Srinivas

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు

→ ద్విమితీయ ఆకారాలు (2D ఆకారాలు) :
చదునైన ఉపరితలంపై ఉండే కాగితం, బోర్డు, చాప మొదలైన వాటిని ద్విమితీయ ఆకారాలు లేదా 2D ఆకారాలు అంటారు.
ద్విమితీయ ఆకారాలు లేదా 2D ఆకారాలు పొడవు, వెడల్పు అనే రెండు కొలతలను కలిగి ఉంటాయి.

→ త్రిమితీయ లేదా 3D – ఆకారాలు :
త్రిమితీయ లేదా 3D – ఆకారాలు పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు (లేదా లోతు) అనే మూడు కొలతలను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణ : ఇటుక, సోపు.

→ తలం : చదునుగా ఉండే ఉపరితలంపై ఉండే బిందు సముదాయాన్ని ‘తలం’ అంటారు. తలం అన్ని దిశలా వ్యాపించి ఉంటుంది.

→ బహుభుజులు : పరిమిత సంఖ్య గల రేఖాఖండాలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటాలను ‘బహుభుజులు’ అంటాము. భుజాల సంఖ్యను బట్టి బహుభుజులకు వేర్వేరు పేర్లు కలవు.

బహుభుజి ఏర్పడటానికి కావలసిన కనీస భుజాల సంఖ్య -3.

→ త్రిభుజాలు : మూడు రేఖాఖండాలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటాన్ని త్రిభుజం అంటారు. ఈ రేఖాఖండాలను త్రిభుజ భుజాలంటారు. త్రిభుజాన్ని “∆” గుర్తుతో సూచిస్తాము.
త్రిభుజం మూడు భుజాలను, మూడు కోణాలను, మూడు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.

→ త్రిభుజ భాగాలు :

భుజాలు : \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CA}}\)
కోణాలు : ∠BAC లేదా ∠A, ∠ABC లేదా ∠B, ∠BCA లేదా ∠C.
శీర్షాలు : A, B, C

→ ఒక తలంలోని త్రిభుజం ఆ తలంలోని బిందువులను మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

అవి :

• త్రిభుజం అంతరంలోని బిందువులు
• త్రిభుజం మీది బిందువులు
• త్రిభుజానికి బాహ్యంగా ఉన్న బిందువులు.
  P, R లు అంతర బిందువులు.
  A, B, C, K, M లు త్రిభుజం పై బిందువులు.
  M L, X, Y లు బాహ్యబిందువులు.

→ చతుర్భుజం : నాలుగు భుజాలతో ఏర్పడే సరళ సంవృతపటాన్ని చతుర్భుజం అంటారు. చతుర్భుజం నాలుగు భుజాలను, నాలుగు కోణాలను, నాలుగు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది. ఎదురెదురు శీర్షాలను కలిపే రేఖాఖండాలను కర్ణాలు అంటారు. ABCD చతుర్భుజం యొక్క

• భుజాలు : \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DA}}\)
• కోణాలు :
  • ∠DAB లేదా ∠A
  • ∠ABC లేదా ∠B
  • ∠BCD లేదా ∠C
  • ∠CDA లేదా ∠D
• శీర్షాలు : A, B, C, D.
• కర్ణాలు : \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BD}}\)
  చతుర్భుజంలో ప్రక్కప్రక్కన ఉండే కోణాలను చతుర్భుజ ఆసన్నకోణాలు అంటారు.
  ∠A కు ఆసన్నకోణాలు ∠D మరియు ∠B.

→ వృత్తం : ఒక స్థిరబిందువు నుండి సమాన దూరంలో గల బిందువులను కలుపగా ఏర్పడే సరళసంవృత పటాన్ని వృత్తం అంటారు. స్థిర బిందువును వృత్త కేంద్రం అంటాము. స్థిరబిందువు నుండి వృత్తం పై గల బిందువుకు గల దూరాన్ని వృత్తకేంద్రం అని, ఆ వృత్తం యొక్క అంచు పొడవును వృత్తపరిధి అని అంటారు.

O – వృత్తకేంద్రము
\(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}\) లు వృత్త వ్యాసార్ధాలు

→ జ్యా, వ్యాసము : వృత్తం పై గల ఏ రెండు బిందువులనైనా కలిపే రేఖాఖండాన్ని వృత్త జ్యా అంటారు. కేంద్రం గుండా పోవు జ్యాను ఆ వృత్త వ్యాసం అంటారు. ఒక వృత్త జ్యాలన్నింటిలోను వ్యాసం పెద్దది. ప్రక్కతలంలో,

O – వృత్తకేంద్రము
\(\overline{\mathrm{XY}}, \overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{MN}}\) లు జ్యాలు
PQ – వ్యాసము

→ వృత్తచాపము : ఒక వృత్తంపై ఉండే రెండు బిందువుల మధ్య ‘ , “ఉండే వృత్త భాగాన్ని “చాపం” అని అంటారు. ప్రక్కపటంలో చూపిన వృత్తభాగాన్ని \(\widehat{\mathrm{CD}}\) గా రాస్తాము.

→ సౌష్ఠవం :
రేఖాసౌష్ఠవం : ఏ గీత వెంబడి మనం చిత్రాన్ని మడిచినప్పుడు రెండు భాగాలు ఒకదానితో ఒకటి సరిగ్గా ఏకీభవిస్తాయో దానిని రేఖాసౌష్టవమని, ఏ రేఖ వెంబడి కాగితాన్ని మడిచామో ఆ రేఖను సౌష్ఠవరేఖ లేదా సౌష్ఠవాక్షం అని అంటారు.

పై ఉదాహరణల నుండి మనం సౌష్ఠవ రేఖ నిలువుగా లేదా అడ్డంగా లేదా ఒక మూలగా కూడా ఉండవచ్చును. ఒక పటానికి ఒకటి లేదా ఒకటికన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవ రేఖలు ఉండవచ్చును.

→ త్రిమితీయ లేదా 3-D ఆకారాలు :
పొడవు (l), వెడల్పు (b), ఎత్తు లేదా లోతు (h) కలిగిన వస్తువులను త్రిమితీయ లేదా 3-D ఆకారాలు అంటారు.
ఉదా : దీర్ఘఘనం, ఘనం, స్థూపం, …….. . 3D – వస్తువులు తలాలు, అంచులు, శీర్షాలను కలిగి ఉంటాయి.

→ దీర్ఘఘనం (Cuboid) :

అగ్గిపెట్టె, ఇటుక ఆకారంలో గల వస్తువులు దీర్ఘఘనానికి చక్కటి ఉదాహరణలు. శీర్షం కుతలం దీర్ఘఘనం 6 తలాలు, 12 అంచులు, 8 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది. (తలంను ముఖం అని కూడా అంటారు. )

→ ఘనం (Cube) :

పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు సమానంగా గల దీర్ఘఘనమే ఘనము. . ఘనం కూడా 6 తలాలు, 12 అంచులు, 8 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.

→ పట్టకం (Prism):

పట్టక త్రిభుజాకార ముఖాలు, మిగిలిన ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాకారంలోగాని, చతురస్రాకారంలో గాని ఉంటాయి. దీనిని త్రిభుజాకార పట్టకం అంటారు.
త్రిభుజాకార పట్టకం 5 ముఖాలు, 9 అంచులు, 6 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.

→ పిరమిడ్ (Pyramid):

భూమి బహుభుజిగాను, ముఖాలు త్రిభుజాకారంలో ఉంటాయి.
పట్టకం భూమి చతురస్రాకారం అయితే దానిని చతురస్రాకార పిరమిడ్ అంటారు. చతురస్రాకార పిరమిడ్ 5 ముఖాలు, 8 అంచులు, 5 శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది.

పిరమిడ్ స్థూపం (Cylinder) :

స్థూపం వక్రతలాన్ని, భూమిని కలిగి ఉంటుంది. దానికి ఎత్తు, వ్యాసంలను పటంలో చూడవచ్చును.

→ శంఖువు (Cone) :

శంఖువు చదునైన వృత్తాకార భూమిని కలిగి, చదునైన వక్రతలాన్ని కలిగి, ఆ వక్రతలం ఒక బిందువు వద్దకు కొనసాగి అంతమవుతుంది. ఈ బిందువును శీర్షం అంటారు.

→ గోళం (Sphere) :

గోళం అన్ని వైపుల నుండి సులువుగా దొర్లే త్రిమితీయ వస్తువు. బంతి, గోళీలు గోళమునకు చక్కటి ఉదాహరణలు. గోళాన్ని అడ్డుకోతగా రెండు సమాన భాగాలుగా కోస్తే ఒక్కొక్క భాగం ఒక అర్ధగోళంగా ఏర్పడుతుంది.

→ 3D – ఆకారాల ముఖాలు (తలాలు) (Faces), అంచులు (Edges), శీర్షాల (Vertices) మధ్య సంబంధం (ఆయిలర్ సూత్రం) (Euler’s Formula) :
F+ V = E + 2

ముఖాల సంఖ్య + శీర్షాల సంఖ్య = అంచుల సంఖ్య + 2
దీనినే ఆయిలర్ సూత్రం అంటారు.

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు

→ బిందువు : పొడవు, వెడల్పులు లేని జ్యామితీయ ఆకారం బిందువు. బిందువులను సూచించుటకు మనం సాధారణంగా ఆంగ్ల పెద్ద అక్షరాలు A, B, C, …. లతో సూచిస్తాము.

→ స్కేలు, విభాగిని, వృత్తలేఖిని సహాయంతో మనం రేఖాఖండం పొడవును కొలుస్తాము.

→ రేఖ : రెండు వైపులా అనంతంగా విస్తరించిన రెండు కిరణాల సమ్మేళనం. దీనిని \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) లేదా l, m అనే చిన్న అక్షరాలతో సూచిస్తారు.

→ ఖండన రేఖలు : సమతలంలోనే రెండు రేఖలకు ఒకే ఉమ్మడి బిందువు ఉంటే వాటిని ఖండన రేఖలు అంటారు. ఉదాహరణ : ‘m’ రేఖపై A, B, C బిందువులు, ‘l’ రేఖపై D, A,E బిందువులు కలవు. A బిందువు రెండు రేఖలపై కలదు. అనగా A ఉమ్మడిబిందువు. l, m లు ఖండనరేఖలు అవుతాయి.

→ సమాంతర రేఖలు : సమతలంలో రెండు రేఖలకు ఉమ్మడి బిందువు లేకుంటే వాటిని సమాంతర రేఖలు అంటారు.

l, m రేఖలకు ఉమ్మడిబిందువులు లేవు. l m లు సమాంతర రేఖలు.
సమాంతరరేఖలను ∥ గుర్తుతో సూచిస్తాము.
పై l, m రేఖలను l ∥ m లేదా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{CD}}\) గా సూచిస్తాము.

→ మిళిత రేఖలు : రెండు కన్నా ఎక్కువ రేఖలకు ఒకే ఉమ్మడి బిందువు ఉంటే, ఆ రేఖలను మిళిత రేఖలు అంటారు. ఆ ఉమ్మడి బిందువును మిళిత బిందువు అంటారు.

పై పటంలో l, m, n రేఖల ఉమ్మడి బిందువు P. (అనగా l, m, n రేఖలు ఒకదానికొకటి P వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి)

→ లంబరేఖలు : ఖండనరేఖలలో ఒక ప్రత్యేక సందర్భమే లంబరేఖలు. ఈ లంబరేఖలకు పుస్తకం పక్కపక్క అంచులు, నల్లబల్ల పక్క పక్క అంచులు, తలుపు పక్కపక్క అంచులను ఉదాహరణలుగా మనం చెప్పవచ్చును. లంబరేఖలను ‘⊥’ గుర్తుతో సూచిస్తాము.

→ రెండు లంబరేఖల మధ్యకోణము 90°.

పై పటంలోని l, m రేఖలు లంబరేఖలు. వీనిని l ⊥ m గా రాస్తాము.

→ కోణాలు, అందులో రకాలు : కోణము : ఒకే తొలిబిందువును కలిగిన రెండు విభిన్న కిరణాల సమ్మేళనాన్ని కోణం అంటారు. ఉమ్మడి తొలి బిందువును శీర్షం అని, కోణం ఏర్పరిచిన కిరణాలను కోణ భుజాలు అని అంటారు. ప్రక్క పటంలో ‘O’ కోణశీర్షము.

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}\) లు కోణ భుజాలు. శీర్షమును ఆధారంగా చేసుకొని ఒక భుజం నుండి మరొక భుజం చేసే భ్రమణ (తిరిగిన) పరిమాణాన్ని కొలవడమే కోణాన్ని కొలవడము.
కోణాన్ని సూచించడానికి వివిధ పద్ధతులు కలవు.

• శీర్షం ఆధారంగా పై పటంలో కోణం ∠O,
• కోణశీర్షం, భుజాలపై గల బిందువుల ఆధారంగా ∠AOB లేదా ∠BOA.
• సంఖ్య ఆధారంగా ∠1 గా సూచిస్తాము.

→ కోణాన్ని కొలవడం – షష్ట్యంశమానం :
కోణాలను మనం కోణమానిని అనే పరికరాన్ని ఉపయోగించి కొలుస్తాము. మూల మట్టాలను ఉపయోగించి కొన్ని ప్రత్యేక కోణాలను కొలవవచ్చును (15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°,….). శీర్షం ఆధారంగా కోణం యొక్క ఒక భుజం, మరొక భుజంతో ఒక పూర్తి భ్రమణం పూర్తి చేసిన అది చేసే కోణము 360° గా పరిగణిస్తాము. ఈ పూర్తిభ్రమణాన్ని 360 సమభాగాలు చేయగా అందులో ఒక భాగాన్ని 1° అంటారు.

→ లంబకోణము : పూర్తి భ్రమణాన్ని 4 సమభాగాలు చేయగా ప్రతి భాగం యొక్క కోణము ఒక లంబ కోణము అవుతుంది. లంబకోణం విలువ = \(\frac{360^{\circ}}{4}\) = 90°

→ అల్పకోణము : 90° కన్నా తక్కువగా గల కోణాన్ని అల్పకోణము అంటారు.

→ అధికకోణము : 90° కన్నా ఎక్కువ, 180° కన్నా తక్కువ గల కోణాన్ని అధిక కోణం అంటారు.

→ అధికతర లేదా పరావర్తన కోణము : 180° కన్నా ఎక్కువ, 360° కన్నా తక్కువ గల కోణాన్ని అధికతర లేదా పరావర్తన కోణం అంటారు.

→ సరళకోణం : 180° గల కోణాన్ని సరళకోణం అంటారు.

→ సంపూర్ణ లేదా పరిపూర్ణ కోణం : 360° కోణాన్ని సంపూర్ణ లేదా పరిపూర్ణ కోణం అంటారు.

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం

→ చరరాశి : బీజగణితంలో మనం ప్రధానంగా తెలియని రాశులను బీజీయ అక్షరాలతో సూచిస్తాము. ఈ బీజీయ అక్షరాలను చరరాశులు అంటారు. ఈ చరరాశులను ఆంగ్ల అక్షరాలు l, m, n, p, q, x, y, Z, ………… లతో సూచిస్తాము.

→ చరరాశిని ఏదేని ఒక అక్షరంతో ఏదేని ఒక సంఖ్య కోసం ఉపయోగిస్తారు.

→ చరరాశి వేర్వేరు సందర్భాలలో వేర్వేరు విలువలను కలిగి ఉంటుంది. చరరాశికి ఖచ్చితమైన విలువ ఉండదు అయితే ఇవి కూడా సంఖ్యలే.

→ సంఖ్యా పరిక్రియలైన సంకలనం (+), వ్యవకలనం(-), గుణకారం (×), భాగహారం (+) వీటికి కూడా వర్తిస్తాయి.

→ రేఖాగణితం, క్షేత్రమితి, అంకగణితమునకు సంబంధించిన సూత్రాలలో చరరాశులను ఉపయోగిస్తాము. ఉదా : దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం A = l × b
ఇక్కడ A వైశాల్యానికి, దీర్ఘచతురస్ర పొడవుకు, పే దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పుకు ప్రాతినిథ్యం వహిస్తాయి.

→ సామాన్య సమీకరణాలు : బీజగణితంలోని నిబంధనను సమానత్వ గుర్తును ఉపయోగించి రాయడాన్ని సమీకరణం అంటారు.

ఉదా :
(1) x కన్నా 4 పెద్దదైన సంఖ్య 6.
x + 4 = 6
(2) ఒక సంఖ్య యొక్క 3 రెట్లు 15 అవుతుంది. .
3x = 15

→ సమీకరణానికి L.H.S మరియు R.H.S :
పై x + 4 = 6 అనే సమీకరణంలో మనం సమానత్వ గుర్తును చూడవచ్చును.
ఈ సమానత్వ గుర్తుకు ఎడమ చేతివైపు గల సమాసాన్ని LHS (Left Hand Side) అని, కుడిచేతివైపు గల సమాసాన్ని RHS (Right Hand Side) అని అంటారు. సమీకరణం అనగా LHS విలువ, RHS విలువ సమానం అయ్యేది. . . . . x + 4 = 6 లో LHS = x + 4
RHS = 6

→ ఏ చరరాశి విలువకు ఒక సమీకరణం యొక్క LHS మరియు RHS లు సమానం అగునో దానిని సమీకరణ సాధన అంటారు. దీనినే సమీకరణ మూలం అని కూడా అంటారు.
x + 4 = 6 లో x = 2 అయిన
2 + 4 = 6
6 = 6
L.H.S = R.H.S
కావున x + 4 = 6 యొక్క
సాధన (మూలం) x = 2

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 6th Lesson ప్రాథమిక అంకగణితం to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 6th Lesson ప్రాథమిక అంకగణితం

→ నిష్పత్తి : ఒకే రకమైన రెండు రాశులను సరిపోల్చుటను నిష్పత్తి అంటారు. ఈ రెండు రాశులను ఒకదానితో మరొకటి భాగించినను, ఆ రాశులను నిష్పత్తి రూపంలో రాయు విధం అంటారు.
a, b అనే రాశుల నిష్పత్తిని a : b లేదా a + b లేదా \(\frac{a}{b}\) గా సూచించవచ్చును.
a : b లో a ని మొదటి పదం లేదా పూర్వపదం (Antecedent) అని, b ని ద్వితీయ పదం లేదా పరపదం (consequent) అని అంటారు.

→ నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో భాగించినా, లేదా గుణించినా ఆ నిష్పత్తి విలువ మారదు.
ఉదా : 3:2 = 3 × 3:2 × 3 = 9 : 6
9:6 = 9 ÷ 3 : 6 ÷ 3 = 3:2

→ నిష్పత్తి యొక్క కనిష్ఠ రూపం :
a : b అనే నిష్పత్తిలో పూర్వపదం a కు, పరపదం b కు ‘1’ తప్ప మరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేకపోతే a : b కనిష్ట రూపంలో ఉంది అంటాము. దీనినే నిష్పత్తి యొక్క సామాన్య రూపం అని కూడా అంటాము.
ఉదా : 8:4 అనునది నిష్పత్తి యొక్క కనిష్ఠ రూపం కాదు. ఎందుకనగా పూర్వపదం 8 మరియు పరపదం 4లకు 2 మరియు 4లు ఉమ్మడి కారణాంకాలుగా కలవు. ఈ నిష్పత్తిలో పూర్వ, పరపదాలను 4తో భాగించగా,
8 ÷ 4 : 4 ÷ 4
\(\frac{8}{4}: \frac{4}{4}\) = 2:1
8 : 4 యొక్క కనిష్ఠ రూపాన్ని 2 :1 గా రాస్తాము.

→ సమనిష్పత్తులు లేదా సమాననిష్పత్తులు : నిష్పత్తి యొక్క పూర్వపదాన్ని మరియు పరపదాన్ని ఒకే శూన్యేతర సంఖ్యతో గుణించగా లేదా భాగించగా ఏర్పడే నిష్పత్తులను సమనిష్పత్తులు లేదా సమాన నిష్పత్తులు అంటారు.
ఉదా : 1 : 2 = 1 × 2:2 × 2 = 2 : 4
= 1 × 3:2 × 3 = 3:6
1:2, 2 : 4, 3 : 6 లు సమాన నిష్పత్తులు.

→ నిష్పత్తులను సరిపోల్చుట :
రెండు, అంతకన్నా ఎక్కువ నిష్పత్తులను పోల్చుటకు మనం కింది సోపానాలను అనుసరించాలి.

• ఇవ్వబడిన నిష్పత్తులను రాయాలి.
• ప్రతి నిష్పత్తిని భిన్న రూపంలో రాసి, దానిని సూక్ష్మరూపం (కనిష్ఠ రూపం)లోకి మార్చాలి.
• హారాల క.సా.గు. కనుగొనాలి.
• క.సా.గు. హారాలుగా గల సజాతి భిన్నాలుగా మార్చాలి.
• ఈ సజాతి భిన్నాల లవాలను సరిపోల్చాలి.
  లవం ఏ భిన్నానికైతే ఎక్కువ వుంటుందో ఆ భిన్నం రెండవ భిన్నం కన్నా పెద్దది.

ఉదా : 3:4; 5 : 6 లలో ఏది పెద్దదో పరిశీలిద్దాము .
3:4; 5:6 (సోపానం 1)
3.5 7 6 (సోపానం 2)
హారాలు 4, 6 ల కసాగు = 12 (సోపానం 3)
\(\frac{3 \times 3}{4 \times 3}=\frac{9}{12} ; \frac{5 \times 2}{6 \times 2}=\frac{10}{12}\) (సోపానం 4)
\(\frac{10}{12}>\frac{9}{12}\), కావున 5 : 6-పెద్దది (సోపానం 5)

→ అనుపాతము :
నిష్పత్తుల సమానత్వమును అనుపాతము అంటారు. a మరియు b ల నిష్పత్తి C మరియు C ల నిష్పత్తికి సమానం అయిన అవి అనుపాతంలో కలవు అంటారు.
దీనిని a : b:: c:d (a ఈజ్ టు b ఈజ్ ఏజ్ C ఈజ్ టు d) గా చదువుతాము . దీనిని a : b = c:d గా కూడా రాస్తాము.

. a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉంటే,
a: b :: c: d ఇక్కడ a, d లను అంత్యములని, b, c లను మధ్యములు అని అంటారు. మరియు a × d = b × c అనగా అంత్యముల లబ్ధం = మధ్యముల లబ్ధం అవుతుంది. అలాగే రెండు నిష్పత్తుల యొక్క అంత్యముల లబ్ధం, మధ్యముల
లబ్దానికి సమానమైన అవి రెండు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

→ ఏకవస్తు పద్దతి : ఒక వస్తువు యొక్క విలువను కనుగొని, తద్వారా కావలసిన వస్తువుల విలువలని కనుగొనే పద్ధతిని ఏకవస్తు పద్ధతి అంటారు.
ఉదా : 5 పెన్నుల ఖరీదు ₹ 60 అయిన 3 పెన్నుల ఖరీదు ఎంత ?
సాధన. 5 పెన్నుల ఖరీదు = ₹ 60
1 పెన్ను ఖరీదు = ₹ 60 ÷ 5 = ₹ 12
3 పెన్నుల ఖరీదు = ₹ 12 × 3 = ₹ 36 శాతం : శాతం అనగా నూటికి (100కి) అని అర్ధము. అనగా ఒక వస్తువును 100 భాగాలు చేస్తే ఒక్కొక్క భాగం 1 శాతం అవుతుంది.
శాతమును సూచించుటకు “%” గుర్తుని ఉపయోగిస్తాము.

ఉదా : 1% = \(\frac{1}{100}\) = 0.01 లేదా 1 : 100 గా రాయవచ్చును.
25 % = \(\frac{25}{100}\) = 0.25 లేదా 25 : 100 గా రాయవచ్చును.

→ శాతంను భిన్న రూపంలోకి మార్చడానికి శాతంలోని ‘%’ గుర్తును తీసివేసి 100 చే భాగించాలి. ”
ఉదా : 30% ను భిన్నరూపంలో రాయడానికి 30% = \(\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\)

→ భిన్నంను శాతంగా మార్చడానికి ఇచ్చిన భిన్నాన్ని 100చే గుణించి వచ్చిన ఫలితానికి % గుర్తును రాయాలి.

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 5th Lesson భిన్నాలు – దశాంశ భిన్నాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 5th Lesson భిన్నాలు – దశాంశ భిన్నాలు

→ భిన్నం అనగా ఒక వస్తువు లేదా వస్తు సముదాయంలో కొంతభాగం.
ఉదాహరణ : భిన్నం \(\frac{3}{5}\) అనేది 5 భాగాలలో 3 భాగాలు అని తెలియజేస్తుంది.
\(\frac{3}{5}\) లో 3ను లవం అని, 5ను హారం అని అంటారు.

→ భిన్నాలు – రకాలు :
(i) క్రమ భిన్నం : భిన్నంలో లవం, హారం కన్నా తక్కువ అయితే ఆ భిన్నాన్ని క్రమభిన్నం అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{14}{19}\)……………
క్రమభిన్నం విలువ ఎల్లప్పుడు 1 కన్నా తక్కువ.

(ii) అపక్రమ భిన్నం : భిన్నంలో హారం కన్నా లవం ఎక్కువ లేదా సమానంగా గల భిన్నాన్ని అపక్రమభిన్నం అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{7}{3}, \frac{11}{5}, \frac{5}{5}\)
అపక్రమ భిన్నం విలువ ఎల్లప్పుడు 1 లేదా 1 కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

(iii) మిశ్రమ భిన్నం : పూర్ణాంకం మరియు క్రమభిన్నాలు సమూహంగా గల భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నం అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{11}{5}, \frac{4}{3}, \frac{15}{7}\)

→ సమాన భిన్నాలు : ఒకే విలువను కలిగి వేర్వేరు రూపాలలో గల భిన్నాలను సమాన భిన్నాలు అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\) = ………….
ఒక భిన్నం యొక్క లవ, హారాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం లేదా భాగించడం ద్వారా సజాతి భిన్నాలు రాయవచ్చును.

→→ సజాతి భిన్నాలు : ఒకే హారం కల్గియున్న భిన్నాలను “సజాతి భిన్నాలు” అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{18}{12}\)………………..

→ విజాతి భిన్నాలు : వివిధ (వేర్వేరు) రకాల హారాలతో కూడియున్న భిన్నాలను “విజాతి భిన్నాలు” అంటారు.
ఉదాహరణ : \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{6}{11}\) ………….

→ భిన్నాల కనిష్ఠదూరం : భిన్నంలో లవం మరియు హారాలకు 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం (లవ, హారాల గ.సా.భా 1) లేనట్లయిన ఆ భిన్నం కనిష్ఠ రూపంలో ఉంది అంటాము.
ఉదాహరణ : \(\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{4}{8}\)……… యొక్క కనిష్టరూపం = ;

→ భిన్నాల పోలిక :
(i) రెండు భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉంటే, వాటిలో లవం తక్కువ గల భిన్నం వాటిలో చిన్న భిన్నం అవుతుంది.
ఉదాహరణ : \(\frac{2}{7}\) మరియు \(\frac{5}{7}\) లలో \(\frac{2}{7}, \frac{5}{7}\) కన్నా చిన్నది.
\(\frac{2}{7}<\frac{5}{7}\)

(ii) రెండు భిన్నాలు ఒకే లవం కలిగి ఉంటే, వాటిలో హారం తక్కువగాగల భిన్నం పెద్ద భిన్నం అవుతుంది.
\(\frac{2}{7}\) మరియు \(\frac{2}{11}\)లలో \(\frac{2}{7}, \frac{2}{11}\) కన్నా పెద్దది.
\(\frac{2}{7}<\frac{2}{11}\)

(iii)విజాతి భిన్నాలను క.సా.గు ద్వారా సజాతి భిన్నాలుగా మార్చి పోల్చుతాం.
\(\frac{2}{5}\) మరియు \(\frac{3}{4}\) లను పోల్చుదాం.
5, 4 ల క.సా.గు.

→ భిన్నాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం :
(i) సజాతి భిన్నాల సంకలనం, వ్యవకలనం :
సజాతి భిన్నాలను కూడిక లేదా తీసివేసేటప్పుడు లవాలను మాత్రమే కలపడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా వచ్చిన ఫలితాన్ని లవంగాను, సామాన్య హారాన్ని హారంగాను రాస్తాము.
ఉదా : \(\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3+2}{7}=\frac{5}{7}, \frac{3}{7}-\frac{2}{7}=\frac{3-2}{7}=\frac{1}{7}\)

(ii) విజాతి భిన్నాల సంకలనం, వ్యవకలనం :
విజాతి భిన్నాల కూడిక లేదా తీసివేత చేయుట.
అ) హారాల క.సా.గు. కనుగొనడము.
ఆ) భిన్నాలలో హారాన్ని, సమానం చేసి సజాతి భిన్నాలుగా మార్చడము.
ఇ) సజాతి భిన్నాలను కూడిక లేదా తీసివేత చేయడం.

→ భిన్నాల గుణకారం :
(i) భిన్నాన్ని ఒక పూర్ణాంకంతో గుణించటం :
భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో గుణించునపుడు మొదట పూర్ణాంకంచే భిన్నంలో లవాన్ని గుణించి, భిన్నంలో హారాన్ని అదేవిధంగా రాయాలి.
ఉదాహరణ : 2 × \(\frac{3}{5}=\frac{2 \times 3}{5}=\frac{6}{5}\)

(ii) మిశ్రమ భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంచే గుణకారం చేయాలంటే ముందుగా మిశ్రమ భిన్నాన్ని, అపక్రమ భిన్నంగా మార్చి పై విధంగా గుణించాలి.
2 × \(3 \frac{5}{7}=2 \times \frac{26}{7}=\frac{2 \times 26}{7}=\frac{52}{7}\)

→ భిన్నాన్ని, భిన్నంతో గుణించడము :
భిన్నాన్ని, భిన్నంతో గుణకారం చేయాలంటే రెండు భిన్నాలలోని లవాలను గుణించి లబ్దాన్ని లవంగాను, హారాన్ని హారంతో గుణించి లబ్దాన్ని హారంగాను రాయాలి.
ఉదాహరణ : \(\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}=\frac{3 \times 4}{5 \times 7}=\frac{12}{35}\)

→ భిన్నాల భాగహారము :
(i) పూర్ణాంకాన్ని భిన్నంచే భాగించుట :
పూర్ణాంకాన్ని భిన్నంచే భాగించాలంటే పూర్ణాంకాన్ని భాగించాల్సిన భిన్నం యొక్క వ్యుత్రమం (గుణకార విలోమం)చే
3 ÷ \(\frac{2}{5}=3 \times \frac{5}{2}=\frac{15}{2}\) (\(\frac{2}{5}\) యు వ్యుత్తమం \(\frac{5}{2}\))

(ii) భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంచే భాగించుట : భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంచే భాగించాలంటే, ఆ భిన్నాన్ని భాగించాల్సిన పూర్ణాంకం యొక్క వ్యుత్ర మంచే గుణించాలి.
\(\frac{2}{3} \div 5=\frac{2}{3} \times \frac{1}{5}=\frac{2}{15}\) (5 యొక్క వ్యుత్రమం \(\frac{1}{5}\))

గమనిక : పూర్ణాంకాన్ని మిశ్రమ భిన్నంచే గుణించాల్సి వచ్చినా లేదా మిశ్రమభిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించాల్సి వచ్చినా మొదట మిశ్రమ భిన్నాన్ని, అపక్రమభిన్నంగా మార్చి పై తెల్పినవిధంగా భాగహారం చేయాలి.

(iii) భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో భాగించడము :
ఒక భిన్నాన్ని, మరొక భిన్నంతో భాగించాల్సి వచ్చినపుడు మొదటి భిన్నాన్ని (భాగింపబడుతున్న), రెండవ భిన్నం (భాగిస్తున్న) యొక్క వ్యుత్ర మంచే గుణించాలి.
ఉదాహరణ : \(\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}=\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}\)
\(\frac{5}{7}\) యొక్క వ్యతమం \(\frac{7}{5}\)

→ దశాంశ సంఖ్యలు :
భిన్నం యొక్క మరొక రూపమే దశాంశము. హారం 10, 100, 1000, 10000, ……. గా గల భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలని అంటారు.
ఉదాహరణ :
\(\frac{1}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{100}, \frac{345}{100}, \frac{674}{10000}\)

• \(\frac{1}{10}\)ని 0.1 గా రాస్తాము. 0.1 ని దశాంశం అని అంటారు.
• \(\frac{1}{100}\) = 0.01 గా రాస్తాము. 0.01 ని శతాంశం అని అంటాము. 100
• \(\frac{1}{1000}\) = 0.001 గా రాస్తాము. 0.001 ని సహస్రాంశం అని అంటారు. 1000

\(\frac{45}{10}=4 \frac{5}{10}\) = 4.5
\(\frac{473}{100}=4 \frac{73}{100}\) = 4.73లో
4ను పూర్ణాంకభాగం అని, 73ను దశాంశ భాగం అని, ‘.’ ను దశాంశ బిందువు అని అంటారు.

పూర్ణాంకభాగం ఎల్లప్పుడు 0 లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ ఉంటుంది. దశాంశ భాగం ఎల్లప్పుడు 1 కన్నా తక్కువ.

→ దశాంశ భిన్నాల స్థానవిలువలు – విస్తరణ రూపం :

= 4 × 1000 + 3 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1 + 4 × \(\frac{1}{10}\) + 6 × \(\frac{1}{100}\) + 5 × \(\frac{1}{1000}\)
= 4 వేలు + 3 వందలు + 7 పదులు + 2 ఒకట్లు + 4 దశాంశాలు + 6 శతాంశాలు + 5 సహస్రాంశాలు

→ భిన్నాలను దశాంశరూపంలోనికి, దశాంశరూపం నుండి భిన్నరూపంలోకి మార్చడము :
(i) హారం 10, 100, 1000, …… గా గల భిన్నాలను సులభంగా దశాంశరూపంలోనికి మార్చవచ్చును. ..

హారంలో 10 ఉన్నప్పుడు దశాంశస్థానాల సంఖ్య 1. 100 ఉన్నప్పుడు దశాంశ స్థానాల సంఖ్య 2. 1000 ఉన్నప్పుడు దశాంశ స్థానాల సంఖ్య 3 వస్తాయి.

(ii) సామాన్య భిన్నాలను 10, 100, 1000, ……… హారాలుగా గల సమాన భిన్నాలుగా మార్చి పై విధంగా దశాంశ రూపాన్ని రాస్తాము.

→ సమాన దశాంశ భిన్నాలు :

∴0.4 = 0.40 = 0.400 అవుతాయి.

→ సజాతి, విజాతి దశాంశ భిన్నాలు :
(i) సజాతి దశాంశ భిన్నాలు : సమానసంఖ్యలో దశాంశ స్థానాలను కలిగిన దశాంశ భిన్నాలను సజాతి దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.
ఉదాహరణ : 0.7, 1.3, 7.4, 12.6 ఒక దశాంశస్థానం కలిగినవి.
0.34, 6.73, 9.46, 13.98 రెండు దశాంశ స్థానాలు కలిగినవి.

(ii) విజాతి దశాంశ భిన్నాలు : వేర్వేరు సంఖ్యలో దశాంశస్థానాలను కలిగిన దశాంశ భిన్నాలను విజాతి దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.
ఉదాహరణ : 0.7, 6.73, 4.762, …… .

→ దశాంశ భిన్నాల పోలిక, క్రమం :
దశాంశ భిన్నాలను పోల్చడానికి మనం కింది సోపానాలు అనుసరించాలి.

• సోపానం 1: ఇచ్చిన దశాంశాలను సజాతి దశాంశాలుగా మార్చుకోవాలి.
• సోపానం 2 : ముందు పూర్ణాంక భాగాలను పోల్చి, పూర్ణాంక భాగంలో ఏది పెద్దదైతే అది పెద్దది.
• సోపానం 3 : పూర్ణాంక భాగాలు సమానం అయితే దశాంశ భాగంను పోల్చి, దశాంశ భాగంలో ఏది పెద్దదైతే అది పెద్దది. అంది.
• సోపానం 4 : పూర్ణాంక భాగం మరియు దశాంశభాగం రెండూ సమానమైతే పై విధానాన్ని శతాంశానికి అమలు పరచాలి.

ఉదాహరణ: 3.637 మరియు 3.654 లలో
3.654 > 3.637 (పూర్ణాంకభాగం, దశాంశ భాగం సమానం కావున శతాంశభాగం ఆధారంగా పోల్చాము)

→ దశాంశ భిన్నాల సంకలనం, వ్యవకలనమును ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నాలను సజాతి దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చి పూర్ణాంకాల సంకలనం, వ్యవకలనం వలే చేయాలి.
ఉదా : 3.4 + 7.63 + 34.379 :

→ దశాంశ భిన్నాలను మనం ద్రవ్యం, దూరం, పొడవు, బరువు మరియు పరిమాణాలతో ఉపయోగిస్తాము.

• 100 పైసలు = ₹ 1 కావున 1 పైసా = ₹ \(\frac{1}{100}\) = ₹ 0.01
• 100 సెం.మీ. = 1 మీ. కావున 1 సెం.మీ. \(\frac{1}{100}\) మీ. = 0.01 మీ.
• 1000 మీ. = 1 కి.మీ. కావున 1 మీ. = \(\frac{1}{1000}\) కి.మీ. = 0.001 కి.మీ.
• 1000 గ్రా. = 1 కి.గ్రా. కావున 1 గ్రా. .= \(\frac{1}{1000}\) కి.గ్రా. = 0.001 కి.గ్రా.
• 1000 మి.లీ. = 1 లీ. కావున 1 మి.లీ. = \(\frac{1}{1000}\) లీ. = 0.001 లీ.

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 4th Lesson పూర్ణసంఖ్యలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 4th Lesson పూర్ణసంఖ్యలు

→ బ్రహ్మగుప్త (598-670 AD):
మొట్టమొదటిసారిగా రుణ సంఖ్యలను సూచించడానికి ప్రత్యేక గుర్తు (-) వాడినట్లు తెలుస్తున్నది. ధనాత్మక మరియు రుణాత్మక పరిమాణాలను తెలుసుకోవడానికి కొన్ని సూత్రాలు ప్రతిపాదించాడు.
పూర్ణ సంఖ్యలను సూచించుటకు “Z” అనే అక్షరాని జర్మను మొదటిసారిగా వాడారు. “Z” అంటే జర్మన్ భాషలో ‘జెలెస్’ “Zehlen” అంటే “సంఖ్య” అని అర్థం.

→ సున్న కన్నా చిన్న సంఖ్యలను రుణసంఖ్యలు అంటారు. సున్న కన్నా పెద్ద సంఖ్యలను ధన సంఖ్యలు అంటారు. సున్న (0) అనేది ధన సంఖ్య కాదు మరియు రుణ సంఖ్య కాదు.

→ ధన పూర్ణసంఖ్యలు, సున్న మరియు రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కలిసి పూర్ణసంఖ్యలు ఏర్పడతాయి. పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యాసమితిని “Z” లేదా “I” అనే అక్షరాలతో సూచిస్తారు.
Z = {……….. – 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….}
ఏదైనా సంఖ్యకు గుర్తు ఇవ్వనిచో దానిని ధనసంఖ్యగా పరిగణిస్తాము.

→ సంఖ్యారేఖ పై రుణపూర్ణ సంఖ్యలను సున్న (0) కు ఎడమవైపున, ధనపూర్ణ సంఖ్యలను సున్న (0) కు కుడివైపున సూచిస్తూ సంఖ్యారేఖను గీస్తాము.

→ పూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్యారేఖను నిలువుగా కూడా గీయవచ్చును. నిలువుగా గీచిన సంఖ్యారేఖపై సున్న (0)కు పై భాగంలో ధన పూర్ణ సంఖ్యలను, సున్న (0) కు కింది భాగాన రుణ పూర్ణసంఖ్యలను సూచిస్తాము.
→ సహజసంఖ్యలు N = {1,2,3,4, ….} లను ధనపూర్ణసంఖ్యలు (Z⁺) అని, పూర్ణాంకాలను W = {0, 1, 2, 3, 4, …} లను రుణేతరపూర్ణసంఖ్యలు అనీ, {…….. – 4, -3, -2, -1} లను రుణపూర్ణసంఖ్యలు (Z^–) అని అంటాము.

→ సున్న (0) ధనపూర్ణ సంఖ్య కాదు, రుణ పూర్ణ సంఖ్య కాదు. రుణ పూర్ణసంఖ్యలు ఆ ధన పూర్ణసంఖ్యలు

→ సంఖ్యారేఖ పై కుడివైపునకు పోయే కొలదీ సంఖ్య విలువ పెరుగుతుంది. అలాగే ఎడమవైపుకు పోయే కొలదీ తగ్గుతుంది. అనగా సంఖ్యారేఖ పై ఒక సంఖ్యకు కుడివైపుగల సంఖ్య ఆ సంఖ్య కన్నా పెద్దది. అలాగే ఎడమవైపుగల సంఖ్య ఆ సంఖ్య కన్నా చిన్నది.

-2నకు -1 కుడివైపున కలదు కావున -1 > -2 –
అలాగే – 2 నకు – 4 ఎడమవైపు కలదు కావున 4 < -2

సంఖ్యారేఖపై సంకలనం చేయుటకు ధనసంఖ్యను కూడవలసిన సందర్భంలో కుడివైపునకు, రుణసంఖ్యను కూడవలసిన సందర్భంలో ఎడమవైపునకు కదలాలి.
ఉదా : (i) 3 + (-1)

(ii) (-3) + (-2)

→ ఏవేని రెండు సంఖ్యల మొత్తం సున్న (0) అయితే ఆ సంఖ్యలను ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమం అంటారు.
ఉదా : (3) + (-3) = 0 కావున 3 యొక్క సంకలన విలోమం = -3
-3 యొక్క సంకలన విలోమం = 3

→ a ఏదేని పూర్ణ సంఖ్య అయిన a యొక్క సంకలన విలోమం =-a
అలాగే -a యొక్క సంకలన విలోమం = a
∴ -(-a) = a .

→ రెండు ధనపూర్ణసంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడు ధనపూర్ణసంఖ్య మరియు రెండు రుణపూర్ణసంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడు రుణ పూర్ణసంఖ్య.

→ ఒక ధనపూర్ణసంఖ్య, మరొక రుణపూర్ణసంఖ్యల మొత్తం ఒక ధనపూర్ణసంఖ్య లేదా ఒక రుణపూర్ణసంఖ్య లేదా సున్న కావచ్చును.

→ ఒక సంఖ్యను సంఖ్యారేఖ పై మరొక సంఖ్య నుండి తీసివేయు (వ్యవకలనం) సందర్భంలో ధన సంఖ్యను తీసివేయు సందర్భంలో ఎడమవైపునకు, రుణసంఖ్యను తీసివేయు సందర్భంలో కుడివైపునకు కదలాలి.
ఉదా : 6 – 3

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 3rd Lesson గ.సా.కా – క.సా.గు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 3rd Lesson గ.సా.కా – క.సా.గు

→ భాజనీయతా సూత్రాలు :

• 2 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0,2,4,6 లేదా 8 అయినచో ఆ సంఖ్య ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 3 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం, 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 4 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు అంకెలతో (ఒకట్ల, పదుల స్థానాలలోని) ఏర్పడిన సంఖ్య 4చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 41 నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 5 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒకట్ల స్థానంలో ) లేదా 5 గల సంఖ్యలన్నీ 5చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడతాయి.
• 6 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  2 మరియు 3లచే నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలన్నీ 6చే నిశ్శేషంగా భాగింపబతాయి.
• 8 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి మూడు అంకెలతో (వందలు, పదులు, ఒకట్లు) ఏర్పడిన సంఖ్య 8చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 8చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 9 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే, ఆ సంఖ్య 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
• 10 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
  ఒకట్ల స్థానంలో ‘0’ గల సంఖ్యలన్నీ 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడతాయి.
• 11 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం ::
  సంఖ్యలోని బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం, సరిస్థానాలలోని అంకెల మొత్తముల తేడా ‘0’ లేదా 11 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య 11చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.

→ కారణాంకాలు (Factors) :
ఒక సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలు అవుతాయి.
ఉదా : ‘6’ అనే సంఖ్యను 1, 2, 3, 6 అనే సంఖ్యలు నిశ్శేషంగా భాగిస్తాయి. కావున 6 యొక్క కారణాంకాలు
1, 2, 3, 6.

• ప్రతి సంఖ్యకు 1 కారణాంకము. ఇది ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింటిలోను చిన్నది.
• ప్రతి సంఖ్య దానికదే కారణాంకము. ఇది ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింలోను పెద్దది.
• ప్రతి కారణాంకం ఆ సంఖ్యకు సమానం లేదా ఆ సంఖ్య కంటే చిన్నది.
• ప్రతి సంఖ్యకు గల కారణాంకాలు పరిమితం.

→ పరిపూర్ణసంఖ్య (Perfect number) :
ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింటి మొత్తం ఆ సంఖ్యకు రెట్టింపు అయినచో ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు.

ఉదా : 6 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6
వీని మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 12 అనేది 6 కు రెట్టింపు.
కావున 6 అనేది ఒక పరిపూర్ణ సంఖ్య. 28, 496, 8128 లు ఆ తర్వాతి పరిపూర్ణసంఖ్యలు.

→ ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime numbers) :
1 మరియు అదే సంఖ్య కారణాంకాలుగా గల్గిన సంఖ్యలను “ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు.

ఉదా : 2, 3, 5, 7, 100 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

→ సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite numbers) :
రెండు కన్నా ఎక్కువ కారణాంకాలు కలిగిన సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా : 4, 6, 8, ………….
4 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 4 (కారణాంకాల సంఖ్య 3)

→ 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు మరియు సంయుక్త సంఖ్య కాదు.

→ కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin primes) :
2 భేదంగా గల ప్రధాన సంఖ్యలను కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా : (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (41,43), (59,61), (71,73), ……..

→ పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (లేదా) సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు (Relatively primes (or) Mutually primes (or) Co-primes) :
1 మాత్రమే ఉమ్మడి కారణాంకంగా కలిగిన సంఖ్యలను పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు – అంటారు.

ఉదా : 2 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2
9 యొక్క కారణాంకాలు 1, 3, 9
2 మరియు 9 యొక్క ఉమ్మడి కారణాంకం 1 మాత్రమే.

కావున 2, 9లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.

• రెండు వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
• రెండు వరుస బేసి సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
• అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు కాని సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలలోని అన్ని సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరంలేదు.

→ ప్రధాన కారణాంక విభజన (Prime factorization) : ఒక సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయడాన్ని ప్రధాన కారణాంక విభజన అంటారు.
ఉదా : 60 = 2 × 2 × 3 × 5

ఈ విభజనలో ముఖ్యంగా రెండు పద్ధతులు కలవు. (1) భాగహార పద్ధతి, (2) వృక్ష పద్ధతి. భాగహార పద్ధతి

→ సామాన్య కారణాంకాలు (Common factors) :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క కారణాంకాలలో ఉమ్మడిగా ఉన్న కారణాంకాలను ఆ సంఖ్యల యొక్క “సామాన్య కారణాంకాలు” అంటారు.

ఉదా : 12 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6, 9, 18 12,
18 యొక్క సామాన్య కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6.

→ గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) [Greatest Common Divisor (GCD)] :
-రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య కారణాంకాలలో గరిష్ఠ సంఖ్యను గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం (గ.సా. కా) (G.C.F) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం’ (గ.సా.భా) (G.C.D) అంటారు.
12, 18 ల ఉమ్మడి కారణాంకాలు 1,2,3,6
12, 18ల గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం = 6

→ సామాన్య గుణిజాలు (Common Multiples) :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క గుణిజాలలో ఉమ్మడిగా గల గుణిజాలను ఆ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య గుణిజాలు అంటారు.

ఉదా : 2 గుణిజాలు : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ………….
3 గుణిజాలు : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24,
2 మరియు 3 యొక్క సామాన్య గుణిజాలు = 6, 12, 18, ………

→ కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) (Least Common Multiples (LCM]] :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ సంఖ్యను కనిష్ఠ సామాన్యగుణిజం (క.సా.గు) అంటారు.
2 మరియు 3ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) = 6.

→ రెండు కవల ప్రధాన సంఖ్యల క.సా.గు, వాని లబ్దానికి సమానం మరియు వాని గ.సా.భా 1 అవుతుంది.

→ రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా మరియు క.సా.గుల మధ్య సంబంధము :
క.సా.గు మరియు గ.సా.భాల లబ్ధం = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం
a, b అనే సంఖ్యల క.సా.గు 1, గ.సా.భా 9 అయితే a × b = l × g

→ ద్విముఖసంఖ్య (పాలి డ్రోమ్ సంఖ్య) : కుడి నుండి ఎడమవైపుకు లేదా ఎడమ నుండి కుడివైపుకు మార్చి రాసినా సంఖ్య మారదు.
ఉదా : 1221

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

→ వస్తువులను లెక్కించుటకు మనం ఉపయోగించే 1,2,3,4,……. సంఖ్యలను సహజసంఖ్యలు (Natural numbers) అంటారు.

→ సహజ సంఖ్యాసమితిని N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…} గా సూచిస్తాము.
ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్యకు వెంటనే తర్వాత గల సంఖ్యను ఉత్తర సంఖ్య (Successor) అని, వెంటనే ముందు వచ్చే సంఖ్యను పూర్వసంఖ్య (Predecessor) అని అంటారు.
ఉదా : 10కి ఉత్తర సంఖ్య (Successor) = 11
10కి పూర్వసంఖ్య (Predecessor) = 9

→ ‘0’ ను సహజ సంఖ్యల సమితికి చేర్చగా పూర్ణాంకాల సమితి (Whole numbers) ఏర్పడుతుంది. పూర్ణాంకాల సమితి W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… –

→ సంఖ్యారేఖ :
ఒక సరళరేఖపై సమానదూరంలో బిందువులను గుర్తించి ఒక బిందువును ‘0’ గా గుర్తించి దానికి కుడివైపున గల బిందువులను వరుసగా 1,2,3,4,….. గా గుర్తించి సంఖ్యారేఖను నిర్మిస్తాము. :

→ సంఖ్యారేఖపై ఏ సంఖ్యకైనా దాని ఉత్తర సంఖ్య వెంటనే కుడివైపున, పూర్వసంఖ్య దానికి వెంటనే ఎడమవైపున ఉంటుంది.

→ సంఖ్యారేఖపై గల ఒక సంఖ్యకు కుడివైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా పెద్దవి. అలాగే ఎడమవైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా చిన్నవి.

6,7,8,9, 10, …. సంఖ్యలు 5కు కుడివైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 5 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు.
అలాగే ……. 6,7,8,9,10,11 సంఖ్యలు 12కు ఎడమవైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 12 కన్నా చిన్నవి.

→ సంఖ్యారేఖపై సంకలనం (కూడిక) చేయడానికి మనం కుడివైపుకు కదులుతాము.

3 + 2 సంకలనాన్ని మనం 3 వద్ద మొదలు పెట్టి 2 ప్రమాణ దూరాలను కుడివైపుకు సంఖ్యారేఖ పై కదలాలి.

→ సంఖ్యారేఖపై వ్యవకలనం చేయడానికి, మనం ఎడమవైపుకు కదలాలి.

3-2 వ్యవకలనాన్ని మనం సంఖ్యారేఖ పై చేయడానికి 3 వద్ద కదలాలి. 3-2 = 1

→ సంఖ్యారేఖపై పూర్ణాంకాల గుణకారానికి మనం కుడివైపుకు కదలాలి.

3 × 2 ను సంఖ్యారేఖపై గుణించడానికి మనం ‘0’ నుండి ప్రారంభించి 2 ప్రమాణాలు 3 సార్లు కుడివైపుకు కదలాలి.

→ పూర్ణాంకాల ధర్మాలు :
సంవృతధర్మం (Closure Property) : ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల మొత్తం పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల సంకలన సంవృత ధర్మం అంటారు.
2, 3లు ఒక జత పూర్ణాంకాలు అనుకొంటే
2+3 = 5 కూడా ఒక పూర్ణాంకము

ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల లబ్ధం కూడా పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల గుణకార సంవృత ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 ఒక పూర్ణాంకము
2 × 0 = 0 ఒక పూర్ణాంకము

ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలన ఫలితము పూర్ణాంకము కాకపోవచ్చును.
కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనము సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 – 3 = పూర్ణాంకము కాదు. అలాగే పూర్ణాంకాల భాగహారము కూడా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 ÷ 3 = \(\frac{2}{3}\) ఒక పూర్ణాంకము కాదు.

→ పూర్ణాంకాలు సంకలనం, గుణకారాలలో సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగాహారాలలో సంవృత ధర్మాన్నిపాటించవు.

→ స్థిత్యంతర (వినిమయ) ధర్మం (Commutative property) :
ఒక జత పూర్ణాంకాలను కూడే క్రమం మారినప్పటికి వాటి మొత్తం మారదు. దీనిని పూర్ణాంకాల సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 + 3 = 5. అలాగే 3 + 2 = 5

ఒక జత పూర్ణాంకాలను క్రమం మార్చి గుణించినా లబ్దంలో ఎలాంటి మార్పురాదు. ఒకే లబ్దం వస్తుంది. దీనిని పూర్ణాంకాల స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 అలాగే 3 × 2 = 6

ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలనంలో క్రమం మారితే ఒకే ఫలితం రాదు. అలాగే భాగహారంలోను ఒకే ఫలితాన్ని ఇవ్వదు. కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనం మరియు భాగహారములు స్థిత్యంతర ధర్మమును పాటించవు. .
3 – 2 = 1, కాని 2 – 3 = 1 కాదు .
6 ÷ 2 = 3 కాని 2 ÷ 3 = 6 కాదు

→ పూర్ణాంకాలు సంకలన, గుణకారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగహారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.

→ సంకలన, గుణకారాలలో సహచర ధర్మం (Associative property) :
మూడు పూర్ణాంకాలు 3, 4, 5 తీసుకొని 3,4 లను కూడి ఆ మొత్తానికి 5 కలిపితే మొత్తం = 12
3 + 4 = 7,
7 + 5 = 12 .
అలాగే మొదట 4, 5 లను కూడి ఆ మొత్తాన్ని 3 కు కలిపితే వచ్చే మొత్తం = 12, 4 + 5 = 9, 3 + 9 = 12 అనగా మొత్తంలో ఎలాంటి మార్పులేదు.
(3 + 4) + 5 = 12,
3 + (4 + 5) = 12,
(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన సహచర ధర్మం అంటారు.

→ పై విధంగానే గుణకారంలో కూడా
(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల గుణకార సహచర ధర్మం అంటారు. అనగా పూర్ణాంకాలు సంకలనం మరియు గుణకారములలో సహచరధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.

→ తత్సమాంశం (Identity) :
3 + 0 = 3, 0+ 3 = 3
‘0’ ను ఒక పూర్ణాంకానికి కలిపినా, లేదా ‘0’ కు మరొక పూర్ణాంకాన్ని కలిపినా మొత్తం అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన తత్సమ ధర్మం అంటారు.

‘0’ సంకలన తత్సమాంశము.
అలాగే 3 × 1 = 3, 1 × 3 = 3 ఒక పూర్ణాంకాన్ని ‘1’ తో గుణించినా, 1ని వేరొక పూర్ణాంకంతో గుణించినా అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ‘1’ గుణకార తత్సమాంశం.

→ పూర్ణాంకాలలో అమరికలు : పూర్ణాంకాలను ప్రాథమిక జ్యామితీయ ఆకారాలుగా చుక్కలతో అమర్చవచ్చును. 1.

పై విధంగా కొన్ని సంఖ్యలను సరళరేఖలుగా, దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా, త్రిభుజాలుగా సూచించవచ్చును. * ప్రధాన సంఖ్యలను సరళరేఖలో అమర్చగలము.

→ దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా అమర్చలేము.

→ సంయుక్త సంఖ్యలను దీర్ఘ చతురస్రాలుగా అమర్చగలము

→ పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలైన 4, 9, …. లను చతురస్రాకారంలో అమర్చగలము.

→ కొన్ని సంఖ్యలను త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలలో సమానంగా చుక్కలు ఉండునట్లు అమర్చవచ్చును. పై శీర్షంలో ఒక చుక్క మాత్రమే ఉంటుంది. అనగా ప్రతి వరుసలోను ……. 4, 3, 2, 1 చుక్కలు ఉంటాయి.

3, 6, 10, 15 లను త్రిభుజ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని మనం 1 మొదలై వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా రాయగలము.
(మొదటి వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా)

→ సంఖ్యల అమరికలు సమస్యల పరిష్కారానికి సులభతర మార్గాలను సూచిస్తాయి.
(9,99, 999… ల కూడికను, గుణకారాన్ని పరిశీలిద్దాము )

• 296 + 9 = 296 + 10 -1 = 306 – 1 = 305
• 296 – 9 = 296 – 10+1 = 286 + 1 = 287
• 296 + 99 = 296 + 100 – 1 = 396 – 1 = 395
• 296 – 99 = 296 – 100 + 1 = 196 + 1 = 197
  • 65 × 9 = 65 (10 – 1) = 650 – 65 = 585
  • 65 × 99 = 65 (100 – 1) = 6500 – 65 = 6435
  • 65 × 999 = 65(1000 – 1) = 65000 – 65 = 64935
    …………………………………

ఇక్కడ మనం 9,99, 999, …. రూపంలో గల సంఖ్యల కూడిక, గుణకారంలను గమనించాము. ఇలాంటి అమరికలు చేసి సులభమార్గాల ద్వారా మనోగణిత సమస్యలను సాధించే సామర్థ్యాన్ని పెంచుకొనవచ్చును.

→ 5, 15, 25, 50, ……. లతో గుణించే మార్గాలను గమనిద్దాము.
46 × 5 = 46 × \(\frac{10}{2}=\frac{460}{2}\) = 230 × 1
46 × 15 = 46(10 + 5)
= 46 × 10 + 46 × 5 = 460 + 230 = 690 = 230 × 3
46 × 25 = 46 × (20 + 5) = 46 × 20 + 46 × 5
= 920 + 230 = 1150 = 230 × 5
(లేదా)
46 × 25 = 46 × \(\frac{100}{4}=\frac{4600}{4}\) = 1150
46 × 50 = 46 × \(\frac{100}{2}=\frac{4600}{2}\) = 2300

→ సున్నాతో భాగహారం నిర్వచించబడదు.

Students can go through AP Board 8th Class Maths Notes 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ to understand and remember the concept easily.

AP Board 8th Class Maths Notes 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ

→ సర్వసమానత్వం : ఒకే ఆకారం మరియు పరిమాణం గల వస్తువులను సర్వసమాన వస్తువులు అంటారు. త్రిప్పుట అనునది పరివర్తనము. దీనిలో ఒక సమతల చిత్రము తిప్పబడును లేదా ఒక రేఖలో పరావర్తనం చేయబడి అసలు చిత్రపు పరావర్తన రూపం కల్పించబడును.

→ భ్రమణము : భ్రమణము చేయబడు వస్తువు ఒక బిందువు కేంద్రంగా తిప్పబడును. భ్రమణములో వస్తువు ఆకారముగాని, భ్రమణ కేంద్రము నుండి వస్తువుపై గల ఏదేని బిందువు యొక్క దూరములో గాని మార్పుండదు. భ్రమణ కేంద్రము చుట్టూ వస్తువులోని ప్రతిబిందువు వృత్తాకారములో తిరుగును. ఒక సంపూర్ణభ్రమణము 360°.

→ క్రింది జ్యామితీయ చిత్రములను పరిశీలించుము.

పై అన్ని సందర్భాలలో, ప్రతి వరుసలోని మొదటి పటాన్ని చలించడం, భ్రమణం, చెందించడం మరియు త్రిప్పుట ద్వారా దాని ఆకారంలోగాని లేక పరిమాణంలో గానీ ఏదైనా మార్పుని గమనించావా ? ఎటువంటి మార్పు లేదు. ప్రతి వరుసలోని అన్ని పటాలు వివిధ దిశలలో అమరియున్నప్పటికీ అవన్నీ సర్వసమానమే. రెండు పటాలు సర్వసమానమైన, వాటిని చలింపజేసిన, భ్రమణం చెందించినా లేదా తిప్పిన వాటి సర్వసమానత్వం అలానే నిలచియుంటుంది.

→ మనం సర్వసమానత్వాన్ని సూచించుటకు = గుర్తుని వాడతాము.

→ రెండు జ్యామితీయ పటాలు ఒకదానిని మరొకటి పూర్తిగా కప్పివేసిన ఆ పటాలు సర్వసమానాలు.

→ సరూప పటాలు : రెండు బహుభుజిలు సరూపాలు కావలెనంటే వాటి అనురూప కోణాల జతలు సమానం మరియు వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానం కావలెను.

→ పటాలు ‘సౌష్టవం’ను కలిగియుండవచ్చు లేదా కలిగియుండకపోవచ్చు.

→ పటాలు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ విధాలైన సౌష్ఠవాన్ని కలిగి యుండవచ్చు.

→ సౌష్ఠవం మూడు రకాలు అవి బిందుసౌష్ఠవం, రేఖా సౌష్ఠవం మరియు భ్రమణ సౌష్ఠవం.

→ భ్రమణ సౌష్ఠవం గల పటాలను భ్రమణం చేసినపుడు అవి తొలిస్థితిని పోలిన స్థితులలోకి ఒకటి కన్నా ఎక్కువసార్లు రావచ్చును. ఈ సంఖ్యను భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణం అంటారు.

→ ఒక పటాన్ని పోలిన పెద్ద లేదా చిన్న సరూప పటాలను గీచే పద్ధతిని విస్తరణ అంటారు. ఒకే పటాలను ప్రక్కప్రక్కనే ఖాళీలు లేకుండా లేదా అతిక్రమణలు లేకుండా కొంత వైశాల్యాన్ని ఆక్రమించేట్లు అమర్చుటను టెస్సలేషన్ అంటారు.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 13th Lesson Women Change the World to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 13th Lesson Women Change the World

→ Women have a high place in Indian Culture.

→ We have made remarkable progress in the field of Science and Technology. □I We are travelling to space. .

→ But discrimination against women continues.

→ Discrimination is even more severe in illiterate families.

→ Education plays a major role in getting rid of stereotypes.

→ Government provides many facilities for Girls Education.

→ Going to school become a fundamental right to children no matter boy or a girl.

→ Women of Andhra Pradesh started antiarrack movement.

→ On 8th March International Women’s Day is celebrated.

Women change the world

→ Women : An adult female human being.

→ Discrimination : Treating a person or particular grbup of people differently.

→ Breaking Stereotypes : Against to the stereotype thinking.

→ Learning for change : It is a process by which an activity originates or is changed through responding to a situation.

→ School education : Education involves teaching people various subjects usually at a school.

→ Raising awareness : A process that seeks to inform and educate people about a topic or issue with the intention of influencing.

→ Women’s movement : The feminist movements, a series of political campaigns for reforms.

→ Inspirational women : A women who motivates mental or emotionally.

→ Stereotype : Stereotype is a generalized belief about a particular category of people. It is an expectation that people might have about every person of a particular group.

→ Discrimination : Discrimination is the act of making unjustified distinctions between people based on the groups, classes, or other categories to which they belong or perceived to belong.

→ Gender Equality : When people of all genders have equal rights, responsibilities and opportunities.

→ Inspirational women : Those who have a personality that influences others.

Students can go through AP Board 7th Class Social Notes 10th Lesson State Government to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Social Notes 10th Lesson State Government

→ In India we have the government at two levels.

→ One is at the centre and the other is at the state.

→ The state government is responsible for the governance of the people of the state.

→ Every state in India have a Governor.

→ The State Legislative Assembly is a legislative body.

→ Generally, elections to the State Legislative Assembly are held once in every five years.

→ Election Commission deputes mechanism to conduct elections in Assembly Constituencies.

→ After the General Elections, the leader of the majority party or coalition of parties, is invited by the Governor to form the government.

→ The Upper House of the state legislature is called the Legislative Council or Vidhana Parishad.

→ The Governor is the Constitutional head of a state.

→ The Lower House of the state legislature is called the Legislative Assembly or Vidhana Sabha.

→ The Chief Minister is the actual executive authority.

→ Judiciary is one of the three organs of the state government.

→ The High Court is the highest judicial organ at the state level.

→ The District Collector is the head of the district administration.

→ Legislature, Executive and Judiciary are considered as three estates and Media as the fourth estate.

→ Legislature : A legislature is a governing Ipody that makes laws and can also amend or repeal them.

→ Executive : The executive is the branch of government that is responsible for the day-to-day management of the state.

→ Judiciary : the judicial authorities of a country

→ District level Administration : The management of the tasks of government as it lies within an area legally recognised as a district.

→ Constituency : A particular area from which all the voters living there choose their representatives.

→ Bicameral : Government with two legislative houses.

→ Gazette : An official publication for the purpose of notifying the actions and decisions of the Government.

→ Summons : The process of calling all members of the house.

→ Prorogue : Termination of a session of the house.

→ Bureaucracy : A government that is administered primarily by authorities that are staffed with non-elective officials.

→ Conciliation : An alternative out-of-court dispute resolution instrument like mediation.

→ Survey Stones : A boundary stone is a robust physical marker that identifies the start of land boundary.

→ Coalition : A group formed with two or more people or political parties for a common purpose.

→ Manifesto : A public declaration of policy and aims, specially issued before an election by a political party.