Srinivas

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 4th Lesson Delhi Sultanate to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 4th Lesson Delhi Sultanate

→ History is considered as the record of the past factual events.

→ We have to study History as it reveals how the people lived in that society, their rules and regulations, cultures and traditions in a chronological order i.e., from past to present.

→ The sources of History are broadly classified into two categories. They are: 1. Archaeological Sources which include material remains and 2. Literary Sources which include all texts.

→ Tomara or Tomar Rajputs built Dhillika or Dhillika pura (modern day Delhi) and made it capital of their kingdom.

→ Delhi became an important commercial centre under the Tomaras and Chauhans.

→ Muhammad Ghori defeated Prithviraj Chauhan at Tarain in 1192 CE. and occupied Delhi. Jl The Slave dynasty was established by Qutbuddin Aibak in 1206 CE.

→ lltutmish was the first sovereign ruler from Delhi and the real founder of the Delhi Sultanate.

→ Sultan Raziyya was the only woman ruler of Delhi Sultanate.

→ Alauddin Khalji was the successor of Jalaluddin Khalji.

→ Ghiyasuddin Tughlaq was the founder of Tughlaq dynasty.

→ Muhammad bin Tughlaq changed the capital from Delhi to Devagiri (Daulatabad).

→ The Sultan was the head of the empire.

→ Delhi Sultanate was divided into Iqtas (provinces).

→ Agriculture was the main occupation.

→ Tanka (silver) and Jital (copper) were the basic coins in usage.

→ A combination of Arabic and Indian style of art and architecture developed during this period.

→ Qutub Minar was built by Qutubuddin Aibak.

→ Literature was produced in Persian, Sanskrit and other regional languages.

→ Alberuni, Amir Khusrav and Zia-ud-din Barani were some of the great scholars.

→ The rule of the Delhi Sultanate came to an end during the reign of Lodi dynasty.

→ The Mughal ruler, Babur defeated Ibrahim Lodi in the first battle of Panipat in 1526 A.D.

→ What is History? : History is considered as the record of the past factural events.

→ Why do we study History? : We have to study history as it reveals how the people lived in that society, their rules and regulations, cultures and traditions in a chronological order i.e., from past to present.

→ Sources of History : 1. Archaeological sources. 2. Literary sources.

→ Rulers of Delhi Sultanate : Various Muslim dynasties that ruled in India.

→ Social, Political and Economic life
Social : The way that laws, government actions, events etc.

→ Political : With the leading officials, their interactions, any documents, laws, treaties etc.

→ Economic life : Specific to the financial implications of laws and events, how they affect trade, job availability and the flow of money.

→ Art and Architecture : Is defined as the art and science of designing building and structures.
(OR)
A combination of Arabic and Indian style of art and architecture developed during that period.

1. Dynasty : A line of hereditary rulers.

2. Proclaimed : Officially announced.

3. Couplets : Two lined verses of same rhyming and length.

4. Karkhanas : Workshops.

5. Shariat : Rule according to Islamic principles.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 3rd Lesson Learning Through Maps to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 3rd Lesson Learning Through Maps

→ Maps make our travel easier and accurate in guiding us towards the destination.

→ Vasco Da Gama reached Calicut in 1498 AD.

→ Magellan was the first person who voyaged across the Globe.

→ The Sailors and travellers had a great contribution in map – making.

→ The Sumerians, Babylonians used clay tablets as maps.

→ The Greek map makers Anaximander, Hacataeus, Herodotus prepared maps from arranging the places from West to East.

→ Gerardus Mercator introduced a method called projection that brought a great change in map making.

→ Scale, directions, symbols and colours are parts of a map.

→ Title of the map says about the theme or subject of the map.

→ Colours used in physical maps, thematic maps convey specific information.

→ Map makers use symbols to show their location in a map.

→ Maps are the key resources to know the details of a place.

→ Political map shows the administrative units, neighbouring countries, boundaries, capitals etc.

→ The map that shows the information about the physical features of a place like mountain ranges, hills, plateaus, plains, rivers, deserts, lakes, highlands etc. is called a physical map.

→ The imaginary lines that connect the places of equal heights are known as Contour lines.

→ Maps that are prepared for a special purpose or on theme are called thematic maps.

→ The map that shows historical details are known as Historical maps.

→ Index of a Map : A list of some kind of feature shown on the map, which either helps users to interpret the map, or to locate.

→ Types of Maps : Maps are classified based on the scale theme/content/ concepts and methods of preparation.
Ex:

1. Political map
2. Physical map.

→ Political Maps : Political map shows the administrative units, neighbouring countries, capitals etc.

→ Physical Maps : The map that shows the information about the physical features of a place like mountain ranges, hills, plateaus, plains, rivers, deserts, lakes, high lands etc. is called a physical map.

→ Thematic Maps : Maps that are prepared fora special purpose or on theme are called thematic maps.

→ Historical Maps : The map that shows historical details are known as Historical maps.

1. Spatial Information : Information with direct or indirect reference to a specific location.

2. Cartographer : A person who draws maps.

3. Edicts : Inscriotions; The official order or proclamation issused by a person in authority.

4. Toposheets : Maps that represent the natural and cultural features of a particular area.

5. Union Territories : An administrative unit of our country, governed by the central goverment.

6. Conventional Symbol : These are the small pictures that stand for different features on a map used by Survey of India.

7. Voyage : A long journey involving travel by sea or in space.

8. Drainage : The flow of water, particularly the river systems.

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 1st Lesson మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 1st Lesson మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు

→ శ్రీనివాస రామానుజన్ (22.12.1887 – 26.04.1920),
సంఖ్య సిద్ధాంతంలో భారతీయ మేధావి. ఫెలో ఆఫ్ రాయల్ సొసైటీ (ఇంగ్లాండ్) కు ఎన్నికైన మొదటి భారతీయుడు. 1729 రామానుజన్’ సంఖ్య, ప్రతి సంవత్సరం జాతీయ గణిత దినోత్సవం అతని పుట్టినరోజు (డిసెంబరు 22) న జరుపుకుంటారు.

→ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 లను అంకెలు అంటాం. ఈ 10 అంకెలను ఉపయోగించి అన్ని సంఖ్యలను రాస్తాము.

→ సంఖ్యలోని ప్రతి అంకె విలువ, అది సంఖ్యలోని స్థానంను బట్టి ఆధారపడి ఉంటుంది. కుడినుండి ఎడమకు జరిగిన అంకెస్థాన విలువ 10 రెట్లు పెరుగుతుంది.

→ స్థాన విలువల పట్టిక (లక్షల వరకు) :

→ సంఖ్యలను క్రమం అమర్చడం కూడా స్థాన విలువల ఆధారంగానే చేస్తాము. సంఖ్యలను ఆరోహణ క్రమం, అవరోహణ క్రమంలలో అమర్చుతారు.

→ ఆరోహణ క్రమం : సంఖ్యలను కనిష్ఠ సంఖ్య నుండి గరిష్ఠ సంఖ్యకు అమర్చడం.
ఉదాహరణ : 9, 576, 28, 106, 28, 116, 37, 596, 1,25,765

→ అవరోహణక్రమం : సంఖ్యలను గరిష్ఠ సంఖ్య నుండి కనిష్ఠ సంఖ్యకు అమర్చడం.
ఉదాహరణ : 1, 25, 765, 37, 596, 28, 116, 28, 106, 9,576

→ సంఖ్యామానం – పద్ధతులు :

• హిందూ సంఖ్యామానం
• అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం

పై రెండు పద్ధతులలోను సంఖ్యలను రాయడానికి 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 మరియు 9 అనే అంకెలనే ఉపయోగిస్తారు.

→ హిందూ సంఖ్యామానం-స్థాన విలువల పట్టిక :

1 కోటి = 10 పది లక్షలు
= 100 లక్షలు
1000 పదివేలు
= 10,000 వేలు
= 1,00,000 వందలు
= 10,00,000 పదులు
= 1,00,00,000 ఒకట్లు

→ అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం – స్థాన విలువల పట్టిక :

హిందూ సంఖ్యామానం = అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం

• 1 లక్ష = 100 వేలు
• 10 లక్షలు, = 1 మిలియన్
• 1 కోటి = 10 మిలియన్లు
• 10 కోట్లు = 100 మిలియన్లు
• 100 కోట్లు = 1 బిలియన్

→ ఒక సంఖ్యను ఒక స్థానానికి సవరించడం లేదా అంచనా వేయడం ఆ సంఖ్యలోని కుడివైపుగల అంకె పై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక సంఖ్యను పదులకు సవరించుటకు :

• ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 5 కన్నా తక్కువైనచో ఒకట్ల స్థానాన్ని సున్నతో పూరించండి. మిగతా అంకెలను అలాగే ఉంచండి.
  ఉదా : 5,473 ను దగ్గరి పదులకు సవరించి 5,470గా రాస్తాము.
• ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 5 లేదా 5 కన్నా ఎక్కువైన పదులస్థానంలోని అంకెకు ‘1’ కలిపి ఒకట్ల స్థానంలో ‘0’ను రాయాలి.
  ఉదా : 5,637ను దగ్గరి పదులకు సవరించి 5, 640గా రాస్తాము.

→ ఒక సంఖ్యను వందలకు సవరించుటకు :
(i) పదుల స్థానంలోని అంకె 5 కన్నా తక్కువ అయినచో వందల స్థానంలోని అంకెను అలాగే ఉంచి, పదులు, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల స్థానంలో ‘0’ను రాయాలి.
ఉదా : 64,329ని దగ్గరి వందలకు సవరించి 64,300గా రాస్తాము.

(ii) పదులస్థానంలో 5 గాని, 5 కన్నా ఎక్కువగాని ఉన్నచో వందలస్థానంలోని అంకెకు ‘1’ కలపాలి. పదులు, ఒకట్ల స్థానాలలో సున్నా రాయాలి.
ఉదా :

• 64,356ను దగ్గరి వందలకు సవరించి 64,400గా రాస్తాము.
• 64,365ను దగ్గరి వందలకు సవరించి 64,400 గా రాస్తాము.

→ చతుర్విద ప్రక్రియలైన సంకలనం (+), వ్యవకలనం (-), గుణకారం (×), భాగహారముల ఫలితాలను సవరించడం ద్వారా అంచనా వేయవచ్చును.

→ నీటి ప్రవాహాన్ని కొలవడానికి మనం క్యూసెక్ మరియు టి.యం. సిలను వాడతాం. ‘ క్యూసెక్ = క్యూబిక్ ఫీట్ పర్ సెకండ్
= 28.316 లీటర్ల ప్రవాహం సెకనుకు ఒక వెయ్యి మిలియన్ క్యూబిక్ ఫీట్ = 1 టి.యం.సి.
= 2831.6 కోట్ల లీటర్లు.

→ బరువులను కొలవడానికి సాధారణంగా గ్రాము, కిలోగ్రాము, క్వింటాల్ లను ఉపయోగిస్తాము.

• 1 గ్రాం = 1 గ్రా.
• 1 కిలోగ్రాం = 1000 గ్రా.
• 1 క్వింటాలు = 100 కి.గ్రా. = 1,00,000 గ్రా.
• 1 టన్ను = 1000 కి.గ్రా. = 10,00,000 గ్రా.
• 1 మెగాటన్ను = 1,00,00,00,000 కి.గ్రా. = 10,00,00,00,00,000 గ్రా.
• 1 గిగాటన్ను = 10,00,00,00,00,000 కి.గ్రా. = 1,00,00,00,00,00,00,000 గ్రా.

→ పొడవులను కొలచుటకు మనం మిల్లీమీటరు (మి.మీ.), సెంటీమీటరు (సెం.మీ.), మీటరు (మీ.) మొదలగు ప్రమాణాలను ఉపయోగిస్తాము.

• 10 మిల్లీమీటర్లు = 1 సెం.మీ.
• 100 సెంటీమీటర్లు = 1 మీటరు
• 1000 మీటర్లు = 1 కి.మీ.

→ క్రింది పట్టికను గమనించి ఖాళీలను సరియైన సంఖ్యలతో పూరించి, అక్షరాలలో రాయండి. (జి నెం. 2) సందర్భం సంఖ్య.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

→ ఆర్యభట్ట క్రీ.శ. 476 మార్చి 21

• ఆర్యభట్ట క్రీ.శ. 476 మార్చి 21 న పాటలీపుత్రంలో జన్మించాడు. ఆర్యభట్ట భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో అతిప్రసిద్ధుడు. ఆర్యభట్టీయం గ్రంథ రచనతో ఇతడు ప్రసిద్ధికెక్కాడు.
• π = \(\frac{62832}{20000}\) = 3.1416 అని, అది ఎల్లప్పుడు స్థిరమని, అయితే ఆ π విలువ ఉజ్జాయింపు మాత్రమేనని చెప్పడం ద్వారా విలువను మొదటి నాలుగు దశాంశాల వరకు ఇవ్వడమే గాక, అది అకరణీయ సంఖ్యకాదు అని ప్రపంచానికి మొదటి సారిగా తెలియజేశాడు.
• ఇతడు ax + by = c (a, b, c లు పూర్ణసంఖ్యలు) వంటి సాధారణ సమీకరణాలను “పల్వరైజర్” అనే పద్ధతి ద్వారా సాధించాడు. ఆర్యభట్టకు ముందే మనకు గణితం ఉన్నప్పటికి, ఆ కాలం తర్వాత భారతీయ గణిత పునర్జీవనం ఆర్యభటతోనే ప్రారంభమైనదనవచ్చును. ఒక ప్రామాణిక గణిత గ్రంథ రచనకు ఆద్యుడు ఆర్యభట్ట.
• భారతదేశం ప్రయోగించిన మొదటి ఉపగ్రహానికి ఇతని పేరునే “ఆర్యభట్ట”గా నామకరణం చేశారు.

→* రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం : రెండు చరరాశులతో కూడియున్న ప్రథమ పరిమాణ సమీకరణాన్ని రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.
ఉదా : 5x + 7y = 3 సాధారణంగా ax + by + c = 0 రూపంలో ఉండి a, b,c లు వాస్తవ సంఖ్యలై a² + b² ≠ 0 అయ్యేటట్లు
ఉన్న సమీకరణాన్ని రెండు చరరాశులు x, y లలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు. (a² + b² ≠ 0, a, b ∈ R , కావాలంటే a, b లలో కనీసం ఒకటైనా సున్న కాకూడదు.)

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత : a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + C₂ = 0. a₁, a₂, b₁, , b₂, c₁, c₂, లు వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0 రూపంలో గల రేఖీయ సమీకరణాల ద్వయాన్ని రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు.

→ రేఖీయ సమీకరణాల జత సాధన : రెండు చరరాశులలోని, రేఖీయ సమీకరణాల జతను ఉమ్మడిగా తృప్తిపరచే x, y విలువలను రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన అంటారు.

ఉదా : x + 2y = 8 మరియు 3x – 4y = 4.
పై రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు రెండు చరరాశులలో ఒక రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచిస్తాయి.

• x = 4, y = 2 విలువలు x + 2y = 8లో రాయగా 4 + 2(2)= 8 అలాగే, 3x – 4y = 4 లో రాయగా 3(4) – 4(2) = 12 – 8 = 4.
• x = 4, y = 2, రేఖీయ సమీకరణాల జతలోని రెండు సమీకరణాలను తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున X = 4, y = 2.
• x + 2y = 8 మరియు 3x – 4y = 4 అనే రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన అవుతుంది.

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత-రకాలు : రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలు రెండు రకాలు.

1. సంగత రేఖీయ సమీకరణాలు
2. అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు

→ సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత : కనీసం ఒక సాధననైనా కలిగివున్న రేఖీయ సమీకరణాల జతను సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. సంగత సమీకరణాలు రెండు రకాలు : అవి :

1. పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత
2. పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత

→ పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత ఒకే ఒక సాధనను కలిగి ఉంటుంది. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 లు పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత అయితే \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)

→ ‘పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అనంతమైన సాధనలు కలిగి ఉంటుంది. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₁x + b₁y + c₁ = 0 లు పరస్పరాధారితాలైతే ఆ \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) పరస్పరాధారిత సమీకరణాలలో ఒక సమీకరణాన్ని ఒక స్థిరసంఖ్యతో గుణించడం వలన మరొకటి వస్తుంది.
ax + by + c = 0 మరియు kax + kby + kc = 0, k ≠ 0 లు పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అవుతుంది. పరస్పం ఖీ య సమీకరణాల జత ax + by + c = 0 మరియు k (ax + by + c) = 0 రూపంలో ఉంటుంది.

→ పరస్పర స్వతంత్ర సమీకరణాల జత రెండు ఖండన రేఖలను సూచిస్తే, పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రెండు రేఖలను సూచిస్తుంది.

→ అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత : సాధన లేనటువంటి రేఖీయ సమీకరణాల జతను అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అంటారు. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 లు ఒక అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచిస్తే a
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత రెండు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుంది.
అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధన సమితి శూన్యసమితి అవుతుంది.

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనను కనుగొనే పద్ధతులు :

1. జ్యా మితీయ పద్ధతి లేక గ్రాఫ్ పద్ధతి
2. బీజీయ పద్ధతులు
   • ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి
   • చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి
   • చరరాశిని పోల్చు పద్ధతి
   • సూత్రపద్ధతి (అడ్డ గుణకార పద్ధతి) మొదలగు పద్ధతులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనను కనుగొంటారు.

→ జ్యా మితీయ పద్ధతి (లేక) గ్రాఫ్ పద్ధతి : ax + by + C= 0 అనే రేఖీయ సమీకరణం జ్యా మితీయంగా ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుంది. ఈ రేఖపై గల వాస్తవ సంఖ్యాక్రమయుగ్మాలు (x, y) అన్నీ రేఖీయ సమీకరణం యొక్క సాధనలు అవుతాయి.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 అనే సమీకరణాల జత, ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖలను సూచిస్తుంది. ఈ రెండు సరళరేఖలపై ఉమ్మడిగా గల క్రమయుగ్మాలు (x, y) రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధనలు అవుతాయి.
ఒక తలంలో రెండు సరళరేఖలు ఉంటే క్రింది మూడు సందర్భాలలో ఒకటి మాత్రమే సాధ్యము.

→ సందర్భం 1 – ఖండనరేఖలు :

రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత ఖండించుకొనే రేఖలను సూచిస్తుంది. ఈ రేఖల ఖండ బిందువు (x, y) రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో ు a₁x + by₁+c₁ మరియ a₂x + b₂y + c = 0 సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత అవుతుంది \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) అవుతుంది.

→ సందర్భం 2 – సమాంతర రేఖలు :

రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత ఒక సమాంతర రేఖల జతను సూచిస్తుంది. ఇటువంటి రేఖలకు . ఉమ్మడి బిందువులు ఉండవు. అనగా రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఉండదు. కావున రేఖీయ సమీకరణాల జత a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 -అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) అవుతుంది.

→ సందర్భం 3 – ఏకీభవించే రేఖలు :

రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రెండు రేఖలను సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో సరళరేఖపై గల ప్రతి బిందువు రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన అవుతుంది. అనగా రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి. a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0లు సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచిస్తాయి. మరియు పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అవుతుంది. \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అవుతుంది.
L₁ = ax + by + c = 0 అయి L₁, L₂లు పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత అయితే L₂ = KL₁అవుతుంది. K ∈ R
∴ L₂ = k (ax + by + c) = 0.

→ గ్రాఫ్ పద్ధతిలో రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలను సాధించే సోపాన క్రమము :
L₁ = a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు L₂ = a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జత అయితే.

→ సోపానం 1 : y ని X పదాలలో రాయాలి.
y = \(\frac{-\left(a_{1} x+c_{1}\right)}{b_{1}}\)
y = \(\frac{-\left(a_{2} x+c_{2}\right)}{b_{2}}\)

సోపానం 2 : x యొక్క కనీసం రెండు విలువలకు సోపానం 1 నుండి y యొక్క విలువను రెండు సమీకరణాలకు . వేర్వేరుగా లెక్కించి ప్రతి రేఖ యొక్క క్రమయుగ్మాలు (x,y) రాయాలి.

సోపానం 3 : 2వ సోపానంలో పొందిన బిందువులను గ్రాఫ్ పై గుర్తించి రెండు సరళరేఖలు L₁, మరియు L₂ లను గీయాలి.

సోపానం 4 :

• సోపానం 3లోని సరళరేఖలు L₁ మరియు L₂లు ఖండన రేఖలు అయి ఖండన బిందువు (α, β) అయితే (x = α) అయితే మరియు (y = β)ను సాధనగా రాయాలి.
• L₁, L₂ రేఖలు సమాంతరాలైతే ఉమ్మడిబిందువులు ఉండవు కావున సాధన లేదని గుర్తించాలి.
• L₁, L₂ లు ఏకీభవించే రేఖలైతే రేఖ పై గల ప్రతి బిందువు సాధన అవుతుంది. అనంత సాధనలు కలిగి ఉంటాయని గుర్తించాలి.

గమనిక : సరళరేఖ గీయడానికి మూడు బిందువులను కనుగొనడం ఒక ఉత్తమ పద్ధతి.

→ బీజీయ పద్దతులు : a) ప్రతిక్షేపణ పద్దతి : రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలోని ఒక సమీకరణంలోని ఒక చరరాశిని మరొక చరరాశి పదాలలో రాసి, తద్వారా రెండవ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి సాధనను కనుగొంటాము.

ఈ విధానంలోని సోపానాలక్రమం :

• సోపానం 1 : ఒక సమీకరణంలో ఒక చరరాశిని వేరొక చరరాశి పదాలలో రాయాలి. అనగా ‘ ని x పదాలలో లేదా x ని y పదాలలో రాయాలి.
• సోపానం 2 : సోపానం 1లో వచ్చిన చరరాశి లేదా x విలువను రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించాలి.
• సోపానం 3 : సోపానం 2లో వచ్చిన సమీకరణాన్ని సూక్ష్మీకరించి x లేదా y విలువను కనుగొనాలి.
• సోపానం 4 : సోపానం 3లో వచ్చిన x లేదా y విలువలను ఇచ్చిన ఏదో ఒక సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి y లేదా x ను సాధించాలి.
• సోపానం 5 : వచ్చిన సాధన x, y విలువలు రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూసుకోవాలి.

ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0, 4x – 3y – 6 = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో సాధిద్దాము.
సాధన : x + 2y – 7 = 0. ………………. (1)
4x – 3y- 6 = 0 ……………… (2)
(1) నుండి x = 7-2y (సోపానం 1)
x = 7 – 2yని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
4(7- 2y) – 3y- 6 = 0 (సోపానం 2)
28 – 8y – 3y – 6 = 0
22 – 11y = 0
-11y = -22
11y = 22,

y= 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా

4x – 3 (2) – 6 = 0
4x – 6 – 6 = 0
4x – 12 = 0
4x = 12

సాధన : x = 3, y = 2
సరిచూడటం :
x = 3, y = 2 ను (1) లో రా యగా
3 + 2(2) – 7 = 0
3 + 4 -7 = 0
7 – 7 = 0
0 = 0 (సోపానం 5)
∴ సాధన X= 3, y = 2 (1) ని సంతృప్తిపరుస్తున్నది.

(b) చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి :
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలోని రెండు సమీకరణాలలోను ఒక చరరాశి గుణకాలను సమానం చేయడం ద్వారా ఆ చరరాశిని తొలగిస్తాము. దీని వలన ఏక చరరాశిలో ఒకే రేఖీయ సమీకరణం ఏర్పడుతుంది. దీనిని సాధించడం ద్వారా రెండవ చరరాశి వస్తుంది. ఈ చరరాశి సహాయంతో మొదట తొలగించిన చరరాశిని కనుగొంటాము.

గమనిక : సాధారణంగా రెండు సమీకరణాలలోను తొలగించాల్సిన చరరాశి యొక్క గుణకాలను, గుణకాల యొక్క క.సా.గు.కు సమానం అయ్యేటట్లు పెంచుతాము. ఈ పద్ధతి మోడల్ పద్ధతిని పోలి ఉంటుంది.

ఈ విధానంలో సోపాన క్రమం :

• సోపానం 1 : ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలను
  a₁x + b₁y = c₁
  a₂x + b₂y = c₂, గా రా యాలి.
• సోపానం 2 : రెండు సమీకరణాలను సరియగు వాస్తవసంఖ్యతో గుణించి తొలగించాల్సిన చరరాశి గుణకాలను వాని క.సా.గుకు సమానం చేయాలి.
• సోపానం 3 : 2వ సోపానంలోని రెండు సమీకరణాలలోని తొలగించాల్సిన చరరాశి గుణకాలు ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటే ‘ఒక సమీకరణం నుండి మరొక సమీకరణాన్ని తీసివేయడం ద్వారా మనకు ఏక చరరాశి రేఖీయ సమీకరణం వస్తుంది. అదే గుణకాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు ఉంటే కూడాలి.
• సోపానం 4 : సోపానం 3 లోని ఏక చరరాశి రేఖీయ సమీకరణాన్ని సాధించి చరరాశి విలువను రాబట్టాలి.
• సోపానం 5 : సోపానం 4లో వచ్చిన చరరాశి. సహాయంతో ఇచ్చిన ఏదో ఒక సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి 3వ సోపానంలో తొలగించిన చరరాశిని రాబట్టాలి.
• సోపానం 6 : చరరాశి విలువలను రెండవ సమీకరణాలలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూసుకోవాలి.

ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0, 4x – 3y — 6 = 0
లను చరరాశి తొలగింపు పద్ధతిలో సాధిద్దాము.
సాధన : x + 2y = 1 …………… (1)
4x – 3y = 6 …………… (2)
రెండు సమికరణాల నుండి y ని తొలగిద్దాము y గుణకాలు 2, 3 ల క.సా.గు 6. . . . .

X = 3ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా –
3 + 2y = 7
2y = 7 – 3 ⇒ 2y = 4
y = \(\frac{4}{2}\) = 2
సాధన X = 3, V = 2. . (సోపానం 5)

సరిచూడటం :
x = 3, y = 2ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
4(3) – 3 (2) = 6
12 – 6 = 6
6 = 6
∴ సాధన x = 3, y = 2 (2)వ సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తున్నది.

గమనిక : సోపానం 2, సోపానం 3 లను సోపానం 4 (సోపానం 1) లోని కనుగొన్న చరరాశి తర్వాత కనుగొనాల్సిన మరొక రెండు సమీకరణాల నుండి ని తొలగిద్దాము. చరరాశికి కూడా పునరావృతం చేసి రెండవ చరరాశిని కనుగొనవచ్చును. ఇది సోపానం 5 అవుతుంది.

ఉదాహరణ : పై ఉదాహరణలో 4వ సోపానంలో x = 3 కనుగొన్న తర్వాత y కోసం క్రింది విధంగా కూడా ప్రయత్నించవచ్చును.

∴ సాధన x = 3, y = 2.

* c) చరరాశిని పోల్చు పద్దతి : రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలో రెండు సమీకరణాలోని ఒక చరరాశిని మరొక చరరాశి పదాలలో రాశి పోల్చడం ద్వారా సాధిస్తాము.
సాధన సోపాన క్రమము .
a₁x + b₁y + c₁ = o …………..(1)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 ………….. (2)

సోపానం 1 : ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి
(1) ⇒ y = \(\frac{-\left(a_{1} x+c_{1}\right)}{b_{1}}\)
(2) ⇒ y = \(\frac{\left(a_{2} x+c_{2}\right)}{b_{2}}\) గా రాయాలి
సోపానం 2 : సోపానం 1 లోని y విలువలను సమానం చేసి Xలో ఏక చరరాశి సమీకరణాన్ని రాబట్టాలి.
సోపానం 3 : సోపానం 2లోని ఏక చరరాశి సమీకరణాల నుండి X విలువను కనుగొనాలి.
సోపానం 4: X విలువ సహాయంతో (1) వ సోపానంలోని ఏదేని సమీకరణం నుండి y విలువను కనుగొనాలి. సోపానం 5 : సాధనను సరిచూసుకోవాలి.
ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0, 4x – 3y – 6 = 0 లను చరరాశి పోల్చు పద్ధతిలో సాధిద్దాము.

సాధన : x + 2y-7 = 0. ………… (1)
4x – 3y – 6 = 0 …………(2)
(1) ⇒ 2y = 7 – x
y = \(\frac{7-x}{2}\) …………(3)
(2) ⇒ 3y = 6 – 4x
3y = 4x – 6
x = \(\frac{4 x-6}{3}\)………. (4) (1వ సోపానం)
(3) మరియు (4) ల నుండి
3 (7 – x) = 2 (4x – 6)
21 – 3x = 8x – 12 (2వ సోపానం)
11x = 33
x = \(\frac{33}{11}\) = 3 (3వ సోపానం)
3 ను (3) లో రాయగా
\(\frac{7-3}{2} \quad \frac{4}{2}\) = 2 (4వ సోపానం) .
సాధన x = 3 , y = 2
సరిచూడటం ఇంతకు మునుపు పద్ధతులలో లాగానే ‘ చేయాలి. (5వ సోపానం)

(d) సూత్ర పద్ధతి (అడ్డగుణకార పద్ధతి)
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 లు రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు అయితే
x = \(\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\)
y = \(\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\)
a₁b₂ – a₂b₁ # 0 అనే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సాధనను కనుగొంటాము.
(లేదా )
x, y గుణాకాలను కింది విధంగా రాసుకొని అడ్డ గుణాకార పద్ధతిలో సాధిస్తాము

దీని నుండి సూక్ష్మీకరిస్తే పై సూత్రాలు వస్తాయి

ఉదాహరణ : x + 2y – 7 = 0
4x – 3y – 6 = 0
సమీకరణాల జతను సూత్ర పద్ధతిలో సాధిద్దాము

సాధన : a, = 1, b, = 2, c = -7
a = 4, b) = -3, c, = -6

\(\frac{y}{-22}=\frac{1}{-11} \Rightarrow y=\frac{-22}{-11}\) = 2
సాధన x = 3, y = 2.

→ రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలుగా మార్చగలిగే సమీకరణాల సాధన :
a₁x +b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 రూపంలో లేని కొన్ని సమీకరణాల జతలను కొన్ని ప్రత్యేక ప్రతిక్షేపణలు లేదా సూక్ష్మీకరణాల ద్వారా వాటిని రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చి సాధించవచ్చును.

ఉదా : \(\frac{3}{x}-\frac{1}{y}\) = -9 మరియు \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) =5
\(\frac{1}{x}\) = u, \(\frac{1}{y}\) = v గా తీసుకొని పై సమీకరణాలలో రాయగా,. పై సమీకరణాలు 3u – v = -9 మరియు 2u + 3v = 5 అనే u, v లలో రేఖీయ సమీకరణాల జతలుగా మారుతాయి.

ఉదా : \(\frac{x+y}{x y}\) = 2 మరియు \(\frac{x-y}{x y}\) = 6 లను సాధిద్దాము.
సాధన. \(\frac{x}{x y}+\frac{-y}{x y}\) = 2 మరియు \(\frac{x}{x y}-\frac{-y}{x y}\) = 6 గా రాసి సూక్ష్మీకరిస్తాము.

అపుడు \(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2 మరియు\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\) – 6
\(\frac{1}{y}\) =u, \(\frac{1}{x}\) = v అనుకొందాం. అపుడు u + v = 2 మరియు u – V = 6 అనే u, v లలో రేఖీయ సమీకరణాల జతగా మారుతాయి.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 3rd Lesson బహుపదులు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 3rd Lesson బహుపదులు

→ పావులూరి మల్లన 11వ శతాబ్దం :

• పావులూరి మల్లన ప్రముఖ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. ఇతడు 11వ శతాబ్దానికి చెందిన తూర్పు .
• చాళుక్యరాజైన రాజరాజనరేంద్రుని ఆస్థాన పండితుడు. ఇతను నన్నయ భట్టుకు సమకాలికుడు.
• పావులూరి మల్లన మహావీరాచార్యునిచే రచింపబడిన ‘గణితసార సంగ్రహం’ అనే ఆ సంస్కృత భాషలోని గణితగ్రంథాన్ని స్వతంత్ర అనువాద పద్దతిలో తెలుగు భాషలోకి అనువదించాడు. దీని పేరు “సారసంగ్రహ గణితం”. చాలా సరళమైన శైలిలోని ఈ గణిత గ్రంథము ఒక పద్యకావ్యంలా ఉంటుంది. ఆ కాలం ఆ మూల గంథమైన ‘గణిత సారసంగ్రహం ‘లో పరికర్మ, భిన్న, ప్రకీర్ల, తైరాశిక, మిత్ర క్షేత్ర, ఖాత, ఛాయవ్యవహారములు అని 8 ప్రకరణాలుగా ఉంటే మల్లన మిశ్ర గణితాన్ని సూత్ర గణితం, సువర్ణ గణితం అని రెండు భాగాలుగా చేశాడు.
• మూలములోని గణిత విధానములను మాత్రమే తీసుకొని సమస్యలు, ఉదాహరణలు, తనదైన పద్ధతిలో స్వతంత్రముగా ఇచ్చాడు. భిన్నాంకముల సమస్యలలో ‘ఇష్టకర్మము’ , అనే గణిత వ్యవహారంలో కూడా మల్లన అనేకమైన ఉదాహరణలు ఇచ్చాడు.
• సార సంగ్రహ గణితం’ గ్రంధాన్ని పాటి గణితం, క్షేత్ర గణితం మరియు బీజ గణితం – అనే మూడు విభాగాలుగా వ్రాశాడు. పావులూరి గణితంగా ప్రసిద్ది చెందిన “సార సంగ్రహగణితం” తొలి తెలుగు గ్రంథం. తొలి తెలుగు గణిత గ్రంథం వ్రాసిన ఘనత – పావులూరి మల్లనకు దక్కింది.

→ బహుపది . చరరాశుల యొక్క ఘాతాంకాలు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలుగా గల బీజీయ సమాసాలను ‘బహుపదులు అంటారు.

ఉదా :

• 3x + 9
• 4x²y + 3xy² – 7xy + 7
• x³ – √3 x² + 7x – 9

→ బహుపది పరిమాణం : బహుపది వివిధ పరిమాణాలలో గరిష్ఠ పరిమాణమే బహుపది పరిమాణము.
ఉదా : p(x) = 7x⁴ – 3×3 + 5×2 + 9x + 3 యొక్క పరిమాణం :  4
ply) = 9×3 – 7×5 – 8 + 7×2 – Q యొక్క పరినూణం : 5

సూచన : p(x) ఒక బహుపది అయిన X యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాంకము p(x) యొక్క పరిమాణం అవుతుంది.

→ n వ పరిమాణ బహుపది యొక్క సాధారణ రూపం :
p(x) = a₀xⁿ + a₁ x^n-1 + a₂ x^n-2 + …. + a_n-1 x + a_n. ఇక్కడ a₀, a₁, a₂, . . a_n-1, a లు వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a₀ ≠ 0.

• స్థిర బహుపది : ‘సున్న’ పరిమాణంగా గల బహుపది
  ఉదా : p(x) = 8
  p(y) = – 4 .
• రేఖీయ బహుపది : పరిమాణం ‘1’ గా గల బహుపది
  ఉదా : p(x) = 5x – 4
  p(x) = 9z + 27 .
• వర్గ బహుపది : పరిమాణం ‘2’ గా గల బహుపది
  ఉదా : p(x) = x² + 5x + 6 .
  p(y) = 4y² – 12y + 9
• ఘన బహుపది : పరిమాణం ‘3’ గా గల బహుపది
  ఉదా : p(x) = 8x³ – 4x² + 9x + 8
  p(y) = y³ + 8y² – 3y + 4

సూచన : బహుపది యొక్క పరిమాణం ఆ బహుపదిలోని పదాలకన్నా 1 తక్కువ p(x) లో n పదాలు ఉంటే p(x) యొక్క పరిమాణం : n – 1.

→ బహుపది విలువ : బహుపది p(x) లోని చరరాశి x కు k ను ప్రతిక్షేపించగా వచ్చే విలువను x = k వద్ద p(x) యొక్క బహుపది విలువ అంటారు. దీనిని p(k) తో సూచిస్తారు.
ఉదా : p(x) = x² – 5x + 6
x = 1 వద్ద p(x) విలువ
p(1) = (1)² 5 (1) + 6
= 1 – 5 + 6 = 2
x = 1 వద్ద p(x) విలువ p(1) = 2

→ బహుపది శూన్య విలువ : బహుపది p(x) లోని చరరాశి x యొక్క ఏ విలువకు p(x) బహుపది విలువ శూన్యం (‘0’) అవుతుందో. x యొక్క ఆ విలువను బహుపది p(x) శూన్య విలువ అంటారు
ఉదా :

(1) p(x) = 5x – 10
x = 2 అయిన p(2) = 5(2)
10 = 10
10 = 0
p(2) = 0
కావున p(x) = 5x
10 యొక్క శూన్య విలువ ‘2’ అవుతుండ

(2) p(x) = x² – 3x + 2
x = 3 అయిన
p(3) = (3)² – 3(3) + 2 = 2
p(3) = 2
p(3) ≠ 0 కావున p(x) కు 3 శూన్య విలువ కాదు.

(1) రేఖీయ బహుపది p(x) = ax + b ఒకే ఒక శూన్య విలువ x =-b/a ను కలిగి ఉంటుంది.

(2) (i) వర్గ బహుపది p(x) = ax² + bx + c గరిష్ఠంగా రెండు శూన్య విలువలను కలిగి ఉంటుంది.
(ii) p(x) = ax² + bx + c వర్ణ బహుపది కావున

• D = b² – 4ac > 0 అయిన రెండు శూన్య విలువలు (α ≠ β), α, β ∈ R ను కలిగి ఉంటుంది.
• D = b² – 4ac = 0 అయిన ఒకే ఒక శూన్య విలువ (α = β), α ∈ R ను కలిగి ఉంటుంది.
• D = b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు p(x) కు వాస్తవ శూన్య విలువలు ఉండవు.

(iii) వర్గ బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు

• D = b² – 4ac > 0 అయినప్పుడు α ≠ β
  α = \(\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a}\)
• D = b² – 4ac = 0 అయినప్పుడు α = β
  α = \(\frac{-b}{2 a}\)

(3) ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d గరిష్ఠంగా 3 శూన్య విలువలను కలిగి ఉంటుంది.

(4) 1వ పరిమాణ బహుపది గరిష్ఠంగా n శూన్య విలువలను కలిగి ఉంటుంది.

→ బహుపదులను రేఖీయ చిత్రాలుగా చూపడం :

• రేఖీయ బహుపది p(x) = ax + bని జ్యా మితీయంగా చిత్రించినపుడు ‘వచ్చే గ్రాఫ్ ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుంది.
  y = p(x) = ax + b, a ≠ 0 గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ
  X – అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు ( \(\frac{-b}{a}\), 0) వద్ద ఖండిస్తుంది. ఈ ఖండన బిందువులోని X – నిరూపకం \(\frac{-b}{a}\), p(x) = ax + b యొక్క శూన్య విలువ అవుతుంది.
• వర్గ బహుపది y = p(x) = ax² + bx + c రేఖీయ చిత్రం ఒక పరావలయాన్ని సూచిస్తుంది. p(x) లో x² గుణకం a > 0 అయిన పరావలయం పైవైపు వివృతంగాను a < 0 అయిన క్రిందివైపు వివృతంగాను ( ) ఉంటుంది. ఈ రెండు రకాల పరావలయాలు X – అక్షాన్ని గరిష్ఠంగా రెండు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తాయి. ఈ రెండు బిందువులలోని X – నిరూపకాలే p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతాయి.

సూచన :
p(x) = ax² + bx + c, X- అక్షాన్ని (\(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\), 0) మరియు (\(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\), o) అనే బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.

→ ఘన బహుపది : ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d రేఖాచిత్రం X – అక్షాన్ని గరిష్టంగా మూడు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది. ఈ మూడు బిందువులలోని X- నిరూపకాలు p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతాయి.

→ ఘన బహుపది రేఖాచిత్రము – వివిధ సందర్భాలలో : p(x) = ax³ + bx² + cx + d:

→ బహుపదుల భాగహార అల్ గారిథమ్ (బహుపదుల భాగహార నియమం) : p(x) మరియు g(x) లు రెండు బహుపదులు, g(x) = 0 అయిన p(x) = g(x) × q(x) + r(x) అయ్యేటట్లు q(x) మరియు r(x) అనే బహుపదులను కనుగొనవచ్చును. ఈ ఫలితాన్నే ‘బహుపదుల భాగహార అల్గారిథమ్’ అంటారు. ఇక్కడ r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణం .

పై నియమం నుండి మనం క్రింది విషయాలు తెలుసుకొనవచ్చును.

• g(x) రేఖీయ బహుపది అయితే r(x) = స్థిరాంకము.
• q(x) పరిమాణం 1 అయిన p(x) పరిమాణం = 1 + g(x) పరిమాణం.
• q{x} పరిమాణం n అయిన p(x) పరిమాణం = n + g(x) పరిమాణం
• p(x) ను X – a చే భాగించగా వచ్చే శేషము p(a) అవుతుంది.
• శేషము r = 0 అయితే p(x) కు g(x) కారణాంకము అవుతుంది.
  అనగా p(x) = g(x) × q(x) అవుతుంది.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు

→ వరాహమిహిరుడు (505 – 587)

• మిహిరుడని కూడా పిలవబడే వరాహమిహిరుడు ఉజ్జయినిలో జన్మించిన ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు, గణిత మేధావి.
• ఆర్యభట్ట, వరాహమిహిరుల చిత్రపటాలు భారత పార్లమెంటు భవనంలో ఉన్నాయి.
• వరాహమిహిరుడు విక్రమాదిత్య చక్రవర్తి ఆస్థానంలో ఉన్న నవరత్నాలలో ఒకడు.
• 0′ వరాహమిహిరుడు పాస్కల్ త్రిభుజాన్ని కనుక్కొన్నాడు. మాయా చదరాల మీద కృషి చేశాడు. “పంచ సిద్ధాంతిక” (క్రీ.శ. 575) అనే గ్రంథం ఇతని ప్రముఖ రచన.

→ సర్వేయర్లు చాలా వందల యేండ్ల నుండియే త్రికోణమితిని వాడుతూ ఉన్నారు. వారు సర్వే చేసే ప్రక్రియలో ఊర్థ్వకోణం, నిమ్నకోణాలను కనుక్కోవడానికి “థియోడలైట్” అనే పరికరాన్ని వాడతారు. 19వ శతాబ్దంలో “గ్రేట్ ట్రిగనా మెట్రిక్ సర్వే” పేరుతో బ్రిటిష్ ఇండియా భారతదేశంలో సర్వే చేయడానికి రెండు పెద్ద “థియోడలైట్”లను తయారు చేయించింది. ఆ సర్వే జరుగుతుండగా, 1852లో ప్రపంచంలోనే ఒక అతి, పెద్ద పర్వత శిఖరాన్ని భారతదేశంలో కనుగొన్నారు. 160 కి.మీ. దూరం నుండి చుట్టూ ఉన్న ఆరు విభిన్న కూడళ్ల నుండి పరిశీలించి పర్వతం యొక్క ఎత్తును కనుగొన్నారు. 1856లో ఆ సర్వే చేసిన అధికారియైన “సర్ జార్జ్ ఎవరెస్ట్” గౌరవార్థం ఆ శిఖరానికి అతని పేరు పెట్టడం జరిగింది. మొట్టమొదటగా అతడు ఉపయోగించిన ఆ థియోడలైట్లను డెహ్రాడూన్లోని “సర్వే ఆఫ్ ఇండియా మ్యూజియం’లో సందర్శనార్థం పెట్టారు.

→ ఒక వస్తువు యొక్క ఎత్తును గాని, పొడవును గాని కనుగొనడానికి, రెండు వస్తువుల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించుటకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను వాడుతూ ఉంటాం.

→ త్రికోణమితిని ఉపయోగించేందుకు క్రింది పదములపై అవగాహన అవసరము.

→ ఆ పదములు దృష్టిరేఖ, క్షితిజ సమాంతర రేఖ, ఊర్థ్వకోణము మరియు నిమ్నకోణములు.

→ క్షితిజ సమాంతర రేఖ : పరిశీలన ‘బిందువు నుండి వస్తువుకు సమాంతరంగా ఉండు రేఖ.

→ దృష్టిరేఖ : పరిశీలకుని కంటి నుండి వస్తువుకి గీయబడిన దృష్టి యొక్క రేఖను “దృష్టిరేఖ” అంటారు.
(లేదా)
ఒక వస్తువుపై ఒక బిందువు నుండి పరిశీలకుని కంటిని కలిపే సరళరేఖ.

→ ఊర్ద్వకోణము : క్షితిజ సమాంతర రేఖకు, దృష్టిరేఖ పైన ఉన్నప్పుడు వాటి మధ్య ఏర్పడే కోణాన్ని “ఊర్ధ్వకోణము” అంటారు. ఈ సందర్భంలో పరిశీలకుడి తల పైకెత్తబడుతుంది.

→ నిమ్నకోణము : క్షితిజ సమాంతర రేఖకు, దృష్టిరేఖ ‘క్రింద ఉన్నప్పుడు వాటి మధ్య ఏర్పడే కోణాన్ని “నిమ్నకోణం” అంటారు. ఈ సందర్భంలో పరిశీలకుడి తల క్రింది వైపుకు చూస్తుంది.

→ గుర్తుంచుకోవలసినవి :
I. లంబకోణ త్రిభుజములో త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు :

II. కొన్ని త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల విలువలు :

→ సమస్యల సాధన పద్ధతులు : ఎత్తులు మరియు దూరాలకు సంబంధించిన సమస్యలు సాధించడానికి కింది విషయాలను దృష్టిలో పెట్టుకోవాలి.

• గణితపరంగా సౌలభ్యం కొరకు టవర్లు, చెట్లు, భవనాలు, ఓడలు, పర్వతాలు మొ||లగు వాటిని రేఖీయంగానే పరిగణనలోనికి తీసుకోవాలి.
• ఊర్థ్వకోణం లేదా నిమ్నకోణాన్ని క్షితిజ సమాంతరరేఖ ఆధారంగానే తీసుకోవాలి.
• సమస్యలో పరిశీలిస్తున్న వ్యక్తి ఎత్తు ఇవ్వనట్లైతే, అతడి ఎత్తును లెక్కించకుండానే సమస్యను సాధించాలి.
• ఊర్థ్వ, నిమ్న కోణాలతో ఆ సాధన సందర్భాలను జ్యామితీయంగా ఊహించాల్సి ఉంటుంది.
• సమస్యలను సాధించడానికి వాటికి సంబంధించిన పటాలను గీయడం చాలా ముఖ్యము. వాటి ఆధారంగా సమస్యలను సులభంగా సాధించవచ్చు.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 11th Lesson త్రికోణమితి to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 11th Lesson త్రికోణమితి

→ ఆర్యభట్ట 500 A.D:
ఈ రోజుల్లో మనం ఉపయోగించే ‘sine’ అనే భావన యొక్క ఉపయోగం మొట్టమొదటగా 500 A.D. లో ఆర్యభట్ట ద్వారా రాయబడిన “ఆర్యభట్టీయం” లో కనిపిస్తుంది. అందులో ఇది “అర్ధ-జ్యా”గా వాడబడింది. తర్వాత అది “జ్యా”గా లేదా “జివా”గా కాలక్రమేణా మారింది. అరబిక్ భాషలో అనువదింపబడిన ఆర్యభట్టీయంలో “జివా” యొక్క ప్రయోగం కనిపిస్తుంది. తర్వాత లాటిన్ భాషలో అనువదింపబడిన “ఆర్యభట్టీయం” లో “జివా”, “sine (సైన్)”గా మారింది. ఆంగ్ల ఖగోళ శాస్త్ర ఆచార్యుడు ఎడ్మండ్ గుంటర్(1581-1626)మొట్టమొదటగా ‘sine’ ను సూక్ష్మంగా ‘sin’ గా ఉపయోగించాడు.

→ మన నిత్యజీవితంలో వివిధ కట్టడాల ఎత్తులు, దూరాలు మరియు వివిధ సందర్భాల్లో ఏర్పడే కోణాలను త్రిభుజ ధర్మాల ఆధారంగా కనుగొనవచ్చును.

→ ఈ రకమైన సమస్యలను గణితంలో ఒక భాగమైన త్రికోణమితి ఆధారంగా సాధించవచ్చును.

→ త్రికోణమితి అనగా త్రిభుజంలో భుజాలకు మరియు కోణాలకు మధ్యన గల సంబంధంను తెలుపు గణితశాస్త్రము.

→ లంబకోణ త్రిభుజంలో భుజాలకు పేర్లు పెట్టటం :
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABC ని తీసుకొనుము. పటంలో ‘B’ వద్ద లంబకోణము కలదు. A పరంగా ఎదురుగా వున్న భుజము BC కావున దీనిని ∠A కు “ఎదుటి భుజము” గరి అని అంటారు. మిగిలిన భుజము AB ని ∠A కు “ఆసన్న భుజము” అంటారు. ∠B కు ఎదురుగా ఉన్న భుజమును ‘కర్ణము” అంటారు.

→ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు : ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణం మినహా మిగిలిన అల్పకోణాలకు, వాటి భుజాలకు మధ్యన గల నిష్పత్తిని “త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు” అంటారు, పటంలో చూపినట్లుగా ‘B’ వద్ద లంబకోణం కలిగిన లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో ∠A కు A. త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు


→ “sine A” Dušxomaso as too “cosec A”, sin A : cosec A = 1.
“cosine A” యొక్క గుణకార విలోమం “secant A”, cos A ‘ sec A = 1
“tangent A” యొక్క గుణకార విలోమం “cot A”, tan A . cot A = 1

→ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల యొక్క విలువలు

Note: 0 ≤ A ≤ 90 అయిన

• sinA మరియు CosA విలువలు ‘0’ మరియు ‘1’ ల మధ్యన ఉండును.
• tanA విలువ ‘0’ నుండి పెరిగి ‘∞’ అగును.
• cotA విలువ ‘co’ నుండి తగ్గి ‘0’ అగును.
• coseCA విలువ ‘o’ నుండి తగ్గి ‘1’ అగును.
• secA విలువ ‘1’ నుండి పెరిగి ‘∞’ అగును.
• పూరక కోణాల త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల మధ్య సంబంధం :

రెండు కోణాల మొత్తం 90° అయిన వాటిని “పూరక కోణాలు” అంటారు.
→ ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణమున్న ∠A + ∠C = 90° అగును. ∠C = 90° – 2A అగును.

→ ‘θ’ అల్పకోణమైన sin (90 – θ) = cos θ

• cot (90 – θ) = tanθ
• cos (90 – θ) = sin θ
• sec (90 – θ) = cosec θ
• tan (90 – θ) = cot θ
• cosec (90 – θ) = sec θ అగును

→ కోణమితీయ సర్వసమీకరణం : త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల ఆధారంగా ఏర్పడే అన్ని కోణాలకు సత్యమగు సమీకరణంను “త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణం” అంటారు. .

• sinA + cos- A = 1
• sec – A – tan: A = 1
• cosec – A – cot A = 1

Note : sin² A = (sinA)² కాని sinA² ≠ (sinA)²

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 10th Lesson క్షేత్రమితి to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 10th Lesson క్షేత్రమితి

→ హెరాన్ క్రీ.శ. 10 – క్రీశ. 70 :

• అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన హెరాన్ (క్రీ.శ. 10 – క్రీ.శ. 70) ఒక ప్రాచీన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఇంజినీర్.
• హెరాన్ వర్గమూలాన్ని దశదశల పద్ధతిలో గణించే పద్ధతిని వర్ణించాడు.
• త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని దాని భుజ పొడవుల నుండి కనుగొన్నందుకు ఆయన పేరుతో హెరాన్ ఫార్ములా రూపొందింది. ఇక
• దృక్ శాస్త్రంలో ప్రిన్సిపల్ ఆఫ్ షార్టెస్ట్ పాథ్ ఆఫ్ లైట్’ను హెరాన్ రూపొందించాడు.
• ఆయన వాస్తవ రచనలు మరియు నమూనాలు చాలా వరకు లభ్యమగుట లేదు. అయితే కొన్ని రచనలు అరబిక్ రాత ప్రతులలో భద్రపరచబడినవి.
• ట్యూబ్ నర్ పబ్లిషింగ్ హౌస్ 1903లో లీగ్ లో హెరాన్ ప్రసిద్ధ రచనలను – 5 సంపుటాలుగా వెలువరించింది.

→ మూడు కొలతలు కలిగిన రేఖీయ ఘనాకృతులు ఈ క్రింది విధంగా కలవు.

→ ఘనాకృతులు ఈ క్రింది వైశాల్యాలు కలిగి ఉండును. అవి :

• ప్రక్కతల / ఉపరితల వైశాల్యాలు,
• సంపూర్ణతల వైశాల్యాలు.

→ దీర్ఘఘనం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2h(l + b)
స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh.

→ స్థూపం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం + 2 × భూ వైశాల్యము
= 2πrh + 2πr²- = 2πr(r + h)

సమఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం V = a² × a²; V = a³

సూపం యొక్క ఘనపరిమాణం V = πr² × h; V = πr²h.
సూచన : ఘనాకార వస్తు సముదాయ ఉపరితల వైశాల్యము ఆ ఆకృతిలోని ఘనాకార వస్తువుల ఉపరితల వైశాల్యముల మొత్తమునకు సమానము కాదు. దీనికి గల కారణము కొన్ని ఉపరితలములు, వస్తువులను జతపరిచినప్పుడు ఏకీభవిస్తాయి. కనుక వాటిని పరిగణనలోనికి తీసుకోలేము, కాని ఘనపరిమాణము మాత్రము ఆ వస్తువులోని ఘనాకార ఆకృతుల ఘనపరిమాణముల మొత్తమునకు సమానం.

→ వివిధ ఘనాకృతులు, వాటి ఉపరితల వైశాల్యములు, ఘనపరిమాణములు :

→ కొన్ని ఘనాకృతులు మరియు వాని సమ్మేళన ఆకారాలు :

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు

→ థామస్ ఫిస్కీ 15వ శతాబ్దం :

• థామస్ ఫిస్కీ “స్పర్శరేఖ” (Tangent) అను పదాన్ని 1583 సం||లో ప్రవేశ పెట్టాడు .
• ఇతను డెన్మార్క్ దేశస్థుడు.
• టాన్జెంట్ (స్పర్శరేఖ) అను పదం “టాన్ గ్రీ” అను “లాటిన్” పదం నుండి తీసుకొనబడినది.

→ ఒక స్థిర బిందువు నుండి సమాన దూరంలో గల బిందువులను వక్రంచే కలుపగా ఏర్పడిన దానిని ‘వృత్తం’ అంటారు. ఆ స్థిర బిందువును వృత్తానికి కేంద్ర బిందువు అంటారు. దీనిని ‘O’ అను అక్షరంచే సూచిస్తారు.

వృత్తంపై ఏవేని రెండు బిందువులను ఒక రేఖాఖండంచే కలుపగా ఏర్పడు దానిని “జ్యా” అంటారు. వృత్తంలోని అతి పొడవైన జ్యాను “వ్యాసము” అంటారు.
ప్రక్క పటం నుండి

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ఒక జ్యా, \(\overline{\mathrm{PQ}}\) వ్యాసము. వృత్త వ్యాసం ఎల్లప్పుడూ కేంద్రం గుండా పోతుంది.

→ \(\overline{\mathrm{OP}}\) = \(\overline{\mathrm{OQ}}\) = వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{d}{2}\) లేదా d = 2r

→ ఒక వృత్తము మరియు రేఖ మధ్య ఈ క్రింది సందర్భాలు కలవు.

• సందర్భం (i) : (i) వ పటంలో వృత్తానికి, సరళరేఖకు మధ్య ఉమ్మడి బిందువు లేదు. అనగా అవి రెండూ స్పృశించుకొనుటలేదు.
• సందర్భం (ii) : (ii) వ పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) అను సరళరేఖ వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది. కావున \(\overline{\mathrm{AB}}\) సరళరేఖ ఆ వృత్తానికి ఛేదనరేఖ అగును.
• సందర్భం (iii) : (iii) వ పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) అను సరళరేఖ వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు P వద్ద తాకుచున్నది. కావున \(\overline{\mathrm{AB}}\) వృత్తానికి ఒక స్పర్శరేఖ అగును.

→ వృత్తానికి ఒక బిందువు వద్ద ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.

→ వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు స్పర్శబిందువు వద్ద దాని వ్యాసార్ధం లంబంగా ఉండును. ”

→ స్పర్శరేఖ పొడవు : స్పర్శరేఖ పొడవు AP = \(\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OA}^{2}}\)

OA = వ్యాసార్థం
OP = వృత్తకేంద్రం నుండి బాహ్య బిందువు ‘P’ కు గల దూరం.

→ బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు గీయగలం.

→ బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు. అనగా PA = PB.

→ ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి ‘P’ అను బాహ్య బిందువు నుండి PA, PB లు గీయబడిన స్పర్శరేఖలు అయిన ∠OPA = ∠OPB.

→ ‘O’ కేంద్రంగా గల ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో చిన్న వృత్తానికి \(\overline{\mathrm{AB}}\), P వద్ద స్పర్శరేఖ మరియు పెద్ద వృత్తానికి జ్యా అయిన AP = PB అగును.

→ పటం నుండి ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి ‘A’ అను బాహ్య బిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు \(\overline{\mathrm{AP}}\), \(\overline{\mathrm{AQ}}\)లు
అయిన ∠PAQ = 2∠OPQ = 2∠OQP.

→ ABCD అను చతుర్భుజంలో ఒక వృత్తం అంతర్లిఖించబడినది. ఆ వృత్తం చతుర్భుజాన్ని, P, Q, R, S వద్ద ఖండించినచో AB + CD = BC + DA అగును. అనగా ఎదురెదురు భుజాల మొత్తాలు సమానాలు.

→ వృత్త ఖండము యొక్క వైశాల్యమును అంచనావేయుటకు వృత్తానికి ఛేదనరేఖలను గీచి వృత్త ఖండాలను ఏర్పరచవచ్చు.

వృత్త చాపము చేతను, జ్యా చేతను ఏర్పడే ప్రదేశమును వృత్త ఖండము అంటారు. దీని వైశాల్యము షేడ్ చేసిన భాగం తెలుపుతుంది. పటము (i) లో అల్ప వృత్తఖండము, పటము (ii) లో అర్ధవృత్తఖండము మరియు పటము (iii) లో అధిక వృత్తఖండము తెలుపుతాయి.

→ ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి OA, OB లు వ్యాసార్ధాలు (r). x అనునది AB చాపం వృత్తకేంద్రం వద్ద చేయు కోణం అయిన ABP వృత్త ఖండ వైశాల్యం
= AOB సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆AOB వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\) – πr² – (\(\frac{1}{2}\)bh).

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు

→ పైథాగరస్ (570-495 B.C.)

• పైథాగరస్ క్రీ.పూ. 570-495) ఒక గ్రీకు తత్త్వవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు.
• ఆయన గ్రీస్లోని సామోస్ ద్వీపంలో జన్మించారు. యువకుడిగా నా ఉన్నప్పుడు విజ్ఞాన సముపార్జన కోసం విస్తృతంగా పర్యటిస్తూ ఈజిప్టును మరియు ఇతర ప్రాంతాలను సందర్శించారు.
• ఆయన వేదాంతము, సంకేతము, గణితము, నీతి శాస్త్రము, రాజనీతి శాస్త్రములలో ఆసక్తిని కనబరచేవారు.
• ఆయన ఖగోళ శాస్త్రంలోను ముఖ్యమైన ఆవిష్కరణలు చేశారు. రి ఆయన గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడే కాదు గూఢ మతవాది, శాస్త్రవేత్త కూడా,
• క్రీ.పూ. 6వ శతాబ్దం చివరిలో తత్త్వశాస్త్రానికి, మతానికి ఎనలేని సేవలు చేశారు.
• ఆయన పేరు మీదనే పైథాగరస్ సిద్ధాంతం పేరుగాంచింది.
• పైథాగరస్ ఆలోచనలు, అభిప్రాయాలు తత్త్వవేత్త ప్లేటోపై, పాశ్చాత్య తత్త్వ శాస్త్రంపై గొప్ప ప్రభావం కనబరచాయి.

→ ఒకే ఆకారమును కలిగి ఉండి ఒకే పరిమాణము కలిగి ఉండనవసరములేని పటాలను సరూప పటాలు అంటారు.

→ వస్తువుల యొక్క ఎత్తులు మరియు దూరాలను సరూప పటాల నియమాలపై ఆధారపడి కనుగొంటారు.

→ జ్యామితిలో, భుజాల సంఖ్య సమానంగా ఉన్న రెండు బహుభుజులు సరూపాలు కావలెనన్న వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగాను, అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో (లేదా) అనుపాతంలోనూ ఉండాలి.

→ ఒక బహుభుజిలో భుజాలన్నీ మరియు కోణాలన్నీ సమానంగా ఉంటే దానిని క్రమ బహుభుజి అంటారు. → అనురూప భుజాల నిష్పత్తిని సాధారణంగా స్కేలు (లేదా) స్కేలు గుణకం (లేదా) ప్రత్యామ్నాయ గుణకం అంటారు.

→ సమాన సంఖ్యలో భుజాలు కల్గిన రెండు బహుభుజులు సరూపాలు కావాలంటే

• వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉండాలి.
• వాటి అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి (అనుపాతంలో ఉండాలి). ఈ బహుభుజుల సరూపకతకు పై రెండు నియమాలలో ఏదో ఒక నియమము సరిపోదు. కాని త్రిభుజాలకు మాత్రం పై రెండింటిలో ఏదో ఒక నియమం సరిపోతుంది.

→ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు కావాలంటే

1. వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉండాలి.
2. వాటి అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి.

→ ‘K’, స్కేలు గుణకము విలువ అయిన
K> 1 అయిన పెద్దవి చేయబడిన పటాలు
K= 1 అయిన సర్వసమాన పటాలు
K<1 అయిన చిన్నవి చేయబడిన పటాలు ఏర్పడతాయి.
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము (థేల్స్ సిద్ధాంతము)

→ ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేరు వేరు బిందువులలో ఖండించిన, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి.

∆ABC లో; DE ∥ BC అయిన \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\). దీనినే ‘థేల్స్’ సిద్ధాంతము (లేక) ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము అంటారు.

→ ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు . .. సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండును.
∆ABCలో, \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) అయిన l ∥ BC అగును.

దీనినే ‘థేల్స్ సిద్ధాంతపు విపర్యయము’ లేదా ‘ప్రాథమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయము’ అంటారు. కో.కో.కో. నియమం :

→ రెండు త్రిభుజాలలో అనురూపక కోణాలు సమానంగా ఉంటే, వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి (అనుపాతంలో వుంటాయి), ఇంకా ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూప త్రిభుజాలు అవుతాయి.

→ ∆ABC, ∆DEFలలో
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F అయిన
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) అగును.

∴ ∆ABC ~ ∆DEF (కో.కో.కో. సరూపకత).

→ రెండు త్రిభుజాలలో, ఒక త్రిభుజములోని భుజాలు వేరొక త్రిభుజములోని భుజాలకు అనుపాతములో ఉన్న ఆ రెండు త్రిభుజాలలోని అనురూప కోణాలు సమానము మరియు ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూఫాలు.

→ ∆ABC, ∆DEF లలో,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) కావున
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, మరియు∠C = ∠F

∴ ∆ABC ~ ∆DEF (కో.కో.కో సరూపకత). భు.భు. భు. సరూపత నియమం :

→ ఒక త్రిభుజములోని ఒక కోణము, వేరొక త్రిభుజములోని ఒక కోణమునకు సమానమై, ఈ కోణాలను కల్గి వున్న భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు.

→ ∆ABC మరియు ∆DEF లలో \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) మరియు
∠A = ∠D అయిన

∆ABC ~ ∆DER (భు. కో. భు సరూపకత).

→ రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము.

→ ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో, లంబకోణము కల్గిన శీర్షము నుండి కర్ణానికి లంబము గీసిన, ఆ లంబానికి ఇరువైపులా ఏర్పడిన త్రిభుజాలు, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపాలు మరియు అవి ఒకదానికొకటి కూడా సరూపాలు.

∆ABCలో, ∠B = 90°, BD ⊥ AC అయిన
∆ADB ~ ∆BDC ~ ∆ABC మరియు BD² = AD . DC

పైథాగరస్ సిద్ధాంతము :

→ ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము మీది వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానము.
∆ABCలో; ∠A = 90° అయిన AB² + AC² = BC²

పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యము : –
→ ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము మీది వర్గము మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైన, మొదటి భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణము లంబకోణము అనగా త్రిభుజము లంబకోణ త్రిభుజమవుతుంది.

→ ఒక వాక్యము సత్యముగాని, అసత్యముగాని ఏదో ఒకటి మాత్రమే అగునటువంటి వాక్యమును “ప్రవచనము” అంటారు.

→ ఒక ప్రవచనముకు చివరన “కాదు” చేర్చడం వలన ఏర్పడు కొత్త ప్రవచనమును వ్యతిరేక ప్రవచనము అంటారు.

→ ‘p’ అను ప్రవచనము యొక్క వ్యతిరేక ప్రవచనమును “~p” తో సూచిస్తారు.

→ రెండు సరళ ప్రవచనాలను కలుపగా ఏర్పడు నూతన ప్రవచనమును సంయుక్త ప్రవచనం అంటారు.

→ రెండు సరళ ప్రవచనాలను “అయినచో” చే కలుపగా ఏర్పడిన సంయుక్త ప్రవచనాన్ని “అనుషంగికము” లేదా “నియత ప్రవచనము” అంటారు.

→ రెండు సరళ ప్రవచనాలను p మరియు q లను “అయినచో” కలుపగా “p అయినచో q” అని వస్తుంది. దీనిని మనం p ⇒ q అని రాస్తాము.

→ p ⇒ q లో మనము p, q లను తారుమారు చేయగా q ⇒ p ఏర్పడును. దీనినే మనం ప్రవచన విపర్యయము అంటాము.
ఉదా : ∆ABC లో AB = AC అయితే C = ∠B, ఈ ప్రవచనపు విపర్యయము ∆ABC లో C = ∠B అయితే AB = AC అగును.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

→ రెనె డెకార్టి (1596 – 1650)

• గణిత శాస్త్రవేత్త ఆ రెనె డెకార్టె 31-3-1596వ తేదీన ఫ్రాన్లోని లాహై నగరంలో ఒక ఆ సామాన్య కుటుంబంలో జన్మించాడు. ఆధునిక గణితానికి, తత్వ శాస్త్రానికి పితామహునిగా పేరొందాడు.
• విశ్వసనీయమైన జ్ఞానాన్నిచ్చే నూతన పద్దతి కోసం అన్వేషణ, విశ్వ పునర్నిర్మాణానికి కృషి చేశాడు. గణిత పద్దతులను అధ్యయనం చేసి, వాటి నుంచి పరిశుద్ధమైన జ్ఞానాన్ని అన్ని క్షేత్రాలలో రూపొందించే పద్ధతిగా “విశ్వగణితాన్ని” ఆవిష్కరించేందుకు కొన్ని సార్వత్రిక నియమాల అన్వేషణ రెనె డెకార్ట్ సాగించాడు. 1596-1650
• తలంలోని బిందువులను వాస్తవ సంఖ్యా క్రమయుగ్మాలతో అనుసంధానం చేయడం వల్ల రేఖాగణితానికి, బీజగణితానికి మధ్య అంతరం పోయి రెండింటిని కలిపి ఒకటిగానే అధ్యయనం చేయడం సాధ్యమైనది.
• రేఖాగణిత, బీజగణితాలను ఏకం చేసే ప్రయత్నంలో నిరూపక రేఖాగణితం లేదా వైశ్లేషిక జ్యామితి అనే గణిత శాఖకు మూల పురుషుడయ్యాడు. ఇతని గౌరవార్థం ఈ శాఖకు కార్టీజియన్ రేఖాగణితం అని పేరు పెట్టారు.
• తత్వశాస్త్రం, జ్యామెట్రీ, డయాప్టిక్స్ అనే మూడు అంశాల వ్యాస సంపుటిగా “దిస్ కో ఆన్ మెథడ్” అనే ప్రసిద్ధ గ్రంథాన్ని రచించాడు. వర్గమూలానికి మొదటిసారిగా ‘ √ ‘ గుర్తును ఉపయోగించాడు.
• డెకార్టెతత్వ శాస్త్రానికి, వైశ్లేషిక రేఖా గణితానికి ప్రజాదరణ పెరగడంతో హాలెండ్ రాజు డెకార్టెను ఆహ్వానించి యువరాణి క్రిష్టినాకు బోధకునిగా నియమించాడు. ఆమె దినచర్య కారణంగా ఉదయం 5 గం||లకే చలిలో డెకార్టెరాజ ప్రాసాదానికి వెళ్ళవలసి వచ్చేది. ఆ వాతావరణం పడక న్యుమోనియా వ్యాధికి గురై 54 ఏళ్ళ వయస్సులో 11-2-1650వ తేదీన మరణించాడు.
• “సత్యాన్వేషణ కోసం మనం జీవితంలో ఒకసారి అన్నింటిని శంకించవలసి వస్తుంది”.. అంకు – రెనె డెకార్టి

→ ఒకే తలంలో గల క్షితిజ సమాంతర మరియు క్షితిజ లంబరేఖలు ఆ తలాన్ని నాలుగు భాగాలుగా విభజిస్తాయి. క్షితిజ సమాంతరరేఖను X – అక్షం అని, క్షితిజ లంబరేఖను Y – అక్షం అని, ఈ రెండు రేఖల ఖండన బిందువును మూలబిందువు అని అంటారు.

→ X, Y అక్షాలతో ఏర్పడిన నాలుగు భాగాలను వరుసగా 1వ పాదం (Q₁), 2వ పాదం (Q₂), 3వ పాదం (Q₃), 4వ పాదం (Q₄)లుగా పిలుస్తారు. ఈ తలాన్ని ‘కార్టిజియన్ తలం’ (రెనెడెకార్ట్ పేరుతో) లేదా నిరూపక | x < 0, y < 0 1 x > 0, y < 0. తలం లేదా XY తలం అని అంటారు.

→ నిరూపక తలంలోని రెండు బిందువుల మధ్య దూరం :
(i) నిరూపక అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖ పైగల రెండు బిందువుల మధ్య దూరం :
(a) X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ పై గల బిందువులలో y – నిరూపకాలు సమానంగా ఉంటాయి.
A(x₁, y₁) B (x₂, y₂) లు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై గల బిందువులు అవుతాయి.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁| అనగా వాని X – నిరూపకాల మధ్య వ్యత్యాసమునకు సమానము.

(b) ఇదే విధంగా A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) లు Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ పై బిందువులు అవుతాయి. ఆ
A, B ల మధ్య దూరం = |y₂ – Y₁| అనగా Y నిరూపకాల మధ్య తేడాకు సమానము.

(ii) నిరూపక తలంలోని ఏవేని రెండు బిందువుల మధ్య దూరం :

A(x₁, y₁) B (x₂, y₂) లు నిరూపక తలంలో రెండు బిందువులు అనుకొందాం.
OP = x₁ OQ = x₂ అలాగే QB = y₂, QR = y₁
∴ PQ = AR = x₂ – x₁ ……………(1)
ఇదే విధంగా, BR = y₂ – y₁ …………….(2)
∆ARB ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
AB² = AR² + RB² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
AB² = (x² – x₁)² + (y² – y₁)²
∴ AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
∴ A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం.
AB = d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

Note:
(i) a) మూలబిందువు (0, 0) నుండి A (x₁, y₁) బిందువుకు గల దూరం \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\) అవుతుంది.
b) A (x₁, 0), B (0, y₁) లు X, Y – అక్షాలపై గల బిందువులు. A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)

(ii) A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలైతే
AB + BC = AC లేదా AC + CB = AB లేదా AB + AC = BC అవుతుంది.

(iii) A, B, C లు త్రిభుజ శీర్షాలైతే .
AB = BC = AC అయితే ∆ABC సమబాహు త్రిభుజాన్ని, AB, BC, ACలలో ‘ఏ రెండు భుజాలు , సమానమైన సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని, AB² + BC² = AC² లేదా AB² + AC² = BC² లేదా AC² + CB² = AB² అయితే లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

(iv) A, B, C, D బిందువులు చతుర్భుజ శీర్షాలైతే
(a) ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు మరియు కర్ణాలు కూడా సమానాలు అయితే ABCD దీర్ఘ చతురస్రం అవుతుంది. AB = CD, BC = AD మరియు AC = BD.
(b) నాలుగు భుజాలు సమానము మరియు కర్ణాలు సమానం అయితే ABCD చతురస్రం అవుతుంది. AB = BC = CD = AD మరియు AC = BD
(c) ఎదురెదురు భుజాలు సమానమైన సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది. AB = CD, BC = AD.
(d) ఎదురెదురు భుజాలు సమానమై, కర్ణాలు సమానం కాకపోతే అది దీర్ఘ చతురస్రం కానటువంటి సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది. AB = CD, BC = AD మరియు AC ≠ BD.
(e) నాలుగు భుజాలు సమానం అయితే రాంబస్ అవుతుంది. AB = BC = CD = AD. f) నాలుగు భుజాలు సమానం అయి కర్ణాలు సమానం కాకపోతే అది చతురస్రం కానటువంటి రాంబస్ అవుతుంది. (ఇక్కడ AB అనగా భుజం AB పొడవు అని అర్థం)

→ విభజన సూత్రం :
(i) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) రేఖపై A, B ల మధ్య P అనే బిందువు AB రేఖాఖండాన్ని P బిందువు అంతరంగా AP : PB నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అంటారు.
AP = m₁, PB = m₂, గా తీసుకొంటే A, B లను Pm₁: m₂, నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అంటాము.

(ii) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) రేఖపై A, B బిందువుల మధ్య కాకుండా P బిందువు ఉంటే AB రేఖాఖండాన్ని P బిందువు బాహ్యంగా
AP : BP నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అంటారు.

(iii) A (x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువులను అంతరంగా విభజించే. బిందువు P యొక్క నిరూపకాలను కనుగొందాము.

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ఏవేని రెండు బిందువులు. P(x, y) అనేది AB ని అంతరంగా m₁ : m₂
నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం. \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}\)
∆PAQ ~ ∆BPC (కో.కో.కో. నియమం) .
∴ \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BC}}\) ……..(1)
ప్రక్క పటం నుండి , AQ = RS = OS – OR = x – x₁
PC = ST = OT – OS = x₂ – x
PQ = PS – QS = y – y₁
BC = BT – CT =y₂ – y₁
పై విలువలు (1)లో రాయగా

ఇదే విధంగా \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\) తీసుకొంటే y = \(\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\) కాబట్టి A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని m₁ : m₂డి నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు
p(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

Note:

• AB రేఖను P బిందువు k : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తున్నట్లయితే అప్పుడు P బిందువు నిరూపకాలు \(\left(\frac{\mathrm{kx}_{2}+\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{k}+1}, \frac{\mathrm{ky}_{2}+\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{k}+1}\right)\)
• \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) పై A, B బిందువులకు బాహ్యంగా P ఉంటే అప్పుడు m) ను -m,గా తీసుకొంటాము అలాంటి సందర్భంలో P నిరూపకాలు \(\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)\)
• \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) పై A : B బిందువుకు P మధ్య బిందువు అయితే m, = m) అయి విభజన నిష్పత్తి 1 : 1 అవుతుంది. అప్పుడు P యొక్క నిరూపకాలు \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

→ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము. : త్రిభుజం యొక్క మధ్యగత రేఖల మిళిత బిందువును ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అంటాము. త్రిభుజ శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజం మధ్య బిందువును కలిపే రేఖాఖండము మధ్యగతం అవుతుందని, మధ్యగతరేఖను గురుత్వ కేంద్రం 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందని మనకు తెలుసు. A(x¹, y¹), B(x², y²), C(x³, y³) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు.. AD, BE, CF లు ∆ABC యొక్క మధ్యగతరేఖలు, 6 గురుత్వ కేంద్రం అనుకొందాం.

AD మధ్యగతరేఖ భూమి BC, మధ్య బిందువు AD గుండా పోతుంది.

∴ D = BC మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{2}\right)\)
AD మధ్యగతరేఖను గురుత్వ కేంద్రం G, 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
G(x, y) అనుకొంటే A(x₁, y₁), D = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{2}\right)\)

గురుత్వ కేంద్రాన్ని ‘కేంద్రాభాసం గరిమనాభి’ అని కూడా అంటారు.

→ ఒక రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు : ఒక రేఖాఖండమును మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులు అంటారు.

AB రేఖాఖండం యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P, Q లు అయితే AP = PQ = QB అవుతుంది. . AB రేఖాఖండాన్ని P బిందువు AP : PB = 2 : 1 నిష్పత్తిలోను, Q బిందువు AQ : QB = 2 : 1 నిష్పత్తిలోను విభజిస్తుంది.

→ త్రిభుజ వైశాల్యము : ఏదేని త్రిభుజం ABC యొక్క శీర్షాలు A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C (x₃, y₃) అనుకొందాం.

A, B మరియు C ల నుండి X – అక్షంపైకి AP, BQ మరియు CR అనే లంబరేఖలు గీయాలి. ఇప్పుడు.
BQ = y₂, PQ = OP – 0Q = x₁ – x₂
AP =y₁, PR = OR – OP = x₃ -x₁
CR = y₃, QR = OR – 0Q = x₃ – x₂
పటం నుండి ∆ABC వైశాల్యం = ట్రెపీజియం ABOP వైశాల్యం + ట్రెపీజియం APRC వైశాల్యం – ట్రెపీజియం BQRC వైశాల్యం. ట్రెపీజియం వైశాల్యం A = \(\frac{1}{2}\)(a + b) h లు సమాంతర భుజాలు, a, b లు సమాంతర భుజాలు, h వాని మధ్య దూరం.

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)(BQ + AP) PQ + \(\frac{1}{2}\)(AP + CR) PR – \(\frac{1}{2}\)(BQ + CR) QR
= \(\frac{1}{2}\)(y₂ + y₁) (x₁ – x₂) + (y₁ + y₃) (x₃ – x₁) – (y₂ + y₃) (x₃ – x₂)
= \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂|

∴ (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యము
= \(\frac{1}{2}\)|x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂|

గమనిక :
(i) A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C (x₃, y₃), D (x₄, y₄) లు చతుర్భుజ శీర్షాలైతే ఆ చతుర్భుజ వైశాల్యము :

ABCD చతుర్భుజాన్ని కర్ణం సహాయంతో రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించి త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చతుర్భుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము.
రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించుటకు ఏ కర్ణాన్నైనా (AC లేదా BD) తీసుకొనవచ్చును.

చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యం = ∆ABC వైశాల్యం + ∆ACD వైశాల్యం
(లేదా)
= ∆ABD వైశాల్యం + ∆BDC వైశాల్యం

(ii) a) బిందువుల సరేఖీయత వైశాల్యము : A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C (x₃, y₃)లు సరేఖీయాలైతే ఆ మూడు బిందువుల ఒకే రేఖపై ఉండటం వలన త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచలేవు. కావున ∆ABC వైశాల్యము సున్నా అవుతుంది. మూడు బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్న అయితే ఆ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి.
A, B, C లు సరేఖీయాలు ⇔∆ABC వైశాల్యము సున్న.
b) నాలుగు బిందువులు A, B, C, D లు సరేఖీయాలైతే చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యము సున్నా అవుతుంది.

(iii) త్రిభుజ వైశాల్యము – హెరాన్ సూత్రం : a, b, c లు భుజాలుగాగల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనుటకు “హెరాన్” అనే గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త ఒక సూత్రాన్ని కనుగొన్నాడు. ఆ సూత్రం త్రిభుజ వైశాల్యం A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ S = \(\frac{a+b+c}{2}\)

సరళరేఖ వాలు : రెండు చరరాసులు x, y లలో ఏకఘాత సమీకరణం యొక్క సాధనలు ఒక సరళరేఖను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ సరళరేఖ X – అక్షం యొక్క ధన దిశలో (అపసవ్య దిశ) చేసే కోణాన్ని ఆ సరళరేఖ యొక్క ఏటవాలు తనం అని, ఆ కోణం యొక్క Tan విలువను ఆ సరళరేఖ వాలు అని అంటారు.

ax + by + c = 0 సరళరేఖ X – అక్షం అపసవ్య దిశలో చేసే కోణం θ అయిన ‘θ’ ను ax + by + c = 0 రేఖ యొక్క వాలుతనం అని, tan θ విలునను ax + by + c = 0 రేఖ వాలు అని అంటారు. .
ఒక రేఖపై నున్న బిందువుల నిరూపకాలలో Y నిరూపకాల భేదం మరియు X నిరూపకాల భేదంకు గల నిష్పత్తి వాలు (tan θ) కు సమానం అవుతుంది.

→ రెండు బిందువులను కలిపే రేఖవాలు : A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క వాలు m = tanθ = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

గమనిక :

• X – అక్షము మరియు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ యొక్క వాలు సున్న.
  Y- అక్షము మరియు Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖ యొక్క వాలు నిర్వచింపబడదు.
• వాలు అధారంగా సరేఖీయత :
  A, B, C లు ఏవేని మూడు బిందువులై AB వాలు = BC వాలు = AC వాలు అయిన A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి.

→ A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే

• A, B, C బిందువులతో ఏర్పడే ఏ రెండు రేఖాఖండాలైనా మూడవ రేఖాఖండానికి సమానం.
  AB + BC = AC లేదా AB + AC = BC లేదా AC + BC = AB
• A, B, C లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న.
• AB వాలు = BC వాలు = AC వాలు.

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 2nd Lesson సమితులు

→ జార్జి కాంటర్: 1845 -1918:

• జార్జికాంటర్ మార్చి 3, 1845న రష్యాలో జన్మించి, పదకొండేళ్ళ వయస్సులో తండ్రితో పాటు జర్మనీకి వలస వెళ్ళాడు.
• కాంటర్ ఆధునిక గణితం అనేక శాఖలుగా అభివృద్ధి చెందడానికి ఆధారమైన సమితి వాదాన్ని ప్రతిపాదించి, అభివృద్ధిపరచి ఆధునిక గణిత భాషకు ఆద్యుడైనాడు. కాంటర్ సమితివాద శక్తి గణిత శాఖలన్నింటిని ఏకీకృతం చేయడంలో ప్రధానపాత్ర వహిస్తోంది.
• “ఊహించగల, సంభవించగల ఆలోచనల రూపమే సమితి” అన్న కాంటర్ భావనను ఆనాటి సాంప్రదాయవాదులు ఒక నూతన గణితానికి ఆరంభంగా అంగీకరించలేక పోయారు. అదసలు గణితమే కాదన్నారు. కాంటర్ ప్రతిపాదనలు, ఆలోచనలు కొత్తవిగాను, వింతగాను భావించిన సహచరులు నిరుత్సాహపరచడం, అగౌరవపరచడం చేసేవారు.
• కోవలోనే తన గురువు క్రోనేకర్ కూడా ఉండటంతో సున్నితమనస్కుడైన కాంటర్ తట్టుకోలేకపోయాడు. తన సిద్ధాంతాలపట్ల సమకాలీన గణిత ప్రపంచంలో ఏర్పడిన వైరుధ్యాల ఒత్తిడికి నిలవలేక మానసిక ఆరోగ్యం కోల్పోయి, చివరకు జనవరి 6, 1918లో మరణించాడు. “కాంటర్ మనకోసం గణిత ప్రపంచంలో ఓ స్వర్గం సృష్టించి, అనుభవించ లేక పిచ్చివాడయ్యా డు”. – డేవిడ్ హిలిబర్ట్

→ సమితి’: సునిర్వచిత వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అంటారు.
సునిర్వచితం అనగా : 1. సమితిలోని వస్తువులన్నీ ఒకే విధమైన సామాన్య పోలిక లేదా ధర్మం కలిగి ఉండాలి. మరియు 2. ఏదైనా ఒక వస్తువు సమితికి చెందినది, లేనిదీ నిర్ధారించేటట్లు ఉండాలి.

→ సమితులను ఆంగ్ల భాషలోని పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తారు.
ఉదా : A అనేది 6 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్యల సమితి. A = {1, 2, 3, 4, 5}

→ సమితికి చెందిన వస్తువులను ఆ సమితి యొక్క మూలకాలు అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 3, 4, 5} అయిన 1, 2, 3, 4, 5 అనేవి సమితి A యొక్క మూలకాలు.

→ ఒక మూలకము ఒక సమితికి చెందినది అని తెలుపుటకు 6 (belonging to) గుర్తుని ఉపయోగిస్తారు.
B = {2, 4, 6, 8} అయిన 2 ∈ B, 4 ∈ B, 6 ∈ B, 8 ∈ B,
10 ∉ B అనగా B అనే సమితికి 10 చెందదు అని అర్థం.

→ సమితులను సూచించే /రాసే పద్ధతులు : సమితులను సాధారణంగా

• రోస్టర్ రూపం (జాబితా రూపం),
• సమితి నిర్మాణ రూపం (లాక్షణిక రూపం) మరియు
• వెన్ చిత్రాల రూపంలో సూచిస్తారు.

→ రోస్టర్ రూపం : సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వరుసగా కామా (,) లతో వేరు చేస్తూ జాబితాగా రాసి ఫ్లవర్ బ్రాకెట్ { } ల మధ్యలో రాసే పద్ధతి.

→ రోస్టర్ రూపంలో మూలకాలను ఏ క్రమంలోనైనా రాయవచ్చును మరియు ఒకే మూలకాన్ని మళ్ళీ మళ్ళీ రాయకూడదు.
ఉదా : A అనే సమితి SCHOOL లోని అక్షరాలతో ఏర్పడే సమితి.

• A = {S, C, H, O, L} లేదా
• A = {C, H, L, O, S} లేదా
• A = {L, 0, H, C, S} …… గా రాయవచ్చు.
• A = {S, C, H, 0, 0, L} గా రాయకూడదు.

→ సమితి నిర్మాణ రూపం : సమితికి చెందిన మూలకాల సామాన్య లక్షణం లేదా ధర్మాలను తెలియజేస్తూ రాసే పద్ధతిని ‘సమితి నిర్మాణ రూపం అంటారు. సమితిలోని మూలకాన్ని x గా సూచిస్తూ, .x ప్రక్కన / గాని, : గాని ఉంచి ఆ సమితికి చెందిన మూలకాల యొక్క లక్షణాలు లేదా ధర్మాలను గాని రాస్తాము. మొత్తాన్ని ఫ్లవర్ బ్రాకెట్లలో { } ఉంచుతాము. ఉదా : సమితి P 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యల సమితి.
P= {x/ X అనేది 13 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య } లేదా
P = {x : X అనేది 13 కంటే తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య }

→ సమితుల రకాలు :
శూన్య సమితి : ఎలాంటి మూలకాలు లేనటువంటి సమితిని శూన్యసమితి అంటారు. శూన్యసమితిని (phi) లేదా { } తో సూచిస్తారు.
ఉదా : A = {x : X అనేది 1 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}
B = {x: X అనేది సంవత్సరంలో 35 రోజులు గల నెల}
C = {x : x = 3, X ఒక అకరణీయ సంఖ్య }
సూచన : Φ, {Φ} మరియు {0} లు వేర్వేరు సమితులు. {Φ}, {0} అనేవి శూన్య సమితులు కావు. ఎందుకనగా {Φ} లో ‘Φ’ అనే మూలకము, { 0 } లో ‘0’ అనే మూలకము ఉన్నాయి.

→ పరిమిత సమితి : పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగిన సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు. అంటే పరిమిత సమితిలోని మూలకాలను లెక్కించగలమన్న మాట.

ఉదా : A = {తరగతిలోని విద్యార్థులు}
B = {a, b, c, d, e, ………., x, y, z}
C = {x : X అనేది 10 కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్య }

→ అపరిమిత సమితి : మూలకాల సంఖ్య అపరిమితంగా గల సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు.

ఉదా : E = {x: X ఒక సరిసంఖ్య }
G = {x : X అనేది 5 యొక్క గుణిజము}
గమనిక : ఒక సమితి పరిమిత సమితి కాకపోతే అపరిమిత సమితి అవుతుంది.

→ కార్డినల్ సంఖ్య : పరిమిత సమితిలోని మూలకాల సంఖ్యను ఆ సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా : A = {1, 2, 4, 8, 16} అయిన
A యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య = 5 A సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను n(A) గా సూచిస్తాము.

గమనిక :

• శూన్య సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య సున్న (n (Φ) = 0).
• అపరిమిత సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయించలేము.

→ ఉపసమితి, ఉన్నత సమితి : A సమితిలోనున్న ప్రతి మూలకము సమితి B లో . ఉంటే A సమితిని B యొక్క ఉపసమితి అని, B ని A యొక్క ఉన్నత సమితి అని అంటారు. దీనిని A ⊆ B గా రాస్తాము. A ⊆ B ని B ⊆ A గా కూడా రాయవచ్చును. ఉపసమితిని క్రింది విధంగా కూడా నిర్వచించవచ్చును.

A, B లు రెండు సమితులు. a ∈ A అయిన A ⊆ B ⇒ a ∈ B. a, A కి మూలకం అయి A, B కి ఉపసమితి అయితే a అనేది B కి కూడా మూలకం అవుతుంది.

ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
2 ∈ A, 2 ∈ B
4 ∈ A, 4 ∈ B
6 ∈ A, 6 ∈ B సమితి Aలోని మూలకాలన్నీ సమితి B లో కలవు. కావున A ⊂ B.

→ క్రమ ఉపసమితి (శుద్ధ ఉపసమితి) : A ⊆ B అయి A ≠ B అయితే ‘A’ ని Bకి క్రమ ఉపసమితి లేదా శుద్ధ ఉపసమితి అంటారు. దీనిని A ⊂ B గా సూచిస్తారు. A; B కి క్రమ ఉపసమితి కావాలంటే A లోని అన్ని మూలకాలు B లో ఉంటూ A లో లేనటువంటి కనీసం ఒక మూలకం B లో ఉండాలి.

ఉదా : A = {2, 4, 6}, B = {2, 4, 6, 8} A లోని మూలకాలన్నీ B లో కలవు మరియు Aలో లేని 8 అనే మూలకం B లో కలదు. కావున A సమితి B కి క్రమ ఉపసమితి అవుతుంది.
A ⊂ B. Ac B అయిన n(A) < n(B).

సూచన :

• శూన్యసమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి.
• ప్రతి సమితి దానికదే ఉపసమితి.
• n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ అవుతుంది.
• n మూలకాలు కలిగిన సమితికి సాధ్యమయ్యే క్రమ ఉపసమితుల సంఖ్య 2″ – 1 అవుతుంది.

→ విశ్వసమితి (సార్వత్రిక సమితి) : ఒక పరిశీలనలోకి తీసుకొన్న సతులన్నింటిని ఉపసమితులుగా కలిగిన సమితిని విశ్వసమితి లేదా సార్వత్రిక సమితి అంటారు. విశ్వసమితిని ∪ లేదా μ తో సూచిస్తారు.

ఉదా – 1: A = {8వ తరగతి విద్యార్థులు}
B = {9వ తరగతి విద్యార్థులు}
C = {10వ తరగతి విద్యార్థులు}
D = {పాఠశాలలోని విద్యార్థులు} అనుకొనుము.

A ⊂ D, B ⊂ D మరియు C ⊂ D. Dని విశ్వసమితి అంటారు.
ఉదా – 2: A = {2, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5, 7, 9} అయితే విశ్వసమితి μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} అవుతుంది.

→ సమసమితులు : A మరియు Bలలో ఒకే మూలకాలున్నట్లయితే A, B లను సమసమితులు అంటారు. A, B లు సమసమితులైతే, సమితి A లో గల మూలకాలన్నీ సమితి B లో, సమితి B లోని మూలకాలన్నీ సమితి A లో ఉంటాయి. A ⊂ B మరియు B ⊂ A ↔ A = B
A, B లు సమసమితులైతే n(A) = n(B).

ఉదా : A = {x: x అనేది 11 లోపు సరి సహజసంఖ్య}
B = {x : x అనేది 12 కన్నా తక్కువైన 2 యొక్క గుణిజం}.
A మరియు B సమితులు ఒకే మూలకాలు 2, 4, 6, 8, 10 లను కలిగి ఉంటాయి. A = B మరియు n(A) = n(B).
సూచన : n(A) = n(B) అయితే A, B లు సమసమితులు కాకపోవచ్చును.

→ వెన్ చిత్రాలు : సమితిని సంవృత వక్రంగా సూచిస్తూ, సమితిలోని మూలకాలన్నింటిని వక్రం లోపలి బిందువులుగా చూపిస్తాము. వీటిని “జాన్వెన్” అనే ఆంగ్ల గణితశాస్త్రవేత్త మొదటిసారిగా ఉపయోగించాడు. స్విట్జర్లాండ్ కు చెందిన లెనార్డు ఆయిలర్ కూడా వీటిని ఉపయోగించాడు. కావున వీనిని వెన్-ఆయిలర్ చిత్రాలు అని కూడా అంటారు.
సమితులను సూచించడానికి మనం ఏ సరళ సంవృత పటాన్నైనా ఉపయోగించవచ్చును. సాధారణంగా వెన్ చిత్రాలుగా దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు, త్రిభుజాలు, సంవృతవక్రాలు, వృత్తాలు, దీర్ఘవృత్తాలను ఉపయోగిస్తాము. విశ్వసమితి (μ) ను సాధారణంగా దీర్ఘచతురస్రంగా సూచిస్తాము.
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5} అయితే సమితి Aని వెన్ చిత్రంగా ప్రక్క విధంగా సూచిస్తాము.

(ii) A ⊂ B ని వెన్ చిత్రంగా చూపడం :

→ సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు : సమితుల సమ్మేళనం, ఛేదనం, భేదాలను సమితుల ప్రాథమిక పరిక్రియలు అంటారు.

→ సమితుల సమ్మేళనం : A సమితిలోని మూలకాలతోపాటు ‘B సమితిలోని మూలకాలు చేర్చి వ్రాయగా వచ్చే నూతన సమితిని A, B ల సమ్మేళనం అంటారు. దీనిని A ∪ B తో సూచిస్తూ A యూనియన్ B అని చదువుతారు. అనగా A లో కాని లేక B లో కాని లేక రెండింటిలోకాని ఉన్న మూలకాలన్నింటిని కలిగిన సమితి A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}
A మరియు B సమితుల సమ్మేళనాన్ని వెన్ చిత్రంగా క్రింది విధంగా చూపిస్తాము.

షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం A ∪ B ని సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

సూచన :

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ Φ = Φ ∪ A = A
• A ∪ μ = μ ∪ A = μ
• ACB అయితే A ∪ B = B
• A ⊂ A ∪ B మరియు B ⊂ A ∪ B

→ సమితుల ఛేదనం : A సమితి మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలతో ఏర్పడే నూతన సమితిని A, B ల ఛేదనం అంటారు. దీనిని A ∩ B తో సూచిస్తూ, A ఇంటర్ సెక్షన్ B గా చదువుతారు. అనగా A ∩ B అనే సమితి A మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది.
A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}

A మరియు B సమితుల ఛేదన వెన్ చిత్రం :

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A ∩ B ని సూచిస్తుంది.
BAB ఉదా : A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7} అయిన A ∩ B = {3, 5, 7}. . .

సూచన :

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ Φ = Φ ∩ A = 0
• A ∩ u = A
• A ⊂ B అయితే A ∩ B = A.
• A ∩ BCA మరియు A ∩ B ⊂ B

→ వియుక్త సమితులు : A, B సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేకుంటే A, B సమితులను వియుక్త సమితులు అంటారు.
A, B లు వియుక్త సమితులైతే A ∩ B = d.
వియుక్త సమితుల వెన్ చిత్రం :

ఉదా : A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} A, B లలో కనీసం ఒక ఉమ్మడి మూలకం కూడా
∴ A, B లు వియుక్త సమితులు.

→ సమితుల భేదం : సమితి A కు మాత్రం చెంది, సమితి B కి చెందకుండా ఉండే మూలకాలతో ఏర్పడే సమితిని A, Bల భేదం అంటారు. అనగా A – B లోని మూలకాలు A లో మాత్రమే ఉంటాయి. కాని B లో ఉండవు.
A – B = {x: x ∈ A మరియు x ∉ B}

A, B ల భేదం – వెన్ చిత్రం :

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం A – B ని సూచిస్తుంది.

B, A ల భేదం – వెన్ చిత్రం

షేడ్ చేసిన ప్రాంతం B – A ని సూచిస్తుంది.

సూచన :

• A – B ≠ B – A
• A – Φ = A
• Φ – A = Φ
• A ⊂ B.అయితే A – B = Φ
• A, B లు వియుక్త సమితులైతే A – B = A మరియు B – A = B.
• A – B; B – A మరియు A ∩ B లు వియుక్త సమితులు అవుతాయి.

కావున
(a) (A – B) ∩ (B – A) = Φ
(b) (A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ
(c) (B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ

→ n(A), n(B), n(A ∪ B), n (A ∩ B) ల మధ్యగల సంబంధము :

• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
• A, B లు వియుక్త సమితులైతే n(A ∩ B) = 0 అవుతుంది.
  ∴ n (A ∪ B) = n (A) + n(B).