Inter 2nd Year

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 3rd Lesson విద్యుత్ రసాయనశాస్త్రం – రసాయన గతికశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 3rd Lesson విద్యుత్ రసాయనశాస్త్రం – రసాయన గతికశాస్త్రం

→ ఏ పరికరాలైతే అయత్నీకృతంగా జరిగే రిడాక్స్ చర్యలను ఉపయోగించి రసాయనశక్తిని విద్యుత్ శక్తిగా మార్పు చేస్తాయో వాటిని గాల్వనిక్ ఘటాలు లేదా వోల్టాయిక్ ఘటాలు అంటారు.
ఉదా : డానియల్ ఘటం

→ ఏ ఎలక్ట్రోడ్ యొక్క పొటెన్షియల్ అయితే తెలిసి ఉంటుందో దానిని ప్రమాణ ఎలక్ట్రోడ్ లేదా ప్రమాణ హైడ్రోజన్ ఎలక్ట్రోడ్ అంటారు.
ఒక అర్థఘటం యొక్క పొటెన్షియల్ను హైడ్రోజన్ ఎలక్ట్రోడ్తో కలిపి కనుగొంటాము.

→ నెర్నెస్ట్ సమీకరణం E = E° + \(\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{nF}}\)ln[Mⁿ⁺]

→ మోలార్ వాహకత్వం : ఒక మీటరు లేదా ఒక సెం.మీ ప్రమాణ దూరం ద్వారా వేరు చేయబడిన రెండు సమాంతర ఎలక్ట్రోడ్ మధ్య ఆవృతమై ఉండే ఒక మోలార్ భారం కలిగి ఉండే విద్యుత్ విశ్లేష్యక ద్రావణం వాహకతను మోలార్ వాహకత్వం (A) అంటారు.

→ ఒక విద్యుత్ విశ్లేష్యకం అవధిక మోలార్ విద్యుత్వాహకత్వం, విశ్లేష్యకం సమకూర్చిన కాటయాన్ల ఆనయాన్ల వ్యక్తిగత వాహకత్వాల మొత్తానికి సమానం.
Λ°_m(AB) = Λ°_A⁺ + Λ°_B^–

→ ఫారడే విద్యుద్విశ్లేష్యణ ప్రక్రియ మొదటి నియమం : విద్యుద్విశ్లేషణ ప్రక్రియలో ఎలక్ట్రోడ్ వద్ద జరిగే రసాయన చర్య పరిమాణం విద్యుద్వీశ్లేషక పదార్థంలో ప్రసారమయ్యే విద్యుత్ పరిమాణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
m ∝ Q; m = c × t

→ ఫారడే విద్యుద్విశ్లేషణ ప్రక్రియ రెండవ నియమం: విద్యుద్విశ్లేషణంలో భిన్న విద్యుద్విశ్లేష్యక ద్రావణాల ద్వారా సమాన పరిమాణంలో విద్యుత్ ప్రవహిస్తే ఎలక్ట్రోడ్ వద్ద వెలువడే భిన్న పదార్థాల పరిమాణాలు, వాటి రసాయనిక తుల్య భారాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
m ∝ E

→ ప్రైమరీ బ్యాటరీ : ఏ బ్యాటరీలైతే కొంత కాలం వాడిన తరువాత ఘటక చర్యలు పూర్తయిపోయి పని చేయడం ఆగిపోతాయో వాటిని ప్రైమరీ బ్యాటరీలు అంటారు.
ఉదా : లెక్లాంచి ఘటం, అనార్ధ ఘటం.

→ సెకండరీ బ్యాటరీ : ఏ బ్యాటరీని అయితే డిస్చార్జ్ అయిపోయిన దాన్ని తిరిగి చార్జ్ చేసి వాడుకోవచ్చో దానిని సెకండరీ బ్యాటరీ అంటారు.
ఉదా : సెకండరీ బ్యాటరీకి ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెడ్ నిక్షేప బ్యాటరీ. బ్యాటరీ వాడకంలో ఉన్నప్పుడు కింది ఘటచర్యలు చోటు చేసుకుంటాయి.

→ ఇందన ఘటం : విద్యుత్ రసాయన ప్రక్రియ ఆధారంగా ఇంధనం ఆక్సీకరణ వ్యవస్థలోని రసాయన శక్తిని ప్రత్యక్షంగా విద్యుత్ శక్తిగా మార్చే గాల్వానిక్ ఘటమే ఇంధన ఘటం అంటారు.

→ లోహక్షయం : ఒక లోహం, అది ప్రకృతిలో సహజంగా లభించే సమ్మేళన రూపంలో స్వచ్ఛందంగా మారిపోవడానికి ప్రదర్శించే సంసిద్ధతను లోహక్షయం అంటారు.

→ చర్యవేగం (లేదా) చర్యరేటు: ఒక ప్రమాణ చర్యాకాలం వ్యవధిలో క్రియాజనకాల గాఢతలలో లేదా క్రియాజన్యాల గాఢతలలో కలిగే మార్పుని చర్య వేగం అంటారు.

→ రేటు నియమం : క్రియాజనకాల గాఢతల పదాల మీద చర్యరేటు ఏవిధంగా ఆధారపడి ఉంటుంది అనే విషయాన్ని తెలిపే గణిత సమీకరణాన్ని రేటు సమీకరణం (లేదా) రేటు నియమం అంటారు.

→ చర్యక్రమాంకం : “ఒక చర్య రేటు సమీకరణంలో వివిధ గాఢత పదాల ఘాతాల మొత్తాన్ని, ఆ చర్యకు చెందిన చర్యా క్రమాంకం అంటాం.”

→ చర్య అణుత : “ఏక కాలంలో తాడనాలు జరిపి రసాయన చర్యను జరపడానికి దోహదం చేసే ఈ ప్రాథమిక చర్యలో పాల్గొనే క్రియాజనక పరమాణువులు (లేదా) అయాన్లు (లేదా) అణువుల సంఖ్యను ఆ ప్రాథమిక చర్య అణుత అంటారు”.

→ వాయు స్థితిలో ఉండే ప్రథమ క్రమాంక చర్యలకు ఉదాహరణలు
N₂O_5(వా) → N₂O_4(వా) + \(\frac{1}{2}\)O_2(వా)
SO₂C_2(వా) → SO_2(వా) + Cl_2(వా)

→ ఏ ప్రథమ క్రమాంక చర్యలలో అయితే అణుత ఒకటికన్నా ఎక్కువ ఉంటుందో వాటిని మిథ్యా ప్రథమ క్రమాంక చర్యలు అంటారు.

→ అర్హీనియస్ సమీకరణం
k = A × e^-Ea/RT
k = రేటు స్థిరాంకం
E_a = ఉత్తేజిత శక్తి
R = వాయు స్థిరాంకం
T = ఉష్ణోగ్రత

→ చర్యా ఉష్ణోగ్రతను 10°C పెంచితే, రేటు స్థిరాంకం రెండు రెట్లు అగును. (కొన్ని సందర్భాలలో మూడు రెట్లు అగును)

→ ఒక చర్యలో కాలంతోపాటు క్రియాజనకాల ఆరంభ గాఢత విలువ దీనిలో సగం విలువకు సమానం అనడానికి అవసరమయ్యే కాలాన్ని అర్థాయువు కాలం అంటారు. ఉదా : C-14 యొక్క రేడియో ధార్మిక వియోజన అర్ధాయువు 5730 సం॥రాలు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 4th Lesson ఉపరితల రసాయనశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 4th Lesson ఉపరితల రసాయనశాస్త్రం

→ అధిశోషణం : “ఒక పదార్థం వేరొక ద్రవం లేదా ఘన పదార్థం ఉపరితలంపై గాఢత చెందడాన్ని ‘అధిశోషణం’ అంటారు. ఇది ఒక ఉపరితల దృగ్విషయము.

ఉదా :

• CO₂, SO₂, Cl, లాంటి వాయువులను ఉత్తేజిత బొగ్గు అధిశోషించుకుంటుంది.
• Pt లేక Ni లో హం, హైడ్రోజన్ వాయువుతో సంపర్కంలో ఉంటే ఆ వాయువును అధిశోషించుకుంటుంది.

→ అభిశోషణం : “ఏదైనా ఒక పదార్థపు అణువులు, ఇతర పదార్థపు ఉపరితలంపై మరియు అంతర్భాగంలో కూడా ఏకరీతిగా వ్యాప్తి చెందడాన్ని ‘అభిశోషణం’ అంటారు.
ఇది ఒక ఆయతన దృగ్విషయం.

ఉదా :

• నీటిలో ముంచిన ‘స్పాంజ్’ నీటిని అభిశోషించుకుంటుంది.
• రంగు సిరాలో ఉంచిన సుద్దముక్క సిరాను అభిశోషించుకుంటుంది.

→ ఒక ఉపరితలం నుండి దానిపై అధిశోషణం చెందిన పదార్థాన్ని తొలగించు ప్రక్రియను విశోషణం (డిసార్షన్) అంటారు.
కొన్ని సందర్భాలలో అధిశోషణం, అభిశోషణం రెండు ఒకేసారి జరుగుతాయి. ఈ ప్రక్రియను శోషణం (సార్షన్) అంటారు.

→ అధిశోషణం రెండు రకాలు.

• భౌతిక అధిశోషణం (ఫిజిసార్షన్)
• రసాయన అధిశోషణం (కెమిసారన్)

→ స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏకాంక ద్రవ్యరాశిగల ఘనస్థితిలోని అధిశోషకంపై అధిశోషణం చెందే వాయువు పరిమాణానికి, వాయువు పీడనానికి మధ్యగల అనుభావిక సంబంధాన్ని తెలిపే రేఖలను అధిశోషణ సమోష్ణరేఖలు అంటారు.
ఫ్రాయిండ్లిష్ సమోష్ణరేఖ సమీకరణం \(\frac{x}{m}\) = k x P^1/n
X = అధిశోషణం చెందిన వాయు పరిమాణం
P = పీడ
m = ద్రవ్యరాశి

→ ఒక చర్యలో క్రియాజనకాలు, ఉత్ప్రేరకం అన్నీ ఒకే ప్రావస్థలో ఉన్నట్లేతే ఆ చర్యను సజాతి ఉత్ప్రేరణం అంటారు. క్రియాజనకాలు ఉత్ప్రేరకం, భిన్న ప్రావస్థలలో ఉండే ఉత్ప్రేరక చర్యను విజాతి ఉత్ప్రేరణం అంటారు.

→ పెట్రోలియం పరిశ్రమలో ఉపయోగించే ముఖ్యమైన జియోలైట్ ఉత్ప్రేరకం ZSM – 5 ఇది ఆల్కహాల్ల అనార్థీకరణ చర్యకు గురిచేసే గాసోలిన్లుగా (పెట్రోల్) పిలిచే హైడ్రోకార్టన్ల మిశ్రమంగా మారుస్తుంది.

→ ప్రాణం గల మొక్కలు, జంతువులు ఉత్పత్తి చేసే సంక్లిష్ట నైట్రోజన్ కర్బన సమ్మేళనాలను ఎంజైమ్లు అంటారు.

→ ఎంజైమ్లు జీవ రసాయనిక ఉత్ప్రేరకాలుగా పని చేస్తాయి.

→ ఆయుఃప్రక్రియ కొనసాగడానికి దోహదం చేసే జంతువులు మొక్కలలో జరిగే చాలా రసాయన చర్యలను ఇవి ఉత్ప్రేరణం చేస్తాయి.

→ ఒక పదార్థంలో పెద్దసైజు కణాలుగా వేరొక పదార్థం విక్షేపణం చెంది ఏర్పరచిన విజాతి వ్యవస్థను కొల్లాయిడ్ ద్రావణం అంటారు.

→ లయోఫిలిక్ కొల్లాయిడ్లు (ద్రవ ప్రియ కొల్లాయిడ్లు) : వీటిలో విక్షేపక యానకంకూ, విక్షిప్త ప్రావస్థకీ మధ్య ఎక్కువ ఆపేక్ష ఉంటుంది. ఉదా: స్టార్చ్ కొల్లాయిడ్ ద్రావణం లయోఫిలిక్.
లయోఫోబిక్ కొల్లాయిడ్లు (ద్రవ విరోధి కొల్లాయిడ్లు) : వీటిలో విక్షిప్త ప్రావస్థకూ, విక్షేపక యానకానికీ మధ్య ఆపేక్ష ఉండదు. ఉదా : గోల్డ్ కొల్లాయిడ్ ద్రావణం లయోఫోబిక్.

→ లయోఫిలిక్ సాల్లు ఉత్కమణీయమైనవి. ఇవి స్కందనం జరుగవు. స్థిరంగా ఉంటాయి. లయోఫోబిక్ సాల్లు అనుత్రమణీయమైనవి. వీటికి విద్యుద్విశ్లేష్యాలను కలిపినపుడు అస్థిరంగామారి స్కంధనం జరుగుతాయి. వీటిని స్థిరంగా మర్చుటకు లయోఫిలిక్ కొల్లాయిడ్లను కలుపవలెను.

→ పెష్టీకరణం : విక్షేపణ యానకంలో ఉన్న ఒక అవక్షేపానికి కొద్ది ప్రయాణంలో ఒక విద్యుద్విశ్లేష్యాన్ని కలిపి బాగా కుదపడం ద్వారా అవక్షేపాన్ని కొల్లాయిడల్ స్థితికి మార్చడాన్ని పెష్టీకరణం అంటారు.

→ డయాలిసిస్ : అనువైన పటలం లేదా పొరను ఉపయోగించి కరిగే స్థితిలో ఉండే పదార్థాలను కొల్లాయిడ్ ద్రావణం నుండి తొలగించే ప్రక్రియను డయాలిసిస్ అంటారు.

→ ఆల్కహాల్ – ఈథర్ 40% మిశ్రమంలో కరిగించిన నైట్రో సెల్యులోజ్ను కొల్లోడియన్ ద్రావణం అంటారు.

→ టిండాల్ ఫలితం: “కాంతి, కొల్లాయిడ్ ద్రావణం ద్వారా ప్రయాణించినప్పుడు, కాంతి మార్గాన్ని మనం ఒక కాంతివంతమైన పుంజంగా చూడవచ్చు. ఈ దృగ్విషయాన్నే “టిండాల్ ఫలితం” అంటారు.

→ బ్రౌనియన్ చలనం : “కొల్లాయిడ్ కణాలు, విక్షేపణ యానకంలో నిరంతరం వేగంగా మరియు అస్తవ్యస్తంగా చలించడాన్ని “బ్రౌనియన్ చలనం” అంటారు.

→ విరుద్ధ ఆవేశాలు గల స్థిర పటలం, విసరిత పటలం మధ్యగల పొటెన్షియల్ బేధాన్ని విద్యుత్ గతిక పొటెన్షియల్ (లేదా) జీటా పొటెన్షియల్ అంటారు. ఇది ధన లేదా ఋణ విలువలో ఉంటుంది.

→ అనువర్తిత emf ప్రభావంతో కొల్లాయిడ్ కణం చలనం చెందే ప్రక్రిను విద్యుదావేశిత కణచలనం (లేదా) ఎలక్ట్రోఫోరసిన్ అంటారు.

→ కొల్లాయిడ్ కణాల చలనాన్ని అనువైన పద్ధతిలో ఆడగల్మీ విక్షేపణ యానకం వ్యతిరేకదిశలో ప్రయాణిస్తుంది. దీనిని విద్యుత్ ద్రవాభిసరణం అంటారు.

→ సామాన్యంగా స్కంధన అయాన్ వేలన్సీ పెరిగిన కొలది దాని స్కంధన సామర్థ్యం పెరుగును. దీనినే హర్డీ – షూల్జ్ నియమం అంటారు.

→ ఎమల్షన్ : “ద్రవ విక్షేపక యానకంలో, సూక్ష్మ విభాజిత ద్రవబిందు కణాలు విక్షిప్తం చెంది ఏర్పరిచే వ్యవస్థ ఎమల్షన్”. (లేదా) విక్షిప్త ప్రావస్థ మరియు విక్షేపక యానకం రెండూ ద్రవాలే అయిన కొల్లాయిడ్ వ్యవస్థను ‘ఎమల్షన్’ అంటారు. ఉదా : పాలు – ద్రవ క్రొవ్వు నీటిలో విక్షిప్తం చెంది ఉండే ఎమల్షన్.

→ ఒక ఎమల్షన్ స్థిరంగా ఉండేందుకు దానికి చేర్చే మూడో పదార్థమే ఎమల్సీకరణ కారకము. ఉదా : సబ్బులు – నీటిలో కిరోసిన్ ఎమల్షన న్ను స్థిరపరుస్తారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 5th Lesson లోహనిష్కర్షణలో సాధారణ సూత్రాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 5th Lesson లోహనిష్కర్షణలో సాధారణ సూత్రాలు

→ ప్రకృతిసిద్ధంగా భూమి పై పొరలలో లభించే లోహపు సమ్మేళనాలను ఖనిజాలు అంటారు.

→ లోహం పొందటానికి, అత్యంత అనుకూలమైన ఖనిజాన్ని ధాతువు అంటారు.

→ గాంగ్ : ధాతువు భూమి పై పొరలలోని అనవసరపు రసాయన పదార్థాలతో మరియు ఖనిజాలతో మాలిన్యమై ఉండును. ఈ అనవసరపు పదార్థాలను గాంగ్ అంటారు.

→ ఖనిజ ద్రవీభవనస్థానాన్ని తగ్గించుటకు ఖనిజాలకు బయటనుండి చేర్చిన పదార్థాలను ద్రవకారులు అంటారు.

→ లోహమలం : ద్రవకారీని గాంగ్తో చర్య జరిపినపుడు ఏర్పడే గలన పదార్థాన్ని లోహమలం అంటారు.’

→ ‘Al’ ముఖ్య ధాతువులు బాక్సైట్ (Al₂O. 2H₂O), క్రయోలైట్ (Na₃AlF₆).

→ ‘Fe’ ముఖ్య ధాతువులు హెమటైట్ (Fe₂O₃), మాగ్నటైట్ (Fe₃O₄)

→ ‘Cu’ ముఖ్య ధాతువు కాపర్ పైరైటిస్ (CuFeS₂).

→ ‘Zn’ ముఖ్య ధాతువు జింక్ బ్లెండ్ (ZnS).

→ ప్లవన ప్రక్రియ సల్ఫైడ్ ధాతువుల సాంద్రీకరణకు ఉపయోగపడును.

→ ఇవ్వబడిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య పురోగమించుటకు గిబ్స్ శక్తి విలువ ఋణాత్మకం అయి ఉండాలి.

→ భర్జనం : ఖనిజాన్ని విడిగా గాని, ఇతర పదార్థాలతో కలిపిగాని గాలి సమక్షంలో అధిక ఉష్ణోగ్రతలకు వేడిచేయడాన్ని భర్జనం అంటారు.
భస్మీకరణం : ఖనిజం ద్రవీభవించకుండా దానిలో గల బాష్పశీల పదార్థాలను, గాలి తగలకుండా వేడిచేయటం ద్వారా తొలగించే పద్ధతిని భస్మీకరణం అంటారు.

→ లోహ శోధనకు మండల శోధనం, బాష్ప ప్రావస్థ శోధనం మొదలైన వాటిని ఉపయోగిస్తారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 6th Lesson p-బ్లాకు మూలకాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 6th Lesson p-బ్లాకు మూలకాలు

15వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ N, P, As, Sb, Bi లు 15వ గ్రూపు మూలకాలు. వాటి బాహ్య కక్ష్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం nS² nP³.

→ బేరియం జైన్ను ఉష్ణ వియోగ చర్యకు గురి చేయడం ద్వారా అత్యంత స్వచ్ఛమైన డైనైట్రోజన్ ను పొందవచ్చు.
Ba(N₃)₂ → Ba + 3N₂

→ నైట్రోజన్ ద్విపరమాణుక అణువులో రెండు నైట్రోజన్ పరమాణువుల మధ్య త్రికబంధం ఉంటుంది. దీనిని విఘటనం చెందించుటకు అధిక శక్తి (941.4KJ/mole) అవసరం. కావున నైట్రోజన్ అణువు అధిక స్థిరత్వం కలిగి రసాయనికంగా జడత్వం ప్రదర్శిస్తుంది.

→ హేబర్ పద్ధతి ద్వారా అమ్మోనియా తయారీ :

→ ఆస్వాల్డ్ పద్ధతి ద్వారా HNO₃ తయారీ :

→ PCl₃, జల విశ్లేషణ చేయగా H₃PO₃, PCl₅ ను చేయగా H₃PO₄ ఏర్పడతాయి.

16వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ O, S, Se, Te, PO లు 16వ గ్రూపు మూలకాలు. వీటి బాహ్య కక్ష్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns² np⁴.

→ ఆక్సిజన్ తయారీ :

→ ఆక్సిజన్ ను నిశ్శబ్ద విద్యుత్ ఉత్సర్గానికి గురిచేసే ఓజోన్ ఏర్పడును.
3O₂ → 2O₃

→ SO₂, లో ‘S’ సంకరీకరణం Sp² ఆకృతి కోణీయ సమతల త్రిభుజాకారం.
SO₃, లో ‘S’ సంకరీకరణం Sp² ఆకృతి కోణీయ సమతల త్రిభుజాకారం.

→ సల్ఫర్ పెరాక్స్లో ఆమ్లాలు H₂SO₅, H₂S₂O₈.

→ H₂SO₄ ను స్పర్శ పద్ధతి ద్వారా తయారుచేస్తారు.

17వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ F, Cl, Br, I, At లు 17వ గ్రూపు మూలకాలు. వీటి బాహ్య కక్ష్యవిన్యాసం

→ కాల్షియం ఫాస్ఫైడ్ భార జలంతో చర్య జరిపి డ్యుటిరోఫాసీన్ ఏర్పడును.
Ca₃P₂ + 6D₂O → 3 Ca (OD)₂ + 2PD₃

→ క్లోరిన్ ఆక్సో ఆమ్లాలు HOCl, HClO₂, HClO₃, HClO₄.

→ కాపర్ లోహం సజల HNO₃, తో చర్య
3Cu + 8HNO_3(సజల) → 3Cu(NO₃)₂ + 2NO₂ + 4H₂O

→ కాపర్ లోహం గాఢ HNO₃, తో చర్య
Cu + 4HNO_3(సజల) → Cu(NO₃)₂ + 2NO₂ + 2H₂O

18వ గ్రూపు మూలకాలు :

→ He, Ne, Ar, Kr, Xe Rnలు 18వ గ్రూపు మూలకాలు. వీటి ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns² np⁶ (He తప్ప).

→ తెల్ల ఫాస్పరస్, ఎర్ర ఫాస్ఫరస్ ధర్మాల్లోని భేదాలు :

తెల్ల ‘P’	ఎర్ర ‘P’
1. ఇది తెల్లటి మైనంలాంటి అర్థ పారదర్శక పదార్థం.	1. ఇనుప బూడిదరంగు ద్యుతిని కలిగి ఉంటుంది.
2. నీటిలో కరుగదు. CS2 లో కరుగుతుంది.	2. చల్లని నీటిలో, CS2 లో కరుగుతుంది.
3. అధిక చర్యాశీలత కలిగి ఉండును.	3. తెల్ల ‘P’ కంటే తక్కువ చర్యాశీలత కలిగి ఉండును.
4. విషపూరితమైనది.	4. విషపూరితమైనది కాదు.

సమ్మేళనం	ఆకృతి
XeF2	రేఖీయం
XeF4	సమతల చతురస్రం
XeF6	విరూపణ అష్టముఖీయం
XeO3	పిరమిడల్
XeO4	టెట్రాహెడ్రల్
XeOF4	చతురస్ర పిరమిడల్

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 7th Lesson d,f – బ్లాక్ మూలకాలు & సమన్వయ సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 7th Lesson d,f – బ్లాక్ మూలకాలు & సమన్వయ సమ్మేళనాలు

→ ఏ మూలకాలలో అయితే మూలక స్థితిలో కానీ, అయానిక స్థితిలో కానీ పాక్షికంగా నిండిన d-ఆర్బిటాళ్ళు కలిగి ఉంటాయో వాటిని పరివర్తన మూలకాలు అంటారు. ఉదా : Mn, Co, Ag మొదలైనవి.

→ పరివర్తన మూలకాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం (n – 1)d^1-10 ns^1-2.

→ పాక్షికంగా నిండిన d-ఆర్బిటాళ్లు కలిగి ఉండుట వలన పరివర్తన మూలకాలు బహుళ ఆక్సీకరణ స్థితి, రంగు ధర్మం, అయస్కాంత ధర్మం, సంక్లిష్ట సమ్మేళనాలను ఏర్పరచే సామర్థ్యం వంటి అభిలాక్షణిక (లేదా) విలక్షణ ధర్మాలను ప్రదర్శిస్తాయి.

→ పరివర్తన మూలకాలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఆక్సీకరణ స్థితులు ప్రదర్శిస్తాయి.
కారణం:
→ (n – 1) d ఆర్బిటాల్క ns ఆర్బిటాల్కు మధ్య శక్తి భేదం చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. దీని వలన రెండు ఆర్బిటాళ్ళ నుండి ఎలక్ట్రాన్లు కోల్పోతాయి.

→ పరివర్తన లోహ అయాన్ల అయస్కాంత భ్రామకాలు లెక్కకట్టే భ్రమణ-ఆధారిత భ్రామకం
μ = \(\sqrt{n(n+2)}\) BM.

→ “ఒక లోహాన్ని ఇతర లోహాలతో గాని, అర్థ లోహాలతో గాని లేదా ఒక్కొక్కప్పుడు ఆ లోహాలతో బాగా సన్నిహితంగా, కలిపితే ఏర్పడిగాని లోహాల భౌతిక ధర్మాలున్న మిశ్రమ పదార్థాన్ని మిశ్రలోహం. అంటారు”..
ఉదా: ‘కంచు, దీని సంఘటనం 75 – 90% Cu; 10 – 25% Sn.

→ ‘లాంథనైడ్లలో పరమాణు వ్యాసార్థం లేదా పరమాణు పరిమాణం లేదా అయానిక వ్యాసార్థం పరమాణు సంఖ్య పెరిగే కొలది నెమ్మదిగా తగ్గును. దీనినే లాంథనైడ్ సంకోచం అంటారు.

→ మిష్ లోహం అనేది ఒక మిశ్రమ లోహం. దీనిలో లాంథనైడ్ (~95%) లోహం, ఐరన్ (~5%) మరియు S, C, Ca, Al తక్కువ పరిమాణంలో ఉంటాయి.

→ మిష్ లోహాన్ని బుల్లెట్లు, తొడుగులు, తేలిక చకుముకిల తయారీకి ఉపయోగించే Mg- ఆధారిత మిశ్రమ లోహ ఉత్పత్తికి వాడుతారు.

→ సమన్వయ సమ్మేళనాలు పరివర్తన లోహ పరమాణువులు లేదా అయాన్లు అత్యధిక సంఖ్యలో సమ్మేళనాలను ఏర్పరుస్తాయి. వీటిలో ఆనయాన్లు లేదా తటస్థ గ్రూపులు సమన్వయ సంయోజనీయ బంధాల ద్వారా లోహ పరమాణువుకు అయాను బంధితమై ఉంటాయి. వీటిని సమన్వయ సమ్మేళనాలు అంటారు.
ఉదా : [Co(NH₃)₆]³⁺, [Fe(CN)₆]^4-

→ లైగాండ్ : సంక్లిష్టంలో కేంద్ర లోహ పరమాణువుకు లేదా అయాన్కు ఎలక్ట్రాన్ జంటలను దానం చేయడం. ద్వారా సమన్వయ బంధాలను ఏర్పరచే అయాన్ లేదా అణువును లైగాండ్ అంటారు.ఉదా :Cl^–, Br^–, SCN^– మొదలైనవి.

→ రెండు దాత పరమాణువుల గల ఏకదంత లైగాండ్ తనలోని రెండు పరమాణువులలో దేని ద్వారానైనా సమన్వయం చేయగలుగుతుంది. ఇటువంటి లైగాండ్లను ఉభయదంత (ఏంబిడెంటేడ్) లైగాండ్లు లేదా కీలేట్ లైగాండ్లు అంటారు.
ఉదా : C₂O₄^-2, CO₃^-2 etc.

→ హోమోలిప్టిక్, హెటిరోలోప్టిక్ సంక్లిష్టాలు : ఒక సంక్లిష్టంలోని లోహంతో బంధితమైన లైగాండ్లు అన్నీ ఒకే రకం (సమానమైనవి) అయితే ఆ సంక్లిష్టాన్ని హోమోలెప్టిక్ సంక్లిష్టాలు అంటారు. ఉదాహరణకు (Co(NH₃)₆]³⁺. సంక్లిష్టంలో లోహంతో ఒకటి కంటే ఎక్కువ రకాల (భిన్న) లైగాండ్లు బంధితమై ఉంటే ఆ సంక్లిష్టాన్ని హెటిరోలెప్టిక్ సంక్లిష్టం అంటారు. ఉదాహరణకు [Co(NH₃)₄Cl₂]^–.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 8th Lesson పాలిమర్ లు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 8th Lesson పాలిమర్ లు

→ పాలిమర్ : నిర్మాణాత్మక యూనిట్ పునరావృతమవుతూ సంయోజనీయ బంధాల నేర్పరచుకుని సంయోగంచెంది నిర్మితమైన అతిపెద్ద అణువును పాలిమర్ అంటారు.

→ పాలిమర్ల లభ్య స్థానాల ఆధారంగా సహజ, అర్థకృత్రిమ, కృత్రిమ పాలిమర్లుగా వర్గీకరించారు.

→ పాలిమర్ల నిర్మాణం ఆధారంగా రేఖీయ, శాఖాయుత, వ్యత్యస్తబద్ధ పాలిమర్లుగా వర్గీకరించారు. పాలిమరీకణ విధానం ఆధారంగా సంకలన, సంఘనన పాలిమర్లగా వర్గీకరించారు.

→ అణుబలాల ఆధారంగా ఎలాస్టోమర్లు, పోగులు, ధర్మోప్లాస్టిక్ లు, ఉష్ణదృడ పాలిమర్లుగా వర్గీకరించారు.

→ సంకలన పాలిమర్ : ఒకే రకమైన (లేదా) విభిన్నమైన రకాలు అయిన ద్విబంధాలు గల మోనోమర్ అణువుల సంకలన చర్యవలన ఏర్పడిన పాలిమర్ను సంకలన పాలిమర్ అంటారు.

→ సంఘనన పాలీమర్ : పాలిమర్ను ఏర్పరచిన అన్ని మోనోమర్ యూనిట్లలోని మొత్తం పరమాణువుల సంఖ్య కంటే పాలిమర్లో పరమాణువుల సంఖ్య తక్కువగా ఉన్నపుడు ఆ పాలిమర్ను సంఘనన పాలిమర్ అంటారు.

→ సజాతీయ పాలిమర్ : ఏక మోనోమర్ జాతుల పొలిమరీకరణం ద్వారా ఏర్పడిన పాలిమర్లను సజాతీయ పాలిమర్లు అంటారు.

→ ట్రై ఆల్కైల్ అల్యూమినియం మరియు టైటానియం క్లోరైడ్ల మిశ్రమాన్ని జీగ్లర్ – నట్టా ఉత్ప్రేరకం అంటారు.
ఉదా : (C₂H₅)₃ Al + TiCl₄.

→ పాలిమర్ల ముఖ్యమైన అణుద్రవ్యరాశులు:

• సగటు సంఖ్య అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}\right)\).
• సగటుభార అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\bar{M}_w\right)\)

→ ఒక పాలిమర్ సగటు భార అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\bar{M}_w\right)\), సగటు సంఖ్య అణుద్రవ్యరాశి \(\left(\bar{M}_n\right)\) మధ్య గల నిష్పత్తిని పాలి విక్షేపణ సూచిక (PDI) అంటారు.
PDI = \(\frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}\)

→ రబ్బరు వల్కనైజేషన్ : ముడి (లేదా) సహజ రబ్బరును సల్ఫర్ (లేదా) సల్ఫర్ సమ్మేళనాలతో వేడిచేసి దాని భౌతిక ధర్మాలు మెరుగుపరచుటను రబ్బరు వల్కనైజేషన్ అంటారు.

→ జీవక్షయీకృత పాలిమర్లు : “ఎంజైమ్లతో ఆక్సీకరణం, జలవిశ్లేషణం వంటి రసాయన చర్యలు జరిపే లక్షణం కల్గి ఉండి, జీవ వ్యవస్థలలో తొందరగా క్షయకరణం చెందే మరియు మానవుడు నిరపాయకరంగా ఉపయోగించగలిగే పాలిమర్లను జీవ క్షయీకృత పాలిమర్లు అంటారు”.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 9th Lesson జీవాణువులు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 9th Lesson జీవాణువులు

→ మొక్కల నుండి లభ్యమయ్యే ప్రకృతిలో లభించే కర్ణన రసాయన పదార్థాలలో అతి పెద్దస్థానం గల సమ్మేళనాలను కార్బోహైడ్రేట్లు అంటారు.
ఉదా : గ్లూకోజ్, స్టార్చ్, ఫ్రక్టోజ్ మొదలగునవి.

→ కార్బోహైడ్రేట్లను బహుసంఖ్యలో హైడ్రాక్సీ ప్రమేయ సమూహాలున్న ఆల్డీహైడ్లు లేదా కీటోన్లుగా నిర్వచించవచ్చు.

→ జలవిశ్లేషణ చర్య ఆధారంగా కార్టోహైడ్రేట్లను ఈక్రింది విధంగా వర్గీకరించారు.

• మోనోశాకరైడ్లు \(\stackrel{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}{\longrightarrow}\), శాకరైడ్లు ఏర్పడవు. ఉదా: గ్లూకోజ్, ఫ్రక్టోజ్
• ఓలిగోశాకరైడ్లు \(\stackrel{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}{\longrightarrow}\) రెండు మోనోశాకరైడ్లు. ఉదా : సుక్రోజ్, మాల్టోజ్
• పాలీశాకరైడ్లు \(\stackrel{\mathrm{H}_2 \mathrm{O}}{\longrightarrow}\) అధిక సంఖ్యలో మోనోశాకరైడ్లు. ఉదా : స్టార్చ్, సెల్యులోజ్

→ ఏ కార్బోహైడ్రేట్లు అయితే టోలెన్స్, ఫెయిలింగ్ కారకాలను క్షయకరణం చేస్తాయో వాటిని క్షయకరణ చక్కెరలు అంటారు. ఉదా : గ్లూకోజ్
ఏ కార్బోహైడ్రేట్లు అయితే టోలెన్స్, ఫెయిలింగ్ కారకాలను క్షయకరణం చేయనో వాటిని క్షయకరణం చేయని చక్కెరలు అంటారు. ఉదా : సుక్రోజ్

→ ఏనోమర్లు: రెండు సదృశక నిర్మాణాలలో విన్యాసం C-1 వద్ద విభిన్నంగా ఉంటే వాటిని ఏనోమర్లు అంటారు.

→ సుక్రోజ్’ జలవిశ్లేషణలో ధృవణ భ్రమణత గుర్తు కుడి (+) నుండి ఎడమ (-) కు మారడం వల్ల ఏర్పడే ఉత్పన్నాన్ని విలోమ చక్కెర ఉంటారు.

→ ఎమినో ప్రమేయ సమూహం (-NH2) మరియు కార్టాక్సిలిక్ ఆమ్ల ప్రమేయ సమూహం (-COOH). కలిగియున్న కర్బన సమ్మేళనాలను ఎమినో ఆమ్లాలు అంటారు.
ఉదా : గ్లైసిన్, ఎలనైన్

→ ఆవశ్యక ఎమినో ఆమ్లాలు : “మన శరీరములో తయారుకాని ఎమినో ఆమ్లములను ఆహారము ద్వారా అందచేయవలెను: వీటిని ఆవశ్యక ఎమినో ఆమ్లాలు అందురు.”
ఉదా : లైసీన్ (Lys)

→ అనావశ్యక ఎమినో ఆమ్లాలు : “శరీరములో తయారగు ఎమినో ఆమ్లములను అనావశ్యక ఎమినో ఆమ్లాలు “అందురు.”
ఉదా : ఎలనైన్.

→ జ్విట్టర్ అయాన్ : ఎమినో ఆమ్ల జల ద్రావణంలో కార్టాక్సిల్ సమూహం నుంచి ఒక ప్రోటాన్ న్ను ఎమినో సమూహానికి మార్పిడి జరిగి ఒక ద్విధృవ అయాన్ ఏర్పడును. దీనినే జ్విట్టర్ అయాన్ అంటారు.

→ ప్రోటీన్ లు : వంద ఎమినో ఆమ్లాల అణువుల కంటే ఎక్కువ అణువులతో ఏర్పడిన పాలీపెప్టైడ్ను ప్రోటీన్ .అంటారు. ప్రోటీన్ లకు అణుభారం 10,000 U కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
ఉదా : కెరాటిన్, మెయోసిన్ మొదలగునవి.

→ రకాల RNA లు :

• మెసెంజర్ RNA (m – RNA)
• రైబోజోమల్ RNA (r – RNA)
• ట్రాన్సఫర్ RNA (t – RNA)

→ పెప్టైడ్ బరథం : ఒక అణువులోని ఎమైన్ గ్రూపు ఇంకో అణువులోని కార్బాక్సిల్ గ్రూపుతో చర్య జరిపి ఎమైడ్ బంధం ఏర్పరచడం ద్వారా రెండు ఎమినో ఏసిడ్ అణువులు ఒక అణువుగా ఏర్పడతాయి. ఈ ఎమైడ్ బంధమే పెప్టైడ్ బంధం లేదా పెప్టైడ్ కలయిక. ఈ విధంగా ఏర్పడ్డ ఉత్పనాన్ని డైపెప్టైడ్ అంటారు. ఇది మూడు, నాలుగు అనేక ఎమినో ఆమ్ల అణువులకు పొడిగిస్తే ట్రై, టెట్రా… పాలీపెప్టైడ్లు వస్తాయి. పాలీపెప్టైడ్లో అనేక ఎమినో ఆమ్ల యూనిట్లు ఉంటాయి. పాలిపెప్టైడ్లను ప్రోటీన్లు అంటారు.

→ ప్రోటీన్ స్వభావ వికలత : “ప్రోటీన్ టెర్షియరీ నిర్మాణం ఒక క్రమ పద్ధతిలో ఉంటుంది. దీనిని విచ్ఛిన్నం చెందించటాన్ని ప్రోటీన్ స్వభావ వికలత అంటారు.” త్రిమితీయ నిర్మాణాన్ని క్రమ పద్ధతిలో ఉంచే ప్రోటీన్లోని బంధాలు విచ్ఛిన్నం చేయడమే ప్రోటీన్ స్వభావ వికలత. ఈ బంధాలు సహజంగా బలహీనంగా ఉంటాయి. కాబట్టి ప్రోటీన్లు తేలికగా స్వభావ వికలత చెందుతాయి.

→ ప్రకృతిలో లభించే కర్బన రసాయన పదార్థాలు. ఇవి ఆహారంలో ముఖ్యమైన పదార్థాలు. జీవరాశులు ఆరోగ్యంగా ఉండటానికి ఇవి అల్ప పరిమాణాలలో అవసరమవుతాయి. ఇటువంటి పదార్థాలను విటమిన్లు అంటారు.

→ మానవ శరీరంలో జీవ సంబంధ సమాచారాన్ని ఒక గ్రూపుకు చెందిన కణాల నుంచి దూరంగా ఉన్న కణజాలాలకు లేదా అవయవాలకు రవాణా చేసే కర్బన సమ్మేళనాల అణువులను హార్మోన్లు అంటారు. ఉదా : ఈస్ట్రోడయోల్, ఈస్ట్రోజన్ మొదలగునవి.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 10th Lesson నిత్యజీవితంలో రసాయనశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 10th Lesson నిత్యజీవితంలో రసాయనశాస్త్రం

→ అల్ప అణుద్రవ్యరాశులు (100 ~ 500 u) గల రసాయన పదార్థాలు మన శరీరంలోని బృహత్ అణువులతో చర్య జరిపి, జీవ సంబంధమైన స్పందన తెస్తాయి. వీటినే మందులు అంటారు.

→ వ్యాధి చికిత్సకు రసాయన పదార్థాలను ఉపయోగించే ప్రక్రియను కెమోథెరపీ (లేదా) రసాయనాల చికిత్స అంటారు.

→ ఆమ్ల విరోధులు : ఉదరంలో స్రవించిన అధిక ఆమ్లాన్ని తటస్థీకరించి సరైన pH కి తెచ్చే రసాయన పదార్థాలను ఆమ్ల విరోధులు (లేదా) యాంటాసిడ్లు అంటారు. ఉదా : NaHCO, AZ(OH), + Mg(OH), ఓమెప్రజోల్ మొదలగునవి.

→ యాంటీహిస్టమిన్లు : ఈ రసాయనాలు ఉదరంలో అధిక ఆమ్ల మోతాదులను పరోక్ష పద్ధతిలో నివారిస్తాయి. ఉదరగోడలలో ఉండే అభిగ్రాహకాల దగ్గరకు హిస్టమిన్ పోకుండా ఆపి తక్కువ ఆమ్లం ఉత్పన్నమయ్యేటట్లు చేయు రసాయనాలను యాంటీహిస్టమిన్లు అంటారు. ఉదా : డిమెటాప్, సెలెన్ మొదలగునవి.

→ ట్రాంక్విలైజర్లు : మానసిక ఒత్తిడిని, స్వల్ప లేదా తీవ్రమైన స్థాయిలలో ఉండే మనోవ్యాధుల నుంచి ఉపశమనం కొరకు ఉపయోగించే రసాయన పదార్థాలను ట్రాంక్విలైజర్లు అంటారు. ఉదా : లూమినాల్, సెకోనాల్ మొదలగునవి.

→ ఎనాల్జెసిక్: నొప్పి అనునది అనేక వ్యాధులలోను, ఆకస్మిక ప్రమాదాలలోనూ వుంటుంది. తలనొప్పి, చెవినొప్పి,, ఒంటి నొప్పి, కడుపునొప్పి, కీళ్ళ నొప్పులు మొదలైనవి సాధారణ నొప్పులు. శరీరంలో ఏ భాగము వాపుకు గురి అయిన నొప్పి కలుగుతుంది. ఈ నొప్పిని తగ్గించు ఔషధాలను ఎనాల్జెసిక్ అంటారు. ఉదా : ఆస్పిరిన్, ఐబుప్రొఫెన్ మొదలైనవి.

→ యాంటీమైక్రోబియల్ : బాక్టీరియా ద్వారా, ఫంగై ద్వారా, వైరస్ ద్వారా ఇతర పరాన్నజీవులు వరణాత్మకంగా కలగజేసే వ్యాధి కారక చర్యలను విధ్వంసం చేయడం, జరగకుండా నివారించే (లేదా) పూర్తిగా నివారించే మందులను యాంటీమైక్రోబియల్ అంటారు. ఉదా : లైసోజైమ్, లాక్టిక్ ఆమ్లం మొదలగునవి.

→ “యాంటీబయోటిక్లు బాక్టీరియా, ఫంగస్, బూజు లాంటి సూక్ష్మజీవుల నుంచి ఉత్పన్నమై ఇతర సూక్ష్మజీవుల పెరుగుదలను ఆపే లేదా వాటిని నాశనం చేసే రసాయన పదార్థాలు”.
(లేదా)
“యాంటీబయోటిక్ అనేది పూర్తిగా కాని, కొంత భాగంగా కాని రసాయన పద్ధతిలో తయారు చేయబడి తక్కువ గాఢతలో ఇతర సూక్ష్మజీవుల పెరుగుదలను ఆపే లేదా అంతం చేసే రసాయన పదార్థం”. ఉదా : పెనిసిలీన్, క్లోరామ్ఫనికోల్, సల్ఫాడయాజీన్ మొ||నవి.

→ యాంటీసెప్టిక్లు (చీము నిరోధులు) : యాంటీసెప్టిక్లు అనేవి సూక్ష్మక్రిముల పెరుగుదలను నిరోధించేవి (లేదా) వాటిని నాశనం చేసేవి. వీటిని గాయాలు, కోతలు, రణాలు, రోగానికి గురైన చర్మం ఉపరితలాలు అయినటువంటి జీవకణజాలాలకు పూస్తారు. ఉదా : డెట్టాల్, బితియనోల్

→ క్రిమిసంహారిణులు: సూక్ష్మక్రిముల పెరుగుదలను నిరోధించడానికి (లేదా) నాశనం చేయడానికి వాడే రసాయన పదార్థాలు క్రిమిసంహారక మందులను ఫ్లోర్లు, డ్రయొనే జిలులాంటి జీవరహిత వ్యవస్థలకు వాడతారు. ఉదా :

• 4% ఫార్మాల్డిహైడ్ జలద్రావణాన్ని ఫార్మలిన్ అంటారు.
• 0.3 ppm గాఢత గల క్లోరిన్ ద్రావణం క్రిమిసంహారిణిగా వాడతారు.

→ సహజ చక్కెరలు కాలరీలను పెంచుతాయి. అందువలన వాటి స్థానంలో కృత్రిమ చక్కెరలను వాడుతున్నారు. “ఆహార పదార్థాల్లో చక్కెరకు బదులుగా వాడే రసాయనాలను కృత్రిమ తీపికారుకాలు అంటారు. వీటిని వాడడం వల్ల కాలరీలను నియంత్రించ వచ్చు. అదే సమయంలో సుక్రోజ్ కంటే ఆహారానికి ఎంతో తీపినిస్తాయి. చక్కెర వ్యాధి ఉన్నవారికి ఇవి చాలా ఉపయోగకరం.
ఉదా :

• ఆస్పార్టేమ్కు సుక్రోజ్ కంటే 100 రెట్లు తీపి ఎక్కువగా ఉంటుంది.
• అలిటేమ్ మరియు సుక్రలోజ్ మరికొన్ని ఉదాహరణలు.

→ రసాయనికంగా సబ్బులు పొడవైన శృంఖలాలుగల కొవ్వు ఆమ్లాల సోడియమ్ (లేదా) పొటాషియం లవణాలు. (13 కొవ్వు పదార్థాన్ని సోడియమ్ హైడ్రాక్సైడ్ జల ద్రావణంతో కలిపి వేడిచేసి సోడియమ్ లవణాలు గల సబ్బులను తయారుచేస్తారు. దీనినే సబ్బు ఏర్పడే చర్య అంటారు.

→ సంక్లిష్ట డిటర్జెంట్లు : సబ్బు ధర్మాలన్నీ ఉండి, వాటిలో మాత్రం సబ్బులు లేని శుభ్రపరిచే కారకాలను సంక్లిష్ట లేదా కృత్రిమ డిటర్జెంట్లు అంటారు. వీటిని కఠినజలంలోను, మృదుజలంలోను కూడా ఉపయోగిస్తారు. ఉదా : సోడియమ్ డోడెకైల్ బెంజీన్ సల్ఫోనేట్.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 11th Lesson హాలో ఆల్కేన్లు, హాలో ఎరీస్లు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 11th Lesson హాలో ఆల్కేన్లు, హాలో ఎరీస్లు

→ హైడ్రోకార్బన్లందు హైడ్రోజన్ పరమాణువులు, హాలోజన్లతో మార్పిడి వల్ల హాలోఆల్కేన్లు (లేదా) హాలో ఎరీన్లు ఏర్పడతాయి.

→ హాలోఆల్కేన్లలో హాలోజన్ sp³ – సంకరీకరణం కార్టన్కు బంధింపబడును.
హాలోఎరీన్లలో హాలోజన్ sp² – సంకరీకరణం కార్జన్కు బంధింపబడును.

→ హాలోజన్ పరమాణువుల సంఖ్య ఆధారంగా హాలో ఆల్కేన్లు (లేదా) హాలో ఎరీన్లు మోనోహాలో ఆల్కేన్/ ఎరీన్, డైహాలో ఆల్కేన్ / ఎరీన్, ట్రై హాలో ఆల్కేన్ / ఎరీన్ లుగా విభజించారు.

→ sp³ C – X బంధాన్ని కలిగిన సమ్మేళనాలు ఎ) ఆల్కైల్ హాలైడ్లు, బి) ఎల్లైలిక్ హాలైడ్లు, సి) బెంజైలిక్ హాలైడ్లు.

→ sp² C – X బంధాన్ని కలిగిన సమ్మేళనాలు ఎ) వినైలిక్ హాలైడ్లు, బి) ఎరైల్ హాలైడ్లు.

→ ఆల్కహాలు HX/ZnCl₂, లేదా PX₃, లేదా PX₅ లేదా SOCl₂, లతో చర్య జరిపి ఆల్కైల్ హాలైడ్లు ఏర్పరుచును.

→ ఆల్కెల్ హాలైడ్లు / ఎరైల్ హాలైడ్లు

• స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక హాలోజినేషన్,
• ఎలక్ట్రో ఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ,
• సాండేమేయర్ చర్య,
• హైడ్రోజన్ హాలైడ్ లేదా హాలోజన్ను ఆల్కీను కలుపుట ద్వారా తయారు చేయవచ్చు. “

→ ఆల్కైల్ హాలైడ్ల బాష్పీభవన స్థానం తగ్గు క్రమం RI > RBr > RCl > RF

→ C-X బంధం ధృవణత స్వభావం కలిగి ఉండుట వలన హాలోఆల్కేన్లు న్యూక్లియోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలలో పాల్గొంటాయి.

• SN². చర్యలు,
• SN¹ చర్యలు.

→ SN² – చర్యలలో ఆల్కెల్ హాలైడ్లు చర్యాశీలత క్రమము 1°-ఆల్మెల్ హాలైడ్>2° ఆల్కెల్ హాలైడ్ > 3° – ఆల్కెల్ హాలైడ్

→ SN¹ – చర్యలలో ఆల్కైల్ హాలైడ్ల చర్యాశీలత క్రమము. 3° – ఆల్మైల్ హాలైడ్ > 2° – ఆల్కైల్ హాలైడ్ > 1° – ఆల్కెల్ హాలైడ్.

→ SN² – చర్యా విధానం వలన ఏర్పడు’ ఉత్పన్నం విలోమ విన్యాస ఉత్పన్నం.
SN¹ చర్యా విధానం వలన ఏర్పడు ఉత్పన్నం రెసిమీకరణ విన్యాస ఉత్పన్నం.

→ ఆల్కైల్ హాలైడ్లు ఆల్కహాలిక్ KOH తో చర్య జరిపి ఆల్కీన్లను ఏర్పరచును. దీనినే డీహైడ్రో హాలోజనీకరణం అంటారు.

→ ఆల్కైల్ హాలైడ్లు కొన్ని లోహాలతో చర్య జరిపి C – లోహ బంధం ఉన్న సమ్మేళనాలను ఏర్పరచును. వీటినే కర్బన లోహ సమ్మేళనాలు అంటారు. ఉదా : గ్రిగా నార్డ్ కారకం (RMgX).

→ కర్బన లోహ సమ్మేళనాలు, కర్బన సమ్మేళనాల సంశ్లేషణలో అధిక ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉన్నాయి.

→ ఆల్కైల్ హాలైడ్లు, ఎరైల్ హాలైడ్లు సోడియం లోహం మరియు పొడి ఈథర్ సమక్షంలో చర్య జరిపి ఆల్కైల్ ఎరీను ఏర్పరచును. దీనినే ఉర్జ్ – ఫిట్టింగ్ చర్య అంటారు. ఈ చర్యలో కేవలం ఎరైల్ హాలైడ్లు చర్య జరిపితే దానినే ఫిట్టింగ్ చర్య అంటారు.

→ పాలీహాలోజన్ సమ్మేళనాలు పరిశ్రమలలో, వ్యవసాయ రంగంలో బాగా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి. ఉదా : CH₂Cl₂, CHCl₃, CHI₃, DDT, ఫ్రీయాన్లు, CCl₄.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 12th Lesson C, H, O లు ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 12th Lesson C,H,O లు ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు

→ హైడ్రోకార్టన్లలో హైడ్రోజన్ స్థానంలో – OH సమూహ మార్పిడి వలన ఆల్కహాల్లు, ఫీనాల్లు ఏర్పడును.

→ హైడ్రోకార్టన్లో హైడ్రోజన్ స్థానంలో ఆల్కాక్సీ (లేదా) ఎరైలాక్సీ సమూహాల మార్పిడి వలన ఈథర్లు ఏర్పడతాయి.

→ ఆల్కహాల్లు మరియు ఫీనాల్లలో – OH సమూహాల సంఖ్యను ఆధారంగా మోనోహైడ్రిక్, డైహైడ్రిక్ (లేదా) పాలీ హైడ్రిక్ ఆల్కహాల్గా వర్గీకరించారు.

→ C_sp³ – OH బంధం గల సమ్మేళనాలను 1°, 2° మరియు 3° -ఆల్కహాల్లు, ఎల్లైలిక్, బెంజైలిక్ ఆల్కహాల్లు అంటారు.

→ C_sp² – OH బంధం గల సమ్మేళనాలను వినైలిక్ ఆల్కహాల్లు అంటారు.

→ బంధింపబడిన ఆల్కైల్ సమూహం ఆధారంగా ఈథర్లను సౌష్ఠవ, అసౌష్ఠవ ఈథర్ లుగా వర్గీకరించారు.

→ ఆల్కహాల్లను ఆమ్ల ఉత్ప్రేరణ ఆర్ద్రీకరణ, హైడ్రోబోరేషన్, ఆక్సీకరణం, కార్గోనైల్ సమ్మేళనాల క్షయకరణం, గ్రిగా నార్డ్ కారకం నుండి పొందవచ్చు.

→ ఆల్కహాలు మరియు ఫీనాలు సమాన అణుభారం ఉన్న హైడ్రోకార్టన్లు, ఈథర్లకంటే బాష్పీభవన స్థానాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

→ ఫీనాల్లను హేలో ఎరీన్లు, డై ఎజోనియం లవణాలు, క్యుమీన్ నుండి తయారుచేయవచ్చు.

→ ఫినాక్సైడ్ అయాన్ రెజోనెన్స్ స్థిరీకరణ వలన ఫీనాల్లు ఆల్కహాల్ కంటే ఎక్కువ ఆమ్లస్వభావం కలిగి ఉంటాయి.

→ కోలె చర్య : ఫీనాల్ NaOH తో చర్యజరిపి తరువాత CO₂ తో ఆమ్లయానకంతో చర్యజరిపి సాలిసిలిక్, ఆమ్లం ఏర్పరచును.

→ రీమర్ – టీమన్ చర్య : ఫీనాల్ క్లోరోఫారంతో క్షారసమక్షంలో చర్యజరిపి సాలిసిలాల్డిహైడ్ను ఏర్పరచును.

→ ఈథర్లను ఆల్కహాల్ నిర్జలీకరణ, విలియంసన్ సంశ్లేషణ ద్వారా తయారుచేస్తారు.

→ విలియంసన్ సంశ్లేషణ : ఆలెల్ హాలైడ్లను సోడియం ఆల్కాక్సైడ్ తో చర్యజరిపి ఈథర్లను ఏర్పరచును.

→ α- హైడ్రోజన్ కలిగి ఉన్న కార్బాక్సిలిక్ ఆమ్లాలు క్లోరిన్ లేదా బ్రోమిన్లు తక్కువ పరిమాణం ఎర్ర ఫాస్ఫరస్ సమక్షంలో చర్య జరిపి α- హాలోకార్బాక్సిలిక్ ఆమ్లాలు ఏర్పరచును. దీనినే హెల్ – వోల్ హర్డ్ – జెలెన్స్కీ (HvZ) చర్య అంటారు.

→ గాటర్మన్ – కోచ్ చర్య ద్వారా : బెంజీన్, దాని ఉత్పన్నాలను అనార్థ అల్యూమినియమ్ క్లోరైడ్ లేదా క్యూప్రస్ క్లోరైడ్ సమక్షంలో కార్టన్ మోనాక్సైడ్, హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్తో చర్చ జరిపి బెంజాల్డిహైడ్, ప్రతిక్షేపిత బెంజాల్డిహైడ్లుగా మార్చవచ్చు.

→ ఆల్డీహైడ్లు, కీటోన్లు న్యూక్లిమోఫిలిక్ సంకలన చర్యలు జరుపుతాయి.

→ టాలెన్స్ కారకం : అపుడే తయారు చేసిన అమ్మోనికల్ సిల్వర్నైట్రేట్ ద్రావణాన్ని టాలెన్స్ కారకం అంటారు. ఆల్టీహైడ్ను టాలెన్స్ కారకంతో వేడిచేస్తే పరీక్షనాళిక గోడలపై మెరిసే వెండిపొర ఏర్పడుతుంది.

→ ఫెహిలింగ్ కారకం ఫెహిలింగ్ A + ఫెహిలింగ్ B కారకాలు
ఫెహిలింగ్ – A CuSO జల ద్రావణం
ఫెహిలింగ్ B – సోడియం పొటాషియం టార్టరేట్ (రోచల్లీ లవణం)
ఎసిటాల్టీహైడ్ ఫెహిలింగ్ కారకంతో చర్య జరిపి ఎర్రటి జేగురు అవక్షేపం ఏర్పరచును

→ మిశ్రమ ఆల్డాల్ సంఘననం : ఆల్జాల్ సంఘనన చర్యలో రెండు వేరువేరు ఆల్డిహైడ్లు లేదా కీటోన్లు పాల్గొంటే ఆ చర్యను మిశ్రమ ఆర్డాల్ సంఘననం అంటారు. రెండు అణువుల్లోను – హైడ్రోజన్లు ఉంటే నాలుగు ఉత్పన్నాల మిశ్రమం ఏర్పడుతుంది. ఉదాహరణకు ఇథనాల్, ప్రొపనాల్ల మిశ్రమ ఆల్దాల్ సంఘననంలో ఏర్పడే ఉత్పన్నాలను చూడండి.

→ కెనిజారో చర్య : α -హైడ్రోజన్లు లేని ఆల్డిహైడ్లను బలమైన గాఢ క్షారంతో వేడిచేస్తే స్వయం ఆక్సీకరణం, ne క్షయకరణం (disproportionation) చర్యలకు అవి లోనవుతాయి. ఈ చర్యలో ఒక అల్డిహైడ్ అణువు ఆల్కహాల్గా క్షయకరణం చెందితే ఇంకొక అణువు ఆక్సీకరణం చెంది కార్టాక్సిలిక్ ఆమ్ల లవణాన్ని ఇస్తుంది.

→ డీకార్బాక్సిలీకరణం : కార్టాక్సిలిక్ ఆమ్లాల సోడియమ్ లవణాలను సోడాలైమ్ (3:1 నిష్పత్తిలో NaOH & CaO) తో వేడిచేస్తే కార్బన్ డయాక్సైడ్ను విలోపనం చేసి హైడ్రోకార్టాన్లను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ చర్యను డీకారక్సిలీకరణం అంటారు.

Students can go through AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 13th Lesson నైట్రోజన్లో ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Chemistry Notes 13th Lesson నైట్రోజన్లో ఉన్న కర్బన సమ్మేళనాలు

→ ఎమీన్లు అమోనియా ఉత్పన్నాలు. ఇవి అమోనియాలో ఒకటి లేదా రెండు హైడ్రోజన్లు ఆల్కైల్ సమూహాలతో మార్పిడి వల్ల ఏర్పడతాయి.

→ అమోనియాలో ఒక హైడ్రోజన్ పరమాణువు ఆల్కైల్ సమూహలతో మార్పిడి చెందితే 1° ఎమీన్లు ఏర్పడతాయి. రెండు హైడ్రోజన్లు మార్పిడి ద్వారా 2° ఎమీన్లు ఏర్పడతాయి. మూడు హైడ్రోజన్లు మార్పిడి ద్వారా 3° – ఎమీన్ లు ఏర్పడతాయి.

→ ఎమీన్ ను నైట్రోసమ్మేళనాల క్షయకరణ చర్య, ఎమైడ్ల క్షయకరణం, గేబ్రియల్ థాలిమైడ్ చర్య, హాఫ్మన్ బ్రోమమైడ్ చర్య ద్వారా పొందవచ్చు.

→ అమోనియా కన్నా ఆల్మైల్ ఎమీన్లు బలమైన క్షారాలు (+ I ప్రభావం వలన)

→ ఎలిఫాటిక్ (లేదా) ఏరోమాటిక్ 1° – ఎమైన్లు క్లోరోఫాం మరియు KOH (ఆల్కహాల్) తో చర్య జరిపి ఐసో సయనైడ్లను ఏర్పరచును. (కార్ల్టల్ ఎమీన్ చర్చ)

→ ఎరోమాటిక్ ఎమీన్లు నైట్రస్ ఆమ్లంతో 0–5°C వద్ద చర్చ జరిపి డయజోనియం లవణాలను ఏర్పరచును (డయజోటీకరణ)

→ బెంజీన్ సల్ఫోనైల్ క్లోరైడ్ను హిన్స్బర్గ్ కారకం అంటారు. ఇది 10, 20, 3° – ఎమీన్లను వేరుచేయుటకు ఉపయోగపడును.

→ డయజోనియం లవణాలు Cu(I) అయాన్ సమక్షంలో హేలోబెంజీన్, సయనో బెంజీన్లను ఏర్పరచుటను సాండ్ మేయర్ చర్య అంటారు.

→ డయజోనియం లవణాలు హేలోజన్ ఆమ్ల సమక్షంలో చర్య జరిపి హాలో బెంజీన్ న్ను ఏర్పరచుటను గాటర్మన్ చర్య అంటారు.

→ బెంజీన్ డయజోనియం క్లోరైడ్ ఫినాల్తో చర్య జరిపి P- హైడ్రాక్సీ ఎజోబెంజీన్ ను ఏర్పరచును. ఈ రకమైన చర్యలను యుగళీకరణ చర్యలు అంటారు.

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 1 వృత్తం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 1 వృత్తం

ప్రశ్న 1.
(1,4) కేంద్రంగా, 5 వ్యాసార్ధంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ (h,k) = (1,4), r = 5 కాబట్టి,
Darodo (x-h)²+(y-k)²
= (x-1)²+(y-4)² = 5² అంటే,
x²+ y²-2x-8y-8=0.

ప్రశ్న 2.
x²+ y²+2x – 4y – 4 = 0 సూచించే వృత్త కేంద్రాన్న వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ 2 g=2,2 f=-4, c=-4
∴ g = 1, f = -2,
కాబట్టి వృత్త కేంద్రం = (−g, −f) = (−1, 2)
వ్యాసార్ధాలను \(=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{1+4-(-4)}=3\)

ప్రశ్న 3.
3x²+3y²-6 x+4y – 4 = 0 సూచించే వృత్త  కేంద్రం, వ్యాసార్ధాలను కనుక్రోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 3 x²+3y² – 6 x + 4y – 4 = 0
3 తో బించగా

ప్రశ్న 4.
వృత్త కేంద్రం(-1, 2)గా ఉంటూ (5, 6) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C = (−1, 2) వృత్త కేంద్రం అనుకొందాం.

P(5,6) వృత్తము మీది బిందువు కనుక CP = r
CP² = r ² ⇒ r² =(-1-5)² + (2-0)²
= 36 +16=52
వృత్త సమీకరణము (x + 1)² + (y – 2)² = 52
x² + 2x + 1 + y² = 4y + 4 – 52 – 0
x² + y² + 2x – 4y – 47 = 0

ప్రశ్న 5.
(2,3) బిందువు ద్వారా పోతూ x + y + 8x +  12y + 15 = 0 వృత్తంలో ఏక కేంద్రంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్తం దత్త వృత్తానికి ఏక కేంద్రము
x² + y² + 8x + 12y + 15 = 0
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 8x + 12y + c’ = 0

P(2, 3) గుండా వృత్తం పోతుంది.
∴ 4+9+16 +36 + c = 0
c’ = – 65
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 8x + 12y – 65 = 0

ప్రశ్న 6.
(x² + 4x + (y – 3)² = 0 వృత్తంపై ఉన్న బిందువు A(0, 3) నుంచి వృత్తానికి AB అనే జ్యాను గీసి M వరకు AM = 2AB అయ్యేటట్లు పొడిగించబడింది. M బిందువు బిందు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
M = (x’, y’) అనుకొందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం AM = 2AB అని ఇవ్వబడినది.

AB + BM = 2AB + AB BM = AB
AM మధ్య బిందువు B

M ( X’ , Y’) బిందు పథము x²+y²+8x-6 y+9=0 ఇది ఒక వృత్తము.

ప్రశ్న 7.
x²+y²+ax+by-12=0 వృత కేంద్రం (2,3) అయితే a, b విలువలను, వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము

ప్రశ్న 8.
x²+y² – 4 x+6 y+a=0 సూచించే వృత్త వ్యాసార్ధం 4 అయితే a విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
X² + y²– 4x + 6y +a = 0
2g= – 4, 2f = 6,c = a
g =  – 2, f = 3, c = a
వ్యాసార్ధం = 4 ⇒ \(\sqrt{g^2+f^2-c}=4\)
\(\sqrt{4+9-a}=4\)
13 – a = 16
a = 13 – 16 = – 3

ప్రశ్న 9.
(4,1),(6,5) బిందువుల గుండా పోతూ 4 x+y-16=0 రేఖపై కేంద్రం ఉండే వృత్త సమీకరణమును కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x²+y²+2gx+2fy+c=0
ఈ వృత్తం A(4,1) గుండా పోతుంది.
16+1+8 g+2f+c=0
8g+2f+c=-17
వృత్తం B(6,5) గుండా పోతుంది.
36+25+12 g+10 f+c=0
12g+10 f+c=-61
కేంద్రం (-g,-f), 4 x+y-16=0 రేఖమీద ఉంది
-4 g-f-16=0
4 g+f+16=0

(3) నుండి 4g – 4=-16
4 g=-12 ⇒ g=-3
(1) నుండి 8(-3)+2(-4)+c=-17
c=-17+24+8=15
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x²+y²-6x-8y+15=0

ప్రశ్న 10.
g, f, c వాస్తవ సంఖ్యలి అయి (x_1,y₁) బిందువు x²+y²+2g x+2 f y+c=0 ను తృప్తిపరిచినట్లంితే ఈ సమీకరణం వృత్తాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
రెండవ తరగతి సాధారణ సమీకరణంతో పోల్చగా x² గుణఃమము =y² గుణకము మరియు xy గుణకం =0 దత్త సమీకాణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
g²+f²-c ≥ 0
(x_1,y₁) దత్త సమీకరణం మీది బిందువు
x²+y²+2gx+2 f y+c=0,
x₁²+y₁² +2gx₁+2fy₁+c=0
g²+f²-c=g²+f²+x₁²+y₁²
+2g x₁+2fy₁=0
= (x₁ + g)² + (y₁ + f)²≥ 0
g, f, c వాస్తవాలు
∴ దత్త సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 11.
(1,2),(4,5)లు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁-y₁) = (1,2) మరియు (x₂-y₂) =(4,5)
వృత్త సమీకరణము
(x-1)(x-4)+(y-2)(y-5)=0
x²-5x+4+y²-7 y+10=0
x²+y²-5 x-7 y+14=0

ప్రశ్న 12.
x²+y²-8 x-8 y+27=0 వృత్తం ఒక వ్యాసప ఒక కొన (2,3) అయేతే దీని మరో కొన కనుక్రోండి.
సాధన:
A=(2,3) C వృత్త కేంద్రం అనుకుందాం.
x²+y²-8 x-8y+27=0

ప్రశ్న 13.
ax+by+c=0 (abc ≠ 0) రేఖ అక్షాలతో ఏర్పిిచే త్రిభుజపు పరి:కృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a x+b y+c=0 రేఖ A మరియు B ల వద్ద నిరూపకాక్షాలను ఖందడి్తుఁడి.
O, A, B నిరూపకాలు 0: (0,0)

\(A\left(-\frac{c}{a}, 0\right) \quad B\left(0,-\frac{c}{b}\right)\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x²+y²+2gx+ fy+c=0
ఈ వృత్తం 0(0,0) గుండా పోతుంది
c=0

a b(x²+y²)+c(b x+ay)=0
ఇది OAB పరివృత్త సమీకరణము.

ప్రశ్న 14.
L₁=x+y+1=0, L₂=3 x+y-5=0, L₃=2 x+y-5=0 రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుపు శీర్షాల గుండా పోమే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.:
L₁, L₂ ; L₂, L₃ మరియు L₃, L₁ రేఖలు A, B, C ల వద్ద ఖండించుకోంటున్నాయి. ఇది O, A, B పరివృత్త సమీకరణము క్రింది సమీకరణము గల వక్రాన్ని తీసుకొందాం.
k(x+y+1)(3 x+y-5)+l(3 x+y-5)
(2 x+y-5)+m(2 x+y-5)(x+y+1)=0 …………… (1)
ఈ సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
x² గుణకము = y² గుణకము
3k + 6l+ 2m k +l+ m
2k+5l+m=0 ………….. (2)
xy గుణకము =0 ………….. (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే. కావలసిన వృత్త సమీకరణము
5(x+y+ 1)(3x+y-5)-1(3x+y-5)
(2x+y-5)-5(2x+y-5)(x+y+1)=0
(i.e. x² +y²– 30x – 10y+25 =0
Note : త్రిభుజ శీర్షాలు కనుగొని సమస్యను సాధించవచ్చు.

ప్రశ్న 15.
(0,0),(2,0),(0,2)ల బిందువుల గుండా ఏోయే వృత్త కేంద్రాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన.
కావలసిన వృత సమీకరణము
x²+y²+2g x+2fy+c=0
ఈ వృత్తం 0(0,0) c=0 గుండా పోతుంది.
ఈ వృత్తం A(2,0) గుండా పోతుంది.
4+4g=0 ⇒ g =-1
ఈ వృత్తం B(0,2) గుండా పోతుంది.
4+4f=0 ⇒ f=-1
వృత్త కేంద్రం (-g,-f)=(1,1)

ప్రశ్న 16.
x²+y²=1 వృత్తం షొక్కపరామితీయ సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరరణము x²+y²=1
కేంద్రం (0,0), వ్యాసార్ధం =r=1

x²+y²=1 పరామితీయ నిరాపకాలు
X = 1 . cos θ = cos θ
y=1. sinθ=sinθ. θ≤θ≤2π
గమనిక : వృత్తం మీది ఏదేని బిందువు నిరూపకాలు
(cosθ , sinθ)

ప్రశ్న 17.
x²+y²+6 x+8 y-96=0 వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన.
వృత్త కేంద్రం (-3,-4)
వ్యాసార్ధము =\(\sqrt{9+16+96}=\sqrt{121}=11\)
పరామితీయ సమీకరణాలు
x = h + rcosθ = -3 + 11 cosθ
y=k+r sinθ = -4+11 sin θ
(0 ≤ θ ≤ 2π)

ప్రశ్న 18.
x²+ y²-4x-6y+ 11 = 0  వృత్తం దృష్ట్యా (2,4) బిందువు యొక్క స్థితిని తెలపండి.
సాధన.
(x₁, y₁) = (2, 4) మరియు
5 ≡ x²+ y²-4x-6y+ 11
S₁₁= 4+16-8-24 +11
= 31- 32 – 1 <0
∴ (2, 4) బిందువు S = 0 లోపల ఉంటుంది.

ప్రశ్న 19.
బిందువు (1, 3) నుంచి x² + y² – 2x + 4y 11 =0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుక్కోండి..
సాధన.
(x₁, y₁) = (1, 3) మరియు
S = x² + y²-2x+4y-11 = 0
స్పర్శరేఖ పొడవు \(=\sqrt{S_{11}}\)
\(=\sqrt{1+9-2+12-11}=\sqrt{9}=3\)

ప్రశ్న 20.
P బిందువు నుంచి x² + y²-2x+4y-20 = 0, x² + y²-2x-8y + 1 = 0 వృత్తాలకు గీసిన స్పర్శ రేఖల పొడవుల నిష్పత్తి 2:1 అయ్యేటట్లు P చలిస్తుంటే, P బిందు పథ సమకరణము x² + y² – 2x – 12y + 8 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(X₁, y₁) బిందుపథము మీది బిందువులు \(\overline{\mathrm{PT}_1}, \overline{\mathrm{PT}_2}\) నుండి

ప్రశ్న 21.
S ≡ x²+y²+2gx+2fy+c=0 వృత్తాన్ని సూచిస్తే L=lx+my+n=0 సరళేేఖ
(i) s=0 వృత్తాన్ని స్పృశించడానికి నియమము
\(\left(g^2+f^2-c\right)=\frac{(g l+m f-n)^2}{\left(l^2+m^2\right)}\)
(ii) s = 0 వృత్తాన్ని రెండు బిందువులో ఖండించడానికి నియమము
\(g^2+f^2-c>\frac{(g l+m f-n)^2}{\left.l^2+m^2\right)}\)
(iii) s = 0 వృత్తాన్ని స్పృశించకుండా ఖండించకుండా నిహమం ఉండటానికి
\(g^2+f^2-c<\frac{(g l+m f-n)^2}{\left(l^2+m^2\right)}\)
సాధన:
s = 0 సూచించే వృత్త కేంద్రం ఁ అని వ్యాసార్ధం అని అనుకొందాం.
ఇప్పుడు c = (−g, –f), r = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\)

(i) s = 0 వృత్తాన్ని దత్త రేఖ స్పృశించడానికి నియమము.

(ii) ఇలాగే దత్త రేఖ lx + my + n = 0 వృత్తం s = 0 రెండో బిందువుతో ఖండించడానికి నియమం
\(\left(\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}\right)>\frac{(\mathrm{g} l+\mathrm{mf}-\mathrm{n})^2}{l^2+\mathrm{m}^2}\)

(iii) lx + my + n = 0 రేఖ s = 0 వృత్తాన్ని స్పృశించకుండా, ఖండించకుండా ఉండటానికి నియమము
\(\left(\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}\right)>\frac{(\mathrm{g} l+\mathrm{mf}-\mathrm{n})^2}{l^2+\mathrm{m}^2}\)

ప్రశ్న 22.
x’ + y + Bx – 4y – 16 = 0 వృత్తం పై 3x − y + 4 = 0 రేఖ ఏర్పరచే జ్యా పొడవును కనుక్కోండి.
సాధన. వృత్త కేంద్రం C= ( 4, 2)
వ్యాసార్ధం r = \(\sqrt{16+4+16}\) = 6

ప్రశ్న 23.
x²+y²-4 x+6 y-12=0 వృత్తానికి x+2 y-8=0 రేఖకు సమాంతరంగా రేఖకు సమాంతరంగా ఉఁడే స్పర్శరేఖ (లు) కనుకోండి.
సాధన:
g = -2, f  = 3, c = -12

ప్రశ్న 24.
S ≡ x²+y²+2gx+2fy+c=0 వృత్తం
(i) g² = C అయితే X అక్షాన్ని స్పృశిస్తుంది.
(ii) f² = C అయితే Y అక్షాన్ని స్పృతిస్తుంది అని చూపండి.
సాధన:
g²-c>0 అయితే x²+y²+2gx+2fy+c=0
s=0 వృత్తం X – అక్షంపై చేసే అంతరం \(2 \sqrt{g^2-c}\)
ఈ వృత్తం X- అక్షాన్ని స్పృతిస్తే \(2 \sqrt{g^2-c}=0 \mathrm{~g}^2=\mathrm{c}\)
ఇదే విధంగా (ii) నిరూపించవచ్చు.

ప్రశ్న 25.
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తానికి (− 1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁ y₁) = (− 1, 1) మరియు
S ≡ x² + y²– 6x + 4y – 12 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x (−1) + y . 1 – 3(x 1) + 2(y + 1) 12 = 0
− x + y – 3x + 3 + 2y + 2 – 12 = 0
– 4x + 3y – 7 = 0
(లేదా) 4x – 3y + 7 = 0

ప్రశ్న 26.
(3,-1) బిందువు వద్ద x²+y²-2 x+4y=0 వృత్తానికి స్రర్శరేఖ సమీకరణం కనుక్రొని ఇదే వృత్తానికి దీనికి సమాంతరంగా ఉండే స్ర్శరేఖ సమీకరణం కూడా కనుక్రోండి.
సాధన:
ఇక్కడ (x₁, y₁)=(3,-1)
S ≡ x²+y²-2 x+4 y=0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము (3,-1) వద్ద
x.3 + y (-1)- (x + 3) + 2(y- 1) = 0
3x – y – x – 3 + 2y – 2 = 0
2x + y – 5 = 0
స్పర్శరేఖ వాలు =m=-2, వృత్తానికి g=-1, f=2, c=0
r = \(\sqrt{1+4-0}=\sqrt{5}\)
స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y+f =m(x+g)±\(\pm r \sqrt{1+m^2}\)
y+2 =-2(x-1)\(\pm \sqrt{5} \sqrt{1+4}\)
y+2 =-2x+2 ± 5
2x + y= ± 5
స్పర్శరరీఖలు
2 x+y+5=0 మరియు 2 x+y-5=0
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము
2 x+y-5=0

ప్రశ్న 27.
x²+y²-6 x+4 y-12=0$ వృత్తానికి 4 x-3 y+7=0స్పర్శ రేఖ అయితే దీని స్పర్ళ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన.
(x₁, y₁) స్పర్శ బిందువు అనుకాందాం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x(x₁ + g) + y(y₁ + f) + (gx₁ + fy₁ + c) = 0
x(x₁ – 3) + y (y₁ + 2) + (-3x₁ + 2y₁ -12) = 0 ………………….(1)
దత్త రేఖ సమీకరణము
4 x-3 y+7=0 ………………….(2)
(1) మరియు (2) సమీకరణాలను సరిపోల్చగా


సమీ|| (3) నుండి -3+4 y₁=1 ⇒ 4 y₁=4y₁=1 స్పర్య బిందువు (-1,1)

ప్రశ్న 28.
2 x-3 y+1=0 సరళ రీఖని (1,1) వద్ద స్ప్లశించే \(\sqrt{13}\) యానిట్ల వ్యాసార్ధంతో గల వృత్తాల సమీకరణాలు కనుక్రోండి.
సాధన.
వృత్త కేంద్రాలు (1,1) గుండా పోతూ 2 x-3 y+1=0 రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ మీద ఉంటాయి.

కేంద్రాలు కలిగిన రేఖ
3 x+2 y+k=0
ఈ రేఖ (1,1) గుండా పోతుంది.
3+2+k=0 ⇒ k=-5
AB సమీకరణాలు 3x+2 y-5=0
ఈ కేంద్రాలు (1,1) నుంచి \(\sqrt{13}\)యానిట్ల దూరంలో ఉంటూ 3 x+2 y-5=0 రేఖపై ఉంటాయి. కాబట్టి ఈ కేంద్రాలు

(i.e.) (1-2,1+3) మరియు (1+2,1 – 3) (-1,4) మరియు (3,-2)

సందర్భం (i) :
కేంద్రం (-1,4), r=\(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x + 1)² + (y-4)² = 13
x²+2x+1+y²-8y+16-13=0
X² + y² + 2x – 8y + 4 = 0

సందర్భం (ii) :
కేంద్రం (3,-2), r=\(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x-3)² + (y + 2)² = 13
x²-6x + 9 + y² + 4y + 4-13 = 0
x² + y²-6x + 4y = 0

ప్రశ్న 29.
29 x + y – 6x + 4y + 12 = 0 వృత్తాన్ని 5x + 12y – 4 = 0 రేఖ స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 6x + 4y + – 12 = 0
కేంద్రము (3, −2), r = \(\sqrt{9+4-12}=1\)
దత్తరేఖ వృత్తాన్ని స్పృశిస్తే కేంద్రం నుండి
లంబదూరము = వ్యాసార్ధము
d= నుండి లంబదూరము (3, -2)
\(=\frac{|5(3)+12(-2)-4|}{\sqrt{25+144}}\)
\(=\frac{13}{13}=1\)= వృత్తంయొక్క వ్యాసార్థం
∴ 5x + 12y – 4 = 0 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
x + y – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తంపై ఉన్న 30°, 60° ల బిందువులను కలిపే జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0
θ₂ – θ₁  బిందువులను కలిపే జ్యా సమీకరణము

ప్రశ్న 31.
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0 పై బిందువు 30° వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము
x² + y²+4x+6y-39 = 0
g = 2, f = 3, r = \(\begin{aligned}
& =\sqrt{4+9+39} \\
& =\sqrt{52}=2 \sqrt{13}
\end{aligned}\)
θ =30°
స్పర్శరేఖ సమీకరణము

ప్రశ్న 32.
x₁ y₁ ≠ 0 అయి, x² + y² = a² వృత్తం పై ఉన్న బిందువు P(x₁, y₁,) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము ײ + y² = a²
P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
xx₁ + yy₁ = a² …………………….. (1)

ఈ స్పర్శరేఖ X – అక్షాన్ని A వద్ద, Y- అక్షాన్ని B వద్ద ఖండిస్తుంది.
అంతరఖండ రూపంలోనికి మార్చగా

ప్రశ్న 33.
x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0 వృత్తానికి (3,2) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. ఇంకా ఈ అభిలంబరేఖ వృత్తాన్ని ఖండించే మరో బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్త సమీకరణము
x²+y²+4x+6y+11=O
g = -2, f = – 3, c = 11
వ్యాసార్ధము \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-11}=\sqrt{2}\)
అఖిలంబరేఖ సమీకరణము
(x-x₁) (y₁+f)-(y-y₁) (x₁+g) = 0
A (3, 2) వద్ద అభిలంబరేఖ
(x-3) (2-3)-(y-2) (3-2)=0
-x+3y+2=0
x+y-5=0
A వద్ద అభిలంబరేఖ వృత్తాన్ని B వద్ద ఖండిస్తే C, AB మధ్య బిందువు
కేం(దం =C(-g,-f)=(2,3)
B(x, y) అయితే
C సిరూపకాలు

ప్రశ్న 34.
x²+y²-22 x-4 y+25=0 వృత్తానికి (3,-4) వద్ద గీసిన అభిలంబరేఖ, అక్షాలతో ఏర్పడే త్ిభజ వైశాల్యాన్ని కనుక్రోండి.
సాధన.
2 g=-22, 2 f=-4, అక్షం
g =-11, f=-2
x₁ = 3, y₁ = -4
(3, -4) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
(x-x₁)(y₁ + f)-(y-y₁)(x₁ +g) =0
(x-3) (-4-2)–(y + 4)(3-11) = 0
– 6x + 18 + 8y + 32 = 0
6x-8y-50 = 0
3x-4y-25 = 0 ………………. (1)
3x-4y=25
\(\frac{3 x}{25}+\frac{4 y}{25}=1\)

ప్రశ్న 35.
S = x2+ y2+ 2gx + 2fy + c = 0 lx + my + n =0 రేఖ అఫిలంబ రేఖ కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమము gl + mf = n అని చూపండి.
సాధన.
lx + y + n = 0 రేఖ వృత్తానికి అభిలంబరేఖ
S = x² + y²+2gx + 2fy + c = 0
⇒ కేం(దం (-g, -f)
lx + my + n = 0 మీద ఉంటుంది.
l(-g)+m(-f) + n = 0
gl + fm = n

ప్రశ్న 36.
S = x²+ y²+2gx + 2fy + c = 0 బాహ్య బిందువు (g, f) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉండటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన.
P(x₁, y₁) నుండి 5 = 0 కు గీయబడిన స్పర్శరేఖ
మధ్యశ్లోకోణము 8 అయితే tan \(\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{r}{\sqrt{s_1}}\)
వృత్త సమీకరణము

Note : ఇక్కడ C<0

ప్రశ్న 37.
x² +y² =a² వృత్తానికి P గుండా గీసిన స్చర్రరీణలుల X – అక్షం గుండా  θ₁ ,θ₂ కోణాలు చేస్తున్నాయి. cot θ₁+ cot θ₂=k అయ్యే P బిండు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² +y² =a²
స్పర్శరేఖ వాలు m అయితే P(x₁, y₁) గుండా పోమే స్వర్శరేఖ సమీకరణము

P(x₁, y₁) బిందు పథము 2xy = kiya )
విపర్యంగా P(x₁ ,y₁) 2xy = k(y² – a²) నియమాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది.
cot θ₁ + cot θ₂ = k అని చూపవచ్చును.
P బిందు పథము 2xy = k(y² – a²)

ప్రశ్న 38.
x² + y² – 5x + 4y-2 = 0 వృత్తం దృష్ట్వా (2, 5) కు స్పర్శ జ్యా సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
S₁ = 0 స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
P(2, 5) యొక్క స్పర్శరేఖ
x. 2 + y.5 – \(\frac{5}{2}\)(x + 2) + 2 (y + 5) – 20
4x+10y-5x-10+4y+ 20-40
-x+14y+60
(లేదా)x-14y-6 = 0

ప్రశ్న 39.
x² + y² = a² వృత్తం దృష్ట్యా P బిందువు స్పర్శ జ్యా వృత్తాన్ని A,B ల వద్ద ఖండిస్తూ \(\text { AÔB }\) = 90° అయ్యే P బిందువులు x² + y² = a² వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a² ……………… (1)
P(x₁, y₁) బిందు పథం మీది బిందువు
P స్పర్శ జ్యా సమీకరణము xx₁ + yy₁ =a²
\(\frac{x_1+y y_1}{a^2}=1\) ……………… (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము

ప్రశ్న 40.
x² + y² + 6x+8y-96=0 వృత్తం దృష్ట్రా P(2, 3) బిందువుకు ధృవరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁)=(2, 3) ⇒ x₁ 2, y₁ = 3
వృత్త సమీకరణము
x² + y²+6x+8y-96 = 0
ధృవ రేఖ సమీకరణము S₁ = 0
(2, 3) యొక్క ద్యృ రేఖ x. 2 + y. 3 + 3(x+2) +4(y+3)-960
2x + 3y + 3x + 6 + 4y + 12 -96 = 0
5x + 7y-78 = 0

ప్రశ్న 41.
x² + y²-4x+6y 120 వృత్తం దృష్ట్రా x + y + 2 = 0 రేఖకు ధృవాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
lx+my+ n = 0 ను x + y + 2 = 0 పోల్చగా
l = 1, m = 1, n = 2
వృత్త సమీకరణము
S ≡ x² + y²4x+6y-12 = 0

ప్రశ్న 42.
x²+y²=a² వృత్తం స్ర్శరేఖలు (x+a)²+y² =2 a² దృష్టాల ధృవరేఖలు అయితే వీటి ధృవాలు y² +4 a x=0 పై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన.
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²=a² …………….. (1)
మరియు (x+a)²+y²=2a²…………….. (2)
(2) వృత్తం దృష్ట్ల (1) వృత్తం మొక్క స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) ధృవం అనుకొందాం.
(2) వృత్తం దృష్ట్రా P యొక్క ధృవరేఖ సమీకరణము
xx₁+yy₁ +a(x+x₁) – a²=0
x(x₁ +a) + yy₁ + (ax₁ – a²) = 0
ఈ రేఖలకి స్పర్శరేఖ (1)

ప్రశ్న 43.
x²+y²-24=0 వృత్తం దృష్ట్లా (4,-2),(3,-6) సంయుగ్ళ పిందువులు అని చూపండి.
సాధన.
(x₁, y₁)=(4,-2) మరియు (x₂, y₂)=(3,-6) మరియు
S ≡ x² +y² 2-24=0
(X₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులు S=0 దృష్ట్లా సంయుగ్ళ
బిందువులయిత్  S₁₂=0
x₁ x₂ + Y₁ Y₂ – 24 = 0
12 = + (-2)(-6)-24
= 12 + 12-24 = 0
∴ దత్త బిందువులు దత్త వృత్తం దృష్ట్రా సంఝుగ్ర బిందువులు

ప్రశ్న 45.
x²+ y² + 4x + 6y + 12 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా 2x + 3y + 11 = 0, 2x – 2y – 1 = 0 రేఖలు సంయుగ్మ రేఖలు అని చూపండి.
సాధన:
l₁ = 2, m₁ = 3, n₁ = 11
l₂ = 2, m₂ =2, n₂ = -1
మరియు g =2, f = 3, c = 12
r =\(\sqrt{9+4-12}\)=1

(2.2 +3.3-11) (2.2-2.3 +11)
=2(-1)=-2
L.H.S. = R.H.S.
సంయుగ్మ రేఖల నియమము తృప్తి పడింది.
∴ దత్తరేఖలు సంయుగ్మరేఖలు

ప్రశ్న 46.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు అయిన P(x₁, y₁) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు, వీటి స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{r\left(S_{11}\right)^{3 / 2}}{S_{11}+r^2}\) (r వృత్త వ్యాసార్ధం) అని చూపండి.
సాధన:
S = 0 కు P నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA, PB. AB స్పర్శ జ్యా

ప్రశ్న 47.
వృత్తం x²+y²-2 x-10 y+1=0, x-2 y+ 7 =0 రేఖపై ఏర్పరచే జ్యా మర్య బిందువును కనుక్రోండి.
సాధన:

AB జ్యా మధ్య బిందువు P(x₁, y₁)
జ్యా సమీకరణము S₁=S₁₁
xx₁+yy₁-1(x+x₁) – 5(y+y₁)+1
= x +y -2x₁ – 10y₁+1

ప్రశ్న 48.
lx + my + n = 0 రేఖపై ఉన్న బిందువుల నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి గీసిన స్పర్శజ్యాల మధ్య బిందువుల బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P = (x₁,y₁) బిందు పథము P మీది బిందువు
x² + y² = a²
జ్యా సమీకరణము
lx+my+ n = 0 ………………… (1)
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
(x₁ y₁) మధ్య బిందువుగా గల జ్యాసమీకరణము
S₁ = S₁₁
xx₁ + yy₁ = x₁ ²+ y₁ ²
xx₁ + yy₁ – (x₁ ²+ y₁ ²) = 0 ………………… (2)

ప్రశ్న 49.
x²+y²– 14 x+6 y+33=0, x²+y²+30 x-2 y+1=0 eకు నాలుగు ఉమ్మడ స్ర్య రేఖలి ఉంటాయని చూపి వీటికి సరూప అంతర కేంద్రం సరూప బాహ్య కేంద్రాలను కనుక్కోండి.
సాధన.
వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²-14 x+6 y+33=0
మరియు x²+y²+30 x-2 y+1=0
కేంధ్రాలు A(7,-3), B(-15,1)

\(=\left(\frac{6}{4}, \frac{1-9}{4}\right)=\left(\frac{3}{2},-2\right)\)
బాహ్య స్వరూప కేంద్రం S, A B ని బాహ్యంగా 1: 3 నిష్తత్తిలో విభజిస్తుంది.
S నిరూపకాలు

ప్రశ్న 50.
x²+y² -8 x-6 y+21=0
x²+y²-2y-15=0 వృత్లాలకు రెండే రెండు ఉమ్మడి స్రర్శరేఖలుంటాయని చూపండి. ఇంకా వీటి ఖండన బిందువలను కనుక్రోండి.
సాధన:
C₁, C₂ లు కేంద్రాలు మరియు r₁, r₂ లు వ్యాసార్ధాలు వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²– 8x- 6y+21 =0
k+y²-2y-15 =0
మరియు
C₁(4,3), & C₂(0,1)

ప్రశ్న 51.
x²+y²-4 x-6 y-12=0 ,x²+y²+6 x+18 y+26=0 వృత్తాల స్పృశించుకుంటాయని చావండి. ఇంకా స్ర్శ బిందువును, స్రాశబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్రర్శరేళను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+y²-4x-6y-12 =0
మరియు x²+y²+6x+18y+26 =0
కేంధ్రాలు C₁(2; 3), C₂(-3, -9)

ప్రశ్న 52.
x²+y²-4 x-6 y-12=0, 5(x²+y²)-8 x-14 y-32=0 వృత్తాల స్పృశించుకుంటాయని చూప స్పర్శ పిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్లాల సమీకరణాలు
x²+y²-4 x-6 y-12=0

ప్రశ్న 53.
బిందువు (10,4) నుంచి x²+y²=25 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శ రేఖా యుగ్మ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁)=(10,4)
వృత్త సమీకరణము x²+y²-25=0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణాలు S₁= S.S₁₁
(10x + 4y-25)²
= (100 + 16-25)(x² +y²– 25)
100x₂+ 16y₂+625+80xy – 500x – 200y
= 91x² + 91y² – 2275
9x² + 80xy – 75y² – 500x – 200y + 2900=0

ప్రశ్న 54.
x² + y² − 2x – 6y + 6 = 0, x² + y² = 1 వృత్తాలకు గల అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x²+ y² – 2x – 6y + 6 = 0
మరియు x² + y² = 1
కేంద్రాలు A(1,3), B(0,0),
r₁= \(\sqrt{1+9-6}\) = 2
r₂=1
బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 2 1 నిష్పత్తిలో
విభజిస్తుంది.
S నిరూపకాలు
\(\left(\frac{2.0-1.1}{2-1}, \frac{2.0-1.3}{2-1}\right)=(-1,-3)\)
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
(x² + y² – 1) (1 + 9 – 1) = (x + 3y + 1)²
దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(y – 1) (4y + 3x − 5) = 0,
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 1 = 0 మరియు 3x + 4y – 5 = 0
అంతర్ స్వరూప కేంద్రం S‘, AB ని అంతరంగా 21 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు

దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(x + 1)(4x – 3y – 5) = 0
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
x + 1 = 0 మరియు 4x – 3y 5 = 0.