Inter 2nd Year

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 9th Lesson విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 9th Lesson విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ

→ మారే అయస్కాంత క్షేత్రము, విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని జనింపచేస్తుంది.

→ వాహకంలో మొత్తం బలరేఖల సంఖ్యను అయస్కాంత అభివాహం అంటారు.

→ ఫారడే ప్రయోగాల ద్వారా విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ దృగ్విషయం ఆవిష్కరించబడినది.

→ తీగచుట్టలో అయస్కాంత అభివాహం మారితే, దానిలో విద్యుచ్ఛాలక బలం ప్రేరితమవుతుంది.

→ ప్రేరిత విద్యుచ్ఛాలక బలం, అయస్కాంత అభివాహంలో మార్పు రేటుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ లెంజ్ నియమం ప్రకారం ప్రేరిత వి.చా.బ దిశ ఎల్లప్పుడూ అధిగమించడానికి ఉపయోగపడిన దానిని వ్యతిరేకిస్తుంది.

→ మారు ప్రవాహాలు (లేదా) ఫోకాల్ట్ ప్రవాహాలు, వాహకంను మారే అయస్కాంత క్షేత్రంలో ఉంచినప్పుడు . ప్రేరితమయ్యే విద్యుత్ ప్రవాహం.

→ ఎడ్జీ ప్రవాహాలు ప్రాయోగిక అనువర్తనాలలో మరియు అవసరంలేని ప్రభావాలలో ఉపయోగిస్తారు.

→ నిరోధాల పెట్టెలలో స్వయం ప్రేరణను తొలగించడానికి ప్రేరకతలేని తీగచుట్టలను వాడతారు.

→ తీగ ప్రేరకంలాగా పనిచేయదు. అందుకు కారణం విస్మరించదగిన అడ్డుకోత వైశాల్యం గల తీగలో అయస్కాంత అభివాహం సున్నా

→ తీగచుట్టలాగా తీగను చుట్టితే, అది ప్రేరకం వలె పనిచేస్తుంది.

→ సాలినాయిడ్ పొడవు, దాని అడ్డుకోత వైశాల్యంతో పోల్చితే చాలా ఎక్కువ.

→ విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ నియమాలు :

• తీగచుట్టలో అయస్కాంత అభివాహం మారితే, వలయంలో విద్యుచ్ఛాలక బలం జనిస్తుంది.
• వలయంలో వి.చా.బ పరిమాణం, అయస్కాంత అభివాహంలో మార్పు రేటుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ తీగచుట్టలో విద్యుత్ ప్రవాహము మారితే, అయస్కాంత అభివాహం మారి, దానిలో ప్రేరిత వి.చా.బ. జనిస్తుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని స్వయంప్రేరణ అంటారు.

→ ఒక తీగచుట్టలో విద్యుత్ ప్రవాహము మారితే, అయస్కాంత అభివాహం మారి, మరొక తీగచుట్టలో వి.చా.బ. ప్రేరితమవుతుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని అన్యోన్య ప్రేరణ అంటారు.

→ అయస్కాంత అభివాహం (Φ_B) = B.A = BA cos θ

→ ε = \(\frac{-\mathrm{d} \phi_{\mathrm{B}}}{\mathrm{dt}}\)

→ ε = -N\(\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{dt}}\)

→ చలన వి.చా.బ. (ε) = Blυ.

→ ε = – L\(\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}\)

→ ε = -M₁₂\(\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}\)

→ అయస్కాంత క్షేత్రంలో నిల్వ ఉన్న శక్తి (u) = \(\frac{1}{2}\)LI₀²

→ సాలినాయిడ్ యొక్క స్వయం ప్రేరకత (L) = μ₀n²Al

→ రెండు పొడవైన సాలినాయిడ్ల యొక్క అన్యోన్య ప్రేరకత (M) = μ₀n¹n²Al

→ తక్షణ ప్రేరిత వి.చా.బ (ε) = NBAω sin ωt.

→ F= q\((\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B})\)

→ సామర్థ్యము (p) = \(\frac{\mathrm{B}^2 l^2 v^2}{\mathrm{r}}\)

→ NΦ = LI.

→ NΦ = MI.

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(b)

అభ్యాసం – 3(బి)

I.

ప్రశ్న 1.
y² = 6x పరావలయానికి ధనాత్మక నాభి లంబాగ్రం వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(a, 2a) కాని 4a = 6 ⇒ a = \(\frac{3}{2}\)
(\(\frac{3}{2}\), 3)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము yy₁ = 2a (x + x₁)
yy₁ = 3(x + x₁)
3y = 3(x + \(\frac{3}{2}\))
2y – 2x – 3 = 0 స్పర్శరేఖ సమీకరణము
స్పర్శరేఖ వాలు 1
అభిలంబరేఖ వాలు – 1
అభిలంబరేఖ సమీకరణం y – 3 = -1(x – \(\frac{3}{2}\))
2x + 2y – 9 = 0

ప్రశ్న 2.
x² – 4x 8y + 12 = 0 పరావలయంపై (4, \(\frac{3}{2}\)) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(x – 2)² – 4 – 8y + 12 = 0
⇒ (x – 2)² – 8y + 8 = 0
⇒ (x – 2)² = 8(y – 1); 4a = 8 ⇒ a = 2
(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
(x – 2) (x₁ – 2) = 2a (y – 1 + y₁ – 1)
⇒ (x – 2) (4 – 2) = 2a (y – 1+ \(\frac{3}{2}\) – 1)
⇒ 2(x – 2) = 4\(\left(\frac{2 y-1}{2}\right)\)
x – 2y – 1 = 0
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – y₁ = m(x – x₁) అనుకుందాం.
m – అభిలంబరేఖ వాలు
స్పర్శరేఖ వాలు \(\frac{1}{2}\)
అభిలంబ రేఖ వాలు – 2
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – \(\frac{3}{2}\) = -2(x – 4)
2y – 3 = – 4x + 16
4x + 2y – 19 = 0

ప్రశ్న 3.
y² = 6x పరావలయానికి 2y = 5x + k స్పర్శరేఖ అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
దత్తరేఖ 2y = 5x + k

ప్రశ్న 4.
y² = 4x పరావలయానికి y – 2x + 5 = 0 రేఖకు సమాంతరంగా గల అభిలంబ రేఖసమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన: ప
రావలయము సమీకరణము y² = 4x
∴ a = 1
దత్తరేఖ సమీకరణము y – 2x + 5 = 0.
వాలు m = 2
అభిలంబ రేఖ y – 2x + 5 = 0 కు సమాంతరము
అభిలంబరేఖ వాలు = 2
రేఖా సమీకరణము ‘t’ వద్ద అభిలంబ
y + tx = 2at + at³
∴ Slope = -t = 2
⇒ t = -2
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y – 2x = 2.1 (-2) + 1(-2)
= -4 – 8 = -12
2x – y – 12 = 0.

ప్రశ్న 5.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుంది అని చూపి, స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ 2x – y + 2 = 0
⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా
4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}=\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు = \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{2^2}, \frac{2(4)}{2}\right)\)
= (1, 4)

ప్రశ్న 6.
y² = 16x పరావలయానికి, X- అక్షంతో 60° కోణం చేసే స్వర్శలేఖ సమీకరణం కనుక్కోండి. స్వర్శ బిందువును కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
θ = 60°; m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
y = \(\sqrt{3x}\) + \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{3y}\) = 3x + 4
స్పర్శబిందువు = \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{3}, \frac{8}{\sqrt{3}}\right)\)

II.

ప్రశ్న 1.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువులు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}=\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x + y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right)=\left(\frac{4}{4} ; \frac{8}{2}\right)\) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m’ = –\(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = m’x + c’
= (-\(\frac{1}{2}\)) x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}=\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = – 8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = -x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు \(\left(\frac{a}{m^{\prime^2}}, \frac{2 a}{m^{\prime}}\right)\)
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\)
= (16, -16).

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయానికి lx + my + n = 0 అభిలంబరేఖ అయితే al³ + 2alm² + nm² = 0 అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 4ax
అభిలంబరేఖ సమీకరణము y + tx = 2at + at³
tx + y – (2at + at³) = 0 ………….. (1)
దత్తరేఖ సమీకరణము
lx + my + n = 0 ………. (2)
(1), (2) ఒకేరేఖను సూచిస్తున్నాయి.
గుణకాలను పోల్చగా

m³ తో గుణించగా
-nm² = 2al m² + al³
⇒ al³ + 2alm² + nm² = 0

ప్రశ్న 3.
వృత్తం x² + y² = 2a², పరావలయం y² = 8ax లకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y = ± (x + 2a) అని చూపండి. [Mar. ’06]
సాధన:
పరావలయ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y² = 8ax,
y = mx + \(\frac{2 a}{m}\)
m²x – my + 2a = 0 ……………… (1)
(1) రేఖ x² + y² = 2a², వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది. (0, 0)
(1) కేంద్రం నుండి లంబదూరము a\(\sqrt{2}\) వ్యాసార్ధము.
\(\left|\frac{2 a}{\sqrt{m^2+m^4}}\right|\) = a\(\sqrt{2}\)
లేదా 4 = 2 (m⁴ + m²)
m⁴ + m² – 2 = 0
(m² + 2) (m² – 1) = 0 లేదా m = ± 1
కావలసిన స్పర్శరేఖలు
y = (1) x + \(\frac{2 a}{(1)}\) , y = (-1) x + \(\frac{2 a}{(-1)}\)
⇒ y = ± (x + 2a)

ప్రశ్న 4.
పరావలయం నాభి జ్యా అగ్రాల వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖలు నియతరేఖ పై లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:

పరావలయ సమీకరణము y² = 4ax
Q(t₁) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము.
t₁y = x + at₁²
R(t₂) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము t₂y = x + at₂²
సాధించగా,
ఖండన బిందువు [at, t₂, a(t₁ + t₂)]
QR జ్యా సమీకరణము (t₁ + t₂) y = 2x + 2at₁t₂

ప్రశ్న 5.
x² = 4ay పరావలయానికి y = mx + c స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన:
x² = 4ay కు స్పర్శరేఖ, స్పర్శరేఖ వాలు ‘m₁‘ పదాలలో
x = m₁ y + \(\frac{a}{m_1}\)
లేదా y = \(\frac{x}{m_1}-\frac{a}{m_1^2}\) …………… (i)
y = mx + c ………………… (ii)
(1) (2) పోల్చగా
m = \(\frac{1}{m_1}\) ; c = \(\frac{-a}{m_1^2}\)
m₁ = \(\frac{1}{m}\)
∴ c = \(\frac{-a}{(1 / m)^2}\)
c = – am² కావలసిన నియమము

ప్రశ్న 6.
y² = 8x పరావలయానికి (k, 0) నుంచి మూడు అభిలంబ రేఖలు గీశాం, అందులో ఒకటి అక్షరేఖ, మిగిలిన రెండు అభిలంబ రేఖలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటే k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయంలో అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + xt = 2at + at³
ఈ అభిలంబరేఖ (k, 0) గుండా పోతుంది.
∴ kt = 2at + at
at³ + (2a – k) t = 0
at² + (2a – k) = 0
m₁ = 0, m₂ m₃ = -1 అని ఇవ్వబడింది.
(-t₂) (-t₃) = -1 t₂ t₃ = -1
\(\frac{2 a-k}{a}\) = – 1
2a – k = -a
k = 2a + a = 3a
పరావలయం సమీకరణము y² = 8x
4a = 8
⇒ a = 2
k = 3a = 3(2) = 6

ప్రశ్న 7.
y² = 4ax కు లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువుల పథం నియతరేఖ x + a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖను
y = mx + \(\frac{a}{m}\) -గా తీసుకొనవచ్చును,
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
my₁ = m²x₁ + a
m²x₁ – my₁ + a = 0.

స్పర్శరేఖలు లంబంగా ఉన్నాయి.
⇒ m₁m₂ = -1
\(\frac{a}{x_1}\) = -1
x₁ = -a
నియతరేఖ x = -a, అనేది P(x₁, y₁) బిందుపథం

ప్రశ్న 8.
రెండు పరావలయాలు ఒకే శీర్షం, సమాన నాభి లంబం పొడవులు కలిగి ఉన్నాయి. వాటి అక్షాలు లంబంగా ఉన్నాయి. అప్పుడు వాటి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ, పరావలయ నాభి లంబాగ్రాల వద్ద స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయాల సమీకరణాలు
y² = 4ax
x² = 4ay గా తీసుకుందాం.
x² = 4ay కు (2at, at²) వద్ద స్పర్శరేఖ
2atx = 2a(y + at²)
y = tx – at²
ఇది y² = 4ax కు స్పర్శరేఖ
∴ నియమము C = \(\frac{a}{m}\)
– at² = \(\frac{a}{t}\)
t³ = -1 ⇒ t = -1.
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = -x – a
x + y + a = 0.
L’ (a, – 2a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y (-2a) = 2a (x + a)
x + y + a = 0
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ y² = 4ax పరావలయాన్ని
L (a, -2a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.
L (-2a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x² = 4ay
x(-2a) = 2a (y + a)
x + y + a= 0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు పరావలయాన్ని L’ (-2a, a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.

ప్రశ్న 9.
y² = 4ax పరావలయ స్పర్శరేఖ పైకి నాభి నుంచి గీసిన లంబపాదాలు, శీర్షం వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన;
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
Q(x₁, y₁) లంబపాదం
∴ y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\) …………….. (1)
SQ వాలు = \(\frac{y_1}{x_1-a}\)

⇒ y₁² (a – x₁) = x₁ (a – x₁)² + ay₁²
⇒ ay₁² – x₁y₁² = x₁ (a² + x₁² – 2ax₁) + ay₁²
⇒ x₁ [x₁² – 2ax₁ + a² + y₁²] = 0
⇒ x₁ [(x₁ – a)² + y₁²] = 0
⇒ x₁ = 0
Q (x₁, y₁) బిందుపథం x = 0. i.e., ఇది పరావలయానికి శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ.

ప్రశ్న 10.
పరావలయానికి నాభి జ్యా ఒక కొన వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ, రెండో కొన వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

P(t₁) వద్ద స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
t₁y = x + at₁²
P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{1}{t_1}\) …………….. (2)
Q(t₂) వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణము
y + xt₂ = 2at₂ + at₂³
Q వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు = -t₂ ……………… (3)
(1), (2), (3) ల నుండి P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = Q వద్ద అభిలంబరేఖ వాలు
P వద్ద స్పర్శరేఖ, Q వద్ద అభి లంబరేఖ సమాంతరము.

III.

ప్రశ్న 1.
y² = 4ax పరావలయానికి t₁ వద్ద గీసిన అభిలంబరేఖ పరావలయాన్ని తిరిగి t₂ వద్ద ఖండిస్తే t₁t₂ + t₁² + 2 = 0 అని చూపండి. [May ’07]
సాధన:
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
y – y₁ = \(\frac{-y_1}{2 a}\) (x – x₁)
y – 2at₁ = \(\frac{-2 \mathrm{at}_1}{2 \mathrm{a}}\) (x – at₁²)
(1) రేఖ పరావలయాన్ని తిరిగి (at₂², 2at₂) వద్ద ఖండిస్తుంది.
∴ 2at₂ – 2at₁ = t₁ (at₂² – at₁²)
–\(\frac{2}{t_1}\) = t₁ + t₂ ⇒ -2 = t₁² + t₁t₂
⇒ t₁² + t₁t₂ + 2 = 0

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయానికి బాహ్య బిందువు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు అక్షరేఖతో θ₁, θ₂ కోణాలు చేస్తున్నాయి. cot θ₁ + cot θ₂ విలువ స్థిర సంఖ్య ‘d’ అయితే, అలాంటి P లు క్షితిజ సమాంతర రేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\)
my₁ = m²x₁ + a = 0
m²x₁ – my₁ + a = 0
ఈ సమీకరణం మూలాలు m₁, m₂, అయితే
m₁ + m₂ = \(\frac{y_1}{x_1}\), m₁m₂ = \(\frac{a}{x_1}\)
cot θ₁ + cot θ₂ = a అని ఇవ్వబడింది.

P(x₁, y₁) బిందుపథం y = a² ఇది క్షితిజ రేఖ.

ప్రశ్న 3.
2x² + 2y² = a² వృత్తం, y² = 4ax పరావలయానికి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y² = – 4ax యొక్క నాభి వద్ద ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త వృత్తము 2x² + 2y² = a²
కేంద్రం = (0, 0); వ్యాసార్ధము = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
దత్త పరావలయము y² = 4ax
y = mx + \(\frac{a}{m}\) స్పర్శరేఖ అనుకుందాం.
2x² + 2y² = a² స్పృశిస్తుంది.
⇒ (0, 0) నుండి లంబదూరము = వ్యాసార్థము
⇒ \(\left|\frac{\frac{a}{m}}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
⇒ \(\frac{\frac{a^2}{m^2}}{m^2+1}=\frac{a^2}{2}\)
⇒ \(\frac{2 a^2}{m^2}\) = a² (m² + 1)
⇒ 2 = m⁴ + m²
⇒m ⇒ m⁴ + m² – 2 = 0
⇒ (m² – 1) (m² + 2) = 0 (∵ m² + 2 ≠ 0)
m² – 1 = 0 ⇒ m = ± 1
y² = – 4ax పరావలయం యొక్క నాభి వద్ద ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
y² = 4ax పరావలయంపై రెండు బిందువుల y నిరూపకాల మొత్తం, అదే పరావలయంపై వేరొక రెండు బిందువుల y నిరూపకాల మొత్తానికి సమానం అయితే, మొదటి రెండు బిందువులను కలిపే జ్యా, మిగిలిన రెండు బిందువులను కలిపే జ్యాకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయ సమీకరణము y² = 4ax
P(t) మరియు Q(t) లను కలిపే జ్యా సమీకరణము
(t₁ + t₂) y = 2x + 2 at₁ t₂
PQ వాలు = \(\frac{2}{t_1+t_2}\) ……………… (1)
R(t₃) మరియు S(t₄) లు కలిపే జ్యా సమీకరణము
(t₃ + t₄) y = 2x + 2at₃t₄
RS వాలు = \(\frac{2}{t_3+t_4}\) ………………. (2)
దత్తాంశం ప్రకారం 2at₁ + 2at₂ = 2at₃ + 2at₄
i.e., 2a (t₁ + t₂) = 2a (t₃ + t₄)
t₁ + t₂ = t₃ + t₄ …………….. (3)
(1), (2), (3) ల నుండి PQ వాలు = RS వాలు
i.e., PQ, RS లు సమాంతరాలు.

ప్రశ్న 5.
y² = 4ax పరావలయంపై బిందువు ‘t’ వద్ద అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం చేస్తే t = ± \(\sqrt{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 4ax …………… (1)
‘t’ వద్ద లంబరేఖ సమీకరణాలు
tx + y = 2at + at³

(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరిస్తే AQ, ARల ఉమ్మడి సమీకరణాలు
y² = \(\frac{4 a x \cdot(t x+y)}{a\left(2 t+t^3\right)}\)
y² (2t + t³) = 4tx² + 4xy
4tx² + 4xy – (2t + t³) y² = 0
AQ, AR లు లంబంగా ఉన్నాయి.
x² గుణకం + y² గుణకం = 0
4t – 2t – t³ = 0
2t – t³ = 0
-t(t² – 2) = 0
t² – 2 = 0 ⇒ t² = 2
t = ± \(\sqrt{2}\)

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 8th Lesson అయస్కాంతత్వం-ద్రవ్యం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 8th Lesson అయస్కాంతత్వం-ద్రవ్యం

→ సూదంటు రాయి ఒక సహజ అయస్కాంతం. ఇది మాగ్నటైట్ అనే ఇనుప ఖనిజము. సూదంటు రాయి అనగా దారి చూపించునది.

→ అయస్కాంతం యొక్క అయస్కాంత క్షేత్ర రేఖలు అవిచ్ఛిన్న సంవృత ఉచ్చులను ఏర్పరుచును.

→ విద్యుత్ ప్రవాహ ఉచ్చుతో ముడిపడి ఉన్న అయస్కాంత ద్విధ్రువ భ్రామకము m = NIA. ఇక్కడ ఉచ్చులో చుట్ల సంఖ్య N. I విద్యుత్ ప్రవాహము మరియు A సదిశ వైశాల్యం.

→ సాలినాయిడ్ అయస్కాంత భ్రామకం పరిమాణం m = n(2l) I (πa²)

→ ఒక దండాయస్కాంత అక్షీయ అయస్కాంత క్షేత్రము B_A = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \mathrm{~m}}{\mathrm{r}^3}\)

→ ఏకరీతి అయస్కాంత క్షేత్రంలో ద్విధ్రువం (సూది) పై టార్క్ τ = m × B

→ ఒక దండాయస్కాంతం మధ్య లంబక్షేత్రము B_E = \(\frac{\mu_0}{4 \pi}\)

→ అయస్కాంతత్వంలో గాస్ నియమము : ఏదైనా సంవృత తలం ద్వారా నికర, అయస్కాంత అభివాహము సున్న, i.e. ∫_sB.ds = 0

→ అయస్కాంత ఉత్తర మరియు దక్షిణ దృవములను కలుపు ఊహారేఖ ద్వారా పోవు లంబతలంను, ఆ ప్రదేశంలో అయస్కాంత యామ్యోత్తర రేఖ అంటారు.

→ నిజ భౌగోళిక ఉత్తర ధృవము మరియు కంపాసు సూచి చూపు ఉత్తర ధృవమునకు మధ్య గల కోణంను దిక్పాతము అంటారు.

→ భూమి అయస్కాంత మొత్తం తీవ్రత తెలుపు దిశకు మరియు అయస్కాంత యామ్యోత్తర రేఖకు మధ్య కోణంను అవపాతము అంటారు..

→ ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో అయస్కాంత భ్రామకంను అయస్కాంతీకరణం అంటారు.

దీని ప్రమాణము Am^-1 మరియు దీని మితులు L^-1A.

→ 300K వద్ద, రుణ డయా అయస్కాంత పదార్థాలు బిస్మత్, రాగి, వజ్రము, బంగారము, సీసము, పాదరసము, నైట్రోజన్ (S.T.P), వెండి, సిలికాన్,

→ 300K వద్ద, ధన పారా అయస్కాంత పదార్థాలు అల్యూమినియం, కాల్షియం, క్రోమియం, లిథియం, మెగ్నీషియం, నియోబియమ్, ఆక్సిజన్ (STP), ప్లాటినమ్, టంగస్టన్.

→ డయా అయస్కాంత పదార్థాలకు, -1 ≤ χ < 0; 0 ≤ μ_r < 1; μ < μ₀.

→ పారా అయస్కాంత పదార్థాలకు, 0 < χ < ε, 1 < μ_r < 1 + ε; μ > μ₀.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలకు, χ >> 1; μ_r >> 1; μ < μ₀.

→ పారా అయస్కాంత అయస్కాంతీకరణము, పరమ ఉష్ణోగ్రత T.కు విలోమానుపాతంలో ఉండును.
M = \(\frac{\mu_0}{T}\) లేకు తుల్యంగా, χ = C\(\frac{\mu_0}{T}\)

→ పారా అయస్కాంత నమూనాపై, క్షేత్రం పెంచినా లేక ఉష్ణోగ్రత తగ్గించినా, అయస్కాంతీకరణ సంతృప్త విలువ Ms, చేరు వరకు పెరుగును. ఈ స్థితిలో ధృవాలన్నీ క్షేత్ర దిశలో పూర్తిగా అమరును.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థ సూక్ష్మ ఘనపరిమాణం (10^-6 cm³ నుండి 10^-2 cm³) ను డొమైన్ అంటారు.

→ డొమైన్ పరిమాణము 1mm మరియు డొమైన్లో పరమాణువుల సంఖ్య 10¹¹.

→ కొన్ని ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలలో అయస్కాంతీకరణ దృఢంగా ఉంటుంది. అటువంటి పదార్థాలను కఠిన అయస్కాంత పదార్థాలు లేక కఠిన ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలంటారు. ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థాలకు, μ_r > 1000.

→ ఫెర్రో అయస్కాంత పదార్థం, పారా అయస్కాంత పదార్థంగా మారు ఉష్ణోగ్రతను, క్యూరీ ఉష్ణోగ్రత T అంటారు.

→ I మరియు B లు H వెనక ఉండటాన్ని, శైథిల్యం అంటారు.

→ H = 0 వద్ద I విలువను రెటింటివిటి అంటారు.

→ H యొక్క తిరోదిశలో I ను సున్నాకు చేర్చుటకు కావాల్సిన అయస్కాంత బల విలువను కొయిర్సివిటి అంటారు.

→ విద్యుదయస్కాంతాలు, విద్యుత్ గంటలు, లౌడ్ స్పీకర్స్ మరియు టెలిఫోన్ డయఫ్రమ్స్ వాడతారు.

→ కూలుమ్ నియమము, F = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{r}^2}\) = 10^-7 × \(\frac{\mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{r}^2}\)

→ అయస్కాంత ద్విధ్రువం, \(\overrightarrow{\mathbf{M}}=\mathrm{m}(\overrightarrow{2 l})\)

→ విద్యుత్ లూపు అయస్కాంత భ్రామకము, \(\vec{M}=I \vec{A}\)

→ కక్ష్యా చలనం వల్ల అయస్కాంత భ్రామకము, μ_l = n\(\left(\frac{\mathrm{eh}}{4 \pi \mathrm{m}_{\mathrm{e}}}\right)\)

→ బోర్ మాగ్నిటాన్, μ_B = \(\frac{\mathrm{eh}}{4 \pi \mathrm{m}_{\mathrm{e}}}\)

→ పొట్టి ద్విధ్రువంకు,

→ \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{e}}}=\frac{\mu_0}{4 \pi}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{m}}}{\left(\mathrm{r}^2+l^2\right)^{3 / 2}}\) పొట్టి దండాయస్కాంతమునకు, B_e = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{r}^3}\)

→ ఏదైనా బిందువు వద్ద పొట్టి అయస్కాంత ద్విధ్రువం వల్ల అయస్కాంత క్షేత్రము B = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M \sqrt{3 \cos ^2 \theta+1}}{\mathbf{r}^3}\)

→ టార్క్ \(\vec{\tau}=\overrightarrow{\mathrm{m}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)

→ అయస్కాంత క్షేత్రంలో ఒక దండాయస్కాంతమును ఉంచినపుడు స్థితిజ శక్తి U = -m B cos θ = –\(\overrightarrow{\mathrm{m}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)

→ అయస్కాంతత్వంలో గాస్ నియమము \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ds}}\)

→ అయస్కాంత తీవ్రత H = \(\frac{B_0}{\mu_0}\)

→ అయస్కాంతీకరణ తీవ్రత I = \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{m} \times 2 l}{\mathrm{~A} \times 2 l}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}\)

→ అయస్కాంత అభివాహం Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\Delta \mathrm{s}}\)

→ అయస్కాంత ససెప్టిబిల్టి χ_m = \(\frac{I}{H}\)

→ అయస్కాంత పర్మియబిల్టి μ = \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{H}}\)

→ μ = μ₀ (1 + χ_m) మరియు μ_r = 1 + χ_m

→ క్యూరీ నియమము χ_m α \(\frac{1}{T}\) ⇒ χ_m = T స్థిరాంకం.

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 7th Lesson చలించే ఆవేశాలు-అయస్కాంతత్వం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 7th Lesson చలించే ఆవేశాలు-అయస్కాంతత్వం

→ అయస్కాంత క్షేత్రం ఎల్లప్పుడూ, విద్యుత్ ప్రవాహంతో కలిసి ఉంటుంది.

→ సౌష్ఠవ విద్యుత్ ప్రవాహ వితరణ ఉన్నప్పుడు మాత్రమే బయోట్-సవర్ట్ నియమం పాటించబడుతుంది.

→ విద్యుత్ ప్రవాహ వాహకం చుట్టూ ఏర్పడే అయస్కాంత క్షేత్రము ఏకరీతిగా ఉండదు. కాని ప్రయోగ అవసరాల కోసం దాని కేంద్రం వద్ద ఏకరీతిగా తీసుకుంటాం.

→ నిశ్చిలస్థితిలో విద్యుదావేశాలు స్థిర విద్యుత్ అంతర చర్యలను చలనంలో ఉన్న ఆవేశాలు అయస్కాంత అంతర చర్యలను ఏర్పరచును.

→ అయస్కాంత బలం, విద్యుత్ బలం కన్నా స్వల్పం.

→ డోలన మరియు త్వరణం చెందే ఆవేశాలు విద్యుదయస్కాంత తరంగాలను జనింపచేస్తాయి.

→ విద్యుత్ మరియు అయస్కాంత క్షేత్రాలు ఉన్నప్పుడు, అంతరాళంలో చలించే ఆవేశంపై పనిచేసే బలాన్ని లారెంజ్ బలం అంటారు.

→ అయస్కాంత క్షేత్రం (B) యొక్క రేఖీయ సమాకలని, సంవృత వలయంలో మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహం (i) కు
μ₀ రెట్లుంటుంది. ∮\(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} l}\) = μ₀I

→ అవసరమైన అయస్కాంతక్షేత్రాన్ని జనింపచేయడానికి టెలివిజన్లో సాలినాయిడ్ను వాడతారు.

→ టోరాయిడ్ అనగా బోలుగా ఉండే వృత్తాకార రింగ్, దీనిలో విద్యుత్ బంధిత తీగ అనేకచుట్లు దగ్గర దగ్గరగా చుట్టబడి ఉంటుంది.

→ బయోట-సవర్ట్ నియమంను ఇలా తెలుపవచ్చు. \(\overrightarrow{\mathrm{dB}}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{\mathrm{id} l \sin \theta}{\mathrm{r}^2}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{\mathrm{id} l \times \overrightarrow{\mathrm{r}}}{\mathrm{r}^3}\)

→ రెండు తిన్నని సమాంతర వాహకాలలో విద్యుత్ ప్రవాహాలు ఒకే దిశలో ఉంటే అవి పరస్పరం ఆకర్షించుకుంటాయి మరియు విద్యుత్ ప్రవాహాలు వ్యతిరేక దిశలలో ఉంటే వికర్షించుకుంటాయి.

→ సైక్లోట్రాన్ ఎలక్ట్రాన్లు మరియు న్యూట్రాన్లను త్వరణం చెందించదు.

→ అమ్మీటరును వలయాలలో ఎల్లప్పుడూ శ్రేణిలోనే కలుపుతారు.

→ వోల్టు మీటరును వలయాలలో ఎల్లప్పుడూ సమాంతరంగానే కలపాలి.

→ ఆదర్శ అమ్మీటరు నిరోధము సున్నా.

→ ఆదర్శ వోల్టు మీటరు నిరోధము అనంతం

→ N చుట్లు, A వైశాల్యం గల తీగచుట్టలో విద్యుత్ ప్రవాహం i అయిన అయస్కాంత భ్రామకం (m)m = NiA

→ కేంద్రకం చుట్టూ తిరిగే ఎలక్ట్రాన్ యొక్క అయస్కాంత భ్రామకం μ_l = \(\frac{\mathrm{e}}{2 \mathrm{~m}}\)l

→ పరస్పరం లంబంగా ఉన్న విద్యుత్ మరియు అయస్కాంత క్షేత్రాల గుండా అంతరాళంలో ఒక గల ఆవేశిత కణాల కిరణపుంజము యొక్క ఎంపికను వేగవరణకం అంటారు.

→ F = q (\(\vec{v} \times \vec{B}\)) (లేదా) F = Bqv sin θ

→ dB = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{\mathrm{id} l \sin \theta}{\mathrm{r}^2}\)

→ B = \(\frac{\mu_0 n i^2}{2\left(r^2+x^2\right)^{3 / 2}}\)

→ B = \(\frac{\mu_0 n i^2}{2\left(r^2+x^2\right)^{3 / 2}}\)

→ B = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}\)(sin Φ₁ + sin Φ₂)

→ B = \(\frac{\mu_0 \mathbf{i}}{2 \pi \mathrm{a}}\)

→ M = niA

→ B = μ₀ni (సాలినాయిడ్ కేంద్రం వద్ద)

→ B = \(\frac{\mu_0 n i}{2}\)(సాలినాయిడ్ ఒక చివర వద్ద)

→ ∮\(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} l}\) = μ₀I

→ F = q\([\overrightarrow{\mathbf{E}}+(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathbf{B}})]\)

→ F = i\((\vec{l} \times \vec{B})\) = Bil sin θ

→ τ = \(\overrightarrow{\mathrm{M}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = MB sin θ

→ i = \(\frac{\mathrm{C}}{\text { BAN }}\)θ

→ S = \(\frac{i_g G}{i-i_g}\)

→ R = \(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{i}_{\mathrm{g}}}\) – G

→ F = \(\frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2 \pi r}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(d) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 నిశ్చిత సమాకలనులు Exercise 7(d)

అభ్యాసం – 7 (డి)

I. క్రింద ఇచ్చిన వక్రాలతో ఆవృతమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
y = cos x, y = 1 – \(\frac{2 \mathbf{x}}{\pi}\) (Mar. ’05)
సాధన:
దత్త వక్రాల సమీకరణాలు
y = cos x —- (1)
y = 1 – \(\frac{2 x}{\pi}\) — (2)
(1), (2) ల నుండి y ను తొలగించగా
cos x = 1 – \(\frac{2 x}{\pi}\)
అయితే x = \(\frac{\pi}{2}\), cos x = cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0
1 – \(\frac{2}{\pi}\) . x = 1 – \(\frac{2}{\pi}\) . \(\frac{\pi}{2}\) = 1 – 1 = 0
అయితే x = 0, cos x = cos 0 = 1
1 – \(\frac{2 x}{\pi}\) = 1 – 0 = 1
∴ ఖండన బిందువులు A(0, 1), B(\(\frac{\pi}{2}\), 0)

ప్రశ్న 2.
y = cos x, y = sin 2x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\).
సాధన:

కావలసిన వైశాల్యము

ప్రశ్న 3.
y = x³ + 3, y = 0, x = -1, x = 2 (Mar. 05)
సాధన:
PABQ వైశాల్యము

ప్రశ్న 4.
y = e^x, y = x, x = 0, x = 1
సాధన:

ప్రశ్న 5.
y = sin x, y = cos x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\)
సాధన:

కావలసిన వైశాల్యము

ప్రశ్న 6.
x = 4 – y², x = 0
సాధన:
x = 4 – y² పరావలయం, x – అక్షాన్ని A (4, 0) వద్ద y – అక్షాన్ని P (0, 2) మరియు Q (0, – 2) వద్ద ఖండిస్తుంది. పరావలయం x-అక్షం దృష్ట్యా సౌష్టవము

కావలసిన వైశాల్యము = 2 వైశాల్యం OAP
= 2\(\int_0^2\)(4 – y²) dy
= 2\(\left(4 y-\frac{y^3}{3}\right)_0^2\)
= 2\(\left(8-\frac{8}{3}\right)\)
= 2.\(\frac{16}{3}\) = \(\frac{32}{3\) చ|| యూనిట్లు,

ప్రశ్న 7.
|x| + |y| = 1 వక్రంతో ఆవృత్తమైన వైశాల్య౦ కనుక్కోండి.
సాధన:

II.

ప్రశ్న 1.
x = 2 – 5y – 3y², x = 0.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలను సాధించగా
2 – 5y – 3y² = 0
3y² + 5y – 2 = 0
(y + 2) (3y – 1) = 0 y = -2 or \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 2.
x² = 4y, x = 2, y = 0
సాధన:

ప్రశ్న 3.
y² = 3x, x = 3.
సాధన:

పరావలయం X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము
కావలసిన వైశాల్యము = \(2 \int_0^3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} d x\)
= \(\left(2 \sqrt{3} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right)_0^3\)
= \(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\).(3\(\sqrt{3}\) – 0)
= 12 చ|| యూనిట్లు

ప్రశ్న 4.
y = x², y = 2x.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
y = x² —– (1)
y = 2x —– (2)

y ను తొలగించగా x² = 2x
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 or x = 2
y = 0, or y = 4
ఖండన బిందువులు O(0, 0), A(2, 4)
కావలసిన వైశాల్యము = \(\int_0^2\left(2 x-x^2\right) d x\)
= \(\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)_0^2\) = 4 – \(\frac{8}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\) చ॥ యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
y sin 2x, y = \(\sqrt{3}\) sin x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{6}\)
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y = sin 2x —– (1)
y = \(\sqrt{3}\) sin x —- (2)
sin 2x = \(\sqrt{3}\) sinx
2 sin x cos x = \(\sqrt{3}\) sin x
sin x = 0 లేదా 2 cos x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
x = 0 cos x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ x = \(\frac{\pi}{6}\)

ప్రశ్న 6.
y = x², y = x³.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y = x² —– (1)
y = x³ —- (2)

ప్రశ్న 7.
y = 4x – x², y = 5 – 2x [T.S. Mar. 16]
సాధన:

y = 4x – x² —- (1)
y = 5 – 2x —– (2)
y = -([x – 2]²) + 4
y – 4 = -(x – 2)²
(i), (ii) లను సాధించగా
4x – x² = 5 – 2x
x² – 6x + 5 = 0
(x – 5) (x – 1) = 0
x = 1, 5
కావలసిన వైశాల్యం = \(\int_1^5\)(4x – x² – 5 + 2x) dx
= \(\int_1^5\) (6x – x² – 5) dx

ప్రశ్న 8.
X – అక్షం, y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\) వక్రభాగం, x = 2, x = 4 రేఖలతో పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\)

ప్రశ్న 9.
పరావలయాలు y² = 4x, x² = 4y లతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 4x —- (1)
x² = 4y —– (2)
\(\left(\frac{x^2}{4}\right)^2\) = 4x
\(\frac{x^4}{16}\) = 4x
x⁴ = 64 ⇒ x⁴ = 0 లేదా x³ = 64, x = 4

ప్రశ్న 10.
వక్రం y = lnx, X – అక్షం, సరళరేఖ x = e లతో పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రం సమీకరణము y = lnx
x = 1 ⇒ y = 0
వక్రం y = lnx
X – అక్షాన్ని c(1, 0) వద్ద ఖండిస్తుంది.

III.

ప్రశ్న 1.
y = x² + 1, y = 2x – 2, x = -1, x = 2. వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
y = x² + 1 —– (1)
y = 2x – 2 —- (2)

దత్త రేఖల మధ్య వైశాల్యము

ప్రశ్న 2.
y² = 4x, y² = 4(4 – x) వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ? (May ’11)
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు y² = 4x —- (1)
y² = 4(4 – x) —- (2)
y ను తొలగించగా
4x = 4 (4 – x)
2x = 4 ⇒ x = 2
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా y² = 8
y = ±2\(\sqrt{2}\)

ఖండన బిందువులు
A(2, 2\(\sqrt{2}\)), B(2, -2\(\sqrt{2}\))
కావలసిన వైశాల్యం X- అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము
OACB వైశాల్యము

ప్రశ్న 3.
y = 2 – x², y = x² వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన:

y = 2 – x² —- (1)
y = x² —- (2)
x² = -(y – 2)
(2) నుండి
2 – x² = x²
2 = 2x² లేదా x² = 1
x = ±1
రెండు వక్రాల మధ్య వైశాల్యము

ప్రశ్న 4.
y² = 12(x + 3), y² = 20 (5 – x) వక్రాల మధ్య ఆవృతమైన వైశాల్యం 64\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అని చూపండి.
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 12 (x + 3) —- (1)
y² = 20(5 – x) —- (2)
y ను తొలగించగా
12(x + 3) = 20(5 – x)
3x + 9 = 25 – 5x
8x = 16
x = 2
y² = 12(2 + 3) = 60
y = \(\sqrt{60}\) = ±2\(\sqrt{15}\)

ఖండన బిందువులు (2, 2\(\sqrt{15}\)) B’ (+2, -2\(\sqrt{15}\))
కావలసిన వైశాల్యము X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము.
వైశాల్యము ABCB’

ప్రశ్న 5.
{(x, y), x² – x – 1 ≤ y ≤ -1} ప్రదేశం వైశాల్య౦ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
x² + y² = 8 వృత్తం 2y = x² పరావలయంతో రెండు భాగాలుగా విభజించబడింది. ఈ రెండు భాగాల వైశాల్యాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్ర సమీకరణాలు
x² + y² = 8 —- (1)
2y = x² —– (2)
(1), (2) ల మధ్య y ని తొలగించగా

x² = t
4t + t² = 32
t² + 4t – 32 = 0
(t + 8) (t − 4) = 0
t = -8 (అసాధ్య౦) x² = 4 ⇒ x = ±2

వక్రం Y- అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము
మొత్తము వైశాల్యము
A = 2A₁ = 2(\(\frac{2}{3}\) + π) = \(\frac{4}{3}\) + 2π చ|| యూనిట్లు.
మిగిలిన వైశాల్యం = 8π – (\(\frac{4}{3}\) + 2π)
= (6π – \(\frac{4}{3}\)) చ|| యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{\mathbf{y}^2}{\mathbf{b}^2}\) = 1 (దీర్ఘవృత్తం) తో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం
వైశాల్యం π ab అని చూపండి. దీని నుంచి x² + y² = a² వృత్తం వైశాల్యం రాబట్టండి. (May ’05)
సాధన:

x మరియు y అక్షాల యొక్క దీర్ఘవృత్త వైశాల్యము
= 4 వైశాల్య౦ CAB
= 4 . \(\frac{\pi}{4} a b\)
దీర్ఘవృత్త వైశాల్యము \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
y = \(\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}\)
CAB = \(\frac{b}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x\)

x² + y² = a² వృత్త వైశాల్యము వస్తుంది.
వృత్త వైశాల్యము = πа(a) = πа² చ|| యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
y sin πx, y = x² – x, x = 2 వక్రాలతో అన్నతమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుకోండి.
సాధన:
కావలసిన వైశాల్యము

ప్రశ్న 9.
OA = 3, OB = b అయినప్పుడు \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తం ధన పాదం AOB అనుకుందాం. అప్పుడు దీర్ఘవృత్తం జ్యా AB కి, చాపం A, B కి మధ్య పరి బద్ధమైన వైశాల్యం \(\frac{(\pi-2) a b}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకొనుము
AP సమీకరణము \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{y}{b}\) = 1 – \(\frac{x}{a}\)

ప్రశ్న 10.
x = 0, x = 4, y = 4, y = 0 రేఖలతో పరిబద్ధమైన చతురస్ర వైశాల్యాన్ని వక్రాలు y² = 4x, x² = 4y మూడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి.
సాధన:

దత్త సమీకరణాలు y² = 4x —– (1)
x² = 4y —– (2)
ఖండన బిందువులు O(0, 0), A(4, 4)

(1) వైశాల్యం = (2) వైశాల్యం = (3) వైశాల్యం

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 3 పరావలయం Exercise 3(a)

అభ్యాసం – 3(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
4y² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం శీర్షం, నాభులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4y² + 12x – 20y + 67 = 0
4y² – 20y = -12x – 67
y² – 5y = -3x – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{25}{4}\) కూడగా

ప్రశ్న 2.
x² – 6x – 6y + 6 = 0 పరావలయం శీర్షం, నాభులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము
x² – 6x – 6y + 6 = 0
x² – 6x = 6y – 6
ఇరువైపులా 9 కలుపగా
x² – 6x + 9 = 6y+ 3
(x – 3)² = 6\(\left(y+\frac{1}{2}\right)\)
= \(\left[y-\left(\frac{-1}{2}\right)\right]\)
∴h = 3, k = \(\frac{-1}{2}\), a = \(\frac{6}{4}\) = \(\frac{3}{2}\)
శీర్షం = (h, k) = (3, \(\frac{-1}{2}\))
నాభి = (h, k + a) = (3, \(\frac{-1}{2}\)–\(\frac{1}{2}\))
= (3, 1).

ప్రశ్న 3.
y² + 6y – 2x + 5 = 0 పరావలయం అక్షరేఖ, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
y² + 6y = 2x – 5
ఇరువైపులా 9 కలుపగా
y² + 6y + 9 = 2x – 5 + 9
[y – (-3)]² = 2x + 4
[y – (-3)]² = 2[x – (-2)]
(y – k)² = 4a (x – h) తో పోల్చగా
(h, k) = (-2,-3), a = \(\frac{1}{2}\)
అక్ష సమీకరణము y – k =  i.e. y + 3 = 0
నియత రేఖా సమీకరణము x – h + a = 0
i.e., x – (-2) + \(\frac{1}{2}\) = 0
2x + 5 = 0.

ప్రశ్న 4.
4x² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం అక్షరేఖ, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
4x² + 12x = 20y – 67
x² + 3x = 5y – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{9}{4}\) కలుపగా
x² + 3x + \(\frac{9}{4}\) = 5y – \(\frac{67}{4}\) + \(\frac{9}{4}\)
(x + \(\frac{3}{2}\))² = 5y – \(\frac{58}{4}\)
= 5y – \(\frac{29}{2}\)
\(\left[x-\left(\frac{-3}{2}\right)\right]^2=5\left[y-\frac{29}{10}\right]\)
(x – h)² = 4a(y – k) తో పోల్చగా
(h, k) = (\(\frac{-3}{2}\), \(\frac{29}{10}\)) ; a = \(\frac{5}{4}\)
అక్ష సమీకరణము x – h = 0, i.e., x + \(\frac{3}{2}\) = 0
2x + 3 = 0
నియత రేఖా సమీకరణము, y – k + a = 0
у – \(\frac{29}{10}\) + \(\frac{5}{4}\) = 0
⇒ 20y – 33 = 0.

ప్రశ్న 5.
నాభి 5(1, -7), శీర్షం (1, 2) గా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
S = (1, -7), A(1, -2) అనుకుందాము.
h = 1, k = -2, a = -2 + 7 = 5
పరావలయం అక్షం Y – అక్షానికి సమాంతరము.
పరావలయ, సమీకరణము
(x – h)² = – 4a (y – k)
(x – 1)² = 20(y + 2)
x² – 2x + 1 = -20y – 40
⇒ x² – 2x + 20y + 41 = 0.

ప్రశ్న 6.
నాభి S(3, 5), శీర్షం (1, 3)గా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్ష సమీకరణము y – 3 = \(\frac{3-5}{1-3}\) (x – 1)
= x – 1
x – y + 2 = 0
నియత రేఖ, అక్షానికి లంబంగా ఉంది.
నియత రేఖ సమీకరణము x + y + k = 0
Z నిరూపకాలు (x, y)
SZ మధ్య బిందువు A
A నిరూపకాలు \(\left(\frac{3+x}{2}, \frac{5+y}{2}\right)\) = (1, 3)
\(\frac{3+x}{2}\) = 1
3 + x = 2
x = 2 – 3 = -1

\(\frac{5+y}{2}\) = 3
5 + y = 6
y = 6 – 5 = 1

Z నిరూపకాలు (-1, 1).
నియత రేఖ Z (-1, 1) గుండా పోతుంది.
-1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0
నియతరేఖ సమీకరణము x + y = 0
పరావలయ సమీకరణము ( x – α)² + (y – β)²
= \(\frac{(l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{n})^2}{l^2+\mathrm{m}^2}\)
(x – 3)² + (y – 5)² = \(\frac{(x+y)^2}{1+1}\)
⇒ 2(x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25)= (x + y)²
⇒ 2x² + 2y² – 12x – 20y + 68 = x² + 2xy + y²
i.e., x² – 2xy + y² – 12x – 20y+ 68 = 0.

ప్రశ్న 7.
(-3, 2), (-3, 1) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం నాభి లంబంగా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

L (-3, 2) మరియు L’ (-3, 1) నాభి లంబము కొనలు S మధ్య బిందువు LL’
S నిరూపకాలు \(\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

i.e., (2y – 3)² = 4x + 13.

ప్రశ్న 8.
y² = 6x పరావలయం దృష్ట్యా కింది బిందువుల స్థితి (అంతరంగా ఉన్నాయో, బాహ్యంగా ఉన్నాయో, పరిధిపై ఉన్నాయో) తెలపండి.
i) (6, -6)
ii) (0, 1)
iii) (2, 3)
సాధన:
i) (6, -6)
పరావలయ సమీకరణము y² = 6x
i.e., S = y – 6x
S₁₁ = (-6)² – 6.6 = 36 – 36 = 0
∴ (6, 6) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది.

ii) (0, 1)
S₁₁ = 1² – 6.0 = 1 > 0
∴ (0, 1) బిందువు పరావలయానికి బాహ్యంగా ఉంది.

iii) (2, 3)
S = 9 – 6 (2) = 9 – 12 = 3
∴ (2, 3) బిందువు పరావలయానికి అంతరంగా ఉంది.

ప్రశ్న 9.
y² = 8x పరావలయంపై నాభిదూరం 10 గల బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [(Mar. ’11) ‘T.S. Mar, ’17 A.P. Mar. ’17 A.P. Mar. ’16]
సాధన:
పరావలయ సమీకరణము y² = 8x
4a = 8 ⇒ a = 2

నాభి నిరూపకాలు (2, 0)
పరావలయం మీద పడని బిందువు P(x, y)
దత్తాంశం SP = 10 ⇒ SP² = 100
(x – 2)² + y² = 100 + 2
కనుక y² = 8X
⇒ (x – 2)² + 8x = 100
⇒ x² – 4x + 4 + 8x – 100 = 0
⇒ x + 4x – 96 = 0 ⇒ (x + 12) (x – 8) = 0
x + 12 = 0 లేదా × – 8 = 0
x = -12, లేదా 8
సందర్భం : (i) x = 8
y² = 8.x = 8.8 = 64
y = ±8
కావలసిన బిందువుల నిరూపకాలు (8, 8) మరియు (8, -8)
సందర్భం : (ii) x = -12
y² = 8(-12) = -96 < 0
y వాస్తవము కాదు.

ప్రశ్న 10.
y² = 8x పరావలయం, నాభి జ్యా ఒక కొన (\(\frac{1}{2}\), 2) అయితే రెండో కొన నిరూపకాలు కనుక్కోండి. [May ’06]
సాధన:
A = (\(\frac{1}{2}\), 2); S = (2, 0)
B = (x₁, y₁) ⇒ \(\left(\frac{y_1^2}{8}, y_1\right)\)
ASB నాభి జ్యా
∴ SA, SB వాలులు సమానము.

24y₁ = -4y₁² + 64
లేదా 4y₁² + 24y₁ – 64 = 0
⇒ y₁² + 6y₁ – 16 = 0 ⇒ (y₁ + 8) (y₁ – 2) = 0
y₁ = 2, -8
x₁ = \(\frac{1}{2}\) , 8; కావున (8, -8) రెండవ కొన.

ప్రశ్న 11.
y² = 4ax (a > 0) పై గల బిందువులలో నాభి నుంచి కనిష్ట దూరంలో గల బిందువు శీర్షం అని చూపండి.
సాధన:
P(at², 2at) పరావలయం మీది బిందువు

S(a, 0) కనిష్ఠ దూరంలో ఉంది.
[SP² = (at – a)² + (2at – 0)²]
f'(t) = a²2(t² − 1) (2t) + 4a²(2t).
= 4a²t(t² – 1 + 2) = 4a²t(t² + 1)
కనిష్ఠ విలువను’ f'(t) = 0 ⇒ t = 0
f” (t) = 4a²(3t² + 1)
f'(0) = 4a² > 0]
∴ t = 0, వద్ద f(t) కనిష్ఠం
P = (0, 0):
∴ y² = 4ax, మీద ఉంటుంది. ధృవానికి కనిష్ఠ దూరములో గల బిందువు A (0, 0).

ప్రశ్న 12.
సూర్యుడు నాభిగా గల పరావలయ కక్ష్యలో ఒక తోకచుక్క సంచరిస్తోంది. సూర్యుడు నుంచి తోకచుక్క దూరం 2 × 10⁷ కి.మీ. ఉన్నప్పుడు సూర్యుడిని, తోకచుక్కను కలిపే రేఖ, కక్ష్య యొక్క అక్షరేఖతో \(\frac{\pi}{2}\) కోణం చేస్తోంది. సూర్యుడికి ఎంత దగ్గరగా తోకచుక్క రాగలదో కనుక్కోండి.
సాధన:

తోకచుక్క యొక్క పరావలయ కక్ష్య y² = 4ax అనుకుందాం.
తోకచుక్క ఉన్న స్థితి P
∠XSP = \(\frac{\pi}{2}\) అని ఇవ్వబడింది.
SP అక్షానికి లంబంగా ఉంది.
SP అర్థ నాభి లంబము
2a = 2 × 10⁷
⇒ a = 10⁷ కి . మీ
పరావలయము మీద నాభి నుండి అత్యంత సమీప బిందువు A
AS = a = 10⁷ కి . మీ
∴ సూర్యుని నుండి కనిష్ఠ దూరంలో గల పరావలయం మీది బిందువు 10⁷ కి.మీ దూరంలో ఉంది.

II.

ప్రశ్న 1.
పరావలయం y² = 4ax (a > 0) ద్విy నిరూపకం, త్రిథాకరణ బిందువుల బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y⁷ = 4ax
P(x, y) మరియు Q(x, -y) నాభి జ్యా కొనలు.

T బిందువు PQ ని 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
T నిరూపకాలు \(\left(x, \frac{-y+2 y}{3}\right)\)
= \(\left(x, \frac{y}{3}\right)\)
T బిందువు PQ ని 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
T నిరూపకాలు \(\left[x, \frac{-2 y+y}{3}\right]\)
= \(\left(x_1-\frac{y}{3}\right)\)
L, L’ల నిరూపకాలు (x₁, y₁) అయితే
y₁ = ± \(\frac{y}{3}\) ⇒ y₁² = \(\frac{y^2}{9}\)
y² = 9y₁²
4ax₁ = 9y₁²
బిందు పథము (x₁, y₁) = 9y² = 4ax.

ప్రశ్న 2.
ధన X – అక్షంపై మూలబిందువు నుంచి శీర్షం, నాభులు వరుసగా (a, a’) దూరాలలో గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
A నిరూపకాలు (a, 0) మరియు
S నిరూపకాలు (a’, 0)
AS = a’ – a

పరావలయ సమీకరణము y² = 4(a’ – a) (x – a).

ప్రశ్న 3.
x² = 6y పరావలయం నాభి లంబాగ్రాలు L,L’ లు అయితే OL, OL’ సమీకరణాలు, వాటి మధ్యకోణం -కనుక్కోండి. (‘O’ మూలబిందువు)
సాధన;
x² = 6y
Y – అక్షం దృష్ట్యా వక్ర సౌష్ఠవము
నాభి జ్యా కొనలు
(2a, a), (-2a, a)
4a = 6 ⇒ a = \(\frac{3}{2}\)
OL : x = 2y
∴ L = (3, \(\frac{3}{2}\))
OL’ : x = -2y
L’ = (-3, \(\frac{3}{2}\))
Tan θ = \(\left|\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}\right|=\frac{4}{3}\)
∴ θ =Tan^-1 \(\left(\frac{4}{3}\right)\)

ప్రశ్న 4.
(-2, 1), (1, 2), (-1, 3) బిందువుల గుండా పోతూ, X- అక్షానికి సమాంతరంగా అక్షరేఖ గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్షం X – అక్షానికి సమాంతరము
సాధారణ సమీకరణము
x = ay² + by + c
(−2, 1) (1, 2) (−1, 3) బిందువుల గుండా పోతుంది.
-2 = a + b + c ……………… (i)
1 = 4a + 2b + c ……………… (ii)
-1 = 9a + 3b + c ………………. (iii)

–\(\frac{5}{2}\) = a
\(\frac{21}{2}\) = b
– 10 = c
x = –\(\frac{5}{2}\)y² + \(\frac{21}{2}\)y – 10
5y² + 2x – 21y + 20 = 0

ప్రశ్న 5.
(4, 5), (-2, 11), (4, 21) బిందువుల గుండా పోతూ, Y – అక్షానికి సమాంతరంగా అక్షరేఖ గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
సాధారణ సమీకరణము y = ax² + bx + C
(4, 5), (-2, 11), (-4, 21) ల గుండాపోతుంది.
5 = 16a + 4b + c ………………. (i)
11 = 4a – 2b + c …………….. (ii)
+ 21 = 16a – 4b + c ……………….. (iii)
(ii) – (i) చేయగా
6 = -12a – 6b
(iii) – (ii) 10 = 12a – 2b
సాధించగా
b = -2, a = 1/2, c = 5
y = \(\frac{1}{2}\) x² – 2x + 5
x² – 2y – 4x + 10 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
నాభి (−2, 3) నియతరేఖ 2x + 3y + 4 = 0 గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి. నాభిలంబం పొడవు, అక్షరేఖ సమీకరణాలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:

P(x₁, y₁) పరావలయం మీది బిందువు.
S(-2, 3) నాభి
SP² = (x₁ + 2)² +(y₁ – 3)²
నియత రేఖ సమీకరణము 2x + 3y – 4 = 0
PM = P నుండి నియత రేఖ మీదకు
PM = \(\frac{\left|2 x_1+3 y_1-4\right|}{\sqrt{4+9}}\)
పరావలయ నిర్వచనం ప్రకారం SP = PM ⇒ SP² = PM²
(x₁ + 2)² + (y₁ – 3)² = \(\frac{\left(2 x_1+3 y_1-4\right)^2}{13}\)
⇒ 13(x₁² + 4x₁ + 4 + y₁² – 6y₁ + 9) = (2x₁ + 3y₁ – 4)²
⇒ 13x₁² + 13y₁² + 52 x₁ – 78 y₁ + 169 = 4x₁² + 9y₁² + 16 + 12 x₁y₁ – 16x₁ – 24 y₁
⇒ 9x₁² – 12 x₁y₁ + 4y₁² + 68x₁ – 54y₁ + 153 = 0
బిందు పథము P(x₁, y₁)
9x² – 12xy +4y²+68x-54y+ 153 = 0
నాభి లంబము పొడవు. = 4a
S నుండి నియత రేఖ మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|2(-2)+3.3-4|}{\sqrt{4+9}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\)
2a = \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
నాభి లంబం పొడవు
= 4a = \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
అక్షం, నియత రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
నియత రేఖ సమీకరణాన్ని
3x – 2y + k = 0 గా తీసుకొనగలము.
ఈ రేఖ S (−2, 3) గుండా పోతుంది.
-6 – 6 + k = 0 ⇒ k = 12
అక్షం సమీకరణము 3x – 2y + 12 = 0

ప్రశ్న 2.
y² = 4ax పరావలయంలో అంతర్లిఖించిన త్రిభుజం శీర్షాల y నిరూపకాలు y₁, y₂, y₃ అయితే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{8 a}\) (y₁ − y₂) (y₂ – y₃) (y₃ – y₁) | చ || యూ ॥ అని చూపండి.
సాధన:
P(at₁², 2at₁), Q(at₂², 2at₂),
R(at₃², 2at₃) లు ∆PQRశీర్షాలు .
∆ PQR వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) |at₁² (2at₂ – 2at₃) + at₂² (2at₃ – 2at₁) + at₃² (2at₁ – 2at₂)|
= \(\frac{1}{2}\) . 2a² |t₁² (t₂ – t₃) + t₂² (t₃ – t₁) + t₃² (t₁ – t₂)|
= a² (t₁ – t₂) (t₂ – t₃) (t₃ – t₁)|
= \(\frac{1}{8 a}\) |(2at₁ – 2at₂) (2at₂ – 2at₃) (2at₃ – 2at₁)|
= \(\frac{1}{8 a}\) |(y₁ – y₂) (y₂ – y₃) (y₃ – y₁)|
P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), R(x₃, y₃) లు ∆PQRశీర్షాలు.

ప్రశ్న 3.
కింది పరావలయాలకు, శీర్షం, నాభి నిరూపకాలు, నియత రేఖ, అక్షరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
(i) y² + 4x + 4y – 3 = 0
(ii) x² – 2x + 4y – 3 = 0
సాధన:
i) y² + 4x + 4y – 3 = 0
⇒ y²+ 4y = -4x + 3
⇒ y² + 4y + 4 = -4x + 3+ 4
⇒ + (y + 2)² = – 4x + 7
⇒ [y − (−2)]² = -4[x – \(\frac{7}{4}\)]
h = \(\frac{7}{4}\), k = -2, a = 1
శీర్షం A(h, k) = \(\left(\frac{7}{4},-2\right)\)
నాభి (h-a, k) = \(\left(\frac{7}{4}-1,-2\right)\)
= \(\left(\frac{3}{4},-2\right)\)
నియత రేఖ సమీకరణము x – h- a = 0
x – \(\frac{7}{4}\) – 1 = 0
4x – 11 = 0
అక్షం సమీకరణము y – k = 0
y + 2 = 0

ii) x² – 2x + 4y – 3 = 0
x² – 2x = -4y + 3
⇒ x – 2x + 1 = -4y + 3 + 1
(x – 1)² = -4y + 4
= -4 [y – 1]
(x – 1)² = -4[y – 1]
h = 1; k = 1; a = 1
శీర్షం A(h, k) = (1, 1)
నాభి (h, k – a) = (1, 1 – 1) = (1, 0)
నియత రేఖ సమీకరణము y – k – a = 0
y – 1 – 1 = 0
y – 2 = 0
అక్షరేఖ సమీకరణము x – h = 0
x – 1 = 0

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 6th Lesson ప్రవాహ విద్యుత్తు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 6th Lesson ప్రవాహ విద్యుత్తు

→ వాహకం ఏదైనా భాగం గుండా పోవు ఆవేశ ప్రవాహపు రేటును విద్యుత్ ప్రవాహసత్వం అంటారు.
i.e., i = Q. దీనిని ఆంపియర్లలో కొలుస్తారు.

→ ఓమ్ నియమము : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, వాహకం గుండా పోవు విద్యుత్ ప్రవాహం, దాని పొటెన్షియల్ తేడాకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును. V & I లేక V = IR. ఇక్కడ ‘R’ వాహకము లేక నిరోధకము యొక్క

→ నిరోధకము, విద్యుత్ ప్రవాహంను వ్యతిరేకించు ఒక సాధనము.

→ అధిక పొటెన్షియల్ నుండి అల్ప పొటెన్షియల్కు మరియు ఎలక్ట్రాన్ ప్రవాహ దిశకు వ్యతిరేకంగా సాంప్రదాయక విద్యుత్ ప్రవాహం దిశ ఉండును.

→ ఓమ్ నియమమును పాటించు నిరోధకములను ఓమిక్ నిరోధకములు అంటారు.

→ ఓమ్ నియమమును పాటించని నిరోధకములను అఓమిక్ నిరోధకములు అంటారు.

→ ప్రమాణ పొడవు మరియు ప్రమాణ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఒక తీగ నిరోధంను నిరోధకత లేక విశిష్ట నిరోధం అంటారు.
i.e., ρ = \(\frac{\mathrm{RA}}{l}\) దీని ప్రమాణము Ω – m.

→ ప్రమాణ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న విద్యుత్ ప్రవాహంను విద్యుత్ ప్రవాహ సాంద్రత (J) అంటారు. దీని ప్రమాణం A/m².

→ నిరోధం యొక్క విలోమమును కండక్టెన్స్ అంటారు. దీనికి ప్రమాణం సీమెన్.

→ నిరోధకత యొక్క విలోమమును వాహకత్వం అంటారు.
i.e., σ = \(\frac{1}{\rho}\) దీని ప్రమాణం సీమెన్ / మీటర్.

→ 1°C ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలలో నిరోధం పెరుగుదలకు మరియు 0°C వద్ద నిరోధంనకు గల నిష్పత్తిని ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకం (α) అంటారు.

→ ఏకాంక ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలకు నిరోధకతలో కలిగే అంశిక పెరుగుదలను ఉష్ణోగ్రతా నిరోధకత గుణకం (α) అంటారు.
i.e., α = \(\frac{\rho_{\mathrm{t}}-\rho_0}{\rho_0 \mathrm{t}}\)

→ ప్రమాణ ఆవేశంను కదిలించుటలో జరిగిన పనిని ఘటం విద్యుచ్ఛాలక బలం (వి.చా.బ) అంటారు.
E = \(\frac{W}{q}\)మరియు ఓల్టలో కొలుస్తారు.

→ ఘటం విద్యుత్ విశ్లేష్యం గుండా ప్రవహించు ఆవేశాలను వ్యతిరేకించు నిరోధంను అంతర నిరోధం అంటారు.

→ వలయంలో ఆవేశ ప్రభాహంలను ఘటంలో ఏర్పడే వి. చా.బ వ్యతిరేకించును. దీనిని తిరో వి.చా.బ అంటారు.

→ లోహ వాహకంపై బాష విద్యుత్ క్షేత్రంను ప్రయోగిస్తే ఎలక్ట్రాన్ వడితో అపసరం చెందును. దీనినే అపసర వేగం లేక డ్రిఫ్ట్ వేగం అంటారు.

→ ప్రమాణ విద్యుత్ క్షేత్రసత్వంను అనువర్తింపచేస్తే, ఫలిత సరాసరి అపసర వేగంను మొబిలిటి (μ) అంటారు. μ = \(\). దీని ప్రమాణము m²s^-1 Volt^-1.

→ ద్రవాలలో విద్యుత్ ప్రవాహంను ఎలక్ట్రాలిసిస్ అంటారు. ఇది అయాన్ల చలనం వల్ల ఉండును.

→ వాయువులలో విద్యుత్ ప్రవాహంను ఉత్సర్గం (డిశ్చార్జ్) అంటారు. ఇది అయాన్ల చలనం వల్ల ఉండును.

→ E. వి.చా.బ. జనకంను బాహ్య నిరోధం R కు కలిపితే, వోల్టేజి V_{బాహ్య}, R వెంట V_{బాహ్య} = I(R + r). ఇక్కడ r జనకం అంతర నిరోధం.

→ నిరోధకంల శ్రేణి సంధానంలో, మొత్తం నిరోధం R_s = R₁ + R₂ + ……….. + R_n

→ నిరోధకంల సమాంతర సంధానంలో, మొత్తం నిరోధం \(\frac{1}{R_P}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\ldots \ldots \cdot \frac{1}{R_n}\)

→ కిర్కాఫ్ సంధి నియమం : వలయం ఏదైనా సంధి వద్ద, సంధి వద్దకు వచ్చు విద్యుత్ ప్రవాహాల బీజీయ మొత్తం, సంధి నుండి బయటకు వచ్చు విద్యుత్ ప్రవాహాల బీజీయ మొత్తమునకు సమానం.

→ కిర్కాఫ్ లూప్ నియమం: ఏదైనా సంవృత లూప్లో పొటెన్షియల్ తేడాల బీజీయ మొత్తం శూన్యం.

→ వీటన్ బ్రిడ్జి సూత్రము R₄ = R₃ × \(\frac{\mathrm{R}_2}{\mathrm{R}_1}\)

→ మీటర్ బ్రిడ్జి, వీటన్ బ్రిడ్జి సూత్రంపై ఆధారపడును.

→ మీటర్ బ్రిడ్జిని ఉపయోగించి తెలియని నిరోధంను ఖచ్చితంగా కొలవవచ్చును.

→ పొటెన్షియోమీటర్ చాలా సున్నితమైంది, ఖచ్చితమైన పొటెన్షియల్ తేడాను కనుగొనుటకు ఉపయోగిస్తారు.

→ విద్యుత్ ప్రవాహం I = \(\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{ne}}{\mathrm{t}}\)

→ అపసర్గ వేగం, V_d = \(\frac{\mathrm{eE} \tau}{\mathrm{m}}\)

→ I = neA V_d; I = \(\frac{\mathrm{nAe}^2 \tau}{\mathrm{m}}\)E

→ ఎలక్ట్రాన్ చలనశీలత, m = \(\frac{\mathrm{e} \tau}{\mathrm{m}}\)

→ ప్రవాహ సాంద్రత j = \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{A}}\) మరియు j = \(\frac{\mathrm{ne}^2 \tau}{\mathrm{m}}\)E

→ ఓమ్స్ నియమము, V = IR

→ నిరోధం, R = \(\frac{V}{I}\) మరియు R = \(\frac{\rho l}{\mathrm{~A}}\); R = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{ne}^2 \tau} \cdot \frac{l}{\mathrm{~A}}\); ρ = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{ne}^2 \tau}\)

→ కండక్టేన్స్ G = \(\frac{1}{R}\); వాహకత్వం σ = \(\frac{1}{ρ}\)

→ ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకం α = \(\frac{\mathrm{R}-\mathrm{R}_0}{\mathrm{R}_0 \theta}\)

→ కార్బన్ నిరోధం కలర్ కోడ్

→ శ్రేణి సంధానంలో R_s = R₁ + R₂ + R₃ + …………

→ సమాంతర సంధానంలో, \(\frac{1}{\mathrm{R}_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{\mathrm{R}_1}+\frac{1}{\mathrm{R}_2}+\frac{1}{\mathrm{R}_3}\) + …………..

→ టెర్మినల్ పొటెన్షియల్ తేడా లేక టెర్మినల్ వోల్టేజి V = E – Ir = \(\left[\frac{E-V}{V}\right]\)R

→ కిర్కాఫ్ మొదటి నియమము నుండి Σi = 0

→ కిర్కాఫ్ రెండవ నియమము నుండి ΣE = ΣIR

→ వీటన్ బ్రిడ్జి సూత్రము, R₄ = R₃ × \(\frac{\mathrm{R}_2}{\mathrm{R}_1}\)

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 5th Lesson స్థిర విద్యుత్ పోటెన్షియల్ – కెపాసిటెన్స్ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 5th Lesson స్థిర విద్యుత్ పోటెన్షియల్ – కెపాసిటెన్స్

→ ప్రమాణ ధనావేశంను అనంత దూరం నుండి క్షేత్ర దిశకు వ్యతిరేకంగా ఒక బిందువు వద్దకు తీసుకురావటానికి ‘ చేయవలసిన పనిని విద్యుత్ పొటెన్షియల్ అంటారు.

→ ప్రమాణ ధనావేశంను విద్యుత్ క్షేత్రదిశకు వ్యతిరేకంగా ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు జరుపుటకు చేయవలసిన పనిని ఆ క్షేత్రంలో ఆ రెండు బిందువుల మధ్య పొటెన్షియల్ తేడా అంటారు.

→ బిందు ఆవేశం వల్ల విద్యుత్ పొటెన్షియల్ V = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}\)

→ q₁ మరియు q₂, ఆవేశాల స్థిరవిద్యుత్ స్థితిజశక్తి = U(q₁, q₂) = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}\)

→ q₁, q₂, మరియు q₃, ఆవేశాల వ్యవస్థ స్థిరవిద్యుత్ స్థితిజశక్తి = U(q₁, q₂, q₃) = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left[\frac{q_1 q_2}{r_1}+\frac{q_2 q_3}{r_2}+\frac{q_3 q_1}{r_3}\right]\)

→ విద్యుత్ ద్విధ్రువం పొటెన్షియల్ V = \(\frac{P \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\)

→ తలంపై అన్ని బిందువుల వద్ద పొటెన్షియల్ విలువ స్థిరంగా ఉంటే, ఆ తలంను సమశక్మతలం (సమపొటెన్షియల్) అంటారు.

→ విద్యుత్ క్షేత్రం మరియు పొటెన్షియల్ల మధ్య సంబంధం E = \(-\frac{\delta \mathrm{V}}{\delta l}=+\frac{|\delta \mathrm{V}|}{\delta l}\)

→ బాహ్యక్షేత్రంలో ఒక (డైపోల్) ద్విధ్రువం స్థితిజశక్తి U(θ) = PE(cos θ₀ – cos θ₁)

→ ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో ద్విధ్రువ భ్రామకంను, ధ్రువణం (polarisation) అంటారు. దీనిని P తో సూచిస్తారు.

→ కెపాసిటర్ అల్ప పొటెన్షియల్ వద్ద అధిక ఆవేశంను నిల్వచేయు సాధనం C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\)

→ సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ కెపాసిటి, C = \(\frac{\varepsilon_0 A}{d}\)

→ శ్రేణి సంధానంలో, \(\frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{1}{\mathrm{C}_1}+\frac{1}{\mathrm{C}_2}+\frac{1}{\mathrm{C}_3}+\ldots \ldots\)

→ సమాంతర సంధానంలో, C = C₁ + C₂ + C₃ + ……….

→ C కెపాసిటేన్స్, Q ఆవేశం మరియు V ఓల్టేజి ఉన్న కెపాసిటర్ లో నిల్వ ఉండు శక్తి, U = \(\frac{1}{2}\)CV² = \(\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{QV}}{2}\)

→ ఒక రోథకంను బాహ్యక్షేత్రం (E) ఉంచితే ధ్రువణం చెందును. ధ్రువణం వల్ల రోధకంలో E దిశకు వ్యతిరేకంగా Eo ప్రేరణ విద్యుత్ క్షేత్రం ఏర్పడును. రోథకంలోపల నికర విద్యుత్ క్షేత్రం E = E₀ – E_i = \(\frac{\mathrm{E}_0}{\mathrm{~K}}\)

→ వాక్ డీ గ్రాఫ్ జనరేటర్ అధిక వోల్టేజ్లను (కొన్ని మిలియన్. వోల్ట్స్) ఉత్పత్తి చేయు ఒక యంత్రము ఫలిత విద్యుత్ క్షేత్రాలను ఉపయోగించి హెచ్చు శక్తులకు (ఎలక్ట్రాన్స్, ప్రోటాన్స్, అయాన్లు) ఆవేశ కణాలను త్వరణం చెందించును.

→ విద్యుత్ క్షేత్ర రేఖీయ సమాకలనమును

→ రెండు బిందువులు A మరియు B ల మధ్య పొటెన్షియల్ తేడా
V_B – V_A = \(-\int_A^B \vec{E} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{i}}\); V_B – V_A = \(\frac{\mathrm{q}}{4 \pi \varepsilon_0}\left[\frac{1}{\mathrm{r}_{\mathrm{B}}}-\frac{1}{\mathrm{r}_{\mathrm{A}}}\right]\)

→ బిందు ఆవేశం q వల్ల విద్యుత్ పొటెన్షియల్, V = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}\)

→ ఆవేశాల వ్యవస్థ వల్ల విద్యుత్ పొటెన్షియల్, V = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{r_i}\)

→ విద్యుత్ ద్విధ్రువం వల్ల ఏదైనా బిందువు వద్ద విద్యుత్ పొటెన్షియల్ V = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{P \cos \theta}{\left(r^2-a^2 \cos ^2 \theta\right)}\)

→ E = \(\frac{-\mathrm{dv}}{\mathrm{dr}}\)

→ గాలిలో C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{\mathrm{~d}}\) యానకంలో C = \(\frac{\mathrm{K}_0 \mathrm{~A}}{\mathrm{~d}}\)

→ సమాంతర పలకల కెపాసిటర్ రెండు పలకల మధ్య ఖాళీలో రోధక దిమ్మెను పాక్షికంగా నింపబడితే, కెపాసిటి
C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{\mathrm{~d}}\)

→ గోళాకార కెపాసిటర్ కెపాసిటి C = 4πε₀\(\frac{a b}{b-a}\)

→ స్థూపాకార కెపాసిటర్ C = \(\frac{2 \pi \varepsilon_0 l}{\log _{\mathrm{e}}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)}\)

→ ఆవేశాల పంపిణీలో కెపాసిటర్లను కలిపితే, ఉమ్మడి పొటెన్షియల్ V = \(\frac{\mathrm{C}_1 \mathrm{~V}_1+\mathrm{C}_2 \mathrm{~V}_2+\mathrm{C}_3 \mathrm{~V}_3+\ldots \ldots}{\mathrm{C}_1+\mathrm{C}_2+\mathrm{C}_3+\ldots \ldots}\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 4 దీర్ఘవృత్తం Exercise 4(a)

అభ్యాసం – 4(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
నియత రేఖ x + y + 2 = 0 గాను, e = \(\frac{2}{3}\), ఒక నాభి (1, −1) వద్ద గల దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’05]
సాధన:
P(x₁, y₁) దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువు
నియత రేఖ సమీకరణం
x + y + 2 = 0
ZM కు లంబంగా PM ను గీద్దాం. SP ని కలుపుదాం.
నిర్వచనం ప్రకారం SP = e. PM
SP² = e² . PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 1)² = \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\left[\frac{x_1+y_1+2}{\sqrt{1+1}}\right]^2\)
(x₁ – 1)² + (y₁ + 1)² = \(\frac{4}{9} \frac{\left(x_1+y_1+2\right)^2}{2}\)
9[(x₁ – 1)² + (y₁ + 1)²] = 2[x₁ + y₁ + 2]²
9[x₁² – 2x₁ + 1 + y₁² + 2y₁ +1] = 2[x₁² + y₁² + 4 + 2x₁y₁ + 4x₁ + 4y₁]
9x₁² + 9y₁² – 18x₁ + 18y₁ + 18 = 2x₁² + 2y₁² +4x₁y₁ + 8x₁ + 8y₁ + 8
7x₁² – 4x₁y₁ + 7y₁² – 26x₁ + 10y₁ + 10 = 0
P (x₁, y₁)
7x² – 4xy + 7y² – 26x + 10y + 10 = 0
ఇది కావలసిన దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం.

ప్రశ్న 2.
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{15}{2}\). నాభుల మధ్యదూరం 2 గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి లంబము పొడవు = \(\frac{15}{2}\)
నాభుల మధ్య దూరము = 2
\(\frac{2 b^2}{a}=\frac{15}{2}\) ; 2ae = 2
⇒ b² = a² – a²e²
⇒ b² = a² – 1
⇒ \(\frac{15}{2}\) a = a² – 1
⇒ 4a² – 15a – 4 = 0
b² = a² – 1
= 16 – 1
a = 4 లేదా a = –\(\frac{1}{4}\)
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}\) = 1

ప్రశ్న 3.
నాభుల మధ్య దూరం 8, నియత రేఖల మధ్యదూం 32 గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి. [May ’07; Mar. ’06]
సాధన:
నాభుల మధ్యదూరము = 8
నియత రేఖల మధ్యదూరము = 32
2ae = 8
ae = 4
\(\frac{2 a}{\mathrm{e}}\) = 32
\(\frac{\mathrm {a}}{\mathrm{e}}\) = 16
(ae) \(\frac{\mathrm {a}}{\mathrm{e}}\) = 64
a² = 64
b² = a² – a²e²
= 64 – 16 = 48
దీర్ఘవృత్తము సమీకరణము
∴ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}\) = 1

ప్రశ్న 4.
ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తపు నాభిలంబం పొడవు దీర్ఘాక్షం పొడవులో సగం ఉంటే, ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి లంబము = \(\frac{2 b^2}{a}\)
దీర్ఘాక్షము = 2a
దత్తాంశం ప్రకారం \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{1}{2}\) . 2a
2b² = a²
b² = a²(1 – e²) కనుక
2a²(1 – e²) = a²
1 – e² = \(\frac{1}{2}\)
e² = \(\frac{1}{2}\) ⇒ e = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 5.
x² + 3y² = 6 దీర్ఘవృత్తంపై గల బిందువుకు, కేంద్రం నుంచి దూరం 2. ఆ బిందువు ఉత్కేంద్రీయ కోణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
x² + 3y² = 6
\(\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}\) = 1
a = \(\sqrt{6}\), b = \(\sqrt{2}\)
దీర్ఘ వృత్తం మీది బిందువు
P(\(\sqrt{6}\) cos θ, \(\sqrt{2}\) sin θ)
CP = 2 ⇒ CP² = 4
6 cos² θ + 2 sin² θ = 4
6(1 – sin² θ) + 2 sin² θ = 4
6 – 6 sin² θ + 2 sin² θ
4 sin² θ = 2 ⇒ sin² θ = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
sin θ = ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\)
sin θ = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ θ = \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{4}\)
∴ ఉత్కేంద్రీయ కోణాలు \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
(-2, 2), (3, – 1) బిందువుల గుండా పోయే దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తము సమీకరణము

∴ దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము
3x² + 5y² = 32

ప్రశ్న 7.
దీర్ఘాక్షం కొనలు (5, 0), (-5, 0)1, అయినాభి 3x – 5y – 9 = 0 పై ఉంటే దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
(a, 0) : (5, 0), (-a, 0) : (-5, 0)
a = 5,
b² = a²(1 – e²)
నాభి 3x – 5y – 9 = 0 రేఖపై ఉంది.
3(ae) – 5(0) – 9 – 0
3(5e) – 9 = 0
5e = \(\frac{9}{3}\) లేదా e = \(\frac{3}{5}\)
b² = 25 (1 – \(\frac{9}{25}\))
= 25 (\(\frac{16}{26}\)) = 16
∴ దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\) = 1

ప్రశ్న 8.
దీర్ఘ వృత్తం యొక్క దీర్ఘాక్షం పొడవు, హ్రస్వాక్షం పొడవుకు మూడు రెట్లు ఉంటే ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘాక్షము = 3 హ్రస్వాక్షము
2a = 3(2b) ⇒ a = 3b
a² = 9b² ⇒ a² = 9a²(1 – e²)
1 – e² = \(\frac{1}{9}\) ⇒ e² = 1 – \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{8}{9}\)
e = \(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
దీర్ఘవృత్త ఉత్కేంద్రత = \(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది దీర్ఘవృత్తాలకు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం, నాభిలంబం పొడవులు, ఉత్కేంద్రత, కేంద్రం, నాభులు నిరూపకాలు, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’16]
i) 9x² + 16y² = 144
ii) 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
iii) x² + 2y² – 4x + 12y + 14 = 0 [May ’07]
సాధన:
i) దత్త సమీకరణం 9x² + 16y² = 144
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1
∴ a = 4, b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2 . 4 = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2 . 3 = 6
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2.9}{4}=\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{16-9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
కేంద్రం C(0,0)
నాభులు (±ae, 0) (±\(\sqrt{7}\), 0)
నియత రేఖా సమీకరణాలు x = ± \(\frac{a}{e}\)
x = ± 4 . \(\frac{4}{\sqrt{7}}\) = ± \(\frac{16}{\sqrt{7}}\)
\(\sqrt{7}\) x = ± 16

ii) దత్త సమీకరణము 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
4(x² – 2x) + (y² + 2y) = -1
4(x – 1)² + (y + 1)² = 4 + 1 – 1 = 4
\(\frac{(x-1)^2}{1}+\frac{(y+1)^2}{4}\) = 1
a < b కనుక ⇒ Y – అక్షం దీర్ఘాక్షము
a = 1, b = 2
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2b = 4
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2a = 2
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 a^2}{b}=\frac{2}{2}\) = 1
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{4-1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
కేంద్రం C (-1, 1)
be 2 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\sqrt{3}\)
నాభులు (−1, 1 ± \(\sqrt{3}\))
నియత రేఖల సమీకరణాలు y + 1 = ± \(\frac{b}{e}\) = ± \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{3}\) y + \(\sqrt{3}\) = ± 4
\(\sqrt{3}\) y + \(\sqrt{3}\) ± 4 = 0

iii) x² + 2y² – 4x + 12y + 14 = 0
x² – 4x + 2(y² – 4x + 2(y² + 6y) = – 14
⇒ (x² – 4x + 4) + 2(y² + 6y + 9) = 4 + 18 – 14
⇒ (x – 2)² + 2(y + 3)² = 8
⇒ \(\frac{(x-2)^2}{8}+\frac{(y+3)^2}{4}\) = 1
⇒ \(\frac{(x-2)^2}{(2 \sqrt{2})^2}+\frac{(y+3)^2}{2^2}\) = 1
a = 2\(\sqrt{2}\), b = 2, h = 2, k = – 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2(2\(\sqrt{2}\)) = 4\(\sqrt{2}\)
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2(2) = 4
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2(4)}{2 \sqrt{2}}=2 \sqrt{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
కేంద్రం C = (h, k) = (2, – 3)
నాభులు = (h ± ae, k) = (2 ± 2, -3)
= (4, -3), (0, -3)
నియత రేఖల సమీకరణాలు x – h = ± \(\frac{a}{e}\)
x – 2 = ± \(\frac{2 \sqrt{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\)
x – 2 = ± 4
i.e., x = 6, x = -2

ప్రశ్న 2.
క్రింది వివరాలను తృప్తిపరచే దీర్ఘవృత్తాల సమీకరణాలను \(\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1 రూపంలో కనుక్కోండి.
i) కేంద్రం (2, −1), e = 3, దీర్ఘాక్షం కొన (2, -5),
సాధన:
కేంద్రం (2, -1) ⇒ h = 2, k = -1
దీర్ఘాక్షం కొన (2, -5), k – a = -5
-1 – a = -5
a = 4
b² = a²(1 – e²)
= 16 (1 – \(\frac{1}{9}\)) = \(\frac{128}{9}\)
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{9(y+1)^2}{128}\) = 1
i.e., 8(x – 2)² + 9(y + 1)² = 128

ii) కేంద్రం (4, -1), దీర్ఘాక్షం ఒక కొన (−1, −1) అయి (8, 0) గుండా పోతుంది.
సాధన:
a = \(\sqrt{(4+1)^2+(-1+1)^2}\)
a = 5
దీర్ఘవృత్తం (8, 0) గుండా పోతుంది
\(\frac{(8-4)^2}{25}+\frac{(0+1)^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{1}{b^2}=1-\frac{16}{25}\)
\(\frac{1}{b^2}=\frac{9}{25}\)
∴ కావలసిన దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{(x-4)^2}{25}+\frac{9}{25}\) (y + 1)² = 1
(x – 4)² + 9 (y + 1)² = 25

iii) కేంద్రం (0, -3), e = \(\frac{2}{3}\) అర్థ హ్రస్వాక్షం పొడవు 5.
సాధన:
b = 5
⇒ b² = a² – a²e²
⇒ 25 = a² – a² . \(\frac{4}{9}\) = a² (\(\frac{5}{9}\))
⇒ 45 = a²
\(\frac{(x-0)^2}{45}+\frac{(y+3)^2}{25}\) = 1
⇒ \(\frac{x^2}{45}+\frac{(y+3)^2}{25}\) = 1

iv) కేంద్రం (2, -1); e = \(\frac{1}{2}\), నాభిలంబం పొడవు 4.
సాధన:
b² = a² – a²e²
\(\frac{2 b^2}{a}\) = 4
b² = 2a
⇒ b² = a² – a² . \(\frac{1}{4}\)
⇒ b² = \(\frac{3}{4}\) a
⇒ 2a = \(\frac{3}{4}\) a²
⇒ \(\frac{8}{3}\) = a లేదా a² = \(\frac{64}{9}\)
⇒ b² = \(\frac{16}{3}\)
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం
\(\frac{9(x-2)^2}{64}+\frac{3(y+1)^2}{16}\) = 1
9(x – 2)² + 12(y + 1)² = 64

ప్రశ్న 3.
దీర్ఘ వృత్తం 9x² + 16y² = 144 యొక్క నాభుల గుండా పోతూ కనిష్ఠ వ్యాసార్ధం గల వృత్త వ్యాసార్ధం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్త సమీకరణము 9x² + 16y² = 144

a² = 16, b² = 9
a = 4, b = 3
వృత్తం SS’ ల గుండా పోతూ కనిష్ట వ్యాసార్ధము కలిగి ఉంది.
∴ S, S’ వ్యాసం అవుతుంది.
a²e² = a² – a²(1 – e²) = a² – b² = 16 – 9 = 7
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² = 7.

ప్రశ్న 4.
రేసుకోర్సులో పరిగెడుతున్న మనిషి, రెండు జెండా కొయ్యల నుంచి తనకు గల దూరాల మొత్తం ఎప్పుడూ 10 మీ అని, జెండా కొయ్యల మధ్య దూరం 8 మీ. అని గమనించాడు. అయితే ఆ మనిషి పరిగెత్తే రేసు కోర్సు మార్గం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
S, S’ లు జెండాలు. మనిషి ఉన్న స్థానము P.

SP + S’P = 10 మరియు SS’ = 8
S మరియు S’ లు నాభులుగా కలిగిన దీర్ఘవృత్తంలో
ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు
2a = 10 ⇒ a = 5
SS’ = 8 ⇒ 2ae = 8 = ae = 4
e = \(\frac{4}{5}\)
b² = a²(1 – e²) = 25 (1 – \(\frac{16}{25}\)) = 9
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

III.

ప్రశ్న 1.
a + b స్థిరంగా గల ఒక సరళరేఖ కొనలు ఎప్పుడూ రెండు పరస్పర లంబరేఖలపై చలిస్తున్నాయి. సరళరేఖ పొడవును (a), (b) భాగాలుగా విభజించే నిర్దేశించిన బిందువు ఎప్పుడూ ఒక దీర్ఘవృత్తాన్ని అనుసరిస్తుందని చూపండి. a = 8, b = 12 అయితే దీర్ఘవృత్తం ఉత్యేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
లంబ రేఖలను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం.
AB స్థిరరేఖ.
OA = α, OB = β అనుకుంటే
AB సమీకరణము \(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}\) = 1
(∵ α² + β² = (a + b)²) ………….. (1)
P(x, y) బిందువు AB ని a = b నిష్పత్తితో విభజిస్తుంది

P దీర్ఘవృత్తాన్ని అనుసరిస్తుంది..
a = 8, b = 12, కనుక b > a
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{144-64}{144}}=\sqrt{\frac{80}{144}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

ప్రశ్న 2.
దీర్ఘవృత్త \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 పై బిందువులు ‘α’, ‘β’ లను కలిపే జ్యా సమీకరణం \(\frac{x}{a} \alpha \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+\frac{y}{b} \beta \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువులు
P(a cos α, b sin α) మరియు Q(a cos β, b sin β).

Students can go through AP Inter 2nd Year Physics Notes 13th Lesson పరమాణువులు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Physics Notes 13th Lesson పరమాణువులు

→ J.J. థామ్సన్ పరమాణు నిర్మాణంను ప్రతిపాదించాడు.

→ థామ్సన్ ప్రతిపాదిత పరమాణు నమూనాను రూథర్ ఫర్డ్ మరియు నీల్బోర్లు మార్పు చేశారు.

→ రూథర్ ఫర్డ్ α – కణం పరిక్షేపణ ప్రయోగం కేంద్రకం ఉనికిని తెలుపుతుంది.

→ అత్యంత సామీప్యదూరంతో, కేంద్రకం పరిమాణంను లెక్కకట్టవచ్చు.

→ రూథర్వర్డ్ పరమాణు నమూనా పరమాణు స్థిరత్వంను మరియు పరమాణు రేఖా వర్ణపటంను వివరించలేదు.

→ పరమాణు స్థిరత్వంను మరియు పరమాణు రేఖావర్ణపటంను వివరించుటకు క్రొత్త నమూనాను బోర్ ప్రతిపాదించాడు.

→ బోర్ ప్రతిపాదన ప్రకారము ఎలక్ట్రాన్లు నిర్ధిష్ఠ వికిరణం ఉద్గారంలేనికక్ష్యలలో తిరుగుతాయి. mvr = \(\frac{\mathrm{nH}}{2 \pi}\)

→ వికిరణ ఉద్గారం లేని కక్ష్యలను స్థావర కక్ష్యలు అంటారు.

→ స్థావర కక్ష్యలలో ఎలక్ట్రాన్లు సమదూరంలో ఉండవు.

→ హైడ్రోజన్ పరమాణు మొదటి కక్ష్య వ్యాసార్థంను బోర్ వ్యాసార్థం అంటారు.

→ కక్ష్యలో ఎలక్ట్రాన్ మొత్తం శక్తి, ఆ కక్ష్యలో రుణాత్మక గతిజశక్తికి సమానము.

→ ఒక మూలకం అయోనైజేషన్ పొటెన్షియల్ స్థిరం. కాని వేర్వేరు మూలకాలకు అయోనైజేషన్ పొటెన్షియల్లు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.

→ H-పరమాణువు అయోనైజేషన్ పొటెన్షియల్ = 13.6 V.

→ α – కణం, పరమాణు కేంద్రకం నుండి దూరం వెళ్తూ ఉన్నప్పుడు, కేంద్రం నుండి అతిసమీప లంబదూరంను అభిఘాత పరామితి అంటారు.

→ ప్రమాణ పొడవులో పూర్తి తరంగాల సంఖ్యను తరంగదైర్ఘ్యం అంటారు.

→ n = 1 సంబంధించి ఎలక్ట్రాన్ శక్తిస్థాయిని భూస్థాయి అంటారు.

→ n = 2, 3…. సంబంధించి ఎలక్ట్రాన్ శక్తిస్థాయిలను ఉత్తేజిత స్థాయిలు అంటారు.

→ ఎలక్ట్రానన్ను భూస్థాయి నుండి ఉత్తేజిత స్థాయికి చేరుటకు ఉత్తేజిత శక్తి అవసరము.

→ పరమాణువు నుండి ఎలక్ట్రాన్ ను బయటకు తీసుకొచ్చు ప్రక్రియే అయనీకరణం.

→ పరమాణువు నుండి ఎలక్ట్రానన్ను పూర్తిగా బయటకు తీసుకురావటానికి కావాల్సిన శక్తిని అయనీకరణ శక్తి అంటారు.

→ అత్యంత సామీప్య దూరం, r₀ = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{\mathrm{Ze}^2}{\frac{1}{2} \mathrm{mv}^2}\)

→ అభిఘాత పరామితి, b = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{\mathrm{Ze}^2 \cot \theta / 2}{\frac{1}{2} \mathrm{mv}^2}\)

→ బోర్ క్వాంటికృత షరతు mvr = \(\frac{\mathrm{nh}}{2 \pi}\)

→ బోర్ పౌనఃపున్య షరతు hv = E_i – E_f

→ బోర్ nవ కక్ష్య వ్యాసార్థం r = 4πε₀ \(\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m e^2}\)

→ nవ కక్ష్యలో భ్రమణం చెందు ఎలక్ట్రాన్ వడి, v_n = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \pi \mathrm{e}^2}{\mathrm{nh}}\)

→ రిడ్ బర్గ్ స్థిరాంకం R_H = \(\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{2 \pi^2 m \mathrm{e}^4}{\operatorname{ch}^3}\)

→ nవ కక్ష్యలో ఎలక్ట్రాన్ శక్తి,
E_n = \(-\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{2 \pi^2 m \mathrm{e}^4}{\mathrm{n}^2 \mathrm{~h}^2}\)

→ ఉద్గార వికిరణం శక్తి
E = \(\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{2 \pi^2 m \mathrm{e}^4}{\mathrm{~h}^2}\left[\frac{1}{\mathrm{n}_{\mathrm{f}}^2}-\frac{1}{\mathrm{n}_{\mathrm{i}}^2}\right]\)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 2 వృత్త సరణులు Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 2 వృత్త సరణులు Exercise 2(a)

అభ్యాసం – 2(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే ప్రతి జత వృత్తాలు లంబ వృత్తాలు అయితే k విలువ కనుక్కోండి.
i) x² + y² + 2by – k = 0, x² + y² + 2ax + 8 = 0
సాధన:
g₁ = 0;
g₂ = a ;
f₁ = b;
f₂ = 0
c₁ = -k
c₂ = 8
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి.
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(0) (a) + 2(b) (0) = -k + 8
0 = – k + 8
k = 8

ii) x²+ y² – 6x – 8y + 12 = 0; x² + y² – 4x + 6y + k = 0
సాధన:
g₁ = -3
g₂ = -2
f₁ = -4
f₂ = 3
c₁ = 12
c₂ = k
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-3) (-2) + 2(3) (-4) = 12 + k
-12 – 24 = 12 + k
k = -24

iii) x² + y² – 5x – 14y – 34 = 0; x²+ y² + 2x + 4y + k = 0
సాధన:
g₁ = \(\frac{-5}{2}\)
g₂ = 1
f₁ = -7
f₂ = 2
c₁ = -34
c₂ = k
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2 (\(\frac{-5}{2}\)) (1) + 2(-7) (2) = – 34 + k
-5 – 28 = -34 + k
-33 = – 34 + k
k = 34 – 33 ⇒ k = 1

iv) x² + y² + 4x + 8 = 0; x² + y² – 16y + k = 0 [T.S. Mar. ’16 A.P. Mar. ’16]
సాధన:
g₁ = 2
g₂ = 0
f₁ = 0
f₂ = -8
c₁ = 8
c₂ = k
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(2) (0) + 2(0) (-8) = 8+ k
0 + 0 = 8+ k
⇒ k = -8

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనుము.
i) x² + y² – 12x – 6y + 41 = 0; x² + y²+ 4x + 6y – 59 = 0
సాధన:
C₁ = (6, 3)
C₂ = (-2, -3)
r₁ = (36 + 9 – 41)^1/2
r₂ = (4 + 9 + 59)^1/2
r₁ = 2
r₂ = (72)^1/2 = 6\(\sqrt{2}\)

ii) x² + y² + 6x – 10y – 135 = 0; x² + y² – 4x + 14y – 116 = 0
సాధన;
C₁ = (-3, 5)
C₂ = (2, -7)
r₁ = \(\sqrt{9+25+135}\)
r₂ = \(\sqrt{4+49+116}\)
r₁ = 13
r₂ = 13

ప్రశ్న 3.
x² + y² = a², x² + y² = ax + ay సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్యకోణం \(\frac{3\pi}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² – a² = 0
S’ ≡ x²+ y² – ax – ay = 0

= cos \(\frac{3\pi}{4}\)
θ = \(\frac{3\pi}{4}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఖండించుకుంటాయని చూపండి.
i) x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0; 3x² + 3y² – 8x + 29y = 0
సాధన:
C₁ = (1, 1)
g = -1, f = -1, c = 7
g’ = \(\frac{-4}{3}\), f’ = \(\frac{29}{6}\) ; c’ = 0
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొనే నియమము
2gg’ + 2ff’ = c + c’
2(-1) (\(\frac{-4}{3}\)) + 2(-1) \(\frac{29}{6}\) = -7 + 0
L.H.S. = \(\frac{8}{3}\) – \(\frac{29}{3}\)
= \(\frac{-21}{3}\) = -7
-7 = -7
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

ii) x² + y² +4x – 2y – 11 = 0; x² + y² – 4x – 8y + 11 = 0
సాధన:
g₁ = 2
g₂ = -2
f₁ = -1
f₂ = -4
c₁ = -11
c₂ = 11
రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటే
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(2)(-2) + 2(-1) (-4) = -11 + 11
-8 + 8 = 0
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

iii) x² + y² – 2x + 4y + 4 = 0; x² + y² + 3x + 4y + 1 = 0
సాధన:
g = -1, f = 2, c = 4
g’ = \(\frac{3}{2}\), f’ = 2, c’ = 1
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకునే నియమం
2gg’ + 2ff’ + c’
2(-1) . \(\frac{3}{2}\) + 2×2×2 = 4 + 1
-3 + 8 = 5
5 = 5
∴ దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

iv) x² + y² – 2lx + g = 0; x²+ y² + 2my – g = 0
సాధన:
g₁ = -1; f₁ = 0, c₁ = g, g₂ = 0, f₂ = m, c₂ = g
దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొనే నియమము
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-l) (0) + 2(0) (m) = g – g
0 = 0
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

II.

ప్రశ్న 1.
మూలబిందువు గుండా పోతూ కింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలను లంబంగా ఖండించే వృత్తాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
i) x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0, x² + y² + 12y + 6 = 0
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0,
x² + y² + 12y + 6 = 0
మూల బిందువు గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy = 0 ……………… (1)
ఇది దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తే
2(g) (−2) + 2f(3) = 0 + 10
⇒ – 2g + 3f = 5 ……………… (2)
2(g) (0) + 2f(6) = 0 + 6
⇒ f = \(\frac{1}{2}\)
(2) లో వ్రాయగా
-2(g) + \(\frac{3}{2}\) = 5 ⇒ g = \(\frac{-7}{4}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2(\(\frac{-7}{4}\))x + 2(\(\frac{1}{2}\)) y = 0
⇒ 2(x² + y²) – 7x + 2y = 0

ii) x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0, x² + y² – 8y + 12 = 0
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు
x²+ y² – 4x – 6y – 3 = 0
x²+ y² – 8y + 12 = 0
మూల బిందువు గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy = 0 ……………… (1)
ఇది దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తుంది కనుక
2(g) (-2)+2(f)(-3) = 0 + (-3).
⇒ – 4g – 6f = -3
⇒ 4g + 6f = 3 ………………… (2)
ఇట్లే 2(g) (0) + 2f(−4) = 0 + 12
⇒ f = –\(\frac{3}{2}\)
(2) లో వ్రాయగా
4g + 6(\(\frac{-3}{2}\)) = 3
⇒ 4g = 12 ⇒ g = 3
∴వృత్త సమీకరణం x² + y² + 6x – 3y = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 6x + 3y + 5 = 0, x² + y² – x – 7y = 0 సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తూ, బిందువు (0,-3) గుండా పోయే వ్యక్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ……………… (i)
అనుకుందాం.
ఇది (0, -3) గుండా పోతుంది కనుక
0 + 9 + 0 – 6f + c = 0
⇒ 6f + c = – 9 ……………… (1)
వృత్తం (i) దత్త వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తుంది కనుక
2(g) (-3) + 2f(\(\frac{3}{2}\)) = c + 5
⇒ -6g + 3f – c = 5 ………………. (2)
ఇట్లే 2g(\(\frac{-1}{2}\)) + 2f(\(\frac{-7}{2}\)) = c + 0
⇒ -g – 7f = c
⇒ g + 7f + c = 0 ……………….. (3)

(1) నుండి – 6 (\(\frac{2}{3}\)) + c = -9
⇒ c = -9 + 4 = -5
(3) నుండి g + 7 (\(\frac{2}{3}\)) + (-5) = 0
g = \(\frac{-14}{3}\) + 5 = \(\frac{1}{3}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2(\(\frac{1}{3}\)) x + 2(\(\frac{2}{3}\)) y – 5 = 0
⇒ 3(x² + y²) + 2x + 4y – 15 = 0

ప్రశ్న 3.
మూలబిందువు గుండా పోతూ x² + y² – 4x + 2y + 4 = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తూ, x + y = 4 సరళరేఖపై కేంద్రం కలిగి ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
అనుకుందాము.
ఇది మూలబిందువు గుండా పోతుంది కనుక c = 0
ఈ వృత్తం x² + y² – 4x + 2y + 4 = 0 ను లంబంగా ఖండిస్తుంది. కనుక
2(g) (-2) + 2f (+1) = 0 + 4
⇒ – 2g + f = 2 ………………. (1)
కేంద్రం (-g, -f); x + y = 4 రేఖపై ఉన్నది కనుక
(-g) + (- f) = 4 ……………….. (2)
(1), (2) ల నుండి – 3g – 6 ⇒ g = -2
(1) నుండి + 4 + f = 2 ⇒ f = – 2
∴ వృత్త సమీకరణం x² + y² – 4x – 4y = 0

ప్రశ్న 4.
2x² + 2y² + 5x – 6y + 4 = 0 వృత్తానికి లంబంగా ఉంటూ బిందువులు (2, 0), (0, 2) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం.
ఇది (2, 0), (0, 2) ల గుండా పోతుంది కనుక
4 + 0 + 2g(2) + 2f(0) + c = 0
⇒ 4g + c = – 4 ……………… (1)
0 + 4 + 2g (0) + 2f(2) + c = 0
⇒ 4f + c = – 4 ………………… (2)
(1) – (2) ⇒ 4g – 4f = 0
g = f ………………. (3)
పై వృత్తం x² + y² + \(\frac{5}{2}\)x – 3y + 2 = 0 ను లంబంగా
ఖండిస్తుంది కనుక
2g (\(\frac{5}{4}\)) + 2f (-\(\frac{3}{2}\)) = c + 2
⇒ \(\frac{5g}{2}\) – 3f = 2 + c
⇒ \(\frac{5g}{2}\) – 3g = 2 + c
⇒ – g = 4 + 2c ……………….. (4)
(1) నుండి 4g + c = -4
4(-4 – 2c) + c = -4
-16 – 8c + c =-4
– 7c = 12
c = \(\frac{-12}{7}\)
∴ g = 4+ 2c ……………… (5)
-g = 4 – \(\frac{24}{7}\) = \(\frac{4}{7}\) ⇒ g = \(\frac{-4}{7}\)
∵ g = f = –\(\frac{4}{7}\)
∴ వృత్త సమీకరణం x² + y² – \(\frac{8}{7}\) x – \(\frac{8}{7}\) y – \(\frac{12}{7}\) = 0
⇒ 7(x² + y²) – 8x – 8y – 12 = 0

ప్రశ్న 5.
(2, 3)కేంద్రంగా ఉంటూ x² + y² – 4x + 2y – 7 = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 4x + 2y – 7 = 0 ……………….. (1)
దత్త వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండించే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ………………… (2)
కేంద్రం (-g, -f) (2, 3)
g = -2, f = -3
(1), (2) వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటున్నాయి
కాబట్టి 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-2) (-2) + 2(-3) (1) = – 7 + c
8 – 6 = -7 + c
+2 = -7 + c
c = 7 + 2 = 9 ⇒ c = 9
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 4x – 6y + 9 = 0

III.

ప్రశ్న 1.
x²+ y² – 6x + 4y – 3 = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తూ బిందువు (3, 0) గుండా పోతూ Y – అక్షాన్ని స్పృశించే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము (x – h)² + (y – k)² = r² అనుకొందాం
ఈ వృత్తం Y- అక్షాన్ని స్పృశిస్తే కేంద్రం = (h, k);
వ్యాసార్థం = |h|
(x − h)² + (y – k)² = h²
x² – 2hx + h² + y² – 2ky + k² = h².

x² + y² – 6x + 4y – 3 = 0
లంబంగా ఉంది 2(-h) (-3) +2(-k) (2)
= -3 + k²
6h – 4k = -3 + k²

x² – 2hx + y² – 2ky + k² = 0
వృత్తం (3, 0) గుండా పోతుంది
9 – 6h + k² = 0 ………………. (i)
6h – 4k + 3 – k² = 0 ………….. (ii)
(i), (ii) లను కూడగా c = 9
12 – 4k = 0 లేదా k = 3, h = 3
వృత్త సమీకరణము y² + x² – 6x – 6y + 9 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0, x² + y² – 10x – 4y + 21 = 0 వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తూ 2x + 3y = 7 వ్యాస రేఖగా గల వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar 16 (May ’07)]
సాధన:
వృత్తం x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం
ఈ వృత్తం x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0,
x² + y² – 10x -4y + 21 = 0 లను
లంబంగా ఖండిస్తుంది.
2g (-2) + 2f(-3) = 11 c …………………. (i)
2g (-5) + 2f(-2) = 21 + c ………………. (ii)
తీసివేయగా
-6g+ 2f = 10 ……………….. (iii)
∴ -2g – 3f = 7 ……………….. (iv)
వృత్త కేంద్రం 2x + 3y = 7 మీద ఉంది .
(iii), (iv) లను సాధించగా,
f = -1, g = -2, c = 3
వృత్త సమీకరణము x² + y² – 4x – 2y + 3 = 0

ప్రశ్న 3.
P, Q బిందువులు S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం దృష్ట్యా సంయుగ్మబిందువులు అయితే PQ వ్యాసంగా కలిగి ఉండే వృత్తం S = 0 వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తుందని నిరూపించండి.
సాధన:
P = (x₁, y₁), Qx₂, y²) లు క్రింది వృత్తం దృష్ట్యా
సంయుగ్మాలు S ≡ x² + y² – a² = 0 …………. (i)
(i) దృష్ట్యా P యొక్క ధ్రువరేఖ xx₁ + yy₁ – a² = 0 …………… (ii)
P, Qలు సంయుగ్మ బిందువులు Q బిందువు (ii) మీద ఉంటుంది.
x₁x₂ + y₁y₂ – a² = 0 ……………… (iii)
PQ వ్యాసంగా గల వృత్త సమీకరణము
(x – x₁) (x – x₂) + (y – y₁) (y – y₂) = 0
⇒ x² + y² – (x₁ + x₂)x – (y₁ + y₂)y + (x₁x₂ + y₁y₂) = 0
(i), (iv) లు లంబంగా ఖండించుకొంటే
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = 2 \(\left[0\left(\frac{-\left(x_1+x_2\right)}{2}\right)+0\left(\frac{-\left(y_1+y_2\right)}{2}\right)\right]\)
c₁ + c₂ = -a² + a²
⇒ 2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
∴ PQ వ్యాసంగాగల వృత్తం S వృత్తాన్ని లంబంగా ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
a, a’ లు వ్యాసార్థాలుగా ఉండే వృత్తాల సమీకరణాలు S = 0, S’ = 0 లు అయితే \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0, \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0 వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొంటాయని చూపండి.
సాధన.
S = 0, S’ = 0 వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 2d అనుకుందాం. కేంద్రాలు కలిపే రేఖను X- అక్షంగా, కేంద్రాల మధ్య బిందువును మూల బిందువుగా తీసుకుందాం. వృత్తాల సమీకరణాలు

= 2d²
= (d² – aa’) + (d² + aa’) = c₁ + c₂
∴ (i), (ii) వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.
కనుక \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0, \(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{s}^{\prime}}{\mathrm{a}^{\prime}}\) = 0 వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇచ్చిన మూడు వృత్తాలలోని ప్రతీ వృత్తాన్ని లంబఛేదనం చేసే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. i) x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0;
x² + y² – 2x + 6y – 3 = 0;
2(x² + y²) + 6x + 8y – 3 = 0.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
దత్త వృత్తము పై 3 వృత్తాలకు లంబంగా ఉంటుంది కనుక
2g(1) + 2f(2) = c + 1 ……………. (i)
2g (\(\frac{9}{2}\)) + 2f(2) = c – \(\frac{3}{2}\) …………….. (ii)
2g(-1) + 2f(3) = c – 3 ……………….. (iii)
(iii) – (ii)
-5g + 2f = \(\frac{-3}{2}\) లేదా -10g + 4f = -3 ………………. (iv)
(iii) – (i)
-4g + 2f = – 4
f – 2g = -2
(iv), (v) లను సాధించగా,
f = -7, g = -5/2, c = -34
∴ వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 5x – 14y – 34 = 0

ii) x² + y² + 4x + 2y + 1 = 0;
2(x² + y²) + 8x + 6y – 3 = 0; x² + y² + 6x – 2y – 3 = 0.
సాధన:
కావలసిన వృత్తసమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
దత్త వృత్తాలు మూడింటికి లంబంగా ఉంటాయి.
∴ 2g(2) + 2f(1) = c + 1 ……………… (i)
2g(2) + 2f (\(\frac{3}{2}\)) = c – \(\frac{3}{2}\) …………… (ii)
2g(3) + 2f(-1) = c – 3 ……………… (iii)
(i) – (ii) చేయగా (ii) – (iii) చేయగా
-f = \(\frac{5}{2}\) అయిన – 2g + 5f = \(\frac{3}{2}\)
g = -7 (∵ f = \(\frac{-5}{2}\))
g. f ల విలువలను (i) లో ప్రతిక్షేపించగా
వృత్త సరణులు
4(-7) + 2 (\(\frac{-5}{2}\)) = = c + 1
c = -34
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 5y – 14x – 34 = 0

ప్రశ్న 6.
2x + 3y = 1 సరళరేఖ x² + y² = 4, A, B బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే, AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² = 4, 2x + 3y − 1 = 0 గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 4) + λ (2x + 3y – 1) = 0
x² + y² + 2λx + 3λy – 4 – λ = 0
కేంద్రం : (-λ , \(\frac{-3 \lambda}{2}\))
కేంద్రం 2x + 3y – 1 = 0 మీద ఉంది
∴ 2(-λ) + 3(\(\frac{-3 \lambda}{2}\)) – 1 = 0
λ = \(\frac{-2}{13}\)
∴ వృత్త సమీకరణము
13 (x² + y²) – 4 × 13 – 2(2x + 3y – 1) = 0
13(x² + y²) – 4x – 6y – 50 = 0

ప్రశ్న 7.
x² + y² – 2x + 4y – 8 = 0 AB ఒక జ్యా అయి, దీని సమీకరణం x + y = 3 అయితే AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S = 0, L = 0 ఖండన బిందువుల గుండా పోయే వృత్త
సమీకరణము S + λL = 0
(x² + y² – 2x + 4y – 8) + λ(x + y – 3) = 0
x² + y² + x(-2 + λ) + y(4 + λ) – 8 – 3λ = 0 …………….. (i)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 …………….(ii)
(i), (ii) లను పోల్చగా,
g = \(\frac{(-2+\lambda)}{2}\), f = \(\frac{(4+\lambda)}{2}\)
కేంద్రం x + y = 3 మీద ఉంది
∴ \(-\left(\frac{-2+\lambda}{2}\right)-\left(\frac{4+\lambda}{2}\right)\) = 3
2 – λ – 4 – λ = 6
-2λ = 8 ⇒ λ = – 4
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 2x + 4y – 8) – 4(x + y – 3) = 0
x² + y² – 6x + 4 = 0

ప్రశ్న 8.
x² + y² = 2ax, x² + y² = 2by వృత్తాల ఖండన బిందువులు గుండా పోతూ \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 2 రేఖపై కేంద్రాన్ని కలిగి ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 2ax = 0, x² + y² – 2by = 0 ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 2ax +λ(x² + y² – 2by) = 0
x²(1 + λ) + y²(1 + λ) + x(-2a) – (2bλ)y = 0
x² + y² – \(\frac{2 a x}{1+\lambda}\) – \(\frac{2 b y}{1+\lambda}\) = 0
కేంద్రం C \(\left[\frac{a}{1+\lambda}, \frac{b \lambda}{1+\lambda}\right]\)
కేంద్రం \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 2 మీద ఉంది
\(\frac{+a}{a(1+\lambda)}-\frac{b \lambda}{(1+\lambda) b}\) = 2
1 – λ = 2(1 + λ)
λ = – 1/3
వృత్త సమీకరణము
3x² + 3y² – 6ax – x² – y² + 2by = 0
⇒ 2x² + 2y² – 6ax + 2by = 0
⇒ x² + y² – 3ax + by = 0

Students can go through AP Inter 2nd Year Zoology Notes Lesson 8 అనువర్తిత జీవశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 2nd Year Zoology Notes Lesson 8 అనువర్తిత జీవశాస్త్రం

→ పశు సంవర్థనం అనేది పశుగణ ప్రజననం, పెంపకం అనే వ్యవసాయ పద్ధతి.

→ ఎక్కువ పాలిచ్చే గేదె – ముర్రాజాతిది.

→ పాలిచ్చే జంతువుల ప్రజననం, పోషణ యాజమాన్యం, వాటి పాలు, పాల ఉత్పత్తులను అమ్మకానికి అనువుగా తయారుచేసి అమ్మడాన్ని డైరీయింగ్ అంటారు.

→ జంతువులలో అధిక ఉత్పత్తిని సాధించడానికి, ఉత్పత్తుల ఐచ్ఛిక లక్షణాలను అభివృద్ధి చేయడానికి జంతు ప్రజననం అనేది పశు సంవర్థనంలో ముఖ్యమైన అంశం.

→ వంశానుక్రమంలో బాగా దగ్గర సంబంధం గల జీవుల మధ్య జరిగే సంపర్కాన్ని అంతఃప్రజననం అంటారు.

→ మగ జనకజీవి ఆడ సంతతితో, ఆడ జనక జీవి మగ సంతతితో జరిపే సంపర్కాన్ని అతి సన్నిహిత ప్రజననం అంటారు.

→ ఐచ్ఛిక లక్షణం కోసం సన్నిహిత సంబంధం గల జీవుల మధ్య జరిపే వరణాత్మక ప్రజననాన్ని రేఖా ప్రజననం అంటారు.

→ అంతః ప్రజననం సమయుగ్మతను పెంచుతుంది.

→ సంబంధం లేని రెండు జంతువుల మధ్య జరిగే ప్రజననాన్ని బాహ్య ప్రజననం అంటారు.

→ బాహ్య సంపర్కం ఒకే ప్రజననాల మధ్య జరిగే సంపర్కం, కాని 4-6 తరాల వరకు వంశ వృక్షంలో ఇరువైపులా ఒకే పూర్వీకులు ఉండరాదు.

→ ఒక మేలుజాతి మగజీవితో వేరొక మేలుజాతి ఆడజీవిని సంపర్కం చేయడాన్ని పర ప్రజననం అంటారు.

→ వేరువేరు దగ్గరి ప్రజాతులకు చెందిన ఆడ, మగ జీవుల మధ్య సంపర్కం చేయడాన్ని అంతర జాతి సంకరణం అంటారు.

→ కేవలం గుడ్ల ఉత్పత్తి కోసం పెంచే పక్షులను లేయర్లు అంటారు.

→ మాంసం కోసం పెంచే పక్షులను బ్రాయిలర్లు అంటారు.

→ పద్మశ్రీ డా|| బి.వి. రావు భారతదేశ నవీన పార్టీ పితామహుడు.

→ ఏవియన్ ఫ్లూ పౌల్ట్రీ పక్షులకు సోకే ముఖ్యమైన వ్యాధి.

→ తేనె, మైనం ఉత్పత్తి కోసం తేనెతుట్టెల నిర్వహణ ద్వారా తేనెటీగలు పెంచడాన్ని ఎపికల్చర్ అంటారు.

→ మానవ వినియోగం కోసం చేపలు లేదా మానవుడికి ఆహారంగా ఉపయోగపడే ఇతర జలచర జంతువులను పట్టడం, పెంచడం వివిధ రకాలుగా నిలువ చేయడం, విక్రయించడాన్ని మత్స్య పరిశ్రమ అంటారు.

→ జల సంవర్థనం అంటే చేపలు మరియు ఇతర జలచరాలను నియంత్రిత పరిస్థితులలో పెంచడం.

→ కేవలం చేపలు మాత్రమే పెంచడాన్ని పిసికల్చర్ లేదా చేపల పెంపకం అంటారు.

→ ఇన్సులిన్ క్లోమ గ్రంథిలోని లాంగర్స్ పుటికల బీటా’ కణాల నుంచి ఉత్పత్తి అయ్యే ప్రోటీన్ హార్మోన్.

→ ఇన్సులిన్ 51 ఆమ్లాలతో నిర్మితమై ఉండి, రెండు పాలిపెప్టైడ్ గొలుసులను కలిగి ఉంటుంది.

→ ఒక ప్రత్యేక వ్యాధికి వ్యాధి నిరోధక శక్తిని పెంచే జీవ సంబంధ తయారీనే టీకా అంటారు.

→ తమ జీనోమ్కు అదనంగా అన్య జన్యువును వ్యక్తీకరించడానికి వాటి DNA సవరింపబడిన జంతువులను జన్యు పరివర్తిత జంతువులు అంటారు.

→ కణాల అసాధారణ పెరుగుదలను నియోప్లాసియా’ అంటారు.

→ కార్సినోమా- ఉపకళా కణాల క్యాన్సర్

→ సార్కోమాలు – సంయోజక కణజాలాల క్యాన్సర్.

→ ల్యుకేమియా – అదుపు లేకుండా WBC లను ఉత్పత్తి చేసే ఎముకమజ్ఞ క్యాన్సర్

→ లింఫోమాలు – శోషరస వ్యవస్థ క్యాన్సర్లు.

→ MRI – నిర్మాణాత్మక అవలక్షణాలను, వ్యాధికారక పరిస్థితులను నిర్థారణ చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

→ ECG – గుండెలో కలిగే విద్యుత్ మార్పులను నమోదు చేయడానికి సాధారణంగా వాడే హానిలేని పద్ధతి.

→ EEG – మెదడు విద్యుత్ క్రియాశీలతను నమోదు చేసే పద్ధతి.

→ ప్రత్యక్ష ELISA – ప్రతిజనకాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

→ అప్రత్యక్ష ELISA – ప్రతిదేహాలను గుర్తించడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

→ వర్గీస్ కురియన్:
వర్గీస్ కురియన్ (26-నవంబం – 1921 నుండి 9-సెప్టెంబర్ – 2012) కేరళలోని కోజికోడ్లో జన్మించారు. కురియన్ భారతదేశంలో క్షీర విప్లవానికి నాంది పలికి, పాడిపరి శ్రమ సమగ్రాభివృద్ధికి దోహదం చేసిన పితామహుడు. ఈయన సుమారు 30 సంస్థలను (Amul, GCMME, IRMA, NDDB మొ||) స్థాపించి రైతులచే నడిపించినవాడు.
కురియన్ గుజరాత్ కోఆపరేటివ్ మిల్క్ మార్కెటింగ్ ఫెడరేషన్కు వ్యవస్థాపక ఛైర్మన్. ఈయన సృష్టించిన క్షీర విప్లవం పాల ఉత్పత్తిలో భారతన్ను నిరుపమాన దేశంగా నిలిపింది. కురియన్ను పద్మభూషణ్ గౌరవించింది. రామన్ మేఘసేసే అవార్డు కూడా కురియన్ను వరించింది.