Inter 1st Year

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 10 త్రిభుజ ధర్మాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
ΔABC లో a = 3, b = 4, sin A = \(\frac{3}{4}\) అయితే, B కోణాన్ని ‘కనుక్కోండి.
సాధన:
సైను సూత్రం నుంచి \(\frac{a}{\sin A}\) = \(\frac{b}{\sin B}\)
⇒ sin B = \(\frac{\text { b. } \sin A}{a}\) = \(\frac{4}{3} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)\) = 1
⇒ sin B = 1 ⇒ B = 90°

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజం భుజాల పొడవులు 3, 4, 5 అయితే, ఆ త్రిభుజ పరివృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ 3² + 4² = 5²
∴ కనుక త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.
దాని కర్ణం = 5 = పరివృత్త వ్యాసం
∴ పరివృత్త వ్యాసార్థం = \(\frac{1}{2}\)(కర్ణం) = \(\frac{5}{2}\) సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
a = 6, b = 5, c = 9 అయితే A, కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ cos A = \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\)(కోసైను సూత్రం)
= \(\frac{5^2+9^2-6^2}{2(5)(9)}\) = \(\frac{25+81-36}{2(5)(9)}\)
= \(\frac{70}{90}\) = \(\frac{7}{9}\)

ప్రశ్న 4.
ΔABC లో Σ(b + c) cos A = 2s అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C
= (b cos A + c cos A) + (c cos B + a cos B) + (a cos C + b cos C)
= (b cos C + c cos B) + (a cos C + ccos A) + (a cos B + b cos A)
= a + b + c = R.H.S.

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజ భుజాలు 13, 14, 15 అయినప్పుడు, పరివృత్త వ్యాసాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 13, b = 14, c = 15
2s = a + b + c = \(\frac{13+14+15}{2}\) = \(\frac{42}{2}\)
∴ s = 21
s – a = 21 – 13 = 8
s – b = 21 – 14 = 7
s – c = 21 – 15 = 6
Δ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\)
= \(\sqrt{21 \times 21 \times 16}\) = 21 × 4 = 84
∴ Δ = \(\frac{a b c}{4 R}\)
⇒ 4R = \(\frac{a b c}{\Delta}\) = \(\frac{13 \times 14 \times 15}{84}\) = \(\frac{65}{2}\)
∴ R = \(\frac{65}{8}\)
∴ పరివృత్త వ్యాసం (2R) = 2′ × \(\frac{65}{8}\) = \(\frac{65}{4}\) సెం. మీ

ప్రశ్న 6.
ΔABC s, (a + b + c) (b + c − a) = 3abc, అయితే A ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(a + b + c) (b + c − a) = 3bc
⇒ [(b + c) + a] [(b + c) – a] = 3bc
⇒ (b + c)² – a² = 3bc
⇒ b² + c² + 2bc – a² = 3bc
⇒ b² + c² – a² = bc
⇒ \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ cos A = \(\frac{1}{2}\) = 60°
A = 60°

ప్రశ్న 7.
a = 4, b = 5, c = 7 అయితే cos \(\frac{B}{2}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16
⇒ s = 8, s – b = 8 – 5 = 3
cos \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) = \(\sqrt{\frac{s(s-b)}{a c}}\) = \(\sqrt{\frac{8 \times 3}{4 \times 7}}\) = \(\sqrt{\frac{6}{7}}\)

ప్రశ్న 8.
ΔABC లో, b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\)= b.
= \(\text { b. } \frac{s(s-c)}{a b}\) + \(\text { c. } \frac{s(s-b)}{c a}\)
= \(\frac{s(s-c)}{a}\) + \(\frac{s(s-b)}{a}\) = \(\frac{s}{a}\)(s – c + s – b)
= \(\frac{s}{a}\)(a + b + c − c − b) = \(\frac{s}{a} a\) = s

ప్రశ్న 9.
tan \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{5}{6}\), tan \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{2}{5}\) అయితే a, b, c ల మధ్య సంబంధాన్ని నిర్ధారించండి. (May 05)
సాధన:
tan \(\frac{A}{2}\). tan \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{5}{6}\). \(\frac{2}{5}\)
\(\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\) = \(\frac{2}{6}\)
⇒ \(\frac{s-b}{s}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ 3s – 3b = s ⇒ 2s = 3b
⇒ a + b + c = 3b ⇒ a + c = 2b
a, b, c లు A.P.లో ఉన్నవి

ప్రశ్న 10.
cot \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\), అయితే, B కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
tan \(\left(\frac{\mathbf{C}-\mathbf{A}}{2}\right)\) = k cot \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) అయితే, k ని కనుక్కోండి.
సాధన:
టాంజంట్ సూత్రం నుంచి
tan \(\left(\frac{\mathrm{C}-\mathrm{A}}{2}\right)\) = \(\left(\frac{c-a}{c+a}\right)\) cot \(\frac{B}{2}\)
కనుక k = \(\frac{c-a}{c+a}\)

ప్రశ్న 12.
ΔABC లో \(\frac{\mathbf{b}^2-\mathbf{c}^2}{\mathbf{a}^2}\) = \(\frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
a² cot A + b² cot B + c² cot C = \(\frac{a b c}{\mathbf{R}}\) అని చూపండి. (Mar. 14)
సాధన:
L.H.S. = a² cot A + b² cot B + c² cot C
= 4R² sin² A. \(\frac{\cos A}{\sin A}\) + 4R² sin²B. \(\frac{\cos B}{\sin B}\) + 4R² sin² C. \(\frac{\cos C}{\sin C}\) (సైను సూత్రం ద్వారా)
= 2R² (2 sin A cos A + 2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= 2R² (sin 2A + sin 2B + sin 2C)
= 2R² (4 sin A sin B sin C) (సర్వ సమానతల నుంచి)
= \(\frac{1}{R}\)(2R sin A) (2R sin B) (2R sin C)
= \(\frac{a b c}{R}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 14.
(b – c)² cos² \(\frac{A}{2}\) + (b + c)² sin² \(\frac{A}{2}\) = a² అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = (b² + c² – 2bc) cos² \(\frac{A}{2}\) + (b² + c² + 2bc) sin² \(\frac{A}{2}\)
= (b² + c²) [cos² \(\frac{A}{2}\) + sin² \(\frac{A}{2}\)] – 2bc (cos² \(\frac{A}{2}\) – sin² \(\frac{A}{2}\)) = b² + c² – 2bc cos A
= a²

ప్రశ్న 15.
a (b cos c – c cos B) = b² – c² అని చూపండి. (Mar. 07)
సాధన:
L.H.S. = ab cos C – ca cos B
= \(\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)\) – \(\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)\)
కోనైన్ సూత్రం నుంచి
= \(\frac{1}{2}\)[a² + b² – c² – c² – a² + b²]
= b² – c² = R.H.S.

ప్రశ్న 16.
\(\frac{c-b \cos A}{b-c \cos A}\) = \(\frac{\cos B}{\cos C}\) -అని చూపండి.
సాధన:
లంబవిక్షేప సూత్రం నుంచి
c = a cos B + b cos A
b = c cos A + a cos C

ప్రశ్న 17.
ΔABC లో, \(\frac{1}{a+c}\) + \(\frac{1}{b+c}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\) అయితే, C = 60° అని చూపండి.
సాధన:
\(\frac{1}{a+c}\) + \(\frac{1}{b+c}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\)
⇒ \(\frac{b+c+a+c}{(a+c)(b+c)}\) = \(\frac{3}{a+b+c}\)
⇒ 3(a + c) (b + c) = (a + b + 2c) (a + b + c)
⇒ 3(ab + ac + bc + c²) = (a² + b² + 2ab) + 3c(a + b) + 2c²
⇒ ab = a² + b² – c²
⇒ ab = a² + b² – c²
= 2ab cos C (కోసైను సూత్రం నుంచి)
⇒ cos C = \(\frac{1}{2}\) ⇒ C = 60°

ప్రశ్న 18.
a = (b – c) sec θ అయితే, tan θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b-c}\) sin \(\frac{\mathbf{A}}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
a = (b – c) sec θ ⇒ sec θ = \(\frac{a}{b-c}\)

ప్రశ్న 19.
ΔABC లో (a + b + c) (tan \(\frac{A}{2}\) + tan \(\frac{B}{2}\)) = 2c cot \(\frac{C}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
b² sin 2C + c² sin 2B = 2bc sin A అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = b² sin 2C + c² sin 2B
= 4R² sin2 B (2 sin C cos C) + 4R² sin² C (2 sin B cos B)
= 8R² sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C)
= 8R² sin B sin C sin (B + C)
= 2(2R sin B) (2R sin C) sin A
= 2bc sin A
= R.H.S.

ప్రశ్న 21.
cot A + cot B + cot C = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{4 \Delta}\) అని రుజువు చేయండి. ((T.S) Mar. 15)
సాధన:

ప్రశ్న 22.
a cos² \(\frac{A}{2}\) + b cos² \(\frac{B}{2}\) + c cos² \(\frac{C}{2}\) = s + \(\frac{\Delta}{\mathbf{R}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 23.
ΔABC లో a cos A = b cos B అయితే, త్రిభుజం సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజమని రుజువు చేయండి.
సాధన:
a cos A = b cos B
⇒ 2R sin A cos A = 2R sin B cos B
⇒ sin 2A = sin 2B (or) = sin (180° – 2B)
కనుక 2A = 2B లేదా 2A = 180° – 2B
⇒ A = B లేదా A = 90° – B
⇒ A = B లేదా A + B = 90°
⇒ C = 90°
∴ త్రిభుజం సమద్విబాహు లేదా లంబకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 24.
cot \(\frac{\mathbf{A}}{2}\) : cot \(\frac{\mathbf{B}}{2}\) : cot \(\frac{\mathbf{C}}{2}\) = 3 : 5 : 7 అని చూపండి
సాధన:

అప్పుడు s – a = 3k, s – b = 5k, s – c = 7k
కలుపగా 3s – (a + b + c) = 3k + 5k + 7k
⇒ 3s – 2s = 15k ⇒ s = 15k
ఇప్పుడు a = 12k, b = 10k, c = 8k
∴ a : b : c = 12k : 10k : 8k = 6 : 5 : 4

ప్రశ్న 25.
a³ cos (B – C) + b³ cos (C – A) + C³ cos (A – B) = 3abc అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
L.H.S. = Σa³ cos (B – C)
= Σa² (2R sin A)cos(B – C)
= R Σa² [2 sin (B + C) cos (B – C)]
= R Σa² (sin 2B + sin 2C)
= R Σa² (2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= Σ[a²(2R sin B) cos B + a²(2R sin C) cos C]
= Σ(a² b cos B + a²c cos C)
= (a²b cos B + a² c cos C) + (b²c cos C + b² a cos A) + (c² a cos A + c²b cos B)
= ab (a cos B + b cos A) + bc (b cos C + c cos B) + ca (c cos A + a cos C)
= ab(c) + bc(a) + ca(b) = 3 abc = R.H.S.

ప్రశ్న 26.
p₁, p₂, p₃ లు వరుసగా త్రిభుజ శీర్షాలు A,B, C ల ఉన్నతులయితే \(\frac{1}{p_1^2}\) + \(\frac{1}{p_2^2}\) + \(\frac{1}{p_3^2}\) = \(\frac{\cot A+\cot B+\cot C}{\Delta}\) అని చూపండి
సాధన:

ప్రశ్న 27.
h ఎత్తు గల ఊర్ధ్వంగా ఉండే ఒక స్తంభం PQ పాదం Q గుండా పోయే క్షితిజ రేఖపై A అనే బిందువు నుంచి శిఖర బిందువు P కి ఊర్ధ్వ కోణం 45°. AQ తో 30° కోణం చేసే రేఖపై A నుండి 30 మీటర్ల దూరంలో B అనే బిందువు నుండి P ఊర్థ్వ కోణం 60° అయితే స్తంభం ఎత్తు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.
ఒక నదికి ఒకేవైపున A, B అనే రెండు చెట్లు ఉన్నాయి. నదిలో C అనే బిందువు నుండి A, B లు వరసగా 250 మీ. 300 మీ. దూరంలో ఉన్నాయి. C వద్ద కోణం 45° అయితే ఆ చెట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి. (\(\sqrt{2}\) = 1.414).
సాధన:
త్రిభుజం ABC నుండి కొసైన్ రూలు ఉపయోగించగా

AB² = 250² + 300² – 2(250) (300) cos 45°
= 100 (625 + 900 – 750\(\sqrt{2}\)) = 46450.
∴ AB = 215.5 మీ. (ఉజ్జాయింపు)

ప్రశ్న 29.
ΔABC, లో \(\frac{1}{r_1}\) + \(\frac{1}{r_2}\) + \(\frac{1}{r_3}\) = \(\frac{1}{r}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
rr₁ r₂ r₃ = Δ² అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
సమబాహు త్రిభుజంలో \(\frac{r}{R}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 32.
ΔABC చుట్టుకొలత 12 సెం.మీ. దీని అంతర వ్యాసార్థం 1 సెం.మీ. అప్పుడు త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = 12 ⇒ s = 6 సెం.మీ.
r = 1 సెం.మీ.
ΔABC వైశాల్యము = Δ = rs = (1) (6) = 6 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 33.
rr₁ = (s – b) (s – c)
సాధన:
L.H.S. = rr₁
= [(s – b) tan \(\frac{\mathrm{B}}{2}\)] [(s – c) cot \(\frac{\mathrm{B}}{2}\)]
= (s – b) (s – c) = R.H.S.

ప్రశ్న 34.
\(\frac{a \cos \mathbf{A}+\mathbf{b} \cos \mathbf{B}+\cos \mathbf{C}}{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}\) ని R, r పదాలలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
ΔABC లో Δ = 6 చ. సెం. మీ, s = 1.5 సెం. మీ అయితే F ను కనుక్కోండి.
సాధన:
r = \(\frac{\Delta}{\mathrm{s}}\) = \(\frac{6}{1.5}\) = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 36.
rr₁ cot \(\frac{A}{2}\) = Δ అని చూపండి.
సాధన:
rr₁ cot \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{\Delta}{s}\left(s \tan \frac{A}{2}\right)\) cot \(\frac{A}{2}\) = Δ

ప్రశ్న 37.
a = 13, b = 14, c = 15 అయితే r₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
2s = a + b + c = 42
⇒ s = 21
s – a = 8, s – b = 7, s – c = 6
Δ² = 21 × 8 × 7 × 6
⇒ A = 7 × 12 = 84 చ. యూనిట్లు

ప్రశ్న 38.
rr₂ = r₁r₃ అయితే, B కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
ΔABC లో భుజాలు a, b, c లు A.P.లో ఉండటానికి r₁, r₂, r₃ లు H.P. లో ఉండాలనేది ఆవశ్యక, పర్యాప్త
నియమమని చూపండి.
సాధన:
r₁,r₂, r₃ లు H.P. లో ఉన్నాయి.
⇔ \(\frac{1}{r_1}\), \(\frac{1}{r_2}\), \(\frac{1}{r_3}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ \(\frac{s-a}{\Delta}\), \(\frac{s-b}{\Delta}\), \(\frac{s-c}{\Delta}\) లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ s – a, s – b, s – c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ -a, -b, -c లు A.P. లో ఉంటాయి.
⇔ a, b, c లు A.P. లో ఉంటాయి.

ప్రశ్న 40.
A = 90° అయితే 2(r + R) = b + c అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S= 2r+ 2R
= 2(s – a) tan \(\frac{A}{2}\) + 2R. 1
= 2(s – a) tan 45° + 2R sin A (∵ A = 90°)
= (2s – 2a). 1 + a
= b + c = R.H.S.

ప్రశ్న 41.
(r₂ – r₁) (r₃ – r₁) = 2r₂r₃ అయితే A = 90°
అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
\(\frac{r_1\left(r_2+r_3\right)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}}\) = a అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
\(\frac{1}{r^2}\) + \(\frac{1}{r_1^2}\) + \(\frac{1}{r_2^2}\) + \(\frac{1}{r_3^2}\) = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 44.
Σ(r + r₁) tan \(\left(\frac{\mathbf{B}-\mathbf{C}}{2}\right)\) = 0 అని రుజువు చెయ్య౦డి
సాధన:

ప్రశ్న 45.
\(\frac{r_1}{b c}\) + \(\frac{r_2}{c a}\) + \(\frac{r_3}{a b}\) = \(\frac{1}{r}\)
– \(\frac{1}{2 R}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 46.
r : R : r₁ = 2 : 5 : 12 అయితే, ఆ త్రిభుజంలో A లంబకోణమని రుజువు చేయండి.
సాధన:
r: R: r₁ = 2 : 5 : 12
అప్పుడు r = 2k, R = 5k, r₁ = 12K
r₁ – r = 12k – 2k = 10k = 2(5k) = 2R
⇒ 4R sin \(\frac{A}{2}\)[cos \(\frac{B}{2}\)cos \(\frac{C}{2}\) – sin \(\frac{B}{2}\)sin \(\frac{C}{2}\)] = 2R

కనుక త్రిభుజములో A లంబకోణం.

ప్రశ్న 47.
r + r₃ + r₁ – r₂ = 4R cos B అని చూపండి. (Mar. ’13)
సాధన:

ప్రశ్న 48.
A, A₁, A₂, A₃ లు వరుసగా త్రిభుజ అంతరవృత్త, బాహ్య వృత్త వైశాల్యాలయితే \(\frac{1}{\sqrt{A_1}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{A_2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{A_3}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{A}}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
r, r₁, r₂, r₃ లు వరుసగా అంతర, బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు, వాటి వైశాల్యాలు A, A₁, A₂, A₃ లు అయితే

ప్రశ్న 49.
(r₁ + r₂) sec² \(\frac{C}{2}\) = (r₂ + r₃) sec² \(\frac{A}{2}\) = (r₃ + r₁) sec²\(\frac{B}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 50.
ΔABC లో AD, BE, CF లు A, B, C శీర్షాల నుంచి ఎదుటి భుజాలకు గీచిన లంబాలయితే
i) \(\frac{1}{A D}\) + \(\frac{1}{B E}\) + \(\frac{1}{C F}\) = \(\frac{1}{r}\)
ii) AD. BE. CF = \(\frac{(a b c)^2}{8 R^3}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 51.
ΔABC లో r₁ = 8, r₂ = 12, r₃ = 24 అయితే a, b, c లను కనుక్కోండి. (May ’13)
సాధన:
∵ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{1}{r_1}\) + \(\frac{1}{r_2}\) + \(\frac{1}{r_3}\)
⇒ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{12}\) + \(\frac{1}{24}\)
⇒ \(\frac{1}{r}\) = \(\frac{3+2+1}{24}\)
⇒ r = 4
కానీ Δ² = = rr₁r₂r₃ = 4 × 8 × 12 × 24
= (8 × 12)²

ప్రశ్న 52.
\(\frac{a b-r_1 r_2}{r_3}\) = \(\frac{b c-r_2 r_3}{r_1}\) = \(\frac{c a-r_3 r_1}{r_2}\) అని చూపండి. (Mar. ’08; May ’06)
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 5 సదిశల గుణనం Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 5 సదిశల గుణనం Exercise 5(a)

I.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}, \mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}\) సదిశల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
Solution:

Question 2.
\(\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\lambda \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}\) సదిశలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటే, λ విలువను కనుక్కోండి. [Mar. ’05; May ’05]
Solution:
\(\overline{\mathrm{a}}=2 \overline{\mathrm{i}}+\lambda \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=4 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\) అనుకుందాం.
∵ \(\bar{a}, \bar{b}\) లు పరస్పరం లంబంగా ఉన్నవి.
⇒ \(\bar{a} \cdot \bar{b}\) = 0
⇒ \((2 \bar{i}+\lambda \bar{j}-\bar{k}) \cdot(4 \bar{i}-2 \bar{j}+2 \bar{k})\) = 0
⇒ (2) (4) + λ(-2) + (-1) (2) = 0
⇒ 8 – 2λ – 2 = 0
⇒ 2λ = 6
⇒ λ = 3

Question 3.
λ యొక్క ఏ విలువలకు \(\overline{\mathbf{i}}-\lambda \overline{\mathbf{j}}+2 \overline{\mathbf{k}}, 8 \overline{\mathbf{i}}+6 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) సదిశలు లంబంగా ఉంటాయి?
Solution:
\(\bar{a}=\overline{\mathrm{i}}-\lambda \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=8 \overline{\mathrm{i}}+6 \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}\)
∵ \((\bar{a}, \bar{b})=90^{\circ}\)
⇒ \(\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{b}}\) = 0
⇒ \((\bar{i}-\lambda \bar{j}+2 \bar{k}) \cdot(8 \bar{i}+6 \bar{j}-\bar{k})=0\)
⇒ 8 – (λ) (6) + 2(-1) = 0
⇒ 6 – 6λ = 0
⇒ λ = 1

Question 4.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}-\mathbf{3} \overline{\mathbf{j}}-\mathbf{5} \overline{\mathbf{k}} \cdot \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు త్రిభుజ భుజాలుగా రూపొందేటట్లు \(\bar{c}\) ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
\(\bar{r} \cdot(2 \bar{i} \cdot-\bar{i}+2 \bar{k})=3 ; \bar{r} \cdot(3 \bar{i}-6 \bar{i}+\bar{k})=4\) తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

Question 6.
యూనిట్ సదిశలు \(\overline{\mathrm{e}}_1, \overline{\mathrm{e}}_2\) ల మధ్య కోణం θ అయి, \(\frac{1}{2}\left|\overline{\mathrm{e}}_1, \overline{\mathrm{e}}_2\right|\) = sin λθ అయితే, λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
\(\overline{\mathrm{e}}_1, \overline{\mathrm{e}}_2\) లు యూనిట్ సదిశలు

Question 7.
\(\bar{a}=\bar{i}+\bar{i}+\bar{k}, \bar{b}=2 \bar{i}+3 \bar{i}+\bar{k}\) అనుకొందాం. అప్పుడు
(i) \(\overline{\mathbf{a}}\) పై \(\overline{\mathbf{b}}\) యొక్క లంబ విక్షేప సదిశను, దాని పరిమాణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13]
(ii) \(\overline{\mathbf{a}}\) దిశలోనూ \(\overline{\mathbf{a}}\) కి లంబ దిశలోను \(\overline{\mathbf{b}}\) యొక్క సదిశ అంశాలను కనుక్కోండి. [May ’06]
Solution:

Question 8.
(3, -2, 1) బిందువు గుండాపోతూ (4, 7, -4) సదిశకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

Question 9.
\(\overline{\mathrm{a}}=2 \overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{i}}-3 \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=3 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{k}}\) సదిశలైతే \(2 \bar{a}+\bar{b}, \bar{a}+2 \bar{b}\) సదిశల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:
ఇక్కడ \(\bar{a}=2 \bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}\), \(\overline{\mathrm{b}}=3 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)

II.

Question 1.
XOY-తలానికి సమాంతరంగా ఉంటూ, \(4 \bar{i}-3 \bar{j}+\bar{k}\) సదిశకు లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:
XOY-తలానికి సమాంతరంగా ఉండే సదిశ \(p \bar{i}+q \bar{j}\) రూపంలో ఉంటుంది.
∴ XOY-తలానికి సమాంతరంగా ఉంటూ \(4 \bar{i}-3 \bar{j}+\bar{k}\) సదిశకు లంబంగా ఉండే సదిశ \(3 \bar{i}+4 \bar{j}\).
\(|3 \bar{i}+4 \bar{j}|=\sqrt{9+16}=5\)
∴ XOY-తలానికి సమాంతరంగా ఉంటూ, \(4 \bar{i}-3 \bar{j}+\bar{k}\) సదిశకు లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశ = \(\pm \frac{(3 \bar{i}+4 \bar{j})}{5}\)

Question 2.
\(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=0,|\bar{a}|=3,|\bar{b}|=5,|\bar{c}|=7\) \(\bar{a}, \bar{b}\) ల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
\(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}\) సదిశలు క్రమంగా \(\bar{b}+\bar{c},+\bar{c}+\bar{a}, \bar{a}+\bar{b}\) లకు లంబంగా ఉండి, \(|\bar{a}|=2,|\bar{b}|=3,|\bar{c}|=4\) అయితే, \(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}\) పరిమాణం కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
\(\overline{\mathrm{a}}=2 \overline{\mathrm{i}}+3 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{k}}\) బిందువు గుండా పోతూ \(3 \bar{i}-2 \bar{i}-2 \bar{k}\) సదిశకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణాన్ని, మూలబిందువు నుంచి ఈ తలానికి గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
నాలుగు సతలీయ బిందువుల స్థాన సదిశలు \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}, \overline{\mathrm{d}}\) లు \((\bar{a}-\bar{b}) \cdot(\bar{b}-\bar{c})=(\bar{b}-\bar{d}) \cdot(\bar{c}-\bar{a})=0\) సమీకరణాలను ధ్రువపరిస్తే, \(\overline{\mathrm{d}}\) బిందువు \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ లంబ కేంద్రం అవుతుందని చూపండి.
Solution:
A, B, C, D బిందువుల స్థాన సదిశలు \(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}\) లు

∴ BD, ∆ABC కు ఉన్నతి.
ఉన్నతులు AD, BD లు D వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
∴ D, ∆ABC కు లంబ కేంద్రం.

III.

Question 1.
(5, -1, 1), (7, -4, 7), (1, -6, 10), (-1, -3, 4) బిందువులు, ఒక సమ చతురస్రం (rhombus) శీర్షాలవుతాయని చూపండి. [Mar. ’13]
Solution:
A(5, -1, 1), B(7, -4, 7), C(1, -6, 10), D(-1, -3, 4) దత్త బిందువులు.

∵ AB = BC = CD = DA = 7 యూనిట్లు
AC ≠ BD
∴ A, B, C, D బిందువులు సమచతురస్ర శీర్షాలు.

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}-4 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{c}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) మూడు సదిశలు \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లు రెండింటికీ లంబంగా ఉంటూ \(\overline{\mathbf{c}}\) పరిమాణానికి 21 రెట్లు పరిమాణం గల సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
ΔABC లో BC, CA, AB ల పొడవులు వరుసగా a, b, c అయి, ఆ త్రిభుజ కేంద్రభాసం G అయితే ‘O’ ఏదైనా బిందువు అయినప్పుడు) a² + b² + c² = 3(OA² + OB² + OC²) – 9(OG)² అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
ఘనం కర్ణాలతో ఒక రేఖ చేసే కోణాలు θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ అయితే \(\cos ^2 \theta_1+\cos ^2 \theta_2+\cos ^2 \theta_3+\cos ^2 \theta_4\) = \(\frac{4}{3}\) అవుతుందని చూపండి.
Solution:

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 5 సదిశల గుణనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 5 సదిశల గుణనం

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
\(\overline{\mathrm{a}}=6 \overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{j}}+3 \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=2 \overline{\mathrm{i}}-9 \overline{\mathrm{j}}+6 \overline{\mathrm{k}}\) అయితే \(\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{b}}\) విలువను కనుక్కొని \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) e కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
a = i + 2j – 3k, b = 3i – j + 2k అయితే a + b, a – b సదిశలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [(A.P) Mar. 15; May ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) లు శూన్యేతర, సరేఖీయాలు కాని సదిశలై \(|\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}|=|\overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{b}}|\) అయితే \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(|\bar{a}|\) = 11, \(|\bar{b}|\) = 23, \(|\bar{a-b}|\) = 30,అయితే \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) ల మధ్యకోణాన్ని \(|\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}|\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\overline{\mathrm{a}}=\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=2 \overline{\mathrm{i}}-3 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{k}}\), అయితే \(\overline{\mathrm{a}}\) పై \(\overline{\mathrm{b}}\) యొక్క లంబ విక్షేప సదిశనూ, దాని పరిమాణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
P, Q, R, S బిందువుల స్థాన సదిశలు వరుసగా \(\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{k}},-\overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{j}}, \mathrm{2 i}-\mathrm{i} \overline{\mathrm{k}}, \mathrm{3} \overline{\mathrm{i}}-\mathrm{2 j}-\overline{\mathrm{k}}\) అయితే \(\overline{\mathrm{P Q}}\) మీద \(\overline{\mathrm{R S}}\) సదిశ యొక్క అంశను కనుక్కోండి.
సాధన:
‘O’ మూలబిందువు.

= \(\frac{(\bar{i}-2 \bar{j}+2 \bar{k}) \cdot(-2 \bar{i}+2 \bar{j}+\bar{k})}{(-2 \bar{i}+2 \bar{j}+\bar{k})}\)
= \(\frac{(-2-4+2)}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{-4}{3}\)

ప్రశ్న 7.
\(\lambda \overline{\mathrm{i}}-3 \bar{j}+5 \overline{\mathrm{k}}, 2 \lambda \overline{\mathrm{i}}-\lambda \overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\) సదిశలు పరస్పరం లంబ సదిశలైతే λ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం,
⇒ (\(\lambda \overline{\mathrm{i}}-3 \bar{j}+5 \overline{\mathrm{k}}) . (2 \lambda \overline{\mathrm{i}}-\lambda \overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\)) = 0
⇒ λ(2λ) + (-3)(-λ) + 5(-1) = 0
⇒ 2λ² + 3λ – 5 = 0
⇒ (2λ + 5)(λ − 1) = 0
∴ λ = 1 (లేదా) \(\frac{-5}{2}\)

ప్రశ్న 8.
\(\overline{\mathrm{a}}=2 \overline{\mathrm{i}}+3 \overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=4 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}, \quad \overline{\mathrm{c}}=\overline{\mathrm{i}}-\mathrm{3}-7 \overline{\mathrm{k}}\) అనుకొందాం. \(\overline{\mathrm{r}} \cdot \overline{\mathrm{a}}=9, \overline{\mathrm{r}} \cdot \overline{\mathrm{b}}=7, \overline{\mathrm{r}} \cdot \overline{\mathrm{c}}=6\) అయ్యే ఉండే \(\overline{\mathrm{r}}\) సదిశను కనుక్కోండి.
సాధన.
\(\bar{r}=x \bar{i}+y \bar{j}+z \bar{k}\) అనుకొందాం
∴ \(\bar{r} \cdot \bar{a}\) ⇒ 2x + 3y + z = 9
\(\bar{r} \cdot \bar{b}\) = 7 ⇒ 4x + y = = 7
\(\bar{r} \cdot \bar{c}\)= 6 ⇒ x – 3y – 7z = 6
సాధించగా
x = 1, y = 3, z = −2
∴ \(\bar{r}=\bar{i}+3 j-2 k\)

ప్రశ్న 9.
\(2 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{i}}-3 \overline{\mathrm{j}}-5 \overline{\mathrm{k}}, 3 \overline{\mathrm{i}}-4 \overline{\mathrm{j}}-4 \overline{\mathrm{k}}\) అనే బిందువులు లంబకోణ త్రిభుజం శీర్షాలవుతాయని చూపి ఆ త్రిభుజం మిగతా కోణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్త బిందువులు.

ప్రశ్న 10.
ఒక ఘనంలో రెండు కర్ణాల మధ్య చిన్న కోణం 9 అయితే cos θ = \(\frac{1}{3}\) అవుతుందని నిరూపించండి. [May 11]
సాధన:
ఘనం యూనిట్. ఘనం అనుకొందాం.

ప్రశ్న 11.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) కౌలు పరస్పరం లంబంగా ఉండే శూన్యేతర సదిశలు \(x \bar{a}+y \bar{b}+z \bar{c}=0\) అయితే x = y = z = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు సమాన పరిమాణం గల పరస్పర లంబ సదిశలైతే, \(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}\) సదిశ, a, b, c లలోని ప్రతి సదిశతోను cos^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) కోణం చేస్తుందని చూపండి.
సాధన:
\(|\bar{a}|=|\bar{b}|=|\bar{c}|\) = λ, అనుకొందాం.
\(|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2\) = a² + b² + c² + 2 Σ \((\bar{a} \cdot \bar{b})\)

ప్రశ్న 13.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో \(\overline{\mathrm{A B}}=\mathrm{3} \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\), \(\overline{A D}=\bar{i}-2 \bar{k}\) లు ఆసన్న భుజాలు అయితే, కర్ణాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
ఏవైనా రెండు సదిశలు a, లకు కింది వాటిని నిరూపించండి.
i) |a.b| ≤ |a||b|(కౌషి-స్క్వార్జ్ అసమానత)
ii) |a + b| ≤ |a| + |b| (త్రిభుజ అసమానత)
సాధన:
i) a = 0 లేదా b = 0 అయితే, రెండు అసమానతలు వర్తిస్తాయి. వివరణ అవసరం లేదు.
అందువల్ల |a| ≠ 0 ≠ |b|అనుకుందాం.
అప్పుడు \(\frac{|a \cdot b|}{|a||b|}\) = |cos θ| ≤ 1.
కాబట్టి |a . b|≤ |a| |b|

ii) |a + b|² = ( a + b) ²
(a + b). (a + b)
= a.a + a.b + b.a + b.b
= |a|² + 2|a. b| + |b|²
(అదిశా లబ్ధం వినిమయం)
≤ |a|² + 2|a. b| + |b|²
(∵ x< |x| ∀ x ∈ R)
≤ |a|² + 2|a| |b|+|b|² ((i) నుంచి)
= (|a| + |b|)²
కాబట్టి |a + b| ≤ |a| + |b|.

ప్రశ్న 15.
(−2, 1, 3) బిందువు గుండా పోతూ \(3 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+5 \overline{\mathrm{k}}\) సదిశకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కార్టీసియన్ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
4x – 12y – 32 – 7 = 0 తలానికి సమాంతరంగా ఉంటూ, A (2, -1, -4) బిందువు గుండా పోయే తలానికి కార్టీసియన్ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
4x – 12y − 3z – 7 = 0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమాకరణం
4x – 12y – 3z = p అనుకొందాము.
∴ A(2, – 1, -4) గుండా పోతుంది కనుక
⇒ 4(2) – 12(-1) – 3(-4) = p
⇒ p = 32
∴ కావలసిన తలం సమీకరణం
4x – 12y – 3z = 32

ప్రశ్న 17.
2x – 3y – 6z = 5, 6x + 2y – 9z = 4 సమీకరణాలు సూచించే తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
తలం సమీకరణం 2x – 3y – 6z = 5

ప్రశ్న 18.
\(2 \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}, \bar{i}-\bar{j}+\bar{k}\) సదిశలతో సతలీయం అవుతూ, \(3 \bar{i}+2 \bar{j}+6 \bar{k}\). సదిశలకు లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
\(\bar{a}=2 \bar{j}-3 \bar{j}+5 \bar{k}, \bar{b}=-\bar{j}+4 \bar{j}+2 \bar{k}\) అయితే, \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) ను కనుక్కోండి. \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) లు రెండింటికీ లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\(\overline{\mathrm{a}}=2 \bar{i}-3 \bar{j}+5 \bar{k}, \bar{b}=-\bar{i}+4 \bar{j}+2 \bar{k}\) అయితే \((\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}) \times(\overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{b}})\) ని \(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}} ; \overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{b}}\) సదిశలు రెండింటికీ లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\bar{a}=2 \bar{i}-3 \bar{j}+5 \bar{k}\)
\(\overline{\mathrm{b}}=-\overline{\mathrm{i}}+4 \bar{j}+2 \bar{k}\)
\((\bar{a}+\bar{b}) \times(\bar{a}-\bar{b})\)

ప్రశ్న 21.
\(\overline{\mathrm{a}}=\mathrm{2} \overline{\mathrm{i}}-\mathrm{3} \overline{\mathrm{j}}, \overline{\mathrm{b}}=\mathrm{3} \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{k}}\) సదిశలు ఆసన్న భుజాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం కనుక్కోండి. [Mar. 08: May 08]
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజి సదిశా వైశాల్యం

ప్రశ్న 22.
a × b = c × d, a × c = b × d అయ్యేటట్లు a, b, c, d ఉంటే, a – d, b – c సదిశలు సమాంతరమని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\overline{\mathrm{a}}=\overline{\mathrm{i}}+\mathrm{2} \overline{\mathrm{j}}+\mathrm{3} \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=\mathrm{3} \overline{\mathrm{i}}+\mathrm{5} \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}\) సదిశలు త్రిభుజం రెండు భుజాలయితే, ఆ త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
త్రిభుజం ABC లో \(\overline{\mathrm{B C}}=\overline{\mathrm{a}} ; \overline{\mathrm{C A}}=\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{A B}}=\overline{\mathrm{c}}\) అయితే \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=\overline{\mathrm{c}} \times \overline{\mathrm{a}}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
\(\overline{\mathrm{a}}=\mathrm{2} \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=\mathrm{3} \overline{\mathrm{i}}+\mathrm{4} \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}\) సదిశల మధ్య కోణం 8 అయితే, sin θ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) సదిశలతో 3o \(\overline{\mathrm{c}}\) ≠ 0, \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{c}}\), \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) అయితే \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు జతలుగా పరస్పర లంబ సదిశలని చూపి, \(|\bar{b}|=1,|\bar{c}|=|\bar{a}|\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
\(\bar{a}=2 \bar{i}+\bar{j}-2 \bar{k}, \bar{b}=\bar{i}+\bar{j}\) అనుకొందాం. \(\bar{a} \cdot \bar{c}=|\bar{c}|,|\bar{c}-\bar{a}|=2 \sqrt{2}, \bar{a} \times \bar{b}\) మరియు \(\overline{\mathrm{c}}\) ల మధ్య కోణం 30° అయ్యేటట్లు సదిశ C ఉంటే, \(|(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}) \times \bar{c}|\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) లు సరేఖీయాలు కాని యూనిట్ సదిశలు. \(\bar{\alpha}=\overline{\mathrm{a}}-(\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{b}}) \overline{\mathrm{b}}, \bar{\beta}=\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) అయితే \(|\bar{\beta}|=|\bar{\alpha}|\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 29.
\(\overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}\) లతో నిర్ధారితమైన తలం \(\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}, \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{k}}\) సదిశలు నిర్ధేశించే తలాల ఖండన రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే సదిశ ā అయితే, \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\) సదిశల మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
\(\overline{\mathrm{a}}=4 \overline{\mathrm{j}}+5 \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{i}}-4 \overline{\mathrm{j}}+5 \overline{\mathrm{k}}\), \(\overline{\mathrm{c}}=3 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}\) అనుకొందాం. \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) లు రెండిటికి లంబంగా ఉంటూ \(\bar{\alpha} \cdot \overline{\mathrm{c}}\) = 21 అయ్యేలా ఉండే λ ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
ఏదైనా ఒక సదిశ a కి |a × i|² + |a × j|² + |a × k|² = 2|a|² అని చూపండి.
సాధన:
a = x i + y j + z k అనుకుందాం.
∴ a × i = – yk + zj.
∴ |a × i|² = y² + z²
ఇదే విధంగా |a × j|² = z² + x², |a × k|²
= x² + y²
∴ |a × i|² + |a × j|² + |a × k|² = 2(x² + y² + z²) = 2|a|²

ప్రశ్న 32.
\(\overline{\mathrm{a}} \neq \mathrm{0}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) సదిశలు \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{c}}\), \(\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{c}}\) అవుతూ ఉంటే, \(\overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{c}}\) అవుతుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 33.
\(\overline{\mathrm{a}}=2 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\bar{k}, \overline{\mathrm{b}}=\bar{i}-3 \bar{j}-5 \bar{k}, \bar{c}\) = \(3 \bar{i}-4 \bar{j}-4 \bar{k}\) సదిశలు సతలీయ సదిశలవుతాయని చూపండి.
సాధన:
(a × b). c = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
1 & -3 & -5 \\
3 & -4 & -4
\end{array}\right|\)
(i, j, k) కుడిచేతి పద్ధతిలోని లంబ యూనిట్ సదిశాత్రయం
a = a₁i+ a₂j + a₃k
b = b₁i + b₂j + b₃k
c = c₁i + c₂j + c₃k
[a, b, c] = \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right|\)
= 2(12 – 20) + (-4 + 15) + (-4 + 9)
= – 16 + 11 + 5 = 0.
∴ [a, b, c] లు సతలీయ సదిశలు
a = a₁i + a₂j + a₃k,
b = b₁i + b₂j + b₃k,
c = c₁i + c₂j + c₃k అయితే , a, b, c సతలీయ కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం
\(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right|\) = 0

ప్రశ్న 34.
\(2 \overline{\mathrm{i}}-3 \overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}, 2 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}\) లు సహావసానికి భుజాలుగా గల సమాంతర ఫలక ఘనపరిమాణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
\(\bar{a}=2 \bar{i}-\bar{j}+\bar{k}, \bar{b}=\bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}\), \(\overline{\mathrm{c}}=3 \overline{\mathrm{i}}+p \overline{\mathrm{j}}+5 \overline{\mathrm{k}}\) సదిశలు సతలీయాలైతే విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
∴ \(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}\) లు సతలీయాలు.
⇒ \([\bar{a} \bar{b} \bar{c}]\) = 0
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -3 \\
3 & p & 5
\end{array}\right|\) = 0
⇒2(10 + 3p) + 1 (5 + 9) + 1(p 6) = 0
⇒ 20 + 6p + 14 + p – 6 = 0
⇒ 7p + 28 = 0
∴ p = – 4

ప్రశ్న 36.
\(\overline{\mathrm{i}} \times(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{j}})+\overline{\mathrm{j}} \times(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{j}})+\mathrm{k} \times(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{k}})=\mathrm{2} \overline{\mathrm{a}}\) అని చూపండి
సాధన:

ప్రశ్న 37.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు మూడు సదిశలైతే, \(\left[\begin{array}{lll}
\bar{b}+\bar{c} & \bar{c}+\overline{\mathrm{a}} & \overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{a}} & \overline{\mathrm{b}} & \overline{\mathrm{c}}
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 38.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు మూడు సదిశలైతే. \(\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}} & \overline{\mathrm{c}} \times \overline{\mathrm{a}} & \overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{a}} & \overline{\mathrm{b}} & \overline{\mathrm{c}}
\end{array}\right]^2\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు యూనిట్ సదిశలు \(\bar{b}, \bar{c}\) సమాంతరాలు కావు. \(\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})=\frac{1}{2} \bar{b}\) అయితే, \(\overline{\mathrm{a}}\) సదిశ \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లతో చేసే కోణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
\(\overline{\mathrm{a}}=\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=2 \overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{j}}+\mathrm{3} \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{c}}=\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}\) , \(\overline{\mathrm{d}}=\mathrm{6} \overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{j}}+3 \overline{\mathrm{k}}\) అయితే \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}, \overline{\mathrm{c}} \times \overline{\mathrm{a}}\), \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) లలో \(\overline{\mathrm{d}}\) రాయండి . [May ’12]
సాధన:

ప్రశ్న 41.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}, \overline{\mathrm{d}}\) లు నాలుగు సదిశలైతే, \((\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}) \cdot(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{d}})+(\overline{\mathrm{c}} \times \overline{\mathrm{a}}) \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{d}})\) + \((\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}) \cdot(\overline{\mathrm{c}} \times \overline{\mathrm{d}})\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
A = (2, 3, -1), B = (4, 5, 2), C = (3, 6, 5) బిందువుల గుండాపోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
‘O’ మూలబిందువు.

ప్రశ్న 43.
A (3, -2, -1) గుండాపోయే \(\overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{i}}-2 \bar{j}+4 \bar{k}\), \(\overline{\mathrm{c}}=\mathrm{3 i}+2 \bar{j}-5 \bar{k}\) సదిశలకు సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

i.e., 2x + 17y + 8z + 36 = 0. ఇదియే కాలవసిన తలం సమీకరణం

ప్రశ్న 44.
r. (i + j + k) = 6, r. (2i + 3j+ 4k) = -5 తలాల ఛేదన రేఖ గుండా (1, 1, 1) బిందువు గుండా పోయే తలం సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ n₁ = i + j + k and n₂ = 2i + 3j + 4k; ఇంకా d₁ = 6, and d₂ = -5. ఈ విలువలను
r.(n₁ + λn₂) = d₁ + λd₂ సంబంధంలో ప్రతిక్షేపిస్తే r.[(i + j + k + λ (2i + 3j + 4k)] = 6 – 5λ లేదా . [(1 + 2λ)i + (1 + 3λ)j + (1 + 4λ)k]
= 6 – 5λ, λ ఒక వాస్తవ సంఖ్య ………….. (1)
r = xi + yj + zk గా తీసుకుంటే
(xi + yj + zk). [(1 + 2λ)i + (1 + 3λ)j + (1 + 4λ)k] = 6 – 5λ
లేదా (1 + 2λ)x + (1 + 3λ) y + (1 + 4λ)z = 6 – 5λ
(x + y + z – 6) + λ (2x + 3y + 4z + 5) = 0 ………………. (2)
ఈ తలం (1, 1, 1) బిందువు గుండాపోతుంది. కాబట్టి అది సమీకరణం (2)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అప్పుడు (1 + 1 + 1 – 6) + λ (2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ λ = \(\frac{3}{14}\)
ఈ λ విలువను సమీకరణం (1)లో ప్రతిక్షేపిస్తే,

లేదా r. (20i + 23j + 26k) = 69.
ఇదే కావలసిన లం సదిశా సమీకరణం.

ప్రశ్న 45.
r. (6i – 3j + 2k) = 4 తలం నుంచి (2, 5, -3) బిందువునకు గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ a = 2i + 5j – 3k, N = 6i – 3j + 2k; d = 4.
∴ దత్త తలం నుంచి (2, 5, -3) బిందువునకు దూరం

ప్రశ్న 46.
\(\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}\) రేఖకు 10x + 2y – 11z = 3 తలానికి మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖకి, తలం లంబానికి మధ్య కోణం అనుకొందాం.
దత్తసమీకరణాలను సదిశా రూపంలోకి మారిస్తే,
r = (-i + 3k) + λ(2i + 3j. + 6k)
లేదా (10i + 2j – 11k) = 3.
ఇక్కడ b = 2i + 3j + 6k, n = 10i + 2j – 11k.

ప్రశ్న 47.
a, b, c, d ఏవైనా నాలుగు సదిశలైతే, (a × b) × (c × d) = [a c d]b – [b c d]a and (a × b) × (c × d) = [a b d]c – [a b c] d.
సాధన:
m = c × d అనుకొందాం
∴ (a × b) × (c × d) = (a × b) × m
= (a.m)b – (b.m)a
= (a. (c × d))b (b. (c × d)) a
= [a c d]b – [b c d]a.
ఇప్పుడు a × b = n అనుకొందాం.
∴ (a × b) × (c × d) n × (c × d)
= (n . d)c – (n.c)d
= ((a × b). d) c – ((a × b). c)d
= [a b d]c – [a b c]d.
∴ (acd]b – [bcd]a = (a × b) × (c × d) = [abd]c – [abc]d.

ప్రశ్న 48.
\(\overline{\mathrm{r}}=(6 \overline{\mathrm{i}}+2 \bar{j}+2 \bar{k})+t(\bar{i}-2 \bar{j}+2 \bar{k})\), \(\overline{\mathrm{r}}=(-4 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{k}})+5(3 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}-2 \overline{\mathrm{k}})\) సూచించే రేఖలు మధ్య కనిష్ట దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 49.
అర్ధవృత్తంలో కోణం లంబకోణం అవుతుంది. [May ’08]
సాధన:
కేంద్రం గల వృత్త వ్యాసం AB అనుకొందాం.
OA = a అనుకొంటే OB = – a అవుతుంది.
అర్థవృత్తం మీద, OP = r అవుతూ P ఒక బిందువు
అప్పుడు PA . PB = (a – r) . (-a – r)
= -(a² – r²)
= 0 (∵|a| = |r| = వ్యాసార్థం)
∴ ∠APB = 90°.

ప్రశ్న 50.
i) త్రిభుజంలో, ఉన్నతులు (altitudes) అనుషక్తాలు.
ii) త్రిభుజంలో, భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు అనుషక్తాలు. [Mar. ’13]
సాధన:
i) దత్త త్రిభుజం ABC లో A, B ల నుంచి వరుసగా BC, CA లకు గీసిన ఉన్నతులు, వాటిని D, E ల వద్ద ఖండిస్తున్నాయనుకొందాం. AD, BE లు 0 వద్ద ఖండించుకొంటాయనుకొని, CO ను కలిపి అది AB ని F వద్ద కలుసుకొనేటట్లు పొడిగిద్దాం. O దృష్ట్యా, A, B, C స్థానసదిశలను వరుసగా \(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}\) అనుకొందాం.




∴ త్రిభుజంలో భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు అనుషక్తాలు.

ప్రశ్న 51.
A, B, C, D శీర్షాలు అపసవ్య దిశలో ఉండేటట్లు ABCD సమాంతర చతుర్భుజం అయితే, కర్ణాలు AC, BDలలో ABCD సమాంతర చతుర్భుజం సదిశా వైశాల్యం \(\frac{1}{2}\) (AC × BD) అని చూపండి.
సాధన:

= ∆ ABC సదిశా వైశాల్యం + ∆CDB సదిశా వైశాల్యం ∆BCD సమాంతర చతుర్భుజ సదిశా ‘ వైశాల్యం

ప్రశ్న 52.
ఏదైనా సదిశలు a, b, c కి (a × b) × c = (a.c) b – (b.c) a [(A.P) Mar. 15; May ’06; June ’04]
సాధన:
(a × b) × c = (a.c) b – (b.c) a

ప్రశ్న 53.
a, b, c, d లు నాలుగు సదిశలైతే (a × b) , (c × d) = \(\left|\begin{array}{ll}
a \cdot c & a \cdot d \\
b . c & b \cdot d
\end{array}\right|\) అని చూపండి (a × b)² = a² b² – (a . b)²
సాధన:

ప్రశ్న 54.

సాధన:

ఈ ఫలితం ఒక అదిశ. కాబట్టి దీన్ని నాలుగు సదిశ అదిశ లబ్ధం అని కూడా అంటాం.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

1. క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin^-1 \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
సాధన:
sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) = –\(\frac{\pi}{6}\)
–\(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

ii) cos^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
సాధన:
cos^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = π – cos^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
= π – \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\) ∈ [0, π]

iii) tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
సాధన:
tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) = \(\frac{\pi}{6}\) ∈ (-\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) )

iv) cot1 (-1)
సాధన:
cot ‘(-1) = π – cot^-1 (1) = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) ∈ (0, π)

v) sec^-1 (-\(\sqrt{2}\))
సాధన:
sec^-1 (-\(\sqrt{2}\)) = π – sec^-1 (\(\sqrt{2}\))
= π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) ∈ (\(\frac{\pi}{2}\), π)

vi) cosec^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
సాధన:
cosec^-1 \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\) = sin^-1\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin^-1 (sin \(\frac{4 \pi}{3}\))
సాధన:

ii) cos^-1 \(\left(\cos \frac{4 \pi}{3}\right)\)
సాధన:

iii) tan^-1 (tan \(\frac{4 \pi}{3}\))
సాధన:

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin (cos^-1 \(\frac{5}{13}\))
సాధన:
sin (cos^-1 \(\frac{5}{13}\)) = sin (sin^-1 \(\frac{12}{13}\)) = \(\frac{12}{13}\)

ii) tan (sec^-1 \(\frac{25}{7}\))
సాధన:
tan(sec^-1\(\frac{25}{7}\)) = tan(tan^-1 \(\frac{24}{7}\)) = \(\frac{24}{7}\)

iii) cos (tan^-1 \(\frac{24}{7}\))
సాధన:
cos (tan^-1 \(\frac{24}{7}\)) = cos (cos^-1 \(\frac{7}{25}\)) = \(\frac{7}{25}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.

i) sin² (tan^-1 \(\frac{3}{4}\))
సాధన:
sin(tan^-1 \(\frac{3}{4}\)) = sin (sin^-1 \(\frac{3}{5}\)) = \(\frac{3}{5}\)
∴ sin² (tan^-1 \(\frac{3}{4}\)) = (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{9}{25}\)

ii) sin (\(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1 \(\left(-\frac{4}{5}\right)\))
సాధన:

iii) cos (cos^-1\(\left(-\frac{2}{3}\right)\) – sin^-1 \(\left(\frac{2}{3}\right)\))
సాధన:

iv) sec² (cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
సాధన:
cot^-1 (3) = α, tan^-1(2) = β అనుకుంటే
cot α = 3, tan β = 2
⇒ tan α = \(\frac{1}{3}\), cot β = \(\frac{1}{2}\)
ఇప్పుడు sec²(cot^-1 3) + cosec²(tan^-1 β)
= 1 + \(\left(\frac{1}{3}\right)^2\) + 1 + \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
= 2 + \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{72+4+9}{36}\) = \(\frac{85}{36}\)

iv) sec²(cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
సాధన:
cot^-1 (3) = α, tan^-1 (2) = β అనుకుంటే
cot α = 3, tan β = 2
⇒ tan α = \(\frac{1}{3}\), cot β = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 5.
cot^-1 \(\frac{1}{2}\) + cot^-1 \(\frac{1}{3}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
cot^-1 (\(\frac{1}{2}\)) + cot^-1 (\(\frac{1}{3}\))
= tan^-1 (2) + tan^-1 (3)
∵ x = 3, y = 2, xy > 1
= π + tan^-1 \(\left(\frac{2+3 .}{1-(2)(3)}\right)\)
= π + tan^-1 \(\left(\frac{5}{-5}\right)\)
= π + tan^-1 (-1)
= π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{7}{25}\) = sin^-1 \(\frac{117}{125}\) అని చూపండి. (Mar. ’13)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి :

రెండవ పద్ధతి:
x > 0, y > 0, x² + y² < 1 అయితే
sin^-1 x + sin^-1 y = sin (x\(\sqrt{1-y^2}\) + y\(\sqrt{1-x^2}\)), అని మనకు తెలుసు.
∴ sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{7}{25}\)

ప్రశ్న 7.
x ∈ (-1, 1) save 2 tan^-1x = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
∵ x ∈ (-1, 1), tan^-1 x = α అనుకుంటే

ప్రశ్న 8.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + sin^-1 \(\frac{5}{13}\) + sin^-1 \(\left(\frac{16}{25}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) = α, sin^-1 \(\frac{5}{13}\) = β అనుకుంటే
α, β లు అల్పకోణాలు.
sin α = \(\frac{4}{5}\), sin β = \(\frac{5}{13}\)
కనుక cos α = \(\frac{3}{5}\), cos β = \(\frac{12}{13}\)
ఇప్పుడు
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= \(\frac{3}{5}\). \(\frac{12}{13}\) – \(\frac{4}{5}\) . \(\frac{5}{13}\)
= \(\frac{16}{65}\)
∴ α + β = cos^-1 \(\left(\frac{16}{65}\right)\)

ప్రశ్న 9.
cot^-1 9 + cosec^-1 \(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = \(\frac{\pi}{4}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
cot^-1 (9) = α, cosec^-1\(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = β అనుకుంటే
cot α = 9, cosec β = \(\frac{\sqrt{41}}{4}\) అవుతాయి.

ప్రశ్న 10.
cot (sin^-1 \(\sqrt{\frac{13}{17}}\)) = sin (tan^-1 \(\frac{2}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
tan ((2 tan^-1 \(\frac{1}{5}\)) – \(\frac{\pi}{4}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
sin^-1 \(\frac{4}{5}\) + 2 tan^-1 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{\pi}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
cos (2 tan^-1 \(\frac{1}{7}\)) = sin (4 tan^-1 \(\frac{1}{3}\)) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
sin^-1 x + sin^-1y + sin^-1 z = π, అయితే x⁴ + y⁴ + z⁴ + 4x²y²z² = 2(x²y² + y²z² + z²x²) అని చూపండి.
సాధన:
sin^-1x = A, sin^-1 y = B, sin^-1 (z) = C అనుకుందాం
sin A = x, sin B = y, sin C = z
A + B = π – C
⇒ cos (A + B) = cos(π – C)
⇒ cos A cos B – sin A sin B = -cos C

ప్రశ్న 15.
cos^-1\(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{a}}\) + cos^-1\(\frac{\mathbf{q}}{\mathbf{b}}\) = α, అయితే \(\frac{p^2}{a^2}\) – 2\(\frac{p q}{a b}\) cos α + \(\frac{q^2}{b^2}\) = sin² α అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
x > 0 కు arc sin\(\left(\frac{5}{x}\right)\) + arc sin \(\frac{12}{x}\) = \(\frac{\pi}{2}\)
ను సాధించండి.
సాధన:

⇒ \(\frac{25}{x^2}\) = 1 – \(\frac{144}{x^2}\)
⇒ \(\frac{169}{x^2}\) = 1 ⇒ x² = 169 ⇒ x = ± 13
⇒ x = 13 (∵ x > 0)

ప్రశ్న 17.
sin^-1 \(\left(\frac{3 x}{5}\right)\) + sin^-1 \(\left(\frac{4 x}{5}\right)\) = sin^-1(x) ను సాధించండి.
సాధన:
sin^-1 \(\left(\frac{3 x}{5}\right)\) = α, sin^-1 \(\left(\frac{4 x}{5}\right)\) = β, sin^-1 (x) = γ అనుకుంటే
అప్పుడు sin α = \(\frac{3 x}{5}\), sin β = \(\frac{4 x}{5}\), sin γ = x అవుతాయి

⇒ 25 – 16x² = 9
⇒ 16x² = 16 ⇒ x = ±1
∴ x = 0, +1, -1
x యొక్క ఈ విలువలు దత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి.

ప్రశ్న 18.
sin^-1x + sin^-1 2x = \(\frac{\pi}{3}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వర్గం చేస్తే

ఋణాత్మకాలు. కనుక ఈ విలువ దత్త సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు.
x = \(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}\) మాత్రమే సాధన.

ప్రశ్న 19.
sin [2 cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0, అయితే x ను కనుక్కోండి.
సాధన:
sin [2cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0
⇔ 2 cos^-1 [cot (2tan‍^-1 x)] = 0 లేదా π లేదా 2π
(cos^-1 x యొక్క వ్యాప్తి [0, π] కనుక)
⇔ cos^-1 [cot (2 tan^-1 x)] = 0 లేదా \(\frac{\pi}{2}\) లేదా π
⇔ cot (2 tan^-1 x) = 1 లేదా 0 లేదా −1

ప్రశ్న 20.
cos [tan^-1 {sin (cot ^-1x)}] = \(\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
cot^-1 (x) = θ అనుకుందాం.
అప్పుడు cot θ = x, 0 < x < π

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 2 అక్ష పరివర్తనం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూల బిందువును (2, 3) కు మారిస్తే బిందువు p నిరూపకాలు (4, −3) గా మారాయి. మూల వ్యవస్థలో (original system) బిందువు P నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (2, 3) + h = 2, k = 3
(x, y) = (4, − 3) ⇒ x = 4, y = -3
x = x + h = 4 + 2 = 6, y = y + k
= -3 + 3 = 0
తొలి నిరూపకాలు (6, 0)

ప్రశ్న 2.
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, h² ≠ ab సమీకరణంలో మొదటి తరగతి పదాలు లోపింప చేయడానికి, మూల బిందువును అక్షాలు సమాంతర ‘పరివర్తన ద్వారా ఏ బిందువుకు మార్చాలో కనుక్కోండి.
సాధన:
సమాంతర అక్ష పరివర్తనలో మూల బిందువును (α, β) కు
మార్చితే X = x’ + α
y = y’ + β
దత్త సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
a(x’ + α)² + 2h(x’ + α) (y’ + β) + b(y’ + β² + 2g(x’ + α) + 2f(y’ + β) + c = 0
ఇచ్చిన దాని ప్రకారం
ax’² + 2hx’y’ + by’² + 2x’ (aα + hβ + g) + 2y (hα + bβ + f) + aα² + 2hαβ + bβ² + 2gα + 2fβ + c = 0 ……………… (1)
(1) లో మొదటి తరగతి పదాలు లుప్తం కావలెను.
aα + hβ + g = 0 మరియు hα + bβ + f = 0
ఈ సమీకరణాలను α, β ల కొరకు సాధించగా
α = \(\frac{h f-b g}{a b-h^2}\) , β = \(\frac{g h-a f}{a b-h^2}\)
మూల బిందువును మార్చవలసిన బిందువు
\(\left(\frac{h f-b g}{a b-h^2}, \frac{g h-a f}{a b-h^2}\right)\)

ప్రశ్న 3.
ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0. సమీకరణంలో మొదటి తరగతి పదాలను లోపింప చేయడానికి మూల బిందువును అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా ఏ బిందువుకు మార్చాలో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణంలో xy పదముతో సమస్య 2 లో h = 0 రాస్తే
\(\left(\frac{-g}{a}, \frac{-f}{b}\right)\) అనేది కావలసిన బిందువు.

ప్రశ్న 4.
135° కోణంతో అక్షాలను భ్రమణం చేసినప్పుడు P బిందువు (4, -3) గా మారితే మూల వ్యవస్థ దృష్ట్యా P నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ (x, y) = (4, -3); θ = 135°
(x, y) కు P యొక్క నిరూపకాలు
x = x’ cos θ – y’ sin θ
= 4 cos 135° – (-3) sin 135°
= \(4\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)+3\left(\frac{+1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
y = x’ sin θ + y’ cos θ
= 4 sin 135° + (-3) cos 135°
= \(4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-3\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
తొలి వ్యవస్థలో P నిరూపకాలు \(\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)\)

ప్రశ్న 5.
a ≠ b అయితే ax² + 2hxy + by² = 0 సమీకరణంలో xy పదం లోపింపచేయడానికి, అక్షాలను భ్రమణ పరివర్తన చేయవలసిన కోణం \(\frac{1}{2}\) Tan^-1 \(\left(\frac{2 h}{a-b}\right)\) అని, a = b అయితే ఈ కోణం \(\frac{\pi}{4}\) అని చూపండి. [Mar. ’13; May ’06]
సాధన:
అక్షాలను θ కోణం భ్రమణం చేస్తే
x =x’ cos θ – y’ sin θ
y = x’ sin θ + y cos θ
దత్త సమీకరణము నూతన రూపము
a(x’ cos θ – y’ sin θ)² +2h(x’ cos θ – y’ sin θ) (x’ sin θ+ y’ cos θ) + b(x’ sin θ + y cos θ)² = 0
x y పదము తొలగించడానికి దాని గుణకము సున్నా చేయుము.
కాబట్టి (b – a) sin θ cos θ + h(cos² θ – sin² θ) = 0
h cos 2θ = \(\frac{a-b}{2}\) sin 2θ
tan 2θ = \(\frac{2h}{a-b}\) , ఐతే a ≠ b
∴ θ = \(\frac{1}{2}\) Tan^-1 \(\left(\frac{2 h}{a-b}\right)\) ఐతే a ≠ b మరియు
θ = \(\frac{\pi}{4}\), ఐతే a = b

ప్రశ్న 6.
మూల బిందువును బిందువు (-2, – 3) కు మార్చి అక్షాలను 45° కోణంతో పరిభ్రమణం చేసినప్పుడు 2x² + 4xy – 5y² + 20x – 22y – 14 = 0 యొక్క రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (-2, -3), అనుకొంటే h = -2, k = -3
θ = 45°
(x, y) యొక్క నూతన నిరూపకాలు (x, y) అనుకొనుము.
x = x’ cos θ – y’ sin θ + h
= -2 + x’ cos 45° – y’ sin 45°
= -2 + \(\frac{x^{\prime}-y^{\prime}}{\sqrt{2}}\)
y = x’ sin θ + y’ cos θ + k
= x’ sin 45° + y’ cos 45° – 3 = – 3 + \(\frac{x^{\prime}+y^{\prime}}{\sqrt{2}}\)
పరివర్తిత సమీకరణము

– \(\frac{5}{2}\) (x’ – y’)² – 45 + 15 \(\sqrt{2}\) (x’ + y’) + 10 \(\sqrt{2}\) (x’ – y’) – 40 – 11\(\sqrt{2}\) (x’ + y’) + 66 – 14 = 0
x’² + y’² = 2xy + 2x’² – 2y’² – \(\frac{5}{2}\) (x’² + y’² + 2x’y’) – 1 = 0
\(\frac{1}{2}\)x’² – \(\frac{7}{2}\) y’² – 7x’y’ – 1 = 0
x’² – 7y’² – 14x’y’ – 2 = 0
రూపాంతర సమీకరణము (డాస్లు వదిలి వేయుము)
x² – 7y² – 14xy – 2 = 0

ప్రశ్న 7.
సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూలబిందువును (−2, 3) బిందువుకు మార్చినప్పుడు కొత్త అక్షాల దృష్ట్యా (1, 2) బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (-2, 3) సమాంతర పరివర్తన ద్వారా
(x, y) = (1, 2) ను (x’, y’) కి మార్చామని అనుకొనుము.
(x’, y’) = (x – h, y -k) = (1 – (-2), 2 -3) = (3, -1)

ప్రశ్న 8.
అక్షాల సమాంతర పరివర్తన ద్వారా మూల బిందువును (3, 4) కు మార్చినప్పుడు 2x² + 4xy + 5y² = 0 యొక్క రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(h, k) = (3, 14)
f(x, y) 0, f(x’ + h, y + k) = 0 ప్రకారం దత్త
సమీకరణంలో
x = x’ + 3, y = y’ + 4 లను ప్రతిక్షేపిస్తే
2(x’ + 3)2 + 4(x’ + 3) (y’ + 4) + 5(y’ + 4)² = 0
2x’² + 4x’y’ + 5y’² + 28x’ + 52y’ + 146 = 0
ఈ సమీకరణాన్ని (“గుర్తును తొలగించి)
2x² + 4xy + 5y² + 28x + 52y + 146 = 0.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
XOY తలంలో బిందువు (-2, 3) నుంచి దూరం 5గా గల బిందువు పథ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువును A = (-2, 3) అని, బిందుపథం మీది బిందువును P(x, y) అని అనుకొందాం.
బిందువు P, బిందుపథం మీద ఉండటానికి తృప్తిపరచాల్సిన జ్యామితీయ నియమం
AP = 5 ………….. (1)
ఈ నియమాన్ని బీజీయంగా వ్యక్తీకరిస్తే
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\) = 5
అంటే, x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25
అంటే, x² + y² + 4x – 6y – 12 = 0 ……………….. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x₁, y₁) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను కొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² + 4x₁ – 6y₁ – 12 = 0
ఇప్పుడు A, Qల మధ్యదూరం
AQ = \(\sqrt{\left(x_1+2\right)^2+\left(y_1-3\right)^2}\)
అందువల్ల AQ² = x₁² + 4x₁ + 4 + y₁² – 6y₁ + 9
= (x₁² + y₁² + 4x₁ + 6y₁ – 12) + 25
= 25 ((3) ను ఉపయోగిస్తే)
కాబట్టి AQ = 5
అంటే బిందువు Q(x₁, y₁) జ్యామితీయ నియమం (1) ని తృప్తిపరుస్తుందని అర్థం.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x² + y² + 4x – 6y – 12 = 0.

ప్రశ్న 2.
బిందువు A(3, 0) నుంచి P బిందువు దూరం, B(-3, 0) బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి రెట్టింపు అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిందుపథం మీద P(x, y) ఒక బిందువనుకొందాం.
అప్పుడు P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం.
PA = 2PB
అంటే PA² = 4PB²
అంటే (x – 3)² + y² = 4[(x + 3)² + y²]
అంటే x² – 6x + 9 + y² = 4[x² + 6x + 9 + y²]
అంటే 3x² + 3y² + 30x + 27 = 0
అంటే x² + y² + 10x + 9 = 0 ………………. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x₁, y₁) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను
కొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² + 10x₁ + 9 = 0
ఇప్పుడు QA² = (x₁ – 3)² + y₁² + y₁²
= x₁² – 6x₁ + 9 + y₁²
= 4x₁² + 24x₁ + 36 + 4y₁²– 3x₁² – 30x₁ – 27 – 3y₁²
= 4(x₁² + 6x₁ + 9 + y₁²) – 3(x₁² + 10x₁ + 9 + y₁²)
= 4(x₁² + 6x₁ + 9 + y₁²) ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x₁ + 3)² + y₁²]
= 4 QB²
అందువల్ల QA = 2QB. అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1) ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x² + y² + 10x + 9
= 0.

ప్రశ్న 3.
(4, 0), (0, 4) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథం కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (4, 0), B = (0, 4) అనుకుందాం.
PA, PB లు లంబంగా ఉండేటట్లు P(x, y) ని తీసుకొందాం.
అప్పుడు PA² + PB² = AB² …………… (1)
P, A, B లు సరేఖీయాలు కావు.
(x – 4)² + y² + x² + (y – 4)² = 16 + 16,
P ≠ A, P ≠ B
లేదా x² + y² – 4x – 4y = 0,
(x, y) ≠ (4, 0), (x, y) ≠ (0, 4) ……….. (2)
Q(x₁, y₁) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందని, Q బిందువు A, B లకు భిన్నమైందని అనుకొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² – 4x₁ – 4y₁ = 0,
(x₁, y₁) ≠ (4, 0), (x₁, y₁) ≠ (0, 4) …………. (3)
ఇప్పుడు QA² + QB²
= (x₁ – 4)² + y₁² + x₁² + (y₁ – 4)²
= x₁² – 8x₁ + 16 + y₁² + x₁² + y₁² – 8y₁ + 16
= 2(x₁² + y₁² – 4x₁ – 4y₁) + 32
= 32 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= AB²
అందువల్ల QA² + QB² = AB², Q ≠ A, Q ≠ B.
అంటే Q(x₁, y) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల (2) కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం. ఇది A, Bలు మినహా, \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని వ్యాసంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
A(5, −4), B (7, 6) బిందువుల నుంచి P బిందువు దూరాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకొందాం.
P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{3}\)
అంటే 3AP = 2PB
అంటే AP² = 4PB²
అంటే 9[(x – 5)² + (y + 4)²] = 4[(x – 7)² + (y – 6)²]
అంటే 9[x² + 25 – 10x + y² + 16 + 8y] = 4[x² + 49 – 14x + y² + 36 – 12y]
అంటే 5x² + 5y² – 34x + 120y + 29 = 0
Q(x₁, y₁) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు 5₁x + 5y₁ – 34x₁ + 120y₁ + 29 = 0
ఇప్పుడు
9AQ2 = 9[x₁² + 25 − 10x₁ + y₁² + 16 + 8y₁]
= 5x₁² + 5y₁² − 34x₁ + 120y₁ + 29 + 4x₁² + 4y₁² – 56x₁ – 48y₁ + 340]
= 4[x₁² + y₁² – 14x₁ – 12y₁ +49 + 36] ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x₁ – 7)² + (y₁ – 6)²]
= 4QB²
అందువల్ల 3AQ = 2QB.
అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణము
5(x² + y²) – 34x + 120y + 29 = 0.

ప్రశ్న 5.
A(2, 3), B(-3, 4) లు దత్త బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 8.5 ఉండేటట్లుగా P బిందుపథ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకుందాం.
Pని తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం
∆PAB వైశాల్యం = 8.5 ………………. (1)
అంటే
\(\frac{1}{2}\) |x(3 – 4) + 2(4 – y) – 3 (y – 3)| = 8.5
అంటే |-x + 8 – 2y – 3y + 9| = 17
అంటే |-x – 5y + 17| = 17
అంటే -x − 5y + 17 = 17 లేదా
-x – 5y + 17 = -17
అంటే x + 5y = 0 లేదా x + 5y = 34
అందువల్ల (x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
అంటే x² + 10xy + 25y² – 34x – 170y = 0 …………. (2)
Q(x₁, y₁) బిందువు (2)ని తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు x₁ + 5y₁ = 0 లేదా
x₁ + 5y₁ = 34 ……………. (3)
ఇప్పుడు ∆QAB వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|(x₁ (3 – 4) + 2(4 – y₁) – 3(y₁ – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |-x₁ + 8 – 2y₁ – 3y₁ + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |-x₁ – 5y₁ + 17|
= \(\frac{17}{2}\) = 8.5 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
(x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
x² + 10xy + 25y² – 34x – 170y = 0

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -3}{\text { Lt }}\frac{1}{x+2}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{x+2}\) అనుకొందాం.
h(x) = x + 2 ∀ x ∈ R గా వాస్త్రే

ప్రశ్న 2.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x-2}{x^3-8}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{x-2}{x^3-8}\) x ≠ 2 గా వాస్త్రే
f(x) = \(\frac{x-2}{x^3-8}\) = \(\frac{1}{x^2+2 x+4}\)
h(x) = x² + 2x + 4
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) = 2² + 2.2 + 4
= 4 + 4 + 4
= 12
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{1}{\mathrm{~h}(\mathrm{x})}=\frac{1}{12}\)

ప్రశ్న 3.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) (2x + 1) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) (2x + 1)
= \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x + 2) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (2x + 1)
= (1 + 2) (1 + 2) = 3.3 = 9

ప్రశ్న 4.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x² . sin \(\frac{1}{x}\) ను గణించండి.
సాధన:
x ≠ 0, కు -1 ≤ sin \(\frac{1}{x}\) ≤ 1 అని తెలుసు
∴ – x² ≤ x² . sin \(\frac{1}{x}\) ≤ x²
కాని \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) (- x²) = 0 = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x²
సిద్ధాంతాన్ని అనుసరించి \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) x² . sin \(\frac{1}{x}\) = 0 అని లభ్యం.

ప్రశ్న 5.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2-5}{4 x+10}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
f: R → R ను f(x) = x² – 5, అనీ
g: R→ R ను g(x) = 4x + 10

ప్రశ్న 6.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-6 x^2+9 x}{x^2-9}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
F(x) = x³ – 6x² + 9x
= x(x – 3)² = (x – 3)
f(x) ఇక్కడ f(x) = x(x – 3)
G(x) = x² – 9= (x – 3) (x + 3)
= (x – 3) g(x) ఇక్కడ g(x) = x + 3
అందువల్ల \(\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{(x-3) f(x)}{(x-3) g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}\)
g(3) = 6 ≠ 0.
ఇప్పుడు \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\left[\frac{F}{G}\right](x)=\frac{f(a)}{f(x)}\) నుంచి
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-6 x^2+9 x}{x^2-9}\) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{F(x)}{G(x)}\)
= \(\frac{f(3)}{g(3)}=\frac{3(3-3)}{3+3}=\frac{0}{6}\) = 0

ప్రశ్న 7.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-3 x^2}{x^2-5 x+6}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
F(x) = x³ – 3x² = x³(x – 3) = (x – 3)
f(x), f(x) = x² అనీ
G(x)= x² – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)
= (x – 3) g(x), g(x) = x − 2
g(3) = 3 – 2 = 1 ≠ 0.
అందువల్ల, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\left[\frac{F}{G}\right](x)=\frac{f(a)}{g(a)}\) నుంచి
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x^3-3 x^2}{x^2-5 x+6}\) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac{3^2}{3-2}\) = 9

ప్రశ్న 8.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0+}{\text { Lt }}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) = 1, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0-}{\text { Lt }}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) = -1 (x ≠ 0) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
f : R → R, ద్వారా నిర్వచితమనుకోండి. అప్పుడు \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\) f(x) = 5 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0, \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) అని చూపండి.
సాధన:
(-2, 2) లో \(\sqrt{x^2-4}\) నిర్వచితం కాదు.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2+}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0,
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) =0
కాబట్టి \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0 = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow -2}{\text { Lt }}\sqrt{x^2-4}\) = 0

ప్రశ్న 11.
f(x) =
, అయితే \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) లను కనుక్కోండి.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) f(x) వ్యవస్థితము ?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\tan x}{x}\) = 1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\left\{\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right\}\) ను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
0 |x| < 1 అయితే

ప్రశ్న 14.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\left[\frac{e^x-1}{\sqrt{1+x}-1}\right]\) ను గణించండి. [T.S Mar. 15]
సాధన:
0 < |x| < 1, అయితే

ప్రశ్న 15.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\frac{x-3}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}}\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{a^x-1}{b^x-1}\) (a > 0, b > 0, b ≠ 1) ను గణించండి. [A.P.Mar. ’15, ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\sin a x}{\sin b x}\), b ≠ 0, a ≠ b గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{e^{3 x}-1}{x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{e^x-\sin x-1}{x}\) ను గణించండి. [Mar. ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 20.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\frac{\log _e x}{x-1}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x – 1 అనుకోండి. ఇప్పుడు x → 1 అయినప్పుడు y → 0 అవుతుంది.

ప్రశ్న 21.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{x^2}\) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
E > 0, కు అనుగుణంగా α = \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) > 0 తీసుకోండి.
అప్పుడు x > α ⇒ x > \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) ⇒ x² > \(\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow \frac{1}{x^2}\) < ε
⇒ \(\left|\frac{1}{x^2}-0\right|\) < ε
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{x^2}\) = 0

ప్రశ్న 22.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^x = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన k > 0 కు, అయినప్పుడు α = log k అనుకొందాం.
అప్పుడు x > α ⇒ e^x > e^α = k
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^x = ∞

ప్రశ్న 23.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2+2 x-1}{x^2-4 x+4}\) ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{x^2-4 x+4}{x^2+2 x-1}=\frac{(x-2)^2}{x^2+2 x-1}\) వ్రాయండి.
2 విసర్జిత సామిష్యంలో f(x) > 0.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = 0
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{1}{f(x)}\) = ∞
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\frac{x^2+2 x-1}{x^2-4 x+4}\) = ∞

ప్రశ్న 24.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{3 x^5-1}{4 x^2+1}\) ను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.

సాధన:

ప్రశ్న 26.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{x^2-\sin x}{x^2-2}\) ను గణించండి.
సాధన:
-1 ≤ sinx ≤1 ⇒ -1 ≤ -sinx ≤ 1 లభ్యం
అందువల్ల x² – 1 ≤ x² – sinx ≤ x² + 1
x → ∞, కనుక x² – 2 > 0

ప్రశ్న 27.
f(x) = [x] (x ∈ R) ప్రమేయం పూర్ణాంకాలు కాని అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
సందర్భం i) : a ∈ z move f(a) = (a) = a

ప్రశ్న 28.
f : R → R, f(x + y) = f(x) + f(y), x, y ∈ R అయ్యేటట్లుంది. R లోని ఒక బిందువు వద్ద అవిచ్ఛిన్నమైతే అది R పై అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
x_o ∈ R వద్ద f అవిచ్ఛిన్నం అనుకోండి.

∴ f ప్రమేయము x = a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.
X ∈ R అవిచ్ఛిన్నం కనుక R మీద f అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 29.
1, 2 బిందువుల వద్ద క్రింది ప్రమేయం అవిచ్ఛిన్నతను పరిశీలించండి.

సాధన:


x = 2 వద్ద f అవిచ్ఛిన్నం కాదు.

ప్రశ్న 30.
f ప్రమేయాన్ని R మీద f(x) = cos x², X ∈ R అని నిర్వచిస్తే f అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయమని చూపండి.
సాధన:
h : R → R ను h(x) = x²
g : R → Rను g(x) = cos x అని నిర్వచిద్దాం.
ప్రతీ x ∈ R కి,
(goh)(x) = g(h(x)) = g(x²)
= cos x² = f(x)
g, h లు వాటి ప్రదేశాల్లో అవిచ్ఛిన్నం కనక,
A, B, ⊆ R,
f : A → R, A మీద అవిచ్ఛిన్నం
g : B → R, B మీద అవిచ్ఛిన్నం
f(A) ⊆ B అయితే వాటి ప్రమేయం సంయుక్త ప్రమేయం
gof : A → R, A మీద అవిచ్ఛిన్నం, R మీద అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయం.

ప్రశ్న 31.
ప్రమేయం f ను R మీద f(x) = -1 + 2x + |x||, x ∈ R అని నిర్వచిస్తే f అవిచ్ఛిన్నమని చూపండి.
సాధన:
g : R → R ను
g(x) = 1 + 2x + |x|, x ∈ R,
h : R → Rను h(x) = |x|, x ∈ R గా నిర్వచిద్దాం.
అప్పుడు
(hog) (x) = h(g(x)) = h(1 + 2x + |x|)
= |1 + 2x + |x|| = f(x).

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 గణితానుగమనం

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం. ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
S(1) = 1³ = \(\frac{1^2(1+1)^2}{4}\) = 1 = 1³
కాబట్టి n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త సూత్రం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\) అని చూపాలి.
అంటే
S(k + 1) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³
= S(k) + (k + 1)³
= \(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\) + (k + 1)³
= (k + 1)² \(\left[\frac{k^2}{4}+(k+1)\right]\)
= \(\frac{(k+1)^2\left(k^2+4 k+4\right)}{4}\)
= \(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ n ∈ N యొక్క అన్ని విలువలకు గణితాను గమన సూత్రం నుంచి p(n) నిజం.
1³ + 2³ + 3³ + ………… + n³ = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 2.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N సూత్రాన్ని నిరూపించండి.
సాధన:
1² + 3² + 5² + …… + (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
∀ n ∈ N అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 1² = \(\frac{1(2-1)(2+1)}{3}\) = 1
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం. (i.e.,)
S(k) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² = \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) S(k + 1) = \(\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}\) అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = 1² + 3² + 5² + ….. + (2k – 1)² + (2k + 1)²
= S(k) + (2k + 1)²
= \(\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}\) + (2k + 1)²

∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి ∀ n ∈ N కు p (n) నిజం.
i.e., \(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\), ∀ n ∈ N

ప్రశ్న 3.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి 2 + 3.2 + 4.2² + ………. (n పదాల వరకు)= n. 2ⁿ, ∀ n ∈ N నిరూపించండి. [May 07]
సాధన:
2 + 3.2 +4.2² + … + (n + 1). 2^n-1 = n . 2ⁿ
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తాన్ని S(n) అనుకుందాం.
∵ S(1) = 2 = (1). 2¹
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు దత్త ప్రవచనం p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) S(k) = 2 + 3.2 + 4.2² + …. + (k + 1). 2^k-1 = k. 2^k
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = (k + 1) . 2^k+1 అని చూపాలి.
S(k + 1) = 2 + 3.2 + 4.2² + ….. + (k + 1)2^k+1 +(k + 2) . 2^k
= S(k) + (k + 2). 2^k
= k. 2^k + (k + 2) 2^k
= (k + k + 2) 2^k
= 2(k + 1). 2^k = 2^k+1 (k + 1)
∴ n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ∈ N అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e..) సూత్రం
2 + 3.2 + 4.2² + … + (n + 1)2^n-1
= n.2ⁿ ∀ n ∈ N.

ప్రశ్న 4.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + ………… (n పదాల వరకు) = \(\frac{n}{3 n+1}\) ∀ n ∈ N అని చూపండి. [May. 11; Mar ’05]
సాధన:
1, 4, 7, …… లు A.P. లో ఉన్నాయి..
nవ పదం 1 + (n – 1) 3 = 3n – 2
4, 7, 10, … లు A.P. లో ఉన్నవి. n వ పదం
= 4+ (n – 1)3 = 3n+ 1
∴ దత్త శ్రేఢిలో nవ పదం = \(\)
\(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+\ldots . .+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}\)
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
ఎడమచేతివైపు మొత్తం S(n) అనుకుందాం.
S(1) = \(\frac{1}{1.4}=\frac{1}{3(1)+1}=\frac{1}{4}\)
∴ n = 1 కు దత్త సూత్రం నిజం.
n = k కు p (n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e) S(k) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) = \(\frac{k}{3 k+1}\)
n = k + 1 కు దత్త సూత్రం నిజం అని చూపాలి.
అంటే S(k + 1) = \(\frac{k+1}{3 k+4}\) అని చూపాలి.
S(k + 1) = \(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}\) + …………. + \(\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}\) + \(\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}\)

ప్రశ్న 5.
గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n≥ 5, అని చూపండి.
సాధన:
(2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N అనేది P(n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 5 అని గమనిద్దాం.
(2.5 – 3) ≤ 2^{5 – 2} అనేది స్పష్టం. కాబట్టి n = 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
so (2K – 3) ≤ 2^{k – 2}, k ≥ 5.
n = k + 1, k ≥ 5 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
so, k ≥ 5 [2(k + 1)-3] ≤ 2^{(k + 1)-2} అని చూపాలి.
[2(k + 1) − 3] = (2k – 3) + 2 అని గమనించవచ్చు.
≤ 2^{k – 2} + 2, (అనుగమన ఊహ నుంచి)
≤ 2^{k – 2} + 2^{k – 2}, for k ≥ 5
= 2.2^{k – 2}
= 2^{(k + 1)-2}
∴ n = k + 1, k ≥ 5 కు P(n) ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి, n ≥ 5, n ∈ N విలువలన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (2n – 3) ≤ 2^{n – 2}, ∀ n ≥ 5, n ∈ N.

ప్రశ్న 6.
x ≠ 0, x > -1 అయితే గణితానుగమన పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రతి n ≥ 2 కు (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ > 1 + nx అనేది ప్రవచనం P (n) అనుకొందాం.
ఇక్కడ అనుగమన ఆధారం 2 అని గమనిద్దాం.
ఇంకా x ≠ 0, x > -1 ⇒ 1 + x > 0.
(1 + x)² = 1 + 2x + x² > 1 + 2x కాబట్టి n = 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k, k ≥ 2 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకొందాం.
అంటే, (1 + x)^k > 1 + k x, k ≥ 2.
n = k + 1 దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
అంటే (1 + x)^{k + 1} > + (k + 1)x చూపాలి.
(1 + x)^{k + 1} = (1 + x)^k. (1 + x) అని గమనించవచ్చు.
> (1 + kx) . (1 + x), (అనుగమన ఊహ నుంచి)
> (1 + kx). (1 + x),
= 1 + (k + 1)x + kx²
> 1 + (k + 1)x, (kx² > 0 కాబట్టి)
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితానుగమన సిద్ధాంతం నుంచి
n ≥ 2, n ∈ N విలువ లన్నింటికి P(n) నిజం.
అంటే, (1 + x)ⁿ > 1 + nx, n ∈ N, y ≥ 2, x > – 1, x ≠ 0.

ప్రశ్న 7.
x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు, x ≠ y అయితే, n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుందని చూపండి. [ June ’04]
సాధన:
“xⁿ – yⁿ ను (x – y) భాగిస్తుంది.” అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ – y¹ = x − y ని (X – y) భాగిస్తుంది. కాబట్టి
∴ n = 1 కు ప్రవచనం నిజం. ·
n = k కు దత్త ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^k – y^k ను – y భాగిస్తుంది.
∴ x^k – y^k = (x – y) p అయ్యేటట్లు పూర్ణాంకం
p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.’
అంటే x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^k – y^k m (x – y)p కనుక
x^k = y^k + (x + y)p
∴ x^{k + 1} = y^k . x + (x – y)px
⇒ x^{k + 1} – y^{k + 1} = y^k . x + (x – y)p x – y^{k + 1}
= ( x – y)px + y^k (x – y)
= (x – y) [px + y^k]
(ఇక్కడ px + y^k పూర్ణాంకం)
∴x^{k + 1} – y^{k + 1} ను x – y భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం..
: గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, n అన్ని ధన పూర్ణాంకాలకు p(n) నిజం. అంటే, ∀ n ∈ Nకు
(i. e.,) xⁿ – yⁿ ను x y భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక బేసి సహజ సంఖ్య, x, y లు సహజ సంఖ్యలు అయితే x^m + y^m ను x + y భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
m ఒక బేసి సంఖ్య కాబట్టి m = 2n + 1 అయ్యేటట్లు ఒక రుణేతర పూర్ణాంకం n ఉంటుంది.
“x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను x + y భాగిస్తుంది. అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
x¹ + y¹ = x + y ని x + y భాగిస్తుంది.
కాబట్టి దత్త ప్రవచనం n = 0 కు నిజం.
x²⁽¹⁾⁺¹ + y²⁽¹⁾⁺¹ = x³ + y³; = (x + y) (x² – xy + y²)
కాబట్టి x³ + y³) ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 అయితే, దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కు ప్రవచనం నిజం అనుకుందాం.
అంటే x^{2k + 1} + y^{2k + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p, అయ్యేటట్లు ఒక
పూర్ణాంకం p ఉంటుంది. ……………. (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
అంటే x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = (x + y)p కనుక
x^{2k + 1} = (x + y)p – y^{2k + 1}
x^{2k + 1} . x² = (x + y)p x² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} = (x + y)px² – y^{2k + 1} . x²
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} = (x + y)p . (x²) – y^{2k + 1} . x² + y^{2k + 3}
= (x + y) p . x² – y^{2k + 1} (x² – y²)
= (x + y)px² – y^{2k + 1} . (x + y)(x – y)
= (x + y)[px² – y^{2k + 1} (x – y)]
ఇక్కడ [p x² – y^{2k + 1} (x – y)] ఒక పూర్ణంకం
∴ x^{2k + 3} + y^{2k + 3} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు దత్త ప్రవచనం నిజం.
∴ గణితాను గమన సూత్రం నుంచి n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంకాలకు ప్రవచనం p(n) నిజం.
అంటే n యొక్క అన్ని రుణేతర పూర్ణాంక విలువలకు x^{2n + 1} + y^{2n + 1} ను (x + y) భాగిస్తుంది.
(i.e..) m ఒక బేసి సహజ సంఖ్య అయితే, x^m + y^m ను (x + y) భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
n అన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలకు 49ⁿ + 16n – 1 ని 54 భాగిస్తుందని చూపండి. [May 05]
సాధన:
“49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.” అనే ప్రవచనాన్ని
p(n) అనుకుందాం.
49¹ + 16 (1) – 1 – 64 ను 64 భాగిస్తుంది.
కాబట్టి n = 1 దత్త ప్రవచనం నిజం.
n = k కుp(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e..) 49^k + 16k – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
(49^k + 16k – 1) = 64t, t ∈ N ………….. (1)
n = k + 1 కు p(n) ప్రవచనం నిజం అని చూపాలి.
49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
49^k + 16k – 1 = 64t
∴ 49^k = 64t – 16k + 1
∴ 49^k . 49 = (64t – 16k + 1). 49
∴ 49^{k + 1} + 16 (k + 1) – 1
= (64t – 16k + 1) 49 + 16 (k + 1) − 1
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 = 64 (49t – 12k + 1)
ఇక్కడ (49t – 12k + 1) పూర్ణాంకం.
∴ 49^{k + 1} + 16(k + 1) – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.
∴ nk + 1 p(n) నిజం.
∴ గణితానుగమన సూత్రం నుంచి n ∈ N, అన్ని విలువలకు p(n) నిజం.
(i.e.,) ∀ n ∈ N, 49ⁿ + 16n – 1 ని 64 భాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ప్రతి n ∈ N కు, 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.
సాధన:
“2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ను 11 భాగిస్తుంది.”
అనేది ప్రవచనం p(n) అనుకుందాం.
2.4^{(2.1 + 1)} + 3^{(3.1 + 1)} = 2.4³ + 3⁴
= 2(64) + 81
= 209 = 11 × 19 ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = 1 కు p(n) నిజం.
n = k కి p(n) నిజం అనుకుందాం.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది.
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k + 1)} = (11)t, t పూర్ణాంకం. ……………… (1)
n = k + 1 కు p(n) నిజం అని చూపాలి.
(i.e.,) 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుందని చూపాలి.
(1) నుంచి
2.4^{(2k + 1)} + 3^{(3k+ 1)} = 11t
∴ 2.4^{(2k + 1)} = 11t – 3^{(3k + 1)}
∴ 2.4^{(2k + 1)} . 4² = (11t – 3^{(3k + 1)}) . 4²
2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} = (11t – 3^{(3k+ 1)}) 16 + 3^{(3k + 4)}
= (11t) (16) + 3^{(3k + 1)}[27 – 16]
= 11[16t + 3^3k+1]
ఇక్కడ 16t + 3^{(3k + 1)} పూర్ణాంకం.
∴ 2.4^{(2k + 3)} + 3^{(3k + 4)} ని 11 భాగిస్తుంది.
∴ n = k + 1 కు p(n) నిజం.
∴గణితాను గమన సూత్రం నుంచి, ∀ n ∈ N కు p(n) నిజం.
(i.e.,) 2.4^{(2n + 1)} + 3^{(3n + 1)} ని 11 భాగిస్తుంది. ∀n ∈ N.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 7 సమతలం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 7 సమతలం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు నుంచి తలానికి లంబపాదం A(2, 3, -5) అయితే ఆ తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
0 (0, 0, 0), A (2, 3, -5) లు దత్త బిందువులు.
OA యొక్క D.R.లు 2, 3, -5
OA సమతలానికి లంబంగా ఉంది. ఇది A (2, 3, -5) గుండా పోతుంది.
సమతల సమీకరణం
2(x -2) + 3(y – 3) – 5 (z – 5) = 0
2x – 4 + 3y – 9 – 5z – 25 = 0
2x + 3y – 5z – 38 = 0

ప్రశ్న 2.
(0, -1, -1) (4, 5, 1), (3, 9, 4) బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(0, -1, -1), B(4, 5, 1), ((3, 9, 4) లు దత్త బిందువులు.
పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 0) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0 ………………. (1)
B(4, 5, 1), C(3, 9, 4) ల గుండా పోతుంది.
4a + 6b + 2c = 0 …………….. (2)
3a + 10b + 5c = 0 ……………… (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, ABC తల సమీకరణము
5x – 7 (y + 1) + 11 (z + 1) = 0
5x – 7y – 7 + 11z + 11 = 0
5x – 7y + 11z + 4 = 0

ప్రశ్న 3.
ZX- తలానికి సమాంతరంగా ఉండి (0, 4, 4) బిందువు. గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
ZX తల సమీకరణము y = 0
సమాంతర సమతల సమీకరణము y = k
ఈ తలం P(0, 4, 4) = 4 = k గుండా పోతుంది.
కావలసిన సమతల సమీకరణము y = 4.

ప్రశ్న 4.
(α, β, γ) బిందువు గుండా పోతూ ax + by + cz = 0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాబట్టండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము ax + by + cz = 0
సమాంతర సమతల సమీకరణము ax + by + cz = K
ఈ తలం P(α, β, γ) గుండా పోతుంది.
aα + bβ + cγ = K
∴ కావలసిన సమతల సమీకరణము
ax + by + cz = aα + bβ + cγ
i.e., a(x – α) + b(y – β) + c(z – γ) = 0.

ప్రశ్న 5.
2x – y + z = 6, x + 2y + 2z = 75 సూచించే తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15, ’11]
సాధన:
సమతలాల సమీకరణము
2x – y + z = 6; x + y + 2z = 7
సమతలాల మధ్యకోణము θ అయితే
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|2.1+(-1) \cdot 1+1.2|}{\sqrt{4+1+1} \sqrt{1+1+4}}\)
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{\pi}{3}\)
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 6.
(2, 0, 1), (3, -3, 4) బిందువుల గుండాపోతూ, x – 2y + 2 = 6 తలానికి లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(2, 0, 1) గుండా పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 2) + by + c(z – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ తలం B(3, -3, 4) గుండా పోతుంది.
a – 3b + 3c = 0 …………………. (2)
(1)వ తలము x – 2y + 2 = 6 కు లంబముగా ఉంది.
a – 2b + c = 0 ……………… (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, కావలసిన సమతల సమీకరణము
3(x – 2)+ 2y +1 (z – 1) = 0
3x – 6 + 2y + z – 1 = 0
3x + 2y + z – 7 = 0
3x + 2y + z = 7

ప్రశ్న 7.
సమతల సమీకరణం x + 2y – 2z – 9 = 0 అని అభిలంబ రూపానికి కుదించి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లను మూల బిందువు నుంచి సమతలానికి దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణం x + 2y – 2z – 9 = 0
స్థిర రాశిని కుడివైపు రాస్తే,
x + 2y – 2z = 9 ……………… (1)
(1) లో x, y, z ల గుణకాల వర్గాల మొత్తానికి వర్గమూలం
\(\sqrt{1^2+2^2+2^2}\) = ±3
p = ±\(\left(\frac{-9}{\pm 3}\right)\) = 3
(1) ని ± 3 తో భాగిస్తే
± \(\frac{1}{3}\)x ± \(\frac{2}{3}\)y ± \(\frac{2}{3}\)z = ±3
కుడివైపు స్థిరరాశి గుర్తు ధనాత్మకం అయ్యేలా సమీకరణం అభిలంబ రూపంలో తలం సమీకరణం గుర్తు ఎంచుకొంటే,
\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{2}{3}\)y – \(\frac{2}{3}\)z = 3 …………………. (2)
(2) నుంచి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లు (\(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), –\(\frac{2}{3}\))
మూలబిందువు నుంచి తలానికి లంబదూరం = 3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 8.
ఒక సమతలం X, Y, Z – అక్షాలపై చేసే అంతర ఖండాలు వరుసగా 2,3,4 అయితే, a, b, c లు వరుసగా X, Y, Z – అంతర ఖండాలుగా గల సమతల సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) అని చూపండి.
సాధన:
సమతల సమీకరణం
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}\) = 1 నుంచి
లేదా 6x + 4y + 3z = 12

ప్రశ్న 9.
x – 3y + 2z = 9 సమతలం గల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
x – 3y + 2z = 9 ను 9 తో భాగిస్తే
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{-3}+\frac{9}{9 / 2}\) = 1
దీనిని \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 తో పోలిస్తే,
X-అంతరఖండం = a = 9,
Y-అంతరఖండం = b = -3,
Z-అంతరఖండం = c = \(\frac{9}{2}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(d)

అభ్యాసం – 9 (డి)

I.

ప్రశ్న 1.
y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\) అయితే y” కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
y = ae^nx + be^-nx అయితే y” = n²y అని చూపండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
y = ae^nx + be^-nx
y₁ = na e^nx – nb e^-nx
y₂ = n² . ae^nx + n² be^-nx
y” = n² (ae^nx + b.e^-nx) = n^nxy

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయాలు ల రెండో పరిమాణం అవకలజాలను కనుకోండి .
i) cos³ x
సాధన:
y = cos³ x = \(\frac{1}{4}\) [cos 3x + 3 cos x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [-3 sin 3x – 3 sin x]
y” = \(\frac{1}{4}\) (-9 cos 3x – 3 cos x)
= –\(\frac{1}{4}\) (3 cos x + 9 cos 3x)
= –\(\frac{3}{4}\) (cos x + 3 cos 3x)

ii) sin⁴ x
సాధన:
y = sin⁴x = (sin²x)² = \(\frac{(1-\cos 2 x)^2}{2}\)
= \(\frac{1}{4}\) [1 – 2 cos 2x + cos² 2x)
= \(\frac{1}{4}\) [1 – 2 cos 2x + \(\frac{1+\cos 4 x}{2}\)]
= \(\frac{1}{8}\) 2 – 4 cos 2x + 1 + cos 4x]
= \(\frac{1}{8}\) (3 – 4 cos 2x + cos 4x)
y’ = \(\frac{1}{8}\) (8 sin 2x – 4 sin 4x)
y” = \(\frac{1}{8}\) (16 cos 2x – 16 cos 4x)
= 2 (cos 2x – cos 4x)

iii) log (4x² – 9)
సాధన:
y = log (4x² – 9)
= log (2x – 3) (2x + 3)
= log (2x – 3)+ log (2x + 3)

iv) e^-2x sin³ x
సాధన:
y = e^-2x . sin³x
y’ = e^-2x (3 sin² x. cos x) + sin³ x (e^-2x) (-2)
= e^-2x [3 sin² x. cos x – 2 sin³x)
\(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{~y}}{\mathrm{dx}^{2}}\) = e^-2x (3 sin² x (- sin x) + 3 cos x (2 sin x) cos x 6 sin² x cos x) – 2. e^-2x [3 sin² x. cos x – 2 sin³ x]
= e^-2x [6 sin x – cos²x – 6 sin² x . cos x – 3 sin³ x – 6 sin² x. cos x + 4 sin³ x)
= e^-2x [sin³ x – 12 sin²x.cos x + 6 sin x.cos²x)

v) e^x sin x cos 2x
సాధన:
y = e^x sin x cos 2x = \(\frac{e^x}{2}\) (2 cos 2x sin x)
= \(\frac{e^x}{2}\) (sin 3x – sin x)
y’ = \(\frac{1}{2}\) [e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)
y” = \(\frac{1}{2}\) [e^x (- 9 sin 3x + sin x) + e^x
(3 cos 3x – cos x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)]
= \(\frac{e^x}{2}\) [-9 sin 3x + sin x + 3 cos 3x – cos x + 3 cos 3x cos x + sin 3x – sin x]
= \(\frac{e^x}{2}\) [6 cos 3x – 8 sin 3x – 2 cos x]
= e^x [3 cos 3x – 4 sin 3x – cos x]

vi) Tan^-1\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\)
సాధన:
y = Tan^-1\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\)
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,
y = tan^-1\(\left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan \theta}\right)\)
= tan^-1\(\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right)=\frac{\pi}{4}+\theta\)
∴ f(x) = \(\frac{\pi}{4}\) + tan^-1 (x)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f'(x) = 0 + \(\frac{1}{1+x^2}\)
f” (x) = (-1) (1 + x²)^-2(2x)
∴ f”(x) = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)

vii) tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
సాధన:
f(x) = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\); x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా,
f(x)= tan^-1\(\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}\right)\)
= tan^-1 (tan 3θ) = 3θ
∴ f(x) = 3 tan^-1 (x)
f'(x) = 3 \(\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=\frac{3}{1+x^2}\)
x దృష్ట్యా మరల’ అవకలనం చేయగా,
f”(x) = (3) (-1) (1 + x²)^-2 (2x)
⇒ f”(x) = \(\frac{-6 x}{\left(1+x^2\right)^2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.

i) y = ax^{n + 1} + bx^-n అయితే x²y” = n(n + 1) y.
సాధన:
y = ax^{n + 1} + bx^-n
y₁ = (n + 1). axⁿ – n bx^-n-1
y₂ = n(n + 1). ax^n-1 + n(n + 1) bx^-n-2
∴ x²y₂ = n(n + 1) ax^{n + 1} + n(n + 1) bx^-n
= n(n + 1) (ax^{n + 1} + bx^-n) = n(n + 1) y
∴ x²y” = n(n + 1) y

ii) y = a cos x + (b + 2x) sin x, అయితే y” + y = 4 cos x
సాధన:
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = y’ a(-sin x) + (b + 2x) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (sin x) + sin x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (b + 2x)
= – a sin x + (b + 2x) cos x + sin x. 2
\(\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{~y}}{\mathrm{dx}^{2}}\) = y” = – a cos x + (b + 2x) (- sin x) + cos x (2) + 2 cos x
L.H.S.= y” + y = -a cos x + (b + 2x) (- sin x) + 2 cos x + 2 cos x + a cos x + (b + 2x) sin x = 4 cos x

iii) y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x అయితే y” – 6y’ + 9y = 54 x + 18
సాధన:
y’ = 6 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (x + 1) + (a + bx) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (e^3x) + e^3x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (a + bx)
= 6(1) + (a + bx) 3e^3x + e^3x . b
y” = 0 + 3 (a + bx) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) e^3x + 3e^3x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (a + bx) + b \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) 3e^3x
= 3(a + bx) 3e^3x + 3e^3x(b) + b. 3e^3x
= 9(a + bx) e^3x + 6b e^3x
ఇప్పుడు L.H.S.
= y” – 6y’ + 9y = 9(a + bx) e^3x + 6be^3x – 6[6 + 3(a + bx)e^3x + be^3x] + 9 [6(x + 1) + (a + bx) e^3x]
= 9(a + bx) e^3x + 6b e^3x – 36 – 18(a + bx) e^3x – 6be^3x + 54x + 54 + 9(a + bx) e^3x
= 54x + 18

iv) ay⁴ = (x + b)⁵ అయితే 5y y” = (y’)²
సాధన:
ay⁴ = (x + b)⁵; y⁴ = \(\frac{(x+b)^5}{a}\)

v) y = a cos (sin x) + b sin (sin x) అయితే y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0
సాధన:
y = a cos (sin x) + b sin (sin x) ………………. (1)
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
У₁ = a sin (sin x) cos x + b cos (sin x). cos x
= [-a sin (sin x) + b cos (sin x)] cos x ……………. (2)
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
y₂ = – sin x [-a sin (sin x) + b cos (sin x)] + cos x[-a cos (sin x) cos x-b sin (sin x) cos x]
= – sin x . \(\frac{y_1}{\cos x}\) cos² x.y
⇒ y₂ + (tan x) y₁ + y cos² x = 0

III.

ప్రశ్న 1.

i) y = 128 sin³x cos⁴ x అయితే y” ని కనుక్కొండి .
సాధన:
f(x) = 128 sin³ x cos⁴ x
= 16 (2 sin x cos x)³ cos x
= 16 (sin³ 2x) cos x
∵ sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x
⇒ sin³ x = \(\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}\)
= 16 \(\left[\frac{3 \sin 2 x-\sin 6 x}{4}\right]\) cos x
= 4 (3 sin 2x cos x – sin 6x cos x]
= 6 (2 sin 2x cos x) – 2(2 sin 6x cos x)
6 (sin 3x + sin x) – 2 (sin 7x + sin 5x)
= 6 sin 3x + 6 sin x-2 sin 7x – 2 sin 5x
f'(x) = 6 (3) cos 3x + 6 cos x – 2 (cos 7x) 7 – 2 cos 5x (5)
∴ f'(x) = 18 cos 3x + 6 cos x – 14 cos 7x – 10 cos 5x
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
f”(x) 18 (-sin 3x) 3 + 6 (- sin x) – 14(-sin 7x) 7 – 10(- sin 5x) 5
∴ f”(x) = -54 sin 3x – 6 sin x + 98 sin 7x + 50 sin 5x

ii) y = sin 2x sin 3x sin 4x అయితే y” ని కనుక్కొండి.
సాధన:
f(x) = sin 2x sin 3x sin 4x
= \(\frac{1}{2}\) [2 sin 2x sin 4x] sin 3x
= \(\frac{1}{2}\) [cos (2x) – cos 6x] sin 3x
= \(\frac{1}{4}\) [2 sin 3x cos 2x – 2 sin 3x cos 6x]
= \(\frac{1}{4}\) [(sin 5x + sin x) – (sin 9x – sin 3x)]
= \(\frac{1}{4}\) [sin 5x + sin x + sin 3x – sin 9x]
∴ f(x) = \(\frac{1}{4}\) [sin x + sin 3x + sin 5x – sin 9x]
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f'(x) = \(\frac{1}{4}\) [cos x + cos 3x (3) + cos 5x (5) – (cos 9x) (9)]
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
f”(x) = [- sin x – 9 sin 3x – 25 sin 5x + 81 sin 9x]

iii) ax² + 2hxy + by² = 1 అయితే \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{h^2-a b}{(h x+b y)^3}\) అని చూపండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² = 1
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,
a. 2x + 2h \(\left(x \cdot \frac{d y}{d x}+y\right)\) + b . 2y \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
2ax + 2hx. \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) + 2hy + 2by . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
2(hx + by) . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -2(ax + hy)

iv) y = ae^-bx cos(cx + d), అయితే y” + 2by’ + (b² + c²) y = 0 అని చూపండి.
సాధన:
y = ae^-bx cos(cx + d) కనుక …………… (1)
y₁ = a[e^-bx {- sin (cx + d)} . c. + cos (cx + d) e^-bx (-b)}
= – a. e^-bx [c sin (cx + d) + b cos (cx + d)]
= – ac.e^-bx sin (cx + d) – by
y₁ + by = -ac. e^-bx sin (cx + d) …………… (2)
x దృష్ట్యా మరల అవకలనం చేయగా,
y₂ + by₁ = – ac(-b) e^-bx sin (cx + d) – ac e^-bx cos (cx + d) (+ c)
= abce^-bx sin (cx + d) – ac² e^-bx cos (cx + d)
= -b (y₁+ by) – c²y [(1), (2) నుండి]
⇒ y₂ + by₁ + by₁ + b²y + c²y = 0
⇒ y₂ + 2by₁ + (b² + c²) y = 0

v) y = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (a cos nx + b sin nx) అయితే y” + ky’+ \(\left(n^2+\frac{k^2}{4}\right)\) y = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం y = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (a cos nx + b sin nx) ……………. (1)
∴ y₁ = \(e^{\frac{-k}{2} x}\) (-n. a sin nx+n. b cos nx) + (a cos nx + b sin nx). \(e^{\frac{-k}{2} x}\left(-\frac{k}{2}\right)\)
= –\(\frac{k}{2}\) . y . e^-kx/2 (a sin nx + b cos nx)
∴ y₁ + \(\frac{k}{2}\) y = -ne^-kx/2 (a sin nx + b cos nx) …………… (2)
X దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(e)

అభ్యాసం – 8 (ఇ)

I.

f(x) = ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, R పై అవిచ్ఛిన్నమా ? [May ‘ 11]
సాధన:

f ప్రమేయము x = 1 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.
f ప్రమేయము R మీద అవిచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 2.
f(x) = ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, 0 పై అవిచ్ఛిన్నామా ? [May ’12]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\frac{\sin 2 x}{x} \) = 2
f(0) = 1
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) f(x) ≠ f(0)
f వద్ద అవిచ్ఛిన్నము కాదు.

ప్రశ్న 3.
f(x) = [cos (x¹⁰ + 1)]^1/3, x ∈ R ప్రమేయమని చూపండి.
సాధన:
ప్రతి X ∈ R కు cos x అవిచ్ఛిన్నము.
∴ ప్రతి X ∈ R దత్త ప్రమేయము అవిచ్ఛిన్నము.

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రమేయానికి 2 వద్ద అవిచ్ఛిన్నతను పరిశీలించండి.

సాధన:

f(x) ప్రమేయము 2 వద్ద విచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 2.

ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం బిందువు 3 వద్ద అవిచ్ఛిన్నమేమో చూడండి. [A.P Mar. ’15, 14, ’13]
సాధన:

∴ f(x) ప్రమేయము x = 3 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 3.
f(x) = \(\frac{\mathrm{x}-|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) (x ≠ 0) ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం f, R – {0} పై అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : a > 0 |a| = a

x = 0, ప్రమేయము f(a) నిర్వచించలేము
f(x) ప్రమేయము ‘0’ వద్ద విచ్ఛిన్నం
∴ f(x) ప్రమేయము R – {0} వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ప్రశ్న 4.
ప్రమేయం f, f(x) = తో నిర్వచితమైతే f అవిచ్ఛిన్నతను చర్చించండి.
సాధన:
సందర్భం (i) : x = 1


f(x) ప్రమేయము x = -2 వద్ద విచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 5.
ప్రమేయము f, R పై
తో నిర్వచితమైన అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయమైతే k విలువలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) 2 = 2
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) (k²x – k) = k² – k
f(x). ప్రమేయము X = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1+}{\text { Lt }}\) f(x)
2 = k² – k
k² – k – 2 = 0
(k – 2) (k + 1) = 0
k = 2 లేదా -1

ప్రశ్న 6.
‘sin x’, ‘cos X’ ప్రమేయాలు R పై అవిచ్ఛిన్నమని చూపండి.
సాధన:
i) a ∈ R అనుకొందాం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) sin x = sin a = f(a)
∴ f ప్రమేయము a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

ii) a ∈ R అనుకొందాం.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow a}{\text { Lt }}\) cos x = cos a = f(a)
cos x = cos a = f(a)
∴ f ప్రమేయము a వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

III.

ప్రశ్న 1.

ద్వారా నిర్వచితమైన ప్రమేయం 0, 1, 2 బిందువుల వద్ద అవిచ్ఛిన్నమో చూడండి.
సాధన:
i) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow x}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) 4 – x² = 4 – 0 = 4 = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము X = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

ii) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 1}{\text { Lt }}\) (x – 5) – 1 – 5 = -4 = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 1 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

iii) \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 2}{\text { Lt }}\) 3x + 4 = 3.2 + 4
= 6 + 4 = 10 = f(2)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 2 వద్ద అవిచ్ఛిన్నము.

ప్రశ్న 2.

అయ్యేటట్లు నిర్వచితమైన ప్రమేయం R అవిచ్ఛిన్నం అయ్యే వాస్తవ స్థిరసంఖ్య a, b ను కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) (x² + a) = 0 + a = a
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 0}{\text { Lt }}\) sin x = 0
f(x) ప్రమేయము R మీద అవిచ్ఛిన్నం.
కనుక LHS = RHS ⇒ a = 0
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3+}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\) -3 = -3
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3-}{\text { Lt }}\) f(x) = \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow 3}{\text { Lt }}\) (bx + 3) = 3b + 3
f(x) ప్రమేయము మీద అవిచ్ఛిన్నం.
LHS = RHS
3b + 3 = -3
3b = 6 b = -2

ప్రశ్న 3.
a, b లు వాస్తవ స్థిరాంకాలు అయితే ప్రమేయం

0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అని చూపండి.
సాధన:

= \(\frac{2(b+a)}{2} \frac{(b-a)}{2}\) = \(\frac{\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2}{2}\)
f(0) = \(\frac{b^2-a^2}{2}\) కనుక \(\) f(x) = f(0)
∴ f(x) ప్రమేయము x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు Exercise 6(b)

అభ్యాసం – 6(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
(3, 4, 0), (4, 4, 4) బిందువులను కలిపే రేఖ దిక్ సంఖ్యలు రాయండి.
సాధన:
A(3, 4, 0), B(4, 4, 4) లో దత్త బిందువులు
AB యొక్క d.rs x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
4 – 3, 4 – 4, 4 – 0 i.e., 1, 0, 4

ప్రశ్న 2.
ఒక రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (-6, 2, 3) అయితే, దాని దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ D.R లు – 6, 2, 3
\(\sqrt{36+4+9}\) = 7 తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కోసైన్లు – \(\frac{6}{7}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 3.
(1, 1, 2) (\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), 0) దిక్ కొసైన్లుగా గల రేఖల మధ్య కోణానికి కొసైన్లు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ = l₁l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₃
= \(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\) . 0
= \(\frac{\hat{i}+1}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{4}{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

ప్రశ్న 4.
(1, 1, 2) (\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), 0) దిక్ సంఖ్యలుగా గల రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_i^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{1 \cdot \sqrt{3}+1(-\sqrt{3})+2 \cdot 0}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{3+3}}=\frac{0}{6}\) = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 5.
\(\left(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\right)\), \(\left(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}\right)\) దిక్ కొసైన్లుగా గల రేఖల పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
రెండు రేఖలు లంబంగా ఉంటే
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
= \(\frac{12}{13}\) . \(\frac{4}{13}\) – \(\frac{3}{13}\) . \(\frac{12}{13}\) – \(\frac{4}{13}\) . \(\frac{3}{13}\)
= \(\frac{48-36-12}{169}\) = 0
∴ దత్త రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 6.
O మూలబిందువు, P(2, 3, 4), Q(1, k, 1) బిందువులు \(\overline{\mathrm{OP}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{OQ}}\) అయ్యేట్లుంటే, k విలువ ఎంత ?
సాధన:
OP యొక్క d.r లు 2, 3, 4
OQ యొక్క d.r లు 1, k, 1
OP, OQ లు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
2 + 3k + 4 = 0
3k = – 6
k = -2.

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (3, 4, 0) అయితే దాని దిక్ కొసైన్లు, ఇంకా ఆ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ నిష్పత్తి దిక్ సంఖ్యలు (3, 4, 0)
\(\sqrt{9+16+0}\) = 5తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right)\)
α, β, γ లు ఈ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలు అయితే,
cos α = \(\frac{3}{5}\) cos β = \(\frac{4}{5}\) cos γ = 0
α = cos^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\), β = cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\), γ = \(\frac{\pi}{2}\)
రేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణం
cos^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\), cos^-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\), \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 2.
(1, -1, 2) (3, 4, -2) బిందువులను కలిపేరేఖ (0, 3, 2), (3, 5, 6)లను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(1, -1, 2) B(3, 4, -2) C(0, 3, 2)
D(3, 5, 6) లు దత్త బిందువులు
AB యొక్క d.r లు 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2 i. e., 2, 5, -4
CD యొక్క d.r లు 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 i.e., 3, 2, 4
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2.3 + 5.2 – 4.4
= 6 + 10 – 16 = 0
AB, CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 3.
A = (3, 4, 5), B = (4,6, 3) C = (-1, 2, 4), D(1, 0, 5) బిందువులైతే \(\overline{\mathrm{D C}}\), \(\overline{\mathrm{A B}}\) రేఖా ఖండాల మధ్య కోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 4, 5), B(4, 6, 3), C(-1, 2, 4), D (1, 0, 5)లు దత్త బిందువులు ఎంత ?
AB యొక్క d.r లు 4 – 3, 6 – 4, 3 – 5 i.e., 1, 2, -2
CD యొక్క d.r లు 1 + 1, 0 – 2, 5 – 4 i.e., 2, – 2, 1
cos θ = \(\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{1.2+2(-2)+(-2) \cdot 1}{\sqrt{1+4+4} \sqrt{4+4}}\)
= \(\frac{4}{9}\) ⇒ θ = cos^-1\(\left(\frac{4}{9}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(1, −1, 2), (2, 1, −1) దిక్ సంఖ్యలుగా గల రేఖలకు లంబంగా ఉండే రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కొండి.
సాధన:
కావలసిన రేఖ D.C లు l, m, n అనుకుంటే
(1, -1, 2), (2, 1, −1) యొక్క d.rs గల రేఖలకు లంబంగా ఉంది.
l – m + 2n = 0
2l + m – n = 0

రేఖ యొక్క d.rs -1, 5, 3
\(\sqrt{1+25+9}=\sqrt{35}\) తో భాగించగా
D.C రేఖ యొక్క దిక్కా సైన్లు
\(-\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}}, \frac{3}{\sqrt{35}}\)

ప్రశ్న 5.
(2, 3, 4), (1, -2, 3), (3, 8, -11) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(2, 3, 4), B(1, 2, 3), C(3, 8, -11) లు దత్త బిందువులు

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 6.
(4, 7, 8), (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (1, 2, 5) బిందువులు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలని చూపండి.
సాధన:
A(4, 7, 8), B(2, 3, 4), C(-1, -2, 1) మరియు D (1, 2, 5) లు దత్త బిందువులు.

∴ AB = CD మరియు BC = DA
∴ A, B, C, D సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు.

III.

ప్రశ్న 1.
l + m + n = 0, 2mn + 3nl – 5lm = 0 సమీకరణాలను తృప్తి పరిచే దిక్ కొసైన్లు గల రేఖలు ఒక దానికొకటి లంబంగా ఉంటాయని చూపండి. [Mar. ’12]
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం l + m + n = 0. …………… (1)
2mn + 3nl – 5lm = 0 …………….. (2)
(1) నుండి, l = -(m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
2mn – 3n(m + n) + 5m(m + n) = 0
2mn – 3mn – 3n² + 5m² + 5mn = 0
5m² + 4mn – 3n² = 0
\(\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2}=-\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{m_1 m_2}{-3}=\frac{n_1 n_2}{5}\) ……………..
(1) నుండి n = -(l + m)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
– 2m (l + m) – 3l (l + m) – 5lm = 0
-2lm – 2m² – 3l² – 3lm – 5lm = 0
3l² + 10lm + 2m² = 0
\(\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{l_1 l_2}{2}=\frac{m_1 m_2}{3}\) …………… (2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{l_1 l_2}{2}=\frac{m_1 m_2}{3}=\frac{n_1 n_2}{-5}\) = 1
l₁l₂ = 2k, m₁m₂ = 3k, n₁n₂ = -5k
∴ l₁l₂ + m₁m₂+ n₁n₂ = 2k + 3k – 5k = 0
ఈ రేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు రేఖల దిక్ కొసైన్లు l + m + n = 0, l² + m² – n² = 0. సమీకరణాలను తృప్తిపరిస్తే వాటి మధ్య కోణాన్ని కుసుకోండి. [Mar. ’13, ’07; May ’11, ’07; June ’04]
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం l + m + n = 0 …………….. (1)
l² + m² – n² = 0 ……………. (2)
(1) నుండి l = − (m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(m + n)² + m² – n² = 0
m² + n² + 2mn + m² – n² = 0
2m² + 2mn = 0
2m (m + n) = 0
∴ m = 0 లేదా m + n = 0

సందర్భము (i) : m = 0, (1) లో ప్రతిక్షేపించగా l + n = 0
l = -n ⇒ \(\frac{l}{1}=\frac{n}{-1}\)
l₁ రేఖ D.R లు (1, 0, – 1)
సందర్భము (ii) : m + n = 0 ⇒ m = -n ⇒ \(\frac{m}{1}=\frac{n}{-1}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా l = 0
l₂ యొక్క DR లు (0, 1 – 1)
ఈ రేఖల మధ్య కోణం 9 అయితే
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}\)
θ = \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 3.
ఒక కిరణం, సమఘనం యొక్క నాలుగు కర్ణాలతో α, β, γ కోణాలు చేస్తే, cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ విలువ ఎంత ? [Mar. ’05; May ’05]
సాధన:
ఘనము యొక్క భుజము పొడవు ఘనము ఒక శీర్షాన్ని మూల , \(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}\) భుజాలను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం. \(\overline{\mathrm{OP}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{BF}}\) లు కర్ణాలు. వీటి దిక్ సంఖ్యలు వరుసగా (a, a, a), (a, a, a), (-a, a, a), (a, -a, a).

దత్తరేఖ దిక్ కొసైనులు (l, m, n) మరియు ఈ రేఖ ఘనము యొక్క కర్ణాలతో α, β, γ మరియు & కోణాలు చేస్తుంది అనుకుందాం.
cos α = \(\frac{|\mathrm{a} \times l+\mathrm{a} \times \mathrm{m}+\mathrm{a} \times \mathrm{n}|}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2}}=\frac{|l+\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
ఇదే విధంగా cos β = \(\frac{|l+\mathrm{m}-\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
cos γ = \(\frac{|-l+\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\) మరియు
cos δ = \(\frac{|l-\mathrm{m}+\mathrm{n}|}{\sqrt{3}}\)
cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ
\(\frac{1}{3}\) {|l + m + n|² + |l + m – n|² + |-l + m + n|² + |l – m + n|²}
\(\frac{1}{2}\) [(l + m + n)² + (l + m – n)² + (-l + m + n)² + (l – m + n)²]
\(\frac{1}{2}\) [4(l² + m² + n²)] = \(\frac{4}{3}\) (∵ l² + m² + n² = 1)

ప్రశ్న 4.
(l₁, m₁, n₁), (l₂, m₂, n₂) లు రెండు ఖండించుకొనే రేఖల దిక్ కొసైన్లయితే, వాటి మధ్య కోణ సమద్విఖండన రేఖల దిక్ కొసైన్లు l₁ ± l₂, m₁ ± m₂, n₁ ± n₂ లకు అనుపాతంలో ఉంటాయని చూపండి.

సాధన:
OA, OB లు దత్త రేఖలు
A, B లు O నుండి యూనిట్ దూరంలో గల బిందువు
A నిరూపకాలు (l₁, m₁, n₁)
B నిరూపకాలు (l₂, m₂, n₂)
AB మధ్య బిందువు P
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{l_1+l_2}{2}, \frac{m_1+m_2}{2}, \frac{n_1+n_2}{2}\right)\)
∴ OP రేఖ ∠AOB కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
OP యొక్క D.R లు l₁ + l₂, m₁ + m₂, n₁ + n₂
OB’ = OB = 1 అయ్యే విధంగా B బిందువు OB మీద వుంది.
B’ నిరూపకాలు (-l₂, -m₂, -n₂)
AB’ మధ్య బిందువు Q
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{l_1-l_2}{2}, \frac{m_1-m_2}{2}, \frac{n_1-n_2}{2}\right)\)
OQ రేఖ ∠AOB
OQ యొక్క D.Rs l₁ – l₂, m₁ – m₂, n₁ – n₂.

ప్రశ్న 5.
A (-1, 2, -3), B (4, 0, -6), C(0, 4, -1) బిందువులు, ∠BAC కోసమద్విఖండన రేఖల దిక్ కొసైన్లు (25, 8, 5), (-11, 20, 23)లకు అనుపాతంలో ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
A (-1, 2, -3), B (5,0, -6), C (0, 4, -1) లు దత్త బిందువులు
AB యొక్క D.R లు 5 +, 0 – 2, -6 + 3 i.e., 6, -2, -3
AB యొక్క D.R లు \(\frac{6}{7}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{-3}{7}\)
AC యొక్క D.R లు 0 +, 4 – 2, -1 + 3 i.e 1, 2, 2
AC యొక్క D. R లు \(\frac{1}{3}\), \(\frac{-2}{3}\), \(\frac{2}{3}\)
ఒక కోణ సమద్విఖండన రేఖD. R లు
= \(\left(\frac{\frac{6}{7}+\frac{1}{3}}{2}, \frac{\frac{-2}{7}+\frac{2}{3}}{2}, \frac{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{18+7}{42}, \frac{-6+14}{42}, \frac{-9+14}{42}\right)\)
= \(\left(\frac{25}{42}, \frac{8}{42}, \frac{5}{42}\right)\)
ఒక కోణ సమద్విఖండన రేఖలు (25, 8, 5)
రెండవ కోణ సమద్విఖండన రేఖ). R లు

రెండవ సమద్విఖండన రేఖ D.R లు (-11, 20, 23)

ప్రశ్న 6.
(6, 10, 10), (1, 0, -5), (6, -10, 0) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలైతే, త్రిభుజం భుజాల దిక్ సంఖ్యలను కనుక్కోండి. ఇది లంబకోణ త్రిభుజమా, సమద్విబాహు త్రిభుజమా నిర్ధారించండి.
సాధన:
A (6, 10, 10), B (1, 0, -5), C (6, -10, 0) లు
∆ABC త్రిభుజ శీర్షాలు
AB యొక్క D.R లు 5, 10, 15 i.e., 1, 2, 3
BC యొక్క D.Rలు -5, 10, -5 i.e., 1, -2, 1
AC యొక్క D.R లు 0, 20, 10, i.e., 0, 2, 1
cos ∠ABC = \(\frac{|1.1+2(-2)+3.1|}{\sqrt{1+4+9} \sqrt{1+4+1}}\) = 0
⇒ ∠B = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ దత్త త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు వరసగా A (1, 4, 2), B (-2, 1, 2), C (2, 3,-4). అయితే A, B, C లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]

సాధన:
A (1, 4, 2), B (–2, 1, 2), C (2, 3, –4) లు OABC
యొక్క త్రిభుజ శీర్షాలు,
AB యొక్క D.R లు 3, 3, 0 i.e., 1, 1, 0
BC యొక్క D.R లు -4, -2, 6 i.e., 2, 1, -3
AC యొక్క D.R లు -1, 1, 6.

ప్రశ్న 8.
3l + m + 5n = 0, 6mn – 2nl + 5lm = 0 సమీకరణాలతో సూచించబడే దిక్ కొసైన్లు గల రేఖల మధ్య కోణం కనుక్కోండి. [T.S Mar’ 15; May ’12, ’06]
సాధన:
దత్తాంశం 3l + m + 5 = 0 …………….. (1)
6mn – 2nl + 5lm ……………… (2)
(1) నుండి, m = – (3l + 5n)
(2) లో ప్రతిక్షేపించగా
-6n(3l + 5n) – 2nl – 5l (3l + 5n) = 0
-18ln – 30n² – 2nl – 15l² – 25ln = 0
-15l² – 45ln – 30n² = 0
l² + 3ln + 2n² = 0
(l + 2n) (l + n) = 0
l + 2n = 0 లేదా l + n = 0

సందర్భం (i) : l₁ + n₁ = 0 ⇒ n₁ = -l₁;
⇒ \(\frac{l_1}{1}=\frac{n_1}{-1}\)
కానీ m₁ – (3l₁ + 5n₁) = (-3n₁ + 5n₁) = -2n₁
∴ \(\frac{m_1}{+2}=\frac{n_1}{-1}\)
∴ \(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{2}=\frac{n_1}{-1}\)
l₁ యొక్క D.R లు (1, 2, -1)

సందర్భం (ii) : l₂ + 2n₂ = 0
l₂ = −2n₂ ⇒ \(\frac{l_2}{-2}=\frac{n_2}{1}\)
m₂ = (3l₂ + 5n₂) = -(-6n₂ + 5n₂) = n₂
\(\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{1}\)
∴ \(\frac{l_2}{-2}=\frac{m_2}{1}=\frac{n_2}{1}\)
l₂ యొక్క D.R లు (-2, 1, 1)
l₁, l₂ రేఖల మధ్య కోణం ‘θ’ అనుకుందాం.
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{|1(-2)+2.1+(-1) .1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}}\)
= \(\frac{1}{6}\) ⇒ θ = cos^-1 (1/6)

ప్రశ్న 9.
రెండు ఆసన్న స్థానాలలో ఒక చలరేఖ దిక్ కొసైన్లు (l, m, n), (2 + δl, m + δm, n + δn), ఈ రెండు స్థానాల మధ్య గల స్వల్ప కోణం δθ, (δθ)² = (δl)² + (δm)² + (δn)² తృప్తిపరుస్తుందని చూపండి.
సాధన:
(l, m, n), (l + δl, m + δn, n + δn) లు దిక్ కొసైన్లు
l² + m² + n² = 1 ……………… (1)
(l + δl)² + (m + δm)² + (n + δn)²
(2) − (1) ⇒ (l + δl )² + (m + δm)² + (n + δn)² (l² + m² + n²) = 0
2(l . δl + m . δm + n . δ)
= −((δl)² + (δm)² + (δn)²) ……………….. (3)
cos θ . δθ = l (l + δl)+ m (m + δm) + n (n + δn)
= (l² + m² + n²) + (l . δl + m . δm + n . δn)
= 1 – \(\frac{1}{2}\) [(δl)² + (δm)² + (δn)²]
(δl)² + (δm)² + (δr² = 1 = 2 (1 cos θ . δθ)
δθ చిన్నది కనుక sin \(\frac{\delta}{2}=\frac{\delta \theta}{2}\)
∴ 4 sin² θ \(\frac{\delta \theta}{2}=\left(\frac{\delta \theta}{2}\right)^2\) = (δθ)²
∴ (δθ)² = (δl)² – (δm)² + (δn)²