Inter 1st Year

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 8th Lesson హైడ్రోజన్ – దాని సమ్మేళనాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 8th Lesson హైడ్రోజన్ – దాని సమ్మేళనాలు

→ హైడ్రోజన్ ను ఆవర్తన పట్టికలో I_A గ్రూపులో కాని, VII_A గ్రూపులో ‘ కాని ఉంచవచ్చు.

→ హైడ్రోజన్ కు మూడు ఐసోటోపులు కలవు.

• ప్రోటియం (P)
• డ్యుటీరియం (D)
• ట్రిటియం (T)

→ జడవాయువులు తప్ప ఇతర మూలకాలతో హైడ్రోజన్ ఏర్పరచే ద్విగుణ సమ్మేళనాలను హైడ్రైడ్లు అంటారు. హైడ్రైడ్లు మూడు రకాలు.

• అయానిక హైడ్రైడ్లు
• సంయోజనీయ హైడ్రైడ్లు
• లోహ హైడ్రైడ్లు.

→ సబ్బు నీటిలో త్వరగా నురగనివ్వని నీటిని కఠినజలం అని, త్వరగా నురగనిచ్చే నీటిని సాధుజలం అంటారు.

→ నీటి శాశ్వత కాఠిన్యత అనునది Ca, Mg క్లోరైడ్లు, సల్ఫేట్ల వలన కలుగును.

→ నీటి అశాశ్వత కాఠిన్యత Ca, Mg బై కార్బొనేట్లలో కలుగును.

→ H₂O₂ ను 50% H₂SO₄ విద్యుద్విశ్లేషణ ద్వారా గాని (లేదా) 2-ఇథైల్ ఆంత్రాక్వీనోల్ను స్వయం ఆక్సీకరణం చేసిగాని తయారుచేస్తారు.

→ H₂O₂, తెరచియున్న పుస్తక ఆకృతి (సమతల నిర్మాణంకానిది) కలిగి ఉండును. (వాయుస్థితి, ఘనస్థితి)

→ భారజలాన్ని న్యూక్లియర్ రియాక్టర్లలో మితకారిగా ఉపయోగిస్తారు.

→ హైడ్రోజన్ ను కలుషితం లేని ఇంధనంగా ఉపయోగించవచ్చు.

→ యువెస్ చౌఐన్
యువెన్ చెవిన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త. 2005లో ఫ్రెంచ్ ప్రభుత్వం నోబెల్ అవార్డుతో సత్కరించింది.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 5 సదిశల గుణనం Exercise 5(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 5 సదిశల గుణనం Exercise 5(b)

I.

Question 1.
\(|\overline{\mathbf{p}}|\) = 2, \(|\overline{\mathbf{q}}|\) = 3, \((\bar{p}, \bar{q})=\frac{\pi}{6}\) అయితే, \(|\overline{\mathbf{p}} \times \overline{\mathbf{q}}|^2\) ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}-\mathbf{3} \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}\) అయితే, \(|\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}|\) ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
Solution:

Question 3.
\(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+4 \overline{\mathbf{j}}-2 \overline{\mathbf{k}}\) అయితే, \((\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}) \times(\overline{\mathbf{a}}-\overline{\mathbf{b}})\) ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
\(4 \overline{\mathbf{i}}+\frac{2 \mathbf{p}}{3} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{p} \overline{\mathbf{k}}\), సదిశ \(\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}\) కు సమాంతరం అయితే, p విలువను కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
Solution:

Question 5.
\(\overline{\mathbf{a}} \times(\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}})+\overline{\mathbf{b}} \times(\overline{\mathbf{c}}+\overline{\mathbf{a}})+\overline{\mathbf{c}} \times(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}})\) ని గణన చేయండి.
Solution:

Question 6.
\(\overline{\boldsymbol{p}}=\mathbf{x} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{y} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{z} \overline{\mathbf{k}}\) అయితే, \(|\overline{\mathbf{p}} \times \overline{\mathbf{k}}|^2\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
\(2 \bar{j} \times(3 \overline{\mathbf{i}}-4 \bar{k})+(\overline{\mathbf{i}}+2 \bar{j}) \times \overline{\mathbf{k}}\) ని గణన చేయండి.
Solution:

Question 8.
\(\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, 2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\) సదిశలు రెండింటికీ లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 9.
\((\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}),(\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}})\) సదిశల మధ్య కోణం θ అయితే, sin θ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 10.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2 j}-\overline{\mathbf{j}}, \overline{\mathbf{b}}=-\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{k}}\) లు ఆసన్న భుజాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 11.
\(3 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-2 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}+4 \overline{\mathbf{k}}\) లు కర్ణాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 12.
\(3 \bar{i}+4 \bar{j},-5 \bar{j}+7 \bar{j}\) లను రెండు భుజాలుగా కలిగిన త్రిభుజానికి వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 13.
\(\overline{\mathbf{a}}=4 \overline{\mathbf{i}}+3 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=2 \overline{\mathbf{i}}-6 \overline{\mathbf{j}}-3 \overline{\mathbf{k}}\) సదిశలు నిర్ధారించే తలానికి లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 14.
A(1, 2, 3), B(2, 3, 1), C(3, 1, 2) లను శీర్షాలుగా గలిగిన త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’06]
Solution:

II.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{0}}\) అయితే, \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{a}}\) అని నిరూపించండి.
Solution:

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=-\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \mathbf{j}-4 \overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) అయితే, \((\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}) \cdot(\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}})\) కనుక్కోండి. [(A.P) Mar. ’15]
Solution:

Question 3.
\(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}\) లు ఆసన్న భుజాలుగా గల సమాంతర చతుర్భుజం, సదిశా వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:

Question 4.
\(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}} \neq \overline{\mathbf{0}}\) అయితే, ఏదో ఒక అదిశ p కి \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{c}}=\mathbf{p} \overline{\mathbf{b}}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 5.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లు \(|\overline{\mathbf{a}}|=|\overline{\mathbf{b}}|\) = 5, \((\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}})\) = 45° ను తృప్తిపరచే సదిశలు అనుకుందాం. \(\bar{a}-2 \bar{b}, 3 \bar{a}+2 \bar{b}\) సదిశలను రెండు భుజాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’07]
Solution:

Question 6.
√6 యూనిట్లు పరిమాణం కలిగి, \(\mathbf{2 i}-\overline{\mathbf{k}}\), \(3 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) లు రెండింటికీ లంబంగా ఉండే సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 7.
P(1, -1, 2), Q(2, 0, -1), R(0, 2, 1) బిందువులతో నిర్ణయమయ్యే తలానికి లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:
‘O’ మూలబిందువు అనుకుందాం.
\(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)

Question 8.
\(\bar{a} \cdot \bar{b}=\bar{a}, \bar{c}, \bar{a} \times \bar{b}=\bar{a} \times \bar{c}, \bar{a} \neq 0\) అయితే \(\overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{c}}\) అని చూపించండి.
Solution:

Question 9.
\(\overline{\mathbf{b}}=\mathbf{2 i}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{c}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\) సదిశలు రెండింటికీ లంబంగా ఉంటూ, మూడు పరిమాణం గల సదిశను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 10.
\(|\overline{\mathbf{a}}|\) = 13, \(|\overline{\mathbf{b}}|\) = 5, \(\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{b}}\) = 60 అయితే, \(|\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}|\) ని కనుక్కోండి.
Solution:
\(|\bar{a} \times \bar{b}|^2=|\bar{a}|^2|\bar{b}|^2-(\bar{a} \cdot \bar{b})^2\)
= (13)² (5)² – (60)²
= 169 × 25 – 3600
= 4225 – 3600
= 625
∴ \(|\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}|\) = √625 = 25

Question 11.
(1, 2, 3), (2, -1, 1), (1, 2, -4) బిందువుల ద్వారా పోయే తలానికి లంబంగా ఉండే యూనిట్ సదిశను కనుక్కోండి. [Mar. ’05]
Solution:
‘O’ మూలబిందువు, A, B, C లు దత్త బిందువులు

III.

Question 1.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు త్రిభుజం ∆ABC వరుస శీర్షాలయితే, \(|(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}})+(\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}})+(\bar{c} \times \overline{\mathbf{a}})|\) = 2(∆ABC) అని నిరూపించండి.
Solution:
‘O’ మూలబిందువు అనుకొందాం.

Question 2.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2 i}+\mathbf{\overline { \mathbf { j } }}+4 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) అయితే \(\overline{\mathbf{a}} \times(\overline{\mathbf{b}} \times \bar{c})\) ని గణన చేయండి. ఈ సదిశ \(\overline{\mathbf{a}}\) కి లంబంగా ఉంటుందని సరిచూడండి.
Solution:

Question 3.
\(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{7 i} \overline{\mathbf{i}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+8 \overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) అయితే \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{c}}\), \(\overline{\mathbf{a}} \times(\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}})\) లను గణించండి. సదిశా లబ్దం, సదిశా సంకలనంపై విభాజితం అవుతుందేమో సరిచూడండి.
Solution:

Question 4.
\(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) అయితే \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{c}}\) మరియు \(\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{3}\) తృప్తిపరచే \(\overline{\mathbf{b}}\) కనుక్కోండి.
Solution:

Question 5.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు సమాన పరిమాణం గల సదిశలు,\(|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=\sqrt{6}\) మరియు \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లలో ప్రతి ఒక సదిశ ఇంకొక దానితో చేసే కోణం \(\frac{\pi}{3}\), అయితే \(|\bar{a}|\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 6.
\(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) లు ఏవైనా సదిశలయితే \(\left(1+|\bar{a}|^2\right)\left(1+|\bar{b}|^2\right)\) = \(|1-\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{b}}|^2+|\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}|^2\) అని చూపండి.
Solution:

Question 7.
యూనిట్ సదిశలు \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లతో \(\overline{\mathbf{a}}\) సదిశ \(\overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) లు రెండింటికీ లంబంగా ఉండి, \(\overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) ల మధ్య కోణం \(\frac{\pi}{3}\) అయితే, \(|\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}|\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 8.
\(\overline{\mathbf{a}}=3 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+2 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=-\overline{\mathbf{i}}+3 \overline{\mathbf{j}}+2 \overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{c}}=4 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-2 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{d}}=\overline{\mathbf{i}}+3 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}}\) అయితే, ఈ కింది వాటిని గణించండి.
(i) \((\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{c} \times \bar{d})\)
(ii) \((\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c}-(\bar{a} \times \bar{d}) \cdot \bar{b}\)
Solution:
(i) \((\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{c} \times \bar{d})\):
∵ \(\overline{\mathrm{a}}=3 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=-\overline{\mathrm{i}}+3 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 6th Lesson ఉష్ణగతిక శాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 6th Lesson ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

→ జోసెఫ్ లూయీ
జోసెఫ్ లూ యీ ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త. వాయువుల నిష్పత్తులపై సూత్రాలను కనుకొన్నాడు.

→ ఉష్ణగతిక శాస్త్ర అధ్యయనానికి ఎంచుకున్న విశ్వంలోని ఒక లఘుభాగాన్ని “వ్యవస్థ” అంటారు.

→ వ్యవస్థతో సంపర్కంలో ఉండే మిగిలిన విశ్వ భాగాన్ని “పరిసరాలు” అంటారు.
విశ్వం = వ్యవస్థ + పరిసరాలు

→ వ్యవస్థ మూడు రకాలు. అవి :

• వివృత వ్యవస్థ
• సంవృత వ్యవస్థ
• వివిక్త వ్యవస్థ.

→ వ్యవస్థలోని ద్రవ్యం మొత్తం పరిమాణం మీద ఆధారపడి వుండే ధర్మాలు, విస్తార ధర్మాలు.

→ వ్యవస్థలోని పదార్థం పరిమాణం మీద ఆధారపడని ధర్మాలు, గహన ధర్మాలు.

→ మొదటి రకం సతత చలన యంత్రాన్ని నిర్మించలేము – ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం (శక్తి నిత్యత్వ నియమం)

→ ‘స్థిరపీడనం, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఒక వ్యవస్థ, పరిసరాలతో వినిమయం చేసుకున్న ఉష్ణరాశి పరిమాణాన్ని “ఎంథాల్పీ (H)” అంటారు.

→ ఒక పదార్థం ఉష్ణోగ్రతను 1°C పరిమాణంలో పెంచడానికి అవసరం అయ్యే ఉష్ణరాశి పరిమాణాన్ని “ఉష్ణధారణ (C)” అంటారు. ఇవి రెండు రకాలు C_p, మరియు C_v.

→ ఒక గ్రామ్ పదార్థం ఉష్ణోగ్రతను 1°C పరిమాణంలో పెంచడానికి అవసరం అయ్యే ఉష్ణరాశిని “విశిష్టోష్ణం” అంటారు.

→ స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక గ్రామ్ అత్యంత భారం గల అమ్ల్యం, ఒక గ్రామ్ తుల్యంక తటస్థీకరణం చెంది వెలువడిన ఉమే

→ అణువు, అనుఘటక పరమాణువు ఒక మోల్ పదార్థం త్రివన్గా మార్పు లేదా గ క్షోరంలో, చెందడం పరమాణీకరణం.

→ ఒక మోల్ పదార్ధం ప్రాకస్థా నుంచి వేరొక భౌతిక స్థితికి మార్పు వివరణ పీడనం వద్ద ఉష్ణోగ్రత మార్పు ద్వారా అయినప్పుడు సంభవించే ఉష్ణం మార్పు – శ్రావ

→ ఒక రసాయన చర్మ ఒక దశతో జరిగినా, ఎక్కువ దశలలో జరిగినా గ్రహించిన (లేదా) వెలువడిన మొత్తం ఉష్ణ పరిమాణం ఒకే విలువలో ఉంటుంది.

→ బాహ్య కారకం ప్రమేయం లేకుండా చర్యలు ఆయత్నిక్యతం, అవ్వగతం, చల్లని వస్తువుల నుంచి రెండవ నియమం.

→ ఒక వ్యవస్థలోని అణువుల దండంగా జరిగే చర్యను అనటారు (లేదా) అనియత స్వభావాన్ని కొలిచేదే ‘ఆంధ్రోమ్”.

→ పరిపూర్ణ శుద్ధ స్ఫటిక పదార్థాల ఎంట్రోపీ కమివ పరమశున్య, (−273° C) గద్ద శున్న విలువను కలిగి వుంటుంది – ఉష్ణోగతిక శాస్త్ర మూడవ నియమము.

→ ఆయత్నిక్యక చర్యల నిబంధనను నివారించడానికి ‘గిల్డ్’ ఒక ఉష్ణగత -స్వేచ్ఛా శక్తి (G)’ అంటారు.
G = H – TS ఇదే గిఫ్ట్స్ సమీకరణం.

→ ఆయతీకృత చర్యలు (లేదా) ప్రక్రియతికు, ΔG = బరువు విలువ

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ

→ ద్రవ్యనిత్యత్వ నియమమ : ఒక రసాయనచర్యలో పదార్థాన్ని కొత్తగా ఏర్పరచడం గానీ నాశనం చేయడంగానీ జరగదు.

→ స్థిరానుపాత నియమము: ఒక నిర్ధిష్ట రసాయన సంయోగ పదార్థంలో ‘ఒకే మూలకాలు స్థిర భార నిష్పత్తిలో కలిసివుంటాయి.

→ బహ్యను పాత నియమము : రెండు మూలకాలు రసాయనికంగా కలిసి రెండు లేక అంతకంటే ఎక్కువ సంయోగ పదార్థాల నేర్పరిస్తే అప్పుడు ఆ సంయోగ పదార్థాల్లో స్థిరభారం గల ఒక మూలకంతో కలిసే రెండో మూలకం భారాలు ఆ సంయోగ పదార్థాల్లో ఒక సరళాంక నిష్పత్తిలో వుంటాయి.

→ గేలుసాక్ నియమము : సమాన ఉష్ణోగ్రతా, పీడనాల్లో వాయువులు రసాయనికంగా కలిస్తే వాటి ఘనపరిమాణాలు ఒక సరళాంక నిష్పత్తిని కలిగివుంటాయి.

→ అవగాడ్రో నియమము: సమాన మనపరిమాణాలు గల అన్ని వాయువులకు ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల్లో సమాన సంఖ్యలో పరమాణువులు ఉంటాయి.

→ మోలార్ ఘనపరిమాణం : ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద (273k & 1 అట్మా) 1 గ్రామ్ అణుభారం వాయుపదార్థం 22.414 లీటర్ ల ఘనపరిమాణాన్ని ఆక్రమించుకుంటుంది. ఈ ఘనపరిమాణాన్ని మోలార్ ఘనపరిమాణం అంటారు.

→ మోల్ : ఒక పదార్థం గనుక దానిలోని కణాలు, పరమాణువులు, అణువులు లేదా అయాన్లు 12 గ్రాముల 12C లో ఎన్ని పరమాణువులుంటాయో దానికి సమాన సంఖ్యలో కలిగి వున్నట్లయితే ఆ పదార్థాన్ని ఒక మోల్ పదార్థం అంటారు.

→ ఒక సమ్మేళనం అణువులో ఘటక మూలకాల పరమాణు సంఖ్యల సాపేక్ష నిష్పత్తిని తెలిపే అతిసూక్ష్మమైన, సరళమైన ఫార్ములాను అనుభావిక ఫార్ములా అంటారు.

→ ఒక సమ్మేళనం అణువులో ఉన్న మూలక పరమాణువుల యధార్థ సంఖ్యను వ్యక్తపరిచే ఫార్ములాను ఆ పదార్థం అణుఫార్ములా అంటారు.

→ రిడాక్స్ చర్యల్లో రకాలు : రసాయన సంయోగ చర్యలు, రసాయన వియోగ చర్యలు, స్థానభ్రంశ చర్యలు, అనుపాత చర్యలు, సహాను పాత చర్యలు.

→ సార్థక అంకెలు : ప్రాయోగికంగా (లేదా) సిద్ధాంతరీత్యా రాబట్టిన విలువలలో అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది. దానిని సార్థక అంకెలలో సూచిస్తారు. కచ్ఛితంగా తెలిసిన అర్థవంతమైన అంకెలను సార్థక అంకెలు అంటారు.

→ జాన్ డాల్టన్ (1776-1884)
జాన్ డాల్టన్ ఇంగ్లీషు రసాయన శాస్త్ర వేత్త. 1803లో బాహ్యానుపాతం నియమం ప్రతిపాదించాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 4th Lesson పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 4th Lesson పదార్ధం స్థితులు : వాయువులు, ద్రవాలు

→ అయాన్ – ద్విధృవ బలాలు, ద్విధృవ – ద్విధృవ ఆకర్షణలు, లండన్ విక్షేపక బలాలు, ద్విధృవ ప్రేరిత ద్విధృవ బలాలు మొ॥ అంతరణు బలాలు.

→ గ్రాహమ్ వాయు నియమము:
“ఇచ్చిన పీడనం, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఒక వాయువు నిస్సరణ వేగం ఆ వాయువు సాంద్రత వర్గమూలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
r ∝ \(\frac{1}{\sqrt{d}}\)

→ డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమం :
ఇచ్చిన ఘనపరిమాణం గల ఒక పాత్రలో ఆదర్శ వాయువుల మిశ్రమం కలుగజేసే పీడనం, ఆ మిశ్రమంలోని వాయువులు ఒక్కొక్కటి అదే పాత్రలో అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద తీసుకొన్నప్పుడు కలుగజేసే విడివిడి పీడనాల విలువల మొత్తానికి సమానం.
P_{మిశ్రమం} = P₁ + P₂ + P₃ + ……….

→ అవగాడ్రో నియమం :
సమాన ఘనపరిమాణాలు గల వాయువులన్నీ సమాన ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద సమాన సంఖ్యలో అణువులు (లేదా) మోల్లు కలిగి ఉంటాయి.

→ బాయిల్ నియమం :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక వాయువు ఘనపరిమాణం దాని పీడనానికి విలోమాను పాతంలో ఉంటుంది.

→ చార్లెస్ నియమం :
ఇచ్చిన ఘనపరిమాణం, ద్రవ్యరాశి గల ఒక వాయువు పీడనం దాని కెల్విన్ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

→ అణుచలన సిద్ధాంత ప్రతిపాదనలను తు.చ. తప్పకుండా పాటించే వాయువులను ఆదర్శ వాయువులంటారు.

→ అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రతిపాదికగా ఉత్పాదించిన సమీకరణాన్ని చలద్వాయు సమీకరణం అంటారు. అది
PV = \(\frac{1}{3}\)mnu²

→ ఒక వాయువులోని వివిధ అణువుల వేగ వర్గాల సగటు వర్గమూలాన్ని RMS వేగం అంటారు.

→ ఒక వాయువులో మొత్తం అణువులలో ఎక్కువ అణువులకు ఏ వేగం ఉంటుందో ఆ వేగాన్ని గరిష్ఠ సంభావ్యతా వేగం (U_mp) అంటారు.

→ ఒక వాయువులో అన్ని అణువుల వేగాల సగటు విలువను సగటు వేగం (u_av) అంటారు.

→ వివిధ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వాయువు యొక్క P – V వక్రాలను సమ ఉష్ణోగ్రత వక్రాలు అందురు.

→ సంపీడన గుణకం (Z)

→ ఆదర్శ వాయువుకు Z = 1

→ (P + \(\frac{a^2}{V^2}\))(V – nb) = nRT ను వాండర్ వాల్ స్థితి సమీకరణం అంటారు.

→ సందిగ్ధ పీడనం (P_c), సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత (T_c) మరియు సందిగ్ధ ఘనపరిమాణం (V_c) లను సందిగ్ధ స్థిరాంకాలు

→ ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద బాష్పపీడనం బాహ్య పీడనానికి సమం అవుతుందో ఆ ఉష్ణోగ్రతను ఆ పీడనం వద్ద ద్రవం బాష్పీభవన స్థానమంటారు.

→ స్నిగ్ధత అనేది ద్రవం ప్రవహించడానికి వీలుకాకుండా వ్యతిరేకించే బలం. ‘n’ అనేది స్నిగ్ధతా గుణకం.

→ లూయీ డీబోలీ (1892-1987)
లూయీ డీబ్రోలీ ఫ్రెంచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. ఎలక్ట్రాన్కు తరంగ స్వభావం ఉందని కనుక్కొన్నందుకు 1929లో నోబెల్ బహువతి లభించింది.

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 3rd Lesson రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 3rd Lesson రసాయన బంధం – అణు నిర్మాణం

→ శక్తిపరంగానూ, ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసపరంగానూ స్థిరత్వాన్ని పొందుటకు పరమాణువులు సంయోగం చెంది అణువులను ఇస్తాయి.

→ వేలన్సీ ఎలక్ట్రాన్లు మాత్రమే బంధంలో పాల్గొంటాయి.

→ ns² np⁶ విన్యాసం కలిగి ఉన్న పరమాణువులు లేక అయాన్లు మిగిలిన వాని కన్నా ఎక్కువ స్థిరమైనవి.

→ రసాయన బంధం మూడు రకాలు. అవి

• అయానిక బంధం
• సమయోజనీయ బంధం
• సమన్వయ సమయోజనీయ

→ విరుద్ధ విద్యుదావేశాలు గల అయాన్ల మధ్య ఉండే స్థిర విద్యుదాకర్షణ బలాలనే అయానిక బంధం అంటారు.

→ అనంత దూరంలో, వాయుస్థితిలో గల విరుద్ధ ఆవేశం గల అయాన్లు ఒకదానినొకటి ఆకర్షించుకొని ఒక మోల్ అయానిక స్ఫటికం ఏర్పడేటపుడు విడుదలయ్యే శక్తిని జాలకశక్తి లేక లాటిస్ శక్తి అంటారు.

→ అయానిక స్ఫటికంలో ఒక అయాన్ చుట్టూ అతి సన్నిహితంగా సమాన దూరాలలో ఉన్న విరుద్ధ ఆవేశం గల అయాన్ల సంఖ్యనే దాని సమన్వయ సంఖ్య అంటారు.

→ NaCl స్ఫటికం – ఫలక కేంద్రిత ఘనం – దాని సమన్వయ సంఖ్య 6. CsCl స్ఫటికం – అంతఃకేంద్రిత ఘనం – దాని సమన్వయ సంఖ్య 8.

→ పరమాణువులు ఎలక్ట్రాన్ జంటలను పంచుకొనుట వలన సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది.

→ వ్యతిరేక స్పిన్లు గల ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్లున్న ఆర్బిటాళ్ళు అతిపాతం చెందుట వలన సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది.

→ రేఖీయ అతిపాతం వలన 6 – బంధం, ప్రక్కవాటు అతిపాతం వలన T బంధం ఏర్పడతాయి.

→ దాదాపు సమాన శక్తి గల ఆర్బిటాళ్ళు కలిసిపోయి తిరిగి అదే సంఖ్యలో సర్వసమానాలైన క్రొత్త ఆర్బిటాళ్ళు ఏర్పడుటను సంకరీకరణం అంటారు.

→ సాధారణంగా sp, sp, sp3, spld, sp’d’ సంకరీకరణాలు జరుగుతాయి.

→ అణువు రెండు చివరలయందు రెండు రకాల ఆవేశాలు గల దానిని ద్విధ్రువం అంటారు.

→ ఒక అణువు నందలి అధిక ఋణవిద్యుదాత్మకత గల పరమాణువుకి బంధితమైన హైడ్రోజన్ పరమాణువుకు అదే అణువులోని లేక మరొక అణువు నందలి అధిక ఋణవిద్యుదాత్మక పరమాణువు (F, O లేదా N) నకు గల బలహీనమైన ఆకర్షణ బలాన్ని హైడ్రోజన్ బంధం అంటారు.

→ అణువులో బంధిత కేంద్రకాల చుట్టూ ఎలక్ట్రాన్లను కనుగొనే సంభావ్యత అధికంగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని అణు ఆర్బిటాల్ అంటారు. అణు తరంగ అణుప్రమేయంను అణు ఆర్బిటాల్ అంటారు.

→ ఆక్సిజన్ (లేదా) దానికంటే భారమూలకాల విషయంలో అణు ఆర్బిటాల్ల శక్తిస్థాయిల వరసక్రమము

→ బంధక్రమము (Bond order)

→ అణు ఆర్బిటాల్ సిద్ధాంతం ద్వారా ఆక్సిజన్ అణువుకు పారాయస్కాంత స్వభావముంటుందని ఋజువు చేయబడినది.

→ పదార్థాలు వాయువులు, ద్రవాలు, ఘనపదార్థాలు అనే మూడు స్థితులలో ఉంటాయి.

→ ద్విధృవ భ్రామకం (µ) = ఆవేశం (Q) × రెండు ధృవాల మధ్య దూరం (r)

→ పీటర్ డిజై:
పీటర్ డిబై డచ్ దేశస్తుడు. X- కిరణాల వివర్తన, ద్విదువభ్రామక పరిశోధ నలకు 1936లో నోబుల్ బహుమతి లభించింది. ఆయన జ్ఞాపకార్థం ద్విధ్రువ భ్రామక పరిమాణ ప్రమాణానికి డిబైగా నిర్ణయించారు.

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు

సాధించిన సమస్యలు
(Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
కింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) sin \(\frac{5 \pi}{3}\)
(ii) tan (855°)
(iii) sec \(\left(\frac{13 \pi}{3}\right)\)
సాధన:
(i) sin \(\frac{5 \pi}{3}\) = sin (2π – \(\frac{\pi}{3}\))
= -sin\(\frac{\pi}{3}\)
= –\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(ii) tan (855°) = tan (2 × 360° + 135°)
= tan (135°)
= tan (180° – 45°)
= -tan 45° = -1

(iii) sec \(\left(\frac{13 \pi}{3}\right)\)
= sec (4л + \(\frac{\pi}{3}\))
= sec \(\frac{\pi}{3}\)
= 2

ప్రశ్న 2.
కింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
i) cot \(\left(\theta-\frac{13 \pi}{2}\right)\)
సాధన:

ii) tan \(\left(-23 \frac{\pi}{3}\right)\)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
sin² \(\frac{\pi}{10}\) + sin² \(4\frac{\pi}{10}\) + sin² \(\frac{6\pi}{10}\) + sin² \(\frac{9\pi}{10}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

= sin² \(\frac{\pi}{10}\) + cos² \(\frac{\pi}{10}\) + cos² \(\frac{\pi}{10}\) + sin² \(\frac{\pi}{10}\)
= 2 (∵ sin² θ + cos² θ = 1 ∀ θ)

ప్రశ్న 4.
sin θ = \(\frac{4}{5}\), θ మొదటి పాదంలో లేకపోతే cos θ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ sin θ = \(\frac{4}{5}\), θ మొదటి పాదంలో లేదు.
⇒ θ, రెండవ పాదంలో ఉంటుంది. . sin θ +ve కనుక,
⇒ cos θ = – \(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}\) = –\(\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{-3}{5}\)
cos θ = –\(\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 5.
sec θ + tan θ = \(\frac{2}{3}\) అయితే, sin θ విలువ కనుక్కొని, θ ఏ పాదంలో ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ sec θ + tan θ = \(\frac{2}{3}\)
⇒ sec θ – tan θ = \(\frac{3}{2}\) ; (∵ sec² θ – tan² θ = 1)
⇒ 2 sec θ = \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{4+9}{6}\) = \(\frac{13}{6}\)
∴ sec θ = \(\frac{13}{12}\)
ఇంకా 2 tan θ = \(\frac{2}{3}\) – \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{4-9}{6}\) = \(\frac{-5}{6}\)
∴ tan θ = \(\frac{-5}{12}\)
ఇప్పుడు sin θ = \(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}=\frac{\left(\frac{-5}{12}\right)}{\left(\frac{13}{12}\right)}=\frac{-5}{13}\)
∵ tan θ రుణాత్మకం, sec θ ధనాత్మకం.
⇒ θ నాలుగో పాదంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
cot \(\frac{\pi}{16}\) . cot \(\frac{2\pi}{16}\) . cot \(\frac{3\pi}{16}\) …………. cot \(\frac{7\pi}{16}\) = 1 అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S. = \(\frac{\pi}{16}\) . cot \(\frac{2\pi}{16}\) . cot \(\frac{3\pi}{16}\) …………. cot \(\frac{7\pi}{16}\)
= \(\left(\cot \frac{\pi}{16} \cdot \cot \frac{7 \pi}{16}\right)\left(\cot \frac{2 \pi}{16} \cdot \cot \frac{6 \pi}{16}\right)\) \(\left(\cot \frac{3 \pi}{16}, \cot \frac{5 \pi}{16}\right) \cot \left(\frac{4 \pi}{16}\right)\)

= (1) (1) (1) (1) = 1

ప్రశ్న 7.
3 sin θ + 4 cos θ = 5 అయితే 4 sin θ – 3 cos θ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
3 sin θ + 4 cos θ = 5
4 sin θ – 3 cos θ = x అనుకుందాం
పై సమీకరణాలను వర్గం చేసి, కలిపితే
(3 sin θ + 4 cos θ)² + (4 sin θ – 3 cos θ)² = 5² + x²
⇒ 9 sin² + 16 cos² θ + 24 sin θ cos θ + 16 sin² θ + 9 cos² θ – 24 sin θ cos θ = 25 + x²
⇒ 9 + 16 = 25 + x²
⇒ x² = 0 ⇒ x = 0
∴ 4 sin θ – 3 cos θ = 0

ప్రశ్న 8.
cos θ + sin θ = \(\sqrt{2}\) cos θ అయితే cos θ – sin θ = \(\sqrt{2}\) sin θ అని చూపండి. [May ’11]
సాధన:
cos θ + sin θ = \(\sqrt{2}\) cos θ
sin θ = (\(\sqrt{2}\)-1) cos θ
ఇరువైపులా ( \(\sqrt{2}\) + 1) తో గుణిస్తే
⇒ (\(\sqrt{2}\) + 1) sin θ = (\(\sqrt{2}\) + 1) ( \(\sqrt{2}\) – 1) cos θ
⇒ (\(\sqrt{2}\) + 1) sin θ = (2 – 1) cos θ
⇒ \(\sqrt{2}\) sin θ + sin θ = cos θ
∴ cos θ – sin θ = \(\sqrt{2}\) sin θ

ప్రశ్న 9.
2(sin⁶ θ + cos⁶ θ) – 3(sin⁴ θ + cos⁴ θ) విలువను కనుక్కోండి,
సాధన:
2(sin⁶ θ + cos⁶ θ) – 3(sin⁴ θ + cos⁴ θ)
= 2[(sin² θ)³ + (cos² θ)³] – 3[(sin² θ)² + (cos² θ)²]
= 2[(sin² θ+ cos² θ)3 – 3 sin² θ cos² θ (sin² θ + cos² θ)] – 3[(sin²θ+ cos² θ)2 – 2 sin² θ cos² θ]
= 2[1 – 3 sin² θ cos² θ] – 3[1 – 2 sin² θ cos² θ]
= 2 – 6 sin² θ cos² θ – 3 + 6 sin² θ cos² θ
= -1

ప్రశ్న 10.
(tan θ + cot θ)² = sec² θ + cosec² θ = sec² θ. cosec² θ అని నిరూపించండి.
సాధన:
(tan θ + cot θ)²
= tan²θ+ cot² θ + 2 tan θ cot θ
= tan²θ + cot²θ + 2
= (1 + tan²θ) + (1 + cot² θ)
= sec² θ + cosec² θ
ఇంకా sec² θ. cosec² = \(\frac{1}{\cos ^2 \theta}+\frac{1}{\sin ^2 \theta}\)
= \(\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta \cdot \cos ^2 \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos ^2 \theta} \cdot \frac{1}{\sin ^2 \theta}\)
sec² θ. cosec²

ప్రశ్న 11.
cos θ > 0, tan θ + sin θ = m, tan θ – sin θ = n అయితే m² – n² = 4\(\sqrt{mn}\) అని చూపండి.
సాధన:
m = tan θ + sin θ
n = tan θ – sin θ
⇒ m + n = 2 tan θ
m – n = 2 sin θ
(m + n) (m – n) = 4 tan θ sin θ
⇒ m² – n² = 4\(\sqrt{\tan ^2 \theta \cdot \sin ^2 \theta}\)
= 4\(\sqrt{\tan ^2 \theta\left(1-\cos ^2 \theta\right)}\)
= 4\(\sqrt{\tan ^2 \theta-\sin ^2 \theta}\)
= 4\(\sqrt{(\tan \theta+\sin \theta)(\tan \theta-\sin \theta)}\)
= 4\(\sqrt{m n}\)
∴ m² – n² = 4\(\sqrt{m n}\)

ప్రశ్న 12.
tan 20° = λ అయితే , \(\frac{\tan 160^{\circ}-\tan 110^{\circ}}{1+\tan 160^{\circ} \cdot \tan 110^{\circ}}\) = \(\frac{1-\lambda^2}{2 \lambda}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
tan 20° = λ

ప్రశ్న 13.
sin 75°, cos 75°, tan 75°, cot 75° యొక్క విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) sin 75° = sin (45° + 30°)
sin 45°. cos 30° + cos 45°. sin 30°
= \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}\)

ii) cos (75°) = cos (45° + 30°)
= cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
= \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 14.
cos A = \(\frac{5}{13}\), sin B = \(\frac{4}{5}\) 0 < A, B < 90° అయితే sin (A + B) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
0 < A < 90°, cos A = \(\frac{5}{13}\) ⇒ sin A = \(\frac{12}{13}\)
0 < B < 90°, sin B = \(\frac{4}{5}\) ⇒ cos B = \(\frac{3}{5}\)
∴ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= \(\frac{12}{13}\) . \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{5}{13}\) . \(\frac{4}{5}\)
= \(\frac{56}{65}\)

ప్రశ్న 15.
sin²\(\left(52 \frac{1}{2}\right)^{\circ}\) – sin²\(\left(22 \frac{1}{2}\right)^{\circ}\) = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4 \sqrt{2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
సూచన : sin² A – sin² B = sin (A + B). sin (A – B)
∴ sin² 52\(\frac{1}{2}\) – sin² 22\(\frac{1}{2}\)
= sin (52\(\frac{1}{2}\)° +22\(\frac{1}{2}\)°) . sin (52\(\frac{1}{2}\)° – 22\(\frac{1}{2}\)°)
= sin (75°). sin 30°
= \(\frac{1}{2}\) sin (45° + 30°)
= \(\frac{1}{2}\) [sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°]
= \(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}\right]\)
= \(\frac{\sqrt{3}+1}{4 \sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 16.
tan 70° – tan 20° = 2 tan 50° అని నిరూపించండి.
సాధన:
tan 50° = tan (70° – 20°)
= \(\frac{\tan 70^{\circ}-\tan 20^{\circ}}{1+\tan 20^{\circ} \tan 70^{\circ}}\)
⇒ tan 70° – tan 20°
= tan 50° [1 + tan 20° tan (90° – 20°)]
⇒ tan 70° – tan 20° = tan 50° [1 + tan 20° cot 20°]
⇒ tan 70° – tan 20° = 2 tan 50°

ప్రశ్న 17.
A + B = π/4 అయితే ,
i) (1 + tan A) (1 + tan B) = 2, [Mar. 11, ’07]
ii) (cot A – 1) (cot B – 1) = 2 అని నిరూపించండి.
సాధన:
i) A + B = π/4
⇒ tan (A + B) = tan (π/4)
⇒ \(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\) = 1
⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B
⇒ tan A + tan B + tan A tan B = 1
ఇరువైపులా ‘1’ కలుపగా
⇒ 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 1 + 1
⇒ (1 + tan A) (1 + tan B) = 2

ii) A + B = π/4
⇒ cot (A + B) = cot π/4
⇒ \(\frac{\cot A \cot B-1}{\cot B+\cot A}\) = 1
⇒ cot A cot B – 1 = cot B + cot A
⇒ cot A cot B – cot A – cot B = 1
ఇరువైపులా ‘1’ కలుపగా
cot A cot B – cot A – cot B + 1 = 1 + 1
∴ (cot A – 1) (cot B – 1) = 2.

ప్రశ్న 18.
sin α = \(\frac{1}{\sqrt{10}}\), sin β = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\), α, β లము కోణాలయితే α + β = π/4 అని చూపండి.
సాధన:
α ఒక లఘు కోణం, sin α = \(\frac{1}{\sqrt{10}}\) ⇒ tan α = \(\frac{1}{2}\)
β ఒక లఘు కోణం, sin β = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) ⇒ tan β = \(\frac{1}{2}\)
కనుక tan (α + β) = \(\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\)
= \(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}\) = 1 ⇒ α + β = π/4

ప్రశ్న 19.
sin A = \(\frac{12}{13}\), cos B = \(\frac{3}{5}\), A, B రెండూ మొదటి పాదంలో లేకపోతే, A + B ఏ పాదంలో ఉందో కనుక్కోండి.
సాధన:
sin A = \(\frac{12}{13}\), A మొదటి పాదంలో లేదు.
⇒ A రెండవ పాదంలో ఉంటుంది ∵ sin A +ve
cos B = \(\frac{3}{5}\), θ మొదటి పాదంలో లేదు.
⇒ B నాల్గవ పాదంలో ఉంటుంది ∵ cos B +ve
∵ sin A = \(\frac{12}{13}\) ⇒ cos A = \(\frac{-5}{13}\)
cos B = \(\frac{3}{5}\) ⇒ sin B = \(\frac{-4}{5}\)
sin (A+B) sin A cos B + cos A sin B
= \(\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{3}{5}\right)+\left(\frac{-5}{13}\right)\left(\frac{-4}{5}\right)\)
= \(\frac{36+20}{65}\) = \(\frac{56}{65}\)
cos (A+B)= cos A cos B – sin A sin B.
= \(\left(\frac{-5}{13}\right)\left(\frac{3}{5}\right)-\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{5}\right)\)
= \(\frac{-15+48}{65}\) = \(\frac{33}{65}\)
∵ sin (A + B), cos (A + B) లు రెండూ ధనాత్మకాలు
⇒ (A + B) మొదటి పాదంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 20.
(i) tan A పదాలలో tan \(\left(\frac{\pi}{4}+\mathrm{A}\right)\) ని,
(ii) cot A పదాలలో cot \(\left(\frac{\pi}{4}+\mathrm{A}\right)\) ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
\(\frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}\) = cot 36° అని నిరూపించండి. [(A.P) Mar. 15, ’11
సాధన:
L.H.S. = \(\frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}\)
లవ, హారాలను cos 9° తో భాగిస్తే,
= \(\frac{1+\tan 9^{\circ}}{1-\tan 9^{\circ}}\) [∵ tan \(\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\)]
= tan (45° + 9°)
= tan (54°)
= tan (90° – 36°) = cot 36°
∴ \(\frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}\) = cot 36°.

ప్రశ్న 22.
cos 42° + cos 78° + cos 162° 0 అని చూపండి. [May ’11]
సాధన:
L.H.S.= cos 42° + cos 78° + cos 162°
= 2 cos \(\left(\frac{42^{\circ}+78^{\circ}}{2}\right)\) . cos \(\left(\frac{42^{\circ}-78^{\circ}}{2}\right)\) + cos (180° – 18°)
= 2 cos 60°. cos (-18°) + cos (180° – 18°)
= 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\) cos 18° – cos 18° = 0
∴ cos 42° + cos 78° + cos 162°
= 0

ప్రశ్న 23.
\(\sqrt{3}\) sin θ + cos θ ని ఒక కోణానికి sine. గా వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
\(\sqrt{3}\) sin θ + cos θ = 2(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sinθ + \(\frac{1}{2}\)cos θ)
= 2(cos \(\frac{\pi}{6}\) sin 0 + sin \(\frac{\pi}{6}\) cos θ)
= 2. sin (θ + \(\frac{\pi}{6}\)).

ప్రశ్న 24.
sin² θ + sin² [θ – \(\frac{\pi}{3}\)] + sin² [θ – \(\frac{\pi}{3}\)] = \(\frac{3}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
LHS = sin² θ + sin² [θ – \(\frac{\pi}{3}\)] + sin² [θ – \(\frac{\pi}{3}\)]
= sin² θ + (sin θ cos \(\frac{\pi}{3}\) + cos θ sin \(\frac{\pi}{3}\))² + (sin θ cos cos \(\frac{\pi}{3}\) – cos \(\frac{\pi}{3}\) sin θ)²
= sin² θ + 2 (sin² θ cos² \(\frac{\pi}{3}\) + cos² θ sin²\(\frac{\pi}{3}\))
= sin² θ + 2 (sin² θ . \(\frac{1}{4}\) + cos²θ . \(\frac{3}{4}\))
= sin² θ + \(\frac{1}{2}\) sin² θ + \(\frac{3}{2}\) cos² θ
= \(\frac{3}{2}\) sin² θ + \(\frac{3}{2}\) cos² θ = \(\frac{3}{2}\) (sin² θ + cos² θ)
= \(\frac{3}{2}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 25.
A, B, C లు ఒక త్రిభుజంలోని కోణాలు అవుతూ, వీటిలో ఏ ఒక్కటీ \(\frac{\pi}{2}\) కానప్పుడు
i) tan A+ tan B + tan C = tan A tan B tan C
ii) cot A cot B+ cot B cot C + cot C cot A = 1 అని నిరూపించండి.
సాధన:
i) A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు.
⇒ A + B + C = 180°
⇒ A + B = 180° – C
⇒ tan (A + B) = tan (180° – C)
⇒ \(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\) = -tan C
⇒ tan A + tan B = -tan C + tan A tan B tan C
⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

ii) A + B + C = 180°
⇒ A+B 180° – C
⇒ cot (A + B) = cot (180° – C)
⇒ \(\frac{\cot A \cot B-1}{\cot B+\cot A}\) = -cot C
⇒ cot A cot B – 1 = -cot B cot C – cot C. cot A
⇒ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1

ప్రశ్న 26.
ABC త్రిభుజంలో cot A + cot B + cot C = \(\sqrt{3}\) అయితే, ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
సాధన:
A + B + C = 180°
పై లెక్క నుండి
cot A cot B + cot B cot C+ cot C cot A = 1
i.e., Σ (cot A cot B) = 1 ………………. (1)
ఇప్పుడు (cot A – cot B)²
= Σ (cot² A + cot² B – 2 cot A cot B)
= 2 cot² A + 2 cot² B + 2 cot² C – 2 cot A cot B – 2 cot B cot C – 2 cot C cot A
= 2 [cot A+ cot B + cot C]² – 6 (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)
= 2|(\(\sqrt{3}\))2 | – 6(1)
= 6 – 6 = 0
∴ Σ (cot A – cot B)² = 0
⇒ cot A = cot B = cot C
⇒ cot A = cot B = cot C = \(\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(∵ cot A + cot B + cot C = \(\sqrt{3}\))
⇒ A = B = C = 60°
∴ ∆ABC సమబాహు త్రిభుజం

ప్రశ్న 27.
x = tan A, y tan B, z = tan C, A, B, C, A – B, B – C, C – A లలో ఏ ఒక్కటి కూడ \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజం కానట్లయితే \(\Sigma\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=\pi\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
∵ x = tan A, y = tan B, z = tan C
అప్పుడు. \(\frac{x-y}{1+x y}=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\) = tan (A – B)
ఇదే విధంగా \(\frac{y-z}{1+y z}\) = tan (B – C) మరియు
\(\frac{z-x}{1+z x}\) = tan (C – A)
P = A – B, Q = B – C, R = C – A అని రాస్తే
P + Q + R = 0 కనుక
⇒ P + Q = R
⇒ tan (P + Q) = tan (-R)
⇒ \(\frac{\tan P+\tan Q}{1-\tan P \tan Q}\) = -tan R
⇒ tan P + tan Q = -tan R + tan P tan Q tan R
⇒ tan P + tan Q + tan R = tan P tan Q tan R
⇒ Σ (tan P) = π (tan P)
⇒Σ tan (A – B) = π tan (A – B)
∴ \(\Sigma\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=\pi\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)\)

ప్రశ్న 28.
i) sin 22\(\frac{1}{2}\)°
ii) cos 22\(\frac{1}{2}\)°
iii) tan 22\(\frac{1}{2}\)°
iv) cot 22\(\frac{1}{2}\)° విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = 2222\(\frac{1}{2}\)° అయిన 2A = 45° అవుతుంది.

ప్రశ్న 29.
కింది విలువలను కనుక్కోండి.
i) sin 67\(\frac{1}{2}\)°
ii) cos 67\(\frac{1}{2}\)°
iii) tan 67\(\frac{1}{2}\)°
iv) cot 67\(\frac{1}{2}\)°
సాధన:
A = 67\(\frac{1}{2}\)° అయిన 2A = 135° అవుతుంది.

ప్రశ్న 30.
\(\frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}\) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన:
\(\frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}=\frac{2 \sin ^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ.

ప్రశ్న 31.
cos A = \(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2 \sqrt{2}}}\) అయితే cos 2A విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
cos 2A = 2cos² A – 1 = 2 \(\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2 \sqrt{2}}\right)\) – 1
= \(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2 \sqrt{2}}}\) – 1
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 32.
\(\frac{\pi}{2}\) < 0 < π, cos θ = \(\frac{-5}{13}\) అయితే sin 2θ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{\pi}{2}\) < θ < π ⇒ sin θ > 0, cos θ = –\(\frac{5}{13}\)
⇒ sin θ = \(\frac{12}{13}\)
∴ sin 2θ = 2 sin θ.cos θ
= 2 . \(\frac{12}{13}\left(\frac{-5}{13}\right)\) = \(\frac{-120}{169}\)

ప్రశ్న 33.
ప్రథమ పాదంలోని x యొక్క ఏ విలువలకు \(\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}\) ధనాత్మకం.
సాధన:
\(\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}\) > 0 ⇒ tan 2x > 0
⇒ 0 < 2x < \(\frac{\pi}{2}\) (x మొదటి పాదంలోని కోణం కనక)
⇒0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 34.
π < θ < \(\frac{3\pi}{2}\), cos θ = \(\frac{-3}{5}\) అయితే tan θ/2 విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
tan \(\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}}\) = ±2
దత్తాంశం నుంచి π < θ < \(\frac{3\pi}{2}\) ⇒ \(\frac{\pi}{2}\) < \(\frac{\theta}{2}\) < \(\frac{3\pi}{4}\)
⇒ tan θ/2 < 0
∴ tan θ/2 = -2

ప్రశ్న 35.
A అనేది \(\frac{\pi}{2}\) పూర్ణాంక గుణిజం కాకపోతే
i) tan A + cot A = 2 cosec 2A
ii) cot A tan A = 2 cot 2A
సాధన:
i) tan A + cot A = \(\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}\)

∴ tan A + cot A = 2 cosec 2A

ప్రశ్న 36.
θ అనేది \(\frac{\pi}{2}\) పూర్ణాంక గుణిజం కాకపోతే, tan θ + 2 tan 2θ + 4 tan 4θ + 8 cot 8θ = cot θ అని నిరూపించండి.
సాధన:
cot A – tan A = 2 cot 2A
tan A = cot A – 2 cot 2A అని వస్తుంది ……………… (1)
కనుక , tan θ + 2 tan 2θ + 4 tan 4θ + 8 cot 8θ
= (cot θ – 2 cot 2θ) + 2 (cot 2θ – 2 cot 4θ) + 4 (cot 4θ – 2 cot 8θ) + 8 cot 8θ
(సమీకరణం (1) నుంచి)
cot θ

ప్రశ్న 37.
A ∈ R అయితే,
i) sin A sin (π/3 + A) sin (π/3 – A) = \(\frac{1}{4}\) sin 3A
ii) cos A. cos (π/3 + A) cos (π/3 – A) = \(\frac{1}{4}\) cos 3A అని నిరూపించి తద్వారా
iii) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = \(\frac{3}{16}\)
iv) cos \(\frac{\pi}{9}\) cos \(\frac{2\pi}{9}\) cos \(\frac{3\pi}{9}\) cos \(\frac{4\pi}{9}\) = \(\frac{1}{16}\) అని రాబట్టండి.
సాధన:
i) sin A. sin (π/3 + A). sin (π/3 – A)
sin A [sin² π/3 sin² A]
= [sin (A + B). sin (A – B)
= sin² A – sin² B = cos² B – cos² A]
= sin A \(\left[\left(\frac{3}{2}\right)-\sin ^2 \mathrm{~A}\right]\)
= sin A \(\left(\frac{3-4 \sin ^2 A}{4}\right)\)
= \(\frac{1}{4}\) (3 sin A – 4 sin³ A)
= \(\frac{1}{4}\) |sin 3A|

ii) cos A cos (π/3 + A) cos (π/3 – A)
= cos A (cos² A – sin² \(\frac{\pi}{3}\)_
= cos A (cos² A – \(\frac{3}{4}\))
= \(\frac{\cos A\left(4 \cos ^2 A-3\right)}{4}\)
= \(\frac{1}{4}\) (4 cos³ A – 3 cos A)
= \(\frac{1}{4}\) . cos 3A
= \(\frac{1}{4}\) [4 cos³ A – 3 cos A]
= \(\frac{1}{4}\) cos 3A

iii) (1) A 20° ప్రతిక్షేపిస్తే,
⇒ sin 20°. sin (60° + 20°) sin (60° – 20°) = \(\frac{1}{4}\) sin 3(20°)
లేదా sin 20° sin 80° sin 40° = \(\frac{1}{4}\) sin 60°
పై సమీకరణాన్ని ఇరువైపులా sin 60° తో గుణిస్తే
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°
= \(\frac{1}{4}\) sin² 60° = \(\frac{1}{4}\) \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{3}{16}\)
ఇదేవిధంగా, (ii) నుంచి

iv) cos 20° cos 40° cos 80° = \(\frac{1}{4}\) . cos 60° అని వస్తుంది.
ఇరువైపులా cos 60° తో గుణిస్తే
cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°
= \(\frac{1}{4}\) cos² 60° = \(\frac{1}{16}\)
అంటే cos \(\frac{\pi}{9}\) cos \(\frac{2\pi}{9}\) cos \(\frac{3\pi}{9}\) cos \(\frac{4\pi}{9}\) = \(\frac{1}{16}\)

ప్రశ్న 38.
3A అనేది \(\frac{\pi}{2}\) కి బేసి గుణిజం కాకపోతే, tan A. tan(60° + A). tan (60° – A) = tan 3A అని నిరూపించి తర్వాత tan 6° tan 42° tan 66° tan 78° విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
sin A sin (π/3 + A) sin (π/3 – A) = 1/4 sin 3A
cos A cos (π/3 + A) cos (π/3 – A) = 1/4 cos 3A
sin A. sin (60° + A). sin (60° – A) = \(\frac{1}{4}\) sin 3A …………… (1)
cos A.cos (60° + A). cos (60° – A) = \(\frac{1}{4}\) cos 3A …………… (2)
(1) ని (2) తో భాగిస్తే
tan A. tan (60° + A). tan (60° – A) = tan 3A …………….. (3)
(3) లో A = 6° ప్రతిక్షేపిస్తే
tan 6°. tan 66°. tan 54° = tan 18° …………… (4)
మళ్ళీ (3) లో A = 18° ప్రతిక్షేపిస్తే
tan 18°. tan 78°. tan 42° = tan 54° …………… (5)
(4), (5) సమీకరణాలను గుణిస్తే
(tan 6°. tan 66°. tan 54°).
(tan 18°. tan 78°. tan 42°) = tan 18°. tan 54°
కనుక tan 6°. tan 42°. tan 66°. tan 78° = 1.

ప్రశ్న 39.
α, β ∈ R అయితే , (cos α + cos β)² + (sin α + sin β)² = 4 cos² \(\frac{(\alpha+\beta)}{2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S. = (cos α + cos β)² + (sin α + sin β)²
= (cos² α + cos² β + 2 cos α cos β) + (sin² α + sin² β + 2 sin α sin β)
= 1 + 1 + 2 (cos α cos β + sin α sin β)
= 2 + 2 cos (α – β)
= 2 [1 + cos (α – β)]
= 2[2 cos² \(\frac{(\alpha+\beta)}{2}\)]
= 4. cos² \(\frac{(\alpha+\beta)}{2}\) [∵ 1+ cos θ = 2 cos² = \(\frac{\theta}{2}\)]

ప్రశ్న 40.
a, b, c లు శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్యలు, a cos θ + b sin θ = c సమీకరణానికి సాధనలు α, β లు అయితే
(i) sin α + sin β = \(\frac{2 b c}{a^2+b^2}\)
(ii) sin α . sin β = \(\frac{c^2-a^2}{a^2+b^2}\) అని చూపిండి.
సాధన:
∵ a cos θ + b sin θ = c
⇒ a cos θ = c – b sin θ
⇒ (a cos θ)² = (c – b sin θ)²
⇒ a² cos² θ = c² + b² sin² θ – 2bc sin θ
⇒ a² (1 – sin² θ) = c² + b² sin² θ – 2bc sin θ
⇒ (a² + b²) sin² θ – 2bc sin θ + (c² – a²) = 0
ఇది sin θ లో వర్గ సమీకరణం. sin α, sin β లు దీనికి మూలాలు
∴ మూలాలు మొత్తం = sin α + sin β = \(\frac{2 b c}{a^2+b^2}\)
మూలాల లబ్దం = sin α sin β = \(\frac{c^2-a^2}{a^2+b^2}\)

ప్రశ్న 41.
θ అనేది \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజం కాదు, cos θ ≠ \(\frac{-1}{2}\) అయినప్పుడు, \(\frac{\sin \theta+\sin 2 \theta}{1+\cos \theta+\cos 2 \theta}\) = tan θ అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
sin⁴ \(\frac{\pi}{8}\) + sin⁴ \(\frac{3\pi}{8}\) + sin⁴ \(\frac{5\pi}{8}\) + sin⁴ \(\frac{7\pi}{8}\) = \(\frac{3}{2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S. = sin⁴ \(\frac{\pi}{8}\) + sin⁴ \(\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\) + sin⁴ \(\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\) + sin⁴ \(\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)\)

ప్రశ్న 43.
2A, 3A లు \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజాలు కానప్పుడు, tan 3A. tan 2A. tan A = tan 3A – tan 2A – tan A అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
tan 3A = tan (2A + A)
= \(\frac{\tan 2 A+\tan A}{1-\tan 2 A \tan A}\)
⇒ tan 3A(1 – tan 2A tan A) = tan 2A + tan A
⇒ tan 3A – tan A tan 2A tan 3A = tan 2A + tan A
∴ tan 3A – tan 2A – tan A = tan A tan 2A tan 3A

ప్రశ్న 44.
sin 78° + cos 132° = \(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = sin 78° + cos 132°
= sin 78° + cos (90° + 42°)
= sin 78° – sin 42°
= 2 cos\(\left(\frac{78^{\circ}+42^{\circ}}{2}\right)\) . sin \(\left(\frac{78^{\circ}-42^{\circ}}{2}\right)\)
= 2 cos (60°), sin (18°)
= 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\) = \(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 45.
sin 21° cos 9° cos 84° cos 6° = \(\frac{1}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = sin 21° cos 9° cos 84° cos 6°
= \(\frac{1}{4}\) [2 sin 21° cos 9° 2 cos 84° cos 6°]
= \(\frac{1}{2}\) [sin (21° + 9°) + sin (21° – 9°) – 2 cos (90° – 6°) cos 6°]
= \(\frac{1}{2}\) [sin 30°+ sin 12° – 2 sin 6° cos 6°]
= \(\frac{1}{2}\) [\(\frac{1}{4}\) + sin 12° – sin (2 × 16°)
= \(\frac{1}{4}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 46.
sin 34° + cos 64° – cos 4° విలువను కనుక్కోండి .
సాధన:
sin 34° + (cos 64° – cos 4°)
= sin 34° – 2 sin \(\frac{64^{\circ}+4^{\circ}}{2}\) sin \(\frac{64^{\circ}-4^{\circ}}{2}\) [cos C – cosD = – 2 sin \(\left(\frac{C+D}{2}\right)\) sin \(\left(\frac{C-D}{2}\right)\)]
= sin 34° – 2. sin 34°.sin 30°
= 0 (sin 30° = \(\frac{1}{2}\) కనుక)

ప్రశ్న 47.
cos² 76° + cos² 16° – cos 76°. cos 16° = \(\frac{3}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S.= cos² 76° + cos² 16° – cos 76° cos 16°
= cos² 76° + (1 – sin² 16°) – \(\frac{1}{2}\) (2 cos 76° cos 16°)
= 1 + (cos² 76° – sin² 16°) – \(\frac{1}{2}\) [cos (76° + 16°) + cos (76° – 16°)]
= 1 + cos (76° +16°). cos (76° -16°) – \(\frac{1}{2}\) [cos 92° + cos 60°]
= 1 + cos (92°). cos 60° – \(\frac{1}{2}\) cos 92° – \(\frac{1}{2}\) cos 60°
= 1 + \(\frac{1}{2}\) . cos 92° – \(\frac{1}{2}\) cos 92° – \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)
= 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
= R.H.S.

ప్రశ్న 48.
a ≠ 0b, sin x + sin y = a, cos x + cos y = b అయితే
i) tan \(\frac{x+y}{2}\)
ii) sin \(\frac{x-y}{2}\) విలువలు a, b లలో కనుక్కోండి.
సాధన:

మొదటి పద్ధతి :
ii) a² + b² = (sin x + sin y)² + (cos x + cos y)²
= sin² x + sin² y + 2 sin x sin y + cos² x + cos² y + 2 cos x cos y
= 2 + 2(cos x cos y + sin x sin y)
= 2 + 2 cos(x – y)
= 2[1 + cos(xy)]
a² + b² – 2 = 2 cos(x – y)

రెండవ పద్ధతి:
a² + b² = (sin x + sin y)² + (cos x + cos y)²

ప్రశ్న 49.
cos 12° + cos 84° + cos 132° + cos 156° = –\(\frac{1}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S.= cos 12° + cos 84° + cos 132° + cos 156°
= (cos 132°+ cos 12°) + (cos 156° + cos 84°)
= 2 cos \(\left(\frac{132^{\circ}+12^{\circ}}{2}\right)\) . cos \(\left(\frac{132^{\circ}-12^{\circ}}{2}\right)\) + 2 cos \(\left(\frac{156^{\circ}+84^{\circ}}{2}\right)\) . cos \(\left(\frac{156^{\circ}-84^{\circ}}{2}\right)\)
= 2 cos 72°. cos 60° + 2 cos (120°). cos (36°)
= 2 cos (90° – 18°)\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + 2\(\left(\frac{-1}{2}\right)\) cos 36°
= sin 18° – cos 36°
= \(\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)-\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)=\frac{-1}{2}\) = R.H.S

ప్రశ్న 50.
ప్రతీ θ ∈ R కి, 4 sin \(\frac{5 \theta}{2}\) cos \(\frac{2 \theta}{2}\) cos 3θ = sin θ – sin 2θ + sin 4θ + sin 7θ అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = 4 sin \(\frac{5 \theta}{2}\) cos \(\frac{2 \theta}{2}\) cos 3θ
= 2 [2 sin \(\frac{5 \theta}{2}\) cos \(\frac{3 \theta}{2}\) . cos 3θ
= 2 [sin\(\left(\frac{5 \theta}{2}+\frac{3 \theta}{2}\right)\) + sin \(\left(\frac{5 \theta}{2}-\frac{3 \theta}{2}\right)\)] cos 3θ
= 2[(sin 4θ + sin θ) cos 3θ]
= 2 sin 4θ cos 3θ + 2 sin θ cos 3θ
= sin (4θ + 3θ) + sin (4θ – 3θ) + sin (θ + 3θ) + sin (θ – 3θ)
= sin 7θ + sin θ + sin 4θ – sin 2θ = R.H.S.

ప్రశ్న 51.
A, B, A + B లలో ఏదీ π కి పూర్ణాంక గుణిజం కాకపోతే, \(\frac{1-\cos A+\cos B-\cos (A+B)}{1+\cos A-\cos B-\cos (A+B)}\) = tan \(\frac{A}{2}\) cot \(\frac{A}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
లవం = 1 – cos A + cos B cos (A + B)
= [1 – cos (A + B)] – (cos A – cos B)

(1), (2) ల నుండి

ప్రశ్న 52.
α ∈ R అయితే , cos² (α – π/4) + cos² (α + π/12) – cos² (α – π/12) = \(\frac{1}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S. = cos² (α – π/4) + cos² (α + π/12) – cos²(α – π/2)
= \(\frac{1+\cos 2(\alpha-\pi / 2)}{2}\) + {sin (α + π/12 + α – π/12) sin (α – π/12 – α – π/12)}
= \(\frac{1}{2}\) (1 + sin 2α) + sin 2α. sin (π/6)
= \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{2}\) sin 2α – \(\frac{1}{2}\) sin 2α = \(\frac{1}{2}\)
సూచన : cos² A – cos² B = sin (A + B) sin (B – A)

ప్రశ్న 53.
(α – β) అనేది \(\frac{\pi}{2}\) బేసి గుణిజం కాదు, m ≠ – 1, \(\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\dot{\beta})}=\frac{1-m}{1+m}\) అయితే tan \(\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\) = m. tan \(\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)\) అని చూపండి.
సాధన:


∴ tan \(\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\) = m. tan \(\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)\)

ప్రశ్న 54.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలయితే, కింది వాటిని నిరూపించండి.
i) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
ii) sin 2A + sin 2B – sin 2C = 4 cos A cos B sin C
సాధన:
i) ∵ A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు
⇒ A + B + C = 180° ……………… (1)
L.H.S. = sin 2A + sin 2B + sin 2C
= 2 sin \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) . cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) + sin 2C
= 2 sin (A + B) cos (AB) + sin 2C
= 2 sin (180° C) cos (AB) + sin 2C
(1) నుండి
2 sin C. cos (A – B) + 2 sin C. cos C
= 2 sin C [cos (A – B) + cos C]
= 2 sin C [cos (A – B) + cos (180° – \(\overline{A+B}\))]
= 2 sin C [cos (AB) cos (A + B)] = 2 sin C (2 sin A sin B)
= 4 sin A sin B sin C = R.H.S.

ii) L.H.S. = sin 2A + sin 2B – sin 2C
= 2 sin \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) . cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) – sin 2C
= 2 sin (A + B) cos (A – B) sin 2C
= 2 sin (180° – C) cos (A – B) – sin 2C
= 2 sin C. cos (A – B) – 2 sin C cos C
= 2 sin C [cos (A – B) cos C]
= 2 sin C [cos (A – B) – cos (180° – \(\overline{A+B}\))]
(1) నుండి
= 2 sin C [cos (A – B) + cos (A + B)]
= 2 sin C [2 cos A cos B]
= 4 cos A cos B sin C = R.H.S.

ప్రశ్న 55.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలైతే, కింది వాటిని నిరూపించండి.
i) cos 2A + cos 2B + cos 2C = -4 cos A cos B cos C – 1
ii) cos 2A + cos 2B – cos 2C = 1 – 4 sin A sin B cos C
సాధన:
i) ∵ A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు.
⇒ A + B + C = 180° ……………. (1)
L.H.S.= (cos 2A + cos 2B) + cos 2C
= 2 cos (A + B) cos (A – B) + 2 cos² C – 1
= -2 cos C cos (A – B) – 2 cos C cos (A + B) – 1
[∵ cos (A + B) = -cos C]
= -1 – 2 cos C [cos (AB) + cos (A – B)]
= -1 – 2 cos C [2 cos A cos B]
= -1 – 4 cos A cos B cos C = R.H.S.

ii) L.H.S.= cos 2A + cos 2B – cos 2C
= 2 cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) – cos 2C
= 2 cos (A + B). cos (A – B) – (2 cos² C – 1)
= 2 cos (180° – C) cos (A – B) – 2 cos² C + 1
= 1 – 2 cos C cos (A – B) – 2 cos² C
= 1 – 2 cos C [cos (AB) + cos C]
= 1 – 2 cos C [cos (A – B) + cos (180° \(\overline{A+B}\))]
= 1 – 2 cos C [cos (AB) cos (A + B)]
= 1 – 2 cos C [2 sin A sin B]
= 1 – 4 sin A sin B cos C = R.H.S.

ప్రశ్న 56.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలయితే కింది వాటిని నిరూపించండి.
i) sin A + sin B + sin C = 4 cos \(\frac{A}{2}\) cos \(\frac{B}{2}\) cos \(\frac{C}{2}\)
ii) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin \(\frac{A}{2}\) sin \(\frac{B}{2}\) sin \(\frac{C}{2}\)
సాధన:
i) ∵ A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలు.
⇒ A + B + C = 180°
L.H.S. = (sin A+ sin B) + sin C

ii) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin \(\frac{A}{2}\) sin \(\frac{B}{2}\) sin \(\frac{C}{2}\)
L.H.S. = cos A + cos B + cos C

ప్రశ్న 57.
A + B + C = 9 π/2 0° అయితే ,
i) sin² A + sin² B + sin² C = 1 – 2 sin A sin B sin C
ii) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 cos A cos B cos C అని చూపండి.
సాధన:
i) A + B + C = π/2 ………………. (1)
L.H.S. = sin² A + sin² B + sin² C
= \(\frac{1}{2}\) [1 – cos 2A + 1 – cos 2B + 1 – cos 2C]
= \(\frac{1}{2}\) [3 – (cos 2A + cos 2B + cos 2C)]
= \(\frac{1}{2}\) [3 – (1 + 4 sin A sin B sin C)]
(56(ii)వ లెక్క చూడండి.)
(∵ 2A + 2B + 2C = 180°)
= \(\frac{1}{2}\) [2 – 4 sin A sin B sin C]
= 1 – 2 sin A sin B sin C

ii) A + B + C = π/2
⇒ 2A + 2B + 2C = 180°
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 cos A cos B cos C
(56(i)వ లెక్క చూడండి.)

ప్రశ్న 58.
A + B + C = 3π/2, cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 – 4 sin A sin B sin C అని చూపండి. [Mar. 13]
సాధన:
A + B + C = 3π/2 …………….. (1)
L.H.S.= cos 2A + cos 2B + cos 2C
= 2 cos (A + B). cos (A – B) + 1 – 2 sin²C
= 2 cos (270° – C). cos (A – B) + 1 – 2 sin²C
= 1 – 2 sin C cos (A – B) – 2 sin² C
= 1 – 2 sin C [cos (A – B) + sin C]
= 1 – 2 sin C [cos (A – B) + sin (270° – \(\overline{A+B}\))]
= 1 – 2 sin C [cos (A – B) – cos (A + B)]
= 1 – 2 sin C [2 sin A sin B]
= 1 – 4 sin A sin B sin C

ప్రశ్న 59.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలయితే, sin² \(\frac{A}{2}\) + sin² \(\frac{B}{2}\) – sin² \(\frac{C}{2}\) = 1 – 2 cos \(\frac{A}{2}\) cos \(\frac{B}{2}\) sin \(\frac{C}{2}\) అని చూపండి. [May ’11]
సాధన:
A + B + C = 180° …………… (1)

ప్రశ్న 60.
A, B, C లు త్రిభుజ కోణాలయితే sin\(\frac{A}{2}\) + sin\(\frac{B}{2}\) + sin\(\frac{C}{2}\) = 1 + 4 sin \(\frac{\pi-A}{4}\) . sin \(\frac{\pi-B}{4}\) sin \(\frac{\pi-C}{4}\) అని రుజువు చేయండి. [Mar. ’14]
సాధన:
A + B + C = 180° …………….. (1)


sin\(\frac{A}{2}\) + sin\(\frac{B}{2}\) + sin\(\frac{C}{2}\) = L.H.S

ప్రశ్న 61.
A + B + C = 0 అయితే, cos² A + cosఅయితే B + cosఅయితే C = 1 + 2 cos A cos B cos C అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
A + B + C = 0 ………….. (1)
L.H.S. = cos² A + cos² B + cos² C
= cos² A + (1 – sin² B) + cos² C
= 1 + (cos² A – sin² B) + cos² C
= 1 + cos (A + B) cos (A – B) + cos² C
= 1 + cos (-C) cos (A – B) + cos² C
(1) నుండి
= 1 + cos C cos (A – B) + cos² C
= 1 + cos C [cos (A – B) + cos C]
= 1 + cos C [cos (A – B) + cos (- B – A)]
(1) నుండి
= 1 + cos C [cos (A – B) + cos (A + B)]
= 1 + cos C (2 cos A cos B)
= 1 + 2 cos A cos B cos C
= R.H.S.

ప్రశ్న 62.
A + B + C = 2S అయితే cos (S – A) + cos (S – A) + cos (S – B) + cos (S – C) + cos S = 4 cos \(\frac{A}{2}\) cos \(\frac{B}{2}\) cos \(\frac{C}{2}\) అని రుజువు చేయండి.
సాధన:
A + B + C = 2S ……………. (1)
L.H.S. = [cos (S – A) + cos (S – B) + cos (S – C) + cos S]

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 2nd Lesson మూలకాల వర్గీకరణ – ఆవర్తన ధర్మాలు will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 2nd Lesson మూలకాల వర్గీకరణ – ఆవర్తన ధర్మాలు

→ “మూలకాలు, వాటి సమ్మేళనాల ధర్మాలు వాటి పరమాణు భారాల ఆవర్తన ప్రమేయాలు” – మెండలీఫ్ ఆవర్తన నియమము.

→ E_KaAl – గాలియమ్, E_Ka Si – జెర్మేనియం,
E_ka B – స్కాండియమ్.

→ Ar – k, Co – Ni. Te – I. Th – Pa లను అసంగత జంటలు అంటారు.

→ √υ = a(Z – b) మోస్లే సమీకరణము.
మూలకానికి విలక్షణమయిన ధర్మం పరమాణు సంఖ్య అనీ పరమాణు భారం కాదనీ మోస్లే నిరూపించాడు.

→ “మూలకాల భౌతిక, రసాయన ధర్మాలు వాటి పరమాణు సంఖ్యల ఆవర్తన ప్రమేయాలు” – ఆధునిక ఆవర్తన నియమము.

→ మూలకాల భౌతిక, రసాయనిక ధర్మాలు వాటి పరమాణు సంఖ్యల ఆవర్తన ప్రమేయాలు (లేక) ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం యొక్క ఆవర్తన ప్రమేయాలు.

→ ఆధునిక ఆవర్తన పట్టికలో 7 పీరియడ్లు మరియు 18 గ్రూపులు ఉన్నాయి. దీనిలో s, p, d, f అనే 4 బ్లాకులు ఉంటాయి. ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసపరంగా మూలకాలను 4 రకాలుగా విభజన చేశారు. అవి (a) జడవాయువులు, (b) ప్రాతినిధ్య మూలకాలు, (c) పరివర్తన మూలకాలు, (d) అంతర పరివర్తన మూలకాలు.

→ పరమాణు కేంద్రకం మధ్యభాగం నుండి దాని చివరి కర్పరం వరకు గల దూరాన్ని పరమాణు వ్యాసార్థం అంటారు.

→ సమయోజనీయ బంధం ద్వారా బంధించబడిన పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య గల సమతాస్థితి దూరంలో సగాన్ని సమయోజనీయ వ్యాసార్థం అంటారు.

→ వాండర్ వాల్ ఆకర్షణ బలాలచే బంధితమై ఉన్న రెండు ఒకేవిధమైన పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య గల సమతాస్థితి దూరంలోని సగభాగాన్ని ‘వాండర్వాల్’ వ్యాసార్థం అంటారు.

→ అయాన్ కేంద్రకం మధ్యభాగం నుండి దాని చివరి కర్పరం వరకు గల దూరాన్ని అయానిక వ్యాసార్థం అంటారు.

→ లాంథనైడ్ మూలకాల పరమాణువుల మరియు అయాన్ల పరిమాణంలోని క్రమబద్ధమైన తగ్గుదలను లాంథనైడ్ సంకోచం అంటారు.

→ సంయోగస్థితిలో ఉన్న అణువులోని పరమాణువుల మీది దృశ్య ఆవేశాన్ని ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య అంటారు.

→ వాయుస్థితిలోని ఒంటరి తటస్థ పరమాణువు యొక్క బాహ్య కర్పరంలోని ఒక ఎలక్ట్రాను తీసివేయుటకు కావలసిన శక్తిని అయనీకరణ శక్తి (ప్రథమ అయనీకరణ శక్తి) అంటారు.

→ అంతర కర్పరాలలోని ఎలక్ట్రాన్లు బాహ్య కర్పరాలలోని ఎలక్ట్రాన్లను కేంద్రక ఆకర్షణ నుండి రక్షించే ప్రభావాన్ని పరిరక్షక ప్రభావం అంటారు.

→ వాయుస్థితిలో ఉన్న ఒంటరి తటస్థ పరమాణువుకు ఒక ఎలక్ట్రానన్ను చేర్చినపుడు విడుదలయ్యే శక్తిని ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటి అంటారు.

→ సమయోజనీయ బంధంతో బంధితమై ఉన్న రెండు పరమాణువులలో, ఒక పరమాణువు బంధజంట ఎలక్ట్రాన్ల ను తన వైపుకు ఆకర్షించుకునే స్వభావాన్ని ఋణవిద్యుదాత్మకత అంటారు.

→ కర్ణ సంబంధం : “ఆవర్తన పట్టికలో రెండవ పీరియడ్లోని ఒక మూలకానికి మూడవ పీరియడ్లోని తరవాత గ్రూపు రెండో మూలకానికి సారూప్య ధర్మాలుంటాయి. ఈ సంబంధాన్ని కర్ణ సంబంధం అంటారు.”
ఉదా : (Li, Mg); (Be, Al); (B, Si)

→ ధృవణ సామర్థ్యం : అయానిక ఆవేశం / (అయానిక వ్యాసార్థం)²

→ “f- ఎలక్ట్రాన్ల ల దుర్భల పరిరక్షక ప్రభావం వలన ఆక్టినైడ్ మూలకాలలో పరిమాణం తగ్గడాన్ని ఆక్టినైడ్ సంకోచం అంటారు.”

→ డిమి ఇవనోవిచ్ మెండలీవ్ (1834-1907):
డిమి మెండలీవ్ రష్యాలోని సైబేరియాలో ఉన్న టొబాస్క్ లో జన్మించాడు. 1867లో సాధారణ రసాయనశాస్త్ర ప్రొఫెసర్గా నియమితుడై రసాయనశాస్త్ర నియమం మూలకాల ఆవర్తన పట్టిక నిర్మాణానికి దోహదం చేసింది.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
యధార్థత, ఖచ్చితత్వాల మధ్య తేడాను రాయండి. [May, Mar. ’13]
జవాబు:

ప్రశ్న 2.
కొలతలో వచ్చే వివిధ రకాల దోషాలు ఏవి?
జవాబు:
దోషాలు ప్రధానంగా మూడు రకాలు

1. క్రమదోషాలు
2. యాదృచ్ఛిక దోషాలు
3. స్థూల దోషాలు

ప్రశ్న 3.
క్రమదోషాలను ఏవిధంగా కనిష్ఠం చేయవచ్చు లేదా తొలగించవచ్చు? [Mar. ’14]
జవాబు:
ప్రయోగ విధానంలో కౌశలతను పెంచుకోవడం, మంచి పరికరాలను ఎన్నుకోవడం మరియు వీలైనంత వరకు వ్యక్తిగతమైన లోపం లేకుండా చూసుకోవాలి.

ఇవ్వబడిన అమరికకు, ఈ దోషాలను అంచనావేసి, రీడింగ్లకు సరైన సర్దుబాటు తప్పనిసరిగా చేయాలి.

ప్రశ్న 4.
కొలత ఫలితాన్ని అందులో ఉండే దోషాన్ని సూచిస్తూ ఏవిధంగా నివేదిస్తారో (reported) ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
ఏదైనా భౌతికరాశిని కొలిచినపుడు, ఆ రాశి యొక్క ప్రామాణిక విలువ (ప్రమాణం)తో పోల్చాలి. ప్రతి ప్రక్రియలో ఉండే దోషాలను పూర్తిగా తొలగించి కొలవడం సాధ్యం కాదు. మనం పూర్తి శ్రద్ధతో కొలిచినప్పటికీ కొలిచిన విలువ ఎల్లప్పుడూ నిజవిలువకు (లేదా) యధార్థ వేరుగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
సార్థక సంఖ్యలంటే ఏవి? ఒక కొలత ఫలితాన్ని నివేదించేటప్పుడు అవి ఏమి సూచిస్తాయి?
జవాబు:
ఒక కొలతను సూచించే సంఖ్యలో నిశ్చయంగా తెలిసిన అంకెలు, వాటికి తోడు అదనంగా అంచనా ప్రకారం చేర్చిన అంకెలు వీటన్నింటినీ కలిపి సార్థక సంఖ్యలు (లేదా) సార్థక అంకెలు అంటారు.
ఉదాహరణ :
లఘులోలకం యొక్క ఆవర్తన కాలం 1.62, దీనిలో 1 మరియు 6 నిశ్చయంగా తెలిసిన అంకెలు, 2 అనునది అంచనా ప్రకారం చేర్చిన అంకె. కాబట్టి కొలిచిన విలువలో మూడు సార్థక సంఖ్యలు కలవు.

ప్రశ్న 6.
ప్రాథమిక ప్రమాణాలు, ఉత్పన్న ప్రమాణాల మధ్య తేడాలు రాయండి.
జవాబు:

1. ప్రాథమిక రాశుల ప్రమాణాలను ప్రాథమిక ప్రమాణాలు అంటారు. ప్రాథమిక ప్రమాణాలను మరొక దానినుండి రాబట్టలేము. వేరొక ప్రమాణాలనుండి రాబట్టలేము.
2. ఉత్పన్న రాశుల ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు.

ప్రశ్న 7.
ఒకే భౌతికరాశికి వేరువేరు ప్రమాణాలు ఎందుకు ఉంటాయి?
జవాబు:
మనకు వేరు వేరు పద్ధతులు కలవు. అవి C.G.S పద్ధతి, M.S.K పద్ధతి, E.P.S పద్ధతి మరియు S. I పద్ధతి. అందువలన ఒకే భౌతికరాశికి వేరువేరు ప్రమాణాలు కలవు.

ప్రశ్న 8.
మితీయ విశ్లేషణ అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
ఉత్పన్న భౌతిక రాశులను, ప్రాథమిక రాశుల ప్రమాణాలలో తెలియజేయుటను మితి విశ్లేషణ అంటారు.

మితివిశ్లేషణ ద్వారా ఇచ్చిన సమీకరణం సరైనదో, కాదో తెలుసుకోవచ్చు. ఒక పద్ధతిలో ప్రమాణాలను వేరొక పద్ధతిలోకి మార్చవచ్చు మరియు వివిధ భౌతిక రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని సూచించే సమీకరణాలను రాబట్టవచ్చు.

ప్రశ్న 9.
కేంద్రకం వ్యాసార్ధంతో పోలిస్తే పరమాణు వ్యాసార్ధం పరిమాణ క్రమాలలో (orders of magnitude) ఎంత ఎక్కువగా ఉంటుంది?
జవాబు:
కేంద్రక వ్యాసార్థం పరిమాణం = 10^-14m
పరమాణువు వ్యాసార్థం పరిమాణం = 10^-10m

కాబట్టి కేంద్రకం వ్యాసార్థంతో పోలిస్తే పరమాణు వ్యాసార్థం పరిమాణక్రమాలలో 10^-4 m ఎక్కువ.

ప్రశ్న 10.
ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణాన్ని kg లో వ్యక్తం చేయండి.
జవాబు:
ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణం = \(\frac{1}{12}\) × c¹² – ద్రవ్యరాశి
1 a.m.u = 1.66 × 10^-27 Kg

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక పరికరం వెర్నియర్ స్కేలు 50 విభాగాలు కలిగి ఉంది. ఇవి ప్రధాన స్కేలుపై ఉండే 49 విభాగాలతో ఏకీభవిస్తాయి. ప్రధాన స్కేలులోని ప్రతి విభాగం విలువ 0.5mm. అయితే ఈ పరికరంతో కొలిచే దూరంలో కనిష్ఠ యధార్థతారాహిత్యం (inaccuracy) ఎంత ఉంటుంది?
జవాబు:
ప్రధాన స్కేలుపై ప్రతి విభాగం విలువు = 0.5 m.m
వెర్నియర్ స్కేల్పై విభాగాల సంఖ్య = 50
వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీసపు కొలత = \(\frac{S}{N}\)

కాబట్టి దూరం కొలవడంలో కనిష్ఠ యధార్ధత 0.01 m.m (లేదా)
1 M.S.D విలువ = 0.5 m.m, N = 50
N V.S.D = (N-1) M.S.D
49 M.S.D = 50 V.S.D
1 V.S.D = \(\frac{49}{50}\)M.S.D = \(\frac{49}{50}\) × 0.5 m.m

∴ కనీసపు కొలత = 1 M.S.D – 1 V.S.D = (0.5 – \(\frac{49}{50}\) × 0.5) = (1 – \(\frac{49}{50}\))0.5
= \(\frac{1}{50}\) × 0.5 = 0.01m.m
కాబట్టి దూరం, కొలవడంలో కనిష్ఠ యధార్ధత 0.01 m.m

ప్రశ్న 2.
ప్రమాణాల ఒక వ్యవస్థలో బలానికి ప్రమాణం 100N, పొడవుకు ప్రమాణం 10m, కాలానికి ప్రమాణం 100 s. ఈ వ్యవస్థలో ద్రవ్యరాశికి ఉండే ప్రమాణం ఏది?
జవాబు:
బలం (F) = 100N; పొడవు (L) = 10m; కాలం (T) = 100s
F = ma

ప్రశ్న 3.
భూమి నుంచి ఒక గెలాక్సీ దూరం 10²⁵ m ల క్రమంలో ఉంది. గెలాక్సీ నుంచి కాంతి మనల్ని చేరేందుకు పట్టే కాలం పరిమాణం క్రమాన్ని గణించండి.
జవాబు:
భూమి నుండి గెలాక్సీ వరకు దూరం = 10²⁵ m
కాంతి వేగం (c) = 3 × 10⁸m/s

ప్రశ్న 4.
భూమి-చంద్రుల మధ్య దూరం సుమారు భూవ్యాసార్థానికి 60 రెట్లు. చంద్రుడి నుంచి చూస్తే భూమి వ్యాసం సుమారుగా ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
భూమి, చంద్రుడు మధ్యదూరం
భూమి వ్యాసార్ధం = R
r = 60R = 60 × 640 × 10³ (∵ R = 6400 Km)

l = 11.16 × 10³Km ⇒ వ్యాసం( 1 ) = 11.16 × 10³Km

ప్రశ్న 5.
లోలకం 20 డోలనాలకు పట్టే కాలానికి వచ్చిన మూడు కొలతలు వరుసగా t₁ = 39.6 s, t₂ = 39.9 s, t₃ = 39.5s. కొలతల్లోని ఖచ్చితత్వం ఎంత? కొలతల్లోని యధార్ధత ఎంత?
జవాబు:
డోలనాల సంఖ్య = 20
t₁ = 39.6 Sec, t₂ = 39.9 Sec, t₃ = 39.5 Sec

సగటు విలువ = 39.7 Sec
ఖచ్చితత్వం = 0.1 Sec
కొలిచిన విలువ, నిజవిలువకు దగ్గరగా ఉంటే, అది యధార్థత. కాబట్టి యధార్థత 39.6 s అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
1 కెలోరి = 4.23, 1J = 1kg m²s^-2. ద్రవ్యరాశికి ప్రమాణం a’ kg గా, పొడవుకు ప్రమాణం \(\hat{\mathbf{a}}\)m గా, కాలం ప్రమాణం \(\tilde{\mathrm{a}}\)s గా ఉండే ఒక ప్రమాణ వ్యవస్థను వాడినపుడు, కొత్త వ్యవస్థలో కెలోరికి ఉండే పరిమాణం 4.2 \(\stackrel{\wedge-1}{a} a^{\wedge}-2 \wedge 2\) అని చూపండి.
జవాబు:
1 కెలోరీ = 4.2 J ⇒ 1 J = 1 kg m²s^-2
1 కెలోరీ = 4.2 kg m²s^-2
క్రొత్త పద్ధతిలో, 1 కెలోరీ = 4.2 \(\hat{a} \hat{a}^2 \hat{a}^{-2}\)

ప్రశ్న 7.
శూన్యంలో కాంతి వడి 1 ms2 అయ్యేవిధంగా పొడవుకు ఒక కొత్త ప్రమాణాన్ని ఎంచుకొన్నారు. సూర్యుడి నుంచి కాంతి భూమిని చేరేందుకు పట్టేకాలం 8 నిమిషాల 20 సెకన్లయితే కొత్త ప్రమాణాల్లో సూర్యుడు -భూమి మధ్య దూరం ఎంత?
జవాబు:
శూన్యంలో కాంతి వేగం (V) = 1m/s
పట్టుకాలం (t) = 8 నిముషాల 20 సెకండ్లు= 500 Sec
సూర్యుడు మరియు భూమి మధ్య దూరం (d) = \(\frac{V}{t}\)
d = \(\frac{1}{500}\) = 0.002m

ప్రశ్న 8.
100 ఆవర్ధనం ఉండే సూక్ష్మదర్శినిని ఉపయోగించి ఒక విద్యార్థి మానవుడి వెంట్రుక మందాన్ని కొలుస్తున్నాడు. 20 పరిశీలనల వల్ల వెంట్రుక సగటు మందాన్ని (సూక్ష్మదర్శినిలో చూసినదాని దృష్ట్వా) 3.5mm గా కనుక్కొన్నాడు. అంచనాకు వచ్చే మందం ఎంత ?
జవాబు:
సూక్ష్మదర్శిని ఆవర్ధనం (M) = 100
పరిశీలించిన మందం = 3.5 m.m

ప్రశ్న 9.
కొలవగలిగే నాలుగు రాశులు a, b, c, d లతో X అనే భౌతికరాశి కింది విధంగా సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది.
X =a²b³c^5/2d^-2
a,b,c,d లను కొలవడంలో దోషశాతాలు వరుసగా 1%, 2%, 3%,4% అయితే X లో దోషశాతం ఎంత ?
జవాబు:
X =a²b³c^5/2d^-2

10. ఒక వస్తువు వేగం υ = At² + Bt + C అని ఇవ్వడమైంది. υ, t లను SI ప్రమాణాల్లో వ్యక్తం చేస్తే A,B,C లకు ప్రమాణాలు రాయండి.
జవాబు:
V=At² + Bt + C
సజాతీయత నియమం ప్రకారం

లెక్కలు (Problems)

ప్రశ్న 1.
P= El²m^-5G^-2 అనే సమాసంలో రాశులు E, l, m, G లు వరుసగా శక్తి, కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ద్రవ్యరాశి,’ గురుత్వస్థిరాంకాలను సూచిస్తే Pఒక మితిరహిత రాశి అని చూపండి.
సాధన:
P = E L² m G^-2
శక్తి (E) = [ML² T^-2]
కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) = [ML² T^-1]
ద్రవ్యరాశి = [M]
విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం (G) = [M^-1L³ T^-2]
P = [ML² T^-2] [ML² T^-1]² [M]^-5 [M^-1L³T^-2]^-2
P = M^{1 + 2 – 5 + 2} L^{2 + 4 – 6} T^{-2 – 2 + 4}
P = M°L° T°
కాబట్టి P మితిరహితరాశి

ప్రశ్న 2.
కాంతి వేగం c, ప్లాంక్ స్థిరాంకం h, విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం G లను ప్రాథమిక రాశులుగా తీసుకొంటే, ఈ రాశుల మితుల్లో ద్రవ్యరాశి, పొడవు, కాలాలను రాయండి. [Mar. ’13]
సాధన:
i) M ∝ G^xC^yh^z
[M¹ L° T°] = [M^-1 L³ T^-2]^x [LT^-1]^y [ML²T^-1]^z
[M¹ L° T°] = [M^-x+z L^3x+y+2z T^{-2x – y – z}]
– x + z = 1, 3x + y + 2z = 0, – 2x – y – z = 0
ఈ సమీకరణాలను సాధించగా

M = \(\sqrt{\frac{hc}{G}}\)

ii) పొడవు (l) ∝ G^xC^yh^z → (1)
[M°L¹T°] = [M^-1 L³ T^-2]^x [LT^-1]^y [ML²T^-1]^z
[M°L¹T°] = M^{– x + z} L^3x+y+2zT^{-2x – y – z}
సజాతీయత నియమం ప్రకారం
– x + z = 0, 3x + y + 2z = 0, – 2x – y – z = 0
ఈ సమీకరణాలను సాధించగా
x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{-3}{2}\), z = \(\frac{1}{2}\)

iii) కాలం (T) ∝ G^xC^yh^z
[M°L°T¹] = [M^-1 L³ T^-2]^x [LT^-1]^y [ML² T^-1]^z
[M°L°T¹] = M^{– x + z} L^{3x + y + 2z} T^{– 2x – y – z}
సజాతీయత నియమం ప్రకారం
– x + 2 = 0, 3x + y + 2z = 0, – 2x – y – z = 1
ఈ సమీకరణాలను సాధించగా

ప్రశ్న 3.
M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం కలిగి ఉండే గ్రహం చుట్టూ r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమిస్తుంది. మితీయ విశ్లేషణ ఆధారంగా ఉపగ్రహ కక్ష్యావర్తన కాలం T = \(\frac{\hat{e}}{R} \sqrt{\frac{r^3}{g}}\) అని చూపండి. ఇక్కడ \(\hat{\mathbf{e}}\) మితిరహిత స్థిరాంకం, g గురుత్వ త్వరణం.
సాధన:

∴ T ∝ r^xG^yM^z
T = kr^xG^yM^z → (1)
[M°L° T¹] = K[L]^x [M^-1L³ T^-2]^y [M]^z
[M°L° T¹] = K[M^{y + z} L^{x + 3y} T^-2y]
−y + z = 0, x + 3y = 0, 1 = −2y
పై సమీకరణాలను సాధించగా

ప్రశ్న 4.
కింది సంఖ్యల్లో సార్ధక సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో తెలపండి.
a) 6729 b) 0.024 c) 0.08240 d) 6.032 e) 4.57 × 10⁸
సాధన:
a) 6729 – 4 సార్థక సంఖ్యలు
b) 0.024 – 2 సార్థక సంఖ్యలు
c) 0.08240 – 4 సార్థక సంఖ్యలు
d) 6.032 – 4 సార్థక సంఖ్యలు
e) 4.57 × 10⁸ – 3 సార్థక సంఖ్యలు

ప్రశ్న 5.
రెండు కర్రల పొడవులు వరుసగా 12.132 cm, 12.4 cm. ఈ కర్రలను ఒకదాని చివర మరొకదాని చివరకు తాకునట్లు అమర్చితే మొత్తం పొడవు ఎంత? రెండింటిని ఒకదాని పక్క మరొకటి అమర్చితే పొడవుల్లో వ్యత్యాసం ఎంత?
సాధన:
a) కడ్డీల యొక్క పొడవులు
l₁ = 12.132 cm, l₂ = 12.4 cm
ఇక్కడ l₂ కు దశాంశ బిందువు తర్వాత ఒక స్థానం ఉంది. కాబట్టి l₁ ను రెండు దశాంశస్థానాలకు సవరించాలి.
l = l₁ + l₂ = 12.13 + 12.4 = 24.53
కాబట్టి ఫలితాన్ని దశాంశ బిందువు తర్వాత ఒక స్థానానికి సవరించాలి.
∴ తుది ఫలితం = 24.5 cm

b) l₁ = 12.132 cm l₂ = 12.4 cm
ఇక్కడ l₁ ను దశాంశ బిందువు తర్వాత రెండు స్థానాలకు సవరించాలి.
l₂ – l₁ = 12.4 – 12.13 = 0.27
ఇప్పుడు దీనిని దశాంశ బిందువు తర్వాత ఒక స్థానానికి సవరించాలి.
l₂ – l₁ = 0.3

ప్రశ్న 6.
సమ ఘనం భుజం పొడవు 7.203 m. (i) ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనం ఘనపరిమాణాలను తగిన సార్ధక సంఖ్యలకు లెక్కించండి.
సాధన:
ఘనం యొక్క భుజం (a) = 7.203 m
(i) ఉపరితల వైశాల్యం (A) = 6a²
= 6 × (7.203)² = 311.299
7.203లో సార్ధక సంఖ్యలు నాలుగు (4), ఫలితాన్ని కూడా నాలుగు సార్ధక సంఖ్యలకు సవరించాలి.
∴ (A) = 311.3m²

(ii) ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం = a³
= (7.203)³ = 373.71
ఈ విలువను నాలుగు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించాలి.
∴ V = 373.7 m³

ప్రశ్న 7.
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి 2.42 g, ఘనపరిమాణం 4.7 cm³. వాటిలోని దోషాలు వరుసగా 0.01 g, 0.1 cm³ అయితే వస్తువు సాంద్రతలో గరిష్ఠ దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
M = 2.42 g, V = 4.7 cm³
∆Μ = 0.01g, ∆V = 0.1 cm³

ప్రశ్న 8.
గోళం వ్యాసార్ధం కొలవడంలో దోషం 1% అయితే గోళం ఘనపరిమాణం కొలవడంలో దోషం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 9.
ద్రవ్యరాశి, వడిలో దోష శాతాలు వరుసగా 2%, 3% అయితే గతిజ శక్తిలో గరిష్ట దోషశాతం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 10.
ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక మోల్ ఆదర్శవాయువు 22.4L (మోలార్ ఘనపరిమాణం) ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది. హైడ్రోజన్ అణు పరిమాణం సుమారుగా 1 Å అయితే హైడ్రోజన్ మోలార్ ఘనపరిమాణానికి, పరమాణు ఘన పరిమాణానికి మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:
మోలార్ ఘనపరిమాణం = 22.4 లీటర్లు
= 22.4 × 1000 c.c.
= 22.4 × 10^-3 m³
హైడ్రోజన్ అణువు వ్యాసము
= 1A ° 10^-10 m

పరమాణు ఘనపరిమాణం = V × అవగాడ్రో సంఖ్య (N)
= 0.5233 × 10^-30 × 6.023 × 10²³ = 3.151 × 10^-7

అదనపు లెక్కలు (Additional Problems)

ప్రశ్న 1.
ఖాళీలను పూరించండి.
a) 1 cm భుజం పొడవు ఉండే సమఘనం m ఘనపరిమాణం ……….. m³
b) 2.0 cm వ్యాసార్ధం, 10.0 cm ఎత్తు ఉండే ఘన స్తూపం ఉపరితల వైశాల్యం (mm)²
c) 18 km h^-1 వడితో చలిస్తున్న వాహనం 1 s లో ప్రయాణించే దూరం…… m
d) సీసం సాపేక్ష సాంద్రత 11.3 అయితే దాని సాంద్రత …………… g cm³ లేదా …………… kg m^-3
సాధన:
a) పొడవు L = 1 cm = 10^-2 m
ఘనం ఘనపరిమాణం L³ = (10^-2)³
= 10^-6 m³

b) r = 2 cm = 20 m.m
h = 10.0 cm = 100 m.m
ఘనస్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం 2πr × h
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 20 × 100
= 1.26 × 10⁴ m.m²

c) వడి (V) = 18 kmph
= \(\frac{18\times1000}{60\times60}\) = 5 m/s
∴ 1 సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం = 5 m

d) సాపేక్ష సాంద్రత = 11.3 gm/c.c
= \(\frac{11.3\times10^{3}}{(10^{-2})^3}\)
= 11.3 × 10³ kg/m³

ప్రశ్న 2.
ప్రమాణాలను తగురీతిలో పరివర్తన చేయడం ద్వారా ఖాళీలను పూరించండి.
a) 1 kg m² s^-2 = …. 9 cm² 5^-2
b) 1 m = …. 1y (కాంతి సంవత్సరాలు)
c) 3.0 ms^-2 = …. km h^-2
d) G = 6.67 × 10^-11 N m² (kg)^-2 (cm)³ s^-2 g^-1.
సాధన:
a) 1 kg m² s^-2
= 1 × 10³ × (10²)² s^-2 = 10⁷ gm cm² s^-2

b) 1 కాంతి సంవత్సరం = 9.46 × 10¹⁵ m
∴ 1m = \(\frac{1}{9.46\times10^{-16}}\) కాంతి సంవత్సరం
= 1.053 × 10^-16 కాంతి సంవత్సరం

c) 3ms^-2 = 3 × 10^-3 km(\(\frac{1}{60\times60}\)h)^-2
= 3 × 10^-3 × 3600 × 3600 km h^-2
= 3.888 × 10⁴ km h^-2

d) G = 6.67 × 10^-11 Nm² kg^-2
= 6.67 × 10^-11 (kg ms^-2) m² kg^-2
= 6.67 × 10^-11 m³ s^-2 kg^-1
= 6.67 × 10^-11 (100 cm)³ s^-2 (1000 g)^-1
= 6.67 × 10^-8 cm³ s^-2 g^-1

ప్రశ్న 3.
శక్తి లేదా ఉష్ణానికి ప్రమాణం కెలోరి. దీని విలువ సుమారు 4.2 J ఇక్కడ 1J = 1 kg m²s^-2. ద్రవ్యరాశికి ప్రమాణం a kg, పొడవుకు ప్రమాణం b m, కాలానికి ప్రమాణం g s. అయ్యే ప్రమాణాల వ్యవస్థను వాడినామనుకోండి అప్పుడు కొత్త ప్రమాణాల పదాలలో కెలోరికి ఉండే పరిమాణం 4.2 a^-1b^-2 g² అని చూపండి.
సాధన:
1 కెలోరీ = 4.2 J = 4.2 Kg m²S^-2
ద్రవ్యరాశి క్రొత్త ప్రమాణం a kg
∴ 1 kg = \(\frac{1}{a}\) = a^-1
అదేవిధంగా 1m = b^-1 ద్రవ్యరాశి క్రొత్త ప్రమాణం
1s = g^-1 కాలం క్రొత్త ప్రమాణం
1 కెలోరీ = 4.2 (a^-1) (b^-1)² (g^-1)^-2
1 కెలోరీ = 4.2a^-1 b^-2g², శక్తి యొక్క క్రొత్త ప్రమాణం

ప్రశ్న 4.
కింది ప్రవచనాన్ని (statement) స్పష్టంగా వివరించండి :
” పోలికకు అవసరమయ్యే ప్రామాణికాన్ని నిర్దేశించకుండా మితీయరాశిని పెద్దది లేదా చిన్నది అని పిలవడం అర్థరహితం” దీన్ని దృష్టిలో ఉంచుకొని కింది ప్రవచనాలను అవసరమైన చోట సరిచేసి తిరిగి రాయండి.
a) పరమాణువులు అతిచిన్న వస్తువులు.
b) జెట్ విమానం ఎక్కువ వడితో చలిస్తుంది.
c) బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ.
d) ఈ గదిలోని గాలి అధిక సంఖ్యలో అణువులను కలిగి ఉంది.
e) ఎలక్ట్రాన్ కంటే ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ.
f) కాంతి వేగం కంటే ధ్వని వేగం చాలా తక్కువ.
సాధన:
i) పై నిర్వచనం సరియైనది. మితిరహితరాశులను కొన్ని ప్రమాణాలకు లోబడి పెద్దవా (లేదా) చిన్నవా అని పోల్చుతారు.
ఉదా : కోణం మితిరహితరాశి, ∠θ = 60° అనునది ∠θ = 30° కన్నా ఎక్కువ కాని ∠θ = 90° కన్నా తక్కువ.

ii) a) పరమాణువు పరిమాణం, ఒక గుండు సూదిమొన కన్నా చాలా చిన్నది.
b) సూపర్ ఫాస్ట్ రైలు కన్నా జెట్ విమానం చాలా వేగంగా పోతుంది.
c) భూమి ద్రవ్యరాశి కన్నా అంగారకుడి ద్రవ్యరాశి బాగా ఎక్కువ.
d) ఒక మోల్ వాయువులోని అణువుల కన్నా, గదిలో
గాలిలో అణువుల సంఖ్య ఎక్కువ.
e) పై స్టేట్మెంట్ సరియైనది.
f) పై స్టేట్మెంట్ సరియైనది.

ప్రశ్న 5.
శూన్యంలో కాంతి వడి 1ms^-2 అయ్యేవిధంగా పొడవుకు ఒక కొత్త ప్రమాణాన్ని ఎంచుకొన్నారు. సూర్యుడి నుంచి కాంతి భూమిని చేరేందుకు పట్టేకాలం 8 నిమిషాల 20 సెకన్లయితే కొత్త ప్రమాణాల్లో సూర్యుడు-భూమి మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన:
శూన్యంలో కాంతివేగం c = 1 పొడవు క్రొత్త ప్రమాణం s^-1
కాంతి సూర్యుడి నుండి భూమిని చేరుటకు పట్టుకాలం
t = 8 నిమిషాల 20 సెకండ్లు = 8 × 60 + 20
= 500 సెకండ్ల
భూమి, సూర్యుడి మధ్యదూరం (x) = C × t
∴ పొడవు క్రొత్త ప్రమాణం s^-1 × 500
= 500 పొడవు క్రొత్త ప్రమాణం

ప్రశ్న 6.
పొడవును కొలవడానికి కింది వాటిలో ఏది చాలా ఖచ్చితమైన పరికరం?
a) కదిలే స్కేలుపై 20 వెర్నియర్ విభాగాలు ఉండే వెర్నియర్ కాలిపర్స్
b) 1 mm పిచ్, 100 తలస్కేలు విభాగాలు ఉండే స్కూృగేజి.
c) కాంతి తరంగదైర్ఘ్యవిలువకు తక్కువ/సమానం వరకు పొడవును కొలిచే దృక్ సాధనం.
సాధన:
a) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీసపు కొలత

b) స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత

c) కాంతి సంవత్సరం
λ = 10^-5 cm = 0.00001 cm
ఎక్కువ యదార్థ కలది దృశావస్తువు

ప్రశ్న 7.
100 ఆవర్ధనం ఉండే సూక్ష్మదర్శిని ఉపయోగించి ఒక విద్యార్థి మానవుడి వెంట్రుక మందాన్ని కొలుస్తున్నాడు. 20 పరిశీలనల వల్ల వెంట్రుక సగటు మందాన్ని (సూక్ష్మదర్శినిలో చూసినదాని దృష్ట్యా) 3.5 mm.గా కనుక్కొన్నాడు. అంచనాకు వచ్చే మందం ఎంత
సాధన:

ప్రశ్న 8.
కింది వాటికి సమాధానం రాయండి:
a) నీకు ఒక దారం, మీటరు స్కేలును ఇస్తే దారం వ్యాసాన్ని ఏవిధంగా అంచనా వేస్తావు?
b) ఒక స్కూృగేజి పిచ్ 1.0 mm, వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాలు 200. వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాల సంఖ్యను అనియతంగా పెంచడం ద్వారా స్కూృగేజి యధార్ధతను పెంచడం సాధ్యమని నీవు అనుకొంటున్నావా?
c) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ సహాయంతో పలుచని ఇత్తడి కడ్డీ సగటు వ్యాసాన్ని నిర్ణయించవలసి ఉంది. 5 కొలతల సమితి కంటే 100 కొలతల సమితితో వచ్చే అంచనా విలువ ఎక్కువ నమ్మదగినదని మనమెందుకు ఆశిస్తాం?
సాధన:
a) ద్వారం వ్యాసం చాలా చిన్నది కాబట్టి దానిని మీటరు స్కేలు ఉపయోగించి కొలవలేము. మీటరు స్కేలుపై దారాన్ని అనేకచుట్లుగా చుట్టాలి. ఆ చుట్లు బాగా దగ్గర దగ్గరగా చుట్టాలి.
n చుట్లు గల దారం పొడవు l
∴ దారం వ్యాసం = \(\frac{1}{n}\)

b) కనీసపు కొలత

వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాల సంఖ్య పెరిగితే, కనీసపు కొలత తగ్గుతుంది. కాబట్టి ఖచ్చితత్వం పెరుగు తుంది. కాని ప్రాయోగికంగా సాధారణ మానవుని కంటితో రీడింగ్లను ఖచ్చితంగా కొలవలేము.

c) తక్కువ పరిశీలనలు (5) కన్నా ఎక్కువ పరిశీలనలు (100) ఆధారపడదగినవిగా ఉంటాయి. దీనికి కారణం ధనయాదృచ్ఛిక దోషం, రుణయాదృచ్ఛిక దోషం ఒకే పరిమాణంలో ఉంటాయి. కాబట్టి పరిశీలనల సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ యాదృచ్ఛిక దోషాలు తగ్గి, విలువలు ఆధారపడదగినవిగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 9.
35 mm స్లైడుపై ఒక ఇంటి ఛాయాచిత్రం వైశాల్యం 1.75 cm². ఆ స్లెడును తెరపై ప్రొజెక్ట్ చేసినపుడు ఇంటి వైశాల్యం 1.55 m² గా ఉంది. ప్రొజెక్టర్-తెర అమరిక రేఖీయ ఆవర్ధనం ఎంత?
సాధన:
వస్తువు వైశాల్యం = 1.75 cm²
ప్రతిబింబం వైశాల్యం = 1.55 m² = 1.55 × 10⁴cm²

ప్రశ్న 10.
కింద ఇచ్చిన వాటిలో సార్ధక సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి?
a) 0.007 m², b) 2.64 ×10²⁴ kg, c) 0.2370 g cm^-3, d) 6.320 J, e) 6.032 N m^-2, f) 0.0006032 m²
సాధన:
ఇచ్చిన సంఖ్యలకు ఈ క్రింది సార్ధక సంఖ్యలు కలవు.
a) ఒకటి b) మూడు c) నాలుగు d) నాలుగు e) నాలుగు f) నాలుగు.

ప్రశ్న 11.
దీర్ఘచతురస్రాకార లోహ పలక పొడవు, వెడల్పు, మందాలు వరుసగా 4.234m, 1.005 m, 2.01 cm లు సరయిన సార్ధక సంఖ్యల వరకు ఆ పలక వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను రాయండి. సాధన:
ఇక్కడ పొడవు l = 4.234 m
వెడల్పు b = 1.005 m
మందం t = 2.01 cm = 2.01 × 10^-2 m
పలక వైశాల్యం = 2 (l × b + b × t + t × l)
= 2(4.234 × 1.005 + 1.005 × 0.0201 + 0.021 × 4.234)
=2(4.3604739)
= 8.7209478 m²

వైశాల్యం మూడు సార్ధక సంఖ్యలు కలిగి ఉండాలి. కావున వీటిని సవరించాలి.
వైశాల్యం = 8.72 m²
ఘనపరిమాణం (V) = l × b × t
V = 4.234 × 1.005 × 0.0201
= 0.0855289
= 0.855 m³
దీనిలో మూడు సార్ధక సంఖ్యలు కలవు.

ప్రశ్న 12.
ఒక పెట్టెను కిరాణా షాపుదారు వాడే త్రాసుతో తూస్తే వచ్చిన ద్రవ్యరాశి 2.300 kg. ఇప్పుడు ఈ పెట్టెకు 20.15 g, 20.17 g ద్రవ్యరాశులు గల రెండు బంగారు ముక్కలను కలిపారు. (a) పెట్టె మొత్తం ద్రవ్యరాశి, (b) ముక్కల ద్రవ్యరాశుల్లో వ్యత్యాసాన్ని సరయిన సార్ధక సంఖ్యల వరకు రాయండి.
సాధన:
పెట్టె ద్రవ్యరాశి m = 2.3 kg
ఒక బంగారం ముక్క ద్రవ్యరాశి
m₁ = 20.15 g = 0.02015 kg
మిగిలిన బంగారం ద్రవ్యరాశి
m₂ = 20.17g = 0.02017 kg

a) మొత్తం ద్రవ్యరాశి = m + m₁ + m₂
= 2.3 +0.02015 +0.02017
= 2.34032 kg
ఫలితాన్ని దశాంశ స్థానం తర్వాత ఒక సంఖ్యకు సవరించాలి.
మొత్తం ద్రవ్యరాశి = 2.3 kg

b) ద్రవ్యరాశులలో తేడా
= m₂ – m₁ = 20.17 – 20.15
= 0.02gm

ప్రశ్న 13.
P అనే భౌతికరాశి a, b, c, d అనే నాలుగు పరిశీలించగలిగే రాశులతో కిందివిధమైన సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది :
P = a³b²/(√cd)
a,b,c,d లకొలతల్లోని దోషశాతాలు వరుసగా 1%, 3%, 4%, 2% అయితే P లోని దోషశాతం ఎంత ? పై సంబంధం ఉపయోగించి లెక్కించిన P విలువ 3.763 అయితే, ఫలితాన్ని నీవు ఏ విలువ వరకు సవరిస్తావు ?
సాధన:
ఇక్కడ P = \(\frac{a^3 b^2}{\sqrt{c} d}\)

ఫలితం Pలో రెండు సార్ధక సంఖ్యలు కలవు కాబట్టి 3.763ని సవరిస్తే 3.8 అవుతుంది.

ప్రశ్న 14.
ముద్రణా దోషాలు అనేకంగా ఉండే పుస్తకంలో ఒక నిర్దిష్ట ఆవర్తన చలనం చేస్తున్న కణం స్థానభ్రంశానికి నాలుగు భిన్న ఫార్ములాలు ఉన్నాయి. అవి
a) y = a sin 2 p t/T, b) y = a sin vt, c) y = (a/T) sin t/a, d) y = (a√2) (sin 2 πt /T + cos 2 πt /T)
(a = కణం పొందే గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం, v = కణం వడి, T = ఆవర్తన కాలం) మితుల దృష్ట్యా తప్పు అయిన ఫార్ములాలను కొట్టి వేయండి.
సాధన:
త్రికోణమితి ప్రమేయం మితిరహితరాశి అనగా కోణం మితిరహిత రాశి

కాబట్టి (ii) మరియు (iii) సూత్రాలు తప్పు.

ప్రశ్న 15.
భౌతికశాస్త్రంలో ఒక ప్రసిద్ధమైన సంబంధం కణ ‘విరామ ద్రవ్యరాశి’ m₀, చలిస్తున్నప్పుడు ద్రవ్యరాశి m లను కణ వడి v కాంతి వడి c పదాలతో కలుపుతుంది. (ఈ సంబంధం ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టీన్ ప్రతిపాదించిన ప్రత్యేక సాపేక్షతా సిద్ధాంతం పర్యవసానంగా మొట్టమొదట వెలువడింది) ఒక బాలుడు ఈ సంబంధాన్ని దాదాపు సరిగానే జ్ఞప్తికి తెచ్చుకొన్నాడు కానీ స్థిరాంకం c ని ఎక్కడ ఉంచాలో మరచిపోయి కింది విధంగా రాశాడు.
m = \(\frac{m_0}{\left(1-v^2\right)^{1 / 2}}\)
ఇందులో కనిపించకుండా పోయిన ఁని ఎక్కడ ఉంచాలో ఊహించండి.
సాధన:
సజాతీయత సూత్రం ప్రకారం, MLT యొక్క ఘాతాలు
ఇరువైపులా సమానం. R.H.S వైపు లవంలో (1 – v²)^1/2

ప్రశ్న 16.
పరమాణు మానంపై (atomic scale) అనువుగా ఉండే పొడవు ప్రమాణం ఆంగ్జామ్, దీన్ని AC తో సూచిస్తారు. 14° = 10^-10 m. హైడ్రోజన్ పరమాణు పరిమాణం సుమారు 0.5A° . ఒక మోల్ హైడ్రోజన్ పరమాణువుల మొత&ం పరమాణు ఘనపరిమాణం m³ ల్లో ఎంత ఉంటుంది?
సాధన:
ఇక్కడ r = 0.5 A° = 0.5 × 10^-10 m
ప్రతి హైడ్రోజన్ పరమాణువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\)πr³
\(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (0.5 × 10^-10)³ = 5.236 × 10^-31 3 m³
ఒక గ్రామ్ మోల్ హైడ్రోజన్ పరమాణువుల సంఖ్య అవగాడ్రో సంఖ్య = 6.023 × 10²³

ఒక గ్రామ్ – మోల్ హైడ్రోజన్ పరమాణువు ఘన పరిమాణం
= 5.236 × 10^-31 × 6.023 × 10²³
= 3.154 × 10^-7 m³

ప్రశ్న 17.
ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక మోల్ ఆదర్శవాయువు 22.4L (మోలార్ ఘనపరిమాణం) ఆక్రమిస్తుంది. హైడ్రోజన్ అణు పరిమాణం సుమారుగా 1A° అయితే హైడ్రోజన్ మోలార్ ఘనపరిమాణానికి, పరమాణు ఘనపరిమాణానికి మధ్య నిష్పత్తి ఎంత? ఈ నిష్పత్తి అంత పెద్దదిగా ఎందుకు ఉంది?
సాధన:

ఈ నిష్పత్తి పరమాణువుల అంతర దూరాల కన్నా అధికం.

ప్రశ్న 18.
సాధారణంగా మనం పరిశీలించే ఈ అంశాన్ని స్పష్టంగా వివరించండి. వేగంగా ప్రయాణిస్తున్న రైలు కిటికీలో నుంచి బయటికి నీవు చూస్తే, దగ్గరలో ఉండే చెట్లు, ఇళ్ళు మొదలైనవి రైలు ప్రయాణ దిశకు వ్యతిరేక దిశలో వేగంగా కదులుతున్నట్లుగా అగుపిస్తాయి. కానీ, దూరంగా ఉండే వస్తువులు (కొండ శిఖరాలు, చంద్రుడు నక్షత్రాలు మొదలైనవి) స్థిరంగా ఉన్నట్లుగా అగుపిస్తాయి. (నిజానికి, నీవు చలిస్తున్నావని నీకు తెలుసు కాబట్టి ఈ దూర వస్తువులు నీతోపాటే చలిస్తున్నట్లు అనిపిస్తుంది)
సాధన:
వస్తువుకు, నేత్రానికి గీసే సరళరేఖను దృష్టిరేఖ అంటారు. రైలు వేగంగా కదిలితే, దగ్గరలో ఉన్న చెట్లపై దృష్టిరేఖ మారును. అందుకని చెట్లు వెనక్కి పోవుచున్నట్లు కనిపిస్తుంది.

దూరపు వస్తువులపై (కొండలు, చంద్రుడు, నక్షత్రాలు) దృష్టిరేఖ మారదు. కాబట్టివాటి దిశ మారదు. అందువలన పర్వతాలు, చంద్రుడు, నక్షత్రాలు వంటి దూరంగా ఉన్నవి నిశ్చలంగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 19.
విభాగం 2.3.1 లో చర్చించిన దృష్టి విక్షేప సూత్రం సుదూరంగా ఉండే నక్షత్రాల దూరాలను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించాం. 6 నెలల ఎడంలో సూర్యుడి చుట్టూ ఉండే దాని కక్ష్యలో గల భూమి రెండు స్థానాలను కలిపే రేఖ ఆధారరేఖ (baseline) AB. అంటే ఆధారరేఖ సుమారు భూకక్ష్య వ్యాసానికి సమానం (≈3 × 10¹¹ m). అయితే మనకు దగ్గర్లో ఉండే నక్షత్రాలు కూడా ఎంత దూరంలో ఉంటాయంటే అంతటి పొడవైన ఆధారరేఖతో అవి కలగచేసే ‘దృష్టి విక్షేపం’ చాపంలో 1″ (సెకను) క్రమంలో మాత్రమే ఉంటుంది. ఖగోళదూరాలకు ‘పార్సెక్’ అనేది అనుకూలమైన ‘పొడవు ప్రమాణం’. ఇది భూమి నుంచి సూర్యుడి వరకు గల దూరానికి సమానంగా ఉండే ఆధారరేఖ యొక్క రెండు వ్యతిరేక చివరలతో చాపపు 1″ (సెకను) పారలాక్స్ (కోణం) (దృష్టి విక్షేపం) ను చూపగలిగే వస్తువు దూరం. ఒక పార్సెక్ విలువ మీటర్లలో ఎంత?
సాధన:
ఆధారరేఖ పొడవు = భూమి నుండి సూర్యుడి వరకు పొడవు
= 1 A.U = 1.5 × 10¹¹m
దృష్టికోణం θ = 1¹¹

కాబట్టి 1 పార్సెక్ 3.1 × 10¹⁶ m

ప్రశ్న 20.
మన సౌరవ్యవస్థకు అత్యంత సమీపంలో ఉండే నక్షత్రం దూరం 4.29 కాంతి సంవత్సరాలు. ఈ దూరం ‘పార్సెక్’ లలో ఎంత? ఆల్పాసెంటారీ (Alpha Centauri) అని పిలువబడే నక్షత్రం సూర్యుని చుట్టూ ఉండే కక్ష్యలో భూమి 6 నెలల ఎడంలో ఉన్నప్పుడు ఉండే రెండు స్థానాల నుంచి చూసినప్పుడు ఎంత దృష్టి విక్షేపాన్ని కలగచేస్తుంది?
సాధన:
x = 4.29 కాంతి సంవత్సరాలు
= 4.29 × 9.46 × 10¹⁵ m

= 1.512 సెకన్లు

ప్రశ్న 21.
విజ్ఞానశాస్త్రానికి భౌతికరాశుల కచ్చిత కొలతలు ఆవశ్యం. ఉదాహరణకు ఒక విమాన వడిని నిశ్చయంగా తెలుసుకోవాలంటే స్వల్ప కాల వ్యవధుల ఎడంలో విడిపోయి ఉన్న దాని స్థానాలను కనుక్కోవడానికి ఒక యధార్థ పద్ధతి మనకు ఉండాలి. రెండో ప్రపంచ యుద్ధంలో రాడారును ఆవిష్కరించడం వెనుక ఉన్న నిజమైన ఉద్దేశం ఇదే. ఆధునిక విజ్ఞానశాస్త్రంలో ఎక్కడైతే పొడవు, కాలం, ద్రవ్యరాశి మొదలైనవాటి కచ్చిత కొలతలు అవసరమవుతాయో అలాంటి భిన్న ఉదాహరణల గురించి ఆలోచించండి. దాంతో పాటు అక్కడ అవసరమయ్యే కచ్చితత్వం పరిమాణాత్మక భావనను ఇవ్వగలిగిన చోట ఇవ్వండి.
సాధన:
సైన్స్ మరియు భౌతికశాస్త్ర నియమాలు అభివృద్ధి చెందాలంటే పొడవు, ద్రవ్యరాశి మరియు కాలాలను ఖచ్చితంగా కొలవాలి.

ఉదాహరణకు లేసర్ కిరణంతో భూమి నుండి, చంద్రుడు వరకు దూరాన్ని కొలిచామనుకోండి. అందుకు కాలంను ఖచ్చితంగా కొలవాలి. అదేవిధంగా దూరం, విమాన వేగాన్ని రాడార్తో కొలవడం మొదలగువాటికి కాలంను ఖచ్చితంగా కొలవాలి. నక్షత్రాల మధ్య దూరాలను కొలుచుటకు దృష్టికోణంను ఖచ్చితంగా కొలవాలి.

స్ఫటికాలలో పరమాణువులలో అంతర దూరాలు ఖచ్చితంగా కొలవాలి. ద్రవ్యరాశి స్పెక్ట్రోమీటరు ఉపయోగించి పరమాణువుల ద్రవ్యరాశిని ఖచ్చితంగా కొలవవచ్చు.

ప్రశ్న 22.
మూల భావనలను, సాధారణ పరిశీలనలను ఉపయోగిస్తూ, రాశులకు ఉజ్జాయింపు అంచనాలను కట్టగలగడం కూడా అంతే ముఖ్యం. ఈ కింది వాటిని అంచనావేసే మార్గాలను ఆలోచించండి. (ఎక్కడైతే అంచనా పొందడం కష్టమో, అక్కడ రాశి యొక్క విలువలో పైహద్దు (upper bound) ను పొందడానికి ప్రయత్నించండి)
a) రుతుపవనాల కాలంలో భారతదేశంపై ఆవరించి ఉండే వర్షాన్ని తీసుకొని రాగలిగే మేఘాల మొత్తం ద్రవ్యరాశి.
b) ఏనుగు ద్రవ్యరాశి
c) తుఫాన్ సమయంలో పవన వడి
d) నీ తలపై ఉండే వెంట్రుకల సంఖ్య
e) మీ తరగతి గదిలోని గాలి అణువుల సంఖ్య.
సాధన:
a) రుతుపవనాల కాలంలో, మెటీరియాలజిస్ట్ 100 cm వర్షపాతం కురిసినట్లుగా నమోదు చేశాడు.
= 100 cm = 1m.
దేశం వైశాల్యం,
A = 3.3 మిలియన్ × km²
= 3.3 × 10⁶ (10³)²
= 3.3 × 10¹² m²
వర్షపు నీరు ఘనపరిమాణం
v = Axh = 3.3 × 10¹² × 1m³
నీటిసాంద్రత ρ = 10 km/m³
వాన నీటి ద్రవ్యరాశి
= vρ = 3.3 × 10¹² × 10³
= 3.3 × 10¹⁵ kg
ఇది భారతదేశం అంతటా కురిసిన వర్షం మొత్తం ద్రవ్యరాశి.

b) ఏనుగు ద్రవ్యరాశి కొలవాలంటే, వైశాల్యం (A) తెలిసిన పడవను తీసుకోవాలి. నీటిలో పడవ లోతును తెలుసుకోవాలి. అది x₁ అనుకొనుము. పడవ వలన స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘన పరిమాణం V₁ = Ax₁. ఇప్పుడు పడవలోకి ఏనుగును ఎక్కించాలి. పడవ నీటిలోకి దిగుతుంది. ఇప్పుడు పడవ నీటిలోకి ఎంత లోతు ఉన్నది కొలవాలి. అది x₂ గా తీసుకోవాలి.

పడవ మరియు ఏనుగు వలన స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి యొక్క ఘనపరిమాణం V₂ = Ax₂

ఏనుగువల్ల స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘన పరిమాణం (V) = V₂ – V₁ = A(x₂ – x₁)

నీటిసాంద్రత p, అయిన ఏనుగు ద్రవ్యరాశి
= తొలగిన నీటి ద్రవ్యరాశి
= Vρ = A(x₂ – x₁)ρ

c) బెలూన్లో వాయువును నింపి గాలి వేగాన్ని తుఫాన్ సమయంలో కొలవవచ్చు. OA అనునది సాధారణ స్థితిలో వాయుబెలూన్ ఉంది. గాలి కుడివైపుకు వీస్తే ఒక సెకన్లో B వద్దకు బెలూన్ చేరినది. అప్పుడు ∠AOB = θను కొలవాలి. బెలూన్ ఎత్తు h అయిన AB = d = hθ. ఇది బెలూన్ ఒక సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం. ఇదే గాలివేగం.

d) ముందుగా తల వైశాల్యాన్ని కొలవాలి. అది A అనుకొనుము. స్క్రూగేజిని ఉపయోగించి, వెంట్రుక మందాన్ని కొలవాలి (d).
వెంట్రుక అడ్డుకోత వైశాల్యం = πd²
తలపై ఉన్న వెంట్రుకల సంఖ్య

కాబట్టి లెక్కల ప్రకారం తలపై సుమారుగా ఒక మిలియన్ వెంట్రుకలు ఉంటాయి.

e) ముందుగా గది ఘనపరిమాణంను కొలవాలి. N.T.P వద్ద ఒక మోల్ వాయువు ఘనపరిమాణం 22.4 లీటర్లు అనగా 22.4 × 10³ m³
∴ వాయు అణువుల సంఖ్య
= 22.4 × 10^-3 m³ = 6.023 × 10²³
V ఘనపరిమాణం గల తరగతి గదిలో వాయు
అణువుల సంఖ్య = \(\frac{6.023 \times 10^{23}}{22.4 \times 10^{-3}} \times v\)

ప్రశ్న 23.
అతి వేడిగా ఉండే ప్లాస్మా (అయనీకృత పదార్థం) స్థితిలో సూర్యుడు ఉంటాడు. సూర్యుడి అంతర్భాగ ఉష్ణోగ్రత 10⁷ K కు మించి ఉంటుంది. బాహ్య ఉపరితల ఉష్ణోగ్రత సుమారు 6000 K. ఇంతటి అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఏ పదార్థం కూడా ఘన లేదా ద్రవ ప్రావస్థలో ఉండదు. ఘనపదార్థాలకు, ద్రవాలకు లేదా వాయువులకు ఉండే సాంద్రత వ్యాప్తిలో సూర్యుని ద్రవ్యరాశి సాంద్రత ఏ వ్యాప్తిలో ఉంటుందని లేదా ఉండవచ్చని మీరు భావిస్తున్నారు. మీరు ఊహించిన విలువ సరియైందో కాదో కింది దత్తాంశంతో సరిచూడండి. సూర్యుని ద్రవ్యరాశి : 2.0 × 10³⁰ kg, సూర్యుని వ్యాసార్ధం = 7.0 × 10⁸ m.
సాధన:
m = 2.0 × 10³⁰ kg, R = 7.0 × 10⁸

ఇది ఘన మరియు ద్రవాల సాంద్రత. వాయువులకు కాదు. సూర్యుడిపై బాహ్యపొరలపై లోపలివైపుకు గురుత్వాకర్షణ బలాలు ఉండుటచే సూర్యుడిలో అధిక సాంద్రత ఉంటుంది.

ప్రశ్న 24.
బృహస్పతి గ్రహం భూమి నుంచి 824.7 మిలియన్ కిలోమీటర్ల దూరంలో ఉన్నప్పుడు కోణీయ వ్యాసాన్ని కొలిస్తే 35.72″, గా వచ్చింది. బృహస్పతి వ్యాసాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
ఇక్కడ r = 824.7 × 10⁶ km,
θ = 35.72

ప్రశ్న 25.
వర్షంలో వడితో వడివడిగా నడిచే వ్యక్తి తన గొడుగును నిలువు (క్షితిజ లంబం) తో q కోణం చేసే విధంగా ముందుకు వంచాలి. q, υ ల మధ్య సంబంధాన్ని ఒక విద్యార్థి tan q = υ గా ఉత్పాదించి ఈ సంబంధం సరియైన అవధి కలిగి ఉందని సరిచూశాడు. ఈ అవధి ఆశించినట్లుగానే ఉందని కనుక్కొంటాడు. అవధులు υ > 0, q > 0 (ఎలాంటి ప్రబలమైన గాలి వీచడం లేదని వర్షం నిశ్చలంగా ఉండే వ్యక్తి దృష్ట్యా నిలువుగానే పడుతుందని మనం భావించుకుంటున్నాం) ఈ సంబంధం సరియైందేనని మీరు భావిస్తున్నారా ? కాకపోయి నట్లయితే, సరియైన సంబంధాన్ని ఊహించండి.
సాధన:
tan θ = υ,
υ → 0; θ → 0.
R.H.S = tan θ = [M°L°T°] మరియు
L.H.S = υ = [M° L¹T^-1]
మితులపరంగా ఈ సంబంధం సరియైనది కాదు. సరియైన సంబంధం
tan θ = \(\frac{v^2}{\mathrm{rg}}\)

ప్రశ్న 26.
రెండు సీజియం గడియారాలను నిరాటంకంగా 100 సంవత్సరాలు నడిపిస్తే, వాటి కాలాల్లో వచ్చే మార్పు కేవలం 0.025 అని నొక్కిచెప్పారు. 1 s కాలవ్యవధిని కొలవడంలో ప్రామాణిక సీజియం గడియారం యదార్థతకు ఇది ఏ అర్ధాన్ని ఇస్తుంది?
సాధన:
100 సంవత్సరాలకు దోషం = 0.02s
1 సెకనులో దోషం

కాబట్టి ప్రామాణిక సీజియమ్ గడియారంలో కొలచే కాలం వ్యవధి 1 సెకనుకు యదార్థత 10^-12 s.

ప్రశ్న 27.
సోడియం పరమాణువు పరిమాణాన్ని 2.5 A° గా పరిగణిస్తూ, సోడియం పరమాణువు సగటు ద్రవ్యరాశి సాంద్రతను అంచనా వేయండి. (అవొగాడ్రో) సంఖ్య, సోడియం పరమాణు ద్రవ్యరాశులకు తెలిసిన విలువలను ఉపయోగించండి.) ఈ సాంద్రత విలువను స్ఫటిక ప్రావస్థలోని సోడియం సాంద్రత విలువ 970 kg m^-3 తో పోల్చండి. ఈ రెండు సాంద్రతలు ఒకే పరిమాణ క్రమాన్ని కలిగి ఉన్నాయా? ఉంటే, ఎందుకు?
సాధన:
పరమాణు ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πR³ × N
= \(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\) (1.25 × 10^-10)³ × 6.023 × 10²³ m³
4.93 × 10^-6 m³
సగటు ద్రవ్యరాశి సాంద్రత

= 4.67 × 103 kg/m³
ఈ రెండు సాంద్రతలు ఒకే క్రమంలో లేవు. ఇది స్ఫటికాలలో పరమాణువుల అంతర దూరాల దశను తెలుపును.

ప్రశ్న 28.
కేంద్రక మానం (nuclear scale) లో అనుకూలమైన పొడవు ప్రమాణం ఫెర్మీ. 1f = 10^-15 m. కేంద్రక పరిమాణాలు ఉజ్జాయింపుగా అనుసరించే అనుభవిక సంబంధం : r = r_oA^1/3
ఇక్కడ r కేంద్రక వ్యాసార్ధం, దాని ద్రవ్యరాశి, సంఖ్య r_o అనేది 1.2 f కు దాదాపు సమానమైన స్థిరాంకం. ఈ నియమం ఆధారంగా భిన్న కేంద్రకాలకు ద్రవ్యరాశి సాంద్రత దాదాపు స్థిరాంకం అని చూపండి. సోడియం కేంద్రకం ద్రవ్యరాశి సాంద్రతను అంచనా వేయండి. ఈ విలువలను అభ్యాసం 27లో పొందిన సోడియం పరమాణు సగటు ద్రవ్యరాశి సాంద్రతతో పోల్చండి.
సాధన:
కేంద్రకం సగటు ద్రవ్యరాశి = m
కేంద్రకంలో న్యూక్లియాన్ల సంఖ్య = n
కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి M = mA
కేంద్రకం వ్యాసార్థం r = r_oA^1/3

m, r_o లు స్థిరాంకాలు. అన్ని కేంద్రకాల సాంద్రత స్థిరం
m = 1.66 × 10^-27 kg మరియు
r_o = 1.2f = 1.2 × 10^-15 m

అన్ని కేంద్రకాలకు p స్థిరం కనుక, ఇది సోడియం కేంద్రకం సాంద్రత కూడా అవుతుంది.
సోడియం కేంద్రకం సాంద్రత

ప్రశ్న 29.
లేజర్ (LASER) చాలా తీవ్రత కలిగిన, ఏకవర్ణక, ఏకదిశాత్మక కాంతి పుంజ జనకం. ఈ ధర్మాల ఆధారంగా సుదూరాలను కొలవడానికి లేజర్ను వినియోగించుకోవచ్చు. లేజర్ను ఒక కాంతి జనకంగా ఉపయోగించి భూమి నుంచి చంద్రుని దూరాన్ని చాలా ఖచ్చితంగా ఇదివరకే నిర్ణయించారు. చంద్రుడిపైకి కేంద్రీకరించిన ఒక లేజర్ కాంతి పుంజం చంద్రుని ఉపరితలం నుంచి పరావర్తనం చెంది భూమిని చేరడానికి 2.56s తీసుకొంటుంది. భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించే చంద్రుడి కక్ష్యా వ్యాసార్ధం ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ t = 2.56sec
శూన్యంలో లేసర్ కాంతి వేగం = 3 × 10⁸ m/s
లూనార్ కక్ష్యా వ్యాసార్థం, చంద్రుడు మరియు భూమికి మధ్యదూరం = x

ప్రశ్న 30.
సోనార్ (SONAR) (sound navigation and ranging) అనే సాధనం నీటి అడుగున ఉండే వస్తువులను వాటి స్థానాలను శోధించడానికి అతిధ్వని తరంగాలను ఉపయోగిస్తుంది. ఒక సబ్మెరైన్ (జలాంతర్గామి) లోని సోనార్ నుంచి వెలువడిన శోధక తరంగ ఉత్పత్తికి, శతృదేశ జలాంతర్గామిపై పరావర్తనం తరవాత పొందే ప్రతిధ్వనుల మధ్య కాల విలంబనం (time delay) 77.0 s అని కనుక్కొన్నారు. శతృదేశ సబ్మెరైన్ దూరం ఎంత ? (నీటిలో ధ్వని = 1450 ms^-1).
సాధన:
ఇక్కడ t = 77.0 sec, υ = 1450 ms^-1

ప్రశ్న 31.
ఇంతవరకూ ఆవిష్కరించిన, మన విశ్వంలోని అత్యంత దూరంలో గల వస్తువులు ఎంత దూరంలో ఉంటాయంటే అవి ఉద్గారించే కాంతి భూమిని చేరుకోవడానికి బిలియన్ల సంవత్సరాలు పడుతుంది. (క్వాజార్ (quasars) అని పిలిచే) ఈ వస్తువులకు అనేకమైన దిగ్రమ కలిగించే లక్షణాలుంటాయి. ఈ లక్షణాలను ఇంతవరకు ఎవరూ సంతృప్తికరమైన వివరణ ఇవ్వలేకపోయారు. ఒక క్వాజార్ నుంచి వెలువడే కాంతి మనల్ని చేరుకోవడానికి 3.0 బిలియన్ల సంవత్సరాలు పడితే km లలో దాని దూరం ఎంత?
సాధన:
పట్టుకాలం t = 3 బిలియన్ సంవత్సరాలు
= 3 × 10⁹ సంవత్సరాలు
= 3 × 10⁹ × 365 × 24 × 60 × 60 sec

శూన్యంలో కాంతివేగం, c = 3 × 10⁸ m/s
= 3 × 10⁵ m/s

దూరం = వేగం × కాలం
x = 3 × 10⁵ × 3 × 10⁹ × 365 × 24 × 60 × 60 km.
x = 2.84 × 10²² km

ప్రశ్న 32.
సంపూర్ణ సూర్యగ్రహణం ఏర్పడినపుడు చంద్రుడు ఒక బిళ్లవలె సూర్యబింబాన్ని దాదాపుగా పూర్తిగా కప్పివేస్తాడని మనకు బాగా తెలిసిన వాస్తవం. దీని నుంచి, ఉదాహరణలు 3, 4 లోని సమాచారం ఆధారంగా చంద్రుడి ఉజ్జాయింపు వ్యాసాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
చంద్రుడి నుండి భూమి వరకు దూరం = 3.84 × 10⁸ m
భూమి నుండి సూర్యుడి వరకు దూరం = 1.496 × 10¹¹ m

సూర్యుడు AB వ్యాసం = 1.39 × 10⁹ m
∆^le ABE, ∆^le CDEలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు

CD = 3567.9 km ఇది చంద్రుడి వ్యాసం

ప్రశ్న 33.
ఈ శతాబ్దంలోని గొప్ప భౌతికశాస్త్రవేత్త అయిన P.A.M. Dirac ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక స్థిరాంకాల సంఖ్యాత్మక విలువలతో ఆడుకోవడాన్ని ఎంతో ఇష్టపడేవాడు. ఈ ఆట అతణ్ణి ఒక ఆసక్తిదాయకమైన పరిశీలనవైపు నడిపించింది. పరమాణు భౌతికశాస్త్రం మూల స్థిరాంకాలు (c, e ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి, ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి), గురుత్వ స్థిరాంకం G నుంచి ‘కాలం’ మితిగల ఒక సంఖ్యను చేరుకోవచ్చని డిరాక్ కనుక్కొన్నాడు. పైగా, అది చాలా పెద్ద సంఖ్య. అంటే దాని పరిమాణం విశ్వం వయస్సుపై మనకున్న నేటి అంచనాకు (~ 15 బిలియన్ సంవత్సరాలు) చాలా దగ్గరగా ఉంటుందని తెలిసింది. ఈ పుస్తకంలో ఇచ్చిన ప్రాథమిక స్థిరాంకాలకు సబంధించిన పట్టిక నుంచి నీవు కూడా ఈ సంఖ్యను నిర్మించగలవేమో ప్రయత్నించి చూడు (లేదా మరేదైనా, నీవు ఆలోచించగలిగే ఆసక్తిదాయకమైన సంఖ్యను కనుక్కోవచ్చు).ఈ విశ్వం వయస్సుతో ఈ సంఖ్య ఏకీభవించడమనేది ఒకవేళ ఉపేక్షించదగనిది అయితే ప్రాథమిక స్థిరాంకాలకు ఉండే స్థిరత్వం (constancy) పట్ల ఇది ఏ అర్థాన్ని సూచిస్తుంది?
సాధన:
కాంతి వేగం, ఆ ఎలక్ట్రాన్ యొక్క ఆవేశం, m^p ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి, m^e ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి, G విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం.

ఇది విశ్వం యొక్క వయస్సు.

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
కోణాలు (a) 1 (డిగ్రీ) (b) 1′ (చాపం యొక్క నిమిషం లేదా ఆర్మిన్), (c) 1″ (చాపం యొక్క సెకను లేదా ఆర్క్ సెకను) రేడియన్లలో లెక్కించండి. 360° = 2π rad, 1° = 60′ 1′ = 60″ లను ఉపయోగించండి.
సాధన:
(a) 360° = = 2π rad నుంచి
1° = (π/180) rad = 1.745 × 10^-2

(b) 1° = 60′ = 1.745 × 10^-2 rad
1’= 2.908 × 10^-4 rad, 2.91 × 10^-4 rad

(c) 1′ = 60″ = 2.908 × 104 rad
1″ = 4.847 × 10^-6 rad, 4.85 × 10^-6 rad.

ప్రశ్న 2.
ఒక వ్యక్తి తనకు సమీపంలో ఉండే శిఖరం (tower) దూరాన్ని అంచనా వేయాలను కొన్నాడు. శిఖరం C కు ఎదురుగా ఉండే బిందువు A వద్ద నిల్చొని, చాలా దూరంలో ఉండే వస్తువు 0 ను ACరేఖ వెంట ఉండటం గుర్తించాడు. అపుడు AC కి లంబ దిశలో 100 m దూరం బిందువు B వరకు నడిచాడు. తరువాత O, C ల వైపు మళ్ళీ చూశాడు. ౦ ఎక్కువ దూరంలో ఉంది కాబట్టి వాస్తవంగా BO దిశ AO దిశ ఒకటే అవుతాయి, కానీ, C దృష్టి రేఖ, మౌలికంగా ఉన్న దృష్టి రేఖ నుంచి θ = 40° కోణం విస్థాపనం చెందినట్లు గుర్తించాడు. (θను దృష్టి విక్షేపం అంటారు) అతని తొలిస్థానం A నుంచి టవర్ C దూరాన్ని అంచనా వేయండి.

సాధన:
పారలాక్స్ కోణం θ = 40°;
పటం నుంచి AB = AC tan θ
AC = AB/tan θ = 100 m/tan 40°
= 100 m/0.8391 = 119 m.

ప్రశ్న 3.
భూమి వ్యాసంపై ఉండే రెండు వ్యతిరేక బిందువులు A,B ల నుంచి, చంద్రుడిని పరిశీలించారు. చంద్రుడి వద్ద రెండు పరిశీలనా దిశలు ఏర్పరిచే కోణం 8 విలువ 1’54’. భూమి వ్యాసం సుమారుగా 1.276 × 10⁷m అయితే, భూమి నుంచి చంద్రుని దూరాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుంచి θ = 1°54′ = 114′
= (114 × 60)” × (4.85 × 10^-6) rad
1″ = 4.85 × 10^-6 rad కాబట్టి,
θ = 3.32 × 10^-2 rad,
అంతేగాక, b = AB = 1.276 × 10⁷ m
భూమి -చంద్రుల మధ్య దూరం

ప్రశ్న 4.
సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం 1920″ అని కొలిచారు. భూమి నుంచి సూర్యుడి దూరం D విలువ 1.496 × 10″ m. అయితే సూర్యుడి వ్యాసం ఎంత?
సాధన:
సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం, α = 1920″
= 1920 × 4.85 × 10^-6 rad
= 9.31 × 10^-3 rad
సూర్యుడి వ్యాసం, d = α D
= (9.31 × 10^-3) × (1.496 × 10¹¹) m
= 1.39 × 10⁹ m.

ప్రశ్న 5.
కేంద్రక పరిమాణాన్ని (10-15 నుంచి 10-14 m వ్యాప్తిలో) నిశితమైన పిన్ను కొనతో పోల్చితే, పరమాణు పరిమాణం సుమారుగా ఎంత ఉంటుంది ? పిన్ను కొన 10 m నుంచి 104 m వ్యాప్తిలో ఉన్నదనుకోండి.
సాధన:
కేంద్రక పరిమాణం 10^-15 m నుంచి 10^-14 m వ్యాప్తిలో ఉంది. నిశితమైన పిన్ను చివర 10^-5 m నుంచి 10^-4 m వ్యాప్తిలో ఉన్నదని అనుకొంటే మనం పరిమాణ విలువను 10¹⁰ కారకంతో పెంచుతున్నామన్నమాట. కాబట్టి పరమాణువుకు 10^-10 m (దాదాపు) పరిమాణం ఉన్నప్పుడు దానిని 1 m పరిమాణానికి పెంచినామన్న మాట. అంటే పరమాణువు లోపలి కేంద్రకం పరిమాణం దాదాపు 1 మీటరు పొడవు వ్యాసార్ధం ఉన్న గోళం కేంద్రం వద్ద ఉంచిన నిశిత పిన్ను కొన అంత చిన్నదిగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక జాతీయ పరిశోధనాశాలలోని ప్రామాణిక గడియారంతో పోలుస్తూ రెండు గడియారాల పనితీరును పరీక్షిస్తున్నారు. ప్రామాణిక గడియారం మధ్యాహ్నం 12 : 00:00 సమయాన్ని సూచిస్తున్నప్పుడు ఆ రెండు గడియారాల్లోని రీడింగులు ఈవిధంగా ఉన్నాయి.

ఖచ్చితత్వం కలిగిన కాలవ్యవధుల కొలతలు అవసరమయ్యే ప్రయోగాన్ని నీవు చేస్తున్నావని అనుకొంటే, పై రెండు గడియారాల్లో దేన్ని ఎంచుకొంటావు?
సాధన:
ఏడు రోజులపాటు చేసే పరిశీలనల్లో మొదటి గడియారం (1) సమయాల్లో వచ్చే మార్పుల వ్యాప్తి 162 5 కాగా, రెండో గడియారానికి (2) 31 5 అవుతుంది. గడియారం (1) చూపే సగటు రీడింగ్, గడియారం (2) చూపే సగటు రీడింగ్ కంటే ప్రామాణిక కాలానికి చాలా దగ్గరగా ఉంది. ఇక్కడ గమనించవలసిన ముఖ్యమైన అంశం ఏమంటే ఖచ్చితత్వం అవసరమయ్యే ప్రయోగాలకు గడియారం చూపే వ్యాప్తియే ప్రధానం కాని అది చూపే శూన్యదోషం కాదు. ఎందుకంటే, ‘శూన్యదోషాన్ని’ ఎప్పుడైనా సులువుగా సవరించుకోవచ్చు. కాబట్టి గడియారం (1) కంటే రెండో గడియారాన్నే ఎంచుకోవాల్సి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 7.
లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలాన్ని కొలుద్దాం. వరుస కొలతల్లో వచ్చిన రీడింగ్లు 2.63s, 2.56, 2.42 s, 2.71, చివరగా 2.80s. పరమదోషాలను, సాపేక్షదోషం లేదా దోష శాతాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
లోలకం సగటు డోలనావర్తన కాలం

ప్రశ్న 8.
థర్మామీటరుతో రెండు వస్తువుల ఉష్ణోగ్రతలను t₁ = 20 °C ± 0.5 °C, t₂ = 50°C ± 0.5°C గా కొలిచారు. వాటి ఉష్ణోగ్రతా భేదాన్ని, దానిలోని దోషాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
t’ = t₂ – t₁
= (50 °C ± 0.5 °C) – (20 °C ± 0.5 °C)
t’ = 30 °C ± 1 °C.

ప్రశ్న 9.
నిరోధం R = V/I ఇందులో V = (100 ± 5) V, I = (10 ± 0.2) A. అయితే లోని దోషశాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
V లోని దోష శాతం 5, అలాగే I లో దోష శాతం 2.
కాబట్టి R లో మొత్తం దోషం 5 + 2 = 7%.

ప్రశ్న 10.
రెండు నిరోధకాల నిరోధాలు R₁ = 100 ± 3 ohm, R₂ = 200 ± 4 ohm. వీటిని (a) శ్రేణిలో, (b) సమాంతరంగా కలిపారు. (a) శ్రేణీ సంయోగానికి, (b) సమాంతర సంయోగానికి తుల్య నిరోధాలను కనుక్కోండి. సూచన :

సాధన:
a) శ్రేణి సంయోగానికి తుల్య నిరోధం
R = R₁ + R₂ = (100 ± 3)
ohm + (200 ± 4) ohm = 300 ± 7 ohm

b) సమాంతర సంయోగానికి తుల్య సంబంధం

అప్పుడు R’ = 66.7 ± 1.8 ohm
(ఇక్కడ ∆R విలువను, 2గా సూచించడానికి బదులు 1.8 గానే వ్యక్తం చేశాం. `ఎందుకంటే, సార్థక సంఖ్యల నియమాలకు అనుగుణంగా ఉండటం కోసం).

ప్రశ్న 11.
Z = A⁴B^1/3/CD^3/2 అయితే 2 లో సాపేక్ష దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
Z లో సాపేక్ష దోషం, ∆Z/Z = 4(∆A/A) + (1/3) (∆B/B) + (∆C/C) + (3/2) (∆D/D).

ప్రశ్న 12.
లములోలకం డోలనావర్తన కాలం = 2π √L/g . 1 mm తెలిసిన యదార్థతతో కొలచిన L విలువ 20.0 cm. 100 డోలనాలకు పట్టిన కాలాన్ని 1s పృథక్కరణం ఉన్న చేతి గడియారంతో 90 s అని కనుక్కొన్నారు. అయితే g విలువను నిర్ణయించడంలో యదార్ధత ఎంత?
సాధన:
g = 4π²L/T²; ఇక్కడ T = \(\frac{t}{n}\), ∆T = \(\frac{\Delta t}{n}\)
కాబట్టి, \(\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta t}{t}\) ఈ L, t రెండింటిలోని దోషాలు
కనీసపు కొలత దోషాలు కాబట్టి
(∆g/g) = (∆L/L) + 2(∆T/T)
= \(\frac{0.1}{20.0}\) + 2(\(\frac{1}{90}\)) = 0.027
అందువల్ల g లోని దోషశాతం
100 (∆g/g) = 100(∆L/L) + 2 × 100 (∆T/T) = 3.

ప్రశ్న 13.
ఒక ఘనం యొక్క ఒక్కొక్క భుజం పొడవును 7.203 m గా కొలిచారు. దాని మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాల విలువలను తగిన సార్ధక సంఖ్యల వరకు కనుక్కోండి.
సాధన:
కొలిచిన పొడవులో నాలుగు సార్థక సంఖ్యలు ఉండటం వల్ల మనం లెక్కించే వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను కూడా నాలుగు సార్ధక సంఖ్యల వరకే సవరించవలసి ఉంటుంది.
ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం = 6(7.203)² m²
= 311.299254 m²
= 311.3 m²

ఘనం ఘనపరిమాణం = (7.203)³ m³
= 373.714754 m³
= 373.7 m³.

ప్రశ్న 14.
5.74 g పదార్థం 1.2 cm3 ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది. సార్ధక సంఖ్యలను దృష్టిలో ఉంచుకొని దాని సాంద్రత విలువను వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
కొలచిన ద్రవ్యరాశిలో మూడు సార్ధక సంఖ్యలు ఉంటే కొలచిన ఘనపరిమాణంలో రెండే సార్థక సంఖ్యలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, సాంద్రత విలువను 2 సార్థక సంఖ్యల వరకు మాత్రమే వ్యక్తపరచాలి.
సాంద్రత = \(\frac{5.74}{1.2}\) g cm^-3 = 4.8 g cm^-3.

ప్రశ్న 15.
\(\frac{1}{2}\)mυ² = mgh అనే ఒక సమీకరణాన్ని పరిగణిద్దాం. ఇందులో m అనేది వస్తువు ద్రవ్యరాశి, υ దాని వేగం, g గురుత్వ తరణం, h దాని ఎత్తు. ఈ సమీకరణం మితీయంగా సరియైందో కాదో పరీక్షించి చూడండి.
సాధన:
ఎడమవైపు (LHS) ఉన్న మితులు
[M] [LT^-1]² = [M] [L²T^-2] = [M L²T^-2]
కుడివైపు (RHS) ఉన్న మితులు
[M] [LT^-2] [L] = [M] [L²T^-2] = [M L²T^-2]
LHS, RHS లలోని మితులు ఒకటే కాబట్టి సమీకరణం మితీయంగా సరైనది.

ప్రశ్న 16.
శక్తికి SI ప్రమాణం J = kg m²s^-2; అదేవిధంగా వడి υ, త్వరణం a కు ప్రమాణాలు వరుసగా ms^-1, ms^-2. అయితే గతిజశక్తి (K) కి కింద ఇచ్చిన ఫార్ములాల్లో మితీయంగా దేనిని క్రమ విరుద్ధమైనదిగా తోసిపుచ్చుతావు? (m వస్తువు ద్రవ్యరాశిని సూచిస్తుంది)
(a) K = m²υ³ (b) K = (1/2) mυ²
(c) K = = ma (d) K = (3/16) mυ²
(e) K = (1/2) mυ² + ma.
సాధన:
ప్రతి సరైన సమీకరణం లేదా ఫార్ములాలో ‘సమీకరణానికి రెండువైపులా ఒకే మితులు ఉండాలి. అదేవిధంగా ఒకే రకమైన మితులుండే రాశులను మాత్రమే సంకలనం లేదా వ్యవకలనం చేయాలి. కుడివైపు గల రాశికి మితులు (a) విషయంలో[M²L³T^-3], (b), (d) లకు [ML²T^-2] (c)కి [MLT^-2], (e) కి కుడివైపునున్న రాశికి సరియైన మితులు లేవు. ఎందుకంటే భిన్న మితులు కలిగిన రెండు రాశులను కలపడమైంది. గతిజ శక్తి Kకి ఉండే మితులు [ML²T^-2] కాబట్టి (a), (c), (e) ఫార్ములాలను తోసిపుచ్చవలసిందే. అయితే, మిగతా రెండు ఫార్ములాలు (b) లేదా (d) లలో ఏది సరియైనదో మితుల ద్వారా చెప్పలేం. అందుకని, గతిజ శక్తికి ఇచ్చిన (అధ్యాయం లో) నిజ నిర్వచనం ప్రకారం, గతిజ శక్తికి సరియైన ఫార్ములాను (b) సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 17.
దారానికి గుండు తగిలించిన లఘులోలకాన్ని పరిగణించండి. గురుత్వ బల చర్య వల్ల ఇది డోలనాలను చేస్తుంది. లోలకం డోలనావర్తన కాలం(T), పొడవు(1), గుండు ద్రవ్యరాశి (m), గురుత్వ త్వరణం(g) లపై ఆధారపడుతుందను కోండి. ‘మితుల పద్ధతిని ఉపయోగించి దాని ..డోలనావర్తన కాలానికి సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి.
సాధన:
l, g, m రాశులపై డోలనావర్తన కాలం T ఆధారపడటాన్ని వాటి లబ్ధంగా ఇలా రాయవచ్చు.
T = k l^x g^y m^z

ఇక్కడ k మితిరహిత స్థిరాంకం, x, y, z లు ఘాతాంకాలు. ఇరువైపులా మితులను తీసుకొంటే,
[L°M°T¹] = [L¹]^x [L¹T^-2]^y [M¹]^z = L^{x + y} T^-2y M^z
ఇరువైపులా ఉన్న మితులను సమానం చేస్తే,
x + y = 0; -2y = 1; z = 0
అందువల్ల, x = \(\frac{1}{2}\), y = –\(\frac{1}{2}\), z = 0
అప్పుడు T = kl^1/2 g^-1/2 లేదా T = k\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)

k విలువను మితుల పద్ధతి ద్వారా కనుక్కోలేమని గమనించండి. ఇక్కడ కుడివైపు ఉన్న ఫార్ములాను ఏదో ఒక సంఖ్యతో గుణించినంత మాత్రాన ఎలాంటి ప్రభావం ఉండదు. ఎందుకంటే ఆ సంఖ్య దాని మితులను ప్రభావితం చేయదు.
నిజానికి k = 2π. అందువల్ల,
T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Students can go through AP Inter 1st Year Chemistry Notes 1st Lesson పరమాణు నిర్మాణం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Chemistry Notes 1st Lesson పరమాణు నిర్మాణం

→ కాథోడ్ కిరణాలలో ఋణవిద్యుదాత్మక కణాలుంటాయి. వీటినే ఎలక్ట్రాన్లు అంటారు.

→ ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశానికి ద్రవ్యరాశికి గల నిష్పత్తి (e/m) విలువ 1.75 88 × 10¹¹ e kg^-1.

→ మార్పు చేసిన కాథోడ్ కిరణ నాళికలో ధారగా పోయే ధనావేశ కణాలను కెనాల్ కిరణాలు (లేదా) ప్రోటాన్లు అంటారు.

→ రూథర్ ఫర్డ్ పరమాణు నమూనా సౌరకుటుంబాన్ని పోలి ఉంటుంది. కేంద్రకం చుట్టూ ఎలక్ట్రాన్లు గుండ్రంగా తిరుగు తుంటాయి. ఎలక్ట్రాన్లు తిరిగే మార్గాలను కక్ష్యలు అంటారు.

→ రూథర్ ఫర్డ్ నమూనా పరమాణువులో ఎలక్ట్రాన్ నిర్మాణాన్ని విశదీకరించలేదు.

→ విద్యుదయస్కాంత వికిరణం : అయస్కాంత క్షేత్రం మరియు విద్యుత్ క్షేత్రాలు పరస్పరం అంబ దిశలో కలిగి ఉన్న వికిరణాలను విద్యుదయస్కాంత వికిరణాలు అంటారు. అట్టి తరంగాన్ని విద్యుదయస్కాంత తరంగం అంటారు.

→ విద్యుదయస్కాంత వర్ణపటం : తరంగ దైర్ఘ్య క్రమంలో అమర్చబడిన విద్యుదయస్కాంత తరంగాలను విద్యుదయస్కాంత వర్ణపటం అంటారు.

→ తనపై పడ్డ శక్తిని పూర్తిగా శోషించుకొని, మరలా మొత్తాన్ని ఉద్గారం చేసే వస్తువును కృష్ణవస్తువు లేక నల్లని వస్తువు అంటారు.

→ ప్లాంక్ భావన ప్రకారం, శక్తి ఉద్గారం విచ్ఛిన్నంగా ‘క్వాంటం’ అని పిలువబడే చిన్న చిన్న ప్యాకెట్ల రూపంలో జరుగుతుంది.

→ ఐన్స్టీన్ భావన ప్రకారం, శక్తి ఉద్గారం ఫోటాన్ల రూపంలో జరుగుతుంది. ఈ ఫోటానన్ను ఆయన తరంగ కణంగా భావన చేశాడు.

→ దగ్గరదగ్గరగా ఉన్న రేఖలను కలిగి ఉన్న వర్ణపటాన్ని పట్టీ వర్ణపటం అంటారు. ఇది అణువుల అభిలాక్షణిక ధర్మం.

→ సునిశితమైన, విడివిడిగా ఉండే రేఖలను కలిగి ఉండే వర్ణపటాన్ని రేఖావర్ణపటం అంటారు. ఇది పరమాణువుల అభిలాక్షణిక ధర్మం.

→ శక్తిని ఉద్గారం చేసుకొనడం వలన ఏర్పడే వర్ణపటాన్ని ఉద్గార వర్ణపటం అంటారు. దీనిలో నల్లని పట్టీపై తెల్లని గీతలు ఏర్పడతాయి.

→ శక్తిని శోషణం చేసుకొనడం వలన ఏర్పడే వర్ణపటాన్ని శోషణ వర్ణపటం అంటారు. దీనిలో తెల్లని పట్టీపై నల్లని గీతలు ఏర్పడతాయి.

→ హైడ్రోజన్ యొక్క ఉద్గార వర్ణపటంలో లైమన్, బామర్, పాషన్, బ్రాకెట్ మరియు ఫండ్ శ్రేణులుంటాయి.

→ బోర్ నమూనా ప్రకారం ఎలక్ట్రాన్లు నిర్ణీతమైన శక్తి విలువలు కలిగిన స్థిర కర్పరాలు అనబడే వృత్తాకార మార్గాలలో తిరుగుతూ ఉంటాయి.

→ బలమైన అయస్కాంత క్షేత్రంలో పరమాణు వర్ణపటంలోని ప్రతి ఒక్క గీత మరలా చిన్నచిన్న గీతలుగా విభజింపబడటాన్ని జీమన్ ఫలితం అంటారు.

→ బలమైన విద్యుత్ క్షేత్రంలో పరమాణు వర్ణపటంలోని ప్రతిఒక్క గీత మరలా చిన్నచిన్న గీతలుగా విభజింపబడటాన్ని స్టార్క్ ఫలితం అంటారు.

→ సోమర్ఫెల్డ్ నమూనా ప్రకారం ఎలక్ట్రాన్ వృత్తాకార మార్గాలలోనే కాకుండా, దీర్గ వృత్తాకార మార్గాలలో కూడా తిరుగుతాయి.

→ ప్రధాన క్వాంటం సంఖ్య పరమాణువు యొక్క సైజును మరియు కర్పరం శక్తిని తెలియచేస్తుంది.

→ ఎజిమ్యుథల్ క్వాంటం సంఖ్య, ఆర్బిటాల్ యొక్క ఆకృతిని సూచిస్తుంది. అయస్కాంత క్వాంటం సంఖ్యఆర్బిటాళ్ళ ప్రాదేశిక విన్యాసాన్ని సూచిస్తుంది. స్పిన్ క్వాంటం సంఖ్య ఎలక్ట్రాన్ యొక్క భ్రమణ దిశను తెలియచేస్తుంది.

→ డీబ్రౌలీ ఎలక్ట్రాన్కు తరంగస్వభావం ఉంటుందని ప్రతిపాదించాడు.

→ పరమాణువులో ఎలక్ట్రాన్ యొక్క వేగాన్ని మరియు స్థానాన్ని ఒకేసారి ఖచ్చితంగా నిర్ణయించి చెప్పలేము. దీనినే హైసన్బర్గ్ అనిశ్చితత్వ నియమం అంటారు.

→ Ψ ను తరంగ ప్రమేయం అనీ, Ψ² ను సంభావ్యతా ప్రమేయం అని అంటారు.

→ కేంద్రకం చుట్టూ ఎలక్ట్రానన్ను కనుగొనే సంభావ్యత గరిష్ఠంగా గల ప్రదేశాన్ని ఆర్బిటాల్ అంటారు.

→ సమానశక్తి గల ఆర్బిటాళ్ళను సమశక్తి ఆర్బిటాళ్ళు (డీజనరేట్ ఆర్బిటాళ్ళు) అంటారు.

→ ఆర్బిటాల్ గోళాకారంలోను, P – ఆర్బిటాల్ ముద్గరాకృతిలోను, d – ఆర్బిటాల్ ద్విముద్దరాకృతిలోను ఉంటాయి.

→ నీల్స్ బోర్ (1885-1962)
నీలో బోర్ డెన్మార్డ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. – 1911లో కోపెన్ హాగన్ విశ్వ విద్యాలయం నుంచి పిహెచ్.డి. పొందాడు. 1922 భౌతికశాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతి లభించింది.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 3rd Lesson మొక్కల విజ్ఞానం – వృక్షశాస్త్రం will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 3rd Lesson మొక్కల విజ్ఞానం – వృక్షశాస్త్రం

→ జీవులను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రాన్ని ‘జీవశాస్త్రం’ అంటారు.

→ ‘బోటనీ’ అనుపదము ‘బోస్కిన్’ అను గ్రీకుపదం నుంచి ఏర్పడి, బోటేన్ అను పదముగా మారి, ‘బోటనీ’గా వాడుకలో ఉన్నది.

→ క్రీస్తు పూర్వం 4000 సంవత్సరాలనాటికే ఈజిప్టు దేశస్థులు, ఆస్సీరియన్లు పైరు మొక్కల, ఫలవృక్షాల గురించిన సమాచారాన్ని చిత్రాల రూపంలో హీరోగ్లిఫిక్స్ (Heiroglyphics) నమోదుచేసారు.

→ క్రీ. పూ. 1300 సం॥ కాలంలో పరాశరుడు ‘కృషిపరాశరం’ అను గ్రంథంను రచించారు. ఇది వ్యవసాయానికి సంబంధించిన అతి ప్రాచీన గ్రంథము. దీనిలో వ్యవసాయం మరియు కలుపుమొక్కల గురించి వివరించారు.

→ ఆయన ‘వృక్షాయుర్వేదం’ అను గ్రంధంలో వివిధ రకాల అడవులు మొక్కల బాహ్య లక్షణాలు, అంతర లక్షణాలు, ఔషదమొక్కలను గురించి వివరించారు.

→ థియోఫ్రాస్టస్ (340 B.C) రచించిన “డీ హిస్టోరియా ప్లాంటారమ్ అను గ్రంథంలో 500 రకాల మొక్కల బాహ్య, అంతర లక్షణాలు వివరించారు. ఆయనను వృక్షశాస్త్ర పితగా భావిస్తారు.

→ గాస్పర్డ్ బాహిన్ (1623) 6000 మొక్కలకు సంబంధించిన వర్ణన, గుర్తింపు లక్షణాలను ప్రచురించి, మొట్టమొదట ద్వినామనామీకరణ విధానాన్ని ప్రవేశపెట్టారు.

→ రాబర్ట్ హుక్ కణంను కనుక్కోవడం, 1665లో మైక్రోగ్రాఫియా అను గ్రంధంను ప్రచురించారు.

→ కామేరేరియస్ (1694) మొక్కలలో లైంగిక ప్రత్యుత్పత్తిని వర్ణించారు.

→ కెరోలస్ వాన్ లిన్నెయస్ ద్వినామనామీకరణ విధానాన్ని వాడుకలోనికి తేవడమే కాకుండా లైంగిక వర్గీకరణ వ్యవస్థను ప్రతిపాదించారు.

→ గ్రెగర్ జోహన్ మెండల్, అనువంశిక సూత్రాలను ప్రవేశపెట్టారు. కావున ఆయనను జన్యుశాస్త్రపిత అంటారు.

→ చార్లెస్ డార్విన్ జీవపరిణామ సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించారు.

→ బుక్నర్ (1898) ఈస్ట్ కణాలలో ‘జైమేజ్’ అను ఎంజైంను కనుగొన్నారు.

→ హ్యూగోడీవీస్ (1901) మొక్కలలో ఉత్పరివర్తనలను, సట్టన్ మరియు బవెరిలు (1902) అనువంశికతలో క్రోమోసోమ్ల పాత్రను కనుగొన్నారు.

→ DNA ద్విసర్పిల నమూనాను వాట్సన్ మరియు క్రిక్ లు, RNA జనుతత్వంను ఫ్రాంకిల్ మరియు కోన్రాట్లు, కృత్రిమజన్యుసంశ్లేషణను హరగోవింద్ ఖొరానా, కణజాలవర్ధనం ప్రయోగాలను హన్నింగ్, షిమకురా, స్కూగ్, వైట్లు కనుగొన్నారు.

→ FW. వెంట్ అనువారు ఆక్సిన్లను (1928) కనుగొన్నారు.

→ C₃ – కరనస్వాంగీకరణ పథకాన్ని మాల్విన్ కెల్విన్, బెన్సన్, భాషమ్లు కనుగొన్నారు.

→ TCA వలయమును హన్స్ క్రెబ్స్ (1937) కనుగొన్నారు.

→ C₃ – పథంను హోబ్ – స్లాక్ అనువారు కనుగొన్నారు.

→ మొక్కల పోషణలో మూలకాలపాత్ర తెలియుటవల్ల, రసాయన ఎరువులు ఉపయోగించి, మౌలిక లోపాలను అధిగమించి అధిక దిగుబడులు సాధించవచ్చు. (వృక్ష శరీర ధర్మశాస్త్రం)

→ వృక్ష వ్యాధి శాస్త్రంలో పరిశోధనలవల్ల మొక్కలలో వచ్చే అనేక వ్యాధులను నివారించడం, నిర్మూలించడానికి ఉపయోగపడతాయి.

→ పర్యావరణ సంబంధ సమస్యలు అయిన హరితగృహ ప్రభావాన్ని విరివిగా మొక్కలు నాటడంవల్ల నియంత్రించడం, బయోరెమిడియేషన్ ద్వారా మృత్తికా కాలుష్యాన్ని తగ్గించడం, పూతికాహారుల ద్వారా పోషక పదార్థాల పునశ్చక్రీయం సాధ్యపడుతుంది.

→ మొక్కలలోని వివిధ భాగాల అధ్యయనము, వర్ణనకు సంబంధించిన శాస్త్రంను స్వరూపశాస్త్రం అంటారు.

→ స్త్రీ, పురుష సంయోగ భీజదాలు ఏర్పడుట, సంయోగ భీజాల ఉత్పత్తి, ఫలదీకరణ విధానం, పిండం, అంకురచ్చదం, విత్తనాలు, ఏర్పడుటను గురించి చదివే శాస్త్రంను పిండోత్పత్తి శాస్త్రం అంటారు.

→ పరాగ రేణువుల ఉత్పత్తి, నిర్మాణంలాంటి అంశాల గురించిన అద్యయనంను పేలినాలజీ అంటారు.

→ మొక్కల శిలాజాల గురించి అద్యయనం చేయుటను పురాజీవ శాస్త్రం అంటారు.

→ గత, ప్రస్తుత కాలాల్లో, భూమండలంలోని వివిధ ప్రాంతాలలో మొక్కల వితరణ గురించి అధ్యయనంను వృక్ష భౌగోళికశాస్త్రం అంటారు.

→ ఒక శైవలం, ఒక శిలీంధ్రం పరస్పరం ఆధారపడుతూ సహజీవనం గడిపే ప్రత్యేకవర్గం మొక్కల అధ్యయనంను లైకెనాలజి అంటారు.

→ జున్నుగడ్డి (Agar-agar) : ఇది ఎరుపురంగు శైవలాల నుంచి నిష్కర్షించబడే జడ పాలిశాఖరైడ్. పాక్షిక ఘనీభవన యానకాలలో ఇది ఒక భాగం.

→ పానీయాలు : ఇవి ఉల్లాసం కోసం ఆల్కహాల్ ఉన్న లేదా ఆల్కహాల్ లేని తాగే పదార్థాలు.

→ జీవ ఎరువులు : ఇవి మొక్కల పెరుగుదలకు అవసరమైన పోషకాలను సరఫరా చేసే జీవ సంబంధ పదార్థాలు.

→ హెర్బల్స్ : ఇవి ఔషధ మొక్కల గురించిన వర్ణన ఉన్న పుస్తకాలు.

→ పేలినాలజీ : పరాగ రేణువుల ఉత్పత్తి, నిర్మాణము వంటి అంశాలను గురించి చదివే శాస్త్రము.

→ వృక్షకణజాల, అంగవర్ధనం : ఇది కృత్రిమ పోషకయానకం మీద, కణాలను కణజాలాలను, అంగాలను పెంచే ప్రక్రియ.

→ వృక్షవ్యాధి శాస్త్రము : మొక్కలలోని వ్యాధి కారకాలు, లక్షణాలు, నియంత్రణ చర్యలను గురించి చదివే శాస్త్రము.

→ ఏకకణ ప్రోటీన్లు : ఆహారంలోని ప్రోటీన్ల మూలం కోసంవాడే ఒకేజాతికి చెందిన సూక్ష్మజీవుల శుష్క జీవ ద్రవ్యరాశి.

→ సుగంధ ద్రవ్యాలు, కాండిమెంట్లు : వివిధ రకాలైన ఆహార పదార్థాలకు రుచికరమైన వాసనల కోసం వాడేవి, జీర్ణరసాల ఉత్పత్తిని పెంచేవి సుగంధ ద్రవ్యాలు. కాండిమెంట్లు ఆహారం వండిన తరువాత ఆహారానికి చేర్చే సుగంధ ద్రవ్యాలు.

Students can go through AP Inter 1st Year Botany Notes 2nd Lesson జీవశాస్త్ర వర్గీకరణ will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Botany Notes 2nd Lesson జీవశాస్త్ర వర్గీకరణ

→ రెండు రాజ్యాల వర్గీకరణను లిన్నేయస్ ప్రవేశపెట్టారు.

→ బాక్టీరియమ్లు, శైవలాలు, శిలీంధ్రాలు, బ్రయోఫైట్లు, టెరిడోఫైట్లు, వివృతబీజాలు, ఆవృతబీజాలన్నీ మొక్కల కిందే ఉంటాయి.

→ ఐదు రాజ్యాల వర్గీకరణను ఆర్.హెచ్. విటాకర్ ప్రవేశ పెట్టారు. దీనిలో మొనీరా, ప్రొటిస్టా, ఫంగై, ప్లాంటే మరియు ఆనిమేలియాలు కలవు.

→ మొనీరా కాకుండా మిగిలినవన్ని నిజకేంద్రక జీవులే.

→ మొనీరాలో ఆర్కి బాక్టీరియా, యూబాక్టీరియాలు కలవు.

→ ఆకారంను బట్టి బాక్టీరియమ్లు నాలుగు రకాలు అవి గోళాకారం (కోకస్) దండాకారం (బాసిల్లస్) సర్పిలాకారము (స్పైరిల్లమ్) కామా ఆకారం (విబ్రియో)

→ సయనో బాక్టీరియమ్లు ఏకకణంగాను, సహనివేశకంగాను లేదా తంతురూపంలోను ఉంటాయి.

→ కొన్ని జీవులు హెటిరోసిస్ట్ అనబడే ప్రత్యేకమైన కణాలలో వాతావరణంలోని నత్రజనిని స్థాపిస్తాయి. ఉదా : నాస్టాక్, అబీనా

→ మధ్యదరా సముద్రములోని ఎరుపు అలలకు “ట్రైకోడెస్మియం ఎరిథ్రియం” కారణము

→ పరపోషిత బాక్టీరియాలలో అధికభాగం పూతికాహారులు లేక విచ్ఛిన్నకారులు

→ బాక్టీరియాలు ద్విధావిచ్ఛిత్తి ద్వారా ప్రత్యుత్పత్తి జరుపుకుంటాయి.

→ మైకోప్లాస్మాలు కణకవచం లేకుండా బహుళ రూపాలలో ఉండే జీవులు మొక్కలలో మంత్రగత్తె చీపురుకట్ట వ్యాధిని, పశువులలో ఫ్లూరోనిమోనియా, మానవులలో మైకోప్లాస్మల్ యురిథ్రెటిస్ వ్యాధులను కలుగచేస్తాయి.

→ ఆక్టినోమైసిటిస్ శాఖాయుతమైన, తంతురూప బాక్టీరియమ్లు వాటి కణకవచంలో మైకోలిక్ ఆమ్లము ఉంటుంది.

→ ప్రొటిస్టా రాజ్యంలో క్రైసోఫైట్లు, డైనోఫ్లాజెల్లేట్లు, యూగ్లినాయిడ్లు జిగురు బూజులు, ప్రొటోజోవన్లు ఉన్నాయి.

→ ఫంగై రాజ్యం పరిపోషిత జీవులను కలిగిన ప్రత్యేకమై రాజ్యం

→ చాలా శిలీంధ్రాలు పరపోషితాలు. మృతిచెందిన అధస్థ పదార్థాల నుంచి కరిగిన సేంద్రియ పదార్థాలను గ్రహిస్తాయి. వీటిని పూతికాహారులు అంటారు.

→ శాకీయ ప్రత్యుత్పత్తి ముక్కలవడం, కణవిచ్ఛిత్తి, ప్రరోహలేర్పడటం ద్వారా జరుగుతుంది. అలైంగిక ప్రత్యుత్పత్తి కోనిడియంల ద్వారా లేదా గమన సిద్ధబీజాల ద్వారా జరుగుతుంది. లైంగికంగా గోళాకార సిద్ధబీజాలు ఆస్కోసోరులు, బెసీడియోస్టోరుల ద్వారా జరుగుతుంది.

→ ఫంగై రాజ్యంలో ఫైకోమైసిటోస్ (పక్సీనియా), డ్యుటీరోమైసిటీస్ (ఆల్టర్నేరియా) కలవు.

→ ప్లాంటే రాజ్యంలో నిజకేంద్రకయుత, హరితం కల జీవులన్నీ చేర్చారు.

→ ఆనిమేలియా రాజ్యంలో బహుకణయుతమై, కణకవచం లేని కణాలు గల పరపోషిత నిజకేంద్రక జీవులను చేర్చారు.

→ కార్ల్ వోస్ (Carl Wóese) ఆరు రాజ్యాల వర్గీకణను ప్రతిపాదించారు. అవి బాక్టీరియమ్లు, ఆర్కి బాక్టీరియమ్లు, ప్రొటిస్ట్గా, శిలీంధ్రాలు, మొక్కలు, జంతువులు.

→ వైరస్లు కేంద్రకామ్లం, ప్రొటీన్లు కలిగిన అవికల్ప పరాన్నజీవులు.

→ టీ.ఓ. డైనెర్ (T. O. Diener) అనువారు ప్రోటీను కవచం లేని కేంద్రకామ్లం (RNA) కల చిన్న సంక్రమణ కారకాన్ని గుర్తించారు.

→ కొన్ని సంక్రమణకారకాలలో ప్రొటీన్ కవచం ఉంటుంది. కేంద్రికామ్లం ఉండదు. వాటిని ప్రియాన్లు అంటారు.

→ ఒక శైవలం, ఒక శిలీంధ్రం కలసి సన్నిహితంగా ఏర్పడిన మొక్కలను లైకెన్లు అంటారు. లైకెన్ ని శైవలమును ఫైకోబయాంట్ అని, శిలీంధ్రంను మైకోబయాంట్ అని అంటారు.

→ సూక్ష్మజీవనాశకాలు : ఇవి సూక్ష్మజీవులు ఉత్పత్తి చేసే రసాయనిక పదార్థాలు. ఇతర సూక్ష్మజీవుల పెరుగుదలను నిరోధించడం లేదా చంపగల సామర్థ్యం ఉన్నవి.

→ నిశ్చల సిద్ధబీజాలు : చలనరహితమైన, పలచటి గోడలు ఉన్న సిద్ధబీజాలు.

→ ఆస్కోకార్ప్ : ఇది (ఆస్కోమైసిటిస్కు చెందిన శిలీంధ్రాలలోని ఫలనాంగం.

→ ఆస్కోస్పోర్ : ఇది ఆస్కస్ (ఆస్కోకార్స్లోనిది) లో ఉత్పత్తి అయ్యే సిద్ధబీజం.

→ స్వయం పోషితాలు : అసేంద్రియ పదార్థాల నుంచి వాటి ఆహార పదార్థాలను తయారు చేసుకోగల జీవులు.

→ బెసీడియోకార్ప్ : ఇది బెసిడియోమైసిటీస్ తరగతికి చెందిన శిలీంధ్రాలలో గల ఫలనాంగం.

→ బెసీడియోస్పోర్ : ఇది బెసీడియం ఉత్పత్తిచేసే (బెసీడియోకార్ప్ లోనిది) సిద్ధబీజం.

→ జీవవాయువు (బయోగ్యాస్) : జంతువుల పేడలాంటి జీవద్రవ్యరాశి నుంచి అవాయుసహిత కిణ్వనం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది. దీనిలో 50-70 శాతం మీథేన్, 30-40 శాతం కార్బన్-డై-ఆక్సైడ్, ఉదజని, నత్రజని, హైడ్రోజన్ సల్ఫైడ్లు అతి సూక్ష్మమైన పాళ్ళలో ఉంటాయి.

→ జీవసందీప్తి : ఇది జీవులు బహిర్గతం చేసే కాంతి.

→ రసాయనిక స్వయంపోషితాలు : వివిధ అసేంద్రియ పదార్థాల ఆక్సీకరణ ద్వారా విడుదలైన శక్తిని ఉపయోగించుకొని ఆహారాన్ని తయారు చేసుకొనే జీవులు.

→ నిజ కేంద్రక జీవులు : జన్యుపదార్ధమైన DNA క్రొమాటిన్ రూపంలో సంవిధానం చెంది నిజమైన కేంద్రకాన్ని కలిగివున్న జీవులు. వీటిలో త్వచంతో ఆవరించబడిన అనేక కణాంగాలు ఉంటాయి.

→ ఆవాసం : ఒక జీవి సాధారణంగా నివసించే సహజ ప్రదేశం లేదా ప్రాంతం.

→ ఏకస్థితిక జీవిత చక్రం (haplontic) : ఏకస్థితిక దశలు ప్రాధాన్యం కలిగి, ద్వయస్థితిక దశ సంయుక్త బీజానికి మాత్రమే పరిమితమైన జీవిత చక్రం.

→ గుల్మం : చేవదేరిన భాగాలేవీ లేకుండా ఉన్న చిన్న నాజూకైన మొక్క

→ పరపోషితాలు : వాటి ఆహార పదార్ధాన్ని అవి తయారు చేసుకోలేవు. కానీ ఇతర జీవులపై కాని లేదా నిర్జీవమైన సేంద్రియ పదార్థాలపై కానీ వాటి ఆహారం కోసం ఆధారపడే జీవులు.

→ హోలోఫైటిక్ : స్వయంపోషిత పోషణనే హోలో ఫైటిక్ పోషణ అని కూడా అంటారు.

→ జాంతవ భక్షణ పోషణ : ఘనరూపంలో గల సేంద్రియ ఆహార పదార్థాలను నేరుగా లోపలికి తీసుకోవడం పోషణ పొందగలగడం.

→ కారియోగమీ : ‘రెండు కేంద్రకాల కలయిక’.

→ శిలీంధ్ర మూలాలు : శిలీంధ్రానికి, నాళికాయుత మొక్కల వేర్లకు మధ్య ఉన్న సన్నిహిత సంబంధం వల్ల ఇవి ఏర్పడతాయి. మొక్క వేర్ల ఫాస్పేట్ శోషణను పెంపొందిస్తాయి. అందుకే, వీటిని జీవ ఎరువులుగా ఉపయోగిస్తారు.

→ నత్రజని స్థాపన : వాతావరణంలోని ద్వినత్రజని అమ్మోనియా లేదా నైట్రేట్ లాంటి స్థిరమైన రూపంలోకి మార్పు చెందే ప్రక్రియనే నత్రజని స్థాపన అంటారు.

→ అవికల్ప పరాన్నజీవులు : వికల్ప పరాన్నజీవికి భిన్నంగా ఈ పరాన్నజీవి స్వతంత్రంగా అంటే పరాన్న జీవిగా కాకుండా జీవితం గడపలేదు.

→ గోళాకార సంయుక్త బీజం (oospore) : ఇది ఫలదీకరణ చెందిన స్త్రీబీజ కణం లేదా సంయుక్త బీజం. ముఖ్యంగా మందమైన ఖైటిన్ సహిత గోడను కలిగి ఉండేది.

→ పామెల్లా దశ : కొన్ని కశాభాయుత ఆకుపచ్చ శైవలాలు లేదా మొక్కలవంటి ప్లాజెల్లేట్ల లేదా కశాభాయుత జీవుల జీవిత చక్రంలో ఏర్పడే చలనరహిత, కశాభారహిత విడికణాల సమూహం.

→ పరాన్న జీవులు : ఇవి ఆహారం కోసం ఇతర జీవులపై ఆధారపడతాయి.

→ కాంతి స్వయం పోషితాలు : ఇవి సూర్యరశ్మిలోని శక్తిని వినియోగించుకొని సరళ పదార్థాల నుంచి ఆహారాన్ని తయారు చేసుకొనే జీవులు.

→ ప్లవకాలు : ఇవి నీటి అలలపై అచేతనంగా తేలే చిన్న జీవులు.

→ ప్లాస్మోడియం : జిగురు బూజులలోని (శిలీంధ్రాలలోని) ప్లాస్మాత్వచంతో కూడి వున్న బహు కేంద్రకయుత జీవపదార్థ ద్రవ్యరాశిని ప్లాస్మోడియం అంటారు.

→ ప్లాస్మోగమీ : ‘చలన లేక చలనరహిత సంయోగ బీజాల జీవ పదార్థాల కలయిక.

→ ప్లియోమార్ఫిక్ : ఒక జీవి తన జీవిత చరిత్రలో ఒకటి కంటే ఎక్కువ విడి రూపాలలో ఉండటాన్ని ప్లియోమార్ఫిక్ అంటారు. పరభక్షి : తన ఆహారం కోసం వేరొక జంతువును చంపి తినే జంతువు.

→ ప్రియాన్లు : ప్రోటీన్ కవచం కలిగి, కేంద్రకామ్లం లేకుండా ఉన్న వ్యాధికారక క్రమములు.

→ స్పోరోజోవన్లు : జీవిత చక్రంలో సంక్రామక సిద్ధబీజం కల వాటిని స్పోరోజోవన్లు అంటారు.

→ కేంద్రకపూర్వ జీవులు : కణాలలో కేంద్రకం లేని లేదా ఇతర కణాంగాలు త్వచరహితంగా గల జీవులు. వీటి జన్యు పదార్థం క్రొమాటిన్ రూపంలో సంవిధానం చెంది ఉండదు.

→ పూతికాహారులు : ఇవి ఆహారం కోసం మృతిచెందిన లేదా నిర్జీవ సేంద్రియ పదార్థాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. పొదలు : ఇవి గుబురుగా పెరుగుతూ చేవదేరిన బహువార్షిక మొక్కలు.

→ సిద్ధబీజం : ఇది ప్రత్యక్షంగా కొత్తమొక్కగా అభివృద్ధి చెందగల అలైంగిక ఏకకణ ప్రత్యుత్పత్తి ప్రమాణం. ఇది వ్యాప్తి చెందడం కోసం అనుకూలనాలను ఏర్పరచుకొని ప్రతికూల పరిస్థితులలో కూడా అనేక కాలాలపాటు జీవించి ఉండగలదు. సిద్ధబీజాలు అనేక బాక్టీరియమ్లు, మొక్కలు, శైవలాలు, శిలీంధ్రాలు, కొన్ని ప్రోటోజోవన్ల జీవిత చక్రంలో ఒక భాగంగా ఉంటాయి. ఉన్నతశ్రేణి మొక్కలలో సిద్ధబీజమాతృకలలో క్షయకరణ విభజన అనంతరం ఏర్పడే సిద్ధబీజాలను ‘మియోస్పోరులు’ అంటారు. ధాలోఫైటాలో సిద్ధబీజాలు సమవిభజన ఫలితంగా ఏర్పడవచ్చు. అట్టి వాటిని ‘మైటోస్పోరులు’ అంటారు.

→ సహజీవులు : రెండు భిన్న జీవుల మధ్యగల సహసంబంధంలో రెండూ పరస్పరం లబ్ది పొందడాన్ని సహజీవనం అని అలాంటి జీవులను సహజీవులు అని పిలుస్తారు.

→ వృక్షం : ఇది ఒక పెద్ద చేవదేరిన బహువార్షిక మొక్క

→ గమనసిద్ధబీజం : కొన్ని శైవలాలు, శిలీంధ్రాలలో కశాభాల సహాయంతో చలించగల అలైంగిక సిద్ధబీజం. దీనిని చలత్కసిద్ధబీజం (swarm spore) అని కూడా అంటారు.