Mahesh

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఏ వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా?
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవలసిన అవసరం లేదు.
ఉదా : బోలుగోళం యొక్క కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అమ్మాయి బరువులున్న ఒక సంచీని ఒక చేతిలో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఇంకొక అమ్మాయి అంతే బరువు ఉన్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ అమ్మాయిల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాలలో మార్పులెలా ఉంటాయి?
జవాబు:
ఒక చేతిలో బరువున్న సంచీ గల అమ్మాయి, ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానం, సంచీ ఉన్నవైపుకు జరుగును. కాని రెండు చేతులలో ఒకే బరువులున్న సంచులు గల అమ్మాయి, ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానంలో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
రెండు దృఢ వస్తువుల జఢత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్ఠవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజశక్తి అధికంగా ఉంటుంది?
జవాబు:
వస్తువు భ్రమణ గతిజశక్తి E = \(\frac{1}{2}\)I ω² = \(\frac{1}{2}\frac{L^2}{l}\)
⇒ E ∝ \(\frac{l}{l}\) (∵ L = స్థిరం)
జడత్వ భ్రామకం తక్కువున్న వస్తువు, అధిక గతిజశక్తిని కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) ఎందుకు అమర్చుతారు?
జవాబు:
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) కల్పితే, చక్రం ద్రవ్యరాశి రిమ్ వెంట ఎక్కువగా ఉండి, జడత్వ భ్రామకంను పెంచును. ఫలితంగా సైకిల్ ఏకరీతి చలనంను కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల (hinges) వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యం కాదు. ఎందువల్ల?
జవాబు:
మడత బందు వద్ద బలంను ప్రయోగిస్తే, బలరేఖా చర్య, మడత బందు భ్రమణ అక్షం ద్వారా పోవును. కావున మడత బందు వద్ద బలంను ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవలేము లేక మూయలేము.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను త్రిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం?
జవాబు:
స్పానర్ ప్రయోగించు టార్క్ (T) = rF sin θ
భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ (r_L), భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (r_s) కన్నా ఎక్కువ. రెండింటి టార్క్లు సమానం కావటానికి, భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్కు, తక్కువ బలం, భుజం తక్కువ పొడవున్న స్పానర్కు ఎక్కువ బలం అవసరం. కావున భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను ఎంచుకుంటాం.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం? [Mar. ’13]
జవాబు:
ఉడకని గుడ్డు కోణీయ ద్రవ్యవేగం L_r = I_rω_r
ఉడికిన గుడ్డు కోణీయ ద్రవ్యవేగం L_b = I_bω_b

ఉడకని గుడ్డును తిప్పితే అపకేంద్రబలం వల్ల, ద్రవ కణాలను అంచువైపుకు నెట్టి, జడత్వ భ్రామకంను పెంచును.

కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం L, స్థిరం అయిన ω ∝ \(\frac{1}{l}\) కావున ω_b > ω_r. ఉడికిన గుడ్డు కోణీయ వేగం,

ఉడకని గుడ్డు కోణీయ వేగం కన్నా ఎక్కువ.
∴ ఉడకని గుడ్డు అయితే తిప్పిన తరువాత త్వరగా ఆగుతుంది.
అదే ఉడికిన గుడ్డు అయితే తిప్పిన తరువాత నిదానంగా ఆగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక హెలికాప్టర్కు ఎందుకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు (propellers – ముందుకు నడిపే యంత్రం) తప్పక ఉండి తీరాలి?
జవాబు:
హెలికాఫ్టర్ ఒకే ఒక ప్రొపెల్లర్ కల్గి ఉంటే, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం వల్ల, హెలికాఫ్టర్ తనంతట తాను వ్యతిరేక దిశలో తిరుగును. కావున హెలికాప్టర్ను క్షేమంగా ముందుకు నడపాలంటే, రెండు ప్రొపెల్లర్లు తప్పనిసరి.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధ్రువాల వద్ద ఉన్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే ఒకరోజు కాలవ్యవధి ఏ విధంగా ప్రభావిత మౌతుంది?
జవాబు:
భూమి తన ధృవ అక్షం వెంట భ్రమణం చెందుతుంది.

భూమి ధృవాల వద్ద మంచు పర్వతాలు ద్రవీభవనం చెందితే, భ్రమణాక్షం వెంట కేంద్రీకృతమైన ద్రవ్యరాశి వెలుపలకు నెట్టబడును. కావున జఢత్వ భ్రామకము పెరుగును.

బాహ్య టార్క్ పనిచేయకపోతే, L = I × ω = I(\(\frac{2 \pi}{T}\)) = స్థిరాంకము. I పెరుగుదలతో, T కూడ పెరుగును. i.e., రోజులో కాలం పెరుగుదల ఉండును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ను సులభంగా అటూ, ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు ?
జవాబు:
సైకిల్ చలనంలో ఉన్నప్పుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ సూత్రం వల్ల, సైకిల్ను తేలికగా బ్యాలన్స్ చేయవచ్చును.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభుల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. [Mar. ’14, ’13; May ;’13]
జవాబు:

ప్రశ్న 2.
బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
m₁, m₂, m₃, ………… m_n ద్రవ్యరాశులు గల n కణాల వ్యవస్థ భావిద్దాం. వాని స్థాన సదిశలు r₁, r₂, r₃, ….. r_n. ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిర్వచనం ప్రకారం

ఇక్కడ F_{బాహ్య} కణాల వ్యవస్థపై పనిచేయు బాహ్య బలాల మొత్తంను సూచించును.

బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణ వ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి – చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:

సౌర వ్యవస్థలో గ్రహాలు వేర్వేరు వేగాలతో, సంక్లిష్ట ద్విమితీయ చలనం కల్గి ఉండును. కాని గ్రహం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర చలనం సరళం మరియు స్థానాంతరణము. భూమి మరియు చంద్రుని వ్యవస్థ భావిద్దాము.

భూమి సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుచున్నదనుకొనుము. చంద్రుడు, భూమి చుట్టూ వృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగును. భూమి చంద్రుని యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘కూడా సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలోనే తిరుగును.

భూమి, చంద్రుని యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం కూడా సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలోనే తిరుగును.

భూమికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, అంతర బలాలు అవుతాయి. కావున ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ప్రభావితం చేయవు. కాని సూర్యునికి, భూమికి మధ్య లేదా సూర్యునికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, బాహ్య బలాలవుతాయి. కావున ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ప్రభావితం చేస్తాయి.

ప్రశ్న 4.
సదిశాలబ్దాన్ని నిర్వచించండి. సదిశా లబ్ద ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సదిశ లబ్దము :
రెండు సదిశల యొక్క పరిమాణాన్ని, ఆ రెండు సదిశల మధ్య కోణము యొక్క sin విలువకు గల లబ్దాన్ని సదిశ లబ్దము అంటారు. దీనినే వజ్ర లబ్దం అంటారు.

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగానికి నిర్వచనం తెలపండి. v = r ω రాబట్టండి.
జవాబు:
కోణీయ వేగం(ω) :
ఒక వస్తువు కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయ వేగం అంటారు.
i.e., ω = \(\frac{d \theta}{dt}\)

v = rω ఉత్పాదన :
ఒక దృఢ వస్తువు r వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్త పరిధిపై V ఏకరీతి వడితో చలిస్తుందనుకొందాము. వస్తువు స్వల్పకాలం ∆t లో A నుండి B కు స్థానభ్రంశం చెందితే కేంద్రము వద్ద కోణము ∆θ. A నుండి Bకు రేఖీయ స్థానభ్రంశం ∆x.
వృత్త ధర్మం ప్రకారం, ∆x = r ∆θ

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణాన్ని, టార్క్ను నిర్వచించండి. ఈ రెండు రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలోని మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
i.e., α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\)
టార్క్ :
కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు రేటును టార్క్ అంటారు.

కోణీయ త్వరణము మరియు టార్క్ మధ్య సంబంధము :
M ద్రవ్యరాశి ఉన్న దృఢ వస్తువు R. వ్యాసార్థం గల వృత్తపథంలో, ఆ కోణీయ వేగంతో స్థిర అక్షం వెంట భ్రమణం చెందుతుందని భావిద్దాం.

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షం పరంగా భ్రమణం చేస్తున్న కణం గమన సమీకరణాలను రాయండి. జ. స్థిర అక్షం వెంట భ్రమణం చెందుతున్న కణం చలన సమీకరణాలు
జవాబు:

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి స్లిప్కకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుది వేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
వాలు తలంపై కిందికి దొర్లుతున్న ఒక వస్తువు వేగ సమీకరణము :
M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల ఒక దృఢ వస్తువు, h ఎత్తు నుండి వాలుతలంపై క్రిందికి దొర్లుతున్నట్లు భావిద్దాం. వస్తువు తలం వెంట క్రిందకు v రేఖీయ వడితో చేరినట్లు తీసుకుందాము. దాని భ్రమణ వ్యాసార్థం K.

శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, వాలు తలంపైన వస్తువు స్థితిజశక్తి (P.E) = వాలు తలం క్రింద వస్తువు యొక్క గతిజశక్తి (K.E).

h ఎత్తు గల వాలు తలం నుండి ఒక వస్తువు దొర్లుతూ ఉన్నప్పుడు, శక్తినిత్యత్వ నియమాన్ని అనువర్తింపవచ్చును.
i. e., వాలుతలంపైన P.E = స్థానాంతరణ K.E + భ్రమణ K.E

వాలు తలంపై క్రిందికి దొర్లుతున్న వస్తువు యొక్క మొత్తం శక్తికి సమాసం :
ఒక వస్తువు (గోళం) తలంపై దొర్లుతుందని భావిద్దాం. దాని చలనంను, ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాంతరణ మరియు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోవు అక్షం వెంట భ్రమణ చలనాల సంయోగముగా తీసుకోవచ్చును. మొత్తం శక్తి Eని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
a) సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.

b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు, దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం k. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం కనుక్కోండి.
జవాబు:
a) నిర్వచనం :
ఏదైనా అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకము, ఆ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము మరియు దృఢ వస్తు ద్రవ్యరాశి మరియు ఆ రెండు అక్షముల దూర వర్గముల లబ్దానికి సమానం.
i.e., I₀ = I_g + Mr²
I_g = ‘O’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
M = ∑m = వస్తువు ద్రవ్యరాశి
r = అక్షముల మధ్య దూరము
I_g = ‘G’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
వస్తువులో P వద్ద ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణమును తీసుకొనుము. PO ను PG లను కలుపవలెను. OG ను కలుపగా వచ్చిన గీతకు లంబంగా P నుండి రేఖ PQను గీయవలెను.
‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా ‘P’ వద్ద కణం జఢత్వ భ్రామకం = m × OP².
‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = m × PG².
‘G’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = I_g = ∑m.PG²

OPQ త్రిభుజంలో OP² = OQ² + PQ²
OP² = (OG² + GQ²)+ PQ² [∵ OQ = OG + GQ]
OP² = OG² + GQ² + 2OG. GQ + PQ²
OP² = OG² + GP² + 2OG.GQ [∵ GQ2 + PQ² = GP²]
కానీ I₀ = ∑m OP²
I₀ = Σm (OG² + GP² + 2 OG. GQ)
I₀ = ∑m (OG² + GP² + 2 OG. GQ)
I₀ = Σm.OG² +Σm. Gp² + Σm. 2OG. GQ
I₀ = Mr² + I_G + Σm. 2.OG. GQ
ఇక్కడ Σm = M, OG = r
I_G = Σm PG²
∴ I₀ = I_G + Mr² + 2 OG. Σm. GQ
కాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా వస్తువులోని అన్ని కణాల గురుత్వాకర్షణ బలాల భ్రామకాల బీజీయాల మొత్తం శూన్యం.
కావున Σm. GQ = 0
∴ I₀ = I_G + Mr²

(b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళ (డిస్క్) వ్యాసం, AB వెంట భ్రమణ వ్యాసార్థం
K = \(\sqrt{\frac{1}{M}}\)
ఇక్కడ M = బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి; I = బిళ్ళ జఢత్వ భ్రామకము
AB వెంట బిళ్ళను రెండు సగభాగాలుగా కత్తిరించిన, ఒక్కొక్క ముక్క ద్రవ్యరాశి M’ = \(\frac{M}{2}\) మరియు ఒక్కొక్క ముక్క
జఢత్వ భ్రామకము, I’ = \(\frac{1}{2}\)
ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం,

ప్రశ్న 2.
a) లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
అధ్యాయం కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం
b) ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్ళలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జఢత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
a) నిర్వచనం :
ఒక సమతల పటలానికి లంబంగా ఒక బిందువు గుండా పోయే అక్షంపరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకము, అదే బిందువు గుండా పోతూ పరస్పరం లంబంగా ఉన్న అక్షముల పరంగా ఉన్న జఢత్వ భ్రామకాల మొత్తంనకు సమానము.
i.e., I_z = I_x + I_y
ఇక్కడ I_z = z – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_x = X – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_y = Y – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణము P వద్ద XOY తలంలో ఉన్నదనుకొనుము.
దీని నిరూపకాలు (x, y). ఈ కణం Y – అక్షం నుండి ‘x’ లంబ దూరంలో, X – అక్షం నుండి ‘y’ లంబదూరంలో, Z – అక్షం నుండి ‘r’ లంబ దూరంలో ఉన్నదనుకొనుము.
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము mx²
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_y = Σmx² ……………. (1)
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = my²
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_x = Σmy² ……………. (2)
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = mr²
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_z = Σmz² ……………. (3)

పటం నుండి, r² = x² + y²
I_z = Σmr² = Σm (x² + y²) = Σm x² + Σmy²
(1), (2) సమీకరణముల నుండి I_y = Imx²; L_y = Σmy²
I_z = I_y + I_x
∴ I_z = I_y + I_x ∴ లంబాక్ష సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం :
ఒక వ్యవస్థపై పనిచేసే బాహ్య టార్క్ శూన్యమైన, ఆ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది.
L = Iω = స్థిరాంకము (లేక) I₁ ω₁ = I₂ ω₂

ఒక వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకం (I) తగ్గిన, ఆ వస్తువు యొక్క కోణీయ వేగం (ω) పెరుగును.

నిరూపణ :
కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు రేటును టార్క్ అంటారు.

ఉదా :
1) ఒక వ్యక్తి భ్రమణాలు చేయుచున్న పలకపై నిలుచుని, అతని చేతులు చాచి (డంబెల్స్) సమాన బరువులను పట్టుకొని ఉన్నాడనుకొనుము. అతడు పలకపై భ్రమణాలు స్థిర కోణీయ వేగంతో చేయుచున్నాడు. చేతులు చాచినపుడు జఢత్వ భ్రామకం I₁, కోణీయ వేగం ω₁. అతడు తన చేతులను ముడుచుకొన్నచో (బరువుల నుండి భ్రమణాక్షానికి గల దూరం తగ్గి) జఢత్వ భ్రామకం (I₂) తగ్గి, దానికి అనుగుణంగా వ్యక్తి యొక్క కోణీయ వేగము (ω₂) పెరుగును.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం,
I₁ ω₁ = I₂ ω₂
కాని I₁ > I₂
∴ ω₁ < ω₂
నాట్యము చేయువారు, స్కేటర్లు, నీటిలోనికి డైవ్ చేయువారు కోణీయ ద్రవ్యవేగ నియమం ఉపయోగించుకొని స్థిరత్వమును పొందుతారు.

ఉదా – 2 :
నిలువు అక్షంపై స్వేచ్ఛగా భ్రమణాలు చేయుచున్న గుండ్రని బల్లపై ఒక పరిశీలకుడు నిశ్చలంగా కూర్చొని ఉన్నాడు. అతని చేతిలో నిలువు అక్షంపై స్వేచ్ఛగా సవ్యదిశలో భ్రమణాలు చేయుచున్న సైకిలు చక్రం చట్రం ఉంది. ఇప్పుడు అతడు చట్రాన్ని తలక్రిందులుగా త్రిప్పితే చక్రం ఈసారి అపసవ్య దిశలో తిరుగుతూ ఉంటుంది. బల్ల, వ్యక్తి, చక్రం, ఒకే వ్యవస్థ కాబట్టి దీనికి కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం వర్తిస్తుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంచేందుకు బల్ల సవ్య దిశలో తిరుగుతుంది. బల్లను తిరిగా ఆపాలంటే చక్రాన్ని తలక్రిందులుగా చేసి తొలి దశలో తిరిగేటట్లు చేయాలి.

లెక్కలు (Problems)

ప్రశ్న 1.
a. (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallele-piped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
ఒక దీర్ఘఘనాకారం మూడు సదిశలను ఏర్పరు స్తుందని తీసుకుందాము.

ఇది దీర్ఘఘనాకారం ఘనపరిమాణ పరిమాణంనకు సమానం.

ప్రశ్న 2.
3kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్థూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి M = 3kg, R = 40 cm = 0.4 m
బోలు స్థూపం అక్షం వెంట జఢత్వ భ్రామకం
I = MR² = 3(0.4)² = 0.48 kgm²
ప్రయోగించిన బలం F = 30 N
∴ టార్క్, τ = F × R= 30 × 0.4 = 12 N – m
కోణీయ స్థానభ్రంశం α ఏర్పడితే, అప్పుడు τ = Iα
α = \(\frac{\tau}{1}=\frac{12}{0.48}\) = 25 rads^-2
రేఖీయ త్వరణం, a = Rα = 0.48 × 25 = 10 m/s².

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ తలంలో భ్రమణం చెందే తిరుగుడు బల్లపై దాని కేంద్రం నుంచి 10 cm దూరంలో ఒక నాణాన్ని ఉంచారు. తిరుగుడు బల్ల, నాణాల మధ్య స్థితిక ఘర్షణ గుణకం 0.8 అయితే, నాణెం బల్లపై జారడం మొదలు పెట్టడానికి తిరుగుడు బల్ల భ్రమణ పౌనఃపున్యం ఎంత ఉండాలి?
సాధన:
ఇచ్చినవి, వ్యాసార్థం r = 10cm 0.1m;
µ_s = 0.8; F = µmg
mrω² = µmg
rω² = μg

n = 1.409 × 60 = 84.54 rpm = 84.54 rpm

ప్రశ్న 4.
ఒక మీటర్ స్కేలుపై 1cm, 2cm, 3cm…… 100cm ల గుర్తుల వద్ద వరుసగా 1g, 2g, 3g, ….100g ద్రవ్యరాశులు గల కణాలను ఉంచారు. మీటర్ స్కేలు మధ్యలంబరేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అన్ని కణాల ద్రవ్యరాశులను కూడగా,
M 5050g = 5.050 kg = 5.1 kg
మరియు L = 1m
స్కేలు యొక్క జఢత్వ భ్రామకం \(\frac{Ml^2}{12}= \frac{5.1\times1^2}{12}\)
= 0.425kg m²
= 0.43kg -m²

ప్రశ్న 5.
10 cm భుజం కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు కణాలను ఉంచారు. ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం ద్వారా పోతూ, త్రిభుజ తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
m = 100 g = 100 × 10^-3 kg
భుజం a = 10 cm

ప్రశ్న 6.
10 cm భుజం ఉన్న చతురస్ర శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు కణాలను ఉంచారు. చతురస్రం మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ, దాని తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. వ్యవస్థ భ్రమణ వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 100g
= 100 × 10^-3kg
m = 4m = 400 × 10^-3kg
వ్యాసార్థం = 10cm
= 10 × 10^-2m
జఢత్వ భ్రామకం
I = mr²

ప్రశ్న 7.
1 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్థం ఉన్న రెండు ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మెలు ఒకదానినొకటి స్పృశించుకునేటట్లుగా స్పర్శారేఖ స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయేటట్లు అమర్చారు. స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయే స్పర్శారేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 1kg

ప్రశ్న 8.
2a వ్యాసం, ‘m’ ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు గోళాల కేంద్రాలను b భుజంగా ఉన్న ఒక చతురస్ర నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉంచారు. ఒకే భుజం భ్రమణ అక్షంగా ఈ వ్యవస్థ జఢత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత? (గమనిక : మర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్ను వ్యతిరేకిస్తుంది) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి ω = 200 rad/s
టార్క్, τ = 180 N – m, సామర్థ్యం p = ?
p = τ ω
∴ p = 180 × 200
= 3600 watt
= 36 kw.

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటరు స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తి మొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమర్చేటట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
ఒక మీటర్ స్టిక్ ద్రవ్యరాశి M, L = 50 cm
గుర్తు వద్ద కేంద్రీకరించినట్లు భావిద్దాం.
స్టిక్, G’ = 45 cm గుర్తు వద్ద సమతాస్థితిలో ఉంటే
10g (45-12) = Mg(50 – 45)
10 g × 33 = mg × 5
M = \(\frac{10\times33}{5}\) = 66 gram.

ప్రశ్న 11.
వృత్త పరిధిపై ఏదో ఒక బిందువు ద్వారా పోతూ, తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా 60 rpm వడితో భ్రమణం చెందే ఒక వృత్తాకార దిమ్మె గతిజశక్తిని కనుక్కోండి. దిమ్మె ద్రవ్యరాశి 5kg, వ్యాసార్థం 1m.
సాధన:
ఇచ్చట M = 5kg; R = 1m;
ω
0 = 2π × \(\frac{N}{t}\)
= 2π × \(\frac{60}{60}\)rad/s = 2π rad/s

వృత్తాకార పరిధిపై ఏదైనా బిందువు గుండాపోవు, సమాంతర అక్షం పరంగా బిళ్ళ జఢత్వ భ్రామకం

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై U వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి m₁ = m₂ = m;

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణాలు చేసే ఒక గతిపాలక చక్రం (fly wheel) జఢత్వ భ్రామకం 0.3 kgm² 20 సెకన్లలో దీన్ని నిశ్చల స్థితికి తీసుకు రావడానికి అవసరమైన టార్ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలకచక్రం (fly wheel) పై 100J పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయవేగం 60 rpm నుంచి180 rpm కి పెరిగింది. చక్రం జఢత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
తొలి పౌనఃపున్యము,
n₁ = \(\frac{60}{60}\) = 1Hz
తొలి కోణీయ వేగం ω₁ = 2π n₁
= 2π rad/sec

తుది పౌనఃపున్యం,
n₂ = \(\frac{180}{60}\) = 3Hz
తుది కోణీయ వేగం
ω₂ = 2π n₂ = 2π × 3 = 6π rad/sec
జరిగిన పని = 100 j
పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారము,
జరిగిన పని = K.E. లో మార్పు

అదనపు లెక్కలు (Additional Problems)

ప్రశ్న 1.
ఏకరీతి సాంద్రత ఉన్న (i) గోళం, (ii) స్థూపం, (iii) కంకణం, (iv) ఘనాల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని గుర్తించండి. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం తప్పక ఆ వస్తువులో ఉండి తీరాలా?
జవాబు:
అన్ని నాలుగు సందర్భాలలో, ద్రవ్యరాశి సాంద్రత ఏకరీతిగా ఉండును. జ్యామితీయ కేంద్రాల వద్ద ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుంది.
వస్తువుపై ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉండాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, వృత్తాకార రింగ్ సందర్భంలో రింగ్ కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి లేకపోయినా, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
HCl అణువులో రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరం దాదాపు 1.27Å (1 Å = 10 10m). ఈ అణువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని ఉజ్జాయింపుగా కనుక్కోండి. హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో పోలిస్తే క్లోరీన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి సుమారు 35.5 రెట్లు ఉంటుంది. పరమాణు ద్రవ్యరాశి అంతా కేంద్రకం వద్దనే కేంద్రీకృతమవుతుందని ఊహించండి.
సాధన:
H పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = m యూనిట్
Cl పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = 35.5 m యూనిట్స్
H పరమాణువు నుండి xÅ దూరం వద్ద c.mను తీసుకుందాము.
∴ Cl పరమాణువు నుండి c.m దూరం = (1.27 – x)Å
మూలబిందువు వద్ద c.m తీసుకుంటే, అప్పుడు
mx + (1.27 – x) 55.5m = 0
mx = (1.27 – x) 35.5m.
c.mకు కుడివైపున Cl పరమాణువు ధనాత్మక గుర్తును, ఎడమవైపున ఋణగుర్తును సూచించును. ఋణగుర్తును వదిలెస్తే,
x + 35.5 x = 1.27 x 35.5
36.5 x = 45.085
x = \(\frac{45.085}{36.5}\)
= 1.235
x = 1.235 Å
H మరియు cl పరమాణువుల కేంద్రాలను కలుపు రేఖపై H నుండి 1.235 Å వద్ద c.m ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
నున్నని క్షితిజ సమాంతర నేలపై V వడితో సమరీతి గమనం కలిగిన ఒక ట్రాలీ (trolley – చక్రాలున్న పొడవైన బండి) మీద ఒక చివర ఒక బాలుడు నిశ్చలంగా కూర్చుని ఉన్నాడు. బాలుడు లేచి ట్రాలీపై ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ట్రాలీ – బాలుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి ఎంత?
సాధన:
పిల్లవాడు ట్రాలీపై లేచి పరుగెత్తితే, వ్యవస్థ (ట్రాలీ + పిల్లవాడు) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి మారదు. బలాలు అంతర్గత బలాలే. వ్యవస్థపై బాహ్యబలం పని చేయదు. వ్యవస్థ వేగంలో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 4.
సదిశలు a, bలు భుజాలుగా కలిగి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం a × b పరిమాణంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
\(\overrightarrow{OP}\) మరియు \(\overrightarrow{O Q}\) లు \(\overrightarrow{a}\) మరియు \(\overrightarrow{b}\) ను సూచించునట్లు తీసుకుందాం.
∠POQ = θ సమాంతర చతుర్భుజం

OPRQ ను పూర్తిచేద్దాం.
PQ ను కలుపుదాం. ON ⊥ OP

ప్రశ్న 5.
a. (b × c) పరిమాణం a, b, cసదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallele- piped) ఘన పరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘఘనాకార గొట్టం ఘనపరిమాణం, పరిమాణంనకు సమానము.

ప్రశ్న 6.
ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం 1 x, y, z అక్షాల వెంబడి అంశాలను కనుక్కోండి. కణం స్థాన సదిశ r అంశాలు x, y, z లు. రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p అంశాలు p_x p_y, p_z ఒకవేళ కణం కేవలం x−y తలంలోనే గమనంలో ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగం z-అంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
3D చలనంలో, స్థానభ్రంశ సదిశ \(\overrightarrow{r}\) మరియు రేఖీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ \(\overrightarrow{p}\) ను క్రింది దీర్ఘచతురస్ర అంశాలుగా వ్రాయవచ్చును.

L_z = xp_y – yp_x·
∴ కణం x – y తలంలో చలించును.
కోణీయ ద్రవ్యవేగం మాత్రం ఒకే z–అంశాన్ని కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 7.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై V వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికరణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
x₁ y₁ పై ఏదైనా బిందువు A వెంట రెండు కణాల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం సదిశ,

x₂y₂ పై ఏదైనా బిందువు B వెంట రెండు కణాల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం సదిశ,

AC = x అయ్యేటట్లు, ABపై మరియొక బిందువు ఁను భావిద్దాం.
∴ c వెంట రెండు కణాల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం సదిశ

ప్రశ్న 8.
ఒక అసమరీతి, Wభారం ఉన్న కడ్డీని ఉపేక్షించ దగ్గ ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు దారాలతో, పటంలో చూపినట్లు నిశ్చల స్థితిలో ఉండేటట్లు వేలాడ దీశారు. క్షితిజ లంబరేఖతో దారాలు చేసే కోణాలు వరుసగా 36.99, 53.1°. కడ్డీ పొడవు 2 m. కడ్డీ ఎడమ చివర నుంచి గరిమనాభి ఉండే దూరం dని లెక్కించండి.
సాధన:

పటం నుండి స్పష్టంగా,
θ₁ = 36.9°, θ₂ = 53.1°
రెండు తీగలలో తన్యతలు T₁, T₂
తీగ క్షితిజ సమాంతరంగా సమతాస్థితిలో ఉంటే

కడ్డీ ఎడమ చివరి నుండి d దూరంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం d తీసుకుందాము.
c వెంట భ్రమణ సమతాస్థితిలో,
T₁ cos θ₁ Xd = T₂ cos θ2 (2 – d)
T₁ cos 36.9° × d = T₂ cos 53.1° (2 – d)
T₁ × 0.8366 d = T₂ × 0.6718 (2 – d)
T₁ = 1.3523 T₂ ను ఉంచి సాధించగా
d = 0.745 m.

ప్రశ్న 9.
ఒక కారు 1800 kg బరువుంది. ముందు వెనకాల ఇరుసుల మధ్య దూరం 1.8 m. కారు గరిమనాభి, ముందు ఇరుసు వెనక 1.05 m దూరంలో ఉంది. సమతలంగా ఉన్న భూమి వల్ల ముందు వెనక గల చక్రాలొక్కక్కటి పై ప్రయోగించే బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
m = 1800 kg
ముందు మరియు వెనుక యాక్సిల్స్ మధ్యదూరం = 1.8m
ముందు యాక్సిల్ వెనుక గురుత్వాకేంద్రం (C) దూరం = 1.05 m
ముందు మరియు వెనుక యాక్సిల్స్పై సమాంతరంగా భూమి ప్రయోగించు బలాలు R₁ మరియు R₂. స్పష్టంగా పటం నుండి
R₁ + R₂ = mg = 1800 × 9.8

C వెంట భ్రమణ సమతాస్థితిలో

ప్రశ్న 10.
(a) ఘన గోళానికి స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. గోళం వ్యాసంపరంగా జఢత్వ భ్రామకం 2 MR²/5 గా ఇచ్చారు. M గోళం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్థం.
(b) M ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తాకార దిమ్మె జఢత్వ భ్రామకం, వ్యాసం పరంగా MR²/4, దిమ్మె ఒక అంచునుంచి పోతూ దిమ్మె తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
a) ఏదైనా వ్యాసం వెంట గోళం జఢత్వ భ్రామకం = \(\frac{2}{5}\)MR²
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతంను అనువర్తింపచేయగా,
గోళం స్పర్శరేఖ వెంట గోళం జఢత్వ భ్రామకం
= \(\frac{2}{5}\)MR² + M(R)² = \(\frac{7}{5}\)MR²

b) ఏదైనా వ్యాసం వెంట డిస్క్ జఢత్వ భ్రామకము = \(\frac{1}{4}\)MR².
i) లంబాక్ష సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, డిస్క్ కేంద్రం గుండాపోతూ తలంనకు లంబంగా పోవు అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకం
= 2 × \(\frac{1}{4}\) MR²
= \(\frac{1}{2}\)MR².

ii) సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, డిస్ అంచుపై ఉన్న బిందువు గుండాపోతూ, డిస్కు లంబంగా ఉన్న అక్షంపరంగా జఢత్వ భ్రామకం
= \(\frac{1}{2}\) MR² + MR² = \(\frac{3}{2}\)MR².

ప్రశ్న 11.
సమాన ద్రవ్యరాశి, సమాన వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం, ఒక ఘనగోళంపై సమాన పరిమాణం ఉన్న టార్క్ ను ప్రయోగించారు. స్తూపం దాని సౌష్టవాక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. గోళం దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. వీటిల్లో, ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో, ఏది అధిక కోణీయ వేగాన్ని పొందుతుంది?
సాధన:
బోలు స్థూపం మరియు ఘనస్థూపం ద్రవ్యరాశి M మరియు వ్యాసార్థము R.
సౌష్ఠవ అక్షం వెంట బోలు స్థూపం జఢత్వ భ్రామకం, I₁ = MR²
కేంద్రం ద్వారా పోవు అక్షం పరంగా ఘనగోళం జఢత్వ భ్రామకం, I₂ = \(\frac{2}{5}\)MR²
ప్రయోగించిన టార్క్, τ = I₁ α₁ = I₂ α₂

α₂ > α₁
ω = ω₀ +αt నుండి, ω₀ మరియు tలను కనుగొంటే, ω₂ > ω₁ i.e., ఘనగోళం కోణీయ వడి, బోలు స్థూపం కోణీయ వడి కన్నా ఎక్కువ.

ప్రశ్న 12.
20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ఘన స్థూపం దాని అక్షంపరంగా 100 rad s^-1 కోణీయ వడితో భ్రమణాలు చేస్తుంది. స్థూపం వ్యాసార్థం 0.25m. స్తూపం గతిజశక్తి ఎంత ? స్థూపం అక్షంపరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం ఎంత?
సాధన:
M = 20 kg, R = 0.25 m, w = 100 g^-1
ఘనస్థూపం జఢత్వ భ్రామకము

ప్రశ్న 13.
(a) ఒక తిరుగుడు బల్ల కేంద్రం వద్ద ఒక బాలుడు తన చేతులను బయటకు చాచి నిలబడి ఉన్నాడు. తిరుగుడు బల్ల 40 భ్రమణాలు / నిమిషం కోణీయ వడితో భ్రమణం చేసేట్లు దాన్ని తిప్పారు. ఇలా తిరుగుతున్న బల్ల మీద బాలుడు తన చేతులను అతని జఢత్వ భ్రామకం తొలి విలువకు 2/5 వంతులు అయ్యేట్లు ముడిస్తే అతని కోణీయ వడి ఎంత? తిరుగుడు బల్ల ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణాలు చేస్తుందని భావించండి.
సాధన:
తొలి కోణీయ వడి, ω₁ = 40 rev/min,
ω₂ = ?
తుది జఢత్వ భ్రామకం, I₂ = \(\frac{2}{5}\)I,
ఈ ప్రక్రియలో బాహ్య టార్క్ పనిచేయకపోతే,
L = స్థిరాంకం

b) బాలుని కొత్త భ్రమణ గతిజశక్తి తొలి గతిజశక్తి కంటే ఎక్కువ అని చూపండి. అతని భ్రమణ గతిజశక్తి పెరుగుదలకు కారణాన్ని వివరించండి.

∴ భ్రమణ K.E పెరుగును. ఇది చేతులను వెనుకకు మడవటంలో పిల్లవానికి అంతరిక శక్తి ఖర్చు అగును.

ప్రశ్న 14.
3kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్తూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్తూపంపై స్లిప్ కాదు అని భావించండి.
సాధన:
M = 3kg, R = 40 cm = 0.4 m
బోలు స్థూపం దాని అక్షం వెంట జఢత్వ భ్రామకం
I = MR² = 3(0.4)² = 0.48 kgm²
ప్రయోగించిన బలం F = 30 N
∴ టార్క్, τ = F × R = 30 × 0.4
= 12 N – m

α కోణీయ త్వరణం అయితే,
అప్పుడు τ = Iα
రేఖీయ త్వరణం, a = Rα
= 0.4 × 25
= 10m/s².

ప్రశ్న 15.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమ కోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్ను వ్యతిరేకిస్తుంది.) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
ω = 200 rad/s,
టార్క్ τ = 180 N
సామర్థ్యం p = ?
p = ω
∴ p = 180 × 200
= 36 kw.

ప్రశ్న 16.
R వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మె నుంచి R/2 వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార ముక్కను వేరుచేసి రంధ్రాన్ని చేశారు. రంధ్రం కేంద్రం అసలు దిమ్మె కేంద్రం నుంచి R/2 దూరంలో
ఉంది. ఫలితంగా ఏర్పడిన చదును వస్తువు గరిమనాభి స్థానాన్ని తెలపండి.
సాధన:
డిస్క్ ప్రమాణ వైశాల్యంపై ద్రవ్యరాశి = M
∴ డిస్క్ యదార్థ ద్రవ్యరాశి M = πR² × m

పటంలో, M ద్రవ్యరాశి O వద్ద కేంద్రీకృతమవుతుంది.
మరియు M’ ద్రవ్యరాశి ‘ వద్ద కేంద్రీకృతమవుతుంది.
OO’ = \(\frac{R}{2}\)
M’ ద్రవ్యరాశి వృత్తాకార డిస్క్న తొలగించిన తరువాత, మిగిలిన భాగం రెండు ద్రవ్యరాశుల వ్యవస్థ 0 వద్ద M మరియు -M’గా పరిగణిద్దాం.
O’ వద్ద ద్రవ్యరాశి = \(\frac{-M}{4}\)
మిగిలిన భాగం నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్ర దూరం X అయితే, అప్పుడు

ఋణగుర్తు p, O కు ఎడమవైపు ఉండుటను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 17.
ఒక మీటరు స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తి మొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తి మొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
పుల్ల c (50 cm) వద్ద m ద్రవ్యరాశి కేంద్రీకృత మయినట్లు తీసుకుందాము.
(45 cm)c’ వెంట సమతాస్థితిలో ఉంటే,
10g (45 – 12) = mg(50 – 45)
10 g × 33 = mg × 5
m = \(\frac{10\times33}{5}\)
= 66 gram.

ప్రశ్న 18.
ఒక ఘనగోళం వరుస క్రమంలో, సమాన ఎత్తులున్న రెండు భిన్న వాలు కోణాలున్న వాలు తలాలపై కిందికి దొర్లింది. (a) ప్రతి వాలు తలంపై దొర్లుతూ అడుగు భాగానికి చేరినప్పుడు గోళం సమాన వడి కలిగి ఉంటుందా? (b) ఒక వాలు తలంపై దొర్లడానికి తీసుకునే కాలం, రెండవ దానిపై తీసుకొన్న కాలం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా? (c) అలా అయితే ఏ వాలు తలంపై ఎక్కువ సమయం తీసుకుంటుంది? ఎందుకు?
సాధన:
వాలుతలం అడుగున ఘనగోళం వడి v.
శక్తి నిత్యత్వ సూత్రంను అనువర్తించగా

రెండు సందర్భాలలో h సమానం, v సమానం. తలాల వెంబడి దొర్లుటకు పట్టుకాలాలు సమానం.

ప్రశ్న 19.
2m వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక కంకణం 100 kgల బరువు కలిగి ఉంది. అది ఒక క్షితిజ సమాంతర తలంపై, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం 20 cm/s వడితో గమనంలో ఉండేటట్లు దొర్లుతున్నది. దీన్ని నిశ్చలస్థితికి తేవడానికి ఎంతపని చేయవలసి ఉంటుంది?
సాధన:
R = 2m, M = 100 kg
v = 20 cm/s = 0.2 m/s
హూప్ మొత్తం శక్తి = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)Iw²
= \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)(MR)² w² = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)mv²
= mv²

హూప న్ను ఆపుటకు కావాల్సిన పని =హూప్ మొత్తం శక్తి
w = mv² = 100(0.2)² = 4 joule.

ప్రశ్న 20.
ఆక్సిజన్ అణువు ద్రవ్యరాశి 5.30 × 10^-26 kg. ఈ అణువులోని పరమాణువులను కలిపే రేఖకు గల మధ్య లంబరేఖ పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం 1.94 × 10^-46kg m². ఇటువంటి అణువులున్న ఒక వాయువులో అణువు సగటు వడి 500 m/s, అణువు భ్రమణ గతిజశక్తి దాని స్థానాంతరణ గతిజశక్తిలో 2/3 వంతులు ఉన్నది అనుకొంటే అణువు సగటు కోణీయ వేగం ఎంత?
సాధన:
m = 5.30 × 10^-26 kg
I = 1.94 × 10^-46 kgm²
v = 500 m/s
ప్రతి ఆక్సిజన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి \(\frac{m}{2}\). రెండు ఆక్సిజన్ పరమాణువుల మధ్యదూరం 2r

ప్రశ్న 21.
ఒక ఘన స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై కింది నుంచి పైకి దొర్లుతోంది. వాలుతలం కింది అంచువద్ద స్తూపం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వడి 5 m/s.
a) స్తూపం ఎంత దూరం వాలుతలం మీద పైకి దొర్లుతుంది?
b) మళ్ళీ అడుగుకు చేరడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
θ = 30°, v = θm/s
స్థూపం వాలుతలంపైకి h ఎత్తుకు చేరినట్లు తీసుకుందాము.

అదనపు అభ్యాసాలు (Additional Exercises)

ప్రశ్న 1.
A వద్ద మడత బందుతో కలిపి రెండు భాగాలున్న ఒక నిచ్చెన పటంలో చూపినట్లు ఉంది. నిచ్చెన భాగాలు BA, CA ల పొడవు 1.6 m. BA, CA ల మధ్య బిందువులకు 0.5 m ల పొడవు ఉన్న ఒక తాడు DE కట్టారు. BA నిచ్చెన భాగానికి B నుంచి 1.2 m దూరంలో F బిందువు వద్ద 40 kg బరువు వేలాడదీశారు. నిచ్చెన భారం ఉపేక్షించదగినదనీ, నిచ్చెనకూ నేలకూ మధ్య ఘర్షణ లేదనీ భావించి, తాడులోని తన్యతనూ, నేల నిచ్చెనపై ప్రయోగించే బలాలనూ కనుక్కోండి. (g = 9.8 m/s²) గా తీసుకోండి.)

(Hint : నిచ్చెన రెండు భాగాలకూ విడివిడిగా సమతాస్థితిని పరిగణించండి.)
సాధన:
దత్తాంశం పూర్తిగా ఇవ్వలేదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక వ్యక్తి తన ప్రతి చేతిలోనూ 5 kg ల బరువును పట్టుకొని, చేతులను క్షితిజ సమాంతరంగా చాచి భ్రమణం చేస్తున్న ఒక వేదిక (ప్లాట్ఫాం)పై దాని కేంద్రం వద్ద నిలబడ్డాడు. ప్లాట్ఫాం కోణీయ వడి 30 భ్రమణాలు / నిమిషం. భ్రమణాక్షం నుంచి చేతిలోని ప్రతి బరువు దూరం 90cm నుంచి 20 cm కు మారేటట్లుగా వ్యక్తి తన చేతులను దేహానికి దగ్గరగా తీసుకువచ్చాడు. ప్లాట్ఫాంతో పాటుగా వ్యక్తి జఢత్వ భ్రామకం స్థిరం అనీ, దాని విలువ 7.6 kg m² అనుకొంటే (a) వ్యక్తి కోణీయ వడి (కొత్త విలువ) ఎంత? (ఘర్షణను ఉపేక్షించండి.)
b) ఈ ప్రక్రియలో గతిజశక్తి నిత్యత్వమౌతుందా? ఒకవేళ నిత్యత్వం కాకపోతే మార్పు ఏ కారణంగా వస్తుంది?
సాధన:
ఇక్కడ l₁ = 7.6 × 2 × 5 (0.9) 2 = 15.7 kgm²
ω₁ = 30 rpm
l₂ = 7.6 + 2 × 5(0.2)² = 8.0 kgm²
ω₂ = ?
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము
l₂ω₂ = l₁ω₁
ω₂ = \(\frac{l_1}{l_2}\)ω₁ = \(\frac{15.7\times30}{8.0}\) = 58.88 rpm.

ఈ ప్రక్రియలో గతిజశక్తి నిత్యత్వం కాదు. వాస్తవంగా జఢత్వ భ్రామకం తగ్గును. భ్రమణ K.E పెరుగును. ఈ మార్పు వ్యక్తి చేతులను అతని శరీరం దగ్గరకు తెచ్చుటలో జరిగిన పనికి సమానం.

ప్రశ్న 3.
10 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక తుపాకి గుండును 500 m/s వేగంతో ఒక తలుపువైపు పేల్చితే అది సరిగ్గా తలుపు కేంద్రం వద్ద దానిలో ఇమిడి పోయింది. తలుపు 1.0 m వెడల్పు, ద్రవ్యరాశి 12 kg కలిగి ఉంది. తలుపు ఒక అంచువద్ద మడత బందులతో, నిట్టనిలువు అక్షం పరంగా ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణం చెందగలదు. తుపాకి గుండు తలుపులో ఇమిడిన వెంటనే తలుపు కోణీయ వడిని కనుక్కోండి.
(Hint : తలుపు జఢత్వ భ్రామకం, ఒక అంచు నుంచి పోయే నిట్టనిలువు అక్షం పరంగా ML³/3.)
సాధన:
బుల్లెట్ కోణీయ ద్రవ్యవేగం

ప్రశ్న 4.
వాటివాటి అక్షాల పరంగా (తలాలకు లంబంగా, కేంద్రం నుంచి పోయే) రెండు వృత్తాకార దిమ్మెల జఢత్వ భ్రామకాలు వరుసగా 14,12. 0, 002 కోణీయ వడులతో భ్రమణంలో ఉన్న ఈ దిమ్మెలను వాటి అక్షాలు ఏకీభవించేట్లు వాటి ముఖ తలాలను ఒకదానినొకటి తాకునట్లు ఉంచారు. (a) రెండు దిమ్మెల వ్యవస్థ కోణీయ వడి ఎంత? (b) దిమ్మెల సంయోగ వ్యవస్థ గతిజ శక్తి ఆ రెండు దిమ్మెల తొలి గతిజ శక్తుల మొత్తానికంటే తక్కువగా ఉంటుందని చూపండి. శక్తిలో తరుగుదలకు కారణమేమిటి? (ω₁ ≠ ω₂ అని తీసుకోండి.)
సాధన:
a) రెండు డిస్క్లల మొత్తం తొలి కోణీయ ద్రవ్యవేగం
L₁ = I₁ω₁ + I₂ω₂
ఇచ్చిన షరతులకు లోబడి, రెండు డిస్క్ వ్యవస్థ
జఢత్వభ్రామకం = (I₁ + I₂)
సంయోగ వ్యవస్థ కోణీయ వడి ω, వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం

E₁ > E₂ లేక E₂ < E₁
ఈ ప్రక్రియలో K.Eలో నష్టం కలిగి ఉండును.
శక్తిలో నష్టము = E₁ – E₂.

రెండు డిస్క్లను స్పృశించుటలో ఘర్షణ వల్ల నష్టం కలిగి ఉండును. ఘర్షణ వల్ల టార్క్, ఒక్క ఆంతరిక టార్క్ కోణీయ ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వం అగును.

ప్రశ్న 5.
a) లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించండి. (Hint : x −yతలంలో ఉన్న ఒక బిందువు (x, y) దూరం వర్గం, తలానికి లంబంగా మూలబిందువు నుంచి పోయే అక్షం నుంచి x² + y²
b) సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించండి.
(Hint : ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని మూల బిందువుగా తీసుకుంటే ∑m_ir_i = 0).
సాధన:
నిర్వచనం :
ఒక సమతల పటలానికి లంబంగా ఒక బిందువు గుండా పోయే అక్షంపరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకము, అదే బిందువు గుండా పోతూ పరస్పరం లంబంగా ఉన్న అక్షముల పరంగా ఉన్న జఢత్వ భ్రామకాల మొత్తంనకు సమానము.
ie., I_z = I_x + I_y
ఇక్కడ I_z = Z – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_x = X – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
I_y = Y – అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణము P వద్ద XOY తలంలో ఉన్నదనుకొనుము.

దీని నిరూపకాలు (x, y). ఈ కణం Y – అక్షం నుండి ‘x’ లంబ దూరంలో, X – అక్షం నుండి ‘y’ లంబదూరంలో, 2 – అక్షం నుండి ‘r’ లంబ దూరంలో ఉన్నదనుకొనుము.
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = mx²
Y – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_y = ∑mx² …………. (1)
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = my²
X – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_x = ∑my² …………. (2)
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = mr²
Z – అక్షం పరంగా కణము యొక్క జఢత్వ భ్రామకము = I_z = ∑mr² …………. (3)

పటం నుండి, r² = x² + y²
I_z = Σmr² = Σm (x² + y²) = Σm x² + Σmy²
(1), (2) సమీకరణముల నుండి
I_y = Σmx² ; I_y = Σmy²
I_z = I_y + I_x
∴ I_z = I_x + I_y
∴ లంబాక్ష సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నిర్వచనం :
ఏదైనా అక్షం పరంగా దృఢ వస్తువు యొక్క జఢత్వ భ్రామకము, ఆ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటూ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము మరియు దృఢ వస్తు ద్రవ్యరాశి మరియు ఆ రెండు అక్షముల దూర వర్గముల లబ్దానికి సమానం.
I₀ = I_g + Mr²
I_g = ‘O’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము
M = Σm = వస్తువు ద్రవ్యరాశి
r = అక్షముల మధ్య దూరము
I_G = ‘G’ గుండా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకము

నిరూపణ :
వస్తువులో P వద్ద ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల కణమును తీసుకొనుము. PO ను PG లను కలుపవలెను. OG ను కలుపగా వచ్చిన గీతకు లంబంగా P నుండి రేఖ PQను గీయవలెను.

‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా ‘P’ వద్ద కణం జఢత్వ భ్రామకం = m × OP².
‘O’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = m × PG².
‘G’ గుండా గల అక్షం పరంగా కణం యొక్క జఢత్వ భ్రామకం = I_G = ∑m. PG²

OPQ త్రిభుజంలో OP² = OQ² + PQ²
OP² = (OG² + GQ²)+ PQ² [∵ OQ = OG + GQ]
OP² = OG² + GQ² + 2OG. GQ + PQ²
OP² = OG² + GP² + 20G.GQ [∵ GQ² + PQ² = GP²]
కానీ I₀ = Σm Op²
I₀ = Σm (OG² + GP² + 2 OG. GQ)
I₀ = Σm (OG² + GP² + 20G. GQ)
I₀ = Σm.OG² +Σm. Gp² + Σm. 20G. GQ
I₀ = Mr² + I_G + Σm. 2.OG. GQ
ఇక్కడ Σm M, OG = r
I_G = Σm PG²
∴ I₀ = I_G + Mr² + 2 OG. Σm. GQ
కాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా వస్తువులోని అన్ని కణాల గురుత్వాకర్షణ బలాల భ్రామకాల బీజీయాల మొత్తం శూన్యం.
కావున Σm. GQ = 0
∴ I₀ = I_G + Mr²

ప్రశ్న 6.
h ఎత్తున్న వాలుతలంపై దొర్లుతున్న వస్తువు (కంకణం, వృత్తాకార దిమ్మె, స్తూపం లేదా గోళం) వాలుతలం అడుగు భాగం చేరినప్పుడు దాని స్థానాంతరణ వేగం υ అయితే

అని గతికశాస్త్ర భావనలు (బలాలూ, టార్క్లూ) ఉపయోగించి నిరూపించండి. వస్తువు సౌష్ఠవాక్షం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం k, వస్తువు వ్యాసార్థం R. వస్తువు వాలుతలం పై భాగం నుంచి నిశ్చల స్థితి నుంచి గమనం ప్రారంభించిందని ఊహించండి.
సాధన:
h ఎత్తు గల వాలు తలం క్రింది దిశలో వస్తువు దొర్లుతూ ఉన్నప్పుడు, శక్తి నిత్యత్వసూత్రంను అనువర్తింపచేద్దాము.

ప్రశ్న 7.
ఘర్షణ లేని ఒక బల్లపై ఏ విధమైన తోపుడు లేకుండా, తన అక్షం పరంగా ω₀ కోణీయ వడితో భ్రమణం చెందుతున్న వృత్తాకార బిళ్ళను ఉంచారు. దిమ్మె వ్యాసార్థం R దిమ్మెలోని బిందువులు A, B, C ల రేఖీయ వేగాలు ఎంతెంత ? పటంలో సూచించిన దిశలో దిమ్మె దొర్లుతుందా?

సాధన:
v = rω సంబంధంను ఉపయోగించి,
బిందువుకు, V_A = Rω_o, AX వెంబడి
B బిందువుకు, V_B = Rω_o, BX వెంబడి
C బిందువు, V_C (\(\frac{1}{2}\))ω_o, AXకు సమాంతరంగా

డిస్క్ భ్రమణం చెందదు, కారణం ఘర్షణలేని బల్లపై ఉంచబడింది. ఘర్షణ లేకుండా, దొర్లుడు సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న 8.
పటంలో సూచించిన దిశలో దిమ్మె దొర్లడానికి ఘర్షణ ఎందుకు అవసరమో వివరించండి.
(a) శుద్ద దొర్లుడు గమనానికి ముందు బిందువు B, ఘర్షణ బలం దిశ, ఘర్షణ వల్ల టార్క్ దిశలను ఇవ్వండి.
(b) శుద్ధ దొర్లుడు గమనం ప్రారంభమైన తరువాత ఘర్షణ బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
డిస్క్ దొర్లుటకు, టార్క్ కావాలి, దీనిని స్పర్శియ బలం సమకూరుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో ఘర్షణ బలం, స్పర్శీయ బలం మాత్రమే, ఇది అవసరము.
(a) B వద్ద ఘర్షణ బలంను; వేగం ఎడమవైపు వ్యతిరేకించును. ఘర్షణ బలం కుడివైపు పని చేయును. ఘర్షణ టార్క్ డిస్క్ తలంనకు లంబంగా వెలుపల వైపుకు పని చేయును.
(b) B వద్ద ఘర్షణ బలం, Bతో తాకిన తలం బిందువు వద్ద వేగంను తగ్గించును. బిందువు B వేగం సున్నా అయిన తరువాత దొర్లుట మొదలవుతుంది. ఈ స్టేజిలో ఘర్షణ బలం కూడా శూన్యమగును.

ప్రశ్న 9.
10 π rad s^-1 తొలి కోణీయ వడితో భ్రమణం చేస్తున్న ఒక ఘన వృత్తాకార బిళ్ళ, ఒక కంకణం ఏకకాలంలో క్షితిజ సమాంతర బల్లపై ఉంచడం జరిగింది. వాటి వ్యాసార్థాలు 10 cm. ఈ రెండింటిలో ఏది మొదటగా దొర్లడం ప్రారంభిస్తుంది గతిక ఘర్షణ గుణకం µ _k= 0.2.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి కేంద్ర తొలివేగం సున్నా ie, u = ఘర్షణ బలం
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం త్వరణానికి కారణమగును.
μ_k mg = ma ∴ a = µ_k g
v = u + at ∴ v = 0 + μ_kgt

ఘర్షణ వల్ల టార్క్ అపత్వరణానికి కారణం. తొలికోణీయ వడి ω₀.


(vi) మరియు (vii) పోల్చగా, డిస్క్ రింగ్ కన్నా ముందు దొర్లుట ప్రారంభించును.

μ_k, g, R మరియు ω₀ తెలిసిన విలువలను ఉపయోగించి (vi) మరియు (vii) నుండి t విలువలను గణించవచ్చును.

ప్రశ్న 10.
10kg ద్రవ్యరాశి, 15 cm వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై శుద్ధ దొర్లుడు గమనంలో ఉంది. స్థితిక ఘర్షణ గుణకం μ_s = 0.25.
(a) ఎంత ఘర్షణ బలం స్తూపంపై ఉంటుంది?
(b) దొర్లుతూ ఉన్నప్పుడు ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా ఎంతపని జరుగుతుంది?
(c) వాలు కోణం 6 ను పెంచితే ఏ 6 విలువ వద్ద స్తూపం జారుతుంది, గమనం శుద్ధ దొర్లుడు గమనం కాకుండా పోతుంది?
సాధన:
m = 10 kg, r = 15 cm = 0.15 cm
θ = 30°, μ_s = 0.25
వాలుతలం క్రింది దిశలో స్థూపం త్వరణం,

b) దొర్లుతున్నప్పుడు, స్పర్శబిందువు విరామస్థితిలో ఉండును. ఘర్షణబలంనకు వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని సున్నా.

c) జారకుండా దొర్లుటకు μ = \(\frac{1}{2}\) tan θ
tan θ = 3μ = 3 × 0.25
θ = 37°

ప్రశ్న 11.
కింద ఇచ్చిన వాక్యాలను జాగ్రత్తగా చదివి, తగిన కారణాలతో అవి ఒప్పో, తప్పో తెలపండి.
(a) దొర్లుడు గమనంలో ఘర్షణ బలం వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర గమన దిశలోనే పని చేస్తుంది.
(b)దొర్లుడు గమనంలో స్పర్శా బిందువు తాక్షణిక వడి శూన్యం.
(c) దొర్లుడు గమనంలో స్పర్శా బిందువు తాక్షణిక త్వరణం శూన్యం.
(d) శుద్ధ దొర్లుడు గమనానికి, ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా చేసిన పని శూన్యం.
(e) ఘర్షణ రహిత వాలు తలం వెంట కిందికి గమనంలో ఉన్న ఒక చక్రం స్లిప్ అవుతుంది. (శుద్ధ దొర్లుడు గమనం కలిగి ఉండదు).
సాధన:
a) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ తప్పు.
b) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ ఒప్పు. దొర్లుతున్నప్పుడు భూమితో స్పృశిస్తున్న బిందువు వడి సున్నా.
c) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ తప్పు. కారణం దొర్లుడు వస్తు క్షణిక త్వరణం సున్నాకాదు.
d) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ ఒప్పు. దీనికి కారణం పరిపూర్ణ దొర్లుడు ఆరంభమయిన, ఘర్షణబలం సున్నా. కావున ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా పని జరుగును.
e) ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ ఒప్పు. దొర్లుడుకు అవసరమైన ఘర్షణను, స్పర్శబలం టార్క్ వల్ల ఏర్పరచును. వాలుతలం పరిపూర్ణంగా నున్నగా ఉంటే, దాని భారం వల్ల జారును.

ప్రశ్న 12.
ఒక కణవ్యవస్థ గమనాన్ని – ఆ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర గమనంగా, ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరమైన గమనంగా విభజించడం.
(a) p = p’_i; + m_i V అని చూపండి.
p_ii వ కణం (m; ద్రవ్యరాశి గల) రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p’_i = m_iv’_i. ఇక్కడ v’_i ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపరంగా iవ కణం వేగమని గుర్తించండి. ‘అలాగే ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిర్వచనాన్ని బట్టి ∑P’_i = 0 అని నిరూపించండి.

(b) K = K’ + ½MV² అని చూపండి.
K కణ వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి, K’ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా కణాల వేగాలను తీసుకొంటే వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి, MV²/2 వ్యవస్థను ఏక మొత్తంగా తీసుకొన్నప్పుడు (అంటే వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) దాని స్థానాంతరణ గతిజశక్తి విభాగం 7.14 లో ఈ ఫలితాన్ని ఉపయోగించాం.

(c) L = L’ + R × MV అని చూపండి.
L’ = ∑r’₁ P’₁, వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా (అంటే కణాల వేగాలను ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా లెక్కిస్తే), r’₁ = r₁ – R అని గుర్తుంచుకోండి. మిగతా సంకేతనాలు (notations) ఈ అధ్యాయంలో ఉపయోగించిన ప్రామాణిక సంకేతనాలే. L’, MR × V లు వరుసగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా కణవ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం, వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర ద్రవ్యవేగాలు.

τ_ext = ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపరంగా వ్యవస్థపై గల బాహ్య టార్క్లన్నింటి మొత్తం.
(Hint : ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిర్వచనాన్ని, న్యూటన్ మూడో గమన నియమాన్ని ఉపయోగించండి. రెండు కణాల మధ్య అంతర బలాలు ఆ రెండు కణాలను కలిపే రేఖ వెంబడి ఉంటాయని భావించండి).
సాధన:
a) మూలబిందువు ‘O’ పరంగా, m₁, m₂, …… m_i
ద్రవ్యరాశులు గల కణాల స్థాన సదిశలు \(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_i}\)1,2, గా తీసుకుందాం.
ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానసదిశ \(\overrightarrow{O P}\)గా తీసుకుంటే

ఇక్కడ మూలబిందువును O’కు మారిస్తే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం p’ వద్ద ఉందని ఊహిద్దాం. అప్పుడు

(1) వ సమీకరణాన్ని m; తో గుణించి, ఆ తరువాత
కాలం దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా,

మూలబిందువు మార్చినప్పటికి ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానంలో
మార్పు ఉండదు. ∴ ∑ P’_i = 0

b) భ్రమణ శుద్ధగతికశాస్త్రం ప్రకారం, కణాల వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి = K.E_T. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా తీసుకున్న వ్యవస్థ కణాల మొత్తం గతిజశక్తి + వ్యవస్థ స్థానాంతరణ గతిజశక్తి

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
0.5 m భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరుసగా 100g, 150 g, 200g
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు X -, y- అక్షాలను ఎంచుకొంటే సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందువులు 0, A, B ల నిరూపకాలు వరుసగా (0, 0), (0, 5, 0), (0.25,0:25 √3) . 100 g, 150g, 200g ద్రవ్యరాశులు వరుసగా O, A, B ల వద్ద ఉన్నాయనుకొంటే,

ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ( ను పటంలో చూపడమైంది. ఈ బిందువు త్రిభుజం OAB జ్యామితీయ కేంద్రం కాదని గమనించండి.

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజాకార పటలం (lamina) (పలక) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
భూమి (MN) కి సమాంతరంగా ఉండే సన్నటి పట్టీలుగా పటలం (∆LMN) ను పటంలో చూపినట్లు విభజించ వచ్చు. ప్రతి పట్టీ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, సౌష్టవాన్ని అనుసరించి, పట్టీ మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది. అన్ని పట్టీల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ ఒక రేఖను గీస్తే అది త్రిభుజ మధ్యగత రేఖ (median) అవుతుంది. మొత్తం మీద, త్రిభుజ పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఈ మధ్యగత రేఖపై ఉండాలి.

అదే విధంగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మధ్యగత రేఖలు MQ, NR లపై ఉంటుందని నిరూపించవచ్చు. అంటే ఈ మధ్యగత రేఖల ఖండన బిందువు వద్ద ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుంది. అంటే త్రిభుజ కేంద్రాభం వద్ద ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉంటుందన్నమాట.

ప్రశ్న 3.
L – ఆకారంలో ఉన్న పల్చని ఏకరీతి పలక (పటలం) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. దాని కొలతలు పటంలో చూపడమైనది. పలక ద్రవ్యరాశి 3 kg.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు X, Y అక్షాలను తీసుకుంటే L – ఆకారం ఉన్న పటలం శీర్షాలు 0(0, 0), A(2, 0), B(2, 1), D(1, 1), E(1, 2), F(0, 2) అవుతాయి. ఈ పటలాన్ని 1m భుజం ఉన్న మూడు చతుస్రాలుగా భావించ వచ్చు. ఈ చతురస్రాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు C₁, C₂, C₃లు సౌష్టవం వల్ల, ఆయా చతురస్రాల జ్యామితీయ కేంద్రాలవుతాయి. వాటి నిరూపకాలు వరుసగా (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) అని తెలుసుకోవచ్చు.

చతురస్రాల ద్రవ్యరాశులు ఈ బిందువుల వద్ద కేంద్రీకృత మైనట్లుగా మనం భావించవచ్చు. ఈ మూడు ద్రవ్యరాశి ‘బిందువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రమే, మొత్తంగా L. ఆకారం ఉన్న పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (X, Y) అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
20 kg ద్రవ్యరాశి, 3m పొడవు ఉన్న ఒక నిచ్చెన ఘర్షణలేని ఒక గోడకు వాలి ఉంది. నిచ్చెన కింది కొన నేలపై గోడనుంచి 1 m దూరంలో, (పటంలో చూపినట్లు) గోడ, నేలల ప్రతిచర్య బలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

నిచ్చెన AB పొడవు 3 m, దీని కింద కొన A, గోడ నుంచి AC = 1m దూరంలో ఉంది. పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని అనుసరించి BC = 2√2 m. నిచ్చెనపై బలాలు గరిమనాభి D ద్వారా ఉండే నిచ్చెన భారం W, గోడ, నేలల వల్ల కలిగే ప్రతిచర్య బలాలు వరుసగా F₁, F₂. గోడవల్ల ఘర్షణ లేనందున బలం F₁ గోడకు లంబంగా ఉంటుంది.

బలం F₂ ను రెండు అంశాలుగా, ఒకటి అభిలంబ ప్రతిచర్య N గానూ, రెండవ అంశం ఘర్షణ బలం F గానూ విభజించవచ్చు. బలం F నిచ్చెన గోడ నుంచి దూరంగా జారిపోకుండా నిరోధిస్తుంది. అందువల్ల F దిశ గోడవైపు ఉంటుంది.
స్థానాంతరణ సమతాస్థితి కోసం,
క్షితిజ లంబదిశలో బలాలు తీసుకొంటే
N – W = 0 ………….. (i)
క్షితిజ సమాంతర బలాలు తీసుకొంటే
F – F₁ = 0 ………….. (ii)

భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం, A బిందువు పరంగా బల భ్రామకాలను తీసుకొంటే,
2√2 F, – (1/2) W = 0 ………….. (iii)
ఇప్పుడు W = 20 g = 20 ×9.8 N = 196.0 N
(i) నుంచి N 196.0
(iii) నుంచి F₁ = W/ 4√2 = 196.0/4√2
= 34.6 N

(ii) నుంచి F = F₁ = 34.6 N
F2 = \(\sqrt{F^2+N^2}\)\sqrt{F^2+N^2}= 199.0 N

బలం F₂ క్షితిజంతో α కోణం చేస్తుంది.
tan α = N/F = 4√2, α = tan^-1(4√2)>80°

ప్రశ్న 5.
రెండు సదిశలు

ల అదిశ, సదిశా లబ్దాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
ω = ω + αt ను ప్రాథమిక సూత్రాల నుంచి రాబట్టండి.
సాధన:
కోణీయ త్వరణం ఏకరీతిగా ఉంటే,
\(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\) = α = : స్థిరాంకం …….. (i)
ఈ సమీకరణాన్ని సమాకలనం చేయగా,
ω = ∫αdt + c = at + c (α స్థిరాంకం)
t = 0 వద్ద, ω = ω₀ (ఇచ్చారు)
(i) నుంచి t = 0 వద్ద, ω = c = ω₀
ఆ విధంగా, ω = αt + ω₀ అవుతుంది.

ω = \(\frac{d \theta}{dt}\) నిర్వచనంతో పాటు ω = ω₀ + αt ను సమాకలనం చేస్తే θ = θ₀ + ω₀t + αt² మీకై ఒక అభ్యాసంగా వదిలేస్తున్నాం.

ప్రశ్న 7.
ఒక మోటారు చక్రం కోణీయ వడిని 1200 rpm నుంచి 3120 rpm కు 16 సెకన్లలో పెంచారు. (i) కోణీయ త్వరణం స్థిరమని భావించి, కోణీయ త్వరణాన్ని లెక్కించండి. (ii) ఈ సమయంలో ఇంజను ఎన్ని భ్రమణాలు చేస్తుంది?
సాధన:
(i) ω = ω₀ + αt ను ఉపయోగించాలి.
ω₀ = తొలి కోణీయ (వేగం) వడి rad/s

(ii) t కాలం తరువాత కోణీయ స్థానభ్రంశం

ప్రశ్న 8.
బలం (\(7\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}-5\hat{\mathbf{k}}\)) వల్ల, మూలబిందువు పరంగా టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం ప్రయోగించిన కణం స్థానసదిశ \(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}\) [Mar. ’14, ’13; May ’13]
సాధన:

ప్రశ్న 9.
స్థిర వేగంతో గమనంలో ఉన్న ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ఏ బిందువు పరంగానైనా, దాని గమనమంతటా స్థిరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
ఒకానొక కాలం వద్ద, కణం P బిందువు వద్ద ఉందనీ, దాని వేగం V అనీ అనుకొందాం. ఏదైనా ఒక బిందువు ౦ పరంగా ఆ కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కనుక్కోవాలని మనం అనుకొంటున్నాం.

కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం l = r × mv. దీని పరిమాణం mvr sin θ. r, v ల మధ్య కోణం θ. కణం స్థానం కాలంతోపాటు మారుతున్నా, వేగం దిశ స్థిరంగా ఉండటం వల్ల OM = r sin θ స్థిరంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
బలభ్రామకాలను ఏ బిందువు పరంగా లెక్కిస్తామో ఆ బిందువు స్థానంపై బలయుగ్మ భ్రామకం ఆధారపడదని చూపండి.
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు ఒక దృఢ వస్తువుపై ప్రయోగించిన బలయుగ్మాన్ని ఊహించండి. F, -F బలాలను వరుసగా బిందువులు B, A ల వద్ద ప్రయోగించారు. మూల బిందువు O పరంగా A, Bల స్థానసదిశలు r₁, r₂. మూలబిందువు పరంగా బలభ్రామకాలను లెక్కిద్దాం.

బలయుగ్మభ్రామకం = బలయుగ్మాన్ని ఏర్పరచే బలాల బలభ్రామకాల మొత్తం
= r₁ × (-F) + r₂ × F
= r₂ × F – r₁ × F
= (r₂ − r₁) × F
కాని r₁ + AB = r₂ కాబట్టి AB = r₂ – r₁.

అందువల్ల బలయుగ్మ భ్రామకం AB × F.

ఈ ఫలితం మూలబిందువు స్థానంతో సంబంధం లేకుండా స్వతంత్రంగా ఉంది (ఏ బిందువు పరంగా బలభ్రామకాలను కొలిచామో ఆ స్థానంతో సంబంధం లేదు).

ప్రశ్న 11.
ఒక వృత్తాకార పళ్ళెం (disc) జఢత్వ భ్రామకం, దాని ఏదైనా ఒక వ్యాసం పరంగా ఎంత?

పళ్ళెం తలానికి లంబంగా ఉంటూ, దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకం ఇచ్చినప్పుడు, పళ్ళెం, జఢత్వ భ్రామకాన్ని, దాని వ్యాసం వరంగా కనుక్కోవడం.
సాధన:
పళ్ళెం తలానికి లంబంగా ఉండి, దాని కేంద్రం నుంచి పోయే అక్షం పరంగా పళ్ళెం జఢత్వ భ్రామకం మనకు తెలుసు అనుకొందాం. ఆ విలువ MR²/2, M పళ్ళెం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్థం.

పళ్ళెం ఒక పలక వంటిదని భావించవచ్చు. అందువల్ల లంబాక్షాల సిద్ధాంతం ఈ సందర్భంలో అనువర్తనీయం. పటంలో చూపినట్లు మనం మూడు అనుషక్త అక్షాలు, x, y z అక్షాలను • బిందువు ద్వారా పోతున్నాయి అనుకొందాం. x, y – అక్షాలు పళ్ళెం తలంలోనే ఉన్నాయి. z అక్షం పళ్ళెం తలానికి లంబంగా ఉంది. లంబాక్షాల సిద్ధాంతం ప్రకారం
I_z = I_x = I_y

x, y అక్షాలు పళ్ళెం వ్యాసం వెంబడి ఉన్న అక్షాలు; సౌష్ఠవాన్ని అనుసరించి ఏ వ్యాసం పరంగానైనా పళ్ళెం జఢత్వ భ్రామకం సమానంగానే ఉండాలి. అందువల్ల
I_x = I_y
I_z = 2I_x
కాని I_z = MR²/2
అందువల్ల, చివరగా I_x = I_z/2 = MR²/4

ఆ విధంగా పళ్ళెం (ఏదైనా) వ్యాసం పరంగా దాని జఢత్వ భ్రామకం MR²/4.

ప్రశ్న 12.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న ఒక కడ్డీకి లంబంగా, ఒక కొన ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకం ఎంత?
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి I = Ml² / 12.
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం

2M ద్రవ్యరాశి, 21 పొడవు ఉన్న కడ్డీ మధ్య బిందువు నుంచి పోతూ, పొడవుకు లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జఢత్వ భ్రామకంలో సగం I’ అవ్వడం వల్ల ఈ ఫలితాన్ని స్వతంత్రంగానే సరిచూడవచ్చు.

ప్రశ్న 13.
ఒక కంకణం స్పర్శరేఖ పరంగా కంకణ జఢత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కంకణ తలానికి సమాంతరంగా ఉన్న కంకణం స్పర్శరేఖ ఒకానొక కంకణ వ్యాసానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. (పటం). ఈ రెండు సమాంతర అక్షాల మధ్య దూరం, కంకణ వ్యాసార్థం R అవుతుంది.

ప్రశ్న 14.
20 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక గతిపాలక చక్రం అంచువెంట తేలికైన దారం చుట్టడమైంది. వేలాడే దారం చివర ఒక లాగే బలాన్ని 25 N ల పరిమాణం కలది. పటంలో చూపినట్లు ప్రయోగించారు. గతిపాలక చక్రాన్ని క్షితిజ సమాంతర ఇరుసుకు ఘర్షణ లేని బేరింగులతో అమర్చారు.
(a) చక్రీయ కోణీయ త్వరణం లెక్కకట్టండి.
(b) 2m పొడవు దారం విచ్చుకొనేటట్లు లాగడానికి చేయవలసిన పనిని కనుక్కోండి.
(c) (b) లోని స్థితిని చేరడంలో గతిజ శక్తి కనుక్కోండి. చక్రం నిశ్చల స్థితి నుంచి
తిరగటం ప్రారంభించిందని భావించండి.
(d) (b), (c) లోని సమాధానాలను పోల్చండి.
సాధన:

(a) Iα = τ
టార్క్ τ = FR
25 × 0.20 Nm(R = 0.20m)
= 5.0 Nm
I = దాని అక్షం పరంగా గతిపాలక చక్రం జడత్వభ్రామకం = \(\frac{MR^2}{2}\)
= \(\frac{20.0\times(0.2)^2}{2}\)
= 0.4kg m²
α = కోణీయ త్వరణం
= 5.0 Nm/0.4_kg m² 12.5 C^-2
(b) 2m దారం చుట్టు విప్పడానికి జరిగిన పని
= 25 N × 2m = 50 J

(c) తుది కోణీయ వేగం ॥ అనుకొందాం. పొందిన గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω²

నిశ్చల స్థితి నుంచి భ్రమణం ప్రారంభమైనది కాబట్టి ఇప్పుడు
ω₂ = ω²₀ +2αθ, ω₀ = θ
కోణీయ స్థానభ్రంశం θ =
(విచ్చుకున్న దారం పొడవు) / (చక్రం వ్యాసార్థం)
= 2m/0.2 m = 10 rad
ω² = 2 × 12.5 ×10.0 = 250 (rad/s)²

పొందిన గతిజ శక్తి (K.E) = \(\frac{1}{2}\) × 0.4 × 250
= 50 J

(d) రెండింటి సమాధానం ఒకటే, అంటే చక్రం పొందిన గతిజశక్తి = బలం వల్ల జరిగిన పని. ఘర్షణ వల్ల శక్తి నష్టం జరగలేదు.

ప్రశ్న 15.
మూడు వస్తువులు, ఒక కంకణం, ఒక ఘన స్తూపం, ఒక ఘన గోళం, ఒకే వాలుతలంపై స్లిప్ కాకుండా దొర్లుతున్నాయి. అవి అన్నీ నిశ్చల స్థితి నుంచి దొర్లడం ప్రారంభించాయి. అన్నింటి వ్యాసార్థాలూ సమానం. ఏ వస్తువు గరిష్ఠ వేగంతో భూమిని (వాలు తలం కింది అంచును) చేరుతుంది?
సాధన:
దొర్లే వస్తువులకు శక్తి నిత్యత్వ సూత్రం వర్తిస్తుందని భావిద్దాం. అంటే ఘర్షణ వంటి బలాల వల్ల శక్తి నష్టం ఉండదని అనుకొందాం. అందువల్ల వాలుతలం వెంబడి కిందికి దొర్లే వస్తువు స్థితిజశక్తిలో తగ్గుదల (= mgh) వస్తువు గతిజశక్తిలో పెరుగుదలకు సమానం కావాలి (పటంలో చూడండి). వస్తువులు నిశ్చల స్థితి నుంచి బయలుదేరాయి. కాబట్టి అవి పొందిన గతిజశక్తి వాటి తుది గతిజశక్తికి సమానం.


υ² విలువ దొర్లే వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు;
కంకణానికి, k² = R²

పై ఫలితాల నుంచి క్షితిజ తలాన్ని చేరినప్పుడు మూడు వస్తువుల్లోనూ గోళానికి వేగం గరిష్టంగా, కంకణానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వేగం కనిష్టంగా ఉంటుందని తెలుస్తోంది. వస్తువులు సమాన ద్రవ్యరాశి కలిగి ఉన్నాయనుకోండి.

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(c)

I.

Question 1.
కింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° [May ’12]
Solution:
cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° = cos(100° – 40°)
= cos 60°
= \(\frac{1}{2}\)

(ii) \(\frac{\cot 55 – \cot 35}{\cot 55+\cot 35}\)
Solution:
\(\frac{\cot 55 – \cot 35}{\cot 55+\cot 35}\) = cot(55° + 35°)
= cot (90°)
= 0

(iii) \(\tan \left[\frac{\pi}{4}+\theta\right] \cdot \tan \left[\frac{\pi}{4}-\theta\right]\)
Solution:
\(\left[\frac{1+\tan A}{1-\tan A}\right]\left[\frac{1-\tan A}{1+\tan A}\right]=1\)

(iv) tan 75° + cot 75°
Solution:
tan 75° + cot 75° = 2 + √3 + 2 – √3 = 4

(v) sin 1140° cos 390° – cos 780° sin 750°
Solution:
sin 1140° cos 390° – cos 780° sin 750°
= sin(3 × 360° + 60°) cos(360° + 30°) – cos(2 × 360° + 60°) sin(2 × 360° + 30°)
= sin 60° . cos 30° – cos 60° . sin 30°
= sin(60° – 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)

Question 2.
(i) \(\frac{\sqrt{3} \cos 25+\sin 25}{2}\) ను sine కోణంగా రాయండి.
Solution:
\(\frac{\sqrt{3} \cos 25+\sin 25}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 25° + \(\frac{1}{2}\) sin 25°
= sin 60° . cos 25° + cos 60° . sin 25°
= sin(60° + 25°)
= sin 85°

(ii) (cos θ – sin θ) ను cosine కోణంగా రాయండి.
Solution:
(cos θ – sin θ)
√2 ని భాగించి, గుణించగా

(iii) sin(θ + α) = cos(θ + α) అయితే, tan θ ను tan α పదాలలో రాయండి.
Solution:
tan θ in term of tan α, if sin(θ + α) = cos(θ + α)
ఇచ్చినది sin(θ + α) = cos(θ + α)
sin θ cos α + cos θ sin α = cos θ cos α – sin θ sin α
cos θ cos α తో భాగించగా
\(\frac{\sin \theta \cos \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}+\frac{\cos \theta \sin \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}\) = \(\frac{\cos \theta \cos \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}-\frac{\sin \theta \sin \alpha}{\cos \theta \cos \alpha}\)
⇒ tan θ + tan α = 1 – tan θ tan α
⇒ tan θ + tan θ tan α = 1 – tan α
⇒ tan θ (1 + tan α) = 1 – tan α
⇒ tan θ = \(\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\)

Question 3.
(i) tan θ = \(\frac{\cos 11^{\circ}+\sin 11^{\circ}}{\cos 11^{\circ}-\sin 11^{\circ}}\), θ మూడవ పాదంలో లేని కోణం θ ను కనుక్కోండి.
Solution:
ఇచ్చినది tan θ = \(\frac{\cos 11^{\circ}+\sin 11^{\circ}}{\cos 11^{\circ}-\sin 11^{\circ}}\)
= \(\frac{1+\tan 11^{\circ}}{1-\tan 11^{\circ}}\)
= tan(45° + 11°)
= tan(56°)
= tan(180° + 56°)
= tan 236°
θ = 236°

(ii) 0° < A, B < 90°, అయితే cos A = \(\frac{5}{13}\), sin B = \(\frac{4}{5}\), అయితే sin(A – B) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(iii) tan 20° + tan 40° + √3 tan 20° tan 40° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
consider 20° + 40° = 60°
tan(20° + 40°) = tan 60°
\(\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 40^{\circ}}{1-\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}}\) = √3
tan 20° + tan 40° = √3 – √3 tan 20° tan 40°
tan 20° + tan 40° + √3 tan 20° tan 40° = √3

(iv) tan 56° – tan 11° – tan 56° tan 11° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
consider 56° – 11° = 45°
tan(56° – 11°) = tan 45°
\(\frac{\tan 56^{\circ}-\tan 11^{\circ}}{1+\tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ}}\) = 1
tan 56° – tan 11° = 1 + tan 56° tan 11°
tan 56° – tan 11° – tan 56° tan 11° = 1

(v) cos A, cos B, cos C లలో ఏ ఒక్కటీ సున్నా కాకపోతే, \(\sum \frac{\sin (A+B) \sin (A-B)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\) ను గణించండి.
Solution:
\(\sum \frac{\sin (A+B) \sin (A-B)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\)

(vi) sin A, sin B, sin C లలో ఏ ఒక్కటీ సున్నా కాకపోతే, \(\sum \frac{\sin (C-A)}{\sin C \sin A}\) ను గణించండి.
Solution:

Question 4.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) cos 35° + cos 85° + cos 155° = 0
Solution:
cos 35° + cos 85° + cos 155°
= -cos 85° + 2 cos(\(\frac{35+155}{2}\)) cos(\(\frac{35-155}{2}\))
= -cos 85° + 2 cos 85° cos 60°
= -cos 85° + 2 cos 85° (\(\frac{1}{2}\))
= -cos 85° + cos 85°
= 0

(ii) tan 72° = tan 18° + 2 tan 54°
Solution:
cot A – tan A = \(\frac{1}{\tan A}\) – tan A
= \(\frac{1-\tan ^2 \mathrm{~A}}{\tan \mathrm{A}}\)
= \(\frac{2\left(1-\tan ^2 \mathrm{~A}\right)}{2 \tan \mathrm{A}}\)
= \(\frac{2}{\tan 2 A}\)
= 2 cot 2A
cot A = tan A + 2 cot 2A
put A = 18°
cot 18° = tan 18° + 2 cot 36°
cot(90° – 72°) = tan 18° + 2 cot(90° – 54°)
tan 72° = tan 18° + 2 tan 54°

(iii) sin 750° cos 480° + cos 120° cos 60° = \(\frac{-1}{2}\)
Solution:
sin 750° = sin(2 × 360° + 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)
cos 480° = cos(360° + 120°)
= cos 120°
= \(\frac{-1}{2}\)
L.H.S. = sin 750° cos 480° + cos 120° cos 60°

(iv) cos A + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) – A) + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) + A) = 0
Solution:
cos A + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) – A) + cos(\(\frac{4 \pi}{3}\) + A)
= cos A + 2 cos \(\frac{4 \pi}{3}\) cos A [∵ cos(A + B) + cos(A – B) = 2 cos A cos B]
= cos A + 2(\(\frac{-1}{2}\)) cos A
= cos A – cos A
= 0

(v) \(\cos ^2 \theta+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{3}+\theta\right)+\cos ^2\left(\frac{2 \pi}{3}-\theta\right)=\frac{3}{2}\)
Solution:

Question 5.
క్రింది వాటిని గణించండి.
(i) \(\sin ^2 82 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1^{\circ}}{2}\)
Solution:

(ii) \(\cos ^2 112 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 52 \frac{1}{2}\)
Solution:

(iii) \(\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right]-\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right]\)
Solution:
\(\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}+\frac{A}{2}\right]-\sin ^2\left[\frac{\pi}{8}-\frac{A}{2}\right]\)

(iv) \(\cos ^2 52 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
Solution:

Question 6.
కింది వాటికి కనిష్ఠ, గరిష్ఠ విలువలు కనుక్కోండి.
(i) 3 cos x + 4 sin x
Solution:
a = 4, b = 3, c = 0
కనిష్ట విలువ = \(c-\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = -5
గరిష్ఠ విలువ = \(c+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = 5

(ii) sin 2x – cos 2x
Solution:
a = 1, b = -1, c = 0
కనిష్ట విలువ = \(c-\sqrt{a^2+b^2}=-\sqrt{1+1}\) = -√2
గరిష్ఠ విలువ = \(c+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+1}\) = √2

Question 7.
కింది వాటికి వ్యాప్తి కనుక్కోండి.
(i) 7 cos x – 24 sin x + 5
Solution:
a = 24, b = 7, c = 5

(ii) 13 cos x + 3√3 sin x – 4
Solution:
a = 3√3, b = 13, c = -4

II.

Question 1.
(i) \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, 0 < β < \(\frac{\pi}{2}\), cos α = \(\frac{-3}{5}\), sin β = \(\frac{7}{25}\) అయితే tan(α + β), sin(α + β) ల విలువలు కనుక్కోండి.
Solution:

(ii) 0 < A < B < \(\frac{\pi}{4}\), sin(A + B) = \(\frac{24}{25}\), cos(A – B) = \(\frac{4}{5}\) అయితే tan 2A విలువను కనుక్కోండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:

(iii) A + B, A లు లఘు కోణాలు అవుతూ sin(A + B) = \(\frac{24}{25}\), tan A = \(\frac{3}{4}\) అయితే, cos B విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

(iv) tan α – tan β = m, cot α – cot β = n అయితే, cot(α – β) = \(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\) అని చూపండి.
Solution:
tan α – tan β = m
⇒ \(\frac{1}{\cot \alpha}-\frac{1}{\cot \beta}\) = m

(v) α, β లు ప్రథమ పాదంలోని కోణాలు, tan(α – β) = \(\frac{7}{24}\), tan α = \(\frac{4}{3}\) అయితే, α + β = \(\frac{\pi}{2}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
(i) sin(A + B – C) విస్తరణను కనుక్కోండి.
Solution:
sin(A + B – C)
= sin[(A + B) – C]
= sin(A + B) . cos C – cos(A + B) sin C
= (sin A cos B + cos A sin B) cos C – (cos A cos B – sin A sin B) sin C
= sin A cos B cos C + cos A sin B cos C – cos A cos B sin C + sin A sin B sin C

(ii) cos(A – B – C) విస్తరణను కనుక్కోండి.
Solution:
cos(A – B – C)
= cos{(A – B) – C}
= cos(A – B) cos C + sin(A – B) sin C
= (cos A cos B + sin A sin B) cos C + (sin A cos B – cos A sin B) sin C
= cos A cos B cos C + sin A sin B cos C + sin A cos B sin C – cos A sin B sin C

(iii) ∆ABC లో A గురు కోణం, sin A = \(\frac{3}{5}\), sin B = \(\frac{5}{13}\) అయితే, sin C = \(\frac{16}{65}\) అని చూపండి.
Solution:
ఇచ్చినది sin A = \(\frac{3}{5}\)
cos²A = 1 – sin²A
= 1 – \(\frac{9}{25}\)
= \(\frac{16}{25}\)
cos A = ±\(\frac{4}{5}\)
A గురు కోణం ⇒ 90° < A < 180°
tan A in II quadrant ⇒ cos A is negative
∴ cos A = \(\frac{-4}{5}\)
ఇచ్చినది sin β = \(\frac{5}{13}\)
cos²β = 1 – sin²β
= 1 – \(\frac{25}{169}\)
= \(\frac{144}{169}\)
cos β = ±\(\frac{1}{2}\)
β is acute ⇒ cos b is possible
sin β = \(\frac{12}{13}\)
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sin C = sin(180° – (A + B))
= sin(A + B)
= sin A cos B + cos A sin B
= \(\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right)+\left(\frac{-4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)\)
= \(\frac{16}{65}\)
∴ sec C = \(\frac{16}{65}\)

(iv) \(\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha-\beta)}=\frac{a+b}{a-b}\) అయితే, a tan β = tan α అని చూపండి.
Solution:

III.

Question 1.
(i) A – B = \(\frac{3 \pi}{4}\) అయితే, (1 – tan A) (1 + tan B) = 2 అని చూపండి.
Solution:
A – B = \(\frac{3 \pi}{4}\)
tan(A – B) = tan \(\frac{3 \pi}{4}\)
\(\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\) = -1
tan A – tan B = -1 – tan A tan B
1 = -tan A + tan B – tan A tan B
2 = 1 – tan A + tan B – tan A tan B
2 = (1 – tan A) – tan B(1 – tan A)
(1 – tan A) (1 – tan B) = 2

(ii) A + B + C = \(\frac{\pi}{2}\), A, B, C లలో ఏ ఒక్కటీ \(\frac{\pi}{2}\) కి బేసి గుణిజం కాకపోతే
(a) cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C అని చూపండి.
(b) tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1 అని చూపి, దాని నుంచి \(\sum \frac{\cos (B+C)}{\cos B \cos C}\) = 2 అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
(i) sin²α + cos²(α + β) + 2 sin α sin β cos(α + β) అనేది α పై ఆధారపడదని చూపండి.
Solution:
sin²α + cos²(α + β) + 2 sin α cos(α + β)
= sin²α + cos(α + β) (cos(α + β) + 2 sin α sin β)
= sin²α + cos(α + β) (cos α cos β – sin α sin β + 2 sin α sin β)
= sin²α + cos(α + β) (cos α cos β + sin α sin β)
= sin²α + cos(α + β) cos(α – β)
= sin²α + cos²β – sin²α
= cos²β

(ii) cos²(α – β) + cos²β – 2 cos(α – β) cos α cos β అనేది β పై ఆధారపడదని చూపండి.
Solution:
cos²(α – β) + cos²β – 2 cos(α – β) cos α cos β
= cos²(α – β) + cos²β – cos(α – β) [cos(α + β) + cos(α – β)]
= cos²(α – β) + cos²β – cos(α – β) cos(α + β) – cos²(α – β)
= cos²β – [cos²β – sin²α]
= cos²β – cos²β + sin²α
= sin²α

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(b)

I. కింది ప్రమేయాలకు ఆవర్తనాలు కనుక్కోండి.

Question 1.
cos(3x + 5) + 7
Solution:
f(x) = cos(3x + 5) + 7
g(x) = cos x, ∀ x ∈ R కు ఆవర్తనం 2π
f(x) = cos(3x + 5) + 7
f(x) ఆవర్తనం \(\frac{2 \pi}{|3|}=\frac{2 \pi}{3}\)

Question 2.
tan 5x
Solution:
f(x) = tan 5x
g(x) = tan x ఆవర్తనం π
∴ f(x) = tan 5x
\(\frac{\pi}{|5|}=\frac{\pi}{5}\)

Question 3.
\(\cos \left(\frac{4 x+9}{5}\right)\) [Mar. ’14]
Solution:

Question 4.
|sin x|
Solution:
f(x) = |sin x|
h(x) = sin x ∀ x ∈ R ఆవర్తనం 2π
f(x) = |sin x| ఆవర్తనం π
∵ f(x + π) = |sin(x + π)|
= |-sin x|
= sin x
∴ |sin x| ఆవర్తనం π

Question 5.
tan(x + 4x + 9x + ……. + n²x) (n ధన పూర్ణాంకం) [(A.P & T.S) Mar. ’15]
Solution:
tan(1² + 2² + 3² + ……. + n²)x
= \(\tan \left[\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\right] x\)
ఆవర్తనం = \(\frac{6 \pi}{n(n+1)(2 n+1)}\)

Question 6.
ఆవర్తనం \(\frac{2}{3}\) గా గల ఒక sin ప్రమేయాన్ని కనుక్కోండి.
Solution:
\(\frac{2 \pi}{|k|}=\frac{2}{3}\)
3π = |k|
∴ sin kx = sin 3πx

Question 7.
ఆవర్తనం 7గా గల ఒక cos ప్రమేయాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
Solution:
\(\frac{2 \pi}{k}\) = 7
\(\frac{2 \pi}{7}\) = k
∴ cos kx = cos \(\frac{2 \pi}{7}\)x

II. కింది వాటికి రేఖాచిత్రాలను వేయండి.

Question 1.
0, \(\frac{\pi}{4}\) ల మధ్య tan x ప్రమేయం
Solution:

Question 2.
[0, π] అంతరంలో cos 2x ప్రమేయం
Solution:

Question 3.
(0, π) అంతరంలో sin 2x ప్రమేయం
Solution:

Question 4.
[-π + π] అంతరంలో sin x ప్రమేయం
Solution:

Question 5.
[0, π] అంతరంలో cos²x ప్రమేయం
Solution:

Question 6.
[0, π] అంతరంలో y = sin x, y = cos x, X-అక్షాల మధ్యభాగం.
Solution:

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 6 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు, పరివర్తనలు Exercise 6(a)

I.

Question 1.
ఈ క్రింది వాటిని సూక్ష్మీకరించండి.
(i) tan(θ – 14π)
Solution:
tan(θ – 14π) = tan(14π – θ)
= tan(2 . (7π) – θ)
= tan θ

(ii) cot(\(\frac{21 \pi}{2}\) – θ)
Solution:
cot(\(\frac{21 \pi}{2}\) – θ) = cot(10π + (\(\frac{\pi}{2}\) – θ))
= cot(\(\frac{\pi}{2}\) – θ)
= tan θ

(iii) cosec(5π + θ)
Solution:
cosec(5π + θ) = cosec(2π + (3π + θ))
= cosec(3π + θ)
= cosec(2π + (π + θ))
= cosec (π + θ)
= -cosec θ

(iv) sec(4π – θ)
Solution:
sec(4π – θ) = sec(2π + (2π – θ))
= sec (2π – θ)
= sec θ

Question 2.
క్రింది వాటి విలువలు కనుక్కోండి.
(i) sin(-405°)
Solution:
sin (-405°) = sin(360° + 45°)
= -sin 45°
= \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(ii) cos(\(-\frac{7 \pi}{2}\))
Solution:
cos(\(-\frac{7 \pi}{2}\)) = -cos(\(\frac{7 \pi}{2}\))
= cos 630°
= cos (360° + 270°)
= -cos 270°
= cos(180° + 90°)
= -cos 90°
= 0

(iii) sec(2100°)
Solution:
sec(2100°) = sec (5 × 360° + 300°)
= sec 300°
= sec(360° – 60°)
= sec 60°
= 2

(iv) cot(-315°)
Solution:
cot(-315°) = -cot 315°
= cot(360° – 45°)
= -cot 45°
= 1

Question 3.
కింది వాటిని గణించండి.
(i) cos²45° + cos²135° + cos²225° + cos²315°
Solution:
cos²45° + cos²135° + cos²225° + cos²315°

(ii) \(\sin ^2 \frac{2 \pi}{3}+\cos ^2 \frac{5 \pi}{6}-\tan ^2 \frac{3 \pi}{4}\)
Solution:
\(\sin ^2 \frac{2 \pi}{3}+\cos ^2 \frac{5 \pi}{6}-\tan ^2 \frac{3 \pi}{4}\)

(iii) cos 225° – sin 225° + tan 495° – cot 495°
Solution:
cos(180° + 45°) – sin(180° + 45°) + tan(360° + 135°) – cot(360° + 135°)
= -cos 45° + sin 45° – tan 135° + cot 135°
= \(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\) + 1 – 1
= 0

(iv) (a) θ = \(\frac{7 \pi}{4}\), (b) θ = \(\frac{11 \pi}{3}\) అయినప్పుడు (cos θ – sin θ) ల విలువ.
Solution:

Question 4.
(i) కోణం θ మూడో పాదంలో లేదు, sin θ = \(\frac{-1}{3}\) అయితే (a) cos θ (b) cot θ ల విలువలు కనుక్కోండి. [Mar. ’13]
Solution:
∵ sin θ = \(\frac{-1}{3}\), sin θ ఋణాత్మకం.
θ మూడవ పాదంలో లేదు.
⇒ θ నాల్గవ పాదంలో ఉంటుంది.
∴ నాల్గవ పాదంలో cos θ +ve, cot θ -ve.

(ii) కోణం θ ఒకటో పాదం లో లేదు, cos θ = t (0 < t < 1) అయితే (a) sin θ (b) tan θ విలువలను కనుక్కోండి.
Solution:
cos θ = t, (0 < t < 1)
⇒ cos θ ధనాత్మకం
θ ఒకటవ పాదంలో లేదు.
⇒ θ నాల్గవ పాదంలో ఉంటుంది.

(iii) sin 330° cos 120° + cos 210° sin 300° విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
sin 330° cos 120° + cos 210° sin 300°
= sin(360° – 30°) . cos(180° – 60°) + cos(180° + 30°) . sin(360° – 60°)
= (-sin 30°) (-cos 60°) + (-cos 30°) (-sin 60°)
= sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60°
= sin(30° + 60°) [∵ sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B)]
= sin(90°)
= 1

(iv) cosec θ + cot θ = \(\frac{1}{3}\), అయితే, cos θ ను కనుక్కొని θ ఏ పాదంలో ఉందో నిర్థారించండి.
Solution:
∵ cosec θ + cot θ = \(\frac{1}{3}\)
cosec θ – cot θ = 3 (∵cosec²θ – cot²θ = 1)

Question 5.
(i) sin α + cosec α = 2, n ∈ z అయితే sinⁿα + cosecⁿα విలువను కనుక్కోండి. [May ’13]
Solution:
ఇచ్చినది sin α + cosec α = 2
S.B.S.
sin²α + cosec²α + 2 = 4
sin²α + cosec²α = 2
sin α + cosec α = 2
C.B.S.
sin³α + cosec³α + 3 sin α . cosec α (sin α + cosec α) = 8
sin³α + cosec³α + 3(2) = 8
sin³α + cosec³α = 8 – 6
sin³α + cosec³α = 2
similarly sinⁿα + cosecⁿα = 2

(ii) sec θ + tan θ = 5 అయితే, θ ఉండే పాదాన్ని, sin θ విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

II.

Question 1.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{\cos (\pi-A) \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2}+A\right) \cos (-A)}{\tan (\pi+A) \tan \left[\frac{3 \pi}{2}+A\right] \sin (2 \pi-A)}\)
Solution:
\(\frac{\cos (\pi-A) \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2}+A\right) \cos (-A)}{\tan (\pi+A) \tan \left[\frac{3 \pi}{2}+A\right] \sin (2 \pi-A)}\)
= \(\frac{-\cos A(-\tan A) \cos A}{\tan A(-\cot A)\left(-\sin ^{\prime} A\right)}\)
= cos A

(ii) \(\frac{\sin (3 \pi-A) \cos \left(A-\frac{\pi}{2}\right) \tan \left(\frac{3 \pi}{2}-A\right)}{{cosec}\left(\frac{13 \pi}{2}+A\right) \sec (3 \pi+A) \cot \left(A-\frac{\pi}{2}\right)}\) = cos4A
Solution:
\(\frac{\sin (3 \pi-A) \cos \left(A-\frac{\pi}{2}\right) \tan \left(\frac{3 \pi}{2}-A\right)}{{cosec}\left(\frac{13 \pi}{2}+A\right) \sec (3 \pi+A) \cot \left(A-\frac{\pi}{2}\right)}\)

(iii) sin 780° . sin 480° + cos 240° . cos 300° = \(\frac{1}{2}\)
Solution:
sin 780° . sin 480° + cos 240° . cos 300°
= sin(2(360°) + 60°) . sin(360° + 120°) + cos(270° – 30°) . cos(360° – 60°)
= sin 60° . sin 120° – sin 30° cos 60°

(iv) \(\frac{\sin 150^{\circ}-5 \cos 300^{\circ}+7 \tan 225^{\circ}}{\tan 135^{\circ}+3 \sin 210^{\circ}}\) = -2
Solution:
\(\frac{\sin 150^{\circ}-5 \cos 300^{\circ}+7 \tan 225^{\circ}}{\tan 135^{\circ}+3 \sin 210^{\circ}}\)

(v) \(\cot \left(\frac{\pi}{20}\right) \cdot \cot \left(\frac{3 \pi}{20}\right) \cdot \cot \left(\frac{5 \pi}{20}\right) \cdot \cot \left(\frac{7 \pi}{20}\right)\) . \(\cot \left(\frac{9 \pi}{20}\right)\) = 1
Solution:
L.H.S = \(\cot \left(\frac{\pi}{20}\right) \cdot \cot \left(\frac{3 \pi}{20}\right) \cdot \cot \left(\frac{5 \pi}{20}\right) \cdot \cot \left(\frac{7 \pi}{20}\right)\) . \(\cot \left(\frac{9 \pi}{20}\right)\)
= cot(9°) cot(27°) cot(45°) cot(63°) cot(81°)
= cot(9°) cot(27°) (1) cot(90° – 27°) cot(90° – 9°)
= cot(9°) cot(27°) tan 27° tan 9°
= (tan 9° cot 9°) (tan 27° cot 27°)
= (1) (1)
= 1

Question 2.
(i) \(\frac{\sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) \tan \left(\frac{35 \pi}{6}\right) \sec \left(-\frac{7 \pi}{3}\right)}{\cot \left(\frac{5 \pi}{4}\right) {cosec}\left(\frac{7 \pi}{4}\right) \cos \left(\frac{17 \pi}{6}\right)}\) ను సూక్ష్మీకరించండి.
Solution:
sin(\(\frac{-11 \pi}{3}\))
= sin(-660°)
= sin(-2 × 360° + 60°)
= sin 60°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
tan(\(\frac{35 \pi}{6}\))
= tan(1050°)
= tan(3 × 360° – 30°)
= -tan 30°
= \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
sec(\(-\frac{7 \pi}{3}\))
= sec(-420°)
= sec 420°
= sec(360° + 60°)
= sec 60°
= 2
cot(\(\frac{5 \pi}{4}\))
= cot(225°)
= cot(180° + 45°)
= cot 45°
= 1
cosec(\(\frac{7 \pi}{4}\))
= cosec(315°)
= cosec(270° + 45°)
= -sec 45°
= -√2
cos(\(\frac{17 \pi}{6}\))
= cos(570°)
= cos(540° – 30°)
= -cos 30°
= \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(ii) tan 20° = p అయితే, \(\frac{\tan 610^{\circ}+\tan 700^{\circ}}{\tan 560^{\circ}-\tan 470^{\circ}}=\frac{1-p^2}{1+p^2}\) అని చూపండి.
Solution:

Question 2.
α, β లు పూరక కోణాలు. b sin α = a, అయితే, sin α cos β – cos α sin β విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
∵ α, β లు పూరక కోణాలు.
α + β = 90°
⇒ β = 90° – α
sin α cos β – cos α sin β = sin(α – β)
= sin[(α – (90° – α)]
= sin[2α – 90°]
= -sin(90° – 2α)
= -cos 2α
= -(1 – 2 sin²α) (∵ cos 2α = 1 – 2 sin²α)
= -1 + 2\(\left(\frac{a}{b}\right)^2\) [∵ sin α = \(\frac{a}{b}\) (ఇవ్వబడినది)]
= \(\frac{-b^2+2 a^2}{b^2}\)
= \(\frac{2 a^2-b^2}{b^2}\)

Question 3.
(i) A రెండో పాదం లేని కోణం, B మూడవ పాదంలో లేని కోణం, cos A = cos B = \(-\frac{1}{2}\) అయితే, \(\frac{4 \sin B-3 \tan A}{\tan B+\sin A}\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:
Solution:
∵ cos A = \(-\frac{1}{2}\), A రెండవ పాదంలో లేదు.
cos A -ve, కనుక
⇒ A, మూడవ పాదంలో ఉంటుంది.
cos B = \(-\frac{1}{2}\), B మూడవ పాదంలో లేదు.
cos B -ve, కనుక
⇒ B, రెండవ పాదంలో ఉంటుంది.
∵ cos A = \(-\frac{1}{2}\)
A మూడవ పాదంలో ఉంటుంది.
⇒ A = 240°
∵ cos B = \(-\frac{1}{2}\), B రెండవ పాదంలో ఉంది.
⇒ B = 120°

(ii) కోణాలు A, B లు 4వ పాదంలో లేవు, 8 tan A = -15, 25 sin B = -7 అయితే, sin A cos B + cos A sin B = \(\frac{-304}{425}\) అని చూపండి.
Solution:
8 tan A = -15 ⇒ tan A = \(\frac{-15}{8}\)
25 sin B = -7 ⇒ sin B = \(\frac{-7}{25}\)
దత్తాంశము గురించి A, Bలు నాలుగో పాదంలో ఉండవు.
∴ A రెండవ పాదంలోను B మూడవ పాదంలో ఉండాలి.
sin A cos B + cos A sin B =

(iii) A, B, C, D లు ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం కోణాలు అయితే,
(a) sin A – sin C = sin D – sin B
(b) cos A + cos B + cos C + cos D = 0 అని చూపండి.
Solution:
∵ A, B, C, D లు చక్రీయ చతుర్భుజ కోణాలు,
⇒ A + C = 180°, B + D = 180°
⇒ C = 180° – A, D = 180° – B
(i) L.H.S. = sin A – sin C
= sin (A) – sin (180° – A)
= sin A – sin A
= 0
R.H.S. = sin D – sin B
= sin (180° – B) – sin B
= sin B – sin B
= 0
∴ L.H.S. = R.H.S.
i.e., sin A – sin C = sin D – sin B
(ii) L.H.S. = cos A + cos B + cos C + cos D
= cos A + cos B + cos (180° – A) + cos (180° – B)
= cos A + cos B – cos A – cos B
= 0
∴ cos A + cos B + cos C + cos D = 0

Question 4.
(i) a cos θ – b sin θ = c, a sin θ + b cos θ = \(\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}\) అని చూపండి.
Solution:
a cos θ – b sin θ = c
let a sin θ + b cos θ = x
వర్గము చేసి కూడగా
(a cos θ – b sin θ)² + (a sin θ + b cos θ)² = c² + x²
⇒ a² cos²θ + b² sin²θ – 2ab sin θ cos θ + a² sin²θ + b² cos²θ + 2ab sin θ = c² + x²
⇒ a² + b² = c² + x²
⇒ a² + b² – c² = x²
⇒ x = \(\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}\)
∴ a sin θ + b cos θ = \(\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}\)

(ii) 3 sin A + 5 cos A = 5, అయితే 5 sin A – 3 cos A = ±3 అని చూపండి.
Solution:
3 sin A + 5 cos A = 5
let 5 sec A – 3 cos A = x
ఇరువైపులా వర్గము చేసి కూడగా
(3 sin A + 5 cos A)² + (5 sin A – 3 cos A)² = 5² + x²
⇒ 9 sin²A + 25 cos²A + 30 sin A cos A + 25 sin²A + 9 cos²A – 30 sin A cos A = 25 + x²
⇒ 9 + 25 = 25 + x²
⇒ x² = 9
⇒ x = ±3
∴ 5 sin A – 3 cos A = ±3

(iii) tan²θ = (1 – e²), అయితే sec θ + tan³θ . cosec θ = \(\left(2-e^2\right)^{3 / 2}\) అని చూపండి.
Solution:
tan²θ = 1 – e²
sec²θ = 1 + tan²θ = 2 – e²
sec θ + tan³θ . cosec θ
= sec θ + \(\frac{\sin ^3 \theta}{\cos ^3 \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}\)
= sec θ + \(\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}\)
= sec θ + tan²θ . sec θ
= sec θ (1 + tan²θ)
= sec θ . sec²θ
= \(\left(2-e^2\right) \sqrt{2-e^2}\)
= \(\left(2-e^2\right)^{3 / 2}\)

III.

Question 1.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(\frac{\tan \theta+\sec \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\) [Mar. ’14]
Solution:

(ii) (1 + cot θ – cosec θ) (1 + tan θ + sec θ) = 2
Solution:
L.H.S. = (1 + cot θ – cosec θ) (1 + tan θ + sec θ)

(iii) 3(sin θ – cos θ)⁴ + 6(sin θ + cos θ)² + 4(sin⁶θ + cos⁶θ) = 13
Solution:
(sin θ – cos θ)² = sin²θ + cos²θ – 2 sin θ . cos θ = 1 – 2 sin θ cos θ
(sin θ – cos θ)⁴ = (1 – 2 sin θ cos θ)² = 1 + 4 sin²θ cos²θ – 4 sin θ cos θ …….(1)
(sin θ + cos θ)² = sin²θ + cos²θ + 2 sin θ cos θ = 1 + 2 sin θ cos θ ……(2)
sin⁶θ + cos⁶θ = (sin²θ + cos²θ)³ – 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) = 1 – 3 sin²θ cos²θ …….(3)
L.H.S. = 3(1 + 4 sin²θ cos²θ – 4 sin θ cos θ) + 6(1 + 2 sin θ cos θ) + 4(1 – 3 sin²θ cos²θ)
= 3 + 12 sin²θ cos²θ – 12 sin θ cos θ + 6 + 12 sin θ cos θ + 4 – 12 sin²θ cos²θ
= 3 + 6 + 4
= 13
= R.H.S.

Question 2.
కింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) (sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)² – (tan²θ + cot²θ) = 7
Solution:
L.H.S. = (sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)² – (tan²θ + cot²θ)
= (sin²θ + cosec²θ + 2 sin θ cosec θ) + (cos²θ + sec²θ + 2 cos θ sec θ – (tan²θ + cot²θ)
= (sin²θ + cos²θ) + (1 + cot²θ) + (1 + tan²θ) + 4 – tan²θ – cot²θ
= 1 + 1 + 1 + 4
= 7

(ii) cos⁴α + 2 cos²α \(\left(1-\frac{1}{\sec ^2 \alpha}\right)\) = (1 – sin⁴α)
Solution:
L.H.S. = cos⁴α + 2 cos²α \(\left(1-\frac{1}{\sec ^2 \alpha}\right)\)
= cos⁴α + 2 cos²α (1 – cos²α)
= cos²α [cos²α + 2 sin²α]
= (1 – sin²α) [cos²α + sin²α + sin²α]
= (1 – sin²α) (1 + sin²α)
= 1 – sin⁴α

(iii) \(\frac{(1+\sin \theta-\cos \theta)^2}{(1+\sin \theta+\cos \theta)^2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
Solution:

(iv) \(\frac{2 \sin \theta}{(1+\cos \theta+\sin \theta)}\) = x అయితే, \(\frac{(1-\cos \theta+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)}\) విలువను కనుక్కోండి.
Solution:

Question 3.
కింది వాటిలో θను లోపింపచేయండి.
(i) x = a cos³θ; y = b sin³θ
Solution:

(ii) x = a cos⁴θ; y = b sin⁴θ
Solution:

(iii) x = a(sec θ + tan θ); y = b(sec θ – tan θ)
Solution:
\(\frac{x}{a}\) = sec θ + tan θ
\(\frac{y}{b}\) = sec θ – tan θ
\(\frac{x}{a} \times \frac{y}{b}\) = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = sec²θ – tan²θ
\(\frac{xy}{ab}\) = 1
xy = ab

(iv) x = cot θ + tan θ; y = sec θ – cos θ
Solution:
ఇచ్చినది x = cot θ + tan θ, y = sec θ – cos θ
x² = (cot θ + tan θ)²
= cot²θ + tan²θ + 2 cot θ tan θ
= cot²θ + tan²θ + 2(1)
= (1 + tan²θ) + (1 + cot²θ)
= sec²θ + cosec²θ
= \(\frac{1}{\cos ^2 \theta}+\frac{1}{\sin ^2 \theta}\)
= \(\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta}\)
= \(\frac{1}{\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta}\)
∴ x² = sec²θ cosec²θ ……..(1)
y = (sec θ – cos θ)
y² = (sec θ – cos θ)²
y² = sec²θ + cos²θ – 2(sec θ cos θ)
= sec²θ + cos²θ – 2(1)
= (sec²θ – 1) – (1 – cos²θ)
= tan²θ – sin²θ
= sin²θ \(\left(\frac{1}{\cos ^2 \theta}-1\right)\)
= sin²θ (sec²θ – 1)
= sin²θ tan²θ ……..(2)
ఇప్పుడు x²y = (sec²θ cosec²θ) (sin θ tan θ)

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 1st Year Physics Study Material 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 1st Year Physics Study Material 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బలం వల్ల పని జరగని పరిస్థితులను తెలపండి.
జవాబు:

1. స్థానభ్రంశం శూన్యం అయినపుడు
2. బలదిశకు స్థానభ్రంశం లంబంగా ఉన్నప్పుడు
3. ఒక వస్తువు సంవృత పథంలో నిత్యత్వ బలం వల్ల చలించుట వల్ల జరుగు పని శూన్యం.

ప్రశ్న 2.
పని, సామర్థ్యం, శక్తులను నిర్వచించండి. వాటి S.I. ప్రమాణాలు తెలియచేయండి.
జవాబు:
పని :
బల ప్రయోగం వల్ల వస్తువు స్థానభ్రంశం పొందితే ఆ బలం పని చేసిందని అంటారు. i.e., W = \(\overrightarrow{F}.\overrightarrow{S}\) = F S cos θ.
S.I. ప్రమాణం : జౌల్
సామర్థ్యం : పని జరిగే రేటును సామర్థ్యం అంటారు.
S.I. ప్రమాణం : జౌల్ / సె లేక వాట్
శక్తి : పని చేసే దారుఢ్యాని శక్తి అంటారు.
S.I. ప్రమాణం : జౌల్.

ప్రశ్న 3.
గతిజ శక్తి, ద్రవ్యవేగాల మధ్య సంబంధాన్ని తెలియచేయండి.
జవాబు:
గతిజ శక్తి E_k = \(\frac{P^2}{2m}\) ; ఇక్కడ P = వస్తు ద్రవ్యవేగము.
m = వస్తు ద్రవ్యరాశి.

ప్రశ్న 4.
కింది సందర్భాల్లో బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
a) బకెట్ను బిగించిన తాడు సహాయంతో బావిలో నుంచి బకెట్ను తీసే సందర్భంలో మనిషి చేసిన పని.
b) పై సందర్భంలో గురుత్వ బలం చేసిన పని.
జవాబు:
a) చేసిన పని ధనాత్మకము
b) గురుత్వ బలం చేసిన పని ఋణాత్మకము.

ప్రశ్న 5.
కింది సందర్భాల్లో ఒక బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
a) ఒక వస్తువు వాలు తలంపై కిందికి జారుతున్నప్పుడు ఘర్షణ చేసిన పని.
b) పై సందర్భంలో గురుత్వ బలం చేసిన పని.
జవాబు:
a) ఘర్షణ చేసే పని ఋణాత్మకము
b) గురుత్వ బలం చేసిన పని ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 6.
కింది సందర్భాల్లో ఒక బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
a) ఒక వస్తువు సమవేగంతో ఘర్షణ ఉన్న క్షితిజ సమాంతర తలంపై చలిస్తూ ఉంటే అనువర్తించిన బలం చేసిన పని.
b) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని విరామస్థితిలోకి తేవడానికి గాలి నిరోధక బలం చేసే పని.
జవాబు:
a) బలం మరియు స్థానభ్రంశం ఒకే దిశలో ఉన్నాయి, కావున పని ధనాత్మకము.
b) నిరోధక బలం చేసే పని ఋణాత్మకము.

ప్రశ్న 7.
కింద ఇచ్చిన వివరణలు సరియైనవా ? కాదా ? మీ సమాధానాలకు కారణాలు ఇవ్వండి.
a) ఏ అంతర్బలాలు, బాహ్య బలాలు పనిచేస్తున్నప్పటికి ఒక వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
b) చంద్రుడు భూమి చుట్టూ ఒక భ్రమణం చేయడానికి భూమి గురుత్వ బలం చేసిన పని శూన్యం.
జవాబు:
a) సరియైనది కాదు.
b) సరియైనదే. కారణం గురుత్వ బలం నిత్యత్వ బలం.

ప్రశ్న 8.
కింది సందర్భాల్లో ఏ భౌతికరాశి స్థిరంగా ఉంటుంది?
i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో
ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో
జవాబు:
i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో – గతిజశక్తి మరియు ద్రవ్యవేగంలు స్థిరము.
ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో – ద్రవ్యవేగం స్థిరం. గతిజశక్తి స్థిరం కాదు.

ప్రశ్న 9.
‘h’ ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడిన ఒక వస్తువు చదునైన నేలను తాకిన తరవాత h/2 ఎత్తుకు పైకి లేస్తే ఆ వస్తువుకు, నేలకు మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 10.
స్వేచ్ఛగా కొంత ఎత్తు నుంచి భూమిపై పడ్డ వస్తువు అనేకసార్లు అదేచోట పడి లేచిన తరవాత అభిఘాతాలు ఆగిపోయే లోపు దాని మొత్తం స్థానభ్రంశం ఎంత ? వస్తువుకు, భూమికి మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం ‘e’ అనుకోండి.
జవాబు:
మొత్తం స్థానభ్రంశం S = \(\frac{h (1 + e^2)}{(1 – e^2)}\)
h = ఎత్తు, e = ప్రత్యావస్థ గుణకము.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిజ శక్తి అంటే ఏమిటి ? గురుత్వ స్థితిజ శక్తికి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

స్థితిజ శక్తి (P.E.) :
ఒక వస్తువుకు దాని స్థానం వలనగాని, స్థితి వలన గాని కలిగి శక్తిని స్థితిజ శక్తి అంటారు.
ఉదా : 1) ఎత్తున ఉన్న రిజర్వాయర్లో నిల్వ ఉన్న నీటికి గల శక్తి.
2) సాగదీసిన రబ్బరుకు గల శక్తి.

సమీకరణము :
m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును భూ ఉపరితలం నుండి h ఎత్తుకు తీసుకొని వెళ్ళడానికి, గురుత్వాకర్షణ బలానికి వ్యతిరేకంగా కొంత పని చేయాలి. ఈ పని ఆ వస్తువులో స్థితిజ శక్తిగా నిల్వయుండును.
గురుత్వాకర్షణ బలము F = mg
చేయవలసిన పని W = గురుత్వాకర్షణబలం × ఎత్తు
= mg × h
W = mgh
ఈ పని వస్తువులో స్థితిజ శక్తిగా నిల్వయుండును.
∴ స్థితిజశక్తి (P.E.) mgh

ప్రశ్న 2.
ఒకే ద్రవ్యవేగం కలిగి ఉన్న ఒక లారీ, కార్లను విరామస్థితికి తీసుకొని రావడానికి ఒకే బ్రేక్ బలాన్ని ఉపయోగించారు. ఏ వాహనం తక్కువ కాలంలో విరామ స్థితికి వస్తుంది? ఏ వాహనం తక్కువ దూరంలో ఆగుతుంది?
జవాబు:

ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి (లారీ) గల వస్తువు తక్కువ కాలంలో నిశ్చల స్థితికి వచ్చును. కావున లారీ తక్కువ దూరంలో విరామ స్థితికి వస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
నిత్యత్వ, అనిత్యత్వ బలాల మధ్య తేడాలను రాయండి. వాటికి ఒక్కొక్క ఉదాహరణ కూడా రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 4.
ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో అభిఘాతానికి ముందు రెండు వస్తువుల అభిగమన సాపేక్ష వేగం అభిఘాతం తరవాత వాటి నిగమన సాపేక్ష వేగానికి సమానం అని చూపండి.
జవాబు:

m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులు గల నునుపుగా ఉన్న రెండు గోళాలు సరళరేఖ మార్గంలో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్నాయి అనుకుందాము. అభిఘాతానికి పూర్వం వాటి వేగాలు u₁, u₂ (u₁ > u₂). అభిఘాతం తరువాత వాటి వేగాలు v₁, v₂. ఈ అభిఘాతం స్థితిస్థాపక అభిఘాతం.

రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము,
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ …………. (1)
m₁(u₁ – v₁) = m₂(v₂ – u₂) …………. (2)
గతిజశక్తి నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము,

∴ అభిఘాతానికి ముందు వస్తువుల అభిగమన సాపేక్షవేగం, అభిఘాతం తరువాత వాటి నిగమన సాపేక్ష వేగానికి సమానము.

ప్రశ్న 5.
రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు ఏటవాలు స్థితిస్థాపక అభిఘాతం చెందినప్పుడు అభిఘాతం తరవాత అవి- ఒకదానికొకటి లంబంగా చలిస్తాయని చూపండి.
జవాబు:
ఏటవాలు స్థితిస్థాపక అభిఘాతం :
అభిఘాత వస్తువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు, ఒక రేఖ వెంట చలించకపోతే, అటువంటి అభిఘాతాన్ని ఏటవాలు అభిఘాతం అంటారు.

రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు, స్థితిస్థాపక ఏటవాలు అభిఘాతం చెందిన తరువాత పరస్పరం లంబంగా చలిస్తాయి. (రెండవ వస్తువు విరామస్థితిలో ఉంటే ) :
u₂ = 0, m₁ = m₂ అయినపుడు (2) వ సమీకరణముననుసరించి, Φ = 0 అవుతుంది. (8) వ సమీకరణముననుసరించి
θ = 90°. m ద్రవ్యరాశి గల గోళం, అంతే ద్రవ్యరాశి, నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న స్థితిస్థాపక గోళంతో ఏటవాలు అభిఘాతం చెందితే, అభిఘాతం తరువాత ఆ గోళాలు గమన దిశలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 6.
కొంత ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిన వస్తువు భూమితో ‘n’ అభిఘాతాలు చెందిన తరవాత అది పొందిన ఎత్తుకు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
m ద్రవ్యరాశి గల చిన్న గోళం ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా పడుతూ భూమిని ‘u₁‘ వేగంతో తాకినదనుకొనుము.
అప్పుడు u₁ = √2gh ……….. (1)
గోళమును మొదటి వస్తువుగా భూమిని రెండవ వస్తువుగా తీసుకొనిన భూమి తొలి,
తుదివేగాలు వరుసగా u₂ = 0, v₂ = 0 అవుతాయి.

i) గోళం భూమిని తాకిన తరువాత పైకి లేచిన వేగము v₁ అనుకొనిన

ఋణగుర్తు గోళం పైకి లేచుటను తెలియచేయును.
మొదటి అభిఘాతం తరువాత పైకి లేచిన ఎత్తు h₁ అయిన

(లేదా) h₁ = (e²)¹ h ఇక్కడ ‘ఒకటి’ అభిఘాతముల సంఖ్యను తెలియజేయును. ఇదే విధంగా 2వ అభిఘాతం తరువాత పైకి లేచిన ఎత్తు h₂ అయితే
h₂ = (e²)² h అని చూపవచ్చును.
∴ ‘n’ అభిఘాతాల తరువాత వస్తువు పైకి ఎగిరే వేగము
v_n = eⁿ √2gh
∴ పైకి పోయే ఎత్తు h_n = (e²)ⁿ h.

ప్రశ్న 7.
శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ మీద పనిచేసే అంతర్బలాలు నిత్యత్వ బలాలైనపుడు, బాహ్య బలాలు పనిచేయనంత వరకు వ్యవస్థ మొత్తం యాంత్రిక శక్తి స్థిరంగా ఉండును. దీనినే శక్తి నిత్యత్వ నియమము అంటారు. కొన్ని బలాలు అనిత్యత్వ బలాలైతే, యాంత్రికశక్తిలో కొంత భాగము ఉష్ణం, కాంతి మరియు ధ్వనిగా మారును. ఒక వియుక్త వ్యవస్థలో అన్ని రూపాలలోని శక్తులను పరిగణిస్తే, మొత్తం శక్తి మారక, స్థిరంగా ఉండును. ఒక రూపంలోని శక్తిని, మరొక రూపంలోనికి మార్చవచ్చును. కాని వియుక్త వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి స్థిరం. శక్తిని సృష్టించలేము మరియు నాశనం చేయలేము. దీనికి కారణం విశ్వం మొత్తంను, వియుక్తవ్యవస్థ దృష్టిలో చూస్తే, విశ్వం మొత్తం శక్తి స్థిరం. విశ్వంలో ఒక భాగం శక్తిని కోల్పోతే, మరియొక భాగం శక్తిని గ్రహించును.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
పని, గతిజశక్తి భావనలను అభివృద్ధిపరచి ఇది పని శక్తి సిద్ధాంతానికి దారితీస్తుందని చూపండి. [Mar. ’14]
జవాబు:
ప్రవచనం :
కణంపై నికర బలం చేసిన పని దాని గతిజశక్తిలోని మార్పుకు సమానము. i. e., k_f – k_i = W

నిరూపణ :
‘m’ ద్రవ్యరాశిగల కణము u తొలివేగం నుండి v తుదివేగం నకు చలించినట్లు భావిద్దాం. ‘a’ స్థిర త్వరణంతో S దూరం ప్రయాణించిందని భావిద్దాం. శుద్ధగతిక సంబంధం,
v² – u² = 2as …………. (1)
ఇరువైపులా \(\frac{m}{2}\) చే గుణించగా,
\(\frac{1}{2}\) mv² – \(\frac{1}{2}\)mu² = mas = FS ………….. (2)
చివరి స్టెప్ న్యూటన్స్ రెండవ నియమము నుండి తీసుకోబడింది.
(1)వ సమీకరణంను సాధారణంగా త్రిమితీయ సదిశరూపంలో క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.

నిర్ణీత స్థానభ్రంశమునకు కణంపై బలం చేసిన పని W సూచించును.
k_f – k_i = W ……………. (4)
సమీకరణం (4) పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రత్యేక సందర్భము.

ప్రశ్న 2.
అభిఘాతాలు అంటే ఏమిటి? వాటిలో సాధ్యమయ్యే రకాలను వివరించండి. ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతాల సిద్ధాంతాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
అభిఘాతం :
రెండు వస్తువుల మధ్య అన్యోన్య చర్యను అభిఘాతం అంటారు.

అభిఘాతంలు రెండు రకములు :
i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతములు :
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ మరియు గతిశక్తి నిత్యత్వ నియమాలను పాటించు అభిఘాతాలను స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు అంటారు.

ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతములు :
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం పాటించబడి, గతిజశక్తి నిత్యత్వనియమము పాటించబడని అభిఘాతాలను, అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు అంటారు.

ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతము :

m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులు గల నునుపుగా ఉన్న రెండు గోళాలు సరళరేఖా మార్గంలో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్నాయి. అనుకుందాము. అభిఘాతానికి పూర్వం వాటి వేగాలు u₁, u₂ (u₁ > u₂). అభిఘాతం తరువాత వాటి వేగాలు v₁, v₂ (v₂ > v₁). ఈ అభిఘాతం స్థితిస్థాపక అభిఘాతం. స్థితిస్థాపక అభిఘాతం ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ మరియు గతిజశక్తి నిత్యత్వ నియమమును పాటించును.

రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము,

∴ అభిఘాతానికి ముందు వస్తువుల అభిగమన సాపేక్ష వేగం అభిఘాతం తరువాత వాటి నిగమన సాపేక్షవేగానికి సమానము.
(4)వ సమీకరణం నుండి v₂ = u₁ + v₁ – v₂
ఈ విలువను (1)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,

(5), (6) సమీకరణాలు అభిఘాతం తరువాత వస్తువుల వేగాలను తెలియచేయును.

ప్రశ్న 3.
శక్తి నిత్యత్వ నియమం తెల్పి, స్వేచ్ఛాపతన వస్తు విషయంలో శక్తినిత్యత్వ నియమంను ఋజువు చెయ్యండి. [May; Mar. ’13]
జవాబు:
శక్తి నిత్యత్వ నియమము :
నిర్వచనం :
శక్తిని సృష్టించలేము, నాశనం చేయలేము. కాని ఒక రూపం నుండి మరియొక రూపంలోనికి మార్చవచ్చు. ద్రవ్యరాశిని శక్తిగాను, శక్తిని ద్రవ్యరాశిగాను మార్చవచ్చును. విశ్వంలో అన్ని రూపాలలో ఉన్న మొత్తం శక్తి స్థిరం.

నిరూపణ :
‘m’ ద్రవ్యరాశిగల వస్తువును, ‘H’ ఎత్తుగల ప్రదేశం ‘A’ నుండి స్వేచ్ఛగా క్రిందికి జారవిడిచినామనుకొనుము.

అప్పుడు మొత్తం యాంత్రికశక్తి E = K + U ఇక్కడ K = గతిజశక్తి; U = స్థితిజశక్తి. A, B, C
అనే మూడు బిందువులు వరుసగా H, h మరియు నేలపై గలవనుకొనుము.

వస్తువు A వద్ద ఉన్నప్పుడు :
వేగం = సున్నా. కావున గతిజశక్తి (K) = 0
S = H. కావున స్థితిజశక్తి (U) =mgH
A వద్ద మొత్తం యాంత్రిక శక్తి E = K + U = mgH + 0
∴ E_A = mgH ………….. (1)

వస్తువు B వద్ద ఉన్నప్పుడు :
స్వేచ్ఛగా జారవిడిచిన వస్తువు A నుండి h ఎత్తుగల బిందువు ‘B’ ని V_B వేగంతో చేరినదనుకొనుము.
B వద్ద స్థితిజశక్తి (U) = mgh

‘B’ వద్ద మొత్తం యాంత్రిక శక్తి (E_B) = K + U = mg (H – h) + mgh
= mgH – mgh + mgh
∴ E=mgH …………… (2)

వస్తువు C వద్ద (నేలపై) ఉన్నప్పుడు :
వస్తువు A నుండి బిందువు C ని V^c వేగంతో చేరిందనుకొనుము.
S = 0. కావున స్థితిజశక్తి (U) = 0

పై (1), (2), (3) సమీకరణాల నుండి వస్తువు యాంత్రిక శక్తి అన్ని బిందువుల వద్ద స్థిరము.
∴ స్వేచ్ఛగా క్రింద పడే వస్తువు విషయంలో శక్తి నిత్యత్వ నియమము ఋజువు చేయబడింది.

లెక్కలు (Problems)

ప్రశ్న 1.
10 g ద్రవ్యరాశి కలిగిన పరీక్షనాళికలో కొంత ఈథర్ ఉంది. ఈ పరీక్షనాళికను 1 g ద్రవ్యరాశి కలిగిన కార్క్ మూయడమైంది. పరీక్షనాళికను వేడిచేసినప్పుడు ఈథర్ వాయువు కలిగించే పీడనం వల్ల కార్క్ ఎగిరిపోతుంది. 5 cm పొడవు ఉన్న దృఢమైన భారరహిత కడ్డీ నుంచి ఈ పరీక్షనాళికను క్షితిజ సమాంతరంగా వేలాడదీశారు. పరీక్షనాళిక బిందువు పరంగా నిలువు వృత్తంలో తిరగాలంటే ఎంత కనీస వేగంతో కార్క్ పరీక్షనాళిక నుంచి ఎగిరిపోవాలి? (ఈథర్ ద్రవ్యరాశిని పరిగణనలోకి తీసుకో వద్దు)
సాధన:
పరీక్షనాళిక ద్రవ్యరాశి M = 10 g :
ఈథర్ ద్రవ్యరాశి m = 1g;
దృఢ కడ్డీ పొడవు = వృత్తం వ్యాసార్థం (r) = 5cm

∴ r = 5 × 10^-2 m, g = 10 m s²
[∴ చర్య = – ప్రతిచర్య ]
కార్క్ వెలుపలకు వచ్చు కనీస వేగం = – v;
పరీక్ష నాళిక కనీసవేగం,

ప్రశ్న 2.
ఒక మర తుపాకి నిమిషానికి 360 బుల్లెట్లు పేల్చగలదు. వెలువడే ప్రతి బుల్లెట్ వేగం 600 ms^-1. ప్రతి బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి 5 gm అయితే మరతుపాకి సామర్థ్యం ఎంత? [May; Mar. ’13]
సాధన:
ఇచ్చినవి n = 360; t = 60 sec; V = ms^-1;
m = 5g = 5 × 10^-3 kg

ప్రశ్న 3.
8 m లోతు ఉన్న బావి నుంచి గంటకు 3425 m³ నీటిని పైకి తోడుతున్నప్పుడు అశ్వసామర్థ్యంలో 40% వృధా అయితే ఇంజను సామర్థ్యాన్ని అశ్వ సామర్థ్యాల (horse power) లో రాబట్టండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి V = 3425m³; d = 10³ kg m^-3; h = 8m; g = 9.8ms^-2; t = 1 గంట = 60 × 60 s

ప్రశ్న 4.
ఒక పంపు 25 m లోతు ఉన్న బావి నుంచి నిమిషానికి 600 kg ల నీటిని పైకి తోడి 50 ms^-1 వడితో బయటకు వదలాలి. దీనికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి m = 600kg; h = 25m; V = 50ms^-1
t = 60s మోటార్ సామర్థ్యం,

ప్రశ్న 5.
తొలుత నిశ్చల స్థితిలో ఉండి మూల బిందువు నుంచి బయలుదేరిన 5 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న దిమ్మెపై ధన X-అక్షం వెంట F = (20 +5x)N అనే బలం పనిచేస్తుంది. దిమ్మె x = 0 నుంచి x = 4 mకు స్థానభ్రంశం చెందినపుడు ఆ బలం చేసిన పనిని లెక్కించండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి m =5 kg;
F = (20 + 5x)

ప్రశ్న 6.
పటంలో చూపినట్లు 5 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న దిమ్మె ఘర్షణ లేని వాలు తలంపై నుంచి జారుతుంది. వాలు తలం అడుగు భాగాన 600N/m బల స్థిరాంకం కలిగిన స్ప్రింగును ఏర్పాటు చేశారు. దిమ్మె వేగం గరిష్ఠమయిన క్షణంలో స్ప్రింగ్లో కలిగే సంపీడనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చినవి m = 5kg;
µ = 0; K = 600 N/m
4m
స్ప్రింగ్ సంకోచము ‘x’ గా తీసుకుందాము.
న్యూటన్స్ మూడవ నియమము ప్రకారము,
స్ప్రింగ్పై దిమ్మె వలన బలం F_B – స్ప్రింగ్ పునః స్థాపక బలం (F_R)
పరిమాణంలో F_B = F_R = mg sinθ = Kx
5 × 10 × \(\frac{1}{2}\) = 500 × x
⇒ x = \(\frac{30}{600}\) = 0.05m = 5cm.

ప్రశ్న 7.
x-అక్షం వెంట ఒక కణంపై F = –\(\frac{K}{x^2}\) (x ≠ 0) బలం పనిచేస్తుంది, కణం x = +a నుంచి x = +2a కి స్థానభ్రంశం చెందినప్పుడు బలం చేసిన పనిని కనుక్కోండి. Kని ధన స్థిరాంకంగా తీసుకోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
ఒక కణంపై పనిచేసే బలం F, కణ స్థానం Xతో గ్రాఫ్లో చూపించిన విధంగా మారుతుంది. x = −a నుంచి x = +2a కి కణం స్థానభ్రంశం చెందినపుడు బలం చేసిన పనిని కనుక్కోండి.

సాధన:

ప్రశ్న 9.
ఒక బంతిని 20m ఎత్తు నుంచి క్షితిజ సమాంతర నేల మీదకు 20 m/s తొలి వేగంతో కిందికి విసిరారు. నేలను తాకిన తరువాత బంతి అంతే ఎత్తుకు పైకి లేచింది. ఈ అభిఘాతంలో బంతికి, నేలకు మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చినవి u = 20 m/s; h = 20m; g = 10m/s²
v = u₁ (అనుకుందాం)

భూమి నిశ్చల స్థితిలో ఉండును. కావున
u₂ = 0; v₂ = 0

ప్రశ్న 10.
స్వేచ్ఛగా 10 m ఎత్తు నుంచి ద్రుఢమైన క్షితిజ సమాంతర తలంపై పడిన బంతి అనేకసార్లు అదేచోట పడిలేచిన తరువాత నిశ్చల స్థితికి వచ్చేలోగా బంతి ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత? బంతికి, తలానికి మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అనుకోండి.
సాధన:

అదనపు లెక్కలు (Additional Problems)

ప్రశ్న 1.
వస్తువుపై బలం చేసిన పని సంజ్ఞ గురించి అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యమైంది. కింది భౌతికరాశులు, ధనాత్మకమా? రుణాత్మకమా? జాగ్రత్తగా తెలియచేయండి.
a) బకెట్ను బిగించిన తాడు సహాయంతో బావి నుండి బకెట్ను తీసే సందర్భంలో మనిషి చేసిన పని.
b) పై సందర్భానికి గురుత్వ బలం చేసిన పని.
c) ఒక వస్తువు వాలు తలంపై జారుతున్నప్పుడు ఘర్షణ బలం చేసిన పని.
d) ఘర్షణ ఉన్న (గరుకు) క్షితిజ సమాంతర తలంపై వస్తువు సమ వేగంతో చలిస్తున్నప్పుడు అనువర్తించిన బలం చేసిన పని.
e) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని విరామస్థితిలోకి తేవడానికి గాలి నిరోధక బలం చేసే పని.
సాధన:
జరిగిన పని W = \(\overrightarrow{F}.\overrightarrow{S}\) = FS cosθ ఇచ్చట θ, బలం \(\overline{\mathrm{F}}\) మరియు స్థానభ్రంశం \(\overrightarrow{S}\) ల మధ్య స్వల్పకోణం.

a) బకెట్ను పైకి లేపుటకు, బకెట్ బరువుకు సమానమైన బలంను నిలువుగా పైకి ప్రయోగించాలి. i.e., θ = 0°, W = FS cos 0° = FS. ఇది ధనాత్మకము.

b) గురుత్వాకర్షణ బలంనకు వ్యతిరేకంగా బకెట్ చలించుట వల్ల θ = 180°.
W = FS cos 180° = -FS: ఇది ఋణాత్మకం.

c) మర్షణ బలం ఎల్లప్పుడు సాపేక్ష చలనంను వ్యతిరేకించును.

d) ప్రయోగించిన బలదిశలో, వస్తువు చలిస్తే θ = 0° W = FS cos 0° = FS. ఇది ధనాత్మకము.

e) గోళం చలనంనకు వ్యతిరేకంగా నిరోధ బలం దిశ ఉండును. i.e. θ = 180°. ఈ సందర్భంలో జరిగిన పని ఋణాత్మకము.

ప్రశ్న 2.
గతిక ఘర్షణ గుణకం 0.1. కలిగిన బల్లపై నిశ్చల స్థితిలో 2kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు 7 N క్షితిజ సమాంతర బలం వల్ల చలిస్తూ ఉంది. కింది రాశులను లెక్కించండి.
a) 10s కాలంలో అనువర్తిత బలం చేసిన పని.
b) 10s కాలంలో ఘర్షణ బలం చేసిన పని.
c) 10s కాలంలో నికర బలం చేసిన పని.
d). 10s కాలంలో వస్తువు గతిజ శక్తిలోని మార్పు.
మీ ఫలితాలను వివరించండి.
సాధన:
m = 2kg, u = 0, F = 7N; µ = 0.1, ఇచ్చినది
W = 2, t 10s
బలప్రయోగం ఏర్పడు త్వరణం;
a = – \(\frac{F}{m}=\frac{7}{2}\) = = m 2 = 3.5 m/s²
ఘర్షణ బలం, f = µR
= µmg = 0.1 × 2 × 9:8 1.96 N
ఘర్షణ వల్ల ఏర్పడు అపత్వరణము
a₂ = –\(\frac{F}{m}=\frac{-1.96}{2}\) = 0.98 m/s²
వస్తువు చలిస్తున్నప్పుడు నికర త్వరణం = a₁ + a₂
= 3.5 – 0.98 = 2.52m/s²
10 sec. లో వస్తువు ప్రయాణించిన దూరం
S = Ut + \(\frac{1}{2}\)at²
= 0 + \(\frac{1}{2}\) × 2.52 × (10)² = 126m.

a) ప్రయోగించిన బలం చేయు పని = F × S
W₁ = 7 × 126 = 882J

b) ఘర్షణ బలం చేయు పని W₂ -f × s
-1.96 × 126 = 246.9J

c) నికర బలం చేయు పని
W₃ = నికర బలం × దూరం
= (F – f)s = (7 – 1.96)126 = 635 J.
\(\frac{1}{2}\)

d) v = u + at నుండి
v = 0 + 2.52 × 10 = 25.2 m^s-1
తుది K.E = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) × 2 × (25.2)²
= 635J
తొలి K.E = \(\frac{1}{2}\) mu² = 0
∴ K.Eలో మార్పు = 635 – 0 = 635 J.
∴ వస్తువు K.E లో మార్పు, దానిపై జరిగిన నికర బలంనకు సమానమని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
పటంలో కొన్ని ఏకమితీయ స్థితిజ శక్తి ప్రయేయాలకు ఉదాహరణలు ఇవ్వడమైంది. కణం మొత్తం శక్తిని ద్వితీయ నిరూపక అక్షం (y-అక్షం) పై క్రాస్ (cross) తో సూచించడమైంది. ఇచ్చిన శక్తికి, కణాన్ని కనుక్కోలేని ప్రాంతం ఏదైనా ఉంటే ఆ ప్రాంతాన్ని ప్రతి సందర్భానికి వివరించండి. ప్రతి సందర్భంలో కణానికి ఉండవలసిన మొత్తం కనీస శక్తిని కూడా సూచించండి. ఈ స్థితిజ శక్తి ఆకారాలకు సంబంధించిన సరళమైన భౌతిక సందర్భాలను ఆలోచించండి.


సాధన:
మొత్తం శక్తి E = K.E + P.E (లేక) K.E = E – P.E
మరియు K.E ఎప్పుడు ఋణాత్మకం కాదు. K.E ఋణాత్మకమైతే, ఆ ప్రాంతంలో వస్తువు

i) x >a, P.E (v₀) > E
∴ K.E ఋణాత్మకం కావున వస్తువు × > a ప్రాంతంలో ఉండదు.

ii) x < a మరియు x > b, P.E (v_o) > E
∴ K.E ఋణాత్మకం. కావున వస్తువు x < a మరియు x > b ప్రాంతంలో ఉండదు.

iii) ప్రతి ప్రాంతంలో P.E (v₀) > E. కావున వస్తువు ఆ ప్రాంతంలో ఉండదు.

iv) -b/2 < x < a/2 మరియు a/2 < x < b/2 ప్రాంతంలో వస్తువు ఉండదు.

ప్రశ్న 4.
రేఖీయ సరళహరాత్మక చలనం చేస్తున్న కణం స్థితిజ శక్తి ప్రమేయం V(x) = kx²/2 గా ఇవ్వడమైంది. ఇక్కడ k డోలకం బల స్థిరాంకం k= 0.5 N m^-1 విలువకు V(x), x ల మధ్య గ్రాఫ్ పటంతో చూపించడమైంది. ఈ పొటెన్షియల్లో చలించే 1 J మొత్తం శక్తి కలిగిన కణం x = ± 2m కే చేరినపుడు అది వెనకకు మరలుతుందని చూపండి.

సాధన:
ఏదైనా క్షణాన, డోలకం మొత్తం శక్తి K.E మరియు P.Eల
మొత్తంనకు సమానము.
i.e; E = K.E + P.E
E = K.E + P.E, E = \(\frac{1}{2}\)mu² + \(\frac{1}{2}\)kx²
కణం వేగం సున్నా అయిన తరువాత, వెనుకకు వచ్చును.
i.e. u = 0.
∴ E = 0 + \(\frac{1}{2}\)kx², E = 1 జౌల్ మరియు
K = \(\frac{1}{2}\)N/m
∴ 1 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)x² (లేక) x² = 4, x = ± 2m.

ప్రశ్న 5.
కింది వాటికి సమాధానాలివ్వండి.
a) రాకెట్ గమనంలో ఉన్నపుడు దాని చుట్టూ ఉన్న కప్పు (casing) మర్షణ వల్ల కాలిపోతుంది. కాలిపోవడానికి అవసరమయ్యే ఉష్ణ శక్తి రాకెట్ నుంచి లభ్యమవుతుందా? లేదా వాతావరణం నుంచి లభ్యమవుతుందా?

b) అధిక దీర్ఘాక్ష దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యల్లో తోకచుక్కలు సూర్యుని చుట్టూ తిరుగుతూ ఉంటాయి. సూర్యుని వల్ల తోకచుక్కపై పనిచేసే గురుత్వ బలం సాధారణంగా తోకచుక్క వేగానికి లంబంగా ఉండదు. కాని తోకచుక్క ప్రతి పూర్తి భ్రమణానికి గురుత్వ బలం చేసిన పని శూన్యమవుతుంది. ఎందుకు?

c) పలుచని వాతావరణంలో భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న కృత్రిమ ఉపగ్రహం వాతావరణ నిరోధం వల్ల క్రమంగా చాలా స్వల్ప మోతాదులో శక్తిని కోల్పోతుంది. అయితే అది భూమిని దగ్గరగా సమీపిస్తున్న కొద్దీ దాని వడి ఎందుకు క్రమంగా పెరుగుతుంది?

d) పటం (i) లో ఒక మనిషి 15 kg ద్రవ్యరాశిని తన చేతులతో తీసుకొని వెళ్తూ 2 m దూరం నడిచాడు. పటం (ii), లో అతను తన వెనక ఉన్న తాడును లాగుతూ అంతే దూరాన్ని నడిచాడు. కప్పీ మీదగా వెళ్తున్న తాడుకు రెండవ చివర 15 kg ద్రవ్యరాశి వేలాడదీయడమైంది. ఏ సందర్భంలో జరిగిన పని ఎక్కువ?
సాధన:
a) రాకెట్ మొత్తం శక్తి ఎగురుతున్నప్పుడు దాని ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడును. i.e. P.E + K.E = mgh + \(\frac{1}{2}\)mv². రాకెట్ చుట్టు ఉన్న పేటిక దహనమయితే, దాని ద్రవ్యరాశి తగ్గుతుంది. రాకెటె మొత్తం శక్తి తగ్గును. దహనానికి కావాల్సిన ఉష్ణశక్తిని, వాతావరణం నుంచి కాక రాకెట్, తననుంచే సమకూర్చును.

b) దీనికి కారణం గురుత్వాకర్షణ బలం నిత్యత్వ బలం. సూర్యుని కక్ష్యలో తోకచుక్క ఒక పూర్తి భ్రమణం చేయటంలో గురుత్వాకర్షణ బలం చేయు పని సున్నా.

c) భూమి కక్ష్యలో కృత్రిమ ఉపగ్రహం, భూమికి దగ్గరగా సమీపిస్తున్నప్పుడు, స్థితిజశక్తి తగ్గును. స్థితిజశక్తి మరియు గతిజశక్తి స్థిరం. కావున ఉపగ్రహం K.E పెరుగు తున్నప్పుడు, వేగం కూడా పెరుగును. వాతావరణ నిరోధం ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తిని స్వల్పంగా తగ్గిస్తుంది.

d) పటం (i)లో వ్యక్తి ద్రవ్యరాశిపై ప్రయోగించిన బలం నిలువు ఊర్ధ్వ దిశలో క్షితిజ సమాంతరంగా వస్తువు కొంతదూరం చలించును.
∴ θ = 90°, W = FS cos 90° = zero.
పటం (ii)లో, బలంను క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రయోగిస్తే, క్షితిజ సమాంతరంగా వస్తువు
కొంతదూరం చలించును. θ = 0°.
W = FS cosυ = mg × S cos0°
W = 15 × 9.8 × 2 × 1 = 294 Joule.
∴ 2వ సందర్భంలో జరిగిన పని ఎక్కువ.

ప్రశ్న 6.
సరైన ప్రత్యామ్నాయం కింద గీత గీయండి.
a) వస్తువుపై నిత్యత్వ బలం చేసిన పని ధనాత్మకమయితే, వస్తువు స్థితిజ శక్తి పెరుగుతుంది/తగ్గుతుంది/మారకుండా ఉంటుంది.
b) ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా వస్తువు పనిచేయడం వల్ల ఎప్పుడు గతిజ/స్థితిజ శక్తి నష్టం జరుగుతుంది.
c) అనేక కణ వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు బాహ్యబలం/వ్యవస్థలోని అంతర బలాల మొత్తానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
d) రెండు వస్తువుల మధ్య జరిగిన అస్థితి స్థాపక అభిఘాతంలో, అభిఘాతం తరవాత వ్యవస్థ మొత్తం గతిజ శక్తి / మొత్తం రేఖీయ ద్రవ్యవేగం / మొత్తం శక్తి మారకుండా స్థిరంగా ఉంటుంది.
సాధన:
a) వస్తువు స్థితిజశక్తి తగ్గును. వస్తువు బలదిశలో స్థానభ్రంశం చెందితే, వస్తువుపై నిత్యత్వ బలం చేయు పని ధనాత్మకం. వస్తువు కేంద్రక బలంను సమీపిస్తున్నప్పుడు, తగ్గుదల x కావున P.E తగ్గును.

b) ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా వస్తువు చేయుపని,దాని గతిజశక్తిని సమకూరుస్తుంది. కావున K.E తగ్గును.

c) వ్యవస్థ మొత్తం లేక నికర ద్రవ్యవేగంను, అంతరిక వు. బహుళకణ వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్య బలాలు మార్చవు. వేగంలోని మార్పురేటు, వ్యవస్థపై బాహ్య బలంనకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

d) రెండు వస్తువులు అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో, అభిఘాతం తరువాత మొత్తం రేఖీయ ద్రవ్యవేగం మరియు మొత్తం శక్తిలో మార్పు ఉండదు. మొత్తం శక్తిలో కొంతశక్తి ఇతర రూపాలలోనికి మారును.

ప్రశ్న 7.
కింద ఇచ్చిన ప్రతిపాదనలు సరిఅయినవా? కావా? మీ సమాధానాలకు కారణాలు రాయండి.
a) రెండు వస్తువుల మధ్య జరిగే స్థితిస్థాపక అభిమాతంలో ప్రతి వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగం, శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
b) వస్తువుపై ఎటువంటి అంతర, బాహ్యబలాలు పనిచేసినప్పటికి వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి ఎప్పుడూ నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
c)ఒక సంవృత ఉచ్చు (loop) వెంబడి చలనంలో ఉన్న వస్తువుపై ప్రకృతిలోని ప్రతిబలం చేసే పని శూన్యం.
d) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో వ్యవస్థ తొలి గతిజ శక్తి కంటె తుది గతిజ శక్తి ఎప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుంది.
సాధన:
a) వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగం మరియు మొత్తం శక్తి నిత్యత్వం అగును. ప్రతి వస్తువుకు కాదు. కావున ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ తప్పు.

b) వస్తువుపై బాహ్యబలం, వస్తువుపై మొత్తం శక్తి మారును. కావున ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్ తప్పు.

c) వస్తువు, నిత్యత్వ బలాలకు గురుత్వాకర్షణ మరియు స్థిర విద్యుదాకర్షణ బలంలకు లోనై సంవృత పథంలో చలిస్తున్నప్పుడు చేయుపని సున్నా. అనిత్యత్వ బలాలు చేయుపని సున్నా కాదు. ఉదా : ఘర్షణ బలాలు.

d) అస్థితి స్థాపక అభిఘాతంలో, కాంతి గతిజశక్తి మరొక రూపంలోనికి మారును. కావున ఇచ్చిన స్టేట్మెంట్
నిజము.

ప్రశ్న 8.
తగిన కారణాలతో జాగ్రత్తగా సమాధానమివ్వండి :
a) రెండు బిలియర్డ్ బంతుల స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో బంతుల మధ్య అభిఘాతం జరుగుతున్న స్వల్ప కాలంలో (ఒక దానితో ఒకటి స్పర్శించుకొన్నప్పుడు) మొత్తం గతిజ శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుందా?
b) స్వల్ప కాలవ్యవధిలో రెండు బంతుల మధ్య జరిగిన స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో రేఖీయ ద్రవ్యవేగం మొత్తం నిత్యత్వంగా ఉంటుందా?
c) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి (a), (b) లకు సమాధానాలు ఏమిటి?
d) రెండు బిలియర్డ్ బంతుల స్థితిజ శక్తి, వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరంపై మాత్రమే ఆధారపడితే ఆ అభిఘాతం స్థితిస్థాపకమా లేదా అస్థితిస్థాపకమా?
(సూచన : అభిఘాత సమయమప్పుడు ఉండే బలానికి సంబంధించిన స్థితిజ శక్తి గురించి మాట్లాడుతున్నాం కాని గురుత్వ స్థితిజ శక్తిని -గురించి కాదు.)
సాధన:
a) కాదు. స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో K.E నిత్యత్వం కాదు. స్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి ముందు తరువాత K.E. సమానం. స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో బంతి K.E స్థితిజ శక్తిగా మారును.

b) అవును. రెండు బంతులు స్వల్పకాల స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో మొత్తం రేఖీయ ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వం అగును.

c) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో, అభిఘాతం తరువాత, “ మొత్తం K.E నిత్యత్వం కాదు. అభిఘాతం తరువాత, మొత్తం ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వమగును.

d) అభిఘాతం స్థితిస్థాపకం అయితే, బలాలు నిత్యత్వం అగును.

ప్రశ్న 9.
నిశ్చల స్థితి నుండి బయలుదేరిన ఒక వస్తువు స్థిర త్వరణంతో ఏకమితీయ చలనం కలిగి ఉంది. t కాలంలో దానికి అందచేసిన సామర్థ్యం కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
i) t^1/2
ii) t
iii) t^3/2
iv) t²
సాధన:
v = u + at, v = 0 + at = at నుండి
సామర్థ్యం, ρ= F × v = (ma) × at = ma²t
m మరియు a లు స్థిరాంకాలు, ∴ p α t.

ప్రశ్న 10.
స్థిర సామర్థ్యాన్ని అందించే జనకం ప్రభావం వల్ల ఒక వస్తువు ఏక దిశాత్మకంగా చలిస్తుంది. t కాలంలో కలిగిన స్థానభ్రంశం కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
i) t^1/2
ii) t
iii) t^3/2
iv) t²
సాధన:
సామర్థ్యం, P = బలం × వేగం
∴ P = [MLT^-2] [LT^-1] = [mL²T^-3]
P = [mL²T^-3] = స్థిరం
∴ L² T^-3 = స్థిరం
∴ L² α T³ (లేక) L a T^3/2
(లేదా) \(\frac{L^2}{T^3}\) = స్థిరం

ప్రశ్న 11.
ఒక నిరూపక వ్యవస్థలో అక్షం వెంట చలనానికి పరిమితం అయిన వస్తువుపై
F = –\(\hat{\mathbf{i}}\) + 2\(\hat{\mathbf{j}}\) + 3\(\hat{\mathbf{k}}\) N
అనే స్థిర బలం పనిచేస్తుంది. ఇక్కడ x−, y−, z–అక్షాల వెంట ప్రమాణ సదిశలు వరుసగా \(\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\) z–అక్షంపై 4 m దూరం చలించడానికి ఈ బలం చేసిన పని ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
విశ్వ కిరణాల ప్రయోగంలో 10 keV, 100 keV. శక్తిగల ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్లను కనుగొన్నారు. వీటిలో వేగవంతం అయినది ఏది? ఎలక్ట్రాన్ లేదా ప్రోటాన్? వాటి వడుల నిష్పత్తిని రాబట్టండి. (ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి = 9.11 × 10^-31 kg, ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి = 1.67 × 10^-27kg , 1 eV = 1.60 × 10^-19 J).
సాధన:

ప్రశ్న 13.
500 m ఎత్తు నుంచి 2 mm వ్యాసార్థం ఉన్న వాన నీటి బిందువు నేలపై పడుతుంది. సగం ఎత్తువరకు తగ్గుతున్న త్వరణం (గాలి స్నిగ్ధతా నిరోధం వల్ల) కలిగి గరిష్ట (అంత్య) వడిని పొందుతుంది. ఆ తరువాత అది ఏకరీతివడితో కిందికి చలిస్తుంది. వాన నీటి బిందువు ప్రయాణంలో, మొదటి, రెండవ సగంలో గురుత్వ బలం చేసిన పని ఎంత? 10 m s^-1 వడితో నేలను చేరినట్లైతే దాని పూర్తి ప్రయాణంలో నిరోధక బలం చేసిన పని ఎంత?
సాధన:
r = 2mm = 2 × 10^-3m
ప్రతి అర్థప్రయాణంలో, చలించు దూరం
S = \(\frac{500}{2}\) = 250 m
నీటి సాంద్రత ρ = 10³ kg/m³
వర్షం బిందువు ద్రవ్యరాశి = బిందువు ఘనపరిమాణం × సాంద్రత
m = \(\frac{4}{3}\)πr³ × ρ = \(\frac{4}{3}\times\frac{22}{7}\)(2 × 10^-3)³ × 10³ = 3.35 × 10^-5 kg
w = mg × s = 3.35 × 10^-5 × 9.8 × 250 =0.082J

వర్షం బిందువు త్వరణం తగ్గుతూ లేక ఏకరీతి వడితో చలిస్తూ ఉన్నప్పుడు, వర్షం బిందువుపై గురుత్వాకర్షణ బలం చేయు పని స్థిరం.

నిరోధక బలాలు లేనప్పుడు, భూమిని చేరు బిందువు శక్తి.
E₁ = mgh = 3.35 × 10^-5 × 9.8 × 500
= 0.164J

వాస్తవ శక్తి E₂ = \(\frac{1}{2}\)mv²
\(\frac{1}{2}\) × 3.35 × 10^-5 × (10)²
= 1.675 × 10^-3 J.
∴ నిరోధక బలాలు చేయు పని
W = E₁ – E₂ = 0.164 – 1.675 × (10)^-3
W = 0.1623 ఔల్స్

ప్రశ్న 14.
పాత్రలో ఉన్న వాయువులోని అణువు 200m s^-1 వడితో, లంబంతో 30° కోణం చేస్తున్న దిశలో క్షితిజ సమాంతర(పాత్ర) గోడను ఢీకొని అంతే వడితో వెనకకు మరలింది. ఈ అభిఘాతంలో ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వంగా ఉంటుందా? ఈ అభిఘాతం స్థితిస్థాపకమా లేదా అస్థితిస్థాపకమా?
సాధన:
స్థితిస్థాపక మరియు అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వమగును. K. E నిత్యత్వం అవుతుందో, లేదో చెక్ చేద్దాం.

పటంలో చూపినట్లు గోడ ఎక్కువ మందంగా ఉన్నప్పుడు, ప్రత్యావర్తన అణువు గోడ పై వేగంను కలుగచేయదు.

m వాయు అణువు ద్రవ్యరాశి మరియు M గోడ ద్రవ్యరాశి అయితే, అభిఘాతం తరువాత మొత్తం ‘ K.E
E₂ = \(\frac{1}{2}\) m(200)² + \(\frac{1}{2}\)m(0)²
E₂ = 2 × 10⁴ mj
అభిఘాతంనకు ముందు అణువు K.E.
[E₁ = \(\frac{1}{2}\)m(200)² = 2 × 10⁴ mJ mu].
కావున అభిఘాతం స్థితిస్థాపక అభిఘాతం.

ప్రశ్న 15.
భవనం నేల అంతస్తు (ground floor) పై ఉన్న పంప్ (మోటార్) 30m3 ఘనపరిమాణం ఉన్న టాంకును 15 నిమిషాలలో నింపగలదు. పంప్ దక్షత 30% కలిగి ఉండి, టాంక్ నేలపై నుంచి 40 m ఎత్తులో ఉంటే పంప్ ఎంత విద్యుత్ సామర్థ్యం వినియోగించుకొంటుంది ?
సాధన:
నీటి ఘనపరిమాణం = 30 m³,
t = 15 min = 15 × 60 = 900s.
ఎత్తు h = 40m, దక్షత η = 30%
నీటిసాంద్రత = p = 10³ kg/m³
∴ నీటి పంపింగ్ ద్రవ్యరాశి m = ఘనపరిమాణం × సాంద్రత = 30 × 10³ kg·

ప్రశ్న 16.
ఘర్షణ లేని బల్లపై రెండు సర్వసమాన బాలే బేరింగ్లు ఒక దానితో ఒకటి స్పర్శించుకొంటూ నిశ్చలంగా ఉన్నాయి. అంతే ద్రవ్యరాశి ఉన్న వేరొక బాల్బేరింగు. V తొలి వడితో వీటిని సూటిగా ఢీకొంది. ఇది స్థితిస్థాపక అభిఘాతమయితే, అభిఘాతం తరవాత పక్క వాటిలో (పటం) ఏది సాధ్యమయ్యే ఫలితమవుతుంది?

సాధన:
ప్రతి బాల్బేరింగ్ ద్రవ్యరాశి mగా తీసుకుందాము. అభిఘాతం ముందు, వ్యవస్థ మొత్తం K.E
= \(\frac{1}{2}\)mV² + 0 = \(\frac{1}{2}\)mV²
అభిఘాతం తరువాత, వ్యవస్థ మొత్తం K.E
సందర్భం I, E₁ = \(\frac{1}{2}\) (2m) (V/2)² = \(\frac{1}{4}\)mV²
సందర్భం II, E₂ = \(\frac{1}{2}\)mV²
సందర్భం III, E₃ = \(\frac{1}{2}\)(3m) (V/3)² = \(\frac{1}{6}\)mV²

సందర్భం II లో మాత్రమే K.E నిత్యత్వమగును. కావున సందర్భం II మాత్రమే సాధ్యం.

ప్రశ్న 17.
క్షితిజ లంబానికి 30° కోణం చేస్తూ ఉన్న లోలక గోళం A ని వదిలితే అది బల్లపై నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న అంతే ద్రవ్యరాశి కలిగిన B గోళాన్ని పటం లో చూపినట్లు ఢీకొంది. అభిఘాతం తరవాత A గోళం ఎంత ఎత్తుకు లేస్తుంది ? అభిఘాతం స్థితిస్థాపకం అని ఊహించి, గోళాల పరిమాణాలను ఉపేక్షించండి.

సాధన:
గోళం A పైకి లేవదు. దీనివల్ల ఒకే ద్రవ్యరాశి గల రెండు వస్తువులు స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో వాని వేగాలు మార్చుకొనును. అభిఘాతం తరువాత బంతి A విరామ స్థితికి మరియు బంతి B, A బంతి వేగంతో చలించును.

ప్రశ్న 18.
ఒక లోలక గోళాన్ని క్షితిజ సమాంతర స్థానం నుంచి విడిచిపెట్టారు. గాలి నిరోధం వల్ల తొలి శక్తిలో 5% దుర్వ్యయమయితే గోళం అత్యంత నిమ్నతమ బిందువును ఎంత వడితో చేరుతుంది? లోలకం పొడవు 1.5 m.
సాధన:
h = 1.5m, V =?
దుర్యయమగు శక్తి = 5%
గోళం కనిష్ట స్థానం B అయితే, B వద్ద దాని స్థితిజ శక్తి సున్నా, క్షితిజ సమాంతర స్థానం A వద్ద, గోళం మొత్తం స్థితిజశక్తి mgh.
A నుండి Bకు చలించుటలో, గోళం P.E, K.Eగా మారును. మారిన శక్తి = 95% (mgh)
B వద్ద వేగం V అయితే, అప్పుడు K.E = \(\frac{1}{2}\)mv²
= \(\frac{95}{100}\) mgh

ప్రశ్న 19.
25 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఇసుక సంచిని మోస్తున్న 300 kg ద్రవ్యరాశి కలిగిన ట్రాలీ ఘర్షణ లేని బాట (track) లో 27 km/h ఏకరీతి వడితో చలిస్తూ ఉంది. కొంతసేపటి తరవాత సంచికి కలిగిన రంధ్రం ద్వారా 0.05 kg s 1 రేటుతో ఇసుక ట్రాలీ తలంపై లీకు (leak) అవుతూ ఉంది. ఇసుక సంచి ఖాళీ అయిన తరవాత ట్రాలీ వడి ఎంత?
సాధన:
ట్రాలీ ఇసుక బస్తాతో ఏకరీతిగా చలిస్తుంటే, వ్యవస్థపై బాహ్యబలం = సున్నా.
ఇసుక బస్తా నుండి లీక్ అయితే, ట్రాలీపై బాహ్యబలం పని చేయదు. కావున ట్రాలీ వడి మారదు.

ప్రశ్న 20.
0.5 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు సరళరేఖా మార్గంలో v = ax^3/2 వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. ఇక్కడ a = 5m^-1/2 s^-1. అది x = 0 నుంచి x = 2 m స్థానభ్రంశం చెందినపుడు ఫలిత బలం చేసిన పని ఎంత?
సాధన:
m = 0.5 kg; v = ax^3/2, a = 5m^-1/2 s^-1,
w = ?
x = వద్ద తొలివేగం, v₁ = a × 0 = 0
x = 2 వద్ద తుదివేగం, v₂ = a2^3/2 = 5 × 2^3/2
జరిగిన పని = K.E లో పెరుగుదల = \(\frac{1}{2}\)m
(v₂² – v₁²), W = \(\frac{1}{2}\) × 0.5 [(5 × 2^3/2)²) – 0] = 50J

ప్రశ్న 21.
ఒక గాలిమర (windmill) రెక్కలు A వైశాల్యం ఉన్న వృత్తాన్ని చిమ్ముతున్నాయి. (a) ఈ వృత్తానికి లంబంగా v వేగంతో గాలి ప్రవహిస్తుంటే, దీని ద్వారా t కాలంలో వెళ్ళే గాలి ద్రవ్యరాశి ఎంత? (b) గాలి గతిజ శక్తి ఎంత? (c) గాలి మర, గాలి శక్తిలో 25% శక్తిని విద్యుత్ శక్తిగా మారుస్తుందని 30 m², v = 36 km/h గాలి సాంద్రత 1.2 kg m^-3 ఉత్పత్తి అయ్యే విద్యుత్ సామర్థ్యం ఎంత?
సాధన:
a) గాలి ప్రవాహ ఘనపరిమాణం/సెకండుకు = AV
గాలి ప్రవాహ ద్రవ్యరాశి / సెకండుకు = AVρ
t secలో ప్రవహించు గాలిద్రవ్యరాశి = AVρt

ప్రశ్న 22.
బరువు తగ్గాలనుకొనే వ్యక్తి (dieter) 10kg ద్రవ్యరాశిని ప్రతిసారి 0.5 m ఎత్తుకు లేపుతూ వెయ్యిసార్లు పైకి ఎత్తాడు. అతడు ప్రతిసారి ద్రవ్యరాశిని కిందకు దించేటప్పుడు నష్టపోయిన స్థితిజ శక్తి దుర్వ్యయమవుతుందని ఊహించండి. (a) గురుత్వ బలానికి వ్యతిరేకంగా అతడు చేసిన పని ఎంత? (b) ప్రతి కిలో గ్రాముకు 3.8 × 107J శక్తిని కొవ్వు అందిస్తుంది. ఇది 20% దక్షతతో యాంత్రిక శక్తిగా మారుతుంది. బరువు తగ్గాలనుకొనే వ్యక్తి ఎంత కొవ్వును ఉపయోగించినట్లు?
సాధన:
m = 10kg, b = 0.5 m, n = 1000
a) గురుత్వాకర్షణ బలంనకు వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని W = n(mgh)
= 1000 × (10 × 9.8 × 0.5 = 49000 J

b) 1 kg క్రొవ్వును సప్లై చేయు యాంత్రిక శక్తి = 3.8

ప్రశ్న 23.
ఒక కుటుంబం 8 kW విద్యుత్ సామర్థ్యాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. (a) సౌరశక్తి నేరుగా క్షితిజ సమాంతర తలంపై సగటున ప్రతి చదరపు మీటరుకు 200 W రేటున పతనమవుతుంది. ఈ శక్తిలో 20% విద్యుత్ శక్తిగా ఉపయోగపడితే, 8 kW ని సరఫరా చేయడానికి ఎంత పెద్ద వైశాల్యం ఉన్న తలం అవసరమవుతుంది ? (b) దీన్ని ఒక మాదిరి ఇంటి పైకప్పు వైశాల్యంతో పోల్చండి.
సాధన:
‘A’ sq.m వైశాల్యంను తీసుకుందాము.
∴ మొత్తం సామర్థ్యం = 200A
ఉపయోగపడిన విద్యుతశక్తి / sec = \(\frac{20}{100}\)
= 8KW = 40A = 8000 (watt)
∴ A = \(\frac{8000}{40}\) = 200 sq.m
250 sq.mt గల ఇంటికప్పు వైశాల్యంతో, ఈ వైశాల్యంను పోల్చవచ్చును.

ప్రశ్న 24.
0.012 kg ద్రవ్యరాశి కలిగిన బుల్లెట్, 70 ms^-1 క్షితిజ సమాంతర వడితో 0.4 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న చెక్క దిమ్మెను ఢీకొని చెక్క దిమ్మె పరంగా తక్షణం విరామంలోకి వచ్చింది. ఈ దిమ్మెను సన్నని తీగల ద్వారా లోకప్పు (ceiling) నుంచి వేలాడదీశారు. చెక్క దిమ్మె పైకి లేచే ఎత్తును లెక్కించండి. దిమ్మెలో ఉత్పన్నమయ్యే ఉష్ణాన్ని కూడా లెక్కించండి.
సాధన:
m₁ = 0.012kg. u₁ = 70 m/s
m₂ = 0.4 kg, u₂ = 0
దిమ్మె సాపేక్షంగా బుల్లెట్ విరామ స్థితికి వచ్చును. రెండు ఒకే ఒక వస్తువుగా ప్రవర్తించును. సంయోగము పొందు వేగం’ V ను తీసుకుందాము.

రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమమును అనువర్తించగా, (m₁ + m₂)v
= m₁u₁ + m₂u₂ = m₁u₁

ప్రశ్న 25.
ఘర్షణ లేని వాలుగా ఉన్న రెండు జాడ (track) లపై (పటం) రెండు రాళ్ళు నిశ్చల స్థితి నుంచి, A బిందువు వద్ద నుంచి, వేరువేరుగా జారుతున్నాయి. (ఒక వైపు వాలు క్రమంగా పెరిగి రెండోవైపు నిటారుగా ఉండి A వద్ద కలుసుకొంటున్నాయి.) రెండు రాళ్ళు అడుగు భాగానికి ఒకేసారి చేరుకొంటాయా? ఒకే వడితో చేరుకొంటాయా? వివరించండి. θ₁ = 30°, θ₁ = 60°, h = 10 m అయితే ఈ రెండు రాళ్ళు అడుగు భాగానికి చేరడానికి పట్టే కాలాలు, అవి పొందిన వడులు ఎంత?

సాధన:
OA మరియు OBలు రెండు నున్నని తలాలు. అవి క్షితిజ సమాంతరంతో చేయు కోణాలు ∠θ₁, మరియు ∠θ₁.
రెండు తలాల ఎత్తులు సమానం. కావున రెండు రాయిలు అడుగునకు ఒకేవడితో చేరును.
∴ P.E = K.E
mgh = \(\frac{1}{2}\)mv₁²= \(\frac{1}{2}\)mv₂²
∴ v₁ = v₂
పటం నుండి, రెండు దిమ్మెల త్వరణాలు

రెండవరాయి తక్కువకాలంలో అడుగునకు, మొదటిరాయి కన్నా ముందుగా చేరును.

ప్రశ్న 26.
ఘర్షణ ఉన్న వాలు తలంపై ఉన్న 1 kg దిమ్మెను 100 N m^-1 స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం కలిగిన స్ప్రింగ్తో పటం లో చూపించిన విధంగా కలిపారు. సాగదీయని స్థితిలో స్ప్రింగ్ ఉన్నప్పుడు దిమ్మెను నిశ్చల స్థితి నుంచి విడిచిపెట్టారు. దిమ్మె విరామానికి వచ్చే ముందు వాలు తలంపై 10 cm దూరం కదిలింది. వాలు తలానికి, దిమ్మెను మధ్య ఉండే ఘర్షణ గుణకాన్ని కనుక్కోండి. స్ప్రింగ్ ద్రవ్యరాశి ఉపేక్షించేటట్లుగా ఉన్నదని, అలాగే కప్పీ ఘర్షణ లేనిదని ఊహించండి.

సాధన:
పటం నుండి స్పష్టంగా,
R = mg cosθ
F = µR = µmg cosθ
వాలుతలం క్రింది దిశలో దిమ్మెపై పనిచేయు నికర బలం
= mg sin θ – F = mg sin θ – µ mg cos θ
= mg (sin – µ cos θ)
ప్రయాణించు దూరం, x = 10cm = 0.1m.
సమతాస్థితిలో, జరిగిన పని = సాగదీసిన స్ప్రింగ్ P.E
mg (sin θ – µ cos θ) x = \(\frac{1}{2}\)kx²
2mg (sin θ – µ cos θ) = Kx
2 × 1 × 10 (sin 37° – μ cos 37°) = 100 × 0.1
20(0.601 μ.0.798) = 10
∴ μ = 0.126

ప్రశ్న 27.
7 m s^-1 ఏకరీతి వడితో కిందికి చలిస్తున్న లిఫ్ట్ లో కప్పు (ceiling) నుంచి 0.3 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న బోల్డ్ కిందకు పడింది. ఇది లిఫ్ట్ నేలను ఢీకొని లేవలేదు. లిఫ్ట్ పొడవు = 3 m ఈ అభిఘాతంలో ఉత్పన్నమయ్యే ఉష్ణం ఎంత? లిఫ్ట్ నిశ్చలంగా ఉంటే మీ సమాధానం మారుతుందా?
సాధన:
m = 0.3kg, v = 7 m/s,
h ఎలివేటర్ పొడవు = 3m
ఎలివేటర్ దృష్ట్యా బంతి సాపేక్ష వేగం సున్నా.
అభిఘాతంలో బంతి స్థితిజ శక్తి, ఉష్ణశక్తిగా మారును.
వెలువడు ఉష్ణం పరిమాణం బంతి కోల్పోయిన P.E = mgh 0.3 × 9.8 × 3 = 8.82 J.
ఎలివేటర్ దృష్ట్యా బంతి సాపేక్ష వేగం సున్నా.

ప్రశ్న 28.
ఘర్షణ లేని జాడ (track) పై 200 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ట్రాలీ 36 km / h ఏకరీతి వడితో చలిస్తుంది. 20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న పిల్లవాడు ట్రాలీ పై ఒక చివర నుంచి రెండవ చివరకు (10 m దూరం) ట్రాలీకి సాపేక్షంగా, దాని చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా 4 m s^-1 వడితో పరిగెత్తుతూ ట్రాలీ నుంచి గెంతాడు. ట్రాలీ తుది వడి ఎంత? పిల్లవాడు పరిగెత్తడం ప్రారంభించిన క్షణం నుంచి ట్రాలీ ఎంత దూరం చలించింది?
సాధన:
ట్రాలీ ద్రవ్యరాశి, m₁ = 200 kg
ట్రాలీ వడి V = 36 km/h = 10 m/s
పిల్లవాని ద్రవ్యరాశి, m₂ = 20 kg
పిల్లవాడు పరుగెత్తకముందు, వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగం
P₁ = (m₁ + m₂)v = (200 + 20)10
= 2200kg ms^-1.

పిల్లవాడు, ట్రాలీకి వ్యతిరేఖ దిశలో 4 m/s వేగంతో
పరుగెత్తాడని భావిద్దాం. భూమి సాపేక్షంగా ట్రాలీ తుది వేగం v¹.
భూమి సాపేక్షంగా పిల్లవాని వడి = (v¹ – 4)

∴ పిల్లవాడు పరిగెత్తితే, వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగం,
P₂ = 200v¹ + 20 (v¹ – 4) = 220v¹ – 80
వ్యవస్థపై బాహ్య బలం పనిచేయకపోతే,
∴ P₂ = P₁
220v¹ – 80 = 2200
=220v¹ = 2200 + 80 = 2280
v¹ = \(\frac{2280}{220}\) = 10.36 ms^-1

ట్రాలీపై 10m దూరం పరుగెత్తుటకు పిల్లవానికి పట్టుకాలం,
t = \(\frac{10m}{4ms^{-1}}\) = 2.5 s
ఈ కాలంలో ట్రాలీ ప్రయాణించు దూరం = ట్రాలీవేగం × కాలం = 10.36 × 2.5 = 25.9 m

ప్రశ్న 29.
కింద ఇచ్చిన స్థితిజ శక్తి గ్రాఫ్ వక్రాల్లో ఏవి రెండు బిలియర్డ్ బంతుల మధ్య స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలను వివరించలేవు? బంతుల కేంద్రాల కేంద్రాల మధ్య దూరం r.

సాధన:
రెండు ద్రవ్యరాశుల వ్యవస్థ స్థితిజశక్తి, వాని మధ్యదూరం (r)నకు విలోమానుపాతంలో ఉండును. i.e, v(r) α \(\frac{1}{r}\) రెండు బిలియర్డ్ బంతులు ఒకదానితో ఒకటి స్పృశించు కుంటున్నప్పుడు, P.E సున్నా i. e., r = R + R = 2R వద్ద ; v(r) = 0.

ఇచ్చిన గ్రాఫ్లలో, వక్రం (v) రెండు నిబంధనలను సంతృప్తి పరుచును. మిగిలిన అన్ని గ్రాఫ్లు, రెండు బిలియర్డ్ బంతుల స్థితిస్థాపక అభిఘాతంను వివరించవు.

ప్రశ్న 30.
నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న స్వేచ్ఛా న్యూట్రాన్ క్షీణతను. పరిగణించండి : n → p + e^– ఈ రకమైన రెండు వస్తువుల క్షీణత స్థిరమైన శక్తి ఉన్న ఒక ఎలక్ట్రాను కచ్చితంగా ఇవ్వాలని, అందువల్ల న్యూట్రాన్ లేదా కేంద్రకం యొక్క β-క్షీణతలో కనిపించిన అవిచ్చిన్న శక్తి పంపిణీని వివరించలేక పోతుందని చూపండి.

(సూచన : ఈ అభ్యాసం యొక్క సరళమైన ఫలితం ఏమంటే β-క్షీణతలో ఏర్పడే ఉత్పన్నాలలో మూడవ కణం ఉనికిని ఊహించడానికి W. పౌలి ప్రతిపాదించిన అనేక వాదనలలో ఇది ఒకటి. ఈ కణం న్యూట్రినో అని తెలిసింది. ఈ కణం స్వభావజ (intrinsic) స్పిన్^1/2 (e–, p లేదా n వలె) కలిగి, తటస్థంగా ఉండి (ఆవేశరహిత), ద్రవ్యరాశి లేకపోవడం గాని లేదా అతి స్వల్ప ద్రవ్యరాశి కలిగి (ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశితో పోలిస్తే) ఉంటుందని, ద్రవ్యంతో బలహీనంగా చర్యనొందుతుందని ఇప్పుడు తెలుసుకొన్నాం. కచ్చితమైన న్యూట్రాన్ క్షీణత ప్రక్రియ కింది విధంగా ఉంటుంది : n → p + e^– + v
సాధన:
విఘటన ప్రక్రియలో, n → p + e
ఎలక్ట్రాన్ శక్తి (∆m)c² కు సమానము.
ఇచ్చట ∆m = ద్రవ్యరాశి లోపం = న్యూట్రాన్ ద్రవ్యరాశి – ప్రొటాన్ మరియు – ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి. ఇది స్థిరం. న్యూట్రాన్ లేక కేంద్రకము β-విఘటనంలో అవిచ్ఛిన్న శక్తి వితరణను, ఈ రకం విఘటనను వివరించదు. న్యూట్రాన్ సరైన విఘటన ప్రక్రియ n p + e^– + v.

సాధించిన సమస్యలు (Solved Problems)

ప్రశ్న 1.
F = (3\(\hat{\mathbf{i}}\) +4\(\hat{\mathbf{j}}\) – 5\(\hat{\mathbf{k}}\)) ప్రమాణాలు స్థానభ్రంశం d = (5\(\hat{\mathbf{i}}\) + 4\(\hat{\mathbf{j}}\) + 3\(\hat{\mathbf{k}}\)) ప్రమాణాలు అయితే వాటి మధ్య కోణాన్ని, d సదిశ దిశలో F విక్షేపాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
F.d = F_xd_x + F_yd_y + F_zd_z = 3(5) + 4(4) + (-5) (3) = 16 ప్రమాణాలు
∴ F.d = F d cos θ = 16 ప్రమాణాలు
ఇప్పుడు F.F = F² – F_x² + F_y² + F_z²
9 + 16 + 25 = 50 ప్రమాణాలు
d.d = d² = d_x² + d_y² + d_z²·
25 + 16 + 9 = 50 ప్రమాణాలు

ప్రశ్న 2.
వాన నీటి బిందువులు పడేటప్పుడు కిందకు పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం, దీన్ని వ్యతిరేకించే నిరోధక బలాల ప్రభావం ఉంటుందని మనకు బాగా తెలుసు. నిరోధక బలం వాన నీటి బిందువు వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. దీని గురించి నిర్ధారించవలసి ఉంది. 1.00 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నీటి బిందువు 1.00 km ఎత్తు నుంచి కిందకు పడుతుందనుకోండి. అది 50.0 ms వడితో నేలను తాకింది. దానిపై (a) గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల జరిగిన పని ఎంత? (b) తెలియని నిరోధక బలం వల్ల జరిగిన పని ఎంత?
సాధన:
(a) నీటి బిందువు గతిజశక్తిలో మార్పు
∆K = \(\frac{1}{2}\) mv² – 0
= \(\frac{1}{2}\) × 10^-3 × 50 × 50 = 1.25 J

ఇక్కడ నీటి బిందువు ప్రారంభంలో నిశ్చలస్థితిలో ఉందని ఊహించడమైంది.
పని, శక్తి, సామర్థ్యం
g విలువ 10 m/s× తో స్థిరంగా ఉంటుందని ఊహిస్తే, గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల జరిగిన పని
W_g = mgh = 10^-3 × 10 × 10³ = 10.0 J

(b) పని-శక్తి సిద్ధాంతం నుంచి
∆K = W_g + W_r
ఇక్కడ W_r అనేది వాన నీటి బిందువుపై నిరోధక బలం వల్ల జరిగిన పని

W_r = ∆K – W_g = 1.25 – 10 = – 8.75 J
W_r విలువ రుణాత్మకం

ప్రశ్న 3.
సైకిల్పై ప్రయాణిస్తున్న వ్యక్తి, బ్రేకు వేసినప్పుడు 10 m దూరం జారుతూ ఆగాడు. ఈ ప్రక్రియలో రోడ్డు వల్ల సైకిల్ గమనానికి వ్యతిరేక దిశలో, సైకిల్పై పనిచేసే బలం 200 N. (a) సైకిల్పై రోడ్డు ఎంత పని చేస్తుంది? (b) రోడ్డుపై సైకిల్ ఎంత పని చేస్తుంది?
సాధన:
రోడ్డు సైకిల్పై చేసిన పని అంటే రోడ్డు వల్ల కలిగే నిరోధక బలం (ఘర్షణ బలం) చేసిన పని అవుతుంది.
(a) నిరోధక బలం, స్థానభ్రంశాలు ఒకదానితో ఒకటి చేసే కోణం 180° (π రేడియన్లు) కాబట్టి రోడ్డు వల్ల జరిగిన పని.
= W_r = Fd cos θ 200 × 10 × cos π = -2000 J

ఈ ఋణ పనివల్లనే పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం సైకిల్ ఆగుతుంది.

(b) న్యూటన్ మూడవ గమన నియమం ప్రకారం సైకిల్ వల్ల సమానం, వ్యతిరేక బలం రోడ్డుపై పనిచేస్తుంది. దీని పరిమాణం 200 N. కాని రోడ్డు ఎటువంటి స్థానభ్రంశం పొందలేదు కాబట్టి రోడ్డుపై సైకిల్ చేసే పని శూన్యం అవుతుంది.

A పై B కలగచేసే బలానికి సమానం, వ్యతిరేక దిశలో B పై A కలగచేసే బలం ఉన్నప్పటికీ (న్యూటన్ మూడవ గమన నియమం) B వల్ల A పై జరిగిన పనికి, B పై A వల్ల జరిగే పని సమానం, వ్యతిరేక దిశలో ఉండవవసరం లేదు.

ప్రశ్న 4.
ప్రక్షేపణాల (ballistics) ప్రదర్శనలో ఒక పోలీసు అధికారి 50.0g ద్రవ్యరాశి ఉన్న బుల్లెట్ను 200 ms^-1 వడితో 2.00 cm మందం ఉన్న ప్లైవుడ్లోకి పేల్చాడు. తొలి గతిజశక్తిలో కేవలం 10% తో మాత్రమే బుల్లెట్ బయటకు వెలువడింది. బయటకు వెలువడిన బుల్లెట్ వడి ఎంత?
సాధన:
బుల్లెట్ తొలి గతిజశక్తి = mv²/2 = 1000 J. దాని తుది గతిజశక్తి 0.1 × 1000 వెలువడిన బుల్లెట్ వడి v_f అయితే,

వడి దాదాపు 68% తగ్గింది (90% కాదు).

ప్రశ్న 5.
గరుకుగా ఉన్న రైల్వే ప్లాట్ఫారంపై ఒక స్త్రీ ట్రంకు (trunk) ను తోస్తుంది. 10 m దూరం తోయడానికి 100 N బలం ఆమె ప్రయోగించింది. ఈ తరవాత క్రమంగా ఆమె అలసిపోవడం వల్ల ప్రయోగించిన బలం దూరంతో పాటు రేఖీయంగా తగ్గి 50 N అయ్యింది. ట్రంకు కదిలిన మొత్తం దూరం 20m. స్త్రీ ప్రయోగించిన బలం, ఘర్షణ బలం 50 N లకు, స్థానభ్రంశానికి గ్రాఫ్ గీయండి. ఈ రెండు బలాలు 20m దూరంలో చేసిన పనిని లెక్కించండి.
సాధన:

పటంలో ప్రయోగించిన బలం గ్రాఫ్ చూపించడమైంది. x = 20m వద్ద F 50 N (≠ 0). ఘర్షణ బలం f పరిమాణం |f| = 50N గా మనకు ఇవ్వడమైంది. ఇది గమనాన్ని వ్యతిరేకిస్తూ, బలం F కు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది. అందువల్ల బలాక్షానికి రుణ దిశలో చూపించడమైంది. స్త్రీ చేసిన పని W_F అయితే,
W_F = ABCD దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం + CEID సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం

W_F = 100 × 10 + \(\frac{1}{2}\)(100 + 50) × 10
= 1000 + 750 = 1750 J

ఘర్షణ బలం చేసిన పని W. అయితే,
W_f → AGHI దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం
W_f = (-50) × 20 = -1000 J
బల అక్షం రుణదిశవైపు ఉన్న వైశాల్యం రుణ సంజ్ఞను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
ద్రవ్యరాశి m = 1 kg ఉన్న దిమ్మె క్షితిజ సమాంతర తలంపై vⁱ = 2ms^-1 వడితో కదులుతూ x = 0.10 m నుంచి x = 2.01 m వరకు విస్తరించి ఉన్న గరుకు ప్రదేశంలోకి ప్రవేశించింది. ఈ వ్యాప్తిలో చలనానికి వ్యతిరేకంగా పనిచేసే బలం F_r, x కు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
F_r = \(\frac{-k}{x}\)0.1 < x < 2.01 m వద్ద
= 0 x < 0.1 m, x > 2.01 m వద్ద
ఇక్కడ k = 0.5J గరుకు ప్రదేశాన్ని దాటిన తరవాత దిమ్మె తుది గతిజశక్తి, వడి v_f ఎంత?
సాధన:

సహజ సంవర్గమానం. అంతేకాని 10 ఆధారం కలిగిన సంవర్గమానం కాదు అని గుర్తించాలి [lnX = log_e X = 2.303 log₁₀ X].

ప్రశ్న 7.
L పొడవు ఉన్న తేలికైన దారంతో m ద్రవ్యరాశి ఉన్న గోళం వేలాడదీయడమైంది. నిమ్నతమ బిందువు A వద్ద దానికి క్షితిజ సమాంతర వేగం v_o ఇవ్వడం వల్ల అది క్షితిజ లంబ తలంలో అర్థవృత్తాన్ని పూర్తిచేసి ఊర్థ్వతమ బిందువు Cని చేరింది. Cని చేరినప్పుడు మాత్రమే దారం వదులయింది (slack). ఇది పటంలో చూపించడమైంది. (i) v_o; (ii) B, C ల వద్ద వడి; (iii) B, C ల వద్ద గతిజ శక్తుల నిష్పత్తు (K_B/K_C) లకు సమీకరణాలను రాబట్టండి. C ని చేరిన తరువాత గోళం ప్రక్షేపక మార్గం స్వభావంపై వ్యాఖ్యానించండి.

సాధన:
i) గోళంపై రెండు బాహ్య బలాలు పనిచేస్తుంటాయి.
గురుత్వం, దారంలోని తన్యత (T). దారంలో తన్యత చేసిన పని శూన్యం. ఎందుకంటే గోళం స్థానభ్రంశం ఎప్పుడూ దారానికి లంబంగా ఉంటుంది. అందువల్ల గోళం స్థితిజశక్తి, గురుత్వబలంతో మాత్రమే సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. వ్యవస్థ మొత్తం యాంత్రిక శక్తి E నిత్యత్వంగా ఉంటుంది. నిమ్నతమ బిందువు A వద్ద వ్యవస్థ స్థితిజ శక్తిని సున్నాగా తీసుకొంటాం. అందువల్ల
A వద్ద :
E = \(\frac{1}{2}\)mv²₀ …………… (1)
T_A – mg = \(\frac{mv^{2}_{0}}{L}\) [న్యూటన్ రెండవ నియమం]

A వద్ద దారంలో తన్యత T_A దారంలో తన్యత (T_c) శూన్యమవుతుంది. కాబట్టి ఊర్థ్వతమ బిందువు వద్ద దారం వదులవుతుంది.
అందువల్ల C వద్ద
E = \(\frac{1}{2}\)mv²_e + 2mgL …………… (2)
mg = \(\frac{mv^{2}_{e}}{L}\) [న్యూటన్ రెండవ నియమం] .. (3)
ఇక్కడ v_cఅనేది C వద్ద వడి సమీకరణాలు (2), (3) ల నుంచి
E = \(\frac{5}{2}\)mgL
దీనిని A వద్ద శక్తితో సమానం చేస్తే,

C బిందువు వద్ద దారం వదులవుతుంది, గోళం వేగం ఎడమవైపు క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ క్షణంలో దారం తెగిపోతే, గోళం క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపం వంటి ప్రక్షేపక చలనం చేస్తుంది. ఇది శిఖరం పైన ఉన్న రాయిని క్షితిజ సమాంతరంగా తన్నినప్పుడు అది పొందే పథంలాంటిది. అలా తెగకుంటే, వృత్తాకార పథంలో గోళం పూర్తి భ్రమణం చేస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
కారు ప్రమాదాలను పోలి ఉండే విధంగా కారు తయారీదార్లు వివిధ స్ప్రింగ్ స్థిరాంకాలు కలిగిన స్ప్రింగ్లతో గమనంలో ఉన్న కార్ల అభిఘాతాలను అధ్యయనం చేస్తారు. అలాంటి ఒక పోలికను పరిగణిద్దాం. 1000 kg ద్రవ్యరాశి కలిగిన కారు 18.0 km / h వడితో నున్నటి రోడ్డుపై చలిస్తూ 6.25 × 10³ N m^-1. స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం ఉన్న క్షితిజ సమాంతరంగా తగిలించిన స్ప్రింగ్ను ఢీకొంది. స్ప్రింగ్ చెందే గరిష్ట సంపీడనం ఎంత?
సాధన:
స్ప్రింగ్ గరిష్ఠ సంపీడనం చెందినప్పుడు కారు గతిజశక్తి పూర్తిగా స్ప్రింగ్ స్థితిజ శక్తిగా మారుతుంది.
గమనంతో ఉన్న కారు గతిజ శక్తి
K = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\) × 10³ × 5 × 5
K = 1.25 × 10⁴ J

ఇక్కడ 18 km h^-1ను 5ms^-1 గా మార్చుడమైంది. [36 km h-^-1 = 10 ms^-1 అని గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరం.] యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం స్ప్రింగ్ గరిష్ట సంపీడనం X_m వద్ద స్ప్రింగ్ స్థితిజ శక్తి V గమనంలో ఉన్న కారు గతిజ శక్తి Kకి సమానం.
V = \(\frac{1}{2}\)k x²_m = 1.25 × 10⁴ J
దీని నుంచి x_m = 2.00 m వస్తుంది.

ఇక్కడ మనం స్ప్రింగ్ను ద్రవ్యరాశి లేనిదిగా, తలానికి ఉపేక్షించదగిన ఘర్షణ ఉందని పరిగణించడమైంది. ఇది ఒక ఆదర్శ పరిస్థితి అని గమనించవచ్చు.

నిత్యత్వ బలాలపై కొన్ని సూచనలు చేసి ఈ విభాగాన్ని ముగించవచ్చు.

i) పై చర్యల్లో కాలం గురించి సమాచారం లేదు. పైన తీసుకొన్న ఉదాహరణలో సంపీడనాన్ని మనం లెక్కించవచ్చు కాని సంపీడనం జరిగిన కాలాన్ని లెక్కించలేం. కాలానికి సంబంధించిన సమాచారం న్యూటన్ రెండవ గమన నియమాన్నుంచి తెలుసు కోవచ్చు.

ii) అన్ని బలాలు నిత్యత్వ బలాలు కావు. ఉదాహరణకు ఘర్షణ బలం అనిత్యత్వ బలం. ఈ సందర్భానికి శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని మార్పు చేయవలసి ఉంటుంది. దీన్ని ఉదాహరణ 9లో వివరించడమైంది.

iii) స్థితిజ శక్తి సున్నా విలువ అనేది అనియతమైనది (arbitrary) ఇది సౌలభ్యం కోసం ఏర్పరిచింది. స్ప్రింగ్ బలానికి x = 0 వద్ద V(x) తీసుకొన్నాం. అంటే సాగదీయని స్ప్రింగ్ సున్నా స్థితిజ శక్తిని కలిగి ఉంటుంది. స్థిర గురుత్వ బలం mgకి -భూమి ఉపరితలంపై V = 0 అని తీసుకొంటాం. తరువాతి అధ్యాయంలో విశ్వగురుత్వ నియమం వల్ల ఏర్పడే బలం సంబంధంలో గురుత్వ జనకం నుంచి అనంత దూరం వద్ద స్థితిజ శక్తిని సున్నాగా ఉత్తమంగా నిర్వచించడమైంది. ఏది ఏమైనా ఒకసారి స్థితిజ శక్తి విలువను సున్నాగా స్థిరీకరిస్తే దాన్ని అదే విధంగా తరవాత చర్చలో కొనసాగించాలి. అంతేగాని మధ్యలో ఈ విలువను మార్చరాదు.

ప్రశ్న 9.
8వ ఉదాహరణలో ఘర్షణ గుణకం µ విలువ 0.5 గా తీసుకొని స్ప్రింగ్ గరిష్ట సంపీడనాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు ఘర్షణ ఉన్నప్పుడు ఘర్షణ బలం, స్ప్రింగ్ బలం రెండూ స్ప్రింగ్ సంపీడనాన్ని వ్యతిరేకిస్తాయి.

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం కంటే పని-శక్తి సిద్ధాంతాన్ని ఇక్కడ ఉపయోగిస్తాం.
గతిజ శక్తిలోని మార్పు

ఇప్పుడు µmg = 0.5 × 10³ × 10 5 × 10³ N
(g = 10.0 ms^-2 గా తీసుకోండి]. పై సమీకరణాన్ని మనకు తెలియని x_m తో కూడిన ఒక వర్గ సమీకరణంగా మార్చవచ్చు.

ఇక్కడ x_m ధనాత్మకం కాబట్టి ధన వర్గ మూలం తీసుకొంటాం. పై సమీకరణంలో విలువలను ప్రతిక్షేపిస్తే,
x_m = 1.35 m
మనం ఊహించినట్లే ఇది ఉదాహరణ 8 లో వచ్చిన విలువ కంటే ఎక్కువ.

నిత్యత్వ బలం F_c, అనిత్యత్వ బలం F_nc అనే రెండు బలాలు వస్తువుపై పనిచేసినప్పుడు యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ ‘నియమాన్ని మార్చవలసి ఉంటుంది. పని శక్తి సిద్ధాంతం నుంచి
(F_c + F_nc) ∆x = ∆K
కాని F_c ∆x = – ΔV
అందువల్ల, ∆(K + V) = Fnc ∆x
∆E = F_nc Δx

ఇక్కడ E మొత్తం యాంత్రిక శక్తి, మొత్తం పథంలో ఈ సూత్రం కింది రూపాన్ని పొందుతుంది.
E_f – E_i = W_nc

ఇక్కడ W_nc అనేది ఆ పథంలో అనిత్యత్వ బలం చేసిన మొత్తం పని. నిత్యత్వ బలంలాగా కాకుండా i నుంచి f కు గల నిర్ణీత పథంపై Wnc ఆధారపడి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
(a) DNA లో ఒక బంధాన్ని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి అవసరమయ్యే శక్తిని eV లలో (b) గాలి అణువు గతిజ శక్తి (10^-21J) ని eV లలో; (c) ఒక పెద్ద వ్యక్తి రోజూ తీసుకొనే ఆహారాన్ని కిలో కెలరీలలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
(a) DNA లో ఒక బంధాన్ని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి అవసరమయ్యే శక్తి

సాధారణంగా వార్తా పత్రికలు, మాగజైన్లు (magazines) ఒక తప్పును పదే పదే వల్లిస్తూ ఉంటాయి. దానిని మనం ఇక్కడ చూద్దాం. ఆహారం విలువలను కెలరీలలో చెప్పి మనం తీసుకొనే ఆహారం విలువ 2400 కెలరీల కంటే తక్కువగా ఉండాలని సూచిస్తాయి. వాళ్ళు చెప్పవలసినది కిలో కెలరీలు (kcal) అంతే కానీ కెలరీలు కాదు. రోజుకు 2400 కెలరీల ఆహారం తీసుకొనే వ్యక్తి త్వరలోనే ఆకలితో మరణిస్తాడు. ఒక ఆహారం కెలరి అంటే 1 kcal.

ప్రశ్న 11.
2ms^-1 స్థిరవడితో పైకి చలిస్తున్న లిఫ్ట్ గరిష్ఠంగా 1800 kg (లిఫ్ట్ + ప్రయాణీకులు) బరువును తీసుకొనివెళ్ళగలదు. ఈ చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తున్న ఘర్షణ బలం 4000 N. మోటారు లిఫ్ట్కు అందించవలసిన కనీస సామర్ధ్యాన్ని వాట్లలో, అశ్వసామర్ధ్యాలలో కనుక్కోండి.
సాధన:
లిప్పై కిందకు పనిచేసే బలం
F = mg + F_f = (1800 × 10) + 4000 = 22000 N
ఈ బలాన్ని తుల్యం చేయడానికి సరిపడే సామర్థ్యాన్ని మోటారు అందించాలి. అందువల్ల.
P = F.v = 22000 × 2 = 44000 W

ప్రశ్న 12.
న్యూట్రాన్ల వడి క్రమంగా తగ్గడం : న్యూక్లియర్ రియాక్టర్లో న్యూట్రాన్ల అధిక వడి (సుమారు 10⁷ms^-1)10³ ms^-1 కు క్రమంగా తగ్గితేనే అవి ²³⁵₉₂U ఐసోటోప్ చర్యనొంది దానిని విచ్ఛిత్తి గావించడానికి అధిక సంభావ్యత కలిగి ఉంటుంది. న్యూట్రాన్ ద్రవ్యరాశి కంటే కొద్ది రెట్లు అధిక ద్రవ్యరాశి కలిగిన డ్యుటీరియం లేదా కార్బన్ వంటి తేలిక కేంద్రకాలతో న్యూట్రాన్ స్థితిస్థాపక అభిఘాతం జరిపినప్పుడు దాని (న్యూట్రాన్) గతిజ శక్తిలో ఎక్కువ భాగం నష్టపోతుందని చూపండి. తేలిక కేంద్రకాలు సాధారణంగా భారజలం (D₂O) లేదా గ్రాఫైట్ లతో తయారయి ఉంటాయి. వీటిని మితకారి (moderator) అంటారు.
సాధన:
న్యూట్రాన్ తొలి గతిజ శక్తి

మితకారి కేంద్రకాలు పొందే గతిజ శక్తి భాగం K_2f/K_1i అయితే,
f₂ = 1 – f₁ (స్థితిస్థాపక అభిఘాతం)

ఫలితాన్ని సరిచూడవచ్చు.
డ్యుటీరియం కేంద్రకానికి m₂ = 2m₁ కాబట్టి f₂ = 8/9 అయితే f₁ = 1/9 అని వస్తుంది. సుమారు 90% న్యూట్రాన్ల శక్తి డ్యుటీరియంకు బదిలీ అవుతుంది. కార్బన క్కు f₁ = 71.6%, f₂ = 28.4%. వాస్తవంగా ఏకమితీయ అభిఘాతాలు చాలా అరుదు కాబట్టి ఈ సంఖ్య తక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
సమాన ద్రవ్యరాశులు m₁ = m₂ ఉన్న రెండు బిలియర్డ్ బంతుల మధ్య పటంలో చూపినట్లు అభిఘాతాన్ని పరిగణిద్దాం. మొదటి బంతిని క్యూ (cue) అని రెండవ బంతిని లక్ష్యమని అంటారు. బిలియర్డ్ ఆటగాడు లక్ష్యంగా ఉన్న బంతిని 37° కోణంతో మూలలో ఉన్న పాకెట్ (pocket) లో వేయాలనుకొంటాడు. అభిఘాతం స్థితిస్థాపకమని, ఘర్షణభ్రమణ చలనాలు ముఖ్యం కాదని ఊహించండి. θ₁ ను రాబట్టండి.

సాధన:
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం నుంచి ద్రవ్యరాశులు సమానం కాబట్టి
v_1i = v_1f + v_2f
లేదా v_1i² = (v_1f + v_2f) × (v_1f + v_2f)
= v_1f² + _2f² + 2v_1fv_2f
= {v_1f² + v_2f² + 2v_1fv_2f cos (θ₁ + 37} ………. (1)

అభిఘాతం స్థితిస్థాపకం m₁ = m₂ కాబట్టి గతిజ శక్తి నిత్యత్వం నుంచి
v_1i² = v_1f² + _2f² …….. (2)
సమీకరణాలు (1); (2) పోలిస్తే,
cos (θ₁ + 37°) = 0 వస్తుంది.
లేదా θ₁ + 37° = 90°
అందువల్ల, θ₁ = 53°

రెండు ద్రవ్యరాశులు సమానంగా ఉండి ఒకటి విరామంలో, రెండవది గమనంలో ఉంటూ అనుస్పృశ (glancing) స్థితిస్థాపక అభిఘాతం జరిపితే, అభిఘాతం తరవాత అవి ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉండేటట్లు చలిస్తాయని పై ఫలితం నిరూపిస్తుంది.

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 3rd Lesson Forms of Business Organization will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 3rd Lesson Forms of Business Organization

→ Business is one of the human economic activities. Profit is a consideration of business.

→ Business is an economic entity i.e., an artificial person.

→ Business units may be classified into two types.

1. Noncorporate units
2. Corporate units

→ Sole proprietorship concern is one of the noncorporate units.

→ Each and every business concern must have its own merits and demerits.

→ Sole proprietorship business is owned by only one person and controlled by a single individual.

→ The complete risk in sole proprietorship concern is borne by a sole trader.

→ The sole trade liability is an unlimited liability because the sole proprietorship firm has no separate legal entity.

→ The sole trader and sole proprietorship firms both were the same as per law.

→ To commencement of sole proprietorship firm legal formalities are very less.

→ In sole proprietorship concerns, decisions should be taken by only one person i.e., the sole trader.

→ వ్యాపారానికి సంబంధించిన యాజమాన్య, నిర్వహణ ఏర్పాటును వ్యాపార వ్యవస్థ అంటారు. ఇది వివిధ రూపాలలో ‘ది. వ్యాపార వ్యవస్థల ఎన్నిక వివిధ స్వరూపాల ప్రయోజనాలు, పరిమితుల సమతూకముపై ఆధారపడి ఉం బంది. ఈ ఎంపిక చాలా క్లిష్టమైనది. నియంత్రణ, నష్టభయం, అధికారము మొదలైన అంశాలనాధారముగా ఎంపిక చేయాలి. ఏ సంస్థ అయినా దీర్ఘకాలము కొనసాగాలి అంటే ముందు చూపుతో అనేక సంప్రదింపుల తరువాత సరైన వ్యాపార స్వరూపాన్ని ఎంపికచేసుకోవాలి.

→ సొంత వ్యాపారవ్యవస్థలో ఒకే వ్యక్తి మూలధనాన్ని సమకూర్చి తన సొంత నైపుణ్యం, అనుభవము నిర్వహణలో ఉపయోగించి, తద్వారా వచ్చే ఫలితాలను పూర్తిస్థాయిలో తానే బాధ్యత వహిస్తాడు.

Students can go through AP Inter 1st Year Commerce Notes 2nd Lesson Business Activities will help students in revising the entire concepts quickly.

AP Inter 1st Year Commerce Notes 2nd Lesson Business Activities

→ All business activities are economic activities, a man is engaged in, to earn his livelihood by producing and distributing goods and rendering services.

→ Business may be defined as a human activity directed towards producing or acquiring wealth through buying and selling of goods.

→ Industry refers to the production of consumer goods and capital goods, creating form utility.

→ Commerce is part of the business. It deals with buying and selling goods and services. Commerce is concerned only with the exchange of goods. It includes all those activities which are related to the transfer of goods from the production place to the consumption place.

→ Trade means the purchase and sale of goods with a profit motive. It involves the exchange of goods and services between buyers and sellers.

→ Aids to trade include transport, communication, warehousing, banking, insurance, and advertising.

→ వస్తు సేవల ఉత్పత్తికి సంబంధించిన కార్యకలాపాల సమూహాన్ని పరిశ్రమ అంటారు.

→ పరిశ్రమలను ప్రాథమిక, ప్రజనన, ఉద్భహణ, తయారీ, నిర్మాణ, సేవా పరిశ్రమలుగా విభజించవచ్చు.

→ పారిశ్రామిక ప్రపంచములో వ్యక్తుల మధ్య వస్తువుల పంపిణీ కోసం ఏర్పడిన శ్రమబద్ధమైన వ్యవస్థ వాణిజ్యం.

→ వస్తు మార్పిడిలో గల అవరోధాలను వాటి తొలగింపుకు వాణిజ్యము ముఖ్యమైనది.

→ వస్తువుల కొనుగోలు, అమ్మకాల ప్రక్రియ వర్తకము. దీనిని స్వదేశీ వర్తకము, విదేశీ వర్తకముగా విభజించవచ్చు. స్వదేశీ వర్తకాన్ని టోకు, చిల్లర వర్తకమని, విదేశీ వర్తకాన్ని ఎగుమతి, దిగుమతి, మారు వర్తకముగా విభజించవచ్చును.

→ వర్తక సదుపాయాలు – రవాణా, గిడ్డంగులు, బ్యాంకింగ్ ప్రకటనలు, బీమా, కమ్యూనికేషన్ మొదలైనవి.