AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 3rd Lesson రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material 3rd Lesson రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
అష్టక నియమం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
అష్టక నియమము :
“ఒక పరమాణువుకు స్థిరత్వం ఉండాలంటే దాని బాహ్యతమ శక్తిస్థాయిలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లు ఉండాలి అనే సూత్రాన్ని అష్టక నియమం అంటారు.”
ఉదా : సున్నా గ్రూపు మూలకాలకు బాహ్య కక్ష్యలలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. (స్థిరమైన ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలు). అందువలన ఈ మూలకాలు చాలా స్థిరమైనవి.

ప్రశ్న 2.
S, S2- లకు లూయీ ఎలక్ట్రాన్ చుక్కల సంకేతాలు రాయండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 1

ప్రశ్న 3.
SO3 కి వీలయినన్ని రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలు రాయండి.
జవాబు:
SO3 రెజోనెన్స్ నిర్మాణలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 2

ప్రశ్న 4.
AlCl3 + Cl → AlCl చర్యలో Al పరమాణువు సంకరకరణంలో మార్పు ఏమైనా ఉంటే ఊహించి రాయండి.
జవాబు:
AlC3 + Cl → AlCl4
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 3
ఎ) AlCl3 నిర్మాణము :
ఉద్రిక్త స్థితిలో ‘A’ విన్యాసము: కేంద్ర పరమాణువైన ‘A’, ‘sp²’ సంకరీకరణానికి లోనవుతుంది. ఏర్పడిన మూడు sp సంకర ఆర్బిటాళ్లు మూడు క్లోరిన్ పరమాణువుల మూడు ‘p’ ఆర్బిటాళ్లతో అతిపాతం జరిపి మూడు σsp²-s బంధాలనేర్పరచును.

‘A’ పరమాణువులో సంకరీకరణంలో పాల్గొనని ఒక శుద్ధ ఖాళీ ‘p’ ఆర్బిటాల్ ఉండును.

బి) Cl అయాన్ ప్రభావము :
Cl అయాన్ సమక్షంలో, ‘Al’ పైగల ఖాళీ ‘p’ ఆర్బిటాల్ కూడా సంకరీకరణానికి లోనై, అల్యూమినియం యొక్క సంకరీకరణం sp² నుంచి sp³ కి మారుతుంది. కొత్తగా ఏర్పడిన ఖాళీ sp³ సంకర ఆర్బిటాల్ డేటివ్ బంధం ద్వారా Cl తో బంధమేర్పరచుకుంటుంది.

సి) AlCl4 నిర్మాణము :
ఈ అణువులో అల్యూమినియంకు మరియు నాలుగు క్లోరిన్ పరమాణువులకు మధ్య గల బంధాలలో, మూడు బంధాలు సమయోజనీయ బంధాలు మరియు నాల్గవది డేటివ్ బంధము. కేంద్రక ‘Al’ పరమాణువు sp³ సంకరీకరణంలో ఉంటుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 4

ప్రశ్న 5.
Ca2+, Zn2+ లలో ఏది స్థిరమైనది? ఎందువల్ల?
జవాబు:
అయాన్ల స్థిరత్వాన్ని వాటి ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ఆధారంగా వివరించవచ్చును.
Ca (20) = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p6 4s²
Ca+2 = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p6
Zn (30) = 1s² 2s²2 2p6 3s² 3p6 4s² 3d10
Zn+2 = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p6 3d10

Ca+2 అయాన్కు జడవాయువు అయిన Ar ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసము కలదు. దీని బాహ్యకక్ష్యలో అష్టక ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం (ns² np6) ఉండుట వలన దీనికి స్థిరత్వము అధికము.

Zn+2 అయాన్లో బాహ్యకక్ష్యలోని. ఆర్బిటాళ్ళన్నియూ పూర్తిగా ఎలక్ట్రాన్లతో నిండివుండుట వలన దీనికి స్థిరత్వం ఉంటుంది (మిథ్యా జడవాయు విన్యాసము). కానీ బాహ్యకక్ష్యలో అష్టక ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం లేకపోవుటవలన దీని స్థిరత్వం Ca+2 కంటే తక్కువ.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 6.
Cl అయాను Cl పరమాణువు కంటే స్థిరమైనది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
Cl = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p5
Cl ̄ = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p6
క్లోరిన్ పరమాణువు యొక్క బాహ్యకక్ష్యలో 7 ఎలక్ట్రానులు మాత్రమే కలవు. కానీ క్లోరైడ్ అయాన్ బాహ్యకక్ష్యలో అష్టక ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం (3s² 3p6) కలదు. క్లోరైడ్’ అయాన్కు జడవాయువైన ఆర్గాన్ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసము కలదు. కనుక క్లోరైడ్ అయాన్, క్లోరిన్ పరమాణువు కన్నా స్థిరమైనది.

ప్రశ్న 7.
ఆర్గానన్ను Ar2 గా ఎందుకు రాయకూడదు?
జవాబు:
ఆర్గాన్ నందు కేవలం ఎలక్ట్రాన్ జంటలు మాత్రమే కలవు. దానిలో ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్లు లేవు. అందువలన అది వేరొక ఆర్గాన్ పరమాణువుతో బంధములను ఏర్పరచుకొనలేదు.

ప్రశ్న 8.
హైడ్రోజన్ సల్ఫైడ్ కంటే నీటి బాష్పీభవనస్థానం ఎక్కువ. ఎందువల్ల?
జవాబు:
నీటినందు అంతర అణుక హైడ్రోజన్ బంధం ఉంటుంది. అందువలన నీటికి బాష్పీభవన స్థానం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 9.
నీటి బాష్పీభవన స్థానం హైడ్రోజన్ ఫ్లోరైడ్ బాష్పీభవన స్థానం కంటే ఎక్కువ. ఎందువల్ల?
జవాబు:
HF లో ప్రతి ఫ్లోరిన్ పరమాణువు ఒక హైడ్రోజన్ బంధాన్ని మాత్రమే ఏర్పరచగలదు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 5

H2O లో ప్రతి ఆక్సిజన్ పరమాణువు రెండు హైడ్రోజన్ బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది.

HF లో కన్నా H2O లో హైడ్రోజన్ బంధాల సంఖ్య అధికంగా ఉండుట వలన H2O యొక్క బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రత HF కంటే అధికంగా వుంటుంది.

H2O బాష్పీభవనం చెందించటానికి కావలసిన శక్తి, HF ను బాష్పీభవనం చెందించటానికి కావలసిన శక్తి కంటే ఎక్కువ. అందువలన H2O బాష్పీభవన స్థానం ఎక్కువ.

ప్రశ్న 10.
ఒక పరమాణువు చుట్టూ నాలుగు బంధజంటల ఎలక్ట్రాన్లుంటే వాటి మధ్య కనిష్ట వికర్షణలు ఉండేటట్లు ఎట్లా అమర్చాలి?
జవాబు:
ఒక పరమాణువు చుట్టూ నాలుగు బంధ జంటల ఎలక్ట్రాన్లుంటే వాటి మధ్య కనిష్ట వికర్షణలు ఉండేటట్లు అమర్చాలంటే టెట్రాహెడ్రల్ ఆకృతిలో అమర్చాలి. (బంధకోణం 109°.28′)

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 11.
A, B లు రెండు వేర్వేరు పరమాణువులయితే అవి AB అణువునిస్తే ఆ అణువులో సమయోజనీయ బంధం ఎప్పుడు ఉంటుంది?
జవాబు:
A, B ల ఋణ విద్యుదాత్మక విలువల మధ్య భేదం 1.7 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నపుడు సంయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 12.
స్థానీకృత ఆర్బిటాళ్ళు అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడునపుడు అతిపాతం జరిగిన ఆర్బిటాళ్ళను స్థానీకృత ఆర్బిటాళ్ళు అంటారు.

ప్రశ్న 13.
(a) C2H2, (b) C2H4 ఈ రెండు అణువుల్లో వరసగా దేనిలో ఎన్ని సిగ్మా పై బంధాలున్నాయో తెలపండి.
జవాబు:
a) CH ≡ CH (C2H2) లో 3 సిగ్మా, 2 పై బంధాలుంటాయి.
b) CH2 = CH2 (C2H2) లో 5 సిగ్మా, ఒక పై బంధాలు కలవు.

ప్రశ్న 14.
BF3 + NH3 → F3 BNH3 ఈ చర్యలో బోరాన్, నైట్రోజన్ పరమాణువుల సంకరకరణంలో మార్పు ఉంటుందా? ఉంటే ఏమిటి?
జవాబు:
BF3 లో B పరమాణువు sp² సంకరీకరణానికి లోనవుతుంది మరియు దానిపై ఖాళీ సంకరీకరణం చెందని శుద్ధ ‘p’ ఆర్బిటాల్ ఉంటుంది. NH3 సమక్షంలో ఈ ‘p’ ఆర్బిటాల్ కూడా సంకరీకరణంలో పాల్గొనడం వలన, ‘B’ సంకరీకరణం sp² నుంచి sp³ కి మారుతుంది. ఈ ఖాళీ సంకర ఆర్బిటాల్ డేటివ్ బంధం ద్వారా NH3 తో బంధమేర్పరచుకొంటుంది. ఈ మొత్తం విధానంలో NH3 లో N పరమాణువు యొక్క సంకరీకరణంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 6

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
రసాయన బంధాన్ని కొస్సెల్, లూయీలు ఎట్లా వివరించారు?
జవాబు:
కొస్సెల్, లూయి సిద్ధాంతం: దీనినే రసాయన బంధ సిద్ధాంతం అంటారు. ఈ సిద్ధాంతంలో లూయీ సంయోజనీయ బంధాన్ని, కొస్సెల్ అయానిక బంధం గురించి వివరించడం జరిగింది.

ప్రతిపాదనలు :
జడవాయువులకు రసాయన జఢత్వం అష్టక విన్యాసం వలన వచ్చినది.

అష్టక నియమం :
పరమాణువులు స్థిరత్వం కోసం బాహ్యశక్తి స్థాయిలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లు కలిగి ఉంటుంది.

  • ‘He’ వేలన్సీ’ కర్పరంలో రెండు ఎలక్ట్రాన్లు కలిగినప్పటికి రసాయనికంగా స్థిరత్వాన్ని కలిగి ఉండును.
  • సున్నా గ్రూపు కాకుండా మిగతా మూలకాలు రసాయన చర్యాశీలతకు కారణం బాహ్యకక్ష్యలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లు కలిగి ఉండకపోవడమే.
  • ప్రతి పరమాణువు అష్టక విన్యాసాన్ని ఎలక్ట్రాన్లను కోల్పోయి, పంచుకొని లేదా సంగ్రహించి స్థిరత్వాన్ని పొందుతాయి.
  • లూయీ ప్రకారం వేలన్సీ ఎలక్ట్రాన్లు చుక్కలుగా సూచిస్తారు. వీటినే లూయీ సంకేతాలు అంటారు. ఇవి మూలకం యొక్క గ్రూపు వేలన్సీని గుర్తించుటకు ఉపయోగిస్తారు.
    AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 7

ప్రశ్న 2.
అయానిక సంయోగపదార్థాల సాధారణ ధర్మాలు రాయండి.
జవాబు:
ఆయానిక సమ్మేళనాల ధర్మాలు :
1) భౌతిక స్థితి :
అయాన్ల సున్నిత కూర్పు వలన అయానిక పదార్థాలు స్ఫటికాకృతి గల ఘనాలు.

2) ద్రవీభవన మరియు బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలు :
అయానిక స్పటికాలలో వ్యతిరేక విద్యుదావేశ అయాన్ల మధ్య అత్యంత స్థిరవిద్యుత్ ఆకర్షణ బలాలు ఉంటాయి. కనుక అయానిక పదార్థాలలో ఈ ఆకర్షణ బంధాలను తెంచడానికి అధిక శక్తి అవసరం. అందువలన అవి అత్యధిక ద్రవీభవన మరియు బాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలను కలిగి ఉంటాయి.

3) ద్రావణీయత :
అయానిక పదార్థాలు నీరు లేక ద్రవ అమ్మోనియా వంటి ధృవ ద్రావణిలలో కరుగుతాయి. కానీ, బెంజీన్, కార్బన్ టెట్రాక్లోరైడ్ వంటి అధృవ ద్రావణాలలో కరగవు.

4) చర్యాశీలత :
జలద్రావణాలలో అయానిక పదార్థాల రసాయన చర్యలు అత్యంత వేగంగా జరుగుతాయి.
ఉదా : AgNO3 ద్రావణానికి NaCl ద్రావణమును కలిపిన AgCl అను తెల్లని అవక్షేపం ఏర్పడును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 8

5) అణు సాదృశ్యము :
అయానిక బంధం దిశారహితము కావున అవి ఎటువంటి అణు సాదృశ్యాన్ని ప్రదర్శించవు.

6) విద్యుత్ వాహకత :
అయానిక పదార్థాలు గలన స్థితిలోను, ద్రావణస్థితిలోను విద్యుత్ వాహకత్వమును కలిగి ఉంటాయి.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 3.
ఫాజన్స్ నియమాలు రాసి, సరియైన ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. [A.P. Mar. ’15]
జవాబు:
రెండు పరమాణువుల మధ్య ఏర్పడే బంధం స్వభావాన్ని తెలుసుకోవడానికి ఫాజన్ నియమాలు ఉపయోగపడతాయి.

ఫాజన్ నియమాలు :
1. కాటయాన్ పరిమాణం పెరిగే కొద్దీ బంధం అయానిక స్వభావం పెరుగుతుంది.
ఉదా : క్షార లోహాల అయాన్లలో అయానిక బంధస్వభావం క్రింది క్రమంలో ఉంటుంది.
Li+ < Na+ < K+ < Rb < Cs+

2. ఆనయాన్ పరిమాణం తగ్గిన కొద్దీ అధిక అయానిక స్వభావం గల బంధం ఏర్పడే అవకాశం పెరుగుతుంది.
ఉదా : కాల్షియమ్ హాలైడ్ (CaX2) లలో అయొడైడ్ కంటే ఫ్లోరైడ్కు ఎక్కువ అయానిక స్వభావం ఉంటుంది. అయొడైడ్కి ఎక్కువ కోవలెంట్ స్వభావం ఉంటుంది.

3. కాటయాన్ లేదా ఆనయాన్ లేదా రెండింటికి తక్కువ ఆవేశాలుంటే అయానిక బంధ నిర్మాణానికి అనుకూలంగా ఉంటాయి.
ఉదా : AlCl3 అయానిక స్వభావం కంటే Na+Cl అయానిక స్వభావం ఎక్కువ. కాటయాన్ Al+3 కి Na+ అయాన్ కంటే ఆవేశం ఎక్కువ. రెండు సమ్మేళనాల్లోనూ ఆనయాన్ ఒకటే. ఫాజన్ నియమం ప్రకారం AlCl3 సమ్మేళనంకు ఎక్కువ కోవలెంట్ స్వభావం ఉంది.

4. జడవాయు విన్యాసం గల కాటయాన్లు అయానిక సమ్మేళనాలనిస్తాయి. మిథ్యా జడవాయు విన్యాసాలు గల కాటయాన్లు కోవలెంట్ బంధ నిర్మాణానికి అనుకూలంగా ఉంటాయి.
ఉదా : Na+Cl లో Na+ జడవాయు విన్యాసం ఉంది. కాబట్టి Na+Cl అయానిక పదార్థం. కాని CuCl ఎక్కువ సమయోజనీయ పదార్థం. ఎందుకంటే Cu+ జడవాయు విన్యాసాన్ని ఆపాదించుకోలేదు. దానికి బదులుగా మిథ్యా జడవాయు విన్యాసాన్ని పొందుతుంది.

ప్రశ్న 4.
అష్టక నియమం అంటే ఏమిటి? దీనిని సంక్షిప్తంగా వివరించి దాని లోపాలు తెలపండి.
జవాబు:
అష్టక నియమము :
“ఒక పరమాణువుకు స్థిరత్వం ఉండాలంటే దాని బాహ్యతమ శక్తిస్థాయిలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లు ఉండాలి అనే సూత్రాన్ని అష్టక నియమం అంటారు”.
ఉదా : సున్నా గ్రూపు మూలకాలకు బాహ్య కక్ష్యలలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. (స్థిరమైన ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలు). అందువలన ఈ మూలకాలు చాలా స్థిరమైనవి.

సార్థకత :

  1. సున్నా గ్రూపు మూలకాలు కాకుండా ఇతర గ్రూపు మూలకాలు రసాయన చర్యాశీలత కలవిగా ఉండటానికి వాటి బాహ్యకక్ష్యలో ఎనిమిది కంటే తక్కువ ఎలక్ట్రాన్లుండటమే కారణము.
  2. ప్రతి పరమాణువు దాని బాహ్యకక్ష్యలో ఎనిమిది ఎలక్ట్రాన్లను పొందడానికి ప్రయత్నిస్తుంది. ఆవర్తన పట్టికలో సున్నా గ్రూపు మూలకపు విన్యాసాన్ని పొందడానికి చూస్తాయి.
  3. మూలకాలకు సున్నా గ్రూపు మూలకాల స్థిరవిన్యాసాలు (అష్టక నియమం) ఎలక్ట్రాన్ బదిలీ (లేదా) ఎలక్ట్రాన్ జంటలను పంచుకుని రెండు పరమాణువుల మధ్య బంధమేర్పడటం ద్వారా వస్తాయి.

లోపాలు :

  • ఈ సిద్ధాంతం అణువుల ఆకృతులను వివరించలేదు.
  • ఈ సిద్ధాంతం జడవాయు అణువులు XeF2, XeF4 మొదలైన వాటిని వివరించలేదు.
  • మధ్యస్థ పరమాణువులు అసంపూర్ణ అష్టకం కలిగి ఉన్న వాటికి, ఈ సిద్ధాంతం అనువర్తింపబడదు.

ప్రశ్న 5.
NO2, NO3 ల రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలు రాయండి.
జవాబు:
NO2 రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 9

NO3 రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 10

ప్రశ్న 6.
కింది పరమాణు జంటల్లో అవి కాటియాన్లు, ఏనయాన్లు ఏర్పరచేటప్పుడు జరిపే ఎలక్ట్రాన్ల మార్పులను లూయీ ఎలక్ట్రాన్ చుక్కల పద్ధతిలో ఇవ్వండి.
(a) K, S (b) Ca, O (c) Al, N.
జవాబు:
(a) K మరియు ‘S’ ల మధ్య :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 11
(b) Ca మరియు ‘O’ ల మధ్య :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 12
(c) AV మరియు ‘N’ ల మధ్య :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 13

ప్రశ్న 7.
H2O అణువుకు ద్విధ్రువ భ్రామకం ఉన్నది కాని CO2 కు లేదు. ఎందువల్ల?
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 14

  • H2O అణువు ధృవ మరియు అసౌష్టవ అణువు
  • H2O ఆకృతి కోణీయ (లేదా) V – ఆకృతి
  • CO2 అణువు అధృవ మరియు రేఖీయ అణువు
  • కావున H2O కు ద్విధృవ భ్రామకం µ = 1.835D మరియు CO2కు ద్విధృవ భ్రామకం µ = 0.

ప్రశ్న 8.
ద్విధ్రువ భ్రామకాన్ని నిర్వచించండి. దీని అనువర్తనాలేమిటి?
జవాబు:
ద్విధృవ భ్రామకం :
ఒక ద్విపరమాణుక ధృవ అణువు ద్విధృవ భ్రామకం ఆ అణువులోని పరమాణువుల్లో ఒక దాని మీద విద్యుదావేశ పరిమాణం, ధన, ఋణ, విద్యుదావేశాల కేంద్రాల మధ్య దూరంల లబ్ధంగా నిర్వచించవచ్చు.
దీనిని µ తో సూచిస్తారు
ద్విధృవ భ్రామకం µ = విద్యుదావేశం (Q) × విద్యుదావేశాల మధ్య దూరం (r)

దీనిని ‘Debye’ లలో కొలుస్తారు. 1 Debye = 3.34 × 10-30 సెం.మీటర్.

అనువర్తనాలు :

  • అణువులలో అయానిక స్వభావం యొక్క శాతాన్ని కనుగొనుటకు ఉపయోగిస్తారు.
  • అణువుల ఆకృతులు కనుగొనుటకు ఉపయోగిస్తారు.
  • అణువుల సౌష్టవ అసౌష్టవతలు గురించి తెలుసుకొనుటకు ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 9.
Be – F బంధాలకు ధ్రువత్వమున్నా BeF2 అణువుకు ద్విధ్రువ భ్రామకం సున్నా. వివరించండి.
జవాబు:
BeF2 లోని Be – F బంధాల ధృవణతను కలిగి ఉన్నా BeF2 యొక్క ద్విధృవ భ్రామకం సున్నా. దీనికి కారణం BeF2 యొక్క అణువు రేఖీయ అణువు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 15

ఇచ్చట రెండు Be – F బంధాల ద్విధృవ భ్రామకాల మొత్తం సున్నా. ∴ µ = 0.

ప్రశ్న 10.
CH4 అణువు నిర్మాణాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
CH4 అణువు ఏర్పాటులో కార్బన్ sp³ సంకరీకరణం చెంది నాలుగు సగం నిండిన sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది టెట్రాహెడ్రల్ సౌష్ఠవములో విస్తరిస్తాయి. ఇవి నాలుగు హైడ్రోజన్ పరమాణువుల ‘1H s’ ఆర్బిటాళ్ళతో అతిపాతం చెంది మీథేన్ అణువును ఏర్పరుస్తాయి. ఆకృతి చతుర్ముఖీయం. బంధకోణం 109°28′.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 16

ప్రశ్న 11.
ధ్రువ సమయోజనీయ బంధంను సరియైన ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
రెండు విభిన్న పరమాణువుల మధ్య ఎలక్ట్రాన్లు పంచుకొనుట వలన ఏర్పడిన సంయోజనీయ బంధాన్ని ధృవ సంయోజనీయ బంధం అంటారు.
ఉదా : HF, HCl, H2O, CO2 etc.,

HCl అణువు ఏర్పడుట :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 17
H మరియు C పరమాణువులు విభిన్న ఋణ విద్యుదాత్మక విలువలు కలిగి ఉంటాయి.

H మరియు CI పరమాణువుల ఎలక్ట్రాన్లను పంచుకొని ధృవ సంయోజనీయ బంధాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 12.
BCl3 అణువులోని బంధకోణం, అణువు నిర్మాణాలను వేలన్స్ బంధ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి వివరించండి.
జవాబు:
sp²- సంకరీకరణం :
ఈ సంకరీకరణంలో ఒక s- ఆర్బిటాల్ మరియు రెండు p- ఆర్బిటాళ్ళు కలిసిపోయి మూడు సర్వసమానాలైన sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఇస్తాయి. ఈ మూడు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళు ఒక సమతల త్రిభుజం యొక్క మూడు మూలల వైపుకు విస్తరించి ఉంటాయి. ఏ రెండు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళ మధ్య కోణమైన 120° ఉంటుంది. ప్రతి సంకర sp² ఆర్బిటాల్లోనూ s- లక్షణం 1/3 (33%), p- లక్షణం 2/3 (67%) ఉంటాయి. దీనిని ట్రైగోనల్ సంకరీకరణం అని కూడా అంటారు.
ఉదా : బోరాన్ ట్రై క్లోరైడ్ అణువు ఏర్పడుట :
బోరాన్ ట్రై క్లోరైడ్ అణువు ఏర్పడేటపుడు దానిలోని కేంద్రక బోరాన్ పరమాణువు sp² సంకరీకరణం పొందుతుంది. అట్లేర్పడ్డ మూడు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళు, మూడు క్లోరిన్ పరమాణువుల 3pz ఆర్బిటాళ్ళతో అభిముఖంగా అతిపాతం చెంది, మూడు సిగ్మా బంధాలను ఇస్తాయి.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 13.
σ, π బంధాలంటే ఏమిటి? వాటి మధ్య భేదాలను తెలుపండి.
జవాబు:
‘σ’ బంధం :
“రెండు పరమాణువుల మధ్య అంతర కేంద్రక అక్షంపై ఎలక్ట్రాన్ మేఘాల సాంద్రత ఎక్కువయి, స్థూపాకార సౌష్టవంతో ఏర్పడే కోవలెంట్ బంధాన్ని ‘σ’ (సిగ్మా) బంధం అంటారు”.

‘π’ బంధం :
“అప్పటికే – బంధం ద్వారా బంధితమైన రెండు పరమాణువుల p- ఆర్బిటాల్ల పార్శ్వీయ అతిపాతం ద్వారా పరమాణువుల అంతర కేంద్రిత అక్షానికి పైన, క్రింద ఎలక్ట్రాన్ మేఘాల అమరిక ఉన్న రీతిలో ఏర్పరచిన బంధాన్ని’π (పై)’ బంధం అంటారు.

σ, π బంధాల మధ్య భేదాలు :

σ – బంధంπ – బంధం
1. ఈ బంధం శుద్ధ (లేక) సంకర ఆర్బిటాళ్ల రేఖీయ అతిపాతం వలన ఏర్పడుతుంది.1. ఈ బంధం శుద్ధ ఆర్బిటాళ్ల పార్శ్వపు అతిపాతం వల్ల ఏర్పడుతుంది.
2. ‘σ’ బంధం బలమైనది. కారణం దీని అతిపాత తీవ్రత ఎక్కువ.2. ‘π’ బంధం బలహీనమైనది. కారణం దీని అతిపాత తీవ్రత తక్కువ.
3. ‘σ’ బంధంలో ఎలక్ట్రాన్ మేఘవిస్తరణ అంతః కేంద్రాక్షంపై కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది.3. ‘π’ బంధంలో ఎలక్ట్రాన్ మేఘవిస్తరణ అంతః కేంద్రాక్షానికి లంబంగా విస్తరించబడి ఉంటుంది.
4. ‘σ’ బంధం అణువు యొక్క ఆకృతిని నిర్ణయిస్తుంది.4. ‘π’ బంధం అణు ఆకృతిని నిర్ణయించలేదు.
5. స్వతంత్ర ప్రతిపత్తి కలదు.5. స్వతంత్ర ప్రతిపత్తి కలదు. ‘రో’ బంధం ఏర్పడిన తరువాత మాత్రమే ఏర్పడుతుంది.
6. పరమాణువులు స్వేచ్ఛా భ్రమణాన్ని అనుమతిస్తుంది.6. పరమాణువులు స్వేచ్ఛా భ్రమణాన్ని ఆపుతుంది.
7. శుద్ధ మరియు సంకర ఆర్బిటాళ్లు రెండూ ఈ బంధాన్ని ఏర్పరచును.7. ఈ బంధాన్ని కేవలం శుద్ధ ఆర్బిటాళ్ళు మాత్రమే ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 14.
NH3 అణువులో నైట్రోజన్ పరమాణువు sp³ సంకరకరణ స్థితిలో ఉన్నా HNH బంధకోణం 109°28′ కాకుండా వేరేగా ఉంది. వివరించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 18
అమ్మోనియా అణువులో కేంద్రక పరమాణువు నైట్రోజన్, దాని బాహ్యస్థాయిలో మూడు బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు మరియు ఒక ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ బంధక ఎలక్ట్రాన్ జంటల మధ్య వికర్షణ బంధక బంధక ఎలక్ట్రాన్ జంటల మధ్య వికర్షణ కన్నా అధికంగా ఉండుట వలన బంధక ఎలక్ట్రాన్ జంటలు దగ్గరకు నెట్టబడతాయి. కనుక బంధకోణం 107°18′ కు తగ్గుతుంది. ఈ అణువు ఆకృతి పిరమిడ్.

ప్రశ్న 15.
(a) C2H4 (b) C2H2 లలో వరసగా కార్బన్ పరమాణువుల మధ్య ద్విబంధం, త్రికబంధం ఎలా ఏర్పడతాయో వివరించండి.
జవాబు:
C2H4 అణువులో కార్బన్ పరమాణువుల మధ్య ద్విబంధం ఏర్పడుట :
కార్బన్ భూస్థాయి ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం 1s² 2s² 2p²
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 19
ఇథిలిన్ 2 “C” పరమాణువులు sp²సంకరీకరణం చెందుతాయి.

ఒక కార్బన్ యొక్క ఒక sp² సంకర ఆర్బిటాల్ మరొక కార్బన్ యొక్క sp² సంకర ఆర్బిటాల్తో అతిపాతం చెంది C – C సిగ్మా బంధం ఏర్పడును.

ప్రతి కార్బన్లోని మిగతా రెండు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళు హైడ్రోజన్ పరమాణువులోని 5 ఆర్బిటాళ్ళతో అతిపాతం చెంది C – H బంధాలను ఏర్పరుచును.

సంకరీకరణం చెందని ఆర్బిటాళ్ళు పార్శ్వ అతిపాతం చెంది π బంధాన్ని ఏర్పరుచును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 20

C2H2 అణువులో కార్బన్ పరమాణువుల మధ్య త్రిబంధం ఏర్పడుట :
కార్బన్ భూస్థాయి ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం 1s² 2s²2p²
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 21

C2H2 నందు 2 “C” పరమాణువులు sp సంకరీకరణం చెందును.

ఒక కార్బన్ పరమాణువులోని sp సంకర ఆర్బిటాల్ మరొక కార్బన్లోని sp సంకర ఆర్బిటాల్తో అతిపాతం చెంది C – C సిగ్మా (σ) బంధం ఏర్పడును.

ప్రతి కార్బన్ పరమాణువులోని మరొక sp – సంకర ఆర్బిటాల్ హైడ్రోజన్ పరమాణువులోని s – ఆర్బిటాళ్ళతో అతిపాతం చెంది C – H బంధాలను ఏర్పరుచును.

రెండు కార్బన్ పరమాణువులలోని సంకరీకరణం చెందని ఆర్బిటాళ్ళు పార్శ్వ అతిపాతం చెంది రెండు π (పై) బంధాలను ఏర్పరుచును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 22

ప్రశ్న 16.
PCl5 అణువు ఏర్పడటంలో P సంకరకరణం వివరించండి.
జవాబు:
భూ స్థితిలో ‘P’ విన్యాసము = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p¹x 3p¹y 3p¹z
ఉద్రిక్తస్థితిలో ‘P’ విన్యాసము : 1s² 2s² 2p6 3s¹ 3p³ 3d¹
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 23
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 24

ఫాస్ఫరస్ ఉద్రిక్తస్థితిలో ‘sp d’సంకరీకరణమునకు లోనయి, అయిదు సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ అయిదు సంకర ఆర్బిటాళ్ళు, అయిదు క్లోరిన్ల యొక్క ‘pz‘ ఆర్బిటాళ్ళతో అతిపాతం జరిపి అయిదు σsp³d – బంధాలను ఏర్పరుస్తాయి. అణువుకు త్రిభుజాకార బైపిరమిడ్ నిర్మాణం వస్తుంది. బంధకోణాలు 90° మరియు 120°.

ప్రశ్న 17.
SF6 ఏర్పడటంలో సంకరకరణం వివరించండి. [Mar. ’14]
జవాబు:
పరమాణువులోని ఒక ns ఆర్బిటాల్, మూడు np ఆర్బిటాళ్ళు మరియు రెండు (n – 1)d ఆర్బిటాళ్ళు ఒకదానితో ఒకటి మిశ్రమం చెంది ఆరు సర్వసమానమయిన ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరచుటను d²sp³ సంకరీకరణం అంటారు. ఉదా : SF6
ఈ అణువులో సల్ఫర్ d²sp³ సంకరీకరణంలో పాల్గొంటుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 25
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 26

సల్ఫర్ sp³d² సంకరీకరణం వలన దానిపై ఆరు సర్వసమానమయిన ఆర్బిటాళ్ళు F ఏర్పడతాయి. ఈ సంకర ఆర్బిటాళ్ళలో ఒంటరి -ఎలక్ట్రానులు ఉంటాయి. సల్ఫర్ యొక్క ఈ సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఫ్లోరిన్ యొక్క ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్లు గల p – ఆర్బిటాళ్ళతో అతిపాతం జరిపి 6 సిగ్మా బంధాలనేర్పరుస్తాయి. అణువుకు ‘ఆక్టాహైడ్రల్’ ఆకృతి వస్తుంది. బంధకోణం 90° (లేదా) 180° (లేదా) 90°.

ప్రశ్న 18.
సమన్వయ సమయోజనీయబంధం ఏర్పడే విధానాన్ని ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
బంధానికి కావలసిన జంట ఎలక్ట్రాన్లను ఒకే పరమాణువు దానం చేయుట ద్వారా ఏర్పడు సమయోజనీయ బంధాన్ని సమన్వయ సమయోజనీయ బంధము అంటారు. దీనినే డేటివ్ బంధమని కూడా అంటారు. ఈ బంధాన్ని బాణం (→) గుర్తుతో సూచిస్తారు.

సమన్వయ సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుటకు జంట ఎలక్ట్రాన్లను దానం చేయుదానిని దాత అనియు, జంట ఎలక్ట్రాన్లను స్వీకరించుదానిని స్వీకర్త అనియూ అంటారు. స్వీకర్తకు ఎలక్ట్రాన్ జంటను గ్రహించుటకు ఖాళీ ఆర్బిటాల్ ఉండవలెను. అట్లే దాతకు ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటలుగల ఆర్బిటాళ్ళు ఉండవలెను. స్వీకర్త యొక్క ఖాళీ ఆర్బిటాల్ దాత యొక్క ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటలు గల ఆర్బిటాళ్ళతో అతిపాతం చెందుట వలన వాటిమధ్య సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది. ఒకసారి సమన్వయ సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడిన తరువాత అది సమయోజనీయ బంధంతో సమానము.
ఉదా : (1) NH+4 (అమ్మోనియం అయాన్)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 27
ఉదా : (2) H3O+ (హైడ్రోనియం అయాన్)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 28
ఉదా : (3) H3N → BF3 (అమ్మోనియా బోరాన్ ట్రైఫ్లోరైడ్)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 29

ప్రశ్న 19.
కింది అణువులు ఏర్పడటంలో కార్బన్ పరమాణువులు ఏ సంకర ఆర్బిటాళ్ళనుపయోగించాయి?
(a) CH3 – CH, (b) CH3 – CH = CH2 (c) CH3 – CH2 – OH (d) CH3 – CHO
జవాబు:
(a) CH3 – CH3 లో రెండు కార్బన్ పరమాణువులు కూడా sp³ సంకరీకరణం చెందును.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 30

ప్రశ్న 20.
హైడ్రోజన్ బంధం అంటే ఏమిటి? విభిన్న, హైడ్రోజన్ బంధాలను ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
హైడ్రోజన్ పరమాణువుకు, అధిక ఋణవిద్యుదాత్మకత గల పరమాణువుకు మధ్య ఉన్న బలహీన విద్యుదాకర్షణను హైడ్రోజన్ బంధము అంటారు. హైడ్రోజన్ బంధము యొక్క బలం 2 – 10 కిలోకాలరీ/మోల్. ఇది సమయోజనీయ బంధము కన్నా చాలా బలహీనమైనది. కానీ వాండర్వాల్ ఆకర్షణ బలాలకన్నా బలమైనది.

హైడ్రోజన్ బంధము రెండు రకాలు :
1. అణు అంతర హైడ్రోజన్ బంధము :
వివిధ అణువుల మధ్య హైడ్రోజన్ బంధము ఏర్పడితే దానిని అణు అంతర హైడ్రోజన్ బంధము అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 31

అణు అంతర హైడ్రోజన్ బంధము గల అణువులు సహచరిత అణువులుగా ఉంటాయి. కనుక వాటి ద్రవీభవన, భాష్పీభవన ఉష్ణోగ్రతలు అధికంగా ఉంటాయి. ఇథైల్ ఆల్కహాల్ మరియు ఎసిటిక్ ఆమ్లం వంటి పదార్థాలు నీటిలో అధికంగా కరుగుటకు కారణం వాటి మధ్య ఏర్పడు అణు అంతర హైడ్రోజన్ బంధమే.

2. అణ్వంతర హైడ్రోజన్ బంధము :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 32
ఒకే అణువులో హైడ్రోజన్ బంధమేర్పడినచో దానిని అణ్వంతర హైడ్రోజన్ బంధము
ఉదా : (1) ఆర్థోఫ్లోరోఫినోల్
ఉదా : (2) ఆర్థోనైట్రోఫినోల్. అణ్వంతర హైడ్రోజన్ బంధం పదార్థాల బాష్పీభవన, ద్రవీభవన ఉష్ణోగ్రతలపై ప్రభావం చూపదు.

ప్రశ్న 21.
వేలన్స్ బంధ సిద్ధాంతంతో H2 అణువు ఏర్పడటాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
వేలన్స్ బంధ సిద్ధాంతంతో H2 అణువు ఏర్పడుట :

s – s అతిపాతం (హైడ్రోజన్ అణువు ఏర్పడుట) :
పరస్పరం వ్యతిరేక స్పిన్లు గల రెండు H – పరమాణువులలోని ‘1s’ ఎలక్ట్రాన్ మేఘాలు పరస్పరం అంతర్ కేంద్ర అక్షం వెంబడి అతిపాతం చెందుట వలన H2 అణువు ఏర్పడుతుంది. ఈ బంధాన్ని సిగ్మా బంధం అంటారు. అతిపాతం – ఆర్బిటాళ్ళ మధ్య జరిగింది. కాబట్టి దీనిని σs-s బంధం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 33

ప్రశ్న 22.
B2 అణువు పరాయస్కాంత ధర్మం గలది. అణు ఆర్బిటాల్ సిద్ధాంతంతో దానిని వివరించండి.
జవాబు:
‘B’ యొక్క ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం – 1² 2s² 2p¹
B2 యొక్క అణు ఆర్బిటాల్ శక్తి క్రమం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 34
పైన శక్తి క్రమంలో ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్లు కలవు.
కావున B2 అణువు పారా అయస్కాంత స్వభావం కలిగియుండును.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 23.
పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళ రేఖీయ కలయికకు నియమాలేమిటి ? వివరించండి.
జవాబు:
1) సంకలనం చెందే ఆర్బిటాల్ల సంఖ్యకు, సంయోగ ఫలితంగా ఏర్పడే అణు ఆర్బిటాల్ల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, రెండు పరమాణు ఆర్బిటాల్లు సంకలనం చెంది రెండు అణు ఆర్బిటాల్లను ఇస్తాయి. ఎక్కువ పరమాణు ఆర్బిటాల్లు సంకలనం చెందితే సగం అణు ఆర్బిటాల్ల శక్తి పరమాణు ఆర్బిటాల్ల శక్తి కంటే తక్కువగాను, మిగిలిన సగభాగం అణు ఆర్బిటాల్ల శక్తి ఎక్కువగాను ఉంటుంది.

2) పరమాణు ఆర్బిటాల్ల శక్తి కంటే తక్కువ శక్తిస్థాయిలో ఉన్న అణు ఆర్బిటాల్లను బంధక ఆర్బిటాల్లు అంటారు. అధిక శక్తిస్థాయిలో ఉన్న ఆర్బిటాల్ ను అపబంధక ఆర్బిటాల్లు అంటారు. సంకలన ప్రక్రియలో పాల్గొనని ఆర్బిటాల్ ను అబంధక ఆర్బిటాల్లు అంటారు. సాధారణంగా ఇవి పరమాణువుల అంతర్ నిర్మాణాల్లో ఉండే ఎలక్ట్రాన్లు. కింది బొమ్మలో దీన్ని చూడవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 35

ఈ ఆర్బిటాల్ల శక్తి క్రమాలన్నీ బంధక ఆర్బిటాల్ < అబంధక ఆర్బిటాల్లు < అపబంధక ఆర్బిటాల్లు.

ప్రశ్న 24.
బంధ క్రమం అంటే ఏమిటి? కింది అణువుల్లో బంధ క్రమమెంత? [T.S. Mar. ’15, Mar. ’14]
(a) N2 (b) O2 (c) O2+2 (d) O2
జవాబు:
బంధ క్రమం :
బంధక ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య మరియు అపబంధక ఎలక్ట్రాన్ల భేదంలో సగాన్ని బంధక్రమం అంటారు.
a) N2:
అణు ఆర్బిటాల్ శక్తి క్రమం
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 36
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 37

ప్రశ్న 25.
BF3, NF3 అణువుల్లో NF3 కి ద్విధ్రువ భ్రామకం ఉన్నది. BF3 కి లేదు. ఎందువల్ల?
జవాబు:
BF3, NF3 అణువులలో NF3 కి ద్విధృవ భ్రామకం కలదు. BF3 కి లేదు.
వివరణ :

  • BF3 అధృవ మరియు సౌష్టవ అణువు. సౌష్టవ అణువుకు µ = 0
  • NF3 అణువు ధృవ మరియు అసౌష్ఠవ అణువు. అసౌష్టవ అణువుకు µ ≠ 0
  • BF3 అణువు ఆకృతి సమతల త్రిభుజాకారం
  • NF3 అణువు ఆకృతి పిరమిడల్
    µ(NF3) = 0.8 × 10-30 C × met.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 38

ప్రశ్న 26.
NH3, NF3 రెండు అణువులు సూచ్యాకృతిలో ఉంటాయి. అయినా NH3 కి NF3 కంటే ద్విధ్రువ భ్రామకం ఎక్కువ. ఎందువల్ల?
జవాబు:
→ NH3, NF3 రెండు అణువులు సూచ్యాకృతిలో ఉంటాయి. అయినా NH3 కి NF3 కన్నా ద్విధృవ భ్రామకం ఎక్కువ.

వివరణ :
‘F’ కు ‘N’ కంటే ఋణవిద్యుదాత్మకత ఎక్కువ అయినప్పటికీ µ (NH3) > µ (NF3)
µ (NH3) = 4.9 × 10-30 c × met
µ (NF3) = 0.8 × 10-30 c. met
NH3 లొ ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట వల్ల ఏర్పడే ఆర్బిటాల్ ద్విదృవం N – H బంధ ద్విధృవ భ్రామకంలో ఒకే దిశలో ఉంటుంది.

NF3 లో ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట వల్ల ఏర్పడే ఆర్బిటాల్ ద్విధృవ N – F బంధ ద్విధృవ భ్రామకంలో వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 39

ప్రశ్న 27.
వేలన్స్ కర్పర ఎలక్ట్రాన్ జంటల వికర్షణ (VSEPR) సిద్ధాంతం ఉపయోగించి కింది అణువుల ఆకృతులను తెలపండి.
(a) XeF4
(b) BrF5
(c) ClF3
(d) ICl4
జవాబు:
→ VSEPR సిద్ధాంతం ప్రకారం అణువు యొక్క ఆకృతి బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలో మరియు ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటల సంఖ్యను బట్టి నిర్ణయిస్తారు.
a) XeF4 : XeF4 నందు బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు 4, ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటలు 2.
∴ అణువు యొక్క ఆకృతి “సమతల చతురస్రం” (ఉండవలసినవి ఆక్టా హెడ్రల్)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 40

b) BrF5 : BrF5. నందు 5 బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు, ఒక ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట ఉండును.
∴ అణువు యొక్క ఆకృతి “చతురస్ర పిరమిడల్” (ఉండవలసినది ఆక్టా హెడ్రల్)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 41

c) ClF3 : ClF3 నందు 3 బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు, రెండు ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటలు ఉన్నవి.
∴ అణువు యొక్క ఆకృతి T – ఆకృతి. (ఉండవలసినది TBP)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 42

d) ICl4 : ICl4 నందు 4 బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు, రెండు ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటలు కలవు.
∴ అణువు యొక్క ఆకృతి “సమతల చతురస్రం” (ఉండవలసినది ఆక్టా హెడ్రల్)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 43

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
అయానిక బంధం ఏర్పడటాన్ని సోదాహరణంగా వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం :
విరుద్ధ విద్యుదావేశిత అయానుల మధ్య స్థిర విద్యుదాకర్షణ బలాలను అయానిక బంధం అంటారు.
ఆర్బిటాల్ భావన ద్వారా వివరణ :
ఉదా : సోడియం క్లోరైడ్ ఏర్పడుట
సోడియం (Z = 11) ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం = 1s² 2s² 2p6 3s¹
దీనిని ఆర్బిటాల్ చిత్రం ద్వారా కింది విధంగా చూపవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 44
క్లోరిన్ (Z = 17) ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం = 1s² 2s² 2p6 3s² 3p5
దీనిని ఆర్బిటాల్ చిత్రం ద్వారా కింది విధంగా చూపవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 45

సోడియం పరమాణువు నుండి ఒక ఎలక్ట్రాన్, క్లోరిన్ పరమాణువుకు బదిలీ అవడం వలన సోడియం, నియాన్ విన్యాసాన్ని పొందగా, క్లోరిన్, ఆర్గాస్ విన్యాసాన్ని పొందుతుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 46

రెండు అయాన్లలోని అన్ని ఆర్బిటాల్లోనూ ఎలక్ట్రాన్లు జతకూడి ఉండుటచేత అవి స్థిరత్వం పొందుతాయి. ఈ విధంగా రెండు విరుద్ధ ఆవేశాలు గల అయాన్ల మధ్య బలమైన ఆకర్షణ బలాలు ఏర్పడి వాటి మధ్య అయానిక బంధం ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 2.
అయానిక సంయోగ పదార్థాలు ఏర్పడటానికి అనువైన పరిస్థితులు వివరించండి.
జవాబు:
అయానిక బంధం ఏర్పడటానికి అనుకూల అంశాలు :
ఎ) “కాటయాన్” ఏర్పడటానికి అనువైన అంశాలు :
1) అధిక పరమాణు పరిమాణం :
పరమాణు పరిమాణం పెరిగే కొలది వేలన్సీ ల పై కేంద్రక ఆకర్షణ తగ్గుతుంది. కనుక అధిక పరమాణు పరిమాణం గల పరమాణువు నుండి ఎలక్ట్రాన్ తొలగించుటకు తక్కువ శక్తి అవసరము. కనుక త్వరగా కాటయానన్ను ఏర్పరుస్తుంది.
ఉదా : IA గ్రూపు మూలకాలలో Li నుండి Cs వరకు పరమాణు పరిమాణం పెరుగును. కనుక కాటయాన్ ఏర్పడుట పెరిగే సరియైన క్రమము. Li < Na+ < K+ < Rb+ < Cs+

2) అయనీకరణ శక్తి :
అత్యల్ప అయనీకరణ శక్తి గల పరమాణువు నుండి ఎలక్ట్రాన్ తీసివేయుటకు ఇవ్వవలసినశక్తి తక్కువ కనుక త్వరగా కాటయానన్ను ఏర్పరుస్తుంది.
ఉదా : Na, Kలలో, ‘K’ త్వరగా K+ గా మారుతుంది.
కారణం : ‘K’ యొక్క ప్రథమ అయనీకరణ శక్తి ‘Na’ కన్నా తక్కువ.

3) అయానుపై గల ధనావేశం : తక్కువ ధనావేశం గల అయాన్ తేలికగా ఏర్పడుతుంది. ఎందువలన అనగా ఏకమాత్ర ధనావేశపు అయాన్ నుంచి రెండవ e ను తొలగించాలి. అంటే అధిక శక్తి అవసరం. కనుక Na+, Mg+2లలో Na+ త్వరగా ఏర్పడును. Mg+2, Al+3 లలో Mg+2 త్వరగా ఏర్పడును.
ఉదా : Na+, Mg+2, Al+3 లలో కాటయాన్ ఏర్పడు క్రమం Na+ > Mg+2 > Al+3

4) జడవాయు విన్యాసం గల కాటయాన్ ఏర్పడటం :
జడవాయు విన్యాసం గల కాటయాన్ (2,8,8) అధిక స్థిరత్వం కలిగి ఉండును. అందువలన మిథ్యా జడవాయు విన్యాసం గల (2,8,18) కాటయాన్ కంటే త్వరగా ఏర్పడుతుంది.
ఉదా : Ca+(2,8) అధిక స్థిరత్వం కలిగి ఉండుట వలన Zn +2 (2,8,18) కన్నా త్వరగా ఏర్పడుతుంది.

బి) అనయాన్ ఏర్పడుటకు అనుకూల పరిస్థితులు :
అల్ప పరమాణు పరిమాణం : అత్యల్ప పరిమాణం గల మూలకాల పరమాణువులలో కేంద్రక ఆకర్షణ బాహ్య ఎలక్ట్రాన్ల మీద అధికంగా ఉంటుంది. అందుచేత e లను సులభంగా గ్రహించి ఆనయాన్లను ఏర్పరుస్తుంది.
ఉదా : F > Cl > Br > I

అధిక ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటి మరియు ఋణవిద్యుదాత్మకత :
అత్యధిక ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటి మరియు ఋణవిద్యుదాత్మకత ఉండుట వలన గ్రహించిన ఎలక్ట్రాన్ ను మూలకపు పరమాణువు పట్టి ఉంచుతుంది. కనుక అత్యధిక ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటి గల మూలకము త్వరగా ఆనయాన్ ను ఏర్పరచును.
ఉదా : Cl అయాన్ Br కన్నా త్వరగా ఏర్పడుతుంది.

అయాన్పై గల ఆవేశం :
తక్కువ ఋణావేశం గల అయాన్ త్వరగా ఏర్పడుతుంది. కారణం ఎక్కువ ఋణావేశం గల అయాన్లో ఎలక్ట్రాన్ల మధ్య వికర్షణలు అధికంగా ఉండుట వలన అస్థిరత్వాన్ని కల్గి ఉండును.
ఉదా : F, O-2, N-3 లలో ఆనయాన్ ఏర్పడుట సరియగు క్రమం F > O-2 > N-3.

44. కింది అణువులకు లూయీ నిర్మాణాలు రాయండి.
(a) H2S (b) SiCl4 (c) BeF2 (d) HCOOH
జవాబు:
లూయీ నిర్మాణాలు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 47

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిని వివరించండి.
a) బంధకోణం
b) బంధ ఎంథాల్పీ
c) బంధ దైర్ఘ్యం
d) బంధ క్రమం
జవాబు:
a) బంధకోణం :
ఒక అణువులో మధ్యస్థ పరమాణువు కలిగి ఉన్న బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలను కలిగి ఉన్న ఆర్బిటాళ్ల మధ్య కోణాన్ని బంధకోణం అంటారు.
→ దీనిని డిగ్రీలలో కొలుస్తారు.
→ ఇది ప్రయోగాత్మకంగా వర్ణపట పద్ధతుల ద్వారా నిర్ణయిస్తారు.
ఉదా : H2O అణువులో H – O – H బంధకోణం 104.5°

b) బంధ ఎంథాల్పీ :
వాయుస్థితిలో ఉన్న రెండు పరమాణువుల మధ్య ఏర్పడిన ఒక బంధాన్ని విఘటనం చెందించుటకు అవసరమగు శక్తిని బంధ ఎంథాల్పీ అంటారు.
→ ప్రమాణాలు : KJ/ Mole.
ఉదా : H – H బంధ ఎంథాల్పీ H2 లో 435.8 KJ/mole
H2(వా) → H(వా) + H(వా) ∆H = 435.8 KJ/mole

c) బంధ దైర్ఘ్యం :
ఒక అణువులోని రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరంను బంధ ధైర్ఘ్యం అంటారు.

  • ప్రమాణాలు : A° (లేదా) cm (లేదా) m (లేదా) pm
  • రెండు పరమాణువుల మధ్య బంధాలు పెరిగే కొలది బంధధైర్ఘ్యం తగ్గును.
బంధంబంధ ధైర్ఘ్యం
C – C1.54 Å
C = C1.33 Å
C ≡ C1.20 Å

d) బంధ క్రమం :
ఒక సంయోజనీయ అణువులోని రెండు పరమాణువుల మధ్య బంధాల సంఖ్యను బట్టి బంధ క్రమాన్ని నిర్ణయిస్తారు.
ఉదా : N2 యొక్క బంధ క్రమం – 3
O2 యొక్క బంధ క్రమం – 2
N2 యొక్క బంధ క్రమం – 1

  • బంధక్రమం అణువుల స్థిరత్వం కనుగొనటానికి ఉపయోగపడుతుంది.
  • బంధక్రమం పెరిగితే బంధ ఎంథాల్పీ పెరిగి బంధధైర్ఘ్యం తగ్గును.

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 4.
వేలన్స్ కర్పర ఎలక్ట్రాన్ జంటల వికర్షణ సిద్ధాంతం వివరించండి. దీని అనువర్తనాలు ఏమిటి?
జవాబు:
VSEPR సిద్ధాంతము ముఖ్యాంశాలు :

  1. అణువులోని కేంద్రక పరమాణువు బాహ్యకర్పరంలోని ఎలక్ట్రాన్ జంటల సంఖ్యపై దాని ఆకృతి ఆధారపడి ఉంటుంది.
  2. కేంద్రక పరమాణువు బాహ్యస్థాయిలోని ఎలక్ట్రాన్ జంటలు వాటి మధ్య వికర్షణలు అత్యల్పంగా ఉండేట్లుగా ప్రాదేశిక అమరికను పొందుతాయి.
  3. వివిధ ఎలక్ట్రాన్ జంటల మధ్య వికర్షణ ఈ క్రమంలో ఉంటుంది.
    ఒంటరి జంట – ఒంటరి జంట > ఒంటరి జంట బంధ జంట > బంధ జంట – బంధ జంట
  4. ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటల వలన అణువు ఆకృతిలోనూ, బంధ కోణంలోనూ విచలనాలు వస్తాయి.
  5. ఒక అణువుకు రెండు (లేదా) మూడు రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలను చూపించగలిగితే, VSEPR నమూనాని ఏదైనా ఒక రెజొనెన్స్ నిర్మాణానికి వర్తింపచేయవచ్చు.

6. మధ్యస్థ పరమాణువుపై ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు ఉన్న అణువుల జ్యామితులు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 48
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 49
అమ్మోనియా అణువులో కేంద్రక పరమాణువు నైట్రోజన్, దాని బాహ్యస్థాయిలో మూడు బంధ ఎలక్ట్రాన్ జంటలు మరియు ఒక ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట ఉంటాయి. అపబంధక బంధక ఎలక్ట్రాన్ జంటల మధ్య వికర్షణ బంధక – బంధక ఎలక్ట్రాన్ జంటల మధ్య వికర్షణ కన్నా అధికంగా ఉండుట వలన బంధక ఎలక్ట్రాన్ జంటలు దగ్గరకు నెట్టబడతాయి. కనుక బంధకోణం 107°18′ కు తగ్గుతుంది. ఈ అణువు ఆకృతి పిరమిడ్.

ప్రశ్న 5.
వేలన్స్ బంధ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి అణువుల జ్యామితిని ఎలా వివరిస్తారు?
జవాబు:
వేలన్స్ బంధ సిద్దాంతంలోని ముఖ్యాంశాలు :

  1. రెండు పరమాణువుల యొక్క జతకూడని ఎలక్ట్రాన్లు గల పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళు పరస్పరం అతిపాతం చెందుట వలన సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది.
  2. అతిపాతం జరుపుకునే ఆర్బిటాళ్ళలోని ఎలక్ట్రాన్లకు పరస్పరం వ్యతిరేక స్పిన్లు ఉండాలి.
  3. ఏర్పడే బంధం యొక్క బలం, అతిపాత అవధిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
  4. ఆర్బిటాళ్లు వాటి గరిష్ఠ ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత గల దిశలోనే అతిపాతం జరుపుతాయి.
  5. ఆర్బిటాళ్ళు అతిపాతం జరిపిన దిశలోనే సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది.
    ఆర్బిటాళ్ళ అతిపాతం 3 రకాలు : అవి (1) s – 5 అతిపాతం (2) p – p అతిపాతం (1) s – p అతిపాతం.

s – s అతిపాతం (హైడ్రోజన్ అణువు ఏర్పడుట) :
పరస్పరం వ్యతిరేక స్పిన్లు గల రెండు H- పరమాణువులలోని ‘1s’ ఎలక్ట్రాన్ మేఘాలు పరస్పరం అంతర్ కేంద్ర అక్షం వెంబడి అతిపాతం చెందుట వలన H2 అణువు ఏర్పడుతుంది. ఈ బంధాన్ని సిగ్మా బంధం అంటారు. అతిపాతం S ఆర్బిటాళ్ళ మధ్య జరిగింది. కాబట్టి దీనిని σs-s బంధం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 50

p – p అతిపాతం (ఫ్లోరిన్ అణువు ఏర్పడుట) :
పరస్పరం వ్యతిరేక స్పిన్లు గల రెండు Cl – పరమాణువులలోని 2pz ఎలక్ట్రాన్ మేఘాలు పరస్పరం అంతర్ కేంద్ర అక్షం వెంబడి అతిపాతం చెందుట వలన Cl2 అణువు ఏర్పడుతుంది. ఈ బంధాన్ని సిగ్మా బంధం అంటారు. అతిపాతం p- ఆర్బిటాళ్ళ మధ్య జరగడం వలన దీనిని σp-p బంధం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 51

హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ అణువు (s – p అతిపాతం) :
హైడ్రోజన్ పరమాణువులోని జతగూడని ఎలక్ట్రాన్లుగల 1s ఆర్బిటాల్, క్లోరిన్ పరమాణువులోని జతగూడని ఎలక్ట్రాన్లు గల 2pz ఆర్బిటాల్తో అంతర్కేంద్ర అక్షం వెంబడి అతిపాతం జరుపుకోవడం వలన HCl అణువు ఏర్పడుతుంది. ఈ బంధాన్ని సిగ్మా బంధం అంటారు. అతిపాతం s – ఆర్బిటాల్, p – ఆర్బిటాల్ల మధ్య జరగడం వలన దీనిని σs-p బంధం అంటారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 52

ఆక్సిజన్ అణువు ఏర్పడుట :
ఆక్సిజన్ పరమాణువులో రెండు జతగూడని ఎలక్ట్రాన్లు గల py, pz ఆర్బిటాళ్ళు ఉంటాయి. ఆక్సిజన్ అణువు ఏర్పడేటపుడు ఒక ఆక్సిజన్ పరమాణువులోని py ఆర్బిటాల్, రెండవ ఆక్సిజన్ పరమాణువులోని py ఆర్బిటాల్తో అభిముఖ అతిపాతం చేసుకొని వాటి మధ్య సిగ్మా బంధాన్ని ఏర్పరచుకుంటాయి. ఇపుడు పరస్పరం లంబదిశలలో ఉన్న రెండు ఆక్సిజన్ పరమాణువులలోని pz ఆర్బిటాళ్ళు ప్రక్కవాటు అతిపాతం చేసుకొని వాటి మధ్య π – బంధాన్ని ఇస్తాయి. ఈ విధంగా ఆక్సిజన్ అణువులో రెండు ఆక్సిజన్ పరమాణువుల మధ్య ద్విబంధం ఏర్పడుతుంది. (0 = 0)
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 53

పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళు ఒక నిర్దిష్ట దిశలో ఒకదానికొకటి సమీపించి అతిపాతం చెందినపుడు మాత్రమే సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది. కనుక ఇది దిశాత్మకమైనది. కనుక సమయోజనీయ సమ్మేళనాలు నిర్దిష్ట ఆకృతి మరియు బంధకోణాలు కలిగి ఉంటాయి.

ప్రశ్న 6.
సంకరకరణం అంటే ఏమిటి? s, p ఆర్బిటాళ్ళతో జరిగే విభిన్న రకాల సంకరకరణాల్ని వివరించండి. [Mar. ’13]
జవాబు:
సంకరకరణం – నిర్వచనం :
దాదాపుగా సమాన శక్తి గల పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళు ఒకదానితో ఒకటి కలసిపోయి అదే సంఖ్యలో సర్వసమానాలైన క్రొత్త ఆర్బిటాళ్ళు ఏర్పడే ప్రక్రియను సంకరకరణం అంటారు.
(1) sp³ – సంకరకరణం, (2) sp² – సంకరకరణం, (3) sp – సంకరకరణం, (4) sp³ d- సంకరకరణం, (5) sp²d² – సంకరకరణం

(1) sp³ – సంకరకరణం :
ఈ సంకరకరణంలో ఒక s- ఆర్బిటాల్, మూడు p- ఆర్బిటాల్లు కలిసిపోయి నాలుగు సర్వసమానాలైన sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఇస్తాయి. ఈ నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళు ఒక టెట్రా హైడ్రల్ యొక్క నాలుగు మూలలకు విస్తరించి ఉంటాయి. ఏ రెండు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ల మధ్య కోణం అయినా 109°28′ ఉంటుంది. ప్రతి sp³ సంకర ఆర్బిటాల్లోనూ 5 లక్షణం 1/4 (25%) మరియు p లక్షణం 3/4 (75%) ఉంటుంది. దీనిని టెట్రా హైడ్రల్ సంకరకరణం అని కూడా అంటారు.
ఉదా : మీథేన్ అణువు ఏర్పడుట :
మీథేన్ అణువు ఏర్పడేటప్పుడు దానిలోని కేంద్రక కార్బన్ పరమాణువు sp³ సంకరకరణం పొందుతుంది. అట్లేర్పడ్డ నాలుగు sp సంకర ఆర్బిటాళ్లు నాలుగు ‘H’ పరమాణువుల ‘1s’ ఆర్బిటాళ్లతో అభిముఖంగా అతిపాతం చెంది, నాలుగు సిగ్మా బంధాలను ఇస్తాయి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 54

(2) sp² – సంకరకరణం :
ఈ సంకరకరణంలో ఒక s – ఆర్బిటాల్ మరియు రెండు p- ఆర్బిటాళ్ళు కలిసిపోయి మూడు సర్వసమానాలైన sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఇస్తాయి. ఈ మూడు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళు ఒక సమతల త్రిభుజం యొక్క మూడు మూలల వైపుకు విస్తరించి ఉంటాయి. ఏ రెండు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళ మధ్య కోణమైన 120° ఉంటుంది. ప్రతి సంకర sp² ఆర్బిటాల్లోనూ s – లక్షణం 1/3 (33%), p- లక్షణం 2/3 (67%) ఉంటాయి. దీనిని ట్రైగోనల్ సంకరకరణం అని కూడా
అంటారు.
ఉదా : బోరాన్ ట్రై క్లోరైడ్ అణువు ఏర్పడుట :
బోరాన్ ట్రై క్లోరైడ్ అణువు ఏర్పడేటపుడు దానిలోని కేంద్రక బోరాన్ పరమాణువు sp² సంకరకరణం పొందుతుంది. అట్లేర్పడ్డ మూడు sp² సంకర ఆర్బిటాళ్ళు, మూడు క్లోరిన్ పరమాణువులు 3pz ఆర్బిటాళ్ళతో అభిముఖంగా అతిపాతం చెంది, మూడు సిగ్మా బంధాలను ఇస్తాయి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 55

3. sp – సంకరకరణం :
ఈ సంకరకరణలో ఒక s – ఆర్బిటాల్ మరియు ఒక p- ఆర్బిటాళ్ళు కలిసిపోయి రెండు సర్వసమానాలైన sp- సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఇస్తాయి. ఈ రెండు sp సంకర ఆర్బిటాళ్ళు ఒక సరళరేఖ మార్గంలో ఉంటాయి. వాటి మధ్య కోణం 180° ఉంటుంది. ప్రతి sp సంకర ఆర్బిటాల్లోనూ s- లక్షణం 1/2 (50%), p- లక్షణం 1/2 (50%) ఉంటాయి. దీనిని రేఖీయ సంకరకరణం లేక డైగోనల్ సంకరకరణం అని కూడా అంటారు.
ఉదా : బెరీలియం క్లోరైడ్ అణువు ఏర్పడుట :
BeCl2 అణువు ఏర్పడేటపుడు కేంద్రక Be పరమాణువు sp సంకరకరణం పొందుతుంది. అట్లేర్పడ్డ రెండు sp సంకర ఆర్బిటాళ్ళు రెండు క్లోరిన్ పరమాణువుల 3pz ఆర్బిటాళ్ళతో అభిముఖంగా అతిపాతం చెంది, రెండు సిగ్మా బంధాలను ఇస్తాయి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 56

ప్రశ్న 7.
అణు ఆర్బిటాల్ సిద్ధాంతం ముఖ్య లక్షణాలను రాయండి.
జవాబు:
అణు ఆర్బిటాల్ సిద్ధాంతం :
ఈ సిద్ధాంతాన్ని “హుండ్” మరియు “ముల్లికన్” ప్రతిపాదించారు.

ప్రతిపాదనలు :

  • బంధక పరమాణువులలోని పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళు [AO] రేఖీయ సంయోగం చెంది వాటి ఉనికిని కోల్పోయి అణు ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరుచును.
    కేంద్రకం చుట్టూ ఎలక్ట్రాన్ కనుగొనే సంభావ్యత అధికంగా ఉన్న ప్రాంతమే “అణు ఆర్బిటాల్”.
  • ఒక అణువులోని అన్ని పరమాణువులకు చెందిన ఎలక్ట్రాన్లు, అణువులోని అన్ని కేంద్రాకాల చుట్టూ తిరుగుతూ ఉంటాయి.
  • అణు ఆర్బిటాళ్ళ యొక్క ఆకృతి పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళపై ఆధారపడును.
  • ప్రతి అణు ఆర్బిటాళ్లలో 2 ఎలక్ట్రాన్లు వ్యతిరేక స్పిన్తో నింపబడతాయి.
  • అణు ఆర్బిటాళ్ళలో ఎలక్ట్రాన్లను శక్తి పెరిగే క్రమంలో నింపుతారు.
  • పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళు ఒకే రకమైన శక్తి కలిగినను సంయోగం చెంది అణు ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరుచును.
  • పరమాణు ఆర్బిటాళ్ళ శక్తి కంటే తక్కువ శక్తి కలిగిన అణు ఆర్బిటాళ్ళను “బంధక అణు ఆర్బిటాళ్ళు” అంటారు. అలానే ఎక్కువ శక్తి కలిగిన వాటిని “అపబంధక అణు ఆర్బిటాళ్ళు” అంటారు.
  • బంధక అణు ఆర్బిటాళ్ళను సిగ్మా (σ) మరియు పై (π) లతో సూచిస్తారు.
  • అపబంధక అణు ఆర్బిటాళ్ళను σ* మరియు π* లతో సూచిస్తారు.

అణు ఆర్బిటాళ్ళలో ఎలక్ట్రాన్లు నింపులు :
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 57

ప్రశ్న 8.
(a) N2, (b) O2 అణువులకు అణు ఆర్బిటాల్ శక్తి పటాలు రాయండి. ఈ రెండు అణువుల అయస్కాంత లక్షణాలేమిటి? వాటి బంధ క్రమాలు గణించండి.
జవాబు:
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 58
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 59
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 60
రెండు ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్లు (π * 2p¹y, π * 2p¹z) ఆక్సిజన్ అణు ఆర్బిటాళ్లలో ఉండుట వలన, ఆక్సిజన్ అణువుకు పారాయస్కాంత స్వభావముంటుంది.

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
‘CO’ అణువు లూయీ ఎలక్ట్రాన్ చుక్క నిర్మాణం రాయండి.
సాధన:
1వ దశ : కార్బన్, ఆక్సిజన్ రెండు పరమాణువుల వేలన్స్ ఎలక్ట్రాన్లు గణించాలి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 61

మొత్తం వేలన్స్ ఎలక్ట్రాన్లు 4e + 6e = 10e
2వ దశ : CO నిర్మాణం స్థూల అమరిక : C O
3వ దశ : ముందు C, O ల మధ్య ఒక ఎలక్ట్రాన్ జత (ఏకబంధం) రాయండి. ఆక్సిజన్ పై అష్టకాన్ని పూర్తి చేయండి. మిగిలిన రెండు ఎలక్ట్రాన్లను కార్బన్పై ఒంటరి జంటగా రాయండి.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 62

ఇది కార్బన్ మీద అష్టకాన్నివ్వదు. అందువల్ల C, O ల మధ్య బహుబంధం రాద్దాం. ఇది C, O రెండు పరమాణువులకూ అష్టక నియమం ఉపయోగిస్తుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 63

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 2.
నైట్రైట్ అయాన్ లూయీ చుక్కల నిర్మాణం రాయండి.
సాధన:
1వ దశ :
నైట్రోజన్ వేలన్స్ కర్పర ఎలక్ట్రాన్లు, ఆక్సిజన్ వేలన్స్ కర్పర ఎలక్ట్రాన్లను కలిపి ఆ విలువకు రుణ విద్యుదావేశం పరంగా ఇంకొక ఎలక్ట్రాన్ కలపండి.
N(2s² 2p3), O (2s² 2p4)
5e + 6e + 12e

2వ దశ :
NO2 అయాన్ స్థూల నిర్మాణం O NO

3వ దశ :
ప్రతి రెండు పరమాణువుల మధ్య ముందుగా ఒక్కొక్క సమయోజనీయ బంధం (అంటే నైట్రోజన్ – ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్ ఆక్సిజన్) రాయండి. తరువాత రెండు ఆక్సిజన్ల అష్టకం పూర్తి చేయండి.
ఇక మిగిలిన రెండు ఎలక్ట్రాన్లను నైట్రోజన్ మీద ఒంటరి జంటగా చూపినప్పటికి దానికి అష్టకం రాదు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 64

కాబట్టి నైట్రోజన్ పరమాణువుకు కూడా అష్టకం రావడానికి బహుబంధాలను రాయాలి. ‘N’, ఒక ‘O’ మధ్య ద్విబంధం (బహుబంధం) రాస్తే అన్ని పరమాణువులకూ అష్టకం వస్తుంది.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 65

ప్రశ్న 3.
XO2-3 నిర్మాణాన్ని రెజోనెన్స్ ద్వారా వివరించండి.
సాధన:
కేంద్రంలో కార్బన్ పరమాణువును రాసి చుట్టూ మూడు ఆక్సిజన్ పరమాణువులను రెండింటిని కార్బన్ ఏకబంధాలతో మూడోదాన్ని కార్బన్ ద్విబంధంతోను ఒక నిర్మాణం లూయీ సిద్ధాంతం ప్రకారం రాస్తే అది ‘C’ పరమాణువు ‘O’ పరమాణువుల మధ్య వేర్వేరు దైర్ఘ్యాలు గల బంధాలనిస్తుంది. కాని ప్రయోగ పూర్వకంగా గుర్తించేదేమిటంటే కార్బన్కు ఆక్సిజన్ పరమాణువులకు మధ్య బంధాలన్ని ఒకే బంధ దైర్ఘ్యంతో ఉన్నాయని, అందువల్ల కార్బొనేట్ అయాన్ను కింద చూపించిన I, II, III రెజొనెన్స్ నిర్మాణాల రెజోనెన్స్ హైబ్రిడ్గా చూపవచ్చు. ఆ హైబ్రిడ్ నిర్మాణంతో కార్బోనేట్ అయాన్ను యదార్థంగా చూపేందుకు చేసే ప్రయత్నం అందుబాటులో ఉన్న అన్ని ప్రయత్నాల్లోకి అత్యుత్తమం అని భావించవచ్చు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 66

AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

ప్రశ్న 4.
CO2 అణువు నిర్మాణాన్ని రెజొనెన్స్ సిద్ధాంతం ప్రకారం వివరించండి.
సాధన:
ప్రయోగపూర్వకంగా CO2 అణువులోని కార్బన్తో రెండు ఆక్సిజన్ పరమాణువులు ఏర్పరచే కార్బన్ – ఆక్సిజన్ బంధాలను సమానమైనవి 115 pm గా గుర్తించారు. C =0 ద్విబంధదైర్ఘ్యం 121pm, అదే C = O త్రికబంధ దైర్ఘ్యం నిజమైన CO2 అణువులో ఉన్న కార్బన్ – ఆక్సిజన్ బంధ దైర్ఘ్యాలు (115 pm) ఈ విలువ C = 0కు = 0 అంటే 121 pm, 110 pm ల మధ్య ఉన్నది. అంటే ఒకే ఒక్క లూయీ నిర్మాణం దీనిని వివరించలేదు. అందువల్ల ఒకటికంటే ఎక్కువ లూయీ నిర్మాణాలను (0) కు ఇవ్వాలి. అందుకే CO2 ను I, II, III కెనోనికల్ లేదా రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలతో చూపుతారు.
AP Inter 1st Year Chemistry Study Material Chapter 3 రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం 67

CO2 అణువులో రెజొనెన్స్ I, II, III నిర్మాణాలు CO2కు ఇచ్చే మూడు రెజొనెన్స్ నిర్మాణాలు
సాధారణంగా మనం రెజోనెన్స్ను కింది విధంగా వివరించవచ్చు.

రెజొనెన్స్ హైబ్రిడ్ శక్తి కంటే ఏకెనోనికల్ నిర్మాణానికైనా శక్తి ఎక్కువ. అంటే రెజొనెన్స్ అణువుకు స్థిరత్వాన్నిస్తుంది.
బంధ లక్షణాలను రెజొనెన్స్ మొత్తం మీద సగటు విలువలుగా ఇస్తుంది. అంటే ఓజోన్ O3 రెజొనెన్స్ హైబ్రిడ్ శక్తి ఇతర రెండు I, II కెనోనికల్ నిర్మాణాల శక్తి కంటే తక్కువ.

AP Inter 1st Year Botany Study Material Chapter 1 జీవ ప్రపంచం

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Botany Study Material 1st Lesson జీవ ప్రపంచం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Botany Study Material 1st Lesson జీవ ప్రపంచం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ICBN దేనికి సూచిక?
జవాబు:
అంతర్జాతీయ వృక్ష నామీకరణ నియమావళి
[International Code for Botanical Nomenclature].

ప్రశ్న 2.
ఫ్లోరా (Flora) అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక ప్రదేశంలో ఉన్న మొక్కల ఆవాసము, వితరణల సమాచారము, మొక్కల జాబితాను ఒక క్రమపద్ధతిలో ఉన్న దానిని ఫ్లోరా అంటారు.

ప్రశ్న 3.
జీవక్రియను నిర్వచించండి. నిర్మాణాత్మక, విచ్ఛిన్న క్రియల మధ్య తేడా ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక జీవి శరీరంలో జరిగే అన్ని రసాయనిక చర్యలను కలిపి జీవక్రియ అంటారు.

నిర్మాణాత్మక క్రియవిచ్ఛిన్న క్రియ
→ సరళమైన అణువుల నుండి సంక్లిష్టమైన అణువులు ఏర్పడే నిర్మాణాత్మక జీవక్రియను నిర్మాణ క్రియ అంటారు.→ సంక్లిష్ట అణువులు సరళమైన అణువులుగా విడగొట్టబడే విచ్ఛిన్న జీవక్రియను విచ్ఛిన్న క్రియ అంటారు.
→ కిరణజన్య సంయోగక్రియ.→ శ్వాసక్రియ.

ప్రశ్న 4.
ప్రపంచంలోని అతిపెద్ద వృక్షశాస్త్ర ఉద్యానవనం ఏది? భారతదేశంలోని కొన్ని ప్రసిద్ధ వృక్షశాస్త్ర ఉద్యానవనాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
ప్రపంచంలోని అతిపెద్ద ఉద్యానవనము – రాయల్ బొటానికల్ గార్డెన్స్-క్యూ-ఇంగ్లండ్లో ఉన్నది. భారతదేశంలో ఇండియన్ బొటానికల్ గార్డెన్స్ – హోరా, నేషనల్ బొటానికల్ రీసెర్చ్ ఇన్స్టిట్యూట్ లక్నోలో ఉద్యానవనాలు కలవు.

ప్రశ్న 5.
వర్గీకరణశాస్త్ర ‘కీ’ లో వాడే ‘కప్లెట్’, ‘లీడ్’ పదాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
జంటలుగా ఉన్న విభిన్న లక్షణాలను కట్లెట్ అంటారు. “కీ” లోని ప్రతి వ్యాఖ్యను “లీడ్” అంటారు.

AP Inter 1st Year Botany Study Material Chapter 1 జీవ ప్రపంచం

ప్రశ్న 6.
మాన్యుయల్ లు (Manuals), మోనోగ్రాఫ్ లు (Monographs) అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక ప్రదేశంలోని జాతుల పేర్లను గుర్తించడానికి తోడ్పడే సమాచారాన్ని ఇచ్చే చిన్న పుస్తకాలను మాన్యుయల్స్ అంటారు. ఏదేని ఒక వర్గానికి చెందిన సమాచారాన్ని కలిగి ఉన్న వాటిని మోనోగ్రాఫ్లు అంటారు.

ప్రశ్న 7.
“సిస్టమాటిక్స్” (Systematics) అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
వివిధ రకాల జీవులు, వాటి వైవిధ్యాలు, సంబంధ బాంధవ్యాల అధ్యయనాన్ని సిస్టమాటిక్స్ అంటారు.

ప్రశ్న 8.
జీవులను ఎందుకు వర్గీకరించారు?
జవాబు:
జీవుల పెరుగుదల, ప్రత్యుత్పత్తి, పర్యావరణ పరిస్థితులను గుర్తించే సామర్థ్యం, దానికి తగిన అనుక్రియను చూపడం, జీవక్రియ, పునరుత్పత్తి సామర్థ్యం, పరస్పర చర్యలు, లక్షణ వ్యక్తీకరణ వంటి విషయాలు తెలుసుకొనుటకు జీవులను వర్గీకరించారు.

ప్రశ్న 9.
వర్గీకరణలో మౌళిక ప్రమాణం ఏది? దాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
వర్గీకరణకు మూల ప్రమాణము “జాతి”. మౌళికమైన పోలికలు కలిగిన జీవుల సముదాయాన్ని జాతి అంటారు.

ప్రశ్న 10.
మామిడి శాస్త్రీయ నామాన్ని తెలపండి. ప్రజాతి, జాతి నామాలను (epithet) గుర్తించండి.
జవాబు:
మాంజిఫెరా ఇండికా. మాంజిఫెరా ప్రజాతి నామము, ఇండికా జాతినామము.

AP Inter 1st Year Botany Study Material Chapter 1 జీవ ప్రపంచం

ప్రశ్న 11.
పెరుగుదల అంటే ఏమిటి? జీవులు నిర్జీవుల పెరుగుదలల మధ్య తేడా ఏమిటి? [Mar. ’14]
జవాబు:
జీవుల పరిమాణంలో జరిగే శాశ్వతమైన, అద్విగతమైన వృద్ధిని పెరుగుదల అంటారు. జీవులలో పెరుగుదల లోపలి నుంచి జరుగుతుంది. నిర్జీవులలో పర్వతాలు, ఇసుకతిన్నెలు వాటి ఉపరితలంపై పదార్థం సంచయనం చెందడం వల్ల జరుగుతుంది.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
గుర్తింపు, నామీకరణ అంటే ఏమిటి ? ఒక జీవిని గుర్తించడంలోనూ, వర్గీకరించడంలోనూ ‘కీ’ (key) ఏ విధంగా సహాయపడుతుంది?
జవాబు:
సేకరించిన జీవి పూర్తిగా కొత్తదా లేక పూర్వం తెలిసి ఉన్నదా అనే విషయమును నిర్ధారించుటను గుర్తింపు అంటారు. గుర్తించిన జీవికి అంతర్జాతీయంగా ఆమోదయోగ్యమైన శాస్త్రీయనామాన్ని ఇవ్వడాన్ని నామీకరణ అంటారు. మొక్కలను పరోక్షంగా ఫ్లోరాలలోని ‘కీ’ ల సహాయంతో గుర్తించవచ్చు. వివిధ రకాల మొక్కలు, జంతువుల మధ్య ఉన్న పోలికలు, వ్యత్యాసాల ఆధారంగా వాటి గుర్తింపునకు తోడ్పడే మరో వర్గీకరణ సహాయము “కీ” “కీ” లు సాధారణంగా “కప్లెట్” అనబడే జంటలుగా ఉన్న విభిన్న లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఇది రెండు వ్యతిరేక లక్షణాలలో ఒకదాన్ని ఎంపిక చేసే అవకాశాన్ని కల్పిస్తుంది. “క్రీ” లోని ప్రతి వ్యాఖ్యను “లీడ్” అంటారు. వివిధ వర్గీకరణ ప్రమాణాలు అయిన కుటుంబం, ప్రజాతి, జాతులకు వేర్వేరు వర్గీకరణ “కీ” లు అవసరము. “కీ” లు సాధారణంగా విశ్లేషణ స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
వర్గీకరణశాస్త్ర సహాయకాలు (taxonomical aids) ఏవి? హెర్బేరియంలు (herbaria), మ్యూజియంల (museums) ప్రాముఖ్యం తెలపండి.
జవాబు:
వివిధ జాతుల మొక్కలు, జంతువులు, ఇతర జీవుల వర్గీకరణ అధ్యయనాలు వ్యవసాయం, అటవీశాస్త్రం, పరిశ్రమలు మనం వాడే జీవవనరులు, వాటి వైవిధ్యం గురించి తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగపడతాయి. వీటికి ఉపయోగపడేవి హెర్బేరియమ్, “మ్యూజియం, కీ “(key)” లు.

హెర్బేరియమ్ :
సేకరించిన వృక్ష నమూనాను ఆరబెట్టి, ప్రెస్చేసి, షీట్లపై భద్రపరిచే ప్రదేశాన్ని హెర్బేరియం అంటారు. ఈ షీట్లు విశ్వవ్యాప్తంగా ఆమోదింపబడిన వర్గీకరణ వ్యవస్థను అనుసరించి అమర్చబడి ఉంటాయి. వర్ణనలతో కూడిన హెర్బేరియమ్ షీట్లు భవిష్యత్లో ఉపయోగాల కోసం గిడ్డంగిగా పనిచేస్తాయి. ఈ షీట్లపై సేకరణ తేదీ, స్థలాన్ని గురించిన సమాచారము, ఇంగ్లీష్ స్థానిక వృక్ష శాస్త్రనామము, కుటుంబము, సేకరించిన వారి పేరు మొదలైన సమాచారంతో కల గుర్తింపు చీటీని కలిగి ఉంటాయి. వర్గీకరణ అధ్యయనాలలో హెర్బేరియమ్ శీఘ్రసంప్రదింపు వ్యవస్థగా పనిచేస్తుంది.

మ్యూజియమ్లు :
జీవసంబంధ మ్యూజియంలను విద్యాసంస్థలైన పాఠశాలలు, కళాశాలల్లో నెలకొల్పుతారు. మ్యూజియంలో భద్రపరిచిన వృక్ష, జంతు నమూనాల సేకరణలు అధ్యయనం కోసం, సంప్రదింపులకు తోడ్పడతాయి. నమూనాలను పాత్రలలోకాని లేదా జాడీలలోగాని నిల్వఉంచే ద్రావకంలో భద్రపరుస్తారు. వృక్ష, జంతు నమూనాలను ఎండిన స్థితిలో కూడా నిల్వచేస్తారు.

ప్రశ్న 3.
టాక్సాన్ (Taxon)ను నిర్వచించండి. స్థాయి క్రమంలోని వివిధ స్థాయిలలో టాక్సాన్ల (Taxon)కు కొన్ని ఉదాహరణలను తెలపండి.
జవాబు:
వర్గీకరణ వ్యవస్థలోని ఏ స్థాయికి చెందిన ఏ ప్రమాణమును అయినా లేదా రకాన్నైనా “టాక్సాన్” అంటారు. స్థాయి క్రమంలోని వివిధ స్థాయిలు :-
1) జాతి : మౌలికమైన పోలికలు కల జీవుల సముదాయమును “జాతి” అంటారు.
ఉదా : మాంజిఫెరా ఇండికా (మామిడి)లో ఇండికా జాతినామము.

2) ప్రజాతి : దగ్గర సంబంధం కల జాతుల సముదాయమును ప్రజాతి అంటారు.
ఉదా : పొటాటో (బంగాళదుంప), వంకాయ రెండు వేర్వేరు జాతులు కాని సొలానమ్ అను ప్రజాతికి చెందినవి.

3) కుటుంబము : సన్నిహిత సంబంధం కల ప్రజాతుల సముదాయములను కుటుంబం అంటారు.
ఉదా : సొలానమ్, నికోటియానా, దతూర అను మూడు వేరు వేరు ప్రజాతులను సొలనేసి అను కుటుంబంలో చేర్చారు.

4) క్రమము : తక్కువ లక్షణాలలో మాత్రమే సారూప్యత కలిగిన వేర్వేరు కుటుంబాలను కలిగి ఉంటుంది.
ఉదా : పుష్పలక్షణాలు ఆధారంగా కన్వాల్యులేసి, సొలనేసి అను కుటుంబాలు పోలీమోనియేల్స్ క్రమంలో చేర్చబడినాయి.

AP Inter 1st Year Botany Study Material Chapter 1 జీవ ప్రపంచం

ప్రశ్న 4.
జీవ వైవిధ్య సంరక్షణలలో వృక్షశాస్త్ర ఉద్యానవనాలు ఏ విధంగా తోడ్పడతాయి? ‘ఫ్లోరా’ (flora), ‘మాన్యుయలు’ (manuals), ‘మోనోగ్రాఫ్ లు’ (monographs), కాటలాగ్ (catalogues)లను నిర్వచించండి.
జవాబు:
వృక్షశాస్త్ర ఉద్యానవనాలు సంప్రదింపుల కోసం సజీవమైన మొక్కలను కల్గి ఉంటాయి. మొక్కలను తేలికగా గుర్తించడం కోసం వృక్ష జాతులను ఈ తోటలలో పెంచుతారు. ప్రతి మొక్కకు శాస్త్రీయ లేదా వృక్షనామము, కుటుంబముతో కూడిన గుర్తింపు చీటీ ఉంటుంది.

1) ఫ్లోరా (Flora) :
ఒక ప్రదేశంలో ఉన్న మొక్కల ఆవాసము వితరణల సమాచారాన్ని, మొక్కల జాబితాను ఒక క్రమ పద్ధతిలో కలిగి ఉన్న పుస్తకంను ఫ్లోరా అంటారు.

2) మాన్యుయల్ (Manuals) :
ఒక ప్రదేశంలోని జాతుల పేర్లను గుర్తించడానికి తోడ్పడే సమాచారాన్ని ఇచ్చే చిన్న పుస్తకము.

3) మోనోగ్రాఫ్లు (Monographs) :
ఒక ప్రదేశంలో ఏదో ఒక వర్గానికి చెందిన సమాచారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి.

4) కాటలాగ్ (Catalogues) :
మొక్కలను ఖచ్చితంగా గుర్తించడానికి కావలసిన సమాచారాన్ని ఇచ్చే పుస్తకము.

ప్రశ్న 5.
ద్వినామ నామీకరణను వివరించండి.
జవాబు:
గుర్తించిన మొక్కను రెండు పదాలతో కూడిన పేరు పెట్టుటను ద్వినామ నామీకరణ అంటారు. దీనిని “కరోలస్ లిన్నేయస్” ప్రవేశపెట్టారు. జీవులకు శాస్త్రీయ నామాలు సమాకూర్చునప్పుడు సార్వత్రికంగా ఆమోదించిన సూత్రాలను అనుసరిస్తారు. అవి :

  1. జీవశాస్త్ర నామాలు లాటిన్ భాషలో ఉండి, ఇటాలిక్ వ్రాయబడతాయి.
  2. జీవశాస్త్ర నామంలోని మొదటి పదం ప్రజాతిని, రెండోది జాతి నామమును తెలియజేస్తుంది.
  3. జీవశాస్త్ర నామంలోని రెండు పదాలను చేతితో వ్రాసినప్పుడు వేరువేరుగా పేరుకింద గీతగీయాలి. లేదా ముద్రణలో అయితే ఇటాలిక్లలో సూచించాలి.
  4. ప్రజాతిని సూచించే మొదటి పదం పెద్ద అక్షరంతోను, జాతి నామాన్ని సూచించే రెండోపదం చిన్న అక్షరంతోను ప్రారంభమవుతాయి.
  5. శాస్త్రీయ నామం చివర ఆ జీవిని వర్ణించిన కర్త పేరు క్లుప్తంగా ఉంటుంది.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
‘జీవించడం’ (living) అంటే ఏమిటి? జీవరూపాలను నిర్వచించే ఏవైనా నాలుగు లక్షణాలను వివరించండి.
జవాబు:
పెరుగుదల, జీవక్రియలు, పునరుత్పత్తి సామర్థ్యం వంటి లక్షణాలను స్వతహాగా ప్రదర్శించుటను “జీవించడం” అంటారు. జీవరూపాలను నిర్వహించే లక్షణాలు
1) పెరుగుదల :
జీవుల పరిమాణంలో జరిగే శాశ్వతమైన అద్వితమైన వృద్ధిని పెరుగుదల అంటారు. మొక్కలలో పెరుగుదల కణవిభజనల ద్వారా జీవితకాలమంతా నిరంతరం కొనసాగుతుంది. కణవిభజనలు జరిగే వరకు ఏకకణ జీవులు కూడా పరిమాణంలో పెరుగుతాయి.

2) ప్రత్యుత్పత్తి :
జనకుల లక్షణాలను పోలిన లక్షణాలు కల సంతతిని ఉత్పత్తి చేయుటను ప్రత్యుత్పత్తి అంటారు. జీవులు లైంగికంగాను, అలైంగికంగాను కూడా ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుకుంటాయి. శిలీంధ్రాలు అలైంగికంగా సిద్ధబీజాల ద్వారా ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుకుంటాయి. తంతూరూప శైవలాలు నాచులో ప్రథమ తంతువులు ముక్కలవడం ద్వారా సంఖ్యలో పెరుగుతాయి. ఏకకణజీవులైన బాక్టీరియా, ఏకకణ శైవలాలులాంటి జీవులలో పెరుగుదల ప్రత్యుత్పత్తికి పర్యాయము. ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుకోలేని జీవులు కూడా చాలా ఉన్నాయి. కావున ప్రత్యుత్పత్తిని జీవులను నిర్వచించే లక్షణాలలో చేర్చడానికి వీలులేదు.

3) జీవక్రియలు :
జీవులలో జరిగే రసాయన చర్యలు అన్నింటిని కలిపి జీవక్రియలు అంటారు. అన్ని మొక్కలు, జంతువులు, శిలీంధ్రాలు, సూక్ష్మజీవులు జీవక్రియలను ప్రదర్శిస్తాయి. ఏ నిర్జీవి జీవక్రియను ప్రదర్శించదు.

4) పర్యావరణ పరిస్థితులను గ్రహించే సామర్థ్యం :
అన్ని జీవులు భౌతిక, రసాయనిక లేదా జీవ సంబంధమైన పర్యావరణ ప్రేరణలకు అనుక్రియను చూపుతాయి. పర్యావరణ ప్రేరణలకు జీవి చూపే ఈ అనుక్రియను “క్షోభ్యత” అంటారు. మొక్కలు, కాంతి, నీరు, ఉష్ణోగ్రత ఇతర జీవరాశులు, కాలుష్యకారకాలు వంటి కారకాలకు అనుక్రియను చూపుతాయి. అన్ని జీవరాశులు వాటి పరిసరాలకు అప్రమత్తంగా ఉంటాయి. దీనిని స్పృహ (Consciousness) అంటారు. మనిషి మాత్రమే తనను గురించిన గుర్తింపు కలిగి ఉంటాడు. దీనిని స్వయం స్పృహ అంటారు. ఇది రోగికి ఉండదు.

AP Inter 1st Year Botany Study Material Chapter 1 జీవ ప్రపంచం

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది పదాలను సోదాహరణలతో నిర్వచించండి.
i) తరగతి ii) కుటుంబం iii) క్రమం iv) ప్రజాతి v) విభాగం
జవాబు:
i) తరగతి :
పోలికలు కల క్రమాల సముదాయమును తరగతి అంటారు. వృక్షరాజ్యంలో మాల్వేలిస్, రోజేలిస్, పోనిమోలియేలిస్ వంటి క్రమాలను డైకాటిలిడనే (ద్విదళబీజాలు) తరగతిలో ఉంచారు.

ii) కుటుంబం :
సన్నిహిత సంబంధం కల ప్రజాతుల సమూహాన్ని కుటుంబం అంటారు. జాతుల శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తి లక్షణాలు ఆధారంగా కుటుంబ లక్షణాలను పేర్కొంటారు. ఉదా : మొక్కలలో సొలానమ్, నికోటియానా, దతూర అను మూడు వేరు వేరు ప్రజాతులను సొలనేసి అనే కుటుంబంలో చేర్చారు.

iii) క్రమము :
తక్కువ లక్షణాలలో మాత్రమే సారూప్యత కలిగిన వేర్వేరు కుటుంబాల సముదాయమును క్రమం అంటారు. ఉదా : కన్వాల్వులేసి, సొలనేసి వంటి కుటుంబాలు పుష్పలక్షణాలు ఆధారంగా పోలిమోనియేలిస్ క్రమంలో చేర్చబడ్డాయి.

iv) ప్రజాతి :
దగ్గర సంబంధం కల జాతుల సముదాయమును ప్రజాతి అంటారు. ఉదా : మొక్కలలో పొటాటో (బంగాళాదుంప), వంకాయ వంటి రెండు జాతులు సొలానమ్ అను ప్రజాతిలో చేర్చబడినాయి.

v) విభాగము :
పోలికలు కల తరగతులను కలిపి విభాగము అంటారు. డైకాటలిడే (ద్విదళబీజాలు) మోనోకాటిలీడనే (ఏకదళబీజాలు) అను రెండు తరగతులను స్పెర్మటోఫైటా అనే విభాగమును ఏర్పరిచారు.

Intext Question and Answers

ప్రశ్న 1.
కణజాలాల లక్షణాలలో కొన్ని వాటి అనుఘటకాలైన కణాలవి కావున. ఈ వ్యాఖ్యను బలపరచడానికి రెండు ఉదాహరణలివ్వండి.
జవాబు:
కణజాలాల ధర్మాలు వాటి నిర్మాణంలో పాల్గొన్న కణాలలో ఉండవు కాని వాటి నిర్మాణంలో పాల్గొన్న కణాల మధ్యజరిగే పరస్పర చర్యల ఫలితంగా ఉంటాయి. కణాంగాల ధర్మాలు ఆ కణాంగాల నిర్మాణంలో పాల్గొన్న అణువులలోగాక వాటి నిర్మాణంలో పాల్గొన్న అనుఘటకాల మధ్య జరిగే పరస్పర చర్యల ఫలితంగా ఉంటాయి. అనుఘటకాల మధ్య జరిగే ఇటువంటి పరస్పర చర్యలు “పిండిపదార్థం” వంటి బృహదణువులలో చూడవచ్చు.

ప్రశ్న 2.
విడిజీవుల, జనాభాల గుర్తింపు నుంచి మనం ఏం నేర్చుకుంటాం ?
జవాబు:
విడిజీవుల, జనాభాల గుర్తింపు వర్గీకరణ అధ్యయనాలకు ప్రాథమిక సూత్రం మరియు వాటివల్ల జీవవనరులు, వాటి వైవిధ్యాన్ని గురించి తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగపడతాయి.

ప్రశ్న 3.
మామిడి శాస్త్రీయనామాన్ని కింద ఇవ్వడమైంది సరిగ్గా రాసిన నామాన్ని గుర్తించండి.
Mangifera Indica లో i పెద్ద అక్షరం
Mangifera Indica లో i చిన్న అక్షరం
జవాబు:
Mangifera Indica i.

ప్రశ్న 4.
వర్గీకరణ స్థాయిల సరైన క్రమాన్ని మీరు గుర్తించగలరా !
a) జాతి క్రమం, విభాగం, రాజ్యం
b) ప్రజాతి, జాతి క్రమం, రాజ్యం
c) జాతి, ప్రజాతి, క్రమం, ఫైలం
జవాబు:
“C” సరి అయినది.

ప్రశ్న 5.
ఈ కింది పదాలను నిర్వచించండి
జవాబు:
జాతి :
మౌళికమైన పోలికలు కల జీవుల సముదాయమును “జాతి” అంటారు.

తరగతి :
“పోలికలు కల క్రమాల సముదాయము”.

కుటుంబము :
సన్నిహిత సంబంధం గల ప్రజాతుల సముదాయాలను కుటుంబం అంటారు.

క్రమము :
తక్కువ లక్షణాలలో మాత్రమే సారూప్యత కల వేర్వేరు కుటుంబాల సముదాయము.

ప్రజాతి :
దగ్గర సంబంధం గల జాతుల సముదాయము.

AP Inter 1st Year Botany Study Material Chapter 1 జీవ ప్రపంచం

ప్రశ్న 6.
తగిన ఉదాహరణలతో ఒక మొక్క వర్గీకరణ స్థాయి క్రమాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
వృక్షరాజ్యము
విభాగము = స్పెర్మటోఫైటా
తరగతి = ద్విదళ బీజాలు
క్రమం = సాపిండేల్స్
కుటుంబం = అనకార్డియేసి
ప్రజాతి = మాంజిఫెరా
జాతి = ఇండికా

ప్రశ్న 7.
జీవులు ప్రదర్శించే నిర్దిష్టమైన లక్షణాలు ఏవి? వాటిని క్లుప్తంగా వివరించండి.
జవాబు:
పెరుగుదల :
“జీవుల పరిమాణంలో జరిగే శాశ్వతమైన అద్విగతమైన వృద్ధి”.

ప్రత్యుత్పత్తి :
“తల్లిదండ్రులతో దాదాపు సమానమైన లక్షణాలు కల సంతతిని ఉత్పత్తి చేయుట”.

జీవక్రియలు :
ఒక జీవి శరీరంలో జరిగే అన్ని రసాయిన చర్యలను కలిపి జీవక్రియ అంటారు.

ప్రశ్న 8.
జీవరూపాలు ‘భిన్నత్వంలో ఏకత్వం’ ప్రదర్శిస్తాయి. మీ అధ్యాపకుడితో చర్చించండి.
జవాబు:
జీవరూపాలు వైవిధ్యాన్ని చూపుతాయి. ఉదా: బాక్టీరియా, మానవుడు, ఓక్ (oak) వృక్షము మూడు వేర్వేరు జీవులైనప్పటికి, అవి ఒకే ప్రాథమిక, నిర్మాణాత్మక మూలకము అయిన “కణం” తో నిర్మితమై, ఏకత్వాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి. ఆ కణంలో మరల సారూప్యత కల వివిధ ఉపకణాంగాలు, అనుఘటకాలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 9.
కొత్తగా కనుగొన్న జీవికి శాస్త్రీయ నామాన్ని ఇవ్వడానికి పాటించే సూత్రాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:

  1. జీవశాస్త్ర నామాలు లాటిన్ భాషలో ఉండి, ఇటాలిక్ వ్రాయబడతాయి.
  2. జీవశాస్త్ర నామంలోని మొదటి పదం ప్రజాతిని, రెండోది జాతి నామమును తెలియజేస్తుంది.
  3. జీవశాస్త్ర నామంలోని రెండు పదాలను చేతితో వ్రాసినప్పుడు వేరువేరుగా పేరుకింద గీతగీయాలి. లేదా ముద్రణలో అయితే ఇటాలిక్లలలో సూచించాలి.
  4. ప్రజాతిని సూచించే మొదటి పదం పెద్ద అక్షరంతోను, జాతి నామాన్ని సూచించే రెండోపదం చిన్న అక్షరంతోను ప్రారంభమవుతాయి.
  5. శాస్త్రీయ నామం చివర ఆ జీవిని వర్ణించిన కర్త పేరు క్లుప్తంగా ఉంటుంది.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 1.
\(\frac{4+2 i}{1-2 i}+\frac{3+4 i}{2+3 i}\) ను a + ib, a, b ∈ R రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 2.
\(\frac{a+i b}{a-i b}\) సంకీర్ణ సంఖ్య వాస్తవ, కల్పిత భాగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 2

ప్రశ్న 3.
(1-i)3(1+i) ను a+ib రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
(1-i)3(1+i)=(1-i)2(1-i)(1+i)
=(1+i2-2i) (12-i2)
=(1-1-2i)(1+1)
=0-4 i=0+i(-4)

ప్రశ్న 4.
7 + 24 i యొక్క గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 3

ప్రశ్న 5.
Z ≠ 2i \(\left(\frac{z-4}{z-2 i}\right)\) వాస్తవ భాగం సున్న అయ్యే z బిందుపథాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 4
కాబట్టి z ≠ 2i అయి, \(\cdot\left(\frac{z-4}{z-2 i}\right)\) కు వాస్తవ భాగం =0 ⇔ (x, y) ≠ (0,2) మరియు (x-2)2+(y-1)2=5. కనుక దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యను సూచించే దత్త బిందువు బిందు పథం (2,1) కేంద్రం \(\sqrt{5}\) వ్యాసార్థంతో (0,2) బిందువు మినహా ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 6.
x, y వాస్తవ సంఖ్యలవుతూ, 4 x+i(3 x-y)= 3 – 6i అయితే, x, y విలువలను కనుక్రోండి.
సాధన:
∴ 4 x+i(3 x-y)=3-6i
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోలిస్తే,
4 x=3,3 x-y=-6
⇒ x=3/4
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 5

ప్రశ్న 7.
z=2-3 is, అయితే, z2-4 z+13=0 అని చూపండి.
సాధన:
∴ z=2-3i
z – 2 = – 3i
(z – 2)2 = (- 3i)2
= z2 –  4z + 4 = 9i2
z2 – 4z + 4 = 9(-1)
z2 – 4z + 13 = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 8.
(3 + 4i) (2 – 3i) కి సంకీర్ణ యుగ్మాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(3+4 i)(2-3i)=6+8i-9i-12i2
=6-i-12(-1)=18-i
దాని సంకీర్ణ సంయుగ్మం 18 +i

ప్రశ్న 9.
\(z_1=\frac{2+11 i}{25}, z_2=\frac{-2+i}{(1-2 i)^2}\) లు పరస్పరం సంయుగ్మాలని చూపండి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 6
ఈ సంకీర్ణ సంఖ్య \(\frac{2+11 \mathrm{i}}{25}\) కు సంయుగ్మం, కాబట్టి దత్త సంకీర్ణ సంఖ్యలు z1, z2 లు రెండూ పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ల సంఖ్యలు. (-5 + 12i) కి వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 10.
(-5 + 12i) కి వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 7

ప్రశ్న 11.
\(z=-\sqrt{7}+i \sqrt{21}\) కు ద్రువరూపం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 8
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 9

ప్రశ్న 12.
(-1 -i) ను (ప్రధాన ఆయామం విలువతో ధ్రువ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
-1-i=r(cos θ+i sin θ) అనుకోండి.
-1 =r cos θ
-1 =r sin θ
tan θ =1 ………………. (1)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 17
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 13.
\(\left(\frac{z-2}{z-6 i}\right)\) ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) అయితే, బిందుపథం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 11

ప్రశ్న 14.
సంకీర్ణ తలంలోని ఏ వృత్త సమీకరణమైనా, \(\mathbf{z} \overline{\mathbf{z}}+\mathbf{b} \overline{\mathbf{z}}+\overline{\mathbf{b}} \mathbf{z}+\mathbf{c}=\mathbf{0}\) (b∈C, C∈R) రూపంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
కార్టిషియన్ రూపంలో వృత్త సమీకరణం
x2+y2+2 gx+2 fy+c=0,
(g, f ∈ R) గా తీసుకొందాం. ………………. (1)
ఈ సమీకరణాన్ని సంకీర్ణ రూపంలో [వాయడానికి,(x,y) = z అనుకొందాం.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 12

ప్రశ్న 15.
z2+ \(\bar{z}^2\) =2 ను తృప్తిపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్య z లు, ఒక అతిపరావలయంగా ఏర్పడతాయని చూపండి.
సాధన:
\(z^2+\bar{z}^2\) =2 సమీకరణంలో z = x + iy (వరాస్తే, ఇచ్చిన సంకీర్ణ సంఖ్యకు కార్టిషియన్ రూపం వస్తుంది.
∴ (x+i y)2+(x-i y)2=2
i.e., x2-y2+2 ixy+x2-y2 2 ixy = 2
i.e., x2-y2=1 .
ఈ సమీకరణం ఒక అతిపరావలయంను సూచిస్తుంది.
\(\mathrm{z}^2+(\overline{\mathrm{z}})^2\) = 2 ని తృప్తిపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్యలన్నీ
x2-y2=1 అనే అతిపరావలయంగా ఏర్పడతాయి.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 16.
ఆర్గాండ్ పటంలో 1+3 i, 4-3 i, 5 – 5i సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులా సరేఖియాలని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన మూడు సంకీర్ణ సంఖ్యలని ఆర్గాండ్ పటంలో వరుసగా P, Q, R లతో సూచిద్దాం.
P=(1,3) ; Q=(4,-3) ; R=(5,-5)
P, Q లను కలిపే రేఖ వాలు = \(\frac{3+3}{1-4}=\frac{6}{-3}=-2\)
Q, R లను కలిపే రేఖ వాలు = \( \frac{-3+5}{4-5}=\frac{2}{-1}=-2\)
PQ వాలు, QR వాలుకు సమానం కనుక P, Q, R బిందువులు సరేఖియాలు.

ప్రశ్న 17.
ఆర్గాండ్ తలంలో (-4+3 i),(2-3 i) లను సూచించే బిందువులను కలిపే సరళరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ఐిందువులను
A=-4+3 i=(-4,3),
B=2-3 i=(2,-3) గా తీసుకుందాం,
సరళరేఖ \(\stackrel{\leftrightarrow}{AB}\) సమీకరణం
y-3= \(\frac{3+3}{-4-2}(x+4)\)
i.e., x+y+1=0

ప్రశ్న 18.
ఆర్గాండ్ తలంలో z=x+1 y ఒక బిందువును సూచిస్తుంది. |z|=2 అయ్యేటట్లు z బిందుపథాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన:
|z|=2
z= x+iy  అనుకొందాం.
|x+iy|=2
⇔ \(\sqrt{x^2+y^2}\) =2 ⇔ x2+y2=4
x2+y2=4 సమీకరణం, కేంద్రం (0,0) గా 2 యానిట్లు
వ్యాసార్థంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ |z|=2 కు బిందుపథం x2 +y2 =4 అనే వృత్తం.

ప్రశ్న 19.
ఆర్గాండ్ తలంలో p బిందువు, సంకీర్ణసంఖ్ల z ను సూచిస్తుంది. z అయామం \(\frac{\pi}{4}\) అయితే P బిందకపథాన్ని నర్ణయించండ.
సాధన:
z=x+i y అనుకొందాం.
z కు ఆయామం \(\frac{\pi}{4}\)
i.e., \(\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{y}{x}=\tan \frac{\pi}{4}=1\)
x=y
∴P  బిందుపథం x = y

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 20.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో P బిందువు సంకీర్ణ సంఖ్య z=x+i y ను సూచించినప్పండు \(\frac{z-i}{z-1}\) శుద్ధకల్పిత సంఖ్య అయీతే, P బిందుపథాన్ని కననుక్రోండి.
సాధన:
z=1 అయితే \(\frac{z-i}{z-1}\) నిర్వచితం కాదు.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 15

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 21.
(కింది ఉదహరించిన C యెకక్క ఉపసమితులను, జ్యామితీయంగా వివరించండి.
(i) { z∈C| | z – 1+ i| = 1}
(ii) { z∈C | | z+i| ≤ 3}
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు 16

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 7 Formation of a Company

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 7th Lesson Formation of a Company will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 7th Lesson Formation of a Company

→ Promotion is considered as putting an idea into practice. The creation of business is known as promotion.

→ Discovery of an idea, detailed investigation, assembling the requirements, and financing proposition are the steps of promotion activities.

→ Professional promoters, accidental promoters, financial promoters, technical promoters, and institutional promoters are the five types of promoters.

→ A Joint Stock Company whether private or public limited must file all the necessary documents with the registrar to obtain the Incorporation Certificate. With this certificate, the company gets the status of a legal entity. A number of steps have to be taken for the incorporation of a company. They are :

  1. Memorandum of Association
  2. Articles of Association
  3. List of Directors
  4. Consent letter from Directors
  5. Statement of Capital
  6. Statutory Declaration

The above documents are to be submitted to the company registrar for incorporation of a company.

→ Memorandum of Association is the constitution of a company. It is the charter of the company. The contents of the memorandum of association known as clauses are explained in Section B of the Companies Act, 1956.

→ The rules and regulations framed for the internal management of the company, which are set out in a document are named Articles of Association. It is defined in the Companies Act, 1956 Section 2 (2).

→ Prospectus is an invitation to the public to subscribe to the shares and debentures of a public company. It is defined in the Companies Act, 1956 Section 2 (36)

→ A public company invites people to offer to purchase shares and debentures through an advertisement. Such an advertisement or notice containing detailed information about the company is known as Prospectus.

→ In case a company makes any misstatements or misrepresentations in the prospectus, it gives rise to imposing Civil or Criminal liability on

  1. The Company
  2. Promoters and Directors
  3. Expert who drafted the Prospectus.

→ In case a public company raises its capital privately, there is no need to issue a prospectus, but a “Statement in lieu of prospectus” must be filed with the registrar at least three days before the first allotment of shares.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 7 Formation of a Company

→ ఒక కంపెనీ వ్యవస్థాపనలో దానికి అవసరమయిన అన్ని హంగులు సమకూర్చి స్థాపించే ప్రక్రియను వ్యవస్థాపన అంటారు.

→ వ్యవస్థాపనలో ఈ క్రింది దశలుంటాయి.

  • ఆలోచన ఆవిష్కరణ
  • పెట్టుబడి సేకరణ
  • సవిస్తరమైన శోధన
  • వనరుల సమీకరణ
  • నమోదు.

→ కంపెనీ స్థాపనలో అతి ముఖ్యమైన దశ నమోదు. నమోదు ద్వారా కంపెనీ చట్టబద్ధమైన సంస్థగా అవతరిస్తుంది.

→ నమోదుకై రిజిస్ట్రారుకు సమర్పించవలసిన ముఖ్య పత్రాలు

  • సంస్థాపనా పత్రము
  • నియమావళి.
  • డైరక్టర్ల జాబితా
  • డైరెక్టర్ల అంగీకార పత్రాలు
  • మూలధన జాబితా
  • శాసనాత్మక ప్రకటన.

→ పై పత్రాలను పరిశీలించి రిజిస్తారు నమోదు పత్రాన్ని జారీ చేస్తాడు.

→ సంస్థాపనా పత్రము కంపెనీకి అధికారాలు, కంపెనీకి, బాహ్య ప్రపంచానికి మధ్య గల సంబంధాలను నిర్వచిస్తుంది.
దీనిలోని క్లాజులు

  • నామధేయపు క్లాజు
  • కార్యాలయపు క్లాజు
  • ధ్యేయాల క్లాజు
  • ఋణబాధ్యత క్లాజు
  • మూలధనపు క్లాజు
  • వ్యవస్థాపన – చందాల క్లాజు

→ కంపెనీ దైనందిన వ్యవహారాలను నిర్వహించడానికి రూపొందించిన నియమ నిబంధనలను కంపెనీ నియమావళి అంటారు.

→ పబ్లిక్ కంపెనీలు పరిచయ పత్రాన్ని జారీ చేసి, తద్వారా వాటాలను, డిబెంచర్లను అమ్మి మూలధనాన్ని సేకరిస్తుంది.

→ పరిచయ పత్రములో అసత్య ప్రకటనలు ఉండరాదు. ఉంటే పరిచయ పత్రము జారీకి బాధ్యులైన వ్యక్తులకు సివిల్, క్రిమినల్ బాధ్యతలు ఉంటాయి.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 1.
R మీద ∫ 2x7 dx ను కనుక్కోండి
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 1

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 2.
I ⊂ R {nπ: n ∈ Z} మీద ∫ cot 2 x dx, ను గణించండి.
సాధన:
∫cot 2 x d x ∫ =(cosec2 x-1) dx
=cosec2 x dx-∫d x
= – cot x – x+C

ప్రశ్న 3.
x∈R \(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right) d x\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 2

ప్రశ్న 4.
∫(1-x)(4-3 x)(3+2 x) dx, x ∈ R న కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 3

ప్రశ్న 5.
\(\int\left(x+\frac{1}{x}\right)^3\) గణించండి
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 4

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 6.
R మీద \(\int \sqrt{1+\sin 2 x} \) dx విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 5
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 6

ప్రశ్న 7.
x>0 అయితే \(int \frac{2 x^3-3 x+5}{2 x^2} dx\) ను గణించండి. ఫలితాన్ని అవకిలనం చేసి సరిచూడండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 7

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 8.
R మీద \(\int \frac{x^5}{1+x^{12}} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 8
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 9

ప్రశ్న 9.
R మీద cos3x  sin xdx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 10

ప్రశ్న 10.
I=(0,∞) మీద \(\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x+\frac{1}{x}\right)} d x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 11

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 11.
I = (0,1) మీద \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 12

ప్రశ్న 12.
\(\mathbf{x} \in \mathbf{I} \subset \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{(\mathbf{2 n}+\mathbf{1}) \pi}{2}: \mathbf{n} \in \mathbf{z}\right\}\) అయితే \(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 13

ప్రశ్న 13.
R మీద sin2 xdx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 16

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 14.
a,b∈R,a2+b2 ≠0 అయితే ∫ \(\frac{1}{a \sin x+b \cos x} dx\) ను గణించండి.
సాధన:
a=r cos θ, b=r sin θ అయ్యేటట్లు రండు వాస్తవ సంఖ్యలు r, θ లను కనుక్కోండి
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 17
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 18

ప్రశ్న 15.
(-5,∞) మీద ∫ \(\frac{x^2}{\sqrt{x+5}} dx\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 19

ప్రశ్న 16.
∫ \(\frac{x}{\sqrt{1-x}} dx\) x∈I (o,1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 21
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 22

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 17.
(-4, ∞) మీద  ∫ \(\frac{d x}{(x+5) \sqrt{x+4}}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 23

ప్రశ్న 18.
\(I=\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\) మీద ∫ \(\frac{d x}{\sqrt{4-9 x^2}}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 24

ప్రశ్న 19.
x ∈ I = (-a,a)  ∫ \(\frac{1}{a^2-x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 25

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 20.
R మీద \(\int \frac{1}{1+4 x^2} dx\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 26

ప్రశ్న 21.
(-2,2) మీద ∫ \(\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 27

ప్రశ్న 22.
R మీద \(\sqrt{4 x^2+9} dx \) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 28

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 23.
\(\left[\frac{5}{3}, \infty\right) \text { మీద } \int \sqrt{9 x^2-25} \mathrm{dx}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 29

ప్రశ్న 24.
\(\frac{-4}{5}, \frac{4}{5}\) మీద ∫ \(\sqrt{16-25 x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 33

ప్రశ్న 25.
(-1,1) మీద ∫ x sin-1 x dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 36
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 37

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 26.
∫ x2 cosx dx ను గణణించండ.
సాధన:
u(x)=x2, v(x)=\sin x అనుకొండి.
v’(x)=cos x
u(x) v’(x)=x2 cos x
విభాగ సమాకలన సూరతం నుంచ
∫ x2.cos x d x=x2 sin x-∫ sin x(x2)’ d x
= x2 sin x-2 ∫ x sin x d x+c1
ఇంకోసారి విభాగ సమాకలన సూత్రాన్ని
∫ x sin x dx, కు అనువర్తనం చేస్తే
∫ x. sin x dx =  – x cos x  – ∫ (-cos x) dx
= – x cos x + sin x+ c2
x2cos  = x2 sinx – 2(sinx – x cosx)+c
= x2 sin x -2 sin x+2x cos x+c
= (x2– 2) sinx+ 2x cos x+c
విభాగ సమాకలన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, కొన్ని సమాకల నులను గణించేటప్పుడు, రెండు లేదా మూడుసార్లు సూత్రాన్ని ఉపయోగించిన తరువాత దత్తసమాకలనగుర్తు తేడాతో రావచ్చు, ఇచ్చిన సమాకలనాన్ని గణించడానికి ఇదిఎంతగానో ఉపసంఖ్య.

ప్రశ్న 27.
R మీద ∫ ex sin x dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 38

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 28.
a,b,c  లు వాస్తవ సంఖ్లు b ≠ 0 అయితే R మీద ∫ eax cos (b x+c) dx ను గణించండి.
సాధన:
A=∫ eax cos (b x+c) d x అనుకొందాం
విభాగ సమాకలన సూత్రం నుండి
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 39

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 40

ప్రశ్న 29.
(-1,1) మీద ∫tan-1 \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 41

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 30.
x ∈ I ⊂ R\{2nπ : n∈ Z} మీద \(\int e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 42
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 43

ప్రశ్న 31.
I ⊂ R\(-1,1) మీద
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 84dx ను గణించండి.

సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 45

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 32.
m వాస్తవ సంఖ్య అయితే (-1,1) మీద \(\int x^2 \frac{\exp \left(m \sin ^{-1} x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\) dx ను కనుక్కోండి.
ఇక్కడ, {y}=e2, Y ∈ R
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 46
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 47

ప్రశ్న 33.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 48 ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 49
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 50

ప్రశ్న 34.
∫ \(\frac{d x}{5-2 x^2+4 x}\) ను కనుక్కోండి
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 51
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 52

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 35.
∫ \(\frac{d x}{x^2+x+1}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 53

ప్రశ్న 36.
∫ \(\frac{d x}{\sqrt{x^2+2 x+10}}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 54

ప్రశ్న 37.
∫ \(\frac{d x}{\sqrt{1+x-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 55
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 56

ప్రశ్న 38.
∫ \(\sqrt{3+8 x-3 x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 57
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 58

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 39.
∫ \(\frac{x+1}{x^2+3 x+12}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 59

ప్రశ్న 40.
∫ (3x -2) \(\sqrt{2 x^2-x+1}\) ను గణించండి.
సాధన:
(3 x-2)=A(4 x-1)+B అనుకుందాము
గుణకాలను సమానం చేయగా 3=4A
A=\(\frac{3}{4}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా – 2 = – A + B
B=-2+A=-2+\(\frac{3}{4}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 60
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 61

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 41.
∫ \(\frac{2 x+5}{\sqrt{x^2-2 x+10}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 62
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 63

ప్రశ్న 42.
∫ \(\frac{d x}{5+4 \cos x}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 64

ప్రశ్న 43.
∫ \(\frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 65
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 66

ప్రశ్న 44.
∫ \(\frac{d x}{d+e \tan x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 67

ప్రశ్న 45.
∫ \(\frac{\sin x}{d \cos x e \sin x}\) dx ∫ \(\frac{\cos x}{d \cos x+e \sin x}\)dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 68
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 69

ప్రశ్న 46.
∫ \(\frac{\cos x+3 \sin x+7}{\cos x+\sin x+1}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 70
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 71

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 47.
∫ \(\frac{x^3-2 x+3}{x^2+x-2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 72

ప్రశ్న 48.
∫ \(\frac{d x}{x^2-81}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 73

ప్రశ్న 49.
∫ \(\frac{2 x^2-5 x+1}{x^2\left(x^2-1\right)}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 74

ప్రశ్న 50.
∫ \(\frac{3 x-5}{x\left(x^2+2 x+4\right)}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 75
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 76

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 51.
∫ \(\frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 77
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 78

ప్రశ్న 52.
∫ x3 e5x dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 79

ప్రశ్న 53.
∫ sin4 x dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 80

ప్రశ్న 54.
∫ tan6 x dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 81

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం

ప్రశ్న 55.
∫ sec 6 x dx ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 సమాకలనం 82

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 6 Joint Stock Company – Formation

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 6th Lesson Joint Stock Company – Formation will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 6th Lesson Joint Stock Company – Formation

→ Joint Stock Company is one kind of business unit.

→ It is a corporate business unit.

→ A joint stock company is commenced with a minimum of 7 members and maximum members are unlimited.

→ Joint stock company is also known as a public limited company which is governed by the Indian Companies Act, 1956.

→ The capital amount is contributed to the company by 15 members through the purchase of shares. So, it is called “Share capital”.

→ The members invest their money by purchasing the shares of the company, they are known as “Shareholders”.

→ The joint stock company is an artificial person created by law, it enjoys a separate legal entity.

→ The liability of the members is limited.

→ Company form of organisation is divided into two types,

  1. Private Limited Company
  2. Public Limited Company

→ Company form of organisation is commenced with the issue of prospects and formation process completed by obtaining the certificate of commencement of business.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 6 Joint Stock Company – Formation

→ సొంత వ్యాపార, భాగస్వామ్య వ్యాపారములోని పరిమితుల వలన కంపెనీ ఉద్భవించినది. భారీ స్థాయిలో ఉత్పత్తి వ్యాపారము చేయడానికి కంపెనీ వ్యవస్థ అనువైనది.

→ పరిమిత ఋణబాధ్యత, పారంపర్యాధికారము, వాటాల బదిలీ కంపెనీ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు.

→ 1956 కంపెనీల చట్టం ప్రకారం కంపెనీల స్థాపన నిర్వహణ జరుగుతుంది.

→ భారీ ఆర్థిక వనరులు, పరిమిత ఋణబాధ్యత, శాశ్వతత్వము, వాటాల బదిలీ, సమర్థవంతమైన నిర్వహణ మొదలైనవి కంపెనీల వలన ప్రయోజనాలు.

→ స్థాపనా సౌలభ్యము లేకపోవడం, నిర్ణయాలలో జాప్యం, మోసపూరిత నిర్వహణ మొదలైన లోపాలు కంపెనీ వ్యవస్థకు ఉన్నవి.

→ కంపెనీలలో రకాలు : ఛార్టర్డ్ కంపెనీలు, శాసనాత్మక కంపెనీలు, ప్రభుత్వ కంపెనీలు, రిజిస్టర్డ్ కంపెనీలు, ప్రైవేటు కంపెనీలు, పబ్లిక్ కంపెనీలు, వాటా పరిమిత, పూచీ పరిమిత, అపరిమిత కంపెనీలు, హోల్డింగ్ కంపెనీలు, అనుబంధ కంపెనీలు, స్వదేశ, విదేశ కంపెనీలు, జాతీయ, బహుళ జాతీయ కంపెనీలు.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 8 Sources of Business Finance-I

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 8th Lesson Sources of Business Finance-I will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 8th Lesson Sources of Business Finance-I

→ Finance is considered the lifeblood of any organisation. The success of an industry depends on the availability of adequate finance.

→ Business units need varying amounts of fixed capital depending on various factors such as the nature of business.

→ The purpose of fixed capital for business units is to purchase fixed assets like land and building, plant and machinery an4 furniture and fixtures.

→ For day-to-day operation purpose working capital is required for business units.

→ The sources of funds can be categorized using different basis viz., on the basis of the period, the basis of the ownership, and the source of generation.

→ The funds classified on the basis of the period are long-term finance, medium-term finance, and short-term finance.

→ The funds are classified on the basis of ownership, owner’s funds, and borrowed funds.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 8 Sources of Business Finance-I

→ The funds are classified on the basis of generation- Internal sources of funds and external sources of funds.

→ వ్యాపార సంస్థను స్థాపించి, దానిని కొనసాగించడానికి అవసరమైన విత్తాన్ని వ్యాపార విత్తము అంటారు.

→ ఒక వ్యాపార సంస్థ స్థిరాస్తుల కొనుగోలు, (స్థిర మూలధనం) రోజువారీ కార్యకలాపాల నిర్వహణకు, (నిర్వహణ మూలధనం) వ్యాపార విస్తరణకు, అభివృద్ధికి నిధులు, కావలెను.

→ సంస్థకు వివిధ మూలాధారాలను మూడు ప్రధాన ప్రాతిపదికలుగా విభజించవచ్చు.

  • కాల వ్యవధి (దీర్ఘకాలిక, మధ్య కాలిక, స్వల్పకాలిక)
  • యాజమాన్యము (యాజమాన్య నిధులు, ఋణపూర్వక నిధులు)
  • విత్త వనరులు ఉత్పన్నమయ్యే మూలాలనాధారముగా (అంతర్గత, బహిర్గత)

→ ఒక వ్యాపార సంస్థ తన ధ్యేయాలను సాధించడానికి వివిధ విత్త మూలాధారాలను సమర్థవంతంగా విశ్లేషించి ఎంపిక చేయాలి. వీటి ఎంపికకు ప్రభావాన్ని చూపే కారకాలు – వ్యయం, ఆర్థిక పటిష్టత, నష్టభయము, పన్ను ఆదాలు మొదలైనది. ఈ కారకాలను విశ్లేషించి, సంస్థకు అనువైన విత్త మూలాధారాన్ని ఎంపిక చేయవలెను.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 9 Sources of Business Finance-II

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 9th Lesson Sources of Business Finance-II will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 9th Lesson Sources of Business Finance-II

→ Non-institutional sources of finance can be categorized into

  1. Long term sources
  2. Medium-term sources
  3. Short-term sources

→ Long-term sources of finance are shares, debentures, and retained earnings.

→ Debentures are an important instrument for raising long-term debt capital. Debenture holders are creditors of the company.

→ Equity shareholders do not get a fixed dividend but are paid on the basis of earnings by the company.

→ Equity shareholders’ liabilities are limited to the extent of capital contributed by them to the company.

→ Preference shares resemble debentures as they bear a fixed rate of return.

→ Redeemable preference shares are those shares, the investments which are to be paid back to their respective holders after the completion of a certain time period.

→ The Government of India, in order to provide an adequate supply of credit to various sectors of the economy, has evolved a well-developed structure of financial institutions in the country. IDBI, SIDBI, IFCILtd, IIBI, ICICI, TFCI, etc.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 9 Sources of Business Finance-II

→ కాలవ్యవధి ఆధారముగా నిధులు మూడు రకాలు

  • దీర్ఘ కాలిక విత్తము
  • మధ్యకాలిక విత్తము
  • స్వల్పకాలిక విత్తము.

→ ఈక్విటీ వాటాలు, ఆధిక్యపు వాటాలు, డిబెంచర్లు, నిలిపి ఉంచిన ఆర్జనలు దీర్ఘకాలిక నిధులకు ఆధారాలు.

→ వాణిజ్య బ్యాంకుల నుంచి ఋణాలు, పబ్లిక్ డిపాజిట్లు, కాల ద్రవ్యము మధ్యకాలిక నిధులకు ఆధారము.

→ స్వల్పకాలిక నిధులు అంటే ఒక ఖాతా సంవత్సరము మించని కాలవ్యవధిగల నిధులు. వీటిలో వర్తక ఋణం, వాయిదా పరపతి, ఖాతాదారుల నుంచి అడ్వాన్సులు, బ్యాంకు పరపతి వాణిజ్య పత్రాలు మొదలైనవి ఉంటాయి.

→ కేంద్ర, రాష్ట్ర ప్రభుత్వాలు మొత్తం మీద పారిశ్రామిక సంస్థలకు ఆర్ధిక సహాయం చేయడం కోసం అనేక ఆర్ధిక సంస్థలను స్థాపించినది. వీటినే అభివృద్ధి బ్యాంకులు అంటారు.

→ వ్యాపార సంస్థల విస్తరణ, పునఃనిర్మాణము, ఆధునీకరణకు అవసరమైన భారీ నిధులు పొందడానికి ఈ సంస్థలు ఎంతో అనువైనవి.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఉత్కేంద్రత \(\frac{3}{2}\), ఒక నాభి (1, -3), అనురూప నియతరేఖ y = 2 గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి, 5(1, -3) నియతరేఖ సమీకరణం y – 2 – 0
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 1
P(x1, y1) అతి పరావలయం మీది ఏదేని బిందువు SP కలుపు నియతరేఖ మీదకు PM అనే లంబాన్ని గీయండి.
S.P.= e. PM ⇒ SP2 = e2. PM2
(x1 – 1)2 + (y1 + 3)2 = \(\frac{9}{4}\left|\frac{\left(y_1-2\right)}{\sqrt{1+0}}\right|^2\)
x12 + 1 – 2x1 + y12 + 9 + 6y1 = \(\frac{9}{4}\) (y1 – 2)2
4x12 + 4y12 – 8x1 + 24y1 + 40 = (y12 + 4 – 4y1) – 9y12 – 36y1 +36
4x12 – 5y12 – 8x1 + 60y1 + 4 = 0
P(x1, y1) యొక్క బిందుపథము
4x2 – 5y2 – 8x + 60y + 4 = 0
ఇది కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణము.

ప్రశ్న 2.
3x – 4y = 12, 3x + 4y = 12 సరళరేఖలు అతి పరావలయం S = 0 పై ఖండించుకొంటే, S = 0 ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y = 12
3x + 4y = 12
ఖండన బిందువు P(4, 0)
P అతిపరావలయం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 మీద బిందువు
\(\frac{16}{a^2}\) = 1
a2 = 16.
ఉత్కేంద్రత కనుగొనడానికి దత్తాంశం సరిపోదు.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 3.
నాభులు (±5, 0), తిర్యక్ అక్షం పొడవు 8గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
నాభులు S (±5, 0) ∴ ae = 5
తిర్యగాక్షము పొడవు = 2a = 8 a = 4
e = \(\frac{5}{4}\)
b2 = a2 (e2 – 1) = 16 \(\left(\frac{25}{16}-1\right)\) = 9
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
9x2 – 16y2 = 144

ప్రశ్న 4.
(1,–1) బిందువు గుండా పోతూ x + 2y + 3 = 0, 3x + 4y + 5 = 0 లు అనంత స్పర్శరేఖలుగా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణము
(x + 2y + 3) (3x + 4y + 5) = 0
∴ అతిపరావలయ సమీకరణము
(x + 2y + 3) (3x + 4y + 5) + k = 0 గా తీసుకొనవలెను.
అతిపరావలయం P(1, 1) గుండా పోతుంది.
(1 – 2 + 3) (3 – 4 + 5) + k = 0
8 + k = 0 ⇒ k = -8
అతిపరావలయ సమీకరణము
(x + 2y + 3) (3x + 4y + 5) – 8 = 0
3x2 + 6xy + 9x + 4xy + 8y2 + 12y + 5x + 10y + 15 – 8 = 0
3x2 + 10xy + 8y2 + 14x + 22y + 7 = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 5.
x2 – 4y2 = 5 అతిపరావలయానికి 3x – 4y + k = 0 స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’17]
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం x2 – 4y2 = 5
\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{\left(\frac{5}{4}\right)}\) = 1
a2 = 5, b2 = \(\frac{5}{4}\)
దత్తరేఖ సమీకరణము 3x – 4y + k = 0
4y = 3x + k
у = \(\frac{3}{4}\)x + \(\frac{k}{4}\)
m = \(\frac{3}{4}\) ; c = \(\frac{k}{4}\)
స్పర్శరేఖ నియమము c2 = a2m2 – b2
\(\frac{k^2}{16}\) = 5. \(\frac{9}{16}\) – \(\frac{5}{4}\)
k2 = 45 – 20 = 25
k = ± 5

ప్రశ్న 6.
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1 పై ఏ బిందువునుంచైనా అనంత స్పర్శ రేఖలకు గల లంబదూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
a2 = 16, b3 = 9
అనంత స్పర్శరేఖల మీద అతిపరావలయం మీది ఏదేని బిందువు నుండి లంబదూరాల లబ్దము
= \(\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}=\frac{16 \times 9}{16+9}=\frac{144}{25}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత \(\frac{5}{4}\) అయితే దాని సంయుగ్య అతిపరావలయ ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’17 A.P. Mar. ’16 (Mar, ’13)]
సాధన:
అతిపరావలయ, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు
e, e1 అయితే \(\frac{1}{\mathrm{e}^2}+\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1
e = \(\frac{5}{4}\) అని ఇవ్వబడింది.
= \(\frac{16}{25}+\frac{1}{e_1^2}\) = 1
\(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1 – \(\frac{16}{25}\) = \(\frac{9}{25}\)
e12 = \(\frac{25}{9}\) ⇒ e1 = \(\frac{5}{3}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 8.
3x = ± 5yలు అనంత స్పర్శరేఖలుగా కలిగి, శీర్షాలు (±5, 0) గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణం 3x = ± 5y
3x – 5y = 0, 3x + 5y = 0
అనంత స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణం
(3x – 5y) (3x + 5y) = 0
9x2 – 25y2 = 0
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x2 – 25y2 = k
అతిపరావలయం శీర్షం (5, 0) గుండా పోతుంది.
9(5)2 – 0 = k ⇒ k = 225
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x2 – 25y2 = 225

ప్రశ్న 9.
3x2 – 4y2 = 12 అతిపరావలయానికి θ = \(\frac{\pi}{3 }\) వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం
3x2 – 4y2 = 12
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 2

ప్రశ్న 10.
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 30° గా గల అతి పరావలయ ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము
= 2θ = 30°
θ = 15°
tan θ = tan 15° = \(\frac{b}{a}\)
e2 = \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = 1 + tan2 15°
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 3

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

II.

ప్రశ్న 1.
కింది అతిపరావలయాలకు ఉత్కేంద్రత, నాభులు, నియత రేఖా సమీకరణాలు, కేంద్రం, నాభి లంబం పొడవు కనుక్కోండి.
i) 16y2 – 9x2 = 144
సాధన:
అతిపరావలయం సమీకరణం
16y2 – 9x2 = 144
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}\) = 1
a2 = 16, b2 = 9
కేంద్రం C(0, 0)
b2e2 = a2 + b2 = 16 + 9
= 25 ⇒ be = 5
నాభులు 5(0, ± ae) = (0, ± 5)
ఉత్యేంద్రత \(\frac{b e}{b}=\frac{5}{3}\)
నియతరేఖల సమీకరణాలు y = ± b/e
= ±3 . \(\frac{5}{3}\)
5y = ± 9
నాభిలంబం పొడవు = 2 . \(\frac{a^2}{b}\)
= 2 . \(\frac{16}{3}\) = \(\frac{32}{3}\)

ii) x2 – 4y2 = 4 [A.P. Mar. ’16 (May ’11)]
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}\) = 1
a2 = 4, b2 = 1
కేంద్రం c(0, 0)
a2e2 = a2 + b2 = 4 + 1 = 5
ae = \(\sqrt{5}\)
నాభులు (±ae, 0) = (±\(\sqrt{5}\), 0)
ఉత్కేంద్రత = \(\frac{a e}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
నియతరేఖల సమీకరణాలు x = ±\(\frac{a}{e}\) = ± 2 . \(\frac{a}{e}\)
⇒ \(\sqrt{5}\)x = ±4
⇒ \(\sqrt{5}\)x ± 4 = 0
నాభిలంబ పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2.1}{2}\) = 1

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

iii) 5x2 – 4y2 + 20x + 8y = 4
సాధన:
5(x2 + 4x + 4) – 4 (y2 – 2y + 1) = 4 + 20 – 4
5(x + 2)2 – 4(y – 1)2 = 20
\(\frac{(x+2)^2}{4}-\frac{(y-1)^2}{5}\) = 1
a2 = 4, b2 = 5 ⇒ a < b
కేంద్రం C(-2, +1)
a2e2 = a2 + b2 = 4 + 5 = 9
ae = 3
ఉత్కేంద్రత = \(\frac{a \mathrm{e}}{\mathrm{a}}=\frac{3}{2}\)
నాభులు (h ± ae, k) = (-2 ± 3, 1)
= (−5, 1) మరియు (1, 1)
నియతరేఖల సమీకరణము x – h = ± \(\frac{a \mathrm{e}}{\mathrm{a}}\)
x + 2 = ± 2 . \(\frac{2}{3}\)
3x + 6 = ±4
3x + 10 = 0 (లేదా) 3x + 2 = 0
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2.5}{2}\) = 5

iv) 9x2 – 16y2 + 72x – 32y – 16 = 0
సాధన:
అతిపరావలయం సమీకరణము
9x2 – 16y2 + 72x – 32y – 16 = 0
⇒ 9(x2 + 8x) – 16(y2 + 2y) = 16
⇒ 9(x2 + 8x + 16) – 16 (y2 + 2y + 1) = 16 + 144 – 16
⇒ 9(x + 4)2 – 16(y + 1)2 = 144.
⇒ \(\frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}\) = 1
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1 తో పోల్చగా
a2 = 16, b2 = 9, h = -4, k = -1
కేంద్రం (h, k) = (-4, -1)
e = \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
= \(\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\)
నాభులు = (h ± ae, k) = (-4 ± 4 . \(\frac{5}{4}\), 1)
= (-4 ± 5, -1)
= (1, -1), (-9, -1)
నియతరేఖల సమీకరణాలు
x + 4 = ± 4 . \(\frac{4}{5}\)
= ± \(\frac{16}{5}\)
5x + 20 = ±16
నియతరేఖల సమీకరణాలు 5x + 4 = 0
5x + 36 = 0
నాభి లంబము పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}\)
= \(\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 2.
ఉత్కేంద్రత 2, నాభులు (4,2), (8, 2) గా గల అతిపరా వలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభులు (4, 2), (8, 2),
కేంద్రం C నాభుల మధ్య బిందువు
∴ కేంద్రం \(\left(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\) = (6, 2)
ae = 6 – 4 = 2
e = 2 ⇒ a = \(\frac{\mathrm{ae}}{\mathrm{e}}=\frac{2}{2}\) = 1
b2 = a2 (e2 – 1) = 1(4 – 1) = 3
అతిపరావలయ సమీకరణం
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}\) = 1
3 తో గుణించగా,
3(x – 6)2 – (y – 2)2 = 3
⇒ 3(x2 – 12x + 36) – (y2 – 4y + 4) = 3
⇒ 3x2 – 36x + 108 – y2 + 4y – 4 – 3 = 0
3x2 – y2 – 36x + 4y + 101 = 0

ప్రశ్న 3.
తిర్యక్ అక్షం పొడవు 6గా కలిగి కేంద్రం, నాభులను కలిపే రేఖాఖండానికి శీర్షం మధ్యబిందువుగా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
CA – AS అని ఇవ్వబడింది.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 4
a = ae – a
2a = ae ⇒ e = 2
తిర్యక్ అక్షం పొడవు = 2a = 6 ⇒ a = 3
b2 = a2(e2 – 1) = 9(4 – 1) = 27
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}\) = 1
3x2 – y2 = 27

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 4.
x + 2y = 0 కు (i) సమాంతరంగా (ii) లంబంగా ఉంటూ అతిపరావలయం x2 – 4y2 = 4 ను స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. [May ’06]
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం x2 – 4y2 = 4
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}\) = 1
a2 = 4, b2 = 1
i) స్పర్శరేఖ x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
m = –\(\frac{1}{2}\)
c2 = a2m2 – b2
= 4 . \(\frac{1}{4}\) – 1 = 1 – 1 = 0
c = 0
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = mx + c
= –\(\frac{1}{2}\)x
2y = -x
x + 2y = 0
దీనికి సమాంతర స్పర్శరేఖలు లేవు

ii) స్పర్శరేఖ x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉంటే
స్పర్శరేఖ వాలు = m = \(\frac{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = 2
c2 = a2m2 – b2 = 4. 4 – 1 = 15
c = ± \(\sqrt{15}\)
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x ± \(\sqrt{15}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 5.
2x2 – 3y2 = 6 అతిపరావలయానికి (-2, 1) గుండా పోయే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం 2x2 – 3y2 = 6
\(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}\) = 1
‘స్పర్శరేఖ వాలు ‘m’ అనుకొనుము.
స్పర్శరేఖ P(-2, 1) గుండా పోతుంది
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y – 1 = m(x + 2) = mx + 2m
y = mx + (2m + 1) …………………….. (1)
స్పర్శరేఖ నియమం c2 = a2m2 – b2
(2m + 1)2 = 3m2 – 2
4m2 + 4m + 1 = 3m2 – 2
m2 + 4m + 3 = 0
(m + 1) (m + 3) = 0
m = -1 (లేదా) – 3

సందర్భం: (i) : m = -1
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = -x – 1
x + y + 1 = 0
సందర్భం : (ii) : m = – 3
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = – 3x – 5
3x + y + 5 = 0

ప్రశ్న 6.
అతిపరావలయంపై ఏదైనా బిందువు నుంచి దాని అనంత స్పర్శరేఖలకు గల లంబదూరాల లబ్దం స్థిరం అని చూపండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
అతి పరావలయం పైగలఏదైనా బిందువు
P(a sec θ, b tan θ)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 5
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 6

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

III.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయం స్పర్శరేఖలు, అతిపరా వలయం తిర్యక్ అక్షంతో θ1, θ2 కోణాలు చేస్తున్నాయి. tan θ1 + tan θ2 = k అయితే ఆ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు 2xy = k(x2 – a2) వక్రంపై ఉంటుందని చూపుము.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
అతిపరావలయానికి స్పర్శరేఖను
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\) గా తీసుకొనవచ్చు.
స్పర్శరేఖల ఖండనబిందువు P(x1, y1) అయితే
y1 = mx1 ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y1 – mx1 = ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
ఇరువైపులా వర్గీకరించగా
(y1 – mx1)2 = a2m2 – b2.
y12 + m2x12 – 2m x1y1 – a2m2 + b2
m2 (x12 – a2) – 2mx1y1 + (y12 + b2) = 0
ఇది m లో వర్గ సమీకరణము.
m1, m2 లు మూలాలు అనుకుందాం.
m1 + m2 = \(\frac{2 x_1 y_1}{x_1^2-a^2}\)
tan θ1 + tan θ2 = \(\frac{2 x_1 y_1}{x_1^2-a^2}\)
i.e., k = \(\frac{2 x_1 y_1}{x_1^2-a^2}\) (లేదా)
2x1y1 = k(x12 – a2)
బిందువు P(x1, y1) 2xy = k(x2 – a2) వక్రము మీద ఉంటుంది.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ప్రశ్న 2.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 యొక్క ఏదైనా స్పర్శరేఖపై నాభుల లంబపాదాలు అనుబంద (సహాయక) వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 7
(±ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీదికి గీయబడిన
లంబం సమీకరణము
У = –\(\frac{1}{m}\) (x ± ae)
x + my = ±ae ……………… (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కూడగా,
(y – mx)2 + (x + my)2 = a2m2 – b2 + a2e2
⇒ y2 + m2x2 – 2mxy + x2 + m2y2 + 2mxy = a2m2 – a2(e2 – 1) + a2e2
⇒ (x2 + y2) (1 + m2) = a2m2 – a2e2 + a2 + a2e2
= a2 (1 + m2)
x2 + y2 = a2 ఇది సహాయక వృత్తము.
నాభుల నుండి స్పర్శరేఖ మీదకు గీయబడిన లంబపాదాలు సహాయక వృత్తం మీద ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3.
\(\frac{x^2}{9-c}+\frac{y^2}{5-c}\) = 1 సమీకరణం
i) c < 5 అయితే దీర్ఘవృత్తం (‘c’ ఏదైనా వాస్తవ స్థిరాంకం)
ii) 5 < C < 9 అయితే అతిపరావలయం (‘c’ ఏదైనా వాస్తవ స్థిరాంకం) iii) (i) లో గల ప్రతి దీర్ఘవృత్తం (ii) లో ప్రతి అతిపరా వలయం నాభులు (±2, 0) ‘c’ పై ఆధారపడవని చూపండి. సాధన: i) దత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{9-c}+\frac{y^2}{5-c}\) = 1 ఈ సమీకరణం దీర్ఘవృత్తాన్ని 9 – c > 0 గా సూచిస్తే
5 – c > 0
∴ c < 9, c < 5
⇒ c < 5

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a)

ii) దత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{9-c}+\frac{y^2}{5-c}\) = 1
ఈ సమీకరణం అతిపరావలయాన్ని సూచిస్తే
9 – c > 0 మరియు 5 – c < 0
9 > c, 5 < c i.e., 5 < c < 9

iii) రెండు సందర్భాలలోను
సందర్భం (i) : a2 = 9 – c, b2 = 5 – c
a2 – b2 = ( 9 – c) – (5 – c)
= 9 – c – 5 + c = 4
a2e2 = 4 ⇒ ae = 2
నాభులు (± ae, 0) = (±2,0)
సందర్భం (ii) : a2 = 9 – c, b2 = c – 5
a2 + b2 = 9 – c + c – 5 = 4
a2e2 = 4 ⇒ ae = 2
నాభులు (±ae, 0) = (±2, 0)

ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయ అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 2 tan-1 \(\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)\) లేదా 2 sec-1 (e) అని చూపండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 5 అతిపరావలయం Ex 5(a) 8
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 2θ అయితే.
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = అనంత స్పర్శరేఖ వాలు
θ = tan-1 \(\left(\frac{b}{a}\right)\)
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2θ = 2tan-1 \(\left(\frac{b}{a}\right)\)
sec2 θ = 1 + tan2 θ = 1 + \(\)
= \(\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{a^2 e^2}{a^2}\) = e2
sec θ = e ⇒ θ = sec-1e
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము
= 2tan-1 \(\left(\frac{b}{a}\right)\) లేదా 2 sec-1 (e)

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 5 Partnership

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 5th Lesson Partnership will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 5th Lesson Partnership

→ Partnership Business Firm is one of the business units.

→ It is a Non-corporate Business Unit.

→ Partnership firm is an outcome of an agreement between two or more persons to share profits or losses among them.

→ Partnership is established by partnership agreement among partners.

→ Partnership Agreement Registered it. is known as Partnership Deed.

→ In India partnership is formed with the rules and regulations of the Indian Partnership Act, 1932.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 5 Partnership

→ The partnership is a part of a Limited Liability Partnership.

→ The partnership was established with a minimum of 2 partners, according to the Indian Partnership Act, 1932.

→ According to section II of the Indian Companies Act 1956, the maximum limit of partners in case of a partnership for banking business is 10, and in case of other than banking business of the partnership is 20.

→ In order to overcome the limitations of sole proprietorship concerns i.e. limited capital, limited managerial ability, and extending the size of the business, the viable and feasible option is a partnership form of organisation.

→ The liability of partners is unlimited and there is no separate legal entity to this organisation.

→ Partnership form of organisation can be dissolved with the mutual consent of the partners.

→ Dissolution of partnership occurs due to the partner giving notice in writing to other partners, expiry of the term of agreement or business, insolvency of the firm, or in the event of a court order.

→ సొంత వ్యాపారములోని లోపాలు, పరిమితుల వలన భాగస్వామ్యము ఉద్భవించినది.

→ కనీసము ఇద్దరు లేక ఎక్కువమంది కలసి ఒప్పందము కుదుర్చుకొని భాగస్వామ్యము ప్రారంభించవచ్చు.

→ భాగస్తుల ఋణబాధ్యత అపరిమితము.

→ భాగస్వామ్య వ్యాపారము భాగస్వాముల మధ్య కుదిరిన ఒప్పందము ద్వారా ఏర్పడుతుంది.

→ వ్యాపారం నిర్వహించడానికి లాభాలు పంచుకోవడానికి, పెట్టుబడికి, సొంతవాడకాలకు సంబంధించి భాగస్తుల మధ్య కుదిరిన ఒడంబడికను భాగస్వామ్య ఒప్పందము అంటారు.

→ భాగస్వామ్య సంస్థను నమోదు చేయుట తప్పనిసరి కాదు. కాని నమోదు చేయటం వలన కొన్ని ప్రయోజనాలుంటాయి.

→ భాగస్తుల గరిష్ట సంఖ్య బ్యాంకింగ్ వ్యాపారాలలో 10 ఇతర వ్యాపారాలో 20.

→ భాగస్తులలో రకాలు –

  • సక్రియ భాగస్తుడు
  • నిష్క్రియ భాగస్తుడు
  • నామమాత్రపు భాగస్తుడు
  • లాభాలలో భాగస్తుడు
  • భావిత భాగస్తుడు
  • మౌన నిర్ణీత భాగస్తుడు
  • పరిమిత భాగస్తుడు
  • సాధారణ భాగస్తుడు.

→ భాగస్తులకు కొన్ని హక్కులు, విధులు ఉంటాయి.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 5 Partnership

→ భాగస్వామ్య ఒప్పందము ఏ కారణముచేతనైనా రద్దయితే భాగస్వామ్యము రద్దవుతుంది.

→ భాగస్వామ సంస్థను దిగున పద్ధతులలో రద్దు చేయవచ్చును.
ఎ) ఒప్పందము ద్వారా
బి) నోటీసు ద్వారా
సి) ఆగంతుక రద్దు
డి) అనివార్య రద్దు
ఇ) కోర్టు ద్వారా రద్దు.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 10 Micro, Small and Medium Enterprises (MSMEs)

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 10th Lesson Micro, Small and Medium Enterprises (MSMEs) will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 10th Lesson Micro, Small and Medium Enterprises (MSMEs)

→ The Micro, Small, and Medium Enterprises Development (MSMED) Act 2006 – the main aim of this act is to develop and regulate MSMEs.

→ MSME.S are classified into two classes.

  1. Manufacturing enterprises
  2. Service enterprises

→ 90% of MSMEs in India are unregistered, and 40% of exports in India are through the MSME channels.

→ MSMEs provide a good market for foreign companies to start venture capital businesses in India.

→ Micro, Small and Medium Enterprises (MSMEs) contribute nearly 8 percent of the country’s GDP, 45 percent of the manufacturing output, and 40 percent of the export.

→ చిన్నతరహా, మధ్యతరహా అభివృద్ధి, 2005 బిల్లు- జూన్ 2006లో “సూక్ష్మ, చిన్న, మధ్యతరహా అభివృద్ధి చట్టం, 2006” గా ఏర్పడినది. దీని ఉద్దేశ్యము భారతదేశములో చిన్న, మధ్యతరహా సంస్థల ప్రోత్సాహకానికి, అభివృద్ధికి సహకరించడము.

AP Inter 1st Year Commerce Notes Chapter 10 Micro, Small and Medium Enterprises (MSMEs)

→ MSME చట్టం, 2006 ప్రకారము MSMEలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరించడమైనది. అది ఉత్పత్తి సంస్థలు, సేవా సంస్థలు. ఈ సంస్థలు ప్లాంటు – యంత్రాలలో పెట్టుబడి పరిమితి ఆధారముగా నిర్వహించబడినవి.

→ భారత ప్రభుత్వము ఈ సంస్థల ప్రోత్సాహకానికి, అభివృద్ధికి, ఆధునీకరణకు కొన్ని వసతులు, సౌలభ్యాలు అందజేస్తుంది.

→ ఈ MSMEలు దేశ స్థూల జాతీయ ఆదాయములో 8 % వాటా, తయారీ ఉత్పత్తులలో 45 % వాటా, ఎగుమతులలో 40 % వాటాను అందిస్తాయి. ఇవి ఉద్యోగ కల్పనలో వ్యవసాయం తర్వాత అత్యధిక స్థానాన్ని ఆక్రమించినవి.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(b)

అభ్యాసం – 4(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
x2 + 8y2 = 33 దీర్ఘవృత్తంపై (-1, 2) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{xx_1}{a^2}+\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
x(-1) + 8y(2) = 33
⇒ – x + 16y = 33
⇒ x – 16y + 33 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
16x + y + k = 0
ఇది P(-1, 2) గుండా పోతుంది.
-16 + 2 + k = 0 ⇒ k = 14
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
16x + y + 14 = 0

ప్రశ్న 2.
x2 + 2y2 – 4x + 12y + 14 = 0 దీర్ఘవృత్తంపై (2, – 1) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శరేఖ సమీకరణం
xx1 + 2yy1 – 2(x + x1) + 6(y + y1) + 14 = 0
⇒ 2x – 2y – 2(x + 2) + 6(y – 1) + 14 = 0
⇒ 4y + 4 = 0
దీర్ఘవృత్త స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = – 1
స్పర్శరేఖ వాలు ‘0’
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
y + 1 = \(\frac{-1}{0}\)(x – 2)
x = 2

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 3.
9x2 + 16y2 = 144 దీర్ఘవృత్తానికి, నిరూపక అక్షాలపై సమాన అంతరఖండాలు చేసే స్పర్శరేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము
9x2 + 16y2 = 144
⇒ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1
స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{x}{a}\) cos θ + \(\frac{y}{b}\) sin θ = 1
స్పర్శరేఖ వాలు = –\(\frac{b \cos \theta}{a \sin \theta}\) = -1
cot θ = \(\frac{a}{b}=\frac{4}{3}\)
cos θ = ± \(\frac{4}{5}\), sin θ = ± \(\frac{3}{5}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 1

ప్రశ్న 4.
దీర్ఘవృత్తం x2 + 3y2 = 37 పై ఏ బిందువుల వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖలు 6x – 5y = 2 కు సమాంతరంగా ఉంటాయో. ఆ బిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సౌధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x2 + 3y2 = 37
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 2
సందర్భం (i) : P నిరూపకాలు, θ మొదటి పాదంలో కోణం
(a cos θ, b sin θ)
\(\left(\sqrt{37}, \frac{5}{\sqrt{37}}, \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}, \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{37}}\right)\) = (5, 2)

సందర్భం (ii) : P నిరూపకాలు, θ మూడవ పాదంలో కోణం (a cos θ, b sin θ)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 3

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 5.
x2 + 3y2 = 3 దీర్ఘవృత్తానికి 4x + y + k = 0 స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x2 + 3y2 = 3
⇒ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}\) = 1
a2 = 3, b2 = 1, రేఖా సమీకరణము 4x + y + k = 0
y = -4x – k
m = -4, c = -k
స్పర్శరేఖ నియమము c2 = a2m2 + b2
(-k)2 = 3(-4)2 + 1
k2 = 48 + 1 = 49
k = ± 7

ప్రశ్న 6.
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తానికి x cos α + y sin α = p స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 ………….. (1)
సరళరేఖ సమీకరణము x cos α + y sin α = p
y sin α = x cos α + p
y = -x. \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{p}{\sin \alpha}\)
∴ m = –\(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\), c = \(\frac{\mathrm{p}}{\sin \alpha}\)
స్పర్శరేఖా నియమము c2 = a2m2 + b2
\(\frac{\mathrm{p}^2}{\sin ^2 \alpha}=a^2 \cdot \frac{\cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha}+b^2\)
లేదా p2 = a2 cos2 α + b2 sin2 α

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

II.

ప్రశ్న 1.
2x2 + 3y2 = 11 దీర్ఘవృత్తానికి y నిరూపకం 1 గా గల బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అఖిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం 2x2 + 3y2 = 11
y = 1 అని ఇవ్వబడింది.
2x2 + 3 = 11 ⇒ 2x2 = 8
x2 = 4
x = ± 2
స్పర్శ బిందువులు P(2, 1) మరియు Q(-2, 1)
సందర్భం (i) : P(2, 1)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము 2x . 2 + 3y. 1 = 11
4x + 3y = 11
అభిలంబ రేఖ, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంది.
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
3x – 4y = k
అభిలంబ రేఖ P(2, 1) గుండా పోతుంది
6 – 4 = k ⇒ k = 2
P వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x – 4y = 2
సందర్భం (ii) : Q(-2, 1)
Q వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము
2x(-2) + 3y.1 = 11
– 4x + 3y = 11
4x – 3y + 11 = 0
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
3x + 4y = k గా తీసుకొనవచ్చును
అభిలంబ రేఖ (-2, 1) గుండా పోతుంది.
– 6 + 4 = k ⇒ k = – 2
Q వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x + 4y = -2
లేదా 3x + 4y + 2 = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 2.
x2 + 2y2 = 3 దీర్ఘవృత్తానికి బిందువు (1, 2) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు, వాటి మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x2 + 2y2 = 3
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 4
a2 = 3, b2 = \(\frac{3}{2}\)
స్పర్శరేఖ వాలు m. ఇది P(1, 2) గుండా పోతుంది.
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y – 2 = m (x – 1)
y = mx + (2-m)
= mx – m
స్పర్శరేఖా నియమము c2 = a2m2 + b2
(2 – m)2 = 3(m2) + \(\frac{3}{2}\)
4 + m2 – 4m = 3m2 + \(\frac{3}{2}\)
2m2 + 4m – \(\frac{5}{2}\) = 0
4m2 + 8m – 5 = 0
(2m – 1) (2m + 5) = 0
m = \(\frac{1}{2}\) లేదా – \(\frac{5}{2}\)
సందర్భం (i) : m = \(\frac{1}{2}\)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = \(\frac{1}{2}\)x + 2 – \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{3}{2}\)
2y = x + 3
x – 2y + 3 = 0

సందర్భం (ii) : m = – \(\frac{5}{2}\)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = – \(\frac{5}{2}\)x + (2 + \(\frac{5}{2}\))
= –\(\frac{5}{2}\)x + \(\frac{9}{2}\)
2y = -5x + 9
లేదా 5x + 2y – 9 = 0
స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము θ అయితే
tan θ = \(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|\)
= \(\left|\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}\right|=\left|\frac{3}{1-\frac{5}{4}}\right|\)
= |- 12 | = 12
θ = tan-1 (12)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 3.
2x2 + y2 = 8 దీరప్పత్తానికి కింది నియమాలు పాటించే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
i) x – 2y – 4 = 0 సరళరేఖకు సమాంతరంగా [Mar. ’06; May ’05]
సాధన:
స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{1}{2}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 5
స్పర్శరేఖల సమీకరణము 2y – x ± 6 = 0
లేదా x – 2 y ± 6 = 0

ii) x+y+ 2 = 0 సరళరేఖకు లంబంగా
సాధన:
స్పర్శరేఖ దత్తరేఖకు లంబంగా ఉంది కనుక దాని వాలు ‘1’
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
y = x ± \(\sqrt{4+8}\) స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y = x ± 2\(\sqrt{3}\)
x – y ± 2\(\sqrt{3}\)

iii) X – అక్షంతో \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేసే
సాధన:
స్పర్శరేఖా సమీకరణము y = x ± 2\(\sqrt{3}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 4.
దీర్ఘవృత్తం 3x2 + 13y2 = 78 తో ఏక కేంద్రీయ వృత్త వ్యాసార్ధం 4 అయితే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ దీర్ఘాక్షంతో \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం 3x2 + 13y2 = 78
\(\frac{x^2}{26}+\frac{y^2}{6}\) = 1 …………… (1)
దీర్ఘవృత్త కేంద్రం (0, 0)
∴ వృత్త సమీకరణము x2 + y2 = 16 ……………… (2)
P(θ) వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖా సమీకరణము
x cos θ + y sin θ = 16 ………………. (3)
y = \(\frac{-\cos \theta}{\sin \theta} \cdot x+\frac{16}{\sin \theta}\)
(3) రేఖ దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ.
∴ c2 = a2m2 + b2
\(\frac{256}{\sin ^2 \theta}\) = 26. \(\frac{\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta}\) + 6
16 = 26 cos2θ + 6 sin2θ
= 26 cos2θ + 6(1 – cos2θ)
= 26 cos2θ + 6 – 6 cos2 θ
20 cos2 θ = 10
cos2 θ = \(\frac{10}{20}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = \(\frac{\pi}{4}\)

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

III.

ప్రశ్న 1.
దీర్ఘవృత్త కేంద్రం నుంచి ఏదైనా స్పర్శరేఖపైకి గీసిన లంబ పాదాలు వక్రం (x2 + y2)2 = a2x2 + b2y2 పై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్త సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 6
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 7

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 2.
దీర్ఘవృత్తపు ఏదైనా స్పర్శరేఖ పైకి నాభుల నుంచి గీసిన లంబపాదాల బిందు పథం అనుబంధ (సహాయక) వృత్తం అని చూపండి.
సాధన.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 8
(± ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీద గీయబడిన లంబం సమీకరణము
y = – \(\frac{1}{m}\) (x ± ae)
my = -(x ± ae)
my + x = ± ae ……………… (1)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కలుపగా
(y – mx)2 + (my + x)2 = a2m2 + b2 + a2e2
y2 + m2x2 – 2mxy + m2y2 + x2 + 2mxy
= a2m2 + a2 – a2e2 + a2e2
(x2 + y2) (1 + m2) = a2(1 + m2).
⇒ x2 + y2 = a2
బిందుపథము సహాయక వృత్తం.
ఇది దీర్ఘవృత్తానికి ఏక కేంద్రీయము.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b)

ప్రశ్న 3.
x2 + 4y2 = 4 దీర్ఘవృత్తంపై P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖలు వరుసగా దీర్ఘాక్షాన్ని Q, R ల మధ్య ఖండిస్తున్నాయి. 0 < 0 < \(\frac{\pi}{2}\), QR = 2 అయితే θ = cos-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 9
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం x2 + 4y2 = 4
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}\) = 1
P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x}{2}\) cos θ + \(\frac{y}{1}\) sin θ = 1
X – అక్షం సమీకరణం y = 0
\(\frac{x}{2}\) cos θ = 1 ⇒ x = \(\frac{2}{\cos \theta}\)
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{2}{\cos \theta}, \theta\right)\)
P(θ) వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణం
\(\frac{a x}{\cos \theta}-\frac{\text { by }}{\sin \theta}\) = a2 – b2
\(\frac{2 x}{\cos \theta}-\frac{y}{\sin \theta}\) = 3
y = 0 ప్రతిక్షేపిస్తే
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Ex 4(b) 10
– 3 cos2 θ + 4 = 4 cos θ
3 cos2 θ + 4 cos θ – 4 = 0
(3 cos θ – 2) (cos θ + 2) = 0
3 cos θ – 2 = 0 లేదా cos θ + 2 = 0
cos θ = \(\frac{2}{3}\) లేదా cos θ = -2
cos θ విలువ ఎల్లప్పుడూ -1, 1 ల మధ్య ఉంటుంది.
∴ cos θ = \(\frac{2}{3}\)
i.e., θ = cos -1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)