్న 3.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే సమీకరణం రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే, మూలబిందువు నుంచి ఈ సరళరేఖలకు ఉన్న దూరాల లబ్ధం \(\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
l₁ x + m₁y + n₁ = 0 ………………… (1)
l₂ x + m₂y + n₂ = 0 ………………. (2)
⇒ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
= (l₁ x + m₁y + n₁)(l₂ x + m₂y + n₂)
l₁l₂ = a,
m₁m₂ = b, l₁m₂ + l₂m₁ = 2h,
l₁n₂ + l₂n₁ = 2g,
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f,
n₁n₂ = c
మూలబిందువు నుండి (1) కి లంబదూరము = \(\frac{\left|n_1\right|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}}\)
మూలబిందువు నుండి (2) కి లంబదూరము = \(\frac{\left|n_2\right|}{\sqrt{l_2^2+m_2^2}}\)
లంబాల లబ్ధం

ప్రశ్న 4.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 అనే సమీకరణం ఒక వ్యతిచ్ఛేదక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తే, మూలబిందువు నుంచి వీటి ఖండన బిందువు దూరానికి వర్గం \(\frac{c(a+b)-f^2-g^2}{a b-h^2}\) అవుతుందని చూపండి. దత్త సరళరేఖలు లంబంగా ఉంటే ఈ దూరం యొక్క వర్గం \(\frac{f^2+g^2}{h^2+b^2}\) అని కూడ నిరూపించండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందనుకొందాం.
l₁x + m₁y + n₁ = 0 ……………… (1)
l₂x + m₂y + n₂ = 0 ………………. (2)
(l₁x + m₁y + n₁)(l₂x + m₂y + n₂)
= ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
l₁l₂ = a, m₁m₂ = b, n₁n₂ = c
l₁m₂ + l₂m₁ = 2h, l₁n₂ + l₂n₁, = 2g,
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f
(1); (2) లను సాధించగా