Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(b) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(b)
అభ్యాసం – 7 (బి)
I. కింది నిశ్చిత సమాకలనులను గణించండి.
ప్రశ్న 1.
\(\int_0^a\left(a^2 x-x^3\right) d x\)
సాధన:
I = \(\left[\frac{a^2 x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^a\) = \(\frac{a^4}{2}\) – \(\frac{a^4}{4}\) = \(\frac{a^4}{4}\)
ప్రశ్న 2.
\(\int_2^3 \frac{2 x}{1+x^2} d x\) (May ’06) (T.S. Mar. 16)
సాధన:
I = \(\left[\ln \left|1+x^2\right|\right]_2^3\)
= ln 10 – ln 5
= ln(10/5)
= ln 2
ప్రశ్న 3.
\(\int_0^\pi \sqrt{2+2 \cos \theta} d \theta\) (Mar. 05) (A.P. Mar. 16)
సాధన:
I = \(\int_0^\pi \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sqrt{\cos ^2 \frac{\theta}{2} d \theta}\)
= \(\int_0^\pi 2 \cdot \cos \theta / 2 d \theta\)
= \([4 \sin \theta / 2]_0^\pi\)
= 4(sin π/2 – sin 0) = 4
ప్రశ్న 4.
\(\int_0^\pi \sin ^3 x \cdot \cos ^3 x d x\)
సాధన:
I = \(\int_0^\pi\)sin3(π – x) cos3(π – x)dx
= –\(\int_0^\pi\)sin3x cos3 x dx
= -I
⇒ 2I = 0
⇒ I = 0
ప్రశ్న 5.
\(\int_0^2\)|1 – x|dx (May ’11)
సాధన:
ప్రశ్న 6.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^x} d x\)
సాధన:
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x d x}{1+e^x}\) —– (1)
cos x సరి ప్రమేయము
ex సరి, బేసి ప్రమేయాలలో ఏదీకాదు.
ప్రశ్న 7.
\(\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{3-2 x}}\)
సాధన:
3 – 2x = t2
-2dx = 2t dt
dx = -t dt
3 – (2.1) = t2
1 = t2
3 – 2.0 = t2
ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2 d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\pi / 4} \sec ^4 \theta d \theta\)
సాధన:
ప్రశ్న 10.
\(\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x^2+16}} d x\) (T.S. Mar. 17)
సాధన:
x2 + 16 = t2
2x dx = 2t dt
x dx = t dt
9 + 16 = t2
0 + 16 = t2
I = \(\int_4^5 \frac{t d t}{t}\) = \(\int_4^5 \mathrm{dt}\) = \([t]]_5^5\)
= 5 – 4 = 1
ప్రశ్న 11.
\(\int_0^1 x \cdot e^{-x^2} d x\)
సాధన:
I = \(\frac{1}{2} \int_0^1 2 x e^{-x^2} d x\)
⇒ -x2 = t
⇒ -2x dx = dt
2x dx = -dt
x = 1 ⇒ t = 1
x = 0 ⇒ t = 0
ప్రశ్న 12.
\(\int_1^5 \frac{d x}{\sqrt{2 x-1}}\)
సాధన:
2x – 1 = t2 అనుకుందాం. ఎగువ హద్దు : t = 3
2 dx = 2t dt దిగువ హద్దు
dx = t dt
I = \(\int_1^3 \frac{t d t}{t}\) = \(\int_1^3 d t\)
= \([\mathrm{t}]_1^3\) = 3 – 1 = 2
II. క్రింది సమాకలనులను గణించండి.
ప్రశ్న 1.
\(\int_0^4 \frac{x^2}{1+x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 2.
\(\int_{-1}^2 \frac{x^2}{x^2+2} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 3.
\(\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} d x\) (Mar. 11)
సాధన:
ప్రశ్న 4.
\(\int_0^{\pi / 2} x^2 \sin x d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 5.
\(\int_0^4|2-x| d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 6.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x} d x\) (Mar. 08)
సాధన:
ప్రశ్న 7.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 8.
క్రింది అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 9.
సాధన:
ప్రశ్న 10.
సాధన:
ప్రశ్న 11.
సాధన:
ప్రశ్న 12.
సాధన:
ప్రశ్న 13.
సాధన:
ప్రశ్న 14.
సాధన:
ప్రశ్న 15.
సాధన:
= \(\int_0^1 \log x d x\)
log y = -1
⇒ e-1 = y
⇒ y = \(\frac{1}{\mathrm{e}}\)
III. క్రింది సమాకలనులను గణించండి.
ప్రశ్న 1.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{4+5 \cos x}\) (A.P. Mar. 16)
సాధన:
ప్రశ్న 2.
\(\int_a^b \sqrt{(x-a)(b-x)} d x\)
సాధన:
= 0 + \(\frac{(b-a)^2}{8}\)[sin-1(1) – sin-1(-1)]
= \(\frac{(b-a)^2}{8}\left[\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right]\)
= \(\frac{\pi}{8}(b-a)^2\)
ప్రశ్న 3.
\(\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 4.
\(\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x\) (Mar. 08)
సాధన:
ప్రశ్న 5.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{a \sin x+b \cos x}{\sin x+\cos x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 6.
\(\int_0^a x(a-x)^n d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 7.
\(\int_0^2 x \sqrt{2-x} d x\)
సాధన:
I = \(\int_0^a x \cdot \sqrt{2-x} \mathrm{dx}\)
ప్రశ్న 8.
\(\int_0^\pi\) x sin3 x dx
సాధన:
ప్రశ్న 9.
\(\int_0^\pi \frac{x}{1+\sin x} d x\) (May. 11)
సాధన:
= \(\frac{\pi}{2} \cdot 2\) = π
ప్రశ్న 10.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin ^3 x}{1+\cos ^2 x} d x\) (Mar. 11)
సాధన:
ప్రశ్న 11.
\(\int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x\)
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా
dx = sec2 θ dθ
x = 0 ⇒ θ = 0
x = 1 ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
ప్రశ్న 12.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 13.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^2 x}{\cos x+\sin x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 14.
\(\int_0^\pi \frac{1}{3+2 \cos x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 15.
\(\int_0^{\pi / 4}\)log(1 + tan x) dx (A.P. Mar. 16)
సాధన:
ప్రశ్న 16.
\(\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin \pi x| d x\)
సాధన:
= \(\frac{1}{\pi}\) + \(\frac{1}{\pi}\) + \(\frac{1}{\pi^2}\) + \(\frac{1}{\pi}\)
= \(\frac{3}{\pi}\) + \(\frac{1}{\pi^2}\)
ప్రశ్న 17.
\(\int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 18.
\(\int_0^1 x \tan ^{-1} x d x\)
సాధన:
\(\int_0^1 x \cdot \tan ^{-1} x d x\)
x = tan θ అనుకుంటే ⇒ dx = sec2 θ dθ
x = 0 ⇒ θ = 0;
x = 1 ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
I = \(\int_0^{\pi / 4} \theta \cdot \tan \theta \cdot \sec ^2 \theta d \theta\)
ప్రశ్న 19.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x\)
సాధన:
ప్రశ్న 20.
f : R → R అవిచ్ఛిన్న ఆవర్తన ప్రమేయం. దీనికి T ఒక ఆవర్తనం అనుకుందాం. a ∈ R అయితే ప్రతి ధన పూర్ణాంకం n కి
అని చూపండి.
సాధన:
ఇదే విధంగా (1) లోని ప్రతి సమాకలని \(\int_a^{a+T} f(x) d x\) కు సమానమని చూపగలము
