Inter 1st Year

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 12th Lesson పుష్పించే మొక్కల కణజాలశాస్త్రం, అంతర్నిర్మాణ శాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 12th Lesson పుష్పించే మొక్కల కణజాలశాస్త్రం, అంతర్నిర్మాణ శాస్త్రం

→ అంతర్నిర్మాణ పరంగా, మొక్క దేహము వివిద రకాల కణజాలాలతో నిర్మితమై ఉన్నది.

→ కణజాలాలు రెండు రకాలు. అవి

• విభాజ్య కణజాలాలు
• శాశ్వత కణజాలాలు

→ ఎల్లప్పుడు విభజనచెందే అపరిపక్వ కణజాల సముదాయమును విభాజ్య కణజాలాలు అంటారు.

→ ఇవి కాండ అగ్రంలో (అగ్ర) లేక మధ్యస్థ లేక పార్శ్వంగా ఉంటాయి.

→ విభజనశక్తిని కోల్పోయి, పక్వత చెంది నిర్దిష్ట ఆకారంను ఏర్పరుచుకున్న కణజాలాలను శాశ్వత కణజాలాలు అంటారు.

→ శాశ్వత కణజాలాలు 3 రకాలు అవి

• సరళ కణజాలాలు
• సంక్లిష్ట కణజాలాలు
• ప్రత్యేక కణజాలాలు

→ ఒకే రకమైన కణాలతో ఏర్పడి, ఒకే విధిని నిర్వర్తించే కణాల సముదాయమును సరళ కణజాలాలు అంటారు. ఇవి మృదుకణజాలము స్థూలకోణ కణజాలము మరియు దృఢ కణజాలము అవి 3 రకాలు

→ వేర్వేరు కణాలలో ఏర్పడి, అన్ని కలసి ఒకే విధిని నిర్వర్తించే కణాల సముదాయమును సంక్లిష్ట కణజాలాలు అంటారు. వీటిలో దారువు, పోషక కణజాలములు కలవు.

→ నిర్మాణము, స్థానమును బట్టి కణజాల వ్యవస్థలు 3 రకాలు కలవు. అవి బాహ్యచర్మ కణజాల వ్యవస్థ, సంధాయక కణజాలవ్యవస్థ మరియు నాళికా కణజాల వ్యవస్థ.

→ బాహ్యచర్మ కణజాల వ్యవస్థలో బాహ్య చర్మము, పత్రరంధ్రాలు, కేశాలు అవభాసిని ఉంటాయి.

→ సంధాయక కణజాల వ్యవస్థలో బాహ్యచర్మము, నాళికాపుంజాలు కాక మిగిలినవి (అధశ్చర్మము, సాధారణ వల్కలం, అంతరశ్చర్మం, దవ్వ, దవ్వరేఖలు) ఉంటాయి.

→ నాళికా కణజాలవ్యవస్థలో దారువు, పోషకకణజాలములు కలవు.

→ నాళికాపుంజాలు సహ పార్శ్వ వివృతము (ద్విదళబీజ కాండము), సహ పార్శ్వ సంవృతము (ఏకదళబీజ కాండము) వ్యాసార్థపు (వేర్లు) ద్విసహపార్శ్వము (కుకుర్చిటా కాండము)గా ఉంటాయి.

→ ద్విదళబీజవేరు అడ్డుకోతలో బాహ్యచర్మము, వల్కలము మరియు ప్రసరణస్థంభం ఉంటాయి. ప్రసరణస్థంభంలో దారువు, పోషక కణజాలాలు వేరు వేరు వ్యాసార్ధాల పై ఉంటాయి. దారువు చతుఃప్రథమ దారుకము.

→ ఏకదళబీజవేరు అడ్డుకోతలో దారువు, పోషక కణజాలాలు వ్యాసార్థంగా ఉంటాయి మరియు బహుప్రథమదారుకము.

→ ద్విదళబీజ కాండములో 15-20 నాళికాపుంజాలు ఒక వలయంలో అమరి ఉంటాయి. (నిజ ప్రసరణస్థంభం)

→ ఏకదళ బీజకాండంలో అనేక నాళికా పుంజాలు చెల్లాచెదురుగా అమరి ఉంటాయి. (అటాక్టోస్టీల్)

→ ద్విదళబీజ పత్రంలో పత్రాంతరంలో స్థంభ, స్పాంజి మృదు కణజాలాలు ఉంటాయి. ఏకదళబీజ పత్రంలో స్పాంజి కణజాలం మాత్రమే ఉంటుంది.

→ ద్విదళబీజకాండాలు, వేర్లలో నాళికా విభాజ్య కణావళి వలన వ్యాసం పెరుగుతుంది. దీనిని ద్వితీయ వృద్ధి అంటారు.

→ పుంజాంతర విభాజ్య కణావళి, పుంజాంతస్థ విభాజ్యకణావళి కలసి విభాజ్య కణావళి వలయం ఏర్పడుతుంది.

→ వసంతదారువు, శరద్దారువులను కలిపి వార్షిక వలయము అంటారు. వీటిని లెక్కించి, మొక్క యొక్క వయస్సు అంచనా వేయవచ్చు. దీనిని డెండ్రోక్రోనాలజి అంటారు.

→ ముదిరిన కాండాలలో మధ్యలో ఉన్న ముదురు దారువును అంతర్దారువు/ డ్యూరమెన్ అంటారు.

→ పరిధీయ, లేతరంగులో ఉన్న దారువును రస దారువు అంటారు.

→ వల్కల కణాలు విభాజ్యకణాలుగా మారి బెండు విభాజ్య కణావళి లేక ఫెల్లోజన్ ను ఏర్పరుస్తాయి.

→ ఫెల్లోజన్, ఫెల్లం (వెలుపలిబెండు), ఫెల్లోడర్ (లోపలి ద్వితీయ వల్కలము) లను కలిపి పరిచర్మం అంటారు.

→ ముదిరిన కాండాలలో ఏర్పడే కటకాకార రంధ్రాలను వాయు రంధ్రాలు అంటారు. ఇవి వాయువుల వినిమయానికి తోడ్పడతాయి.

→ వార్షిక వలయం : ద్విదళబీజాల ద్వితీయ అంగాలలో ఒక సంవత్సరంలో ఏర్పడి ఏకకేంద్రక వలయాలుగా కనిపించే వసంత దారువు, శరద్దారువులను వార్షిక వలయం అంటారు. వార్షిక వలయాల సంఖ్యను లెక్కబెట్టి వృక్షాల వయస్సును సుమారుగా అంచనా వేయవచ్చు.

→ శరద్దారువు లేదా మలిదారువు : సన్నని అవకాశికలను కలిగిన దారు నాళాలు ఉన్న దారువును శరద్దారువు అంటారు. ఇది శరదృతువులో ఏర్పడుతుంది.

→ ద్విసహపార్శ్వ నాళికా పుంజాలు : దారువుకి ఇరువైపులా పోషక కణజాలం అమరి ఉండి విభాజ్యకణజాలం ద్వారా వేరు చేయబడి ఉన్న నాళికా పుంజం.

→ బుల్లిఫామ్ కణాలు : ఇవి సమద్విపార్శ్వ పత్రంలోని అభ్యక్ష తలంలో పెద్దవిగా, ఖాళీగా, వర్ణరహితంగా ఉండే కణాలు. పత్రాలు చుట్టుకోవడానికి, విప్పుకోవడానికి ఈ కణాలు తోడ్పడతాయి.

→ కాస్పేరియన్ పేలికలు : ఇవి నీటికి అపారగమ్యంగా ఉండి, అంతశ్చర్మ కణాల స్పర్శరేఖీయ, వ్యాసార్ధ కుడ్యాల మీద నిక్షిప్తమయిన మైనం లాంటి సూబరిన్తో తయారు చేయబడ్డ పట్టీలు.

→ సంక్లిష్ట కణజాలాలు : అనేక రకాల కణాలను కలిగిన శాశ్వత కణజాలాలను సంక్లిష్ట కణజాలాలు అంటారు.

→ సంయుక్త నాళికా పుంజాలు : దారువు, పోషకకణజాలాలు ఒకే వ్యాసార్థం మీద ఉండే ఒక రకమైన నాళికా పుంజాలు.

→ అంతర ప్రథమదారుకం : ప్రథమ దారువు లోపలి వైపు (దవ్వ వైపు), అంతదారువు అంగం వెలుపలి వైపు ఉంటాయి. ఇటువంటి దారువు కాండాలలో కనిపిస్తుంది.

→ బాహ్య ప్రథమదారుకం : ప్రథమ దారువు వెలుపలివైపుకి, అంత్యదారువు లోపలి వైపుకి ఉంటాయి. ఇటువంటి ప్రాథమిక దారువు అమరిక వేర్లలో ఉంటుంది.

→ నారలు : ఇవి మందమైన కుడ్యాలను కలిగి పొడవుగా ఉండే దృఢకణజాల కణాలు. వీటి కొనలు సన్నగా, మొనదేలి ఉంటాయి. ఈ కణాలు సమూహాలుగా ఉంటాయి.

→ అంతర్దారువు : ముదురు గోధుమ వర్ణంలో ఉండే ద్వితీయదారువు మధ్య భాగాన్ని అంతర్దారువు అంటారు. దీనిలో నిర్జీవ మూలకాలు ఉంటాయి. వీటి కుడ్యాలు అధిక లిగ్నిన్ పూరితమై ఉంటాయి. ఇది టానిన్లు, రెసిన్లు, నూనెలు, జిగుర్లు, సువాసన పదార్థాల లాంటి కర్బన పదార్థాలు, సుగంధ తైలాలతో నిండి ఉంటుంది. అంతర్దారువు నీటిని ప్రసరింపచేయదు. కాని కాండానికి యాంత్రిక ఆధారాన్నిస్తుంది.

→ వాయురంధ్రాలు : దారుయుత వృక్షాల బెండులో ఉండే కటకాకార రంధ్రాలను వాయురంధ్రాలు అంటారు. వీటిలో కణాలు దగ్గర దగ్గరగా అమరి ఉంటాయి. వాయురంధ్రాల ద్వారా దారుయుత అంగాల అంతర కణజాలాలు, వెలుపలి వాతావరణం మధ్య వాయువుల వినిమయం జరుగుతుంది.

→ విభాజ్య కణజాలాలు : ఇవి మొక్కలలో చురుకుగా కణవిభజన జరిగే ప్రత్యేకమైన ప్రదేశాలు.

→ పరిచర్మం : ఫెల్లోజన్, ఫెల్లమ్, ఫెల్లోడర్ ను కలిపి పరిచర్మం అంటారు.

→ ఫెల్లమ్ : ఫెల్లోజన్ కణాలనుంచి ఏర్పడే బెండు కణజాలం.

→ ఫెల్లోడర్మ్: బెండు విభాజ్యకణావళికి లోపలివైపు ఏర్పడే ద్వితీయ వల్కలం కణాలు.

→ ఫెల్లోజన్ : దీన్ని బెండు విభాజ్యకణావళి అని కూడా అంటారు. ఇది సాధారణంగా వల్కలంలో కనిపిస్తుంది. ఇది ఫెల్లమ్, ఫెల్లోడర్లను ఉత్పత్తి చేస్తుంది.

→ రసదారువు : ద్వితీయ దారువు వెలుపలి భాగం లేత వర్ణంలో ఉంటుంది. దీన్ని రసదారువు అంటారు. ఇది వేరు నుంచి పత్రానికి నీరు, ఖనిజాలను సరఫరా చేస్తుంది.

→ దృఢకణాలు : ఇవి గోళాకారం, అండాకారం లేదా స్థూపాకారంగా ఉండే దృఢ కణజాల కణాలు. ఇవి నిర్జీవ కణాలు, వీటిలో అవకాశిక చాలా సన్నగా ఉంటుంది.

→ సరళ కణజాలాలు : నిర్మాణంలోనూ, విధిలోను ఒకే రకంగా ఉండే కణాలను కలిగిన శాశ్వత కణజాలాలను సరళ కణజాలాలు అంటారు.

→ వసంత దారువు లేదా తొలిదారువు : విశాలమైన అవకాశికలను కలిగిన దారునాళాలతో ఉండే దారువును వసంత దారువు అంటారు. ఇది వసంత రుతువులో ఏర్పడుతుంది.

→ పిండి ఒర : అంతశ్చర్మ కణాలలో అధికంగా పిండి రేణువులు ఉంటాయి. అందువల్ల అంతశ్చర్మాన్ని పిండి ఒర అంటారు.

→ పత్రరంధ్ర పరికరం : పత్రరంధ్రం, రక్షక కణాలు, వాటిని ఆవరించి ఉండే అనుబంధ కణాలను కలిపి పత్రరంధ్ర పరికరం అంటారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 11th Lesson కణచక్రం, కణ విభజన will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 11th Lesson కణచక్రం, కణ విభజన

→ కణ సిద్ధాంతం ప్రకారము, కణాలు అంతకు ముందు ఉన్న కణాల నుండి విభజన వలన ఏర్పడతాయి.

→ లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుకునే జీవులు తమ జీవిత చక్రమును సంయుక్త బీజంతో మొదలు పెడతాయి.

→ ఒక వరుస క్రమంలో జరిగే ప్రక్రియల ద్వారా జీనోమ్లు రెండుగా ఏర్పడుట, వివిధ అనుఘటకాల సంశ్లేషణ మరియు ఒక మాతృకణం రెండు పిల్ల కణాలుగా విభజనచెందే ప్రక్రియను కణ చక్రం అంటారు.

→ కణచక్రంలో రెండు ప్రదాన దశలు ఉంటాయి. అవి అంతార్దశ, M దశలు.

→ అంతర్దశలో G₁, దశ, S దశ, G₂, దశలు కలవు.

→ G. దశలో కణం నిరంతరం పెరుగుదల కొనసాగిస్తూ జీవక్రియా పరంగా అధిక క్రియాశీలత కలిగి ఉంటుంది.

→ S దశలో DNA ప్రతికృతి జరుగును.

→ G₂ దశలో కణద్రవ్య పెరుగుదల జరుగును.

→ S దశలో 4 ఉప దశలు కలవు. అవి ప్రథమ దశ, మధ్య దశ, చలన దశ మురియు అంత్య దశ.

→ ప్రథమ దశలో క్రోమోసోయల్ సంగ్రహణం జరుగుతుంది.

→ మధ్యస్థ దశలో క్రోమోసోమ్లు మద్యరేఖ వద్దకు చేరుకొని, మధ్యస్థ ఫలకం వద్ద రెండు దృవప్రాంతాలు కండెపోగులతో కలసి ఉంటాయి.

→ చలన దశలో ప్రతి క్రోమోసోమ్ చీలిపోయి రెండు క్రోమాటిడ్లుగా ఏర్పడతాయి.

→ క్రోమోసోమ్ల చుట్టూ కేంద్రక త్వచం ఏర్పడుట, కేంద్రకాంశం గాల్జి సంక్లిష్టము, అంతర్జీవ ద్రవ్యజాలము ఏర్పడుట, అంత్యదశలో కనిపిస్తాయి.

→ కణద్రవ్య విభజనను సైటోక్రినసిస్ అంటారు.

→ క్షయకరణ విభజన ధ్వయస్థితిక కణాలలో జరుగును. దీనిలో క్రోమోసోమ్ల సంఖ్య సగానికి సగం తగ్గించ బడుతుంది.

→ క్షయకరణ విభజనలో క్షయకరణ విభజన I, II లు కలవు.

→ క్షయకరణ విభజన I లో ప్రథమ దశ , మద్య దశ I, చలన దశ I, అంతిమ దశ I ఉంటాయి.

→ ప్రథమ దశ I లో లెప్టోటీన్, జైగోటీన్, పాకీటీన్, డిప్లోటీన్ డయాకైనెసిస్ కలవు.

→ పాకిటిన్ ఉప దశలో పారగతి జరుగును.

→ క్షయకరణ విభజన II, సమవిభజన వలె ఉంటుంది. దీనిలో ప్రథమ దశ II, మధ్యస్థ దశ II, చలన దశ, అంత్య దశ II ఉంటాయి.

→ క్షయకరణ విభజన అనంతరం 4 పిల్ల కణాలు ఏర్పడతాయి.

→ బైవలెంట్ : సూత్రయుగ్మనమై (synapsis) ఉన్న ఒక జత సమజాతీయ క్రోమోజోమ్లు.

→ కణచక్రం (cell cycle) : జీనోమ్ రెట్టింపవడం, చివరగా ఒక కణం విభజన చెందే ప్రక్రియలు చక్రీయంగా జరుగటను, కణాలుగా విడిపోయే ప్రక్రియను కణచక్రం అంటారు.

→ కణ ఫలకం : మొక్కల కణాలలో కణద్రవ్య విభజన చెందునప్పుడు ఏర్పడు కణకవచ పూర్వగామి.

→ కయాస్మేటా : వినిమయం లేదా పారగతి (crossing over) జరిగిన తరువాత ‘X’ ఆకారంలో ఉన్న క్రొమాటిడ్ల నిర్మాణాన్ని కయాస్మేటా అంటారు.

→ క్రొమాటిడ్ : మధ్యస్థ దశలోని ప్రతి క్రోమోసోమ్ నిలువుగా చీలిన అర్థభాగం.

→ సైటోకైనెసిస్ : కణద్రవ్య విభజనను సైటోకైనెసిస్ అంటారు.

→ డిప్లొటీన్ : క్షయకరణ విభజనలోని ప్రథమదశ | లో క్రోమోసోమ్ జతలు విడిపోవుట ప్రారంభమయ్యే దశ.

→ అంతర్దశ (Interphase) : రెండు వరుస (successive) విభజనల మధ్య ఉన్న తయారీదశ.

→ కేంద్రక విభజన (Karyokinesis) : కణవిభజనలో ఒక కేంద్రకం నుండి రెండు కేంద్రకాలుగా ఏర్పడుటను కేంద్రక విభజన అని అంటారు.

→ పాకిటీన్ (Pachytene) : క్షయకరణ విభజన | లోని దశ. దీనిలో క్రోమోసోమ్లు మందంగా స్పష్టంగా కనబడతాయి. ఈ దశలో సమజాతీయ క్రోమోసోమ్ల మధ్య జన్యు పదార్థం మార్పిడి జరుగును.

→ శాంతదశ (Quiscent state – Go) : కణ చక్రంలో కణాలు విభజన చెందకుండా ఉండే నిష్క్రియ దశను శాంత దశ అంటారు.

→ సినాప్టోనిమల్ సంక్లిష్టం (Synaptonemal complex) : క్షయకరణ విభజనలోని ప్రథమ దశ | లో సమజాతీయ క్రోమోసోమ్లను కలిపి ఉంచే ప్రోటీన్ సంక్లిష్టం.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 10th Lesson జీవ అణువులు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 10th Lesson జీవ అణువులు

→ జీవకణాలలోనైనా భూ పటలంలో కంటే అధికంగా కర్బనం ఉదజని ఉంటాయి.

→ సజీవ కణజాలాల నుంచి లభించే అన్ని కర్బన సమ్మేళనాలను జీవాణుద్రలు అంటారు.

→ సజీవ కణజాలంలో అమైనో ఆమ్లాలు, న్యూక్లియోటైడ్ క్షారాలు కొవ్వుఆమ్లాలు ఉంటాయి.

→ అమైనో ఆమ్లాలు ఒక అమైనోగ్రూప్, ఒక ఆమ్ల గ్రూప్/కార్బోక్సిలిక్ గ్రూప్ రెండు ఒకే QL – కార్టన్ మీద కలిగి ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు కనుక వీటిని QC – అమైనో ఆమ్లాలు అంటారు.

→ అమైనో, కారక్సిల్ గ్రూప్ సంఖ్యను అనుసరించి ఇవి ఆమ్ల (ఉదా : గుటామిక్ ఆమ్లము) క్షార (లైసిన్) తటస్థ (వాలిన్) స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

→ లిపిడ్లు సాధారణంగా నీటిలో కరగవు.

→ లిపిడ్లు కొవ్వు ఆమ్లాలు, గ్లైకోలిపిడ్లు మరియు ఫాస్ఫోలిపిడ్లు రూపంలో ఉంటాయి.

→ అడినిన్, గ్వానిన్, సైటోసిన్, యురాసిల్ మరియు థైమిన్లను నత్రజని క్షారాలు అంటారు.

→ ఎడినిలిక్ ఆమ్లం, థెమిడిలిక్ ఆమ్లం, గ్వాని కామ్లం యురిడిలిక్ ఆమ్లము, సైటిడిలిక్ ఆమ్లములను న్యూక్లియోటైడ్లు అంటారు.

→ అమైనో ఆమ్లాలు, చక్కెరలు ప్రాథమిక జీవక్రియోత్పన్నాలు

→ ఆల్కలాయిడ్లు, ఫ్లావానాయిడ్లు, రబ్బరు, యాంటీబయోటిక్స్, జిగురులు ద్వితీయా జీవక్రియోత్పన్నాలు

→ 1000 డాల్టన్ల కన్నా తక్కువ అణుభారం కల అణువులను సూక్ష్మ అణువులు అంటారు.

→ ఆమ్ల అద్రావణీయ భాగంలో ఉన్న బృహదణువులను స్థూల అణువులు లేదా జీవ బృహదణువులు అంటారు.

→ ప్రోటీన్లు పొలిపెప్టైడు, వీటిలో గల అమైనో ఆమ్లాలు ఒక సరళ శృంఖలంలో ఒకదానితో ఒకటి కలపబడి ఉంటాయి.

→ మనం తినే ప్రోటీన్లు ద్వారా అవశ్యక అమైనో ఆమ్లాలు లభిస్తాయి.

→ కొల్లాజెన్ జంతు ప్రపంచంలో అత్యంత సమృద్ధిగా ఉండే ప్రోటీను RUBISCO సమస్థ జీవావరణంలోనే అత్యంత సమృద్దిగా ఉన్న ప్రోటీను.

→ పాలిశాఖరైడ్లు చక్కెరతో కలిసి ఏర్పడిన పొడవైన గొలుసులు.

→ సెల్యులోస్ ఒక సమజాతీయ బహ్వణువు. ఉదా : పత్తిదారం

→ న్యూక్లియోటైడ్ అనేది కేంద్రకామ్లంలోని నిర్మాణ ప్రమాణం.

→ న్యూక్లియోటైడ్లో నత్రజని క్షారము, చక్కెర, ఫాస్ఫేట్ అణువు ఉంటాయి.

→ ప్రోటీన్లులో ఏ అమైనో ఆమ్లం మొదటిది. ఏది రెండవది అనే సమాచారాన్ని ప్రోటీను ప్రాథమిక నిర్మాణము అంటారు.

→ ప్రోటీను పోగులలో వేర్వేరు విధాలుగా మడతలు పడిన, దానిని ద్వితీయ నిర్మాణం అంటారు.

→ పొడవైన ప్రోటీనుగొలుసు దానిమీద అదే మడతలు పడి ఒక డొల్లగా ఉన్న ఊలు బంతి వంటి తృతీయ నిర్మాణంగా ఏర్పడుతుంది.

→ ప్రోటీనులో అమైనోఆమ్లాలు పెప్టైడ్ బంధాలతో ఉంటాయి. పాలిశాఖరైడ్లో మోనోశాఖరైడ్లు గ్లైకోసైడిక్ బంధాలతో ఉంటాయి.

→ DNA ద్వితీయ నిర్మాణాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి. ఉదా : వాట్సన్ క్రిక్ నమూనా

→ ప్రతి రసాయన చర్య – ఒక ఉత్ప్రేరకచర్య.

→ జీవవ్యవస్థలో ముఖ్యమైన శక్తి రూపము = ATP.

→ ATP : అడినోసిన్ ట్రైఫాస్ఫేట్, సాధారణంగా శక్తి ద్రవ్య రూపంగా వర్ణించబడుతుంది.

→ బయో ఎనర్జిటిక్స్ : జీవకణాల్లో శక్తి పరివర్తనాల అధ్యయనం

→ బయోమాక్రోమోలిక్యూల్స్ : జీవకణజాలాల్లోని ఆమ్ల అద్రావణీయతగల, అధిక అణుభారం కలిగిన పదార్థాలు.

→ జీవాణువులు : జీవకణాజాలాల నుంచి లభించే సమస్త కర్బన సమ్మేళనాలు.

→ ఆవశ్యక అమైనో ఆమ్లాలు : ఆహారం ద్వారా సరఫరా చేయబడే, ఆరోగ్యానికి అవసరమైన ఆమ్లాలు.

→ గ్లైకోసైడిక్ బంధం : పక్క పక్క నుండే చక్కెర అణువులలోని కార్బన్ల మధ్య ఉండే రసాయన బంధం.

→ జీవక్రియ : ఒక జీవి శరీరంలో జరిగే అన్ని రసాయనిక చర్యలను కలిపి జీవక్రియగా పేర్కొంటారు. సరళమైన అణువుల నుంచి సంక్లిష్టమైన అణువులు ఏర్పడే నిర్మాణాత్మక జీవక్రియను నిర్మాణక్రియ (anabolism) అంటారు. సంక్లిష్టమైన అణువులు సరళమైన అణువులుగా విడగొట్టబడే విచ్ఛిన్న జీవక్రియను విచ్ఛిన్న క్రియ (catabolism) అని అంటారు.

→ కేంద్రకామ్లాలు : న్యూక్లియోటైడ్ల బహ్వణువులు.

→ పెప్టైడ్ బంధం : ప్రొటీన్లలోని రెండు అమైనో ఆమ్లాల మధ్యగల బంధం.

→ పాలిశాఖరైడ్లు : చక్కెర అణువుల పొడవైన జీవ బహ్వణువు శృంఖల.

→ ద్వితీయ జీవక్రియోత్పన్నాలు : అతిథేయిలో చెప్పుకోదగ్గ విధులు లేని జీవక్రియ ఉత్పన్నాలు.

→ తృతీయ నిర్మాణ ప్రోటీన్లు జీవక్రియలకి ఆవశ్యకమైన త్రిమితీయ ప్రోటీన్ నిర్మాణం.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 9th Lesson కణం: జీవప్రమాణం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 9th Lesson కణం: జీవప్రమాణం

→ ఏక కణజీవులు స్వతంత్ర ఉనికిని కలిగి ఉంటాయి. ఆవశ్యక జీవ క్రియలన్నింటినీ నిర్వర్తించగలవు.

→ ఆంటానా వాన్ లీవన్ హాక్, సజీవ కణాన్ని గుర్తించారు.

→ ప్లీడన్ మరియు ష్వాన్లు కణ సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించారు.

→ ఆర్. విర్షా కణ సిద్ధాంతంను, జీవులన్ని కణాలు, కణ ఉత్పత్తులతో ఏర్పడ్డాయని, అన్ని కణాలు అంతకు పూర్వము ఉన్న కణాల నుంచి పడతాయని వివరించారు.

→ మైకోప్లాస్మాలు అతి చిన్నవిగా, 0.3 μm ఉంటాయి.

→ ఆస్ట్రిచ్ పక్షి స్త్రీ బీజము అతి పెద్ద కణము.

→ కేంద్రక పూర్వ కణాలలో బాక్టీరియా, నీలి ఆకుపచ్చ శైవలాలు, మైకోప్లాస్మా PPLO లు కలవు.

→ బాక్టీరియాలు కోకస్ (గుండ్రము), బాసిల్లస్ (దండాకారము) విబ్రియో (కామా) మరియు స్ట్పైరిల్లమ్ (సర్పిలాకారం)లలో ఉంటాయి.

→ కేంద్రక పూర్వకణాలలో కేంద్రక త్వచంలేని కేంద్రకం ఉంటుంది.

→ 2 కేంద్రక పూర్వ కణాలలో జన్యు పదార్థాన్ని న్యూక్లియాయిడ్ అంటారు.

→ 2 కేంద్రక పూర్వ కణాలలో న్యూక్లియాయిడ్ కాకుండా, జీనోయేతర DNA లు ఉంటాయి. వాటిని ప్లాస్మిడ్లు అంటారు.

→ బాక్టీరియల్ కశాభంలో, ఫిలమెంట్, కొక్కెము, పీఠదేహము ఉంటాయి.

→ బాక్టీరియా ఉపరితలంపై ఫిలి, ఫింబ్రియాలు ఉంటాయి.

→ కేంద్రక పూర్వ కణాలలో 705 రైబోసోమ్లు ఉంటాయి.

→ కేంద్రక పూర్వ కణాలలో నిల్వ ఆహారములు పాలీ/3 హైడ్రాక్సి బ్యుటిరేట్ రూపంలో లేక గ్లైకోజన్ రేణువుల రూపంలో ఉంటాయి.

→ నిజకేంద్రక కణాలలో నిర్దిష్ట కేంద్రకం ఉంటుంది.

→ నిజకేంద్రక కణాలలో ప్లాస్మాపొర వెలుపల, నిర్జీవ రక్షణ పొర అయిన కణ కవచం ఉంటుంది.

→ కణ కవచం సెల్యులోస్, హెమిసోల్యులోస్, పెక్టిన్, ప్రోటీనులతో నిర్మితము.

→ అంతర్జీవ ద్రవ్యజాలము, గాల్జీ సంక్లిష్టము, లైసోసోమ్లు, రిక్తికలను అంతరత్వచ వ్యవస్థ అంటారు.

→ రైబోసోమ్లు కల అంతర్జీవ ద్రవ్య జాలమును గరుకు అంతర్జీవ ద్రవ్యజాలము అంటారు.

→ కణ కవచ పదార్థాల తయారీలో పాల్గొనే కణాంగము గాల్జి సంక్లిష్టము.

→ కణ విచ్ఛిత్తికి దారితీసే కణాంగము – లైసోసోమ్.

→ రిక్తికలు కణ ద్రవాభిసరణ చర్యలను నియంత్రిస్తాయి.

→ మైటోకాండ్రియాలు వాయుసహిత శ్వాసక్రియ ప్రదేశాలు.

→ కార్బోహైడ్రేటులను నిల్వచేయు శ్వేతరేణువులను అమైలోప్లాస్ట్లు అని, ప్రోటీనులను నిల్వచేయు శ్వేతరేణువులను అల్యురోప్లాస్ట్లు అని, కొవ్వులు, నూనెలను నిల్వచేయు శ్వేతరేణువులను ఇలియోప్లాస్ట్లు అని అంటారు.

→ హరితరేణువులు కిరణజన్య సంయోగక్రియను జరుపుతాయి.

→ నిజకేంద్రక కణాలలో 80 S రైబోసోమ్లు ఉంటాయి.

→ కణవిభజనలో సెంట్రియోలు కండెపరికరం ఏర్పాటులో పాల్గొంటాయి.

→ కేంద్రకం, కణ మేధస్సు, కణంలోని అన్ని జీవక్రియలను నియంత్రిస్తుంది.

→ క్రొమాటిన్ లో DNA మరియు హిస్టోన్ ప్రోటీనులు ఉంటాయి.

→ పెరాక్సీసోమ్లు, గ్లై ఆక్సీసోమ్లను సూక్ష్మదేహాలు అంటారు.

→ సక్రియరవాణా : ATP రూపంలోని శక్తి ఉపయోగంతో త్వచం ద్వారా జరిగే రవాణా

→ సూక్ష్మ జీవనాశకాలు (Antibiotics) : కొన్ని సూక్ష్మజీవుల నుంచి ఉత్పత్తి అయి, ఇతర సూక్ష్మజీవులను నశింపచేసే పదార్థాలు

→ ఆక్సోనీమ్ : సూక్ష్మనాళికలను 9 + 2 అమరికలో కలిగి ఉన్న శైలిక లేక కశాభం యొక్క కోర్ (కేంద్ర) భాగం.

→ కెరోటినాయిడ్లు : వర్ణ రేణువులలో సమృద్ధిగా ఉంది పసుపు, నారింజ లేదా ఎరుపు వర్ణాలను కలిగించే, టర్పినాయిడ్ వర్ణద్రవ్యాలు,

→ కణాంగాలు : కణద్రవ్యంలో కనిపించే త్వచయుత లేదా త్వచరహిత నిర్మాణాలు.

→ క్రొమాటిన్ : నిజకేంద్రక జీవకణంలోని కేంద్రకంలో కనిపించే వర్ణయుతమైన సూక్ష్మ పోగుల లాంటి పదార్థం.

→ కణ అస్థిపంజరం : నిజకేంద్రక జీవకణంలో కనిపించే విస్తారమైన ప్రోటీన్ యుత తంతు రూప నిర్మాణాలు.

→ గ్లైకోకాలిక్స్ : బాక్టీరియా కణకవచానికి వెలుపల పాలిశాఖరైడ్తో నిర్మించబడిన పొర.

→ హిస్టోనులు : DNA తో కలిసి ఉండే క్షార ప్రోటీనులు

→ కైనిటోకోర్ : క్రోమోజోమ్ యొక్క సెంట్రోమియర్ భాగంలో కనిపించే రెండు బిళ్ళలలాంటి నిర్మాణాలు.

→ మిసోసోమ్ : కొన్ని బాక్టీరియాలలో కణకవచం నిర్మాణానికి, DNA ప్రతికృతికి తోడ్పడే త్వచ అంతర్వలనాలు (infoldings)

→ నిష్కియా రవాణా : శక్తి వినియోగింపబడకుండా త్వచం ద్వారా జరిగే రవాణా అంటే గాఢతా ప్రవణతననుసరించి జరిగే చర్య.

→ ప్లాస్మిడ్లు : అనేక బాక్టీరియమ్లలో జీనోమిక్ DNA కు వెలుపల కనిపించే చిన్న వృత్తాకార DNA అణువులు.

→ శాటిలైట్ : కొన్ని క్రోమోజోమ్లలో ద్వితీయ కుంచనానికి ఆవల క్రోమోసోమ్ చివరిభాగంలో కనిపించే గుండ్రని నిర్మాణం.

→ అంతరత్వచ వ్యవస్థ : సమన్వయం చెందిన విధులతో ఏర్పడిన కణాంగాల (అంతర్జీవ ద్రవ్యజాలం ER, గాల్జీ సంక్లిష్టం, లైసోజోమ్లు, రిక్తికలు) సమూహం.

→ థైలకాయిడ్లు : హరిత రేణువులలో కనిపించే చదునైన త్వచయుత కోశాలు.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 8th Lesson ఆవృతబీజాల వర్గీకరణ శాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 8th Lesson ఆవృతబీజాల వర్గీకరణ శాస్త్రం

→ Taxonomy అను పదమును ఎ.పి.డి. కండోల్ (1813) ప్రతి పాదించారు.

→ వర్గీకరణ శాస్త్రములో లక్షణాలను వర్ణించడం గుర్తించడం, నామీకరణ మరియు వర్గీకరణ అను అంశాలు కలవు.

→ కార్ల్ లిన్నేయసన్ను వర్గీకరణ శాస్త్ర పితామహుడుగా కీర్తిస్తారు.

→ స్వరూప లక్షణాలమీద ఆధారపడి చేసిన వర్గీకరణ శాస్త్రాన్ని అల్ఫా వర్గీకరణ శాస్త్రము అంటారు.

→ స్వరూప లక్షణాలతోపాటు, పిండోత్పత్తి శాస్త్రము, కణశాస్త్రము, పరాగరేణు శాస్త్రము, వృక్ష రసాయనశాస్త్రము, సిరాలజి వంటి అనేక శాఖలనుండి సేకరించిన సమాచారం ఆధారంగా చేసిన వర్గీకరణను ఒమేగా వర్గీకరణ శాస్త్రము అంటారు.

→ ఒకటి లేక రెండు లక్షణాలను ఆధారంగా చేసుకొని ఇచ్చిన వర్గీకరణను కృత్రిమ వర్గీకరణ అంటారు.

→ అన్ని లక్షణాలను పరిగణలోనికి తీసుకొని చేసిన వర్గీకరణను సహజ వర్గీకరణ అంటారు.

→ పరిణామక్రమ ప్రవృత్తులను పరిగణలోనికి తీసుకొని చేసిన వర్గీకరణను వర్గవికాస వర్గీకరణ అంటారు.

→ వర్గీకరణలో పుష్పలక్షణాలకు ప్రాధాన్యత ఇస్తారు. ఇవి వాతావరణ కారకాల ప్రభావం వల్ల మార్పుచెందవు.

→ గణితశాస్త్ర పద్ధతులను ఉపయోగించి, వర్గీకరణ సముదాయాల మధ్యగల గమనించ దగ్గ విభేదాలను, పోలికలను లెక్కగట్టే శాస్త్రాన్ని సాంఖ్యక వర్గీకరణ శాస్త్రం అంటారు.

→ క్రోమోసోమ్ల సంఖ్య, నిర్మాణంలాంటి కణ లక్షణాలను ఉపయోగించి వర్గీకరణ సమస్యలను పరిష్కరించే శాఖను కణాధార వర్గీకరణ శాస్త్రము అంటారు.

→ మొక్కలలో ఉండే రసాయన పదార్థాల సమాచారాన్ని ఉపయోగించి వర్గీకరణ సమస్యలను పరిష్కరించే శాఖను రసాయనిక వర్గీకరణశాస్త్రం అంటారు.

→ థియోఫ్రాస్టస్ మొక్కలను, ఆకారంపై ఆధారపడి గుల్మములు పొదలు, వృక్షంలుగా తన గ్రంధమైన హిస్టోరియా ప్లాంటేరంలో వర్ణించారు.

→ బెంథామ్ మరియు హుకర్ల వర్గీకరణను సహజవర్గీకరణ అంటారు.

→ APG- ఆంజియోస్పెర్మిక్ ఫైలోజెనిటిక్ గ్రూప్ అనే వ్యవస్థ ఆధునిక వర్గ వికాస వర్గీకరణ.

→ ఫాబేసిలో పైసం సటైవ, సొలనేసిలో సొలానం నైగ్రమ్, లిలియేసిలో అల్లియం సెపాలు ముఖ్య ఉదాహరణలు.

→ పుష్పచిత్రంలో పుష్ప భాగాల సంఖ్య, వాటి అమరిక, ఒక భాగానికి మరొకభాగానికి మధ్య సంబంధాలను తెలియచేస్తుంది.

→ పుష్పసంకేతం, పుష్పంలోని వివిధ భాగాలను కొన్ని సంకేతాల ద్వారా చూపిస్తుంది.

→ అల్ఫా వర్గీకరణ శాస్త్రం : స్వరూప లక్షణాల మీద మాత్రమే పూర్తిగా ఆధారపడే వర్గీకరణ శాస్త్రం.

→ కృత్రిమ వ్యవస్థ : ఇది సులభంగా పోల్చదగిన కొన్ని స్వరూప లక్షణాల మీద ఆధారపడి ఉండే వర్గీకరణ వ్యవస్థ.

→ ద్వినామ నామీకరణం : ప్రజాతి నామం (generic name), జాతినామం (specific name or specific epithet) అనే రెండు అనుఘటకాలతో పేరుని ఇవ్వడం.

→ వర్గీకరణ : మొక్కలకు వాటి మధ్యగల సారూప్యతలు, విభేదాలు ఆధారంగా నిర్దిష్టమైన సముదాయాలుగా అమర్చడం.

→ సంపూర్ణ పుష్పం : రక్షకపత్రావళి, ఆకర్షణ పత్రావళి, కేసరావళి, అండకోశం అనే నాలుగు భాగాలున్న పుష్పం.

→ ద్విబంధక కేసరావళి : కేసరాలు సంయుక్తమై రెండు పుంజాలుగా ఏర్పడే స్థితి.

→ ఫ్లోరా : ఒక ప్రదేశంలో ఉన్న మొక్కల ఆవాసం, వితరణల సమాచారాన్ని, మొక్కల జాబితాను ఒక క్రమపద్ధతిలో కలిగి ఉంటుంది.

→ పుష్పచిత్రం : ప్రధాన అక్షం పరంగా పుష్పభాగాల సంఖ్య, నిర్మాణం, అమరిక, పుష్పరచన, సంసంజనం, అసంజనం, స్థానాలను సూచించే చిత్రం.

→ ప్రజాతి : సన్నిహిత సంబంధం ఉన్న జాతులు.

→ భూఫలనం : మృత్తిక కింద ఫలం అభివృద్ధి చెందడం.

→ హెర్బేరియమ్ : సేకరించిన మొక్కల నమూనాలను ఎండిన తరవాత గట్టిగా వత్తి, గట్టి అట్టలపై భద్రపరచి, సేకరణ వివరాలతో వర్గీకరణ వ్యవస్థపరంగా నిల్వ చేయడం.

→ అసంపూర్ణ పుష్పం : పరిపత్రాలు లేదా కేసరాలు లేదా ఫలదళాలలో ఏదో ఒక వలయం లోపించిన పుష్పం.

→ సహజ వర్గీకరణ వ్యవస్థ : సులభంగా పోల్చదగిన కొన్ని స్వరూప లక్షణాలమీద ఆధారపడి చేసిన వర్గీకరణ వ్యవస్థ.

→ సాంఖ్యక వర్గీకరణశాస్త్రం : వివిధ వర్గీకరణ సముదాయాల మధ్య గమనించదగిన పోలికలు, తేడాలను గణితశాస్త్ర పద్ధతులను ఉపయోగించి విలువకట్టే వర్గీకరణ శాస్త్ర విభాగం.

→ ఒమేగా వర్గీకరణశాస్త్రం : స్వరూప లక్షణాల మీదనే కాకుండా పిండోత్పత్తి శాస్త్రం, కణశాస్త్రం, వృక్ష రసాయన శాస్త్రం, పరాగరేణుశాస్త్రం మొదలైన అనేక ఇతర వృక్షశాస్త్ర శాఖల నుంచి లభించే సమాచారం మీద ఆధారపడి ఉండే వర్గీకరణశాస్త్రం.

→ పిస్టన్ యాంత్రికం : ధ్వజ పత్రం కీటకాలను ఆకర్షిస్తుంది. కీటకం పుష్పం మీద వాలినప్పుడు, దాని బరువువల్ల బాహువులు, ద్రోణిపత్రాలు కిందకు నొక్కబడి కీలాగ్రం, కేసరాలు బహిర్గతమవుతాయి. మొదటగా బయటకు వచ్చే కీలాగ్రం కీటకం ఉదరభాగాన్ని తాకి అక్కడ అంటి ఉన్న పరాగరేణువులను గ్రహిస్తుంది. ఈ కీటకం పుష్పాన్ని వదిలినప్పుడు ఆవశ్యకాంగాలు తిరిగి యథాస్థానాన్ని చేరతాయి.

→ మొక్కల సిస్టమాటిక్స్ (Plant Systematics) : మొక్కల వైవిధ్యాన్ని, చరిత్రను, మొక్కల మధ్య పరిణామ సంబంధాలను అధ్యయనం చేయడం.

→ వృక్ష వర్గీకరణశాస్త్రం : మొక్కల లక్షణాలు, గుర్తించడం, నామీకరణ, వర్గీకరణలను చర్చించడం.

→ వర్గవికాస వ్యవస్థ : వివిధ టాక్సా మధ్య ఉండే జన్యుపరమైన, పరిణామ క్రమమైన సంబంధాల మీద ఆధారపడే వర్గీకరణ వ్యవస్థ.

→ టాక్సన్ (Taxon) : వర్గీకరణ వ్యవస్థలోని ఏ స్థాయికి చెందిన ప్రమాణాన్నైనా లేదా రకాన్నైనా టాక్సాన్ అంటారు. ఈ టాక్సా (బహువచనం) లను వృక్షరాజ్యం నుంచి ఉపజాతుల వరకు క్రమ స్థాయిలో అమరుస్తారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 7th Lesson పుష్పించే మొక్కలలో లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 7th Lesson పుష్పించే మొక్కలలో లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి

→ లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి కొరకు రూపాంతరము చెందిన ప్రకాండంను పుష్పం అంటారు.

→ పుష్పంలో కేసరావళిని పురుష ప్రత్యుత్పత్తి భాగమని, అండకోశంను స్త్రీప్రత్యుత్పత్తి భాగమని అంటారు.

→ ఒక ఆవృత బీజ పరాగకోశం ద్విలంబికంగా ఉండి, ప్రతి లంబికలో 2 గదులు కల్గి ఉంటుంది.

→ మందారలో పరాగకోశం ఏకలంబికము, దానిని ఏక కక్ష్య యుత పరాగకోశం అంటారు.

→ పరాగకోశము అడ్డుకోతలో 4 పార్శ్వాలుగా ఉండి వాటిలో సూక్ష్మసిద్ధ బీజశయాలు ఉంటాయి.

→ ప్రతి సూక్ష్మ సిద్ధబీజాశయము గుండ్రంగా ఉండి 4 పొరలతో ఉన్న కుడ్యంతో కప్పబడి ఉంటుంది. అవి బాహ్యచర్మం, ఎండోథీషియమ్, మధ్య వరుసలు, టపెటమ్.

→ టపెటమ్ అభివృద్ధి చెందే పరాగ రేణువులకు పోషణనిస్తుంది.

→ సిద్ధబీజ జనక కణజాలము క్షయకరణ విభజన చెంది సూక్ష్మ సిద్ధబీజ చతుష్కాలు ఏర్పడుటను సూక్ష్మసిద్ధబీజ జననము అంటారు.

→ పరాగరేణువులు గోళాకారంలో రెండు పొరలతో ఉంటాయి. వెలుపలి పొర ఎత్తైన్, స్పోరోపొలెనిన్ ను, లోపలిపొర, ఇంటైన్ పెక్టిన్ సెల్యులోస్లతోను నిర్మితమై ఉంటాయి.

→ 60 శాతం ఆవృత బీజాలలో పరాగరేణువులు 2 కణాలదశలో (పెద్ద శాకీయ కణము, చిన్న ఉత్పాదక కణము) విడుదల అవుతాయి.

→ 40 శాతం ఆవృత బీజాలలో పరాగ రేణువులు 3 కణాల దశలో (1 శాకీయకణం, 2 పురుషబీజాలు) విడుదల అవుతాయి.

→ పరాగరేణువులో పోషకాలు ఎక్కువగా ఉండుటవల్ల, పాశ్చాత్యదేశాలలో ఇవి టాబ్లెట్లు, సిరప్ రూపంలో లభిస్తున్నాయి.

→ పరాగరేణువులు కీలాగ్రంపై పడి మొలకెత్తుతాయి.

→ లొరాంథస్ లో అండం చుట్టూ అండకవచాలు ఉండవు.

→ హీలియంథస్, దత్తురలలో అండాలు ఏకకవచయుతాలు.

→ పాలిపెటాలే జాతులు, ఏకదళబీజాలలో అండాలు ద్వికవచయుతాలు.

→ పాలీగోనంలో అండద్వారం, చలాజా, అండవృంతం, మూడు ఒక నిలువ వరుసలో ఉంటాయి. దానిని నిర్వక్ర అండం అంటారు.

→ సూర్యకాంతం, అండదేహం 180° కోణంలో వంపుతిరిగి ఉంటుంది. దీనిని వక్ర అండం అంటారు.

→ చిక్కుడులో అండదేహం మూత్రపిండాకారంలో ఉంటుంది. దానిని కాంపైలోట్రోపస్ అండం అంటారు.

→ స్థూలసిద్ధ బీజమాతృకణం నుండి స్థూలసిద్ధ బీజాలు ఏర్పడుటను స్థూలసిద్ధ బీజ జననము అంటారు.

→ 7 కణాలు, 8 కేంద్రకాలతో ఉన్న పిండకోశము ఒక స్థూల సిద్ధబీజం నుండి ఏర్పడుతుంది కావున దానిని ఏకసిద్ధబీజ వర్థక రకము అంటారు.

→ పిండకోశంలో స్త్రీబీజ పరికరం, ప్రతిపాదకణాలు, 2ధ్రువ కేంద్రకాలు ఉంటాయి.

→ పరాగకోశం నుండి పరాగరేణువులు కీలాగ్రంను చేరుటను పరాగసంపర్కం అంటారు.

→ ఒక పుష్పంలోని పరాగరేణువులు అదే పుష్పంలో కీలాగ్రంను చేరుటను ఆత్మపరాగసంపర్కము అని, వేరొక పుష్పంలోని కీలాగ్రంను చేరుటను పరపరాగ సంపర్కము అంటారు.

→ గాలి ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను ఎనిమోఫిలీ అంటారు.

→ నీరు ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను హైడ్రోఫిలీ అంటారు.

→ జంతువుల ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను జూఫిలీ అంటారు.

→ పక్షుల ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను ఆర్నిథోఫిలీ అంటారు.

→ గబ్బిలాల ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను కీరోష్టిరి ఫిలీ అంటారు.

→ ఉడతల ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను లెరోఫిలీ అంటారు.

→ సరీసృపాల ద్వారా జరిగే పరాగసంపర్కంను ఒఫియోఫిలీ అంటారు.

→ సూర్యకాంతంలో పుంభాగప్రథమోత్పత్తి వల్ల పరపరాగ సంపర్కం జరుగుతుంది.

→ దతూర, సొలానమ్లలో స్త్రీ భాగ ప్రథమోత్పత్తి వల్ల పరపరాగసంపర్కం జరుగుతుంది.

→ హైబిదాస్కస్ లో పరాగ కోశాలు, కీలాగ్రాలు వేరు వేరు స్థానాలలో ఉంటాయి. దానిని హెర్కొగమి అంటారు.

→ అబూటిలాన్ ఆత్మవంధ్యత్వం కనిపిస్తుంది.

→ పురుష, స్త్రీ పుష్పాలు ఒకే మొక్క పై ఉంటే ఆ స్థితిని ద్విలింగాశ్రయ స్థితి అంటారు. ఉదా: ఆముదం, మొక్కజొన్న,

→ పురుష, స్త్రీ పుష్పాలు వేరువేరు మొక్కలపై ఉంటే ఆ స్థితిని ఏకలింగాశ్రయ స్థితి అంటారు. ఉదా : బొప్పాయి

→ ఒకే జాతికి చెందిన పుప్పొడిని స్వీకరించే శక్తి కీలాగ్రంనకు ఉన్నది.

→ పరాగనాళం అండంలోనికి అండద్వారం లేక, చలాజా ద్వారా లేక అండకవచాల ద్వారా చేరుతుంది.

→ ద్విలింగపుష్పంలోని (స్త్రీజనకులు) కేసరాలను తొలగించుటను విపుంసీకరణ అంటారు.

→ విపుంసీకరణ చేసిన పుష్పాలను పాలిథిన్ సంచులు (బట్టర్ పేపర్) తో మూసివేయుటను బాగింగ్ అంటారు.

→ ఒక పురుషబీజం, స్త్రీబీజంతో కలియుటను సంయుక్త సంయోగము అంటారు. రెండవ పురుషబీజము ద్వితీయ కేంద్రకంతో కలియుటను త్రిసంయోగం అంటారు.

→ సంయుక్త బీజం అభివృద్ధి చెంది హృదయాకారంలో ఉన్న పిండమును ఇస్తుంది.

→ ఫలదీకరణ లేకుండా విత్తనాలు ఏర్పడుటను అసంయోగజననం అంటారు.

→ ఫలదీకరణ లేకుండా అండాశయం నుండి ఫలాలు ఏర్పడుటను అనిషేకఫలాల జననం అంటారు.

→ విత్తనంలో ఒకటికంటే ఎక్కువ పిండాలు ఉంటే దానిని బహుపిండత అంటారు.

→ పరపరాగసంపర్కం (అల్లోగమి) : ఒక పుష్పంలోని పరాగ రేణువులు వేరొక పుష్పాన్ని చేరడం.

→ వాయు పరాగ సంపర్కం : గాలి ద్వారా జరిగే సంపర్కం

→ ఆటోగమి : ఒకే పుష్పంలో జరిగే పరాగ రేణువుల రవాణా.

→ ప్రతిపాద కణాలు : పిండకోశంలో చలాజా వైపున ఉండే మూడు కణాలు.

→ అసంయోగజననం (Apomixis) : సాధారణ లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తికి బదులుగా ఫలదీకరణ లేకుండా జరిగే లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి లేదా విత్తనాభివృద్ధి.

→ వివృత సంయోగం : వికసించే పుష్పాలలో పరాగ సంపర్కం జరగడం.

→ కీరోఫ్టిరి ఫెలీ : గబ్బిలాల వల్ల జరిగే పరపరాగ సంపర్కం.

→ సంవృత సంయోగం : ఎప్పుడూ వికసించని పుష్పాలలో జరిగే పరాగ సంపర్కం.

→ క్లోన్ : లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి ద్వారా కాకుండా యితర ప్రత్యుత్పత్తి విధానాల ద్వారా ఏర్పడి స్వరూపాత్మకంగా, జన్యుపరంగా ఒకే విధంగా ఉండే సంతతి.

→ చలాజా : అండంలోని అండాంతఃకణజాలం పీఠభాగం. ఇక్కడ నుంచి అండకవచాలు ఏర్పడతాయి.

→ చలజో సంయోగం : పరాగనాళం అండంలోని చలాజా ద్వారా పిండకోశంలోనికి ప్రవేశించడం.

→ మూలాంకుర కంచుకం (Coleorhiza) : పిండాక్షంలోని ప్రథమ మూలం, దాన్ని ఆవరించి ఉన్న వేరు తొడుగును కప్పుతూ ఉండే విభేదనం చూపని పొర.

→ ప్రాంకుర కంచుకం (Coleoptile) : పిండాక్షంలోని ఉపరి బీజదళంలోని, ప్రకాండపు మొగ్గ, పత్ర ఆద్యాలను కప్పుతూ బోలుగా ఉండే పొర.

→ భిన్నకాలిక పక్వత (Dichogamy) : పుప్పొడి విడుదల, కీలాగ్రం పక్వదశకు చేరడం అనేది సమకాలికంగా ఉండదు.

→ ఏకలింగాశ్రయి (Heterothallic) : పురుష, స్త్రీ ప్రత్యుత్పత్తి అవయవాలు వేరువేరు థాలస్లపై అభివృద్ధి చెందడం. ద్విఫలదీకరణ : రెండు ఫలదీకరణ ప్రక్రియలు
(a) ఒక పురుష సంయోగబీజం + స్త్రీ బీజకణం
(b) రెండవ పురుష సంయోగబీజం + ద్వితీయ కేంద్రకం, ఆవృత బీజాల ప్రత్యేక లక్షణం.

→ కీటక పరాగ సంపర్కం : కీటకాల సహాయంతో జరిగే పరాగ సంపర్కం

→ స్త్రీబీజ కణ పరికరం : అండద్వారం కొనవైపున ఉండే పిండకోశంలోని మూడు కణాలు.

→ పిండం : పిండాక్షం (ప్రథమ మూలం, ప్రథమ కాండం), బీజదళాలతో ఉండే అతిచిన్న మొక్క దీన్ని కప్పుతూ బీజకవచాలు ఉంటాయి.

→ పిండోత్పత్తి శాస్త్రం : సంయోగ బీజాల అభివృద్ధి, నిర్మాణం ఫలదీకరణ విధానం, పిండాభివృద్ధి మొదలైన అంశాలు అధ్యయనం చేసే విజ్ఞాన శాస్త్రశాఖ.

→ పిండకోశం : స్త్రీబీజ కణ పరికరం, ద్వితీయ కేంద్రకం/ ధ్రువకేంద్రకాలు, ప్రతిపాద కణాలు ఉండే స్త్రీ సంయోగ బీజదం. ఆవృత బీజాలలో ఇది 7 కణాలలో (8- కేంద్రకాలలో), ఉంటుంది.

→ అంకురచ్ఛదం : అభివృద్ధి చెందుతున్న పిండాన్ని చుట్టి ఉండి పోషణనిచ్చే కణజాలం. ఆవృత బీజాలలో ఇది త్రయస్థితికంగా ఉంటుంది.

→ ఎండోథీసియమ్ : పరాగకోశపు గోడోలోని బాహ్యచర్మ కిందనున్న పొర, దీనిలో స్పర్శరేఖీయ గోడలు తంతుయుత మందాలలో (fibrous thickenings) ఉండి పరాగకోశాల స్ఫోటనానికి సహాయపడతాయి.

→ ఫలదీకరణ : పురుష సంయోగబీజం, స్త్రీ బీజకణంతో సంయోగం చెందే ప్రక్రియ.

→ ఫ్లోరికల్చర్ : పుష్పాలనిచ్చే మొక్కలను సాగు చేసే విధానం.

→ అండవృంతం : అండానికి ఉండే కాడ వంటి భాగం.

→ సంయోగబీజదం : మొక్క జీవిత చక్రంలో ఏకస్థితికంగా ఉన్న, సంయోగ బీజాన్ని ఏర్పరచే (లైంగిక) దశ.

→ ఏకవృక్ష పరపరాగ సంపర్కం (geitonogamy) : ఒక పుష్పంలోని పరాగ రేణువులు అదే మొక్కపై ఉన్న వేరొక పుష్ప కీలాగ్రం మీద పడటం.

→ హెర్కోగమి : పరాగకోశాలు, కీలాగ్రాలు వేర్వేరు ఎత్తులో లేదా వేర్వేరు దిశలలో ఉండటం.

→ భిన్న సంయోగ బీజాలు : స్వరూపాత్మకంగా రెండుగా విభేదనం చూపే సంయోగ బీజాలు (పురుష, స్త్రీ).

→ ఏకకాలపక్వత (homogamy) : పుష్పంలోని పరాగ కోశాలు, కీలాగ్రం ఒకే సమయాన పక్వదశకు చేరుకోవడం.

→ జల పరాగ సంపర్కం : నీటి ద్వారా జరిగే పరాగ సంపర్కం

→ అండకవచాలు : అండంలోని అండాంతఃకణ జాలాన్ని కప్పుతూ ఉండే బహుకణయుత కవచాలు.

→ సమసంయోగబీజాలు : నిర్మాణాత్మకంగా, క్రియాత్మకంగా ఒకేవిధంగా / రకంగా ఉండే రెండు సంయోగ బీజాలు.

→ శైశవ దశ (Juvenile phase) : పెరుగుదల, అభివృద్ధి చూపే దశ.

→ మెలకోఫిలి (malacophily) : నత్తల ద్వారా జరిగే పరాగ సంపర్కం.

→ ద్విలింగాశ్రయ మొక్క (monoecious) : పురుష, స్త్రీ పుష్పాలు ఒకే మొక్కపై ఏర్పడటం.

→ స్థూలసిద్ధ బీజాలు : ఏకస్థితిక కణం – స్త్రీ సంయోగ బీజదం లేదా పిండకోశంగా అభివృద్ధి చెంతుంది.

→ మధ్య సంయోగం (mesogamy) : అండకవచం ద్వారాగాని, అండ వృంతం ద్వారా గాని లేదా అండం పీఠభాగం నుంచి గాని, పరాగ నాళాలు అండంలోనికి ప్రవేశించడం.

→ అండద్వారం : అండకవచాలు అండాతఃకణజాలాన్ని పూర్తిగా కప్పి వేయకుండా అండంకొనభాగంలో ఏర్పడే రంధ్రం.

→ సూక్ష్మసిద్ధబీజము : పురుష సంయోగబీజదంగా (3 కణాలతో) వృద్ధి చెందే పరాగ రేణువు.

→ అండాతఃకణజాలం : అండంలోపల, పలుచని కవచాలతో ఉండే మృదు కణజాలం.

→ పక్షిపరాగ సంపర్కం : పక్షుల ద్వారా జరిగే పరాగ సంపర్కం.

→ అండం : పుష్పించే మొక్కల్లోని స్థూల సిద్ధబీజాశయం.

→ ఫలకవచం : ఫలకుడ్యం. కండగల ఫలంలో వెలుపలవైపు బాహ్యఫలకవచం, మధ్యలో మధ్యఫలకవచం, లోపలివైపు అంతఃఫలకవచం అనే విభేదనం చూపుతుంది.

→ పరిచ్ఛదం : మిగిలిపోయిన దీర్ఘకాలిక అండాంతఃకణజాలం.

→ పుప్పొడి బ్యాంక్ (Pollen Bank) : జీవించే శక్తి ఉన్న పుప్పొడి రేణువులను సేకరించి రాబోయే తరాల కొరకు భద్రపరిచే విధానం. ప్రజనన ప్రయోగాల కొరకు ఏకస్థితిక మొక్కలను రూపొందించటం కొరకు ఇవి ప్రాముఖ్యత పొందినవి. పుప్పొడి/మకరందం దోపిడి దొంగలు : పరాగ సంపర్కానికి తోడ్పడకుండా పుప్పొడి/మకరందాన్ని వినియోగించుకునే కీటకాలు.

→ పరాగసంపర్కం : పరాగకోశంలోని పరాగరేణువులు కీలాగ్రాన్ని చేరడం.

→ పరాగసంపర్క సహకారులు : పరాగసంపర్కం జరగడానికి తోడ్పడే సహకారులు.

→ పుంభాగ ప్రథమోత్పత్తి (protandry) : ఒకే పుష్పంలోని కీలాగ్రం కంటే పరాగ కోశాలు ముందుగా పక్వానికి రావడం.

→ స్త్రీభాగ ప్రథమోత్పత్తి (Protogyny) : ఒకే పుష్పంలో పరాగకోశాల కంటే కీలాగ్రం ముందు పక్వానికి రావడం.

→ బహుపిండత : ఒక విత్తనంలో, ఒకటి కంటే ఎక్కువ పిండాలు వృద్ధి చెందుట.

→ రంధ్రసంయోగం : పరాగనాళం అండంలోనికి అండ ద్వారం ద్వారా ప్రవేశించడం.

→ ప్రాథమిక ‘అంకురచ్ఛద కేంద్రకం : రెండవ పురుష సంయోగ బీజ కేంద్రకం, రెండు ధృవకేంద్రాలతో సంయోగం చెంది, ఏర్పడే త్రయస్థితిక కేంద్రకం.

→ రాఫే (Raphe) : వక్రఅండంలో అండదేహం పక్క భాగానంతటా, విత్తుచారను దాటి అతుక్కొని ఉండే అండవృంతం భాగం. స్కూటెల్లమ్ : ఏకదళ బీజ మొక్కల్లోని బీజదళాలు (గడ్డిజాతి కుటుంబం)

→ ద్వితీయకేంద్రకం : రెండు ధృవకేంద్రాల సంయోగం ద్వారా ఏర్పడిన కేంద్రకం. విత్తనబ్యాంక్ (Seed Bank) మొలకెత్తే శక్తి కలిగి ఉన్న విత్తనాలను సేకరించి ముందుతరాల కొరకు భద్రపరచడం. లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి జరిపే మొక్కలలోని ఈ భాగాలను (విత్తనాలను) స్థానేతరపద్ధతులలో సమర్ధవంతంగా భద్రపరచడం.

→ ఆత్మవంధ్యత్వం (self-sterility) : ఒక పుష్పంలోని పరాగ రేణువులు అదే పుష్పంలోని కీలాగ్రంపై పడినపుడు మొలకెత్తలేకపోవడం.

→ సిద్ధబీజదం : మొక్క జీవితచక్రంలో ద్వయస్థితికంగా ఉండి సిద్ధబీజాలను ఏర్పరిచే అలైంగిక దశ. ఇది సిద్ధబీజ మాతృకణాలలో జరిగే క్షయకరణ విభజన ద్వారా ఏకస్థితిక బీజాలను ఏర్పరుస్తుంది.

→ సహాయకణాలు : స్త్రీ బీజకణ పరికరంలో, స్త్రీబీజ కణానికి ఇరువైపులా ఉండే రెండు కణాలు.

→ టపెటమ్ : పరాగకోశపు కుడ్యము అన్నిటికన్నా లోపల ఉండే పొర. ఇది అభివృద్ధి చెందుతున్న సూక్ష్మ సిద్ధబీజాలకు పోషణనిస్తుంది.

→ వివిపారి (Vivipary) : విత్తనం తల్లి మొక్కను అంటిపెట్టుకొని ఉండగానే అంకురించి పిల్ల మొక్కగా వృద్ధి చెందుట.

→ భిన్న వృక్షపరపరాగ సంపర్కం (Xenogamy) : ఒక పుష్పంలోని పరాగరేణువులు అదే జాతికి చెందిన వేరొక మొక్కపై ఉన్న పుష్పం కీలాగ్రం మీద పడడం.

→ జంతు పరాగసంపర్కం (zoophily) : జంతువుల సహాయంతో జరిగే పరాగ సంపర్కం.

→ సంయుక్త బీజం : పురుష సంయోగ బీజం, స్త్రీ బీజకణం సంయోగం చెందడం ద్వారా ఏర్పడే ద్వయ స్థితిక కణం

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Inter 1st Year Maths 1B Differentiation Solutions Exercise 9(c) will help students to clear their doubts quickly.

Intermediate 1st Year Maths 1B Differentiation Solutions Exercise 9(c)

I.

Question 1.
Find the derivatives of the following functions.
i) sin^-1 (3x – 4x³)
Solution:
Put x = sin θ
y = sin^-1 (3 sin θ – 4 sin³ θ)
= sin^-1 (sin 3 θ) = 3 θ = 3 sin^-1 x.
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

ii) cos^-1 (4X3 – 3x)
Solution:
Put x = cos θ
y = cos^-1 (4 cos³ θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1 x
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

iii) sin^-1 \(\frac{3}{{1-x^{2}}}\)
Solution:
Put x tan θ ⇒ y

iv) tan^-1 \(\frac{a-x}{1+ax}\)
Solution:
Put a tan α, x = tan θ
y = tan^-1 \(\left(\frac{\tan \alpha-\tan \theta}{1+\tan \alpha \tan \theta}\right)\)
= tan^-1 (tan (α – θ)) = α – θ
= tan^-1 a – tan^-1 x;
\(\frac{dy}{dx}\) = 0 – \(\frac{1}{1+x^{2}}\) = – \(\frac{1}{1+x^{2}}\)

v) tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
Solution:

Differentiating w.r.to x; \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{2}\)

vi) sin [cos (x²)]
Solution:
\(\frac{dy}{dx}\) = cos [cos (x²)]\(\frac{d}{dx}\) [cos (x²)]
= cos [cos (x²)]. [-sin (x²)] \(\frac{d}{dx}\) (x²)
= cos [cos (x²)] [- sin (x²)]. 2x
= -2x . sin (x²).cos [cos (x²)]

vii) sec^-1 (\(\frac{1}{2x^{2}-1}\)) (0 < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
Solution:
x = cos θ
2x² – 1 = 2 cos² θ – 1 = cos 2θ

viii) sin^-1 [tan^-1 (e^-x)]
Solution:
\(\frac{dy}{dx}\) = cos [tan^-1 (e^-x)]. [tan^-1 (e^-x)]¹
= cos (tan^-1 (e^-x)]x – \(\frac{1}{1+\left(e^{-x}\right)^{2}}\) (e^-x)¹
= \(\frac{-e^{-x}}{1+e^{-2 x}}\) . cos [tan^-1 (e^-x)]

Question 2.
Differentiate f(x) with respect to g(x) for the following.
i) f(x) = e^x, g(x) = √x
Solution:
Let y = e^x and z = √x

ii) f(x) = e^{sin x}, g(x) = sin x.
Solution:
Let y = e^{sin x} and z = sin x.

iii) f(x) = tan^-1 \(\frac{2x}{1-x^{2}}\), g(x) sin^-1 = \(\frac{2x}{1+x^{2}}\)
Solution:
Lety = tan^-1 \(\frac{2x}{1-x^{2}}\), and z = sin^-1 = \(\frac{2x}{1+x^{2}}\)
Put x = tan θ

Question 3.
If y = e^a sin^-1x the prove that \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{a y}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Solution:
y = e^{a sin-1x}
\(\frac{dy}{dx}\) = e^{a sin-1x} (a sin^-1 x)¹
= e^{a sin-1x} . a \(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) = \(\frac{a y}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

II.

Question 1.
Find the derivatives of the following function.
i) tan^-1 \(\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a\left(a^{2}-3 x^{2}\right)}\right)\)
Solution:
Put x = a tan θ

ii) tan^-1 (sec x + tan x)
Solution:

iii) tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)\)
Solution:
Put x = tan θ

iv) (logx)^{tan x}
Solution:
log y = log (log x)^{tan x}
= (tan x). log (log x)
Differentiating w.r.to x
\(\frac{1}{y}\) . \(\frac{dy}{dx}\) = tan x . \(\frac{d}{dx}\) (log(log x)) + log(logx) \(\frac{d}{dx}\) (tan x)
= tan x. \(\frac{1}{log x}\) . \(\frac{1}{x}\) + log(log x). sec² x

v) (x^x)^x = x^x²
Solution:
log y = log x^x² = x². log x
\(\frac{1}{y}\) . \(\frac{dy}{dx}\) = x² . \(\frac{d(\log x)}{d x}\) + (log x ) \(\frac{d}{dx}\) (x²)
= x². \(\frac{1}{x}\) + 2x. log x
= x + 2x log x = x (1 + 2 log x).
= x (log e + log x²)
= x. log (ex²)
\(\frac{dy}{dx}\) = y. x. log (ex²)
= x^x² . x. log (ex²)
= x^{x² +1} log (ex²)

vi) 20^{log (tan x)}
Solution:
log y = log (20)^{log (tan x)}
= log (tan x) log 20
Differentiating w. r. to x

\(\frac{dy}{dx}\) = y. (2 log 20). cosec 2x
= 20^{log (tan x)} (2 log 20). cosec 2x

vii) x^x + e^ex
Solution:
Let y₁ = x^x and y₂ = e^ex so that y = y₁ + y₂.
y₁ = x^x ⇒ log y₁ = log x^x = x log x

viii) x. log x. log (log x)
Solution:
\(\frac{dy}{dx}\) = x. log x \(\frac{d}{dx}\) (log. (log x)) + log (log x) logx. 1 + x. log (log x) \(\frac{1}{x}\).
= x log x. \(\frac{1}{log x}\) . \(\frac{1}{x}\) + log x. log (log x) + log (log x)
= 1 + log (logx) (1 + logx) = 1 + log (logx) + log x log (log x)
= log e + log (log x) + log x. log (log x)
= log (e log x) + log x. log (log x)

ix) e^-ax² sin (x log x)
Solution:
\(\frac{dy}{dx}\) = e^-ax² . \(\frac{d}{dx}\) (sin (x log x)) dx + sin (x log x) \(\frac{d}{dx}\) (e^-ax²)
= e^-ax² cos (x log x). (x . \(\frac{1}{x}\) + log x) + sin (x log x) e^-ax² (-2ax)
= e^-ax² [(cos (x log x) (1 + log x) – 2 ax. sin (x log x)]
= e^-ax² (cos (x log x) (log ex) -2 ax. sin (x log x))

x) sin^-1\(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}\right)\) (Put 2ⁿ = tan θ)
Solution:
sin^-1\(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}\right)\)
Put 2^x = tan θ.

Question 2.
Find \(\frac{dy}{dx}\) for the following functions.
i) x = 3 cos t – 2 cos³ t,
y = 3 sin t – 2 sin³ t
Solution:
\(\frac{dx}{dt}\) = – 3 sin t – 2(3 cos² t) (- sin t)
= – 3 sin t + 6 cos² t (sin t)
= 3 sin t (2 cos² t – 1)
= 3 sin t. cos 2t
y = 3 sin t – 2 sin³ t
\(\frac{dy}{dt}\) = 3 cos t – 2 (3 sin² t) (- cos t)
= 3 cos t (1 – 2 sin² t)
= 3 cos t. cos 2t
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\right)}=\frac{3 \cos t \cos 2 t}{3 \sin t \cos 2 t}\) = cot t

ii) x = \(\frac{3 a t}{1+t^{3}}\), y = \(\frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}\)
Solution:

iii) x = a (cos t + t sin t), y = a (sin t – t cos t)
Solution:
\(\frac{dx}{dt}\) = a (- sin t + t cos t + sin t) = at cos t
∴ y = a (sin t – t cos t)
\(\frac{dy}{dt}\) = a (cos t – cos t + t sin t) = at sin t
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\right)}=\frac{at\cos t}{at\cos t}\) = tan t

iv) x = a\(\left[\frac{\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}\right], \mathbf{y}=\frac{2 b t}{1+t^{2}}\)
Solution:

Question 3.
Differentiate f(x) with respect to g(x) for the following.
i) f(x) = log_a^x, g(x) = a^x.
Solution:
y = log_a^x = \(\frac{\log x}{\log _{c}^{a}}\)

ii) f(x) = sec^-1 (\(\frac{1}{2x^{2}-1}\)) g(x) = \(\sqrt{1-x^{2}}\)
Solution:
Let y = sec^-1 (\(\frac{1}{2x^{2}-1}\)) and z = \(\sqrt{1-x^{2}}\)
Put x = cos θ

iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)\), g(x) = tan^-1 x.
Solution:
Let y = tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)\) and z = tan^-1 x
x = tan z

Question 4.
Find the derivative of the function y defined implicitly by each of the following equations.
i) x⁴ + y⁴ – a² xy = 0
Solution:
Differentiate w.r.to x
4x³ + 4y³ . \(\frac{dy}{dx}\) – a²(x. \(\frac{dy}{dx}\) + y . 1 = 0)
4x³ + 4y³ . \(\frac{dy}{dx}\) – a²x\(\frac{dy}{dx}\) – a²y = 0
4y³ – a²x) \(\frac{dy}{dx}\) = a²y – 4x³ ; \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{a^{2} y-4 x^{3}}{4 y^{3}-a^{2} x}\)

ii) y = x^y
Solution:
log y = log x^y = y log x
Differentiate w.r.to x

iii) y^x = x^{sin y}
Solution:
Take log on both sides
log y^x = log x^{sin y} ⇒ x. log y = (sin y) log x.
Differentiating w.r.to x

Question 5.
Establish the following.
i) If \(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}\) = a(x – y), than \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Solution:
Given \(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}\) = a(x – y)
Put x = sin θ, y = sin Φ
Differentiating w.r. to x

ii) If y = x \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\) + a² log (x + \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)), then \(\frac{dy}{dx}\) = 2 \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)
Solution:
y ⇒ x\(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\) + a² log (x + \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\))

iii) If x^{log y} = log x, then
Solution:
Given x^{log y} = log x, log x^{log y} = log log x
(log y) (log x) = log(logx).
Differentiating w.r.to x

iv) If y = Tan^-1 \(\frac{2x}{1-x^{2}}\) + Tan^-1 \(\frac{3x-x^{3}}{1-3x^{2}}\) – tan^-1 \(\frac{4x-4x^{3}}{1-6x^{2}+x^{4}}\) than \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{1+x^{2}}\)
Solution:
Put x = tan θ

= tan^-1 (tan 2θ) + tan^-1 (tan 3θ) – tan^-1 (tan 4θ)
= 2θ + 3θ – 4θ = θ = tan^-1 x
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{1+x^{2}}\)

v) If x^y = y^x, then \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{y(x log y – y)}{x(y log x – x)}\)
Solution:
Given x^y = y^x ; log x^y = log y^x
y log x = x log y
Differentiating w.r.to x

vi) If x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 then \(\frac{dy}{dx}\) = -3 √y/x
Solution:
Given x^2/3 + y^2/3 = a^2/3
Differentiating w.r.to x

Question 6.
Find the derivative \(\frac{dy}{dx}\) of each of the following functions.
i) y = \(\frac{(1-2 x)^{2 / 3}(1+3 x)^{-3 / 4}}{(1-6 x)^{5 / 6}(1+7 x)^{-6 / 7}}\)
Solution:
log y = log \(\left\{\frac{(1-2 x)^{2 / 3}(1+3 x)^{-3 / 4}}{(1-6 x)^{5 / 6}(1+7 x)^{-6 / 7}}\right\}\)
= log (1 – 2x)^2/3 + log (1 + 3x)^-3/4 – log (1 – 6x)^5/6 – log (1 + 7x)^-6/7
= \(\frac{2}{3}\) log (1 – 2x) – \(\frac{3}{4}\) log (1 + 3x) – \(\frac{5}{6}\) log (1 – 6x) + \(\frac{6}{7}\) log (1 + 7x)
Differentiating w.r.to x
\(\frac{1}{y}\).\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{2}{3}\) . \(\frac{1(-2)}{1-2x}\) – \(\frac{3}{4}\) . \(\frac{1}{1+3x}\) . 3

ii)

Solution:
log y = log x⁴ + log (x² + 4)^1/3 – log (4x² – 7)^1/2
= 4 log x + \(\frac{1}{3}\) log (x² + 4) – \(\frac{1}{2}\) log (4x² – 7)
Differentiating w.r.to x

iii) y = \(\frac{(a-x)^{2}(b-x)^{3}}{(c-2 x)^{3}}\)
Solution:
log y = log \(\frac{(a-x)^{2}(b-x)^{3}}{(c-2 x)^{3}}\)
= log (a – x)² + log (b – x)³ – log (c – 2x)³
= 2 log (a – x) + 3 log (b – x) – 3 log (c – 2x)
Differentiating w.r.to x

iv)

Solution:
log y = log \(\frac{x^{3}(2+3 x)^{1 / 2}}{(2+x)(1-x)}\)
= log x³ + log (2 + 3x)^1/2 – log (2 + x) – log (1 – x)
= 3 log x + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
Differentiating w.r. to x

v) y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}}\)
Solution:
log y = log(\(\frac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}\))^1/2
= \(\frac{1}{2}\) log \(\frac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}\)
= \(\frac{1}{2}\) (log (x – 3) + log (x² + 4) – log (3x² + 4x + 5))

III.

Question 1.
Find the derivatives of the following functions.
i) y = (sin x)^logx + x^{sin x}
Solution:
Let y₁ =(sinx)^logx, y₂ = x^{sin x} so that y = y₁ + y₂
y₁ = (sin x)^logx
log y₁= log{ (Sin x)^logx} = log x. log (sin x)
Differentiating w.r. to x

y₂ = x^{sin x}
log y₂ = (log x)^{sin x} = sin x. logx

ii) x^xx
Solution:
log y = log x(x^xx) = x^x. log X
\(\frac{1}{y}\) \(\frac{dy}{dx}\) = x^x. \(\frac{1}{x}\) + (log x). x^x (1 + log x)
[\(\frac{d}{dx}\)(x^x) = x^x (1 + log x)]
= x^x-1 [1+ x log x (log e + log x)]
= x^x-1 (1 + x. log x. log ex)
\(\frac{dy}{dx}\) = y.x^x-1 (1 + x log x. log ex)
= x^(xx) . x^x-1 (1 + x log x. log ex)
= x^xx+x-1 (1 + x log x. log ex)

iii) (sin x)^x + x^{sin x}
Solution:
Let y₁ = (sin x)^x and y₂ = x^{sin x}
so that y = y₁ + y₂
log y₁ = log (sin x)^x = x. log sin x

iv) x^x + (cot x)^x
Solution:
Let y₁ = x^x and y₂ = (cot x)^x
log y₁ = log x^x = x log x

Question 2.
Establish the following
i) If x^y + y^x = a^b then
\(\frac{dy}{dx}\) = \(-\left(\frac{y \cdot x^{y-1}+y^{x} \cdot \log y}{x^{y} \cdot \log x+x \cdot y^{x-1}}\right)\)
Solution:
Let y₁ = x^y and y₂ = y^x. so that y₁ + y₂ = a^b
logy₁ = log x^y = y logx

ii) If f(x) = sin^-1\(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-\beta}}\) and
g(x) = tan \(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-x}}\) than
f'(x) = g'(x) (β < x < α)
Solution:

iii) If a > b > 0 and 0 < x < π
f(x) = (a – b)^-1/2 . cos^-1\(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\), than f'(x) = (a + b cos x)^-1
Solution:
Let u = cos^-1\(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\)

Question 3.
Differentiate (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) by
i) Using product
ii) Obtaining a single polynomial expanding the product
iii) Logarithmic differentiation do they all give the same answer?
Solution:
Do Product rule:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
\(\frac{dy}{dx}\) = (x² – 5x + 8) \(\frac{d}{dx}\)(x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9) \(\frac{d}{dx}\)(x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8)(3x² + 7) + (x³ + 7x + 9)(2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 15x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11 ……….. (1)

ii) Expanding the product :
Solution:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= 5x⁵ + 7x³ + 9x² – 5x⁴ -35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
= x⁵ – 5x⁴ + 15x³ – 26x² + 11x +72
\(\frac{dy}{dx}\) = 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11 ……….. (2)

iii) y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
Solution:
log y = log (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)

= (2x – 5)(x³ + 7x + 9) + (x² – 5x + 8)(3x² + 7)
= 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45 + 3x⁴ -15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56
= 5x⁴ – 20x³ +45x² – 52x + 11 ……….. (3)
From (1), (2) and (3) we observe that all the three give same answer.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson Gravitation Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson Gravitation

Very Short Answer Questions

Question 1.
State the unit and dimension of the universal gravitational constant (G).
Answer:
F = \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{~d}^2}\)
units of G = Nm² Kg^-2
dimensional formula of G = \(\frac{\left[\mathrm{MLT}^{-2}\right]\left[\mathrm{L}^2\right]}{[\mathrm{M}][\mathrm{M}]}\) = [M^-1 L³ T^-2]

Question 2.
State the vector form of Newtons’s law of gravitation.
Answer:
Vector form of Newton’s law of gravitation is
F = \(\frac{-G m_1 m_2}{r^3} \hat{r}\) where \(\hat{r}\) is unit vector.

Question 3.
If the gravitational force of Earth on the Moon is F, what is the gravitational force of moon on earth ? Do these forces to attraction-reaction pair ?
Answer:
F. Yes, they form action and reaction pair.

Question 4.
What would be the change in acceleration due to gravity (g) at the surface, if the radius of Earth decreases by 2% keeping the mass of Earth constant ?
Answer:
g₁r₁², l = g₂r₂², r₂ = \(\frac{98}{100}\) r₁
\(\frac{g_2}{g_1}=\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{r_1^2}{\left(\frac{98}{100}\right) r_1^2}=\frac{100 \times 100}{98 \times 98}\)
\(\frac{g_2}{g_1}\) = 1.04
\(\frac{g_2}{g_1}\) – 1 = 1.04 – 1
\(\frac{g_2-g_1}{g_1}\) = 0.04

Question 5.
As we go from one planet to another, how will
a) the mass and
b) the weight of a body change ?
Answer:
a) The mass remains constant.
b) The weight (w = mg), changes from one planet to another planet.

Question 6.
Keeping the length of a simple pendulum constant, will the time period be the same on all planets ? Support your answer with reason.
Answer:
No, Time period depends on acceleration due to gravity (g).
T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\)
g value varies from planet to planet. So time period changes.

Question 7.
Give the equation for the value of g at a depth ‘d’ from the surface of Earth. What is the value of ‘g’ at the centre of Earth ?
Answer:

1. g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) where d = Depth
   R = Radius of the Earth
2. At the centre of the Earth g = 0.

Question 8.
What are the factors that make ‘g’ the least at the equator and maximum at the poles ? > .
Answer:

1. g value is maximum at poles due to
   a) Rotation of the Earth
   b) Earth is flattened at the poles
   c) The equatorial radius is less at the poles.
2. g value minimum at equator due to
   a) Rotation of the earth
   b) Bulging near the equator.

Question 9.
“Hydrogen is in abundance around the sun but not around Earth”. Explain.
Answer:
The escape velocity on the sun is 620 km/s and escape velocity on the Earth is 11.2 km/s. The r.m.s velocities of hydrogen (2 km/s) is less than escape velocity on the Sun. So hydrogen is more abundant around the Sun and less around the Earth.

Question 10.
What is the time period of revolution of a geostationary satellite ? Does it rorate from West to East or from East to West ?
Answer:
Time period of geo-stationary satellite is 24 hours. It can rotate from west to east.

Question 11.
What are polar satellites ?
Answer:
Polar satellites are low altitude satellites (500 to 800 km), but they go around the poles of the earth in a north-south direction. Its time period is around 100 minutes.

Short Answer Questions

Question 1.
State Kepler’s laws of planetary motion.
Answer:
The three laws of Kepler can be stated as follows.

1. Law of orbits : All planets move in elliptical orbits with the sun situated at one of the foci.
   
2. Law of areas : The line that joins any planet to the sun sweeps equal areas in equal intervals of time.
3. Law of periods : The square of the time period of revolution of a planet is proportional to the cube of the semi-major axis of the ellipse traced out by the planet.
   T² ∝ R³

Question 2.
Derive the relation between acceleration due to gravity (g) at the surface of a planet and Gravitational constant (G).
Answer:
Consider a body of mass m on the surface of the planet. Let R be the radius of the Earth and M be the mass of the Earth.
Force acting on the body due to gravitational pull of the planet is
F = m g → (1)
According to Newton’s gravitational law, Force on the body is F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\) → (2)

From eq’s (1) and (2), we have
m g = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\)
g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
This is the relation between g and G
Mass of the earth (M) = Volume × density of the earth
M = \(\frac{4}{3}\) π R² × ρ
g = \(\frac{4}{3}\) π G R ρ

Question 3.
How does the acceleration due to gravity (g) change for the same values of height(h) and depth (d).
Answer:
a) g_h = g(1 – \(\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{R}}\)), g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\))
Same values of height and depth, h = d
g_h = g (1 – \(\frac{2 \mathrm{~d}}{\mathrm{R}}\)) and g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\))
∴ g_d > g_h

b) For large height and large depth
g_h = \(\frac{\mathrm{g}}{\left(1+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\right)^2}\) and g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\))
If h = d = R
g_h = \(\frac{\mathrm{g}}{\left(1+\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}}\right)^2}\) and g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}}\)) = 0
∴ g_h > g_d

Question 4.
What is orbital velocity ? Obtain an expression for it. [Mar. 14]
Answer:
Orbital velocity (V₀) : The horizontal velocity required for an object to revolve around a planet in a circular orbit is called orbital velocity.

Expression for orbital velocity :
Consider a body (satellite) of mass m, revolves round the earth in a circular orbit. Let h be the height of the satellite from the surface of the earth. Then (R + h) is the radius of the orbit.
The Gravitational force of attraction of the earth on the body is given by F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) ………….. (1)
Where M = Mass of the earth, R = Radius of the earth, G = universal gravitational constant. If V₀ is the orbital velocity of the body.
The centripetal force on the body is given by F = \(\frac{\mathrm{mv}_{\mathrm{o}}^2}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\) …………… (2)
In order to make the body revolve in the same orbit, its centripetal force must be equal to the gravitational force

Question 5.
What is escape velocity ? Obtain an expression for it.
Answer:
Escape velocity : It is the minimum velocity with which a body should be projected, so that it moves into the space by overcoming the earth’s gravitational field.

Expression for escape velocity :
Consider a body of mass m thrown with a velocity v₂
Then K.E = \(\frac{1}{2}\) m v_e² …………. (1)
The gravitational force of attraction of the earth of mass M and Radius R on a body of mass m at its surface is F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\) ……………… (2)
Gravitational P. E. = work done on the body
∴ P. E. = F × R = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\) × R
P.E. = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) …………….. (3)
A body just escapes when its K. E. = P. E
\(\frac{1}{2}\) m v_e² = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\)
v_e² = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}\) (∵ g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\))
v_e = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}\)
v_e = \(\sqrt{2 g R}\) (gR = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}\))
v_e = \(\sqrt{2} \times \sqrt{g R}\) (∵ v₀ = \(\sqrt{g R}\))
v_e = \(\sqrt{2}\) × v₀
∴ Escape velocity is \(\sqrt{2}\) times the orbital velocity.

Question 6.
What is a geostationary satellite ? State its uses. [T.S. Mar. 18, 15; A.P. Mar. 16]
Answer:
Geo-stationary satellite : If the period of revolution of an artificial satellite is equal to the period of rotation of earth, then such a satellite is called geo-stationary satellite.
Time period of geo-stationary satellite is 24 hours.
Uses :

1. Study the upper layers of atmosphere
2. Forecast the changes in atmosphere
3. Know the shape and size of the earth.
4. Identify the minerals and natural resources present inside and on the surface of the earth.
5. Transmit the T. V. programmes to distant objects
6. Under take space research i.e. to know about the planets, satellites, comets etc.

Question 7.
If two places are at the same height from the mean sea level; One is a mountain and other is in air at which place will ‘g’ be greater ? State the reason for your answer.
Answer:
The acceleration due to gravity on mountain is greater than that of air.
g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) ………….. (1)
Mass (M) = volume × density (ρ)
M = \(\frac{4}{3}\)π R³ × ρ
g = \(\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{R}^2}\) × \(\frac{4}{3}\) π R³ ρ
g = – \(\frac{4}{3}\) π R G ρ …………….. (2)
g ∝ ρ
So density is more at mountains. So g is more on mountain.

Question 8.
The weight of an object is more at the poles than at the equator. At which of these can we get more sugar for the same weight ? State the reason for your answer.
Answer:
Weight of the object at poles = m_p g_p (∵ w = mg)
Weight of the object at equator = m_e g_e
Given weight of the object at poles > weight of the object at equator
m_p g_p > m_eg_e
We know that g_p > g_e
Then m_p < m_e
Hence we can get more sugar at equator.

Question 9.
If a nut becomes loose and gets detached form a satellite revolving around the earth, will it fall down to earth or will it revolve around earth ? Give reasons for your answer.
Answer:
When a nut is detached from a satellite revolving around the earth, the nut is also moving with the speed of the satellite as the orbit of a satellite does not depend upon its mass. Hence nut is moving in the same orbit under centripetal force.

Question 10.
An object projected with a velocity greater than or equal to 11.2 kms it will not return to earth. Explain the reason.
Answer:
The escape velocity on the surface of the earth (v_e) = 11.2 km/s. Any object projected with the velocity greater then (or) equal to 11.2 km/s it will not come back. Because it has overcome the earth’s gravitational pull.
So an object never come back to earth.

Long Answer Questions

Question 1.
Define gravitational potential energy and derive an expression for it associated with two particles of masses m₁ and m₂.
Answer:
Gravitational potential energy : Gravitational potential energy of a body at a point in a gravitational field of another body is defined as the amount of work done in brining the given body from infinity to that point without acceleration.

Expression for gravitational potential energy : Consider a gravitational field due to earth of mass M, radius R. The mass of the earth can be supposed to be concentrated at its centre 0. Let us calculate the gravitational the potential energy of the body of mass m placed at point p in the gravitational field, where OP = r and r > R. Let OA = x and AB = dx.
The gravitational force on the body at A will be
F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{X}^2}\) ……………… (1)
Small amount of work done in bringing the body without acceleration through a small distance dx is given by
dw = Force × displacement
dw = F × dx
dw = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{X}^2}\) × dx ……………… (2)
Total work done in bringing the body from infinity to point P is given by

This work done is stored in the body as its gravitational potential energy (u)
∴ Gravitational potential energy (u) = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{r}}\) ……………….. (4)
Gravitational potential energy associated with two particles of masses m, and m2 separated by a distance r is given by
u = –\(\frac{G m_1 m_2}{r}\) ……………….. (5) (if we choose u = 0 as r → ∞).

Question 2.
Derive an expression for the variation of acceleration due to gravity (a) above and (b) below the surface of the Earth.
Answer:
i) Variation of g with height:
When an object is on the surface of the earth, it will be at a distance r = R radius of the earth, then we have g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
Where G = universal gravitational constant, M = Mass of the earth
When the object is at a height h above the surface of the earth, Then r = R + h

g value decreases with altitude.

ii) Variation of g with depth :
Let us assume that the earth to be a homogeneous uniform sphere of radius R, mass M and of uniform density ρ.
We know that g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) = \(\frac{4}{3}\) π ρ G R ………………… (1)
Consider a body of mass m be placed at a depth d.

The value of g decreases with depth.

Question 3.
State Newton’s Universal Law of gravitation. Explain how the value of the Gravitational constant (G) can be determined by Cavendish method.
Answer:
Newton’s law of gravitation :
“Every body in the universe attracts every other body with a force which is directly proportional to the product of their masses and inversly proportional to the square of the distance between them”
Determination of G value by cavendish method :

1. In 1798 Henry Cavendish determined the value of G experimentally.
2. The bar AB has two small lead spheres attached at its ends.
3. The bar is suspended from a rigid support by a fine wire.
4. Two large lead spheres are brought close to the small ones but on opposite sides as shown in figure.
5. The big spheres attract the nearby small ones by equal and opposite force as shown in figurer.
6. There is no net force on the bar but only a torque which is clearly equal to F times the length of the bar. When F is the force of attraction between a big sphere and its neighbouring small sphere.
7. Due to this torque, the suspended wire gets twisted till such time as the restoring torque of the wire equals the gravitational torque.
   Restoring torque = τ θ ………………… (1)
   Where τ is restoring couple per unit twist 0 is the angle
8. If d is the seperation between big and small balls having masses M and m.
   Gravitational force (F) = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{d}^2}\) ……………… (2)
   ix) If L is the length of the bar A B, then the torque arising out of F is F multiplied by L. At equilibrium, this is equal to the restoring torque.
   \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{d}^2}\) = τ θ
   observations of θ thus enables one to calculate G.
   The measurement of G = 6.67 × 10^-11 Nm²/ Kg²

Problems

(Gravitational Constant ‘G’ = 6.67 × 10^-11 Nm²/ Kg^-2; Radius of earth ‘R’ = 6400 km; Mass of earth ‘ME’ = 6 × 10²⁴ kg)

Question 1.
Two spherical balls each of mass 1 kg are placed 1 cm apart. Find the gravitational force of attraction between them.
Solution:
m₁ = m₂ = 1 kg, d = 1 cm = 1 × 10^-2 m
F = \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{~d}^2}\)
F = \(\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{\left(1 \times 10^{-2}\right)^2}\) = 6.67 × 10^-7N

Question 2.
The mass of a ball is four times the mass of another ball. When these balls are separated by a distance of 10 cm, the force of gravitation between them is 6.67 × 10^-7 N. Find the masses of the two balls.
Solution:
m₁ = m, m₂ = 4m, d = 10 cm = 10 × 10^-2 m,
F = 6.67 × 10^-7 N
G = 6.67 × 10^-11 Nm²/kg ²
F = \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{~d}^2}\)
6.67 × 10^-7 = \(\frac{6.67 \times 10^{-11} \times \mathrm{m} \times 4 \mathrm{~m}}{\left(10 \times 10^{-2}\right)^2}\)
4 m² = 10²
m² = \(\frac{100}{4}\) = 25
m = 5 kg
∴ m₁ = m = 5 kg
m₂ = 4m = 4 × 5 = 20 kg

Question 3.
Three spherical balls of masses 1 kg, 2kg and 3 kg are placed at the corners of an equilateral triangle of side 1 m. Find the magnitude of gravitational force exerted by the 2 kg and 3kg masses on the 1 kg mass.
Solution:
The force of attraction at 2 kg on the 1 kg particle
F₂ = \(\frac{\mathrm{Gmn}{\mathrm{~d}^2}\) = \(\frac{\mathrm{G} \times 1 \times 2}{1^2}\)
F₂ = 2 G

Question 4.
At a certain height above the earth’s surface, the acceleration due to gravity is 4% of its value at the surface of earth. Determine the height.
Solution:
g_h = 4% of g = \(\frac{4}{100}\)g, R = 6400 km
g_h = \(\frac{\mathrm{g}}{\left(1+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\right)^2}\)
\(\frac{4 \mathrm{~g}}{100}=\frac{\mathrm{g}}{\left(1+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\right)^2}\)
\(\left(1+\frac{h}{R}\right)^2=\frac{100}{4}\) = 25
1 + \(\frac{h}{R}\) = 5
\(\frac{h}{R}\) = 4
h = 4 × R = 4 × 6400 = 25,600 km.

Question 5.
A satellite is orbiting the earth at a height of 1000km. Find its orbital speed.
Solution:
h = 1000 km
Oribital velocity (v₀) = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
G = 6.67 × 10^-11 Nm²/kg ², M = 6 × 10²⁴ kg
R + h = 6400 + 1000 = 7400 km
= 7400 × 10³m
v₀ = \(\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{7400 \times 10^3}}\)
v₀ = \(\sqrt{0.5408 \times 10^{10}}\) = 73.54 × 10³ m/s
v₀ = 7.354km/s

Question 6.
A satellite orbits the earth at a height equal to the radius of earth. Find it’s
(i) orbital speed and
(ii) Period of revolution
Solution:
Height h = R

Question 7.
The gravitational force of attraction between two objects decreases by 36% when the distance between them is increased by 4 m. Find the original distance between them.
Solution:
F₁ = F, F₂ = \(\frac{64}{100}\) F
d₁ = d, d₂ = (d + 4) m

5d = 4d + 16
d = 16 m.

Question 8.
Four identical masses of m are kept at the corners of a square of side a. Find the gravitational force exerted on one of the masses by the other masses.
Solution:

Question 9.
Two spherical balls of 1 kg and 4kg are separated by a distance of 12 cm. Find the distance of a point from the 1 kg mass at which the gravitational force on any mass becomes zero.
Solution:
m₁ = 1 kg, m₂ = 4kg, r = 12 cm
∴ x = \(\frac{r}{\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}+1}\) from m₁
= \(\frac{12}{\sqrt{\frac{4}{1}}+1}=\frac{12}{2+1}=\frac{12}{3}\) = 4 cm
At x = 4 cm the gravitational force is zero.

Question 10.
Three uniform spheres each of mass m and radius R are kept in such a way that each touches the other two. Find the magnitude of the gravitational force on any one of the spheres due to the other two.
Solution:

Question 11.
Two satellites are revolving round the earth at different heights. The ratio of their orbital speeds ¡s 2 : 1. If one of them is at a height of 100 km, what is the height of the other satellite ?
Solution:

4R + 400 = R + h₂
h₂ = 3R + 400 = 3 × 6400 + 400
= 19200 + 400
h₂ = 19,600 km.

Question 12.
A satellite is revolving round in a circular orbit with a speed of 8 km s-1 at a height where the value of acceleration due to gravity is 8 m s-2. How high is the satellite from the Earth’s surface ? (Radius of planet = 6000 km)
Solution:
v₀ = 8 km/s = 8000 m/s
g_h = 8 m/s², R = 6000 km = 6000 × 10³ m
∴ v₀ = \(\sqrt{\frac{G M}{R+h}}=\sqrt{g(R+h)}\)
v₀² = g(R + h)
(8000)² = 8(6000 × 10³ + h)
6000 × 10³ + h = 8 × 10⁶
h = (8 – 6) 10⁶
h = 2 × 10⁶m
h = 2000 × 10³ = 2000 km.

Question 13.
(a) Calculate the escape velocity of a body from the Earth’s surface, (b) If. the Earth were made of wood, its mass would be 10% of its current mass. What would be the escape velocity, if the Earth were made of wood ?
Solution:
R = 6400 × 10³m,

Additional Problems

Question 1.
Answer the following :
a) You can shield a charge from electrical forces by putting it inside a hollow conductor. Can you shield a body from the gravitational influence of nearby matter by putting it inside a hollow sphere or by some other means ?
b) An astronaut inside a small space ship orbiting around the earth cannot detect gravity. If the space station orbiting around the earth has a large size, can he hope to detect gravity ?
c) If you compare the gravitational force on the earth due to the sun to that due to the moon, you would find that the Sun’s pull is greater than the moon’s pull, (you can check this yourself using the data available in the succeeding exercises). However, the tidal effect of the moon’s pull is greater than the tidal effect of sun. Why ?
Solution:
a) We cannot shield a body from the gravitational influence of nearby matter because the gravitational force on the body due to near by matter is independent of the presence of other matter, whereas it is not so in the case of electrical forces it means the gravitational screens are not possible.

b) Yes, if the size of the spaceship orbiting around the earth is large enough, an astronaut inside the spaceship can detect the variation in g.

c) Tidal effect depends inversly on the cube of the distance, unlike force which depends inversly on the square of the distance. Since the distance of moon from the ocean water is very small as compared to the distance of sun from the ocean water on earth. Therefore, the tidal effect of moon’s pull is greater than the tidal effect of the sun.

Question 2.
Choose the correct alternative :
a) Acceleration due to gravity increase^ decreases with increasing altitude.
b) Acceleration due to gravity increases/decreases with increas¬ing depth (assume the earth to be a sphere of uniform density).
c) Acceleration due to gravity is independent of mass of the earth/ mass of the body.
d) The formula – G Mm (1/r₂ – 1/r₁) is more/less accurate than the formula mg (r₂ – r₁) for the difference of potential energy between two points r2 and r1 distance away from the centre of the earth.
Solution:
a) decreases
b) decreases
c) mass of the body
d) more

Question 3.
Suppose there existed a planet that went around the sun twice as fast as the earth. What would be its orbital size as compared to that of the earth ?
Solution:
Here, T_e = 1 year; T_p = \(\frac{T_c}{2}=\frac{1}{2}\) year; r_e = 1
A.U.; r_p = ?
Using Kepler’s third law, we have
r_p = r_e\(\left(\frac{T_p}{T_e}\right)^{2 / 3}\) = \(1\left(\frac{1 / 2}{1}\right)^{2 / 3}\)
= 0.63 AU

Question 4.
Io, one of the satellites of Jupiter, has an orbital period of 1.769 days and the radius of the orbit is 4.22 × 10⁸m. Show that the mass of Jupiter is about-one-thousandth that of the sun.
Solution:
For a satellite of Jupiter, orbital period,
T₁ = 1.769 days = 1.769 × 24 × 60 × 60 s
Radius of the orbit of satellite,
r₁ = 4.22 × 10⁸ m
mass of Jupiter, M₁ is given by M₁
= \(\frac{4 \pi^2 \times\left(4.22 \times 10^8\right)^3}{G \times(1.769 \times 24 \times 60 \times 60)^2}\)
= \(\frac{4 \pi^2 r_1^3}{\mathrm{GT}_1^2}\) ……………. (1)
We know that the orbital period of earth around the sun,
T = 1 year = 365.25 × 24 × 60 × 60 s
Oribital radius, r = 1 A.U = 1.496 × 10¹¹ m

Question 5.
Let us assume that our galaxy consists of 2.5 × 10¹¹ stars each of one solar mass. How long will a star at a distance of 50,000ly from the galactic centre take to complete one revolution ? Take the diameter of the Milky Way to be 105 ly.
Solution:
Here, r = 50,000 ly =50,000 × 9.46 × 10¹⁵m
= 4.73 × 10²⁰m.
M = 2.5 × 10¹¹ solar, mass = 2.5 × 10¹¹ × (2 × 10³⁰) kg
= 5.0 × 10⁴¹ kg
We know that, M = \(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GT}^2}\)
or T = \(\left(\frac{4 \pi^2 r^3}{G M}\right)^{1 / 2}\)
= \(\left[\frac{4 \times(22 / 7)^2 \times\left(4.73 \times 10^{20}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{11}\right) \times\left(5.0 \times 10^{41}\right)}\right]^{1 / 2}\)
= 1.12 × 10¹⁶S.

Question 6.
Choose the correct alternative :
a) If the zero of potential energy is at infinity, the total energy of an orbiting satellite is negative of its kinetic/potentia! energy.
b) The energy required to launch an orbiting .satellite out of earth’s gravitational influence is more/less than the energy required to project a stationary object at the same height (as the satellite) out of earth’s influence.
Solution:
a) Kinetic energy
b) Less.

Question 7.
Does the escape speed of a body from the earth depend on (a) the mass of the body, (b) the Ideation from where it is projected, (c) the direction of projection, (d) the height of the location from where the body is launched ?
Solution:
The escape velocity is independent of mass of the body and the direction of projection it depends upon the gravitational potential at the point from where the body is launched. Since this potential depends slightly on the latitude and height of the point, therefore, the escape velocity depends slightly on these factors.

Question 8.
A comet orbits the sun in a highly elliptical orbit. Does the comet have a constant (a) linear speed, (b) angular speed, (c) angular momentum, (d) kinetic energy, (e) potential energy, (f) total energy throughout its orbit ? Neglect any mass loss of the comet when it comes very close to the Sun.
Solution:
A comet while going on elliptical orbit around the sun has constant angular momentum and total energy at all locations but other quantities vary with locations.

Question 9.
Which of the following symptoms is likely to afflict an astronaut in space
(a) swollen feet,
(b) swollen face,
(c) headache,
(d) orientational problem.
Solution:
a) We know that the legs carry the weight of the body in the normal position due to gravity pull. The astronaut in space is in weightless state. Hence, swollen feet may not affect his working.

b) In the conditions of weightless, the face of the astronaut is expected to get more supply. Due to it, the astronaut may develop swollen face. As eyes, ears, nose, mouth etc. are all embedded in the face, hence, swollen face may affect to great extent the seeing / hearing / eating / smelling capabilities of the astronaut in space.

c) Headache is due to metal strain it will persist whether a person is an astronaut in space or he is on earth it means headache will have the same effect on the astronaut in space as on a person on earth.

d) Space also has orientation. We also have the frames of reference in space. Hence, orientational problem will affect the astronaut in space.

Question 10.
In the following two exercises, choose the correct answer from among the given ones : The gravitational intensity at the centre of a hemispherical shell of uniform mass density has the direction indicated by the arrow (see Fig) (i) a, (ii) b, (iii) c, (iv) 0.

Solution:
We know that the gravitational potential is constant at all points upside a spherical shell. Therefore, the gravitational potential gradient at all points inside the spherical shell is zero [i.e as v is constant, \(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dr}}\) = 0].

Since gravitational intensity is equal to negative of the gravitational potential gradient, hence the gravitational intensity is zero at all points inside a hollow spherical shell. This indicates that the gravitational forces acting on a particle at any point inside a spherical shell, will be symmetrically placed. Therefore if we remove the upper hemispherical shell, the net gravitational forces acting on the particle at the centre Q or at some other point P will be acting downwards which will also be the direction of gravitational intensity it is so because, the gravitational intensity at a point is the gravitational force per unit mass at that point. Hence the gravitational intensity at the centre Q will be along c, i.e., option (iii) is correct.

Question 11.
For the above problem, the direction of the gravitational intensity at an arbitrary point P is indicated by the arrow (i) d, (ii) e, (iii) f, (iv) g. .
Solution:
As per explanation given in the answer of Q. 10, the direction of gravitational intensity at P will be along e i.e., option (ii) is correct.

Question 12.
A rocket is fired from the earth towards the sun. At what distance from the earth’s centre is the gravitational force on the rocket zero ? Mass of the sun = 2 × 10³⁰ kg, mass of the earth 6 × 10²⁴ kg. Neglect the effect of other planets etc. (orbital radius 1.5 × 10¹¹ m).
Solution:
Here M_s = 2 × 10³⁰ kg ; M_c = 6 × 10²⁴ kg ; r = 1.5 × 10¹¹ m .
Let x be the distance of a point from the earth where gravitational forces on the rocket due to sun and earth become equal and opposite. Then distance of rocket from the sun
= (r – x). If m is the mass of rocket then
\(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \mathrm{m}}{(\mathrm{r}-\mathrm{x})^2}=\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{e}} \mathrm{m}}{\mathrm{x}^2} \text { or } \frac{(\mathrm{r}-\mathrm{x})^2}{\mathrm{x}^2}=\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{M}_{\mathrm{e}}}\)

Question 13.
How will you ‘weigh the sun1, that is estimate its mass ? The mean orbital radius of the earth around the sun is 1.5 × 10⁸ km.
Solution:
To estimate the mass of the sun, we require, the time period of revolution T of one of its planets (say the earth). Let M_s, M_e be the masses of sun and earth respectively and r be the mean orbital radius of the earth around the sun. The gravitational force acting on earth due to sum is
F = \(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \mathrm{M}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{r}^2}\)
Let, the earth be moving in circular orbit around the sun, with a uniform angular velocity ω, the centripetal force acting on earth is.
F¹ = M_erω² = M_er \(\frac{4 \pi^2}{T^2}\)
As this centripetal force is provided by the gravitational pull of sun on earth, So
\(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \mathrm{M}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{r}^2}=\mathrm{M}_{\mathrm{e}} \mathrm{r} \frac{4 \pi^2}{\mathrm{~T}^2} \text { or } \mathrm{M}_{\mathrm{s}}=\frac{4 \pi^2 \mathrm{r}^3}{G \mathrm{~T}^2}\)
Knowing r and T, mass M_s of the sun can be estimated.
In this Question, we are given, r = 1.5 × 10⁸ km
= 1.5 × 10¹¹ m
T = 365 days = 365 × 24 × 60 × 60 s
∴ M_s = \(\frac{4 \times(22 / 7)^2 \times\left(1.5 \times 10^{11}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times(365 \times 24 \times 60 \times 60)^2}\)
= 2 × 10³⁰ kg.

Question 14.
A saturn year is 29.5 times the earth year. How far is the saturn from the sun if the earth is 1.50 × 10⁸ km away from the sun ?
Solution:
Here, T_s = 29.5 T_e; R_e = 1.5 × 10⁸ km; R_s =?
Using the relation, \(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}^2}{\mathrm{R}_{\mathrm{s}}^3}=\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}^2}{\mathrm{R}_{\mathrm{e}}^3}\)
or R = Re \(\left(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}\)
= 1.5 × 10⁸ \(\left(\frac{29.5 \mathrm{~T}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}\)
= 1.43 × 10⁹ km.

Question 15.
A body weighs 63 N on the surface of the earth. What is the gravitational force on it due to the earth at a height equal to half the radius of the earth?
Solution:
Weight of the body = mg = 63N
At height h, the value of g is given by
g’ = \(\frac{g R^2}{(R+h)^2}=\frac{g R^2}{(R+R / 2)^2}\) = 4/9 g
Gravitational force on body at height h is
F = mg’ = m × \(\frac{4}{9}\) g = \(\frac{4}{9}\) mg
= \(\frac{4}{9}\) × 63 = 28N

Question 16.
Assuming the earth to be a sphere of uniform mass density, how much would a body weigh half way down to the centre of the earth if it weighed 250 N on the surface ?
Solution:
wt. of body at a depth d = mg¹
= m × g \(\left(1-\frac{d}{R}\right)\)
= 250 \(\left(1-\frac{R / 2}{R}\right)\)
= 125 N

Question 17.
A rocket is fired vertically with a speed of 5 km s^-1 from the earth’s surface. How far from the earth does the rocket go before returning to the earth ? Mass of the earth = 6.0 × 10²⁴ kg; mean radius of the earth = 6.4 × 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2.
Solution:
Let the rocket be fired with velocity v from the surface of earth and it reaches a height h from the surface of earth where its velocity becomes zero.
Total energy of rocket at the surface of energy

or h = \(\frac{\mathrm{Rv}^2}{2 \mathrm{gR}-\mathrm{v}^2}\)
= \(\frac{\left(6.4 \times 10^6\right) \times\left(5 \times 10^3\right)^2}{2 \times 9.8 \times\left(6.4 \times 10^6\right)-\left(5 \times 10^3\right)^2}\)
= 1.6 × 10⁶m

Question 18.
The escape speed of a projectile on the earth’s surface is 11.2 km s-1. A body is projected out with thrice this speed. What is the speed of the body far away from the earth ? Ignore the presence of the sun and other planets.
Solution:
Here, v_e = 11.2 kms^-1, velocity of projection of the body v = 3ve. Let m be the mass of the projectile and v₀ be the velocity of the projectile when far away from the earth (i.e) out of gravitational field of earth) then from the law of conservation of energy
\(\frac{1}{2}\) mv₀² = \(\frac{1}{2}\) mv² – \(\frac{1}{2}\) mv_e²
or v₀ = \(\sqrt{v^2-v_e^2}\)
= \(\sqrt{(3 v e)^2-v_e^2}\)
= \(\sqrt{8} v_e=\sqrt{8}\) × 11.2 = 31.68 kms^-1

Question 19.
A satellite orbits the earth at a height of 400 km above the surface. How much energy must be expended to rocket the satellite out of the earth’s gravitational influence ? Mass of the satellite = 200 kg; mass of the earth = 6.0 × 1024 kg; radius of the earth = 6.4 × 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2.
Solution:
Total energy of orbiting satellite at a hight h.
= – \(\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}+\frac{1}{2} \mathrm{mv}^2\)
= – \(\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}+\frac{1}{2} m \frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
= \(\frac{\mathrm{GMm}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
energy expended to rocket the satellite out of the earth’s gravitational field.
= – (total energy of orbiting satellite)
= \(\frac{\mathrm{GMm}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
= \(\frac{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times\left(6 \times 10^{24}\right) \times 200}{2\left(6.4 \times 10^6+4 \times 10^5\right)}\)
= 5.9 × 10⁹J

Question 20.
Two stars each of one solar mass (= 2 × 10^30< kg) are approaching each other for a head on collision. When they are a distance i09 km, their speeds are negligible. What is the speed with which they collide? The radius of each star is 10^4< km. Assume the stars to remain undistorted until they collide. (Use the known value of G).
Solution:
Here, mass of each star, M = 2 × 10^30< kg
initial distance between two stars, r = 10^9<
km = 10^12< m.
initial potential energy of the system = – \(\frac{\text { GMM }}{r}\)
Total K.E. of the stars = \(\frac{1}{2}\) mv^2< + \(\frac{1}{2}\) mv^2<
= Mv^2<
Where v is the speed of stars with which they collide. When the stars are about to collide, the distance between their centres, r^1< = 2R.
∴ Final potential energy of two starts = \(\frac{-\mathrm{GMM}}{2 \mathrm{R}}\)
since gain in K.E. is at the cost of loss in P.E

Question 21.
Two heavy spheres each of mass 100 kg and radius 0.10 m are placed 1.0 m apart on a horizontal table. What is the gravitational force and potential at the mid point of the line joining the centres of the spheres ? Is an object placed at that point in equilibrium ? If so, is the equilibrium stable or unstable ?
Solution:
Gravitational field at the mid – point of the line joining the centres of the two spheres.
= \(\frac{\mathrm{GM}}{(r / 2)^2}(-\hat{r})+\frac{\mathrm{GM}}{(r / 2)^2} \hat{r}=0\)
Gravitational potential at the mid point of the list joining the centres of the two spheres is
v = \(\frac{-\mathrm{GM}}{r / 2}+\left(\frac{-\mathrm{GM}}{r / 2}\right)=\frac{-4 \mathrm{GM}}{r}\)
\(\frac{-4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1.0}\) = -2.7 × 10^-8< J/kg
As the effective force on the body placed at mid-point is zero, so the body is in equilibrium. If the body is displaced a little towards either mass body from its equilibrium position, it will not return back to its initial position of equilibrium. Hence, the body is in unstable equilibrium.

Question 22.
As you have learnt in the text, a geo-stationary satellite orbits the earth at a height of nearly 36,000 km from the surface of the earth. What is the potential due to earth’s gravity at the site of this satellite ? (Take the potential energy at infinity to be zero). Mass of the earth = 6.0 × 10²⁴ kg, radius = 6400 km.
Solution:
Gravitational potential at height h from the surface of earth is
v = \(\frac{-\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
= \(\frac{-6.67 \times 10^{-11} \times\left(6 \times 10^{24}\right)}{\left(6.4 \times 10^6+36 \times 10^6\right)}\)
= -9.4 × 10⁶ J/kg.

Question 23.
A star 2.5 times the mass of the sun and collapsed to a size of 12 km rotates with a speed of 1.2 rev. per second. (Extremely compact stars of this kind are known as neutron stars. Certain stellar objects called pulsars belong to this category). Will an object placed on its equator remain stuck to its surface due to gravity ? (mass of the sun = 2 × 10^30< kg).
Solution:
The object will remain struck to the surface of star due to gravity, if the accerlation due to gravity is more than the centrifugal accerlation due to its rotation.
Accerlation due to gravity, g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
= \(\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 2 \times 10^{30}}{(12000)^2}\)
= 2.3 × 10¹² m/s²
centrifugal accerlation = rw²
= r(2πv)²
= 12000 (2π × 1.5)²
= 1.1 × 10⁶ ms^-2
since g > rω² , therefore the body will remain struck with the surface of star.

Question 24.
A spaceship is stationed on Mars. How much energy must be expended on the spaceship to launch it out of the solar system ? Mass of the space ship = 1000 kg; mass of the sun = 2 × 10³⁰ kg; mass of mars = 6.4 × 10^23< kg; radius of mars = 3395 km; radius of the orbit of mars = 2.28 × 10^8< km; G = 6.67 × 10^-11< N m² kg ² .
Solution:
Let R, be the radius of the orbit of mars and R be the radius of the mars. M be the mass of the sun and M’ be the mass of mars. If m is the mass of the space ship, then potential energy of space-ship due to gravitational attraction of the sun = \(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\)
potential energy of space – ship due to gravitational attraction of mars = – \(\frac{\mathrm{GM}^1 \mathrm{~m}}{\mathrm{R}^1}\)
since K.E of space ship is zero, therefore total energy of spaceship
= \(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) – \(\frac{\mathrm{GM}^1 \mathrm{~m}}{\mathrm{R}^1}\)
= – Gm \(\left(\frac{M}{R}+\frac{M^1}{R^1}\right)\)
∴ energy required to rocket out the spaceship from the solar system = – (total energy of space ship)

Question 25.
A rocket is fired ‘vertically’ from the surface of mars with a speed of 2 km s^-1. If 20% of its initial energy is lost due to martian atmospheric resistance, how far will the rocket go from the surface of mars before returning to it ? Mass of mars = 6.4 × 10^23< kg; radius of mars = 3395 km; G = 6.67 × 10^-11< N m² kg^-2.
Solution:
Let m = mass of the rocket, M = mass of the mars and
R = radius of mars. Let v be the initial velocity of rocket.
Initial K.E = \(\frac{1}{2}\) mv²; Initial P.E = – \(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\)
Total initial energy = \(\frac{1}{2}\) mv² – \(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\)
since 20% of K.E is lost, only 80% is left behind to reach the height. Therefore
Total energy available = \(\frac{80}{100} \times \frac{1}{2}\) mv²
– \(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) = 0.4 mv² – \(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\)
If the rocket reaches the higher point which is at a height h from the surface of Mars, its
K.E. is zero and P.E. = \(\frac{-\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
using principle of conservation of energy, we have
0.4 mv² – \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}=-\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
or \(\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}\) – 0.4 v²

Textual Examples

Question 1.
Let the speed of the planet at the perihelion P in Fig. be υ_p and the Sun- planet distance SP be r_p. Relate {r_p, υ_p} to the corresponding quantities at the aphelion {r_A, υ_A}. Will the planet take equal times to traverse BAC and CPB ?

(a) An ellipse traced out by a planet around the sun. The colsest point is P and the farthest point is A. P is called the perihelion and A the aphelion. The semimajor axis (a) is half the distance AP
Answer:
The magnitude of the angular momentum at P is L_p = m_p r_p υ_p. Similarly, L_A = m_p r_A υ_A. From angular momentum conservation
m_p r_p υ_p = m_p r_A υ_A
or \(\frac{v_p}{v_A}=\frac{r_A}{r_p}\)

Question 2.
Three equal masses of m kg each are fixed at the vertices of an equilateral triangle ABC. (a) What is the force acting on a mass,2m placed at the centroid O of the triangle ? (b) What is the force if the mass at the vertex A is doubled ?
Take AO = BO = CO = 1 m (see Fig)

Three equal masses are placed at the three vertices of the ∆ABC. A mass 2m is placed at the centroid O.
Answer:
(a) The angle between OC and the positive x- axix is 30° and so is the angle between OB and the negative x-axis. The individual forces a vector notation are

From the principle of superposition and the law of vector addition, the resultant gravitational force F_R on (2m) at O is
F_R = F_OA + F_OB + F_OC
F_R = 2Gm² \(\hat{\mathrm{j}}\) + 2Gm² \(-\hat{\mathrm{i}}\) cos 30° – \(\hat{\mathrm{j}}\) sin 30°) + 2Gm² (\(\hat{\mathrm{i}}\) cos 30° – \(\hat{\mathrm{j}}\) sin 30°) = 0
Alternatively, one expects on the basis of symmetry that the resultant force ought to be zero.

(b) By symmetry the x-component of the force cancels out. The y-component survives.
F_R = 4Gm² \(\hat{\mathrm{j}}\) – 2Gm² \(\hat{\mathrm{j}}\) = 2Gm² \(\hat{\mathrm{j}}\)

Question 3.
Find the potential energy of a system of four particles placed at the vertices of a square of side l. Also obtain the potential at the centre of the square.
Answer:
We have four mass pairs at distance l and two diagonal pairs at distance \(\sqrt{2}\)1 Hence,

= \(\frac{2 \mathrm{Gm}}{1}\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) = -5.41 \(\frac{\mathrm{Gm}^2}{l}\)
The gravitational potential U(r) at the centre of the square (r = \(\sqrt{2}\) l / 2) is
U(r) = \(-4 \sqrt{2} \frac{\mathrm{Gm}}{\mathrm{l}}\)

Question 4.
Two uniform solid spheres of equal radii R, but mass M and 4 M have a centre to centre separation 6 R, as shown in Fig. The two spheres are held fixed A projeetile of mass m is projected from the surface of the sphere of mass M directly towards the centre of the second sphere. Obtain an expression for the minimum speed v of the projectile so that it reaches the surface of the second sphere.

Answer:
If ON = r, we have
\(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{r}^2}=\frac{4 \mathrm{GMm}}{\left(6 \mathrm{R}-\mathrm{r}^2\right)}\)
(6R – r)² = 4r²
6R – r = ±2r
r = 2R or – 6R.
The neutral point r = -6R does not concern us in this example. Thus ON = r = 2R.
Thereafter, the greater gravitational pull of 4M would suffice. The mechanical energy at the surface of M is
E_i = \(\frac{1}{2} \mathrm{~m} v^2-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}-\frac{4 \mathrm{GMm}}{5 \mathrm{R}}\)
The mechanical energy at N is purely potential.
E_N = \(-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}-\frac{4 \mathrm{GMm}}{4 \mathrm{R}}\)
From the principle of conservation of mechanical energy
\(\frac{1}{2} v^2-\frac{G M}{R}-\frac{4 G M}{5 R}=-\frac{G M}{2 R}-\frac{G M}{R}\)
υ² = \(\frac{2 G M}{R}\left(\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\right)\)
υ² = \(\left(\frac{3 \mathrm{GM}}{5 R}\right)^{1 / 2}\)

Question 5.
The planet Mars has two moons, phobos and delmos. (i) phobos has a period 7 hours, 39 minutes and an orbital radius of 9.4 × 10³ km. Calculate the mass of Mars, (ii) Assume that Earth and Mars move in circular orbits around the sun, with the Martian orbits being 1.52 times the orbital radius of the earth. What is the length of the Martain year in days ?
Answer:
(i) We employ T² = K (R_E + h)³ (where K = 4π² / GM_E) with the Earth’s mass replaced by the Martian mass M_m

(ii) Once again Kepler’s third law comes to our aid,
\(\frac{T_M^2}{T_E^2}=\frac{R_{M S}^3}{R_{E S}^3}\)
Where R_MS is the Mars-Sun distance and R_ES is the Earth-Sun distance.
∴ T_M = (1.52)^3/2 × 365
= 684 days
For example. the ratio of the semi-minor to semi-major axis for our Earth is, b/a = 0.99986.

Question 6.
Weighing the Earth : You are given the following data g = 9.81 ms² R_E = 6.37 x106 m the distance to the moon R = 3.4 × 10⁸ m and the time period of the moons revolution is 27.3 days. Obtain the mass of the Earth M_E in two different ways.
Answer:
(1) From g = \(\frac{F}{m}=\frac{G M_E}{R_E^2}\)
M_E = \(\frac{g R_E^2}{G}\)
= \(\frac{9.81 \times\left(6.37 \times 10^6\right)^2}{6.67 \times 10^{-11}}\)
= 5.97 × 10²⁴kg. (by Method – 1)

(2) The moon is a satellite of the Earth. From the derivation of Kepler’s third law

= 6.02 × 10²⁴kg (by Method – 2)
Both methods yield almost the same answer the difference between them being less than 1%.

Question 7.
Express the constant k T² = K (R_E + h)² where K = 4π²/GM_E of in days and kilometres. Given k = 10^-13 s² m^-3. The moon is at a distance of 3.84 × 10⁵ km from the earth. Obtain its time period of revolution in days.
Answer:
Given
k = 10^-13 s² m^-3 (d = day)
= 10^-13 \(\left[\frac{1}{(24 \times 60 \times 60)^2} d^2\right]\)
\(\left[\frac{1}{(1 / 1000)^3 \mathrm{~km}^3}\right]\) = 1.33 × 10^-14 d² km^-3
Using T² = K (R_E + h)³ (where k = 4π²/ GM_E) and the given value of k the time period of the moon is
T² = (1.33 × 10^-14) (3.84 × 10⁵)³
T = 27.3 d

Question 8.
A 400 kg satellite is in a circular orbit of radius 2R_E about the Earth. How much energy is required to transfer it to a circular orbit of radius 4R_E? What are the changes in the kinetic and potential energies ?
Answer:
Initially,
E₁ = \(\)
While finally
E_f = \(\)
The change in the total energy is
∆E = E_f – E_i
= \(\frac{\mathrm{GM}_E \mathrm{~m}}{8 R_E}=\left(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{R}_{\mathrm{E}}^2}\right) \frac{\mathrm{mR} \mathrm{R}_{\mathrm{E}}}{8}\)
∆E = \(\frac{\mathrm{gm} \mathrm{R}_{\mathrm{E}}}{8}=\frac{9.81 \times 400 \times 6.37 \times 10^6}{8}\)
= 3.13 × 10⁹J
The kinetic enegy is reduced and it mimics ∆E, namely, ∆K = K_f – K_i = -3.13 × 10⁹ J.
The change in potential energy is twice the change in the total energy, namely
∆V = V_f – V_i= -6.25 × 10⁹ J

Use these Inter 1st Year Maths 1A Formulas PDF Chapter 1 Functions to solve questions creatively.

Intermediate 1st Year Maths 1A Functions Formulas

Function:
Let A and B be non – empty sets and f be a relation from A to B. If for each element a e A, there exists a unique element b e B such that (a,b) ∈ f, then f is called a function or mapping from A to B (or A into B). It is denoted by f: A → B. The set A is called the domain of f and B is called co-domain off.

Illustration: Let A = {1, 2, 3, 4} and B = {1, 4, 9, 16, 25}. Consider the relation f(x) = x², then f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, f(4) = 16. Clearly each element in A has unique image in B. So, f: A → B.
f = {(1, 1) (2, 4) (3, 9) (4, 16)} is a function from A to. B.
Clearly Domain (f) = {1,2, 3, 4} and Range (f) = {1, 4, 9, 16}
Note : The number of functions that can be defined from, a non-empty finite set A into a non-empty finite set B is [n(B)]^n(A).

If f: A → B a function then f(A) = {f(a) / a ∈ A} is called the range off. It is a subset of B (ie) f(A) ≤ B.

One – one function (Injection):
Let f: A B, then f is said to be one-one function if different elements of A have different f- images in B. Thus f: A → B is one-one. (μ) f: A B is an injection <=> ay a2 e A and f(a7) = f(aj implies that a₁ = a₂

Illustration:
LetA = {1, 2, 3} and B = {2, 4, 6}. Consider f: A → B. f(x) = 2x then f(1) = 2, f(2) = 4 and f(3) = 6. Clearly f is a function from A to B such that different elements in A have different f – images in B.
∴ f: {(1, 2) (2, 4) (3, 6)} is one – one.

Note : The number of one-one functions that can be defined from a non-empty finite set A into a non-empty finite set B is n(B) P_n(A) if n(B) ≥ n(A) and zero if n(B) < n(A).

Onto function (Surjection):
Let f: A → B. If every element of B occurs as the image of at least one element of in A, then fis an onto function. Thus f: A → B is surjection iff for each b e B, 3 a e A such that f(a) = b. Clearly fis onto ⇔ Range (f) = B.

Illustration; Let A = {-1, 7, 2, -2}, B = {1, 4} and Let f: A → B, be a function defined by f(x) = x² then fis onto because f(A) = {f(-1), f(1), f(2), f(-2)} = {1, 4} = B.
Note : The number of onto functions that can be defined from a non – empty finite set A onto a two element set B is 2^n(A) – 2 if n(A) ≥ 2 and zero if n(A) < 2.

Bijective function :
A function f: A → B is a bijection if

• It is one – one i.e., f(a) – f(b) ⇒ a = b ∀ a, b ∈ A.
• It is onto i.e., ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A such that f(a) = b.

Note : Number of bijections that can be defined from A to B is [n(A)]!, [n(A) = n(B)].

If f: A → B is a bijection then the relation f^-1 = {(b, a) / (a, b) ∈ f} is a function from B to A and is called the inverse function off.

Constant function :
Let f: A B defined in such a way that all the elements of A have the same f- image in B, then f is said to be a constant function.

Illustration : Let A – {1, 2, 3} and B = {6, 7, 8}. Let f: A → B
f(x) = 6 ∀ x ∈ A i.e., f = {(1, 6) (2, 6) (3, 6)} is a constant function.
The range of a constant function is a singleton set.

Identity function :
Let A be a non-empty set then the function f: A → A defined by, f(x) = x ∀ x ∈ I_A is called the identity function on A and is denoted by I_A. The identity function is bijective.

Let f: A → B, g: B → C be functions. Then gof: A → C is a function and (gof) (a) = g If (a)] ∀ a ∈ A, is called composite of ‘g’ with ‘f.

If f : A → B, g B → C are bijections so is (go f) : A → C and (gof)^-1 = f^-1o g^-1.

• If f: A → B is a bijection, then fof^-1 = I_B and f^-1of = I_A.
• If f: A → B, g: B → C such that go f = I_A fog = I_B then f is a bijection and g = f^-1

Let A be a non-empty subset of R such that – x ∈ A, for all x ∈ A and f: A → R.

• If f(-x) = f(x), ∀ x ∈ A then fis called an EVEN function.
• If f(-x) = – f(x), ∀ x ∈ A then f is called an ODD function.

Functions:
Def 1:
A relation f from a set A into a set B is said to be a function or mapping from A into B if for each x ∈ A there exists a unique y ∈ B such that (x, y) ∈ f. It is denoted
by f : A → B.
Note: Example of a function may be represented diagrammatically. The above example can be written diagrammatically as follows.

Def 2:
A relation f from a set A into a set B is a said to be a function or mapping from a into B if
i) x ∈ A ⇒ f (x) ∈ B
ii) x₁, x₂ ∈ A, x₂ ⇒ f (x₁) = f (x₂)

Def 3:
If f : A → B is a function, then A is called domain, B is called codomain and f (A) = {f (x): x ∈ A} is called range of f.

Def 4:
A function f : A → B if said to be one one function or injection from A into B if different element in A have different f-images in B.
Note:

• A function f : A → B is one one if f(x₁, y) ∈ f,(x₂, y) ∈ f ⇒ x₁ = x₂.
• A function f : A → B is one one iff x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ ⇒ f (x₁) ^ f (x₁)
• A function f : A → B is one one iff x₁, x₂ ∈ A, f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂
• A function f : A → B which is not one one is called many one function
• If f : A → B is one one and A, B are finite then n(A) < n(B).

Def 5:
A function f : A → B is said to be onto function or surjection from A onto B if f(A) = B.

Note:

• A function f : A → B is onto if y e B U ⇓ ∃x ∈ A ∋ f (x) = y .
• A function f : A → B which is not onto is called an into function.
• If A, B are two finite sets and f : A → B is onto then n(B) ≤ n(A).
• If A, B are two finite sets and n (B) = 2, then the number of onto functions that can be defined from A onto B is 2^{n( A)} – 2.

Def 6:
A function f : A → B is said to be one one onto function or bijection from A onto B if f : A → B is both one one function and onto function.

Theorem: If f : A → B, g : B → C are two functions then the composite relation gof is a function a into C.
Theorem: If f : A → B, g : B → C are two one one onto functions then gof : A → C is also one one be onto.
i) Let x₁, x₂ ∈ A and f (x₁) = f (x₂).
x₁,x₂ ∈ A, f : A → B ⇒ f (x₁), f (x₂) ∈ B
f (x₁), f (x₂) ∈ B → C, f (x₂) ⇒ g[f (x₁)] = g[f (x₂)] ⇒ (gof)(x₁) = (gof)(x₂)
x₁, x₂ ∈ A,(gof)(x₁) = (gof): A → C is one one ⇒ x₁ = x₂
x₁, x₂ ∈ A, f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂.
∴ f: A → B Is one one.

ii) Proof: let z ∈ C,g : B → C is onto B y ∈ B ∃:g (y) = z y ∈ Bf : A → B is onto
∃x ∈ A ∋ f (x) = y
G {f(x)} = t
(g o f) x = t
∀ z ∈ CB x ∈ A ∋ (gof)(x) = z.
∴ g is onto.

Def 7:
Two functions f : A → B, g : C → D are said to be equal if

• A = C, B = D
• f (x) = g (x) ∀ x ∈ A. It is denoted by f = g

Theorem:
If f : A → B, g : B → C , h: C → D are three functions, then ho(gof) = (hof )of

Theorem:
if A is set, then the identify relation I on A is one one onto.

Def 8:
If A is a set, then the function I on A defined by I(x) = x ∀ x ∈ A, is called identify function on A. it is denoted by IA.

Theorem: If f : A → B and IA, IB are identify functions on A, B respectively then
foIA = IBof = f .
Proof:
I_A: A → A , f: A → B ⇒ foI_A: A → B
f : A → B , I_B : B → B ⇒ I_Bof: A → B
(foIA)(x) = f {IA(x)} = f (x), ∀x ∈ A ∴ f0I_A = f
(IBof)(x) = IB{f (x)} = f (x), ∀ x ∈ A ∴ I_Bof = f
∴ foI_A = I_Bof = f

Def 9:
If f : A → B is a function then {(y, x) ∈ B × A:(x, y) ∈ f} is called inverse of f. It is denoted by f^-1.

Def 10:
If f : A → B is a bijection, then the function f^-1: B → A defined by f^-1(y) = x iff f (x) = y ∀ y ∈ B is called inverse function of f.

Theorem:
If f : A → B is a bijection, then f^-1 of = IA, fof^-1 = IB
Proof:
Since f : A → B is a bijection f^-1: B → A is also a bijection and
f^-1 (y) = x ⇔ f (x) = y ∀ y ∈ B
f : A → B, f^-1: B → A ⇒ f^-1 of: A → A
Clearly I_A : A → A such that I_A (x) = x, ∀ x ∈ A.

Let x ∈ A
x ∈ A, f : A → B ⇒ f (x) ∈ B
Let y = f(x)
y = f (x) ⇒ f^-1(y) = x
(f -1 of)(x) = f ^-1[ f (x) = f^-1( y) = x = I_A (x)
(f^-1 of) (x) = IA (x) ∀ x ∈ A f^-1of = I_A
f^-1: B → A, f: A → B ⇒ fof^-1: B → B

Clearly I_B : B → B such that I_B (y) = y ∀ y ∈ B
Let y ∈ B
y ∈ B, f^-1: B → A = f^-1(y) ∈ A
Let f^-1(y) = x
f^-1(y) = x ⇒ f (x) = y
(fof’)(y) = f [ f ^-1( y)] = f (x) = y = I_B (y)
∴ (fof^-1)(y) = I_B (y) ∀ y ∈ B
∴ fof^-1 = I_B

Theorem: If f : A → B, g : B → C are two bijections then (gof )^-1 = f^-1og^-1.
Proof:
f : A → B, g : B →C are bijections gof: A → C is bijection (gof )^-1: C → A is a bijection.
f : A → B is a bijection f^-1: B → A is a bijection
g : B → C Is a bijection ⇒ g^-1: C → B is a bijection
g^-1:C → B , g^-1: B → A are bijections ⇒ f^-1 og^-1: C → A is a bijection

Let z ∈ C
z ∈ C, g : B → C is onto ⇒ ∃ y ∈ B ∋ g (y) = z ⇒ g^-1(z) = y
y e B, f: A → B is onto ⇒ ∃ x ∈ A ∋ f (x) = y ⇒ f^-1(y) = x
(gof) (x) = g[ f (x)] = g (y) = z ⇒ (gof )^-1(z) = x
∴ (gof)^-1 (z) = x = f^-1( y) = f^-1 [ g^-1 (z) ] = (f ^-1og^-1)(z)
∴ (gof )^-1 = f^-1og^-1

Theorem:
If f : A → B, g : B → A are two functions such that gof = I_A and fog = I_B then f : A → B is a bijection and f^-1 = g .
Proof:
Let x₁, x₂ ∈ A, f (x₁) = f (x₂)
x₁, x₂ ∈ A, f : A → B ⇒ f (x₁), f (x₂) ∈ B
f (x₁), f (x₂) ∈ B, f (x₁) = f (x₂), g = B → A
⇒ g [ f (x₁)] = g[ f (x₂)]
⇒ (gof)(x₁) = (gof)(x₁) ⇒ I_A (x₂) ⇒ x₁ = x₂
x₁,x₂ ∈ A, f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂.
∴ f : A → B is one one

Let y ∈ B .
y ∈ B, g : B → A ⇒ g(y) ∈ A

Def 11:
A function f : A → B is said tobe a constant function if the range of f contain only one element i.e., f (x) = c ∀ x ∈ A where c is a fixed element of B

Def 12:
A function f : A → B is said to be a real variable function if A ⊆ R.

Def 13:
A function f : A → B is said to be a real valued function iff B ⊆ R.

Def 14:
A function f : A → B is said to be a real function if A ⊆ R, B ⊆ R.

Def 15:
If f : A → R, g : B → R then f + g : A ∩ B → R is defined as (f + g)(x) = f (x) + g (x) ∀ x ∈ A ∩ B

Def 16:
If f : A → R and k e R then kf : A → R is defined as (kf)(x) = kf (x), ∀ x ∈ A

Def 17:
If f : A → B, g : B → R then fg : A n B → R is defined as (fg)(x) = f (x)g(x) ∀ x ∈ A ∩ B .

Def 18:
If f : A → R, g : B → R then : C → R is defined as
C = {x ∈ A n B: g(x) ≠ 0}.

Def 19:
If f : A → R then |f| (x) =| f (x)|, ∀ x ∈ A

Def 20:
If n ∈ Z , n ≥ 0, a₀, a₁, a₂, ………….. a_n ∈ R, a_n ≠ 0, then the function f : R → R defined by
f (x) = a₀ + a₁x + a₂x² + + a_nxⁿ ∀ x ∈ R is called a polynomial function of degree n.

Def 21:
If f : R → R, g : R → R are two polynomial functions, then the quotient f/g is called a rational function.

Def 22:
A function f : A → R is said to be bounded on A if there exists real numbers k1, k2 such that k1 < f (x) < k2 ∀ x ∈ A Def 23: A function f : A → R is said to be an even function if f (-x) = f (x) ∀ x ∈ A Def 24: A function f : A → R is said to be an odd function if f (-x) = – f (x) ∀ x ∈ A .  Def 25: If a ∈ R, a > 0 then the function f : R → R defined as f (x) = ax is called an exponential function.

Def 26:
If a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 then the function f : (0, ∞) → R defined as f (x) = log_a x is called a logarithmic function.

Def 27:
The function f : R → R defined as f(x) = n where n ∈ Z such that n ≤ x < n + 1 ∀ x ∈ R is called step function or greatest integer function. It is denoted by f (x) = [x]

Def 28:
The functions f(x) = sin x, cos x, tan x, cot x, sec x or cosec x are called trigonometric functions.

Def 29:
The functions f (x) = sin^-1 x ,cos^-1x,tan^-1 x,cot^-1x,sec^-1x or cos ec^-1 x are called inverse trigonometric functions.

Def 30:
The functions f(x) = sinh x, cosh x, coth x, sech x or cosech x are called hyperbolic functions.

Def 30:
The functions f(x) = sinh^-1x, cosh^-1x, coth^-1x, sech^-1x or cosech^-1x are called Inverse hyperbolic functions.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Inter 2nd Year Maths 2A Quadratic Expressions Solutions Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

Intermediate 2nd Year Maths 2A Quadratic Expressions Solutions Exercise 3(b)

I.

Question 1.
If the quadratic equations ax² + 2bx + c = 0 and ax² + 2cx + b = 0, (b ≠ c) have a common root, then show that a + 4b + 4c = 0
Solution:
Let α be the common roots of the equations ax² + 2bx + c = 0 and ax² + 2cx + b = 0
aα² + 2bα + c = 0
aα² + 2cα + b = 0
on Subtracting,
2α(b – c) + c – b = 0
2α(b – c) = b – c
2α = 1 (b ≠ c)
α = \(\frac{1}{2}\)
Substitute α = \(\frac{1}{2}\) in ax² + 2bx + c = 0 is
\(a\left(\frac{1}{4}\right)+2 b \frac{1}{2}+c=0\)
⇒ a + 4b + 4c = 0
∴ a + 4b + 4c = 0

Question 2.
If x² – 6x + 5 = 0 and x² – 12x + p = 0 have a common root, then find p.
Solution:
Given x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 have a common root.
If α is the common root then
α² – 6α + 5 = 0, α² – 12α + p = 0
α² – 6α + 5 = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
⇒ α = 1 or 5
If α = 1 then α² – 12α + p = 0
⇒ 1 – 12 + p = 0
⇒ p = 11
If α = 5 then α² – 12α + p = 0
⇒ 25 – 60 + p = 0
⇒ p = 35
∴ p = 11 or 35

Question 3.
If x² – 6x + 5 = 0 and x² – 3ax + 35 = 0 have a common root, then find a.
Solution:
The roots of the equation x² – 6x + 5 = 0 are
(x – 1) (x – 5) = 0
⇒ x = 1, x = 5
Case (i): x = 1 is a common root then it is also root for the equation x² – 3ax + 35 = 0
⇒ 1 – 3a(1) + 35 = 0
⇒ a = 12
Case (ii): x = 5 is a common root then
(5)² – 3a(5) + 35 = 0
⇒ 60 – 15a = 0
⇒ a = 4
∴ a = 12 (or) a = 4

Question 4.
If the equation x² + ax + b = 0 and x² + cx + d = 0 have a common root and the first equation has equal roots, then prove that 2(b + d) = ac.
Solution:
Let α be the common root.
∴ x² + ax + b = 0 has equal roots.
Its roots are α, α
α + α = -a
⇒ α = \(-\frac{a}{2}\)
α . α = b
⇒ α² = b
∴ α is a root of x² + cx + d = 0
⇒ α² + cα + d = 0
⇒ b + c(\(-\frac{a}{2}\)) + d = 0
⇒ 2(b + d) = ac

Question 5.
Discuss the signs of the following quadratic expressions when x is real.
(i) x² – 5x + 4
Solution:
x² – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4)
a = 1 > 0
The expression x² – 5x + 2 is positive if x < 1 or x > 4 and is negative if 1 < x < 4

(ii) x² – x + 3
Solution:
∆ = b² – 4ac
= (-1)² – 4 (1) (3)
= 1 – 12
= -11 < 0
a = 1 > 0, ∆ < 0
⇒ The given expression is positive for all real x.

Question 6.
For what values of x, the following expressions are positive?
(i) x² – 5x + 6
Solution:
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
Roots of x² – 5x + 6 = 0 are 2, 3 which are real.
The expression x² – 5x + 6 is positive if x < 2 or x > 3
∴ a = 1 > 0

(ii) 3x² + 4x + 4
Solution:
Here a = 3, b = 4, c = 4
∆ = b² – 4ac
= 16 – 48
= -32 < 0
∴ 3x² + 4x + 4 is positive ∀ x ∈ R
∴ a = 3 > 0 and ∆ < 0
ax² + bx + c and ‘a’ have same sign ∀ x ∈ R, if ∆ < 0

(iii) 4x – 5x² + 2
Solution:
Roots of 4x – 5x² + 2 = 0 are \(\frac{-4 \pm \sqrt{16+40}}{-10}\)
i.e., \(\frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}\) which is real
∴ The expression 4x – 5x² + 2 is positive when
\(\frac{2-\sqrt{14}}{5}<x<\frac{2+\sqrt{14}}{5}\) [∵ a = -5 < 0]

(iv) x² – 5x + 14
Solution:
Here a = 1, b = -5, c = 14
∆ = b² – 4ac
= 25 – 56
= -31 < 0
∴ ∆ < 0 ∵ a = 1 > 0 and ∆ < 0
⇒ x² – 5x + 14 is positive ∀ x ∈ R.

Question 7.
For what values of x, the following expressions are negative?
(i) x² – 7x + 10
Solution:
x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5)
Roots of x² – 7x + 10 = 0 are 2, 5 which are real.
∴ The expression x² – 7x + 10 is negative if 2 < x < 5, ∵ a = 1 > 0

(ii) 15 + 4x – 3x²
Solution:
The roots of 15 + 4x – 3x² = 0 are \(\frac{-4 \pm \sqrt{16+180}}{-6}\)
i.e., \(\frac{-5}{3}\), 3
∴ The expression 15 + 4x – 3x² is negative if
-5x < \(\frac{-5}{3}\) or x > 3, ∵ a = -3 < 0

(iii) 2x² + 5x – 3
Solution:
The roots of 2x² + 5x – 3 = 0 are \(\frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{4}\)
i.e., -3, \(\frac{1}{2}\)
∴ The expression 2x² + 5x – 3 is negative if -3 < x < \(\frac{1}{2}\), ∵ a = 2 > 0

(iv) x² – 5x – 6
Solution:
x² – 5x – 6 = (x – 6) (x + 1)
Roots of x² – 5x – 6 = 0 are -1, 6 which are real.
∴ The expression x² – 5x – 6 is negative if -1 < x < 6, ∵ a = 1 > 0

Question 8.
Find the changes in the sign of the following expressions and find their extreme values.
Hint: Let α, β are the roots of ax² + bx + c = 0 and α < β
(1) If x < α or x > β, ax² + bx + c and ‘a’ have same sign.
(2) If α < x < β, ax² + bx + c and ‘a’ have opposite sign.

(i) x² – 5x + 6
Solution:
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
(1) If 2 < x < 3, the sign of x² – 5x + 6 is negative, ∵ a = 1 > 0
(2) If x < 2 or x > 3, the sign of x² – 5x + 6 is positive, ∵ a = 1 > 0
Since a > 0, the minimum value of x² – 5x + 6 is \(\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\)
= \(\frac{4(1)(6)-(-5)^{2}}{4(1)}\)
= \(\frac{24-25}{4}\)
= \(-\frac{1}{4}\)
Hence the extreme value of the expression x² – 5x + 6 is \(-\frac{1}{4}\)

(ii) 15 + 4x – 3x²
Solution:
15 + 4x – 3x² = 15 + 9x – 5x – 3x²
= 3(5 + 3x) – x(5 + 3x)
= (3 – x) (5 + 3x)
(1) If \(-\frac{5}{3}\) < x < 3 the sign of 15 + 4x – 3x² is positive, ∵ a = -3 < 0
(2) If x < \(-\frac{5}{3}\) or x > 3, the sign of 15 + 4x – 3x² is negative, ∵ a = -3 < 0
Since a < 0, the maximum value of 15 + 4x – 3x² is \(\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\)
= \(\frac{4(-3)(15)-16}{4(-3)}\)
= \(\frac{49}{3}\)
Hence the extreme value of the expression 15 + 4x – 3x² is \(\frac{49}{3}\)

Question 9.
Find the maximum or minimum of the following expressions as x varies over R.
(i) x² – x + 7
Solution:
a = 1 > 0,
minimum value = \(\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\)
= \(\frac{28-1}{4}\)
= \(\frac{27}{4}\)

(ii) 12x – x² – 32
Solution:
a = -1 < 0,
maximum value = \(\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\)
= \(\frac{128-144}{-4}\)
= 4

(iii) 2x + 5 – 3x²
Solution:
a = -3 < 0,
maximum value = \(\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\)
= \(\frac{(4)(-3)(5)-(2)^{2}}{4 \times-3}\)
= \(\frac{16}{3}\)

(iv) ax² + bx + a
Solution:
If a < 0, then maximum value = \(\frac{4 a \cdot a-b^{2}}{4 a}\) = \(\frac{4 a^{2}-b^{2}}{4 a}\)
If a > 0, then minimum value = \(\frac{4 a \cdot a-b^{2}}{4 a}\) = \(\frac{4 a^{2}-b^{2}}{4 a}\)

II.

Question 1.
Determine the range of the following expressions.
(i) \(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\)
Solution:
Let y = \(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\)
⇒ x²y – xy + y = x² + x + 1
⇒ x²y – xy + y – x² – x – 1 = 0
⇒ x² (y – 1) – x(y + 1) + (y – 1) = 0
∴ x is real ⇒ b² – 4ac ≥ 0
⇒ (y + 1 )² – 4(y – 1 )² ≥ 0
⇒ (y + 1)² – (2y – 2)² ≥ 0
⇒ (y + 1 + 2y – 2) (y + 1 – 2y + 2) ≥ 0
⇒ (3y – 1) (-y + 3) ≥ 0
⇒ -(3y – 1) (y – 3) ≥ 0
a = Coeff of y² = -3 < 0
But The expression ≥ 0
⇒ y lies between \(\frac{1}{3}\) and 3
∴ The range of \(\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\) is [\(\frac{1}{3}\), 0]

(ii) \(\frac{x+2}{2 x^{2}+3 x+6}\)
Solution:
Let y = \(\frac{x+2}{2 x^{2}+3 x+6}\)
Then 2yx² + 3yx + 6y = x + 2
⇒ 2yx² + (3y – 1)x + (6y – 2) = 0
∴ x is real ⇒ discriminant ≥ 0
⇒ (3y – 1)² – 4(2y)(6y – 2) ≥ 0
⇒ 9y² + 1 – 6y – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ -39y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 < 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 < 0
⇒ 13y(3y – 1) + 1(3y – 1) ≤ 0
⇒ (3y – 1) (13y + 1) ≤ 0
∴ a = Coeff of y² = 39 > 0 and the exp ≤ 0
⇒ y lies between \(\frac{-1}{13}\) and \(\frac{1}{3}\)
∴ Range of \(\frac{x+2}{2 x^{2}+3 x+6}\) is \(\left[-\frac{1}{13}, \frac{1}{3}\right]\)

(iii) \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
Solution:
Let y = \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
⇒ yx + 3y = x² + x – 2
⇒ x² + (1 – y)x – 3y – 2 = 0
x ∈ R ⇒ (1 – y²) – 4(-3y – 2) ≥ 0
⇒ 1 + y² – 2y + 12y + 8 ≥ 0
⇒ y² + 10y + 9 ≥ 0
y² + 10y + 9 = 0
⇒ (y + 1) (y + 9) = 0
⇒ y = -1, -9
y² + 10y + 9 ≥ 0
∴ a = Coeff of y² = 1 > 0 and exp ≥ 0
⇒ y ≤ -9 or y ≥ -1
∴ Range = (-∞, -9] ∪ [-1, ∞)

(iv) \(\frac{2 x^{2}-6 x+5}{x^{2}-3 x+2}\)
Solution:
Let y = \(\frac{2 x^{2}-6 x+5}{x^{2}-3 x+2}\)
⇒ yx² – 3yx + 2y = 2x² – 6x + 5
⇒ (y – 2)x² + (6 – 3y)x + (2y – 5) = 0
x ∈ R ⇒ (6-3y)² – 4(y – 2) (2y – 5) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 4(2y² – 9y + 10) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 8y² + 36y – 40 ≥ 0
⇒ y² – 4 ≥ 0
y² – 4 = 0
⇒ y² = 4
⇒ y = ±2
y² – 4 ≥ 0
⇒ y ≤ -2 or y ≥ 2
⇒ y does not lie between -2, 2,
∵ y² Coeff is > 0 and exp is also ≥ 0
∴ Range of \(\frac{2 x^{2}-6 x+5}{x^{2}-3 x+2}\) is (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

Question 2.
Prove that \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) does not lie between 1 and 4, if x is real.
Solution:
Let y = \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y)(y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² + 16 – 32y – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
4y² – 20y + 16 = 0
⇒ y² – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 1)(y – 4) = 0
⇒ y = 1, 4
4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y ≤ 1 or y ≥ 4
⇒ y does not lie between 1 and 4
Since y² Coeff is the and exp ≥ 0.

Question 3.
If x is real, prove that \(\frac{x}{x^{2}-5 x+9}\) lies between 1 and \(\frac{-1}{11}\).
Solution:
Let y = \(\frac{x}{x^{2}-5 x+9}\)
⇒ yx² + (-5y – 1)x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (5y – 1)² – 4y(9y) ≥ 0
⇒ 25y² + 1 + 10y – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0 ……….(1)
-11y² + 10y + 1 = 0
⇒ -11y² + 11y – y + 1 = 0
⇒ 11y(-y + 1) + 1(-y + 1) = 0
⇒ (-y + 1) (11y + 1) = 0
⇒ y = 1, \(\frac{-1}{11}\)
-11y² + 10y + 1 ≥ 0
∴ y² Coeff is -ve, but the exp is ≥ 0 from (1)
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
⇒ y lies between 1 and \(\frac{-1}{11}\)

Question 4.
If the expression \(\frac{x-p}{x^{2}-3 x+2}\) takes all real value for x ∈ R, then find the bounts for p.
Solution:
Let y = \(\frac{x-p}{x^{2}-3 x+2}\), given y is real
Then yx² – 3yx + 2y = x – p
⇒ yx² + (-3y – 1)x + (2y + p) = 0
∵ x is real ⇒ (-3y – 1)² – 4y(2y + p) ≥ 0
⇒ 9y² + 6y + 1 – 8y² – 4py ≥ 0
⇒ y² + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
∵ y is real ⇒ y² + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
⇒ The roots are imaginary or real and equal
⇒ ∆ ≤ 0
⇒ (6 – 4p)² – 4 ≤ 0
⇒ 4(3 – 2p)² – 4 ≤ 0
⇒ (3 – 2p)² – 1 ≤ 0
⇒ 4p² – 12p + 8 ≤ 0
⇒ p² – 3p + 2 ≤ 0
⇒ (p – 1)(p – 2) ≤ 0
If p = 1 or p = 2 then \(\frac{x-p}{x^{2}-3 x+2}\) is not defined.
∴ 1 < p < 2

Question 5.
If c² ≠ ab and the roots of (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0 are equal, then show that a³ + b³ + c³ = 3abc or a = 0.
Solution:
Given equation is (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0
Discriminant = 4(a² – bc)² – 4(c² – ab) (b² – ac)
= 4[(a² – bc)² – (c² – ab) (b² – ac)]
= 4(a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc)
= 4(a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc)
= 4a(a³ + b³ + c³ – 3abc)
The roots are equal ⇒ discriminant = 0
4a(a³ + b³ + c³ – 3abc) = 0
a = 0 or a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
i.e., a = 0 or a³ + b³ + c³ = 3abc

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Economics Study Material 5th Lesson Theory of Value Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Economics Study Material 5th Lesson Theory of Value

Essay Questions

Question 1.
Explain the classification of Markets. [March 18, 17]
Answer:
Edwards defiried “Market , as a mechanism by which buyers and sellers are brought together”. Hence market means where selling and buying transactions take place. The classification of markets is’ based on three factors.

1. On the basis of area
2. On the basis of time
3. On the basis of competition.

I. On the basis of area : According to the area, markets can be of three types.

1. Local market : When a commodity is sold at particular locality. It is called a local market. Ex : Vegetables, flowers, fruits etc.
2. National market : When a commodity is demanded and supplied throughout the country is called national market. Ex : Wheat, rice etc.
3. International market: When a commodity is demanded and supplied all over the world is called international market. Ex : Gold, silver etc.-

II. On the basis of time : It can be further classified into three types.

1. Market period or very short period : In this period where producer cannot make any changes in supply of a commodity. Here supply remains constant. Ex : Perishable goods. .
2. Short period : In this period supply can be change to some extent by changing the variable factors of production.
3. Long period : In this period-supply can be adjusted in according change in demand. In long run all factors will become variable.

III. On the basis of competition : This can be classified into two types.

1. Perfect market: A perfect market is one in which the number of buyers and sellers is very large, all engaged in buying and selling a homogeneous products without any restrictions.
2. Imperfect market: In this market, competition is imperfect among the buyers and sellers. These markets are divided into
   1. Monopoly
   2. Duopoly
   3. Oligopoly
   4. Monopolistic competition.

Question 2.
Elucidate the features of perfect competition.
Answer:
Perfect competitive market is one in which the number of buyers and sellers is very large, all engaged in buying and selling a homogeneous products without any restrictions.
The following are the features of perfect competition :
1) Large number of buyers and sellers : Under perfect competition the number of buyers and sellers are large. The share of each seller and buyer in total supply or total demand is small. So no buyer and seller cannot influence the price. The price is determine only demand and supply. Thus the firm is price taker.

2) Homogeneous product: The commodities produced by all the firm of an industry are homogeneous or identical. The cross elasticity of products of sellers is infinite. As a result, single price will rule in the industry.

3) Free entry and exit: In this competition there is a freedom of free entry and exit. If existing firms are getting profits. New firms enter into the market. But when a firm getting losses, it would leave to the market.

4) Perfect mobility of factors of production : Under perfect competition the factors of production are freely mobile between the firms. This is useful for free entry and exits of firms.

5) Absence of transport cost: There are no transport cost. Due to this, price of the commodity will be the same throughout the market.

6) Perfect knowledge of the economy : All the buyers and sellers have full information regarding the prevailing and future prices and availability of the commodity. Information regarding market conditions is availability of commodity.

Question 3.
Describe Price determination in the imperfect competition.
Answer:
Monopoly is one of the market in the imperfect competition. The word Mono’ means single and Poly means seller. Thus monopoly means single seller market.
In the words of Bilas “Monopoly is represented by a market situation in which there is a single seller of a product for which there are no close substitutes, this single seller is unaffected by and does not affect, the prices and outputs of other products sold in the economy”. Monopoly exists under the following conditions.

1. There is a single seller of product.
2. There are no close substitutes.
3. Strong barriers to entry into the industry exist.

Features of monopoly :

1. There is no single seller in the market.
2. No close substitutes.
3. There is no difference between firm and industry.
4. The monopolist either fix the price or output.

Price determination : Under monopoly the monopolist has complete control over the supply of the product. He is price maker who can set the price to attain maximum profit. But he cannot do both things simultaneously. Either he can fix the price and leave the output to be determined by consumer demand at a particular price. Or he can fix the output to be produced and leave the price to be determined by the consumer demand for his product. This can be shown in the diagram.

In the above diagram on ‘OX’ axis measures output and OY axis measures cost. AR is Average Revenue curve, AC is Average Cost curve. In the above diagram at E point where MC = MR at that point the monopolist determine the output. Price is determine where this output line touches the AR line. In the above diagram for producing OQ quantity cost of production is OCBQ and revenue is OPAQ.
Profit = Revenue – Cost
= PACB shaded area is profit under monopoly.

Short Answer Questions

Question 1.
What are the main features of perfect competition ?
Answer:
Perfect competitive market is one in which the number of buyers and sellers is very large, all engaged in buying and selling a homogeneous products without any restrictions.
The following are the features of perfect competition :
1) Large number of buyers and sellers : Under perfect competition the number of buyers and sellers are large. The share of each seller and buyer in total supply or total demand is small. So no buyer and seller cannot influence the price. The price is determine only demand and supply. Thus the firm is price taker.

2) Homogeneous product: The commodities produced by all the firm of an industry are homogeneous or identical. The cross elasticity of products of sellers is infinite. As a result, single price will rule in the industry.

3) Free entry and exit: In this competition there is a freedom of free entry and exit. If existing firms are getting profits. New firms enter into the market. But when a firm getting losses, it would leave to the market.

4) Perfect mobility of factors of production : Under perfect competition the factors of production are freely mobile between the firms. This is useful for free entry and exits of firms.

5) Absence of transport cost: There are no transport cost. Due to this, price of the commodity will be the same throughout the market.

6) Perfect knowledge of the economy : All the buyers and sellers have full information regarding the prevailing and future prices and availability of the commodity. Information regarding market conditions is availability of commodity.

Question 2.
What is meant by price discrimination ? Explain various methods of price discrimination.
Answer:
Price discrimination refers to the practice of a monopolist charging different prices for different customers of. the same product.
In the words of Joan Robinson “The act of selling the same article, produced under single control at different prices to different buyers is known as price discrimination”. Price discrimination is of three types. 1. Personal 2. Local 3. Use or trade discrimination.

1. Personal discrimination : When a seller charges different prices from different persons.
   Ex : A book is sold ₹ 15/- to one person and other person at discount rate of ?
2. Local discrimination : When a seller charges different prices from people of different localities or places.
   Ex : Dumping.
3. Use discrimination : When different prices of commodity are charged according to the uses to which the commodity is put is known discrimination is according to use.
   Ex : Electricity is sold at a cheaper rate for uses of domestic purposes than for industrial purposes.

Question 3.
Define Oligopoly.
Answer:
The term ‘Oligopoly’ is derived from two Greek word “Oligoi” meaning a few and “Pollein” means to sell. Oligopoly refers to a market situation in which the number of sellers dealing in a homogeneous or differentiated product is small. It is called competition among the few. The main features of oligopoly are the following.

1. Few sellers of the product.
2. There is interdependence in the determination of price.
3. Presence of monopoly power.
4. There is existence of price rigidity.
5. There is excessive selling cost or advertisement cost.

Question 4.
Compare Perfect competition and Monopoly.
Answer:
Perfect competition

1. There is large number of sellers.
2. All products are homogeneous.
3. There is freedom of free entry and exists.
4. There is difference between industry and firm.
5. Industry determines the price and firm receives the price.
6. There is universal price.
7. The AR, MR curves are parallel to ‘X, axis.

Monopoly

1. There is only one seller.
2. No close substitutes.
3. There is no freedom of free entry and exists.
4. Industry and firm both are same.
5. Firm alone determine the price.
6. Price discrimination is possible.
7. The AR, MR curves are different and slopes downs from left to right.

Additional Questions

Question 5.
Define Monopolistic competition. Explain the important characteristics of Monopolistic competition.
Answer:
It is a market with many sellers for a product but the products are different in certain respects. It is mid way of monopoly and perfect competition. Prof. E.H. Chamberlin and Mrs. Joan Robinson pioneered this market analysis.
Characteristics of Monopolistic competition :

1. Relatively small number of firms : The number of firms in this market are less than that of perfect competition. No one should not control the output in the market as a result of high competition.
2. Product differentiation : One of the features of monopolistic competition is product
   differentiation. It take the form of brand names, trade marks etc. It cross elasticity of demand is very high.
3. Entry and exit: Entry into the industry is unrestricted. New firms are able to commence production of very close substitutes for the existing brands of the product.
4. Selling cost: Advertisement or sales promotion technique is the important feature of Monopolitic competition. Such costs are called selling costs.
5. More Elastic Demand : Under this competition the demand curve slopes downwards from left to the right. It is highly elastic.

Question 6.
Explain the price determination under perfect competition ?
Answer:
Perfect competition is a competition in which the number of buyers and sellers is very large. All enged in buying and selling a homogeneous without any restrictions.

Under this competition there are large no. of by buyers and sellers no buyer is.a seller can’t influence market price all products are homogeneous there is a freedom of free entry and exit. There is a perfect mobility of factors are production. There is no transport cost these are the main features are perfect competition.

Price determination:
Under perfect competition sellers and buyers can’t decide the price industry decides the price of the good in the supply and demand determined the price these can shown in the following table.

In this competition where demand supply both are equal at that point price and output determine the table changes in price always lead to a change in supply and demand as price increases there is a fall in the quantity demanded. The relation between price and demand is negative. The relation between price and supply is positive. It can be observe the table price 1 ₹ market demand 60 and supply is 20. When price increases 5 ₹ supply increases’ 60 and demand decreases 20. When the price is 3 ₹ the demand supply are equal that is 40 these price called equilibrium price. This process is explain with help of the diagram.

In the diagram ‘OX’ axis shown demand and supply OY’ axis represented price. DD demand curve, ‘SS’ is supply curve. In the diagram the demand curve and supply curve intersect at point E. Where the price is ‘OP’ and output is ‘OQ’.

Very Short Answer Questions

Question 1.
Market
Answer:
Market is place where commodities are brought and sold and where buyers and sellers meet. Communication facilities help us today to purchase and sell without sell without going to the market. All the activities take place is now called as market.

Question 2.
Local Market
Answer:
A product is said to have local market, when buyers and sellers of the product carry on the business in a particular locality. These goods are highly perishable cannot to take to distant places. They cannot even stored for a longer time.
Ex : Vegetables, milk, fruits etc.

Question 3.
National Market
Answer:
A National Market is said to exist when a commodity is demanded and supplies all over our country.
Ex : Rice, wheat, sugar etc. .

Question 4.
Monopoly
Answer:
Mono means single, Poly means seller. In this market single seller and there is no close substitutes. The monopolist is a price maker.

Question 5.
Monopolistic Competitions
Answer:
It is a market where several firms produce same commodity with small differences is called monopolistic competition. In this market producers to produce close substitute goods.
Ex : Soaps, cosmetics etc.

Question 6.
Oligopoly
Answer:
A market with a small number of producer is called oligopoly. The product may be homogeneous or may be differences. This market exists in automobiles, electricals etc.

Question 7.
Duopoly [march 16]
Answer:
When there are only two sellers of a product, there exist -duopoly. Each seller under duopoly must consider the other firms reactions to any changes that he make in price or output. They make decisions either independently or together.

Question 8.
Equilibrium Price
Answer:
Equilibrium price is that price where demand and supply are equal in the market.

Question 9.
Price discrimination [March 18, 17, 16]
Answer:
Monopolist will charge different prices for the same commodity or service in the market. This is known as discriminating monopoly or price discrimination.

Question 10.
Selling Costs [March 18, 17]
Answer:
An important feature of monopolistic market is every firm makes expenditure to sell more output. Advertisements through newspapers, journals, electronic media etc., these methods are used to attract more consumers by each firm.

Additional Question

Question 11.
Perfect competition
Answer:
In this market large number of buyers and sellers who promote competition. In this market goods are homogeneous. There is no transport fares and publicity costs. So price is uniform of any market.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson Physical World Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson Physical World

Very Short Answer Questions

Question 1.
What is Physics ?
Answer:
Physics is a branch of science which deals with the study of nature and natural phenomena.

Question 2.
What is the discovery of C.V.Raman ? [T.S. Mar. 17, 16; Mar. 14]
Answer:
In elastic scattering of light by molecules.

Question 3.
What are the fundamental forces in nature ?
Answer:

1. Gravitational force
2. Electromagnetic force
3. strong nuclear force
4. weak nuclear force

Question 4.
Which of the following has symmetry ?
(a) Acceleration due to gravity
(b) Law of gravitation.
Answer:
Law of gravitation. For example, the acceleration due to gravity at the moon is one-sixth that at the earth, but the law of gravitation is same both on the moon and the earth.

Question 5.
What is the contribution of S. Chandra Sekhar to physics ? [AP – Mar. ’17, ’16, ’15; TS – Mar. – ’15]
Answer:
While studying the constitution of the stars, he has proved that the maximum mass that a white dwarf can have is 1.4 times the solar mass. This mass is known as Chandrasekhar limit. If a star crosses this limit, it has to face a catostropic collapse.

Additional Exercises

Question 1.
Some of the most profound statements on the nature of science have come from Albert Einstein, one of the greatest scientists of all time. What do you think Einstein meant when he said : “The most incomprehensible thing about the world is that it is comprehensible” ?
Answer:
The physical world when seen by a layman, presents us with such a wide diversity of things. It seems incomprehensible, ie as if it can not be understood. On study and analysis, the scientists find that the physical phenomena from atomic to astronomical ranges can be understood interms of only a few basic concepts i.e., the physical world becomes comprehensible. This is what is meant by Einsteins statement mode above.

Question 2.
“Every great physical theory starts as a heresy and ends as a dogma”. Give some examples from the history of science of the validity of this incisive remark.
Answer:
The statement is true. For example, in ancient times, ptolemy postulated that earth is stationary and all heavy bodies like sum, stars, planets etc revolve around the earth, Later an Italian Scientist Galileo was postulated that sun is stationary and earth along with other planets is revolving around the sun. Galileo was punished by the authorities for spreading wrong concepts. How ever later on newton and kepler supported Galileo’s theory and now it is no more than a dogma.

Question 3.
“Politics is the art of the possible”. Similarly. “Science is the art of the soluble”. Explain this beautiful aphorism on the nature and practice of science.
Answer:
It is well known that to win over vots, politicians would make anything and everything possible even when they are least sure of the same. The statement that science is the art of the soluble implies that a wide variety of physical phenomena are understood in terons of only a few basic concepts ie there appears to be unity in diversity as if widely different phenomena are soluble and can be explained in terms of only a few fundamental laws.

Question 4.
Though India now has a large base in science and technology, which is fast expanding, it is still a long way from realising its potential of becoming a world leader in science. Name some important factors which in your view have hindered the advancement of science in India.
Answer:
In my view some important factors which have hindered the advancement of science in india are

1. Lack of education.
2. Poverty, which leads to lack of resources and lack of infrastructure.
3. Pressure of increasing population.
4. lack of scientific planning.
5. Lack of development of work culture and self discipline.

Question 5.
No physicist has ever “seen” an electron. Yet, all physicists believe in the existence of electrons. An intelligent but superstitious man advances this analogy to argue that ‘ghosts’ exist even though no one has ‘seen’ one. How will you refute his argument ?
Answer:
No physicist has every seen an electron. This is true. But there is so much of Evidence that establishes the existance of electrons, on the contrary, there is hardly any evidence, direct (or) indirect to establish the existance of ghosts’.

Question 6.
The shells of crabs found around a particular coastal location in Japan seem mostly to resemble that legendary face of Samurai. Given below are two explanations of this observed fact. Which of these strikes you as a scientific explanation ?
(a) A tragic sea accident several centuries ago drowned a young Samurai. As a tribute to his bravery, nature through its inscrutable ways immortalised his face by imprinting it on the crab shells in that area.
(b) After the sea tragedy, fishermen in that area, in a gesture of honour to their dead hero, let free any crab shell caught by them which accidentally had a shape resembling the face of a Samurai. Consequently, the particular shape of the crab shell survived longer and therefore in course of time the shape was genetically propagated. This is an example of evolution by artificial selection.
[Note : This interesting illustration taken from Carl Sagan’s The Cosmos’ highlights the fact that often strange and inexplicable facts which on the first sight appear ‘supernatural’ actually turn out to have simple scientific explanations. Try to think out other examples of this kind).
Answer:
Explanation (b) is a scientific explanation of the observed fact.

Question 7.
The industrial revolution in England and Western Europe more than two centuries ago was triggered by some key scientific and technological advances. What were these advances ?
Answer:
Industrial revolution in England and western Europe in 1750 A.D. was triggered by some key scientific and technological advances. Development of steam engine, blast furnace and cotton gin and power loom are some of the examples.

Question 8.
It is often said that the world is witnessing now a second industrial revolution, which will transform the society as radically as did the first. List some key contemporary areas of science and technology,which are responsible fo this revolution.
Answer:
Some of the key contemparary areas of science and technology which may transform the society radically are

1. Development of superconducting materials at room temperature –
2. Development of superfast computers
3. Information explosion and advances in information technology
4. Developments in biotechnology
5. Developments of robots.

Question 9.
Write in about 1000 words is fiction piece on the science and technology of the twenty second century.
Answer:
Imagine a space ship heading towards a star about 100.light years away. It is propelled by electric current generated by electromagnetic induction, as the space ship crosses the magnetic fields in space the current is given to an electric motor made of super conducting wires. Thus no energy would be required to propagate the space ship over it extire journey.

In a particular region of the space, suppose the temperature becomes so high that the super conducting property of the wires of the motor is destroyed. This causes a panic in the space ship because no power is generated by the motor.

In a split second, another space ship filled with matter and antimatter stored in different compartments to produce energy for the first ship comes to its rescue. And the first ship continues its onward Journey.

Question 10.
Attempt to formulate your ‘moral’ views on the practice of science. Imagine yourself stumbling upon a discovery, which has great academic interest but is certain to have nothing but dangerous consequences for the human society. How, it at all, will you resolve your dilemma ?
Answer:
Science is search for truth. If a discovery is of great academic interest, but is sure to have dangerous consequences for the human society, it must be made public. To reveal the truth and the means to prevent its misuse, both are the responsibilities of the scientist. For example, discovery of nuclear fission led to generation of electric power, and also to the development of an atom bomb, a weapon of mass destruction . The humanity at large has to be educated to use nuclear energy for peaceful purposes.

Question 11.
Science, like any knowledge, can be put to good or bad use, depending on the user. Given below are some of the applications of science. Formulate your views on whether the particular application is good, bad or something that cannot be so clearly categorised:
a) Mass vaccination against small pox to curb and finally eradicate this disease from the population. (This has already been successfully done in India).
b) Television for eradication of illiteracy and for mass communication of news and ideas.
c) Prenatal sex determination
d) Computers for increase in work efficiency
e) Putting artificial satellites into orbits around the Earth
f) Development of nuclear weapons
g) Development of new and powerful techniques of chemical and biological warfare).
h) Purification of water for drinking
i) Plastic surgery
j) Cloning
Answer:
a) Mass Vaccination is good
b) Television for eradication of illeteracy and for mass communication of news and ideas is really good.
c) Prenatal sex determination is not bad, but people are misusing it. they must be educated to avoid its misuse in creating inbalance between the male arid female population.
d) computers for increase in work efficiency are good.
e) Putting artificial satellites in to orbits around the earth is a good development.
f) Development of nuclear weapons is bad as they are the weapons of mass destruction.
g) Development of new and powerful techniques of chemical and biological warfare is real bad as these weapons are destruction of mankind.
h) purification of water for drinking is good.
i) Plastic surgery is good.
j) Cloning is also good.

Question 12.
India has had a long and unbroken tradition of great scholarship – in mathematics, astronomy, linguistics, logic and ethics. Yet, in parallel with this, several superstitious and obscurantistic attitudes and practices flourished in our society and unfortunately continue even today – among many educated people too. How will you use your knowledge of science to develop strategies to counter these attitudes ?
Answer:
Educating the common man is the only way to get rid of superstitious and obscurantistic attitudes. The mass media like news papers, magazines, radio, T.V. etc can play vital role school and colleges curricula can be suitably developed and teachers can take this responsibility.

Question 13.
Though the law gives women equal status in India, many people hold unscientific views on a woman’s innate nature, capacity and intelligence, and in practice give them a secondary status and role. Demolish this view using scientific arguments, and by quoting examples of great women in science and other spheres; and persuade yourself and others that, given equal opportunity, women are on par with men.
Answer:
Given equal opportunity, women are at par with men. Development of human mind depends basically on nutrition content of prenatal and postnatal diet, and also on the care and use of the mind. There is no gender bias involved. Anything which can be achieved by man’s mind can also be achieved by women’s mind. Madam curie won Nobel Prize in physics. Mother teresa proved herself a saint. In politics Mrs. Indira Gandhi, Mr. Margarettheatcher, Mr’s. Bhandarnaike excelled others.

Question 14.
“It is more important to have beauty in the equations of physics than to have them agree with experiments”. The great British physicist. P. A. M. Dirac held this view. Criticize this statement. Look out for some equations and results in this book which strike you as beautiful.
Answer:
The statement of great British physicist P.A.M. Dirac is partially true. For example f = ma; E = mc² are some of simple and beautiful equations of physics which have universal application.

However, there is not the case always. The equations involved in general theory of relativity, some of the least works of higher physics are neither simple nor beautiful, they are rather difficult to understand.

Question 15.
Thought the statement quoted above may be disputed, most physicists do have a feeling that the great laws of physics are at once simple and beautiful. Some of the notable physicists, besides Dirac, who have articulated this feeling, are : Einstein, Bohr. Heisenberg, Chandrasekhar and Feynman: You are urged to make special efforts to get access to the general books and writings by these and other great masters of physics. (See th§ Bibliography at the end of this book.) Their writings are truly inspiring !
Answer:
General books on physics make an interesting reading, students are advised to consult a good library. Surely you are Joking Mr. Feynman by Feynman is one of the books that would amuse the students. Some other interesting books are : physics for the inquiring mind by E.M, Rogers; physics. Foundations and frontiers by G. Gamow; thirty years that shook physics by G. Gamow; physics can be fun by perelman.

Question 16.
Textbooks on science may give you a wrong impression that studying science is dry and all too serious and that scientists are absent-minded introverts who never laugh or grin. This image of science and scientists is patently false. Scientists, like any other group of humans, have their share of humorists, and many have led their lives with a great sense of fun and adventure, even as they seriously pursued their scientific work. Two great physicists of this genre are Gamow and Feynman. You will enjoy reading their books listed in the Bibliography.
Answer:
True, scientists like any other group of humans have their share of humorists ; lively, jovial, fun loving, adventurist people, some of them are absent minded introvert too. Students are advised to go through books by two great physicists, Feynman and Gamow to realise this view.