Mahesh

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 5 త్రిపరిమాణ నిరూపకాలు Exercise 5(b)

అభ్యాసం – 5 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
A(-2, 3, 4), B(1, 2, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
AB ని XZ – తలం విభజించే నిష్పత్తి
AB = – y₁ : y₂ = -3 : 2

ప్రశ్న 2.
A (1, 1, 1), B (-2, 4, 1) బిందువులు రెండు శీర్షాలుగా, మూలబిందువు కేంద్రాభాసంగాగల త్రిభుజం ABC కి, శీర్షం ‘C’ నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
A(1, 1, 1), B(-2, 4, 1) లు (x, y, z) బిందువు ∆ABC
యొక్క శీర్షాలు
Gబిందువు ∆ABC కేంద్రాభాసం
G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{1-2+x}{3}, \frac{1+4+y}{3}, \frac{1+1+z}{3}\right)\) = (0, 0, 0)
\(\frac{x-1}{3}\) = 0, \(\frac{y+5}{3}\) = 0, \(\frac{z+2}{3}\) = 0
x – 1 = 0, y + 5 = 0, z + 2 = 0
x = 1
y = -5
z = -2
∴ నిరూపకాలు (1, -5, -2)

ప్రశ్న 3.
(3, 2, -1), (4, 1, 1), (6, 2,5) లు మూడు శీర్షాలుగా, (4, 2, 2) కేంద్రాభాసంగా గల చతుర్ముఖి నాలుగో శీర్షాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. 15, ’14; May’13, ’11, ’05 ]
సాధన:
A(3, 2, -1), B(4,1, 1), C(6, 2, 5), D(x, y, z) లు చతుర్భుజ శీర్షాలు
కేంద్రాభాసం G నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3+4+6+x}{4}, \frac{2+1+2+y}{4}, \frac{-1+1+5+z}{4}\right)\)
= \(\left(\frac{13+x}{4}, \frac{5+y}{4}, \frac{5+z}{4}\right)\) = (4, 2, 2)
\(\frac{13+x}{4}\) = 4
13 + x = 16
x = 16 – 13 = 3

\(\frac{5+y}{4}\) = 2
5 + y = 8
y = 8 – 5 = 3

\(\frac{5+z}{4}\) = 2
5 + z = 8
z = 8 – 5 = 3
D నిరూపకాలు (3, 3, 3)

ప్రశ్న 4.
A = (6, 3, -4), B = (-2, −1, 2) లను కలిపే రేఖా ఖండం \(\overline{\mathrm{A B}}\) మధ్యబిందువుకూ, (3, -1, 2) బిందువుకూ మధ్య గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(6, 3, – 4) B(-2, -1, 2) లు దత్త బిందువులు.
AB మధ్య బిందువు Q.
Q నిరూపకాలు \(\left(\frac{6-2}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)
= (2, 1, -1)
P నిరూపకాలు (3, -1, 2)
PQ = \(\sqrt{(3-2)^2+(-1-1)^2+(2+1)^2}\)
= \(\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\) యూనిట్లు

II.

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (5, 4, 2), (6, 2, −1), (8, −2, −7) సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
A(5, 4, 2), B(6, 2, −1) c(8, -2, -7) లు దత్త బిందువులు.

∴ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 2.
A(3, 2, 4), B(5, 4, – 6), C(9, 8, −10) ∞ సరేఖీయాలు అని చూపి, B, \(\overline{\mathrm{A C}}\) ని విభజించే నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, – 4), B(5, 4, -6) మరియు C(9, 8, -10) లు దత్త బిందువులు

AB + BC = 2\(\sqrt{3}\) + 4\(\sqrt{3}\) = 6\(\sqrt{3}\) = CA
A, B, C లు సరేఖీయాలు
AC ని B విభజించే నిష్పత్తి = AB : BC
= 2\(\sqrt{3}\) : 4\(\sqrt{3}\)
= 1 : 2

III.

ప్రశ్న 1.
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6), C(3, 5, 4), D(5, 8, 5) దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) రేఖలు ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
A(4, 8, 12), B(2, 4, 6) C (3, 5, 4) మరియు D(5, 8, 5) లు దత్త బిందువులు
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}, \frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}, \frac{6 \lambda+12}{\lambda+1}\right]\) ………………… (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{5 \mu+3}{\mu+1}, \frac{8 \mu+5}{\mu+1}, \frac{5 \mu+4}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
దత్తరేఖలు ఖండించుకొంటే ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవించవలెను.
\(\frac{2 \lambda+4}{\lambda+1}\) = \(\frac{5 \mu+3}{\mu+1}\)
(2λ + 4) (μ + 1) = (5μ + 3) (λ + 1) ·
2λμ + 2λ + 4μ + 4 = 5λμ + 5μ + λ + 3
3λμ + λ + μ – 1 = 0
λ(3μ + 1) = -(μ – 1)
λ = – \(\frac{(\mu-1)}{3 \mu+1}\)
\(\frac{4 \lambda+8}{\lambda+1}\) = \(\frac{8 \mu+5}{\mu+1}\)
(4λ + 8) (μ + 1) = (8μ + 5) (λ + 1)
4λμ + 4λ + 8μ + 8 = 8λμ + 8μ + 5λ + 5
4λμ + λ – 3 = 0
(4μ + 1) λ = 3
–\(\frac{(4 \mu+1)(\mu-1)}{3 \mu+1}\) = 3
4μ² – 4μ + μ – 1 = -9μ – 3
4μ² + 6μ + 2 = 0
2μ² + 3μ + 1 = 0
(2μ + 1) (μ + 1) = 0
μ = –\(\frac{1}{2}\) లేదా – 1
μ = -1 అసాధ్యం
μ = – \(\frac{1}{2}\)

ఈ రెండు బిందువులు ఏకీభవిస్తున్నాయి కనుక దత్త రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
A = (7, -6, 1), B = (17, -18,-3), C = (1, 4, -5), D = (3, -4, 11) లు దత్త బిందువులైతే \(\overleftrightarrow{A B}\), \(\overleftrightarrow{C D}\) ఖండన బిందువు కనుక్కోండి.

సాధన:
A(7, -6, 1), B(17, -18, -3), C(1, 4, -5) మరియు D(3, – 4,11) లు దత్త బిందువులు.
AB ని λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}, \frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}, \frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}\right]\) ………………. (1)
CD ని μ : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందు నిరూపకాలు
\(\left[\frac{3 \lambda+1}{\mu+1}, \frac{-4 \mu+4}{\mu+1}, \frac{11 \mu-5}{\mu+1}\right]\) ………………… (2)
\(\frac{17 \lambda+7}{\lambda+1}\) = \(\frac{3 \mu+1}{\mu+1}\)
(17λ + 7) (μ + 1) = (3μ + 1) (λ + 1)
17λμ + 17λ + 7λ + 7 = 3λμ + 3λ + 2λ + 1
14λμ + 16λ +4μ + 6 = 0.
\(\frac{-18 \lambda-6}{\lambda+1}=\frac{-4 \mu+4}{\mu+1}\) ; \(\frac{-3 \lambda+1}{\lambda+1}=\frac{11 \mu-5}{\mu+1}\)
– 18λμ – 6μ – 18λ – 6
= -4λμ + 4λ – 4μ + 4
14λμ +22λ + 2μ + 10 = 0
14λμ +16λ +4μ + 6 = 0 ………………. (1)
14λμ + 22λ + 2μ + 10 = 0 …………….. (2)
తీసివేయగా -6λ + 2μ – 4 = 0
2μ = 6λ + 4
μ = 3λ +2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
14λ (3λ + 2) + 16λ + 4(3λ + 2) + 6 = 0.
42λ² + 28λ + 16λ + 12λ + 8 + 6 = 0
42λ² +56λ + 14 = 0
3λ² +4λ + 1 = 0
(λ + 1) (3λ + 1) = 0
λ = -1 లేదా λ = – \(\frac{1}{3}\)
λ = -1 అసాధ్యం
λ = – \(\frac{1}{3}\)

∴ ఈ రెండు బిందువులు ఒకటే
AB, CD రేఖలు ఖండించుకొంటున్నాయి.
ఖండన బిందువు (2, 0, 3)

ప్రశ్న 3.
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2), C(-9, 6, -3) లు ఒక త్రిభుజం శీర్షాలు, ∠BAC యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{A D}}\), \(\overline{\mathrm{B C}}\) ని D వద్ద ఖండిస్తుంది. D యొక్క నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
A(3, 2, 0), B(5, 3, 2) C(-9, 6, -3) లు ∆ABC శీర్షాలు

AB రేఖ ∠DAC కోణ సమద్విఖండన రేఖ
‘D’ బిందువు BC ని 3 : 13 నిష్పత్తిలో విభజిస్తున్నాయి.
P నిరూపకాలు
\(\left(\frac{3(-9)+13.5}{3+13}, \frac{3.6+13.3}{3+13}, \frac{3(-3)+13.2}{3+13}\right)\)
= \(\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)\)

ప్రశ్న 4.
O(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) Dox సరేఖీయాలని చూపండి. ప్రతిబిందువూ మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే రేఖను ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
0(0, 0, 0), A(2, -3, 3), B(-2, 3, -3) లు దత్త బిందువులు

∴ O, A, B లు సరేఖీయాలు.

AB ని ‘O’ విభజించే నిష్పత్తి
= OA: OB
= \(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = 1 : 1
OB ని A విభజించే నిష్పత్తి
= OA: AB = \(\sqrt{22}\) : 2 \(\sqrt{22}\) = -1 : 2
OA ని B విభజించే నిష్పత్తి
= -AB : BO = − 2\(\sqrt{22}\): \(\sqrt{22}\) – 2\(\sqrt{22}\) : \(\sqrt{22}\) = -2 : 1.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 4 సదిశల సంకలనం Exercise 4(a)

I.

Question 1.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో BC, CD ల మధ్య బిందువులు వరుసగా L, M అయితే
(i) \(\overline{\mathrm{AL}}\), \(\overline{\mathrm{AM}}\) లను \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\) లలో కనుక్కోండి.
(ii) \(\overline{\mathbf{A M}}=\lambda \overline{\mathrm{AD}}-\overline{\mathrm{LM}}\) అయితే λ విలువ కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
∆ABC లో AB, BC, CA ల మధ్య బిందువులు వరుసగా P, Q, R. ‘D’ ఏదైనా బిందువు అయితే,
(i) \(\overline{\mathrm{DA}}+\overline{\mathrm{DB}}+\overline{\mathrm{DC}}\) ను \(\overline{\mathbf{D P}}, \overline{\mathbf{D Q}}, \overline{\mathbf{D R}}\) లలో వ్యక్తపరచండి.
(ii) \(\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{QB}}+\overline{\mathrm{RC}}=\bar{\alpha}\) అయితే \(\bar{\alpha}\) ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
\(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}\) అనుకోండి. \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}\) దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
సదిశలు \(-\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{4} \overline{\mathbf{j}}+\lambda \overline{\mathbf{k}}, \mu \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{8} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{6} \overline{\mathbf{k}}\) సరేఖీయాలైతే, λ, µ లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14; May ’12]
Solution:

Question 5.
పంచభుజి ABCDE లో \(\overline{\mathbf{A B}}, \overline{\mathbf{A E}}, \overline{\mathbf{B C}}, \overline{\mathbf{D C}}, \overline{\mathbf{E D}}\), \(\overline{\mathbf{A C}}\) ల మొత్తం λ \(\overline{\mathbf{A C}}\) అయితే, λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 6.
A, B, C బిందువుల స్దాన దిశలు వరుసగా \(-\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\), \(-4 \overline{\mathbf{i}}+2 \bar{j}+2 \overline{\mathbf{k}}, 6 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-13 \overline{\mathbf{k}}\) అవుతూ \(\overline{\mathbf{A B}}=\lambda \overline{\mathrm{AC}}\) అయితే λ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
‘O’ మూలబిందువు.

Question 7.
\(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{A B}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{B C}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{C D}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\), అయితే \(\overline{O D}\) సదిశను కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:

Question 8.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{5} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{m} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{n} \overline{\mathbf{k}}\) లు సరేఖీయ సదిశలైతే m, n లను కనుక్కోండి. [(T.S), Mar ’15; May ’11]
Solution:

Question 9.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2 i}+\mathbf{4} \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{2 \overline { \mathbf { k } }}\) అయితే \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}\) సదిశకు అభిముఖ దిశలో యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15 ’12, ’04; May ’12]
Solution:

Question 10.
\(3 \bar{i}+5 \bar{j}+2 \bar{k}, 2 \bar{i}-3 \bar{j}-5 \bar{k},-5 \bar{i}-2 \bar{j}+3 \bar{k}\) సదిశలతో ఏర్పడే త్రిభుజం, సమబాహు త్రిభుజం అవుతుందా?
Solution:
∆ABC భుజాలు
\(\overline{\mathrm{AB}}=3 \overline{\mathrm{i}}+5 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)

Question 11.
\(3 \bar{i}-6 \bar{j}+2 \bar{k}\) సదిశ నిరూపక అక్షాలతో ధనాత్మక దిశలో α, β, γ కోణాలు చేస్తుంటే cos α, cos β, cos γ లను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 12.
(1, -3, 2), (3, -5, 1) ల గుండా పోయే సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే కోణాలను కనుక్కోండి.
Solution:
నిరూపకాక్షాలతో యూనిట్ సదిశలు వరసగా \(\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}\).
ఇచ్చిన బిందువు A(1, -3, 2) మరియు B(3, -5, 1) మూల బిందువు ‘O’ అనుకొనుము.

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}=\alpha \overline{\mathbf{d}}, \overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{d}}=\beta \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{d}}=\mathbf{0}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే, ఈ కింది నాలుగు బిందువులు సతలీయాలని చూపండి. [May ’12]
(i) \(-\bar{a}+4 \bar{b}-3 \bar{c}, 3 \bar{a}+2 \bar{b}-5 \bar{c}\), \(-3 \bar{a}+8 \bar{b}-5 \bar{c},-3 \bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

ఏదేని ఒక సదిశను మిగిలిన రెండు సదిశల రేఖీయ సంయోగంగా వ్రాస్తే,

A, B, C, D లు సతలీయాలు.
∴ దత్త బిందువులు సతలీయాలు.

(ii) \(6 \bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}, 2 \bar{a}-\bar{b}+3 \bar{c},-\bar{a}+2 \bar{b}-4 \bar{c}\), \(-12 \bar{a}-\bar{b}-3 \bar{c}\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

Question 3.
\(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{j}}, \overline{\mathbf{k}}\) ధన నిరూపకాక్షాల వెంబడి యూనిట్ సదిశలైతే, \(\mathbf{4} \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}},-\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, 3 \overline{\mathbf{i}}+9 \overline{\mathbf{j}}+4 \overline{\mathbf{k}}\), \(-4 \bar{i}+4 \bar{j}+4 \bar{k}\) అనే నాలుగు బిందువులు సతలీయాలని చూపండి. [Mar. ’14]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C, D లు దత్త బిందువులు.

Question 4.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు అతలీయ సదిశలైతే ఈ కింద ఇచ్చిన స్థాన సదిశల బిందువుల సరేఖీయత పరీక్షించండి.
(i) \(\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}, 2 \bar{a}+3 \bar{b}-4 \bar{c},-7 \bar{b}+10 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C లు దత్త బిందువులు.

(ii) \(3 \bar{a}-4 \bar{b}+3 \bar{c},-4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}\), \(4 \bar{a}-7 \bar{b}+6 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్తబిందువులు

(iii) \(2 \bar{a}+5 \bar{b}-4 \bar{c}, \bar{a}+4 \bar{b}-3 \bar{c}, 4 \bar{a}+7 \bar{b}-6 \bar{c}\)
Solution:
‘O’ మూలబిందువు. A, B, C లు దత్త బిందువులు.

III.

Question 1.
కార్టీసియన్ తలంలో మూలబిందువు O. ఒక వ్యక్తి O నుంచి ఈశాన్య (NORTH-EAST) దిశలో 3 యూనిట్లు నడచి P అనే బిందువును చేరుకున్నాడు. అక్కడనుంచి వాయవ్య (NORTH-WEST) దిశకు సమాంతరంగా 4 యూనిట్లు నడిచి, Q అనే బిందువును చేరుకున్నాడు. OQ సదిశను \(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{j}}\) లలో కనుక్కోండి. (ఇక్కడ ∠XOP = 45°).
Solution:
‘O’ మూలబిందువు
∠ХОР = 45°

Question 2.
O, A, B, X, Y బిందువులు \(\overline{\mathbf{O A}}=\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O B}}=\overline{\mathbf{b}}\), \(\overline{\mathbf{O X}}=3 \overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{O Y}}=\mathbf{3} \overline{\mathbf{b}}\) అయ్యేటట్లు ఉంటే \(\overline{\mathrm{BX}}\), \(\overline{\mathrm{AY}}\) సదిశలను \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లలో రాయండి. ఇంకా P అనే బిందువు AY ను 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తే \(\overline{\mathbf{B P}}\) ని \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లలో రాయండి.
Solution:
\(\overline{O A}=\bar{a}, \overline{O B}=\bar{b}, \overline{O X}=3 \bar{a}, \overline{O Y}=3 \bar{b}\)

Question 3.
∆OAB లో AB మధ్యబిందువు E, OF = 2FA అయ్యేలా OA మీద F ఒక బిందువు. OE, BF ల ఖండన బిందువు C అయితే OC : CE, BC : CF నిష్పత్తులను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
PQ రేఖాఖండాన్ని E బిందువు 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది. PQ రేఖపై లేని బిందువు R. QF : FR = 2 : 1 అయ్యేటట్లు QR మీద F ఒక బిందువు అయితే PR కు EF సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(d)

అభ్యాసం – 8 (డి)

I. క్రింది అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{x^2-6 x+9}\)
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{x^2-6 x+9}\)
= \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 3}\frac{x^2+3 x+2}{(x-3)^2}\)
= \(\frac{9+9+2}{0}\)
= ∞

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1-}\frac{1+5 x^3}{1-x^2}\)
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1-}\frac{1+5 x^3}{1-x^2}\)
= \(\frac{1+5(1)^3}{1-1^2}=\frac{1+5}{1-1}\)
= \(\frac{6}{0}\)
= ∞

ప్రశ్న 3.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{3 x^2+4 x+5}{2 x^3+3 x-7}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-x+7}{x+3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^-x2
సాధన:
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) e^-x2
= \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{1}{e^{x^2}}\)
= \(\frac{1}{\infty}\) = 0 (కనుక e > 1)

ప్రశ్న 6.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{\sqrt{x^2+6}}{2 x^2-1}\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{8|x|+3 x}{3|x|-2 x}\)
సాధన:
x → ∞ ⇒ x > 0 ∴ |x| = x

ప్రశ్న 2.
\(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{x^2+5 x+2}{2 x^2-5 x+1}\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\frac{2 x^2-x+3}{x^2-2 x+5}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{x \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\frac{11 x^3-3 x+4}{13 x^3-5 x^2-7}\) [Mar. ’14]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\underset{x \rightarrow 2}{\text { Lt }}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\frac{5 x^3+4}{\sqrt{2 x^4+1}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) [May, ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) [Mar, ’11]
సాధన:

III.

ప్రశ్న 1.
\(\underset{x \rightarrow-\infty}{\text { Lt }}\left(\frac{2 x+3}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{2+\sin x}{x^2+3}\)
సాధన:

∴ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

ప్రశ్న 3.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{2+\cos ^2 x}{x+2007}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}\)
సాధన:
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}\)
-1 ≤ – cos 3x ≤ 1

⇒ \(\underset{\mathbf{x} \rightarrow \infty}{\text { Lt }}\) f(x) = 6

ప్రశ్న 5.
\(\underset{x \rightarrow\infty}{\text { Lt }}\frac{\cos x+\sin ^2 x}{x+1}\)
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(c)

అభ్యాసం – 8 (సి)

I. క్రింద అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.

సాధన:

ప్రశ్న 2.

సాధన:
y = x – \(\frac{\pi}{2}\) అయితే x → \(\frac{\pi}{2}\) అయినప్పుడు y → 0 అవుతాయి

ప్రశ్న 3.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sin a x}{x \cos x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1}\frac{\sin (x-1)}{\left(x^2-1\right)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sin (a+b x)-\sin (a-b x)}{x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\frac{\tan (x-a)}{x^2-a^2}\) (a ≠ 0) [T.S. Mar. ’15]
సాధన:
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\frac{\tan (x-a)}{x^2-a^2}\)
x = a + h అనుకొందాం x → a అయినప్పుడు h → 0 అవుతాయి.

ప్రశ్న 7.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{7 x}-1}{x}\) [May. ’13]
సాధన:
x → 0 కావున
7x → 0

ప్రశ్న 8.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{3+x}-e^3}{x}\)
సాధన:
e³ \(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}\)
= e³(1) = e³

ప్రశ్న 9.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^x-e^3}{x-3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{e^{\sin x}-1}{x}\)
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 1}\frac{(2 x-1)(\sqrt{x}-1)}{\left(2 x^2+x-3\right)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\left[\frac{x \sin a-a \sin x}{x-a}\right]\) [Mar. ’11]
సాధన:


= sin a – a cos a . 1 = sin a – a cos a

ప్రశ్న 3.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\left[\frac{\cos a x-\cos b x}{x^2}\right]\) [May ’11]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 2}\frac{\left(2 x^2-7 x-4\right)}{(2 x-1)(\sqrt{x}-2)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\log _e(1+5 x)}{x}\)
సాధన:
x → 0 కావున
5x → 0

ప్రశ్న 6.

సాధన:
L.H. నియమం ప్రకారం

III.

ప్రశ్న 1.

సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\left[\frac{3^x-1}{\sqrt{1+x}-1}\right]\)
సాధన:

= \(\frac{\log 3}{\frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{1}{2}}}\) = (2 . log 3)

ప్రశ్న 3.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\left[\frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}\right]\)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow a}\frac{\sin (x-a) \tan ^2(x-a)}{\left(x^2-a^2\right)^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 2 m x}{\sin ^2 n x}\) (m, n ∈ Z)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\sec x-1}{x^2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos m x}{1-\cos n x}\), (n ≠ 0)
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{x\left(e^x-1\right)}{1-\cos x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 11.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{\log \left(1+x^3\right)}{\sin ^3 x}\)
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\stackrel{L t}{x \rightarrow 0}\frac{x \tan 2 x-2 x \tan x}{(1-\cos 2 x)^2}\)
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(i)

కింది సమఘాత సమీకరణ వ్యవస్థలను సాధించండి.

Question 1.
12x + 3y – z = 0, x – y – 2z = 0, 3x + y + 3z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
నిర్ధారకం \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= 2(-3 + 2) – 3(3 + 6) – 1(1 + 3)
= -2 – 27 – 4
= -33 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 2.
3x + y – 2z = 0, x + y + z = 0, x – 2y + z = 0
సూచన: గుణక మాత్రిక నిర్ధారకం సున్న కాకపోతే దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right|\) = 3(1 + 2) – 1(1 – 1) – 2(-2 – 1)
= 9 + 6
= 15 ≠ 0, ρ(A) = 3
కాబట్టి దత్త వ్యవస్థకు x = y = z = 0 అనే తృణప్రాయ సాధన మాత్రమే ఉంటుంది.

Question 3.
x + y – 2z = 0, 2x + y – 3z = 0, 5x + 4y – 9z = 0
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\) = A అనుకొనుము.
|A| = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5)
= 3 + 3 – 6
= 0
∴ A కోటి = 2, ఉప మాత్రిక, \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక, మాత్రిక 3 కనుక.
దత్త వ్యవస్థకు తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – 2R₁, R₃ → R₃ – 3R₁ చేస్తే,
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & -1
\end{array}\right]\)
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – 2z = 0
-y + z = 0
z = k అనుకొంటే, y = k, x = k
∴ x = y = z = k, k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Question 4.
x + y – z = 0, x – 2y + z = 0, 3x + 6y – 5z = 0.
Solution:
గుణక మాత్రిక = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – 3R₁
A ~ \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
⇒ det A = 0 [∵ R₂ = -R₃]
కోటి (A) = 2, ఉపమాత్రిక \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & -3
\end{array}\right]\) సాధారణ మాత్రిక
కనుక. [∵ ρ(A) = 2]
కాబట్టి దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ తృణప్రాయం కాని సాధన ఉంటుంది.
తుల్య సమీకరణ వ్యవస్థ
x + y – z = 0
3y – 2z = 0
z = k అయిన, y = \(\frac{2 k}{3}\), x = \(\frac{k}{3}\)
∴ x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 k}{3}\), z = k
k ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(b)

అభ్యాసం – 8 (బి)

Iలో ప్రమేయాలు 1, 2, 3 లకు, II లో 1, 2 ప్రమేయాలకు వాటికెదురుగా ఇచ్చిన బిందువులు a ల వద్ద కుడి, ఎడమ అవధులను కనుక్కోండి. తద్వారా ఇ ల వద్ద అవధులు ఉన్నాయేమో చూడండి. ప్రమేయాలకు వాటికెదురుగా.

I.

ప్రశ్న 1.
f(x) = ; a = 1
సాధన:

ప్రశ్న 2.
f(x) = ; a = 3
సాధన:

ప్రశ్న 3.
f(x) = ; a = 2.
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
f(x) =
సాధన:

ప్రశ్న 2.
f(x) =
సాధన:

ప్రశ్న 3.

అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
అని చూపండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
x → 0 + ⇒ x > 0 |x| = x

ప్రశ్న 5.
లను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
అని చూపండి.
సాధన:

III.

ప్రశ్న 1.
f(x) =
ఈ ప్రమేయానికి \(\stackrel{L \dagger}{x \rightarrow 0}\) f(x) కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ LHS ≠ RHS
అవధి వ్యవస్థితం కాదు.

ప్రశ్న 2.


సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 8 అవధులు, అవిచ్ఛిన్నత Exercise 8(a)

అభ్యాసం – 8 (ఎ)

I. క్రింది అవధులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow a
\end{gathered}\frac{x^2-a^2}{x-a}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\) (x² + 2x + 3)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\) (x² + 2x + 3) = 1² + 2 . 1 + 3
= 1 + 2 + 3 = 6

ప్రశ్న 3.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{x^2-3 x+2}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{x^2-3 x+2}\)
= \(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\frac{1}{0-0+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 4.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{3}
\end{gathered}\frac{1}{x+1}\)
సాధన.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{3}
\end{gathered}\frac{1}{x+1}\)
= \(\frac{1}{3+1}\)
= \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 5.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\)
= \(\frac{2.1+1}{3.1^2-4.1+5}\)
= \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 6.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{1}
\end{gathered}\frac{x^2+2}{x^2-2}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 2
\end{gathered}\left(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2+4}\right]\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2+4}\right]\)
= \(\frac{0-1}{0+4}\) = –\(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 9.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x^3/2 (x > 0)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x^3/2 (x > 0) = 0^3/2 = 0

ప్రశ్న 10.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) (\(\sqrt{x}\) + x^5/2) (x > 0)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) (\(\sqrt{x}\) + x^5/2)
= \(\sqrt{0}\) + 0^5/2 = 0 + 0 = 0

ప్రశ్న 11.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x² cos \(\frac{2}{x}\)
సాధన:
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) x² . \(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 0
\end{gathered}\) cos \(\frac{2}{x}\) = 0 . k
|k| ≤ 1 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^2-9}{x^3-6 x^2+9 x+1}\)
సాధన:
\(\frac{9-9}{27-6(9)+27+1}=\frac{0}{54-54+1}=\frac{0}{1}\)
= 0

ప్రశ్న 13.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\left[\frac{x-1}{x^2-x}-\frac{1}{x^3-3 x^2+2 x}\right]\)
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}\)
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 3
\end{gathered}\frac{x^2-8 x+15}{x^2-9}\)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
f(x) = –\(\sqrt{25-x^2}\) అయితే
\(\begin{gathered}
\text { Lt } \\
x \rightarrow 1
\end{gathered}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 7 సమతలం Exercise 7(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 7 సమతలం Exercise 7(a)

అభ్యాసం – 7 (ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు నుంచి తలానికి గీసిన లంబపాదం (1, 3, -5) అయితే, ఆ తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
OP రేఖ గమన తలానికి లంబంగా ఉంది. OP యొక్క
D.R లు 1, 3, -5
సమతలము P(1, 3, 5) గుండా పోతుంది. సమతల సమీకరణము
– 1 (x – 1) + 3(y -3) – 5(z + 5) = 0
x – 1 + 3y – 9 – 5z – 25 = 0
x + 3y – 5z – 35 = 0

ప్రశ్న 2.
తలం సమీకరణం x + 2y – 3z – 6 = 0 ని అభిలంబ రూపానికి కుదించండి. [Mar. ’14]
సాధన:
సమతల సమీకరణము x + 2y – 3z-6=0
i.e., x + 2y – 3z = 6
\(\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}\) = \(\sqrt{1+4+9}\)
= \(\sqrt{14}\) తో భాగించగా
అభిలంబ రూపంలో సమతల సమీకరణము
x+y+ z=
\(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\) x + \(\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) \) y + \(\left(\frac{-3}{\sqrt{14}}\right)\) z = \(\frac{6}{\sqrt{14}}\)

ప్రశ్న 3.
X, Y, Z – అంతర ఖండాలు 1, 2, 4 గా కలిగిన సమతలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
అంతరఖండ రూపంలో సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
దత్తాంశం a = 1, b = 2, c = 4.
అంతరఖండ రూపంలో సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}\) = 1
4తో గుణించగా, 4x + 2 y + z = 4

ప్రశ్న 4.
నిరూపకాక్షాలపై 4x + 3y + 2z + 2 = 0 తలం చేసే అంతర ఖండాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
సమతల నిరూపకము 4x + 3y – 2z + 2 = 0
– 4x – 3y + 2z = 2
\(-\frac{4 x}{2}-\frac{3 y}{2}+\frac{2 z}{2}\) = 1
\(\frac{x}{\left(-\frac{1}{2}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{2}{3}\right)}+\frac{z}{1}\) = 1
x – అంతరఖండము = \(\frac{-1}{2}\)
y – అంతరఖండము = \(\frac{-2}{3}\)
z – అంతరఖండము = 1.

ప్రశ్న 5.
x + 2y + 2z – 4 = 0 తలానికి అభిలంబ రేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి. [Mar ’13; May ’12]
సాధన:
సమతల సమీకరణం x + 2y + 2z– 4 = 0
అభిలంబరేఖకు DR లు (1, 2, 2)
\(\sqrt{1+4+4}\) = 3 తో, భాగించగా,
అభిలంబరేఖ D.c. లు \(\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

ప్రశ్న 6.
(−2, 1, 3) గుండాపోతూ, (3, -5, 4) అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలుగా గలిగిన తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ D.r. లు (3, -5, 4) మరియు
తలము (-2, 1, 3) గుండా పోతుంది. ‘
సమతల సమీకరణము
3(x + 2) – 5(y – 1) + 4(z – 3) = 0
3x + 6 – 5y + 5 + 4z – 12 = 0.
3x – 5y + 4z – 1 = 0

ప్రశ్న 7.
4x – 4y + 2z + 5 = 0 సమీకరణాన్ని అంతర ఖండ రూపంలోకి మార్చండి. [May ’12]
సాధన:
సమతల సమీకరణము 4x – 4y + 2z + 5 = 0
– 4x + 4y – 22 = 5
–\(\frac{4x}{5}\) + \(\frac{4y}{5}\) – \(\frac{2z}{5}\) = 1
అంతరఖండ రూపము \(\frac{x}{\left(\frac{-5}{4}\right)}+\frac{y}{\left(\frac{5}{4}\right)}+\frac{z}{\left(-\frac{5}{2}\right)}\) = 1
x – అంతర ఖండము = –\(\frac{5}{4}\)
y – అంతర ఖండము = \(\frac{5}{4}\)
z – అంతర ఖండము = –\(\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 8.
x + 2y + 2z – 5 = 0, 3x + 3y + 2z – 8 = 0 తలాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [T.S Mar. ’15]
సాధన:
సమతలాల సమీకరణాలు x + y + 2z – 5 = 0
3x + 3y + 2z – 8 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
(1, 1,1 ) గుండాపోతూ, x + 2y + 3z – 7=0 తలానికి సమాంతరంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాయండి. [May ’11]
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము x + y + 3z – 7 = 0.
సమాంతర తలం సమీకరణము x + 2 + 3z = k.
ఈ తలం P (1, 1, 1) గుండా పోతూ,
1 + 2 + 3 = k ⇒ k = 6
కావలసిన సమతల సమీకరణము x + 2 y + 3z = 6

ప్రశ్న 2.
(2, 3, 4) బిందువు గుండా పోతూ, X- అక్షానికి లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
సమతలం X అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది.
∴ X – అక్షం సమతలానికి అభిలంబరేఖ
X – అక్షం d.c. లు 1, 0, 0
కావలసిన సమతల సమీకరణము x = k
ఈ తలము P(2, 3, 4) గుండా పోతుంది.
∴ 22 = k
కావలసిన సమతల సమీకరణము x = 2.

ప్రశ్న 3.
2x + 3y + 7 = 0, XY – తలానికి లంబంగా ఉండే + + 7 తలాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము 2x + 3y + 7 = 0
xy తలం సమీకరణము z = 0
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 2.0 + 3.0 + 0.1
= 0 + 0 + 0 = 0
2x + 3y + 7 = 0 తలము XY-తలానికి లంబంగా ఉంది.

ప్రశ్న 4.
x – 2y + kz = 0, 2x + 5y – z = 0 తలాలు పరస్పరం లంబంగా ఉండేటట్లు k విలువ కనుక్కోండి. ఈ తలాలకు లంబంగా ఉంటూ, (1, -1, -1) బిందువు గుండా పోయే తలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త తలాల సమీకరణాలు x – 2 y + kz = 0
మరియు 2x + 5y – z = 0
ఈ తలాలు లంబంగా ఉన్నాయి.
1.2 – 2.5 + k (-1) = 0
2 – 10 = k ⇒ k = -8
సమతల సమీకరణాలు x – 2y – 8z = 0 ……………. (1)
2x + 5y – z. = 0 ………………… (2)
ఈ తలం (1, −1, −1) గుండాపోతూ సమతల సమీకరణాన్ని
a(x + 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0 ……………… (3) గా వ్రాయగలము.
ఈ తలం (1), (2) తలాలకు లంబం
a – 2b – 8c = 0
2a + 5b – c = 0

(3) లో ప్రతిక్షేపించగా, కావలసిన సమతల సమీకరణము
42(x – 1) – 15(y + 1) + 9(z + 1) = 0
42x – 42 – 15y – 15 + 9z + 9 = 0
42x – 15y + 92 – 48 = 0.

ప్రశ్న 5.
(-1, 6, 2) గుండాపోతూ (1, 2, 3), (−2, 3, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A(1, 2, 3), B(-2, 3, 4) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండానికి లంబంగా ఉంది.
AB యొక్క d.r. లు 1 + 2, 2 – 3, 3 – 4
i.e., 3, -1, – 1

AB రేఖ అభిలంబరేఖ సమతలము P(-1, 6, 2) గుండా పోతుంది.
కావలసిన సమతల సమీకరణము
3(x + 1) – 1(y – 6) – 1 (z – 2) = 0
3x + 3 y + 6 – z + 2 = 0
3x = y – z + 11 = 0

ప్రశ్న 6.
(2, 0, 6), (–6, 2, 4) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటూ, దానిని సమద్విఖండన చేసే తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A (2, 0, 6), B(-6, 2, 4) లు దత్త బిందువులు.
AB కి మధ్యబిందువు ‘0’

0 నిరూపకాలు \(\left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right)\) = (-2, 1, 5)
సమతలము AB కి లంబంగా ఉంది.
సమతల అభిలంబరేఖ d.r.లు
2 + 6, 0 – 2, 6 – 4.
8, -2, 2
సమతల సమీకరణము
+8 (x + 2) – 2(y – 1) + 2 (2 – 5) = 0
8x + 16 – 2y + 2 + 2z – 10 = 0
8x – 2y + 2z + 8 = 0

ప్రశ్న 7.
(0, 0, – 4) బిందువు గుండా పోతూ (1, −2, 2); (-3, 1, -2) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉండే ‘తలం సమీకరణం రాయండి.
సాధన:
A(1, -2, 2), B (-3, 1, -2) లు దత్తబిందువులు.
AB యొక్క d.r.లు 1 + 3, -2 – 1, 2 + 2 i. e., 4, -3, 4
AB సమతలానికి లంబంగా ఉంటే P(0, 0, -4) సమతల సమీకరణము
4(x – 0) – 3 (y – 0) + 4(z + 4) = 0
4x – 3y + 4z + 16 = 0

ప్రశ్న 8.
(4, 4, 0) గుండా పోతూ, 2x + y + 2x + 3 = 0, 3x + 3y + 2z – 8 = 0 తలాలకు లంబంగా ఉండే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
(4; 4, 0) గుండా పోయే సమతల సమీకరణం
a(x – 4) + b(y – 4) + c(z – 0) = 0 ……………. (1)
ఈ తలం 2x + y + 2z – 3 = 0
3x + 3y + 2z – 8 = 0 లకు లంబంగా ఉంది.
∴ 2a + b + c = 0 ………………….(2)
3a + 3b + 2c = 0 …………………. (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, సమతల సమీకరణము
-4 (x – 4) + 2(y – 4) + 3(z – 0) = 0
-4x + 16 + 2y – 8 + 3z = 0
-4x + 2y + 3z + 8 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
(2, 2, -1), (3, 4, 2), (7, 0, 6) బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A(2, 2, -1), B (3, 4, 2), C(7, 0, 6) లు దత్త బిందువులు.
A(2, 2, -1) గుండాపోవు సమతల సమీకరణము
a(x – 2) + b(y – 2) + c(z + 1) = 0 ……….. (1)
ఈ సమతలం B(3, 4, 2) మరియు C(7, 0, 6) ల గుండా పోతుంది.
a(3 – 2) + b(4 – 2) + c(2 + 1) = 0
a + 2b + 3c = 0 ……………. (2)
a(7 – 2) + b(0 – 2) + c(6 + 1) = 0
5a – 2b + 7c = 0 ……………. (3)
(2) మరియు (3) ల నుండి

(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, సమతల సమీకరణము
5(x – 2) + 2(y – 2) – 3(z + 1) = 0
5x – 10 + 2y – 4 – 3z – 3 = 0
5x + 2y – 3z – 17 = 0
5x + 2y – 3z = 17

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, 1, 0), (2, 1, -1), (1, 1, 1), (3, 3, 0) సతలీయాలని చూపండి. (మూడు బిందువుల గుండా పోయే తలం సమీకరణం కనుక్కొని నాలుగో బిందువు ఆ తలంపై ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(0, -1, 0) గుండా పోవు సమతల సమీకరణము
ax + b(y + 1) + cz = 0 ………………… (1)
ఈ తలము B(2, 1, – 1), C(1, 1, 1) ల గుండా పోతుంది.
2a + 2b c = 0 ……………….. (2)
a + 2b + c = 0 ……………… (3)
(2) – (3) ⇒ a – 2c = 0 ⇒ a = 2c ⇒ \(\frac{a}{2}=\frac{c}{1}\)
(2) + (3) ⇒ 3a + 4b = 0 ⇒ 3a = -4b
⇒ \(\frac{a}{4}=\frac{b}{-3}\)
∴ \(\frac{a}{4}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{2}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా, ABC తల సమీకరణము
4x – 3(y + 1) + 2 (z – 0) = 0
4x – 3y + 2z – 3 = 0
4x – 3y + 2z – 3 = 4.3 – 3.3.+0.3
= 12 – 9 – 3 = 0
సతలీయాలు A, B, C, D బిందువులు.

ప్రశ్న 3.
(6, – 4, 3), (0, 4, -3) బిందువుల గుండాపోతూ నిరూపకాక్షాలపై అంతర ఖండాల మొత్తం సున్నా అయ్యే తలాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు అంతర ఖండాలు అనుకొనుము.
సమతల సమీకరణము \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
a + b + c = 0
c = – (a + b)
ఈ తలం P (6, – 4, 3), Q(0, 4, – 3)ల గుండా పోతుంది.

a = \(\frac{6}{2}\) = 3
\(\frac{4}{b}-\frac{3}{c}\) = 1 ⇒ 4c – 3b= bc
c = -a – b = -3 – b
4(-3 – b) – 3b = b(-3 – b)
-12 – 4b – 3b = -3b – b²
b² – 4b – 12 = 0
(b – 6) (b + 2) = 0 ⇒ b = 6, -2

సందర్భం i) : b = 6
c = -3 – b = -3 – 6 = -9
సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{9}\) = 1
6x + 3y – 2z = 18

సందర్భం ii): b = -2
c = -3 – b = -3 + 2 = − 1
సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{-1}\) = 1

ప్రశ్న 4.
ఒక తలం నిరూపకాక్షాలను A, B, C బిందువులలో ఖండిస్తుంది. ∆ABC కేంద్రాభాసం (a, b, c) అయితే, తలం సమీకరణం \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3 అని చూపండి.
సాధన:
α, β, γ లు ABC ల సమతలం నిరూపకాక్షాలను చేసే, అంతరఖండాలు అనుకుందాం. అంతరఖండ సమతల సమీకరణము
\(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}\) = 1 …………… (1)

A, B, C ల నిరూపకాలు
A(α, 0, 0), B(0, β, 0), C (0, 0, γ)
∆ABC యొక్క కేంద్రాభాసము G
G నిరూపకలు \(\left(\frac{\alpha}{3}, \frac{\beta}{3}, \frac{\gamma}{3}\right)\) = (a, b, c)
\(\frac{\alpha}{3}\) = a, \(\frac{\beta}{3}\) = b, \(\frac{\gamma}{3}\) = c
α = 3a, β = 3b, γ = 3c
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, ABC తల సమీకరణము
\(\frac{x}{3 a}+\frac{y}{3 b}+\frac{z}{3 c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3

ప్రశ్న 5.
(1, 1, 1), (1, -1, 1), (- 7, -3, -5) బిందువుల గుండాపోయే తలం Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
A(1, 1, 1) గుండా పోయే సమతల సమీకరణము
a(x – 1) + b(y − 1 ) + c(z – 1) = 0 ……………… (1)
ఈ తలం B(1, – 1, 1), C (- 7, – 3, – 5) ల గుండా పోతుంది.
0 – 2b + 0 = 0 = b = 0
zx-తలం సమీకరణము y = 0
0.x + 1. y + 0. z = 0
a. 0 + 0. 1 + c.0 = 0
కావలసిన తలం zx – తలానికి లంబంగా ఉంది.
కనుక Y – అక్షానికి లంబంగా ఉంది.

ప్రశ్న 6.
ax + by + r = 0, by + cz + p = 0, cz + ax + q = 0 సమీకరణాలు వరుసగా XY, YZ, ZX – తలాలకు లంబంగా ఉండే తలాలను సూచిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమతల సమీకరణము
ax + by + c = 0
అభిలంబరేఖ d.r.లు (a, b, c)
XYZ తలం సమీకరణము z = 0
అభిలంబరేఖ d.r.లు (0, 0, 1)
a.0 + b.0 + 0.1 = 0
∴ ax + by + r = 0 తలం xy- తలానికి లంబంగా ఉంది.
ఇదేవిధంగా by + cz + p = 0
yz – తలానికి మరియు cz + ax + q = 0
zx – తలానికి లంబంగా ఉన్నాయని చూపవచ్చును.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(g) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(g)

క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థలు సంగతమో, కాదో పరీక్షించండి. సంగతమైతే పూర్తిగా సాధించండి.

Question 1.
x + y + z = 4
2x + 5y – 2z = 3
x + 7y – 7z = 5
Solutions:

ρ(A) = 2, ρ(AD) = 3
ρ(A) ≠ ρ(AD)
∴ దత్త సమీకరణ వ్యవస్థ అసంగతం.
సాధన లేదు.

Question 2.
x + y + z = 6
x – y + z = 2
2x – y + 3z = 9 [Mar. ’11]
Solution:

Question 3.
x + y + z = 1
2x + y + z = 2
x + 2y + 2z = 1 [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

ρ(A) = 2 = ρ(AB) < 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతం. అనేక సాధనాలు ఉంటాయి.
సాధన సమితి [(x, y, z) 1x = 1, y + z = 0].

Question 4.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Solution:


∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగీతం ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = 1, y = 3, z = 5.

Question 5.
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + 4z = 1
Solution:

∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతం.
ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = -7, y = 22, z = -9.

Question 6.
x – 3y – 8z = -10
3x + y – 4z = 0
2x + 5y + 6z = 13
Solution:
సర్వ మాత్రిక


ρ(A) = ρ(AB) = 2 < 3
∴ దత్త వ్యవస్థ సంగతము అనేక సాధనాలు ఉంటాయి.
x + y = 2, y + 2z = 3
z = k అయిన y = 3 – 2z = 3 – 2k
x = 2 – y
= 2 – (3 – 2k)
= 2 – 3 + 2k
= 2k – 1
∴ సాధన x = -1 + 2k, y = 3 – 2k, z = k, ‘k’ ఒక సంఖ్య.

Question 7.
2x + 3y + z = 9
x + 2y + 3z = 6
3x + y + 2z = 8
Solution:


ρ(A) = ρ(AB) = 3
దత్త వ్యవస్థ సంగతము ఏకైక సాధన ఉంటుంది.
∴ సాధన x = \(\frac{35}{18}\), y = \(\frac{29}{18}\), z = \(\frac{5}{18}\)

Question 8.
x + y + 4z = 6
3x + 2y – 2z = 9
5x + y + 2z = 13
Solution:


ρ(A) = ρ(AB) = 3
∴ దత్త వ్యవస్థ సంగతము ఏకైక సాధనం ఉంటుంది.
∴ సాధన x = 2, y = 2, z = \(\frac{1}{2}\)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(b)

I.

Question 1.
f(x) = e^x, g(x) = log_ex అయితే fog = gof అని చూపండి. f^-1, g^-1 లు కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\) అయితే (fog) (y) = y అని చూపండి.
Solution:
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\)
ఇప్పుడు (fog) (y) = f(g(y))

∴ (fog) (y) = y

Question 3.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 2x² + 3, g(x) = 3x – 2 గా నిర్వచిస్తే
(i) (fog)(x)
(ii) (gof) (x)
(iii) fof (0)
(iv) go(fof) (3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R
f(x) = 2x² + 3; g(x) = 3x – 2
(i) (fog) (x) = f(g(x))
= f(3x – 2), [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2(3x – 2)² + 3, [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 2(9x² – 12x + 4) + 3
= 18x² – 24x + 8 + 3
= 18x² – 24x + 11
(ii) (gof) (x) = g(f(x))
= g(2x² + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 3(2x² + 3) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2
= 6x² + 9 – 2
= 6x² + 7
(iii) (fof) (0) = f(f(0))
= f(2(0) + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= f(3)
= 2(3)² + 3
= 18 + 3
= 21
(iv) go(fof) (3) = go(f (f(3)))
= go(f(2 × 3² + 3)), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= go(f(21))
= g(f(21))
= g(2 × 21² + 3)
= g(885)
= 3(885) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2653

Question 4.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 3x – 1, g(x) = x² + 1 లుగా నిర్వచిస్తే
(i) (fof) (x² + 1)
(ii) fog (2)
(iii) gof (2a – 3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g: R → R
f(x) = 3x – 1; g(x) = x² + 1
(i) (fof) (x² + 1) = f(f(x² + 1))
f[3(x² + 1) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= f(3x² + 2)
= 3(3x² + 2) – 1
= 9x² + 5
(ii) (fog) (2) [Mar. ’13; May ’13]
= f(g(2))
= f(2² + 1), [∵ g(x) = x² + 1]
= f(5)
= 3(5) – 1, [∵ f(x) = 3x – 1]
= 14
(iii) (gof) (2a – 3)
= g(f(2a – 3))
= g[3(2a – 3) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= g(6a – 10)
= (6a – 10)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 36a² – 120a + 100 + 1
= 36a² – 120a + 101

Question 5.
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x అయితే x ∈ (0, ∞) కు (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x, ∀ x ∈ (0, ∞)
(gof) (x) = g(f(x))

Question 6.
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R అయితే (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R
(gof) (x) = g(f(x))
= g(2x – 1), [∵ f(x) = 2x – 1]
= \(\frac{(2 x-1)+1}{2}\), [∵ g(x) = \(\frac{x+1}{1}\)]
= x
∴ (gof) (x) = x

Question 7.
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x ∀ x ∈ R, అయితే ((fo(goh)) (x)) ను కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x, ∀ x ∈ R
[fo(goh) (x)] = [fog(h(x))]
= fog(2x), [∵ h(x) = 2x]
= f[g(2x)]
= f((2x)²), [∵ g(x) = x²]
= f(4x²), [∵ f(x) = 2]
= 2
∴ [fo(goh) (x)] = 2

Question 8.
కింది ప్రమేయాల విలోమాలు కనుక్కోండి.
(i) a, b ∈ R, f : R → R ని f(x) = ax + b (a ≠ 0) గా నిర్వచిస్తే. [Mar. ’13]
Solution:
a, b ∈ R, f : R → R మరియు
f(x) = ax + b, a ≠ 0
y = f(x) = ax + b అనుకోండి
⇒ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = ax + b
⇒ x = \(\frac{y-b}{a}\) ……(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = \(\frac{y-b}{a}\)
⇒ f^-1(x) = \(\frac{x-b}{a}\)

(ii) f : R → (0, ∞) ని f(x) = 5^x గా నిర్వచిస్తే. [(A.P) Mar. ’15, ’11]
Solution:
f : R → (0, ∞), f(x) = 5^x
y = f(x) = 5^x అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = 5^x
⇒ log5(y) = x ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₂(x) అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = log₂(x)
⇒ x = 2^y ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₅(x)

(iii) f : (0, ∞) → R ని f(x) = log₂x గా నిర్వచిస్తే.
Solution:
f : (0, ∞) → R, f(x) = log₂(x)
y = f(x) = log₂(x) అనుకోండి.
y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …….(i)
y = log₂x
⇒ x = 2^y ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = 2^y
⇒ f^-1(x) = 2^x

Question 9.
f(x) = 1 + x + x² + …….. |x| < 1 అయితే f^-1(x) = \(\frac{x-1}{x}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 10.
f : [1, ∞) → [1, ∞), f(x) = 2^x(x-1) గా నిర్వచిస్తే f-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2^x(x-1)
f(x) = y
⇒ x = f^-1(x)

II.

Question 1.
f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\)‚ x ≠ ±1, అయితే (fof^-1)(x) = x అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} అయితే f : A → B, g : B → C లను f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (y, γ)} లుగా నిర్వచిస్తే, f, g లు ద్విగుణ ప్రమేయాలు అని, (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి.
Solution:
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ},
f : A → B, f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
⇒ f(1) = α, f(2) = γ, f(3) = β
∵ A లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు B లో విభిన్న f-ప్రతిబింబాలున్నవి. కనుక f : A → B అన్వేక ప్రమేయం
f వ్యాప్తి = {α, γ, β} = B (సహప్రదేశం)
కనుక f : A → B సంగ్రస్తం
∴ f : A → B ద్విగుణ ప్రమేయం
B = {α, β, γ}, C = {p, q, r), g : B→ C
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
⇒ g(α) = q, g(β) = r, g(γ) = p
∴ B లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు C లో విభిన్న మూలకాలు g-ప్రతిబింబంగా ఉన్నది.
కనుక g : B → C అన్వేక ప్రమేయం.
g వ్యాప్తి g = g(B) = {p, q, r} = C
కనుక g : B → C సంగ్రస్తం
∴ g : B → C ద్విగుణ ప్రమేయం
ఇప్పుడు f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
∴ gof = {(1, q), (2, p), (3, r)}
∴ (gof)^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)} ……..(1)
g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}
f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)}
f^-1og^-1 = {(q, 1), (r, 3), (p, 2)} ……..(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ (gof)^-1 = f^-1og^-1

Question 3.
f : R → R, g : R → R, f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1 గా నిర్వచిస్తే
(i) (gof^-1)(2), (ii) (gof)(x – 1) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08; May ’06]
Solution:
f : R → R, g : R → R and f(x) = 3x – 2
f ద్విగుణ ప్రమేయం ⇒ విలోమం వ్యవస్థితం
y = f(x) = 3x – 2 అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) ……..(i)
y = 3x – 2
⇒ x = \(\frac{y+2}{3}\) ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి

(ii) (gof) (x – 1)
Solution:
(gof) (x – 1) = g(f(x – 1))
= g(3(x – 1) – 2), [∵ f(x) = 3x – 2]
= g(3x – 5)
= (3x – 5)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 9x² – 30x + 26
∴ (gof) (x – 1) = 9x² – 30x + 26.

Question 4.
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}, g-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)} అయితే (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}
∴ f^-1 = {(a, 1), (c, 2), (d, 4), (b, 3)}
g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
∴ g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)}
(gof) = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}
∴ (gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} …….(1)
f^-1og^-1 = {(2, 1), (4, 3), (1, 2), (3, 4)} ………(2)
(1), (2) ల నుండి (gof)^-1 = f^-1og^-1.

Question 5.
f : R → R, g: R → R లను f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5 అయితే (fog)^-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R, f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5
ఇప్పుడు (fog) (x) = f(g(x))
= f(x³ + 5) [∵ g(x) = x³ + 5]
= 2(x³ + 5) – 3, [∵ f(x) = 2x – 3]
f(x) = 2x³ + 7
∴ (fog) (x) = 2x³ + 7
y = (fog) (x) = 2x³ + 7
y = fog(x) = 2x³ + 7
⇒ x = (fog)^-1 (y) ……..(1)
⇒ y = 2x³ + 7
⇒ \(\frac{y-7}{2}\) = x³
⇒ x = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
(fog)^-1 (y) = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(fog)^-1(x) = \(\left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Question 6.
f(x) = x², g(x) = 2^x అయితే (fog) (x) = (gof) (x) సమీకరణం సాధించండి.
Solution:

Question 7.
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1) అయితే, (fofofof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1)
(i) (fofof) (x) = (fof) [f(x)]

(ii) (fofofof) (x)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(f)

I. కింది ఇచ్చిన ప్రతి మాత్రికకూ కోటి కనుక్కోండి.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 0
= 0
| 1 | = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|\)
= 1 – 0
= 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 3.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 0
= 0
|1| = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 4.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right|\)
= 0 – 1
= -1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 5.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
Solution:
\(\left|\begin{array}{cc}
1 & -4 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 3 + 8
= 11 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
Solution:
\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 6 \\
4 & 3
\end{array}\right|\)
= 6 – 24
= -18 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

II.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
= 1(1 – 0) – 0(0 – 0) + 0(0 – 0)
= 1 – 0 + 0
= 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 0) – 2(8 + 1) + 0(0 + 3)
= 6 – 18
= -12 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 3.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\) [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
Det A = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 4) – 2(4 – 3) + 0(8 – 9)
= 2 – 2 + 0
= 0
∴ ρ(A) ≠ 3, ρ(A) < 3
ఉపమాత్రిక నిర్ధారకం \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 3 – 4
= -1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 4.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) [Mar. ’08]
Solution:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
det A = 0, ρ(A) ≠ 3.
ప్రతి 2 × 2 ఉపమాత్రిక det సున్న
∴ ρ(A) ≠ 2
|1| = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 1

Question 5.
\(\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\)
Solution:
ఉపమాత్రిక B నిర్ధారకం = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
-2 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(8 – 3) – 2(6 + 2)
= 5 – 16
= -11 ≠ 0
మాత్రిక కోటి = 3

Question 6.
\(\left[\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
ఉపమాత్రిక A నిర్ధారకం = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
= -1(12 – 4) + 1(4 – 0)
= -8 + 4
= -4 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b)

I.

Question 1.
క్రింది లబ్దాలు సాధ్యమైనప్పుడల్లా కనుక్కోండి.
సూచన: (1 × 3) by (3 × 1) = 1 × 1

Solution:


మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య, రెండవ మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానం కాదు. అందువల్ల మాత్రికా లబ్ధము నిర్వచితము కాదు.

మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య 1 ≠ రెండవ మాత్రికలో అడ్డు వరుసల సంఖ్య 2 కనుక మాత్రిక లబ్ధం నిర్వచితం కాదు.

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే AB, BA లు నిర్వచితమా? అయితే లబ్ద మాత్రికలు కనుక్కోండి. A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయమవుతాయా?
Solution:

AB ≠ BA
∴ A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయము కావు.

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right]\) అయితే A² ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{0} & \mathbf{i} \\
\mathbf{i} & \mathbf{0}
\end{array}\right]\) అయితే
(i) A² = B² = C² = -I [Mar. ’08]
(ii) AB = -BA = -C, (i² = -1) అని చూపండి.
(I అనేది రెండో తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) అయితే, AB ని కనుక్కోండి. BA ని నిర్వచితమైతే కనుక్కోండి.
Solution:

మాత్రిక B లో నిలువు వరుసల సంఖ్య A లో అడ్డు వరుసల సంఖ్య. అందువల్ల BA నిర్వచితం కాదు.

Question 7.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\), A² = O అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’05]
Solution:
A² = O
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
4-4 & 8+4 k \\
-2-k & -4+k^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ 8 + 4k = 0
⇒ 4k = -8
⇒ k = -2

II.

Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\), అయితే A⁴ ని కనుక్కోండి.
సూచన : A వికర్ణ మాత్రిక.
Solution:

Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -1 & -3
\end{array}\right]\), అయితే A³ ను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A³ – 3A² – A – 3I విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

Question 4.
I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\), E = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే (aI + bE)³ = a³I + 3a²bЕ అని చూపండి. [(AP) Mar. ’15, May ’05]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:

III.

Question 1.
A = diag [a₁, a₂, a₃), n ≥ 1 ఒక పూర్ణాంకం అయితే Aⁿ = \(\left[a_1^n, a_2^n, a_3^n\right]\) అని చూపండి.
Solution:

n = k + 1 కి ఇది నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం ద్వారా ప్రతి n ∈ N కు P(n) నిజమవుతుంది.

Question 2.
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\) అయితే \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\
\cos \theta \sin \theta & \sin ^2 \theta
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \phi & \cos \phi \sin \phi \\
\cos \phi \sin \phi & \sin ^2 \phi
\end{array}\right]\) = 0 అని చూపండి. [May ’11; Mar. ’04]
Solution:
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\) + φ

Question 3.
n ధన పూర్ణాంకం, A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) అయితే Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
Solution:
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం ఋజువు చేద్దాం.


∴ n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం n యొక్క అన్ని పూర్ణాంకాలకు నిజం.

Question 4.
A, B లు ఒకే తరగతి చతురస్ర మాత్రికలైతే AB = 0, BA ≠ 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
Solution:

Question 5.
ఒక సహాయనిధికి చెందిన రూ.30,000 లను రెండు రకాల బాండ్లలో మదుపు చేయాలి. మొదటి రకం బాందు సంవత్సరానికి 5% వడ్డీని, రెండవ రకం బాండు సంవత్సరానికి 7% వడ్డీని ఇస్తాయి. మాత్రికల గుణకాన్ని ఉపయోగించి ఈ మొత్తాన్ని ఏవిధంగా విభజిస్తే వడ్డీ (a) రూ.1800 (b) రూ.2000 వస్తుంది.
Solution:
మొదటి బాండును ‘x’ అనుకొనుము.
రెండవ బాండును 30,000 – x అనుకొనుము.
వడ్డీ శాతం 0.05 మరియు 0.07 అనుకొనుము.
(a) [x, 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [1800]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = 1800
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 1800
5x + 21,0000 – 7x = 1,80,000
-2x = 1,80,000 – 2,10,000 = -30,000
x = 15,000
∴ మొదటి బాండ్ = 15,000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 15,000 = 15,000

(b) [x 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [2000]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = [2000]
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 2000
5x + 2,10,000 – 7x = 2,00,000
-2x = 2,00,000 – 2,10,000
-2x = -10,000
x = 5,000
∴ మొదటి బాండ్ = 5000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 5000 = 25,000