Inter 1st Year

Students can go through AP Inter 1st Year Physics Notes 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Physics Notes 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

→ నియమిత కాలంలో సదిశ త్రిజ్య తిరిగిన కోణమును కోణీయ స్థానభ్రంశము అంటారు.

→ కోణీయ స్థానభ్రంశపు రేటు కోణీయ వేగము ω = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\)

→ కోణీయ వేగపు రేటు కోణీయ త్వరణం a = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\)

→ వస్తువుపై పనిచేయు బలము వలన, బలపరిమాణంతో నిమిత్తం లేకుండా వస్తువు ఆకారంలో మార్పు లేకుండా, వస్తువులోని వివిధ కణముల మధ్య దూరము స్థిరముగా ఉంటే, ఆ వస్తువును దృఢవస్తువు అంటారు.

→ ఒక వస్తువుపై రెండు సమాన బలాలు సమాంతరంగా ఉండి వ్యతిరేక దిశలలో, బల ప్రయోగ దిశలు వేరుగా పనిచేసిన ఆ వ్యవస్థను బలయుగ్మం అంటారు.

→ సమాంతర బల నియమాలు
(a) ఒక దిశలో పనిచేయు బలాల మొత్తం దాని వ్యతిరేక దిశలో పనిచేయు బలాల మొత్తమునకు సమానము.
(b) ఒకే బిందువు ఆధారంగా సవ్యదిశలో పనిచేయు భ్రామకాల మొత్తం, అపసవ్యదిశలో పనిచేయు భ్రామకాల మొత్తమునకు సమానము.

→ అభికేంద్ర బలం (F_c) : ఒక కణం వృత్తాకార చలనాన్ని చేయుటకు అవసరమయ్యే బలాన్ని అభికేంద్ర బలం అంటారు. దీని పరిమాణం \(\frac{M v^2}{r}\) (లేదా) Mrω² దీని దిశ కూడా కేంద్రం వైపుకు ఉంటుంది మరియు ఇది ఒక చలరాశి. గురుత్వాకర్షణ బలం, స్థిర విద్యుత్ బలం, ఘర్షణ బలం మొదలగు బలాల వలె ఇది కూడా ఒక యథార్థ బలం. బాహ్య కారకం వల్ల ఇది కణానికి అందచేయబడుతుంది.

→ గట్టు కట్టబడిన రోడ్డుపై సురక్షిత గరిష్ఠ వడి V = \(\sqrt{r g \mu}\)

→ క్షితిజ సమాంతర వృత్తాకార చలనంలో ఉన్న వస్తువు వడి అన్ని బిందువుల వద్ద సమానంగా ఉంటుంది.

→ ఒక రాయిని తాడుకు చివరగా కట్టి, దానిని క్షితిజ సమాంతర వృత్తంలో తిప్పితే, తాడుపై తన్యత = అభికేంద్ర బలం = \(\frac{M v^2}{r}\) = mrω²

→ ఒక వస్తువు భ్రమణ చలనంలో ఉంటే, వస్తువులోని ప్రతీ కణం వృత్తాకార మార్గంలో చలిస్తుంది. ఇలాంటి వృత్తాల కేంద్రాలన్ని ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి. ఈ సరళరేఖను భ్రమణాక్షం అంటారు.

→ భ్రమణ చలనంలో ఉన్న వస్తువులోని అన్ని కణాలు ఒకే కోణీయ స్థానభ్రంశాన్ని, ఒకే కోణీయ వేగాన్ని మరియు ఒకే కోణీయ త్వరణాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

→ బలం మరియు ఒక బిందువు నుండి బలప్రయోగ బిందువుకు మధ్య లంబ దూరాల లబ్ధాన్ని టార్క్ లేదా బలభ్రామకం అని అంటారు. సదిశా రూపంలో τ = r × F.
టార్క్ SI ప్రమాణం Nm, మితి ఫార్ములా [M L²T^-2].

→ పరిమాణంలో సమానంగా, దిశలో వ్యతిరేకంగా ఉండి సరేఖీయం కాని రెండు బలాలు బలయుగ్మాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. రెండు బలాల మధ్య లంబ దూరం మరియు ఆ రెండింటిలో ఏదో ఒక బలం పరిమాణంల లబ్ధాన్ని బలయుగ్మ భ్రామకం లేదా బలయుగ్మ టార్క్ అంటారు.

→ ఒక దృఢ వస్తువును ఏర్పరుస్తున్న వివిధ కణాల ద్రవ్యరాశులు మరియు భ్రమణాక్షం నుండి వాటి లంబ దూరాల వర్గాల లబ్దాల మొత్తాన్ని ఆ అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకం అని నిర్వచిస్తాము. m ద్రవ్యరాశి గల బిందు రూప ద్రవ్యరాశి జఢత్వ భ్రామకం I ఇక్కడ r అనునది భ్రమణాక్షం నుండి బిందురూప ద్రవ్యరాశి లంబ దూరం.

→ దృఢ వస్తువు జఢత్వ భ్రామకం I = \(\sum_{i=1}^n m_i r_i^2\) ఇక్కడ i వ కణం ద్రవ్యరాశి mi మరియు భ్రమణాక్షం నుండి
iవ కణం లంబ దూరం r_i, జఢత్వ భ్రామకం SI ప్రమాణం kg m², మితి ఫార్ములా [ML²T°).

→ వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి ఏ బిందువు వద్ద కేంద్రీకరింపబడి ఉంటుందో మరియు ద్రవ్యరాశి వితరణతో దాని జఢత్వ భ్రామకం సమానమవుతుందో ఆ బిందువుకు మరియు భ్రమణాక్షానికి మధ్యగల దూరాన్ని భ్రమణ వ్యాసార్థం అంటారు.

→ జఢత్వ భ్రామకం మరియు భ్రమణ వ్యాసార్థాలు రెండూ భ్రమణాక్షం స్థానంపై మరియు భ్రమణాక్షం చుట్టూ ద్రవ్యరాశి వితరణపై ఆధారపడి ఉంటాయి. కాని జఢత్వ భ్రామకం ద్రవ్యరాశిపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది.

→ సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం : ఏదైన ఒక అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు జఢత్వ భ్రామకం, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే సమాంతర అక్షం పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం మరియు వస్తు ద్రవ్యరాశి, రెండు సమాంతరాక్షాల మధ్య దూరం వర్గాల లబ్ధాల మొత్తానికి సమానం. ఏదేని ఒక అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు జఢత్వ భ్రామకం I₀ = I_c + Mr². ఇక్కడ I_G అనేది వస్తు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండాపోతున్న సమాంతర అక్షం పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం మరియు రెండు సమాంతరాక్షాల మధ్య దూరం r.

→ ఒక సమతల పటలం తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం, ఆ పటలం తలంలో పరస్పరం లంబంగా ఉండి ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటున్న రెండు అక్షాల పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకాల మొత్తానికి సమానం.

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగము, L = mvr, ఇచ్చట m కణ ద్రవ్యరాశి, V వేగము మరియు r లంబదూరము.

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = Iω.

→ T మరియు ల మధ్య సంబంధం T = \(\frac{\mathrm{dL}}{\mathrm{dt}}\) మరియు T, α ల మధ్య సంబంధం T = Iα.

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ సూత్రము : ఒక భ్రమణ వ్యవస్థపై బాహ్య బలం పనిచేయకపోతే, వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగము పరిమాణంలో మరియు దిశలో స్థిరము.

→ ఫలిత బాహ్య టార్క్ సున్నా అయితే, L స్థిరాంకం, i.e., Iω = స్థిరాంకం (లేక) ω, I కి విలోమానుపాతంలో ఉండును.

→ తీగ ఒక చివర వస్తువును కట్టి నిలువు వృత్తంలో త్రిప్పితే, గురుత్వం వల్ల వేగం మారును.

→ వస్తువు నిలువు వృత్తంలో గరిష్ట బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు, తీగలో తన్యత = \(\frac{\mathrm{Mv}_2^2}{\mathrm{r}}\) – Mg, కనిష్ట బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు తీగలో తన్యత T = \(\frac{\mathrm{Mv}_1^2}{\mathrm{r}}\) + Mg. ఏ స్థానంలో ఉన్నా T = \(\frac{\mathrm{Mv}^2}{\mathrm{r}}\) – Mg cos 6.

→ గరిష్ట బిందువు వద్ద కనిష్ట వేగం v₂ = \(\sqrt{rg}\) కనిష్ట బిందువు వద్ద వేగం v₁ = \(\sqrt{5rg}\)

→ దవ్యరాశి కేంద్రం అనేది కణాల వ్యవస్థ లేదా వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి కేంద్రీకృతమయ్యేటట్లు ప్రవర్తించే బిందువు.

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిరూపకాలు
X_CM = \(\frac{\sum m_i x_i}{\Sigma m_i}\); Y_CM = \(\frac{\Sigma m_i y_i}{\Sigma m_i}\); Z_CM = \(\frac{\Sigma m_i z_i}{\Sigma m_i}\)

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వేగము V_CM = \(\frac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2}\)

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర గమనాన్ని వ్యవస్థలోని అంతర్గత బలాలు ప్రభావితం చేయవు.

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం న్యూటన్ గమన నియమాలను పాటించును.

→ ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవచ్చు లేక ఉండకపోవచ్చును.

→ ఒక వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్ర రేఖీయ ద్రవ్యవేగం ఆ వ్యవస్థలో ఉండే అన్ని కణాల ద్రవ్య వేగాల మొత్తానికి సమానం.
MV_c = Σ m_iv_i; లేదా P_c = P₁ + P₂ + ……. + P_n
M వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి, v_c ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వేగం, p_c ద్రవ్యరాశి కేంద్ర రేఖీయ ద్రవ్యవేగం

→ ఒక బాహ్య బలం F వ్యవస్థకు ఆపాదించిన త్వరణం ఆ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర త్వరణానికి సమానం
a_c = \(\frac{1}{M}\) Σa_im_i అంటే Ma_c = F

→ భూమి, చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం భూకేంద్రంనకు దగ్గరగా ఉంటుంది. సూర్యుని వల్ల గురుత్వాకర్షణ బలం ఈ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద మాత్రమే ప్రయోగింపబడుతున్నట్లుగా భూమి – చంద్రుడు వ్యవస్థ. సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార మార్గంలో తిరుగుతూ ఉంటుంది. ఈ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకారంలో తిరుగుతూ ఉంటుంది.

→ గాలిలో గమనంలో ఉన్న ఒక గోళం విస్ఫోటనం చెందితే, దాని విస్ఫోటన శకలాలు వేరు వేరు పరావలయ మార్గాల్లో చలిస్తాయి. కాని ఆ గోళం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం విస్ఫోటనానికి ముందు ఏ పరావలయ మార్గంలో చలిస్తుందో విస్ఫోటనం తరువాత కూడా అదే పరావలయ మార్గంలో చలిస్తుంది.

→ లుడ్విగ్ బోల్ట్ మన్ (1844-1906)
ఆస్ట్రియాలోని వియన్నాలో జన్మించాడు. ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమం యొక్క గణాంక అర్థ వివరణను ఎంట్రోపి భావనను బోల్ట్ మన్ సమకూర్చాడు. ఉష్ణోగ్రతలను కలిపే అనుపాత స్థిరాంకానికి బోల్ట్స్ మన్ స్థిరాంకమని ఆయన గౌరవార్థం పేరు పెట్టారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 6th Lesson ప్రత్యుత్పత్తి విధానాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 6th Lesson ప్రత్యుత్పత్తి విధానాలు

→ తరతరాలుగా జాతి మనుగడను సాధ్యమగునట్లు చేయుటకు ప్రత్యుత్పత్తి తోడ్పడుతుంది.

→ ప్రత్యుత్పత్తిలో అలైంగిక మరియు లైంగిక పద్ధతులు కలవు.

→ అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తిలో – సంయోగబీజాల పాత్ర ఉండదు.

→ సరళ నిర్మాణంలో ఉన్న శైవలాలు, శిలీంధ్రాలలో అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి సర్వసాధారణము.

→ అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి వల్ల ఏర్పడే సంతతి, ఒకదానిలో ఒకటి పోలికతో ఉండి, జనకానికి నకలుగా (క్లోన్లు) ఉంటాయి.

→ అనేక శైవలాలు, శిలీంధ్రాలలో అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి గమనసిద్ధ బీజాలు లేదా కొనీడియమ్ల ద్వారా జరుగుతుంది.

→ యూగ్లినా, బాక్టీరియాలలో అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి – ద్విధావిచ్ఛిత్తి ద్వారా జరుగును.

→ ఈస్ట్లలో అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి – ప్రరోహోత్పత్తి ద్వారా జరుగును.

→ బ్రయోఫైటా, టేరిడోఫైటా మొక్కల సిద్ధబీజాలు ఏకస్థితికాలు. ఇవి అంకురణ చెంది సంయోగ బీజదాలుగా అభివృద్ధి చెందుతాయి.

→ బహుకణయుత లేదా సహనివేశ శైవలాలు, బూజులు, పుట్ట- గొడుగులలో అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి ‘ముక్కలు కావడం’ పద్దతి ద్వారా జరుగుతుంది.

→ లివర్ వర్క్స్ లలో జెమ్మాల ద్వారా అలైంగికోత్పత్తి జరుగును.

→ పుష్పించే మొక్కలలో రన్నర్లు, స్టోలన్లు, పిలకమొక్కలు, ఆఫ్సెట్లు, కొమ్ము, కందం, దుంపకాండం, లశునం, లఘులశునాలు శాకీయంగా కొత్త మొక్కలను ఉత్పత్తి చెయ్యగలవు.

→ ఒకజీవి లేదా విరుద్ధ లింగాలకు చెందిన భిన్న జీవుల్లో, పురుష, స్త్రీ సంయోగ బీజాలు ఏర్పడటం, వాటి కలయికను లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి అంటారు.

→ ఏకవార్షిక, ద్వివార్షిక రకాలకు చెందిన మొక్కలు శాకీయ లైంగిక మరియు జీర్ణత దశలను చక్కగా చూపుతాయి.

→ వరి, గోధుమ, మొక్కజొన్న, వెదురు లాంటి గడ్డి మొక్కలు జీవిత కాలంలో ఒకేసారి పుష్పిస్తాయి.

→ సెంచరీ మొక్క (అగేవ్ అమెరికనా) మరియు వెదురు వాటి చరమ దశలో పుష్పిస్తాయి..

→ స్టోబిలాంథస్ కుంతియానా (నీలకురంజి) 12 సం॥లకు ఒక్కసారి మాత్రమే పుష్పిస్తుంది.

→ లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి – స్త్రీ, పురుష బీజాల కలయిక, సంయుక్త బీజం పిండోత్పత్తి వంటి లక్షణాలతో కూడినది.

→ కొన్ని శైవలాలలో రెండు సంయోగబీజాలు ఒకేవిధంగా ఉంటాయి. వీటిని సమసంయోగ బీజాలు అంటారు. ఉదా : క్లాడోఫోరా.

→ అనేక జీవులలో ఏర్పడే సంయోగ బీజాలు రెండూ స్వరూపంలో భిన్నంగా ఉంటాయి. వీటిని భిన్న సంయోగ భీజాలు అంటారు. ఉదా : ఫ్యూనేరియా, టెరిస్, సైకాస్

→ మొనీరా, శిలీంధ్రాలు, శైవలాలు మరియు బ్రయోఫైట్ ఏకస్థితిక దేహంను కల్గి ఉంటాయి.

→ టెరిడో ఫైట్లు, వివృత బీజాలు, ఆవృత బీజ మొక్కలు ధ్వయస్థితిక దేహంతో ఉంటాయి.

→ ద్వయస్థితిక జీవులలో క్షయకరణ విభజనకు లోనయ్యే కణాలను మియోసైట్ అంటారు.

→ పురుష, స్త్రీ సంయోగ బీజాలు కలయికను సంయుక్త సంయోగము అంటారు. ఫలితంగా సంయుక్త బీజం ఏర్పడుతుంది.

→ ఫలదీకరణం చెందని స్త్రీ సంయోగ బీజదం నుండి పిండము ఏర్పడుటను అనిషేక జననం అంటారు.

→ ఎక్కువ శైవలాలలో సంయుక్త సంయోగము జీవి దేహం వెలుపల జరుగును దీనిని బాహ్యఫలదీకరణ అంటార

→ బ్రయోఫైట్లు, టెరిడోఫైట్లు, వివృత బీజాలు మరియు ఆవృత బీజాలులో సంయుక్త సంయోగము జీవి దేహంలో జరుగును దీనిని అంతరఫలదీకరణ అంటారు.

→ సంయుక్తబీజం నుండి పిండం ఏర్పడుటను పిండజననం అంటారు.

→ ఫలదీకరణ తర్వాత, అండాశయం, ఫలంగాను, అండాలు విత్తనాలుగాను మారతాయి.

→ మాంగ్రూవ్ లలో విత్తనాలు తల్లి మొక్కను అంటిపెట్టుకుని ఉండగానే అంకురిస్తాయి. దీనిని వివిపారి అంటారు.

→ అసంయోగజననం (Apomixis) : సాధారణ లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తికి బదులుగా ఫలదీకరణ లేకుండా జరిగే లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి లేదా విత్తనాభివృద్ధి.

→ అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి : పురుష, స్త్రీ సంయోగ బీజాల సంయోగం లేకుండా శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తి, విచ్ఛిత్తి (fission) లేదా ప్రరోహోత్పత్తి ద్వారా జరిగే ప్రత్యుత్పత్తి విధానం.

→ ప్రరోహాలేర్పడటం : ఇది ఏక కణజీవుల (ఉదా : ఈస్ట్) అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి పద్ధతులలో ఒకటి. ఈ పద్ధతిలో పక్వస్థితిలో గల జనకుల నుంచి బహిర్జనితంగా పెరిగిన భాగం, కుంచనం ఏర్పడటం ద్వారా వేరై కొత్తజీవిగా అభివృద్ధి చెందుతుంది.

→ క్లోన్ : లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి ద్వారా కాకుండా ఇతర ప్రత్యుత్పత్తి విధానాల ద్వారా ఏర్పడి స్వరూపాత్మకంగా, జన్యుపరంగా ఒకే విధంగా ఉండే సంతతి.

→ కొనిడియోఫోర్ : కొనిడయమ్ సిద్ధబీజాలను ఏర్పరచే ప్రత్యేకమైన వృంతాలు.

→ కొనిడియోస్పోర్/కొనీడియమ్ : శిలీంధ్రాలలోని అలైంగిక పద్ధతి ద్వారా కొనిడియో ఫోర్పై ఏర్పడే చలన రహిత సిద్ధబీజం. వీటినే ‘మైటోస్పోర్లు’ అని కూడా అంటారు.

→ ఏకలింగాశ్రయ మొక్క (Dioecious) : ఒక మొక్కపై ఒకే రకమైన అంటే పురుష లేదా స్త్రీ లైంగికావయవాలు ఏర్పడే స్థితి.

→ విచ్ఛిత్తి : ఏకకణజీవులలో కేంద్రకం, కణద్రవ్య విభజనల వల్ల రెండుగానీ, అంతకంటే ఎక్కువగానీ కొత్త కణాల్ని (జీవుల్ని) ఏర్పరిచే అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి పద్ధతి.

→ ముక్కలవడం : ఇది తంతురూప జీవులలో సాధారణంగా గుర్తించబడే శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తి పద్ధతి. దీనిలో మొక్క దేహం చిన్న చిన్న ముక్కలుగా యాంత్రిక పద్ధతుల ద్వారా విరిగి, ప్రతి ముక్కా కొత్త మొక్కగా అభివృద్ధి చెందుతుంది. సంయోగబీజం : లైంగికంగా ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుకొనే జీవుల ఫలదీకరణ సమయంలో వేరొక కణంతో సంయోగం చెందే కణం. సంయోగ బీజ జననం : ద్వయస్థితిక లేక ఏకస్థితిక పూర్వగామి కణాలు (Precursor cells), కణ విభజన, కణ విభేదనము ద్వారా పరిపక్వ ఏకస్థితిక సంయోగ బీజాలను ఏర్పరచే ప్రక్రియ.

→ జెమ్మాలు (Gemmae) : అనేక మొక్కలలో, శిలీంధ్రాలలో ఏర్పడే గిన్నె వంటి అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి నిర్మాణాలు.

→ ఏకలింగాశ్రయి (Heterothallic) : పురుష, స్త్రీ ప్రత్యుత్పత్తి అవయవాలు వేరు వేరు థాలస్లపై అభివృద్ధి చెందడం.

→ ద్విలింగాశ్రయి (Homothallic) : ఒకే థాలస్పై పురుష, స్త్రీ ప్రత్యుత్పత్తి అవయవాలు ఏర్పడటం.

→ కేంద్రక సంయోగం (Karyogamy) : సంయుక్త సంయోగం, ఫలదీకరణ లేదా బ్యాక్టీరియమ్ల సంయుగ్మంలో భాగంగా రెండు కేంద్రకాలు లేదా రెండు కణాలలోని జన్యు పదార్ధాల సంయోగం.

→ ద్విలింగాశ్రయ మొక్క (Monoecious) : ఒకే మొక్కపై పురుష, స్త్రీ లైంగిక అవయవాలు ఏర్పడటం.

→ అనిషేక జననం (Parthenogenesis) : మొక్కలలో ఫలదీకరణ జరగకుండా స్త్రీ బీజకణం పిండంగా అభివృద్ధి అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి విధానం.

→ ప్రోపగ్యూల్ (Propagule) : శాకీయ వ్యాప్తికి ఉపయోగించే మొక్క పదార్థం లేదా భాగం.

→ సిద్ధబీజాశయం (Sporangium) : (బహువచనం : సిద్ధ బీజాశయాలు -pl-sporangia); ఆధునిక లాటిన్, గ్రీక్లో స్ఫోరా (Spora) = “స్పోర్” (spore) + అన్జిజియాన్ (angeion) “గిన్నెలాగా” (vessel) సిద్ధబీజాలు ఏర్పరచే వాటిని ఆవరించే భాగం.

→ సిద్ధబీజం : ఇది ప్రత్యక్షంగా కొత్తమొక్కగా అభివృద్ధి చెందగల అలైంగిక ఏకకణ ప్రత్యుత్పత్తి ప్రమాణం. ఇది వ్యాప్తి చెందడంకోసం అనుకూలనాలను ఏర్పరచుకొని ప్రతికూల పరిస్థితులలో కూడా అనేక కాలాలపాటు జీవించి ఉండగలదు. సిద్ధబీజాలు అనేక బాక్టీరియమ్లు, మొక్కలు, శైవలాలు, శిలీంధ్రాలు, కొన్ని ప్రోటోజోవన్ల జీవిత చక్రంలో ఒక భాగంగా ఉంటాయి. ఉన్నతశ్రేణి మొక్కలలో సిద్ధబీజ మాతృకలలో క్షయకరణ విభజన అనంతరం ఏర్పడే సిద్ధబీజాలను ‘మియోస్పోరులు” అంటారు. ధాలోఫైటాలో సిద్ధబీజాలు సమవిభజన ఫలితంగా ఏర్పడవచ్చు. అట్టి వాటిని ‘మైటోస్పోరులు’ అంటారు.

→ సంయుక్త సంయోగం (syngamy) : ఫలదీకరణలో రెండు సంయోగ బీజాల సంయోగం. ఆవృత బీజాలలో ఇది ప్రాథమిక ఫలదీకరణ.

→ శాకీయ వ్యాప్తి : మొక్కలలో ఇది ఒక అలైంగిక పద్ధతి. దీనిలో బహుకణయుత నిర్మాణాలు జనక మొక్కల నుంచి విడివడి కొత్త మొక్కలుగా అభివృద్ధి చెందుతాయి. ఇవి జన్యుపరంగా జనక మొక్కలతో సమరూపకంగా (Identical) ఉంటాయి.

→ గమనసిద్ధబీజం : కొన్ని శైవలాలు, శిలీంధ్రాలలో కశాభాల సహాయంతో చలించగల అలైంగిక సిద్ధబీజం. దీనిని చలత్కసిద్ధబీజం (swarm spore) అని కూడా అంటారు.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 5th Lesson పుష్పించే మొక్కల స్వరూపశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 5th Lesson పుష్పించే మొక్కల స్వరూపశాస్త్రం

→ పుష్పించు మొక్కలు – ఆకారం, పరిమాణంలో, నిర్మాణం, పోషణ విధానము, జీవితకాలం, ఆకృతి, ఆవాసాలలో వైవిధ్యాన్ని చూపుతాయి.

→ ద్విదళ బీజాలలో తల్లివేరు వ్యవస్థ, ఏకదళ బీజాలలో పీచువేరు వ్యవస్థ ఉంటాయి.

→ కొన్ని మొక్కలలో వేరు రూపాంతరం చెంది, ఆహార నిల్వకు, అదనపు శక్తికి, శ్వాసక్రియలోను, కిరణజన్య సంయోగ క్రియలోను తోడ్పడతాయి.

→ ప్రకాండ వ్యవస్థలో కాండము, పత్రాలు, పుష్పాలు, ఫలాలు ఉంటాయి.

→ కాండంపై కణుపులు, కణుపు నడిమిలు, బహుకణయుత కేశాలు కలిగి ధనాత్మక కాంత అనువర్తనం చూపుతుంది.

→ కాండం రూపాంతరం చెంది, ఆహారపు నిల్వలోను, శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తికి రక్షణకు తోడ్పడతాయి.

→ కాండపై పార్శ్వంగా ఉద్భవించే బల్లపరుపుగా ఉన్న నిర్మాణమును పత్రం అంటారు.

→ కిరణజన్య సంయోగ క్రియకాకుండా, వత్రాలు ఎగబ్రాకుటకు, రక్షణకు శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తికి తోడ్పడతాయి.

→ ద్విదళ బీజపత్రాలలో జాలాకార ఈనెల వ్యాపనం, ఏకదళ బీజాలపత్రాలలో సమాంతర ఈనెల వ్యాపనం ఉంటాయి.

→ పుష్ప విన్యాసాక్షం మీద పుష్పాలు అమరి ఉండుటను పుష్పవిన్యాసం అంటారు.

→ ప్రత్యుత్పత్తి కొరకు రూపాంతరం చెందిన ప్రకాండన్ని పుష్పం అంటారు.

→ పుష్పాలు నిర్మాణంలోను, సౌష్టంలోను, ఇతర పుష్ప భాగాలతో పోల్చినపుడు అండాశయస్థానము, రక్షక ఆకర్షణ పత్రాల అమరిక, అండాల అమరికలో వైవిధ్యం చూపుతాయి.

→ పుషం మొగ్గదశలో ఉన్నప్పుడు రక్షక, ఆకర్షణ పత్రాలు అమరికను పుష్పరచన అంటారు.

→ అండాన్యాసస్థానంపై అండాలు అమరికను అండాన్యాసం అంటారు.

→ ఫలదీకరణ చెందిన అండాశయాన్ని ఫలం అంటారు.

→ ఫలధీకరణం లేకుండా అండాశయం నుండి ఏర్పడే ఫలాలను అనిషేక ఫలాలు అంటారు.

→ ఆపిల్, జీడిమామిడి వంటి ఫలాల్లో, అండాశయంతో పాటు పుష్పాసనం, పుష్పవృంతం ఫలాలుగా మారతాయి. వీటిని అనృత ఫలాలు అంటారు.

→ పక్వసమయంలో రసభరితంగా ఉండే ఫలాలను కండగల ఫలాలు అంటారు. ఉదా : మృధుఫలం (టొమేటో) పోమ్ (ఆపిల్) పెపో (దోస) హెస్పిరీడియమ్ (నిమ్మ), టెంకెగల ఫలం (మామిడి)

→ పక్వ సమయంలో ఎండిపోయిన ఫలాలను శుష్కఫలాలు అంటారు. ఇవి విదారకంగా గాని, అవిధారకంగా గాని, భిదుర ఫలాలుగా ఉంటాయి.

→ ఫలదీకరణ తర్వాత అండాశయం ఫలంగాను, అండాలు- విత్తనాలుగాను మారతాయి.

→ విత్తనంను ఆవరించి విత్తన కవచం, లోపల పిండం, ఒకటి లేక 2 బీజదళాలు ఉంటాయి.

→ పరిపత్ర రహితం : ఆవశ్యకాంగాలు (లేదా పరిపత్రం) లోపించిన పుష్పం. దీన్ని నగ్న పుష్పం అని కూడ అంటారు.

→ అగ్రాభిసార అమరిక : అక్షంపై పార్శ్వ నిర్మాణాలు ఆధారం నుంచి అగ్రంవైపుకు ఏర్పడటం.

→ సౌష్టవయుత పుష్పం : పుష్పాలను ఏ తలం నుంచైనా నిలువుగా అక్షం గుండా రెండు సమ భాగాలుగా విభజించవచ్చు.

→ అబ్బురపు వేరు : ప్రథమ మూలం నుంచి కాకుండా మొక్కలోని ఇతర భాగాలనుంచి ఏర్పడిన వేరు.

→ కేసరావళి : పుష్పంలో పురుషప్రత్యుత్పత్తి నిర్మాణాలుగా ఉండే కేసరాల వలయం.

→ గ్రీవం : గ్రీవపు మొగ్గను కలిగి ఉండి, పత్రానికీ, కాండానికీ మధ్య ఉండే పై కోణం.

→ ఆధారాభిసారి అమరిక : అక్షంపై పార్శ్వ నిర్మాణాలు అగ్రం నుంచి ఆధారం వైపుకు ఏర్పడటం.

→ పుష్పపుచ్ఛం : గ్రీవంలో పుష్పాన్ని ఏర్పరచే పలచని, పత్రంలాంటి నిర్మాణం.

→ లఘు పుష్పపుచ్ఛాలు : కొన్ని పుష్పాల పుష్పవృంతాలపై ఏర్పడే పలచని, త్వచం లాంటి నిర్మాణాలు.

→ సంపూర్ణ పుష్పం : రెండు పరిపత్ర వలయాలను కనీసం ఒక వలయం కేసరావళి, ఒక వలయం అండకోశాలను కలిగిన

→ కందం : నిలువుగా కిందికి పెరిగే భూగర్భ కాండం.

→ అంకురచ్ఛదం : అభివృద్ధి చెందుతున్న పిండాన్ని చుట్టి ఉండి పోషణనిచ్చే కణజాలం. ఆవృతబీజాలలో ఇది త్రయ స్థితికంగా ఉంటుంది.

→ పత్రోపరిస్థితి మొగ్గ : పత్రాలమీద ఏర్పడే అబ్బురపు మొగ్గలు. అవి శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తికి తోడ్పడతాయి.

→ పత్రోపరిస్థిత కేసరాలు : పరిపత్ర భాగాలతో సంయుక్తమైన కేసరాలు.

→ పీచువేర్లు : ప్రథమ మూలం నుంచి కాకుండా మొక్కలోని ఇతర భాగల నుంచి ఉద్భవించే వేళ్ల సముదాయం.

→ గురుత్వానువర్తనం : పెరుగుదలపై గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం.

→ అండకోశం : ఫలదళాలతో కూడిన, పుష్పంలోని చివరి వలయం.

→ హాస్టోరియమ్లు (పరాన్నజీవుల వేళ్ళు) : ఆతిథేయి నుంచి ఖనిజాలను లేదా సేంద్రియ పదార్థాలను లేదా రెండింటిని శోషించే రూపాంతరం చెందిన ప్రత్యేకమైన అబ్బురపు వేర్లు.

→ అసంపూర్ణ పుష్పం : పరిపత్రాలు లేదా కేసరాలు లేదా ఫలదళాలలో ఏదో ఒక వలయం లోపించిన పుష్పం.

→ పరిచక్రపుచ్ఛావళి : పుష్పవిన్యాసం చుట్టూ ఉండి, రక్షణ కలగచేసే పుచ్చాల వలయం. అది యుఫర్బియేసి కుటుంబ మొక్కలలో మాదిరిగా సంయుక్త పుష్ప పుచ్ఛాలుగా లేదా అంబెల్లిఫేరే కుటుంబ మొక్కలలోలాగ అసంయుక్త పుచ్ఛాలుగా గాని ఉంటుంది.

→ బిలం : అడ్డుగోడ (పటలం) ఏర్పడటం వల్ల అండాశయంలో ఉద్భవించిన గదులు.

→ ఫలాంశం : షైజోకార్పిక్ (బిదుర) ఫలాల్లోని ఒకే విత్తనం గల భాగాలు.

→ విభాజ్య కణజాలం : ఇవి మొక్కలలో చురుకుగా కణ విభజన జరిగే ప్రత్యేకమైన ప్రదేశాలు.

→ రూపాంతరం : కొన్ని ప్రత్యేక విధులను నిర్వర్తించడానికి గాను మొక్కల్లోని అంగంలో ఏర్పడే నిర్మాణాత్మకమైన, శాశ్వత మార్పు.

→ ఆఫ్సెట్ : ప్రతి కణుపువద్ద అబ్బురపు పేర్లను, పత్రాల గుంపును కలిగిన, ఒకే కణుపు మధ్యమంతో ఏర్పడిన శాఖ.

→ పాపిలియోనేషియస్ ఆకర్షణపత్రావళి : పాపిలియోనేసి (ఫాబేసి కుటుంబ మొక్కలలోని ఆకర్షపత్రాల అమరిక పద్ధతి. దీనిలో పరాంతంలో ఉన్న ధ్వజ పత్రం కీటకాలను ఆకర్షిస్తుంది. పార్శ్వంగా ఉండే బాహుపత్రాలు లేదా ఆలేపై కీటకాలు వాలతాయి, పూర్వాంతంలోని పడవ ఆకార ఆకర్షణ పత్రాలను ద్రోణి పత్రాలు (keel or carina) అంటారు. అవి ఆవశ్యకాంగాలను కప్పి ఉంటాయి.

→ కేశగుచ్ఛం : ఫలాలు లేదా విత్తనాలను గాలి ద్వారా వ్యాప్తి చెందించడానికి, ఆస్టరేసి కుటుంబ మొక్కలలో గల దీర్ఘ కాలిక (శాశ్వత) రక్షక పత్రావళి (రక్షక పత్రాలు).

→ అనిషేకఫలనం : ఫలదీకరణ లేకుండా, విత్తన రహిత ఫలాలను ఏర్పరచే పద్ధతి.

→ పుష్పవృంతం : పుష్పానికి ఉండే కాడ.

→ పుష్పవిన్యాసవృంతం : పుష్పాలను ఏర్పరచే పుష్ప విన్యాసాక్షం.

→ పరిపత్రం : రక్షకపత్రాలు, ఆకర్షణపత్రాలు కలిగిన పుష్పంలో బయటి రెండు వలయాలు.

→ ఫలకవచం : ఫలకుడ్యం, కండగల ఫలంలో వెలుపలవైపు బాహ్యఫలకవచం, మధ్యలో మధ్యఫలకవచం, లోపలివైపు అంతఃఫలకవచం అనే విభేదనం చూపుతుంది.

→ పత్రవృంతం : పత్రానికి గల కాడ

→ కాంతిఅనువర్తనం : పెరుగుదలపై కాంతి ప్రభావం

→ స్త్రీ పుష్పం (Pistillate flower) : ఫలదళాలను కలిగి, కేసరాలు లోపించిన ఏకలింగక పుష్పం.

→ ప్రథమకాండం : పిండాక్ష పైభాగనున్న ఉపరి బీజదళకొనభాగం. ఇది ప్రకాండ వ్యవస్థగా అభివృద్ధి చెందుతుంది.

→ విన్యాసాక్షం (Rachis) : పత్రవృంతం నుంచి విస్తరించిన పిచ్ఛాకార సంయుక్త పత్రంలోని అక్షం. ఇది హస్తాకార సంయుక్త పత్రంలో ఉండదు.

→ ప్రథమమూలం : విత్తన అంకురణ సమయంలో మొదట వెలువడి వేరు వ్యవస్థగా అభివృద్ధి చెందే పిండాక్షపు అధోబీజదళ కొన.

→ కొమ్ము : మృత్తికలో, భూమికి సమాంతరంగా పెరుగుతూ, పృష్టోదర విభేదనాన్ని కలిగి బల్లపరుపుగా ఉండే భూగర్భ కాండం.

→ రన్నర్ : భూమికి సమాంతరంగా పెరుగుతూ, ప్రతి కణుపు దగ్గర అబ్బురపు వేర్లను ఏర్పరచే బలహీనకాండం లేదా దాని శాఖ.

→ షైజోకార్ప్ : ఒకే విత్తనం గల ఫలాంశాలుగా విడిపోయే శుష్కఫలం. అవి అవిదారకంగా ఉండి ఫలకవచం పూర్తిగా క్షీణించిన తరువాత ఫలాంశంలోని విత్తనాలు విడుదలవుతాయి.

→ వృంతరహిత స్థితి : కాడలేని పత్రం లేదా పుష్పాన్ని వృంతరహితం అంటారు.

→ సోరోసిస్ : కంకి పుష్పవిన్యాసం నుంచిగాని, స్పాడిక్స్ నుంచి గాని, కాట్కిన్ పుష్పవిన్యాసం నుంచిగాని ఏర్పడే సంయోగఫలం (బహుళ ఫలం).

→ పురుషపుష్పం : ఫలదళాలు లేకుండా, కేసరాలను కలిగిన ఏకలింగక పుష్పం.

→ దుంప కాండం : ఆహారపదార్థాలు నిలవ చేయడం వల్ల ఉబ్బిన భూగర్భ శాఖల కొన.

→ సైకోనస్ : హైపన్ థోడియమ్ పుష్పవిన్యాసం నుంచి ఏర్పడే సంయోగ (బహుళ) ఫలం

→ పుష్పాసనం : పుష్పవృంతం కొనభాగం

→ వెలమిన్ వేరు : వృక్షోపజీవి మొక్కలలో ఏర్పడి, వాతావరణంలోని తేమను పీల్చే వేరు.

→ పాక్షికసౌష్ఠవయుత పుష్పం : ఏదో ఒక నిలువు తలం నుంచి మాత్రమే మధ్యనుంచి కోస్తే రెండు సమభాగాలుగా ఏర్పడే పుష్పం.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 4th Lesson వృక్షరాజ్యం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 4th Lesson వృక్షరాజ్యం

→ శైవలాలు, బ్రయోఫైటా మొక్కలు, టెరిడోఫైటా క్రిప్టోగామాను, వివృత బీజాలు, ఆవృత బీజాలుగాను విభజించడం జరిగింది.

→ పత్రహరితం కల సరళమైన థాలస్ కిలిగి స్వయం పోషకమైన మంచి నీటిలో నివసించే జీవులును శైవలాలు అంటారు.

→ భూమిపై జరిగే కర్బన స్థాపనలో సగం పైగా శైవలాల ద్వారా జరుగుతుంది.

→ శైవలాలో క్లోరోఫైసీ (క్లామిడోమోనాస్, వాల్వాక్స్, స్పైరోగైరాం) ఫియోఫైసీ (ఎక్టోకార్పస్, లామినేరియా ఫ్యూకస్), రోడోఫైసీ ప్రోలీసైఫోనియా, గ్రాసిలేరియా) అను తరగతులు కలవు.

→ ఆర్కి గోనియంలు కలిగి, పిండోత్పత్తి జరిగే నాళికా కణజా రహిత పుష్పించని మొక్కలు బ్రయోఫైట్లు.

→ వీటిని వృక్షరాజ్యంలోని ఉభయ చరజీవులు అని అంటారు. ఇవి చిత్తడినేలల్లో ఉన్న ఆదిమ నేల మొక్కలు.

→ భిన్నరూప ఏకాంతర దశలను ప్రదర్శించే వీటి జీవిత చక్రమును ఏక – ద్వయస్థితిక జీవిత చక్రం అంటారు.

→ బ్రయోఫైట్లులో లివర్వర్డ్లు, హార్న్ వర్క్స్లు, మాస్లు కలవు.

→ పిండాన్ని ఏర్పరిచే, ఆర్కి గోనియంలుకల, నాళికా కణజాలయుత, పుష్పించని మొక్కలను టెరిడోఫైట్లు అంటారు.

→ టెరిడోఫైట్లులో సిలోప్సిడా, లైకాప్సిడా, స్ఫినోప్సిడా, టెరోప్సిడా అను తరగతులు కలవు.

→ పిండయుతమైన, నాళికా కణ జాలాలు కల ఆర్కిగోనియమ్లు కల పుష్పించు మొక్కలను వివృత బీజాలు అంటారు.

→ వీటిలో (వివృత బీజాలు) సైకడోప్సిడా, కోనిఫెరాప్సిడా, నీటాప్సిడా అను తరగతులు కలవు.

→ పిండాన్ని ఏర్పరిచే, స్త్రీ బీజాశయాలు లేని, నాళికా కణజాలయుతమైన, ఫలాలను కలిగి ఉన్న పుష్పించే మొక్కలను ఆవృత బీజాలు అంటారు.

→ వీటిలో (ఆవృత) విత్తనంలో ఉన్న బీజదళాల సంఖ్యను బట్టి ద్విదళ బీజాలు ఏకదళ బీజాలు అను తరగతులు కలవు.

→ వాల్వాక్స్, స్పైరోగైరా, క్లామిడోమోనాస్ వంటి శైవలాలు ఏకస్థితిక జీవిత చక్రంను చూపుతాయి.

→ టెరిడోఫైట్లు, విత్తనాలు కలిగి ఉన్న అన్ని మొక్కలు ద్వయ – ఏకస్థితిక జీవిత చక్రంను చూపుతాయి.

→ బ్రయోఫైట్లు ఏక-ద్వయ స్థితిక జీవిత చక్రాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి.

→ అసమసంయోగం : నిర్మాణాత్మకంగాను, క్రియాత్మకంగాను ఒకదానికొకటి భిన్నమైన గమన లేదా నిశ్చల సంయోగ బీజాల మధ్య జరిగే సంయోగం.

→ ఆర్కిగోనియేట్లు : ఆర్కిగోనియం అనే స్త్రీ బీజాశయంను గల బ్రయోఫైటా, టెరిడోఫైటా, వివృత బీజ మొక్కలు.

→ సహనివేశక నిర్మాణం : ఇందులో మొక్క దేహం విశిష్ట సహనివేశ నిర్మాణం కలిగి, (coenobium) మధ్యభాగంలో గుల్లగా ఉండి చుట్టూ ఏకకణ మందంలో కణాలు సహనివేశ మాత్రికలో అమర్చబడి ఉంటాయి.

→ పుష్పంచని మొక్కలు : ఇవి పుష్పించని, బీజరహిత సిద్ధబీజాలు గల మొక్కలు.

→ పిండోత్పత్తి చేసే మొక్కలు (ఎంబ్రియోఫైట్లు) : సంయుక్త బీజం నుంచి సమవిభజన ద్వారా పిండం ఏర్పడే బ్రయోఫైటా, టెరిడోఫైటా, వివృత, ఆవృత బీజ మొక్కలు.

→ యూస్పోరాంజియేట్ సిద్ధబీజాశయ అభివృద్ధి : ఉపరితలంలోని కణాల సముదాయం నుంచి సిద్ధబీజాశయం ఏర్పడటం. సంయోగబీజదం : మొక్క జీవిత చక్రంలో ఏకస్థితికంగా ఉన్న, సంయోగ బీజాన్ని ఏర్పరచే (లైంగిక) దశ.

→ భిన్న సిద్ధ బీజత : ఒక జాతిలో భిన్నమైన సిద్ధబీజాలు ఏర్పడే స్థితి.

→ సమసిద్ధ బీజత : ఒక జాతిలో ఒకే రకమైన సిద్ధబీజాలు మాత్రమే ఏర్పడే స్థితి.

→ సమసంయోగం : నిర్మాణాత్మకంగాను, క్రియాత్మకంగాను ఒకే రకమైన సంయోగ బీజాల మధ్య జరిగే సంయోగం.

→ ‘కెల్ప్’లు : స్థాపనాంగ కణం, వృంతం, పత్రదళంతో కూడిన మొక్క దేహం కలిగిన ఫియోఫైసీ (గోధుమ వర్ణ శైవలాలు) కి చెందిన పెద్ద శైవలాలు.

→ లెప్టోస్పొరాంజియేట్ అభివృద్ధి : సిద్ధ బీజాశయం ఒకేఒక్క ఉపరితల కణం నుంచి అభివృద్ధి చెందడం.

→ అండసంయోగం : ఇందులో చిన్నదైన చలనశీలమైన లేదా చలన రహిత పురుషసంయోగబీజం పెద్దదైన నిశ్చలమైన స్త్రీ సంయోగ బీజంతో జరిగే సంయోగం.

→ పుష్పించే మొక్కలు : ఇవి పుష్పించే, విత్తనాలను ఉత్పత్తి చేసే ట్రాకియోఫైటా మొక్కలు.

→ సైఫనోగమీ : స్త్రీ బీజకణంతో పరాగనాళం ద్వారా రవాణా చెందిన పురుష సంయోగబీజం సంయోగం చెందడం.

→ బీజయుత మొక్కలు (స్పెర్మటోఫైట్లు) : ఫలయుత లేదా ఫలరహిత విత్తనాలు గల మొక్కలు.

→ సిద్ధబీజదం : మొక్క జీవితచక్రంలో ద్వయస్థితికంగా ఉండి సిద్ధబీజాలను ఏర్పరిచే అలైంగిక దశ. ఇది సిద్ధబీజ మాతృకణాలలో జరిగే క్షయకరణ విభజన ద్వారా ఏకస్థితిక బీజాలను ఏర్పరుస్తుంది.

→ శంకు (స్ట్రోబిలస్) : దగ్గరగా అమర్చబడిన సిద్ధబీజాశయ పత్రాలను కలిగిన నిర్మాణం.

→ సంయుక్త సంయోగము : “ఒక పురుష బీజము, స్త్రీ బీజముతో కలియుట”.

→ థాలస్ : వేరు, కాండం, పత్రం అనే విభేదన చూపని మొక్కదేహం.

→ త్రి సంయోగము : “పిండకోశంలోని రెండవ పురుష బీజము, ద్వితీయ కేంద్రకముతో కలియుట”.

→ ట్రాకియోఫైట్లు : ఇవి టెరిడోఫైటా, వివృత బీజాలు, ఆవృత బీజాలకు చెందిన మొక్కలు. ఇవి నాళికా కణజాలం కలిగి ఉంటాయి.

→ జాయిదోగమీ : చలనశీల పురుష సంయోగబీజం నిశ్చల స్త్రీ బీజకణంతో సంయోగం చెందడం

→ గమనసిద్ధబీజం : కొన్ని శైవలాలు, శిలీంధ్రాలలో కశాభాల సహాయంతో చలించగల అలైంగిక సిద్ధబీజం. దీనిని చలత్కసిద్ధబీజం (swarm spore) అని కూడా అంటారు.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(b)

అభ్యాసం 9 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
కింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) cotⁿ x
సాధన:
f(x) = cotⁿ x, \(\frac{d y}{d x}\) = n. cot^n-1x.\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(cot x)
= n. cot^{n -1} x (- cosec² x)
= – n. cot^{n -1}x. cosec² x

ii) cosec⁴ x
\(\frac{d y}{d x}\) = 4. cosec³ x. \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cosec x)
= 4. cosec³ x (- cosec x. cot x)
= -4. cosec⁴ x. cot x

iii) tan (e^x)
సాధన:
f(x) = tan (e^x)
\(\frac{d y}{d x}\) = sec² (e^x). (e^x)¹ = e^x. sec² (e^x)

iv) \(\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)
సాధన:

v)
sin^mx. cosⁿx
సాధన:
f(x) = sin^mx. cosⁿx
\(\frac{d y}{d x}\) = (sin^mx). \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(cosⁿx)\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(sin^mx)
= sin^mxn cos^{n – 1}x(-sin x) + cosⁿx. m sin^{m – 1}x. cos x
= m. cos^{n + 1}x. sin^{m – 1}x – n. sin^{m + 1} x. cos^{n – 1}x.

vi) sin mx. cos nx
సాధన:
f(x) = sin mx. cos nx
\(\frac{d y}{d x}\) = sin mx \(\frac{d}{d x}\)(cos nx) + (cos nx)\(\frac{d}{d x}\)(sin mx)
= sin mx (-n sin nx) + cos nx (m cos mx)
= m. cos mx. cos nx – n. sin mx. sin nx

vii) x tan^-1 x
సాధన:
f(x) = x tan^-1x\(\frac{d y}{d x}\)
= x.\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (tan^-1x) + (tan^-1 x)\(\frac{d}{d x}(x)\)
= \(\frac{x}{1+x^2}\) + tan^-1x

viii) sin^-1 (cos x)
సాధన:
f(x) = sin^-1(cos x) = sin^-1\(\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]\) = \(\frac{\pi}{2}\) – x
\(\frac{d y}{d x}\) = 0 – 1 = -1

ix) log (tan 5x)
సాధన:
f(x) = log (tan 5x)

x) sinh^-1\(\left(\frac{3 x}{4}\right)\)
సాధన:
f(x) = sinh^-1\(\left(\frac{3 x}{4}\right)\)

xi) tan^-1 (log x)
సాధన:
f(x) = tan^-1(log x)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{1}{1+(\log x)^2}\).\(\frac{d}{d x}(\log x)\)
= \(\frac{1}{x\left(1+(\log x)^2\right)}\)

xii) log \(\left(\frac{x^2+x+2}{x^2-x+2}\right)\) (May ’06)
సాధన:

xiii) log (sin^-1(e^x))
సాధన:
f(x) = log(sin^-1(e^x))

xiv) (sin x)²(sin^-1x)²
సాధన:
f(x) = (sin x)²(sin^-1x)²

xv) \(\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\)
సాధన:

xvi) \(\frac{x\left(1+x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\)
సాధన:

xvii) \(e^{\sin ^{-1} x}\)
సాధన:

xviii) cos (log x + e^x)
సాధన:
f(x) = cos (log x + e^x)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = – sin (log x + e^x) \(\frac{d}{d x}\)(log x + e^x)
= – sin (log x + e^x)(\(\frac{1}{x}\) + e^x)

xix) \(\frac{\sin (x+a)}{\cos x}\)
సాధన:

xx) cot^-1 (cosec 3x)
సాధన:
f(x) = cot^-1 (cosec 3x)

ప్రశ్న 2.
x దృష్ట్యా క్రింది వాటి అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) x = sinh² y
సాధన:
f(x) = x = sinh² y
\(\frac{d x}{d y}\) = 2 sinh y . cosh y

ii) x = tanh^{2/sup> y
సాధన:
f(x) = tanh2/sup> y. \(\frac{d x}{d y}\) = 2 tanh y. sech2 y}

iii) x = e^{sinh y}
సాధన:
\(\frac{d x}{d y}\) = e^{sinh y}\(\frac{d}{d x}(\sinh y)\)
= e^{sinh y}. cosh y
= x . cosh y
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{\left(\frac{d x}{d y}\right)}\) = \(\frac{1}{x \cdot \cosh y}\)

iv) x = tan (e^-y)
సాధన:

v) x = log (1 + sin² y)
సాధన:

vi) x = log (1 + \(\sqrt{\mathbf{y}}\))
సాధన:
1 + \(\sqrt{\mathbf{y}}\) = e^x
\(\sqrt{\mathbf{y}}\) = e^x – 1
y = (e^x – 1)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(e^x – 1). e^x = 2\(\sqrt{y}\). e^x
= 2\(\sqrt{y}\) (\(\sqrt{y}\) + 1)
= 2(y + \(\sqrt{y}\))

II. కింది ప్రమేయాల అవకాలను కనుక్కోండి

i) y = cos (log (cot x))
సాధన:
y = cos (log (cot x))

ii) sinh^-1 \(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
సాధన:
y = sinh^-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
సందర్బ౦: 1. x < -1

సందర్బ౦: 2. x > -1

iii) log (cot(1 – x²))
సాధన:
y = log (cot(1 – x²))

iv) sin (cos (x²))
సాధన:
y = sin (cos (x²))
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = cos (cos (x²)). \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cos (x²))
= cos (cos (x²)) (-sin (x²)). \(\frac{d}{d x}\)(x²)
= -2x. sin (x²). cos (cos (x²))

v) sin (tan^-1 (e^x))
సాధన:
y = sin (tan^-1 (e^x)
\(\frac{d y}{d x}\) = cos (tan^-1(e^x)). \(\frac{d}{d x}\)(tan^-1(e^x))
= cos(tan^-1(e^x)) . \(\left[\frac{1}{1+\left(e^x\right)^2}\right]\)(e^x)
= \(\frac{e^x}{1+e^{2 x}}\). cos(tan^-1(e^x))

vi) \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
సాధన:

vii) tan^-1\(\left[\tanh \left[\frac{x}{2}\right]\right]\)
సాధన:
y = tan^-1 \(\left[\tanh \left[\frac{x}{2}\right]\right]\)

viii)
sin x. (Tan^-1 x)²
సాధన:
y = sin x. (Tan^-1 x)²

III. కింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
sin^-1 \(\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{a} \sin x}{\mathbf{a}+\mathbf{b} \sin x}\right)\) (a > 0, b > 0)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
cos^-1\(\left(\frac{b+a \cos x}{a+b \cos x}\right)\) (a > 0, b > 0)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
Tan^-1 \(\left[\frac{\cos x}{1+\cos x}\right]\)
సాధన:

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 4 సదిశల సంకలనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 4 సదిశల సంకలనం

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
సదిశ a = 2i + 3j + k దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
సదిశ a దిశలో యూనిట్ సదిశను \(\hat{a}=\frac{1}{|a|}\) a గా తెలపగలం.
|a| = \(\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\)
కాబట్టి \(\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{14}}\) (2i + 3j + k)
= \(\frac{2}{\sqrt{14}}\)i + \(\frac{3}{\sqrt{14}}\)j + \(\frac{1}{\sqrt{14}}\)k

ప్రశ్న 2.
సదిశ a = j – 2j దిశలో 7 యూనిట్ల పరిమాణం గలిగిన ఒక సదిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
సదిశ a దిశలో యూనిట్ సదిశ
â \(=\frac{1}{a}\)a = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)(i – 2j) = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)i – \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)j
కాబట్టి a దిశలో 7కి సమానమయ్యే పరిమాణం గలిగిన సదిశ
7a = 7\(\left(\frac{1}{\sqrt{5}} i-\frac{2}{\sqrt{5}} j\right)\) = \(\frac{7}{\sqrt{5}} \mathrm{i}-\frac{14}{\sqrt{5}} \mathrm{j}\)

ప్రశ్న 3.
a = 2i + 2j – 5k, b = 2i + j + 3k సదిశల సంకలన దిశలోని యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
దత్త సదిశల మొత్తం a + b (= c అనుకొంటే).
= 4i + 3j – 2k.
|c| = \(\sqrt{4^2+3^2+(-2)^2}\)
= \(\sqrt{29}\)
∴ ĉ = \(\frac{\overline{4}+\overline{3 j}-2 \hat{k}}{\sqrt{29}}\)

ప్రశ్న 4.
సదిశ a = i + j – 2k యొక్క దిక్ నిష్పత్తులను రాసి, తద్వారా దిక్ కొసైన్లను గణన చేయండి.
సాధన:
సదిశ r = xi + yj + zk యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు a, b, c వరసగా ఆసదిశ అంశలు X. y, Z లు అవుతాయని గమనించండి.
కాబట్టి, దత్త సదిశకి a = 1, b = 1, c = -2,
అంతేకాక దత్త సదిశకు l, m, n దిక్ కొసైన్లు అయితే,
|r| = \(\sqrt{6}\) అయితే l = \(\frac{a}{|r|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)
m = \(\frac{b}{|r|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)
n = \(\frac{c}{|r|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)
∴ a దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\)

ప్రశ్న 5.
స్థాన సదిశలను OP = 3a – 2b, OQ = a + bగా గలిగిన రెండు బిందువులు P, Qలను తీసుకోండి. P, Q లను కలిపే సరళరేఖను 2:1 నిష్పత్తిలో (i) అంతరంగాను (ii) బాహ్యంగాను విభజించే బిందువు R స్థాన సదిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) P, Q లను కలపే సరళరేఖను 2:1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు R స్థాన సదిశ
OR = \(\frac{2(a+b)+(3 a-2 b)}{2+1}=\frac{5 a}{3}\)

ii) P, Q లను కలిపే సరళరేఖను 2 1 నిష్పత్తిలో బాహ్యంగా విభజించే బిందువు R స్థాన సదిశ
OR = \(\frac{2(a+b)-(3 a-2 b)}{2-1}\)
= 4b – a.

ప్రశ్న 6.
A(2i – j + k), B(i – 3j – 5k), C(3i – 4j – 4k) బిందువులు ఒక లంబకోణ త్రిభుజం శీర్షాలని చూపండి.
సాధన:
AB = (1 – 2)i + (−3 + 1)j + (-5-1)k
= -i – 2j – 6k.
BC = (3 – 1)i + (-4 + 3)j + (-4 + 5)k
= 2i – j + k
CA = (2 – 3)i + (-1 + 4)j + (1 + 4)k
= i + 3j + 5k.
దీనితో |AB|² = BC|² + |CA|².

ప్రశ్న 7.
A, B, C, D బిందువుల స్థాన సదిశలు వరుసగా \(\overline{\mathrm{a}}+2 \overline{\mathrm{b}}, 2 \overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{a}}, 3 \overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}\) అయితే \(\overline{\mathrm{A C}}, \overline{\mathrm{DA}}, \overline{\mathrm{BA}}, \overline{\mathrm{B C}}\) సదిశలను a, bలలో రాయండి.
సాధన:
A, B, C, D బిందువుల స్థాన సదిశలు దృష్ట్యా

ప్రశ్న 8.
ABCDEF క్రమ షడ్భుజి కేంద్రం ‘0’ అయితే \(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{AE}}+\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{AD}}=6 \overline{\mathrm{AO}}\) అని చూపండి. [(A.P) Mar. ’15]
సాధన:
ABCDEF క్రమషడ్భుజి, కేంద్రం ‘0’.

ప్రశ్న 9.
∆ABC త్రిభుజంలో A, B, C ల స్థాన సదిశలు వరుసగా \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) అయితే, దాని కేంద్రభాసం (centroid) స్థాన సదిశ \(\frac{1}{3}(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}})\) అని చూపండి.
సాధన:
∆ABC లో G కేంద్రభాసం శీర్షం A గుండా గీచిన మధ్యగత
రేఖ AD. అప్పుడు
AG : GD ≠ 2 : 1. ‘O’ మూలబిందువు

ప్రశ్న 10.
∆ABC లో ‘O’ పరివృత్త కేంద్రం, H లంబ కేంద్రం అయితే
i) \(\overline{\mathrm{OA}}+\overline{\mathrm{OB}}+\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{OH}}\)
ii) \(\overline{\mathrm{HA}}+\overline{\mathrm{HB}}+\overline{\mathrm{HC}}=2 \overline{\mathrm{HO}}\) అని చూపండి.
సాధన:
BC మధ్యబిందువు D అనుకుందాం.
i) ‘O’ మూలబిందువు \(\overline{O A}=\overline{a}\), \(\overline{O B}=\overline{b}\), \(\overline{O C}=\overline{c}\) అనుకుందాం.

ప్రశ్న 11.
ఒక చతుర్ముఖి శీర్షాలు A, B, C, D. వీటి స్థాన సదిశలు క్రమంగా \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}, \overline{\mathrm{d}}\) అయితే, ఆ శీర్షాలను ఎదుటి ముఖాల కేంద్ర భాసాలకు కలిపే రేఖలు అనుషక్తాలవుతాయని చూపండి. (ఈ బిందువును చతుర్ముఖి కేంద్రభాసం లేదా కేంద్రం అంటారు). [(A.P)
సాధన:
‘O’ మూలబిందువు.
G₁, G₂, G₃, G₄ లు వరుసగా
∆BCD, ∆CAD, ∆ABD, ∆ABC ల కేంద్రభాసాలు
∴ OG₁ = \(\frac{\overline{b}+\vec{c}+\overline{d}}{3}\)
AG₁ ను 3: 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు P అనుకొందాం.

ఇదే విధంగా BG₂, CG₃, DG₄, 3 : 1 అను నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువుల స్థాన సదిశలు \(\frac{1}{4}(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d})\). కాబట్టి P బిందువు AG₁, BG₂, CG₃, DG₄ లలో ప్రతి దానిపై ఉంటుంది.

ప్రశ్న 12.
OABC సమాంతర చతుర్భుజంలో OA మధ్య బిందువు D అయితే, CD రేఖాఖండం కర్ణం OB పరస్పరం త్రిధాకరించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:

కాబట్టి CD, OB ని OB, CD ని త్రిధాకరించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 13.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) లు సరేఖీయాలు కాని సదిశలు. \(\mathrm{3} \overline{\alpha}=\mathrm{2} \overline{\beta}\) అయ్యేటట్లు
\(\overline{\alpha}\) = (x + 4y) \(\overline{\mathrm{a}}\) + (2x + y + 1)\(\overline{\mathrm{b}}\),
\(\overline{\beta}\) = (y – 2x + 2) \(\overline{\mathrm{a}}\) + (2x – 3y – 1) \(\overline{\mathrm{a}}\), ఉంటే x, yలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\mathrm{3} \overline{\alpha}=\mathrm{2} \overline{\beta}\)
⇒ 3(x + 4y) \(\overline{\mathrm{a}}\) + 3 (2x + y + 1)\(\overline{\mathrm{b}}\) = 2(y – 2x + 2)\(\overline{\mathrm{a}}\) (2x – 3y – 1)\(\overline{\mathrm{b}}\)
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) గుణకాలను సమానం చేస్తే
3x + 12y = 2y – 4x + 4
⇒ 7x + 10y = 4 ………………… (1)
6x + 3y + 3 = 4x – 6y – 2
⇒ 2x + 9y = -5 ……………….. (2)
(1), (2) ల నుండి..
x = 2, y = -1

ప్రశ్న 14.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే \(-2 \overline{a}+3 \overline{\mathrm{b}}+5 \overline{c},\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{2 \overline { b }}+3 \overline{\mathrm{c}}, 7 \overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{c}}\) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
మూలబిందువు. P, Q. Rలు దత్త బిందువులు అనుకుందాం.

⇒ P, Q, R లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 15.
\(3 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}, \mathrm{2} \overline{\mathrm{i}}+3 \overline{\mathrm{j}}-4 \overline{\mathrm{k}},-\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\), \(\mathrm{4} \overline{\mathrm{i}}+\mathrm{5} \overline{\mathrm{j}}+\lambda \overline{\mathrm{k}}\) సదిశలను స్థాన సదిశలుగా గల బిందువులు సతలీయాలైతే λ విలువ \(\frac{-146}{7}\) అని చూపండి.
సాధన:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.


∴ λ = -1 – \(\frac{129}{17}\)
⇒ λ = \(\frac{-17-129}{17}\) = \(\frac{-146}{17}\)

ప్రశ్న 16.
ద్విపరిమాణ నిరూపక తలంలో, సదిశా పద్ధతులనుప యోగించి, నిరూపకాక్షాల మీద ‘a’, ‘b’ అంతర ఖండాలు చేసే రేఖ సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 అవుతుందని రుజువు చూపండి.
సాధన:
OXYZ ద్విపరిమాణ నిరూపక తలం.
\(\overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{j}}\) లు వరుసగా ధన x, y అక్షాల మీద యూనిట్ సదిశలు.
\(\overline{a}=a \overline{i}, \overline{b}=b \overline{j}\)
మూలబిందువు. \(\overline{\mathrm{OA}}={\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) అయ్యేటట్లుగా
A, B లు తలం మీద రెండు బిందువులు,
\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖా సదిశా సమీకరణం
\(\overline{r}=(1-t)^{a \overline{i}+t-b \overline{j}}\)
\(\overline{r}=x \overline{i}+y \overline{j}\) అయితే,
అపుడు x = (1 – t) a, y = t b
‘t’ ను తొలగింపని x = \(\left(1-\frac{y}{b}\right)\)a
⇒ \(\frac{x}{a}\) = 1 – \(\frac{y}{b}\)
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1

ప్రశ్న 17.
రెండు బిందువులగుండా పోయే సరళరేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}},(3 \overline{\mathrm{a}}-\mathrm{2} \overline{\mathrm{b}})\) లను స్థాన సదిశలుగా గల బిందువులు సరేఖీయాలని రుజువు చేయండి.
సాధన:
\(\overline{a}, \overline{b}\) ల గుండా పోయే సరళరేఖా సదిశాసమీకరణం
\(\overline{r}=(1-t) \overline{a}+t \overline{b}\) ; t ∈ R
ఈ రేఖ గుండా బిందువు \(3 \overline{a}-2 \overline{b}\) పోతే
\(3 \overline{a}-2 \overline{b}=(1-t) \overline{a}+t \overline{b}\)
అనురూప గుణకాల సమానం చేయగా
1 – t = 3, t = -2
దత్త బిందువులు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 18.
\(\mathrm{2} \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{2} \overline{\mathrm{k}}\) సదిశకు సమాంతరంగా ఉంటూ, \(({3} \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}})\) ని స్థాన సదిశగా గలిగిన బిందువు A గుండా పోయే రేఖ సదిశా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. AP = 15 అయ్యేటట్లు ఈ రేఖమీద P అనే బిందువు ఉండే, P స్థాన సదిశ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే, \(6 \bar{a}-4 \bar{b}+4 \bar{c},-4 \bar{c}\) బిందువులు కలిపే రేఖలు \(-\overline{\mathrm{a}}-2 \bar{b}-3 \bar{c}, \bar{a}+2 \bar{b}-5 \bar{c}\) బిందువులను కలిపే రేఖల ఖండన బిందువు \(-4 \bar{c}\) అని చూపండి.
సాధన:


(1) నుండి, S = \(\frac{1}{2}\)
t = 0, s = \(\frac{1}{2}\) లను (5)లో వ్రాస్తే,
8(0) + 2(\(\frac{1}{2}\)) =1 ⇒ 1 = 1
(1), (2) రేఖలు ఖండించుకొంటాయి.
ఖండన బిందువుల కొరకు t = 0 ను (1) లో వ్రాస్తే
\(\overline{\mathrm{r}}=-4 \overline{\mathrm{c}}\)
∴ రేఖల ఖండన బిందువు స్థాన సదిశ \(-4 \bar{c}\).

ప్రశ్న 20.
\(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే, సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{r}}=2 \overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+t(\overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{c}})\), తలం \(\overline{\mathrm{r}}=\overline{\mathrm{a}}+x(\bar{b}+\bar{c})+y(\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c})\)ని ఖండించే బిందువును కనుక్కోండి. [May ’13]
సాధన:
రేఖా తలంలో ఖండన బిందువు P, దాని స్థాన సదిశ \(\bar{r}\) అయిన
\(2 \bar{a}+\bar{b}+t(\bar{b}-\bar{c})=\bar{a}+x(\bar{b}+\bar{c})+y(\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c})\)
∴ \(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}\) కె.లు అతలీయ సదిశలు
కనుక \(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}\) గుణకాలను పోల్చగా,
2 = 1 + y ⇒ y = 1
1 + t = x + 2y
⇒ 1 + t = x + 2(1)
⇒ t – x = 1 ……………. (1)
-t = x – y
x + t = y
⇒ x + t = 1 ………….. (2)
(1), (2) ల నుండి, t = 1, x = 0, y = 1
∴ ఖండన బిందువు = \(\bar{r}=2 \bar{a}+\bar{b}+1(\bar{b}-\bar{c})\)
⇒ \(\overline{\mathrm{r}}=2 \overline{\mathrm{a}}+2 \overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{c}}\)
∴ ఖండన బిందువు స్థాన సదిశ\(2 \bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}\)

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 9 అవకలనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 9 అవకలనం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
f(x) = x² (x ∈ R), అయితే R పై f అవకలనీయమని చూపి దాని అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x² అనుకుందాం.

∴ f ప్రమేయము R మీద అవకలనీయము
f'(x) = 2x ∀ x ∈ R

ప్రశ్న 2.
f(x) = \(\sqrt{x}\) (x > 0). (0, ∞) పై f అవకలనీయం అని నిరూపించి P(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
x ∈ (0, ∞)h ≠ 0 మరియు |h| < 0

f ప్రమేయము (0, ∞) మీద అవకలనీయము f'(x) \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

ప్రశ్న3.
f(x) = \(\frac{1}{x^2+1}\) (x ∈ R) అయితే R పై f అవకలనీయం అని నిరూపించి f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
x ∈ R మరియు h ≠ 0 అనుకుందాం.

∴ f అవకలనీయము మరియు f'(x) = \(\frac{2 x}{\left(x^2+1\right)^2}\), ∀ x ∈ R

ప్రశ్న 4.
f(x) = sin x (x ∈ R) అయితే R పై f అవకలనీయం, f'(x) = cos x అని చూపండి.
సాధన:
x ∈ R మరియు h ≠ 0 అనుకుందాం.

∴ f ప్రమేయం R మరియు అవకలనీయము f'(x) = cos x వద్ద ∀ x ∈ R

ప్రశ్న 5.
f(x) = |x| (x ∈ R) ప్రమేయం సున్నా వద్ద అవకలనీయం కాదని, ప్రతి x ≠ 0 వద్ద f అవకలనీయమని చూపండి.
సాధన:

∴ 0 వద్ద f అవకలనీయము కాదు.
x ≠ 0 అయితే f అవకలనీయమని మరియు

ప్రశ్న 6.
క్రింద పేర్కొన్న ప్రమేయం సున్నా వద్ద అవకలనీయమేమో చూడండి.

సాధన:


f యొక్క ఎడమ అవకలజము -1, f'(0^–) = -1
∴ f'(0⁺) ≠ f(0^–)
f(x) ప్రమేయము 0 వద్ద అవకలనీయం కాదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంతరంపై ఏదైనా స్థిర ప్రమేయం అవకలజం సున్నా అని చూపండి.
సాధన:
ప్రమేయము I అంతరంలోని f.
f(x) = C ∀ x ∈ I, c స్థిరము.

∴ f, 0 వద్ద అవకలనీయము f'(a) = 0

ప్రశ్న 8.
అన్ని x, y ∈ R లకు f(x + y) = f(x). f(y) అని f'(0) వ్యవస్థితమని అనుకోండి. అప్పుడు ప్రతీ x ∈ R కు f(x) వ్యవస్థితమని అది f(x). f'(0) కు సమానమని చూపండి.
సాధన:
x ∈ R, h ≠ 0,
\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) = \(\frac{f(x) f(h)-f(x)}{h}\)
= \(f(x) \frac{[f(h)-1]}{h}\) —– (1)
f(0) = f(0 + 0) = f(0) f(0)
⇒ (0) (1 − f(0))
∴ f(0) = 0, f(0) = 1
సందర్భం i) : f(0) = 0 అయితే
f(x) = f(x + 0) = f(x) f(0) = 0 ∀ x ∈ R
∴ f(x) స్థిర ప్రమేయము ⇒ f'(x) = 0
∀ x ∈ R
∴ f'(x) = 0 = f(x).f'(0)
సందర్భం ii) : f(0) = 1 అయితే

∴ f అవకలనీయం మరియు f”(x) = f(x) f'(0).

ప్రశ్న 9.
f(x) = (ax + b)ⁿ (x > \(-\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\)), అయితే f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
ս = ax + by ⇒ y = uⁿ
f'(x) = \(\frac{d}{d n}\left(u^n\right) \frac{d u}{d x}\)
= n. u^n-1a
= an (ax + b)^n-1

ప్రశ్న 10.
f(x) = e^x (x² + 1) యొక్క అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
u = e^x = x² + 1
\(\frac{d u}{d x}\) = e^x, \(\frac{d v}{d x}\) = 2x
f(x) = u(x). v(x)
f'(x) = u(x). v'(x) + u'(x) . v(x)
= e^x. 2x + (x² + 1) e^x
= e^x (2x + x² + 1)
= e^x (x + 1)²

ప్రశ్న 11.
y = \(\frac{a-\mathbf{x}}{\mathbf{a}+\mathbf{x}}\) (x ≠ -a) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
u = a – x మరియు u = a + x అయితే y = \(\frac{u}{v}\)

ప్రశ్న 12.
f(x) = e^2x.log x (x > 0) అయితే f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
u = e^2x, v = log x అయితే,
\(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = 2.e^2x, \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{1}{x}\)
f(x) = u.v
f'(x) = u. \(\frac{d v}{d x}\) + v. \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\)
= e^2x. \(\frac{1}{x}\) + log x (2e^2x)
= e^2x(\(\frac{1}{x}\) + 2logx)

ప్రశ్న 13.
f(x) = \(\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}\) (|x| < 1) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 14.
f(x) = x² . 2^x log x(x > 0) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.

సాధన:

ప్రశ్న 16.
f(x) = 7^{x3 +3x} (x > 0) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = x³ + 3x ⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = 3x² + 3 = 3 (x² + 1)
f(x) = 7^u ⇒ f'(x) = 7^u log 7
f'(x) = \(\frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\) = (7^u. log 7) [3(x² + 1)]
= 3(x² + 1) 7^{x3 + 3x} log 7

ప్రశ్న 17.
f(x) = x e^x అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = x, v = e^x, w = sin x అనుకుందాం
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 1, \(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\) = e^x. \(\frac{d w}{d x}\) = cos x
f(x) = u.v.w
f”(x) = uv. \(\frac{d w}{d x}\) + uw \(\frac{d v}{d x}\) + vw \(\frac{d u}{d x}\)
= xe^x cos x + x. sinx . e^x + e^x sin x

ప్రశ్న 18.
f(x) sin (log x) (x > 0) అయితే f'(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = log x, y = f(x) ⇒ y = sin u
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{du}}\) = cos u, \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = \(\frac{1}{x}\). cos u = \(\frac{1}{x}\) cos (log x)

ప్రశ్న 19.
f(x) = (x³ + 6x² + 12x – 13) అయితే f'(x) కనుక్కోండి.
సాధన:
u = x³ + 6x² + 12x – 13
⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = 3x² + 12x + 12
= 3(x² + 4x + 4)
= 3(x + 2)²
f(x) = u¹⁰⁰
f(x) = 100.u⁹⁹. \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dv}}\)
= 100(x³ + 6x² + 12x – 13)⁹⁹. 3(x + 2)²
= 300 (x + 2)² (x³ + 6x² + 12x – 13)⁹⁹

ప్రశ్న 20.
f(x) = \(\frac{x \cos x}{\sqrt{1+x^2}}\) యొక్క అవకలజం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
f(x) = log (sec x + tan x) అయితే f'(x) కనుకోండి. (Mar. ’14, May ’11)
సాధన:
u = sec x + tan x, y = log u
\(\frac{d y}{d u}\) = \(\frac{1}{u}\), \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = sec x. tan x + sec²x
= sec x (sec x + tan x)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{du}} \cdot \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\)
= \(\frac{1}{\sec x+\tan x}\). sec x (sec x + tan x) = sec x

ప్రశ్న 22.
y = sin^-1 \(\sqrt{\mathbf{x}}\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) కనుక్కోండి. (Mar. ’13)
సాధన:
u = \(\sqrt{x}\)
y = sin^-1 u.

ప్రశ్న 23.
y = sec \((\sqrt{\tan x})\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
y = \((\sqrt{\tan x})\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 25.
y = log (cosh 2x) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = cosh 2x, అనుకుంటే y = log u
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}\) = 2 sin h2x
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= 2 sin h 2x. \(\frac{1}{\cosh 2 x}\) = 2 tan h 2x

ప్రశ్న 26.
y = log (sin(log x)) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
y = (cot^-1x³)² అయితే, \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
u = cot^-1x³, u = x³, y = u²

ప్రశ్న 28.
y = cosec^-1(e^{2x + 1}) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 29.
y = tan^-1 (cos \(\sqrt{\mathbf{x}}\)), అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
y = tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)\), 0 < |x| < 1, అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
y = x² e^x sin x అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
log y = log x². e^x. sin x
= log x² + log e^x + log sin x
= 2 log x + e^x + log sin x
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{x}\) + 1 + \(\frac{1}{\sin x}\) . cos x
\(\frac{d y}{d x}\) = y(\(\frac{2}{x}\) + 1 + cot x)

ప్రశ్న 32.
y = x^{tan x} + (sin x)^{cos x} అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి. (Mar. 14, ’11; May ’13)
సాధన:
u = x^{tan x}, v = (sin x)^{cos x}
log u = log x^{tan x} = (tan x) log x

ప్రశ్న 33.
x = a(cos t + log tan\(\left(\frac{t}{2}\right)\)), y = a sin t, అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
x^y = e^{x – y} అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\log x}{(1+\log x)^2}\) అని చూపండి.
సాధన:
x^y = e^{x – y}
log x^y = log e^{x – y}
y log x = x – y (log e = 1)
y(1 + log x) = x

ప్రశ్న 35.
sin y = x sin (a + y) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\sin ^2(a+y)}{\sin a}\) అని చూపండి.
(a అనేది π యొక్క గుణిజం కాదు)
సాధన:

ప్రశ్న 36.
y = x⁴ + tan x అయితే y” కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x⁴ + tan x
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ + sec² x
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 12x² + 2 sec²x. tan x

ప్రశ్న 37.
f(x) = sinx sin 2x sin 3x అయితే f”(x) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{2}\)sin 2x (2 sin 3x sin x)
= \(\frac{1}{2}\)(sin 2x) (cos 2x – cos 4x)
= \(\frac{1}{4}\)(2 sin 2x cos 2x – 2 sin 2x cos 4x)
= \(\frac{1}{4}\)(sin 2x + sin 4x – sin 6x)
f'(x) = \(\frac{1}{4}\)[2 cos 2x + 4 cos 4x – 6 cos 6x]
f”(x) = \(\frac{1}{4}\)(-4 sin 2x – 16 sin 4x + 36 sin 6x)
= 9 sin 6x – 4 sin 4x – sin 2x.

ప్రశ్న 38.
cos²x \(\frac{d y^2}{d x^2}\) + 2x = 2y ని y = x + tan x తృప్తిపరుస్తుందని చూపండి.
సాధన:
y = x + tan x ⇒ y’ = 1 + sec² x
y’ cos² x = 1 + cos²x.
పై సమీకరణాన్ని ఇరువైపులా అవకలనం చేయగా
y” cos² x + y’.2 cos x (-sin x) = 2 cos x (- sin x)
∴ y” cos² x = 2(y’ – 1) sin x cos x
= 2 sec²x sin x cos x = 2 tan x = 2(y – x)
కావలసిన ఫలితము వచ్చినది.

ప్రశ్న 39.
x = a(t – sin t), y = a(1 + cos t) అయితే \(\frac{d^2 y}{d^2}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
y = tan^-1 \(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) కు రెండో పరిమాణం అవకలజాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x = tan θ అయితే
y = tan^-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}\right)\)
y = tan^-1(tan 2θ)
= 2θ = 2 tan^-1 x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{1+x^2}\) and \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = \(\frac{-4 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)

ప్రశ్న 41.
y = sin (sin x) అయితే
y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0 అని చూపండి.
సాధన:
y = sin (sin x) అయితే
y’ = cos x. cos (sin x) మరియు
y” = – cos²x sin (sin x) – sin x cos (sin x)
= – y cos² x – sin x\(\left(\frac{y^{\prime}}{\cos x}\right)\)
= -y cos² x – y’ tan x
∴ y” + (tan x) y’ + y cos² x = 0.

ప్రశ్న 42.
f(x) = e^x(x∈R) అయితే ప్రాధమిక సూత్రాన్ని అనుసరించి f'(x) = e^x అని చూపండి.
సాధన:
h ≠ 0 కు f(x) = e^x నుంచి

ప్రశ్న 43.
f(x) = log x (x > 0) అయినప్పుడు ప్రాథమిక సూత్రాన్ని అనుసరించి f(x) = \(\frac{1}{x}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 44.
f(x) = x^x (x ∈ R) (a > 0) అయినప్పుడు ప్రాధమిక సూత్రాన్ని అనుసరించి f(x) = a^x అని చూపండి
సాధన:

h→ 0 అయినప్పుడు \(\frac{a^h-1}{h}\) → log a అని మనకు తెలుసు. కాబట్టి f'(x) = a^x. log a.
\(\frac{d}{d x}\left(a^x\right)\) = a^x. log a

ప్రశ్న 45.
y = Tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}(|x|<1)\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
y లో x = cos u (u ∈ (0, π)) ను ప్రతిక్షేపిస్తే


ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో వివరించిన f(x), g(x), h(u) ల స్థానంలో వరుసగా ఇక్కడ Tan^-1x \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\), cos u లు ఉంచామని గమనించండి.

ప్రశ్న 46.
y = Tan^-1 \(\left[\frac{2 x}{1-x^2}\right]\) (|x| < 1) అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి. (A.P. Mar. 15)
సాధన:

ప్రశ్న 47.
x = a cos³ t, y = a sin³ t, అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 48.
y = e^t + cos t, x = log t + sin t అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ \(\frac{d y}{d t}\) = e^t – sin t, \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{1}{t} \cos t\)
కాబట్టి \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{t\left(e^t-\sin t\right)}{(1+t \cos t)}\)

ప్రశ్న 49.
f(x) = \(x^{\sin ^{-1}} x\) అవకలజాన్ని g(x) = sin^-1 x దృష్ట్యా కనుక్కుని, \(\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dg}}\) ని గుణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 50.
x³ + y³ – 3axy = 0 అయితే \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం y = f(x) ప్రమేయాన్ని నిర్వచిస్తుందను కొనుము. అంటే x³ – (f(x))³ – 3ax f(x) = 0
ఈ సమీకరణం రెండు వైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే 3x² + 3 (f(x))² f'(x) – [3a. f(x) + 3axf'(x)] = 0
అందువల్ల 3x² + 3y² f'(x) – [3ay + 3ax f'(x)] = 0
కనుక f'(x) = \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{a y-x^2}{y^2-a x}\)

ప్రశ్న 51.
2x² – 3xy + y² + x + 2y – 8 = 0 అయినప్పుడు \(\frac{d y}{d x}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
2x² – 3xy + y² + x + 2y – 8 = 0
y ని x లో ప్రమేయంగా భావించి (1)కి ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
4x – 3y – 3xy’ + 2yy’ + 1 + 2y’ = 0.
అందువల్ల \(\frac{d y}{d x}\) = y’ = \(\frac{3 y-4 x-1}{2 y-3 x+2}\)

ప్రశ్న 52.
y = x^x (x > 0) అయినప్పుడు \(\frac{d y}{d x}\)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = x^xకు ఇరువైపులా సంవర్గమానాలను తీసుకొంటే logy = x log x వస్తుంది. రెండువైపులా X దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{y^{\prime}}{y}\) = x. \(\frac{1}{x}\) + log x = 1 + log x.
అందువల్ల \(\frac{d y}{d x}\) = y’ = y(1 + log x)
= x^x (1 + log x)

ప్రశ్న 53.
y = (tan x)^{sin x} [0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)] అయితే \(\frac{d y}{d x}\) ను గణించండి.
సాధన:
y = (tan x)^{sin x} కు రెండు వైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే, log y = sin x. log(tan x) వస్తుంది. దీన్ని రెండు వైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{y^{\prime}}{y}\) = \(\frac{\sin x}{\tan x}\). sec²x + cosx. log (tan x)
= sec x + cos x. log (tan x)
అందువల్ల \(\frac{d y}{d x}\)(tan x)^{sin x} [sec x + cos x log (tan x)]

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
P(2, 3, –6), Q( -4, 5) లు రెండు బిందువులు, O మూలబిందువైతే \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{QO}}, \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ల దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
OP = \(\sqrt{4+9+6}\) = 7, QO = \(\sqrt{9+16+25}\)
= 5\(\sqrt{2}\)
OP యొక్క దిక్ కున్లు \(\left(\frac{2}{7}, \frac{3}{7},-\frac{6}{7}\right)\)
PQ = \(\sqrt{\left(2-1)^2+(3+4)^2+(-6-5)^2\right.}\)
= \(\sqrt{1+4+121}\) = \(\sqrt{171}\)
QO యొక్క దికొ సైన్లు \(\left(\frac{0-3}{5 \sqrt{2}}, \frac{0+4}{5 \sqrt{2}}, \frac{0-5}{5 \sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{-3}{5 \sqrt{2}}, \frac{4}{5 \sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
PQ యొక్క దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{3-2}{\sqrt{171}}, \frac{-4-3}{\sqrt{171}}, \frac{5+6}{\sqrt{171}}\right)\)
= \(\left(\frac{1}{\sqrt{171}}, \frac{-7}{\sqrt{171}}, \frac{11}{\sqrt{171}}\right)\)

ప్రశ్న 2.
నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేసే సరళరేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుకోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ అక్షాలలో α కోణం చేయు రేఖ D.C లు
(cos α, cos α, cos α)
l² + m² + n² = 1 కనుక
cos² α + cos² α + cos² α = 1
3 cos² α = 1 ⇒ cos² α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
రేఖ దిక్ కొసైన్లు
\(\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
ఇక్కడ 8 దిశలు 4 రేఖలతో సమానము.

ప్రశ్న 3.
ఒక సరళరేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\right)\) అయితే c విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
l² + m² + n² = 1 కనుక
\(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}\) = 1
\(\frac{3}{c^2}\) = 1 ⇒ c² = 3
c = ± \(\sqrt{3}\)

ప్రశ్న 4.
రెండు సరళరేఖల దిక్ కొసైన్లు l + m + n = 0 mn – 2nl – 2lm = 0 సమీకరణాలను తృప్తిపరుస్తాయి. ఆ దిక్ కొసైన్లు ఏవి ? [Mar. ’11]
సాధన:
దత్తాంశం l + m + n = 0 ……………. (1)
mn – 2nl – 2lm = 0 …………….. (2)
(1) నుండి l = -(m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే
mn ± 2n (m + n + 2m (m + n) = 0
mn + 2mn + 2n² + 2m² + 2mn = 0
2m² + 5mn + 2n² = 0
(2m + n) (m + 2n) = 0
2m = -n లేదా m = -2n
సందర్భం (i) : 2m₁ = -n₁
(1) నుండి l₁ = -m₁ – n₁
= -m₁ + 2m₁ = m₁
\(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{1}=\frac{n_1}{-2}\)
మొదటి రేఖ దిక్ సంఖ్యలు 1, 1, -2
ఈ రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\)

సందర్భం (ii) : m₂ = -2n₂
(1) నుండి l₂ = -m₂ – n₂ = +2n₂ – n₂ = n₂
\(\frac{l_2}{1}=\frac{m_2}{-2}=\frac{n_2}{1}\)
రెండవ రేఖ దిక్ సంఖ్యలు 1, -2, 1
రెండవ రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\)

ప్రశ్న 5.
\(\overrightarrow{\mathrm{OX}}, \overrightarrow{\mathrm{OY}}\) లతో ఒక కిరణం \(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\) కోణాలు చేస్తుంది. అది \(\overrightarrow{\mathrm{O Z}}\) తో చేసే కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
l² + m² + n² = 1 కనుక
cos² α + cos² β + cos² γ = 1
cos² \(\frac{\pi}{3}\) + cos² \(\frac{\pi}{3}\) + cos² γ = 1
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + cos² γ = 1
cos² γ = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos γ = ±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
γ = cos^-1 (±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
= \(\frac{\pi}{4}\) లేదా \(\frac{3\pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
(4, -7, 3), (6, –5, 2) లను కలిపే రేఖ దిక్ సంఖ్యలు, దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (6 – 4, -5 + 7, 2 – 3)
= (2, 2, -1)
\(\sqrt{4+4+1}\) = 3 తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు ±\(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)\)

ప్రశ్న 7.
ఒక సరళరేఖ దిక్ కొసైన్లు (1, -2, 1)కి అనుపాతంలో ఉంటే దాని, దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (1, 2, 1)
\(\sqrt{6}\) తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు ± \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)\)

ప్రశ్న 8.
P(0, 1, 2), Q (3, 4, 8) బిందువులను కలిపే రేఖ R (-2, \(\frac{3}{2}\) – 3 ), 52, 6, 6 బిందువులను రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
PQ యొక్క దిక్ సంఖ్యలు (3 – 0, 4 – 1, 8 – 2)
= (3, 3, 6)
RS యొక్క దిక్ సంఖ్యలు(\(\frac{5}{2}\) + 2, 6 – \(\frac{3}{2}\), 6 + 3)
= (\(\frac{9}{2}\), \(\frac{9}{2}\), 9)
PQ, RS ల దిక్ సంఖ్యలు అనుపాతంలో ఉన్నాయి.
\(\frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}, 9\right)\) = (3, 3, 6) కనుక
∴ PQ, RS లు సమాంతరము.

ప్రశ్న 9.
A (2, 3, -1), B(3, 5, -3) బిందువులను కలిపే సరళరేఖ C(1, 2, 3), D(3, 5, 7) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
AB యొక్క d.r లు (3 – 2, 5 – 3, -3 + 1)
= (1, 2, -2)
CB యొక్క d.r లు (3 – 1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 1.2 + 2.3 – 2.4
= 2 + 6 – 8 = 0
∴ AB మరియు CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 10.
x ఏ విలువకు A(4,1, 2) B (5, x, 0) బిందువులను కలిపేరేఖకు C(1, 2, 3),D(3, 5, 7) లను కలిపే రేఖ లంబంగా ఉంటుంది ?
సాధన:
AB యొక్క d.r లు (1, x – 1, -2)
CD యొక్క d.r లు (2, 3, 4)
AB, CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
1.2 + 3(x – 1) + 4 (2) = 0
2 + 3x – 3 – 8 = 0
3x = 9 ⇒ x = 3

ప్రశ్న 11.
A (1, 2, 3), B (4, 0, 4), C(−2, 4, 2) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క d.r లు 4 – 1, 0 – 2, 4 – 3
3, -2, 1
\(\overline{\mathrm{BC}}\) యొక్క d.r లు -2 – 4, 4 – 0, 2 – 4
i.e., -6, 4, -2
AB, BC లు d.r లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి. మరియు B ఉమ్మడి బిందువు. A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 12.
A(1, 8, 4), B(0, -11, 4), C(2, -3, 1) La బిందువులు. A నుండి BC కి గీసిన లంబపాదం D. D నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
BC ని D బిందువు m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకుందాం.
D నిరూపకాలు

2m – 2n – 88m – 152n + 9m = 0
-77m – 154n = 0
77m = -154n
m = -2n
D నిరూపకాలు’
\(\left(\frac{-4 n}{-n}, \frac{6 n-11 n}{-n}, \frac{-2 n+4 n}{-n}\right)\)
= (4, 5, −2)

ప్రశ్న 13.
O బిందువు నుంచి \(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\)రేఖలు వాటి దిక్ కొసైన్లు వరసగా(1, -2, -1); (3, -2, 3)లకు అనుపాతంలో ఉండేటట్లు గీయబడ్డాయి. \(\overleftrightarrow{A O B}\) తలం యొక్క అభిలంబరేఖకు దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
l, m,n, d.c లు
అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలు AOB తలంలోని రేఖలన్నింటికి
లంబంగా l – 2m – n = 0
3l – 2m + 3n = 0

అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలు 4, 3, -2
\(\sqrt{16+9+4}\) = \(\sqrt{29}\) తో భాగించగా
అభిలంబరేఖ దిక్ కొసైన్ \(\frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}}\)

ప్రశ్న 14.
ఒక సమఘనం యొక్క రెండు కర్ణాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]

సాధన:
సమఘనం ఒక శీర్షం ‘0’ గా తీసుకోవాలి.
OA, OB, OC లను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం.
OA = OB = OC = a అనుకుందాం
నాలుగు కర్ణాలు \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}, \overrightarrow{\mathrm{AG}}, \overrightarrow{\mathrm{DE}}\) మరియు \(\overrightarrow{B C}\) సమఘనము శీర్షాల నిరూపకాలు
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(O, a, 0), C(0, 0, a) F(a, a,a), D(a, a, 0), E(a, 0, a),,G(0, a, a)
OF యొక్క దిక్ సంఖ్యలు (a – 0, a – 0, a – 0) = (a, a, a)
AG యొక్క దిక్ సంఖ్యలు (0 – a, a – 0, a – 0) = (-a, a, a)
OF AG ల మధ్య కోణం θ అనుకుంటే
cos θ = \(\frac{|a(-a)+a \cdot a+a . a|}{\sqrt{a^2+a^2+a^2} \sqrt{a^2+a^2+a^2}}\)
= \(\frac{a^2}{3 a^2}=\frac{1}{3}\) ⇒ θ = Cos^-1 \(\left(\frac{1}{3}\right)\)
ఇదే విధంగా ఏ రెండు కర్ణాల మధ్య కోణాలు cos^-1 \(\left(\frac{1}{3}\right)\) గా కనుక్కోగలము.

ప్రశ్న 15.
దిక్ కొసైన్లు (2, 1, 1) (4, \(\sqrt{3}\) – 1, –\(\sqrt{3}\) – 1) కి అనుపాతంలో ఉండే రేఖలు ఒకదానితో ఒకటి – కోణం చేస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు దిక్ కొసైన్లు (2, 1, 1), (4, \(\sqrt{3}\) – 1, –\(\sqrt{3}\) -1)
4² + (\(\sqrt{3}\) – 1)² + (-\(\sqrt{3}\) – 1)²
= 16 + 3 + 1 – 2 \(\sqrt{3}\) + 3 + 1 + 2\(\sqrt{3}\) = 24
cos θ = \(\frac{2.4+1(\sqrt{3}-1)+1(-\sqrt{3}-1)}{\sqrt{4+1+1} \sqrt{24}}\)
= \(\frac{8+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) = cos 60°
⇒ θ = \(\frac{\pi}{3}\)

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
A(-4, 9, 6), B(-1, 6, 6), C(0, 7, 10) బిందువులు ఒక లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
A(-4, 9, 6), B(-1, 6, 6), C(0, 7, 10) లు ABC త్రిభుజ శీర్షాలు
AB = \(\sqrt{(-4+1)^2+(9-6)^2+(6-6)^2}\)
= \(\sqrt{9+9}\)
= \(\sqrt{18}\)
BC = \(\sqrt{(-1-0)^2+(6-7)^2+(6-10)^2}\)
= \(\sqrt{1+1+16}\)
= \(\sqrt{18}\)
CA = \(\sqrt{(0+4)^2+(7-9)^2+(10-6)^2}\)
= \(\sqrt{16+4+16}\)
= \(\sqrt{36}\)
AB = BC మరియు AB² + BC² = CA²
ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

ప్రశ్న 2.
Y – అక్షం నుంచి ఒక బిందువు దూరం, (1, 2, -1) నుంచి దాని దూరానికి మూడు రెట్లయితే ఆ బిందువు బిందుపధం 8x² + 9y² + 8z² – 18x – 36y+ 18z + 54 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
P (x, y, z) బిందుపధము మీది బిందువు
PM = Y – అక్షం నుండి దూరము = \(\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{z}^2}\)
A(1, 2, -1) దత్త బిందువు
దత్త నియమము PM = 3. PA
PM² = 9PA²
x² + z² = 9[(x – 1)² + (y – 2)² + (z + 1)²]
= 9x² – 18x + 9 + 9y² – 36y + 36 + 9z² + 18z + 9
P బిందువులు 8x² + 9y² + 8z² – 18x – 36y +18z + 54 = 0
P తృప్తి పరిచే సమీకరణము
8x² + 9y² + 8z² – 18x – 36y + 18z + 54 = 0

ప్రశ్న 3.
\(\overrightarrow{\mathrm{ox}}, \overrightarrow{\mathrm{oy}}, \overrightarrow{\mathrm{oz}}\) లపై మూల బిందువు నుంచి a, b, c (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) వరుసగా A, B, C లు. O, A, B, C ల నుంచి సమాన దూరాలలో ఉండే బిందువు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A బిందువు ox మీద ఉంది
A నిరూపకాలు (a, 0, 0)
ఇదే విధంగా B నిరూపకాలు (0, b, c), C నిరూపకాలు (0, 0, c)
P(x, y, z) కావలసిన బిందువులు
PO = PA = PB = PC
PO² = PA² = PB² = PC²
PO² = PA²
x² + y² + z² = (x – a)² + y² + z²
x² – x² + a² – 2ax = 0
2ax = a² ⇒ a x = \(\frac{a^2}{2 a}=\frac{a}{2}\)
PO² = PB² ⇒ y = b/2
PO² = PC² ⇒ z = c/2
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)\)

ప్రశ్న 4.
A (3,-2, 4), B(1, 1, 1), C(-1, 4, -2) బిందువులు సరేఖీయాలు అని చూపండి.
సాధన:
A (3, – 2, 4), B (1, 1, 1), C(-1, 4, -2) లు దత్త బిందువు
AB = \(\sqrt{(3-1)^2+(-2-1)^2+(4-1)^2}\)
= \(\sqrt{4+9+9}\)
= \(\sqrt{22}\)
BC = \(\sqrt{(1+1)^2+(1-4)^2+(1+2)^2}\)
= \(\sqrt{4+9+9}\)
= \(\sqrt{22}\)
AC = \(\sqrt{(3+1)^2+(-2-4)^2+(4+2)^2}\)
= \(\sqrt{16+36+36}\)
= \(\sqrt{88}\)
= 2\(\sqrt{22}\)
AB + BC = \(\sqrt{22}\) + \(\sqrt{22}\) = 2\(\sqrt{22}\) = AC
A, B, C లు సరేఖీయాలు

ప్రశ్న 5.
A(2, 4, 5), B(3, 5, 4) లను కలిపే సరళరేఖా ఖండాన్ని YZ – తలం విభజించే నిష్పత్తిని మరియు ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
AB రేఖ YZ తలాన్ని P వద్ద ఖండిస్తుంది.
P బిందువు AB ని k : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3 k+2}{k+1}, \frac{5 k+4}{k+1}, \frac{-4 k+5}{k+1}\right)\)
P బిందువు YZ తలంపై ఉంది
⇒ p యొక్క X నిరూపకాలు
\(\frac{3 k+2}{k+1}\) = 0 ⇒ 3k + 2 = 0
k = – \(\frac{2}{3}\)
YZ తలం AB ని -2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
k విలువ p నిరూపకాలతో ప్రతిక్షేపించగా
p నిరూపకాలు
\(\left[0, \frac{5\left(-\frac{2}{3}\right)+4}{-\frac{2}{3}+1}, \frac{(-4)\left(-\frac{2}{3}\right)+5}{-\frac{2}{3}+1}\right]\)
(0, 2, 23)

ప్రశ్న 6.
A(3, -2, 4), B(1, 1, 1), C (-1, 4, -2) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
P బిందువు AD ని k : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకుందాం.
P నిరూపకాలు \(\left(\frac{k+3}{k+1}, \frac{k-2}{k+1}, \frac{k+4}{k+1}\right)\)
అయితే A, B, C లు సరేఖీయాలు ( బిందువు AB మీద ఉంది. k ఏదైని విలువకు P నిరూపకాలు C లో ఏకీభవించవలెను.
\(\frac{k+3}{k+1}\) = -1 ⇒ k + 3 = -k – 1
2h = 4 ⇒ k = -2
k = -2 ప్రతిక్షేపిస్తే P నిరూపకాలు
\(\left(\frac{-2+3}{-2+1}, \frac{-2-2}{-2+1}, \frac{-2+4}{-2+1}\right)\)
= (-1, 4, -2) = c

ప్రశ్న 7.
A, B, C లు సరేఖీయాలు (2, 4, -1), (3, 6, −1), (4, 5, 1) వరుస శీర్షాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క నాలుగో శీర్షాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
సాధన:

ABCD సమాంతర చతుర్భుజం.
A = (2, 4, -1), B – (3, 6, −1).
C = (4, 5, 1)
D(x, y, z) నాల్గవ శీర్షం
A B C D సమాంతర చతుర్భుజం
AC మధ్య బిందువు = BD మధ్య బిందువు
\(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{7}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = \(\left(\frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2}\right)\)
\(\frac{3+x}{2}\) = \(\frac{6}{2}\)
3 + x = 6
x = 3

\(\frac{6+y}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
6 + y = 9
y = 3

\(\frac{0}{2}\) = \(\frac{z-1}{2}\)
z – 1 = 0
z = 1
∴ నాల్గవ శీర్షం నిరూకాలు = D (3, 3, 1)

ప్రశ్న 8.
A(5,4, 6), B(1, -1, 3), C(4, 3, 2) అంతరాళంలో మూడు బిందువులు. ∠BAC యొక్క సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{BC}}\) రేఖాఖండాన్ని ఖండించే బిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
AB రేఖ ∠BAC కోణ సమద్విఖండనరేఖ అయితే D బిందువు BC ని AB : AC నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
ఒక త్రిభుజం రెండు శీర్షాలు (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) లు మరియు కేంద్రభాసం (α, β, γ) అయితే త్రిభుజం మూడో శీర్షాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (x₁, y₁, z₁), B = (x₂, y₂, z₂) లు త్రిభుజం ABC రెండు శీర్షాలనుకొందాం.

G = (α, β, γ) కేంద్రభాసం అనుకొందాం.
C = (x₃, y₃, z₃) మూడో శీర్షమైతే,.
\(\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)\) = (α, β, γ)
⇒x₁ + x₂ + x₃ = 3α; y₁ + y₂ + y₃ = 3β; z₁ + z₃ + z₃ = 3γ.
⇒ x₃ = 3α – x₁ – x₂; y₃ = 3β – y₁ – y₂; z₃ = 3γ – z₁ – z₂
∴ మూడో శీర్షం
C = (3α – x₁ – x₂, 3β – y₁ – y₂, 3γ – z₁ – z₂).

ప్రశ్న 10.
త్రిభుజం A, B, C భుజాలు BC, CA, AB ల మధ్య బిందువులు వరసగా D(x₁, y₁, z₁), E(x₂, y₂, z₂), F(x₃, y₃, z₃) లు అయితే శీర్షాలు A, B, C లను కనుక్కోండి.
సాధన:
BC భుజం మధ్య బిందువు D, CA భుజం మధ్య బిందువు E, AB భుజం మధ్య బిందువు F అని దత్తాంశం.

∴ DEF అనేది మధ్య బిందువులతో ఏర్పడిన త్రిభుజం.
AEDF సమాంతర చతుర్భుజాన్ని పరిగణిద్దాం.
A = (h, k, s) కనుక్కోవాల్సిన శీర్షం అనుకొందాం.
AD మధ్య బిందువు = EF మధ్యబిందువు
⇒ \(\left(\frac{h+x_1}{2}, \frac{k+y_1}{2}, \frac{s+z_1}{2}\right)\) = \(\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}\right)\)
⇒ h = x₂ + x₃ – x₁; k = y₂ + y₃ – y₂; s = z₂ + z₃ – z₁
∴ శీర్షం A = (x₂ + x₃ – x₁, y₂ + y₃ – y₁, z₂ + z₃ – z₁).
ఈ విధంగానే
శీర్షం B = (x₃ + x₁ – x₂, y₃ + y₁ – y₂, z₃ + z₁ – z₂)
శీర్షం C = (x₁ + x₂ − x₃, y₁ + y₂ – y₃, z₁ + z₂ – z₃).
లను రాబట్టవచ్చు.

ప్రశ్న 11.
A(x₁, y₁, z₁), B బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం మధ్య బిందువు M(α, β, γ) అయితే B ని కనుక్కోండి.
సాధన:

B(h, k, s) కనుక్కోవలసిన బిందువు అనుకొందాం.
AB మధ్య బిందువు M అనేది దత్తాంశం. కనుక
(α, β, γ) = \(\left(\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{h}}{2}, \frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{k}}{2}, \frac{\mathrm{z}_1+\mathrm{s}}{2}\right)\)
⇒ 2α = x₁ + h; 2β = y₁ + k; 2γ = z₁ + s
⇒ h = 2α – x₁; k = 2β – y₁; s = 2γ – z₁
బిందువు B = (2α – x₁, 2β – y₁, 2γ – z₁).

ప్రశ్న 12.
(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) బిందువులతో ఏర్పడిన త్రిభుజం లంబకేంద్రం, కేంద్రభాసం, పరికేంద్రం, అంతరకేంద్రాలు వరసగా H, G, S, I లు అయితే వాటి విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB = \(\sqrt{(2-1)^2+(3-2)^2+(1-3)^2}\)
= \(\sqrt{1+1+4}\)
= \(\sqrt{6}\)
BC = \(\sqrt{(3-2)^2+(1-3)^2+(2-1)^2}\)
= \(\sqrt{1+4+1}\)
= \(\sqrt{6}\)
CA = \(\sqrt{(1-3)^2+(2-1)^2+(3-2)^2}\)
= \(\sqrt{4+1+1}\)
= \(\sqrt{6}\)

AB = BC = CA కాబట్టి, ABC సమబాహు త్రిభుజం.
కేంద్రభాసం G = \(\left(\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}\right)\) = (2, 2, 2)
సమబాహు త్రిభుజంలో లంబకేంద్రం, కేంద్రభాసం, పరికేంద్రం, అంతరకేంద్రాలు సమానం (నాలుగు బిందువులు ఏకీభవిస్తాయి).
కాబట్టి H = ( 2, 2, 2), S = (2, 2, 2), I = (2, 2, 2)

ప్రశ్న 13.
(0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 4, 0)లతో ఏర్పడిన త్రిభుజం అంతర కేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (x₁, y₁, z₁), B = (x₂, y₂, z₂), C = (x₃, y₃, z₃) లు శీర్షాలుగా గల ABC త్రిభుజం భుజాలు a, b, c అయితే త్రిభుజం అంతరకేంద్రం

A = (0, 0, 0), B = (3, 0, 0), C (0, 4, 0).
a = BC = \(\sqrt{9+16+0}\) = 5;
b = CA = \(\sqrt{0+16+0}\) = 4;
c = AB = \(\sqrt{9+0+0}\) = 3;
కాబట్టి I = \(\frac{5(0)+4(3)+3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0)+4(0)+3(4)}{5+4+3}, \left.\frac{5(0)+4(0)+3(0)}{5+4+3}\right)\)
= (1, 1, 0)

ప్రశ్న 14.
సమాంతర అక్షపరివర్తనం ద్వారా (1, 2, 3) బిందువును (2, 3, 1) బిందువు వద్దకు మారిస్తే, నూతన మూల బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
Oxyz నిరూపక వ్యవస్థ దృష్ట్యా P బిందువు నిరూపకాలు (x, y, z) అనుకొందాం. O’XYZ నిరూపక వ్యవస్థ దృష్ట్యా P
బిందువు నిరూపకాలు (X,Y,Z) అనుకొందాం.

O’ (h, k, s) నూతన మూలబిందువు అయితే
X = X + h‚ y = Y + k, z = Z + s అవుతాయి.
⇒ (h, k, s) (x – X, y – Y, z – Z)
⇒ (h, k, s) = (1 – 2, 2 – 3, 3 – 1)
= (-1, -1, 2).
∴ O’ = (-1, -1, 2) నూతన మూలబిందువు.

ప్రశ్న 15.
A(3, 2, -4), B(9, 8, -10) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని P(5, 4, -6) బిందువు విభజించే నిష్పత్తి కనుక్కోండి. ఇంకా P హరాత్మక సంయుగ్మ బిందువును కూడా’ కనుక్కోండి.
సాధన:

AB రేఖా ఖండాన్ని P బిందువు విభజించే నిష్పత్తి l : m అనుకొందాం.
∴ (5, 4, -6)
= \(\left(\frac{9 l+3 \mathrm{~m}}{l+\mathrm{m}}, \frac{8 l+2 \mathrm{~m}}{l+\mathrm{m}}, \frac{-10 l-4 \mathrm{~m}}{l+\mathrm{m}}\right)\)
⇒ l : m = 1 : 2 లేదా 2l = m.
AB ని Q బిందువు l : – m నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొందాం. అప్పుడు
Q = \(\left(\frac{9 l-3 \mathrm{~m}}{l-\mathrm{m}}, \frac{8 l-2 \mathrm{~m}}{l-\mathrm{m}}, \frac{-10 l+4 \mathrm{~m}}{l-\mathrm{m}}\right)\)
= \(\left(\frac{9 l-6 l}{l-2 l}, \frac{8 l-4 l}{l-2 l}, \frac{-10 l+8 l}{l-2 l}\right)\)
= (-3, -4, 2)
∴ P(5, 4, -6) హరాత్మక సంయుగ్మ బిందువు Q(-3, -4, 2).

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 1 ప్రమేయాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 1 ప్రమేయాలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1
f: R- {0} → R ను f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) గా నిర్వచిస్తే (f(x))² = f(x²) + f(1) అని చూపండి.
సాధన:
f : R – {0} → R,
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
ఇప్పుడు f(x²) + f(1) = (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) + (1 + \(\frac{1}{1}\))
= x² + 2 + \(\frac{1}{x^2}\)
= \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\) = (f(x))²
∴(f(x))² = f(x²) + f(1)

ప్రశ్న 2.
f ప్రమేయాన్ని [Mar. ’14]

f(4), f(2.5), f(-2), f(-4), f(0), f(-7) కనుక్కోండి.
సాధన:
f ప్రదేశం (−∞, – 3) ∪ (-2, 2] ∪ (3, ∞)
i) f(x)=3x – 2, x > 3
f(4) = 3(4) – 2 = 10

ii) 2.5, f ప్రదేశంలో లేదు. కనుక f(2.5) నిర్వచితం కాదు.

iii) ∵ f(x) = x² – 2, -2 ≤ x ≤ 2 కాబట్టి
f(-2) = (-2)² – 2 = 4 – 2 = 2

iv) ∵ f(x) = 2x + 1, x < -3 కాబట్టి
f(-4) = 2(-4) + 1 – 8 + 1 = -7

v) ∵ f(x) = x² – 2, -2 ≤ x ≤ 25
f(0) = (0)² – 2 = 0 – 2 = -2

vi) ∵ f(x) = 2x + 1, x < -3 కాబట్టి
f(-7) = 2(-7) +1 = -14 + 1 = -13

ప్రశ్న 3.
A = {0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)}, f : A → B సంగ్రస్తం అయి, f(x) = cos X గా నిర్వచిస్తే, B కనుక్కోండి. [May ’11; Mar. ’11]
సాధన:
f : A → B సంగ్రస్తం
f(x) = cos x
B = f వ్యాప్తి = f(A)
= \(\left\{f(0), f\left(\frac{\pi}{6}\right), f\left(\frac{\pi}{4}\right), f\left(\frac{\pi}{3}\right), f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\}\)
= \(\left\{1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, 0\right\}\)
= \(\left\{-1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, 0\right\}\)

ప్రశ్న 4.
f : R → R ను f(x) = \(\frac{e^{|x|}-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) గా నిర్వచిస్తే, f అన్వేకం, సంగ్రస్తం, ద్విగుణం అవుతాయేమో నిర్ణయించండి.
సాధన:
f : R→ R ను

y = 1 కి f(x) = 1 అయ్యేటట్లు R లో x ఉండదు.
⇒ కాబట్టి f సంగ్రస్తం కాదు.
ఒకవేళ x ∈R కు f(x) = 1 అయితే
\(\frac{e^{|x|}-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) = 1
⇒ e^|x| – e^x = e^x + e^-x, కాబట్టి x ≠ 0 స్పష్టం.
x > 0, అయితే
e^x – e^-x = e^x + e^-x ⇒ e^-x = e^-x అసాధ్యం.
x < 0, అయితే
e^-x – e^-x = e^x + e^-x
⇒ -e^-x = e^x అసాధ్యం.

ప్రశ్న 5.
f : R → R ను
నిర్వచిస్తే, f అన్వేకం, సంగ్రస్తం, ద్విగుణం అవుతాయేమో పరిశీలించండి.
సాధన:
3 > 2 కాబట్టి f(3) = 3
1 < 2 కాబట్టి f(1) = 5(1) – 2 ∴ 1, 3 లకు ఒకే f- ప్రతిబింబం ఉంది. కాబట్టి f అన్వేకం కాదు. సహప్రదేశం లోని y కి, y > 2 లేదా y ≤ 2 కావాలి.
y > 2 అయితే x = y ∈ R, f(x) = x = y
y ≤ 2 అయితే x = \(\frac{y+2}{5}\)∈ R
x = \(\frac{y+2}{5}\) < 1
∴ f(x) = 5x – 2 = 5\(\left[\frac{y+2}{5}\right]\) – 2 = y
∴f ఎ. సంగ్రస్తం
f అన్వేకం కాదు కాబట్టి f ద్విగుణ ప్రమేయం కాదు.

ప్రశ్న 6.
2^x + 2^y = 2 సమీకరణం ద్వారా నిర్వచింపబడ్డ ప్రమేయం y(x) ప్రదేశం కనుక్కోండి.
సాధన:
2^x = 2 – 2^y < 2 (∵ 2^y > 0)
⇒ log₂2^x < log₂2
⇒ x < 1
∴ ప్రదేశం = (-∞, 1).

ప్రశ్న 7.
f : R → R f (x + y) = f(x) + f(y) ∀ x, y ∈ R, f(1) = 7, గా నిర్వచిస్తే \(\sum_{r=1}^n f(r)\) కనుక్కోండి.
సాధన:
f(2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = 2f (1).
f(3) = f(2+1) = f (2) + f (1) = 3f (1).
ఇలాగే f(r) = rf (1).
∴ \(\sum_{r=1}^n f(r)\) = f (1) + f(2) + ………. + f(n)
= f (1) + 2f (1) + …… +n f (1)
= f(1) (1 + 2+ …………….. +n)
= \(\frac{7 n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న 8.
f(x) = \(\frac{\cos ^2 x+\sin ^4 x}{\sin ^2 x+\cos ^4 x}\) ∀ x ∈ R అయితే f (2012) = 1 అని చూపండి.
సాధన:

∴ f (2012) = 1.

ప్రశ్న 9.
f : R → R, g : R → R f(x) = 4x – 1, g(x) = x² + 2 గా నిర్వచిస్తే
i) (gof) (x)
ii) (gof) \(\left(\frac{a+1}{4}\right)\)
iii) (fof) (x)
iv) go(fof) (0) కనుక్కోండి. [Mar. ’05]
సాధన:
f : R → R, g : R → R
f(x) =4x – 1, g(x) = x² + 2
i) (gof) (x) = g(f(x))
= g(4x – 1). ∵ f(x) = 4x – 1
= (4x – 1)² + 2 ∵ g(x) = x² + 2
= 16x² – 8x + 1 + 2
= 16x² – 8x + 3

ii) (gof) \(\left(\frac{a+1}{4}\right)\) = \(g\left(f\left(\frac{a+1}{4}\right)\right)\)
= \(g\left(4\left(\frac{a+1}{4}\right)-1\right)\)
= g(a)
= a² + 2

iii) (fof) (x) = f(f(x))
= f(4x – 1) ∵ f(x) = 4x – 1
= 4(4x – 1) – 1
= 16x – 4 – 1
= 16x – 5

iv) (fof) (0) = f(f(0))
= f(4 × 0 – 1)
= f(-1)
= 4(-1) – 1 = -5
ఇప్పుడు (fof) (0) = g(-5) = (-5)² + 2 = 27

ప్రశ్న 10.
f : [0, 3] → [0,3],
గానిర్వచిస్తే
f[0, 3] ⊆ [0, 3] అని చూపి fof కనుక్కోండి.
సాధన:
0 ≤ x ≤ 2 ⇒ 1 ≤ 1 + x ≤ 3 …………….. (1)
2 < x <3 ⇒ -3 ≤ x ≤ -2
⇒ 3 – 3 ≤ 3 – x ≤ 3 – 2
⇒ 0 ≤ 3 – x < 1 ……………… (2)
(1), (2) ల నుండి
f[0, 3] ⊆ [0, 3]
0 ≤ x ≤ 1, అయితే
(fof) (x) = f(f(x))
f(1 + x)=1+ (1 + x) = 2 + x [∵ 1 ≤ 1 + x ≤ 2]
1 < x ≤ 2, అయితే
(fof) (x) = = f(f(x))
= f(1 + x)
= 3 – (1 + x)
= 2x, [∵ 2 < 1 + x ≤ 3]
2 < x ≤ 3, అయితే
(fof) (x) = f(f(x))
= f(3 – x)
= 1 + (3 – x)
= 4 – x, [∵ 0 ≤ 3 – x < 1]

ప్రశ్న 11.
f, g : R→ R ప్రమేయాలను , అని నిర్వచిస్తే
(fog) (π) + (gof) (e).
సాధన:
(fog) (π) = f (g (π)) = f (0) = 0
(gof) (e) = (f (e)) = g (1) = -1.
∴ (fog) (π) + (gof) (e) = -1.

ప్రశ్న 12.
A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}, C = (p, q, r} అనుకొందాం f : A → B, g : B → C లను f = {(1, a), (2, c), (3, b)}, g = {(a, q), (b, r), (c, p)} π గా నిర్వచిస్తే f^-1og^-1= (g o f)^-1 అని చూపండి.
సాధన:
f = {(1, a), (2, c), (3, b)}
g = {(a, q), (b, r), (c, p)}లు కనుక
అప్పుడు go f = {(1, q), (2, p), (3, r)}
⇒ (gof)^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)}
g^-1 = {(q, a), (r, b), (p, c)},
f^-1 = {(a, 1), (c, 2), (b, 3)} కనుక
f^-1og^-1 = {(q, 1), (r, 3), (p, 2)}
∴ (gof)^-1 = f^-1 o g^-1

ప్రశ్న 13.
f : Q→ Q, f(x) = 5x + 4 m గా ప్రతీ x ∈ Q నిర్వచిస్తే, f ద్విగుణ ప్రమేయం అని చూపి కనుక్కోండి. [May ’05]
సాధన:
x₁, x₂, ∈ Q,
f(x₁) = f(x₂)
⇒ 5x₁ + 4 = 5x₂ + 4
⇒ 5x₁ = 5x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ f అన్వేకం
y ∈ Q అయితే x = \(\frac{y-4}{5}\) ∈ Q వ్యవస్థితం
f(x) = \(f\left(\frac{y-4}{5}\right)=5\left(\frac{y-4}{5}\right)\) + 4 = y
∴ f సంగ్రస్తం
కనుక ద్విగుణ ప్రమేయం
∴ f^-1 : Q → Q వ్యవస్థితం. కాని Q లో ప్రతీ x కు
(fof^-1) (x) = I(x)
⇒ f(f^-1(x)) = x, ‘.’ f(x) = 5x + 4
⇒ 5 f^-1(x) + 4 = x
⇒ f^-1(x) = \(\frac{x-4}{5}\) ∀ x ∈ Q

ప్రశ్న 14.
ఈ కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాలకు ప్రదేశాలు తీసుకోండి.
i) f(x) = \(\frac{1}{6 x-x^2-5}\)
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{6 x-x^2-5}=\frac{1}{(x-1)(5-x)}\) ∈ R
⇔ (x – 1) (5 – x) ≠ 0
⇔ x ≠ 1, 5
∴f ప్రదేశం R – {1, 5}.

ii) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) (a > 0) [(A.P) Mar ’15]
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) ∈ R
⇔ x² – a² > 0·
⇔ (x + a) (x – a) > 0
⇔ x ∈ (-∞, -a) ∪ (a,∞)
∴f ప్రదేశం
(-∞, -a) ∪ (a, ∞) = R-[-a, a]

iii) f(x) = \(\sqrt{(x+2)(x-3)}\)
సాధన:
f(x) = \(\sqrt{(x+2)(x-3)}\) ∈ R
⇔ (x + 2) (x – 3) > 0
⇔ x ∈ (-∞, -2) ∪ [3, ∞)
∴f ప్రదేశం
(-∞, -2] ∪ [3, ∞) = R(-2, 3)

iv) f(x) = \(\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}\) (0 < α < β) సాధన: f(x) = \(\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}\) ∈ R ⇔ (x – α) (β – x) > 0
⇔ α ≤ x ≤ β; (α <β)
⇔x ∈ [α, β]
∴ f ప్రదేశం [α, β]

v) f(x) = \(\sqrt{2-x}\) + \(\sqrt{1+x}\)
సాధన:
f(x) = \(\sqrt{2-x}\) + \(\sqrt{1+x}\) ∈ R
⇔ 2 – x ≥ 0, 1 + x ≥ 0
⇔ 2 ≥ x, x ≥ -1
⇔ -1 ≤ x ≤ 2
⇔ x ∈ [-1, ]
∴ f ప్రదేశం [-1, 2].

vi) f(x) = \(\sqrt{x^2-1}+\frac{1}{\sqrt{x^2-3 x+2}}\)
సాధన:
f(x) = \(\sqrt{x^2-1}+\frac{1}{\sqrt{x^2-3 x+2}}\) ∈ R
⇔ x² – 1 ≥ 0, x² – 3x + 2 > 0
⇔ (x + 1) (x = 1) ≥ 0, (x – 1) (x – 2) > 0
⇔ x ∈ (∞, -1] ∪ [1, ∞), x ∈ (-∞, 1) ∪(2, ∞)
⇔ x ∈ (R – (-1, 1)) ∩ (R-[1, 2])
⇔ x ∈ R – {(1, 1) ∪ [1, 2]}
⇔ x ∈ R – (-1, 2]
⇔ x ∈ (-∞, -1] ∪ (2, ∞)
∴ f ప్రదేశం
(-∞, -1] ∪(2, ∞) = R – (-1, 2]

vii) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{|x|-x}}\) ∈ R
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{|x|-x}}\) ∈ R
⇔ |x| – x > 0
⇔ |x| > x
⇔ x ∈ (-∞, 0)
∴ f ప్రదేశం (-∞, 0)

viii) f(x) = \(\sqrt{|\mathrm{x}|-\mathrm{x}}\)
సాధన:
f(x) = \(\sqrt{|\mathrm{x}|-\mathrm{x}}\) ∈ R
⇔ |x| – x ≥ 0
⇔ |x| ≥ x
⇔ x ∈ R
∴ f ప్రదేశం R.

ప్రశ్న 15.
f = {(4, 5), (5, 6), (6, -4)}, g = {(4, 4), (6, 5), (8, 5)} అయితే
i) f + g
ii) f – g
iii) 2f + 4g
iv) f + 4
v) fg
vi) \(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\)
vii) |f|
viii) \(\sqrt{\mathrm{f}}\)
ix) f²
(x) f³ లు కనుక్కోండి.
సాధన:
f = {(4, 5), (5, 6), (6, -4)}
g= {(4, 4), (6, 5), (8, 5)}
f ప్రదేశం = {4, 5, 6} = A
g ప్రదేశం = {4, 6, 8) = B
f ± g ప్రదేశం = A ∩ B = {4, 6}
i) f + g = {4, 5 + (-4), (6, – 4 + 5)}
= {(4, 1), (6, 1)}

ii) f – g = {(4, 5 – (-4)), (6, -4, -5)}
= {(4, 9), (6, -9)}

iii) 2f ప్రదేశం = A = {4, 5, 6}
4g ప్రదేశం = B = {4, 6, 8}
2f + 4g ప్రదేశం = A ∩ B = (4, 6)
∴ 2f = {(4, 10), (5, 12), (6, -8)}
4g = {(4, -16), (6, 20), (8, 20)}
∴ 2f + 4g = {(4, 10 + (-16), 6, -8 + 20)}
= {(4, −6), (6, 12)}

iv) f + 4 ప్రదేశం = A = {4, 5, 6}
f + 4 = {4, 5 + 4), (5, 6 + 4), (6, – 4 + 4)}
= {(4, 9), (5, 10), (6, 0)}

v) fg ప్రదేశం = A ∩ B = {4, 6}
fg = {(4, (5) (-4), (6, (-4) (5))}
= {(4, -20), (6, – 20)}

vi) \(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\) ప్రదేశం = {4, 6}
∴\(\frac{f}{g}=\left\{\left(4, \frac{-5}{4}\right),\left(6, \frac{-4}{5}\right)\right\}\)

vii) |f| ప్రదేశం = {4, 5, 6}
∴ |f| = {(4, |5|), (5, |6|), (6, |-4|)}
= {(4, 5), (5, 6), (6, 4)}

viii) \(\sqrt{\mathrm{f}}\) ప్రదేశం = {4, 5}
∴ \(\sqrt{\mathrm{f}}\) = {(4, \(\sqrt{5}\)), (5, \(\sqrt{6}\))}

ix) f² ప్రదేశం = {4, 5, 6} = A
∴ f² = {(4, (5)²), (5, (6)², (6, (-4)²)}
f² = {(4, 25), (5, 36), (6, 16)}

x) f³ ప్రదేశం = A = {4, 5, 6}
∴ f³ = {(4, (5³), (5, 6³), (6, (-4)³}
= {(4, 125), (5, 216), (6, -64)}

ప్రశ్న 16.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు, వ్యాప్తులు కనుక్కోండి.
i) f(x) = \(\frac{2+x}{2-x}\)
ii) f(x) = \(\frac{x}{1+x^2}\)
iii) f(x) = \(\sqrt{9-x^2}\)
సాధన:
i) f(x) = \(\frac{2+x}{2-x}\) ∈ R
⇔ 2 – x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 ⇔ x ∈ R – {2}
∴ f ప్రదేశం R – {2}
f(x) = \(\frac{y}{1}=\frac{2+x}{2-x}\) అనుకోండి.
⇒ \(\frac{y+1}{y-1}=\frac{(2+x)+(2-x)}{(2+x)-(2-x)}\)
⇒ \(\frac{y+1}{y-1}=\frac{4}{2 x}\)
⇒ x = \(\frac{2(y-1)}{y+1}\)
y + 1 = 0
(i.e.,) y = -1 కి x నిర్వచితం కాదు
∴ f వ్యాప్తి = R – {1}.

ii) f(x) = \(\frac{x}{1+x^2}\)
సాధన:
f(x) = \(\frac{x}{1+x^2}\) ∈ R
∴ ∀ x ∈ R, x² + 1 ≠ 0
f ప్రదేశం R
f(x) = y = \(\frac{x}{1+x^2}\) అనుకుందాం.
⇒ x²y – x + y = 0
⇒ x = \(\frac{-(-1) \pm \sqrt{1-4 y^2}}{y}\), వాస్తవ సంఖ్య
⇔ 1 – 4y² ≥ 0, y ≠ 0
⇔ (1 – 2y) (1 + 2y) ≥ 0, y ⇔ 0
⇔ y ∈ \(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\) – {0}
కాని x = 0 ⇒ y = 0
∴ f వ్యాప్తి = \(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\)

iii) f(x) = \(\sqrt{9-x^2}\) [(T.S) Mar ’15]
సాధన:
f(x) = \(\sqrt{9-x^2}\) ∈ R
⇔ 9 – x² ≥ 0
⇔ (3 + x) (3 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [-3, 3]
∴ f ప్రదేశం [-3, 3]
f(x) = y = \(\sqrt{9-x^2}\) అనుకుందాం
⇒ x = \(\sqrt{9-y^2}\) ∈ R.
⇔ 9 – y² ⇔ (3 + y) (3 – y) ≥ 0
∴ -3 ≤ y ≤ 3
కానీ f(x) రుణేతర వాస్తవ సంఖ్యలు మాత్రమే తీసుకుందాం.
∴ f వ్యాప్తి = [0, 3].

ప్రశ్న 17.
f(x) = x², g(x) = |x| గా నిర్వచిస్తే, క్రింది ప్రమేయాలను కనుక్కోండి.
i) f + g,
ii) f – g,
iii) fg,
iv) 2f,
v) f²,
vi) f + 3
సాధన:
f(x) = x²

f ప్రదేశం = g ప్రదేశం = R
కాబట్టి (i) నుంచి (vi) వరకు ప్రమేయాల ప్రదేశం R

i) (f + g) (x) = f(x) + g(x)

iv) 2f (x) = 2 f(x) = 2x²
v) f(x) = (f(x))² = (x²)² = x⁴
vi) f + 3 (x) = f(x) + 3 = x² + 3.

ప్రశ్న 18.
ఈ కింది ప్రమేయాలలో ఏవి సరి లేదా బేసి ప్రమేయాలో నిర్ధారించండి.
i) f(x) = a^x – a^-x + sin x
సాధన:
f(x) = a^x – a^-x + sin x
∴ f(x) = a^x – a^-x + sin (-x)
= a^-x – a^x – sin x
= – (a^x – a^-x + sin x) = – f(x)
∴ f(x) బేసి ప్రమేయం.

ii) f(x) = x\(\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)\)
సాధన:

∴ f సరి ప్రమేయం.

iii) f(x) = log(x + \(\sqrt{x^2+1}\))
సాధన:

∴ f బేసి ప్రమేయం.

ప్రశ్న 19.
కింది వాస్తవ మూల్య ప్రమేయాల ప్రదేశాలు కనుక్కోండి.
i) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{[x]^2-[x]-2}}\)
సాధన:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{[x]^2-[x]-2}}\) ∈ R
⇔ [x]² – [x] – 2 > 0
⇔ ([x] + 1) ([x] – 2] > 0
⇔ [x] < – 1, (or) [x] > 2
కాని [x] < -1 [x] ⇒ -2, -3, -4, ……….
⇒ x < -1 [x] > 2 ⇒ [x] = 3, 4, 5, …….. ⇒ x ≥ 3
∴ f ప్రదేశం = (-∞, -1) ∪ [3, ∞]
= R- [-1, 3)

ii) f(x) = log (x – [x])
సాధన:
f(x) = log (x – [x]) ∈ R
⇔ x – [x] > 0
⇔ x > [x]
⇔ x పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
∴ f ప్రదేశం R – Z

iii) f(x) = \(\sqrt{\log _{10}\left(\frac{3-x}{x}\right)}\)
సాధన:

iv) f(x) = \(\sqrt{x+2}+\frac{1}{\log _{10}(1-x)}\)
సాధన:
f(x) = \(\sqrt{x+2}+\frac{1}{\log _{10}(1-x)}\) R
⇔ x + 2 ≥ 0, 1 – x > 0, 1 – x ≠ 1
⇔x ≥ – 2, 1 > x, x ≠ 0
⇔ x ∈ [-2, ∞) ∩ (-∞, 1) – {0}
⇔x ∈ [-2, 1) – {0}
∴ f ప్రదేశం [- 2, 1) – {0}

v) f(x) = \(\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{x}\)
సాధన:
f(x) = \(\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 3 + x ≥ 0, 3 – x ≥ 0, x ≠ 0
⇔ x – 3, x ≤ 3, x ≠ 0
⇔ -3 ≤ x ≤ 3, x ≠ 0
⇔ x ∈ [- 3,3 ] x ≠ 0
⇔ x ∈ [- 3, 3] – {0}
∴ f ప్రదేశం [- 3, 3] – {0}

ప్రశ్న 20.
f : A → B, g : B → C లు అన్వేక ప్రమేయాలు అనుకుందాం. అప్పుడు gof : A → C కూడా అన్వేకం అవుతుంది అని నిరూపింపుము.
సాధన:
f : A → B, g : B → C లు అన్వేకాలు
∴ gof : A → C
gof అన్వేకం అని చూపటానికి
a₁, a₂ ∈A అనుకొనుము.
∴ f(a₁), f(a₂) ∈ B మరియు g (f(a₁)),
g(f(a₂)) ∈ C అనగా (gof) (a₁), gof (a₂) ∈ C
ఇప్పుడు (gof) (a₁) = gof (a₂).
⇒ g(f(a₁)) = g(f(a₂))
⇒ f(a₁) = f(a₂) (∵ g అన్వేకం)
⇒ a₁ = a₁ (∵ f అన్వేకము)
అందువలన gof : A → C అన్వేక ప్రమేయము. అయితే f : A → B, g : B → C మరియు gof అన్వేకము.
అప్పుడు f మరియు g అన్వేకము కావలసిన అవసరం లేదు.
A = {1, 2}, B = {p, q, r), C = {s, t} అనుకొనుము.
f = {(1, p), (2, q)} మరియు
g = {(p, s), (q, t), (r, t)}
ఇప్పుడు gof = {(1, s), (2, t)}
gof : A → C అన్వేకం
కాని g : B → C అన్వేకము కాదు.

ప్రశ్న 21.
f : A → B, g : B → C లు సంగ్రస్త ప్రమేయాలు అనుకుందాం. అప్పుడు gof A → C సంగ్రస్త ప్రమేయం అగును అని నిరూపించుము. [May ’08]
సాధన:
c ∈ C అనుకుందాం. g : B → C సంగ్రస్త ప్రమేయం
కాబట్టి g(b) = c అయ్యేటట్లు b ∈ B వ్యవస్థితం.
f : A → B సంగ్రస్తం కనుక, f(a) = b అయ్యేటట్లు a ∈ A ఉంటుంది.
∴ c = g(b) = g(f(a)) = (gof) (a)
∴ C ∈ C = (gof) (a) (gof) (a) = c అయ్యేలా a ∈ A వ్యవస్థితం.
కనుక gof : A → C సంగ్రస్తం.

ప్రశ్న 22.
f : A → B, g: B → C, gof సంగ్రస్త అనుకుందాం. అప్పుడు g సంగ్రస్తం అగును అని నిరూపించుము.
సాధన:
c ∈ C అనుకుందాం. gof : A → C సంగ్రస్త ప్రమేయం కనుక (gof) (a) = C అయ్యేటట్లు a ∈ A ఉంటుంది..
అంటే g(f(a)) = c, b = c, b = f(a) అనుకుందాం.
అప్పుడు b ∈ B, g(b) = c
∴ g సంగ్రస్తం

ప్రశ్న 23.
f : A → B, g : B→ C, h : C → D అనుకుందాం. ho(gof) = (hog) అని నిరూపించుము.
సాధన:
f : A → B మరియు g : B → C ⇒ gof : A → C
ఇప్పుడు gof : A → C మరియు h : C → D
⇒ ho(gof) : A → D
అదే విధంగా (hog)of : A → D
అందువలన ho(gof) మరియు (hog) of ప్రమేయాలు ఒకే ప్రదేశాన్ని, ఒకే సహప్రదేశాన్ని కలిగి ఉన్నాయి.
a ∈ A. అనుకుందాం
[ho(gof)] (a) = h[(gof)(a)] = h[g(f(a))]
= (ho g) [f(a)] = [(hog)of] (a)
∴ ho(gof) = (hog)of.
సూచన : ప్రమేయాల సంయుక్తత సాహచర్య న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది.

ప్రశ్న 24.
f : A → B, I_A, I_B లు తత్సమ ప్రమేయాలు అయిన fo I_A = f = I_B అని చూపండి. [Mar. ’08]
సాధన:
f : A → B అనుకుందాం. I_A, I_B లు A, B లలో తత్సమ ప్రమేయాలైతే foI_A = I_Bof = f
I_A : A → A, f : A → B కనుక A నుంచి B కి foI_A ప్రమేయం.
f : A → B, I_B : B → B కనుక A నుంచి B కి I_Bof ప్రమేయం.
foI_A, f, I_Bof ప్రమేయాలకు ప్రదేశం A
అప్పుడు (foI_A) (a) = f (I_A(a)) = f(a)[∵ I_A(a) = a] ∀a ∈ A కి
∴ foI_A = f …………….. (1)
(I_Bof) (a) = I_B(f (a)) = f(a) ∀a ∈ A
∴ I_Bof = f ………….. (2)
(1), (2) లు నుంచి foI_A = f = I_Bof

ప్రశ్న 25.
A, B లు శూన్యేతర సమితులు. f : A → B ద్విగుణమైతే, f^-1 : B → A ద్విగుణం అని నిరూపించుము.
సాధన:
f : A → B అన్వేకం అనుశీరిందాం.
స్పష్టంగా f(A) నుంచి A కి f^-1 ఒక సంబంధం.
b ∈ f(A) అనుశీరిందాం. f అన్వేకం కనుక f(a) = b అయ్యేటట్లు A లో ఒకే ఒక మూలకం a ఉంటుంది.
అందువల్ల ఇచ్చిన b ∈ f(A) కు (a, b) ∈ f అయ్యేటట్లు A లో ఒకే ఒక మూలకం a ఉంటుంది. అందువల్ల ఇచ్చిన b ∈ f(A) కు (b, a) ∈ f^-1 అయ్యేటట్లు ఒకే ఒక a ∈ A ఉంటుంది. అందువల్ల f(A) నుంచి A కు f^-1 ఒక ప్రమేయం. ఇంకా f^-1(b) = a ⇒ f(a) = a ⇒ f(a) = b స్పష్టంగా f^-1 సంగ్రస్త
ప్రమేయం.
b₁, b₂ ∈ f(A) అయి f^-1(b₁) = f^-1(b₂) = a
అనుకుందాం. అప్పుడు b₁ = f(a) = b₂
అందువల్ల f^-1 అన్వేకం. అందువల్ల f^-1 : B → A ద్విగుణం.

ప్రశ్న 26.
f : A → B ద్విగుణ ప్రమేయం అనుకుందాం. అప్పుడు fof^-1 = I_B, f^-1of = I_A అని నిరూపించుము. [(A.P) Mar. ’15, ’07; May ’07, ’06]
సాధన :
A నుండి Bకి f ద్విగుణ ప్రమేయం కనుక B నుంచి A కి f^-1 ద్విగుణ ప్రమేయం. అందువల్ల B నుంచి B కి fof^-1 ద్విగుణం. ఇలాగే A నుంచి A కి f^-1of ద్విగుణం. B నుంచి B కి I_B ద్విగుణ ప్రమేయం. A నుంచి A కి I_A ద్విగుణం అని తెలుసు. fof^-1, I_B ప్రమేయాల ప్రదేశం ఒక్కటే. అది B . b ∈ B అనుకుందాం. f^-1(b) = a అనుకుందాం. అప్పుడు a ∈ A, f(a) = b.
ఇంకా (fof^-1) (b) = f(f^-1(b))
= f(a) = b = I_B(b)
అంటే (fof^-1) (b) = I_B(b)
కనుక fof^-1 = I_B
f^-1of, I_A ప్రమేయాలకు ప్రదేశం A.
x ∈ A అనుకుందాం.
f(x) = y అనుకుందాం.
అప్పుడు ye B, f^-1(y) = x
ఇంకా (f^-1of) (x) = f^-1(f(x))
= f^-1(y) = x = I_A(x)
అంటే (f^-1of) (x) = I_A(x)
అందువల్ల f^-1of = I_A.

ప్రశ్న 27.
f : A → B, g : B → A, gof = I_A, fog = I_B అనుకుందాం. అప్పుడు f ద్విగుణ ప్రమేయం మరియు g = f^-1 అని నిరూపించుము.
సాధన:
i) f అన్వేక ప్రమేయమని చూపిద్దాం.
a₁, a₂ ∈ A అనుకుందాం.
f(a₁) = f(a₂) ⇒ g[f(a₁)] = g[f(a₂)]
⇒ (gof) (a₁) = (gof) (a₂)
⇒ a₁ = a₂ [∵ gof అన్వేకం]
f అన్వేక ప్రమేయం.

ii) f సంగ్రస్త ప్రమేయమని చూపిద్దాం.
b ∈B అనుకొందాం..
∴ b = I_B (b) = fog (b)
⇒ b = f{g(b)}} =→ f{g(b)} = b
f ప్రమేయం ద్వారా b కొరకు g(b) ∈ A అయ్యే విధంగా ఒక పూర్వ ప్రతిబింబము వ్యవస్థితము.
∴ f అన్వేకము మరియు సంగ్రస్తము
∴ f ద్విగుణ ప్రమేయం

iii) ఇప్పుడు g = f^-1 అని చూపిద్దాం.
g, f^-1 ప్రమేయాలు ఒకే ప్రదేశం B ని కలిసి ఉన్నాయి.
b ∈ B, g(b) = a అనుకుందాం. అప్పుడు a ∈ A,
f(a) = f(g(a)) = I_B (b) = b కనుక f^-1 (b) = a
ఇందువల్ల అన్నీ b ∈ B కు
g(b) = f^-1(b) కాబట్టి g = f^-1

ప్రశ్న 28.
f : A → B, g : B → C లు ద్విగుణ ప్రమేయాలు అనుకుందాం. అప్పుడు (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని నిరూపించుము. [Mar. ’14, ’11; May ’11]
సాధన:
f : A → B, g : B → C’ లు ద్విగుణ ప్రమేయాలు. కనుక A నుంచి B కి gof ద్విగుణ ప్రమేయం. అందువల్ల (gof)^-1, C నుంచి A కి ద్విగుణ ప్రమేయం, ఇంకా
f^-1 : B → A, g^-1 : C → B లు కూడా ద్విగుణ ప్రమేయాలు. అందువల్ల C నుంచి A కు f^-1og^-1 ద్విగుణ ప్రమేయం. (gof)^-1, f^-1og^-1 ప్రమేయాల ప్రదేశం C అవుతుంది.
C ∈ C అనుకుందాం. g^-1 (c) = b అనుకుందాం. అప్పుడు
b ∈ B, g(b) = c. f^-1 (b) = a అనుకుందాం. అప్పుడు
a ∈ A, f(a) = b.
(f^-1og^-1) (c) = f^-1(g^-1(c)) = f^-1(b) = a ………….. (1)
ఇంకా (gof) (a) = g(f(a)) = g(b) = c అందువల్ల
(gof)^-1 (c) = a …………… (2)
(1), (2) ల నుండి
(gof)^-1 (c) = (f^-1og^-1(c)
కనుక (gof)^-1 = f^-1og^-1

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
భౌతికశాస్త్రం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ప్రకృతి మూలనియమాలు, ప్రకృతి సహజమైన విభిన్న దృగ్విషయాల్లో వాటి స్వయం వ్యక్తీకరణ అధ్యయనమే భౌతికశాస్త్రం.

ప్రశ్న 2.
సి.వి. రామన్ ఆవిష్కరణ ఏమిటి? [Mar. ’14]
జవాబు:
అణువుల ద్వారా కాంతి యొక్క అస్థితిస్థాపక పరిక్షేపణను C.V. రామన్ కనుగొన్నాడు. దీనినే రామన్ ప్రభావం అంటారు.

ప్రశ్న 3.
ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు ఏవి?
జవాబు:

1. గురుత్వాకర్షణ బలం
2. విద్యుదయస్కాంత బలం
3. బలమైన కేంద్రక బలాలు
4. బలహీన కేంద్రక బలం.

ప్రశ్న 4.
కింది వాటిలో దేనికి సౌష్ఠవం ఉంటుంది?
a) గురుత్వ త్వరణం
b) గురుత్వాకర్షణ నియమం.
జవాబు:
గురుత్వాకర్షణ నియమం. ఉదాహరణకు చంద్రుడిపై గురుత్వ త్వరణం విలువ, భూమిపై విలువలో 6వ వంతు ఉంటుంది.

కాని గురుత్వాకర్షణ నియమం చంద్రుడిపై మరియు భూమిపై ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
భౌతికశాస్త్రానికి ఎస్. చంద్రశేఖర్ చేసిన అంశదానం (contribution) ఏమిటి? [May., Mar. ’13]
జవాబు:
నక్షత్రాల నిర్మాణమును అధ్యయనం చేసినపుడు, సూర్యుడి ద్రవ్యరాశికి 1.4 రెట్లు కన్నా ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల తెల్లని మరగుజ్జు నక్షత్రాలను ఇతను నిరూపించాడు. ఈ ద్రవ్యరాశిని చంద్రశేఖర పరిమితి అంటారు. ఈ పరిమితిని దాటితే నక్షత్రం నాశనమైపోతుంది.

అదనపు అభ్యాసం

ప్రశ్న 1.
శాశ్వత కీర్తి గడించి సుప్రసిద్ధులైన శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకడైన ఆల్బర్ ఐన్స్టీన్ విజ్ఞానశాస్త్ర స్వభావం గురించి అపారజ్ఞానయుతమైన కొన్ని వ్యాఖ్యలు (statements) చేశాడు. ‘ప్రపంచం అత్యంత నిగూఢత (The most incomprehensible thing about the world is that it is comprehensible) ఏమిటంటే – అది విస్తృతార్థ బోధకమైనట్టిది’ – ఐన్స్టీన్ ఈ విధంగా చెప్పడంలో ఆయన ఉద్దేశం ఏమై ఉంటుందని మీరు అనుకొంటున్నారు !
జవాబు:
లేమన్ దృష్టిలో భౌతిక ప్రపంచంలో ఉన్న వాటిని మనం అర్థం చేసుకోలేనివి చాలా ఉన్నాయి. వైజ్ఞానిక పురోగతిని బట్టి శాస్త్రజ్ఞుల పరిశోధనలు పరిమాణంలో పరమాణువుల కంటే చిన్నవైన కణాల నుంచి, అనంతదూరంలో ఉన్న నక్షత్రాల వరకు వ్యాప్తిని కలిగి ఉంటాయి. పరిశీలన, ప్రయోగాలు చేయడం ద్వారా సత్యాలను కనుక్కోవడమే గాక, ఈ సత్యాలను సారాంశీకరించే నియమాలను ఆవిష్కరించే ప్రయత్నం భౌతిక శాస్త్రజ్ఞులు చేస్తారు.

ప్రశ్న 2.
‘ప్రతి గొప్ప భౌతిక సిద్ధాంతం అంగీకృత అభిప్రాయానికి విరుద్ధవాదంగా మొదలై హేతుబద్ధంకాని అభిప్రాయంతో అంతమవుతుంది’. ఈ తీక్షణమైన వ్యాఖ్య చెల్లుబాటు అయ్యేలా కొన్ని ఉదాహరణలను విజ్ఞానశాస్త్ర చరిత్ర నుంచి పేర్కొనండి.
జవాబు:
పై నిర్వచనం సరియైనది. ఉదాహరణకు పూర్వకాలం టాలెమీ భావనల ప్రకారం సూర్యుడు, నక్షత్రాలు, గ్రహాల వంటివి భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తాయి. తర్వాత ఇటాలియన్ శాస్త్రజ్ఞుడు గెలీలియో భావనల ప్రకారం సూర్యుడు నిశ్చలంగా ఉండి, సూర్యుడి చుట్టూ భూమి, మిగిలిన గ్రహాలు తిరుగుతాయి. తప్పుడు భావనలు ప్రవేశపెట్టాడని గెలీలియోను పై అధికారులు శిక్షించారు. తర్వాత న్యూటన్ మరియు కెప్లర్ గెలీలియో సిద్ధాంతంను బలపరిచారు మరియు ఇది నిశ్చిత సిద్ధాంతము.

ప్రశ్న 3.
రాజకీయ శాస్త్రం (Politics)’ అనేది సాధ్యమయ్యే వాటికి చెందిన కళ’ అదే విధంగా ‘పరిష్కరించ గలిగే వాటికి చెందిన కళయే విజ్ఞానశాస్త్రం’. విజ్ఞానశాస్త్ర స్వభావం, అభ్యాసానికి చెందిన ఈ అందమైన, సూక్ష్మమైన సుభాషితాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
రాజకీయ నాయకులు ఓట్లతో గెలిచి, ఏదైనా సాధించగలరు. అంటే రాజకీయ శాస్త్రం అనేది సాధ్యమయ్యే వాటికి చెందిన కళ. అలాగే సైన్స్ కూడా కొన్ని ప్రాథమిక నియమాలను అనుసరించి పరిష్కరించగలిగే వాటికి చెందిన కళయే విజ్ఞానశాస్త్రం.

ప్రశ్న 4.
అత్యంత వేగంగా వ్యాపిస్తున్న విజ్ఞానశాస్త్ర, సాంకేతిక శాస్త్రాలకు భారతదేశం విస్తృతమైన ఆధారమూలంగా (large base) నెలకొన్నప్పటికీ, విజ్ఞానశాస్త్రంలో ప్రపంచానికే నాయకత్వం వహించగలిగే స్థాయికి చేరడానికి చాలా కాలం పడుతుందని అనిపిస్తోంది. మీ దృష్టిలో భారతదేశంలో విజ్ఞానశాస్త్రం ఉన్నతస్థితికి (advancement) చేరుకోకుండా ప్రతిబంధకాలవుతున్న కొన్ని ముఖ్య కారకాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
భారతదేశంలో సైన్స్ అభివృద్ధి చెందాలంటే నా దృష్టిలో కొన్ని ఆటంకాలు ఉన్నాయి.

1. నిరక్షరాస్యత
2. పేదరికం వల్ల వనరులు లేకపోవడం మరియు సరైన సౌకర్యాలు లేకపోవడం.
3. జనాభా పెరుగుదల వల్ల
4. సైన్స్పరంగా సరైన ప్రణాళిక లేకపోవడం
5. స్వీయక్రమశిక్షణ మరియు పనిచేసే సంస్కృతి అభివృద్ధి చెందకపోవడం వల్ల.

ప్రశ్న 5.
ఏ భౌతికశాస్త్రజ్ఞుడూ ఇంత వరకు ఎలక్ట్రాను ‘చూడ’ లేదు. అయినప్పటికీ, భౌతిక శాస్త్రజ్ఞులందరూ కూడా ఎలక్ట్రాన్ ఉన్నదనే నమ్ముతారు. తెలివి ఉండీ, మూఢ విశ్వాసం ఉన్న ఒక మనిషి ‘భూతాల’ను ఎవ్వరూ ‘చూడకపోయినా’ అవి ఉన్నాయనే వాదనను ఈ సాదృశ్యం ద్వారా ముందుకు తెస్తాడు. ఈ వాదనను మీరు ఎలా ఖండిస్తారు?
జవాబు:
ఏ భౌతిక శాస్త్రజ్ఞుడు ఇంత వరకు ఎలక్ట్రాను చూడలేదు. కాని ఎలక్ట్రాన్ ఉనికిని తెలిపే అనేక సాక్ష్యాలు ఉన్నాయి. కాని భూతాలు ఉన్నట్లుగా ఎలాంటి సాక్ష్యాలు లభించవు.

ప్రశ్న 6.
జపాన్ లోని సముద్రతీరంలోని ఒక ప్రత్యేక ప్రదేశంలో కనిపించే పీతల గుల్లలు (కర్పరాలు) ఒక ‘సమురాయ్’ యొక్క చిరస్మరణీయమైన ముఖాన్ని దాదాపు పోలి ఉన్నట్లుగా అగుపిస్తాయి. అందరూ పరిశీలించగలిగే ఈ ‘సత్యాని’కి రెండు వివరణలను కింద ఇచ్చాం. ఈ రెండింటిలో ఏది వైజ్ఞానిక వివరణ అని’ మీ మనస్సుకు తట్టుతుంది?
(a) చాలా శతాబ్దాల క్రితం విషాదకరమైన ఒక సముద్ర ప్రమాదం యువ ‘సమురాయ్’ ను ముంచివేసింది. అతని సాహసానికి ప్రశంసా సూచకంగా ప్రకృతి తనకున్న అనేక అతి గూఢమైన మార్గాల ద్వారా అతని ముఖాన్ని ఆ ప్రదేశంలోని పీత గుల్లలపై ముద్రించి అతని ముఖానికి అమరత్వాన్ని ప్రసాదించింది.
(b) సముద్ర విషాద సంఘటన తరువాత, ఆ ప్రాంతంలోని జాలర్లు, మరణించిన తమ ప్రసిద్ధ యోధుడికి గౌరవ సూచకంగా, తాము పట్టుకున్న పీతగుల్లలపైన యాదృచ్ఛికంగా సమురాయ్ ముఖాన్ని పోలిన ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటే వాటిని స్వేచ్ఛగా వదలి వేస్తారు. తత్ఫలితంగా, పీతగుల్లలకు ఉండే ఆ ప్రత్యేక ఆకారం ఎంతో కాలం నిలదొక్కుకోగలిగింది. కాలక్రమేణా జన్యురీత్యా ఆ ఆకారం ఆ జాతికి పరంపరగా సంక్రమిస్తూ ఉంది. కృత్రిమ వరణం (artificial selection) వల్ల కలిగే
పరిణామానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.
[సూచన : పైన చెప్పిన ఆసక్తిదాయకమైన సోదాహరణ కార్ల్సగన్ (Carl Sagan) యొక్క ‘ది కాస్మోస్’ (The Cosmos) నుంచి తీసుకోవడమైంది. ఇది ఒక సత్యాన్ని ప్రాధాన్యంలోకి తెస్తుంది. మనకు తరచుగా, కారణాలతో మనం వివరింపలేని, వింతైన సత్యాలు మొట్టమొదట దృష్టిలో పడగానే అవి ‘మానవాతీతమైనవి’ గా తోస్తాయి. కాని వాటికి సరళమైన శాస్త్రీయ వివరణ ఉందని తరువాత తెలియడమే ! ఈ రకమైన మరికొన్ని ఉదాహరణల కోసం ఆలోచన చేయండి !]
జవాబు:
b) వివరణ పరిశీలించిన వాస్తవంకు సైంటిఫిక్ వివరణ.

ప్రశ్న 7.
రెండు శతాబ్దాల కంటే పూర్వం ఇంగ్లాండు, పాశ్చాత్య యూరప్ లో ఏర్పడిన పారిశ్రామిక విప్లవం నిజానికి కొన్ని కీలకమైన వైజ్ఞానిక, సాంకేతికశాస్త్ర పురోగతుల వల్ల ప్రారంభమైందే ! ఈ పురోగతు
లేమిటి?
జవాబు:
1750 A.Dలో సైంటిఫిక్ మరియు టెక్నాలజీలలో వచ్చిన అభివృద్ధి మూలంగా ఇంగ్లాండ్ మరియు తూర్పు యూరోపియన్ దేశాలలో పారిశ్రామిక విప్లవం ప్రారంభమైనది. ఆవిరియంత్రము, నిప్పుల కొలిమి, పత్తి జిన్నింగ్ యంత్రం మరియు మరమగ్గాలు మొదలగునవి అభివృద్ధి చెందిన కొన్నింటికి ఉదాహరణలు.

ప్రశ్న 8.
ప్రపంచం ఈనాడు రెండో పారిశ్రామిక విప్లవానికి గురవుతోందని తరచుగా అంటున్నారు. ఈ రెండో విప్లవం, మొదటి దానివలె మానవ సమాజాన్ని ఆమూలాగ్రంగా మార్చగలిగేదే! ఈ విప్లవానికి కారణభూతాలైన కొన్ని కీలకమైన, సమకాలీన వైజ్ఞానికశాస్త్ర, సాంకేతికశాస్త్ర రంగాల జాబితా తయారుచేయండి !
జవాబు:
సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీలలో సమకాలీన మార్పులను సమాజానికి వేగంగా అందించే కొన్ని ప్రాంతాలు.

1. గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద అతివాహక పదార్థాలను అభివృద్ధి చేయడం.
2. సూపర్ ఫాస్ట్ కంప్యూటర్లను అభివృద్ధి చేయడం.
3. సమాచార టెక్నాలజీలో విప్లవాత్మక మార్పులను తేవడం.
4. బయోటెక్నాలజీని అభివృద్ధి చేయడం.
5. రోబోట్లను అభివృద్ధి చేయడం.

ప్రశ్న 9.
ఇరవై రెండవ శతాబ్దంలోని విజ్ఞానశాస్త్ర, సాంకేతికశాస్త్రాలపై ఒక కల్పానాత్మక కథను (fiction piece) సుమారు 1000 పదాలలో రాయండి.
జవాబు:
ఒక అంతరిక్ష నౌక 100 కాంతి సంవత్సరాల దూరంలో ఉన్న ఒక నక్షత్రం వైపు ప్రయాణిస్తుందనుకొనుము. అది ముందుకు కదలడానికి అవసరమైన విద్యుత్, విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ ద్వారా జనిస్తుంది.

అంతరిక్ష నౌక అయస్కాంత క్షేత్రంను దాటునప్పుడు, అతివాహక తీగలతో చేసిన విద్యుత్ మోటార్కు విద్యుత్ను అందిస్తుంది. అంతరిక్ష నౌక మొత్తం ప్రయాణంలో ఎలాంటి శక్తిని అందించనవసరం లేదు.

అంతరిక్షంలో ఒకచోట, ఉష్ణోగ్రత అధికంగా ఉంటే, మోటారు తీగలలోని అతివాహక ధర్మం నాశనమవుతుంది. ఈ కారణంచేత అంతరిక్ష నౌకలో మోటారు ద్వారా విద్యుత్ జనించదు.

క్షణకాలంలో, మరొక అంతరిక్ష నౌక, మొదటి నౌకలో శక్తిని జనింపచేయడానికి ద్రవ్యం మరియు విరుద్ధ ద్రవ్యం గల వేరువేరు కంపార్ట్మెంట్లను నింపాలి. మొదటి అంతరిక్ష నౌక తన ప్రయాణాన్ని కొనసాగిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
వైజ్ఞానికశాస్త్ర ఆచరణ (practice) పై మీ ‘నైతిక’ దృక్పథాలను సూత్రీకరించడానికి ప్రయత్నించండి. మీకు అనుకోకుండా ఒకానొక ఆవిష్కరణ అకస్మాత్తుగా తారసపడిందని ఊహించండి; ఈ ఆవిష్కరణ కేవలం తాత్త్విక ఆసక్తిని కలిగించేంత గొప్పదేకాని, మానవ సమాజానికి నిశ్చయంగా అపాయాన్ని కలిగించే పర్యవసానాలకు మాత్రమే దారితీస్తుందని అనుకోండి. ఇలాంటి సందిగ్ధావస్థను మీరే గనుక ఎదుర్కొనేట్లయితే దాన్ని ఎలా పరిష్కరిస్తారు?
జవాబు:
సైన్స్ నిజాన్ని అన్వేషిస్తుంది. ఆవిష్కరణ అనేది ఒక మంచి అభిలాష, కాని కొన్నిసార్లు మానవ సమాజానికి దాని పర్యవసానాలు ప్రమాదభరితంగా మారతాయి. నిజాన్ని వెలికితీయడం, అది తప్పుదారి పట్టకుండా చూడటం సైంటిస్ట్ల బాధ్యత. ఉదాహరణకు కేంద్రక విచ్ఛిత్తి ద్వారా విద్యుత్ శక్తిని తయారుచేయవచ్చు మరియు అణుబాంబును కూడా అభివృద్ధి చేయవచ్చు. ఈ ఆయుధం మానవాళిని తుడిచిపెడుతుంది. అందువల్ల అణుశక్తిని శాంతి సామరస్యాలకు వినియోగించేలా ప్రజలను చైతన్యవంతులను చెయ్యాలి.

ప్రశ్న 11.
తక్కిన ఇతర జ్ఞాన సంచయాల్లాగే (knowledge) విజ్ఞానశాస్త్రాన్ని కూడా మంచికీ, చెడుకీ వాడుకోవచ్చు. ఇది వాడుకొనే మనిషిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇక్కడ కొన్ని వైజ్ఞానికశాస్త్ర అనువర్తనాలను ఇచ్చాం. వీటిలో ఒక ప్రత్యేక అనువర్తనం మంచిదా, చెడుదా లేదా అట్లా స్పష్టంగా వర్గీకరించడానికి వీలులేనిదా అన్నదానిపై మీ దృక్పథాలను సూత్రీకరించండి.
a) మశూచికి వ్యతిరేకంగా దాన్ని అణచివేయడానికి గానీ లేదా ఆ వ్యాధిని అంతిమంగా జనాభా నుంచి సమూలంగా నిర్మూలించడానికి గానీ వాడే సామాన్య టీకా (Mass vaccination) (నిజానికి ఇప్పటికే భారతదేశంలో విజయవంతంగా పూర్తిచేయడం జరిగింది.)
b) నిరక్షరాస్యతను నిర్మూలించడానికీ, వార్తలనూ, సమాలోచనలనూ విస్తృతంగా ప్రచారం చేయడానికీ టెలివిజన్.
c) కాన్పుకు ముందే చేసే లింగ నిర్ధారణ.
d) పని దక్షత పెంచడానికి కంప్యూటర్లు.
e) భూమి చుట్టూ కక్ష్యల్లో కృత్రిమ ఉపగ్రహాలను ఉంచడం.
f) న్యూక్లియర్ మారణాయుధాలను సమకూర్చుకోవడం.
g) రసాయనిక, జీవశాస్త్ర యుద్ధతంత్రాలను ప్రయోగించడానికి సరికొత్త, సమర్ధవంతమైన సాంకేతిక నైపుణ్యాలను పెంపొందించుకోవడం.
h) తాగడానికి కావలసిన నీటి శుద్ధీకరణ.
i) ప్లాస్టిక్ సర్జరీ.
j) క్లోనింగ్ (జీవ ప్రతిరూపాలను కృత్రిమంగా సృష్టించడం)
జవాబు:
a) ఉమ్మడిగా టీకాలు వేయడం చాలా మంచిది.
b) నిరక్షరాస్యతను నిర్మూలించడానికి, ఉమ్మడి ఆలోచనలు, వార్తలు టెలివిజన్ ద్వారా తెలుసుకోవడం నిజంగా చాలా మంచిది.
c) కాన్పుకు ముందే లింగనిర్ధారణ తప్పు కాదు. కాని దానిని దుర్వినియోగం చేయరాదు. దానివలన ఆడ, మగ జనాభా నిష్పత్తిలో తేడా వస్తుందని ప్రజలకు తెలియజేయాలి.
d) పని దక్షతను పెంచడానికి కంప్యూటర్లు వాడటం మంచిది.
e) భూమి చుట్టూ తిరిగే ఉపగ్రహాలను ప్రవేశపెట్టడం మంచిది.
f) న్యూక్లియర్ మారణాయుధాలను అభివృద్ధి చేయడం మంచిది కాదు. అవి అందరినీ నాశనం చేస్తాయి.
g) రసాయనిక, జీవశాస్త్ర యుద్ధ తంత్రాలను ప్రయోగించడానికి, సరికొత్త సమర్థమైన సాంకేతిక నైపుణ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం మంచిది కాదు. ఇవి మానవాళిని అంతం చేస్తాయి.
h) తాగడానికి కావలసిన నీటిని శుద్ధీకరణ చేయడం మంచిది.
i) ప్లాస్టిక్ సర్జరీ మంచిది.
j) క్లోనింగ్ కూడా మంచిది.

ప్రశ్న 12.
భారతదేశం గణిత, ఖగోళ, భాషా, తర్క, నీతిశాస్త్రాల్లో సుదీర్ఘమైన అవిచ్ఛిన్నమైన పాండిత్య సంప్రదాయాన్ని కలిగి ఉంది. అయినప్పటికీ, దీనికి సమాంతరంగా అనేక మూఢవిశ్వాసపూరిత, వికాస వ్యతిరేక ధోరణులూ, ఆచారాలూ మన సమాజంలో ఉండేవి. దురదృష్టవశాత్తూ, ఈనాటికీ విద్యావంతులైన అనేక ప్రజల్లోనూ ఇంకా కొనసాగుతున్నాయి. మీకు కలిగే వైజ్ఞానికశాస్త్ర జ్ఞాన సంచయంతో ఈ ధోరణులను ఎదుర్కోవడానికి, వ్యతిరేకించడానికి మీరు ఎలాంటి వ్యూహాలను అభివృద్ధి చెందించదలచుకున్నారు?
జవాబు:
సాధారణ మనిషిని విద్యావంతుడిని చేయడం ద్వారా మూఢనమ్మకాలను, వికాస వ్యతిరేక ధోరణులను పారద్రోలవచ్చు. పత్రికలు, మ్యాగజైన్లు, రేడియో మరియు T.V ల ద్వారా పాఠశాలలలోని విద్యార్థులకు తెలియజెప్పటం ద్వారా ఉపాధ్యాయులు సమాజంలోని మూఢనమ్మకాలను పారద్రోలవచ్చు.

ప్రశ్న 13.
భారతదేశంలో స్త్రీలకు చట్టం స్త్రీలకు సమానస్థాయిని కల్పిస్తున్నా, ఆమెకు ఉండే సహజ స్వభావం పట్ల అనేకమంది ఇతర అశాస్త్రీయమైన దృక్పథాలనే పట్టుకు వేలాడుతున్నారు. వారి సామర్థ్యాన్ని, బుద్ధి సూక్ష్మతనూ (intelligence) (వివేకాన్ని) గుర్తించకుండా జీవితంలో రెండో తరగతి హోదాను, అప్రధానమైన పాత్రను మాత్రమే స్త్రీలకు ఇస్తున్నారు. శాస్త్రీయమైన వాదనలతో, విజ్ఞానశాస్త్రం ఇతర రంగాల్లో రాణించిన గొప్ప మహిళల ఉదాహరణలను ఉటంకిస్తూ మీరు ఈ అభిప్రాయాలను కూల్చివేయండి (Demolish), వారి శక్తియుక్తుల పట్ల మీరు విశ్వాసాన్ని పెంపొందించుకొని సమానావకాశాలు కల్పిస్తే, స్త్రీలు పురుషులతో సమానంగా, సరితూగగలుగుతారని, మిమ్మల్ని మీరు స్వయంగానే గాక ఇతరులనూ ఒప్పించగలగే నేర్పును తెచ్చుకోండి.
జవాబు:
పురుషులకు మరియు స్త్రీలకు సమాన అవకాశాలను కల్పించాలి. మానవుని మెదడు మనం తీసుకునే న్యూట్రిషన్స్ మరియు పోషకాహారం వలన అభివృద్ధి చెందుతుంది. దీనిలో లింగ భేదానికి తావులేదు. పురుషుని మెదడు వలెనే స్త్రీల మెదడు కూడా సమానంగా అభివృద్ధి చెందింది. మేడమ్ క్యూరీ భౌతికశాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతిని పొందారు. మదర్ థెరిస్సా సెయింట్గా నిరూపించుకున్నారు. రాజకీయాలలో శ్రీమతి ఇందిరాగాంధీ, మార్గరెట్ థాచర్, శ్రీమతి బండారునాయికే మొదలగువారు రాణించారు.

ప్రశ్న 14.
‘భౌతికశాస్త్ర సమీకరణాల్లో సౌందర్యం ఉండటమనేది అవి ప్రయోగాలతో అంగీకారాన్ని కలిగి ఉండటం కంటే ఎక్కువ ప్రధానమైంది’ ఇది గొప్ప బ్రిటిష్ భౌతికశాస్త్రవేత్త పి.ఎ.ఎమ్.డిరాక్ (P.A.M. Dirac) కు ఉన్న అభిప్రాయం. ఈ కథనాన్ని మీరు విమర్శించండి. ఈ పుస్తకంలో సౌందర్యవంతమని (మిమ్మల్ని హత్తుకున్నట్లు) కనిపించే కొన్ని సమీకరణాలు, ఫలితాల కోసం వెతకండి.
జవాబు:
గొప్ప బ్రిటిష్ శాస్త్రవేత్త పి.ఎ.ఎమ్. డిరాక్కు ఉన్న అభిప్రాయం నిజం. ఉదాహరణకు F = ma; E = mc² సరళ మరియు సౌంధర్యవంతమైన భౌతిక సమీకరణాలు. వీటిని సార్వత్రికంగా అన్వర్తించవచ్చు.

కాని కొన్ని సందర్భాలలో సాపేక్ష సిద్ధాంతంలోని సమీకరణాలు కొన్ని సరళంగాను, ‘సౌందర్యవంతంగాను ఉండవు. వీటిని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం.

ప్రశ్న 15.
పైన పేర్కొన్న విషయం వివాదాస్పదమైనదే కావచ్చు. కాని అత్యధిక సంఖ్యలో ఉండే భౌతికశాస్త్రజ్ఞులకు భౌతికశాస్త్ర ప్రసిద్ధ నియమాలు యదార్థంగానే సరళం, సౌందర్యపూరితమైనవనే ఒక అనుభూతి ఉంది. డిరాక్తోపాటు, ఈ విధంగా విస్పష్టంగా మాట్లాడిన మరికొందరు సుప్రసిద్ధ భౌతికశాస్త్రజ్ఞులు : ఐన్స్టీన్, బోర్, హైసన్బర్గ్, చంద్రశేఖర్, ఫైర్ మ్యాన్. భౌతికశాస్త్రంలో నిష్ణాతులైన వీరితోపాటు ఇతరులు రాసిన పుస్తకాలను, రచనలను సంపాదించడానికి లేదా చదవడానికి ప్రత్యేకయత్నాలు చేయవలసిందిగా మిమ్మల్ని కోరుతున్నాం. (ఈ పుస్తకం చివరలో గ్రంథసూచిని చూడండి). వారి రచనలు నిజంగానే మీలో స్ఫూర్తిని నింపడంతోపాటు, మీకు పునరుత్తేజాన్ని కలిగిస్తాయి !
జవాబు:
విద్యార్థులు మంచి గ్రంథాలయంకు వెళ్ళి భౌతికశాస్త్రంలో మంచి పుస్తకాలను చదవాలి. ఫైర్మన్ రచించిన పుస్తకాలు విద్యార్థులకు ఎంతగానో ఉపయోగపడతాయి. మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన పుస్తకాలు రోగర్ E.M. రచనలు, G. గ్యామో రచనలు.

ప్రశ్న 16.
‘విజ్ఞానశాస్త్ర అధ్యయనం చప్పగానూ, ఎప్పుడూ మరీ గంభీరమైనదిగానూ ఉండటమే గాక శాస్త్రవేత్తలంతా అదో లోకంలో లేదా అన్యమనస్కులూ, అంతర్ముఖులై ఉంటారు. అంతేకాదు, హాయిగానే కాదు వెర్రినవ్వు అయినా నవ్వని వాళ్ళై ఉంటారనే’ దురభిప్రాయాన్ని విజ్ఞానశాస్త్ర పాఠ్యపుస్తకాలు మీకు కలిగించవచ్చు. విజ్ఞానశాస్త్రంపైనా, శాస్త్రవేత్తలపైనా కలిగే ఈ అభిప్రాయం ఒక ‘బహిరంగ అసత్యం’. ఇతర వర్గాల్లోని మనుషుల్లాగే, శాస్త్రజ్ఞుల్లో కూడా హాస్యస్ఫోరకులూ, పరిహాసశీలురూ ఉన్నారు, వాళ్ళలో వినోదం, ఉల్లాసపూరితమైన సాహసకృత్యాలతో కూడిన భావాలతో జీవితం గడిపిన వారు ఉన్నారు. ఇలాంటి జీవితం గడుపుతూనే, వారు ఎంతో గంభీరంగా, వైజ్ఞానిక క్రియాన్వేషణలో మునిగి ఉండేవారు. ఈ రీతి జీవనశైలి గడిపిన సుప్రసిద్ధ భౌతికశాస్త్రవేత్తల్లో గ్యామో, ఫైర్మన్లను చెప్పుకోవచ్చు. గ్రంథ సూచి జాబితాలో ఇచ్చిన వారి గ్రంథాలను చదివితే మీరు ఎంతో ఉత్తేజానికి లోనవుతారు !
జవాబు:
నిజం. శాస్త్రవేత్తలు కూడా, ఇతర వర్గాల్లోని మనుషుల్లాగే హాస్యస్ఫోరకులు, పరిహాసశీలురూ ఉన్నారు. వాళ్లలో వినోదం, ఉల్లాసపూరితమైన సాహసకృత్యాలతో కూడిన భావాలతో జీవితం గడిపిన వారు ఉన్నారు. ఇలాంటి జీవితం గడుపుతూనే వారు ఎంతో గంభీరంగా, వైజ్ఞానిక క్రియాన్వేషణలో మునిగి ఉండేవారు. గ్యామో, ఫైర్మన్ రచనలు విద్యార్థులు చక్కగా చదువుకొని ఉత్తేజానికి లోనుకావచ్చు.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
x = 10, Δx = 0.1 అయినప్పుడు y = f(x) = x² + x ప్రమేయానికి dy, Δy విలువలు కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
y = f(x) లోని మార్పు Δy = f(x + Δx) − f(x).
కనక x = 10, Δx = 0.1 లకు ఈ మార్పు
Δy = f(10.1) – f(10)
= {(10.1)² + 10.1} – {10² + 10} = 2.11.
dy = f(x) Δx కనక x = 10, Δx 0.1 లకు
dy = {(2)(10) + 1} 0.1 = 2.1 (∵ \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2x + 1).

ప్రశ్న 2.
x = 60°, Δx = 1° అయినప్పుడు y = cos x ప్రమేయానికి Δy, dy విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 60°, Δx = 1° లకు Δy, dy లు వరసగా
Δу = cos (60° + 1) – cos (60°) ….. (1)
dy = -sin(60°) (10) ………. (2)
Cos (60°) = 0.5,
Cos (61°) = 0.4848,
Sin (60°) = 0.8660,
1° = 0.0174 రేడియన్లు.
కాబట్టి Δy = -0.0152
dy = -0.0150.

ప్రశ్న 3.
ఒక చతురస్రపు భుజం 3 సెం.మీ. నుంచి 3.01 సెం.మీ. లకు పెరిగింది. ఆ చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రపు భుజం x, వైశాల్యం A అనుకొందాం. అప్పుడు
A = x². …….. (1)
A అనేది x లో ప్రమేయం అనేది స్పష్టం. చతురస్రపు భుజం 3 సెం.మీ. నుంచి 3.01 సెం.మీ.లకు పెరిగింది. కనక x = 3, Δx = 0.01 గా తీసుకొందాం. చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యం
ΔΑ ≈ \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}} \Delta \mathrm{x}\) …. (2)
సమీకరణం (1) ని అనుసరించి, (2)ను ΔA = 2xΔx గా రాయవచ్చు. కాబట్టి చతురస్రపు భుజం 3 నుంచి 3.01కు పెరిగినట్లయితే ఆ చతురస్రపు ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల వైశాల్యం
ΔA ≈ 2(3)(0.01) = 0.06 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళం వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. నుంచి 7.02 సెం.మీ. లకు పెరిగినట్లయితే, దీని ఘన పరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదలను కనుక్కోండి.
సాధన:
గోళ వ్యాసార్ధం r, దీని ఘన పరిమాణం V అనుకొందాం.
అప్పుడు, V = \(\frac{4 \pi r^2}{3}\) ………. (1)
ఇక్కడ V అనేది r లో ప్రమేయం. గోళ వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. నుంచి 7.02 సెం.మీ. కు పెరిగింది కనక r = 7 సెం.మీ., Δr = 0.02 సెం.మీ. గా తీసుకొందాం. ఇప్పుడు గోళ ఘనపరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదలను కనుక్కోవాలి.
∴ ΔV ≈ \(\frac{d V}{d r} \Delta r\) = 4πr² Δr.
కాబట్టి, గోళ ఘనపరిమాణంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల
\(\frac{4(22)(7)(7)(0.02)}{7}\) = 12.32 సెం.మీ.³.

ప్రశ్న 5.
n, k లు స్థిర సంఖ్యలు అయి y = f(x) = k xⁿ అయితే y లో ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల) x లోని సాపేక్ష దోషానికి (పెరుగుదల) రెట్లు అని
చూపండి.
సాధన:
A సంఖ్య B సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉంటూ B కి సమానం కానట్లయితే A ను B కి ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అంటారు.

= n (x లో సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల)).
కాబట్టి y = kxⁿ లోని ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం (పెరుగుదల) x లోని సాపేక్ష దోషానికి (పెరుగుదల) గా రెట్లు.

ప్రశ్న 6.
ఒక చతురస్రపు భుజం పెరుగుదల 2% అయితే దీని వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు పెరుగుదల శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
చతురస్రపు భుజం x, వైశాల్యం A అనుకోండి. అప్పుడు A = x². వైశాల్యం A లో ఉజ్జాయింపు దోష శాతం
= \(\left(\frac{\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{dx}}}{\mathrm{A}}\right)\) × 100 × Δx (f = A తో A సంఖ్య B
సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉంటూ Bకి సమానం కొనట్లయితే A ను Bకి ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అంటారు.
\(\frac{\Delta y}{y}\) × 100 ≈ \(\left[\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right]\) × 100 × Δx
= \(\frac{100(2 x) \Delta x}{x^2}\) = \(\frac{200 \Delta x}{x}\) = 2(2) = 4
(∵ దత్తాంశం నుంచి \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 2 )

ప్రశ్న 7.
ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత 44 సెం.మీ. గా కొలిచారు. దీనిలో దోషం 0.01 సెం.మీ. అయితే దీని వైశాల్యంలో ఉజ్జాయింపు, సాపేక్ష దోషాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త వ్యాసార్ధం, చుట్టు కొలత, వైశాల్యాలను వరసగా r, p, A అనుకొందాం.
p = 44 సెం.మీ., Δp = 0.01 గా ఇవ్వడమైంది. ΔA, \(\frac{\Delta \mathrm{A}}{\mathrm{A}}\)ల ఉజ్జాయింపు విలువలను కనుక్కోవాలి. A = πr² అనేది ” లో ప్రమేయం. p, Δp విలువలు తెలుసు. కనక A = πr² ను A = f(p) రూపంలో రాయాలి. 2πr = p సంబంధాన్ని ఉపయోగించి A = f(p) అని రాయవచ్చు.
∴ A = π\(\left(\frac{p}{2 \pi}\right)^2\) = \(\)
కాబట్టి A లో ఉజ్జాయింపు దోషం
A = \(\frac{d A}{d p} \Delta p\) = \(\frac{2 p}{4 \pi} \Delta p\) = \(\frac{\mathrm{p}}{2 \pi} \Delta \mathrm{p}\)
p = 44 సెం.మీ., Δp = 0.01 అయినప్పుడు A లో ఉజ్జాయింపు దోషం = \(\frac{44}{2 \pi}\)(0.01) = 0.07 సెం.మీ.²
A లో ఉజ్జాయింపు సాపేక్ష దోషం

ప్రశ్న 8.
\(\sqrt[3]{999}\) ఉజ్జాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x = 1000, Δx = -1 గా తీసుకొని
f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) Δx ….. (1)
ఇక్కడ x = 1000
f(x) = \(\sqrt[3]{x}\), అయినప్పుడు f(1000) ను తేలికగా గణించగలం. కాబట్టి y = f(x) = \(\sqrt[3]{x}\) …. (2)
సమీకరణం (1)
f(x + Δx) = f(x) ≈ f(x) + \(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \Delta x\)
f(1000 – 1)
≈ f(1000) + \(\frac{1}{3(1000)^{2 / 3}}\) (−1) = 9.9967.

ప్రశ్న 9.
కింది వక్రాలకు ఇచ్చిన బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు కనుక్కోండి.
i) y = 5x²; (-1, 5) వద్ద
ii) y = \(\frac{1}{x-1} ;\left(3, \frac{1}{2}\right)\) వద్ద
iii) x = a secθ, y = a tanθ; θ = \(\frac{\pi}{6}\) వద్ద
iv) \(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 ; (a, b) వద్ద
సాధన:
i) y = 5x² అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = 10x.
∴ దత్త బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{(-1,5)}\) = -10.

ii) y = \(\frac{1}{x-1}\) అయితే \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-1}{(x-1)^2}\)
∴ దత్త బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు

iii) x = a sec θ, y = tan θ అయితే

θ = \(\frac{\pi}{6}\) అయిన బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}\) = cosec \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2

iv) \(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2
ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,

ప్రశ్న 10.
y = 5x⁴ వక్రానికి (1,5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y = 5x⁴ నుంచి \(\frac{d y}{d x}\) = 20x³ వస్తుంది.
వక్రానికి (1, 5) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,5)}\) = 20(1)³ = 20
∴ (1, 5) బిందువు వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు \(\frac{-1}{20} .\)
∴ (1, 5) బిందువు వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖ సమీకరణాలు వరసగా
= y – 5 = 20(x – 1), y – 5 = \(\frac{-1}{20}\)(x – 1) లేదా
= y – 20x – 15, 20y = 101 – x అవుతాయి.

ప్రశ్న 11.
y⁴ = ax³ వక్రానికి (a, a) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y⁴ = ax³ ను ఇరువైపులా x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
4y³y₁ = 3ax² లేదా
У₁ = \(\frac{3 a x^2}{4 y^3}\)
∴ (a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = y_{1(a, a)} \(\frac{3 a \cdot a^2}{4 a^3}\) = \(\frac{3}{4}\)
(a, a) వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు = \(\frac{-4}{3}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y – a = \(\frac{3}{4}\)(x – a)
అంటే 4y = 3x + a
అభిలంబరేఖ సమీకరణం y − a = \(\frac{-4}{3}\)(x – a)
అంటే 3y + 4x = 7a అవుతుంది

ప్రశ్న 12.
y = 3x² – x³ వక్రం x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం y = 3x² – x³ = 0 లో, x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు కోసం y = 0 ను ప్రతిక్షేపిస్తే,
3x² – x³ = 0 లేదా x² (3 – x) = 0 వస్తుంది.
అంటే x = 0, x = 3.
అంటే వక్రం X-అక్షాన్ని O(0, 0), A(3, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
\(\frac{d y}{d x}\) = 6x – 3x² → O(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు
\(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{(0,0)}\) = 0
∴ O(0, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం y – 0 = 0(x – 0)
లేదా y = 0 అవుతుంది.
అంటే (0, 0) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ X-అక్షం అన్నమాట.
ఇప్పుడు A(3, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(3,0)}\)
= 6(3) – 3(3)² = -9
∴(3, 0) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – 0 = -9 (x – 3) అంటే y + 9x = 27 అవుతుంది

ప్రశ్న 13.
y = sin x వక్రానికి ఏ బిందువు వద్ద క్షితిజ స్పర్శరేఖలు ఉంటాయో కనుక్కోండి.
సాధన:
y = sin x నుంచి \(\frac{d y}{d x}\) = cos x.

స్పర్శరేఖ క్షితిజరేఖ అయితే స్పర్శరేఖ వాలు సున్న.
cos x = 0
అంటే x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\); n ∈ Z.
కాబట్టి దత్త వక్రానికి క్షితిజ స్పర్శరేఖ ఉండే బిందువులు (x_o, y_o)
⇔ x_o = (2n + 1). \(\frac{\pi}{2}\),
y_o = (-1)ⁿ n ∈ Z

ప్రశ్న 14.
y = f(x) = x1/3 వక్రానికి X = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉందేమో పరిశీలించండి.
సాధన:


గమనిక : \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) = ∞ నుంచి, వక్రానికి x నిరూపకం 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ
ఉంటుంది.

ప్రశ్న 15.
y = f(x) = x^2/3 వక్రానికి x = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉందేమో పరిశీలించండి.
సాధన:

h ≠ 0 అయితే, \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) = \(\frac{h^{2 / 3}}{h}\) = \(\frac{1}{h^{1 / 3}}\)
h → 0 అయ్యేటప్పుడు \(\frac{1}{h^{1 / 3}}\) కు ఎడమచేతి అవధి – ∞. కాని కుడిచేతి అవధి ∞. అంటే \({ }_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}^{1 / 3}}\) వ్యవస్థితం కాదు.
∴ గమనిక నుంచి f(x) = x^2/3 వక్రానికి x = 0 అయిన బిందువు వద్ద ఊర్ధ్వ స్పర్శరేఖ ఉండదు. ఈ వక్రం రేఖాచిత్రంలో చూడుము.

ప్రశ్న 16.
x = c sec θ, y = c tan θ సూచించే వక్రానికి ఏదైనా బిందువు θ వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం y sin θ = x – c cos θ అని చూపండి.
సాధన:
ఏదైనా బిందువు θ వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ వాలు
(అంటే sec θ, c tan θ వద్ద)

∴ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – c tan θ = cosec θ (x – c sec θ).
అంటే y sin θ = x – c cos θ

ప్రశ్న 17.
xy = c (c ≠ 0) అనే వక్రానికి ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ అక్షాలతో కలిసి ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తోంది. ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఒక స్థిరరాశి అని చూపండి.
సాధన:
ముందుగా c ≠ 0 అని గమనించండి. ఎందుకంటే xy = 0 అయితే దత్త సమీకరణం నిరూపకాక్షాలను సూచిస్తుంది. ఇది దత్తాంశానికి విరుద్ధం.
xy = c వక్రంపై P(x₁, y₁) ఒక బిందువు అనుకొందాం. అప్పుడు x₁ ≠ 0, y₁ ≠ 0
y = \(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}}\) ⇒ y’ = \(-\frac{c}{x^2}\)
∴ (x₁, y₁) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం

ఈ స్పర్శరేఖతోనూ, నిరూపకాక్షాలతోనూ ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)(2x₁) \(\left(\frac{2 c}{x_1}\right)\) = 2c = ఒక స్థిరరాశి.

ప్రశ్న 18.
\(\left(\frac{x}{a}\right)^n\) + \(\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 (a ≠ 0, b ≠ 0) అనే వక్రంపై (a, b) బిందువువద్ద స్పర్శరేఖ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 2 అని చూపండి.
సాధన:

(a, b) బిందువు వద్ద వక్రానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y – b = \(\frac{-b}{a}\)(x – a)
అంటే ay – ab = -bx + ab
లేదా bx + aY = 2ab. లేదా \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 2

ప్రశ్న 19.
y² = 4ax వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరమని చూపండి.
సాధన:
y² = 4ax ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
2yy’ = 4a ⇒ y’ = \(\frac{2 a}{y}\)
అంటే yy’ = 2a’.
MG నుంచి వక్రంపై ఏ బిందువు (x, y) వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం |yy’| = |2a| స్థిరం.

ప్రశ్న 20.
y = a^x (a > 0) వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపస్పర్శ ఖండం స్థిరమని చూపండి.
సాధన:
y = a^x ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే y’ = a^x log a
∴ వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం
= |\(\left|\frac{y}{y^{\prime}}\right|\)| = |\(\frac{a^x}{a^3 \log a}\)| = \(\frac{1}{\log a}\) = స్థిరరాశి.

ప్రశ్న 21.
by² = (x + a)³, (b ≠ 0) వక్రంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉపస్పర్శ ఖండం వర్గం, ఆ బిందువు వద్ద ఉపలంబ ఖండంతో అనుపాతంలో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
by² = (x + a) ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
2by y’ = 3 (x + a)²
∴ వక్రంపై ఏదైనా బిందువు (x, y) వద్ద ఉపలంబ ఖండం

ప్రశ్న 22.
y = a^{1 – k} x^k వక్రంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఉపలంబ ఖండం స్థిరమైతే k విలువ ఎంత ?
సాధన:
y = a^{1 – k} x^k ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
y’ = ka^{1 – k} x^{k – 1}
వక్రంపై ఏదైనా బిందువు P(x, y) వద్ద ఉపలంబ ఖండం
= |y y’| = |yka^1-k x^k-1|
= |ka^1-kx^ka^1-kx^k-1 | = ka^2-2k x^{2k – 1}
ఈ విలువ స్థిరం కావాలంటే 2k – 1 = 0 కావాలి.
అంటే k = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 23.
xy = 2, x² + 4y = 0 వక్రాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. (May ’13, ’11)
సాధన:
xy = 2, x² + 4y = 0 వక్రాల ఖండన బిందువులను కనుక్కొందాం.
y = \(\frac{-x^2}{4}\) ను xy = 2లో రాస్తే
x³ = -8 అంటే x = -2,
x = -2 ⇒ y = \(\frac{-x^2}{4}\) = -1
∴ వక్రాల ఖండన బిందువు P(-2, -1)
ఇప్పుడు xy = 2, y’ = \(\frac{-2}{x^2}\)
x² + 4y = 0 ⇒ y’ = \(\frac{-x}{2}\)
xy = 2 వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు

ప్రశ్న 24.
2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి Y-అక్షానికి మధ్యకోణం కనుక్కోండి.
సాధన:
Y-అక్షం సమీకరణం x = 0
వక్రం 2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\), x = 0 లకు ఖండన బిందువు P(0, \(\frac{1}{2}\))
2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ X-అక్షంతో చేసే కోణం \(\psi\) అయితే

Y-అక్షానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ, 2y = \(e^{\frac{-x}{2}}\) వక్రానికి మధ్యకోణం φ అయితే

∴ దత్త వక్రానికి, Y-అక్షానికి మధ్యకోణం tan^-1 4.

ప్రశ్న 25.
ax² + by² = 1 a₁x² + b₁y² = 1 వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకోవడానికి నియమం \(\frac{1}{a}\) – \(\frac{1}{b}\) = \(\frac{1}{a_1}\) – \(\frac{1}{b_1}\) అని చూపండి.
సాధన:
ax² + by² = 1
a₁x² + b₁y² = 1 వక్రాల ఖండన బిందువు P(x₁, y₁) అయితే

వీటి నుంచి అడ్డగుణకాల పద్ధతిన
\(\frac{\mathrm{x}_1^2}{\mathrm{~b}_1-\mathrm{b}}\) = \(\frac{y_1^2}{a_1-a}\) = \(\frac{1}{a b_1-a_1 b}\) ……….. (1)
ax² + by² = 1 ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-a x}{b y}\)
కాబట్టి ax² + by² = 1 వక్రానికి ‘P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు m₁ అయితే, m₁ = \(\frac{-a x_1}{b y y_1}\)
ఇదే విధంగా \(a_1 x^2+b_1 y^2\) = 1 వక్రానికి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు m₂ అయితే, m₂ = \(\frac{-a_1 x_1}{b_1 y_1}\). వక్రాలు లంబంగా ఖండించు కొంటాయని కాబట్టి, m₁m₂ = -1
అంటే \(\frac{a a_1 x_1^2}{b b_1 y_1^2}\) = -1 లేదా \(\frac{x_1^2}{y_1^2}\) = \(\frac{-b b_1}{a a_1}\) …. (2)
ఇప్పుడు (1), (2) ల నుంచి వక్రాలు లంబంగా ఖండించు కోవడానికి నియమం
\(\frac{b_1-b}{a-a_1}\) = \(\frac{-b b_1}{a a_1}\) లేదా (b – a)a₁b₁ = (b₁ – a₁) ab
లేదా \(\frac{1}{a}\) – \(\frac{1}{b}\) = \(\frac{1}{a_1}\) – \(\frac{1}{b_1}\)

ప్రశ్న 26.
y² = 4(x + 1), y² = 36(9 – x) వక్రాలు లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి (Mar.’11; May ’06, ’05)
సాధన:
y² = 4(x + 1), y = 36 (9 – x) వక్రాలను ఖండన బిందువుల కోసం సాధిస్తే
4(x + 1) = 36 (9 – x)
అంటే 10x = 80 లేదా x = 8
y² = 4(x + 1) ⇒ y² = 4(9) = 36
⇒ y = ±6
∴ రెండు వక్రాలు ఖండన బిందువులు P(8, 6), Q(8, -6)

⇒ వక్రాలు P వద్ద లంబంగా ఖండించుకొంటాయి. ఇదేవిధంగా, వక్రాలు Q వద్ద కూడా లంబంగా ఖండించు కొంటాయని చూపవచ్చు.

ప్రశ్న 27.
t = 2, t = 4 ల మధ్య s = f(t) = 2t² + 3 సరాసరి మార్పురేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
t = 2, t = 4 ల మధ్య x సరాసరి రేటు
\(\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\) = \(\frac{35-11}{4-2}\) = 12.

ప్రశ్న 28.
వృత్త వ్యాసార్థం r = 5 సెం.మీ. అయినప్పుడు వ్యాసార్థం దృష్ట్యా వృత్త వైశాల్యంలో మార్పు రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
r వ్యాసార్థంగా ఉండే వృత్తంపై వైశాల్యం A అనుకొందాం.
అప్పుడు A = πr², ఇప్పుడు A లోని మార్పు రేటు r దృష్ట్యా \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dr}}\) = 2πr. r = 5 సెం.మీ. వద్ద వైశాల్యంలో మార్పురేటు \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dr}}\) = 10π అవుతుంది.
కాబట్టి వృత్తవైశాల్యంలోని మార్పురేటు 10π సెం.మీ.²/సెకను.

ప్రశ్న 29.
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 9 సెం.మీ³ /సెకను చొప్పున పెరుగుతుంది. ఘనం అంచు 10 సెంటీమీటర్లు ఉన్నప్పుడు ఎంత త్వరగా దీని ఉపరితల వైశాల్యం పెరుగుతుంది (Ma. 2013)
సాధన:
ఘనం అంచు x సెం.మీ., దీని ఘనపరిమాణం V, ఉపరితల వైశాల్యం S అనుకొందాం. అప్పుడు V = x³, S = 6x².
ఘనపు పరిమాణంలో పెరుగుదల రేటు 9 సెం. మీ.³‘/సెకను.
కాబట్టి \(\frac{d v}{d t}\) = 9 సెం.మీ.³ /సెకను.
V ని t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{d V}{d t}\) = 3x² \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) ⇒ 9 = 3x²\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) వస్తుంది.
అంటే \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{3}{x^2}\)
S ను t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}\) = 12x × \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\)
= 12x × \(\frac{3}{x^2}\) = \(\frac{36}{x}\)
కాబట్టి x = 10 సెం.మీ. వద్ద
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}\) = \(\frac{36}{10}\) = 3.6 సెం.మీ.²/సెకను అవుతుంది.

ప్రశ్న 30.
ఒక సరళరేఖపై చలిస్తున్న కణం, t సెకన్లలో ఒక స్థిర బిందువు నుంచి చలించిన దూరం 5 (సెం.మీ.) మరియు S = f(t) : = 8t + t³ అయితే,
(i) t = 2 సెకన్ల వద్ద కణవేగాన్ని
(ii) ఆ కణం తొలి వేగాన్ని
(iii) t = 2సెకన్ల వద్ద త్వరణాన్ని కనుక్కోండి. (A.P Mar. ’15)
సాధన:
దూరం s, కాలం t ల మధ్య సంబంధం
s = f(t) = 8t + t³ —– (1)
∴ వేగం v = 8 + 3t² —- (2)
త్వరణం a = \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) = 6t —– (3)
i) t = 2 సెకన్ల వద్ద వేగం 8 + 3 (4) = 20 సెం.మీ/సెకను.
ii) తొలి వేగం (t = 0) 8 సెం.మీ./సెకను.
iii) t = 2 సెకన్ల వద్ద త్వరణం 6(2) = 12 సెం.మీ/సెకను²

ప్రశ్న 31.
ఒక విలోమ శంకువు ఆకారపు ఎత్తు 12 సెం.మీ., ఉపరితల వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ. దీనిని 12 సెం.మీ./ సెకను చొప్పున నీటితో నింపినప్పుడు, నీటి మట్టం 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు నీటి మట్టం పెరిగే రేటు ఎంత ?
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద నీటిమట్టం ఎత్తు OC అనుకోండి.
త్రిభుజాలు OAB, OCD లు సరూప త్రిభుజాలు. కాబట్టి

\(\frac{C D}{A B}\) = \(\frac{O C}{O A}\) OC = h, CD = r అనుకొందాం.
దత్తాంశం నుంచి AB = 6 సెం.మీ., OA = 12 సెం.మీ.
\(\frac{r}{6}\) = \(\frac{h}{12}\) అంటే r = \(\frac{h}{12}\) …. (1)
శంకువు ఘనపరిమాణం V అనుకొంటే,
V = \(\frac{\pi r^2 h}{3}\) ……. (2)
సమీకరణం (1) నుంచి, V = \(\frac{\pi \mathrm{h}^3}{12}\) …. (3)
సమీకరణం (3) ను t దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే

కాబట్టి నీటిమట్టం ఎత్తు 8 సెం.మీ. ఉన్నప్పుడు నీటిమట్టం ఎత్తు పెరిగే రేటు \(\frac{3}{4 \pi}\) సెం.మీ./సెకను

ప్రశ్న 32.
సరళరేఖపై s = f(t) = 4t³ – 3t² + 5t – 1 సంబంధాన్ని పాటిస్తూ ఒక కణం చలిస్తుంది. ఇక్కడ దూరం S ని మీటర్లలో, కాలం tని సెకన్లలో కొలిచాం. ఆ కణం వేగం, త్వరణం కనుక్కోండి. త్వరణం ఎప్పుడు సున్నా అవుతుంది ? (T.S Mar. ’15, ’13)
సాధన:
f(t) = 4t³ – 3t² + 5t – 1 కనుక t సెకను వద్ద
ఆ కణం వేగం
v = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\) = 12t² – 6t + 5
త్వరణం a = \(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~s}}{\mathrm{dt}^2}\) = 24t – 6
24t – 6 = 0 అయితే త్వరణం సున్న అవుతుంది.
అంటే t = \(\frac{1}{4}\)
t = \(\frac{1}{4}\) సెకన్ల వద్ద త్వరణం సున్న అవుతుంది.

ప్రశ్న 33.
t సెకన్ల వద్ద రక్తంలో ఒక మందు ఉండే పరిమాణం (mg లలో) q = 3(0.4)^t. t = 2 సెకన్ల వద్ద q తక్షణ మార్పు రేటు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ q = 3(0.4)^t. కాబట్టి t సెకన్ల వద్ద
\(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}\) = 3 (0.4)^t log_e (0.4), q లో తక్షణ మార్పురేటు.
t = 2 సెకన్ల వద్ద q లో తక్షణ మార్పురేటు
\(\left(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}\right)_{t=2}\) = 3(0.4)² log_e (0.4) mg /సెకను

ప్రశ్న 34.
ఒక రకం బాక్టీరియా t సెకనులలో t³ వృద్ధి చెందుతుందను కుందాం. ఏ సమయానికి బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు 300 బాక్టీరియా / సెకను ఉంటుంది ?
సాధన:
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధి g(t) అనుకుందాం. అప్పుడు
g(t) = t³ …. (1)
t సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు g'(t) = 3t² …. (2)
300 = 3t² (g'(t) = 300 అని తెలుసు కాబట్టి)
t = 10 సెకన్లు
కాబట్టి t= 10 సెకన్ల వద్ద బాక్టీరియా వృద్ధిరేటు 300 బాక్టీరియా/సెకను ఉంటుంది.

ప్రశ్న 35.
ఒక వస్తువును x యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి అనుగుణంగా అయ్యే మొత్తం ఖర్చు C(x) = 0.005 x³ – 0.02x² + 30x + 500. ఆ వస్తువును 3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చును కనుక్కోండి. (మొత్తం ఖర్చు మార్పురేటు ఉపాంత ఖర్చు).
సాధన:
ఉపాంత ఖర్చు M అనుకుందాం. అప్పుడు
M = \(\frac{\mathrm{dC}}{\mathrm{dx}}\)
కాబట్టి
M = \(\frac{d}{d x}\)(0.005x³ – 0.02x² + 30x + 500)
= 0.005(3x²) – 0.02(2x) + 30
x = 3 వద్ద
(M)_{x = 3} = 0.05 (27) – 0.02(6) + 30
= 30.015
కాబట్టి 3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపాంత ఖర్చు రూ.30.02.

ప్రశ్న 36.
ఒక ఉత్పత్తిని x యూనిట్లు అమ్మగా వచ్చిన మొత్తం ఆదాయం R(x) = 3x² + 36x + 5 అని ఇస్తే, x = 5 అయినప్పుడు ఉపాంత ఆదాయం (మొత్తం ఆదాయంలో మార్పుకేటు) కురుక్కోండి.
సాధన:
ఉపాంత ఆదాయం m అనుకొందాం. అప్పుడు
m = \(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dx}}\) (మొత్తం ఆదాయం R(x))
ఇక్కడ R(x) = 3x² + 36x + 5
∴ m = 6x + 36
x = 5 వద్ద ఉపాంత ఆదాయం
[m = \(\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dx}}\)]_x=5 = 30 + 36 = 66
కాబట్టి ప్రశ్నలో కోరిన ఉపాంత ఆదాయం 66.

ప్రశ్న 37.
y = f(x) = x² + 4 ప్రమేయానికి [-3, 3] అంతరంలో రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
ఇక్కడ f(x) = x² + 4. ఇంకా f ప్రమేయం [–3, 3] పై అవిచ్ఛిన్నం, ఎందుకంటే x² + 4 బహుపది.
f(3) = f(-3) = 13 (-3, 3) లో f అవకలనీయం.
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం f'(c) = 0 అయ్యేటట్లు c ∈ (-3, 3) ఉంటుంది. x = 0 కు f'(x) = 2x = 0
c = 0 ∈ (-3, 3). కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ప్రశ్న 38.
f(x) = x(x + 3)e^-x/2 ప్రమేయానికి [-3, 0] అంతరంలో రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.
సాధన:
ఇక్కడ f(-3) = 0, f(0) = 0 దత్త ప్రమేయం f, [- 3, 0]
పై అవిచ్చిన్నమనీ, (- 3, 0) పై అవకలనీయమని గమనించండి. ఇంకా
f'(x) = \(\frac{\left(-x^2+x+6\right)}{2} e^{\frac{-x}{2}}\)
f'(x) = 0 ⇔ −x2 + x + 6 = 0 ⇔ x = -2 లేదా x = 3. ఈ రెండు విలువలలో x = -2 బిందువు వివృతాంతరం (−3, 0) లో ఉంది. కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ప్రశ్న 39.
f(x) = (x-1) (x – 2) (x – 3). అంతరం (1, 3)లో f‘(c) = 0 అయ్యేటట్లుగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ‘C’ లు ఉన్నాయని చూపండి.
సాధన:
[1, 3] పై f అవిచ్ఛిన్నమనీ, (1, 3) పై f అవకలనీయమనీ f(1) = f(3) = 0 అని గమనించండి.
f(x) = (x − 1) (x − 2) + (x – 1) (x – 3)+ (x – 2)(x − 3)
= 3x² – 12x + 11.
f'(x) = 0 కు మూలాలు \(\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}\)
= 2±\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అవుతాయి.
ఈ రెండు విలువలూ వివృతాంతరం (1, 3) లో అవకలజపు విలువ సున్న అయ్యేటట్లుగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 40.
y = x² వక్రంపై (0, 0), (1, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
జ్యా వాలు \(\frac{1-0}{1-0}\) = 1
అవకలజం \(\frac{d y}{d x}\) = 2x
2x = 1 అయ్యేటట్లు x విలువ కావాలి.
అంటే x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\) విలువ వివృతాంతం (0,1) లో ఉంది. (లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం). దీనికి అనుగుణంగా వక్రంపై
బిందువు (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\))

ప్రశ్న 41.
y = f(x) రేఖాచిత్రం ఉపయోగించకుండా f(x)= 8x + 2 ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
x₁ < x₂ అవుతూ x₁, x₂ ∈ R అనుకొందాం. అప్పుడు 8x₁ < 8x₂ ఈ సమీకరణానికి ఇరువైపులా 2 కలపగా, 8x₁ + 2 < 8x₂ + 2 వస్తుంది. అంటే f(x₁) < f(x₂). కాబట్టి,
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ R. కావున f ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ప్రశ్న 42.
f(x) = e^x ప్రమేయం R పై శుద్ధ ఆరోహణం అని చూపండి. (రేఖాచిత్రం వాడకుండా).
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R, x₁ < x₂ అనుకుందాం. a > b అయితే e^a > e^b అని తెలుసు.
∴ x₁ < x₂ ⇒ \(e^{x_1}\) < \(e^{x_2}\)
అంటే f(x₁) < f(x₂).
కాబట్టి f ప్రమేయం పై శుద్ధ ఆరోహణం.

ప్రశ్న 43.
f(x) = -x + 2 ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం అని చూపండి.
సాధన:
x₁, x₂ ∈ R, x₁ < x₂ అనుకొందాం.
అప్పుడు
x₁ < x₂ ⇒ -x₁ > -x₂
⇒ -x₁ + 2 > −x₂ + 2
⇒ f(x₁) > f(x₂)
∴ f(x) ప్రమేయం R పై శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 44.
f(x) = x² − 3x + 8 ∀ x ∈ R ప్రమేయం ఏ అంతరంలో ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x² – 3x + 8. దీనిని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే f(x) = 2x – 3. x = 3/2 వద్ద f'(x) = 0. కనుక x = 3/2 సందిగ్ధ బిందువు.

(-∞, 3/2 లో f(x) < 0 కనక \(\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)\) అంతరంపై f(x) శుద్ధ అవరోహణం. ఇంకా \(\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\) అంతరంపై f'(x) > 0 కనక \(\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\) అంతరంపై f(x) శుద్ధ ఆరోహణం

ప్రశ్న 45.
f(x) = |x|ప్రమేయం (-∞, 0) అంతరంపై శుద్ధ అవరోహణమనీ, (0, ∞) అంతరంపై శుబ్ధ ఆరోహణమనీ చూపండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = |x| అంటే

కాబట్టి c > 0 అయితే f‘(c) : 1, c < 0 అయితే f'(c) = -1, f(0) వ్యవస్థితం కాదు. (0, ∞) అంతరం పై f(c) > 0 కనక (0, ) అంతరం పై f(x)శుద్ధ ఆరోహణం. (−∞, 0) అంతరం పై f‘(c) < 0 కనక (−∞, 0)అంతరంపై శుద్ధ అవరోహణం.

ప్రశ్న 46.
f(x) = x³ + 5x² – 8x + 1 ∀ x ∈ R ప్రమేయం ఏ అంతరాలలో శుద్ధ ఆరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x³ + 5x² – 8x + 1.

ప్రశ్న 47.
f(x) = x,sup>x (x > 0) ప్రమేయం ఏ అంతరాలపై శుద్ధ ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రమేయం f(x) = x^x. దీనికి రెండు వైపులా సంవర్గమానాలు తీసుకొంటే log (f(x)) = x log x. దీనిని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{1}{f(x)}\)f'(x) = 1 + log x,
∴ f'(x) = x^x (1 + log x),
f'(x) = 0 ⇒ x^x (1 + log x) = 0 … (1)
⇒ 1 + log x = 0
⇒ x = 1/e

x < 1/e అయితే log x < log (1/e) (ఆధారం e > 1).
అంటే log x < −1
అంటే 1 + log x < 0 ⇒ x^x (1 + log x) < 0.
అంటే f'(x) < 0
x > 1/e అయితే log x > log (1/e) అంటే
log x > – 1.
⇒ 1 + log (x) > 0
⇒ x^x (1 + log (x)) > 0
⇒ f'(x) > 0
కనక (0, 1/e) అంతరంలో f శుద్ధ అవరోహణం, (1/e, ∞) అంతరంలో f శుద్ధ ఆరోహణం.

ప్రశ్న 48.
f(x) = \(\frac{2}{(x-1)}\) + 18x ∀ x ∈ R\ {0} ప్రమేయం ఏ అంతరాలలో అవరోహణమో, ఆరోహణమో కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = \(\frac{2}{(x-1)}\) + 18x. దీనిని x దృష్టా అవకలనం చేస్తే
f'(x) = \(\frac{-1}{(x-1)^2}\). 2 + 1. f'(x) = 0
⇒ \(\frac{2}{(x-1)^2}\) = 18 ⇒ (x – 1)² = 1/9
∴ x – 1 = 1/3 లేదా x – 1 = -(1/3) అయితే
f'(x) = 0.
అంటే x = 4/3 లేదా x = 2/3.
f(x) అవకలజాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
\(\frac{18}{(x-1)^2}\). (x − 2/3) (x − 4/3)

ప్రశ్న 49.
[0, 2π] అంతరంపై f(x) = sin x – అనుకొందాం. ఏ అంతరాలపై f(x) శుద్ధ ఆరోహణమో, అవరోహణమో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = sin x cos x.
∴ f(x) = cos x + sin x, దీనిని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
∴ f'(x) = \(\sqrt{2}\) sin(x + π/4)
0 < x < 3π/4 అనుకొందాం.
అప్పుడు π/4 < x + π/4 < π. ∴ sin (x + π/4) > 0. అంటే f'(x) > 0.
ఇదే విధంగా (3π/4, 7π/4) పై f'(x) < 0 అనీ
(7π/4, 2π) పై f'(x) < 0 అనీ చూపవచ్చు.

ప్రశ్న 50.
0 ≤ x ≤ π/2 అయితే x ≥ 2 sin x అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = x – sin x అనుకొందాం.
f'(x) = 1 – cos x ≥ 0 ∀ x (∵ -1 ≤ cos x ≤ 1)
∴ f ఆరోహణ ప్రమేయం.
∴ x ≥ 0
⇒ f(x) ≥ f(0)
⇒ x – sin x ≥ 0 [∵ f(0) = 0]
⇒ x ≥ sin x ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]

ప్రశ్న 51.
f : R → R ప్రమేయాన్ని f(x) = 4x² – 4x + 11 గా నిర్వచిస్తే, ప్రమేయం f పరమ కనిష్ఠ విలువ, పరమ కనిష్ఠ బిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ప్రమేయానికి f(c) పరమ కనిష్ఠ విలువ కావడానికి f(x) ≥ f(c) ∀ x ∈ R అయ్యేటట్లు C ∈ R ఉంటుందా అని చూడాలి.
f(x) = 4x² – 4x + 11 ను పరిగణిద్దాం.
f(x) = (2x – 1)² + 10 ≥ 10 ∀ x ∈ R ….. (1)
ఇప్పుడు f(1/2) = 10 …. (2)
f(x) ≥ f(1/2) ∀ x ∈ R
కాబట్టి f(1/2) = 10, f(x) పరమ కనిష్ఠ విలువ, x = 1/2 పరమ కనిష్ఠ బిందువు.

ప్రశ్న 52.
f: [-2, 2] → R ప్రమేయాన్ని f(x) = |x|గా నిర్వచిస్తే, ఆ ప్రమేయం పరమ గరిష్ఠ విలువ, పరమ గరిష్ఠ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:

అని తెలుసు. [−2, 2] పై f యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని అనుసరించి. f(x) ≤ f(2), f(x) ≤ f(−2) ∀ x ∈ [-2, 2] అన్నది స్పష్టం.

∴ f(2) = f(−2) = 2, f(x) ప్రమేయానికి పరమ గరిష్ఠ విలువ, −2, 2 లు ప్రమేయం fకు పరమ గరిష్ఠ బిందువులు.

ప్రశ్న 53.
f : R → R ప్రమేయాన్ని f(x) = x² గా నిర్వచిస్తే దీని పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలు (వ్యవస్థితం అయితే) కనుక్కోండి.
సాధన:
వాస్తవ సంఖ్య వర్గం ధనాత్మకం కనుక

f(x) ≥ f(0) ∀ x ∈ R … (1)
ఇంకా f(0) = 0
∴ f(x) ≥ f(0) = 0 ∀ x ∈ R ……. (2)
కాబట్టి పరమ కనిష్ఠ విలువ 0. x = 0 పరమ కనిష్ఠ బిందువు. x₀ ∈ R (x_o > 0 )వద్ద f(x) పరమ గరిష్ఠం అనుకొందాం. అప్పుడు మనం అనుకొన్న దాని ప్రకారం
f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ R ….. (3)
x₁ = x₀ + 1గా తీసుకోండి. అప్పుడు x₁ ∈ R, x_o < x₁
∴ \(x_0^2<x_1^2\)
కాబట్టి f(x₀) < (fx₁).
f(x₁) > f(x₀) అయ్యేటట్లు f(x₁) విలువ ఉంది. ఇది (3) కు విరుద్ధం. కాబట్టి f(x) కు పరమ గరిష్ఠం R లో ఉండదు.

ప్రశ్న 54.
f(x) = 3x⁴ – 4x³ + 1, ∀ x ∈ R కు స్థిర బిందువులు కనుక్కోండి. ఈ బిందువులలో ఏవి ప్రమేయం fకు స్థానిక గరిష్టం లేదా స్థానిక కనిష్ఠం అవుతాయో తెలపండి.
సాధన:
f(x) = 3x⁴ – 4x³ + 1, f ప్రదేశం R. f అని అవకలనం చేస్తే,
f'(x) = 12x²(x – 1) …… (1)
f'(x) = 0 అంటే 12x² (x – 1) = 0 మూలాలు విరామ బిందువులు. కాబట్టి x = 0, x = 1 లు విరామ బిందువులు. ఇప్పుడు x = 1 స్థానిక అంత్య బిందువు అవుతుందో లేదో పరిశీలిద్దాం.
f(0.9) = 12(0.9)² (0.9 – 1) ⇒ f'(0.9) రుణాత్మకం,
f(1.1) = 12(1.1)² (1.1 – 1) ⇒ f'(1.1) ధనాత్మకం,
f(x) ప్రమేయం 1 యొక్క ఒక సామీప్యంలో నిర్వచితం. అంటే δ = 0.2 తో (0.8, 1.2) అంతరం 1– యొక్క సామీప్యం.
కాబట్టి x = c వద్ద f(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారితే f కుఁ కనిష్ఠ బిందువు నుంచి x = 1 వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం. కాబట్టి x = 1 స్థానిక అంత్య బిందువు.
ఇప్పుడు మనం x = 0 అంత్య బిందువు అవుతుందో, లేదో పరిశీలిద్దాం. (-0.2, 0.2) అంతరంలో f(x) ప్రమేయం నిర్వచితం.
f'(-0.1) = 12(-0.1)²(-0.1 – 1)
⇒ f(-0.1) రుణాత్మకం,
f(- 0.1) = 12(0.1)² (0.1 – 1) ⇒ f(0.1) రుణాత్మకం,
x = 0 వద్ద f(x) గుర్తు మారడం లేదు. కాబట్టి x = 0 దగ్గర f కు స్థానిక గరిష్ఠం, స్థానిక కనిష్ఠాలు ఉండవు. కాబట్టి x = 0 బిందువు f కు స్థానిక అంత్య బిందువు కాదు.

ప్రశ్న 55.
f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8 ∀ x ∈ R ప్రమేయానికి స్థానిక కనిష్ఠ, స్థానిక గరిష్ఠ బిందువులు (ఉన్నట్లయితే) కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8, ప్రదేశం R.
ప్రమేయాన్ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
f(x) = 3x² − 12x + 12 వస్తుంది.
అంటే f(x) = 3(x – 2)².
f'(x) కు 2 మూలం కనుక
δ = 0.2 గా తీసుకొందాం. (1.8, 2.2) అంతరం 2 యొక్క 0.2- సామీప్యం అవుతుంది. ఇప్పుడు
f'(1.9) = 3(1.9 – 2)² ⇒ f(1.9) ధనాత్మకం.
f'(2.1) = 3(2.1 – 2)² ⇒ f'(2.1) ధనాత్మకం.
కాబట్టి x = 2 వద్ద f(x) గుర్తు మారలేదు.
కాబట్టి x = c వద్ద f(x) గుర్తు మారనట్లయితే f కు x = c స్థానిక గరిష్ట బిందువు కానీ, స్థానిక కనిష్ట బిందువు కానీ కాదు. x = 2, f కు స్థానిక గరిష్ట బిందువూ కాదు. స్థానిక కనిష్ట బిందువూ కాదు.

ప్రశ్న 56.
f(x) = sin 2x ∀ x ∈ [0, 2π] ప్రమేయానికి స్థానిక కనిష్ఠ, స్థానిక గరిష్ఠ బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం f(x) = sin 2x, f ప్రదేశం [0, 2π].
f'(x) = 2cos 2x … (1)
[0, 2π] అంతరంలో ఉండే 2 cos 2x = 0 విరామ బిందువులు \(\frac{\pi}{4}\), 3π/4
x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తిస్తే,

కాబట్టి f(x) గుర్తు x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద ధనాత్మకం నుంచి ఋణాత్మకానికి మారింది.
కాబట్టి x = \(\frac{\pi}{4}\) వద్ద f స్థానిక గరిష్ఠం. ఇప్పుడు x = 3π/4 వద్ద మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తిద్దాం.

కాబట్టి x = 3π/4 వద్ద f'(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది. కాబట్టి x = 3π/4 వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం ఉంది.

ప్రశ్న 57.
f(x) = x³ − 9x² – 48x + 6 ∀ x ∈ R ప్రమేయం స్థానిక అంత్య బిందువులను కనుక్కోండి. దీని అంత్య విలువలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త ప్రమేయం
f(x) = x³ – 9x² – 48x + 6 …….. (1)
ప్రమేయపు ప్రదేశం R (1) ని X దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే, f(x) = 3x² – 18x – 48 = 3(x – 8) (x + 2)…. (2)
కాబట్టి f కు – 2, 8 విరామ బిందువులు (2)ను × దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f”(x) = 6(x – 3) ….. (3) వస్తుంది.
x₁ = – 2, x₂ = 8 అనుకొందాం. ఈ బిందువుల వద్ద రెండో అవకలజపు గుర్తులు తెలుసుకోవడానికి వీటి వద్ద f”(x) విలువలు కనుక్కోవాలి. x = – 2 వద్ద f”(-2) = – 30 దీని గుర్తు రుణాత్మకం.
కాబట్టి x = -2 బిందువు f కు స్థానిక గరిష్ఠ బిందువు, స్థానిక గరిష్ఠ విలువ f(-2) = 58
ఇప్పుడు x₂ = 8 బిందువు వద్ద f”(8) = 30. కాబట్టి x₂ = 8 వద్ద f”(x) ధనాత్మకం. కాబట్టి x₂ = 8 బిందువు f కు స్థానిక కనిష్ట బిందువు, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
f(8) = – 442.

ప్రశ్న 58.
f(x) = x⁶ ∀ x ∈ R అన్ని స్థానిక అంత్య బిందువులను కనుక్కోండి. దీని అంత్య విలువలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁶ …. (1)
(1) ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f(x) = 6x⁵ …… (2)
(2) ను మళ్ళీ x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
f”(x) = 30x⁴ …. (3)
x = 0 మాత్రమే f కు విరామ బిందువు (ఎందుకంటే x = 0 వద్ద మాత్రమే f'(x) = 0)
ఇప్పుడు f'(0) = 0. రెండో అవకలజం పరీక్షననుసరించి స్థానిక అంత్య బిందువు పరంగా x = 0 గురించి నిర్ణయించలేం.
కాబట్టి మొదటి అవకలజ పరీక్షను అనువర్తితం చేద్దాం. f ప్రదేశం R కనుక (-0.2, 0.2) లో f నిర్వచితం, ఇది 0 సామీప్యం. ఇప్పుడు
f(-0.1) = 6(-0.1)5 < 0, f(0.1) = 6(0.1) 5 > 0.
∴ x = 0 వద్ద f(x) గుర్తు రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది.
కాబట్టి ప్రమేయం fకు x = 0 స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ f(0) = 0.

ప్రశ్న 59.
f(x) = cos 4x ∀ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) కి స్థానిక అంత్య బిందువులు, స్థానిక అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ f(x) = cos 4x …… (1)
దీని ప్రదేశం (0, \(\frac{\pi}{2}\))
∴ f'(x) = -4 sin 4x …. (2)
f”(x) = -16 cos 4x …. (3)
= (0, \(\frac{\pi}{2}\)) అంతరంలో ఉండే f(x) విరామ బిందువులు
f'(x) = 0 కి మూలాలు.
f'(x) = 0 – 4 sin 4x = 0
⇒ x = 0, π/4, π/2, 3π/4, π….
f ప్రదేశంలో ఉండే బిందువు x = π/4 మాత్రమే. కాబట్టి x = π/4 బిందువు f కు విరామ బిందువు. ఇప్పుడు
f'(π/4) = -16 cos(π)
= 16 > 0.
∴ f కు స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు
x = π/4 స్థానిక కనిష్ఠ విలువ
f(π/4) = -1.

ప్రశ్న 60.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 15 గా ఉంటూ వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్టం అయ్యే సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక సంఖ్య x అనుకొందాం. మరో సంఖ్య15 – x. రెండు సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం S అనుకొంటే
S = x’ + (15 – x)² —– (1)
వస్తుంది.
ఇక్కడ కనిష్ఠం చేయవలసిన రాశి S, X లో ప్రమేయం.
(1) ని x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dx}}\) = 2x + 2(15 – x) (-1)
= 4x – 30 —— (2)
(2) ను మళ్ళీ x దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,

ప్రశ్న 61.
దీర్ఘ చతురస్రపు చుట్టుకొలత 20 స్థిరంగా ఉంటూ ఏర్పడే దీర్ఘ చతురస్రాల వైశాల్యాలలో గరిష్ఠ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘ చతురస్రం పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా x, y అనుకొందాం. దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత 20.
అంటే 2(x + y) = 20.
అంటే x + y = 10 …. (1)
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యాన్ని A అనుకొందాం. అప్పుడు
A = x y ………. (2)
దీనిని గరిష్టం చేయాలి. సమీకరణం (1) ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
y = 10 – x ….. (3)
సమీకరణం (2), (3) లనుంచి
A = x (10 – x)
అంటే A = 10x – x² ……….. (4)
సమీకరణం (4) ను దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{d A}{d x}\) = 10 – 2x ….. (5)
10 – 2x = 0 మూలం A కు విరామ బిందువు
∴ A విరామ బిందువు x = 5.
(5) ను x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా
\(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~A}}{\mathrm{dx}^2}\) = -2 వస్తుంది
అంటే ఇది రుణాత్మకం. కాబట్టి రెండో అవకలజ పరీక్షను అనుసరించి x = 5 వద్ద A గరిష్ఠం, కాబట్టి y = 10 – 5 = 5, గరిష్ఠ వైశాల్యం A = 5(5) = 25.

ప్రశ్న 62.
(4, 0) నుంచి y² = x వక్రంపై కనిష్ఠ దూరంలో ఉన్న బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:

y² = x పై P(x, y) బిందువు, A(4, 0) అనుకొందాం. PA కనిష్ఠం అయ్యేటట్లు P ని కనుక్కోవాలి
PA = D అనుకొందాం. కనిష్ఠం చేయవలసిన రాశి D.
D = \(\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}\) ….. (1)
P(x, y) వక్రంపై బిందువు, కనుక
y² = x ….. (2)
సమీకరణం (1),(2)ల నుంచి
D = \(\sqrt{\left((x-4)^2+x\right)}\)
D = \(\sqrt{\left(x^2-7 x+16\right)}\) …. (3)
సమీకరణం (3)ను దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే,
\(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{dx}}\) = \(\frac{2 x-7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-7 x+16}}\) . \(\)
ఇప్పుడు \(\frac{d D}{d x}\) = 0 అయితే x = 7/2. కాబట్టి, Dకి 7/2 విరామ బిందువు. మొదటి అవకలజ పరీక్ష అనువర్తితంతో x = 7/2
కనిష్ఠం అవుతుందో కాదో సరి చూద్దాం.

ఇది ధనాత్మకం.
గుర్తు x = 7/2 వద్ద రుణాత్మకం నుంచి ధనాత్మకానికి మారింది. కాబట్టి x = 7/2 వద్ద D కనిష్ఠం. x = 7/2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా వచ్చే సమీకరణం y² = 7/2.

A(4,0) కు కనిష్ఠ దూరంలో ఉండే బిందువులు.

ప్రశ్న 63.
ఇచ్చిన శంకువులో అంతర్లిఖించబడే లంబ వృత్తాకార స్థూపం (right circular cylinder) యొక్క వక్రతల ఉపరితల వైశాల్యం గరిష్టం అయితే
సాధన:
శంకువు ఆధార వృత్త కేంద్రం ౦, దీని ఎత్తు h, దీని ఆధార వృత్త వ్యాసార్థం r అనుకొందాం.
అప్పుడు AO = h, OC = r.
శంకువులో అంతర్లిఖించబడిన స్థూప వ్యాసార్థం x(OE),
దీని ఎత్తు U అనుకొందాం. అంటే,
అంటే RO = QE = PD = u.
ఇప్పుడు AOC, QEC త్రిభుజాలు సరూప త్రిభుజాలు. కాబట్టి


స్థూపం వక్రతల ఉపరితల వైశాల్యం S అనుకొందాం. అప్పుడు
S = 2 π xu
సమీకరణం (1) ప్రకారం,
S = 2 πh (r – x – x²)/r
శంకువు యొక్క r, h లు స్థిరరాశులు. కాబట్టి S అనేది x లో మాత్రమే ప్రమేయం. ఇప్పుడు

కాబట్టి గరిష్ఠంగా అంతర్లింభింపబడే స్థూపం వ్యాసార్థం, శంకువు వ్యాసార్థంలో సగం.

ప్రశ్న 64.
ఒక కంపెనీ రోజుకు x వస్తువులు అమ్మగా వచ్చే లాభ ప్రమేయం P(x) = (150 – x)x – 1600. కంపెనీ గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి ఆ కంపెనీ ఎన్ని వస్తువులను తయారు (ఉత్పత్తి) చేయాలో కనుక్కోండి. గరిష్ఠ లాభాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త లాభ ప్రమేయం
P(x) = (150 – x)x – 1600 …. (1)
P(x) యొక్క గరిష్ఠ లేదా కనిష్టాలకు \(\frac{\mathrm{dP}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = 0
∴ (150 − x) (1) + x (-1) = 0
అంటే x = 75.

లాభ ప్రమేయం P(X) గరిష్ఠం కావడానికి x = 75
∴ కంపెనీ గరిష్ఠ లాభాన్ని పొందడానికి అది రోజుకు 75 వస్తువులను తయారు చేయాలి.
కంపెనీ గరిష్ఠ లాభం P(75) = 4025.

ప్రశ్న 65.
ఒక వర్తకుడు ఒక వస్తువును (5 – x/100) చొప్పున X వస్తువులు అమ్మగలడు. x వస్తువులు కొన్న ఖరీదు రూ. (x/5 + 500). వర్తకుడు గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి అతడు అమ్మవలసిన వస్తువులు ఎన్నో కనుక్కోండి.
సాధన:
x వస్తువులు అమ్మిన ధర S(x), కొన్న ఖరీదు C(x) అనుకొందాం. అప్పుడు
S(x) = {వస్తువు యొక్క అమ్మిన ధర}. x
S(x) = (5 – x/100) x = 5x – x²/100,
C(x) = x/5 + 500
లాభ ప్రమేయం P(x) అనుకొంటే,
P(x) = S(x) – C(x).
అంటే P(x) = (5x – x²/100) – (x/5 + 500)
= (24x/5) – (x²/100) – 500 —— (1)
P(x) గరిష్ఠ, కనిష్ఠాలకు \(\frac{\mathrm{dP}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx}}\) = 0.
అంటే 24/5 – x/50 = 0.
∴ P(x) విరామ బిందువు x = 240. x యొక్క అన్ని విలువలకు
\(\left[\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{dx} \mathrm{x}^2}\right]\) = –\(\frac{1}{50}\)
కాబట్టి వర్తకుడు గరిష్ఠ లాభం పొందడానికి అమ్మవలసిన వస్తువుల సంఖ్య 240.

ప్రశ్న 66.
[-2, 2]పై f ప్రమేయాన్ని f(x) = x² గా నిర్వచిస్తే యొక్క పరమ అంత్య విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
[−2, 2] పై దత్త ప్రమేయం f(x) = x² అవిచ్ఛిన్నం. ఈ ప్రమేయానికి x = 0 ఒకే ఒక స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు, కనిష్ఠ విలువ 0 అని చూపవచ్చు. కాబట్టి f(-2), f(0), f(2) అంటే 4, 0, 4 లలో గరిష్ఠ విలువ f కి పరమ గరిష్ఠ విలువ అవుతుంది.
కాబట్టి f పరమ గరిష్ఠ విలువ 4. ఇదే విధంగా 4, 0, 4 లలో కనిష్ఠ విలువ f కి పరమ కనిష్ఠ విలువ అవుతుంది. కాబట్టి 0, f పరమ కనిష్ఠ విలువ.

ప్రశ్న 67.
[0, 1] అంతరంపై x⁴⁰ – x²⁰ ప్రమేయానికి పరమ గరిష్ఠ, పరమ కనిష్ఠ విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴⁰ – x²⁰ ∀ x ∈ [0, 1] …. (1)
అనుకొంటే [0, 1] అంతరంపై f అవిచ్ఛిన్నం, అంతరం [0, 1] సంవృతాంతరం.
(1) నుంచి
f'(x) = 40 x³⁹ – 20x¹⁹
= 20x¹⁹ (2x²⁰ – 1).
కాబట్టి x = 0 లేదా x = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\) ‘వద్ద
f'(x) = 0.
కాబట్టి f విరామ బిందువులు 0, \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\)
0, f ప్రదేశం చివరి బిందువు. కాబట్టి x = 0 వద్ద f కు స్థానిక అంత్య విలువలు వ్యవస్థితం కావు. ఇప్పుడు
f”(x) = 40(39) x³⁸ – 20(19)x¹⁸
= 20x¹⁸ (78x²⁰ – 19)

కాబట్టి x = (1/2)^(1/20) వద్ద f స్థానిక కనిష్ఠం, స్థానిక కనిష్ఠ విలువ

కాబట్టి f(0), f(1), f\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{20}}\right)\) లలో అతిపెద్దది f పరమ గరిష్ఠం అవుతుంది.