Mahesh

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(e)

I.

Question 1.
sin 50° – sin 70° + sin 10° = 0 అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S = sin 50° – sin 70° + sin 10°
= 2 cos\(\left(\frac{50^{\circ}+70^{\circ}}{2}\right)\) sin\(\left(\frac{50^{\circ}-70^{\circ}}{2}\right)\) + sin 10°
= 2 cos 60° . sin(-10°) + sin 10°
= 2(\(\frac{1}{2}\)) (-sin 10°) + sin 10°
= -sin 10° + sin 10°
= 0
∴ sin 50° – sin 70° + sin 10° = 0

Question 2.
\(\frac{\sin 70^{\circ}-\cos 40^{\circ}}{\cos 50^{\circ}-\sin 20^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 3.
cos 55° + cos 65° + cos 175° = 0 అని రుజువు చేయండి.
Solution:
L.H.S = cos 55° + cos 65° + cos 175°
= cos 65° + cos 55° + cos(180° – 5°)
= 2 cos\(\left(\frac{65^{\circ}+55^{\circ}}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{65^{\circ}-55^{\circ}}{2}\right)\) – cos 5°
= 2 cos (60°) . cos (5°) – cos 5°
= 2(\(\frac{1}{2}\)) cos 5° – cos 5°
= cos 5° – cos 5°
= 0
∴ cos 55° + cos 65° + cos 175° = 0

Question 4.
4(cos 66° + sin 84°) = √3 + √15 అని నిరూపించండి.
Solution:
LHS = 4(cos 66° + sin 84°)
= 4[cos 66° + sin (90° – 6°)]
= 4[cos 66° + cos 6°]
= \(4\left[2 \cdot \cos \left(\frac{66^{\circ}+6^{\circ}}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{66^{\circ}-6^{\circ}}{2}\right)\right]\)
= 8 . cos 30° . cos 36°
= \(8 \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)\)
= √3(√5 + 1)
= √3 + √15
∴ 4(cos 66°+ sin 84°) = √3 + √15

Question 5.
cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\) అని రుజువు చేయండి.
Solution:
cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25°
= \(\frac{1}{2}\) [2 cos 20° cos 40° – 2 sin 5° sin 25°]
= \(\frac{1}{2}\) [cos(20° + 40°) + cos(20° – 40°) – {cos (5° – 25°) cos (5° + 25°)}]
= \(\frac{1}{2}\) [cos 60° + cos 20° – cos 20° + cos 30°]
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\)
= \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)
∴ cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)

Question 6.
cos 48° . cos 12° = \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\) అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S = cos 48° . cos 12°
= \(\frac{1}{2}\) (2 cos 48° . cos 12°)
= \(\frac{1}{2}\) [cos (48° + 12°) + cos (48° – 12°)]
= \(\frac{1}{2}\) [cos 60° + cos 36°]
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right]\)
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{2+\sqrt{5}+1}{4}\right]\)
= \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\)
∴ cos 48° . cos 12° = \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\)

II.

Question 1.
cos θ + cos[\(\frac{2 \pi}{3}\) + θ] + cos[\(\frac{4 \pi}{3}\) + θ] = 0 అని చూపండి.
Solution:
LHS = cos θ + cos(120° + θ) + cos(240° + θ)
= cos θ + {cos 120° cos θ – sin 120° sin θ} + {cos 240° cos θ – sin 240° . sin θ}

= cos θ – cos θ
= 0
∴ cos θ + cos(120° + θ) + cos(240° + θ) = 0

Question 2.
sin²(α – π/4) + sin²(α + π/2) – sin²(α – π/2) = \(\frac{1}{2}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
sin x + sin y = \(\frac{1}{y}\), cos x + cos y = \(\frac{1}{3}\) అయితే (i) \(\tan \left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{3}{4}\) (ii) cot(x + y) = \(\frac{7}{24}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
\(\left[A-\frac{\pi}{12}\right] \cdot\left[A-\frac{5 \pi}{12}\right]\) అనేవి π కి పూర్ణాంక గుణిజం కాకపొతే cot(π/2 – A) + tan(π/12 + A) = \(\frac{4 \cos 2 A}{1-2 \sin 2 A}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 5.
4 cos 12° cos 48° cos 72° = cos 36° అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = 4 cos 12° cos 48° cos 72°
= 2 cos 12° {2 cos 72° cos 48°}
= 2 cos 12° {cos(72° + 48°) + cos(72° – 48°)}
= 2 cos 12° {cos(120°) + cos 24°}
= 2 cos 12° {\(-\frac{1}{2}\) + cos 24°}
= 2 cos 12° \(\left\{\frac{-1+2 \cos 24^{\circ}}{2}\right\}\)
= -cos 12° + 2 cos 24° cos 12°
= -cos 12° + {cos(24° + 12°) + cos(24° – 12°)}
= -cos 12° + cos 36° + cos 12°
= cos 36°
∴ 4 cos 12° cos 48° cos 72° = cos 36°

Question 6.
sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° = sin 70° + sin 80° అని నిరూపించండి.
Solution:
L.H.S. = sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50°
= (sin 50°+ sin 10°) + (sin 40° + sin 20°)
= 2 sin\(\left(\frac{50^{\circ}+10^{\circ}}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{50^{\circ}-10^{\circ}}{2}\right)\) + 2 sin\(\left(\frac{40^{\circ}+20^{\circ}}{2}\right)\) . cos\(\left(\frac{40^{\circ}-20^{\circ}}{2}\right)\)
= 2 sin 30° . cos 20° + 2 sin 30° . cos 10°
= 2 sin 30° (cos 20° + cos 10°)
= 2(\(\frac{1}{2}\)) [cos(90° – 70°) + cos(90° – 80°)]
= sin 70° + sin 80°
∴ sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° = sin 70° + sin 80°

III.

Question 1.
cos x + cos y = \(\frac{4}{5}\), cos x – cos y = \(\frac{2}{7}\) అయితే \(14 \tan \frac{x-y}{2}+5 \cot \frac{x+y}{2}\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
కింది సమీకరణంలో హారాలు సున్నా కానప్పుడు,

Solution:

Question 3.
sin A = sin B, cos A = cos B అయితే A = 2nπ + B (n ∈ Z) అని చూపండి.
Solution:

Question 4.
cos nα ≠ 0, cos \(\frac{\alpha}{2}\) ≠ 0 అయితే \(\frac{\sin (n+1) \alpha-\sin (n-1) \alpha}{\cos (n+1) \alpha+2 \cos n \alpha+\cos (n-1) \alpha}\) = tan \(\frac{\alpha}{2}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
sec(θ + α) + sec(θ – α) = 2 sec θ, cos α ≠ 1 అయితే, cos θ = ±√2 cos α/2 అని చూపండి.
Solution:
cos α ≠ 1,
sec(θ + α) + sec(θ – α) = 2 sec θ
⇒ \(\frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}+\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}=\frac{2}{\cos \theta}\)
⇒ \(\frac{\cos (\theta-\alpha)+\cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha) \cdot \cos (\theta-\alpha)}=\frac{2}{\cos \theta}\)
⇒ \(\frac{2 \cos \theta \cdot \cos \alpha}{\cos ^2 \theta-\sin ^2 \alpha}=\frac{2}{\cos \theta}\)
⇒ cos²θ cos α = cos²θ – sin²α
⇒ cos²θ (cos α – 1) = -sin²α
⇒ cos²θ (1 – cos α) = sin²α
⇒ cos²θ (1 – cos α) = 1 – cos²α
⇒ cos²θ = 1 + cos α, [∵ cos α ≠ 1]
⇒ cos²θ = 2 cos²(α/2)
∴ cos θ = ±√2 cos(α/2)

Question 6.
x, y, z లు ఏవీ \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కాకపోయి, sin(y + z – x), sin(z + x – y), sin(x + y – z) లు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే, tan x, tan y, tan z లు కూడా అంకశ్రేఢిలో ఉంటాయని చూపండి.
Solution:
sin(y + z – x), sin(z + x – y), sin(x + y – z) లు A.P. లో ఉన్నవి.
⇒ sin(z + x – y) – sin(y + z – x) = sin(x + y – z) – sin(z + x – y)
⇒ 2 cos z sin(x – y) = 2 cos x sin(y – z)
⇒ cos z [sin x cos y – cos x sin y] = cos x [sin y cos z – cos y sin z]
cos x, cos y, cos z చే భాగించగా
⇒ \(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\sin y}{\cos y}-\frac{\sin z}{\cos z}\)
⇒ tan x – tan y = tan y – tan z
⇒ tan x + tan z = 2 tan y
∴ tan x, tan y, tan z లు A.P. లో వున్నాయి.

Question 7.
x, y, z ∈ R – {0}, x cos θ = y cos(θ + \(\frac{2 \pi}{3}\)) = z cos(θ + \(\frac{4 \pi}{3}\)), θ ∈ R అయితే xy + yz + zx = 0 అని చూపండి.
Solution:
x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0,
x cos θ = y cos(θ + \(\frac{2 \pi}{3}\)) = z cos(θ + \(\frac{4 \pi}{3}\)) = λ అనుకుంటే

Question 8.
A, A + B లు \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కావు, m sin B = n sin(2A + B) అయితే (m + n) tan A = (m – n) tan(A + B) అని చూపండి.
Solution:
A, (A + B) లు \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కావు.

Question 9.
tan(A + B) = λ tan(A – B) అయితే, (λ + 1) sin 2B = (λ – 1) sin 2A అని చూపండి.
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(d)

I.

Question 1.
కింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) \(\frac{\sin 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}\)
Solution:
\(\frac{\sin 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}\)
= \(\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos ^2 \theta}\)
= tan θ

(ii) \(\frac{3 \cos \theta+\cos 3 \theta}{3 \sin \theta-\sin 3 \theta}\)
Solution:
\(\frac{3 \cos \theta+4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta}{3 \sin \theta-\left(3 \sin \theta-4 \sin ^3 \theta\right)}=\frac{4 \cos ^3 \theta}{4 \sin ^3 \theta}=\cot ^3 \theta\)

Question 2.
కింది వాటిని గణించండి.
(i) 6 sin 20° – 8 sin³20°
Solution:
6 sin 20° – 8 sin³20°
= 2(3 sin 20° – 4 sin³20°)
= 2 sin(3 × 20)
= 2 sin 60°
= 2(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= √3

(ii) cos²72° – sin²54°
Solution:

(iii) sin²42° – sin²12°
sin²42° – sin²12°
= sin(42° + 12°) sin(42° – 12°)
= sin 54° . sin 30°
= \(\left[\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right] \frac{1}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{5}+1}{8}\)

Question 3.
(i) \(\frac{\sin 4 \theta}{\sin \theta}\) ను cos³θ, cos θ పదాలలో రాయండి.
Solution:
sin 4θ = sin(3θ + θ)
= sin 3θ cos θ + cos 3θ sin θ
= (3 sin θ – 4 sin³θ) cos θ + (4 cos³θ – 3 cos θ) sin θ
= 3 sin θ cos θ – 4 sin³θ cos θ + 4 cos³θ sin θ – 3 cos θ sin θ
= 4 cos³θ sin θ – 4 sin³θ cos θ
= sin θ (4 cos³θ – 4 sin²θ cos θ)
\(\frac{\sin 4 \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta\left(4 \cos ^3 \theta-4 \sin ^2 \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta}\)
= 4 cos³θ – 4(1 – cos²θ) cos θ
= 4 cos³θ – 4 cos θ + 4 cos³θ
= 8 cos³θ – 4 cos θ

(ii) cos⁶A + sin⁶A ను sin 2A పదాలలో రాయండి.
Solution:
cos⁶A + sin⁶A
= (cos²A)³ + (sin²A)³
= (cos²A + sin²A)³ – 3 cos²A sin²A (cos²A + sin²A)
= 1 – 3 cos²A sin²A
= 1 – \(\frac{3}{4}\) (4 cos²A sin²A)
= 1 – \(\frac{3}{4}\) sin²2A

(iii) \(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}\) ను tan θ/2 పదాలలో రాయండి.
Solution:
\(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}\)

Question 4.
(i) \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, sin α = \(\frac{3}{5}\), అయితే cos 3α ను, tan 2α విలువలను గణించండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

(ii) \(\frac{3 \pi}{2}\) < A < 2π, cos A = \(\frac{7}{25}\), అయితే cot A/2 విలువ కనుక్కోండి.
Solution:
cos A = \(\frac{7}{25}\)
ఇచ్చినవి \(\frac{3 \pi}{2}\) < A < 2π
⇒ \(\frac{3 \pi}{4}<\frac{A}{2}<\pi\)
∴ A, 4వ పాదంలో ఉంది మరియు \(\frac{A}{2}\) రెండవ పాదంలో ఉంది.

(iii) 0 < θ < \(\frac{\pi}{8}\), అయితే \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta)}}}=2 \cos (\theta / 2)\) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
(i) cos 2x + cos²x లకు అంతిమ విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
cos 2x + cos²x = 2 cos²x – 1 + cos²x = 3 cos²x – 1
-1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ cos²x ≤ 1
0 ≤ 3cos²x ≤ 3
-1 ≤ 3cos²x – 1 ≤ 2
గరిష్ట విలువ = 2, కనిష్ఠ విలువ = -1

(ii) 3 sin²x + 5 cos²x లకు అంతిమ విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:
3 sin²x + 5 cos²x
= 3(1 – cos²x) + 5cos²x
= 3 – 3 cos²x + 5 cos²x
= 3 + 2 cos²x
-1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ cos²x ≤ 1
0 ≤ 2 cos²x ≤ 2
3 ≤ 3 + 2 cos²x ≤ 5
గరిష్ఠ విలువ = 5, కనిష్ఠ విలువ = 3

Question 6.
a ≤ cos θ + 3√2 sin[θ + \(\frac{\pi}{4}\)] + 6 ≤ b a గరిష్ట విలువ, b కనిష్ఠ విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
కింది ప్రమేయాల ఆవర్తనాలు కనుక్కోండి.
(i) cos⁴x
Solution:

(ii) \(2 \sin \left[\frac{\pi x}{4}\right]+3 \cos \left[\frac{\pi x}{3}\right]\)
Solution:

(iii) sin²x + 2cos²x
Solution:
Let f(x) = sin²x + 2cos²x
= 1 – cos²x + 2cos²x
= 1 + cos²x
= 1 + \(\frac{1+\cos 2 x}{2}\)
∴ cos 2x = \(\frac{2 \pi}{2}\) = π ఆవర్తనం
∴ f(x) = π ఆవర్తనం

(iv) 2sin[\(\frac{\pi}{4}\) + x] cos x
Solution:

(v) \(\frac{5 \sin x+3 \cos x}{4 \sin 2 x+5 \cos x}\)
Solution:
Let f(x) = \(\frac{5 \sin x+3 \cos x}{4 \sin 2 x+5 \cos x}\)
sin x = 2π ఆవర్తనం
cos x = 2π ఆవర్తనం
sin 2x = \(\frac{2 \pi}{2}\) = π ఆవర్తనం
cos x = 2π ఆవర్తనం
L.C.M. of (2π, 2π, π‚ 2π) = 2π ఆవర్తనం
∴ f(x) = 2π ఆవర్తనం

II.

Question 1.
(i) 0 < A < \(\frac{\pi}{4}\), cos A = \(\frac{4}{5}\) అయితే sin 2A, cos 2A విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:

(ii) \(\frac{\cot ^3 A-3 \cot A}{3 \cot ^2 A-1}\) ధనాత్మకం అయ్యేటట్లు ప్రథమ పాదంలోని A విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:

(iii) \(\frac{\cos 3 A+\sin 3 A}{\cos A-\sin A}\) = 1 + 2 sin 2A అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
(i) \(\cot \left[\frac{\pi}{4}-\theta\right]=\frac{\cos 2 \theta}{1-\sin 2 \theta}\) అని చూపి దాని నుంచి cot 15° విలువను రాబట్టండి.
Solution:

(ii) sin θ = \(\frac{-4}{5}\), θ మూడవ పాదంలోకి కోణం అయితే cosec(θ/2), tan(θ/2) ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:

(iii) 450°< θ < 540°, sin θ = \(\frac{12}{13}\), అయితే sin(θ/2), cos(θ/2) ల విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:

(iv) \(\frac{1}{\cos 290^{\circ}}+\frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 3.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{\sin 2 A}{(1-\cos 2 A)} \cdot \frac{(1-\cos A)}{\cos A}=\tan \frac{A}{2}\)
Solution:

(ii) \(\frac{\sin 2 x}{(\sec x+1)} \cdot \frac{\sec 2 x}{(\sec 2 x+1)}=\tan \left[\frac{x}{2}\right]\)
Solution:

(iii) \(\frac{\left(\cos ^3 \theta-\cos 3 \theta\right)}{\cos \theta}+\frac{\left(\sin ^3 \theta+\sin 3 \theta\right)}{\sin \theta}=3\)
Solution:

Question 4.
(i) cos A = \(\frac{\cos 3 A}{(2 \cos 2 A-1)}\) అని చూపి, దాని నుంచి cos 15° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(ii) sin A = \(\frac{\sin 3 A}{1+2 \cos 2 A}\) అని చూపి, దాని నుంచి sin 15° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(iii) tan α = \(\frac{\sin 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}\) అని చూపి, దాని నుంచి tan 15°, tan 22\(\frac{1^{\circ}}{2}\) ల విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}=4\) [June ’04]
Solution:

(ii) √3 cosec 20° – sec 20° = 4
Solution:
L.H.S. = √3 cosec 20° – sec 20°
= \(\frac{\sqrt{3}}{\sin 20}-\frac{1}{\cos 20}\)

(iii) tan 9° – tan 27° – cot 27° + cot 9° = 4.
Solution:

(iv) \(\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\cos \alpha}{b}\) అయితే a sin 2α + b cos 2α = b.
Solution:
ఇచ్చినది \(\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\cos \alpha}{b}\)
⇒ b sin α = a cos α
L.H.S. = a sin 2α + b cos 2α
= a 2 sin α cos α + b(1 – 2 sin²α)
= 2 sin α (a cos α) + b – 2b sin²α
= 2 sin α (b sin α) + b – 2b sin²α
= 2b sin²α + b – 2b sin²α
= b

Question 6.
(i) ABC త్రిభుజంలో \(\tan \frac{A}{2}=\frac{5}{6}, \tan \frac{B}{2}=\frac{20}{37}\) అయితే, \(\tan \left[\frac{C}{2}\right]=\frac{2}{5}\) అని చూపండి.
Solution:

(ii) cos θ = \(\frac{5}{13}\), 270° < θ < 360° అయితే, sin(θ/2), cos(θ/2) లను గణించండి.
Solution:

(iii) 180°< θ < 270°, sin θ = \(\frac{-4}{5}\) అయితే, sin(θ/2), cos(θ/2) లను గణించండి.
Solution:

Question 7.
(i) \(\cos ^2 \frac{\pi}{8}+\cos ^2 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^2 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^2 \frac{7 \pi}{8}\) = 2 అని నిరూపించండి.
Solution:

(ii) \(\cos ^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos ^4\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\cos ^4\left(\frac{5 \pi}{8}\right)+\cos ^4\left(\frac{7 \pi}{8}\right)\) = \(\frac{3}{2}\) అని చూపండి.
Solution:

III.

Question 1.
(i) \(\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=3\), అయితే tan 3x = 1 అని చూపండి.
Solution:

(ii) \(\sin \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{2 \pi}{5} \cdot \sin \frac{3 \pi}{5} \cdot \sin \frac{4 \pi}{5}=\frac{5}{16}\) అని నిరూపించండి. [Mar. ’13]
Solution:

(iii) \(\cos ^2\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{5}\right)+\cos ^2\left(\frac{3 \pi}{5}\right)\) + \(\cos ^2\left(\frac{9 \pi}{10}\right)\) = 2 అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1-\sec 8 \alpha}{1-\sec 4 \alpha}=\frac{\tan 8 \alpha}{\tan 2 \alpha}\)
Solution:

(ii) \(\left[1+\cos \frac{\pi}{10}\right]\left[1+\cos \frac{3 \pi}{10}\right]\left[1+\cos \frac{7 \pi}{10}\right]\) \(\left[1+\cos \frac{9 \pi}{10}\right]=\frac{1}{16}\) [(AP) Mar. ’15]
Solution:
\(\left(1+\cos \frac{\pi}{10}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{10}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{10}\right)\)

Question 3.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\cos \frac{2 \pi}{7} \cdot \cos \frac{4 \pi}{7} \cdot \cos \frac{8 \pi}{7}\) = \(\frac{1}{8}\)
Solution:

(ii) \(\cos \frac{\pi}{11} \cdot \cos \frac{2 \pi}{11} \cdot \cos \frac{3 \pi}{11} \cdot \cos \frac{4 \pi}{11} \cdot \cos \frac{5 \pi}{11}\) = \(\frac{1}{32}\)
Solution:

Question 4.
(i) α, β లు లఘు కోణాలు, cos α = \(\frac{3}{5}\), cos β = \(\frac{5}{13}\) అయితే, (a) \(\sin ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\frac{1}{65}\) (b) \(\cos ^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{16}{65}\) అని చూపండి.
Solution:

(ii) A అనేది π యొక్క పూర్ణాంక గుణిజం కాకపోతే, cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A = \(\frac{\sin 16 A}{16 \sin A}\) అని నిరూపించండి. దీని నుంచి \(\cos \frac{2 \pi}{15} \cdot \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{16 \pi}{15}=\frac{1}{16}\) అని చూపండి. [May ’13; Mar. ’12]
Solution:
16 sin A {cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A}
= 8(2 sin A . cos A) cos 2A . cos 4A . cos 8A
= 8 sin 2A . cos 2A . cos 4A . cos 8A
= 4(2 sin 2A . cos 2A) . cos 4A . cos 8A
= 4 sin 4A . cos 4A . cos 8A
= 2(2 sin 4A . cos 4A) . cos 8A
= 2 sin 8A . cos 8A
= sin(16A)
∴ 16 sin A {cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A} = sin(16A)
∴ cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A = \(\frac{\sin 16 A}{16 \sin A}\)