Inter 2nd Year

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A పాక్షిక భిన్నాలు Formulas

→ f(x), Φ(x) లు రెండు బహుపదులు. Φ(x) ఒక శూన్యేతర బహుపది (i.e.,) Φ(x) ≠ 0 అయితే \(\frac{f(x)}{\phi(x)}\) ను అకరణీయ భిన్నం అంటాం.

→ f(x) తరగతి Φ(x) తరగతి కంటే తక్కువ అయితే \(\frac{f(x)}{\phi(x)}\) ను క్రమభిన్నమని అంటారు.

→ f(x) తరగతి ≥ Φ(x) తరగతి అయిన \(\frac{f(x)}{\phi(x)}\) ను అపక్రమ భిన్నమని అంటారు.

→ \(\frac{f(x)}{\phi(x)}\) క్రమభిన్నం

→ Φ(x) కు పునరావృతం కాని ఏకఘాత కారణాంకాలున్నప్పుడు Φ(x) లో (ax + b) రూపంలో ఉండే ప్రతి కారణాంకానికి సంబంధించి \(\frac{A}{a x+b}\) అనే పాక్షిక భిన్నం ఉంటుంది A వాస్తవ సంఖ్య.

→ Φ(x) కు పునరావృతం అయ్యేవి, కానివి ఏకఘాత కారణాంకాలున్నప్పుడు, Φ(x) కు (ax + b)ⁿ, n ∈ N రూపంలో వుండే ప్రతి పునరావృత కారణాంకానికి సంబంధించి \(\frac{A_1}{a x+b}+\frac{A_2}{(a x+b)^2}\) + …… + \(\frac{A_n}{(a x+b)^n}\) అనే n పాక్షిక భిన్నాలుంటాయి. ఇక్కడ A₁, A₂, ……., A_n లు వాస్తవ స్థిరాంకాలు.

→ Φ(x) కు ax² + bx + c రూపంలో పునరావృతం కాని అవిభాజ్య కారణాంకం ఉన్నప్పుడు Φ(x) కు ax² + bx + c రూపంలో ఉన్న ప్రతి కారణాంకానికి సంబంధించి \(\frac{A x+B}{a x^2+b x+c}\); A, B లు వాస్తవ స్థిరరాసులు, రూపంలో ఒక పాక్షిక భిన్నం ఉంటుంది.

→ Φ(x) కు ax² + bx + c రూపంలో పునరావృతం కాని అవిభాజ్య కారణాంకం ఉన్నప్పుడు Φ(x) కు (ax² + bx + c)ⁿ రూపంలో ఉన్న ప్రతి కారణాంకానికి సంబంధించి n పాక్షిక భిన్నాలు \(\frac{A_1 x+B_1}{a x^2+b x+c}+\frac{A_2 x+B_2}{\left(a x^2+b x+c\right)^2}+\ldots . .+\frac{A_n x+B_n}{\left(a x^2+b x+c\right)^n}\), n ధన పూర్ణాంకం, A₁, A₂, ……, A_n, B₁, B₂, ………, B_n లు స్థిరరాసుల రూపంలో వుంటాయి.

→ Φ(x) కు ax² + bx + c రూపంలో పునరావృతం అయ్యేవి. కానివి అవిభాజ్య కారణాంకాలున్నప్పుడు, థ(x) కు (ax² + bx + c)ⁿ రూపంలో ఉన్న ప్రతి కారణాంకానికి సంబంధించి n పాక్షిక భిన్నాలు.

→ \(\frac{f(x)}{\phi(x)}\) అపక్రమ భిన్నమైతే \(\frac{f(x)}{\phi(x)}=q(x)+\frac{R(x)}{\phi(x)}\) అని వ్రాయవచ్చు. ఇచ్చట q(x) అనేది f(x) ను Φ(x) చే భాగించగా వచ్చే భాగఫలం, R(x) శేషం, R(x) తరగతి Φ(x), తరగతి కన్నా తక్కువ \(\frac{R(x)}{\phi(x)}\) ను పాక్షిక భిన్నాల మొత్తంగా వ్రాయటానికి పై పద్ధతులను ఉపయోగిస్తారు.

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A ద్విపద సిద్ధాంతం Formulas

→ n ఒక ధన పూర్ణాంకం, x, a లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే
(x + a)ⁿ = ⁿC₀ . xⁿ . a⁰ + ⁿC₁ . x^n-1 . a¹ + ⁿC₂ . x^n-2 . aⁿ + …… + ⁿC_r . x^n-r a^r +……. + ⁿC_n . x⁰ . aⁿ = \(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r \cdot x^{n-r} \cdot a^r\)

→ (x + a)ⁿ విస్తరణలో (n + 1) పదాలున్నాయి.

→ (x + a)ⁿ విస్తరణలోని rవ పదాన్ని T_r తో సూచిస్తే T_r = ⁿC_(r-1) x^n-r+1 a^r-1, 1 ≤ r ≤ n+1

→ (x + a)ⁿ విస్తరణలో (r + 1)వ పదాన్ని ‘సాధారణ పదం’ (General Term) అంటాం.
i.e., T_r+1 = ⁿC_r . x^n-r. a^r ; r = 0, 1, 2, ….., n.

→ (a + b + c)ⁿ విస్తరణలో పదాల సంఖ్య = \(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

→ n సరిసంఖ్య (ధన పూర్ణాంకం) అయితే (x + a)ⁿ విస్తరణలో మధ్య పదం = \(T_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\)

→ n బేసిసంఖ్య (ధన పూర్ణాంకం) అయితే (x + a)ⁿ విస్తరణలో రెండు మధ్య పదాలుంటాయి. అవి \(T_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\), \(T_{\left(\frac{n+3}{2}\right)}\)

→ \(\frac{(n+1)|x|}{|x|+1}\) = p, ధన పూర్ణాంకమైన, (1 + x)ⁿ విస్తరణలో pవ, (p + 1)వ పదాలు సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠ పదాలు అవుతాయి. మరియు |T_p| = |T_p+1|

→ \(\frac{(n+1)|x|}{|x|+1}\) = p + F; p ధన పూర్ణాంకం, 0 < F < 1 అయిన (1 + x)ⁿ విస్తరణలో (p + 1)వ పదం సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠ పదం అవుతుంది.

→ C₀, C₁, C₂, …….., C_n లు ద్విపద గుణకాలు అంటాం. ఇచ్చట C_r = ⁿC_r, r = 0, 1, 2, ….. n

• C₀ + C₁ + C₂ + …… + C_n = \(\sum_{r=0}^n c_r\) = 2ⁿ
• C₀ – C₁ + C₂ – C₃ + ……. (-1)ⁿ C_n = 0
• C₀ + C₂ + C₄ + …… = C₁ + C₃ + C₅ + …….. = 2^n-1
• \(\sum_{r=0}^n r \cdot{ }^n C_r\) = n . 2^n-1
• \(\sum_{r=2}^n(r)(r-1) \cdot{ }^n C_r\) = (n) (n – 1) . 2^n-2
• \(\sum_{r=1}^n r^2 \cdot{ }^n C_r\) = (n) (n + 1) . 2^n-2
• a . C₀ + (a + d) . C₁ + (a + 2d) . C₂ + ……. + (a + nd) . C_n = (2a + nd) 2^n-1
• C₀C_r + C₁C_r+1 + C₂C_r+2 + C_n-rC_n = ⁽²ⁿ⁾C_(n-r) = ⁽²ⁿ⁾C_(n+r) = \(\frac{(2 n) !}{(n+r) !(n-r) !}\)

→ f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ….. + a_nxⁿ అయిన

• గుణకాల మొత్తం = f(1)
• x యొక్క సరి ఘాతాల గుణకాల మొత్తం = \(\frac{f(1)+f(-1)}{2}\)
• x యొక్క బేసి ఘాతాల గుణకాల మొత్తం = \(\frac{f(1)-f(-1)}{2}\)

→ m అకరణీయ సంఖ్య, x ఒక వాస్తవ సంఖ్య, |x| < 1 అయితే
(1 + x)^m = \(1+\frac{m}{1} x+\frac{(m)(m-1)}{1.2} x^2+\frac{(m)(m-1) \ldots .(m-r+1)}{1.2 .3 \ldots . .(r)} \cdot x^r+\ldots \ldots\)
= \(1+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(m n)(m-1) \ldots .(m-r+1)}{1.2 \cdot 3 \ldots . . r^{\prime}} x^r\)

→ (1 – x)^-n = \(1+n x+\frac{(n)(n+1)}{1.2} x^2+\ldots+\frac{(n)(n+1) \ldots(n+r-1)}{1: 2.3 \ldots \ldots(r)} x^r+\ldots\)

→ |x| < 1, p, q ∈ N అయిన
\((1-x)^{-p / q}=1+\frac{p}{1}\left(\frac{x}{q}\right)+\frac{(p)(p+q)}{1.2}\left(\frac{x}{q}\right)^2+\ldots .+\frac{(p)(p+q) \ldots .[p+(r-1) q]}{1.2 .3 \ldots . . r}\left(\frac{x}{q}\right)^r+\ldots .\)

→ \((1+x)^{-p / q}=1-p\left(\frac{x}{q}\right)+\frac{(p)(p+q)}{1.2}\left(\frac{x}{q}\right)^2+\ldots \ldots\) \(+(-1)^r \frac{(p)(p+q) \ldots(p+(\overline{r-1}) q)}{1.2 \cdot 3.4 \ldots .(r)} \cdot\left(\frac{x}{q}\right)^r+\ldots .\)

→ \((1+x)^{p / q}=1+\frac{p}{1 !}\left(\frac{x}{q}\right)+\frac{(p)(p-q)}{1.2}\left(\frac{x}{q}\right)^2+\ldots\) \(+\frac{(p)(p-q)(p-2 q) \ldots \ldots(p-(\overline{r-1}) q)}{r !}\left(\frac{x}{q}\right)^r+\ldots .\)

→ \((1-x)^{p / q}\) లో Tr+1 = \((-1)^r \frac{(p)(p-q)(p-2 q) \ldots \ldots(p-(\overline{r-p}) q)}{r !}\left(\frac{x}{q}\right)^r\)

→ n ధన పూర్ణాంకం, x ఒక వాస్తవ సంఖ్య ; |x| < 1 అయితే

• (1 + x)^-n = \(1-\frac{n}{1 !} x+\frac{(n)(n+1)}{2 !} x^2+\ldots . .+\ldots .+(-1)^r \frac{(n)(n+1) \ldots .(n+r-1)}{r !} x^r\) \(+\ldots \infty=\sum_{r=0}^{\infty}(-1)^{r(n+r-1)} C_r \cdot x^r\)
• (1 – x)^-n = \(1+\frac{n}{1 !} x+\frac{(n)(n+1)}{2 !} x^2+\ldots .+\ldots .+\frac{(n)(n+1)(n+2) \ldots \ldots(n+r-1)}{r !} x^r\) \(+\ldots \infty=\sum_{r=0}^{\infty}{ }^{(n+r-1)} C_r \cdot x^r\)

→ x², ఆపై x ఘాతాలు ఉపేక్షించేంతగా, |x| చిన్నదయితే (1 + x)ⁿ = 1 + nx

→ x³, ఆపై x ఘాతాలు ఉపేక్షించేంతగా, |x| చిన్నదయితే, (1 + x)ⁿ = 1 + nx + \(\frac{(n)(n-1)}{1.2} x^2\)

→ x⁴, ఆపై x ఘాతాలు ఉపేక్షించేంతగా, |x| చిన్నదయితే, (1 + x)ⁿ = 1 + nx + \(\frac{(n)(n-1)}{2 !} x^2+\frac{(n)(n-1)(n-2)}{3 !} x^3\)

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Formulas

→ ప్రాథమిక సూత్రం: ఒక పని W₁ ను ‘m’ విభిన్న విధాలుగానూ, మరొక పని W₂ ను ‘n’ విభిన్న విధాలుగానూ చేయగలిగితే, ఈ రెండు పనులునూ ఒకేసారి ‘mn’ విభిన్న విధాలుగా చేయవచ్చు.

→ n అనేది ఋణేతర పూర్ణాంకం అయిన (i) 0! = 1 (ii) n! = n(n – 1)!

→ ఇచ్చిన వస్తువుల నుంచి (ఒకే విధంగా లేక విభిన్లు) కొన్ని లేదా అన్నీ ఎంచుకొని ఒక వరసలో (సరళరేఖలో) అమర్చడాన్ని ఒక ‘రేఖీయ ప్రస్తారం’ లేదా ‘ప్రస్తారం’ అంటాం.

→ n, r లు ధన పూర్ణాంకాలు, r ≤ n అయినప్పుడు ‘n’ విభిన్న వస్తువుల నుంచి ఒక్కొక్కసారి ‘r’ వస్తువుల చొప్పున తీసుకొంటే వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను ⁿP_r తో సూచిస్తాం.
ⁿP_r = \(\frac{n !}{(n-r) !}\), 0 ≤ r ≤ n

→ n, r లు ధన పూర్ణాంకాలు, r ≤ n అయిన

• ⁿP_r = n . ^(n-1)P_(r-1), r ≥ 1
• ⁿP_r = (n) . (n – 1) ^(n-2)P_(r-1), r ≥ 2
• ⁿP_r = ^(n-1)P_r + r . ^(n-1)P_(r-1)

→ n అసరూప వస్తువుల నుంచి ‘r’ వస్తువుల చొప్పున తీసుకొంటే వచ్చే ప్రసారాలలో

• నిర్దేశించిన ఒక వస్తువు ఉండే ప్రస్తారాల సంఖ్య (r) ^(n-1)P_(r-1)
• నిర్దేశించిన ఒక వస్తువు లేని ప్రస్తారాల సంఖ్య ^(n-1)P_r
• నిర్దేశించిన ఒక వస్తువు నిర్ధేశించిన స్థానంలో ఉండే ప్రస్తారాల సంఖ్య = ^(n-1)P_(r-1)

→ A లో వున్న విభిన్న మూలకాల సంఖ్య n(A); B లో వున్న విభిన్న మూలకాల సంఖ్య n(B) అయితే n(A) ≤ n(B) అయినపుడు A నుండి B కు గల విభిన్న అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య ^n(B)P_n(A)

→ n(A) = n(B) అయినపుడు A నుండి B కు గల ద్విగుణప్రమేయాల సంఖ్య n(A)!

→ A నుండి B కు గల ప్రమేయాల సంఖ్య [n(B)]^n(A)

→ పునరావృతాన్ని అనుమతించినపుడు n విభిన్న వస్తువులతో, r వస్తువులుండేటట్లు ఏర్పరచగల ప్రస్తారాల సంఖ్య n^r.

→ n విభిన్న శూన్యేతర 1, 2, 3, ……, 9 అంకెలను ఉపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఏర్పరచగల r స్థానాలు గల సంఖ్యల మొత్తం ^(n-1)P_(r-1) × (దత్త అంకెల మొత్తం) × (111…. r సార్లు).

→ పైన చెప్పిన అంశంలోని n విభిన్న పూర్ణాంకాలలో ‘0’ కూడా ఉన్నప్పుడు ఏర్పరచగల 7 స్థానాలున్న సంఖ్యల మొత్తం = ^(n-1)P_(r-1) × దత్త అంకెల మొత్తం × (111……. r సార్లు) ^(n-2)P_(r-2) × (దత్త అంకెలమొత్తం × (111 – (r – 1) సార్లు)

→ n విభిన్న వస్తువుల నుంచి వచ్చే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = (n – 1)!

→ n విభిన్న వస్తువులతో ఏర్పడే పువ్వుల దండలు, పూసల గొలుసులు వంటి వేలాడే రకం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}\) (n – 1)!

→ ఇచ్చిన n వస్తువులలో p వస్తువులు ఒక రకంగానూ, q వస్తువులు మరొక రకంగానూ, r వస్తువులు వేరొక రకంగానూ ఉంటూ మిగిలిన వస్తువులు విభిన్నంగా ఉంటే, ఈ n వస్తువులను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{n !}{p ! q ! r !}\)

→ n విభిన్న వస్తువుల నుండి ‘r’ వస్తువుల వంతున తీసుకొంటే వచ్చే సంయోగాల సంఖ్యను ⁿC_r తో సూచిస్తాం. మరియు ⁿC_r = \(\frac{n !}{(n-r) ! r !}\), 0 ≤ r ≤ n

→ n, r లు ధన పూర్ణాంకాలు, 0 ≤ r ≤ n అయితే ⁿC_r = ⁿC_(n-r)

→ n, r, s ధన పూర్ణాంకాలు 0 ≤ r ≤ n, 0 ≤ s ≤ n మరియు ⁿC_r = ⁿC_s అయితే r = s లేదా r + s = n అవుతుంది.

→ (m ≠ n) అయినపుడు (m + n) విభిన్న వస్తువుల నుండి m, n వస్తువులు ఉన్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య ^{(m + n)}C_m = ^{(m + n)}C_n = \(\frac{(m+n) !}{m ! n !}\)

→ ఇట్లే m, n, p లు విభిన్న ధన పూర్ణాంకాలయినప్పుడు (m + n + p) వస్తువులను m, n, p వస్తువులున్న 3 భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య \(\frac{(m+n+p) !}{m ! n ! p !}\)

→ ‘mn’ విభిన్న వస్తువులను ‘m’ సమభాగాలుగా (ఒక్కొక్క భాగంలో n వస్తువులుండే విధంగా) విభజించే విధాల సంఖ్య \(\frac{(m n) !}{(n !)^m m !}\)

→ (mn) విభిన్న వస్తువులను m వ్యక్తులకు సమానంగా పంచే విధాల సంఖ్య \(\frac{(m n) !}{(n !)^n}\)

→ ఒక రకం సరూప వస్తువులు p, మరొక రకం సరూప వస్తువులు q, వేరొక రకం సరూప వస్తువులు r ఇచ్చినపుడు వాటి నుంచి ఒకటి లేదా అంత కంటే ఎక్కువ వస్తువులను ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య (p + 1) (q + 1) (r + 1) – 1.

→ m ధన పూర్ణాంకాం మరియు \(p_1^{\alpha_i} \cdot p_2^{\alpha_2} \ldots \ldots p_k^{\alpha_k}\) అవుతూ, p₁, p₂, ……., p_k లు విభిన్న ప్రధాన సంఖ్యలు α₁, α₂, ….., α_k ధన పూర్ణాంకాలు అయినపుడు m కు గల ధన భాజకాల సంఖ్య (α₁ + 1) (α₂ + 1) …… (α_k + 1), (1, m లతో కలిపి)

→ n విభిన్న వస్తువుల నుండి 0, 1, 2,…… లేదా n వస్తువులతో ఏర్పడే సంయోగాల సంఖ్య ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + …… + ⁿC_r = 2ⁿ

→ n విభిన్న వస్తువుల నుండి ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువులతో ఏర్పడే సంయోగాల సంఖ్య = 2ⁿ – 1

→ n భుజాలున్న బహుభుజిలో కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{n(n-3)}{2}\)

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 4 సమీకరణ వాదం to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A సమీకరణ వాదం Formulas

→ n రుణేతర పూర్ణసంఖ్య; a₀, a₁, a₂, ……, a_n లు వాస్తవ లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు, a_n ≠ 0 అయితే, అప్పుడు f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + a₂ x^n-2 + ….. + a_n సమాసాన్ని x లో nవ తరగతి బహుపది అంటాం.

→ f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + a₂ x^n-2 + ….. + a_n = 0 సమీకరణాన్ని nవ తరగతి బీజీయ సమీకరణం లేదా బహుపది సమీకరణం అంటాం. ఇచ్చట a₀ ≠ 0

→ f(α) = 0 అయితే, సంకీర్ణ సంఖ్య α ను బహుపది f(x) = 0 సమీకరణానికి మూలం అని అంటాం.

→ f(α) = 0 అయిన f(x) సమాసానికి (x – α) ఒక కారణాంకం అవుతుంది.

→ సమీకరణ మూలాలు, గుణకాల మధ్య సంబంధం:
(i) x³ + p₁x² + p₂x + p₃ = 0 సమీకరణ మూలాలు α₁, α₂, α₃, అయితే, అప్పుడు

• s₁ = α₁ + α₂ + α₃ = -p₁
• s₂ = α₁α₂ + α₂α₃ + α₃α₁ = p₂
• s₃ = α₁α₂α₃ = -p₃

(ii) x⁴ + p₁x³ + p₂x² + p₃x + p₄ = 0 సమీకరణ మూలాలు α₁, α₂, α₃, α₄ అయిన, అప్పుడు

• s₁ = α₁ + α₂ + α₃ + α₄ = -p₁
• s₂ = α₁α₂ + α₂α₃ + α₃α₄ + α₁α₃ + α₁α₄ + α₂α₄ = p₂
• s₃ = α₁α₂α₃ + α₂α₃α₄ + α₃α₄α₁ + α₁α₂α₄ = -p₃
• s₄ = α₁α₂α₃α₄ = p₄

→ ఒక ఘన సమీకరణ మూలాలు

• అంకశ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని a – d, a, a + d గా తీసుకొంటాం.
• గుణశ్రేఢిలో ఉంటే \(\frac{a}{r}\), a, ar గా తీసుకుంటాం.
• హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని \(\frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}\) గా తీసుకొంటాం.

→ ఒక ద్వివర్గ సమీకరణ మూలాలు

• అంకశ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని a – 3d, a – d, a + d, a + 3d గా తీసుకొంటాం.
• గుణశ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని \(\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}\), ar, ar³ గా తీసుకొంటాం.
• హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని \(\frac{1}{a-3 d}, \frac{1}{a-d}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+3 d}\) గా తీసుకొంటాం.

→ వాస్తవ సంఖ్యలు గుణకాలుగా గల బహుపదీయ సమీకరణానికి సంకీర్ణ మూలాలు సంయుగ్మంగా ఉంటాయి.

→ అకరణీయ సంఖ్యలు గుణకాలుగా గల బహుపదీయ సమీకరణానికి కరణీయ మూలాలు సంయుగ్మాలు.
ఉదా: 2 + √3 ఒక మూలమైతే, 2 – √3 కూడా మూలం అవుతుంది.

→ α₁, α₂, ….., α_n లు f(x) = 0 కు మూలాలైన,

• -α₁, -α₂, ……, -α_n లు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణం f(-x) = 0 అవుతుంది.
• kα₁, kα₂, ….. kα_n లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(\(\frac{x}{k}\)) = 0, (k ≠ 0)
• \(\frac{1}{\alpha_1}, \frac{1}{\alpha_2}, \ldots \frac{1}{\alpha_n}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(\(\frac{1}{x}\)) = 0
• α₁ + h, α₂ + h, ……., α_n + h లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x – h) = 0
• α₁ – h, α₂ – h, ……, α_n – h లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x + h) = 0
• \(\alpha_1^2, \alpha_2^2, \ldots \alpha_n^2\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(√x) = 0

→ f(x) = p₀ xⁿ + p₁ x^n-1 + p₂ x^n-2 + …… + p_n = 0 సమీకరణంలో రెండవ పదం తొలగింపు చేయటానికి f(x) = 0 ను f(x + h) = 0 గా రూపాంతరం చెందించాలి. ఇచ్చట h = \(\frac{-p_1}{\text { (n) } p_0}\) అవుతుంది.

→ f(x) = 0 బహుపది సమీకరణంలో x బదులు \(\frac{1}{x}\) ప్రతిక్షేపించినా, ఆ సమీకరణంలో మార్పు లేనట్లయితే f(x) = 0 ను వ్యుత్కృమ సమీకరణం (Reciprocal equation) అంటారు.

→ f(x) = 0 వ్యుత్కృమ సమీకరణంలోని గుణకాలన్నీ p_i = p_n-i (i = 0, 1, 2, …., n) పాటిస్తే మొదటి కోవకు (Class one) చెందిన వ్యుత్త మ సమీకరణమనీ; p_i = -p_n-i; పాటిస్తే రెండో కోవకు (Class two) చెందిన వృత్తమ సమీకరణమనీ అంటాం.

→ మొదటి కోవకు చెందిన బేసి వ్యుత్ప్రమ సమీకరణానికి -1 ఒక మూలం అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో రెండో కోవకు చెందిన వ్యుతమ సమీకరణానికి 1 మూలం అవుతుంది.

→ రెండో కోవకు చెందిన సరిపరిమాణ వ్యుతమ సమీకరణానికి 1, -1 లు మూలాలు అవుతాయి.

→ f(x) = 0 సమీకరణం n వ తరగతికి చెందినదై, దానిలో ‘r’ వ పదాన్ని తొలగించటానికి దానిని f(x + h) = 0 కు రూపాంతరం చెందించిన, (h స్థిరాంకం) f^(n-r+1) (h) = 0 కావలయును (i.e.,.) f(x) యొక్క (n – r + 1) వ అవకలనం x = h వద్ద సున్నా కావలయును.

→ f(x) = 0 మూలాన్ని కనుక్కోవటానికి f(x) = 0 ని తృప్తిపరిచే x విలువను కనుక్కోవాలి. కొన్ని సందర్భాలలో పరిశీలన ద్వారా ఈ పని చేయవచ్చు. ఈ పద్ధతిని యత్న-దోష పద్ధతి అంటాం.

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 3 వర్గసమాసాలు to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A వర్గసమాసాలు Formulas

→ a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు అయి, a ≠ 0 అయినపుడు ax² + bx + c రూపంలోని బహుపదిని, చలరాశి x లో వర్గ సమాసం అంటాం.
ఉదా: 4x² – 2x + 3

→ aα² + bα + c = 0 అయితే, సంకీర్ణ సంఖ్య ‘α’ ను ax² + bx + c వర్గ సమాసానికి సున్న అంటాం.

→ a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు అయి, a ≠ 0 అయినపుడు ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని చలరాశి x లో వర్గ సమీకరణం అంటాం. a, b, c లను ఈ సమీకరణ గుణకాలు అంటాం.
ఉదా: 2x² – 5x + 6 = 0

→ aα² + bα + c = 0 అయితే, సంకీర్ణ సంఖ్య α ను ax² + bx + c = 0 సమీకరణానికి మూలం అనిగానీ, సాధన అనిగానీ అంటాం.

→ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

→ α, β లు ax² + bx + c = 0 లు వర్గ సమీకరణ మూలాలు అయితే α + β = \(\frac{-b}{a}\); αβ = \(\frac{c}{a}\)

→ α, β లు మూలాలు గల వర్గ సమీకరణం x² – (α + β)x + αβ = 0

→ వర్గ సమీకరణం మూలాల స్వభావం: ∆ = b² – 4ac ని వర్గ సమాసం ax² + bx + c, వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 ల “విచక్షణి” అంటాం.

→ α, β లు వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 కి మూలాలు అనుకోండి.
సందర్భం 1: a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే అప్పుడు

• ∆ = 0 ⇔ α = β = \(\frac{-b}{2 a}\) (ax² + bx + c = 0) కు ద్విరుక్త మూలం
• ∆ > 0 ⇔ α, β లు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
• ∆ < 0 ⇔ α, β లు వాస్తవేతర పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

సందర్భం 2: a, b, c లు అకరణీయ సంఖ్యలు అయితే అప్పుడు

• ∆ = 0 ⇔ α, β లు సరిసమానమైన అకరణీయ సంఖ్యలు (= \(\frac{-b}{2 a}\), ద్విరుక్త మూలం).
• ∆ > 0 శూన్యేతర అకరణీయ సంఖ్య యొక్క వర్గం ⇔ α, β లు అకరణీయ సంఖ్యలు.
• ∆ ధనాత్మకం, కానీ అకరణీయ సంఖ్య యొక్క వర్గం కాదు ⇔ α, β లు సంయుగ్మ కరణులు.
• ∆ < 0 ⇔ α, β లు వాస్తవేతర పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

→ \(a_1 x^2+b_1 x+c_1=0, a_2 x^2+b_2 x+c_2=0\) వర్గ సమీకరణాల మూలాలు, ఏకీభవించడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)

→ \(a_1 x^2+b_1 x+c_1=0, a_2 x^2+b_2 x+c_2=0\) వర్గ సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం (c₁a₂ – c₂a₁)² = (a₁b₂ – a₂b₁) (b₁c₂ – b₂c₁) మరియు ఉమ్మడి మూలం = \(\frac{c_1 a_2-c_2 a_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)

→ f(x) = ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణంకు మూలాలు α, β లు అనుకుందాం.

• c ≠ 0 అయితే, అప్పుడు αβ ≠ 0, \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(\(\frac{1}{x}\)) = 0;
• α + k, β + k లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x – k) = 0.
• α – k, β – k లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x + k) = 0.
• -α, -β లు మూలాలు గల సమీకరణం f(-x) = 0.
• kα, kβ లు మూలాలు గల సమీకరణం f(\(\frac{x}{k}\)) = 0

→ a, b, c ∈ R, a ≠ 0 అనుకొందాం. అప్పుడు R లోని అన్ని x లకు ax² + bx + c = 0, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటేనే ax² + bx + c = 0 మూలాలు వాస్తవేతర సంకీర్ణ సంఖ్యలవుతాయి.

→ α, β లు ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలై, α < β అయితే, అప్పుడు

• α < x < β అయినప్పుడు, ax² + bx + c, ‘a’ లకు వ్యతిరేక గుర్తులు ఉంటాయి.
• x < α లేదా x > β అయినప్పుడు, ax² + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తులు ఉంటాయి.

→ a < 0 అయితే, ax² + bx + c వర్గ సమాసానికి, x = \(\frac{-b}{2a}\) వద్ద పరమ గరిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)

→ a > 0 అయితే, ax² + bx + c వర్గ సమాసానికి x = \(\frac{-b}{2a}\) వద్ద పరమ కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
కనిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A డిమోయర్ సిద్ధాంతం Formulas

→ ‘n’ పూర్ణాంకము అయితే, (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

→ n అకరణీయ సంఖ్య అయితే, (cis θ)ⁿ కు ఒక విలువ cis(nθ)

→ 1 యొక్క n -వ మూలాలు: cis(\(\frac{2 k \pi}{n}\)), k = 0, 1, 2, 3, … (n – 1)

→ 1 యొక్క ఘనమూలాలు: ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω²

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = \(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\), ω² = \(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\)
• 1, ω, ω² లు గుణశ్రేఢిలో ఉన్నవి.

→ z₀ = r₀ cis θ₀ ≠ 0 అయితే Z₀ యొక్క n-వ మూలాలు \(\alpha_k=r_0^{1 / n} {cis}\left(\frac{2 k \pi+\theta_0}{n}\right)\), k = 0, 1, 2,… (n – 1).

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 1 సంకీర్ణ సంఖ్యలు to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A సంకీర్ణ సంఖ్యలు Formulas

→ సంకీర్ణ సంఖ్య నిర్వచనం: x, y ∈ R కు z = x + iy రూపంలో \(\sqrt{-1}\) అనగా i² = -1 రూపంలో సంఖ్యలను సంకీర్ణ సంఖ్యలు అందురు. ఇందులో x ను z యొక్క వాస్తవ భాగమని మరియు y ను z కు కల్పిత భాగమని అందురు. వీటిని Re(z), Im(z) తో సూచిస్తాం.
x = 0 మరియు y ≠ 0 ⇔ Re(z) = 0 మరియు Im(z) ≠ 0 అయిన Z = x + iy ను శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య (i.e) y ≠ 0 ⇔ Im(z) ≠ 0 అయిన z= x + iy వాస్తవము కాని సంఖ్య అగును.

→ వాస్తవసంఖ్యల క్రమయుగ్మాన్ని సంకీర్ణ సంఖ్య అంటాం. సంకీర్ణ సంఖ్యా సమితిని C తో సూచిస్తాం. అంటే C = {(a, b)/ a ∈ R, b ∈ R} = R × R

→ a = c, b = d అయితే రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలు z₁ = (a, b), z₂ = (c, d) లకు సమానం అంటాం.

→ z₁ = (a, b), z₂ = (c, d) అయితే

• z₁ + z₂ = (a + c, b + d)
• z₁, z₂ = (a – c, b – d)
• z₁z₂ = (ac – bd, ad + bc)
• \(\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac{a c+b d}{c^2+d^2}, \frac{b c-a d}{c^2+d^2}\right)\)

→ మాపము – ఆయామం: సంకీర్ణ సంఖ్య z = x + iy ను P(x, y) బిందువు రూపంలో XOY-తలంలో సూచించిన ఆ తలమును ఆర్లాండ్ తలము అందురు.
|OP| పొడవును z యొక్క మాపము అని, దీనిని |z| చే సూచించెదరు మరియు ∠XOP = θ ను z కు ఆయామం లేదా Arg Z తో సూచిస్తాం.
|z| = r = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
Re(z) = r cos θ ⇔ x = r cos θ …..(1)
మరియు Im(z) = r sin θ ⇔ y = r sin θ ……(2)
(1), (2) ల నుండి ‘θ’ ను కనుగొందుము. θ ∈ (-π, π) ను θ కు ప్రధాన ఆయామము అంటారు.
0 = 0 + i0 యొక్క ఆయామము నిర్వచించలేము. Z యొక్క ఆయామము ఏకైకము కాదు.
2nπ + θ, n ∈ z కూడ z కు ఆయామమే.
మరియు -π < θ ≤ π విలువను z యొక్క ప్రధాన ఆయామం అందురు. దీనిని amp(z) లేదా Arg(z) గా సూచించెదరు.

→ సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మం: x, y ∈ R మరియు ఏదేని సంకీర్ణ సంఖ్య z = x + iy కు సంయుగ్మం x + i(-y) ⇒ x – iy అని నిర్వచించి, \(\bar{z}\) తో సూచిస్తాం. ఏదేని సంకీర్ణ సంఖ్య మరియు వీని సంయుగ్మముల లబ్దము మరియు మొత్తములు ఖచ్చితముగా వాస్తవములు.

→ మాపము, ఆయామం మరియు సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు కొన్ని ధర్మములు:

• │\(\bar{z}\)│= |z|
• z + \(\bar{z}\) = 2 Re(z) మరియు z – \(\bar{z}\) = 2 Im(z)
• \(\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}\)
• \(\left(\frac{\overline{z_1}}{z_2}\right)=\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2^{\prime}}\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\), (z₂ ≠ 0), |z₁z₂| = |z₁| |z₂|
• \(z \bar{z}=|z|^2\) మరియు z ≠ 0, z-1 = \(\frac{\bar{z}}{|z|^2}\)
• z = |\(\bar{z}\)|; amp(\(\bar{z}\)) = 2π – amp(z)
• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, |z₁ – z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
• |z₁ – z₂| ≥ ||z₁| – |z₂||
• amp (z₁) – amp (z₂) = 2π యొక్క ధన పూర్ణాంకముల లబ్ధము అయిన (vii) మరియు (viii) లు వాస్తవములు.
• amp (z₁z₂) = amp (z₁) + amp (z₂) + nπ, n ∈ {-1, 0, 1}
• amp(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = amp (z₁) – amp (z₂) + nπ, n ∈ {-1, 0, 1}
• \(\frac{1}{{cis} \alpha}\) = cis (-α)
• cis α . cis β = cis(α + β)
• \(\frac{{cis} \alpha}{{cis} \beta}\) = cis(α – β)

→ డిమోయర్ సిద్ధాంతము:

• ‘n’ ఏదేని పూర్ణాంకం అయితే (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
• n అకరణీయ సంఖ్య అయితే (cos θ + i sin θ)ⁿ కు ఒక విలువ cos nθ + i sin nθ
• z₀ = r₀ cis θ₀ ≠ 0 అయితే \(z_0^{1 / n}=r_0^{1 / n} {cis}\left(\frac{2 k \pi+\theta_0}{n}\right)\), k = 0, 1, 2, ……., (n – 1)

→ ఒకటి యొక్క ఘనమూలాలు:

• ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω = \(\frac{-1+\sqrt{3 i}}{2}\) మరియు ω² = \(\frac{-1-\sqrt{3 i}}{2}\)
• 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = 1; 1 + ω = -ω², 1 + ω² = -1
• ఒకటి వాస్తవము గాని విలువలు ఒకటి మరియొక దాని వర్గమునకు సమానమగును.
• ఒకటి యొక్క వాస్తవముగాని విలువలు α, β అయిన α + β = -1, αβ = 1, α² = -β, β² = α మరియు α³ = β³ = 1
• \((-1)^{1 / 3}\) మూలాలు -1, -ω, -ω²

సూత్రాలు:
→ z యొక్క మాపము = \(\sqrt{x^2+y^2}\)

→ \(\sqrt{a+i b}\) = (x + iy) అయిన

• \(\sqrt{a+i b}+\sqrt{a-i b}=\sqrt{2 a+2 \sqrt{a^2+b^2}}\)
• \(\sqrt{a+i b}-\sqrt{a-i b}=i \sqrt{2 \sqrt{a^2+b^2-2 a}}\)

→ a + ib యొక్క సంయుగ్మము = a – ib

→ a – ib యొక్క సంయుగ్మము = a + ib

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు Exercise 10(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు Exercise 10(b)

అభ్యాసం – 10(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక నాణేన్ని n సార్లు ఎగరవేసే ప్రయోగంలో, బొమ్మలు పడే సంఖ్యను, చలరాశి X సూచిస్తుంది. P(X = 4), P(X = 5), P(X = 6) లు అంకశ్రేఢి లో ఉన్నాయి. అప్పుడు n కనుక్కోండి.
సాధన:
X ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.
p = \(\frac{1}{2}\), q = \(\frac{1}{2}\) (∵ నాణేన్ని ఎగరవేస్తే)
Hint: a, b, c లు A.P. లో ఉంటే 2b = a + c (లేదా) b – a = c – a
P(X = 4), P(X = 5), P(X = 6) లు A.P. లో ఉన్నాయి.

⇒ 2 × 30(n – 4) = 5[30 + n² – 9n + 20]
⇒ 12n – 48 = n² – 9n – 50
⇒ n² – 21n + 98 = 0
⇒ n² – 14n – 7n + 98 = 0
⇒ n(n – 14) – 7(n – 14) = 0
⇒ (n – 7) (n – 14) = 0
∴ n = 7 లేదా 14

ప్రశ్న 2.
కనీసం ఒక బొమ్మ పడుతూ, సంభావ్యత కనీసం 0.8 కావడానికి, ఒక నిష్పాక్షిక నాణేన్ని ఎగరవేయాల్సిన గరిష్ఠ సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక నిష్పాక్షిక నాణేన్ని n సార్లు ఎగరవేసితిమి అనుకోండి.
బొమ్మల సంఖ్యను చలరాశి X సూచిస్తుంది.
X ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది. n, p లు పరామితులు.
ఇచ్చట p = \(\frac{1}{2}\)
దత్తాంశం నుండి P(X ≥ 1) ≥ 0.8
⇒ 1 – P(X = 0) ≥ 0.8
⇒ P(X = 0) ≤ 0.2
⇒ \({ }^n C_o\left(\frac{1}{2}\right)^n\) ≤ 0.2
⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{5}\)
n ≥ ౩ అయిన పై అసమీకరణం సత్యం కనుక n గరిష్ఠ విలువ 3.

ప్రశ్న 3.
ఒక బాంబు, ఒక వంతెనను కూల్చివేసే సంభావ్యత \(\frac{1}{2}\), వంతెనను కూల్చడానికి 3 సార్లు (వరుసగా కానవసరం లేదు) నేరుగా కొట్టవలసి వస్తుంది. వంతెన కూలే సంభావ్యత 0.9 కంటే ఎక్కువ కావడానికి కావలసిన బాంబుల కనిష్ట సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
వంతెనను కూల్చడానికి కావలసిన బాంబుల కనిష్ట సంఖ్య n, యాదృచ్ఛిక చలరాశి X బాంబుల సంఖ్యను తెలిపితే,
p = \(\frac{1}{2}\)
ఇప్పుడు P(X ≥ 3) > 0.9
⇒ 1 – P(X < 3) > 0.9
⇒ P(X < 3) < 0.1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2) < 0.1


⇒ 5(n² + n + 2) < 2n
యత్నదోష పద్ధతిన n ≥ 9 పై అసమీకరణాన్ని తృప్తి పరుస్తుంది.
∴ కనిష్ట విలువ 9.

ప్రశ్న 4.
ఒక ద్విపద చలరాశి మధ్యమం, విస్తృతుల మధ్య భేదం \(\frac{5}{9}\) అయితే, ప్రయోగాన్ని 5 సార్లు నిర్వహించినప్పుడు 2 సార్లు సఫలం అయ్యే ఘటన సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
n = 5, p లు ద్విపద విభాజనానికి పరామితులు
మధ్యమం – విస్తృతి = \(\frac{5}{9}\)

∴ 2 సార్లు సఫలం అయ్యే ఘటన సంభావ్యత = \(\frac{80}{243}\)

ప్రశ్న 5.
ప్రయాణానికి సంసిద్ధమైన 9 ఓడలలో ఒకటి మునిగిపోయే ప్రమాదం ఉంది. 6 ఓడలు ప్రయాణానికి సంసిద్ధమైతే (i) కనీసం ఒకటి క్షేమంగా చేరడానికి (ii) సరిగ్గా 3 క్షేమంగా చేరడానికి గల సంభావ్యతలను కనుగొనండి. [Mar. ’08]
సాధన:
p = ఓడ మునిగిపోవటానికి సంభావ్యత = \(\frac{1}{9}\)
q = 1 – p
= 1 – \(\frac{1}{9}\)
= \(\frac{8}{9}\)
ఓడల సంఖ్య = n = 6

ప్రశ్న 6.
ఒక ద్విపద చలరాశి X అంకమధ్యం, విస్తృతులు వరుసగా 2.4, 1.44 అయితే, P(1 < X ≤ 4) ను కనుక్కోండి. [May ’06]
సాధన:
X అంకమధ్యమం = np = 2.4 ……(1)
విస్తృతి = npq = 1.44 ………(2)
(2) ను (1) చే భాగించగా
\(\frac{n p q}{n p}=\frac{1.44}{2.4}\)
q = 0.6 = \(\frac{3}{5}\)
p = 1 – q
= 1 – 0.6
= 0.4
= \(\frac{2}{5}\)
(1) లో వ్రాయగా
n(0.4) = 2.4
n = \(\frac{2.4}{0.4}\) = 6
P(1 < X ≤ 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

ప్రశ్న 7.
ఒక కంపెనీ తయారు చేసే విద్యుత్ (ఎలక్ట్రిక్) బల్బులలో 10 శాతం లోపం ఉన్నవని ఇచ్చారు. 20 బల్బులలో 2 కంటే ఎక్కువ బల్బులు లోపం ఉన్నవి కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
p = బల్బు లోపం కలది కావటానికి సంభావ్యత = \(\frac{1}{10}\)
q = 1 – p
= 1 – \(\frac{1}{10}\)
= \(\frac{9}{10}\)
n = బల్బుల సంఖ్య = 20
P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2)
= 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

ప్రశ్న 8.
సగటున ప్రతి 30 రోజులలో 12 రోజులు వర్షం కురిస్తే, ఒక వారంలో 3 రోజులు వర్షం కురిసే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
p = \(\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\) (దత్తాంశము నుండి)
q = 1 – p
= 1 – \(\frac{2}{5}\)
= \(\frac{3}{5}\)
n = 7, r = 3
వారంలో 3 రోజులు వర్షం కురిసే సంభావ్యత P(X = 3)

ప్రశ్న 9.
అంకమధ్యమం 6, విస్తృతి 2 గల ఒక ద్విపద విభాజనం లోని మొదటి రెండు పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు ద్విపద విభాజన పరిమితులు.
మధ్యమం (np) = 6 …..(1)
విస్తృతి (npq) = 2 …..(2)
అప్పుడు \(\frac{\mathrm{npq}}{\mathrm{np}}=\frac{2}{6}\)
q = \(\frac{1}{3}\)
p = 1 – q
= 1 – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)
(1) నుండి nP = 6
n(\(\frac{2}{3}\)) = 6
n = \(\frac{18}{2}\) = 9
విభాజనంలో మొదటి పదం P(X = 0) = \({ }^9 C_0\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{1}{3^9}\)
రెండవ పదం P(X = 1) = \({ }^9 C_1\left(\frac{1}{3}\right)^8\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3^7}\)

ప్రశ్న 10.
ఒక నగరంలో 50 రోజుల వ్యవధిలో 10 ప్రమాదాలు సంభవిస్తాయి. ప్రమాదాల సంఖ్య ఒక పాయిజాన్ విభాజనాన్ని అనుసరిస్తుందనుకుంటే, ఒక్క రోజులో 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రమాదాలు జరగగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రోజులో సగటు ప్రమాదాల సంఖ్య
λ = \(\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\) = 0.2
రోజులో 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రమాదాలు జరగగల సంభావ్యత
P(X ≥ 3) = \(\sum_{k=3}^{\infty} \mathrm{e}^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k !}\), λ = 0.2

II.

ప్రశ్న 1.
5 నాణేలను 320 సార్లు ఎగరవేశారు. బొమ్మల సంఖ్యకు పౌనఃపున్య విభాజనాన్ని కనుక్కుని, ఫలితాన్ని పట్టికగా రాయండి.
సాధన:
5 నాణేలను 320 సార్లు ఎగరవేశారు.
బొమ్మ రావడానికి సంభావ్యత
p = \(\frac{1}{2}\)
n = 5
q = 1 – p
= 1 – \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)
X బొమ్మలు రావటానికి సంభావ్యత

ప్రశ్న 2.
ఒక ప్రశ్నాపత్రంలోని 10 సమాధానాలకు కనీసం సరైనవిగా ఊహించగల సంభావ్యత కింది సందర్భాలలో కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
(i) ప్రశ్నాపత్రంలో తప్పు, ఒప్పులు గల ప్రశ్నలు ఉన్నప్పుడు
(ii) ప్రశ్నాపత్రంలో 4 ఐచ్ఛిక సమాధానాలుండే బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలున్నప్పుడు
సాధన:
(i) ఒప్పు లేదా తప్పులు సమాధానాలు కనుక
సఫల సంభావ్యత p = \(\frac{1}{2}\)
విఫల సంభావ్యత q = \(\frac{1}{2}\)
10 సమాధానాలలో 6 సరియైనట్టివిగా ఊహించగల సంభావ్యత
P(X = 6) = \({ }^{10} C_6\left(\frac{1}{2}\right)^{10-6}\left(\frac{1}{2}\right)^6\)
= \({ }^{10} C_6\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\)

(ii) 4 సాధ్యమయ్యే సమాధానాలు ఉన్న ప్రశ్నలు
కనుక సఫల సంభావ్యత p = \(\frac{1}{4}\)
విఫల సంభావ్యత q = \(\frac{3}{4}\)
10 సమాధానాలలో 6 సరియైనట్టివిగా ఊహించగల సంభావ్యత
P(X = 6) = \({ }^{10} C_6\left(\frac{3}{4}\right)^{10-6}\left(\frac{1}{4}\right)^6\)
= \({ }^{10} C_6 \cdot \frac{3^4}{4^{10}}\)

ప్రశ్న 3.
ఒక నిముషంలో ఒక సినిమా టికెట్ కౌంటర్ వద్దకు వచ్చి చేరే వ్యక్తుల సంఖ్య, 6 పరామితితో ఒక పాయిజాన్ విభాజనంగా ఉంటుంది.
(i) ఒక నిర్దిష్ట నిమిషంలో ఏ ఒక్కరూ క్యూలో చేరని
(ii) ఒక నిమిషంలో ఇద్దరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది క్యూలో వచ్చి చేరే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
λ = 6
(i) ఒక నిర్దిష్ట నిమిషంలో ఏ ఒక్కరూ క్యూలో చేరని సంభావ్యత
P(X = 0) = \(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^0}{0 !}\) = e-6

(ii) ఒక నిముషంలో ఇద్దరూ లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది క్యూలో వచ్చి చేరే సంభావ్యత
P(X ≥ 2) = 1 – P(X ≤ 1)
= 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1 – \(\left[\mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0 !}+\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1 !}\right]\)
= 1 – \(\left[\mathrm{e}^{-6}+\frac{\mathrm{e}^{-6} \cdot(6)}{1 !}\right]\)
= 1 – 7e^-6

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు Exercise 10(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు Exercise 10(a)

అభ్యాసం – 10(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతా విభాజన ప్రమేయం, x = 0, 1, 2 బిందువుల వద్ద మినహా తక్కిన అన్ని చోట్ల సున్న అవుతుంది. ఈ బిందువుల వద్ద, దాని విలువ P(0) = 3c³, P(1) = 4c – 10c², P(2) = 5c – 1, c > 0. c విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
⇒ 3c³ + 4c – 10c² + 5c – 1 = 1
⇒ 3c³ – 10c² + 9c – 2 = 0
⇒ (c – 1) (c – 2) (3c – 1) = 0
⇒ c = 1 లేదా 2 లేదా \(\frac{1}{3}\)
c = 1, 2 అయిన P(0) > 1
∴ c = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 2.
F(x) = \(c\left(\frac{2}{3}\right)^x\), x = 1, 2, 3 …….. ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజన ప్రమేయాన్ని తృప్తిపరచేటట్లుగా, స్థిరరాశి c విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి

ప్రశ్న 3.

అనేది ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం k విలువ, X విస్తృతులను కనుక్కోండి. [Mar.’06]
సాధన:
సంభావ్యతల మొత్తం = 1
⇒ 0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1
⇒ 4k + 0.6 = 1
⇒ 4k = 1 – 0.6 = 0.4
⇒ k = \(\frac{0.4}{4}\) = 0.1
అంకమాధ్యమం (μ) = (-2) (0.1) + (-1) (k) + 0(0.2) + 1(2k) + 2(0.3) + 3k
= -0.2k + 0 + 2k + 0.6 + 3k
= 4k + 0.4
=4(0.1) + 0.4
= 0.4 + 0.4
= 0.8
μ = 0.8
విస్తృతి (σ²) = \(\sum_{i=1}^n x_i^2 P\left(x=x_i\right)\) – μ²
∴ విస్తృతి = 4(0.1) + 1(k) + 0(0.2) + 1(2k) + 4(0.3) + 9k – μ²
= 0.4 + k + 0 + 2k + 4(0.3) + 9k – μ²
= 12k + 0.4 + 1.2 – (0.8)²
= 12(0.1) + 1.6 – 0.64
= 1.2 + 1.6 – 0.64
∴ σ² = 2.8 – 0.64 = 2.16

ప్రశ్న 4.

అనేది ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం. అయితే X విస్తృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం ఈ క్రింది విధంగా ఉంది. [A.P. & T.S. Mar. ’16]

(i) k విలువ (ii) X అంకమధ్యమం (iii) P(0 < x < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
సంభావ్యతల మొత్తం = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (10k – 1) (k + 1) = 0
⇒ k = \(\frac{1}{10}\), -1
∵ k > 0
∴ k = \(\frac{1}{10}\)
(i) k = \(\frac{1}{10}\)
(ii) X అంక మధ్యమం (μ) = \(\sum_{i=1}^n x_i P\left(x=x_i\right)\)
∴ μ = 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= \(66\left(\frac{1}{100}\right)+30 \times\left(\frac{1}{10}\right)\)
= 0.66 + 3
= 3.66
(iii) P(0 < x < 5)
P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8 × \(\frac{1}{10}\)
= \(\frac{4}{5}\)

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి X = {0, 1, 2}. P(X = 0) = 3c³, P(X = 1) = 4c – 10c², P(X = 2) = 5c – 1 అయినప్పుడు (i) c విలువ (ii) P(X < 1), P(1 < X ≤ 2), P(0 < X ≤ 3) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’13, ’11, ’07, ’05; May ’11]
సాధన:
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
⇒ 3c³ + 4c – 10c² + 5c – 1 = 1
⇒ 3c³ – 10c² + 9c – 2 = 0
⇒ (c – 1) (c – 2) (3c – 1) = 0
⇒ c = 1 లేదా 2 లేదా \(\frac{1}{3}\)
c = 1, 2 అయిన P(X = 0) > 1
∴ c = \(\frac{1}{3}\)
(i) P(X < 1) = P(X = 0)
= 3 . c³
= 3 . \(\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
= \(\frac{1}{9}\)
(ii) P(1 < X ≤ 2) = P(X = 2)
= 5c – 1
= \(\frac{5}{3}\) – 1
= \(\frac{2}{3}\)
(iii) P(0 < x ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= 4c – 10c² + 5c – 1 + 0
= 9c – 10c² – 1
= \(\text { 9. } \frac{1}{3}-10 \cdot \frac{1}{9}-1\)
= \(\frac{8}{9}\)

ప్రశ్న 2.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X వ్యాప్తి (1, 2, 3, ………} P(X = K) = \(\frac{c^{\mathbf{k}}}{k !}\); (k = 1, 2, 3,…) అయితే c విలువను, P(0 < X < 3) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
సంభావ్యతల మొత్తం = 1

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(c)

అభ్యాసం – 9(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక గుట్టలో గల 50 స్కూలలో 5 చెడిపోయినవి. ఈ గుట్టలో నుంచి మూడు స్క్రూలను యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. (a) తీసిన స్కూలను తిరిగి భర్తీ చేసే విధంగా (b) తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేయని విధంగా వీటిని ఎంపిక చేశారనుకుంటే, మూడు స్క్రూలు పనిచేసేవి అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మొత్తం స్క్రూల సంఖ్య = 50
అందు చెడిపోయినవి = 5
మంచివి = 45
E అనేది 3 స్క్రూలు చెడిపోయినవి అయ్యే ఘటన.
(a) ఒక స్క్రూను ఎన్నుకొన్న వెంటనే తిరిగి అందులోకే చేర్చడం.
P(E) = \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1} \times \frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1} \times \frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1}\) {తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేయబడినది}
= \(\frac{45}{50} \times \frac{45}{50} \times \frac{45}{50}\)
= \(\frac{9}{10} \times \frac{9}{10} \times \frac{9}{10}\)
= \(\left(\frac{9}{10}\right)^3\)
(b) ఒక స్క్రూను ఎన్నుకొన్న వెంటనే తిరిగి అందులోకి చేర్చకపోవడం
P(E) = \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1} \times \frac{{ }^{44} C_1}{{ }^{49} C_1} \times \frac{{ }^{43} C_1}{{ }^{48} C_1}\)
= \(\frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48}\)
= \(\frac{1419}{1960}\)

ప్రశ్న 2.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలవుతూ P(A ∩ B^C ∩ C) = \(\frac{1}{4}\), P(A^C ∩ B ∩ C^C) = \(\frac{1}{8}\)‚ P(A^C ∩ B^C ∩ C^C) = \(\frac{1}{4}\) అయినప్పుడు P(A), P(B), P(C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలు

ప్రశ్న 3.
ఒక సంచిలో 3 నల్లని, 4 తెల్లని బంతులు ఉన్నాయి. రెండో సంచిలో 4 నల్లని, 3 తెల్లని బంతులు ఉన్నాయి. ఒక పాచికను, దొర్లించి దానిపై 1 లేదా 3 పడినప్పుడు మొదటి సంచిని ఎంపిక చేస్తారు. మిగిలిన సందర్భాలలో రెండో సంచిని ఎంపిక చేస్తారు. ఒక సంచిని ఈ విధంగా ఎంపిక చేసినప్పుడు ఒక నల్లని బంతిని తీసే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాచికపై 1 లేదా 3 పడినప్పుడు మొదటి సంచిని ఎంపిక చేస్తారు.
∴ మొదటి సంచిని ఎన్నుకొనేందుకు సంభావ్యత = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
∴ రెండవ సంచిని ఎన్నుకొనేందుకు సంభావ్యత = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
మొదటి సంచిని ఎంపికచేసి అందులో నల్లబంతి తీసేందుకు సంభావ్యత = \(\frac{1}{3} \times \frac{3}{7}=\frac{3}{21}\)
ఇక రెండవ సంచిని ఎంపికచేసి అందులో నల్ల బంతి తీసేందుకు సంభావ్యత = \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{7}=\frac{8}{21}\)
∴ ఎన్నుకొన్న సంచి నుంచి నల్లని బంతి వచ్చే సంభావ్యత = \(\frac{3}{21}+\frac{8}{21}=\frac{11}{21}\)

ప్రశ్న 4.
A, B, C లు ఒక బుడగను పేల్చడానికి ప్రయత్నం చేస్తారు. 5 ప్రయత్నాలలో 4 సార్లు A సఫలమవుతాడు. 4 ప్రయత్నాలలో 3 సార్లు B, 3 ప్రయత్నాలలో 2 సార్లు C సఫలం అవుతారు. ముగ్గురు ఏకకాలంలో బుడగను పేల్చడానికి సంసిద్ధం అయితే, కనీసం ఇద్దరు బుడగను పేల్చివేసే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
A అనేవాడు బుడగను పేల్చడానికి సంభావ్యత P(A) = \(\frac{4}{5}\)

వారి ముగ్గురిలో కనీసం ఇరువురు బుడగను పేల్చడానికి సంభావ్యత.
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు

ప్రశ్న 5.
A, B లు రెండు ఘటనలైతే \(P\left(\frac{A}{B}\right) P(B)+P\left(\frac{A}{B^C}\right) P\left(B^C\right)=P(A)\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
ఒక జత పాచికలను దొర్లించారు. ఏ పాచిక 2ను చూప నట్లయితే, ఆ పాచికలపై మొత్తం 7 రాగల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
A అనేది రెండు పాచికలపై మొత్తం 7 రాగల ఘటన. అప్పుడు
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
B అనేది ఏ పాచిక 2 ను చూపనట్టి ఘటన.
B = {(1,1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(B) = 25
A ∩ B = ((1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1)}
n(A ∩ B) = 4
కావలసిన సంభావ్యత
\(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{4}{25}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక జత పాచికలను దొర్లించారు. ఆ పాచికలపై మొత్తం 7 అయినప్పుడు, ఏ ఒక పాచిక రెండు చూపకపోయే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాచికలపై మొత్తం 7 రావటం అనే ఘటన A అనుకుంటే,
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
∴ n(A) = 6
ఏ ఒక పాచిక రెండు చూపకపోవటం అనే ఘటన B అనుకుంటే,
B = {(1,1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A ∩ B = {(1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1)}
n(A ∩ B) = 4
∴ కావలసిన సంభావ్యత
\(P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 8.
A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఘటనలు; P(B) ≠ 1, \(P\left(\frac{A}{B^C}\right)=\frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)}\) అని చూపండి.
సాధన:
నియత సంభావ్యతా నిర్వచనం నుండి
\(P\left(\frac{A}{B^C}\right)=\frac{P\left(A \cap B^C\right)}{P\left(B^C\right)}=\frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)}\)
[∵ A ∩ B^C = A – (A ∩ B), P(B^C) = 1 – P(B)]

ప్రశ్న 9.
ఒక పాత్రలో 12 ఎర్రని బంతులు, 12 ఆకుపచ్చని బంతులు ఉన్నాయి. ఒకదాని వెంబడి మరొకటి, భర్తీ చేయని విధంగా రెండు బంతులను తీశారు. మొదట తీసిన బంతి ఎర్రనిది అయినప్పుడు, రెండో బంతి ఆకుపచ్చనిది కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాత్రలోని బంతుల సంఖ్య = 12 + 12 = 24
అందులో ఒక బంతిని ఎన్నుకొనే విధానాలు = ²⁴C₁ = 24 = n(S)
E₁ అనేది మొదటిసారి తీసిన బంతి ఎర్రనిది అయ్యే ఘటన
n(E₁) = ¹²C₁ = 12
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_1\right)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)
మొదటిసారి తీసిన బంతి సంచిలో చేర్చలేదు కనుక ఇప్పుడు సంచిలోని బంతుల సంఖ్య = 23
రెండవసారి తీసిన బంతి ఆకుపచ్చనిది అయ్యే ఘటన E₂ అనుకుందాం.
\(P\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=\frac{12}{23}\)
P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) . P(E₁/E₂)
కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{1}{2} \times \frac{12}{23}=\frac{6}{23}\)

ప్రశ్న 10.
ఒక పాచికను, వరుసగా 2 సార్లు దొర్లించారు. రెండో ప్రయత్నంలో చూపే సంఖ్య, మొదటి ప్రయత్నంలో చూపే సంఖ్య కంటే పెద్దది కాగల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
ఒక పాచికను వరుసగా రెండుసార్లు దొర్లించారు.
కనుక n(S) = 6 × 6 = 36
E అనేది మొదటి ప్రయత్నంలో దొర్లించినప్పుడు పాచికపై వచ్చే సంఖ్య కంటే రెండో ప్రయత్నంలో దొర్లించినప్పుడు దానిపై వచ్చే సంఖ్య పెద్దది అయ్యే ఘటన
E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}
n(E) = 15
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

ప్రశ్న 11.
ఒక చీట్ల పేక కట్ట నుంచి ఒక పేక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. తీసినది ఆసు అయ్యే ఘటన, ఆటీను అయ్యే ఘటన స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి. [May ’13]
సాధన:
ఒక చీట్లపేక కట్టనుంచి ఒక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఆసు అయ్యే ఘటన A అని, ఆటీను అయ్యే ఘటన B అని అనుకొనుము.
∴ P(A) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
P(B) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
A ∩ B అనునది ఆటీను ఆసు అయ్యే ఘటన
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{52}=\frac{1}{13} \cdot \frac{1}{4}\) = P(A) . P(B)
∴ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 12.
A అనే బాలుడు స్కాలర్షిప్ పొందే సంభావ్యత 0.9, B అనే మరో బాలుడు స్కాలర్షిప్ పొందే సంభావ్యత 0.8, వీరిలో కనీసం ఒకరు స్కాలర్షిప్ పొందే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
బాలుడు A స్కాలర్షిప్ పొందడానికి సంభావ్యత P(A) = 0.9
బాలుడు B స్కాలర్షిప్ పొందడానికి సంభావ్యత P(B) = 0.8
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) P(B)
= 0.9 + 0.8 – (0.9) (0.8)
= 1.7 – 0.72
= 0.98
n(S) = ⁵²C₁ = 52
n(A) = ⁴C₁ = 4
n(B) = ¹³C₁ = 13
∴ A, B లో కనీసం ఒకరు స్కాలర్షిప్ పొందడానికి సంభావ్యత = P(A ∪ B) = 0.98

ప్రశ్న 13.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15 అయ్యేటట్లు A, Bలు రెండు ఘటనలు. అప్పుడు P(A^C) + P(B^C) విలువను కనుక్కోండి. [May ’11; Mar. ’05]
సాధన:
A, B లు రెండు ఘటనలు.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15
∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
⇒ 0.65 = P(A) + P(B) – 0.15
⇒ P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.80
ఇప్పుడు P(A^C) + P(B^C) = [1 – P(A)] + [1 – P(B)]
= 2 – (P(A) + P(B))
= 2 – 0.80
= 1.2
∴ P(A^C) + P(B^C) = 1.2

ప్రశ్న 14.
A, B, C స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే, A ∪ B మరియు C కూడా స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి.
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు కనుక A, B; B, C; C, Aలు కూడా స్వతంత్ర ఘటనలే.
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C) ……(1)
P(A ∩ C) = P(A) . P(C)
P(B ∩ C) = P(B) . P(C)
P[(A ∪ B) ∩ C] = P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]
= P(A ∩ C) + P(B ∩ C) – P[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)]
= P(A) . P(C) + P(B) . P(C) – P(A ∩ B ∩ C)
= P(A) . P(C) + P(B) . P(C) – P(A) . P(B) . P(C)
= P(C) [P(A) + P(B) – P(A) – P(B)]
= P(C) [P(A ∪ B)]
∴ P[(A ∪ B) ∩ C) = P(A ∪ B) . P(C)
కనుక A ∪ B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 15.
రెండు ఘటనలు జరిగే సంభావ్యత \(\frac{1}{6}\) అయ్యేటట్లు, రెండూ జరగకపోవడానికి గల సంభావ్యత \(\frac{1}{3}\) అయ్యేటట్లుగా A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు. P(A) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ P(A) . P(B) = \(\frac{1}{6}\) …….(1)

ప్రశ్న 16.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దొర్లించారు.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5} ఘటనలను తీసుకోండి.
(i) P(A ∩ B), P(A ∪ B) (ii) \(P\left(\frac{A}{B}\right), P\left(\frac{B}{A}\right)\) (iii) \(P\left(\frac{A}{C}\right), P\left(\frac{C}{A}\right)\) (iv) \(P\left(\frac{B}{C}\right), P\left(\frac{C}{B}\right)\) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక పాచికను దొర్లించారు.
n(S) = 6
∵ A = {1, 3, 5)
⇒ P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
B = {2, 3)
⇒ P(B) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
C = {2, 3, 4, 5}
⇒ P(C) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
(i) A ∩ B = {3}
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
P(A ∪ B) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 17.
A, B, C ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని మూడు ఘటనలు. క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(P\left(\frac{A}{A}\right)\) = 1
సాధన:
\(P\left(\frac{A}{A}\right)=\frac{P(A \cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)}=1\)

(ii) \(P\left(\frac{\phi}{A}\right)\) = 0
సాధన:
\(P\left(\frac{\phi}{A}\right)=\frac{P(A \cap \phi)}{P(A)}=\frac{P(\phi)}{P(A)}=\frac{0}{P(A)}=0\)

(iii) A ⊆ B ⇒ \(P\left(\frac{A}{C}\right) \leq P\left(\frac{B}{C}\right)\)
సాధన:

(iv) P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B)
సాధన:
A – B = {x/x ∈ A ∩ x ∉ B}
∴ A-B = A – (A ∩ B)

P(A – B) = P[A – (A ∩ B) = P(A) – P(A ∩ B)]

(v) A, B లు పరస్పర వివర్జితాలై, P(B) > 0 అయితే \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) = 0.
సాధన:
A, B లు పరస్పర వివర్జితాలు.
∴ A ∩ B = φ
\(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(\phi)}{P(B)}=\frac{0}{P(B)}=0\)

(vi) A, B లు పరస్పర వివర్జితాలైతే, \(P\left(\frac{A}{B^C}\right)=\frac{P(A)}{1-P(B)}\); P(B) ≠ 1.
సాధన:
A, B లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు.
A ∩ B = φ
∴ P(A ∩ B) = 0

(vii) A, B పరస్పర వివర్జితాలైతే, P(A ∪ B) ≠ 0 అయితే \(\mathbf{P}\left(\frac{\mathbf{A}}{\mathbf{A} \cup \mathbf{B}}\right)=\frac{\mathbf{P}(\mathbf{A})}{\mathbf{P}(\mathbf{A})+\mathbf{P}(\mathbf{B})}\)
సాధన:

ప్రశ్న 18.
ఒక నాణేన్ని మూడుసార్లు ఎగురవేశారనుకోండి. మూడు బొమ్మలు వచ్చే ఘటన A, మొదటిసారి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ వచ్చే ఘటన B అనుకోండి. అప్పుడు A, B లు అస్వతంత్ర ఘటలని చూపండి.
సాధన:
నాణేన్ని మూడు సార్లు ఎగురవేశారు కనుక
n(S) = 2³ = 8
A అనేది 3 బొమ్మలు వచ్చే ఘటన
n(A) = ³C₃ = 1
∴ P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)
B అనేది మొదటిసారి ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ వచ్చే ఘటన.
B{(HTT), (HHT), (HHH), (HTH)}
P(B) = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
A ∩ B = {HHH}
n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\)
P(A) . P(B) = \(\frac{1}{8} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\)
∴ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)
∴ A, B లు అస్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 19.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికల యుగ్మాన్ని దొర్లించారు. రెండింటి పై ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన A అనుకోండి. రెండింటి ముఖాల పైన వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 7 కంటే ఎక్కువ అయ్యే ఘటన B అనుకోండి. అప్పుడు (i) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) (ii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు నిష్పాక్షిక పాచికలను దొర్లించారు. కనుక
n(S) = 36
A అనేది రెండు పాచికలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)}
n(A) = 6
B అనేది రెండింటి పైన వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 7 కంటే ఎక్కువ అయ్యే ఘటన.
B = {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5) (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(B) = 15
A ∩ B = {(4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(A ∩ B) = 3

ప్రశ్న 20.
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలనడానికి ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమం \(P\left(\frac{A}{B}\right)=P\left(\frac{A}{B^C}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు అని నిరూపించటానికి P(A ∩ B) = P(A) . P(B) అని చూపాలి.

II.

ప్రశ్న 1.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.75 తో A, B స్వతంత్ర ఘటనలనుకోండి. అప్పుడు (i) P(A ∩ B) (ii) P(A ∪ B) (iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) (iv) P(A^C ∩ B^C) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
(i) P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
= 0.6 × 0.7
= 0.42
(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 1.3 – 0.42
= 0.88
(iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) = P(B) = 0.7
∵ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
(iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C) . P(B^C)
(∵ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలైన A^C, B^C లు కూడా స్వతంత్ర ఘటనలు)
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= (1 – 0.6) (1 – 0.7)
= (0.4) (0.3)
= 0.12

ప్రశ్న 2.
ఒక క్రికెట్ ఆటలో ఇండియాపై ఆస్ట్రేలియా గెలిచే సంభావ్యత \(\frac{1}{3}\). ఇండియా, ఆస్ట్రేలియా 3 ఆటలలో ఆడితే,
(i) ఆస్ట్రేలియా మూడు ఆటలు ఓడిపోయే సంభావ్యతను,
(ii) ఆస్ట్రేలియా కనీసం ఒక ఆట గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
E అనేది ఇండియాపై ఆస్ట్రేలియా గెలిచే ఘటన అనుకుందాం.
P(E) = \(\frac{1}{3}\)
P(\(\bar{E}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)
(i) ఆస్ట్రేలియా మూడు ఆటలు ఓడిపోవడానికి సంభావ్యత = (P(\(\bar{E}\)))3
= \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
= \(\frac{8}{27}\)
(ii) ఆస్ట్రేలియా కనీసం ఒక ఆట గెలిచే సంభావ్యత = 1 – (P(\(\bar{E}\)))3
= 1 – \(\frac{8}{27}\)
= \(\frac{19}{27}\)

ప్రశ్న 3.
I, II, III అంకెలను కలిగిన మూడు పెట్టెలలో క్రింది విధంగా బంతులు ఉన్నాయి. [A.P. Mar. ’16]

ఒక పెట్టెను ఎంచుకొని అందులోనుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె II నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
E₁, E₂, E₃ లు వరుసగా I, II, III పెట్టెలను ఎన్నుకునే ఘటనలు అనుకుందాం.
P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
పెట్టె I నుండి ఎర్ర బంతిని ఎన్నుకోవటానికి సంభావ్యత
P(R/E₁) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
ఇట్లే P(R/E₂) = \(\frac{1}{4}\), P(R/E₃) = \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
తీసిన బంతి ఎర్రనిది అయితే అది పెట్టె II నుంచి తీయగల సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి)

ప్రశ్న 4.
ఒకనికి నిర్మాణపు కంపెనీలో ఉద్యోగం లభించింది. ఆ కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత 0.65 సమ్మె లేనప్పుడు నిర్మాణం పని సరైన సమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.80. సమ్మె ఉన్నప్పటికీ, నిర్మాణం పని పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.32, అయితే నిర్మాణం పని సరైన సమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యతను నిర్ధారించండి.
సాధన:
P(S) = కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత = 0.65
P(\(\bar{S}\)) = కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగకుండా ఉండుటకు సంభావ్యత
= 1 – P(S)
= 1 – 0.65
= 0.35
\(P\left(\frac{E}{S}\right)\) = సమ్మె ఉన్నప్పటికీ, నిర్మాణం పని పూర్తయ్యే సంభావ్యత = 0.32
\(P\left(\frac{E}{\bar{S}}\right)\) = సమ్మె లేకుండా నిర్మాణ పని సరైన సమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత = 0.80
P(E) = నిర్మాణపని సరైన సమయంలో పూర్తి కావడానికి సంభావ్యత
= \(P(S) P\left(\frac{E}{S}\right)+P(\bar{S}) P\left(\frac{E}{\bar{S}}\right)\)
= (0.65) (0.32) + (0.35) (0.08)
= 0.2080 + 0.2800
= 0.4880

ప్రశ్న 5.
ఏవైనా రెండు ఘటనలు A, B లకు P(A ∩ B) – P(A) . P(B) = P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B) = P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C) అని చూపండి.
సాధన:
P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B)
= [1 – P(A)] P(B) – P[B – (A ∩ B)]
= P(B) – P(A) P(B) – P(B) + P(A ∩ B)
= P(A ∩ B) – P(A) P(B)
∴ P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B) = P(A ∩ B) – P(A) P(B) …….(1)
P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C) = P(A) [1 – P(B)] – P[A – (A ∩ B)]
= P(A) – P(A) P(B) – P(A) + P(A ∩ B)
= P(A ∩ B) – P(A) P(B)
∴ P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C) = P(A ∩ B) – P(A) P(B) ……..(2)
∴ (1), (2) ల నుండి,
P(A ∩ B) – P(A) P(B) = P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B) = P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C)

III.

ప్రశ్న 1.
మూడు పాత్రలు క్రింది విధంగా బంతులను కలిగి ఉన్నాయి.
పాత్ర I: 1 తెల్లనిది, 2 నల్లనివి
పాత్ర II: 2 తెల్లనివి, 1 నల్లనివి
పాత్ర III: 2 తెల్లనివి, 2 నల్లనివి
ఒక పాత్రను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపికచేసి, దాని నుంచి ఒక బంతిని తీశారు. అది తెల్లనిదిగా గుర్తించారు. ఆ బంతి పాత్ర III నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
i పాత్రను ఎన్నుకొనే ఘటనను E_i (i = 1, 2, 3) తో సూచిస్తే, i అనే పాత్రను ఎన్నుకోవటానికి సంభావ్యత P(E_i)
ఇచ్చట P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
i పాత్ర నుండి తెల్లబంతి రావటం అనే ఘటనను (W/E_i) తో సూచిస్తే, దాని సంభావ్యత P(W/E_i) అవుతుంది.
ఇప్పుడు P(W/E₁) = \(\frac{1}{3}\)
P(W/E₂) = \(\frac{2}{3}\)
P(W/E₃) = \(\frac{2}{4}\)
తీసిన బంతి తెల్లనిది అయితే అది పాత్ర III నుంచి రావటానికి సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి)

ప్రశ్న 2.
ఒక కాల్పుల పోటీలో A, B, C లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}\). వీరందరూ ఒకే లక్ష్యాన్ని కాల్పులు జరిపినప్పుడు
(i) ఒకే ఒకరు లక్ష్యాన్ని ఛేదించే
(ii) కనీసం ఒకరు లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
కాల్పుల పోటీలో A, B, C లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతలు వరుసగా

ప్రశ్న 3.
ఒక కళాశాలలో 25% బాలురు, 10% బాలికలు గణితాన్ని అభ్యసిస్తున్నారు. విద్యార్థుల సంఖ్యలో బాలికలు 60% యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక విద్యార్థి గణితం చదువుతున్నట్లయితే, ఆ విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎన్నుకోబడిన విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యత
P(G) = \(\frac{60}{100}=\frac{6}{10}\)
ఎన్నుకోబడిన విద్యార్థి బాలుడు కాగల సంభావ్యత
P(B) = 1 – P(G)
= 1 – \(\frac{6}{10}\)
= \(\frac{4}{10}\)
బాలుడు గణితం అభ్యసించడానికి సంభావ్యత
P(M/B) = \(\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\)
ఇట్లే P(M/G) = \(\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\)
ఎంపిక చేసిన విద్యార్థి గణితం చదువుతున్నట్లయితే, ఆ విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం ప్రకారం)

ప్రశ్న 4.
ఒకనికి ‘3’ సార్లలో ‘2’ సార్లు నిజం చెప్పే అలవాటు ఉంది. అతడు ఒక పాచికను దొర్లించి అది ‘1’ అని నివేదిస్తాడు. అది నిజంగా ‘1’ అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(T) = ప్రతి 3 సార్లలో 2 సార్లు నిజం చెప్తే అంతని సంభావ్యత = \(\frac{2}{3}\)
P(F) = 1 – P(T)
= 1 – \(\frac{2}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\)
అతడు 1 అని నివేదించిన తరువాత పాచిక 1 చూపితే నిజం చెప్పినట్లు మరియు 1 చూపకపోతే అబద్ధం చెప్పినట్లు.
P(1) = \(\frac{1}{6}\) మరియు P(T) = \(\frac{5}{6}\)
P(T/1) = P(1 పడితే నిజం చెప్పినట్లు) = \(\frac{2}{3}\)
P(F/T) = P(అబద్ధం చెప్పినట్లు నిజం కాకపోతే) = \(\frac{1}{3}\)
బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి

∴ అది నిజంగా 1 అయ్యే సంభావ్యత = \(\frac{2}{7}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(b)

అభ్యాసం – 9(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
నాలుగు నిష్పాక్షిక నాణేలను ఒకేసారి ఎగురవేసినప్పుడు 2 బొమ్మలు, 2 బొరుసులు పడే సంభావ్యతను కనుక్కోండి. [Mar. ’02]
సాధన:
4 నాణేలను ఒకేసారి ఎగురవేశారు.
∴ n(S) = 2⁴ = 16
E అనేది రెండు బొమ్మలు, రెండు బొరుసులు రావటం అనే ఘటన
n(E) = ⁴C₂
= \(\frac{4 \times 3}{1 \times 2}\)
= 6
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)

ప్రశ్న 2.
లీపు సంవత్సరం కాని సందర్భంలో (i) 53 ఆదివారాలు (ii) 52 ఆదివారాలు మాత్రమే వచ్చే సంభావ్యతను కనుక్కోండి. [Mar. ’07, May ’06]
సాధన:
లీపు సంవత్సరం కాని సాధారణ సంవత్సరంలో 365 రోజులుంటాయి. అంటే 52 వారాలు పోగా, ఒకరోజు మిగులుతుంది.
ఆ ఒక్కరోజు ఆది (లేక) సోమ (లేక) మంగళ (లేక) బుధ (లేక) గురు (లేక) శుక్ర (లేక) శనివారం కావచ్చు.
∴ శాంపిల్ ఆవరణ S = {ఆది, సోమ, మంగళ, బుధ, గురు, శుక్ర, శని}
n(S) = 7
(i) E అనేది సాధారణ సంవత్సరంలో 53 ఆదివారాలు ఉండే ఘటన
n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{7}\)
(ii) ఇక 52 ఆదివారాలు మాత్రమే ఉండే ఘటన సంభావ్యత
P(E^C) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{7}\)
= \(\frac{6}{7}\)

ప్రశ్న 3.
రెండు పాచికలను దొర్లించారు. ఏ పాచిక 2 ను చూపని సందర్భానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
రెండు పాచికలను దొర్లించారు.
కనుక n(S) = 6² = 36
E అనేది ఏ పాచిక 2 చూపని ఘటన
n(E) = 5 × 5 = 25
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{25}{36}\)

ప్రశ్న 4.
ఒక చీట్లపేక కట్ట నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక పేక ముక్కను తీసే ప్రయోగంలో ఇస్ఫేటు ముక్కను తీసే ఘటనను తోను, బొమ్మను కలిగిన కార్డును (రాజు, రాణి లేదా జాకీ) తీసే ఘటనను B తోనూ సూచిద్దాం. అప్పుడు A, B, (A ∩ B), (A ∪ B) ల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
చీట్ల పేక కట్ట నుంచి ఒక పేకను తీసితిరి.
∴ n(S) = ⁵²C₁ = 52
(i) A అనేది తీసిన పేక ముక్క ఇస్ఫేటు కావటం అనే ఘటన
∴ n(A) = ¹³C₁ = 13
∴ P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
(ii) B అనేది బొమ్మను కలిగిన కార్డును తీసే ఘటన
∴ n(B) = ¹²C₁ = 12
∴ P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\)
(iii) ఘటన A ∩ B అనేది తీసిన కార్డు బొమ్మను కలిగిన ఇస్ఫేటు కార్డు కావటం అనే ఘటన
∴ n(A ∩ B) = 3
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}=\frac{3}{52}\)
(iv) ఘటన A ∪ B అనేది తీసిన పేక ముక్క ఇస్ఫేటు లేదా బొమ్మను కలిగిన కార్డు కావడం అనే ఘటన
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{1}{4}+\frac{3}{13}-\frac{3}{52}\)
= \(\frac{13+12-3}{52}\)
= \(\frac{22}{52}\) లేదా \(\frac{11}{26}\)

ప్రశ్న 5.
60 బాలురు, 20 బాలికలు గల తరగతిలో సగం మంది బాలురు, సగం మంది బాలికలు క్రికెట్పై అవగాహన కలిగినవారు. ఈ తరగతి నుంచి ఒక విద్యార్థిని ఎంపిక చేసినప్పుడు, బాలుడు లేదా క్రికెట్ తెలిసిన వ్యక్తి అయ్యే ఘటనకు సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎంపిక చేసినవాడు బాలుడు అయ్యే ఘటన A, ఎంపిక చేసినవారు క్రికెట్ తెలిసిన వ్యక్తి అయ్యే ఘటన B అనుకుందాం.
n(S) = ^{(60 + 20)}C₁ = 80
n(A) = 60, n(B) = (30 + 10) = 40
(∵ సగం మంది బాలురు, సగం మంది బాలికలకు క్రికెట్పై అవగాహన ఉంది.)
A ∩ B అనేది క్రికెట్ తెలిసిన బాలుడు కావటం అనే ఘటన అవుతుంది.
∴ n(A ∩ B) = 30 (సగం మంది బాలురకు క్రికెట్పై అవగాహన ఉంది).
∴ P(A) = \(\frac{60}{80}\), P(B) = \(\frac{40}{80}\), P(A ∩ B) = \(\frac{30}{80}\)
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{60}{80}+\frac{40}{80}-\frac{30}{80}\)
= \(\frac{70}{80}\)
= \(\frac{7}{8}\)

ప్రశ్న 6.
రెండు ఘటనలు A, B లకు P(A^C ∩ B^C) = 1 + P(A ∩ B) – P(A) – P(B) అని చూపండి.
సాధన:
A^C ∩ B^C = (A ∪ B)^C కనుక
P(A^C ∩ B^C) = P[(A ∪ B)^C]
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 + P(A ∩ B) – P(A) – P(B)
∴ P(A^C ∩ B^C) = 1 + P(A ∩ B) – P(A) – P(B)

ప్రశ్న 7.
‘ముందుగా 3ను దొర్లించిన వాళ్ళు ఆట గెలిచినట్లు’ అనే షరతుపై A, B అనే ఇద్దరు వ్యక్తులు పాచిక దొర్లించారు. ఆటను ముందుగా A మొదలు పెడితే, A, B లు వరుసగా ఆట గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాచికను దొర్లించినపుడు ‘3’ చుక్కలున్న ముఖం తిరగబడుటకు సంభావ్యత p = \(\frac{1}{6}\)
∴ సఫల సంభావ్యత p = \(\frac{1}{6}\)
విఫల సంభావ్యత q = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
A గెలిచే ఘటన జరగాలంటే
1. మొదటి యత్నంలోనే A గెలవాలి (ఈ ఘటన సంభావ్యత p) లేదా
2. మొదటి రెండు యత్నాలలో A, B లు ఓడిపోయి, తరువాత యత్నంలో A గెలవాలి.
ఈ ఘటన సంభావ్యత = q . q . p = q²p లేదా
3. మొదటి నాలుగు యత్నాలలో A, B లు ఓడిపోయి ఆ తరువాత యత్నంలో A గెలవాలి.
ఈ ఘటన సంభావ్యత = q . q . q . q . p = q⁴ . p ……
ఈ విధంగా A పాచికపై ‘3’ చుక్కలు వచ్చేవరకు ఆట కొనసాగుతుంది.
పై ఘటనలన్నీ పరస్పర వివర్జితాలు.
∴ సంకలన సిద్ధాంతం నుంచి A గెలుపు సంభావ్యత
P(A) = p + q²p + q⁴P + …..
= p[1 + q² + q⁴ + …..]

∴ B గెలుపు సంభావ్యత = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{6}{11}\) = \(\frac{5}{11}\)

ప్రశ్న 8.
A, B, C లు ఒక పట్టణం నుంచి వెలువడే వార్తాపత్రికలు. ఆ పట్టణ జనాభాలో 20% Aని, 16% Bని, 14% C ని, 8% A, B రెండింటిని, 5% A, C రెండింటిని, 4% B, C రెండింటిని, 2% మూడింటినీ చదువుతారు. కనీసం ఒక వార్తాపత్రికను చదివే జనాభా శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = \(\frac{20}{100}\) = 0.2
P(B) = \(\frac{20}{100}\) = 0.16
P(C) = \(\frac{14}{100}\) = 0.14
P(A ∩ B) = \(\frac{8}{100}\) = 0.08
P(B ∩ C) = \(\frac{4}{100}\) = 0.04
P(C ∩ A) = \(\frac{5}{100}\) = 0.05
P(A ∩ B ∩ C) = \(\frac{2}{100}\) = 0.02
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
= 0.2 + 0.16 + 0.14 – 0.08 – 0.04 – 0.05 + 0.02
= 0.52 – 0.17
= 0.35
= \(\frac{35}{100}\)
∴ జనాభాలో కనీసం ఒక పత్రికైనా చదివేవారు = 35%

ప్రశ్న 9.
1 నుంచి 30 వరకు సంఖ్యలను వేసిన 30 టిక్కెట్ల నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక టిక్కెట్ను ఎంపికచేస్తే, ఆ టిక్కెట్పై గల సంఖ్య (i) 5 లేదా 7 గుణిజం (ii) 3 లేదా 5 గుణిజం కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి. [Mar. ’08]
సాధన:
1 నుండి 30 వరకు అంకెలున్న 30 టిక్కెట్ల నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక టిక్కెట్ ఎన్నుకునే విధాల సంఖ్య
n(S) = ³⁰C₁ = 30
(i) E₁ అనేది ఆ అంకె 5 యొక్క గుణిజం కావటం అనే ఘటన
E₁ = {5, 10, 15, 20, 25, 30}
n(E₁) = 6
P(E₁) = \(\frac{\mathrm{n}\left(E_1\right)}{\mathrm{n}(S)}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
E₂ అనేది ఆ అంకె 7 యొక్క గుణిజం కావటం అనే ఘటన
E₂ = {7, 14, 21, 28}
n(E₂) = 4
P(E₂) = \(\frac{n\left(E_2\right)}{n(S)}=\frac{4}{30}\)
∵ E₁ ∩ E₂ = φ
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂)
= \(\frac{6}{30}+\frac{4}{30}\)
= \(\frac{10}{30}\)
= \(\frac{1}{3}\)
(ii) E₁ అనేది అంకె 3 యొక్క గుణిజం కావటం అనే ఘటన
E₁ = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}
n(E₁) = 10
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_1\right)}{n(S)}=\frac{10}{30}\)
E₂ అనేది అంకె 5 యొక్క గుణిజం కావటం అనే ఘటన
E₂ = {5, 10, 15, 20, 25, 30)
n(E₂) = 6
P(E₂) = \(\frac{n\left(E_2\right)}{n(S)}=\frac{6}{30}\)
E₁ ∩ E₂ = {15, 30}
P(E₁ ∩ E₂) = \(\frac{2}{30}\)
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
= \(\frac{10}{30}+\frac{6}{30}-\frac{2}{30}\)
= \(\frac{14}{30}\)
= \(\frac{7}{15}\)

ప్రశ్న 10.
20 వరస సహజ సంఖ్యల నుంచి రెండు సంఖ్యలను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేస్తే, ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తం (i) ఒక సరిసంఖ్య కావడానికి (ii) ఒక బేసి సంఖ్య కావడానికి సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
20 వరస సహజ సంఖ్యల నుంచి 2 సంఖ్యలను ఎంపిక చేసే విధానాలు
n(S) = ²⁰C₂
= \(\frac{20 \times 19}{1 \times 2}\)
= 190
వీటిలో 10 బేసిసంఖ్యలు, 10 సరిసంఖ్యలు
(i) E అనేది ఎంపిక చేసిన రెండు సంఖ్యల మొత్తం సరి సంఖ్య కావాలి అనే ఘటన.
రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తం సరి సంఖ్య అవుతుంది లేదా రెండు సరి సంఖ్యల మొత్తం సరి సంఖ్య అవుతుంది.
∴ n(E) = ¹⁰C₂ + ¹⁰C₂
= \(\frac{2(10)(9)}{1 \times 2}\)
= 90
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{90}{190}=\frac{9}{19}\)
(ii) ఎంపిక చేసిన రెండు సంఖ్యల మొత్తం బేసిసంఖ్య కావడానికి సంభావ్యత
P(E^C) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{9}{19}\)
= \(\frac{10}{19}\)

ప్రశ్న 11.
ఒక నాణేన్ని 3 సార్లు ఎగరవేయడం, వచ్చిన ఫలితాన్ని రాయడం ఒక క్రీడ. అన్ని ఎగరవేతలలోనూ, ఒకే ఫలితం వస్తే ఒక బాలుడు గెలిచినట్లు, అట్లా కాకపోతే ఓడినట్లు భావిస్తారు. ఆ బాలుడు క్రీడలో ఓడిపోయే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక నాణేన్ని 3 సార్లు ఎగరవేస్తే n(S) = 2³ = 8
అన్ని ఎగరవేతలలోనూ, ఒకే ఫలితం వస్తే, అంటే అన్ని బొమ్మలు లేదా అన్ని అచ్చులు వస్తే బాలుడు గెలిచినట్లుగా భావిస్తారు.
కనుక బాలుడు గెలిచే ఘటన E అయితే
P(E) = \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
∵ E = {HHH, TTT}
∴ ఆ బాలుడు క్రీడలో ఓడిపోయే సంభావ్యత
P(E^C) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 12.
E₁ ∩ E₂ = φ తో E₁, E₂, రెండు ఘటనలు. అప్పుడు \(P\left(E_1^c \cap E_2^c\right)=P\left(E_1^c\right)-P\left(E_2\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
E₁ ∩ E₂ = φ
⇒ E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు కనుక
E₁ ∩ E₂ = φ
ఇప్పుడు \(P\left(E_1^c \cap E_2^c\right)\) = P[(E₁ ∪ E₂)^C]
= 1 – P(E₁ ∪ E₂)
= 1 – [P(E₁) + P(E₁)] (∴ E₁, E₂ పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు)
= 1 – P(E₁) – P(E₂)
= [1 – P(E₁)] – P(E₂)
= \(P\left(E_1^c\right)\) – P(E₂)

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక జత పాచికలను 24 సార్లు దొర్లించారు. ఈ 24 పర్యాయాలలో ఎప్పుడూ ఒక జత 6ను దొర్లించని వ్యక్తి గెలిచినట్లుగా భావిస్తారు. ఆ వ్యక్తి గెలిచే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
పాచికను 2 సార్లు దొర్లిస్తే పూర్ణ లఘు ఘటనల సంఖ్య = 6 × 6 = 36
రెండు పాచికలను 24 సార్లు దొర్లించారు కనుక n(S) = (36)²⁴
E అనేది దొర్లించిన 24 సార్లలో ఏ ఒక్కసారీ రెండింటిపై 6 రాకపోవటం అనే ఘటన
n(E) = 35 × 35 × ……. × 35 (24 సార్లు) = (35)²⁴
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{(35)^{24}}{(36)^{24}}=\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\)

ప్రశ్న 2.
P ఒక సంభావ్యతా ప్రమేయం అయితే, ఏదైనా రెండు ఘటనలు A, B లకు P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) అని చూపండి.
సాధన:

ఏవేని రెండు సమితులు A, B లకు
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ……(1)
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతం నుండి
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
∴ 0 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1
⇒ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ……(2)
∴ (1), (2) ల నుండి
P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

ప్రశ్న 3.
ఒక పెట్టెలోని 15 బల్బులలో 5 పనిచేయనివి. పెట్టెలో నుంచి యాదృచ్ఛికంగా 5 బల్బులను తీసినప్పుడు, క్రింది ఘటనల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
(i) వాటిలో ఏదీ లోపం లేనిది కావటం అనేది
(ii) వాటిలో ఏదో ఒకటి పని చేయనిది
(iii) వాటిలో కనీసం ఒకటి పనిచేయనిది.
సాధన:
పెట్టెలో ఉన్న 15 బల్బులలో 5 పనిచేయనివి కలిగి ఉన్నవి. మిగిలిన 10 మంచివి.
పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా 5 బల్బులను ఎన్నుకునే విధాలు n(S) = ¹⁵C₅
(i) E₁ అనేది 5 బల్బులు ఏదీ లోపం లేనిది అనే ఘటన అంటే అన్నీ మంచివి కావటం అనే ఘటన
n(E₁) = ¹⁰C₅

ప్రశ్న 4.
A, B లు IIT లో ప్రవేశం కోరుకుంటున్నారు. A ఎంపిక కాగల సంభావ్యత 0.5, ఇద్దరూ ఎంపిక కాగల సంభావ్యత 0.3 అయితే, B ఎంపిక కాగల సంభావ్యత 0.9 అయ్యే అవకాశం ఉందా?
సాధన:
P(A) = 0.5; P(A ∩ B) = 0.3
∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
⇒ P(A ∪ B) = 0.5 + P(B) – 0.3
⇒ P(A ∪ B) = 0.2 + P(B) [∵ P(A ∪ B) ≤ 1]
⇒ 0.2 + P(B) ≤ 1
⇒ P(B) ≤ 0.8
కనుక P(B) = 0.9 కావడం అసాధ్యం.

ప్రశ్న 5.
ఒక కాంట్రాక్టరు రోడ్డు కాంట్రాక్టును పొందే సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\), భవనం కాంట్రాక్టును పొందే సంభావ్యత \(\frac{5}{9}\), కనీసం ఒక కాంట్రాక్టునైనా పొందే సంభావ్యత \(\frac{4}{5}\). అతడు రెండు కాంట్రాక్టులనూ పొందే సంభావ్యతను కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
కాంట్రాక్టరు రోడ్డు కాంట్రాక్టు పొందటానికి సంభావ్యత
P(A) = \(\frac{2}{3}\)
భవనం కాంట్రాక్టు పొందడానికి సంభావ్యత
P(B) = \(\frac{5}{9}\)
కనీసం ఒకటి పొందటానికి సంభావ్యత
P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
రెండు కాంట్రాక్టులనూ పొందటానికి సంభావ్యత
∴ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= \(\frac{2}{3}+\frac{5}{9}-\frac{4}{5}\)
= \(\frac{30+25-36}{45}\)
= \(\frac{19}{45}\)

ప్రశ్న 6.
25 మంది సభ్యులు గల ఒక కమిటీలో ప్రతి సభ్యుడు గణితంలో గానీ, సాంఖ్యక శాస్త్రంలో గానీ లేదా రెండింటిలో గానీ ప్రవీణులై ఉంటారు. వీరిలో 19 మంది గణితం లోనూ, 16 మంది సాంఖ్యకశాస్త్రంలోనూ ప్రవీణులైతే, కమిటీ నుంచి ఎంపిక చేసిన ఒక సభ్యుడు రెండింటిలోనూ ప్రవీణుడై ఉండే సంభావ్యతను కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
ఎన్నుకొన్న వ్యక్తి గణితంలో ప్రవీణుడయ్యే ఘటన = M
సాంఖ్యకశాస్త్ర ప్రవీణుడయ్యే ఘటన = S అనుకుందాం.
P(M) = \(\frac{19}{25}\), P(S) = \(\frac{16}{25}\)
ప్రతివారూ ఏదో ఒక శాస్త్రంలో ప్రవీణులు.
∴ M ∪ S ఒక నిశ్చిత ఘటన, P(M ∪ S) = 1
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతం నుండి
P(M ∪ S) = P(M) + P(S) – P(M ∩ S)
∴ P(M ∩ S) = \(\frac{19}{25}+\frac{16}{25}\) – 1
= \(\frac{35}{25}\) – 1
= \(\frac{10}{25}\)
= \(\frac{2}{5}\)
∴ ఎన్నుకొన్న వ్యక్తి రెండు శాస్త్రాల్లోనూ ప్రవీణుడయ్యే ఘటన సంభావ్యత = \(\frac{2}{5}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత B సంభావ్యతకు రెట్టింపు, B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపుకి రెట్టింపు అయితే, A, B, C లు ఆ పందెం గెలవగల సంభావ్యతలేవి? [Mar. ’14, ’13]
సాధన:
ఇచ్చట A, B, C లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు
P(A) + P(B) + P(C) = 1 ……(1)
దత్తాంశము నుంచి P(A) = 2P(B), P(B) = 2P(C) ……..(2)
(1), (2)ల నుంచి
2P(B) + P(B) + P(C) = 1
⇒ 3P(B) + P(C) = 1
⇒ 3 (2) P(C) + P(C) = 1
⇒ 7 P(C) = 1
⇒ P(C) = \(\frac{1}{7}\)
∴ P(C) = \(\frac{1}{7}\), P(B) = \(\frac{2}{7}\), P(A) = \(\frac{4}{7}\)

ప్రశ్న 8.
ఒక సంచిలో 12 రెండు రూపాయి నాణేలు, 7 రూపాయి నాణేలు, 4 అర్ధరూపాయి నాణేలు ఉన్నాయి. ఆ సంచి నుంచి యాదృచ్ఛికంగా మూడు నాణేలను ఎంపిక చేస్తే,
(i) మూడు నాణేల మొత్తం గరిష్టం కావడానికి
(ii) మూడు నాణేల మొత్తం కనిష్ఠం కావడానికి
(iii) మూడు నాణేలు వేర్వేరు విలువలను కలిగి ఉండటానికి గల సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
సంచిలోని నాణేల సంఖ్య = 12 + 7 + 4 = 23
వాటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా 3 నాణేలను ఎన్నుకొనే విధాల సంఖ్య n(S) = ²³C₃
(i) E₁ అనేది ఎన్నుకున్న 3 నాణేల మొత్తం గరిష్టం కావడం అనే ఘటన అంటే మూడు రెండు రూపాయి నాణేలు కావాలి.
అందువలన n(E₁) = ¹²C₃
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_1\right)}{n(S)}=\frac{{ }^{12} C_3}{{ }^{23} C_3}\)
(ii) E₂ అనేది ఎన్నుకున్న 3 నాణేల మొత్తం కనిష్టం కావడం అనే ఘటన అంటే మూడు నాణేలు అర్థరూపాయి నాణేలు కావాలి.
n(E₂) = ⁴C₃
P(E₂) = \(\frac{n\left(E_2\right)}{n(S)}=\frac{{ }^4 C_3}{{ }^{23} C_3}\)
(iii) E₃ అనేది ఒక్కొక్కటి ఒక్కో రకం నాణెం కావడం అనే ఘటన
n(E₃) = ¹²C₁ × ⁷C₁ × ⁴C₁ = 12 × 7 × 4
P(E₃) = \(\frac{n\left(E_3\right)}{n(S)}=\frac{12 \times 7 \times 4}{{ }^{23} C_3}\)

ప్రశ్న 9.
మూడు ఘటనలు A, B, C ల సంభావ్యతలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి.
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(C) = 0.8, P(A ∩ B) = 0.08, P (A ∩ C) = 0.28, P(A ∩ B ∩ C) = 0.09, P(A ∪ B ∪ C) ≥ 0.75. P(B ∩ C) అంతరం [0.23, 0.48] లో ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
⇒ P(A ∪ B ∪ C) = 0.3 + 0.4 + 0.8 – 0.08 – 0.28 – P(B ∩ C) + 0.09
= 1.59 – 0.36 – P(B ∩ C)
= 1.23 – P(B ∩ C)
దత్తాంశం నుంచి 0.75 ≤ P(A ∪ B ∪ C) ≤ 1
⇒ 0.75 ≤ 1.23 – P(B ∩ C) ≤ 1
⇒ -0.48 ≤ -P(B ∩ C) ≤ -0.23
⇒ 0.23 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.48
∴ P(B ∩ C) ∈ [0.23, 0.48]

ప్రశ్న 10.
మూడు పరస్పర వివర్జిత ఘటనల సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1+3 P}{3}, \frac{1-P}{4}, \frac{1-2 P}{2}\) అయితే \(\frac{-1}{3} \leq P \leq \frac{1}{2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం ప్రకారం,
∴ 0 ≤ \(\frac{1+3 P}{3}\) ≤ 1
⇒ 0 ≤ 1 + 3P ≤ 3
⇒ -1 ≤ 3P ≤ 2
⇒ \(\frac{-1}{3} \leq P \leq \frac{2}{3}\) ……….(1)
∴ 0 ≤ \(\frac{1-P}{4}\) ≤ 1
⇒ 0 ≤ 1 – P ≤ 4
⇒ -1 ≤ -P ≤ 3
⇒ 1 ≥ P ≥ -3
⇒ -3 ≤ P ≤ 1 …….(2)
∴ 0 ≤ \(\frac{1-2 P}{2}\) ≤ 1
⇒ 0 ≤ 1 – 2P ≤ 2
⇒ -1 ≤ -2P ≤ 1
⇒ 1 ≥ 2P ≥ -1
⇒ -1 ≤ 2P ≤ 1
⇒ \(\frac{-1}{2} \leq P \leq \frac{1}{2}\) ………(3)
(1), (2), (3) ల నుండి \(\frac{-1}{3} \leq P \leq \frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 11.
ఒకడు పండుగరోజు A, B, C, D అనే 4 దేవాలయాలను యాధృచ్ఛిక క్రమంలో దర్శించుకోవాలనుకుంటాడు. అతడు (i) Bకి ముందుగా A (ii) B కి ముందుగా A మరియు Cకి ముందుగా B లను దర్శించుకొనే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
(i) A, B, C, D లు కుర్చిలలో B కి ముందుగా A కూర్చొనే విధంగా దేవాలయాలు దర్శించుకొనుట, ముందుగా C, D లు 4 కుర్చీలలో కూర్చొనగల విధానాలు సంఖ్య ⁴P₂ = 12
మరియు మిగిలిన రెండు కుర్చీలలో B కి ముందుగా A కూర్చొనే విధానాల సంఖ్య 1.
n(S) = 24
B కి ముందుగా A దేవాలయం దర్శించుకొనే సంభావ్యత
B = \(\frac{12 \times 1}{24}=\frac{1}{2}\)
(i) మాదిరిగా ముందుగా D ను 4 కుర్చీలలో కూర్చొనగల విధానాల సంఖ్య 4.
మిగిలిన మూడు కుర్చీలలో Bకి ముందుగా A మరియు C కి ముందుగా B కూర్చొనగల విధానాల సంఖ్య.
n(S) = 4! = 24
∴ B కి ముందుగా A మరియు C కి ముందుగా B దేవాలయాలను దర్శించుకొనే సంభావ్యత = \(\frac{4 \times 1}{24}=\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 12.
ఒక కంపెనీలోని ఉద్యోగుల నుంచి 5 గురు వ్యక్తులను ఈ కంపెనీ పాలకవర్గ ప్రతినిధులుగా ఎన్నుకొన్నారు. 5గురు వ్యక్తుల వివరాలు క్రింది విధంగా వున్నాయి.

పై సమూహం నుంచి ఒక వ్యక్తిని యాధృచ్ఛికంగా ప్రసంగ కర్తగా ఎన్నుకొంటే, ఆ వ్యక్తి పురుషుడు లేదా 35 సంవత్సరాలు పైబడినవాడు అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
5 గురు వ్యక్తులు గల పాలకవర్గం నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక వ్యక్తిని ఎన్నుకొంటే, ఎన్నుకొనే వ్యక్తి పురుషుడు అయ్యే ఘటనను A అని, మరియు 35 సంవత్సరములు దాటిన వ్యక్తి అయ్యే ఘటనను B అని మరియు శింపుల్ ఆవరణం S అనుకొనుము.
∴ n(S) = ⁵C₁ = 5
n(A) = ³C₁ = 3
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{5}\)
n(B) = ²C₁ = 2
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}\) = \(\frac{2}{5}\)
n(A ∩ B) = ¹C₁ = 1
P(A ∩ B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}\) = \(\frac{1}{5}\)
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతంననుసరించి
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\)
= \(\frac{4}{5}\)

ప్రశ్న 13.
వందమందీ విద్యార్థుల నుంచి 40 మరియు 60 మంది విద్యార్ధులు గల రెండు సెక్షన్లు ఏర్పడ్డాయి. నీవు, నీ మిత్రుడు ఆవందమందిలో ఉండి
(i) మీ ఇద్దరూ ఒకే సెక్షన్లోకి ప్రవేశించే
(ii) వేర్వేరు సెక్షన్లలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
S శాంపుల్ ఆవరణం అనుకొనుము.
n(S) = 100 మంది
విద్యార్థులను 40 మరియు 60 మంది విద్యార్థులుగా రెండు సెక్షన్లుగా గల విధానాల సంఖ్య = \(\frac{100 !}{40 ! 60 !}\)
(i) మీ ఇద్దరు ఒకే సెక్షన్లో ప్రవేశించే ముందుగా మీ ఇద్దరు మొదటి సెక్షన్లోకి ప్రవేశించగా మిగిలిన 98 మంది విద్యార్ధులను 38, 60 గా విభజించగల విధానాల సంఖ్య = \(\frac{98 !}{38 ! 60 !}\)
ఇదే విధంగా మీ ఇద్దరు రెండవ సెక్షన్లోకి ప్రవేశించగా మిగిలిన 98 మంది విద్యార్థులను 40, 58 గా విభజించగల విధానాల సంఖ్య

(ii) వేర్వేరు సెక్షన్లోకి ప్రవేశించే
∴ వేర్వేరు సెక్షన్లలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{17}{33}\)
= \(\frac{16}{33}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(a)

అభ్యాసం – 9(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో క్రింది ఘటనలు తీసుకొందాం.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C = { 1, 2, 3}
ఈ ఘటనలు సమసంభవాలేనా?
సాధన:
A, B, C ఘటనలు మూడింటిలో ఏ ఘటన సంభవమైనా, మిగతా ఘటనలు సంభవాని కంటే ఎక్కువగా సంభవించడానికి గల కారణం ఏమీ లేదు.
కనుక ఈ ఘటనలు సమసంభవ ఘటనలు.

ప్రశ్న 2.
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో క్రింది ఘటనలను తీసుకొందాం.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4}, C = {6}
ఈ ఘటనలు పరస్పర వివర్జితాలేనా?
సాధన:
A, B, C ఘటనలలో ఏ ఘటన సంభవమైనా, మిగతా ఘటనలలో మరోదాని సంభవాన్ని నిరోధిస్తుంది.
కనుక A, B, Cలు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు లేదా A ∩ B = φ, B ∩ C = φ, C ∩ A = φ
∴ A, B, C ఘటనలు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు.

ప్రశ్న 3.
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో క్రింది ఘటనలను తీసుకొందాం.
A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}, C = {1, 5, 6}
ఈ ఘటనలు పూర్ణఘటనలేనా?
సాధన:
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో శాంపిల్ ఆవరణ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∵ A ⊂ S, B ⊂ S, C ⊂ S మరియు
A ∪ B ∪ C = S
∴ A, B, C లు పూర్ణ ఘటనలు.

II.

ప్రశ్న 1.
పరస్పర వివర్ణిత, పూర్ణ ఘటనలకు రెండు ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
సాధన:
(i) ఒక పాచికను దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో శాంపిల్ ఆవరణ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6).
E₁ అనేది పాచికను దొర్లించినపుడు బేసి అంకెరావటం అనే ఘటన
E₁ = {1, 3, 5}
E₂ అనేది పాచికను దొర్లించినప్పుడు సరిఅంకె రావటం అనే ఘటన
E₂ = {2, 4, 6}
అప్పుడు E₁ ⊂ S, E₂ ⊂ S మరియు E₁ ∪ E₂ = S, E₁ ∩ E₂ = φ
∴ E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఘటనలు.

(ii) రెండు నాణేలను ఒకేసారి దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో శాంపిల్ ఆవరణ
S = {HH, HT, TH, TT}
(H బొమ్మను, T అచ్చును సూచిస్తుంది)
E₁ అనేది రెండు నాణేలను ఒకేసారి దొర్లించినపుడు కనీసం ఒక బొమ్మ రావటం అనే ఘటన
∴ E₁ = {HH, HT, TH}
E₂ అనేది రెండు నాణేలను ఒకేసారి దొర్లించినపుడు రెండూ అచ్చులు కావటం అనే ఘటన
∴ E₂ = {TT}
∵ E₁ ⊂ S, E₂ ⊂ S, E₁ ∪ E₂ = S మరియు E₁ ∩ E₂ = φ
∴ E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఘటనలు.

ప్రశ్న 2.
పరస్పర వివర్జిత ఘటన గానీ, పూర్ణ ఘటన గానీ కానట్టి ఘటనలకు రెండు ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
సాధన:
(i) ఒక పాచికను దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁ అనేది సరి ప్రధాన సంఖ్య రావటం అనే ఘటన, E₂ అనేది సరిసంఖ్య రావటం అనే ఘటన అనుకుంటే,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E₁ = {2}, E₂ = {2, 4, 6}
E₁ ∩ E₂ = {2} ≠ φ, E₁ ∪ E₂ = {2, 4, 6} ⊂ S
కనుక E₁, E₂ లు రెండు పరస్పర వివర్జితం గానీ, పూర్ణ ఘటనలు గానీ కానటువంటి ఘటనలు.

(ii) రెండు నాణేలను దొర్లించినపుడు ఒక బొమ్మ రావటం అనేది ఘటన E₁, కనీసం ఒక బొమ్మ రావటం అనేది E₂ అనుకుంటే
S = {HH, HT, TH, TT}
E₁ = {HT, TH}
E₂ = {HH, HT, TH}
ఇచ్చట E₁ ∩ E₂ = {(H, T), (T, H)} ≠ φ
E₁ ∪ E₂ = {(H, H), (H, T), (T, H)} ⊂ S
∴ E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జితం గానీ, పూర్ణ ఘటనలు గానీ కానటువంటి ఘటనలు.

ప్రశ్న 3.
సమసంభవాలు గానీ, పూర్ణ ఘటనగానీ కానటువంటి ఘటనలకు రెండు ఉదాహరణలిమ్ము.
సాధన:
(i) రెండు నాణేలను ఎగురవేసే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁ అనేది ఒక బొరుసు రావటం అనే ఘటన E₂ అనేది కనీసం ఒక ‘బొరుసు’ రావటం అనే ఘటన అనుకుంటే,
శాంపిల్ ఆవరణ
S = {HH, HT, TH, TT}
E₁ = {HT, TH}
E₂ = {HT, TH, TT}
P(E₁) = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), P(E2) = \(\frac{3}{4}\)
∵ P(E₁) ≠ P(E₂)
E₁, E₂ లు సమసంభవాలు కానీ ఘటనలు.
E₁ ∪ E₂ = {HT, TH, TT} ⊂ S
∴ E₁, E₂ లు పూర్ణ ఘటనలు కావు.

(ii) పాచికను దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో
E₁ అనేది బేసి ప్రధాన సంఖ్య రావటం అనే ఘటనను, E₂ అనేది బేసి సంఖ్య రావటం అనే ఘటన అనుకుంటే,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E₁ = {3, 5}, E₂ = {1, 3, 5}
P(E₁) = \(\frac{2}{6}\), P(E₂) = \(\frac{3}{6}\)
∵ P(E₁) ≠ P(E₂)
∴ E₁, E₂ లు సమసంభవాలు కానీ ఘటనలు
E₁ ∪ E₂ = {1, 3, 5) ⊂ S
∴ E₁, E₂ లు పూర్ణ ఘటనలు కావు.