AP State Board Notes

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 5th Lesson భిన్నాలు – దశాంశ భిన్నాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 5th Lesson భిన్నాలు – దశాంశ భిన్నాలు

→ భిన్నం అనగా ఒక వస్తువు లేదా వస్తు సముదాయంలో కొంతభాగం.
ఉదాహరణ : భిన్నం \(\frac{3}{5}\) అనేది 5 భాగాలలో 3 భాగాలు అని తెలియజేస్తుంది.
\(\frac{3}{5}\) లో 3ను లవం అని, 5ను హారం అని అంటారు.

→ భిన్నాలు – రకాలు :
(i) క్రమ భిన్నం : భిన్నంలో లవం, హారం కన్నా తక్కువ అయితే ఆ భిన్నాన్ని క్రమభిన్నం అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{14}{19}\)……………
క్రమభిన్నం విలువ ఎల్లప్పుడు 1 కన్నా తక్కువ.

(ii) అపక్రమ భిన్నం : భిన్నంలో హారం కన్నా లవం ఎక్కువ లేదా సమానంగా గల భిన్నాన్ని అపక్రమభిన్నం అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{7}{3}, \frac{11}{5}, \frac{5}{5}\)
అపక్రమ భిన్నం విలువ ఎల్లప్పుడు 1 లేదా 1 కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

(iii) మిశ్రమ భిన్నం : పూర్ణాంకం మరియు క్రమభిన్నాలు సమూహంగా గల భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నం అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{11}{5}, \frac{4}{3}, \frac{15}{7}\)

→ సమాన భిన్నాలు : ఒకే విలువను కలిగి వేర్వేరు రూపాలలో గల భిన్నాలను సమాన భిన్నాలు అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\) = ………….
ఒక భిన్నం యొక్క లవ, హారాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం లేదా భాగించడం ద్వారా సజాతి భిన్నాలు రాయవచ్చును.

→→ సజాతి భిన్నాలు : ఒకే హారం కల్గియున్న భిన్నాలను “సజాతి భిన్నాలు” అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{18}{12}\)………………..

→ విజాతి భిన్నాలు : వివిధ (వేర్వేరు) రకాల హారాలతో కూడియున్న భిన్నాలను “విజాతి భిన్నాలు” అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{6}{11}\) ………….

→ భిన్నాల కనిష్ఠదూరం : భిన్నంలో లవం మరియు హారాలకు 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం (లవ, హారాల గ.సా.భా 1) లేనట్లయిన ఆ భిన్నం కనిష్ఠ రూపంలో ఉంది అంటాము.
ఉదాహరణ : \(\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{4}{8}\)……… యొక్క కనిష్టరూపం = ;

→ భిన్నాల పోలిక :
(i) రెండు భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉంటే, వాటిలో లవం తక్కువ గల భిన్నం వాటిలో చిన్న భిన్నం అవుతుంది.
ఉదాహరణ : \(\frac{2}{7}\) మరియు \(\frac{5}{7}\) లలో \(\frac{2}{7}, \frac{5}{7}\) కన్నా చిన్నది.
\(\frac{2}{7}<\frac{5}{7}\)

(ii) రెండు భిన్నాలు ఒకే లవం కలిగి ఉంటే, వాటిలో హారం తక్కువగాగల భిన్నం పెద్ద భిన్నం అవుతుంది.
\(\frac{2}{7}\) మరియు \(\frac{2}{11}\)లలో \(\frac{2}{7}, \frac{2}{11}\) కన్నా పెద్దది.
\(\frac{2}{7}<\frac{2}{11}\)

(iii)విజాతి భిన్నాలను క.సా.గు ద్వారా సజాతి భిన్నాలుగా మార్చి పోల్చుతాం.
\(\frac{2}{5}\) మరియు \(\frac{3}{4}\) లను పోల్చుదాం.
5, 4 ల క.సా.గు.

→ భిన్నాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం :
(i) సజాతి భిన్నాల సంకలనం, వ్యవకలనం :
సజాతి భిన్నాలను కూడిక లేదా తీసివేసేటప్పుడు లవాలను మాత్రమే కలపడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా వచ్చిన ఫలితాన్ని లవంగాను, సామాన్య హారాన్ని హారంగాను రాస్తాము.
ఉదా : \(\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3+2}{7}=\frac{5}{7}, \frac{3}{7}-\frac{2}{7}=\frac{3-2}{7}=\frac{1}{7}\)

(ii) విజాతి భిన్నాల సంకలనం, వ్యవకలనం :
విజాతి భిన్నాల కూడిక లేదా తీసివేత చేయుట.
అ) హారాల క.సా.గు. కనుగొనడము.
ఆ) భిన్నాలలో హారాన్ని, సమానం చేసి సజాతి భిన్నాలుగా మార్చడము.
ఇ) సజాతి భిన్నాలను కూడిక లేదా తీసివేత చేయడం.

→ భిన్నాల గుణకారం :
(i) భిన్నాన్ని ఒక పూర్ణాంకంతో గుణించటం :
భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో గుణించునపుడు మొదట పూర్ణాంకంచే భిన్నంలో లవాన్ని గుణించి, భిన్నంలో హారాన్ని అదేవిధంగా రాయాలి.
ఉదాహరణ : 2 × \(\frac{3}{5}=\frac{2 \times 3}{5}=\frac{6}{5}\)

(ii) మిశ్రమ భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంచే గుణకారం చేయాలంటే ముందుగా మిశ్రమ భిన్నాన్ని, అపక్రమ భిన్నంగా మార్చి పై విధంగా గుణించాలి.
2 × \(3 \frac{5}{7}=2 \times \frac{26}{7}=\frac{2 \times 26}{7}=\frac{52}{7}\)

→ భిన్నాన్ని, భిన్నంతో గుణించడము :
భిన్నాన్ని, భిన్నంతో గుణకారం చేయాలంటే రెండు భిన్నాలలోని లవాలను గుణించి లబ్దాన్ని లవంగాను, హారాన్ని హారంతో గుణించి లబ్దాన్ని హారంగాను రాయాలి.
ఉదాహరణ : \(\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}=\frac{3 \times 4}{5 \times 7}=\frac{12}{35}\)

→ భిన్నాల భాగహారము :
(i) పూర్ణాంకాన్ని భిన్నంచే భాగించుట :
పూర్ణాంకాన్ని భిన్నంచే భాగించాలంటే పూర్ణాంకాన్ని భాగించాల్సిన భిన్నం యొక్క వ్యుత్రమం (గుణకార విలోమం)చే
3 ÷ \(\frac{2}{5}=3 \times \frac{5}{2}=\frac{15}{2}\) (\(\frac{2}{5}\) యు వ్యుత్తమం \(\frac{5}{2}\))

(ii) భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంచే భాగించుట : భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంచే భాగించాలంటే, ఆ భిన్నాన్ని భాగించాల్సిన పూర్ణాంకం యొక్క వ్యుత్ర మంచే గుణించాలి.
\(\frac{2}{3} \div 5=\frac{2}{3} \times \frac{1}{5}=\frac{2}{15}\) (5 యొక్క వ్యుత్రమం \(\frac{1}{5}\))

గమనిక : పూర్ణాంకాన్ని మిశ్రమ భిన్నంచే గుణించాల్సి వచ్చినా లేదా మిశ్రమభిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించాల్సి వచ్చినా మొదట మిశ్రమ భిన్నాన్ని, అపక్రమభిన్నంగా మార్చి పై తెల్పినవిధంగా భాగహారం చేయాలి.

(iii) భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో భాగించడము :
ఒక భిన్నాన్ని, మరొక భిన్నంతో భాగించాల్సి వచ్చినపుడు మొదటి భిన్నాన్ని (భాగింపబడుతున్న), రెండవ భిన్నం (భాగిస్తున్న) యొక్క వ్యుత్ర మంచే గుణించాలి.
ఉదాహరణ : \(\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}=\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}\)
\(\frac{5}{7}\) యొక్క వ్యతమం \(\frac{7}{5}\)

→ దశాంశ సంఖ్యలు :
భిన్నం యొక్క మరొక రూపమే దశాంశము. హారం 10, 100, 1000, 10000, ……. గా గల భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలని అంటారు.
ఉదాహరణ :
\(\frac{1}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{100}, \frac{345}{100}, \frac{674}{10000}\)

• \(\frac{1}{10}\)ని 0.1 గా రాస్తాము. 0.1 ని దశాంశం అని అంటారు.
• \(\frac{1}{100}\) = 0.01 గా రాస్తాము. 0.01 ని శతాంశం అని అంటాము. 100
• \(\frac{1}{1000}\) = 0.001 గా రాస్తాము. 0.001 ని సహస్రాంశం అని అంటారు. 1000

\(\frac{45}{10}=4 \frac{5}{10}\) = 4.5
\(\frac{473}{100}=4 \frac{73}{100}\) = 4.73లో
4ను పూర్ణాంకభాగం అని, 73ను దశాంశ భాగం అని, ‘.’ ను దశాంశ బిందువు అని అంటారు.

పూర్ణాంకభాగం ఎల్లప్పుడు 0 లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ ఉంటుంది. దశాంశ భాగం ఎల్లప్పుడు 1 కన్నా తక్కువ.

→ దశాంశ భిన్నాల స్థానవిలువలు – విస్తరణ రూపం :

= 4 × 1000 + 3 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1 + 4 × \(\frac{1}{10}\) + 6 × \(\frac{1}{100}\) + 5 × \(\frac{1}{1000}\)
= 4 వేలు + 3 వందలు + 7 పదులు + 2 ఒకట్లు + 4 దశాంశాలు + 6 శతాంశాలు + 5 సహస్రాంశాలు

→ భిన్నాలను దశాంశరూపంలోనికి, దశాంశరూపం నుండి భిన్నరూపంలోకి మార్చడము :
(i) హారం 10, 100, 1000, …… గా గల భిన్నాలను సులభంగా దశాంశరూపంలోనికి మార్చవచ్చును. ..

హారంలో 10 ఉన్నప్పుడు దశాంశస్థానాల సంఖ్య 1. 100 ఉన్నప్పుడు దశాంశ స్థానాల సంఖ్య 2. 1000 ఉన్నప్పుడు దశాంశ స్థానాల సంఖ్య 3 వస్తాయి.

(ii) సామాన్య భిన్నాలను 10, 100, 1000, ……… హారాలుగా గల సమాన భిన్నాలుగా మార్చి పై విధంగా దశాంశ రూపాన్ని రాస్తాము.

→ సమాన దశాంశ భిన్నాలు :

∴0.4 = 0.40 = 0.400 అవుతాయి.

→ సజాతి, విజాతి దశాంశ భిన్నాలు :
(i) సజాతి దశాంశ భిన్నాలు : సమానసంఖ్యలో దశాంశ స్థానాలను కలిగిన దశాంశ భిన్నాలను సజాతి దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.
ఉదాహరణ : 0.7, 1.3, 7.4, 12.6 ఒక దశాంశస్థానం కలిగినవి.
0.34, 6.73, 9.46, 13.98 రెండు దశాంశ స్థానాలు కలిగినవి.

(ii) విజాతి దశాంశ భిన్నాలు : వేర్వేరు సంఖ్యలో దశాంశస్థానాలను కలిగిన దశాంశ భిన్నాలను విజాతి దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.
ఉదాహరణ : 0.7, 6.73, 4.762, …… .

→ దశాంశ భిన్నాల పోలిక, క్రమం :
దశాంశ భిన్నాలను పోల్చడానికి మనం కింది సోపానాలు అనుసరించాలి.

• సోపానం 1: ఇచ్చిన దశాంశాలను సజాతి దశాంశాలుగా మార్చుకోవాలి.
• సోపానం 2 : ముందు పూర్ణాంక భాగాలను పోల్చి, పూర్ణాంక భాగంలో ఏది పెద్దదైతే అది పెద్దది.
• సోపానం 3 : పూర్ణాంక భాగాలు సమానం అయితే దశాంశ భాగంను పోల్చి, దశాంశ భాగంలో ఏది పెద్దదైతే అది పెద్దది. అంది.
• సోపానం 4 : పూర్ణాంక భాగం మరియు దశాంశభాగం రెండూ సమానమైతే పై విధానాన్ని శతాంశానికి అమలు పరచాలి.

ఉదాహరణ: 3.637 మరియు 3.654 లలో
3.654 > 3.637 (పూర్ణాంకభాగం, దశాంశ భాగం సమానం కావున శతాంశభాగం ఆధారంగా పోల్చాము)

→ దశాంశ భిన్నాల సంకలనం, వ్యవకలనమును ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నాలను సజాతి దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చి పూర్ణాంకాల సంకలనం, వ్యవకలనం వలే చేయాలి.
ఉదా : 3.4 + 7.63 + 34.379 :

→ దశాంశ భిన్నాలను మనం ద్రవ్యం, దూరం, పొడవు, బరువు మరియు పరిమాణాలతో ఉపయోగిస్తాము.

• 100 పైసలు = ₹ 1 కావున 1 పైసా = ₹ \(\frac{1}{100}\) = ₹ 0.01
• 100 సెం.మీ. = 1 మీ. కావున 1 సెం.మీ. \(\frac{1}{100}\) మీ. = 0.01 మీ.
• 1000 మీ. = 1 కి.మీ. కావున 1 మీ. = \(\frac{1}{1000}\) కి.మీ. = 0.001 కి.మీ.
• 1000 గ్రా. = 1 కి.గ్రా. కావున 1 గ్రా. .= \(\frac{1}{1000}\) కి.గ్రా. = 0.001 కి.గ్రా.
• 1000 మి.లీ. = 1 లీ. కావున 1 మి.లీ. = \(\frac{1}{1000}\) లీ. = 0.001 లీ.

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 4th Lesson పూర్ణసంఖ్యలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 4th Lesson పూర్ణసంఖ్యలు

→ బ్రహ్మగుప్త (598-670 AD):
మొట్టమొదటిసారిగా రుణ సంఖ్యలను సూచించడానికి ప్రత్యేక గుర్తు (-) వాడినట్లు తెలుస్తున్నది. ధనాత్మక మరియు రుణాత్మక పరిమాణాలను తెలుసుకోవడానికి కొన్ని సూత్రాలు ప్రతిపాదించాడు.
పూర్ణ సంఖ్యలను సూచించుటకు “Z” అనే అక్షరాని జర్మను మొదటిసారిగా వాడారు. “Z” అంటే జర్మన్ భాషలో ‘జెలెస్’ “Zehlen” అంటే “సంఖ్య” అని అర్థం.

→ సున్న కన్నా చిన్న సంఖ్యలను రుణసంఖ్యలు అంటారు. సున్న కన్నా పెద్ద సంఖ్యలను ధన సంఖ్యలు అంటారు. సున్న (0) అనేది ధన సంఖ్య కాదు మరియు రుణ సంఖ్య కాదు.

→ ధన పూర్ణసంఖ్యలు, సున్న మరియు రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కలిసి పూర్ణసంఖ్యలు ఏర్పడతాయి. పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యాసమితిని “Z” లేదా “I” అనే అక్షరాలతో సూచిస్తారు.
Z = {……….. – 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….}
ఏదైనా సంఖ్యకు గుర్తు ఇవ్వనిచో దానిని ధనసంఖ్యగా పరిగణిస్తాము.

→ సంఖ్యారేఖ పై రుణపూర్ణ సంఖ్యలను సున్న (0) కు ఎడమవైపున, ధనపూర్ణ సంఖ్యలను సున్న (0) కు కుడివైపున సూచిస్తూ సంఖ్యారేఖను గీస్తాము.

→ పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యారేఖను నిలువుగా కూడా గీయవచ్చును. నిలువుగా గీచిన సంఖ్యారేఖపై సున్న (0)కు పై భాగంలో ధన పూర్ణ సంఖ్యలను, సున్న (0) కు కింది భాగాన రుణ పూర్ణసంఖ్యలను సూచిస్తాము.
→ సహజసంఖ్యలు N = {1,2,3,4, ….} లను ధనపూర్ణసంఖ్యలు (Z⁺) అని, పూర్ణాంకాలను W = {0, 1, 2, 3, 4, …} లను రుణేతరపూర్ణసంఖ్యలు అనీ, {…….. – 4, -3, -2, -1} లను రుణపూర్ణసంఖ్యలు (Z^–) అని అంటాము.

→ సున్న (0) ధనపూర్ణ సంఖ్య కాదు, రుణ పూర్ణ సంఖ్య కాదు. రుణ పూర్ణసంఖ్యలు ఆ ధన పూర్ణసంఖ్యలు

→ సంఖ్యారేఖ పై కుడివైపునకు పోయే కొలదీ సంఖ్య విలువ పెరుగుతుంది. అలాగే ఎడమవైపుకు పోయే కొలదీ తగ్గుతుంది. అనగా సంఖ్యారేఖ పై ఒక సంఖ్యకు కుడివైపుగల సంఖ్య ఆ సంఖ్య కన్నా పెద్దది. అలాగే ఎడమవైపుగల సంఖ్య ఆ సంఖ్య కన్నా చిన్నది.

-2నకు -1 కుడివైపున కలదు కావున -1 > -2 –
అలాగే – 2 నకు – 4 ఎడమవైపు కలదు కావున 4 < -2

సంఖ్యారేఖపై సంకలనం చేయుటకు ధనసంఖ్యను కూడవలసిన సందర్భంలో కుడివైపునకు, రుణసంఖ్యను కూడవలసిన సందర్భంలో ఎడమవైపునకు కదలాలి.
ఉదా : (i) 3 + (-1)

(ii) (-3) + (-2)

→ ఏవేని రెండు సంఖ్యల మొత్తం సున్న (0) అయితే ఆ సంఖ్యలను ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమం అంటారు.
ఉదా : (3) + (-3) = 0 కావున 3 యొక్క సంకలన విలోమం = -3
-3 యొక్క సంకలన విలోమం = 3

→ a ఏదేని పూర్ణ సంఖ్య అయిన a యొక్క సంకలన విలోమం =-a
అలాగే -a యొక్క సంకలన విలోమం = a
∴ -(-a) = a .

→ రెండు ధనపూర్ణసంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడు ధనపూర్ణసంఖ్య మరియు రెండు రుణపూర్ణసంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడు రుణ పూర్ణసంఖ్య.

→ ఒక ధనపూర్ణసంఖ్య, మరొక రుణపూర్ణసంఖ్యల మొత్తం ఒక ధనపూర్ణసంఖ్య లేదా ఒక రుణపూర్ణసంఖ్య లేదా సున్న కావచ్చును.

→ ఒక సంఖ్యను సంఖ్యారేఖ పై మరొక సంఖ్య నుండి తీసివేయు (వ్యవకలనం) సందర్భంలో ధన సంఖ్యను తీసివేయు సందర్భంలో ఎడమవైపునకు, రుణసంఖ్యను తీసివేయు సందర్భంలో కుడివైపునకు కదలాలి.
ఉదా : 6 – 3

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 3rd Lesson గ.సా.కా – క.సా.గు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 3rd Lesson గ.సా.కా – క.సా.గు

→ భాజనీయతా సూత్రాలు :

• 2 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0,2,4,6 లేదా 8 అయినచో ఆ సంఖ్య ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 3 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం, 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 4 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు అంకెలతో (ఒకట్ల, పదుల స్థానాలలోని) ఏర్పడిన సంఖ్య 4చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 41 నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 5 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒకట్ల స్థానంలో ) లేదా 5 గల సంఖ్యలన్నీ 5చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడతాయి.
• 6 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  2 మరియు 3లచే నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలన్నీ 6చే నిశ్శేషంగా భాగింపబతాయి.
• 8 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి మూడు అంకెలతో (వందలు, పదులు, ఒకట్లు) ఏర్పడిన సంఖ్య 8చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 8చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 9 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే, ఆ సంఖ్య 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 10 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒకట్ల స్థానంలో ‘0’ గల సంఖ్యలన్నీ 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడతాయి.
• 11 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం ::
  సంఖ్యలోని బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం, సరిస్థానాలలోని అంకెల మొత్తముల తేడా ‘0’ లేదా 11 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య 11చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ కారణాంకాలు (Factors) :
ఒక సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలు అవుతాయి.
ఉదా : ‘6’ అనే సంఖ్యను 1, 2, 3, 6 అనే సంఖ్యలు నిశ్శేషంగా భాగిస్తాయి. కావున 6 యొక్క కారణాంకాలు
1, 2, 3, 6.

• ప్రతి సంఖ్యకు 1 కారణాంకము. ఇది ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింటిలోను చిన్నది.
• ప్రతి సంఖ్య దానికదే కారణాంకము. ఇది ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింలోను పెద్దది.
• ప్రతి కారణాంకం ఆ సంఖ్యకు సమానం లేదా ఆ సంఖ్య కంటే చిన్నది.
• ప్రతి సంఖ్యకు గల కారణాంకాలు పరిమితం.

→ పరిపూర్ణసంఖ్య (Perfect number) :
ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింటి మొత్తం ఆ సంఖ్యకు రెట్టింపు అయినచో ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు.

ఉదా : 6 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6
వీని మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 12 అనేది 6 కు రెట్టింపు.
కావున 6 అనేది ఒక పరిపూర్ణ సంఖ్య. 28, 496, 8128 లు ఆ తర్వాతి పరిపూర్ణసంఖ్యలు.

→ ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime numbers) :
1 మరియు అదే సంఖ్య కారణాంకాలుగా గల్గిన సంఖ్యలను “ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు.

ఉదా : 2, 3, 5, 7, 100 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

→ సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite numbers) :
రెండు కన్నా ఎక్కువ కారణాంకాలు కలిగిన సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా : 4, 6, 8, ………….
4 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 4 (కారణాంకాల సంఖ్య 3)

→ 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు మరియు సంయుక్త సంఖ్య కాదు.

→ కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin primes) :
2 భేదంగా గల ప్రధాన సంఖ్యలను కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా : (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (41,43), (59,61), (71,73), ……..

→ పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (లేదా) సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు (Relatively primes (or) Mutually primes (or) Co-primes) :
1 మాత్రమే ఉమ్మడి కారణాంకంగా కలిగిన సంఖ్యలను పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు – అంటారు.

ఉదా : 2 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2
9 యొక్క కారణాంకాలు 1, 3, 9
2 మరియు 9 యొక్క ఉమ్మడి కారణాంకం 1 మాత్రమే.

కావున 2, 9లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.

• రెండు వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
• రెండు వరుస బేసి సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
• అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు కాని సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలలోని అన్ని సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరంలేదు.

→ ప్రధాన కారణాంక విభజన (Prime factorization) : ఒక సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయడాన్ని ప్రధాన కారణాంక విభజన అంటారు.
ఉదా : 60 = 2 × 2 × 3 × 5

ఈ విభజనలో ముఖ్యంగా రెండు పద్ధతులు కలవు. (1) భాగహార పద్ధతి, (2) వృక్ష పద్ధతి. భాగహార పద్ధతి

→ సామాన్య కారణాంకాలు (Common factors) :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క కారణాంకాలలో ఉమ్మడిగా ఉన్న కారణాంకాలను ఆ సంఖ్యల యొక్క “సామాన్య కారణాంకాలు” అంటారు.

ఉదా : 12 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6, 9, 18 12,
18 యొక్క సామాన్య కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6.

→ గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) [Greatest Common Divisor (GCD)] :
-రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య కారణాంకాలలో గరిష్ఠ సంఖ్యను గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం (గ.సా. కా) (G.C.F) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం’ (గ.సా.భా) (G.C.D) అంటారు.
12, 18 ల ఉమ్మడి కారణాంకాలు 1,2,3,6
12, 18ల గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం = 6

→ సామాన్య గుణిజాలు (Common Multiples) :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క గుణిజాలలో ఉమ్మడిగా గల గుణిజాలను ఆ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య గుణిజాలు అంటారు.

ఉదా : 2 గుణిజాలు : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ………….
3 గుణిజాలు : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24,
2 మరియు 3 యొక్క సామాన్య గుణిజాలు = 6, 12, 18, ………

→ కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) (Least Common Multiples (LCM]] :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ సంఖ్యను కనిష్ఠ సామాన్యగుణిజం (క.సా.గు) అంటారు.
2 మరియు 3ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) = 6.

→ రెండు కవల ప్రధాన సంఖ్యల క.సా.గు, వాని లబ్దానికి సమానం మరియు వాని గ.సా.భా 1 అవుతుంది.

→ రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా మరియు క.సా.గుల మధ్య సంబంధము :
క.సా.గు మరియు గ.సా.భాల లబ్ధం = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం
a, b అనే సంఖ్యల క.సా.గు 1, గ.సా.భా 9 అయితే a × b = l × g

→ ద్విముఖసంఖ్య (పాలి డ్రోమ్ సంఖ్య) : కుడి నుండి ఎడమవైపుకు లేదా ఎడమ నుండి కుడివైపుకు మార్చి రాసినా సంఖ్య మారదు.
ఉదా : 1221

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

→ వస్తువులను లెక్కించుటకు మనం ఉపయోగించే 1,2,3,4,……. సంఖ్యలను సహజసంఖ్యలు (Natural numbers) అంటారు.

→ సహజ సంఖ్యాసమితిని N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…} గా సూచిస్తాము.
ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్యకు వెంటనే తర్వాత గల సంఖ్యను ఉత్తర సంఖ్య (Successor) అని, వెంటనే ముందు వచ్చే సంఖ్యను పూర్వసంఖ్య (Predecessor) అని అంటారు.
ఉదా : 10కి ఉత్తర సంఖ్య (Successor) = 11
10కి పూర్వసంఖ్య (Predecessor) = 9

→ ‘0’ ను సహజ సంఖ్యల సమితికి చేర్చగా పూర్ణాంకాల సమితి (Whole numbers) ఏర్పడుతుంది. పూర్ణాంకాల సమితి W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… –

→ సంఖ్యారేఖ :
ఒక సరళరేఖపై సమానదూరంలో బిందువులను గుర్తించి ఒక బిందువును ‘0’ గా గుర్తించి దానికి కుడివైపున గల బిందువులను వరుసగా 1,2,3,4,….. గా గుర్తించి సంఖ్యారేఖను నిర్మిస్తాము. :

→ సంఖ్యారేఖపై ఏ సంఖ్యకైనా దాని ఉత్తర సంఖ్య వెంటనే కుడివైపున, పూర్వసంఖ్య దానికి వెంటనే ఎడమవైపున ఉంటుంది.

→ సంఖ్యారేఖపై గల ఒక సంఖ్యకు కుడివైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా పెద్దవి. అలాగే ఎడమవైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా చిన్నవి.

6,7,8,9, 10, …. సంఖ్యలు 5కు కుడివైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 5 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు.
అలాగే ……. 6,7,8,9,10,11 సంఖ్యలు 12కు ఎడమవైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 12 కన్నా చిన్నవి.

→ సంఖ్యారేఖపై సంకలనం (కూడిక) చేయడానికి మనం కుడివైపుకు కదులుతాము.

3 + 2 సంకలనాన్ని మనం 3 వద్ద మొదలు పెట్టి 2 ప్రమాణ దూరాలను కుడివైపుకు సంఖ్యారేఖ పై కదలాలి.

→ సంఖ్యారేఖపై వ్యవకలనం చేయడానికి, మనం ఎడమవైపుకు కదలాలి.

3-2 వ్యవకలనాన్ని మనం సంఖ్యారేఖ పై చేయడానికి 3 వద్ద కదలాలి. 3-2 = 1

→ సంఖ్యారేఖపై పూర్ణాంకాల గుణకారానికి మనం కుడివైపుకు కదలాలి.

3 × 2 ను సంఖ్యారేఖపై గుణించడానికి మనం ‘0’ నుండి ప్రారంభించి 2 ప్రమాణాలు 3 సార్లు కుడివైపుకు కదలాలి.

→ పూర్ణాంకాల ధర్మాలు :
సంవృతధర్మం (Closure Property) : ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల మొత్తం పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల సంకలన సంవృత ధర్మం అంటారు.
2, 3లు ఒక జత పూర్ణాంకాలు అనుకొంటే
2+3 = 5 కూడా ఒక పూర్ణాంకము

ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల లబ్ధం కూడా పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల గుణకార సంవృత ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 ఒక పూర్ణాంకము
2 × 0 = 0 ఒక పూర్ణాంకము

ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలన ఫలితము పూర్ణాంకము కాకపోవచ్చును.
కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనము సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 – 3 = పూర్ణాంకము కాదు. అలాగే పూర్ణాంకాల భాగహారము కూడా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 ÷ 3 = \(\frac{2}{3}\) ఒక పూర్ణాంకము కాదు.

→ పూర్ణాంకాలు సంకలనం, గుణకారాలలో సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగాహారాలలో సంవృత ధర్మాన్నిపాటించవు.

→ స్థిత్యంతర (వినిమయ) ధర్మం (Commutative property) :
ఒక జత పూర్ణాంకాలను కూడే క్రమం మారినప్పటికి వాటి మొత్తం మారదు. దీనిని పూర్ణాంకాల సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 + 3 = 5. అలాగే 3 + 2 = 5

ఒక జత పూర్ణాంకాలను క్రమం మార్చి గుణించినా లబ్దంలో ఎలాంటి మార్పురాదు. ఒకే లబ్దం వస్తుంది. దీనిని పూర్ణాంకాల స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 అలాగే 3 × 2 = 6

ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలనంలో క్రమం మారితే ఒకే ఫలితం రాదు. అలాగే భాగహారంలోను ఒకే ఫలితాన్ని ఇవ్వదు. కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనం మరియు భాగహారములు స్థిత్యంతర ధర్మమును పాటించవు. .
3 – 2 = 1, కాని 2 – 3 = 1 కాదు .
6 ÷ 2 = 3 కాని 2 ÷ 3 = 6 కాదు

→ పూర్ణాంకాలు సంకలన, గుణకారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగహారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.

→ సంకలన, గుణకారాలలో సహచర ధర్మం (Associative property) :
మూడు పూర్ణాంకాలు 3, 4, 5 తీసుకొని 3,4 లను కూడి ఆ మొత్తానికి 5 కలిపితే మొత్తం = 12
3 + 4 = 7,
7 + 5 = 12 .
అలాగే మొదట 4, 5 లను కూడి ఆ మొత్తాన్ని 3 కు కలిపితే వచ్చే మొత్తం = 12, 4 + 5 = 9, 3 + 9 = 12 అనగా మొత్తంలో ఎలాంటి మార్పులేదు.
(3 + 4) + 5 = 12,
3 + (4 + 5) = 12,
(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన సహచర ధర్మం అంటారు.

→ పై విధంగానే గుణకారంలో కూడా
(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల గుణకార సహచర ధర్మం అంటారు. అనగా పూర్ణాంకాలు సంకలనం మరియు గుణకారములలో సహచరధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.

→ తత్సమాంశం (Identity) :
3 + 0 = 3, 0+ 3 = 3
‘0’ ను ఒక పూర్ణాంకానికి కలిపినా, లేదా ‘0’ కు మరొక పూర్ణాంకాన్ని కలిపినా మొత్తం అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన తత్సమ ధర్మం అంటారు.

‘0’ సంకలన తత్సమాంశము.
అలాగే 3 × 1 = 3, 1 × 3 = 3 ఒక పూర్ణాంకాన్ని ‘1’ తో గుణించినా, 1ని వేరొక పూర్ణాంకంతో గుణించినా అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ‘1’ గుణకార తత్సమాంశం.

→ పూర్ణాంకాలలో అమరికలు : పూర్ణాంకాలను ప్రాథమిక జ్యామితీయ ఆకారాలుగా చుక్కలతో అమర్చవచ్చును. 1.

పై విధంగా కొన్ని సంఖ్యలను సరళరేఖలుగా, దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా, త్రిభుజాలుగా సూచించవచ్చును. * ప్రధాన సంఖ్యలను సరళరేఖలో అమర్చగలము.

→ దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా అమర్చలేము.

→ సంయుక్త సంఖ్యలను దీర్ఘ చతురస్రాలుగా అమర్చగలము

→ పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలైన 4, 9, …. లను చతురస్రాకారంలో అమర్చగలము.

→ కొన్ని సంఖ్యలను త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలలో సమానంగా చుక్కలు ఉండునట్లు అమర్చవచ్చును. పై శీర్షంలో ఒక చుక్క మాత్రమే ఉంటుంది. అనగా ప్రతి వరుసలోను ……. 4, 3, 2, 1 చుక్కలు ఉంటాయి.

3, 6, 10, 15 లను త్రిభుజ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని మనం 1 మొదలై వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా రాయగలము.
(మొదటి వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా)

→ సంఖ్యల అమరికలు సమస్యల పరిష్కారానికి సులభతర మార్గాలను సూచిస్తాయి.
(9,99, 999… ల కూడికను, గుణకారాన్ని పరిశీలిద్దాము )

• 296 + 9 = 296 + 10 -1 = 306 – 1 = 305
• 296 – 9 = 296 – 10+1 = 286 + 1 = 287
• 296 + 99 = 296 + 100 – 1 = 396 – 1 = 395
• 296 – 99 = 296 – 100 + 1 = 196 + 1 = 197
  • 65 × 9 = 65 (10 – 1) = 650 – 65 = 585
  • 65 × 99 = 65 (100 – 1) = 6500 – 65 = 6435
  • 65 × 999 = 65(1000 – 1) = 65000 – 65 = 64935
    …………………………………

ఇక్కడ మనం 9,99, 999, …. రూపంలో గల సంఖ్యల కూడిక, గుణకారంలను గమనించాము. ఇలాంటి అమరికలు చేసి సులభమార్గాల ద్వారా మనోగణిత సమస్యలను సాధించే సామర్థ్యాన్ని పెంచుకొనవచ్చును.

→ 5, 15, 25, 50, ……. లతో గుణించే మార్గాలను గమనిద్దాము.
46 × 5 = 46 × \(\frac{10}{2}=\frac{460}{2}\) = 230 × 1
46 × 15 = 46(10 + 5)
= 46 × 10 + 46 × 5 = 460 + 230 = 690 = 230 × 3
46 × 25 = 46 × (20 + 5) = 46 × 20 + 46 × 5
= 920 + 230 = 1150 = 230 × 5
(లేదా)
46 × 25 = 46 × \(\frac{100}{4}=\frac{4600}{4}\) = 1150
46 × 50 = 46 × \(\frac{100}{2}=\frac{4600}{2}\) = 2300

→ సున్నాతో భాగహారం నిర్వచించబడదు.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ

→ సర్వసమానత్వం : ఒకే ఆకారం మరియు పరిమాణం గల వస్తువులను సర్వసమాన వస్తువులు అంటారు. త్రిప్పుట అనునది పరివర్తనము. దీనిలో ఒక సమతల చిత్రము తిప్పబడును లేదా ఒక రేఖలో పరావర్తనం చేయబడి అసలు చిత్రపు పరావర్తన రూపం కల్పించబడును.

→ భ్రమణము : భ్రమణము చేయబడు వస్తువు ఒక బిందువు కేంద్రంగా తిప్పబడును. భ్రమణములో వస్తువు ఆకారముగాని, భ్రమణ కేంద్రము నుండి వస్తువుపై గల ఏదేని బిందువు యొక్క దూరములో గాని మార్పుండదు. భ్రమణ కేంద్రము చుట్టూ వస్తువులోని ప్రతిబిందువు వృత్తాకారములో తిరుగును. ఒక సంపూర్ణభ్రమణము 360°.

→ క్రింది జ్యామితీయ చిత్రములను పరిశీలించుము.

పై అన్ని సందర్భాలలో, ప్రతి వరుసలోని మొదటి పటాన్ని చలించడం, భ్రమణం, చెందించడం మరియు త్రిప్పుట ద్వారా దాని ఆకారంలోగాని లేక పరిమాణంలో గానీ ఏదైనా మార్పుని గమనించావా ? ఎటువంటి మార్పు లేదు. ప్రతి వరుసలోని అన్ని పటాలు వివిధ దిశలలో అమరియున్నప్పటికీ అవన్నీ సర్వసమానమే. రెండు పటాలు సర్వసమానమైన, వాటిని చలింపజేసిన, భ్రమణం చెందించినా లేదా తిప్పిన వాటి సర్వసమానత్వం అలానే నిలచియుంటుంది.

→ మనం సర్వసమానత్వాన్ని సూచించుటకు = గుర్తుని వాడతాము.

→ రెండు జ్యామితీయ పటాలు ఒకదానిని మరొకటి పూర్తిగా కప్పివేసిన ఆ పటాలు సర్వసమానాలు.

→ సరూప పటాలు : రెండు బహుభుజిలు సరూపాలు కావలెనంటే వాటి అనురూప కోణాల జతలు సమానం మరియు వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానం కావలెను.

→ పటాలు ‘సౌష్టవం’ను కలిగియుండవచ్చు లేదా కలిగియుండకపోవచ్చు.

→ పటాలు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ విధాలైన సౌష్ఠవాన్ని కలిగి యుండవచ్చు.

→ సౌష్ఠవం మూడు రకాలు అవి బిందుసౌష్ఠవం, రేఖా సౌష్ఠవం మరియు భ్రమణ సౌష్ఠవం.

→ భ్రమణ సౌష్ఠవం గల పటాలను భ్రమణం చేసినపుడు అవి తొలిస్థితిని పోలిన స్థితులలోకి ఒకటి కన్నా ఎక్కువసార్లు రావచ్చును. ఈ సంఖ్యను భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం అంటారు.

→ ఒక పటాన్ని పోలిన పెద్ద లేదా చిన్న సరూప పటాలను గీచే పద్ధతిని విస్తరణ అంటారు. ఒకే పటాలను ప్రక్కప్రక్కనే ఖాళీలు లేకుండా లేదా అతిక్రమణలు లేకుండా కొంత వైశాల్యాన్ని ఆక్రమించేట్లు అమర్చుటను టెస్సలేషన్ అంటారు.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 13th Lesson Women Change the World to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 13th Lesson Women Change the World

→ Women have a high place in Indian Culture.

→ We have made remarkable progress in the field of Science and Technology. □I We are travelling to space. .

→ But discrimination against women continues.

→ Discrimination is even more severe in illiterate families.

→ Education plays a major role in getting rid of stereotypes.

→ Government provides many facilities for Girls Education.

→ Going to school become a fundamental right to children no matter boy or a girl.

→ Women of Andhra Pradesh started antiarrack movement.

→ On 8th March International Women’s Day is celebrated.

Women change the world

→ Women : An adult female human being.

→ Discrimination : Treating a person or particular grbup of people differently.

→ Breaking Stereotypes : Against to the stereotype thinking.

→ Learning for change : It is a process by which an activity originates or is changed through responding to a situation.

→ School education : Education involves teaching people various subjects usually at a school.

→ Raising awareness : A process that seeks to inform and educate people about a topic or issue with the intention of influencing.

→ Women’s movement : The feminist movements, a series of political campaigns for reforms.

→ Inspirational women : A women who motivates mental or emotionally.

→ Stereotype : Stereotype is a generalized belief about a particular category of people. It is an expectation that people might have about every person of a particular group.

→ Discrimination : Discrimination is the act of making unjustified distinctions between people based on the groups, classes, or other categories to which they belong or perceived to belong.

→ Gender Equality : When people of all genders have equal rights, responsibilities and opportunities.

→ Inspirational women : Those who have a personality that influences others.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 10th Lesson State Government to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 10th Lesson State Government

→ In India we have the government at two levels.

→ One is at the centre and the other is at the state.

→ The state government is responsible for the governance of the people of the state.

→ Every state in India have a Governor.

→ The State Legislative Assembly is a legislative body.

→ Generally, elections to the State Legislative Assembly are held once in every five years.

→ Election Commission deputes mechanism to conduct elections in Assembly Constituencies.

→ After the General Elections, the leader of the majority party or coalition of parties, is invited by the Governor to form the government.

→ The Upper House of the state legislature is called the Legislative Council or Vidhana Parishad.

→ The Governor is the Constitutional head of a state.

→ The Lower House of the state legislature is called the Legislative Assembly or Vidhana Sabha.

→ The Chief Minister is the actual executive authority.

→ Judiciary is one of the three organs of the state government.

→ The High Court is the highest judicial organ at the state level.

→ The District Collector is the head of the district administration.

→ Legislature, Executive and Judiciary are considered as three estates and Media as the fourth estate.

→ Legislature : A legislature is a governing Ipody that makes laws and can also amend or repeal them.

→ Executive : The executive is the branch of government that is responsible for the day-to-day management of the state.

→ Judiciary : the judicial authorities of a country

→ District level Administration : The management of the tasks of government as it lies within an area legally recognised as a district.

→ Constituency : A particular area from which all the voters living there choose their representatives.

→ Bicameral : Government with two legislative houses.

→ Gazette : An official publication for the purpose of notifying the actions and decisions of the Government.

→ Summons : The process of calling all members of the house.

→ Prorogue : Termination of a session of the house.

→ Bureaucracy : A government that is administered primarily by authorities that are staffed with non-elective officials.

→ Conciliation : An alternative out-of-court dispute resolution instrument like mediation.

→ Survey Stones : A boundary stone is a robust physical marker that identifies the start of land boundary.

→ Coalition : A group formed with two or more people or political parties for a common purpose.

→ Manifesto : A public declaration of policy and aims, specially issued before an election by a political party.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 9th Lesson Indian Constitution – An Introduction to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 9th Lesson Indian Constitution – An Introduction

→ Government of India Act -1935 was an important Act.

→ In 1928, a committee was constituted by all the parties including Indian National Congress to draft the Constitution for India.

→ The INC was established in 1885.

→ In 1934, the Indian National Congress made a demand for a Constituent Assembly.

→ Election to the Constituent Assembly was held in July 1946.

→ 292 members are elected from Provinces of British rule and 93 members from Princely States.

→ Draft constitution was prepared and submitted to the Constituent Assembly in 1948.

→ Our Constitution was adopted in November 26th, 1949 and came into force on 26th January, 1950. □I Rights are reasonable claims of persons.

→ Fundamental duties were taken from Russian Constitution.

→ Values are those inner standards that provide you the motivation to act as you do.

→ The Constitution of India guarantees some rights to its citizens and people who choose to live in the country.

→ Brief background of the Indian Constitution :

1. Before independence our country was ruled by the Britishers by making some Acts.
2. The first Constitutional document was prepared by Motilal Nehru in 1929.
3. In 1931, INC session at Karachi decided on how Independent India’s constitution look like.
4. Elections to the Constituent Assembly was held in July 1946, accordingly. A Constituent Assembly was formed to prepare the Indian Constitution.
5. 389 members were there in the Constituent Assembly.
6. Babu Rajendra Prasad was elected as the President of the Constituent Assembly.
7. Drafting Committee was set up to draft the constitution under the Chairmanship of Dr. B.R. Ambedkar.

→ The Preamble of the Indian Constitution :

1. The Preamble is known as an introduction (or) index to the Indian Constitution.
2. It sets out the goals, the values and the ideals and it is the basic structure of our constitution.
3. The Preamble starts with We, the people of India
4. There is a mention about Sovereign, Socialist, Secular, Democratic, Republic.
5. There is a brief meaning of the terms Liberty,. Equality, Fraternity, Justice and Unity and Integrity.
6. The Constitution was adopted on 26th Nov., 1949 and it came into force from 26th Jan., 1950.

→ Salient features of the Indian Constitution :

1. Our Constitution comprises of many salient features like written constitution, Lengthiest written constitution, Fundamental Rights, Duties, Adult Franchise, Independent Judiciary, Rigid and Flexible constitution.
2. Fundamental rights were mentioned from Articles 14 to 32 is part 3 of the Constitution.
3. There is detailed discription of Right to Information Act and Right to Education.

→ Values and Responsible Citizenship :

1. Values signify what is important and worthwhile.
2. Values serve as the basis for moral codes and ethical reflection.
3. A responsible citizen should inculcate the following values.
4. Obey the Laws, Patriotism, Honesty.
5. Responsibility, Respectfulness, Compassion.
6. Tolerance, Courtesy, Self discipline, Moral Courage, Love of Justice etc.

→ Constitutional Amendment : A modification of the Constitution of a country.

→ Fraternity : Sense of brotherhood.

→ Province : It is an administrative divisioh in India during British rule.

→ Princely State : These were states of native rulers (kings) during the British Period.

→ Citizen : A person who is a member of a state or country and has legal rights there.

→ Citizenship : The position or status of being a citizen of a particular country.

→ Federal : Power is distributed between a central government and state government.

→ Diarchy : A government in which power vested in two rulers.

→ Compatriot : A person who comes from the same country.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు

→ బ్రహ్మగుప్త క్రీ.శ. 598 – 670 :

• బ్రహ్మగుప్త క్రీ.శ. 598లో ఉజ్జయినిలో జన్మించాడు.
• భారతీయ గణితాన్ని పునర్జీవింపజేసి ఒక స్థిరమైన స్థానాన్ని కల్పించిన ఆర్యభట్టకు సుమారు 100 సం||రాల తర్వాత కేవలం ఆర్యభట్ట ప్రతిపాదనలను వివరముగా చెప్పడమేగాక తనవైన గణిత సూత్రాలతో భారతదేశ గణిత చరిత్రకే గాక ప్రపంచ గణిత చరిత్రకే శోభను, విలువను ప్రసాదించాడు బ్రహ్మగుప్తుడు.
• క్రీ.శ. 628లో “బ్రహ్మస్పుట సిద్ధాంత” అనే గ్రంథాన్ని రచించాడు. ఇందులో 12, 13వ అధ్యాయాలలో గణితాన్ని గురించి రచించాడు. ఇవి పద్యరూపంలో ఉన్నాయి. అంక గణితం, పూర్ణ సంఖ్యలు, భిన్నాలు, శ్రేణులు, సామాన్య వడ్డీ, క్షేత్రగణితం, సమతల జ్యామితి ఉన్నాయి.
• ఇతను వరాహమిహిరునితో కలసి హెరాన్ త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం ఆధారంగా చతుర్భుజ వైశాల్యానికి \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) అనే సూత్రాన్ని రూపొందించాడు. కాని ఇది చక్రీయ చతుర్భుజానికి మాత్రమే వర్తిస్తుందని ఆ తర్వాత గుర్తించాడు.
• ఇతని బీజగణితం ముఖ్యంగా ఖగోళ శాస్త్రానికి వర్తిస్తుంది. ఇతడు x² + px + q² = 0 వంటి వర్గ సమీకరణాల సాధనకు కొన్ని నియమాలను ఇచ్చాడు. ఇతను రుణ సంఖ్యల ఉనికిని గుర్తించి
  డయోఫాంటస్ గుర్తించిన ax² + bx = c,

→ వర్గ బహుపది : p(x) = ax² + bx² + c, a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a #0 రూపంలో ఉన్న రెండవ పరిమాణ బహుపదిని వర్గ బహుపది అంటాము.

→ వర్గ సమీకరణం : a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలై a # 0 అయిన ax² + bx + c = 0 ను X లో వర్గ సమీకరణం అంటాము. అనగా p(x) ఒక వర్గబహుపది అవుతూ p(x) = 0 రూపంలో వున్న వాటిని వర్గ సమీకరణాలు అంటారు.
ఉదా :

• 2x² – 3x + 1 = 0
• 4 – 8x + 4x² = 0
• p(x) = x² + 7x + 10 ఒక వర్గ బహుపది.
  p(x) = 0 అయినపుడు x² + 7x + 10 = 0 ఒక వర్గ సమీకరణం అవుతుంది.

→ వర్గ సమీకరణ ప్రామాణిక రూపము ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, y = ax² + bx + c ను వర్గ ప్రమేయము అంటారు.

→ వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధన లేక మూలాలు : ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిచే X యొక్క
విలువను వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధన లేక మూలము అంటారు. ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణానికి aα² + bα + c = 0 అయితే α ఒక మూలము అవుతుంది.

గమనిక : ax² + bx + c బహుపది యొక్క శూన్య విలువలు మరియు ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఒక్కటే అనగా సమానాలు.

ఉదా :
x² – 7x + 10 = 0 వర్గ సమీకరణంలో x = 2 అయిన
(2)² – 7(2) + 10 = 0 .
4 – 14 + 10 = 0 ⇒ 14 – 14 = 0 = 0 = 0
x = 2 వర్గ సమీకరణం x² – 7x + 10 = 0 ను తృప్తిపరచుచున్నది. కావున. x² – 7x + 10 = 0 కు 2 ఒక మూలము.
x² – 7x + 10 = 0 అనే వర్గ బహుపదికి 2 ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది. అని గమనించగలరు.

→ మోనిక్ వర్గ సమీకరణము : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 అనే వర్గ సమీకరణంలో a = 1 అయితే ఆ వర్గ సమీకరణాన్ని మోనిక్ వర్గ సమీకరణం అంటారు.
ఉదా : x² – 7x + 10 = 0
5 + 2x + x² = 0 లు మోనిక్ వర్గ సమీకరణాలు.
2x² – 5x + 20 = 0 మోనిక్ వర్గ సమీకరణం కాదు.

→ వర్గ సమీకరణాల యొక్క మూలాలను కనుగొనే పద్ధతులు :

1. కారణాంక విభజన పద్ధతి
2. వర్గమును పూర్తి చేయు పద్ధతి
3. సూత్ర పద్దతి

1. కారణాంక ‘విభజన పద్ధతి ద్వారా సాధించుట : ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణంలో మధ్య పదమును విడగొట్టుటకు p + 4 = b మరియు p × q = a × c అయ్యే విధంగా p, q అనే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనాలి. ax² + bx + c = 0 ను ax² + px + 4x + c = 0 గా రాస్తాము. ఆ తరువాత ax² + px + qx + c = 0 ను రెండు రేఖీయ కారణాంకాల లబ్దంగా రాస్తాము. ఈ రెండు రేఖీయ కారణాంకాల శూన్యవిలువలను కనుగొనాలి. ఈ శూన్య . విలువలే ax² + bx + c = 0 కు మూలాలు అవుతాయి.

ఉదా : 2x² – 5x + 2 = 0 యొక్క వర్గమూలాలు కనుగొందాం.
a = 2, b = – 5, c = 2
b = (-4) + (-1), a × c = 2 × 2 = 4 = (- 4) × (-1)
2x² – 5x + 2 = 0
2x² – 4x – x + 2 = 0
2x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (2x – 1) = 0.
x – 2 = 0.
x = 2
(లేదా)
2x – 1 = 0
2x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
2x² – 5x + 2 = 0 యొక్క వర్గమూలాలు 2, \(\frac{1}{2}\)

2. వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుట : పై కారణాంక విభజన పద్ధతి అన్ని సందర్భం సులభం కాకపోవచ్చును. అలాంటప్పుడు మనకు ఇతర పద్దతులు ఆ ముసలము, అలంలో పరులలో ఈ కుల ద్వారా సాధించు పద్ధతి ఒకటి. ఈ పద్ధతి a² + 2ab + b² = (a + b)² to a² – 2ab + b² = (a – b)² అనే సర్వసమీకరణాల రూపంలోకి ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని మార్చి సాధిస్తాము. ఈ పద్ధతిలో సాధించేటప్పుడు ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని మోనిక్ వర్గ సమీకరణంగా మార్చుకొని సాధనను మొదలుపెడతాము.

సాధన సోపాన క్రమము :
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 అనుకొనుము.
సోపానం – 1: సమీకరణాన్ని aతో భాగించి మోనిక్ వర్గ సమీకరణంగా మార్చడం.
\(\frac{a x^{2}}{a}+\frac{b x}{a}+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\) ⇒ x² + \(\frac{b x}{a}+\frac{c}{a}\) = 0

సోపానం – 2 : స్థిరపదం ను కుడివైపుకు తీసుకెళ్ళడం. ⇒ x² + \(\frac{b x}{a}=-\frac{c}{a}\)
సోపానం – 3 : ఎడమ భాగం ఒక సంపూర్ణ వర్గం అవుటకు సమీకరణానికి ఇరువైపులా \(\) ను కలపదం.

సోపానం – 4 : ఎడమవైపు భాగాన్ని ద్విపది వర్గ విస్తరణ రూపం a² + 2ab + b² రూపంలో రాసి, ద్విపది వర్గం (a + b)² గా రాయడం. కుడి భాగాన్ని సూక్ష్మీకరించడం.

సోపానం – 5 : ఇరువైపులా వర్గమూలం తీసుకోని

సోపానం – 6 : \(\frac{b}{2a}\) కుడివైపుకు తీసుకెళ్ళడం

ఉదా : 2x² – 5x + 2 = 0 వర్గసమీకరణ మూలాలు కనుగొందాం.
సాధన : 2x² – 5x + 2 = 0, (ఇరువైపులా 2తో భాగించగా) .

3. సూత్ర పద్ధతి : ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడానికి కారణాంక పద్ధతి అన్ని సందర్భాలలోనూ సాధ్యం కాదు. అలాగే వర్గం పూర్తి చేయడం ద్వారా సాధించడము.సుధీర్ఘమైన పద్ధతి. అన్ని సందర్భాలలోనూ అన్ని వర్గసమీకరణాలను సాధించడానికి అనువైన పద్ధతి సూత్ర పద్ధతి. ఈ పద్ధతిని మొట్టమొదట వివరించిన గణిత శాస్త్రవేత్త శ్రీధరాచార్య. ఇతను 10వ శతాబ్దానికి చెందిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. అందువలన వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఉపయోగించే సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) ను. శ్రీధరాచార్య సూత్రంగా వ్యవహరిస్తారు. ఈ సూత్రాన్ని ప్రస్తుతం వర్గ సమీకరణ సాధనకు విరివిగా ఉపయోగిస్తూ వర్గసూత్రంగా పిలుస్తున్నారు.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం నుండి పై సూత్రాన్ని రాబట్టుదాం.
సాధన : ax² + bx + c = 0

b² – 4acని వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 యొక్క విచక్షణి అంటారు. దీనిని D లేదా Δ తో సూచిస్తారు.
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) విలువ వాస్తవ సంఖ్యలలో వ్యవస్థితం కాదు. \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) ఒక కల్పిత సంఖ్య అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు ఉండవు.

→ మూలాల స్వభావము :
ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) వర్గ సమీకరణ మూలాలు విచక్షణి
D = b² – 4ac పై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ విచక్షణి D > 0 లేదా D = 0 లేదా ‘D < 0 కావచ్చును. సందర్భం -1: D > 0 ⇒ b² – 4ac > 0. కావున \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) విలువ ఒక వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి రెండు వేర్వేరు వాస్తవ సంఖ్యలు మూలాలు అవుతాయి.
D = b² – 4ac > 0 అయిన సందర్భంలో ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని రెండు బిందువులలో ఖండిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో గ్రాఫ్ క్రింది విధంగా ఉంటుంది. .

వర్గ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు A (a, 0), B (B, 0) లలోని X – నిరూపకాలే వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు అవుతాయి.

సందర్భం – 2: D = 0 ⇒ b² – 4ac > 0. కావున \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు మూలాలు అవుతాయి. ఈ సందర్భంలో మూలాలు x = \(\frac{-b \pm 0}{2 a}=\frac{-b}{2 a}, \frac{-b}{2 a}\) అవుతాయి.

D = b² – 4ac = 0 అయిన సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి గీచిన గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. ఈ బిందువులోని X – నిరూపకమే సమాన మూలం. .

సందర్భం – 3:
D = 0 ⇒ b² – 4ac > 0. కావున \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) ఒక కల్పిత సంఖ్య అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు ఉండవు. మూలాలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి. ఈ
D < b² – 4ac = 0 అయిన సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి గీచిన గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని తాకదు.

గమనిక : ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణానికి b² – 4ac ≤ 0 అయినప్పుడు వాస్తవ మూలాలు,
b² – 4ac < 0 అయినపుడు సంకీర్ణ సంఖ్యలు మూలాలుగా ఉంటాయి.

Students can go through AP Board 7th Class Maths Notes 12th Lesson సౌష్ఠవము to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Maths Notes 12th Lesson సౌష్ఠవము

→ ఇచ్చిన పటాన్ని రెండు ఏకీభవించు భాగాలుగా ఒక రేఖ విభజించగలిగిన అప్పుడు ఆ పటం సౌష్ఠవంగా ఉంది అంటాము. విభజించే ఆ రేఖను ‘సౌష్ఠవ అక్షం’ లేదా ‘రేఖా సౌష్ఠం’ అంటారు.

→ ఒక పటం ఒకటి లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవాక్షములు కలిగి ఉండవచ్చు.

→ ఒక పటంను దాని మధ్య బిందువుగుండా పటాన్ని కొంత కోణంతో భ్రమణం చేయగా ఏర్పడు పటం, మొదటి పటం వలే అదేవిధంగా ఉన్నచో ఆ పటం భ్రమణ సౌష్ఠం కలిగియున్నది అంటాం.

→ భ్రమణం చెందడంలో ఏర్పడే కోణాన్ని ‘భ్రమణ కోణం’ అంటారు.

→ అన్ని పటాలు 360° భ్రమణం చేసినపుడు దాని మొదటి స్థానంలో ఉన్న పటాలను చేరుకొనును. అది ‘1’ వ పరిమాణంగా – గల భ్రమణ సౌష్ఠవము కలిగి ఉంటుంది. అందువలన భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం ‘1’ కంటే ఎక్కువ ఉన్న పటాలను మాత్రమే భ్రమణ సౌష్ఠవం కలిగియున్నాయి అంటాం.

→ కొన్ని ఆకారాలు రేఖా సౌష్ఠవాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, కొన్ని ఆకారాలు భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని మాత్రమే కలిగి, ఉంటాయి మరికొన్ని ఆకారాలు రెండు రకాల సౌష్ఠవాలను కలిగి ఉంటాయి. చతురస్రాలు, సమబాహు త్రిభుజాలు మరియు వృత్తాలు, రేఖీయ మరియు భ్రమణసౌష్ఠవాలు రెండిటినీ కలిగి ఉంటాయి.

→ ప్రతి క్రమ బహుభుజిలో భుజాలు ఎన్ని ఉన్నాయో అన్ని రేఖా సౌష్ఠవాక్షాలను కలిగి ఉంటాయి.

→ సౌష్ఠవ అక్షం : పటాన్ని రెండు ఏకీభవించు భాగాలుగా ఒక రేఖ విభజించగలిగినపుడు ఆ పటం సౌష్ఠవంగా ఉంది అంటాము. అలా విభజించే రేఖను ‘సౌష్ఠవ అక్షం’ లేదా ‘రేఖా సౌష్ఠవం’ అంటారు.

→ ఒక పటం ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవాక్షాలను కలిగి ఉండవచ్చును.
ఉదా:

→ సమాన భుజాలు మరియు సమాన కోణాలు కలిగిన బహుభుజిని ‘క్రమ బహుభుజి’ అంటారు.

క్రమబహుభుజులకు వాని భుజాల సంఖ్యకు సమాన సంఖ్యలో సౌష్ఠవ అక్షాలు ఉంటాయి.

→ భ్రమణ సౌష్ఠవం : ఒక పటమును దాని మధ్య బిందువు గుండా కొంత కోణంతో భ్రమణం చేయగా ఏర్పడు పటం మొదటి పటం వలె అదే విధంగా ఉన్నచో ఆ పటం భ్రమణ సౌష్ఠవం కలిగి ఉంది అంటారు. ఈ స్థిర మధ్యబిందువును “భ్రమణ కేంద్రం” అంటారు. ఇలా పటాన్ని భ్రమణం చేయునపుడు ఏ కనిష్ఠ కోణానికి అదే పటంలో ఏకీభవిస్తుందో ఆ కోణమే ఆ పటం యొక్క “భ్రమణ సౌష్ఠవ కోణం” అవుతుంది. పై విధంగా భ్రమణం చేయునపుడు 360° (అనగా, పూర్తి భ్రమణంలో)ల భ్రమణంలో పటం ఎన్నిసార్లు అదే పటంలో ఏకీభవిస్తుందో అదే ఆ పటం యొక్క భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం.
భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం = \(\frac{360^{\circ}}{x^{\circ}}\)
ఇక్కడ x° = భ్రమణ సౌష్ఠవ కోణము.

Students can go through AP Board 7th Class Maths Notes 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Maths Notes 11th Lesson సమతల పటాల వైశాల్యాలు

→ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × b × h

→ లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × లంబకోణం గల భుజాల లబ్దం.
\(\frac{1}{2}\) × a × b

→ దీర్ఘచతురస్రాకార బాట యొక్క వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం – లోపలి దీర్ఘచతురస్రం EFGH వైశాల్యం
= (L × B) – (l × b)

గమనిక : బాట పొడవు (l), వెడల్పు (b) దీర్ఘచతురస్రం బయటివైపు ఉన్న L = l + 2w, B = b + 2w.
బాట పొడవు (L), వెడల్పు (B) దీర్ఘచతురస్రం లోపలివైపు ఉన్న l = L – 2w, b = B – 2w.

→ చతురస్రాకార బాట వైశాల్యం = బయటి చతురస్రం PORS వైశాల్యం – లోపలి చతురస్రం WXYZ వైశాల్యం .

→ షేడ్ చేసిన బాట వైశాల్యం = బాట EFGH వైశాల్యం + బాట MNOP వైశాల్యం – ఉమ్మడి బాట IJKL వైశాల్యం

→ వృత్త వైశాల్యం A = πr²

→ వృత్తాకార బాట యొక్క వైశాల్యం = బయటి వృత్త వైశాల్యం – లోపలి వృత్త వైశాల్యం

πR² – πr²
= π(R² – r²)
= π(R + r)(R – r) చ.యూ.
గమనిక : ఒకవేళ లోపలి వృత్త వ్యాసార్ధం ‘C’ మరియు బాట వెడల్పు ‘W’ ఇవ్వబడ్డట్లయితే, అప్పుడు బయటి వృత్త వ్యాసార్ధం ‘R’ = (r + w)

Students can go through AP Board 7th Class Maths Notes 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Maths Notes 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం

→ త్రిభుజము : మూడు రేఖాఖండాలతో ఏర్పడే సరళ సంవృత పటాన్ని త్రిభుజం అంటారు.

→ త్రిభుజ అసమానత్వ నియమాలు :

• ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తం మూడవ భుజం పొడవు కన్నా ఎక్కువ.
• ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల భేదం మూడవ భుజం పొడవు కన్నా తక్కువ.

→ త్రిభుజ అంతరకోణ ధర్మం : త్రిభుజంలోని మూడు కోణముల మొత్తము 180°.

→ త్రిభుజం బాహ్యకోణ ధర్మం : త్రిభుజంలో ఒక భుజమును పొడిగించగా ఏర్పడు బాహ్యకోణం దాని అంతరాభిముఖ కోణముల మొత్తానికి సమానం.

→ త్రిభుజ కోణాలు, భుజాల మధ్య సంబంధం :

• త్రిభుజంలో పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా గల భుజం మిగిలిన రెండు భుజాలకన్నా పెద్దదిగా ఉంటుంది.
• త్రిభుజంలో చిన్న కోణానికి ఎదురుగా గల భుజం మిగిలిన రెండు భుజాల కన్నా చిన్నదిగా ఉంటుంది.
• త్రిభుజంలో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా గల భుజాలు సమానాలు.

→ త్రిభుజ నిర్మాణమునకు మూడు స్వతంత్ర కొలతలు కావలెను.. ఈ మూడు స్వతంత్ర కొలతలలో కనీసం ఒక భుజం కొలత అవసరము.